Федеральное агентство по образованию
Уральский государственный технический университет - УПИ
3. Ш. Ишматов
МИКРОПРОЦЕССОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ
И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ.
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Екатеринбург
УГТУ-УПИ
2007
УДК 62-83: 621.313.2.077
ББК 31.291
И 97
Рецензенты: кафедра электроники и микроэлектроники Магнитогорского государственного
технического университета (зав. каф. д-р техн, наук, профессор И.А. Селиванов);
канд. техн, наук, доцент С.И. Шилин, начальник отдела электропривода ЗАО
«Автоматизированные системы и комплексы»
Ишматов 3. Ш.
И 97 МИКРОПРОЦЕССОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ
И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ
МЕТОДЫ: монография / 3. Ш. Ишматов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ,
2007. 278 с.
ISBN 978-5-321-01145-4
Изложены вопросы построения моделей объекта в электроприводе и связанном с ним
технологическом процессе с учетом особенностей цифрового управления, дискретности
элементов объекта, запаздывания в контуре регулирования. Рассмотрены вопросы синтеза
работоспособных аналоговых и цифровых регуляторов, основанные на математическом
аппарате полиномиальных (диофантовых) уравнений. Полиномиальный подход использован
и для решения некоторых задач анализа устойчивости, качества, точности и
чувствительности систем управления электроприводами и технологическими объектами.
Приведены примеры использования предложенного подхода к расчету электропривода
постоянного и переменного тока и некоторых технологических объектов.
Книга рассчитана на подготовленного читателя, знакомого с основами теории
автоматического управления (в том числе z-преобразованием), теории электропривода, а
также с элементной базой современных электроприводов и микропроцессорных систем
управления.
Предназначена для специалистов в области разработки, проектирования, наладки и
эксплуатации микропроцессорных систем управления электроприводами и
технологическими процессами. Может быть полезна для студентов и аспирантов
электротехнических специальностей.
Библиогр.: 140 назв. Табл. 11. Рис. 67. Прил. 6
УДК 62-83: 621.313.2.077
ББК 31.291
ISBN 978-5-321-01145-4
© Уральский государственный
технический университет - УПИ, 2007
© 3. Ш. Ишматов, 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................... 6
ВВЕДЕНИЕ.............................................................. 8
Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ СИСТЕМ
МИКРОПРОЦЕССОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ И
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ..................................... 14
1.1. Технические средства микропроцессорных систем управления....... 14
1.1.1. Современные электроприводы постоянного и переменного тока... 14
7.7.2. Программируемые контроллеры для управления технологическим процессом.. 23
1.2. Обобщенные модели объектов при микропроцессорном управлении.... 25
7.2.7. Модели объектов при псевдонепрерывном управлении............ 25
7.2.2. Модели объектов при дискретном управлении................... 29
1.3. Современные методы синтеза микропроцессорных систем управления. 31
7.3.7. Синтез цифрового регулятора по непрерывному аналогу......... 31
7.3.2. Синтез цифровых регуляторов методом частотных характеристик. 34
7.3.3. Синтез цифровых регуляторов прямыми аналитическими методами. 35
1.4. Выводы по главе 1.............................................. 38
Глава 2. МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОПРИВОДА
И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ МИКРОПРОЦЕССОРНОМ
УПРАВЛЕНИИ................................................... 40
2.1.	Дискретные модели элементов электропривода..................... 40
2.7.7.	Основные допущения и положения.............................. 40
2.7.2.	Модель тиристорного преобразователя постоянного тока........ 42
2.1.3.	Модель транзисторного преобразователя (однофазного инвертора
напряжения) с широтно-импульсной модуляцией...................... 47
2.1.4.	Модель трехфазного инвертора напряжения с ШИМ............... 53
2.1.5.	Модели датчиков обратных связей............................. 63
2.2.	Принципы построения дискретной модели многоконтурной системы
подчиненного регулирования........................................ 65
2.3.	Дискретная модель объекта регулирования с несколькими периодами
дискретности...................................................... 66
2.4.	Дискретные модели объекта регулирования в электроприводе....... 70
2.4.1.	Тиристорный электропривод постоянного тока.................. 70
3
2.4.2,	Транзисторный электропривод постоянного тока................. 75
2.4.3.	Частотно-регулируемый асинхронный электропривод.............. 78
2.4.4.	Некоторые обобщения.......................................... 82
2.5.	Дискретные модели технологических объектов при микропроцессорном
управлении........................................................... 83
2.6.	Особенности дискретных моделей объектов........................... 84
2.7.	Аппроксимация и упрощение моделей объектов........................ 90
2.8.	Выводы по главе 2................................................. 98
Глава 3. ПРИНЦИПЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
НЕПРЕРЫВНЫМИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ.................................. 99
3.1.	Основные подходы к синтезу цифровых регуляторов................... 99
3.2.	Метод полиномиальных уравнений для синтеза непрерывных регуляторов. 101
3.3.	Обеспечение работоспособности, качества и точности псевдонепрерывных
систем.............................................................. 120
3.3.1.	Обеспечение работоспособности............................... 120
3.3.2.	Обеспечение требуемого качества............................. 123
3.3.3.	Обеспечение требуемой точности.............................. 124
3.4.	Условия робастности псевдонепрерывных систем..................... 129
3.4.1.	Понятие робастной системы................................... 129
3.4.2.	Коэффициентные методы исследования устойчивости............. 130
3.4.3.	Робастная устойчивость...................................... 132
3.4.4.	Коэффициентные методы исследования качества и точности...... 133
3.4.5.	Исследование чувствительности коэффициентными методами...... 137
3.4.6.	Сверхустойчивость и робастная сверхустойчивость............. 138
3.5.	Метод обратных задач динамики для синтеза систем слабой параметрической
чувствительности.................................................... 149
3.6.	Метод полиномиальных уравнений и аффинная параметризация...... 157
3.6.1.	Аффинная параметризация компенсационного регулятора......... 157
3.6.2.	Аффинная параметризация некомпенсационного регулятора....... 161
3.	б. 3. Аффинная параметризация регулятора замкнутой системы с произвольной
компенсацией нулей и полюсов объекта............................... 163
3.7.	Общее решение полиномиального уравнения и его связь с адаптивным
управлением......................................................... 165
3.8.	Выводы по главе 3................................................ 175
Глава 4. ПРИНЦИПЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
ДИСКРЕТНЫМИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ.................................. 176
4.1.	Метод полиномиальных уравнений для синтеза дискретных систем..... 176
4.1.1.	Обеспечение условий работоспособности системы............... 180
4.1.2.	Отсутствие скрытых колебаний регулируемой величины.......... 181
4.1.3.	Низкая чувствительность к изменению параметров объекта...... 182
4.1.4.	Выбор степени характеристического полинома.................. 182
4.2.	Обеспечение грубости цифровых систем управления.................. 185
4
4	3. Обеспечение качества и точности дискретных систем................. 191
4.3.1. Обеспечение требуемого качества............................... 191
4.3.2. Обеспечение требуемой точности................................ 198
4 4. Особенности синтеза регуляторов для объектов с запаздыванием....... 199
4.4.1.	Предиктор Смита............................................... 200
4.4.2.	Двухконтурная структура с предиктором Смита................... 205
4.4.3.	Неявная компенсация влияния запаздывания...................... 207
4.5.	Условия робастности дискретных систем.............................. 214
4.5.1.	Использование коэффициентных методов для исследования устойчивости,
качества, точности и чувствительности................................ 214
4.5.2.	Робастная устойчивость........................................ 217
4.5.3.	Сверхустойчивость и робастная сверхустойчивость............... 218
4.6.	Использование метода обратных задач динамики в дискретных системах. 219
4.7.	Общее решение дискретного полиномиального уравнения..............   223
4.8.	Выводы по главе 4.................................................. 227
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................. 229
Библиографический список................................................ 231
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Преобразование Лапласа, ^-преобразование и дельта-преобразование
некоторых функций....................................................... 239
Приложение 2. Дискретные передаточные функции объектов.................. 240
П. 2.1. ДПФ объекта в электроприводе.................................... 240
П. 2.2. ДПФ технологических объектов.................................... 245
Приложение 3. Элементы полиномиальной алгебры........................... 249
П. 3.1. Кольцо полиномов................................................ 249
П.3.2. Полиномиальные уравнения......................................... 251
П. 3.3. Алгоритм Евклида................................................ 252
П. 3.4. Рациональные функции............................................ 254
П.3.5. Инверсия......................................................... 257
П. 3.6. Факторизация и сепарация........................................ 257
Приложение 4. Стандартные характеристические полиномы непрерывных систем и
соответствующие им переходные функции................................... 259
Приложение 5. Коэффициентные показатели устойчивости и качества стандартных
характеристических полиномов............................................ 271
Приложение 6. Стандартные характеристические полиномы цифровых систем... 274
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние два-три десятилетия цифровая управляющая техника
совершила качественный скачок в своем развитии, став основным средством
управления как в регулируемом электроприводе, так и в системах управления
самыми разнообразными технологическими процессами. Электропривод,
являясь энергосиловой основой многих технологических процессов, как
правило, определяет качество работы всей технологической цепочки. И если
еще 20 лет назад основным типом регулируемого электропривода был
электропривод постоянного Тока, то в настоящее время регулируемые
электроприводы переменного тока составили ему серьезную конкуренцию и
постепенно вытесняют его с рынка технических средств автоматизации. Во
многом это связано как с известными преимуществами электродвигателей
переменного тока, так и с широким использованием микропроцессорной
техники для управления электроприводом.
Значительно изменилась и технология проектирования регулируемых
электроприводов и автоматизированных систем управления технологическим
процессом (АСУ ТП) на их основе. Поскольку на рынке имеется широкий
выбор высококачественных, надежных и универсальных электроприводов, не
требующих сложных расчетов при их проектировании, основная часть
проектной работы постепенно смещается в сторону управления
технологическими процессами, характеризующимися самыми разнообразными
физическими свойствами, структурами объектов, требованиями к качеству и
точности регулирования и т.д. То есть разработкой, проектированием и
изготовлением собственно электроприводов занимается достаточно узкий круг
специалистов, связанный с заводами-изготовителями комплектных
электроприводов, а проекты по применению таких унифицированных
электроприводов на различных объектах, их привязку (так называемый
инжиниринг) осуществляет огромное количество проектировщиков,
инженеров, наладчиков как специализированных проектных, конструкторских,
пуско-наладочных предприятий и организаций, так и соответствующих служб
предприятий самых разных отраслей промышленности.
Сложившаяся практика расчета и проектирования таких систем,
построенных преимущественно на цифровой технике, основана на хорошо
известных методиках расчета и проектирования непрерывных систем и в
большинстве случаев дает приемлемые результаты. Однако в ряде случаев
применение этих методик приводит к получению систем, не отвечающих
6
требованиям технического задания или даже неработоспособных систем. Как
правило, это связано с использованием непрерывных моделей дискретного по
своей природе объекта и приближенных методик расчета цифровых
регуляторов, справедливых только при достаточно малом периоде
дискретности.
Серьезное внимание в последнее время уделяется и проблемам,
связанным с работой систем управления в условиях существенных внешних и
параметрических возмущений, характерных как для электроприводов, так и для
многих технологических объектов. Это приводит к необходимости построения
систем, обладающих робастными свойствами.
В книге предпринята попытка обосновать общую методику создания
моделей объектов управления и синтеза цифровых регуляторов как координат
электропривода (тока, момента, потока, ЭДС, скорости и т.д.), так и связанных
с ним технологических параметров (скорости и положения механизма,
давления, расхода, уровня и т.д.). Основу разработанных методик синтеза
составляет достаточно простой метод полиномиальных уравнений, который
легко программируется и отличается от других методов синтеза хорошей
результативностью, то есть дает, как правило, работоспособные системы с
гарантированными качеством и точностью регулирования. На основе общего
решения полиномиального уравнения имеется возможность построения
робастных систем управления. Кроме того, полиномиальный подход может
быть использован и для решения некоторых задач анализа устойчивости,
качества, точности и чувствительности систем управления электроприводами и
технологическими объектами.
Изложение материала ведется на уровне, предполагающем знание
читателем основ высшей математики (линейная алгебра, теория функций
комплексного переменного), теории автоматического управления, в том числе
для цифровых систем, теории электропривода. В конце книги приводится
библиографический список по рассматриваемым вопросам; в прил. 3 даны
некоторые положения полиномиальной алгебры.
Автор выражает искреннюю признательность своему учителю
профессору Кулесскому Р.А. за поддержку и постоянное внимание к этой
работе, своим коллегам и ученикам кандидатам технических наук Упчеру Г.М.,
Барацу Е.И., Кириллову А.В., Плотникову Ю.В., аспиранту Волкову М.А.,
студентам Гурентьеву Е.А. и Дерябину М.П., принимавшим участие в
выполнении исследований и расчетов, а также инженеру Шерсток Т.М. за
помощь в оформлении монографии.
Автор признателен за содействие и помощь в издании книги ЗАО
«УРАЛТЕХМАРКЕТ», г. Екатеринбург.
Автор будет благодарен за замечания и пожелания, которые можно
направлять по адресу: 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19, УГТУ-УПИ,
ЭТФ, кафедра ЭАПУ или по E-mail: ishmatov@vandex.ru.
7
ВВЕДЕНИЕ
Исследования в области цифровых систем управления электроприводами
на кафедре электропривода и автоматизации промышленных установок
Уральского государственного технического университета - УПИ ведутся с 60-х
годов XX века и их начало неразрывно связано с именем основателя Уральской
школы электропривода, профессора Виталия Александровича Шубенко. В
становлении и развитии этого научного направления ведущая роль
принадлежит профессору Роланду Александровичу Кулесскому,
возглавлявшему эти исследования до 1991 года. За прошедшие полвека на
кафедре выполнены фундаментальные теоретические и экспериментальные
исследования в этом направлении, разработаны и внедрены в производство
цифровые системы управления электроприводами самого разного назначения.
Задачи, которые ставились и решались в разные годы, во многом
определялись потребностями производства и уровнем развития цифровой (а
затем и микропроцессорной) техники. Поэтому можно говорить о нескольких
этапах развития теории и практики цифрового управления в электроприводе,
что нашло отражение и в исследованиях, выполненных на кафедре.
На первом этапе [70], в 60 - 70 годы прошлого века, когда цифровая
вычислительная техника характеризовалась относительно низким
быстродействием, высокими стоимостью и массогабаритными показателями, ее
применение ограничивалось внешними контурами регулирования
электропривода (положения и скорости), а также системами регулирования
технологических параметров. Бесспорное преимущество цифровой техники -
высокая точность в статических режимах - не подкреплялось возможностью
достижения требуемого качества регулирования в динамических режимах.
Это предопределило широкое распространение комбинированных,
цифроаналоговых систем управления, где высокая статическая точность
обеспечивалась цифровым каналом регулирования, а динамические режимы
формировались непрерывными (аналоговыми) регуляторами. Низкая
разрядность цифровых датчиков и вычислительных устройств, а также их
относительно низкое быстродействие вынуждало разработчиков уделять
значительное внимание вопросам влияния квантования сигналов как по
времени, так и по уровню. В эти годы были получены математические модели
процессов квантования, разработан новый, статистический подход к учету
помех квантования в электроприводе, предложены рациональные структуры
8
комбинированных систем управления электроприводами постоянного тока,
предложены методы технической линеаризации нелинейностей типа
квантования по уровню и люфта.
Особое место в исследованиях, выполненных в эти годы, занимает
проблема синтеза оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов цифрового
управления. Для различных классов электроприводов были рассмотрены
детерминистская и статистическая постановки задачи оптимизации, которые
при использовании комбинированных функционалов качества позволили
обосновать оптимальные по быстродействию, расходу энергии,
помехозащищенности цифровые алгоритмы, а также компромиссные решения
задач оптимизации. В рамках этих подходов определены требования к периоду
квантования по времени, обеспечивающие эквивалентность оптимальных
цифровых алгоритмов и традиционно используемых при аналоговом
управлении «модульного» и «симметричного» оптимумов. Наряду с этим
получил развитие и подход, позволяющий оптимизировать работу
регулируемого электропривода на основе нелинейных алгоритмов управления
в условиях существенного влияния помех. Как результат на этом этапе была
заложена теоретическая и методологическая база для разработки и
исследования цифровых систем управления электроприводами в последующие
годы.
Полученные теоретические результаты были использованы в практике
для построения цифровых позиционных электроприводов вспомогательных
механизмов блюминга и универсального балочного стана, летучих отрезных
механизмов трубопрокатных агрегатов, в цифровых системах управления
главными приводами редукционного стана и других объектах
металлургической промышленности. Разработанные методики проектирования
цифровых систем управления использовались в проектной практике ВНИПИ
«Тяжпромэлектропроект», ВНИИЭлектропривод, НИИТЯЖМАШ
Уралмашзавода, ОКБ Станкостроения ЛенПЭО, ЭЛЕКТРОСТ АЛЬТЯЖМАШ и
других проектно-конструкторских организациях.
Появление в 80-х годах микропроцессорных управляющих устройств с
высокими технико-экономическими показателями определило второй этап в
развитии теории и практики цифрового электропривода. Он характеризуется
переходом к полностью цифровым системам управления, с так называемым
«прямым управлением» ключами силовых полупроводниковых
преобразователей. Это потребовало разработки моделей электропривода при
прямом цифровом управлении, синтеза алгоритмов быстродействующих
внутренних контуров регулирования электропривода. Возможности цифровой
техники позволили во многих случаях уже не учитывать квантование сигналов
по уровню, но квантование по времени по-прежнему остается одним из
факторов, ограничивающих быстродействие цифровых систем электропривода.
При этом дискретность процессов во времени определяется уже не
ограниченными возможностями вычислительной техники или датчиков, а,
главным образом, дискретностью силовых преобразователей.
9
В 80-90-е годы были получены дискретные модели электроприводов как
постоянного, так и переменного тока с учетом таких особенностей объекта
регулирования, как дискретность и нелинейность полупроводниковых
преобразователей, наличия, в общем случае, переменного запаздывания,
различных способов формирования сигналов обратных связей, упругостей в
механической части электропривода и т.д. В частности, получены модели
электропривода постоянного тока по системе «тиристорный преобразователь -
двигатель постоянного тока с независимым возбуждением» (ТП-Д)
[35,42,76,93,94], в том числе с двухзонным регулированием [57,110,129],
модели асинхронного электропривода с тиристорным преобразователем
напряжения (ТПН) [77,97,131-133] и полупроводниковыми преобразователями
частоты (ППЧ) [2,3,9-12,30,31,36,51-56,58,84,130,139]. В эти же годы активно
начал использоваться метод полиномиальных уравнений для синтеза
регуляторов электропривода. В результате исследований были получены
алгоритмы регулирования, обеспечивающие качество и точность, не
уступающие традиционным непрерывным системам управления, а во многих
случаях и превосходящие их. Это позволило разработать опытные образцы
электроприводов самого разного назначения: электроприводы постоянного и
переменного тока для тяжелых металлорежущих станков, электроприводы
скоростных пассажирских лифтов, электроприводы шагающих экскаваторов-
драглайнов, позиционные электроприводы вспомогательных механизмов
трубопрокатных агрегатов и т.д. Дальнейшее развитие микропроцессорных
средств управления, в частности появление сигнальных процессоров, открыло
перспективы для создания более качественных систем управления
электроприводами с использованием нелинейных (релейных) алгоритмов
управления, алгоритмов адаптации, адаптивных наблюдателей состояния. В
результате теоретических и экспериментальных исследований была
разработана система прямого управления моментом и потоком асинхронного
электропривода [2,3,9,10,130], обеспечивающая почти на порядок большее
быстродействие, чем в электроприводах с традиционным векторным
управлением. Как результат на этом этапе в основном была завершена
разработка теоретической базы оптимизации цифровых алгоритмов управления
электроприводами, в том числе для прямого цифрового управления.
Вместе с тем отечественная электротехническая промышленность
оказалась не готова к массовому производству таких электроприводов из-за
отсутствия надежной микропроцессорной техники, новых силовых
полупроводниковых ключей, современных материалов и технологий монтажа и
наладки. Поэтому российский рынок в 90-х годах был наводнен импортными
электроприводами постоянного и переменного тока.
Третий этап в развитии теории и практики цифрового электропривода
характеризуется широким использованием готовых универсальных
электроприводов с микропроцессорным, в том числе оптимальным,
управлением в различных технологических процессах всех отраслей
промышленности. Задачи проектирования в значительной степени сместились в
10
область адаптации таких универсальных электроприводов к конкретным
условиям работы и разработки алгоритмов управления параметрами
технологических процессов. Последняя задача может решаться как за счет
использования свободно программируемой части унифицированных
электроприводов (если таковая имеется и ее возможности достаточны для
решения технологических задач), так и за счет дополнительных
программируемых контроллеров. В обоих случаях ставится задача управления
технологическим процессом через электропривод таким образом, чтобы
обеспечить наилучшее качество и точность регулирования технологических
параметров при минимальном расходе энергии и ресурсов и максимальном
использовании возможностей электропривода. При этом дополнительно могут
ставиться задачи оптимальной отработки возмущающих воздействий и
минимальной чувствительности к изменениям параметров объекта. Такая
постановка задачи отличается от традиционной задачи оптимального
управления электроприводом значительным усложнением модели объекта
управления (электропривод является только его частью), многомерности
модели, проблем её идентификации и учёта специфики технологического
процесса. Дополнительная проблема связана с выбором критерия
оптимальности и методом решения оптимизационной задачи. Вместе с тем
поиск удачного решения задачи оптимального управления вознаграждается, как
правило, значительным экономическим эффектом, связанным со снижением
расхода энергии и ресурсов, повышением качества продукции,
производительности, улучшением условий труда.
В связи с этим основное внимание в последние годы уделялось не
задачам управления координатами собственно электропривода, а управлению
через электропривод(ы) различными технологическими процессами [32-
34,37,44,48,49]. Метод полиномиальных уравнений и в этом случае является
эффективным методом решения оптимизационных задач. Во многих случаях
оказывается целесообразным использование специального программного
обеспечения (например, на основе пакетов Matlab, Maple), позволяющего
автоматизировать процедуры синтеза регуляторов технологических параметров
и анализа полученных результатов, что особенно актуально для сложных
объектов управления [43-46].
Существенное повышение производительности вычислительной техники
позволило в некоторых случаях не учитывать и квантование сигналов во
времени, то есть рассматривать цифровые системы управления как
непрерывные и использовать соответствующий математический аппарат. Это
привело к распространению полиномиальных методов анализа и синтеза и на
непрерывные системы управления.
Результаты научных исследований нашли практическое применение при
проектировании систем управления дуговых сталеплавильных печей,
закалочной машины, котельных установок, систем транспортировки и
дозирования сырья агломерационной фабрики, а также для ряда более простых
11
технологических объектов, таких как насосные и вентиляционные установки,
компрессорные станции и т.п.
Исследования на этом этапе далеки от завершения и связаны с
перспективными проблемами разработки и исследования цифровых систем
управления электроприводами. К числу этих проблем следует отнести:
•	Приложения метода полиномиальных уравнений как средства синтеза
алгоритмов цифровых систем управления, в том числе алгоритмов
управления параметрами технологических процессов, удовлетворяющих
различным критериям оптимальности.
•	Разработку методов синтеза адаптивных и робастных регуляторов
технологических процессов, эффективных в условиях структурной и
параметрической неопределённости описания объекта управления, в том
числе на основе нелинейных (релейных) законов управления.
•	Оптимизацию энергетических характеристик технологического процесса,
в том числе при работе в условиях помех.
•	Разработку методов идентификации объекта управления как в рамках
классического подхода, так и на основе нейронных моделей, а также
методов построения соответствующих наблюдателей состояния, что
особенно актуально в условиях многообразия технологических
процессов.
•	Разработку и исследование нелинейных алгоритмов управления
технологическими процессами на базе теории нечеткой логики (Fuzzy
Logic) и искусственных нейронных сетей, эффективных для объектов
управления со стохастическими свойствами.
В монографии представлены результаты исследований, выполненных на
кафедре ЭАПУ УТТУ-УПИ с участием и под руководством автора за последние
15-20 лет, соответствующие второму и третьему этапам развития цифровых
систем управления электроприводами и технологическими процессами.
В первой главе выполнен обзор современного состояния теории и
практики систем микропроцессорного управления, технических средств
цифровых систем управления, рассмотрены обобщенные модели объектов
управления и наиболее распространенные методы синтеза цифровых
регуляторов.
Во второй главе рассмотрены особенности элементов электропривода и
технологических процессов при микропроцессорном управлении, в том числе
модели силовых полупроводниковых преобразователей с учетом дискретности
протекающих в них процессов. Получены дискретные модели объекта для
внутренних контуров регулирования электропривода постоянного и
переменного тока, рассматриваются особенности построения моделей в
многоконтурных системах подчиненного регулирования, в том числе с разными
периодами дискретности в отдельных контурах. Представлена методика
получения дискретных моделей технологических объектов и рассмотрены
основные особенности таких моделей. Приводятся некоторые методы
12
аппроксимации (редукции) моделей объектов высокого порядка более
простыми моделями.
В главе 3 рассматривается подход, когда синтез цифровой системы
осуществляется на основе непрерывных методов, а затем полученный
регулятор аппроксимируется цифровым. Это связано с тем, что, во-первых, в
современной практике проектирования преимущественно используется именно
такой подход, во-вторых, с методологической точки зрения целесообразно
сначала познакомиться с более простым и понятным методом полиномиальных
уравнений в непрерывной области, а затем перейти к рассмотрению этого
метода в дискретной области, представленного в следующей главе.
В основу синтеза положен метод непрерывных полиномиальных
уравнений, который позволяет обойти ряд проблем, возникающих при синтезе
традиционными методами. Кроме того, показано, что на основе этого метода
возможна аффинная параметризация, позволяющая получить все множество
регуляторов, обеспечивающих устойчивость и заданное качество
регулирования, а также рассмотрена возможность получения робастной
системы на основе общего решения полиномиального уравнения. Показано, что
на основе метода полиномиальных уравнений возможно получение систем,
соответствующих решению обратных задач динамики и обеспечивающих
слабую параметрическую чувствительность. В главе рассмотрены также
коэффициентные оценки устойчивости, качества, точности и чувствительности,
позволяющие полиномиальными методами выполнить как анализ полученных
результатов, так и целенаправленное конструирование характеристического
полинома замкнутой системы.
В четвертой главе рассмотрен метод дискретных полиномиальных
уравнений для синтеза цифровых регуляторов по дискретным моделям объекта.
По аналогии с третьей главой затронуты вопросы обеспечения
работоспособности, требуемого качества и точности регулирования, связи с
методом обратных задач динамики, методы обеспечения робастных свойств
проектируемой системы. Рассмотрены вопросы проектирования систем с
запаздыванием, с неустойчивыми и неминимально-фазовыми объектами, а
также использования коэффициентных оценок для решения задач анализа и
синтеза цифровых систем управления.
В приложениях даны некоторые положения полиномиальной алгебры,
необходимые для решения задач синтеза, стандартные характеристические
полиномы замкнутых непрерывных и цифровых систем и соответствующие им
переходные функции, а также коэффициентные оценки устойчивости и
качества для стандартных настроек.
13
Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ И
ПРАКТИКИ СИСТЕМ МИКРОПРОЦЕССОРНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ И
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
1.1. Технические средства микропроцессорных систем
управления
1.1.1. Современные электроприводы постоянного и переменного тока
Прогресс в области создания дешевых и надежных микропроцессоров
открыл широкие возможности для применения в регулируемом электроприводе
элементов цифровых устройств, вплоть до полной замены ими аналоговых
элементов, что привело к созданию систем электропривода с
микропроцессорным управлением.
Современные микропроцессорные системы управления электроприводом
(МПСУ ЭП) не только обеспечивают высокую точность регулирования, но и
позволяют решать ряд новых задач.
Для потребителей электроприводов наиболее важной задачей, решаемой
с помощью микропроцессорной техники, является повышение надежности
систем электропривода. При микропроцессорном управлении это достигается
упрощением физической конфигурации системы, широким использованием
современных процессоров, уменьшением количества соединений, упрощением
монтажа.
Способствует повышению надежности и снижению эксплуатационных
затрат возможность выполнения автодиагностики микропроцессора и
электропривода в целом, реализация на базе микропроцессора функций защиты
и технологической автоматики. Однако использование этих возможностей
требует дополнительного машинного времени, которое может быть получено за
счет увеличения быстродействия микропроцессора. Дополнительный эффект
можно получить (если это возможно без ущерба для качества регулирования) за
счет увеличения периода дискретности работы МПСУ. Очевидно, что второй
вариант позволяет полнее использовать возможности микропроцессора и не
связан с усложнением физической конфигурации электропривода.
Существенным преимуществом МПСУ ЭП перед аналоговыми является
их высокая помехозащищенность, которая обеспечивается использованием
двухуровневых логических сигналов, а также исключением длинных линий
передачи аналоговых сигналов. Наряду с этим эффективным средством
снижения уровня помех являются усредняющие за определенный интервал
времени датчики обратных связей, нашедшие широкое распространение в
МПСУ ЭП. Эффективность фильтрации помех зависит от периода усреднения,
14
поэтому рациональный выбор последнего (и связанного с ним периода
дискретности) позволяет существенно повысить помехоустойчивость системы
электропривода в целом.
Повышению помехозащищенности способствует также возможность
использования специальных алгоритмов фильтрации сигналов, которые сложно
или невозможно реализовать в аналоговых системах.
МПСУ ЭП позволяют использовать алгоритмы управления, реализация
которых с помощью аналоговых средств была проблематична, а в некоторых
случаях неосуществима. Применение таких алгоритмов может способствовать
более полному использованию возможностей силовой части электропривода в
динамических режимах.
Таким образом, рациональный выбор периода прерывания в МПСУ ЭП
при условии сохранения заданного качества регулирования способствует более
полному решению задач повышения надежности и помехозащищенности
электропривода и позволяет полнее использовать возможности управляющего
микропроцессора. К выбору периода дискретности возможны два подхода.
Первый широко используется на практике и заключается в выборе
минимального периода вычислений, обеспечиваемого аппаратными
средствами. Как правило, в этом случае используются
высокопроизводительные вычислительные средства, например, сигнальные
процессоры. При таком подходе анализ и синтез системы управления может
выполняться хорошо известными непрерывными методами, в частности
основанными на использовании преобразования Лапласа, а цифровой регулятор
получается из непрерывного одним из методов аппроксимации. При этом
дискретность силового полупроводникового преобразователя, как правило, не
учитывается. Этот подход целесообразен и в тех случаях, когда управление
носит разрывный (релейный) характер. Второй подход основан на
использовании теории импульсных систем и позволяет учесть как дискретность
преобразователя, так и дискретность системы управления. В этом случае
период дискретности МПСУ выбирается равным или в целое число раз
большим периода дискретности преобразователя. Такой подход не предъявляет
чрезмерных требований к используемой аппаратной части МПСУ, но требует
для решения задач анализа и синтеза применения более сложного дискретного
преобразования Лапласа (^-преобразования).
Кроме перечисленных преимуществ электроприводов с
микропроцессорным управлением, можно отметить также снижение затрат при
наладке оборудования, сокращение времени его технического обслуживания,
повышение ремонтопригодности, уменьшение габаритов и снижение
энергопотребления системой управления, удобство работы при наладке,
диагностике неисправностей, возможность контроля электрических параметров
ит.д.
Для разработчиков электроприводов переход к микропроцессорному
управлению позволяет решить такие задачи, как повышение уровня
стандартизации и унификации инженерных решений, снижение трудоемкости и
15
уменьшение сроков проектирования. При этом создаются условия для нового
перспективного подхода к проектированию автоматизированного
электропривода, который при наличии унифицированных микропроцессорных
средств сводится не только лишь к выбору и расчету законов регулирования и
последующему их программированию, но и привязке к объекту и выбору
параметров в унифицированной системе электропривода, что особо актуально
при разработке новой серии электроприводов.
Широкие возможности для реализации такого подхода открывает
использование систем автоматизированного проектирования электроприводов с
МПСУ, так как при этом все расчеты и оформление технической документации
могут быть возложены на вычислительную технику с мощной математической
базой, а результат проектирования получается в виде готового программного
продукта.
Гибкость микропроцессорных систем электропривода дает возможность
функциональной перестройки, открывает широкие возможности для
модернизации и усовершенствования действующих электроприводов.
Современное состояние микропроцессорной техники позволяет
использовать МПСУ не только для высокодинамичных и точных систем
электроприводов, но и для широко распространенных массовых регулируемых
электроприводов с невысокими требованиями к точности и быстродействию. В
последнем случае, как уже было отмечено, может быть получен
дополнительный эффект за счет увеличения периода дискретности системы в
пределах технологически требуемого быстродействия.
Все разнообразие микропроцессорных средств, применяемых в
электроприводе, можно разделить на три группы:
Универсальные средства - изделия стандартного ряда средств
промышленной автоматизации, архитектура, аппаратные и программные
решения которых не имеют непосредственной ориентации на задачи
управления электроприводом. К изделиям этого класса следует отнести
программируемые логические контроллеры (ПЛК), промышленные
компьютеры (ПК), программируемые промышленные контроллеры.
Проблемно-ориентированные средства - контроллеры управления
движением. Эти средства специализированы для управления определенными
типами электроприводов, но не имеют жесткой привязки к конкретной модели
исполнительного устройства. Контроллеры управления движением могут быть
интеллектуальными модулями в составе ПЛК, на котором реализован
технологический контроллер АСУ ТП, или представлять собой отдельный
модуль, который может быть интегрирован в промышленную информационную
сеть.
Специализированные средства - встраиваемые программируемые
контроллеры в составе силового регулируемого преобразователя
электропривода.
16
Анализ продукции ведущих мировых производителей систем привода и
материалов опубликованных научных исследований позволяет отметить
следующие ярко выраженные тенденции развития электропривода:
•	Неуклонно снижается доля систем привода с двигателями постоянного тока
и увеличивается доля систем привода с двигателями переменного тока. Это
связано с низкой надежностью механического коллектора и более высокой
стоимостью коллекторных двигателей постоянного тока по сравнению с
двигателями переменного тока.
•	Преимущественное применение в настоящее время имеют приводы с
короткозамкнутыми асинхронными двигателями. Большинство таких
приводов (около 80%) - нерегулируемые. В связи с существенным
усовершенствованием и удешевлением статических преобразователей
частоты доля частотно-регулируемых асинхронных электроприводов
быстро увеличивается.
•	Для большинства массовых применений приводов (насосы, вентиляторы,
конвейеры, компрессоры и т.д.) требуется относительно небольшой
диапазон регулирования скорости (до 1:10) и относительно низкое
быстродействие. При этом целесообразно использовать классические
структуры скалярного управления. Переход к широкодиапазонным (до
1:1000 и более) быстродействующим приводам станков, роботов,
транспортных средств и т.д. требует применения более сложных структур
векторного управления. Доля таких приводов составляет сейчас около 5 %
от общего числа и постоянно растет.
Большинство современных серийно выпускаемых полупроводниковых
преобразователей имеют типовую структуру силовых цепей, ставшую уже
классической как для электропривода постоянного тока, так и для частотно-
регулируемого асинхронного электропривода. В электроприводах постоянного
тока это либо трехфазная нулевая или мостовая схема на тиристорах с трех-,
шести- или двенадцатипульсной схемой выпрямления, либо структура,
состоящая из выпрямителя, фильтра звена постоянного тока и однофазного
мостового инвертора на полностью управляемых ключах с широтно-
импульсной модуляцией (так называемые ШИП) [4,60,72,74,81,109-111,114-
116]. В электроприводах переменного тока эта структура состоит из
неуправляемого или управляемого трехфазного мостового выпрямителя, звена
постоянного тока с LC-фильтром и трехфазного мостового инвертора
напряжения на полностью управляемых силовых ключах, в качестве которых в
большинстве случаев используются транзисторы IGBT
[4,12,72,80,84,85,103,127,128]. Наиболее широкий диапазон мощностей
покрывают преобразователи фирмы ABB, Allen-Bradley, Mitsubishi, Siemens,
Omron, Danfoss и др. Мелкие фирмы обычно специализируются на нескольких
типоразмерах в диапазоне до 750 кВт.
Прослеживаются два направления в разработке преобразователей
частоты: абсолютная унификация и объектная ориентация. К первой группе
относятся преобразователи, которые, как правило, содержат большое
17
количество функций, настраиваемых параметров, несколько способов
управления, большое число программируемых входов и выходов. Это делает их
универсальными устройствами, которые можно использовать в самых
различных технологических задачах. Их недостатком является высокая
стоимость, связанная зачастую с избыточным набором функций.
Преобразователи с объектной ориентацией - это, как правило,
преобразователи со скалярным управлением, ориентированные на применение
в установках, не предъявляющих высоких требований к точности и качеству
регулирования. К таким установкам в первую очередь относятся
электроприводы турбомеханизмов: насосов, вентиляторов, компрессоров. В
этой области могут использоваться сравнительно дешевые отечественные
преобразователи, обладающие меньшим количеством функций и
настраиваемых параметров. Объектно-ориентированные преобразователи
выпускаются и зарубежными производителями, но их стоимость обычно выше.
Это обеспечивает конкурентоспособность отечественных преобразователей на
внутреннем рынке, несмотря на их более низкие качество и надежность.
Анализ существующих МПСУ ЭП показывает, что они имеют три
наиболее характерных варианта построения при использовании в качестве
средства автоматизации.
Первый вариант - ’’закрытая” архитектура. Такие преобразователи имеют
набор аналоговых и цифровых входов/выходов с жестко заданным
функциональным назначением. Например, вход используется для обратной
связи по скорости, и нет возможности регулирования технологических
параметров. В результате пользователю приходится строить внешнюю схему,
причем часто с дополнительным контроллером.
Второй вариант - перепрограммируемая "полуоткрытая” архитектура. В
данном случае для конечного пользователя имеется возможность путем
перепрограммирования функционального назначения входов и выходов
кардинально изменить структуру и алгоритм функционирования системы
управления (в рамках заложенных в преобразователь возможностей).
Третий вариант - ’’открытая архитектура". Это наиболее «гибкий»
вариант. В этом случае преобразователи имеют некоторое количество свободно
программируемых входов/выходов, которые с помощью сменных
интерфейсных карт подключаются к внешним устройствам. Интерфейсные
модули заказываются на стадии адаптации преобразователя к задаче. Данный
вариант обеспечивает наибольшие возможности при наименьших расходах.
Современные системы управления электроприводами, построенные на
цифровых микроконтроллерах, позволяют эффективно управлять как
разомкнутыми электроприводами, предназначенными для общепромышленного
применения, так и замкнутыми электроприводами специального применения,
характеризующимися высокими точностью и быстродействием. Использование
цифровых средств позволяет радикально изменить подход к решению задачи
синтеза систем управления, дает возможность реализовать практически любые
законы управления, ранее считавшиеся слишком сложными для практического
18
применения, обеспечить новые потребительские свойства, такие как адаптацию
электропривода под новые или изменяющиеся условия применения,
самонастройку и оптимизацию параметров, углубленную диагностику,
контроль и удобное для пользователя управление. Прогресс в развитии
технических средств электропривода в последние 15-20 лет носил «взрывной»
характер. Практически ежегодно обновляется выпускаемая серийно продукция,
предлагаются новые электроприводы с улучшенными потребительскими
свойствами.
Для оценки современного состояния систем управления
электроприводами прежде всего следует рассмотреть объект и постановки
задач управления, которые характерны для рассматриваемого периода.
Объект управления, то есть неизменяемая часть системы электропривода
- двигатели постоянного и переменного тока, силовые преобразователи и
измерительные устройства - в последние годы не претерпел качественных
изменений, постепенно улучшались лишь их характеристики [29].
Наиболее часто применяется асинхронный электродвигатель с
короткозамкнутым ротором. В регулируемом приводе продолжают
использоваться серийные асинхронные двигатели, спроектированные для
условий прямого включения в общепромышленную сеть. Имеющиеся
модификации, как правило, ограничиваются конструктивными
усовершенствованиями серийного двигателя.
Основная масса промышленных силовых преобразователей для
регулируемого асинхронного электропривода строится по схеме трехфазный
выпрямитель - трехфазный автономный инвертор напряжения. Требования к
влиянию на питающую сеть постоянно ужесточаются. Для улучшения качества
энергопотребления, повышения коэффициента мощности, снижения
установленной мощности и стоимости преобразователя применяют
выпрямители на полностью управляемых ключах с системой стабилизации
напряжения звена постоянного тока, схемы с дополнительной индуктивностью
и коммутирующим ключом для высокочастотного импульсного регулирования
входного тока. В преобразователях используются современные силовые
приборы (MOSFET, IGBT, МСТ, GTO, IGCT, SGCT), имеющие весьма малые
динамические потери [ИЗ]. Характерным режимом их использования
становится режим высокочастотной широтно-импульсной модуляции (ШИМ) с
частотой коммутации до 20 кГц.
Перспективны непосредственные преобразователи частоты на полностью
управляемых силовых ключах (например, матричные преобразователи), при
этом исключаются дополнительные реактивные элементы в основной силовой
схеме (как индуктивности, так и конденсаторы). Матричный преобразователь
позволяет одновременно синтезировать требуемое для питания двигателя
выходное напряжение (ток) и обеспечивать желаемый характер
энергопотребления от питающей сети (вплоть до опережающего coscp). Кроме
того, в электроприводах с такими преобразователями легко реализуется режим
рекуперативного торможения. Аналогичными свойствами обладают и
19
преобразователи, построенные по классической схеме, но с использование^
активного выпрямителя на полностью управляемых ключах.
В качестве первичных измерителей используются серийнс
выпускающиеся датчики тока и напряжения, датчики положения на эффект
Холла, тахогенераторы, фотоимпульсные датчики перемещения и кодовые
датчики положения, электромагнитные резольверы, синусно-косинусньк
вращающиеся трансформаторы и индуктосины с цифровым съемом
информации [29]. Объем использования новых типов датчиков
(пьезоэлектрических, емкостных, ультразвуковых, лазерных и др.) весьма мал.
Одна из причин стабилизации в области разработок первичных измерителей
кроется в постепенном переходе к новым принципам получения информации об
объекте - к системам косвенного измерения. За счет их применения оказалось
возможным уменьшить количество датчиков (например, отказаться оз
применения датчика частоты вращения) и даже совсем исключить датчик!
механического движения (так называемые «бездатчиковые» системы).
Задачи управления заключаются чаще всего в обеспечении требуемой
частоты вращения (общепромышленный регулируемый электропривод), а
также в регулировании электромагнитного момента, мощности, ускорения,
положения ротора или технологического параметра, определяемого этими
переменными. Различают задачи стабилизации, слежения, позиционирования и
программного управления при условии обеспечения инвариантности
(робастности) и оптимального (в смысле выбранного критерия) управления.
Методы синтеза управления базируются на исходном предположении о
существовании достаточно обусловленной модели процессов в электроприводе.
Уравнения электропривода обычно представляют собой полученные из
физической картины процессов уравнения Кирхгоффа для электромагнитных
цепей двигателя и преобразователя и уравнения Ньютона для механических
цепей. Однако для многих технологических объектов, энергосиловой основой
которых является регулируемый электропривод, зачастую получение
динамических моделей затруднено ввиду сложности протекающих в них
физических процессов, а иногда и отсутствия адекватного понимания этих
процессов.
Специфика, вытекающая из выбора того или иного типа двигателя
заключается в управлении двумя подсистемами: системой переменных
механического движения и системой электромагнитных переменных - током
потокосцеплением и т.д. Обычно задача управления переменными последней
подсистемы не задается явно исходными требованиями к систем*
электропривода, а определяется из дополнительных требований: минимизаций
энергетических потерь, обеспечения необходимых ресурсов управления и т.Д
при условии решения основной задачи управления механическим движением
Управляющими воздействиями являются компоненты напряжений (токов).
Несмотря на преимущества векторного управления электроприводам*
переменного тока, продолжается использование более простых систем, 1
которых управление указанными двумя подсистемами заранее связано какой
20
либо зависимостью, например, U / f = const. Эти системы хорошо отработаны
и по всей видимости, будут использоваться и в дальнейшем в разомкнутых
системах электропривода с цифровым управлением.
Задача управления электроприводом является традиционной задачей
управления динамическим объектом. Для ее решения ранее использовалось
описание объекта в частотной области - логарифмические частотные
характеристики (ЛЧХ), позднее - передаточные функции, более современные
Формулируются в терминах переменных пространства состояний
электропривода. Особого внимания заслуживают полиномиальные методы,
занимающие промежуточное положение между двумя последними методами.
В зависимости от требований используются методы разомкнутого
регулирования, регулирования с помощью обратной связи или
комбинированные системы. При синтезе управления широко используется
декомпозиция исходной задачи по темпам управления - в многоконтурных
системах примером такой декомпозиции является принцип подчиненного
регулирования; возможна также декомпозиция на задачу получения
информации и на задачу регулирования. При наличии информации о состоянии
объекта задача синтеза решается с использованием методов модального,
оптимального управления, метода полиномиальных уравнений, скользящих
режимов, релейного регулирования и т.д. Широкому практическому
применению этих методов препятствует отсутствие отработанных инженерных
методик синтеза цифровых систем управления, гарантирующих
работоспособность, качество, точность и низкую чувствительность к
изменению параметров. Видимо, этим объясняется продолжающееся
использование пропорциональных и пропорционально-интегральных
регуляторов при апробированной поконтурной настройке этих регуляторов на
объекте.
Современные электроприводы, как правило, содержат встроенные
программные средства, обеспечивающие автоматическую адаптацию под
конкретные условия применения. В число этих средств входят программы
определения активных сопротивлений обмоток двигателя, индуктивностей,
электродвижущих сил, температуры, момента инерции и т.д. Эти величины
являются параметрами соответствующих уравнений электропривода. Общие
методы идентификации параметров динамического объекта в настоящее время
отсутствуют, что объясняется нелинейностью уравнений состояния и
параметров. Поэтому в части идентификации параметров господствует
эвристический подход, каждая новая разработка сопровождается «своим»,
фирменным алгоритмом, скрываемым от конкурентов. Возможно,
накапливаемый практический опыт поможет в будущем «нащупать»
перспективные методы решения этих задач [29].
Отметим, что в последнее время на первый план выходят вопросы
Улучшения потребительских свойств электропривода, создания удобства для
пользователя, автоматического приспособления к новым или изменяющимся
Условиям применения, углубленных контроля, диагностики, защиты,
21
унифицированного ввода-вывода данных и команд, группового управления
индикации - то есть определяющее значение приобретает обеспечение
сервисных функции. Постановка этих вопросов при использовании аналоговых
технических средств была нерациональна. Традиционные задачи - обеспечение
требуемых диапазона регулирования, точности, быстродействия и т.п. отошли
на второй план. Такая ситуация явно ненормальна и ее последствия налицо:
несмотря на повышение общего технико-экономического уровня
электропривода, вызванного существенным улучшением элементной базы,
уровень решения собственно задач регулирования в последнее время
практически не изменился [29].
Другие вопросы связаны со спецификой цифрового управления: учета
последовательного выполнения операций в управляющем процессоре и
связанного с этим запаздывания вычислений. При используемых в настоящее
время подходах процедура вычислений малоэффективна, т.к. она опирается на
тот или иной метод численного интегрирования (часто используется
модификация методов Эйлера или Рунге-Кутта), а требования к шагу
вычислений весьма жесткие, так как речь идет о вычислениях в реальном
масштабе времени. Прямой перенос методов, отработанных в аналоговых
системах управления, на цифровые системы малоэффективен. Очевидно, что
при этом требуемая вычислительная мощность существенно завышается.
Поэтому важным для цифровых систем является то, что алгоритмы
управления должны быть построены на основе полученной аналитически
(точной) дискретной (разностной) модели процессов в объекте управления. Это
позволяет увеличить временной интервал дискретизации процессов, вплоть до
значений, сопоставимых с требуемым временем реакции на действие
возмущений. Типовое значение требуемого времени реакции в электроприводе
в большинстве применений в десятки и сотни раз больше периода
дискретизации, необходимого для цифровой системы, реализованной по
соответствующей структуре аналогового привода.
Среди перспективных направлений, требующих проведения научно-
исследовательских работ, следует отметить декомпозицию темпов цифрового
управления, которая основывается на блочном подходе и раскрывает
«внутреннюю» структуру объекта [29]. Блочный синтез применим во всех
задачах управления: при оценивании и идентификации, фильтрации,
регулировании, синтезе инвариантных и оптимальных систем. Декомпозиция
темпов управления позволяет снизить требования к вычислительной мощности
управляющего контроллера, однако требует некоторого усложнения
программного обеспечения и разработки моделей таких систем, а также
соответствующих методов синтеза регуляторов. Заметим, что сложившаяся к
настоящему времени многопроцессорная архитектура управляющих
контроллеров электропривода способствует развитию такого подхода, т.к. в
составе контроллера обычно имеются как «быстрые» процессоры (например,
сигнальные) для управления высокодинамичными процессами, так и менее
производительные для управления «медленными» движениями.
22
Значительное внимание в последнее время уделяется и разработке так
иваемых робастных систем управления, сохраняющих свои свойства
г-гойчивость, качество, точность) при естественном изменении параметров
Аъекга в процессе функционирования, иногда в значительных пределах.
° Таким образом, имеются эффективные методы получения цифровых
ппедУР оценивания состояния и параметров электропривода, фильтрации и
гудирования. Эти подходы позволяют реализовать качественные системы
Цифрового управления электроприводом, причем при использовании
соответствующих методов не требуется использовать мощный управляющий
контроллер. Впрочем, вопрос не ограничивается лишь уменьшением объема и
скорости вычислений: принципиально важна возможность новых постановок и
пешений задач регулирования и идентификации, а также перспектива
разработки инженерных методик расчета и отладки цифровых систем
управления.
1.L2. Программируемые контроллеры для управления
технологическим процессом
Проблемы, решаемые при микропроцессорном управлении
технологическими процессами, во многом схожи с проблемами
электропривода. Основное отличие заключается в том, что это, как правило,
сравнительно медленные процессы, для управления которыми можно
использовать относительно большие периоды дискретизации. Кроме того,
технологические объекты отличаются большим разнообразием, в том числе
наличием ряда отрицательных, с точки зрения управления, свойств:
запаздывание (в некоторых случаях - значительное) в технологической
цепочке; изменение, иногда весьма широкое, параметров объекта в процессе
работы; существенная нелинейность процесса; широкий диапазон внешних
воздействий; сложное или неполное описание технологического процесса и т.д.
Это усложняет решение задач как анализа, так и синтеза таких систем и требует
использования достаточно сложных алгоритмов управления и
высокопроизводительной управляющей вычислительной техники.
Традиционно в качестве технологического контроллера АСУ ПТ
использовались программируемые логические контроллеры (ПЛК). На них
возлагались функции релейно-контактной автоматики, вычислителей и
регуляторов технологических контуров. Альтернативное решение -
управляющие микро-ЭВМ - существует давно, но высокая надежность в
сочетании с удобством программирования позволили ПЛК одержать верх в
конкурентной борьбе. Однако в настоящее время положение дел изменилось
коренным образом. Под функциональным определением ’’технологический
контроллер” скрывается целая гамма технических средств автоматизации,
среди которых наиболее ярко выделяются три группы изделий [95]:
Промышленный компьютер (IP - Industrial PC). В настоящее время - это
выполненная на элементной базе микропроцессоров для персональных
23
компьютеров, полностью программно и аппаратно совместимая
персональными компьютерами и обладающая характерным для персональны^
компьютеров набором устройств ввода/вывода (жесткие и гибкие магнитны^
диски или полупроводниковые FLASH диски, контроллеры для подключен^
дисплея, клавиатуры, контроллеры типовых интерфейсов) микропроцессору
система в промышленном конструктивном исполнении.
