Теория прогнозирования и принятия решений - Саркисян С.А., Каспин В.И., Лисичкин В.А., Минаев Э.С, Пасечник Г.С.

Автор: Саркисян С.А. Каспин В.И. Лисичкин В.А. Минаев Э.С Пасечник Г.С.
Теги: экономика моделирование прогнозирование
Год: 1977
Похожие
Фундаментальный анализ мировых валютных рынков: методы прогнозирования и принятия решений
Рабочая книга по прогнозированию
Прогнозирование и планирование экономики
Теория выбора и принятия решений
Текст
                    ТЕОРИЯ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
И ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ
Под редакцией
доктора экономических наук
С. А. САРКИСЯНА
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов,
обучающихся по специальности
«Экономика и организация
машиностроительной промышленности»
МОСКВА
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
1977

ззс
тзз
Рецензенты: кафедра организации и планирования
предприятий Московского авиационного технологического института;
С. А. Абрамов (НИИ цен Госкомитета цен СМ СССР).
Теория прогнозирования и принятия решений. Учеб.
ТЗЗ пособие. Под ред. С. А. Саркисяна. М., «Высш. школа»,
1977.
Авт.: Саркисян С. А., Каспин В. И., Лисичкин В. А.,
Минаев Э. С, Пасечник Г. С.
351 с. с ил.
В книге изложены вопросы научно-технического прогнозирования в
условиях неопределенности. Рассмотрены функции и задачи прогнозирования,
виды прогнозов, принципы анализа, классификации и моделирования объекта
прогноза. Освещены экспертные и фактографические методы
прогнозирования, даны их сравнительный анализ и схемы организации разработки
прогнозов в системах дискретного и непрерывного действия. Приведена
структура автоматизированной системы прогнозирования развития науки
и техники. Рассмотрены методические основы теории принятия решений.
Предназначается для студентов вузов, обучающихся по специальности
«Экономика и организация машиностроительной промышленности».
ЗЗС
10803—443
Т 001(01)—77 26~~77
<g) Издательство «Высшая школа», 1977.

ПРЕДИСЛОВИЕ
На современном этапе развития социалистического общества в качестве
одной, из наиболее актуальных и важных выступает задача повышения
экономической эффективности общественного производства на основе ускорения
научно-технического прогресса.
В Основных направлениях развития народного хозяйства" СССР на 1976—
1980 годы, принятых XXV съездом КПСС, указано на необходимость
расширить использование прогнозов научно-технического прогресса и
социально-экономических процессов при разработке* планов в целях совершенствования
управления народным хозяйством.
Коммунистическая партия и Советское правительство постоянно уделяют
внимание проблемам научно-технического прогресса как одному из наиболее
важных направлений роста производительности общественного труда и
повышения качества работы, как необходимому условию создания
материально-технической базы коммунизма в нашей стране. Особенное значение проблемы
научно-технического прогресса приобретают на современном этапе в связи
с развернувшейся научно-технической революцией. Управление развитием науки
и техники в условиях ускорения научно-технического прогресса требует
представления о возможных альтернативах развития и оценки их эффективности,
обусловливает необходимость научно обоснованных прогнозов.
Теория и практика прогнозирования активно развиваются и используются
сейчас в широком диапазоне областей знаний. В настоящее, время научное
прогнозирование—необходимое средство выработки научно-технической и
экономической политики партии и правительства в нашей стране и в других
социалистических странах, важный инструмент подготовки информации для
принятия решений на различных уровнях управления.
Предлагаемое учебное пособие написано коллективом авторов Московского
ордена Ленина авиационного института им. С. Орджоникидзе.
Авторами отдельных глав являются: гл. 1 и 2—-доктор экономических
наук, профессор С. А. Саркисян и кандидат экономических наук, доцент
Э. С. Минаев; гл. 3 —кандидат технических наук, доцент В. И. Каспин; гл. 4-^
В. И. Каспин (4.1, 4.2, 4.3) и доктор экономических наук В. А. Лисичкин (4.4,
4.5, 4.6, 4.7); гл. 5 —С. А. Саркисян, В. А. Лисичкин и В. И. Каспин; гл. 6, 7
и 8 —кандидат технических наук Г. С. Пасечник; гл. 9 —С. А. Саркисян
и Г. С. Пасечник.
Руководитель авторского коллектива и редактор учебного пособия —
доктор экономических наук, профессор С. А. Саркисян.
Отзывы и замечания по содержанию книги просим направлять по адресу:
Москва, К-51, Неглинная, 29/14, издательство «Высшая школа», редакция
литературы по экономике.

ГЛАВА 1
ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА
1.1. Развитие науки и техники в условиях современной
научно-технической революции
Современная научно-техническая революция изменила
представление о масштабах и темпах развития науки и техники.
Важными ее особенностями являются широкий охват революционными
преобразованиями самых разнообразных сфер и явлений,
сокращение цикла реализации научно-технических достижений, инте-
гративный характер развития науки, техники и производства.
Революционный взрыв, происходящий ныне в сфере науки,
техники и ее промышленном применении, подготовлен
многовековой историей их развития, историей, сочетающей эволюционные
этапы роста и скачки.
Совершенствование процесса производства, производительных
сил общества непосредственно связано с развитием средств труда,
техники. Развитие производства вызывает необходимость
совершенствования техники. В свою очередь, прогресс техники
обусловливает совершенствование всех элементов производственного
процесса.
Технический прогресс, особенно в настоящее время, немыслим
без прогресса в развитии науки. Наука, как и техника, становится
непосредственно производительной силой общества. * Поэтому
в последнее время говорят о научно-техническом прогрессе, т. е.
о прогрессе науки и техники — важнейших элементов
производительных сил общества.
Фундаментомk научно-технического прогресса являются
научные исследования. Научно-технический прогресс основывается на
познании объективных законов развития природы и
использовании их для активного на нее воздействия. «От живого
созерцания,— учит В. И. Ленин,— к абстрактному мышлению и от него
к практике — таков диалектический путь познания истины,
познания объективной реальности»1.
Наука как совокупность знаний о природе и обществе,
накопленных в ходе познания законов их развития, является
важнейшим, первичным источником развития производительных сил.
В становлении и создании науки логическое развитие проблем
и понятий не является самоцелью. Определяющей в развитии
науки является потребность в совершенствовании имеющихся
и создании новых видов техники, потребность развития
материального производства, непроизводственной сферы и общества
в целом. Анализируя взаимозависимость развития науки и
техники, К. Маркс и Ф. Энгельс отмечали: «Если у общества появляет-
( Ленин В. И. Поли. ообр. соч. Изд. 5, т. 29, с. 152—153.
4

ся техническая потребность, то это продвигает науку вперед
больше, чем десяток университетов»1.
Научный прогресс заключается во все более точном и
глубоком познании действительности на основе обобщения имеющихся
знаоний, предвидения развития научных проблем, техники,
общественных явлений.
Элементом научно-технического прогресса является процесс
совершенствования техники. Техника, представляющая собой
совокупность средств труда, с .помощью которых люди
воздействуют на предметы труда для изготовления изделий,
удовлетворяющих те или .иные потребности человека, является одной из
составных частей производительных сил общества,
производственного процесса.
Понятие «техника» уже понятий «средства труда» и «средства
производства». Техника охватывает ведущую, активную, наиболее
сложную часть средств труда и, соответственно, средств
производства.
На заре развития человеческого общества, когда еще не было
науки, а люди лишь обладали определенным опытом, некоторыми
отрывочными знаниями, техника представляла собой
овеществленный опыт. В дальнейшем, по мере накопления знаний о законах
развития природы, возникновения науки как качественно новой
ступени человеческого познания, появляются бо^ее совершенные
технические средства, представляющие собой кристаллизованные
научные познания.
Научно-технический прогресс взаимообусловлен и
взаимосвязан с прогрессом производства: его. простых элементов
(предметов и средств труда, .рабочей силы) и форм их соединений
(технологических методов и форм организации и управления
производством).
Совершенствование предметов и средств труда, а также
технологических процессов проявляется прежде всего в
традиционных направлениях технического прогресса: в механизации,
автоматизации, электрификации и химизации производства.
Для отечественной промышленности характерен довольно
высокий уровень механизации и автоматизации производстве. На
промышленных предприятиях автоматизированы процессы по
регулированию режимов в термических и гальванических цехах,
процессы фрезерования контуров деталей с применением
гидравлических и электрических следящих систем, используются станки
с числовым программным управлением. Изготовление крепежных
деталей и арматуры производится на холодновысадочных,
накатных и токарно-револьверных автоматах.
В промышленности широко проводится электрификация
производства. Электроэнергия применяется в качестве двигательной
силы, а также непосредственно в технологических процессах при
электросварке, электроискровой обработке, электрохимических
1 Маркс К. и Энгельс Ф. Соч. Изд. 2, т. 39, с. 174.
5

. процессах. Использование электроэнергии в технологических
процессах дает высокий эффект. f .
Важным направлением технического прогресса является
химизация, т. е. всестороннее использование в производстве научных
достижений современной химии. Химизация производства
расширяет сырьевую базу социалистической промышленности.
Важное место в производстве' занимает химическая технология,
отдельные ее направления вытесняют механическую обработку,
например химическое травление. Особенно большое значение
имеет использование различных видов химических покрытий для
повышения антикоррозионных свойств изделия.
Производственная техника и технология составляют
субстанцию технической базы производства. Материально-техническая
база производства наряду со средствами труда включает также
еще один элемент производительных сил — предметы труда. Таким
образом, понятия «техническая база» и «материально-техническая
база» производства уже понятия «производительные силы
общества», так как отражают только техническую и материальную
стороны производственного процесса. .
В конечном итоге исследование технической и материально-
технической базы производства следует проводить комплексно,
совместно с изучением третьего элемента производительных сил —
кадров, их специализации и квалификации, уровня их
образования и т. д. «Первая производительная сила всего человечества
есть рабочий, трудящийся»1.
Особенности технического прогресса в промышленности
определяют и специфику формирования ее кадров. Так, для
современной промышленности характерна тенденция сокращения числа
производственных рабочих и увеличения числа научных и
инженерно-технических работников, административно-управленческого
персонала. При этом технический прогресс вызывает рост
квалификации рабочих, сокращение старых и создание новых
специальностей.
Развитие науки и техники и совершенствование на этой основе
производственного процесса сопровождаются совершенствованием
системы управления производством. При этом научно-технический
прогресс не только вызывает необходимость совершенствования
системы управления, но и создает для этого необходимые
предпосылки вследствие развития методов и техники управления.
Научно-технический прогресс является первичным процессом.
Прогресс управления производством, будучи сопутствующим, вто:
ричным- процессом, в свою очередь оказывает определяющее
влияние на состояние и темпы развития научно-технического
прогресса.
В процессе научно-технического прогресса на^ определенных
этапах появляется несоответствие между уровнем развития науки
и техники и методами управления. Однако эти противоречия носят
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5, т. 38, с. 359.
6

в условиях социалистического способа производства, в условиях
общественной собственности на средства производства
неантагонистический характер и сравнительно легко преодолимы. Объек*
тивно действующие экономические законы социализма
обусловливают гармоническое сочетание научно-технического прогресса
и совершенствования управления производством.
Научно-технический прогресс непосредственно связан с
процессом разделения труда, специализации и кооперирования,
концентрации и размещения промышленности. Взаимодействие
научно-технического прогресса и форм общественной организации
труда проявляется в виде прямой и обратной связи. Орудийная
техника привела к организации узкоспециализированного
мануфактурного производства, которое в свою очередь создало
материальные условия для появления машинной техники и перехода
к крупной машинной индустрии. Дальнейшая специализация
производства создала объективные условия для создания
узкоспециализированной автоматической системы машин и в перспективе —
комплексно-автоматизированного производства.
Совершенствование форм организации и управления
производством в свою очередь, вследствие наличия механизмов обратной
связи, ускоряет темпы научно-технического прогресса.
Вследствие создания больших технических систем в результате
технического прогресса в промышленности происходит
непрерывный процесс повышения/ уровня концентрации производства,
углубления специализации и расширения кооперированных
связей. Это в свою очередь приводит к созданию больших
производственных систем, к которым относятся в промышленности
современные научно-исследовательские и опытно-конструкторские
организации, серийные заводы, научно-производственные и
производственные объединения и отрасли производства. В связи с этим
резко выросли информационные потоки в производственных
системах, сложность организационной структуры и процессов
управления в системе.
Поэтому большое внимание в последнее время уделяется
механизации и автоматизации не только основного производственного
процесса, но и процессов хранения и переработки информации.
В процессе переработки информации широко применяются
современные математически^ методы и электронно-вычислительная
техника. Качественно изменяются состав информации,
циркулирующей по каналам прямой и обратной связи системы
управления, характер управленческого труда, технологии управления.
Новые требования предъявляются в этой связи к
организационной структуре системы управления и кадрам, осуществляющим
функции управления.
Научно-технический прогресс требует совершенствования
процесса производства, а это обусловливает возможность
дальнейшего развития науки и техники. Эта возможность возникает
вследствие увеличения научно-технического потенциала
производства и роста производительности общественного труда.
7

При современном уровне развития общества проблемы
научно-технического прогресса нельзя рассматривать только в
границах производственной сферы деятельности людей. Часть
технических средств находит широкое применение и в отраслях
непроизводственной сферы (культурно-бытовое обслуживание
населения, государственное управление, оборона и др.).
Исследование развития техники в производственной и
непроизводственной сферах показывает, что ведущее место занимает
техника в производственных отраслях, однако неуклонный рост
потребностей и их дифференциация обусловливают тенденцию
постоянного увеличения выпуска техники, используемой в
непроизводственной сфере. Научно-технический прогресс в
непроизводственных отраслях народного хозяйства, в быту, улучшающий
условия труда, отдыха и. обслуживания трудящихся, косвенно
также влияет на рост общественной производительности труда.
За последние годы резко возросла роль техники в быту, что
способствует снижению затрат времени на бытовые нужды. Это не
только облегчает условия жизни трудящихся, но и высвобождает
трудовые ресурсы для использования в народном хозяйстве.
Трудно переоценить значение техники, широко внедряемой
в сферу управления производством. Совершенствование управле-1
ния тесно связано с развитием электронно-вычислительных машин,
организационной техники, аппаратуры связи. Современная
техника управления дает возможность резко повысить эффективность
процесса управления и, как следствие, эффективность процесса
производства. _
Механизация и автоматизация процесса управления позволяем
также высвободить трудовые ресурсы; которые могут быть
использованы в сфере производства. В этой связи стоит напомнить, что
в настоящее время только учетными функциями в управлении
.занято в целом по стране свыше 2 млн. человек (при этом 80%
из них — первичным учетом).
Характерен с этой точки зрения условный прогноз
специалистов в области управления производством, выполненный в 70-е
годы. В нем отмечается, что если техника управления не претерпит
кардинальных изменений, то к 2000 г. все трудоспособное
население Земли в целях обеспечения эффективного управления будет
вовлечено в переработку управленческой информации.
Особое место занимает военная техника. Военная техника
предназначена для обеспечения боеспособности вооруженных
сил. Она не участвует в производственном процессе и не
используется в личном потреблении. «Военные расходы»,— как отмечал
еще К.Маркс,—...в непосредственном экономическом Отношении —
это то же самое, как если бы нация кинула в воду часть своего
капитала»1. Военные расходы, в том числе и затраты на
производство и эксплуатацию военной техники, осуществляются за счет
национального дохода.
1 Архив К. Маркса и Ф. Энгельса, т. 4. М., 1935, с. 29.
8

В социалистическом обществе национальный доход
используется для удовлетворения материальных и культурных
потребностей трудящихся, для расширения производства и создания
необходимых резервов. Таким образом, чем больше военные
расходы, тем меньшая доля средств идет на удовлетворение
потребностей населения и расширение производства. Поэтому
социалистические страны кровно заинтересованы во всеобщем
разоружении государств и сокращении военных расходов. Однако,
учитывая сущность империализма, социалистические страны вынуждены
уделять большое внимание укреплению обороноспособности
государств, совершенствованию военной техники.
Таким образом, научно-технический прогресс охватывает все
стороны народного хозяйства страны, систему обороны
государства и сферу бытового обслуживания населения. Поэтому
наряду с понятиями «техническая база» и
«материально-техническая база производства» широко используется термин
«материально-техническая база общества». Ведущим, определяющим
элементом материально-технической базы общества является
материально-техническая база производства, прежде всего техническая
база. Техническая база производства — наиболее активный элемент
производственного процесса; изменение и совершенствование
орудий труда служит материальной основой развития общества. Вот
почему проблемы научно-технического прогресса имеют огромное
социально-экономическое значение. Важнейшим законом научно-
технического прогресса является преимущественный рост
производства средств производства, являющихся материальной основой
прогресса техники и технологии во всех отраслях народного
хозяйства.
Одним из главных социально-экономических последствий
научно-технического прогресса является замена ручного труда
машинным, использование науки непосредственно в производстве, а
также в других сферах народного хозяйства, в армии, быту.
В. И. Ленин указывал, что «...прогресс техники в том и
выражается, что человеческий труд все более и более отступает на задний
план перед трудом машин»1. Замена ручного труда машинным,
непосредственное использование науки в производстве,
совершенствование системы управления, форм общественной организации
труда является определяющим условием повышения
эффективности производственного процесса, роста общественной
производительности труда.
Производительность труда имеет решающее значение для
экономического и социального развития общества. «Коммунизм
есть высшая, против капиталистической, производительность
труда добровольных, сознательных, объединенных, использующих
передовую технику рабочих»2. Поэтому главным критерием уровня
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5, т. 1, с. 78.
2 Ленин В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5, т. 39, с. 22.
9

эффективности научно-технического прогресса являются темпы
роста общественной производительности труда.
Научно-технический прогресс занимает центральное место
в решении социально-экономических и политических задач,
стоящих перед социалистическим государством. Он направлен на рост
благосостояния и культуры народа, удовлетворение возрастающих
духовных и материальных потребностей человека,
социально-экономический прогресс общества, укрепление обороноспособности
государства. Научно-технический прогресс служит материальной
основой преодоления существенных различий между умственным
и физическим трудом, между городом и деревней. Темпы научно-
технического прогресса предопределяют сроки создания
материально-технической базы коммунизма.
Стимулом, движущей силой научно-технического прогресса
являются социальные потребности. К. Маркс обосновал это на
примере появления и использования машинной техники в
производстве: «...машинный труд, как революционизирующий элемент,
вызывается к }кизни непосредственно преобладанием потребности
над возможностью удовлетворить ее прежними средствами
производства»1. Научно-технический прогресс обусловливается ростом
потребностей людей и общества в целом. Возникающее
противоречие между состоянием действующей техники в данный период
времени и непрерывно возрастающими потребностями общества
и личными потребностями людей является движущей силой
научно-технического прогресса.
В то же время появление новых видов техники стимулирует
возникновение новых потребностей, появляется вновь
противоречие между возможностями технических средств и потребностями,
что в свою очередь вызывает необходимость создания более
совершенных технических средств. Это создает объективные
условия непрерывности научно-технического прогресса.
Непрерывный, устойчивый научно-технический прогресс в
обществе является объективным процессом, свойственным разным
ступеням развития человеческого общества. Однако характер
развития науки и техники, результаты их развития и последствия
зависят в первую очередь от существующего способа
производства. Поэтому наряду с общими положениями о
научно-техническом прогрессе важное значение имеют социальные аспекты этого
процесса. Характер потребностей общества определяется способом
производства, уровнем его экономического развития.
Наиболее высокие темпы технического прогресса характерны
для социалистического способа производства, когда отсутствуют
антагонистические противоречия в обществе и производстве,,
тормозящие развитие н&уки и техники. Кроме того, при различных
способах производства техника служит и различным целям. Если
1 Маркс К. Машины. Применение природных сил и науки. (Из рукописи
1861—1863 гг. «К критике политической экономии».) «Вопросы истории
естествознания и техники», вып. 25, 1968, с. 51.
10

в условиях капитализма техника — средство эксплуатации трудя-
щихся, то в социалистическом обществе она является
необходимым материальным средством экономии общественного труда,
т. е. роста общественной производительности труда, облегчения
условий труда и соответственно повышения материального и
духовного благосостояния, улучшения бытовых условий,
удовлетворения возрастающих культурных и духовных потребностей
трудящихся.
В условиях капитализма потребности в научно-техническом
прогрессе вытекают из сущности капиталистического способа
производства, а именно из стремления получить максимальную
прибыль. Внедрение новых технических средств в «производство
повышает производительность труда и тем самым сокращает
необходимое рабочее время, в течение которого рабочий
воспроизводит стоимость своей рабочей силы. При неизменной
продолжительности рабочего дня это обеспечивает удлинение
прибавочного рабочего времени, а следовательно, и величины
относительной прибавочной стоимости. Таким образом, погоня капиталистов
за избыточной прибавочной стоимостью является главным
стимулом научно-технического прогресса в капиталистическом
производстве.
\ Важнейшим средством извлечения прибылей^^^
скрм ш!В^являете,я ЗконШтеЫое_ и полит1^еск9е.3^^бо^еш1е
а народов др.уййГ, страд, особенно^ экономически отсталых.' Это,
в свою очередь, приводит"к милитаризации экономики, созданию
современных вооруженных сил, оснащенных новейшими
техническими средствами. Милитаризация экономики является также
мощным стимулом научно-технического прогресса в
капиталистическом мире. Характер потребностей капиталистического
общества приводит к уродливому развитию науки и техники.
Потребности в научно-техническом прогрессе в условиях
социалистического способа производства вытекают из сущности
социалистической экономики, цели социалистического производ-
• ства— все более полного удовлетворения растущих материальных
и культурных потребностей народа ^путем развития и
совершенствования общественного производства, путем повышения
производительности труда. Противоречия между достигнутым уровнем
развития техники и потребностями социалистического общества
не антагонистичны. Они являются внутренним источником,
движущей силой научно-технического прогресса.
Темпы научно-технического прогресса на различных этапах
нестабильны, они периодически изменяются. В соответствии с
диалектикой развития прогресс науки и техники имеет стадии
эволюционного и скачкообразного развития/
В процессе эволюции техники можно различить три фазы ее
развития (рис. 1.1). В начальной фазе происходит зарождение
новой техники и рост ее функциональных параметров. При этом
скорость роста параметров еще небольшая, но она непрерывно
увеличивается. В центральной фазе происходит бурное развитие
11

ш
техники. Для этого периода характерна наибольшая скорость
приращения параметров техники. Однако темпы их роста постепенно
замедляются и наступает точка перегиба кривой, после, которой
скорость приращения параметров начинает непрерывно
уменьшаться, что обусловливается влиянием сдерживающих факторов
для данного вида техники. Обычно сдерживающие факторы
приводят к образованию так называемых «барьеров». Например,
в 40-е годы сдерживающим фактором роста скорости самолета
был поршневой двига-
vл тель, который не
давал возможности
преодолеть «звуковой
барьер». И, наконец,
заключительная
фаза — фаза морального
старения техники,
когда исчерпываются
возможности ее
дальнейшего
значительного совершенствования
на старых
принципиальных основах.
Только новое
принципиальное решение,
качественный скачок,
устраняющий влияние
сдерживающих
факторов (например,
замена винтовой тяги
поршневого двигателя
реактивной тягой),
приводит к
возможности дальнейшего
резкого роста параметров техники. В этой фазе развития скорость
приращения параметров небольшая, при этом она непрерывно
уменьшается. Таким образом, каждый эволюционный цикл
развития техники можно описать S-образиой кривой.
Если рассматривать основные тенденции развития техники
в широком историческом аспекте, можно говорить о трех
эволюционных циклах (ступенях) ее развития: орудийном, машинном
и цикле автоматической системы машин (автоматов). Каждый из
этих циклов характеризуется различной степенью участия в
производственном процессе техники и человека. Если на начальной
(орудийной) ступени развития техники основные
производственные функции оставались за человеком, то на высших этапах они
все в большей степени передавались технике.
На орудийной ступени развития техники в процессе труда
человек использовал простые, а затем сложные орудия. При этом
они приводились в действие или мускульной силой человека, или
Рис. 1.1. Эволюционные участки развития
и скачки в процессе технического прогресса
транспортных средств
12

силами природы. В этот период техника представляла собой, как
правило, только исполнительный механизм.
На втором этапе развития техники ручной труд с
использованием орудий все больше заменяется системой орудий — машиной.
«...Машина заменяет не только^ живой труд, но также самого
рабочего и его ремесленный инструмент»1. "При этом машина
представляет собой не простое количественное суммирование (набор)
орудий, а является целостной системой орудий, имеющей
определенную структуру и направленной на достижение определенных
функциональных целей. Характерным для этой ступени развития
техники является появление не .только рабочих машин (машин-
орудий), с помощью которых происходит изменение форм,
размеров и свойств предмета труда. Появляются машины-двигатели,
преобразующие один вид энергии в другой. Вместо одного —
исполнительного — механизма машина включает уже три
механизма: двигательный, передаточный и исполнительный. На смену
простой технике Приходит техническая система.
На высшей — третьей — ступени развития техники появляется
система машин, в которой наряду с указанными тремя
механизмами появляется механизм управления, включающий в себя
механические, электрические или электронно-вычислительные
устройства. В связи с появлением в функциональной структуре
технической системы принципиально нового механизма
(механизма управления) нужно говорить уже не о простой системе машин,
а об автоматической системе машин с интегративными
свойствами. Не только и не столько рост масштаба технических
агломераций (образований), сколько рост их сложности и интегративных
свойств позволяет говорить о приходе на смену техническим
системам больших технических систем.
Итак, по мере изменения функций и структуры средств труда
мы постепенно переходим от понятий «техника», «техническая
система» к понятию «большая техническая система», важному
терминологическому понятию, введенному в жизнь именно в эпоху
современной . научно-технической революции. Диалектика этих
понятий отражает диалектику развития средств труда не только
в структурном, но и в функциональном плане.
Переход от орудий к машинам и далее от машин к
автоматическим системам машин (автоматам) является результатом
глубоких качественных изменений средств труда. Революционные
преобразования техники, средств труда касаются прежде всего
качественного изменения их функций. Как мы уже отмечали, по
мере развития средств труда все больше функций человека в
производственном процессе передается технике. Если при переходе
от орудийной техники к машинной машинам передавались
непосредственно исполнительские — технологические и энергетиче-
1 Маркс К. Машины. Применение природных сил и науки. (Из рукописи
1861—1863 гг. «К критике политической экономии».) «Вопросы истории
естествознания и техники», вып. 25, 1968, с. 21.
13

ские — функции, то на следующей ступени революционных
преобразований— переходе к автоматической системе машин —
происходит замена человека машиной в интеллектуальных функциях
контроля и управления.
Если рассматривать отдельные эволюционные циклы, то их
тоже можно представить серией более частных эволюционных
циклов и скачков, имеющих во многом сходный характер. Так,
эти локальные эволюционные циклы также могут быть описаны
S-образными кривыми роста количественных параметров техники,
при этом S-образная кривая высшего порядка является
огибающей кривой, определяющей тенденции изменения более частных
кривых в шкале времени. В этом случае скачок наступает при
переходе к использованию в технических средствах качественно
новых физических явлений, видов энергии, конструкционных
материалов. Примеров подобного рода скачков в истории развития
техники много. Стоит назвать хотя бы переход от каменных
орудий к металлическим (железным), от паровой машины к
двигателю внутреннего сгорания, от деревянной конструкции
самолета к цельнометаллической (дюралевой, а затем стальной и
титановой), от поршневых авиационных двигателей к реактивным, от
ламповой элементной базы электронно-вычислительных машин
к полупроводникам и затем к интегральным схемам и т. п.
Образование скачков можно наглядно проследить, если
рассматривать изменение основных параметров техники за
значительный исторический промежуток времени. На рис. 1.1 видны
периоды эволюционного развития различных видов транспортцых
средств, когда их скорость изменялась сравнительно плавно, без
резких скачков, и периоды скачкообразного изменения скорости
при переходе от одного вида транспортных средств к другому.
Элементарным скачком можно считать создание каждого
нового типа технического изделия (системы). В этом случае
эволюцией данного типа изделия является его модификация и
модернизация в течение жизненного цикла. Поэтому в -процессе
эволюционного развития техники следует особо выделить период
малых приращений параметров — модификацию и модернизацию
техники (а также конструктивно-технологические изменения
в процессе ее серийного производства). Модификация и
модернизация техники позволяет увеличить ее функциональные
параметры на сравнительно небольшую величину (в сопоставлении с
базовым изделием), но одновременно с малыми затратами времени
и ресурсов. Последнее обстоятельство позволяет сохранить или
даже увеличить скорость приращение параметров на отдельных
участках S-образной кривой эволюционного периода развития
техники при высоком техническом потенциале базового изделия.
Модификация (или модернизация) проводится не только для
увеличения параметров техники, но и с целью расширить или
изменить ее назначение. Последнее связано с расширением сферы
применения техники. Модификация изделий чаще всего .бывает
многократной, при которой первичная модификация является
14

Рис. 1.2. Семейства модификаций самолетов (на примере США)

базой для вторичной и т. д. На рис. 1.2 приведены в качестве
примера семейства самолетов «Боицг-707» и «В-52», имеющих
несколько уровней модификации. Число уровней модификации во
многом определяется техническим потенциалом базового изделия.
С увеличением кратности модификаций, связанных с ростом
параметров изделия, начиная с определенного уровня скорость
приращения параметров уменьшается. В этом случае сдерживающим
фактором является конструктивная схема изделия,
предназначенная для функционирования в ограниченном диапазоне изменения
параметров. Предельные для данной схемы параметры являются
тем «барьером», к которому асимптотически приближается
сублокальная S-образная кривая.
Рис 1.3. Схема влияния технического прогресса на
изменение стоимостных параметров техники
Таким образом, технический прогресс продукта труда
осуществляется либо путем скачкообразного изменения техники, либо
путем ее эволюционного развития. В процессе эволюционного
развития техники можно выделить периоды «малых приращений
параметров» техники.
Анализируя тенденции совершенствования техники, следует
отметить, что изменение значений ее основных функциональных
параметров имеет монотонно возрастающий характер. Как мы
уже отмечали, параметрическую тенденцию можно представить
в виде S-образной кривой (рис. 1.3).
Технический прогресс продукта труда в промышленности
вследствие непрерывного роста функциональных параметров
и сопутствующего усложнения технических систем приводит
к непрерывному росту их стоимостных параметров. Эту
тенденцию условно в соответствии со знаком изменения можно назвать
позитивной тенденцией стоимостных параметров техники.
Позитивная тенденция стоимостных параметров техники тоже может
быть описана монотонно возрастающей S-образной кривой, но
при этом она несколько отстает по темпам от параметрической
16

тенденции. Это объясняется, «эффектом» уменьшения
параметрического градиента стоимости1 с ростом параметра техники.
Одновременно величина стоимостных параметров подвержена
непрерывному воздействию негативной тенденции вследствие
прогресса процесса труда и соответствующего роста
производительности труда. Эта тенденция монотонно убывающая. В отличие от
позитивной тенденции, имеющей разрывы в местах
скачкообразного изменения качества продукта труда, негативная тенденция
может быть описана непрерывной функцией. Это объясняется
исключительно большим количеством и разнообразием элементов
процесса труда, принимающих участие в создании и производстве
систем летательных аппаратов в пространстве и во времени.
Скачкообразное изменение качества отдельных элементов процесса
труда * (предметов или средств труда, технологических методов
и т. д.) не приведет поэтому к существенному мгновенному сдвигу
кривой негативной тенденции.
Следует отметить, что в любой точке кривой интегральной
тенденции при стабилизации функциональных параметров
изменение стоимостных параметров происходит по изопараметрическим
кривым стоимости (рис. 1.3). Эти кривые характеризуют
снижение стоимости техники с постоянными параметрами вследствие
роста производительности общественного труда (негативная
тенденция).
Результирующая, или интегральная, тенденция стоимостных
показателей, учитывающая две локальные тенденции (позитивную
и негативную), несколько отличается от них по характеру. До
определенного момента кривая, описывающая эту тенденцию, по
ха;рактеру похожа на "кривую позитивной тенденции. Это
монотонно возрастающая кривая с точкой перегиба, несколько смещенной
влево.
В момент т^, когда темпы снижения Стоимостных показателей
вследствие повышения производительности труда становятся
равными темпам их роста в связи с увеличением функциональных
параметров техники (продукта труда), наступает максимум
кривой интегральной тенденции. После этой экстремальной точки
начинается непрерывное снижение стоимостных параметров
техники. Интегральную, кривую через определенный промежуток
времени после экстремальной точки можно отнести к семейству
изопараметрических кривых стоимости вследствие очень малых
приращений в этот период максимальных значений параметров
(/*=const).
Характер интегральной тенденции можно проследить на
примере изменения удельной стоимости конструкции самолетов
с поршневыми двигателями (ПД), которые уже в конце 50-х —
начале 60-х годов находились в фазе морального старения. Как
1 Параметрический градиент стоимости характеризует скорость изменения
стоимостных параметров техники, т. е. величины их приращения при изменении
функциональных параметров на единицу.
2 935
17

Рис. 1.4. Динамика стоимости
самолетов:
а — с поршневыми двигателями; б — с
газотурбинными двигателями
18

ных этапах истории человечества эволюционное развитие науки
сменяется качественными изменениями, которые носят
революционный характер. Как и при развитии техники, окачки в развитии
-науки следуют за периодами плавного эволюционного развития
и связаны с преодолением определенных - препятствий, барьеров
на пути их развития. Однако эти барьеры носят уже не
материальный характер. В процессе научной революции разрушается
традиционный взгляд на предметы и явления, традиционный тип
мышления. Разрушается стабильная система научных теорий,
Рис. 1.5. Схема влияния технического прогресса на стоимость
единицы эффекта в сфере эксплуатации техники
категорий и понятий. При этом на смену старому, разрушаемому
приходят новые концепции, теории, новый научный понятийный
аппарат.
Античный период развития науки характеризуется
умозрительным целостным восприятием окружающей природы (внешней
среды) , достаточно четкими логическими построениями, восходящими
от описания исследуемого процесса или события к его
первопричине. Такой подход позволял дать сколько-нибудь
правдоподобное, объективно далеко не всегда верное, но логически
непротиворечивое объяснение событий природы.
Научная революция I типа1, протекавшая в основном в XVI—
XVIII вв., была направлена на разрушение веры в видимость как
истину вещей и явлений окружающего мира. Следствием этой
революции является переход в науке от познания видимости вещей
и явлений к познанию их сущности. Именно на этом этапе
меняется тип мышления ученых: переход от живого созерцания
природы к абстрактному мышлению позволяет проникнуть в сущ-
- * Типизация научных революций дана по Б. М. Кедрову.
19

ность явлений и процессов, протекающих в природе, познать
законы природы. Основным методом абстрактного мышления
в этот период стал метод анализа, метод аналитического
расчленения изучаемых явлений на отдельные части и элементы.
Средством и инструментом научного познания в эпоху научной
революции XVI—XVIII вв. была математика, позволившая
абстрагироваться от внешних специфических особенностей предметов
и процессов и выявить внутренне присущие им законы и
закономерности/
Первая революция.в науке охватила длительный период
времени и привела, по утверждению Ф. Энгельса, к возникновению
современного естествознания, освободив науку от схоластики. Ряд
революционных преобразований произошел и в отдельных
отраслях знаний — астрономии, физике, химии и др.
Создание новых научных теорий и гипотез, дальнейшее
развитие научных представлений о мире в начале XIX в. начинает
сдерживаться сложившимся стереотипом научного мышления,
привычкой ученых рассматривать предметы и процессы
обособленно друг от друга и в неизменном, неподвижном состоянии.
Смысл II типа революции в науке заключался в разрушении веры
в неизменность природы: были разрушены метафизические
барьеры, возникающие при аналитическом способе абстрактного
мышления. Инструментом решения этой задачи революционного
развития послужила диалектика, позволившая выявить общие
закономерности и внутренние причины раавития.
Научная революция III типа, начавшаяся в конце XIX в. и
завершившаяся в середине XX в;, явилась непосредственной
предшественницей современной научно-технической революции. Она
заключалась в глубоком проникновении в микромир и проходила
в три этапа. Каждый из этих этапов был связан с преодолением
соответствующих барьеров в развитии ядерной физики: с
разрушением веры в исчерпаемость частиц и видов материи, веры
в возможность наглядного представления микрообъектов и
микропроцессов и веры в юкстапозицию элементарных частиц (т. е.
представления о существовании микрочастиц в готовом виде).
Все это означало крушение старых научных представлений
об одинаковости макро- и микромира.
Таким образом, в развитии науки, техники и производства
в прошлом наблюдались стадии эволюционного развития и
скачков. В процессе скачков качественно изменились средства труда,
наши представления о предметах и явлениях, формы
организации общественного производства. От орудий к машинам и
автоматическим системам машин в технике, от поверхностного
созерцания к низшим, а затем высшим ступеням абстрактного
мышления и соответствующего изменения системы знаний в науке, от
ремесленничества и мануфактуры к крупному машинному
производству и к комплексно-автоматизированному производству —
таков исторический путь развития науки, техники и производства.
Характерная черта этих цепочек революционных изменений —
20

наличие разрывов во времени между ними,' между научными
открытиями, техническими. изобретениями и их практической
реализацией в производстве.
В конце 50-х годов XX в. единичные скачки в развитии науки,
техники переходят в целую цепь, серию, скачков в различных
направлениях науки. Этой серией фундаментальных открытий
начался период новой научно-технической революции, которая
лродолжается и в настоящее время.
Определяющей чертой современной научно-технической
революции (НТР) является непрерывность процесса от научного
открытия до его материализации в производстве. Шзнание
вступает в высшую стадию, стадию перехода «от абстрактного
мышления к практике», но к практике на более высоком уровне, чем
на уровне живого созерцания природы. Важным моментом
современной НТР является также изменение места науки в цепочке
«наука — техника — производство». Если раньше наука отставала
от развития техники и производства, то в современных условиях
она прокладывает пути для дальнейшего движения техники и
производства и развивается опережающими^ темпами. Наука
становится непосредственной производительной силой общества/
Современная научно-техническая революция, базируясь на
механизации, автоматизации и электрификации всей страны,
химизации народного хозяйства, в то же время имеет свои
характерные направления, возникшие в середине XX в. К этим
направлениям следует отнести прежде всего практическое использование
ядерной энергии, создание и широкое применение в производстве
электронно-вычислительных машин и освоение космического
пространства.
Развитие техники в условиях современной НТР определяющим
образом сказывается на характере и темпах общественного
производства.
Научно-техническая революция неизбежно является
предвестником революции промышленной. Нынешняя промышленная
революция протекает практически одновременно с революцией
научно-технической и является следствием внедрения качественно
новых достижений "науки и техники в производство. В этом
отношении можно говорить о новой промышленной революции и о ее
основных направлениях:
кибернетизации производства как дальнейшем развитии
механизации и автоматизации производственного процесса в сфере
управления;
атомизации производства как внедрении прежде всего новых
видов источников энергии двигательных механизмов машин —
ядерных источников энергии; атомизация является дальнейшим
развитием электрификации производственных процессов,
сыгравшей столь значительную роль в предшествующей промышленной
революции;
биологизации производства как дальнейшего развития
химизации производственных процессов; достижения биологической
21

науки еще робко проникают в сферу производства, но
перспектива их использования представляется в настоящее время
заманчивой.
Современная НТР резко ускорила развитие науки, техники
и производства. Важной социально-политической ^ экономической
задачей советского народа в настоящий исторический период
является обеспечение органического сочетания преимуществ
социалистического строя с достижениями современной
научно-технической революции и управление ее развитием.
1.2. Предмет и структура курса
В условиях^резкого увеличения масштабов и темпов развития
науки и техники необходимой предпосылкой для обеспечения
высоких темпов развития народного хозяйства становится
управление научно-техническим прогрессом. Главным элементом
управления является процесс
выработки и принятия решений.
Принятие решений должно
основываться на анализе
ситуаций, выявлении
противоречий в развитии науки и
техники и формулировании на
этой основе проблем и целей
их развития.
Проблемы и . цели
развития могут определяться на
основе анализа текущих
ситуаций и выявления уже
возникших (текущих)
противоречий. Это один/ далеко не
самый эффективный, подход
к формулированию проблем
научно-технического
прогресса. При таком подходе к управлению развитие будет происходить
по кривой синусоидального типа относительно траектории
объективного оптимального развития (рис. 1.6). Сохранение высоких
темпов, развития потребует в этом случае больших затрат
ресурсов. Такой вариант управления развитием приведет или к
значительному ущербу от неоптимальности развития при сохранении
его динамики, или к снижению темпов научно-технического
прогресса.
Более рационален другой подход к управлению, когда
регулирующее воздействие на процесс развития упреждает
перспективное противоречие и система мероприятий по его
предотвращению (или компенсации) минимизирует ущерб от неоптимальности
развития. Именно такой подход определяет необходимость и
актуальность, особенно в век современной научно-технической
революции, прогнозирования возможных ситуаций, противоречий,
Рис. 1.6. Траектория развития при
управлении (принятии решений) по принципу
фиксации текущих противоречий:
х — управляемые параметры развития; - —
время (календарное); *o, ^ — базовые
параметры
22

проблем и целей развития науки и техники для принятия
оптимальных решений по стратегии «аучно-технического прогресса.
В известной степени первый подход к управлению
научно-техническим прогрессом можно отнести к теории статических
решений, а второй — к теории динамических решений.
Огромные масштабы развития науки и техники, длительные
сроки реализации важнейших научно-технических программ
в настоящий период исторического развития, сохранение
подобного положения в обозримом будущем диктуют необходимость
расширения горизонта принимаемых решений. Эта проблемная
ситуация для задач управления очень своевременно и верно
сформулирована в материалах XXIV съезда КПСС: «Назрела
необходимость совершенствования методов планирования. Оно должно
опираться на более точное изучение общественных потребностей,
на научные прогнозы наших экономических возможностей, на
всесторонний анализ и оценку различных вариантов решений, их
непосредственных и долговременных последствий. Чтобы решить
эту ответственную и сложную задачу, необходимо раздвинуть
горизонты экономического планирования»1.
Процесс выработки и принятия решений включает
определение достаточного и необходимого множества альтернатив решений,
оценку и выбор единственного, оптимального решения. Важным
принципом выбора оптимального решения при этом является
оценка эффективности альтернатив не только в рамках планового
периода, но и их социально-экономических последствий за
границами шериода. Прогнозирование в этом смысле является формой
выработки альтернативных квазиоптимальных решений, из
которых затем методами теории принятия решений выбирается одно
оптимальное решение. Эта концепция ступенчатой процедуры
выработки и принятия решений по принципу усечения «конуса
решений» является предпочтительной при управлении развитием
сложных научно-технических комплексов с длительными сроками
разработки и реализации.
При решении вопроса о выборе направлений развития науки
и техники первоначально мы сталкиваемся с неопределенным
множеством решений (рис. 1.7). Разработка прогноза уменьшает
неопределенность и позволяет сформулировать ограниченное
множество квазиоптимальных решений. В этом случае принятие
решения связано, как уже отмечалось, с выбором из области
альтернативных квазиоптимальных решений одного-единствениого
решения, оптимального по принятому критерию (вектору
критериев). '
Важнейшим условием повышения эффективности управления
научно-техническим прогрессом являются увеличение горизонта
и оптимизация принимаемых решений с учетом их ближайших
и долговременных последствий. Тесная органическая связь
прогнозирования и принятия решений обеспечивает оптимальность
1 Материалы XXIV съезда КПСС. М., 1971, с. 67.
23

принимаемой стратегии научно-технического развития,
значительно ускоряет его темпы.
Предметом курса «Теория прогнозирования и принятия
решений» является -изучение закономерностей научно-технического
прогресса, методов прогнозирования вероятных ситуаций,
противоречий, перспективных проблем и целей развития и принятия
иа этой основе оптимальных решений по управлению
научно-техническим прогрессом. Курс ориентирован на оценку перспектив
и принятие
обоснованных стратегических
решений в области развития
научно-технического
прогресса.
1.3. Метод курса
Теория
научно-технического прогнозирования
и принятия решений
строится на применении
основных положений
диалектического и
исторического материализма
к анализу состояния
и развития науки и
техники и определению
перспектив
научно-технического прогресса.
Собственно возможность предвидения будущего основана на
фундаментальном положении материалистической диалектики о
познаваемости мира, на признании всеобщей связи и взаимозависимости
всех явлений природы и общества.
Идеализм отрицает возможность познания будущего,
возможность и необходимость предвидения. Будущее для идеалистов —
это область веры, а не научного знания. Отрицание возможности
научного предвидения отражает политические интересы
буржуазии, которая боится будущего, неминуемо ведущего к гибели
капиталистического общества, к победе социализма во всем
мире.
.Лишь диалектический материализм дает возможность научно
обосновать прогнозы, непосредственно отражающие процесс
развития, и решения, основанные на них. Материалистическое
познание диалектического процесса развития науки и техники является
методологической основой научно-технического прогнозирования
и (принятия решений.
Рассмотрим основные стороны метода курса.
Во-первых, при анализе, прогнозировании и управлении
развитием науки и техники необходимо руководствоваться
принципом системного подхода. Научно-технический прогресс в отрасли,
Рис. 1.7. Усечение «конуса решений»

на отдельных предприятиях не может рассматриваться
изолированно, вне связи его с прогрессом науки и техники в других
отраслях народного хозяйства, в других странах, вне связи
с внешними по отношению к нему объектами, процессами
и явлениями.
Одним из путей реализации системного подхода при
прогнозировании и принятии решения является учет внешних условий —
фона. Фон (внешняя среда)—это совокупность объектов и
связей между ними, определяющих условия существования и
функционирования объекта исследования. В зависимости от природы
фона различают социально-политический, экономический и
научно-технический фон. По степени воздействия на объект
исследования фон делится на активный и пассивный.
Одним из важных требований системного подхода является
оценка последствий альтернативных вариантов развития науки
и техники исходя из их народнохозяйственной эффективности.
Экономия в отрасли или на отдельных предприятиях отрасли
может вызвать дополнительные затраты труда в сопряженных
производствах. Поэтому подлинный эффект может быть
достигнут лишь при учете всех общественных затрат,, при системном
подходе к решению научно-технических задач.
Актуальность системного подхода резко возросла в
современных условиях в связи с появлением больших систем:
технических— продукта производства; производственных — отрасли
производства, предприятия; управляющих— аппарата управления.
Элементаризм или функционализм при изучении,
прогнозировании и управлении процессами развития больших технических
систем приводят к неадекватности моделей и объекта и,
следовательно, к нерациональности принимаемых на этой основе
решений.
Технические системы, как наиболее активные элементы
производительных сил общества, постоянно совершенствуются,
видоизменяются и усложняются. Это обусловливает необходимость
динамического подхода при изучении процессов и явлений,
связанных с научно-техническим прогрессом, необходимость анализа
техники и экономики в ее историческом развитии — в этом
заключается вторая сторона метода курса. Именно поэтому на
вооружении курса находится теория ретроспективного анализа.
Метод диалектического материализма требует поддерживать
в процессе развития все новое и перспективное, «зачатки
будущего»1. В связи с этим теория прогнозирования и принятия
решений должна анализировать новые явления в науке и
технике, новые идеи, изучать патенты на изобретения, перспективные
проекты,— словом, все то, что позволяет выработать оптимальную
стратегию развития науки и техники, наиболее эффективно
использовать наличные и потенциальные ресурсы страны.
1 Ленин В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5, т. 1. с. 181.
25

Одним из наиболее существенных требований метода курса
является учет специфики объекта исследования. Только в этом
случае можно обеспечить действенный характер разрабатываемых
рекомендаций. Игнорирование своеобразия объекта, исследования
приводит к неточным, ошибочным оценкам перспективы и, как
следствие,— к нерациональным решениям, значительным потерям
общественного труда.
Развитие науки и техники может осуществляться различными
путями, каждый- из которых отличается производимыми
затратами ресурсов и достигаемым эффектом. В связи с этим важной
стороной метода исследования является сопоставление ряда
альтернатив решения поставленной задачи для нахождения
оптимального варианта с точки.зрения принятых критериев
эффективности. При этом наряду с качественным анализом вариантов
решения задачи обязательна их количественная оценка.
Наличие множества альтернатив решения задач
научно-технического развития связано с большим количеством факторов,
воздействующих на конечный результат этого процесса.
Различные сочетания этих факторов образуют практически бесконечное
множество допустимых вариантов решений. Поэтому бурно
развиваются в настоящее время методы математического
программирования, включающие в себя алгоритмы упорядоченного перебора
большого количества вариантов решений, и находит все более
широкое применение в управлении народным хозяйством
электронно-вычислительная техника.
Теория научно-технического прогнозирования и принятия
решений, как правило, тге может использовать при изучении
действия законов научно-техниче_ского развития в отрасли
эксперименты и опыты, проводимые в искусственно созданных
лабораторных условиях, которые позволяют устранить (элиминировать)
влияние побочных факторов и явлений и рассматривать процессы
развития в наиболее чистом виде. «...При анализе экономических
форм,— указывал К. Маркс,— нельзя пользоваться ни
микроскопом, ни химическими реактивами. То и другое должна заменить
сила абстракции»1. В связи с этим важное значение имеет приме-
нение математических методов и ЭВМ при ретроспективном
анализе, прогнозировании и управлении научно-техническим
прогрессом.
При этом следует отметить, что наряду с использованием
_в теории прогнозирования и принятия решений классических
методов математического анализа потребовалась разработка
принципиально новых математических'методов решения
прогнозных и управленческих задач. В значительной степени именно
требованиями экономических наук вызвано появление таких
математических методов, как линейное, нелинейное и динамическое
программирование, получили широкое развитие теория
исследования операций (включая теорию игр), математическая статистика,
1 Маркс К. и Энгельс Ф. Соч. Изд. 2, т. 23, с. 6.
26

теория массового обслуживания, теория графов и другие
современные математические методы.
Специфической особенностью современного развития теории
и практики прогнозирования и принятая решений является
механизация и автоматизация не отдельных расчетов, а создание
автоматизированных систем управления -народным хозяйством,
отраслями, предприятиями, включающих подсистемы управления
развитием науки и техники.
Таким образом, наиболее важными сторонами метода курса
являются: 1) системный подход к решению задач
прогнозирования и управления научно-техническим прогрессом; 2) изучение
процесса развития науки и техники в динамике;-3) анализ и
обобщение новых перспективных явлений в научно-техническом
прогрессе; 4) учет специфики объекта исследования; 5) сопоставление
альтернатив решения научно-технических задач для выявления
оптимальной, с точки зрения принятых критериев эффективности,
стратегии развития; 6) широкое применение математических
методов и электронно-вычислительной техники для решения
прогнозных и управленческих задач.

РАЗДЕЛ I
ТЕОРИЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
ГЛАВА 2
ФУНКЦИИ И ЗАДАЧИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
Огромное влияние научно-технического прогресса на уровень
развития производительных сил определяет необходимость
обеспечить постоянные регулирующие воздействия на характер
развития науки и техники и их диффузию в сфере промышленного
производства. Управление научно-техническим развитием
является важным элементом производства.
Наиболее широкое развитие управление производством
получило в социалистическом обществе. В условиях социалистической
экономики управление народным хозяйством является
объективной необходимостью. Общественная собственность на средства
производства обусловливает возможность управления в масштабе
всего народного хозяйства. Управление производством является
важнейшей функцией социалистического государства.
Управление включает три основных элемента: планирование,
организацию и собственно управление (или регулирование)
производством. Эти элементы управления взаимосвязаны и
взаимообусловлены и представляют собой единый процесс, единую
систему управления. Первичным элементом является
планирование, определяющее цели развития производства. Под
установленные цели формируются организационные структуры и процедуры,
в рамках определенных структур и процедур в интересах
достижения целей осуществляется регулирование производства.
По мере развития производительных сил, ускорения темпов
научно-технического прогресса роль управления возрастает,
усложняется и совершенствуется система управления. Особое
значение приобретает планирование производства, в первую
очередь перспективное планирование и прогнозирование.
2.1. Прогнозирование в системе планирования научно-технического
прогресса
Планирование как элемент управления является
информационным процессом. Особенность этого процесса — наличие
временного сдвига информации выхода по отношению к информации
входа (рис. 2.1). При планировании входными являются в основ-
28

ном потоки информации о прошлом (ретроспективная
информация), выходными — потоки информации о будущем
(перспективная информация).
Наряду с ретроспективной информацией при принятии
плановых решений используется информация о состоянии объекта
планирования и фона в момент разработки плана — информация
о настоящем. По отношению к плановому периоду эта
информация также является информацией о прошлом, поэтому ее можно
условно отнести к ретроспективной информации
(условно-ретроспективная информация).
Рис. 2.1. Характеристика информационных входов и выходов процесса
планирования
Величина временного сдвига информационных выхода и входа
процесса зависит от глубины (времени упреждения)
планирования. Глубиной планирования называется промежуток времени
в будущем, на который разрабатывается план. С увеличением
времени упреждения возрастает необходимая глубина
ретроспекции *, а следовательно, и временной сдвиг информации входа
и выхода процесса планирования. _
В зависимости от времени упреждения различаются четыре
этапа планирования народного хозяйства: 1)
оперативно-календарное планирование (время упреждения , от часа до месяца);
1 Глубина ретроспекции-г-промежуток времени функционирования объекта
в прошлом (от горизонта ретроспекции до настоящего момента), по которому
имеется необходимая и достаточная ретроспективная информация. Горизонтом
ретроспекции называется самая дальняя в прошлом точка на шкале времени,
в которой имеется необходимая и достаточная информация.
29

2) текущее технико-экономическое планирование (до 1 года);
3) перспективное и долгосрочное планирование (до 15 лет);
4) прогнозирование. Этапы планирования ориентированы не
только во времени, но и в плоскостях функционального и
территориального членения объекта планирования. Степень охвата
функциональных и территориальных уровней иерархии этапами
планирования (пространство их функционирования) различна.
Прогнозирование и перспективное планирование охватывает
высшие уровни функциональной и территориальной иерархии: от
народного хозяйства (страны) до предприятия;
оперативно-календарное планирование — низшие уровни иерархии: от рабочего
места до предприятия; текущее технико-экономическое
планирование занимает между ними среднее положение.
Указанная схема" охвата уровней иерархии этапами иланиро-
ваБия непрерывно трансформируется. Под воздействием
широкого применения в планировании электронно-вычислительных
машин и оргтехники эталы планирования с малым временем
упреждения (оперативно-календарное и текущее
технико-экономическое планирование) охватывают race более высокие уровни
иерархии. Одновременно под воздействием ускорения темпов
научно-технического и экономического развития этапы с большим
временем упреждения (перспективное планирование и
прогнозирование) охватывают все более низкие уровни иерархии,
расширяется горизонт плановых решений К
Прогнозирование является первой стадией планирования,
остальные три этапа составляют стадию разработки плана.
Непосредственные связи, между двумя стадиями планирования
возникают на стыке долгосрочного планирования и
прогнозирования. Они имеют общую сферу применения в функциональной
и территориальной плоскостях и идентичную схему информацион-
ч тшх потоков.. ГПринципиальным отличием этих двух стадий плани-
А роваттия является характер выходной информации: директивность
/ плановой информации (план — директива) и ориентирующий
характер прогнозной информации (прогноз — ориентация). Эти
отличия характеризуются значительным уменьшением точности
, и достоверности вырабатываемой информации о будущем при
! увеличении глубины планирования.
На рис. 2.2 приведена схема изменения'во времени
доверительного интервала оценки состояния объекта планирования па
одному параметру х. Если состояние объекта описывается
множеством параметров {*<}, то приведенные на графике кривые
трансформируются в поверхности (п+1)-го порядка,^ где п —
число параметров, описывающих состояние объекта.
При построении графика (рис. 2.2, а) условно принято, что
ретроспективная информация об объекте полностью достоверна.
1 Горизонт планирования или прогнозирования — самая дальняя в
будущем точка на шкале времени, в которой оценивается состояние объекта плани-
1 рования.
30

Ошибки измерения и ошибки, возникающие из-за помех в
каналах передачи информации, в данном случае не рассматриваются.
Однако следует отметить, что ценность ретроспективной
информации по мере увеличения ее давности уменьшается,
снижается, и ее предсказательная сила, т. е. происходит
дисконтирование ретроспективной информации. Естественно, чем больше
давность ретроспективной информации, тем меньше в ней зачатков
будущего и больше остатков прошлого.
Вырабатываемая при планировании перспективная
информация носит вероятностный характер и имеет определенную досто-
Рис. Е.2. Динамика доверительного интервала оценки параметров
объекта (дисконтирование перспективной информации)
верность в границах доверительного интервала. Увеличение
глубины планирования приводит при постоянной доверительной
вероятности [Р{ (т) = const] к расширению доверительного
интервала оценки (на рис. 18.2,а он имеет форму раструба). При
постоянной величине доверительного интервала [Д*г(т) = const]
во времени уменьшается доверительная вероятность (на рис.^.2, б
доверительный интервал имеет форму цилиндра). Таким
образом, достоверность и точность вырабатываемой при планировании
перспективной информации уменьшается с увеличением глубины
планирования, т. е. происходит дисконтирование перспективной^
информации. - ■ ) 40~~
"Перспективной информации малой достоверности нельзя
придавать директивный характер, но эта же информация показывает
вероятное состояние будущего, ориентирует на будущее плановые
решения с меньшей глубиной планирования. Прогнозы даже
с относительно небольшой степенью достоверности позволяют
31

уменьшить неопределенность наших знаний о будущем, а
следовательно, и снизитьчриск современных плановых решений, ущерб от;
их неоптимальности; который может возникнуть за рамками пла-i
Hggoro периода.
t Фактор времени определяет и ряд других специфических
1 особенностей процесса и результатов двух стадий планирования:
прогнозирования и разработки плана. Этот фактор является
первичным при размежевании понятий прогнозирования и собственно
планирования (разработка плана). Он определяет границы
процессов собственно планирования и прогнозирования. Глубина
прогнозирования теоретически не ограничена. Практически такие
границы, очевидно, целесообразно установить, исходя из
необходимой и достаточной достоверности оценок состояния, объекта
планирования в будущем.
Граница процессов прогнозирования и разработки плана
непостоянна. Она зависит от степени детерминированности и
стабильности процессов развития науки и техники, с одной стороны, и от
совершенства применяемых при выработке информации о буду-
| щем методов и технических средств — с другой.
?— Возникает вопрос: могут ли существовать одновременно на'
один и тот же период прогноз и план развития науки и техники?
Очевидно, нет. Наличие директивного плана и прогноза, дающего
ориентировку о возможных направлениях научно-технического
прогресса, может только дезориентировать исполнителей плана.
Прогноз развития науки и техники составляется для целей
разработки плана на срок, больший планового периода, и после
утверждения последнего утрачивает свое самостоятельное
значение.
В марте 1965 г. Председатель Совета Министров СССР
товарищ А. Н. Косыгин, выступая на заседании Госплана СССР,
говорил: «Можем ли мы в народнохозяйственных проектировках
игнорировать обоснованные прогнозы... Нет, не можем... Иначе
план не будет отвечать тем задачам, которые ставят партия и
правительство. Поэтому обсуждение научных прогнозов должно
предшествовать разработке планов по развитию отраслей народного
хозяйства<...> Мы должны располагать научными прогнозами
по развитию каждой отрасли промышленности, чтобы вовремя
дать дорогу передовому, прогрессивному, знать, в каком
направлении разработать план»1.
fT* В рамках периода, на который утвержден план, могут
разрабатываться только прогнозы* выполнения плана, предназначенные
для целей периодической* корректировки плана вследствие
изменения социальных потребностей, технических возможностей или
экономической целесообразности вариантов развития.
Таким образом, по времени упреждения высший уровень
иерархии занимает прогнозирование, затем идет разработка пла-
} нов. Прогнозирование и составление планов являются элементами
1 Косыгин А. Я. Избранные речи и статьи. Мм 1974, с. 211.
32

единой системы планирования, объединенными общностью целей
и задач.
Теперь можно дать определения основным понятиям теории
. прогнозирования: «прогноз»,, «прогнозирование», «прогностика».
Прогноз — это вероятностное суждение о состоянии какого-либо
объекта (процесса или явления) в определенный момент времени
в будущем и (или) альтернативных путях достижения каких-либо
результатов. Прогнозирование — это процесс формирования
прогнозов развития объекта на основе анализа тенденций его
развития. Прогностика — наука, изучающая закономерности процесса
прогнозирования.
Иногда в литературе встречаются сопутствующие понятия,
которыми заменяют понятие «прогнозирование»: «предсказание»
и «предвидение». Предсказание — достоверное, основанное на
логической последовательности суждение о состоянии какого-либо
объекта (процесса или явления) в будущем. Предвидение —
опережающее отражение действительности, основанное на познании
законов развития объекта (процесса или явления)!, Понятия
«предсказание» и «прогнозирование» отличаются друг от друга
степенью достоверности оценок будущего, а «предвидение» —
более широкое, родовое понятие, включающее в себя оба
предыдущих.
Таким образом, логические формулы различных видов
процессов выработки информации о будущем (предвидения) можно
записать следующим образом: прогнозирование — «вероятно,
будет», -предсказание — «будет», Планирование — «должно быть».
В зарубежной литературе распространено понятие
футурологии как науки о будущем. Являясь в определенной мере
эквивалентом термина «прогностика», понятие «футурология»
значительно и необоснованно расширяет предмет науки, делая его
всеобъемлющим и включая в него все аспекты проблемы
будущего.
Существуют и другие точки зрения по вопросу о соотношении
понятий «прогнозирование» и «планирование».
Иногда противопоставляют прогнозирование как предвидение
. стихийных неуправляемых социально-экономических процессов,
характерных для капитализма, планированию как определению
тенденций развития в будущем управляемых процессов в
обществе и народном хозяйстве при социализме. Такой подход к
прогнозированию развития народного хозяйства при социализме
неправомерен, так как прогнозирование и планирование (стадия
разработки плана) имеют одинаковую информационную и
социально-экономическую природу.
В других случаях первичным фактором при размежевании
понятий «планирование» и «прогнозирование» считают характер
выходной информации: директивность плана и необязательность
прогноза. Это различие планов и прогнозов является вторичным
и обусловлено, как уже указывалось, фактором времени и
большим в связи с этим уровнем неопределенности прогнозов.
3 t»3">
33

Есть точка зрения, что прогнозирование является
предплановыми разработками, т. е. процессом, предшествующим
планированию.
Единство задач планирования и прогнозирования, общность
их принципов и методов определяют нецелесообразность
принципиального разделения и противопоставления этих понятий.
Существует единая система планирования производства как система
выработки информации о будущем, которая включает в себя
имеющие ряд особенностей две стадии — стадию прогнозирования
и стадию разработки плана.
Итак, планирование производства — это единая система
выработки информации о будущем, не имеющая формального
ограничения во времени и состоящая из двух стадий — прогнозирования
и разработки плана. При наличии специфики этих стадий
планирования их объединяет прежде всего общность целей
(производство информации о будущем) и задач.
Планирование народного хозяйства осуществляется на основе
сознательного использования закона планомерного,
пропорционального развития народного хозяйства и сообразовывается
с основным экономическим законом социализма. Научной основой
теории планирования является марксистско-ленинская
экономическая наука.
В нашей стране планирование народного хозяйства
осуществлялось с первых лет основания Советского государства.
В 1920 г. под непосредственным руководством В. И. Ленина был
разработан план ГОЭЛРО. Этот первый план-прогноз
социалистического переустройства народного хозяйства Советской
республики на основе крупной машинной индустрии и
электрификации был рассчитан на 10 лет. В последующие годы был
разработан еще ряд прогнозов. В 1920 г. под руководством советского
ученого, академика С. Г. Струмилина был разработан
демографический прогноз — прогноз изменения численности населения
нашей страны на 1920—1941 гг. Перед Великой Отечественной
войной под руководством академика Т. С. Хачатурова составлен
прогноз развития транспорта на 10—15 лет. В 1945—1956 гг.
Госпланом СССР подготовлен прогноз развития народного
хозяйства, в 1948 г.— план преобразования природы. В 1967—1969 гг.
разрабатывалась «Схема развитая и размещения
производительных сил до 1980 г.». Перспективные пятилетние планы,
составленные с учетом этих прогнозов, сыграли важную рол!? в развитии
социалистического народного хозяйства. В настоящее время
разрабатываются исходные устаиозки развития народного
хозяйства на 15-летний период (1975—1990 гг.) и прогнозы
до 2000 г.
Начиная с 50-х годов в ряде капиталистических стран, в
первую очередь в США, уделяется много внимания прогностике и
прогнозированию, делаются попытки составления планов (программ)
развития. Однако общественный строй при капитализме,
обусловленной частной собственностью на средства производства, создает
34

объективную невозможность эффективного управления,
планирования и прогнозирования развития производства. Для
капиталистической экономики характерны долгосрочные исследования
лишь по отдельным, относительно стабильным секторам
(главным образом военные отрасли) и делаются безуспешные попытки
объединить их результаты в так называемую макроэкономическую
структуру.
Прогнозирование^в капиталистическом мире часто носит
авантюристический характер. Так, например, известный «мозговой
центр» США — корпорация РЭНД — на основании так
называемого минимаксного критерия в 60-х годах сделала однозначный
вывод «о неизбежности атомно-ракетного нападения СССР на
США». Предпосылками к прогнозу послужила информация о
первых советских спутниках (средства доставки, которых в США в то
время еще не было), а также об успешном испытании советских
ядерных устройств с тротиловым эквивалентом в 50 Мт. По
расчетам американских военных экономистов получилось, что в
случае нанесения советского ракетно-ядерного удара
военно-промышленный потенциал США сохранился бы на уровне около 10%, что,
по их мнению, служило неоспоримым доказательством реальности
такой акции. Они не учли лишь одного, но самого главного —
социального строя -нашего общества.
Отклонение прогнозов и планов от реальной действительности
в капиталистическом мире обусловливается рассогласованностью
между частными закономерностями, характерными для отдельных
промышленных комплексов, и общественными условиями их
проявления.
Финансовый кризис, который в последние годы охватил
большинство капиталистических стран, еще раз убедительно
продемонстрировал невозможность эффективного управления
экономикой капиталистических стран, включая и высшую форму
капитализма — государственно-монополистическую.
2.2. Задачи и принципы прогнозирования
Чтобы получить информацию о будущем, нужно изучить
законы развития народного хозяйства, определить причины, движущие
силы его развития — это основная задача планирования и
прогнозирования. В качестве основных движущих сил развития
производства выступают социальные потребности, технические
возможности и экономическая целесообразность. В соответствии
с этим можно указать на три основные задачи планирования
и прогнозирования: установление целей развития хозяйства;
изыскание оптимальных путей и средств их достижения;
определение ресурсов, необходимых для достижения поставленных
целей.
Выбор целей является результатом анализа
социально-политических задач, которые необходимо решить в обществе и которые
отображают объективный характер действия экономических законов
3»

социализма. Выбору целей предшествует разработка
альтернатив целей, построение иерархической системы или «дерева
целей», ранжирование целей, выбор ведущих звеньев. Исходными
предпосылками выбора целей являются, с одной стороны,
реальная возможность решения данной альтернативы, а с другой —ее
оптимальность по критерию эффективности.
Пути и средства достижения целей определяются на основе
анализа развития народного хозяйства и научно-технического
прогресса. При этом в процессе прогнозирования происходит
ограничение области альтернативных вариантов путей и средств
достижения поставленных целей, ,т. е. определяется область
оптимальных решений. В процессе разработки плана (принятия решения)
определяется единственное решение, оптимальное по принятому
вектору критериев.
В зависимости от того, какая задаче решается в первую
очередь, различают два вида прогнозирования: исследовательское
(или поисковое) и нормативное. Фррмирование прогноза
объективно существующих тенденций развития на основе анализа
исторических тенденций называется исследовательским или
поисковым прогнозированием. Этот вид прогнозирования основан
на использовании принципа инерционности развития, при
котором ориентация .прогноза во времени происходит по схеме «от
настоящего — к будущему». Исследовательский прогноз — это
картина состояния объекта прогноза в определенный момент
будущего, полученная в результате рассмотрения процесса
развития как движения по инерции от настоящего времени до
горизонта прогноза. Прогнозирование тенденций развития объекта
прогноза, которые должны обеспечивать достижение в установленный
момент будущего определенных социально-политических,
экономических и оборонных целей, называется нормативным. В этом
случае ориентация прогноза во времени происходит по схеме «от
будущего — к настоящему».
Рассогласование нормативных и исследовательских оценок
объекта прогноза в каждый момент времени будущего является
следствием противоречия «потребности — возможности».
Комплексный прогноз строится на основе композиции
исследовательского и нормативного прогнозов.
Выбор целей и средств для их достижения непременно должен _
сочетаться с определением потребности в ресурсах. При
определении этой потребности следует рассматривать плановые и
прогнозные матрицы ресурсов (финансовых, трудовых, материальных
и энергетических), а также матрицы производственных
мощностей и ресурсов времени. Оценке подлежат как потребные
ресурсы, так и вероятные ограничения на их величину в диапазоне
времени упреждения плана или прогноза. Матрицы ресурсов
прогноза являются важнейшими исходными ^данными при составлен
нии балансов народного хозяйства при перспективном
планировании.
36

37
Движущие силы развития не действуют изолированно, они
взаимосвязаны и взаимообусловлены и могут быть представлены
в виде связного треугольника графам )сх) - "" hoju
Вершины этого «причинного треугольника» идентифицируют,
движущие силы развития производства, его ребра — обоюдные
связи между ним.и. Поэтому задачи планирования и
прогнозирования нельзя рассматривать изолированно. В процессе
прогнозирования и разработки плана обязательно производится анализ
взаимодействия целей, способов и технических средств их
достижения, ресурсов, необходимых для их реализации, и
определяются по принятым критериям эффективности'оптимальные пути
развития народного хозяйства. ч
Несмотря на общность задач, их постановка при
прогнозировании и планировании различна. При планировании действует
следующая схема: «цель — директивная, пути и средства ее
достижения— детерминированные, ресурсы — ограниченные». При
прогнозировании схема иная: «цели — теоретически достижимые, пути
и средства их достижения — возможные, ресурсы — вероятные».
План содержит только одно (оптимальное) решение, прогноз —
веер альтернатив. Эта особенность является следствием «фактора
времени: большое время упреждения вызывает высокую степень
неопределенности информации о будущем и, следовательно,
расширение доверительного интервала прогнозных оценок
(вероятностный характер оценок).
Задачи планирования и прогнозирования отличаются также
широтой охвата. Если задачи прогнозирования оценить как
глобальные, то задачи других этапов планирования являются
задачами более низкого ранга. Так, глобальная цель прогноза
развития народного хозяйства в СССР - создание
материально-технической базы коммунизма — трансформировалась'в десятой
пятилетке как уже более конкретная целевая программа. Главная
задача десятой пятилетки, как указывалось в Директивах
XXV съезда КПСС, состоит «в последовательном осуществлении
курса Коммунистической партии на подъем материального и
культурного уровня жизни народа на основе динамичного и
пропорционального развития общественного производства и повышения
его эффективности, ускорения научно-технического прогресса,
роста производительности труда, всемерного улучшения качества
работы во всех звеньях народного хозяйства»1. В соответствии
с главной задачей пятилетнего плана определяются цели текущих
планов. Целью каждого нижестоящего звена планирования
1 Материалы XXV съезда КПСС. М., 1976, с. 166.

является обеспечение достижения цели вышестоящем звеном, т. е.
в планировании должна быть достигнута совместимость целей
различных уровней. Эффективное решение указанных задач
планирования обеспечивается реализацией основных принципов
прогнозирования и разработки планов.
Особенности процессов планирования и прогнозирования
(глубина планирования, уровень неопределенности вырабатываемой
информации о будущем и ее характер) влияют на схему
реализации основных принципов планирования. Существует ряд общих
принципов планирования и прогнозирования: сочетание
социально-политических и хозяйственных целей; демократический
централизм; системность; непрерывность и обратная связь;
пропорциональность и оптимальность; реальность и объективность;
выделение ведущего звена и т. д. Остановимся на некоторых
из них.
Система планирования основывается на двух главных
принципах: единства социально-политических и хозяйственных целей
и демократического централизма. Принцип демократического
централизма обусловливает характер информационных потоков
при планировании — возвратно-поступательное движение
информации (вверх — вниз) по уровням иерархии управления народным
хозяйством (принцип встречного планирования).
Планирование и прогнозирование должны носить системный
характер. Необходимость системного подхода в планировании
вытекает из „особенностей развития науки* и техники, народного
хозяйства я период научно-технической революции, требований
социалистической системы хозяйства. Научно-техническая,
революция привела к принципиальному изменению свойств,
характеристик и структуры современной техники и народного хозяйства.
Рост количества элементов, объектов различной природы,
усложнение связей между ними и поведения объекта во внешней среде
привели к созданию больших технических и производственных
(организационно-экономических) систем.
Современные машины обладают высокой
конструктивно-функциональной сложностью, представляют собой технические
комплексы, включающие огромное количество деталей, узлов,
агрегатов и готовых изделий, объединенных конечной функциональной
целостностью. Конструктивно-функциональная сложность
обусловливает высокую материалоемкость, трудоемкость, энергоемкость
и стоимость технических комплексов. Развитие техники привело
к созданию сложных иерархических структурных построений —
больших технических систем. Это свойство технических
комплексов потребовало системного подхода к ее созданию, системного
проектирования. В разрабатываемых технических комплексах
конструкции отдельных входящих элементов должны быть подчинены
общей цели, ради которой создается система, т. е. должна быть
обеспечена единая стратегия поведения технической системы.
Создание больших технических систем вызвало в свою очередь
появление больших организационно-экономических
(производив

ственных) систем, охватывающих множество предприятий,
объединенных выпуском определенного технического комплекса.
Возникает иерархия в структуре управления производственными
предприятиями. Неуклонно нарастающие темпы развития науки
и техники, создание современных организационно-экономических
систем привели к лавинообразному росту "информации и
увеличению степени нерегулярности се поступления. Все это потребовало
совершенствования методов планирования, создания системы
планирования.
Система управления производством, подсистемой которой
является планирование, для обеспечения процесса управления
в соответствии с законом необходимого разнообразия,
сформулированного У. Р. Эшби, должна обладать по крайней мере такой
же сложностью (разнообразием), как и управляемая система.
В связи с этим появляется новый класс больших систем —
большие управляющие системы.
Планирование как подсистема управления производством
является большой кибернетической системой со стохастическим
режимом работы. Системе планирования присуши всег основные
особенности, характерные для большой системы, а именно:
целостность (единство цели); сложность структуры; сложность
связей, которая обусловлена сложностью структуры народного
хозяйства, сложными переплетающимися и перекрещивающимися
взаимными связями между отдельными отраслями народного
хозяйства, регионами и предприятиями; сложность поведения
(изменение одного параметра прогноза или плана влияет на
комплекс других, причем по самым разнообразным видам
зависимости). Прогнозированию как подсистеме планирования также
присущи эти общие свойства больших систем. ч
Спецификой реализации принципа системности на двух
стадиях планирования является изменение характера модели
объекта планирования. Модель объекта (системы) на стадии
прогнозирования строится более агрегированной, в ней рассматриваются
лишь самые существенные элементы (например, структуроопре-
деляющие изделия) и связи. По мере уменьшения времени
упреждения на стадии составления плана модель системы
становится более детальной, увеличиваемся количество
рассматриваемых элементов и связей системы, ее параметров и характеристик.
Важнейшими требованиями системного подхода являются
комплексность прогнозов и планов и непрерывный характер
процесса планирования.
Комплексный подход предусматривает составление прогнозов
и планов во взаимосвязи как в пространстве (в отраслевом и
территориальном разрезе), так и во времени. Взаимосвязь в
пространстве означает установление рациональных отношений между
отраслями народного хозяйства, экономическими районами,
установление оптимальных соотношений между темпами развития
науки, техники и промышленного производства,
сбалансированность потребностей и ресурсов на всех уровнях иерархии.
39

Взаимосвязь прогнозов и планов во времени обеспечивается
реализацией принципа непрерывности планирования. Практика
планирования в СССР показывает, что принцип непрерывности
надо осуществлять, исходя из реальных условий производства.
Корректировка планов и прогнозов должна носить дискретный
характер с заранее установленными сроками (режим
функционирования). Относительно частое изменение планов,
обусловливающее изменение производственных программ, может привести
к дезорганизации работы отраслей и предприятий в силу
сложности структуры производственных связей в народном хозяйстве,
большой трудоемкости и материалоемкости процессов подготовки
промышленного производства.
Чувствительность прогноза и планов к изменениям зависит от
уровня иерархии, сроков упреждения и периодичности
корректировок. Чем ниже уровень, тем чувствительность выше, тем
должны быть короче периоды корректировки.
Ориентировочно корректировка должна осуществляться для
прогнозов раз в 2,5-^5 лет, для пятилетнего плана — ежегодно,
для годового плана — ежеквартально, для квартального и
месячного планов — оперативно на уровне диспетчирования и
оперативного контроля. Оптимальные сроки обновления планов и
прогнозов (режим функционирования системы) могут быть выявлены
только по результатам широкого практического применения.
Важнейшим моментом внедрения и использования
непрерывных систем планирования является определение качества работы
таких систем и на основе этого нахождение оптимального режима
функционирования.
Непрерывность планирования обеспечивается путем
реализации принципа обратной связи. Корректировка планов и прогнозов
проводится на основании информации обратной связи,
содержащей данные о результатах реализации планов и прогнозов,
уточнения потребностей, об изменении тенденции развития
объекта и внешней среды (социально-политического,
научно-технического и экономического фона).
Планы и прогнозы должны быть научно обоснованы. Нельзя
допускать субъективизма и волюнтаризма при прогнозировании
и составлении планов народного хозяйства. Прогнозы и планы
должны быть напряженными и обеспечивать объективную
возможность их выполнения. Это требует разработки и
использования научно обоснованных методов в планировании, прогрессивных
нормативов по использованию ресурсов, современных методов
экономико-математического моделирования и ЭВМ, системного
подхода к процессу разработки плана и прогнозированию.
Таковы основные принципы разработки планов и
прогнозирования, обеспечивающие эффективное решение задач
планирования.
Единство задач прогнозирования и планирования определяет
единство методов их решения, общность плановых и прогнозных
показателей. С этой точки зрения следует подчеркнуть важность
40

применения при прогнозировании и разработке планов сетевых
методов, балансово-матричных построений, программных методов.
Различная степень неопределенности вырабатываемой
информации о будущем влияет на характер применяемых методов,
способов и приемов прогнозирования и планирования. Если при
разработке планов предпочтение отдается детерминированным
методам, то при прогнозировании — стохастическим. При
составлении планов преимущественное применение имеют регулярные
методы, при прогнозировании — эвристические.
Специфика стадий и этапов планирования влияет также на
количество и уровень агрегирования плановых и прогнозных
показателей, степень их детерминированности, соотношения
директивных и расчетных показателей.

