Космические траектории - Вериго В.В., Данкова Г.Ю.

Автор: Вериго В.В. Данкова Г.Ю.

Теги: механика летательные аппараты ракетная техника космонавтика небесная механика

Год: 1963

Похожие

Оптимальные траектории для космической навигации

Космическая техника

Космические крылья

Оптимизация траекторий движения аэрокосмических летательных аппаратов

Текст

~~XAH(&l

БИБЛИО ТЕКА СБОРНИКА .МЕХАНИКА'
КОСМИЧЕСКИЕ
TPAEKTOPИИ
Перевод с английского
В. В. Верига и Г. 10. Данкова
ИЗДАТЕЛЬСТВО
И НОСТРА Н Н О И ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 19бЗ

АН НОТАЦИЯ
Развитие техники космических полетов вызвало
к жизни новую QTpBcJIb науки вЂ” прикладную не-
бесную механику, которая посвящена выбору, расчету
и оптимизации траекторий искусственных объектов
в космическом пространстве.
Д,анный сборник содержит перевод ряда докладов,
представленных на Симпозиуме по космическим тра-
екториям (1959, США), и обзорную работу по опти-
мизации траекторий ракет и коррекции межпланетных
орбит из книги „Успехи космонавтики" (1959, США).
Сборник представляет интерес для лиц, занимаю-
щихся вопросами астродинамики, ракетной техники и
системами управления летательных аппаратов. Ero
можно также рекомендовать студентам старших курсов
и аспирантам соответствующих специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам

Предисловие переводчиков
Первые запуски искусственных спутников Земли, осуще-
ствленные в СССР в 1957 году, открыли в истории чело-
вечества новую эру вЂ” эру завоевания космического простран-
ства. За сравнительно короткий срок было выведено на
орбиту значительное число спутников различного назначения,
проведены удачные запуски автоматических межпланетных
станций и, наконец, осуществлен полет человека в космос.
Развитие космонавтики вызвало к жизни новую науч-
ную дисциплину вЂ” динамику космического полета, назы-
ваемую также иногда прикладной небесной механикой или
астродинамикой. Ее задачей является выбор, прогнозирова-
ние, оптимизация и расчет траекторий искусственных объектов
в космическом пространстве.
Несмотря на то что при расчете траектории с успехом
используются многие методы и результаты классической не-
бесной механики, принципиальное отличие ее от динамики
космического полета очевидно. Оно заключается в первую
очередь в возможности активного изменения орбиты объекта
с помощью двигательных систем, работающих как в импульс-
ном режиме, так и в режиме малой тяги. Это обстоятель-
ство приводит к совершенно новым для классической небесной
механики типам траекторий. При этом учитывается необхо-
димость оптимального по отношению к какому-либо крите-
рию изменения орбиты. Здесь возникает ряд совсем новых
нетривиальных вар иационных задач, чуждых классической
небесной механике.
Существенным отличием прикладной небесной механики
рТ классической является также то обстоятельство, что при
решении большинства ее задач следует принимать во вни-
мание, кроме гравитационного поля, другие факторы, хара-
ктеризующие свойства пространства, в котором происходит

Предисловие
движение. Это относится в особенности к расчету движения
OKoлоземных спутников, которое в значительной степени
определяется влиянием диссипативных сил. Кроме того, тра-
екторные задачи динамики космического полета, как пра-
вило, необходимо решать совместно с задачами управления
положением Объекта вЂ” его ориентированием и стабилизацией,
которые производятся по определенной программе.
За последние годы за рубежом опубликовано большое
число работ, посвященных исследованиям различных вопросов
прикладной небесной механики, часть которых представляет
определенный интерес для советского читателя.
В предлагаемый сборник включены наиболее интересные
-работы из представленных на симпозиуме по вопросам расчета
космических траекторий, который был организован Научно-
исследовательской организацией Министерства обороны США
(АЯРА), Американским обществом астронавтики и Исследо-
.вательским отделом компании Рэдиейшн инкорпорейтед
-в декабре 1959 года. Тексты докладов, просмотренные и
дополненные авторами, были опубликованы в июне 1960 года
в сборнике Space Trajectories, Academic Press, 1960, New York
and London. Статьи Бейкера и Уорда являются, в основном,
обзорными. Многие существенные положения работы Бейкера
были изложены ранее в книге „Introduction to Astodynamics"
Бейкера и Мейкемсона. Необходимо указать, что если опре-
деленная часть материала, очевидно наиболее близкая инте-
ресам автора, освещена весьма подробно, то многие дру-
гие важные вопросы лищь бегло упомянуты. То же самое
можно сказать о статье Уорда.
Одной из наиболее содержательных работ сборника
является статья Уэстрома; в частности, в ней приводятся
интересные и полезные сведения о влиянии принимаемых
значений астрономических постоянных на расчет космических
траекторий.
По поводу работ, посвященных маневрам в космосе, заметим,
что они ни в коей мере не могут считаться исчерпывающимивЂ”
после их опубликования было проведено достаточное число
исследований, выполненных на более высоком уровне.
В настоящий сборник включены также статья Q. Лоудена
(из книги „Advances in Space Sciences", 1959, Academic Press),
представляющая собой обзор опубликованных в разное время
многочисленных результатов автора, полученных им при

Предисловие
изучении вопросов, связанных с оптимизацией траекторий
ракет и коррекцией межпланетных орбит. Наряду с извест-
ными исследованиями Д. E. Охоцимского и Т. M. Энеева,
а также А. Миеле, работы Д, Лоудена, посвященные реше-
нию вариационных задач на условный экстремум, предста-
вляют серьезный вклад в рассматриваемую отрасль знаний.
В целом эта книга может помочь советскому читателю
составить некоторое представление о состоянии прикладной
небесной механики в США. Ввиду того что сравнительно
большая часть статей посвящена рассмотрению вопросов
общего характера, проведенному на вполне доступном уровне,
сборник может быть также использован как дополнительное
пособие лицами, приступающими к изучению данной научной
дисциплины.
В статьях сборника имеются многочисленные ссылки на
обычные курсы небесной механики. Вместо упоминаемых
зарубежных работ можно рекомендовать известные курсы
небесной механики Г. Н. Дубошина и М. Ф. Субботина.
Необходимо отметить, что авторы статей при изложении
некоторых вопросов игнорируют опубликованные работы со-
ветских исследователей, приоритет которых в этой области
общепризнан.
Текст оригинала содержал многочисленные неточности и
опечатки, которые исправлялись при переводе и редактиро-
вании без особых оговорок.
Переводчики считают своим приятным долгом выразить
благодарность Т. М. Энееву, В. А. Егорову, А. К. Плато-
нову и Э. Л. Акиму, просмотревшим рукопись перевода и
сделавшим ценные замечания.
B. В. цериго,
Г. Ю. Данков

АСТРОДИНАМИКА
Р. М. Л. Вейкер,
Калифорнийский университет, Лос-Анжелес, США
ф 1. Введение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Астродинамика является инженерным, или практическим,
приложением небесной механики и других дисциплин, таких,
как аэродинамика разреженных газов, геофизика, электро-
динамика, теория оптимальных процессов, теории наблюдения
и навигации, к современным проблемам полетов космических
аппаратов '). Большинство принципов и многие из приложе-
ний астродинамики непосредственно выросли из классической
небесной механики и, следовательно, обязаны своим приме-
нением трудам таких ученых, как Лаплас, Лагранж, Гаусс,
Пуанкаре, Гиббс и другие. Несмотря на то что в принципе
астродинамика вЂ” прикладная наука, у нее должна быть тео-
ретическая часть, которая развивается главным образом на
основе исследований этих ученых. К несчастью, исторически
сложилось так, что потенциальный астродинамик, или инже-
нер, желающий практически использовать астродинамику,
сталкивается с необходимостью ознакомиться как с термино-
логией астродинамики, так и с ее математическим аппаратом.
Эта задача нелегка и отпугивает многих инженеров,
которые считают методы астродинамики слишком абстракт-
ными. Но ничто не может быть более далеким от истины.
Об этом свидетельствуют многие важные практические, а так-
же теоретические успехи в этой области. Нам представляется
уместным изложить результаты, полученные в течение 1959 г.
УСПЕХИ НЕБЕСНОЙ ИЕХАНИКИ
Характерным для общего прогресса в этой области является
недавний успех, который дала примененная Уэстромом [1]
') Это определение астродинамики иногда расширяют и вклю-
чают в него изучение природных объектов, таких, как кометы,
метеориты и планеты.

10
Бейкер P. M. Л.
методика дифференциальной коррекции Херрика, позволившая
снизить прежнюю неточность в орбитах спутников 19585
и 1958е в 70 вЂ” 300 раз! Qo этого расхождение между нашими
предсказаниями и наблюдениями положений спутников при-
водило в недоумение научные круги разных стран. О подобных
практических задачах, поддающихся астродинамическому
анализу, докладывал Уол из Кембриджского научно-исследо-
вательского центра ВВС США.
Своими теоретическими работами Бенедикт [2] внес
ясность в задачу Леви-Чивита о взаимодействии трех тел,
в то время как Кодзаи и Уитни [3] сделали замечательный
вывод, что вследствие влияния Луны как третьего тела
спутник 1959о2 прекратит существование в течение двух
лет вместо первоначально предсказанных 29 лет. Эта тео-
ретическая работа о возмущениях из-за влияния Луны или
Солнца была недавно обобщена Эптоном, Бэйли и Мьюзеном
из Национального управления по аэронавтике и исследованию
космического пространства (NASA).
Что касается либраций, или движения корпуса спутника
относительно некоторой системы координат, связанной
с центром масс спутника, то Клемперер [4] нашел точное
решение для либраций большой амплитуды, в то время как
Роберсон [5] рассмотрел всю совокупность вопросов, связан-
ных с либрациями и устойчивостью спутника.
В связи с возможностью применить при расчете орбит
спутников аналитические методы Брауэр [6] (Йельский уни-
верситет) и Ковалевский [7) (Парижский университет) заин-
тересовались применением теории Яелоне, с тем чтобы
обойти проблему малых делителей. Другие работы, связан-
ные с расчетом возмущений аналитическими методами, были
с успехом проведены для спутников Земли Брейкуэллом и
Петти (компания Локхид) и Винти [8] (Бюро стандартов),
которому удалось разделить переменные в уравнении Гамиль-
тона вЂ” Якоби при помощи применения сплющенных сфериче-
ских координат. Влияние вращения атмосферы на орбиту
спутника анализировалось также Стерном.
Широкое применение численного интегрирования орбит
спутников и других тел и успехи в этой области будут
богато проиллюстрированы в последующих разделах этой
книги. Тем не менее особый интерес представляет попытка
Себехейи (дженерал электрик) и Херрика (Калифорнийский

Астродинамика
университет, Лос-Анжелес) найти новые параметры для того,
чтобы более эффективно решать практические задачи инте-
грирования орбит при значениях эксцентриситета, близких
к нулю и единице.
Несмотря на то что метод определения орбит Хергета
и метод дифференциальной коррекции с большим успехом
применялись при определении орбит спутников серии Аван-
гард, QK. Яоннеган из NASA обнаружил значительные пре-
имущества формул Херрика вЂ” Гиббса [9]. Радиолокация и
допплер-эффект дополнили классические методы определения
орбит возможностью измерения новых величин: дальности и
радиальной скорости, и я сделал некоторые предварительные
попытки построить методику определения орбит с помощью
измерений дальности и скорости ее изменения по образцу
классических методов Гиббса и Лапласа ([10] и равд. VI
работы [36]).
УСПЕХИ АЭРОДИНАМИКИ
В 1959 г. аэродинамическим сопротивлением спутника
в переходной области от континуального к свободно-молеку-
лярному потоку (сопротивлением при полетах в верхних
слоях атмосферы) интересовались многие исследователи,
включая Шафа [11], Уиллиса [12], Херлбата [13], Бейкера
и Чаруота [14, 15] и Бейкера [16, 17], в то время как
Уитни [18] практически применил полученные ими результаты
к измерению плотностей верхней атмосферы. Сайри [19],
Шиллинг [20] и Понд [21] также приняли участие в уточ-
нении зависимости плотности от высоты в верхней атмосфере.
Пожалуй, наиболее важный успех в области аэродинамики
спутников был достигнут Яжаккиа [22], который нашел три
поправки к аэродинамическому ускорению спутника вслед-
ствие солнечной активности. Первая возникает из-за актив-
ности солнечных пятен, вторая зависит от положения перигея
на дневном или ночном полушарии 3емли и третья является
поправкой на вызванные Солнцем магнитные бури.
ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
В следующей статье Уэстром, ссылаясь на Прайса и
Грина [23], сообщает, что радиолокационное отражение от
Венеры дало возможность получить в лабораторных едини-
цах уточненное значение астрономической единицы [24]. Как

Вейкер P. M. Л.
будет показано, это уточнение позволяет значительно снизить
запас топлива для коррекции в межпланетном полете. 0'Кифи,
Экклс и Сквайрс [25] опубликовали уточненные вели-
чины геоцентрических, или „землецентрических", констант,
что дало возможность более правильно определять орбиты
лунных кораблей и спутников.
Изучая фотографии Луны, Яковкин [26] уточнил пред-
ставление о ее форме и гравитационном поле, а следова-
тельно, и о значениях селеноцентрических, или „луноцентри-
ческих", констант. Подобные результаты непосредственно
важны при проектировании будущих лунных спутников. В той
же самой области джеффрис [27] и Юри [28] опубликовали
сообщения о строении Луны, Александров [29] применил их
результаты к определению лунного гравитационного потенциала.
ДОСТИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ
Силами, действующими на искусственно заряженный
спутник, заинтересовались Фэйн и Грир [30]. Ими было
найдено, что такой заряд оказывает незначительное влияние
и поэтому его едва ли можно использовать для управления
спутником. Чопра, Зингер и Ефименко установили ранее,
что процессы, связанные с естественным зарядом, также
мало могут влиять на изменение орбитальных характеристик.
Hay [31] недавно продолжил анализ Гарвина, связанный
с непосредственным использованием солнечной электромаг-
нитной радиации для движения (полет с помощью „солнеч-
ного паруса"). Полеты, основанные на этом принципе, рас-
сматриваются в настоящем сборнике в статье Тангея и
Хока.
ОПТИМИЗАЦИЯ
В области оптимального выбора орбит продолжают пло-
дотворно работать Миеле, Варго и Лоуден. Вебер и Пол-
сон [32] недавно заново рассмотрели задачу об оптимальном
сближении спутников, а Родригес [33] рассмотрел вопросы
оптимального пилотирования при помощи малой тяги. Более
детальное обсуждение этого вопроса, так же как и задача
о солнечном парусе, будет прдведено в статьях Тангея и
Хока.

А строданамика
УСПЕХИ ТЕОРИИ НАБЛЮДЕНИЯ И ТЕОРИИ НАВИГАЦИИ
Использование измерений расстояния и радиальной ско-
рости мы уже рассмотрели (стр. 11) в связи с определением
орбит. Вопросы, связанные с навигационной аппаратурой,
были рассмотрены Боком и Мундо [34], которые показали
преимущество более точных разностных измерений, т. е. из-
мерений. разности между предварительно вычисленными и
действительными параметрами движения, что давно стало обыч-
ной практикой в земной наблюдательной астрономии. Рассмо-
трение требований к автономным системам навигации и бор-
товым навигационным вычислительным устройствам, а также
использования дифференциальной коррекции проводится
в работах Конта и Кинга ').
ф 2. Введение в астродннамику
ВВЕДЕНИЕ
Из огромной и непрерывно расширяющейся области астро-
динамики я выделил для рассмотрения лишь краткий обзор
основных принципов астродинамики и несколько практи-
ческих приложений этой науки к анализу лунных траекто-
рий. Большая часть изложенного здесь материала основана
на работах [35] и [36]. Яля более детального ознакомления
отсылаем читателей к этим двум работам.
Мне представляется также уместным привести соответст-
вующие формулы задачи двух тел и некоторые выводы,
вытекающие из анализа этих формул.
ОРБИТЫ В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ
Несмотря на то что орбиты в задаче двух тел никогда
точно не осуществляются в пространстве, они являются весьма
полезной моделью и дают возможность „почувствовать за-
дачу". Более того, орбиты в задаче двух тел часто обра-
зуют основу для более тонких пертурбационных методов,
которые будут всесторонне рассматриваться в последующих
статьях сборника.
') С о и t e S. D., Computer programs for space missions;
К i n g С. P., Space-borne computer design, Space trajectories, Aca-
demic Press, 1960, New York and London.

Бейкер P. М. Л.
Уравнения относительного движения
В случае движения двух тел, обусловленного их взаим-
ным притяжением, вектор силы f12 действующий на объект
«гравитационной» массы т, в присутствии второго тела
~= вЂ” (m,i)=my ~
Г
Ю
~= вЂ” (mz~g)=m~ 2
Г
г ~~
Р и с. 1. Закон Ньютона.
с «гравитационной» массой и2, на основании закона всемир-
ного тяготения Ньютона равен
~~! m2 ~12
12 2
I
~ 12 ~ 12
где Й2 вЂ” гравитационная постоянная, равная по определению
От1, r12 вЂ” радиус-вектор от т1 до т2, т. е. компоненты r12
равны
~С12 С2 '~1
У12 У2 У1 &
~12 ~2 ~1
(см. рис. 1). По третьему закону Ньютона

Астродинамика
Пользуясь вторым законом Ньютона и приравнивая «инерт-
ную» массу «гравитационной», находим
Ш2Г1 й2Г2 .
~12 т1 ~уР ' 121 m2 ~~2
Комбинируя предыдущие равенства и записывая уравнения
только для х, находим уравнения абсолютного движения
вЂ” =km,вЂ” и =Йт1 вЂ”, х +y, z,
й2Х, 2 Х~2 й Х2 ~ &lt
гз
12
гз
12
где х ~ у, z обозначает, что для получения других двух
компонент х надо заменить на у и г. Положим r = r» вЂ”вЂ”
= rz вЂ” г, и х = х» вЂ”вЂ” х, вЂ” х,. Тогда
й2х]2 й'х2
й~2 вЂ” й~2
d2Õ] d2X
й/2 df2
откуда можно вывести уравнение относительного движения
Х ~ Х
вЂ”,,„= вЂ” k (т, + т,) вЂ”, = вЂ” k р. вЂ”,,
р-3 уЗ
или
й 2Х РХ
й
й~ l
(2)
где по определению р = т, + т2, ~ = k (t вЂ” t ), à to вЂ” неко-
торая эпоха (произвольное начальное время).
Орбитальные элементы
Соотношения (2) представляют собой три дифференциаль-
ных уравнения второго порядка, решение которых содержит
шесть постоянных интегрирования. Эти постоянные, или
элементы, определяются следующим образом'. большая
полуось, а; эксцентриситет, е; время прохождения
перифокуса, Т; угол наклонения, i; долгота восходящего
узла, 2; угловое расстояние до перифокуса, О1 (см. рис. 2).
Эти элементы могут быть заменены любыми другими
шестью величинами: ими могут быть три составляющие
радиуса-вектора и три составляющие скорости в некоторую
эпоху, или начальное время, или определенные векторные
элементы, предложенные Адамсом [37], Мьюзеном [38]
и Херриком [39]. Главное достоинство этих векторных

Бейкер р. Я J7
элементов заключается в том что, во-
, во-первых, они позволяют
упростить задачу предстоящих наблюдений и, во-вто ых,
поскольку оп е елен
у р д ные элементы медленно изменяются под
ни и, во-вторых,
действием возм аю
ущающих сил (которые мы скоро определим),
dum»
Р и с. 2. Орбитальные элементы.
они могут с успехом применяться как интегрируемые вели-
чины в методах теории возмущений. Эти методы мы ас-
~ мы рас-
Сводка формул задача двух тел
Из истории науки известно, что законы движения двух
эмпи иче
тел были впервые сформулированы Кеплером на чисто
р ческой основе. Законы Кеплера гласят:
(' ,Каждая планета движется по эллипс
(~1 К в одном иа о-
кусов которого находится Солнце.
Каждая планета движется таким об азом, что ее
(П~ К
радиус-вектор заметает равные площади в равные и оме-
жутки времени.
ые проме-
Ш Ква
относятся как
драты периодов обращения планет вок С
округ олнца
я как кубы их средних расстояний от Солнца.
Ньютон применил свои
ои законы движения и тяготения
Кепле а и за
к расчету планетных орбит и тем самым обоб ил
о щил три закона
плера и заменил их математическими соотношениями.

А стродинамика
где с вЂ” момент количества движения на единицу массы,
d9 d8
а ~ = „= ~, где О обозначает истинную аномалию.
Эта формула закона площадей (предложенная Ньютоном)
означает, что он является просто частным случаем закона
сохранения момента количества движения.
Н~~ = (2) аз (5)
где Р вЂ” период орбиты, измеренный в минутах или днях,
Й вЂ” гравитационная постоянная, которая входит в уравнения
движения [ср. с уравнением (2)], р, как и ранее, равно
т, + т~, причем если т, вЂ” большая масса, то она служит
единицей измерения (например, для гелиоцентрических орбит
единицей измерения является масса Солнца, а для геоцен-
трических вЂ” масса Земли), а вЂ” большая полуось, или среднее
расстояние, измеренное в единицах характерной длины. Такая
формула имеет очевидное приложение в простых задачах
определения времени.
Кроме этих обобщений законов Кеплера, необходимо упо-
мянуть интеграл живых сил:
S
2 .
r а'
(6)
Зак. 598.
Ниже приведены соответствующие формулы, единицы
измерения и краткие замечания об их применении.
Р
(1) г =
Это есть уравнение конического сечения (не обязательно эллип-
са). где r вЂ” радиальное расстояние от фокуса, или силового
центра, в единицах характерной длины (которую мы опре-
делим ниже), р вЂ” параметр, равный а(1 вЂ” е~), е вЂ” эксцентри-
ситет и Ь вЂ” истинная аномалия, или угол между r и напра-
влением на перифокус. Как г, так и р измеряются в единицах
характерной длины, в качестве которой для геоцентричгских
орбит наиболее логично принять экваториальный радиус
3емли, а для гелиоцентр ических орбит вЂ” астрономическую
единицу [40]. Здесь достаточно сказать, что уравнение кони-
ческого сечения применяется, чтобы определить положение
тела на орбите. Более полный разбор формул конических
сечений помещен в конце этого пункта.
(П) с=r~P = ~~p, (4)

Бейкер P. М. Л.
18
где s=ds/d~ является полной скоростью объекта, движу-
щегося по орбите в задаче двух тел; единицы измерения
скорости s вЂ” характерные единицы задачи, т. е. s изме-
ряется в долях круговой скорости на единичном расстоянии.
Это соотношение является, в сущности, формулировкой закона
Az
х,„-а(соя
у,„=а ~l-е
r =а(1-e g
Р и с. 3. Определение эксцентрической аномалии.
сохранения энергии, в которой '/2s2 представляет безразмер-
ную кинетическую энергию на единицу массы, вЂ” 1/г вЂ” без-
размерную потенциальную энергию на единицу массы и
вЂ” 1/2 а вЂ” их постоянная сумма. Интеграл живых сил находит
очень широкое применение во всех задачах, где фигурирует
соотношение между орбитальной скоростью и положением.
Уравнение Кеплера (полученное из законов Кеплера)
в случае эллипса имеет следующий вид:
М = и (t вЂ” Т) = Мд+ и (t вЂ” to) = E вЂ” е з1п E. (7)
В этом соотношении введено несколько новых обозначений,
а именно М вЂ” средняя аномалия, которая вполне опреде-
лена тем, что равна n (t вЂ” T), где п вЂ” среднее движение

Астродинамика
(а = Й ~/ р а-'~), Мо вЂ” величина М в некоторое фикси-
рованное время 1а, а E вЂ” эксцентрическая аномалия, кото-
рая определена геометрически на рис. 3.
Существует большое число других формул, которые
оказываются полезными при анализе орбит в задаче двух
Р и с. 4. Координаты в орбитальной плоскости.
тел. Они включают соотношения, которые определяют поло-
жения и скорость аппарата в орбитальной системе коор-
динат х, у, показанной на рис. 4.
Если ввести две новые переменные П = rr/ p, и F = LE
соответственно для параболы и гиперболы, то можно полу-
чить полезные формулы для нахождения к, х, у„, у, г, г
и М, как это показано в табл I.

Бейкер Р. М. Л.
Таблица 1
Формулы в задаче двух тел
Парабола
Эллипс
Гипербола
Q2
Д вЂ”вЂ”
2
а (ch Р вЂ” е)
а(соя Е вЂ” е)
а
sinE
I
shР
вЂ” )' вЂ” а
r
х,„
~ 2~у D
aVl вЂ” ег sinЕ
вЂ” aVeг вЂ” 1 sh F
Ум
1
)~а Vl вЂ” ег cos Е
ум
Q2
а+в
2
а(1 вЂ” ech F)
а(1 вЂ” e cos Е)
1'а esinE
esh Р
r
Vð"', ,( т) =
( вЂ” a)'
,)з
k(t вЂ” T) = qD вЂ”вЂ”
6
М n(t вЂ” T) =Е вЂ” esinE
=esh Р вЂ” Р
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
Общие положения
Формулы задачи двух тел весьма полезны в силу доступ-
ности их изучения, однако когда требуется вычислить ра-
счетную орбиту, необходимо обратиться к более сложным
методам теории возмущений. Прежде чем рассматривать
такие методы, уместно определить возмущающие силы.
В связи с этой таблицей заметим, что величина q (через
которую обозначено перифокальное расстояние а (1 вЂ” е) )
определена для параболы (хотя а вЂ” эoo, е вЂ” э 1) и величина а
отрицательна для гиперболы.

21
Астродинамика
') В отечественной литературе эти методы обычно называются
соответственно аналитическим методом и методом прямого инте-
грирования. вЂ” Прим. перев.
Вообще говоря, возмущающие силы можно определить как
действующие на объект силы, которые отличаются от сил,
вызывающих его движение на опорной орбите. В случае
движения планет за опорное движение астрономы принимают
движение объекта по эллипсу, получаемое из решения задачи
двух тел. Следовательно, все другие силы, не фигурирую-
щие в этой задаче, например влияние других планет, харак-
теризуются как возмущения. Такой выбор не единствен,
и можно было бы выбрать другие опорные движения.
Грубо говоря, существует два подхода к вычислению
орбит '). Первый именуется методом возмущений общего
вида; он включает в себя аналитическое интегрирование
разложений в ряды возмущающих сил и является особо
'полезным при вычислениях орбит, полет по которым связан
с большими интервалами времени, например в случае спут-
ников Земли, Луны и траекторий планет. Второй, называемый
методом конкретных возмущений, состоит в вычи-
слении орбит путем численного интегрирования. Этот метод
особо полезен для траекторий с ограниченным временем
полета, например траекторий лунных и межпланетных
кораблей.
В дальнейшем мы сосредоточим внимание на последнем
методе; обзор некоторых аналитических методов содержится
в статье д-ра Уорда.
Из различных методов численного интегрирования (напри-
мер, методов Коуэлла, Энке, вариации параметров Ганзена
и т. д.) мы рассмотрим подробно лишь метод Энке ввиду
его преимуществ при вычислении траекторий полета
к Луне [41]. Следует отметить, что выбор способа числен-
ного интегрирования, будь то способ Рунге вЂ” Кутта, Милна,
Гаусса вЂ” Джексона или Адамса и т. д., совершенно не
зависит от того метода возмущений, который надо принять.
Метод Энке отличается от метода Коуэлла тем, что
методика Коуэлла представляет собой просто непосред-
ственное интегрирование шаг за шагом полного ускорения
объекта. С другой стороны, методика Энке состоит скорее
в интегрировании разностных ускорений или уклонений от

Бейкер P. М. Л.
опорной орбиты, нежели в интегрировании полного ускоре-
ния. Если объект значительно удалился от опорной орбиты,
то должна быть выбрана новая опорная орбита. Обычно
выбирается «оскулирующая» орбита (или опорная орбита,
обладающая тем же положением и скоростью, что и реальный
объект), и подобная процедура называется сменой опорной
орбиты. Метод вариации параметров в действительности
включает в себя непрерывную смену опорной траектории
на каждом шаге. Таким образом, вместо ускорений интегри-
руются орбитальные элементы, которые изменяются только
за счет возмущающих сил.
В других статьях настоящего сборника изложен ряд
соображений относительно выбора орбитальных элементов.
Вообще говоря, исследователь должен стремиться выбрать
такие орбитальные элементы, которые медленно меняются
под влиянием возмущающих сил.
Более подробное изложение метода Энке
Более ста лет назад немецкий астроном Энке предложил
метод численного интегрирования возмущений, который ока-
зался удивительно подходящим для слабо возмущаемых орбит,
таких, как баллистические лунные траектории '). На рис. 5
показано соотношение между опорной орбитой и действи-
тельной траекторией аппарата. (Яля более полного ознако-
мления с методом Энке отсылаем читателя к работам [35],
гл. 16-D, и [42], стр. 91, 96 вЂ” 98.)
Обозначим через х, у, z действительное положение
объекта, а через x„y„z, вЂ” вЂ” положение воображаемого
объекта (движущегося без возмущений) в то же самое время
на опорной орбите; пусть (, q, ( вЂ” разности между истин-
ными координатами и координатами тела на опорной орбите,
т. е. по определению
~ = х вЂ” х„т1 = у вЂ” y„5 = z вЂ” z,. (8)
Вторые производные этих величин записываются в виде
~2~- х хе
° ° ° ° ° ° ° °
вЂ” = р вЂ” + ' +х'=(х вЂ” х )+х'
Ж Г Г
(9)
х вЂ” эу, z, (~vl, (.
') О таком применении этого метода см. статью Дж. Уорда
в настоящем сборнике. вЂ” Прим. перев.

Астродинамика
Юсвикиая op6umn
Рис. 5. Метод Энке.
° ° ° 6
разность почти равных ускорений, х вЂ” х,, можно только
увеличить требуемое число знаков. Однако этого можно
° ° ° °
избежать, разлагая х вЂ” х„т. е. полагая
° . °
х вЂ” х, = вЂ” (f(q) х вЂ” (),
г~
(10)
где по опрелеленщс~
3 5 2 3 5 ° 7 3
, У(Ч) ~Ч 2! Ч+ 3! Ч
(1 &g
7
у,+ вЂ” ~ +«.+ вЂ” &l ; . (
1 1
1
Ч=
2
г,
Ъ--
не требуетс~ вычислять
так что члены х и х, никогда
отдельно.
Член в круглых скобках в правой части является, оче-
видно, разностью между ускорением на расчетной орбите и на
° °
действительной траектории, а х' представляет полную ком-
поненту возмущения в направлении х.
Одной из целей применения метода Энка. яаляется умень-
шение числа значащих цифр в процессе вычислений. Беря

Бейкер P. М. Л.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
Общие положения
Методы определения орбит применяются в двух различ-
ных практических задачах астродинамики, а именно: 1) пред-
сказание будущего положения космического корабля на
основании данных наблюдения за ним; 2) предвычисление
номинальной орбиты или ее вариантов до момента запуска,
с тем чтобы заранее определить орбитальные характеристики.
Первая задача должна решаться всеми станциями слеже-
ния (range centers), и в особенности Национальной службой
наблюдения за космосом. Эта задача является крайне слож-
ной, поскольку для определения околокруговых эллипти-
ческих, околопараболических и гиперболических орбит должны
использоваться данные различного объема, характера и раз-
ной степени точности. Вторая задача предварительного
расчета имеет, однако, непосредственное отношение к тем,
кто занимается расчетом орбит космических аппаратов,
и будет рассматриваться здесь более подробно.
Определение орбиты космического корабля, кометы или
планеты, в общем, проводится на основе одной из трех раз-
личных процедур. В одном методе, связанном с именем
У. Гиббса, для определения конического сечения исполь-
зуются три вектора положения г,, г~, гз; при этом не при-
ходится прибегать к дифференциальным уравнениям динамики.
Согласно другой совокупности методов, связанных с име-
нами Лапласа и Лагранжа, орбита определяется по измерениям
° °
f, r, г, т. е. векторов положения, скорости и ускорения
в средний момент времени. Если, как это обычно делается,
ускорение получается из уравнений движения (которые яв-
ляются следствием второго закона Ньютона и его всеобщего
закона тяготения), то орбита определяется из наблюдений по-
ложения и скорости в определенный момент. Третий метод,
обязанный своим происхождением Гауссу, использует измере-
ния двух положений и интервала времени между ними совместно
со вторым законом Кеплера о постоянстве секторной скорости.
Поскольку метод Гаусса обладает особой ценностью при
выполнении задачи предварительного расчета, предшествую-
щей, например, полету на Луну, я намереваюсь обсудить его
более подробно. Следует отметить, что эти три метода
определения орбит относятся только к невозмущенному дви-

2,5'
Астродиыщика
Подробное изложение метода Гаусса
Предположим, что нам заданы положение объекта
в момент запуска r,, положение его в момент посадки ~з
и интервал времени &lt; з. Хер ик [4 ], [ 4 и Лю [ 5] раз
ботали вариант обычной методики Гаусса, который особенно
полезен при расчете лунных траекторий. Этот метод при-
менялся следующим образом:
1. Задаемся величиной параметра р для лунной орбиты
«р&lt
2. Вычисляем величину интервала времени для орбиты,
обусловленной этим предположением, по приведенной ниже
схеме:
а) Определяем векторное произведение следующим
образом:
ri X r3=8W
(13)
где W вЂ” перпендикулярный к плоскости орбиты единичный
вектор с началом в главном фокусе.
б) Если Р вЂ” единичный вектор в плоскости орбиты, на-
правленный из фокуса на перифокус, Q вЂ” единичный вектор
в плоскости орбиты, перпендикулярный как Р, так и W
(здесь используется символика, введенная Адамсом [37],
рис. 4), то
Я} = (SW) X P = вЂ” P X (г, X r3) =
= вЂ” ri (r, Р)+ гз(г, ° Р). (14)
жению, которое является решением задачи двух тел, как,
например, движения планеты вокруг Солнца или спутника
вокруг Земли. Однако при помощи аппарата теории возму-
щений, который будет описан в дальнейшем, эти методы
можно обобщить и таким образом учесть влияние любого
числа объектов, не входящих в систему двух тел.
Существует большое число специальных или видоизме-
ненных методов для обработки данных наблюдений специаль-
ного вида, таких, как измерения расстояния и радиальной
скорости, и для особых орбит, таких, как околокруговые
или почти прямолинейные орбиты, многие из которых были
введены Херриком. Тем не менее в этой области еще пред-
стоит провести много исследований, и каждый метод должен
быть испытан ка практике.

Бейквр P. M. Л.
еЯ} = в( вЂ” r,x„3+ гзх„,) = Н,г, вЂ” Н,r3.
г) Скалярное умножение (15) Hà r, дает
2 2
eSQ r, = eSy„~ вЂ” H3r~ вЂ” H~r~ ° г3 = H3r& t; Ђ” Н
(} r, у, и C r, r3 по определению.
(15)
где
Следовательно,
ey„& t; Ђ” Ђ” ( 3 &g ; Ђ” Н
и подобным же образом
eó 3 (Н3С вЂ” Wr3)/8.
(16)
д) Конечно,
e'(х' + у' )= вЂ” е'г' 1~3,
так что
[ 1+( 3 Hlra)] 22
Я2
или
(17)
е) Зная Н, и Н3 (благодаря сделанному предположению
о величине р, т. е. Н, =r,.вЂ” р) и S из выражения (13),
можно определить из выражения (17) е. Кроме того, у, и у„3
можно получить из выражения (1б), х, и х„3 из равенства
Н~ = вЂ” ех, и а из равенства а = р/(1 вЂ” е~). Таким образом,
соз Е3 = е +
а
sin Ез
а 1 вЂ” е'
х,
соя Е, = e+
а
(18)
sinE
g g1 â€” e
откуда определяют Е, и Е..
в) Из рассмотрения координатной плоскости, совпадаю-
щей с плоскостью орбиты, становится ясно, что х„= г Р
и x„& t; Ђ” Ђ” r, P в то вр мя а r Ђ = ех из урав
ния конического сечения. Таким образом, уравнение (14)
преобразуется в

Астродинаиика
27
ж) Затем из уравнения Кеплера получается средняя ано-
малия, т. е.
М,=Е,вЂ” esinE,, 1 вЂ”: 3,
так что
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Преобразования координат необходимы, поскольку наблю-
дения обычно производятся в „топоцентрических" координа-
тах, или координатах станции (например, высота и азимут);
положение тела на орбите относят к орбитальной системе
координат, например, х и у„, в то время как положения
~уны, планет и звезд обычно рассчитываются относительно
„экваториальной" системы координат (используется и много
других систем координат, например географическая, эклип-
тическая, галактическая и т. д.). Кроме того, если необхо-
димо исследовать случай точного попадания в Луну, то надо
прибегнуть к системе „селенографических" координат,
1з=Щ И1) (19)
Это вычисленное значение ~1, будет, вообще говоря, отли-
чаться от данного интервала времени; следовательно, можно
получить разность между вычисленным и заданным значением
интервала времени.
з) Используя новые произвольные значения р и повторяя
предыдущие вычисления, можно численно представить эту
разность как функцию р. Затем одним из известных мето-
дов, например методом приближений Ньютона, определяется
величина р, дающая нулевую разность (корень).
В случае орбит полета к Луне r, обычно определяет
положение объекта в конце активного участка, в то время
как r определяет положение Луны в момент предполагае-
мого попадания объекта. Поскольку метод Гаусса основан
на рассмотрении орбит, связанных с задачей двух тел, он
может быть применен только для получения предварительной
орбиты полета к Луне, которая, однако, подлежит испра-
влению. Такое исправление получается при использовании
предварительной орбиты конического сечения в качестве пер-
вого приближения и получении затем точного попадания
в Луну нри помощи последовательных приближений, кото-
рые получаются в результате расчета возмущенных орбит
по методу Энке.

Бейкер P. М. Л.
28
Почти в каждой задаче, связанной с расчетом орбиты,
Все данные обязательно следует отнести к экваториальной
системе координат, поскольку положения Луны, планет и
звезд обычно затабулированы в этой системе. Такая система
Северны~ полюс
небесной сферы
екция орбиты ер
небесную сферу
Р и с. б. Экваториальные координаты.
координат образована осью х, направленной в точку весен-
него равноденствия "(', осью z, направленной в северный
полюс небесной сферы, и осью у, направленной таким обра-
зом, чтобы образовать правостороннюю прямоугольную тройку
(рис. 6). Точка весеннего равноденствия '~' определяется как
точка на небесной сфере, где видимая орбита Солнца пере-
секает небесный экватор с юга на север (в это время день
равен ночи, отСюда термин равноденствие). Плоскость ви-
димой орбиты Солнца или, что то же, плоскость орбиты
3емли названа эклиптаческой плоскостью. Северный по-
люс небесной сферы вЂ” точка, где полярная ось Земли

Астродинамика
r = х„Р+ уЯ.
которое записывается в координатной форме
х = х„Р„+ y„Q„,
у=х P +уЯ~,
z = х„Р, + y„Q„
(20)
а от экваториальных координат вЂ” к координатам в плоскости
орбиты при помощи равенств
х„= г . Р = хР„+ уР + zP„
у„= r Q = xQ + yQ+ zQ,.
(21)
пересекает северное полушарие небесной сферы. Небесная
сфера вЂ” это просто воображаемая сфера на бесконечном
расстоянии от нас, на которую проектируются положения
звезд, планет и других объектов. Следовательно, небесным
z&lt;pamo ow называе ся проек ия земн го экват ра на неб
нуд сферу. Эта экваториальная система координат не вполне
инерциальйа. Она прецессирует, подобно волчку, из-за сплю-
щенности Земли, и ее оси описывают в пространстве конус,
угол между осью и образующей которого равен углу между
полярной осью и нормалью к плоскости эклиптики. Так как
полярная ось Земли прецессирует, это ведет к перемещению
вместе с ней экватора, так что точка весеннего равноденст-
вия также движется. Это движение, осуществляемое в за-
падном направлении, составляет около 50",27 за год, и,
следовательно, когда координаты даны в экваториальной
системе, их следует отнести к частному положению точек
весеннего равноденствия в данный момент.
Для преобразования орбитальной системы в экваториаль-
ную и наоборот можно использовать углы ориентации i,
2, 0). Опыт астродинамики показал, однако, что предпочти-
тельно использовать вместо этого единичные векторы P, Q,
W (рис. 4). Можно показать, что компоненты этих единич-
ных векторов определяются столь же просто, как и ~, 2, а,
или, быть может, еще проще. Если даны Р и Q, то можно
перейти от координат в плоскости орбиты х„, у к эквато-
риальным координатам х, y, z при помощи векторного соот-
ношения

Бейкер P. М. Л.
Преобразование топоцентрических координат связано с не-
сколько более сложной процедурой, которая описана в ра-
ботах [35] и [36]. По той же причине переход от эквато-
риальных координат к селенографическим также является
довольно сложным, поскольку он затрудняется некоторыми
кажущимися и действительными колебаниями, или „либра-
циями", Луны.
ТЕОРИЯ НАБЛЮДЕНИЯ И НАВИГАЦИИ
Теория наблюдения
Требования к точности орбитальных вычислений заставляют
по-новому отнестись к данным, получаемым из наблюдений,
и к их анализу. Специалисты по электронике лищь недавно
стали понимать, какое внимание следует уделять мелким
подробностям и какое бесконечное терпение и осторожность
требуются для получения данных наблюдений. Задачи опре-
деления точного времени на станции наблюдения, рефрак-
ции, кривизны поверхности инструментов, их ухода и
т. д. вЂ” все это приобретает весьма важное значение; опре-
деляемые оптическими средствами углы (относительно тща-
тельно установленных положений звезд) все еще являются
основным источником точных данных наблюдения. Равным
образом при рассмотрении вопросов, касающихся оптических
приборов, необходимо уделить тщательное внимание умень-
шению „констант пластинок", в которые следует внести по-
правки на сморщивание пленки, разностную рефракцию,
наклон пластинки и т, д.
Если результаты наблюдений получаются с борта корабля,
то при проектировании систем необходимо внимательно рас-
смотреть требования к мощности, коэффициенту усиления
антенны, весу оборудования и т. д.; автоматическое обору-
дование для поиска и слежения должно быть сконструиро-
вано с учетом требований к точности. Даже если все дан-
ные наблюдений получаются с Земли, надо рассмотреть
возможность применения бортового радиомаяка, когерентной
связи, систем инерциальной навигации и преимущества зер-
кальных отражений перед диффузными (см. работу Бока и
Мундо [34] ).

Астродинамика
(22)
° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
др, Р2 Рп
') С on t e S. D., Computer programs for space misstons, Space
«ajectories, Academic press, 1960, New York and London.
дифференциальная коррекция
методика дифференциальной коррекции является осново-
полагающей в теории наблюдения и навигации. Хотя она
подробно рассматривается в статье Конта' ), представляется це-
лесообразным остановиться здесь на основных понятиях метода.
Как указано Кингом, предвычисление орбиты весьма по-
лезно при запуске объекта на Луну или на планеты.
В частности, можно предварительно рассчитать траекторию
z Луне или планетам до действительного путешествия, поль-
зуясь, например, методом Энке. Задав положение и скорость
объекта в любой момент вдоль „номинальной" траектории,
можно затем „представить" результаты наблюдений, кото-
рые были бы получены, если бы он действительно следо-
вал Но номинальной орбите. Результатами подобных наблю-
дений, вероятно, будут разности измерений углов между
планетами и близлежащими звездами. Можно было бы также
использовать данные в любой другой форме, например по-
казания электронных приборов. Поскольку объект, вообще
говоря, не будет идеально двигаться вдоль номинальной
орбиты из-за неточностей в начальном запуске или после-
дующих маневрах. и ошибок в принятых значениях астроди-
намических констант, действительные результаты наблюде-
ний во время полета будут отличаться от вычисленных
заранее. Из сравнения двух величин находится разность и
производится дифференциальная коррекция для исправления
орбиты. Исправленные значения элементов могут быть най-
дены из этих разностей, например из разности Ьр,-, равной
„наблюдаемому р~ минус вычисленное р,". (Здесь р~ понимается
как обозначение некоторой типичной наблюдаемой величины.)
Затем эти разности выражаются аналитически в виде разло-
жений в ряд Тейлора по нескольким переменным с точностью
до линейных членов.'

Бейкер P. М. Л.
32
'} По методу Гаусса можно определить орбиту, связывающую
исправленное, или скорректированное, положение объекта в момент
коррекции и хорошо известное положение Марса в момент попа-
дания, т. е. два положения, разделенные во времени фиксирован-
HbIM интервалом. Поскольку орбита определена, скорость г, на
такой орбите в точке, соответствующей исправленному положе-
нию г„легко может быть вычислена.
где через р~ обозначены некоторые орбитальные параметры;
подобными параметрами могут быть, например, координаты
и компоненты скорости объекта в некоторый момент, когда
должна быть выполнена коррекция орбиты. Уравнения (22)
могут быть обращены и разрешены относительно величин
Ьр,,..., Ьр„, которые нужно прибавить к исходным значе-
ниям р,, р2,..., р„; таким образом получается совокупность
уточненных значений параметров (при условии, что число
разностей N равно числу параметров а или превышает его
и что при обращении не встречается выражений, стремя-
щихся к бесконечности). Если N превышает и, то наиболее
вероятные величины р~ находятся методом наименьших квад-
ратов (см. упомянутую выше статью Конта). Частные произ-
водные определяются либо аналитически, либо численно
(см. [36]).
Пусть сделано предположение, что обращение приводит
к улучшенной оценке положения и скорости космического
аппарата в некоторый заранее определенный момент коррек-
ции, ге и ro. Эта информация определяет также „правиль-
ный" вектор скорости r, в этой точке коррекции, которая
соответствует орбите, обеспечивающей выполнение задачи
полета. (Его можно вычислить, например, с помощью метода
Гаусса)' ). Простое вычитание дает величину дополнительной
скорости, требующейся для направления объекта по нужной
орбите, т. е. величину скорости коррекции r, где r =
= r,â€” ro.
Если задана скорость коррекции, корректирующая дви-
гательная установка может регулировать тягу так, чтобы
свести разность между действительной и требуемой скоростями
к нулю.

Астрадинамика
ф 3. Применение астродинамики к расчету
траекторий к Луне
Изучение траекторий к Луне является особо благодар-
ным практическим приложением принципов астродинамики.
g настоящем параграфе затрагиваются некоторые аспекты
основополагающих работ К. Тросса и Э. Лю по анализу
траекторий к Луне, которым автор, пользуясь случаем, вы-
ражает признательность. Связь астродинамики с данной за-
дачей в целом мы не будем рассматривать; для изучения
этой проблемы отсылаем читателя к исчерпывающему иссле-
дованию Майклуэйта [46].
АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ К ЛУНЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ
ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ
Простые прямолинейные орбиты
При помощи простых методов задачи двух тел можно
добиться значительных успехов в решении основных задач
анализа траекторий к Луне; кроме того, результаты, полу-
ченные таким образом, отличаются от точных решений не
свыше чем на 10% и часто совпадают с результатами при-
менения точных методов теории возмущений. Поскольку
среднее расстояние до Луны составляет около 60 земных
радиусов, все траектории к Луне приблизительно прямоли-
нейны, т. е. величины их эксцентриситетов близки к еди-
нице. Следовательно, анализ, основанный на представлении
о прямолинейности орбиты задачи двух тел, весьма полезен,
а вычислительная работа в большой степени упрощается при
использовании работы Херрика [44].
В качестве иллюстративных примеров определим время
перелета к Луне и. скорость отрыва от Земли для минималь-
Н«0 прямолинейного эллипса и параболы и, задав скорость
отрыва 11,455 км/сек, определим время перелета и скорость
при полете к Луне для прямолинейной гиперболы. Во всех
случаях мы пренебрежем несферичностью Земли, сопроти-
влением атмосферы и притяжением Луны. Мы будем придер-
живаться гл. 8 работы Херрика [35]. Формулы для скорости s
(или. в силу прямолинейности, для г) и для средней аномалии гИ
3 Зак. 598.