Промышленный (программируемый) контроллер (ПЛК) -
микропроцессорная система, вычислительная мощность которой практически
не отличается от промышленного компьютера, однако ПИК ориентирован в
основном на работу в качестве локального узла сбора и передачи данных j
распределенной сети в реальном масштабе времени или на локальное
управление объектом. Промышленные контроллеры оснащены аналоговыми й
дискретными адаптерами ввода/вывода подобно ПЛК. В последнее время пол
промышленным контроллером все чаще понимают программно совместимые с
IBM PC аппаратные платформы, хотя это и не обязательно.
Программируемый логический контроллер (ПЛК, PLC - Programmable
Logic Controller) - это микропроцессорная система специальной архитектуры.
ПЛК оснащен проблемно-ориентированным программным обеспечением для
реализации алгоритмов логического управления и замкнутых систем
автоматического управления в сфере промышленной автоматики. ПЛК
отличаются от специализированных встраиваемых микропроцессорных
контроллеров универсальностью структуры и инвариантностью по отношению
к объекту управления в пределах указанного класса задач. Программное
обеспечение ПЛК не является открытым. И в этом главное отличие ПЛК от
промышленных компьютеров и контроллеров.
С функциональной точки зрения изделия первых двух классов
объединяет важная особенность - открытое программное обеспечение. В эти
изделия может быть загружено любое программное обеспечение, работающее
под управлением операционной среды WINDOWS или специальных ОС
реального времени, программа управления может быть написана на языках
высокого уровня общего применения. Эта особенность является чрезвычайно
привлекательной. Программное же обеспечение ПЛК не является открытым. Я
в этом главное отличие ПЛК от промышленных компьютеров и контроллеров.
Управление технологическим процессом существенно отличается oi
обычной обработки данных на компьютере. Здесь обработка данных следует за
событиями в технологическом процессе. Цифровая система управления должна
достаточно быстро реагировать на внешние события и постоянно обрабатывать
поток входных данных, чаще всего не имея возможности изменить скорость $
поступления. Одновременно требуется выполнение и других, вспомогательный
функций, например обмен информацией с оператором, обработка, сохранение *
архивирование данных, их вывод на экран, адекватная реакция
определенные сигналы и т.д. Для такого режима работы вычислительны*
устройств, называемым режимом реального времени, применяют специальны*
методы программирования из-за особенностей, присущих этому режиму-
24
особенностям можно отнести и то, что система реального времени
ТаКИМжит не одну, а несколько программ, каждая из которых отвечает за
содение определенной задачи, причем связь между этими программами может
РеШ весьма сложной. Кроме того, порядок выполнения команд программы
6 льного времени не может быть определен заранее, поскольку он зависит от
Р -плих событий и может быть изменен прерываниями. Поэтому и время,
затрачиваемое на вычисления в каждом цикле работы, может существенно
меняться.
Цифровая техника используется как
должна постоянно проверять правильность
для управления
последовательностью операции, так и для управления с обратной связью. Во
многих системах эти методы используются совместно. Система управления
------	---- ------------ --------------~ функционирования
технологического объекта, обеспечивая комплекс защитных и диагностических
функций. В связи с этим особую важность имеет задача координации
отдельных специализированных задач, решаемых цифровой системой
управления. Организация обмена данными представляет собой важнейшую
задачу систем управления технологическими процессами. Под этим понимается
взаимодействие между вычислительной системой и технологическим
процессом, межпрограммный обмен данными как внутри локальной системы,
так и с системами различных уровней.
Конфигурация аппаратных средств конкретной системы зависит от
многих факторов, учитываемых при ее проектировании. Это количество и вид
входных и выходных сигналов технологического процесса, количество и тип
датчиков и исполнительных устройств, динамика процесса и его внутренние
связи, принятые алгоритмы управления, их иерархия и сложность. Поэтому
окончательное решение о применении тех или иных контроллеров и
соответствующих принципов и алгоритмов управления принимается после
тщательного и всестороннего анализа как самого технологического процесса и
требований к его функционированию, так и возможных принципов и методов
управления.
1.2. Обобщенные модели объектов при микропроцессорном
управлении
12. L Модели объектов при псевдонепрерывном управлении
Наиболее распространенными на сегодняшний день методами анализа и
синтеза цифровых систем управления являются методы, заимствованные из
хорошо известной и широко применяемой на практике теории управления
^прерывными системами [5-7,22,26,63-66,71,73,75,78,105]. Этот путь является
__ олее простым и оправданным в тех случаях, когда процессы в объекте
правления протекают сравнительно медленно, а возможности
25
микропроцессорной техники таковы, что период дискретности в цифровой
системе управления может быть выбран достаточно малым. В этом случае
особенности цифрового управления проявляются слабо и систему можно
считать непрерывной (назовем ее «псевдонепрерывной»). Заметим, что
электроприводы, да и многие технологические процессы, являются достаточно
динамичными объектами управления, поэтому реализация в них
псевдонепрерывного управления требует применения высокопроизводительной
(а, значит, более дорогой) вычислительной техники.
При таком подходе очень важно правильно определить период
дискретизации аналогового сигнала; в общем случае это нетривиальная задача.
Период дискретизации Т жижей быть достаточно малым, чтобы
соответствующий дискретный (цифровой) сигнал с приемлемой точностью
описывал изменения аналогового входа. Теоретически, в соответствии с
теоремой Найквиста-Котельникова [22,71,78,106,121] частота дискретизации
должна более чем в два раза превышать частоту наивысшей значимой
составляющей преобразуемого сигнала (частотные компоненты можно
определить с помощью Фурье-анализа исходного сигнала). Если период
дискретизации слишком велик, то есть частота дискретизации слишком мала,
то контроллер получит неверную картину исходного сигнала. В то же время
слишком малый период, т. е. высокая частота дискретизации, приводит к тому,
что управляющий контроллер выполняет неоправданно много вычислений.
Поскольку после выборки об исходном сигнале ничего не известно до
следующей выборки, период дискретизации должен быть настолько коротким,
чтобы исходный сигнал не успел значительно измениться. Другими словами,
частота дискретизации должна быть достаточной для последующего
восстановления аналогового сигнала из дискретного. Нижний предел частоты,
очевидно, связан с динамикой процесса, то есть насколько быстро измеренный
сигнал, а, следовательно, и первоначальная физическая величина изменяются
во времени. Ключевой задачей дискретизации является сбор достаточной
информации для последующей цифровой обработки сигнала, например для
генерации необходимых выходных сигналов в системе управления с обратной
связью.
Определение адекватного периода дискретности для процесса управления
представляет собой также непростую задачу. Слишком большой период
дискретности в системе может снизить эффективность управления, в
особенности способность системы компенсировать возмущения. Если период
дискретности превосходит время реакции процесса, возмущение может
повлиять на процесс и исчезнуть прежде, чем регулятор выработает
корректирующее воздействие. Поэтому при определении частоты выборки
важно учитывать как динамику процесса, так и характеристики возмущения.
С другой стороны, период дискретности не должен быть слишком малым,
так как это приведет к повышенной загрузке микропроцессорного устройства и
усилению влияния помех. Таким образом, определение рационального периода
26
кратности представляет собой компромисс между требованиями динамики
опесса и доступной производительностью контроллера.
ца период дискретности также влияет соотношение сигнал/шум. При
яЯЬ1Х значениях этого соотношения, то есть при больших шумах, следует
м бегать малого периода дискретности, потому что отклонения в измеренном
игнале скорее связаны с высокочастотным шумом, а не с реальными
изменениями в физическом процессе. Существенно улучшить работу системы в
словиях помех могут устройства дискретизации аналогового сигнала с его
среднением за период дискретизации (усредняющие датчики), однако они
вносят в измеренный сигнал запаздывание, равное примерно половине периода
усреднения.
Принято считать, что адекватная частота дискретизации связана с
полосой пропускания или временем переходного процесса замкнутой системы.
Некоторые эмпирические правила рекомендуют, чтобы частота дискретизации
была в 6-10 раз выше, чем полоса пропускания, или чтобы время переходного
процесса соответствовало, по крайней мере, пяти периодам дискретности [78].
Один из способов определить допустимый период дискретности
замкнутой системы - считать, что воздействие на аналоговую систему подается
через экстраполятор нулевого порядка. Такую цепь можно аппроксимировать
временной задержкой, равной половине периода дискретности, что
соответствует отставанию по фазе на 0,5T(dc радиан, где шс - ширина полосы
пропускания (по уровню 3 дБ). В случае, если допустимо дополнительное
отставание по фазе на 5-15° (0,09-0,26 рад), связанное с цепью задержки,
справедливо следующее утверждение [78]:
Г «(0,15 4-0,5)/шс.
Это правило обычно приводит к достаточно высокой частоте
дискретизации.
Объекты управления в данном случае представляются непрерывными
моделями, как правило, в виде передаточных функций. Это касается и таких
элементов электропривода, как статические полупроводниковые
преобразователи, которые, вообще говоря, являются дискретными
устройствами со сложной амплитудной, широтной и фазовой модуляцией
сигналов. Чаще всего полупроводниковые преобразователи представляют
непрерывным безынерционным или апериодическим звеном. Цифроаналоговые
и аналого-цифровые преобразователи, также обладающие дискретными
свойствами, представляют безынерционным звеном с соответствующим
коэФфициентом передачи. При необходимости учета запаздываний в самом
объекте, цифроаналоговых и аналого-цифровых преобразователях, а также
вычислительного запаздывания в цифровом управляющем устройстве, в
структуру модели вводят звено чистого запаздывания. В результате получают
непРерывную модель объекта, которую можно представить в общем виде:
27
(1.1)
tro(p)=
Y(p) e-^P(p)
Р*в(р) '
где U(p) и Y(p) - изображения по Лапласу соответственно управляющего
воздействия и регулируемой (выходной) координаты объекта; Р(р) и Q(p)
полиномы от оператора р степени пр и hq соответственно, не содержащие нулей
в точке р = 0; т - суммарное транспортное (или «чистое») запаздывание; i
количество интегрирующих звеньев в объекте регулирования. Для реальных
объектов, как правило, степень числителя меньше степени знаменателя
’ то есть передаточная функция (1.1) является правильной, т. к
< ° (см. прил. 3 и [16]). Заметим, что учет запаздывания в (1.1) уже не
позволяет представить модель объекта дробно-рациональной функцией; это
существенно усложняет как анализ, так и синтез регуляторов таких систем.
Поэтому в большинстве случаев полагают запаздывание т = 0 или
аппроксимируют его дробно-рациональной функцией, либо используют
известные методы компенсации влияния запаздывания, например предиктор
(упредитель) Смита [22,118,121,137], которые позволяют при синтезе
регулятора исключить запаздывание из (1.1).
Кроме управляющего воздействия, к объекту прилагаются одно или
несколько возмущающих воздействий, которые путем эквивалентных
преобразований можно привести к входу или выходу объекта. В последнем
случае модель объекта по каналу возмущения можно представить в следующем
виде:
W^p)^
Y(P)
F(P)
PfW
pifQf(.p)
(1-2)
где F(p) - изображение по Лапласу возмущающего воздействия; Pf{p) и
Qfkp} ~ полиномы от оператора р степени nPj и yiqj соответственно, не
содержащие нулей в точке р = 0; /у - количество интегрирующих звеньев
между точкой приложения возмущения и выходом объекта (0</у </)
Запаздывание по каналу возмущения обычно не учитывается, т.к. оно не входи!
в контур управления. Исключение составляют системы с компенсацией
возмущения, но они в данной работе не рассматриваются.
Окончательно модель объекта управления можно представить в виде,
изображенном на рис. 1.1.
Отдельного рассмотрения заслуживают высокодинамичные системы
электропривода с периодом дискретности Г«ГП, когда проявляются только
дискретные свойства преобразователя. В этом случае можно использован
дискретные модели преобразователей, полученные в [25,85,109], и изложенные
там же подходы к анализу и синтезу систем управления электроприводом.
28
Рис. 1.1. Непрерывная модель объекта управления
1.2.2. Модели объектов при дискретном управлении
Более корректными для решения задач анализа и синтеза цифровых
систем являются модели объектов, составленные с учетом дискретности как
элементов объекта, так и собственно цифровой системы управления. Для их
получения обычно используется аппарат ^-преобразования [5-8,16-19,21-
24^8,62,67,69-71,74-78,81,96,99,101,105,106,111,112,114-123 и др.] и его
модификации. При этом происходит некоторое усложнение моделей объектов,
часто теряется четкая однозначная связь коэффициентов дискретной
передаточной функции с физическими параметрами объекта, существенно
усложняется применение традиционных (например, частотных) методов
анализа и синтеза таких систем. Кроме того, многие из известных дискретных
методов при использовании их для проектирования цифровых систем не всегда
дают приемлемый результат. Например, спроектированный регулятор может
оказаться нереализуемым, в системе могут возникать скрытые или
субгармонические колебания, она может оказаться негрубой, чувствительной к
изменению параметров и т.д. Все это приводит к тому, что в проектной
практике все еще отдают предпочтение более простым методам расчета и
проектирования непрерывных систем (см. п. 1.2.1) в ущерб качеству и точности
регулирования, стоимости технических устройств управления. Таким
образом, несмотря на хорошую теоретическую базу, которую дает метод
^-преобразования, до сих пор отсутствуют четкие инженерные методики
проектирования цифровых регуляторов электропривода (и связанного с ним
технологического процесса) по дискретным моделям объектов, гарантирующие
работоспособность, качество и точность проектируемой системы.
Большое, если не решающее, значение здесь имеет методика создания
дискретных моделей, учитывающих наиболее важные особенности
Оъекта. Этот вопрос достаточно подробно будет рассмотрен в гл. 2, а здесь
приведем дискретную модель объекта управления в общем виде, подобную
^Рерывной модели (1.1), которая получается ее ^-преобразованием с учетом
КстРаполяторов и цифровых датчиков (ЦАП и АЦП):
29
(1-3)j
W0(z) =
K(z) P(z)
U{z) zm(z-l)'Q(z)’
где U(z) и Y(z) - дискретные изображения соответственно управляющего]
воздействия и регулируемой (выходной) координаты объекта; P(z) и Q(z)
полиномы от оператора z степени пр и «g соответственно, не содержащие нулей
в точках z = 1 и z = 0; т - относительная величина транспортного (или
«чистого») запаздывания, равная целой части отношения т/Т, т = 0,1,2,3,...; /
количество интегрирующих звеньев в объекте регулирования. Для реальных
объектов, как правило, степень числителя меньше степени знаменателя
Пр <riQ +i + m9 то есть передаточная функция (1.3) является правильной, т.к.
indfTo(z)<0 (см. прил. 3). Отметим, что одним из достоинств такой модели
является то, что (1.3), в отличие от (1.1), остается дробно-рациональной
функцией даже при наличии запаздывания, причем не обязательно кратного Т.
Построение дискретной модели возмущения усложняется двумя
обстоятельствами. Во-первых, само возмущение f(f), как правило, имеет
непрерывную природу, а для получения дискретной модели его необходимо
представить в виде решетчатой функции f(nT). Поэтому непрерывную
модель возмущения (1.2) дополняют экстраполятором нулевого, первого или
второго порядка в зависимости от характера возмущающего воздействия,
заменяя, таким образом, реальное возмущение его аппроксимацией методом
прямоугольников, трапеций или парабол. Поэтому при детерминированных
возмущающих воздействиях вида f(t) = atn (п = 0,1,2,...) всегда можно
подобрать соответствующий экстраполятор, обеспечивающий точное
воспроизведение сигнала f (t). Во-вторых, характер процесса по возмущению
зависит от момента приложения возмущения по отношению к моменту
коммутации цифровой системы. Наиболее сильно влияние возмущения
проявляется при его подаче в момент времени, непосредственно, следующий за
моментом коммутации. Поэтому в дальнейшем будем считать, что все
возмущающие воздействия подаются в цифровую систему сразу после момента
коммутации, то есть будет рассматриваться худший случай. Дискретную
модель объекта по каналу возмущения, полученную ^-преобразованием (1.2) с
учетом указанного экстраполятора и датчика выходной координаты,
представим в следующем виде:
Mz)=s—’	(1-4)
F<z> (z-V)lfQf(z)
где F(z) - дискретное изображение возмущающего воздействия; Pf(z) и (?/(*)
- полиномы от оператора z степени nPj и yiqj соответственно, не содержат^
нулей в точке z = 1; /у - количество интегрирующих звеньев между точкой
30
лия возмущения и выходом объекта (/у</). Окончательно
кретную модель объекта управления представим в виде, изображенном на
эис. 1-2.
Рис. 1.2. Дискретная модель объекта управления
1J. Современные методы синтеза микропроцессорных систем
управления
1.3.1. Синтез цифрового регулятора по непрерывному аналогу
Это одна из наиболее распространенных в практике проектирования
методик расчета цифровых регуляторов. Суть метода заключается в том, что
объект регулирования считается непрерывным и синтез регулятора проводится
по непрерывной модели объекта вида (1.1) методами, известными из теории
непрерывных систем. Полученный при этом непрерывный регулятор затем
аппроксимируется цифровым. Возможно несколько вариантов аппроксимации.
Наиболее простой способ основывается на представлении интегрального
закона регулирования с помощью метода прямоугольников:
1 Tz	z-1
р z-1 Р Tz
Очевидно, что чем меньше выбранное значение периода дискретности,
тем больше точность такой аппроксимации. Однако это требует использования
микропроцессоров с повышенным быстродействием, что приводит к
Удорожанию системы.
Пример 1.1. Рассмотрим непрерывный объект управления вида
(1-5)
Ял* КОТоРого непрерывный регулятор
31
у y p
с Ар -1/(к0Тж) обеспечивает апериодический процесс с желаемой постоянно)
времени Тж. Цифровой регулятор, полученный указанным выше способу
аппроксимации, имеет вид:
FK (z) = k -Т° ~-^z_А
(1.6а
Процессы в замкнутой системе при То = 0,1 с, к0 -1, Тж = 0,01 с
единичном ступенчатом управляющем воздействии и различных периода
дискретности Г представлены на рис. 1.3,а.
Хорошо видно, что с увеличением периода дискретности процесс j
системе все больше отличается от желаемого, а при Г = 0,02 с становию
неустойчивым.
Период дискретности может быть увеличен (или качество повышено) $
счёт использования более точных способов аппроксимации, например метод
трапеций:
1 Т z + 1	2 z-1
— -------или р =-------.
р 2 z-1 Т z + 1
Можно использовать еще более сложные методы аппроксимации [71], но эт
приводит к соответствующему усложнению алгоритма цифрового регулятора.
Продолжение примера 1.1. Цифровой регулятор для примера 1.1 ।
использованием метода трапеций примет вид:
(1.«
Z 1
а соответствующие процессы приведены на рис. 1.3,6. Видно, что процессы пр
Т = 0,02 с еще сохраняют устойчивость, но близки к границе устойчивости.
Таким образом, после проведения синтеза этим способом необходим*
выполнить проверку на устойчивость и качество цифровой системы, поскольку
в зависимости от периода дискретности качество регулирования в так#
системах заметно изменяется.
32
Рис. 1.3, Переходные процессы в системе с регуляторами (1.6а) и (1.66) при
различных периодах дискретности
Хотя анализ полученной таким образом системы производится с учетом
особенностей цифрового управления, некоторые недостатки решений,
ринятых на этапе синтеза, не могут быть устранены. К таким недостаткам (а
33
они определяются и методами синтеза непрерывного прототипа
можно отнести:
регулятору
а) завышение требовании к параметрам управляющей микро-ЭВкт
связанное с необходимостью обеспечения достаточно малых периодо
дискретности, при которых свойства цифровой системы эквивалентна
свойствам непрерывной;
б) неполное использование динамических возможностей силовой част^
электропривода в переходных процессах, так как более высока
помехозащищенность и гибкость цифровых систем позволяет использовать
более сложные и совершенные (с точки зрения улучшения динамически
свойств электропривода) законы управления;
в) возможность существенного ухудшения качества регулирования
вплоть до потери устойчивости;
г) сложность учета запаздывания, присущего цифровым системам
управления;
д) возможность получения в некоторых случаях физически
нереализуемого регулятора.
Очевидно, что такой подход к синтезу МПСУ электроприводом не всегда
позволяет обеспечить максимально возможное использование свойств силовой
части и достоинств микропроцессорного управления, однако данный метод
синтеза, благодаря своей простоте и использованию хорошо известных из
теории непрерывных систем методов, находит достаточно широкое
применение.
1.3.2. Синтез цифровых регуляторов методом частотных характеристик
При синтезе цифровых регуляторов этим методом используется
методика, аналогичная методике синтеза непрерывных регуляторов, но
аргументом частотных характеристик является псевдочастота 1. Переход к
псевдочастоте осуществляется путём двух последовательных замен:
1 + w	Т
Z------ И W= /А—.
1-w	J 2
Получив таким образом амплитудно-фазовую псевдочастотную
характеристику JF(jX), переходят далее к логарифмическим псевдочастотным
характеристикам L(JX) и <р(у1) [5,7,71 и др.].
Данная методика, учитывая дискретность объекта и системы
регулирования в целом, является, тем не менее, приближённой. Для получения
приемлемой точности расчетов период дискретности Т должен быть выбрав
достаточно малым, с тем, чтобы существенная область частот лежала лев^
частоты квантования 1/Т. Методика требует также проверки полученной
регулятора на физическую реализуемость, а замкнутой системы - 08
устойчивость, качество, "грубость” и отсутствие скрытых колебаний. Кро^с
34
использовании частотных методов существенные затруднения может
тог°»	желаемых частотных характеристик дискретной системы,
вызвать д0СТ0Инствам этой методики следует отнести принципиальную
ость учёта чистого запаздывания (однако, надо помнить, что многие
B°3^rrtUe методы разработаны для минимально-фазовых систем), ее
чаС^^сть и широкую известность в среде проектировщиков и наладчиков.
j 5 5 Синтез цифровых регуляторов прямыми аналитическими методами
решение основывается на использовании следующих соотношений (при
условии единичной отрицательной обратной связи):
T7Z / ч Фж(2) нч / х G3k(2)
Wn (z) = ж ; Фж (z) = —ж 7 ,
где Wo(z) - диофетная передаточная функция объекта регулирования; Фж(^),
G (z) - желаемые ДПФ разомкнутого и замкнутого контура регулирования
соответственно.
В этом случае учет дискретных свойств системы уже на этапе синтеза
позволяет получить законы регулирования, обеспечивающие заданное качество
даже при относительно больших периодах дискретности.
Вернемся к примеру 1.1, рассмотренному в п. 1.3.1. ДПФ объекта с
учетом экстраполятора нулевого порядка будет иметь вид:
w0(z)=,	(1.7)
z [р J	z — a
где d = ехр(-Г/То). Задавшись желаемой ДПФ замкнутого контура вида
Z —
где а0 = ехр(-Т / Тж), можно получить ДПФ регулятора
(1.8)
где = —	0 Процессы с таким регулятором, как видно из рис. 1.4,
“ d)
практически не меняются при изменении периода дискретности Т в тех же
“Редалах, что и на рис. 1.3, и остаются устойчивыми. При этом выходная
временная системы в моменты квантования точно соответствует желаемому
Одессу при любых Г
назыи^^^0 пРименение такой методики предполагает получение так
аемых «компенсационных» регуляторов (см., например, ДПФ (1.8)),
35
которые содержат нули и полюсы объекта регулирования, что в
случаях недопустимо.
некот°РЫ)
Рис. 1.4. Переходные процессы в системе с регулятором (1.8) при различных
периодах дискретности
Так, компенсация неустойчивых нулей и полюсов объекта нарушает ода
из условий работоспособности замкнутой системы - ее грубость [16,118]
Компенсация некоторых устойчивых нулей объекта вызывает скрыта
колебания координат, которые в большинстве случаев нежелательны, так ка
вызывают дополнительный расход электроэнергии и увеличиваю:
динамические нагрузки в силовой части электропривода.
В качестве примера на рис. 1.5 приведены графики частоты вращения i
тока якоря двигателя в цифровой системе регулирования скорое*#
электропривода постоянного тока с хорошо выраженными скрытым
колебаниями скорости, которые никак не проявляются в ее дискретны)
измеренных значениях шизм. При этом промежуточные координаты - то!
якоря i и напряжение и - имеют колебания на основной субгармонике.
Компенсация устойчивых полюсов объекта приводит к повышенно1
чувствительности замкнутой системы к изменению параметров объект
регулирования из-за появления дополнительных составляющих переходно#
процесса, то есть за счет увеличения порядка характеристического уравнен#
при изменении этих параметров.
В результате применения этой методики синтеза возможно таК9*
получение физически нереализуемого регулятора. Это связано с тем, что нР
36
такого алгоритма в разностном уравнении могут появляться
РеаЛ03\^ соответствующие ’’будущим” значениям сигнала ошибки.
слагаемы^,
Рис. 1.5. Скрытые колебания в контуре регулирования скорости при единичном
ступенчатом входном воздействии
Кроме того, этот подход не учитывает таких специфических свойств
цифровых систем, как, например, наличие чистого запаздывания, а значит, не
всегда гарантируется работоспособность и реализуемость полученных таким
способом алгоритмов [42,76,118].
Поэтому здесь, как и в предыдущем случае, процесс проектирования
может повторяться неоднократно, так как анализ полученных решений с более
полным учётом особенностей цифрового управления может дать негативные
результаты и потребует повторения процедуры синтеза. Это усложняет процесс
проектирования электроприводов с микропроцессорным управлением и не
асегда приводит к принятию оптимальных проектных решений, так как по
существу является вариантом метода проб.
Разумеется, все перечисленные методы синтеза имеют многочисленные
варианты, направленные на преодоление их отдельных недостатков, что
фиводит к существенному их усложнению, но приемлемой методики синтеза
основе этих подходов так и не получено.
СИвтЛМесте С тем в послеДние годы активно начала использоваться методика
Мате РегУлятоРов как непрерывных, так и цифровых, основанная на
58 бЬк?460*01* аппаРате полиномиальных уравнений [16-18,22,27,30-
^воля ’84’94’97,98’100’104’110Л 17~122>129,131-134,137-139],	которая
Уже на начальных этапах синтеза «запрограммировать» получение
37
работоспособных и физически реализуемых алгоритмов управленцу
Возможности этого метода еще до конца не изучены, многие исследователе
ограничиваются рассмотрением только некоторых, наиболее просты^
«минимальных» решений полиномиальных уравнений. Однако, как правило
имеется не один вариант составления полиномиальных уравнений, а каждое из
них, в свою очередь, имеет множество решений. Кроме минимальных, могу^
представлять интерес и общие, или неминимальные, решения таких уравнений
В частности, как будет показано ниже, на основе неминимального решения
могут быть получены системы с адаптивными свойствами, малочувствительные
к параметрическим и внешним возмущениям.
Не менее важной, чем задача синтеза, является задача анализа.
Современные методы анализа используют самые разнообразные подходы к
решению этой задачи, но с методологической точки зрения было бы
целесообразно использовать единый математический аппарат как для анализа,
так и для синтеза систем управления. Поэтому далее для анализа систем
управления будет преимущественно использован полиномиальный подход,
идея которого частично заимствована из [102].
1.4.	Выводы по главе 1
1.	Современные технические средства микропроцессорных систем
управления (как аппаратные, так и программные) позволяют строить
достаточно сложные высококачественные и надежные системы
управления как различными типами электроприводов, так и связанных с
ними технологических процессов. Однако следует признать, что
существующие методы синтеза алгоритмов управления зачастую отстают
как от уровня технических средств, так и от потребностей производства.
2.	Модели объектов управления в электроприводе, используемые для
синтеза регуляторов, строятся на основе хорошо изученных й имеющих
различную сложность моделей электрических машин и упрощенных
моделей полупроводниковых преобразователей, не учитывающих их
дискретности, сложных видов модуляции и нелинейности характеристик.
То есть в этих моделях не учитываются очень важные, в том числе
дискретные, свойства объекта управления, а также запаздывание,
являющееся неотъемлемым свойством всех цифровых систем
управления. Синтез регуляторов быстродействующих электроприводов
по таким моделям не может обеспечить максимального использования
возможностей силовой части электропривода.
3.	При разработке систем управления технологическими объектами
последние, как правило, достаточно хорошо описываются непрерывными
моделями. Однако присущее многим технологическим объектам
запаздывание, наличие неустойчивых нулей и полюсов в передаточной
функции делает эти объекты неминимально-фазовыми, что вызывав!
затруднения при использовании традиционных методов синтеза
38
^гуляторов. Кроме того, огромное разнообразие технологических
объектов, их сложность предполагают, что не всегда известна адекватная
модель такого процесса, могут быть неизвестны некоторые параметры
процесса или они изменяются в широких пределах. В такой ситуации
становится актуальной разработка методов синтеза систем в условиях
параметрической неопределенности, то —	—*------- --------
есть робастных систем
управления.
Наиболее распространенным в практике проектирования цифровых
систем методом является аппроксимация непрерывного регулятора
цифровым на основе методов прямоугольников или трапеций. Во многих
случаях это приводит к результатам, близким к соответствующим
непрерывным системам. Однако при относительно большом периоде
дискретности или высоких требованиях к быстродействию такой подход
не дает приемлемого решения. Естественным выходом в такой ситуации
является использование моделей, учитывающих дискретность как
объекта регулирования, так и цифровой системы управления, если период
дискретности последней равен или в целое число раз превышает период
дискретности преобразователя. Используемые при этом методы синтеза
должны учитывать особенности таких дискретных моделей и
обеспечивать работоспособность, требуемое качество и точность
отработки как задающих, так и возмущающих воздействий, приемлемую
чувствительность к вариациям параметров. То есть актуальной является
разработка таких методик синтеза регуляторов, которые бы обеспечивали
получение систем с заранее заданными свойствами.
5. Вместе с тем современная микропроцессорная техника имеет достаточно
высокое быстродействие, широко используются так называемые
сигнальные процессоры, которые позволяют выбрать период
дискретности, существенно меньший периода дискретности силового
преобразователя. Это позволяет использовать при анализе и синтезе
таких систем непрерывные методы, что несколько упрощает решение
этих задач. Далее в этой работе такие системы названы
«псевдонепрерывными».
6. Полиномиальный подход к синтезу регуляторов, как будет показано
далее, позволяет решить многие проблемы проектирования
работоспособных систем управления. Вместе с тем целесообразно и
решение задач анализа выполнить полиномиальными методами.
Учитывая некоторую общность и взаимное «проникновение» задач
анализа и синтеза, можно говорить о проблеме создания единой
полиномиальной теории цифровых систем управления, которой
собственно и посвящена эта книга.
39
Глава 2. МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОПРИВОДА
И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
ПРИ МИКРОПРОЦЕССОРНОМ УПРАВЛЕНИИ
2.1.	Дискретные модели элементов электропривода
2.1.1.	Основные допущения и положения
Синтез любой системы автоматического регулирования проводится ва
основе математической модели объекта регулирования, которая долж^
соответствовать ряду противоречивых требований. С одной стороны, модель
должна быть достаточно простой, чтобы процедура синтеза не бьи^
громоздкой, а полученные алгоритмы регулирования имели минимальную
сложность. С другой стороны, модель должна отражать все основные
особенности объекта регулирования, что позволяет обеспечить желаемые
показатели качества в спроектированной и технически реализованной системе
автоматизированного электропривода. Такая двойственность требований
приводит к тому, что зачастую процесс проектирования системы
электропривода приобретает итерационный характер: синтез - анализ -
коррекция модели - синтез и т.д. Поэтому проблема адекватности модели имеет
весьма серьезное значение.
Рассмотрим основные элементы систем управления электроприводами
постоянного и переменного тока и их математические модели.
При построении модели объекта регулирования обычно вводят ряд
допущений и положений, позволяющих корректно обосновать ее структуру.
Будем исходить из следующих соображений:
1.	Для исключения возможности возникновения биений на
комбинационных частотах процессы во всех импульсных элементах системы
согласованы. Импульсными свойствами обладают полупроводниковые силовые
преобразователи, датчики обратных связей, собственно микропроцессорное
управляющее устройство. Для этого используются различного вида устройства
синхронизации. Обычно ведущим элементом является силовой
преобразователь, а периоды дискретности датчиков и управляющего
устройства выбираются равными или в целое число раз большими периода
дискретности преобразователя. В качестве примера можно привести процесс
измерения тока в электроприводе с транзисторным силовым преобразователей
и широтно-импульсной модуляцией. На рис. 2.1 показано, как при неравны*в
некратных периодах дискретности преобразователя Тп и управляюШегС
устройства Т возникают существенные ошибки в измерении мгновений
значений переменной у, в частности, колебания измеренного значения Уизм
комбинационной частоте сок = |1 / Тп -1 / Т\.
2.	Поскольку объект регулирования в электроприводе является сложив
40
йным устройством, рассматриваются квазиустановившиеся режимы
леЛИНе элеК1рОпривода при бесконечно малых отклонениях от рабочей точки,
рабо^ по существу рассматривается линеаризованный известными методами
то есть разложением в ряд Тейлора или дополнительными техническими
(^йствами) объект регулирования.
Рис. 2.1. К природе возникновения биений на комбинационных частотах
3.	Периоды дискретности элементов электропривода в квазиустано-
вившихся режимах постоянны. Данное допущение связано с существенными
трудностями, возникающими при анализе и синтезе систем с переменным
периодом дискретности. На самом же деле период дискретности силового
преобразователя изменяется в динамических режимах от величин, близких к
нулю, до значений, близких к двум периодам дискретности. Поэтому для того,
чтобы сохранить период дискретности системы управления и измерительной
системы постоянным, синхронизация процессов в МПСУ осуществляется по
фиксированным точкам развертывающего напряжения преобразователя. Это
приводит к несинхронное™ моментов коммутации ключей силового
преобразователя и моментов съема информации с датчиков. В результате
формируется запаздывание между моментом выдачи управляющего
^Действия на преобразователь и его реакцией на это воздействие, которое
назвать системным. Возможны и другие варианты синхронизации в
'-У [74,111,115], но этот источник запаздывания полностью устранить, как
не удается. Вместе с тем, если производительность
^^процессорной системы такова, что период ее дискретности существенно
то в ПеРиода дискретности преобразователя (по крайней мере, на порядок),
есть Т«Тп, то этим запаздыванием можно пренебречь. Однако такой
ПОСТроения МПСУ ЭП в этой главе не рассматривается, и основное
е Уделено системам, в которых Т = Тп.
41
4.	В цифровой системе автоматического регулирования присутствуй
вычислительное запаздывание, необходимое для расчета алгоритме
управления, которое обычно изменяется в небольших пределах и в перв01
приближении принято постоянным и равным половине периода дискретное^
МПСУ, то есть 772. Таким образом, суммарное запаздывание в контур
управления, с учетом системного, может меняться либо оставаться неизменны*
в зависимости от типа силового преобразователя и используемого мето^
синхронизации импульсных элементов.
5.	Влияние дискретности сигналов по уровню не учитывается, посколь^
при современном уровне развития технических средств соответствующе
выбором разрядности микропроцессорного устройства, датчиков и алгоритмов
управления влияние этого фактора можно свести к минимуму.
В настоящее время наиболее распространенными силовым*
полупроводниковыми преобразователями для питания электропривода
являются классические тиристорные преобразователи и автономные инвертора
напряжения или тока на полностью управляемых ключах с питанием от звеы
постоянного тока, при этом, как правило, используется широтно-импульсная
модуляция (ШИМ) выходного напряжения инвертора. Рассмотри*
математические модели этих силовых преобразователей.
2.1.2.	Модель тиристорного преобразователя постоянного тока
Как показывает обзор литературы, при разработке аналоговых i
цифровых систем управления электроприводами используются самьк
разнообразные модели тиристорных преобразователей. Наиболее простые и
них представляют преобразователь либо апериодическим звеном с мало!
постоянной времени, либо безынерционным непрерывным элементом. Однак(
такой подход к описанию систем с микропроцессорным управлением не всегд)
правомерен (во всяком случае, при высоких требованиях к быстродействию}
так как сигналы обратных связей и управляющие воздействия в таких система)
квантованы во времени и преобразователь воспринимает сигналы управлени)
тоже в дискретные моменты времени. Поэтому все процессы в тиристорно)
электроприводе более естественно рассматривать в рамках теории импульсньп
систем.
Впервые импульсные свойства тиристорного преобразователя был)
показаны в работах В.П. Шипилло [125], импульсные математические модей*
преобразователя разработаны и исследованы в работах А.Д. Поздеева [25,109]
При использовании аналоговых или псевдоаналоговых систем управления этл
модели позволяют достаточно точно учесть специфические свойств
преобразователя и оценить предельные динамические свойства замкнут^
систем электропривода. В основе их построения лежит замена сложно^
амплитудно-широтно-фазовой модуляции, происходящей в преобразователе,
амплитудную, что оказывается возможным при рассмотрев
квазиустановившихся режимов работы преобразователя и бесконечно мал^
42
иениях управляющего воздействия (так называемые процессы “в малом”).
<гГКЛ°снове этих моделей могут быть получены модели преобразователя,
И8 «ине и для задач микропроцессорного управления [42,110]. При этом с
кой точностью и достаточно просто можно учесть следующие основные
преобразователя:
С а) дискретный характер управления преобразователем, связанный с тем,
сигнал управления воздействует на выходное напряжение преобразователя
*гг° к0 в дискретные моменты времени;
Т° б) наличие двух принципиально различных режимов работы
шоисторного преобразователя - режима непрерывного тока (РНТ) и режима
прерывистого тока (РПТ);
н в) нелинейность статических характеристик преобразователя.
Модели преобразователя получены на основе общепринятой обобщенной
схемы замещения [25], в которой тиристоры представляются идеальными
ключами, все активные и реактивные сопротивления со стороны первичной
обмотки питающего трансформатора приведены к цепям его вторичных
обмоток, противоЭДС двигателя не оказывает заметного влияния на процессы в
электроприводе либо она скомпенсирована известными способами и ее влияние
в дальнейшем не учитывается. Для определенности рассмотрим наиболее
распространенную трехфазную мостовую схему выпрямления с цифровой
системой импульсно-фазового управления (СИФУ) тиристорами, реализующей
принцип вертикального управления с линейным опорным напряжением. При
этом не вызывает принципиальных затруднений описание преобразователей с
другими схемами выпрямления и принципами работы СИФУ, в том числе для
электроприводов переменного тока.
Используем сначала систему относительных единиц [25], в которой за
базовую принята амплитуда линейного напряжения Еш. Тогда в
относительных единицах
ud ~Ud!Ejun>z ^лт',®-е-Еп1	,	(2.1)
где Ud,I,E^ - мгновенные значения соответственно выпрямленного
напряжения, тока якоря и ЭДС двигателя; о - относительное значение угловой
скорости вращения двигателя; 7^ - активное сопротивление якорной цепи.
Модели преобразователя “в малом”, полученные для квазистационарных
режимов при малых приращениях угла управления а, приведены на рис. 2.2.
десь ^ин = "7г’п^т sba и Кт = -mTn(sina-e)/(27t) - коэффициенты
передачи по напряжению моделирующих преобразователь импульсных
элементов соответственно в РНТ и РПТ; Кт =(m/7c)sm(7t/m) - коэффициент
периодичности; a - угол управления, отсчитываемый от точки естественной
ммУтации; ф = а + тс/2-7с/т - угол управления, отсчитываемый от начала
полуволны напряжения сети; т - пульсность схемы
спрямления; Тэ=£3/7?э - электромагнитная постоянная времени якорной
43
цепи; Xq - угол проводимости тиристора в РПТ; X = Х0ти/(2%) - относитель
длительность тока в РПТ; Р = ТП/ТЭ; Ди^ - приращение импульс
составляющей выходного напряжения преобразователя, соответствую^
приращению угла управления Да.
Рис. 2.2. Импульсные модели тиристорного преобразователя «в малом»
для РНТ (а) и РПТ (б)
При этом полагается, что якорная цепь двигателя описываете
передаточной функцией
W(P') = Д/ср(р)/ A«d„(p) = ₽/(Гпр+₽).
Коэффициенты передачи преобразователя по среднему за Т=\
значению тока могут быть найдены по выражениям:
^7'ср.Н = А*Ср I = ^ИН /
для РНТ и
^ср.п = 4p/A« = (sin<p-e>Zn(l-JX)/(27Tp)	(2J
для РПТ, где Д/ср - приращение среднего значения тока, соответствую^
приращению угла управления Да; d = ехр(-р).
Сравнение (2.2) и (2.3) показывает, что коэффициенты передачи 11
среднему току в РНТ и РПТ не совпадают, причем в РПТ коэффиии$
передачи нелинейно зависит от длительности протекания тока X и ЭД
двигателя е.
Для технической линеаризации характеристик преобразователя на еГ
входе включают нелинейное компенсирующее звено с таким коэффициент
усиления АГл(а,е), что коэффициент передачи преобразователя по средН^
44
я постоянным вне зависимости от режима его работы и равным
*7Ср Л/ср.н Лин'1 п •
реализация линеаризующего звена с характеристикой АГл(а,е) в
опессорном управляющем устройстве обычно не представляет
мйК₽°1^ги поэтому далее будем считать, что такая статическая линеаризация
сложно » коэффициент передачи преобразователя во всех режимах
^^Одлзко эта модель силовой части электропривода при прямом
процессорном управлении будет неполной, если не учесть чистого
МИК^гтывания, характерного для таких систем и зависящего от способа
зан^онизации микропроцессорного управляющего устройства с работой
синхрио ©го преобразователя. Рассмотрим диаграммы выпрямленных
пояжений трехфазного мостового тиристорного преобразователя,
Представленные на рис. 2.3. Для определенности будем считать, что
используется наиболее распространенный способ синхронизации, в котором за
точку отсчета принимаются моменты естественного отпирания тиристоров. В
эти моменты системой синхронизации вырабатываются синхроимпульсы,
которые вызывают прерывание фоновой программы и выполнение программы
обработки показаний датчиков и вычисления управляющего воздействия. Через
определенный промежуток времени 0 < tB < Тп, зависящий от быстродействия
микропроцессора и сложности алгоритмов, вычисления заканчиваются и на
цифровую СИФУ выдается код угла управления преобразователем. Очевидно,
что с этого момента до отпирания очередного тиристора проходит
определенное время, зависящее от величины угла управления.
Таким образом, от момента синхронизации (момента съема информации с
датчиков обратных связей) до момента отпирания тиристора проходит
некоторое время T = t/Tn, которое складывается из
запаздывания тв=гв^п и
управления до момента
рассматриваемого случая
вычислительного
времени от момента вычисления текущего угла
отпирания соответствующего тиристора. Для
т = Д{За/л + 1-тв}+тв,	(2.5)
где Д {-} - операция вычисления дробной части числа. Таким образом, чистое
запаздывание в микропроцессорной системе управления тиристорным
электроприводом определяется сложной зависимостью от угла управления а и
повелительного запаздывания тв, как это показано на рис. 2.4. Очевидно,
это усложняет модель объекта регулирования и соответствующую
Р^Цедуру синтеза. Чтобы учесть влияние запаздывания на этапе синтеза,
ительную величину вычислительного запаздывания принимают тв = 0,5, а
Чуднее значение чистого запаздывания т постоянным и равным 1.
45
б
Рис.2.3. Диаграммы выпрямленных напряжений в трехфазном мостовом ТП при прямом микропроцессорном управлении
и вычислительном запаздывании тв — О (а) и тв = 0,5 (б)
Рис 2 4. Диаграммы изменения относительной величины чистого запаздывания т в
зависимости от угла управления а при различных значениях вычислительного
запаздывания: а - тв = 0; б - тв = 0,5
В этом случае модели тиристорного преобразователя на рис. 2.2 должны
быть дополнены звеньями чистого запаздывания с передаточной функцией
ехрС-Гдр) = z"1, включенными перед импульсными элементами.
2.1.3.	Модель транзисторного преобразователя (однофазного инвертора
напряжения) с широтно-импульсной модуляцией
Наиболее простые, однофазные, транзисторные преобразователи
используют в быстродействующих электроприводах постоянного тока. Обычно
силовая схема реверсивного преобразователя представляет собой мостовую
схему, состоящую из четырех ключей [72,114,115]. Рассматривая вопрос о
способе формирования выходного напряжения инвертора, следует отметить,
что наиболее распространенным является широтно-импульсное регулирование
напряжения, что позволяет получить высокое быстродействие и качество
выходного напряжения преобразователя. Поскольку частота ШИМ может
достигать 15 - 20 кГц, то в данном случае целесообразно рассмотреть два
варианта модели преобразователя: без учета и с учетом дискретности силового
преобразователя. В первом случае, когда ТП «Т, силовой преобразователь
представляется безынерционным звеном с коэффициентом передачи . При
ЭТОм м°жет учитываться только вычислительное запаздывание тв, вносимое
МикРопроцессорным управляющим устройством.
Во втором случае, когда ТП соизмеримо с Т, целесообразно выбрать
Тогда, если рассматривать процессы в малом, можно получить
^*пульсный коэффициент передачи силового преобразователя по напряжению
47
Кя=Ьи(р)/Дму(р),	(2
где Ди(р) - приращение импульсной составляющей выходного напряжен
преобразователя, соответствующее приращению сигнала управления Д^у(р)
Для более точного описания процессов необходимо в модели сило^
части учесть импульсные свойства широтно-импульсного преобразовать
(ШИП). Как правило, при этом используются следующие допущения:
. коммутация вентилей происходит мгновенно;
. сопротивления вентилей в обоих состояниях не зависят от температуры;
•	нет ограничений по току и напряжению;
•	активные и индуктивные сопротивления постоянны.
Обычно используют два вида развертывающего сигнала: несимметрично
и симметричное пилообразное напряжение. Рассмотрим сначала процессы
преобразователе с несимметричным развертывающим напряжением.
Если рассматривать малые приращения входного сигнала Диу, то ест
квазистационарный режим работы ШИП, то можно перейти к приращения
выходного напряжения Ды, как это показано на рис. 2.5 (здесь F.
коммутационная функция; won - опорное пилообразное напряжение
Допущение о бесконечно малых приращениях напряжения управленн
позволяет перейти от широтно-импульсной модуляции к амплитуднс
импульсной [1,85] и не учитывать нелинейность объекта управления, то ест
считать его линеаризованным "в малом”. Это дает возможность представит
преобразователь безынерционным импульсным элементом с постоянны
коэффициентом передачи (2.6).
При микропроцессорном управлении электроприводом с транзисторны
преобразователем появляется необходимость синхронизации цифровог
управляющего устройства с работой преобразователя, являющегося тож
дискретным устройством. При отсутствии синхронизации управляющей ЭВМ
преобразователем, как было отмечено выше, возможны биения координг
привода на комбинационной частоте между частотой коммутации силовы
ключей и частотой замыкания цифрового контура регулирования. Поэтом?
электроприводы с микропроцессорным управлением имеют систем
синхронизации работы управляющей ЭВМ с частотой коммутап®
преобразователя. В моменты синхронизации системой управлени
формируются синхроимпульсы, которые вызывают прерывание фоново
программы и выполнение программы обработки показаний датчиков 1
вычисления управляющего воздействия. Через определенный промежут°
времени тв, зависящий от быстродействия ЭВМ и сложности алгоритме5
вычисления заканчиваются и на систему управления преобразователем часто!5
выдается управляющий сигнал.
Очевидно, что от момента синхронизации (момента съема информаций
датчиков обратных связей) до момента отпирания ключей проходит некоторс
время т, которое складывается из вычислительного запаздывания тв и врем^
48
Рис. 2.5. Процессы в ШИП с несимметричным развертывающим напряжением
при малом приращении сигнала управления
Рассмотрим взаимодействие управляющей микро-ЭВМ и транзисторного
пРе°бразователя в квазистационарных режимах, положив сначала тв = 0. Для
вернемся к рис. 2.5, где в общем виде показана зависимость напряжения
На нагрузке от величины рассчитанного сигнала управления. Здесь: му -
Рассчитанное напряжение управления, -1 uy < 1; иоп - опорное напряжение в
49
виде несимметричной пилы; ип - напряжение звена постоянного то^
Тр = /Тп - относительное время, отсчитываемое от момента синхронизац^
при котором происходит переключение ключей (соответствует рассчитанное
сигналу управления Uy).
Анализ рис. 2.5 показывает, что величина чистого запаздывания завиц
от величины сигнала управления иу и равна:
т = тр=(му+1)/2.
Перейдем теперь к реальному случаю, когда относительная величин
вычислительного запаздывания тв *0 и лежит в пределах 0 < тв < 1. Величи^
чистого запаздывания в этом случае будет зависеть от соотношен^
вычислительного запаздывания и времени тр.
При тв < тр
т = тр = (Му+1)/2,	(2.7)
как и в случае тв = 0.
При тв > тр
т = 1 + тр =1 + (иу +1)/2 .	(2.8
Зависимости величины чистого запаздывания от иу для различим
значений вычислительного запаздывания тв показаны на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Зависимость чистого запаздывания т от величины иу при различных
значениях вычислительного запаздывания тв
50
Таким образом, чистое запаздывание в микропроцессорной системе
управЛения электроприводом зависит от Тп, иу и вычислительного
запаздывания тв. Чтобы учесть влияние запаздывания на этапе синтеза
алгоритмов, введем в модель объекта регулирования звено чистого
запаздывания z , приняв, как это сделано выше для тиристорного
электропривода, т = 1. Заметим, что это соответствует среднему значению
запаздывания при тв=0,5. Однако анализ полученных алгоритмов
целесообразно производить с учетом точных зависимостей (2.7), (2.8).
Аналогично могут быть рассмотрены процессы в ’ транзисторном
преобразователе с симметричным развертывающим напряжением, показанные
на рис- 2-7. В отличие от предыдущего случая, здесь формируются два
импульса напряжения на каждом периоде дискретности преобразователя.
Поэтому импульсная модель преобразователя с симметричным
развертывающим напряжением усложняется и может быть представлена в виде
структурной схемы, приведенной на рис. 2.8. В ней сдвиг импульсов
относительно моментов синхронизации обеспечивается элементами задержки
на время	и = соответственно. При тв=0 относительная
величина задержки определяется формулами:
Ti=Tpl=W7n=(*y+l)/4;
т2='Ср2=^р2/^п=1~(«у+1)/4.
(2.9)
Когда относительная величина вычислительного запаздывания тв * 0 и
лежит в пределах 0<тв<1, величина чистого запаздывания для каждого
импульса напряжения будет зависеть от соотношения величины
вычислительного запаздывания и времен тр1 и тр2-		
Так, при тв < тр1	т1=хр1=(мУ+1)/4; Т2=тр2=1-(«у+1)/4,	(2.Ю)
как и в случае тв = 0.		
При тр1 < тв < Тр2:	Ti =i+xpi=i+(“y+1)/4; Т2=хр2=1-(«У +1)/4.	(2.П)
ПРитв>тр2:	Т1 =1+тр1 =1 + (иу +1)/4; т2=1 + Тр2 = 2-(«у +1)/4.	(2.12)
Зависимости величины чистого запаздывания от му для различных
51
значений вычислительного запаздывания показаны на рис. 2.9. Анализ рис *
показывает, что если, как и в предыдущих случаях, принять вычислитель^
запаздывание равным Тп/2 (то есть тв=0,5), суммарная средняя велич^
запаздывания двух импульсов во всем диапазоне изменения управляю^
воздействия будет равна Тп, то есть тср = 1.
Рис. 2.7. Процессы в ШИП с симметричным развертывающим напряжением
при малом приращении сигнала управления
52
Рис. 2.8. Модель «в малом» ШИП с симметричным пилообразным
развертывающим напряжением
Рис. 2.9. Зависимости запаздывания импульсов напряжения !Тп и т2 = *2
от величины Uy при различных значениях вычислительного запаздывания тв
2.1.4.	Модель трехфазного инвертора напряжения с ШИМ
Трехфазные инверторы напряжения широко применяются в
регулируемых электроприводах переменного тока, при этом могут
использоваться самые разнообразные силовые схемы и различные способы
ШиРОтно-импульсной модуляции. Рассмотрим модель одного из наиболее
Распространенных инверторов с классической мостовой схемой включения
Полностью управляемых ключей, так называемым базовым алгоритмом ШИМ и
симметричным или несимметричным пилообразным развертывающим
НапРяжением. Под базовым алгоритмом здесь понимается формирование
средних напряжений на выводах АИН в зоне мгновенных потенциалов
аагРУзки [72,127].