ГЛАВА 3
АНАЛИЗ ОБЪЕКТА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
3.1. Основные методологические принципы анализа объекта
прогнозирования
Проблема анализа объекта прогнозирования является
отражением в прогностике более общей проблемы анализа объекта
исследования вообще. В каждом конкретном случае способ
и результаты анализа определяются целями исследования и
характером объекта. В прогностике эту цель можно сформулировать
следующим образом: целью анализа объекта прогнозирования
является разработка прогностической модели объекта,
позволяющей посредством экспериментов с ней получать прогнозную
информацию об объекте.
Для проведения прогностического эксперимента помимо
модели объекта необходимо располагать также набором методов,
методик, приемов прогнозирования, которые применяются при его
реализации. Поэтому в процессе анализа должны быть выбраны
методы прогнозирования, адекватные объекту и целям
прогнозирования.
Основные этапы прогнозирования — это ретроспекция, диагноз
и проспекция. Анализ объекта прогнозирования (30] начинается
уже на стадии предпропюзных исследований, когда определяются
цели и задачи прогнозирования, объект прогнозирования, его
границы, подготавливается проведение этапа ретроспекции и
формулируется задание на прогноз. Далее анализ объекта продолжается
на этапе ретроспекции в более углубленной, детальной и
конкретной форме. На этапе диагноза анализ объекта практически
заканчивается разработкой прогностической модели и выбором
адекватного метода прогнозирования. На этапе проспекции
анализ играет второстепенную, вспомогательную, роль по выявлению
недостающей информации об объекте прогнозирования, по
уточнению ранее полученной информации, по внесению коррективов
в модель объекта на основании вновь поступающей информации.
В случае непрерывного характера процесса прогнозирования
анализ объекта также непрерывно сопровождает вес этапы
разработки прогнозов, осуществляя как бы обратную связь между
реальным объектом и его прогностической моделью. Таким
образом, анализ объекта прогнозирования является важнейшей
неотъемлемой частью процесса разработки прогнозов.
Сформулируем перечень задач, которые должны решаться при
анализе объекта прогнозирования на различных этапах.
На этапе предпрогнозных исследований такими задачами
являются: а) формирование первичного описания объекта
прогнозирования; б) формулирование задания на прогноз; в)
подготовка этапа ретроспекции.
42

Уже на этапе разработки задания на прогноз формируется
первое, наиболее общее, описание объекта прогнозирования. Это
первичное описание содержит сведения о наиболее обобщенных
показателях (характеристиках) объекта, подлежащих
рассмотрению, учету и прогнозированию, о приблизительных (в
большинстве случаев) ограничениях функционирования объекта, о
наиболее существенных целях и задачах разработки прогноза. В
задании формируется также ориентировочный перечень основных
исходных данных, необходимый и доступный на всех стадиях
разработки, перечень занятых организаций, координационный план,
этапность разработки прогноза.
Прогнозист или группа прогнозирования должны в' начале
своей работы продолжить, расширить и уточнить описание
объекта прогнозирования, сформированное в задании.
В процессе подготовки ретроспективного исследования можно
выделить три основных этапа, соответствующих решению трех
проблем, которые одновременно связаны друг с другом в единой
задаче прогноза: 1) уточнение описания объекта прогноза;
2) предварительное решение проблемы источников информации
об объекте прогноза; 3) предварительное решение проблемы
измерений для характеристик объекта прогноза.
В последующих разделах второй и третий этапы будут рас>
смотрены более подробно. Здесь вкратце рассмотрим первый этап
анализа.
Задача прогнозирования уточняется одновременно с
уточнением структуры объекта и прогнозного фона, т. е. состава и
взаимосвязи их элементов и характеристик, а также с уточнением места
объекта в системе классификации объектов прогнозирования.
Уточнение структуры может проводиться двумя методами:
а) путем объединения частных, детальных характеристик в более
обобщенные (агрегирование); б) последовательным углублением
детализации структуры, переходя от обобщенных характеристик
ко все более частным (дезагрегирование). Первым путем
целесообразно идти, когда структура объекта в значительной степени
сложна, т. е. характеризуется большим числом переменных,
связанных между собой системой связей, которая в большей части
неизвестна или слишком сложна для непосредственного анализа.
Второй путь целесообразен, когда объект менее масштабен и не
настолько сложен по структуре, чтобы нельзя было проследить
большинство связей между переменными, либо когда эти связи
достаточно слабы, чтобы ими можно было пренебречь.
Одновременно с уточнением структуры объекта
прогнозирования должен проводиться предварительный анализ
прогностического фона. Необходимо выделить внешние факторы, влияющие
на объект прогнозирования, определить степень их влияния в
плане поставленных целей и задач прогноза.
На основании уточненной структуры и состава характеристик •
объекта прогнозирования необходимо определить состав
источников информации, которые должны использоваться на этапе
43

ретроспекции. Эта проблема должна решаться с учетом
классификации объекта (см. 3.2), как правило, экспертным путем.
Наконец, еще одной важной самостоятельной задачей
предварительного анализа является решение некоторых общих,
доступных на этом этапе, проблем измерения информации,
содержащейся в намеченных источниках. Это прежде всего вопросы
выбора и унификации шкал измерения переменных, способов
квантификации качественной информации источников. Без их
решения невозможно приступать к осуществлению сбора и
обработки ретроспективной информации.
На этапе ретроспекции основными задачами, решаемыми
в рамках анализа объекта прогнозирования; являются: 1) сбор,
хранение и обработка информации источников; 2) оптимизация
как состава источников, так и методов измерения и представле-
ния ретроспективной информации; 3) уточнение и окончательное
формирование структуры и -состава характеристик объекта
прогнозирования. Методика решения этих задач описана в 3.4.
На стадии диагноза вопросы анализа объекта
прогнозирования тесно переплетаются с вопросами синтеза прогнозной
модели. В укрупненном плане эти задачи рассматриваются перед
стадией диагноза в процессе предпрогнозной подготовки при
первичном описании объекта и постановке задачи
прогнозирования.
В (59] рассматриваются два подхода к анализу и синтезу
структур, которые применимы и к анализу объектов
прогнозирования. Первый подход — объектный, при котором выделение
подсистем осуществляется путем поэлементного деления объекта
на более мелкие объекты, каждый из которых может затем
рассматриваться в качестве объекта прогнозирования
соответствующего уровня иерархии. Второй подход к анализу и синтезу
структур называется функциональным. Он отличается от объектного
тем, что за основу структурного членения объекта берется
функциональный признак. Выбор принципа структурного разбиения
зависит от ряда факторов (природа объекта, цель анализа и
прогнозирования; масштабность объекта и др.), и в ряде случаев
принять однозначное решение о принципе формирования
структуры весьма затруднительно. Допустимо использование
смешанного объектно-функционального принципа, который в различных
пропорциях сочетает достоинства каждого -лз указанных
принципов.
Каков же теоретический аппарат, составляющий основу
анализа объекта прогнозирования? Здесь мы приведем лишь общую
его характеристику.
Прежде всего это современная теория систем и системный
анализ. Подход к анализу объекта с системных позиций
справедливо возведен в один из основных принципов прогнозирования —
принцип системности. Такой подход диктуется характерной чертой
объектов управления на современном этапе научно-технической
революции — масштабностью. Наличие большого числа взаимо-
44

связанных переменных, описывающих современные объекты
и процессы их развития в технике, экономике, науке и других
областях, заставляет исследователя приводить их описание для
анализа, прогноза, управления к системному виду. Идеи
агрегирования переменных в описании и декомпозиции укрупненного
описания на элементы, иерархии уровней описания и выделения
ведущих показателей позволяют решать задачи анализа и
прогнозирования сложных объектов, недоступные при отсутствии
системного подхода.
Неразрывно связано с теорией систем и системным анализом
другое теоретическое основание анализа объекта
прогнозирования— теория моделирования и подобия. Прогнозная модель
является в большинстве случаев основной целью анализа объекта
и играет принципиально особую роль среди обычных моделей,
создаваемых для существующих объектов. В последнем случае
они лишь облегчают или сокращают время и ресурсы на
проведение эксперимента. Прогнозная модель предоставляет
возможность проводить эксперименты с не существующим в настоящий
момент объектом.
Теория моделирования и подобия широко используется при
анализе объекта в процессе построения его формализованной!
модели. Идентификация как раздел моделирования необходима
при анализе формы связей между входными и выходными
переменными, стационарности и эргодичности исследуемых
случайных функций при количественной оценке адекватности прогнозной
модели объекту-оригиналу и решении ряда других вопросов.
Методы моделирования и подобия используются при
установлении объекта-аналога в прогнозировании по аналогии.
Экономические модели затрат, стоимости проектируемого объекта,
макроэкономические модели роста, балансовые и другие модели
составляют основу анализа экономических объектов прогнозирования.
Помимо формализованных моделей в представлении объектов
прогнозирования широко используютсй модели на эвристической
и на интуитивной основе. Эти модели применяются в экспертных
методах 'Прогнозирования и в общем множестве прогнозных
моделей, в практике разработки прогнозов занимают приблизительно
одинаковое место с формализованными моделями.
Большую роль в решении проблем анализа объекта
прогнозирования играют вопросы обработки исходной информации, ее
измерения и оптимального использования. При разработке
прогнозов развития больших систем, информация о которых
представляется в виде статистических комплексов большой
размерности, весьма эффективно используются теория информации,
теория измерений, распознавание образов, позволяющие решать
разнообразные информационные проблемы. К ним относятся
проблемы выбора важнейших, ведущих переменных в описании
объекта; минимизации размерности описания; выбора адекватных
шкал для измерения как количественных, так и качественных
переменных; классификации состояний объекта в пространстве
45

параметров и переменных и ряд других важнейших проблем
анализа и прогнозирования объекта.
Из разделов математики в теоретической базе анализа
объекта прогнозирования наиболее существенное место занимают
теория вероятностей и математическая статистика, теория
численных методов анализа, современная теория факторного анализа,
в меньшей мере — дифференциальные уравнения. Последние
применяются для детерминированного описания относительно
регулярных процессов. В основном современные прогностические
модели* объектов строятся в терминах статистических моделей,
моделей экстраполяции и интерполяции регулярных
составляющих и оценки влияния случайных составляющих процесса.
Помимо перечисленных выше наук и теорий общего характера
в зависимости от природы объекта прогнозирования теоретической
основой его анализа являются науки и теории, отражающие
специфику природы объекта. Так, в экономическом прогнозировании
основу анализа объекта составляет экономический анализ, в
социальном прогнозировании — это теория социального развития,
в научно-техническом прогнозировании — это науковедение,
история техники и т. д.
В заключение сформулируем основные методологические
принципы, которые должны соблюдаться при построении процедуры
анализа объекта прогнозирования.
Принцип системности анализа требует рассмотрения объекта
прогнозирования как системы - взаимосвязанных характеристик
объекта и прогностического фона с позиций целей и задач
прогнозного исследования.
Принцип природной специфичности требует обязательного
учета специфики природы объекта прогнозирования, специфики
закономерностей его развития, абсолютных и расчетных значений
пределов развития. При нарушениях этого принципа, особенно
часто возникающих при формальной экстраполяции процесса,
ошибки могут достигать больших размеров, а прогнозы на базе
формальных моделей зачастую просто абсурдны.
Принцип оптимизации описания объекта прогнозирования
требует разработки такого описания объекта в результате анализа,
которое обеспечивало бы заданную достоверность и точность
прогноза при минимальных затратах на его разработку. Под
затратами здесь можно понимать трудоемкость прогнозирования
в человеко-часах, расходы на сбор необходимой информации и ее
переработку, машинное время ца расчет прогнозных значений,
затраты машинной памяти на хранение описания объекта либо
некоторую комплексную характеристику перечисленных видов
затрат.
Этот обобщенный,принцип можно разбить на ряд конкретных
частных принципов оптимизации описания, которые в
совокупности и взаимной связи обеспечивают его реализацию:
а) принцип оптимизации степени формализованности
описания, требующий использования формализованных моделей в тех
46

соотношениях с неформальными интуитивными, способами
описания, которые при выполнении требований задачи прогноза
обеспечивали бы ее решение с минимальными затратами;
б) принцип минимизации размерности Описания, требующий
описания объекта минимальным числом переменных и
параметров, обеспечивающим заданную точность и достоверность
прогноза; он требует оценки важности каждой переменной в описании
и отбора из них самых важных и информативных с точки зрения
задачи прогнозирования;
в) принцип оптимального измерения показателей, требующий
выбора для измерения каждого показателя такой шкалы, которая
при минимальных затратах обеспечивала бы извлечение
достаточной для прогноза информации из переменной;
г) принцип дисконтирования данных, требующий при анализе
объекта по ретроспективной информации большее значение
придавать последней, новой информации об объекте и меньшее —
информации, устаревшей по времени.
В целом принцип оптимизации описания сводится к
реализации четырех перечисленных принципов либо части из них.
Принцип аналогичности требует при анализе объекта
постоянно сопоставлять яго свойства с известными схожими объектами
и их моделями с целью отыскания объекта-аналога и
использования при анализе и прогнозировании его модели или отдельных ее
элементов. Этот принцип направлен, с одной стороны, на
минимизацию затрат на анализ и прогноз путем использования части
готовых прогнозных моделей, а с другой — обеспечивает
верификацию прогнозов путем сопоставления с прогнозами объектов-
аналогов.
Итак, мы изложили наиболее общие методологические
принципы анализа объекта прогнозирования на стадии ретроспекции
и диагноза. Следует отметить, что при практическом анализе
реальных объектов соблюсти эти принципы достаточно сложно,
однако каждое исследование должно быть направлено на
максимальное приближение к соблюдению этих методологических
принципов, причем степень такого приближения может служить
оценкой качества проведенного анализа.
3.2. Классификация объектов прогнозирования
Прежде всего сформулируем цель нашей классификации
объектов прогнозирования. В зависимости от нее определятся способ
классификации и классификационные признаки. В качестве цели
классификации в данном случае примем создание предпосылок
для выбора адекватных методов анализа и прогнозирования
объекта. В соответствии с такой целью в качестве способа
классификации примем параллельный способ. В отличие от
последовательного способа (подробнее см. 4.1), характеризующегося
наглядностью, но не допускающего пересечения классов по
каждому из последовательных признаков, параллельный способ
47

классификации не так нагляден, однако дает возможность более
четко и гибко определять классы по совокупности значений
классификационных признаков. При этом каждый класс
интерпретируется как некоторая область в я-мерном пространстве
классификационных признаков.
Если каждой такой области, соответствующей объектам
определенного класса, поставить в соответствие один или несколько
методов анализа и прогнозирования, то проблема их выбора
сводится к установлению класса объекта по набору значений его
признаков.
В действительности такой полной классификации объектов,
обеспечивающей однозначный выбор метода, в настоящее время
предложить нельзя, да и неизвестно, возможно ли это вообще на
практике. Поэтому классификация объектов призвана служить
лишь некоторым ориентиром в сложной процедуре выбора
методов анализа и прогнозирования объекта.
В качестве классификационных признаков примем
следующие: природу объекта прогнозирования, его масштабность,
сложность объекта прогнозирования, степень его детерминированности,
характер его развития во времени, степень информационной
обеспеченности. Рассмотрим перечень позиций, которые можно
выделить по каждому из. перечисленных классификационных
призраков.
Г\\ По природе объекты прогнозирования можно подразделить
наследующие классы (в скобках приведены примеры объектов
соответствующих классов):
а) научно-технические (развитие фундаментальных и
прикладных исследований, развитие техники, новые виды техники,
технические характеристики, изобретения и открытия в области науки
и техники, новые материалы, технология);
б) техникр-экономические'- (экономика народного хозяйства
по отраслям, развитие и размещение производства,
промышленные предприятия, технико-экономические показатели производства
продукции, организационно-экономические системы управления,
освоение новых видов продукции, финансирование производства);
: в) социально-экономические (демография, миграция, трудовые
ресурсы, размещение производительных сил, образование,
национальный доход, спрос, потребление);
г) военно-политические (международные отношения, опасные
зоны, военный потенциал, стратегический курс, военные
конфликты) ;
; д) естественно-природные (погода, землетрясения, ураганы,
окружающая среда, природные ресурсы, космические явления).
Природа объекта прогнозирования при выборе методов
анализа и прогнозирования определяет в основном его специфическую
часть, т. е. те специальные приемы и методы, которые характерны
для области, соответствующей природе объекта. Таким образом,
в данном случае должен удовлетворяться принцип природной
специфичности.
48

ш По масштабности объекты прогнозирования можно
классифицировать в зависимости от числа переменных, входящих в
полное описание объекта на стадии анализа (в скобках приведены
примеры объектов соответствующих классов):
'.а) сублокальные — с, числом значащих переменных от 1 до 3
(численность населения страны, производственная функция,
траектория движения в трехмерном пространстве, рабочее место);
б) локальные — с числом значащих переменных от 4 до 14
(производственный участок, материал, несложное техническое
устройство, ход болезни);
в) субглобальные — с числом значащих переменных от 15 до
35 (цех, областная сеть авиалиний, спрос на продукцию
предприятия с соответствующей номенклатурой);
г) глобальные — с числом значащих'переменных от 36 до 100
(предприятие, техническая система типа «станок», «агрегат»;
транспортная сеть региона);
д) суперглобальные — с числом значащих переменных свыше
100 (отрасль, крупное предприятие, большая техническая система
типа «самолет», транспортная сеть'страны и др.).
Масштабность объекта самостоятельного значения для
выбора метода анализа и прогнозирования не имеет. Бе следует
учитывать в этом плане лишь в совокупности с классификацией
объектов ino принципу сложности. Характеристику масштабности
следует учитывать при организации процедур обработки исходной
информации, выборе технических средств для обработки, расче-
тахобъемов памяти для хранения и обработки информации.
{3?/По признаку «сложность объекта прогнозирования»
объекты можно классифицировать по степени взаимосвязанности
значащих переменных в их описании:
а) сверхпростые — это объекты с отсутствием существенных
взаимосвязей между переменными; таюгё объекты можно
анализировать и разрабатывать для них прогнозы путем
последовательного анализа независимых переменных, составляющих
описание при любой масштабности объекта; •
б) простые — это объекты, в описании которых содержатся
парные взаимосвязи между переменными; для анализа таких
объектов могут использоваться простые модели аппроксимации
функций взаимосвязей, модели парных регрессий, несложные
экспертные методы оценки степени и характера взаимосвязей между
переменными;
в) сложные —это объекты, для адекватного описания которых
необходимо учитывать взаимосвязи и совместные влияния
нескольких значащих переменных (трех и более), однако имеется
возможность выделения главных и влияющих на них групп
переменных описания; для анализа такого рода объектов можно
использовать методы ступенчатых регрессионных зависимостей,
методы множественного регрессионного и корреляционного
анализа, экспертные таблицы оценок взаимного влияния и
предпочтений;
4 935
49

г) сверхсложные — это объекты, в описании которых
необходимо учитывать взаимосвязи между всеми переменными;
основными инструментами анализа в этом случае являются
множественный корреляционный анализ, факторный и дисперсный анализ.
Относительно данного аспекта классификации следует
отметить его зависимость от целей и задач анализа, от требуемой
степени точности, так что один и тот же реальный объект может
в различных исследованиях быть отнесен к различным классам
сложности.
А) По степени детерминированности можно выделить объекты:
а) детерминированные, описание которых может быть
представлено в детерминированном виде с удовлетворительной для
поставленной задачи прогнозирования точностью; это объекты,
в характеристиках которых случайная составляющая
несущественна, так что ею можно пренебречь в описании (в модели)
объекта;
б) стохастические, в описании (модели) которых необходим
s учет случайной составляющей переменных в соответствии с
требуемой точностью и задачей прогноза;
в) смешанные, имеющие характеристики как
детерминированной^ так и стохастического характера.
и£ По характеру развития во времени объекты
прогнозирования можно подразделить на:
а) дискретные, регулярная составляющая которых (тренд)
изменяется скачками в фиксированные моменты времени;
б) апериодические, имеющие описание регулярной
составляющей в виде апериодической непрерывной функции времени;
в) циклические, имеющие регулярную составляющую в виде
периодической функции времени.
Понятие регулярной составляющей, или тренда, подробно
рассматривается в 4.2. Здесь <под ней понимается описание процесса,
очищенное от случайной составляющей (помехи).
В общем случае понятие характера развития во времени
можно обобщить и на другой какой-либо аргумент, помимо времени.
По данному признаку можно оценить наиболее приемлемые
способы анализа и прогнозирования, главным образом в части
выбора вида экстраполяционной функции, а также выбора
функции дисконтирования и определения времени упреждения
прогноза.
(& По степени информационной обеспеченности объекты
прогнозирования можно подразделить на:
' а) объекты с полным обеспечением количественной
информацией— это объекты, для которых имеется в наличии
ретроспективная количественная информация в объеме, достаточном для
реализации метода экстраполяции либо статистического метода
прогнозирования с заданной точностью на заданное время
упреждения;
б) объекты с неполным обеспечением количественной
информацией— это объекты, для которых имеющаяся в наличии ретро-
50

спективная информация допускает использование статистических
и экстраполяционных методов, однако не обеспечивает на
заданном времени упреждения заданную точность прогиоз-а;
в) объекты с наличием качественной ретроспективной
информации— это объекты, относительно прошлого .развития которых
имеется только качественная информация и полностью
отсутствует либо очень ограниченна количественная информация;
г) объекты с полным отсутствием ретроспективной
информации— это, как правило, несуществующие, проектируемые
объекты.
В [60] предлагаются некоторые оценки соотношений между
временем основания прогноза, временем упреждения и заданной
его точностью.
Для линейной функции экстраполяции стандартное
отклонение прогнозной величины можно записать как
где Sy — стандартное отклонение исходного ряда от расчетных
значений у; п — число наблюдений ретроспективного периода;
tL — время упреждения плюс время ретроспекции; t — середина
ретроспективного периода.
Заменив в (3.1) значения
получим
Г
Тогда доверительный интервал прогноза определится как
л
где ta — значение t — критерия Стьюдента.
л
Обозначив k'—kta, получим Sy=Syk'. Таким образом, kr
можно рассматривать как отношение стандартных отклонений
прогнозных значений к отклонениям фактических значений на
ретроспективном участке от тренда:
5а.'
sy '
. В {60] приводятся значения минимального числа
п.наблюдений на ретроспективном участке, обеспечивающие сохранение
51
(ЗЛ)

доверительного интервала разброса значений на времени
упреждения L=l (один шаг)'для полиномов 1, 2 и 3-й степеней (т=
= 1,2,3):
L=--l; k=\: т^\, /г = 6; £ = 2: /гс = 2, п = 5;
т ■-= 2, п = 13; де = 3, п = 10.
т =3, я «= 23;
Как видно, чем выше степень полинома, тем больше
необходимо исходной информации для сохранения заданного
соотношения стандартных отклонений.
Учитывая, что кривые выше 2-го порядка в описании трендов
используются редко, а также что на практике допустимо
расширять доверительный интервал с ростом времени упреждения,
в качестве количественного критерия классификации объектов по
признаку 6 можно предложить величину P = L/n. В качестве
граничных значений Р можно принять для 6а) Р^1/5; 66) 1/5<Р^
<1/2; 6в) 1/2<Р<1; 6г) Р->оо.
Классификация по признаку 6 позволяет оценить возможность
использования экстраполяционных и статистических методов
анализа и прогнозирования объекта, Эти методы могут с
уверенностью применяться для случая 6а, в ограниченных масштабах
для 66 и неприменимы для 6в и 6г, для которых возможно
использование аналогий и группы экспертных методов.
С учетом числа классов по каждому из шести
классификационных признаков мы будем иметь всего JV=5-5-4-3-3-4=3600
различных классов объектов прогнозирования.
В заключение данного раздела приведем классификацию
кодов объектов прогнозирования:
1-й разряд — природа объекта прогнозирования; коды: 1 —
научно-технические; 2 — технико-экономические; 3 — социально-экономические; 4 — военно-
политические; 5 — естественно-природные.
2-й разряд — масштабность объекта прогнозирования; коды: 1 —
сублокальные; 2 — локальные; 3 — субглобальные; 4 — глобальные; 5 —
суперглобальные.
3-й разряд — сложность объекта прогнозирования; коды: 1 —
сверхпростые; 2 — простые; 3 — сложные; 4 — сверхсложные.
4-й разряд — степень детерминированности; коды:
1—детерминированные; 2 — стохастические; 3 — смешанные.
5-й разряд — характер изменения во времени; коды: 1 — дискретные;
2 — апериодические; 3 — циклические.
в-й разряд — информационная обеспеченность; коды: 1 — полное
обеспечение количественной информацией; 2-—неполное обеспечение количественной
информацией; 3 —имеется только качественная информация; 4 — отсутствует
ретроспективная информация.
В соответствии с этой классификацией для объекта
прогнозирования, имеющего технико-экономическую природу,
описываемого 20 переменными, часть из которых имеют между собой
статистические связи в пределах групп переменных стохастического
типа, если характер трендов развития переменных монотонны^,
32

непрерывный, а ретроспективная количественная информация по
переменным имеется за 8 лет при времени упреждения 3 года,
код будет иметь вид. 233222. -
3.3,. Моделирование объекта прогнозирования
Основной целью анализа объекта прогнозирования является
разработка его адекватной прогнозной модели.
В литературных источниках понятие модели трактуется
весьма широко. Этим термином называют такие понятия, как
математическое описание процесса или объекта, алгоритмическое
описание объекта, формула, определяющая закон
функционирования, графическое представление объекта (процесса) в виде графа
или 'блок-схемы, кривая, представляющая процесс, и ряд других
форм и понятий. В терминологии моделирования модель
определяется как «...явление, предмет, установка, знаковое образование
или условный образ (описание, схема и т. д.), находящиеся
в некотором соответствии с изучаемым объектом и способные
замещать его в процессе исследования, давая информацию
об объекте». В терминологии прогностики [18] это понятие уже.
«Прогностическая модель — модель объекта прогнозирования,
исследование которой позволяет получить информацию о
возможных состояниях объекта в будущем и (или) путях достижения
этих состояний». Цель прогностической модели — получение
информации не об объекте вообще, а о его будущих
состояниях.
При построении и оценке прогностической модели
невозможно осуществить прямую проверку соответствия модели и
оригинала, так как эта проверка должна относиться к будущим
состояниям объекта. В настоящий же момент либо не существует самого
объекта (проектируемый объект) * либо он существует, но
неизвестно, какие изменения могут с ним произойти к заданному
моменту. Поэтому способы конструирования прогностических
моделей и проверки их адекватности исследуемому объекту носят
специфический характер.
В наиболее общем виде можно рассматривать
прогностическую модель как некоторую производную от метода,
используемого для прогнозирования. В соответствии с этим можно и
классифицировать прогностические модели. В то же время теория
моделирования и подобия имеет собственный методологический
и понятийный аппарат, свои способы представления и
классификации моделей, с которыми полезно быть знакомым специалисту,
работающему в области прогностики.
Из множества возможных классов моделей наибольший
интерес для научно-технического и экономического прогнозирования
представляют модели, описывающие технические процессы,
процессы производства, экономические закономерности, процессы
развития научных исследований. В [22] дается следующая
классификация моделей управления, наиболее типичных в указанных
33

областях: функциональные модели; модели физических процессов;
экономические модели; процедурные модели.
Функциональные модели описывают функции, выполняемые
основными составными частями системы или управляемого
процесса. Эти модели обычно составляются в начале проведения
исследования системы или проведения модельного эксперимента.
Правильнее называть такие модели
структурно-функциональными; это название подчеркивает сущность такого рода моделей.
Прежде чем описывать функции составных частей системы, надо
иметь их перечень. Строится структурно-функциональная модель
в виде укрупненного описания технологической схемы,
представляемой зачастую в графической форме либо в форме уравнений.
Функции чаще всего описываются дополнительно в словесной
форме.
Модель физического процесса определяет математические
зависимости между переменными физического процесса
производства. Например, это могут быть технологические параметры
процесса: температура, давление, расход топлива, скорость проката,
усилие прессования, процентное содержание вещества в смеси
и т. д. В соответствии с характером изучаемого процесса эти
модели могут быть непрерывными и дискретными во времени,
детерминированными и статистическими. По способу получения
они могут быть как аналитическими, так и экспериментальными.
Экономические модели определяют зависимости между
различными экономическими показателями изучаемого процесса или
системы, различного рода ограничения, накладываемые на
экономические показатели, критерии, позволяющие оптимизировать
процесс в экономическом плане. Они могут, как и модели физи-
ческих процессов, иметь вид формул и уравнений, а также
формулироваться в * алгоритмической записи, если аналитическое
представление процесса затруднительно.
Этот класс моделей можно, в свою очередь, подразделить на
плановые модели и производственные модели. Плановые ^модели
служат целям оптимизации разрабатываемых планов развития
системы. К этому классу моделей относятся и модели
прогнозирования. Плановые экономические модели должны обеспечить
количественную оценку различным вариантам плана в
соответствии с заложенным в модель критерием оптимальности.
Производственные экономические модели определяют взаимосвязи
экономических показателей с параметрами процесса в ходе его
развития. Они предназначаются для использования в процессе
оперативного управления функционированием системы. При этом,
как правило, формулируется математическое или
алгоритмическое описание целевой функции, определяются способы ее
оперативного расчета и оптимизации в различных внешних условиях.
Наконец, процедурные модели описывают операционные
характеристики систем, т. е. порядок и содержание
управленческих воздействий. Наиболее важным видом в этом классе моде-
| лей,, представляющим особый интерес для систем прогнозирова-
54

иия процессов и автоматизации управления, являются
информационные модели.
Информационные процедурные модели определяют структуру
информационных потоков в системе, содержание, формат,
скорость обработки информации, точки возникновения и потребления
информации, основные этапы прохождения информации и
контроля за ней.
Другим аспектом классификации моделей помимо сущности
моделируемого процесса служит методический аппарат, который
положен в основу модели. В данном аспекте классификация
прогностических моделей будет совпадать с классификацией методов
прогнозирования,, которая рассмотрена в 4.1. Мы обратим
внимание лишь на специфический вид прогностических * моделей —
экспертные модели. Это модели, которые имеют формальное
описание процедур функционирования, объект моделирования в виде
процесса или проблемы, специальные формулы и алгоритмы для
обработки экспертных оценок. Однако сама процедура генерации
этих оценок является творческой, неформальной и составляет
сущность, основу прогностической модели с использованием
экспертных оценок.
Таким образом, прогностические модели по форме
перекрывают весь диапазон современных видов, известных в моделировании,
от формальных математических моделей до имитационных,
экспертных, человеко-машинных моделей, в основе своей
использующих творческие способности человека.
О языке современных моделей можно сказать следующее»
Основными средствами выражения в нем являются такие
формы:
1. Словесное олисание — наиболее простой и неформальный
способ задания моделей. Он легко доступен для понимания, одна- •
ко неоднозначен и имеет ограниченное применение лишь на
самых ранних этапах разработки модели.
2. Графическое представление в виде кривых, номограмм,
чертежей. Этот способ имеет ограниченное самостоятельное
значение. Главным образом используется в качестве дополнений,
иллюстраций к другим способам задания моделей.
3. Блок-схемы, матрицы решений — один из наиболее
распространенных способов описания моделей, особенно их структурной
или логической части. Как правило, используется на
промежуточном этапе создания модели между ее словесным и
математическим описаниями.
4. Математическое описание — это описание модели в виде
формул и математических операций над переменными. Сюда же
относится алгоритмическое описание, которое может
использоваться для представления модели объекта, не имеющего
аналитического описания, либо в случае, когда аналитический способ
решения задачи слишком сложен, либо, наконец, для подготовки
аналитического описания модели для программирования на
ЭВМ.
55

5. Программное описание — это описание модели объекта,
пригодное непосредственно для ввода в вычислительную машину.
Оно может представляться как непосредственно в кодах машины,
так и в одном из алгоритмических языков. В последнем случае
алгоритмическая форма математического описания и
программное описание могут совпадать.
В прогностических моделях большее значение по сравнению
с моделями вообще имеют графические представления и
математическое описание. Это связано с широким распространением
методов экстраполяции и интерполяции в прогнозных
исследованиях, причем в прогнозной экстраполяции процедура выбора
вида кривой зачастую обосновывается видом эмпирического
распределения точек. Поэтому графическая интерпретация моделей
экстраполяции в большинстве случаев служит обоснованием
выбора математического описания.
Другим важным графическим представлением, имеющим
большое значение в прогностике, являются графы, особенно вида
деревьев. Они используются, как правило, в нормативном
прогнозировании.
К прогностической модели предъявляются следующие
требования:
1. Модель должна удовлетворять требованиям полноты,
адаптивности и эволюционное™. Она должна обеспечивать
возможность включения достаточно широкого диапазона изменений,
добавлений, чтобы было возможно последовательное
приближение к модели, удовлетворяющей исследователя по точности
воспроизведения объекта.
2. Модель должна быть достаточно абстрактной, чтобы
допускать варьирование большим числом переменных, но не настолько
абстрактной, чтобы возникали сомнения.в надежности и
практической полезности полученных на ней результатов.
3. Модель должна удовлетворять условиям, ограничивающим
время решения задачи. С одной стороны, пр*Гкраткосрочном
прогнозировании для оперативного управления время решения
определяется ритмом функционирования объекта, с другой — при
расчетах плановых и прогнозных моделей, не
синхронизированных жестко по времени с объектом, возникает вопрос исключения
чрезмерных затрат машинного времени.
4. Модель должна ориентироваться на реализацию с помощью
существующих технических средств, т. е. быть физически
осуществимой на данном уровне развития техники.
5. Модель должна обеспечивать получение полезной
информации об объекте в плане поставленной задачи исследования.
В связи с тем что в большинстве случаев
экономико-математические модели строятся для оптимизации моделируемых процессов,
это требование можно понимать как требование
оптимизируемое™ прогнозной модели. Информация, получаемая с модели,
должна обеспечивать расчет значений целевой функции и
позволять определять шаги поиска ее экстремального значения. В каче-
56

стве целевой функции в прогнозных моделях может выступать
функция достоверности, точности прогноза либо минимизации
затрат на его разработку.
G. Модель должна строиться с использованием установившейся
терминологии.
7. Модель должна предусматривать возможность проверки
истинности, соответствия ее оригиналу. Формальная проверка
заключается в сравнении определенных свойств оригинала
и модели. Для этого необходимо помимо модели иметь
функционирующий оригинал. В случае моделирования процессов
создания или развития систем это равносильно требованию иметь
в действии проектируемую систему, что невозможно. Поэтому
приходится судить о сходстве свойств прогнозной модели и
оригинала посредством сопоставления структур без
экспериментальной проверки их соответствия в целом. Выход из этого положения
ищется путем неформальных эвристических процедур построения
моделей и проверки соответствия модели и оригинала.
Для более детального изучения процесса разработки моделей
сложных объектов полезно рассмотреть основные принципы
и правила ,[38], определяющие этот процесс. Принципы
определяют общие свойства, которыми должна обладать модель; будем
нумеровать их римскими цифрами. Правила определяют способы
получения нужных свойств модели; их будем нумеровать
арабскими цифрами. Рассмотрим эти принципы и правила.
I. Компромисс между ожидаемой точностью результатов моде*
лирования и сложностью модели. Сложность модели
ограничивается ее стоимостью и временем создания, точность определяется
требованиями исследования. В процессе создания ищется
разумный компромисс между ними.
II. Баланс точностей: а) соразмерность систематической
погрешности моделирования и случайной погрешности, в задании
параметров описания (исходная неопределенность); б)
соответствие точностей отдельных элементов модели; в) соответствие
систематической погрешности моделирования и случайной
погрешности при интерпретации и усреднении результатов.
Из требования баланса точности следует практическое
правило, которое отражает тот факт, что при сравнительном
исследовании вариантов системы путем уменьшения случайных
погрешностей достигается компенсация неточностей при задании
параметров описания.
1. Следует стремиться к параллельному моделированию
конкурирующих вариантов проектируемой системы с оценкой раз*
ности или отношения соответствующих показателей.
Принципы I и II могут рассматриваться в качестве некоторых
обобщенных грубых критериев правильности составления модели.
Однако реализация их возможна лишь в случае, если система
элементов модели в достаточной степени гибкая и позволяет
осуществлять множество вариантов для поиска нужного
компромисса. Отсюда следующий принцип.
5?

III. Достаточное разнообразие элементов модели. В случае
выполнения этого принципа всегда возможно нахождение
варианта, обеспечивающего компромисс по I и II.
IV. Наглядность модели для исследователя и потребителя
(заказчика). Этот принцип устанавливает, что при прочих
равных условиях модель, которая привычна, «удобна» для
исследователя, обеспечивает получение, как правило, более значительных
результатов, чем «менее удобная» и наглядная.
V. Блочное представление модели. Реализация этого принципа
сводится к следующим основным шагам по пути перехода от
полного описания к упрощенной модели: надо находить группы
тесно связанных элементов наиболее полной модели, которые
можно было бы описать аналитически или смоделировать
автономно; надо принять решение о существенности или
несущественности каждого блока для данной задачи и в соответствии с этим
исключать его из рассмотрения, заменять связью или упрощен- /
ным блоком либо оставлять. Процесс разделения на блоки нельзя
определить однозначно, однако можно указать ряд правил для
его выполнения.
2. Обмен информацией между блоками должен быть по
возможности минимальным. Это правило эквивалентно
требованию автономности выделяемых блоков модели, меньшей
зависимости их друг от друга. Естественно, в этом случае легче
производить поблочное моделирование, и модель в общем более
проста.
3. Несущественными и подлежащими удалению считаются
блоки модели, мало влияющие на принятый выходной критерий
интерпретации результатов моделирования. Это правило
указывает путь упрощения модели в процессе последовательной
проверки блоков на избыточность их информации для решения той
задачи, ради которой разрабатывается модель.
4. Удаляя конечные блоки, составляющие описание
взаимодействия с потребителем, необходимо отразить интересы потребителя
при формировании критерия интерпретации результатов
моделирования. Интересы потребителя хорошо формулируются в полной
модели, отражающей все элементы технического описания
системы и технические требования к ней. При моделировании
подсистемы конечный критерий заказчика интерпретируется
проектировщиком в частный критерий подсистемы.
5. Блок модели, осуществляющий воздействие на исследуемую
часть системы, в общем случае можно заменить множеством
упрощенных эквивалентов, не зависящих от исследуемой части.
Моделирование проводится в нескольких вариантах по каждому
упрощенному эквиваленту. Это правило отражает необходимость
при упрощении модели учитывать не только прямые воздействия
блоков на исследуемую часть, но и обратные воздействия
(обратные связи) в системе. Это вынуждает подчас многократно
проводить моделирование, перебирая "варианты воздействия, для
имитации двустороннего взаимодействия.
58

6. При упрощении блока, воздействующего • на исследуемую
часть системы, следует сопоставить возможности: прямого
упрощения замкнутого контура без разрыва обратной связи;
построения вероятностного эквивалента с оценкой его статистических
характеристик путем автономного исследования (частичного
моделирования) упрощаемого блока; замены блока наихудшими
по отношению к исследуемой части системы воздействиями.
Последний вариант можно проиллюстрировать какой-либо
моделью прогнозирования надежности, когда систему
моделируют с целью определить отказы в самых неблагоприятных
условиях.
VI. Специализация моделей — это принцип, утверждающий
целесообразность использования относительно малых условных
подмоделей, предназначенных для анализа функционирования
системы в узком диапазоне условий; возможность неформального
суждения о системе в целом по совокупности частных
показателей, полученных на условных моделях. На базе этого принципа
сформулируем следующее эвристическое правило проверки
соответствия модели и описания.
7. Для проверки соответствия модели и полной модели следует
попытаться построить условные подмодели, эквивалентные
полной модели в типовых для проектируемой системы ситуациях,
и выполнить сравнительное исследование этих подмоделей и
нашей модели в этих ситуациях. Близость полученных результатов
считается основанием для суждения об их близости в остальных
ситуациях.
В связи с тем что условные модели можно строить и
испытывать независимо друг от друга, можно выполнять эксперименты
параллельно, все сразу, и тем сокращать время исследования.
8. Проверку соответствия конкретной модели и полной модели
оригинала следует вести по сходимости результатов, получаемых
на моделях возрастающей сложности.
По этому правилу сначала следует максимально упростить
модель до вида, заведомо допускающего экспериментальное
исследование. Это движение на упрощение (сверху вниз по
сложности) не сопровождается экспериментами. Далее от этого
уровня производится последовательное усложнение модели (снизу
вверх) в пределах доступных вычислительных ограничений,
сопровождающееся экспериментальным исследованием различий
на каждой ступени усложнения.
Перед выполнением каждого шага решается: 1) в каком
направлении проводить усложнение; 2) каково условие
окончания процесса усложнения; 3) какова рациональная величина
прироста усложнения на каждом шаге. Первый вопрос обычно
решается путем повторения траектории движения модели, описанной
при ее упрощении, т. е. сверху вниз. При этом исследуются те
состояния модели, которые являлись этапами ее последовательного
упрощения. Второй — путем оценки существенности различия
между двумя последовательными вариантами усложняемой модели.
ьь

. Какое же отличие считать существенным? Согласно Па
уместно считать различие двух последовательных моделей
несущественным, если оно лежит в поле допуска, определяемом
погрешностями в исходных данных. Для пересчета этих
погрешностей в допуск на каждом шаге придется производить
многократную оценку влияния погрешностей параметров на показатель
оценки результата моделирования. Чем сложнее модадь, тем
более сложна эта оценка.
9. Расчет допусков выполняется по наиболее простой модели,
включающей все неточные параметры описания. Это правило
определяется компромиссом между точностью определения
допусков и вычислительными сложностями.
3.4. Информационное обеспечение задач анализа объекта
прогнозирования
3.4.1. Источники информации об объекте прогнозирования
Комплексный анализ объекта прогнозирования базируется на
информации, источниками которой являются: периодическая
литература— статьи в отечественных и зарубежных журналах,
газетах, сборниках, научных бюллетенях; научные отчеты, обзоры
научно-исследовательских институтов, проектно-конструкторских
бюро, организаций и учреждений; научные монографии, труды,
диссертации; статистические данные; патенты, авторские
свидетельства, рационализаторские предложения;
нормативно-техническая документация — стандарты, технические условия, нормы
и правила расчета и проектирования; отчеты о зарубежных
командировках специалистов; данные о деятельности зарубежных
фирм, выпускающих аналогичную продукцию; доклады на
международных симпозиумах, конгрессах, конференциях;
государственные планы развития народного хозяйства и внедрения новой
техники, планы союзных республик, министерств (пятилетние
и годовые); данные анкетных опросов экспертов.
Для облегчения работы с источниками информации можно их
представить в следующей классификации:
I. По виду носителя информации: печатные тексты
(микрофильмы); звукозаписанные (на магнитной ленте, пластинках,
кинопленке и т. д.); носители информации для ввода в ЭВМ
(перфоленты, перфокарты, магнитные ленты и т. д.); выводные
носители ЭВМ (ленты с БПМ, ленты с АЦПУ, ленты с телетайпов);
печатные таблицы; графики; осциллограммы на лентах и пленках;
информация, хранящаяся в элементах запоминающих устройств4
ЭВМ.
II. По содержание информации все источники ее можно
классифицировать на источники качественной, количественной и
смешанной качественно-количественной информации/
Источники качественной информации целесообразно
подразделять по качеству на компетентные и малокомпетентные; по харак-
60

теру — на однородные и разнородные; по формализуемости — на
шкалируемые и трудношкалируемые; по степени обобщенности
информации — на сложные и простые.
^Источники количествтшй.шфошШ™ целесообразно
классифицировать в несколько иных аспектах: по качеству — абсолютно
достоверные и вероятностно достоверные;' по характеру — источ- <
ники статистических и детерминированных данных; по
сложности —^источники первичных и комплексных данных; по времени
поступления информации — периодические, непериодические и
постоянно действующие; по вдду изменения самих данных —
источники плавно меняющихся и случайно изменяющихся данных, из
них первые можно подразделить на аппроксимируемые
аналитическими функциями времени и на не аппроксимируемые
аналитическими функциями времени (практически приемлемыми
способами), а вторые — на стационарные и нестационарные источники. .
Основной трудностью предварительной оценки источников
информации является отсутствие сведений о большинстве
перечисленных характеристик. Поэтому уже на данном' этапе
исследователь вынужден заниматься анализом ^ретроспективных
данных. Этот процесс при значительном объёме данных, при
отсутствии формализованных процедур, алгоритмов и использовании
машин является весьма сложным и трудоемким. Тем не менее он
необходим для существенного сокращения дальнейших, возможно
автоматизированных, работ. При . этом возможные неточности
предварительного анализа могут быть исправлены в процессе
полного анализа информации источника на стадии ретроспекции.
Рассмотрим более подробно структуру и содержание
информационного обеспечения анализа и прогнозирования объекта на
.примере, отрасли,!^ Так как разработка прогнозов развития
отраслевого характера является главным образом средством научного
обоснования перспективного планирования развития отрасли, то
информационный фонд, обеспечивающий задачи анализа, прогно-^
зирования и перспективного планирования следует рассматривать
как общий для всех этих задач.
Информационное обеспечение включает в свой состав
информационно-содержательный и информационно-справочный фонды,
математическое обеспечение, комплекс технических средств.
Разработку внутренних элементов указанных структурных
компонентов можно рассматривать в следующих аспектах:
1. Виды данных по форме. В данном случае можно указать
следующие основные формы: документальная форма (массивы
документов в виде альбомов, папок, тетрадей, графиков,
картотек, на машинных носителях, таких, как перфокарты и
перфоленты); рабочие массивы данных (показатели, отобранные для
решения определенных задач); массивы показателей
определенного вида, зависящих от некоторых признаков (нормативы,
классификаторы, словари и др.).
1 Материал подготовлен совместно с Т. П. Вертинской.
61

2. Формы организации, хранения, контроля и обработки
массивов. Функционирование системы информационного обеспечения
происходит во взаимодействии с элементами технологического
обеспечения сбора, ввода, передачи, подготовки, контроля и
выдачи данных. Структура информационного обеспечения задач
анализа и прогнозирования отрасли как объекта представлена на
рис. 3.1.
Опишем подробнее содержание указанных основных
структурных элементов:
I. Информационно-содержательный фонд. Этот фонд
определяется составом конкретных показателей, объединенных в масси-
Рис. 3.1. Структура инАопмациоиного обеспечения задач
анализа, прогнозирования и перспективного
планирования в отрасли
вы, в зависимости от функционального назначения показателей.
Основные видь/ массивов отраслевого
информационно-содержательного фонда: 1) массивы документов для обеспечения
прогнозирования и перспективного планирования отрасли,
распределенные по уровням назначения (на уровне отрасли и образованные
на их основе на уровне предприятий и организаций отрасли);
2) массивы показателей по основным задачам прогнозирования
и долгосрочного планирования в отрасли (включая массивы по
подзадачам прогнозирования и долгосрочного планирования по
основным тематическим и функциональным направлениям
отрасли и по элементам задач на уровне предприятий и организаций
отрасли); 3) массивы нормативов (по ресурсам, затратам,
общеэкономические); 4) массивы научно-технической информации;*
5) массивы показателей по составу и параметрам работ в моде-
лях процесса создания комплексов.
Рассмотрим перечни показателей
информационно-содержательного фонда по каждой из^ задач, решаемых в процессе
прогнозирования и перспективного планирования развития отрасли.
62

Задача 1. Определение целей и задач развития отрасли.
Входная информация: политические, экономические цели и задачи на
уровне государства, директивные документы; научно-техническая информация (в том
числе имеющиеся прогнозы); данные сравничельного анализа развития
отечественных и зарубежных отраслей (в том числе прогнозы); данные достигнутого
научно-технического уровня; критерии и оценки.
Выходная информация: структура «дерева целей»; состав целей и задач;
концепции технических решений; технические проблемы; ранжированные по
важности проблемы.
Задача 2. Определение (прогнозирование) основных
направлений развития (отраслевой тематики).
Входная информация: существующий уровень развития отраслевых
изделий, их подсистем, технических параметров, технологии, материалов;
существующий уровень зарубежной техники отраслевого характера по направлениям,
подсистемам, параметрам; данные сравнительного анализа отраслевой тематики
по направлениям и параметрам.
Выходная информация: прогнозы направлений развития по отраслевой
тематике, по составу подсистем, техническим параметрам, области использования;
анализ направлений развития с выявлением области наиболее важных
направлений.
Задача 3. Определение номенклатуры альтернативных
технических комплексов (изделий), реализующих
поставленные цели и задачи (по отраслевой тематике).
Входная информация: задачи и критерии; общие требования к
техническому комплексу (изделию); состав комплекса и требования по подсистемам;
ориентировочные сроки использования; данные научно-технической
информации.
Выходная информация: принципы конструктивных решений; требуемая
технология и материалы; требуемые решения и научно-технические проблемы;
«дерево» альтернативных вариантов технического комплекса с оценкой
существующего состояния готовности по каждому из вариантов и оценкой
вероятности создания технического комплекса к заданному ориентировочному сроку.
Задача 4. Полная оценка альтернативных комплексов
данного целевого назначения и выбор комплекса (по
критерию «затраты — эффективность»).
Входная информация:
1. Характеристики изделия (по каждому альтернативному комплексу):
а) статические характеристики — спецификации на конструкцию изделия, вес,
геометрические размеры и др.; б) динамические характеристики изделия в
различных режимах эксплуатации.
2. Характеристики «жизненного цикла» изделия (комплекса): а) требуемый
объем производства и капитального строительства для комплекса; б)
календарные сроки завершения исследований, разработки, производства, эксплуатации;
в) длительность этапов разработки и производства (нормативы времени);
г) экономические параметры по этапам «жизненного цикла» комплекса
(нормативы затрат).
3. Критерии и модели целевого эффекта.
4. Модель и критерий «затраты — эффективность».
Выходная информация: оценка критерия «затраты — эффективность» по
каждому альтернативному комплексу; сравнительные характеристики
альтернативных комплексов по различным параметрам; обоснование предлагаемого
комплекса для данного целевого назначения.
Задача 5. Оценка возможности реализации заданной
номенклатуры изделий.
Входная информация: заявка на разработку и поставку изделий; объемы
по основным видам работ и по годам; ориентировочные сроки выполнения
работ; номенклатура изделий; заявка на опытную разработку и поставку
комплектовочных изделий для межотраслевой кооперации; заключение (смежных
отраслей) о возможности разработки и поставки комплектующих изделий.
Выходная информация: номенклатура изделий, находящихся в разработке
и серийном производстве или предполагаемых к разработке и производству;
63

объем по видам опытно-конструкторских работ, производству по годам;
проекты сроков поставок комплектующих изделий по внутриотраслевой и
межотраслевой кооперации; объем капитального строительства по годам; технико-
экономическое обоснование возможности реализации.
Задача 6. Формирование планов процесса разработки
и производства изделий.
Входная информация: основные характеристики изделия; состав изделия;
ориентировочные сроки разработки и производства; намечаемый объем
производства; предполагаемое развитие изделия.
Выходная информация: головной разработчик и поставщик; соисполнители
внутриотраслевой кооперации; смежные отрасли — участники разработки или
серийных поставок; (время начала и окончания разработки, производства и
эксплуатации; основные характеристики, объем производства по годам
планируемого периода; стоимость одного изделия в производстве; состав обслуживания;
намечаемая модернизация; предполагаемое развитие; состав
организаций-исполнителей (разработки, производства); основные модификации для базового
изделия.
Задача 7. Распределение ресурсов по основным видам
работ. >
Расчет потребности в капитальных вложениях.
Входная информация: объем потребных капитальных вложений на
производственное строительство, в том числе потребности в капитальном
строительстве по опытным заводам в НИИ; располагаемые мощности по станочному
оборудованию; численность ИТР и рабочих.
Выходная информация: объем капитальных вложений на производственное
строительство, в том числе на капитальное строительство по опытным заводам
(ОКБ) и НИИ; численность ИТР и рабочих; располагаемые мощности по ста-
ьочному оборудованию.
Расчет" потребности в материально-технических
ресурсах, необходимых для разработки и производства
изделие.
Входная информация: наименование материалов (сырья) на производство-
изделий; наименование материалов (сырья) на разработку изделия;
наименование изделия, находящегося в разработке; наименование изделия,
находящегося в серийном производстве; объем производства изделия; норма расхода
материала (сырья).
Выходная информация: наименование материалов (сырья) на производство
изделия; наименование материалов (сырья) на разработку изделия;
наименование изделия, находящегося в разработке; наименование изделия,
находящегося в серийном производстве; потребность в материалах (сырье) по каждому
изделию; потребность в материалах (сырье) но министерству.
Задача 8. Формирование пятилетних и годовых планов.
Входная информация: пятилетние и годовые планы отрасли но составу
научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ (ОКР); поставок
средств на изделия; капитальному строительству на развитие ОКР и
производственной базы отрасли; производству и поставкам изделий.
Выходная информация: трансформированные пятилетние и годовые планы
по составу и структуре отраслевой системы планирования.
Система нормативов предназначена обеспечить
обоснованными данными различные этапы и задачи анализа, прогнозирования
и долгосрочного планирования, а также максимальную
оперативность и возможность автоматизации процедур разработки
нормативных показателей, их хранение, корректировку и использование.
Состав требуемых нормативов по основным этапам
долгосрочного планирования распределяется следующим образом. На
этапе формирования номенклатуры образцов, сквозных планов
прэцесса их создания и оценки возможности реализации требуют-
64

ся нормативы: затрат на изделия и их элементы; затрат по
стадиям разработки и производства; временных сроков; расходов
материально-технических ресурсов; оценки требуемых
производственных мощностей, оборудования; по капитальному
строительству. На этапах планирования и оперативного управления эти
нормативы приобретают плановый характер. Кроме того,
требуются еще общеэкономические нормативы.
II. Информационно-справочный фонд. Справочная информация
предназначена для обеспечения функционирования
информационной системы. В состав информационно-справочного фонда должны
входить следующие компоненты: описание содержательных
данных; адреса данных на определенный момент времени; словари,
указатели; информационные языки.
Информационный язык показателей должен включать словарь
показателей данной области; описание отношений между ними;
правила построения описаний показателей (грамматика языка).
N
3.4.2. Измерение и оптимизация представления информации
источников
В зависимости от сложности и характера решаемых проблем
изменяются объем обрабатываемой информации и разнообразие
ее представления. Необходим© иметь на вооружении набор
алгоритмов обработки, формализованной по единым принципам
разнообразной информации. Формализация эта невозможна без
числового представления всех видов информации. Это позволяет
применять при ее обработке весь арсенал возможностей
современного математического аппарата, а в качестве рабочего»
инструмента — вычислительную технику.
Методологически принято выделять два «полярных» способа
описания явлений — количественный и качественный. В первом
случае мы стремимся подчеркнуть, чем данное явление
отличается от других, а во втором — на-сколько. Строго говоря,
количественного описания как такового не существует, так как
сравнивается всегда степень качества. Динамическое единство понятий
качества и количества было отражено Гегелем в категории меры:
«...нет такого наличного бытия, которое было бы только качеством
или только количеством, каждое наличное бытие есть то и
другое, и качество, и величина, непосредственное реальное единство
качества и количества. Это единство есть мера...»1 Проблема
отыскания этой меры получила название проблемы квантифика-
ции качественных параметров.
Иногда при разработке прогностических моделей или
прогнозирующих систем вопросам измерения переменных уделяется
незаслуженно малое внимание либо предполагается, что
переменные модели уже измерены неизвестным и не рассматриваемым
1 Цит. по Фишер К. История новой философии, т. 8, с. 363.
5 935 65

путем. 4i то же время самая совершенная модель не способна
нормально, а зачастую и вообще функционировать при
отсутствии адекватной процедуры измерения входящих переменных.
Определением таких процедур занимается теория измерений.
Основными двумя проблемами теории измерений являются
проблема представления и проблема единственности. Первая
касается доказательства справедливости приписания числовых
значений объектам или явлениям. Вторая — состоит в выяснении
того, в каком смысле можно говорить о единственности этих
значений. Для рассмотрения этих основных проблем введем понятие
системы с отношением в следующем виде.
Система с отношениями представляет собой конечную
последовательность вида U=<A, Ru ..., Rn>, где Л —непустое
множество, называемое областью системы с отношениями U,
а /?ь • • •, Rn— отношения в Л. В зависимости от числа
отношений и их местности различаются типы систем с отношениями,
. которые мы поясним на примерах. Тип <2> обозначает систему
с одним двухместным отношением £/=<Ль i?i>, тип <2, 4>
означает систему с двухместными и четырехместными
отношениями: £/=<Л2, Ru %2> и, вообще, 5-тип (S=<mb m2, ..., mn>)
означает систему с п отношениями тг-й местности: £/=<Ль Ru
Две системы с отношениями называются подобными, если они
одного типа. Теперь определим одно из важнейших понятий
теории измерений — понятие изоморфизма. Начнем с простейших
систем типа <2>. Две системы с отношениями типа <2> : £/=
= <Л, R> и W=<5, S> называются изоморфными, если
имеется взаимно-однозначное отображение, отображающее V в W,
такое, что для каждого а и & из Л aRb имеет место тогда и
только тогда, когда f(a) Sf(b).
Теперь проще понять общее определение изоморфизма. Две
подобные системы с отношениями £/=<Л, Riy ..., Rn> и W=
= <£, S,, ..., 5n> являются изоморфными, если имеется
взаимно-однозначное отображение Л в В такое, что для каждого i — 1,..., п
и каждой последовательности <аи ..., ami> элементов из
Л Ri (аи ..., dm.) имеет место тогда и только тогда, когда имеет
место.Si(/(fli), ..., f(^mi))\ W называют в этом случае
изоморфным образом U.
Если снизить в приведенном определении жесткое требование
взаимной однозначности отображения f, т. е. допустить, что
несколько элементов из Л могут отображаться в один элемент из
В, то мы получим определение гомоморфизма систем с
отношениями. Понятие гомоморфных систем с отношениями подводит
нас ближе к собственно проблеме измерений, так как оно
означает возможность приписывать различным объектам одну и ту же
величину или число, т. е. мы вплотную подходим к числовым
и эмпирическим системам с отношениями.
Числовой системой называется система с отношениями
66

<Л, Ru ..., Rn>y у которой область А является некоторым мно- -
жеством действительных чисел. Эмпирическими системами с
отношениями называются такие системы, области которых являются
множеством таких элементов, например, как веса, предметы,
состояния. Например, если область А системы <А, R2> состоит
из весов, то отношение R2 можно называть отношением «легче,
чем», т. е. aR2b будет указывать на то, что вес а меньше веса Ь.
Тогда первая основная проблема теории намерений —
проблема представления — сводится к тому, чтобы доказать, что любая
эмпирическая система, рассматриваемая с целью измерения
заданного свойства элементов области, изоморфна (или,
возможно, гомоморфна) соответствующим образом выбранной числовой
системе с отношениями. Поясним приведенную постановку
проблемы представления.
Во-первых, следует отметить, что числовая система с
отношениями не всегда сводится к полю действительных чисел, поэтому
гомоморфизм в вышеприведенной формулировке не является
гомоморфизмом между эмпирической системой и полем
действительных чисел. Однако это вовсе не означает, что действия над
числами,, производимые с целью получения выводов об элементах
соответствующей эмпирической системы, должны состоять только
из отношений, заданных в гомоморфно-числовой системе. На
самом деле могут использовать и действия, не содержащиеся
в данной числовой системе и не имеющие прямого образа в
эмпирической. Ограничения, налагаемые на используемые действия,,
скорее связаны с вопросом осмысленности самих отдельных
отношений, чем с наличием или отсутствием их в данной числовой
системе.
Во-вторых, проблему представления нельзя решить
правильно, устанавливая изоморфизм с числовыми системами,
включающими непригодные отношения. Поэтому основная задача состоит
в выборе изоморфной эмпирической числовой системы, которая
содержала бы простые и понятные отношения.
Проблема единственности, являющаяся второй основной
проблемой измерения, касается вопроса однозначной интерпретации
полученных результатов измерений и приводит к понятиям видов
измерений и видов шкал.
Поясним сначала виды измерений на простых примерах.
Определение числа людей в группе, предметов в наборе и т.д.
производится однозначно и не подразумевает выбора шкалы
отсчета или единицы измерения. Это абсолютный вид измерений,
приводящий к абсолютной шкале.
Измерение массы, веса, расстояния и т. д. производится
обычно путем сравнения некоторого образца с эталоном и приводит
к шкалам отношений. В этом случае необходимо ввести понятие
единицы измерения.
Третий тип измерений предполагает независимость отношения
двух разностей от единицы и нулевой точки шкалы. Он приводит
к шкалам интервалов, примерами которых является измерение
67

температуры с помощью термометра, местоположения на местности,
даты и т. д. После рассмотрения приведенных примеров можно
сформулировать проблему единственности как определение типа
шкалы, с помощью которой производилось измерение.
Перейдем от примеров к формальному определению
классификации шкал измерения. Введем два предварительных определения.
Система с отношениями называется полной, если ее область
является множеством всех действительных чисел.
. Подсистемой системы с отношениями U назовем такую
систему с отношениями, область которой есть подмножество
множества элементов области системы £/, а отношения суть отношения
из U, определенные на этом подмножестве. Теперь мы можем
дать определение шкалы. Пусть U — эмпирическая система
с отношениями, W — полная числовая система с отношениями,
/ — функция, которая гомоморфно или изоморфно отображает U
в подсистему W. Назовем шкалой упорядоченную тройку
<U, W, />. Тип шкалы, как понятно из приведенных выше
примеров, определяется свойствами единственности отображения f.
Например, шкала отношений единственна с точностью до
преобразования подобия. На языке шкал это будет означать
следующее. Пусть < U, W, f> — шкала и g — функция, обладающая тем
свойством, что <U, W, g> тоже шкала. Тогда <U, W, f>
называется шкалой отношений, если существует преобразование
подобия ф такое, что £=фО/, где О означает суперпозицию функций,
т. е. (фО/) (а) =ф(/(я)). Заметим, что fug отображают U в
разные подсистемы, входящие в одну и ту же полную числовую
систему с отношениями. Это допущение необходимо дйя того, чтобы
не получать различных численных интерпретаций одного и того
же эмпирического отношения.
Определение шкал других типов аналогично приведенному
выше, за исключением ограничений, накладываемых на
допустимое преобразование шкалы ф.
Абсолютная шкала соответствует ф в виде тождественного
преобразования, т. е. она единственна с точностью до
тождественного преобразования у(х) =х.
Для шкал интервалов ф должно быть положительным
линейным преобразованием: ф(я)=ал:+р, где а=?^0 — положительное
действительное число, a p — любое действительное число. Для
шкал разностей ф является преобразованием вида ф(*)=#+Р,
где (J — действительное число. Эти шкалы являются
единственными с точностью до сдвига.
Для шкалч порядка ф может быть любым монотонным
преобразованием. В данном случае на <р(х) накладывается
единственное требование, чтобы оно было либо монотонно убывающим,
либо монотонно возрастающим; шкалами порядка являются,
например, шкалы твердости минералов, шкалы ветров и т. д.
Еще более слабые ограничения накладываются на ф для шкал
классификации. В этом случае ф во всем произвольно, за
исключением того, что ф(*)= const для всех х одного класса.
68

Наконец, самые слабые шкалы — это шкалы наименований,
в которых числа можно использовать просто как имена объектов.
В этом случае <р должно обладать просто свойством
однозначности.
Вообще говоря, существует более чем счетное множество типов
шкал, которые характеризуются различными группами
допустимых преобразований, но большинство из них <не имеет на
сегодняшний день никакого практического значения.
Заканчивая этот раздел, заметим, что здесь мы всегда
связывали измерения с эмпирической системой U. Поэтому
изложенную выше теорию называют теорией первичных измерений.
Определим это понятие ' более четко. Функция, которая гомоморфно
отражает эмпирическую систему U в числовую систему,
называется первичным числовым представлением эмпирической системы.
Другими словами, если <U, W, f> — шкала, то / является
первичным числовым представлением для эмпирической системы U.
В отличие от первичных производные измерения не зависят
прямо от эмпирической системы, а строятся на базе других
числовых представлений.
В тесной связи с двумя основными проблемами теории
измерений находится третья проблема — адекватности.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий адекватное и
неадекватное числовые утверждения. В исследовании перспективности
новых образцов техники приводится утверждение такого вида:.
отношение предельно допустимой температуры эксплуатации
нового образца к лучшему из существующих зарубежных
образцов составляет 1,1.
В утверждении не ^сообщается, какое числовое представление
из множества допустимых использовалось для определения его
истинности, т. е. неизвестна шкала измерения показателя (в
данном случае температуры).
Это может привести к неадекватности числового утверждения.
Например, если по шкале Фаренгейта предельные
эксплуатационные температуры составляли для нашего и зарубежного образца
110 и 100°, то по шкале Цельсия это соответствовало 43,8° и 37,8°.
Таким образом, приведенное утверждение оказывается для
первой шкалы адекватным, а для второй —нет.
Шкалы температур являются шкалами интервального типа,
для которых адекватны утверждения такого типа: отношение
разности максимальной температуры эксплуатации нового образца
и эталонного образца к разности этого же показателя для
лучшего зарубежного образца и эталонного составляет определенную
величину.
Для этого утверждения значение истинности, как легко
проверить, не зависит от выбора шкалы. Оно будет истинным при
любых линейных .преобразованиях соответствующих числовых
представлений.
Теперь можно представить определение адекватности в
следующем виде: числовое утверждение адекватно тогда и только
69

тогда, когда его значение истинности инвариантно относительно
допустимых преобразований шкалы любого из его числовых
представлений, т. е. любая из его представляющих функций выражает
результат измерений.
В качестве примера рассмотрим утверждение вида ха+хъ>хс.
Для шкалы отношений заменим х на kx (k>0) и получим kxa+
+kxb>kxc. Последнее выражение эквивалентно исходному, и,
следовательно, исходное утверждение адекватно, если х
принадлежит шкале отношений.
Применим к х линейное преобразование типа kx+l. В
результате получим (kxa+l) + (kxb+l)>(kXc+l), которое непереводимо
в исходное. Это можно проверить путем подстановки: ха=1, *&=2,
*=1, *с= — 1, в результате которой получим для исходного
утверждения 1+2>2, а для преобразованного 0+1 = 1,
следовательно, исходное утверждение неадекватно, если х измеряется
в шкале интервалов.
Выбор шкалы измерения всех переменных объекта
необходимо осуществлять на этапе предварительного анализа перед
ретроспекцией. Следует учитывать при этом, что часть переменных
HMeet установившиеся шкалы измерений и относительно ее могут
возникнуть лишь дополнительные вопросы типа выбора
масштаба, нормирования или нормализации. Для другой части
переменных могут отсутствовать , общепринятые способы числового
выражения, и-поэтому приходится решать вопросы в^ыбора
шкалы. К разработке шкал следует подходить с точки зрения двух
основных проблем теории измерения с обязательным учетом
природы объекта и переменной, методики вычисления или
присвоения числовых значений, методов и алгоритмов дальнейшей
обработки информации, природы и шкал остальных переменных
объекта, подлежащих стыковке или синтезу с данной переменной.
Проблема адекватности должна неизбежно рассматриваться
при выборе шкал переменных и определении допустимых
действий и преобразрваний.'над ними. В .противном случае
полученные результаты и сделанные выводы могут быть ошибочными.
Проверка адекватности числовых утверждений и
преобразований должна производиться для всех переменных на протяжении
всего алгоритма их обработки и преобразования. Для этого
целесообразно сгруппировать все переменные по типам шкал,
применяемых для их измерения, и определить допустимые
преобразования и действия' для каждой группы. После этого проверяется
вхождение этих переменных в формулы и шаги рабочих
алгоритмов обработки информации и прогнозирования.
В случае выявления неадекватных выражений необходимо,
если это возможно, заменить способ измерения и шкалу
переменной либо изменить алгоритм ее обработки. Работа эта при
значительном числе переменных и сложных алгоритмах их обработки
является достаточно трудоемкой, «но тем не менее необходимой,
так как в случае появления неадекватных измерений ошибки
могут свести на нет всю остальную работу.
70

В настоящее время отсутствуют способы и алгоритмы
автоматизации проверки адекватности измерений в какой-либо задаче.
В той постановке, в которой эта проблема изложена выше,
алгоритмизация процесса, на наш взгляд, вполне возможна, а
целесообразность ее зависит от объема и характера решаемой задачи.
Конечно, такой подход предполагает, что все процессы и
алгоритмы обработки информации к моменту анализа будут уже
определены. Иначе проблему адекватности придется решать
параллельно с разработкой .рабочих методов и алгоритмов. В этом
случае решение проблемы формализовать затруднительно и
нецелесообразно. Необходимо, чтобы разработчик методик и
алгоритма располагал в процессе работы сведениями о шкалах, в которых
представляются переменные, и не допускал использования
преобразований и действий, приводящих к неадекватным выражениям.
Рассмотренные выше вопросы измерения параметров объекта
прогноза касались главным образом равномерных шкал и не
касались проблем построения неравномерных шкал, а также
оптимизации числа градаций в измерении и их расположения. Подход
к решению таких задач можно обнаружить в теории информации
и в теории распознавания образов [б], [19].
Постановка задачи в этом случае выглядит следующим
образом. Производятся измерения некоторых параметров хп,
характеризующих состояние Ащ стохастического объекта. Требуется
установить такие градации неравномерных шкал измерения
параметров и отобрать те из них, которые обеспечивали бы
минимальные потери информации для распознавания состояния объекта
и удовлетворяли бы ограничениям на объемы памяти для
хранения исходной информации о распределениях случайных
параметров.
Очевидно,, чем точнее измерить значение каждого параметра,
т. е. чем большим числом градаций Т представляется диапазон
изменения признака, тем большую информацию можно извлечь из
этого признака. Однако увеличение числа градаций Т приводит
к увеличению, затрат памяти и расхода машинного времени при
реализации процесса распознавания. В связи с этим приходится
" решать задачу отыскания оптимального числа градаций,
обеспечивающих требуемую надежность распознавания.
Представлена следующая интерпретация этой задачи. Если
по оси абсцисс отложить величины, «пропорциональные p(xnj)
последовательно для всех градаций / какого-либо л-го признака,
а по оси ординат — величины условных энтропии Hj(A/xn) для
этого же признака, то можно построить соответствующую
характеристику. Суммарная площадь под этой характеристикой
пропорциональна энтропии решения по параметру хп, а площадь между
характеристикой и уровнем Н(А) окажется пропорциональной
информативности параметра хп.
Экспериментальным путем было установлено, что величина
потери информативности признака при выбрасывании границы
между /-й и (/—1)-й градациями Д//,ы связана корреляционной
71

зависимостью с коэффициентом взаимной корреляции 0,95 с
величиной произведения [p(xnj) +p(*n(j-i))H#j(4/*n)—#j~i (А/хп)].
В связи с этим предлагается убирать те границы, для которых
эта площадь минимальна. Следует отметить, что после
отбрасывания первой градации характер распределений вероятностей
признаков изменяется, в связи с чем необходимо вновь строить
характеристику Hj(A/xn)=f[p(Xnj)] и по ней выбирать
следующую границу дйя отбрасывания.
При выборе информативных градаций вычисление уменьшения
информативности признаков при отбрасывании очередной границы
может производиться непосредственно прямым путем.
Пусть рассматриваются две смежные градации: (/—1)-я и /-я.
Соответствующие им составляющие энтропии решения по
признаку хп запишутся в таком виде:
м мм
Hj-l = — 2 PrtHJ-l) l0g/?m(/-l) + 2 Pm{j-1) log 2 Pm{j-\)\
M MM.
Hj = - 2 Pmj lOg/V; + 2 Pmj 1^ 2 Pmh (3-2)
где
Hj^ = Nj^(Alxn\ ffj = Hj(Alxnyy
Pm{]-\) =P (Am, Xn(j-i)),
Pmj=P(Am,Xnj)-.
После удаления границы между этими градациями
составляющая энтропии, соответствующая объединенным градациям,
запишется как
Н], ;-1 = — 2 (Pmu-l) +Pmj) lOg {Pm{j-l) + Pmj) "Г 2 (Pm{j-1) +
M
+ Pmj) lOg 2 (/>m(/-l> +Pmj). (3.3)
4 Результирующая потеря информативности признака равна
разности «новой и старой энтропии: A#j=#j_i,j—#j-i—Hjm
Подставим в эту формулу значения всех составляющих и произведем
вычисление, в результате получим
м
м
mi)
AHj = 2 PmU-l) lOg """ м +
m"X 2 Pmj
m=l
M
M 2 (Pm(J-l)+Pmj)
+ 2 Pmj log м
I. Pmj
m=\
72

-f/^-olog^f^- (8.4)
Докажем, что A#j^0. Для этого подставим значения всех
составляющих:
м •
Щ = - 2! (рт + дт) log '« + '« +
/я=1 * i v
-I- 2 />« log^- + 2 <7m log-^, (3.5)
где pm =pmU_i)\ qm=pmJ
M M
P= 2lPm(j-l)\ Q= 2lPmj.
m=l У=1
Запишем из (3.4) соответствующее неравенство:
-(P-\-Q)% Р1НРХЯЯ log ^Q >°- (3*6)
Обозначим:
p umi Q um>
P ^a Q =R
тогда
/>m + ?m _ P<*m + Q&m _ л ^ i ph
Поделив обе части неравенства (3.6) на P+Q, получим:
м м
А 2 amlogam + B 2 bm\ogbm-
- 21 (Аат + ВЬЯ) log (Да, + Д*т) > 0; (3.7)
0<ат<1; 0<£ж<1;
0<Л<1; 0<5<1.
Если обозначить через Н(а) функцию вида
м
И(аи а2, ..., ат)= 21 атlogam,
то неравенство (3.7) примет вид
АН (а) — ВН {b) -H(Aa + Bb) > 0. (3.8)
73

Последнее справедливо для функций #(а), выпуклых вниз.
Составим матрицу вторых производных функции Н(аи а2, ...,
ddjdcij
= 0, ij=j,
^ = ~L>o,
да*
так как 0 < at < 1. (3.9)
Матрица вторых производных будет иметь вид
ПА*! 01
и будет положительно определена. Следовательно, функция Н(а)
выпукла вниз, неравенство (3.8) справедливо, а исходное
неравенство (3.6) доказано.
Таким образом можно рассчитывать потери информативности
признака при выбрасывании любой границы между' его
градациями.
Алгоритм выбора оптимальных градаций можно * представить
так. По формуле (3.2) производится подсчет исходных
информативности признаков. Затем по формуле (3.5) производится
подсчет возрастания энтропии решения по каждому признаку при
отбрасывании границы между любой парой смежных градаций:
(/— 1)-й и /-й (/=1, 2, ..., Г). Граница, для которой значение AHj
окажется минимальным, отбрасывается, подсчитывается новое
значение информативности признака:
где 1ы, /z-i,n — значение информативностей n-го признака на /-м
и (/—1)-м шагах-работы алгоритма. Кроме того, в матрице
распределения вероятностей осуществляются соединения /-и
и (/— 1)-й градаций: р^-^^+Ры.
Для новых распределений признаков весь цикл отбора
малоинформативных градаций повторяется сначала. Условие конца
цикла отбрасывания может задаваться либо в виде «некоторого
порога информативности, суммарной по всем признакам Д/ smax,
либо по конкретному признаку Д/Лтах. Можцо задать заранее
число градаций, которое необходимо оставить в процессе
минимизации.
Для того чтобы минимизировать число переменных описания,
необходимое для распознавания состояния, в котором находится
объект, можно воспользоваться результатами предыдущего
алгоритма. Все параметры выстраиваются в последовательности
убывания их информативности, и, кроме того, задается необходимая
вероятность различия ситуаций Рр.
74

Можно определить границы величины энтропии решения при
двух крайних случаях распределения апостериорных
вероятностей остальных М—1 гипотез.
Ограничение снизу получим при распределении:
РР, 1-Яр, 0, 0, ...„0. (3.10)
Ограничение сверху определяется неравенством Фано при
JjA ±zl± IzIl r3in
*> лг-i' м — I'--" ж — 1 • ^°,li'
М-\
Последняя координата минимального маршрута обзора
параметров должна удовлетворять неравенству
LH (А) - Я (А/хх) - Я (А/х2) - ... -
— Я(Л/*£)>Я(Л)-Яр, • (3.12)
где L — число шагов минимального маршрута. .
Задаваясь различными значениями РР, можно определить
соответствующие значения: „
Яр = 0,7, Я; = 1,6568, /У; = 0,8813,
Р, = 0,8, Ир =1,2319, Я; = 0,7219,
. Рр = 0,9, Нр = 0,7188, Н"р = 0,46.90.
В связи с тем что при расчете информативностей признаков
и длины минимального маршрута предполагается отсутствие
статистической связи признаков, которая, как правило,
существует, а также для компенсации возможных ошибок в оценке
вероятностей* гипотез минимальный "* маршрут L обычно несколько
удлиняют по сравнению с величиной, определяемой (3.12).

ГЛАВА 4
МЕТОДЫ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
4.1. Классификация методов прогнозирования
Прежде всего приведем определение метода прогнозирования
как способа теоретического и практического действия,
направленного на разработку прогнозов. Это определение является
достаточно общим и позволяет понимать термин «метод
прогнозирования» весьма широко: от простейших экстраполяционных расчетов
до сложных процедур многошаговых экспертных опросов.
Для изучения методического аппарата прогностики
целесообразно с самого начала детализировать это широкое понятие.
Договоримся, что далее мы будем различать простые методы
прогнозирования и комплексные методы прогнозирования. При
этом под простым методом прогнозирования будем понимать
метод, неразложимый на еще более простые методы
прогнозирования, и, соответственно под комплексным — метод, состоящий из
взаимосвязанной совокупности нескольких простых.
В данном разделе речь будет идти о простых методах и их
классификации. Комплексные методы прогнозирования
рассматриваются в 4.7.
В настоящее время наряду со значительным числом
опубликованных методов прогнозирования известны многочисленные
способы их классификации. Тем не менее считать этот вопрос
удовлетворительно решенным нельзя, так как единой, полезной
и полной классификации сейчас еще не создано. Вероятно,
прогностика, как молодая наука, еще не достигла такого уровня
развития, когда возможно создание классификации,
удовлетворяющей всем этим требованиям. Поэтому в задачи данного раздела
не входит описание идеальной классификации. Ниже мы
сформулируем возможные цели. классификации, рассмотрим пути их
достижения, некоторые примеры классификаций и представим
вариант удовлетворительный, на наш взгляд, для целей изучения
и анализа методов, а также их выбора.
Итак, каковы же цели классификации методов прогностики?
Можно указать две такие основные цели. Это, во-первых,
обеспечение процесса изучения и анализа методов и, во-вторых,
обслуживание процесса выбора метода при разработке прогнозов
объекта. На современном этапе трудно предложить единую
классификацию, в равной степени удовлетворяющую обеим из
указанных целей.
Существуют два основных типа классификации:
последовательная и параллельная. Последовательная классификация
предполагает вычленение частных объемов из более общих. Это
процесс, тождественный делению родового понятия на видовые. При
этом должны соблюдаться следующие основные правила: 1)
основание деления (признак) должно оставаться одним и тем же при
76

образовании любого видового понятия; 2) объемы видовых
понятий должны исключать друг друга (требование отсутствия
пересечения классов); 3) объемы видовых понятий должны
исчерпывать объем родового понятия (требование полного охвата всех
объектов классификации).
Параллельная классификация предполагает сложное
информационное основание, состоящее не из одного, а из целого ряда
признаков. Основной принцип такой классификации —
независимость выбранных признаков, каждый из которых существен, все
вместе одновременно присущи предмету и только их совокупность
дает, исчерпывающее представление о каждом классе.
Последовательная классификация имеет наглядную
интерпретацию в виде некоторого генеалогического дерева, охватывает всю
рассматриваемую область в целом и определяет место и
взаимосвязи каждого класса в общей системе. Поэтому она является
более приемлемой для целей изучения, позволяет методически
более стройно представлять классифицируемую область знаний.
Среди классификаций прогностических методов известны
примеры обоих типов.
Представленная на рис. 4.1 классификация методов
прогнозирования является классификацией последовательного типа,
имеющей целью наглядное представление в виде иерархического дере*
ва совокупности методов современного прогнозирования как
некоторой системы [48]. ,
Каждый уровень классификации характеризуется своим
классификационным признаком. Элементы каждого уровня^
представляют собой наименования принадлежащих им подмножеств
элементов ближайшего нижнего уровня, причем подмножеств
непересекающихся.
Элементы нижнего уровня представляют собой наименование
узких групп конкретных методов прогнозирования (иногда из
одного элемента), которые являются модификациями или
разновидностями какого-либо одного, наиболее общего из них.
В целом классификация является открытой, так как
представляет возможность увеличивать число элементов на уровнях
и наращивать число уровней за счет дальнейшего дробления
и уточнения элементов последнего уровня.
На первом уровне все методы делятся "на три класса по
признаку «информационное основание метода». Фактографические
методы базируются на фактически имеющемся информационном
материале об объекте прогнозирования и его прошлом развитии.
Экспертные методы базируются на информации, которую
поставляют специалисты-эксперты в процессе систематизированных
процедур выявления, и обобщения этого мнения. Комбинированные
методы выделены в отдельный класс, чтобы можно было
относить к нему методы со смешанной информационной основой,
в которых в качестве первичной информации используются
фактографическая и экспертная. Например, при проведении
экспертного опроса участникам представляют цифровую информа-
77

"О
я
р
ja>
П>
»
О
о
о
н
S
г
п>
о
*э
о
со
о
о
09
-О
О
-з
О
а
пэ
о
*1
Я
о
GJ
Я
«о
о
V
я
Я

цию об объекте или фактографические прогнозы, либо, наоборот,
при экстраполяции тенденции наряду с фактическими данными
используют экспертные оценки.
Не следует относить к комбинированным методам те методы
прогнозирования, которые к экспертной исходной информации
применяют математические методы обработки или исходную
фактографическую информацию оценивают экспертным путем.
В большинстве случаев они достаточно хорошо укладываются
в первый или второй из перечисленных выше классов.
Эти классы разделяются далее на подклассы по принципам
обработки информации. Статистические методы объединяют,
совокупность методов обработки количественной информации об
объекте прогнозирования по принципу выявления содержащихся
в ней математических закономерностей развития и
математических взаимосвязей характеристик с целью получения прогнозных
моделей. -Методы аналогий направлены на то, чтобы выявлять
сходство в закономерностях развития различных процессов и на
этом основании производить прогнозы. Опережающие методы
прогнозирования строятся на определенных принципах специальной
обработки научно-технической информации, реализующих в
прогнозе ее свойство опережать развитие научно-технического
прогресса.
Экспертные методы разделяются на два подкласса. Прямые
экспертные оценки строятся по принципу получения и обработки
независимого обобщенного мнения коллектива экспертов (или
одного из них) при отсутствии воздействий на мнение каждого
эксперта мнения другого эксперта и мнения коллектива.
Экспертные оценки с обратной связью в том или ином виде воплощают
принцип обратной связи путем воздействия на оценку экспертной
группы (одного эксперта) мнением, полученным ранее от этой
группы или от одного из ее экспертов.
Третий уровень классификации разделяет методы
прогнозирования на виды по классификационному признаку «аппарат
методов». Каждый вид объединяет в своем составе методы, имеющие
в качестве основы одинаковый аппарат их реализации. Так,
статистические методы по видам делятся на методы экстраполяции
и интерполяции; методы, использующие аппарат регрессионного
и корреляционного анализа; методы, использующие факторный
анализ.
Класс методов аналогий подразделяется на методы
математических и исторических аналогий. Первые в качестве аналога для
объекта прогнозирования используют объекты другой физической
природы, другой области науки, отрасли техники, однако
имеющие математическое описание процесса развития, совпадающее
с объектом прогнозирования. Вторые в качестве аналога
используют процессы одинаковой физической природы, опережающие
во времени развитие объекта прогнозирования.
Опережающие методы прогнозирования можно разделить на
методы исследования динамики научно-технической информации;
79

методы исследования и оценки уровня техники. В первом случае
в основном используется построение количественно-качественных
динамических рядов на базе различных видов НТИ и анализа
и прогнозирования на их основе соответствующего объекта.
Второй вид методов использует специальный аппарат анализа
количественной и качественной информации, содержащейся в НТИ, для
бпределения характеристик уровня качества существующей и
проектируемой техники.
Прямые экспертные оценки по признаку аппарата реализации
делятся на виды экспертного опроса и экспертного анализа.
В первом случае используются специальные процедуры
формирования вопросов, организации получения на них ответов,
обработки полученных ответов и формирования окончательного
результата. Во втором — основным аппаратом исследования является
целенаправленный анализ объекта прогнозирования со стороны
эксперта или коллектива экспертов, которые сами ставят и
решают вопросы, ведущие к поставленной цели.
Экспертные оценки с обратной связью в своем аппарате
имеют три вида методов: экспертный опрос; генерацию идей; игровое
моделирование. Первый вид характеризуется процедурами
регламентированного неконтактного опроса экспертов
перемежающимися обратными связями в рассмотренном выше смысле. Второй —
построен на процедурах непосредственного общения экспертов
в процессе обмена мнениями по поставленной проблеме. Он
характеризуется отсутствием вопросов и ответов и направлен на
взаимное стимулирование творческой деятельности экспертов.
Третий вид использует аппарат теории игр и ее прикладных
разделов. Как правило, реализуется на сочетании динамического
взаимодействия коллективов экспертов и вычислительной
машины, имитирующих объект прогнозирования в возможных будущих
ситуациях.
"Наконец, последний, четвертый, уровень классификации
подразделяет виды методов третьего уровня на отдельные методы
и группы методов по некоторым локальным для каждого вида
совокупностям классификационных признаков, из которых
указать один общий для всего уровня в целом невозможно.
В 3.2 мы рассмотрели классификацию объектов
прогнозирования в шестимерном пространстве классификационных
признаков. Результатом рассмотрения конкретного объекта относительно
этой классификации может быть его формальное описание
шестизначным кодом. Сопоставляя класс объекта с известными
классами методов прогнозирования, можно установить некоторую
область методов, которые наилучшим образом соответствуют
этому классу объекта.
В табл. 4.1 приводится такого рода соответствие между
классами объектов прогнозирования (согласно 3.2) и кла[ссами
методов прогнозирования (согласно 4.1). Эта таблица может быть
использована для ориентации при выборе метода
прогнозирования под конкретный объект, однако она, конечно, не исчерпывает
80

Таблица 4.1
Соответствие между классами объектов и используемыми
для их прогнозирования классами методов
б 935'
81
* Классы методов прогнозирования
Математическая подгонка
Экстраполяция по
элементарным функциям ....
Экстраполяция с дисконти-
Функции с гибкой струк-
г Экстраполяция по огибаю-
Авторегрессионные модели
ч Парные регрессии ....
-1 Множественные регрессии
"Компонентный анализ . .
1 Многофакторные модели
^Экстраполяция факторов .
Биологические модели
роста
Биолого-технические
аналогии
Экономические аналогии
по опережающей стране . .
Технические прогнозы по
опережающей области . . .
Анализ динамики
патентования
Публикационные методы .
Цитатно-индексные методы
Коэффициент полноты и
уровня техники
' Индивидуальный
экспертный опрос
Коллективный экспертный
опрос
Историко-логический
анализ
Экспертные комиссии . »
1 Классы объектов прогнозирования
о.
о. «
1 с /
1,2,3,5
1,2,3,5
1,2,3,5
1.2
1
1,2,3,5
1,2,3,5
1,2,3,5
1,2,3,5
1,2,3,5
1,2,3,5
1,2
1
2
1
1
1
1,3
1,2
1+4
1+4
1-8-4
2,3,4
1+4
3
| § г
1-5
1:5
l-t-5
1 :-5
1
1 :-5
1
2i-5
3,4,5
3,4.5
3,4,5
1
!i
1
1,2
*.2
1,2
1,2,3
1,2,3
1,2
1,2
1,2,3
1,2
1,2
1,2
1 *
з г
1,2?
1,2
1,2
1,2
1
1
2
3,4
3,4
3,4
3,4
1
1,2
1 : 4
1+4
1,2
2+4
2+4
1+4
1+4
1+4
3,4
1+4
2+4
Ко s «
ас Я 2
о о.» s
в « 2 н
1
1,2^
2/3
1,2,3
2
2
2
2
2
2
Г
1,2
1,2
1,2,3
1,2,3
2
2.3
2,3
1,2,3
1,2,3
1,2,3
2,3
1.2,3
1,2,3
ее
О) ЭЗ
Н 4>
XX
-ев 4>
as
2,3
2,3
1,2
2,3
1,2
2,3
2,3
2,3
2,3
2,3
2
2
2,3
1,2,3
1,2,3
1.2,3
1,2,3
2,3
1,2,3
1.2,3
1,2,3
1.2,3
1,2,3
1,2,3
я -. «>
s 2 э*
о £ с
,о,И и
1,2
1,2
^Ч
1.2
1,2
* ^-
2
2
1,2,3
1,2,3
1,2,3
1,2
1,2
1,2,3
2,3,4
2,3,4
1.2,3,4
2,3
2,3,4

Продолжение табл. 4.1
проблемы выбора метода полностью. Эта процедура в целом
является творческой и неформализуемой и наиболее сложной
в общем комплексе проблем анализа и прогнозирования объекта.
4.2. Экетраполяционные методы прогнозирования
Методы экстраполяции тенденций являются, пожалуй, самыми
распространенными и наиболее разработанными среди всей
совокупности методов прогнозирования. Использование экстраполяции
в прогнозировании имеет в своей основе предположение о том,
что рассматриваемый процесс изменения переменной
представляет собой сочетание двух составляющих — регулярной и случайной:
У(х)=/(а,х) + -п(х). (4.1)
Считается, что регулярная составляющая f(a, x) представляет
собой гладкую функцию от аргумента (в большинстве случаев —
времени), описываемую конечномерным вектором параметров а,
которые сохраняют свои значения на периоде упреждения
прогноза. Эта составляющая называется также трендом, уровнем,
детерминированной основой процесса, тенденцией. Под всеми
этими терминами лежит интуитивное представление о какой-то
очищенной от помех сущности анализируемого процесса.
Интуитивное, потому что для большинства экономических, технических,
природных процессов нельзя однозначно отделить тренд от
случайной составляющей. Все зависит от того, какую цель
преследует это разделение и с какой точностью его осуществлять.
82
Классы методов прогнозирования
Морфологический анализ
Синоптическая модель . .
Метод эвристического
прогнозирования
Коллективная генерация
Деструктивная отнесенная
Динамический концепту-
Политические игры . . .
Экономические игровые
Классы объектов прогнозирования
2
о
о.
с
1,2
1,2,3
1,2,3
1,2,3
1^-4
1-^4
1,2,3
4
2
э
а
2
1,2
1,2,3
1.2
1,2,3
1
1
1,2,3
1,2
1,2
Ь)
о
S
о
С
1-^4
1ч-4
1-н4
1-5-4
U4
1ч-4
3,4
3,4
2,3,4
»
Н «D S О
О < К К
1,2,3
1,2,3
1,2,3
1,2.3
2,3
2,3
2,3
2,3
2,3
* 1
О.»
О 2С
1С К
* «
я п
И Я
1,2,3
1,2,3
1,2,3
1,2,3
1
1
1
1
1,2,3
2 = и
•е-о « о
5Э«В
3,4
2,3,4
2,3,4
2,3,4
3,4
3,4
3,4
3,4
2.3, 4

Случайная составляющая х\(х) обычно считается
некоррелированным случайным процессом с нулевым математичедким
ожиданием. Ее оценки необходимы для дальнейшего определения
точностных характеристик прогноза.
Экстраполяционные методы прогнозирования основной упор
делают на выделение наилучшего в некотором смысле описания
тренда и на определение прогнозных значений путем его
экстраполяции. Методы экстраполяции во многом пересекаются с
методами прогнозирования по регрессионным моделям. Иногда их
различия сводятся лишь к различиям в терминологии, обозначен
ниях или написании формул. Некбторйе авторы объединяют эти
методы в одну группу. Тем не менее сама по себе прогнозная
экстраполяция имеет ряд специфических черт и приёмов,
позволяющих причислять ее к некоторому самостоятельному виду
методов прогнозирования.
Специфическими чертами прогнозной экстраполяции можно
назвать методы предварительной обработки числового ряда
с целью преобразования его к виду, удобному для
прогнозирования, а также анализ логики и физики прогнозируемого процесса,
оказывающий существенное влияние как на выбор вида
экстраполирующей функции, так и на определение границ изменения ее
параметров.
4.2.1. Предварительная обработка исходной информации
в задачах прогнозной экстраполяции
Предварительная обработка исходного числового ряда
направлена на решение следующих задач (всех или части из них):
снизить влияние случайной составляющей в исходном числовом
ряду, т. е. приблизить его к тренду; представить информацию,
содержащуюся в числовом ряду, в таком виде, чтобы существенно
снизить трудность математического описания тренда. Основными
методами решения этих задач являются процедуры сглаживания
и выравнивания статистического ряда.
Процедура сглаживания направлена на минимизацию
случайных отклонений точек ряда от некоторой гладкой кривой
предполагаемого тренда процесса. Наиболее распространен способ
осреднения уровня по некоторой совокупности окружающих точек,
причем эта операция перемещается вдоль ряда точек, в связи
с чем обычно называется скользящая средняя. В самом простом
варианте сглаживающая функция линейна и сглаживающая
группа состоит из предыдущей и последующей точек, в более
сложных—функция нелинейна и использует группу произвольного
числа точек.
Сглаживание производится с помощью многочленов,
приближающих по "методу наименьших квадратов группы опытных
точек. Наилучшее сглаживание получается для средних точек
группы, 'поэтому желательно выбирать нечетное количество точек
в сглаживаемой группе. Сами группы точек берут по составу
83

скользящими по всей таблице. Например, по первым точкам
Уи У2, Уг, Уа, Уь сглаживают среднюю #3, затем по следующей
пятерке у2, */з, Уа, #>, Ув сглаживают уА и т. д. Остающиеся
крайние точки сглаживают по специальным формулам.
Наиболее распространенной формой сглаживания является
линейное, т. е. с использованием многочлена первой степени.
Для .сглаживания по трем точкам формулы имеют такой вид:
Уо = ^"(У-1+Уо + У-ы);
У-1 = -J- (5y_i + 2у0 - у+1); (4.2)
у+1 - 4" ("""У-1 + 2У° + 5У+д>
где Уо, уо — значения исходной и сглаженной функций в средней
точке; */-ь У-\ — значения исходной и сглаженной функций в
левой от средней точке; у+ь r/+i — значения исходной и сглаженной
функций в правой от средней точке.
Формулы для у-\ и #-н применяются, как правило, только по
краям интервала.
Аналогичные формулы имеются для сглаживания рядов по
пяти точкам:
Уо = 4" (У'2 + У-1 + Уо + У1 + Уз);
У-1 = ТГ (4У"2 + 3У-! + 2У° + У');
7+1 - 4" (У-1 + 2у0 + 3yt + 4у2); - (4.3)
У-2 = — (Зу-2 + 2y-i + у0 - у2);
У+2 = -J" (~У~2 + Уо + 2У1 + 3Уг).
Сглаживание даже в простом линейном варианте является
во многих случаях весьма эффективным средством выявления
тренда при наложении на эмпирический числовой ряд случайных
помех и ошибок измерения. Для рядов со значительной
амплитудой помехи имеется возможность проводить многократное
сглаживание исходного числового ряда. Число последовательных
циклов сглаживания должно выбираться в зависимости от вида
исходного ряда, от степени предполагаемой его зашумленности
помехой, от цели, которую преследует сглаживание. Надо иметь
при этом в виду, что эффективность этой процедуры быстро
уменьшается (в большинстве случаев), так что, как показывает
опыт, целесообразно повторять ее от одного до трех раз.
84

В качестве некоторого объективного критерия, по которому
можно судить о нецелесообразности повторного сглаживания,
возможно использовать выражение
тах{1уг-У/|)<£, (4.4)
где е — положительное число, выбираемое из соображений
точности представления данных и точности последующих алгоритмов
обработки; z=l, 2, ..., п—номера точек в исходной
последовательности.
В общем виде формула сглаживания.для средней точки
скользящей группы из /п=2/?+1 точек может быть записана как
У* = «.2 У*. (4.5)
i—t—р
При большом числе точек исходного ряда эту процедуру
можно привести к рекуррентной, использующей каждый раз
предыдущее значение сглаженного уровня:
У* = У'-1 Н 2fl7i • (4-6)
В табл. 4.2 приводится пример отработки путем сглаживания
по трем и пяти точкам эмпирического числового ряда. На рис. 4.2
Таблица 4.2
Исходные и сглаженные значения
эмпирического ряда
X
0
1
• 2
3
4
о
6
7
8
9
10
11
12
13
14
У
25
20
25
40
30
60
50
50
70
100
80
110
120
120
140
7*
23
23
28
32
43
47
53
57
73
83
97
103
117
127
137
£
24
25
28
35
41
46
52
66
70
82
96
106
114
- 127
140
Рис. 4.2. Сглаживание эмпирических
данных но трем и пяти точкам
85

представлены соответствующие графики числового ряда до и
после применения сглаживания.
Линейное сглаживание является достаточно грубой
процедурой, выявляющей общий приблизительный вид тренда. Для более
точного определения формы сглаженной кривой может
применяться операция нелинейного сглаживания или взвешенные
скользящие средние. В этом случае ординатам точек, входящих в
скользящую группу, приписываются различные веса в зависимости от
их расстояния от середины интервала сглаживания. Выбирается
кривая, обычно 2-го или 3-го порядка, и ее ордината,
соответствующая центру интервала сглаживания, принимается за
сглаженное значение уровня. Расчет параметров сглаживающей
кривой .производится по методу наименьших квадратов, однако
ординату центральной точки можно рассчитать как некоторую
взвешенную среднюю из всех ординат точек сглаживающей
группы. Так, для параболического сглаживания можно использовать
следующие формулы сглаживания по пяти и семи точкам для
центрального уровня [39]:
т = 5: yt = -^-(-Зу,-2 \- 12y,_t + 17у/ + 12уж - Зу,л_2);
m = 7: yt ^ -^ (—2у,_3 ~г Зу/-2 + 6y/_i +
-г 7у, I- 6уж + Зун 2 - 2у,+3).
Аналогичные формулы рассчитаны и для большого числа
точек (9, 11, 21). Имеются также формулы, аналогичные (4.2),-
(4.3), позволяющие вычислять сглаженные значения по • краям
числового ряда.
Сглаживание рядов по большому числу точек m используется
относительно редко: оно приемлемо лишь по отношению к
большим по протяженности исходным последовательностям, что
в прогнозировании случается не часто. Помимо этого, по краям
ряда остается значительное число неудовлетворительно
сглаженных точек, а для прогнозной экстраполяции конец числового ряда
имеет наиболее важное значение. ~
Если сглаживание налравлено на первичную обработку
числового ряда для исключения случайных -колебаний и выявления
тренда, то выравнивание служит целям более удобного
представления исходного ряда, оставляя прежними его значения.
Выравниванием будем называть преобразование эмпирической
формулы y=f(x, а), где f — произвольная функция, к виду
У=А+ВХ. (4.7)
Очевидно, что эта процедура может быть реализована не во
всех случаях, не для всех функций, однако большинство простых
функций, наиболее распространенных в практике экстраполяци-
онных и интерполяционных расчетов, относительно просто
поддается выравниванию. Функции с большим числом параметров
выравниваются сложнее и далеко не всегда.
86

Наиболее общими приемами выравнивания являются логариф- %
мирование и замена переменных. Рассмотрим эти приемы на ряде
следующих конкретных примеров:
1. Для отыскания параметров степенной функции у=ахь
применяют логарифмическое преобразование вида Igy—lga+blgx
и замену переменных: X~\gx; Y=\gym В результате имеем (4.7),
где /l = lga, £ = &.
Таким образом, перестроив экспериментальные точки
предполагаемой степенной зависимости в логарифмической сетке, мы
получим линейную зависимость, которую легко описать и
экстраполировать, а затем пересчитать результаты по формулам,
обратным исходному преобразованию переменных.
2. Для показательной функции у = аеЬх также можно
применить логарифмическое выравнивание: lgy=\ga+b\gex и
замену: Х=х; y=lgy. Получим (4.7), где A=lga; B = blge.
В этом случае, очевидно, следует предусмотреть перестроение
экспериментальных точек в полулогарифмическом масштабе
с последующим анализом полученного графика. Если взять
натуральный логарифм, то формула упростится еще больше.
1 х
3. Для зависимостей вида: а) у = а + Ьхя и б) у = а . Ьх
используются преобразования такого вида:
а)Г = — =Л + Ах, где А = а, В = Ь\
б) x = -L и г-4-. что дает у= а 1 Х =а + вх,
х у i
" X
где Л = Ь, 5=а. В этом случае по осям координатной сетки
следует откладывать величины, обратные значениям исходных
переменных.
4. Если предполагаемая эмпирическая зависимость имеет вид
Y = b x , то преобразование выравнивания имеет такой вид:
У = 1 ///, Х=е~х. Тогда коэффициенты формулы (4.7) Y=A + BX
будут А = а\ В = Ь.
Следует иметь в виду, что определенные после выравнивания
значения параметров функции f(x, а) минимизируют сумму
квадратов отклонений преобразованных величин от линейной
зависимости (4.7), а не сумму квадратов отклонений измеренных
величин от расчетных. Поэтому такой расчет следует считать лцшь
определенным приближением к истинноч оптимальным значениям
коэффициентов.
В случае, если эмпирическая формула предполагается
содержащей три параметра либо известно, что функция трехпарамет-
рическая, иногда удается путем некоторых преобразований
исключить один из параметров, а оставшиеся два привести к одной
из формул выравнивания.
87