Бейкер P. М. Л.
являются частными случаями формул табл. 1 при e = 1 и
b = 0 и приводятся в табл. II.
Таблица П
Формулы для прямолинейных траекторий ')
Эллипс
Парабола
Гипербола
° 2км 2
у2
2 1
вЂ” вЂ” вЂ” V
СО
2 1
вЂ” вЂ” вЂ” V
а сО
а(1 вЂ” сов Е)
а(1 вЂ” ch F)
~га sinE
ВЬ Р
Г
пз
п (!.' вЂ” т) = J4(t вЂ” т) =вЂ”
=Е вЂ” sin Е
') V вЂ” коэффициент преобразования от относительных единиц скорости
СО
к км/сек, равный 7,905 км/сек. Относительной единицей скорости служит скорость
спутника на круговой орбите у поверхности Земли.
В качестве шага, предшествующего вычислению скоро-
стей и времен перелета, необходимо определить величины
больших полуосей орбит: для минимального прямолинейного
эллипса 2а равно среднему расстоянию до Луны, т. е. 60,2674;
для параболы а = oo по определению, а для гиперболы
можно применить для получения а уравнение живых сил
при заданной величине скорости s на расстоянии г= 1 (т. е.
для скорости отрыва 11,455 кл/сек, 1/а = вЂ” 0,09977).
То же самое уравнение живых сил может быть использо-
вано в случае эллипса и параболы для получения величины
скорости отрыва. Определение времени перелета между r = 1
и r = 60,2674 является несколько более сложным и требует
определения Е, D и Р для этих двух радиальных расстоя-
ний (см. табл. 111).
Интерполяцией тригонометрических таблиц или, что бо-
лее предпочтительно, „Таблиц ракетных или кометных орбит"

Астродинамика
Таблица Ш
Значения аргумента
Эллипс
Парабола
Гипербола
Q2
вЂ” =r
2
r
ch J вЂ” 1= вЂ”вЂ”
а
r
1 вЂ” cos Е=вЂ”
а
Определяемая вели-
чина
при r=
при r = 60,2674
1,0000
60,2674
0,0332
2,0000
0,0998
4,2585
можно получить Л в радианах, а затем отрезок времени
от момента прохождения перигея в минутах (см. табл. IV)
Таблица IV
Времена
Эллипс
Гипербола
Парабола
М=Е вЂ” sinE
(в радианах)
0,00287
3,1416
M=shР вЂ” Р
(в радианах)
0,0146
4,3056
( â€” a)/1M
t вЂ” ТвЂ”
lг, ~р.
6,23 мин
1837,2 мин
при r = 1,0000
при r = 60,2674
дз
t вЂ” Т=
бlг, gр
6,34 мин
2965,82 мин
M
t вЂ” Т=вЂ”
и
6,38 мин
6988,07 мин
при r = 1,0000
при r = 60,2674
Таблица
Прямолинейные траектории к Луне
Гипербола
Эллипс
Парабола
& t; Ђ” скоро ть взл т в км/
~~ вЂ” время перелета в сутках
11,455
1,2715
11,180
2,0552
11,087
4,8484
Теперь, вычитая, можно получить времена перелета. Все
эти результаты сведены в табл. V.

Бейкер P. M. Л.
Зб
Чувствительность к ошибкам
то интеграл живых сил сводится к виду
з2 вЂ” з2 + з2
л
Следовательно, ошибка в скорости при запуске s пере-
ходит на большом расстоянии в ошибку в скорости удале-
ния от Земли s по закону
(23)
d~s = . Ьг.
Относительные ошибки связаны соотношением
(24)
В частном случае гиперболических траекторий к Луне
(где s является положительно определенной величиной) это
соотношение принимает вид
Ьг Ьg
21
S
так что ошибка в 1О," в скорости при запуске приводит
к неопределенности в 21 &gt г в скоро ти объек а, ко да
удаляется на большие расстояния от Земли. Хотя подобные
При помощи простых методов задачи двух тел можно
проникнуть в сущность таких задач, как выбор надлежа-
щего места на лунной (или межпланетной) траектории для
измерения относительной скорости. Если мы обозначим
через s скорость, которую лунный корабль будет иметь
относительно Земли на значительном расстоянии от нее
(т. е. его асимптотическую скорость),
2
S
со а а
и через г вЂ” параболическую скорость или скорость ухода на
любом заданном радиальном расстоянии от Земли
2 1 2
S
2
Р Г OO Г

Астродинамика
результаты, строго говоря, справедливы только для гипер-
болических геоцентрических орбит, ясно, что в общем
желательно измерять скорость лунного корабля после того,
как он удалится приблизительно на расстояние 10 земных
радиусов от Земли.
Другой интересный пример анализа ошибок можно полу-
чить для эллиптических лунных орбит вариацией уравнения
живых сил. Для минимального прямолинейного эллипса
ошибка в скорости при запуске приводит к следующей
ошибке в предельной дальности (в апогее q~ = а (1+е) = 2а):
bq2 ж 2 Ьа = 4а2г Ьг,
или
вЂ” = 2as
2
2а s
(25)
и в частном случае
М~
2а s
TBK что относительные ошибки в скорости при запуске
увеличиваются за счет коэффициента преобразования
в 120 раз при пересчете в относительную ошибку в апо-
гейном расстоянии! Такая чувствительность начальной ско-
рости почти исключает возможность использования подобных
минимальных лунных траекторий. В этой связи следует
отметить, что чувствительность к ошибкам в угле бросания
минимальна для этих траекторий с минимальной начальной
скоростью и возрастает при ее увеличении. Начальная
ошибка в азимуте сказывается в повороте плоскости
орбиты вокруг радиуса, направленного в точку запуска, и
в отличие от угла бросания почти не зависит от скорости
в конце активного участка (скорости бросания).
В рамках задачи двух тел может также быть объяснен
известный эффект фокусирования скорости. Как показано
» ~ис. 7, меньшая скорость приводит не только к более
длительному времени перелета, но также к пересечению
~óHHoÀ орбиты в более позднее время; с другой стороны,
большая скорость ведет к более короткому времени пере-
лета и к пересечению с лунной орбитой в более ранний
~ðîK. Нетрудно видеть (рис. 7), что существует некоторая
совокупность траекторий, где эти два эффекта будут взаимно

Бейкер P. M. Л.
уничтожаться и ошибки в величине скорости не будут при-
водить к большим ошибкам при попадании в Луну. На
такой эффект обратили внимание Чирджи из компании
Р и с. 7. Фокусирование скорости.
Геометрия попадания в Луну в плоскости лунной орбиты
(масштаб не соблюден).
Дуглас Эйркрафт, Лиске из РЭНД корпорейшн и Уолтерс из
Аэронутроникс. Если орбита лунного корабля наклонена
к плоскости орбиты Луны, то эффект фокусирования не
так полезен, ибо отклоняющиеся траектории будут про-
ходить над Луной или под ней. Кроме того, хотя скорост-
ные ошибки минимизированы, угловые ошибки весьма
велики для этих орбит с большой начальной скоростью и,
следовательно, орбиты очень чувствительны к ошибкам
в угле бросания.

39
Астродинамика
~ффективное гравитационное поперечное сечение
~опрос о чувствительности к ошибкам лунной траек-
тории не может быть разрешен только вычислением вели-
чины конечного промаха. Необходимо также рассмотреть
притяжение объекта Луной, когда он приближается к цели.
Благодаря этому эффекту увеличивается вероятность осуще-
ствления посадки. Это понятие употребляется в атомной
и ядерной физике и получило название эффективного
Поперечное сечение для входа аппарааов
-dã0
ец6аищих
ОЛ
Полное поперечное сечение
сволкновеиия
P н с. 8. Эффективное гравитационное поперечное
сечение столкновения.
~~ж = ф'О
где r~ = q вЂ” радиус Луны и s вЂ” скорость, которую имел бы
объект при касательном столкновении с поверхностью Луны.
поперечного сечения. Его радиус называется параметроу
с~полкновения b; очевидно, что любой космический аппарат,
пролетающий около Луны на расстоянии, меньшем, чем
параметр столкновения, поразит Луну (см. рис. 8). Радиус
этого поперечного сечения легко выводится из закона
сохранения момента импульса и интеграла живых сил. При-
равнивая значение момента импульса bs в точке на боль-
шом расстоянии от Луны значению, которое будет наблю-
даться при касательном столкновении аппарата с ее поверх-
ностью, находим, что

Бейкер P. М. Л.
Из интеграла живых сил, примененного к селеноцентри-
ческой орбите, имеем
2 ° р
$~ 1ь â€” + 82 И 82
r
ОО а'
так что, решая относительно b, получаем
b=ro
(26)
Яля лунной траектории типа минимального прямолинейного
эллипса радиус этого поперечного сечения составляет около
4300 км, для прямолинейной параболы 3000 км и для
прямолинейной гиперболы 2100 км, что сравнимо с фиви-
ческим радиусом Луны, который составляет только 1740 км.
Лобовое попадание в Луну
Хотя возможно посадить аппарат на Луну в любой
заданной точке, объекты в подобных случаях будут сталки-
ваться с Луной под различными углами падения. С точки
зрения наведения на конечном участке лунной траектории
часто удобно и экономично осуществлять посадку на
поверхность Луны вертикально. Как было указано Майкл-
уэйтом [40], «... хотя устранить радиальную (относительно
Луны) компоненту скорости сближения сравнительно просто,
уменьшить касательную компоненту нелегко. Тем не менее
если рассчитать номинальную траекторию так, чтобы
посадка осуществлялась вертикально без коррекции на
конечном участке, и выбрать номинальную траекторию,
минимизирующую угловой разброс скорости сближения от
местной вертикали, то можно устранить необходимость
выполнения коррекции оборудованием конечного участка
наведения». Ясно, что для таких вертикальных посадок
доступны лишь определенные области Луны; Энтони Лю,
анализируя этот вопрос в рамках задачи двух тел, прибли-
женно выделил эти области лобового столкновения с Луной
при посадке.
Если рассмотреть экваториальную систему координат,
отнесенную к центру Луны, т. е. селеноцентрическую эква-
ториальную систему координат, то скорость объекта отно-
сительно стационарной точки на расстоянии лунного радиуса

Астродинамика
изобразится на пространственном чертеже (см. рис. 9), где
вЂ” скорость Луны относительно Земли, r вЂ” скорость
$63
1
об-ьекта относительно Земли и r вЂ” скорость объекта
ЬQ
Северный полюс
небеснай сферы
Рис. 9. Скорость в инерциальном пространстве.
относительно Луны, а через г и (го) обозначены сооТ-
Ь®
ветственно радиальная и ортогональная компоненты ско-
рости r . В пространственном случае (см. рис. 10) компо-
ненты r«таковы (для спутника на прямой орбите, т. е.
движущегося по направлению орбитального движения Луны):
r~& t ° 1= Ђ” r
г„° J =+s вЂ” (r6) cos l,
r + ° 5( = вЂ” (гЬ) sinl.

Р и с. 10. Скорость относительно Луны.
Северный полюс
небесной саперы
ию)
арие
P ис. 11. Область попадания,

Астродинамика
Если предположить, что притяжением Луны можно прене-
бречь, то этот вектор скорости обеспечит попадание в точку
,пуны с координатами (cM. рис. 11)
(гб) cos ~
Sg@
1
8дg
8дg
r«К
(r8)~+ sini
Zс f
Sgg
$дg
1
г =+
г~а вЂ” вЂ” ss, вЂ” (гЬ)',
(г~)2
гд®
2 1
[2 вЂ” ( * +„].
гд®
В терминах лунной широты и долготы (для этой част-
ной лунной экваториальной системы)
2
а
и если предположить, что
r ~r& t;
то
вЂ” cos ~ вЂ” 1
Р
г
27)
2вЂ”
гд& t ~
х
Яд Юдg
Из формул задачи двух тел получаем
(r Q)s
дя)
у&l ;~ (r&amp ) ico ~
tg).=
х~.~ гд®
Р
вЂ” COS tâ€”
гд®
г„
r&l

Бейкер P. М. Л.
Аналогично
(г9) „sini
гд~+ (гО) cosi вЂ” яд~
'2 '2
+ вЂ” sin c
Р
Г
(28)
Г
2вЂ”
а Г
+ вЂ” сов i вЂ” 1
р
r
Как указано Лю, для всех прямых лунных орбит
с О (г ( вЂ” (т. е. дающих попадание в октант, определен-
2
ный пересечением северного и переднего, или ведущего,
27О
Е
ps)
90
P ис. 12. Область лобового попадания в Луну при р =1.
лунных полушарий) должен быть выбран отрицательный
знак в уравнении (27) и положительный в уравнении (28).
Поскольку р является просто квадратным корнем из вели-
чины момента импульса, приходящегося на единицу массы,

Астроданамика
значения его могут быть ограничены неравенством 0 ( р ( 4
для обычных двигательных систем (rä ( 1,3 радиуса Земли
С
и z ( 12 км/сек, где г вЂ” радиальное расстояние точки
Во
конца активного участка). Аналогично получаются ограничения
на а для эллиптических и гиперболических орбит соот-
ветственно: 60 & t; 2 ( с ) Ђ”
р =/
i =Z70
270
Е
P и с. 13. Область лобового попадания в Луну при р =4.
Используя эти пределы, Лю наметил границы областей
Луны, соответствующих возможным отвесным попаданиям
(для эллиптических и гиперболических орбит) при р = 1 и
p = 4 (см. рис. 12 и 13) '). Особенно стоит отметить тот
факт, что эти результаты весьма близко совпадают с резуль-
татами значительно более сложных пертурбационных методов
') Области, доступные для посадки с углами падения, мень-
шими 90', примыкают с каждой из сторон к областям, показан-
HblM на этих рисунках; их также можно было бы выделить.

4б
Бейкер P. М. Л.
АНАЛИЗ РАСЧЕТНЫХ ОРБИТ
При вычислении действительных таблиц стрельб, выборе
конкретных дат запуска или определении конкретного вида
коррекции в середине полета, необходимо обратиться к тач-
ному вычислению пространственной расчетной орбиты (см.
работу Хантера, Клемперера и Ганкеля [47] ). Ниже при-
водится довольно подробная сводка таких вычислительных
приемов, которая должна служить практическим руковод-
ством для лиц, занимающихся анализом орбит.
Метод Энке
Как показано в работе [41], метод Энке, верояц~о,
имеет наибодьшие ппеимущества при точном численном
интегрировании расчетных лунных орбит. В этом пункте
йриведены' йекотОрые 'оСОбенности примейения этого метода
в частном случае близкого к единице эксцентриситета;
излагая данный вопрос, мы будем придерживаться работы
С. Херрика и К. Тросса.
Пусть заданы геоцентрические широта ~' и восточная
долгота 1е проекции положения объекта на поверхность
Земли, азимут а, измеряемый в положительном направлении
задачи трех тел; такие методы задачи трех тел обычно
точно устанавливают условия запуска (т. е. угол возвыше-
ния и азимут вектора скорости бросания), необходимые для
того, чтобы на орбитах с разными временами перелета
достигнуть лобового попадания.
В подобных случаях анализ часто не обладает общ-
ностью, присущей изложенному выше упрощенному методу.
Задача о возвращении на Землю также может быть рас-
смотрена при помощи этого общего метода, если воспользо-
ваться принципом обратимости. В результате несложных рассу-
ждений становится ясным, что области вертикального подъема
на орбиту Луна вЂ” Земля являются просто зеркальным отра-
жением областей вертикального попадания, т. е. осуществить
вертикальный взлет можно только из западного полушария
Луны. Обе эти задачи оптимального осуществления посадки
и взлета, которые в значительной мере несовместимы,
должны быть рассмотрены при выборе места посадки.

Астродинамика
& t; сев ра на вост к, у ол возвыше ия Т, измеряе ый вв
от местной горизонтали (все углы выражаются в радианах),
расстояние от центра Земли в земных радиусах г, скорость
в конце активного участка в единицах круговой скорости
у поверхности Земли г, звездное время по Гринвичу ' или
часовой угол в радианах ~~, и время окончания работы
двигателей в минутах, отсчитанное от некоторого фиксиро-
ванного момента, 1в (значения всех величин берутся
О
в момент начала баллистического полета). Тогда можно полу-
чить начальные значения
r= ssiny, (29)
r
2 вЂ” ~'г
(30)
р = (rs cos Т)~,
(31)
Р
2
вЂ” вЂ” +» P
(32)
sin&gt = и со
Р p вЂ” r
е er
(33)
(в рад/мин),
[а]/Я
(34)
для а) О
а
Е= arctg rr
(эллипс)
(35)
и для а(0
F =1n гипербола
еа е а
(начальные значения углов лежат в первом квадранте).
При а) О
М = Е вЂ” гг/~а.
при а (О
(36)
rr
Л = вЂ” F (в радианах),
(а[ )
М
Т = t~ вЂ” вЂ” (в минутах),
и
(37)

Бейкер P. М. Л.
6 = 8~,+),е (38)
(при Е в отличный от 1в момент см. уравнение (62)),
О
U~= cosycos ~;
U~ = cosy sin ();
U,= =sing,
Г
U=вЂ”
Г
(39)
по определению,
B, = sin y cos y вЂ” cos y cos А sin y по определению,
В = cos у яп А по определению,
(40)
S В,cos () вЂ” B~ÿn 1,
Я = В, sin 5+ B~ cos 3,
S, = sin y sin (p+ cos y cos А cos ii,
r
S = вЂ”. по определению,
S
(41)
(srS вЂ” и U)
V=
P = U cos Ь вЂ” V яп Ь, (43)
Q = U sin 9+ V cos Ь. (44)
Параметры а, е, Т, Р и (} используются во всех
последующих вычислениях опорной орбиты и, следовательно,
не изменяются во всем процессе расчета вплоть до смены
опорной орбиты. Начальное положение на опорной орбите,
определяемое вектором r, с компонентами х, у,, z,, может
быть получено непосредственно из формул
(42)
а вЂ
вЂ” ае,
(45)
v. = вЂ” 7'1 (1 вЂ” ')!
г,=Рх +Qy,
в то время как скорость r, получается из соотношений
(46)
° r
Х„, =вЂ”
(для е ) 0),
(47)
V. =(а вЂ” г)
чае
r,= Рх„+ Qy .
(48)

Астродинамика
Из-за округления ошибки начальные положения и ско-
рости на истинной и опорной орбитах не вполне совпадают
(т. е. опорная орбита является не вполне оскулирующей)
и могут быть получены из соотношений
(=r,U вЂ” х„
вЂ” „, = (sS„â€” х,) r, P ( а (,
х~у, z, 1 вЂ” ~~, 5 (E~F для а (О).
(:ледует указать, что в качестве независимой переменной
лучше выбирать Е (или F), чем t. Этот выбор значительно
упрощает решение трансцендентного уравнения Кеплера на
каждом шаге.
Если численное интегрирование происходит по независи-
мой переменной Е (или F), то время определяется из соот-
ношений
(49)
(50)
t = вЂ” (Е вЂ” e sin E)+ T,
1
и
t= вЂ” (е sh F вЂ” F)+ Т,
1
а) О,
а(0;
(51)
Ге вЂ” из соотношений
r,= а(1 вЂ” ecosE),
r,= а(1 вЂ” е ch F),
а) О,
а(0;
(52)
х„и у вЂ” из соотношений
х = а(cosЕ вЂ” е), у„= а ~1 вЂ” е'sin Е,
х„= вЂ” а(ch F вЂ” е), у = вЂ” а ~ е~ вЂ” 1 sh F,
(53)
а(0;
3ак 598
и х, y„â€” из соотношений
х = вЂ” ~ а, у,=V(& t; Ђ” е ), а) О, (
х = вЂ” ~~~з~, V. ~а(1 вЂ” е2), а (О. (55)
~Е ГЕ
Затем определяют r, и r, так же, как в уравнениях (46)
и (48), и находят истинную скорость объекта fgg относи-
тельно Земли из выражения
° °
~е
~~e=х,+&l ;= , х в ”: у, z, (- q 4 (
r p [а[ dB'

Бейкер P. М. Л.
(57)
г®~ вЂ” г®~ sin 5
у~~ вЂ” r@g яп асов о,
и
Х@~
U,=, х вЂ” ~у, z.
2 у
Аналогичная процедура ведет к получению солнечных
координат r@~'.
х~~ вЂ” вЂ” х®& t; Ђ”
(-.) ~ вЂ” xxgg вЂ” х(р(.-), у, z. (59)
Компоненты возмущающего ускорения с учетом влияния
Солнца, Луны, второй и четвертой гармоник гравитацион-
ного потенциала Земли равны
СЮ С
вЂ” 1 +, + (1 вЂ” rU,) вЂ” К +,~ [3 вЂ” 42U,+63U,];
'=т ~+ ~ т )®
вЂ” (1 вЂ” 5U,) вЂ” К +7+ [3 вЂ” 42U,+ 63У~];
r ' Gr7м
а'=т~(,~ ~ )+тд(,"@ ~")вЂ”
вЂ”./ + + (35 вЂ” U )2 вЂ” К + + [15 вЂ” 70Ug+63Ug].
г®~ 6r®~
(60)
(истинное положение относительно Земли равно, конечно,
кд~ вЂ” вЂ” х, + ().
Яля того чтобы вычислить возмущающее влияние Луны
на лунный корабль, необходимо взять из сборника ÄAmerican
Ephemeris and Nauti.cal Almanac" значения прямого восхожде-
ния Луны а, горизонтального параллакса Луны ~~ и скло-
нения Луны 5. Эти величины затабулированы только для
полуночи и полудня каждого дня и требуют интерполяции.
Затем из них можно получить
1
г®g=1,000024 . х®~ вЂ” вЂ” r@~cosаcos3,

Астродинамика
~2~ (~2~ d~(
и „, находятся из уравнения (9), q определяется
ШР
из уравнения (12). (Единицей массы служит масса Земли,
и единица расстояния равна экваториальному радиусу Земли.)
Вводя новую независимую переменную Е (или F),
получаем
~Я csin E Я а
° Э
вЂ”, „, + [f (q) х~~ вЂ” (]+ r2ax', а) О,
ге
each) Я ц
вЂ” + [f (q) х®& t; Ђ” ]+ r2a ' (
ге
~ вЂ” э~,~, х вЂ” эу,z.
(61)
Уравнения (61) затем численно интегрируются для получе-
ния координат объекта.
Метод Гаусса
Ранее мы уже отмечали, что метод Гаусса оказывается
особенно подходящим для предварительного вычисления ра-
счетных лунных орбит. Ниже приводятся некоторые подроб-
ности практического применения метода. Прежде всего не-
обходимо вновь определить положение точки бросания в ко-
ординатах экваториальной геоцентрической системы. Теперь
мы несколько изменим обозначения, использованные в пре-
дыдущем пункте, а именно положим, что Н вЂ” высота конца
активного участка в единицах земного радиуса, ~ вЂ” геодези-
ческая широта проекции конца активного участка на земную
поверхность, 3 вЂ” местное звездное время в этой точке, т. е.
в общем виде, как и ранее,
[) = 6 + 0,0043752695 (t - вЂ” tg )+ &g
(62)
(~~ вЂ” звездное время по Гринвичу в радианах в момент
~ремени 1д и 1е вЂ” восточная долгота проекции конца
О
активного участка), С и S равны по определению соответст-
венно 1/g1 вЂ” (2f вЂ” /') sin~ &l ; С (1 Ђ” )' ( = 1/298,3
величина сжатия Земли). Тогда

Бейкер P. М. Л.
х, =+ (С+ Н) cos y cos ii = r&l ;~ os р' os 5
у, =+(С+ Н) cos&l ;р in i = ®&gt; cos '
z, = + (S+ Н) sin &l ; = ~~ in
(63)
Положение Луны в предсказанное время попадания дается
уравнением (58), где х®~ = х, у@~ = уз и га~~ = а'.
Затем делается предположение о величине р и произво-
дится подстановка численных значений уравнения (13), т. е.
SW = l (y1zÇ yàz1)+ 1(~1хз азх1)+ K(x1ys xçy1)
где 1, Я, K вЂ” орты осей х, у, z экваториальной системы.
В остальном процедура не меняется.
АСТРОДИНАМИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Влияние ошибок в значениях астродинамических констант
на орбиты лунных кораблей более подробно рассматривается
в статье Уэстрома. Однако в этом пункте, посвященном
расчетным орбитам, уместно рассмотреть этот вопрос
хотя бы в общих чертах. Представляется, что неопре-
деленности в значениях констант оказывают сравнительно
малое влияние; тем не менее при осуществлении посадок
на Луну в заранее намеченных точках их не следует недо-
оценивать.
Как и для случая ошибки в величине астрономиче-
ской единицы (и ее влияния на межпланетные траекто-
рии), нас едва ли удовлетворит то, что для устранения оши-
бок в начале путешествия можно было бы использовать ма-
лые корректирующие тяги. Столь ранняя коррекция была бы
преждевременна по двум причинам: а) к такому раннему сроку
не удалось бы накопить достаточного количества данных
для определения ошибки; б) орбита на этом начальном этапе
столь чувствительна к погрешностям в направлении и вели-
чине тяги коррекции, что ранняя коррекция не столько уст-
раняла бы ошибки, сколько вводила бы их.

Астродинамика
В табл. VI показаны отклонения от некоторой расчетной
точки попадания в Луну, вызываемые полным пренебреже-
нием величиной некоторых констант, а также их неопреде-
ленностью. Из упомянутых констант, ошибка, связанная
Таблица Vl
Влияние астродинаыических констант
Отклонение
от расчетной
точки из-за
неопределен-
ности
(кя)
Отклонение
от
расчетной
точки
(км,}
~!спол~зуемое
значение и
неопределенность
в нем
Исполь-
зуемое
значе-
ние
Константа
J (2-я гармоника
гравитационного
поля Земли)
1623,41 +
«+ 4)(10
680
15,7
18,2
Пренебрежи-
мо мало
К (4-я гармоника
гравитационного
поля Земли)
Пренебрежи-
мо мало
332488 + 43т Пренебрежи-
мо мало
692
т (масса Солнца)
0 10 200
122888 &l
+ 39&gt;
0,030
т& t; (ма са Лу
6378270 «+ 70т
а, (экваториальный
радиус Земли)
87,0
0,0154"
(лунный парал-
лакс)
8,5
с пренебрежением лунным притяжением, является, безусловно,
наибольшей, в то время как ошибки, с которыми мы стал-
киваемся, когда не учитываем влияния Солнца и второй
гармоники гравитационного потенциала Земли, приблизи-
тельно равны и имеют второстепенное значение. Что ка-
сается погрешностей в значениях констант, то особенно важ-
ной является ошибка в величине экваториального радиуса
Земли.

Бейкер P. M. Л.
Точность наблюдения и дифференцггальная коррекция
О дифференциальной коррекции уже говорилось в ф 2,
и здесь достаточно просто упомянуть о некоторых полезных
приборах наблюдения.
Ясно, что радиолокационные приборы для измерения
расстояния и радиальной скорости, в которых используется
принцип Допплера, будут находить все большее применение,
особенно в некоторых легких передвижных кома ндных
комплексах наведения, при помощи которых данные наблю-
дения поступают на Землю и посылается корректирующая
команда на объект. Автономная система наведения может
включать в себя оборудование для слежения за звездами или за
лунным диском. Новый прибор для слежения за лунным диском
был недавно разработан P. Грубе и P. Дж. Дикки из фирмы
Аэроджет. Возможности такого прибора ограничены из-за
его неспособности установить фиксированные положения объ-
екта в пространстве; тем не менее его показания могли бы
' сочетаться с другими данными наблюдений в координатной
форме для получения более полной информации о положе-
нии объекта. Однако следует подчеркнуть, что нужно стре-
миться к использованию всех данных в методике диффе-
ренциальной коррекции, а не пытаться точно установить
местоположение точки наблюдения.
Еще одним применением этого прибора фирмы Аэро-
джет, которое могло бы обеспечить получение большего ко-
личества информации, явилось бы дополнительное слежение
за терминатором. В зависимости от фазы Луны и характера
лунной топографии вдоль терминатора можно было бы по-
лучить дополнительно более полезные и точные данные,
которые затем можно было бы прямо ввести в схему диф-
ференциальной коррекции, т. е. заранее вычисленные зна-
чения ориентации и ширины терминатора можно было бы
вычитать из наблюдаемых значений.
Как указано К. Кингом' ) (Лаборатория космической тех-
ники, Лос-Анжелес), использование дифференциальной кор-
рекции, основанной на предвычислении, явилось бы одной
из серий расчетов, которые надо было бы провести при по-
'} К i u g С., Space-borne computer desigt, Space trajectories,
Academic Press, 1960, New York and London.

Астродинаиика
пытке попадания в Луну или планету. Тщательное про-
ектирование бортового вычислительного устройства, которое
могло бы выполнить указанные преобразования, явилось бы
тогда существенной частью разработки системы наведения.
ПЕРЕХОД К СЕЛЕНОГРАФИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
Поскольку как плоскость орбиты Луны, так и плоскость
ее экватора наклонены к плоскости экватора Земли, поскольку
орбита Луны обладает эксцентриситетом и существуют оп-
ределенные физические колебания, или „либрации", Луны
относительно некоторой фиксированной (в центре Луны)
системы координат, трудно осуществить точное преобразо-
вание экваториальных координат в селеноцентрические. Пол-
ное исследование этого преобразования было проведено П.
Коскела, но оно заняло бы слишком много места; поэтому
читателю, интересующемуся полным изложением этого
вопроса, мы рекомендуем обратиться к работе [36].
ТЕОРИЯ НАБЛЮДЕНИЯ И НАВИГАЦИИ
Введение
Значительное количество работ по теории наблюдения
и навигации применительно к наведению лунных кораблей
было проведено компаниями Аэро нутроник, Миннеаполис-
Ханиуэлл, Рэдиейшн Лабораториз, Аэроджет Дженерал,
Норт Америкен, Боинг, Системс корпорейшн оф Америка
и др. Активная деятельность в этой области важна, ибо
успех полета на Луну будет зависеть от точного и надеж-
ного наведения. Для достижения точности необходимо при-
менить наиболее современную технику вычисления орбит и
совершенное оборудование наведения. Для обеспечения на-
дежности. надо использовать относительно простые и тща-
тельно испытанные методы и оборудование, Оба этих тре-
бования должны быть удовлетворены в возможно более
короткий срок.
Оборудование
Непосредственная разработка надежных систем наведения
для посадки на Луну должна быть основана на следующих

Бейкер P. и. Л.
56
Методика расчетных орбит
Современные приемы расчета орбит, рассмотренные выше,
позволяют осуществить посадку на Луну с большой точ-
ностью при минимальной затрате топлива на маневрирова-
ние. Здесь также можно выделить несколько основных
этапов.
1. Определение расчетной орбиты.
2. Использование пертурбационных методов.
3. Дифференциальная коррекция.
4. Уравнения оптимального наведения.
5. Определенные с удовлетворительной степенью точ-
ности астрономические константы.
Последний из упомянутых этапов можно было бы про-
иллюстрировать следующим образом.
Из табл. Л видно, что недостаточное знание величины
экваториального радиуса Земли исключает возможность по-
садки управляемого только во время взлета аппарата с ве-
роятной ошибкой, меньшей чем 80 км. Что касается пертур-
бационных методов, то в работе [41] было найдено, что
основных принципах: 1) максимальное использование су-
ществующего оборудования и техники, 2) совмещение си-
стем (в той мере, в какой это представляется осуществи-
мым), 3) планирование разработок осуществляется таким 06-
разом, чтобы для каждой разрабатываемой системы преду-
сматривалось максимальное использование и возможность
дальнейшего развития, и 4) наличие, где это возможно, у пи-
лотируемого аппарата запасной автоматической системы
управления.
В связи с пунктом 4 заметим, что по возможности нужно
использовать все способности человека. Однако должны
быть предусмотрены такие условия, при которых полетное
задание могло бы быть выполнено.(быть может, с меньшей
точностью), если человек не сможет действовать. Относи-
тельно пункта 3 заметим, что полное использование каждой
системы является важным фактором; оно не только умень-
шает относительную стоимость разработки, но благодаря
опыту, приобретаемому при эксплуатации системы, способ-
ствует повышению ее надежности и уверенности в ней
персонала.

Астродинамика
они позволяют в 10 раз уменьшить время вычисления.
Подобная эффективность полезна независимо от того, выпол-
нялся ли расчет наведения на борту аппарата или каким-
либо иным образом. Методика дифференциальной коррек-
ции, упомятутая в п. 3 и рассмотренная в g 2, предусмат-
ривает простой метод наведения в середине траектории и на
конечном участке, который был эффективно испытан и
использовался астрономами на протяжении столетий.
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
В заключение этой статьи представляется уместным вы-
делить три основные группы проблем, связанных с наведе-
нием на Луну. Первая посвящена выбору места посадки.
Выбор места зависит не только от таких фактов, как бли-
зость возможных русских лунных баз, селенография, обста-
новка на Луне и т. д., но также от требований наведения.
Например, при выборе места посадки в высоких широтах
Яуны (препятствующего вертикальному спуску) задачи си-
стемы управления при посадке могут стать почти невыпол-
нимыми. Кроме того, как уже отмечалось, возвращение на
Землю может быть весьма затруднено и оказаться дорого-
стоящим в смысле расхода топлива, если место выбрано на
передней по движению кромке Луны. Над такими пробле-
мами надо тщательно подумать перед окончательным выбо-
ром места посадки. Второй главной задачей является созда-
ние системы наведения для безопасного возвращения чело-
века из неудачного полета. По-видимому, для тех участков
полета, где условия меняются быстро (например, участка подъе-
ма), система возвращения человека должна проектироваться
как неразрывная часть системы в целом. С другой стороны,
для тех участков полета, где условия меняются медленно,
например в середине полета, система управления должна
предусматривать возможность изменения целей полета. Такие
задачи становятся особенно важными на участке подхода
к Луне и взлета с Луны. Третья группа проблем относится
области точной навигационной техники; такая техника
настоящее время еще недостаточно развита, и в этой
связи, быть может, следует полагаться на Национальную
службу наблюдения за Космосом и ее компетентность в об-
ласти точных методов анализа орбит.

Бейкер P. М. Л.
ЛИТЕРАТУРА
1. W e s tr o m G., Final report on 1958~ and 1958а, Aeronutronic
Publ. № 727, Dec. 1959.
2. Benedikt E. Т., Collision trajectories in the three-body prob-
lem, J. Astronaut. Sci., 6, № 2, 1959.
3. К oz a i Y., W h it n ey С. А., Anticipated orbital perturbations
of satellite 1959 Delta Two, Smithsonian Inst. Astrophys. Obs.,
Кез. in Space Science, Spec. Report № 30, 1959.
4. К l e m р е r e r W. В., Satellite librations of large amplitude,
ARS Journal, Jan., 1960.
5. Rober son R. Е., А ~еч~еч of the current status of satellite
attitude control, J. Astronaut. Sci., 6, 1959.
6. В г о w e r D., 1960.
7. K o v a l e v s k y J., Methode numerique de calcul des pertur-
bations generales, АррИсайоп au VIIIe Satellite de Jupiter,
Theses de ГUniversite de Paris, 1959.
8. V in ti J. P., А new method of solution for unretarded satellite
orbits, Nat. Bur. of Standarts Rep. 6449, 1959.
9. Van San t С. Т., W а1ters L. G., Nicol а L., Interim
report covering task three, range planning study for pro-
ject Mercury, Section 4, Aeronutronic Publ. №. U-536,
1959.
10. В aker R. М. L., Jr., Orbit determination from range and rate,
ARS Preprint, 1960.
11. Sch aaf S. А., Aerodynamics of satellites, RAND Corp. Report
R-339, 1959.
12. W i l l i s D. R., А study of nearly free-molecule flow, RAND
Corp. Report R-339, 1959.
13. Н ur lb u t F. С., Notes on surface interaction and satellite drag,
RAND Corp. Report R-339, 1959.
14. В а ker R. М. L., Jr., Ch ar w at А. F., Transitional correction
to the drag of à sphere in free-molecule flow, Phys. Fluids,
1, 1958, 73 вЂ” 81.
15. С h àr w àt А. F., Lift and pitching moment in near-free-molecule
flow, RAND Rep. R-339, 1959.
16. В аk e r К. M. L., Jr., The transitional aerodynamic drag of meteo-
rites, Astrophys. J., 129, 1959, 826 вЂ” 841.
17. В а ker К. М. L., Jr., The effect of accomodation on the transi-
tional aerodynamic drag of meteorites, Astrop&gt; s. ., 1 0, 19
1024 вЂ 10.

А стродинамика
18. W Ы t n е у С. А., The structure of the high atmosphere, I, Linear
models, Smithsonian Inst. Astrophys. Obs. Res. in Space Science,
Spec. Report № 21, 1959.
19. S i г у J. W., Atmospheric densities at altitudes up to 750 km.
obtained from analyses of satellites observations.
20. S ch il ling G. F., St erne Т. Е., Densities and temperatures
of the upper atmosphere inferred from satellite observations,
J. Geophys. Res., 64, 1959.
21. P o n d Н à r t l е у, АКИС 1959 Model atmosphere, Air Force
Cambridge Research Center Geophysics Directorate, 1959.
22. J ac ch ia L., Solar effects on the acceleration of artificial sa-
tellites, Smithsonian Astrophys. Obs. Spec. Report № 29,
1959.
23. P r i с е R., G r е е и P. E., et аl., Кайаг echoes from Venus,
Science, 129, 1959, 751 вЂ” 753.
24. Herrick S., Westrom G. В., Makemson М. E., Solar
parallax and astronomical unit, University of California, Los
Angeles, 1960.
25. О'Кее1е А А., Eckel s А., Sq uir es P. К., Азйоп. 1.,
1959.
26. Y à k о ч k i n А. А., General characteristics of the contour of
the moon, the free libration of the moon, Transactions of the
International Astronomical Union, VIII, University Press, Cam-
bridge, 1952.
27. Je f fr ies H., The figures of the earth and the moon, 34onthly
Notices Roy. Astron. Soc. Geophy s. Supplement, 5, 1948
219 вЂ 2.
28. Urey H. С., Elsasser W. M., Rochester М. G., Note
on the internal structure of the moon, Astrophys. J., 129, 1959,
842 вЂ” 848.
29. А l е х а n d r о ч I., The lunar gravitational potential, Amer. Astro-
nautical $ос. Preprint, № 59-23, 1959.
30. Р а i n W. W., G r е е r В. J., Electrically charged bodies moving
in the earth' s magnetic field, АЛ,'5 Journal, 29, 1959, 451 вЂ” 453.
31. Ts u Т. С., Interplanetary travel by solar sail, ARS Journal, 29,
1959,422 (русский перевод: U,ау Т. С., Межпланетный полет
с помощью солнечного паруса, сб. Механика, 1 (65), 1961,
3 вЂ” 15).
32. W е Ьег К. J., P auls о n W. М., Achieving satellite rendezvous,
ARS Journal, 29, 1959, 592.

бО
Бейкер P. M. Л.
33. Rod r ig u ez Е., Method for determining steering programs for
lpw thrust interplanetary vehicles, ARS Journal, 29, 1959, 783.
34, В о с k С. D., М u n d о С. J., Guidance techniques fpr inter-
planetary travel, ARS Journal, 29, 1959, 931 вЂ” 940.
35. Н ег r i ck S., Astrodynamics, Van Nostrand, New Yprk, 1960.
36. В aker R. М. L., Jr., Make m son М., Introduction to astrp-
dynamics, à supplement to Advances in Space Science, III,
Academic Press, New York, 1960.
37. А й а т з С. F, Calculation of à comet's coordinates, J. Brit.
Astr. Assoc., 32, 1922, 231 вЂ” 234.
38. М u s e n P., Special perturbations of vectorial elements, А~~год.
J., 59, 1954, 262 вЂ” 267.
39. Her r1ck S., А modification of the variation of constants' me-
&lt;h ds or spec al per&lt;urba ions, ubis. A tron Soc. pa ifi
1948, 321 вЂ” 323.
40. Her r i ck S., В а ker R. М. L., Jr., Н il ton С. G., Gravita-
tional and related constants for accurate space navigatipn,
UCLA Astron. Papers, М 24, 1958.
41. Baker R. М. L., Jr., Westrom G. В., Hilton С. G.
Arsenault J. L., Gersten R. H., Browne Е., ЕЩ-
cient precision orbit computation techniques, ARS Preprint,
869-59, 1959.
42. Н е г ge t P., The computation of orbits. Published privately by
the author, Ann. Arbour, Mich., 1948.
43. Н е r r i c k S., The Laplacian and Gaussian orbit methods, Univ.
of Calif. Pub. Contributions of Los Angeles Astron. Dept., 1,
1940, 1 вЂ” 56.
44. Н er r ick S., Tables for rocket and comet orbits, Nat. Bureau
Standards Appl. Math., Series 20, 1953.
45. 1 i u А., Normal impact analysis from two-Ьо1у theory, J. Aero-
nutronic Publ. С-590, Ш, Appendix, 1959.
46. Mick el wait А. В., Lunar trajectories, ARS Journal, 29, 1959,
905 вЂ 9.
47. Hunter М. W., К1етрегег W. В., Gunkel R.
Impulsive midcourse correction of lunar shot, presented at
the IX ~АР Congress, Amsterdam, 1958.

ТРАЕКТОРНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
Дж. Б. Уэ стром
Д~ронутроник, Отделение компании Форда, Ньюпорт Бич,, США
Введение
Таблица I
Постоянные
Геоцентрические
Селеноцентрические
Гелиоцентрические
Гравитационная по-
стоянная k
Солнечный парал-
лакс По
Массы планет
Гравитационная постоян-
ная А,
Экваториальный ра-
диус а~
Коэффициенты сфери-
ческих гармоник J, Н,К
Напряженность гравита-
ционного поля де
Атмосфера
Лунный параллакс
Лунный потенциал
,диаметр Луны
Масса Луны
Д,иаметры планет
Сжатие планет
Межпланетная среда
Характеризуя задачу определения орбит, следует сказать,
что точность и Определенность ее решения и его выполни-
мость зависят от того, насколько тщательно выбирались
математическая модель, значения траекторных постоянных и
вычислительные методы. Яля точных номинальных орбит не-
определенность в значениях постоянных служит главным
источником ошибок в параметрах траектории. Например, не-
точность в величине радиуса Земли приводит к возможной
ошибке в 80 км при попадании в Луну. Точно рассчитать
номинальную орбиту для.спутника Земли на малой высоте не-
возможно из-за весьма приближенных сведений о величинах,
характеризующих плотность верхней атмосферы, и их измен-
чивОСти.
Связь между траекториями спутников и некоторыми по-
стоянными привела к существенным исправлениям значений

Уэстром Дж. Б.
б2
нескольких постоянных, например коэффициента при второй
гармонике гравитационного потенциала Земли 1, атмосферной
плотности и т. д.
Постоянные для гелиоцентрических, геоцентрических и
селеноцентрических орбит являются в общем различными и
вследствие этого мы будем рассматривать их в разных раз-
делах. Эти весьма важные постоянные для различных типов
траекторий приведены в табл. I.
В настоящей работе изложение будет проводиться по сле-
дующей общей схеме: определение постоянных, современные
значения постоянных, иллюстрация влияния неточностей на
частные типы орбит.
ГЕЛИОЦЕНТРИ ЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Из сравнительно большого числа гелиоцентрических по-
стоянных, перечисленных в табл. I, только неточности в ве-
личине солнечного параллакса достаточно велики, чтобы
серьезно влиять на межпланетные орбиты; это утверждение
не касается случая близкого подхода к планете, когда более
точное определение ее массы, размера и формы могло бы
оказаться важным.
СОЛНЕЧНЫЙ ПАРАЛЛАКС И АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ЕДИНИЦА
Солнечный параллакс определяется как отношение между
экваториальным радиусом Земли и астрономической единицей.
Астрономическая единица была первоначально определена
как среднее расстояние Земли от Солнца. Современное опре-
деление астрономической единицы устанавливает, что она
является средним расстоянием до орбиты фиктивной не-
возмущенной планеты, имеющей такие же массы и сидери-
ческий период обращения, какие приняты для Земли Гауссом
при нахождении им величины гравитационной константы Й.
Тогда, в наиболее широком смысле, солнечный параллакс
представляет собой отношение двух систем единиц. В астро-
номической системе единиц в качестве единиц массы, длины
и -времени используются соответственно масса Солнца, астро-
номическая единица и средние солнечные сутки. В определении
солнечного параллакса фигурирует экваториальный радиус
Земли, а не лабораторная единица (см. рис. 1); тем не менее

Траекторныв постоянные
Неопределенность в величине отношения лабораторной еди-
ницы к радиусу Земли, оказывает ничтожное влияние на
межпланетные орбиты.
Следовательно, солнечный параллакс можно рассматривать
как отношение лабораторной и астрономической единиц
206 265"а,
ае
и
ЛЛ Ьпо
О вЂ” и/
по
Заметим, что неточность кроется не в наших знаниях
астрономической единицы, но скорее в данных о величине
Ри с. 1. Солнечный параллакс.
отношения. Суть дела в том, что астрономическая система
единиц обладает некоей внутренней согласованностью, что
позволяет задавать величины в ней с большим (на четыре
или пять) числом значащих цифр, чем в лабораторной си-
стеме единиц. Отсюда ясно, что при расчете межпланетных
траекторий следует использовать астрономическую систему
единиц.
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРАЛЛАКСА
Для определения солнечного параллакса было использо-
вано большое число разнообразных методов. Многие из ме-
тодов явно сопряжены с систематическими ошибками, по-
скольку между результатами существуют сравнительно
большие расхождения. Можно найти солнечный параллакс,
зная расстояние между Солнцем и планетой, между двумя

б4
Уэстром Яж. Б.
планетами и т. д. или зная орбитальную скорость планеты
в лабораторной системе единиц, поскольку масштаб времени
в обеих системах одинаков. Расстояние между Землей и не-
которыми малыми планетами можно измерить непосредственно
путем триангуляции. Этот геометрический метод исполь-
зовался С. Джонсом [3] и Хинксом [2] во время близкого
прохождения астероида Эрос 433.
Для непрямого нахождения солнечного параллакса можно
применить динамический метод, использующий третий закон
Кеплера. Основные формулы этого метода таковы:
2
k„m®
2
~е
(2)
где а~ вЂ” среднее расстояние центра системы Земля вЂ” Луна
от Солнца,
а, вЂ” 'экваториальный радиус Земли,
g,â€” ускорение силы тяжести на экваторе,
й2 вЂ” гравитационная постоянная,
т~ вЂ” масса Солнца,
т© вЂ” масса Земли,
Р~ вЂ” сидерический год.
Параллактические неравенства лунной долготы, вызы-
ваемые солнечными возмущениями, могут быть использованы
для нахождения величины солнечного параллакса. Этот гра-
витационный метод дает отличное средство для определе-
ния солнечного параллакса при условии, что величина отно-
шения массы Луны к массе Земли хорошо известна. Брауэр [4]
использовал затмения звезд с 1932 по 1942 г. и наблюдения
меридианного круга с 1935 по 1948 г. для того, чтобы
найти этим методом солнечный параллакс.
Можно использовать постоянную годовой аберрации для
определения орбитальной скорости Земли, из которой затем
находится солнечный параллакс.
Скорость Земли на ее орбите можно найти также спектро-
скопаческа при помощи измерения сдвига частоты звездного
излучения, когда Земля движется от звезды или к звезде.