Базовый алгоритм ШИМ может быть реализован на основе
'РУБкциональной схемы [72], показанной на рис. 2.10.
53
Рис.2.10. Функциональная схема системы управления, формирующей выходное
напряжение каждой фазы АИН
В функциональной схеме использованы следующие обозначения: ц -
коэффициент глубины модуляции АИН; 0К - фаза вектора выходного
напряжения; Upm - амплитудное значение развертывающего напряжения.
Функциональные преобразователи (ФП) формируют напряжени
управления для каждой фазы:
ита = COS0K;
umb = НЦрт COs(®k “ 120 );	(2.13)
итс “ М'^р/и cos(0K — 240 ).
Нуль-орган (НО) и инвертор (И) формируют сигналы, которые подаютс*
на усилители мощности (УМ) транзисторов в каждой стойке АИН. Принято,
что амплитуда развертывающего напряжения Upm равна единице.
При разработке дискретной модели были приняты следуют^
допущения:
1. Рассматривается режим работы электропривода при бесконечно маль^
приращениях управляющих воздействий относительно рабочей точки,
есть рассматриваются процессы ”в малом”.
2. С учетом того, что частота ШИМ как минимум на порядок выше, че)|
частота напряжений на выходе АИН, изменением угла вектора напряжен^
можно пренебречь. То есть считается, что при бесконечно малЫ*
54
вменениях управляющих воздействии вектор выходного напряжения АИН
является неподвижным и изменяется только по амплитуде.
учитывается влияние ’’мертвого времени" и падения напряжения на
3' вдовых ключах.
Полагается, что период дискретности цифровой системы управления Т
равен периоду усреднения Тд датчика средних значений тока и равен
периоду дискретности преобразователя частоты Тп: Т = Тд = Тп.
рассмотрим модели преобразователя частоты с несимметричным и
я^метричным развертывающим напряжением, которым соответствует
односторонняя и двухсторонняя модуляция выходного напряжения инвертора.
Математическая модель преобразователя частоты с односторонней
модуляцией
Изменение несимметричного пилообразного развертывающего
напряжения во времени на интервале О^Г<ТП периода дискретности
преобразователя частоты описывается выражением:
(2t
wp=^pm ™	1 •	(214)
Для получения математической модели преобразователя частоты с ШИМ
рассмотрим временные диаграммы, представленные на рис. 2.11. Согласно
принятым допущениям частота модуляции АИН намного больше частоты
вращения выходного вектора напряжения АИН, поэтому можно считать, что на
нескольких соседних периодах дискретности значение угла вектора
напряжения остается постоянным, т.е. вектор напряжения неподвижен, а это
эквивалентно подаче постоянного напряжения на обмотку статора. Тогда
можно рассматривать АИН как объект управления при бесконечно малом
приращении коэффициента глубины модуляции ц.
На рис. 2.11 рассмотрено изменение коэффициента глубины модуляции ц
от 0,8 до 1 при заданном фиксированном угле вектора напряжения статора
^к = 45°. Тонкими линиями обозначено исходное состояние напряжений
Управления АИН umi, а жирными линиями показаны напряжения управления
umi после увеличения коэффициента глубины модуляции (/ = а,Ь,с).
На рис. 2.11 использованы следующие обозначения:
usb> usc ~ фазные напряжения на выходе АИН;
- проекции выходного вектора напряжения в
^подвижной системе координат и их приращения;
ип - выходное напряжение источника постоянного напряжения (как
11110 ~~ неуправляемого трехфазного мостового выпрямителя).
Цифрами 0, 1 и 2 обозначены номера состояния инвертора напряжения.
в°е состояние (значение 0) соответствует включенным транзисторам с
55
номерами 2,4,6 или 1,3,5 (при формировании средних напряжений на вывод
используются оба нулевых состояния), состояние 1 соответствует включение
транзисторам 6,1,2, состояние 2 соответствует включенным транзисторам 1,2 ]
Рис. 2.11. Временные диаграммы напряжений на выходе ДИН при малом приращен#
коэффициента глубины модуляции для односторонней ШИМ
Приравнивая выражения (2.13) к (2.14) при заданных глубине модуля^#
ц и угле вектора напряжения статора 0К, можно найти времена нач^
импульсов приращения выходного напряжения инвертора Aus:
56
4=^[g'cos(eK-240o) + l];
<2=y[HCOS(0K-12O°) + l];;
'3=y[McoseK+i],
(2.15)
e	Др “ приращение коэффициента глубины модуляции
rfLHoMHoro инвертора напряжения.
33 Как видно из выражений (2.15), начальное время импульсов может
меняться в пределах Ц е [0;Тп] в зависимости от глубины модуляции ц и угла
вектора напряжения статора 0К. Изменение угла 0К от 0 до 360° можно разбить
на шесть секторов, в пределах которых знаки в выражениях (2.15) остаются
неизменными. Обозначения секторов приведены на рис. 2.12. Кроме того, в
зависимости от сектора, в котором находится вектор напряжения статора,
импульсы могут меняться местами.
Аналогично (2.15) определяется время окончания импульсов приращения
выходного напряжения инвертора Д«5:
rj=^[gcos(9K-240°) + l];
f2=y[H'cos(0K-12O°) + l];
т
t3=ylH'cos0K+l].
(2.16)
2.12. Обозначение секторов для вектора выходного напряжения инвертора
Ширина импульсов приращения выходного напряжения инвертора
в~Ределяется из выражений (2.15), (2.16) как разность конечного и начального
Мени для каждого импульса:
57
= t f. rnAucos(eK-240°).
11	2
TnAp.cos(0K-120°)
= r2 - h =------2--------’	(2-17)
.	, Т’пДцСОБ0к
Д/з=^^Гз=_п_Н_-----к
Как видно из рис. 2.11, приращение амплитуды вектора выходное
напряжения инвертора состоит из трех импульсов, амплитуды которых рав^
между собой и определяются по выражению:
A«s =	+	= |«п •	(2.Ц
Таким образом, малому приращению коэффициента глубины модуляции
Др соответствует формирование трех импульсов приращения выходного
напряжения инвертора Дм5, имеющих одинаковую амплитуду и различную
ширину. Это означает, что преобразователь частоты в «малом» представляет
собой импульсный элемент с широтно-импульсной модуляцией и частотой
импульсов, втрое превышающей частоту опорного напряжения.
Вольт-секундные площади импульсов выходного напряжения
определяются по выражениям:
2 и Т
ASi =1^ = Дцсоз(0к - 240°);
2	и Т
^2 =	Agcos(0K -120°);	(2.19)
2	и Т
Д53=-ипДГ3=-1ЬПДцсо80к.
Исходя из равенства вольт-секундных площадей, можно перейти от
широтно-импульсной к амплитудно-импульсной модуляции [1,25,84,108]. При
этом коэффициенты передачи по напряжению для каждого импульса имеют
вид:
^1=yL = -^cos(0k-24O°);
Кк2=^= 120°); (2-201
Д?з ипТ„ .
r"J=^'=-T'“s6«
Знаки коэффициентов усиления по напряжению меняются в зависимо^
от номера сектора, в котором находится вектор выходного напряжен^
58
^птора, й приведены в табл. 2.1. Значение 0К=45°, рассмотренное в
еое на рис. 2.11, соответствует второму сектору на рис. 2.12.
^^Вычислительное запаздывание, которое присуще всем цифровым
мам управления, как и в предыдущих случаях, принимается равным
с0СТеиНе периода дискретности преобразователя. Связано это с тем, что, во-
п°л х в реальных системах управления вычислительное запаздывание весьма
пвРВко к этой величине; во-вторых, такое допущение позволяет существенно
остить математическое описание процессов в инверторе напряжения.
рис. 2.11 видно, что первый импульс в четных секторах
И0°±120°и£0к £90°±120°и, где и=1,2,...) при любых 0К и ц будет
еализован в интервале е [0; Тп /2], а второй и третий импульсы при любых
О и р будут реализованы на интервале f2,f3 е [Тп /2; Тп]. Однако в нечетных
секторах (-30° ±120°и<0К ^30° ±120°п, где п = 1,2,...) при любых 0К и ц на
первом полупериоде реализуются два импульса и один импульс - на втором
полупериоде:	еР»Ti/2],	е[Тп/2;Гп].
Таблица 2.1
Знаки коэффициентов усиления в зависимости от сектора
Знак	Номер сектора вектора напряжения					
	1	2	3	4	5	6
*И1	-	-	—	+	+	+
^и2	-	+		+	-	-
*иЗ	+	+	—	—	-	+
Таким образом, если принять во внимание вычислительное запаздывание,
равное Тп / 2, то импульсы, которые должны реализоваться на первой половине
периода дискретности преобразователя, перейдут на следующий такт. Поэтому
оросительная величина запаздывания импульсов будет равна:
*1 = 1 + Г1/7’п; т2=?2/Тп; т3 =^/Тп-для четных секторов; (221)
Т1 = 1 + ^/Тп; т2 =l + *2/Ti> т3 s*3^n - для нечетных секторов.
Окончательно импульсная модель трехфазного инвертора напряжения
Ф малых приращениях сигнала управления может быть представлена
^Уктурной схемой, изображенной на рис. 2.13.
59
w , =[7™ —
pi р/Л гг,
Vn
Рис. 2.13. Импульсная модель «в малом» трехфазного инвертора напряжения
с несимметричным пилообразным развертывающим напряжением
Математическая модель преобразователя частоты с двухсторонней
симметричной модуляцией
Изменение симметричного пилообразного развертывающего напряжен^
во времени на интервале 0 £ t < Тп может быть описано на двух полупериода)
следующими выражениями:
при? е[0;Тп/2];
4Г 1	(2'22)
-- + 3 щ>иГб[Гп/2;Гп].
На рис. 2.14 рассмотрено изменение коэффициента глубины модуляци
ц от 0,8 до 1 при заданном фиксированном угле вектора напряжения статор;
0К=45°, аналогичное представленному на рис. 2.11, но с двухсторонне;
симметричной модуляцией.
Как видно из рис. 2.14, на каждом периоде дискретности преобразовател;
формируется шесть импульсов, причем первые три импульса располагаются ш
первом полупериоде ?,• е[0;Тп/2], (i = 1,2,3), в то время как импульсы с
четвертого по шестой - в интервале ?/ е[Тп/2;Гп], (/ = 4,5,6) вне зависимой
от глубины модуляции ц и угла вектора напряжения статора 0К.
Приравнивая выражения (2.13) к выражению (2.22) для развертывают#1
напряжения, получим время начала каждого импульса:
Т	Т
?{ = у [Ц'cos(6K - 240°) +1]; t2 = -J-[pcos(0K -120°) +1];
t3 = ^4jicoseK +1]; t4 =^[3-ji'cos0k];	(2^
T	T
tf5 = у[3 - p'cos(0K -120°)]; t6 = -J43 - pcos(0K - 240°].
Конечное время импульсов выходного напряжения инвертора:
60
t = 5l[pcos(0k - 240°) +1];	= 3>'cos(9K -120°) +1];
1	4	4
t'3 =^L[g'cos0K +1]; t4 = y[3-gcos0K];	(2.24)
ts = ^[3 - gcos(0K -120°)]; % = %3 - n'cos(0K - 240°)].
4	4
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно найти импульсные
коэффициенты передачи по напряжению для каждого из шести импульсов:
Рй 9
с* 2-14. Временные диаграммы напряжений на выходе АИН при приращении
эФфициента глубины модуляции для двухсторонней симметричной ШИМ
61
^И1 = -^cos(0K - 240°); ^и2 = ^COS(0K -120°); ,
О	о
^иЗ=^-СО80К; ^и4=^СО80к;	(2.2j
^И5 = ^cos(0K -120°); £и6 = -^-cos(0K - 240°).
О	о
При вычислительном запаздывании, равном половине период
дискретности преобразователя, из рис 2.14 и выражений (2.23), (2.24) видц0
что первые три импульса при любых 0К и ц реализуются на интерв^
tj е [Тп; ЗТп /2], i = 1,2,3, а импульсы с четвертого по шестой при любых 0К а
будут реализованы на интервале Ц е |ТП /2;ТП],/ = 4,5,6.
Поэтому относительное запаздывание импульсов будет равно:
т1=1+г1/т^; т2=1+*2/7п; тз =1+гз/2Гп;	(1
т4=^4^П’ т5=^5^п? Т6=Г6/ТП.
Таким образом, можно составить структурную схему импульсной модели
объекта регулирования для базового алгоритма ШИМ с двухсторонней
симметричной модуляцией, изображенную на рис. 2.15.
Рис. 2.15. Импульсная модель «в малом» трехфазного инвертора напряжения
с симметричным пилообразным развертывающим напряжением
Анализ процессов в инверторах напряжения с различными силовЫ^
схемами и различными алгоритмами ШИМ, в том числе в инвертора*
активными выпрямителями и матричных инверторах, показывает, что в обШе
случае приращение выходного напряжения инвертора (при рассмотрев
62
ссов «в малом») может быть представлено последовательностью к
^Лдьсов, сдвинутых относительно начала такта на время 0<т7^2,
поэтому практически все типы полупроводниковых
/=г боазователей могут быть представлены обобщенной моделью,
1^о2^сенной на рис. 2.16. Количество параллельных ветвей к в схеме модели,
100 лесные коэффициенты передачи по напряжению и относительные
лздывания импульсов т7 зависят от конкретной схемы преобразователя и
быть найдены при детальном анализе диаграмм входных и выходных
ряжений преобразователя.
Рис. 2.16. Обобщенная импульсная модель инвертора напряжения
2.1.5. Модели датчиков обратных связей
Датчики, используемые в микропроцессорных системах электропривода,
по принципу обработки информации можно подразделить на два типа: датчики
мгновенных значений и усредняющие датчики.
Модель датчика мгновенных значений измеряемой координаты
представляет собой импульсный элемент, а его структурная схема при
коэффициенте передачи, равном единице, изображена на рис. 2.17,а. Здесь ХО -
измеряемая координата, у(пТд) - дискретные значения измеряемой
координаты, Тд - период дискретности измерений.
Модель датчика средних значений измеряемой координаты может
йЫть представлена последовательным соединением непрерывного
ЙНтегратора, импульсного элемента и дискретного дифференциатора, а
сфуктурная схема такого датчика с единичным коэффициентом передачи
пТД
аз°бражена на рис. 2.17,6. Здесь уср(л^д)= fXO<* - средние за период
Дас	(л”1)Гд
кратности импульсного элемента значения измеряемой координаты Х0-
Оделью Датчика мгновенных значений можно представить аналого-
преобразователи (АЦП) мгновенного действия,
Усрет/ Поло*ения. К датчикам средних значений можно отнести
^^пощие АЦП и импульсные датчики скорости, т.к. принцип действия
кодовые
63
последних основан на подсчете количества импульсов датчика за пер^
измерения.	’
Тд


а
б
Рис.2.17. Структурные схемы датчиков мгновенных (а) и средних (б) значений;
амплитудная частотная характеристика датчика средних значений (в)
Датчики средних значений обладают большей помехозащищенностью
сравнению с датчиками мгновенных значений, но вносят в коШ)1
регулирования дополнительное запаздывание, которое считается в сред#-
равным половине периода измерения Тд. Как видно из частот^
характеристик датчика средних значений на рис. 2.17,в, он полност^
подавляет помехи с частотой, равной 2пп/Тд, п = 1,2,..., и существенно сни#ае
уровень помех с частотой, превышающей величину л/Тд. Поэтому в слУ^'
когда сигнал обратной связи содержит помеху с доминирующей частотой
64
ПЙ например, частоте коммутации преобразователя), целесообразно
ать f = 2л/ ©у или в целое число раз больше.
0 Выбор величины Тд зависит, с одной стороны, от требований,
^являемых к быстродействию и точности электропривода, с другой - от
ияи спектра помех в измеряемой координате. Чем выше требования к
^^лоодействию и точности, тем меньше должна быть эта величина. С другой
^роны, при высоком уровне помех целесообразно увеличение Тд и
ользование усредняющего датчика. Но с целью получения достаточно
простой дискретной модели объекта рекомендуется выбирать Тд равным или в
целое число раз большим периода дискретности преобразователя Тп, но не
превышающим периода дискретности регулятора Т. В свою очередь, период
дискретности регулятора должен в целое число раз превышать период
дийфегности датчика. Наиболее простая модель получается при Тд = 7’п = 7’.
соотношение, преимущественно, и будет использовано в дальнейшем.
22. Принципы построения дискретной модели многоконтурной
системы подчиненного регулирования
Как в электроприводе, \так и во многих системах управления
технологическими объектами широко используется принцип подчиненного
регулирования, когда контуры регулирования отдельных переменных
«вложены» один в другой и процессы внутреннего контура подчинены
процессам во внешнем контуре. Построение модели такой системы рассмотрим
на примере цифровой двухконтурной системы подчиненного регулирования,
представленной на рис. 2.18, а.
Здесь непрерывная часть объекта представлена как последовательное
соединение двух звеньев: Woi(p) и WO2(p), как это обычно и делается в
системах подчиненного регулирования. Выходные сигналы этих звеньев
измеряются усредняющими датчиками, регулятор внутреннего контура PKpl(z)
полагается известным. Объект регулирования внешнего контура представляет
собой сложное соединение непрерывных и дискретных звеньев. Для
корректного вычисления ДПФ объекта внешнего контура выполним
эквивалентные преобразования, представленные на рис. 2.18,6, в.
Очевидно, что ДПФ объекта регулирования внутреннего контура
7 Tz [ р J ’
а ДПф замкнутого внутреннего контура
^pl(^)	H'plW
Сл (z) =--------------=----------------7-------Г- .
l + Wpl(z)JP01(z) 1 !
65
Тогда ДПФ объекта регулирования внешнего контура может
найдена из рис. 2.18,в следующим образом:
бц

где FKH(z) = L-lzi^PWoltP)
Tz [ р
Регулятор
внутреннего
К0Н1УРа	Объект
Датчик средних	а
значений
Рис. 2.18. Модель объекта в двухконтурной системе регулирования
2.3.	Дискретная модель объекта регулирования с несколькими
периодами дискретности
При построении цифровых систем управления объектами, содержал^
такие дискретные элементы, как полупроводниковые преобразователи, пер^
дискретности последних может отличаться от периода дискретно^
66
уторов- Обычно это имеет место в тех случаях, когда требуемое
^^^действие замкнутой системы невысокое и период дискретности системы
^^^ования, равный периоду дискретности преобразователя, является
^лточным с точки зрения обеспечения требуемых качества и точности
^пирования. В этих случаях период дискретности системы регулирования
Айоают в целое число раз большим периода дискретности преобразователя
В то есть равным ЛГГП, где М = 1,2,3,... Такое решение позволяет
Химизировать требования к используемой микропроцессорной технике при
М1^^ении технических характеристик системы в целом. На рис. 2.19
°° пставлены модели таких объектов при использовании различных видов
йков обратных связей.
Д Методика расчета ДПФ W0(Mz) такого объекта, представляющего собой
огбкратную восходящую импульсную систему, известна [121] и основана на
поедставлении импульсного элемента с периодом дискретности Г,
включенными параллельно М импульсными элементами с периодом
дискретности МТ, как это показано на рис. 2.20. На этом рисунке принято
другое обозначение импульсного элемента с тем, чтобы показать
несинфазность работы отдельных импульсных элементов.
б
в
ХИС‘ %Структурные схемы объектов регулирования с кратными периодами
кретности и датчиком мгновенных значений (а), датчиком средних за Г (б) и МТ
(в) значений выходной величины
67
Такое преобразование позволяет рассматривать многократную
восходящую импульсную систему как М включенных параллельно импульснц
систем с запаздыванием тТ (т = 0Д,2,...,АГ), но с одним период
дискретности МТ, и перейти к эквивалентной синхронной импульсной системе
Предложенная в [121] методика вычисления ДПФ восходящ^
импульсной системы основана на использовании смещенного z-преобразован^
объекта регулирования Wo (zM, е):
г=1 к М )
Однако расчеты по этой формуле представляются слишком громоздкими,
особенно при больших значениях М, поэтому можно воспользоваться
следующей методикой.
1. Представить W0(z) в виде суммы элементарных слагаемых
W0(z)= £ WoJ(z).
мт
б
Рис. 2.20. Преобразование многократной восходящей импульсной систем^
68
2 По табл. 2.2 в зависимости от значения т для каждого элементарного
слагаемого найти его ДПФ
Вычислить ДПФ объекта регулирования как сумму:
J=1
Таблица 2.2
Дискретные передаточные функции многократных восходящих
импульсных систем
	Wj(^)	
	М <т<Л	1£т<М
z~m	1	z~M
а 1	н | (	А	Л^+fo	\ , 1-а1-т Л = , 1-а а1-т _ аЛ/ Л‘ 1-«	fl^+fo
		ат _ аи(1-а) ’ °" аи(1-а)
1 J	Дг^+Уо /1=1-»»; /0=Л/ + /я-1	/l^+/o ?'(?и-1)’ /1 =М-/я + 1; /о=»»-1
-~ти z (г-1)2	72*2Д/+/1?/+/о (z^-l)2 f2 =т(т-Т)12; fx = M(M +1) / 2 - m(M + т -1); /0=(Л/ + т-1)(Л/ + от)/2	-I)2	’ /2= (Л/ -от + 1)(М -от)/2; /1=Л/(М-1)/2+/я(М-от+1); /0=т(от-1)/2
Аналогичная задача возникает в многоконтурных системах подчиненного
Регулирования, где, как известно, быстродействие каждого последующего
ешнего контура обычно меньше, чем внутреннего. В этом случае оказывается
^несообразным увеличение периода дискретности внешнего контура по
от^?еНИю с внУгренним в целое число раз. Это позволяет также
итимизировать требования к техническим характеристикам
69
микропроцессорных средств управления при сохранении требований к качест^
и точности регулирования. Методика расчета ДПФ объекта внешнего контур
при этом аналогична рассмотренной.
Методика может быть также полезна и для изучения поведения цифровц
систем между моментами квантования методом дробного квантования [23,67]
когда в систему вводится фиктивный импульсный элемент с периодом, в цел^
число раз меньшим основного периода дискретности.
2.4.	Дискретные модели объекта регулирования в электроприводе
Полученные выше импульсные модели элементов электропривода можно
использовать для построения дискретных моделей объектов регулирования
Рассмотрим сначала несколько примеров расчета таких дискретных моделей
объектов в самых внутренних контурах регулирования тока якоря
электропривода постоянного тока и токов статора электропривода переменного
тока.
2.4.1.	Тиристорный электропривод постоянного тока
Модель объекта регулирования по цепи якоря включает в себя модели
двигателя (с учетом инерционности сочлененной с ним рабочей машины и, при
необходимости, упругодиссипативных связей и других особенностей
механизма и технологического процесса) и тиристорного преобразователя (ТП),
питающего якорную цепь.
Как уже отмечалось, при разработке аналоговых и цифровых систем
управления электроприводами используются самые разнообразные модели ТП.
Наиболее простые из них представляют ТП либо апериодическим звеном с
малой постоянной времени, либо безынерционным непрерывным элементом.
Такой подход к описанию систем с цифровым управлением при высоких
требованиях к быстродействию неправомерен, так как сигналы обратных связей
и управляющие воздействия квантованы во времени и ТП воспринимает сигнал
управления тоже в дискретные моменты времени. Как правило, к
быстродействию контура тока якоря предъявляются высокие требования, даже
при не очень высоких требованиях к быстродействию внешних контуров
Поэтому все процессы в тиристорном электроприводе более естественно
рассматривать в рамках теории импульсных систем. Импульсные модели ТП
получены в работах А.Д. Поздеева [25,109] и при исследовании аналоговых или
псевдоаналоговых систем управления позволяют учесть специфические
свойства преобразователя. На основе этих моделей разработаны модели
ТП, пригодные для решения задач синтеза микропроцессорных систем
управления (см. п. 2.1.2). Они позволяют с высокой точностью и достаточно
просто учесть следующие основные свойства ТП: а) дискретный характер
управления ТП, связанный с тем, что сигнал управления воздействует &
выходное напряжение преобразователя только в дискретные моменты времен11’
б) наличие двух принципиально различных режимов работы ТП - режйМа
70
лоерывного тока (РНТ) и режима прерывистого тока (РПТ); в) нелинейность
^^^еских характеристик ТП.
При цифровом управлении тиристорным электроприводом появляются
мифические проблемы, связанные с необходимостью синхронизации
сД1рового управляющего устройства с работой ТП, являющегося также
Я^яретным устройством. Этой проблеме посвящена, в частности, работа [81], в
^□рой показано, что при отсутствии синхронизации управляющей микро-
qBM с ТП (или сетью, питающей ТП) не исключаются биения координат
лпявода на комбинационных частотах между частотой коммутации тиристоров
частотой замыкания цифрового контура регулирования. Поэтому
^проприводы с цифровым управлением имеют систему синхронизации
яботы микро-ЭВМ либо с питающей ТП сетью, либо с процессами
коммутации в ТП. Второй способ синхронизации не нашел широкого
применения, так как при этом система управления имеет переменный период
дискретности, что затрудняет описание моделей объекта регулирования,
ухудшает динамические свойства электропривода и усложняет программное
обеспечение.
Данная работа ориентируется на более распространенный первый способ
синхронизации, в котором за моменты синхронизации приняты точки
естественного отпирания тиристоров. В эти моменты системой синхронизации
формируются синхроимпульсы, которые вызывают прерывание фоновой
программы и выполнение программы обработки показаний датчиков и
вычисления управляющего воздействия. Через определенный промежуток
времени, зависящий от быстродействия микро-ЭВМ и сложности алгоритмов,
вычисления заканчиваются и на цифровое СИФУ выдается код угла управления
ТП. Очевидно, что с этого момента до отпирания очередного тиристора
проходит определенное время, зависящее от величины угла управления. Таким
образом, от момента синхронизации (момента съема информации с датчиков
обратных связей) до момента отпирания тиристора проходит некоторое время,
которое складывается из вычислительного запаздывания и времени от момента
вычисления текущего угла управления до момента отпирания тиристора. Если
природа первой составляющей запаздывания очевидна и учитывается
практически всеми разработчиками цифровых электроприводов, то вторая
вставляющая во многих случаях не учитывается. Чтобы учесть влияние
запаздывания, внесем в модель объекта регулирования звено чистого
запаздывания z~x.
Выбор датчиков обратных связей тесно связан с обоснованием и выбором
Регулируемого параметра. Так, в контуре регулирования тока якоря в качестве
дефлируемого параметра обычно используют средние за период дискретности
рачения тока или его мгновенные значения, например, максимальное,
Раничное, так называемую ’’гладкую” составляющую тока и т.д. Подавляющее
^ьпшнство исследователей отдают предпочтение регулированию по средним
ч®ниям тока, что связано с лучшей помехозащищенностью датчиков
РСДних значений. Кроме того, многие теоретические исследования
71
показывают, что динамика систем с ТП достаточно точно характеризует^
усредненными за период дискретности значениями токов, которые как раз
измеряются датчиками средних значений. Учитывая это, примем в качест^
регулируемого параметра средние за период дискретности ТП значения т<^
якоря, а в качестве его измерителя - усредняющий за Тп датчик тока.
Для измерения значений скорости электропривода также использу^
усредняющий за период дискретности ТП датчик. Это обусловлено, во-первых
требованием улучшения помехозащищенности электропривода
использовании в качестве датчика скорости тахогенератора, во-вторь^
принципом измерения скорости в случае использования импульсного датчи^
скорости. Модель усредняющего датчика скорости совпадает с приведенной в
п. 2.1.5.
В качестве датчика положения используют кодовые или импульсные
датчики, которые по принципу действия можно отнести к датчику мгновенных
значений.
С целью упрощения дальнейших выкладок коэффициенты передачи всех
датчиков приняты равными единице. Кроме того, целесообразно перейти от
системы относительных единиц, используемой в [25,109], к общепринятой
[4,100,111 и др.], где за основу приняты номинальные данные двигателя. В
модели ТП при этом изменится лишь коэффициент передачи преобразователя.
На основе изложенного получена общая модель объекта регулирования
по цепи якоря, приведенная на рис. 2.21. При этом модель ТП в режиме
непрерывного тока описывается структурой рис. 2.2,а, а в режиме
прерывистого тока - рис. 2.2,6. При построении модели рис. 2.21 учтено, что
периоды прерывания в контурах системы подчиненного регулирования в
общем случае кратны периоду дискретности тиристорного преобразователя и
равны МТп ддя контуров регулирования тока якоря, скорости и положения,
причем М может принимать значения, равные 1,2,3,...
Остальные обозначения на рис. 2.21: Т3 и - электромагнитная
постоянная времени и активное сопротивление якорной цепи; Гм -
электромеханическая постоянная времени привода; <р - относительное
значение потока двигателя.
Заметим, что такая модель является полной лишь при синтезе
внутреннего контура тока, так как в рамках принципа подчиненного
регулирования к объекту регулирования принято относить и внутренние
замкнутые контуры. Поэтому при синтезе внешнего контура (скорости или
положения) модель объекта регулирования (рис. 2.21) должна быть дополнена
регуляторами внутренних контуров.
Найдем сначала ДПФ объекта в контуре регулирования тока якоря пр0
значении запаздывания в контуре 0 х £ 2 и периоде дискретности в контур6
регулирования, равном Тп. Непрерывную часть объекта регулирования 6
учетом чистого запаздывания можно представить в виде:
72
(2.27)
(2.28)
W (р)=К™.-------МЗз.---е~хТпР-
*{Р) Тп р(Тэр + 1)
^н(Р) = ^a°^L------
Гп р(Тэр + 1Г
рНГ 0 РПТ соответственно. Переход к дискретным изображениям в такой
^дульсной системе осуществляется по формуле [121]:
!TH(z) = e-(/+,>rnPZe{lFH(^)}e=1_ti,
где /Л1 ~ соответственно целая и дробная части запаздывания, то есть
TS/ + Ti,/ = 0,1,2,...; Ze - символ смещенного ^-преобразования.
(2.29)
MT
Рис. 2.21. Линеаризованная модель объекта регулирования по цепи якоря
Учитывая диапазон изменения запаздывания, выражение (2.29) можно
записать в виде:
JFH(z) =
г %{^н(Р)}8=]-т при 0<т^1;
z"2Ze{lKH(p)}e=2_x при 1<т<2.
Вычисление ДПФ объекта в соответствии с (2.30) дает:
(2.30)
73
	
woi(z) = <	
Kfcp
(l-di~x)z-(dl~t-d)
z(z - d)
(l-d2~t)z-(d2~t-d)
22(z-d)
Oct^I;
1<t<2,
где Kjcp - коэффициент передачи объекта по среднему току; d = exp(-Tn/T^
При вычислении ДПФ объекта в РПТ необходимо учесть, что (2.28) можн0
представить как сумму двух слагаемых, первое из которых имеет запаздывав^
тис точностью до коэффициента совпадает с (2.27). Второй слагаемое
содержит запаздывание т + Х0, причем 0<1q £1, поэтому здесь вид ДДф
будет зависеть еще и от длительности тока 10, то есть в РПТ необходимо
рассматривать четыре различных варианта в зависимости от значений т и
Результаты расчетов для РПТ, а также результаты, полученные выше для РНТ
сведены в табл. 2. 3.
Таблица 2.3
Объект регулирования в контуре тока с учетом точного значения запаздывания
Величина чистого запаздывания	Режим работы ТП	Длительность тока Хф	ДПФ объекта ^(z)	Параметры объекта
0<т<1	РПТ	0^Х0^1-т	&icpz	-
			PiZ+Po Л/ср	X <? 1 Д д Д^ и	и S §
	РНТ	1	Kicp(l-d)^Z—P() ,cpV	z(z-d)	
1^т<2	РПТ	О^Хо52--г		-
		2-т^Х0<1	К Plz + P0 Л/ср	з z	\ 1 г? ’ ^3	1	’ Д Д'тз и С §
	РНТ	1	z (z-d)	
Заметим, что, приняв величину запаздывания т постоянной и равно#
периоду дискретности преобразователя Тп, то есть т = 1, можно получить бол#
простые ДПФ объекта, удобные для решения задач синтеза, а именно:
74
врт-
^) = ^срг~2 в РПТ.
(2.32)
В случае, когда период дискретности Т в контуре тока больше периода
сКретности преобразователя Тп в М раз, Л/=2,3,..., изменением
яздывания можно пренебречь и принять его постоянным и равным периоду
3 кратности преобразователя. Тогда, учитывая возможность выбора периода
Меднения в датчике тока равным Тп или МТп, можно получить ДПФ
представленные в табл. 2.4, где отдельно выделен случаи Л/=1.
Полученные ДПФ объекта в ряде случаев имеют отрицательные вещественные
дули (так называемые «нули квантования»), равные -р$! р\. При усреднении
сигнала обратной связи за период МТП эти нули могут стать неустойчивыми
при Л/ = 2 в РПТ и при М <. у)бТэ/Тп в РНТ.
Таблица 2.4
Объект регулирования в контуре тока якоря при М 1
м	Период усреднения датчика тока	Режим работы ТП	ДПФ объекта регулирования Woi(z)	Параметры объекта
1	Тп	РНТ	г X~d ^z(z-d)	d = ехр(—ТП !Т3)
		РПТ		
>1		РНТ	к Р\^ +Р0	Р1=1-<1М-, p0=dM-\l-d)
		РПТ	%icpz	' -
	МТП	РНТ	+PQ	l-dM .	l-dM ,м M(l-d),P® M(\-d)
		РПТ	PjZ^ +pQ Л*СР Z2M	Р1=(М-1)/M;pq=1/M
2.4.2. Транзисторный электропривод постоянного тока
Рассмотрим контур регулирования тока якоря в электроприводе
ОСт°янного тока, содержащий в силовой части двигатель постоянного тока с
75
постоянным потоком возбуждения (например, с возбуждением от постоянна
магнитов) и транзисторный преобразователь с ШИМ.
При построении модели сначала будем считать, что величина чистОг
запаздывания равна периоду дискретности силового преобразователя у °
периоды дискретности датчика тока и регулятора также равны Тп, момец^
замыкания всех импульсных элементов синхронизированы. Исходц
математическая модель объекта регулирования представлена на рис. 2.22. Зд^
Тэ - электромагнитная постоянная времени якорной цепи, А7ИН - импульсу
коэффициент передачи силового преобразователя по напряжению.
Для вычисления ДПФ объекта регулирования найдём сначала
передаточную функцию непрерывной части:
^Я(р)=~т/Пэ	.
Тр(Тэр + 1)

Рис.2.22. Математическая модель объекта регулирования в контуре тока
Далее, учитывая ДПФ звена чистого запаздывания на входе объекта и
дифференциатор на его выходе, можно записать:
W0(z) = ^Z
^ин^^э 1
,TCp+i)J
Вычислив с использованием таблицы z-преобразований (см. прил. 1)
выражение в фигурных скобках, окончательно получим
z(z - а)
где -Km/(TR3) - коэффициент передачи объекта регулирования п°
среднему току; d = ехр(-Г/Тэ).
Рассмотрим теперь контур регулирования скорости того же объек^
регулирования (без контура регулирования тока) с датчиком средних значен^
скорости. Структурная схема объекта регулирования представлена на рис. 2
с учетом допущений, принятых выше.
76
WM
Рис.2.23. Математическая модель объекта регулирования в контуре скорости
Здесь Гм - электромеханическая постоянная времени. Как
предыдущем примере, найдем передаточную функцию непрерывной
объекта:
WB(P)=
ГмТр2(Тэр + 1)'
и в
части
Для вычисления z-преобразования этого выражения представим его в
виде суммы более простых передаточных функций, имеющихся в таблице
^-преобразований:
^н(Р) =
^ИнФ 1
р т*р+\
Тогда
rPo(z)=Km,<l>(Z 1)Z'
TJTILz2
J___Тэ. + ТЭ =	Р\2 + Ро
р2 Р ^P + 1J z(z-l)(z-rf)’
где pl=^-(T + T3d-T3y, pQ=^-(T3-Td-T3d).
Таким образом, получены ДПФ объекта регулирования в контурах
Регулирования тока якоря и скорости транзисторного электропривода
постоянного тока, которые далее могут быть использованы при синтезе
соответствующих регуляторов.
Найдем теперь ДПФ объекта в контуре тока (см. рис. 2.22) с учетом
]?*Ного значения запаздывания, найденного по (2.7), (2.8) или рис. 2.6.
объекта в этом случае находится с использованием смещенного
^преобразования [106,118,121]:
Z — 1
Z
^ин/^э Q~tTP
Тр(Т3р + \)
Учитывая реальный диапазон изменения запаздывания 0 < т < 2, найдем
77
W0(z) =
(\-d'-')z-d + dx-'
***	z(z-d)
(l-d2~x)z-d + d2~x
,cp	z2(z-d)
Oct^I
1^t<2.
Как видно из этих выражении, ДПФ объекта с учетом действительно^
значения запаздывания оказывается несколько сложнее ДПФ, полученной ц
предположении т = 1. Это выражается в появлении так называемых «нуде|
квантования» в ДПФ объекта, которые зависят от величины запаздывал^
(зависящего, в свою очередь, от управляющего воздействия), но при реальных
параметрах объекта остаются устойчивыми. Кроме того, порядок знаменате^
ДПФ объекта изменяется в зависимости от величины управляющего
воздействия. Эти особенности объекта усложняют задачу синтеза, поэтому
полученную ДПФ объекта целесообразно использовать лишь на этапе анализа
полученных результатов.
2.4.3. Частотно-регулируемый асинхронный электропривод
Структурная схема импульсной математической модели объекта
регулирования для случая несимметричного развертывающего напряжения
представлена на рис. 2.24.
Рис. 2.24. Структурная схема математической модели объекта управления
Дискретная передаточная функция объекта в контуре регулирования
проекций тока статора находится как сумма смещенных z-преобразований
каждого импульса [86,91]:
[^Wx{z,mx) + KK2W2{z,m2) + K^W3{z,m2)\,	(2.33)
Tr3 z \ z	)
где Wjizjnj) - смещенные z-преобразования для /-го импульса:
mj = 1 - у,; - относительное значение запаздывания импульса.
78
Выражение для смещенного z-преобразования находится следующим
^[106,118,121]:
Щ(г,тj) = Z(1- d^ + dmi d
Л " z(z-d)
(2.34)
T-tj	T
d . = e Тэ ;d = e Ts,i=l,.2,3.
где%/ ’	’
Начальное время импульсов выходного напряжения инвертора А
дределяется по выражениям (2.15).
°F Подставляя выражения (2.34) в выражение для ДПФ объекта
рв1улир(>вания (233), получим:
Tr3z2(z-d)
(2.35)
где Р0 = *и1 Wml	> Р1~ *и10 ^ти1) + &и2d) + ^иЗ(^гиЗ *0»
T-h	T-t2	T-t3
р2-^к2^~^т2) + ^иЗ(^~^тз)^т1:=е '^т2=е Тэ ’^тЗ=е •
ДПФ объекта в приведенном выражении содержит переменные
коэффициенты, которые обусловлены наличием переменной - угла вектора
напряжения 0К в коэффициентах усиления и во временах начала импульсов
напряжения. Кроме того, времена начала импульсов напряжения зависят от
значения коэффициента глубины модуляции ц.
Поэтому целесообразно получить ДПФ объекта регулирования, которая
не содержит периодических коэффициентов. Для этого разложим
коэффициенты dm^dm2 ,dm3 и ^иЬ^и2^иЗ в Ряд Маклорена в
предположении
Тэ>10Т,	(2.36)
которое для рассматриваемых электроприводов обычно выполняется.
Рассмотрим коэффициент . Подставив значения переменных в
выражение для (2.35), получим:
2	2
ft=^-[l-licos(0K-12Oo)]cos(0K -120°) + ^-—[l-pcos0K]cos0K. (2.37)
Поскольку приращение коэффициента глубины модуляции бесконечно
Мало> можно считать, что значения коэффициента глубины модуляции до и
ц°сле приращения приблизительно равны ц » ц'.
Тогда выражение для коэффициента pi принимает вид:
и
Р2 = ^и2(1 “ ^2) + *иЗС - dm3) = -%—[Л2 - ЦВ2],	(2.38)
Г4е ^2 = cos(0K -120°) + cosGK; В2 =cos2(0K-12O°) + cos20K.
Для исключения угла вектора напряжения статора из коэффициента р%
°Лвим усреднение выражения (2.38) на интервале второго сектора:
79
^2ср ~ fC0S(®K 3Ж	(2.3gj
6
—
В2ср =7- f[l-|cos(2eK -^)]J0K =1-^.	(2.40)
н 2л я 2	3	4л	>
вид:
После таких упрощений значение искомого коэффициента принимает
Р2 =
“ПГ2Г3 Зл/3\
6ТЭ л I 4л I
J L х /.
(2.41)
Аналогично определяются значения коэффициентов р\
окончательно модель объекта регулирования примет вид:
z (z-d)
3	(, Зл/з4) 6	3
Й = V Г П=« + Ц2;
РО- Тогда
(2.42)
ГДв ,ср_6Гэгэ;
тс
3	-
Ро=--Нт +
It 12
1 -.ъИ}.
2 ' 4л ’
< /
3
И
Т
d = e Тз .
Структурная схема импульсной математической модели объекта
регулирования для нечетных секторов представлена на рис. 2.24. В этом случае,
как было показано выше, первый и второй импульсы реализуются на
следующем такте, а третий импульс на текущем такте.
Рассмотрим случай, когда вектор напряжения находится в первом
секторе. Следует отметить, что при этом, по сравнению со вторым сектором,
меняются времена начала импульсов и коэффициенты передачи по
напряжению.
Определим начальное время импульсов амплитуды выходного
напряжения инвертора для первого сектора:
f'l =^[n’cos(eK-120°) + l];
4 = у[g’cos(eK - 240°) +1];	(2.43)
'3=|[HcoseK+l].
Коэффициенты передачи по напряжению для каждого импульса в перв0*1
секторе имеют вид:
80
^и1=-^Мек-120°);
7Си2=-^СО8(ек-240°);
(2.44)
(2.46)
^иЗ “ COS0K.
Дискретная передаточная функция объекта управления в нечетных
акторах имеет вид:
+ ^2^2(z,m2) +	(2.45)
1 r3 Z \ Z	Z	J
где Wi(z>mi) “ смещенные z-преобразования для f-го импульса, определяются
по выражению (2.34). Начальное время импульсов выходного напряжения
инвертора Г/ определяется по выражениям (2.43).
Подставляя выражения (2.34) в выражение для ДПФ объекта
регулирования (2.45), получим:
Tr3z2(z-d)
где Р2 =^из(1-^тиз); А =^и1(1-^т1) + ^и2(1-</т2) + ^из(^/пЗ
Г~4	T-i2	T-t3
+	dml=e Тэ >dm2=e Тз '’dm3=e	•
ДПФ объекта в приведенном выражении также содержит переменные
коэффициенты. Упрощение ДПФ производится так же, как и для четных
секторов. При этом вычисляются средние значения коэффициентов ДПФ
^тЗ, ^m2,	на интервале первого сектора (-30° < 0к < 30°).
Упрощенная модель объекта регулирования, полностью аналогичная
выражению (2.42), но отличающаяся коэффициентами, представлена ниже:
2
zz(z- d)
6	3	3	f,
; а=-+н-; ро=—wi
ТС	2	ТС	I
(2.47)
1+з^
2 4п
'*	П’1-»
6Т3г3 тс
Т
i*e\
Заметим, что полученные упрощенные ДПФ объекта регулирования
' 42), (2.47) линейны, но их параметры зависят от коэффициента глубины
МоДУляции ц.
Аналогично могут быть найдены ДПФ объекта и при других способах
МоДУляции.
81
2.4.4. Некоторые обобщения
Полученные ДПФ объектов управления во внутренних контур^
регулирования электропривода показывают, что при принятых период^
дискретности Т = Т^=Тп можно говорить об общей форме ДПФ объе^
управления во внутреннем контуре регулирования электропривода, которую
запишем следующим образом:
2
w P2Z +P1Z + PO
”0i(z)-kicp 7z	’
z2(z-d)
где коэффициенты числителя приобретают вполне определенное значение в
каждом конкретном случае. Опыт проектирования цифровых систем
управления электроприводом показывает, что при решении задач синтеза
можно использовать более простую модель объекта в контуре тока:
,r°i(z)=ticp^5)-
Рассмотрим теперь общую задачу вычисления ДПФ объекта
регулирования, когда объект состоит из последовательно включенных
импульсного элемента (модель полупроводникового преобразователя),
непрерывной части с произвольной передаточной функцией W0(p) и датчика
мгновенных или средних значений выходной величины, как это показано на
рис. 2.25. Такое разнообразие моделей обусловлено тем, что в практике
приходится сталкиваться с самыми разными случаями. Полученные для этих
случаев дискретные передаточные функции объектов первого - третьего
порядка представлены в прил. 2 (табл. П.2.1 и П.2.2). В дальнейшем их можно
использовать в качестве дискретных моделей объекта для синтеза цифровых
регуляторов.
Ц(О и(и7)|	y(t) У(п7)
Т "--------------- Т
а
Рис. 2.25. Структурные схемы объекта регулирования в электроприводе
с датчиком мгновенных (а) и средних (б) значений выходной координаты
82
2.5. Дискретные модели технологических объектов при
микропроцессорном управлении
Во многих практических задачах электропривод является энергосиловой
оВОЙ тех или иных технологических процессов и контуры регулирования
энологических параметров как бы являются продолжением системы
Удлиненного регулирования электропривода. Однако в этом случае система
П гулирования технологических параметров строится на отдельном
Программируемом контроллере с периодом дискретности, существенно
^тающимся от периода дискретности контроллера собственно
электропривода. Более того, процессы в контроллере электропривода и
ихнологическом контроллере обычно не согласуются между собой ввиду
существенного (на порядок и более) различия периода дискретности
вычислений. Это оказывается технически оправданным в большинстве случаев,
поскольку несинфазность работы этих вычислительных устройств уже не
приводит к возникновению биений на комбинационных частотах из-за высоких
фильтрующих свойств электропривода и технологической цепочки.
Поэтому при построении моделей технологических процессов обычно
линеаризованную модель электропривода представляют непрерывным
инерционным звеном первого или второго порядка и встраивают ее в
непрерывную модель собственно технологического процесса.
Создание модели технологического процесса представляет отдельную,
подчас весьма непростую задачу, отличающуюся большим разнообразием
подходов, методов, получаемых структур, количеством входов и выходов и т.д.
Эта задача выходит за рамки данной работы, поэтому ограничимся
предположением, что непрерывная линеаризованная одномерная (с одним
входом и одним выходом) модель технологического объекта вместе с
электроприводом в виде ее передаточной функции W0(p) получена. При этом
управляющее воздействие подается на регулируемый электропривод,
являющийся обычно первым элементом технологической цепочки, через
Цифроаналоговый преобразователь или по цифровому каналу; в обоих случаях
преобразование информации описывается моделью экстраполятора нулевого
порядка с передаточной функцией
w3(p,z)=—.
pz
Сигнал обратной связи получается с датчиков мгновенных или средних за
период дискретности Т значений регулируемого технологического параметра.
^РУктуры моделей технологического объекта представлены на рис. 2.26. ДПФ
°еьекгарис. 2.26,а можно вычислить по формуле:
^0(z)=—
z I P J
83
которая отличается от соответствующей формулы для рис. 2.25,6 лц.
отсутствием сомножителя ИТ. Поэтому для вычисления ДПФ технологическ
объектов со структурой рис. 2.26,а можно использовать данные табл. П.^
домножив их ДПФ на Т. Дискретные передаточные функции для некоторъ
моделей рис. 2.26,6 первого - третьего порядка представлены в табл. П.2.3.
Заметим, что в некоторых случаях управляющее воздействие
технологический объект подается через устройства, моделью которых являе^
импульсный элемент (например, используется широтно-модулированц^
импульсное воздействие), тогда модель объекта управления представляете
структурами рис. 2.11, а ее ДПФ вычисляется в соответствии с табл. П.2.1
П.2.2.
а
Рис. 2.26. Модели объектов с экстраполятором нулевого порядка
и датчиками мгновенных (п) и средних (6) значений
2.6. Особенности дискретных моделей объектов
Анализ ДПФ объектов, приведенных в табл. П.2.1, П.2.2 и П.23,
позволяет сделать некоторые обобщающие выводы, которые, в соответствии с
методом математической индукции, можно распространить и на более сложив
объекты.
1. Все ДПФ, за исключением ДПФ под номерами 1, 2, 7-10 в табл.
имеют степень знаменателя больше, чем степень числителя, то есТ*
являются правильными (indM^(z) < 0). Учитывая, что вычислительна
запаздывание является неотъемлемым свойством цифровых сис^
управления, можно утверждать, что в действительности сте^
знаменателя ДПФ объекта на единицу больше и все объекты имеют /Р1
с отрицательным индексом, то есть являются строго правильными.
84
2 Полюсы ДПФ объекта z, могут быть получены из полюсов р>
непрерывной передаточной функции объекта по следующим
выражениям:
Zj=eTpi	(2.48)
для случая вещественного корня и
Zi = еТа‘ (cosrp, ± /япГР/)	(2.49)
для пары комплексно сопряженных корней pj = а, ± jfy.
Можно показать, что если полюсы исходной непрерывной
передаточной функции устойчивы (лежат в левой полуплоскости
комплексной плоскости), то будут устойчивы и полюсы ДПФ, то есть они
будут лежать внутри окружности единичного радиуса на комплексной
плоскости. Очевидно, неустойчивым объектам будут соответствовать
ДПФ с полюсами вне единичной окружности. В табл. 2.5, частично
заимствованной из [71], показано соответствие полюсов непрерывной и
дискретной систем при различном их расположении и соответствующие
им весовые функции. Подчеркнем особенность комплексно сопряженных
полюсов непрерывных систем, имеющих мнимую часть, равную
кп/2Т, к = 1,2,... (строки 4-6 табл. 2.5), которые в z-области
преобразуются в единственный отрицательный вещественный полюс. Как
видно из таблицы, этому вещественному полюсу соответствует
колебательный процесс с периодом колебаний 2Т. Заметим, что такие
полюсы характерны для цифровых регуляторов с компенсацией влияния
запаздывания на основе предиктора Смита [121,137].
Таблица 2.5
Соответствие полюсов непрерывных и дискретных систем
85
Продолжение табл. 2.$
86
Окончание табл. 2.5
3 Во многих случаях в ДПф появляются нули, хотя в соответствующих
непрерывных передаточных функциях они отсутствуют. Это так
называемые нули квантования. Их исследование показало, что для всех
ДПФ, приведенных в табл. IL2.1, П.2.2 и П.2.3, нули квантования
являются вещественными и отрицательными, а для объектов первого и
второго порядков - и устойчивыми, то есть не выходящими за пределы
окружности единичного радиуса. Влияние нулей квантования на форму
переходного процесса менее выражено, чем влияние обычных нулей, и
проявляется лишь в некотором запаздывании процесса. В качестве
примера на рис. 2.27 показаны переходные функции дискретного
апериодического звена с нулем, изменяющимся от 0 до -10. Видно, что
увеличение нуля приводит к запаздыванию реакции такого звена до
величины, равной периоду дискретности при а -> оо.
87
Для объектов, имеющих нули в непрерывной передаточцо*
функции (номера 7-10 в табл. П.2.1, П.2.2 и П.2.3), соответствующе^
нуль ДПФ вещественен и положителен, но по приведенной вьцц*
формуле (2.48) для полюсов может быть вычислен лишь приближенно.