Можно рассматривать выравнивание не только как метод
представления исходных данных, но и как метод
непосредственного приближенного определения параметров функции,
аппроксимирующей исходный числовой ряд. Зачастую именно так
и используется этот метод в некоторых экстраполяционных
прогнозах. Отметим, что возможность непосредственного его
использования для определения параметров аппроксимирующей
функции определяется главным образом видом исходного числового
ряда и степенью наших знаний, нашей уверенности относительно
вида функции, описывающей исследуемый процесс.
В том случае, если вид функции нам неизвестен,
выравнивание следует рассматривать как предварительную процедуру,
в процессе которой путем применения различных формул и
приемов выясняется наиболее подходящий вид функции, описывающей
эмпирический ряд.
Одной из разновидностей метода выравнивания является
исследование эмпирического ряда с целью выяснения некоторых
свойств функции, описывающей его. При этом не обязательно
преобразования приводят к линейным формам. Однако
результаты их подготавливают и облегчают процесс выбора
аппроксимирующей функции в задачах прогностической экстраполяции.
В (55] приводится порядок такого исследования с помощью так
называемых дифференциальных функций роста.
В простейшем случае предлагается использовать следующие
три типа дифференциальных функций роста:
1. Первая производная, или абсолютная дифференциальная
функция роста,
*«)-/—$Ь (4.8)
На графике у=/(0 она представляется угловым
коэффициентом в каждой точке графика; ф(/)= const для линейного закона
изменения y(t).
Для кривых второго порядка (параболические законы) ф(/)
имеет линейный характер изменения, для экспоненциальных
кривых ф(/) —также экспонента. *
Значение ф(/) зависит от выбираемых масштабов измерения
показателя и времени.
2. Относительный дифференциальный коэффициент, или
логарифмическая производная,
• (0--^ = -^. (4.9)
Эту функцию дифференциального роста можно выявить на
графике путем построения его в полулогарифмическом масштабе.
Тогда (o(t) будет представлять собой угловой коэффициент в
каждой точке.
88

Для экспоненциальной зависимости (*>(/)= const, для
степенной функции (o(t) имеет гиперболический характер.
3. Эластичность функции
•<0 = -$- = 4£§£. (4.10)
На графике динамического ряда, построенном в
логарифмическом масштабе, эластичность определится как угловой
коэффициент в каждой точке; е(/)= const для степенной функции; для
экспоненциальной функции e(t) имеет линейный характер
изменения, линейна она также для комбинированной
экспоненциально-степенной функции.
Надо отметить, что эластичность 8 (/) является безразмерной
величиной, что позволяет с ее помощью сравнивать характер,
изменения различных процессов, протекающих в собственных,,
возможно различных, масштабах времени.
В [55], [60] приводятся графики дифференциальных функций
роста для всех наиболее употребительных в прогностической
экстраполяции аппроксимирующих функций: линейной,
параболической, степенной, экспоненциальной, логистической,
гиперболической и др. Рассмотрение функций роста показывает, что по их
сочетанию можно определить вид производящей их функции.
В (60] в качестве процедуры предварительной обработки
числового ряда для целей выяснения его свойств предлагается
вычислять «характеристики прироста». Для /этого вводится понятие
среднего прироста числового ряда в точке t> как выше вводилось
понятие " сглаженной координаты у^ Процедура вычисления £/*
аналогична сглаживанию; только в э*гом случае сглаживаются не
сами координаты, а их приращения.
Как известно, приращения некоторой функции, заданной
числовым рядом, определяются конечными разностями ряда
Ut^yt—yt-u Конечные разности, взятые от Ut, называются
разностями 2-го .порядка и т. д. г
Если сгладить разности, то получим значения £редних
приростов, которые, очевидно, для различного числа т точек интервала
сглаживания будут иметь такой вид:
/га = 3: и% = § '
т — ъ. ut- т .
При сглаживании конечных разностей других порядков будем
получать значения средних приростов соответствующих порядков
01е. DF> и т. д.
89>

Построение конечных разностей числовых рядов является
одним из способов определения порядка аппроксимирующей ряд
функции.
Исходя из предполагаемого вида описания динамического
ряда (4.1) y(t)=f(t, a)+t\(t) делается предположение о том, что
т-я конечная разность y(t) будет при возрастании т стремиться
к некоторому пределу, определяемому дисперсией случайной
составляющей^ r\{t). Тогда, если fr 7^ const, можно считать, что
функция /(/, а) имеет m-й порядок. На практике в связи с
ограниченным числом точек ряда, его нестационарностью, случайными
выбросами и другими причинами получить такую картину
удается весьма редко.
Переход к сглаженным значениям разностей или средним
приростам направлен на облегчение достижения гладких
характеристик, исследуемого ряда.
На основании среднего прироста далее можно попытаться
перейти к постоянному уровню или линейной зависимости. Для
этого предлагается ряд производных величин и логарифмов от
среднего прироста:.
(4.11)
WA(t) = log йй WB(t) = log Djyt
wb(t) = log Dtiy/i.
Очевидно, некоторые из них соответствуют упомянутым выше
дифференциальным функциям роста (<p(f) ~ Wx (t); ®(t) ~ W3(t));
другие расширяют состав характеристик ряда, открывая
возможности выравнивания для большого ассортимента видов функций.
По сравнению с дифференциальными функциями роста
характеристики средних приростов более приспособлены для анализа
числовых рядов, легко поддаются непосредственному вычислению
и являются весьма полезным средством выявления свойств
аппроксимирующей функции.
4.2.2. Анализ формы тренда динамического ряда и экстраполяции
простыми зависимостями
Для окончательного выбора вида функции исследование
ретроспективного ряда, выполненное на этапе предварительной
обработки, следует дополнить исследованиями логики протекания
процесса в целом, в том числе гипотезами о его протекании
в будущем, исследованиями физической сущности процесса,
возможных сдвигав, скачков и ограничений, вытекающих из этой
сущности.
Основные вопросы, которые следует задать себе
исследователю на этом этале, сводятся вкратце к следующим: 1) является
90

ли исследуемый показатель в целом величиной * монотонно
возрастающей, монотонно убывающей, стабильной, имеющей экстремум
(или несколько) или периодической; 2) ограничен ли сверху
(снизу) исследуемый показатель каким-либо пределом; 3) имеет ли
функция, определяющая процесс, точку перегиба; 4) обладает -ли
функция, представляющая процесс, свойством симметричности или
нет; 5) имеет ли процесс четкое ограничение развития во вре-/
мени. --'
По первому вопросу для ответа необходимо объединить
сведения, полученные в процессе первичной обработки ряда, а
именно первую производную q>(0» и общие соображения по характеру
развития процесса. Очевидно, для монотонно возрастающих
функций график ср(0 должен целиком лежать в положительной
области, а его экстраполяция не обнаруживает тенденцию к
пересечению с осью абсцисс в будущем.
При этом необходимо учитывать сущность самого процесса.
Например, большинство переменных, определяемых развитием
научно-технического прогресса, можно считать монотонно
возрастающими функциями, имеющими Ъ ряде случаев
асимптотические ограничения. Так, можно говорить о непрерывном
возрастании скоростей транспортных средств, скорости обработки
информации, мощности энергетических установок, дальности
проникновения человека в космос, увеличений длительности человеческой
жизни, повышении производительности труда и т. д.
Аналогичные рассуждения можно привести для монотонно
убывающих процессов. Например, сокращение производственных
циклов, уменьшение детской смертности, уменьшение
относительных габаритов и веса установок и'т. д.
Для анализа характера переменных можно оценивать
величину их степени нестабильности на ретроспективном участке Д#тах
или ^тах = —=JL-- Следует выяснить факторы, влияющие на
нестабильность, и проанализировать их возможные изменения
в будущем.
Экстремумы на ретроспективном участке легко выявляются
при рассмотрении графика <р(/) в точках его пересечения с осью
абсцисс. Наличие экстремумов в прошлом развитии процесса
приводит к вопросам о их причинах и о возможности их
возникновения в будущем. В случае предположения о многоэкстремаль-
ности процесса основным вопросом является выявление
экстремума и экстремального значения прогнозируемого параметра
(если экстремум еще не пройден). Эту задачу можно решать
путем экстраполяции ф(/) и определения точки ее пересечения
с осью времени. Эти исследования необходимо дополнить
результатами качественного и количественного анализа развития
факторов, влияющих на достижение экстремума исследуемым
процессом.
Периодическим характером отличаются многие процессы
экономического развития. Правда, в основном эти процессы носят
91

циклический, а не чисто периодический характер. Так,
общеизвестной является цикличность развития экономики при
капитализме.
Ответ на второй основной вопрос о характере процесса весьма
существен для выбора правильного вида функции,
осуществляющей экстраполяцию тренда.
В любой области знаний проблему изучения пределов
развития уделяется большое значение. В области научно-технического
прогнозирования можно выявить следующие виды пределов:
Абсолютные пределы — это пределы безусловные, область
действия которых неограниченна. Например, к абсолютным пределам
относят скорость света, абсолютный нуль температур, нулевое
давление, к. п. д., равный 1, температуру разрыва молекулярных
связей и т. п.
Относительные пределы — это пределы, имеющие место в
определенной области или применительно к определенному объекту.
К ним относятся земные цределы: максимальная скорость в
атмосфере, максимальная глубина океана, минимальная скорость
вывода на орбиту спутника и т. л. Можно привести примеры
относительных пределов человеческих возможностей: максимальные
перегрузки, максимальный уровень шума и т. д.
Расчетные пределы — это более частные пределы,
устанавливаемые на основании первых двух видов пределов я различного
рода преобразований и законов, связывающих их с производными
величинами. Например, максимальное значение к. п. д. при
данном перепаде температур по циклу Карно, предел загрузки
памяти информацией—1014 бит/см3, рассчитанный на основании
абсолютного предела, определяемого формулой Гейзенберга;
предельная величина микроминиатюризации электронных элементов,
связанная с постоянной Дирака и определяемая как 1018
элементов в 1 см3, и т. п.
Выяснение вопроса об ограниченности функции в большей
степени основывается на анализе физической и логической
сущности исследуемого процесса, его связей и зависимости от абсо*
лютных и относительных пределов в исследуемой области знаний.
Указанием на существование предела может служить
формальный анализ дифференциальной функции роста ср(£). В случае
асимптотического приближения к пределу <р(0> очевидно, будет
стремиться к нулю.
Третий вопрос из перечисленных основных вопросов о
характере процесса относится к существованию точек перегиба. Это
также весьма существенно при разработке различных прогнозов.
В ряде исследований точку перегиба и ее положение по шкале
времени выбирают в качестве критерия «перспективности»
развития того или иного научного или технического направления.
Формально точка перегиба может быть .установлена по
нулевому значению второй производной аппроксимирующей функции
с последующей переменой знака этой производной. На графике
ф(0 точка перегиба отражается в виде экстремума, так что опре-
92

деление ее на ретроспективном участке формальным путем не
представляет особого труда. В случае значительных случайных
колебаний, наложенных на процесс, целесообразно провести
предварительное его сглаживание одним из методов, описанных в 4.2.1.
Относительно четвертого вопроса —о характере развития
процесса во времени — надо отметить, что из числа функций,
используемых для экстраполяции в прогнозировании, лишь очень
немногие обладают свойством симметричности. В основном это
логистические кривые, обладающие центральной симметрией
относительно точки перегиба. Симметрией относительно любой
точки обладают также линейные законы развития, но для них это
свойство не имеет особого значения.
Формальное установление симметрии может осуществляться
путем итеративного сравнения конечных разностей функции слева
и справа от некоторых точек, приближающихся постепенно к
точке, соответствующей возможному центру симметрии. В качестве
критерия симметричности относительно некоторой k-й точки
(центра симметрии) можно предложить величину среднеквадра-
тического отклонения конечных разностей эмпирического ряда
с постоянным шагом слева и справа от нее:
ft/2
5* = 4-2<ДУ*+'±ДУ*-<)2> (4-12)
где п — общее число точек исследуемого на симметричность
участка кривой.
Знак плюс берется для осевой симметрии, знак минус — для
центральной симметрии. Тогда Наличие симметричности может
определяться выражением
min{S*} = e,
k
где е — наперед заданное положительное число, определяющее
допуск на асимметрию.
Последний вопрос относительно характера процесса касается
выяснения пределов развития процесса, но не по величине, а по
времени. Он касается выявления и учета при экстраполяции
моментов свершения каких-либо событий, обусловливающих
окончание процесса либо его переход в другое качество.
Само по себе установление ограниченности процесса во
времени и точки ограничения на временной шкале может также
являться результатом прогноза или плана. Тем не менее учет
этого фактора необходим при экстраполяции тенденций развития
параметров, описывающих этот процесс или связанных с ним.
Разобрав основные вопросы, возникающие на этапе выбора
вида функций для экстраполяции исследуемого процесса, и
возможные подходы к их разрешению, перейдем к рассмотрению тех
функций, которые предпочтительно использовать в прогнозной
экстраполяции, и некоторых требований к ним.^
93

В {55] приводятся такие требования к аппроксимирующей
кривой: морфологическая простота, гладкость, симметрия и
математическая простота. В целом можно согласиться с этими
требованиями, отнеся, пожалуй, симметрию на последнее место,
а математическую лростоту, раскрыв более подробно,— на первое.
Мы рассмотрели основные аспекты логического анализа
прогнозируемого процесса, позволяющего в ряде случаев выбрать
вид функции экстраполяции или, по крайней мере, получить
некоторые сведения о ней, облегчающие этот выбор. Такой анализ
может быть дополнен некоторыми формальными приемами
анализа ретроспективного числового ряда, которые подготовлены
к реализации в процессе проведения предварительной обработки
исходной информации (см. 4.2.1).
Можно предложить такую последовательность проведения
операций по выбору вида функции:
I. Производится сглаживание числового ряда методом
скользящей средней (4.2.1). Визуально (или по формальному
критерию, если счет идет на вычислительной машине) проверяется
степень сглаженности числового ряда по его графику. В случае
неудовлетворительных результатов сглаживание повторяется до
приемлемой степени сглаженности.
II. График сглаженного ряда анализируется визуально
с целью определить приблизительный вид соответствующего ему
тренда из конечного числа простых функций, отобранных в
процессе содержательного анализа процесса.
Общий состав функций, из которых осуществляется этот отбор,
обычно представлен 10—15 простыми функциями. Приведем
здесь некоторые из них, наиболее часто используемые в практик'
разработки прогнозов:
1) линейная: у=а+Ы;
2) парабола: y=a+bt+ct2\
3) кубическая парабола: y=a+bt+ct2+dt3;
4) степенная функция: y=atb:
5) экспоненциальная функция: у=аеы;
6) модифицированная экспонента: у=к—аеы\
7) логистическая (S-образная) кривая: y—k/il + be-01);
8) гиперболическая функция: y=a+b/(c+t);
9) комбинированная экспоненциально-степенная функция:
у=еаЧъ;
10) функция Гомпертца: y=^kabt\
11) квадратичная логистическая функция: у=Л2/(1+&е~с*)2;
п
12) колебательная функция: y=a+bt+HCisin(mt+((>i).
Путем сопоставления графика сглаженного ряда с графиками
типа рис. 4.3 делаются предварительные выводы о сходстве.
III. Производится расчет средних приростов для сглаженного
числового ряда в порядке повышения их степеней: £/*, и) >
94

Рис. 4.3. Элементарные функции, используемые в прогнозной
экстраполяции

U?\ ..., Ut . Если счет автоматизирован, то можно
последовательно выводить эти графики с целью определения порядка т,
для которого U\m) «const. Это дает возможность относительно
точно установить степень искомой кривой. В случае, если счет
осуществляется вручную, целесообразно остановиться на U] .
IV. Делаются попытки выравнивания статистического ряда
путем перестройки его в логарифмических и полулогарифмических
масштабах и замены переменных. Если это производится
вручную, то по виду графика определяется способ, наиболее вероятно
приводящий к выравниванию ряда. В случае машинной
обработки проводится несколько вариантов преобразований, а
результаты выводятся на графике.
V. Производится расчет производных характеристик средних
приростов: Wx(t)f W2(t), ..., W6(t) по формулам (4.11).
Полученные характеристики анализируются на линейность
и постоянство уровня. В [60] приводится таблица взаимосвязей
характера производных характеристик средних приростов с видом
функции, описывающей исходный ряд:
1) Wi (*) ~ const (линейная зависимость /);
2) Wt (t) линейна (парабола 2);
3) W2(t) линейна (кубическая парабола 3);
4) W3(t) ж const (экспонента 5);
5) W3(t) линейна (логарифмическая парабола y = ab*c*\
применяется редко);
6) WA(t) линейна (модифицированная экспонента 6);
7) Wb(t) линейна (кривая Гомпертца 10);
8) W0(t) линейна (логистическая кривая 7).
Дополним этот перечень сглаженной эластичностью:
9) e(tf) = Wz(t) tzx const (степенная функция 4);
10) s(0=== ^з (0'"" линейна (экспонента, комбинированная
экспонента 5, 9).
VI. Окончательный выбор вида функции для экстраполяции
производится путем сравнения ее по всем характеристикам для
заданного числового ряда. В случае, если близкое совпадение
характеристик показали две или более функции 1-М2,
окончательный выбор цереносится «а этап расчета числовых параметров
функций.
На практике все перечисленные операции 1-4-V производятся
целиком довольно редко, так как уже на одной из них вид
функции, описывающей ряд, становится очевидным.
96

Следующим этапом после выбора одной из простых функций,
удовлетворяющей требованиям содержательного анализа
процесса и наиболее близкой по своим характеристикам к исходному
числовому ряду, является расчет неизвестных параметров этой
кривой.
На данном этапе необходимо, используя эмпирический ряд,
подобрать (рассчитать) значения этих параметров,
обеспечивающие в некотором смысле оптимальную аппроксимацию.
В качестве критерия оптимальности обычно используют ту
или иную меру отклонений точек эмпирического ряда от
аппроксимирующей функции. Каждому из возможных критериев
оптимальной аппроксимации соответствует свой способ определения
параметров кривой. Рассмотрим основные из этих способов.
Метод средних основан на минимизации алгебраической
суммы отклонений точек от аппроксимирующей кривой. В этом
случае критерий оптимальности записывается в следующем виде:
п
2 bi —f(*b а>\Аь •.., am)] -> min, (4.13)
где' уи Xi — ордината и абсцисса 1-й точки ряда; аи #2, • • ♦, Ят —
параметры аппроксимирующей кривой.
На практике этот метод реализуется следующим образом. Все
точки эмпирического ряда (п>т) разбиваются равномерно на
т групп, и для каждой из них сумма отклонений вида (4.13)
приравнивается нулю. В результате получается система* из т
уравнений с т неизвестными параметрами а\, а^ ..., От, которые
определяются путем решения этой системы. При линейном
вхождении параметров в формулу кривой система получается
линейной и решается одним из известных способов.
- Следует отметить, что результаты метода средних
существенным образом зависят от способа группировки точек. Практика
показывает, что наиболее рациональным является слособ
группировки, при котором группы составляются из последовательно
следующих точек по возрастанию аргумента.
Для линейной функции f(x)=ax+b получаем систему
следующего вида (для четного п):
( я/2 я/2
-: п '-. (4.14)
a 2** + *T"e 2 У*-
I /=Я/2 i-rt/2
Сложив оба уравнения системы и разделив их на п, получаем
аХ+Ь=Т. (4.15)
7 935 97

Из (4.14) и (4.15) получим:
2 Я _
а = ^ и b=Y-aX. (4.16)
* = 1
Аналогично можно определить коэффициенты для функции
трех параметров и вообще для т параметров.
Модификациями метода средних являются метод трех точек
и метод трех сумм для трехпараметрических зависимостей.
Параметры логистической кривой с десятичным основанием
логарифма определяются по методу трех точек следующим
образом. Выбираются три точки на равных расстояниях друг от
друга, расположенные в начале, середине и конце числового ряда,
и ставится задача провести точно через них логистическую
кривую:
_ k
У~ l + 10e+w'
При шаге измерения, равном t, и расстоянии между точками,
равном л, имеем:
п _ k
ч Уо — 1 + 10«+*.<р
2)* = 1 + ш^; (4Л7)
3) У2 == j + 1()в+*.2я '
Из 1-го уравнения системы (4.17) имеем:
у0 . (1 + 10«) - к и 10» = (k - у0)/у0,
откуда
Подставим 10а во 2-е уравнение системы (4.17):
у.О + ^-И-*'
откуда
1Qftfl . Уо(Ь-уг) ._ 1 , Уо(*-У1)
Ш ~ *<*-*> ч я g У1(*-Уо) •
98

В последнее уравнение системы подставим значения 10* и 10Ьпг
полученные ранее:
у2(1 + 10М02*Л) = £;
В [60] приводится решение уравнения (4.18):
*- ***-*(* + »). (4.19)
В качестве исходных трех точек целесообразно брать точки
сглаженного числового ряда. Тем не менее метод остается весьма
приближенным, так что его необходимо проверять после расчета
параметров по сумме отклонений остальных точек ряда от
кривой и в случае значительных отклонений повторить расчет по
другой тройке исходных точек.
Мы не будем подробно останавливаться на анализе
преимуществ и недостатков этих различных критериев, отметим только,
что эти критерии не получили столь широкого распространения
в практике прогнозирования, как метод наименьших квадратов.
Достоинством метода наименьших квадратов является
относительная простота реализации (для ряда функций он доведен до
аналитического представления коэффициентов), метод хорошо
сглаживает случайные «шумы» при описании тренда, он
позволяет получить несмещенные и .состоятельные оценки всех
параметров а0, аи ..., Ощ, в наиболее распространенном случае линейного
вхождения параметров в формулу тренда оценки параметров по
методу наименьших квадратов являются также и эффективными.
Формулировка метода наименьших квадратов сводится к
следующему. Если все измерения значений функции Yu У2, ..., Yn
произведены с одинаковой точностью, то оценки параметров
функции определяются условием
5=S \Yk-f(xk4 a0i au .... am)]2->min. (4.20)
а—i
Если измерения произведены неравноточно (с различными
дисперсиями), то вводятся веса, обратно пропорциональные
предполагаемым отношениям дисперсий:
5-2[Г*-/(*а, «о. *!, .... am)YWk^m\n, (4.21)
ft=»i
где Wt:W2: ... : Wk: ... :Wn =
J_. J_. . J__. l
„2 ' „2 Л Л •
99

Бели при каждом значении аргумента хи производится
несколько ть. измерений значений функции, а в качестве Уь берется
среднеарифметическое результатов, то весами измерений могут
служить числа п%к измерений в сериях Wk=nik.
Метод наименьших квадратов может быть распространен на
случай функции М переменных:
л
S = 1i\Yk-{xib x2k, ..., xMk, a0, au .... an)f Wk->m\n.
В общем виде реализация формул вида (4.20) или (4.21)
приводите решению системы уравнений:
В случае, если в принятую формулу f параметры а* входят
линейно, система уравнений (4.22) будет также линейной.
Рассмотрим несколько конкретных видов функций.
А. Линейная функция Y—ax+b.
Система уравнений (4.22) примет вид
( п п
л2*л + *л = 2>%;
1 * (4.23)
a^x\ + b^xk = ^xkYk.
[ 1 1 1
Однако, так как при этом методе прямая всегда проходит
через средние значения координат X, У, целесообразно строить ее
как однопараметрическую такого вида:
y-Y = a{x-X\
п
Y= n k k (для общего случая).
Параметр
XV-XY
а — -=—=—,
где
2^*
XY— ^LxkykWk
2** '
100

В случае №ь=1 (&=1, ..., N) формулы, естественно,
упростятся. В любом случае программирование их и расчет на ЭВМ
не составят труда.
Б. Квадратическая функция у=ах2+Ьх+с. Приводит к
системе уравнений такого вида:
aS< -S- bS3 -|- cS2 = 2 ykx\ Wk;
| aS3 + bS2 + c5,-= 2 y***W\;
Л
aS2 + W,-i-<?S0 = 2уЛ,
где
5,^2*5^* (/7 = 0,1,2,3,4).
Параболы часто применяются в прогнозной экстраполяции,
и расчет их по приведенным формулам существенно упрощается.
В общем случае для полинома степени т система уравнений
для определения коэффициентов будет иметь такой вид:
oo* + 0i2*a+'022*a -г ... -i-a«2** ==:2уа;
д02**а я, 2*а -г 022*! + • • • -- а»>2*Г+1 = 2у***;
ao2*? + ai2tf+4^2*?+2 + ... + *«2*?+,,-2)'**?-
В этой системе все знаки суммирования имеют смысл сумм
от k=l до л, где /г — общее число точек исходного ряда. На
практике функции выше 2-й степени применяются редко, выше 3-й —
практически не используются.
При определении параметров других, помимо
полиноминального вида, функций их, как правило, приводят к линейному виду
с помощью одной из процедур выравнивания (см. 4.2.1), после
чего используется метод наименьших квадратов.
В каждом из рассмотренных выше случаев соблюдалось
условие линейного вхождения искомых параметров в выражение
экстраполирующей функции. Получающиеся системы уравнений
здесь имели одно решение, которое и являлось искомым.
В случае нелинейного вхождения искомых параметров в
выражение функции аналитическое решение, как правило, невозможно.
Для решения таких задач используются различные методы
случайного поиска минимума суммы квадратов отклонений
101

с привлечением приемов статистического моделирования. Следует
отметить, что эти случаи имеют скорее теоретический, нежели
практический смысл, так как в практике прогнозирования
предпочтение всегда отдается более простым функциям с линейным
вхождением искомых параметров перед сложными с нелинейным
вхождением ценой незначительных потерь в точности
аппроксимации.
4.2.3 Экстраполяция и интерполяция с использованием
полиномов
Математическую основу методов экстраполяции и
интерполяции составляет раздел приближения функций теории численных
методов анализа.
Задача о приближении ставится в общем случае следующим
образом [39]: дангаую функцию f(x) требуется приближенно
заменить обобщенным полиномом
Q (*) = <VPo (х) + *i?i (х)+ ... + cmvm (x), (4.24)
чтобы отклонение в некотором смысле функции f(x) от Q(x) на
заданном множестве Х={х} было наименьшим.
Если множество X состоит из конечного числа точек Хо, хи . -.,
хп, то приближение называется точечным, если есть отрезок
а^х^Ь, то приближение называется интервальным. Очевидно,
нас будет интересовать первый случай.
Наиболее важными для практики являются степенные
полиномы вида
Q(х) = а0 + atx-| а2х2 + ••- -I amxm- (4-25)
Применительно к ним можно сформулировать задачу
интерполирования в следующем виде: для данной функции f(x) найти
полином Q(x) возможно низшей степени гп, принимающий в
заданных точках Xi (i=l, 2, ..., п; x^Xj) те же значения, что
и функция f(x)9 т. е. такой, что Q(*i)=f(*i) (*=1, 2, ..., п).
Заданная система точек хи *2, ..., хп называется узлами
интерполирования, а полином Q (х) — интерполяционным
полиномом. Заметим, что для экстраполяции могут использоваться те же
интерполяционные полиномы, в которые подставляются
значения дс, лежащие за пределами отрезка ab или заданного
множества точек Х{х).
Теория численных методов анализа рекомендует очень
осторожно пользоваться экстраполяцией. Так, например, при задании
исходных точек в виде последовательности равноотстоящих
значений с шагом Л рекомендуется использовать ортогональные
полиномы для экстраполяции лишь на величину Да:=А/2, и то если
рассматриваемая функция является по концам достаточно
гладкой.
В этом плане прогнозисту приходится делать гораздо более
смелые заключения, например при задании исходного ряда значе-
102

ний переменной через год экстраполировать ее на 5, а то и на
10 лет вперед. В связи с этим необходимо привлекать к решению
некоторую дополнительную информацию, не содержащуюся в
динамическом ряду.
Вернемся, однако, к формальной интерполяции. Если л^/п,
то можно положить т = п и определить коэффициенты
разложения cii из системы уравнений:
а0 + ахХц 4 ... + апХо = у0 |
а0 -!- axxt 4 ... 4 a«x? -= yi |. (4.26)
a0 + diXn+ ... 4^я^л=уя)
Определитель этой системы является .определителем Вандер-
моида: А = П(хд—хр)Ф0, и, следовательно, система (4.26) имеет
единственное решение. Этим решением будет так называемый
интерполяционный полином Лагранжа, который может быть
записан для функции f(x) в явном виде:
г /гч_ V (*-*о) •• (x-xi-l)(x-xl\\) ••• (х~хп)
L*w 2а (х*-хо) -" (xt~xi-i)ixi-xiu) •■- (*1-*л) *у'*
Для случая равноотстоящих узлов Хг полином Ln(x) может
быть записан в виде интерполяционного полинома Ньютона.
Если п<т, то интерполяция невозможна, так как число узлов
превосходит степень полинома и система (4.26) становится
некорректной. В этом случае переходят к приближенной интерполяции,
как правило, к точечному квадратичному аппроксимированию.
Оно сводится к отысканию коэффициентов, минимизирующих
квадратичное отклонение полинома от заданных точек:
S=£[Qm(^)-Л-**)]2. (4.27)
Метод аппроксимации использует здесь метод наименьших
квадратов, рассмотренный в общем виде несколько ранее.
Если степень аппроксимирующего полинома больше трех, то
вычисление по методу наименьших квадратов становится очень
громоздким, кроме того, решение систем уравнений при
больших т приводит к значительным потерям точности. В связи
с этим есть метод, основанный на использовании ортогональных
п
функций, т. е. таких, что 2q>(*t)i|>(*0—0 на всем множестве точек
Х = {#0, Х\у . . ., Хп}.
Аппроксимирующие полиномы строят на системе таких
функций, в которой на данном множестве Х—{хи х% ..., хп} все
функции системы попарно ортогональны.
Пусть Ро(х), р\(х), ..., рт(х)—заданная система
ортогональных функций на множестве {х0, хи ..., хп} полиномов, т. е.
юз

ft
2pj(xi)Pk(Xi)=0 при \фк, причем индексы полиномов соответ-
I =0
П 2
ствуют их степеням. Кроме того, пусть Sj=2/7y (*i)>0.
Так как полиномы Pj{x) (/=0, 1, ..., т) линейно независимы,
то произвольный полином Qm(x) степени т можно представить
в виде их линейной комбинации:
Qm (*) = Mo (x) + Ьхрх (х)+ ... - Ь Ьтрт (х). (4.28)
В связи с ортогональностью полиномов Pj(x) представляется
возможным дать в явном виде формулу для вычисления
коэффициентов разложения by.
2iQmtXi)Pj(Xi)
bj-'^-n (У —0, 1, ..., т). (4.29)
2Уу<*1>
i=0
Для использования ортогональных полиномов в решении задач
аппроксимации используют метод наименьших квадратов.
Рассмотрим возможный вариант реализации аппроксимации функции
при помощи ортогональных полиномов Чебышева.
Возьмем общий случай, когда "функция задана своими
значениями уь. на множестве точек хк. На этом множестве задана
система ортогональных многочленов Чебышева ро(х)> pi{x)y p2(x), ...,
рп{х), так что 2р{(хь)р;0ь) =0 для всех 1Ф\.
Будем искать представление нашей функции в виде
У=Ь0р0(х) +Ьхрх(х) + ... +Ьпрп(х), где коэффициенты
разложения определяются согласно (4.29):
2 y*Pj (**)
Ь,= -Ц? U-h 2, ..., я). (4.30)
■ k=i
Полиномы Чебышева имеют следующий вид при старшем
члене, равном 1:
/>о(*) = 1;
р% (л:) = х — х;
X _ Л-
р2(х) = (х-ху---*^ — (х-х)- *-' д, =
= Х2 iLzjLjc4 **-<*? и т. д. (4.31)
104

При организации вычислительного процесса Для расчета
полинома Чебышева используют рекуррентную процедуру, которая
описывается следующими формулами:
/?Я-1 (х) =-- (х + ря.,)Л (х) - -!r-Pi-x (*)- (У=1,2....), (4.32)
где Яу = 2р\(**)w>k\ Py+i = -xx
X 2 **/>?(**) *ъ (У-0, 1, 2, ...). (4.33)
На рис. 4.4 представлена блок-схема алгоритма
вычислительного процесса расчета коэффициентов полиномов Чебышева по
описанной выше процедуре. В ней использованы следующие
обозначения: X — вектор значений аргумента, представляющий
множество {Xi}; У—вектор значений функции, представляющий
множество {*/*}; п — общее число заданных точек; т — максимальная
степень полинома; В— вектор значений коэффициентов
разложения {bj}; p0[k] соответствует pj-i(xk); p\[k] соответствует pj(xh)\
Ра, Рь, Pc — рабочие величины, соответствующие pj-i(x), pj(x),
Рз+\(х) в процессе вычислений; Аа, Ль соответствуют Hj-i и Ну,
BETA — соответствует Pj+i.
В блок-схеме отдельно выделена подпрограмма вычисления
величин #,-_!, //j, pj+1, bj по формулам (4.30), (4.33), которая
обозначена ПП—В.
После расчета коэффициентов мы получаем аналитическое
представление нашей точечной совокупности. Однако, как
показывает рассмотрение алгоритма, представить запись функции
в виде степенной последовательности с коэффициентами не так-то
просто в связи с рекуррентностью вычислений- самих полиномов.
Очевидно, для использования полученной аппроксимации на
практике необходимо использовать ЭВМ как средство хранения
информации и вычисления значений функции у для любых
значений аргумента х. В памяти достаточно иметь значения
.коэффициентов B—{bj}\ BETA = {fa}; H={Hj}; x. Тогда по формуле
(4.32) мы можем вычислить последовательно любой полином
начиная с р2(х), причем /?<>(*) = 1, р\(х)=х—х. Затем, умножив
полученные значения на коэффициенты bj, можно получать
значения функции y=f(x) с принятой степенью приближения. Весьма
распространенным на практике является случай, когда значения
аргумента х берутся с шагом, равным h=Xk+\—Xk (&=1, 2, ...,
N—1). Расчет полиномов Чебышева в этом случае значительно
уйрощается.
Заменим переменные U=(x—x)/h, где x=(Xi+xN)/2. Искомый
многочлен запишется в таком виде:
У = СоРо (U) + Ctpt (U)+ ... + СпРп (U); (4.34)
105

106
с; = -ж2^^) U = 0, 1, ..., «; «<Л0, (4.35)
где Hj^p){Uk); Uk = (xk-x)jh;
Po(U) = h P\(U) = Uy а рекуррентная формула имеет вид
pM(U)~Upj(U)-^pj^(U) (/=1,2,...).
Величины #j и отношения #j/#j-i в этих формулах
вычисляются через общее число точек N:
„а_Л^-1НЛ'.-4) ит д>
причем имеются таблицы #j для различных N, что существенно
облегчает процедуру счета.
Существует значительное число различных многочленов,
позволяющих осуществлять интерполяцию и экстраполяцию путем
различных формул приближения. Это формулы Лагранжа,
Ньютона, Стерлинга, Лежандра, Ляггера и др.
Весьма распространенными являются методы гармонического
анализа периодических процессов с использованием
тригонометрических полиномов вида
т
у = -?~- + 2 (ai cosjwx + Ь, sin jwx);
«--?=-, (4.36)
где Т — период изменения функции.
В случае одинаковой точности измерений в равностоящих зна-
т
чениях аргумента Xk= -дг к (£ = 0, 1,..., N—1)
ЛГ-1
а>] = -тг ^y^osjwxk9 где у = 0, 1, ..., ш\
*=0
Л'-l
bj = — 2y*sin^^*» гАе 7 = 0» Ь ..., т.
Вычислительную процедуру удобно проводить для нечетного
числа точек ЛГ=21+1 с использованием рекурсивной процедуры.

Вычисляется рекуррентно последовательность
U2L, j = )f2L\ Uu-h j = У2/.-1 + 2 COS V>Xjy2L (4.37)
и далее
Uk,j = У К + 2 COS <DXy f/ft+i, у —
-Uk+2,j (k = 2L -2,21-3, ..., 2,1).
Тогда
a, = — (y0 -I- i/i.y cos aucy — £/2, y);
2 (4-38)
£y = — i/i,y — sin m*y.
Таким образом, мы избежали многократных вычислений sin
и cos кратных значений аргумента, что значительно сокращает
счет. Программа процедуры достаточно проста.
. Весьма существенным в задачах подобного вида является
вопрос выбора величины степени многочлена в разложении.
Оптимальная степень многочлена определяется следующими
соображениями. Многочлен низкой степени дает грубое, приближенное
описание процесса. При высокой степени многочлена пропадает
эффект сглаживания, фильтрации случайных отклонений
(«шумов»), что затеняет сущность исследуемого явления. С другой
стороны, с повышением степени аппроксимирующего многочлена
резко возрастают затраты машинного времени для просчетов,
а также памяти для хранения информации.
Пусть многочлен степени п0 абсолютно точно представляет
заданную точками функциональную зависимость y=f(x). Пусть
измеренные значения ук содержат случайные ошибки г)ь,
распределенные по нормальному закону, пусть они независимы и имеют
равные дисперсии а2. Пусть разложение ведется по
ортогональным полиномам Чебышева.
Случайные ошибки щ вызывают ошибки в- коэффициентах
разложения bj (обозначим их fo) и порождают отклонения
измеренных значений функции от вычисленных. Если обозначить
полученные на основании эксперимента коэффициенты Ь&, то
отклонение в точке определяется так:
#* = у*-2*уэМ**)- <4-39)
у-о
В записи через ошибки измерений:
у-о
Отклонения будут следовать нормальному закону с
дисперсией:
4«-Л-Т^--J.^5<**) V (4.41)
107

Минимальная сумма квадратов отклонений
Sno = 2 WkR\ - 2 Wk [у, - Д ^ (*Л) J' (4.42)
и имеет среднее значение
. Ж5Яо = а2(ЛГ-/г0-1). (4.43)
Здесь Wk — весовые множители при различных измерениях
Uk(xh).
Отношение
1Т^Т (4-44)
служит несмещенной состоятельной оценкой для дисперсии а2.
При достаточно большом N=n0— 1 можно считать o2**Sno/(N—
—По—1). Такой же несмещенной состоятельной оценкой дисперсии
может служить это отношение при любом л^л0.
Порядок выбора оптимальной степени многочлена можно
представить в следующем виде:
1. Вычисляем коэффициенты разложения &о, Ьи Ь2 согласно
алгоритму рис. 4.4.
2. Для каждого очередного значения bj подсчитываем сумму
квадратов отклонений Sn (4.42), которую удобнее считать по
формуле
Sn = 2 Wkyl - {blHo + b\Hx + ... + Ь\Нп\
Добавление каждого нового члена в разложении у по
ортогональным многочленам^ уменьшает Sn на величину б^-м Нп+Х.
3. Каждое' вычисленное очередное Sn делится на число
N—tio—1, и полученное отношение вида (4.44) сравнивается с
предыдущим его (п—1)-м значением.
4. Процесс заканчивается тогда, когда отношение (4.44)
перестает заметно убывать. Это последнее значение п и принимается
в качестве оптимальной степени многочлена п0. Порог скорости
убывания можно установить различным путем. Например,
условием |Sn-i—5Л|^е или относительной величиной Sn-i/Sn^l—б,
где е и 6 — наперед заданные малые положительные величины.
Алгоритм достаточно прост и может быть непосредственно
включен в блок-схему алгоритма расчета коэффициентов
разложения по полиномам Чебышева (рис. 4.4).
Аналогичные оценки и,правила можно представить для
выбора оптимального порядка тригонометрического полинома.
Итак, мы рассмотрели основные вопросы, связанные с
отысканием приближенного описания функции на отрезке при помощи
полиномов. Этот способ является наиболее типичным для
решения задач интерполяции и экстраполяции формальным
математическим путем. При этом не обсуждаются вопросы выбора наибо-
108

лее подходящего вида ортогональных полиномов для той или
иной числовой последовательности. Очевидно, достаточно
универсальных приемов решения этой проблемы в настоящее время не
Рис. 4.4. Блок-схема алгоритма расчета коэффициентов разложения по
полиномам Чебышева
разработано, хотя первые шаги в .направлении формализации
процедуры выбора вида функций, обеспечивающих оптимальную
аппроксимацию, уже сделаны. Мы рассмотрим эти разработки
в следующем разделе.
109

4.2.4. Автоматический подбор айда экстраполирующей функции
Достоверность и точность экстраполяционных прогнозов
определяется в первую очередь правильным выбором вида функции.
В то же время способы подбора вида функции являются
неформализованными, неоднозначными, существенным образом
зависящими от интуиции и субъективных качеств прогнозиста. Как
указывает Р. Эйрес [63], установка прогнозиста на «чрезмерную
восторженность» в отношении темпов развития процесса или
«шоры» пессимизма могут привести к различному априорному
заданию вида экстраполирующей кривой и к совершенно
различным результатам прогнозов. Аналогичные примеры приводятся
и в книге Г. Хауштейна [55]. В связи с этим он предлагает более
глубоко изучать динамику процесса на ретроспективном периоде
с помощью построения дифференциальных функций роста и
выравнивания (см. 4.2.2).
Это стремление формализовать процесс выбора вида функций
для экстраполяции обусловлено естественным желанием
прогнозистов оптимизировать этот процесс, сделать его более
объективным и надежным.
В данном разделе мы рассмотрим один из подходов к решению
вопроса автоматического выбора вида функции для
аппроксимации процесса на ретроспективном участке с целью дальнейшей
его экстраполяции, предложенный профессором Н. К.
Куликовым [20, 21]. В основе этого подхода лежит понятие функции
с гибкой структурой (ФГС).
~ ~ В отличие от обычных функций, вид которых определяется
жестким аналитическим описанием формы, предлагается
использовать функции, сам вид которых может изменяться в
зависимости от значений параметров, входящих в описание функции.
При использовании таких функций с гибкой структурой в
прогнозировании в процессе минимизации ошибки между значениями
ФГС и точками эмпирического ряда должны не только
подбираться оптимальные значения коэффициентов аппроксимирующей
функции, но и формироваться ее оптимальный (в соответствии
с принятым критерием) вид. Это составляет основную идею
метода, а его формальное описание сводится к следующему.
Используемый процесс можно представить в виде
Z(x)=F(x)+R(x), (4.45)
где Z(x) —исходный процесс (функция одного переменного);
F(x) —приближенная модель процесса (описание с помощью
ФГС); R(x)—остаток (некоторая функция точности
приближения) .
В наиболее общем виде ФГС для одного аргумента
записывается в виде
Р(х) = А0+Ъа,^±, (4.46)
110

где л —фиксированное натуральное число; *о— начальное
значение аргумента на рассматриваемом интервале; А0, Аи ..., Ап—
постоянные действительные параметры; D — специальный
определитель /г-го порядка:
II 1 1 ... 1 I
г1 Г2 Г3 • • • Гп \
D = \ г\ г\ г\ ... г\ V (4.47)
в котором гь г2, ..., гп являются действительными или
комплексными попарно сопряженными числами; 8j(x—х0)—функции,
получаемые из определителя D путем замены элементов /-й
строки на экспоненты вида
— (*',<*-*•> - 1), где v = 1, 2, ..., п. (4.48)
Итак, ФГС зависит от аргумента х и значений 2п+2
параметров (х0; п; Л0, ..., Ап\ ги ..., гп), причем таким образом, что их
изменение может менять саму структуру F(x).
Основное влияние на структуру F(x) оказывают значения
rj (/=1, 2, ..., л). В случае, если все параметры ги г2, ..., гп
действительны, различны и не равны нулю, функция F(x)
определена, действительна и непрерывна на любом отрезке аргумента.
Фактически в данном случае она будет представлять собой
линейную комбинацию экспонент, неограниченно возрастающих при
г>0 и неограниченно убывающих при г<0.
Если п — четное число {п=2р) и параметры ru г2, ..., гп
комплексные, попарно сопряженные числа вида r^a^+foi и Гр.+1 =
= а,х—p^t, где i=Vr—1, Рц¥=0, ja=1, 2, ..., р и ац действительны
и различны, то функция Fx по формуле (4.45) определена,
действительна и непрерывна на любом отрезке аргумента и может
быть представлена в виде
F (х) = Ф (х) = В0 + Ц *V(*-*o) [в„, cos.^ (x - х0) +
+ C9bslnh(x-x0)l (4.49)
где Во, Bjx, С[Х— постоянные действительные параметры,
зависящие от Л0, Аи ..., Ап; аи <х2, ..., ар; рь р2, ..., Pp. Как видно,
в этом случае F(x) содержит члены гармонического характера,
модулированные по амплитуде экспоненциальными функциями.
В случае устремления всех членов гь г2, ..., гп к нулю, при
переходе к пределу функция Fx может быть приведена к виду
F{x)=Tn(x)=A0 + A1(x-xa)+ ... +Ап (х-*а)" . (4.50)
ill

Таким образом, в данном случае мы получаем степенной
многочлен.
Из рассмотрения различных вариантов задания параметров
П, г2>.. -., ?п становится очевидным, что, изменяя их, можно менять
в достаточно широких пределах структуру F(x), представляя ее
в виде степенного, либо тригонометрического многочлена, либо
совокупности экспонент, либо, наконец, какой-либо комбинации
перечисленных структур. Это весьма заманчивое свойство ФГС
с точки зрения использования их для экстраполяции тенденций.
Остается решить вопрос о способе отыскания оптимальных
значений гь г2, ..., гп. Рассмотрим случай, когда функция Z(x)
дифференцируема п+\ раз на отрезке, содержащем начальную
точку х=х0. Тогда формула (4.46) может быть приведена к виду
п
F(x) = Z(x0)+^ZU)(x0) Ь>'{х~Хо\ (4.51)
где Z(j)(*o)—производная /-го порядка исходной функции в
начальной точке; D — определитель, описываемый (4.47), где г\9 Ъ,
♦.., гп рассматриваются как корни некоторого базисного
уравнения:
гп + а„_1Г л~1 + ап-2гп-2 + ... + ахг + а0 = 0;
(4.52)
Яояя(-1)Л'У2 ••• гя;
а, = (-1)"-1 (rtr2 ... гл_! + r2rz ... гп)\
ап-г = (-1)-<-1> (Г1 + г2 + ... + гл).
Функции 8](х—х0) определяются аналогично (4.48).
Аналитическое выражение для остатка в формуле (4.45)
запишется в виде
X t
Я <*) » I U CO to(^T)rftrf<, (4.53)
Xq Xq
где An(t—x) получится из (4.47) при замене последней строки
определителя D на строку экспонент вида ег^*~х\ (v = 1, 2, ..., п):
Ч(т) = Z<«+« (т) + аЛ-1 Z(»)(x) + ... + a,Z"(x) + a0Z'(x). (4.54)
Идея оптимальной аппроксимации при использовании ФГС
сводится к минимизации остатка R(x) и установлению таких
значений параметров а0, аь • • ■» Дп-ь чтобы значение остатка в
каждой точке отрезка не превышало некоторой заданной величины
(погрешности аппроксимации). Это и определяет вид F(x),
являющийся решением задачи.
112

8 935
113
В качестве примера рассмотрим случай равномерной
аппроксимации:
I Z(x) -4,-2 Л,'^-*» I < То, (4.55)
I У=1 I
где Yo=const>0.
Если параметры Aj взять согласно (4.51), то получим
выражение погрешности аппроксимации в виде
*(х) « Z(x) - [zK)+£Z(i)(x0)> 4*-«b ja (4 56) _
Неизвестными в (4.56) являются параметры ги г2у ..., гп,
которые можно определить в процессе минимизации е(*). При
равномерной аппроксимации значения погрешности г(х) в
экстремальных точках Ми М2, ..., Мп> в начальной точке М0 и в конечной
Мп+1 одинаковы по модулю и знакопеременны:
| е(^) 1 = ЛО у = 0, 1, 2, ..., /1+1; |»(*)КЛГ;
е(*Р) = - £(*р-и )^ = U, ...,д; (4.57)
e^1) = s/(x2) = ...£,(^)=0;
Хц^Х<^>Хп±1.
В зависимости от выбранной системы базисных функций,
различных значений параметров ао, аь ..., an-i в базисном
уравнении (4.52) в процессе минимизации (4.56) могут получаться
различные структуры F(x), например степенной многочлен
Тейлора, полином Чебышева, тригонометрический ряд.
Другой метод равномерной аппроксимации можно назвать -
. интегральным. Он базируется на использовании формулы
остатка (4.Do) I
х г
г(х) = Z(x) - F(x) = R(x) = ^j ч(т) Ы'-*Ы*Н. (4.58)
Хп Xq
Тогда условия (4.57) могут быть развернуты на этой основе.
В частности, условия экстремумов г(х) в точках Ми М2, ..., Мп
запишутся так: e'(*i)=e'(;t2)= ... = 8'(л:п)=0 или с учетом (4.58)
\ф)ЬЁ£2ах = ...= \ф) M*£"" *>* = (>. (4.59)
Вторая часть условий (4.57) примет вид
*р * *p+it
j l^)Lje^d^t^- J J^^pW*. (4.60)

Если для некоторой функции Z(x) можно подобрать такое
значение п и такие параметры а0, ..., Яп-i, чтобы выполнялось
условие
7l(x) = Z<*^> (x) + aa-iZM(x) + ...+ atZW(x) + aQZ^x = 0, (4.61)
то F(x) обеспечит нам равномерную аппроксимацию с нулевой
погрешностью.
К сожалению, нелинейность вхождения коэффициентов ао, ...,
ап_1 в систему (4.59) — (4.60) существенно затрудняет ее
практическое использование.
В случае малой величины отрезка [х0у хк] либо если п
достаточно'велико, можно положить
Л«->« 1 + г,(* - *) +-TJ—+ • •' + \n-iV ' (4-62)
v=l, 2, ..., п, х0<ч:</<*<**.
Тогда справедливо Д^~т)= ^J^ (4.63)
и система уравнений (4.59) — (4.60) окажется линейной
относительно а0, аь - • •» Лп-i:
(iWta - |с)я~,Л = ... = J ф)(хп — %)*-Ы*= 0;
Xq ' Xq
*р ' хР+\ <
\ {■n(*)(t — *)*-1dxdt = — \ § n(*){t — *)*-ldxdt.
Xq Xq Xq Xq
На практике заранее не известно, выполняется ли (4.62),
поэтому в случае, если удается формально решить систему (4.59) —
(4.60) (относительно п параметров ао, аь ..., ап-\ и п координат
*ь *2, • •., *п), то вычисляют корни гь г2, ..., rn и проверяют
справедливость (4.62).
В общем случае отыскание параметров ФГС приводит к
системе трансцендентных уравнений, не имеющих, как правило,
аналитических решений. Тем не менее ряд частных случаев функций.
Z(x) может успешно аппроксимироваться на базе ФГС.
Заключая этот раздел, можно представить следующие
соображения о прогнозировании с использованием ФГС.
Прежде всего не следует забывать, что этот способ является
лишь одним из методов формальной экстраполяции, т. е.
оптимальной подгонки ряда, не содержащим элементов прогнозной
экстраполяции в том понимании, как это представлено в 4.2.2.
Тем не менее критерий оптимальности подгонки и способ его
достижения открывают значительно большие возможности для
114

полнейшего использования ретроспективной информации в
процессе выявления тенденций процесса, нежели использование
какого-либо заранее выбранного вида функции.
Идея метода автоматического получения вида и параметров
аппроксимирующей функции является чрезвычайно интересной
и заманчивой, однако на пути практической реализации метода
еще много трудностей. Так, основная, имеющая практическое
значение формула (4.51) требует установления дифференцируемое™
Z(x) n раз и вычисления соответствующих производных, что при
табличном задании функции, при наличии случайных колебаний
и ошибок измерения представляется весьма проблематичным.
Другая трудность — это решение систем трансцендентных
уравнений, которые возникают в процессе поиска параметров ФГС. Ее
также нельзя в настоящее время считать удовлетворительно
решенной. Несмотря на это, использование ФГС в
прогнозировании тенденций развития представляется весьма перспективным.
Это подтверждается положительными практическими
результатами, полученными в процессе прогнозных исследований,
проведенных под руководством автора этого метода профессора Н. К.
Куликова, например, в области прогнозов в пищевой
промышленности. Несмотря на использование в этих исследованиях
простейших случаев ФГС, качество получаемых прогнозов выше
по сравнению с обычной экстраполяцией. Очевидно, по мере
преодоления основных трудностей практической реализации функции
с гибкой структурой будут занимать важное место в арсенале
экстраполяционных методов прогностики.
4.2.5. Метод экспоненциального сглаживания и скользящей
средней
Основная идея прогнозирования при помощи экстраполяции
динамических рядов базируется на предположении сохранения
закона изменения прогнозируемой переменной, выявленного на
ретроспективном участке, на определенном интервале времени
в будущем. На практике обычно выясняется, что вид и
параметры закона изменения переменной существенно зависят от
интервала времени ретроспекции, на котором они определялись. Это
в большинстве случаев объясняется чередованием участков
эволюционного и революционного (скачкообразного) изменения
процесса. В частности, на учете этого факта построен метод
прогнозирования по огибающей кривой (см. 4.2.6). С другой стороны,
изменение закона развития процесса может протекать и
относительно плавно, так что возникает необходимость непрерывно
корректировать экстраполяциоиную формулу по мере
поступления новых данных о фактических значениях переменной.
Все это привело к необходимости по-разному учитывать и
оценивать новейшие данные и устаревшую к настоящему моменту
информацию. Реализацией этого принципа в прогнозировании
является использование различных способов дисконтирования
115

информации по мере удаления времени ее получения в прошлое.
Термин «дисконтирование» определяется в прогностике как
уменьшение информативности ретроспективных значений
переменной объекта прогнозирования по мере удаления моментов их
измерений в прошлое. Наиболее известными способами введения
дисконтирования являются методы движущейся средней и
экспоненциального сглаживания, которые мы рассмотрим в этом
разделе. Коэффициенты дисконтирования могут использоваться
также и в методе наименьших квадратов, который в этом случае
может рассматриваться как один из вариантов экспоненциального
сглаживания. Метод движущейся средней предлагает в качестве
дисконтирующей функции использовать единичную ступенчатую
функцию вида
(1 для t0 — /р < t < t0,
ш('о) - \ 0 для t < tQ - *р,
где t0—последний момент времени ретроспективного участка;
tv — момент времени начала ретроспекции, после которого
ретроспективные данные принимаются во внимание.
При определении
параметров процесса
ретроспективные значения функции
умножаются на (o(t0) и,
следовательно, вид
экстраполирующей функции
определяется каждый раз по
некоторому числу
«последних» точек ряда,
попадающих в интервал U—*р.
Наиболее наглядно
можно проиллюстрировать
метод движущейся средней в простейшем случае экстраполяции
некоторого скачкообразного уровня а с наложенной на него
случайной стационарной некоррелированной помехой т) (рис. 4.5):
У=а+х\.
В качестве оценки детерминированной части процесса
логично использовать его MafeMaTH4ecKoe ожидание, рассчитанное по
нескольким конечным точкам:
N
Рис. 4.5. Пример процесса со ступенчатым
изменением детерминированной части и
случайной помехой
i-7
Очевидно, роль дисконтирующей функции здесь выполняет
выбор числа точек N, по которому определяется математическое
ожидание. Чем больше N, тем меньше быстродействие нашей
системы отслеживания уровня а, однако тем меньше дисперсия
ошибки:
«.)--#-.
П6

Если представить процесс оценки а как динамический
пошаговый процесс с шагом 1, то M(to)—M(to— l)+[y(to) —У (to—N)]/N.
Считая, что оценкой среднего уровня всех предыдущих N то-,
чек является M(t0— 1) и подставив его вместо y(U—N), получим
щ*о) = -4-у('о)+(i - -4-) м(*о -v-
Эта рекуррентная формула является частным случаем
формулы экспоненциального сглаживания, которая в общем виде
запишется так:
S(t0) = ау(*0) + (1 - a)S(t0 - 1), (4.64)
где а — постоянная сглаживания.
Применяя операцию сглаживания повторно к уже
сглаженным значениям функции у, мы получим функции сглаживания
2-го, 3-го порядков и т. д.:
S<2> <*0) - aS (*0) + (1 - a) S<*> (t0 - 1);
S<3f (*в) = а5<« (t0) + (1 - a) S& (t0 - 1);
(4.65)
SW (t0) = erfO-D (<0) + (1 - a) SO <<o - 1).
С другой стороны, подставив в формулу (4.64) выражения
оценок сглаживающей функции в предыдущих точках ряда,
получим
S(<o) —«У(<о) + (1 — a)[ay(<0—1) + (1—a)]ay(*0 —2) +
- ...-aS(l-«)*y(<o-*) + (l -*)'°У(0). (4.66)
Так как О^а^-1 для всех случаев экспоненциального
сглаживания, мы видим, что текущая оценка сглаживающей функции
в момент t0 равна линейной комбинации значений функции у во
всех точках заданного ряда от 0 до t с экспоненциально
убывающими весами к начальным точкам ряда. Таким образом, функция
веса наблюдений при экспоненциальном сглаживании имеет вид,
представленный на рис. 4.6.
Для использования экспоненциального сглаживания в целях
прогнозирования задаются описанием тренда в наиболее общей
форме степенного полинома:
tfat) = a0 + att+-lraut2 + ••• +~71Гап*я-
Согласно теореме Брауна [62] коэффициенты а\ этого
полинома могут быть выражены через функции сглаживания различного
порядка исходного числового ряда. Тогда задача сводится к
вычислению значений функции сглаживания S<*> (*'=1, 2, ..., п+\)
117

и через их линейные комбинации — к определению коэффициентов
полинома.
Не рассматривая здесь подробно теорему Брауна, приведем
вытекающие из нее следствия по вычислению коэффициентов
разложения. Функция сглаживания р-го порядка в момент времени t
согласно этой теореме может быть представлена выражением
*<» (0 = 2 <-!>•-*£Ю- . Xf^r X pV O-l*» . (4.67)
где yW(t)=dkyfdtk — производная процесса, вычисленная в
момент времени /; а — постоянная сглаживания.
В матричной форме эта система уравнений запишется так:
S(t) = Aa, (4.68)
где 5(0 = (SO)(0, S(2)(0, ....
S<p>(/)) — вектор сглаженных
значений процесса,
содержащий порядки от 1 до р; а=
= (ао(0. МО, -.м МО) —
вектор неизвестных
коэффициентов, равных производным
процесса соответствующих
Рис. 4.6. Характер изменения весов порядков; А — матрица раз-
наблюдений при движущейся средней / мером рХ (п+1), формула вы-
и экспоненциальном сглаживании 2 г г \ /» т г ./
/ числения элемента которой
с номером i, p имеет вид
А.р-1 1)р tf —1)1(Р—1)1 ft* J j\
На практике редко используют полиномы с высокими
степенями разложения, ограничиваясь обычно степенью не выше п=2.
Для них выражения для коэффициентов приводятся в [61].
1. Для полинома нулевого порядка /(#, T)=a0(t):
<MO«S(1)(0-
2. Для полинома первого порядка f(d,T)=ao(t)+ax(t)T:
До(0 = 25")(0-5<2)(0;
MO = f-[S(1)(0-S<2>(0].
118

3. Для полином-а второго порядка f(at T) =ao(t) +a{(t)T+
+ 42a2(t)T2:
d0 (t) = 3S*1) (0 - 35(2) (0 + S<3> (0;
di (0 = -^r[(6- 5a)S(D (0 - 2 (5-4a) x
X S<2) (0 + (4 - 3a) S<3> (01; (4.69)
d2 - -£ (50) (0 - 2S(2) (0 + 5(3) (0).
Значения сглаживающих функций могут быть рассчитаны
посредством рекуррентной процедуры согласно формулам (4.65),
однако для начала расчета необходимо установить начальные
условия S0)(0), S»(0) и т. д.
В простейшем случае принимают SW(0) =S<2)(0)=S(3)(0) =#(0),
где у(0)—начальная точка исходного статистического ряда.
В другом случае задаются начальными значениями
коэффициентов a0(0), ai(0), a2(0) и по формулам [55] пересчитывают через
них начальные значения функций сглаживания.
Для полинома второй степени п=2 расчет сводится к
следующим шагам:
1. sen (0) ~S& (0) = S<3> (0) = у (0).
2. S<»> (1) = ay (1) + (1 - a) S<D (0);
5(2) (1) = aS<» (1) + (1 - a) S(2) (0);
S(3) (1) = aS<2) (1) -|- (1 - «) S<3> (0). /
3. По формулам (4.69) рассчитывают текущие значения
коэффициентов a0(l), ai(l), a2(l).
4. Повторяются вторая и третья процедуры для точки 2
исходного ряда, затем для точки 3 и т. д., до последней /i-й точки ряда,
соответствующей /0-му моменту поступления последних данных.
5. Формируется описание полинома по последним значениям
коэффициентов ao(t0), a\(t0)t a2(to):
у (*0 + l) = а0 (*р) + a, (t0) t + -£%*-1\
подставляется заданное время упреждения прогноза t и
получается результат прогнозирования y(to+t).
Блок-схема алгоритма расчета прогнозных значений с
использованием экспоненциального сглаживания для полинома второй
степени приведена на рис. 4.7. В этой блок-схеме приняты такие
119

обозначения: у—вектор эмпирических точек исходного ряда; а —
постоянная сглаживания; At— шаг замеров процесса по времени;
t0 — длительность ретроспекции; t — время упреждения; /г+1 —
число точек ретроспективного ряда; i — текущий номер точки
(i = 0, 1, ..., п)\ / — порядок функции сглаживания (/==0, 1, 2, 3);
S[*\ /] — функция сглаживания /-го порядка в i-й точке; а0, аь Д2 —
текущие значения
коэффициентов разложения полинома
2-й степени <в л-й точке.
В процессе счета по
программе образуется
двухмерный массив 5=(Sij), где i=0,
1, 2, ..., л, /=0, 1, 2, 3. В
нулевом столбце массива
помещаются значения у и в 1, 2,
3-м столбцах — функции
сглаживания 1, 2 и 3-го порядков.
Коэффициенты разложения
считаются здесь только для
конечной точки
ретроспективного периода и по этим
значениям рассчитывается прогноз
на время t.
Вместе с полученным
прогнозным значением y(to+t)
выводятся коэффициенты а0,
аи U2 и последняя строка
матрицы S. При поступлении
новых данных эту строку можно
попользовать в качестве
начальных условий и вести
дальнейшее сглаживание
начиная с нее, без- повторения
всех вычислений с начала.
В заключение этого
раздела заметим, что применение
движущейся средней и
экспоненциального сглаживания
обеспечивает
удовлетворительные ^ результаты при
относительно небольших
случайных колебаниях исходного
ряда. При значительных
случайных помехах
доверительные интервалы прогнозов
в этих процедурах
существенно расширяются.
Рис. 4.7. Блок-схема алгоритма
экспоненциального сглаживания
120

4.2.6. Экстраполяция тенденций по огибающим кривым
Всеобщий закон развития — переход количественных
изменений в качественные — обусловливает чередование в процессах,
определяющих научно-технический прогресс, эволюционных и
революционных этапов развития. Простейшие экстраполяционные
методы прогнозирования обеспечивают удовлетворительные
результаты лишь в пределах эволюционного этапа от одного каче-
. ственного скачка (прорыва) до другого.
Метод прогнозирования по огибающим кривым направлен на
преодоление этой ограниченности экстраполяции путем перехода
на более высокий уровень агрегирования рассмотрения тенденций.
Это обеспечивает возможность подходить к решению наиболее
трудных задач научно-технического прогнозирования, а именно:
к прогнозированию скачков, определению основных пределов
развития, разработке научно-технических прогнозов на длительные
промежутки времени.
Основная идея использования огибающих кривых — это
объединение частных тенденций, составляющих процесс, в единую
общую. Например, прогнозируя параметры ЭВМ 2000 г., мы не
должны экстраполировать динамические ряды быстродействия,
объемов памяти и других параметров современных машин 3-го
и 4-го поколений, так как не исключено, что до 2000 г. произойдет
научное открытие, которое в корне изменит элементную базу или
принципы организации вычислительных машин. Однако, построив
кривые роста параметров машин 1, 2, 3 и 4-го поколений и
проведя огибающую, мы как бы исключаем параметр «элементная
база» из анализа общей тенденции и можем получать прогнозы
на 2000 г. для машин с неизвестной элементной базой.
При разработке долгосрочных прогнозов научно-технического
или экономического характера степень агрегированности должна
повышаться вместе с возрастанием времени упреждения.
Можно привести ряд примеров, подтверждающих это правило.
Р. Эйрес [63] приводит наглядные иллюстрации экстраполяции по
огибающим кривым для скоростей транспортных средств (см.
рис. 1.1) и для энергии ускорителей элементарных частиц
(рис. 4.8). Из их рассмотрения становится очевидным, что
конкретный тип технического устройства, работающего на
определенном принципе, обусловливает рост прогнозируемой переменной на
некотором конечном временном интервале ю некотором конечном
интервале тю шкале значений.
Размеры временного интервала зависят от большого числа
факторов развития научно-технического прогресса, определяющих
интервал времени существования данного типа от момента, ранее
которого появление его не было подготовлено всей историей
развития, и до момента устаревания данного типа, исчерпания
его возможностей. Интервал по шкале значений определяется
некоторыми относительными пределами, обусловленными
сущностью, принципами рассматриваемого вида. Огибающая дает
121

возможность выявить общую тенденцию развития прогнозируемой
переменной, оценить возможные пределы ее развития, характер
приближения к этим пределам.
Так же как в проблемах экстраполяции числовых рядов,
в экстраполяции по огибающей кривой можно выделить чисто
формальную часть и ряд моментов, делающих эту экстраполяцию
прогнозной. Рассмотрим формальную математическую постановку
задачи и возможные пути
ее решения.
Пусть задано
множество Р
экспериментальных точек, которое может
быть разбито на
некоторое число подмножеств
Ри Р2, Рг>. •., Рт по
некоторому параметру С.
В качестве С мы будем
принимать некоторое
обобщенное понятие
параметра, который не
сводится только к числовой
величине, но может быть
и некоторой
неколичественной характеристикой
вида «тип устройства»,
«принцип действия»,
«физическая природа»,
«элементная база» и т.д.
В общем случае
параметр С может быть
сложным и представлять
собой вектор С=[си с2у
..., ск\. В качестве
примера можно обратиться к рис. 4.8, из которого видно, что в
качестве параметра выступает целый комплекс характеристик
ускорителей, таких, как .вид траектории частиц, способ фокусировки
луча и др.
Пусть указанные подмножества точек образуют на плоскости
хО у некоторое семейство кривых, которое мы будем называть
семейством по параметру С (рис. 4.9). В случае, если ^параметр С
имеет характер непрерывной величины, мы определяем
огибающую как кривую, в каждой своей точке имеющую общую
касательную к одной из семейства кривых. В случае дискретного
характера изменения С дать строгое определение огибающей не
представляется возможным, так же как невозможно и однозначно
ее провести. Мы будем понимать под огибающей наиболее
гладкую из всех возможных кривых, касающуюся всех (или
большинства) кривых семейства.
Рис. 4.8. Огибающая рабочих энергий
ускорителей элементарных частиц
122

Рассмотрим возможный способ ее определения. Пусть каждое
подмножество точек рь /?2, ..., Рт аппроксимировалось с помощью
изложенных выше приемов зависимостями вида
yi=/i(^ib #12* -.., л1яэ х);
У*— J2\&2\* ^22» • • •» #2/n #)»
(4.70)
Ут= fm(am\i Ят2> • • ч Лтй» *)>
где все параметры ац определены в процессе приближения и для
нас считаются известными (для простоты мы считаем их число п
одинаковым для всех функций,
что в принципе не играет
существенной роли).
Предположим, что уравнение
огибающей мы ищем в виде
А-параметрической кривой вида
Y=F(bu b2i ..., fa, x). Для
каждой точки ее касания с одной из
кривых семейства мы будем
иметь два уравнения:
г--л ■ (ttW-Й-),. <4-7»
где /=1, 2, ..., Ш — номер ТОЧКИ Рис* 4'9' Огибающая семейства
' ' ' г кривых
касания.
Подставляя выражения для
У и у в эти уравнения, получим систему 2т уравнений с
неизвестными хи х2, ..., хш и Ьи Ь2, ..., bk вида:
/i (яп, 012, ..., Ят, X\) =F(b{, &2, • •., bk, X\);
/ d/, (дп, а12 д1д, х) \ _ / dF(£b 62, ..., 6ft, *) \
>> &х )х^хг \ d* ' х=х*
Jm\am\-> атЪ • • •> #/яя> ■^m)rz=^(^i» ^2? • • •> #Л» «^т)»
I d/m(^ml< a„!2, ..., дт„, х) \ _ ( 6F(bt, b2t ..., ^, *) ^ /и 79V
V 5^ у* *m~~V d^ '*-*пг у }
В случае, если & = т, т. е. число параметров в уравнении
огибающей равно числу кривых семейства, мы получим систему 2т
уравнений с 2т неизвестными, т. е. принципиально решение
возможно; если k>m, то решения не существует; если k<m, то
возможно приближенное решение.
Следует, однако, отметить, что, так как переменная х входит
в уравнения семейства нелинейно, система (4.72) является во
вдех практических случаях нелинейной. В связи с этим ее
123

решение в аналитической форме в реальных ситуациях невозможно
и, более того, численные способы решения также могут не
привести к положительным результатам. С другой стороны, такое
формальное решение очень критично к ошибкам в задании точек
исходного ряда или случайным составляющим, присутствующим
в эмпирическом описании процесса.
В настоящее время нам неизвестна постановка задачи построе-.
ния огибающей к семейству кривых в приближенном варианте,
как это определено для экстраполяции динамических рядов,
например, методом наименьших квадратов. В связи с этим в
качестве основного метода построения огибающих кривых сейчас
можно назвать приближенный графоаналитический метод. Он
может быть реализован следующим образом.
Определенные тем или иным путем аппроксимирующие
кривые для подмножеств точек семейства pi, /?2, ..., Рт
изображаются на координатной плоскости хОу. После этого проводится
гладкая кривая, близкая к выше определенному понятию огибающей.
В данном случае это понятие может быть весьма приближенным,
так как проведенная кривая может касаться лишь части кривых
семейства, от некоторых проходить на небольшом расстоянии,
а некоторые пересекать.
По виду полученной приближенной огибающей определяют
характер зависимости и число параметров т в ее описании. Затем
описанным уже в 4.2 способом выбирают т точек на этой кривой
и измеряют их координаты х%, у\. На основании этих пар
координат составляют систему т уравнений с т неизвестными, решая
которую определяют значения параметров приближенной
огибающей кривой.
При определении вида кривой должны использоваться все
моменты логического анализа сущности процесса, которые
описаны в 4.2.2. Надо отметить, что для огибающей кривой такой
анализ в значительной степени затруднен тем, что ее характер, как
говорилось выше, определяется как эволюционным изменением,
так и революционными скачками в развитии процесса. Однако
и требования, предъявляемые к точности экстраполяции, в данном
случае значительно ниже в связи с более обобщенными оценками
и большим, как правило, временем упреждения по сравнению
с простой экстраполяцией динамических рядов.
Значительное место в экстраполяции по огибающим занимает
логистическая (S-образная) кривая. Она привлекательна тем,
что отражает для различных значений аргумента
последовательность этапов, которые типичны для большинства процессов
развития (см. рис. 4.3) на агрегированном уровне —это замедленное
начальное развитие, экстенсивный рост, быстрое нарастание
темпов развития по закону, близкому к экспоненциальному, точка
перегиба, определяющая кульминационный момент развития, зона
интенсивного роста с постепенным замедлением темпов и
переходом к насыщению, к уровню, определяющему предел развития
процесса.
124

Э. Янч {67] отмечает, что S-образные кривые,, как
индивидуальные, так и огибающие, использовались в качестве «типовых»
законов роста для прогнозов тысяч технических параметров
и функциональных характеристик фирмой «Хониуэлл» при
реализации известной системы ПАТТЕРН. В качестве преимуществ
метода огибающих кривых перед индивидуальной экстраполяцией
он указывает выявление относительно стабильных
закономерностей развития макропеременных научно-технического прогресса
и в экономике. Это относится на счет проявления «закона
больших чисел», являющегося частным проявлением центральной
предельной теоремы в статистике. Вследствие его совокупная
макропеременная, определяемая множеством компонент, имеет
тенденцию к меньшим относительным отклонениям от среднего, нежели
любая из ее составляющих микропеременных, при ' условии их
соизмеримости по воздействию на результирующий процесс и при
пределах изменений приблизительно одного порядка.
Если совокупная макропеременная является суммой
независимых случайных переменных У=2#г*, то стандартное отклонение
<ту=/2а?.
Если принять, что большинство N составляющих величин,
имеют приблизительно равные дисперсии (остальными можно
пренебречь), а у представляет среднее арифметическое этих .N
переменных, то YatNy и oy/Y=o/VNy. Таким образом, относительная
дисперсия результирующей макропеременной в /iV раз меньше
средней относительной дисперсии составляющих переменных.
Другим преимуществом использования огибающих в процессе
прогнозирования долгосрочных тенденций научно-технического
прогресса является возможность выявления с их помощью так
называемых «ложных промежуточных пределов». Эти пределы
могут возникать при экстраполяции тенденций развития с учетом
существующего уровня науки, техники или технологии и без
учета возможных научных прорывов и технологических скачков. Так,
Э. Янч приводит пример, когда в исследованиях по жаростойкости
материалов, проводимых военными организациями США, был
установлен такой ложный температурный предел, связанный
с проникновением кислорода в материалы. Выявление этого
предела помогло правильно установить направление перспективных
исследований и осуществить необходимый «прорыв».
4.3, Статистические методы
Прежде чем приступить к анализу статистических методов
прогнозирования, рассмотрим некоторые общие понятия и
определения, относящиеся к корреляционным и регрессионным моделям
[9]. Две случайные величины являются корреляционно
связанными, если математическое ожидание одной из них меняется в
зависимости от изменения другой.
Применение корреляционного анализа предполагает
выполнение следующих предпосылок:
125

1. Случайные величины у (у и #2, ..., Уп) и х(хи *2, ..., хп) могут
рассматриваться как выборка из двумерной генеральной
совокупности с нормальным законом распределения.
Л Л
* 2. Ожидаемая величина погрешности и равна нулю: 2|и|=0.
* 3. Отдельные наблюдения стохастически независимы, т. е.
значение данного наблюдения не должно зависеть от значения
предыдущего и последующего наблюдений.
1 4. Ковариация между ошибкой, связанной с одним значением
зависимой переменной у, и ошибкой, связанной с любым другим
значением */, равна нулю.
5. Дисперсия ошибки, связанная с одним значением у, равна
дисперсии ошибки, связанной с любым другим значением у, т. е.
°uj =<т2 при /=1, 2, ..., п.
6. Ковариация между погрешностью и каждой из независимых
переменных равна нулю, т. е. OuXi=0 при i=0, 1, ..., п.
' 7. Непосредственная применимость этого метода ограничивается
случаями, когда уравнение кривой является линейным относительно
своих параметров Ь0, &ь ..-, &ь- Это, однако, не означает, что само
уравнение кривой относительно переменных должно быть
линейным. Если эмпирические уравнения наблюдений не являются
линейными, то во многих случаях оказывается возможным
привести их к линейной форме и уже после этого применять метод
наименьших квадратов.
8. Наблюдения независимых переменных производятся без
погрешности.
Перед началом корреляционного анализа необходимо проверить
выполнение этих предпосылок.
Связь между случайной и неслучайной величинами называется
регрессионной, а метод анализа таких связей — регрессионным
анализом. Применение регрессионного анализа предполагает
обязательное выполнение предпосылок 2,*3, 4, 5, 6, 7 и 8
корреляционного анализа. Только при выполнении приведенных предпосылок
оценки коэффициентов корреляции и регрессии, получаемые
с помощью способа наименьших квадратов, будут несмещенными
и иметь минимальную дисперсию.
Регрессионный анализ тесно связан с корреляционным. При
выполнении предпосылок корреляционного анализа выполняются
предпосылки регрессионного анализа. В то же время регрессионный
анализ предъявляет* менее жесткие требования к исходной
информации. Так, например, проведение регрессионного анализа
возможно даже в случае отличия распределения случайной величины
от нормального, как это часто бывает для технико-экономических
величии. В качестве зависимой переменной в регрессионном
анализе используется случайная переменная, а в качестве
независимой — неслучайная переменная.
126

По степени комплексности статистические исследования можно
разделить на двумерные и многомерные. Первые касаются
рассмотрения парных взаимосвязей между переменными (парные
корреляции и регрессии) и направлены в прогнозных исследованиях на
решение таких задач, как установление количественной меры
тесноты связи между двумя случайными величинами, установление
близости этой связи к линейной, оценки достоверности и точности
прогнозов, полученных экстраполяцией регрессионной
зависимости. Многомерные методы статистического анализа направлены
в основном на решение задачи системного анализа многомерных
стохастических объектов прогнозирования. Целью такого анализа
является, как правило, выяснение внутренних взаимосвязей между
переменными комплекса, построение многомерных функций связи
переменных, выделение минимального числа характеристик,
описывающих объект с достаточной степенью точности. Одной из
основных задач здесь является сокращение размерности описания
объекта прогнозирования.
Таким образом, статистические методы используются в
основном для подготовки данных, приведения их к виду, пригодному для
производства прогноза. Как правило, после их применения
используется один из методов экстраполяции или интерполяции для
получения непосредственно прогнозного результата.
Математический аппарат теории вероятностей и математической
статистики описан достаточно широко в математической
литературе [9, 54, 58]. Вопросы приложения этого аппарата к решению
задач прогностики также освещаются в литературе [24, 48, 49, 53,
57,60,61].
4.3.1. Использование корреляций и регрессий в прогнозировании
взаимосвязанных случайных переменных
Пусть имеется множество значений двух случайных
переменных Х{Х{} и У{уг}> относительно которых имеется предположение
о наличии взаимной связи линейного характера со случайными
отклонениями^
Пусть х и у — средние арифметические значения этих
переменных:
п п
Среднеквадратические отклонения: ох=у ^ to — *)- и
у V п
Коэффициент корреляции определяется величиной
127

Он определяет степень рассеяния эмпирических точек от
линейной зависимости вида
которая называется линией регрессии у по х. Если г=0, то
корреляционная связь между у и х отсутствует; если г=1, то у растет
линейно с ростом х\ если г=—1, то у убывает-линейно с ростом х.
Значения 0<|г|<1 характеризуют некоторые промежуточные
виды связи между у и х.
Коэффициент г -^- называют коэффициентом линейной реГреС-
сии; он определяет угол наклона линии регрессии к оси х.
Стандартное отклонение фактических значений от линии
регрессии можно определить по формуле
et = у) — bxi, (4.74)
где y't их)—центрированные значения независимой и зависимой
переменной: yi=y%—у, xi=xi—х.
Дисперсия отклонений случайной величины от линии регрессии
оценивается как
S2 = ^_12 (здесь и далее i — 1, 2, ..., п). (4.75)
С учетом центрированной относительно ху у системы координат
коэффициент регрессии можно представить как
21*^ (4 7б)
Используя (4.76) и (4.74), можно записать:
2 е\ -. 2 (у')2 - и 2 Ул + ь2 2 (*i)2 =
=2 ыу - 2ь 2 У;*;+ь ^% 2 и;)2=2 ы)2 - ь 2 *;У;.
Дисперсия значения зависимой переменной в уравнении
регрессии будет определяться дисперсиями его параметров а и Ь. Эти
последние [60] определяются выражениями:
Отсюда дисперсия регрессии зависимой переменной в
некоторой заданной точке хр определится как
128

Как указывается в [60], для получения суммарной дисперсии
необходимо учесть еще и случайные отклонения точек относительно
линии регрессии:
Тогда доверительный интервал для прогнозов значений у
в заданной точке хр определится величиной
/ yP = y±taSp, J
где ta—значение распределения Стыодента при заданной
доверительной вероятностна и п—2 степенях свободы.
Частным случаем использования регрессии в прогнозных
исследованиях является ступенчатая парная регрессия. В этом случае
путем исследования цепочки парных взаимосвязей переменных
приходят к определению прогнозируемой переменной. Схема
применения ступенчатой регрессии сводится таким образом к следующей
формуле: xx=U(x2)\ Х2=Ы*з); *з=/з(*4) и т. д.
Например, по такой схеме можно исследовать взаимосвязи
экономических показателей стоимости х\9 производительности труда х2,
фондовооруженности л;3, капиталовложений х4.
Следует иметь в виду, что ошибки в определении конечного
показателя стремительно возрастают с ростом длины «лесенки»,
в случае независимости распределения случайных ошибок щ9 и2,
w3, ..., ип между собой при некоторых постоянных доверительных
интервалах D\, Z)2, £3, ..., Dn для каждой ступеньки вероятности
попадания в них будут перемножаться, стремительно снижая
уровень значимости определения финальной переменной «лесенки».
В большинстве реальных исследований объект
прогнозирования представляет собой многомерный комплекс, описываемый
совокупностью взаимосвязанных переменных.
Метод регрессионного анализа рассмотрим на примере
построения хр^шёрдойре^ процесса.
Пусть задана"~ совокупность значений *i={xn, X12, ...» *in},
*2= {*21, *22, »., Х2п} И У={Уи УЬ Уг, »., Уп}> КОТОРУЮ МЫ СОбй-
раемся представить трехмерной линейной регрессионной
зависимостью вида^=а+&1*1 + Ь2х2.
Для определения параметров связи а, Ь\ и Ь2 используем метод
наименьших квадратов:
п
S = 2 (У* — а — Ъххп — b2x2i)2 — min. (4.77)
Возьмем частные производные от (4.77) по всем трем
параметрам и приравняем к нулю;
да и' дЬх и' дЬ2 и#
9 935 f 129

Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными,
линейную относительно этих неизвестных:
2 у, = па + Ьх 2 хи + Ъъ 2 хи; (4.78)
2 ул« = л2^и -I- *i 2*?/ н- *2 И*1Лй (4.79)
2 Уг*2* = й 2 *2* + Ьх 2 *н*« I" *2 2 *2/. (4.80)
Поделив (4.77) на п, решим относительно а:
а = у — bixi — b2x2i (4.81)
где у, Х\ и х2 — средние арифметические соответствующих
переменных.
Подставим (4.81) в (4.79):
2 УЛ« в (У - Ьххх - Ь%х%) X
X 2 хи + Ьх 2 *i/ + &> 2 *u*a/. (4.82)
откуда
2 (У, - У) *н = Ьх 2 (*„ - *_i)2 + b2 2 (*м -^,)*. (4.83)
Обозначив отклонения Дг/г = tfi—y, Д*и = (*н—*0 и Д*2г =
= (^2г~^г), запишем (4.83) в виде
'\ '2Дул/-*12Ал5/ + *2ЦАл1«. (4.84)
Подставляя (4.81) в (4.80), получим аналогично (4.84)
2 Ду,Д*21 = Ьх 2 **«**« + *2 2 Д*и. (4.85)
Решая систему (4.8Й)— (4.8^) относительно Ь\ и Ь2, получим
численные значения частных коэффициентов регрессии, которые
показывают, насколько в среднем изменяется у при изменении
соответственно Х\ или х2 на единицу.
Построение уравнения множественной регрессии сопровождается
расчетами уровней значимости его коэффициентов по методике
Фишера и остаточных дисперсий, характеризующих разброс
экспериментальных данных, не учтенный полученным уравнением.
Для определения значимости коэффициентов составляются
системы уравнений [14]:
1) Сп 2 A*?j + С12 2 Д*1,Д*„ = 1.
Сп 2 Д*иДх^ + С„ 2Д*& = 0;
2) С21 2 д*н + С22 2 Д*иД*« = О,
с212 д*«Д*2| + с22 2^?л = 1.
130

Решая эти системы (1 и 2) относительно коэффициентов при
суммах, получают значения Сц, Ci2, С2Ь ^22-
Затем по этим значениям рассчитывают Ъ\ и Ь2:
Ьх = Си Ц у,Д*и -f С12 2 УАхп;
Ь2 = С21 ^j у^л;и | С22 ^ УА#2*-
Полученные величины Ьх и 62 должны быть равны их значениям,
полученным при решении системы (4.84) —(4.85).
Остаточную дисперсию можно определить по формуле
°?- n-d-t-l) [2 У* ~ М! У*1 - *. 2УХ2], (4.86)
где п — число выборочных точек; т — число степеней свободы.
Метод множественного корреляционного анализа сводится
к несколько иному способу построения уравнения регрессии и
анализа полученной характеристики.
Рассмотрим запись линейного уравнения множественной
регрессии в следующем виде:
*\ = *i**2 + #1з*з -г ... Jr birpcn -h a, 2, (4.87)
где х\9 *2> •••> хп — переменные исследуемого комплекса; Ьц —
частные коэффициенты регрессии хх по х\.
Построим корреляционную матрицу D для всего комплекса
переменных: D=|/\j|n, где
г., = Щ^. (4-88)
Xi — среднее арифметическое i-й переменной; а* — стандартное
отклонение i~h переменной.
По матрице D рассчитываются* приведенные коэффициенты
регрессии для хх и **:
?.*-(-1)*-ц2-; (4-89)
где D^ и Dkk — миноры соответствующих элементов матрицы.
После этого определяются значения коэффициентов уравнения
множественной регрессии (4.87):
*i* = Pu-£-. (4.90)
Свободный член уравнения определяется так:
012 =*1 — #12*2 — #13*13 — ■ - — Ьх£1а. (4.91)
Качество полученной функции множественной регрессии
определяется коэффициентом множественной корреляции,
рассчитываемым по формуле
/?х.2.з..... п = Р12Г12 + Pi3^i3 + ... + РиЛ,; (4.92)
131

он показывает общую степень зависимости изменений переменной
Xi от, изменений всех переменных комплекса.
Суммарная остаточная дисперсия определится как
в1.2.3.....Я = в1(1-/?1.2.3....,л). (4.93)
Используя (4.93), можно определить значение доверительного
интервала для переменной Х\ из предположения многомерного
нормального распределения параметров:
f(x2i а*, ..., хп) — тУо\.2,з п <*i<
</{хъ *8. ..., хп) + т УЛхг...
> где т — коэффициент, определяемый заданной вероятностью
попадания в интервал.
- ^" В качестве примера рассмотрим использование множественной
корреляционной модели для выявления связи между параметрами
объекта прогнозирования, представляющего собой какой-либо вид
техники. Одна из характеристик при этом является определяющей,
главной,— целевая функция, остальные — аргументы, связанные
с ней корреляционными связями. Суть задачи заключается в том,
чтобы установить аналитическую форму связи целевой функции —
зависимой переменной от нескольких независимых или даже
зависимых переменных. Математически это выражается в таком виде:
с(х) = *?(хи хъ ..., xh .:., хк),
где С (л:)—целевая функция (вес, надежность, эффективность
и т. д.) сложной системы; х\, х2, *з, ...» хи — основные
технико-экономические параметры системы или ее составных элементов.
Для того чтобы практически решить поставленную задачу,
необходимо осуществить ряд последовательных этапов: отобрать
основные аргументы (независимые переменные) системы или ее
составных элементов; собрать необходимые эмпирические
(статистические) данные; проверить эмпирические данные на однородность
статистической выборки; принять или выбрать аналитическую
форму связи; разработать метод, алгоритм решения и описать
алгоритм в виде программы с целью получения конкретных
числовых результатов; провести статистическую оценку и
технико-экономическую интерпретацию построенной математической модели.
\! Будем рассматривать связь между переменными в виде нели-
• нейиой степенной модели:
С = аор^рЪ ... pV ... р\К (4.94)
где С — значение целевой функции; р\9 р2> ..., Pk — переменные,
определяющие объект; а* — параметры, задающие вид связи.
Для определения параметров степенной функции приведем ее
к линейному виду путем логарифмирования:
1пС = 1пос0 + а11п/?1+ ... +a.klnpk. (4.95)
132

Вводятся обозначения: С=1пС; ао=1пао; Р\ = ^Р\'> Р2=1пр2; •;
pk=lnph.
Уравнение (4.95) представим теперь в виде
C = a0+Pi«i+p2«2 + ... -|-Л«/+ ... +Pk4-
Задача нахождения неизвестных коэффициентов решается
методом наименьших квадратов:
лт .
S = 2 [Сф;. - а0 -рп*г -РуР-г — ... —
— PjPi— •-. -Pjk*k?^™n- (4.96)
Находим частные производные по коэффициентам регрессии:
^-=-22[СфУ-а0-ру1- ... -
дя0 1
— PjPi— ••• —£/***] =0;
dS iVi
-^-= —22 1Сфу — ao~ PjPi— ... —
— PjPt— ••• —Pjkak]Pji=ty
, (4.97)
"^-^ —22[Сфу —«о —^aj— ... -
— РУЛ - ... - рулал] ру| = 0;
Заменим в правой части системы уравнений (4.97) 2ао на Nao,
вынесем за знак сумм постоянные множители. Систему
нормальных уравнений (4.97) запишем так:
N _ N _ N _ N
ЛЧ + 2/>/1°Ч + •■• +%PjPi+ ... +2/>/*а*=2СфУ;
2/^Я + 2йл + ... H- 2PjiPji*i +
\ i %
n _ ^
+ . •. + ^PjkPj^k = 2 Сфу^г,
2/w*o -i- 2p;i/y*i + ... + 2/^a* +
+ ... +llPjkPjPk=sll^iPji;
133

\
Ij/^/A -I- %PjiPjk*i + '• • • + HiPjiPj^i +
V V
"I- ... + 2/^=2^/*
Решая систему нормальных уравнении любым из известных
методов, находим неизвестные значения оо, cci, 0С2, ..., а*, ..., а*,
которые затем подставляем в уравнение (4.95), и, проделав еще
раз замену переменных, получим искомое уравнение регрессии
(4.94).
С помощью уравнения множественной регрессии
устанавливается связь между целевой функцией и ее характерными
параметрами.
В дальнейшем желательно определить, в какой мере эта связь
соответствует эмпирическим данным и насколько существенно
отношение между зависимой и независимыми переменными. Такими
показателями являются соответственно стандартная ошибка оценки
и коэффициент множественной корреляции.
Вместо стандартной ошибки оценки рассматривается
дисперсионное отношение:
f_ Sj ^ %(Сы-С,)ЩМ-\)
2 ~~~ S> ~ 2(Сф,-Сру)'/(ЛГ-/С-1> '
где S2 — дисперсия статистической выборки целевой функции;
Si = Soct— дисперсия, характеризующая разность между
эмпирическими данными и линией регрессии; Сф^ — фактические значения
целевой функции; Са — среднеарифметическое значение целевой
функции; CPj — расчетные значения функции по выбранной форме
связи; N — число" наблюдений; К — число технико-экономических
параметров, определяющих связь.
Дисперсионное отношение Si/Si не должно быть меньше
некоторого критического значения, тогда степень приближения
множественной регрессии признается существенной.
Критическое значение отношений дисперсий Si/Si отыскивается
по таблице значений F> которая составлена на основе метода,
предложенного Р. Фишером, и зависит только от числа степеней
свободы для сравниваемых дисперсий (vi = ^V— I, v2=N—K—l)
при выбранном значении доверительной вероятности.
Для оценки достоверности найденной формы зависимости
служит величина
j=l
являющаяся средней относительной ошибкой аппроксимации
и характеризующая качество приближения набора исходных
данных уравнением множественной регрессии.
134