Траекторные постояннь~е
Джонс и Адамс [5] определяли солнечный параллакс
этим методом.
Современное радиолокационное оборудование дает воз-
можность прямого измерения астрономических расстояний
в лабораторной системе единиц. Прайсу и Грину [9] удалось
в 1958 г. получить отражение от Венеры. Значения вероят-
ной ошибки метода указывают, что он может давать го-
раздо более точные результаты, чем любой из других ме-
тодов.
Для определения солнечного параллакса можно успешно
использовать последовательные наблюдения за искусственными
космическими телами, если производить дифференциальную
коррекцию начальной скорости, которая в значительной сте-
пени складывается из скорости Земли.
В табл. И перечислено много важных результатов опре-
деления солнечного параллакса и приведены их относитель-
ные неточности.
Таблица П
Сводка результатов определения солнечного параллакса
Солнечный параллакс
Исследователь
Метод
+ 0,0046"
~ 0,004"
~ 0,001"
~ 0,004"
~ 0,007"
~ 0,001"
+é 0,0004"
а 0,00005" ')
') Вероятная ошибка была вычислена методом, описанным в [1].
До тех пор пока не будет проведено большее количество
радиолокационных измерений, по-видимому, следует пользо-
ваться значением 8,7984", которое получено Рэйбом.
8,8036"
8,806"
8,790"
8,803"
8,805"
8,799"
8,799"
8,7984"
8,80184"
Гилл, 1889
Хинкс, 1904
Джонс С., 1941
Джонс С., 1928
Адамс, 1941
Уитт, 1935
Нотбум, 1921
Рэйб, 1954
Прайс, 1959
Геометрический
Геометрический
Геометрический
Спектроскопический
Спектроскопический
Динамический
Динамический
Динамический
Радиолокационное отра-
жение от Венеры 10 и
12 февраля 1958 г.

бб
Уэстром Дж. Б.
ВЛИЯНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ОРБИТЫ
Относительная неопределенность в величине солнечного
параллакса дается выражением
вЂ” ЬПО М
П R
I
если пренебречь неточностью в а„которая менее велика.
Влияние этой неопределенности на межпланетные орбиты
проявится в начальных значениях положения и скорости,
если переводить их из километров в астрономические еди-
ницы. Неопределенность будет влиять на начальное гелио-
центрическое положение и скорость Земли, гелиоцентри-
ческое положение цели и гравитационную постоянную, если
мы переходим от астрономических единиц к километрам.
Чтобы продемонстрировать влияние этих двух процедур,
рассмотрим показанную на рис. 2 траекторию Земля вЂ” Марс
с минимальным расходом энергии. Найдем относительную
ошибку в величине большой оси 2а, возникающую при исполь-
зовании и той, и другой методик.
При переводе величины скорости на расстоянии порядка
миллиона километров от Земли в астрономические единицы
Ьг = Ьг® вЂ” AV® вЂ”вЂ” О, (4)
потому что эти величины хорошо известны в астрономи-
ческих единицах.
ы=zv„= v„n,
(6)
(7)
поскольку V, скорость ухода по гиперболе, предполагает
относительную неточность в R, когда V в км/сек делится
на R. Тогда из интеграла энергии получаем результат
Ь (2a) 2а VV
2а "g У~~
При переходе от астрономических единиц к километрам
ЛV~
v„=o, ы=~гщ вЂ” (v вЂ” V„)
Э
так как величина V в ки/сек известна точно.
dI- hr~ ~ V~
r r@ V©

Траекторные постоянные
Марс в момент попадания
Рис. 2. Орбита Земля вЂ” Марс.
мы получим неточность в величине 2а/г вместо ошибки
в значении 2а. Тогда
2а
r Ь (2а)
2а 2а
(10)
потому что эти величины можно перевести в систему единиц
ggS умножением на коэффициент преобразования R. Тогда
из интеграла энергии, как и ранее, получаем
'"' =[' - &lt; &
2а
2а r® y&
9
Явное расхождение между этими двумя уравнениями
устраняется, если учесть, что последнее уравнение не вклю-
чает неопределенности в положении планеты-цели. Учтя ее,

Уэстроль Дж. Б.
Нетрудно видеть, что гораздо удобнее переводить ско.
рость аппарата в астрономические единицы и трактоват~
задачу как задачу о движении астероида. Если не уделят[,
достаточного внимания переходу от астрономических единиц
к километрам, как это часто и делается теми, кто незнако~~
с астрономической практикой, то точность сильно ухуд-
шается, особенно если пользуются лабораторным значением
гравитационной постоянной.
Если предположить, что относительная неточность должна
быть по крайней мере ограничена неравенством
0,0001 ( П' ( 0,001,
то из этого следует, что неточности в траекториях к Марсу
и Венере, которые мы обозначим (Mapc)' и (Венера)', огра-
ничены значениями, данными в табл. Ш.
Таблица Ш
Влияние H' на траектории
к Марсу и Венере
0,0001 & t; и ( 0,
8400 км & t; (Map ) & t; 4
3500 км & t; (Венер ) &lt; 35
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ
а = а~ (в астр. ед.) = 1,
р = mp+ и® (в mp) = 1,000002819
P = сидерический год (в среди. соли. сутках) =
= 365,2563835;
при этих значениях
зу
Й, = = 0,01720209895.
P
(11)
,11ля того чтобы избежать изменения Й, при каждом новом
определении Р и т~, было принято международное соглаше-
Численное значение гауссовской, или гелиоцентрической,
гравитационной постоянной к, [6] было найдено Гауссом
с помощью третьего закона Кеплера. Для определения Й,
использовались величины

Трпекторнь~е постоянные
ние (Постановления Международного астрономического союза,
1938 г., стр. 20, 236)') о том, чтобы переопределять астроно-
мическую единицу, как указывалось в предыдущем разделе.
~охранение Й, постоянным соответствует обычной астроно-
мической практике уточнения орбит, когда видоизменяют
Элементы орбиты и, быть может, массу находящегося на ней
тела с тем, чтобы привести их в соответствие с данными
наблюдений и некоторыми физическими константами и урав-
нениями, которые остаются неизменными.
7очность вышеприведенной величины Й, можно оценить,
дифференцируя уравнение (11),
2ЬЙ, 2ЬР Лр.
/г~ P
(12)
(Рессел, Дэган, Стюарт [18])
т~ вЂ” вЂ” 5,975 (1 + 0,0007) 10~7 г,
и (Рэйб, 1950)
~о
т +т~
B =81,375(1 + 0,0003),
т~
= 328 452 (1 + 0,00013),
(13)
получаем
= 332 488(1 + 0,00013).
т
') См. Trans.!А13, vol.б, 1939; см. также К у л и к о в К. А., Фун-
.паментальные постоянные астрономии, М., ГИТТЛ, 1956. вЂ” Прим. ред.
где неточности в значениях периода и массы так малы, что
дают относительную ошибку в ЬЙ,/Й, порядка+ 2 10, так
что можно считать Й, известным почти до девятой значащей
цифры!
Применение лабораторной гравитационной постоянной G,
которой обычно пользуются при переводе величины расстоя-
ний и скоростей в лабораторную систему единиц, не является
эффективным при расчете межпланетных орбит.
Сравнение значения Й,, найденного. из G, с гауссовским
значением свидетельствует о большой неточности лабора-
торного определения О. Используя (Хейл [7], Бирдж [8])
0 = 6,670 (1 + 0,0007 10 сла/г сек2

Уэстром Яж. Б.
70
Таким образом, окончательно
т~ вЂ”вЂ” - 1,9866 (1 + 0,007) 10гз г
Й, = 1,1511 (1 + 0,0005) 10'з см'~1/сек.
В этом значении Й, надежны три значащие цифры вместо
почти девяти надежных цифр, найденных Гауссом.
МАССЫ ПЛАНЕТ
Точное определение планетных масс необходимо для того,
чтобы найти их возмущающее влияние на другие планеты
или на искусственные космические аппараты. Осуществление
наибольшего сближения аппарата с планетой требует весьма
точного знания ее массы.
Массу планеты можно определить по возмущениям, ко-
торые она вызывает в движении других близких к ней планет
или своих спутников. Относительные неточности этих двух
методов зависят от большого числа факторов: массы и уда-
ления возмущающей планеты, числа и размера спутников,
расстояния от спутников до центра масс системы и массы
планеты, которая должна определяться.
При определении массы планеты по движению ее спут-
ников нужно только измерить расстояния от спутников до
планеты и периоды обращения спутников. Подстановка
в формулу третьего закона Кеплера дает значение массц
в долях массы Солнца. Поскольку периоды могут быть из-
мерены с большой точностью, главным источником ошибки
является неопределенность в оценке расстояния от спутника
до планеты. В процентном отношении эта ошибка входит как
куб ошибки в расстоянии; следовательно, она больше для
больших планет.
При определении массы по возмущениям орбит других пла-
нет используется гравитационная теория движения возмущаемой
планеты. Наблюдаемые уходы планеты от траектории, пред-
сказываемой теорией, связываются с вычисленными значе-
ниями возмущений, и определяется множитель, на который
должно умножаться вычисленное значение возмущения для
того, чтобы представлять наблюдаемое движение. Масса воз-
мущаемой планеты получается умножением величины, которой
воспользовались в теоретическом расчете, на этот множитель.

Таблииа IV
Массы планет
Время
иссле-
дования
Масса в обратных
солнечных массах
Источник
[планета
1960 3 093 500
1950 3 110 ООО «~- 7700
1952 3 079 000 + 5702
фарс
Венера
1041,35
1047,40 «+ 0,03
1960
1908
К)питер
3501,6
3497,64 R 0,27
1960
1953
Сатурн
Уран
1960
22 869
Нептун
1960
1960
360 000
Мерку-
рий
1960
6 000 000
') По возмущениям Эроса.
~) По возмущениям орбиты Яеймоса.
~) По возмущениям Марса и Земли.
4) По возмущениям Марса, Земли и Меркурия.
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
Рэйб ')
1Ори ')
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
росс 3)
Фотерингэм ')
Джонс С.
Рэйб ')
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
Де Ситтер
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
Герц
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
Плутон Американские эфемериды
Американские эфемериды
(Ньюкомб)
1960
1916
1926
1940
1950
408 000
403 490 =Е 2400
406 352 + 723
411 300
408 645 «~ 208
19314 (в таблицах
внешних планет)
19700 (в таблицах
внутренних планет}

72
Уэстром Дж. Б.
Если возмущения достаточно велики, а наблюдения произво.
дятся в течение больших периодов времени, то можно достич~
значительной точности. В табл. ГЧ перечислены несколько
значениИ планетных масс, данных различными авторам ц,
включая и те, что приводятся в американских эфемеридах
на 1960 r. Что же касается значений, приведенных в табл. IV,
то, быть может, следует использовать уточненные значения
масс Венеры и Сатурна, найденные соответственно Рэйбом
и Герцем.
диАметРы плАнет
Определение диаметров планет представляло для астроно-
мии лишь академический интерес, но в астронавтике при осу-
ществлении сближения с планетой и посадки на нее важно
знать диаметр планеты. При радиолокации планеты также
нужно знать ее диаметр, так как расстояния между планета-
ми определяются как расстояния между их центрами.
Таблии,а Va
Экваториальный диаметр Марса (в км)
1) Определение производилось по движению деталей на твердой поверхности.
й) Пересмотр предыдущих измерений.
Таблии,а V6
Экваториальный ') диаметр
Венеры (в км)
12 620
12 313 (твердая планета)
12 246
Рэйб
Росс
Квипер
1928
1928
1949
6743 «~ 22
6652 а 11
6679 + 42,3
6860 ~ 21,7
6834 + 50,2
6825
Среднее по измерениям с 1651 по 1901 гг.
Трамплер ')
Ван де Камп
рэйб ')
Ренил
Мюллер
1) Предполагается, что он равен полярному.
1901
1927
1928
1929
1941
1948

Траекторньк тгостоянные
Одной из относительно больших неопределенностей при
~пределении солнечного параллакса Прайсом и Грином был
диаметр Венеры.
~очное определение диаметра твердой поверхности пла-
неты в высшей степени затруднительно. Для нахождения
величины диаметра необходимо либо использовать соединен-
ць1й с телескопом микрометр какого-нибудь типа, либо про-
изводить измерения на фотографиях. Основными источниками
неточностей, рассмотренными в частности Кэмпбеллом [10],
являются аберрация, иррадиация, неточная фокусировка и
влияние атмосферы планеты. Кэмпбелл указывает, что на
практике все ошибки ведут к завышенному значению диаметра
планеты. В табл. Va и Чб приведены некоторые современные
данные измерения диаметров Марса и Венеры. Диаметр
твердой поверхности Венеры определен с точностью до 300 кя.
Диаметры других планет определены в такой же мере плохо,
однако точное определение их не является важным для целей
астронавтики').
СЖАТИЕ ПЛАНЕТЫ
Гравитационный потенциал вблизи планеты определяется
формой планеты и распределением ее массы. Сжатие, ко-
торое определяется как отношение разности между эквато-
риальным и полярным диаметрами к экваториальному диа.-
метру, можно вычислить из следующих формул, при выводе
которых предполагалось, что существует гидростатическое
равновесие и некоторое конкретное распределение плотности'.
I 2 2
,ид =з ' 5~1+~'
(14)
~= вЂ” вЂ” вЂ” 2,
5
2
(15)
1 1
вЂ” (f(вЂ”
438 175 '
(16)
') Это утверждение остается на совести автора. вЂ” 17pu&g ;. пер
где 1 вЂ” момент инерции, М вЂ” масса, R вЂ” радиус, f вЂ” сжа-
тие планеты, ~ вЂ” отношение центробежной силы к гравита-
ционной. Если рассмотреть два предельных случая: равно-
мерно распределенной массы и концентрированной массы,
то величина сжатия планеты окажется заключенной в пре-
делах

Уэстром Яж. Б.
Можно также рассчитать сжатие по регрессии узлов и дщ.
жению линии апсид орбиты спутника из соотношения
а'р
R(У вЂ” вЂ” '
2
(17)
где Р вЂ” период вращения узлов, а вЂ” половина большой оси
орбиты спутника, р вЂ” период спутника.
Таблица VI
Сжатие Марса
1)
вЂ” Струве, 1895
192
1)
Вулард, 1944
1
г)
вЂ” де Вокулер
76,9
1) Измерение по движению спутника.
') Среднее по некоторым оптическим из-
мерениям, производившимся на протяжении
более 100 лет.
В табл. VI даны величины сжатия Марса, найденные как
динамическим, так и оптическими методами. Большое от-
личие оптических определений, возможно, обусловлено атмо-
сферными эффектами.
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Для расчета орбит спутников важны те постоянные, ко-
торые связаны с потенциалом тяготения Земли и атмосферой.
Гравитационными постоянными являются постоянная тяготе-
ния Земли Й„длина экваториального радиуса а, и коэф-
фициенты гармоник потенциала Земли. Все они фигурируют
в выражении для потенциала (18), которое определяет вли-
яние притяжения Земли на ее спутники.
Потенциал гравитационного поля Земли в точке на рас-
стоянии r от ее центра и геоцентрической широте 3 может

Траекторные постоянные
~ать записан в виде
Qå
2
@= вЂ” 1+ вЂ” вЂ” ) (1 вЂ” 3 sin~i)+
3
+ вЂ” вЂ” ' (3 sin Ь вЂ” 5 а1пз Ь)+ вЂ” вЂ” ' (3 вЂ” 30 sins Ь+
и ае З ае 4
5 r 30 r
+ 35 sin43) +..., (18)
fag As = Gm, G вЂ” универсальная гравитационная постоянная,
щ вЂ” масса Земли, r вЂ” расстояние до центра Земли, а,вЂ” эква-
ториальный радиус Земли, о вЂ” геоцентрическая широта,
1, Н, К вЂ” коэффициенты второй, третьей и четвертой
зональных гармоник.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ
Вплоть до появления спутников значения постоянных
наиболее точно находились из геодезических съемок и из-
мерений силы тяжести. Триангуляционные съемки в Север-
ной и Южной Америке и более недавние съемки в Европе
и Африке были использованы Ховицем и Фишером [11], [12]
из армейской картографической службы с целью определе-
ния величины экваториального радиуса а, и сжатия при
помощи уравнения
(19)
Где
1 3 яп (у вЂ” iso)
х вЂ” 2+ 2 соя(9+В)
V Vo
Величины ~ и уо в идеальном случае суть геодезические
широты северной и южной крайних точек s. Но на прак-
тике они являются астрономическими широтами с учетом
влияния топографии и изостазии (или без какой-либо по-
правки такого типа на свободный воздух).
Для определения силы тяжести на экваторе Земли и
сжатия использовались измерения силы тяжести по всей по-
верхности земного шара. При этом применяли уравнения,

Уэстром Яж, Б.
и которых пренебрегали понижениями сфероида:
g=g,(1+) sin2р+ 1 sin~ 2q+ ...),
(20)
где
5 26 15
3 = вЂ” f+ вЂ” а вЂ” вЂ” f~+ вЂ” й2+ О (fs)
2 7 4
(21)
т = â€”8 ,'f2 вЂ” â€” â f +0(fç).
(22)
Коэффициенты второй и четвертой гармоник (J и К)
находятся либо из результатов съемки, либо из измерении
силы тяжести посредством уравнений
(23)
(24)
где
Й ®
е
2
~е
Ни измерения силы тяжести, ни результаты съемок не дают
явных указаний на наличие третьей гармоники; на этом осно-
вании было сделано общее предположение о том, что Земля
обладает симметрией по направлению север вЂ” юг. Отсут-
ствие большого числа наблюдений в южном полушарии,
возможно, явилось причиной того, что не удалось обнару-
жить третью гармонику. Лишь немногие результаты этих
измерений указывали на нарушение вращательной симме-
трии.
Гравитационная постоянная Земли Й, находится из д„
a„J и К при помощи формулы
Q2
р2
~е е
1
1 вЂ” А вЂ” и+У+ вЂ” К
2
(25)
где А вЂ” масса атмосферы.
До получения данных из наблюдений за спутника-
ми [6] были приняты следующие значения геоцентрических

77
7раекторные постоянные
постоянных:
а, = (6,378270 + 11 10 ) 10а м = 1q-радиус =
=(1 + 4 10 ) g-радиус;
Й, = (1,197185 + 11 10 ) 109
8/
= 0,07436574 + 6,5 10
мин
9/
0 07436574+ +0 (К-РМ"У') 6,.
мин
J= 1638,08 + 4 10
К'= 9,04 10
Н=0;
вЂ” вЂ” 2 вЂ” вЂ” sin i+e вЂ” 3+ вЂ” sin~i -4-... (26)
2 ' 2
15
л sз' 4
1
(О
S
или
З 2
вЂ” вЂ” cosi 1 вЂ” вЂ” е +....
s s'
(27)
Единицы q- u g-радиусов определены таким образом,
что для g-радиуса нет неточности в k,, в то время как для
д-радиуса нет неточности в а,. Как и в случае гелиоцентри-
ческих орбит, когда сохранялось фиксированное значение lг„
желательно использовать запись в g-радиусах и производить
подгонку а„когда становятся известными уточненные зна-
чения констант.
С помощью третьего закона Кеплера можно определить ~,
по движению Луны благодаря тому, что лунный параллакс
или расстояния до Луны достаточно хорошо известны. Резуль-
таты недавней радиолокации Луны, опубликованные Япли и
другими авторами [13], дали небольшую поправку к преж-
нему значению и снизили неопределенность от 384406,7 +
«+4,7 км до 384403+1 км.
Яля уточнения значений сжатия, земного радиуса, грави-
тационной постоянной, коэффициентов второй и четвертой
гармоник использовались наблюдения за вековыми возмуще-
ниями узла (Q)» аргумента перигея (ш) спутников Земли.
Коэффициент второй гармоники гравитационного потенциала
находится из формул, выведенных Бейкером и Мейкемсо-
ном [14],

Уэстрои Яж. Б.
Существование третьей гармоники, связанной с грушевидной
формой Земли, было установлено О'Кифи по наличию в фор-
муле для изменения эксцентриситета такого члена:
Н
q °
4
Р Р 4
(0
(28)
Для низкоорбитальных спутников неопределенности в дан-
ных, связанных с атмосферой, значительно более важны,
б00
500
~ 490
N0
200
~по
4
О
-/4
-й~ -о -б -4
Log+ (плоанасаь в nz м )
P и с. 3. Данные о плотности атмосферы, подтверждающие
модель атмосферы ARDC 1959.
чем влияние неточностей в гравитационных постоянных.
Оценка плотности атмосферы была в большой степени
улучшена в результате получения данных с помощью спут-

79
Траекторные постоянные
ников; это видно из сравнения атмосфер ARDC 1956 и
ARDC 1959 на рис. 3. Имеется еще большое число неопре-
деленностей, связанных с годовыми и суточными вариациями,
широтными изменениями и другими аномальными эффектами.
величины их будут уточняться по мере изучения движения
большего числа спутников, испытывающих сопротивление
атмосферы.
В настоящее время наиболее точные значения геоцен-
трических постоянных, основанные на данных, полученных
с помощью спутников, таковы:
а, = 6,378 145(1+ 11 ° 10 ) 10з м
зу
Й, = 1,9965015 (1+ +11 ° 10 ) ° 10т
вЂ” = 298,3 «+0,1,
1= (1623,41+4) 10
H =(6,04+0,73) ° 10 з,
К = (6,37+ 0,23) ° 10
ВЛИЯНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В ВЕЛИЧИНАХ й И J
НА ТРАЕКТОРИЮ ')
' = +11 ° 10
В
Влияние этой неопределенности на орбиту состоит в ос-
новном в неопределенности величины угловой скорости
Средняя аномалия в плоскости орбиты
равномерно изменяется во времени со скоростью и.
') Содержанием этого раздела я обязан С. Pæ. Хилтону.
Неопределенность в значении гравитационной постоян-
ной й„выраженная в лабораторной системе единиц, имеет
следующий вид:

Уэстрол~ Яж. Б.
Предположим, что при определении Uo в момент tz не
совершается ошибки
дУ дУ дп в~ n (~ вЂ” to) U ~o
=(t вЂ” to) а-" =
дй, дп дА,, ~е ~е
ШУ = вЂ” Ьй,=/г,вЂ” вЂ” '=(U вЂ” У )(+11 10 ) рад.
(29)
ЬУ = +1,75 10 . рад,
что соответствует + 1100 я.
Неопределенность в значении коэффициента второй гар-
моники гравитационного потенциала Земли для низкоорби-
тального. спутника равна
Ь./= f'= +4 10
и вызывает неопределенности в значениях долготы узла,
наклонения, эксцентриситета и аргумента перигея. Однако
влияние второй гармоники на наклонение и эксцентриситет
является периодическим по своей природе; например
Ja~
г' = вЂ” вЂ”, вЂ” sin ~ cos ~ sin 2и,
~3 р
дг а, р
вЂ” sin icos ~ sin 2а,
дУ г'
(Зо)
поскольку мы можем пренебречь изменениями в других пара-
метрах, так как они умножаются на малую величину f'.
Ке принимая во внимание, как и прежде, неточность опре-
деления начальных параметров орбиты и предполагая, что
орбита является круговой, получаем
t и
Д~ OE вЂ” а
вЂ” вЂ”, ' ]/ р sin ~ cos t а 'sin 2u da =
Д/' а /г
а 2 вЂ”... cos 2u вЂ” cos 2ио
p sinicosi
° ° ° ° ° °
(32)
а
За t вЂ” 1 (промежуток времени с момента определения эле-
ментов) примем время, соответствующее двум с половиной
оборотам. Тогда
U вЂ” Uo â€” 2,5 2~=15,9 рад

81
Траекторные ~гостоянные
Пусть ~ р. =1, а = 1,038, радиус i = 33'. Тогда
Qi 0,428f'= +1,7 10 рад есть амплитуда неопреде-
ленности, соответствующая 11 м.
Долгота узла прогрессивно уменьшается:
,Уа
2
вЂ” вЂ” вЂ” cos i(1 вЂ” cos 2u),
-3
(33)
2 . 1 вЂ” СОВ 2г~
вЂ” а cosi ~й.
р Е ~-з
(34)
Предполагая, .как и ранее, что орбита является круговой
с радиусом а=1,038, ~ р.=1, i=33', имеем
2
дД р. a cosi
(1 вЂ” cos 2и) а ' du,
(35)
дД а~
вЂ” вЂ” вЂ” (и вЂ” и)
дУ а'
О
cos 2и cos 2и,
+ cos i. (36)
Предполагая, что оба косинуса принимают экстремальные зна-
чения после двух с половиной оборотов, получаем
дЯ„
bQ =, f'= ~5,7 10 'рад,
что соответствует неопределенности в 360 я. Но это не
есть истинное значение неопределенности положения, вызван-
ное данной причиной. Вариация истинной долготы орбиты
1' = Q'(1 вЂ” cosi)
приводит к
Ы = hQ (1 вЂ” cosi)
и неопределенности порядка 60 я.
СЕЛЕНОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Поскольку баллистические траектории к Луне по своей
природе в действительности являются скорее геоцентриче-
скими, чем селеноцентрическими, большая часть представляю-
щих интерес постоянных вЂ” это геоцентрические постоянные.
Аппарат на баллистической лунной траектории находится
вблизи Земли сравнительно короткое время; следовательно,
единственно важными константами являются радиус Земли а
Зак. 698,

82
Уэстрои Яж. Б.
или гравитационная постоянная Й, и коэффициент второй
гармоники J.
Единственная селеноцентрическая постоянная, заметно
влияющая на попадание в Луну, вЂ” лунный параллакс II~.
Он определяется точно так же, как солнечный параллакс:
ае
IIg = вЂ” ',
a
где а, вЂ” экваториальный радиус Земли, а вЂ” среднее расстоя-
ние до Луны, П~ вЂ” лунный параллакс.
Величина неопределенности в значении лунного параллакса
может быть получена посредством дифференцирования выра-
жения (37):
ЬП& t;
П& t
В
Ьа
(38)
а
где
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ ЛУНЫ ')
Определение длины оси трехосного эллипсоида
Форма луны может быть хорошо представлена трехосным
эллипсоидом с длинами осей а~, bz, с~. Непосредственные
наблюдения, по-видимому, подтверждают эту гипотезу. На-
блюдения за физическими либрациями Луны указывают на то,
что моменты инерции относительно трех осей Луны неравны.
Ось с~ лунного эллипсоида совпадает с осью вращения
или полярной осью Луны, ось а~ указывает на Землю (если
не учитывать небольших либраций), а ось bz перпендику-
лярна первым двум и дополняет правую координатную си-
стему. Обычно моменты инерции относительно ocean а,
'} Содержанием этого раздела я обязан И. Александрову и
A. Лд,
' =+11 10 ~ и вЂ” =+26 10
ае а
(радиолокационные измерения). Если взять среднее квадра-
тичное значение, получим
вЂ” вЂ” = 12 10 и ЬП~ вЂ” вЂ” + 0,04".
ЬП
II
С
Неопределенность, найденная Кроммелином при обра-
ботке наблюдений кратера Местинг А, связана с вероятной
ошибкой 0,06" [6].

Траекторные иостоянные
л,, с~ обозначают через А, В, С соответственно. Джеффрис
вцчислил отношения А, 8 и С, которые, по-видимому,
являются наиболее точными [16] из известных до сих пор:
с вЂ” вЂ” 0,0006269+ 0,0000027 (39)
вЂ”вЂ” 0,0002098 + 0,0000022,
вЂ”вЂ” 0,0002081+ 0,0000090.
(40)
Величины А, В и С даются формулами
А= ~2 y2 gm
8= ~2 2 0m
С ' ~2 gm.
(41)
Чтобы найти А, В и С, надо знать как распределение плот-
ности, так и форму Луны (пределы интегрирования). Пред-
положим, что плотность постоянна по концентрическим эл-
липсоидальным слоям. Ее действительную форму пока что
будем считать произвольной.
Введем систему координат
Х
вЂ” = Z,=р sin 8cos),
а
вЂ” ' = Z, = pz sin 8 sin ),
а
7вЂ”
=. ~3 = pL cos ®'
а
Тогда ~i+%+Õç=pr. и лунный эллипсоид преобразуется
2 2 2 2
в сферу единичного радиуса. Принятое прежде условие
В то время, когда стало известно это значение отноше-
ния, было высказано предположение, что (В вЂ” А)/С может
иметь значение 0,000118+0,000051. Однако в 1957 г. Джеф-
фрис дал более точное значение этого отношения. Он осно-
вывался на данных наблюдений Яковкина [17]. Вычисления
Джеффриса дали два значения для (В вЂ” А)/С. Эта неодно-
значность является результатом некоторой разницы в интер-
претации данных. Значения, вычисленные Джеффрисом,
таковы:

Уэстром Яж. Б.
о распределении плотности означает теперь, что плотность
есть функция только р, массы Луны:
Интегралы в уравнении (42) теперь принимают вид
1
4
А = вЂ” и(осе с ) (b~~+ e~~) ) f (рс) ра Шрс,
0
4
В= вЂ” и(а b сс)(пас+ се) ] f(P ) Ра фс,
(42)
4
С= вЂ” (и b с )(a'+b') ) /(рс) р' Шр .
Поскольку во всех трех приведенных выше уравнениях фи-
1
сУРиРУет тот же самым фоумпаРаметР 1 = ) f (Р ) Ра дРс, мы
0
имеем
ас
2 2
2 .2'
~L+4
2 2
а вЂ” с
2 ) 2 '
а
В вЂ” А
(43)
С вЂ” А
Можно получить численное решение для а~, b~~, с~ бла-
годаря тому, что существует еще одно уравнение, включаю-
щее какую-либо из этих трех переменных.
Сравнительно простым способом получения такого урав-
нения является использование прямых наблюдений радиуса
Луны. Обращенная к нам сторона Луны содержит радиусы
bf и с~ (как и ранее, пренебрегаем либрациями). Точное
определение их значений представляет, без сомнения, три-
виальную задачу, которой в прошлом уделялось значитель-
ное внимание. Главная трудность связана с неправильностью
поверхности Луны, т. е. с наличием на ней больших гор и кра-
теров. Любое измерение дает некоторое среднее значение ~~
и с~. Если Луна вЂ” трехосный эллипсоид с малым эксцен-
триситетом, то мы можем сказать, что то, что наблюдается,

Траектооные постоянные
есть среднее арифметическое br и с . Средний диаметр по
ресселу, Дэгану и Стюарту [18]
Ь +с
= 1737,85+ 0,07 кя.
(44)
Уравнения (44) и (45) могут быть разрешены относи-
тельно а~, О и с через наблюдаемые величины (В вЂ” А)(С
и (C вЂ” А)/С. Имеется два решения, соответствующие двум
данным значениям (В вЂ” A)(C. В пределах вероятной ошибки
а~, b~, с~ получаются теми же самыми. Они равны:
а = 1738,57+0,07 кя,
bz вЂ”вЂ” 1738,21 «+ +0,07 кя,
с~ вЂ” 1737,49 «+ 0,07 кя.
Вычисление распределения плотности луны
Хотя форма Луны в основном определена вышеуказан-
ными значениями а~, b& t и сс ам ще н до на ти расп
деление плотности. Потенциал может быть выражен в виде
Д2т
ФО=
1 А~ 4
Ф2= вЂ” вЂ”, вЂ” IIaibc~c
где
Q = [а~ (ЗУ„, вЂ” 1) + Ь~ (3 У~, вЂ” 1) + с~ (ЗУ„вЂ” 1)]
3 р~2 рь dpñ вЂ” ~
Для постоянной плотности f (р,) = ~« „и
1
Далее, вычислим & t; ля видоизменен ой мод ли сжа
Луны. Согласно Джеффрису, распределение плотности внутри
сферической Луны радиуса b' c постоянным объемным моду-
лем сжатия, где градиент плотности вызван давлением внеш-
1 сохраняет прежнее значение, а У,, У, и U„â€” напра-
вляющие косинусы радиуса-вектора г в системе координат,
связанной с Луной. Ясно, что здесь f (р,) подчиняется усло-
вию нормировки

Уэстром Яж. Б.
них слоев на внутренние, таково:
r2
= то+0,13 1 вЂ” вЂ”,
(b')'
где r вЂ” - расстояние от центра, а ~о вЂ” константа, определяе-
мая из условия нормировки.'
~:О вЂ” ~,р,д„вЂ” О, 1 3 вЂ” = 3,29.
2
Для наших целей мы можем заменить r~/(b')2 на ря~, сде-
лав таким образом распределение плотности „эллиптически
симметричным".
Используя с = 3,29 вЂ” 0,13(1 вЂ” р.2), имеем
0,199.
ВЫВОДЫ
Можно принять следующую нормированную систему
единиц.
Единица массы: масса Луны т~ вЂ”вЂ” 73,43 10~" z.
Единица длины: длина большой оси трехосного эллипсоида
а = 1738,57 кя.
Единица времени: промежуток времени, определяемый
как т=k(t вЂ” to), где Й вЂ” луноцентрическая гравитационная
постоянная, равная 0,0579287 в используемой системе единиц.
Единица соответствует 17,2626 мин.
Теперь у нас достаточно информации для того, чтобы
найти С, момент инерции относительно полярной оси в нор-
мированной системе единиц:
С = ahfg (ac+ bc)
где
а = 0,200000 (для однородной Луны)
о = 0,199
(для сжатой Луны).
Отсюда
С= 0,399918 (для однородной Луны),
С = 0,097918 (для сжатой Луны).

Траекторные постоянньсе
Ц соответствии с этим
J =0,3671 ° 10
(для однородной Луны),
J& t; Ђ” Ђ” 0,1 4 °
Jq вЂ”вЂ” 0,3742 10
J2 вЂ” вЂ” 0,1242 ° 10
Яожно видеть, что при разных предположениях о распре-
делении плотности получаются существенно разные значе-
ния 1, и 1~; однако следует подчеркнуть, что для однород-
ной Луны о равно 0,2 с любой желаемой степенью точности,
в то время как о для модели, учитывающей сжатие, известно
с точностью до трех знаков. Тем не менее представляется,
что эта разница дает основания предположить, что а в случае
модели сжатой Луны имеет ту же точность. Это предполож»-
ние нужно для того, чтобы исследовать влияние притяжения
Луны в обоих (и, быть может, в других) случаях.
Физические постоянные Луны выражаются затем в норми-
рованной системе единиц:
а = 1,000000, д = 0,99Ъ793, с = 0,997653,
С = 0,6269 10 С = 0,2098
(для сжатой Луны).
С = 0,399918 (для однородной Луны),
С = 0,397918 (для сжатой Луны),
А~ вЂ” вЂ” 0,0579287,
J, ,вЂ” вЂ” 0,3761 10
(для однородной Луны),
J2 вЂ” вЂ” 0,1248 ° 10
Jq вЂ” вЂ” 0,3742 10
(для сжатой Луны).
J2 вЂ” вЂ” 0,1242 10
Яз других источников можно найти еще некоторые физи-
ческие постоянные.'
Ь вЂ” сидерическая вращательная скорость Луны,
равная 13,17636 град/сутки,
и т,е„„,
р вЂ” функция массы, равная """' 1,

Уэстром Дж. Б.
Р вЂ” период кругового спутника на расстоянии 1738,57 ~;д
от центра Луны, равный 108,464 л~иц.
ВЛИЯНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ НА ТРАЕКТОРИИ К ЛУНЕ
Таблица PQ
Отклонения точки попадания в Луну, обусловленные
неопределенностями в астрономических постоянных
Максимальное откло-
нение от расчетной
точки (км)
Используемое значение [1]
Постоянная
(1623,41 ~ i4) 10
(332 488 +. 43) т
(122888 + 39). 10 7 и
Значения, приведенные в эфемери-
дах, «~ 0,0154 сек
(6,378270+ 0,011 км)
15,7
0
0,030
т,~
П
8,52
87,80
ае
ТЕКУЩАЯ РАБОТА ПО УТОЧНЕНИЮ ПОСТОЯННЫХ
Выше мы показали необходимость уточнения значений
различных астрономических постоянных для нужд астронав-
тики. В определенных областях проводится некоторая работа,
однако общие усилия, предпринимаемые с этой целью, совер-
шенно незначительны.
СОЛНЕЧНЫЙ ПАРАЛЛАКС
Радиолокационные измерения солнечного параллакса
в Линкольновской лаборатории Массачусетского технологи-
ческого института и в Джодрелл Бэнке доказали возмож-
ность уточнения значения солнечного параллакса по крайней
мере на порядок величины по сравнению с прежними мето-
дами. Для проверки уже полученных предварительных резуль-
Для иллюстрации того, каким образом влияют различные
неопределенности на точку попадания в Луну, при расчете
лунной траектории с временем полета 3,5 суток вводились
различные ошибки. Полученные смещения точки попадания
даны в табл. VII.

Траекторные ~госчоянные
татов потребуются другие большие радиолокационные системы,
такие, как радиотелескоп в Шугар Гроув, Западная Виргиния.
Лилли и Брауэр из Йельского университета ведут под-
готовку к определению солнечного параллакса спектроскс-
пическим методом на 21-сантиметровой линии водорода.
этот метод может дать значения солнечного параллакса
с точностью, сравнимой с точностью первых радиолокацион-
ных измерений.
МАССЫ ПЛАНЕТ
Данные о значениях планетных масс весьма приближенны;
например, величина массы Марса, полученная из наблюдений
за его спутниками, сравнительно сильно отличается от вели-
чины, найденной по возмущениям астероидов. В этом столе-
тии уточнялись только массы Венеры и Сатурна.
Массы планет можно было бы существенным образом
уточнить, если применить ко всем типам наблюдений более
совершенные методы дифференциальной коррекции, включая
применение радиолокационных систем, использованных вместе
с большими вычислительными машинами.
ДИАМЕТРЫ И СЖАТИЕ ПЛАНЕТ
Проведенные в последнее время измерения свидетельст-
вуют о больших расхождениях в оценке диаметров планет
(например, для Венеры они составляют 300 км). Для сущест-
венного уточнения диаметров планет следует использовать
новые средства наблюдения, такие, как радиолокаторы, теле-
скопы, установленные на аэростатах и космических станциях.
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
С помощью данных, полученных при наблюдениях за
спутниками, было существенно уточнено большинство геоцен-
трических постоянных. Однако существуют большие неопре-
деленности в значениях радиуса Земли или гравитационной
постоянной и в данных, характеризующих верхние слои
атмосферы. Все эти величины можно уточнить при правиль-
ном применении существующих средств дифференциальной
коррекции. 'Гакже необходимо уточнить другие постоянные,
связанные с гравитационным потенциалом для того, чтобы

90
cV9c7 po3t Д~с. Б.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нerrick S., Westrom G. В., Мakemson М. W., The
„Astronomical Unit" and the „Solar Parallax" (в печати).
2. Н inks А. R., Reduction of 295 photographs of Eros made at
nine observatories during period 1900 November 7 вЂ” 15 with
а determination of the solar parallax, hfonthly Notices Roy
Astron. Soc., 64 (1904), 701 вЂ” 727.
3. J o n e s Н. S., Determination of the solar parallax from Eros
observations, Мет. Roy. Astron. Soc., 46, Part 2, 1941.
4. Br ou wer D. I., А new determination of the solar parallax from
the parallactic inequality in the moon longitude; II. Comments
on the masses of the inner. planets, Bull. Astron., 15, 1950,
165 вЂ 1.
5. Ada ms W. S., Some results with the Coude spectrograph of
Mount Wilson. Astrophys. J., 93, 1941, 11 вЂ” 23.
6. H e r r i c k S., В a k e r R. М. 1, Jr., H i l t o n С. G., Gravitatio-
nal and related constants for accurate space navigation, Proc.
of the Eighth International Astronautical Congress, Barcelona
1957, 147 вЂ” 235; Univ. Calif. (Los Angeles) Astron. Papers, 1,
"=97 вЂ” 338; American Rocket Society Prepriat, 297 вЂ” 557.
7. Н е у1 P. R., J. research Nat. Bur. Standards, 5, 1930, 1243.
8. В ir g e R. Т., Pepts. Progr. Phys., 8, 1941, 90.
9. Price К., Green P. Е., Jr. et al., Radar echoes from Venus
Science, 129, 1959, 751 вЂ” 753.
10. С а mpb e l l W. W., Айгоп. J., 15, 1898, 145.
11. Ch owitz В., P isch er I., Trans-American Geophysic Union,
37, 1956, 534; Abstract, 37, 1956, 339.
12. F i s c h e r I., А tentative world datum from geoidal heights
based on the Hough ellipsoid апй the Columbus geoid.
иметь возможность рассчитывать номинальные орбиты. Эффек-
тивная работа по уточнению конкретных постоянных требует
тщательного выбора способов наблюдений, расположения
станций, типов орбит, типа аппаратов и методики коррекции.
Можно показать, например, что измерения дальности и ско-
рости ее изменения оказываются гораздо более эффективными
при уточнении величины земного радиуса в лабораторной
системе единиц, чем измерения углов, проводимые с той же
степенью точности.

Траекторные постоянные
91
13. Yар!ее В. S., Вrutîn R. Н., Сràig К. Л., Rîmàn N. G.,
Radar echoes from the moon at à wavelength of 10 ст.,
Proc. 1В,'Е, 46, 293, 1958.
]4. В а kв r R. М. I., Jr., Make m son М. W., Introduction to astro-
dynamics, Academic Press, New York, 1960.
15. К u ip er G., The earth as à planet, University of Chicago Press,
1954.
16. 3effr eys H., Monthly Notices Joy. Astron. Soc., 117, 1957,
475 вЂ 4.
17. shako v kin А. А., General characteristic of the contour of the
moon. The free libration of the moon. Trans. of the IAU, vol.
Vill, University Press, Cambridge, 1952.
18. Russet Н. N., Dugan R. S., Stewart 1. Q., Astronomy,
2nd ed., vol. 1, 1945; русский перевод 1 изд.: P е ссол Г. Н.,
Q э ган Р. С., С тю ар т Д. К., Астрономия, т. I., ГТТИ, 1934.
19. Н err ick S., Astrodynamics and rocket navigation, Van Nost-
rand, New УогК (готовится к печати).

РАСЧЕТ И ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ
Дж. А. Уорд
Холломанская база ВВС, Нью-Мехико,
и Рэмингтон Рэнд Унивак, Нью-Иорк
Введение
Движение искусственного спутника Земли можно, разу-
меется, сравнивать с вращением Луны вокруг 3емли или
планеты вокруг Солнца. Однако различие между движением
искусственных и естественных спутников огромно.
1. Масштаб времени различен. Искусственный спутник
в течение недели совершит такое число оборотов вокруг
Земли, что для выполнения того же числа оборотов
вокруг Солнца Юпитеру потребуется 4000 лет.
2. Влияние несферичности Земли различно. Кинг-Хеле
указал, что это влияние в миллион раз сильнее сказы-
вается на движении околоземного спутника, чем на
движении Луны.
3. Околоземные спутники в значительной мере подвер-
гаются торможению атмосферой.
В этой статье мы ограничимся рассмотрением движения
преимущественно околоземных спутников. Изучением именно
этого типа орбит мы занимались в Исследовательном центре
по управляемым снарядам на Холломанской базе ВВС
в Нью-Мехико. В течение последних полутора лет по пору-
чению службы наблюдения за Космосом Кембриджского
исследовательского центра ВВС (Бедфорд, Массачусетс) мы
производили вычисление расчетных орбит первых искусст-
венных спутников. Наша работа проводилась главным обра-
зом на основе контрактов.
Один из контрактов был заключен с Ричской вычисли-
тельной лабораторией Технологического института в Атланте,
шт. Джорджия, с целью изучения. различных методов вычи-
сления орбит. Данная статья частично основана на сообще-
нии [5] сотрудников этой лаборатории.
B первой части настоящей статьи излагаются классиче-
ские астрономические методы вычисления орбит. Далее сле-
дует изложение методов прямого численного интегрирования.

93
Расчет и оптимизаи,ия траекторий
третьей части описываются несколько новых методов,
разработанных специально для вычисления орбит искусствен-
ных спутников.
Классические методы вычисления орбит
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Силы, действующие на любой спутник, вращающийся
вокруг некоторого центрального тела, определяют систему диф-
ференциальных уравнений, описывающих движение спутника.
Если начало ортогональной системы координат распо-
ложено в центре притягивающего тела, то эти дифферен-
циальные уравнения могут быть записаны следующим образом:
вЂ” К'Мх +
° вЂ” К Му
+ (1)
вЂ” К2cW z
~-з '~~ Э
где К2 вЂ” универсальная гравитационная постоянная, М вЂ” сумма
° °
масс тел, r вЂ” радиальное расстояние спутника, к означает
Рх/аР, à P, P и Р,вЂ” компоненты возмущающих сил.
Для планет центром притяжения является Солнце, а воз-
мущающими силами являются силы притяжения других планет.
Для Луны центром притяжения является Земля, а возмущаю-
щими силами вЂ” влияние несферичности Земли, притяжение
Солнца и ближайших планет. Для искусственного спутника
Земли возмущения обусловливаются влиянием несферичности
Земли, сопротивлением атмосферы и в незначительной сте-
пени притяжением Луны, Солнца и т. д.
Ньютон доказал, что при отсутствии возмущения уравне-
ния (1) могут быть аналитически решены и решение будет
определять некоторый эллипс. При движении вокруг Солнца
планеты лишь в незначительной степени отклоняются QT
подобных траекторий. Однако оказалось, что при наличии
перечисленных возмущений невозможно найти точные реше-
ния системы (1). Численное интегрирование очень трудоемко,
так что столетиями астрономы пытались решать уравнения (1)
с помощью каких-либо ухищрений.