В объектах третьего порядка табл. П.2.2 и П.2.3 один из нуле|
всегда располагается вне единичной окружности, оставаясь
вещественным и отрицательным.
В качестве примера на рис. 2.28 и 2.29 приведены диаграмм^
расположения нулей и полюсов на комплексной плоскости
некоторых объектов из табл. П.2.2.
Рис. 2.28. Диаграммы нулей (о) и полюсов (х) объектов номер 1 (а), 4 (б) и 11 (*)
в табл. П.2.2 при изменении параметра TJT от 0,5 до 10 с шагом 0,25
88
Рис. 2.29. Диаграммы нулей (о) и полюсов (х) объектов номер 6 (а) и 13 (б)
в табл. П.2.2 при £=0,7 и изменении параметра TJT от 0,5 до 10 с шагом 0,25
4* В подавляющем большинстве случаев дискретная модель объекта
становится неминимально-фазовой, даже если непрерывная часть объекта
~~ минимально-фазовая. Это связано с тем, что, во-первых, цифровая
система управления имеет вычислительное запаздывание, которое
обычно относят к объекту управления и учитывают при расчете ДПФ; во-
89
вторых, процесс квантования, экстраполятор и датчик средних значець*
вносят искажения, которые также можно выразить как некотор^
эквивалентное запаздывание, что проявляется в ДПФ в
вещественных отрицательных нулей квантования; в-третьих,
объектов выше третьего порядка содержит неустойчивые нули, что так^
характеризует неминимально-фазовый объект.
Кроме того, полюсы объекта в общем случае могут бь^
неустойчивыми, и это тоже приводит к неминимальнофазовости объект
Естественно, все это усложняет задачу синтеза регулятора замкнуто^
системы.
2.7. Аппроксимация и упрощение моделей объектов
При изучении сложных систем нередко возникают проблемы, связанные с
высоким порядком характеристического полинома, описывающего поведение
системы, что чрезвычайно затрудняет, а иногда делает невозможным
аналитическое исследование системы. Поэтому представляет интерес
возможность понижения порядка исследуемого полинома до второго-третьего,
когда система поддается аналитическому изучению, что, в свою очередь,
позволяет выявить некоторые общие зависимости и закономерности. Кроме
того, чем выше порядок объекта, тем сложнее регулятор, получаемый при
синтезе и соответственно сложнее его реализация и наладка.
Аппроксимация может быть выполнена как для непрерывных, так и
дискретных передаточных функций. В первом случае существенно упрощается
дальнейшее вычисление ДПФ по упрощенным непрерывным передаточным
функциям, но могут быть утеряны некоторые существенные особенности
объекта.
Наиболее удачным из представленных в современной литературе методов
аппроксимации непрерывных систем следует признать метод [102], основанный
на представлении системы с передаточной функцией
^(P) = -Ti------.	(2-50>
Р +ап-1Р	+- + О1Р + О0
передаточной функцией более низкого порядка с некоторым запаздыванием <
вида
1	~ ж	ж 1	9	V
AW	I	I /ч.	—	1	~
Р +ат-\Р +... + аи> + ао
где т < п.
При этом коэффициенты az- и постоянную времени запаздывания
определяют из системы алгебраических уравнений, получен#
приравниванием коэффициентов при одинаковых степеняхр полиномов:
90
РП + ап-\РП 1+... + О1Р + а0 =
= (Рт + ^т-\Рт~Х +.- + «ip + ссоХ-.. +	+ TP +1).
Здесь передаточная функция звена чистого запаздывания
разложением в ряд:
2 2	3 3
е^=1 + тр + ^- + ^- + ...	(2.52)
Другой способ решения этой задачи заключается в разложении
йССледуемой функции в цепную дробь, как это представлено для непрерывных
систем в [100,108]. Рассмотрим его применительно к дискретным
нередаточиым функциям. Разложение в цепную дробь непрерывных
передаточных функций выполняется аналогично.
Пусть задано выражение для дискретной передаточной функции в виде:
тГ(_ч_ fyz*+... + 1^ + ^ B(z) 1	1
zm(zn +... + a^z + a0) zmA(z) zm #(z)
Здесь k<m + n, т>0 для реальных систем. Встречаются следующие
разновидности ДПФ.
1. Порядок полинома А равен порядку полинома В (п = к), тогда первым
элементом цепной дроби является частное от деления A(z) на B(z):
A(z)/B(z) = l/bn>
а остаток от деления - полином л-1-го порядка вида
C(z) = c„_]z"-1 + C„_2zn~2 +... + qz + c0,
где Cj = a, -Ь,,/b„; и-l^i^O.
Последующие элементы разложения представляют собой полиномы
первой степени. При делении B(z) на C(z) получим
?(z) = -^-z + ^,
сп-\ сп-\
где °i = bj -	/ c„_j; n -1 > i 2: 0.
Ограничивая приближенную функцию порядком m+2, получим цепную
Дробь
М (z)=—  ------------Ц-------------,
' zm 1	__________1_________
bn b” z । O'”-1 । 1
cn-\ cn-\ Cn-\ z
dn-2
91
которая при свёртывании к обычному виду даёт
^(У2 + а»-1г + ^и-2)
Hj(z) = ~ 2	--------’
z [b„z +(a„_i+Vn-l)z + rf»-21
где a/ = bj -/cw_15 n-1 >i0; rf, = a7 -!cn_^ n-2^i^Q.
2. Порядок полинома В числителя на единицу меньше порядка поливом
А знаменателя (п = к +1).	а
В этом случае первым элементом цепной дроби будет бином перВо>
степени, а разложение передаточной функции принимает вид:
Wi (z) = --;------------------------,
1 Л» 1 a„_i	1
& ______2 4- ———- 4---------
Ьп-\ Ьп-\ ^>-1 - , Ри-2
сп-2 сп-2
где а,- =Of -Ь,_1/Ь„_г, п-l^i^O; с, =а,- -ctn-l^i^n-u n-2^i^Q;
Р; = bj -lc„_2,n-2^i^0.
После свертывания с подстановкой q через коэффициенты исходной
функции получаем:
“и-1
Ci
ы
»i(z) = т 2	---’
zm(A2Z2 + A[Z + Aq)
где А2 =bn-i', А[ = bn_i(an_\bn_\ ~^л-2)>	^0 = ^п-1(ап-2^п-1
^п-2Сап-Фп-1 ~Ьп-2)-
3. Порядок полинома В числителя меньше порядка полинома J
знаменателя на два (тп = к+2).
Первым элементом цепной дроби в этом случае будет полином степени
п - к. Ограничиваясь первым элементом второго порядка, имеем:
^и-2
»1(г)=	„	---,
zm(A2Z2 + A[Z + Aq)
где А2 = b%~2 j А =	“ ^п-3 ’ А) = ^п-З “ ^и-2^и-4 ~ ^л-2(аи-2^"^
“аи-1^и-з)
4. При п > к + 2 получить упрощение передаточной функции до второй
порядка указанным способом не удается.
В данном случае необходимо воспользоваться разложением 0.
отрицательным степеням оператора z. Для этого полиномы B(z) и
записывают в обратном порядке - по возрастающим степеням оператора z:
92
zm(aQ + a1z + ...+zn)
дробь в этом случае принимает вид
W(z) =  ----------Ц---------,
ар ,	1
Ьр ^> । С1 ।	1
clz dl dl ।
/2Z
гдес,= а»-apbjfbp.nbibl; d, = b,
^q-cidj/d^n-l^i^l.
Ограничиваясь первыми четырьмя элементами этой дроби, получим
^пяточную функцию следующего вида:
^р(с1^1+ bpfi)z + ЬцС\
ВД =------------,	,	------- •
г [*ocl/2z + (*ОС1 + aOcldl + «О^оЛ)2 + °O*Ocll
Заметим, что разложение по биномам и отрицательным степеням z
приводит к разным результатам. Кроме того, начальные и установившиеся
значения переходных функций для упрощенных ДПФ будут в общем случае
отличаться от исходных. В этом случае в упрощенную ДПФ вводят
соответствующий постоянный поправочный коэффициент.
Другим способом аппроксимации сложной систем более простой
является аппроксимация Падэ [16]. Две функции
TJZ/ ч B(z) £ -i . X(z) £ ,
PK(z) = -)-(=	и H(z) = -^-=ZhjZ
A(z) i=Q	Y(z) i=Q
аппроксимируют друг друга в смысле Падэ, если равны их усеченные
®ображения (см. прил. 1): W„(z) = H„(z), то есть w, =fy,z = 0,l,...,n. Здесь
4(z)hB(z) - известные, a X(z)nY(z) - искомые полиномы. Приравнивая
Коэффициенты при одинаковых степенях z усеченных изображений, можно
Составить систему алгебраических уравнений, из которых находятся
КоэФфициенты упрощенной ДПФ JY(z).
Если упрощенную ДПФ подобрать таким образом, что
^(z^iadWiz), то решение задачи аппроксимации возможно с
Пользованием полиномиального уравнения. Найдем аппроксимацию функции
рациональной функцией
H(z) = Х(Л = Хр+х^+.-.+х^
Цг)	1 + yiZ + ... + у„^
(2.54)
93
в смысле Падэ, считая известным усеченное изображение функции W(z):
п+к
Wn+kfalw'-	(2.55)
Условие Падэ можно записать следующим образом:
7^-^+*(^)=0+5(z),
где E(z) - изображение ошибки аппроксимации, содержащее члены степени
выше п + к. Последнее выражение можно представить в виде полиномиального
уравнения
X(z)-W„+k(z)Y(z) = O + E(z).	(2.56)
Это уравнение можно развернуть в систему и+Н1 линейных алгебраических
уравнений с п+к+1 неизвестными
\o-wo=O
x1-woy1-w1=O
• хк - woyk -... -	- Wk = о	(2.57)
-Wott+l " - " *кУ1 ~ wk+l - о
~wkУп ~ - - ^к+п-\У\ -	= О,
имеющую единственное решение - искомые значения коэффициентов
полиномов X(z) и У(г). Начальные значения исходной и упрощенной функции
при такой аппроксимации совпадают, а установившиеся значения в общем
случае отличаются, но это легко можно устранить, уменьшив на единицу
количество членов в усеченном изображении PT(z), то есть
л+Л-1
i=0
и добавив в систему уравнений условие равенства установившихся значений
исходной и упрощенной ДПФ:
lim W(z) = lim H(z) или Л(1)^(1) = В (1)У(1).	(2.58)
Z->1	z—>1
Пример 2.1. Рассмотрим исходную ДПФ объекта вида
2
^o(z) = P2Z/-Z+mdFK0(z) = -l,	(2-59)
J
которая получается, например, в контуре регулирования тока якоря
электроприводе постоянного тока с транзисторным преобразователем
симметричным развертывающим напряжением или в контуре проекций т°к°
94
.фра асинхронного частотно-регулируемого электропривода. Использование
ДПФ при синтезе неудобно и дает достаточно сложный регулятор,
^^гому целесообразно ее упростить. В качестве аппроксимирующих ДПФ
два возможных варианта:
=	(2.60)
^2^) = -7^’ ind^l=-2.	(2.61)
уличающихся от исходной ДПФ (2.59) более, низким порядком числителя и
зламенателя. Здесь gb g0 и d\ ~ искомые параметры.
Поделив числитель исходной ДПФ на ее знаменатель, получим
разложение в ряд по убывающим степеням z:
W0{z) = 0г° + p2^-1 + (А + Фг)2”2 + [Ро + d(Pl + dp2)]z~3 +...	(2.62)
Аналогичное разложение в ряд аппроксимирующих ДПФ (2.60) и (2.61)
дает:
Woi = 0z° + giz-1 + (g0 +	(g0 + ^igi)z-3 +...;	(2.63)
JF02=0^0+Oz_1+goZ_2+d1goZ-3+...	(2.64)
В соответствии с изложенным выше для аппроксимации Паде усеченные
изображения в первом случае должны содержать 4 члена, во втором - 3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в усеченных
изображениях исходной ДПФ и первого варианта (2.60) аппроксимирующей
ДПФ, получим систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными
(понятно, что приравнивание коэффициентов при не имеет смысла):
il=P2
’ go + ^gl=Pl+^2	(2.65)
(go + rfigl) = Ро + d(Pl + dPl\
Решение этой системы уравнений дает значения gbgoH</b при которых
ПеРеходные процессы в исходной и аппроксимирующей ДПФ совпадают в
первые четыре момента квантования, но установившиеся значения отличаются.
Поэтому заменим последнее уравнение (2.65) на условие (2.58) равенства
Установившихся значений в исходном и аппроксимирующем объектах:
il = P2
’ go+dlgl=Pl+^2	(2.66)
/gl + goM1 - rfl) = (P2 + Pl + PoM1 - d\
Решение этой системы уравнений дает:
95
g\=P2\
Р0 + Р1 + Ф2
Р0+Л+Ф2
<2.t.
При такой аппроксимации совпадают первые три точки перехода
процессов (включая начальные значения) и их установившиеся значения ь
качестве примера на рис. 2.30 приведены переходные функции исходной
аппроксимирующей ДПФ, при этом параметры исходной ДПФ приц^
равными:
£2=0,05; £1=0,4; £о=О,О5; rf = 0,5,
а рассчитанные по (3.42) параметры аппроксимирующей ДПФ
gl=0,05; g0 =0,3974;	=0,5526.
Рис. 2.30. Переходные функции в исходном объекте (сплошная линия) с ДПФ (2.59)
и после его аппроксимации (пунктирная линия) упрощенной ДПФ (2.60)
Аналогичный результат получается и при записи условия аппроксимации
в виде полиномиального уравнения (2.56) и последующего его решений
поскольку индексы исходной и аппроксимирующей ДПФ совпадают.
Для второго варианта (2.61) аппроксимирующей ДПФ ее параме^
ищутся из системы двух алгебраических уравнений
[go = А +^2
l(gl + go) /(1 - <*1) = (Р2 + Pl + Ро)/(1 -
первое из которых получено из условия равенства коэффициентов при * .
усеченных изображениях (3.59) и (3.61), а второе соответствует равейс
96
^-ловившихся значений. Однако аппроксимация на основе решения этой
*2емы уравнений не дает совпадения процессов на начальных участках
<^оеходвого процесса, совпадают только установившиеся значения. Связано
тем, что при составлении системы уравнений не учтена составляющая
-подесса при z , которая в (2.59) равна р%, а в (2.61) - нулю. Это происходит
разных индексов ДПФ (2.59) и (2.61). Чтобы процессы на втором такте
^родесса совпадали, коэффициент при z-2 в (2.61) должен быть приравнен к
коэффициентов при z-1 и z~2 в (2.59). Тогда система уравнений
дивяямаетвид
1>о = Р1+(1 + <ОР2
[tel + So) /(1 ~di) = (P2 + Pi + Po)/(1" <0.
з ее решение
gO=Pl+(1 + d)P2
d _d ! О-^ХРо + Фг)
. 1	P2 + Pl + PO
Расчеты с исходными данными рассмотренного выше примера дают
g0 = 0,475; d\ -0,525, а соответствующие переходные функции приведены на
после его аппроксимации (пунктирная линия) упрощенной ДПФ (2.61)
Полученные в этом примере аппроксимации исходной ДПФ дают
остаточно хорошее приближение, однако это - частный результат,
а/^ченный для конкретных значений параметров. Если принять другие
Дные значения параметров, то погрешность аппроксимации может
Чаг®льно измениться.
97
Как правило, упрощение передаточной функции объекта приводит
исключению нулей и полюсов, не оказывающих значительного влияния ?
процессы в замкнутой системе, однако такое пренебрежение приводит к то\?
что неучтенные инерционности, содержащиеся в объекте, ухудщ^
показатели качества переходного процесса в системе.
В заключение заметим, что использование упрощенных ДПФ мо^
привести к утере некоторых весьма существенных свойств исходной функции
и, как следствие, - получению на этапе синтеза регуляторов, 5е
обеспечивающих заданные качество и точность регулирования, вплоть д0
потери устойчивости и грубости. Поэтому при использовании упрощенных
ДПФ необходима тщательная дополнительная проверка полученных
результатов.
2.8.	Выводы по главе 2
1.	В результате анализа процессов в различных типах силовых
полупроводниковых преобразователей получены их дискретные модели
«в малом» при условии, что период дискретности цифровой системы
управления равен или в целое число раз превышает период
дискретности преобразователя. Рассмотрены математические модели и
других элементов электроприводов, таких как датчики, экстраполяторы.
2.	На основе полученных математических описаний элементов
электропривода разработаны модели объекта управления во внутреннем
контуре регулирования тока, получена обобщенная ДПФ такого
объекта.
3.	Рассмотрены принципы построения моделей объекта в многоконтурной
системе подчиненного регулирования, в том числе с различными
периодами дискретности.
4.	Получены в общем виде ДПФ объектов как в электроприводе, так и в
технологических процессах, связанных с электроприводом. Их анализ
говорит о таких специфических особенностях дискретных моделей, как
наличие запаздывания и так называемых «нулей квантования»,
усложняющих построение замкнутых систем управления с требуемыми
качеством и точностью.
5.	Приведены методы упрощения математических моделей
(аппроксимация их более простыми моделями, облегчают^
последующую процедуру синтеза цифровых регуляторов).
98
Глава 3. ПРИНЦИПЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНЫМИ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ
3.1.	Основные подходы к синтезу цифровых регуляторов
Одна из распространенных в практике проектирования методик расчета
Яровых регуляторов основана на переносе известных из теории непрерывных
истем электропривода законов регулирования с последующим учетом
особенностей цифровых систем (при исследовании систем с полученными
-декретными регуляторами на устойчивость, точность, качество и т.д.). Иными
словами, на этапе синтеза цифровая система рассматривается как непрерывная,
хотя последующий анализ производится с учетом особенностей цифрового
управления, некоторые недостатки решений, принятых на этапе синтеза, уже не
могут быть устранены. К таким недостаткам можно отнести:
а)	завышение требований к параметрам управляющей микро-ЭВМ
(быстродействие, разрядность и т.д.), связанное с необходимостью
обеспечения, например, достаточно малых периодов дискретности, при
которых свойства цифровой системы эквивалентны свойствам непрерывной;
б)	неполное использование динамических возможностей силовой части
электропривода в переходных процессах, так как высокая помехозащищенность
и гибкость цифровых систем позволяет использовать более сложные и
совершенные (с точки зрения улучшения динамических и статических свойств
электропривода) законы управления.
Поэтому очевидно, что такой подход к синтезу цифровых систем
управления электроприводом не всегда позволяет обеспечить максимально
возможное использование свойств силовой части и достоинств
микропроцессорного управления.
Тем не менее этот подход к синтезу цифровых систем управления
получил весьма широкое распространение благодаря использованию в процессе
проектирования хорошо зарекомендовавших себя и привычных для
проектировщиков методик синтеза непрерывных систем. Поэтому в данном
Разделе будут рассмотрены некоторые особенности такого подхода, при этом
Дл* получения непрерывных законов регулирования будет использован метод
полиномиальных уравнений, имеющий ряд	преимуществ перед
^^Пионными. К ним можно отнести простоту обеспечения
•^Способности (устойчивости и грубости) синтезируемых законов
^®^ения, возможность получения систем,	обладающих	низкой
/^вительностью к изменению параметров (робастно устойчивых и робастно
ИспЬНЬ1х систем)- Кроме того, многие известные структуры регуляторов,
Пой5^зуемь1е в электроприводе, легко могут быть получены методом
Пол^ОМиальных уравнений, то есть этот метод «поглощает» решения,
^наые другими методами. Полученные непрерывные регуляторы
99
построенную таким образом, наз0?
недостатков свободен другой подх0д
при котором дискретность систе *
преобразуются затем в цифровую форму при условии предельно мал
периода дискретности. Систему,	"	(
«псевдонепрерывной».
От некоторых из указанных
расчету цифровых регуляторов, --------------г— „ vrivre
учитывается уже на этапе ее синтеза (то есть используется дискретная Мод?
объекта), а методы синтеза аналогичны методам, используемым в теоп
непрерывных систем. Например, здесь могут использоваться мет0?
логарифмических частотных характеристик, корневые методы и ряд друЛ1
Учет дискретных свойств системы на этапе синтеза позволяет получить зако^
регулирования, обеспечивающие заданное качество процессов даже
сравнительно больших периодах прерывания.
Вместе с тем, этот подход не учитывает таких специфических свойс^
цифровых систем, как наличие чистого запаздывания, неминимальнофазовость
объекта управления и др., а значит, не гарантируется работоспособность в
реализуемость полученных таким способом алгоритмов, отсутствие скрытых
колебаний выходной координаты. Поэтому здесь, как и в предыдущем случае
процесс проектирования может повторяться неоднократно, так как анализ
полученных решений с более полным учетом особенностей цифровой)
управления может дать негативные результаты и потребует повторения
синтеза. Это усложняет процесс проектирования электроприводов с
микропроцессорным управлением и не всегда приводит к принятию
оптимальных проектных решений, так как по существу является вариантом
метода проб.
Кроме того, сами методы синтеза, используемые при таком подходе, не
свободны от недостатков. Так, при использовании частотных методов
существенные затруднения вызывает выбор желаемых частотных
характеристик дискретной системы, а для вариационных методов серьезной
проблемой является обоснование критериев качества, выбор неопределенных
множителей, а также то, что аналитическое решение может быть получено
лишь для критериев определенного вида. Поэтому данный подход не получил
столь широкого распространения и здесь не рассматривается.
Вместе с тем, в теории дискретных систем управления для синтеза
цифровых регуляторов по дискретным моделям объекта получили развитие
методы полиномиальных уравнений, которые в сочетании с корневыми
методами (метод стандартных полиномов, метод назначения полюсов и т.Д)
позволяют синтезировать алгоритмы регулирования, в более полной мер*
учитывающие специфику микропроцессорного управления. При это*1
гарантируются работоспособность и реализуемость полученных алгоритмов,
также отсутствие скрытых колебаний. Поэтому можно предположить,
использование метода полиномиальных уравнений для синтеза
электропривода с микропроцессорным управлением позволит разраб^
методику проектирования электроприводов, свободную от указанных
недостатков и учитывающую особенности цифрового управ#6
электроприводом.
юо
Прежде чем перейти к рассмотрению методик синтеза дискретных
дяЮров для дискретных моделей объекта, остановимся на более простой
Рудяке синтеза непрерывных регуляторов для непрерывных моделей
При таком подходе цифровая реализация полученных непрерывных
r/ляторов осуществляется на основе известных способов аппроксимации с
достаточно малого периода дискретности Т исходя из требований
*** оемя	Найквиста-Котельникова или иных, часто эмпирических,
Удойностей (см. п. 1.2.1). Этот подход не учитывает появления
волнительных (иногда неустойчивых) нулей, называемых нулями
кантования [22], при переходе к дискретным моделям объекта, не позволяет
^огыми методами учесть запаздывание, не работает при относительно
больших периодах дискретности и т.д. Тем не менее, он существенно проще,
чем методы синтеза дискретных регуляторов по дискретной модели объекта, и
позволяет устранить некоторые недостатки, присущие традиционным методам
синтеза непрерывных регуляторов. Кроме того, работа с непрерывными
моделями является более привычной для большинства специалистов, связанных
с проектированием и наладкой систем управления.
3.2.	Метод полиномиальных уравнений для синтеза
непрерывных регуляторов
Рассмотрим непрерывную замкнутую систему регулирования,
структурная схема которой представлена на рис. 3.1,а. Модель объекта
регулирования уже обсуждалась в гл. 1, а регулирующая часть представлена в
виде двух звеньев: собственно регулятора PFp(p) и фильтра на входе замкнутой
системы Иф(р). Здесь Л/(р), N(p) и L(p) - искомые полиномы от р степени ,
пц и П£ соответственно, не имеющие нулей в точке р = 0 (то есть
defA/(p) = def N(jp) = defL(/0 = 0); 7 - количество интегрирующих звеньев в
регуляторе, обеспечивающих требуемый порядок астатизма по задающему
воздействию x(t) и по возмущению fit). Заметим, что обычно в системах
электропривода числитель фильтра £(р) = 1. Эквивалентными
преобразованиями эта схема может быть приведена к виду, представленному на
Рис. 3.1, б.
Найдем следующие передаточные функции замкнутой системы:
а) от задающего воздействия x(t) к выходу y(t) (при/(0 = 0)
G(p) = I(pL= ЩрУ\р) =
ад (р) м(р)р(р)+pi+^(p)e(p)	(3 п
L{p)P{p)	(31)
адад+р/+уаде(р)’
01 выходного сигнала фильтраxi(f) к ошибке системы s(t) (при f(t) = 0)
101
Gt(p). вд.=—/jgew.
W иял:я><;кРк:л	«!)
в) от возмущающего воздействия fit) к выходу y(t) или ошибке системы
(при x(t) = 0)

Gf (р)=Л£) = Е(Р) = рЛр} P+J~’f Mj>)Q(j>)	=
F{p) F(p) Qf(p)M(p)P(p) + pi+jN(p)Q(p)
piu+JN(p)Pf(p)Qu(p)	(3’3)
M(p)P(p) +pi+jN(p)Q(p)
6
Рис. 3.1. Структурные схемы замкнутой системы
Отметим, что передаточные функции (3.1) - (3.3) имеют одинаков*16
знаменатели.
Их анализ позволяет получить следующие равенства, обеспечиваю^
требуемые точность и качество регулирования:
102
I)	для обеспечения требуемого порядка астатизма гх по задающему
йсгвию количество нулей р = 0 в передаточной функции по ошибке (3.2)
быть равно гх, то есть количество интеграторов в регуляторе
J = rx-i'>	(3.4)
2)	для обеспечения требуемого порядка астатизма ту по
пущающему воздействию количество нулей р = 0 в передаточной функции
оВОзмущению (3.3) должно быть равно ту, то есть количество интеграторов в
(3.5)
3)	для получения требуемого качества регулирования,
соОТзетствующего желаемой передаточной функции замкнутой системы
Ож(р)=ЛР)=ад,	(3.6)
Х(р) А(р)	1 >
где А(р) и В(Р) полиномы от р степени пд и пд соответственно, должны
выполняться равенства, полученные приравниванием (3.1) и (3.6):
ад?(р)=В(р);	(3.7)
М(р)Р(р) + Pi+JQ(P)N(P) = А(р).	(3.8)
Если предположить, что полиномы А(р) и В(р) известны, a J найдено из
(3.4) или (3.5), то равенства (3.7) и (3.8) представляют собой систему двух
полиномиальных уравнений с тремя неизвестными полиномами Л/(р), N(p) и
Цр), решение которой даст искомые передаточные функции регулятора Wp(p)
и фильтра Иф (р), причем
(3-9)
^р(Р) = -у^-.
Заметим, что уравнение (3.7) имеет решение только в том случае, когда
^₽) содержит в качестве сомножителя полином объекта Р(р). Поскольку
°бычно в электроприводах L(p) = l, то принимают В(р) = Р(р) и задача
сингеза сводится, как правило, к решению только одного полиномиального
Уравнения (3.8).
Полиномиальное уравнение (3.8) имеет бесконечное множество решений,
^тКотоРых наиболее интересным является так называемое «минимальное»
у^ние, соответствующее минимально возможным степеням
футуристического полинома А(р) и искомых полиномов регулятора М(р) и
поскольку при этом регулятор получается наиболее простым. Рассмотрим
ь гЛ®®6 полиномиального уравнения (3.8), изложенное для дискретного случая
1 >18] и прил. 3. Наиболее очевидным способом решения этого уравнения
103
является следующий. Приравниванием коэффициентов при одинак0
степенях р в правой и левой частях (3.8) получают систему алгебраиче^
уравнений, в которой неизвестными являются коэффициенты полиномов
Д\р). Далее эта система уравнений решается одним из известных методов.
Прежде всего отметим, что объекты регулирования, как пр^
инерционны, то есть степень числителя передаточной функции объекта ’
меньше степени его знаменателя z + flg (иначе: передаточная функция объе1^
- строго правильная рациональная функция с indFF0(р) = пР - i - hq < 0):
ир</+йе-	Одо)
Кроме того, регулятор должен представлять собой тоже правильную
рациональную функцию из условия нормальной работы в условиях помех [271
то есть indPKp (р) 0 или
(ЗЛ1)
Уравнение (3.8) разрешимо, если степень характеристического полинома
замкнутой системы удовлетворяет условию
пА = maxfnjv/ + пр, i + j + nN + hq},	(3.12)
или с учетом (3.10), (3.11)
пА = i + j + ”N+nQ,	(3.13)
что также следует и из анализа передаточной функции (3.2). Кроме того,
количество уравнений и^+1, получаемых при развертывании
полиномиального уравнения (3.8) в систему алгебраических уравнений, должно
быть равно количеству неизвестных	+ 2, то есть
nA=nN+nM+l.	(314)
В соответствии с [16,18] полиномиальное уравнение в общем случае
имеет два минимальных решения: первое - относительно полинома
второе - относительно полинома N(p). Для первого минимального решения
степень полинома М(р) равна
пМ =riQ + i + j-\.	(3.15)
Тогда степень полинома N(p):
nN = nA-nQ-i-j	(3-16)
ИЛИ
Лу=«р-1.	(3-^)
Второе минимальное решение имеет степени искомых полиномов
”№иР-1> иЛ/=йе+/ + У-1 и™ пМ=пА~пР-
104
jj случае, когда полиномиальное уравнение (3.8) — правильное, то есть
пА <пР +
ддонмальных решения совпадают, оно имеет единственное минимальное
рещевие с
Г	nM=nQ+i + J~l и nN=nP-l.	(3.19)
Покажем, что минимальное решение полиномиального уравнения не
да приводит к физически реализуемому регулятору. Рассмотрим сначала
^ильное полиномиальное уравнение. Подставим пм и nN из (3.19) в
условие реализуемости регулятора (3.11). Получим	что
поагиворечит (3.10). Поэтому для объектов со строго правильной передаточной
фрикцией (indH^(p) < 0) невозможно получение реализуемого регулятора (с
правильной передаточной функцией) по правильному полиномиальному
уравнению. То же можно сказать и о втором минимальном решении (3.18)
неправильного уравнения относительно N(p). Таким образом, для получения
физически реализуемого регулятора степень характеристического полинома
должна выбираться из соотношения
пА £пр + yiq + i + J,	(3.20)
где знак равенства соответствует минимальному решению. Получаемое при
этом полиномиальное уравнение будет неправильным. Степень полинома Л/(р)
выбирается при этом по (3.15), полинома N(p) - по равенству (3.16). Заметим,
что получаемые при этом степени полиномов соответствуют условиям
разрешимости (3.13) и (3.14) полиномиального уравнения (3.8).
Подставив в условие реализуемости регулятора (3.11) выражения (3.15) и
(3.16) для минимальных степеней искомых полиномов, получим выражение для
степени характеристического полинома
лл>2(ле+/) + /-1,	(3.21)
°ткуда следует, что минимальная степень характеристического полинома
может быть получена, если выбрать степени числителя и знаменателя
Регулятора одинаковыми, то есть indPKp(p) = O. Вместе с тем, определенный
ИнтеРес могут представлять регуляторы, в которых степень числителя меньше
степени знаменателя, то есть с indFFp(р) <0, что соответствует
пА = 2(«е + 0 + J -1" indH'p (р).
^Огда степени искомых полиномов равны
=	+	"№«e+^-l-ind^p(p).
Нов ^егУЛЯТ0Р, полученный по этим соотношениям, хотя и приводит к
Ь11Пснию порядка характеристического полинома, обладает свойствами
(3.22)
(3.23)
105
фильтра и может использоваться в системах с существенным уроВ{*
высокочастотных помех.
Если степень по крайней мере одного из полиномов Р(р) или p1+^Q(
равна нулю, то полиномиальное уравнение (3.8) является вырожденным и е
решение упрощается. Так, при часто встречающемся случае п?
минимальное решение относительно М(р) ищется как частное и остаток
деления А(р) на pl+JQ(p).
После вычисления минимально возможных степени
характеристического полинома А(р) и искомых полиномов регулятора
N(p) решение уравнения (3.8) может быть найдено как решение систем^
алгебраических уравнений, получаемой приравниванием коэффициентов пр^
одинаковых степенях р в правой и левой частях этого уравнения. Для решена
полиномиальных уравнений высокого порядка с применением ЭВ^
целесообразно использование алгоритма Евклида, представленного в [16,1$] и
прил. 3.
Общее (неминимальное) решение М (р), N*(p) полиномиального
уравнения может быть получено из минимального М(р), N(p) следующим
образом:
М*(р) = М(р) +p‘+JQ(p)D(p\, N*(p) = N(p)-P(p)D(p),	(3.24)
где D(p) - произвольный устойчивый полином или дробно-рациональная
функция.
Регулятор, получаемый по приведенной методике, является
некомпенсационным, то есть он не компенсирует нули и полюсы передаточной
функции объекта Wo(p), поэтому порядок характеристического уравнения А(р)
может получиться достаточно высоким, что не всегда удобно. В практике
проектирования электроприводов принято компенсировать некоторые
инерционности объекта (некоторые нули и полюсы) с тем, чтобы снизить
порядок характеристического уравнения. Кроме того, это позволяет повысить
качество регулирования (быстродействие системы) за счет компенсации
некоторых или всех инерционностей объекта. Рассмотрим такой вариант
синтеза.
Представим передаточную функцию объекта, выполнив ег0
факторизацию, в виде:
WO(P)=WO+(P)WO_(P),
где Иг0+(р) = + содержит все устойчивые (расположенные в лев0
б+(р)
полуплоскости комплексной плоскости, или просто - левые) нули и полю®
Р (п\	$
объекта, a W0_(p) = ——---- содержит все неустойчивые (правые) нУл11
полюсы объекта, а также нейтральные (равные нулю) полюсы. Д^
106
(о)я^о-(Р) будем называть соответственно левой и правой частями
зТочной функции объекта. Заметим, что факторизацию полинома
11 jjoro порядка, представляющего собой просто коэффициент, можно
^одйять достаточно произвольно, относя его либо к левой, либо к правой
объекта.
Из теории автоматического управления известно [16,22,118 и др.], что
сенсация регулятором неустойчивых (правых) нулей и полюсов объекта
замкнутую систему «негрубой», что выражается в потере ею
^ойчивости даже при бесконечно малых изменениях параметров. Очевидно,
У доая система не может считаться работоспособной, то есть компенсация
^^пойчивых нулей и полюсов недопустима из условия грубости. Устойчивые
и полюсы компенсировать можно, но это, во-первых, приводит к
оиьппенной чувствительности системы к изменению параметров объекта из-за
появления дополнительных составляющих переходного процесса при
дпслонении параметров от расчетных; во-вторых, как будет показано ниже, это
моЖет привести к ухудшению отработки возмущающих воздействий. Оставив
выбор компенсируемых нулей и полюсов за проектировщиком, запишем левую
часть передаточной функции объекта в виде:
w (- Рк+(рУн+(р)
0+{) вМШ’
где индекс «к» соответствует компенсируемой части устойчивых полиномов,
«н» - некомпенсируемой. Окончательно передаточную функцию объекта
запишем в виде:
wo(p)=wh(p)wk(p) =
Р(Р)РЯ+(Р) рк+(р) р^р) рк(р)
?^(р)ен+(р) бк+(р) р'ен(р) бк(р)'
(3.25)
Таким образом, к компенсируемой части объекта	отнесены
некоторые из устойчивых нулей и полюсов объекта (по выбору
проектировщика), а к некомпенсируемой Wn(p) - оставшиеся устойчивые и все
Устойчивые нули и полюсы. Заметим, что если пр =0, то Р(р) = р§ можно
ЗДести как к компенсируемой, так и некомпенсируемой части объекта.
Передаточную функцию работоспособного компенсационного регулятора
м°жно представить в виде
w.W.	,
(3.26)
^®Чем Условие его реализуемости	£ о + и# + ид., а передаточные
замкнутой системы (3.1)- (3.3) примут вид: *
107
оудут определяй
синтеза (3.7) и (з8)
G(p\ = IiP)- =_____Д/Wp)____________.
X{p}	+	%
G (p)_ E^) _ p^MjW^p)
6 ВД М(р)Ря(р) + pi+jN{p)Q^p)
cf(p} , У(Р)'_ E(P) _ P№ P+J~ifN(P)Qn(P)
F(p) F(p) Qf(p) M(p)PH(p) + pi+JN(p)Qfl(p)' (3'29)
Статические свойства такой системы по-прежнему
выражениями (3.4) и (3.5), а полиномиальные уравнения
примут вид:
l(p)Ph(p)=b(p)',	(з.зо)
M(p)PH(p) + pi+JQn(PW(p) = A(p).	(3.31)
Заметим, что в отличие от выражения (3.3), передаточная функция по
возмущению (3.29) может иметь знаменатель, отличный от знаменателей (3.27)
и (3.28), если полином Qf(p) или его часть отнесены к компенсируемой часта
объекта. Тогда процесс по возмущению будет определяться как
характеристическим полиномом А(р), так и полиномом объекта 2к(р).
Поэтому компенсация значительных инерционностей объекта, расположенных
после точки приложения возмущения, может привести к существенному
«затягиванию» отработки возмущающих воздействий.
Методика отыскания минимального решения полиномиального
уравнения (3.31) аналогична решению (3.8). Прежде всего отметим, что степень
характеристического полинома должна удовлетворять условию:
пА = max{nM + nPn,i + j+nN + п^} = i + j + nN + nQn.	(3.32)
В общем случае полиномиальное уравнение (3.31) имеет два
минимальных решения: относительно полинома М(р) - {Л/д(Р)> NQ(p)} 0
относительно полинома N(p) - {Л/°(р), Nq(p)} . Для первого решения степей
искомых полиномов равны:
"л/0 =иен +'+7-1;	(з33)
V	-1 J™60 V =па~nQB-*-/>
для второго
«ЛГо=и^н"1;	(3.34)
V	=”2н +/ + >"1 ™6° V = пА ~пра-
оба
Если уравнение (3.31) правильное [16], то есть пр* + i>nA'
минимальных решения совпадают и степени минимальных полиномов рав^
108
(3.35)
£ак и для предыдущего случая, можно показать, что физически
^зуемый регулятор с одинаковыми степенями числителя и знаменателя
= может быть получен только для неправильного
пядомиального уравнения, то есть если степени полиномов выбрать из
решений:
пА = nQ +ибн + 2, + J“1> пМ ~nQa	nN-nQ+i-l. (3.36)
Для получения регулятора с ненулевым (отрицательным) индексом
^пени полиномов А(р) и 7V(p) должны быть увеличены на величину индекса:
nA=nQ+nQa+2i + J-1-jndfrp(p);
"л/=иен=ng+/-1-111(1^(р).
Необходимость такого решения возникает, в частности, в случае высокого
уровня помех на входе регулятора, обусловленного, например, помехами в
канале обратной связи. Тогда в состав регулятора может быть включен фильтр,
обеспечивающий допустимый уровень помех.
(3.37)
Особенности расчета систем подчиненного регулирования в
электроприводе заключаются в том, что объект управления обычно делится на
две части: относительно «медленную», компенсируемую, с большими
постоянными времени объекта и «быструю», некомпенсируемую, содержащую
малую постоянную времени Т^. К последней обычно относят фильтр,
вводимый в систему для снижения уровня помех, а также внутренний
замкнутый контур в многоконтурной системе. При этом имеется некоторая
свобода выбора этих малых постоянных времени. При синтезе методом
полиномиальных уравнений малую постоянную времени целесообразно
отнести к искомым параметрам. Это позволяет снизить порядок
характеристического полинома замкнутой системы А(р) и искомых полиномов
W) и N(p) на единицу, упростив таким образом регулятор. Однако следует
иметь в виду, что при таком подходе задача синтеза не всегда имеет решение.
Принцип подчиненного регулирования координат предполагает
п°контурный, начиная с внутреннего контура, синтез регуляторов системы.
Фи синтезе регулятора каждого последующего контура синтезированный
внутренний замкнутый контур относят к объекту регулирования, и
^НеДУра синтеза, таким образом, повторяется для каждого из контуров.
^^^Ьложенная выше методика синтеза регуляторов позволяет произвести
каждого контура системы подчиненного регулирования в два этапа: на
этапе определяется структура регулятора и свяЪь его параметров с
о^ФМЦиентами желаемого характеристического полинома и параметрами
а на втором - устанавливается связь между заданными показателями
^Тва и коэффициентами характеристического полинома, а значит, и
109
параметрами регулятора. Очевидно, что второй этап при синтезе
контуров регулирования может быть исключен.

Поэтому задача синтеза во внутренних контурах системы подчиненно
регулирования заключается в отыскании лишь структур соответствуют»?
регуляторов к решается полностью только для самого внешнего контура. П/
таком подходе к синтезу многоконтурной системы параметры регуляторов
контуров и величина определяются исходя из требований к самому
внешнему коктуру, однако это позволяет косвенно оптимизировать и процесса
регулирования во внутренних контурах.
Пример 3.1. Рассмотрим контур регулирования тока якоря тиристорного
электропривода постоянного тока, структурная схема которого приведена на
рис. 3.2. Здесь основными возмущающими воздействиями являются против
ЭДС двигателя и изменение напряжения питания сети, место приложения
которых с выхода тиристорного преобразователя эквивалентными
преобразованмями перенесено на выход объекта. Кроме того, к этой же точке
(выходу преобразователя) прикладывается помеха, в спектре которой
преобладают частоты, кратные частоте коммутации преобразователя (для
трехфазной мостовой схемы это 300 Гц и в целое число раз большие частоты) и
кратные 50 Гц, источником которых являются несимметрия питающей сети и
погрешности системы импульсно-фазового управления (50, 100 и 150 Гц для
трехфазной мостовой схемы). В цифровой системе регулирования
целесообразно использовать усредняющий датчик тока с периодом усреднения,
равным периоду дискретности преобразователя. Тогда частоты, кратные
частоте коммутации преобразователя эффективно подавляются этим датчиком
и не оказывают заметного влияния на точность и качество системы. Поэтому
можно считать, что помеха имеет частоты, равные 50,100 и 150 Гц.
Рис. 3.2. Структурная схема контура регулирования тока
Линеаризованный объект регулирования можно представить в виде:
ПО
(3.38)
°{Р) Т3р + Г
- коэффициент усиления тиристорного преобразователя по
Г^плжению; Л, - эквивалентное сопротивление якорной цепи; Т3 =1^/1^ -
е(Яромагнитаая постоянная времени; £, - эквивалентная индуктивность
* ой цепи. Здесь P{p')=P+{p) = kmR3-, Q[p) = Q+(p) = T3p + l; i = 0.
Тпадициойно регулятор тока якоря выполняется с компенсацией
^^рцнонности якорной цепи, поэтому, отнеся весь знаменатель объекта к
П (р)> а ег0 числитель “ к ?к(Р) и задавшись желаемым порядком астатизма
управляющему воздействию, равным 1 (то есть у=1), запишем
полиномиальное уравнение:
M(p) + pN(p) = A(p),
где пА ~ пМ = nN~ 0 >т0 есть	= m0 > М/0 = «о • Тогда полиномиальное
уравнение приобретает вид:
zno+P»o=^P + l,
(3.39)
где Tj =Oq1 - эквивалентная постоянная времени желаемого замкнутого
контура. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в правой и
левой частях полиномиального уравнения, находим его минимальное решение
mo=l;wo=7}. Поскольку полученное полиномиальное уравнение
вырожденное, то его решение N(p) и М(р) может быть также найдено как
частное и остаток от деления Л(р) на р. Регулятор имеет вид:
W (р) = W)gK(p) ^(^эР + 1)
Р Р^{р)Рк{р) ктпПР
а передаточные функции замкнутого контура:
ад = ЛР)=_1_;
ад т-р+1’
Gg(p)=m=_^£_;
s ад TiP+\
с/(в]:Цр)Лрк TiP
F(p) F(p) T3p + 1 TiP + \
структуру имеют регуляторы тока в быстродействующих
^Роприводах станков [25,109].	*
Пример 3.2. В типовых системах подчиненного регулирования
С1Р°Действие контура тока ограничивают, вводя в контур регулирования
(3.40)
(3.41)
(3.42)
111
фильтр с «малой» постоянной времени . В этом случае, представив об'
регулирования в виде
Wo (р) =-----------------
° (Тцр + 1)(Тэр + 1)’
где P(.p) = PK(p) = kTn/R3- PH(P) = t 2(Р) = (^Р + ЖР + 1Х бк(Р) = Т3р^
QK(p) = ТрР + 1, запишем полиномиальное уравнение:
W)+X^p+iW)=Ap),
где w^=3; пМ = U wj\r=O. Считая постоянную времени свободу
настраиваемой, можно понизить порядки искомых полиномов 0
характеристического полинома на единицу: пА =2;	то есть
Л/(р) = mQ, N(p) = по. Тогда полиномиальное уравнение приобретает вид:
™0 + XV +1)^0 = 2Гц р2 + 2Т^р + 1,
а его решением является и0 = 27^; гпо = 1. Здесь характеристическое
уравнение А(р) = р2 + у[2£1оР +	= 1/(>/2Гц) выбрано исходя из
стандартной настройки на «модульный оптимум». Регулятор и замкнутый
контур будут иметь передаточные функции:
w (Р) = w)gK+(p) =	. Р^^(.Р)Рк+(р)	(3.43)
ад.ДЙ.^2	;	(3.44)
Х(р) 2Т2р2 + 2Тир + 1	
G Гр^Е(Р)_	. 6 ЛР) 2Т2р2 + 2Тцр + 1'	(3.45)
cf(p. Y(P). Е(Р)	2ТцР<ТцР+ 0	(3.46)
F(P) F(P) РяР + ^ 2Т2р2 + 2Тцр + 1	
В обоих случаях, поскольку Рн(р) = 1, а Л/(р) = 1, принято £(р)=М(/0’
то есть Иф(р) = 1, и полиномиальное уравнение (3.30) не рассматривается.
Пример 3.3. Вернемся к примеру 3.1 и выполним синтез регулятора0
indfFp (р) = -1. При этом степени полиномов А(р) и N(p) повысятся на единив
пА - 2; им = 0;	= 1, т.е. AY(p) = twq; У(р) = п^р + п$. Тогда полиномиал*1106
уравнение приобретает вид:
т0 + Р(«1Р + «о) = 27ц р2 + 2Т^р +1,
112
решение дает регулятор
jy (р) =__________________+
Р	2*^(7^+ 1)’
^тающий фильтрующими свойствами. Нетрудно убедиться, что полученное
полностью совпадает с результатами примера 3.2.
реш
результаты моделирования контура регулирования тока с полученными
прерывными регуляторами представлены на рис. 3.3. При моделировании
^^Гэ=0,1с, Я, =0,1 Ом, *та=50, 7}=0,02с, 7^=0,01с.
Из рис. 3.3 видно, что реакция на задающее воздействие примерно
одинакова для обоих регуляторов и не зависит от параметров объекта, а
определяется только желаемым видом характеристического полинома и
постоянными времени 7} или 7^. Однако реакция на возмущающее
воздействие определяется в основном постоянной времени объекта Тэ и почти
не зависит от настроек регуляторов 7} и 7^. Это хорошо видно также и из
передаточных функций по возмущению (3.42) и (3.46), в которые передаточная
функция компенсируемой части объекта, расположенной за точкой приложения
возмущения, входит как сомножитель. Разумеется, такая «медленная»
отработка возмущающего воздействия не всегда приемлема.
113
Цифровой регулятор тока может быть получен из (3.39), (3.43) или (з
заменой в них оператора р на, например, выражение (z-l)/7z. Чтобы качеств
процессов при переходе к цифровому регулированию заметно не ухудшил^
целесообразно выбрать период дискретности Т (см. п. 1.2.1) не превышаю^?’
величину Гц. Однако в реальности при цифровом регулировании в контуре^
это показано в главе 2, появляется запаздывание, зависящее как от перц0
дискретности Т и времени расчета алгоритма, так и от текущего у/3
управления. Поэтому качество процессов, близкое к качеству в непрерывц *
системе, можно получить либо при существенно меньшем перцОл
дискретности Т в контуре регулирования (Т «Гп), либо при использовании
методов компенсации влияния запаздывания, например упредителя Смита.
Пример 3.4. Для объекта регулирования из примера 3.1 синтезируем
некомпенсационный регулятор тока, для чего представим полиномы объекта в
виде: P(p) = PK(p) = fcni/^; Рн(р)=1; Q(p} = Qn(p) = T3p + \\
Поэтому
Wp) + p{T3p + \)N(p) = A(p),
где пА =2; пм =1; «^=0, то есть M(p) = m\p + mQ, N(p) = nQ. Тогда
полиномиальное уравнение приобретает вид:
ПНР + ntQ + р(Т3р + 1)«о = 27^ р2 + 2Т^р + 1,
(3.47)
(3.48)
а его решением является п§ = 2Т21Т3, ?и1 = 27’ц-п0; /Иф=1. Здесь
характеристическое уравнение А(р) выбрано исходя из стандартной настройки
на «модульный оптимум». Регулятор и замкнутый контур с учетом фильтра
(р) = то /(Р*1Р + то) будут иметь передаточные функции:
(р) =	= ЯэО”1Р + 1)
Р piNtp'^tp') kmnoP
G(d\ = ILEL= 1	.
Х(р) 2Т2р2 +2Т\хр + \'
G (п)_-	2rnX^p + l)
5	Х1(Р) 2Т2р2 + 2Т^р + 1'
Ftp) Ftp) R,T, 27^2+27'цр + 1
Обратим внимание на то, что характеристический полином во всех
передаточных функциях замкнутой системы одинаков, то есть, в отличие
рассмотренных ранее систем с компенсационными регуляторами тока,
процессы по возмущению не зависят от инерционности объекта. Резуль
114
еЛйрования контура регулирования тока с полученным регулятором
{Давлены на рис. 3.4. Здесь же для сравнения представлены процессы с
11 ji#T0P°M (3.43). Видно, что отработка задающего воздействия в обеих
PefL1ypax одинакова, а возмущающие воздействия некомпенсационным
^лятором отрабатываются существенно лучше. То есть скорость отработки и
реющего, и возмущающего воздействия системы с регулятором (3.47)
3^лерно одинакова и определяется только настроечным параметром 7^.
Рис. 3.4. Реакция контура тока на ступенчатые задающее и возмущающее воздействия
с регуляторами:------------------(3.43);-----(3.47);---(3.51)
Сравнение частотных характеристик замкнутых контуров тока по
возмущающему воздействию (рис. 3.5,а) с регуляторами (3.39), (3.43) и (3.47)
Показывает, что система некомпенсационным регулятором (3.47) значительно
лучше подавляет низкочастотные возмущающие воздействия при одинаковом с
ремами (3.39) и (3.43) характере отработки высокочастотных возмущений.
преимущество становится тем очевиднее, чем больше величина Тэ и выше
ТРеб°вания к быстродействию контура тока (меньше Гц). Однако уровень
®°кочастотной помехи (с частотой выше частоты среза контура тока) в
<>ДНом сигнале регулятора (см. рис. 3.5,6) в системе с некомпенсационным
MqZЛят°Р°м оказывается несколько выше, чем с типовыми регуляторами. Это
с°здать определенные проблемы при необходимости технической
^изации преобразователя и ограничении выходного сигнала регулятора. В
115
этом случае целесообразно использовать регулятор с indFFp(p) = "1, С]
которого рассмотрен в следующем примере.