Для определения тесноты связи между зависимой целевой
функцией и технико-экономическими параметрами находят
коэффициент множественной корреляции:
R" уi" Li(Сфу ~ Сру)2]/у1(Сфу"Са)2 •
Среднеквадратическая ошибка множественного
корреляционного отношения определяется формулой сгд=(1—R2)/yN—K—1.
Отношение коэффициента множественной корреляции к его сред-
неквадратической ошибке определяется с помощью значения
/ — критерия Стьюдента: t=R/a.
Если вычисленное значение, критерия Стьюдента t не меньше
критического значения по таблице [60] при заданной вероятности
и степени свободы v=N—1, то связь целевой функции с технико-
экономическими параметрами считается существенной.
Далее с помощью метода Стьюдента оценивается, как
коэффициент множественной корреляции выборки может измениться
относительно коэффициента множественной корреляции генеральной
совокупности при определенной выборке.
Пользуясь таблицами значений критерия Стьюдента,
определяем границы доверительного интервала для заданной величины
вероятности, т. е. предполагаемые границы, в которых может
находиться неизвестная величина коэффициента множественной
корреляции генеральной совокупности: R—t[v, p] XOR^R^R + t[v, p]gr.
Алгоритм решения сводится к следующему.
Исходные данные записываются в память ЭВМ в виде
таблицы:
Р\\ Р\2 Аз .- Ри ♦.. Pik с\
Pl\ РТ1 РъЪ • • • Рп • • • P'ik С'2
Pjl Pyi PjZ • • • Pji ... Pjk <?j
~ pm Pi\2 Pm ... Pm .. • Ркь c*\ (N> k),
которая представляет собой информационную матрицу
исследуемой системы.
В качестве базисной формы связи принимается уравнение
(4.94).
В матричной форме уравнение можно представить как С=РХ>
где
I с\ I \Unpulnpi2..Anpu..AnpUt I \хо \
с2 1 ln/?2iln/?22.. Anp2i.. Anp2k xt
C= ... ;P= U= ...
\ cj \ \1прпШр;2..Апрп..Апр;к x2
I CN I |l \npm \npN2 • • • \npNl • • • 1П/?ЛТЛ | I Xk \
135

Для определения неизвестных компонентов вектора X умножим
обе части уравнения С=РЛГ слева на матрицу, транспонированную
к Р: Р*С=Р*РЛГ—получим нормальную систему уравнений,
решение которой есть неизвестные параметры регрессии,
определяемые по компактной схеме Гаусса.
Метод Гаусса специальным преобразованием переводит матрицу
системы в верхнюю треугольную матрицу:
I 1 ^12 ^13 • • • C\g • • • Ch k+2 j
О 1 C2Z . . . C2g . . . Co, k |-2
0 0 0 1 ci,k+2
I 0 0 0 0 1 |.
-Решение системы уравнений с такой матрицей не вызывает
трудностей и находится последовательно из системы уравнений:
Xi-\ = Ciy ь+2 — £ СиХа-\\
Блок-схема алгоритма приведена на рис. 4.7.
4.3.2. Прогнозирование по авторегрессионным моделям
^Авторегре.ссирнные методы являются одним из частных
разделов статистических методов прогнозирования. В отличие от
методов использования взаимозависимостей между двумя или более
случайными величинами они направлены на выявление взаимных
связей между значениями одной и той же случайной величины,
разнесенными между собой на определенный промежуток времени.
В основе авторегрессионных методов лежит гипотеза
стационарности изучаемого процесса, т. е. сохранения статистических
характеристик процесса без изменений на ретроспективном промежутке
времени, в настоящем и на времени упреждения прогноза. В
качестве информации, привлекаемой для прогноза, используется
временной ряд случайной прогнозируемой величины.
Временные ряды, в которых последовательные значения сильно
зависимы, целесообразно рассматривать как генерируемые
последовательностью независимых импульсов A(t). Эти импульсы —
реализации случайной величины с фиксированным распределением,
которое обычно предполагается нормальным с нулевым средним
и дисперсией aj. Такая последовательность случайных импульсов
aty at-u Д*-2, ... может рассматриваться как белый шум (широко
распространенное понятие в теории автоматического управления).
В моделях авторегрессии (АР) текущее значение процесса
выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений
процесса и импульсов A(t). Обозначим значения случайного про-
136

цссса в равноотстоящие моменты времени i, t—1, ... как Zu Zt-u ...
Тогда
zt = bxzt -i + b2zt-2 + -. - + bj&t-p + a>t + % (4.98)
называется процессом авторегрессии порядка р—АР(р), где Ъг —
постоянные параметры модели АР, i=l, /?, во — постоянная
составляющая, at — белый шум.
Эта модель содержит /7+2 независимых параметра: Go, b\9 b2, ...,
ЬР, а*, которые на практике следует оценить по наблюдениям.
Метод прогнозирования с применением модели АР основан на
использовании накопленных к моменту времени / наблюдений
временного ряда для прогнозирования его значения на некоторый
момент времени /+/ в будущем, где / — время упреждения
прогноза.
Пусть мы имеем N=n+l наблюдений процесса в дискретные
равноотстоящие промежутки времени к моменту времени t: zu
zt-ь •> Zt-u •••> zt-n, или {zt-i}f t=0, п. Используя их, можно полу-
л
чить zt(l), т. е. прогнозное значение ряда на момент времени t+U
вычисленное в момент времени /.
л
Функция zt(l), /=1, 2, ..., называется прогнозирующей
функцией в момент времени L
л
Для того чтобы построить zt(l), необходимо иметь
математическую модель временного ряда {г*-*}, t=0,n, отвечающую
требованиям максимальной простоты, минимального числа параметров
и при этом адекватно описывающую наблюдения.
Таким образом, для получения прогноза необходимо сначала
построить адекватную модель исследуемого временного ряда,
а затем с ее помощью найти оптимальную прогнозирующую
функцию.
Укрупненно процесс прогнозирования при помощи моделей АР
может быть представлен такой последовательностью этапов:
1) выбор порядка модели АР; 2) оценка параметров выбранной
модели; 3) получение прогнозов на основании построенной модели.
Рассмотрим подробнее эти этапы.
I. Выбор порядка модели АР. На этом этапе по виду
автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной (ЧАКФ)
функций определяется возможность описания исходного временного
ряда при помощи моделей АР и выбирается р — порядок модели,
т. е. количество ее параметров.
Для процесса авторегрессии порядка р характерно, что АКФ
спадает плавно, а ЧАКФ имеет обрыв после /?-задержки.
Для выбора порядка_модели АР необходимо вычислить:
1. Среднее значение z и дисперсию а2 ряда:
п
/=1
137

п
*2=-!rS(*,-*)2,
*=>
где п — общее число членов ряда; Z\ — значение временного ряда
в момент времени i, f=l,n.
2. Автоковариационную функцию ряда (АКВФ) Ск:
3. Автокорреляционную функцию, ряда (АКФ) г*:
г* =-£*-, Л = 07^; (4.99)
где /С—максимальная задержка АКВФ и АКФ.
4. Частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ):
( ги 1Л=1;
i *"»»— Да 4m—l,jrm-j
?ящ « —^ : , т = 2, Л*. (4.100)
I 7 = 1
где cpmj=<pm-i,j—<p™m<Pm-i,™-j, /==1, /я—1; М — максимальная
задержка ЧАКФ.
Выбор К и L можно осуществлять следующим образом. Как
показывает практика, К и L надо выбирать из условия 20^/(<п/4.
М выбирают из условия М^К, причем в большинстве случаев М
берут равным /С
И. Оценка параметров выбранной модели. Учитывая тот факт,
что модели АР являются линейными (4.98), параметры модели
могут определяться по методу наименьших квадратов из условия
минимума дисперсии:
п п Р
°*« = F=7=lS а] = ^=Т=\ S{Zt"~ ^J */*-/)2-> min.
*—p+1 *=7>-H ' 7=1
Это условие приводит к системе нормальных уравнений
i *,_,(*, - £ ft^-у) = 0, у - ГЯ (4.101)
*"р-И \ 7 1 /
Решая эту систему уравнений относительно Ьи Ь2, ...» ЪРу
получим значение параметров нашей автокорреляционной модели.
Определим оценку дисперсии случайной величины at:o a =■
= ^а>г\(п,—р) и оценку постоянной составляющей: б0=г(1—^^).
138

III. Получение прогнозов на основании построенной модели.
Основным требованием к модели является получение такой
прогнозирующей функции, у которой среднее значение квадрата
отклонения истинного от прогнозируемого значения является
наименьшим для каждого упреждения /. Необходимо также определить
точность прогноза, чтобы можно было оценить риск, связанный
с решениями, основанными на прогнозировании. Точность прогноза
может быть выражена величиной доверительного интервала для
заданной вероятности выполнения прогноза. Эти пределы можно
вычислять для любого набора вероятностей, например 50 и 95%.
В работе [6] показано, что прогноз с минимальной
среднеквадратичной ошибкой будет вычисляться по формуле
(4.102)
г л \ zt{i-ih * > ь\
[zt-i+i]= l<r.
где zt (I) — прогноз на I шагов вперед, полученный в момент вре-
мени_/; Zt-i+i — значение временного ряда в момент времени /—i+l\
/= 1, L, L — максимальное упреждение.
Как видно из вышеприведенных формул (4.102), процедура
прогнозирования является рекуррентной, что позволяет по мере
поступления новой информации легко корректировать прогнозы.
Это является несомненным достоинством данной процедуры
прогнозирования.
Точность прогнозов, получаемых на основании данной модели,
может быть определена следующим путем. Верхний и нижний веро-
ятностные пределы вычисляются по формуле zt+i=zt(l) ±VijV(l)9
где £7=0,68; 1,65; 1,96 или 2,58 в зависимости от того, лежит ли
будущее значение между этими пределами с вероятностью в
интервале 0,50; 0,90; 0,95 или 0,99 соответственно (исходя из гипотезы
нормального распределения отклонений).
Функция дисперсии равна
у-о
где
( .*' У = 0;
* U=i
у=Л7~Ц *,==о, i>p.
Таким образом, прогнозирование с использованием моделей АР
сводится к построению модели и получению при ее помощи
прогнозных оценок значений процесса. Прогнозирование с использованием
этих моделей дает хорошие практические результаты [12].
139

В качестве примера рассмотрим решение задачи краткосрочного
прогнозирования выполнения плана выпуска продукции
предприятием на основании отчетных данных за последний период1.
Пусть имеется статистика выполнения плана выпуска продукции
предприятием по пятидневкам за некоторый период (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Графики фактических и прогнозных значении коэффициента
выполнения плана предприятием
Эти данные представлены в виде таблицы коэффициента
выполнения плана за пятидневку /CB=Qci>/Qii, где <2ф — фактический выпуск
продукции за пятидневку, Qn — выпуск продукций по плану.
В качестве исходных данных для прогнозирования будем
использовать последовательность из 12 наблюдений, т. е. фактически
данные за двухмесячный период. Используя программы, составленные
в соответствии с методикой, изложенной выше, для выбора р —
Пример подготовлен И. Заботиной.
140

порядка модели АР, оценки ее параметров и собственно
прогнозирования, получим следующие результаты.
На рис. 4.11 представлены результаты расчетов
автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда (4.99),
(4.100). Их рассмотрение, показывает, что АКФ плавно затухает,
а ЧАКФ имеет резкий спад при
k=2. Это позволяет сделать вывод
о том, что, во-первых,
рассматриваемый процесс является процессом
авторегрессии, и, во-вторых, о том,
что это процесс авторегрессии
второго порядка. Таким образом,
выбираем модель с р=2.
При помощи линейного метода
наименьших квадратов, решая
систему нормальных уравнений
(4.101), определим параметры
модели: &i=0,739; Ь2=0,205.
Зная параметры модели и
используя основную формулу
авторегрессионной модели (4.98),
рассчитаем прогнозные значения процесса
на / шагов вперед. В нашем примере
мы примем /=1, 2, 3, 4, 5, 6, т. е.
будем давать прогнозные оценки
выпуска продукции на 5, 10, 15, 20
и 30 дней вперед. Для оценки
точности модели мы проводили расчет
г*+г на ретроспективном участке,
что обеспечило возможность
сравнения результатов прогноза с
фактическими значениями.
На рис. 4.10 представлены
графики фактического коэффициента
выполнения плана, результаты
прогнозов на 1 шаг (т. е. пятидневку)
и на 6 шагов (т. е. месяц).
Критериями точности прогноза и адекватности построенной
модели исходному временному ряду являются характеристики
отклонений фактических данных от прогнозных:
среднее отклонение
T=(t/t-z)jln;
абсолютное среднее отклонение
N = |j2?-2i|//*;
141
Рис. 4.11. Графики
автокорреляционной (АКФ)
и частной автокорреляцион-4
ной (ЧАКФ) функций для
статистики выполнения
плана предприятием

среднеквадратичное отклонение
максимальное отклонение
emas = max|^ — **|i
1 < / < /г,
где z" — прогнозное значение в момент времени i\ Zi —
фактическое значение в момент времени и
Результаты оценки точности получаемых прогнозов приведены
в табл. 4.3.
Таблица 4.3
tit
1
2
3
Критерии (отклонения)
Е
0,0074
0,0132
0,0168
14
0,0275
0,0350,
0,0367
3
0,0352
0,0428
0,0438
етах
0,0895
0,1013
0,0983
Время

упреждении
4
5
6
Критерии (отклонения)
Б
0,0197
0,0217
0,0233
И1
0,0380
0,0399
0,0425
а
0,0465
0,0478
0,0498
етах
0,1100
0,0932
0,1009
Из рассмотрения результатов, примера видно, что применение
авторегрессионных методов для одномерных временных рядов дает
хорошие практические результаты. Данные методы можно
рекомендовать для использования в оперативном прогнозировании
экономических показателей, значения которых в будущем существенно
зависят от их законов изменения в прошлом. Известны более
сложные методы прогнозирования по автокорреляционным
моделям, использующие нелинейные способы оценки параметров, учет
дополнительной периодической составляющей и другие процедуры,
обеспечивающие большую степень адекватности модели и
прогнозируемого случайного процесса.
4.3.3. Факторный анализ в прогнозировании многомерных
стохастических процессов
Системный подход к прогнозированию сложных объектов
означает максимально возможный учет совокупности переменных,
характеризующих объект, и взаимосвязей между ними. В процессе
исследования прогнозист вынужден выбирать компромиссный
вариант между числом переменных в описании объекта и
сложностью и трудоемкостью анализа и прогноза. Если к тому же
большинство или все из этих переменных имеют стохастический
характер, то задача значительно усложняется. Методы снижения размер-
142

ности описаний сложных объектов в связи с этим являются весьма
актуальными для прогностики. В этом плане используются
достижения таких наук и их областей как теория информации,
корреляционный анализ, распознавание образцов, теория измерений
и ряда других. В последнее время значительные успехи достигнуты
в области теории и практики использования факторного анализа
в решении задач снижения размерности и системного
исследования сложных статистических комплексов.
Факторный анализ в современном виде представляет собой
определенный раздел математической статистики. Появление его
в начале нынешнего века обычно связывают с именами психологов
Ч. Спирмэна, С. Барту, Л. Терстоуна и др. Первоначальная цель
его состояла в построении математических моделей способностей
и поведения человека. При этом в основу закладывались
результаты различных психологических и физических -тестов, а на выходе
формировались некоторые обобщенные показатели — факторы.
В этой области факторный анализ успешно применяется и сейчас,
однако за прошедшие десятилетия он активно распространялся на
множество других областей: социологию, экономику, геологию,
метеорологию, технику и т. д. В работе Г. Хармана [54]
приводится свыше 200 публикаций по факторному анализу и его
использованию в многочисленных отраслях знаний. Харман указывает на
большое разнообразие методов факторного анализа и их
модификаций, которые известны в настоящий момент.
Мы рассмотрим вкратце сущность одного из них.
Пусть X — n-мерный случайный фактор, представляющий
случайную выборку измерений совокупности взаимосвязанных
параметров Хи F—ft-мерный вектор, компонентами которого являются
непосредственно ненаблюдаемые переменные (факторы); X—
математическое ожидание вектора X; U—вектор сумм
ненаблюдаемых ошибок и специфических факторов. Согласно основному
предположению многофакторного анализа каждое конкретное
измерение вектора А'—х\ может рассматриваться как сумма
воздействий некоторого небольшого числа групповых факторов /,• (взятых
с определенными весами ац)> специфического фактора s^
воздействующего только на данную переменную, и ошибки измерения е\.
Поскольку Si и вх в факторном анализе неразличимы, их обычно
рассматривают как сумму Ui=Si + ei. А —матрица порядка nXk
(n>k)y элементы которой — факторные веса а^-, определяющие
нагрузку 1-й переменной на /-й фактор, т — число наблюдений над
вектором Л', по которым производится оценка. Запишем основное
положение факторного анализа в матричной форме:
X=AF + X+U. (4.103)
Приравняем для простоты все средние нулю: ^=0, т. е. будем
рассматривать далее несмещенные распределения xit
Обозначим произведение AF — Q, тогда
X=Q+U, (4.104)
143

где Q принято называть общей частью, a U —специфической
частью.
Предполагается, что U не зависит от Q и все щ не
коррелируют между собой. При этом матрица M(Q£/')=0, а матрица
M(UU')— диагональная (М — оператор математического
ожидания, U' —транспонированная матрица U).
Тогда
ЩХХ') - M[(Q +U)(Q+ Uy\ = M(QQ') + M(UU') +
+ М {QU') + M(UQ') = M(QQ') + M(UU'). (4.105)
Если пронормировать вектор X по величинам стандартных
отклонений <7i (Zi = XiPlou где #iP— компонента вектора X,
р — порядковый номер единичного наблюдения над вектором X),
то М (ZZ') = R есть корреляционная матрица.
В соответствии с формулой (4.105) ее можно представить
в виде
R = R0 + U<2> = R0 + I + Н2, (4.106)
где R —исходная матрица с единицами на главной диагонали;
Ro — так называемая редуцированная матрица; U2 — диагональная
матрица из квадратов сумм специфических факторных'весов и
ошибок; Н2 — диагональная матрица так называемых коммунально-
стей; 1 —единичная матрица.
Разложению в факторном анализе подвергается обычно матрица
Ro, определяемая из выражения (4.106). При этом R0
аппроксимируется произведением:
Ro = A0A', (4.107)
где А0 принимается за матрицу факторных весов порядка nXk
(Ао —матрица, транспонированная по отношению к А0).
Факторы /ь Ь, ..., fk предполагаются некоррелированными.
В этом случае факторные веса можно рассматривать как
коэффициенты в линейном уравнении регрессии для оценки переменных
по факторам.
Если в формуле (4.104) пренебречь U, то А0 совпадает с А
и Ro совпадает с R, следовательно, разложение будет тем ближе
к оригиналу, чем матрица коммунальностей Н2 будет ближе к
единичной.
При оценке А0 обычно применяют метод главных компонент,
идея которого состоит в следующем. Поскольку Ro —
действительная симметрическая матрица, то путем ортогонального
преобразования подобия ее можно привести к диагональному виду:
B^RoB^L,
Ro = BLB'. (4.108)
Ввиду ортогональности В
R0 = BLB-1, (4.109)
144

где L — диагональная матрица, составленная из
характеристических корней Ro с учетом их кратности; В — ортогональная
преобразующая матрица, столбцами которой являются собственные
векторы JR0, образующие ортонормированную систему; В~1—матрица,
обратная В; В' — транспонированная матрица В.
Из (4.107), (4.108) имеем
R0 = BL'f'B' = AoA; (4.110)
откуда A0=BL^, где L — диагональная матрица из квадратных
корней собственных чисел.
Таким образом, столбцы матрицы факторных весов могут быть
получены как произведения собственных векторов матрицы Ro на
значения квадратных корней из соответствующих характеристик
чисел.
Решение уравнения (4.110) для матрицы Ro и составляет
наиболее существенную часть вычислительных процедур факторного
анализа. Геометрически описанные преобразования равноценны
вращению исходной системы координат таким образом, чтобы новые
базисные оси совпадали с осями симметрии (главными осями)
распределения вектора X.
Различают два способа определения оценок коммунально-
стей Н: 1) оценки коммунальностей принимают равными единице;
это так называемая закрытая модель факторного анализа; 2)
оценки коммунальностей берут ниже единицы, рассчитывая их по
эмпирическим данным (открытая модель). Мы рассмотрим закрытую
модель как более простой способ, оправдавший свое применение
в ряде практических задач.
После определения факторных нагрузок, соответствующих
совокупности ненаблюдаемых переменных (факторов), обычно следует
попытка их интерпретации, т. е. полезного и общедоступного
толкования сущности различных сторон сложного явления,
отражаемых выделенными факторами. В связи с тем что процедура
получения нагрузок в факторном анализе не приводит к однозначному
результату (при числе факторов, большем единицы), можно
получать эквивалентные множества нагрузок путем ортогонального
преобразования. Геометрически это будет соответствовать
дополнительному вращению факторов в пространстве измерений. В
качестве критериев отыскания оптимального (в смысле интерпретации)
положения факторных осей в пространстве известно достаточно
много предложений, описывать которые не входит в наши цели.
В ряде исследований на практике хорошо себя зарекомендовал
варимакс-критерий, смысл которого сводится к приведению
нагрузок факторов к наиболее простому виду. Простота V какого-либо
фактора определяется в данном случае как дисперсия квадратов
соответствующих факторных весов: Vj= [п2>(а2^)2— (2а^)2]//г2.
t i
Варимакс-критерий состоит в требовании максимизации сумм:
V=2iVf-*max. Для получения несмещенных оценок значения а^
Ю 935
145

нормируются путем деления на соответствующие коммунально-
сти h\.
Окончательно варимакс-критерий определяется через
соотношение
V= 2{[л]£(а?у hlf~ (^y;A/Y]/«2}->max, (4.111)
а решение пишется в виде А=±=А0Т, где А — матрица факторных
весов, полученная методом главных компонент; Т — ортогональная
преобразующая матрица, выбранная таким образом, чтобы
простота V матрицы А была максимальной.
В описанном методе наиболее трудоемкой частью является
расчет собственных векторов матрицы Ro по методу главных
компонент.
В настоящее время известен ряд машинных программ,
реализующих представленный метод и его модификации. Одна из таких
программ описана в [24].
Программа факторного анализа использовалась при
ретроспективном анализе в прогнозировании таких сложных статистических
комплексов, как Государственная библиотека им. В. И. Ленина,
парк ЭВМ США, пассажиропотоки сети магистральных
авиалиний СССР и в ряде других задач. Во всех перечисленных задачах
в результате статистической обработки по 40—50 исходным
случайным переменным удавалось выделить от 2 до 5 главных
факторов, забирающих на себя 80—90% общей дисперсии выборки.
Таким образом, размерность задачи снижалась по сравнению
С исходной в 10—20 раз при снижении точности статистического
описания приблизительно на 10—20%.
Для поискового прогнозирования развития всего многомерного
процесса во взаимосвязях составляющих его переменных
целесообразно исследовать тенденции развития главных факторов
процесса в качестве некоторых обобщенных показателей.
Согласно формулам (4.103) и (4.104),
X-AF+U,
где U=/—Н2 — матрица специфических факторов и ошибок тем
ближе к нулю, чем матрица коммунальностей Н2 ближе к
единичной.
В закрытой модели, которую мы использовали, предполагается,
что Н2 — единичная матрица, и, следовательно, можно считать
* = AF. (4.112)
Путем ретроспективного анализа n-мерного случайного вектора X
мы определили матрицу факторных нагрузок А размером пХп.
При рассмотрении этой матрицы выяснилось, что лишь небольшое
число факторов k<n определяет сущность развития нашей
многопараметрической стохастической системы, описываемой
вектором X .
Отобрав соответствующие k столбцов матрицы А, получим
матрицу Ai размером nXk. Ей будет соответствовать равенство
146

* = A,F, (4.112')
Определим матрицу А"1, обращенную по отношению к А так, что
A-!A=1.
Умножим левую часть уравнения (4.112) на А-1:
„ A-^^F. (4.113)
Получим матрицу значений F размером пХга, где т — число
замеров вектора X в ретроспективный период. Из этой матрицы
выделим строки, соответствующие отображенным нами ранее главным
факторам, и получим подматрицу Fi. Каждой строкой этой
подматрицы будет определяться процесс развития во времени
некоторой обобщенной ненаблюдаемой характеристики /ч- сложного
стохастического процесса при условии, если все т замеров
представляли бы собой последовательность во времени. Исходя из
основного положения факторного анализа, именно эти k
характеристик (k<n) определяют процесс в целом достаточно полно с
учетом всех внутренних статистических связей.
Согласно основному принципу исследовательского
прогнозирования предполагаем, что статистическая структура
прогнозируемой системы сохраняется на отрезке времени упреждения Г(А=
=const) и основные тенденции развития факторов также.
Любым из перечисленных методов (главным образом методами
экстраполяции) прогнозируется развитие каждого из k факторов
на заданное время упреждения Т. В результате мы получим
описания дополнительно q значений Fb где q=T/Atl>y а Д/р — шаг
измерений в ретроспективном периоде.
Тогда матрица Fi с новыми q столбцами примет вид F2
размером kx(m+q). Подставив F2 в формулу (4.112'), получим
значения X в ретроспективный и будущий период Т:
Xv]T=AlF2. (4.114)
Первые m столбцов матрицы (4.114) дадут нам оценки всех
л
показателей Xi для прошлых тп замеров и могут быть
использованы для проверки точнбсти аппроксимации. Последние q столбцов
л
выражения (4.114) дадут прогнозируемые значения параметров xt
в различные моменты периода упреждения!
Если рассчитывать ретроспективные значения X не имеет
смысла, то будущие значения можно рассчитать по формуле
A'T = A1F2fft (4.115)
где ¥2q — матрица, состоящая из последних q столбцов
матрицы F.
В заключение еще раз надо подчеркнуть, что основным
преимуществом прогнозирования развития факторов, а не отдельных
переменных, является даже не то, что это существенно уменьшает
размерность задачи (k<^n), а что в процессе прогнозирования
147

факторов автоматически решается задача синтеза и увязки
прогнозов отдельных показателей. В этом и состоит основное
преимущество и перспективность использования методов факторного анализа
в исследованиях сложных многопараметрических стохастических
процессов.
Наряду с изложенной выше процедурой прогнозирования,
использующей непосредственную экстраполяцию главных факторов
с последующим их разложением на совокупность прогнозных
значений исходных переменных, факторный анализ может
использоваться в сочетании с моделями регрессионного анализа. В этом
случае строят регрессию некоторого выходного показателя (или
нескольких) исследуемого комплекса, но не на совокупности
входных показателей (аргументов), как обычно, а на главных
компонентах, полученных в процессе факторного анализа.
В векторной форме уравнение регрессии имеет вид
K = FI\ (4.116)
где К—вектор выходных (зависимых переменных); F — матрица
главных компонент; Г — вектор коэффициентов регрессии.
Решая (4.116) относительно коэффициентов регрессии, получим:
r = (w-l)-1A-1(FF);
т
где т — объем исходной выборки; /н — значение r-й главной
компоненты в i-й точке; Кг — дисперсия r-й главной компоненты.
Стандартные отклонения коэффициентов регрессии
определяются как
<b) = \b\(rrt-l)-^7%S(yh
где S(u) — стандартное отклонение у для фиксированного х.
Коэффициенты корреляции между главными компонентами и у
можно вычислить по формуле
где о (у)—среднеквадратичное отклонение у от общего среднего
у по всей выборке.
Как указывалось выше, выделение главных факторов в
компонентной модели происходит по максимуму падающей на них
дисперсии выборки. При этом, как правило, уже небольшое число
(£«Сп) главных компонент забирает на себя 80—90% общей
дисперсии. В связи с этим оставшиеся незначимые в уравнении
регрессии компоненты выбрасываются из рассмотрения.
В качестве критерия отбрасывания можно использовать
\г«1 г- 1 У
148

где а — задаваемый порог'на долю суммарной дисперсии,
приходящейся на k главных компонент.
Возможно использование t — критерия Стьюдента для полного
просмотра и отбора значимых компонент:
^=Ь1(т-\)К]-">8-Чу), (4.117)
где U — критерий Стьюдента для r-й компоненты.
Сравнивая (4.117) с табличным значением для данной
доверительной вероятности, определяем существенность каждой из
компонент.
Следует отметить, что оценку главных компонент
целесообразно проводить дважды: вначале в пространстве входных
переменных X, а затем в объединенном пространстве всех переменных
комплекса YX. В случае близости получаемых факторных структур
можно говорить о достаточном представлении входных
показателей. В случае значительного различия получаемых факторных
структур в обоих пространствах следует уточнить и дополнить
состав и измерения входных показателей для более полного
отражения в нем выходных переменных комплекса.
. Преимущества регрессионных моделей, построенных на
главных компонентах факторной структуры, в отличие от обычных
моделей множественной регрессии сводятся к следующим.
Во-первых, размерность модели существенно меньше, чем регрессии на
исходных переменных. Во-вторых, отбор наиболее существенных
компонент проводится по четкому количественному критерию.
В-третьих, факторная модель исключает мультиколлинеарность за
счет ортогональности главных факторов.
4.4. Экспертные методы
4.4.1. Область применения экспертных методов
Методы экспертных оценок в прогнозировании и перспективном
планировании научно-технического прогресса применяются в
следующих случаях:
в условиях отсутствия достаточно представительной и
достоверной статистики характеристики объекта (например, лазеры,
голографические запоминающие устройства, рациональное
использование водных ресурсов на предприятиях);
в условиях большой неопределенности среды функционирования
объекта (например, прогнозов человеко-машинной системы в
космосе или учет взаимовлияния областей науки и техники);
при средне- и долгосрочном прогнозировании объектов новых
отраслей промышленности, подверженных сильному влиянию
новых открытий в фундаментальных науках (например,
микробиологическая промышленность, квантовая электроника, атомное
машиностроение);
в условиях дефицита времени или экстремальных ситуациях
[23].
149

Экспертная оценка необходима, когда нет надлежащей
теоретической основы развития объекта. Степень достоверности
экспертизы устанавливается по абсолютной частоте, с которой оценка
эксперта в, конечном итоге подтверждается последующими
событиями. Существует две категории экспертов — это узкие
специалисты и специалисты широкого профиля, обеспечивающие
формулирование крупных проблем и построение моделей. Выбор экспертов
для прогноза производится на основе их репутации среди
определенной категории специалистов. Однако не следует забывать
и того обстоятельства, что первоклассный специалист не всегда
может достаточно квалифицированно рассмотреть и понять общие,
глобальные, вопросы. Для этой цели нужно привлекать экспертов
хотя и недостаточно узко информированных, но обладающих
способностью к дерзанию и воображению.
«Эксперт» в дословном переводе с латинского языка означает
«опытный». Поэтому и в формализованном, и в
неформализованном способах определения эксперта значительное место занимают
профессиональный опыт и развитая на его основе интуиция.
Условия необходимости и достаточности отнесения специалиста к
категории экспертов вводятся следующим образом.
Важно установить не абсолютную степень надежности
экспертной оценки, а степень надежности по сравнению с оценкой среднего
специалиста, а также корреляцию между вероятностью его
прогнозной оценки и надежностью класса тех гипотез, которыми оперирует
эксперт. В общем, нужно определить, что такое эксперт.
Перечислим некоторые требования, которым должен удовлетворять эксперт:
1) оценки эксперта должны быть стабильны во времени и траизи-
тивиы; 2) наличие дополнительной информации о прогнозируемых
признаках лишь улучшаетЪценку эксперта; 3) эксперт должен быть
признанным специалистом в данной области знаний; 4) эксперт
должен обладать некоторым опытом успешных прогнозов в
данной области знаний.
Характеризуя экспертов, следует иметь в виду, что в результате
выработки оценок могут иметь место ошибки двух видов. Ошибки
первого вида известны в технике измерений как систематические,
ошибки второго вида — как случайные. Эксперт, склонный к
ошибкам первого вида, выдает значения, которые устойчиво отличаются
от истинного в сторону увеличения или уменьшения. Полагают, что
ошибки этого вида связаны со складом ума экспертов. Для
коррекции систематических ошибок можно применять поправочные
коэффициенты или же использовать специально разработанные
тренировочные игры. Ошибки второго вида характеризуются величиной
дисперсии. Исходя из анализа основных видов ошибок при
вынесении экспертных суждений, можно добавить к рассмотренному
ранее перечню требований к экспертам еще одно. Смысл его
состоит в том, что следует предпочесть эксперта, оценки которого
имеют малую дисперсию и систематическое отклонение средней
ошибки от нуля, эксперту со средней ошибкой, равной нулю, но
с большей дисперсией. К сожалению, априори определить способ-
ISO

ность человека делать правильные экспертные оценки невозможно.
Важным средством подготовки экспертов являются специальные
тренировочные игры.
Организация форм работы эксперта может быть
программированной или непрограммированной, а деятельность эксперта может
осуществляться в устной (интервью) либо в письменной форме
(ответ на вопросы специальных таблиц экспертных оценок или
свободное изложение по заданной теме) [66].
Программирование формы работы эксперта предполагает:
построение граф-модели объекта на базе ретроспективного
анализа; определение структуры таблиц экспертных оценок (ТЭО) или
программы интервью на базе граф-модели объекта и цеЯёй
экспертизы; определение типа и формы вопросов в ТЭО или в интервью;
определение типа шкалы для вопросов в ТЭО; учет
психологических особенностей экспертизы при определении последовательности
вопросов в ТЭО; учет верифицирующих вопросов; разработка
логических приемов для последующего синтеза прогнозных оценок
в'комплексных прогнозах объекта.
Организация стимуляции работы эксперта состоит в разработке:
эвристических приемов и способов, облегчающих поиск прогнозной
экспертной оценки; правовых норм, гарантирующих эксперту
оформление приоритета и авторства, а также неразглашения всех
научно-технических идей, выдвигаемых им в процессе экспертизы;
форм моральной, профессиональной и материальной
заинтересованности эксперта в экспертных оценках; организационных форм
работы эксперта (включение в план работы и т. п.).
Исходя из полученной в результате анализа модели объекта
прогнозирования, определяются научные и технические
направления, по которым необходимо привлечь эксперта, выделяются
группы экспертов по принадлежности вопроса к области
фундаментальных, прикладных наук или к стыковым научным
направлениям.
При решении задачи формирования экспертной группы
необходимо выявить и стабилизировать работоспособную сеть экспертов.
Способ стабилизации экспертной сети заключается в следующем.
На основе анализа литературы по прогнозируемой проблеме
выбирается любой специалист, имеющий несколько публикаций в
данной области. К нему обращаются с просьбой назвать 10 наиболее
компетентных, по его мнению, специалистов по данной проблеме.
Затем обращаются одновременно к каждому из десяти названных
специалистов с просьбой указать 10 наиболее крупных их коллег-
ученых. Из полученного списка специалистов вычеркиваются
10 первоначальных, а остальным рассылаются письма, содержащие
указанную выше просьбу. Данную процедуру повторяют до тех пор,
пока ни один из вновь названных специалистов не добавит новых
фамилий к списку экспертов, т. е. пока не стабилизируется сеть
экспертов. Полученную сеть экспертов можно считать генеральной
совокупностью специалистов, компетентных в области
прогнозируемой проблемы. Однако в силу ряда практических ограничений
151

оказывается нецелесообразным привлекать всех специалистов
к экспертизе. Поэтому необходимо сформировать репрезентативную
выборку из генеральной совокупности экспертов.
Пусть по некоторому обсуждаемому вопросу имеется 100
специалистов. В связи с трудностями организационного характера мы
можем сформировать группу экспертов до 50 человек. Для простоты
расчета будем считать экспертом такого специалиста, стаж работы
которого по данной проблеме не менее 10 лет. Тогда исходная
задача формулируется так: необходимо определить 50-процентную
выборку из 100 специалистов с числом экспертов со стажем
не менее 10 лет с вероятностью, равной 0,9545.
Предположим, доля специалистов со стажем 10 лет и выше из
некоторых априорно заданных гипотез равна 0,6 и меньше 10 лет —
соответственно 0,4. Ошибка репрезентативности может быть
вычислена в соответствии с теоремой Бернулли по следующей формуле:
где t — доверительный коэффициент; г — доля элементов выборки
с наличием заданного признака (в нашем примере г=0,6); g--*-
доля элементов с отсутствием заданного признака (g=0,4).
При заданной вероятности Р=0,9545 коэффициент *=2. Тогда
М, = 1УЩ^ = 0,Ш.
Таким образом, в данном коллективе специалистов доля
экспертов со стажем не менее 10 лет составит 0,6 ±0,148 или будет
находиться в пределах от 45,2 до 74,8%..
В практике прогнозирования стремятся к минимально
возможному числу экспертов в группе. Уменьшение числа экспертов ниже
определенного предела равносильно уменьшению
репрезентативности. В такой ситуации возникает задача определения численности
экспертной группы при задаваемых значениях уменьшения
точности выборки. Пусть задано уменьшение выборки на 10% в
предыдущем примере, что составляет 0,0148 от рассчитанной ошибки
репрезентативности. Тогда полученная ошибка составит Д#=
= ± (0,148+0,0148) = ±0,1618. Численность выборки вычисляется
по следующей формуле:
Таким образом, в группе из 100 специалистов находится
36 экспертов со стажем свыше 10 лет с вероятностью Р=0,9545.
Определение специфики процедур для методов класса ПЭО
(персональных экспертных оценок) осуществляется на основе
анализа требований к экспертам и их оценкам, вытекающим из сущно-
| ети методов [66]:
I аналитические записки предъявляют требования структуризации
ф экспериментируемой проблемы, экспликации и ранжирования
152

целей, анализа альтернативных путей достижения цели, оценки
затрат на каждую альтернативу и рекомендаций по наиболее
эффективным способам решения проблем;
парные сравнения, нормирование и ранжирование требуют
однородности оцениваемых признаков, наличия логически обоснованных
критериев и эталонов, наличие однозначно определенных процедур
^ оперирования с критериями, эталонами и признаками;
/ иятервь/олредъявляют специфические требования как к экспер-
и- ту, так и к интервьюеру;
морфологическая структуризация требует четкого определения
функциональных характеристик объекта или проблемы, которые
необходимо улучшить, классификации научных принципов, на
основе которых возможно улучшение характеристики; анализа
всевозможных комбинаций этих принципов и отсева заведомо
абсурдных; оценки комбинаций по степени осуществимости и затрат на
их реализацию; сравнения комбинаций по комплексному критерию
«затраты — эффективность — время».
Рассмотрим основные процедуры класса методов ПЭО.
Ранжирование. Исходные ранги преобразуются сначала
так, что ранг I становится я-рангом и т. д., а ранг п становится
рангом I. По этим преобразованным рангам вычисляются суммы:
m
Rj = ^ih (4Л20)
где Rj — сумма преобразованных рангов по всем экспертам для
/-го фактора; Яц — преобразованный ранг, присвоенный r-м
экспертом /-му фактору; m — число экспертов; п — число факторов.
Далее вычисляются веса факторов:
Wj = Rjl^Rj, (4.121)
где №j —средний вес фактора / по всем экспертам; п — число
факторов.
Нормирование. Исходные оценки, приписанные экспертами
каждому фактору, выписываются с двумя значащими цифрами
и преобразуются следующим образом:
m
Wi/ = P<;/2p* (4-122)
где Wij — вес, вычисленный для /-го фактора на основании данных
эксперта i\ р»,- — оценка, данная £-м экспертом /-му фактору;
m m n
^-2 Wul2 2 Wu. (4.123)
Попарное сравнение. Определяются числа выборов
фактора по всей матрице
153

WfuW
и вес /'-го фактора для 1-го эксперта:
Фи = /а/а-&=Л. (4.124)
Средний вес /-го фактора по всем экспертам Wj подсчитывается
так же, как при нормировании.
Последовательное сравнение. Все подсчеты
выполняются точно так же, как и при нормировании.
После получения Wij и Wj проводится статистический анализ
полученных данных. Он заключается в том, что определяется
степень согласованности мнений всей группы экспертов по
относительной важности рассматриваемых факторов. Мерой согласованности
является так называемый коэффициент конкордации.
Коэффициент конкордации подсчитывается следующим
образом. Пусть результаты опроса экспертов представлены матрицей
рангов для m экспертов и п факторов. Подсчитываются суммы для
ш£ m
каждого фактора 2pij=Si и среднее значение этих сумм по всем
_ -/-
факторам S=.(2S,:)/tt. Далее вычисляется сумма квадратов откло-
п m
нений: S=S(2ptj—S)2.
Коэффициент конкордации Кь равен
Коэффициент конкордации меняется в пределах от 0 до 1, что
достигается введением нормирующего множителя 12/[(nz—n) Xm2],
причем значение /Сь=1 получается в случае полного совпадения
мнений экспертов.
Если имеют место «связанные» (неразрешенные) ранги, то
коэффициент конкордации Кк задается соотношением
Ки = х^ (4.126)
1 з
где Ti=j^(ti—ti)\ U — число одинаковых рангов
в'/-ранжировании. Например, если i-ft эксперт записал ранги
214444888 10,
то для него
Tt = -У(43 - 4+(з3 - 3) «7.
Суммы Ti подсчитываются для всех тех экспертов, у которых
оказались «связанные» ранги.
154

Коэффициенты конкордации можно подсчитать для оценки
степени согласованности мнений экспертов не только по каждому
методу, но и между методами; кроме того, мож,но оценить степень
согласованности мнений эксперта при использовании нескольких
методов одновременно.
4.4.2. Метод экспертных оценок «Дельфи»
/ Для прогнозов развития науки и техники, будущих открытий
и изобретений, для которых не имеется достаточной теоретической
базы в момент составления прогноза, и составления картины
будущего мира широко применяется один из методов, связанный с
обобщением и статистической обработкой мнений группы экспертов
и получивший название метода «Дельфи». Этот метод относится
к классу методов групповых экспертных оценок. Он был
разработан и применен в США впервые в 1964 г. сотрудниками научно-
исследовательской корпорации РЭНД О. Хелмером и Т.
Гордоном £57] - )
( Сущность метода «Дельфи» состоит в последовательном
анкетировании мнений экспертов различных областей науки и техники
и формировании массива информации, отражающего
индивидуальные оценки экспертов, основанные как на строго логическом
анализе, так и на интуитивном опыте. Данный метод предполагает
использование серии анкет, в каждой из которых содержатся
информация и мнения, полученные из предыдущей анкеты. \
Сбор и обработка индивидуальных мнений"экспертов о
прогнозах развития объекта производится, исходя из следующих
принципов: 1) вопросы в анкетах ставятся таким образом, чтобы можно
было дать количественную характеристику ответам экспертов;
2) опрос экспертов проводится в несколько туров, в ходе которых
вопросы и ответы все более уточняются; 3) все опрашиваемые
эксперты знакомятся после каждого тура с результатами опроса;
4) эксперты обосновывают оценки и мнения, отклоняющиеся от
мнения большинства; 5) статистическая обработка ответов
производится последовательно от труда к *Я5уду с целью получения
обобщающих характеристик.
/Таким образом, с помощью метода «Дельфи» выявляется
преобладающее суждение специалистов по какому-либо вопросу в
обстановке, исключающей их прямые дебаты между собой, но
позволяющей им вместе с тем периодически взвешивать свои суждения с
учетом ответов и доводов коллег^ Пересмотр и возможность изменения
своих прежних оценок на основе выяснения соображений каждого
из экспертов и последующий анализ каждым участником
совокупности причин, представленных экспертами, стимулируют
опрашиваемых к учету факторов, которые они на первых порах склонны
были опустить как незначительные.
В качестве примера приведем содержание первого вопросника
из первого тура анкетирования:
155

Одной из основных проблем при составлении прогнозов будущих явлений
на основе экстраполяции существующих тенденций является невозможность
учесть неожиданные достижения и открытия.
В настоящем исследовании рассматривается период, охватывающий 50 лет.
Возможно, что изобретения и открытия, не предполагающиеся в настоящее
время, могут оказать основное влияние на наше общество в течение
рассматриваемого времени. Нетрудно заметить, что развитие науки и техники происходит
со все возрастающей скоростью и что время между открытиями и их
реализацией лостоянно уменьшается. Исходя из этого, можно считать, что многие
изобретения могут найти применение влечение изучаемого периода.
Некоторое проникновение в области даже неожиданных открытий может
быть получено путем анализа необходимости этих открытий, имея в виду старую
истину о том, что необходимость — мать изобретения. Поэтому мы просим вас
перечислить основные изобретения и научные открытия, которые вы считаете
необходимыми и осуществимыми в течение следующих пятидесяти лет в
областях, к которым вы имеете непосредственное отношение.
Опрос экспертов производится в четыре этапа с промежутками
примерно в 2 месяца.
Первый этап. Эксперты в письменной форме называют
изобретения или научные открытия, которые, по их мнению, должны
быть сделаны в последующие 50 лет. При этом требуется доказать,
что потребность в данных открытиях ощущается уже в настоящее
время, поэтому их реализация должна осуществиться в течение
50 лет. В результате этого тура эксперты называют определенное
число изобретений и открытий.
Второй этап. Эксперты называют вероятность
осуществления каждого из указанных открытий в один из следующих,
задаваемых составителями периодов времени:
1973—1975 гг.'; 1975-4978 гг.; 1978—1982 гг.;
1982-1988 гг.; 1988—1996 гг.; 1996—2007 гг.;
2007—2023 гг.; позже 2023 г.; никогда.
Статистическая обработка результатов экспертного опроса
второго этапа заключается в нахождении медианы, моды, квартилей
и децилей. Обычно под медианой понимается такое значение
прогнозируемого признака (к примеру, времени реализации некоторого
события), которым обладает центральный член ряда,
составленного в порядке возрастания значений признака. Под модой пони
мается наиболее часто встречающееся в ранжированном ряду
значение прогнозируемого признака. Квартилем называется значение
прогнозируемого признака, которым обладают члены ряда под
номером, представляющим lU всего ряда (нижний квартиль) и 3Д
от всего ряда (верхний квартиль). Аналогично определяются
децили.
Медианы вычисляются по формуле
Ме(Т) = Тш+ (N~fm-l) i, (4.127)
J me
где Тгае — нижняя граница интервала, в котором лежит медиана;
N — порядковый номер того члена с начала ряда, на который
приходится медиана; Sme — сумма частот ответов экспертов во всех
156

интервалах, предшествующих медианному; fme-—частота ответа
экспертов медианного интервала; i — величина интервала отсчета
прогнозируемого признака.
Приведем пример расчета медианы.
Пусть в результате опроса 2069 экспертов относительно времени
реализации некоторого события была составлена следующая
таблица:
Время совершения
события (начиная
с 1973 г.), лет
До 10
10—20
20—30
30—40
40-50
50-60
60—70
Время
совершения события
(начиная с 1973 г.), лет
70— 80
80— 90
90—100
100—ПО
110—120
120—130
130—140
140—150
150—160
160—170
170—180
180—190
190—200
1
Число ответивших
экспертов
(частота ответов)
50
23
60
35
153
217
254
Число ответивших
экспертов
(частота ответов)
Всег
273
282
232
178
100
74
32
27
20
7
3
5
8
о . . 2069 чел.
Накопленные
частоты ответов
экспертов
—
43
109
204
357
574
828
Накопленные
частоты ответов
экспертов
1101
По определению, медиана времени совершения события
соответствует времени ответа эксперта, находящегося в центре ряда. При
четном числе экспертов, т. е. 2 А, медиана равна среднему из
значений оценок двух центральных экспертов:
Ме(Т) = Tk\Tk. (4.128)
В случае нечетного числа экспертов, т. е. 2&+1, медианным
будет значение признака у (£+1)-го эксперта.
157

В нашем примере было опрошено 2069 экспертов, т. е. нечетное
число. Тогда медианой будет частичное свойство ответа 1035-го
эксперта в общем распределении ответов экспертов. Если считать
с начала ряда экспертов, то это будет эксперт
/ 2068 , -\
номер (—2 г 1J.
Для определения интервала времени свершения события,
который соответствует ответу центрального эксперта с номером 1035,
необходимо суммировать частоты ответов экспертов с начала ряда,
т. е. сформировать ряд накопленных частот. В таблице этот ряд
представлен в третьей графе. Для этого начинаем последовательно
суммировать число экспертов, приходящихся на каждый интервал
ответов, к примеру, первые два интервала содержат ответы 43
экспертов, первые три интервала содержат ответы 109 экспертов и т.-д.
Суммируя число экспертов таким способом, мы доходим до
восьмого интервала, сумма экспертов для которого превосходит
номер искомого центрального эксперта (1101—1035). Другими
словами, мы нашли, что интервалу 70—80 лет соответствует ответ
«медианного» эксперта. Однако в этом интервале находятся ответы
273 экспертов, среди которых 1035-й эксперт носит, если считать
с начала данного интервала, номер 207, т. е. 1035—828. Если
предположить, что ответы всех 273 экспертов в данном интервале
распределяются равномерно, т. е. со сдвигом от начала интервала на
величину, равную 10 лет/273=0,037, тогда на ответ эксперта с
номером 207 приходится сдвиг, равный 0,037X207=7,6 лет.
В этом случае медиана будет равна началу восьмого интервала
плюс сдвиг на 207 ответов экспертов, т. е. 70+7,6=77,6 лет.
Подставляя указанные величины в формулу медианы, находим ее
значения:
Ме(Т) = 70 + 1035~3828 • Ю = 77,6.
Мода времени свершения события находится по формуле
' Мо{ Т) = Тт0 + ^-^-'> , (4.129)
(Что Jmo-1 ^ Jmo+1)
где Тто — нижняя граница интервала ответов экспертов, в котором
находится мода; fmo — номер эксперта (частота), соответствующий
этому интервалу; fwo-i — номер последнего эксперта (частота),
соответствующий интервалу ответов, предшествующему «модово-
му» интервалу; /mo+i — номер первого эксперта (частота),
соответствующий интервалу ответов, следующему за «модовым»; i —
величина интервалов ответов экспертов.
Подставляя соответствующие значения величин из нашего
примера, получим моду свершения события:
М°(Т> = 80 + 2-2828!l7f-232 • 10 = «.б.
Аналогично находятся верхний и нижний квартили и децили
ответов экспертов.
158

Третий этап. Экспертам присылается анкета, в которой
сообщаются результаты анализа, обобщенные в двух разделах.
В первом дан перечень пунктов, по которым большинство экспертов
дали согласованную оценку; требуется кратко изложить принципы
согласия с мнением большинства. Во втором разделе отобраны
недостаточно согласованные оценки, заслуживающие дальнейшего
исследования. «Инакомыслящие» должны изложить свои мотивы
с развернутой аргументацией своих оценок.
Метод «Дельфи» дает возможность заменить прямые дебаты
тщательно разработанной программой последовательных
индивидуальных опросов (с помощью анкет) и, использовав обратную
связь, т. е. доводя до сведения экспертов мнение, полученное
посредством рассчитанного согласованного мнения по предшествующим
вопросам той или иной прогнозируемой проблемы, получить более
уточненную оценку. При этом используется метод
дифференцированного взвешивания мнений, т. е. мнение экспертов
устанавливается по взвешенной медиане, когда дается больше одного голоса
мнениям или оценкам, объективно заслуживающим предпочтение.
В этом случае используется метод установления собственной
компетентности в каком-либо вопросе самими экспертами.
Первый прогноз по методу «Дельфи» показал, что в среднем
двухмесячный интервал между турами слишком длителен,
поскольку за этот период несколько экспертов выбыло. Кроме того, за
такой промежуток времени в связи с общими изменениями в уровне
знаний мнения экспертов также соответственно меняются.
Считается, что оптимальным является месячный интервал.
Следует также отметить, что использование медианы и
квартилей в методе «Дельфи» имеет помимо положительной стороны
и отрицательную. В частности, при рассмотрении оценок группы
экспертов оценка, слишком сильно отличающаяся от других,
практически исключается, несмотря на то что она может оказаться более
верной, чем остальные, т. е. большинство экспертов могут сойтись
в ошибочной оценке. Правда, подобные отклонения, по мнению
авторов метода «Дельфи», компенсируются до некоторой степени
тем, что по данному методу эксперта, не согласного с
большинством, просят высказать причины несогласия. Все эксперты имеют
возможность ознакомиться с этими причинами и могут принять
во внимание или отвергнуть их, переоценить свое мнение или
остаться при нем. Так что оценка, далеко отстоящая от других,
отбрасывается фактически лишь в том случае, если эксперту
не удается достаточно веско аргументировать свою точку зрения.
Однако в прогнозах Т. Гордона и О. Хелмера не проявилось
достаточной настойчивости для выявления формулировки мнения
меньшинства. По всей вероятности, при появлении такового следует
организовать дополнительный тур опроса мнений [65].
Имеется и другая трудность. Это трудность четкой
формулировки вопросников. Максимальная точность достигается за счет
громоздкого стиля излржения, вызывающего отрицательную
реакцию у отвечающих на анкету. Здесь также нужно найти оптимум
159

между четкостью и лаконичностью поставленных вопросов, дабы
все участники одинаково их интерпретировали.
Другим недостатком дельфийского прогноза является то, что
ответы высококомпетентных экспертов как бы разбавляются
оценками менее информированных специалистов, кроме того, в ряде
случаев одни и те же специалисты включены в разные группы (чего
допускать нельзя). Последующие прогнозы по данному методу
предполагается проводить с использованием в целом ряде групп
только экспертов, компетентных в более узких областях знаний,
вопросы для которых не должны выходить за грани их
компетенции. Предполагается также поощрять незаполнение анкет, когда
эксперт считает, что тот или иной вопрос выходит за пределы его
компетенции, а также когда он дает соответствующую оценку своей
компетенции по данной проблеме.
При использовании метода «Дельфи» следует учитывать
следующее:
1. Группы экспертов должны быть стабильными и численность
их должна удерживаться в благоразумных рамках.
2. Время между турами опросов должно быть не более месяца.
3. Вопросы в анкетах должны быть тщательно продуманы
и четко сформулированы.
4. Число туров должно быть достаточным, чтобы обеспечить
всех участников возможностью ознакомиться с причиной той или
иной оценки, а также и для критики этих причин.
5* Должен проводиться систематический отбор экспертов.
6. Необходимо иметь самооценку компетенции экспертов по
рассматриваемым проблемам.
7. Нужна формула согласованности оценок, основанная на
данных самооценок.
8. Следует установить влияние различных видов передачи
информации экспертам по каналам обратной связи.
9. Необходимо установить влияние общественного мнения на
экспертные оценки и на сходимость этих оценок.
4.4.3. Метод программного прогнозирования
Советский ученый, академик В. М. Глушков предложил метод
программного прогнозирования, являющийся обобщением, с одной
стороны, известного метода «Дельфи», а с другой — не менее
известного метода «Перт». Метод программного прогнозирования служит
для определения вероятности наступления тех или иных событий
и оценки вероятного времени их наступления [17].
Перед началом работы по этому методу следует иметь
классификатор (перечень) типа событий, которые предстоит
анализировать, и начальный список экспертов по проблемам. Для каждого
типа проблем (событий) указывается априорный «вес» каждого
эксперта, например по стобалльной системе. Первоначально эти
«веса» определяются самими экспертами, в последующем они могут
уточняться с помощью объективных методов.
160

Первый шаг применения метода — постановка задачи, т. е.
перечисление событий, время и вероятность которых мы будем называть
заключительными. Эти события классифицируются вручную,
и списки их рассылаются тем экспертам, вес которых по данному
классу проблем превосходит некоторый (устанавливаемый
априори) порог. В задачу эксперта входит прежде всего определение
условий, при наличии которых возможна оценка им того или иного
события. При этом эксперт должен по возможности ставить себя
в положениеч не стороннего наблюдателя, а непосредственного
участника событий.
Предположим, например, что событие S, которое предстоит
оценить, есть создание новой автоматической линии. Эксперт должен
представить себя в положении конструктора, которому реально
поручено выполнять эту задачу. Тогда в качестве условий он может*
например, выставить выполнение двух событий Si и 5г. Событие Sx
представляет собой наличие необходимого специального
оборудования, а событие 52 — наличие соответствующих
технологических процессов.
Для повышения ответственности экспертов можно принять, что
факт выставления ими тех или иных условий при оценке события
является одновременно и обязательством (в случае выполнения
этих условий в будущем) взяться за реальное осуществление
оцениваемого события. Подобное соглашение способствовало бы
одновременно повышению объективности оценки экспертами своих
собственных весовых коэффициентов.
В общем виде условие Ф может представлять собой
произвольную логическую функцию /(Si, S2, ..., S&) от некоторых
независимых (с точки зрения эксперта) событий Sb S2, ..., SA. Эта функция
строится с помощью конечного числа дизъюнкций, конъюнкций
и отрицаний.
Далее, эксперт должен оценить условную вероятность Pd>(S)
наступления события S при выполнении условия Ф и наиболее
вероятную величину времени Td>(S) между временем выполнения
условия Ф и временем наступления события S (если оно вообще
наступит). "При этом, разумеется, не исключается (и даже
желательна) возможность оценки безусловной вероятности наступления
события S и полного времени (считая от настоящего момента) до
его наступления. Этот случай соответствует обращению условия Ф
в тождественно истинное событие (полному множеству событий
Si, S2,..., Sfc).
Анкеты экспертов служдт прежде всего для построения сети .
событий, аналогичной пертовской сети. При этом каждой оценке
эксперта [P<j>(S) и ^(S)] соответствует «работа» на чертовской
сети; 7\i>(S) представляет собой оценку продолжительности этой
работы. События Sb S2, ..., S&, входящие в условие ф=/(5ь
S2, ...,Sfc), соединяются с событием S фиктивными работами
нулевой продолжительности.
11 935
161

Для упрощения предположим, что получающаяся' сеть
удовлетворяет обычным пертовским требованиям, в частности требованию
отсутствия петель. С этой целью при обработке анкет экспертом
принимаются специальные меры (возвращение анкет для
исключения тех или иных условий, аннулирование частей анкет и т. п.).
Впрочем, в отличие от классического «Перта» предлагаемая
методика может быть расширена таким образом, чтобы включить в
рассмотрение также и сети с петлями.
Ввиду того что ответы экспертов вводят, вообще говоря, новые
события, последние посылаются для оценок экспертам; при этом
участвуют и эксперты, принявшие участие в предыдущем туре; им
посылается фрагмент сети, полученной на предыдущем туре. Этот
фрагмент (L-окрестность события S) включает перечень всех
элементарных событий 5Ь 52, ..., Sn, выставленных в числе условий
хотя бы одним экспертом, принимавшим участие в оценке данного
события S. Эксперты по данному событию S в новом туре могут
менять свои условия, включая в них любые элементарные события
Su S2, ..., Sn (и меняя соответственно свои оценки). В ряде случаев
возможно пользоваться расширенными фрагментами, включая
в них не только события Su S2, ..., Sn, но и события, их
обусловливающие (r-окрестность события S), и т. д. Полезно также, чтобы
эксперт, выставивший в качестве условий те или иные события
Si, S2, ..., S^ указывал в анкете имена возможных экспертов для
оценки этих событий. Тем самым список экспертов будет
расширяться до тех пор, пока не произойдет стабилизация
сети.
В стабилизированной сети без петель все события разбиваются
на слои. В первый слой входят все события, получившие только
безусловные оценки вероятности (и ожидаемого времени) своего
наступления. А для оценки событий, лежащих в i-м слое (i^2),
в качестве условий используются лишь события из слоев с
номерами, меньшими, чем и
Дальнейшая обработка построенной сети производится
следующим образом. Последовательно, слой за слоем, вычисляются
абсолютные вероятности выступления всех составляющих слой
событий и распределение абсолютного времени ожидаемого их
наступления, а также оценки разброса этих величин
(среднеквадратичные ошибки или квартили).
Распределение абсолютного времени с практической точки
зрения наиболее удобно задавать, фиксируя заранее конечное число
моментов времени (например, /i = 1978, /2=1980, /з=1982, /4=
=*1985, добавляя всегда к ним бесконечное время (в данном
случае t5 = oo).
Распределение абсолютного времени наступления любого
события рассматриваемой сети будет характеризоваться вектором
вероятностей (Ри Р2, ..., Рп> Р^),где Р{(5) представляет собой оценку
вероятности наступления события S до момента времени i\. В
частности, Рсо = Р представляет собой оценку безусловной вероятности
наступления события в неограниченный период времени. Через
162

(сгьаг, ..., Оку о™) будет обозначаться вектор среднеквадратичных
погрешностей соответствующих оценок.
Оценка вероятностей Pi производится на основе обычного
усреднения (с учетом весов экспертов) оценок, даваемых отдельными
экспертами. Что же касается этих последних, то они получаются
последовательно, слой за слоем.
Для события S из первого слоя экспертом дается оценка
абсолютной вероятности Р и абсолютного времени t наступления этого
события. Тогда соответствующие (одиночные) оценки данного
эксперта дадут значение Рг = 0 для всех U<t и Рг=Я или всех U^t.
Если же событие S не из первого слоя и для него дана оценка
условной вероятности q и относительного времени выполнения
данного события 5 при условии (b=f(S]9 S2, ..., Sk), то для событий
Sb S2, ..., Sk по принятому нами соглашению должны уже быть
известны абсолютные (усредненные) оценки вероятностей их
наступления и соответствующие оценки для всех других
компонентов вектора вероятностей. Для любой из этих компонент Pi
(включая и Роо) будут иметь место соотношения:
Pi(QA*) = Pi(Q)P,(/?); (4.130)
Pi(-Q) = i-Pi(Q); (4.131)
Pi(QV#) = P,(Q) + Pt(R) - P,(Q)P,(/?)t (4.132)
где Q и R — любая пара независимых событий. Эти соотношения
в силу нашего предположения о независимости событий Sr,
S2, ...» Sh дают возможность подсчитать значение
соответствующей компоненты Pi(<D) вектора вероятностей для
события Ф.
Пусть теперь Pt — вероятность того, что событие Ф произойдет
не позже чем в момент времени /; q(a)—вероятность того, что
событие S произойдет не позже чем через время а после
наступления события Ф. Тогда вероятность r(t) того, что событие S
наступит не позже чем в момент времени /, выразится формулой
г(*) = $ q(t - °)d(P{t)). (4.133)
Используя соответствующую дискретную аппроксимацию этой
формулы, мы получаем возможность вычислять значение любой
компоненты вектора вероятностей рассматриваемого события S
по оценке данного эксперта.
Повторяя этот процесс и проводя необходимые усреднения, мы
получим в конце концов оценку вектора вероятностей и разброса
его значений для интересующего нас заключительного события.
При дальнейшей работе с сетью опросы экспертов можно
систематически повторять. Изучая динамику изменения оценок вместе
с информацией о действительном времени наступления тех или
иных событий, можно предложить различные приемы внесения
163

поправок в вес экспертов. Выбор того или иного из этих приемов
зависит от степени предпочтительности правильности начальных
оценок по сравнению с более поздними, от желания учитывать
степень правильности не только конечного результата (оценки
времени), но и путей его достижения (правильности выбора условий).
Поэтому мы не будем пока уточнять этих приемов.
Работа с построенной сетью может предусматривать
возможность уточнения тех или иных частных оценок для составляющих
ее событий (например, путем привлечения новых экспертов или
постановкой новых исследований). Для каждого события это
уточнение будет требовать определенных затрат (вообще говоря, тем
больших, чем выше слой, которому принадлежит данное событие).
Необходимо поэтому разработать методику, нахождения
рационального выбора этих уточнений.
Предположим, что из каких-либо соображений, находящихся
вне сферы наших рассмотрений, установлено, что наибольший
интерес представляет уточнение оценки вероятности Pi(S) наступления
заключительного события S до момента времени U. Для каждого
события Si, входящего в построенную сеть, определим изменение
оценки вероятности Pi(S) при максимальных изменениях
компонент вектора вероятностей события 5, допускаемых имеющимися,
экспертными оценками. Стоимость эксперимента по уточнению
оценки вектора вероятностей для события S, отнесенную к
величине указанного -изменения (удельную стоимость), естественно
выбрать в качестве критерия для выбора события S*, оценка
вектора вероятностей которого подлежит уточнению в первую очередь.
4.4.4. Метод эвристического прогнозирования (МЭП)
Основная задача, стоящая перед специалистами по анализу
и проектированию больших систем, в общем случае, как правило,
заключается в нахождении наиболее оптимальных способов
создания более эффективных систем — либо вновь проектируемых, либо
модернизируемых. Сложность решения этой задачи состоит прежде
всего в том, что здесь обычно нет возможности найти решение чисто
математическими методами, поскольку, как правило, не удается
точно определить величины (функционалы), подлежащие
оптимизации (экстремализации) в математическом смысле. Это связано
не только со сложностью описания функционирования больших
систем, но и с такими принципиальными видами, как, например,
специфика целей, для достижения которых предназначена система.
Вогпервых, перед системой может стоять не одна цель, а набор их,
что сразу же приводит к задаче векторной оптимизации. Во-вторых,
набор целей, поставленных перед системой, может содержать
в своем составе чисто качественные цели, не подлежащие
практически реализующимся количественным измерениям. Это приводит,
с одной стороны, к проблеме оценки степени достижения
качественной цели и, с другой — к проблеме соизмерения важности
качественных и количественных целей и степени их достижения.
164

Аналогичная ситуация возникает и при оценке последствий
предполагаемого способа достижения поставленной цели. Укажем
для примера, что эти последствия могут одновременно носить
экономический, политический, социальный или какой-либо другой
характер.
В этих условиях решение системной задачи находится
посредством эвристических приемов, использующих весьма сложный
математический аппарат, и заключается в выдаче обоснованных
рекомендаций, достаточных для выработки решения.
Методом эвристического прогнозирования называется метод
получения и специализированной обработки прогнозных оценок
объекта путем систематизированного опроса
высококвалифицированных специалистов (экспертов) в узкой области науки, техники
или производства [23]. Прогнозные экспертные оценки отражают
индивидуальное суждение специалиста относительно перспектив
развития его области и основаны на мобилизации
профессионального опыта и интуиции.
Метод эвристического прогнозирования сходен с дельфийской
техникой, коллективной генерацией идей и методом коллективной
экспертной оценки в том' умысле, что одним из элементов его
является сбор и обработка суждений экспертов, высказанных на
основе профессионального опыта и интуиции. Однако он
отличается от указанных методов большей четкостью теоретических
основ, способами формирования анкет и таблиц, порядком работы
с экспертами и алгоритмом обработки полученной информации.
Эвристическим данный метод назван в связи с однородностью форм
мыслительной деятельности эксперта при решении научной
проблемы и при оценке перспектив развития объекта
прогнозирования, а также в связи с использованием экспертами
специфических приемов, приводящих к правдоподобным умозаключениям.
Назначение метода эвристического прогнозирования —
выявление объективизированного представления о перспективах развития
узкой области науки и техники на основе систематизированной
обработки прогнозных оценок репрезентативной группы экспертов.
Область применения МЭП — научно-технические объекты
и проблемы, развитие которых либо полностью, либо частично
не поддается формализации, т. е. для которых трудно
разрабатывать адекватную модель. Например, элементно-технологическая
база ЭЦВМ.
В основе метода лежат три теоретических допущения: 1)
существования у эксперта психологической установки на будущее,
сформулированной на основе профессионального опыта и интуиции,
и возможности ее экстериоризации; 2) тождественности процесса
эвристического прогнозирования и процесса решения научной
проблемы с однотипностью получаемого знания в форме
эвристических правдоподобных умозаключений, требующих верификации;
3) возможности адекватного отображения тенденции развития
объекта прогнозирования в виде системы прогнозных моделей,
синтезируемых из прогнозных экспертных оценок.
165

Эти допущения реализуются в методе эвристического
прогнозирования путем системы приемов работы с экспертами, способами
оценок in синтеза прогнозных моделей.
В качестве исходных документов при работе по методу
эвристического прогнозирования выступают: описание метода; инструкции
по формулированию вопросов; инструкции по составлению анкет
и таблиц экспертных оценок; порядок работы с экспертами; набор
эвристических приемов для экспертов; инструкция для экспертов по
заполнению анкет и таблиц; инструкция по обработке на ЭВМ
экспертных анкет и хаблиц; алгоритмы и программы для обработки
данных на ЭВМ; заполненные экспертами анкеты и таблицы;
инструкция по оценке компетентности экспертов; инструкция по
синтезу прогнозных моделей; набор способов верификации прогнозов.
Наличие полностью сформулированного информационного
массива дает полное основание для качественной работы с МЭП.
Формирование анкет и таблиц экспертных оценок.
Информационным массивом для разработки прогнозов методом
эвристического прогнозирования является набор заполненных экспертами
таблиц и анкет. Таблицы содержат перечень строго
сформулированных вопросов. К вопросам в анкетах предъявляются следующие
требования: 1) они должны быть сформулированы в общепринятых
терминах; 2) формулировка их должна исключать всякую
смысловую неоднозначность; 3) все вопросы должны логически
соответствовать структуре объекта прогноза; 4) они должны быть
отнесены к одному из трех перечисленных ниже видов. В зависимости
от вида вопроса применяется определенная процедура его
формулирования и составления анкет.
К первому виду относятся вопросы, ответы на которые содержат
количественную оценку: вопросы относительно времени свершения
событий («Когда будет создан первый опытный образец ЭВМ
5-го поколения в США?»); вопросы относительно количественного
значения прогнозируемого параметра («Каково будет
максимальное быстродействие ЭВМ в СССР в 1980 г.»?); вопросы
относительно вероятности осуществления события («Какова вероятность
того, что в 1980 г. в СССР будут созданы ЭВМ с элементами
самоорганизации?»); вопросы по оценке относительного влияния
факторов друг на друга в некоторой шкале («Оцените по 10-балльной
шкале вклад каждой из естественнонаучных теорий в решение
проблемы общения человека с ЭВМ»). Для данного типа вопроса
применяется самая простая процедура составления анкет. В этом
случае сам прогнозист, знающий объект прогноза, формулирует
перечень значений оцениваемых параметров, вероятностей и
временных отрезков. При определении шкалы значений
количественных параметров (время, характеристика и пр.) целесообразно
пользоваться неравномерной шкалой. Конкретное значение
неравномерности определяется характером зависимости ошибки прогноза от
времени упреждения.
Ко второму виду относятся содержательные вопросы,
требующие свернутого ответа не в количественной форме. Вопросы, тре-
'166

бующие ответа в свернутой форме, могут быть трех типов:
дизъюнктивные («Какой принцип использования ЭВМ является наиболее
эффективным для решения экономических задач в период
1980—1990 гг.: А V Б У В \/ Л..?»); конъюнктивные («Какие из
перечисленных ниже методов повышения надежности будут
применяться в период 1975—1985 гг.: А ЛБЛ&ЛГЛДЛ ?, эксперт
подчеркнул А Л^Л^»); импликативные («Подчеркните, какие из
перечисленных изменений в структуре ЭВМ произойдут, если будут
раскрыты принципы эвристического решения задач человеком?
А-+Б АВЛГ\/Д»).
Вопросы, требующие содержательного ответа в свернутой
форме, характеризуются наиболее сложной процедурой их
формирования в анкету. Анкета в окончательном виде получается
в результате трехэтапной итерации. На первом этапе прогнозист
тщательно изучает результат работы (доклад) группы экспертов
(метод комиссий) над определенной темой. Итогом изучения
является формулировка первого варианта вопросника, который на
втором этапе рассылается председателям соответствующих
комиссий для корректировки и уточнения. В результате получается
второй вариант вопросника. На третьем этапе вопросы группируются
по темам и в определенном порядке внутри тем. Окончательный
вариант вопросника приобретает форму таблиц экспертных оценок.
К третьему виду относятся вопросы, требующие ответа в
развернутой форме, которые, в свою очередь, делятся на два типа:
вопросы с формой ответа в виде перечня сведений о предмете
(«Каковы характерные особенности ЭВМ пятого поколения?»);
вопросы с формой ответа в виде перечня аргументов,
подтверждающих или отвергающих тезис, содержащийся в вопросе («Каковы
ваши доводы в пользу целесообразности развития вычислительной
техники в стране по пути создания единой сети государственных
вычислительных центров?»).
Вопросы, требующие содержательного ответа в развернутой
форме, определяются путем двухэтапной итерации. Первый этап —
прогнозист обращается к экспертам с просьбой сформулировать
наиболее перспективные и наименее разработанные проблемы.
На втором этапе из всех названных проблем выбираются лишь
имеющие непосредственное отношение к объекту прогноза и
принципиально разрешимые.
После того как все вопросы уточнены и сведены по
тематическим признакам в соответствующие разделы анкет или таблиц,
переходят к работе с экспертами, анализу и обработке экспертных
оценок [69].
Анализ и обработка экспертных оценок1. Пусть в результате
опроса экспертов получена матрица, в которой: 1-я строка
соответствует ответам 1-го эксперта на все вопросы по обследуемому
объекту или комплексу (вопросы, на которые эксперт не отвечал,
также записаны в этой строке); 2-я строка соответствует ответам
1 Метод анализа экспертных оценок разработан В. М. Шаловым.
167

2-го эксперта на все вопросы и т. д.; 0,1; 0,2 и т. д. обозначает
1-й, 2-й и т. д. вопросы, на которые отвечают эксперты. Внутри
каждого вопроса могут быть несколько подвопросников или
альтернатив, которые должен оценить эксперт; т — общее число вопросов.
Столбец матрицы обозначает совокупность ответов' всех экспертов
по данному конкретному подвопросу или альтернативе; N — общее
число подвопросов (или альтернатив), на которые отвечает (или
которые оценивает) эксперт; / — порядковый номер подвопроса
(альтернатив). Все подвопросы будем считать пронумерованными
в соответствии с номерами столбцов «Матрицы ответов экспертов»
(табл. 4.4).
Специфической особенностью такого опроса является то, что
практически ни один эксперт не является компетентным во всех
вопросах и поэтому «Матрица ответов экспертов» содержит либо
пустые места, не имеющие никакого ответа эксперта, либо ответы
эксперта на вопросы, в которых данный эксперт недостаточно
компетентен.
При анализе заполненных анкет представляют интерес мнение
всей совокупности экспертов, облик объекта или комплекса в целом.
Для этого кроме «Матрицы ответов экспертов» необходима еще
«Матрица компетентности экспертов», характеризующая уровень
осведомленности каждого из экспертов по каждому из т вопросов.
Для построения «Матрицы компетентности экспертов» каждому
Таблица 4.4
Матрица ответов экспертов
к
1
2 -
3
•
п
01
1
0ц
0/11
2-
012
0/12
3
013
0/гз
02
4
0н
0/Z4
5
015
0/гз
03
6'
010
0Д6
7
017
0*7
8
018
0Л8
9
019
0/29
J
аи
<lnj
От
N—2
а1, N-2
an, N-2
N-\
ah JV-1
an% N-l
N
аш\
an,N\
эксперту кроме основных анкет предлагается еще заполнить
таблицу, характеризующую его уровень осведомленности и
специализацию (табл. 4.5 и 4.6). Каждый эксперт, заполнив табл. 4.5, ука-
16&

Уровень осведомленности эксперта
Таблица 4.5
Специализация
Динамика, баллистика
Аэродинамика ....
Силовые установки . . .
Прочность конструкций
Оборудование ....
Системы управления . .
Эффективность ....
Уровень осведомленности
0
+
1
2
3
+
+
4
+
5
+
+
G
7
+
8
9
10
Таблица 4.6
Матрица специализации экспертов
1
2
:
s
1
вц
в21
esi
2
^12
в22
в52
3
^13
^23
в53
...
...
...
...
...
п
вц,
®2Л
в5л
Таблица 4.7
Матрица предпочтительности
специализации экспертов
1
2
S
Ог
aSl
о2
aS2
Ог
ass
...
""
от\
ат
а2т
•
asm\
зывает свой уровень осведомленности по каждой из приведенных
там специализаций.
Такую самооценку компетентности экспертов можно допустить,
поскольку опрос анонимный. При этом желательно, чтобы каждый
эксперт знал о самооценках других экспертов, участвующих
в опросе.
Обозначим: п — число экспертов; S — число рассматриваемых
специализаций; 6ар (а=1, 2, ..., S; р=1, 2, ..., п) — условное число
(балл), характеризующий уровень осведомленности эксперта
с номером в специальности под номером а. В силу принятой
10-балльной оценки получим О^Оо? <10(а=1, 2,..., S; р=1,
2, ..., п).
Пусть еще имеется заполненная специалистами матрица,
характеризующая предпочтительность специализации эксперта, для
169

того чтобы установить наибольшую компетентность в конкретных
вопросах, указанных в «Матрице ответов экспертов» номерами
О и 02, ..., От (табл. 4.7). Обозначим: т — число вопросов; S —
число рассматриваемых специализаций; ам(£=1, 2, ..., S; /=1,
2, ..., т) — степень предпочтительности специализации номера k
для вопроса с номером /.
Для оценки степени предпочтительности aw(Z=l, 2, ..., т)
каждого вопроса можно воспользоваться шкалой табл. 4.8.
Таблица 4.8
Шкала оценки предпочтительности
Для данного вопроса эта специализация
эксперта весьма существенна
Для данного вопроса эта специализация
эксперта полезна
Для данного вопроса такая
специализация эксперта несущественна
**/ = 2
о-ы— 1
«« = 0
На основе «Матрицы специализации экспертов» ||0вз II и
«Матрицы предпочтительности .специализации экспертов» ||ам|1 может
быть построена матрица компетентности экспертов (табл. 4.9).
Таблица 4.9
Матрица компетентности экспертов
1
2
3
п
Ог
Рц
Р-п
Ри
\рп1
о-.
Ри
Р»
Р»
Рп:
о.
' /и
Рп
Рзз
Рпг
•
...
...
...
...
...
От
^1/Л
Р-:т
"зт
' пт 1
Обозначим: т — число вопросов; п — число экспертов; Рх?(Л=1,
2,..., п\ р=1, 2,..., т) —коэффициент компетентности (вес эксперта
с номером Я в вопросе с номером р).
170

При этом коэффициенты компетентности экспертов Рл,р
вычисляются по формуле
р *п*» + **Ъ+-+**** (4Л34)
где 0sx — условное число (балл), характеризующее уровень
осведомленности эксперта с номером К в специализации с номером а
(Л=1, 2, 3, ..., /г); ал? —степень предпочтительности специализации
с номером k для вопроса с номером р (р=1, 2,..., т).
В тех случаях, когда эксперт не ответил по каким-либо
причинам на данный вопрос (или подвопрос), его компетентность в этом
вопросе автоматически считается равной нулю (Рхр=0).
В опросе экспертов используется несколько типов вопросов,
которые определяют типы ответов:
1. Эксперту необходимо назвать некоторые количественные
характеристики объекта, например вес. Подвопросов может быть
несколько, по каждому из них дается ответ, и в целом ответ на
вопрос запишется в виде аь «2, ..., ак, где k — число подвопросов.
2. Эксперт должен распределить 100 очков между
альтернативами. Обычно &=2-г4. Все альтернативы удерживаются для
дальнейшего рассмотрения. Ответ имеет вид (ось <*2> — ? аь),
aiH-a2+ ... +a/t=100.
3. Эксперт должен точно так же распределить 100 очков
между k альтернативами, rio для дальнейшего рассмотрения
принимается лишь альтернатива, имеющая наибольшее число очков.
4. Эксперту предлагается ранжировать рассматриваемые
альтернативы, пометив их в порядке предпочтения числами 1, 2, 3,..., k.
В таком случае альтернативам дается относительная важность
(вес) по правилу k—1, k—2, ..., 0, которая уже участвует в
дальнейшем анализе. Все альтернативы переносятся для дальнейшего
рассмотрения.
5. То же самое, что и 4-й тип, только для дальнейшего
рассмотрения оставляется лишь одна предпочтительная альтернатива.
6. Эксперт должен отметить «да», «нет». Альтернатива
выбирается только одна. Обрабатывается, как 5-й тип.
Информация обрабатывается порциями, по вопросам. В случае,
когда вопросы анкеты достаточно автономны и носят разнородный
характер, когда меняются эксперты и их ответы оцениваются
с помощью различных шкал, целесообразно обработку результатов
опроса вести предварительно по каждому вопросу отдельно,
стараясь не потерять информации обо всем объекте (комплексе)
в целом. Это удобно также с той точки зрения, что обработка
сразу всего объема информации по опросу может вызвать
затруднения с использованием памяти ЭВМ при машинной обработке.
Первым этапом обработки информации по любому из вопросов
является приведение информации к стандартному виду,
заключающееся в пересчете «рангов» ответов типа «да», «нет» и других
в величины, расположенные на некоторой числовой оси. При этом,
если речь идет об альтернативах, лучшим альтернативам соответ-
171

ствует большее число на этой оси. Покажем метод обработки
информации, приведенной лишь для первого вопроса (для остальных все
делается аналогично).
Итак, пусть информация по вопросу представлена в следующем
виде:
*i А2 ... «у . .. а1АРи
#21^22 • • • а2У • • -а 2kP2X
>
а/Л2 . . . «д/ . . . ЧкРПХ
где k — число подвопросов (альтернатив) в данном вопросе; ац —
приведенный к'стандартному виду ответ 1-го эксперта по /-му под-
вопросу; Pis — вес (коэффициент компетентности) f-ro эксперта по
5-му вопросу.
Если эксперт не отвечал на данный подвопрос, то его вес по
нему считается равным 0. Использование «Матрицы
компетентности экспертов» при сделанной оговорке позволяет, таким
образом, провести всю обработку результатов опроса.
Перейдем теперь непосредственно к описанию этапов
обработки.
Вычисление среднего взвешенного. Это наиболее простая
операция, осуществляемая по формуле
где Р& — вес /-го эксперта по t-му подвопросу; Р^ отличается
тем, что по S подвопросам, на которые эксперт не ответил, вес
считается равным 0 (*=1, 2,..., &)•
В результате получим вектор (оы, «2> ..., ал), который участвует
в дальнейшей обработке, а также запоминается для анализа всего
объекта (комплекса) в целом.
Гистограмма распределения мнений экспертов. Кроме среднего
взвешенного по каждому подвопросу желательно знать
распределение мнений экспертов. Это распределение можно
характеризовать различными величинами: дисперсией, коэффициентом
асимметрии, эксцессом и т. д. Вместо вычисления указанных величин
целесообразно привести полную гистограмму по каждому из
вопросов.
Для некоторой величины а, оцениваемой, например, экспертами
в первом подвопрбсе, строится гистограмма (рис. 4.12) ответов по
первому подвопросу, представленных в первом столбце матрицы:
11 <*nai2 .... *1ЛЯ" 11
I I ^21^22 • ^2k I
II аЯ1«я2 .... а„*Рв1 11
172

Выпишем этот столбец отдельно: ап, с*2ь •••» ап\. Пусть
величина аих (А=1, 2, ..., п) удовлетворяет следующему соотношению:
0<ahg<A(k=lt29...9n).
Разделим числовой отрезок [ОА] на N равных частей и
подсчитаем дляГкаждой из них число экспертов, оценки которых попали
в каждый заданный интервал. Будем считать, что ответ £-го
эксперта а^ принадлежит к i-му интервалу, если (i— 1)ДЛ ^аь, ^i&A.
Для удобства построения гистограммы нормируем вектор (ац,
(Х2и . . ., аш) следующим образом:
Ak = -%-N(k = l9 2, .... п); (4.136)
тогда этот вектор можно записать как (Аи Л2,..., Ап).
Число экспертов, ответы которых попали в f-й интервал,
вычисляется по формуле
п
«(О = 4"2Sgn <A*-' )Isgn(A*- 1) + sgn (/+ \-Ak)], (4.137)
где Л* — компоненты вектора;
г 1 при л: > 0;
sgn*= 0 при х = 0; (4.138)
I —1 при х <0.
Рис. 4.12. Гистограмма распределения мнений
экспертов
На гистограмме
(рис. 4.12) в начале
каждого интервала
укажем его
порядковый номер (0, 1, 2,
..., N—1) и в конце
последнего интервала
под цифрой N поставим
фактическую оценку по
шкале экспертов для
данного подвопроса.
На гистограмме
заштрихованными
столбиками обозначено в соответствующем масштабе число экспертов
с учетом 'их веса (коэффициента компетентности). При этом
наиболее высокий столбик без учета веса экспертов (суммарный «вес»
экспертов, ответы которых попали в данный интервал) будем
совмещать, а остальные соответственно пересчитываются. Под осью
абсциссы можно строить среднее взвешенное число оценок
экспертов по данному подвопросу.
Устойчивость средней оценки групп из г экспертов. При
проведении любого экспертного опроса встает вопрос о надежности
и достоверности полученных результатов. Укажем лишь наиболее
доступный способ оценки устойчивости результатов экспертного
173

опроса, сравнивая между собой результаты двух или более
независимых групп экспертов, состоящих из г человек каждая.
Если заранее не было произведено разделение экспертов на
группы, то эти группы можно сформировать после опроса,
составив их специальным или случайным образом, если не предъявлено
особых предпочтений к специализации экспертов. Когда общее
число экспертов достаточно велико, то после разделения их на
группы можно сравнить результаты опроса по группам.
Применительно к нашему случаю составим из общего числа
экспертов две случайные группы экспертов по г человек в каждой.
Пусть М обозначает множество экспертов М={1, 2, 3,..., п}. Будем
считать, что первая группа экспертов образует множество MlczM
и, соответственно, вторая группа экспертов образует множество
M*czM.
Вычислим среднее взвешенное по данному вопросу для первой
группы экспертов:
2 *si?Si
а\ = S*M* pSi . где i = 1, 2, ..., К (4.139)
SeM1
и для второй группы экспертов:
2 « Psi
g?=a*S р5' '.где *"lf 2' '•" *' (4Л40)
5еЖа
Тогда можно сравнить относительное расхождение мнений
экспертов 1-й и 2-й групп. Построим для каждого подвопросника
величину
А'вЦ^П'100' где/=1'2. ...,*;«"£<>, (4.141)
и для всего вопроса
As==A1 + A, + ...+ A»x> (4.142)
где а?, ь\ —среднее взвешенное для оценки по t-му подвопросу
соответственно 2-й и 1-й групп; а* — среднее взвешенное по
i-му подвопросу оценок всех экспертов; k — число подвопросов
в данном вопросе.
Если теперь случайным образом выбрать две группы экспертов
по г человек, еще раз найти их расхождения мнений Д< (*=1,
2, ..., k), а затем выбор таких групп повторить несколько раз
(порядка числа экспертов), то получим вектор возможных
расхождений мнений экспертов:
ДР>, А?) Af>, где /«1, 2. ... А,
а также (Д<!>, A<2>, ..., ДО),
где Д(Г}— относительное расхождение мнений экспертов двух групп
по t-му подвопросу при (о-м испытании (разделении на группы);
ды — аналогичная оценка для всего вороса при со-м испытании.
174

Для того чтобы сформировать группу экспертов, состоящую
из г человек, при наличии исходной группы экспертов из п человек
(п>г) выберем случайное число £ на отрезке (0-М), тогда
эксперта с номером
j=[nl] + l (1<У<л),
(4.143)
Рис. 4.13. Гистограмма расхождений мнений
экспертов
где [nl] —целая часть числа /г|, можно включить в формируемую
группу экспертов, запомнив при этом номер /. Далее выберем еще
одно случайное число £е[0; 1]; вычислим новый номер /, и если
это j не совпало с выбранными ранее номерами, то этого эксперта
также включим в группу и т. д., пока.не наберем полную группу
из г экспертов. Если / совпадает с каким-либо ранее выбранным
номером /', то это /
отбрасывается и
выбирается другое
случайное число. Таким
образом, группа из г
экспертов будет
сформирована случайным образом.
Аналогично
составляется другая группа
экспертов, и поскольку
ответы экспертов и
информация о них
выписана уже заранее в
виде матрицы, то вычисление гистограммы вида, указанного на
рис. 4.13, не представляет труда.
Такие гистограммы целесообразно построить для каждого под-
вопроса на основании вектора (Д(?}) и для вопроса в целом — на
основании вектора (A(w))-
Согласованность мнений отдельных экспертов. С целью более
глубокого анализа результатов экспертного опроса, оценки
достоверности полученного результата и отбора экспертов для
последующих опросов важно знать, как согласуются между собой мнения
отдельных экспертов и как эта согласованность зависит от
характера деятельности, положения, специализации экспертов. Чтобы
подобный анализ в какой-то мере можно было провести, построим
некоторую новую «Матрицу согласованности мнений экспертов».
На основании матрицы ответов экспертов и вектора среднего
взвешенного построим совокупность векторов:
г0 = (аи а2, ..., ak),
Г\ = (#и, #12, ..., #u),
(4.144)
rn = \dnU ап2, ♦.., #„*)»
где г0— среднее взвешенное;
Ьан = ап - at (i = 1, 2, ..., k\ j = 1, 2, ..., /г), (4.145)
175