Уорд Дж. А.
94
ицтОд энке [61
Типичный метод решения уравнений движения (1) был
предложен И. Ф. Энке около 100 лет назад. В этом методе
предполагается, что движение тела лишь слабо отклоняется
от кетлерова эллипса. Интегрируемыми величинами являются
здесь отклонения от эллиптического движения.
Пусть (х, у, z) вЂ” положение спутника в некоторый момент
времени t, à (x„ y„ z,) вЂ” положение фиктивного спутника,
движущегося под действием только центральной силы (задача
двух тел). Отклонение положения реального спутника
положения фиктивного спутника определяется разностями
( =х вЂ” х,, л=у вЂ” у„~ =z вЂ” z,. (2)
Подставив выражения (2) в уравнения (1), получим еистему
дифференциальных уравнений в новых переменных ~, ~, ~.
Если возмущения малы, то оказывается возможным свести
эту систему к формулам Энке
вЂ” (fqx ()+ P„,
г
(fqy вЂ” ~)+ P,,
~е
(fqz вЂ” ~)+~ ..
г
(3)
В некоторый момент времени tt положения действитель-
ного и фиктивного спутников известны. Для нахождения
положения действительного спутника в следующий момент
времени 1,+, нужно определить положение фиктивного спут-
ника при помощи законов Кеплера. Затем находится откло-
нение действительного спутника от орбиты фиктивного спут-
ника интегрированием уравнений (3) и добавлением получае-
мого решения к координатам фиктивного спутника. Этот
процесс продолжается до тех пор, пока различие между
положением обоих спутников не становится слишком боль-
шим. Затем новый эллипс может быть принят за опорный.
Поскольку в методе Энке интегрируются только откло-
нения от кеплеровой орбиты, его достоинство заключается
в том, что оказывается возможным увеличить размер шага
интегрирования. Это рекомендуется в работе [10] для вычи-
сления траекторий комет во время их движения вблизи

Расчет и оптимизаи,ия граекторий
солнца. Бейкер [1], Херрик и др. использовали это свойство
при вычислении орбит искусственных спутников Земли.
Недостатки метода Энке заключаются в том, что на ка-
ждый шаг интегрирования тратится больше времени, чем
в случае численного интегрирования уравнений (1). Поскольку
Орбита искусственного спутника значительно отклоняется от
~еплерова эллипса, метод Энке требует частой смены опор-
ного эллипса и, следовательно, теряется доля полезного
обремени интегрирования. К тому же вследствие трансцендент-
ности уравнения Кеплера его решение может привести к по-
тере точности в определении положения фиктивного спутника.
r sinu
cg
') В данной статье не показано, каким образом функции Р
I'~, Р~ и т. д., входящие в правые части уравнений в оскулирующих
Элементах, связаны с реальными силами. Поэтому мы отсылаем
читателя к работам [12].вЂ” Прим. перев.
МЕТОД ВАР ИА ЦИ И ПАРАМЕТРОВ [10]
Метод вариации параметров (или элементов) орбиты от-
личается от метода Энке тем, что здесь смена опорного
эллипса происходит на каждом шаге. Движение спутника
описывается системой параметров, которые при отсутствии
возмущающих сил оставались бы постоянными во времени.
Часто используемые параметры являются параметрами кепле-
рова эллипса. Тогда для того, чтобы найти изменения этих
параметров, нужно интегрировать возмущающие силы. При-
ведем одну из форм записи системы дифференциальных
уравнений ')
Я lr cos и
и.'1, 1 е2
r sinu
Ш1 apl â€” eã sin ~
d&l ;o rs n8 +, ~1 Ђ”
ае~'1 вЂ” е' Р ~ ~ а~1 вЂ” е'
(4)
вЂ” = вЂ” Fs (е+ cos Ь)+ F@,
dn Зпе 3п
~М р 2r
вЂ” = вЂ” вЂ” Раз1пв+ F вЂ” вЂ” F +и,
ае е Р а

Уорд Дж. А.
где 1 вЂ” наклонение кеплеровой орбиты, Р вЂ” долгота восхо.
дящего узла, (о вЂ” аргумент перигея, е вЂ” эксцентриситет, ивЂ”
среднее движение, М вЂ” средняя аномалия, а вЂ” большая полу-
ось, и вЂ” аргумент широты, О вЂ” истинная аномалия, F~, F~
и т. д. вЂ” функции возмущающих сил. (Вывод этих формул
можно найти в работе [5].)
Преимущество этой схемы заключается в том, что в нея
могут быть приняты большие шаги интегрирования, чем
в случае численного интегрирования уравнений (1).
Тот факт, что sin i и е находятся в знаменателе в двух
уравнениях, может вызвать значительные неудобства при
вычислении орбит, наклоненных под небольшими углами, и
орбит, близких к круговым. Кроме того, уравнения, исполь-
зуемые на каждом шаге интегрирования, очень сложны. Все
это приводит к увеличению затрат машинного времени и воз-
растанию возможности потерять точность.
Для того чтобы обойти некоторые из этих трудностей,
предложены различные изменения метода вариации параметров.
В методе Стремгрена [10] г, Q и и заменяются компо-
нентами векторов касательных и нормальных к эллипсу.
В методе Мертона [10] за независимую переменную
принимается вместо времени средняя аномалия.
В методе Оппольцера [10] за независимую переменную
принимается эксцентрическая аномалия.
Хотя в любом варианте метода вариации параметров можно
учесть сопротивление атмосферы, это добавление не является
естественным. Происходит это потому, что метод основан на
выводе потенциальной функции, а сопротивление атмосферы
является функцией скорости.
Имеются другие варианты метода вариации параметров,
используемые в вычислениях траекторий искусственных спут-
ников, однако иы присущи все перечисленные выше недо-
статки.
Метод вариации параметров используется в СССР.
Г. П. Таратынова [12] применила этот метод, приняв истин-
ную аномалию за независимую переменную. Она произвела
оценку влияния несферичности Земли, сопротивления атмо-
сферы и возмущений Солнца и Луны. Интегрирование про-
водилось с помощью метода Рунге вЂ” Кутта.
Метод Ганзена [10] использует цилиндрические коор-
динаты, отнесеййые к начальному положению оскулирую-

97
Расчет и оптимизация траекторий
,цей плоскости, причем время выбрано в качестве не-
зависимой переменнОй. При составлении дифференциаль'-
~b&g ;x уравне ий за перемен ые прин ты следую ие величи
Расстояние объекта от касательной плоскости, изменение
длины радиуса-вектора, обусловленное возмущениями (умно-
женное на начальную длину), изменение направления линии
апсид и изменение средней аномалии. Эта система численно
интегрируется. В книге Хергета [7] приведены формулы,
дающие возмущения в виде разложений в ряды Фурье.
Я этом случае интегрирование сводится к методике, приме-
няемой в гармоническом анализе. Подинтегральные выражения
малы и медленно изменяются, но формулы сложны.
Метод Ганзена требует два двойных и три простых ин-
тегрирования. Смена опорного эллипса здесь связана с боль-
шими трудностями, чем при использовании метода Энке.
Существует сомнение в том, что в общем случае точность
метода без видоизменений будет удовлетворительной, особенно
если учесть наличие методических ошибок. Автору известно,
что в исследовательском центре «Авангард» используется
видоизмененный метод Ганзена, но этот метод не опубли-
кован.
Численное интегрирование
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИИ [5]
Д-р Гаррет из Ричской вычислительной лаборатории вы-
полнил тщательно проверенное интегрирование орбиты кос-
мической капсулы без учета сопротивления атмосферы.
7 Зак. 598,
Все описанные выше методы вычисления орбит разработаны
с целью избежать численного интегрирования уравнений (1).
Однако каждый из предложенных методов включает в себя
численное интегрирование, и ни один из них не обеспечивает
большую точность, чем процесс прямого численного инте-
грирования.
Кроме того, каждый из методов получен в предположе-
нии, что орбита будет слабо .отклоняться от некоторого
фиксированного кеплерова эллипса. Явление регрессии линии
узлов спутника хорошо известно, но величиной периодиче-
ского отклонения, по-видимому, часто пренебрегают.

Уорд Дж. А.
Интегрирование методом Коуэлла с использованием восьмы~
разностей проводилось с шагом в 1 мин. На каждом тако~
шаге вычислялись значения оскулирующих элементов. Гра-
фики на рис. 1 вЂ” 5 показывают изменение эллиптических
параметров за один оборот. Можно заметить, что эксцентри-
ситет изменяется от 0,001702 до 0,002303, разность этих
величин 0,000603 составляет 30% от среднего значения.
Р и с. 1. Зависимость эксцентриситета от времени.
Наклонение изменяется на 0,8 дуговых минут, а узел пре-
цессирует на 9 мин. Однако перигей прецессирует на 22,5
градуса, а главная ось изменяется на 1,97 км.
Д-р Шерман [4] из лаборатории радиации 1(алифорний-
ского университета выполнил интегрирование для спутника
Авангард (1958 р2). Использовав седьмые разности и шаг
в 1,5 мин, он нашел, что эксцентриситет колеблется от
0,18868 до 0,19022 за 1 оборот. Разность равна 0,00154,
или 0,7%. В то же время наклонение изменяется от 34,2242'
до 34,2530', а разность составляет 1,7 мин за оборот. Это
показано на рис. 6 и 7 для двух оборотов.
В Холломане нами найдено, что эксцентриситет второго
советского спутника изменяется на 1,7% за оборот.
Эти изменения во много раз больше аналогичных изме-
нений в орбитах планет и Луны. У естественных спутников
0002МО
О ОООО
OO0ZZSO
0002Л70
ОООЛЯ
0002100
OO0ZOSO
~ 000ZOOO
~ 0001950
0001900
0001850
ОПОИОО
0001750
аоопоо
0 д
Ю 24 ЮГ 40 48 56 6~ Ю ао
дрдфЯ, мии

16 Д 32 &l ;0 ~ И 64 7г В
бремя, мин
Р и с. 2. Зависимость наклонения от времени.
8 16 Z4 Я 40 48 56 И 7Г ЯО дд
бремя. мин
Р и с. 3. Зависимость долготы восходящего узла от вре-
мени.
Л 5Z 40 4ä 5б 64 7Г 80 Я
бремя, мин
о 16
Р и с. 4. Зависи.~ость аргумента перигея от времени.
Рис. 5. Зависимость большой полуоси от времени.
ЗЗОг00
, злого
33'0100
~ 3~;0О,Ю
~ Я,0000
0
ZM,75
ГЯ,70
~ 256,65
К 2Я,80
256,55
ZN,50
2о5
Гбд
255
ф 250
245
240
2Л
О
6556,6
6556,5
655б,0
6555,7
6555,4
о 6555 1
6554,7
6554,4
б554,1
О
Д 16 24 Я 40 48 5б 6&
Bp8AlH. N&l
I,Î/875
/,0/87О
/,О/8б5
/,О/дбО
/,О/Я5
/,О/850
/,О/Я5
/,01840
/,О/И5
7Z ВО 88 '

100
Уорд Дж. Л.
вековые изменения больше, чем периодические изменения, и
происходят через промежутки времени, измеряемые годами,
Если принято предположение о том, что отклонения от
19050
f90Z0
кеплеровой орбиты малы, процесс интегрирования должен
контролироваться через близкие интервалы времени, чтобы
выяснить, в какой мере учитываются периодические осцил-
ляции.
МЕТОД КОУЭЛЛА
Имеется много работ, в которых предлагаются различ-
ные пути численного решения дифференциальных уравнений.
Холломане мы пользовались методом Рунге вЂ” КуттавЂ”
Хилла, который с успехом применялся при решении инже-
нерных задач. Однако мы установили, что OH не вполне
19010
!9000
1ВНО
Я~И
Е 18970
Е 189бд
~ó 18950
~ 18ЯЮ
~ И9З0
~& t; 18
~ВВ10
18900
18890
18880
18870
100бО
Q-05 сь
I
~-& t ~ - О :& t; ~
ж
( ) ( ) ~ 1 е~ ь~. ъ~ (~,] С~) ~с,] ~с~ ~~ [у~
Время, мин
Р и с. б. Колебания эксцентриситета.

101
Расчет и оптимизация траекторий
И2540
Z520
2500
2480
24бО
2140
2420
2400
~к
гало
2ЗбО
2540
2520
2500
2280
22б0
2240
Е-04 с~ ~ ~ 'ч- ~о ~ ~ ь~ ~г ~в ~с~ ~ ~ ~- ~ ~о
о ~ ~ ~ ~ ~ o
(& t; ~) С ~ ( ~) т ~ -» ( ,~ ,] , ~ ~
~) .
др~ ия, мни
P и с. 7. Изменения наклонения.
Методов интегрирования и установил, что метод Коуэлла,
использующий центральные разности, является наиболее точ-
ным. (Иногда этот метод называют методом Гаусса вЂ” Джек-
сона.) В Холломане мы применяли. метод, использующий
десятые разности.
Д-p Перлин [5] из Ричской вычислительной лаборато-
рии провел изучение ошибок с помощью сопряженной си-
стемы дифференциальных уравнений. Он нашел, что при
использовании десятых разностей ошибки метода пропорцио-
нальны (Ь,)'з. Им доказано, что после 540 шагов чйсленного
„одходит для решения уравнений (1) даже на машинах
g фиксированной запятой. Это справедливо для большинства
методов интегрирования. Д-p Гаррет изучил большое число

Уорд Дж. А.
102
интегрирования с вероятностью 99% можно утверждать, что
накопившаяся ошибка округления меньше 1/10а. Метод Коу.
элла используется в ортогональных координатах. Интегрир(~.
вание начинается из точки, определяемой фазовым вектором
(х,у,z,õ,y,z)
в некоторый момент времени 1~ 1, и вычисляются компонентц
вектора в момент ~~. Это метод центральных разносте~
с пересчетом.
Однако вместо вычисления таблиц разностей можно поль-
зоваться системой из 11 предварительно вычисленных поло.
жений.
Уравнения имеют вид
Оценка:
11
х=(Ь,)~('х+~',ах, ),
1
11
х,. = (di) ('х, y, + ~ б~х, y) .
1
Поправка:
10
х,=(А)~("х,+ ~ с~х, ~),
о
1о
»,. =~~~,) ('»; »+ ~~ d)»; )
о
где
l
У;+1~, вЂ” вЂ” Х,~'Х;
° °
х вычисляются из уравнений (1). Аналогичные формулы
можно написать для переменных у и z. Условные обозна-
чения и вывод формул такие же, как в работе [5].
В Холломане при программировании этого метода для
машины Унивак Сайнтифик 1103А требуется менее 100 ко-
манд. (Конечно, процедура ввода громоздка.) Астрономы-
классики избегали методов прямого численного интегрирова-
ния из-за того, что они требуют значительных затрат труда.
Однако современные вычислительные машины обладают и
необходимой „выносливостью", и скоростью. Некоторые
современные исследователи не удолетворены методом Коу-
элла из-за потери точности, вызываемой округлением и ме-

Расчет и оптимизация траекторий
103
~одической ошибкой. Очевидно, что это обусловлено мето-
дикой программирования. Для обычных инженерных задач
а~но точно записать на языке алгебры программу д~я вы-
числительной машины, переводимую последней в программу
с плавающей запятой. Однако для тщательного расчета ор-
бит необходима высокая точность, а метод Коуэлла может
обеспечить еще большую точность.
Для того чтобы удержать больше значащих цифр, в Хол-
ломане компанией Бродвью рисерч, Барлингем, Калифорния,
для уравнений движения спутника составлена стандартная
программа с фиксированной запятой.
Д-р Леланд Б. Каннингем из Калифорнийского универси-
тета предложил проводить вычисления таким образом, чтобы
х,, "х,, 'х, ~, (и аналогичные выражения для у и z) содер-
жали двойную точность. К тому же в f ах накапливается
двойная точность и производится округление перед прибавле-
нием к "х,.
Этот тип вычислений особенно прост при использовании
машины Ремингтон Рэнд Унивак 1103А, так как эти вычи-
слительные машины имеют 72-разрядный сумматор. Таким
образом, усложнив программирование на 5 Я, можно достичь
двойной точности вычислений. Как было замечено ранее, эта
программа требует менее 1ОО команд (плюс оценка диффе-
ренциальных уравнений); при этом ожидается увеличение
в скорости более чем в 300 раз. В методе вариации пара-
метров и других методах имеются неудобства, связанные
с малыми делителями, малыми наклонениями, малыми эксцен-
триситетами и т. д. Эти искусственные трудности возникают,
если предположить, что орбита близка к кеплеровой. При
прямом численном интегрировании в прямоугольных коорди-
натах с ними не приходится сталкиваться.
Выбор метода вычисления орбиты, наилучшим образом
приспособленного для конкретной вычислительной машины,
в огромной степени определяется использованием получаемой
информации. Для теоретических исследований, особенно вне
зоны действия сопротивления атмосферы, важна скорость
вычислений, а точность может играть вторестепенную роль.
~ Холломане нам предложили определить расчетную орбиту
второго советского спутника (1957B) и предоставили в наше
Распоряжение результаты почти 40000 наблюдений. Мы
хотели издать эфемериды, которые давали бы положение

Уорд Яж. А.
104
спутника с возможно большей точностью при пятиминутны~
интервалах. Кроме того, удобно вычислять положение в ор.
тогональных координатах, а затем преобразовывать в широту
долготу и высоту. Таким образом, метод Коуэлла оказался
наилучшим. В дальнейшем мы намереваемся применять вре
менные интервалы в 1 мин.
Оптимизлция
Для вычисления расчетных орбит нам был нужен метод,
который позволял бы оптимизировать орбиту после большого
числа наблюдений.
Пусть вектор (5) приблизительно определяет вектор фа-
зового пространства в некоторый начальный момент времени t~T,
где Т вЂ” некоторый временной интервал, который включает
некоторое число наблюдений О„,б„, . Численным интегриро-
ванием уравнений (1) вектор (5) вычисляется в моменты на-
блюдений в пределах временнбго интервала Т. Для каждого
рассчитанного положения вычисляемая величина Q„,„„„
является ожидаемым значением наблюдения. Пусть
Х (Онаблюд. O„,числ.)
будет суммой квадратов разностей. Желательно подобрать
(5) так, чтобы F было минимальным. Для этой цели необ-
ходимо найти OF/дх и другие производные. Обычный метод
состоит в суммировании по всему интервалу Т с заменой х
на х+Лх для того, чтобы вычислить OF/дх. Поскольку
подобная операция может быть проведена для всех 6 эле-
ментов (5), то для ее выполнения потребуется много вре-
мени.
Чтобы избежать этого, Э. Л. Девис и д-р Дж. P. Гар-
рет [51 из Технологического института, Атланта, шт. Джорд-
жия, получили аналитические выражения для частных произ-
водных. Хотя формулы Девиса не проверены на опыте, не
исключено, что они ускорят процедуру сглаживания кривой.
Насколько нам известно, формулы Девиса являются впервые
опубликованными явными аналитическими выражениями для
частных производных функций F и, по всей вероятности,
представляют значительный шаг вперед.

105
Расчет и оптимизация траекторий
Новые методы
Как было указано во введении, методы интегрирования,
Разработанные для нужд астрономии, не подходят для рас-
чета движения искусственных спутников. В настоящее время
в этой области проводятся исследования. В этом разделе
будут рассмотрены некоторые из разрабатываемых новых
методов.
МЕТОД ВИНТИ [13]
Используя сплющенные сфероидальные координаты, д-р
Дж. P. Винти получил решение уравнения Лапласа. Если это
решение использовать в качестве потенциальной функции
в уравнении Гамильтона вЂ” Якоби, то можно разделить пере-
менные в этом уравнении. Вид этой функции может быть
согласован с более точными оценками гравитационного по-
тенциала Земли. Таким образом, задача о движении спутника
может быть сведена к квадратурам.
Мне известно, что этот метод программировался в Рич-
ской вычислительной лаборатории Технологического инсти-
тута шт. джорджия, и там находят, что полученные резуль-
таты превосходны. Однако эта теория не учитывает сопро-
тивления атмосферы, что ограничивает применимость метода.
МЕТОД БРАУЭРА [11]
Q-ð Яж. Брауэр из Йельского университета разработал
специальный метод, в котором используются переменные
Яелоне. Он свел задачу к вычислительной процедуре, в кото-
рой применяются вторые гармоники.
Для того чтобы облегчить вычисления, уравнения разде-
лены на вековые, длиннопериодические и короткопериодиче-
ские члены. Описание вывода и список формул даны
в „Notes of the Summer institute in Dynamical Astronomy".
Уравнения приведены в том порядке, в котором проводились
вычисления, приведено даже преобразование к ортогональным
координатам. В заключение говорится: «Эти формулы дают
Положение искусственного спутника, когда периодические
возмущения определяются членами порядка первой степени J,
а вековые возмущения вЂ” членами порядка второй степени Л&g

106
Уорд Дж. А.
На нашем симпозиуме сообщалось, что этот метод бы~
запрограммирован для вычислительной машины и что резуль.
таты вычислений очень хороши. Однако из того варианта
метода, который известен автору, видно, что в этом методе
не предусмотрен учет влияния атмосферы.
МЕТОД ГАРФИНКЕЛЯ [6]
Q-ð Б. Гарфинкель решал задачу другим путем. Пусть ~б
будет действительный (истинный) гравитационный потенциал.
Положим
V=Vo+Vl
и выберем Voтак, чтобы V был мал, à V=VO можно было
проинтегрировать. Получающееся в результате решение не
зависит от всех вековых возмущений. Он выбирает
вЂ” М ЗК(г1пг 0 вЂ” cos i)
О r + a(1 вЂ” e2)rã °
3
3К 1 вЂ” вЂ” sin'i
Л=1вЂ”
дг (1 рг} !г
МЕТОД КИНГ-ХЕЛЕ [8), [9]
Д-р Кинг-Хеле из Исследовательского центра британских
ВВС, Фарнборо, Англия, предложил еще один подход. Он
предполагает, что орбита близкого к Земле спутника является
кривой, похожей на эллипс, лежащий в плоскости П, кото-
рая вращается вокруг земной оси некоторым нерегулярным
образом. На протяжении всей работы он предполагает, что
плоскость П наклонена под постоянным углом а, который
соответствует максимальной широте, достигаемой спутником
(см. рис. 8).
и в заключение пишет, что „это выражение приводит к наи-
более простой возможной орбите, которая не зависит от
всех вековых возмущений". Эта орбита определяется с по-
мощью эллиптических интегралов. Д-р Гарфинкель про-
должает исследование, выводя уравнения, которые дадут
периодические поправки к этой орбите. Им еще не опубли-
кован метод, позволяющий учесть влияние сопротивле-
ния атмосферы.

107
Расчет и оптимизация траекторий
Первый порядок е,
Второй порядок е2 или J,
Третий порядок Je,
Четвертый порядок J2, е4 или О,
где е вЂ” эксцентриситет, 1 â коэффициент второй гармоники
и Q вЂ” коэффициент четвертой гармоники.
Ллоскпсть 0
Орбита спугпника,
не лежащая
в плослости fl
Система координат, используемая при анали-
решении задачи вычисления орбит спутника.
„узла"; I вЂ” наклонение плоскости П к экваториальной
1 вЂ” точка весеннего равноденствия для 1960 г:,
N'ON вЂ” линия „узлов".
Рис. 8.
тическом
~ вЂ” долгота
плоскости;
В приведенных далее решениях принято:
ф вЂ” независимая переменная; это угол в плоскости П из
центра Земли от максимальной широты спутника до
действительного положения спутника;
) вЂ” угол в плоскости П от точки с максимальной широ-
той до перигея (тогда ф вЂ” ) есть истинная ано-
малия);
Р вЂ” долгота восходящего узла;
r вЂ” радиальное расстояние от центра Земл 1 до спутника;
R вЂ” экваториальный радиус Земли;
gR~ cos2 а
) Г
постоянная.
Р
Автор дает решения для случаев учета величин различ-
ного порядка малости.

108
Уорд Яж. А.
Второе ') приближение:
а вЂ” постоянная,
Я =.ЮЯ2cos а
1
вЂ” = L 11+ е cos() вЂ” (3)+ JVl,
(5 cos2 а вЂ” 3) sin2 а cos2 ф
2 б
Яля третьего и четвертого приближений а остается по-
стоянным, а в формулах для 2 и 1/г увеличивается число
членов. Приводится также формула для изменений р.
В этой теории не предусмотрен учет сопротивления атмо-
сферы. К тому же спутник может иногда и не находиться
в плоскости II, которая считается постоянно наклоненной
к плоскости экватора.
МЕТОД БРЕННЕРА [4]
2 = Qs+ Л cos1ая, + 1то~+1)ыз,
1=10+Ли +Оы5,
где Л вЂ” независимая переменная, М+ вЂ” вЂ” угол в П от вос-
ходящего угла до спутника, 1ц вЂ” среднее наклонение,
J вЂ” коэффициент 2-й гармоники, 0 вЂ” коэффициент 4-й rap-
') Под первым приближением подразумевается орбита кони-
ческого сечения. вЂ” Прим. перев.
Q-p Яж. Л. Бреннер из Станфордского исследователь-
ского института в работе, выполненной по контракту с Хол-
ломанской базой ВВС, развил метод Кинг-Хеле. Он исполь-
зует ту же самую идею о движении эллипсовидной кривой
в плоскости Il, которая пересекает экватор в 2 и накло-
нена на угол I, который Бреннер предполагает изменяю-
щимся (см. рис. 8). Необходимо подчеркнуть, что, как и
в методе Кинг-Хеле, плоскость П не является плоскостью
оскулирующего эллипса, поскольку она не содержит вектора
скорости спутника (см. рис. 8). Однако в методе Бреннера
спутник всегда находится в плоскости O. 2 и I определяются
алгебраически.
Формулы Бреннера, описывающие плоскость II, слишком
сложны, чтобы было возможно привести их здесь. QHH
имеют вид

109
Расчет и оптимизация траекторий
моники, ы,вЂ” явно заданные функции Л, J и 0. Яля дви-
~кения в плоскости П имеется формула
вЂ” = 1+ е cos (шЛ вЂ” Л )+./ша+ Пят,
С
I
ОБСУЖДЕНИЕ
С е б е х е й и: В докладе не упоминалось о методе д-ра Брауэра.
1~окладчик сказал, что это явилось результатом недосмотра, но ведь
»от метод был опубликован.
Если рассматривается движение без сопротивления, то мы рас-
полагаем методикой Брауэра и можем использовать ее. Она не
где с вЂ” константа, г вЂ” радиальное расстояние спутника,
~ вЂ” константа, Ло вЂ” константа, ы вЂ” явная функция, близкая
к единице, ш6, ш вЂ” явные функции I, Л, 1 и D.
Поскольку плоскость П не является плоскостью оскули-
рующего эллипса и кривая в плоскости П не является эллип-
сом, из формул Бреннера вытекает несколько следствий,
которые следует Отметить.
2 и I изменяются совсем иначе, чем в случае оскули-
рующего эллипса. Разность I вЂ” I~ много меньше, чем в клас-
сическом случае; 2 меньше колеблется, чем в классическом
случае.
е постоянен для всех орбит (если отсутствует сопроти-
вление атмосферы). Сопоставьте этот факт с тем, как изме-
няется эксцентриситет оскулирующего кеплерова эллипса
(рис. 1 вЂ” 7). Предполагается, что этот член будет изменяться,
когда сопротивление атмосферы будет учитываться теорией.
Мо вЂ” постоянная. Изменение движения перигея учиты-
вается функцией ы; ы близка к единице и почти постоянна.
Метод Бреннера еще не запрограммирован для вычисли-
тельной машины с целью проведения тщательной проверки. Он
не учитывает сопротивления атмосферы. По-видимому, это
наиболее перспективный метод, который обладает многими
преимуществами перед другими методами. Было бы весьма
полезно запрограммировать ero и сравнить с другими методами.
Эта статья не является исчерпывающим обзором. В лите-
ратуре приводятся и другие методы.
Мне бы хотелось закончить статью обращением к чита-
телям проводить больше исследований методов вычисления
орбит околоземных спутников. Задача эта трудна, но реше-
ние ее явится достойным вознаграждением.

110
Уорд Яж. A.
очень сложна и более или менее отвечает предъявленным требо
ваниям.,Яалее, если рассматривается движение при наличии сопро
тивления атмосферы, то можно весьма продуктивно использовать
метод Энке или метод вариации параметров. Однако использование
последнего метода сопряжено с большими трудностями.
У э с т р о м: При расчете движения с учетом сопротивления
атмосферы методом вариации параметров никаких затруднений не
возникает. Вы просто прибавляете вызываемое аэродинамическими
силами ускорение к другим членам, учитывающим возмущения.
Сделать это не труднее, чем при использовании методов Коуэлла
или Энке; это в точности то же самое.
P еп лик à с м ест а: Кроме круговых орбит.
У э с т р о м: Д',-р Херрик предложил для случая круговых орбит
и малых наклонений другой набор параметров. Существует разли-
чие между интегрированием прямым методом и тем, что исполь-
зуется в методе Энке и других классических методах.
Преимущество схемы метода возмущений перед прямым чи-
сленным интегрированием состоит в том, что вы интегрируете диф-
ференциальные уравнения, в которых значения производных много
'меньше, чем в схеме Коуэлла. Именно в этом преимущество, а не
в том, каким методом интегрирования вы пользуетесь.,Я-р Бейкер
пользовался орбитой при учете сопротивления как опорной и ис-
пользовал в качестве возмущения гравитационное поле.
Ф и т т с Компания,дженерал Моторс субсидировала изучение
методов расчета орбит в одном иностранном университете. Иссле-
дователи используют при вычислении траекторий операторы Ли.
B результате должен получиться аналитический способ приближен-
ного решения общей задачи и тел. В Парижской обсерватории
применили этот метод при вычислении орбиты восьмого спутника
Юпитера. Примерно через четыре месяца будет завершено сравне-
ние с методом Коуэлла.
Xолл: :Я,-р Уорд, не могли бы вы дать некоторые численные
оценки того, насколько совпадают результаты метода Кинг-Хеле
или метода Бреннера с результатами прямого интегрирования?
У о р д: Я не знаю, программировался ли кем-либо метод Кинг-
Хеле. Возможно, это было сделано, но я просто не осведомлен
об этом. Что касается метода Бреннера, то у меня нет при себе
его результатов. Он будет рад сообщить их вам. Это д-р,джоэль
Л. Бреннер, Станфордский исследовательский институт, Мэнло Парк,
Калифорния.
X о л л: Благодарю вас. Следующий вопрос носит несколько
посторонний характер. Я интересуюсь методом д-ра Херрика, о ко-
тором упоминал д-р Уэстром. В этом методе не используются малые
делители. Не могли бы вы сказать о нем несколько слов?
У э с т р о м: Мы используем два других параметра: е cos co
и е sin а, и используем их в большей степени, чем е и ж. При рас-
чете околокруговых орбит появляются затруднения, связанные с ма-
лостью эксцентриситета и, следовательно, с неопределенностью по-
ложения перигея, но когда они входят в виде упомянутого произ-
ведения, никаких трудностей не возникает.
С е б е х е й и: Впервые это сделал Пуанкаре.

Расчет и оптиаизаиия траекторий
Х е р р и к: Я хотел бы знать, удается ли вам сохранять точ-
ность при расчете околокруговой околоэкваториальной орбиты этим
методом?
У э с т р о м:,Яля такого случая имеется другой набор пара-
метров который я не упоминал.
К л е м е н с: Это совсем просто. Л,ля нулевого наклонения вы
прямо используете sin i sin Я, sin i cps Q.
П а й н с: Нам надоело рассматривать специальную систему
координат кзждый раз, когда кто-нибудь испытывает небольшое
затруднение, и мы стали рассматривать эту задачу с точки зрения
физики. Мы решили, что в действительности нет ничего плохого
в угле наклонения 0' или 65', нет ничего плохого в круговой,
эллиптической или гиперболической орбите. Причина затруднений
лежит в математическом аппарате. Поэтому мы взяли физический
Hà6îð констант, которыми существенно являются начальное поло-
жение и начальная скорость, и образовали весьма эффективную
систему параметров. Следовательно, каждая отдельная трудность
исчезает и мы имеем только одну совокупность элементов. К сожа-
лению, люди решили, что эллипс обладает каким-то особым, даро-
ванным богом правом на существование, а это неверно. Единственно
важными факторами являются положение и скорость, и если вы
используете эти величины, то не возникнет никаких затруднений.
Я не в состоянии сейчас выписать уравнения, но можно иметь одну
;систему координат, в которой все системы интегрируются последо-
вательным образом и не нужно преодолевать все эти трудности.
Л,ругое замечание, которое я хочу сделать, относится к схеме
Энке. Я думаю, что прелесть схемы Энке заключается на самом
деле в том, что, поскольку она определяет положение тела через
линейную комбинацию алгебраически определяемой величины и
проинтегрированной величины (путем использования надлежащим
образом выбранного значения возмущения и соответствующей смены
опорной орбиты), можно полностью избавиться от ошибок интегри-
рования. Однако при каждой смене опорной траектории возникает
ошибка.
Мы можем добиться, чтобы это число изменялось в небольших
пределах. Но поскольку речь идет об ошибке интегрирования, мы
на практике можем физически устранить ее испытаниями этого
типа и полагаем, что это истинное преимущество метода Энке.
Б р е й к у э л л: В исследованиях, связанных с программой
спутников Дискаверер, нам удалось избежать численного интегри-
рования при помощи использования решения в замкнутой форме,
подобно предложенному Кинг-Хеле. Мы также пользуемся выра-
жениями в замкнутой форме для учета сопротивления атмосферы.
Это делается, как и у Гарфинкеля, с помощью функций Бес-
селя.
У о л л м а н: Мы пользуемся интегрированием по методу
Адамса вЂ” Мультона с контролем ошибки в 5-м порядке. При ско-
рости расчета 200 оборотов за час машинного времени он позво-
ляет учитывать для спутника на круговой орбите с высотой 240км
изменение общей его энергии на 1/10' часть за 100 оборотов.

112
Уорд Дж. А.
Г а т т е р м а н: Я предлагаю, чтобы все участники симпозиума
описали применяемые ими методы и прислали эти записи д-ру Хелви
к крайнему сроку 10 января 1960 года.
Ф л е й с с и г:,Яля своих нужд мы разработали упрощенный
метод вычисления траекторий к Луне и межпланетных траекторий.
Этот метод описан в работе Брауна и Флейссига (В r o w и С. А.,
Р1е i s s i g К., Simplified space guidance system analysis, Advances
in Astronautical Sciences, Proc. of the AAS Fifth Annual Meeting,
December 1958, Plenum Press, New York).
ЛИТЕРАТУРА
1. В а k e r R. М. L. and others, Efficient precision orbit computa-
tion techniques, Arflerican Rocket Society Semi-Annual Meeting,
June 8 вЂ” 11, 1959, San Diego, Calif.
2. Benton М., Artificial satellites. А bibliography of recent lite-
rature, P. 1, 1956, Jet Propulsion, 28 (1958), 301, P. 11,
1957 вЂ” 1958, Jet Propulsion, 28 (1958), 399.
3. В r en n er J. L., Bibliography for satellite orbital computations,
Stanford Research Institute, Menlo Park, Calif.
4 Brenner J. L., Fulton R., Latta G. Е., Sherman N.,
Weisfe1d М., Methods for satellite orbit calculation, theory
and applications, Stanford Research Institute, 1959, Menlo Park,
Calif.
5. Currie J. С., Davis Е. L., Garrett J. R., Perlin 1. E.,
W r а у J. W., Satellit( orbit determination and error analysis
procedures, Engineering Experiment Station, Georgia Institute
of Technology, Atlanta, Georgia, 1959.
6. G ar fi n ke l В., On the motion of à satellite of an oblate planet,
Report 1018, July 1957, Ballistic Research Laboratories, Aber-
deen Proving Ground, Maryland.
7. H e r g e t P., Computation of orbits, published by the author,
1948.
8. К i n g - H e l e D. G., Effect of the earth' oblateness on the
orbit of à near satellite, Proc. Roy. Soc., А, 247 (1958), 49 вЂ” 72.
9. К~ ng- H e l e D. G., Gi l more D. М. С., Effect of the earth' s
oblateness on the orbit of à near satellite. Technical Note
GW 475, October 1957, Royal Aircraft Establishment, Farnbo-
rough, England.
10. Н. М. Nautical Almanac Office, Planetary co-ordinates for the
years 1960 вЂ” 1980, Н. М. Stationery Office, London, 1958.
11. Notes on the summer institute in dynamical astronomy, Yale Uni-
versity, July 1959.
12. Three Russian papers (см. УФО, 63 (1957), вып. 1а).
13. Ч i n ti J. P., А new method of solution of unretarded satellite
orbits, 1. Res. Nation. Вигеаи Standards, 63В (1959), № 2,
105 вЂ” 116 (русский перевод: В и и т и l(ar. П., Новый метод
определения орбит спутников в пустоте, сб. Механика.
№ 6 (70), 5 вЂ” 19, 1961).

Расчет и оптимизация траекторий
КОММЕНТАРИИ
Màê-Он тайр
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ ФИРМОЙ ГРУММАН ЭЙРКРАФТ
Модифицированный общий метод интегрирования
Адамса
Фирмой Грумман был разработан и используется метод
численного интегрирования, обладающий значительной общ-
ностью. Первоначально он предназначался для решения систем
дифференциальных уравнений, правые части которых содер-
жат разрывные и быстро меняющиеся возмущающие функ-
ции. При разработке метода стремились также к тому, чтобы
он был быстрым, позволял легко изменять шаг интегриро-
вания и просто осуществлять ввод данных, но эти допол-
нительные цели были второстепенными. В результате этот
метод больше подходит для расчета полета ракеты на актив-
ном участке, чем на участке свободного падения.
Среди испытывавшихся стандартных методов были метод
Рунге вЂ” Кутта (как второго, так и четвертого порядка), метод
Милна, видоизмененный метод Эйлера и метод конечных раз-
ностей. Было доказано, что метод Рунге вЂ” Кутта четвертого
порядка является наилучшим (поскольку он не зависит столь
существенно от результатов интегрирования на предыдущем
шаге), но связан с большими затратами времени при расчете
систем, описываемых сложными дифференциальными уравне-
ниями. Используя разложения в ряды тейлора, удалось полу-
чить метод оценки вЂ” уточнения (в дальнейшем оказалось,
что он является не чем иным, как модификацией метода
Адамса), который сравним с методом Рунге вЂ” Кутта по точ-
ности, но требует значительно меньше вычислительного вре-
мени для систем уравнений, встречающихся при конструиро-
вании самолетов и снарядов. Следует упомянуть, что метод
Рунге вЂ” Кутта быстрее приводит к цели и является более
точным для гладких решений, но задачи этого типа в прак-
тике фирмы являются скорее исключением, чем правилом.
Этот метод был запрограммирован в виде стандартной под-
программы для ИБМ 650 и позднее для ИБМ 704 [1].
Уравнения для оценки и уточнения имеют следующий вид:
8 Зак. 598,

Уорд Дж. А.
Оценка:
X„" Х +aX + "(X
Уточнение:
Х„",', = Х„+ hX„+ вЂ” ", (Х,'„., Х„'),
(2)
где штрих обозначает дифференцирование по времени.
Эта процедура начинается с предсказания значения Х„~,
по уравнению (1); затем при помощи заданных дифферен-
циальных уравнений оцениваются величины первых производ-
ных, имеющих вид
Хп+1=f (Xï+Ü t+ a).
После этого Х„+, уточняется посредством уравнения (2).
Если восходящая разность в уравнении (1) первоначально по-
лагается равной нулю, то результатом является приближение
Хп+-1 = Хп+ ~Хп.
()
Смешанная точность
Ф~
В последние годы в результате исследований в области
траекторий снарядов и спутников еще больше выявились
В этом находит свое отражение одно свойство модифициро-
ванного метода Адамса, состоящее в том, что процесс ре-
щения можно начинать автономно. В начале решения, конечно,
вводятся ошибки, но их можно свести к минимуму, если на
первых нескольких циклах использовать малый шаг.
Посредством довольно простой процедуры изменения
интервала можно регулировать величину шага интегрирова-
ния в соответствии с заранее заданными пределами точности.
Это выполняется при помощи сравнения оцененного и уточ-
ненного значений на каждом шаге вычисления. Если разность
этих значений превосходит некоторый допустимый предел,
то интервал уменьшается вдвое. С другой стороны, если
разности малы, то программа удваивает шаг, чтобы ускорить
процесс вычисления. Таким образом, машина интегрирует
уравнения шаг за шагом, причем величина интервала выби-
рается настолько большой, насколько это совместимо с тре-
бованиями точности. (дополнительную информацию можно
найти в работе [11.)

115
Расчет и оптимизация траекторий
ХХ,ХХХХХХ
0 0,0 ОООХХ
?'
Это ясно показывает, что любая ошибка округления
будет, очевидно, находиться в низшем разряде члена Х„+,.
иногда число циклов интегрирования возрастает, ошибка на-
капливается в более высоких разрядах, что уменьшает зна-
чимость конечного результата. Если, однако, эта единствен-
недостатки, свойственные всем методам численного интегри-
рования: речь идет о влиянии погрешностей метода и ошибок
округления. Методические ошибки могут быть в некоторой
степени уменьшены включением в уравнения разностей членов
высшего порядка; их влияние может быть также ослаблено,
если взять меньший шаг интегрирования. Первый возможный
способ обычно ограничен емкостью памяти вычислительного
устройства и трудностью получения производных высших
порядков. Второй ведет к увеличению накапливающейся
Ощибки округления, поскольку уменьшение размера шага
увеличивает число интервалов. Возможным решением этой
проблемы является использование увеличенной (двойной,
тройной и т. д.) точности для всех арифметических операций.
Поскольку увеличение точности требует использования
весьма значительного объема памяти машины и машинного
времени, было проведено рассмотрение траекторных задач и
в результате получена новая методика (смешанной точности),
которая требует лишь небольшого увеличения времени вычи-
сления при значительном выигрыше в точности. Основная
идея, заложенная в эту схему, состоит в том, что использо-
вание увеличенной точности ограничивается критической
областью или областями, где ошибка округления оказывает
наибольшее влияние. Это, конечно, бывает там, где вычи-
сляются малые разности больших чисел, как, например,
в случае приведенных выше формул оценки вЂ” уточнения.
Со значениями Х„складываются малые добавки, определяе-
мые членами, содержащими шаг интегрирования h. Если
предположить, что первоначальная точность требовала вычи-
сления восьми значащих цифр для Х„, имеющего вид
ХХ,ХХХХХХ, и добавка О,ООООХХХХХХХХ, то сло-
®ение с округлением будет выглядеть следующим образом:

Уорд Дж. А.
ная операция выполняется с двойной точностью:
ХХ,ХХХХХХХХХХХХХХ
00,0000ХХХХХХХХОО
ХХ,ХХХХХХХХХХХХХХ
то ошибка округления может быть в разряде, отстояще~
на 8 разрядов от последней значащей цифры Х„+,.
Таким образом, при той же самой точности можно выпод-
нить значительно большее число циклов интегрирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. M c I n t y r e А. 1., МАИС вЂ” А numerical solution for ordinary
differential equations, Report СК 59-7, Computing Section,
Research Dept., Grumman Aircraft Engineering Corporation,
June 22, 1959.
Брейкуэлл
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ,
ПРИМЕНЯЕМОЕ В ПРОГРАММЕ СПУТНИКОВ ДИСКАВЕРЕР
Имеются семь основных параметров:
aо вЂ” начальная большая полуось;
вЂ” начальное значение эксцентриситета, умноженное на
косинус аргумента перигея;
~о вЂ” начальное значение эксцентр иситета, умноженное на
синус аргумента перигея;
вЂ” время первого прохождения восходящего узла;
1 da
с относительная скорость эволюции большой
ц ~Ц~)
полуоси за оборот;
вЂ” наклонение орбиты;
20 вЂ” начальное значение прямого восхождения восходящего
узла.
Зависимые параметры:
1/
e = Я+ ~~~) ~' вЂ” начальное значение эксцентриситета;
2~
lp =ао(1 вЂ” ep) вЂ” начальное значение параметра;
IIp вЂ”вЂ” агс cos вЂ”;= are з1п вЂ” вЂ” начальное значение аргумента
&l ;о
8р ~ю
пер игея,

117
Расчет и оптимизация траекторий
д' =2arctg
1+
Еб»П 1б
вЂ” Ц вЂ эксцентрическ
аномалия первого положения восходящего узла;
= е (1 вЂ” е ) вЂ” R ! вЂ” ише i sin' Ii~) вЂ” приближенное
р,вЂ” o o 297
значение начальной высоты перигея, где R вЂ” эквато-
риальный радиус Земли;
Ь
Я = вЂ” ' вЂ” оценка атмосферной шкалы высот вблизи перигея;
5,55
'~еб
х
О
На угловом расстоянии () вдоль орбиты от первого поло-
жения восходящего узла имеем:
с~
а =по 1 вЂ” 2 вЂ” большая полуось;
е = ео &g ; 2 эксцентрисит т, д и I&g ; вЂ” ф
Io x2K
Бесселя от мнимого аргумента;
= Iio+ J вЂ” 6 2 вЂ” вЂ” sin i вЂ” аргумент перигея, где коэф-
яг 5
lo 2
фициент сжатия J 1,62 )~ 10 ~;
рг
2 = 20 вЂ” J вЂ” 0 cos ~ вЂ” прямое восхождение восходящего
2
lo
узла;
1 = а (1 вЂ” е2) вЂ” параметр;
E =6 вЂ” р вЂ” 2arctg
е в1п (0 вЂ” $)
1 + )~ 1 вЂ” е'+ е сов (0 вЂ” ()
ческая аномалия.
вЂ эксцентри-
Положение спутника и время вдоль орбиты зависят от 9
следующим образом:
l
радиальное рас-
1+ е cos (О вЂ” Ii) вЂ” вЂ” 1 вЂ” »и'i cos 20
6
стояние;
= arc sin (sin i sin 6) вЂ” склонение;
Я+ arc tg (cosi tg 6), если cos 6 ) 0
а
Я+ ~+ arc tg (cos i tg 6), если cos 6 & t
мое восхождение,
вЂ” пря-

Уорд Дж. А.
Х (E вЂ” е sin E) вЂ” (Ея, вЂ” ео sin Ея,)вЂ”
вЂ” вЂ”.) вЂ” sin i'sin 2() вЂ” вЂ” с~ вЂ” время
2 '
3
12 l02 8~
(0 вЂ” универсальная гравитационная постоянная и М, вЂ” Macca
Земли).
Параметры a, ~, ... являются не мгновенными кеплеро-
выми оскулирующими элементами, а некоторыми средними
элементами в смысле Роберсона [1], а также Кинг-Хеле [2].
Наши формулы получены при условии пренебрежения чле-
нами порядка ej. Влияние несферичности тогда проявляется
более наглядно. Во-первых, несферичность вызывает обычные
вековые изменения р и 2; во-вторых, посредством измене-
ния аномалистического периода она влияет на время; и,
в-третьих, ею обусловливаются короткопериодические коле-
бания как г(8), так и t(8).
Учет сопротивления атмосферы производится еще проще...
Предполагается, что большая ось уменьшается с малой, но
постоянной скоростью, которая подлежит определению.
Вследствие этого (приблизительно) постоянная в течение
периода скорость убывания, обусловленная несферичностью,
ведет к исправлению времени, пропорциональному 62. Между
тем эксцентриситет убывает со скоростью, зависящей от
скорости убывания большой оси и шкалы высот атмосферы
вблизи перигея. Для достаточно малых эксцентриситетов это
соотношение (приблизительно) имеет вид
de 1 (х)
da 1о (х)
(ср. с уравнениями (6) и (8) в статье Гарфинкеля [3]).
Определение семи основных орбитальных параметров «а
основе радарных измерений производится следующим образом:
а) радарные измерения преобразуются в сглаженное
геоцентрич еское положение в некоторый момент, близкий
к середине участка сканирования; б) семь основных парамет-
ров дифференциально уточняются по методу взвешенных
наименьших квадратов для всех предыдущих и последующих

Расчет и оптимизация траекторий
119
ЛИТЕРАТУРА
1. pober son R. E., Orbital behavior of earth satel)ites, P. II,
J. Frank1i'n Inst., 264, № 4, 1957.
,'?. К ing- H e l e D. G., The effect of the earth' s oblateness on the
orbit of à near satellite, Technical Note- GW 475, Royal Air-
craft Establishment, Parnborough; October 1957.
3. б à r f i n k e l B., On the life-time of an artificial satellite, Astron. J.,
63) № 1264, 1958.
средних точек". Настоящая схема взвешивания изотропна
&g ;о направлен ю и ес каж ой сред ей то ки соответств
количеству „хороших" радарных данных, используемых для
определения. Изотропия схемы взвешивания устраняет
л обую связь между определением параметров 1 и Яа, т. е.
плоскости орбиты, и определением других пяти параметров.
процесс дифференциальной коррекции сокращается при
использовании приближенных аналитических выражений (спра-
ведливых при малом эксцентриситете) для частных произ-
водных положения спутника по семи основным параметрам.