Рис. 3.5. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики
замкнутого контура тока от возмущения fit) к ошибке 8(f) (а) и от возмущения j
к управляющему воздействию u(t) (б) с регуляторами:
1 - (3.39); 2 - (3.43); 3 - (3.47); 4 - (3.51)
116
Пример 3.5. Вернемся к примеру 3.4 и увеличим степени полиномов N(p)
на единицу. Тогда А(р) = р3 +2Q0p2+ 2Qqp + Qo, Q0=l/(2Tg), а
оЛ0номиальное уравнение примет вид:
miP + mQ +р(7’э/, + 1Х«1Р + и0) = 87’цР3 +8^P2 +4Тц/> + 1,
^ение которого дает регулятор:
Р pjN(p)W) *тп(«1Р + «о)р’
где «1 = 82Ц 1Т*> "0 = (87н “	= 4ГЦ - «о; Wo =1 • Теперь
пегулятора входит фильтр первого порядка с постоянной
•	, Т Т //Т* ____ГГ \ ттлттот»ттатлтгггатт вгтол^лттплтуугптта ттл-жгллгтт Т-Т
(3.51)
в состав
времени
^1п^^Т^Т31(Т3 -Tg), подавляющий высокочастотные помехи. На рис. 3.4
показаны процессы в контуре тока с таким регулятором, а на рис. 3.5 -
частотные характеристики. Для получения примерно одинакового с
регуляторами (3.43) и (3.47) быстродействия при расчете (3.51) принято
2^=0,005 с.
Заметим также, что использование некомпенсационного регулятора тока
позволяет как минимум вдвое скорректировать известное [4] соотношение
Гм>107} = 20Тц, при котором отпадает необходимость в компенсации ЭДС
двигателя в системах управления электроприводами постоянного и
переменного тока. Как показали исследования частотных характеристик систем
регулирования скорости с некомпенсационным регулятором тока (3.47),
влиянием ЭДС двигателя можно пренебречь, если Тм > 5Tj = 10Гц.
Пример 3.6. Рассмотрим контур регулирования скорости электропривода
постоянного тока с внутренним замкнутым контуром тока и регулятором тока с
передаточной функцией (3.39). Передаточная функция объекта регулирования
может быть представлена в виде:
(3.52)
ТО=ТпГТп + П’
ТмР(чР + V
гДе Тм __ электромеханическая постоянная времени; 7} - эквивалентная
Постоянная времени контура тока.
Основным возмущающим воздействием в контуре скорости является
./•еяг сопротивления на валу двигателя (статический ток), и передаточная
фуН1аШя объекта по возмущению в этом случае равна:
(3.53)
117
Обычно при проектировании регулятора скорости малая постоять
времени 7} формально считается некомпенсируемой и компенсируется
большая постоянная времени Тм. Тогда	7D(p) = PK(p) = PH(p^0
Q(p) = WiP +1); бк(р) = гм; бн(р) = TiP +1; »= 1- Рассмотрим два варИа^
синтеза - с порядком астатизма по задающему воздействию гх, равн^
соответственно 1 и 2. Поскольку у = 1, порядок астатизма по возмущению г
будет соответственно равен 0 и 1. Учитывая, что объект содержит Од/
интегрирующее звено, из (3.4) находится количество интегрирующих звеньев
в регуляторе, равное для этих двух вариантов соответственно 0 и 1.	J
Дня системы с астатизмом первого порядка полиномиальное уравнение
синтеза (3.31) принимает вид:
W) + X7/P + 1W) = AP),
где минимальному решению соответствует пд = 3;	= 1. Считая
эквивалентную постоянную времени внутреннего контура тока 7} свободно
настраиваемой, понизим порядки полиномов на единицу. Тогда =
N(p) = n0-	A(p) = p2 + j2Q0p + $,	Qo=1/(>/2^). Желаемый
характеристический полином А(р) выбран здесь исходя из типовой настройки
на «модульный оптимум». Решение полиномиального уравнения, полученное
приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях р в правой и левой
части полиномиального уравнения, равно: ио = 2Гц; ^о=1; 7} =7^. То же
решение можно получить как частное и остаток от деления А(р) на p(7Jp+l),
т.к. полученное полиномиальное уравнение - вырожденное. Тогда регулятор
примет вид:
(3-54)
а передаточные функции замкнутой системы:
1-------•	(3.55)
Х(Р) 2Т2р2+2Т^р + 1
G (d\=	+	.	(3.56)
t7eW"^(p)’2T(iV + 27’gP + l’
С f(u) Y{P) = Е(Р) - 1 2Т^Р + °	И
Г(Р) Р(Р) Гм 2Т2р2+2ТцР + 1
Заметим, что коэффициенты ошибок для (3.56) равны cq =0,Ci = zV
для (3.57) c0 = 2Tg/TM. Это означает, что при ступенчатом задаЮ^
воздействии ошибка равна 0, при линейном - пропорциональна величине
118
^*ть для ее уменьшения необходимо повышать быстродействие системы,
^ределяемое Гц, в том числе быстродействие контура тока. При ступенчатом
^лушаюшем воздействии ошибка пропорциональна величине 27^/7^, то
зависит как от быстродействия системы в целом, определяемого Т’ц, так и
gf параметра объекта Ты. Иными словами, и статические, и динамические
с80Йства системы определяются параметром регуляторов тока и скорости
и в Данном случае отсутствует возможность независимо настраивать
^^лческие и динамические свойства.
Для системы с астатизмом второго порядка полиномиальное уравнение
cBBje3a (3.31) принимает вид:
M(p) + p2(TiP + V)N(p) = A(p),
где для получения минимального решения (с учетом понижения порядка на
единицу) выбирается А(р) = р3 + 2Q0P2 + 2Qq р + Qo > Ц) = 1 /(Щь ) ;
М(р) = т1Р + то'> N(P) = n0- Желаемый характеристический полином А(р)
выбран здесь исходя из типовой настройки на «симметричный оптимум»,
решение полиномиального уравнения, полученное приравниванием
коэффициентов при одинаковых степенях р в правой и левой части уравнения,
дает: mQ = 1; = 4ТЦ; «о = 82]?; Ъ = . Тогда регулятор примет вид:
^м(4РцР + 1)
^Р(Р)= М -И2— ,	(3.58)
Р 8Г2р
фильтр на входе замкнутого контура при Цр) = 1
РГф(Р) = л7(7) = 471цр + Г
а передаточные функции замкнутой системы:
G(dx=Пр)______________!__________.
X (р) 8Т3 р3 + 8712 р2 + 47’цр +1 ’
G (р) =	=	8Г2р2(Т-р + 1)_______
е Х^р) (4Тцр+1Х8Т’р3 + вТ^р2 + 4Тцр +1) ’
Gf(p\ Л(^)_Е(Р) _1	- 8Т2р(7-р + 1)
F(p) Г(Р) тм 87,3р3+8Г|2р2+47’цр + 1’
(3.59)
(3.60)
(3-61)
Очевидно, что аналогично можно получить регуляторы скорости для
когда регулятор тока имеет вид (3.43) или (3.48). На этих примерах
Убедиться, что метод полиномиальных уравнений позволяет получить
х°рошо известные в электроприводе регуляторы тока и скорости, так и
119
новые регуляторы, обладающие некоторыми заданными свойствами. При Эт
замкнутые контуры настроены на ставшие стандартными модульный
симметричный оптимумы.
3.3. Обеспечение работоспособности, качества и точности
псевдонепрерывных систем
З.ЗЛ. Обеспечение работоспособности
Обязательными условиями работоспособности системы автоматического
регулирования являются ее устойчивость и грубость [16,118]. Очевидно, чт0
метод полиномиальных уравнений всегда обеспечивает первое требование
поскольку полиномы регулятора ищутся как решение полиномиального
уравнения с желаемым характеристическим полиномом А(р) в правой части
который заведомо выбирается устойчивым.
Под вторым условием - грубостью - понимается свойство системы
сохранять устойчивость при малом изменении ее параметров. Таким малым
изменениям параметров подвержены все без исключения системы
автоматического управления и представляется чрезвычайно важным еще на
начальных этапах проектирования исключить получение негрубых систем,
поскольку в некоторых случаях свойство негрубости может не проявляться при
моделировании и промышленных испытаниях, но неожиданно проявляет себя в
процессе промышленной эксплуатации [82,83]. Это связано с тем, что в таких,
негрубых, системах потеря устойчивости иногда может происходить при
изменениях параметров только определенного знака.
В линейных системах автоматического управления с медленно
меняющимися параметрами возможно два рода нарушения грубости [15].
Нарушение грубости первого рода происходит как в непрерывных, так и
цифровых системах при попытке прямой компенсации отрицательных
динамических свойств объекта (неустойчивости и неминимальнофазовости)
при помощи регулятора с такими же отрицательными свойствами.
Непрерывные модели элементов электропривода обычно устойчивы и
минимально-фазовы. Но некоторые технологические объекты, включающие в
себя электропривод, неустойчивы или содержат транспортное запаздывание,
что делает их также неминимально-фазовыми.
Нарушение грубости 1-го рода происходит, например, при шире*0
используемом и, казалось бы, тривиальном расчете передаточной функ^
регулятора W^(p) по желаемой передаточной функции замкнутой системы W
и объекта W0(p) по формуле:
W (п) =__I____
Р< } W0(p)i-G(p)'
Эта простая методика приводит к работоспособным системам тоЛ^1ц
случае устойчивых и неминимально-фазовых объектов, то есть имеющих
120
полюсы только в левой полуплоскости (в дискретном случае - внутри
окружности). Особенностью такого рода негрубости является то,
^Тсистема теряет устойчивость при сколь угодно малых изменениях
паметров любого знака и легко выявляется на этапе моделирования
Блессов, т.к. численные расчеты в ЭВМ выполняются с конечной точностью.
Нарушение грубости второго рода может происходить при
шественном обнулении некоторых (обычно старших) коэффициентов
^актеристического полинома замкнутой системы, что имеет место, например,
й весьма распространенной в электроприводе компенсации регулятором
^гойчивых нулей или полюсов ПФ объекта. Для непрерывной системы и-го
порядка характеристический полином имеет вид:
Др) = апРП + °п-\РП~Х + - + °\Р + ао.
Если параметры регулятора выбраны таким образом, что, например, ап = 0, то
палые изменения параметров объекта, которые всегда имеют место в
промышленных условиях, приведут к полиному
Л'(р) = Ьа„рп + а;_1Ри-1 +... + а[р + a'Q,
где a'j ~ измененные коэффициенты полинома. Поскольку вариации
коэффициента 8ап могут быть как положительными, так и отрицательными в
зависимости от направления изменения связанных с ним параметров объекта,
то и замкнутая система при 8ап < 0 станет неустойчивой. Это связано с
нарушением необходимого условия устойчивости, требующего
положительности всех коэффициентов характеристического полинома.
Заметим, что при исследовании нарушения грубости 2-го рода иногда
предлагается находить порядок характеристического полинома как сумму
порядков всех элементов, входящих в систему [20]. При таком подходе
пониженный порядок характеристического полинома, по крайней мере, должен
насторожить проектировщика, поскольку искусственное понижение порядка
характеристического полинома вызывает при вариации параметров появление
Дополнительных составляющих переходного процесса, которые могут носить
как устойчивый, так и неустойчивый характер. В первом случае система
остается работоспособной, но может существенно ухудшиться качество
РегУлирования из-за повышенной чувствительности системы к вариации ее
параметров. Во втором случае происходит нарушение грубости 2-го рода.
В классических непрерывных системах электропривода с хорошо
^Ученными П- и ПИ-структурами регуляторов нарушения условий грубости,
правило, не происходит, поскольку обычно объект устойчив и 8ап > 0.
при структурно-параметрическом синтезе новых типов регуляторов
^пходимо учитывать возможность нарушения грубости 2-го рода.
,^Анализ условий устойчивости систем с объектами 1-3 порядка и
^^ический опыт проектирования цифровых систем управления позволяет
121
сформулировать следующие простые эмпирические условия, при котОп
возможно нарушение грубости:	t
1.	Регулятор компенсирует неустойчивые (правые) нули или под^
объекта. Учитывая возможное изменение параметров объекта, сюда
включить и случай, когда нули (полюсы) регулятора близки к неустойчив
полюсам (нулям) объекта.	**
2.	Степень характеристического полинома меньше суммы степей *
полиномов знаменателей ДПФ объекта и регулятора, то есть порЯд
замкнутой системы меньше суммы порядков всех ее элементов, и имеет
искусственное понижение порядка характеристического полинома, напримеп
за счет компенсации регулятором устойчивых нулей и полюсов объекта (в
числе приближенная).
3.	Передаточная функция регулятора имеет неустойчивые (правые) нудц
или полюсы, то есть является неминимально-фазовым звеном. Даже если
система с таким регулятором является устойчивой и грубой, с практической
точки зрения наладка системы с таким регулятором связана с серьезными
проблемами, существенно затрудняется и задача ограничения координат
объекта. Поэтому лучше отказаться от попыток использования таких
регуляторов и рассмотреть другие варианты синтеза.
4.	Регулятор формирует положительную обратную связь по регулируемой
координате или ее производным. Это возможно, если полином числителя
регулятора содержит отрицательные коэффициенты, то есть этот случай по
существу сводится к предыдущему, третьему, условию.
Выполнение хотя бы одного из этих условий означает, что в системе,
возможно, имеет место нарушение грубости 1-го или 2-го рода, поэтому
необходима дополнительная проверка полученного регулятора, например,
путем моделирования замкнутой системы при малых вариациях параметров
объекта.
Нарушение условий грубости происходит, как правило, при синтезе
линейных систем с предельными динамическими характеристиками, что
связано с необходимостью компенсировать инерционности объекта или
влияние запаздывания, с «острой» настройкой регулятора на требуемы6
показатели качества и т.д. Вместе с тем ряд проблем, возникающих при синтезе
грубых систем управления, можно устранить, если воспользоваться методик^
синтеза, основанной на рассмотренном выше методе полиномиальны*
уравнений. Так, первые два условия устраняются, если выбрать методик
синтеза некомпенсационного регулятора. Два других условия леГ*
проверяются после решения полиномиального уравнения. Если получен^
минимальные полиномы числителя или знаменателя регулятора
удовлетворяют условиям грубости, то можно искать неминимальные реше
полиномиального уравнения с устойчивыми искомыми полиномами.
122
3.3.2. Обеспечение требуемого качества
При синтезе регуляторов одной из важнейших задач является
^деление оптимальной передаточной функции замкнутой (или разомкнутой)
дри решении практических задач проектирования характеристический
^ом системы, как правило, не задается; известны лишь требования к
^^ическим свойствам системы электропривода (чаще всего это параметры
переходного процесса при воздействии сигналов определенной
!к»пмы)- Наиболее распространенным сигналом, по реакции на который судят о
*^мических свойствах системы, является входное воздействие типа
^^ячного ступенчатого сигнала.
Решение этой задачи для непрерывных систем возможно различными
ие10дами, один из вариантов известен как метод стандартных переходных
характеристик [7]. Суть метода заключается в следующем.
Известно, что динамические свойства системы определяются поведением
свободной составляющей переходного процесса, которая в свою очередь
зависит от распределения корней характеристического полинома системы (или,
что то же самое, от коэффициентов характеристического полинома). Если
характеристический полином л-го порядка имеет вид:
1	п
А(Р) = апР +a„_ip +... + aiP + aO = anTI(p-Pi) =
i=l	(3.62)
= ап(рп + ап-1^0Р” 1+ — + СС1По 1р + Ло),
где pi - корни характеристического полинома,
среднегеометрический корень характеристического полинома, определяющий
быстродействие системы, то передаточная функция замкнутой системы
запишется в виде
(3.63)
•	*Р)
новой комплексной переменной
р*=р/й0,
Перейдя к
Ха^актеристический полином (3.62) можно записать в виде
Л(р*) = Р*” + ЯП-АР*"' + - +	+1.
При использовании понятия относительного времени Г* = можно по
3/^кению переходной функции найти ее оригинал и построить
р**Р°ванные по Qq переходные характеристики этой системы для
степеней характеристического полинома . При этом необходимо
я определенным распределением корней на комплексной плоскости.
123
Нормированные коэффициенты характеристического полинома
соответствующие нормированные переходные характеристики для наиб0 11
известных распределении корней приведены в прил. 4.
Заметим, что приведенные кривые справедливы для замкнутых систе
числителем в (3,63) нулевого порядка. Появляющиеся в реальных зада
полиномы числителя (3.18) М(р) и Р(р) могут быть либо скомпенсир0в^
фильтром №ф(р), либо учтены при выборе распределения кор^1
Рекомендации по выбору полиномов числителя В(р) и знаменателя ж
передаточной функции замкнутой системы G(p) при пв * О приведе^
например, в [7,137].
Иногда в качестве меры быстродействия системы (и соответствен^
масштабирующего коэффициента) используют величину соо =ао^1 = Q0/a°
Тогда, перейдя к новой комплексной переменной р**= ра^/О^, можно
преобразовать характеристический полином (3.62) к виду:
А(р..) = Р”» +	+ - + Л2р2* + А*р„ + А^ =
= рЪ + aja„_i/£-1 +... + a"-2a2p.. +	+ a",
где A* = af zaz, i' = ОД,...,n -1. Мера быстродействия coq и соответствующее
представление характеристического полинома удобно тем, что нормированные
по (оо переходные функции для систем разного порядка имеют примерно
одинаковый масштаб в относительном времени г** =®Qt = О0г/ар В
частности, это может быть использовано для понижения порядка модели
внутреннего замкнутого контура регулирования, если принять одинаковыми
величины ©о в исходной и аппроксимирующей моделях. Соответствующие
переходные функции также приведены в прил. 4.
3.3.3. Обеспечение требуемой точности
Вопросы повышения статической точности замкнутых систем управления
хорошо изучены в классической теории управления [7,22,73,105 и ДО-1-
Обычными средствами являются: а) введение интегральной составляющей ®
закон управления; б) увеличение контурного коэффициента усиления. Перв^
способ приводит к усложнению регулятора системы, снижению запасе®
устойчивости и, как следствие, к повышенной чувствительности к изменений
параметров. Второй способ требует соответствующего повышен03
быстродействия замкнутой системы.	в
Так, в примере 3.4 показано, что для уменьшения статической ошибк0^
системе регулирования скорости необходимо уменьшать параметр
которого зависит быстродействие и контура скорости, и внутреннего
тока. Однако повышение быстродействия выше заданного может вызвать н
проблем, связанных с увеличением максимального значения управляю
124
е^ствия, повышением требований к преобразователю, двигателю и
»*,,®язму. В цифровых системах управления это может потребовать еще и
’,е’^ц1ения периода дискретности. Поэтому можно ставить задачу повышения
фреской точности независимо от динамических свойств системы. Покажем,
в рамках метода полиномиальных уравнений решение такой задачи
2лоЖН°-
рассмотрим сначала систему с некомпенсационным регулятором,
ценным на основе минимального решения полиномиального уравнения, и
0 еюШУ10 передаточные функции ошибки (3.2) - по задающему и (3.3) - по
Смущающему воздействиям соответственно.
Полагая xj (t) = xq = const, f (f) = fa = const, / = j = 0, найдем значения
установившихся ошибок по задающему и возмущающему воздействиям:
ч - 1™ =Л££» >
7 р-^л Р	тоРа+поЧа q/oK+i
(3.64)
(3.65)
где «o»mO’/’o»9o>/’/o>?/o “ свободные члены соответствующих полиномов;
£ -	_ контурный коэффициент усиления.
Мо
При линейном изменении воздействий *i(t) = XQt9 f(f) = fat
установившаяся ошибка имеет место, если замкнутый контур управления
содержит одно интегрирующее звено, то есть i + j' = 1. Тогда
8Х = lim pGe(p)^- = Xq	= XQ^;	(3.66)
р-»0	«оРО к
if = lim р(/(р)4 = /о—-^ = /0—у-	(3-67)
р->0	р2 9/0 ^ОА) 9/0 &
Из этих выражений видно, что величина ошибки может быть уменьшена
* счет увеличения контурного коэффициента усиления К, то есть путем
Соответствующего изменения коэффициентов т$ и п$ регулятора. Однако для
Регулятора минимальной степени, получаемого решением определенной
^сгемы пА +1 уравнений с	+ 2 неизвестными, это возможно лишь
одновременном изменении коэффициента oq характеристического
Пояинома, что приведет к изменению быстродействия системы (т.к. при этом
^снится среднегеометрический корень Qq = у1^/ап ).
[98] для независимого (от динамических свойств) изменения
Хф/^еской точности системы предлагается повысить расчетный порядок
^Туристического полинома Л(р) и соответственно искомых полиномов М(р)
на единицу по сравнению с минимальным решением. Система
125
уравнении, которая затем получается при развертывании полиномиаль*
уравнении, оказывается неопределенной совместной, то есть количеств
неизвестных	+ 4 на единицу превышает количество Уравце^
пА + 2. Поэтому появляется свобода выбора соотношения и п$, от котор^
зависит статическая ошибка. При этом имеется возможность независим *
настройки динамических свойств системы за счет остальных коэффицие^
полиномов М(р) и N(p).	в
Для системы с компенсационным регулятором, имеющей передаточж
функции ошибки (3.28) по задающему и (3.29) по возмущающ ®
воздействиям соответственно, требуемая точность может быть обеспечен
аналогично.
Так, полагая x1(r) = x0 = const, f(f) = /0 = const, можно найти значения
установившихся ошибок по задающему (при i + J = 0) и возмущающему (црй
/ +	воздействиям:
гх = lim pGs(р)^- = xq= *о;
р-^0 Р тоРпО+ WhO к +1
- Ito	=	'
J р->0 р qfo mQpnQ + Wh0	qfQ К +1
(3.68)
(3.69)
где «о, mQ, pnQ, qnQ, Pf^qfQ ~ свободные члены соответствующих полиномов;
АГ = —- - контурный коэффициент усиления.
”0?н0
При линейном изменении воздействий х1(О = хо^ /(0=/of
установившаяся ошибка имеет место, если замкнутый контур управления
содержит одно интегрирующее звено, причем i + j = 1 для задающего
воздействия и i + j - /у = 1 - для возмущающего. Тогда
с — lim пГ (— г ^О^нО _ у 1 .
8Х - lun pGe(p) 2 “х0	“х0 v >
р->0 р т0Рн0 &
ito ^(,)4=л££»^.=/<,££»1.
Р2 qfo m$pnQ qjQ К
(3.70)
(3.71)
Здесь также можно повысить расчетный порядок характеристического
полинома А(р) и соответственно искомых полиномов М(р) и N(p) на единицу
сравнению с минимальным решением. Система уравнений, которая за
получается при развертывании полиномиальных уравнений, оказывз
неопределенной совместной, то есть количество неизвестных + лу +
единицу превышает количество уравнений + 2. Поэтому появляется сВ°^
выбора соотношения zw0 и «о, от которых зависит статическая ошибка-
этом имеется возможность независимой настройки динамических сВ°
системы за счет остальных коэффициентов полиномов Л/(р) и ^(p).
126
Пример 3.7. Рассмотрим систему регулирования скорости с астатизмом
-р^ого порядка, представленную в примере 3.6, с передаточной функцией
^екга и регулятора соответственно:
1	Т
W/P + 1)	27-
значения параметров объекта 7} = 0,02 с, Тм = 1 с.
Примем
условившаяся ошибка в такой системе при действии ступенчатого
усушающего воздействия /(О = /оКО равна Еу = /q/(TmK\ где
£ а (22/У”1 = 25. Найдем структуру и параметры регулятора, обеспечивающего,
яапример, в четыре раза меньшую ошибку Еу при сохранении требуемого
качества. Очевидно, что для этого должна быть увеличена в четыре раза
величина контурного коэффициента усиления, то есть К- — = (27})~1 =100,
«о
откуда /Ид =«0^ = 100720. (Заметим, что исходный регулятор скорости
обеспечит такую точность, если повысить быстродействие замкнутого контура
тока в 4 раза с соответствующим увеличением коэффициента усиления
регулятора скорости).
Рассмотрим метод одновременного повышения на единицу порядков
полиномов регулятора и замкнутой системы, то есть выберем «/ = 3,
пм = nN = 1 • Тогда полиномиальное уравнение синтеза примет вид:
т1Р + т0 + p(Tjp++ «о) = ^Р3 + &2р2 + 4Тцр +1,
где величина 7^= 0,01 с обеспечивает требуемое качество регулирования,
соответствующее примерно такому же качеству в исходной системе при
S=0,02c.
Полиномиальное уравнение может быть развернуто в систему четырех
алгебраических уравнений с пятью неизвестными (как и в примере 3.6, 7/
слагается неизвестной, a = HqK):
Tinx=%T2-
«1 + Т}По = 8Тц;
т1+и0=47’ц;
«0/7^=1.
127
Отсюда
п0=1/ЛГ; zw0=l;
nx=«T^ITi, ти1=4Ги-1/АГ;
7- = 2ТЦ(2Т^К ± 72^(2^-!)).
Из последнего выражения
К > (2Гц)-1 = 50. Для К = 100
следует, что решение существует
9 cCjty
и Гц = 0,01 находим два варианта решения
1) mQ = 1; «о = 0,01; тх = 0,03; 7- = 0,0119; пх = 0,000672;
2) ти0 = 1; и0 = °»01; т\ = °>03; Ti = 0,0681; пх = 0,000117.
Окончательно регуляторы, обеспечивающие в 4 раза меньшую ошибку По
сравнению с традиционным П-регулятором при таком же качестве
регулирования, будут иметь вид:
Wp) = 100-0>03p + 1 ;	(3 724
’ р	0,0672р + 1
2)lFp(p) = 100—+1 .	(3 73)
2 pV	0,0117р + 1	V
При этом контур регулирования тока в первом случае должен быть настроен на
эквивалентную постоянную времени 7} =0,0119с, во втором - 7} =0,0681с.В
обоих случаях на входе замкнутого контура скорости целесообразно
использование фильтра
тхр + т$ 0,03р + Г
Результаты моделирования систем с полученными регуляторами скорости
представлены на рис. 3.6.
Отметим, что процессы регулирования с обоими регуляторами (3.72) и
(3.73) одинаковы, но второй вариант в некоторых случаях может оказаться
более предпочтительным, поскольку требует меньшего быстродействия
контура тока. С другой стороны, первый вариант регулятора скорости обладает
более выраженными фильтрующими свойствами и имеет определенны6
преимущества при высоком уровне помех в сигнале обратной связи п°
скорости. На рис. 3.6 представлены также для сравнения процессы в типов61*
системах регулирования скорости с астатизмом первого и второго поряди
задающему воздействию.
128
Рис. 3.6. Процессы в системе регулирования скорости при ступенчатых задающем
и возмущающем воздействиях с регуляторами:
1 - типовым пропорциональным (3.50);
2 - типовым пропорционально-интегральным (3.54);
3 - с заданной величиной ошибки по возмущению (3*72) или (3.73)
3.4. Условия робастности псевдонепрерывных систем
3.4.L Понятие робастной системы
с течением времени параметров объекта. Источником
объекта может быть старение элементов, их износ,
Любая система автоматического управления функционирует в условиях
изменяющихся
нестабильности
температурные изменения параметров; вариации параметров, связанные
с изменением взаимного расположения отдельных элементов системы,
конфигурации рабочего органа, изменениями параметров технологического
Ч^цесса, и т.д. Кроме того, при проектировании параметры объекта, как
Чинило, точно не известны. Поэтому, хотя проектирование системы
^Цествляется для номинального объекта (с номинальными, или расчетными,
/Мнениями параметров), спроектированная система должна быть
^^оспособна и при оговоренных пределах изменения тех или иных
дЛ^етров. Систему, сохраняющую свои свойства при заданном ограниченном
изменения параметров, называют робастной [22,89]. Так, система,
^*>аня1ощая устойчивость при заданном диапазоне изменения параметров,
Ь1Нается робастно устойчивой. Робастно устойчивые системы,
129
гарантирующие те или иные показатели процесса (например, степ
устойчивости, степень колебательности и т.п.), называют робас^
модальными системами.	'
Радикальное решение проблемы построения робастных систем возмог
за счет использования принципов адаптации. Однако высокая сложц^
адаптивных алгоритмов управления, трудности реализации и плоу?
динамические свойства контура адаптации часто становятся’ непреодолимы
препятствиями на этом пути.
Вместе с тем удовлетворительной работы системы управления в условие
изменения ее параметров часто можно добиться и без использован/
адаптации. Для этого синтезируют систему с постоянными параметрам
регулятора таким образом, чтобы даже при действии указанных возмущающе
факторов качество ее работы не опускалось ниже допустимого уровня. Таки
системы в общем случае уступают адаптивным системам, которые могут
оптимально перестраиваться вслед за изменением параметров объекта. Однако
в тех случаях, когда не требуется предельно высокое качество регулирования,
существенное преимущество таких систем, состоящее в простоте реализации,
очевидно.
Синтез робастных систем с постоянными параметрами регулятора может
быть выполнен на основе различных идей и методов. Это и методы
полученные в теории чувствительности и теории инвариантности,
минимаксный метод, использующий ||Я||2 -норму или ЦяЦ^-норму, р-анализ,
частотные методы и т.д. [24,73,88,89]. Как правило, это достаточно сложные
методы, требующие большого объема вычислений и серьезной математической
подготовки.
Сравнительно простой метод оценки робастной устойчивости и
робастной модальности можно получить на основе анализа
характеристического полинома замкнутой системы. Рассмотрим этот подход.
Для этого сначала остановимся на коэффициентных методах оценки
устойчивости и качества систем управления [102].
3.4.2. Коэффициентные методы исследования устойчивости
Пусть характеристический полином замкнутой системы имеет вид:
Ар)=апРя+аи-1Р”-1 + •••+°ip+ао> ai > ° •	<3,74)
Для систем первого и второго порядка положительность всех к0ЭФФиЦй^^
характеристического полинома является необходимым и достаточй^1
условием устойчивости, а при п > 3 - только необходимым, но не достаточ^^
Для систем выше второго порядка введем вспомогательные парами
X/, образуемые четверками рядом стоящих коэффициентов полинома А(рУ
Х,=-!И±1-. ,=w......„_2.	₽”
ai-lai+2
130
6Zi#7 л	^2^3	rr	л
, Л2=	" ~ и т д- Параметры л7 называют показателями
1 #0аЗ °1а4
^Йчивости. Для них сформулированы следующие необходимые и
ваточные условия устойчивости [102].
Чтобы система с характеристическим полиномом (3.74) была
тойчива, необходимо выполнение одного из условий'.
Г	/ = 1,2,...,л-2;
2) Xj-ikj >cw, / = 1,2,...,л-2, п£4,
(3.76)
(3.77)
Значения коэффициентов cni приведены в табл. 3.1.
Приведенные необходимые условия позволяют отбросить заведомо
неустойчивые системы и задают область, содержащую точную область
устойчивости, найденную по необходимым и достаточным условиям
устойчивости, например, критериям Гурвица или Рауса.
Чтобы система с характеристическим полиномом (3.74) была
устойчива, достаточно выполнения одного из условий:
1)Х, >2,148, i = U,...,M-2;	(3.78)
2)	+Xf+1 <1,124, / = 1,2,...,и-3; *Л+1	А	(3.79)
3)	Ai±h±L±^±2 <	/ = 1 д..., п _ 4; 4)	1 >	Л	, i = 2,3,..., п - 3; ’ ' (1Л-1Х1Л+1) 5)	Xl+X2<1; х»-3 +4z2 <1; х.>2,618, / = 2,3,...,п-3. * ^и-з^л-2	(3.80) (3.81) (3.82)
Таблица 3.1
Значения коэффициентов cni
п	cnj при i, равном						
	2	3	4	5	6	7	8
	4	4						
	4	4					
	3	4	3				
^7^^	3	3	3	3			
	8/3	3	9/4	3	8/3		
^9	8/3	8/3	9/4	9/4	8/3	8/3	
4^10^	5/2	8/3	2	9/4	2	8/3	5/2
131
Области устойчивости, построенные по этим неравенствам, бу^
находиться внутри точной области устойчивости. Как правило, 3*
использовании этих условий сужение области устойчивости незначительно^
происходит это за счет отбрасывания систем с малыми запасами устойчивое^/
3.4.3.	Робастная устойчивость
Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы (3 7^
коэффициенты которого могут принимать значения в интерв^
а, е [af,«/ ], 0 < щ . Такой полином называют интервальным, g
соответствии с известной теоремой Харитонова [24,89], необходимым ц
достаточным условием робастной устойчивости полинома (3.74) является
устойчивость лишь четырех полиномов с коэффициентами'.
1)	oq	ах	а2	03	а±	а5	а6...
2)	aQ	аг	а2	а3	а4	а5	%...
= -	— —	(3.83)
3)	а0	ах	02	а^	а4	а5	а^...
4)	«о	3.	*2	а3	а4	••
В [24] показано, что на основе первого достаточного условия
устойчивости (3.78) и теоремы Харитонова можно доказать следующую
теорему.
Для робастной устойчивости интервального характеристического
полинома (3.74) (то есть устойчивости для всех значений
aj е [af ], 0 < aj < а^) достаточно, чтобы удовлетворялись следующие п-1
условия'.
Xf £2,148, i = 1,2,...,п-2,	(3.84)
где Xf = _-?~_£+1 . Доказательство теоремы легко получить, выписав значения
Я/-1Я/+2
показателей устойчивости X/ для всех четырех полиномов (3.83) и выбрав
среди каждой четверки X/ с одинаковыми индексами наименьший показатель
устойчивости, который и будет равен Xf.
Аналогично, на основе необходимого условия устойчивости (3.76) *
теоремы Харитонова можно показать, что необходимым условием робасг^н°
устойчивости являются п-2 неравенства.
I=U....П-2.
132
Понятно, что применение теоремы о необходимых условиях робастной
^ойчивоста ограничивается теми случаями, когда требуется показать, что
^едуемая система не обеспечивает робастной устойчивости.
Таким образом, если известен диапазон изменения физических
-па^егров системы управления, то для оценки ее робастной устойчивости
обходимо по ним вычислить верхние ц и нижние ц значения
^зффипиентов характеристического полинома замкнутой системы. Далее
вселяются показатели устойчивости Xf и проверяются достаточные условия
устной устойчивости (3.84). Если они выполняются, то при любых
Щенениях параметров в рассматриваемом диапазоне система остается
^йчивой. Если хотя бы одно из условий (3.84) не выполняется, проверяются
Необходимые условия (3.85). Если хотя бы одно из необходимых условий не
длполняется, то система не является робастно устойчивой. В противном случае
обходимы дополнительные исследования на основе теоремы Харитонова и
необходимых и достаточных критериев устойчивости, например, Гурвица или
рауса. Такой подход позволяет в несколько раз сократить объем расчетов по
сравнению с непосредственным применением теоремы Харитонова.
Очевидно, что приведенные условия робастной устойчивости могут быть
использованы и для решения обратной задачи, то есть определения
допустимого диапазона изменения коэффициентов характеристического
полинома и физических параметров системы, а также для сопоставления
различных систем по величине области робастной устойчивости и
последующего выбора системы с максимальной областью.
3.4.4.	Коэффициентные методы исследования качества и точности
В теории автоматического управления качество и точность систем
управления оценивают по различным показателям:
1)	временным, определяемым по форме переходного процесса (время
переходного процесса и другие характерные времена, перерегулирование,
Установившаяся ошибка и т.д.);
2)	частотным, определяемым формой различных частотных
характеристик (частота среза и другие характерные частоты, запасы
Устойчивости по амплитуде и фазе, добротность и т.д.);
3)	корневым, определяемым расположением нулей и полюсов
^даточной функции замкнутой системы (модули коней характеристического
J^HOMa, степени устойчивости и колебательности, а также аналогичные
Хазатели нулей передаточной функции);
ц 4) коэффициентным, определяемым набором коэффициентов
^Даточной функции.
Обметим, что коэффициенты передаточной функции наиболее просто и
^Чь^ДСТВенно связаны с физическими параметрами системы. Задача анализа
и точности с использованием всех перечисленных показателей всегда
133
разрешима и решение однозначно. Для решения задачи синтеза необходим
иметь обратные зависимости, позволяющие перейти от требуемых показа^0
качества и точности к искомым параметрам системы. Как правило, это ело
выполнить при использовании частотных или временных показателе0
значительно легче решается задача при задании требований в корневой обда
и совсем просто - в коэффициентной. Кроме того, очень часто к современт^
системам управления предъявляется и требование робастности. Обз
литературы [24] показывает, что в теории управления разработаны достаток
эффективные, но громоздкие методы получения робастных систем в частота к
области, и не менее эффективные, но более простые методы в корневой
коэффициентной областях. Наименее развит этот подход во временной облаял
Поэтому вполне очевиден интерес к созданию методики, позволяющей
формулировать требования к качеству и точности системы, ее робастности
непосредственно в коэффициентной области. Для этого нужно иметь простые
аналитические зависимости между теми или иными показателями качества и
точности системы и коэффициентами ее передаточной функции. Однако такие
зависимости легко могут быть получены для систем первого и второго порядка,
для систем более высокого порядка они могут быть получены лишь
приближенно.
Выше были рассмотрены коэффициентные методы исследования
устойчивости (в том числе робастной) для линейных непрерывных систем.
Рассмотрим теперь аналогичные методы применительно к качественным
показателям работы системы.
В соответствии с [102] введем ряд параметров, характеризующих форму
процессов в системе и ее быстродействие (по аналогии с показателями
устойчивости X,). Как показано в [102], форму процессов в системе с
характеристическим полиномом (3.74) (без нулей в числителе передаточной
функции) однозначно можно охарактеризовать л-1 показателем вида:
8,-----------i =
(3.86)
а показателем быстродействия может служить величина
®0=аб/°1	(3Sr>
или обратная ей величина
5бова^е
то = Л1/яо-
Заметим, что X, = БД+ь i = 1,2,..., п - 2.
Достаточно часто при решении задачи синтеза выдвигается тре1
апериодичности процессов в замкнутой системе, что равносильно требовз^
отрицательности и вещественности всех корней характеристичен
полинома. Принципиально это задача решается с помощью известной тв0^^
Штурма [102], дающей необходимые и достаточные условия апериоди1#
процессов, но такой путь слишком сложен для решения практических 3
134
быть использован только для анализа систем. Наиболее просто эта
1(0 в коэффициентной области решается с использованием следующего
^маточного условия апериодичности, сформулированного в [102].
Если для устойчивого характеристического полинома (3.74) при п^2
^олняются неравенства
8, >4, / = 1,2,...,л-1,
(3.89)
все его корни вещественные и отрицательные, что соответствует
^рмодическому хаРактеРУ процессов в замкнутой системе (разумеется, при
Отсутствии нулей в ее передаточной функции). Условие робастной
периодичности интервального полинома приведено в [88] на основе теоремы,
^логичной рассмотренной выше теореме Харитонова: апериодичность
первых двух полиномов (3.83) необходима и достаточна для робастной
^периодичности полинома (3.74) в интервале at е[аг,а;]9 Оса; <а;.
Если требование апериодичности отсутствует, то часть корней
характеристического уравнения могут быть комплексными, при этом процессы
в системе могут носить колебательный характер. Колебательность процессов
можно оценить по максимальной степени колебательности всех пар
комплексно сопряженных корней. Напомним, что степенью колебательности ц
пары комплексно сопряженных корней называют модуль отношения мнимой
части корня к его вещественной части.
Если задана требуемая степень колебательности ц устойчивой системы,
то все корни характеристического уравнения должны располагаться в секторе,
ограниченном лучами, которые составляют & отрицательным направлением
вещественной оси угол <р = arctgp, |<р| £ л/2.
Для того, чтобы все корни характеристического полинома (3.74)
располагались в секторе ±ф, необходимо выполнение следующих неравенств
(при л£2) [102]:
8Z>(”- ' + 1)(---^cos2<p,	п-1.	(3.90)
(n-i)i
Для п = 2 эти условия являются и достаточными. При п>3 могут
Пользоваться условия:
- . (л-/ + 1)(/ + 1)Л Г 2	ГЛ IA1
5/^-—~2 l--tgz(p , <pe[0,u/4];
(« 0* I 3	)	(3.91)
8/	. .1 cos2 ф,	ф е [л/4, л/2];
(л-/)/	3
/ = 1,2,..,л-1.
есть если для данного полинома приведенные неравенства
^^пются при каком-либо значении ф, то хотя бы одна пара комплексных
* ^го полинома лежит за пределами заданного сектора ± ф.
135
Чтобы все корни характеристического полинома (3.74) располагал
секторе ± ф, достаточно выполнения неравенств [102]	в
8, >8д(«,ф), z = 1,2,...,л-1,	(3^
где 8д(л,ф) определяется из табл. 3.2.
Зависимость 8Д от порядка системы п и размера сектора ±ф
(степени колебательности ц)
n	8д<		(л,ф) при <р, град.	""i		
	0 (ц = 0)	30 (И = 0,577)	45 (р=1,0)	60 (р = 1,732)	90""' (Ц=эд)
2	4	3	2	1	
3			1+72 «2,41	2	
4					
5 и более					1,465
Заметим, что известная настройка на модульный оптимум может быть
получена, если принять 8/ =2, / = 1,2,...,и-1. Тогда коэффициенты
характеристического полинома вычисляются по формуле
2*'(2л-/-1)/2
Степень устойчивости г| линейной непрерывной системы определяется
как расстояние от мнимой оси до ближайшего к этой оси корня
характеристического полинома и определяет скорость протекания самых
«медленных» составляющих переходного процесса. То есть степень
устойчивости может служить и мерой быстродействия системы.
Достаточные условия заданной степени устойчивости можно получить,
осуществив в характеристическом полиноме (3.74) замену р на новую
переменную q подстановкой p = q-i\ и использовав любое достаточное
условие устойчивости (3.78) - (3.82). Так, используя (3.78), их можно
сформулировать следующим образом [102]. Чтобы все к°Рн*
характеристического полинома (3.74) лежали левее вертикальной пр#*0'
проходящей через точку (-т|, j0), 0 < т| < оо, достаточно выполнения услови
- aj - ам(п - i - 1)т| >0, i = 1,2,..., n -1;
2,148, k = 1,2..л-2;
ak-lak+2
a0 ~	/3 > 0.
136
Точность линейной системы управления, как было показано выше,
^^чно полно характеризуется ее порядком астатизма по задающему гх или
^^ущающему ту воздействиям, которые определяются количеством
^гегрирУющих звеньев в разомкнутом контуре, и коэффициентом усиления
ткнутого контура (контурным коэффициентом усиления) К = —, где
Р33	ио^о
Лл, Ро и 00 “ свободные члены полиномов М(р\ N(p) регулятора и
р(р),0(р) объекта соответственно.
Использование приведенных показателей формы 8, и показателя
быстродействия сод или тд позволяет выполнить как анализ качества
уработанной системы и сравнение различных вариантов ее построения, так и
синтез замкнутой системы по заданным показателям качества (быстродействие,
апериодичность, степень устойчивости, степень колебательности). Кроме того,
используя приведенные выше выражения, можно исследовать влияние
переменных параметров системы на ее качество или установить область
изменения этих параметров, при которых качество регулирования не выходит
за определенные пределы. При этом полезным может оказаться следующее
обстоятельство, показанное в [102]. Наиболее важными, определяющими,
коэффициентными оценками качества для систем четвертого и более высокого
порядка являются первые три показателя формы 81,82,83 и показатель
быстродействия Шд или то» поэтому при исследовании систем высокого
порядка иногда можно ограничиться исследованием только этих показателей.
3.4.5. Исследование чувствительности коэффициентными методами
Степень влияния отдельных параметров замкнутой системы на ее
статические и динамические характеристики можно оценивать по
чувствительности. При исследовании системы управления применяют
Различные оценки чувствительности. Это и прямые оценки, определяемые как
частные производные координат системы или показателей качества и точности
По варьируемым параметрам, и косвенные логарифмические или
^^логарифмические оценки, и функции чувствительности передаточных
Функций или частотных характеристик и т.д. Однако их применение связано с
°Ч)еДеленными трудностями [102]. Поэтому более удобными оказываются
°Ценки чувствительности введенных выше косвенных показателей качества и
^чвости: показателей устойчивости X/, показателей формы процессов 8f,
Показ*теля быстродействия cog h™ то и показателя точности К. Введем
^ДУЮщее понятие чувствительности, например, показателя устойчивости к
^^^о^орому параметру системы а, который входит в коэффициенты я,
^^ристического полинома (3.74):
137
от
_a
aiaM
, 1=1,2...п-2.
о=а0
Однако удобнее пользоваться следующими нормированными функцц^
(коэффициентами) чувствительности:
чувствительность показателя устойчивости
- q° ^Х/
° X/д д'*
a=o0
Ср g
CT=<y0 ^P 5al^/-la/+2
чувствительность показателя формы
2
aiaM
a=a0
, / = 1,2,..., л-2;
S5i _ °0 5&|
° 8,о 8<J
, / = 1,2,...,и-1;
a=a0
чувствительность показателя быстродействия
g0 g f
*oo ggVflro
a=o0
5To = q0 d*Q
CT *pp g^
a=a0
a=a0
^0 g
8jo k
оо.й£
° Ко fc
чувствительность показателя точности
gQ g Г ^qPq
A'o gal nQqQ J
a=a0 v \ u^u /q=q0
где ng “ исходное (расчетное) значение параметра и; ^о>^0’хооИ^о "
значения показателей устойчивости, качества и точности при расчетном
значении параметра gq * Если известен характер вхождения параметра о в
коэффициенты характеристического полинома (или полиномов передаточной
функции регулятора и объекта), то не составляет труда получить аналитические
зависимости оценок чувствительности от параметра q во всем диапазоне его
изменения.
На практике можно широко пользоваться приведенными вьШ1е
функциями чувствительности. Изменяемыми параметрами могут быть как одня
из конструктивных параметров регулятора, возможный разброс которого может
приводить к изменению качественных показателей системы, так и переменны^
параметры объекта управления, изменяющиеся в процессе работы системы
некоторых известных пределах.
3.4.6. Сверхустойчивость и робастная сверхустойчивость
яедз®®0
Понятие сверхустойчивости впервые было введено сравнительно в
Б.Т. Поляком в [136] для дискретных, а затем и непрерывных [86,89—91]6
и заключается в следующем.
138
Любую линейную непрерывную систему автоматического управления
РФ порядка с характеристическим полиномом вида (3.74) можно представить в
^осдранстве состояний векторно-матричными уравнениями:
Х(0 = АХ(0 + В«(0; у(Г) = СХ(О,	(3.94)
д - матрица размерности их л; В и С - соответственно матрица-столбец и
Г атрида-строка с и элементами; Х(0 - вектор состояния; u(t) и y(t) - скалярные
м од и выход системы. Устойчивость такой системы оценивается известными
^годами по собственным значениям характеристического уравнения
jet(A-'<pl) = O, где 1 - единичная матрица. Матрица А и соответственно
сястсма (3.94) называется сверхустойчивой, если ее диагональные элементы
^фицательны и по абсолютной величине превосходят сумму модулей
дедиагональных элементов на строке:
a = a(A) = min ~ац - X kty >0.
* I >
(3.95)
Величина ст(А) называется степенью сверхустойчивости. Сверхустойчивые
системы являются устойчивыми в обычном понимании, но не наоборот.
Сверхустойчивые системы обладают следующими свойствами [89—91]:
а)	при u(t) = 0, t > 0, справедлива оценка
||Х(/)||^|Хо||е-аЧ	(3.96)
б)	при |м(/)| < 1, t > 0, и любом начальном ||Xq || < у = ||в|| / о
||х(0||<у;	(3.97)
в)	при \u(t^ £ 1, t > 0, и любом начальном Xq
||Х(/)|| < у + max {0, ||Хо | -	,	(3.98)
Че|Х||= шах |х/| - оо-норма вектора X; xt - элементы вектора X; Xq = Х(0);
Р| = max \bj |; fy - элементы матрицы-столбца В.
В отличие от просто устойчивых систем траектория движения
СВеРхустойчивых систем не имеет нежелательного всплеска на начальном
^1астке» и ограниченным входам соответствуют ограниченные по всем
^Динатам движения.
Основным же достоинством сверхустойчивых систем является то, что для
.существенно проще решаются многие задачи анализа и синтеза, в
задачи статической стабилизации по выходу, робастной
^^Дизации при вариации параметров и т.д. Это связано с тем, что
^устойчивость формулируется в виде линейных условий на элементы
РИДЬ1, а не в терминах собственных значений. Кроме того,
139
сверхустойчивость, в отличие от устойчивости, сохраняется
нестационарном случае, то есть при ограниченном изменении параметров. *
Однако использование этого подхода для непрерывных систем связав
определенными трудностями (для дискретных систем, как это будет показавС
гл. 4, таких проблем нет). Прежде всего это связано с тем, что стандарт^0 *
переход от скалярной системы л-го порядка к эквивалентной запцС11
пространстве состояний (в канонической управляемой или наблюдаем *
форме) не приводит к сверхустойчивой матрице. Поэтому необходи^
использовать более сложные методы перехода, связанные с вычислением нУл ?
и полюсов передаточной функции, а это сводит на нет все преимуществй
понятия сверхустойчивости. Кроме того, до сих пор не найден одномерной
аналог сверхустойчивости для непрерывных систем, хотя для дискретны
систем он известен [86,89].
Определенным выходом в такой ситуации может служить теорема
приведенная в [89], позволяющая судить о сверхустойчивости системы по
расположению корней характеристического уравнения. В соответствии с ней
чтобы линейная непрерывная система л-го порядка была сверхустойчивой, все
ее полюсы должны располагаться в секторе
(3.99)
Используя достаточные условия (3.92) расположения полюсов в заданном
секторе, можно получить достаточные условия сверхустойчивости
характеристического полинома
5jS8*(«), / = 1,2..л-1,	(3.100)
а интерполируя данные табл. 3.2 на значения сектора из (3.99), - значения 8J,
при которых система л-го порядка является сверхустойчивой (см. табл. 3.3).
Таблица 3.3
Значения сектора ±<р и величины 8д(л)
для сверхустойчивых линейных непрерывных систем
л	2	3	4	5	6	7	8 _
Ф, рад.	л/4	л/3	Зл/8	2л/5	5л/12	Зл/7	7л/1£.
Ф, град.	45	60	67,5	72	75	77,1	78,8_
* ч СО	2	2	1,84	1,75	1,7	1,66	1,64
Анализ величины 8/ для стандартных настроек (см. прил. 4) показы®^*’
что сверхустойчивой при любом л является настройка на модульный
При биномиальном распределении корней сверхустойчивыми
полиномы 1-7 порядка, при распределении по Баттерворту - 1-3 поряД1^ #
настройки с кратными комплексно сопряженными корням^
140
регулированием 5% - полиномы до 5-го порядка включительно, а
Стройка на скорейшее затухание процессов не является сверхустойчивой при
л. Это говорит о том, что множество сверхустойчивых систем не
Шляется пустым, более того - к нему могут быть отнесены некоторые
Местные настройки непрерывных систем.
робастно сверхустойчивой системой можно назвать систему, которая
охраняет свойство сверхустойчивости (удовлетворяет условиям (3.100)) при
^данных ограниченных вариациях параметров системы.
Практическое применение понятия сверхустойчивости для непрерывных
сйСТем затруднено из-за отсутствия прямой связи критерия сверхустойчивости
с коэффициентами характеристического уравнения. Однако далее понятие
сверхустойчивости будет использовано для синтеза робастных цифровых
систем.
Пример 3.8. В качестве примера использования коэффициентных оценок
качества, точности и чувствительности рассмотрим контур регулирования тока
якоря с полученными выше компенсационными (3.39), (3.43) и
некомпенсационными (3.47),	(3.51) регуляторами. Расчетные (или
номинальные, исходные) значения параметров объекта (3.38) примем равными
= 50; Я,о = ОД Ом; £э0 = 0,01 Гн и Тэ0 = L3q /	= 0,1 с. Будем считать, что
в процессе работы возможно изменение коэффициента усиления
преобразователя и сопротивления якорной цепи 7^, что, в свою очередь,
приводит к изменению постоянной времени Тэ.