где Аац — отклонение ответа /-го эксперта по t-му подвопросу;
гj — вектор отклонения ответов /-го эксперта от среднего
взвешенного (/=1,2,..., п).
На рис. 4.14 концу каждого вектора поставлена в соответствие
точка ^-мерного пространства, характеризующая ответы этого
эксперта по данному вопросу.
Величина а на рис. 4.14 обозначает среднее квадратичное
отклонение мнений экспертов от среднего взвешенного:
*=^Н2(Га'гр)] • (4Л46)
где (г«, /-(0 = ЬЦ , (а=1, 2,...,«). (4.147)
Рис. 4.14. Векторы мнений
экспертов
Рис. 4.15. Геометрический смысл
элементов матрицы Е
Наряду с этим будем рассматривать также скалярное
произведение векторов га и Г\ ; определим его следующим соотношением:
(Га, Г,) = ^Ч , (4'148>
2 pSapS?
S=l
где Acisa — компоненты векторов; PSa — веса экспертов.
Составим тогда матрицу e=||sgn(ra, Гр) || 2= || /ар II о,
состоящую из +1, 0, —1.
Матрица е качественно характеризует согласованность мнений
отдельных экспертов (рис. 4.15).
Если sgn (r*,rp) = + 1, то оценки экспертов смещены в одну
и ту же сторону относительно среднего взвешенного; если же
176

sgn (ra, Гр) = — 1, то оценки экспертов с номерами аир смещены
в разные стороны относительно среднего взвешенного (точнее,
относительно гиперплоскости П, проходящей через точку «среднее
взвешенное» и перпендикулярной вектору га). При sgn( га, гр) =0
один из векторов, га или гз , равен 0, т. е. мнение одного из
экспертов точно совпадает со средним взвешенным.
Матрица е характеризует согласованность мнений отдельных
экспертов лишь качественно в указанном выше смысле. Назовем
матрицу е матрицей качественной характеристики согласованности
мнений экспертов.
Построим еще одну матрицу, характеризующую более точно
согласованность мнений экспертов:
К =11 Кар IIS, (4.149)
где К«р - (.Г" р}, |г.| Ф 0, (4.150)
|Га| а
где га, Гр —векторы, определенные выше; а
—среднеквадратичный разброс мнений экспертов относительно среднего.
Геометрически матрица К
интерпретирована на рис. 4.16, где коэффициент
/С«р обозначает проекцию безразмерного
вектора г$/о на направление вектора г«.
Матрицу 1( будем называть матрицей
количественной характеристики
согласованности мнений экспертов. ,
Рис. 4.17. Геометрически^
смысл элементов
матрицы L
Целесообразно рассмотреть еще одну матрицу,
характеризующую согласованность мнений отдельных экспертов. Подсчитаем
расстояние /ар между концами векторов га и /у
Ц = Ц^-1 (а, р, = 1, 2, ..., п), (4.161)
i(Aa5a-A^)2P^P^ k
где|га-г?|2 = ^ г , lal'-S* 4.152
у "pScgjSP i=l
S=l
12 935 177
Рис. 4.16. Геометрический
смысл элементов
матрицы К

Тогда элементы матрицы L=\\la? II ? будут характеризовать
относительное расстояние между оценками экспертов по данному
вопросу (рис. 4.17).
Выявление группировок экспертов. При анализе результатов
экспертного опроса устанавливается также, имеются ли случайные
или преднамеренные (что, вообще говоря, недопустимо)
группировки экспертов. Выявление таких группировок — довольно трудная
задача. Попытаемся отыскать такие группировки сравнительно
простыми средствами. Пусть нам задана матрица относительного
расхождения мнений экспертов •
L-H |г3|;|Га1 11?= И/а? И?- (4.153)
Найдем такое множество (множества) экспертов Гд, для
которых относительное расхождение мнений не превышает величины Д,
предварительно определив для каждого а-го эксперта множество
тех экспертов Г(а, Д)г для которых относительное расхождение
мнений с а-м экспертом не превышает величины Д (см. рис. 4.14
и 4.15).
Из такого определения множества Г (а, Д) еще не следует, что
относительное расхождение мнения экспертов, входящих в него,
не будет превышать величины Д; Г (а, Д) — это лишь множество
экспертов, мнения которых близки к мнению эксперта с номером а.
Определим далее группировку экспертов, которая содержит
эксперта с номером а=1:
Г=ПГ(а,Д); ае(1;Д). (4.154)
Множество Гд может быть и пустым, это нам не мешает.
Построим далее множество
П = ПГ(а, Д); а6(2;Д), (4.155)
представляющее собой группировку (возможно, и пустую), куда
входит эксперт с номером 2.
Продолжая этот процесс, получим множества Г1, Гд ,..., Г?
содержащие возможные группировки (если они имеются)
экспертов с относительным расхождением мнений, не превышающим
величину Д. Символом Гд будем обозначать множество всех таких
группировок:
Гд- {П, Г2Д, .... ГЦ (4.156)
где могут быть как повторяющиеся группировки, так и пустые.
Изменяя далее величину Д, мы можем рассмотреть новые
группировки и проследить при этом изменение уже обнаруженных.
Для величины Д целесообразно брать величину
L = ±supl*9 (а, ре Ж), (4.157)
где m — число уровней, для которых мы ищем группировки
экспертов с соответствующей степенью согласованности мнений.
Таким способом могут быть выявлены всевозможные
группировки экспертов при различной тесноте связей.
178

Необходимо заметить, что матрицы е, К, L целесообразно
строить, по крайней мере, для каждого вопроса, а также для всего
объекта (комплекса) в целом путем суммирования для е и К
и путем вспомогательного анализа для матрицы L.
4.4.5. Коллективная генерация идей
Решая конкретную задачу, прогнозист, как правило, имеет дело
со множеством альтернативных вариантов независимо от того,
осознаны им соответствующие варианты развития прогнозируемого
процесса или нет. Поэтому определение всего возможного круга
вариантов развития прогнозируемого процесса выступает в качестве
непременного условия правильности прогнозов [23]. Вместе с тем
определение альтернативного круга вариантов предполагает
определение круга факторов, способных актуализироваться в
отношении прогнозируемого процесса, а поэтому также предполагает
составление грамотного, достаточно полного сценария. Это
требование, играющее первостепенную роль в обеспечении надежности
социально-экономического прогноза, является также значимым
в научно-техническом прогнозировании, поскольку ориентация
фронта научных исследований и разработок в пространстве
альтернатив научно-технического развития определяется не только
логикой развития соответствующей отрасли науки и техники, но, кроме
того, и целым рядом обстоятельств, источник которых — в
факторах экономического и социального порядка. Поэтому, грубо говоря,
процесс прогнозирования в той части, в которой он предполагает
синтез объекта прогноза в установленном выше смысле,
представляет собой как бы мультификаторный анализ события, т. е. анализ
события со стороны детерминирующих это событие факторов.
Множественность последних приводит к тому, что ошибка,
состоящая в игнорировании какого-либо фактора, реально влияющего
на прогнозируемый процесс, является самой распространенной
в прогнозировании. Составление для отдельных классов событий
типовых списков, способных к актуализации в отношении к этим
событиям, лишь способно уменьшить вероятность просчетов.
Однако поскольку в конкретных условиях развертывание всякого
процесса, сопоставляемого рядом событий, носит индивидуальный
характер, то список факторов, определяющих течение этого
процесса и манифестирующих косвенным образом те или иные
свойства объекта прогноза, всегда индивидуален. Поэтому прогнозист,
решая конкретную задачу, как правило, должен выходить за рамки
типовых контекстов ее решения и в соответствии с временными
рамками решения задачи (они всегда ограничены) выявлять
факторы, специфические именно для данных условий,
детерминирующие исход развертывания прогнозируемого процесса. Для
прогнозиста большое значение приобретает способность быстро выявить
круг тех факторов, которые могут актуализироваться в отношении
прогнозируемого события. Логический анализ содержания задачи,
естественно, является средством, обеспечивающим в определенной
179

мере решение этой проблемы. Структура логического анализа,
однако, всегда предполагает интеграцию процесса выдвижения
и оценки новых идей. Между тем установлено, что процесс
выдвижения новых идей не является независимым от процесса оценки.
Мало того, идеи генерируются тем более успешно, чем менее
процесс генерации интегрирован с процессом оценки, хотя, естественно,
при этом имеет место генерация не только конструктивных, но
и неконструктивных идей. Это позволяет в качестве инструмента
для определения круга факторов, способных актуализироваться
в отношении к прогнозируемому событию, рассматривать
методический прием, предусматривающий коллективную генерацию идей
; в условиях запрета на критику в процессе выдвижения новых идей.
! /Ъ литературе этот методический прием организации
выдвижения новых идей известен как метод «мозговой атаки». Процесс
выдвижения новых идей при «мозговой атаке» протекает в
определенном смысле лавинообразно: высказываемая одним из членов
группы, идея порождает либо творческую, либо критическую
реакцию. Однако в. силу правила запрета на критику негативные
реакции также порождают позитивные, т. е. продуктивные, результаты.
Наличие указанного эффекта подтверждается не только
качественные анализом, но и статистически. Так, исследования
эффективности «мозговых атак», проведенные в университете Буффало,
показали, что групповое мышление производит на 70% больше ценных
новых идей, чем сумма индивидуальных мышлений. Метод
«мозговых атак», таким образом, можно рассматривать как инструмент
для актуализации творческого потенциала коллектива
специалистов. Такая актуализация достигается за счет следующего:
во-первых, участники сессии коллективной генерации идей тренируют
свой мозг в отношении способности выдвигать новые идеи для
решения поставленных задач. Во-вторых, участник сессии получает
возможность нового и неожиданного «видения» проблемы глазами
своих коллег. В-третьих, последующее изучение всей совокупности
высказанных идей позволяет по-новому; с большим доверием
отнестись к идеям, которые, хотя и раньше высказывались коллегами,
в рутинной обстановке текущих дел лаборатории не привлекли
к себе достаточного внимания. В-четвертых, приобретаемая в
процессе многочисленных заседаний и дискуссий привычка к
отрицательным и критическим оценкам новых и недостаточно
обоснованных идей в процессе коллективно^ генерации идей дополняется
навыками творческого мышления. \
С точки зрения результатов'," которых можно достигнуть при
помощи сессии коллективной генерации идей (КГИ), эти сессии
можно распределить по следующим группам [35]:
1. Сессии КГИ, в результате которых получают окончательные
ответы на поставленные вопросы. Обычно соответствующие
проблемы не являются комплексными и могут быть решены без
проведения дополнительных исследований.
2. Сессии КГИ, в результате которых открывается
возможность формулировать план решения соответствующей задачи.
180

Подобный план может опираться как на истинные, с точки
зрения большинства, идеи, так и на идеи дискуссионные.
3. Сессии .КГИ, в результате которых формулируются идеи,
которые могут быть полезны при решении той или иной проблемы.
4. Сессии КГИ, в результате которых устанавливаются новые
аспекты рассматриваемой проблемы.
При этом независимо от того, для решения каких проблем
используется коллективная генерация идей, необходимо
руководствоваться следующими правилами: критика не допускается, оценка
предложений осуществляется позднее; приветствуется
оригинальность и нетривиальность идей — чем необычнее идея, тем лучше;
чем больше выдвигается идей, тем лучше, ибо тем большая
вероятность появления ценных идей; требуются комбинации и
усовершенствования идей..
Методически сессии коллективной генерации идей организуются
так: за несколько дней до начала сессии ее участникам следует
представить информацию о подлежащем обсуждению вопросе. Эту
информацию можно представить в письменной или устной форме.
Вместе с тем основная информация о решаемой проблеме может
сообщаться участникам сессии коллективной генерации идей
непосредственно перед ее началом. При этом желательно, чтобы
выносимый на обсуждение вопрос был по своей внутренней структуре
достаточно простым. Сужение задачи стимулирует эффективность
генерации идей. Поэтому более сложные проблемы должны быть
расчленены на составные части.
Результаты сессии коллективной генерации идей с формальной
стороны представляют собой некоторую систему идей, наиболее
ценными элементами которой оказываются идеи, непосредственно
связанные с ранее высказанными идеями и представляющие собой
их развитие; наивысшую ценность имеют также идеи, возникшие
в результате объединения двух или нескольких предложений
в одно. Наличие««цепной реакции» указанного рода признается
столь важным элементом сессии, что лицам, у которых возникают
синтезирующие идеи, слово представляется в первую очередь,
и, естественно, участникам сессии не разрешается зачитывать
подряд списки предложений, которые они могли
подготовить заранее. Каждый может выступить несколько раз, но
не .подряд.
Вследствие того, что результаты сессии КГИ представляют
не беспорядочную совокупность, а систему идей, ни одно
предложение не персонифицируется. Результаты обсуждения считаются
плодом коллективного труда всей группы. Это вполне закономерно.
Ведь любая идея, высказанная в данный момент любым из
участников сессии, могла бы ранее «мысленно принадлежать» его
коллеге, ожидающему слова. Кроме того, конкретное предложение
может быть прямо подсказано идеей, поданной кем-то несколькими
минутами раньше. Принимая во внимание указанный аспект
метода, на рассмотрение сессии не рекомендуется выносить
проблемы, затрагивающие приоритет, в том числе научный.
181

Что же касается оптимальной численности группы участников
сессии КГИ, то этот вопрос исследовался экспериментально и
наиболее продуктивными признаны группы в 10—15 человек.
4.4.6. Оценка точности методов экспертных оценок
В качестве меры точности экспертных методов принимается
среднее значение относительной погрешности: v=x/e. Это связано
с тем, что математическое ожидание х и дисперсия а
прогнозируемой характеристики часто дают несопоставимые результаты для
различных типов вопросов в таблицах_экспертных оценок. Среднее
значение относительной погрешности v показывает как
эффективность прогнозных расчетов, так и их точность и надежность: чем
ниже его значение, тем ближе подходит расчетная линия регрессии
к эмпирической. ~«&\
При этом в качестве эмпирических точек используются
усредненные экспертные оценки прогнозируемых характеристик по годам
времени упреждения. Увеличение вариации дисперсий экспертных
оценок по годам времени упреждения характеризует
закономерность уменьшения точности прогнозов во времени в абсолютном
выражении. Однако дисперсии оценок весьма чувствительны
к типам вопросов для экспертов. Поэтому среднее значение
относительной ошибки v, определяемое как отношение дисперсии
к математическому ожиданию экспертной оценки, может служить
основным показателем меры точности прогнозов. Этот показатель
дает возможность сопоставлять прогнозы различных
характеристик объекта и менее чувствителен к типу вопросов.
В качестве примера приведем вычисленные значения v в
прогнозе развития технологических процессов на предприятиях Мин-
тяжмаша. По характеру функции v=f(t) были выделены четыре
типа вопросов.
Средние значения относительной погрешности по годам для вопросов
различных типов с учетом объективной оценки компетентности экспертов
Вопросы типа I (я=11)
1970 1975 1980 1985 1990 2000
~ 0,00514 0,0482 0,1137 0,1577 0,2793 0,3302
DT 0,0002645 0,00239 0,01033 0,022 0,041158 0,0480
oV 0,01627 0,04889 0,1016 0,1483 0,2028 0,2191
V
D-
ZT
0,514
0,026
1,63
То же, %
4,82 11,37
0,24 1,03
4,89 10,16
15,77
2,20
14,83
27,93
4,12
20,28
33,02
4.80
21,91
182

Вопросы типа II (л=6)
V
D„
О
V
V
д-
<чг
V
*>*
а—
V
V
£>т
а—
V
V
dt
а—.
V
V
Dr
QT
1970
1,58
2,875
1,695
158,0
287,5
169,5
1970
0,7885
0,5078
0,7126
1970
78,9
50,8
71,3
1970
1,015
0,1640
0,405
101,5
16,4
40,5
1975
2,43
0,725
0,8515
То
243,0
72,5
85,2
1980
2,045
0,688
0,8295
же, %
204,5
68,8
83,0
Вопросы типа III (п
1975
0,6348
0,3356
0,5793
То
1975
63,5
33,6
57,9
Вопросы
1975
1,049
0,1320
0,3633
То
104,9
13,2
36,3
1980
0,487
0,1609
0,4011
же, %
1980
48,7
16,1
40,1
типа IV (л=
1980
1,313
0,3832
0,6191
же, %
131,3
38,3
61,9
1985
1,427 '
0,1272
0,3567
142,7
12,7
35,7
=3)
1985
0,593
0,2021
0,4495
1985
59,3
20,2
45,0
=5)
1985
1,860
0,750
<Т,8660
186,0
75,0
86,6
1990
1,375
0,1001
0,3163
137,5
10,0
31,6
1990
0,654
0,1295
0,3599
1990
65,4
13,0
36,0
1990
1,870
0,749
0,8654
187,0
74,9
86,5
2000
1,276
'0,1305
0,3613
127,6
13,1
36; 1
2000
0,766
0,1305
0,361 а
2000
76,6
13,1
36,1
2000
2,420
0,404
0,6356
242
40,4
63,6
Из теории статистики известно, что уменьшение v
характеризует повышение точности прогнозных вычислений, а увеличение v —
уменьшение точности прогнозных расчетов. Приведенные выше
экспериментальные данные показали, что увеличение v во времени
описывается кривой параболического типа. Поэтому
закономерность уменьшения точности прогнозов во времени также должна
описываться кривой второго порядка с отрицательными
показателями степени (для учета обратной пропорциональности).
Параболический характер изменения v во времени экспериментально
подтверждает теоретический вывод о том, что точность
прогнозирования обратно пропорциональна квадрату времени упреждения.
18а

Указанная закономерность дает возможность оценки допусков
точности прогнозирования для различных классов вопросов.
Выявление допусков (или класса) точности прогнозирования имеет
принципиальное значение, так как открывает возможность
априорной оценки точности получаемых результатов без проведения
кропотливых вычислений больших объемов информации.
В табл. 4.10 представлены значения допусков на v для
различного времени упреждения. По допускам на v различают четыре
Таблица 4.10
Классы точности прогнозных вычислений по МЭП
(допуски по коэффициенту вариации). %
Время
упреждения Г, годы
5
10
15
20
25
I
1-9
1—16
1—25
1—36
1—49
II
10-36
17—49
26—64
37—81
50-100
Ш
37-81,
50-100
65—122
82—144
101—169
IV
82—144
101—169
123—196
145-225
170-256
класса точности прогнозных расчетов в зависимости от степени
новизны прогнозируемого объекта. Для объектов с минимальной
неопределенностью (достаточно изученный класс машин или
систем) пользуются классом I. Для объектов с максимальной
неопределенностью (новые физические, к примеру, эффекты или
принципы действия машин или систем) пользуются классом IV.
4.5. Построение сценариев и прогнозные графы
4.5.1. Сценарий
Написание сценария — это метод, который пытается установить
логическую последовательность событий, чтобы показать, как,
исходя из существующей ситуации, может шаг за шагом
развертываться будущее состояние1. Описание обычно совершается
в явно выраженных временных координатах; эта особенность
существенна при прогнозировании в области политических проблем,
однако для целей технологических прогнозов введение явной
зависимости от времени не всегда обязательно.
Основное назначение сценария — определение генеральной цели
развития объекта прогнозирования, выявление основных факторов
фона и формулирование критериев для оценки верхних уровней
дерева целей.
1 По определению автора метода — известного прогнозиста США Г. Кана.
184

В сценарии используются заранее подготовленные прогнозы /
и материалы по развитию объекта прогнозирования. К ним
относятся в первую очередь результаты технико-экономического
анализа основных производственных процессов. Для достижения целей
прогноза нужно иметь полную картину возможностей
производства при существующем уровне развития науки и техники,
потребностей народного хозяйства, т. е. тех требований, которые
народное хозяйство предъявляет к развитию отрасли, к объему,
качеству и ассортименту выпускаемой продукции. Располагая
перечисленными данными и опираясь на установившиеся
тенденции в развитии, исследователи получают возможность
определить направления технического совершенствования и развития
науки.
Сценарий принуждает исследователя заниматься деталями
и процессами, которые он мог бы легко упустить, если бы
ограничился абстрактными соображениями. Конкретная оценка, догадка
и контекст, даже если в будущем обнаружатся их серьезные
недостатки, часто оказываются лучше, чем преднамеренный отказ от
них, ведущий к прекращению всяких размышлений и исследований.
Сценарий, по которому должен составляться прогноз
развития науки и техники, должен содержать в себе вопросы не только
науки и техники, но и экономики, внешней и внутренней политики.
Составляться он должен высококвалифицированными
специалистами требуемых профилей и разных уровней иерархической
административной лестницы.
При разработке сценария, поскольку в этом принимает участие
группа специалистов, имеющих субъективные суждения, всегда
возникает неопределенность. Ценность сценария тем выше, чем
меньше степень неопределенности, т. е. чем больше степень
согласованности мнений экспертов в осуществимости события, системы
и т. д. Поэтому нельзя упускать из поля зрения следующие вопроси:
1) насколько велика существующая неопределенность? 2) что
следует сделать, чтобы ее уменьшить? 3) какова ожидаемая-степень
уменьшения неопределенности при продолжении разработки?
Сценарий должен быть написан так, чтобы после ознакомления
с ним стала ясна генеральная цель проводимой работы в свете
политических, идеологических и экономических задач на
прогнозируемый период.
Сценарий является той информацией, на основании которой
будет проводиться вся дальнейшая работа, поэтому специалисты,
разрабатывающие его, должны отнестись к этому документу с
полным чувством ответственности: при работе использовать право
консультаций с необходимыми специалистами, пользоваться
материалами отраслевых институтов информации, требовать
необходимые справки от организаций. Сценарий в готовом виде должен
быть подвергнут анализу. Из дальнейшего рассмотрения
исключается все то, что по мнению специалистов, достаточно обеспечено на
рассматриваемый период, т. е. находится на высоком уровне
развития. На основании анализа информации, признанной пригодной
185

\ для предстоящего прогноза, формулируются цели на уровнях
: и критерии, рассматриваются альтернативные решения [50].
На рис. 4И^показана модель сценария, которая охватывает
все уровни-^от политики и рынков до науки. В основе модели
лежит целевой подход. Вначале прослеживаются требования
политики на внутреннем и внешнем рынках сбыта. Определяются
потребности в продукте различных стран мира (внешний рынок)
и отраслей промышленности (внутренний рынок). На основе
анализа политической картины (фона) определяются основные
пропорции и соотношения между рынками сбыта. Выбираются
альтернативы, цели, критерии, степень риска, размеры возможной
экономической выгоды и т. п. Перечисленные факторы определяют,
потребности в выпуске продукта. Основные критерии показывают,
при каких производственных мощностях можно достичь требуемого
уровня развития отрасли. С этих позиций рассматривается вклад
науки в обеспечение потребностей отрасли. Аналогично
анализируются возможности отрасли по удовлетворению этих
потребностей. Затем сравниваются потребности и возможности и
принимаются решения по выбору оптимального варианта развития науки
и техники.
Для анализа данной модели применяется системный подход,
который состоит в том, что целое последовательно, по
определенным правилам, разбивается на отдельные части и исследуется
взаимоотношение этих частей с позиций стоимости, эффективности,
степени риска и т. п.
4.5.2. Методика построения прогнозных графов и деревьев целей
Понятие графа первоначально было введено Л. Эйлером,
в 1776 г. в связи с головоломной задачей о кенигсбергских мостах.
В настоящее время графом вообще называют фигуру, состоящую
из точек — вершин, соединенных отрезками — ребрами. Графы
могут быть связными или несвязными, ориентированными или
неориентированными, содержать или не содержать циклы (петли).
Выбор той или иной структуры графа определяется существом тех
.отношений между элементами, которые он должен выразить.
Деревом называется связный ориентированный граф, не содер- -
жащий петель; каждая пара его вершин соединяется единственной
цепью. Только структура связного ориентированного графа
способна выразить отношения той или иной иерархии.
Деревом делей называют граф-дерево, выражающий отношения
между вершинами — этапами или проблемами достижения
некоторой цели. Дерево целей, вершины которого ранжированы, т. е.
выражены количественными оценками их важности, широко
используются для количественной оценки приоритета различных
направлений развития. Построение такого дерева целей требует
решения многих прогнозных задач, в частности: прогноза
развития науки и техники; формулировки сценария
прогнозируемой цели; формулировки уровней и вершин дерева целей;
.186

Рис. 4.18. Модель сценария

формулировки критериев и их весов ранжирования вершин. Каждая
из этих прогнозных задач по необходимости решается методом
экспертных оценок [23].
Следует отметить, что данной цели, как. объекту прогноза,
может быть поставлено в соответствие множество самых
разнообразных сценариев. Например, цели «разработать высокоточную
систему навигации с уходом нуля порядка одной минуты в год»
могут быть поставлены в соответствие сценарий в классе инерци-
альных электромеханических систем, сценарий в классе систем
квантовой радиоэлектроники (лазеров) или объединение этих двух
сценариев. Нетрудно видеть, сколь различные по своему характеру
проблемы будут входить в соответствующие этим сценариям
деревья целей.
Идентификация вершин уровней производится посредством
информационной карты, приведенной в табл. 4.11.
Таблица 4.11
Информационная карта проблемы t-го уровня
Наименование
проблемы
1
Подпроблема 1
Подпроблема 2
Подпроблема 3
Единица измерения
(степень трудности)
2
Новый метод
То же
Фундаментальная
Этапность,
вызываемая

функциональной
связностью
3
Затраты
во времени
по этапам
4
Затраты
в
стоимости по
этапам
5

Примечание
6
Отметим, что содержание графы 4 этой информационной карты
может быть иллюстрировано следующей зависимостью
коэффициента состояния от типа работы, используемой в системе ПАТТЕРН
[26]:
Коэффициент
Тип работы Время, годы , состояния
(готовности)
Изготовление освоенной
техники 1 О
Разработка серийного
образца 2 0,1—0,3
Разработка опытного
образца 3 0,4—0,6
Поисковая работа .... 5 0,7—0,9
Научное открытие .... больше 5 1,0
После того как репрезентативной группой экспертов граф или
дерево целей выбраны (принято, что репрезентативная группа
должна включать 10—20 экспертов), упорядоченными оказываются
188

лишь уровни; вершины же каждого не 1-го уровня остаются
неупорядоченными, что не позволяет квантифицировать (количественно
оценить) приоритет научно-технических направлений в графе или
дереве целей.
В общем случае может быть т различных критериев, по
которым должно быть осуществлено ранжирование. Критерием может,
например, быть упорядочение во времени начала работ
(следовательно, финансирования) вершин данного уровня (критерий НФ)
или распределение вершин уровня относительно некоторой
пропорции капиталовложений; могут быть социально-экономические,
экологические, военно-политические и другие критерии. Выбор
критериев ранжирования прогнозист осуществляет, в свою очередь,
посредством репрезентативной группы экспертов или посредством
эксперта-фаворита, мнение которого в этом вопросе общепризнано,
считается достоверным. Если критериев ранжирования несколько,
им присваивается, опять-таки экспертным методом, вес, так что
в общем случае критерием для ранжирования может быть
матрица А, которую обычно и рекомендуют в качестве
критерия ранжирования (табл. 4.12).
Таблица 4.12
Наименование критерия
Вес критерия
*<
w{
Ч
w{
4
w{
•••
...
kL
w'm
Следует, однако, отметить, что матрица А не учитывает одной
существенной возможности, зависимости веса критерия от того,
о каком месте в ранжированной последовательности идет речь.
Поэтому более общим критерием для ранжирования является
матрица Б (табл. 4.13).
Таблица 4.13
Наименование критерия -
Вес критерия
Номер
места
1
2
:
/
*{
Wi
wL
'.
wj
4
W»^
wk
•
wi
ч&
^wii
wL
;
Mm
WL
■
v:[m
189

В дальнейшем именно эта матрица и будет рассмотрена в
качестве критерия ранжирования. Очевидно, что матрица А является
частным случаем матрицы Б.
Задача правильного ранжирования сводится: 1) к квантифи-
кации пространства альтернатив — мнений экспертов о правильном
ранжировании соответственно принятому критерию ранжирования;
2) к принятию решения о правильном ранжировании
соответственно принятому критерию ранжирования, точнее — соответственно
подматрице весов критерия ранжирования. В дальнейшем будем
исходить из последней трактовки задачи ранжирования. Кванти-
фикацию пространства альтернатив осуществим в вероятностной
метрике.
Введем следующие обозначения:
Эг — событие: «мнение 1-го эксперта правильное»;
\J9i — событие: «мнение репрезентативной группы экспертов
правильное»;
р
U Э — событие: «мнение полной (генеральной) совокупности
/«1
(ГС) экспертов правильное»;
1*Г\К— событие: «ранжирование вершины Р /-го уровня
номером /С», 1\ 2^, 3^,..., гэ — вершины /-го уровня.
Отметим, что в этих обозначениях конъюнкции
(^n^)a(u5,); <0П*)ПЗ, (4.158)
имеют соответственно следующий смысл:
мнение репрезентативной группы экспертов о. событии (Р[\К)
правильное;
мнение ГС экспертов о событии (/jn^0 правильное;
мнение £-го эксперта_о событии (/>Л#) правильное, и их
идентификация в вероятностной метрике очевидна:
BEP^n^h^Ua^l;
BEP^n^n^Ua^l; (4.159)
о<вер(0п/олз,<1.
Чтобы квантифицировать затем в вероятностной метрике
результаты опроса экспертной группы, представим сначала их в виде
матрицы булевых функций В (табл. 4.14), где Мк\ — объединения
490

полного множества экспертов, выразивших мнение (К*[\1)
соответственно i-му критерию Ки причем
U МЪ ^ U Эи М% П Mlii = 0; Кф S, (4.160)
к=\ i-i
и отдельные множества М1^ могут быть пустыми — не содержать
высказывания.
Таблица 4.14
(I'nOflAfft
(^П1)ПА*Й
I
(Ф1)п4
(1^П2)ЛЛ*Й
. (2'П2)П^
;
(ф2)п^2
...
...
...
...
<l>nr')nA#y
(2^n^)n^y-
;
(фг)п^
Затем определим (соответственно аксиомам или теоремам
теории вероятностей) вероятности всех сложных событий этих матриц,
нормированные по объему выборки экспертов отдельно для
каждого разыгрываемого номера правильного ранжирования, и
запишем их на местах соответствующих булевых функций. Полученные
матрицы вероятностей (табл. 4.15) и решают задачу
квалификации результатов опроса экспертной группы.
При вычислении вероятностей булевых функций должно быть
уточнено определение репрезентативной группы. Естественно,
например, считать, что: а) мнения разных экспертов могут быть
и совместными; б)эксперт не меняет мнения, если его опрашивают
по тому же вопросу и при тех же условиях во второй раз; в)
мнения разных экспертов могут быть зависимыми или независимыми. v
Таблица 4.15*
р[{
Л{
;
А
рЦ
р%
; •
Р%
P\i
р%
:
р%
* • \
р%
Р%
;
p'irj
* p/f / — вероятность булевой функции (К лОл^/Г/-
191

Приняв указанное выше определение репрезентативной
экспертной группы, вследствие его условия «б», например, имеем
ВЕР (К'л *)ПЛ#| = ВЕР Л1& (4.161)
а вследствие условия «а» подсчет вероятности объединения Э\\з,
Э2и, ..., U Э{ совместных событий осуществляем по формуле
i i l
ВЕР и^-ЦВЕРЭ,- 2 ВЕР(3*лЗ,) +
+ 2 ВЕР(Эк[\Э1пЭ1)+ ... +
КФ1+1
+ (-1)'-,ВЕР(Э1п ... ПЭд (4.162)
и, в частности, например, имеем
ВЕР (Эх П Э2 п ... Л 3*) = ВЕР Эх ВЕР Э2 ... ВЕР Эг. (4.163)
В случае независимости мнений экспертов имеем
BEP(31n^2n ... П^) = ВЕРЭ1ВЕРЭ2 ... ВЕРЭ,, (4.164)
а в случае .зависимости мнений экспертов имеем
ВЕР л Эк = ВЕР 3t ВЕР (Э2/3,) ВЕР (Эз/^ л Э*) ...
... ВЕР^/^л^л ... n^i-i). (4-165)
причем следует учитывать, что конъюнкция Э\ л ^2П>»П Эг
обозначает совпадение мнений экспертов Эь «Эг, —, Э.
Если какое-либо множество Mlh пусто, то соответствующая
булева функция таблиц (В) имеет вероятность, равную нулю.
Отметим также, что все указанные выше вероятности, относящиеся
к экспертам,— априорные по отношению к эксперименту опроса
мнений экспертов, т. е. должны быть определены (посредством игр,
анкет для экспертов и других источников информации о
компетентности экспертов) до обсуждаемого эксперимента ранжирования.
Полученная выше квантификация пространства альтернатив
мнений экспертов позволяет принять обоснованное решение о
ранжировании вершин уровня и количественной оценке приоритетов
научно-технических направлений в сценарии объекта прогноза.
Отменим, что принятие решения — обычная концовка любого
распознавания, в отношении которой уже сформулировано много,
различных критериев, например по максимальной вероятности
отождествления (идентификации) распознаваемого объекта с
эталонным образцом, если эта вероятность превосходит некоторый
допустимый порог, разделяющий множество известных эталонов от
множества новых эталонов. Примем сначала решение о ранжировании
вершин.
С этой целью рассмотрим матрицу (табл. 4.16).
В столбцах ее записаны вероятности булевых функций,
выражающих мнения экспертов о том, как должно быть разыграно 1-е место
192

Таблица 4.16
Ki
«"и
p\{
•
PVn
K»
wvl
Pli
I
i p%
K3
Wis
pU
•
P%
к*
*>u
P\{
I
'%
• » »
- • « •
...
Km
W\m
P?lJ
\
p%
ранжированной последовательности по каждому из критериев К\\
Къ ...; Km- В простейшем случае каждый из столбцов этой матрицы
имеет единственный наибольший элемент р !/=/?/max и эти
наибольшие элементы могут быть расположены в неубывающей
последовательности:
/'/.max /'/am ax > . • • > PlKj max*
В этом случае должны быть рассмотрены две следующие
возможности:
1. Веса Wi, i=l+m, одинаковы:
а) если p/1,max>P/Uiax , 1-й номер ранжирования присваиваем
(в соответствии с названным выше известным критерием по
наибольшей вероятности) вершине /{ (// [\ 1) . При этом в качестве
апостериорного показателя достоверности этого прогноза объявляем
сумму вероятностей всех булевых функций, выражающих
высказывание (l\j п 1) соответственно всем имеющимся критериям Ки
т. е. сумму элементов /рй строки матрицы (См. табл. 4.16):
т
i—l
или (если и этот результат хотим выразить в вероятностной
метрике) ее нормированное по общему числу вершин г$ значение "p£i:
б) если pji =pl? =...=p)s , 1-й номер ранжирования
Чтах **2тах ^*$тах * * Г
присваиваем вершине того из высказываний (l{ л 1), (^П 1) >.•♦»
(Ч П 1)» Для которого оказывается наибольшей
сформулированная в пункте «а» апостериорная вероятность; если последних
высказываний несколько, решение принимаем по наибольшей
13 935 193

достоверности (компетентности) множеств экспертов,
участвующих в этих высказываниях; наконец, если и последние оказываются
одинаковыми, при решении о ранжировании вершин 1-й номер
выбираем обычной жеребьевкой.
Приняв, например, решение (/£ п 1)> из всех матриц
вероятностей (см. табл. 4.16) вычеркиваем их 1-й столбец и /g-io строку;
оперируя с полученными таким образом новыми матрицами
вероятностей, аналогичным образом разыгрываем 2-й номер
ранжирования и т. д.
2. Веса w^, ij=l+m, различны. В этом случае могут быть две
следующие основные возможности: а) один из критериев /С*
(в одних случаях военно-политический, в других — экологический,
в третьих — социально-экономический и т. п.) имеет бесконечно
большой вес Wij\ б) все веса w^, ij=\-r-m, конечны.
. Возможность «а» наиболее проста для принятия решения
и сопровождается наименьшими возможными расчетами. Матрицы
булевых функций (см. табл. 4.14) и соответствующие им матрицы
вероятностей для всех критериев ранжирования Ки *=1-т-л,
оказываются в этом случае ненужными. Составляются лишь матрица
булевых функций В и матрица вероятностей, соответствующих
критерию K,i бесконечно большого веса. Решение о ранжировании
1-м номером принимается описанным в случае одинаковости веса
способом исключительно но 1-му столбцу этой матрицы
вероятностей.
Возможность «б» более сложна для принятия решения и
сопровождается наибольшим объемом вычислений. В этом случае все
сформулированные выше способы принятия решения по матрице
вероятностей оказываются непригодными. Для разыгрывания
1-го номера ранжирования оказывается необходимым составить
уже не матрицы представленного выше типа, а следующие матрицы
(табл. 4.17).
Таблица 4.17
к,
wn
Pifan
:
Р\{\»п
к»
W\2
p\{wx2
\
pVj\w^
Кг
0>13
p\{™iz
:
рЦх^хг
...
Km
™ш
PnJ«>im
:
/#>im
£
т
m
^PrJJlwU
£ = 1
194

Соответственно этим матрицам, которые должны быть отдельно
составлены для каждого разыгрываемого номера ранжирования,
решение о ранжировании 1-м номером принимается по наибольшей
сумме строк матрицы, если такое наибольшее число единственно.
Например, если наибольшей оказывается сумма элементов строки,
соответствующей утверждению (Is [\ 1)9 принимается решение
(/in !)• В противном случае, т. е. если несколько строк имеют
одинаковую указанную сумму, решение о ранжировании 1-м номером
принимается по наибольшей достоверности априорной
компетентности экспертов, участвующих в альтернативных предположениях,
соответствующих одинаковым наибольшим значениям названной
суммы. Если же и эти числовые значения оказываются равными,
решение принимается жеребьевкой между предположениями,
получившими одинаковую наибольшую названную сумму.
Последующие номера ранжирования разыгрываются
аналогично. Разница заключается только в том, что, если решение (Is л А)
принято, из последующих рассмотрений исключаются
(вычеркиваются) столбец матрицы вероятностей, соответствующий
номеру К, и строка этой матрицы, соответствующая вершине /$;
кроме того, расчет проводится в соответствующей разыгрываемому
номеру строке матрицы весов критериев ранжирования.
Рассмотрим в заключение опущенный выше (при рассмотрении
случая одинаковости весов критериев ранжирования) сличай
матрицы вероятностей, у которой в столбцах оказывается по
нескольку наибольших элементов. В этом случае для принятия
решения должны быть взяты суммы элементов тех строк матрицы
вероятностей, в которых при розыгрывании 1-го номера стоят
названные выше наибольшие вероятности. Решение должно быть
принято по наибольшей такой сумме, если она единственна. В
противном случае, т. е. если и эти числовые значения оказываются
не единственными, решение должно быть принято по наибольшей
достоверности априорной компетентности экспертов, участвующих
в альтернативных предположениях. Если же и эти числовые
значения окажутся одинаковыми, решение принимается жеребьевкой
между альтернативными предположениями.
4.6. Матричный метод
При определении научно-технической стратегии развития
отдельных отраслей народного хозяйства большое значение имеет вопрос
об определении взаимного влияния этих отраслей друг на друга
. и на достижение целей объекта прогноза. Одно из возможных
решений этой задачи может быть достигнуто на основе применения для
целей нормативного прогнозирования матричного метода. Этот
метод позволяет произвести сравнение различных направлений
научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок по
степени их важности для достижения совокупности целей или
отдельной цели. Так как обычно развитие объекта прогноза зависит
195

от значительного числа взаимосвязанных факторов, то применение
матричного метода предполагает для упрощения оценки все
множество различных факторов разбить на ряд комплексов, в каждый
из которых входят в определенной мере однородные факторы.
В дальнейшем оценивается влияние этих комплексов друг на друга
и на достижение конечных целей на основе использования
операций с матрицами для решения задачи выбора и обоснования
оптимального размещения ресурсов путем ранжирования факторов
и определения их относительных весов внутри комплекса [25].
Взаимное влияние двух комплексов факторов может быть
выражено в форме матрицы влияния А [т, л], элементами которой ац
являются оценки (в частном случае это могут быть экспертные
оценки), отражающие влияние f-ro фактора комплекса факторов М
на /-й фактор комплекса N. Если имеются две согласованные
матрицы A[rrt, n] и В [я, г], то их произведение, представляющее
собой матрицу C[m(n)z], будет выражать влияние комплекса
факторов М на комплекс факторов R через посредство комплекса N:
С [т (п) z) = А \т, п].В [п, г]. (4.166)
Элементы матрицы-произведения в этом случае определяются
по формуле
С» = JjoyBy*. (4.167)
Две матрицы-произведения одинакового размера, одна —
C[m(n)z]t выражающая влияние комплекса факторов М на
комплекс факторов R через посредство комплекса N, и другая —
0[т(/)г], выражающая влияние комплекса факторов М на
комплекс факторов R через посредство комплекса F, могут быть
просуммированы, при этом получаем матрицу-сумму:
Е [т {n+f)z\ = С [т (n)z] +D[m (/) z], (4.168)
элементы которой определяются по формуле
1и = са + аФ (4.169)
Если цели объекта прогноза имеют различные степени
относительной важности или первоочередности, то каждая цель может
быть охарактеризована некоторыми величинами, которые в
совокупности будут являть собой вектор целей G. Такой вектор целей
представляет собой матрицу G[z> 1] размера z-1. Если при этом
существует некоторая матрица C[m(/i)z], выражающая вклад
различных факторов из комплекса М в различные элементы вектора G,
то произведение матрицы C[m(n)z] на матрицу G[z, 1] даст
матрицу
Р[/я, 1]; Р[/и,- 11-С[ш(я)г].0[гэ1Ь (4.170)
элементы которой, определяемые по формуле1
1 В формулах (4.167)—(4.172) aiit 6ifc, cik, ецу diiy pit gi являются
элементами соответствующих матриц А, В, С, D, Е, Р, G.
196

Pi=2ci)g}, (4.171)
выражают важность i-ro фактора (из комплекса М) для
достижения всего комплекса целей с учетом их важности.
Влияние различных элементов комплекса факторов М на
достижение /-й цели из совокупности целей, выражаемой матрицей
G[z, 1], может быть определено путем разбиения матрицы C[m, z]
на подматрицы размера mxl путем вычеркивания всех столбцов
матрицы, кроме рассматриваемого:
ки
^21-
\CZ\
ki
\cmi
с\ч с\ъ •
С44 C2z •
^32 ^33 •
ci2 ci2 .
Сщ2 СщЪ •
, . CXj . .
. . C2j
. • ^3; • •
• • Cij • •
. . £m/- . .
• *lr 1
. c2r
• ^3r
. cu
• ^mrl
В обоих случаях (для всей совокупности целей и для /-й цели)
компоненты получаемой матрицы-столбца показывают влияние
каждого фактора из рассматриваемого комплекса на достижение
/-й цели или всей совокупности целей и, очевидно, их можно
использовать для характеристики относительной важности различных
факторов данного комплекса.
Относительная важность их может быть получена путем
суммирования всех оценок факторов по столбцу и последующего
отнесения каждой оценки к этой сумме [29]:
z
1=1 1 = 1 у=1
где р*—коэффициент относительной важности (вклада) 1-го
фактора.
Если каждый из факторов является некоторым направлением
научно-технического прогресса, определенным образом влияющим
на достижение целей объекта прогноза, то очевидно, что
полученные таким путем оценки относительной важности направлений
отражают, какому из них необходимо уделить больше внимания,
выделить большое количество ресурсов или обеспечить другие формы
предпочтения. Таким образом, если имеется некоторый объем
ресурсов So6nb выделенный на развитие всего комплекса факторов Му
то распределение этих ресурсов между отдельными направлениями
должно производиться пропорционально относительной важности
развития этих направлений:
197

$i — «Ьобщ/?/»
(4.174)
где Si — объем ресурсов, выделяемых для развития 1-го
направления научно-технического прогресса.
Правило разбиения матриц на подматрицы взаимно
перпендикулярными прямыми (вычеркивание строк и столбцов) может быть
использовано для выделения подматриц влияний некоторой
небольшой группы факторов из комплекса на совокупность целей, или на
некоторую группу целей из всей совокупности, или на /-ю цель.
Согласованные подматрицы (число строк одной равно числу
столбцов другой) могут быть перемножены таким же образом, как
и квадратные матрицы, а имеющие равное число строк и столбцов
могут быть сложены. Например, матрицы А[/п, п] и В [/г, г] могут
быть разбиты соответственно на подматрицы \\[ти п{\ и Bi[ni, z{\
или на A2[m2i п2] и В2[/г2, z2] и т. д.:
At [mu nt]
: I
#11 ;#12 #13 #14j*.. #1/ ••• #1/г
I #21 j #22 #23 #24 ; • • • #2у • • • #2rt
#31 : #32 #33 #34 \ • • • #3у • ♦ • #3/г
А= #41 #42 #43 #11 ... #4/ .'•• #4* , (4.175)
#И #£2 #/3 #*4 • • • #/у ..« а1п
I #ml #/я2 #m3 #т4 • • • #ту • • • #/ял I
I
|| *И *12 *18 *и|*-« *1А ••• *U J
I I *2t *22 ^23 ^24 ! • • • &2к • • • ^2г I
L?it«i?5.?.....?2.?....™8ii# • * ^8* • * • ^э*
В= *41 &42 *43 #44 • -. bAk ... ЬАг\ (4.176)
bji bj2 Ь]г bjt ... bjk ... bjz
I bnl bn2 bni bni ... bnk ... 0rt(? I
которые легко поддаются перемножению, при этом
результирующие подматрицы Ci[mi(/Zi)zi]C2[m2(/X2)z2] и т. п. будут выражать
влияние подмножества факторов Afi, М2 и т. п. из комплекса М
на подмножества факторов Ru R2 и т. п. из комплекса R.
198

Аналогично, если имеются две подматрицы C\\m\(n)z{\
и Di[mi(/i)2i] одинакового размера, выражающие влияние
подмножества факторов М\ на подмножества R\ через подмножества
факторов соответственно N\ и F\, то их сумма, представляющая
собой матрицу Ei[mi(n+/i)zi], будет выражать суммарный вклад
подмножества факторов М в развитие подмножества R\ через
независимые подмножества N\ и F\.
Как и в случае для полных матриц, произведение матрицы
строки целей на подматрицу влияний даст подматрицу-строку,
элементы которой будут отражать вклад каждого фактора из
подмножества в достижение совокупностей целей. Если факторы
представляют собой некоторую группу направлений научно-технического
прогресса из большой совокупности, то, очевидно, что полученные
таким образом элементы подматрицы-строки могут послужить для
определения коэффициентов
относительной важности направлений,
пропорционально которым можно
производить распределение ресурсов
внутри данной группы направлений
-научно-технического прогресса.
Матричный метод является
нормативным методом прогнозирова- Рис 419 Граф влияний:
НИЯ, В КОТОРОМ ЗадаЮТСЯ КОНеЧНЫе д_цели дсу; 3-задачи АСУ;
цели И В процессе ПрОГНОЗИрОВаНИЯ М--методы решения эадач АСУ;
ОПредеЛЯЮТСЯ ПУТИ И СреДСТВа ИХ ОЯ^блГсти^науга^О?-отрас-
достижения (рис. 4.19). ли техяики
Прогностическая функция
матричного метода заключается в оценке влияния различных
вариантов научно-технических сдвигов на достижение конечных целей
объекта прогноза. Практически прогнозная информация
формируется за счет того, что в комплексы факторов входят
альтернативные решения тех или иных научно-технических проблем, в том
числе и такие, которые находятся на различных стадиях научных
исследований и опытно-конструкторских разработок.
Для того чтобы с наименьшей ошибкой были выбраны
наиболее эффективные пути и средства достижения поставленных целей,
необходимо, чтобы комплексы факторов включали возможно
больший спектр альтернативных решений той или иной проблемы. Это
позволит на основе оценки всех возможностей решения
поставленных задач с достаточной степенью надежности определить
наиболее важные научно-технические проблемы, оценить их влияние на
достижение конечных целей, оценить необходимость
стимулирования разработок и внедрения тех или иных технических средств,
конструкций, технологических процессов.
Все операции по матричному методу выполняются в такой
последовательности: 1) идентификация факторов, влияющих на
достижение поставленных целей; 2) выделение однородных
комплексов факторов путем группировки этих факторов по характеру их
влияния; 3) формирование матриц влияния комплексов факторов
199

друг на друга и на достижение целей; 4) определение влияния
факторов на достижение комплекса целей путем выполнения
операций над матрицами влияний (умножение, сложение, вычитание)
в соответствии со схемой направлений влияний одних факторов на
другие (графом влияний), определение относительных весов
фактора и ранжирование их.
Исходной информацией для прогнозирования по матричному
методу с использованием экспертных оценок являются: перечень
целей объекта прогноза и коэффициенты их относительной
важности; перечень факторов, влияющих на достижение целей объекта
прогноза, сгруппированных в однородные комплексы;
коэффициенты (баллы) матриц, определяющих влияние одного комплекса
факторов на другой или на достижение целей; показатели
относительной самооценки компетентности экспертов, принимавших
участие в работе по прогнозированию развития объекта; данные
о группах экспертов, участвовавших в данной работе, необходимые
для определения объективных показателей компетентности
экспертов. Практически участие экспертов в данной работе выражается
в формировании анкет экспертного опроса и заполнении этих
анкет.
\

ГЛАВА 5
СИСТЕМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ
И ПРОБЛЕМА ОРГАНИЗАЦИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
5.1. Системы непрерывного прогнозирования
Актуальность разработки и внедрения непрерывных
прогнозирующих систем в настоящее время становится все более
значительной в связи с внедрением автоматизированных систем управления
отраслями (ОАСУ) и производством (АСУП). Функционирование
ряда подсистем ОАСУ и АСУП невозможно без систематического
непрерывного производства прогнозов. Разработка
прогнозирующих систем подготавливает внедрение непрерывного
прогнозирования в отраслевые АСУ. Она должна быть ориентирована на это
и тесно увязана с задачами и подсистемами АСУ. Разработка
отраслевых прогнозирующих систем должна строиться по единому
принципу с ориентированием на дальнейшую увязку в единую
общегосударственную систему прогнозирования
научно-технического прогресса [25].
В зависимости от масштаба и целей научно-технического
прогнозирования можно выделить различные уровни прогностических
систем:
.Л. Общегосударственная система прогнозирования развития
науки и техники.
2. Система прогнозирования научно-технического прогресса
в отрасли.
3. Прогнозирование НИОКР при выполнении крупного проекта
или программы государственного масштаба, имеющих обычно
межотраслевой характер.
4. Прогнозирование развития подсистемы сложного
технического комплекса, устройства или технологии. В этом случае
прогнозирующая система упрощается и основу ее составляет комплекс
методов прогнозирования и правил их применения.
5. Прогнозирование какого-либо параметра или характеристики
устройства либо процесса развития технологии. В этом случае речь
идет не о системе, а о систематическом использовании
определенного метода прогнозирования.
В системах непрерывного прогнозирования в значительной
степени реализуются признаки, которые должны характеризовать
надлежащий процесс производства прогнозов. Непрерывность их
функционирования сводится к периодической разработке прогнозов
и их корректировке. Замкнутость обеспечивается наличием в схеме
обратной связи от объекта прогноза к блоку прогнозирования,
осуществляющей коррекцию прогнозов в процессе развития объекта
и окружающей среды.
Отмеченная в последние 5—10 лет тенденция повышения роли
экспертных оценок и эвристических приемов в планировании и прог-
201

нозировании развития науки и техники отнюдь не означает
девальвации математических методов и ЭВМ. Наоборот, расширяются
возможности и человека, и машины при их разумном симбиозе.
Возникающие при этом сложные научные и практические
проблемы, связанные с созданием человеко-машинных комплексов,
относятся, безусловно, к будущему. Однако наметить пути их решения
необходимо и возможно уже сейчас. Человеко-машинные
комплексы, предназначенные для непрерывного прогнозирования и
планирования сложных объектов типа «наука», «техника», «отрасль
промышленности» и т. п., могут быть отнесены к классу
автоматизированных систем. Такие системы включают в себя в качестве
элементов коллективы людей, технические и математические
средства, методы, алгоритмы и эвристические программы, а. также
элементы организационных мероприятий. Эти элементы
функционально связаны в систему таким образом, чтобы наилучшим
способом обеспечить решение поставленных задач планирования и
прогнозирования.
В настоящее время можно выделить три класса систем
непрерывного прогнозирования, исходя из их режимов
функционирования.
К системам первого класса относятся системы, работающие
в реальном времени. Информация о всех изменениях объекта
в таких случаях непрерывно поступает в систему прогнозирования
в виде сигналов, имеющих различную физическую природу. Как
правило, человек исключен из цепи «источник—приемник
информации» в таких системах, но может быть включен в эту цепь в
качестве шунтирующего элемента для экспертирования процесса ввода
информации в систему. По разработанным человеком прогнозным
моделям, алгоритмам и программам ЭВМ производит прогнозные
расчеты и представляет варианты дальнейших путей развития
объекта. Человек оценивает эти варианты, вносит изменения
в модель, если это требуется, и принимает решение по
управляющему воздействию на объект. При этом стереотипные и
стандартные ситуации принятия решения могут быть алгоритмизованы,
запрограммированы, а решение по таким ситуациям может
производить ЭВМ без участия человека. В различного рода
экстремальных и эвристических ситуациях человек незаменим. К системам
подобного рода могут быть отнесены системы прогнозирования
транспортных потоков на железнодорожном и воздхшном
транспорте.
В системах прогнозирования первого класса предъявляются
жесткие требования ко времени реакции системы на изменение
объекта (в силу жесткости информационной связи с объектом), ко
времени разработки прогноза, к точности применяемых методов
прогнозирования и др. Учет этрх требований ставит вполне
определенные требования к математическому, прогнозному и
техническому обеспечению системы прогнозирования и должен
приниматься во внимание при проектировании вычислительных средств
периода 1976—1980 гг.
202

Ко второму классу относятся системы, работающие в
квазиреальном времени. Источниками информации в таких случаях
являются как датчики различной физической природы,
установленные на объекте, так и человек, а информация поступает в систему
в форме электрических (или другой природы сигналов) или в
форме таблиц, диаграмм, графиков, составленных человеком. При этом
человек составляет неотъемлемый элемент цепи
«источник—приемник информации». Информация поступает в такую систему
прогнозирования в реальном времени, а прогнозы и управляющие
воздействия на объект могут выдаваться с запаздывающим или
упреждающим лагом относительно реального функционирования объекта.
ЭВМ или группа экспертов по текущей и ретроспективной
информации с использованием прогнозных моделей и методов
разрабатывает прогнозные варианты развития объекта и представляет их
в орган принятия управляющих решений или сразу на объект.
В системах второго класса предъявляются менее жесткие
требования ко времени разработки прогноза и времени реакции
системы4 на изменение объекта, чем в системах первого класса;
требования к точности методов прогнозирования, разнообразию
эвристических программ — такие же; требования ко времени
упреждения и глубине ретроспективного анализа — выше. Прообразами
систем прогнозирования второго класса являются система
прогнозирования состояния человека на борту космического корабля
и система ФЭИМ, прогнозирующая ход реализации
научно-исследовательской программы «Аполлон».
К системам третьего класса относятся системы,
функционирующие в режиме пакетной обработки прогнозной информации.
Источником информации в таких системах является человек, а
информация поступает в систему в дискретные моменты времени с
определенной периодичностью в форме алфавитно-цифровых или
графических документов. Исходная информация, как правило, проходит
стадию экспертирования и переструктурироваиия. При этом
значительную роль играют методы дисконтирования исходных данных,
методы учета факторов, влияющих на объект, и т. п. Информация
об объекте скапливается в центре прогнозирования и периодически
определенными массивами (пакетами) вводится в систему
прогнозирования. В системе прогнозирования ЭВМ или коллектив
экспертов разрабатывает варианты прогнозов по прогнозным моделям
и методам. Прогнозные варианты представляются в орган
управления для принятия решений.
В системах этого класса не предъявляется специальных
требований к оперативности разработки прогнозов и времени реакции на
изменение объекта, надежности прогнозов и точности методов
прогнозирования. Зато высокие требования предъявляются к
разнообразию эвристических приемов и методов прогнозирования, ко
времени упреждения, к методам синтеза и верификации прогнозов.
Примерами систем третьего класса являются автоматизированные
системы прогнозирования развития науки и техники, принципы
функционирования которых будут рассмотрены ниже.
203

5.2. Автоматизированные системы прогнозирования
развития науки и техники (АСПНТ)
5.2.1. Цели, предпосылки, схема функционирования АСПНТ
АСПНТ предназначается для выработки управляющих решений
на основе комплексного прогнозирования, а также для прогноза
последствий принятия управляющего решения, в данной отрасли
техники. Под управляющим решением мы понимаем здесь описание
структуры вложений ресурсов в научно-исследовательские, опытно-
конструкторские работы и производство, а также распределение
ресурсов между показателями отрасли/подлежащими
управлению {25].
Итак, в схеме АСПНТ управление осуществляется на основе
прогнозирования. В основе любого прогноза лежит накопленная
к настоящему моменту информация. Но вся существующая в
данный момент информация / необъятна, и большая ее часть для
конкретного специализированного прогноза либо несущественна, либо
вовсе не нужна. Тем не менее очень важной подготовительной
к прогнозу работой является обоснованный отбор информации, или
сужение / до некоторой «рабочей» информации /Рос=/. Если такое
сужение произведено, то в дальнейшем полагают, что информация
/ро достоверна, т. е. вероятность соответствия используемых фактов
истинным фактам равна 1 (здесь не идет речь о вероятностном,
случайном появлении того или иного показателя).
Прогнозирование можно интерпретировать как создание
информации с достоверностью р\<1 (квазиинформации /pi), играющей
для последующих моментов времени ту же роль, что и информация
с достоверностью /?о=1 для краткосрочного периода
прогнозирования. В частности, в схеме АСПНТ мы будем предполагать, что
одна из целей функционирования блока краткосрочного
прогнозирования К — выработка . квазиинформации Iv\ для дальнейшего
среднесрочного прогноза состояния отрасли техники. При этом
подразумевается, что Iv\ZdIvq, выработанная в блоке К, содержит
существующую достоверную информацию /р0.
Заметим, что на практике планируемые на краткий срок
показатели, как правило, достигаются с большой вероятностью. Иными
словами, достоверность р\ квазиинформации 1Р\ близка к единице;
поэтому представляется разумным учесть Iv\ в среднесрочном
прогнозе.
Аналогично, одна из целей функционирования блока
среднесрочного прогнозирования С —выработка квазиинформации 1Р2
с достоверностью p2<Pi<l, играющей роль баз для долгосрочного
прогноза. Имеется в виду, что /p2=>/pi=>/po.
Итак, схема АСПНТ осуществляет ступенчатое
прогнозирование: среднесрочное прогнозирование учитывает результаты
краткосрочного, а долгосрочное — среднесрочного.
Еще раз отметим, что краткосрочное прогнозирование,
вырабатывающее управляющее решение (план), будет приводить к неко-
204

торому достаточно узкому интервалу состояния отрасли, и его
необходимо учесть в среднесрочном прогнозе.
Квазиинформация /pi(/p2) имеет альтернативный характер. Это
значит, что мы предвидим несколько возможных состояний отрасли,
достижимых различными путями (с помощью различных
управляющих решений). При этом мы обязаны не только предвидеть их,
но и допускать. Иными словами, мы не имеем права стремиться
к точному значению какого-то показателя, а лишь к некоторому
интервалу значений, более или менее узкому.
Итак, одна из целей АСПНТ — выработка таких управляющих
решений, которые позволят достичь состояния отрасли Si,
попадающего _в ^заданный интервал (интервал безразличия Л):
5min-^5^Smax.
Далее, мы исходим из того, что при каждом фиксированном
квазисостоянии Si для органа, принимающего управляющее
решение (ОПУР), существует область безразличия на плоскости
Рис. 5.1. Плоскость
безразличия [г; д]
Рис. 5.2. Область допустимых
решений [5, г, д]
переменных г (капиталовложения) и q (риск). Поясним эту
предпосылку. Величина ql представляет собой риск неосуществления
квазисостояния. Очевидно, что_чем больше капиталовложения
(необходимые для достижения 5г), тем меньше должен быть риск q*.
При каждом данном фиксированном капиталовложении т1
существует минимальный и максимальный допустимый риск:
qmtn<^qi<£iqimax9 Очевидно, что с увеличением г* должна
уменьшаться величина qim*x. Существует также риск <7тах, предельно
допустимый независимо от г. Кроме того, существуют/111111 и rmax —
минимально и максимально допустимые капиталовложения:
/•min ^ f i < ^maxe
Таким образом, при данном S* на плоскости [г, ^образуется
область безразличия W* (рис. 5.1)_.
В пространстве переменных S, r, q мы будем иметь область
безразличия Q. При условии, что интервал безразличия Л достаточно
узок, можно допустить независимость W* от S* (W{ — W). В этом
случае область Q представляет собой цилиндр: Q=A-W (рис. 5.2).
205

Может показаться, что при фиксированном Si и г1 ОПУР всегда
должен выбирать альтернативу с наименьшим qy но это было бы
верно лишь в случае, если бы ОПУР преследовал только
оперативные цели. Поскольку же должны учитываться тактические и
стратегические цели, то необходимо допустить вариацию риска.
Аналогичные соображения можно высказать по поводу
вариации капиталовложений и квазисостояния. Поясним высказанное
положение примером. При_фиксированных капиталовложениях г*
и квазисостоянии отрасли S* риск ql зависит от структуры
вложений в НИР, ОКР и производство. Может оказаться, что с
наименьшим риском можно достичь состояния S\ вкладывая все ресурсы г*
в производство. Понятно, что по отношению к более отдаленному
будущему такое решение может оказаться, мягко говоря, неопти-
Рис. 5.3. Укрупненная блок-схема АСПНТ
мальным. Это, конечно, предельный пример, но он хорошо поясняет
необходимость вариации управляемых переменных при комплекс-.
ном прогнозировании.
Возвращаясь к описанию функционирования АСПНТ,
напомним, что в нашей схеме на входе К — достоверная информация
/ро; на входе С — квазиинформация /pi=>/p0; на входе D —
квазиинформация Ip2zdIpi (рис. 5.3).
В каждом из блоков /С, С и D вырабатывается прогноз фона it
(/С=1, 2, 3)—прогноз потребностей в показателях отрасли на
рассматриваемый период времени. Эти прогнозы формируются на
основе /ро и /с, где/с — целевая квазиинформация, выступающая
по отношению к модели отрасли как заданная, внешняя. В
частности, в Iе могут входить директивные требования к отрасли на
кратко-, средне- и долгосрочные периоды; экспертная
квазиинформация, информация о потребности в продукции отрасли на
соответствующие периоды и т. п.
Отметим теперь структуру сигналов на выходе каждого блока
и'всей АСПНТ.
Блок К по рассогласованию между прогнозом фона /? и
прогнозом модели отрасли / f вырабатывает на базе рабочей информации
/ро альтернативную квазиинформацию /pi — объединение множеств
(именуемых в дальнейшем альтернативами):
206

Ul (т,) = Ul = Ipo + U[, a /„ = n tfi.
Составляющая f/i, называемая в дальнейшем управляющим
элементом (УЭ), состоит из: 1) вектора прогнозных показателей
отрасли (вектора квазисостояния отрасли) S\\ 2) вероятности р\
достижения данного квазисостояния Si к концу прогнозируемого
периода (или из риска q[=\-p\); 3) показателя затрат
ресурсов г[, необходимых для достижения квазисостояния S\; 4)
описания структуры D\ вложений г\ в НИР, ОКР и производство (at p
и у) (рис. 5.4).
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями:
uil = ull{Si;qbri;D[);
4 = 4{Sl2;q2;rl2;Di).
Каждая альтернатива и\
представляет собой' вероятную
картину будущего состояния отрасли
и служит, как было отмечено
выше, базой для формирования
среднесрочного прогноза /р2.
Достоверная информация 1р0
является ядром каждой альтер
иативы /ро=Р«ь составляющая
же и\ позволяет принимать в
настоящий момент времени управ*
ляющее решение для достижения
квазисостояния отрасли Si\
можно также сказать, что и[ является основой планирования отрасли.
В соответствии с высказанными ранее сображениями мы будем
считать выполненным следующее утверждение: все УЭ и[ с
координатами 5/, <7ь ^^соответствующими некоторой точке области
безразличия Qi = Qi(5i; q{; r\)9 равноценны для ОПУР на первом
(оперативном) этапе управления.
Более того, элемент и[ мы будем называть управляющим тогда
и только тогда, когда его координаты S[\ q[\ r[ соответствуют
некоторой точке из области безразличия Qi.
Тем самым мы «открещиваемся» от тех УЭ, которые позволяют
достичь квазисостояния S\^A либо со слишком большим риском,
либо с недопустимо большими капиталовложениями.
Каждому квазисостоянию 5i соответствует пучок альтернатив
я|)(5{), объединяющий альтернативы U\ с одинаковыми значениями
207
Рис. 5.4. Структура Di затрат
ресурсов:
£i • • • 5/i — показатели отрасли,
подлежащие управлению

Итак, на выходе блока К выдается совокупность пучков
альтернатив jjp(S[)9 причем для каждой отдельной альтернативы
tii^(Sl) выполняется условие (qu rx)^W\.
Дальнейшее функционирование АСПНТ должно обеспечить
выбор тех альтернатив и{, которые наиболее способствуют
осуществлению тактических и стратегических целей.
Аналогично блок С на базе /poU t|)(S{) =/pi (для всех i)
формирует /f— среднесрочный прогноз модели отрасли, затем по
рассогласованию между /f и I" вырабатывает альтернативную
квазиинформацию /р2=П и£> гДе
• j
*l = ul[Sl;ql;rl;Dl);
(5.1)
На выходе блока С — совокупность пусков альтернатив ^(§1)9
причем для каждой отдельной альтернативы гдеф ($2)
выполняется условие (q2; r2)^wL
Выход блока D описывается аналогично с заменой индексации.
Таким образом,
АСПНТ осуществляет
ветвление альтернатив
в пространстве
«квазисостояние — время»
(рис. 5.5).
Необходимым
условием осуществимости
ветвления является
согласованность целей
оперативного, тактического
и стратегического
управления. Под этим
подразумевается следующее.
Цели — это один из
факторов, формирующих в схеме АСПНТ области безразличия Qi,
Q2, Q3, в частности Ль Л2, Л3 —интервалы допустимых значений
квазисостояния S. Как было уже отмечено, АСПНТ реализует
ступенчатое прогнозирование, т. е. отображение
Ь-*-Ь±~Ь (6.2)
и индуцированное им отображение
8^-2,^9,. (5.3)
Рис. 5.5. Ветвление альтернатив
208

Может случиться, что, отправляясь из Qi, нельзя попасть в Q2
(или из Й2 в Из). Например, не исключена ситуация, когда,
отправляясь из любого tJ)(S{), Достичь минимально допустимого S imln
можно только превысив допустимую величину капиталовложений.
В случае рассогласования целей АСПОТ осуществляет изменение
области безразличия &i(Q2> Из) по каналу 1 <—>2 (2<—>3) об-
Рис. 5.6. Функциональная блок-схема АСПНТ
ратной связи в зависимости от соотношения важности целей
(рис. 5.6). Это означает что, меняются либо Л, либо rmax, либо
(7тах, либо
совокупность этих параметров
в зависимости от целей
и критериев управления.
Кроме того, на выходе
АСПНТ выдается сигнал
«рассогласование целей».
После того как ветвле^
ние альтернатив законче-'
но, АСПНТ осуществляет
последовательно
сужение (фильтрацию)
множества альтернатив
(рис. 5.7). Фильтрация
происходит в обратной
последовательности (от
т3 к ti) и проводится с
помощью критериев
оптимальности Хь Хг, Х3, определенных заранее. Приведем простой
пример.
Пусть критерий Хз требует минимальности суммарных затрат
за период тз—то, соответствующих альтернативам и*С/Рз; Крите-
Рис. 5.7. Фильтрация (усечение)
альтернатив
14 935
209

рий Хг требует минимальности риска при достижении состояния
Si, соответствующего альтернативам и{; критерий Xi требует
максимальности уровня квазисостояния; соответствующего
альтернативам и[.
На основании Х3 в /р3 выбирается подмножество 1*рг
альтернатив иъ:
/рз-^-^з. (5.4)
Затем в множестве 1р2 выбираются все «прообразы» альтернатив:
/рз —- /р2. (5.5)
На основании Х2 среди полученного подмножества 1Р2 выбираются
альтернативы и{, образующие подмножество 1Р2:
//72 — v Ip2\ (5.6)
в множестве 1Р\ выбираются все «прообразы» альтернатив из Ip2i
JI2— -/pi; (5.7)
наконец, на основании Xi выбираются альтернативы и'э
образующие подмножество Гр\ :
Ipi^fpi. (5.8)
Суммируя (5.4) — (5.8), получим последовательность
отображений альтернатив:
т Х3 ,* v2~ г Х2 г* vf т Х1 ,* ,с Q\
и соответствующую ей последовательность отображений
управляющих элементов:
оз — 2з —- 22—- ^2 — 2! —- 2?. <5.10)
Множество /Р1 не пусто, оно содержит по крайней мере одну
альтернатив) и{; соответствующий УЭ wi характеризуется
следующим:
51 е А,.
Simax — максимально возможное квазисостояние отрасли,
исходя из которого можно попасть в интервал Лг с наименьшим
суммарным риском l qij .
1 qi} есть риск неосуществления цепочки 5o-»-S{->S|, т. е. перехода от S*
к 52 чеРез 5{.
210

Альтернативы и*2, соответствующие и\ в последовательности
отображений, характеризуются следующим: суммарное управление
и*х+и*2 наиболее «безопасно» из тех, которые позволяют далее
попасть в интервал Лз с наименьшими суммарными
капиталовложениями (рис. 5.7) r^K=r[ +ri+r$ .
Если множество Гр\ содержит более одной альтернативы, то
можно продолжать сужение любого из /* по дополнительным'
критериям оптимальности. __
Например, если 1Р\ содержит несколько иг с данным S Imax • ТО
среди них можно выбрать альтернативы с минимальными
капиталовложениями г2 или среди U2 выбрать альтернативы с
максимальным значением S2 и т. д.
Итак, АСПНТ осуществляет ветвление альтернатив
V»—4i—-7р2— -V- (5.11)
затем осуществляет фильтрацию
/ре ^-1% — /р2 *и /;2 JlL1р1 *U Гр1 (5.12)
и, наконец, на выходе АСПОТ выдает ветвящуюся
последовательность альтернатив, удовлетворяющую критериям оптимальности:
/;i^w;2— -/*. (ыз)
Управляющие элементы и\ — и\ (S\\ q\\ r\\ D\) служат
рекомендацией ОПУР для применения решения, а множества /р2 и /рз
прогнозируют последствия принятия этих решений.
В заключение приводим полную схему АСПНТ, опуская
внутреннюю структуру блоков К, С и D (см. рис. 5.6). На этой схеме
Фь Фг, Фз — фильтры-блоки, осуществляющие основную и
дополнительную фильтрации с помощью критериев Хь Хг, Х3 и
дополнительных критериев оптимальности. Линия a—b — с есть цепь
дополнительной фильтрации. В точках а, Ь и с осуществляется задержка
выдачи информации на выход АСПНТ до окончания
дополнительной фильтрации.
5.2.2. Схема функционирования блоков К, С и D
Блоки К, С и D функционируют аналогично; в частности, как
отмечалось в предыдущей главе, на вход блока Бк\Б\*=К, £2 = C,
BZ=D\ подается информация 1Ркл и Iе. Она поступает на
контуры прогнозирования модели объекта (ПМО) и прогнозирования
модели фона (ПМФ) (рис. 5.8).
Контур ПМО на основе Iv кл =>/ро вырабатывает прогноз
модели отрасли 1°к , содержащей,j^ частности, вектор S°k
квазисостояния показателя отрасли: S°k =S% (Ь\к , gS/r ,..., %%к)-
211

Контур ПМФ на основе Iе и 1Р кл вырабатывает прогноз
модели фона /Ф, содержащей, в частности, вектор S* ="s"* (g \K ,
1ж ... gn/r )> где 1т — квазисостояние показателя отрасли &.
Точнее говоря, и в первом, и во втором случае для каждого
показателя li вырабатывается интервал возможных значений:
e0min ^ fcO ^ tOmax.
$Г<&<№", / = 1, 2, ..,, л,
а также наиболее вероятные значения показателей М&к и М%*к .
Информации /$ и 1°к подаются на вход контура ранжировки
целей (РЦ). Кроме того, на вход контура
РЦ подается информация /с,
содержащая, в частности, сведения об общем
ограничении на ресурсы | R mk* |.
„ Основная задача контура РЦ состоит
г* шах
в распределении ресурсов R к между
показателями отрасли \\к в соответствии
с их величиной рассогласованности егя.
Веса hiK вырабатываются в контуре
fJv LSJ BT„6?TKLueJIe* ПМФ на основе факторного анализа;
вых показателей объекта ^ ^ г
рассогласования вырабатываются в
самом контуре РЦ:
***= м& -1—щг- (5л4)
Контур РЦ осуществляет распределение основных ресурсов
|^*| и дополнительных ресурсов \SK\ между показателями liK
с помощью весовых функций <piK(/*iK,..., Апк) и фгк(вгк,..., бпк):
RFKmux = FK<fiK(fllK> .... hnK) + Sk^IK (ЧК* ..., еПАг), (5.15)
где RiK — предельное значение ресурсов для & показателя отрасли
Flc + SK = Rr\ (5.16)
а функции щк и ф*к удовлетворяют условиям:
0<4iK<h 0<^<1; (5.17)
2тиг=1, Иф/*=1. (5Л8)
В частности, весовая функция фгк может совпадать с весом t-ro
признака Агя, а весовая функция г^к может быть определена по
формуле
Чк
Ьк = -^г~. (5.19)
212

В контуре РЦ вырабатываются также величины STk и q ?£*
(i=l п).
Итак, на выходе контура РЦ — величина RTk , S™# , qmif?
(i-l,...,n).
Эти параметры подаются на контур формирования областей
безразличия (ФОБ).
Контур ФОБ определяет величины 5™F из соотношений:
r1K-\-r% + r]K=RT?;
Si (г?*, Ч, Я'к) + S? (r&r, % q\K) +,
+ ST (rj/r, tjf, ^) = max; (5.20)
г1к>0, r$K>0, rbcXb
fa В 7 \ ^ max
Яьк (qiK, qw, giK ) <4ik ,
где Si(ri;vyqi)—функция, определяющая значение показателя |*
в момент т при условии, что в нулевой момент времени были
вложены ресурсы Ti и был достигнут уровень £i=Si-i; величина q\ есть
риск недостижения данного показателя \и
\-Щк=\\-фк) (1 -Же) (1 - que). (5.21)
Контур ФОБ определяет также величину R Тк из соотношений:
S* (г?*, та-, q*K) + 5? [r\K, xK, qm) + S] [riK, xK, q)K) > Sf^n;
rj#r + r§ip + rl#f —min;
rfc>0, r?*>0, rj*>0; (5.22)
Далее, контур ФОБ по величинам SfJ, «7?, flair1, №, я'Ик
и с помощью заданного критерия безразличия формирует
A/if, №//c и 2/аг.
Заметим, что если сформированная величина Smfi< окажется
меньше sTk (что свидетельствует о завышении |& или о
недостаточной величине Л1?"), то с контура ФОБ поступает сигнал в
контур ПМФ и происходит пересчет Щ$к и А*к. Аналогично
происходит пересчет, если окажется RTk >Я"1™.
Сформировав Q<k, контур ФОБ варьирует переменные S«r, Я%к>
Ггк с некоторым шагом, и так, что все время (5*я, que, г«)сЙ«-
213

Эти значения QiK с выхода ФОБ подаются на контур
формирования управляющих элементов |УЭ|.
Контур УЭ по заданным значениям SiK> ц%к и riK определяет
структуру DiK вложений ресурсов в НИР, ОКР и производство,
позволяющую достичь квазисостояния показателя SiK с помощью
вложения ресурсов Гш и с риском qiK.
Затем контур УЭ формирует вектор квазисостояния SK, а также
соответствующие значения rK, qK и DK (рис. 5.9).
Величины г*к , г\к , г\к при данных S*k, Пк, Яна
определяются из соотношений:
S\ [гЬл **; д!к) + 5? [г\к\ V, $к) ~V S] [r}Ki хЛ q}K) « Sue;
Гис + гik -г f//r = Г/л-;
-7 \ *min# 3 ч. Pmln.
rue ^ Г//г ; Гцс ^>Tik ;,
Т ^ 7ш|и /a 3 T \
riK>rtK ; Я1к\Яьк\ quc\ qiKj^qiK-
(5.23)
Рис. 5.9. Схема вложения ресурсов
Таким образом, контур УЭ вырабатывает элементы !
UiK=UiK(SiK% гиь 4ik, Dm).
Далее контур УЭ формирует альтернативы UK'
ик = и1К + и2к+ ... +ипк= .
= UlK(SiK, пк9 qu<, DiK\ (5.24)
Sk = Sk ($ik\ S<zk\ ...; SnK)y
DK есть объединение элементарных схем вложения DiK (рис. 5.10).
214
где

Если альтернатива UK удовлетворяет общим ограничениям на
ресурсы
г к = г1К + ... + г пк < RT\ (5.25>
то она включается в квазиинформацию 1Рк и подается на выход
блока Бк.
В заключение приводим общую схему блока Бк(Бх = К; Б2 = СГ
5.2.3. Алгоритмическая структура контуров ПМФ и ПМО
Не вся информация I рк__г и /с, поступающая на вход блока БКу
нужна для прогнозирования модели фона или объекта. Например,*
на целевой
квазиинформации Iе должна быть
выделена та часть /сс=/с,
которая предназначена
для данного блока
(общие ограничения на
ресурсы R ткх на данный
период /С, интервалы
безразличия Л//г И т. п.). Рис 5.10. Структура вложений Dt к
Кроме того, информация,
необходимая для
прогнозирования модели отрасли и модели фона, в общем случае не
совпадает. По этой причине возникает необходимость отобрать нужную
информацию из общего потока информации. Эту задачу решает
алгоритм выбора информации А0.
Итак, алгоритм А% выбирает «рабочую» квазиинформацию
/*-1 С 1Рк_г U /«, 1к-1 = 1РК_г U Ъ. (5.26>
Простейший пример, к которому мы будем возвращаться
неоднократно для пояснения: квазиинформация 1ркл состоит из двух
динамических рядов {fn} и {gn}*[{Ml например, отражает
динамику роста потребностей в данном показателе; {gn}—динамику
роста производства показателя; Iе состоит из трех заданных
интервалов безразличия (целевых) Ль Л$, Лз для каждого из трех
этапов прогнозирования и соответствующих общих ограничений на
~ЛЛ ~ nmax n wax r>inax
ресурсы R г , к 2 , R з .
Тогда 1ркл ={fn} для контура ПМФ (или /РАМ ={gn} для
контура ПМО) и /,= {Агк , RTh £м = {/п, Л6* , RТ }.
По виду рабочей информации 1к-\ должен быть выбран
наиболее подходящий метод прогнозирования; эта задача осуществляется
алгоритмом выбора метода прогнозирования {Ак )•
215

Возвратимся к примеру: алгоритм А к может, например, исходя
из вида динамического ряда {/ } (его длины, примерной формы
и т. п.) выбрать один из N методов экстраполяции.
После того как выбор метода прогнозирования осуществлен,
рабочая информация обрабатывается с помощью выбранного
алгоритма прогнозирования А2™ (/п=1, ..., N). Полученный прогноз
верифицируется с помощью алгоритма верификации Л$*; например,
А/? может проверять согласованность полученного прогнозного
значения показателя с соответствующим интервалом безразличия
Лаг и общими ограничениями на ресурсы R™*.
Рис. 5.11. Алгоритмическая структура ПМФ (ПМО)
Несоответствие указанных величин может указывать, в
частности, на ошибку в выборе метода прогнозирования. В этом случае
по каналу обратной связи подается команда о повторном
срабатывании алгоритма Ак и последующем возобновлении цикла
прогнозирования— верификации. Если после определенного конечного
числа циклов согласованность не достигается, это может
обозначать, что существует ошибка вне блока Бк, а именно в целевой
квазиинформации Iе (например, необоснованно завышена нижняя
грань Л л- или слишком мало значение /?")?* и т. п.). В этом случае
в ОПУР выдается сигнал «ошибка /с» и функционирование блока
ПМФ и всей АСПНТ останавливается.
После того как прогнозы различных показателей
верифицированы, они согласовываются между собой с помощью алгоритма
синтеза прогнозных моделей (Ак ). Если прогнозы,не могут быть
согласованы алгоритмом Ак , то с помощью канала обратной связи
осуществляется циклическая процедура, аналогичная описанной
' 216

выше. На основе полученной (согласованной) информации, а также
/я-i определяются веса Ык. Эт^г задачу решает алгоритм
определения веса {А% ). Наконец, алгоритм объединения информации
А\ суммирует выработанную в контуре ПМФ (ПМО)
информацию с 1р кл и подготавливает ее для ввода" в контур РЦ.
В заключение приводим схему алгоритмической структуры
контура ПМФ (рис. 5.11); А% —алгоритм выбора информации; А\ —
алгоритм выбора метода прогнозирования; А2™ — алгоритм
прогнозирования (аи=1, 2, ..., N)\ Л а71 —алгоритм верификации (т=
= 1, 2, ..., N\ Ак —алгоритм синтеза прогнозных моделей; Ак ^
алгоритм объединения информации; А% — алгоритм определения
веса (км).
Схема алгоритмической структуры контура ПМО отличается от
приведенной схемы следующим: 1) на Л а- не поступает целевая
квазиинформация /с; 2) отсутствуют алгоритм А% и все связанные
с ним линии передачи информации; 3) отсутствует обратная связь
с контуром ФОБ.
5.2.4. Алгоритмическая структура контура РЦ
Информация с выхода контуров ПМФ и ПМО поступает на
контур РЦ, где на ее основе вырабатываются рассогласования гт* Эту
задачу решает алгоритм сравнения А]с.
Затем алгоритм распределения ресурсов А% на основе
рассогласований еш> а также информации, поступающей с контуров
ПМФ и ПМО и /с, осуществляет распределение основных и
дополнительных ресурсов по показателям отрасли. Величины Rlk*
подаются на выход контура РЦ.
Параллельно с алгоритмом А% рассогласования 8^
обрабатываются алгоритмы ранжирования целей А™ . Алгоритм А™
вырабатывает коэффициент важности показателя отрасли на данный
период К (Vik). Затем алгоритм А1к определяет на основе
коэффициентов ViK величины максимально допустимого риска qmu< .
Величины qlT* подаются на выход контура РЦ. Алгоритм А к находит
qft из соотношений вида F(ViK, q Тк) = 0, где i7 —заданная
функция (например, ViKqTK = const).
Кроме того, в контуре РЦ на основе Iе и информации,
поступающей с контуров ПМФ и ПМО, определяются величины S?*
(алгоритмы Ак ). Величины STk находятся как функции прогнозных
значений показателей отрасли (фона и объекта) и целевых
установок, содержащихся в 7е.
На рис. 5.12 приводится схема алгоритмической структуры крн-
тура РЦ.
217

5.2.5. Алгоритмическая структура контура ФОБ
В контуре ФОБ с помощью величин 7?™х , SIk1 и q™™
определяются: а) максимально возможное значение i-ro показателя
отрасли на период К—STk (алгоритм Ахк ); б) минимально доступное
значение ресурсов, вкладываемых в t-й показатель отрасли R "д?
(алгоритм А1к ).
Если выбранные с помощью АХк и АХк величины S1/^ или R^k
оказываются не согласованными с величинами 57агп или /?7а-*, то
на контур ПМФ выдается по каналу обратной связи сигнал
рассогласования.
Рис. 5.12. Алгоритмическая структура РЦ
Затем алгоритм формирования области безразличия Ак с
помощью величин RTk , RVk, S1?" , STk , Ят?к и заданного критерия
безразличия определяет области Лгя, WiK и йгя. Алгоритм
вариации А™ осуществляет вариацию переменных Si*, <7<я, riK с заранее
определенным шагом, так что время (SiK, Цш, Пк)^£1гк- Эти
значения подаются на
контур УЭ. На рис. 5.13
приведена схема
алгоритмической структуры
контура ФОБ.
Рис. 5.13. Алгоритмическая структура ФОБ
5.2.6. Алгоритмическая
структура контура УЭ
По поступающим с
контура ФОБ величинам
SiK, riK, q%K алгоритм А к
контура УЭ определяет
структуру Dm вложений ресурсов в НИР, ОКР и производство;
затем алгоритм А1к формирует из величин S;k, Пк, <7*ки£гк
элементы UiK (управление показателем i-й отрасли). Алгоритм А ™
формирует затем управляющие элементы 0к> и, наконец,
алгоритм А к формирует элементы квазиинформации UK, которые
идут на блок Бк+1.
Алгоритмическая структура контура Бк> таким образом, имеет
схему, представленную на рис. 5.15.
518

5.3. Организация разработки прогнозов по крупным
научно-техническим и экономическим проблемам
Рассмотрим порядок составления прогнозов по крупным научно-
техническим и экономическим проблемам, разрабатываемым, как
правило, по заданию директивных органов..Такие прогнозы
выполняются по важнейшим вопросам развития отрасли и
межотраслевым проблемам при составлении долгосрочных и перспективных
планов [35].
В дальнейшем будем
называть заказчиком
директивный орган
планирования или управления,
который определяет цели
и задачи прогнозного
исследования, а
исполнителем — ту организацию
(временная
научно-техническая комиссия, НИИ,
ОКБ, серийное
предприятие и т. д.), которая
выполняет исследование и выдает результат заказчику.
Прогностическое исследование начинается, как правило, с
разработки задания на прогноз. Разработка задания на прогноз входит
в предпрогнозную стадию исследования и разрабатывается обычно
в тесном контакте заказчика и исполнителя. Задание на прогноз—»
это документ, определяющий объект прогноза, цели и задачи
прогноза и регламентирующий порядок его разработки. Задание должно
Рис. 5.14.
Алгоритмическая структура
блока УЭ
Рис. 5.15. Общая структурная схема Б к
содержать основание для разработки прогноза с указанием
заказчика и исполнителя. Это может быть постановление Совета
Министров, решение Госплана, постановление Государственного Совета
Министров СССР по науке и технике, решение министерства или
ведомства и т. д.
В задании должен быть определен объект прогноза, указаны
его основные характеристики и параметры, его связи с другими
объектами, составляющими фон развития объекта прогноза.
Необходимо, чтобы задание в первом приближении определяло границы
219

исследования объекта прогноза, границы учета воздействия фона,
чтобы ограничить исследование определенными рамками. С этой
же целью в задании необходимо установить перечень исходных
данных и ограничений, который заказчик обязуется поставить
исполнителю.
В задании на прогноз определяются точность, время
упреждения, другие условия его разработки, а также этапность разработки
прогноза с указанием сроков выполнения, подцелей и подзадач
каждого этапа, формы поэтапной отчетности и представления
итоговых результатов работы.
В разделе организационных принципов проведения прогнозного
исследования определяются источники, формы и порядок
финансирования работ, соисполнители и распределение разделов прогноза
между ними.
В случае большого числа соисполнителей головная организация
совместно с ними составляет координационный план, утверждаемый
заказчиком. В нем содержится перечень организаций, занятых
разработкой отдельных прогнозов или вспомогательных тем,
определяются порядок их взаимодействий, задачи, поставленные перед
каждым соисполнителем, сроки их выполнения и порядок передачи
результатов, стоимость работ и порядок финансирования
соисполнителей.
Эти два документа — задание на прогноз и координационный
план — являются основными руководящими документами для всех
организаций в процессе разработки научно-технического прогноза.
После утверждения задания на прогноз и координационного
плана разработка отраслевого прогноза обычно производится путем
выполнения этапов работ в определенной последовательности. Эта
последовательность в каждом конкретном прогнозе может
изменяться, но, как правило, имеет три основные стадии: ретроспекцию,
диагноз и проспекцию [35].
На стадии ретроспекции решаются следующие основные задачи:
формирование описания объекта прогноза в прошлом;
окончательное формулирование и уточнение задачи прогнозирования. К
стадии ретроспекции относятся обычно следующие этапы работ с точки
зрения их сущности и организации:
1. На основании задания на прогноз и предварительного
обследования объекта уточняется перечень характеристик и параметров
объекта, рассматриваемых в данной задаче, оцениваются предвари»
тельно их важность и взаимные связи. Это предпрогнозный анализ
объекта.
2. На основании предпрогнозного анализа и задания на прогноз
определяются и оцениваются источники информации, порядок
и организация работы с ними. Окончательно формулируется
постановка задачи.
3. В соответствии с установленным порядком исполнители
осуществляют сбор ретроспективной информации и размещение ее
в запоминающих устройствах информационно-поисковой
системы.
220

На стадии диагноза решаются следующие задачи: разработка
модели объекта прогноза; выбор метода прогнозирования.
Основные этапы исследования на этой стадии следующие:
1. На основании принятой структуры объекта и полученной
ретроспективной информации разрабатывается формализованное
описание объекта. В задачах отраслевого прогнозирования это
описание сводится обычно к математической модели объекта.
2. Определяются текущие значения характеристик объекта на
основании источников информации, проверяется степень
адекватности модели объекту прогноза.
3. Осуществляется выбор метода прогнозирования, адекватного
классификации объекта, характеру его развития и задаче
прогноза:
4. Разрабатываются алгоритм и рабочие программы
прогнозирования, проводится их отладка.
Стадия протекции предполагает на основании всех
предыдущих этапов решения задачи получение результатов прогноза.
Основные ее этапы:
1. Проводится расчет прогнозируемых параметров на заданном
времени упреждения.
2. Производится стыковка и синтез отдельных прогнозов в
соответствии с принятыми правилами.
3., Производится верификация прогноза и установление степени
его точности.
Такая этапность в разработке прогнозов обычно характерна при
использовании методов прогнозирования, базирующихся на
математическом моделировании объектов. В случае экспертных методов
прогнозирования состав и содержание этапов могут существенно
изменяться.
Результаты прогноза представляются, как правило, в виде
отчета либо (в случае разработки прогноза по важнейшим
народнохозяйственным проблемам) в виде доклада временной
научно-технической комиссии.
Для написания соответствующих разделов доклада создаются
редакционные комиссии и главная редакционная коллегия. В зада- ^
чу редакционных комиссий входит подготовка отдельных разделов
доклада, в задачу редакционной коллегии — окончательная
редакция и стыковка разделов доклада.
Принцип формирования редакционных комиссий при отраслевом
прогнозировании в основном проблемный, а в межотраслевых
прогнозах может быть отраслевым. Авторский коллектив по разделам
доклада формируется в основном из членов временной
научно-технической комиссии, однако по отдельным вопросам доклада
допускается привлечение консультантов и авторов, не входящих в состав
комиссии.
В процессе производства важнейших прогнозов отраслевого
и межотраслевого уровней в рамках временной комиссии может
быть организована специальная информационная комиссия. Эта
комиссия должна обеспечивать получение информации по вопросам
221

исполнителей прогноза и своевременную ее передачу на рассмотре-
. ние исполнителям.
После окончательной подготовки всех разделов доклада главная
редакционная коллегия рассматривает его в целом и на пленарном
заседании комиссии доклад утверждается, после чего он-
передается в соответствующие директивные органы.
Типовая форма представления доклада на примере отраслевого
прогноза имеет следующий вид [23]:
Раздел I. Цели и задачи прогноза.
Директивное основание для разработки прогноза. Формулировка целей
и задач прогнозирования объекта, постановка основных проблем, обоснрвание
экономической эффективности разработки прогноза.
Раздел II. Сравнительная оценка состояния разработок и внедрения объекта
прогноза в стране и за рубежом.
В разделе отражаются: 1) состояние вопроса: объем работ в стране
и за рубежом по НИР, ОКР, производству и эксплуатации, организация работ,
время выполнения, кадровое, материально-техническое, финансовое обеспечение
и т. д.; 2) основные направления разработки объекта
в стране и за рубежом: методология, методика, методы, основные
результаты.
Раздел III. Перспективы развития объекта прогноза на время упреждения
в стране и за рубежом. В раздел входят: 1) оценка подготовленности отрасли
к прогнозируемым изменениям; 2) предложения по НИР и ОКР,
подготавливающие намеченные сдвиги в объекте прогноза; 3) оценка потребности народного
хозяйства в объекте прогноза или его развитии; 4) потребности в кадрах,
обеспечивающих объект на перспективный период.
Раздел IV. Организационно-технические мероприятия.
В разделе отражаются: 1) необходимое финансирование для реализации
прогноза; 2) состав мероприятия по обеспечению техническими средствами
развития объекта: 3) основные этапы разработки и внедрения объекта и
организация работ.
Раздел V. Выводы и рекомендации.
Таковы в целом схема доклада и основные этапы его разработки и состав*
ления.