МАНЕВРЫ В КОСМОСЕ
А. P. Тан г ей
Отдел научно=исследовательских работ Рэдией шн
инкорпорейтед, Орландо, Флорида, CLLIA
ВВЕДЕНИЕ
,цо самого последнего времени астродинамик занимался
в первую очередь анализом существующих в природе орбит
и их возмущениями, вызываемыми другими естественными
телами. С появлением баллистических снарядов, спутников,
лунников и межпланетных аппаратов основное внимание стали
уделять орбитам аппаратов, созданных человеком, которые
могут быть „возмущены" силой, иной, чем гравитационное
притяжение. Такой силой .является тяга двигательных систем,
находящихся на космических аппаратах для выполнения
маневров в космосе.
В широком смысле маневр в космосе можно определить
как любое изменение баллистической орбиты. В основном
существуют два типа маневров в космосе: предусмотрен-
ные и непредусмотренные. К предусмотренным относятся
следующие виды маневров: а) программа изменения траек-
тории, выполняемая баллистическим снарядом на -активном
участке с целью минимизировать потери на сопротивление
атмосферы; б) переход с траектории взлета на орбиту спут-
ника; в) промежуточные изменения траектории, требующиеся
для того, чтобы во время взлета перейти из плоскости
запуска в плоскость желаемой орбиты или плоскость траек-
тории ухода для выполнения задания в межпланетном про-
странстве; г) уход с планетных орбит для межпланетных
путешествий; д) специальная задача встречи одного орби-
тального аппарата с другим, находящимся на той же самой
или иной орбите, и маневры на конечном участке, которые
являются обращениями задач а), б), в) и д). Для осуществле-
ния полета с возвращением к какой-либо планете важен
специальный класс маневров, так называемые „пертурбацион-
ные маневры", состоящие в разгоне аппарата гравитационным
полем планеты при его проходе вблизи планеты. Лоуден [1 вЂ” 4]
и Миеле [5], [6], используя вариационные методы, внесли

Маневры в космосе
121
значительный вклад в оптимизацию многих из перечисленных
выше маневров. В статье Q. Хока (см. этот сборник,
стр. 163 вЂ” 176) приводятся данные о некоторых последних
работах в этой области.
Несколько иным классом маневров являются траектории
непрерывной тяги. Имеются опубликованные работы Миеле [7],
Венни [8], 1Яяня [9] и Левина [10]. Специальный случай
передвижения с помощью солнечного паруса рассматривался
[арвином [11], Форбсом [12] и Hay [13]. Кроме того, имеются
некоторые новые работы; на них мы остановимся в даль-
нейшем. В этой области еще многое предстоит сделать,
прежде чем появится четкое представление о динамических
характеристиках. За исключением особых программ тяги
(например, таких, которые получаются для случая давления
солнечного излучения), уравнения траектории с непрерывной
тягой не получаются в замкнутой форме; для их решения
нужно использовать численные методы.
Второй основной класс маневров в космосе составляют
непредусмотренные маневры, включающие коррекцию оши-
~дк траектории. Маневры этого класса лучше назвать кор-
ре~етиррющими маневрами, поскольку большинство из них
будет ожидаться на основании теории вероятности и должно
планироваться, если необходимо успешное выполнение
задания. Нет сомнений в том, что коррекции траектории
главным образом потребуются при межпланетном полете, но
о»и также будут нужны при подъеме на орбиты и для ста-
билизации определенных орбит. Например, коррекции будут
необходимы для поддержания требуемой устойчивости 24-ча-
совых спутников и навигационных спутни~&lt; в. Во вр мя м
планетного полета ограниченная точность системы наведения
обусловливает необходимость коррекции траектории во время
взлета на средней стадии полета, с тем чтобы воспрепятст-
вовать накоплению больших ошибок около планеты-цели
(устранять которые двигательной установке будет тяжело) и
исправить конечные участки полета, когда аппарат прибли-
жается к планете-цели. Ошибки конечного участка будут
возникать из-за ошибок наведения на средней стадии полета,
планетных возмущений, не принимаемых в расчет навигацион-
ной системой, и неопределенностей в значениях солнечных
планетных постоянных. Со временем необходимо будет
p'странить и эту последнюю причину появления ошибок.

122
Тангей А. Р.
Имеется несколько аналитических методов расчета кор
ректирующих маневров. Первый из них, который можцо
назвать методом „начальных условий", связан с вычислением
нового идеального вектора скорости всякий раз, когда прр
изведено измерение положения. Это означает, что раз известно
положение, то, используя координаты желаемого места встречи
с планетой-целью, можно вычислить скорость, необходияу~о
для достижения планеты-цели. Значение скорости в теку-
щий момент либо измеряется, либо рассчитывается, если
известна зависимость координат от времени до этого момента.
Требуемое изменение скорости вычисляется и создается.
Этот процесс может дополнительно осложняться необходи-
м остью определения новой совокупности координат и момента
времени для планеты-цели, что дало бы возможность мини-
мизировать расход топлива на коррекцию. Он также будет
включать в себя учет ошибок системы наведения и чувстви-
тельности траектории к ошибкам с целью рассчитать про-
грамму коррекции, которая являлась бы оптимальной с вероят-
ностной точки зрения.
Эти более тонкие приемы, вероятно, нереальны для кос-
мических аппаратов ближайшего будущего, но они, несом-
ненно, будут достойны рассмотрения в случае больших кос-
мических кораблей, где экономия каждого процента запаса
топлива будет приводить к повышению вероятности успеха
или к значительному снижению стоимости. Поэтому в настоя-
щее время следует проводить аналитические исследования
этого типа маневров для того, чтобы обеспечить информа-
цией перспективные разработки будущих космических аппа-
ратов.
Для расчета корректирующих маневров были разработаны
более простые методы, использующие коэффициенты ошибок.
Здесь коэффициенты связаны для каждого момента времени
вдоль траектории с приращениями скорости, требующимися
для того, чтобы вернуться на курс, ведущий к столкновению
с планетой-целью. Величины приращений скорости являются
функцией от измеренных ошибок в местоположении. Значи-
тельная работа в этом направлении была проделана Лэнингом
и Бэттином [14], Кирстедом [15] и в последнее время Лоу-
деном [16].
Поскольку рассмотрение всех аспектов маневров в кос-
Йосе заняло бы слишком много места, мы ограничимся лишь

123
Маяевры в космосе
кратким введением в три раздела, посвященные некоторым
,&lt;орректирую им маневр м, манев ам встр ч и зад
о непрерывной тяге.
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ МАНЕВРЫ
Весьма важной частью анализа траекторий является на-
хождение осуществимых методов коррекции орбит. Часто
используемый метод состоит в том, что весь путь перелета
от планеты старта до планеты назначения делится сначала
на три отдельные области, ограниченные „сферой действия"
планеты. Сфера действия [17] определяется как геометри-
ческое место точек вокруг планеты, для которых возмущаю-
щая сила Солнца по отношению к притягивающей силе
планеты уравновешивает возмущающую силу планеты по
отношению к притягивающей силе Солнца. Поскольку масса
планет относительно мала, геометрическое место точек близко
к сфере, окружающей планету. Можно показать, что радиус
этой сферы действия приближенно дается следующим урав-
нением:
rà ж вЂ” r8~
где r, вЂ” радиус сферы действия, и вЂ” масса планеты, т,вЂ”
масса Солнца, r, вЂ” расстояние от Солнца до планеты.
Таким образом, полная траектория перелета может быть
аппроксимирована тремя участками орбит ограниченной за-
дачи двух тел, которые сопрягаются на сферах действия
планеты старта и планеты прибытия. Для точного анализа
траектории надо учесть влияние возмущений. Тем не менее
при анализе ошибок достаточен упрощенный подход, исполь-
зующий кеплеровы дуги. Например, геоцентрическую орбиту
внутри сферы действия Земли можно вычислить, полагая
Землю главным притягивающим телом, а Солнце рассматри-
»» как возмущающее тело. Требования к корректирующим
МВНеВраМ можно определить, рассчитав чувствительность па-
раметров орбиты на ее конце к ошибкам в начальных усло-
Виях. Эти зависимости могут быть вычислены, таким образом,
на каждом этапе траектории: геоцентрическом, гелиоцентри-
ческом и конечном планетоцентрическом, а затем их можно
Об ьединить в общую зависимость, связывающую пром®~

124
Тангей А. P.
у планеты-цели с ошибками в конце активного участка
у планеты старта.
На рис. 1 показан пример кривой чувствительности
к ошибкам для участка подъема, или геоцентрической траек-
тории. На нем вычерчена производная направления ухода от
Земли (обозначаемого в виде асимптотического угла) по
скорости в конце активного участка как функция относи-
тельной - высоты конца активного участка. Значение r„= 1
соответствует высоте в 480 км над Землей, или 6854 ~,ц
от центра Земли. Значения скорости Г, на границе сферы
действия даны для различных траекторий полетов к Марсу
и Венере, как и обозиачено на .рисунке. ~ измеряется
в км/сек. На рис. 2 показана производная направления
ухода по угловой ошибке в конце активного участка при
тех же самых условиях, что и на рис. 1. На рис. 3 по-
казана производная скорости ухода по скорости в конце
активного участка для разных значений скорости ухода.
Производная скорости ухода по угловой ошибке в конце
активного участка равна нулю. Эти результаты получены
только для плоского случая и применяются к оскулирующей
плоскости траектории ухода. Ошибки в направлении вектора
скорости относительно радиуса-вектора, которые имеют место
в конце активного участка, приводят к наклону плоскости
траектории ухода, что создает на границе сферы действия
ошибки как в положении, так и в направлении движения.
На границе сферы действия, где соединяются участок ухода
и средний участок траектории, ошибки взаимно влияют друг
на друга. Яля получения гелиоцентрической начальной ско-
рости VI, надо, как показано на рис. 4, сложить скорость
ухода аппарата V, с орбитальной скоростью Земли
Заметим, что, вообще говоря, ошибки в величине ~ влияют
как на величину, так и на направление вектора V~, подоб-
HbIM же образом дело обстоит с ошибками в направлении V~.
При вычислении полной производной следует принимать
в расчет эту взаимозависимость.
Была проделана значительная работа по изучению чув-
ствительности к ошибкам средних участков траекторий от
Земли к Марсу и Венере в плоском и пространственном
случаях. Значения производных вычислялись от точки, зна-
чительно удаленной от Земли (скажем, полмиллиона миль), до
точки,,расположенной наиболее близко к планете назначения.

Ю
Ю
Ю
Ю
И
°
Ю
й
O
1
~
f I
Ю Ф

~ 0
Х О
О 2:
Щ
й;
CQ
О
О
ra 4
С~
Я
и
~О ~-
й 0
g o
О 4
й)
О 'Ж
~ О
Ж
4
й~
ВЯ
."' °
Ж
(.) Щ
ООМ
2: f
О
~о~
v
Q
ф' ° 0
Ж
Ж
o ~
p u
И О
:И:~
й g
v v
Ж
Ж
Ф П
Д
1=~
О
gg М
m ~
g o
О ~
1-~ Р'
° '~Ъ
О
C
С,1 O
е 2
о g
~М
Я. а

~
Ю
Ф
'Ф
й
йг
Ж
~'Ъ
.9
~
v
~Ъ
О
О
Ж
ф °
~о
о~
" (!
Ж
М
~е ~~а~
(.) р~
О О
о
Р~
~ й
о ~
ао
(ц С4
~( О
О
()
'ъ
Ж
~
М~"
~
~4
Ф~~
щ/ ~е
С4
О
М
OC
Ж
Ф(
О
Ж
~
О
С4
Е
Щ
°
Ж
С4

128
Тангей А. P.
В работе Магнесса и других авторов [18], посвященной
исследованию плоской задачи, предлагаются круговые ком.
планарные орбиты и принимаются в рассмотрение толь~д
две компоненты ошибки в скорости. Майклуэйт и др. [19]
опубликовали некоторые результаты для пространствен-
ного случая. В их работе рассматриваются реальные ор.
биты планет и вычислен конечный промах в планету на-
значения для ошибок во всех трех компонентах скоростд
в конце активного участка. Их главный вывод состоял в том,
P и с. 4. Сложение векторов на сфере
действия.
МАНЕВРЫ НА КОНЕЧНОМ УЧАСТКЕ
Рассмотрим далее задачу о коррекции в конце проме-
жуточной фазы полета или в начале конечного участка.
Ка рис. 5 показаны типы маневров, которые могут понадо-
что использование производных, полученных для плоского
случая, может давать результаты, в В вЂ” 10 раз отличающиеся от
того, что происходит на самом деле в пространственном случае.
Если от конца активного участка до момента попадания поль-
зоваться двумерным анализом, то, несомненно, придется пре-
небречь многими практическими проблемами, такими, как
влияние местоположения стартовых площадок на выбор траек-
торий ухода, радиус безопасности и действительную скорость
подхода к планете назначения. Qo сих пор не опубликовано
достаточно данных, которые позволили бы провести неза-
висимое сравнение.

Маневры в космосе
g& t; ит ся ок ло це и. За исключен ем ех случа в, ко
елательно прямое попадание, траектория сближения будет
Обь~чно иметь точку С наименьшего удаления, где необходимо
Импульс знергии
д
0ассшпяние минимального
6
7рпек
личес-
а
садки
Траекп~~ри
с нулев
qnopocm
птью.
Ри
и с. 5. Посадка на планету и орбитальные траектории.
9 Зак. 598
будет реверсировать тягу для того; чтобы перейти на орбиту
вокруг планеты назначения. Чем больше тормозной импульс,
тем, очевидно, меньше будет орбита, до тех пор пока пе-
Ригей ее не заденет поверхности планеты. Что касается
&l ;о ррек ии оши ки конечн го учас ка траектор и, то ва
Рассмотреть как промах, так и ошибку в величине скорости
откос
сительно планеты назначения. Геометрия наведения на
~ОК
онечном участке показана на рис. б.

130
Тангей А. P.
На границе сферы действия планеты, на которую при.
бывает аппарат, траектория входа составляет с радиусом-ве~.
тором r, угол ). Промах определен как наименьшее удалена
ый
P и с. 6. Геометрия траекторий на участке конечного на-
ведения.
аппарата от планеты в том случае, если его путь не искри-
вляется массой планеты в гиперболу. Эта величина не пока-
зана на рис. 6, но она используется различными авторами [15],
[18], [19] для того, ~тобы упростить расчет чувствительности
траектории к ошибкам.

М
Ж
Ж
О
н
С4
еф
Ж
З
~з
~
&l
3
Ю
~
~
1г~
Ъ- ~О
&l ;О
&gt;~& t l&l
Ж
Ж ~
p o
u Q~
O ~
Р~~.'
~) О~~
hC
24
к ~~
Ж
н
~~ ~Ж
Ж ~
.~ 20
Сй
~ .~.
М ()
Ж (~ф
[-е р
О
С4 ~
Ж
М
о~
С4

И4 я ипс~u п. г.
Если корректирующая тяга должна быть приложена
границе с еры действия, то необходимо определить угол
расстояние r и величину и азимутальное напр авлени~
AV 6
е Ф °
Э
. ° ° ° - - ° °
° ° Ф ~
° ° а °
° ° ° J
° ° в
° °

Маневры в космосе
11риращений скорости и требуемой точности наведения, а также
H оптимального числа коррекций. На рис. 7 показаны величины
ребуемых приращений скорости в зависимости от угла
подхода ),, для различных величин скорости подхода У,.
Быть может, интересно обратить внимание на рис. 8,
где показан радиус захвата как функция скорости сближения
на границе сферы действия для Земли, Марса и Венеры.
-)ти кривые описывают изменение эффективного радиуса
планет в зависимости от скорости сближения и указывают
на увеличение точности, которая требуется для достижения
попадания, с ростом относительной скорости У,.
Оказалось, что в задаче наведения на конечном участке
удобно использовать в качестве независимой переменной
радиальную компоненту скорости входа У„и строить по
ней величины различных параметров наведения, поскольку
остаточная ошибка после первой коррекции ЬГ, не зависит
QT трансверсальной составляющей скорости в r .
Аппаратура наведения, которая предлагается для этого
исследования конечного участка, включает в себя оптическую
систему для установления направления г на планету назначения
и для измерения угла 2е, стягиваемого диском планеты. Она
также включает скоростные гироскопы для определения
плоскости, содержащей трансверсальную компоненту ско-
рости, и измерения угловой скорости линии визирования
планеты. Располагая этой информацией, можно вычислить
величину первой скорости коррекции 4V,, основанную на
желаемом значении г наименьшего удаления гиперболы
входа от планеты.
Для случая только одной коррекции в r, на рис. 9
показана точность измерения угловой скорости (Ьи), требуе-
мая для достижения расстояния r, равного 483 км с ошиб-
кой, не превышающей 40 км для различных значений точ-
ности оптической системы (Ье). На рис. 10 изображена
зависимость Ьв от V „требуемая для достижения той же
точности в r, если на расстоянии r, выполняется вторая
коррекция. Здесь показаны результаты для двух значений r~
а на рис. 1 1 представлен тот же случай для г = 1 60 000 км.
~аметим, что для тех же самых значений У„и Ье коррекция
при меньших r приводит к значительному снижению тре-
бУемой точности измерения угловой скорости.

1,80
080
ОЮ
4z
48 g4
~аг КМ/СГЮ
о,O
р и с. 9. допустимая ошибка в угловой скорости как Фуикиия
радиальной компоненты скорости и ошибок слежения за планетой
для одной коррекции в г~.

2,5
1,0
ов 6,4
~~,-, ам/сею
р и с. 10. допустимая ошибка в угловой скорости как функция
радиальной компоненты скорости и ошибок слежения за пла-
HtTQH для двух коррекций: первая коррекция при г, = г~,
вторая при r&g

20,0
77,5
15,0
7,5
2,5
7,5
08 7,б
9б
б,4
V«, ым/сеп
P и с. 11. допустимая ошибка в угловой скорости Ли как фуш&l
ция радиальной компоненты скорости и ошибок слежения за
планетой для двух коррекций: первая коррекция при r, = r~,
вторая при r, = 160 000 кл~-

137
Маневры в космосе
На рис. 12 и 13 показаны приращения скорости ЬУ~,
требуемые в r,, как функции Г„и Ье для случаев, соот-
ц тствующих рис. 10 и 11. Здесь нужно отметить, что при-
рацение скорости увеличивается с уменьшением г~, что и
следовало ожидать.
ЗАДАЧА КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ МАНЕВРОВ
[]ри комплексном подходе к задаче проектирования меж-
планетного аппарата необходимо принимать во внимание все
изменения скорости, требующиеся в течение полета. Выбор
траектории должен быть таким, чтобы минимизировалась
сумма всех приращений скорости, а не каждое из них в от-
дельности. Часто случается, что приходится чем-то жерт-
вовать, чтобы достигнуть выигрыша в целом. Например,
при гелиоцентрическом угле отправления в 90' требуется
минимальная скорость бросания для осуществления перелета
Земля вЂ” Марс. Однако оказывается, что относительная ско-
рость космического аппарата у Марса в этом случае не
является минимальной, и сумма импульса ухода и импульса,
требующегося для перехода на круговую орбиту у планеты-
цели, в действительности будет меньше, если стартовый угол
выбран немного меньшим, чем 90'.
Но применительно к корректирующим маневрам основная
задача состоит в том, чтобы, помимо изучения характеристик
траектории, получить информацию для конструирования
системы наведения и двигательной установки. Вообще говоря,~
ошибки системы наведения могут быть оценены только в ве-
роятностном смысле. Следовательно, промах в планету-цель
или отклонения от заранее намеченной траектории также
могут быть выражены только на языке теории вероятностей.
Nu знаем, что количество топлива, требующееся для коррек-
ции в течение данного полета, будет зависеть как от реаль-
»» ошибок наведения, так и от чувствительности траектории
к этим ошибкам. Возникает вопрос, каким образом следует
предусматривать эти ошибки? Сколько раз потребуется npo-
83Âåñòn коррекцию в течение ухода от Земли, средней и
конечной фаз полета7 Когда следует выполнять коррекцииг'
наконец, каким может быть „компромисс" между точ-
а~стью наведенця и необходимым количеством топлива~

оов~о
00бОд
00576
00544
ООЯГ
004äÎ
понг
ооее
.~ ОООЙ
' 1
. ООЛ3
ОООО
00288
00258
00224
00193
001М
00112
00080
ооон
o,в 52 64 Юб
~аг, ЛМ/СЕК
P и с. 12. Изменение скорости при второй коррекции как функция
радиальной компоненты скорости и ошибок слежения за планетой:
первая коррекция при r, = r~, вторая при r~ вЂ”вЂ” 320000 еА
и 480000 км.

0,17б
g 180
1144
O.''1Z
& t; 0
o,ò
0064
0048
оотг
О 016
o,â
96
б,4
~аг
р и с. 13. Изменение скорости при второй коррекции как функция
Радиальной компоненты вектора скорости и ошибок слежения за
планетой: первая коррекция при г, = г~, вторая при г, = 160000 км.

P и с. 14. Геометрические соотношения в анализе ошибок траектори~~
при межпланетном полете. 1 вЂ” орбита планеты-цели, 2 вЂ” гелиоце1~-
трическое положение старта, 3 в начальное положение оскулиру~о-
щей плоскости.

Маневры в космосе
На эти вопросы дает ответ анализ, основанный на вероят-
„остных методах. Задачу нужно рассматривать в трехмерном
пространстве и использовать реальные характеристики пла-
„етных орбит. На рис. 14 показан рассматриваемый случай.
жоао
12Ì0
9600
М00
УОО
о,ь
l
1,0
P и с. 15. Вероятная ошибка в рас-
стоянии от Солнца до аппарата
в зависимости от отношения времени
вдоль траектории к общему времени
перелета.
Применяется сферическая система координат с эклиптикой
качестве опорной плоскости. Центром системы является
~-олнце; нулевое направление долготы 1О ориентировано на
~«~ó весеннего равноденствия, а положительное направление
Оси ~ вЂ” в полюс эклиптики. Широта отсчитывается от пло-
скости эклиптики. Проводя вероятностный анализ, мы сна-
находим неопределенность в положении и скорости
аппарата в любой точке его траектории.

Гангей А. Р.
142
Любая траектория из группы изучаемых может быть пред.
ставлена, как здесь показано, линией, проходящей из Р~ в Р,
Желаемая траектория лежит на краю светлой области, изобра.
женкой на рис. 14.
0,019
0,0!о
0,0Q'
P и с. 16. Вероятная ошибка в дол-
готе а), в зависимости от относитель-
ного времени вдоль траектории.
Для каждой траектории вычисляются необходимые на-
чальные условия, такие, как Vo (скорость), ~ц (угол, соста-
вляемый скоростью с радиусом-вектором) и ао (наклон орбиты
перелета к эклиптике). Здесь главный интерес представляет
анализ ошибок; влиянием возмущающих тел пренебрегаем
как величиной второго порядка малости.
Решая систему б уравнений, можно найти в любой мо-
мент t положение и скорость аппарата в зависимости от
начальных положения и скорости, Затем путем вычисления

Маневры в космосе
g я я ц е и и И ч а с н ы и р о и з в о д н ы и з у р а в н е н и й, с в я з ы в а о щ и х
„®ло&gt;ке и и скоро т с услови м в то ке стар а, на
я ся ошибки в положении и скорости аппарата, обусловлен-
ные ошибками в начальных условиях (в точке О). Они были
получены в замкнутой форме с помощью уравнений Кеплера.
Ц006
ц005
0,002
000I
Р и с. 17. Вероятная ошибка в широте а~
в зависимости от относительного времен~
вдоль траектории.
Если задаться вероятными ошибками в ао, Цз и Vo и под-
ставить их значения в уравнение Гаусса, являющееся при-
ближением первого порядка для дисперсии, то можно вы-
числить в любой точке Р~ отклонения каждого параметра
положения и скорости в зависимости от неопределенностей
в положении и скорости в предыдущей точке.
Складывая величины вероятных ошибок в координатах а~, а,
и ~, можно образовать общую о, определяющую некоторый
вквйвалентный сферический объем, характеризующий неопре-
деленность в положении аппарата. Реальный объем вероятной
ошибки может быть несферическим,

144
Та,нгей А. P.
Теперь обсудим результаты одного примера. Рассматри.
ваемая траектория определяется следующими условиями:
~„=175' (гелиоцентрический угол перелета),
Т,, = 258,25 суток (общее время полета),
ЬТ = 5 суток (промежуток времени вычисления),
~с = 23,8', ус вЂ”вЂ” , ~с вЂ” вЂ” 1,015 астр. ед.,
~2 = 198,8', ~р2 = 1,4', г~ = 1,575 астр. ед.,
~0=90', У =0,0188 астр~ед. в сутки,
a вЂ” вероятная ошибка в угле бросания, равная 10 4 рц~
до
a вЂ” вероятная ошибка в скорости бросания, равная
V0
10 астр. ед. в сутки,
~„, вЂ” вероятная ошибка в ао, равная 10 4 рад.
На рис. 15 показана вероятная ошибка в радиально~~
расстоянии а, в зависимости от ЦТ (отношения времени от
во
Ь
4S
%
ь
дб
t/T
P и с. 18. Радиус эквивалентного объема
вероятной ошибки а как функция отно-
сительного времени вдоль траектории.
момента старта к общему времени перелета). Существует
максимум ошибки, соответствующий приблизительно 0,4 t/T.

(45
Маневры в кос,~чосЕ
6 изоб ажена ошибка в долго те а по отношению
рис &g ;6 а
а
м значению как „у
~ ~нкция времени по траек-
номинально у
ны ошибки в расстоя-
ошее и иближение для величинь
Ории. XOPo~e~ ~P
лучить путем умножения
„ц,1, предст
0$
~~т
Рис. 19. Вероятная ошибка в вели-
чине скорости о~, как у нкция от-
носительного времени д
в оль т аек-
тории.
а ис. 17 показано
на расстояние r p
r аппа ата от Солнца. а р
мости от величины,
в ши оте ~ в зависимости
р 9
ени пе елета. На рис.
Пропорциональной времени и р
ва атов комбинаций a„ra&
го и r~,
~рафик корня иа суммы квадр
кото ой эквивалентной сферы верояг-
определяющий радиус некоторо
ни ЦТ. Эта
к нкцию относительного времени
ной ошибки а как функцию
озрастании радиуса
~ривая свидетель у
ельств ет о монотонном возра
оложения на идеаль-
шибки во~ру
к г номинального положен
траектории. Своего макси
максимального значе

14б
Тангей А. Р.
вительно 80 000 км) радиус достигает у предполагаемой точк„
перехвата в момент t T.,
Для аппроксимации объема ошибки в любой момент морокко
также определить некий эллипсоид ошибки. Уравнение это~о
эллипсоида имеет следующйй вид:
(Лг)' (rhea)' (rhcp)'
где С~ = (1,573)~ для вероятности 50 Я, а Ьг, гЫ и гЬ р
ошибки в координатах.
0,006
0.004
~ О0ОЗ
° \
ь
Ъ
ооог
Р и с. 20. Вероятная ошибка в направлении
скорости а как функция относительного
времени вдоль траектории.
Можно показать, что полуоси эллипсоида равны Са,
в направлении r, Cruz по нормали к r в оскулирующей
плоскости и Сга в направлении, нормальном к оску-
лирующей плоскости.
Объемная ошибка дает некоторую информацию о влия-
нии ошибок наведения; однако более полезным параметром
являлся промах, или расстояние от цели до точки наиболь

147
Маневры в космосе
~цег
го приближения, поскольку наряду с относительной ско-
pос
Остью он определяет величину импульса коррекции Следо-
ват льно, желательно получить выражение для промаха,
„торое еще не выведено.
для дальнейшего изучения важны два других параметра
,„ибок траектории. Это вероятные ошибки величины и на-
правления скорости, показанные на рис. 1 9 и 20 соответ-
венно. Вероятная ошибка в величине скорости а,„вЂ” это
андартное отклонение скорости аппарата в произвольный
„Омент ~ от того значения скорости, которое существовало бы,
сли бы при запуске не было совершено ошибок. Анало-
„дчно вероятная ошибка в угле наклона скорости
1 10
является стандартным отклонением направления движения
аппарата в произвольный момент 1 от направления, которое
существовало бы на желаемой траектории. Эти величины по-
лезны при оценке требований к наведению на среднем уча-
стке траектории.
АБАлиз тРеБОВАний к дВигАтельнОму устРОЙстВу
10~
теперь, пользуясь тем же методом, рассмотрим следую-
щую задачу: определить, когда и где нужно произвести
коррекцию с точки зрения минимизации количества горючего.
Для прибытия аппарата в каждую точку внутри некоторого
объема вероятной ошибки а будет требоваться разная ско-
рость коррекции, с тем чтобы осуществить встречу с пла-
нетой-целью в точке Р~. Поэтому интересно найти распре-
деление внутри объема вероятной ошибки приращений ско-
рости, необходимых для осуществления встречи, и, следо-
вательно, найти суммарный запас горючего, который должен
находиться на борту для того, чтобы вероятности встречи
достигали желаемой величины.
/ 1
На рис. 14 показана в произвольной точке Р1 скорость V&gt
составляющая с радиусом-вектором угол )1О. Для встречи
планетой в точке Р требуется новая скорость У,~, соста-
вляющая с радиусом-вектором угол )», а с начальным по-
ложением оскулирующей плоскости угол ~&g ;. Требуе ая
»«о коррекция скорости U, составляет угол )z, c исход-
«й скоростью.
Нам хотелось бы также выяснить, как величина необходи-
"ого запаса горючего влияет на а) стартовые ошибки, б) выбор

Тангей А. P.
траекторий и в) промежуток времени от запуска до момент
выполнения коррекции.
Далее интересно было бы узнать, сколько топлива мож
быть сэкономлено выбором нового пункта встречи с плане~og
для каждой точки в объеме вероятной ошибки, если ~то
новый пункт выбирается так, чтобы минимизировать рас~о
горючего в Р, или, что предпочтительнее, минимизирова~
общий расход горючего в Р, и у планеты-цели. Метр&
исследования состоит здесь в вычислении необходимого «о.
личества топлива для нескольких точек, выбранных»yt.а~
внутри объема вероятной ошибки и получения оценки д„~д
распределения. Мы можем также найти точку или облает~
где требуется наибольшее количество топлива, и связа|шу1О
с ней вероятность.
Другая важная часть рассматриваемой проблемы связана
с учетом требований к системе наведения. До сих пор пред-
полагалась одна коррекция на среднем участке траекторцд,
но может потребоваться несколько коррекций. Их число возра-
стает по мере того, как падает точность системы наведения.
Задача о многоразовой коррекции графически проиллюстриро-
/
вана на рис. 21. В точке Р1 положение устанавливается путем
визирования Солнца и планеты или любыми другими под-
ходящими средствами. Ь' то время как раньше аппарат
мог бы находиться в любом месте этого большого объема
вероятной ошибки, теперь фиксированное положение огра-
ничивает аппарат другим объемом вероятной ошибки, кото-
рый наверняка будет меньше прежнего. Он отмечен более
/
светлым кругом вокруг точки Р&g
Штурман должен решить, нужно ли производить коррекцин~
и какая часть измеренной ошибки должна исправляться. Одним
таким критерием коррекции является отношение значеии~
измеренной ошибки к вероятной ошибке системы наведения
Есть основание полагать, что оптимальным является отноше-
ние, близкое к двум. Другой критерий, который стоило бы
рассмотреть, должен ответить на такой вопрос насколько~
уменьшается коррекцией рассеяние у планеты-цели и
дешевле, осуществлять коррекцию сейчас и позже
только позже? Если корректирующий маневр выполнен, то
та же самая задача относится и для остающейся ~à«H
полета. Надо решить, когда нужно произвести коррекци~

«»
»л
&
»
'»\
»
*'
л
»
($» '"
»ч'
Ю
С4
O
О
М
»
»
л
ч 'с
'с
tA
(..с
с( .'
с.
»»:
.с
» °
с
((
с &gt ;,
с'v '; Y' ' '
'. фВ'
с
0
Ж
Х
Ю
Ь]
О
Х
[-ч
О
О
и
.л
'»
»
»
'»&
л
ф.„..:;..я
!::
».'
'»
1';&gt; ).
&
~&g ;, :: '4..
сф
;» "(»
.»
с.'.
л
Ф '.
_#_
О
х
(-л
Ю
I~
с5
И
я
о
«(4
2
0
й'
Ю
О
й:
O
0~
(D
М
М
Ю
'Р'
Ж
G4
О
И
О
О
С

15'0
Тангей Л. P.
в следующий раз и как следует минимизировать необхо~„
мость новой коррекции. На рис. 21 показана вторая тоц~
l
коррекции Ð~.
ДРУГИЕ МЕТОДЫ
Имеются и другие подходы к решению исследуемой на~„
задачи. Чаще всего выбирают диапазон желаемых стартов1~
данных и рассчитывают много траекторий, вводя ошибки и
осуществляя коррекцию в различные моменты. Анализ резул.
татов указывает на принцип коррекции, которым целебно.
образно руководствоваться для минимизации какого-ли~о
параметра системы.
ПОНЯТИЕ О СОЛНЕЧНОМ ПАРУСЕ
В марте 1950 г. Дж. Ф. Форбс [12] представил матема-
тическое исследование, результаты которого применимы
к анализу движения ракеты в центральном поле сил при
общем условии постоянной тяги, приложенной по касательной
к траектории ракеты. Одной из рассматриваемых траекторий
была логарифмическая спираль. Автор показал, что для
установления этой траектории требуется ускорение, пропор-
циональное 1/r~~, где r вЂ” расстояние от силового центра.
Позднее Гарвин [11] опубликовал статью о движении с по-
мощью солнечного паруса, предлагая использовать его нэ
практике в качестве движителя в пределах солнечной системы.
Когда были сопоставлены эти две внешне не связанные
статьи, стало очевидно, что существует новый космический
маневр и средство для его выполнения.
Поскольку интенсивность излучения Солнца уменьшается
с расстоянием по закону 1/r2, межпланетное путешествие
можно осуществить с помощью паруса постоянного размера
Конечно, с большим успехом, чем парус, можно исполь.
зовать двигатель непрерывной тяги, такои, как ускорител~
ионов, если его тяга на . выходе программируется
гласно зависимости 1/r2 (в том случае, если надо лететь по
спирали).
Превосходный анализ современного состояния этой про-
блемы был опубликован Uay [13], который воспользовался
несколько иным подходом.

Маневры в космосе
При выводе уравнений и определении необходимых уско-
РЕНИ
ний будем предполагать, что траектория является логариф-
„~иче
,цеской спиралью. Обычные уравнения движения под дей-
gapca
P и с. 22. Геометрия траектории, имеющей вид
логарифмической спирали.
ствием центральной силы в полярной системе координат
имеют следующий вид:
° °
и
г вЂ” гО+ вЂ”, =F„
/-2
1
(г~&a p;
i" dt
(3)
(2)
(4)
где F, и p& t; Ђ” с лы на един цу мас ы, действую и в
правлениях г и Ь соответственно. Наша задача вЂ” найти закон
И~менения Р, и Р~, если предполагается, что траектория
должна быть логарифмической спиралью, и выразить г и о
функции времени. На рис. 22 изображена „геометрия"
траектории, имеющей вид логарифмической спирали. Пусть
уравнение спирали имеет вид

152
Тангей А. P.
где q вЂ” постоянная, а 1/q =tgр (р вЂ” угол между радиусо
вектором к Солнцу и касательной к спиральной траектори„)
Далее, пусть
Р,, 1
= вЂ” â€” p вЂ”вЂ” - tgq,
где Р вЂ” постоянная, определяющая угол установки пару
Заметим, что р и р не обязательно должны быть равнымя
НЫИ
P и с. 23. Соотношение между парусом
и падающим светом.
Силы, действующие на парус, показаны на рис. 23. q вЂ” угол
падения света, попадающего на парус. Если ~р сохраняетс~
постоянным, то отношение F& t к F, постоя н и ра но
генсу ср [см. уравнение (5)]. Используя соотношение (5) для
того, чтобы связать уравнения для составляющих силы по
направлениям r и О и первую и вторые производные по
времени в уравнении спирали, можно получить дифферен
циальное уравнение первого порядка, в которое входят р, 0
и и (гравитационная постоянная Солнца).

Маяевры в косл~осе
11нтегрирование дифференциальных уравнений приводит
определению О и г как функций времени:
~ оп
и+к,(д вЂ” р) + ( вЂ” )Ф
1 1,г
3
+К (ч вЂ” р)
(2)
2
(6)
3
вЂ” 3
2 ~
р этих уравнениях
ди
q'+ др+2 '
(8)
янтересующие нас значения F, и F& t; определяю ся то
уравнениями (9) и (10) соответственно:
рди
т ~.г (42 + q S + 2) '
(9)
г'(ф+q» +2) '
(10)
В частном случае, когда р =q, сила всегда приложена
до касательной к спиральной траектории.
При помощи этих результатов можно выбрать начальную
(г,, Ь ) и конечную (r, Ь) точки на спирали и определить р
и q как функции времени перелета t.
Зная р и q, которые определяют суммарную силу на
единицу массы, можно рассчитать площадь паруса. Парус
должен быть выбран достаточно большим для того, чтобы
обеспечить энергией все нужды аппарата. Я,ля полетов
периферии солнечной системы (с удалением от Солнца)
парус должен быть наклонен так, чтобы создать компоненту
тяги в направлении скорости движения. При полетах к цен-
~ðó солнечной системы парус ставится так, чтобы была ком-
««нта тяги, противоположная направлению движения.
для данной траектории парус имеет оптимальный
размер (т. е. нет запаса по тяге), то наклон паруса в любую
сторону от его расчетного положения только удлинит пере-
Однако если размер паруса выбирается не для опти-
мальных условий, то вэзможно наклоном паруса в одном
~аправлении сокращать время путешествия, а в другомвЂ”
удлинять его. Следовательно, регулирование угла наклона
"аруса обеспечивает требуемый метод управления.

Тангей А. P.
ВСТРЕЧА СПУТНИКОВ
Маневр встречи важен при предстоящих операц~~~
в космосе для следующих целей.
1. Сооружение, снабжение и поддержание деятельн(~~~~
космических станций или космических кораблей.
2. Подготовка возвращающегося космического аппар~~
к входу в атмосферу и посадке или перевод персонала &
оборудования с больших космических кораблей на неболыц~,
„такси" для спуска на Землю.
3. Соединение двух находящихся на орбите спутника,
Земли для различных целей.
Маневр встречи является более трудным и в болыцц
степени связан ограничениями, чем простой переход между
орбитами, потому что Он включает синхронизацию положени~
аппаратов, находящихся на своих индивидуальных орбита~,
Для начала любого маневра перехода необходимо выждать,
пока установится подходящее угловое соотношение между
двумя аппаратами. На эту тему было опубликовано несколько
статей, однако они касались преимущественно круговых орбит,
Ранее мы показали, что оптимальным переходом являетси
орбита Гоманна, изображенная на рис. 24. Пейевонский [20]
вывел простое уравнение для определения необходимого углг
между орбитальными аппаратами для начала гоманновског0
маневра перехода.'
Основной задачей здесь является вычисление изменени~
скорости, необходимых для осуществления маневра встречи
между аппаратами, находящимися на компланарных круго»~~
орбитах. Относительные изменения скорости показаны
рис. 25 в зависимости от Й (отношения Ял/Ив). ЬУт вЂ” отио
сительное приращение скорости в начале маневра, 4V& t; Ђ”
менение, требующееся при встрече, и hV& t; Ђ” су ма ~
AV~ - diV~, à 4V~ и hV~ отнесены к V~ вЂ” скорости спут
ника А на его исходной орбите.
Далее можно найти массовые отношения топлива. 'rp~
бующиеся для маневра встречи, как функции отношения а
для различных высот спутников. Значения массовых о«о

Маневры в космосе
н„й даются уравнением
Ыб
pu вЂ” 1 вЂ” е ~р
1
(12)
Графики массовых отношений топлива p~gz для перехода
промежуточную орбиту показаны на рис. 26. Массовые
'отиошения р~ для изменения скорости при встрече показаны
P и с. 24. Геометрия маневра встречи.
на рис. 27, а графики суммарных массовых отношений р
$
для выполнения обеих частей маневра изображены на рис. 28.
Заметим, что это решение дает нулевой расход топлива
при 4 =1, когда оба аппарата находятся на той же самой
орбите. Предполагается, что для всех Й, отличных от еди-
"~Ш~, должно пройти некоторое время, прежде чем уста-
новится нужное угловое соотношение между спутниками,
чтобы можно было осуществить гоманновский переход. Если.
Q и ь
PH ~ = 1 положения спутников еще не совпадают, то для
BbiÏÎ
~полнения перехода надо использовать другой тип орбиты,
Затем можно вычислить вероятность встречи как функ-
AHA) ~д, массового отношения р~ и а, вероятной ошибки
азн
ьй'
Ра~HÎñòí высот, где Ьй вЂ” разность между высотами орбит.

05 06 07 08 08 10 у у у 14 fs Ip р 18 И
й
Р 0 с. 25. Требования к приращению скорости при маневре встречи

Манееры в космосе
0,2
01
05 08 g7 ОВ О9 10 11 У У 14 У 1В 17 У 19
k
Рис. 26. Массовое отношение топлива для входа на промежуточ-
ную орбиту как функция Й для различных высот орбиты спутника
(h вЂ” высота спутника в км).
Предполагалось, что вероятность ошибки при измерении М
Распределена по нормальному закону, и было показано, что
отношение k, таким образом, тоже является нормально рас-
"Ределенной случайной величиной со средним значением 1 и
~танлартным отклонением a~ = а,„/яд. Вычисляя интеграл.

7ангей А. Р.
а4
0S Q6 0,7 g8 09 10 11 У У У 1.6 16 %7 10 19
Ir
P и с. 27. Массовое отношение топлива для сближения как функпия
Й для различных высот орбиты спутника (Ь вЂ” высота спутника в км)
распределения вероятности по Й между двумя пределами
соответствующими некоторым конкретным значениям
маркого массового отношения р~, указанным в приведенн~~~
выше графиках, получаем вероятность встречи как функпик'
суммарного массового отношения. Ее график представлен иа
рис. 29 (стр. 160).

0,1
05 0,б 07 08 09 1,0 11 1,2 l д 14 1,5 1,8 17 1,В 1,У
k
28. Суммарное массовое отношение топлива для всего ма-
встречи как функция h для различных высот спутника
(h вЂ” высота спутника в км).

2
О
О
О
Оа
О
Kl
Q
о
и
И
О
Ж
О
С4
CQ
(:В
~~1
о
Ж
Qi

1б1
Маневры в космосе
пля некомпланарных орбит можно предложить двухэтап-
НЬ1
метод сближения: на первом этапе плоскости орбит
~Ов Мешаются при помощи импульса тяги, прикладываемого
момент, когда осуществляющий встречу аппарат nepece-
z плоскость орбиты другого аппарата, а на втором этапе
ц.,долняется гоманновский переход.
г.ирс и Феллман [21] предложили другой метод наведения
конечном участке. Они решают эту задачу для случая,
огда спутники в начальный момент разделены расстоянием
примерно в ЗО км, и используют пространственную про-
грамму тяги для того, чтобы получить нужный „профиль"
~~орости сближения. При этом методе требуется двигатель
C переменной тягой, но зато упрощается задача наведения,
QQGKo»~y для наведения используются величины скорости
флижения, дальности и угловой скорости линии визиро-
цания, которые легко можно измерить. Эта методика успешно
применялась (аналитически) к эллиптическим некомпланарным
траекториям; при этом имелось в виду одно ограничение:
начальное расстояние между спутниками при наиболее близ-
ком подходе их равнялось примерно ЗО ки,.
выводы
ЛИТЕРАТУРА
I-arden D. P., Optimal trajectories, Special peport № 3, Con-
tract AF 33 (616)-5992, Radiation 1пс. Report Me RR 59-1186-7,
Мау 1959.
2 "aw den D. F., Optimum launching of à rocket into an orbit
about the earth, Astronaut. Acta, 1 (1955), 185 вЂ” 190.
З "a w d e n D. F., Minimal rocket trajectories, J. Ате~. Rockets
Soc., 23 (1953), 360.
4 1- ~ ® d e n D. Р., The determination of minimal orbits, J. Brit.
«r«planet. Soc., 11 (1952), 216 вЂ” 224.
' 1"'1e l е А., Interrelationship of calculus of variations and ordinary
theory pf maxima and minima for flight mechanics applications,
МЯ Journal, 29 (1959), 75 вЂ” 76.
В этой статье был сделан лишь поверхностный обзор
тех исследований, которые уже выполнены и опубликованы.
~днако мы надеемся, что нам удалось выделить основные
~ути подхода к решению данной проблемы, а указания на
еще не решенные задачи, быть может, побудят чита-
телей работать над их разрешением.

1б2
Тангей А. P.
5. М i e l е А., Minimality for arbitrarily inclined rocket 1га]ес1ог,
Jet Propulsion, 28 (1958), 481 вЂ” 483.
7. M ie l е А., General variational theory of flight paths of гос1,~~
powered aircraft, missiles, and satellite carriers, Purdue Resea„cl,
Foundation Кер~ № А-58-2, January 1958.
8. В en ney D. J., Escape from a circular orbit using tangential фгщ
Jet Propulsion, 28 (1958), 167 вЂ” 169.
9. Ts i en Н. S., Take-off from satellite orbit, J. Amer. RocAet $p~
23 (1953), 233 вЂ” 236.
10. L е к i u E., Low-thrust transfer between circular orbits,
Rep., Р-1536, October 31, 1958.
11. 0 ar win R. 1-., Solar зайпал вЂ” à practical method of propulsiо„
within the solar system, Jet Propulsion, 2 (1958) 188 вЂ” 190.
12. F îr Ьes G. F., The trajectory of à powered rocket in зрас~, у
Brit. Interplanef. Soc., 9 (1950), 75 вЂ” 79.
13. Ts u Т. С., Interplanetary travel by solar sail, ARS Journal, gg
(1959), Ми 6, 422 вЂ” 427 (русский перевод: Ц 3 у, Межплаиетнцк
полет с помощью солнечного паруса, сб. Механика, 19~1
Ks 1, 3 вЂ” 15).
14. B a t tin R. Н., Lani ng J. Н., А navigation theory for roup(1.
trip reconnaissance missions to Venus and Mars, Мass. 1щ,
Technol., Instrum, Lab. Кер., К-240, August 1959.
15. К iers t e ad F., Guidance requirements for interplanetary flight,
Amer. Astron Soc., Preprint № 59-6, August 1959.
16. Lawden D. F., Long К. S., The theory of correctional ma-
nettvers in interplanetary space, Radiation Inc. (в печати).
17. Егоров В. А„Некоторые задачи динамики полета к Луне.
УФН, 63 (1957), вып. 1а.
18. М à g n e s s Т. А., М с С u i r e J. B., S m i t h О. К., Accuracy
requirements for interplanetary ballistic trajectories, Space Tech-
nology Laboratory, Като-Nooldridge, August 1958.
19. М ickå1 wàit А. В., Тоmpkins E. Н., Jr., P àrk R. A.,
Three-dimensional interplanetary trajectories, 1ВЕ Trans.,
М11.-3, (1959), 149 вЂ” 195.
20. P à i e w î n s k у В. Н., Transfer between vehicles in circular
orbits, Jet Propulsion, 28 (1958), 212 вЂ” 213.
21. $е ars N. Е., F e l l e m à n P. G., Terminal guidance for à за1е111«
rendezvous, Mass. Inst. Technol. Instrum Lab. Кер., R-2©
April 1959.