Тогда передаточная функция замкнутого контура тока с
компенсационным регулятором (3.39) примет вид:
q/ \ _ ^эО^тп^эО_______________Р +	_
^э^тп0^/^э	+ ^э^тпО^/ + ^эО^тп^эО & + ^эО^тп
^я^тпО^^э	-^э^тпО^^э (3.101)
10^(0,1р + 1)
р2 + (100Яэ + &тп)р +10^
При расчетных значениях параметров объекта нуль р = 10 сокращается с
С00тветствующим полюсом и
G(p) =--------(З.Ю2)
р + *тп+10°Яэ-10 Д+50	k 7
С компенсационным регулятором (3.43) передаточная функция
^Wroro контура имеет вид:
141
(Z(D\ - ДсЛп^эО______________________________________
2^тп0^ц п3 + ZklZL п2 + З^ЛглО^ц + ^эО^тп^эО
Т^Ц	^к^Тэ
_______________1000£то(0,1р + 1)____________
р3 +160(1 + Я,)/*2 +100(100%, + ктп)р +1000£то ‘
При расчетных значениях параметров нуль числителя и один из нул й
знамештеля сокращаются и	5 *
100£тп
р + 1/2^о
р +—^O^rn^'
^Лэ&гпоТ’цТ’э
(3 *-103)
QS \ = _______________XWXZrVTn______________ _ _____5000_____
р2 + (1007^ + 90)^ + 100^ + 90007^-900 р2 + 100р + 5000 '	104>
Отсюда видно, что отклонение параметров объекта от расчетных в
системе с компенсационным регулятором приводит к повышению поряди
характеристического полинома на единицу относительно расчетного.
Передаточная функция замкнутого контура тока с некомпенсационным
регулятором (3.47) с учетом фильтра на входе примет вид:
q(d\ = 7^о^тп7эО________________________1________________________
гт^тоТцТ; р2! ^тпоТ’ц+~	, ^(Л-пЛо
Р+	—y~
2-^э^тпО^ц Гэ
(3.105)
^э^тпО^ц^э
=__________ЮО^тп___________
р2 +(100^ + 1,8^ + 100^'
При расчетных значениях параметров
G(p) = --- 5000-----
/>2 + 100р + 5000
Использование некомпенсационного регулятора (3.51) дает:
а0_________
(3.106)
(З.Ю7)
G(P) = ^----2--------
р +а2р +axp + aQ
20000^
р3 + (1007^ + 190)р2 + (1900074, +362^)^+20000^’
1 ^эО *" 7ц
где а2 =— +----------
X гр	гр гр 7
7э 7э07ц
а — ^эО ~~	। ^э0^тп(7э0 ““ 2T^T3q + 27ц )
__ Т^О^тпТэО
^Т^э^тпоТ^Т^
При расчетных значениях параметров
142
p3 + 200p2 + 2104p + 106‘
(3.108)
Порядок характеристического уравнения замкнутой системы с
сенсационным регулятором при изменении параметров не меняется и
равным расчетному.
Найдем сначала выражения для коэффициентных оценок устойчивости
2	2
качества (показателей формы §1=-^—, 82=-^- и показателя
а1аз
быстродействия т0 = —) и точности (контурного коэффициента усиления К)
СХ четырех систем и их численные значения при номинальных значениях
параметров объекта. Результаты расчетов приведены в табл. 3.4 и 3.5.
Таблица 3.4
Коэффициентные оценки устойчивости, качества и точности контура тока
По- ка- за- тель	С компенсационным регулятором		С некомпенсационным регулятором	
	(3.39)	(3.43)	(3.47)	(3.51)
11	-	(10072,+*™Х1+Я,)		(95T2,+1,81*™)(1,9+12,)
		0,RTn		&ТП
61	(72,+О,О1*™)2	(72,+0,01*™)2	(72,+0,018*™)2	(19072,+ 3,62*™)2 200*TO(l,9 + 7Q
	ТП	^ТпО- + *э)	lOfcpn	
5г	—	100(1+ Т2,)2 1007^ + &тп	-	50(1,9 +Л,)2 9572,+1,81*™
*0	МОЯ»**™ lOfcrn	10072,+*™ 10£гп	IOO72, +1,8*™ 100*™	957?э + 1,81*™ 100*™
К	^тп	^тп ютг,	ЮР*™	100*™
			10072,+1,8*™	9572,+ 1,81*™
Из табл. 3.5 видно, что коэффициентные показатели устойчивости и
д^ств3 для систем с компенсационными регуляторами существенно
рГ/^ОТся от аналогичных показателей для систем с некомпенсационными
О^^орами, хотя переходные функции всех этих систем достаточно близки.
^о с наличием нулей в передаточных функциях (3.101) и (3.103),
ср^1*6 оказывают существенное влияние на качество процессов. Поэтому
евие качества двух систем по коэффициентным показателям можно
143
производить только в том случае, когда числители их передаточных фуй]
одинаковы, а также совпадают порядки характеристических уравнений.
Численные значения коэффициентных оценок устойчивости,
и точности контура тока при номинальных значениях параметров объект
Показатель	С компенсационным регулятором		С некомпенсационньг^ " регулятором	
	(3.39)	(3.43)	(3.47)	(3,51)2^
^10	—	13,2	—	
510	7,2	6,545	2	2	"
820	—	2,017	—	~2	"
т00	0,12	0,12	0,02	0,02
	50	50	50	50	'
Тем не менее, коэффициентные оценки устойчивости, качества и
точности можно использовать для оценки чувствительности этих систем к
изменению параметров объекта. При этом можно использовать два подхода:
во-первых, найти зависимость коэффициентных оценок от параметров объекта
при их изменении в заданных пределах (результаты расчетов приведены на
рис. 3.7 и 3.8); во-вторых, вычислить коэффициенты чувствительности оценок
устойчивости, качества и точности по отдельным параметрам в номинальной
точке (результаты приведены в табл. 3.6).
При этом для удобства сравнения целесообразно использовать
относительные значения как показателей качества и точности, так и
варьируемых параметров. Разумеется, корректным будет сравнение между
собой систем одинакового порядка, то есть система с регулятором (3.39)
должна сравниваться с системой с регулятором (3.47), а (3.103) — с (3.107). За
базовое значение показателей качества 8/о>тОО на Рис- ^.1 и 3.8 приняты их
значения, найденные при номинальных параметрах объекта (см. табл. 3.5). При
вычислении нормированных коэффициентов чувствительности в табл. 3.6 за
базовое значение показателей устойчивости Х/о, качества 8/оЛоо и точНОСТЙ
Kq также приняты их значения, найденные при номинальных параметра
объекта.
На рис. 3.9 и 3.10 показаны переходные процессы в рассматриваема
контурах регулирования тока при вариации параметров объекта.
144
Рис. 3.7. Относительные значения показателя формы 8j и показателя
быстродействия Tq в контуре тока с регуляторами (3.39) (слева) и (3.47) (справа) при
изменении сопротивления якорной цепи 7^ и коэффициента усиления
преобразователя ктп
145
Таблица з
Нормированные чувствительности коэффициентных оценок устойчивости °
качества и точности при номинальных значениях параметров
функция чувствительности		Система с компенсационным регулятором		Система с некомпенсационньщ 	регулятором	
		(3.39)	(3.43)	(3.47)	gsjj^
£^1 _ ^эО Мо гя,	^э=^эО	-	0,258	—	0,145
gXi _ ^тпО ^1 *тн Х10 дкт	^тп=^тпО	-	-0,167	-		~ -0,095
„81 ^0 dSj я, а10	^э=^эО	0,333	0,242	0,2	0,14
5^1 — ^тпО dSj 810 дкт	^тп=^тпО	0,667	0,667	0,8	0,81
£^2 _ ^эО <$2 Ъ 320 Э^	^э-^0	-	0,015	-	0,005
g&2 -- ^тпО *тп 820 дкт	^Tn=^rnO	-	-0,833	-	-0,905
^-^ЭО ^0 *00 5/^	^э=^эО	0,167	0,167	0,1	0,095
^0 - ^тпО ^0 Ь™ т00 5^тп	^тп=^тпО	-0,167	-0,167	0,1	-0,095 	
<.К _ ЯдО дК ** Ко 8R.	Дэ=ЯэО	-1	-1	-0,1	-0,095 0,095
= ^тпО Яо дкщ	^тп=^тпО	1	1	0,1	
146
J^c- 3.9. Реакция на ступенчатые задающее и возмущающее воздействия в контуре
• с компенсационным (3.39) - (а) и некомпенсационным (3.47) - (б) регуляторами
4>и: 1 - номинальных значениях параметров; 2 - уменьшении Лэ в 2 раза;
УВеличении Лд в 2 раза; 4 - уменьшении в 2 раза; 5 - увеличении в 2 раза
147
б
Рис. 3.10. Реакция на ступенчатые задающее и возмущающее воздействия в контур6
тока с компенсационным (3.43) - (а) и некомпенсационным (3.51) - (б) регулятора
при: 1 - номинальных значениях параметров; 2 - уменьшении 7?э в 2 раза; 3 -
увеличении 7^ в 2 раза; 4 - уменьшении	в 2 раза; 5 - увеличении в 2 Раза
Анализ рисунков и табл. 3.6 показывает, что, как и предполагал00^
чувствительность систем с компенсационными регуляторами оказывается
148
оМ выше, чем систем с некомпенсационными регуляторами. Так,
^длительность к изменению сопротивления якорной цепи 7^ или, что то же
^ое, электромагнитной постоянной времени Тэ, показателей устойчивости и
цества в 1,7-1,8 раза выше у систем с компенсационными регуляторами. Это
Уясняется тем, что увеличение порядка характеристического уравнения в
rtlOl) и (3.103) происходит только при изменении Яэ; при изменении &тп
пядок характеристического уравнения остается расчетным. Исключение
составляют лишь чувствительности показателей качества 8] и 32 к изменению
которые на 10-20% выше у систем с некомпенсационными регуляторами.
Чувствительность показателя точности К по обоим параметрам в системе
с компенсационным регулятором на порядок выше, чем в системе с
компенсационным регулятором. Это означает, что установившаяся ошибка
ири линейном задающем или возмущающем воздействии в системе с
компенсационным регулятором будет изменяться при изменении параметров на
порядок сильнее, чем в системе с некомпенсационным регулятором.
Справедливость сделанных выводов подтверждают и переходные
процессы в рассматриваемых системах при изменении параметров объекта в 2
раза в сторону уменьшения или увеличения, приведенные на рис. 3.9 и 3.10.
На основе анализа чувствительности большого количества замкнутых
систем различного порядка можно сделать обобщающий вывод о том, что
чувствительность систем с компенсационными регуляторами к изменению
параметров объекта, как правило, выше, чем у систем с некомпенсационными
регуляторами. При этом, чем ближе к мнимой оси располагаются
компенсируемые нули и полюсы объекта и чем слабее они демпфированы, тем
выше чувствительность системы к изменению параметров, связанных с этими
нулями и полюсами.
3.5. Метод обратных задач динамики для синтеза систем слабой
параметрической чувствительности
Достаточно эффективным методом синтеза систем с низкой
чУвствительностью к изменению параметров объекта является метод,
основанный на решении обратных задач динамики [63-66]. В этих работах
показано, что алгоритмы управления, полученные таким методом, придают
системам свойства слабой параметрической и структурной чувствительности.
^УЩество этого метода заключается в следующем.
Пусть объект управления описывается передаточной функцией
°(Р) U(j>) Q(p)’
(3.109)
149
где Р(р)= £ Pi pi, Q{p) = P^ +”^ <Ы?' - полиномы от p степени nD ь
j=o	i=0	’ \
соответственно, причем Y(p) и U(p) - изображения по Лапласу вых0
объекта y(t) и управляющего воздействия u(f). Примем, что нули передаю^ .
функции объекта устойчивы, а ее полюсы могут быть как устойчивыми
неустойчивыми. Соответствующее дифференциальное уравнение объекта "
y(r>Q4t)+\ ?jyW(0= f Рj^Kt) 	(3.1 l(n
i=O	7=0	J
Пусть требованиям к статическим и динамическим свойствам
проектируемой системы отвечает эталонная модель с передаточной функцией
<?эт(р)=
уэт(р) в„(р)
Х(р) ^(р)
пВэт .
Е ^jpj
j=o__________
Mjfrvp ~ 1
Рп^+ Е W
i=0
(3.111)
где Byrtp) и А„(р) - полиномы от р степени идэт и пАут соответственно,
причем и^эт <«лэт> иЛэт ^nQ’ ^уг(р) и Х(р)~ изображения по Лапласу выхода
уэт(0 эталонной модели и задающего воздействия x(f). Дифференциальное
уравнение эталонной модели
+	'	(3.112)
i=0	J=0
Порядок астатизма гэтг эталонной модели по задающему воздействию
определяется младшими коэффициентами полиномов А^(р) и В^(р). Так,
если ЯэтО^этО, то гэтх=°> ПРИ лэтО=*этО и Яэт1**эт1 гэтг=1> а
получения гэтх=2 необходимо выполнение условий	= ^эт0»аэт1 = ^эт1 0
аэт2 * ^эт2 • Эталонная модель строится таким образом, что при
установившемся движении системы абсолютная величина отклонения
|Х0-Уэт(0|*5, t>tn,
где 8 - некоторая заданная малая величина; /п - длительность переходног°
процесса.
Требуется синтезировать такой алгоритм управления, при кот°РоМ/л
установившемся режиме величина отклонения выходной переменной Л
системы от задающего воздействия x(t) не превышает допустимого значения
то есть
|х(0-у(0|^ *>'п-
150
-бходимо при этом, чтобы алгоритм управления не содержал операции
^брендирования задающего воздействия, замкнутая система обладала
^лХгизмом заданного порядка, а ее добротность (или коэффициенты ошибок)
равна добротности эталонной модели.
Допустим, что порядки эталонной системы и проектируемой замкнутой
совпадают, а также совпадают их начальные состояния, то есть
^(г){0)==Уэт	7 = 0,1,2,...,И£. Далее предположим, что алгоритм управления
обеспечивает равенство старших производных в произвольный момент времени
y(nQ\t) = y^\t)- При этих условиях траектории движения замкнутой
системы и эталонной системы совпадают, то есть теоретически
у(0в-Уэт(О> ^0-
В действительности порядок замкнутой системы будет больше порядка
салонной системы, не совпадают и начальные условия. Следовательно, и
равенство значений старших производных, и совпадение их траекторий,
нереализуемо. Поэтому алгоритм управления будет наилучшим образом
соответствовать требованиям сформулированной задачи в смысле приближения
/О к Уэ(0 >если синтезировать его из условия минимума функционала
г	-1 2
w(wp)) = 1	- у?1®*	,
который характеризует мгновенное значение энергии Hg-й производной.
Минимизация функционала осуществляется по какой-либо одной переменной:
/Пр\.„,и',и, остальные при этом считаются известными. Этим вариантам
минимизации соответствуют алгоритмы управления различной структуры, с
разным количеством обратных связей.
Из условия абсолютного минимума этого функционала min/ = 0
получаются алгоритмы компенсационного типа. Как было отмечено выше,
системы с такими алгоритмами имеют повышенную чувствительность к
изменению параметров объекта. Поэтому алгоритм управления целесообразно
сивтезировать исходя из условия, чтобы в каждый момент времени значение
Функционала / принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. При
Этом будем исходить из требования, чтобы для вычисления управляющего
^Действия было достаточно минимального объема измеряемой информации:
Х0, /(г) или только Я0 и ИР0 этом исключалась необходимость
^Фференцирования x(t). Это возможно при
Можно обеспечить при формировании эталонной модели.
Для решения задачи используется процедура метода обратных задач
^амики, дополненная идеей управления движением по старшим
вводным [63-66].
(3.113)
/(м,м‘
(З.Н4)
151
Движение в окрестность экстремума выбранного функцц0
осуществляется в соответствии с дифференциальным соотношением:
«<““'.._ (Ч),
л "р Л	у
@115)
где s = 0,1,...,т, k = -pps = const>0. Тогда структура алгоритма управд(
определяется выражениями:

«(0=4^)(0-/v)(01;
АЛ	1 ПВэТ ( i\ П^Г 1 /Л
D»A^ V^.=o J	,=0
(3.116)
=- 4гО>)ХО],
DPAzt v
где v = hq-s-l, s = 0,l,...,np-, ^(D)=	p”A^ ; /)=£
/=0	dt
- оператор дифференцирования.
Исследование полученного алгоритма управления позволяет прийти к
следующему.
1. Изменяя величину 5 от 0 до пр, можно синтезировать ир + 1 структуру
алгоритма управления. При этом наиболее предпочтительным является
вариант s = np, требующий минимального количества обратных связей
по выходной величине y(t) и ее производным, наибольший порядок
которых равен wg-np-l. Если принять 5 = 0, то необходимо
использовать производные y(f) до (wg-l)-ro порядка включительно.
Если indWo(p)-np -nQ =-1 и 5 = ир, то алгоритм управления
реализуется наиболее просто и для этого требуется обратная связь только
по выходной величине y(t).
2. Как показано в [63—66], система управления с регулятором (3.116)
допускает неограниченное увеличение коэффициента усиления к без
потери устойчивости (при условии устойчивости полинома ИР)
числителя объекта). При достаточных энергетических ресурсаХ
исполнительных элементов и £->°о динамические характеристик
замкнутой системы и эталонной модели идентичны, независимо оТ
изменения параметров объекта управления. Поэтому такая
обладает свойством естественной параметрической адаптивности,
есть является робастной.
Используя уравнения объекта (3.110) и алгоритма управления (З-1
найдем уравнение замкнутой системы:
152
~VQ(D) +	=kP(D)B^D)x(t),
передаточная функция замкнутой системы
G(p) =	= ^(Р)дэт(Р)
Др) p"^-v0(p) + fcP(p)4„.(p)
дегко убедиться, что lim G(p) = Оэт(р). Найдем также передаточные функции
разомкнутой системы Ф(р) и замкнутой системы по ошибке Gs(p):
ф( р)==___________________fcpwyr(p)____________.
1 -g(p) p”^-ve(p)+лр(р)[^эт(р)-вэт(р)] ’
Ge (р) = 1 _ ад = />ИАт~^)+ВД[Лг(Р)-ВЭТ(Р)]
(3.117)
(3.118)
(3.119)
p^-v2(p) + W)4r(p)
Поскольку порядок астатизма гх по задающему воздействию определяется
количеством нулей р - 0 в знаменателе (3.118) или числителе (3.119), то в
данном случае rx =min{z?^3T - v, гЭ1Х}, где г& - порядок астатизма эталонной
модели по задающему воздействию, который может быть найден как
количество нулей р = 0 полинома [А^р) - Вэт(р)].
Структурная схема замкнутой системы, построенной на основе
рассмотренных принципов, может быть получена на основе уравнений
алгоритма (3.116). На рис. 3.11,а представлена структурная схема для наиболее
интересного с практической точки зрения случая s = np и пр = yiq -1, когда для
реализации алгоритма требуется только обратная связь по регулируемой
координате y(t). Очевидно, что если имеется возможность измерения
производных выходной координаты т0 могут быть рассмотрены и
структуры с s < Пр .
Эквивалентными преобразованиями структурная схема системы может
быть приведена к более привычному виду, показанному на рис. 3.11,6. Из нее
видно, что при достаточно больших значениях коэффициента к передаточная
Функция замкнутого контура стремится к 1, а динамические свойства системы в
Ровном определяются фильтром с передаточной функцией эталонной модели
^rOO/Z^G?). Кроме того, порядок астатизма системы в целом определяется
порядком астатизма эталонной модели, который легко настраивается, так и
ц°Рядком астатизма замкнутого контура, то есть количеством интегрирующих
^ньев в регуляторе и объекте. Очевидно, что при высоком порядке объекта, и
/^Иветственно эталонной модели, количество интегрирующих звеньев в
^Упяторе, равное и^т, может оказаться избыточным и приведет к получению
^етемы с малыми запасами устойчивости. Поэтому представляется более
^образным оставить в передаточной функции регулятора только
водимое число интеграторов, а остальные заменить неизвестным пока
153
полиномом N(p) соответствующего порядка, с помощью которого
формировать определенные свойства замкнутой системы.
рассмотренного метода обратных задач динамики и структурной схем
изображенной на рис. 3.11. позволяет прийти к следующей методике сищ^*
регулятора, основанной на использовании аппарата полиномиалыц?
уравнений.	х
а
^ф(р)	^р(р)
б
Рис. 3.11. Структурные схемы замкнутой системы с обратной связью только по
регулируемой координате
Пусть объект управления описывается уже известной передаточной
функцией
PQ(p)
где пр = yiq + /-1, то есть ее индекс равен -1. Заметим, что многие объекты
внутренних контуров электропривода удовлетворяют этому условию. Кроме
того, учитывая, что системы, полученные рассмотренным выше методом
обратных задач динамики, обладают низкой параметрической и структур^0
чувствительностью, при формировании модели объекта высокого поряД^
можно широко использовать аппроксимацию более простой передаточяо
функцией, с необходимым индексом, на основе, например, меТ0^
рассмотренных в гл. 2. Поэтому ограничение на степени полиномов объе
вида ind^o(p) = -l не является столь серьезным, как может показаться
первый взгляд.
Передаточную функцию регулятора будем искать в виде:
154
(3.120)
pJN(p)
j^rx-i - количество интегрирующих звеньев в регуляторе;
Дуемый порядок астатизма по задающему воздействию; N(p) - искомый
JJgHOM степени пы = иЛэт - J.
Тогда передаточная функция замкнутого контура без учета фильтра на
бХоДе(см. рис. 3.11,6)
G(p)=-------------,
«’(^)Лг(р)+р’+70(р)ад
*Р(г)Ат(Р)
(3.121)
(3.122)
(3.123)
(3-124)
а с учетом фильтра
ад------------------------------------------------
кР(р)Л„(р) + p,+JQ(.p)N(p)
В обоих случаях характеристическое уравнение одно и то же. На его
основе запишем полиномиальное уравнение
кР(р)^(р) + pi+JQ(p)N(p) = А(р),
минимальному решению которого соответствуют:
nN = nQ + i-l;
nA=2(nQ + 0 + j "I-
Прежде всего отметим, что по постановке задачи полином Аэт(р)
эталонной системы выбирается исходя из требуемого качества системы, причем
форма процесса определяется выбранным распределением корней, а скорость
протекания процессов зависит от среднегеометрического корня или
показателя быстродействия ©о ’ то есть> выбрав требуемую форму процессов,
качество желаемых (эталонных) процессов можно охарактеризовать только
одним параметром - Qo или ©0. <С другой стороны, реальные процессы в
3аыкнУтой системе при конечном значении к отличаются от эталонных и
определяются полиномом более высокого порядка А(р), который должен давать
Низкие к желаемым форму и скорость протекания процессов. Поэтому
справедливо потребовать, чтобы полиномы А(р) и А^^р) имели одинаковое
близкое распределение корней (например, соответствующее модульному
01п*муму) и одинаковые или близкие значения показателя быстродействия ©о •
J?eHb близости можно оценить, используя, например, рассмотренные выше
^^Фициентные показатели формы и быстродействия. При этом
^^Деляющим для качества замкнутой системы является полином А(р), тогда
коэффициенты полинома Ауг(р) могут отличаться от стандартных.
155
Поэтому при решении полиномиального уравнения целесообразно поли*
А(р) выбрать исходя из желаемого быстродействия, а неизвестными счцтъ°^
коэффициент к и полиномы А^(р) и N(p). При развертывании (3.123)
систему алгебраических уравнений количество уравнений Яд +1 = 2(hq В
будет соответствовать количеству неизвестных пдуг + пм + 2. Как и раньц/
здесь возможно понижение порядка полиномов по сравнению с (3.124)
синтезе внешних контуров, если принять параметр, определяют^
быстродействие внутреннего контура, свободным.
Особенностью синтеза систем подчиненного регулирования по этп-
методике является следующее. При реализации внутренних контур0в
регулирования целесообразно отказаться от использования фильтров ^Гф(р) На
входе этих контуров с тем, чтобы было проще удовлетворить требованию
indJTo(p) = -l для последующих контуров (это видно из (3.121) и (3.122),
поскольку идэт<пЛэт)- Кроме того, это позволяет значительно упростить
алгоритмы управления. Поскольку в задании на проектирование обычно
оговариваются требования к качеству регулирования только самого внешнего
контура, использование фильтра оказывается оправданным только здесь.
Разумеется, окончательное решение о применении фильтра в каждом контуре
должно приниматься после детального анализа процессов в системе в
различных режимах ее работы.
Пример 3.9. Выполним синтез регулятора тока для объекта,
представленного в примере 3.1, с использованием методов обратных задач
динамики. В соответствии с (3.124) степени полиномов «^=2,
иу = 0. Представив эти полиномы в виде:	Я(р) = 2712/?2 +2Тцр+1;
(Р) = ^этР +1» ^(р) ~ по * запишем полиномиальное уравнение синтеза:
i^“-(rOTp+l)+X^P+l)«0 =2^2Р2 +2Тцр + 1.
Решение этого уравнения дает: Л: = /?э/^гп; Т^. = 2Т^(ТЭ -Тц)1Т3'<
по = 2Т^ /Тэ, а передаточная функция регулятора
р 2Т2 Р
полностью совпадает с передаточной функцией некомпенсадионно^
регулятора (3.47). Из выражения для Тэт видно, что при	'
характерно для контура регулирования тока) величина Гэт«2Т^, т0 6<У1Ъ
полиномы А(р) и A^(p) имеют примерно одинаковые оценки быстродейст^'
Поскольку в основе методики синтеза лежит метод обратных задач динам
156
сделать вывод о том, что система с таким регулятором обладает
^йством естественной адаптивности, то есть имеет низкую чувствительность
с параметрическим и структурным возмущениям. Это подтверждается и
* счетами, выполненными в примере 3.8.
Р Заметим, что некомпенсационный регулятор (3.51) с фильтрующими
□Яствами может быть также получен этим методом, если повысить степени
g^hhomob А(р) и N(p) на единицу, то есть принять пА = 3, иЛэт = 1, nN = 1.
3.6.	Метод полиномиальных уравнений и аффинная
параметризация
3.6.1.	Аффинная параметризация компенсационного регулятора
Рассмотренные выше методики синтеза регуляторов, основанные на
методе полиномиальных уравнений, приводят к большому количеству
регуляторов различных типов. Поэтому возникает вопрос, существует ли какой-
нибудь более простой и понятный путь, с помощью которого можно было бы
найти все возможные регуляторы, которые, как минимум, обеспечивают
устойчивость данной системы, как максимум - требуемые качество и точность.
Достаточно простое и эффективное решение этой задачи предлагается
в [22,140] на основе метода аффинной параметризации.
Идея метода проста и основывается на сравнении двух известных
фундаментальных принципов управления: принципа прямого (или
разомкнутого) управления, показанного на рис. 3.12, а, и принципа управления
по отклонению (или замкнутого управления), представленного на рис. 3.12, г.
Достоинством разомкнутых систем является простота расчета
регуляторов и понятная и однозначная связь между параметрами регулятора и
свойствами системы. Если известна передаточная функция объекта W0{p) и по
заданным показателям качества и точности определена заведомо устойчивая
желаемая передаточная функция бж(р) системы в целом, регулятор
находится из соотношения:
Сж(Р) = ^рр(Л(Р).	(3125)
которое и является основой аффинной параметризации. Ключевой момент
заключается в том, что уравнение (3.125) аффинно в йрр(р). Регулятор такой
системы может быть найден с использованием так называемой инверсии
°бьекга»71(р) = 1/1Ко(р):
^Рр(/’) = ОЖ(Л’1(Р).	(3.126)
157
Параметры такого регулятора (заметам: полностью компенсирующего объе
связаны простыми (и линейными) соотношениями с параметрами желае^}
передаточной функции и объекта.	°®
а

Рис. 3.12. Структурные схемы разомкнутой и замкнутой системы при аффинной
параметризации
С другой стороны, в замкнутой системе с последовательно включенньп^
регулятором РКр(р) и объектом №0(р) передаточная функция замкнут010
контура имеет вид:
г	(3.127)
Ст,- (р) =-----------.	v
ж 1+^р(Л(р)
158
(3.129)
заражение нелинейно относительно W^(p)9 что делает сложной настройку
^яятора для достижения желаемых свойств замкнутого контура. Сравнивая
г^кения (3.125) и (3.127), можно заметить, что аффинные отношения
^аняются и в случае замкнутой системы, если положить (см. рис. 3.12, б,в)
Ww(p) =--------------- И™ »р(Р)=-------.	(3.128)
рр i+wp(pW0(p) р i-^pp(pF0(p) }
сущность идеи аффинной параметризации замкнутой системы. Теперь
-сдедовательность проектирования может быть следующей: сначала,
мсДользуя идею инверсии объекта, из (3.125) найти ^рр(р), обеспечивающую
Дуемые свойства проектируемой системе, а затем использовать (3.128) для
^деления 1Гр(р).
Подставив (3.126) во второе выражение (3.128), получим передаточную
функцию регулятора замкнутой системы
1	\Р)
Регулятор замкнутой системы, как и (3.126), содержит инверсию объекта, то
есть полностью компенсирует объект.
В случае, когда объект управления W0(p) ульжя&ь и является
минимально-фазовым (то есть не имеет правых нулей и полюсов и не содержит
запаздывания), такой подход правомерен и, как показано в [22], описывает все
возможные линейные стационарные регуляторы, обеспечивающие
устойчивость замкнутой системы. Для этого нужно лишь гарантировать, что
^рр(р) является устойчивой. В соответствии с (3.126) для этого достаточно,
хпобы была устойчива Сж (р).
Пусть
б(р) рр лгр(р№) р лг(р№) k }
где p<p),Q(p) - полиномы числителя и знаменателя передаточной функции
°®Ъекта, причем wp^wg; Мр(р),#р(р) - искомые полиномы числителя и
^енателя регулятора разомкнутой системы; M(p), N(p) - искомые
^°линомь1 числителя и знаменателя регулятора замкнутой системы. Степени
°мых полиномов из условия реализуемости регуляторов должны
0Влетворять условию «д/ + nQ <. nN + пр. Тогда передаточные функции
^«Утойфне. 3.12,а) и замкнутой (рис. 3.12,г) систем будут соответственно
159
<л>(р)= .Л ч; g(p)= , ч ч- (зъ,
^р(р)	Л/(р)+#(р)	^131)
Полагая, что обе эти системы эквивалентны и обладают свойств
задаваемыми желаемой передаточной функцией бж(р) = В{р)1А{р), получ^1
Л/р(р)=Л/(р)=В(р);
ЛГр(р)=М(р) + ВД = Л(р).
(3.132)
Таким образом, искомые полиномы M(p\N(p) регулятора замкну^
системы, полностью компенсирующего объект, могут быть найдены
полиномов регулятора разомкнутой системы А/р(р), Np(p), равных, в своьо
очередь, полиномам числителя и знаменателя В(р),Л(р) передаточной
функции желаемой системы, и будут выглядеть следующим образом:
W) = ^P(pW(p);
N(p) = ^p(p) -Мр(р) = А(р) - В(р).	(3133)
Отсюда видно, что параметры регулятора замкнутой системы
ИГР(Р) =
Д(р)6(р)
[А(р)-В(р)]Р(р)
(3.134)
однозначно и линейно зависят от параметров желаемой передаточной функции
замкнутой системы. Очевидно также, что полная компенсация объекта
регулятором подразумевает и компенсацию полюсов объекта, равных нулю,
если таковые имеются в объекте. Поэтому требуемый порядок астатизма
системы может быть обеспечен выбором таких полиномов желаемой замкнутой
системы, что разность А(р)-В(р) содержит необходимое количество нулей,
равных нулю. На самом же деле регулятор (3.134) будет содержать только
необходимое количество полюсов, равных нулю, так как при формировании
регулятора (3.134) часть нулей А(р)-В(р), равных нулю, сократится с такими
же нулями Q(p).
Так, если объект регулирования представляется в виде
(3135)
р'б(р)
то
’	[Л(р)-В(р)]Р(рУ
Если
ст^е
где i - количество полюсов, равных нулю, в объекте регулирования,
желаемый порядок астатизма по задающему воздействию в замкнутой си
160
«ей гх> то полином регулятора А(р)-В(р) должен содержать гх нулей,
нулю, то есть
Л(р) - Л(р) = а„р” +	. + а, рг* =
х	(3.136)
= РГ*(апРП Гх + ап-1РП Гх +- +%) = РГхАгх(Р)-
Иными словами, полином числителя В(р) желаемой передаточной
замкнутой системы должен содержать гх младших членов полинома
^аменателя Др), то есть
вж (р) = агх-\РГх 4 + • • • + а1Р+«о •
Тогда
, (3.137)
РГх \ (Р)Р(Р) PJArx (Р)Р(Р)
где j = rx“i - количество полюсов, равных нулю, в передаточной функции
регулятора, необходимых для обеспечения требуемого порядка астатизма гх.
Как видим, регулятор (3.137) компенсирует все нули и полюсы объекта, за
исключением полюсов, равных нулю. Связано это с тем, что сокращение р1
осуществляется внутри регулятора еще до его реализации.
3.6.2.	Аффинная параметризация некомпенсационного регулятора
В случае, когда объект управления содержит правые (неустойчивые) нули
и/или полюсы, их компенсация регулятором недопустима, т.к. при этом
нарушаются условия грубости. В некоторых случаях, по соображениям
чувствительности, оказывается нежелательной и компенсация устойчивых
нулей и полюсов объекта (например, если эти нули или полюсы слабо
Демпфированы или близки к началу координат). Поэтому сначала выясним,
иожно ли построить такой регулятор разомкнутой системы Илрр(р) (который
Дна получения желаемой передаточной функции Сж(р) обязательно должен
компенсировать объект), что соответствующий регулятор Ир(р) замкнутой
Тотемы не будет компенсировать нулей и полюсов объекта, то есть будем
йскнчъ полностью некомпенсационный регулятор замкнутой системы
^р(Р) = ^т4>	(3-138)
р Мр)
^^ствующий полностью компенсационному регулятору разомкнутой
161
ч Л/р(р)С(р)
рр Np(j>)P(p)
Очевидно, что передаточные функции разомкнутой и замкнутой
будут соответственно равны:
од.--------W№)__________
’	«р(р) Ар) ^(рУЧр^ШрМр)
Сравнивая числители и знаменатели этих передаточных функций, г
условия, при которых регулятор замкнутой системы не будет компенсировав
объект:
1)	числитель желаемой передаточной функции (и числитель регулято
разомкнутой системы) должен содержать полином объекта Р(р), то есть ₽а
В(р) = Л/р(р) = Л/(р)Р(р);	(3141)
2)	полиномы регулятора замкнутой системы Л/ (р) и N(p) должны
удовлетворять полиномиальному уравнению
W)P(P) + N(p)Q(p) = А(р) = Np (р).	(3.142)
Если выполнено условие (3.141), то регулятор (3.139) разомкнутой
системы
Си<4
получу
<31«>
будет компенсировать только полюсы объекта, а передаточная функция
разомкнутой системы примет вид:
gp(P) = Afyy>y)=^-	(3.144)
#р(р) Др)
Чтобы избавиться от полинома Р(р) в числителе (3.140) и (3.144), можно
включить на вход этих систем фильтр с передаточной функцией
<314’
как это показано на рис. 3.13.
Более того, включив в состав этого фильтра полином Л/(р), т0 еС1Ъ
приняв
Р(0Ж(0) = ДО)	(3.146)
р(рЖ(р) ад’
получим передаточную функцию системы вида
162
(3.147)
Ож(р)=Ж=^,
А{р) Нг(рУ
входная функция которой однозначно определяется только полюсами
^^едаточной функции Сж(р), что существенно упрощает применение
^смотренного выше (см. п. 3.3.2) метода стандартных переходных
^актеристик. Разумеется, применение такого фильтра возможно только при
^довии устойчивости входящих в него полиномов Р(р) иМ(р),
a
б
Рис. 3.13. Структурные схемы разомкнутой (а) и замкнутой (б) систем
с фильтром на входе
3.6.3.	Аффинная параметризация регулятора замкнутой системы с
произвольной компенсацией нулей и полюсов объекта
(3.148)
Рассмотрим теперь возможность аффинной параметризации для общего
случая - при компенсации регулятором Wp(p) только части нулей и полюсов.
Для этого выполним факторизацию передаточной функции объекта, как это
было сделано в п. 3.2:
Wo(p)=^rc ^P^P\=W°MWM’
p Q(p) р eH(p)0K(p)
г* ^он(р) = 	и W0K(p) -	- соответственно некомпенсируемая и
p'Qh(p)
хпенсируемая части объекта; i - количество полюсов объекта, равных нулю,
полиномы числителя и знаменателя объекта взаимно просты, то есть не
6101 общих нулей, и indPF0(p) ^0, то есть пР < i? + wg.
Найдем регулятор замкнутой системы
163
^h(pWp)
(3-149)
компенсирующий часть устойчивых нулей и полюсов системы
соответствующий полностью компенсационному регулятору разомкни*
системы
^рр(Р) =
Мр(р)р^(р)
Np(p)P(p)
(3-150)
Здесь J - количество полюсов, равных нулю, в регуляторе замкнутой системы
обеспечивающих требуемый порядок астатизма rx=i + j.
Очевидно, что передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем
будут соответственно равны:
к№> Л(р)	М(р)рн(р)+едр'2н(р) 11
Приравнивая числители и знаменатели этих передаточных функций, получим
условия, при которых регулятор замкнутой системы будет компенсировать
только часть нулей и полюсов объекта:
1)	числитель желаемой передаточной функции (и числитель регулятора
разомкнутой системы) должен содержать полином объекта Рн(р), то есть
В(р) = мр(р) = W)^h(p) ;	(3.152)
2)	полиномы регулятора замкнутой системы Л/(р) и jV(^) должны
удовлетворять полиномиальному уравнению
M(pWJ>) + N(p)p'+JQh(p) = А(р) = Nv(p).	(3.153)
Минимальное решение этого уравнения можно получить, если выбрать
пА = ппр =nQ+nQa + 2i + j-l; пм =MgH+i + j-V, nN =nQ +/-1. (3.154)
Сравнивая (3.152), (3.153) с полученными ранее выражениями (3.30),
(3.31), можно заметить их полную идентичность. Отличие заключается только в
том, что полученные здесь выражения связывают структуру и параметры
регулятора замкнутой системы не только с параметрами желаемой системы, н°
и со структурой и параметрами регулятора разомкнутой системы. Понимая0
такой связи позволяет упростить как процесс проектирования сйС
управления, так и их наладку.	j
Если выполнено условие (3.152), то регулятор (3.150) разомкнув
системы
w (гЛ_М(Р)р'&Р')	(3-155)
^рщру
164
(3.156)
компенсировать все полюсы и некоторые нули объекта, а передаточная
разомкнутой системы примет вид:
*	С(п\
р{Р)~ NP(P) ~А(рУ
избавиться от полинома Ря(р) в числителе (3.151) и (3.156), можно, как
предыдущем случае, включить на вход этих систем фильтр с передаточной
функцией
(3.157)
(3.158)
должна также и полная компенсация нулей передаточной функции
разомкнутой или замкнутой системы, если выбрать
(^ Л(0М°) - В(0)
PH(PW) B(pY
Использование такого фильтра допустимо (по соображениям грубости) только
в случае, если Р(р) иМ(р) - устойчивые полиномы.
Очевидно, что выбирая WOK(p) = Wo(p) и ^н(р) = 1, можно получить
полностью компенсационный регулятор (3.134), а при й^к(р) = 1 и
^он(Р)= Wo(Р) “ некомпенсационный регулятор (3.138).
Таким образом, уравнения (3.152) и (3.153) дают наиболее общее решение
задачи синтеза регулятора замкнутой системы (3.149) с произвольным выбором
компенсируемых нулей и полюсов объекта по известному регулятору
разомкнутой системы (3.150). Параметры последнего однозначно и линейно
связаны с параметрами передаточной функции желаемой системы.
3.7.	Общее решение полиномиального уравнения и его связь
с адаптивным управлением
Минимальное решение М(р), У (р) полиномиального уравнения (3.8)
наиболее простой из возможных регуляторов. Общее решение
(.P\N*(p) (или все множество регуляторов, обеспечивающих
^Йчивость, требуемые качество и точность, определяемые желаемым
У^)актЧ>истическим полиномом) может быть получено из найденного частного
^минимального) решения следующим образом [16,18]:
М*(р)=М(р) + D(p)pi+JQK(py,
N*(p) = N(p)~ D(p)Pn(p),
р^^Хр) - произвольный устойчивый полином или устойчивая дробно-
бальная функция с indZ)(/>) £ 0. Подстановкой в (3.8) нетрудно убедиться,
(3.159)
165
что (3.159) является решением этого полиномиального уравнения. В
предлагается желаемый характеристический полином представить в виде:
А(р) = А(р')С(р),
где Л(р) - собственно желаемый характеристический полином, определяюп
характер процессов в замкнутой системе; С(р) - произвольный устойчив ?
полином степени (nN + j + npK)i.nc^тах{(пм + riQ^),(/ + tiq)}. Тогда обц^
решение может быть записано по-другому:
л/*(р)/ад=м (р)/с(Р)+ад?+уен(р)/с(р);
N*(P)/C(P) = N(j>)/C(p) - D(p)PK(p)/C(p).	(3160]
Регулятор (3.149), соответствующий этому общему решению, примет вид
С(Р)	С(.Р)
(Р)=Ь--------------Р/ ч-|-----=
р1	'Vp>
Lc(rt c(rtJ	(31
, г<Иг/е(/>)
ОД у Р’ С(р)
?ОД4И ;д( ,ОД
С(р) р '’ctp)
Из (3.161) нетрудно видеть, что числитель M*(p)QK(p)/C(p) регулятора
соответствует
параллельному соединению элементов с передаточными
М(рЮк(р)
С(р)
функциями
1
и п^В(п)— ——,	а его знаменатель
С(р)
—:---------------- - охвату звена ———-------- положительной обратной
pJN\p)P^p)IC{p)	PJN{p)PK{p)
связью с передаточной функцией p^D{p). Поэтому замкнутую систему0
с (р)
регулятором (3.161) можно представить в виде структурной схемы, показание
на рис. 3.14,а. Эквивалентными преобразованиями она может быть приведена*
структуре, приведенной на рис. 3.14,6 и в. Из них видно, что полином W
может быть действительно произвольным, поскольку при реализаШ^
регулятора (3.161) и в структуре на рис. 3.14,в он сокращается, а в структур6
рис. 3.14,6 нужен лишь для обеспечения реализуемости отдельных звеньев.
166
Рис. 3.14. Структуры замкнутой системы на основе общего решения
полиномиального уравнения (3.153)
167
Из структурных схем видно, что замкнутая система содеп
внутреннюю двухвходовую модель объекта. Невязка e(t) выходов моде^т
объекта через звено с передаточной функцией p^D{p) подается на
системы. Это придает новые свойства такой системе с регулятором на оси *
общего (неминимального) решения уравнения (3.153). В отличие °Ве
классических систем с моделью, здесь имеется еще и главная обратная связь
выходной величине y(t) через элемент с передаточной функц^?
Л/(р)бк(р)/С(р). Соответствующий выбор полинома С(р) и др0^
рациональной функции D(p) при условии, что они устойчивы, открывает нов
возможности улучшения свойств замкнутой системы.	е
Такая структура, благодаря наличию внутренней модели объекта, Не
требует точного знания характеристик объекта и обладает свойством
адаптивности (слабой чувствительности к изменению параметров объекта). При
этом настройка контура адаптации осуществляется соответствующим выбором
дробно-рациональной функции £>(р).
Таким образом, использование неминимального решения (3.160)
полиномиального уравнения открывает широкий простор для построения
различных вариантов систем управления, обладающих, благодаря появлению в
структуре системы модели объекта, адаптивными свойствами.
Рассмотрим простейший случай выбора дробно-рациональной функции
D(p) в виде
D(p) =	,
ad(p) (TDp+\y
(3.162)
где Лр(р) - устойчивый полином, содержащий желаемые полюсы замкнутой
системы; - настроечные параметры; v>y - из условия реализуемости
звена pJD(p).
Тогда передаточная функция неминимального регулятора (3.161) примет
вид:
w (р). [WMpCP)+?+7>р6н(Р)Ш/>)	(3.163)
р P4N(p)AD(p)-kDPK(p)]PK(p)
Найдем передаточные функции
а)	разомкнутой системы:
ф(р) = WdPWo(P) =	+ Р1^кВ0н(Р)Уи(Р) (3.1^
P^j{^(p)AD(p)-kDPK(p)lQn(p)
б)	замкнутой системы, соответствующие передаточным функциям (3.27)-(3 -2^
168
(3.165)
(3.166)
L(P)
G(p) = Y(P> = PMM(p)AD(p) + p/+4DgH(p)]
XW Ap(p)[M(p)Pn(p) + pi+jN(p>)QM'
G rp}_ E0>) Pi+jQMN{p)AD{p)-kDPM .
8 Xx{p) Ap(j>)[M(p)Pw(p) +pi+JN(p)Q№(j>)]’
f - E^) = W P+J~ifQMN(F)AD(jf)-kpPM (3167)
G (P) F(p) F(p) Qf(P) AD{p)[M{p)PK{p) +pi+^N{p)QH{p)}
Нетрудно видеть, что характеристический полином замкнутой системы
^лерь, кроме желаемого характеристического полинома
^)=Л/(р)Рн(Р) + Pl*JN(p)Qh(p)> выбранного для получения минимального
решения, содержит еще и полином Лр(р). Выбрав достаточно малое значение
j^«l/Qo, можно минимизировать влияние полинома Лр(р) на характер
процессов в замкнутой системе.
Другой особенностью полученной системы является числитель (3.165),
отличный от числителя (3.27). Однако, выбрав фильтр на входе замкнутой
системы вида
ф(Р) WpyAptpj + p’+jkpQ^p)
и,приняв Тр «1/Qo, можно получить передаточную функцию
ед.^.ЦрУМ,
«и M(p)pH(p)+p,+jMp)e„(p)
близкую к (3.27).
Более серьезные изменения произошли в числителях передаточных
Функций по ошибке (3.166) и возмущению (3.167), куда в качестве
сомножителя вошел знаменатель регулятора (3.163). Известно, что знаменатель
Передаточной функции определяет свободную составляющую переходного
Одесса, а ее числитель - вынужденную. Исследование передаточных
Фувкций (3.166) и (3.167) показало, что полином //(рМр(р)-^рРн(р),
Фисугствующий в их числителях, обеспечивает существенно меньшее
Учение вынужденной составляющей при отработке как внешних возмущений,
Так и параметрических возмущений объекта.
Пример 3.10. Вернемся к примеру 3.1 и покажем преимущества
лЛ^вимального регулятора (3.163). В примере 3.1 для объекта с передаточной
^ей (3.38) принято Рк(Р) = *тп/^; ^(P) = t 2к(р) = Гэр + 1; 6H(P) = h
основе минимального решения = 1; «о = 7} полиномиального уравнения
^ец регулятор
169
W (П\- т0^к(Р) = Яэ(ГэР+1)
^rr^iP
что цз
с,
на
Приняв D(p) ~ ———, найдем неминимальный регулятор
7др+1
w ,уД”Ы7ЬР+О+*рА1(2к(р)_^(^э^+РКгд +^р)Р+Ц
pW WDp^\)-kD}P^p)p knptfTDp + Ti-kn) ’ РК
который структурно представляет собой ПИД-регулятор. Очевидно,
условия устойчивости этого регулятора ^7}. Выбрав значения 7} =0,02
7р =0,001 с (7jr>«7})» кд =0,015, рассчитаем реакцию системы
ступенчатые задающее и возмущающее воздействия с регуляторами (3.1681
и (3.169) при изменении параметров объекта в 5 раз. Полученные процессы
представлены на рис. 3.15.
Эффективность и работоспособность рассматриваемого регулятора тока
демонстрируется на рис. 3.16, где представлены процессы регулирования тока
якоря в электроприводе постоянного тока с тиристорным преобразователем с
раздельным управлением, полученные в ходе модельного эксперимента на
модели, учитывающей все основные особенности объекта управления.
Изменение задающего воздействия I*(t) показано на графиках, а возмущающее
воздействие в виде «просадки» питающего напряжения на -20 % приложено в
момент времени t = 0,4 с. В обоих случаях в регуляторе тока используется
нелинейность, компенсирующая нелинейную характеристику объекта [25]. При
использовании традиционного регулятора (см. рис. 3.16, а) погрешности такой
линеаризации оказывают влияние на качество процессов по управлению и они
отличаются от желаемых. Процессы по возмущению также имеют
значительную динамическую ошибку и отрабатываются с постоянной времени,
близкой к постоянной времени якорной цепи.
Использование неминимального регулятора (см. рис. 3.16, б) позволяет
сделать систему нечувствительной к погрешностям линеаризации в
существенно улучшить отработку возмущающего воздействия. Следует,
однако, отметить более высокий уровень помех на выходе такого регулятора
тока, связанный с увеличением частоты среза разомкнутого контура тока п°
сравнению с традиционным решением.
Из этого примера можно сделать следующие выводы. Во-первых»
использование неминимального решения полиномиального уравнения привел0
к существенному улучшению процесса отработки внешнего возмущаюшег0
воздействия. При этом качество процессов по возмущению определяете
выбором параметров кд и Тд дробно-рациональной функции
Во-вторых, существенно снизилась чувствительность системы
параметрическим возмущениям объекта, то есть система с неминимальны
регулятором приобрела свойство адаптивности.
170
z * Процессы в системе с минимальным (3.168) (а) и неминимальным (3.169)
^^Уляторами: — при номинальных параметрах объекта; — при уменьшении и
Увеличении Тэ в 5 раз; — при уменьшении и увеличении £тп в 5 раз
171
Рис. 3.16. Процессы в контуре регулирования тока электропривода постоянного тока
с раздельным управлением комплектами тиристорного преобразователя:
а - с традиционным регулятором тока (3.168);
б - с неминимальным регулятором тока (3.169)
Пример 3.11. Другим примером использования неминимальных
регуляторов может служить система регулирования скорости электропривода с
заметным влиянием упругих связей между двигателем и механизмом.
Параметры двухмассовой электромеханической системы приняты
следующими: моменты инерции первой и второй масс Ji = Л = 5 кг-м2,
коэффициент жесткости Ci2 ~ 1000 кгм2/с2, коэффициент внутреннего трения в
упругой передаче b = 5, коэффициенты вязкого трения = Рс2 =0,5. Синтез
минимального и неминимального регуляторов выполнялся для эквивалентной
одномассовой системы, без учета упругих связей. На рис. 3.17,а и 3.18/1
показано изменение упругого момента скорости первой coj и второй (02
массы при скачкообразном изменении задания на скорость и момента нагрузки
для двухмассовой электромеханической системы с типовой настройкой контура
скорости на модульный оптимум, соответствующей минимальному решению
полиномиального уравнения. На рис. 3.17,а используется обратная связь по
скорости первой массы, на рис. 3.18,а - по скорости второй массы. Хорош0
видно, что имеют место значительные «выбросы» и слабо затухают00
колебания упругого момента, а также колебания скорости первой и втор00
масс. На рис. 3.17,6 и 3.18,6 показаны процессы в системе с неминимальна^
регулятором скорости и обратной связью соответственно по скорости перво0
второй массы. Использование неминимального регулятора позволило не
демпфировать упругие колебания, но и значительно УмейЬ\^
установившуюся ошибку от возмущающего воздействия. Исследов
показали, что величина установившейся ошибки может настраив*
изменением коэффициента кр вплоть до значений, равных нулю.
172
Таким образом, на основе общего решения полиномиального уравнения
быть построены регуляторы скорости, эффективно демпфирующие,
^угие колебания в механической части электропривода, независимо от места
>{яновки датчика скорости, и обеспечивающие требуемую установившуюся
^бку при отработке возмущающих воздействий.
Г| |	!	Г
0.1тп Д
о.е. /3	:
0.4 -.......|...................