РАЗДЕЛ II
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИИ
Искусство выработки наилучших (в том или ином смысле)
суждений столь же старо, как и само человечество. Наука же о
выработке суждений достаточно молода, а математическая теория
принятия решений насчитывает не более 30—40 лет.
Теория принятия решений создается и развивается сейчас
довольно интенсивно, но все еще находится в стадии становления.
В последние десятилетия наблюдается быстрое распространение
применения различных областей знаний, особенно математических,
в военном деле, в управлении производством и т. л. При этом
наблюдается постоянное взаимодействие и взаимообогащение
между постановками практических задач принятия решений в
указанных областях и разработкой математического аппарата,
необходимого для их решения.
В настоящее время существует достаточно большое количество
современных научных дисциплин, посвященных проблеме принятия
решений. К ним можно отнести математическое программирование,
теорию игр, теорию статистических решений, теорию оптимального
автоматического управления. Наряду с ними появился ряд
новейших прикладных дисциплин, даже названия которых были
неизвестны лет сорок тому назад: исследование операций, системный
анализ, экономическая кибернетика и др.
Все эти дисциплины занимаются рассмотрением одной и той же
основной проблемы — научного анализа ряда возможных способов
действия с целью нахождения такого из них, который в данных
условиях был бы наилучшим. Иными словами, они занимаются
рассмотрением проблемы принятия оптимальных решений, но
применительно к объектам управления различной природы и в различных
условиях их существования. В этом смысле их можно считать
составными частями единой научной дисциплины, для обозначения
которой в настоящее время все чаще применяется термин «теория
принятия решений» (ТПР).
Следует отметить, однако, что в настоящее время не существует
единого мнения относительно места теории принятия решений
в ряду перечисленных выше дисциплин. В зависимости от научных
симпатий и сфер научной деятельности многие авторы склонны
считать теорию принятия решений составной частью той или иной
дисциплины. Так, авторы, занимающиеся разработкой математиче-
223

ской теории игр и статистических решений, часто отождествляют
теорию принятия решений с теорией игр и статистических решений,
выделяя другие разделы теории принятия решений в
самостоятельные дисциплины, например математическое .программирование.
Такое мнение, видимо, отражает раннюю историю возникновения
и развития теории принятия решений. Другие авторы, особенно
занимающиеся прикладными аспектами проблемы принятия
решений применительно к экономике, военному делу, проектированию
сложных систем, склонны рассматривать теорию принятия решений
как составную, методологическую, часть исследования операций
или системного анализа. Наконец, некоторые авторы,
занимающиеся разработкой проблем планирования и прогнозирования,
склонны относить теорию принятия решений к своей
дисциплине.
Однако постепенно все более распространяется и крепнет
убеждение в более общем и самостоятельном значении теории принятия
решений. Вместе с тем не являются противоестественными и
сочетания теории принятия решений (при соответствующем
акцентировании на отдельных задачах) с исследованием операций,
системным анализом, планированием и прогнозированием.
Проблема принятия решений имеет универсальный,
всеобъемлющий характер. Она возникает практически в любой сфере
целенаправленной человеческой деятельности и составляет ее
принципиальную сущность.
Особенно актуальна проблема принятия решений применительно
к сложным системам различного назначения. Процесс
проектирования, разработки, создания и эксплуатации сложных систем связан
с необходимостью принимать большое количество решений,
касающихся как системы в целом, так и отдельных ее подсистем и
элементов. Эти решения могут иметь технический, организационный,
управленческий и тому подобный характер. При этом частные
решения, касающиеся подсистем и элементов системы, должны
приниматься с позиций системного подхода, т. е. с учетом всех
существенных связей и взаимосвязей данной подсистемы или элемента
с другими элементами системы, и должны быть научно
обоснованными. В современных условиях принятие частного решения, не
вполне соответствующего общим интересам системы или недостаточно
обоснованного, ведет, как правило, к тяжелым последствиям, в
частности к большим материальным потерям. Без преувеличения можно
сказать, что проблема принятия решений является центральной
проблемой управления объектами любой сложности и особенно
сложными объектами.
Ситуацию, в которой происходит принятие решений,
характеризуют следующие основные черты:
1. Наличие цели (целей). Необходимость принятия решения
диктуется наличием некоторой цели, которую нужно достичь:
например, выполнить плановое задание, выбрать тип станка,
назначить план перевозок и т. д. Если же цель не поставлена, то не
возникает и необходимость принимать какое-либо решение.
224

2. Наличие альтернативных линий поведения. Решения
принимаются в условиях, когда существует более одного способа
достижения цели, или, иначе, несколько альтернатив достижения цели.
С различными альтернативами могут быть связаны различные
затраты и различные вероятности достижения цели. Эти затраты
и вероятности не всегда могут быть точно определены. Поэтому
часто принятие решений сопряжено с неясностью и
неопределенностью. Если же существует лишь одна линия поведения, то выбора
нет и, следовательно, решения принимать не требуется, оно
очевидно.
3. Наличие ограничивающих факторов. Решения обычно
принимаются в условиях действия большого числа факторов,
ограничивающих возможность выбора способов действий. Эти факторы иначе
называют дисциплинирующими условиями. Ограничивающие
факторы, подлежащие рассмотрению, можно укрупненно разбить на
три основные группы: экономические,* технические и социальные.
Под экономическими факторами понимают факторы,
связанные с ресурсами: время, денежные средства, трудовые ресурсы,
производственные возможности и т. п. К техническим
факторам обычно относят факторы, которые непосредственно связаны
с инженерным анализом и выработкой требований к техническим
характеристикам объектов: габариты, вес, прочность, надежность,
точность, температурные условия и т. п. Наконец, социальные
факторы, в том числе и чисто человеческие, выражают требования
не только политической или социальной целесообразности
осуществления той или иной альтернативы, но и человеческой этики
и морали.
Указанные факторы накладывают ограничения на возможности
достижения поставленной цели. Очевидно, что отсутствие
ограничений существенно упрощает задачу принятия решения.
Таким образом, задача принятия решения (ЗПР) возникает
в том* и только в том случае, когда существует цель, которую нужно
достичь, когда возможны различные способы ее достижения и
существуют факторы, ограничивающие возможности достижения цели.
Выявление всех трех указанных основных элементов ЗПР должно
обязательно предшествовать ее непосредственному решению.
15 §35
225

ГЛАВА 6
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
6.1. Основные понятия теории принятия решений и схема процесса
принятия решения
Ниже приводятся основные понятия и определения теории
принятия решений, получившие наибольшее распространение.
Остальные, менее распространенные, понятия будут вводиться но мере
изложения.
Одним из основных понятий ТПР является понятие операции.
Под словом «операция» следует понимать организованную
деятельность в любой области жизни, объединенную единым замыслом,
направленную к достижению определенной цели и имеющею
характер повторяемости, т. е. многократности. Приведенное определение
операции сочетает в себе определения, данные в [72] и [86]. В данном
определении подчеркиваются две особенности операции: ее целевая
направленность и повторяемость. Это определение исходит из
факта существования общего и устойчивого в целом ряде явлений,
создающих операцию, т. е. подразумевает возможность установления
закономерностей. Именно отсюда возникает возможность проводить
исследования, касающиеся Количественных сторон операции,
общими научными путями с использованием методов теории
вероятностей, статистики, математики и данных различных наук — физики,
химии, биологии, экономики и др. Конечно, в отдельных, особо
сложных случаях, когда операция представляет собой некое
уникальное, возможно, впервые реализуемое мероприятие, от нее
трудно требовать многократности. Однако тогда требование
многократности, массовости должно быть справедливым для отдельных
частей и объектов, образующих целое — операцию. В противном
случае исчезла бы почва для количественного анализа
ситуации, для количественного обоснования принимаемых
решений.
Промышленность, торговля, транспорт, экономика, военное дело
представляют собой как раз такие области деятельности, в которых
организация, руководство и план являются основой, а
повторяемость обусловлена массовостью производства, обращения товаров
в торговле, массовостью операций транспортировки, проведения
стрельб, действий авиации и кораблей морского флота. Поэтому
они и могут быть объектами количественного изучения.
Примеры различных операций: 1) производственная -
деятельность отрасли промышленности, выпускающей некоторую
народнохозяйственную продукцию; 2) отражение воздушного налета
средствами системы противовоздушной обороны; 3) запуск группы
искусственных спутников Земли для создания космической системы
связи; 4) совокупность мероприятий, направленных к повышению
надежности некоторого технического устройства.
226

Теперь перейдем ко второму важному понятию ТПР — опери-
рующая сторона. Совокупность лиц и технических устройств,
которые стремятся в данной операции к достижению некоторой цели,
называется оперирующей стороной. Так, в первом приведенном
выше примере (с отраслью промышленности) оперирующей
стороной являются лица, ответственные за принятие решений
относительно деятельности предприятий, входящих в состав отрасли, т. е.
руководство министерства, в ведении которого находится данная
отрасль.
В операции могут участвовать одна или несколько оперирующих
сторон, преследующих различные, несовпадающие цели.
Несовпадение целей оперирующих сторон создает конфликтную ситуацию.
Подобные операции называются многосторонними или конфликт-
ними. Так, во втором приведенном выше примере операции исход
операции зависит от деятельности двух сторон, преследующих
противоположные цели: нападающей стороны, совершающей
воздушный налет, и оборняющейся, отражающей налет.
Наряду с оперирующими сторонами в операции могут
участвовать арбитры и природные силы, поведение которых не подчинено
стремлению к достижению целей операции.
Для достижения цели оперирующая сторона должна
располагать некоторым запасом активных средств (ресурсов), используя
или расходуя которые она может добиваться достижения цели.
В качестве ресурсов в зависимости от существа операции могут
выступать: станки, запасы сырья, рабочая сила, денежные
средства, средства противодействия в системе противовоздушной или
противоракетной обороны и т. п.
Операция является управляемым мероприятием. Оперирующая
сторона управляет операцией, выбирая те или иньге способы
использования ресурсов — способы действий. В качестве синонимов
термину «способ действия» часто используются следующие термины:
альтернатива, стратегия, управление, решение.
Возможности оперирующей стороны по управлению операцией
всегда ограничены, поскольку всегда ограничены рядом
естественных причин находящиеся в ее распоряжении ресурсы. Этот факт
проявляется в наличии ограничений — дисциплинирующих
условий — на выбор способов действий оперирующей стороны —
стратегий. Стратегии, удовлетворяющие наложенным ограничениям,
называются возможными или допустимыми (в смысле наложенных
ограничений). Понятие «допустимые стратегии» является
относительным: класс допустимых стратегий определяется наложенными
ограничениями и изменяется, если изменяются ограничения.
Реализация той или иной допустимой стратегии оперирующей
стороны обычно приводит к различным исходам операции. Чтобы
сравнивать между собой качество различных стратегий, нужно
иметь возможность оценивать соответствующие исходы операции.
Исход операции оценивается с помощью некоторых критериев
качества (иначе критериев эффективности или критериев
оптимальности). Критерий оптимальности является математическим выра-
227

жением цели операции (математической моделью цели операции),
позволяющим количественно оценить степень достижения этой
цели. Стратегия, наилучшая в смысле выбранного критерия
оптимальности, т. е. доставляющая ему требуемое экстремальное
(максимальное или минимальное) значение, называется оптимальной
стратегией (синонимами этому термину являются термины
оптимальное решение, оптимальное управление и т. п.).
Следует всегда иметь в виду, что понятие «оптимальная
стратегия» является не абсолютным, а относительным, как и понятие
«допустимая стратегия». Не существует оптимальной стратегии
вообще, всякая оптимальная стратегия является наилучшей лишь
в некотором узком, совершенно конкретном смысле, определяемом
критерием оптимальности. Одна и та же стратегия, оптимальная
в смысле одного критерия, может оказаться далеко не
оптимальной и даже очень плохой в смысле другого критерия 1.
Перейдем к рассмотрению следующего важного понятия ТПР
и исследования /Операций — исследователь операции, В составе
оперирующей стороны специально выделяется и занимает особое
место исследователь операции, или операционист. Он принадлежит
к оперирующей стороне и должен преследовать ту же цель, что
и оперирующая сторона. Однако он не принимает окончательных
решений по выбору способов действий, а лишь помогает в этом
оперирующей стороне, предоставляя ей количественные основания
для принятия решений. Иными словами, исследователь операции
имеет право не решающего, а лишь совещательного голоса.
Естественно, что поэтому он и не должен нести отвественности за
принятые решения и последствия от реализации предпринятых
действий. Такая постановка дела является принципиальной, так как
помогает исследователю операции сохранять научную
объективность и принципиальность. Этот принцип был провозглашен еще на
ранней, военной, стадии развития исследования операций как
принцип разделения функций командования и функций исследования.
В [86] на этот счет сказано следующее: «Выражение «основа для
решений» подразумевает то обстоятельство, что количественные
оценки и критерии не являются исчерпывающими данными для
принятия решения командующим. На него могут оказывать влияние
многие важные факторы, которые невозможно выразить числами:
политико-моральное состояние, привычки и обычаи и тому
подобное. За командующим остается право и обязанность учесть
указанные факторы вместе с количественными данными, которые он
получит от группы исследования операций, для того, чтобы принять
окончательное ответственное решение. Задачей работников группы
исследования операций является представление количественной
оценки положения в наиболее понятной форме с указанием, если
это возможно, на те стороны, не поддающиеся количественному
1 Ниже мы еще раз обратимся к более детальному толкованию термина
«критерий оптимальности». Здесь мы затронули это понятие лишь с целью дать
определение понятия «оптимальная стратегия».
228

выражению, которые должны быть учтены при принятии решения
командующим. Сам работник исследовательской группы не
принимает решения за командира и не может его принимать». Однако на
практике указанные положения часто нарушаются, что, несомненно,
приносит вред делу.
Итак, суть работы исследователя операции состоит в детальном
изучении существа и специфики решаемой проблемы, определении
всего набора допустимых стратегий, оценке их качества, сравнении
их между собой и определении оптимальной стратегии.
Исследование операции завершается рекомендациями по выбору
оптимальной стратегии. Само же принятие решения, т. е. окончательный
выбор стратегии и ее реализация, выходит за рамки исследования
ц относится к компетенции ответственного лица — руководителя
операции, В этом смысле теорию принятия решений, возможно,
правильнее было бы называть теорией обоснования решений.
Все рекомендации исследователя операции должны быть научно
обоснованными. В современных условиях глубоко укоренившейся
традицией является отождествление научного понимания явления
с возможностью его количественного анализа. Научное обоснование
любых выводов предполагает применение методов, допускающих
проверку и повторение полученных результатов другими
исследователями. Отмеченная традиция научного мышления зародилась
в сфере естественных наук, прежде всего в физике. С течением
времени, особенно с развитием вычислительной техники,
количественные методы нашли широкое применение при анализе
экономических, социальных, биологических и других систем.
Как уже отмечалось, теория принятия решений является
дисциплиной, занимающейся научным обоснованием решений. В свете
сказанного выше научное обоснование решений — это прежде всего
количественная оценка возможных решений ет выбор наилучшего из
них по некоторому объективному критерию. Поэтому в
количественной теории принятия решения в качестве критерия оптимальности
может выступать только такой, который допускает количественную
оценку.
В количественной теории принятия решений широко оперируют
понятиями показатель и критерий. Зачастую в практических
приложениях их используют как равнозначные, что может привести
к ошибочным постановкам задач. Эти понятия следует различать,
при этом, по-видимому, нужно исходить из уже принятых в русском
языке определений.
Словарь русского языка 1 понятие «показатель» определяет как
«то, по чему можно судить о развитии, ходе и тому подобное чего-
либо». Иными словами, применительно к ТПР, под показателем
следует понимать количественную оценку какого-то свойства
изучаемого объекта.
Свойства технических ^экономических объектов обычно
многогранны. Следовательно, для их количественной характеристики
Словарь русского языка, т. 3. М., 1959.
229

должна быть использована совокупность многих показателей. Так,
например, транспор^ый самолет можно охарактеризовать с
помощью таких показателей, как крейсерская скорость,
беспосадочная дальность полета, грузоподъемность, взлётный вес, потребная
длина взлетной и посадочной полосы, и многих других.
Слово «критерий» происходит от греческого «критерион»,
означающего в переводе «средство для решения», «мерило оценки».
Понятие «критерий» в словаре русского языка 1 определяется как
«признак, на основании которого производится оценка, определение
или классификация чего-либо». Следовательно, применительно
к ТПР критерий есть средство для количественной оценки решений,
сравнения их между собой и выбора наилучшего (оптимального).
Как соотносятся между собой показатели и критерии? Как уже
отмечалось, любой сложный объект, относительно которого
принимается решение, характеризуется многими показателями. Обычно
эти показатели неравнозначны: одни из них являются
второстепенными, мало связанными с целями операции и потому мало
влияющими на принятие решений; другие же, напротив, являются
главными, непосредственно выражающими цели операции и
определяющим образом влияющими на принятие решений. Ясно, что именно
эти показатели должны выступать в роли критериев выбора
оптимальных решений.
В достаточно простых ситуациях принятия решений удается
ограничиться единственным критерием оптимальности.
Соответствующие задачи принятия решений называются одноцелевыми или
однокритериальными ЗПР (иначе — монокритериальными или
скалярными). В противном случае имеют место многоцелевые или
многокритериальные ЗПР (иначе — поликритериальные или век-
торные). Теория многокритериальных ЗПР находится сейчас в
стадии зарождения.
Поскольку значение критерия оптимальности в любой операции
зависит от каких-то величин, описывающих свойства операции,
используемые ресурсы и т. д., то критерий оптимальности часто
называют также критериальной или целевой функцией или
функцией эффективности,
Любому процессу принятия решений сопутствует большое
количество разнородных проблем. Эти проблемы можно разделить на
два принципиально различных класса: проблемы концептуального
характера и проблемы формально-математического и
вычислительного характера. Термин «концептуальная проблема» связан со
словом «концепция», т. е. идея. Таким образом, термин
«концептуальная проблема» можно образно определить как «проблема,
решаемая на уровне идей».
К концептуальным проблемам относятся сложный логические
проблемы, которые невозможно решить с применением только
формально-математических методов и ЭВМ. Эти проблемы имеют
творческий характер. Более того, в сложных случаях эти проблемы уни-
1 Словарь русского языка, т. 2. М., 1958.
230

кальны в том смысле, что они решаются впервые и не имеют
прототипов в прошлом.
Концептуальные проблемы обычно решаются на уровне
руководителей операции с привлечением группы экспертов, в качестве
которых выступают высококвалифицированные специалисты из
различных областей науки и практической деятельности. При решении
концептуальных проблем наибольший вес имеют не формально-
математические методы/а эрудиция, опыт и интуиция людей, а
также их морально-этические представления. Формальные методы
здесь также очень важны, но они играют вспомогательную.роль как
средство, облегчающее и организующее эвристическую
деятельность людей,- В настоящее время в науке уделяется серьезное
внимание разработке формализованных процедур решения
концептуальных проблем, иначе — формализации эвристических процедур.
Решение этих вопросов составляет содержание так называемой
неформальной теории принятия решений, представляющей самое
новейшее развитие ТПР.
К числу концептуальных проблем относятся, в частности, такие
проблемы, как анализ и выбор целей операции, анализ возможных
последствий проведения операции, выявление совокупности
показателей, характеризующих исходы операции и участвующие в них
объекты, анализ этих показателей, выделение из их числа наиболее
важных и отнесение их в разряд критериев оптимальности, и многие
другие. В нашем учебном пособии мы рассмотрением этих вопросов
заниматься не будем и в дальнейшем изложении будем
предполагать, что цели операции и соответствующие им критерии
оптимальности заданы и обсуждению не подлежат. Иными словами, мы
будем заниматься изучением лишь количественной ТПР.
Обратимся к рассмотрению состава исследований,
формирующих процесс принятия решений (ППР). Процессы принятия
решений, реализуемые в самых различных сферах деятельности, имеют
очень много общего, поэтому желательно иметь некоторую
универсальную, «типовую» схему ППР, устанавливающую наиболее
целесообразный набор и последовательность действий, производимых
при решении ЗПР.
В настоящее время еще не выработана единая «технология»
ППР, однако определенная тенденция в этом направлении имеется.
В работах многих авторов по исследованию операций, системному
анализу, управлению производством содержатся рекомендации но
формированию состава и последовательности исследований в
процессе принятия решений. На основании их анализа и обобщения
можно предложить следующий состав «типового» процесса
принятия решения: 1) предварительное формулирование проблемы;
2) определение целей операции и выбор соответствующих
критериев оптимальности; 3) выявление и формулирование
дисциплинирующих условий; 4) составление возможно более полного списка
альтернатив и предварительный их анализ с целью отбрасывания
явно неэффективных; 5) сбор необходимой информации и
прогнозирование изменений параметров операции в будущем; 6) точное
231

формулирование постановки задачи; 7) разработка математической
модели операции, позволяющей оценивать эффективность каждой
альтернативы; 8) анализ и выбор метода решения задачи и
разработка алгоритма решения; 9) оценка альтернатив и определение
наиболее эффективных; 10) принятие решения ответственным
руководителем; 11) выполнение решения и оценка результатов.
Процесс принятия решений является сложной итеративной
циклической процедурой. Действительно, результат практически
любого этапа исследований может повлиять на постановку задачи и
привести к ее изменению. В частности, даже практическое опробование
принятого решения, если оно дает нежелательный результат, также
является стимулом к пересмотру постановки задачи и поиску новых
решений. Структурная схема процесса принятия решения
представлена на рис. 6.1. Указанные особенности процесса отображены
с помощью обратных связей.
Как уже отмечалось выше, в зависимости от количества
критериев оптимальности ЗПР подразделяются на два больших класса —
однокритериальные и многокритериальные. Изучение ЗПР начнем
с более простого и разработанного класса задач — однокрите-
риальных.
6.2. Общая постановка однокритериальной задачи принятия
решения
Пусть имеется некоторая операция, т. е. управляемое
мероприятие, на исход которого оперирующая сторона может в какой-то мере
влиять. Эффективность этого управления характеризуется
некоторым критерием оптимальности F, допускающим количественное
представление. Критерий оптимальности может быть задан либо
в виде функции (с помощью одного из способов задания функции),
либо, в более сложных случаях, в виде функционала, либо иметь
лишь алгоритмическое задание.
Величина критерия оптимальности зависит от ряда факторов,
которые можно разбить на две группы:
1) контролируемые (управляемые) факторы, выбор которых
находится в распоряжении оперирующей стороны. Каждый
конкретный выбор значений контролируемых факторов представляет собой
стратегию оперирующей стороны;
2) неконтролируемые (неуправляемые) факторы, на которые
оперирующая сторона влиять не может. В состав неконтролируемых
факторов может входить и время, если в операции участвуют
динамические объекты, изменяющие свои свойства и поведение во
времени.
Неконтролируемые факторы в зависимости от
информированности о них исследователя операции можно разбить на три
группы:
1) детерминированные факторы — неслучайные фиксированные
факторы, или, иначе, неслучайные величины, значения которых
полностью известны оперирующей стороне до проведения операции;
232

Рис. 6.1. Структурная схема процесса принятия решения

2) стохастические факторы — случайные фиксированные
факторы, или, иначе, случайные величины, и процессы с известными
оперирующей стороне законами распределения;
3) неопределенные факторы, для каждого из которых известна
только область возможных знаний фактора или область, внутри
которой находится закон распределения, если фактор случаен.
В последнем случае имеет место неопределенный закон
распределения случайного фактора. Значения неопределенных факторов
неизвестны оперирующей стороне в момент принятия решения
о выборе оптимальной стратегии.
В соответствии с выделенными факторами критерий
оптимальности F можно представить в виде зависимости
/7=г(л1, Х>, ..., Xh Ax, /j2, . ♦., Api Yu Y2, ..-.
... Yq, Zu Z„ ..., Z„ 0, (6.1)
где X\y ..., X2 — контролируемые факторы; Аь ..., Av —
неконтролируемые детерминированные факторы; Уь ..., Yq —
неконтролируемые стохастические факторы; Zb ..., Zr—неконтролируемые
неопределенные факторы.
Величины X, A, Y, Z в общем случае могут быть массивами
любой размерности: скалярами, векторами, матрицами и т. д.
Величины контролируемых (управляемых) факторов обычно
ограничены рядом естественных причин, например ограниченностью
располагаемых для операции ресурсов. Математически эти
ограничения записываются в виде дисциплинирующих условий:
ft = ft(4 -Д/,4 .... АРг Уи ..., YQh
Zu ..., Zr., *){<, => »bh ieTTm, (6.2)
где Au ..., APl — неконтролируемые детерминированные факторы;
?u ..., Yqi — неконтролируемые стохастические факторы;
Zh ..., ZPi— неконтролируемые неопределенные факторы.
Условия (6.2) определяют области Qx, 2x>> ..., 0^
пространства, внутри которых расположены возможные (допустимые)
значения контролируемых факторов Хи Х2>..., Xt.
Аналогичным образом могут быть ограничены и области
возможных значений неконтролируемых факторов. В ЗПР обычна
предполагается, что эти области известны оперирующей стороне.
Поскольку критерий оптимальности есть количественная мера
степени достижения цели операции, то математически цель
операции выражается в стремлении к максимально возможному
увеличению (или уменьшению) значения критерия F, что можно записать
в виде
F -> max (или min). (6.3)
1 Условное обозначение {^, =, ^} есть краткая запись того факта, чта
в каждом i'-м ограничении из совокупности т ограничений имеет место только*
один из знаков^, =, ^, по разные ограничения могут иметь разные знаки.
234

Средством достижения этой цели является' соответствующий
выбор оперирующей стороной управлений Х\> Х2> .. •., Xi из областей
2^, 2 х>> ..., &xt их допустимых значений.
Таким образом, перед лицом, ответственным за принятие
решения, стоит задача, которую можно сформулировать следующим
образом: при заданных значениях и характеристиках
фиксированных неконтролируемых факторов Ль ..., АРу Yu ..., Yq с учетом
неопределенных факторов Zu ..., Zr найти оптимальные значения
^ь ..., Xt управлений Хи •..» Xi из областей Q*p , ..., Qjct их
допустимых значений, которые по возможности обращали бы в
максимум (минимум) критерий оптимальности F. Данная формулировка,
с некоторыми изменениями, заимствована из [73].
Приведенная общая формулировка задачи принятия решения
не является строго математической, о чем свидетельствует оговорка
«по возможности». Эта нестрогость обусловлена прежде всего
наличием неконтролируемых неопределенных, а также стохастических
факторов.
Указанная нестрогость в общей постановке ЗПР совершенно
естественна и не является ее недостатком. На этот счет в [73] очень
хорошо сказано: «Давайте будем честны: неопределенность есть
неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны,
мы не имеем возможности так же успешно организовать ее, как мы
это сделали бы, если бы располагали большей информацией.
Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности,
хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше
дело — сообщить своему решению в наибольшей возможной мере
черты разумности. Решение, принятое в условиях неопределенности,
но на основе математических расчетов, будет все же лучше
решения, выбранного наобум. Недаром один из видных зарубежных
специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математические методы
исследования операций» (М., 1963) дает своему предмету следующее
ироническое определение: «Исследование операций представляет
собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы,
иа которые даются еще худшие ответы другими методами».
В отдельных частных случаях удается избавиться чэт этой
оговорки— «максимизировать по возможности» в приведенной выше
общей постановке ЗПР. Это удается либо потому, что в
рассматриваемом четном случае отсутствуют стохастические и
неопределенные факторы, либо за счет специального выбора критерия опти-
амальности. Об этом будет сказано позднее.
6.3. Классификация задач принятия решений
В настоящее время не существует общепринятой универсальной
классификационной схемы задач принятия решений. Можно
выделить отдельные важные классификационные признаки, а именно:
1. Количество целей операции, преследуемых одной
оперирующей стороной, и соответствующих целям критериев оптимальности.
235

2. Наличие или отсутствие зависимости критерия оптимальности
и дисциплинирующих условий от времени.
3. Наличие случайных и неопределенных факторов, влияющих
на исход операции. Этот признак в [84] назван признаком
«определенность — риск — неопределенность».
По нсрвохму классификационному признаку ЗПР делятся на два
больших класса: одноцелевые или однокритсриальные (скалярные)
и многоцелевые или многокритериальные (векторные) ЗПР, что
уже отмечалось выше.
По второму классификационному признаку задачи принятия
решений делятся на два больших класса: статические и
динамические ЗПР. В статических ЗПР критериальная функция и функции
ограничений не зависят от времени. Динамические задачи сложнее
статических. Динамические задачи отличают две характерные осо- ч
бенности:
1. В качестве критерия оптимальности в динамических ЗПР
выступает обычно не функция, как в статических ЗПР, а
функционал, зависящий от функций времени, описывающих поведение
некоторых динамических объектов, участвующих в операции.
2. В составе дисциплинирующих условий в динамических ЗПР
обычно присутствуют так называемые дифференциальные связи.
Они представляют собой диференциальные уравнения,
описывающие поведение динамических объектов, участвующих в операции.
В качестве примера динамической ЗПР можно привести задачу
вывода космического летательного аппарата в заданную точку
пространства с заданной точностью и за заданное время с минимальным
расходом топлива. В настоящее время динамические ЗПР еще не
получили широкого применения в экономических исследованиях
и поэтому нами в дальнейшем не рассматриваются.
По третьему классификационному признаку —
«определенность—риск—неопределенность» — ЗПР делятся на три больших
класса:
1. Принятие решений при определенности, или, иначе,
детерминированные ЗПР. Они характеризуются однозначной,
детерминированной связью между принятым решением и его исходом. Это
наиболее простой и наиболее изученный случай принятия решений,
когда относительно каждой стратегии оперирующей стороны
заранее, до проведения операции, известно, что она неизменно
приводит к некоторому конкретному результату. В детерминированных
ЗПР критерий оптимальности и дисциплинирующие условия
зависят только от стратегий оперирующей стороны и фиксированных
детерминированных неконтролируемых факторов, т. е. факторов,
полиостью известных оперирующей стороне.
2. Принятие решений при риске, или, иначе, стохастические
ЗПР. В этом случае каждая стратегия оперирующей стороны может
привести к одному из множества возможных исходов^ причем
каждый исход имеет определенную вероятность появления.
Предполагается, что принимающему решение эти вероятности заранее,
до проведения операции, полностью известны (во всяком случае.
236

могут быть определены с любой требуемой для целей исследования
степенью точности). В стохастических ЗПР критерий
оптимальности зависит кроме стратегий оперирующей стороны и
детерминированных факторов также от фиксированных стохастических
факторов, т. е. от случайных факторов, законы распределения которых
известны оперирующей стороне. Статистические характеристики
(законы распределения, математические ожидания, дисперсии
и т. п.) стохастических факторов, а также значения
детерминированных факторов являются той исходной информацией, которая
может быть, использована исследователем операции при
определении оптимальной стратегии.
Первое из приведенных названий рассматриваемого класса
ЗПР — «принятие решений при риске»'—связано со следующими
обстоятельствами. Несмотря на то что все случайные явления
и процессы, сопровождающие операцию и влияющие на ее исход,
хорошо изучены и все их необходимые статистические
характеристики полностью известны, исход каждой конкретной реализации
операции заранее (до ее проведения) неизвестен, случаен. В этом
смысле оперирующая сторона всегда рискует (в большей или
меньшей степени) получить не тот результат, на который она
ориентируется, выбирая свою оптимальную стратегию в расчете на
осредненные, статистические характеристики случайных факторов.
3. Принятие решений в условиях неопределенности. В данных
ЗПР критерий оптимальности зависит кроме стратегий
оперирующей стороны и фиксированных факторов также от неопределенных
факторов, не подвластных оперирующей стороне и не известных
ей в момент принятия решения (или известных с недостаточной для
принятия решения точностью). В результате влияния
неопределенных факторов каждая стратегия оперирующей стороны оказывается
связанной с множеством возможных исходов, вероятности которых
либо неизвестны оперирующей стороне (или известны с
недостаточной для принятия решения точностью), либо вовсе не имеют
смысла. Первое соответствует неопределенным факторам
стохастической природы (т. е. недостаточно изученным стохастическим
факторам, относительно которых отсутствует необходимая
статистическая информация), второе — неопределенным факторам
нестохастической природы.
Детерминированные ЗПР и ЗПР в условиях неопределенности
можно считать предельными случаями ЗПР (т. е. полное знание
и полное незнание). ЗПР, в которых имеется элемент риска,
занимают некоторое промежуточное положение. Очевидно, что любой
предельный случай всегда представляет собой большую или
меньшую идеализацию реальной ситуации.
Классификацию ЗПР завершим указанием на математический
аппарат, применяемый при решении ЗПР того или другого класса.
Как будет показано в следующей главе, однокритериальные
статические детерминированные ЗПР в своей общей постановке
полностью совпадают с общей постановкой задачи математического
программирования (МП), представляющего собой бурно развиваю-
237

щуюся ветвь современной прикладной математики. Поэтому весь
арсенал методов, разработанных для решения задач МП, может
быть применен для решения ЗПР данного класса.
Однокритериальные статические ЗПР в условиях риска
решаются с использованием методов теории вероятностей и
математического программирования. При моделировании задач этого класса
находит широкое применение метод статистических испытаний
(другое название — метод Монте—Карло).
При решении однокритериальных статических ЗПР в условиях
неопределенности находит применение ряд математических
дисциплин: теория игр, теория минимакса, теория статистических
решений. Выбор той или другой дисциплины диктуется природой
неопределенных факторов, о чем более подробно будет сказано в
соответствующей главе книги.
При решении ЗПР в условиях риска и неопределенности
находят также применение экспертные процедуры.
Динамические ЗПР, как уже отмечалось, пока находят малое
применение в экономических исследованиях, однако за ними
большое будущее. В настоящее время наибольшие успехи достигнуты
в изучении однокритериальных динамических ЗПР.
Однокритериальные динамические детерминированные ЗПР являются предме- х
том изучения специального раздела классической математики —
вариационного исчисления и современной прикладной
дисциплины— теории оптимальных систем управления. Изучением
однокритериальных стохастических динамических ЗПР занимаются
современные прикладные дисциплины—теория случайных процессов
и статистическая динамика систем управления. Наименее
разработанным в настоящее время видом динамических ЗПР являются
динамические ЗПР в условиях неопределенности. Здесь наибольшие
успехи достигнуты в отношении динамических ЗПР в условиях
конфликтных неопределенностей. Эти задачи являются предметом
изучения одной из ветвей теории игр — теории дифференциальных
игр.
При решении динамических ЗПР в условиях риска и
неопределенности также находят применение экспертные процедуры.
Наименее разработанным классом ЗПР являются
многокритериальные ЗПР [78, 73], хотя именно они должны иметь наибольшее
применение в экономических исследованиях. Действительно,
практически любое экономическое исследование столь сложно, что при
его изучении и формализации в виде некоторой операции бывает
очень трудно, а подчас и невозможно, ограничиться одной целью
операции и, соответственно, одним критерием оптимальности.
В настоящее время теория многокритериальных ЗПР находится
в стадии становления. Наибольшие успехи достигнуты здесь в
отношении статических детерминированных задач. Большое место
многокритериальные ЗПР занимают в системном анализе, этой
современной прикладной дисциплине, предметом изучения которой
являются сложные технические и организационно-экономические
системы. В системном анализе разработай специальный подход
238

к изучению многокритериальных задач — построение «дерева целей,
задач и средств», рассмотренный в разд. I настоящей книги.
Широкое применение при решении многокритериальных ЗПР получили
экспертные процедуры. В частности, построение «дерева целей»
всегда сопряжено с оценкой относительной важности целей с
помощью экспертных методов.
На рис. 6.2 представлено классификационное «дерево» ЗПР,
соответствующее выделенным выше классификационным
признакам. Здесь подробно выделена лишь «ветвь», связанная с однокри-
териальными ЗПР.
Очевидно, что любая реальная ЗПР может удовлетворять
одновременно нескольким из перечисленных выше классификационных
признаков, т. е. представлять собой комбинацию из рассмотренных
классов ЗПР. Отнесение реальной задачи принятия решения
к одному из классов рассмотренной классификации всегда
представляет собой определенную идеализацию реальной задачи и
определяется точкой зрения и информированностью исследователя,
а также необходимой или возможной глубиной исследования про-
блрМЫ.
Завершая общий обзор ЗПР, необходимо указать на
принципиальное различие в сложности проблем, сопутствующих решению
ЗПР различных классов. С точки зрения характера сопутствующих
проблем ЗПР можно разделить на две группы: к первой следует
отнести однокритериальные детерминированные (статические
и динамические) ЗПР, а ко второй — стохастические ЗПР, ЗПР
в условиях неопределенности и многокритериальные ЗПР
(статические и динамические).
Однокритериальные детерминированные ЗПР являются
принципиально более простыми, чем все прочие ЗПР. Действительно,
в этих задачах результат — исход операции и его оценка —
единственный критерий оптимальности — связаны детерминированной
зависимостью с причиной — стратегией оперирующей стороны.
Принцип оптимальности в этих задачах очевиден: оптимальным
является такое решение (стратегия), которое максимизирует
(минимизирует) значение критерия оптимальности. Поэтому при
решении указанных ЗПР возникают проблемы только формально-
математического характера, теоретические и вычислительные.
Концептуальных проблем здесь нет, на «уровне идей» здесь все
ясно. Приведенное здесь очевидное и традиционное понимание
принципа оптимальности можно считать его простейшим (одиокри-
териальным и детерминированным) толкованием.
Напротив, при решении стохастических ЗПР, ЗПР в условиях
неопределенности и многокритериальных ЗПР возникают прежде
всего концептуальные проблемы, а уже затем
формально-математические. Здесь сложность возникает прежде всего на «уровне идей»
и состоит в том, что в ^тих задачах не ясен, не очевиден сам
принцип оптимальности. Указанная проблема находит чсвое выражение
в вопросе: какое решение следует считать оптимальным в ЗПР
в условиях риска, неопределенности и в многокритериальных ЗПР?
239

Рис. 6.2. Классификационное «дерево» ЗПР и методов их решения

И только после того, как будет решена эта проблема, т. е.
сформулирован и формализован принцип оптимальности, можно
приступить к разрешению проблем формально-математического
характера, связанных с поиском оптимального решения в смысле
сформулированного принципа оптимальности.
Указанная проблема выбора принципа оптимальности
применительно к однокритериальным ЗПР в условиях риска и
неопределенности может быть образно названа проблемой «детерминизации»
задачи. В результате решения этой проблемы стохастическая -
и неопределенная картина реальной операции заменяется некоторой
ее детерминированной схемой, для которой уже решается задача
оптимизации в указанном выше очевидном понимании принципа
оптимизации: оптимальное решение должно доставлять
экстремальное значение критерию оптимальности.
Та же проблема выбора принципа оптимальности применительно
к детерминированным многокритериальным ЗРП может быть
названа проблемой «скаляризации». В результате решения этой проблемы
многокритериальная постановка исходной ЗРП, соответствующей
некоторой сложной многоцелевой операции, сводится к некоторой
однокритериальной схеме, для которой затем решается задача
оптимизации (в указанном выше очевидном понимании принципа
оптимальности) .
Проблемы «детерминизации» и «скаляризации» могут возникать
при решении ЗПР как порознь, так и совместно в зависимости от .
сочетания в задаче признаков «риск—неопределенность—многокри-
териальность».
Обе указанные проблемы имеют одну объективно существующую
причину, которую можно сформулировать в виде следующего
утверждениям практически реализованы могут быть лишь
вычислительные схемы для однокритериальных детерминированных
оптимизационных задач. Все другие оптимизационные процедуры
обязательно содержат в себе некоторый субъективный элемент,
связанный с формулировкой принципа оптимальности. Очевидно,
что степень субъективизма может быть существенно снижена за
счет применения экспертных процедур при выборе принципа
оптимальности.
Наше знакомство с задачами принятия решения мы начнем
с простейшего класса задач, а именно однокритериальных
статических детерминированных ЗПР.
В дальнейшем изложении для простоты и определенности будем
считать, что оперирующая сторона располагает одним п-мерным
вектором управления Х=(хи *2, ..., хп) и преследует цель
максимизации значения критерия оптимальности F, т. е. F-ипах.
Отметим здесь очевидный факт, что любая задача минимизации может
быть сведена к задаче максимизации в результате умножения
критериальной функции F на —1 и замены критериальной
функции F критериальной функцией F'=~F, так как minF=
==—max ( — F) = —maxi7'.
16 935
24\

ГЛАВА 7
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕНПОСТИ И РИСКА
7.1. Принятие решений в условиях определенности
Настоящий параграф содержит описание методологии решения
детерминированных ЗПР применительно к простейшему классу
задач данного типа — однокритериальным статическим
детерминированным ЗПР. В параграфе дается общая постановка однокрите-
риальной статической детерминированной ЗПР, дается обзор
и классификация методов их решения с указаниями на
рекомендуемую литературу, а также приводится развернутый пример
процедуры решения ЗПР данного класса.
7.1.1. Общая постановка однокритериальной статической
детерминированной ЗПР
Задаче принятия решений рассматриваемого класса, в отличие
от общей задачи, описанной в 6.2, можно дать строгую
математическую постановку. Она может быть представлена в следующем виде.
Пусть имеет место н$которая операция, т. е. управляемое
мероприятие, исход которого зависит от стратегий оперирующей стороны
и некоторых неслучайных фиксированных факторов, полностью
известных оперирующей стороне. Стратегии (управления)
оперирующей стороны могут быть представлены в виде значений я-мер-
ного вектора Х= (#ь ..., Xjf ..., хп), на компоненты которого
наложен ряд органичений, обусловленных физическим и экономическим
существом задачи, имеющих вид
ie\,m; т[<л =, >}я, (7.1)
где Ai — некоторый массив фиксированных неслучайных
параметров.
Условия (7.1) определяют область Qx допустимых значений
стратегии X.
Эффективность управления характеризуется некоторым
численным критерием оптимальности F вида
F = F(X,C), (7.2)
где С — массив фиксированных неслучайных параметров.
Массивы С и Л* в (7.1) и (7.2) характеризуют свойства объектов,
участвующих в операции, и условия ее протекания. Они
предполагаются известными.
Цель оперирующей стороны состоит в максимизации значения
критерия оптимальности F, что условно можно представить в виде
F--^F(X,C)^max. (7.3)
242

Средством достижения этой цели является' соответствующий
выбор вектора управления X из области Й*. Следовательно, перед
лицом, ответственным за принятие решения,^тоитмследующая
задача: требуется найти такое значение Х= {хи х2> ..., хп) вектора
управления Х= (хи х2,..., хп) из области Qx его допустимых
значений, которое максимизирует значение критерия оптимальности F9
а также найти значение F этого максимума; иначе: требуется найти
значения X вектора X и F функции F, удовлетворяющие условию
F = F(X, C) = maxF(X, С), (7.4)
ХеЯх -
где область Qx представляется условиями (7.1).
В (7.4) символы F и X обозначают максимально достижимое
в условиях (7,1) решаемой задачи значение критерия оптимальности
F и соответствующее ему оптимальное значение вектора
управления X (оптимальную стратегию). Значения F и X представляют
собой решение задачи.
Совокупность выражений (7.1), (7.2), (7.4) есть общий вид
математической модели однокритсриальной статической
детерминированной ЗПР.
7.1.2. Обзор методов решения однокритериальных статических
детерминированных задач принятия решений
При определении возможных методов решения любой ЗПР
следует исходить из анализа математической модели задачи. Как
видно из рассмотрения математической модели (7.1), (7.2), (7.4)
общей постановки однокритериальной статической
детерминированной ЗПР, она полностью совпадает с общей постановкой задачи
математического программирования (МП). Поэтому весь богатый
арсенал методов, разработанных для решения задач МП, может
и должен быть использован для решения ЗПР рассматриваемого
класса. В силу этого в данном параграфе проводится обзор
методов решения рассматриваемого класса ЗПР с точки зрения МП.
Математическое программирование представляет собой бурно
развивающуюся ветвь современной прикладной математики.
Содержание математического программирования составляют
теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функции
в ограниченной области допустимых значений переменных,
определяемой системой ограничений (равенств и неравенств). Термин
«математическое программирование» получил широкое
распространение в математической и инженерно-экономической
литературе, однако его нельзя считать достаточно удачным. Этот термин
не имеет ничего общего с программированием для цифровых
вычислительных машин и потому не является достаточно
содержательным для определения существа соответствующей математической
дисциплины. Исторически этот термин ведет свое происхождение из
первых публикаций на тему о нахождении решения нсклассических
243

экстремальных задач, где решения задачи называли планом или
программой.
Датой возникновения МП в литературе, особенно в переводных
источниках, обычно называют 1947 г., когда американским
математиком Дж. Данцигом, работавшим в составе группы исследовате*
лей по заданию ВВС США над решением некоторых типов
экстремальных задач, был разработан численный метод решения задачи
линейного программирования, являющейся частным случаем общей
задачи математического программирования; Метод получил
название симплекс-метода. Открытие этого метода стало толчком к
бурному росту интереса к теории и практике МП 1.
Общая задача МП может быть сформулирована следующим
образом [97]: требуется найти значения п переменных хи х2, ..., хп,
которые удовлетворяют системе из т соотношений:
gi(xu *ъ .-•> **){<> =, >)bh ishm, (7.5)
( где величины bi есть заданные константы, а ^ — заданные
функции, и максимизируют функцию
F = F(xu хъ ..., хп). (7.6)
Соотношения (7.6) в задачах МП называются ограничениями.
Совокупность этих ограничений образует область Qx допустимых
значений переменных Х\, х2, ..., хп. Очевидно, что эта область
должна быть не пуста. В противном случае исчезла бы свобода (хотя
и ограниченная) в выборе значений переменных, которая позволяет
сравнивать значения функции F в разных точках и определять
искомый максимум и которая составляет принципиальную
отличительную особенность задач МП,
Для краткости изложения в дальнейшем будем пользоваться
следующей условной формой записи задачи МПв постановке (7.5),
(7.6):
(F(X) -» max,
I ft (*Ж. ». »Ьь ieU, ' (7J)
где X= (xu x2y ..., xn) —/г-мерный вектор искомых переменных.
К задаче МП (7.5), (7.6) можно отнести следующие общие
замечания:
1. В каждом отдельном ограничении из системы ограничений
(7.5) сохраняется только один из знаков ^, =, ^, причем разные
ограничения могут иметь, конечно, разные знаки.
2. Величины /гит, где п — количество переменных в задаче,
am — количество ограничений, в общей задаче МП между собой
не связаны и могут принимать любые значения при условии
1 Исторической справедливости ради следует указать, что первая
обстоятельная работа по линейному программированию была выполнена еще в 1939 г.
в СССР. Это работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации
и планирования производства». (Л., 1939). -
244

n^l, m^O, причем т может быть меньше, больше или равно
п, т. е. га{<, = , >}п. Исключение составляет случай, когда все m
ограничений (7.5) являются строгими равенствами; в этом
случае величины пит должны быть связаны соотношением
O^m^/г, т. е. количество уравнений связи должно быть не
больше количества переменных. В частном случае т может быть
и нулем, так что общая постановка (7.5), (7.6) включает и
случай, когда все ограничения (7.5) отсутствуют.
3. В задачах, МП различают и обычно по-разному оформляют
два вида ограничений: областные и функциональные. Каждое
областное ограничение относится только к одной переменной,
ограничивая область ее изменения. Областное ограничение может
иметь, например, следующий вид:
xj>bj. (7.8)
Областное ограничение (7.8) представляет собой простейший
частный случай ограничения (7.5), когда функция gi(X) имеет
простейший вид: gi(X)=Xj.
В задачах МП встречаются и так называемые двусторонние
областные ограничения:
b?n<Xj<bT*. (7.9)
Одно двустороннее ограничение равносильно двум
односторонним ограничениям, имеющим вид, подобный (7.8), а именно:
\Х>>ЬТ- (7Л0)
I Xj < Oj ,
4. Частным случаем областных ограничений являются так
называемые ограничения на знак переменных. Эти ограничения
выражают требование, состоящее' в том, что некоторые или все
переменные задачи должны' удовлетворять условию
неотрицательности. Условия неотрицательности имеют вид
*j>0; jfTTp; p<n. (7.11)
Требование (7.11) возникло в сфере приложений задач МП
к решению практических ЗПР и отражает тот факт, что в
большинстве практических ЗПР искомые переменные не могут
принимать отрицательных значений в силу их физического или
экономического существа.
5. В отдельных задачах МП в качестве ограничений
дополнительно к (7.11) может фигурировать условие, по которому
некоторые или все переменные могут применить лишь некоторые
дискретные значения, например только целочисленные. Это условие
может иметь в частном случае вид
. Xj = О, А;, 2Ду, ЗДУ, ..., jе \7k\ k < я, (7.12)
где Aj — некоторая константа.
245

Условия, подобные (7.12), можно назвать требованиями
дискретности или ограничениями на непрерывность переменных.
Если в частном случае в условии (7.12) Aj=l, то оно
превращается в требование целочисленности переменных:
*у--=0, 1, 2, 3, ..., /еТ7£; k <п. (7.13)
Условимся в дальнейшем изложении обозначение вида (7.5)
оставлять лишь для обозначения собственно функциональных
ограничений. Наличие же областных ограничений, требований
неотрицательности и дискретности будем отмечать особо с
помощью обозначений вида (7.8) ч-(7.13).
В настоящее время не существует единого метода, одинаково
пригодного для решения всех задач МП. В зависимости от вида
функций F(X) и gi(X) среди задач МП выделяют частные типы
задач, для решения которых разработаны специальные методы.
Обратимся к классификации задач МП и обзору методов их
решения. В основу существующей классификации задач МП
положены различия в характере критериальной функции F(X)
и функций ограничения gi(X).
При построении классификационной схемы задач МП они
прежде всего обычно подразделяются на два больших класса:
классические и неклассические задачи МП. Основным признаком
такого деления выступает дифференцируемость критериальной
функции и фукциональных ограничений.
^ /. Классические задачи МП (классические задачи
оптимизации). Классическими задачами МП являются такие, которые
удовлетворяют совокупности следующих признаков: а)
непрерывность критериальной функции F(X) и функциональных
ограничений gi(X) и наличие у них непрерывных частных производных по
крайней мере второго порядка; б) отсутствие среди
функциональных ограничений неравенств, что влечет за собой требование
тп^.п\ в) отсутствие областных ограничений и требований
неотрицательности; г) отсутствие требований дискретности
переменных.
Если хотя бы одно из этих требований не удовлетворяется, то
задача не может быть классифицирована как классическая задача
МП. Следует отметить, что из перечисленных требований
принципиальными являются лишь первое и последнее. Если же не
выполняются другие требования, то за счет введения вспомогательных
переменных и, следовательно, увеличения размерности задачи эти
требования всегда могут -быть удовлетворены. (Под размерностью
задачи здесь понимается количество переменных.) Увеличение
размерности задачи обычно усложняет процесс ее
решения.
Классические задачи МП в свою очередь подразделяются на
два подкласса по признаку отсутствия или наличия ограничений:
задачи отыскания безусловного экстремума и задачи отыскания
условного экстремума с ограничениями — равенствами.
246

la. Задачи отыскания безусловное^ экстремума. В этих
задачах отсутствуют ограничения на область допустимых значений
вектора переменных Х= (хи ..., хп), т. е. отсутствуют функции
gi(X). Следовательно, область Q(X) совпадает со всем п-мерным
пространством переменных.
, Постановка задачи имеет вид
• F(X)-+m&x. (7.14)
16. Задачи отыскания условного экстремума с ограничениями
типа равенств. Постановка задачи имеет вид
| F(X)->max, (7.15)
[ gi(X) = bb i6 1, /гг; 0<m<n.
Задачи типа (7.15) в результате применения метода
множителей Лагранжа [88], (97] сводятся к предыдущей задаче — задаче
безусловной оптимизации (7.14).
Особенность классических задач МП состоит в том, что, по
крайней мерс в принципе, они могут быть решены средствами
классических методов, основанных на использовании
дифференциального исчисления. Как известно, классический подход
к решению задач безусловной оптимизации состоит в
использовании необходимого и достаточного условий экстремума функции.
Необходимым (но не достаточным) условием существования
экстремума непрерывной функции в неограниченной области
изменения се аргументов является равенство нулю всех ее
частных первых производных, т. е. условие
i^p-==0,yGTT (7.16)
Корни системы уравнений (7.16) называются стационарными;
эти точки «подозрительны» на предмет нахождения в них
экстремума (максимума лли минимума) функции F(X)., Признаком
существования максимума в стационарной точке является
выполнение в ней достаточных условий максимума функции.
Процедура решения задачи безусловной оптимизации (7.14)
классическим методом состоит из следующих этапов: 1) решение
системы уравнений (7.16) с целью определения всех
стационарных точек; 2) анализ тем или иным способом стационарных точек
с целью выявления всех максимумов функции F(X)\ 3) сравнение
между собой максимальных значений функции F(X) с целыа
определения ее глобального максимума.
Несмотря на принципиальную ясность в отношении
классического метода решения задачи безусловной оптимизации, обычно
на этом пути встречаются такие вычислительные трудности,
которые делают необходимым поиск других методов решения.
Выделение задач оптимизации типа (7.14) и (7.15) в специальный
класс задач и его изучение имеет больше
теоретико-математический, чем прикладной, интерес.
24?

//. Неклассические задачи МП (неклассические задачи
оптимизации). В неклассических задачах МП на значения вектора
управления'Х= (Xj), кроме функциональных ограничений вида
gi(X){<, =, >}bh ieTTm,
где gi(X) — функция, обычно накладываются ограничения на
знак, выражающие требование неотрицательности всех или
некоторых компонент вектора X:
Xj^O, jeTTp, р<п. (7.11)
В дальнейшем обзоре для простоты будем считать, что требо-
Бание (7.11) предъявляется ко всем п компонентам BCKtopa X, т. с.
Р = п. Если в частном случае это не так, то всегда за счет введения
дополнительных переменных можно перейти к случаю р = п.
Общая постановка неклассической непрерывной (т. е. не
имеющей требований дискретности) задачи МП обычно записывается
в виде
\gdX)^bh /еТТй; (7.17)
I *;>0, У б1, П.
Заметим, что многие авторы публикаций по математическому
программированию задачи МП отождествляют лишь с некласси-
■ческими задачами (7.17), выделяя классические задачи (7.14),
{7.15) в особый класс задач оптимизации.
Неклассические задачи МП обычно подразделяют на два
подкласса: специальные и неспециальные задачи МП. К
специальным задачам МП относят такие, для которых в силу каких-то
специфических особенностей их критериальных функций и
функциональных ограничений разработаны специальные методы
решения. Пример специальной задачи МП — задача линейного
программирования. Специфическая особенность этой задачи —
линейность критериальной функции и функциональных ограничений.
Совокупность специальных методов в публикациях по
математическому программированию получила и другое
наименование — непрямые методы поиска экстремума. В этом названии
нашел отражение тот факт, что траектория поиска экстремума при
пользовании этими методами проходит не непосредственно
в направлении экстремума, а, образно говоря, какими-то
окольными путями, с учетом специфических особенностей критериальной
функции и функциональных ограничений..Например, при решении
задачи линейного программирования симплекс-методом
траектория поиска начинается в некоторой начальной опорной точке на
границе области допустимых значений вектора управления и затем
переходит из одной опорной точки в другую в направлении
возрастания критериальной функции. Сказанное иллюстрирует рис. 7.1.
248

Неспециальные задачи МП решаются с использованием
неспециальных методов поиска экстремума. Неспециальные методы
'имеют и другое название — прямые методы поиска экстремума.
Эти методы являются универсальными в том смысле, что при их
разработке не учитывались какие-либо специфические особенности
конкретной задачи оптимизации, а лишь самые общие
соображения, связанные с задачей отыскания экстремума. Прямые методы
применимы для решения как специальных, так и неспециальных
задач МП.
Свойство универсальности прямых методов поиска экстремума
вовсе не означает, что эти методы работают лучше специальных
Рис. 7.1. Траектория поиска экстремума
при решении задачи линейного
программирования симплекс-методом
методов. В частности,
специальные методы в силу их
специфической
приспособленности к задаче более
надежно гарантируют
нахождение экстремума функции.
Так, например, в теории МП
строго доказано, что
симплекс-метод гарантирует в
задаче линейного
программирования точное нахождение
экстремума критериальной
функции за конечное число
шагов. Существует верхняя
оценка количества опорных
решений для задачи ЛП:
она равна С т+я= (т+п)1/т\ /г!, где п — количество переменных
в задаче; т — количество ограничений, Ст+п —число сочетаний из
(т+п) по п. Поскольку перебор всех олорных решений
гарантирует нахождение оптимального решения, то, очевидно, число шагов
симплекс-алгоритма не должно существенно превышать величину
Cm-| п . Следует иметь в виду, что задача линейного
программирования может быть решена и прямыми методами поиска экстремума,
однако при этом не гарантируется точное нахождение
оптимального решения за конечное число шагов поиска.
Методы, гарантирующие нахождение экстремума
критериальной функции за конечное число шагов поиска, в теории МП
называются конечными. Остальные методы, не гарантирующие точное
нахождение экстремума за конечное число шагов поиска,
называются асимптотическими или итерационными. При пользовании
этими методами процесс поиска экстремума теоретически может
продолжаться бесконечно долго. Поэтому при разработке
соответствующих алгоритмов для ЦВМ всегда необходимо
сформулировать некоторый четкий признак окончания счета.
Следует^меть в виду, что специальные методы поиска
экстремума, несмотря на их достоинство, состоящее в обеспечении
гарантии нахождения экстремума, при решении специальных задач боль-
249

:шой размерности часто уступают место нсспециальиым методам
в силу своей громоздкости. Например, при решении задач
линейного программирования большой размерности симплекс-алгоритм
.становится столь громоздким, что целесообразнее решать задачу
менее точными, но более простыми прямыми методами, например
методами случайного поиска.
Разделение задач МП на специальные и неспециальные
является условным, отражающим сегодняшнее состояние развития МП.
С ростом достижений МП класс специальных задач МП будет
непрерывно расширяться. Таким образом, список специальных
задач МП представляет собой своеобразный реестр теоретических
достижений МП.
Перечислим основные типы специальных неклассических задач
МП.
1. Задачи линейного программирования (ЛП), Они
характеризуются тем, что функции F(X) и gi(X) являются линейными по X.
Общая постановка задачи ЛП может быть представлена в виде
[ п
F(X)= 23 £*■*.•-> max;
J n
&(*)- 2 *«/*;>*!. *el,ro; (7.18)
Mi
[ *j>0, 7€l,/l,
где biy Cjy aij — заданные постоянные величины.
Все остальные задачи МП, не сводимые к постановке (7.18),
являются нелинейными задачами МП.
Задачи ЛП представляют собой наиболее хорошо
разработанный класс задач МП. Решению задач ЛП посвящена обширная
литература, в том числе [70], [73], [98].
На сегодня известно большое количество методов решения
задач ЛП. Из них наиболее универсальным и получившим широкое
распространение является так называемый симплекс-метод
решения задачи ЛП. Этот метод хорошо рааработан и доведен до
стандартных программ, входящих в состав математического
обеспечения современных цифровых вычислительных машин.
Симплекс-метод является универсальным методом, пригодным
для решения любой задачи ЛП. Достоинством его является
возможность получить точное решение задачи за конечное количество
шагов. Наряду с универсальными методами теория ЛП
располагает также большим количеством специальных методов,
разработанных для решения отдельных частных типов задач ЛП,
например методов решения транспортных задач ЛП.
Задачи и методы ЛП получили широкое распространение в
экономических исследованиях. Привлекательность линейных
постановок ЗПР во многом обусловлена большими вычислительными
возможностями линейного программирования в отличие от
нелинейного программирования, где вычислительные приемы разрабо-
250

таны для решения лишь немногих типов задач. При пользовании
линейными постановками ЗПР всегда, однако, следует иметь в
виду, что линейное, а тем более детерминированное, описание ЗПР
обычно представляет собой довольно грубое приближение
реальной задачи; более детальный анализ задачи часто позволяет
обнаружить нелинейные и стохастические явления (под нелинейным
явлением понимается такое, -в котором отсутствует прямая
пропорциональность между причиной и результатом).
2. Задачи квадратичного программирования. Они
характеризуются квадратичной зависимостью критериальной функции F(X)
и линейной зависимостью функциональных ограничений gi(X) от X.
Общая постановка задачи квадратичного программирования
имеет вид
I п п п
\ F(X) = У, CjXj -f У ^ djkxjxk -> max;
y=l J J j—\ ft—1 J
') n
j gt(x) = Ъа>цХ)>Ьь /el-,/и; (7.19)
I *y>0, yelT/T,
где b{, Cj, aij, <2j& — заданные постоянные величины.
Для решения задач этого.типа разработаны специальные
методы, базирующиеся на теории Куна—Таккера {75], [97].
Рис. 7.2. Примеры выпуклых (вогнутых) и S-образных
функций
3. Задачи выпуклого программирования [75], [83], [97]. В этих
задачах критериальная функция F(X) и функции ограничений
gi(X) относятся к классу выпуклых функций.
Напомним некоторые определения, касающиеся выпуклых
функций. Выпуклая (вогнутая) функция одной переменной
у(Х) обладает тем свойством, что каждая дуга ее лежит не ниже
(не выше) своей хорды (рис. 7.2,а, б). Функция, представленная
на рис. 7, в, не является ни вогнутой, ни выпуклой, так как на
участке АВ хорда лежит выше дуги, а на участке ВС— ниже.
Подобные функции часто называют S-образными.
251

Функция многих переменных F(X), где X—я-мерный вектор,
называется выпуклой, если для произвольных n-мерных векторов
Хх и Х2 и любого скаляра % из интервала O^A^l выполняется
условие
' F(\X2-\- (\ -\) XJ^iXJ -\- (\ -I) F(Xt). (7.20)
В задачах выпуклого программирования часто используются
следующие свойства функций: 1) сумма выпуклых функций есть
выпуклая функция, т. е. функция F(X) = H<Xkfk(X) выпукла, если
&=1
^л^О и функции fk(X) выпуклы для всех &el, t\ 2) линейная
и квадратичная функции являются выпуклыми.
Общая постановка задачи выпуклого программирования по
форме совпадает с общей постановкой (7.17) иеклассической
задачи МП. Для решения задач выпуклого программирования
успешно применяются методы возможных направлений [81].
Отметим здесь для сведения, что задачи линейного и
квадратичного программирования представляют собой частные случаи
задачи выпуклого программирования, поскольку линейные и
квадратичные функции принадлежат к классу выпуклых функций.
Следовательно, методы, разработанные для решения задач
выпуклого программирования, применимы также для решения задач
линейного и квадратичного программирования, но не наоборот.
4. Задачи с сепарабельными критериальными функциями
и линейными ограничениями. Сепарабельной критериальной
функцией называется такая функция п переменных, которая может
быть представлена в виде суммы или произведения п функций
одной переменной, т. е.
F(X) = F(xu ..., хп) = Zfj(xJ)=fi(xi)+f2(x2) +
+ ... +М*п), (7.21)
или
F(X) = F(xu ..., xn)=njj(xj) =
= /i(*i)/2(*2) .../Л*„). (7.22)
В случае (7.21) функция F называется, аддитивной, а в случае
{7.22) — мультипликативной сепарабельной функцией. В (7.22)
я
символ Я означает произведение п функций.
Постановка задачи имеет вид
( /4*)-{fj/y(*;) или Я/,(*,)}-♦ max;
J n
ft(*) = 2 <*ij*j>bh leltm; (7.23)
I */>0, /еТТл.
262

Для решения подобных задач может быть использован метод
динамического программирования Беллмаиа [71]; (88], [97].
5. Задачи геометрического программирования [80]. В задачах
зтого класса критериальная функция и функциональные
ограничения относятся к разряду так называемых позиноминальных
функций. Простейшим позиномом является функция <р(Х), где -
Х=(хи х2у ..., хп), которая может быть представлена в виде
ср(ЛГ) = cxVx? ... xajj ... хапп ■.-. cflxp, (7.24)
7-1
где с и aj — некоторые константы.
В задачах геометрического программирования к величинам
с и Xj предъявляется требование положительности, т. е. с>0
и *j>0. Требование положительности коэффициента с привело
к появлению приставки «пози» в слове «позином»; благодаря
положительности Xj выражение х/ определено и для дробных
степеней aj.
В задачах геометрического программирования критериальная
функция и функциональные ограничения являются позииоминаль-
иыми функциями, представляющими собой сумму простейших
позиномов вида (7.24), т. е. функциями вида
f(X)=2tC*(nxp*\ (7.25)
где cft>0.
Общая постановка задачи геометрического программирования
имеет вид
I F(X)= i>cJfl XjA^max;
*=i \7-i /
I gt (X) = 2 ct J П xajiA > bhi gTT^; (7.26)
l Xj > 0, ye lTJt.
6. Задачи дискретного программирования [88], [97]. Сюда
может быть отнесена любая задача МП, в которой есть
дополнительное ограничение на вектор управления Х> состоящее в
требовании, чтобы все (полностью дискретные задачи) или некоторые
(частично дискретные задачи) компоненты вектора X принимали
только дискретные неотрицательные значения, т. е.
*ft = 0, А* 2АЪ ЗА,, ....
ЛбТГр,/><я; (7.27)
*,>(), /е(/? + 1), я,
где п — размерность вектора X, Д& — некоторый дискрет
(положительная величина).
253

Частным случаем задач дискретного программирования
являются задачи целочисленного программирования. В них Да=1.
В настоящее время разработаны методы решения некоторых
дискретных задач МП в рассмотренных выше специальных
случаях, например методы Гомори решения задач целочисленного
линейного программирования. Требование дискретности хорошо
сочетается с методом динамического программирования Беллмана,
применяемым для решения задач с сепарабельными
критериальными функциями.
Все остальные задачи МП, не сводимые к специальным задачам
(т. е. неспециальные задачи), часто называют просто задачами
нелинейного программирования.
Особенностью задач линейного, квадратичного и выпуклого
программирования является их моноэкстремальность (одноэкстре-
мальность). Это означает, что поверхность критериальной функции
в этих задачах имеет единственный условный глобальный
экстремум, расположенный либо внутри области допустимых значений
управления, либо на ее границе (последнее всегда имеет место
в задачах линейного программирования). Указанная особенность
этих задач обусловлена как свойствами их критериальных
функций, так и свойствами функциональных ограничений.
Напомним здесь, что в задачах МП различают "следующие
виды экстремума: безусловный абсолютный (или глобальный)
максимум (минимум), безусловный относительный (или
локальный) максимум (минимум), условный абсолютный максимум
(минимум), условный относительный максимум (минимум). Под
безусловными экстремумами понимаются экстремумы в отсутствие
ограничений, под условными — экстремумы в условиях действия '
ограничений. Глобальным максимумом (минимумом) называется
наибольший (наименьший) из всех максимумов (минимумов).
Локальный экстремум — это экстремум в некоторой ограниченной
малой окрестности экстремальной точки (рис. 7.3).
Как уже отмечалось выше, критериальные функции в задачах
линейного, квадратичного и выпуклого программирования
относятся к классу выпуклых функций (линейную функцию можно считать
предельным случаем выпуклой функции — поверхность линейной
функции образует гиперплоскость в n-мерном пространстве).
Выпуклые функции обладают единственным безусловным
глобальным экстремумом.
Характерной особенностью обладают и области Qx допустимых
значений управления в задачах линейного, квадратичного и
выпуклого программирования. Эти области образуются совокупностью
линейных или выпуклых функциональных ограничений, а поэтому
представляют собой выпуклые области в n-мерном пространстве
вектора управления X. Произвольная область называется
выпуклой, если вместе с двумя любыми точками, принадлежащими ей,
она содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки. На рис. 7.4, а
даны примеры выпуклых областей, на рис. 7.4,6 — областей, не
являющихся выпуклыми.
254

Рис. 7.3. Виды экстремумов:
а — безусловные; б — условные
Рис. 7.4. Области допустимых значений управления:
а — выпуклые; 6 — нсвыпуклые

Сочетание указанных свойств критериальной функции и
функциональных ограничений в задачах линейного, квадратичного и
выпуклого программирования обусловило их относительную простоту,
проявляющуюся в их моноэкстремальности. Моноэкстремальность
и явилась тем объективным обстоятельством, которое позволило
разработать эффективные методы решения, гарантирующие
нахождение экстремума в указанных задачах.
Особенностью неспециальных задач математического
программирования является их потенциальная полиэкстремальность (мно-
гоэкстремальность). Это означает, что оптимизируемая
критериальная функция в области допустимых значений может иметь
несколько (заранее неизвестно, сколько) экстремумов (локальных
и глобальных). Кроме того, она может обладать сложной формой
поверхности, имеющей разнообразные «хребты», «овраги»,
«пещеры». Многоэкстремальность задач нелинейного программирования
может быть обусловлена сложным характером как поверхности
критериальной функции, так и функциональных ограничений,
приводящим, например, к многосвязности области Qx допустимых
значений вектора управления X. (Многосвязная область — область,
состоящая из нескольких изолированных частей).
Указанные факторы ведут к принципиальным затруднениям при
решении неспециальных задач нелинейного программирования.
В настоящее время не существует методов решения задач
нелинейного программирования, которые гарантировали бы нахождение
глобального экстремума критериальной функции в
многоэкстремальной задаче МП.
Исключение, составляет случай сепарабельных критериальных
функций. Метод динамического программирования гарантирует
нахождение глобального экстремума в задачах как с выпуклыми,
так и с невыпуклыми сепарабельными критериальными функциями
в условиях линейных ограничений.
Для решения неспециальных задач математического
программирования в настоящее время применяются всевозможные прямые
методы поиска экстремума, которые могут быть как
детерминированными, так и случайными [90], [91], [93].
Для детерминированных методов поиска характерен «жесткий»
алгоритм поиска (без случайных элементов). К
детерминированным методам относятся различные градиентные методы (метод
градиентов, метод наискорейшего спуска, проективный градиент->
ный метод), метод покоординатной оптимизации (метод Гаусса—
Занделя), различные «овражные» методы и др.
Методы случайного поиска характеризуются наличием элемента
случайности в алгоритме поиска (случайный «рабочий» шаг,
случайный «пробный» шаг и т. д.). К методам случайного поиска
относятся методы ненаправленного и направленного случайного поиска,
методы случайного поиска с самообучением и т. д. Все указанные
численные методы поиска экстремума могут быть использованы
и в специальных задачах МП, т. е. задачах, линейного,
квадратичного и выпуклого программирования.
256

В соответствии с выделенными классификационными
признаками задач и методов МП на рис. 7.5 а и 7.5 б построено
классификационное «дерево» однокритериальных статических
детерминированных ЗПР и методов их решения.
7.1.3. Пример типичной процедуры обоснования решения
однокритериальной статической детерминированной ЗПР
Любое исследование, направленное на решение ЗПР, должно,
как это видно из рассмотрения типового процесса принятия
решения в 6.1, содержать как минимум следующие пункты:
1) постановка задачи (имеется в* виду содержательная
постановка задачи в отличие от формальной, математической
постановки) ;
2) формализация задачи;
3) математическая постановка (иначе — математическая
модель) задачи;
4) анализ математической модели и выбор метода решения;
5) разработка алгоритма решения задачи;
6) анализ результатов счета.
Здесь рассматривается пример процедуры решения одной
простой задачи рассматриваемого класса — задачи оптимального
планирования загрузки производственного оборудования. Пример
строится по указанной схеме (за исключением пунктов 5 и 6).
Постановка задачи. Рассмотрим операцию оптимального
планирования загрузки оборудования производственного участка,
производящего продукцию одного вида.
Производство продукции связано с затратами ряда исходных
ресурсов — трудовых, материальных, энергетических, запасы
которых для рассматриваемого планового периода ограничены
заданными величинами. Для производства конечной продукции участок
располагает несколькими заранее отработанными
технологическими способами. Каждый технологический способ характеризуется
своей производительностью, т. е. количеством продукции,
производимой в единицу времени, а также соответствующими удельными
расходами всех видов ресурсов, т. е расходами в единицу
времени. Технологические способы независимы между собой в том
смысле, что могут быть использованы одновременно (в
параллель).
Руководитель участка заинтересован в максимизации
суммарного за время планового периода выпуски продукции, возможного
в условиях имеющихся ресурсов. Средством достижения этой цели
является выбор соответствующего плана загрузки технологических
способов, представляющего собой совокупность времен работы
каждого технологического способа в течение рассматриваемого
планового периода. Следовательно, для достижения поставленной
цели плановому подразделению предприятия требуется решить
задачу: найти оптимальный в условиях располагаемых ресурсов
план загрузки технологических способов, максимизирующий общий
17 935
257

Рис. 7.5а. Классификационная схема однокритсриальных статических детерминированных ЗПР и методов их решения
Рис. 7.56. Классификационная схема однокритериальных статических детерминированных ЗПР и методов их решения
(продолжение)

выпуск продукции за плановый период, а также величину
максимально возможного выпуска.
Формализация задачи. Формализуем условия задачи. Количе,-
ство располагаемых технологических способов производства обо-
значим через п и каждому способу присвоим порядковый номер /,
где /el, м. Общее количество типов ресурсов, потребных для
производства конечной продукции, обозначим через т и каждому
типу ресурсов присвоим порядковый номер i, где iel, т.
Запасы ресурсов, которыми располагает производственный
участок, представим в виде m-мерного вектора B=(7?t), где Ь{ — вели-7
чина запаса t-го типа ресурсов.
Характеристики совокупности п технологических способов
производства представим в виде"n-мерного вектора производитель-.,
ностей C=(Cj) и матрицы удельных расходов А размера m-n:
аи #12 ... й1п
А = #21 #22 • • • Q"Ltl = I &ij \у
I ami aml • • • атп I
где Cj — производительность /-го способа, т. е. количество
продукции, производимой по /-му технологическому способу в единицу
времени; ац — расход /-го ресурса за единицу времени
использования /-го технологического способа.
Векторы В, С и матрица А представляют собой совокупность
параметров, характеризующих свойства объекта исследования —
производственного участка. Предполагается, что все эти параметры
являются неслучайными величинами, полностью известными
руководителю участка и плановым органам.
Искомый план функционирования участка может быть
представлен в виде /г-мёрного вектора X = (xj), компонента которого'^-
есть время (в пределах рассматриваемого планового периода),
в течение которого участок выпускает продукцию с использованием
/-го технологического способа.
Вектор X представляет собой вектор управления. Компоненты
его связаны рядом соотношений вида
п
2^;.<J, /el,/и; (7.28)
0<ху<Г; УеТГй, (7.29)
где Т — длительность планового периода.
Соотношения (7.28) обусловлены ограниченностью
располагаемых ресурсов, а условия (7.29) отражают тот факт, что компоненты
плана X не могут быть отрицательными в силу их физической
сущности и не должны превышать длительности планового периода.
Условия (7.28), (7.29) определяют область Qx допустимых
планов.
260

Эффективность функционирования производственного участка
в рассматриваемой задаче оценивается общим количеством Т7
продукции, произведенной всей совокупностью технологических
способов за плановый период. Очевидно, что величина критерия
оптимальности F является функцией плана функционирования участка
X и вектора производительности С, а именно:
F = F(X,C) = ZcjXj.
(7.30)
Цель руководителя участка математически выражается
в стремлении максимизировать значение критерия оптимальности,
т. е. f-Hiiax, за счет соответствующего выбора плана X из области
Qx его допустимых значений. Отсюда следует задача: требуется
найти оптимальный план X=(xj) к максимальный выпуск F,
удовлетворяющие условию
F = F(X,C) = max
- Х*9Х
2<Л
(7.31)
где Qx определяется условиями (7.28), (7.29).
Математическая модель задачи. Дана критериальная функция
F = F(XtC)= tcjXj,
j—l
где X=(Xj)9 C=*(Cj)—м-мерные векторы. Вектор С задан, вектор
X является искомым.
Требуется найти значения F функции F и X вектора X,
удовлетворяющие условию
F=F(X, С)
max
ХеЯх
2 CjXj
L /=i
где область Qx определяется условиями:
я
(7.32)
0<*;< 71, ye 1, п,
где матрица А= |atj| размера т-п и величина Т заданы.
Совокупность выражений (7.30) -i- (7.32) есть математическая
модель задачи.
Анализ задачи и выбор метода решения. Рассматриваемая
задача относится к классу однокритериальных статических
детерминированных ЗПР, поскольку: 1) она имеет единственный критерий
оптимальности и 2) ее критериальная функция и функции
ограничения не зависят от времени и случайных и неопределенных
факторов. Поэтому для ее решения могут быть использованы методы
математического программирования.
261

Как следует из анализа математической постановки (7.30) -=-
-f-(7.32) рассматриваемой задачи оптимального планирования, она
представляет собой типичную задачу линейного
программирования. Поэтому для ее решения может быть применен один из
методов линейного программирования, в частности универсальный
метод линейного программирования — симплекс-метод. Конкретный
выбор метода во многом будет зависеть от математического
обеспечения вычислительного центра, где будет решаться задача, а также
от размерности т-п конкретной задачи.
7.2, Принятие решений в условиях риска
7.2.1. Общая постановка однокритериальной статической
стохастической задачи принятия решений и некоторые принципы
оптимальности, применяемые в стохастических ЗПР
В данном параграфе рассматриваются получившие в настоящее
время" распространение подходы к принятию решений в условиях
риска, или, иначе, в стохастических ЗПР. Эти подходы
рассматриваются применительно к простым ситуациям принятия решений,,
а именно таким, которые могут быть представлены в виде однокри-
териальных статических ЗПР.
Случай принятия решений в условиях риска классифицировался
нами ранее (в 6.3) как принятие решений в условиях, когда каждая
стратегия оперирующей стороны связана с множеством возможных
исходов, причем каждый исход имеет определенную вероятность
появления, известную исследователю операции. В подобных
ситуациях все рекомендации исследователя операции по выбору
оптимальной стратегии неизбежно основаны на осредненных
(статистических) характеристиках стохастических факторов. Поэтому,
принимая решение о выборе оптимальной стратегии, руководитель
всегда рискует в конкретной реализации операции получить не тот
результат, на который он ориентируется, исходя из статистических
данных.
Подходы к принятию решений в условиях риска удобно
рассматривать на примере некоторой операции, в которой число возможных
стратегий оперирующей стороны4**! числа возможных исходов
операции конечны. Изучаемая операция может быть представлена %
с помощью табл. 7.1.
В ней в верхней строке представлен набор возможных исходов
операции Sb ..., Si, ..., Sr, в крайнем левом столбце—набор
возможных стратегий Хи ..., Хк> ..., Xt. Стратегия X/t, &^1, /,
представляет собой одно из значений вектора управления Х= (хи ...,
*п), принадлежащее области Qx его допустимых значений.
Остальные клетки таблицы (кроме крайнего правого столбца) заполнены
значениями величин QMy и #w, &el, t\ lei, r, где Qw —значение
некоторого показателя эффективности операции в случае
появления /-го-исхода при реализации оперирующей стороной k-й
стратегии, Hki — вероятность появления /-го исхода при реализации А-й
262

стратегии. В стохастической ЗПР эти вероятности предполагаются
известными. Примером рассматриваемой ситуации йожет служить
любая военная операция, исход которой всегда зависит от
случайных факторов, таких, как рассеивание снарядов, ошибки
определения координат цели и т. д.
При оптимизации решения в подобных ситуациях прибегают
к приему сведения стохастической ЗПР к детерминированной. Этот
прием может быть основан на различных принципах. Широкое
расгарострапение получили следующие два принципа:
1} «искусственное сведение к детерминированной схеме»;
2) «оптимизация в среднем».
Первый прием сводится к тому, что неопределенная,
вероятностная картина явления приближенно заменяется
детерминированной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы
приближенно заменяются какими-то неслучайными
характеристиками этих факторов (как правило, их математическими
ожиданиями). В результате стохастическая ЗПР заменяется
детерминированной ЗПР.
Этот прием применяется преимущественно в грубых,
ориентировочных расчетах, а также в тех случаях, когда диапазон
возможных значений случайных величин сравнительно мал, т. е. они без
большой натяжки могут рассматриваться как неслучайные
величины. Кроме того, указанный прием применяется и приводит к тому
же результату, что и «оптимивация в среднем», в тех случаях, когда
показатель эффективности исхода операции зависит от случайных
параметров линейно. Этот прием получил широкое применение,
например, при решении задач принятия плановых решений с
использованием методов сетевого планирования и управления (СПУ).
Второй прием («оптимизация в среднем») является более
сложным. Он применяется в тех случаях, когда разброс случайных
263

факторов велик и замена которого из них его математическим
ожиданием может привести к большим ошибкам.
Рассмотрим этот прием несколько более подробно, хотя суть его,
очевидно, ясна уже из названия. Как показано в табл. 7.1,
показатель эффективности в стохастической операции является случайной
величиной, зависящей от факторов, влияющих на исход операции,
т. е.
Q = Q(X, Л, ylf у2, ..., у,), (7.33)
где X—вектор управления; А —массив детерминированных
факторов; уи у2, ..., yq — конкретные реализации случайных
фиксированных факторов У и У 2, •.., Уд*
В табл. 7.1 представлены возможные значения Qki некоторого
показателя эффективности и вероятности Нм их появления в
операции, в которой возможны t различных стратегий и г различных
исходов.
Прием «оптимизация в среднем» состоит в переходе от
исходного случайного показателя эффективности Q к его некоторой
осредненной, статистической характеристике, например к его
математическому ожиданию M[Q]:
/? = ^[Q]=JJ^jQ(^, X, уи y2, ..., y,)/(ylf y„ ....
Уя)dy,dy2 ...dyq = F{X,A9B), (7.34)
где В — некоторый массив известных статистических
характеристик случайных величин Уь У2, ..., Уд\ f(j/u #2, ..., Уд)—закон
распределения вероятностей случайных величин Уи ^2, ..., Уд.
При оптимизации^ среднем по критерию (7.34) в качестве
оптимальной стратегии X будет выбрана стратегия, которая,
удовлетворяя ограничениям на область Qx допустимых значений вектора X,
максимизирует величину математического ожидания F=M[Q]
исходного показателя эффективности Q. Оптимальная стратегия
должна удовлетворять условию*
F= F(JC9 Л, В) = max F(X, Л, В) =
= maxAf [Q(A, X, уи у2, ..., у,)]. (7.35) •
Хе<2х
Такой выбор физически означает, что в качестве оптимальной
стратегии X принимается такая, которая при многократном
повторении операции в одинаковых условиях приводит к наилучшему
в среднем результату. Всякая другая стратегия даст более плохой
в среднем результат. Выбор той или иной статистической
характеристики исходного показателя эффективности Q в качестве
критерия оптимальности F при «оптимизации в среднем» представляет
собой концептуальную проблему, решаемую на уровне
руководителя операции.
Обратимся к рассмотрению процедуры выбора оптимальной
«в среднем» стратегии в операции, имеющей дискретный характер,
264

т. е. конечное число возможных стратегий и возможных исходов.
Подобная операция была представлена в табл. 7.1.
В подобной операции для каждой £-й стратегии Хк может быть
определено математическое ожидание показателя эффективности
по формуле
Ъ = М [Qkl] =F(Xk) = S QkiHkb *e Г7. * (7.36)
Пользуясь формулой (7.36), заполним крайний правый столбец
табл. 7.1. В качестве оптимальной стратегии X при оптимизации
«в среднем» будет выбрана такая стратегия из / возможных
стратегий Хи Хъ,..., Хи которая удовлетворяет условию
F = F(Z) = m*x[F(Xk)] = m*x [2Q*itfJ. (7.37)
т. е. будет выбрана та стратегия, для которой значение в столбце
Fk максимально.
Выражения (7.36) и (7.37) по смыслу равнозначны выражениям
(7.34) и (7.35); они представляют собой дискретный аналог этих
выражений.
Прием «оптимизация в среднем» не ликвидирует влияния на
исход операции фактора случайности. Эффективность каждой
отдельной операции, осуществляемой при случайных, заранее
неизвестных реализациях величин Уь У2> . •., Уду может сильно
отличаться от ожидаемой средней как в лучшую, так, к сожалению,
и в худшую сторону. При многократном повторении операции эти1
различия в среднем сглаживаются.
Прием «оптимизации в среднем» часто применяют и в тех
случаях, когда операция осуществляется всего несколько и даже
только один раз. При этом надо считаться с возможностью риска,
т. е. с возможностью неприятных неожиданностей в каждом
отдельном случае. Утешением при этом может служить мысль о том, что
«оптимизация в среднем» все же лучше, чем выбор решения без
всяких обоснований. Чтобы составить себе представление о том,
чем мы рискуем в каждом отдельном случае, желательно кроме
математического ожидания показателя эффективности оценивать
также и его дисперсию.
Как видно из выражения (7.34) для критерия оптимальности,
прием «оптимизация в среднем» сводит задачу принятия решения
в условиях риска к детерминированной постановке. Действительно,.
осредненный критерий оптимальности (7.34) зависит только от
стратегий оперирующей стороны и неконтролируемых
фиксированных неслучайных факторов, представленных массивами А и В.
К аналогичному результату приводит и первый прием —
искусственное сведение к детерминированной схеме. Следовательно, все те
методы, которые применимы для решения задачи принятия решения
в детерминированном случае, т. е. методы математического
программирования, могут быть с успехом использованы для решения
265

задач принятия решений в условиях риска, если эта задача
с помощью какого-то приема сведена к детерминированной
постановке.
Сравнение двух описанных принципов оптимизации в
стохастических ЗПР показывает, что они представляют собой детерминиза-
цию исходной задачи на разных уровнях влияния стохастических
Рис. 7.6. Схема приема «искусственное сведение к
детерминированной схеме»
Рис. 7.7. Схема приема «оптимизация в среднем»
266

факторов. Прием «искусственное сведение к детерминированной
схеме» представляет собой детерминизацию на уровне факторов,
а прием «оптимизация в среднем» — на уровне показателя
эффективности. Иллюстрацией этому служат рис. 7.6 и 7.7.
Из сказанного следует, что процессу решения стохастической
ЗПР сопутствуют, по крайней мере, две проблемы различного
характера: а) концептуальная проблема, связанная с выбором
принципа сведения стохастической задачи к детерминированной
схеме и выбором в ней критерия оптимальности; б) проблема
формально-математического характера, связанная с выбором метода
решения и разработкой вычислительной схемы процесса решения
соответствующей детерминированной ЗПР.
При пользовании
Рис. 7.8. Структурная схема процесса
принятия решения при аналитической форме
представления критерия оптимальности
приемом «оптимизация
в среднем» могут
встретиться три
различных случая,
описанные ниже в
порядке их усложнения:
1) критерий
оптимальности F=M[Q] или
Fk=M[M Qhi] получен
в аналитической
форме {если интеграл
(7.34) или выражение
(7.36) берется в
аналитическом виде]; 2) критерий оптимальности F=M[Q] или Fk =
=M[Qki] получен в алгоритмической форме, т. е. получен алгоритм,
позволяющий для конкретных значений неслучайных аргументов
X, А, В, где В — м;ассив статистических характеристик случайных
факторов, получить численное значение- критерия оптимальности F
или Fk\ 3) получение критерия оптимальности E=M[Q] или Fk=
=M[QM] невозможно ни в аналитической, ни в алгоритмической
форме. Однако возможно создание модели операций,
позволяющей для различных стратегий X оперирующей стороны и
различных конкретных реализаций уи Уь -•-> Уя случайных факторов Уь
^2» . • ■> Уд получать соответствующие численные значения
показателя эффективности.
Первый случай является наиболее простым. Представление
критерия оптимальности F в аналитической форме дает
принципиальную возможность анализа характерных особенностей этого
критерия и отнесения задачи оптимизации, если анализ позволит, к
одному из специальных классов задач математического
программирования с присущими ему методами. В противном случае задачу
следует решать -с применением прямых методов поиска экстремума.
Структурная схема процесса принятия решения в данном случае
может быть представлена в виде рис. 7.8.
Во втором случае, поскольку характер зависимости критерия
оптимальности F от своих аргументов заранее неизвестен в силу его
267

алгоритмического задания, возможно применение только прямых
методов поиска экстремума (рис. 7.9).
В последнем случае для решения задачи с использованием
приема «оптимизация в среднем» приходится прибегать к методу
статистических испытаний (методу Монте—Карло) для получения
Рис. 7.9. Структурная схема процесса принятия
решения при алгоритмической форме
представления критерия оптимальности
Рис. 7.10. Структурная схема процесса принятия решения при невозможности
получения критерия ни в аналитической, ни в алгоритмической форме
необходимых статистических характеристик, в частности
математического ожидания F=M[Q] показателя эффективности Q (рис. 7.10).
Очевидно, что при использовании первого приема решения
стохастической ЗПР — «искусственное сведение к детерминированной
схеме» возникают в основном первые два из рассмотренных выше
случаев (схемы на рис. 7.8 и рис. 7.9).
268