КОСМИЧЕСКИЕ МАНЕВРЫ. ОПТИМИЗАЦИЯ
Д. С. Хок
Отдел научно-исследовательских работ,
~эдиейшн Инкорпорейтед, Орландо, Флорида, США
Мне хотелось бы сделать обзор некоторых работ, которые
~ьли выполнены в области оптимизации траекторий. В част-
ности, я ограничусь главным образом работами Лоудена и
~ачну с его постановки задачи Майера, сопроводив ее про-
cTbIM примером, чтобы проиллюстрировать метод решения,
затем рассмотрю полученные им результаты, применяя
рТрТ метОд к манеВрам ОбщегО тИПа.
Решение, определяющее оптимальную траекторию, может
быть получено с помощью вариационного исчисления. 3та
задача сводится к задаче Майера и решается известными
методами [1]. Обобщенная задача Майера может быть сфор-
мулирована следующим образом. Пусть х, (1), где t = 1,
2, ..., и, вЂ” и неизвестных функций независимого перемен-
ного t, которые Определены для значений f, заключенных
в интервале между 10 и ~,.
Эти функции должны удовлетворять т дифференциаль-
нь и уравнениям первого порядка ~~, которые являются
функциями времени, х,, х, и К, где т (n, или
у~(t, tp, t,, К», х,, х,) =О,
j=1. 2...., т (и,
х,(t,) = x„
x; (tp) = x;p,
и должны удовлетворять р граничным условиям, обозначен-
ным через ~ . Последние содержат начальные моменты вре-
мени и координаты
~~~(10. t,, х;О. х,1)=О. I=1 2, " p 2и+2.
где K»(k=1, 2, ..., q) являются q параметрами, значенич
которых также неизвестны.
Значения функций х~(1) в граничных точках интервала
(tp ~,) заданы, обозначены следующим образом:

Хок Д. С.
1б4
Если J равен J(tz, t,, х о, х 1) и задан, то требуется вы.
брать функции х,, подчиняющиеся ограничениям р и
конечные точки 1О, t, и величины К» так, чтобы J был мини.
мален.
Это решение получается при использовании множителе~
Лагранжа. Пусть Л,, Х2, ..., Л вЂ” множители Лагранжа, 3Q.
висящие от t, и F определена соотношением
F =Х.р),
а Н вЂ” соотношением
гдe v&g ;, ~, . ., ~p Ђ” постоянн е. Функц и, минимизирую ие
удовлетворяют дифференциальным уравнениям Эйлера вЂ” Ла-
гранжа
вЂ” О
(1=1, 2, ..., и).
дх;
Необходимые условия минимизации 1 (выраженные через
функции Н и F) имеют вид
дО дН дР
--~ вЂ” + ~ вЂ” хп+ --~ вЂ” Л = О,
дх;о
дН
вЂ” +
дх;,
дх;
где 3=1, 2, ..., и, а )с=1, 2, ..., q.
В качестве примера рассмотрим решение задачи nbI-
ведения на круговую орбиту. Предположим, что ракета
запущена с нулевой начальной скоростью и что начально~
направление старта не задано. движение происходит в пло-
скости Оху с горизонтальной осью Ох, вертикальной осью Оу
и началом координат в точке старта. Граничные условия таковь~

1б5
Космические маневрь~. Оптимизация
f (X sin 6 вЂ” Х соя 6) =О.
Если а, b, c u d вЂ” константы, то мы можем положить
~1= вЂ” а, ). = вЂ” с, k~=at+b и 24= ct+d,
так что
et+ d
'@6 .,+,.
На основании изложенного можно прийти к выводу, что
программа направления тяги 6 является дробно-линейной функ-
цией времени. Поскольку этот результат получен независимо
граничных условий, программа направления тяги будет
"Ринимать такой вид для любого полетного задания, выпол-
ракета движется с горизонтальной скоростью U, ско-
ростью спутника на высоте у. Предположим далее, что аэро-
инамическими силами, влиянием кривизны и вращения Земли
изменением силы тяжести с высотой можно пренебречь,
s ускорение f, обусловленное тягой ракеты, является задан-
функцией времени t после момента старта. Требуется
рассчитать программу направления тяги, которая обеспечит
выполнение заданных условий в возможно более короткое
время.
Ясли и и о представляют компоненты скорости ракеты
в направлениях х и у, à g вЂ” ускорение, обусловленное
силой тяжести, то уравнения связей ~~, которые определяют
пять неизвестных функций х, у, и, v, 6, имеют вид
q,=х вЂ” а вЂ” 0,
~'Я
~ =и вЂ” fcos6=0,
q4=v+g вЂ” f siï 6=0,
где 6 отсчитывается от оси Ох.
Минимизируемой функцией является время полета t. Функ-
ция Лагранжа
F =Х, (х вЂ” и)+), (y вЂ” v)+Ха(и вЂ” f cos 6)+
+14(т1+д вЂ” f sin 6),
а уравнения Эйлера вЂ” Лагранжа имеют вид
)'1 2 3+ )'1 4+ '2

(б'б
Хок Д. С.
няемого в однородном гравитационном поле при отсутствии
аэродинамических сил, и является совершенно общей.
результат был получен Лоуденом [2], а также Фридом
Ричардсоном [3] при исследовании программы оптимальнов
тяги для маневров ракеты в однородном поле.
Решение этой задачи можно довести до конца, вво[ц
граничные условия, определяя функции Н и используя не.
обходимые условия для существования минимума. Мне
хотелось рассмотреть некоторые более общие результаты
оптимальных траекторий ракет, полученные Лоуденом. Общ~~
задача астродинамики об оптимизации траектории ракеты
сформулирована Лоуденом следующим образом.
D и А вЂ” две данные точки в заданном гравитационно]
поле. Если в этих двух точках определена скорость ракеты,
то задача заключается в нахождении кривой, связывающе~
эти две точки, вдоль которой расход топлива минимален.
Таким образом, если задать подходящие граничные усло-
вия, то решение уравнений может определить траекторищ
с поверхности планеты, орбиты или орбит вокруг планеты
к другой планете, орбите или орбитам вокруг этой планеты.
Задание времени старта или прибытия, или времени пере-
хода не обязательно. Имея это в виду, запишем уравнения
связей
С
вЂ” N plE вЂ” fl= 0
9,+3 вЂ” Х!
v,=л+1 =o,
р~ = 4+4+ ~а вЂ” 1 = 0,
где о, вЂ” компоненты скорости, С вЂ” скорость истечения из
сопла, 1,. вЂ” направляющие косинусы вектора тяги, ) вЂ” ско-
рость расхода топлива [4], а М вЂ” масса аппарата. Послед-
нее уравнение не является ограничением. Оно означает лишь,
что сумма направляющих косинусов должна быть равна еди-
нице. Граничные условия
),=кщ вЂ” d,=0,
),+ вЂ” вЂ” x„â€” а, =О,
вЂ” вЂ” vlo вЂ” D, 0,
ф~+а вЂ”вЂ” v;& t; Ђ” А~ Ђ”

1б7
Космические маневры. Оптимизация
g&gt; cb а, d- Ђ” координ ты то ек назначе и и стар а à
„А, вЂ” компоненты скорости ракеты в этих точках.
Дополнительные граничные условия вводятся, если вре-
мена старта и назначения фиксированы. Задача заключается
s выборе &g ;, x, l " програ мы т ги та им образ
чтобы сделать характеристическую скорость
@=clgâ
МО
М;
минимальной Лоуден заметил, что множители Лагранжа Х~
рассматривать как компоненты некоторого вектора,
который он называет вектором Х [5].
В случае импульсных тяг движением ракеты во время
периодов максимальной тяги пренебрегают. Если имеется
в виду этот случай, то оптимальная траектория представляет
собой последовательность дуг нулевой тяги, в точках соеди-
нения которых прикладываются импульсы, а компоненты
вектора Х и его первых производных во время действия
тяги могут рассматриваться как постоянные.
При этих предположениях можно подытожить условия
для оптимальной импульсной траектории с заданными време-
нами старта и прибытия и при отсутствии импульсов в ко-
нечной точке. Эти условия следующие:
1. Компоненты Х должны удовлетворять уравнению
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПСАМИ
Компланарные эллипсы могут либо пересекаться, либо не
~ер~секаться. Если они пересекаются, то переход возможен
помощью одного импульса, приложенного в точке пересе-
д
~ дх
+t
2. В каждой точке соединения:
а) 1, 'Р., должны быть непрерывны (Х и его первая про-
изводная должны быть непрерывны);
б) 1,1,=0 (величина Х должна быть стационарной, т. е.
вектор Х должен быть ортогонален к своей первой произ-
водной);
в) компоненты Х, должны быть направляющими косину-
сами тяги, а вектор j. должен быть ортом в направлении
действия тяги.

Хок Д. С.
чения. Можно показать, что при таком маневре выполняются
условия оптимального перехода.
Когда эллипсы не пересекаются, необходимо приложить
по крайней мере два импульса. Во многих случаях при осу-
ществлении перехода между пересекающимися эллипсами часто
оказывается более экономичным прикладывать два импульса,
чем один.
Характеристическая скорость при двухимпульсном маневре
имеет вид
V = '~ 81(l вЂ” 11 ) sec &lt; 1 y Sq lq Ђ ) ec
где ~ вЂ” гравитационная постоянная, S вЂ” обратная величина
расстояния между притягивающими телами, L вЂ” параметр
эллипса, ~ вЂ” угол между вектором тяги и перпендикуляром
к радиусу; индекс 1 относится к начальному эллипсу,
индекс 2 относится к конечному эллипсу, параметры без
индекса относятся к эллипсу перехода.
В случае когда начальный и конечный эллипсы имеют
малый эксцентриситет, удовлетворительные решения можно
найти путем разложения обратных величин параметра и ради-
уса в степенные ряды по в. Коэффициенты при равных сте-
пенях а, где а является малой величиной, приравниваются и
связываются с эксцентриситетами начальной и конечной орбит.
Нулевое приближение в этом случае означает, что
где р вЂ” угол между тягой и перпендикуляром к радиусу-
вектору.
Если е = О, то орбиты старта и назначения являются
круговыми и нулевое приближение вЂ” точным. Орбита пере-
хода является касательным эллипсом Гоманна.
Известное выражение для характеристической скорости
этого маневра имеет вид
i)»
~де r& t и г~ Ђ” ради сы началь о и конеч ой орб

1б9
Космические маневры. Оптимизация
Далее если tgq,=tgqs=0 и сохраняются члены при
первой степени е [1], [6], то
е, sin и, + е, sin &lt
1g а
~г гСф °
е, cos и, + е, сов и2
Rial
где и вЂ” долгота ближайшей апсидальной точки. Следова-
тельно, если е, )) е2, то ~ = ~,, а если е2 )) е,, то и ~ и .
Суть этого результата заключается в том, что большая
ocb оптимального эллипса перехода стремится совпасть с боль-
щой осью конечного эллипса, имеющего больший эксцентри-
ситет. Это и есть правило притяжения эксцентриситетов [6].
Режим перехода между компланарными орбитами может
быть распространен на случай трех импульсов. Хелкер и
Яильбер [7] решили эту задачу для перехода между компла-
нарными круговыми орбитами, радиусы которых находятся
в отношении, большем чем 11,94: 1, и показали, что всегда
существует трехимпульсный переход, который более эконо-
мичен, чем двухимпульсный режим Гоманна.
ПЕРЕХОД МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ
V=2о,
~l_#_ v вЂ” скорость на круговой орбите, г = г /г, вЂ” отно-
КеННе расстояний от центра притяжения в перигее и апогее
&gt;«и са перехо а ~ Ђ” у ол ме ду плоскост ми началь
Я не знаю никаких общих решений этой пространствен-
ной задачи. Для одного частного случая Райдер в работе [8]
нашел характеристическую скорость для изменения наклоне-
ния круговой орбиты с помощью трехимпульсного перехода.
Первый импульс прикладывается по касательной к траекто-
рии полета, второй вЂ” в апогее получившегося в результате
эллипса, в плоскости, перпендикулярной к радиусу-вектору,
проведенному из центра притяжения в таком направлении, чтобы
скорость аппарата в апогее повернулась на требуемый угол,
а третий импульс (тормозной) прикладывается, когда аппарат
возвращается в точку приложения первого импульса и равен
ему по величине.
Характеристическая скорость трехимпульсного перехода
дается в виде

170
Хок Д. С.
= 2ос я1П 2
1
Райдеру удалось показать, что трехимпульсный режим
более экономичен, чем одноимпульсный режим для любого р
при угле поворота, большем чем 49'.
УХОД И ВОЗВРАЩЕНИЕ НА КРУГОВЫЕ ОРБИТЫ [7]
Рассмотрим задачу об аппарате, находящемся на круго
вой орбите вокруг планеты. Желательно перевести аппарат
l
l
/
/
/
/
/
/
l
/
Рис. 1. Геометрия перехода между круговой
и гиперболической траекториями.
на гиперболическую орбиту так, чтобы аппарат на очень
большом расстоянии от планеты имел данную скорость ©
и конечной орбит. Этот результат отличается от соответ
ствующей одному импульсу характеристической скорости, да.
ваемой уравнением

Космические маневры. Оптимизация
171
ВОЗВРАЩЕНИЕ
Когда аппарат приближается к планете по гиперболи-
ческой траектории и желательно перевести его на круговую
орбиту, могут встретиться четыре случая.
Случай 1. Линия сближения и радиус круговой орбиты
заданы. Решение этой задачи точно такое же, как и рещение
задачи об уходе, за исключением направления движения.
Случай 2. Линия сближения произвольна, а радиус кру-
говой орбиты задан. Решение идентично случаю 1. Однако,
поскольку линия сближения в этом случае может быть вы-
брана, можно показать, что если скорость сближения меньше,
чем скорость ухода с круговой орбиты, то линия сближения
до лжна быть выбрана так, чтобы гиперболическая орбита
касалась круговой орбиты в апсидальной точке гиперболы.
~ этом случае требуется одноимпульсный маневр. Если ско-
р«» аппарата больше, чем круговая скорость, то апсидальная
~сли предположить, что гиперболическая и круговая орбиты
мпланарны, и применить изложенную выше теорию, то мы
~ардем, что оптимальный переход между этими орбитами
овершается по эллипсу перехода, ось которого совпадает
~ осью гиперболы, одна апсидальная точка эллипса лежит на
круге, а другая апсидальная точка вЂ” на гиперболе (см. рис. 1).
Если х = ОА/ОА', à p= V/~/ 2оо, или отношению ско-
рости на бесконечности к скорости ухода с круговой орбиты,
zo характеристическая скорость маневра определяется выра-
жением
V = е [~2 (х+ р2) ~' вЂ” ~2 (х+ 1) ~'+ 1], если х )~ 1,
V= eo[~ 2(х+р~) '+~/2(1 вЂ” х)(1+х) ~' вЂ” 1],
если х ( l.
Эти уравнения показывают, что если желаемое значение
скорости на бесконечности меньше, чем величина скорости
ухода с круговой орбиты, то маневр ухода выполняется
с помощью одного импульса, направленного по касательной
к круговой орбите. Если эта скорость выше, чем скорость
ухода с круговой орбиты, то выгоднее вначале направить
импульс против движения по круговой орбите и выйти на эл-
липтическую орбиту, а затем осуществить переход на орбиту
ухода в перигее этого эллипса.

Хок Д. С.
172
точка гиперболы должна быть выбрана возможно ближе &
планете-цели (но еще вне атмосферы).
Случай 3. Линия сближения дана, а радиус кругово~
орбиты произволен. Здесь перицентр гиперболы фиксирован
радиус окружности произволен, а у= ОА'/ОА; тогда харак.
теристическая скорость дается в виде
V=v, у ' вЂ” ~/2(1+у)~'+ k], если у (1,
V=v,[~2(у вЂ” 1)(y+1)~' вЂ” y '+ kj, если у) 1,
1/
где Й= 2~(v2/v~) ~', а v,вЂ” круговая скорость в апсидаль-
ной точке гиперболы.
График этой характеристической скорости показывает,
что V возрастает, когда у убывает (для у )~ 0). Таким обра-
зом, маневр оптимизируется при возможно больших радиусах
окружности.
Случай 4. Линия сближения и радиус круговой орбиты
произвольны. Здесь решение представляет собой комбинацию
вышеуказанных решений. Нетрудно видеть, что мы должны
выбирать линию сближения таким образом, чтобы гипербо-
лическая траектория подошла бы и планете возможно ближе,
а круговая орбита стала бы возможно большей.
ТЕОРИЯ КОРРЕКТИРУЮЩИХ МАНЕВРОВ [9], [20]
Пусть Oxyz вЂ” ортогональная декартова инерциальная си-
стема координат, начало которой помещено в Солнце и ко-
торая движется вместе с Солнцем. Пусть P вЂ” какая-либо
точка (х, у, z), à J вЂ” заданная точка на орбите планеты на-
значения (cM. рис. 2). Предположим, что ракета находится
в P в тот момент, когда планета находится в точке Q. Oáo-
значим через Т время перехода планеты, движущейся от Q
к J. Тогда существует единственная баллистическая дуга,
связывающая P и J, вдоль которой ракета может прилететь
в точку J, находясь в свободном полете за время Т. Если
ракета встречается с планетой, она должна выйти на эту
дугу в точке P.
Пусть и, v, ы вЂ” компоненты скорости ракеты в точке Р,
которой она должна обладать, чтобы следовать по дуге PJ.
Уравнения, выражающие величины этих компонент, могут

Космические маневры. Оптимизаи,ия
173
~ать записаны в виде
и=и(х, у, z, Т)+яр(х, у, z, T),
v=v(x, у, z, Т)+ яд(х, у, z, Т),
ы=ы(х, у, z, Т)+яг(х, у, z, Т),
где и, О, ы вЂ” выражения, в которые переходят и, О, я при
отсутствии всех малых возмущающих сил, а члены,
P и с. 2. Геометрия коррекции траек-
тории.
умноженные на а, представляют собой поправки, которые
нужно сделать, чтобы скорректировать эти возмущения.
вообще говоря, s вЂ” малая величина. Если а= О, то дуга PJ
является кеплеровой дугой, а и, е, ы вЂ” соответственно
аыражениями, принимаемыми функциями и, v, ы на такой
~уг&lt; .. Аналоги но е л Г Ђ - прираще ие скорос и, кото
должно быть дано ракете после прибытия в J для перехода

174
Хок Д. С.
на круговую орбиту вокруг планеты, то V может быть
представлено уравнением
V=V(x, у, z, Т)+sQ(х, у, z, Т).
Тепе рь предположим, что p J вЂ” заранее вычисленная меж.
планетная дуга, однако в момент, когда ракета должщ
находиться в P и обладать скоростью (а, v, т), она оказы-
вается в Р'(х+ dx, y+ dy, z+ dz) и имеет скорость
(и + Ьи, о+ Ьо, ы+ Ья). Пусть Р'1' вЂ” дуга, на которую ре-
шено перевести ракету для того, чтобы осуществить встречу
с планетой в J', и пусть дТ вЂ” дополнительное время пере-
хода планеты из точки J в точку У. Тогда время перехода
вдоль дуги Р'У должно быть T+dT. Следовательно, если
(u+du, v+dv, mv+dm) вЂ” скорость ракеты в Р', необхо-
димая для того, чтобы осуществить переход на дугу Р'У,
то после дифференцирования вышеуказанных уравнений при-
ращение компоненты скорости da дается уравнением первого
порядка относительно dx, dy, dz, d T:
da = вЂ” dx + dy+ dz+ вЂ” d Т+
ди ди ди ди
дх ду Oz дT
дР дР дР дР
+ в вЂ” dx + вЂ” dy+ dz+ ЙТ
дх ду дг дТ
аналогичные уравнения могут быть написаны для de u dm. По-
скольку s мало, члены в скобках вЂ” величины второго порядка
малости и ими можно пренебречь. Таким образом, разумно не
учитывать влияние всех малых возмущающих тел при вычис-
лении корректирующего маневра, если оно оценивается
величинами второго порядка малости, и корректирующие
маневры могут быть основаны на предположении, что дей-
ствует поле одного лишь Солнца. Производные ди/дх и
т. д. вычисляются в предположении, что дуга PJ кеплерова.
Черточки над величинами и, e, m в дальнейшем будут
опускаться. Необходимое приращение скорости в точке P'
имеет компоненты
ди вЂ” Ьи, de вЂ” Ьо, dm вЂ” Am,
а его величина (модуль)
[(da вЂ” 5u)'+ (Шо вЂ” Ы)'+ (dm вЂ” ЬжЯ ~' =
= [Ао (ШТ)2+2А, dТ+ А~] ~'

Космические маневры. Оптимизаи,ия
175'
ди ди ди ди
А = вЂ” вЂ” dx + вЂ” dy+ вЂ” dz вЂ” Ла
дТ дх ду д.г
(плдс аналогичные члены по v и ш) и
ди ди ди
А2 вЂ” вЂ” dx + вЂ” dy+ вЂ” dz вЂ” Ьи
дх ду дz
(плюс аналогичные члены по и и го). Можно видеть, что
А вЂ” величина нулевого порядка, А, вЂ” первого порядка,
а А2 вЂ” второго порядка малости относительно dx, dy, dz,
~ц, Ьо, Ьы. В точке У необходимое приращение скорости
равно V+dV.
Дифференцируя V = V (x, у, z, T), находим
dx + вЂ” dy+ вЂ” dz+ d T =
dV дУ дК dV
=Bo dT+Bl,
где
OV
Вв вЂ” дТ '
В, = вЂ” dx+ dy+ dz
дУ DV дУ
(B() вЂ” величина нулевого порядка, а В, вЂ” первого порядка
(малости) относительно dx, dy, dz, Ьи, bо, Ьи). Обозначим
через W суммарное приращение скорости ракеты, необходимое
для перехода ракеты из P на круговую орбиту в точке У.
Это приращение определяется выражением
W = V + Bo d T+ B, + [Ao+ (d T)2+ 2A, d T+ A~] ~'.
Новая точка У еще не определена и поэтому йТ
произвольно. Если эту величину выбрать так, чтобы миними-
зировать суммарное приращение скорости W, а следова-
тельно, и расход топлива, то
W„д,„= V + вЂ” [((А вЂ” B~) (А А вЂ” А2)} ~'+ АвВ, вЂ” А,ВО].

Хок Д. С.
Координаты новой точки соединения У определяются и
уравнения для йТ, которое имеет вид
АА вЂ” А' "
dTâ€”
AO AO Bo AO
ЛИTEP AT УРА
1. 1 à w d e n D. F., Optimal trajectories, Radiation Inc. Repprt
Мю RR-59-1186-7, Мау 1959.
2. L à w d e n D. F., Optimal progiamming of rocket thrust detectioq
Astronaut. Acta, 1, 1955, 41 вЂ” 56.
3. Р г i e d В. D., R i c h а г d ь о n J. М., Optimum rocket trajectories
J. Appl. Phys., 27, 1956, 955 вЂ” 961.
4. М i e l е А., General variational theory of the flight paths
rocket - powered aircraft, m issiles and sat tel lite carriers,
Report М А-58-2, Purdue Research Foundation, 1958.
5 L à w d e n D. F., Punc! anentals of space navigation, J. Brit.
Interplanet. Soc., 13, 1954, 87 вЂ 1.
6. $ m i t h G. С., The calculation of minimal orbits, Astronaut.
Acta, 5, 1959, 253 вЂ” 265.
7. Н о е1~ ег R Г., S i 1 b ег К., ТЬе Ы-е111рйса1 1гапз~ег betwee„
circular сорlапаг orbits, АВМА, Redstone, Report PR DA-TÌ-2-59.
8. К i d e r L., Characteristic velocity for changing the inclination
of à circular orbit to the equation, J. Amer. Rocket Soc., 29,
1959, 41 вЂ” 49.
9. 1 à w d e n D. P., L î n g R. S., The theory of correctional
maneuvers in interplanetary space, Radiation Inc. Report.
10. В l i s s G. А., Lectures on the calculus of variations, Chap. 7,
University of Chicago Press, 1946.
11. 1 à w d е п D. P., Fundamentals of space navigation, J. Brit.
Interplanet. Soc., 13, 1954, 87 вЂ” 101.
12. L à w d е и D. P., Minima! rocket tra„'ectories, ./. Amer. PocAet
Soc. 23, 1953, 260 вЂ” 367.
13 1 à w d e n D. P., Interorbital transfer of à rocket, J. Brit.
Interplanet Soc., Annual Report, 1952, 321 вЂ” 333.
14. 1 à w d e n D. P., Orbital transfer via tangential ellipses, J. Brit.
Interplanet. Soc., 11, 1952, 278 вЂ” 289.
15. L a w d e n D. P., Escape to infinity from circular orbits, J. Brit.
Interplanet. Soc., 12, 1953, 68 вЂ” 71.
16. 1 à w d e n D. P., Optimal escape from à circular orbit, Astro-
naut. Acta, 4, 1958, 218 вЂ” 233.
17. 1 à wd e n D. Р., Optimal transfer between circular orbits about
two planets, Astronaut. Acta, 1, 1955, 89 вЂ” 99.
18, 1 à wde n D. P., Entry into circular orbits вЂ” I, J. Brit. Inter-
planet. Soc., 10, 1951, 5 вЂ” 17.
19. L à w de n D. P., Transfer between circular orbits, Jet Propul-
sion, 26, 1956, 555 вЂ” 558.
20. 1 à w d e n D, F., Correction of interplanetary orbits, J. Brit.
Interplanet. Soc., 13, 1954, 215.

МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ РАКЕТ
Дере к Ф. Лоу ден
Кентерберийский университет, Крайстчерч,
Новая Зеландия
ф 1. Обзор задач
этот параграф посвящен математической задаче об опре-
делении оптимального пути, вдоль которбго ракетный
аппарат может осуществить перелет от точки старта на
поверхности одной планеты солнечной системы к точке
назначения на поверхности другой планеты. Назовем первую
планету вЂ” йланетой старта, или D:ïëàíåòîé, а вторуювЂ”
дданетоа назначения, или А-планетой.
Оптимизация траектории ракеты должна производиться
относительна..двух основных параметров: а) расхода топлива
и б) времени перелета. Вообще говоря, желательно путем
подходящего= выбора траектории минимизировать оба пара-
метра. Однако эти требования противоречат друг другу, и
необходимо искать компромиссное решение. go тех пор
пока не удастся получить комбинации топлив с большим по
сравнению с современными топливами удельным импульсом,
это компромиссное решение по необходимости будет скло-
HHTbcH в сторону уменьшения расхода топлива, а не сокра-
~цения времени перелета. На раннем этапе исследования пла-
нет, вероятно, будут совершаться пробные полеты беспилот-
ных аппаратов с телеуправлением, и время перелета, во всяком
случае, не будет существенным параметром. Для таких
путешествий должны быть выбраны траектории с наименьшим
Р~сходом топлива. Однако экономия пищи, воды, кислорода
т. д. (Bo время полета с экипажем), получающаяся
в результате сокращения времени полета, может оказаться
~aRHee, чем требуемый для этого дополнительный расход
топлива. Таким образом, будет достигнута экономия
Ц~лом. Следовательно, для такой экспедиции должна быть
~айдена компромиссная траектория.
получив решение для межпланетной траектории, необхо-
д"мо рассмотреть режим входа (запуска) на эту траекторию
точки старта, расположенной на D-планете (обычно
12 з~. egg,

178
Лоуден Д. Ф.
') Это не всегда верно. Выбор момента коррекции зависит так
же от свойств данной траектории. вЂ” Прим. перев.
Земле). Вполне вероятно, что точность регулирования, котор
с~1
может быть осуществлена при движении аппарата во вр~„„
запуска, будет недостаточна, чтобы осуществить прямой пер
ход со стартовой площадки на межпланетную орбиту. О~„
дается, что вместо этого аппарат будет запущен вначале ~
орбиту спутника, по возможности более близкую к предвдри.
тельно рассчитанной круговой орбите. Аппарат можно вывес~„
на орбиту как в своем окончательном виде, так и отдельны„
частями, которые затем будут собраны в космическом прр.
странстве. Тогда вывод на межпланетную орбиту должен осу.
ществляться с помощью точного по времени и направлени)
импульса, создаваемого двигателями, расположенными на борту
аппарата и включаемым по команде с наземной станции удра.
вления. В случае пробного полета этот маневр можно успешно
осуществить лишь при условии достаточно точного теле-
управления ориентацией ракеты, обеспечивающей надлежа-
щее направление тяги. Однако это трудная задача техники
следящих систем и в дальнейшем она рассматриваться не
будет. Представляется вполне реальным, что для управления
Ориентацией ракеты можно использовать размещенные под-
ходящим образом реактивные двигатели, работающие нг
сжатом воздухе, или внутренние маховые массы. Такие
устройства должны быть связаны с чувствительным элемен-
том, воспринимающим ориентацию ракеты, а в комплексе они
образуют замкнутый контур следящей систсмы управления.
Во время движения аппарата по межпланетной траек-
тории необходимо провести достаточное количество наблю-
дений положения и скорости раксты для установления эле-
ментов орбиты. Они неизбежно будут отличаться от эле-
ментов предварительно вычисленной оптимальной траектории,
и необходимо будет прикладывать малую корректирующую
тягу. Коррекция должна выполняться возможно быстрее
после того, как будет замечено отклонение элементов орбит~~
от их расчетных значений'). Если мы хотим, чтобы эта а
более поздние корректирующие тяги прикладывались эффек
тивно, то необходимо уметь точно управлять ориентацие"
ракеты. Нужно также найти метод быстрого вычисления
величины и направления импульса коррекции.

Межпланетные траектории ракет
179
q очное вычисление траектории ракеты, движущейся между
„ечн»ми пунктами, было бы трудоемким процессом. Он вклю-
~&lt
„б» в себя численное интегрирование, выполняемое наилуч-
ц~Л
„м образом с помощью универсальной автоматической вы-
ЦИС
„лительной машины. Однако для многих целей будет доста-
чно разделить маневр перелета на три фазы: а) в районе
0-планеты, б) в межпланетном пространстве и в) в районе
д.планеты. Во время каждой из этих фаз притяжение одного
ла является наиболее важным, а влиянием других тел можно
пренебречь. Таким образом, в течение первой фазы, при рас-
ц е'~'е дв и жен ия относительно системы координат, движущейся
с D-планетой, влияние притяжения Солнца может быть
~цедено к малой возмущающей силе, обусловленной только не-
Однородностью поля тяготения Солнца в окрестности планеты.
{З ( 13 будет показано, что изменения в положении и скоро-
сги, вызываемые этой силой, меньше, чем изменения, возникаю-
щие из-за неизбежных ошибок при запуске. Следовательно,
им нужно уделять меньше внимания. Эти ошибки можно
исправить путем приложения малой тяги позднее, на траек-
тории, в момент исправления ошибок, совершенных при
запуске. Во время второй фазы аппарат удалится на боль-
шое расстояние от 0-планеты и его движение будет опре-
деляться почти исключительно притяжением Солнца. Заме-
чания, которые мы сделали относительно первой фазы,
в равной степени применимы к третьей фазе. Отсюда
~сно, что всю траекторию можно рассматривать как
последовательность кеплеровых дуг, и этим приближе-
Hnåì мы будем чаще всего пользоваться в данной ра-
боте.
Может оказаться целесообразным ввести в движение
космического корабля большее число фаз, во время кото-
Рых он будет проходить вблизи еще какого-либо другого
ПРит~гивающего тела, кроме планет старта и назначения.
~а~им образом, ракета, отправляющаяся на Марс, может
»ть преднамеренно запущена на траекторию, проходящую
Луны, с целью получить импульс без расхода топ-
~HBà ~утем использования притяжения Луны. С другой сто-
~раектория может быть выбрана так, чтобы доста-
~~"но близко пройти около одной из марсианских лун, для
~~"о чтобы сохранить топливо у планеты назначения. Такие
"'~евp» называются пертурбац ионными маневрами.
12~

180
Лоуден Д. Ф.
ф 2. Обобщенная задача Майера
Чикала [1] впервые заметил (а Миеле [2 вЂ” 4] в дальнейв,
6ц
это обосновал), что задача о движении ракеты между дву„,
Ц]]
пунктами с минимальным расходом топлива может быть ~b]p
жена математически в виде вариационной задачи Майер~ и
следовательно, решена с помощью известных методов ') [5]
В этом параграфе задача Майера будет сформулирова„
в общем виде, включающем все задачи, связанные с ц,
числением оптимальных траекторий при различных условдц~
Мы изложим решение этой задачи, а затем используем ~~о
в качестве основы для дальнейших исследований.
Задачу Майера в общем виде можно сформулировать так.
x;(t) (~ = 1, 2, ..., и) суть и неизвестных функций незавя.
симой переменной t (to~(t ~(t,), которые должны удовлет-
ворять щ дифференциальным уравнениям первого порядка
с (1, to, t,, К, х, х;)=0 (j'=1, 2, ..., т (и), (1)
где Кл (Й = 1, 2, ..., q) вЂ” q параметров, значения которых
также неизвестны. Значения, принимаемые функциями х,. (t)
в конечных точках интервала (to, t,), обозначим следующяя
образом:
(2)
') Есть такие случаи вырождения задачи Майера, когда и»«т
ные методы неприменимы. вЂ” Прим. ред.
х,(to) =х,; х,(t,) = х„.
Эти значения должны удовлетворять р уравнениям
ф~(/а, t,, хи, х,,)=0 (l= 1, 2, ..., р ~(2n+2). (3)
J вЂ” заданная функция от 1а, 1,, х,.а, х,1, т. е.
1= J(t() ~,, х,о, хп). (4)
Требуется выбрать функции х,, удовлетворяющие связяя (1)
и (3), конечные точки to, t,, а также значения Кл так,
чтобы функция 1 принимала минимальное значение.
Чтобы получить стротое решение этой задачи, необхо-
димо с самого начала задать аналитические свойства функ
ций у& t и т. д и определ ть сист му реше ий х, пр
лемых для минимизации J. Однако мы не сделаем ника1 и~
иных предположений, не считая предположения, что perUe
ние х~ и его первая производная всюду непрерывны, ~~

18I
Межпланетные траектории ракет
.„ючением конечного числа точек, поскольку предметом
]!СЕЛЮ
дой работы является применение известных результатов,
данно
е описание наиболее общих условий, при которых они
а не
аведливы. Читателя, интересующегося этими вопросами,
справ
р1
ылаем к работе Блисса [5].
Обозначим через ), Х~, ..., Х множители Лагранжа,
зави
исящие от t, которые мы должны определить. Пусть
р функция, определяемая уравнением
Р=~,.р,
(7)
дх~
во всех точках, где х, непрерывны. Эти уравнения яв-
ляются уравнениями Эйлера. Кроме того, необходимо,
чтобы в конечных точках t = to, t = t, выполнялись условия
t1
до+ до + дР а0
д~о дх1о 'о дно
(8)
~1
dt, дх~, '1 dt,
(9)
дР
дх~
DF
дх~
дН
дх1о
до
дх;,
(10)
=0,
(11)
=0,
dt=0,
дК~
(12)
Здесь и далее принято обычное правило суммирования по
цндрд&lt;с м. Обозна им че ез &gt , ~~ .., ч пост
„ножители, которые также будут определены позже; пусть Н
Определяется уравнением
и = ~+.„д„. (6)
тогда функции х,, минимизирующие J, должны удовлетворять
дифференциальным уравнениям второго порядка
=0 (8=1, 2, ..., и)
dt дх;

182
Лоуден Д. Ф.
п уравнений Эйлера совместно с т связями (1) опрел
ляют т+и функций х~, )~,; при этом получается 2(~+
постоянных интегрирования. (2и+ q+ 2) уравнений (8)
совместно с р ограничениями (3) и 2т уравнениями, пол
ченными подстановкой 8 = Lp, Е = 11 в уравнения (1), опр
деляют р констант ~~, конечные точки fp, 8,, параметры g
и 2(m+n) постоянных интегрирования.
Производные х; могут иметь точки разрыва, но в ка®д „
такой точке должны удовлетворяться условия В~йрр
штрасса вЂ” Эрдмана для угловых точек. Для этого тр .
дР дР
буется, чтобы выражения ., F вЂ” x~ вЂ”. были непре.
дх; дх~
рывны в точках разрыва.
Записывая
дР
К=F вЂ” х, вЂ”.
дх~
(13)
можно показать, что
dt у' ~й
ШК дур
(13а)
Отсюда следует, что если все g& t; я но не зави ят от g,
К = const. (13б)
Это первый интеграл уравнений Эйлера. Из условий Веиер-
штрасса вЂ” Эрдмана можно заключить, что наличие точек ðãç-
рыва не оказывает влияния на постоянные члены в правых
частях этих уравнений.
ф 3. Оптимальное выведение на круговую орбиту
Чтобы проиллюстрировать накладываемые на оптималь-
ную траекторию условия, которые были приведены в g 2,
рассмотрим задачу о перемещении ракеты со стартового стола
на круговую орбйту аоируг Земли .с минимальным расаоаои
топлива. Предположим, что аппарат стартует с нулевой на
чальной скоростью и начальное направление движения не 3&
дано. Скорость в конце активного участка траектории напра.
влена по горизонтали и имеет заданное значение U (скорость
спутника). При этом конечная высота ракеты относительно
точки старта равна V. Предположим, что расход топли~~
с момента старта является заданной функцией времени

Межпланетные траектории ракет
183
q& t х Ђ” и
9~= у вЂ” о= О,
9з= и вЂ” Усов 3 = О,
ч, = v +g вЂ” f sin 3 О,
(14)
где g вЂ” ускорение силы тяжести. В рассматриваемой част-
ной задаче ограничения (1) выражены уравнениями (14) и
зависят от пяти неизвестных функций х, у, и, v, 6 (т. е.
все х,). Предположим, что старт происходит в момент t = О.
Тогда граничные условия имеют вид
g,=õo=O,
Ь2=уо=О
ф = ио=О,
~'=е,О,
уь=~p=О,
g,==y,вЂ” â€” к=О.
Ь=.,вЂ” U =О.
~,= v,=О.
(15)
Эти выражения представляют собой ограничения (3) на
~онцах. Наконец, требуется минимизировать время
J=t
(16)
путем выбора функций х, у, и, v, 3, удовлетворяющих
уравнениям (14), (15).
что компоненты ускорения f, создаваемого тягой дан-
~а~
также являются заданными функциями t. Следова-
гате
требуется рассчитать программу направления тяги,
rloa~
зцоляющую получить заданные конечные условия за воз-
~.,но более короткое время. Яля простоты пренебрежем
gËH
" „днием аэродинамических сил, влиянием возмущений. вы-
,,заемых кривизной и вращением Земли, а также измене-
нием ускорения силы тяжести с высотой Можно ожидать,
цто влияние этих факторов будет незначительным на отно-
игельно коротком участке активного полета.
1-1аправив ось Ох горизонтально, Оу вЂ” вертикально из
гочки старта О, предположим, что движение ракеты проис-
ходит в плоскости Оху. Пусть (х, у) вЂ” координаты ракеты
з момент t, (и, v) вЂ” компоненты скорости ракеты в напра-
з1лении осей, а 6 вЂ” угол, образуемый направлением тяги дви-
гателя с горизонтом. Тогда уравнения движения ракеты
могут быть записаны в следующем виде:

Функция Лагранжа имеет вид
! F =Х, (х вЂ” и)+Х (у вЂ” v) +
+Хз (и вЂ” f cos6)+Х,(v+g вЂ” f sin 6)
1
а уравнения Эйлера (7) соответственно таковы:
),=л,=&gt;, -) =)4-]-л,
f (X sin 6 вЂ” X cos6) =О.
(18}
(lg)'
Из этих уравнений следует, что
вЂ” вЂ” )а=И+К )4=«+а', (20)
et+ а'
1@6 +ь '
(21)
чз+ ч~хв+ч2уо+чзио+ ч4ОО 0
1 + чау, + v&gt; &gt; vs &g
ч1 вЂ” Х1 p вЂ” вЂ” ч~ вЂ” Л~p вЂ” вЂ” ч3 30 у, вЂ” Л4p вЂ” вЂ” О,
)11 вЂ” v6+K21 ч~+1зл вЂ” vs+)41 О,
После исключения всех v остаются следующие условиЯ'
),1 вЂ” вЂ” О, ) ау+ )~аи+ 1р = 1,
(24)
а, Ь, с, сХ вЂ” постоянные. Поэтому мы приходим к выводу (
что программа направления тяги должна быть такой, чтоб[
тангенс угла тяги 6 являлся дробно-линейной функциц
времени. Поскольку этот результат получен независимо ру
граничных условий (15), можно заключить, что програмщ
направления тяги будет сохранять такой же вид для любого
задания, выполняемого в постоянном гравитационном дол~
при отсутствии аэродинамических сил. Следовательно, этот
результат обладает очень большой общностью. Лоуден [6 вЂ” 8],
а также Фрид и Ричардсон [9] получили эту програмиу
оптимального направления тяги при исследовании других ы-
невров ракет в постоянном поле тяжести.
Функцию Н [см. уравнение (6)] запишем теперь следую-
щим образом:
Н вЂ” ~1 + ч&gt; g ;() + ч2уо+ чзио+ ч4по+ ч5 о+ а (y
+,( вЂ” ~)+
Условия (8) вЂ” (12) позволяют получить уравнения

Межпланетные траектории ракет
1
2
cos вЂ” (0, вЂ” 0,)
g . 1
sin вЂ” (О, + 0,)
2
2usV+CxU = f (sin 80 вЂ” sin 8,) sec 8 sec 8&g
(26)
Если g, U, Y заданы, то уравнения (26) можно решить
численно относительно а, ~о, ~, и траектория тогда полностью
~~ределена. При У=8 км/сек, К=81,6 км найдем, что
10, ~0=30', ~,=0'. Используя эти результаты
"уравнение (25), можно сразу же найти, что t,=231 сек.
ф 4. Оптимальные траектории ракет
06mая задача астронавтики об оптимизации траектории
Ра~еты с точки зрения расхода топлива может быть выра-
'кена математически следующим образом. Пусть D и А вЂ” две
„„~це одновременно удовлетворяются при 1 = 1,. Из первого
,О'Гоp
их условий нетрудно видеть, что а = О и, следовательно,
)13 Э
Г
.М
tg8 = вЂ” t+ вЂ”,
b b
(25)
8 является линейной функцией t.
е
Если задать f как явную функцию времени, то можно
пределить 1, 8 из уравнения (25). Отсюда следует, что
равнения (14) можно проинтегрировать и получить уравне-
„д1 траектории. Четыре постоянные интегрирования нужно
~~~брать так, чтобы удовлетворить четырем граничным усло-
ц„при t = О, а именно х = у = и = о = О. Кроме того,
,z~b три граничных условия, которым должна удовлетворять
раектория при t= 1,. Этих условий достаточно, чтобы фик-
сировать неизвестные отношения с/b, d/b и длительность
яаневра t,. Оставшееся условие (24) практического значения
не имеет и служит для раздельного определения b, с, d.
частном случае, если f постоянно и, кроме того,
~= вЂ” с/b, à 8О, 8, вЂ” соответственно начальное и конечное
Значения угла тяги, то можно показать, что три только что
упомянутых условия могут быть записаны в виде

18б
Лоуден Д. Ф.
(27)
Л = Л (~ ~о t] К» х1 хг хз)
уравнения движения ракеты, движущейся в гравитаиио~
ном поле, можно записать так:
с
у,. =-о,. вЂ” вЂ” )l,вЂ” f,. =О,
(28)
(29)
(З0)
9~+3
заданные точки, находящиеся в данном гравитационном и„
и указана скорость ракеты в этих точках. Требуется связ
С[ [~
эти точки крлвой, по которой ракета могла бы осущестд„
и~~
перемещение с минимальным расходом топлива. Таким pgp~,
зом, D может быть данной точкой старта на поверхцо~~,
СГИ
Земли или точкой на круговой орбите спутника вокру
Земли. В первом случае заданная в точке D скорость р
кеты должна быть орбитальной скоростью Земли с учет „
скорости, обусловленной вращением Земли вокруг оси. Во»
ром случае дополнительная скорость, обусловленная дви~,
нием по орбите спутника, также должна быть принята во цц„
мание. Точка А может быть точкой на поверхности Qzpzz
или на орбите спутника вокруг этой планеты. Моменты старт~ ~
и (или) прибытия могут либо фиксироваться заранее, JIHljp
не фиксироваться. Если какая-либо часть траектории прохо-
дит через атмосферу планет, то на ракету будут дейст-
вовать аэродинамические силы; предполагается, что должниц
быть известны аэродинамические характеристики аппарат~,
Здесь же мы будем предполагать, что всеми аэродинами-
ческими силами можно пренебречь и что единственны~и
силами, действующими на ракету, являются сила тяжести и
тяга двигателя.
Пусть Ох,х2хз вЂ” инерциальная система отсчета, образо-
ванная тремя ортогональными осями, и через f; (l = 1, 2, 3)
обозначены три компоненты гравитационного притяжения н~
единицу массы в точке (х,, х, х ) вдоль этих осей в мо-
мент t. Тогда мы будем полагать, что f; вЂ” известные функции
г, to, ti, К», х,, где to вЂ” момент старта, ti вЂ” момент прибы-
тия, а К» (Й = 1, 2, 3, ..., q) вЂ” параметры, физическое
значение которых будет изменяться от задачи к задаче.
Таким образом,

Межпланетнь~е траектории ракет
187
гДе
~. вЂ” компоненты скорости, с вЂ” скорость истечения из
пла l,. вЂ” направляющие косинусы тяги, 8 вЂ” секундный
рас
сход топлива, а с = 1, 2, 3.
~ уравнениям связи (28) вЂ” (30) следует также добавить
о~дество
р~а = ~1+ р 2 + 4
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
где 8 = 1, 2, 3, à d& t и ,. Ђ” соответстве но координ
точек старта и прибытия, D,. и А,.вЂ” соответственно компо-
ненть. скорости ракеты в этих точках. Моменты старта и
прибытия могут быть либо заданы, либо не заданы. В
первом случае появляются дополнительные граничные усло-
вия, а именно:
(Зб)
(37)
Итак, мы сформулировали все ограничения. Из удовлетво-
ряющих этим условиям одиннадцати функций времени не-
~колько функций, а именно х,, v,, l, Л и а, в других отно-
'шениях произвольны. Эти функции должны быть выбраны
для любой конкретной ракеты р положительно. и,
ограничено, иначе говоря, 0 ( р ( B. Следуя Миеле [4],
будем считать р монотонно возрастающей функцией пара-
йегра а ~Ю6 ииеюгдего конкретного физического содержания),
так что, когдга а измейяется в интервале ( вЂ” со, с~~~, ~3 воз-
растает от=ЧГдог 'K Функциональная завйсимость может быть
gjj6paiTa'так,='чстобеы"' d)/Шш = 0 для достаточно больших по-
дожительных или отрицательных а. Таким образом, выполнение
условия d)/du = 0 приводит к тому, что либо р = О, либо
й = В, т. е. двигатель либо не работает, либо работает с
уаксимальной тягой. Во время этого маневра (~ будет неко-
торой функцией 1.
Предположим, что координаты D и А, а также ско-
рость ракеты в этих точках заданы. Это приводит к сле-
дующим граничным условиям:
~р,=х, вЂ” «=0
y+ =х, вЂ” а,=0.
ф,+ вЂ” вЂ” и,. вЂ” D, =О,
~,+з вЂ” вЂ” v,~ вЂ” А, = О,

188
Лоуден Я. Ф.
из условия минимизации характеристической скорости 1~„
1 Н~.
(40)
(41)
(43)
где 8, j=1, 2, 3.
Из уравнений (40), (41) следует, что все ),~ удовлетво-
ряют трем уравнениям
(45)
Известно, что в прямоугольной декартовой системе коор-
динат / являются компонентами некоторого вектора. Отсюда
следует, что относительно таких систем координат д/./дх,
являются компонентами тензора второго ранга, и соответ-
ственно уравнение (45) является векторным уравнением. Сле-
довательно, величины k& t; мо но рассматрив ть ак ком
ненты вектора, который впредь будем называть вектором Х [101
Из уравнения (42) следует, что
2М
8
c)
т. е Х всегда параллелен направлению тяги (кроме случая
'р = О, когда тяга отсутствует).
- Из уравнения (44) можно заключить, что
либо ~ = О, либо
da 7 М 'i/
(1=1, 2, 3),
(47)
вра, а именно
"' М,
V c log (33) ~
Функция Лагранжа Р принимает теперь такой вид:
F=k) vi вЂ” ~ li вЂ”, ~, х,вЂ” о, ~ М
+)з(1~+1~+1з 1) (39) '
Соответственно имеем одиннадцать уравнений Эйлера:
~~+з
° д/у
4+з = вЂ” )'у °
дх~
0 = вЂ” вЂ” ' [3~, + 2Хз1,, (42)
С
л,=, рлдн,,
0= вЂ” вЂ” Х,1,+ Х (44)

Межпланетные траектории ракет
189
цо втором случае из уравнения (43) следует, что
~7= М~7,
для
7
(48)
я результате интегрирования получаем
const
М
(49)
г ледовательно, преобразуя еще раз второе выражение (47) °
получаем
~ l~ ,= const.
(60)
яо все ~~ удовлетворяют соотношению
1
»
y'ë'+- л'+- л'
(61)
Из уравнения (50) следует, что
V) ) + ) g+ ) g = сопзг,
(52)
(53)
а из уравнения (43), что
1
(54)
т. е. вектор Х имеет постоянную величину.
Как показано в работе [11], уравнения (45) не имеют
интеграла вида (52). В соответствии с этим следует рассматри-
вать первое соотношение (47), в котором предполагается,
что либо р = О, либо ~:=='Р, т.'е."двигатель"либо должен быть
выключей, либо должен работать с максимальной мощностью.
Если р =О, то ракета находится в свободном полете под
действием лишь одного гравитационного притяжения, ком-
поненты Х определяются с помощью уравнений (45), &gt;~=con
~8=0, а все l,. вЂ” неогределенны.
Если ~'='B, то направление тяги и вектора Х совпадают
и, следовательно, уравнение (51) удовлетворяется. Из урав-
нения (46) можно вывести, что

190
Лоуден Д. Ф.
Поскольку оптимальная т аекто ия состоит из дуг ~,
типов, а именйо'. а дуг нулевой тяги и б~ дуг максимальз „.
тяги, необходимо рассмотреть условия Вейерштрасс~
Эрдмана, которые должны выполняться в моменты,
Зф Д,~,
двигатель начинает или прекращает работу. Мы увии
что для непрерывности OF/дх, все ).&lt; l= 1, 2, 3, 4, 5
должны быть непрерывны в те же моменты. Поскод~ку
Х = вЂ” Х, и т. д., из этого следует, что Х и его перв„,
производные непрерыв~щ. На ~8 не накладывается ника~и
ограничений. Функция F вЂ” х,OF/дх, непрерывна, если непре.
рывна функция
С
вЂ” 4 ~ Р,+Л) вЂ” ~i+a~;+~rI
Поскольку f, и v,. обязательно непрерывны, а все ),, непре.
рывны в соответствии с доказанным, это последнее yczp&gt;
требует лишь непрерывности
м »А М. (55)
Рассмотрим момент, .когда двигатель выходит на режи~
максимальной тяги. В непосредственно предшествующий мо-
мент 3 =' О. Поэтому немедленно вслед за этим MOMpHTQM
необходимо, чтобы
вЂ” В~ i вЂ” &gt 7Â
т. е. чтобы
= вЂ” )чД = вЂ”, V), +Ö+)s2. ', (56)
Однако если двигатель начинает работать в момент старта,
то условия Вейерштрасса вЂ” Эрдмана не удовлетворяются, и
условие (56) неприменимо. Подобным же образом уравне-
ние (56) справедливо в любой момент времени, когда двига-
тель не работает, при условии, что этот момент не является
моментом прибытия.
Для любой части оптимальной траектории, которая рас-
положена в инвариантном по времени гравитационном поле
существует первый интеграл (13б) уравнений Эйлера.
имеет вид
+Þñ ~7
+Х (12+122+12 вЂ” 1) = const.
(57)

191
Межпланетные траектории ракет
14спользуя уравнения связи (28) вЂ” (31) и уравнения Эйлера
(4p) (41), можно переписать это выражение следующим
Образом:
1~, вЂ” 1р, + ) вЂ” 1,t,. вЂ” Х,) = con et.
(58)
Если условие (56) удовлетворяется при входе или выходе
из фазы максимальной тяги, то величина
непрерывна при переходе через нулевое значение в эти мо-
менты; функции ) „1, о, и f, также непрерывны. Соот-
ветственно константа в правой части уравнения (58) сохраняет
свое неизменное значение вдоль всей оптимальной траектории.
Рассмотрим сейчас ограничения (32) вЂ” (37), накладываемые
в KO т чках. ~ункция Н' составляется следующим
образом:
МО
H= с log +ч, (х,о вЂ” d,.)+v,.+ (х,1 вЂ” а,)+
1
+ чу+а (п,.о П,.) + ч '+o (&g ; i Ђ” А . + 1з ~о o
+ v&g ;4 t&g ; вЂ Т1)
где ~13 вЂ” вЂ” О, если время отправления не задано, а ~,4 вЂ” вЂ” О,
если время прибытия не задано. Теперь условия (8) вЂ” (12)
могут быть переписаны в виде
с д;
~1з+ ч~~сщ+ v~+а'пщ+ И Ма вЂ” 1! ~~ Л = О,
0 0
(60)
С д;
ч~~+ ч~ зх„+ ч,~р,, вЂ” М, вЂ” ) ~ вЂ” ' Ш~ = О, (61)
1
+6 вЂ” ~; О=О,
1
е 1+3, ОвЂ”
(62)
(63)
v,+9+),, = О,
~~+а+ ~+в,1=
с
М+ 71 О'
1
с
вЂ” вЂ” =О,
0
(64)
У О
(65)

Лоуден,ц. Ф.
192
Если времена старта и прибытия заданы, условия (60)
(64) 'служат лишь определению всех v, и не дают дополни.
тельной информации об оптимальной траектории. Однако
если время отправления выбирается так, чтобы расход топлив~
был минимальным, то v,3 Î. Исключая ~,, ~~+6 из уравце.
ний (60) и (62), можно найти нетривиальное граничное условие
накладываемое на оптимальную траекторию, а именно
t,
1р,+&gt ., , ~ 4 f l,d t,
to
в точке старта. Аналогично если момент прибытия не задац,
то в этот момент должно быть выполнено следующее условие:
11
to
Используя уравнения (30), (40), можно переписать эти
условия в виде
(67)
(68)
для определения момента старта и
(69)
для определения момента прибытия.
Л7 постоянна вдоль дуги нулевой тяги, а для дуги макси-
мальной тяги определяется из уравнения (54). Уравнения (64)
показывают, что в концевых точках Х~ должна удовлетворять
условию
Л = вЂ”.
с
М'
(70)
q уравнений (65) служат для определения оптимальных
значений К».
Этим завершается построение системы условий, которь~е
необходимо удовлетворя ются на оптимальной траектории
Простейшая форма, к которой они сводятся в наиболе~
важном для излагаемой ниже теории частном случае, будет
исследована в следующем параграфе.