-01------------1----------1----------i----------1-----------1----------i------j—
О 1	2	3	4	5 в t, с
а
°‘1О	1	2	3	4	5	6 Те
к	б
с- 3.17. Процессы в двухмассовой электромеханической системе с обратной связью
По скорости двигателя со i и минимальным (а) и неминимальным (б) регуляторами
скорости (1 - ©г; 2 - ©j; 3 - /Иц)
173
Рис. 3.18. Процессы в двухмассовой электромеханической системе с обратной связью
по скорости механизма со2 и минимальным (а) и неминимальным (б) регуляторами
скорости (1 - ©г; 2 - (Оь 3 - Wi2)
Отметим, что реализация представленных неминимальных регуляторов в
аналоговой форме достаточно сложна, но в цифровой системе регулирования
их реализация не вызывает затруднений.
174
3.8. Выводы по главе 3
j разработана методика синтеза непрерывных регуляторов, основанная на
методе полиномиальных уравнений и позволяющая получить как широко
используемые в электроприводе регуляторы, так и новые типы
регуляторов, обеспечивающие замкнутой системе устойчивость,
грубость, заданные качество и точность.
2	Показаны преимущества некомпенсационных (не компенсирующих нули
и полюсы передаточной функции объекта) регуляторов при отработке
внешних возмущающих воздействий и параметрических возмущений
объекта.
3,	Выявлены условия, обеспечивающие работоспособность
синтезированных регуляторов, качество и точность замкнутой системы,
ее робастность.
4.	Предложены различные варианты настроек замкнутой системы,
основанные на методе стандартных переходных характеристик и
корневых методах.
5.	Для анализа устойчивости, качества и точности замкнутой системы
предложено использовать коэффициентные оценки, которые дают
достаточно простое решение этих задач. Эти же оценки могут быть
использованы для решения задач синтеза при формировании желаемого
характеристического полинома замкнутой системы.
6.	Для анализа чувствительности синтезированной системы к изменению
параметров предложено использовать функции чувствительности
коэффициентных показателей устойчивости, качества и точности,
позволяющие получить достаточно простые аналитические выражения.
7.	Показано, что метод обратных задач динамики может быть сведен к
методу полиномиальных уравнений, разработана соответствующая
методика, позволяющая получить замкнутую систему малой
параметрической чувствительности.
8.	Разработана методика синтеза регуляторов (упрощающая и их наладку),
основанная на идее аффинной параметризации и методе полиномиальных
уравнений. В основе методики лежит сопоставление процедур синтеза
регуляторов разомкнутой и замкнутой систем.
9.	Показано, что общее (неминимальное) решение полиномиального
уравнения позволяет получить систему с неявной внутренней моделью
объекта, что придает системе свойство адаптивности и существенно
улучшает отработку как внешних, так и параметрических возмущений.
175
Глава 4. ПРИНЦИПЫ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫМИ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ МЕТОДАМИ
4.1. Метод полиномиальных уравнений для синтеза
дискретных систем
В теории дискретных систем управления получили развитие мето
полиномиальных (диофантовых) уравнений [16-18,22,27,61,66,117-120,1221^
и др.], которые в сочетании с корневыми методами позволяют синтезирова *
алгоритмы регулирования, в более полной мере учитывающие специфик
микропроцессорного управления. Следует отметить, что сначала эти метода
были разработаны Л.Н. Волгиным для синтеза цифровых систем управления
[16-18] и развиты другими авторами [22,35,107,117-120,122,138], а уже затем
перенесены на непрерывные системы [22,27,61,66,98], поскольку позволяют
решить ряд проблем и в этом классе систем управления (см. гл. 3).
Метод дискретных полиномиальных уравнений не только учитывает
специфику построения цифровых систем управления, но, как и в непрерывном
случае, рассмотренном в предыдущей главе, позволяет получить систему с
заранее заданными свойствами. Так, при использовании данного метода
практически исключается возможность получения неработоспособной
(неустойчивой и негрубой) системы, физически нереализуемых регуляторов
или систем со скрытыми колебаниями. Кроме того, имеется возможность
произвольного выбора компенсируемых нулей и полюсов объекта (что может
повлиять на качество и чувствительность проектируемой системы), создания
системы с требуемыми качеством и точностью процессов отработки как
задающих, так и возмущающих воздействий. В рамках данного метода имеется
также возможность устранить влияние запаздывания на качество процессов в
системе.
Кроме того, как уже отмечалось, в цифровых системах регулирования
возможны скрытые колебания координат, которые в большинстве случаев
нежелательны, так как вызывают дополнительный расход электроэнергии,
увеличивают динамические нагрузки в силовой части электропривода. Поэтому
проектируемая система в большинстве случаев должна обеспечивать плавно6»
без скрытых колебаний, регулирование всех координат.
Рассматриваемый метод синтеза основан на использование
математического аппарата полиномиальных уравнений и позволяет не тоЛЪ-
учесть указанные требования, но и придать синтезированной системеи?
дополнительных свойств (например, ограничение внутренних переменно
получение систем, оптимальных по быстродействию и др.) [16].	М)
Важным достоинством метода является возможность расчета
обладающих свойством удовлетворять совокупности различных
Эта возможность обусловлена присущим полиномиальным уравне
176
Яством объединяться в одно уравнение, такое, что свойства решения
уравнения сохраняются и в решении объединенного полиномиального
Мнения [16-18,117,119,120,122 и др.].
Методика синтеза дискретных регуляторов во многом аналогична
додике синтеза непрерывных регуляторов, изложенной в гл. 3, но имеются
которые особенности, связанные с дискретностью модели объекта
.правления.
7 ДПФ объекта управления в общем случае может быть представлена в
ляде (см. гл. 2):
(4.1)
W---------
(Z-l)'0(z)
где Р(?) и “ *3™° простые полиномы от z степени пр и yiq
с00ТВетственно, не имеющие нулей в точке z = 1, причем
«Р < wg+z ,	(4.2)
/ - количество интегрирующих звеньев в объекте. Поэтому ДПФ объекта -
строго правильная дробно-рациональная функция с indf70(z) = пр - i - yiq < 0.
Характерным для объектов в цифровых системах управления является
запаздывание, что выражается неравенством (4.2) и, в общем случае, ненулевой
порядок полинома P(z), причем нули ДПФ (4.1) либо обусловлены нулями
непрерывной модели объекта, либо это нули квантования. В последнем случае
они могут быть как устойчивыми, так неустойчивыми. Полюсы ДПФ (4.1) в
электроприводе, как правило, устойчивы. Если запаздывание в контуре
регулирования больше или равно периоду дискретности Г, полином Q(z) имеет
нули в точке z = 0, то есть (4.1) можно представить в более общем виде:
W= т P(Z\-----------,	(4.3)
zw(z-iye(z)
где тТ- часть запаздывания, кратная Т\ m = 0,1,2...
При синтезе часть нулей и полюсов объекта может компенсироваться
Регулятором. Неустойчивые нули и полюсы компенсировать недопустимо из
Условия работоспособности (при этом нарушаются условия грубости). Но, как
^казано в гл. 1, компенсация устойчивых нулей с отрицательной
Шественной частью (так называемых «нулей квантования») также
Шелательна из-за возникновения скрытых колебаний выходной координаты,
что более важно, значительных колебаний управляющего воздействия и
^Межуточных координат электропривода на частотах, вдвое больших
^Шты квантования. Поэтому в цифровых системах целесообразно
^^^^гься компенсацией лишь некоторых из устойчивых полюсов объекта и
^/Шивых нулей с положительной вещественной частью, если это
л°Шдимо для повышения быстродействия замкнутой системы. Вместе с тем,
иметь в виду, что использование компенсационных регуляторов
177
^•3,
сопровождается повышением чувствительности к изменению пара^^
объекта из-за появления дополнительных составляющих переходного проц0*
Кроме того, компенсация устойчивых полюсов объекта, как показано в
может привести к ухудшению отработки возмущающих воздействий.
Выполним факторизацию ДПФ объекта (4.1)
вд=_ A(£)W ,
(z-l)'0+(z)6_(z)
где P+(z), Q+(z) - полиномы, содержащие все устойчивые нули и
объекта; JL(z), Q_(z)- полиномы, содержащие все неустойчивые
полюсы, к которым следует отнести и (z -1/.
Теперь ДПФ объекта регулирования (4.1) можно представить в виде
fF0(z) =--,
(z-ixeK(Z)eH(Z)
(4.4)
полюсу
нули a
(4.5)
(4.6)
где J^(z), бк(2) ~ полиномы, содержащие все компенсируемые нули и
полюсы (из условия грубости к ним нельзя относить неустойчивые нули и
полюсы, то есть 7L(z), Q_(z)); PH(z), QH(z) - полиномы, содержащие все
некомпенсируемые нули и полюсы (к ним можно отнести некоторые или все
устойчивые нули и полюсы).
Тогда передаточную функцию цифрового регулятора можно записать
следующим образом:
Fp(z) =--QcWfr) ,
(z-l)'PK(z)tf(z)
где j - количество интегрирующих звеньев в регуляторе (вычисляется по (3.4),
(3.5) в зависимости от требуемого порядка астатизма); M(z\N(z) - искомые
полиномы регулятора.
ДПФ регулятора (4.6) не содержит неустойчивых нулей и полюсов
объекта, так как Pk(z)h2k(z) содержат только устойчивые нули и полюсы, и
поэтому обеспечивается выполнение условия грубости. Но, кроме условия
работоспособности системы, должно выполняться и условие реализуемости
регулятора, то есть алгоритм регулирования не должен использовать
"будущих” значений входного сигнала. Учтя это условие, получаем следую11166
соотношение для степеней полиномов, входящих в регулятор:
Однако, если степень числителя №p(z) меньше степени знаменателя,10
регулятор вносит в контур регулирования дополнительное запаздь^^р
кратное периоду дискретности, что приводит к ухудшению качества пр°ц #
регулирования, поэтому потребуем равенства степеней числителя
178
[е11ателя регулятора. Окончательно условие реализуемости регулятора
^етсятак:
(4.8)
(4.9)
+	(4.7)
ДПФ регулятора - правильная дробно-рациональная функция с
^|fp(z) = O- Заметим, что в непрерывном случае отличие indftp(p) от нуля
лило вполне допустимо.
Анализ ДПФ разомкнутой системы
Ф(2) = Wp(z)W0(z) =--^)M(Z)--------
(z-i),+^(z)eH(z)
таКйм регулятором показывает, что степень его числителя в силу (4.2) и (4.7)
рсегда меньше степени знаменателя:
^M+nPH<nN^i + J + nQai
w есть Ф(я) - строго правильная рациональная функция с
„х1Ф<г)=indFKp(z) + ind^(z)=indW0(z).
Основой для синтеза регулятора, как и в непрерывном случае, служит
ДПФ замкнутой системы по ошибке:
G (z)_____1	=	(z-l),+J^(z)gH(z)g_(z)
6	1 + O(z) (z-l)/+^(z)0H(z) + PH(z)M(z)'
Степень сомножителя (z-1) в числителе этой ДПФ определяет желаемый
порядок астатизма системы по управляющему воздействию, при этом имеется
свобода выбора j. Приравняв знаменатель передаточной функции к желаемому
характеристическому полиному замкнутой системы Л(г)9 получим
полиномиальное уравнение синтеза:
PH(z)M(z) + (z - l)/+^(z)0H(z) = A(z)
с искомыми полиномами регулятора M(z)9 N(z).
Методики решения этого полиномиального уравнения относительно
искомых полиномов M(z) и N(z) подробно описаны в [16, 18]. Наиболее
цР°стым способом решения полиномиального уравнения (4.9) является
РазвеРггь1вание его в систему алгебраических уравнений приравниванием
КоэФфициентов при одинаковых степенях z в левой и правой частях этого
Триномиального уравнения. Другой способ, который удобен для решения с
ь/^нъзованием компьютера, известен как алгоритм Евклида (см. прил. 3).
Тт°Р характеристического полинома в зависимости от требований к качеству
^пирования будет представлен ниже.
® [30,31,36] рассматриваются несколько частных случаев приведённой
синтеза систем. В зависимости от требований, предъявляемых к
^гроприводу, можно выделить следующие варианты синтеза системы:
179
1)	необходимо выполнить только условие работоспособности
заданном виде переходных процессов, то есть к системе предъявляются tojt^
условия грубости и устойчивости;	1(0
2)	кроме условия работоспособности, необходимо выполнить уСЛов
отсутствия скрытых колебаний;
3)	кроме обеспечения двух предыдущих условий, необходимо, чток
синтезируемая система имела минимальную чувствительность к изменен^
параметров объекта, что, как известно, соответствует отсутстС^
дополнительных составляющих переходного процесса при вариап^
параметров объекта.
Рассмотрим отдельно каждый из этих вариантов синтеза.
4.1.1. Обеспечение условий работоспособности системы
Система будет "грубой", если регулятор не компенсирует неустойчивые
нули и полюсы объекта. Для этого ДПФ замкнутого контура G(z) должна
содержать все неустойчивые нули объекта, то есть P_(z), а ДПФ ошибки по
управляющему воздействию Gg(z) = l-G(z) - все неустойчивые полюсы
объекта, то есть Q_(z):
Л(2)
Устойчивость синтезируемой системы регулирования определяется
характеристическим полиномом 4(z). Поэтому соответствующим выбором его
коэффициентов можно заранее обеспечить выполнение второго условия
работоспособности синтезируемой системы - ее устойчивость.
Когда желаемый порядок астатизма по управляющему воздействию
больше i (как уже отмечалось выше, i - число интегрирующих звеньев в
объекте регулирования), выражение (4.11) будет иметь вид:
где j - количество интегрирующих звеньев в регуляторе.	.
Таким образом, для данного случая PK(z) = P+(z), PB(z)=	’
QK(z) = Q+(z), 6h(z) = 8-(z)> a полиномиальное уравнение синтеза для 31010
варианта приобретает вид:
P_(z)M(z) + (z - 1),+7^(я)ад = A(z).
ДПФ компенсационного регулятора, компенсирующего все усто*
нули и полюсы объекта:
180
Ур(г)=_&(?)
Р P+(z)(z-l)' ЛГ(2)
(4.12)
Наличие в регуляторе только устойчивых нулей и полюсов объекта
г^спечивает выполнение условия ’'грубости” системы. Как видно из (4.12),
условие реализуемости полученного регулятора следующее:
"e++w3/=wP++./ + "#•
Более подробно вопросы обеспечения грубости, поскольку они имеют
jg^cHoe значение в цифровых системах управления, будут рассмотрены в п. 4.2.
Использование такого регулятора позволяет получить наибольшее
быстродействие системы за счет компенсации инерционностей объекта и
децимального порядка характеристического полинома, но требует
значительных управляющих воздействий и соответствующих энергетических
затрат. Кроме того, регулятор в этом случае может получиться достаточно
сложным.
4.1.2, Отсутствие скрытых колебаний регулируемой величины
В ДПФ регулятора (4.12) входят Р+(^), то есть происходит компенсация
устойчивых нулей объекта. Если в число компенсируемых нулей входят нули
квантования (вещественные отрицательные нули), это вызывает скрытые
колебания регулируемой координаты. Такие колебания в системах
электропривода, как правило, нежелательны. Для обеспечения отсутствия
скрытых колебаний ДПФ замкнутого контура G(z) дрлжна, включать в себя весь
полином P(z), то есть вместо (4.10) должно использоваться равенство:
G(Z) = P(Z)3/(Z).	(4.13)
Л(г)
Поэтому для данного случая 7^(z) = l, PH(z) = P(z), 6k(z) = 6+(z)>
6н(*) = Q_ (z), а уравнение синтеза имеет вид:
P(z)M(z) + (z - l)i+JQ_(z)N(z) = A(z).
Регулятор при этом компенсирует только устойчивые полюсы объекта:
lFp(z)= ^(Z) ^(Z).	(4.14)
Р (z-1)7 N(z)
Условие реализуемости для такого регулятора запишется так:
ие++ил/=7+^-
В случае, если объект содержит устойчивые нули, не являющиеся нулями
Майт°вания, очевидно, они могут быть скомпенсированы.
181
4.1.3.	Низкая чувствительность к изменению параметров объект*
Компенсация устойчивых полюсов объекта регулирования обуслашп^
повышенную чувствительность выходной координаты к измен^
параметров объекта, что приводит к нарушению условия полной компено*1^
полюсов ДПФ объекта при изменении параметров последнего и, следовате5^
к появлению дополнительных составляющих в переходном процессе. Поэ^0’
в тех случаях, когда необходимо обеспечить низкую чувствительн^
синтезируемой системы к изменению параметров объекта, ДПФ замкнут^
контура должна по-прежнему содержать все нули объекта, то есть P(z), a G
- все полюсы объекта, то есть	Следовательно
> третье
полиномиальное уравнение синтеза определяется равенством (4.13) и
Ge(Z)" A(z) 	(41*)
Для этого случая PK(z) = 0K(z) = 1, PH(z) = P(z), 6B(z) = Q(z)> a
уравнение синтеза имеет вид:
P(z)M(z) + (z - 1)/+>0(я)У(г) = A(z).
При этом варианте синтеза получается наиболее простой,
некомпенсационный, регулятор, ДПФ которого будет содержать только
полиномы M(z), N(z) и интегрирующие звенья:
^p(z)=—.
(z-l)^(z)
Условие реализуемости такого регулятора очевидно:
nM=J + nN-
(4.16)
4.1.4.	Выбор степени характеристического полинома
Найдем соотношения для выбора степени характеристического полинома
A(z), а также для определения степеней полиномов M(z) и
соответствующих минимальному решению следующего полиномиального
уравнения, включающего в себя все три рассмотренных выше варианта синтеза-
PH(z)M(z) + (z -1)'+> QB(z)N(z) = A(z),	<4Л7)
где Ря(г) и Qh(z) выбираются в соответствии с принятым вариантом синтеза.
Напомним, что ДПФ объекта регулирования представляется в виде
182
W0(z) =----,
(z-l)'0K(z)0H(z)
црИ*1^
np<i + riQ .
Передаточная функция регулятора имеет вид:
&UX(z) .
(z-l/PK(z)JV(z)
(4.18)
Для обеспечения условия реализуемости регулятора необходимо, чтобы
поднялось соотношение
«0с + пМ = J + «Лс + nN •	(4.19)
Г
Согласно [16,18] в общем случае имеется два решения уравнения: первое
^относительно Af(z), второе - относительно N(z).
Степени минимальных полиномов при решении относительно M(z)
равны:
nM=nQa+i + i-^ nN=nPa~i
в случае правильного полиномиального уравнения и
пМ =Я0н+’ + /-1»	(4-20)
для случая неправильного уравнения. Заметим, что правильным
полиномиальное уравнение (4.17) будет в том случае, если выполняется
неравенство
пА < 1’+ Jr + nQn + пРн	(4.21)
(4.22)
При решении относительно N(z) получаются следующие соотношения:
«ЛГ =«0н+/ + 7“1
в случае правильного уравнения и
пМ=пА~пРк
в случае неправильного уравнения.
Отсюда видно, что для правильного полиномиального уравнения
|<ааимальные решения относительно M(z) и N(z) совпадают.
Однако можно показать, что для реальных объектов, в которых
^олняется условие (4.18), невозможно получить физически реализуемый
^Улятор на основе минимального решения правильного уравнения синтеза.
Т&иствительно, подставив найденные минимальные степени искомых
^^линомов правильного полиномиального уравнения в условие физической
Реализуемости регулятора (4.19), получим
183
np = i + nQ9
что противоречит условию (4.18).
Поэтому для синтеза реализуемого регулятора степень
характеристического полинома должна удовлетворять неравенству
пА Zi + j + nQa+npn,
ЖелаеМоГо
(4-23)
что соответствует неправильному полиномиальному уравнению.
Получим соотношения для степеней полиномов в случае неправильн
уравнения синтеза. Как указано выше, возможно два решения. ~	*
относительно Af(z). Из соотношения (4.19) найдем
rr 10г<>
Первое
а из (4.20)
пМ -^=2(«ен+1 + У)-1-пя-
Приравнивая правые части этих выражений, получим равенство
пА =2nQ +2i + j-пр*-1,
(4.24)
определяющее минимально возможную степень полинома A(z). Степени
полиномов M(z) и N(z) в этом случае
nM=nQB.+i + J-l = nQ-nQK+i + JnN=nQ+i-npK-l. (4.25)
Подстановка (4.24) в (4.23) дает
пр <i + nQ9
что в целом соответствует (4.18). Однако знак равенства в этом соотношении
означает, что минимальное решение может быть получено только в том случае,
когда полиномиальное уравнение является строго неправильным, то есть при
строгом неравенстве в соотношении (4.23). Поэтому данное минимальное
решение можно считать корректным только для строго неправильного
полиномиального уравнения.
Степени полиномов для решения неправильного полиномиального
уравнения относительно N(z) находятся аналогично и равны:
«л = 2пр + J - "о* - «лс +1;	(4,26)
»л/=ир+У-»ек-1-	(4,27)
Подставив (4.26) в (4.23), получим:
пр > i + nQ +1,
что противоречит (4.18) и соответствует физически нереализуемому °®ъе^
Поэтому минимальное решение неправильного полиномиального уравне
относительно N(z) также можно исключить из рассмотрения.
184
Таким образом, для синтеза физически реализуемого цифрового
гудятора минимального порядка необходимо использовать строго
^^авильное полиномиальное уравнение, удовлетворяющее условию:
пА >i + J + nQH+npn,
* 3toM степени полиномов выбираются в соответствии с (4.24) и (4.25) и
^ется минимальное решение относительно полинома M(z).
4.2. Обеспечение грубости цифровых систем управления
При разработке цифровых Систем управления электроприводом
достаточно часто синтезируются неработоспособные алгоритмы управления,
ито обычно связано с недостатками выбранного метода синтеза. Многие из
известных методов не гарантируют получения работоспособных регуляторов,
обеспечивающих требуемые качество и точность регулирования при работе в
промышленных условиях. Как оказалось, применение метода полиномиальных
уравнений тоже не всегда гарантирует грубости синтезированной этим методом
системы. Попытаемся обозначить условия, выполнение которых позволяет
получить работоспособную цифровую систему.
Известно, что необходимыми условиями работоспособности системы
автоматического регулирования являются ее устойчивость и грубость [16,118].
Первое условие работоспособности замкнутой системы - ее устойчивость -
обычно легко обеспечивается, например, выбором заведомо устойчивого
желаемого характеристического полинома замкнутой системы. Под вторым
условием - грубостью - понимается свойство системы сохранять устойчивость
при малом изменении ее параметров.
В линейных системах автоматического управления с медленно
меняющимися параметрами возможно два рода нарушения грубости [15].
Нарушение грубости первого рода происходит как в непрерывных, так и
Цифровых системах при попытке прямой компенсации отрицательных
Динамических свойств объекта (неустойчивости и неминимальнофазовости)
при помощи регулятора с такими же отрицательными свойствами.
Непрерывные модели элементов электропривода обычно устойчивы и
ыинимально-фазовы. Но дискретные модели этих же элементов
электропривода, как правило, являются неминимально-фазовыми из-за наличия
в контуре регулирования вычислительного запаздывания, использования
экстраполяторов, датчиков усредняющего типа и т.д. [31]. Кроме того,
Некоторые технологические объекты, включающие в себя электропривод,
Неустойчивы или содержат транспортное запаздывание, что делает их также
Неминимально-фазовыми [32,33]. Поэтому очевидно, что в цифровых системах
Проблема грубости даже более актуальна, чем в непрерывных. Разумеется, при
сИнтезе цифровых регуляторов эти свойства объектов должны быть учтены.
Нарушение грубости первого рода происходит, как и в непрерывных
системах, при тривиальном расчете передаточной функции регулятора Wp(z)
185
по желаемой ДПФ замкнутой системы GM(z) и ДПФ объекта W ( .
формуле:	' **<>
цг (z)-	*	^ж(2)
Р W0(z)l-Gx(z)	(4.28)
Эта простая методика приводит к работоспособным системам толь
случае устойчивых и неминимально-фазовых объектов, то есть имеющих *° В
и полюсы только внутри единичной окружности. Особенностью такого
негрубости является то, что система теряет устойчивость при сколь
малых изменениях параметров любого знака и, как правило, выявляется уже °
этапе моделирования процессов, т.к. параметры регуляторов обычи*
округляются, а численные расчеты в ЭВМ выполняются с конечной точностью°
Пример 4.1. Пусть непрерывная и дискретная передаточные функции
неустойчивого объекта соответственно равны:
+ 1	z — a
где То = -0,1 с; d = ехр(-Т/То) = 1,105; Т = 0,01 с - период дискретности. ДПф
компенсационного пропорционально-интегрального регулятора в соответствии
с (4.28) равна:
(4.29)
(430)
(4.31)
F F z-1
где kp = (1 -	)/(l - d)	- коэффициент усиления	регулятора;
<УЖ = exp(-7V Тж); Тж =0,02 с - постоянная времени желаемого процесса в
устойчивой замкнутой системе с передаточной функцией
z~dx
На рис. 4.1 приведены процессы в цифровой системе управления с этим
неустойчивым объектом, где видно, что система через некоторое время после
начала моделирования теряет устойчивость.
Нарушение грубости второго рода может происходить при
искусственном обнулении некоторых (обычно старших) коэффициентов
характеристического полинома замкнутой системы, что имеет место, например,
при весьма распространенной в электроприводе компенсации регулятором
устойчивых нулей и полюсов ПФ объекта.
Заметим, что некоторые авторы, например [20], во избежание ошибок пр
исследовании нарушения грубости 2-го рода предлагают поряд
характеристического полинома находить как сумму порядков всех элеме
входящих в систему. При таком подходе пониженный поряд *
характеристического полинома, по крайней мере, должен побудит^
дополнительным проверкам. Дело в том, что искусственное понижение пор
186
^^герметического полинома вызывает при вариации параметров появление
^^дцительных составляющих переходного процесса, которые могут носить
устойчивый, так и неустойчивый характер. В первом случае система
^егся работоспособной, но может ухудшиться качество регулирования при
^0ации параметров объекта. Во втором случае происходит нарушение
^бости 2-го рода.
Рис. 4.1. Реакция системы на ступенчатое воздействие при нарушении грубости
первого рода
Пусть характеристический полином замкнутой цифровой системы имеет
вад:
A(z) = anzn + an_\zn 1 +... + a^z + .	(4.32)
В отличие от непрерывной системы (см. п. 3.3.1), здесь при помощи
соответствующего выбора структуры и параметров регулятора возможно
обнуление как младших коэффициентов полинома вплоть до ап_\, например,
при реализации процессов конечной длительности или использовании методов
компенсации влияния запаздывания, так и старших коэффициентов. В первом
Случае, как показано в [15] для системы с конечной длительностью процессов,
°Нане теряет устойчивости при малых изменениях параметров, то есть является
1Рубой.
Во втором случае, при искусственном понижении порядка
Характеристического полинома, нарушение грубости второго рода
^аоратически возможно. Рассмотрим объект с ДПФ общего вида
oU QW>9
(433)
187
где P(z) и Q(z) - полиномы от z степени пр и по соответственно пъ
и	’ Бричей
пр <nQ из условия физической реализуемости. Синтез некомпенсацио^
регулятора вида
P(z)M(z)
jy (г) - A/(z)
р() ад’	(4.34)
где M(z) и N(z) - полиномы от z степени пм и nN соответственно, причем
выполним методом полиномиальных уравнений. Для этого запище
ДПФ замкнутой системы	М
Wp(z)W0(z)
l + Wp(z)PKo(z) P(z)M(z) + Q(z)N(z)
и, приравняв ее знаменатель к желаемому характеристическому полиному А(г\
степени пА, получим полиномиальное уравнение синтеза	;
P(z)M(z) + адад = A(z),	(4.з5)
решение которого относительно полиномов M(z) и N(z) и даст искомый
регулятор. Остановимся подробнее на решении уравнения (4.35). Очевидным
условием разрешимости этого уравнения является:
пА = max{np + пм, nQ + nN }.	(4.36)
Из условия физической реализуемости ДПФ объекта (4.33) и регулятора (4.34)
следует, что
(4.37)
nP +nM ^nQ+nN>
поэтому (4.36) можно переписать в виде
ил=ие + иу.	(4-38)
Младшие коэффициенты характеристического полинома могут быть обнулены
за счет сокращения младших членов полиномов P(z)M(z) и Q(z)N(z) в левой
части уравнения (4.35), например, коэффициент а$ можно обнулить, выбрав
mg и по из равенства	= О • Старшие коэффициенты таким
способом можно обнулить лишь при строгом равенстве в (4.37). А это
возможно только в случае равенства степеней числителя и знаменателя как в
ДПФ регулятора, так и в ДПФ объекта. В цифровых системах из-за
вычислительного запаздывания это условие никогда не выполняется. Поэтому
можно было бы согласиться с выводами, сделанными в [15] о невозможности
нарушения грубости второго рода в цифровых системах.
Однако, если использовать упомянутый выше подход [20], когда поряД^
замкнутой системы определяется как сумма порядков объекта и регулятора,
можно говорить о другом способе обнуления старших коэффициент0
188
-лнома A(z) - компенсации нулей и полюсов объекта регулятором
Разумеется, рассматривается компенсация только устойчивых нулей и
Глосов, т.к. в противном случае речь должна идти о нарушении грубости 1-го
) Пример 4.2. В качестве примера рассмотрим систему управления
фактом (2) с запаздыванием на один период дискретности Г = 0,01 с. ДПФ
объекта
0^(z)= 1-- ,
z(z - d)
где То ~ 0»1 с; d = ехр(-Т/7^), объект устойчив. ДПФ регулятора находится из
полиномиального уравнения
(1 - d/m^z +	+ (z - l)(z - dX^z + «о) = z2(z - <1Ж )
и имеет вид:
z^z + mp)
Р (z-lXniz + ио)’
ГДе </ж=ехр(-Г/Тж); Тж =0,02 с; И|=1; ир=1 + <7 — </ж;
- [ло(1 + ^) ~ ^]/(1 “ >	т0= -ntf* /(1 ” <0 • Здесь в желаемом
характеристическом полиноме два младших коэффициента равны нулю. При
моделировании процессы в такой системе носят колебательный неустойчивый
характер даже при номинальных значениях параметров, что свидетельствует о
негрубости системы. Заметим, что полюс регулятора -/п[ при указанных
параметрах по модулю больше единицы, то есть регулятор неустойчив.
Таким образом, в цифровых системах управления возможно нарушение
грубости 2-го рода при обнулении как старших, так и младших коэффициентов
характеристического полинома за счет появления дополнительных
составляющих переходного процесса при малых вариациях параметров
системы, которые, в общем случае, могут иметь неустойчивый характер. Тем не
менее, обнуление некоторых коэффициентов характеристического полинома
является привлекательным с точки зрения повышения качества регулирования
и широко используется на практике. •
Вместе с тем, при проектировании цифровых систем управления
электроприводами обнаружен еще один тип нарушения грубости [38], который
м°жно назвать нарушением грубости третьего рода. Оно не связано с
°бнулением каких-либо коэффициентов характеристического полинома, то есть
йроявляет себя даже при равенстве порядка характеристического полинома
сумме порядков всех элементов системы. Покажем это на примере.
Пример 4.3. Рассмотрим объект в контуре регулирования скорости
^мгателя с ДПФ третьего порядка
189
w=
Piz + Po
z(z-l\z-d)'
где d = exp(—Г/То ); To = 0,1 с; Т = 0,01 с; р^ = Т—То + dT0; pq = То - d(T+
Регулятор второго порядка, полученный из полиномиального уравц ° '
синтеза
(piz + PoXmzz2 + m^z + те0) + z(z - l)(z - c?)(z2 + n^z + «о) =
5	4	3	2
= z +CI4Z +a$z +<4z + ao>
при указанных значениях параметров объекта и распределении корне-
характеристического полинома 5-го порядка по Баттерворту с Qq=25
(см. прил. 6), имеет вид:
^р(*) =
0,5057(z-l,007)(z-0,903)
z2-2,289z +2,331
Особенностями этого регулятора являются отрицательный коэффициент
усиления (что соответствует положительной обратной связи по регулируемой
координате), неустойчивый нуль и пара комплексно-сопряженных
неустойчивых полюсов. Моделированием легко можно убедиться в негрубости
такой системы.
Заметим, однако, что наличие неустойчивых нулей и полюсов в
регуляторе, как и его отрицательный коэффициент усиления, сами по себе не
могут служить критерием нарушения грубости. Можно привести ряд примеров,
например системы с неустойчивым объектом [32,45], когда она остается грубой
и при использовании регулятора с неустойчивыми нулями и полюсами, и при
положительной обратной связи. Тем не менее на практике такие регуляторы
практически не применяют из-за сложности их наладки и проблем с
ограничением координат.
К сожалению, в теории цифровых систем управления отсутствуют какие-
либо критерии приемлемой сложности для практической оценки грубости в
рассматриваемых случаях, что связано со сложностью как математического
описания, так и существующих критериев устойчивости цифровых систем.
Вместе с тем анализ условий устойчивости систем 1-3 порядка и
практический опыт проектирования цифровых систем управления позволяет
предложить несколько простых эмпирических условий, при которых возможно
нарушение грубости.
1.	Регулятор компенсирует неустойчивые нули или полюсы ДПФ объекта.
2.	Старшие коэффициенты полиномов числителя или знаменателя
регулятора отрицательны, что может соответствовать положительно
обратной связи по регулируемой координате.
3.	ДПФ регулятора имеет неустойчивые (по модулю больше единицы) НУ
или полюсы.
190
Степень характеристического полинома меньше суммы степеней
^Фдияомов знаменателей ДПФ объекта и регулятора пА <пд +пдг, то есть
дпЯДОК замкнутой системы меньше суммы порядков всех ее элементов и
место искусственное понижение порядка характеристического
-олинома.
Равны нулю один или несколько младших коэффициентов
'характеристического полинома.
Выполнение хотя бы одного из этих условий означает, что в системе,
.д^ожно, имеет место нарушение грубости 1-го, 2-го или 3-го рода, поэтому
деобходима дополнительная проверка полученного регулятора, например,
jjyreM моделирования замкнутой системы при малых вариациях параметров
объекта.
Заметим, что выполнение условий работоспособности (устойчивости и
фубости при малых вариациях параметров) цифровой системы управления еще
0е означает, что она будет оставаться устойчивой и при более значительных
изменениях параметров. Поэтому часто ставится более общая задача
обеспечения устойчивости системы во всем заданном диапазоне изменения
параметров, которую называют задачей обеспечения робастной
устойчивости [89]. Очевидно, что робастно устойчивая система будет грубой,
то есть задача робастной устойчивости шире задачи обеспечения грубости.
Соответственно и решение ее более сложно.
4.3.	Обеспечение качества и точности дискретных систем
4.3.1.	Обеспечение требуемого качества
Рассмотрим структурные схемы изображенной на рис. 4.2 замкнутой
системы, синтезированной по первому (п. 4.1.1) и третьему (п. 4.1.3) вариантам,
которые дают соответственно компенсационный и некомпенсационный
регуляторы.
Дискретные передаточные функции по задающему воздействию систем с
компенсационным и некомпенсационным регуляторами соответственно равны:
G(Z) = ^- =-------• £<z)Ph(z)--------.	(4.39)
ОД M(Z)PH(Z) + (Z-1)'+^(Z)2H(Z)
G(Z) =	=---------4^^?) ----------.	(4.40)
ад M(Z)P(Z) + (Z-l)l+7 N(z)Q(z)
ДПФ по ошибке систем с компенсационным и некомпенсационным
Регуляторами соответственно будут равны:
С(2)=ВД =---------.	(4.41)
*l(z) M(Z)PH(Z) + (Z-1)'+^(Z)6H(Z)
191
G E<z) (z-iy'+^(z)6(Z)
6	Xl(?) M(z)P(z) + (z-l)i+j N(z)Q(z)	(4,42)
Структура полученных передаточных функций аналогична полученный
ранее в гл. 3 для псевдонепрерывных систем, а их знаменатели явл^отГ
дискретными характеристическими полиномами, определяющими свободную
составляющую переходного процесса. Очевидно, что выбирал
соответствующим образом этот характеристический полином, можно
обеспечить требуемые динамические свойства системы.
6)
Рис. 4.2. Структурные схемы замкнутой системы с компенсационным (я)й
некомпенсационным (б) регуляторами
Стандартные дискретные характеристические полиномы
При синтезе регуляторов цифровой системы электропривода
важнейших задач является определение оптимальной передаточной
фуяк^
192
^кнутой (или разомкнутой) системы. Использование метода полиномиальных
равнений предполагает отыскание характеристического полинома замкнутой
^стемы, обеспечивающего требуемые показатели качества.
Некоторые стандартные характеристические полиномы А(р)
^прерывных систем рассмотрены в гл. 3 и приведены в прил. 4, там же
приведены соответствующие переходные функции. Стандартные
характеристические полиномы A(z) для цифровой системы управления с
периодом дискретности Т можно найти из соответствующих непрерывных
полиномов двумя способами.
Первый реализуется путем преобразования корней характеристического
уравнения непрерывной системы в z-плоскость, как это показано в прил. 6, и
используется преимущественно в системах с высоким быстродействием и
достаточно большим периодом дискретности Это громоздкий способ, но
пригоден практически для любого периода дискретности. Недостатком
является быстрый рост погрешности вычисления коэффициентов дискретного
полинома с увеличением его порядка, что требует в последующем расчета и
реализации коэффициентов регулятора с очень высокой точностью. Поэтому
его можно рекомендовать для систем не выше четвертого-пятого порядка.
Другой способ основан на простой замене p = (z-\)IT, что дает
приближенные значения коэффициентов дискретного характеристического
полинома. Он эффективен при малых периодах дискретности и низком
быстродействии - как правило, при выполнении соотношения QqT<0,1 [46],
где Qq - среднегеометрический корень непрерывного характеристического
уравнения.
Нормированные переходные характеристики дискретных систем
совпадают с характеристиками непрерывных систем, приведенными в прил. 4.
Однако следует оговориться, что при первом способе процессы в дискретной
системе будут совпадать с процессами в непрерывной системе только в
моменты квантования, но все же достаточно близки к ним, а при втором -
возникнут погрешности, величина которых будет расти с ростом Т, вплоть до
Потери устойчивости. Очевидно, что при наличии запаздывания в объекте
Переходная характеристика должна быть смещена на соответствующую
величину вправо.
Настройка на конечную длительность процессов
Известно, что переходный процесс в системе с рассмотренными выше
^НДартными настройками теоретически протекает неограниченно долго.
Днако цифровую систему можно настроить таким образом, что длительность
Доходного процесса будет конечна и минимальна, то есть, начиная с
которого момента времени переходная характеристика системы
°^Дественно равна ее установившемуся значению [16,18,21,118,121 и др].
193
В этом случае все коэффициенты полинома A(z), кроме старшего,
нулю, то есть характеристический полином представляет собой одночлен:
А^ПА-	(4.43)
Использование такого характеристического полинома позвол»
синтезировать цифровые регуляторы, обеспечивающие процессы конечв &
длительности. Последний в данном случае является оптимальным ц0
быстродействию с временем переходного процесса п^Т [16,18,118,121 и др.]
Известно однако, что высокое быстродействие электропривода связано с
повышенной чувствительностью системы к изменению параметров объекта
регулирования. Поскольку в реальных объектах значения параметров не
остаются постоянными, то в системах с такой настройкой неизбежно
значительное искажение вида переходного процесса при изменении параметров
объекта даже в небольших пределах, и длительность переходного процесса
перестает быть конечной. Кроме того, при такой настройке требуются
достаточно большие управляющие воздействия, что не всегда возможно при
ограниченных ресурсах объекта, усиливается влияние помех, и, наконец, эго
может привести к нарушению грубости системы (см. п. 4.2). Указанные
недостатки значительно ограничивают (либо делают полностью невозможным)
применение настройки на конечную длительность для управления реальными
объектами, в том числе электроприводами. Поэтому далее при реализации
систем управления такая настройка рассматриваться не будет.
Обеспечение качества отработки возмущающих воздействий
Найдем ДПФ замкнутого контура (см. рис. 4.2) от возмущения finT) к
выходному сигналу у(пТ) или ошибке е(иТ). Для случая компенсационного
регулятора получим:
cf _ Y(z) = E(z) _ Pf& (z-X^f N{z)QK{z) _ (4>44)
F(z) F(z) Qf(z) M(z)Ps(z)+(z- V)i+jN(z)Q*(z)
Для системы с некомпенсационным регулятором
G/(z) s Л£) = Ж = w (z-X)i+Hf N(z)Q{z) =
F(z) F(z) e/(z)Af(z)P(z) + (z-l)’+7>(z)0(z)	(445)
(z-X)^ N(z)Pf{z)Qu{z)
M(z)P(z)+ (z - X)i+J N(z)Q(z) ’
где z^z-iy - количество интегрирующих звеньев между
приложения управляющего и возмущающего воздействий; Qu(z) =
194
Анализ этих ДПФ показывает, что в случае некомпенсационного
^гулятора характеристический полином ДПФ (4.45) совпадает с
^рактеристическим полиномом ДПФ (4.40) по задающему воздействию. Это
качает, что процессы по задающему и возмущающему воздействиям имеют
^лаковые свободные составляющие и отличаются только вынужденной
вставляющей, поскольку числители (4.45) и (4.40) не совпадают. Поэтому,
заполнив оптимизацию процессов по каналу задающего воздействия, можно
получить оптимизированные процессы и по возмущению.
Иная картина наблюдается в системе с компенсационным регулятором,
если компенсируются полюсы, входящие в полином Qf(z), то есть полюсы
звеньев, расположенных между точкой приложения возмущения и выходом
системы. В этом случае характеристический полином ДПФ (4.44) отличается от
характеристического полинома ДПФ (4.39) и процессы по возмущению
содержат не только желаемые свободные составляющие, но и составляющие,
определяемые компенсируемой частью полинома Qf(z). Поскольку чаще всего
компенсируются «большие» постоянные времени объекта, это может привести
к существенному ухудшению отработки возмущающего воздействия. Это
совпадает с выводами, сделанными в гл. 3 для псевдонепрерывных систем.
Пример 4.4. Проиллюстрируем изложенное на примере объекта с ДПФ
Местом приложения возмущающего воздействия примем вход объекта, то есть
^o(2) = ^y(z). Синтезируем регуляторы, обеспечивающие астатизм первого
порядка по задающему и возмущающему воздействиям и требуемое качество
регулирования, задаваемое желаемым характеристическим полиномом.
Синтезируем сначала компенсационный регулятор, приняв
PK(z) = Ml-rf); 0K(z) = z-d; PH(z) = 2H(^) = l.
Тогда в соответствии с (4.24), (4.25) степени желаемого
характеристического полинома A(z) и искомых полиномов регулятора
^(z), N(z) равны:
идг=о.
Полиномиальное уравнение синтеза
zwo+(z-l)no=z-ao
минимальное решение	= 1 - а$; ио = 1. Соответствующий
^Сенсационный регулятор примет вид:
(4-46)
F ka(l-d)z-l
195
а ДПФзамкнутого контура регулирования по задающему воздействию
G(z) = llfO
z-a0
ДПФ замкнутого контура по возмущающему воздействию в соответствии
с (4,44), кроме желаемого полюса, будет содержать еще и полюс объекта:
G^(z) = ^(l-d)-—
(z-d)(z-a0)
Для синтеза некомпенсационного регулятора примем:
W = &(*)=1; PH(z) = *<,(!-(/); &(z) = z-d.
Вычислив по (4.24), (4.25) степени полиномов
«л=2; nM=V, nN=0,
запишем полиномиальное уравнение синтеза
к0(\ -d^m^z + mo) + (z-Y)(z-d)nQ = z2 -сцг + ao.	(4.47)
Его решение дает
(1 + d-ai)
"i ° ад-rf) ;	”°=1’	<4-48)
а ДПФ некомпенсационного регулятора примет вид:
FFp(z)=^±^.	(4.49)
r z-1
ДПФ замкнутого контура по задающему воздействию
G(z> ^.+wo
z2 - a\z + ад
содержит нежелательный нуль, который можно скомпенсировать фильтром на
входе замкнутого контура с ДПФ
„„(и+ак	(4.5»
т m\Z + /Ир
ДПФ замкнутого контура по возмущающему воздействию в соответствии
с (4.45) содержит только желаемые полюсы:
Gf (Z) = i&(l-rf)—.
z -ap + ao
Eire один вариант некомпенсационного регулятора можно полу4^
записав в(4.47) желаемый характеристический полином в виде:
196
A(z) = z(z-a0).
forfla регулятор сохранит структуру (4.49), а его параметры будут определяться
сражениями:
(l+d-a0)	d	,	/л
W1" ko(\-d) ’ '”°	W-d)’ ”°-1,	(451)
ДПФ замкнутого контура по задающему и возмущающему воздействию с
учетом фильтра, аналогичного (4.50), будут соответственно равны:
G(Z)=IZ£O; g/(z) = Ml-rf) Z~X
z-a0	z(z-a0)
Здесь, как и в предыдущем случае, отработка возмущающего воздействия
определяется только желаемыми полюсами замкнутой системы.
Результаты моделирования при к0 = 1,	То = 0,1 с,	Т = 0,01 с,
d = ехр(-Т/То) = 0,905 представлены на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Переходные процессы отработки ступенчатых задающего и
возмущающего воздействий в системах:
----с компенсационным регулятором (4.46);
----с некомпенсационным регулятором (4.49) и параметрами (4.48);
----с некомпенсационным регулятором (4.49) и параметрами (4.51)
Из рисунка хорошо видно, что при примерно одинаковом качестве
Р°Цессов отработки задающего воздействия процессы по возмущению заметно
197
отличаются. Некомпенсационные регуляторы отрабатывают возмущаюш
воздействие значительно лучше, чем компенсационный регулятор. В системе
компенсационным регулятором возмущение отрабатывается с постоянн *
времени, близкой к постоянной времени объекта, поэтому процесс сильно
затянут. Очевидно, что эффективность некомпенсационных регуляторов буд^
тем выше, чем больше компенсируемая постоянная времени объекта и Чем
выше желаемое быстродействие замкнутой системы.
Особенно важным представляется использование некомпенсационных
регуляторов в контуре регулирования фазных токов асинхронного
электропривода, где традиционно используются компенсационные регуляторы
и имеются достаточно сильные возмущающие воздействия, связанные с
перекрестными обратными связями и колебаниями питающего напряжения.
4.3.2.	Обеспечение требуемой точности
Как и в непрерывных системах, средствами повышения статической
точности цифровых систем являются введение интегральной (точнее,
суммарной) составляющей в закон управления и увеличение контурного
коэффициента усиления. Первый способ приводит к усложнению регулятора
системы, снижению запасов устойчивости и, как следствие, к повышенной
чувствительности к изменению параметров. Второй способ требует
соответствующего повышения быстродействия замкнутой системы.
Как и в п. 3.3.3, рассмотрим сначала систему с некомпенсационным
регулятором, полученным на основе минимального решения полиномиального
уравнения, и имеющей передаточные функции ошибки (4.42) - по задающему
и (4.45) — по возмущающему воздействиям соответственно.
Полагая (пТ) = xq = const, f(nT) = f$ = const, i = j = 0, найдем значения
установившихся ошибок по задающему и возмущающему воздействиям:
ех = lim О - l)Ge (z)-^- = xq ——= xq —Ц-;	(4.52)
z-M z —1 Е'АЕа+ЕаЕ?/ К + 1
zf = Hm (z - l)G^(z)^ = /о	v = /о 1^-777’ (4'53)
J z-+i	z-i Е?/? E^Ea+EaE?/ Z4fiK+l
где E™i, E?i> Еа> Е?/Ь ЕР/? - суммы коэффициентов
соответствующих полиномов; К = ——	- контурный коэффиииейТ
усиления. Выражения для ошибок аналогичны соответствующим BbIPa3KLT0
ям (3,64), (3.65), полученным для псевдонепрерывных систем, только в*
свободных членов полиномов здесь используются суммы коэффини6
соответствующих полиномов.
198
При линейном изменении воздействий х\{пТ)-хцпТ, f(nT)-f^nT
^ловившаяся ошибка имеет место, если замкнутый контур управления
^держит одно интегрирующее звено, то есть i + j = 1. Тогда
гх = lim(z-l)Ge(z) *°^-2-=*о TS	(4.54)
z—>1	(z-1) К
=	(4.55)
z->l	(z-1)2 L4fl К
Из этих выражений видно, что величина ошибки, как и в
псевдонепрерывных системах, может быть уменьшена за счет увеличения
контурного коэффициента усиления К, то есть путем соответствующего
изменения суммы коэффициентов полиномов M(z)vtN(z) регулятора, но при
этом неизбежно изменение и динамических свойств системы.
Для независимого от динамических свойств изменения статической
точности системы здесь также можно повысить расчетный порядок
характеристического полинома A(z) и соответственно искомых полиномов M(z)
и N(z) на единицу по сравнению с минимальным решением. Система
уравнений, которая затем получается при развертывании полиномиальных
уравнений, оказывается неопределенной совместной, то есть количество
неизвестных hm+hn+4 на единицу превышает количество уравнений
nj+2. Поэтому появляется свобода выбора соотношения	от
которых зависит контурный коэффициент усиления и соответственно
статическая ошибка. При этом имеется возможность независимой настройки
Динамических свойств системы.
Для системы с компенсационным регулятором, имеющей передаточные
Функции ошибки (4.41) - по задающему и (4.44) - по возмущающему
^действиям соответственно, требуемая точность может быть обеспечена
аналогично. Соотношения (4.52) - (4.55) останутся теми же, изменится только
Сражение для контурного коэффициента усиления:
ЪчЪкй ’
rfle S?hi> ZPhi _ суммы коэффициентов полиномов 0H(z) И Рн(^)
^ответственно.
4.4.	Особенности синтеза регуляторов для объектов
с запаздыванием
. Как показано в гл. 2, в системах электропривода с полупроводниковыми
бразователями характерным для объекта регулирования является наличие
^Дывания по крайней мере на один период дискретности. В
^логических цепочках, связанных с электроприводом, величина
199
запаздывания может превышать период дискретности многократс
Рассмотрим обобщенную дискретную модель (4.3) объекта регулирования0’
запаздыванием.	с
Полюсы ДПФ в модели (4.3), равные нулю, определяют величин
запаздывания х = тТ в объекте регулирования. Очевидно, что наличие тако^
запаздывания в замкнутом контуре регулирования приводит к уменьшению
запасов устойчивости и, как следствие, к ухудшению качества регулирования
Для управления такими объектами традиционно используется ПИД-регуляТоп
(в некоторых случаях - ПИД2-регулятор), позволяющий увеличить запасы
устойчивости и соответственно качество регулирования. Однако присутствие
дифференцирующей составляющей значительно ухудшает работу таких
регуляторов в условиях помех. Поэтому полностью устранить влияние
запаздывания на качество регулирования таким способом не удается. Одним из
известных способов получения требуемых показателей качества в системах с
запаздыванием является использование метода компенсации влияния
запаздывания, представленного в дискретном виде в [121] и известного по
зарубежной литературе как «упредитель Смита» или «предиктор Смита»[137].
4.4.1.	Предиктор Смита
Идея компенсации влияния запаздывания с использованием предиктора
Смита, структурная схема которого представлена на рис. 4.4, состоит в
следующем [121]: введением дополнительного корректирующего звена
компенсируют выходной сигнал y(z) объекта регулирования с запаздыванием
и вводят в контур регулирования сигнал (z) с выхода модели ’’идеального"
(не содержащего запаздывания) объекта регулирования. При этом объект
регулирования с запаздыванием (4.3) как бы исключается из контура
регулирования, а вместо него вводится ’’идеальный” объект с ДПФ W0\(z).