7.2.2. Пример задачи принятия решения
в условиях риска
Во многих современных зарубежных публикациях по
прогнозированию и принятию решений серьезное внимание
уделяется вопросам оптимального использования средств вооружения.
При решении таких вопросов неизбежно возникают задачи целе-
распределеиия различного конкретного содержания. Ниже
приводится простейший пример подобной задачи. Содержание
примера во многом следует [72], [75], [76].
Постановка и формализация задачи. Рассматривается задача
распределения однородных средств нападения в количестве Nu по
совокупности из п точечных (малоразмерных) объектов
поражения, различающихся своими коэффициентами относительной
важности vu iel, п. Величины Vi образуют я-мерный вектор К —
= (^1, *>2, ..., ^п), определяющий шкалу важностей объектов.
Искомое распределение средств нападения по объектам
поражения может быть представлено я-мерным вектором Х= (хи #2, ..,
хп> где Хг — количество средств, выделенных для нападения на
i-й объект. Компоненты вектора X подчинены ограничениям:
\%xr<.NHi (738)
[xi = 0, 1, 2, ..., ;VH, iel./i.
Для защиты от нападения обороняющаяся сторона располагает
однородными средствами противодействия в количестве ЛГпр.
Средства противодействия стационарно распределены по объектам.
Распределение средств противодействия по объектам может
п
быть представлено n-мерным вектором У=(у\ ..., уп), 2#i=Nnp,
где ух — количество средств противодействия, выделенное для
защиты t-ro объекта.
Каждое из средств противодействия, входящее в группу уи
может поразить любое из средств нападения, атакующих i-й объект,
с вероятностью ри tel, л. Вероятности pi образуют /г-мерный
вектор вероятностей перехвата Р= (/?ь ..., Рп).
Каждое из средств нападения, прорвавшееся к i-му объекту,
может поразить его с вероятностью wu i^U п. Величины Wi
образуют /г-мерный вектор W={wu ..., wn) условных вероятностей
поражения.
Предполагается, что векторы К, У, Р, W полностью известны
нападающей стороне.
Исход рассматриваемой операции является случайным. Каждая
конкретная стратегия X нападающей стороны приводит к
множеству возможных исходов, заключающихся в уничтожении той или
иной части объектов поражения. При этом вероятность
уничтожения 1-го объекта, обстреливаемого нарядом средств нападения
в количестве Х{ и защищаемого нарядом средств противодействия
269

в количестве уи приближенно определяется выражением,
полученным в [72]:
Л =/(**. Уь «,. Л) - 1 - [1—»,(1 -л)*'*|]*1. (7.39)
Лицо, ответственное за распределение средств нападения,
преследует цель причинить противнику максимально возможный
ущерб. Соответствующим этой цели показателем эффективности
может служить количество уничтоженных объектов с учетом их <
коэффициентов относительной важности. Величина этого
показателя эффективности является случайной. Придерживаясь концепции
«оптимизации в среднем», руководитель операции в качестве
критерия оптимальности F принимает средневзвешенное по
коэффициентам относительной важности математическое ожидание
количества уничтоженных объектов.
Можно показать, что критерий оптимальности F определяется
выражением
F=F{X% Y, К, W, Р) - ifo/Л в
= 2^1-[1-^(1-А)^/]*«). (7.40)
Математической записью цели операции является выражение
F (Хунтах. (7.41)
Средством достижения этой цели является соответствующее
распределение средств нападения, т. е. выбор соответствующего X.
Следовательно, перед лиЦом, ответственным за распределение
средств нападения^стоит задача определения оптимального
вектора распределения А", максимизирующего величину ущерба F.
Оптимальный вектор распределения Xнаходится из условия
F = F(Xt К, V, W,P) = maxF(X, К, К, IV, Я), (7.42)
' ***
где Qx — область допустимых значений вектора X, определяемая
условиями (7.38).
Математическая постановка задачи. Дана критериальная
функция
F(X, К, К, W, Р) - £*|{1 - [1 - wf(l -PiW'l
где аргументы X, У, V, W, Р являются м-мерными векторами,
причем векторы У, К, W, Р заданы. _
Требуется найти значение X вектора X и значение F функции F$
удовлетворяющие условию
F= F(X, Y, V, W, P) = max F (X, K, K, W, P),
,270

где область Qx определяется условиями
(х, = 0, 1, 2, ..., NH, /el, /г;
Выбор метода решения. Как следует из приведенной
математической постановки задачи, в результате использования приема
«оптимизация в среднем» рассматриваемая задача принятия
решения в условиях риска сведена к детерминированной задаче
принятия решения. Последняя относится к классу задач целочисленного
нелинейного невыпуклого программирования, в силу того что на
компоненты вектора X накладывается требование целочисленности,
а функция F(X) является невыпуклой, так как она равна сумме
S-образных функций fifa). Для решения задачи может быть
использован метод динамического программирования Беллмана,
поскольку функция F(X) принадлежит к классу сепарабельных
аддитивных функций, а функциональное ограничение на область Qx
допустимых значений вектора стратегий X является линейным.
;

ГЛАВА 8
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
8.1. Классификация ЗПР в условиях неопределенности и обзор
методов их решения
Задача принятия решений в условиях неопределенности
определялась нами ранее как задача выбора оптимальной стратегии
в операции, исход которой помимо стратегий оперирующей стороны
и ряда фиксированных факторов (детерминированных или
стохастических, или тех и других вместе) зависит также от некоторых
неопределенных факторов, неподвластных оперирующей стороне
и неизвестных ей в момент принятия решения. Вследствие влияния
неопределенных факторов каждой конкретной стратегии
оперирующей стороны соответствует не единственный, как в
детерминированном случае, а множество возможных исходов. Конкретная
реализация исхода операции для каждой стратегии оперирующей стороны
определяется конкретной реализацией неопределенных факторов
(а также, конечно, конкретной реализацией фиксированных
стохастических факторов, если в рассматриваемой операции они входят
в состав фиксированных факторов, влияющих на исход операции).
Подчеркнем здесь еще раз принципиальное различие между
фиксированными стохастическими факторами и неопределенными
факторами. И те и другие фактбры приводят к разбросу в
возможных исходах операции при многократной реализации одной и той
же стратегии оперирующей стороны в аналогичных условиях
проведения операции. В этом их сходство между собой и отличие от,
детерминированных факторов. Различие же между
фиксированными стохастическими факторами и неопределенными факторами
состоит в том, что относительно первых исследователь операции
располагает всей полнотой статистической информации; этой
информации достаточно для определения вероятностей появления
возможных исходов операции и принятия решения о выборе
оптимальной «в среднем» стратегии. В этом смысле фиксированные сто- *
хастические факторы являются факторами, полностью изученными
исследователем операции. Относительно неопределенных факторов л
исследователь операции подобной информацией не располагает.
В дальнейшем изложении для простоты и определенности
условимся рассматривать в основном ЗПР в условиях
неопределенностей в упрощенном, «чистом» виде, т. е. «очищенными» от
влияния фиксированных стохастических факторов. Это позволит нам
уделить основное внимание изучению влияния неопределенных
факторов. Конечно, подобные ЗПР представляют собой
определенную идеализацию реальных операций, исходы которых обычно
зависят от всех видов факторов.
Итак, далее в основном рассматриваются задачи выбора
оптимальных стратегий в операциях, исход которых зависит от страте-
272

гий, оперирующей стороны, фиксированных детерминированных
факторов и неопределенных факторов. В таких задачах каждой
стратегии оперирующей стороны соответствует множество
возможных исходов, определяемых конкретными реализациями
неопределенных факторов.
В отношении вероятностей различных реализаций исходов
операции возможны два случая: 1) вероятности возможных исходов
операции не имеют физического смысла; 2) вероятности
возможных исходов операции имеют физический смысл, но либо вовсе
неизвестны исследователю операции, либо известны с
недостаточной для принятия решений точностью. Первое соответствует
неопределенным факторам нестохастической природы, которые не могут
быть описаны в терминах теории вероятностей. Второе
соответствует факторам стохастической (вероятностной) природы,
неопределенность в отношении которых обусловлена их недостаточной
изученностью.
В соответствии с характером причины, вызывающей
неопределенность нестохастической природы, можно выделить две группы
факторов:
1. Стратегические неопределенности — неопределенные
факторы, появляющиеся за счет участия в операции нескольких
оперирующих сторон, т. е. разумных, активно действующих участников
операции, преследующих различные (несовпадающие) цели.
Неопределенность здесь обусловлена тем, что каждая из оперирующих
сторон вынуждена принимать решения в условиях, когда ей
неизвестны будущие действия (стратегии), которые будут предприняты
в процессе проведения операции другими ее участниками. Отсюда.
следует и название этих факторов.
2. Концептуальные неопределенности — неопределенные
факторы, сопутствующие принятию особо сложных решений, имеющих
долговременные и далеко идущие последствия, и связанные с
нечеткими представлениями оперирующей стороны о своих собственных
целях и целях других участников операции, о своих и чужих
возможностях в отношении достижения целей, о будущих путях
развития и т. п., а также факторы, связанные с трудностями
количественной оценки степени достижения особо сложных,
неформализованных целей, имеющих лишь качественное описание. Подобные
неопределенности часто встречаются в экономических и особенно
в социально-экономических исследованиях.
Неопределенные факторы стохастической природы имеют и
другое распространенное название — природные неопределенности.
Природные неопределенности — это неопределенные факторы,
появляющиеся из-за недостаточной изученности оперирующей
стороной «природы», связанной с рассматриваемой операцией. Под
словом «природа» в теории принятия решений понимают всю
совокупность обстоятельств, в условиях которых приходится принимать
решения. Сюда можно отнести неизвестные характеристики
некоторых процессов, связанных с протеканием операции, или неизвест-
18 9*5
273

ные свойства объектов, участвующих в операции, а также
неизвестные внешние условия выполнения операции.
ЗПР в условиях действия неопределенных стратегических
факторов можно назвать многосторонними ЗПР, так как исход
соответствующих операций зависит от деятельности нескольких
оперирующих сторон. Несовпадение целей оперирующих сторон
многосторонней операции создает конфликт между ее участниками, иначе,—
конфликтную ситуацию принятия решений. Отсюда идет еще одно
название подобных ЗПР—ЗПР в условиях конфликтной ситуации
или, иначе, конфликтные ЗПР.
Конфликтные ЗПР можно подразделить на одноуровневые
н многоуровневые. В одноуровневых ЗПР участники операции не'
связаны никакими формами подчинения, они действуют на одном
уровне власти. Их действия связаны лишь тем, что они участвуют
в одной операции и заинтересованы в том или ином ее исходе.
Многосторонние многоуровневые задачи принятия решении возникают
в сложных системах управления, имеющих иерархическую
структуру. Для таких систем характерно наличие нескольких уровней
ч управления, из которых низшие подчинены высшим, но в то же
время обладают некоторыми правами в отношении принятия
самостоятельных решений. Цели низших уровней управления не всегда
полностью соответствуют целям высших уровней. Это и порождает
многосторонние многоуровневые ЗПР, или, иначе, иерархические
ЗПР.
Одноуровневые конфликтные ЗПР могут быть как
антагонистическими, так и неантагонистическими. Антагонистическая ЗПР
связана с операцией, в которой сталкиваются интересы двух
сторон, преследующих прямо противоположные цели. Очевидно, что
многоуровневые ЗПР не являются антагонистическими:
исследование ситуаций прямого неподчинения и противодействия нижестоя-
„ щик руководителей вышестоящим не является предметом
математической теории принятия решений.
Обратимся к обзору математического аппарата, употребляемого
для решения различных ЗПР в условиях неопределенности.
Жизненная необходимость анализа конфликтных ситуаций
и принятия решений в условиях неопределенности, создаваемой
активными действиями нескольких участников операций, вызвала
к жизни специальный математический аппарат — теорию игр [68,
73, 82, 84, 87] и теорию минимакса (максимина) [76, 77]. Эти
дисциплины изучают одноуровневые конфликты. Иерархические ЗПР
являются наименее изученным' классом конфликтных ЗПР. Они
рассматриваются в [85].
Теорию игр обычно определяют как математическую теорию
конфликтных ситуаций (например, в [73]). Это достаточно общее
определение теории игр привело к довольно распространенному
в настоящее время заблуждению. Многие считают, что любая
конфликтная ситуация может быть формализована в терминах теории
игр, т. е. представлена в виде игры и решена методами теории игр.
При этом забывают о том, что методы теории игр разработаны при-
274

менительно к специфическим конфликтным ситуациям, таким,
которые обладают свойством многократной (а в теории — бесконечной)
повторяемости. Задача теории игр — выработка рекомендаций по
выбору рационального образа действий участников многократно
повторяющегося конфликта.
В отличие от теории игр теория минимакса представляет собой
Математический аппарат, который может быть использован для
решения задач принятия решений в конфликтных
антагонистических ситуациях, реализуемых ограниченное число раз или всего
один раз и ведущих к тяжелым и долговременным последствиям.
Применительно к таким ситуациям рекомендации теории игр
теряют свой смысл. Вряд ли при изучении ситуации такого рода
можно воспользоваться рекомендациями теории игр,
полученными в предположении многократного повторения конфликтной
ситуации в одинаковых условиях. Теория минимакса является
молодой отраслью математики, находящейся в стадии становления.
Перейдем к рассмотрению методов решения ЗПР в условиях
природных неопределенностей, называемых также часто ЗПР
в условиях неизвестного состояния природы. Математическим
аппаратом решения этих задач является теория статистических решений
[7Ф, 82, 94]. Для.теории статистических решений часто используют
другие, более образные названия, например «теория
статистических игр» или «теория игр с природой». Чтобы подчеркнуть отличие
теории статистических игр от собственно теории игр, занимающейся
конфликтными ситуациями, для наименования последней иногда
используют наименование «теория стратегических игр», прямо
указывающее на наличие в операции нескольких активных участников,
применяющих свои собственные стратегии.
В теории статистических решений обычно рассматриваются два
случая: 1) операция такова, что не представляется возможным
проведение каких-либо экспериментов с целью уточнения значений
вероятностей возможных исходов операции; 2) проведение
экспериментов возможно. Первый случай является наиболее тяжелым.
Здесь решения принимаются на основании различных критериев
оптимальности, сформулированных в теории статистических
решений. Выбор в того или иного критерия является концептуальной
проблемой. Соответствующие ЗПР часто называют
статистическими играми без экспериментов. Во втором случае в связи с тем, что
всякий эксперимент обладает стоимостью, возникает вопрос,
сколько и каких экспериментов целесообразно предпринять для
уточнения вероятностей возможных исходов. На эти вопросы отвечает
теория планирования экспериментов, являющаяся основным
содержанием теории статистических решений. Соответствующие ЗПР
часто называют статистическими играми с экспериментами.
Подчеркнем здесь принципиальное отличие ЗПР в условиях
конфликтной ситуации от других видов ЗПР в условиях
неопределенности. С конфликтными ЗПР обычно связывают два
предположения: 1) каждой оперирующей стороне многосторонней операции
известны как цели, так и весь набор возможных стратегий всех
275

других участников операции; 2) поскольку каждый участник
многосторонней операции является разумным и активно действующим,
то определяющим в его поведении является стремление к
максимально возможному достижению собственных целей. Оба эти
предположения определяют и одновременно упрощают подходы к
принятию решений в конфликтных ЗПР. На них строятся, в частности,
теория игр и теория минимакса.
Рис. 8.1. Классификационная схема ЗПР в условиях
неопределенности
В указанном смысле ЗПР в условиях «природных»
неопределенностей являются принципиально более сложными. Здесь вторым
участником операции является «природа». Однако природу нельзя
рассматривать как разумного, активно действующего участника
операции; ей нельзя приписать никаких сознательно поставленных
целей, к достижению которых она стремится. Тем самым
неопределенность выступает здесь в более «тяжелой» форме. Однако
природа развивается и «действует» в соответствии со своими
объективно существующими законами. У человека есть возможность
постепенно изучать эти законы, в частности с помощью специаль-
276

ных экспериментов, и тем самым снижать степень
неопределенности. В этом — ключ к решению ЗПР в условиях «природных»
неопределенностей.
Наиболее сложный класс ЗПР в условиях неопределенностей
составляют ЗПР в условиях действия неопределенных факторов
концептуального характера. Эти задачи можно также назвать
ЗПР в условиях неопределенных целей и возможностей. Здесь
неопределенность выступает в наиболее тяжелой форме. Для
решения ЗПР в условиях неопределенности концептуального характера
в настоящее время математический аппарат разработан очень
слабо. Здесь решение задачи выливается прежде всего в чисто
концептуальную проблему, направленную на вскрытие неопределенности
в отношении концепций (целей и возможностей их достижения).
Эта проблема решается с использованием экспертных
эвристических процедур, в частности с использованием метода «дерева
целей», описанного в разд. I.
Проведенному здесь обзору ЗПР в условиях неопределенности
и методов их решения соответствует классификационная схема
(«дерево») на рис. 8.1. Поскольку построенное классификационное
«дерево» относится к классу неупорядоченных по уровням, то
классификационные признаки (или названия уровней) в нем
проставлены лишь на отдельных уровнях.
3.2 Принятие решений в условиях повторяющейся одноуровневой
конфликтной ситуации
(Элементы теории стратегических игр)
В данном параграфе будут рассмотрены элементы теории игр
как математического аппарата, который может быть использован
для обоснования решений в условиях конфликтной ситуации.
Математическая теория игр, или, короче, теория игр, есть раздел
современной прикладной математики, содержанием которой являются
методы обоснования оптимальных решений в конфликтных
одноуровневых ситуациях, обладающих свойством многократной
повторяемости.
Зарождение теории игр связано с именем известного
американского математика Дж. фон Неймана, которого часто называют
«отцом» теории игр. Еще в 1928 г. Дж. фон Нейман доказал
основополагающую теорему теории игр — знаменитую теорему о мини-
максе. Но только после публикации в 1944 г. первого
фундаментального трактата по теории игр Дж. фон Неймана и О. Морген-
штерна «Теория игр и экономическое поведение», в которой было
впервые дано систематическое, полное и строгое изложение теории
игр, а также после появления быстродействующих ЭВМ,
позволяющих решать громоздкие игровые задачи, эта теория стала бурно
развиваться.
В настоящее время теория игр представляет собой емкую
и развитую математическую дисциплину. Развита (в разной сте-
277

пени) теория антагонистических и неантагонистических
(кооперативных) игр, конечных игр, бесконечных игр, позиционных игр.
В последние годы помимо теории этих игр, которую можно уже
считать классической, начала развиваться теория рефлексивных игр,
связанная с именем советского математика Лефевра, а также
теория дифференциальных игр (68]. В рефлексивных играх
существенным моментом является мысленное воспроизведение возможного
образа мыслей и поведения "противника. Предметом изучения
дифференциальных игр являются задачи преследования одного управ-
ляемого объекта другим управляемым объектом; особенностью
дифференциальных игр является учет динамики поведения объектов:
их поведение описывается дифференциальными уравнениями.
Примеры конфликтных ситуаций весьма многообразны. Дж. фон
Нейман и. О. Моргенштерн в своем трактате по теории игр
ориентировались на анализ конфликтных ситуаций в вопросах
капиталистической экономики, когда при наличии свободной конкуренции
в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы,
промышленные предприятия, монополии и т. д. Однако конфликтные ситуации
встречаются и во многих других областях человеческой
деятельности. Любая ситуация, складывающаяся в ходе военных действий,
принадлежит к конфликтным, так как здесь каждое решение
должно приниматься с учетом сознательного противодействия
разумного противника. К той же категории принадлежат и
ситуации, возникающие при планировании любых военных действий.
Интересными примерами конфликтных ситуаций являются
спортивные состязания, арбитражные споры, аукционы, выборы в
парламент при наличии нескольких кандидатов на одно место
и т. д.
В данном параграфе излагаются основные понятия и методы
теории игр на примере простейшей и наиболее теоретически
разработанной игры — конечной парной антагонистической игры% Данное
изложение элементов теории игр в основном соответствует
изложенному в литературе [73, 82, 92].
8.2.1. Основные понятия теории игр
Реальные конфликтные ситуации обычно очень сложны и
потому трудны для непосредственного анализа благодаря большому
количеству сопутствующих факторов, из которых многие, однако,
являются второстепенными. Чтобы сделать возможным
математический анализ конфликтной ситуации, ее необходимо упростить,
учтя только основные факторы. Упрощенная схематизированная
модель конфликтной ситуации называется игрой.
От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что
ведется но вполне определенным правилам. Правила игры
представляют собой систему условий, регламентирующих весь процесс
развития игры. В частности, правилами игры определяются все
возможные варианты (способы) действий каждой из оперирующих
278

сторон в конфликтной ситуации. ,В математической теории игр
предполагается, что правила игры (в том числе и возможные
варианты действий) известны каждой из оперирующих сторон и
неукоснительно ими выполняются.
Терминология, которой пользуются в теории игр, ведет свое
происхождение от спортивных и азартных игр. Эти игры носят
характер соревнования, происходящего по определенным
правилам и заканчивающегося победой (выигрышем), того или другого
игрока. В соответствии с этим и в теории игр стороны,
участвующие в конфликте, условно именуются игроками, оценка исхода
конфликта — выигрышем (или проигрышем, платежом). При этом
игроками могут быть как отдельные личности,- так и целые
коллективы людей, имеющих общие цели (например,
неприятельские армии, "спортивные команды, конкурирующие фирмы
и т. п.).
В игре могут сталкиваться интересы двух или более
противников; в первом случае игра называется парной, во втором — мноэюе-
ственной. Участники множественной игры могут образовывать
коалиции (постоянные или временные). Множественная игра с
двумя-постоянными коалициями обращается в парную игру.
Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является
парная антагонистическая игра. В ней участвуют два игрока,
преследующих прямо противоположные цели. Парная
антагонистическая игра относится к классу так называемых игр с нулевой
суммой, В этих> играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон
равна нулю. Действительно, в парной антагонистической игре один
игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй. Все
обычные салонные игры с денежными ставками являются
примерами игр с нулевой суммой. С другой стороны, в конфликтных
ситуациях, например, экономического характера выигрыш одного
игрока может не быть равным проигрышу другого, так как здесь
возможны какие-то поступления средств извне. Теория игр с
ненулевой суммой много сложнее ^теории игр с нулевой суммой
и в настоящее время разработана еще слабо.
Следует различать понятия «игра» и «партия игры». Игра
представляет собой совокупность правил, регламентирующих
поведение игроков. Каждый случай разыгрывания игры некоторым
конкретным образом от начала и до конца представляет собой
индивидуальную партию игры. Как уже отмечалось ранее,
рекомендации теории игр-по выбору оптимального поведения
участников конфликтной ситуации основаны на предположении о
многократной повторяемости конфликта. Конкретно в теории это
предположение сводится к предположению о том, что любая игра
состоит из бесконечного числа индивидуальных партий игры.
Поэтому оптимальное в соответствии с рекомендациями теории
игр поведение участников конфликтной ситуации является
оптимальным «в среднем» (на множестве партий'игры).
Каждая партия игры есть процесс, развивающийся во времени.
Элементами этого процесса являются ходы. Правила игры
279

определяют последовательность ходов и указывают характер
каждого хода.
Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называется
ход, осуществляемый в результате сознательного выбора игроком
одного из заданного множества вариантов его возможных действий.
Например, каждый ход в шахматах является личным ходом,
причем уже первый ход — это выбор одного из 20 возможных вариантов
(16 ходов пешками и 4 хода конями). Случайный ход также
представляет собой выбор одного из заданного множества вариантов
действий, но здесь выбор осуществляется не игроком, а некоторым
механизмом случайного выбора. Примерами случайных ходов
может служить сдача карт или бросание монеты. '
Для наименования результатов личных и случайных ходов
в теории игр используются разные термины. Решение, принятое
игроком при личном ходе, называется выбором. Выбор,
осуществленный при случайном ходе, называется исходом этого хода.
Некоторые игры содержат только случайные ходы (так
называемые чисто азартные игры) или только личные (например,
шахматы), некоторые — и те, и другие. Теория игр занимается
анализом только тех игр, которые наряду со случайными ходами (или
без них) обязательно содержат личные ходы; игра в рулетку,
следовательно, не является предметом математической теории игр.
В зависимости от располагаемого количества ходов игры
разделяются на одноходовые и многоходовые. Одноходовые игры
проще: в них в каждой партии игры каждый игрок может сделать
по одному ходу, т. е. по одному выбору варианта действий. Исход
игры определяется теми последствиями, к которым приводит
сочетание этих действий.
В зависимости от степени информированности игроков о
процессе развития игры в теории игр различают игры с полной
и неполной информацией. Игрой с полной информацией называется
такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает
результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных.
В противном случае игра относится к классу игр с неполной
информацией. Примерами игр с полной информацией могут служить
шашки, шахматы и т. п. Как будет показано в дальнейшем, игры
с полной информацией сыграли важную роль в становлении и
развитии теории игр.
Перейдем к рассмотрению одного из важных и сложных понятий
теории игр — понятию стратегии. Под стратегией игрока в теории
игр понимается совокупность правил, однозначно определяющих
выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока
в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Стратегия, понимаемая в указанном смысле, имеет и другое широко
используемое в теории игр наименование — чистая стратегия
(в отличие от понятия смешанная стратегия, которое будет
определено позднее).
Обычно, принимая непосредственное участие в игре, игрок
не следует каким-то жестким фиксированным правилам; эти пра-
280

вила часто даже оказываются им не вполне осознанными, т. е.
определенными на интуитивном уровне. При этом выбор (решение)
при каждом личном ходе принимается игроком не заранее, а в ходе
игры, в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако
теоретически дело не изменится (а в теории игр именно так и
рассматривается), если мы представим себе, что все эти решения
приняты игроком заранее (в условной-форме: «если сложится такая-то
ситуация, то я поступлю так-то»). В принципе это возможно для
любой игры (а во многих случаях и практически осуществимо).
Если1 такая система правил будет принята, это будет означать, что
игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не
участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил,
которые за него будет применять некоторое другое
незаинтересованное лицо.
Чтобы яснее представить себе понятие стратегии, рассмотрим
следующий пример. Предположим, мы хотим сыграть шахматную
партию белыми, но лично присутствовать при игре не можем. У нас
есть заместитель, который должен провести партию и выполнить
все наши указания. Но сам он не умеет играть в шахматы и не
способен принимать самостоятельныех решения. Чтобы заместитель
мог провести всю партию до конца, ему должны быть даны такие
указания, которые предусматривали бы любые возможные
положения на доске и для каждого положения определяли бы тот ход,
который должен быть сделан. Полная система таких указаний
и представляет собой стратегию.
Следует подчеркнуть, что в принятом в теории игр понимании
стратегии делается глубокое различие между понятиями
«стратегия» и «способ (вариант) возможных действий». В
рассматриваемых нами ранее более простых разделах теории принятия решений
такого различия не делалось: понятия «стратегия» и «способ
действия» считались синонимами. В простых игровых ЗПР —в одно-
ходовых— эти понятия также совпадают. В сложных
многоходовых ЗПР эти понятия принципиально различны.
В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на
конечные и бесконечные. Игра конечна, если конечно число
возможных стратегий у каждого из игроков, и бесконечна в
противном случае.
Перейдем к рассмотрению возможных способов описания игры.
В теории игр оперируют различными способами. Мы будем
пользоваться двумя из них — так называемыми, полным описанием
игры и формальным описанием игры. Под полным описанием игры
(иначе, развернутой формой игры) будем понимать полное и
однозначное описание правил игры. Полное описание игры в отличие
от формального является содержательным в том смысле, что,
пользуясь полным описанием игры, можно осуществлять
непосредственное разыгрывание партий игры и оценивать соответствующий
каждой конкретной партии результат.
Рассмотрению понятия «формальное описание игры» посвящен
следующий раздел данного параграфа. Как будет видно из даль-
281

нейшего изложения, формальное описание игры может быть
построено на основании полного описания игры, причем это может
быть сделано, в принципе, для любой игры, если только построение
стратегий игроков не окажется чрезмерно сложным (как,
например, в шахматной игре). В математической теории игр, при
решении задачи определения оптимальных стратегий, оперируют
в основном формальным описанием игры, поскольку целью теории
игр является не непосредственное разыгрывание игры, а
выработка рекомендаций в отношении оптимального поведения участников
конфликтных ситуаций.
Все дальнейшее рассмотрение в данном параграфе как
формального описания игры, так и принципов и методов теории игр
ведется применительно к простейшему классу игр — парной
антагонистической игре.
8.2.2. Формальное описание парной антагонистической игры
Парная игра разыгрывается между двумя игроками. Будем
именовать их: игрок I и игрок II. Кроме того, условимся в
дальнейшем, выступая в роли исследователя операции, рассуждать
и действовать на стороне игрока I (говорить «мы» от лица
игрока I); при этом игрок II будет выступать в роли
«противника».
Обозначим через X и Y множества (или пространства)
возможных стратегий игрока I и игрока II соответственно» Величины
х&Х и y^Y будут обозначать конкретные стратегии игроков I и II.
Каждая конкретная стратегия игрока представляет собой
некоторую совокупность указаний, определяющих последовательность его*
личных ходов в некоторой конкретной партии игры.
Игра может содержать, кроме личных ходов, и случайные
ходы. Обозначим через Я множество (или пространство)
случайных стратегий. Любая конкретная стратегия h^H представляет
собой некоторую последовательность всех случайных ходов в
некоторой конкретной партии игры. Каждая конкретная стратегия h
будет происходить с некоторой вероятностью P(ft), которая может
быть подсчитана на основании вероятностей каждого случайного
хода в этой послсдоватейьности; последние задаются правилами
игры.
Функция Р(й) представляет собой'распределение вероятностей
на пространстве Н и должна удовлетворять условиям:
Р(А)>0, 2Р(*) = 1. (8.1)
лея
Обозначим через g некоторый конкретный вариант игры, т. е.
некоторую индивидуальную партию игры. Каждая партия игры
будет определена, если выбраны стратегии игроков I и II, т. е. х^Х
и (/еУ, и стратегия случайных ходов АеЯ. Следовательно, всякая
конкретная партия g игры определяется тремя элементами х, у, К
Будем условно обозначать конкретную партию игры в виде
282

* = <*,У.Л). (8.2)
Результатом партии игры является выигрыш (или проигрыш)
каждого из игроков^ Этот результат, вообще говоря, не всегда
имеет количественное выражение. Однако для получения
количественных оценок принимаемых решений результат игры необходимо,
хотя бы условно, представить числом (например, в шахматной
игре выигрышу приписывают значение 1, проигрышу — 0, ничьей —
Vi).
Рассмотрим одну из конкретных партий игры g= (х9 у, А) и
обозначим через Lj(x9 у9 А) и Ьц(х9 у, К) величины проигрыша
первого и второго игрока соответственно. Условимся проигрышу
приписывать знак «+», а выигрышу — знак «—», т. е выигрыши
рассматривать как отрицательные проигрыши. Общая сумма
Z,l (х9 у, Л) проигрышей обоих игроков в партии g= (х9 у, К) равна
U (х, у, А) = U (х9 у, А) -|- Lu (х9 у, А). (8.3)
В парной игре с нулевой суммой, т. е. в антагонистической игре,
которой мы занимаемся, общая сумма проигрышей Li (х, у, А)
равна нулю: в таких играх проигрыш одного игрока в каждой
партии игры строго равен выигрышу другого игрока. Поэтому при
рассмотрении парных игр с нулевой суммой достаточно
ограничиться рассмотрением проигрыша (или выигрыша) одного игрока.
В теории игр широко пользуются термином «потери», понимая.под
ним проигрыш игрока II. С помощью потерь оценивают результат
игры.
Введем для потерь обозначение L(x, у, Л). Очевидно, что
L (х9 у, А) = Ln (х, у, А) = -Z, (х, у, Л). (8.4)
Поскольку стратегия А является случайной, то при выбранных
стратегиях х и у игроков I и II потери L(x9 у, А) будут случайной
величиной с распределением вероятностей Р(А) на множестве Н
случайных стратегий. Чтобы оценить выбранные стратегии х и у
игроков на бесконечном множестве партий игры, прибегнем
к приему усреднения потерь L(x9 у, Л) по всему множеству
случайных стратегий Я, для чего введем понятие средних потерь
Lcv(x9 y)9 определяемых по формуле для математического
ожидания случайной величины:
ICp(*,y)-2£(*fyfA)P(A). (8.5)
helf
Функция LCp(x9 у) в теории игр называется функцией средних
потерь или просто функцией потерь. Очевидно, при многократном
повторении партий игры с одними и теми же конкретными
стратегиями х и у игроков суммарный проигрыш игрока II (суммарный
выигрыш игрока I) стремится к величине функции средних потерь
LCp{x9 у), В этом смысле функция средних потерь является
характеристикой качества стратегий игроков (результат игры как бы
«очищается» от влияния случайных стратегий h^H).
283

В теории игр принято считать, что парная антагонистическая
игра формально определена, если перечислены все возможные
стратегии игроков I и II, т. е. заданы множества (пространства)
стратегий X и Y, и для любых конкретных стратегий х^Х и j/eK
определена функция потерь LCp(x, У)- Таким образом, мы приходим
к следующему формальному определению игры: игра G
определяется тремя элементами X, У, Lcp, что условно можно записать
в виде
0-(*,JMcp). (8.6)
Игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий
(конечные игры), удобно задавать с помощью, так называемых
матриц потерь. В случае игры с нулевой суммой достаточно
задавать одну матрицу. Пусть G — некая конечная игра с нулевой
суммой, в которой игрок I имеет т возможных стратегий, игрок II — п
возможных стратегий, т. е. А" и У есть конечные множества:
X = \Х\, х2, ..., хт},
У=[Уи Уъ ...» у«>.
Тогда матрица порядка т-п
Яп Яхч, • • • Ч\п
QHM = k*i ?22 -.- Яы I (8.7)
I Ят\ Ят2 • • • Ямп I
элемент которой ф{;-=£ср(Х{, #j), называется матрицей потерь.
Элемент матрицы qtj9 очевидно, имеет смысл средних потерь игрока II
при реализации игроками стратегий Xi и у^ иначе — среднего
платежа игрока II игроку I, если игрок I предпринимает стратегию хи
а игрок II — стратегию у у Отсюда другое название матрицы
потерь — платежная матрица.
С использованием платежной матрицы Q конечная парная
антагонистическая игра G может быть формально определена тремя
элементами Ху У, Q, что условно можно записать в виде
Q = {X,r,Q)t (8.8)
где X={xi), (€l,m,— m-мерпое множество возможных
стратегий игрока I;
У={*/Л, /^1. -л,— я-мерное множество возможных стра-
тегий игрока II;
Q=|?ij|, tel,m, /el,/г,— платежная матрица размера т-п.
Заметим, что практическое построение платежной матрицы
может оказаться трудным делом, особенно для игр большой
размерности (с большим количеством стратегий у игроков). Однако
в принципе любая конечная парная антагонистическая игра может
быть приведена к матричной форме. Отсюда идут другие названия
234

этой игры — матричная игра или игра т-п, где т. и п — количества
стратегий игроков I и II.
Задание игры в виде (8.6) или (8.8) определяет ее в том только
смысле, что задает все возможные стратегии обоих игроков и
определяет средний результат игры для каждого возможного
сочетания стратегий. Непосредственное же разыгрывание каждой партии
игры g= (x7 у, К) регламентируется правилами игры,
определяющими порядок чередования ходов и признак окончания партии
игры, объем информации каждого игрока о поведении других4
игроков, а также сведения о случайных ходах в игре и вероятностях
их возможных исходов.
Для пояснения введенных в этом и предыдущем параграфе
понятий рассмотрим следующий простой пример.
Пример. Дано полное описание конечной парной
антагонистической игры, состоящей из 4 ходов и разыгрываемой по следующим
правилам:
1. Первый ход — личный: игрок I выбирает одно из двух
чисел — 1 или 2. '
2. Второй ход — случайный: бросается монета и, если выпадает
герб (и только в этом случае), сообщается игроку II о выборе
игрока I в первом ходе.
3. Третий ход — личный: игрок II выбирает одно из двух
чисел — 3 или 4.
4. Четвертый ход — случайный: выбирается случайным образом
с вероятностями 0,4; 0,2; 0,4 одно из трех чисел —1, 2, 3.
5. После 4 ходов игра заканчивается. Результат игры: числа,
выбранные в первом, третьем и четвертом ходах, складываются,
и полученная сумма выплачивается игроком II игроку I, если она
нечетная, и игроком I игроку II, если она четная.
Требуется дать формальное описание данной игры в виде
G=(X, Y, Q), т. е. определить множества X и У возможных
стратегий игроков I и II и платежную матрицу игры Q.
Решение. Для удобства анализа представим
рассматриваемую игру в виде графа, имеющего форму дерева. «Дерево» данной
•игры представлено на рис. 8.2. Здесь вершинами (кружками)
изображаются различные положения (события), возникающие в
процессе игры; ходы изображаются стрелками, соединяющими
вершины. Каждая стрелка помечена либо числом (одним из чисел 1, 2,
3, 4), равным выбору каждого игрока при их личных ходах или
исходу 4-го случайного хода, либо буквами Г (герб) или Р (решка),
обозначающими исход 2-го случайного хода. Вершины,
соответствующие личным ходам игроков, обозначены цифрами I и II,
а соответствующие случайным ходам — буквой С. Конечные
вершины, определяющие результат игры, помечены цифрами,
означающими проигрыш (платежи) игрока II.
Количество вершин последнего, нижнего, уровня «дерева» игры
равно, очевидно, количеству возможных вариантов (реализаций)
одной партии игры. Конкретный вариант партии игры определяется
конкретными реализациями стратегий х и у игроков и конкретной
285

реализацией h случайной стратегии, т. е. g=(x9 у, Л). Каждая
ветвь дерева игры от начальной вершины до одной из нижних
вершин соответствует одной из реализаций партии игры. Так,
например, крайняя левая ветвь дерева игры представляет такой вариант
игры: игрок I в первом ходе выбирает число 1, во втором
случайном ходе выпадает герб, в третьем личном ходе игрок II выбирает
число 3, в четвертом случайном ходе выпадает число 1. Результат
игры равен 5. Поскольку он нечетен, то он равен проигрышу
игрока II (выигрышу игрока I).
Рассматриваемая игра относится к классу игр с неполной
информацией. Действительно, здесь объем информации о процессе
Рис. 8.2 .«Дерево» игры
разыгрывания партии игры, сообщаемой игроку II перед его
личным ходом, зависит от результата второго случайного хода. При
построении «дерева» игры для целей анализа удобно объединять
вершины, в которых игроку доступен один и тот же объем
информации. Путем такого объединения получаются группы вершин,
входящих в различные классы информации. Обозначим класс
информации через Su где i — порядковый номер класса информации.
В рассматриваемой игре для игрока II можно выделить три
класса информации: S{{—известно, что игрок I выбрал 1; S21 —
известно, что игрок I выбрал 2; S" — неизвестно, что выбрал
игрок I. Для игрока I, очевидно, имеет место всего один класс
информации 51 —ходов не было, игрок I должен сделать первый
ход и ему не известны будущие выборы и исходы в последующих
ходах. Выделенные классы информации указаны на «дереве» игры
(рис. 8.2).
Степень информированности игрока II влияет на его выбор при
совершении им личного хода, т. е. влияет на его стратегию.
286

Таблица 8.1
Перейдем к рассмотрению множеств стратегий игроков и
случайных стратегий. Множество X возможных стратегий игрока I
состоит всего из двух элементов, т. е. Х—{хи х2}, где Х\—выбор
числа 1, х2 — выбор числа 2.
Множество стратегий игрока I представим в виде табл. 8.1.
Стратегия игрока II должна указывать
его выбор при любом возможном варианте
игры, который определяется классом
информации. У игрока II три класса информации:
S\l, S 2 и S\l. Стратегия игрока II должна
представлять собой указание, какое из двух
чисел, 3 или 4, он выбирает в каждом классе
информации. Поскольку классов
информации три, то конкретная стратегия может
быть представлена в виде тройки чисел. Так, тройка чисел (4, 3, 3)
представляет стратегию: выбор числа 4-в классе S и числа 3 —
в классах So1 и 5!з, тройка (3, 4, 3) означает стратегию: выбор
числа 3 в классах S\{ и S\l, числа 4 — в классе S2 .
Множество Y стратегий игрока II состоит из восьми стратегий,
т. е. Y={yj}y /^1,8. Оно приведено в табл*. 8.2.
Таблица 8.2
*1
Выбор
' х.
(1)
хг
(2)
у«
Выборы
>'i
(3,3,3)
У:
(3,3,4)
ь\
(3,4,3)
У<
(4,3,3)
Уз
(4,4,4)
У«
(4,4,3)
Ут
(4,3,4)
У*
(3,4,4)
Случайные стратегии h состоят из двух ходов: второй ход —
выпадение герба (Г) или решки (Р) с вероятностями 0,5 и 0,5 —
и четвертый ход — выпадение чисел 1, 2 или 3 с вероятностями 0,4;
0,2; 0,4. Конкретная реализация случайной стратегии представляет,
собой сочетание исходов второго и четвертого ходов, например
стратегия (Г, 2). Вероятность каждой конкретной реализации
случайной стратегии равна произведению вероятностей исходов обоих
случайных ходов.
Множество Н случайных стратегий состоит из шести стратегий,
т. е. H={hk}, &el,6. Множество Я, а также распределение
вероятностей P(h) приведены в табл. 8.3.
Таблица 8.3
ч
Исходы
Р(А»)
л,
(Г, 1)
i °'2
К
(Г, 2)
0,1
К
(Г, 3)
0,2
ft.
(Р. 4)
i
0,2
it,
(Р, 2)
0,1
*.
(Р. 3)
1
0,2
237

Продолжение табл. 8.4
А*
Л,
h
л3
К
h
hs

Содержание.
(Г,1)
(Г, 2)
!(Г,3)
!(p.i)
(Р,2)
(Р.З)
pk
0,2
0,1
0,2
0,2
0,1
0,2
Ху\ У,
Lnk
5
-6
7
5
-6
-7
L\\kpk\
1
-0,6
1,4
1
-0,6
1,4
fn-3,6 |
х*\ Ух |
L2\k
—б
7
-8
-6
7
-8
£яЛ
-1,2
0,7
-1,6
~1,2
0,7
-1,6
fei - —4д|
*\\ У 2 |
^12*
5
~6
7
-6
7 ^
-8
LnkPk
1
-0,6
1,4
-1,2
0,7
-1,6
<7i2=-0,3|
X» Уз
^22*
-6
7
-8
1 7
-•8
9
^22ЛРЛ
-1,2
0,7
-1,6
1 1,4
-0,8
1,8
fe - 0,3
*il Уз
^13Л
5
-6
7
5
-6
7
£13ЛР£
1,0
-0,6
1,4
1,0
-^0,6
1,4
I ^13=3,6
х«: Уз
Ltxk
7
—8
9
-6
7
-8
LMPk
1,4
-0,8
1.8
-1,2
0,7
-1,6
1 <7за = 0,3
х,\ У 4 '
V I
-6
7
-8
5
i ~6
! 7
LYikPk
-1,2
0,7
-1,6
1
| -0,6
1,4
«Г,1=—0,3
х.л; у*
£24Л
-6
7
-8
-6
7
-8
l'24kPk
—1,2
0,7
—1.6
-1,2
0,7
-1,6
?2<—4,6
ftft
л.
Л3
Лз
л,
л*
л*

Содержание
"а
(Г, 1)
(Г, 2)
(Г.З)
(Р. 1)
(Р,2)
(Р.З)
pk
0.2
0,1
0,2
0,2
0,1'
0,2
1
Хи У а
1\Ьк
-.6
7
-8
-6
7
-8
Л15*РА
-1,2
0,7
-1,6
-1,2
0,7
-1,6
?i5=-4,6 |
х*. уа
L2ok
7
—8
9
7
-8
9
L2bkPk
1,4
-0,8
1,8
1,4
-0,8
1,8
to = 4,8 |
Хи У а
Lu>k
-6
7
-8
5
-6
7
L\*kpk
-1,2
0,7
-1,6
1
-0,6
1,4
<7i6= —0,3
х>; yft
4>вл
7
i *~8
9
-6
7
-8
L2bkPk
1,4
-0,8
1,8
—1,2
0,7
-1,6
| ^26 = 0,3
Хи У 7
Л17Л
-6
7
—8
-6
7
-8
L\ikpk
-1,2
0,7
-1,6
-1,2
0,7
-1,6
1 ^i7=—4,2
JV. У7
4>7/e 1
-6
7
-8
7
-8
9
L2lkPk
-1,2
0,7
-1,6
1,4
-0,8
1,8
1 ?27 = 0,3
Хи Уд
^18*
5
-6
7
-6
7
-8
L\bkPk
1
—0,6
1,4
-1,2
0,7
-1.6
! ^18=-0,3
x*; уя
L2Sk
7
-8
9
- 7
—8
9
L2SkPk
i M
-0,8
1 1,8
¥
-0,8
1,8
1 ^8-4.8
Таблица 8.4

Каждая конкретная партия игры определяется сочетанием
выбранных игроками I и II конкретных стратегий Xi и */j и
реализацией случайной стратегии Л&, т. е.
gijk-(xhyj9hk). \ (8.9)
Результатом каждой партии игры является некоторый проигрыш
игрока II (выигрыш игрока I) L(xu yj> hh), определяемый
правилами игры. Проигрыш L(Xi, #j, hk) является случайной величиной,
вероятность появления которой равна вероятности появления
случайной стратегии hky т. е. вероятности P(hk). Величины L(xu у» hk)
представляют собой цифры, которыми помечены конечные вершины
«дерева» игры. Так, например, если игроки I и II выбрали
стратегии Х\ и г/ь а реализацией случайной стратегии оказалась
стратегия Ль то проигрыш игрока II L(xu Уи h\), как следует из анализа
«дерева» игры, оказывается равным 5, а вероятность его появления
P(hx) равна 0,2.
Чтобы построить платежную матрицу игры Q=|<7ij|,
позволяющую оценивать результаты игры при каждом сочетании стратегий
Xi и у} в длительном процессе проведения игры (теоретически —
при бесконечном повторении партий игры), нужно определить
средние потери Lcp(xu r/j), которые в соответствии с (8.5) будут равны:
*1/ = 2М*1.Уу. л*)Р(л*) =
V"
- £а(*|.Уу.*а)Р(Л*)- (8-1°)
Подсчет величин Цц удобно производить, пользуясь таблицами
вида табл. 8.4. В этой таблице в целях сокращения письма
использованы обозначения:
Р* - Р (**); Lijk = L (*/. У г 'h).
После выполнения расчетов по определению компонентов q^
платежной матрицы рассматриваемая игра может получить свое
формальное описание и быть представлена в виде табл. 8.5.
Таблица 8.5
Х\
х*
>'>
3,6
—4,2
у-
-0,3
0,3
Уа '
3,6
0,3
У<
-0,3
-4,6
Уз
-4,6
4,8
Уе
-0,3
0,3
У7
-4,2
0,3
У*
-0,3
4,8
В теории игр оперируют в основном формальным описанием
игры. Переход от полного (развернутого) описания игры к
формальному является очень полезным приемом теории игр. С помощью
19 935 289

этого приема удается отвлечься от анализа конкретного
содержания игры и самые разнообразные по содержанию игры привести
к простой стандартной форме — нормальной форме игры. С ее
помощью любая игра может быть представлена как игра,
разыгрываемая по простейшим правилам: в каждой партии игры каждый
игрок имеет по одному личному ходу, представляющему собой
выбор игроком одной из множества возможных стратегий; ходы
совершаются игроками независимо друг от друга, т. е. в каждой
партии игры оба игрока назначают свои ходы, заранее не зная,
какого хода будет придерживаться противник; случайные ходы
отсутствуют; проигрыши игроков определяются функцией потерь
(или платежной матрицей).
Формальное описание игры является принципиальным
упрощением ее полного (развернутого) представления. Однако упрощение
это, естественно, не дается даром: оно достигается введением идеи
частой стратегии, т. е. подробного предписания того, как должен
поступать игрок во всех возможных положениях, возникающих
в процессе разыгрывания игры. В результате принципиальную
сложность анализа игры, заданной в развернутой форме, мы
заменили на утомительный труд перечисления всех возможных
стратегий.
На практике приведение игры к нормальной форме
представляет собой очень трудную, не всегда выполнимую задачу. И тем
не менее такое представление игры очень полезно. Оно позволяет
ввиду его принципиальной простоты перейти от логического
анализа содержательных (развернутых) постановок различных игр
к математическому исследованию и решению игр в нормальной
форме одинаковыми математическими методами.
8.2.3. Основные принципы математической теории игр
При пользовании любой математической теорией необходимо
всегда четко знать те исходные предположения и принципы, на
которых строятся данная теория, цели и задачи, для достижения
которых она предназначена, а также свойственные ей ограничения.
Эти вопросы освещаются в данном параграфе применительно
к конечной парной антагонистической игре.
Как уже отмечалось, математической теорией игр изучаются
не реальные конфликтные ситуации, а их упрощенные
схематизированные модели, называемые играми. Одним из важных
предположений теории игр является предположение о том, что процесс
развития игры регламентируется строго определенными
(детерминированными) правилами, которые полностью известны всем
участникам игры и неукоснительно ими выполняются. Это
предположение в теории игр иногда называют постулатом полного знания
и, в частности, знания игроками развернутой формы игры (иначе —
полного ее описания). Реальная конфликтная ситуация, очевидно,
этому условию может не удовлетворять (и обычно не
удовлетворяет) .
290

Вторым важным предположением теории игр является
предположение о многократной повторяемости конфликтной ситуации.
В теории это предположение превращается в предположение о том,
что процесс развития игры складывается из бесконечного
количества индивидуальных партий игры. Все рекомендации теории игр по
выбору оптимальных стратегий игроков основаны на этом
предположении. Это предположение становится серьезным
ограничивающим фактором при попытках практического использования
рекомендаций теории игр.
Следующим важным предположением теории игр является
предположение о том, что для игры может быть построено ее
формальное описание (нормальная форма игры), т. е. определены
множества возможных стратегий игроков и для каждого сочетания
стратегий определена функция средних потерь (или платежная
матрица — в случае конечной игры). Данное предположение, в свою
очередь, исходит из двух следующих предположений: а) результат
игры может быть оценен количественно, притом с помощью одного
показателя и в одних единицах измерения для различных исходов
игры; б) каждый из игроков полностью знает формальное
описание игры, т. е. знает множества возможных стратегий не только
своих, но и других игроков, и знает оценку результата игры при
любом сочетании возможных стратегий. Это предположение в
теории игр часто называют постулатом полного знания игры в
нормальной форме.
Все указанные выше предположения в реальной конфликтной
ситуации могут не выполняться. Все связанные с этими
предположениями затруднения относятся всего лишь к трудностям
формулирования, задачи.
Перейдем к рассмотрению цели и задач теории игр и основных
принципов теории игр. Целью теории игр является выработка
рекомендаций по выбору оптимального поведения участников
многократно повторяющейся конфликтной ситуации. Задачей теории игр
является нахождение решения игры. Выражение «решить игру»
означает найти оптимальную стратегию для каждого из игроков
и соответствующую цену игры. Ценой игры называется
проигрыш (выигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям
игроков.
Как уже неоднократно отмечалось ранее, при решении любой
недетерминированной задачи принятия решений сложнейшей
концептуальной проблемой является формулирование принципа
оптимальности. Применительно к задачам, рассматриваемым теорией
стратегических игр, проблема формулирования принципа
оптимальности сводится к определению понятия «оптимаяьная стратегия
игрока». Возникает вопрос: какое поведение (какую стратегию)
следует считать оптимальным для каждого из участников
конфликтной ситуации?
Отвечая на этот вопрос, математическая теория игр исходит из
следующих основных принципов:
291

1. Каждый игрок считает других игроков (своего противника)
столь же разумными, как и он сам, и не рассчитывает на его
промахи.
2. Каждый игрок является достаточно осторожным и стремится
придерживаться такой линии поведения, которая гарантирует ему
некоторый средний результат (выигрыш не менее чего-то или
проигрыш не более чего-то) независимо от поведения противника. Это
предположение в теории игр часто называют принципом
осторожности или принципом гарантированного результата.
В теории игр все рекомендации вырабатываются исходя именно
из этих принципов, в ней не учитываются просчеты и ошибки
игроков, неизбежные в каждой конфликтной ситуации, а также
элементы азарта и риска. На основании этих принципов определяется
и понятие «оптимальная стратегия». Оптимальной стратегией
называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры
гарантирует данному игроку^ максимально возможный средний
выигрыш (или, что то же,- минимально возможный средний
проигрыш) независимо от поведения противника. В теории игр
доказывается, что оптимальные стратегии игроков обладают
следующим специфическим свойством «устойчивости»: если один^ игрок
придерживается своей оптимальной стратегией, то другому игроку
не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии.
Основная теорема теории игр — так называемая теорема
о существовании решения игры — гласит: любая конечная
антагонистическая игра имеет решение, т. е. оптимальные стратегии для
обоих игроков и соответствующую цену игры. Решение конечной
парной антагонистической игры лежит в области чистых или
смешанных стратегий. Решение в чистых стратегиях имеет место
в играх с седловой точкой. Если же игра не имеет седловой точки,
то ее решение лежит в области смешанных стратегий. Все
введенные здесь новые понятия рассматриваются далее.
8.2.4. Игры с седловой точкой
Рассмотрение игр данного класса начнем с определения
понятия седловой точки. Для этого необходимо предварительно
определить понятия максимина и минимакса платежной матрицы. Макси-
мином или нижней ценой игры называется элемент платежной
матрицы, равный максимуму из минимумов по строкам- матрицы.
Еслиобозначить максимин через .vi, то
vt = max min gu. (8.11)
KKm Kj<n
Минимаксом или верхней ценой игры называется такой элемент
матрицы, который равен минимуму из максимумов по столбцам
матрицы. Если обозначить минимакс через V2, то
v2 = min max qu. (8.12)
Kj<n KKm

Для примера рассмотрим платежную матрицу 3X4,
приведенную в табл. 8.6. Здесь максимин vi==3, а минимакс v$=6.
Таблица 8.6
Очевидно, что-величины максимина vi и минимакса V2 связаны
соотношением
Vi<v2. (8.13
Стратегия игрока I, соответствующая максимину vb называется
максиминной стратегией. Стратегия игрока II, соответствующая
минимаксу V2, называется минимаксной стратегией. Максиминная
и минимаксная стратегии образуют пару так называемых
минимаксных стратегий.
Если игрок I будет придерживаться своей максиминной
стратегии, то он независимо от поведения противника гарантирует себе
выигрыш не менее чем максимин vi, т. е. не менее нижней цены
игры. Если игрок II будет придерживаться своей минимаксной
стратегии, то он гарантирует себе, что проиграет не более чем
минимакс V2, т. е. не более верхней цены игры. Минимаксные
стратегии часто называют стратегиями предельной осторожности или
стратегиями гарантированного результата (выигрыша или про- ч
игрыша).
Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор
соответствующих стратегий (максиминной и минимаксной), является в
теории игр одним из основных и называется принципом минимакса.
Он вытекает из предположения о разумности каждого игрока,
стремящегося в операции достигнуть цели, противоположной цели
противника.
Существуют игры, для которых максимин равен минимаксу,
т. е. vi=V2. Соответствующий элемент платежной матрицы
называется седловой точкой. Иначе, седловой точкой платежной
матрицы (если такая точка существует) называется такой ее
элемент, который является одновременно минимальным в своей строке
и максимальным в своем столбце. Например, в матрице табл. 8.7
седловой точкой является элемент ^22=^.
Элемент платежной матрицы, соответствующий ее седловой
точке (если она существует), называется чистой ценой игры. Будем
293

обозначать ее символом v. Очевидно, что при наличии седловой
точки имеет место равенство
(8Л4)
Таблица 8.7
Седловой точке
соответствует ч пара минимаксных
стратегий, являющихся
оптимальными для игры с
седловой точкой. Совокупность
минимаксных страт е г и й
и чистая цена игры v
являются решением игры с
седловой точкой или, иначе,
решением игры в чистых
стратегиях. Напомним здесь, что под чистой стратегией понимается
стратегия, выбираемая игроком в результате сознательного акта,
без привлечения для своего выбора какого-либо случайного
механизма выбора.
Минимаксные стратегии в игре с седловой точкой представляют
собой как бы положение устойчивого равновесия: любое
одностороннее отклонение игрока от своей оптимальной стратегии может
быть для него только невыгодным. Если один из игроков
придерживается своей оптимальной стратегии, то он гарантирует себе,
что выиграет не менее (проиграет не более) чем цену игры v,
как бы ни играл второй игрок. Если при этом второй игрок также
придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш
(проигрыш) точно равен цене v. Отступая от своей оптимальной
стратегии, игрок уменьшает свой выигрыш (увеличивает проигрыш),
во всяком случае со временем, что вынуждает его вернуться
обратно. В этом смысл устойчивости оптимальных стратегий.
Действительно, пусть в игре с седловой точкой игрок I
придерживается своей оптимальной стратегии, а игрок II — своей. До тех
пор, пока это так, выигрыш остается постоянным и равным v —
чистой цене игры. Теперь допустим, что произошло одностороннее
нарушение этого равновесия — игрок II допустил отклонение от
своей оптимальной (минимаксной) стратегии. Пока игрок I
придерживается своей оптимальной (максиминной) стратегии, такое
отклонение для игрока II не может быть выгодным, поскольку
элемент v является минимальным в своей строке платежной матрицы
и отклонение (от этого элемента) только увеличит проигрыш
игрока II (в крайнем случае оставит его неизменным).
Аналогичным образом и для игрока I, если игрок II придерживается своей
оптимальной стратегии, невыгодно отклоняться от своей: это
отклонение только уменьшит (в крайнем случае не изменит) его
выигрыш.
Свойство устойчивости минимаксных стратегий в игре с
седловой точкой проявляется еще и в следующем: если один из игроков
узнает о намерении другого придерживаться минимаксной страте-
294

гии, то эта информация только, вынуждает его. придерживаться
своей минимаксной стратегии. Следовательно, в игре с седловой
точкой нет необходимости скрывать свои намерения.
Таким образом, чистая цена игры v в игре с седловой точкой
является тем значением выигрыша (проигрыша), которое в игре
против разумного противника игрок I не может увеличить, а игрок
II — уменьшить.
Игра с седловой точкой, у которой цена равна нулю,
называется безобидной игрой. Следовательно, цена v, если она отлична
от нуля, равна той сумме, которую должен заплатить игрок I
игроку II; чтобы игра была безобидной.
Из всего сказанного следует, что если игра имеет седловую
точку, то процесс решения игры сводится к нахождению этой
точки, что делается достаточно просто. При построении алгоритмов
решения игр с седловой точкой следует иметь в виду, что в
платежной матрице может быть не одна, а несколько седловых точек.
В теории игр доказано, что если в матрице игры имеется несколько
седловых точек, то все они дают одно и то же значение чистой
цены игры, хотя соответствуют различным парам минимаксных
стратегий, т. е. различным решениям игры. Очевидно, что
практический интерес представляет нахождение всех решений
игры.
Класс игр, имеющих седловую точку, весьма интересен как
с теоретической, так и с практической точки зрения. С
теоретической точки зрения игры с седловой точкой представляют собой тот
фундамент, ту «классику», на основе которой строится и
развивается современная теория игр. К классу игр с седловой
точкой относятся, в частности, все так называемые игры с
полной информацией, определение которых уже было дано нам.и
ранее.
В теории игр доказано, что каждая игра с полной
информацией имеет седловую точку и, следовательно, решение в чистых
стратегиях. Иными словами, в каждой игре с полной информацией
существует пара оптимальных стратегий той и другой стороны,
дающая устойчивый выигрыш, равный чистой цене игры. Если игра
с полной информацией состоит только из личных ходов, то при
применении каждой стороной своей оптимальной (минимаксной)
стратегии как игра в целом, так и каждая индивидуальная партия
игры должны кончаться всегда определенным результатом, равным
чистой цене игры v.
Иными словами, исход игры, имеющей седловую точку,
предопределен. Поэтому такая игра имеет смысл только для лиц,
не знающих ее решения. Так обстоит дело со всеми играми с
полной информацией, в том числе с шахматами, шашками и др. Любая
из этих игр обладает седловой точкой и, значит, решением,
указывающим каждому игроку его оптимальную чистую стратегию, так
что игра с полной информацией интересна только до тех пор,
пока неизвестно ее решение. Решение шахматной игры не найдено
(и в обозримом будущем вряд ли будет найдено) только потому,
295

что число стратегий (комбинаций ходов) в шахматах слишком
велико, чтобы можно было практически построить ее формальное
описание и найти ее седловую точку,
8.2.5. Игры без седловых точек
Игры с седловыми точками встречаются достаточно редко. Более
типичен случай игр без седловых .точек, в которых нижняя и
верхняя цены различны. Для таких игр справедливо неравенство
vt = max min <7//< min max Яи=Ь- (8-15)
\<i<m \<j<n Kj<n Ki<m
Математическая теория игр без седловых точек значительно
сложнее теории игр с седловой точкой, а их решение при большом -
количестве стратегий обоих игроков (например, при m,n>5)
практически возможно лишь на ЦВМ.
В качестве примера игры, не имеющей седловой точки,
рассмотрим следующую простую игру, заданную табл. 8.8.
В данной игре нижняя цена
игры vi=4, верхняя v2=6.
Поскольку здесь v\¥zV2, игра he
имеет седловой точки. Максиминной
стратегией игрока I является
стратегия *2; применяя ее
систематически, игрок I гарантирует
себе выигрыш не менее 4.
Минимаксной стратегией игрока II
является стратегия у\\ применяя ее систематически, игрок II
гарантирует себе проигрыш не более 6.
При анализе платежных матриц игр без седловой точки, на
первый взгляд, может показаться, что максиминные стратегии как
раз и образуют пару оптимальных стратегий, которых следует
придерживаться обоим игрокам: в этом случае игрок I выигрывает
не менее vb а игрок II проигрывает не более v2, где vi<v2. Однако
при этом остается некоторая область неопределенности между
нижней ценой vi и верхней ценой v2. Естественно, возникает вопрос:
нельзя ли гарантировать выигрыш, больший vi (проигрыш,
меньший v2), если применять не одну-единственную чистую стратегию,
а по мере развития (процесса игры чередовать несколько стратегий
некоторым образом?
В пользу этого соображения говорит тот факт, что в играх без
седловой точки в отличие от игр с седловой точкой минимаксные
стратегии неустойчивы. Убедимся в этом факте на примере игры,
представленной табл. 8.8.
Пусть вначале игроки, придерживаясь принципа минимакса,
выбрали свои минимаксные стратегии х2 и ух; в результате игрок II
будет проигрывать 4, что его устраивает, так как, выбирая свою
минимаксную стратегию, он шел на проигрыш, равный 6. Однако
игрок I, узнав, что игрок II придерживается стратегии уи может
296

перейти к стратегии Х\ и начнет выигрывать 6. На это игрок II
может ответить стратегией г/2 и начнет проигрывать всего 2. На это
игрок I, в свою очередь, может ответить стратегией х?, и начнет
выигрывать 8, и т. д. Таким образом, положение, при котором оба
игрока пользуются своими минимаксными стратегиями, в данной
игре неустойчиво и может быть нарушено поступившей
информацией о стратегии, которую применяет противная сторона. Напротив,
в игре с седловой точкой та же информация только укрепляла
намерения игроков придерживаться своих минимаксных стратегий.
В теории игр доказано, что в играх без седловой точки
устойчивое решение лежит в области смешанных стратегий. Смешанной
стратегией называется сложная стратегия, состоящая в случайном
чередовании двух или более чистых стратегий с определенными
частотами. Факт случайного чередования чистых стратегий в
составе смешанной стратегии является принципиальным как для
математической теории игр, так и для практики разыгрывания игр.
Дело в том, что в играх без седловых точек обоим игрокам нужно
стараться держать в секрете выборы своих стратегий в каждой
партии игры по причине неустойчивости минимаксных стратегий.
Так, например, в игре, заданной табл. 8.8, у игрока I может
возникнуть вполне естественное намерение выиграть больше vi=4
(но меньше V2=6). Поскольку для этого ему нужно отойти от
своей максиминной стратегии, то он должен постараться помешать
игроку II узнать о выборе своей стратегии. Самый надежный для
этого путь — выбирать свою стратегию случайным образом. Тогда
не только его противник — игрок II, но и он сам не будет знать,
какую конкретно чистую стратегию в данной партии игры он
фактически применит.
Все сказанное применительно к игроку I справедливо и для
игрока II, т. е. он также должен выбирать свою стратегию
случайно, если он намерен обеспечить себе проигрыш меньше, чем
верхняя цена игры v2.
Смешанную стратегию игрока I можно обозначить следующим
образом:
Р| = (р!,Я ."..,/£), (8Л6)
где pi, /el,m — вероятность (частота), с которой применяется
1-я чистая стратегия Х{ игрока I.
Аналогично, смешанную стратегию игрока II можно обозначить
следующим образом:
_ РП = (р\\рЪ\ ..../*'). (8.17)
где ру, /el,п — вероятность (частота) применения стратегии i/j
игроком II.
Очевидно, что вероятности р\, iel,m, и ру, /еТТя, связаны
соотношениями:
m
2р!-1;
i=l
297

ipy-1. (8.18)
При пользовании смешанной стратегией перед каждой партией
игры пускается в ход какой-то механизм случайного выбора
(бросание монеты, игральной кости или вычисление ЦВМ случайного
числа), обеспечивающий появление каждой стратегии с некоторой
заданной частотой, и затем берется та стратегия, на которую нал
жребий. Смешанные стратегии представляют собой
математическую модель изменчивой, гибкой тактики, при которой противник
не знает и не может узнать заранее, с какой обстановкой ему
придется встретиться.
Очевидно, что любая чистая стратегия является частным
случаем смешанной стратегии, в которой все стратегии, кроме одной,
принимаются с нулевыми частотами, а данная — с частотой,
равной 1.
Как уже отмечалось, для любой игры, не имеющей седловой
точки, существует решение, лежащее в области смешанных
стратегий. Иными словами, для любой игры без седловой точки
существует пара, притом, возможно, и не одна, оптимальных смешанных
стратегий Р1 и Р11. Платеж, соответствующий паре оптимальных
смешанных стратегий, называется ценой игры. Обозначим ее
символом Vp.
Цена игры vp всегда лежит в интервале между нижней vi
и верхней v2 ценами игры:
vA = max min 9riy<v <. min max ^ = v2. (8.19)
Оптимальные смешанные стратегии в играх без седловой точки,
как и оптимальные чистые стратегии в играх с седловой точкой,
обладают свойством «устойчивости»: если один из игроков
придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то другому
не может быть выгодно отступать от своей оптимальной
смешанной стратегии. Это означает, что если один игрок придерживается
своей оптимальной смешанной стратегии, то он гарантирует себе,
что в среднем выиграет не «менее (проиграет не более), чем цена
игры vp, какой бы стратегии ни придерживался противник, и
выиграет (проиграет) равно vp, если другой игрок также
придерживается своей оптимальной смешанной стратегии.
Цена игры vp представляет собой максимально возможный
гарантированный средний выигрыш, или, что то же самое,
минимально возможный гарантированный средний проигрыш. Поскольку
цена игры vP удовлетворяет условию (8Л9), то, придерживаясь
своей оптимальной смешанной стратегии Р\ игрок I гарантирует
себе получение среднего выигрыша vp, превышающего тот выигрыш
Vi, который он гарантирует применением своей максиминной чистой
стратегии. Аналогично, игрок II, применяя свою оптимальную
смешанную стратегию Рп, гарантирует себе средний проигрыш не
больше vp, который меньше того проигрыша v2, который он может
298

гарантировать применением своей чистой минимаксной стратегии.
Следовательно, применение оптимальных смешанных стратегий
выгодно обоим игрокам. _
В общем случае некоторые из частот Р \ и Р)\ входящих в
оптимальную смешанную стратегию, могут быть равными нулю. Это
означает, что не все чистые стратегии, доступные игрокам, входят
в состав оптимальных смешанных стратегий. Те стратегии игрока,
которые входят в состав его оптимальных смешанных стратегий
(т. е. для которых Р\фО или Р1/фО), называются его активными
стратегиями,
В теории игр доказана следующая теорема об активных
стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной
смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным
цене игры vp независимо от того, что делает другой игрок, если
только он не выходит за пределы своих активных стратегий (т. е.
пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых
пропорциях). Этой теоремой широко пользуются при решении игр.
Методы нахождения решения игры в смешанных стратегиях
будут специально рассмотрены в 8.2.6. Здесь мы лишь доведем
до конца решение простой игры, заданной табл. 8.8, с целью
проиллюстрировать логику рассуждений, принятую в теории игр при
поиске оптимальных стратегий. Пусть игрок I выбирает-стратегии
л-, и х2 с вероятностями р\ и р\у а игрок II —стратегии у\ и у2
с вероятностями р\х и р21. Очевидно, что
р\+р\=1; pi+p$ = l. (8.20)
Выигрыш игрока I есть случайная величина, принимающая
четыре значения ?ц=6, <7i2=2, q2i=49 q22=8 с вероятностями
р\ Р\\ Р\ Р2, Рг р2 и р\ р2[ соответственно.
Математическое ожидание М выигрыша игрока I равно
м = 2 2 gijpWj = вр\р" + 2p\pli +
i^l /-=1
+ 4/4/71!1 + 8plp]l (8.21)
Учитывая (8.20), выражение (8.21) можно преобразовать к виду
М = 8 (р\ - ±] (p\l - -f) + 5. (8.22)
Из (8.22) следует, что если игрок I будет выбирать стратегию
х{ с вероятностью р\ = -п-, то он гарантирует себе выигрыш,
равный 5, независимо от поведения противника. Аналогично, игрок II
выбором стратегии у{ с вероятностью р\1 = -т- гарантирует себе
средний проигрыш, равный 5, независимо от поведения
противника.
299

Таким образом, в рассматриваемой игре оптимальная
смешанная стратегия игрока I равна Pl = f-^r, -^-J, а игрока II —
-г-, -г-). Этим стратегиям соответствует цена игры vp =
= 5, для которой справедливо соотношение vi=4<vP<6=v2.
8.7.6. Решение конечных антагонистических игр
Процесс поиска решения любой конечной парной
антагонистической игры целесообразно строить состоящим из следующих
основных этапов:
1. Упрощение игры в целях уменьшения ее размерности.
2. Проверка игры на седловую точку; если игра имеет седловую
точку, то следует перейти к этапу 3, иначе — к этапу 4.
3. Решение игры в чистых стратегиях. .
4. Решение игры в смешанных стратегиях.
Далее рассмотрим этапы 1 и 4, как более сложные.
Упрощение игр. Решение игры большой размерности m-n
представляет собой довольно трудоемкую задачу, особенно в случае
отсутствия у нее седловой точки. Эту задачу иногда удается
упростить, если предварительно «редуцировать» игру, т. е. сократить
в ней число стратегий путем вычеркивания некоторых излишних
стратегий.
Излишние стратегии бывают двух видов: дублирующие и
заведомо невыгодные. Рассмотрим для примера игру, заданную
табл. 8,9.
Таблица 8.9
W
h
ч
h
\_h_
У,
1
0
1
4
Уг
2
2
2
3
Ь
4
3
4
1
h\
5
2
3
0
Таблица 8.10
щ
*1
1 h
9i
1
4
к
2
3
У,
4
1
У4
3
0
Из анализа матрицы игры видно, что стратегия х3 в точности
повторяет (дублирует) стратегию х\. Поэтому стратегию Хз (или Х\)
можно вычеркнуть. Далее, сравнивая почленно строки для
стратегий х\ и х2у видим, что все элементы строки х2 меньше (или равны)
соответствующих элементов строки Х\. Значит, стратегия х2 для
игрока I невыгодна по сравнению со стратегией Х\. В таких
случаях говорят, что стратегия хх доминирует над стратегией х2.
Стратегию х2 также можно вычеркнуть. В результате игра будет
приведена к виду табл. 8.10.
300

Таблица 8.11
рМ£
Xi
I х*
9i
1 -
4
Чг
1
3
У* 1
з 1
о 1
Проанализируем игру, представленную в табл. 8.10, с позиций
игрока II. Очевидно, для него явно невыгодной является
стратегия г/з, ее следует вычеркнуть. Преобразованная игра
представлена в табл. 8.11.
В результате описанных
преобразований исходная игра 4X4
сведена к игре 2X3.
Методы решения игр в
смешанных стратегиях. Для решения игр
разработаны различные методы,
как точные, так и приближенные.
Обратимся к рассмотрению точных методов решения игр.
Покажем, что любая конечная антагонистическая игра т*п может быть
сведена к задаче линейного программирования и, следовательно,
решена методами линейного программирования, в частности
точными, например симплекс-методом.
Рассмотрим конечную игру G=(X, У, Q) размера m-м, где
множества стратегий Х={х$, У={у^} и платежная матрица
Q= I ?ij |, fe 1, m, /e 1, n, заданы.
Требуется найти решение игры в смешанных стратегиях, т. е.
цену игры vp и две оптимальные смешанные стратегии Рх = (р\)
пРи = (р1/), где Р{ и Р11 —вероятностные векторы, компоненты
которых удовлетворяют условиям:
[/?!>0, /el, m\
1 т , (8.23)
3*7-- " (824)
Будем сначала искать оптимальную стратегию Р1 игрока I.
При ее определении будем исходить из свойств оптимальной
стратегии, а именно будем учитывать, что эта стратегия должна
обеспечить игроку I выигрыш, не меньший vp, при любом поведении
противника, и равно vp— при его оптимальном поведении.
Цена игры vp нам пока неизвестна. Будем считать, что vp>0.
Чтобы выполнялось условие vp>0, достаточно, чтобы все элементы
платежной матрицы 0=|^|были неотрицательными, т. е. <7о5*0.
Этого всегда можно добиться, прибавляя ко всем элементам q^
достаточно большое число М. При этом цена игры увеличится
на М, а оптимальные стратегии не изменятся.
Предположим, что игрок I применяет свою смешанную
стратегию Р\ а игрок II — чистую стратегию у у Тогда средний выигрыш
игрока I, обозначенный д)9 равен
301

т
я)= 2iPliqu=Pli<riJ + Pl*l2J+ ••• +Plm4mh Уб1, л. (8.25)
Поскольку ищется оптимальная стратегия игрока I, то его
средний выигрыш q) должен удовлетворять условию ?/^vp, откуда
следует п условий:
т
Ър\яц>Ъ\ /el, л. (8.26)
Введем обозначения Li=l/vP; zi = pifvp, *€1,/п.
С использованием введенных обозначений из (8.23) и (8.26)
получаем:
т t
Ii-S2l = -7-; (8-27)
/И
2^>1,Уб1,/г; (8.28)
*J>0, /elTw. (8.29)
Поскольку игрок I стремится максимизировать свой выигрыш,
то частоты р\ ,р\ >...<> рт должны быть выбраны такими, чтобы
доставить максимум цене игры vp. Это равносильно требованию
минимизировать величину Li= —, т. е. равносильно требованию
т
L\ = 22*1-»min. (8.30)
Таким образом, задача определения оптимальной стратегии
игрока I свелась к задаче линейного программирования:
минимизировать линейную форму L\ (8.27) при ограничениях (8.28)
и (8.29). Решая эту задачу, мы можем найти цену игры vp и
оптимальную стратегию игрока I P1.
Аналогичным образом можно найти оптимальную стратегию
игрока II. При этом следует исходить из свойств этой стратегии:
если игрок II будет придерживаться своей оптимальной стратегии,
то он проиграет не более чем цена игры vp, какой бы стратегии
ни придерживался^ игрок I.
Обозначим через q\l средний проигрыш игрока II, если он
придерживается своей смешанной стратегии ри=(ру), а игрок I —
чистой стратегии х{. Тогда
п
ЯХ1 =- 2 Р1}йи - Pxiqn + pXUi2 + ... Н- р\\яш < v,. (8.31)
Введем обозначения: Ln=l/vP; zx}=plJl\Vi /el,n.
С использованием введенных обозначений из (8.24) и (8.31)
302

получаем:
in = 2*"=™; (8.32)
n
.S^^"^!; ^l,w; (8.33)
' *">0, У el, n. (8.34)
Игрок II преследует цель минимизировать свой проигрыш.
Следовательно, в качестве оптимальных значений частот р \, pi,..., р п
он выберет такие значения, которые минимизируют величину vp.
Требование минимизировать величину vp равносильно требованию
максимизировать величину Ln=l/vp, т. е. равносильно
требованию
п
L\\ = Цг"->тах. (8.35)
7=1
Следовательно, в результате проделанных преобразований
задача определения оптимальной стратегии Рц игрока II свелась
к следующей задаче линейного программирования:
максимизировать линейную форму Ьц (8.32) при ограничениях (8.33) и (8.34).
Таким образом, задача решения конечной парной
антагонистической игры т-п, т. е. задача нахождения пары оптимальных
смешанных стратегий Р1, Р11 и цены игры vp, всегда может быть
сведена к паре задач линейного программирования той же
размерности т-п\ задаче (8^30), (8.28), (8.29)—для Я1, и задаче (8.35),
(8.33), (8.34)—для Р11. Эти задачи образуют пару двойственных
задач линейного программирования. Как известно из теории
линейного программирования, решения двойственных задач линейного
программирования связаны определенными соотношениями.
Поэтому для определения оптимальных стратегий Р1 и Р11 не
обязательно решать обе приведенные выше двойственные задачи
линейного программирования. Достаточно решить одну из них, например,
первую, и найти Р1 и vp, а затем, пользуясь свойствами
двойственных задач или свойствами оптимальных стратегий, найти Рп.
Часто в практических задачах нет необходимости находить
точное решение игры, а достаточно найти приближенное решение,
дающее средний выигрыш, близкий к цене игры. Кроме того,
решение игры большой размерности методами линейного
программирования может потребовать больших затрат времени ЦВМ.
Ориентировочное знание цены игры дает нам анализ матрицы
выигрышей и определение нижней vi и верхней V2 цен игры.
Рассмотрим вкратце один приближенный метод решения игры,
известной под названием метода итераций Брауна — Джонсона.
Идея метода итераций сводится к следующему. Разыгрывается
«мысленный эксперимент», в котором противники (игроки I и II)
применяют друг против друга свои стратегии. Эксперимент состоит
из достаточно большого количества партий игры.
зоз

Начинает игрок I и выбирает произвольно одну из своих
стратегий, например я*. Противник II на нее отвечает той своей
стратегией */j, которая наиболее невыгодна для игрока I при Хи т. е.
обращает выигрыш при х\ в минимум. На этом заканчивается
первая партия.
Во второй партии игрок I выбирает стратегию Xk> которая дает
максимальный средний выигрыш при применении противником
стратегии у^ Далее следует второй ход противника. Он отвечает
той своей стратегией уь которая дает игроку I наименьший
средний выигрыш при двух стратегиях (*««и Хъ) и т. д.
На каждом шаге итерационного процесса каждый игрок
отвечает на любой ход другого противника той своей стратегией,
которая является оптимальной относительно всех предыдущих ходов
противника, рассматриваемых как некоторая смешанная стратегия,
в которой чистые стратегии представлены в пропорциях,
соответствующих частоте их применения. Такой способ представляет собой
как бы модель реального практического взаимного обучения
игроков, когда каждый игрок на опыте прощупывает способ
поведения противника. Доказано, что этот процесс сходится к решению
игры. -
Очевидно, что решение игры в чистых стратегиях всегда может
быть получено как частный случай решения в смешанных страте-
. гиях. Однако всегда целесообразно провести предварительный
анализ игры и при наличии седловой точки решать ее более простыми
способами.
8.3. Принятие решений в условиях действия неопределенных
факторов стохастической природы
(Элементы теории статистичеких решений)
8.3.1. Общее описание задачи
Выше были рассмотрены вопросы, связанные с принятием
решения одной из оперирующих сторон в условиях неопределенности,
обусловленной не известными заранее способами действий других
оперирующих сторон — разумных, активно действующих
участников операции. Соответствующие неопределенные' факторы были
названы «стратегическими» неопределенностями. При выборе
решения в этом случае мы исходили из предположения, что противник
является разумным и злонамеренным и предпринимает именно те
действия,-которые нам наименее выгодны.
Однако при решении задач принятия решений приходится
встречаться не только с таким видом неопределенности. Часто
неопределенность бывает обусловлена нашей недостаточной
осведомленностью об условиях, © которых будет проводиться операция, и
свойствах объектов, участвующих в ней. Например, могут быть заранее
не известны: погода в некотором районе, покупательский спрос на
определенного вида продукцию, объем перевозок на железной
дороге и т. д.
304

Во всех такого рода случаях неопределенность зависит не от
сознательно противодействующего нам противника, а от не
известной нам объективной действительности, которую в теории принятия
решений принято называть природой. «Природные»
неопределенные факторы естественно отнести к неопределенным факторам
стохастической природы. Вопросами принятия решений в условиях
неопределенности, обусловленной недостаточным знанием природы,
занимается специальная прикладная математическая дисциплина,
называемая теорией статистических решений [74], [82], [94],
[73]. Природа в теории статистических решений рассматривается
как некая незаинтересованная инстанция, поведение которой
неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элемента враждебности
и сознательного противодействия достижению нашей цели.
Оперирующую сторону в соответствующих ситуациях часто называют
статистиком, а сами ситуации — играми статистика с природой
(иначе, играми с природой или статистическими играми).
Обратимся к постановке задачи принятия решения в условиях
неопределенности, обусловленной незнанием «природы». Пусть
имеет место некая операция, в которой активно действующая
сторона I (мы) может реализовать одну из m возможных стратегий:
Хи х2, ..., хт. Операция должна протекать в условиях недостаточно
известной нам обстановки — природы, относительно состояния
которой можно сделать п предположений. Возможные состояния
природы #ь Я2, ..., Пп будем рассматривать как стратегии природы.
Наш выигрыш ац (проигрыш природы) при каждой паре стратегий
(хи IJj) известен и задан в виде матрицы выигрышей А=|а^|
(см. табл. 8.12).
Кроме матрицы выигрышей исследователь может располагать
некоторой априорной информацией о вероятностях возможных
состояний природы, заданной в виде вектора Q=(qi)> /el,/i,
где <7j — вероятность состояния IJj. Эти вероятности могут быть
известны исследователю с различной точностью в зависимости от
степени изученности ситуации. В отдельных случаях исследователь
может также располагать возможностью проводить .специальные
эксперименты с целью уточнения вероятностей возможных
состояний природы.
Задача состоит в том, чтобы в рассматриваемой ситуации
выбрать такую стратегию оперирующей стороны (игрока I),
которая является оптимальной, т. е. наиболее предпочтительной
(наиболее выгодной).
С первого взгляда может показаться, что поставленная задача
проще задачи принятия решения в условиях неопределенности,
обусловленной противодействием противника. Действительно, лицу,
принимающему решение в игре с природой,~легче в том отношении,
что он, скорее всего, выиграет больше, чем в игре против
сознательного противника; однако ему труднее принять обоснованное
решение. Дело в том, что в конфликтной антагонистической ситуации
предположение о диаметральной противоположности интересов
противника нашим интересам в некотором смысле как бы вскрывает
20 935
305

неопределенность. Именно на этом предположении основаны вес
подходы, применяемые при определении оптимальной стратегии
в условиях стратегических неопределенностей. В игре с природой
такого предположения сделать нельзя, поэтому неопределенность
проявляется здесь в гораздо более сильной степени. Это
существенно затрудняет обоснование и формулирование принципов
оптимальности в ЗПР в условиях природных неопределенностей.
В теории статистических решений разработан ряд принципов
оптимальности и подходов к принятию решений в условиях
природных неопределенностей. Прежде чем обратиться к их
рассмотрению, остановимся на вопросе предварительного анализа
информации, связанной с решаемой задачей и содержащейся в матрице
выигрышей.
Как и в стратегических играх, прежде чем приступать к
решению игры с природой, целесообразно постараться упростить ее,
уменьшив ее размерность за счет отбрасывания дублирующих
и явно невыгодных стратегий (см. с. 111—112). Отличие здесь
состоит в том, что отбрасывать явно невыгодные стратегии
следует только за статистика. За природу этого делать не следует,
так как природа не выбирает свои стратегии (т. е. состояния), тем
более так, чтобы как можно больше нам навредить.
После предварительного анализа матрицы во многих случаях
бывает целесообразно перейти от матрицы выигрышей к так
называемой матрице рисков, поскольку матрица выигрышей может
вносить некоторые искажения в наши представления об относительной
выгодности той или иной стратегии.
Поясним сказанное и дадим определение вновь введенному
понятию «риск». Предположим, что выигрыш при стратегии х,- и
состоянии природы IJj больше, чем при хк и Пи т. е. ац>аы. Но первый
выигрыш может быть больше второго не потому, что стратегия xt
более удачна, чем хи, а потому, что состояние природы П^ более
выгодно для нас, чем Я/. Например, для некоторой экономической
операции состояние природы «отсутствие стихийных бедстий»
всегда более выгодно, чем состояния «наводнение», «засуха»,
«землетрясение» и т. д.
С целью ликвидации подобных искажений в теории
статистических решений введено важное понятие риска. Риском Гц игрока при
пользовании стратегий Х\ в условиях #j называется разность между
максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы
достоверно знал, что имеет место состояние #j, и выигрышем при
использовании стратегии х\ в, условиях Пу Риск Гц определяется
выражением
Гц=Ь-** (8-36)
тде pj — максимально возможный выигрыш игрока при состоянии
природы #j, т. е.
3;- = шах аи. (8.37)
1 <[*'<!/я
306

Таблица 8.12
Величина р, служит как бы некоторым мерилом
благоприятности для игрока /-го состояния природы.
Из определения следует, что
П/>0. (8.38)
Для примера в табл. 8.13 и 8.14 приведены матрица выигрышей
и соответствующая ей матрица рисков для некоторой игры 3X4.
Матрица рисков зачастую дает более наглядную картину
неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей.
Все сказанное ранее имеет
отношение к анализу и способам
группировки исходных данных.
Обратимся к рассмотрению
подходов к принятию решений в
условиях неопределенности
стохастической природы и применяемых при
этом критериев оптимальности.
Подходы к принятию решений здесь
существенно зависят от
возможности или невозможности проводить
эксперименты с целью снизить
степень неопределенности.
V4,
*'
h
\
Хп
И/
п,
*п
"»
1
Omt
?г
П2
ак
а22
•
*т
Ь
Пп 1
*/„
Ъ*
•
От 1
дг !
Таблица 8.13
Таблица 8.14
ря
Л/
h
1 х*
Я/
/
5
4
П2
4 .
в
6
Пз
5
4
6
~пГ\
9 '
J
2 1
[\/7,
Л'
*i
1 Х!
п,
3
!
0
п2
4
0
2
п,
1
2
0
пЛ
0
6
7 J
8.3.2. Принятие решений в условиях стохастической
неопределенности в случае, когда проведение эксперементов
невозможно
{Статистические игры без эксперимента)
Рассмотрим три случая, связанные с различной степенью
неопределенности в отношении вероятностей возможных состояний
природы: 1) имеется некоторая априорная информация о
вероятностях возможных состояний природы, т. е. известны априорные
вероятности возможных состояний природы, заданные в виде
вектора Q=(<7j), /el, n; 2) априорная информация отсутствует, но
есть некоторые основания для выдвижения ряда гипотез
относительно вероятностей возможных состояний природы; 3) информа-
307

ция о вероятностях возможных состояний природы полностью
отсутствует.
Первый из перечисленных случаев является наиболее простым.
В формально-математическом плане он ничем не отличается от
стохастической ЗПР. Однако в концептуальном плане эти задачи
принципиально различны. Напомним, что стохастическая ЗПР
была нами ранее квалифицирована как задача, при решении
которой исследователь располагает достоверной информацией о
вероятностях возможных состояний природы (эти вероятности
полностью известны, неопределенность в их знании отсутствует).
В рассматриваемом же случае имеется лишь некоторая априорная,
недостоверная информация о вероятностях возможных состояний
природы; неопределенность связана именно с этой
недостоверностью информации.
Поскольку исследователь не располагает возможностью
провести эксперименты, чтобы получить дополнительную информацию
о вероятностях возможных состояний природы, то ему не остается
ничего другого, как применить те же приемы, что и при решении
стохастической ЗПР, и, в частности, прием оптимизации в среднем.
Придерживаясь концепции оптимизации в среднем, статистик
должен в качестве своей оптимальной стратегии х принять такую,
которая максимизирует его средний выигрыш, т. е. такую, которая
удовлетворяет условию
аср^ шах [а-р] = max 2%^/L (8.39)
п
где a/p=2utj<7j— средний выигрыш статистика для стратегии **;
аср— максимальный средний выигрыш статистика.
Описанный "подход к определению оптимальной стратегии
статистика в теории статистических решений называется байесовским
принципом, а соответствующая оптимальная стратегия —
байесовской стратегией или байесовским действием.
При выборе оптимальной стратегии можно исходить не только
из среднего выигрыша а ;р, но и из среднего риска пр:
г? = 2 гидр (8.40)
который желательно минимизировать.
В теории статистических решений показано, что стратегия,
максимизирующая средний выигрыш а?, совпадает со стратегией,
минимизирующей средний риск г/р, т. е. стратегия, оптимальная
в смысле максимума среднего выигрыша, является одновременно
оптимальной в смысле минимума среднего риска.
Отметим здесь, что при решении игры с природой, когда
известны априорные вероятности qu Й2, ..., qn состояний Природы Пи
#2, .♦., Я*, нет смысла пользоваться смешанными стратегиями.
308

В отличие от стратегических игр (игр с активным противником)
применение смешанных стратегий в статистических играх не может
увеличить среднего выигрыша статистика.
Докажем это важное положение. Предположим, что статистик
будет применять смешанную стратегию Р=(ри р2, ..., рт). Тогда
его средний выигрыш асрр, осредненный и по состояниям природы,
и по его стратегиям, будет равен
4Р = Pi"? + Р*# +....+ Pmat =
т т п
= %Pia?= 2л2*М> (8.41)
/=--1 /=1 y=l J
Очевидно, что любое среднее не может превосходить
максимальной из осредняемых величин, т. е.
af < max a?. (8.42)
Поэтому применение статистиком любой смешанной стратегии
не может быть выгоднее, чем применение оптимальной чистой
стратегии ху максимизирующей средний^игрыш а/р.
Обратимся к рассмотрению второго из перечисленных выше
случаев. Этот случай соответствует ситуации, когда статистик,
принимающий решение о выборе своей стратегии, не располагает
объективной априорной информацией о вероятностях возможных
состояний природы. Однако на основании своего опыта он обладает
некоторыми интуитивными представлениями о том, какие из
состояний природы являются более правдоподобными, а какие — менее.
Чтобы перевести эти субъективные представления о степени
правдоподобности того или другого состояния природы в
количественные оценки, можно применять различные технические приемы.
Рассмотрим два из них.
1. Мы не можем предпочесть ни одной гипотезы (состояния
природы), они все представляются нам равноправными. Тогда
естественно назначить их вероятности равными друг другу, т. е.
принять
qt = q2 = ... -<7„ = -7Г- <8-43)
Данный прием известен в теории статистических решений как
принцип недостаточного основания Лапласа.
2. Мы имеем представление о том, какие условия более
вероятны,' а какие — менее. При этом мы можем расположить их
. в порядке убывания их правдоподобности, т. е. указать: всего
правдоподобнее состояние Пи затем П2 и т. д.; менее всего
правдоподобно состояние Яп. Однако насколько одно из них более
вероятно, чем другое, нам неизвестно.
В этом случае вероятностям 'qh q2, ..., qn состояний Яь
#2, ..., Пп может быть поставлен в соответствие некоторый ряд
убывающих чисел. Например, можно назначить вероятности состоя-
309