Межпланетные траектории ракет
ф 6. Случай импульсных тяг
Несмотря на то что в большинстве рассматриваемых
нике задач В является конечной величиной, время действия
яги, необходимое для требуемых изменений скорости, будет
„~до по сравнению с временем свободного полета вдоль дуг
нулевой тяги (несколько минут по сравнению с сотнями дней).
g соответствии с этим можно с весьма высокой степенью
точности считать тягу импульсной и пренебрегать перемеще-
нием ракеты во время фазы полета с максимальной тягой,
е. считать, что оптимальная траекторйя состоит из дуг
нулевой тяги, связанных точками соединения; в которых
прикладываются импульсы.
Из-за относительно малой длительности фазы полета
1 2 3
выражение получено путем интегрирования по частям.
Но поскольку условие (56) должно выполняться на каждом
KOH««å интервала (h, h) (при условии, что конечная точка не
является концом траектории), то из уравнения (71) следует, что
й
1;1;
Я=О.
дИ ],~ й 2 У «2 + й 2
(72)
13 зак. 598
с тягой компоненты вектора А и его первых производных.
как это Следует-из уравнения (45) будут оставаться д,тече-
ние ~cero изительно постоя мы
можем пренебречь любым изменением этих величин. Од««ако
было доказано, что эти величины всегда непрерывны при
входе и выходе из такой фазы. Отсюда следует, что они
непрерывны в точке соединения конца одной дуги нулевой
тяги с начальной точкой следующей дуги. Это йервая система
упрощенных условйП.,
Предположим, что фаза полета с максимальной тягой на-
чинаетсяппи t'=- h и заканчивается при Х=Й. Тогда, инте-
грируя уравнение (54) по всему интервалу (h, Й), найдем,
что в период этой фазы Х, получает приращение
й
Я~ 1 2 3
й

194
Лоуден Д. Ф.
Если пренебречь изменением Х,, Х, в период этой фазы, т„
условие (72) имеет вид
(73)
Очевидно, что интеграл в этом выражении не равен нуд~.
таким образом,
(74)
(75)
Но в начале этой фазы полета Х, задается уравнением (70),
а в ее конце вЂ” уравнением (56). Отсюда следует, что в начале
фазы
' g)9, + Ц+ 12 = 1.
Поскольку компоненты вектора Х суть отношения ком-
понент тяги к ее модулю во время работы двигателя, то это
означает, что они фактически являются направляющими ко-
синусами.
Если двигатель не работает в точке отправления, то ~7
остается постоянной и равной значению, определяемому
с помощью уравнения (70), пока не будет достигнута первая
точка соединения, где применимы условия (56). Это означае~
что уравнение (76) справедливо в этой точке соединения, H
компоненты Х здесь являются направляющими косинусами
для импульсной тяги. В конце первого импульса - тяги ypQB-
кение (76) будет еще справедливо, так как компоненты век-
в точках соединения.
Сформулированное выше утверждение несправедливо
если точка, в которой прикладывается импульс, является
концевой точкой траектории, где условие (74) не обязательно
удовлетворяется.
Если импульсная тяга прикладывается в точке старта, то
в течение этой. короткой фазы полета изменение Х7 опреде-
ляется уравнением (54). Если пренебречь изменением компо-
нент вектора Х за этот период, то уравнение (54) может
быть проинтегрировано по времени действия тяги, и мы
получим

I95
Межпланетнь~е траектории ракет
'Г0
заметно не изменятся с момента начала выдачи
ИМП
мпульса. Но условие (56) должно быть удовлетворено,
КО~
„гда двигатели выключаются. Следовательно, в этот момент
с/hf, и приведенные выше рассуждения можно повторить
И
показать справедливость уравнения (76) во второй точке
„единения. Рассуждая таким же образом можно доказать,
то результат (76) справедлив во всех точках соедийенйя,
а условие (70) тогда автоматически удовлетворяется в точке
п~ибйтии„'-' '
Из первой группы ограничений (28) следует, что
Хр, = вЂ” (3k,l,. +k,.f, = вЂ” ~+ k,f),
(77)
поскольку на дуге нулевой тяги ) = 0, а в точке соединения
~ =l Следовательно, условие (68) можно переписать в виде
Е'
~1
О
f.:
оно должно удовлетворяться в точке старта, если to не задано.
Подо6ным образом из уравнения (69) можно вывести, что
1,f,â€” 1р~ вЂ” вЂ” вЂ” fk, ' dt
1
(79)
в точке прибытия, если не задано t,.
Для дуг нулевой тяги, расположенных в гравитационном
поле, инвариантном по времени, первый интеграл уравнений
Эйлера (58) существует и имеет вид
' "l
., l, f,. вЂ” ) р, = const. (80)
Константа остается неизменной на любых двух дугах, не
разделяемых фазой, во время которой ракета подвергается
воздействию поля, изменяющегося со временем. Если компо-
ненты поля f, не зависят от времени, то условия (78), (79)
показывают, что постоянная в правой части уравнения (80)
Равна нулю.
Подведем итог всему сказанному. Если режим работы
двигателей близок к импульсному, то компоненты вектора Е
должны удовлетворять уравнению (45); и в каждой точке
13~

Лоуден Я. Ф.
соединения должны выполняться следующие условия:
1) Х,, k,. должны быть непрерывны,
2) );~ч =О,
3) k, должны быть направляющими косинусами тяги.
(81)
Из этих условий следует, что в точке соединения ве~.
тор Х и его производная непрерывны и эти векторы орто.
ГOHB JIbHbI.
Если импульсная тяга прикладывается в конце, то у~~о
вие (81 2) не выполняется в этой точке.
Кроме того, если времена старта и (или) прибытия варан
не заданы, условия (78) ' и (79)' должны -удовлетворяться
в соответствующей концевой точке.
Если гравитационное поле' инвариантно по времени, То
уравнение (80) справедливо для всех дуг нулевой тяги. Тогда
условие (81.2) следует из того, что правая часть этого урав-
нения сохраняет одно и то же постоянное значение для двух
соседних дуг. Поскольку 1,, k,, Л непрерывны в точке сое-
динения, то
~~+j э
где е, о+ вЂ” компоненты скорости непосредственно до и
после приложения тяги в этой точке. Но
Следовательно, условие (81.2) выполняется.
Условия, полученные в этом параграфе, были выведены
другим методом в работе [12].
ф 6. Вектор Х на кеплеровой дуге
Яля большей части межпланетной траектории притяжение
одного тела будет преобладающим. При этих условиях дугоп
нулевой тяги является коническое сечение с центром притя-
жения, расположенным в его фокусе. Для того чтобы теорию
развитую в предыдущем параграфе, можно было примени~~
к задаче определения оптимальной межпланетной траектории

Межпланетные траектории ракет
197
„редварительно необходимо определить компоненты вектора Х
„~ дуге конического сечения.
пусть прямоугольные оси Oxyz образуют невращающуюся
истему координат и выбраны так, что О есть центр притя-
&lt;ен я а ку е ть плоско ть коничес ой орби ы. Пу
О вЂ” полярные координаты точки Р на конической орбите,
Р и с. 1. Оси координат.
yr
(r2 + )'2 + z2) ~и
(р"2 + ) 2 + ~2)'!1
(82)
yZ
отсчитываемые, как указано на рис. 1. Предполагается, что
они выбраны таким образом, что 3 возрастает, когда Р дви-
жется вдоль орбиты. Обозначим через OXYz вторую систему
координат, которая вращается вокруг Oz с угловой ско-
Ростью 1, так что P остается на ОХ во время своего дви-
жения. В любой точке (r, Y, z) во второй системе координат
спектор силы тяжести имеет компоненты

198
Лоуден Я. Ф.
направленные вдоль осей системы, причем у постоянна д,~„
данного поля. Взяв частные производные этих компоте~
по переменным r, Y, z и полагая V=z=0, найдем. Что
в точке Р
df
вЂ” О,
df 2т
Of
вЂ” д~ =0,
дг г' '
дд
«д =0,
ь» 7
д)' г' '
дд
г 0'
(83)
дЬ у
дг г'
вЂ” вЂ” О,
дй
дг 0'
Отсюда следует, что если k, р, ~ являются компонентами
вектора Х в точке Р относйтельна второй системы координат
(см. рис. 1), то компоненты в правой части уравнения (45)
относительно этой системы координат имеют вид соответ-
ственно
1
вЂ” вЂ” 1Е вЂ” вЂ” v.
рЗ 3 ( э уЗ
(84)
Юр = р+ 2Я X р + 8J &g ;С р+ О ( ° Vj Ђ”
(85)
где J вЂ” единичный вектор в направлении Oz.
Введем вектор q такой, что
(86)
р=щ
Тогда тождество (85) принимает вид
02р = rq+ 2rq + (r вЂ” r0~) q+ (гО + 2r О) J )( q+
+ 2r8j )( о+ гЯ qj.
(87)
Если воспользоваться полярными уравнениями движения
точки Р, а именно
r вЂ” гО'= вЂ” вЂ” т,, гО+2r 0=0,
f'2
(88)
Левую часть уравнения (45) можно записать в виде D2ð,
где р есть Х-вектор, à D означает оператор скорости изменения
относительно невращающейся системы координат (т. е. Oxyz).
В настоящем параграфе скорости изменения относительно
вращающейся системы координат OXVz будем обозначать
точкой. Тогда

Межпланетные траектории ракет
199
уравнение (87) сведется к виду
Юр = rq+ 2гq+2r Я &g ;( q+ r ~J qj Ђ + q. (
Если обозначить штрихом дифференцирование по 3 и рас-
матривать движение относительно вращающейся системы
~00рдинат, то
q= t3q',
ц ~2ц~~+ 4~
г'.ледовательно, тождество (89) эквивалентно
(90)
(91)
ур = г02п" + (r9+ 2r 9) q'+ 2гЩ )( q'+ гЩ qJ вЂ” + q =
= гб~(q" +2] X q'+j qi) вЂ” â€”,'2 q (92)
Известно, что при движении вдоль кеплеровой д ~ти
r&g ; = 1/
(93)
где 1 вЂ” параметр орбиты. Отсюда следует, что тождество (92)
окончательно может быть записано в виде
й = â€”,', Ч"+2)Xq'+1 qJ вЂ” вЂ”,Ч .
(94)
Обозначим через и, v, м компоненты вектора q соответ-
ственно в направлении ОХ, OY, Oz. Тогда из уравнения (86)
получим
(95)
Х=ги, р =го, ~=гя,
и компоненты правой части уравнения (45) вдоль этих осей
[см. уравнение (84)] принимают вид
вЂ” и, вЂ” вЂ” v, вЂ” вЂ” я. (96)
р2 р2 у
~ðnðàÂííÂàà их соответствующим компонентам вектора Юр
из тождества (94), получаем следующие уравнения для и, v, тв:
3r
и" вЂ” 2о' вЂ” вЂ” и= О
Э
v" + 2и'
9 +И
=О,
= О.
(97)
(98)
(99)

Лоуден Д. Ф.
200
Поскольку гравитационное поле не зависит от времен~
существует первый интеграл этой системы уравнений
&gt;p=p B Х
= rq+ rq+ rBj &g ;
= rBq'+ rq+ rBj )( q.
(100)
Компоненты вектора f относительно OXYz равны соответ.
ственно вЂ” т/r~, О, О, а компоненты вектора ч соответственно
r, rB, О. Поэтому уравнение (80) принимает вид
вЂ” 1 и вЂ” г(гои'+ ru вЂ” гЬо) вЂ” rB (rBv'+ rv+ гни) = const,
r
или
ri Bu'+ г282п'+ ir~+rÞ+т а=сопя1.
r
(101)
Если е вЂ” эксцентриситет, а а вЂ” долгота перигелия орбиты,
то
1
вЂ” = 1 + e cos (B вЂ” и),
r
(102)
вЂ” sin (9 вЂ” и).
Т
l
г=е
(103)
В силу этих уравнений и уравнений (93), первый интеграл
можно записать в виде
и'csin f(1+еcos f)+v'(1+еcos f) +
+ (2+ е~+ 3e cos f) и = С, (104)
где
(105)
вЂ” истинная аномалия.
В частном случае, если е = О (т. е. орбита круговая),
то г=1 (радиус орбиты), и уравнения (97) вЂ” (99) приводятся
к следующим:
и" вЂ” 2о' вЂ” Зи = О,
(106)
v" + 2и'
ы" + т
=0,
=О.
Первый интеграл (104) в этом случае является результатом
интегрирования третьего уравнения этой системы.-

Межпланетные траектории ракет
201
Общее решение уравнений (106) теперь легко найти, и из
~его следует, что
) =Асов f+B sin f+2C,
р=2Вcos f вЂ” 2А sin f вЂ” ЗС/+D,
)) =Ecos f+ F sin f,
(107)
(А, В, С, D, E, F вЂ” постоянные интегрирования).
B случае е ф 0 уравнение (97) отбрасывается в силу су-
шествования первого интеграла (104). Интегрируя уравне-
ние (98), получаем
v' = Ае вЂ” 2а.
(108)
Используя этот результат и исключая v' из уравнения (104),
находим, что
g'sin f (1+еcos f)+ и(е вЂ” cos f вЂ” 2еcos~ f) =
= C вЂ” А (1+ е cos f)s. (109)
и = (1+ е cos f) (А cos /+ Be sin /+ CI), (110)
где
1= sin
d
sin' f (1+ e cos f)s '
(111)
Интеграл 1 можно вычислить в элементарных функциях.
результат был получен в работе [10]. Если моменты отпра-
вления и прибытия заранее не заданы, то С = О и вычислять 1
не требуется. Подставляя выражение для и в уравнение (108)
и интегрируя, определяем е в виде
o = (1+ е cos f) ( вЂ” А s(c f+Â(1+ s cos f)+.
где
cigf 1+еcos f
е(1+е cos f) е sin f
Уравнение (99) легко интегрируется, и мы получаем вы-
ражение для я:
(112а)
то= Е сов f+ F sin f.
(113)
интегрирующий множитель этого уравнения равен
(1+ е сов f) з1п f и соответственно общее решение урав-
нения имеет вид

202
Лоуден Д. Ф.
Теперь можно заключить, что
Х=Аcos/+Besin f+Cl,
р. = вЂ” А sin f + B (1+ e cos f)+ " +
v = (1 + e cos f) ' (E cos/+ F sin f)»
(114)
(115)
эти компоненты имеют вид
~= р.+ й,
~=ч,
(=) вЂ” 5p,
или
~=()' вЂ” р) 6 n=(v' +)) 9.
(116)
В случае кругово~ орбиты, подставляя выражения для 1
р,, ч из уравнений (107) и полагая 0= y~' а~' (где 7.вЂ” ра
диус орбиты), получаем компоненты Dp a виде
«Y~'
вЂ” (А sin f вЂ” В cos /+ 3C/ вЂ” D),
а~"
= вЂ” вЂ” (Аcos f+ Вsin f+C),
~'!з
а~'
(117)
~'/з
вЂ” ( вЂ” Е sin f + F cos f).
а~'
В случае e+ 0 можно найти, что
B+CK},
r' 1+еcos f
~'la
~1=+ { вЂ” А(е+соз f)+ De sin f+Ccos f},
а~
Чз
«=+ { вЂ” Esin f+(e+cos f) FI,
/З/г
(118)
где
1
е
cosec f.
е яп' f вЂ” cos f
е sin f (1 + е cos f }'
(коэффициент l входит в каждую из шести постоянных инт .
грирования А, В, С, D, E, F).
Нам потребуются также компоненты Qp по тем же самы,
трем направлениям. Поскольку
~р=р+Ч X p.

203
Межпланетные траектории ракет
ф 7. Оптимальный переход между компланарнымн
эллипсами
А'cos f'+ В'е' sm f' = А cos f + Be з1п f = sm р,
вЂ” А' sin f '+ B' (1 + е' c os f ') +
= вЂ” Asin f+B(1+ecos f)+ =соя~,
0 вЂ” Аsin f
1+еcos f
1+ е' cos f' 1+ е cos f
Г ~'( вЂ” А'(е'+cos f')+ D'å'sin f'I =
=l '( вЂ” A(e+cos f)+ Deз1п f);
(119)
здесь f' и f являются истинными аномалиями орбит в точке
соединения.
Предположим, что ракета движется в гравитационном
поле, обусловленном притяжением одного тела, а условия
в To÷êå отправления таковы, что, пока двигатель не вклю-
цен, она движется по эллиптической орбите, имеющей па-
раметр l,, эксцентриситет е, и долготу ближайшей точки
ю%ф
апсиды и1. Допустим, что условия в точке назначения таковы,
г''" Ф~ъФ
что ракета должна двигаться по эллиптической орбите (l&g ;, s, и
B этом параграфе предполагается, что эти орбиты компла-
нарны и время перехода не задано заранее (таким образом,
С= 0). Тогда если принять также, что траектория перехода
лежит в плоскости этих двух орбит, то очевидно, что век-
тор Х должен лежать в этой плоскости и, следовательно,
компонента z есть нуль (т. е. Е, F следует положить рав-
ными нулю).
Будем считать точкой соединения в этой плоскости каж-
дую точку, в которой встречаются две кеплеровы дуги.
Предположим, что в этой точке осуществляется переход
с орбиты (l', е', и') на орбиту (1, е, и). Обозначим через
А', В', D' значения постоянных интегрирования в выраже-
ниях (114), удовлетворяющие первой орбите, а А, В, Dâ€”
значения, удовлетворяющие второй орбите. Пусть ~ вЂ” угол,
образованный направлением тяги Т, приложенной в точке
соединения, с перпендикуляром к радиусу из центра притя-
жения (рис. 2). Тогда из условий (81.1) и (81.3) следует,
что необходимо выполнение следующих соотношений:

Лоуден Я. Ф.
204
Если r вЂ” расстояние точки соединения от центра принц
жения, то из уравнения (102) следует, что
//
е' cos f' = вЂ” вЂ” 1,
Г
(120)
L
ecos f = вЂ” вЂ” 1.
Г
(121)
Обозначим через В' компоненту скорости ракеты после
прибытия в точку соединения в направлении, перпендику
лярном к направлению линии действия тяги. Тогда, обозначая
Рис. 2. Импульс тяги в точке соединения.
вЂ” (1+еcos f),
(122)
находим, что
g = о~ sin ~р вЂ” e, cos y =
ф0
sin q вЂ” е'
r
вЂ” sin f' cos q. (123)
Следовательно,
//
вЂ” sec y.
7
//
е' sin f' = вЂ” tg q вЂ” W
r
(124)
черезов„о, соответственно радиальную и транс версаль ную
компоненты этой скорости и используя уравнения (102), (103)
и уравнение

205
Межпланетные траектории ракет
г1оскольку компонента W не изменяется под действием тяги
двигателя, то
l 1
е sin f = вЂ” tg!p вЂ” W вЂ” sec&lt р. (1
Г 7
Исключая А', В', D', В, D из уравнений (119) и раз-
решая их относительно А, находим [используя уравнения
(120) вЂ” (125)], что
1/
вЂ” А=В' вЂ” вЂ” sin q&g
//з %/
(126)
1
Из второго уравнения (119) следует
Be sin f = sin !p вЂ” А cos f.
(127)
Подставляя значения А из уравнения (126) и используя урав-
нения (123), (125), можно показать, что
l ~/з
е'В= вЂ” вЂ” ! !+, юп~) совр+
r mi'/
gag /2
+ вЂ” sin cp вЂ”, tg ip. (128)
Г 1/
Переписывая четвертое уравнение (119) в виде
B+D=(1+еcos f)cos&lt;p+(2+e os f)(A i f Ђ” Be os
(129)
и подставляя выражение для А и В соответственно из урав-
нений (126), (127), получаем
~/а 1
В+ D= вЂ” ( !+, ! + вЂ” sin! сов!!. (!30)
wi'/ Г
Вернемся теперь к двум орбитам, между которыми дол-
жен быть осуществлен переход. Если эти о биты пересе-
~а~отся, то переход может быть осуществлен посредством
Жного импульса тяги п иложенногб в точке соединения.
11ри таком маневре условия оптимального перехода будут
Удовлетворены, поскольку выражение для вектора Х будет
волн)чать три постоянных интегрирования А', В', D' на
начальной орбите и три вЂ” А, В, D вЂ” на конечной орбите. Мы
показали, что шесть условий (119) могут быть удовлетво-
Рены надлежащим выбором этих величин. Конечно, угол у
в ~том случае должен быть известным.

Лоуден Я. 4.
206
Однако если орбиты не пересекаются, то для осущест.
вления перехода нужно приложить по крайней мере два
импульса. Оказывается, что даже в том случае, когда ообит~~
пересекаются, двухимпульсный перехад часто более Эконо.
мичен, чем бдноимпульсный. Однако теория, развитая в g 5
йе дает критерия, с помощью которого может быть найдено
число точек соединения на абсолютно оптимальной траекто
рии перехода. Это число может быть найдено в каждом
конкретном случае лишь путем прямого сравнения расходов
топлива при различных режимах оптимального перехода.
Рассмотрим двухимпульсный переход с помощью орбиты
перехода (1, е, и), пересекающей данные орбиты (1,, е,, и,),
(l2, е~, и~) в двух точках соединения. Пусть г,, г~ вЂ” значе-
ния г, W~, W~ вЂ” значения W и ~,, $~ вЂ” значения р соответст-
венно в первой и во второй точках соединения. Если А, В,
D вЂ” постоянные интегрирования, которые входят в выражения
для компонент вектора Х, вычисляемых на орбите перехода, то
они должны удовлетворять уравнениям (126), (127) и (128)
в обеих точках соединения. Следовательно, записывая
(131)
r= вЂ”,
S
В'= у'~~2 яп q,
(132)
(133)
получаем
(134)
(s, вЂ” р) (1+ р'~ Л,) cos q, + (s, вЂ” Z,ð'l~) sin &lt p, tg q
р!2
= (s2 вЂ” р) 1+ вЂ” cosy&gt;, (s Ђ” Z,р' 1) in &lt;p g&lt;
(
(136)
Эти три условия, которые должны удовлетворяться на
оптимальной орбите перехода, были получены в работах [1О1
и [11].
Пусть f,, f вЂ” значения истинных аномалий соответственно
в первой точке соединения на орбите старта и на орби«

207
Межпланетные траектории ракет
п~рехода. Тогда если 3, вЂ” долгота этой точки соединения, то
Л=9i вЂ” ~i f 9i вЂ” ~ (13т)
долагая
е
= вЂ” в
(138)
иа уравнений (120), (121), (124) и (125) можно вывести, что
q,cos(8,â€” и,)= s,â€” р,,
1/2
q, sin(8,вЂ” и,) = si вЂ” Z,ði' tgcp,,
q сов(9, вЂ” и) = s, вЂ” р,
q sin (9, вЂ” и) = (s1 вЂ” Z, р ~') tg &lt;
(139)
(140)
(141)
(142)
Аналогично если ~~ вЂ” долгота второй точки соединения,
~72 сов(92 &lt; 2 =
1/21
qg в1п (8 вЂ” и ) = г вЂ” Zgp2') tg (f g,
q cos(82 вЂ” u&g ; = s~ Ђ”
q в1 п (9в вЂ” и) = (в2 вЂ” ~яр'~ ) tg &lt;
(143)
(144)
(145)
(146)
и, следовательно,
«~1
U = ~ seep вЂ” Wtgq.
r
(148)
Если U' вЂ” та же самая компонента непосредственно после
приложения импульса, то аналогичным образом можно дока-
Одиннадцать уравнений (134) вЂ” (136), (139) вЂ” (146) опре-
деляют одиннадцать неизвестных s,, s~2, О,, 6~, Z&g ;, 2, ,,
p, q, а и, следовательно, определяют оптимальный переход,
соответствующий двухимпульсному режиму.
Предположим, что ракета движется по орбите (1, е, и) и
импульсная тяга прикладывается в точке Р, переводя ее на
OÐ~»ó (1', е', и'). Обратимся к рис. 2. Пусть U вЂ” компо-
HeHòa скорости ракеты в направлении тяги непосредственно
~перед приложением тяги. Тогда если спроектировать ско-
Рость на трансверсальное направление, то очевидно, что
v& t; Ђ” Ђ” Усо ~ W in lt;p,

208
Лоуден Д. Ф.
зать, что
fl
U' = " вес ~ вЂ” W tg q.
(149)
Отсюда следует, что изменение скорости, вызываемое импуль.
сом, равно
1/
U' вЂ” U = вЂ” (l' ' вЂ” l ') вес &lt
(150)
Используя преобразования (131) и (133), это выражение
можно переписать следующим образом:
U' вЂ” U = 1'~2в (p' ~' вЂ” p ~') sec q. (151)
Характеристическая скорость двухимпульсного маневр~
соответственно равна
'1'~&gt; (P '~ Ђ” P~-' ') «g +1'~&g ;~ P~ ~ вЂ” P ~2) ес~~
ф 8. Компланарные конечные эллипсы с малым
эксцентриситетом
Полученное в предыдущем параграфе решение уравнений,
которое позволяет найти оптимальную орбиту перехода между
компланарными эллипсами, связано с довольно трудными
вычислениями. Однако, как показано в работе [13], если эти
эллипсы имеют малый эксцентриситет, то можно легко найти
приближенное решение.
Пусть (р,, sq,, и,) вЂ” параметры орбиты старта, а
(р2, aqua, и~) вЂ” соответствующие параметры орбиты назначе-
ния и а является малой величиной. Эксцентриситеты этих
орбит соответственно будут равны sqi/р,, ед,/р,. Символы
р, q, а, s,, (),, s2, 02, Z,, Z2, q,, q~, смысл которых был пояс-
нен в предыдущем параграфе, заменяются здесь символами
р, д, о~ и т. д. Будем предполагать, что эти величины можно
разложить в ряд по степеням s, так что
р = p+ ч'+ "p" +
) (153)
8 =8 +ев +ев +
и т. д. (заметим, что штрихи больше не обозначают операции
дифференцирования).

Межпланетные тдаектории ракет
209
подставляя эти разложения и значения параметров конеч-
иык орбит B урав~~ния (134) вЂ” (136), (139) вЂ” (146) и при-
ванивая коэффициенты членов каждого уравнения при
„динаковых степенях а, мы получаем из членов при нулевой
~тепени е следующие уравнения:
2,вЂ” вЂ” ~1~~,= 2,вЂ” вЂ” ~1~~, (154)
р /2
(s& t; Ђ” р) 1+ co y, + s, Ђ” Z,р ~) in lt p, t
1
р /2
=(s2 вЂ” р) 1+ соя~2+(s2 вЂ” 2 р'~) sing& t; tg p~ (1
2
~1~Р P
1+ ' ', cosy,= 1+ ', cosa~,
(156)
О=s, вЂ” р,,
0 = (s( вЂ” Z( р',~ ) tg g
qcos(9, вЂ” и) = s, вЂ” р,
q slB (9 вЂ” и) = (а вЂ” ~ р%) tg и,,
O=s2 вЂ” р
0=(s вЂ” Z p' ) tg~,
(157)
(158)
(159)
(160)
(161)
(162)
q cos(92 вЂ” ) = в, вЂ” p,
д в1п (92 вЂ” и) = (я вЂ” 2 р'~ ) tg и .
(163)
(164)
Если уравнения (158), (162) удовлетворяются при
s~ = 21Р~' S2 = Z&gt;p
(165)
т о можно найти, что это приводит к недопустимым условиям,
Наложенным на р, и р . Единственным возможным случаем
является следующий:
"" 1
1, tg 9, tg 9& t;
Из уравнений (160), (164) непосредственно вытекает, что
~ажлый из углов 5& t; Ђ” а, 5&g ; вЂ” а р вен О и и т~. днак
~ти углы одновременно принимают значение нуль или ~т, то
УРавнения (159), (163) противоречивы. Следовательно, мы
должны принять,.
9& t; Ђ = О, 92 Ђ =
~ ° «»
(166)
14 зак. 598

210
Лоуден Д. Ф.
Тогда из уравнений (159), (163) получим
1 1
р= вЂ” (з,+а2)= вЂ” (р,+р2),
1 1
q = 2 (sz ва) = 2 (pz вЂ” Ра).
(168)
(169)
Яти результаты указывают на то, что надо принять р, ) p,
т. е. что орбита старта лежит внутри орбиты назначейия.
Если имеет место йрь отивоположный случай, то необходимо
принять
1 4%Р йыый
81 вЂ” и = я, 8& t; Ђ =
(170)
1 2а,а,
(171)
q а,вЂ” а,
(172)
Поскольку g&g ;, g2 pBB bI H IH О, H IH ~, Q, очевид о,
уравнение (154) удовлетворяется. Оставшиеся уравнения (155),
(156) определяют Z,, Z2. Прежде чем разрешить эти урав-
нения, нужно детально изучить решение, соответствующеф
нулевому приближению.
Если а= О, то орбиты старта и назначения вЂ” окружности
и решение, соответствующее нулевому приближению, является
точным решением задачи об оьйгтимальном переходе между
ними. Ураянениа 4ТОУУубйаьгпают на то, что импульсные тяг °
прикладываются в апсидальных точках переходного эллипса,
который касается 'орбит и' этих- точках. Этот режиьг перехола
йеждюу двумя круговыми орбитами по эллипсу, одновременно
касающемуся обеих- орбит-,--бйл- -открыт-романном [14). такой
эллипс перехода носит его имя и изображен на рйс'. 3. Если
переход происходит с меньшего круга на больший, то тяги,
прикладываемые в апсидальных точках А, А', ориентированы
по направлению движения в этих точках и q, = q = Oи При
переходе с 6oJII~&lt I&gt; кр ~д на м н ш й ~ ~ =~.
тация большой оси АА' эллипса перехода неопределенна,
т. е. и может иметь любое значение, и тогда уравнения (167)
[или (170)] определяют 8,, 82. Если а,, а~ вЂ” радиусы двух
круговых орбит (а, & t; а ), то р1 Ђ” Ђ” 1/ 1, р2 Ђ” Ђ” 1/ 2 и
уравнений (168), (169) следует, что параметр и эксцентри-
ситет орбиты перехода задаются в виде

Межпланетные траектории ракет
21Е
~:ледовательно, большая полуось этой орбиты равна
1
2 (~1+
(17З)
р~о следует также из рассмотрения рис. 3.
Р и с. 3. Эллипс Гоманна.
Из уравнения (152) можно найти, что характеристическая
скорость этого маневра равна
%(
«7
й~
2
вЂ” 1 +
2~
+, (174)
где
(175)
Возвращаясь к общему случаю, когда в ф О, и полагая
y, =~ = О (или р, = у~=т~) в уравнениях (155), (156), вти
Уравнения можно свести к следующим:
2 ~/2+(Р,+Р,) * z+z) =О.
зр, + р, р, + зр,
Zi Z2
(175)
(177)

212
Лоуден Д. Ф.
Отсюда следует, что
W 2(р)+р)
р, &lt;-
V & t; P + a) (
Зр, +р
22=
Перейдем теперь к рассмотрению членов при первой сте-
пени е, появляющихся в уравнениях (134) вЂ” (136), (139) вЂ” (146).
Осуществив некоторые упрощения с помощью только что
полученных результатов, найдем условия
у ~,' вЂ” 2~ вЂ” ~' (~2, 179
p1'/2
(s' ,Р') 1+ ~ +(р вЂ” р)
2р /'У1 21
р /2 p' p' Z2,'
= /2,' вЂ” P') () + +)Р вЂ” P), () 80)
2 2 2
I /
Z$ Р
У 'I ~P2+P) У2 'I + 2У 'I )
Яр 2 Z&g ; 2 2 &
~2+ р
2
(Р2+Р) .2 2/ + /,
2~ 2~ 2~
~~ +Р
(181)
(здесь и в дальнейшем верхний знак берется в случае пере-
хода с внутреннего эллипса на внешний, а нижний знаквЂ”
в противоположном случае).
Разделив уравнение (187) на уравнение (183), получим
q2 sin (co& t; Ђ” )) p2 Ђ” Z&g ;p&
р °
д sin (й вЂ” й) (p& t; Ђ” Z&g ;p
(190)
+ +q& t; os (й Ђ” , =
q& t; in (й Ђ” , = (р Ђ” 2 РЯ
+ «g 8', вЂ”,9',
(' вЂ” ')=( вЂ” ' ").'
~ д cos(й вЂ” й ) = s'
вЂ” q22 sin (О) вЂ” О)~) = (Р вЂ” Z~P /2) Р
/
+ 1~ 2
вЂ” q (6 вЂ” й ) = (p вЂ” Я~р /2) р
(182)
(183)
(184)
(185)
(186)
(187)
(188)
(189)

Межпланетные траектории ракет
Используя уравнение (179) и подставляя выражения для
g, Ps из уравнений (178), уравнение (190) можно переписать
в виде
sill (Й вЂ” й) q, ps
= вЂ” Pâ€”
sill (й, вЂ” Й) д Р,
(191)
где в первом приближении
1+ Зх вЂ” ~2(1+ х) 1д
(х) =
(192)
(1+ х) /2
3+хвЂ”
функция tglo определяется уравнением (191), а именно
цд $1П Й1+ $1П й,
Q с0$ Й, + с0$ Й, '
(193)
где
Q= вЂ” P
Ч1 Р2
Ч~ Р1
(194)
Весьма приближенно можно принять
(195)
Р(х) = х
и, следовательно, с той же самой степенью приближения
вв1Р2 1
qsp, Е, '
(196)
Таким образом, приближенно
ю1 SIII 101 + 8g Sill Й$
1ДО)=
мч °
ю1 е0$ Й1 + ю2 С0$ Й$
(197)
1.') Зак. 698
Следовательно, если е,)) е, то й= й,; тогда как если
в,)) е,, то й =й . Эти результаты можно сформулировать
так: главная ось оптимального эллипса перехода cmpe-
митддсоэпасюв с главиойосвю концевого эллипса, имею-
Щего больший энсцентриситет. Это есть правило при-
аддвддия,,эддгдсгвдцгиоггг~еюае, В частности, если одна
орбита есть круг, а другая вЂ” эллипс, то можно найти, что
Уравнения, определяющие оптимальную орбиту перехода,
л~гко разрешимы, главные оси переходного и концевого
~клипса точно совпадают и эллипс перехода касается обоих
концевых эллипсов. детальное исследование этого вопроса
изложено в работе [131.

Лоуден Д. Ф.
После определения й из уравнений (182), (186) находят
s,', г'. Тогда из уравнений (184), (188) получим
1
p = + вЂ” {g( соз (m вЂ” mg) вЂ” Д2 cos (m вЂ” 11&gt;2 ), (1
t q = вЂ” q,ños ~о вЂ” а1 Ч2соя Й вЂ” о)2 . 199
Из уравнений (183), (187) определяют 21 ч1,', а из ур»-
нений (185), (189) определяют (111 вЂ” и ), (6& t; Ђ и ). Па
г~сг /
метр а на этой стадии не определен, но его можно найти
/ /
рассматривая члены второго порядка малости. Наконец, Z&g ;
определяются уравнениями (180), (181). Теперь можно при-
ступить к рассмотрению членов второго порядка малости
относительно a..
Из уравнения (152), пренебрегая членами при а2, полу-
чаем выражение для характеристической скорости t/ маневра
перехода
Т- ~=+{Р-„2+,- &lt;„-
вЂ” s {О соз (Й вЂ” й;)+ Н сов (й вЂ” й2)], (200)
где G u H вЂ” положительные величины,
Р1 + Р2
'г' 2 (Р, +Р2) 1' J
~Р1+ Р2
1 ~ (Р1 +Р2)
р-1/Л
1
(201)
а= р-'~вЂ”
2
Уравнение (193) имеет два различных решения для й,
отличающиеся на угол 2~. Из уравнения (200) очевидно, что
решение, благодаря которому выражение
I
G COS (Й вЂ” Й,) + Н COS (Й вЂ” Й2) (202)
положительно, является решением, обеспечивающим мини-
-«»- ~Г У
мум ~.
- Сравнивая полученные результаты с работой [15], можно
показать (см. [13] ), что найденное линейное приближение
задачи об оптимальном эллипсе перехода совпадает (с той же
степенью приближения) с переходом по оптимальному каса-
тельному эллипсу. Однако утверждсние о том, что оптималь-
ный переход может быть осуществлен с помощью касатель-
ного эллипса, вообще говоря, не верно.

215
Межпланетные траектории ракет
Яосле того как мы подробно рассмотрели задачу об опти-
мальном переходе с помощью двух импульсов, уместно задать
вопрос: позволит ли введение третьего импульса получить
дальнейшее уменьшение расхода топлива~ Хелькер и Зильбер
[1б] показали, что в случае перехода между двумя компланар-
ными окружностями, радиусы которых находятся в отношении
11,94: 1, всегда существует трехимпульсный-режим, и он бо-'
лее экономичен, чем двухимпульсный режим Гоманна. Однако
общее исследование этого вопроса еще не проводилось.
ф 9. Переход между некомпланарными орбитами
Г1ереход между некомпланарными орбитами является об-
щей трехмерной задачей и находится сейчас лишь в про-
цессе исследованйя." СГказывается," чТо'"''если "брбиты круго-
sbie, то при двухимпульсном переходе точки соединения
лежат йа' лййтпГ Пересечения плоскостей орбйти располо-
жены' в япсидальйНХ' тбчках эллипса перехода. 11лоскость
'этого эллипса лежит между плоскостямй круговйх орбит.
Если эксцейтрнситеты концевых орбйтм альт' то-опти
мальный двухимпульсный переход" между этими орбитами
можно найти путем видоизменения оптимального маневра
между двумя окружностями, причем метод решения оказы-
вается аналогичным использованному в предыдущем пара-
графе. Тогда точки соединения окажутся вблизи линии пере-
сечения орбитальных плоскостеЙ. однако еслй угол между
этими йлоскостями 'йостояннп -убывает и становится ма-
лым,' тО -мОжно ожидать, что эти точки соединения будут
двигаться по ооеим концевым орбитам' и' стремйться к поло-
жениям, которые они занимают, когда орбиты компланарны.
Таким образом, если одновременно эксцентриситеты и угол
между плоскостями орбит малы, обе точки соединения будут
занимать некоторое среднее положение, и решение не может
быть найдено путем применения малых поправок либо
к „компланарному" решению, либо к „круговому" решению.
K сожалению, именно этот случай имеет наибольший прак-
тический интерес, поскольку орбиты планет принадлежат
как раз к этому типу.
В рабате [17] показано, что если угол между плоско-
стями орбит большой, то трехимпульсный переход оказы-
вается, вообще говоря, более экономичным.

21б
Лоуден Д. Ф.
ф 10. Уход и возвращение на круговую орбиту
Предположим, что аппарат находится на круговой орбите,
расположенной вокруг планеты старта и что необходимо
перевести его на орбиту перехода, следуя по которой он
приблизится к планете назначения. Скорость относительно
Солнца, необходимая для перемещения на орбиту перехода,
будет известна. Аппарат должен маневрировать таким обра-
зом, чтобы его конечная скорость ч ухода от планеты старта,
сложенная векторно со скоростью и движения планеты по
ее орбите вокруг Солнца, была равна требуемой скорости
перемещения w на орбиту перехода.
То есть
w=u+v
(203)
V=W вЂ” U.
или
Если пренебречь влиянием гравитационного поля Солнца
во время маневра ухода и рассматривать только движение
относительно планеты, то задача сведется к перемещению
ракеты с круговой орбиты на гиперболическую, вдоль ко-
торой она будет в конечном счете удаляться от планеты
с желаемой скоростью v. Направление вектора v совместно
с центром планеты определяют плоскость гиперболической
орбиты ухода. Предполагается, что круговая орбита выби-
рается таким образом, что ее плоскость совпадает с этой
плоскостью. Из теории, изложенной в g 8, следует, что
оптимальный переход между круговой и гиперболической
орбитами будет осуществляться по эллипсу перехода, ось
которого совпадает с осью гиперболической орбиты и кото-
рый касается в апсидальных точках гиперболической и кру-
говой орбит (рис. 4). Импульсная тяга, прикладываемая вдоль
направления движения в апсидальных точках А, А', осуще-
ствляет соответственно переход на эллиптическую орбиту и
уход с нее. Существует одновременно бесконечное число
гипербол, соответствующих данной скорости удаления ч, и
желательно выбрать такую гиперболу, которая соответство-
вала бы минимуму полного расхода топлива. В качестве
точки А можно выбрать любую точку на орбите так, чтобы
направление ч совпадало с требуемым.
Пусть ОА = а (радиус круговой орбиты), а ОА' = а.'.
Обозначим через о скорость на гиперболической орбите

217
Межпланетные траектории ракет
в точке А'. Если т/r2 вЂ” притяжение, создаваемое планетой
„а единицу массы, то уравнение энергии для гиперболиче-
ской орбиты имеет вид
v2 т2~
2
а '
(204)
r3e ф вЂ” требуемая скорость на бесконечности для этой траек-
тории. Большая полуось эллиптической орбиты равна
1/ (а+ а'). Следовательно, если v,â€” скорость на этой орбите
/
Г
P и с. 4. Переход с круговой на гиперболи-
ческую орбиту.
в точке Я, а e~ вЂ” скорость в точке А', то из уравнения
Энергии при движении по этой Орбите получим
(205)
(206)
'=1(
2
2 ( а'
2
2 2уа'
а+ а' а (а+ а') '
2 2уа
а+ а' а'(а+ а')

Лоуден Я. Ф.
218
Если оо вЂ” скорость на круговой орбите, то
~2
а
(207)
Яалее, если а'( а (см. рис. 4), то импульс в точке А
направлен против движения, в то время как в точке Я'
импульс направлен по движению. Характеристическая ско-
рость маневра в этом случае равна
= (~о vl) + (т'з v2)
(208)
Однако если а') а, то оба импульса направлены вдоль
движения и
о) + (т'3 v2)
(209)
Подставляя выражения для оо, о,, о~, оз из уравнениИ
(204) вЂ” (207), находим, что
V = о ( ~ 2 (х+ р2) ~' вЂ” g 2 (х + 1) '+ 1
для
V = Vo ( V 2 (х+ р2) ~'+ V2 (1 вЂ” х) (1+ х) ~' вЂ” 1
для х (1,
(210)
где х=а/а', à p=v/~/2vo. Таким образом, р есть отно-
шение скорости, требуемой на бесконечности, к скорости
ухода для тела, находящегося в любой точке круговой
орбиты.
Если, исходя из формулы (210), построить график V/шо
в зависимости от х при различных значениях р (см. [18] ),
то оказывается, что эта величина монотонно убывает при
х +co, если р) 1. В этом случае V принимает минималь-
ное значение, если взять значение а' настолько малыщ,
насколько это возможно. С другой стороны, если p ( 1,
то V достигает минимума при х = 1. Таким образом,
минимально при а' = а. Следовательно, в этом случае
эллиптическая орбита перехода совпадает с круговой. Теперь
в точке А импульс не прикладывается, а с помощью единст-
венного импульса осуществляется переход с круговой орбить~
на гиперболическую, которая касается круговой орбиты.
Подытожим полученные выше результаты. Если желаемое
значение скорости после того, как уход осуществлен, меньше

Межпланетные траектории ракет
219
ч ~ скорость ухода в произвольной точке круговой орбиты,
,О уход может быть осуществлен с помощью приложения
импульса в направлении касательной к круговой
Орбите. Если, однако, конечная скорость удаления превы-
эту критическую величину, то целесообразно сна-
чала приложить импульс по касательной к орбите против
~~вправления движения, вызвав таким образом приближение
аппарата к центру притяжения, и осуществить переход на
гиперболическую орбиту в точке наибольшего приближения
q помощью второго импульса, приложенного в направлении
движения в этой точке.
Переходя к задаче об оптимальном спуске на круговую
дрбиту вокруг планеты назначения, заметим, что скорость
приближения из бесконечности будет векторной разностью
одежду скоростью ракеты относительно Солнца в конце
траектории перехода и скоростью движения планеты назначе-
ния по своей траектории. В соответствии с этим скорость
приближения будет задана как по величине, так и по напра-
влению. Однако малые изменения в условиях выхода на
орбиту перехода будут создавать большие отклонения линии
приближения к планете назначения. Эта линия приближения,
следовательно, не зависит от того, как определяется режим
перехода. На протяжении всего межпланетного путешествия
будут производиться поправки курса и скорости аппарата,
если будут наблюдаться отклонения от заранее вычисленной
траектории. Когда аппарат приблизится к планете назначе-
ния, такие поправки могут быть использованы для того,
чтобы наиболее подходящим образом изменить направле-
ние сближения. Эти поправки не будут заметным образом
влиять на скорость сближения, которая соответственно пред-
полагается известной. Рассмотрим четыре задачи сближения
& t; задан ой скорост ю В каж ом слу ае требуе ся выбр
значения переменных величин, которые будут обеспечивать
Минимальный расход топлива во время маневра.
1) Вход на круговую орбиту с данным радиусом; напра-
вление сближения предполагается заданным.
2) Вход на круговую орбиту с данным радиусом, напра-
вление сближения произвольно.
3) Направление сближения дано; требуется осуществить
спуск на круговую орбиту с произвольным радиусом.

220
Лоуден Д. Ф.
/г = (2+ â€”,)
(212)
(Q вЂ” скорость приближения из бесконечности) °
4) Вход на круговую орбиту произвольного радиуса.
при этом используется произвольное направление сближеци~
Направление сближения относительно планеты буае&
асимптотой гиперболической орбиты с фокусом в центре
планеты. Следовательно, первая задача есть оптимальны~
переход между данной гиперболической орбитой и данн()~
круговой орбитой. Оптимальный маневр будет, конечн~
таким же, как изображенный на рис. 4, но выполняться О~
будет в обратном порядке. Характеристическая скорость
маневра дается уравнениями (210).
Вторая задача математически идентична (если не говорить
о цели движения) задаче об оптимальном уходе с данной
круговой орбиты, когда конечная скорость удаления изме-
няется. Из доказанного выше мы заключаем, что при ск()-
рости сближения, не превышающей скорости ухода с круго-
вой орбиты, направление сближения должно быть выбрано
так, чтобы гиперболическая орбита в своей апсидаль ной
точке касалась круговой орбиты. Тогда переход осущест-
вляется путем приложения единственного импульса тяги. Однако
если скорость сближения выше, чем скорость ухода с круго-
вой орбиты, то направление сближения должно быть выбрано
так, чтобы апсидальная точка гиперболической орбиты была
возможно ближе к центру планеты, т. е. достигала верхней
„кромки" атмосферы. Тогда импульс тяги, приложенный в этой
точке, осуществляет переход на эллипс, касательный одновре-
менно к гиперболической и круговой орбитам, а второй им-
пульс переводит ракету с эллиптической на круговую орбиту.
В третьей задаче используются обозначения, применявшиеся
ранее в этом разделе; а' задано, а а должно быть выбрано так,
чтобы минимизировать характеристическую скорость V. Если
положить у= а'/а, то уравнения (210) примут вид
V = v, ~ у'~2 вЂ” ~ 2 (1 + у) ~'+ Й) при у ( 1,
(211)
~=v,(~2(у вЂ” 1)(у+1) ~' вЂ” у'*+&g ;) ри у))
где v, = (Т/а') ~' вЂ” круговая скорость в апсидальной точке
гиперболической траектории сближения, а

Межпланетнь~е траектории ракет
221
2у lз 2у lл
(214)
Импульсная тяга, предполагаемая в изложенной выше
теории, на практике может быть осуществлена лишь при-
ближенно. Однако задача об оптимальном уходе с круговой
орбиты с учетом того, что тяга двигателя конечна, также
была изучена; для подробного ознакомления отсылаем чита-
теля к работам [6] и [191. Здесь мы лишь сформулируем
Как мы покажем, V вЂ” возрастающая . функция у для всех
О, Отсюда следует, что у должно быть возможно меньше и,
следовательно, а должно быть максимальным. Таким образом,
для данного направления сближения радиус круговой орбиты
должен быть настолько велик, насколько это окажется прием-
лемым. Если а -~ с), то у -~. О, и характеристическая скорость
приближается к нижней границе, а именно
V = Vo вЂ” v, (Й вЂ” g2) = (2v, + v ) вЂ” ~2 v,. (213)
Наконец рассмотрим четвертую задачу. Как только что
бцло доказано, для каждого направления сближения расход
топлива уменьшается при переходе на круговую орбиту
большего радиуса. Характеристическая скорость для такого
перехода дается уравнением (213). Поскольку направление
сближения теперь переменно, также переменна и о,. Но Vo
является убывающей функцией v,, ñòðåìÿùåécÿ к нулю,
когда e, вЂ” ~ oo. Следовательно, выгодно выбирать направле-
ние сближения таким образом, чтобы сделать 'v максималь-
ным. Для этого требуется, чтобы а' было возможно меньше,
т. е. приближение к поверхности планеты должно быть по
возможности большим.
Следовательно, маневр приближения может быть сделан
наиболее экономичным в смысле расхода топлива, если
выбрать направление сближения таким образом, чтобы орбита
почти касалась поверхности планеты (или атмосферы, если
таковая имеется); при этом концевая орбита спутника, на кото-
рую осуществляется спуск, должна быть возможно большего
радиуса. Если R вЂ” радиус планеты (включая ее атмосферу,
если таковая имеется), то а')~ R и, следовательно, v,((y/Я) ~'.
Из уравнения (213) следует, что абсолютный минимум харак-
теристической скорости маневра сближения равен

222
Лодден Д. Ф.
результаты. Если предположить, что двигатели непрерыв~
работают в режиме максимальной тяги, пока не осуществит„
уход, то ясно, что расход топлива минимизируется откр~.
нением тяги от направления движения на малый угол
направлению к центру притяжения. Этот угол должен по.
стоянно убывать, пока выполняется маневр, и равняться нул~
в конце маневра, так что векторы тяги и скорости в этот моме~~
совпадают. Максимальное значение этого угла отклонения щ.
блюдается в начале маневра и обычно не превосходит 5'. Если
векторы тяги и скорости поддерживаются так, что ода
совпадают во время маневрирования, то возрастание расход~
топлива очень мало; таким образом, для всех практическц~
целей этот маневр может рассматриваться как оптимальнь~~
режим ухода.
ф 11. Оптимальный переход между двумя планетами
А. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
В ф 7 была рассмотрена задача об оптимальном переходе
между двумя эллиптическими орбитами, а полученные резуль-
таты применены к задаче о переходе между двумя планетами,
если можно пренебречь гравитационными полями этих тел.
Это справедливо в случае, когда ракета вначале движется
вокруг планеты старта по круговой орбите большого радиусз
и требуется, чтобы после завершения маневра перехода она
вращалась вокруг планеты назначения по некоторой другой кру-
говой орбите больщого радиуса. Предполагается, что уход с
круговой орбиты и возвращение на круговую орбиту дости-
гается в каждом случае с помощью одного импульса тяги.
Однако, как показано в предыдущем разделе, при таких
условиях будет выгодно наибольшее приближение к каждой из
планет, и, следовательно, их поля все же должны быть при-
няты во внимание при вычислении межпланетного эллипс~
перехода, требующего для своего осуществления наименьшего
расхода топлива. Ниже объясняется, каким образом это
можно выполнить.
Пусть ф f~, Д (i 1, 2, 3) вЂ” компоненты силы при-
тяжения соответственно Солнца, планеты старта и планет&g
назначения вдоль прямоугольных осей инерциальной cHGTGMbi

Межаланетнь~е траектории ракет
223
f,. = f,. (х,, х, х, 1 вЂ” to).
(215)
Аналогично этому, удобно предположить, что маневр
перехода заканчивается в момент t = t,, когда планета назна-
чения проходит через перигелий; тогда f2 будут выражаться
в виде
f2 = f~,. (х,, х,, х, ~ вЂ” ~,).
(21б)
Моменты времени tp, 1, будут предполагаться свободно
варьируемыми параметрами, т. е. принимается, что взаимное
расположение планет в начале маневра произвольно, но
таково, что переход оптимален (из-за этого в маневр может
быть включен период ожидания в течение нескольких лет).
Для гравитационного поля Солнца
fo = fo(х,, х, х ).
(217)
Тогда равнодействующая сила взаимодействия полей в
любой точке (х,, х2, х ) и в момент t дается в виде
у' (О+ у1 + (2
(218)
Предполагается, что в момент 1 = /о ракета находится
на орбите вокруг планеты старта или покоится на ее поверх-
ности. Поскольку положение планеты известно в этот момент,
граничные условия будут полностью заданы. Аналогично
можно предположить, что граничные условия в момент
~ = 1, также известны.
Теперь общая теория, изложенная в ф 5, применима
к этой задаче и, в частности, условия (78), (79) будут соот-
ветственно удовлетворяться в моменты tp, 1,. Но из уравне-
ний (215), (217), (218) ясно, что
д/, DfI df~
dt0 Dtî
(219)
координат Ох,х2х с центром в Солнце. Удобно принять за
ачало маневра перехода момент, когда планета старта нахо-
дится в перигелии. Пусть этим моментом будет 1= 10. Тогда
для любого следующего момента t координаты этой планеты
(планеты старта) будут выражаться как функции (t вЂ” to) и,
следовательно,

Лоуден Д. Ф.
Следовательно, при t = to необходимо, чтобы
Of ~~
Ot
(220)
Аналогично при t = t, необходимо, чтобы
2
1Д вЂ” 1,р, = ),, dt.
Of&
(221)
Для рассматриваемой задачи на дуге нулевой тяги уравне-
ние (13) имеет вид
К= 1р, вЂ” ),Л.
(222)
Тогда из уравнения (13a)
dt вЂ” вЂ” '~ Ot
(223)
Поскольку Х&l ;, ,, f, непреры н в точ ах соединен я
также непрерывно, если
1.~ вЂ” = ) .о+,
с 1
т. е. если
х,. (о+ вЂ” о;) = О.
(224)
Но приращение скорости осуществляется в направлении
вектора Х в точке соединения, и, следовательно, уравне-
ние (224) эквивалентно следующему:
~,Хс вЂ” вЂ” О.
(225)
Это есть условие (81.2), и оно удовлетворяется в случае
оптимального маневра. Отсюда следует, что К непрерывно
в точке соединения, и, следовательно, интегрируя уравне-
ние (223) по всему интервалу (to, t), получаем
t
(226)
где Кз вЂ” K(t~).
Если t вЂ” любой момент до сближения ракеты с планетоЙ
назначения, то f2 будет пренебрежимо мало, и уравнение (226)

225
Межпланетные траектории ракет
эквивалентно следующему:
1
Of~
К вЂ” К= вЂ” ),, 'dt,
(227)
где f'. не зависит явно от t'. Условие (220) можно переписать
l
в Виде
(228)
Поэтому
(229)
Яо /1 пренебрежимо мало вдоль всего эллипса перехода
l
между планетами, и, следовательно,
=О
(230)
Б. ПЕРЕХОД МЕЖДУ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ ВОКРУГ ДВУХ ПЛАНЕТ
В этом разделе мы применим изложенную выше общую
теорию к задаче об оптимальном переходе ракеты с данной
круговой орбиты вокруг планеты старта на данную круговую
орбиту вокруг планеты назначения. Предполагается, что уход
вдоль этой траектории.
Используя условие (221) и рассуждая аналогичным обра-
зом, мы придем к тому же результату; следовательно, этО
условие не является независимым.
Поскольку вдоль всего эллипса перехода между плане-
тами гравитационное поле не зависит от времени, то известно,
что на этой дуге существует первый интеграл уравнений
Эйлера в форме, даваемой уравнениями (80). Теперь мы
доказали, что постоянная в правой части этого уравнения
равна нулю. Напомним, что это справедливо также в случае,
когда гравитационными полями планет полностью пренебре-
гают. Однако К не может быть принята равной нулю (или
даже постоянной) вблизи планет.
В дополнение к условию (230) условия (81.1), (81.2),
(81.3) должны быть удовлетворены в каждой точке соеди-
нения.

220
Лоуден Д. Ф.
(231)
Следовательно, условия (81.3) и (81.2) требуют, чтобы
в апсидальной точке выполнялись соотношения
С
) =A вЂ” +1), вЂ” вЂ” О,
р = В (1+ е)+ = 1,
(232)
Е
ъ= =О,
е
~'tç
Х~+ щ + Х. = вЂ” вЂ”, (1 + е) А + С = О.
Мы использовали уравнения (118), чтобы сформулировать
последнее из этих условий. Далее нетрудно видеть, что
А =С=Е=О, D= вЂ” 1+е вЂ” (1+е&gt;
(233)
с круговой орбиты и вход на нее достигаются с помощьд
одного импульса тяги, прикладывасмого так, как мы объяс-
нили в g 10; других импульсов тяги не требуется.
Во время нахождения ракеты в районе планеты старта
воздействие гравитационного поля Солнца на ракету, выра-
жающееся через коэффициенты д/ /дх,, входящие. в урав-
нение Эйлера (45), будет пренебрежимо мало по сравнению
с воздействием гравитационного поля планеты. Следовательно,
если мы пренебрегаем гравитационным полем Солнца, пока
ракета находится на гиперболической орбите ухода, то урав-
нения Эйлера имеют решение (114). В этих уравнениях (), p,, ч)
являются компонентами вектора Х, направленными вдоль и
перпендикулярно радиусу-вектору, проведенному из центра пла-
неты к ракете, е вЂ” эксцентриситет орбиты ухода, à f вЂ” угол,
на который поворачивается радиус-вектор от его положения,
когда ракета находится в апсидальной точке.
Импульсная тяга прикладывается в апсидальной точке
в направлении движения, и условия (81.1) и (81.2) должны
быть удовлетворены в этой точке. Когда f вЂ” эО, из уравне-
ний (111), (112) находим, что

Межпланетные траектории ракет
227
и, следовательно, уравнения (114) сводятся к
} =Веsin f,
1+е 1+е 2Д
р. = В(1+ ecos f)+
Fsinf
1+е cos f
(234)
~/ (.//} 1 + е вЂ” (1 + е}2 В
/~ 2 1+еcos f
~'/2
~= +е (1+е вЂ” (1+е)~В~ sin f,
/2
( = вЂ” „(е+ cos f) F.
(235)
На гиперболической траектории ухода
1
вЂ” =1+ecos f,
(236)
и, следовательно, когда ракета удаляется на большое рас-
стояние вдоль асимптоты, получаем
1 (е~ вЂ” 1} /г
cos f = вЂ” вЂ”, sin f =
(237)
Отсюда следует, что при входе на эллипс перехода между
планетами
}, (e2 вЂ” 1)/г В,
р = вЂ” ((1 + е) вЂ” (1+ е)2 В),
(e2 1} /1
v= IP,
(238)
(=0,
/г
'л = '„(е2 вЂ” 1) ' ( 1 + е вЂ” (1 + е) а В)
Т'
Г = ~, (e2 вЂ” 1)F,
е~ /2
Компоненты производной по времени также получаются
из уравнений (118) в виде

228
Лоуден Я. Ф.
Уравнения (238) определяют р и его первые производные
(относительно невращающейся системы координат) при входе
на межпланетную траекторию. Уравнения Эйлера (45) теперь
нужно проинтегрировать вдоль упомянутой траектории с этими
начальными условиями. Поскольку эти уравнения имеют вто-
рой порядок, достаточно знать начальные значения вектора р
и его первой производной, чтобы выделить подходящее реше-
ние. Однако уравнение (230) должно удовлетворяться на
межпланетной траектории. Отсюда следует, что требуемое
решение уравнений Эйлера получается в виде соотношений
(114), (118), если С принять равным нулю. Таким образом,
обозначая штрихами величины, которые относятся к эллипсу
межпланетного перехода, получаем
1' = А' cos f'+ В'е' sin f',
р.' = вЂ” А' sin /'+ В'(1+ е'cos f')+
v'=(1+е'cos f') (Е'cos f'+F'з1п f'),
А' sin f' вЂ” D'.
r' 1+ е' cos f'
~ /2
( вЂ” А' (е'+ cos f') + D'е' sin f '),
(239)
&gt;i
( вЂ” E' sin f'+ (e'+ cos f') F') ..
В= +О (в), F 0(в),
где в = т'P/1Г . Ha практике в всегда мало, и, следова-
,з
тельно, мы можем приближенно принять
В=-, F 0,
f-e '
(240)
(241)
Эти компоненты вектора р и его производной берутся
вдоль r', радиуса-вектора, проведенного от Солнца к ракете,
и перпендикулярно к нему.
Уравнения (239) должны быть эквивалентны уравне-
ниям (238) в начале эллипса перехода. Разлагая (3'. q'. ~')
по направлениям g, g и приравнивая их компонентам век-
тора Dp, получаем два уравнения, из которых можем опре-
делить В и I':

229
Межпланетные траектории ракет
Два последних уравнения системы (238) соответствуют урав-
нениям (241). Остальные уравнения (238) теперь требуют
выполнения соотношений
(242)
т. е. при входе на эллипс перехода вектор р должен быть
вектором, по величине равным (е вЂ” 1)/(е+ 1) и напра-
вленным вдоль скорости удаления от планеты отправления,
а вектор Dp должен быть перпендикулярен к этому напра-
влению. Аналогичные условия должны удовлетворяться в
конце эллипса перехода при входе на гиперболическую орбиту
сближения с планетой прибытия.
Эти восемь условий будут достаточны для определения
Я', В', D, Е', F', положения планеты старта на ее орбите
B момент отправления, положения планеты назначения на ее
орбите в момент прибытия и эллипса перехода (существует
oo' таких эллипсов, связывающих две данные точки).
Если планетой старта пренебречь и представить, что
ракета сначала движется по орбите этой планеты вокруг
Солнца, то возможно перейти на межпланетный эллипс с по-
мощью импульса, создающего приращение скорости ч, где
v вЂ” предельная скорость на бесконечном удалении от планеты
старта. Этот импульс должен быть направлен по вектору v.
Условия (242), определяющие оптимальный эллипс между
планетами, теперь можно интерпретировать так: требуется,
чтобы р был вектором, по величине равным ~/(е вЂ” 1)/(е+1)
и направленным вдоль этого гипотетического импульса, и
чтобы Ор был ортогонален р. Эта формулировка условий
(242) совпадает с формулировкой условий (81.2) и (81.3),
применяемых к действительному импульсу, если не говорить
о том, что вектор р уже больше не является единичным
вектором. Результаты, изложенные в этом разделе, можно
резюмировать в виде следующего правила:
При вычислении оптимального межпланетного эллипса
перехода между круговыми орбитами вокруг двух планет
планетами можно пренебречь, и задача решается, как
в случае двухимпульсного перехода между самими орби-
тами планет при условии, что требование (81.3) заме-
няется следующим: р должен быть вектором, по веди-

Лоуден Д. 4.
230
чине равным 1/(е вЂ” 1)/(в+1) и направленным вдоль на-
правления тяги. Здесь е вЂ” эксцентриситет гиперболической
траектории ухода от планеты старта или приближения
планете назначения.
Из этого правила следует, что если орбиты планет ком-
планарны, то анализ, проведенный в g 7, применим к на-
стоящей задаче, если sin q, cos q в уравнениях (119) заме-
няются соответственно выражениями
е вЂ” 1
вЂ” cos q.
е+1
е вЂ” 1
sing,
При этом условия (134) вЂ” (136) преобразуются: каждый
член в левой части уравнений умножается на
е,вЂ” 1
e,+1 '
а каждый член правой части на
е2
е,+1'
(где е,, е~ вЂ” соответственно эксцентриситеты гиперболы ухода.
и приближения). Условия (139) вЂ” (146) не изменяются. бранные
одиннадцать условий после этого видоизменения определяют
оптимальный эллипс между планетами с той же самой точ-
ностью, что и ранее.
Однако уравнения для е,, е2 еще не заданы. Эти уравне-
ния получаются таким образом: пусть скорость е, на беско-
нечном удалении от планеты старта составляет угол $& t с п
пендикуляром к радиусу-вектору, проведенному из Солнца.
Тогда с помощью уравнения (151) получим
v = '1 /~s (p /а вЂ” р /г) sec p
(243)
(смысл т, р, р,, s, был пояснен в g 7; здесь мы предпо-
лагаем, что маневр ухода выполняется в области с прене-
брежимо малыми линейными размерами по сравнению с рас-
стоянием до Солнца). Также имеем
1/
&g ; = т ош eg
(244)

231
Межиланетные траектории ракет
„де до,„вЂ” скорость на круговой орбите. Следовательно,
v~~(e, вЂ” 1) ' = т'~ я, (p-'~ вЂ” р '~) sec у,. (245)
„-)то уравнение определяет е,.
Аналогично можно доказать, что
оо, (е, вЂ” 1) ~' = y'~-"я,(р-'~ вЂ” р-'~) sec ~р,
(246)
где в~ вЂ” угол, составленный скоростью приближения к пла-
нете назначения с перпендикуляром к радиусу-вектору, про-
веденному из центра Солнца, а оо вЂ” скорость на круговой
орбите вокруг этой планеты. Уравнение (246) определяет е2.
Характеристическая скорость всего маневра перехода за-
дается выражением
Г = ~ 2в-'„+ v2 вЂ” Ра„+ ~/2~О2, + а~ вЂ” а~,, (247)
где ~2 вЂ” скорость приближения к планете назначения из бес-
конечности.
Изложенные выше результаты впервые были получены
в работе [20].
В. ПЕРЕХОД МЕЖДУ ПОВЕРХНОСТЯМИ ДВУХ ПЛАНЕТ
16*
Если требуется осуществить перемещение между двумя
точками, которые расположены на поверхности каждой из
двух планет, то приемлемое приближение к оптимальному
эллипсу между планетами можно найти, если пренебречь
атмосферами планет и вращением этих планет вокруг оси.
Оптимальный режим ухода от планеты старта осущест-
вляется тогда вдоль гиперболической орбиты с линией апсид
в точке старта. Это доказано в работе [21]. Яля того чтобы
ракета вышла на гиперболическую орбиту ухода, предпола-
гается, что горизонтальный импульс прикладывается в точке
старта. Естественно, что на практике тяга будет конеч-
ной, а ракета будет управляться вначале так, чтобы осу-
ществить вертикальный подъем, пока она не пройдет атмо-
сферную оболочку, а затем будет отклоняться от вертикального
направления, пока ее траектория не станет горизонтальной.
Однако идеализированный маневр должен позволить вычи-
слять с достаточной точностью требуемый эллипс для меж-
планетного полета.

232
Лоуден Д. Ф.
Маневр приближения идеализируется подобным же обра
зом; тогда движение вдоль гипербол ухода и приближения
учитывается в точности так же, как в g 11, Б. Следова-
тельно, оптимальный эллипс между планетами идентичен
эллипсу, соответствующему переходу между круговыми орби-
тами, лежащими на поверхности планет. Однако поскольку
начальная скорость ракеты относительно планеты старта
и ее конечная скорость относительно планеты назначения
равны нулю, то уравнение (247) для характеристической ско-
рости должно быть заменено следующим:
V= ~/2о~ + v2,+ "(2оо2 + о~,
(248)
где ео~~~, оо вЂ” круговые скорости соответственно в точках
старта и назначения.
ф 12. Оптимальный переход между планетами,
находящимися в заданных положениях
Оптимальные расположения планет старта и назначения на
их орбитах в начале маневра перехода могут быть опреде-
лены методом, описанным в ~ 11, Б. Этот оптимальный
маневр является своего рода стандартом, с которым можно
сравнивать все другие маневры.
Однако его практическая применимость будет ограничена,
поскольку требуемое взаимное расположение двух планет
в начале маневра случается не часто; между тем, чтобы
избежать длительного выжидания, необходимо быть гото-
вым осуществить переход, когда такое расположение не
является оптимальным. Один из возможных подходов к
решению этой задачи мы наметим ниже.
Для данной пары планет предположим, что планета старта
находится в определенном положении на своей орбите в мо-
мент отправления, а планета назначения находится в опре-
деленном положении на своей орбите в момент прибытия.
Тогда плоскость эллипса перехода известна, но существует
oo' таких эллипсов, проходящих через предполагаемые поло-
жения планет. Дифференцируя по параметру это семейство
траекторий, можно найти эллипс перехода, который соот-
ветствует минимальному, расходу топлива. При выполнении

233
Межпланетные траектории ракет
ф 13. Уточнение траектории перелета в случае
неоднородного гравитационного поля Солнца
В ~ 11 мы предполагали, что маневр перехода состоит
из трех фаз, во время каждой из которых движение ракеты
можно вычислять, считая, что она подчиняется притяжению
лишь одного тела. Яля большей части эллипса, расположен-
ного между планетами, поля планет старта и назначения будут
пренебрежимо малыми по сравнению с полем Солнца. Вблизи
любой из планет полем Солнца нельзя пренебречь; тем не
менее им можно пренебречь (и получить результат с удо-
влетворительной степенью точности) при условии, что дви-
жение ракеты отнесено к невращающейся системе координат,
движущейся с рассматриваемой планетой. Такая система будет
этого расчета достаточно рассматривать полный маневр, со-
стоящий из трех фаз, в течение которых каждый раз ракета
подчиняется притяжению одного тела. Найдя с помощью
этого приближения подходящий эллипс перехода, необхо-
димо исправить траекторию вблизи планет, чтобы учесть
возмущения, вызванные неоднородностью гравитационного
поля Солнца (см. g 13). Таким образом, траектория пере-
хода, соответствующая заданным положениям одной планеты
в момент отправления, а другой в момент прибытия, будет
допустимой. Яалее можно вычислить время перехода, и тогда
положение планеты назначения в момент отправления стано-
вится известным. Таким путем определяется маневр пере-
хода, который может быть удовлетворительно использован,
когда две планеты занимают определенные положения в
начале маневра.
Теперь этот расчет нужно повторить для большого числа
различных пар положений двух планет, а результаты пред-
ставить в таблице с двумя входами, из которой можно взять
элементы траектории перехода, соответствующие заданным
долготам обеих планет на их орбитах в момент старта. Состав-
ляя такую таблицу для каждой пары планет, можно было бы
значительно упростить расчет маневров перехода для данных
взаимных расположений планет в момент старта.
Предварительное исследование задачи этого типа можно
найти в работе [22].

Лоуден Д. Ф.
x+F, y+0, z+H,
и уравнения ее движения имеют соответственно вид
х+F = f+ F+iF
х f+5F
ит. д.,
или
и т. д. (249)
Если поле Солнца однородно, то 5F = об = oH О и
на движение Р относительно Oxyz, очевидно, не должно
воздействовать присутствие этого тела. Неоднородность поля
обнаруживается в виде дополнительного возмущающего
поля (3Р, 30, ОН).
Обозначим через Х, Y, Z координаты точки О относи-
тельно параллельной системы координат с началом в центре
Солнца. Тогда при условии, что расстояние OP мало по
сравнению с расстоянием Солнца от О, соотношения
дР дР дР
ох + ~~y+az
и т. д. (250)
будут выполняться с весьма высокой степенью точности. Но
«fsX
и т. д. (251)
(уи+ у я q Zz)'.i
свободно падать в поле Солнца, и если это поле однородно
то ero действие не может быть определено из наблюдений
выполняемых инструментами, установленными в данной си-
стеме координат. Любая ошибка, -появляющаяся в результате
нашего предположения, будет соответственно обусловлена
неоднородностью поля Солнца. Она мала, и ее влияние мы
сейчас оценим.
Пусть О вЂ” центр одной из планет, à Oxyz вЂ” невращаю-
щаяся система координат, движущаяся с этой планетой.
Пусть F, О, H вЂ” компоненты притяжения Солнца в точке О и,
следовательно, компоненты ускорения точки О относительно
инерциальной системы координат. Пусть Р вЂ” частица, движу-
щаяся в районе планеты и имеющая координаты х, у, г.
Пусть f, g, h вЂ” компоненты притяжения планеты в точке Р
и F + 5F, О+ 50, Н+ оН вЂ” компоненты притяжения Солнца
в этой же точке. Тогда относительно инерциального про-
странства компоненты ускорения частицы Р суть

Межпланетные траектории ракет
235'
и, следовательно,
((2ХР вЂ” Y~ вЂ” 2~) х+ЗХГу+ЗХГя) и т. д., (252)
где R вЂ” расстояние Солнца от О. Если теперь направления
осей в момент рассмотрения выбраны так, что Ох лежит
вдоль радиуса, проведенного из центра Солнца к планете,
Оху вЂ” плоскость орбиты планеты и Oz вЂ” перпендикуляр
к этой IIJIOCKOCTH, TO Х = R Y = Z 0 H
2.~~ у у
5F = x, 50= вЂ” ~ у, ~Н= вЂ” â€” z. (253)
вЂ” Ra ~з
02 ~'
вЂ” R3
(254)
и уравнение (253) можно переписать в виде
~Р = 2щ~х (G = вЂ” u)~p, o& t = Ђ” u
(255)
Для Земли и = 1,991 )( 10 сею; на расстоянии 10а км
вЂ” 7 вЂ” 1
это возмущение составляет 10О/о ускорения, создаваемого
гравитационным полем Земли, которое в свою очередь со-
ставляет 7О/ ускорения B поле -тяготения Солнца.
Для того чтобы поддерживать оси Oxyz в направлениях,
принятых выше, необходимо вращать их с угловой ско-
ростью а вокруг Oz. Чтобы сделать возможным это враще-
ние, в дополнение к возмущениям oF и т. д. должны быть
введены центробежная сила и сила Кориолиса. Компоненты
центробежного ускорения равны оРх, оРу, О, и, следова-
тельно, истинное возмущающее ускорение (если исключить
эффект Кориолиса) имеет компоненты
3(1)~х, О, вЂ” (g~Z
(256)
Ускорение Кориолиса равно 2ао, где о вЂ” компонента ско-
рости точки Р, которая перпендикулярна к оси Ог; оно нап-
равлено перпендикулярно к этой скорости и оси Oz, образуя
с ними левовинтовую тройку.
Если r, 5 вЂ” полярные координаты в плоскости ху и
y/OÐ' представляет притяжение планеты, то уравнения дви-
жения объекта, движущегося вблизи зтого тела, можно
Предполагая, что планета движется по круговой орбите
с угловой скоростью а, имеем

23б
Лоуден,ц. Ф.
записать в виде
r вЂ” гУ = вЂ” тг (r2+ z2) ~'+ 2mri}+ 30&gt 2г c s2 i} (2
вЂ” (гМ) = вЂ” 2агг вЂ” Зи~г' sin в cos i},
d
(258)
з,~
z = вЂ” 1г (rs +-- zs) ~' вЂ” „&g
(259)
Эти уравнения будут определять движение ракеты вблизи
планеты с высокой степенью точности. Однако их решение
является трудной задачей, и мы должны будем довольство-
ваться получением грубой оценки влияния возмущающих
сил на траекторию. Это получается следующим образом.
В течение большей части маневра ухода ракета будет
двигаться приблизительно вдоль асимптоты гиперболической
траектории со скоростью, приблизительно равной конечной
скорости ухода. Таким образом, относительно невращаю-
щихся осей Oxyz, направления которых выбраны в начале
маневра, как описано выше, движение ракеты очень при-
ближенно описывается уравнениями
х= utcosа, у= utsinа, z=et,
(260)
где и, e вЂ” соответственно компоненты скорости ухода в пло-
скости ху и вдоль оси Oz, à a, вЂ” угол, образованный на-
правлением компоненты и с осью Ох. Согласно уравне-
ниям (255), компоненты возмущающей силы прибли&gt;ке
равны
5F = 2а2а~ COS а, 50 = вЂ” а2и~ Sin а, 5H = вЂ” e2et.
(261)
вЂ” вЂ” e2ut2 S1Il а,
1
®2~~2
1
2
а20Р COS а,
(262)
сообщаемые ракете в момент t в направлении осей, и до-
полнительные смещения в этих направлениях
вЂ” eut сова, вЂ” вЂ” nut япа, вЂ” вЂ” erat.
2 3 2 3 2 3
Д ' б б
(263)
Эти компоненты очень малы, и, следовательно, исполь-
зованное грубое приближение, тем не менее, оказывается
достаточным. Эти возмущающие силы видоизменяют равно-
мерное движение, описываемое уравнениями (260), и создают
приращения скорости

Межпланетные траектории ракет
237
Разлагая эти поправки по направлениям 1) радиуса-век-
тора r, 2) перпендикуляра к r в плоскости ху и 3) Oz,
находим, что поправки к скорости имеют вид
1) вЂ” и~аР (3 coss а вЂ” 1),
2) вЂ” вЂ” и и1 япасояа,
3
(264)
3) вЂ” вЂ” и2аР,
1
а поправки на смещения имеют вид
1) вЂ” &lt;os ts (3 c s а Ђ”
2) вЂ” вЂ” оРиР sin а cos а,
(265)
вЂ” &lt;&g
6
и=1,991 )(10 сек, а= вЂ” тс, и=3000 м/сек, v=0.
Если корабль удалился на расстояние 106 км от центра
1
Земли, то 1= вЂ” ° 10' сек, а поправки к скорости равны
2)0, 3) О.
1) 0,007 км/сек,
При использовании этих поправок в случае гиперболи-
ческого движения представляется разумным принять t как
время, которое должно было бы пройти, если бы ракета
двигалась прямолинейно с конечной скоростью ухода от
центра планеты к рассматриваемой точке на траектории
ухода.
Рассмотрим случай, когда корабль удаляется от Земли
вдоль траектории, лежащей в плоскости орбиты планеты,
асимптота которой перпендикулярна к радиусу-вектору,
проведенному от Солнца к Земле в начале маневра. Если
конечная скорость ухода (соответствующая переходу к Марсу)
составляет 3 кл/сек, то

Лоуден,ц. Ф.
238
Поправки на смещения:
1) вЂ” 730 кя, 2) О, 3) О.
Как было замечено выше, на этом расстоянии притяже-
ние поля Земли составляет лишь 70/О притяжения поля Солнца,
и дальнейшая часть траектории вплоть до сферы действия
планеты назначения может быть найдена без учета полей пла-
нет. Приведенные выше цифры означают, что возмущающим
влиянием Солнца во время маневров ухода и сближения
можно пренебречь.
ф 14. Общая теория корректирующих маневров
Если после приложения импульсной тяги в точке соеди-
нения будет обнаружено, что ракета отклонилась от пред-
варительно вычисленной оптимальной траектории, то теоре-
тически вся программа тяги для маневра должна быть пере-
считана. Однако, если отклонение мало, эта вновь вычис-
ленная программа не будет сильно отличаться от исходной
программы. Поэтому представляется разумным ожидать, что
если придерживаться первоначальной программы, то свя-
занный с этими отклонениями дополнительный расход топ-
лива будет пренебрежимо мал. Коль скоро мы имеем дело
с таким случаем, то будет выбран момент tp, в который
предполагается выполнить коррекцию. Тогда могут быть вы-
числены в этот момент положение Р и скорость ракеты на
ее действительной траектории. Если t& t; Ђ” требуе ый мом
прибытия в следующую точку соединения J, то время пере-
хода от Р к J должно быть равно 1, вЂ” tp В данном гра-
витационном поле будет существовать одна и только одна
дуга нулевой тяги, проходящая через Р и J, вдоль которой
время перехода равно 1, вЂ” /о. Корректирующая тяга, при-
кладываемая в Р, должна быть такой, чтобы перевести ра-
кету на эту дугу.
Итак, пусть хо, уо, z вЂ” декартовы координаты точки P.
Эти координаты могут быть вычислены, когда элементы оши-
бочной орбиты известны. Пусть х,, у,, z вЂ” координаты
точки J. Движение тела в данном гравитационном поле опи-
сывается тремя уравнениями второго порядка. Их решение
содержит шесть постоянных интегрирования.

239
Межпланетные траектории ракет
Рассмотрим решение, соответствующее случаю, когда
тело покидает точку P в момент to с компонентами скорости
цо, оо, яо. Это решение может быть записано в виде
x = x(t ~о yp zo "а vo mp)
у = у(~ хо, у,, zo, uo vo, mo),
z:z(t xp pp zp . о о). ~
(266)
где через хо и т. д. обозначены постоянные интегрирования.
Компоненты скорости ио, оо, ыо выбраны так, что когда
t=t,, то х= х,, y=y,, z=z,, т. е. так, что
xi = ~ (~i xp yo zp &l ;p vp
(267)
y, = =У(~ Рр "а о)
zi=~А хр уо zo "o vo ot'o)
а =и+oa, о =а+И, я,=т+Ья,
(268)
где а, о, я вЂ” компоненты скорости, с которой ракета при-
бывает в Р, а ьа, 3о, ыг вЂ” компоненты приращения скоро-
сти, необходимые для осуществления коррекции и являю-
щиеся малыми. Подставляя эти выражения в уравнения (267)
Эта система уравнений состоит из трех уравнений
с тремя неизвестными ао, оо, ыо, и, следовательно, будет
существовать единственная орбита, соединяющая Р и ./ и
удовлетворяющая требуемым условиям. Конечно, может су-
ществовать несколько различных решений уравнений (267),
но лишь одно из них будет полностью лежать вблизи оп-
тимальной траектории и, следовательно, может быть осу-
ществлено с малым перерасходом топлива. Таким образом,
в любой точке Р однозначно определено необходимое кор-
ректирующее воздействие.
Поскольку требуемая траектория PJ не будет сильно
отклоняться ни от оптимальной траектории, ни от реальной
траектории, по которой движется ракета до ее прибытия в
точку Р, решение уравнений (267) может быть принято: в
виде

240
Лоуден Д. Ф.
и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем
/ / /
дх дх дх
х вЂ” х' = вЂ” Ои + 5v+ Отв,
ди до дм
ду ду, ду
у вЂ” у'= 3и+ 3а+ 3я,
ди до дм
(269)
/ / /
дг дz д,г
z вЂ” z' = вЂ” 3и+ Ы+ ои,
ди до дм
где х,'= x(t,, х, у, z, и, v, ти) и т. д., а (х,', у',, z,')â€”
точка J', в которую ракета прибудет в момент t если
коррекция не произведена. Разрешая уравнения (269) отно-
сительно ои, ~о, 6м, получаем
д(х1, у,, z1), д(у,, z ), a(z,. х,)
д(и,о,ш) ( 1 ~) д(о,ш) +(У1 У1) d(v,ш)+
+(z, вЂ” z',) и т. д. (270)
d(z&g ;,
Эти уравнения определяют необходимую коррекцию скорости
в точке P.
Аргументами коэффициентов g (у',, в,')/g (v ~) и
в уравнениях (270) являются 1,, хо, уд, zo, и, v, er. Значит
эти коэффициенты должны быть вычислены в момент t на
ошибочной орбите, проходящей через P. Следовательно,
эти вычисления не могут быть выполнены, пока мы не знаем
элементов этой орбиты. Чтобы не откладывать вычисление
этих коэффициентов до столь позднего момента, целесооб-
разно заблаговременно аппроксимировать их значения, найдя
предполагаемые величины (значения) на программной траек-
тории в различные моменты t=tz, т. е. заменяя и, о, м
на ао, V„, ыо. Если использовать эти значения в уравне-
ниях (270), то в течение нескольких минут будут получены
приближенные значения для компонент коррекции скорости.
То обстоятельство, что точные значения 5и, hv, 8м не
использованы в корректирующем маневре, не имеет большого
значения, поскольку: а) будет не легко выполнить с высо-
кой точностью любую требуемую коррекцию, б) любая не-
точность может быть учтена позднее, когда коррекция ста-
нет снова необходимой. Этот метод коррекции проиллю-
стрирован в работе [23].

241
Межпланетные траектории ракет
ф 15. Пертурбационные маневры
ЛИТЕРАТУРА
С i c a l a P., Le evoluzioni ottime й un aereo, Atti Accad. зс~.
Torino, Classe sci. fis., mat. e zzat., 89, 1954.
2. С 1 с а 1 а P., М1 е 1 е А., Generalized theory of the optimum
thrust programming for the 1ече1 flight of à rocket-powered
aircraft, Jet Propulsion, 26 (1956), 443 вЂ” 455.
3. Mi е1е А., An extension of the theory of the optimum burning
program for the level flight of à rocket powered aircraft,
1. Aeronaut. Sci., 24 (1957), 874 вЂ” 884.
4. M i e l e A., General variational theory of the flight paths of
rocket-powered aircraft, missiles and satellite carriers, Astro-
naut. Acta, 4 (1958), 264 вЂ” 288.
5. B 1 i s s G. А., Lectures on the calculus of variations, 1946,
р. 187 вЂ” 219, Univ. Chicago Press, Chicago.
б. L à w d e n D. F., Optimal programming of rocket thrust
dtrecttozz, Astronaut. Acta, 1 (1955), 41 вЂ” 56.
7. L à w d е и D. P., Dynamic problems of interplanetary flight,
Aeronaut. Quart., 6 (1955), 165 вЂ” 180.
8. L à w d e n D. Р., Optimal rocket trajectories, Уе~ Р~ори~и~оп,
27 (1957), 1263.
9. P ried В. О., R i ch ar dson J. М., Optimum rocket traje-
ctories, 1. Appl. Phys., 27 (1956), 955 вЂ” 961.
1 à wd en D. F., Fundamentals of space navigation, J. Brit.
Interplanet. Soc., 13 (1954), 87 вЂ” 101.
L а wd е n D. Р. Inter-orbital transfer of à rocket. J. Brit. Iiz-
terplanet. Soc., 11 (1952), 321 вЂ” 333.
&gt; . à wd en D. ., Mini al roc et trajectori s, У. Am r. Roc
Soc., 23 (1953), 360 вЂ” 367.
G. С., The calculation of minimal orbits, Astronaut.
Acta, 1959, fasc. 5, 253.
14 Н o h m à n n W., Die Erreichbarkeit der Himmelskorper, Munich,
1925.
9 области исследования этих маневров сделано очень
мало. Г1ринцип объяснен в работе [24]. Общая теория оп-
тимальных траекторий, развитая в g 4, охватывает и этот
случай. Задача заключается в том, чтобы оптимизировать
положение притягивающего тела, вызывающего возмущение
в момент старта. Положение на траектории может быть за-
дано с помощью единственного параметра, и структура
данного гравитационного поля будет тогда содержать эту
неизвестную величину. Если ее обозначить через К, то тео-
рия, изложенная в 9 4, показывает, как можно получить ее
оптимальное значение [уравнение (65)].

242
Лоуден Д. Ф.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
1. à w d e n D. F., Optimal transfer via tangential ellipses
1. Brit. Interplanet. Soc., 11 (1952), 278 вЂ” 289.
H о е l k e r К. F., $ i l Ь е г Я., The bi е1Ир~1са1 transfer
tween circular coplanar orbits, Army Ballistic Missile Agency
gedstone Arsenal, Ala. Rept. No DA-TN-2-59, 1959.
P i d е г L., Characteristic velocity for changing the inclination
of à circular orbit to the equator, J. Amer. Rocket Soc., p9
(1959), 48 вЂ” 19.
La wd en D. F., Escape to infinity from circular orbits, J. Br«
Interplanet. Soc., 12 (1953), 68 вЂ” 71.
La wd en D. P., Optimal escape from à circular orbit, Astro
naut. Acta. 4 (1958), 218 вЂ” 233.
Là wd en D. F., Optimal transfer between circular orbits about
two planets, Astronaut. Acta, 1 (1955), 89 вЂ” 99.
L à w d e n D. F., Entry into circular orbits. I., J. Bri~t. Inter-
planet. Soc., 10 (1951), 5 вЂ” 17.
La wd en D. F., Transfer between circular orbits, Jet Props&
sion, 26 (1956), 555 вЂ” 558.
L à w d e n D. F., Correction of interplanetary orbits, J. Brit.
Interplanet. Soc., 13 (1954), 215 вЂ 2.
L à w d e n D. F., Perturbation тапоеилез, J. Brit. Interplanet.
Soc., 13 (1954), 329 вЂ” 334.

СОДЕРЖАНИЕ
Бейкер P. M. Л. Астродинамика........ 9
У эстром Дж. Б. Траекторные постоянные... 61
У о рд Дж. А. Расчет и оптимизация траекторий 92
Танге й А. Р. Маневры в космосе....... 120
Х о к Д. С. Космические маневры. Оптимизация 163
Лоуде н Д. Ф. Межпланетные траектории ракет 177

КОСМИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ
Редактор Г. К. МОСКАТОВ
Художник Н. А. Липин
Художественный редактор В. И. Шавовалов
Технический редактор Ю. И. Коротеева
Корректор Т. А. Палладина
Сдано в производство 25/VII 1962 г.
Подписано к печати 22/П 1963 г.
Бумага 84X108'/S2=3,8 бум. л.
12,5 печ. л.
Уч.-изд. л. 11,5 Изд. № 1/1120
Цена 81 коп. Зак. 598
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография Ю0 2 им. Евг. Соколовой
УЦБ и ПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29

81 cocoa.