ний природы пропорциональными членам убывающей
арифметической прогрессии
ft:ft: ...: qn = n:(n—l): ...: 1, (8.44)
п
откуда, учитывая, что 2ft = 1, получим
,=J^+WL. (8.45)
4J п (п -f 1) , v 7
Чтобы снизить влияние субъективизма при назначении
вероятностей возможных состояний природы, статистик может прибегнуть
к экспертизе. Методы экспертных опросов нашли широкое
распространение в современной науке во всех случаях, когда речь идет
об оценке неопределенной ситуации; они описаны в разд. I
настоящей книги.
Обратимся к рассмотрению третьего, наиболее тяжелого,
случая принятия решения, когда у статистика отсутствует как
объективная априорная, так и экспертная информация о вероятностях
возможных состояний природы. Здесь вся информация о ситуации,
в которой приходится действовать, заключена только в матрице
выигрышей A=|atj|. В данном случае при принятии решений
приходится исходить из стремления обеспечить себе некоторый
гарантированный результат.
В теории статистических решений предлагается несколько
критериев оптимальности выбора решений. Рассмотрим некоторые
из них.
Максиминный критерий Вальда. Согласно этому критерию,
в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока х, при
которой минимальный выигрыш максимален, т. е. стратегия,
гарантирующая выигрыш, не меньший, чем максимин:
№= max min аи. (8.46)
1</<т 1<у</1
Данный критерий ориентирует лицо, принимающее решение,
на наихудшие условия и рекомендует выбирать ту стратегию, для
которой в худших условиях выигрыш максимален. Пользуясь этим
критерием в играх с природой, мы как бы ставим взамен этой
безличной и незаинтересованной инстанции активного и
злонамеренного противника. Очевидно, такой подход может быть продиктован
только крайним пессимизмом в оценке обстановки — «всегда надо
рассчитывать на худшее». Критерий Вальда часто так и
называют — критерий крайнего пессимизма.
Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Этот критерий
рекомендует в условиях стохастической неопределенности выбирать ту
стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее
значение в самой неблагоприятной ситуации, т. е. такую, которая
гарантирует минимум максимального риска:
S = min max rtj. (8.47)
1</<т KJ<ji
310

Сущность этого критерия в том, чтобы любыми путями
избежать большого риска при принятии решения.
Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда,—это критерий
крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется
в другом: худшим считается не минимальный выигрыш, а
максимальный риск —максимальная потеря выигрыша по сравнению
с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий
рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не
руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на
худшее!), ни крайним, легкомысленным оптимизмом (все
произойдет наилучшим образом!). Критерий Гурвица рекомендует
рассчитывать на нечто среднее. Этот критерий имеет вид
И— max [a min aLj+ (1 — а) max аи], (8.48)
где а — некий коэффициент, выбираемый из интервала между
О и 1.
Рассмотрим структуру выражения (8.48). При а=1 критерий
Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда,
при а=0 — в критерий крайнего оптимизма, рекомендующий
выбирать ту стратегию, при которой в наилучших условиях выигрыш
максимален. При 0<а<1 получается нечто среднее между
крайним пессимизмом и крайним оптимизмом. Коэффициент а
представляет собой как бы меру пессимизма лица, принимающего
решение. Выбор величины а субъективен. Он зависит от темперамента
исследователя и его оценки ситуации — чем опаснее ситуация, чем
больше в ней хотелось бы «подстраховаться», тем ближе к 1
выбирается величина ос.
Из сказанного относительно ЗПР в условиях стохастических
неопределенностей ясно, что выбор того или иного подхода к
принятию решения или критерия оптимальности является
субъективным. Несмотря на это, может оказаться полезным
проанализировать ситуацию с точки зрения нескольких критериев
оптимальности. Если рекомендации, вытекающие из различных критериев,
совпадают, тем лучше: можно смело выбирать рекомендуемое ими
решение. Если же, как это чаще бывает, рекомендации
противоречат друг другу, полезно задуматься над этим и принять
окончательное решение с учетом его слабых и сильных сторон. В любом
случае анализ матрицы выигрышей в игре с природой под углом
зрения разных критериев будет полезен. Он дает лучшее
представление о ситуации, о достоинствах и недостатках каждого решения,
чем непосредственное рассмотрение матрицы, особенно когда
размеры ее велики. Выбор решения на основании того или иного
критерия будет более обоснованным, чем волевой выбор, который,
вообще говоря, также исходит из некоторого критерия, однако
интуитивного, не сформулированного точно.
311

Ниже приводится пример на применение указанных трех критериев
оптимальности. Рассматривается игра с природой 3X4, т. е. с тремя стратегиями
игрока хи *2, *з и четырьмя вариантами состояний природы Пи Я2, #3, #4.
Матрица выигрышей приведена в табл. 8.15.
Таблица 8.15
л1 X
х*
h
1 h
п,
2
5
1
Пг
3
4
2
/7т
4
/
8
п, I
5
1
/ 1
Требуется найти оптимальную стратегию по критерию Вальда, Сэвиджа и Гур-
вица при а=0,5.
Решение 1. Критерий Вальда.
Таблица 8/16
*'
1 ч
1 h _
п,
2
5
7
Пг
3
*
2
Пз
k
1
8
fit
5
2
i
2
1
1
W— max min at s = 2.
Ki<3 Ky<4
Оптимальная стратегия — av
Решение 2. Критерий Сэвиджа.
Матрица рисков гц представлена в табл. 8.17.
Таблица 8.17
S= min max r-t/ = 4.
1</<з ку<4
X;
\h
Dl
/7.
г
0
n2
1
0
2
Ъ
4
7
*ч
/7,
0
3
4-'
(Пахг.А
5
7
4
Оптимальная стратегия — лг3.
312

Решение 3. Критерий Гурвица.
Таблица 8.18
И,
х,
h
| h
"1
2
5
7
Иг
3
4
г
"s
и
1
8
П,
5
2
7
1ц-
1ЩП Ctij
2
1
1
4 s
max an
J
5
5
в
~йГ* I
0,5h; + 0,5Vi
¥
3 I
4,5 |
//= max [0,5 min a//+
l</<3 l</<4
+ 0,5 max au\ = 4,5.
l</<4
Оптимальная
стратегия — Хз.
Таким образом, критерии Сэвиджа и Гурвица с а=0,5 в рассмотренном
примере рекомендуют выбрать стратегию х3, а-критерий Вальда — х\. Если
у исследователя нет особых оснований придерживаться позиции крайнего
пессимизма, то он может принять в качестве оптимальной стратегии стратегию хъ.
8.3.3. Принятие решений в условиях стохастической
неопределенности с использованием экспериментов
(Статистические игры с экспериментами)
Обзор статистических игр с экспериментами. При решении
некоторых ЗПР в условиях природных неопределенностей
исследователь располагает возможностью проводить различные
эксперименты, позволяющие получить дополнительную информацию, и тем
самым снизить степень неопределенности в отношении знания дей;
ствительного состояния природы. Очевидно, если возможности
исследователя в проведении экспериментов неограниченны, то при
проведении достаточно большого количества разнообразных
экспериментов действительное состояние природы может быть выяснено
со сколь угодно большой степенью точности. Однако возможности
в проведении экспериментов, конечно, всегда ограниченны,
поскольку проведение эксперимента обязательно связано с затратами
времени и средств. В подобных ситуациях, естественно, возникают
вопросы: какие и сколько экспериментов целесообразно проводить
с целью снижения степени неопределенности; в каком порядке
нужно проводить эксперименты, т. е. как спланировать процесс
проведения экспериментов? Планирование процесса проведения
экспериментов, имеющих целью получение дополнительной
информации о действительном состоянии природы, представляет собой
основное содержание теории статистических решений.
Соответствующие ЗПР часто называют задачами принятия статистических
решений с проведением экспериментов или статистическими играми
с экспериментами.
Обратимся к рассмотрению некоторых основных понятий теории
статистических решений, связанных со статистическими играми
с экспериментами.
В теории статистических решений оперируют понятиями
единичного, или фиксированного, и неединичного, или
нефиксированного, эксперимента. Под единичным понимается такой эксперимент,
объем и порядок проведения которого заранее определены и не
313

могут быть изменены в процессе его проведения. Понятие
«единичный эксперимент» вовсе не предполагает простоты эксперимента:
единичный эксперимент может быть сколь'угодно сложным,
представлять собой комбинацию из нескольких более простых
экспериментов. Здесь принципиально важно лишь то, что статистик
не в праве управлять программой проведения эксперимента,
а может лишь на основании анализа задачи делать вывод
о целесообразности этого проведения. Если будет принято
решение о проведении эксперимента, то он будет проведен в полном
объеме.
Среди единичных экспериментов в теории статистических
решений различают идеальные и неидеальные эксперименты.
Под идеальным единичным экспериментом понимается такой
эксперимент, который приводит к полной ликвидации
неопределенности, т. е. к совершенно точному знанию того состояния природы,
которое будет иметь место в операции в момент ее реализации.
Очевидно, что такой эксперимент представляет собой идеализацию
реального эксперимента.
Под неидеальным единичным экспериментом понимают
реальный единичный эксперимент, который не приводит к точному
выяснению действительного состояния природы, а лишь дает
дополнительные свидетельства в пользу тех или иных ее состояний.
Соответствующие ЗПР называют часто статистическими играми с
единичным экспериментом: ЗПР с единичным идеальным
экспериментом и ЗПР с единичным неидеальным экспериментом.
В статистических играх с единичным экспериментом выводы
о целесообразности проведения эксперимента и выборе
оптимальной стратегии статистик должен сделать заранее, до проведения
эксперимента, на основании той информации об операции и
эксперименте, которой он располагает до проведения эксперимента, т. е.
на основании априорной информации.
Для единичного эксперимента в теории статистических
решений часто применяют и другое наименование — эксперимент с
заданным объемом выборки, В этом названии находит отражение тот
факт, что единичный эксперимент, как уже отмечалось выше,
необязательно состоит из одного единственного испытания. Он может
состоять и из последовательности испытаний, объем и порядок
проведения которых определены заранее. Под объемом выборки как
раз и понимается число N последовательно проведенных
испытаний. В задачах с единичным экспериментом объем выборки N
задан.
В ЗПР с единичным экспериментом эксперимент, если принято
решение о целесообразности его проведения, проводится в полном
объеме. Однако для статистика открыт и другой путь. Вместо
проведения всех испытаний он может после каждого
последовательного испытания решать, прекратить дальнейшие испытания и
выбрать какую-то стратегию из числа возможных стратегий на
основании уже имеющейся информации или продолжать
испытания с целью увеличения объема информации. Это расширяет класс
314

возможных стратегий статистика, так как к выбору решения из
множества возможных стратегий добавляется еще выбор решения
о том, прекратить или продолжать эксперимент. Подобные задачи
теории статистических решений называют статистическими играми
с последовательными экспериментами (другие-названия: игры
с нефиксированными экспериментами или игры с последовательной
выборкой).
Принципиальное отличие ЗПР с последовательным
экспериментом от ЗПР с единичным экспериментом состоит в том, что в них
решение принимается не заранее, до проведения эксперимента, на
основании априорной информации, а в ходе проведения
эксперимента, с использованием дополнительной, апостериорной,
информации, полученной в результате реализованной части эксперимента.
Использование апостериорной информации дает основания
статистику ожидать больших выгод от принятых решений, чем в случае
использования только априорной информации.
Второй важной отличительной особенностью ЗПР с
последовательным экспериментом от ЗПР с единичным экспериментом
является возможность предъявлять менее жесткие требования
к точности исходной, априорной, информации. Это обусловлено тем,
что в этих задачах апостериорная информация, полученная
в результате проведения каждого предыдущего эксперимента,
может рассматриваться в качестве априорной информации для
последующих испытаний. В результате проведения большого
количества последовательных испытаний априорная информация может
быть уточнена, в принципе, сколь угодно точно. Ограничением
в этом процессе уточнения могут стать лишь возрастающие по
мере проведения экспериментов затраты ресурсов (временных,
материальных и т. п.).
Среди ЗПР с последовательными экспериментами в теории
статистических решений выделяют два класса задач: ЗПР с усечен-
ным последовательным экспериментом (иначе — с усеченной
последовательной выборкой) и ЗПР с неограниченным
последовательным экспериментом (с неограниченной последовательной
выборкой). В первом случае задано предельное допустимое число
последовательных экспериментов, после проведения которых решение
о выборе стратегии должно быть обязательно принято, если его
не удалось принять в ходе проведения эксперимента. Во втором
случае такое ограничение числа экспериментов (усечения
выборки) отсутствует.
Проведенному здесь краткому обзору ЗПР с использованием
экспериментов соответствует классификационная схема на рис. 8.3.
Большинство из применяемых в теории статистических
решений принципов оптимальности описано в § 8.4.2. В теории
статистических игр с экспериментами наибольшее применение находит
байесовский подход к принятию решений. Байесовская
оптимальная стратегия является оптимальной «в среднем»: ее применение
гарантирует при многократном повторении операции в сходных
условиях получение максимального «в среднем» выигрыша.
315

Рис. 8.3. Классификационная схема ЗПР в условиях стохастической неопределенности с
использованием экспериментов

Далее в настоящем параграфе рассматриваются простейшие
из задач принятия статистических решений с использованием
экспериментов — статистические игры с единичным (идеальным
и неидеальным) экспериментом. Изложение этих задач во многом
следует [73] и [82]. Рассмотрению теории статистических
решений посвящены также [74], [94].
Статистические игры с единичным идеальным экспериментом.
Обратимся к общей постановке задачи. Пусть требуется провести
некоторую операцию в недостаточно выясненных условиях ее
протекания или с использованием объектов, свойства которых
недостаточно изучены. Оперирующая сторона — «статистик» — располагает
возможностью выбора из т стратегий: хи Х2, ..., Хщ. Относительно
неопределенных факторов — состояний природы — можно сделать п
предположений: Яь #2 »—» Пп. Вероятности возможных состояний
п
природы априори оцениваются как qi9 q^ ..., qn, где 2^=1, обра-
зующих n-мерный вектор Q= (qf) априорных вероятностей
состояний природы. Вектор априорных вероятностей состояний природы
известен. Известна также матрица выигрышей A=|aij| размера
т-п, где ац — выигрыш опрерирующей стороны в случае
реализации ею f-й стратегии Хг в условиях /-го состояния природы #j.
Для снижения степени неопределенности относительно
действительного состояния природы статистик может провести единичный
идеальный эксперимент, приводящий к полному выяснению
действительного состояния природы. Стоимость проведения эксперимента
известна и равна С (в тех же единицах, что и выигрыш а^).
Требуется определить, целесообразно ли проведение данного
эксперимента. и какая стратегия является оптимальной в случае
проведения эксперимента и при отказе от него.
Чтобы сделать вывод о целесообразности или
нецелесообразности проведения эксперимента, сравним наш максимально
возможный средний выигрыш без проведения эксперимента со
средним выигрышем, который можно получить после проведения
эксперимента.
Средний выигрыш а*р, соответствующий стратегии х^
определяется по формуле для математического ожидания
п
а? = аср (xt) = qxan + q2ai2 + ... + qnaln = 2 qflij. (8.49)
В качестве оптимального решения без проведения эксперимента,
исходя из байесовского принципа оптимальности, следует выбрать
ту стратегию Xt из числа возможных стратегий, для которой
достигается максимальный средний выигрыш a°v, т. е. ту, которая
максимизирует выражение (8.49).
Максимальный средний выигрыш асР и номер t оптимальной
стратегии Xt определяется из условия
_ п
яср — аср (xt) = шах а? = max 2 ЧР>ц. (8.50)
\<i<m \<i<m j—l
317

Максимальный средний выигрыш аср и есть тот выигрыш, на
который мы можем ориентироваться при выборе оптимальной
стратегии в рассматриваемой операции, если эксперимент не
проводится.
Теперь предположим, что мы произвели эксперимент и
выяснили, какое из состояний Пи #2, ..., Пп является действительным
состоянием природы. Если им оказалось состояние #j, то, очевидно,
мы должны применять ту стратегию, для которой в состоянии Tlj
выигрыш максимален, т. е. для которой достигается выигрыш pj,
равный
3,= max au. (8.51)
1<К.т
Выигрыш Pj (8.51) будет иметь место, если эксперимент будет
проведен. Однако мы должны заранее, до проведения
эксперимента, решить, целесообразно ли проводить эксперимент. Нам
не известно, какое из состояний природы имеет место на самом деле
и каков будет наш действительный выигрыш после проведения
эксперимента.
Чтобы оценить возможный выигрыш после проведения
эксперимента, осредним выигрыш ^ с весами, равными априорным
вероятностям q$ состояний природы:
Pep = f.Fi + ?2?2 + ... -г qJn - 21 <fj?j- <8-52)
С учетом стоимости С эксперимента наш средний выигрыш
с применением идеального эксперимента равен
3ЭсКРс = рсР - С - 2 qjh - С. (8.53)
Правило, определяющее целесообразность проведения
эксперимента, можно сформулировать следующим образом^ если выигрыш
Р?рс , определяемый (8.53), превышает выигрыш ас*> без
эксперимента, определяемый (8.50), то эксперимент проводить
целесообразно. С учетом (8.50), (8.51) и (8.53) это правило можно
сформулировать следующим образом: проведение эксперимента
целесообразно, если справедливо условие
п п
шах 2 qflu < 2 qfa - С. (8.54)
\<i<m j-\ ;—1 ' J
Учитывая, что"""/ /j— ! ™ ( — ft), преобразуем выражение
(8.54) к виду
n n
С < — max 2 qp,l} + 2 qfa =
= min fil^CPy-ay)]. (8.55)
KKm Ly-=1 J
318

Но величина $j—ciij есть, по определению, риск г*,-, а сумма
в выражении (8.55) под знаком минимума представляет собой
средний риск г/р, соответствующий стратегии хи так как
г? =£qj (Р; - аи) = 2 ?/■„. (8.56)
Минимальный средний риск гср равен
?р - min г? = min I S^(py-a/y)I, (8.57)
т. е. равен правой части выражения (8.55).
Поэтому правило о целесообразности проведения эксперимента
приобретает следующий вид: эксперимент проводить целесообразно,
если затраты С на его осуществление меньше минимального
среднего риска: *
С < гс*\ (8.58)
После проведения эксперимента и выяснения действительного
состояния природы в качестве оптимальной стратегии следует
выбирать ту стратегию, которая максимизирует выигрыш при
найденном действительном состоянии природы.
В противном случае, если стоимость эксперимента превышает
минимальный средний риск, следует воздержаться от эксперимента
и в качестве оптимальной стратегии взять ту стратегию, для
которой достигается максимальный средний выигрыш асР (или
минимальный средний риск гср).
Пример. На технологическую линию может поступать сырье разного
качества. Из прошлого опыта известно, что в 60% случаев поступает сырье с малым
количеством примесей П\у в 40% случаев — сырье с большим количеством
примесей П2.
На технологической линии предусмотрены три режима работы: х1у х2у хъ.
Прибыль предприятия от реализации продукции, производимой технологической
линией, зависит от качества используемого сырья и режима работы
технологической линии. Эта прибыль в расчете на один день работы приведена ниже
с виде табл. 8.19 (в условных единицах).
Таблица 8.19
х,
h
h
UL
n,
5
4
2
0,6
/П
7
2
3
0A\
Таблица 8.20
fcp
Щ
я,
h
Xj-
Ul.
n,
0
!
3
0,6
n2
2
t
0
0,4
ПЛ
®\
1
1,8
Требуется определить предельную стоимость эксперимента, который
целесообразно производить один раз в день с целью точного определения качества
сырья.
319

Решение. Перейдем к матрице рисков г»; (табл. 8.20) и определим средний
риск г^р для каждого режима *,-, считая априорные вероятности <7i и д2
появления сырья Пх и #2 равными 0,6 и 0,4. Из анализа величин rQ$ можно
определить, что минимальный средний риск гср=0,8.
Вывод: эксперимент следует производить, если его стоимость не
превосходит 0,8 единицы. В противном случае в качестве оптимального следует
использовать режим х\, обеспечивающий минимальный средний риск гср=0,8 (или
максимальную среднюю прибыль асР=5-0,6+1-0,4=3,4).
Статистические игры с единичным неидеальным экспериментом.
Рассмотрим достаточно общий случай, когда исход единичного
эксперимента случаен и состоит в появлении одного из k
несовместимых событий 5Ь $2, •••> $к> образующих полную систему
событий. Отдельные исходы эксперимента связаны с состояниями
природы Яь #2, ..., Пп. Эта связь проявляется в том, что для
каждого возможного состояния природы имеется определенная
вероятность появления того или иного исхода эксперимента.
Обозначим условную вероятность появления исхода Si
эксперимента в условиях состояния природы Ilj через w^, т. е.
Щ - Р (5//Я7), / е 17*; j е ГЯ (8.59)
где символом Р обозначена вероятность.
Поскольку исходы 5Ь S2, ..., S& эксперимента образуют полную
систему событий, справедливо равенство
к ^_
2 wu = 1 для j е 1, я. (8.60)
В задаче предполагается,'что матрица W=|t0/j| размера k-n
условных вероятностей исходов эксперимента полностью известна
исследователю.
Полный объем исходной информации в рассматриваемой ЗПР
складывается из следующих данных:
1) множество возможных стратегий статистика X = {хи
*2, ..., Хт} и множество возможных состояний «природы» П=
= {ЯЬЯ2, ...,ЯП};
2) матрица размера т-п выигрышей статистика А=|аг;|;
3) n-мерный вектор априорных вероятностей состояний природы
Q=Wi
/ 4) множество S={SU S2, ..., Sk} возможных исходов
единичного эксперимента;
5) матрица размера k-n условных вероятностей исходов
эксперимента W=|a;y|; l^TTk] /еТГ^;
6) стоимость С проведения эксперимента (измеряется в тех же
единицах, что и выигрыш статистика).
В описанной ситуации возникает два вопроса: 1)
целесообразно ли (из соображений возрастания выигрыша статистика)
проведение эксперимента? 2) если проведение эксперимента
целесообразно, то какая из стратегий должна быть выбрана в качестве
оптимальной в случае того или иного исхода эксперимента? Ответы на
эти вопросы представляют собой решение ЗПР с единичным
неидеальным экспериментом.
320

Обратимся к рассмотрению последовательности рассуждений,
ведущих к решению поставленной задачи. Предположим, что после
реализации эксперимента появился исход Si. Зная это, мы можем
уточнить вероятности возможных состояний природы, т. е.
определить апостериорные вероятности v\u vn, ..., vni состояний природы
Яь Яг, ..., Пп. Апостериорные вероятности являются условными
вероятностями состояний Яь Я2, ..., Яп при условии, что
эксперимент дал результат Si. Искомые апостериорные вероятности v#
можно подсчитать по известной в теории вероятностей формуле
Байеса:
gi/=5p(rtjlS|)~ l1*11 для /вГГл. . (8.61)
После того как будут определены уточненные в результате
эксперимента (апостериорные) вероятности vu, v^u • ♦, Vu^
состояний природы Пи П$9 ...» Яп, для каждой стратегии **, tel,m, можно
определить средний выигрыш a/f по формуле математического»
ожидания: <-
-к.
л
a?i = 2 aiPjh ie 1 э т- (8.62)
7-1
Величина а и имеет смысл условного среднего выигрыша
статистика от стратегии Хг при условии, что эксперимент дал исход St-
Подсчитав средние условные выигрыши a7i для всех стратегий
статистика хи х2, ♦.., л™, можно определить оптимальную стратегию
Xtu максимизирующую значение условного среднего выигрыша а J£
Стратегия ха является условно-оптимальной, т. е. оптимальной при
условии, что эксперимент дал исход 5/. Для обозначения условно-
оптимальной стратегии использовано два индекса: первый индекс t
указывает номер оптимальной стратегии из множества возможных
стратегий хи дг2, ..., Хт, а второй индекс / указывает, при каком
исходе эксперимента из множества исходов Sb S2, ..., S* эта
стратегия оптимальна.
Номер / условно-оптимальной стратегии Хц находится из условия
_ л
acip = a?i = max а$ = шах 2а»%, (8.63) -
ККт \<1<т у-1
где а? —условно-максимальный средний выигрыш (при условии,
что эксперимент дал исход 5/).
Описанные расчеты по формулам (8.61), (8.62), (8.63)
относятся только к одному исходу эксперимента — исходу Si. Они
позволяют определить условно-оптимальную стратегию Хц и
соответствующий ей условно-максимальный средний выигрыш а7 в
предположении, что эксперимент имел исход Si.
21 гк
321

Учитывая, что проведение эксперимента связано с затратами
средств в количестве С, статистик должен провести подобные
расчеты заранее, до проведения эксперимента, и не для одного исхода
эксперимента, а для всех возможных исходов Si, S2, ..., 5ь,
поскольку исходы эксперимента случайны. В результате этих расчетов
должны^ быть определены условно-максимальные средние
выигрыши afp и соответствующие им условно-оптимальные стратегии
хц для всех возможных исходов эксперимента^, е. для tel,k.
Условно-максимальный средний выигрыш а/р является
случайной величиной. Вероятность появления его различных значений
совпадает с вероятностями появления исходов эксперимента 5Ь
52, ..., 5л. Обозначим вероятность появления исхода Si через hi.
Она может быть определена по формуле полной вероятности, если
известны условная вероятность тц появления исхода Si при
состоянии природы IIj и априорная вероятность qj состояния природы Пу.
п
ht — P (Sz) = 2 q/wrf 16 Tjk. (8.64)
Обозначим через а экс среднее значение максимального
выигрыша, которое может быть получено при условии проведения
эксперимента. Величина.этого выигрыша может быть получена по
формуле математического ожидания:
55с = 2 я/Ч- (8.65)
Чтобы решить вопрос о целесообразности проведения
эксперимента, необходимо_сравнить выигрыш а экс с тем максимальным
средним выигрышем асР, который может быть получен без
проведения эксперимента. Как было показано выше, величина асР
определяется по формуле
аср = max a? — max 2^Ay • (8.66)
Очевидно, что проведение эксперимента можно считать
целесообразным, если увеличение среднего выигрыша за счет его
проведения превышает стоимость эксперимента. Иными словами,
проведение эксперимента целесообразно, если выполняется условие
Йсс - аср > С. (8.67)
После того как вопрос о целесообразности проведения
эксперимента будет решен положительно, исследователь должен
сформулировать для руководителя операции правило, определяющее,
322

какую стратегию Xi^X следует предпринять при каждом из
возможных исходов Si<=S эксперимента. Это правило в теории
статистических решений называют решающим правилом. Обозначим
решающее правило символом d. Решающее правило d также часто
называют решающей функцией и обозначают в виде d(Si) ==#*.
Поясним понятие решающего правила на примере.
Предположим, что в некоторой задаче пространство стратегий состоит из
трех элементов, т. е. Х={х\, х2, х$), а пространство исходов
эксперимента—из пяти элементов, т. е. S=(Sb S2, S3, S4, S5).
Решающую функцию d(Si) =Xi можно задать в виде множества нар
индексов (/, i)> определяющих номер стратегии х\ при исходе
эксперимента S/. Решающей функцией может быть, например,
множество {(1.1), (2.1), (3.2), (4.2), (5.3)}. Это решающее правило
означает, что при исходах эксперимента S{ и S2 должна быть
предпринята стратегия Х\, при исходе S3 и Sa— стратегия х2, а при
исходе S5 — #з- Конечно, приведенная решающая функция не
является единственно возможной. Можно было бы рассматривать
функцию {(1.1), (2.2), (3.2), (4.3), (5.3)} или функцию {(1.1),
(2.1), (3.1), (4.2), (5.3)}. Совокупность всевозможных решающих
функций образует пространство D решающих функций. Каждой
ЗПР соответствует свое пространство решающих функций.
Понятие решающей функции позволяет более четко
сформулировать задачу статистика. Эта задача состоит в том, чтобы из
пространства решающих функций выбрать оптимальную решающую
функцию, позволяющую принимать оптимальные решения, т. е.
выбирать при каждом исходе эксперимента соответствующую ему
условно-оптимальную стратегию.
Как уже отмечалось ранее, в теории статистических решений
нет единого принципа оптимальности. Одним из распространенных
принципов является байесовский принцип. Оптимальное
байесовское решающее правило ставит в соответствие каждому
возможному исходу эксперимента Si условно-оптимальную стратегию х%и
которая максимизирует условный средний выигрыш aTi.
Проиллюстрируем описанную процедуру решения ЗПР в
условиях природных неопределенностей с единичным неидеальным
экспериментом на числовом примере.
Пример. Пусть рассматривается игра с природой 3X4, условия которой
приведены в табл. 8.21. В нижней строке этой таблицы представлены априорные
вероятности Q=(qj) возможных состояний природы.
С целью уточнения обстановки проведения операции возможно проведение
единичного иеидеального эксперимента. Он может иметь три возможных исхода
^ь S2, S3. Условные вероятности wij = P(Si/IJj) этих исходов приведены
в табл. 8.22.
Требуется определить, при каких расходах на эксперимент его проведение
целесообразно, а также определить оптимальное байесовское решающее правило.
__ Решение. Первоначально нужно определить максимальный средний выигрыш
аср и оптимальную стратегию xt для задачи без эксперимента. Результаты
соответствующих расчетов приведены в табл. 8.23. Оптимальной байесовской
стратегией без проведения эксперимента является стратегия хи а соответствующий
максимальный средний выигрыш аСр=5,2.
323

Теперь перейдем к определению ^условно-максимальных средних выигрышей
7icf и условно-оптимальных стратегий хи для каждого возможного исхода
эксперимента.
Исход S\. Определим апостериорные вероятности 1>л состояний природы при
условии исхода эксперимента S\\
^ - 0,1-0,2+ 0,2-0,9+ 0,5-0,4+ 0,2-0,3 - 0,46 -"."***
g2w12 0,2.0,9 0,18
v2i — 4 — 0,46- •"" 0,46 — u'^yz»
^з»ц 0,5-0,4 0,2
v3i— 4 ~ 0,46 ~~ 0,46 -u^0'
7-1
„ ft»u 0,2*0,3 0,06
tf4i = i a 0,46 - "046"= U,lcJU-
2 qjwij
7 = 1
Проверка:
4
S%- 0,043 + 0,392 + 0,435 + 0,130 = 1.
;=i
С учетом уточненных, апостериорных вероятностей ьц табл. 8.21
преобразуется в табл. 8.24.
Таблица 8.21
LXi
h
*з
\Jj
п,
1
3
k
0J
Пг
4 t
8 ■
е
0,2
As
5
- 4
6
0,5
fU\
9 j
J
2
0,2 j
Таблица 8.22
К/7,-
5,
$z
Ll.
n.
0,2
OJ
0,7
P-2
0,9
OJ
0
lh
OA
0,5
o;
/U\
°>z
0,3
JfJ
Таблица 8.23
Таблица 8.24
ЕЕ
*l
*t
пг
пг
П1
1
5
4
31_
Пг
4
S
6
JLi
If,
5
4-
6
J.s__
n(
'§
3
г
Л
a?
@>.
S%06
5
iAf
ь
i ^
\ ^
/7,
/
J
4
0,045
n2
4
6
6
0J92
>%
5
U
6
: 0,435
n*
9
3
2
0J10
~щ
4,96 I
@|
5909 l
324

При исходе эксперимента Si условно-оптимальной стратегией xt\ оказывается
стратегия *2, а соответствующий ей условно-максимальный средний выигрыш
5?=5,2.
Аналогичные расчеты должны быть проведены для исходов эксперимента S2
и S3. Результаты этих расчетов представлены в табл. 8.25 и 8.26.
Таблица 8.25
Таблица 8.26
При исходе эксперимента 52 условно-оптимальной стратегией xt2 оказывается,
стратегия хи а соответствующий ей условно-максимальный средний выигрыш
Г£р=5,53. —
При исходе эксперимента S3 условно-оптимальной стратегией xt% оказывается
стратегия хи а соответствующий ей условно-максимальный средний выигрыш
*с§=5,2.
Результаты исследований показывают, что в данной задаче оптимальным
байесовским решающим правилом является правило вида {(1,2), (2,1), (3,1)},
или иначе:
. __ Г *2 Для исхода Sb
1 ~~ \ хх для исходов S2 и S3.
Словесная формулировка этого правила может быть такой: если
эксперимент дал исход 5Ь применять стратегию х2, в остальных случаях — Х\.
Теперь обратимся к рассмотрению вопроса, при каких расходах на
эксперимент его проведение целесообразно.
Чтобы ответить^ на этот вопрос, нужно определить полный максимальный
средний выигрыш а££с, Для чег0* в свою очередь, нужно определить
вероятности hh h2, Лз исходов эксперимента Slt S2, 53:
4
Ai= 2?yW/y = 0,46;
4
Л2= 2<7^2/=0,34;
4
h= 2ty«ty = 0,2.
7-1
325

Проверка:
з
2 Л/= 0,46-1-0,34+ 0,2= 1.
1=1
Максимальный средний выигрыш аэксРавен
л^с = 0,46-5,2 + 0,34-5,53 + 0,2-5,2 = 5,345.
Из сравнения максимальных средних выигрышей с экспериментом а Цс
и без эксперимента асР следует, что в рассматриваемой задаче проведение
эксперимента целесообразно, если связанные с ним затраты С удовлетворяют
условию
С < аЦс - аср-=- 5,345 - 5,2 = 0,145.

ГЛАВА 9
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
9.1. Общая постановка многокритериальной детерминированной
статической задачи принятия решений
Пусть имеет место некоторая операция, т. е. управляемое меро--
приятие, исход которого зависит от действий оперирующей стороны
(иначе, стратегий, управлений, решений и т. п.) и некоторых
неслучайных фиксированных факторов, полностью известных
оперирующей стороне и характеризующих условия протекания операций
и свойства участвующих в ней объектов. Стратегию оперирующей
стороны обозначим символом X. В частных случаях задачи X
может быть скаляром, вектором, матрицей или еще более сложным
образованием. Здесь для определенности будем считать, что
стратегия оперирующей стороны представляет собой n-мерный вектор,
т. е. Х= (хи х2,..., хп) = fa), /€=17я.
Компоненты Xj вектора управления X связаны рядом
ограничений, обусловленных конкретным физическим и экономическим
существом задачи. Эти ограничения можно представить в общем
виде как условия
gi = gi(ChuX)>bh /еГЯ (9.1)
где gi — некоторая функция; &i — фиксированная скалярная
величина; Ci — некоторая совокупность фиксированных величин
(например, скаляр, вектор и т. п.).
Условия (9.1) определяют область Qx допустимых значений
стратегий X. Оперирующая сторона управляет операцией, выбирая
ту или иную стратегию из области Qx их допустимых значений.
Эффективность действий оперирующей стороны оценивается
совокупностью критериев еи е2, ..., ек, которые могут различаться
своими коэффициентами относительной важности Хи ^2, . •., hk-
Критерии eq, q^\k образуют вектор критериевЕ= (ея), а
коэффициенты Хд — вектор важности A=(Xq). Критерии eq, q=ly ..., k>
входящие в состав векторного критерия Е, будем называть
частными или локальными критериями. Каждый локальный критерий
характеризует некоторую локальную цель операции.
Локальные критерии, в свою очередь, могут быть как
скалярами, так и векторами, или какими-то более сложными
образованиями.
Каждый локальный критерий ея связан со стратегией некоторым
отображением, т. е.
eq = eq(A^X)9 qe~k, (9.2)
где Aq — некоторая совокупность (например, вектор)
фиксированных факторов. Частным случаем отображения X-+eq является
327

функциональная зависимость между критерием eq и стратегией
Отображения eq, q^lk могут быть заданы в зависимости от
существа решаемой задачи по-разному: аналитически, графически,
таблично, алгоритмически, наконец, в наиболее сложных случаях,
с помощью какой-то эвристической процедуры. В дальнейшем
изложении для простоты и определенности будем считать, что
каждый локальный критерий eq является, скалярной функцией
стратегии X, причем функция ея задается аналитически. Тогда векторный
критерий E=(eq)y q^U k будет представлять еобой
вектор-функцию от стратегии X, т. е.
Е={ея(А„Х)) = Е(А,Х)% (9.3)
где А — совокупность констант, соответствующая совокупности
локальных констант Aq> q^l, k.
Пусть цель лица, ответственного за проведение операции,
состоит в увеличении возможных значений всех локальных критериев
эффективности. (Очевидно, что задачу минимизации некоторых
локальных критериев легко превратить в задачу их максимизации
в результате изменения знака этих критериев.) Средством
достижения цели операции является соответствующий выбор стратегии
X из области Qx ее допустимых значений.
Очевидно, что одновременное достижение цели по всем
локальным критериям за счет выбора единой стратегии X невозможно.
Выход соетоит в том, чтобы прибегнуть к некоторому компромиссу
в достижении локальных целей операции. Следовательно,
руководитель операции вынужден сформулировать для себя некоторый
принцип компромисса в достижении локальных целей операции
(другой употребительный термин — «схема компромисса» и
придерживаться его при выборе оптимальной стратегии.
Таким образом, перед руководителем ^операции стоит задача:
требуется найти оптимальную стратегию X, определяемую двумя
условиями: 1) стратегия X должна быть осуществима, т. е. должна
принадлежать множеству Qx ее допустимых значений; 2)
стратегия должна быть наилучшей в смысле принятого в задаче
принципа компромисса с учетом вектора Л важностей локальных
критериев.
Иными словами, оптимальное решение X должно удовлетворять
соотношению
Е=Е(Х)= opt [Е(Х),±1 (9.4)
где символами X и Е обозначены оптимальное значение стратегии
X и соответствующее ей оптимальное значение вектора
эффективности £, а символом opt обозначен некоторый оператор
оптимизации.
Оператор opt определяет принцип оптимальности, т. е. принцип,
определяющий выбор наилучшего решения среди всех допустимых.
Принцип оптимальности представляет собой математическое выра-
328'

жение (математическую модель) принятого в задаче принципа
компромисса. Конкретный смысл оператора opt должен быть
указан в каждом частном случае задачи принятия решения.
9.2. Примеры многокритериальных ЗПР
К приведенной выше общей постановке многокритериальной
ЗПР сводятся задачи самого различного происхождения.
Рассмотрим некоторые типы ЗПР, в которых векторный подход к
оптимизации является естественным и необходимым, и отметим некоторые
их отличительные черты. В рассмотренных ниже четырех типах
задач компоненты векторного критерия оптимальности являются
скалярами.
Тип I —задачи оптимизации на множестве целей (качеств).
В задачах этого типа имеется несколько целей (или несколько
качеств объекта), каждая из которых должна быть учтена при
выборе оптимального решения.
Пример 1. Требуется выбрать оптимальный вариант самолета гражданской
авиации, предназначенного для целей грузовых авиаперевозок. Качество
такого самолета оценивается с помощью следующих основных параметров: q — вес
коммерческой нагрузки; / — дальность полета без дозаправки; v — крейсерская
скорость; г — стоимость летного часа; с — стоимость проектирования,
разработки и изготовления самолета. Следовательно, возможные варианты самолета
должны оцениваться векторным критерием E=(q, I, v, г, c)t с помощью
которого может-быть выбран оптимальный вариант.
Особенность задач данного типа состоит в том, что локальные
критерии, как правило, имеют различные единицы измерения.
Тип II — задачи оптимизации на множестве объектов. В этих
задачах рассматривается совокупность объектов, качество
функционирования каждого из которых оценивается самостоятельным
критерием. Тогда качество функционирования всей совокупности
объектов следует оценивать векторным критерием, составленным из
частных критериев, характеризующих каждый объект.
Пример 2. Требуется распределить заданное количество некоторого ресурса
среди k потребителей, подавших заявки на определенные количества ресурса.
Степень удовлетворения ресурсом каждого q-то потребителя оценивается критерием
<?9. Тогда общий план удовлетворения заявок потребителей оценивается
векторным критерием Е = (еи е2, ..., еь).
В задачах данного типа локальные критерии оптимальности
обычно имеют одну размерность.
Тип III —задачи оптимизации на множестве условий
функционирования. В задачах данного типа заданы варианты (спектр)
условий, в которых предстоит функционировать разрабатываемому
устройству. Качество функционирования устройства существенно
зависит от условий и применительно к каждому варианту условий
оценивается некоторым локальным критерием. Тогда качество
329

функционирования устройства на всем спектре уеловий следует
оценивать векторным критерием качества, на основании которого
можно выбрать оптимальный вариант устройства.
В задачах данного типа все локальные критерии имеют
одинаковую размерность. Решение подобных задач часто бывает
сопряжено со специфическим затруднением, вызванным тем, что условия
функционирования задаются не дискретно, а в виде непрерывного
спектра. В таких случаях вектор эффективности становится
бесконечномерным.
Тип IV — задачи оптимизации на множестве этапов
функционирования. В задачах данного типа рассматривается
функционирование объектов на некотором интервале времени, разбитом на
несколько этапов. Качество функционирования объекта на каждом
этапе зависит от управления на этом этапе и оценивается
локальным критерием, а на множестве этапов — векторным критерием,
составленным из локальных.
Пример 3. Требуется определить оптимальный план функционирования
предприятия на заданном интервале времени [0, 71. Качество функционирования
предприятия характеризуется объемом выпускаемой продукции vq(tq) в дискретные
моменты времени tu t2, ..., th> где tk=Ty tq<=[0, T] для д<=\, k.
Качество функционирования предприятия на всем интервале времени [О, Т]
оценивается векторным критерием V=(vq), на основании которого должен
определяться оптимальный план функционирования.
В задачах данного типа локальные критерии имеют одну
размерность. Возможны случаи бесконечномерного векторного
критерия эффективности, если оценка качества производится
непрерывно.
Выше перечислены некоторые из распространенных типов ЗПР,
сводящихся к векторной формализации. Эти задачи являются
простыми в том смысле, что в них имеет место одна причина,
приводящая к необходимости оценивания качества решения по векторному
критерию.
В практике принятия решений сталкиваются и с более
сложными задачами, в которых имеется несколько причин для вектор:
ной оптимизации. В них оценивание решений осуществляется
с помощью векторного критерия, компоненты которого являются
не скалярами, а векторами или более сложными образованиями.
Указанные задачи образуют особый тип векторных ЗПР, так
называемых многовекторных. В зависимости от числа причин,
вызывающих векторную формализацию, они могут именоваться
двухвекториыми, трехвекторными и т. д. Так, в двухвекторных
ЗПР компоненты ея вектора оптимальности Е= (eq) также
являются векторами, т. е. eq=(eqi9 eq2, ...9 eqp), где компоненты еЯТ9
rel, p — скаляры.
Пример 4. Требуется определить оптимальный план автомобильных
перевозок заданного количества груза. Качество выполнения операции оценивается
несколькими показателями: т — время перевозки, о* — занятость автотранспорта
(в машино-часах), д— стоимость перевозки. Эти показатели образуют
векторный критерий Е== (т, о, д).' .
330

Каждый из локальных критериев, входящих в вектор £,. существенно зависит
от условий, в которых будет происходить перевозка. Задано возможное
множество условий, которым присвоены порядковые номера: rel, p.
Следовательно, компоненты т, a, q вектора £ являются векторами: т= (ть
to, ..., тР), а=(аь <Т2, •••> стР) и т. д. Значит, рассматриваемая задача является
двухвекторной ЗПР.
9.3. Проблемы, связанные с решением многокритериальных ЗПР
При решении многокритериальных ЗПР возникает ряд
специфических проблем, носящих не формальный (т. е. не
вычислительный), а концептуальный характер. Из них главная — выбор
принципа оптимальности, определяющего свойства оптимального
решения и дающего ответ на главный вопрос — в каком смысле
оптимальное решение лучше всех других решений (превосходит другие
решения). В модели (1)-т-(4) ЗПР ответ на этот вопрос соответ-
стэуст раскрытию смысла оператора оптимизации opt.
Однокритериальные детерминированные ЗПР значительно
проще. В них принцип оптимальности является единственным и общим
для всех задач: в качестве оптимального решения X принимается
такое решение, для которого справедливо условие (в случае
максимизации критерия)
~T=F(X) = max F(X), (9.5)
где F(X) — скалярный критерий эффективности.
Принципиальное отличие векторных ЗПР состоит в том, что для
них имеется множество различных принципов компромисса и
соответствующих им принципов оптимальности, ведущих к выбору
различных оптимальных решений. Это предъявляет серьезные
требования к выбору принципа оптимальности.
Перечислим основные проблемы, связанные с решением задачи
векторной оптимизации.
Проблема 1 — определение области компромисса. В задачах
векторной оптимизации имеется противоречие между некоторыми
из критериев. Это противоречие обычно является нестрогим, так
как иначе задача становится конфликтной антагонистической.
В силу этого область fix допустимых решений распадается на две
непересекающееся части: область согласия Qx и область
компромисса fix . В области согласия fix противоречия между
критериями нет и качество решения может быть улучшено одновременно по
всем критериям или, во всяком случае, без снижения уровня
любого из критериев. В области компромисса есть противоречие между
некоторыми критериями: улучшение качества решения по одним
критериям ухудшает качество решения по другим.
Очевидно, что оптимальное ^решение может принадлежать
только области компромисса, т. е. ХеЙх , так как в области
согласия решение может и должно быть улучшено по всем критериям.
Следовательно, поиск оптимального решения надо ограничить
331

только областью компромисса Q*. Отсюда проблема
1—выделение области компромисса £2* из области допустимых решений.
Выделение области компромисса Qx обычно является первым
этапом решения векторных ЗПР. Важный практический результат
этого этапа — сужение области возможных решений, что уже само
по себе улучшает качество принимаемых решений. В отдельных
случаях поиск оптимальных решений с приемлемой для практики
точностью можно ограничить выделением области компромисса.
Проблема 2 —выбор схемы компромисса и соответствующего
ей принципа оптимальности. Дальнейший поиск оптимальных
решений в области компромисса может быть осуществлен только
на основе некоторой схемы компромисса. Число возможных схем
компромисса очень велико. Выбор схемы компромисса является
сложной концептуальной проблемой.
Выбор схемы компромисса соответствует раскрытию смысла
оператора оптимизации opt в (9.4) обычно в виде
optE(X) = optE{X) = max<f(E{X))9 (9.6)
*е2* Хе2£ XeS",
где ц>(Е)—некоторая скалярная функция от вектора критериев Е.
Таким образом, выбор того или иного принципа оптимальности
сводит векторную ЗПР к эквивалентной (в смысле принятого
принципа оптимальности) скалярной ЗПР. Вследствие этого данную
проблему часто называют проблемой скаляризации. Решение этой
проблемы объективно необходимо для любой векторной ЗПР,
поскольку фактическую реализацию допускает лишь однокритериаль-
ная оптимизационная вычислительная схема.
Проблема 3— нормализация критериев. Эта проблема
возникает в тех задачах, в которых локальные критерии имеют
различные единицы измерения. Необходимо нормализовать критерии, т. е.
привести их к единому, желательно безразмерному, масштабу
измерения. К настоящему времени разработано большое
количество различных схем нормализации.
Проблема 4 — учет приоритета критериев. Обычно локальные
критерии имеют различную важность. Это следует учитывать при
выборе оптимального решения, отдавая известное предпочтение
более важным критериям. Практически эта проблема сводится
к корректировке выбранной схемы компромисса.
Перечисленные проблемы являются наиболее важными, но они
не исчерпывают всего круга проблем, связанных с решением
векторной ЗПР. Указанные проблемы (кроме первой) носят
концептуальный характер. Как известно, при решении концептуальных
проблем обычно приходится прибегать к различного рода
эвристическим процедурам, в которых существенная роль принадлежит
экспертам. Решение подобных проблем желательно проводить
строго формализованно, на основании научной аргументации и при
ограниченном и формализованном использовании эвристических
процедур. .
<уи\

После решения проблем 1 -4-4, а также возможных других
сопутствующих проблем концептуального характера векторная ЗПР
сводится к соответствующей скалярной ЗПР. Здесь возникают свои
проблемы, обычно вычислительного характера, связанные с
разработкой алгоритма поиска оптимального решения, особенно в случае
многоэкстремальной задачи.'
Остановимся более подробно на рассмотрении центральной
проблемы векторной ЗПР — выборе схемы компромисса и
соответствующего принципа оптимальности. Первоначально для простоты
предположим, что имеет место векторная ЗПР с
нормализованными локальными критериями без приоритета.
9.4. Обзор возможных схем компромисса (в векторных ЗПР
с нормализованными локальными критериями без приоритета)
В литературе по теории принятия решений описывается ряд
различных схем компромисса. Рассмотрение их удобнее вести,
перейдя от пространства Еп стратегий Х=(х\, *2> ..., *п) к
пространству Ek вектора критериев Е— (ей За, • • •> ftO > по координатным
осям которого откладываются значения локальных критериев
(Еп — евклидово я-мерное пространство).
Обозначим через QE отображение области Qx допустимых
значений стратегий X в пространстве Ек критериев. Очевидно, что
область Qe представляет собой область возможных (допустимых)
значений локальных критериев, т. е. область допустимых значений
вектора К Тогда математическую модель оптимизации (9.4) можно
переписать в виде
Ё^Е(Х) = opt[£(*), Л] = opt[E, Л]. (9.7)
Как уже отмечалось выше, область Qx допустимых значений
стратегий X может состоять из двух частей: область согласия Qx
и область компромисса Qx. Отмечалось такж^, что искомое
оптимальное решение векторной ЗПР независимо от принятого
принципа компромисса обязательно принадлежит области компромисса.
Поэтому можно выяснить, как отображаются области Qx и Qx
в пространство Ек критериев, и выделить соответствующие области
£1се и QK£ —области согласия и компромисса в пространстве
критериев.
Связь между областями Qx-+Qce и Qx -+Qe достаточно
просто можно выяснить на примере двумерной векторной ЗПР, т. е.
задачи, в которой вектор критериев является двумерным вектором:
£= (^1, ^г). Этот случай допускает геометрическую интерпретацию.
Пусть область QE допустимых значений вектора критериев
£в(*ь ег) имеет вид, отмеченный на рис. 9.1 штриховкой. Тогда,
очевидно, область Q\ совпадает с дугой ВС, являющейся частью
границы области Qe. Область Q^ совпадает с остальной частью
333

границы и внутренней частью области QE. В точке В достигает
своего максимума локальный критерий ей а в точке С
—локальный критерий е2.
На рис. 9.1 символом \^ВС обозначена дуга ВС. Из анализа
рис. ЭЛ^следует^что в двумерной векторной ЗПР оптимальное
значение Е=(еи е2) вектора критериев принадлежит дуге ВС;
конкретное его значение зависит
от принятого принципа
компромисса.
Обратимся к рассмотрению
некоторых конкретных
принципов компромисса.
Принцип равномерности.
Принцип равномерности в
общем случае состоит в
стремлении к равномерному и
гармоничному повышению качества
операции по всем локальным
критериям. Данный принцип
компромисса имеет несколько
разновидностей.
1. Принцип равенства. Здесь наилучшим компромиссным
решением считается такое, при котором достигается равенство всех
Рис. 9.1. Выделение области
компромиссов Q р
Рис. 9.2. Выбор оптимального решения по принципу
равенства
локальных критериев (рис. 9.2, а) .Соответствующий данной схеме
компромисса оператор opt можно представить в виде
334

E = optE=optE=[el=e2 = ... = ek]eQKE. (9.8)
Данный принцип иногда является чрезмерно «жестким». Он
может приводить к решениям вне области компромиссов
(рис. 9.2, б) и даже совсем не иметь решений (рис. 9.2, в), особенно
в случае дискретных ЗПР (рис. 9.2, г).
2. Принцип максимина. Здесь идея равномерности проявляется
в стремлении повышать уровень всех критериев за счет
максимального «подтягивания» наихудшего из критериев (имеющего
наименьшее значение). Соответствующий данной схеме компромисса
принцип оптимальности может быть записан в виде
optE = max min er (9.9)
"Е ' " Е
Данный принцип часто называют
принципом «гарантированного
уровня».
3. Принцип квазиравенства. Здесь
идея равенства, высказанная в
принципе 1, проводится приближенно с
точностью до некоторой величины б:
решение считается наилучшим, если
значения отдельных локальных Крите- Рис 9.з. Выбор оптималь-
риев отличаются друг от друга не бо- ного решения по принципу
лее чем на величину "б. квазиравенства
Соответствующий принцип
оптимальности можно представить в виде
E = optE=[E:\eQ-e,\<o, q, v=l, 2, ..., k}e2KE. (9.10)
Ееок
Иллюстрацией к данной схеме компромисса служит рис. 9.3. Все
решения, совпадающие с дугой В'С\ попавшей в полосу шириной
26, являются оптимальными в смысле принятого принципа
оптимальности. Существуют и другие разновидности принципа
равномерности. Они здесь не рассматриваются.
Принципы справедливой уступки. Принцип справедливой
уступки имеет две разновидности: принцип абсолютной уступки и
принцип относительной уступки. Оба они основаны на оценке и
сопоставлении прироста и убыли уровня локальных критериев, которые
в области компромисса неизбежны.
1. Принцип абсолютной уступки. Принцип справедливой
абсолютной уступки гласит: справедливым являетея такой компромисс,
при котором суммарный абсолютный уровень снижения одного или
нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного
уровня повышения других критериев.
Рассмотрим два значения Е° и Е1 вектора эффективности Е,
соответствующие двум соседним точкам области компромиссов
Q я . В силу принципа абсолютной уступки при переходе от Е° к Е1
качество изменения вектора Е характеризуется величиной, равной
335

k k k k
Дабс = S (\) = 2 (4 - 4) =24-2 4- (9.i i)
Если величина Аабс положительна, т. е. Дабс>0, то решение,
соответствующее значению Е1 вектора эффективности £, считается
лучше, чем решение, соответствующее Е°. Отсюда следует, что
наилучшим, в смысле принципа абсолютной уступки, будет такое
решение, для которого величина Аабс ^0 при переходе в любую
ближайшую соседнюю точку. Этому соответствует оптимальное
значение Е вектора критериев Е, для которого
k _ k
2^ = max 2<V ^.12)
<7=1 Ee<* Q-^1
Следовательно, рассматриваемому принципу компромисса
соответствует принцип оптимальности, состоящий в максимизации
суммы критериев (интегральной эффективности):
k
opt E- max 2 **• (9.13)
к. к
Проиллюстрируем сказанное примером Двумерной векторной
ЗПР, в которой £=(еь е2). Пусть требуется сравнить качество
двух решений: £°=(2,7) и £1=(3,5), принадлежащих области
компромиссов &% (рис. 9.4). Вычислим величину суммарной
абсолютной уступки Дабе, имеющую место при
переходе от решения Е° кЕК Очевидно, что
= (3-2) + (5-7) = -1.
Следовательно решение Е° обладает лучшим
качеством, в смысле принципа абсолютной
уступки, чем решение ЕК Это обстоятельство
можно условно-математически записать в виде
Е0>ЕК
Недостаток принципа абсолютной уступки со-
Рис. 9.4. Выбор стоит в том, что он может допускать резкую диф-
решения*Н ° Гдо ференциацию уровней отдельных критериев, так
принципу абсо- как высокое значение интегрального критерия
лютной уступки может быть получено за счет высокого уровня
одних локальных критериев при сравнительно
малых значениях других критериев!
2. Принцип относительной уступки. Принцип справедливой
относительной уступки гласит: справедливым является такой
компромисс, при котором суммарный относительный уровень снижения
качества одного или нескольких критериев ие превосходит
суммарного относительного уровня повышения качества по остальным
критериям.
336

Обозначим символом Д0тн величину суммарной относительной
уступки при переходе от одного решения к другому, например от
решения, характеризуемого вектором критериев £°— (ей е\%..., Ы>
к решению, характеризуемому вектором Е1=(е\, е\,..., е[).
Величина Дотн определяется выражением
*--ж*-як-%■*!?-• (9м)
где Да и ДЦТН —величины абсолютной и относительной уступки по
локальному критерию eq при переходе от значения eq к eq.
В (9.14) учтена следующая очевидная связь между Д™1 и Ая:
Решение, соответствующее Е1, считается лучше, чем £°, в
смысле принципа суммарной относительной уступки, если при переходе
от Е° к Е1 величина суммарной относительной уступки
удовлетворяет условию Дотн>0. ,
Определим величину Д0Тн при переходе от Е° к Е1 для случая,
изображенного на рис. 9.4. Здесь
дотн __ 3 — 2 __ _1_# дотн =_ 5 — 7 _ 2_#
л — Лотн _1_ Лотн — * ^ __ 3 ^ п
^отн = *М + &2 — "2 Г* "ТГ ^
Следовательно, в смысле суммарной относительной уступки
решение Е1 лучше решения £°, т. е. Е1>Е°. Отметим, что выше для этих
же двух решений было получено противоположное суждение,
а именно Е°>ЕХ в смысле суммарной абсолютной уступки.
На основании сказанного можно дать следующее определение
наилучшего, в смысле принципа суммарной относительной уступки,
решения: решение, соответствующее Е9 является наилучшим, если
для любого другого решения из области компромиссов Qke
выполняется условие
к к
Д0тн= ?i^-=7i в*~ед <° (для любого Ее2КЕ). (9.16)
<7=l Q q=l Ц
Можно показать, что в оптимальной точке Е=(еи е2, ..., е*)
величина мультипликативной функции /м=#£д достигает макси-
(7=1
мального значения на Q| . Для этого найдем приращение функции
22 935 337

/м при переходе от точки Е° к соседней Е\ считая величины
приращения Лд —е^ —е£ малыми:
/J, = Пе\=П [е°д + А,) == Пе\ + П е% X
xi-JT=/S + A/M. ' (9-17)
где /м, /м и Д/м — значения мультипликативной функции fM в
точках £°, £* и приращение этой функции при переходе от Е° к ЕК
Из (9.14), (9.15), (9.17) следует, что величина Д0тп равна
-U^-T^. (9Л8)
Следовательно, принципу относительной уступки соответствует
скалярная модель оптимизации с критерием в виде произведения
локальных критериев, т. е. здесь принцип оптимальности имеет
вид *
k
opt Я-max Пег (9.19)
г. Е
Принцип относительной уступки весьма чувствителен к
величине критериев, причем за счет относительности уступки
происходит автоматическое снижние «цены» уступки для локальных
критериев с большой величиной и наоборот. В результате проводится
значительное сглаживание уровней локальных критериев. Важным
преимуществом принципа относительной уступки является также
гю, что он инвариантен к масштабу измерения критериев.
Принцип выделения главного критерия. Здесь из совокупности
локальных критериев еь ^2» ••., е* выделяется один, например еи
и принимается в качестве главного критерия. К уровням остальных
локальных критериев предъявляется требование, чтобы они были
не меньше некоторых заданных значений е^. В результате
векторная задача оптимизации сводится к скалярной:
opt£'=max£?1, (9.20)
el E
где Q*£ —та часть области компромиссов Й£ , в которой
выполняются условия:
е(1:: 4 qeZTk. (9.21)
Принцип последовательной уступки. Предположим, что
показатели эффективности расположены в порядке убывающей важности:
сначала основной еи затем другие, вспомогательные: е2> е$ ... Для
простоты будем считать, что каждый из них нужно обратить в
максимум (если это не так, достаточно изменить знак показателя).
338

Процедура построения компромиссного решения сводится к
следующему. Сначала ищется решение, обращающее в максимум
главный показатель эффективности в\. Затем назначается, исходя
из практических соображений и точности, с какой известны
исходные данные (а часто она бывает небольшой), некоторая «уступка»
Д^ь которую мы согласны допустить для того, чтобы обратить
в максимум второй показатель е2. Налагаем на показатель в\
ограничение, чтобы он был не меньше, чем в\ —А£ь где е\—
максимально возможное значение в\, и при этом ограничении ищем решение,
обращающее в максимум е2. Далее снова назначается «уступка»
в показателе е2, ценой которой можно максимизировать eZf и т. д.
Такой способ построения компромиссного решения хорош тем,
что здесь сразу видно, ценой какой «уступки» в одном показателе
приобретается выигрыш в другом. Свобода выбора решения,
приобретаемая ценой даже незначительных «уступок», может
оказаться существенной, так как в районе максимума обычно
эффективность решения меняется очень слабо.
9.5. Способы нормализации критериев
Нормализация критериев является сложной концептуальной
проблемой. Она возникает во всех векторных задачах
оптимизации, в которых локальные критерии оптимальности имеют
различные единицы измерения. Исключение составляют те задачи,
в которых в качестве принципа компромисса применяется принцип
суммарной относительной уступки.
Большинство применяемых способов нормализации
основывается на введении понятия идеального качества операции,
представляемого векторам идеальных значений критериев £и=(е", е", ...,
<?*). С помощью вектора Е1 вектор критериев Е приводится к
безразмерной (нормированной) форме:
Е*=№)-(^г\ Ч*Т7Ь. (9.22)
Очевидно, что каждая компонента вектора Ен принадлежит
диапазону {0; 1] (при очевидном условии, что все е£>0).
Успешное решение проблемы нормализации во многом зависит
от того, насколько правильно и объективно удается определить
«идеальное» качество решений. Способ выбора идеального вектора
эффективности £и определяет и способ нормализации. Рассмотрим
некоторые из предлагаемых способов.
Способ 1. Здесь идеальный вектор качества определяется
заданными величинами критериев, т. е. £и=£*= (e3q)9 q^\, k.
Недостатками этого способа является сложность и
субъективность назначения £3, что приводит к субъективности оптимального
решения.
339

Способ 2. Здесь в качестве идеального вектора эффективности
берется вектор, компонентами которого являются максимально
возможные значения локальных критериев, т. е.
£и=(тахг1э max£2> •••> max£ft). (9.23)
Недостатком подобного способа нормализации является то, что
он существенно зависит от максимально возможного уровня
критериев, определяемых условиями задачи. В результате
равноправие критериев нарушается и предпочтение автоматически отдается
критерию с наибольшей величиной локального критерия.
Способ 3. Здесь в качестве компоненты е\, q = \, 2,..., k
идеального вектора Е* принимается максимально возможный разброс
соответствующего локального критерия, а именно:
е% = max eq — min eq. (9.24)
eg**E V2£T
В литературе описывается и ряд других способов
нормализации.
9.6. Способы задания приоритета локальных критериев
Приоритет локальных критериев, входящих в состав векторного
критерия, может задаваться различными способами.
Распространены следующие характеристики приоритета: ряд приоритета /,
вектор приоритета V= (v\, v2j ..., Vk) и вектор весовых
коэффициентов (весовой вектор) Л= (Ль Ji2,..., Kk).
Ряд приоритета / представляет собой упорядоченное множество
индексов локальных критериев:
/={1, 2, ..., к). (9.25)
Ряд приоритета / отражает чисто качественные отношения
доминирования критериев, а именно отношения следующего
характера: критерий е\ важнее критерия в2, критерий е2 важнее е$ и т. д.
Количественная сторона доминирования при этом не указывается.
Среди множества локальных критериев в отдельных случаях
могут быть группы равнозначных критериев. Предлагается
выделять их в ряде приоритета / внутренними скобками, например
/={1, 2, [3, 4], 5, ..., к). (9.26)
В (9.26) критерии е3 и е4 одинаковы по важности.
Вектор приоритета К= (vu v2,..., Vk) представляет собой &-мер-
ный вектор, компонентами vq которого являются бинарные
отношения приоритета. Бинарное отношение приоритета vq определяет
степень превосходства по важности двух соседних критериев eq
и fy+i из ряда приоритета /, а именно величина vq определяет, во
сколько критерий еч важнее критерия eq+i.
340

Если некоторые критерии eq и ед+\ равнозначны, то
соответствующая компонента ад=1. Для удобства вычислений обычна
полагают i;*=l.
Вектор приоритета V определяется, в результате попарного
сравнения локальных критериев, предварительно упорядоченных
в соответствии с рядом приоритета /. Очевидно, что любая
компонента vq вектора приоритета Vсовокупности локальных критериев,,
упорядоченной в смысле ряда приоритета /, удовлетворяет
соотношению
vq>l, qsTjk. (9.27>
Весовой вектор Л= (%\, %2, . •> %0 представляет собой ^-мерный
вектор, компоненты которого связаны соотношениями:
0<^<1, <7еТ7"£;
* (9.28)
2^ = 1.
Компонента %q вектора Л имеет смысл весового коэффициента,
определяющего относительное превосходство q-ro критерия над
остальными.
Рассмотрим случай, когда локальные критерии упорядочены
в смысле ряда приоритета /. Тогда, очевидно, соседние компоненты
hq и Xq+i весового вектора Л связаны соотношением
^>Vh (9.29)
и, кроме того, компоненты векторов V и Л связаны соотношением
**—Г1-- (9.30)
Процедура задания весового вектора Л значительно сложнее
процедуры задания вектора приоритета V. Действительно, в
-первом случае необходимо задать сразу k чисел, удовлетворяющих
условиям (9.28). При этом необходимо исходить из информации
относительно всей совокупности локальных критериев. При
задании же вектора Кего компоненты vq, q= 1, ..., k9 могут
определяться последовательно, начиная с Vk-\ (в предположении, что ^=1).
При этом достаточно располагать лишь информацией относительно
двух соседних критериев. Сказанное, конечно, справедливо в
предположении, что над совокупностью критериев предварительно
произведена процедура упорядочения в смысле ряда приоритета /.
Из сказанного относительно процедур задания векторов /, К, Л
следует практическая чцелесообразность задания их в следующем
порядке: сначала следует задать ряд приоритета /, затем вектор
приоритета К, а затем, на основании векторов /иК, весовой
вектор Л. При вычислении вектора можно воспользоваться следующим
соотношением между компонентами векторов К и Л:
341

k
[7vL
K= Г\ • (9-31)
Вывод выражения (9.31) основан на соотношении (9.30).
Последовательность выкладок при выводе (9.31) такова. Из (9.30)
и предположения Vk=l следует:
ri=y
v,-i = А=*-, (9.32)
I >q
?><, = - ,
k---£-•■
I Vk = 1.
Из (9.32) получаем:
«,«,...«,..,= ^;;;^=4i- (9.зз)
и
>.< = -^— для ? = 2, 3, .... Л. (9.34)
Яг// *
k
Учитывая, что 2^=1, получаем
*-=i
k k
*s is пщ
откуда
X, = z1 . (9.35)
342

Выражение для знаменателя в (9.35) можно преобразовать:
i + V-A--1 +—+—+—— ... -г
+ i : ! «
»,», • • • Vk-2 ' V,V2 ■ ■ ■ Vk-\
V{V, ■ ■ ■ *>>., - У.;У3 ■ ■ ■ Pjfc-1 "Г У 4 ■ • • P*-l ■ • • • - Vk-l + ] fQOgv
wivj • • • »*-i ■ У ■ >
Учитывая, что Vk — l, выражение (9.36) можно записать в виде
* . 2 rivt
^IStt" **f- • (9-37)
Из (9.35) и (9.37) следует выражение для Х\:
ь
flvi
Х,= i^j—. (9.38)
2 Л»*
Из (9.34) и (9.38) окончательно получаем приведенное выше
выражение (9.31), связывающее компоненту %q весового вектора Л
с компонентами вектора приоритета V.
Пример. Пусть вектор критериев Е состоит из трех локальных критериев,
т. е. Е=(е1у е2, е3). Локальные критерии упорядочены в смысле ряда приоритета
/=(1, 2, 3) и оценены с помощью вектора приоритета К= (vu v2i w3) = (2, 3, 1).
Требуется определить весовой вектор Л=(А,Ь Х2, ta).
Решение. В соответствии с (9.31) имеем:
vxv2v:) 2-3-1 6
1 = ViVM + vm \ v-d = 23-1 -j-3-l -г- 1 ~"1о";
} = ^£з _^ 3
х ^ щ ; JL
'3 ^гЩЩ -j- v2v3 \ v3 10 *
Весовой вектор имеет вид Л= (0,6; 0,3; 0,1).
9.7. Методы учета приоритета критериев
В литературе описываются два принципиально различных
подхода к учету приоритета критериев в многокритериальных задачах
принятия решений — принцип жесткого и принцип гибкого учета
приоритета.
Принцип жесткого приоритета основан на том, что критерии
располагаются по важности в ряд приоритета /=1, 2, ..., k. Услов-
343

но это записывается в виде ei>e2> ... >£&. На основе ряда
приоритета проводится последовательная оптимизация критериев.
Принцип последовательной оптимизации на основе жесткого
приоритета состоит в том, что не допускается повышения урЬвня
менее важных критериев, если этр вызывает хотя бы
незначительное снижение уровня более важного критерия из ряда приоритета.
Практическая реализация этого принципа сводится к тому, что
вначале ищется оптимум для наиболее важного критерия.
Найденное значение оптимума фиксируется затем в виде дополнительного
ограничения, при котором ищется оптимум второго по важности
критерия, и т. д. Таким путем проводится постепенное сужение
области допустимых решений до единственного оптимального
решения или оптимального подмножества решений.
Принцип последовательной оптимизации во многих
практических задачах неприменим, так как часто оптимизация по первому,
наиболее важному, критерию уже приводит к единственному
решению. Практически решение сводится к оптимизации по одному,
наиболее важному, критерию без учета остальных критериев.
Принцип последовательной оптимизации может дать хорошие
результаты при использовании квазиоптимального подхода. В этом
случае на каждом этапе последовательной оптимизации
проводится квазиоптимизация, т. е. поиск не единственно точного оптимума,
а некоторой области решений, близких к оптимальному. При этом
уровень допустимого отклонения от точного оптимума задается
с учетом важности критериев, точности постановки задачи, а также
с учетом некоторых практических соображений.
Преимуществом метода жесткого приоритета является то, что
он не требует задания количественных характеристик приоритета
критериев V или Л, а лишь упорядочивания критериев в ряд
приоритета. Недостаток его состоит в том, что он практически отдает
неограниченное предпочтение наиболее важному критерию.
Принцип гибкого приоритета предполагает обязательное
задание количественных характеристик приоритета V или Л, что
позволяет более «справедливо» учитывать «интересы» всех критериев.
Практическая реализация принципа гибкого приоритета сводится
к трансформации пространства критериев, к соответствующему
изменению масштабов по каждому критерию, так как теперь
вместо критериев eq выступают критерии с весами, т. е. kqeq. Затем
производится выбор оптимального решения на основании одного
из возможных принципов оптимальности, но уже в
преобразованном пространстве критериев.

Литература
1. Брежнев Л. И. Отчет Центрального Комитета КПСС и очередные задач»
партии в области внутренней и внешней политики. М., Политиздат, 1976.
2. Косыгин Л. Н. Основные направления развития народного хозяйства-
СССР на 1976—1980 годы. М., Политиздат, 1976.
3. Основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980
годы. М., Политиздат, 1976.
Литература к разделу I
4. Акоф Р. Л. Планирование в больших экономических системах. Пер, с англ.
М., «Советское радио», 1972, 223 с. с черт.
5. Барабаш Ю. Л. [и др.] Автоматическое распознавание образов. Киев,»
KBHIV, 1963.
6. Бокс Дж., Дженлинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и
управление. Вып. 1. М., «Мир», 1974.
7. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М., «Наука», 1968, 355 с.
8. Виленский М. Научно-технический прогресс как объект планирования*
«Вопросы экономики», 1973, № 12, с. 71—81.
9. Вентцель £. С., Овчаров Л. Л. Теория вероятностей. М., «Наука», 1973*
366 с. с черт.
10. Гатовский Л. М. Научно-технический прогресс и экономика развитого*
социализма. М., «Наука», 1974, 431 с.
11. Гатовский Л. М. Экономические проблемы научно-технического
прогресса. М., «Наука», 1971., 374 с. (АН СССР, Ин-т экономики).
12. Горелик И. А., Френкель Л. А. Опыт использования обобщенной модели
Бокса—Дженлинса для прогнозирования экономических показателей. В сб.:
Экономика и математические методы, т. 11, вып. 4, М., 1975.
13. Голованов Л. В,, Саркисян С. Л. Прогнозирование развития больших
систем. М., «Статистика», 1975, 192 с
<Т$) Грубое В. И., Ивахненко Л. Г. Мандровский-Соколов Б. Ю.
Промышленная кибернетика. Справочник. Киев, «Наукова думка», 1966, 447 с.
15. Демидович Б. П., Марон И. Л., Шувалова Э. 3. Численные методы
анализа. М., Физматгиз, 1973, 367 с.
16. Днейпер Н„ Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.,
«Статистика», 1973, 392 с.
17. Доброе Г. М. Прогнозирование науки и техники. М., «Наука», 1969^
208 с.
18. Каспин В. И., Лисичкин В. Л. Понятийный аппарат прогностики. В сб.:
Соревнование двух систем. М., «Наука», 1971, 566 с.
19. Каспин В. И. Теория распознавания образов и современное
прогнозирование. В кн.: Теория и практика прогнозирования развития науки и техники-
в странах—членах СЭВ. М., «Экономика», 1971, 407 с.
20. Куликов И. К Многофакторное прогнозирование на основе функций'
с гибкой структурой. В кн. Основные проблемы и задачи научного
прогнозирования. О-во «Знание», РСФСР. М., 1972, 151 с. с черт.
21. Куликов Я. К. Элементы высшей математики на основе функций с
гибкой структурой. М., МТИПП, 1972, 125 с.
22. Ли Т. Г., Адаме Г. Э., Гейнз У. М. Управление процессами с помощью
вычислительных машин. Моделирование и оптимизация. М., «Советское радио»,
1972, 311 с.
23. Лисичкин В. А. Отраслевое научно-техническое прогнозирование. М.,
«Экономика», 1971, 231 с.
24. Лисичкин В, А., Ратников Е. #., Каспин В. И. Прогнозирование
библиотечного дела в СССР, М., 1972, 158 с. (ГБ им. В. И. Ленина).
25. Лисичкин В. А. Теория и практика прогностики. М., «Наука», 1972„
224 с.
26. Лопухин М. И. Паттерн—метод планирования и прогнозирования
научных работ. М., «Советское радио», 1971, 159 с.
345-

27. Лоули Д. И., Максвелл А. Э. Факторный анализ статистический метод.
Пер. с англ. М., «Мир», 1967, 144 с. с черт.
28. Львов Д. С. Экономика качества продукции. М., «Экономика», 1972, 255 с.
29. Медведев В. Ф., Лисичкин В. А., Пархоменко Е. А. Матричный метод
прогнозирования в системе планирования и управления. В сб.: Планирование
и прогнозирование экономического развития. . Минск, 1975, вып. 7
(НИИЭМП).
30. Медведев В. Ф., Каспин В. И., Лисичкин В. А. Методические основы
анализа объекта прогнозирования. Минск, 1975 (БелНИИНТИ).
31. Медведев В. Ф. [и др.]. Метод квазиуниверсальных показателей в
прогнозировании. Минск, 1975 (БелНИИНТИ).
32. Мелещенко Ю. С. Техника и закономерности ее развития. Л., Лениздат'
1970, 246 с. с черт.
33. Меркин Р. М. Капитальные вложения — нормативы и прогнозы. М.,
«Экономика», 1969, 183 с.
34. Основные методические положения по определению экономической
эффективности научно-исследовательских работ. М., «Экономика», 1964, 31 с.
35. Основы методики научно-технического прогнозирования по комплексным
проблемам развития народного хозяйства. Т. 1—4, 1972, 261 с. (ГК СМ СССР по
науке и технике).
36. Пасхавер А. О показателях эффективности развития науки и техники.
«Вопросы экономики», 1974, № 7, с. 135—139.
37. Предварительное определение трудоемкости и себестоимости
изготовления авиационных изделий. Сборник статей. Под ред. Андрианова Д. П.,
Саркисяна С. А., Оборонгиз, 1962, 116 с.
38. Поляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на ЭВМ. М., «Советское
радио», 1971, 399 с.
39. Румшинский Л. 3. Математическая обработка результатов эксперимента.
М., «Наука», 1971, 192 с.
40. Саркисян С. А., Старик Д. Э. Критерии оценки экономической
эффективности больших технических систем (на примере систем метательных аппаратов).
В сб.: Экономическая оценка больших технических систем. М., МАИ, 1974,
с. 4—21.
41. Саркисян С. А. Методика разработки укрупненных нормативов
трудоемкости новых изделий и помощью ЭВМ. «Социалистический труд», 1964, № 5.
42. Саркисян С. Л. Некоторые вопросы методологии экономических
исследований при оценке систем летательных аппаратов. В сб.: Совершенствование
планирования и повышение эффективности авиационного производства. М.,
«Машиностроение», 1967, с. 87—ПО.
43. Саркисян С. А., Минаев Э. С. Определение затрат в производстве —
важнейший этап экономической оценки летательных аппаратов. В сб.:
Совершенствование планирования и повышение эффективности авиационного производства.
М., «Машиностроение», 1967, 13—26 с.
44. Саркисян С. А. Предварительное определение затрат на производство
авиационных изделий — важная экономическая проблема. В сб.:
Предварительное определение трудоемкости и себестоимости изготовления авиационных
деталей. М., Оборонгиз, 1962, с. 3—7.
45. Саркисян С. А. ^Современные методы научно-технического
прогнозирования. В сб.: Экономическая эффективность авиационной техники. М.,
«Машиностроение», 1974, с. 3—11.
46. Саркисян С. А., Минаев Э. С. Экономическая оценка летательных
аппаратов. М., «Машиностроение», 1972, 179 с.
47. Саркисян С. А. Экономические аспекты прогнозирования сложных
технических систем. «Вестник Академии наук СССР. Экономические пауки»,
1971, № L
48. Старик Д. В., Каспин В. И. Прогнозирование и эффективность научно-
технического прогресса. М., МАИ, 1975, 60 с.
49. Тейл Г. Экономические прогнозы и принятие решений. М., «Статистика»,
1971, 488 с.
50. Теория и практика прогнозирования развития науки и техники в
странах—членах СЭВ. Сборник. М., «Экономика», 1971, 407 с.
346

51. Тимофеева И. М., Скородумов С. Л., Негру А. И. Методическое
положение разработки прогнозов развития технологии отрасли машиностроения. Минск,
1975 (БелЫИИНТИ и ТЭ).
52. Типовая методика определения экономической эффективности
капитальных вложений. М., «Экономика», 1969, с. 15.
53. Френкель А. А. Математические методы анализа динамики и
прогнозирования производительности труда. М., «Экономика», 1972, с. 190.
54. Харман Г. Современный факторный анализ. Пер. с англ. М.,
«Статистика», 1972, 486 с.
55. Хауштейн Г. Д. Методы прогнозирования в социалистической
экономике. Пер. с нем. М., «Прогресс», 1971, 398 с. с черт.
56. Хенан Э. Дж. Многомерные временные ряды. Пер. с англ. М., «Мир»,
с. 575.
57. Хилюк Ф. М, Лисичкин В. А. Методы прогнозирования
научно-технического прогресса. Киев, 1969, 134 с. (УкрНИИНТИ).
58. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. Пер. с англ.
М., «Мир», 1973, 957 с. с черт.
59. Цвиркун А. Д. Структура сложных систем. М., «Советское радио», 1975,
198 с-
ОО.&етыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования М.,
«Статистика», Г975, 183 с.
61. Чуев Ю. В., Михайлов Ю. Б., Кузьмин В. И. Прогнозирование
количественных характеристик процессов. М., «Советское радио», 1975, 398 с.
62. Чуев Ю. В., Спехова Г. П. Технические задачи исследования операций.
М., «Советское радио», 1971, 244 с.
63. Эйрес Р. Научно-техническое прогнозирование и долгосрочное
планирование. Пер. с англ. М., «Мир», 1971, с. 296.
64.' Экономическая оценка больших термических систем. Тематический
сборник научных трудов института. Под ред. С. А. Саркисяна. М., 1974, 65 с. (МАИ).
65. Ямпольский С. M.t Хилюк Ф. М., Лисичкин В. А. Проблемы
научно-технического прогнозирования. М., «Экономика», 1969, 143 с.
66. Ямпольский С. М., Лисичкин В. А. Прогнозирование
научно-технического прогресса. М., «Экономика», 1974, 207 с.
67. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. М., «Прогресс»,
1974, 586 с.
Литература к разделу II
68. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М., «Мир», 1967, 480 с.
69. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. М., «Мир», 1971,
534 с.
70. Анисимов-Спиридонов Д. Д. Методы и, модели больших систем
оптимального планирования и управления. М., «Наука», 1969, с. 960.
71. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического
программирования. М., «Наука», 1965, 458 с.
72. Вентцель Е. С. Введение в исследование операций. М., «Советское радио»,
1964, 388 с.
73. Вентцель Е. С. Исследование операций. М., «Советское радио»,
1972, 551 с.
74. Де. Гроот. Оптимальные статистические решения*^., «Мир», 1974, 496 с.
75. Гурин Л. С. [и др.] Задачи и методы оптимального распределения
ресурсов. М., «Советское радио», 1968, 463 с.
76. Данскин Д. М. Теория максимина и ее приложения к задачам
распределения вооружения. М., «Советское радио», 1970, 200 с.
77. Демьянов В. Ф., Малоземов В. И. Введение в минимакс. М., «Наука»,
1972, 368 с.
78. Емельянов С. В. [и др.] Модели и методы векторной оптимизации. В сб.:
Техническая кибернетика, т. 5. Под ред. Б. Н. Петрова. М., 1973 ГАИ СССР,
ВИНИТИ], с. 477.
79. Зайченко Ю. П. Исследование операций. Киев, «Вища школа», 1975,
320 с,^
.т Зангвилл У. И. Нелинейное прогнозирование. М., «Советское радио»,
1973, 312 с.
347

81. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М., Изд-во иностр.
- литер., 1963, 176 с.
82. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. М., «Энергия»,
i972, 376 с.
83. Кузин Л. Г. Основы кибернетики, т. 1. М., «Энергия», 1973, 504 с.
84. Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. М., Изд-во иностр. литер., 1961,
•642 с.
85. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуров-
. невых систем. М., «Мир», 1973, 344 с.
86. Морз Ф. М., Кимбел Д. Е. Методы исследования операции. хМ.,
«Советское радио», 1956, 308 с.
87. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое
поведение. М., «Наука», 1970, 708 с.
88. Основы кибернетики. Под ред. К. А. Пупкова. М., «Высшая школа»,
1974, 413 с.
89. Оптнер С. Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных
проблем. М., «Советское радио», 1969, 216 с.
90. Первозванский А. Л. Поиск. М., «Наука», 1970, 264 с.
91. Растригин Л. Л. Случайный поиск. Рига, «Зинатне», 1965, 376 с.
92. Саульев В. К. Прикладная и вычислительная математика, вып. 3. М.,
МАИ, 1971, 202 с.
93. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967, 267 с.
94. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений. М.,
«Советское радио», 1962, 406 с.
95. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций. М.,
«Наука», 1968, 488 с.
96. Чуев Ю. 23. Исследование операций в военном деле. М., Воениздат, 1970,
256 с.
97. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование, «Мир», 1967,
506.
98. Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование. М., «Наука»,
8969, 424 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Предмет и задачи курса . 4
1.1. Развитие науки и техники в условиях современной
научно-технической революции - 4
1.2. Предмет и структура курса 22
1.3. Метод курса 24
РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 28
Глава 2. Функции и задачи прогнозирования 28
2.1. Прогнозирование в системе планирования научно-технического
прогресса 28
2.2. Задачи и принципы прогнозирования . 35
Глава 3. Анализ объекта прогнозирования 42
3.1. Основные методологические принципы анализа объекта
прогнозирования 42
3.2. Классификация объектов прогнозирования . 47
3.3. Моделирование объекта прогнозирования 53
3.4. Информационное обеспечение задач анализа объекта
прогнозирования 60
3.4.1. Источники информации об объекте прогнозирования ... 60
3.4.2. Измерение и оптимизация представления информации
источников 65
Глава 4. Методы научно-технического прогнозирования 76
4.1. Классификация методов прогнозирования 76
4.2. Экстраполяционные методы прогнозирования 82
4.2.1. Предварительная обработка исходной информации в
задачах прогнозной экстраполяции 83
4.2.2. Анализ формы тренда динамического ряда и экстраполяция
простыми зависимостями 90
4.2.3. Экстраполяция и интерполяция с использованием полиномов 102
4.2.4. Автоматический подбор вида экстраполирующей функции ПО
4.2.5. Метод экспоненциального сглаживания и скользящей средней 115
4.2.6. Экстраполяция тенденций по огибающим кривым .... 121
4.3. Статистические методы . .' 125
4.3.1. Использование корреляций и регрессий в прогнозировании
взаимосвязанных случайных переменных 127
4.3.2. Прогнозирование по авторегрессионным моделям .... 136
4.3.3. Факторный анализ в прогнозировании многомерных
стохастических процессов . 142
4.4. Экспертные методы . 149
4.4.1. Область применения экспертных методов . 149
4.4.2. Метод экспертных оценок «Дельфи> 155
4.4.3. Метод программного прогнозирования 160
349

4.4.4. Метод эвристического прогнозирования (МЭП) 164
4.4.5. Коллективная генерация идей 179
^--ч 4.4.6. Оценка точности методов экспертных оценок 182
(4.5JПостроение сценариев и прогнозные графы 184
— 4.5.1. Сценарий 184
4.5.2. Методика построения прогнозных графов и деревьев целей 186
4.6. Матричный метод 195
Глава 5. Системы прогнозирования развития науки и техники и
проблема организации прогнозирования 201
5.1. Системы непрерывного прогнозирования . 201
5.2. Автоматизированные системы прогнозирования развития науки
и техники (АСПНТ) . 204
5.2.1. Цели, предпосылки, схема функционирования АСПНТ . . 204
5.2.2. Схема функционирования блоков /С, С и D ...... . 211
5.2.3. Алгоритмическая структура контуров ПМФ и ПМО .... 215
5.2.4. Алгоритмическая структура контура РЦ ........ 217
5.2.5. Алгоритмическая структура контура ФОБ 218
5.2.6. Алгоритмическая структура контура УЭ 218
5.3. Организация разработки прогнозов по крупным
научно-техническим проблемам 219
РАЗДЕЛ II. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИИ 223
Глава 6. Введение в теорию принятия решений 226
6.1. Основные понятия теории принятия решений и схема процесса
принятия решения . 226
6.2. Общая постановка однокритериальной задачи принятия решения 232
6.3. Классификация задач принятия решений 235
Глава 7. Принятие решений в условиях определенности и риска . . . 242
7.1. Принятие решений в условиях определенности 242
7.1.1. Общая постановка однокритериальной статической
детерминированной ЗПР 242
7.1.2. Обзор методов решения однокритериальных статических
детерминированных задач принятия решений ...... 243
7.1.3. Пример типичной процедуры обоснования решения
однокритериальной статической детерминированной ЗПР 257
7.2. Принятие решений в условиях риска 262
7.2.1. Общая постановка однокритериальной статической
стохастической задачи принятия решений и некоторые принципы
оптимальности, применяемые в стохастических ЗПР . . . 262
7.2.2. Пример задачи принятия решения в условиях риска
—оптимальное распределение однородных средств нападения . . 269
Глава 8. Принятие решений в условиях неопределенности 272
8.1. Классификация ЗПР в условиях неопределенности и обзор
методов их решения 272
8.2. Принятие решений в условиях повторяющейся одноуровневой
конфликтной ситуации. (Элементы теории стратегических игр) . . 277
8.2.1. Основные понятия теории игр 278
8.2.2. Формальное описание парной антагонистической игры . . 282
8.2.3. Основные принципы математической теории игр 290
8.2.4. Игры с седловой точкой 292
8.2.5. Игры без седловых точек 296
8.2.6. Решение конечных антагонистических игр 300
8.3. Принятие решений в условиях действия неопределенных факторов
стохастической природы. (Элементы теории статистических
решений) 304 ^
350

8.3.1. Общее описание задачи • 304
8.3.2. Принятие решений в условиях стохастической
неопределенности в случае, когда проведение экспериментов невозможно
(Статистические игры без эксперимента) ......* 307
8.3.3. Принятие решений в условиях стохастической
неопределенности с использованием экспериментов. (Статистические игры
с экспериментами) 313
Глава 9. Многокритериальные задачи принятия решений 327
9.1. Общая постановка многокритериальной детерминированной
статической задачи принятия решений 327
9.2. Примеры многокритериальных ЗПР 329
9.3. Проблемы, связанные с решением многокритериальных ЗПР 331
9.4. Обзор возможных схем компромисса (в векторных ЗПР с
нормализованными локальными критериями без приоритета) .... 333
9.5. Способы нормализации критериев 339
9.6. Способы задания приоритета локальных критериев 340
9.7. Методы учета приоритета критериев 343
Литература 345

ТЕОРИЯ
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ ДОКТОРА ЭКОНОМИЧЕСКИХ НАУК
СЕРГЕЯ АРАМОВИЧА САРКИСЯНА
Редактор И. С. Миловидова. Младший редактор Т, И. Харизанова. Художественный
редактор В, /7. Бабикова. Технический редактор Т. Л» Новикова. Корректор
Г. И. Кострикова.
ИБ № 927
А-02472. СдЯио :в набор 24/П 1977 г. Подп. к печати 23/XI 1977 г. Формат 60Х901/1в. Бум.
» тпп. № 3. Объем 22 печ. л. Усл. печ. л. 22. Уч.-изд„ л. 22,78. Изд. № ЭЮ-318. Зак/935.
Тираж 22 000 экз. Цена 1 р. 20 коп.
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1977 г. Позиция № 26
Издательство «Высшая школа*,
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Типография им. Анохина Управления по делам издательств, полиграфии,
и книжной торговли Совета Министров Карельской АССР.
Петрозаводск, ул. «Правды», 4.