Эквивалентными преобразованиями структурная схема, представленная
на рис. 4.4,а может быть приведена к виду, изображенному на рис. 4.4,6. Из
этой структурной схемы видно, что замкнутый контур регулирования не
содержит запаздывания. Это позволяет получить характеристический полином
замкнутого контура, не зависящий от величины запаздывания, и повысить,
таким образом, быстродействие системы в целом.
Рассмотрим методы синтеза в типовой структуре контура регулирования
с компенсацией влияния запаздывания. Найдем ДПФ замкнутого контур*
(см. рис. 4.4,6), считая выходной координатой реальный сигнал y(z)9
G(z) = X^L-	(4 56)
ад i+aw^)’
а также ДПФ замкнутого контура с выходным сигналом y\(z):
200
С(,-)Л(*). A(W)
ад i+дwr01(z)‘
(4.57)
Учитывая, что ДПФ W0(z) и Woi(z) и их выходные сигналы отличаются
^лько сдвигом во времени из-за наличия запаздывания в W0(z), можно прийти
к выводу, что ДПФ замкнутых контуров G(z) и Gj (z) также отличаются
^лько наличием запаздывания в G(z).
а
б
Рис. 4.4. К принципу компенсации влияния запаздывания
С другой стороны, если на схеме, показанной на рис. 4.4,6, не принимать
й° внимание звено с ДПФ W0(z)9 то становится очевидной ее идентичность с
?Повой структурой без компенсации запаздывания (см., например, рис. 4.2).
^ичие заключается в том, что на схеме, изображенной на рис. 4.4,6, объектом
^егУлирования является ’’идеальный" объект без запаздывания с ДПФ FFoi(z).
Поэтому задача синтеза в типовой структуре с компенсацией влияния
^^Дывания может быть решена теми же методами, что и в типовой
201
структуре. Следует лишь учесть, что объект регулирования имеет ДПФ
а не W0(z), как в предыдущем случае. В результате синтеза определяются
структура и параметры регулятора Z^(z), а ДПФ корректирующего звен&
Z>2(z), как видно из рис. 4.4,а, можно найти из выражения:
D2(z) = Wol(z)-Wo(z).	(4.58)
Вместе с тем, введение такого корректирующего звена, приводящее к
регулированию по фиктивной выходной координате	позволяет
предположить, что при этом могут измениться статические свойства системы.
Преобразуем структурную схему рис. 4.4,6 к виду, изображенному на
рис. 4.5, введя дополнительно возмущающее воздействие ДиТ). Представим
модели объекта управления с запаздыванием и без запаздьтяния
соответственно в виде:
W0(z) =
Р(?)
zm(z-\io^
H^1(Z) =
(Z-1)’C(Z)’
где i = 0,l,2 - количество интегрирующих звеньев в объекте управления; Qtz},
P(z) и Д(г) - полиномы от z степени	и пр\ соответственно, не
имеющие нулей в точке z = 1, причем пр < пр\.
Рис. 4.5. Структурная схема контура регулирования с компенсацией влияния
запаздывания
Считая, что синтез регулятора I\(z) произведен одним из известв**^
методов, например, методом полиномиальных уравнений, запишем его ДН
виде:
202
^G0 =----,	(4.59)
(z-l)'AT(z)
r^e A/(z) и N(z) - полиномы от z, не имеющие нулей в точке z = l; j = 0,1,2 -
количество интегрирующих звеньев в регуляторе. ДПФ объекта по
козмущающему воздействию представим в виде:
Pf(z)
Wof(z) =-----J?2----’	(4-60)
(z-l)'/0z(z)
где Р/(*) и 0/(z) ~ полиномы от z, не имеющие нулей в точке z = 1. Типовая
система управления с таким регулятором и объектом регулирования имеет
порядок астатизма по задающему воздействию z+j, а по возмущающему
воздействию j + i-if •
ДПФ звена, компенсирующего запаздывание:
Z>2(Z) = W01(z) - W0(z) = -^(Z) ~ P(Z).	(4.61)
zm(z-l)lQ(z)
Как правило, объекты регулирования W0(z) и ^(z) отличаются только
величиной запаздывания, поэтому обычно P(z) = /}(z). Можно показать, что
числитель (4.61) в этом случае запишется в виде:
zmJ](z)-P(z) = (z-l)H(z),
(4.62)
где tf(z) = P(z)(zw 1 + zm 2 +... + z +1) - полином от z, не имеющий нулей в
точке z = l. Поэтому окончательно для звена, компенсирующего запаздывание,
можно записать
₽2(z)= т --------------•	(4.63)
z'"(z-l)'-10(z)
Теперь, чтобы определить статические свойства системы с компенсацией
запаздывания, найдем ДПФ ошибки по задающему и возмущающему
^действиям. ДПФ ошибки по управляющему воздействию, как следует из
№с.4.5, равна
E(z) (z-l)A/(z)H(z) + zw(z-l)t+> g(z^(z)]
*0)	z'”[M(z)^(z) + (z-1)'+72(z)^z)]
Поскольку порядок астатизма определяется количеством сомножителей
(z -1) в числителе (4.64), а полиномы Af(z) и H(z) не имеют нулей в точке
551 то, очевидно, что порядок астатизма по задающему воздействию в данной
стеме не может быть больше единицы. В частности, при i = j = 0, то есть
гДа замкнутый контур не содержит интеграторов, порядок астатизма равен
203
нулю, во всех остальных случаях он равен единице. Аналогично может б
определена ДПФ ошибки по возмущающему воздействию:
Gf (Z) = E(g) = Pf^z ~	+	~ V)i+JQ&)N(z)]
z'”(z-l),^0y-(z)[M(z)^(z) + (z-l),+-/2(z)2V(z)]	(4,65)
единиц^
Из этого выражения следует, что максимальное, равное
значение порядка астатизма по возмущению можно получить лишь при jy - q ’
i + j £ 1. Во всех остальных случаях порядок астатизма равен нулю. Условие
if =0 означает, что если объект содержит интегрирующие звенья (г*0), ю
ненулевой порядок астатизма по возмущению можно получить, только если
место приложения этого возмущения - после всех интеграторов объекта. Так,
если объект не содержит интегратора, то можно получить (независимо от места
приложения возмущения) первый порядок астатизма по возмущению, введя
один интегратор в регулятор (у = 1). Если же в объекте содержится хотя бы
один интегратор и место приложения возмущения - перед ним, то порядок
астатизма будет равен нулю при любой структуре регулятора D\ (z).
Таким образом, использование методов компенсации влияния
запаздывания при микропроцессорном управлении в типовой структуре, хотя и
позволяет повысить быстродействие замкнутого контура, не всегда дает
необходимый порядок астатизма, то есть требуемую статическую точность.
Иными словами, практически невозможно в рамках структуры рис. 4.5
произвольно изменить порядок астатизма соответствующим изменением ДПФ
регулятора D[ (z). Причиной этого, как можно заметить из рис. 4.5, является то,
что интегрирующие звенья регулятора D[ (z) охвачены отрицательной
обратной связью через звено £^(z), компенсирующее влияние запаздывания.
Поэтому регулятор ^(z), образованный звеньями	и	с
учетом (4.59) и (4.63) будет иметь вид:
W (;) = zm(z-irlM(z)Q(z)
Р M(z)77(z) + zm(z - l),+7"10(z)y(z)'
Анализ последнего выражения позволяет сделать два важных вывода:
1)	ДПФ регулятора 0p(z) содержит одно интегрирующее звено
знаменателе лишь при i = 0, j'2.1. В остальных случаях он не будет содер#аТЬ
интегрирующих звеньев, а при i > 1 появятся даже дифференцирующие зв®^
которые скомпенсируют интегрирующие звенья объекта. Отсюда следует,
такой структуре контур регулирования будет содержать не более °-др
интегрирующего звена и соответственно порядок астатизма не **
превышать единицы.
204
2)	регулятор (4.66) компенсирует полином Q(z) объекта, то есть его
полюсы, даже если это не предполагалось при синтезе регулятора Д (z).
Очевидно, что такой регулятор неприменим в системах с высокими
требованиями к статическим характеристикам, а также для неустойчивых
объектов, т.к. в этом случае компенсация неустойчивых полюсов объекта
делает систему негрубой.
4.4.2.	Двухконтурная структура с предиктором Смита
Для этих случаев предлагается использовать вместо рассмотренной
типовой структуры двухконтурную систему регулирования, представленную на
рис. 4.6. В этом случае внутренний контур строится с компенсацией
запаздывания и регулятор Д(^) не содержит интегрирующих звеньев, а
регулятор Д (z) внешнего контура строится без компенсации запаздывания, но
содержит необходимое для получения заданного порядка астатизма количество
интегрирующих звеньев.
G(z)

^ис. 4.6. Двухконтурная структура контура регулирования с компенсацией влияния
запаздывания
Предположим, что в общем виде
D|(z) = B(z)/C(z),
(4.67)
205
где B(z) и C(z) - полиномы от z, не имеющие нулей в точке z = 1, то есть п z х
не содержит интегрирующих и дифференцирующих звеньев, а	'
{z-\)}N{z)	(4,68)
где M(z) и N(z) - полиномы от z, также не имеющие нулей в точке z = 1.
Тогда ДПФ ошибки по задающему и возмущающему воздействиям
соответственно будут равны:
zw(z-l/Mz)[g(z)^(z) + (z-lX6(z)C(z)]
JH(z)B(z)^z)+zw(z-iyMz)[B(z)/l(z)+(z-l)’^z)C(z)]^	( б9)
z) (4,70)
Из этих выражений видно, что порядок астатизма по задающему
воздействию зависит только от количества интегрирующих звеньев в
регуляторе D$(z) и равен j. По возмущающему воздействию порядок астатизма
равен j-if при/ = 0и j-if +1 при i>1.
Как видно из рис. 4.6, двухконтурная структура состоит из двух контуров,
регулирования одной и той же координаты: внутреннего, представляющего
собой типовую структуру с компенсацией запаздывания и обладающего
поэтому высоким быстродействием и порядком астатизма не более единицы, и
внешнего, представляющего собой также типовую структуру, но без
компенсации запаздывания, в которой имеется возможность получить любой
желаемый порядок астатизма. Один из возможных способов синтеза
двухконтурной структуры состоит в последовательном применении уж®
рассмотренных выше методик синтеза для типовой структуры: сначала
синтезируется регулятор внутреннего контура £\(z), а затем - регулятор
внешнего контура При этом объектом регулирования внешнего контур®
нужно считать замкнутый внутренний контур с ДПФ Gj (z).
Однако такая двухэтапная процедура синтеза представляется слишком
сложной, возникают трудности и при выборе характеристического полином®
внутреннего замкнутого контура. Поэтому целесообразно упростить процедур?
синтеза, задавшись жесткой структурой регулятора I\(z) внутреннего контур3’
исходя из следующих соображений: 1) I\(z), как отмечалось выше, не долЖ®н
содержать интегрирующих звеньев; 2) I\(z) может при необходимое151
компенсировать устойчивые полюсы объекта, то есть содержать 0K+(z).
Таким образом, ДПФ регулятора внутреннего контура представляете®
виде:
206
(4.71)
z"e*+
0 случае, когда требуется компенсация устойчивых полюсов объекта, и
D^z^k	(4.72)
0 случае, когда такой компенсации не требуется. В (4.71) и (4.72) к - искомый
коэффициент усиления регулятора. Тогда ДПФ замкнутого внутреннего
контура G\ (z) в указанных двух случаях с учетом ДПФ
компенсирующего запаздывание, будет иметь вид:
ki\ (z)+(z-i)'z”&+eH+(2)eL(z)
при использовании регулятора (4.71) и
(4.61) звена,
(4.73)
(4.74)
«1 (z) + (z- l)’ e(z)
в случае, когда используется регулятор (4.72). Далее, считая объектом
регулирования внешнего контура звено с ДПФ Gj (z), можно рассмотренными
выше методами синтезировать регулятор D$ (z). Его параметры, так же как и
параметр к регулятора внутреннего контура, находятся как решение одного
полиномиального уравнения, составленного для внешнего контура
регулирования.
4.4.3.	Неявная компенсация влияния запаздывания
Метод полиномиальных уравнений позволяет совместить метод
компенсации влияния запаздывания, рассмотренный выше, с произвольным
выбором порядка астатизма системы.
Рассмотрим процедуру синтеза методом полиномиальных уравнений для
объекта (4.3) с запаздыванием, считая в общем случае, что ДПФ объекта
содержит как устойчивые, так и неустойчивые нули и полюсы.
Выполним факторизацию ДПФ объекта, представив полиномы
знаменателя и числителя (4.3) в виде:
Q& = &(*)&.(*) = e_(z) 0K+(z)0H+(z);
P(z) = P+(z)P_(z) = P_(z) PK+(z)PH+(z),
Где &(z),P+(z) и gL(z),P_(z) - полиномы от z степени Hg+, ир+ и nP_
соответственно, содержащие устойчивые и неустойчивые полюсы и нули
^ьекта; Q^(z\P*+(z) и Q,+(z),Ph+(z) - полиномы от z степени
207
и л0н+>лРн+ соответственно, содержащие компенсируемые
некомпенсируемые устойчивые полюсы и нули объекта. Полином знаменате^
zm отнесем к компенсируемой части объекта, то есть к 0K+(z).
Регулятор будем искать в следующем виде:
W._(z) = —
адрк+(гХг-1У
Выбрав желаемый характеристический полином замкнутой системы в
виде
(4.75)
(4.77)
A(z) = zmA1(z),
запишем следующее полиномиальное уравнение синтеза:
PH+(z)P_(z)M(z) + (z-l)'+7X(z)eH+(z)e_(z) = z'n/i1(z).	(4.76)
В получаемые в результате решения этого уравнения регуляторы будут
автоматически включены алгоритмы компенсации влияния запаздывали
т = тТ. Покажем это на примере.
Пример 4.5. Рассмотрим объект регулирования с ДПФ вида
W0(z) =	,
zm(z-d)
где б7 = ехр(-77Т0); к0 и То - соответственно коэффициент усиления и
постоянная времени объекта управления. Такой моделью при m = 1 может быть
представлен объект в контуре регулирования тока якоря электропривода
постоянного тока или в контуре регулирования фазных токов частотно-
регулируемого асинхронного электропривода. Такой же передаточной
функцией при произвольном m представляются некоторые технологические
объекты.
Синтезируем регулятор, обеспечивающий в замкнутой системе
апериодический или близкий к нему процесс с желаемой постоянной времени
Тж и астатизмом первого или второго порядка по задающему воздействию.
Синтез регулятора	без компенсации запаздывания	методом
полиномиальных уравнений при m = 1 дает:
I /-Ч К	(l-ai+ao)z(z-rf)	(4.78)
, ^-^^(l-rfXz-lXz-ai+l)’
где к- = ——01 +	- коэффициент усиления регулят°Р8’
к@ 0 “ ^0
aj =2ехр(-0,707Г/Гж)со8(0,707Г/Гж) и oq = ехр(-1,414Т/Гж)
коэффициенты желаемого характеристического полинома A(z) = z2 - а\2+
настройкой на модульный оптимум.
208
ДПФ замкнутого контура при этом имеет вид:
G(z) = -^~~ai+a° .
z - a^z + oq
Результаты моделирования этой системы при ко-\ь = 0,1 с, ти = 1,
f 0,01 с, Тж = 0,02 с представлены на рис. 4.7. Здесь же показаны переходные
функции замкнутой системы при изменении параметров объекта на ±50%.
Рис.4.7. Переходные функции системы с регулятором (4.78) без компенсации влияния
запаздывания: при номинальных значениях параметров (1), при изменении т на ±50%
(2,3), при изменении к0 на ±50% (4,5) и изменении То на ±50% (6,7)
Синтез регулятора с компенсацией влияния запаздывания в соответствии
с рис. 4.5 дает:
И п;
z(z - а)
п (z\ _ 0 ~ °оХг ~ *0.
(4.79)
гДе kp -----о)— коэффициент регулятора; ац = ехр(-Т/Тж) - коэффициент
Маемого характеристического полинома A(z) = z-oq с настройкой на
Периодический процесс с постоянной времени Тж. ДПФ замкнутого контура
этом имеет вид:
209
G(z) = -	.
z(z-a0)
Вместе с тем, регулятор (4.79) можно получить более простым путем, 8е
прибегая к структуре, приведенной на рис. 4.5. Для этого составам
полиномиальное уравнение в соответствии с (4.76)
*0(1 - d)M(z) + (z - l)AT(z) = z(z - а0),
приняв P(z) = i0(l-rf); 6(z) = z(z-d); P+(z) = P(z); P_(z) = l; 2K+(z) = g(2).
6H+(z) = g_(z) = l; j = 1. Минимальное решение этого уравнения сразу да^
регулятор (4.79). Результаты моделирования системы с таким регулятором
представлены на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Переходные функции системы с регулятором (4.79) с компенсацией влияния
запаздывания: при номинальных значениях параметров (1), при изменении т на ±50%
(2,3), при изменении к0 на ±50% (4,5) и изменении То на ±50% (6,7)
Сравнение рис. 4.7 и рис. 4.8 позволяет сделать вывод о том, 410
компенсация влияния запаздывания позволяет получить не только боле®
благоприятный монотонный характер переходных процессов в системе, но
несколько снизить чувствительность к изменению параметров объекта ПР
примерно одинаковом быстродействии (времени переходного процесса).
Пример 4.6. Для ДПФ объекта (4.77) при т > 1 аналогично может б
получен регулятор, компенсирующий влияние запаздывания
zm(z-d)	(4.80)
7Л-1 ,
(z-lXzM +(1-*о)£
*=0
^00=*р
210
$ обеспечивающий апериодический процесс в замкнутой системе с ДПФ
G(z) = -1~a° .
^(г-ао)
Естественно предположить, что компенсация влияния запаздывания
может привести к повышенной чувствительности системы к вариациям
параметров. Для оценки чувствительности этой системы к изменению
параметров объекта была вычислена интегральная оценка качества, которая для
цифровых систем имеет вид:
7= Z ®0»П,
и=0
где ь(пТ) = х(пТ) - у(пТ) - ошибка регулирования. Далее найдены функции
чувствительности к параметрам объекта:
о1^
дт
_1~а0 .
*0
= 0;
Й= —
дк0
т-щ
Q1
Т° дТ°Т=Тп
1о1о0
m(l-gQ) + l
ко=ко0 °0
которые в виде графиков 0(ТЖ / Г) приведены на рис. 4.9.
Из рис. 4.9 видно, что чувствительность системы возрастает с
увеличением ее быстродействия (уменьшением Тж ) и становится недопустимо
высокой при Тж IT < 1, также она возрастает с увеличением запаздывания ти,
компенсируемого регулятором.
Регулятор системы с астатизмом второго порядка по управляющему
воздействию синтезируется аналогично и имеет вид:
(z-l)2(z + n0)
где	w0 =(2-«i)/[^(l-’rf)]; ^=2-^; ax и a0 -
Коэффициенты желаемого характеристического полинома, вычисляемые
аналогично (4.77). ДПФ замкнутой системы при этом имеет вид:
G(z)=_^?o_,
z(z2 - a\z + а$)
(4-81)
211
а переходные функции с учетом фильтра JFa(z) = ———
* (wjz-mo)
представлены на рис. 4.10.
на входе систе^
Рис. 4.9. Функции чувствительности системы с регулятором (4.84) к изменению
запаздывания т (сплошная кривая) и коэффициента усиления объекта к0 при
различных значениях запаздывания т (пунктирные кривые)
Рис. 4.10. Переходные функции в системе с астатизмом 2-го порядка и
компенсацией влияния запаздывания: при номинальных значениях параметров <
при изменении т на ±50% (2,3), при изменении к0 на ±50% (4,5)
и изменении То на ±50% (6,7)
212
Заметим, что получение 2-го порядка астатизма по управлению в
(Друктуре, приведенной на рис. 4.5, как это показано выше, невозможно.
Таким образом, метод полиномиальных уравнений позволяет получить
дрй синтезе регуляторы, компенсирующие влияние запаздывания, и улучшить
качество регулирования, при этом порядок астатизма системы может
убираться произвольно, в отличие от традиционной структуры, показанной на
ряс. 4.5, где порядок астатизма не может быть выше 1.
Исследования показали, синтез методом полиномиальных уравнений
регулятора с компенсацией влияния запаздывания для неустойчивых объектов
дает негрубую, то есть неработоспособную систему. Поэтому для
неустойчивых объектов с запаздыванием при синтезе по рассмотренной
методике рекомендуется использовать регуляторы, не компенсирующие
влияние запаздывания. Система при этом будет работоспособна, но качество
регулирования будет несколько ниже, чем у соответствующей системы с
устойчивым объектом.
Пример 4.7. Рассмотрим теперь пример синтеза регуляторов тока статора
частотно-регулируемого асинхронного электропривода. Упрощенная ДПФ
объекта регулирования (см. гл. 2) имеет вид:
к-
z(z - d)
В объекте регулирования имеется запаздывание на один период дискретности,
влияние которого целесообразно скомпенсировать методом, описанным в
п. 4.4.3. Рассмотрим два варианта регулятора тока: с компенсацией
инерционности объекта и без нее; в обоих случаях влияние запаздывания
компенсируется.
В первом случае синтез компенсационного регулятора дает:
ИР =	z(z — d)
pz ^ср	(z-l)(z + l-ao)’
гДе - e~T^i.	_ эквивалентная постоянная времени замкнутого контура.
Желаемый характеристический полином замкнутого контура тока в
Ответствии с п. 4.4.3 принят равным
A(z) = z(z-a$).
Во втором случае некомпенсационный регулятор тока имеет ДПФ
«0=1 + ^-^; mi = a^-d + (y^d){\ + d-ai)\ mQ=-d(l + d-a\). Здесь
^Оемый характеристический полином задается в следующем виде:
213
Э
A(z) = z(z -щг + ао),
2
где oq = а , а\ = 2а - коэффициенты желаемого характеристического
полинома с настройкой на биномиальное распределение корней, выбранцЬ1е
таким образом, чтобы получить примерно одинаковое быстродействие
-277Т-	с
предыдущим случаем; а = е 1.
На рис. 4.11 показаны результаты моделирования при ступенчатом
задании на проекцию тока статора в момент времени 0,03 с подается
ступенчатое возмущающее воздействие. Контур тока в обоих случаях настроен
на максимально возможное быстродействие, ограниченное условиями
возникновения субгармонических колебаний [84]: в первом случае 7} =Т, во
втором - 7} =27*. Частота ШИМ равна 2 кГц. Видно, что и в этом случае
регулятор, не компенсирующий инерционности объекта, дает более
качественную отработку возмущающего воздействия (колебания тока статора
на рис. 4.11,5 объясняются тем, что при выбранных настройках эта система
находится ближе к границе возникновения субгармонических колебаний, чем
система с компенсационным регулятором).
4.5.	Условия робастности дискретных систем
4.5.1.	Использование коэффициентных методов для исследования
устойчивости, качества, точности и чувствительности
В данной главе рассматриваются цифровые системы, в основе построения
которых лежат дискретные модели объекта управления, полученные в гл. 2.
При синтезе методом дискретных полиномиальных уравнений по этим моделям
сразу получается цифровой регулятор, то есть на всех этапах синтеза
используется исключительно аппарат ^-преобразования, в отличие от методики,
рассмотренной в гл. 3. Преимущество такого подхода, как уже упоминалось в
гл. 1, заключается в возможности построения работоспособных цифровых
систем с весьма широким возможным диапазоном изменения период3
дискретности системы Г.
Вместе с тем коэффициентные методы, рассмотренные в гл.
разработаны для непрерывных систем и для дискретных систем в общем случ*6
неприменимы. Добавим, что коэффициентных оценок, аналогичны*
рассмотренным в гл. 3, для дискретных систем с произвольным пеРи^с
дискретности не существует. Приведенные в [102] необходимые и достаточны^
условия устойчивости дискретных систем слишком громоздки и получены
предположении малости периода дискретности.
214
Рис. 4.11. Переходные процессы в контуре регулирования токов статора: а - с
компенсационным регулятором; б - с некомпенсационным регулятором
(1- задание на ток; 2 - проекция тока статора i^y)
Поэтому для рассматриваемого в данной главе случая ограничимся лишь
Необходимыми и достаточными условиями устойчивости дискретных систем с
произвольным периодом дискретности.
Рассмотрим характеристический полином дискретной системы л-го
Порядка следующего вида:
A(z) = anzn + an^zn~^ +... + a\z + «о.	(4.82)
В литературе хорошо известны следующие необходимые условия
Стойчивости дискретного полинома (4.82):
215
a„ + a„_l + ... + al + a0>Q, an-a„_} + a„_2-... + (-1)"aQ >0. (4^
Имеется также простое достаточное условие устойчивости [89]:
Л"*1
^|а/|<|алЬ	(4.84)
а полином A(z), удовлетворяющий этому условию, называют сверхустойчивым
Ниже, в п. 4.5.3, такие полиномы будут рассмотрены подробнее.
Вместе с тем, представленные в гл. 3 коэффициентные оценки могут быть
использованы при определенных условиях и для дискретных полиномов
Наиболее удобным представляется подход, когда для перехода от дискре^ого
полинома к соответствующему непрерывному используется известное
преобразование, называемое в зарубежной литературе «8-преобразование» [22]
Такой переход осуществляется путем замены:
z = 1 + Ту (обратно: у = (z - 1)/Т).	(4 85)
Чтобы получить представление об этом преобразовании, в прил. 1 приведена
таблица 3-преобразований простейших функций. Заметим, что это
преобразование может быть использовано и в гл. 3 для перехода от
непрерывных передаточных функций регулятора к дискретным, если положить
р = у.
Дискретный характеристический полином замкнутой цифровой системы
при этом преобразуется следующим образом:
Л(и) = anzn + ап^гп~1 + ... + 0^ + 0$ =
=A-(z - 1)л +	-1)”-1 +...+A(z _ 1)+=
'prl	rprl 1	у
= Arf + An_tfn~X +... + Axy + Aq.
Здесь
1 n	1 n
4 =------- £ CjOj =---Г £---~----Oj ,
где C i - ——------коэффициенты бинома Ньютона, у = (z - 1)/Т.
7 f
Тогда передаточную функцию замкнутой системы можно представить
виде:
G(y)--------------4>-------------.	(«*>
1+-+4г+^о
После такого преобразования к коэффициентам At можно пРяМ^^
рассмотренные в гл. 3 коэффициентные оценки и все связанные с
методы.
216
Очевидно, что такое 8-преобразование справедливо лишь при достаточно
jjajibix периодах дискретности, поэтому были выполнены исследования,
направленные на оценку погрешности этого преобразования в зависимости от
реличины QqT (Оо=^4о	- среднегеометрический корень
характеристического полинома (4.86), Т - период дискретности цифровой
системы). Исследовались приведенные в прил. 4 типовые настройки.
С использованием программы Matlab и приложения Simulink произведено
моделирование и последующая оценка максимальной абсолютной погрешности
между реакцией на ступенчатое управляющее воздействие непрерывной и
цифровой системы, представленной в виде (4.82), интегральной квадратичной
оценки этой погрешности, а также относительной ошибки в расчете
рассмотренных показателей lz, 8Z, cog в этих двух случаях.
Установлено, что с ростом величины QqT и порядка системы возрастают
значения ошибки такого преобразования и интегральной квадратичной оценки
разности между переходными функциями цифровой и эквивалентной
непрерывной системы. Выявлено, что при биномиальном распределении
коэффициенты формы и устойчивости (8 и 1 соответственно) не зависят от
величины GIqT, в остальных случаях наблюдается увеличение погрешности
оценок в цифровой системе при увеличении QqT и порядка
характеристического полинома.
В целом, чтобы погрешность вычисления коэффициентных оценок для
цифровых систем при 8-преобразовании не превышала 10%, необходимо,
чтобы величина периода дискретности Т не превосходила величины 0,1/Qg, то
есть должно выполняться условие
П0Г<0,1.	(4.87)
Это же соотношение может служить условием выбора периода
Дискретности Т в тех случаях (см. гл. 3), когда проектирование системы ведется
в непрерывной области, а затем полученные непрерывные регуляторы
переводятся цифровую форму.
4.5.2.	Робастная устойчивость
Рассмотренная в п. 3.4.3 теорема Харитонова и основанные на ней и
коэффициентных оценках методы проверки или обеспечения робастной
Устойчивости применимы и в дискретном случае, если воспользоваться
Усмотренным выше 8-преобразованием при выполнении условия (4.87).
Если же условие (4.87) не выполняется, такой подход не применим. Более
Т°г°5 в дискретном случае нет никакого аналога теоремы Харитонова -
Устойчивость всех четырех вершинных дискретных полиномов не гарантирует
у°бастной устойчивости интервального семейства полиномов. В этом случае
т^°льзуют достаточно громоздкие методы: метод исключения нуля, реберную
^Рему, частотные методы и др. [24,88,89], которые требуют использования
217
вычислительной техники. Приемлемым выходом в некоторых случаях может
быть использование достаточного условия устойчивости (4.84)
4.5.3.	Сверхустойчивость и робастная сверхустойчивость
В п. 3.4.6 введено понятие сверхустойчивости, которое справедливо и для
дискретных систем. Условие сверхустойчивости дискретного
характеристического полинома вида
A(z) = zn +	+... + qz + a0	(4.88)
формулируется чрезвычайно просто. Полином A(z) сверхустойчив, если сумма
модулей всех коэффициентов полинома, за исключением старшего, меньше
единицы, то есть
и-1
ЕЫ<1-	(4.89)
1=0
Это условие легко проверяется и может использоваться не только для
оценки устойчивости, но и для построения робастно устойчивых систем,
поскольку свойство сверхустойчивости (в отличие от устойчивости)
сохраняется и в нестационарном случае, при ограниченных изменениях
параметров.
Очевидно, что устойчивые полиномы первого порядка всегда
сверхустойчивы. Наиболее просто оценивается сверхустойчивость стандартных
характеристических полиномов дискретных систем (см. прил. 6) при настройке
на биномиальное распределение. Для этих полиномов условием
сверхустойчивости является
е-пог<^2-1,
где п - порядок полинома.
Следует отметить, что область сверхустойчивости намного уже области
устойчивости, и, потребовав от системы свойства сверхустойчивости, мы тем
самым достаточно сильно ограничиваем себя в выборе параметров регулятора.
Однако это позволяет в некоторых случаях сравнительно простыми средствами
найти область робастной сверхустойчивости либо добиться робастной
сверхустойчивости системы (очевидно, что при этом она будет гарантированно
устойчивой и робастно устойчивой).
Пример 4.8. Рассмотрим замкнутую систему, представленную 3
примере 4.4 с объектом
и регулятором
PKp(z) =
1 - Др z - cZq
218
где koQ и cIq - расчетные (исходные) значения параметров объекта к0 и d.
Характеристический полином замкнутой системы равен:
A(z) = z2 - fl + d -	+ d -
I W-rfo) ) k^il-do) •
Условие сверхустойчивости этого полинома
1 + 2d -	> 1
koQ (1 — ^o)
позволяет при заданных аоЛоои^О найти возможный диапазон изменения
параметров объекта kond9 при которых система остается сверхустойчивой.
Пусть исходные значения параметров ао=О,5, £о0=1>	Тогда при
неизменном к0=к0$ система будет сверхустойчивой, если d> 0,833. При
rf = rf0 система будет сверхустойчивой, если ко <1,8. В общем случае можно
построить область сверхустойчивости в плоскости параметров koud.
4.6.	Использование метода обратных задач динамики
в дискретных системах
Ряд проблем, возникающих при синтезе грубых цифровых систем
управления, можно устранить, если воспользоваться методикой синтеза,
основанной на концепциях обратных задач динамики [63,64,66]. Рассмотрим
подробнее эту методику, представив ее в дискретной форме, на примере
объекта 2-го порядка с ДПФ
2лг+Ро .
b'w z +qiz + qQ
гДе K(z), U(z) - изображения соответственно выходной величины объекта и
Управляющего воздействия.
Переписав ее в другом виде:
„zz-ч	Pl(l-*-1)+(Po+Pl)*-2
(l-z 1)2 + (2+^1X1-z	1 +(1+91 + <fo)z 2
Найдем разностное уравнение объекта
V2y(«) + (2 + 9i )Vy(« -1) + (1 + 9i + 9о )у(п - 2) =	(4 90)
= 7и(и -1) + (А + Ро )«(« “ 2).
219
где у(п - 2), Vy(w -1), V2X”) ” выходная величина, ее первая и
обратные разности; м(л-2), Vw(n-l) - управляющее воздействие и его
обратная разность.
**)рая
ПеРМя
Желаемый процесс в замкнутой системе зададим эталонной модели
второго порядка с ДПФ:	10
w г-ч = уэт(г) = (* +*!+*())* =
^(z) z2+ftz + «o
=_______________(1 + ft +a0)z~1____________
(1 - z-1)2 + (2 + )(1 - z“1)z"1 + (1 + + a0)z“2
где l^r(z),Ar(z) - изображения соответственно выходного сигнала эталонной
модели и задающего воздействия. Тогда разностное уравнение эталонной
модели
^Ъ'эт(и)+(2+а1)УУэт(и-1)+(1+а1 +ао)Д'эт(и-2)=(1+«1 +а0)х(и-1). (4.91)
В соответствии с методикой, предложенной в [63,64], структуру и
параметры алгоритма управления найдем из условия минимума функционала
F(«,VK) = [V2j/3T(n)-V2Xn,«,V«)]2/2, л = 0,1,2,...	(4.92)
представляющего собой энергию ускорения выходной координаты у,
вычисляемую в окрестности траектории движения эталонной системы.
Абсолютный минимум этого функционала, равный нулю, достигается при
условии
1^2>’эт(л) = V2X«»«,Vm), Л = 0,1,2.	(4.93)
которому соответствует алгоритм управления компенсационного типа
р^и ♦ (и-1) +	+ р^и * (и-2) =
= V2^3T(w) + (2 + ft)Vy(n -1) + (1 + ft + qv)y(n - 2);	(4-94)
V2 ^эт(л) = (1 + ft + aQ)[x(n -1) - y(n - 2)] - (2 + ft )Vy(n -1).
Соотношение для вычисления У2уэт(л) получается из уравнения (4-9^
эталонной модели, где в соответствии с концепциями обратных задач динамик0
выполнена замена	уэт (л - 2) = у(п - 2), 7уэт (п -1) = Vy(n -1), п = ОД 2,”’
Алгоритму управления (4.94) соответствует структурная схема, представлен^
на рис. 4.12,я, которая после эквивалентных преобразований принимает в»
показанный на рис. 4.12,6. Система с алгоритмом (4.94) теоретически 10
повторяет траекторию движения эталонной модели. Однако посК^оЙ
регулятор в этом случае является компенсационным, а порядок
системы меньше суммы порядков регулятора и объекта, то в такой сйС1
220
возможно нарушение грубости. Поэтому выполним синтез регулятора исходя
не из условия обеспечения абсолютного минимума (4.92), а из условия
приближенного равенства в (4.93), то есть потребуем, чтобы значение
функционала (4.92) в каждый дискретный момент времени принадлежало
малой окрестности экстремума-минимума.
Рис. 4.12. Исходная (а) и преобразованная (б) структурные схемы системы с
компенсационным регулятором (4.94)
Для этого управление u(ri) определим с помощью уравнения [63]
V2m(h) = X, Х = const,	(4.95)
3Vw
которое соответствует градиентной схеме поиска экстремума G(w,Vw). Так как
из (4.90) следует
V2Xn) = pjVw(n -1) + (Pl + Ро)и(п - 2) - (2 + q^Vytn -1) - (1 + ^ + ?0)Я« - 2),
то градиент функционала (4.92) по переменной Vw(h -1) равен
dF^U) = -А^2уэт(») - v2y(«)] •	(4.96)
ONU
После подстановки (4.96) в (4.95) находим
V2«(«) = 4V2yOT(n)-V2X«)],	(4.97)
гДе k = -Xpi. Закон управления (4.97) и второе уравнение из (4.94) составляют
с°Держание полученного алгоритма управления. Для его реализации требуется
221
вычисление первой и второй обратных разностей выходной величины объекта
что связано с существенным усилением помех при работе в промышленные
условиях. Поэтому выполним цифровое интегрирование обеих частей (4.97) й
второго выражения в (4.94). Результат представим в операторной форме:
С/(2) = Л[Гэт(2)7Г(2)],
^St(z)= ZT
1-z
ч Z 1
(1 + 0! +ао)---ZT
1 — z
[ад - г-1ад] - (2 + q )У(х) >. (4-9«)
Алгоритму управления (4.98) соответствует структурная схема, приведенная на
рис. 4.13,а, которая после эквивалентных преобразований принимает вид,
показанный на рис. 4.13,б,в.
в
Рис. 4.13. Исходная (а) и преобразованные (б,в) структурные схемы системы с
регулятором (4.98)
Здесь ДПФ замкнутой системы
ч	W + ai+ao)(Piz + Po)z2	(4.99)
G(z) =----х—z-----------------------х---------- 4
(z-lF(z +qlz + q0) + k(plz + p0)(z +а^ + а0)
222
^еет порядок, равный сумме порядков регулятора и объекта, регулятор не
одержит неустойчивых нулей и полюсов и не компенсирует нули и полюсы
объекта, а соответствующим выбором коэффициента регулятора к можно
убежать обнуления коэффициентов характеристического полинома замкнутой
системы. Таким образом, в полученной структуре не выполняются
сформулированные выше условия, при которых возможно нарушение грубости.
Кроме того, как показано в [63,64], такая структура регулятора придает системе
естественные свойства адаптивности - слабой чувствительности к Изменению
параметров и возмущениям. Поэтому можно говорить о том, что структура
системы, приведенной на рис. 4.13, обладает свойством грубости, а при
корректном выборе коэффициента регулятора к - и свойством робастной
устойчивости, то есть такая система сохраняет устойчивость при заданном
диапазоне изменения параметров объекта и периода дискретности цифровой
системы.
4.7.	Общее решение дискретного полиномиального уравнения
Как и в случае псевдонепрерывных систем (см. гл.З) минимальное
решение полиномиального уравнения (4.9) дает наиболее простой из всех
возможных регуляторов. Очевидно, что и в дискретном случае возможно
получение неминимальных регуляторов, основанных на общем решении
полиномиального уравнения и придающих системе новые свойства.
Рассмотрим подробнее возможности этого общего решения в дискретной
области.
Объект управления, регулятор и фильтр на входе системы управления
представим в виде (см. структурную схему рис. 4.2):
Wo(z)=	=_ Ли) .
(z-iyeK(Z)0H(z) (z-iye(z)
M(z)gK(z) ;
Р (z-l/^z)PK(z)
* M(z)
гДе I и j - количество интегрирующих звеньев в объекте и регуляторе
^ответственно; P(z),PK(z),PH(z),6(z),f2i(z),6K(z),6H(z) - полиномы от z, не
веющие нулей в точке z = 1; M(z)> N(z), L(z) - искомые полиномы от z степени
> и#, П£ соответственно, не имеющие нулей в точке z = 1.
Найдем следующие передаточные функции замкнутой системы:
а) от задающего воздействия x(z) к выходу y(z) (upnfiz) = 0)
G(z) =----------L(z)Pw(z)---------.	(4.103)
M(z)PH(z) + (z-l)'+^(z)0H(z)
(4.100)
(4.101)
(4.102)
223
б)	от выходного сигнала фильтра xi(z) к ошибке системы e(z) (приДг) = 0)
0в(2).-ВД=--------------(z-1)^N(2)S„W
в)	от возмущающего воздействия f(z) к выходу y(z) или ошибке системы tfz\
(приДг) = 0)
С/(„).Ж=В(£).^«____________________________
F(z) F(z) Qf(z)M(z)PR{z) + (z-l)t+JNCz^z)	}
Полиномиальные уравнения получают приравниванием числителей и
знаменателей желаемой стандартной передаточной функции Сж(г) = B(z)/A(z)
и передаточной функции по управлению замкнутой системы (4.103),
b(z)PH(z) = B(z);	(4.106)
M(z)PH(z) + (z - l)'+J>(z)6H(z) = A(z).	(4.107)
Минимальное решение (4.107) ищется по методике, изложенной в п.4.1.
Общее (неминимальное) решение M*(z) и jV*(z) находится из минимального
решения следующим образом:
M*(z)=A/(z) + (z -l),+^D(z)0H(z);	(4.108)
tf*(z) = .V(z)-D(z)PH(z),	(4.109)
где D(z) - произвольный устойчивый полином или дробно-рациональная
функция, не имеющая нулей в точке z = 1; M(z), N(z) - минимальное решение
полиномиального уравнения.
Рассмотрим случай, когда D(z) имеет структуру дробно-рациональной
функции:
O(z) = -^-.	(4.1Ю)
Л)(2)
Тогда цифровой неминимальный регулятор и фильтр на входе системы
примут вид:
w (z) = WW + (z - \)i+jkDQK{z)\Q^z).	(4дH)
P	(z-iy^(zM2>(z)-^PH(z)]PK(z)
w {zx =_____________B(z)Ad(z)____________ (4.112)
Ф [M(zMp(z) + (z-l),+^peH(z)]PH(p)
Очевидно, что структура полученного цифрового регулятора аналоги00®
структуре непрерывного регулятора (3.163). Передаточные функции замквУ10
системы, соответствующие (4.103) - (4.105):
224
(4.113)
G(z) = У(г) = P^W^D(,z) + (z -\)i+jkDQ^Z}} .
X <z) Лр(р)[М(2)Рн(г) + (z - l)/+^(z)eH(z)] ’
G (-) = E(z) (z-Vi+iQ^ N(z)AD(z)-kMZ) (4114)
6	^l(z) Ad(Z)	A/(z)PH(z) + (z-l),+7'y(z)eH(z)’ 1 '
cf Y(z) E(Z) _ pf(z) (z - 1)'+7^ Qw(z)„
F(z) F(z) ey(z) 4,(z)
;; N(Z)AD(Z)-kMZ)
A/(z)PH(z) + (z-l)/+^(z)eH(z)’
Эти выражения также структурно совпадают с полученными в п. 3.7 для
непрерывного случая, поэтому можно говорить о справедливости всех выводов,
сделанных для общего решения непрерывного полиномиального уравнения.
Поэтому можно говорить о том, что использование общего решения
полиномиального уравнения (4.111) дает возможность построения различных
вариантов систем управления, обладающих, благодаря появлению в структуре
системы внутренней модели объекта, адаптивными свойствами.
Пример 4.9. Выполним синтез минимального и неминимального
цифрового регулятора тока для тиристорного электропривода постоянного
тока. ДПФ объекта регулирования (см. гл.2) имеет вид:
w°(z)=kicv^dY
Приняв PK(z) = i7Cp(l-J);PH(z) = l;6K(z) = z(z-J); 0H(z) = l и задавшись
желаемым порядком астатизма по задающему воздействию равным j = 1,
запишем полиномиальные уравнения:
Z(z)PH(z) = B(z)
M(z) + (z-l^(z) = 4z),
где ид =2,пм	=1, то есть	M(z) = mQ;N(z) = niz+ riQ. Тогда
полиномиальные уравнения приобретают вид:
L(z) = l-a0
mQ + (z - 1)(ир - и0) = z(z ~ ао) •
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в правой и левой
Настях полиномиального уравнения, находим его минимальное решение
ZZIO =1-^0, ж =1, «о =1-^0 • Цифровой минимальный регулятор тока имеет
вид:	С
225
(4.116)
w (Z\ = m(z)Qk(z) = G-Oq) z(z-d)
Р (z-l)tf(z)PK(z) ^(l-^Cz-lXz + l-^)
Передаточные функции замкнутого контура:
G(z) =1Ф = - " -Q ,
^(z) z(z-a0)
r EV> (z~l\z + i~ao)
eU ВД z(z-a0)	’
Gf(:} __ Y<z) _ ^cpa-^)(z-lXz + l-a0)
F(z) k^z-d) z(z-Oq)
Приняв D(z) = —- {df)=eнайдем общее
z-rfp
полиномиального уравнения:
M\z) = 1 - aQ += G~°oX^-^) + ^)(g-l) =
z-dj)	z-dj)
z(\-aQ+kD)-dDO.-ao)-kI)
Z-rfp
yW = z+l-a„—
z-dD	z-dD
z2 + (1 - op - dD)z - dD(l-a0) - kD
z-dD
Тогда неминимальный цифровой регулятор тока и фильтр
замкнутого контура примут вид:
(-)	1	<z~ОК1 - а0 + kD)z-dD(\-a^-kD}	(4117)
Р	^/срО “(z -IXz2 + (1 - а0 - dD)z - dD(l - aQ) -kD)
Hl(z)= £^-=------------О-До)--------- (4.118)
Ф M (z) (l-ao+*2))z-^(l-ao)-*D
Передаточные функции замкнутой системы:
G(z) =---—;
ztz-apXz-dp)
G (-\= (z-1) [(г + 1-ДоХг~^д)-^]^
6 (z-dp) [l-a0+(z-lXz + l-a0)]
= (z-1) [z2 + z(l - a0 - <7P) - rfp(l - д0) -
(z-dp)	z(z-ap)
решение
на входе
226
Gf(z) =	. (*-!) . [(z + l-g0X^-^)-^] =
*Tn(z-rf) (z~dD) [l-a0+(z-l)(z + l-a0)]
= кД-d) (z-1) [z2 + z(l - a0 -	(1 - g0) -*д]
^(z-rf) (z~dD)	z(z-a0)
Результаты моделирования, аналогичного проведенному в п. 3.7,
показывают, что в цифровой системе управления использование общего
решения полиномиального уравнения дает также систему с адаптивными
свойствами, которые, однако, проявляются несколько хуже из-за
значительного, равного периоду дискретности преобразователя, периода
дискретности системы управления. Ухудшаются и процессы отработки
возмущающего воздействия, т.к. система управления в течение периода
дискретности не контролирует выход системы.
4.8.	Выводы по главе 4
1.	Разработана методика синтеза цифровых регуляторов, основанная на
методе дискретных полиномиальных уравнений, позволяющая получить
работоспособные системы управления без скрытых колебаний выходной
координаты и обеспечивающая требуемые качество и точность
регулирования.
2.	Показаны преимущества некомпенсационных (не компенсирующих
устойчивые нули и полюсы ДПФ объекта) регуляторов при отработке
внешних возмущающих воздействий.
3.	Выявлены условия, при которых обеспечивается одно из условий
работоспособности цифровой системы - ее грубость. В дополнение к
известным нарушениям грубости первого и второго рода показана
возможность нарушения грубости третьего рода.
4.	Для обеспечения требуемого качества регулирования по задающему
воздействию предложены различные варианты стандартных настроек
характеристических полиномов дискретных замкнутых систем. Показано,
что для обеспечения соответствующего качества процессов по
возмущающему воздействию целесообразно использование
некомпенсационных регуляторов.
5.	Рассмотрены вопросы повышения статической точности цифровых
систем при сохранении требуемых динамических свойств за счет
повышения порядка полиномов дискретного полиномиального
уравнения.
6.	Показано, что методы компенсации влияния запаздывания, основанные
на идее предиктора Смита, не всегда могут обеспечить требуемый
порядок астатизма. Для получения необходимого порядка астатизма при
условии обеспечения требуемого качества предлагается использование
227
двухконтурной структуры или применение неявной компенсации
запаздывания.
7.	Найдено условие	при котором возможно использование
коэффициентных оценок устойчивости, качества и точности. При
выполнении этого условия применимы и все методы исследования,
рассмотренные в третьей главе.
8.	Показано, что использование понятия сверхустойчивости позволяет в
ряде случаев исследовать робастную устойчивость замкнутых цифровых
систем, а также синтезировать робастно устойчивые системы.
9.	Методом дискретных полиномиальных уравнений получена структура
цифрового регулятора, соответствующая алгоритму, получаемому
методом обратных задач динамики, и придающая системе свойство малой
параметрической чувствительности.
10.	Показано, что, как и в непрерывном случае, общее решение дискретного
полиномиального уравнения позволяет получить систему с адаптивными
свойствами, то есть с низкой чувствительностью к внешним и
параметрическим возмущениям.
228
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.	В работе рассмотрены два наиболее распространенных подхода к анализу и
синтезу цифровых систем управления электроприводом и связанным с ним
технологическим процессом.
Первый основан на предположении малости периода дискретности как
силового полупроводникового преобразователя, так и системы управления.
Поэтому синтез и анализ такой системы осуществляется хорошо известными
методами, разработанными для непрерывных систем. Дискретность объекта,
как и дискретность системы управления, в этом случае не учитываются.
Второй подход, предполагает, что дискретность процессов во времени
оказывает существенное влияние на поведение системы, поэтому ее разработку
и исследование необходимо производить с использованием дискретных
моделей объекта и соответствующих методов синтеза и анализа.
2.	При использовании первого подхода предложено использовать метод
полиномиальных уравнений для синтеза непрерывных регуляторов, которые
затем переводятся в цифровую форму. Преимуществами этого метода является
то, что с его помощью могут быть получены как уже известные регуляторы, так
и новые, придающие системе некоторые новые свойства. Кроме того, данный
метод позволяет получить гарантированно устойчивую и грубую, то есть
работоспособную, систему с заданными динамическими и статическими
свойствами.
3.	Для оценки устойчивости, качества и точности систем с малым периодом
дискретности («псевдонепрерывных» систем) предложено использовать
коэффициентные оценки, вычисляемые непосредственно по коэффициентам
характеристического полинома. Это позволяет, во-первых, достаточно
простыми средствами выполнить анализ таких систем, во-вторых, появляется
возможность целенаправленного «конструирования» характеристического
полинома, обеспечивающего системе требуемые свойства. Кроме того, при
этом используется единый, полиномиальный, подход для решения задач как
синтеза, так и анализа.
4.	При использовании второго подхода необходимо иметь дискретные модели
объекта управления. Во второй главе представлены принципы построения
таких моделей, получены дискретные модели как элементов электропривода,
так и объекта в целом. При этом учтены специфические особенности различных
типов полупроводниковых преобразователей, их взаимодействие с цифровой
системой управления и другими элементами объекта управления.
Особенностями полученных моделей объекта является наличие переменного
запаздывания, среднее значение которого принято равным периоду
Дискретности преобразователя, появление в некоторых случаях в ДПФ объекта
Нулей квантования, иногда неустойчивых.
Для синтеза систем по дискретным моделям объекта также используется
^етод полиномиальных уравнений. Дополнительно к преимуществам,
229
описанным выше, в данном случае важна еще и возможность получен^
системы без скрытых колебаний.
6.	Рассмотрены вопросы, связанные с компенсацией влияния запаздывания в
цифровых системах. Показано, что методы компенсации влияния запаздыванд^
основанные на идее предиктора Смита, не всегда могут обеспечить требуемый
порядок астатизма. Для получения необходимого порядка астатизма цра
условии обеспечения требуемого качества предлагается использование
двухконтурной структуры или неявной компенсации запаздывания.
7.	Для обоих подходов рассмотрены условия, при которых обеспечивается одно
из условий работоспособности системы - ее грубость. Показано, что в рамках
полиномиального метода ряд этих условий выполняется уже на этапе синтеза,
остальные могут быть выявлены при анализе полученной системы.
8.	Рассмотрены вопросы робастности систем управления, в частности при
первом подходе робастная устойчивость может быть обеспечена с
использованием коэффициентных оценок устойчивости и теоремы Харитонова,
при втором - на основе понятия сверхустойчивости.
9.	Рассмотрены методы обратных задач динамики применительно к
псевдонепрерывным и цифровым системам для получения систем слабой
параметрической чувствительности. Показано, что эти задачи могут быть
решены с использованием метода полиномиальных уравнений.
10.	Рассмотрено общее решение полиномиального уравнения, которое
получается на основе его минимального решения. Показано, что системы,
построенные на основе этого общего решения, значительно лучше
отрабатывают как внешние, так и параметрические возмущения за счет
присущего этим системам свойства адаптивности. Кроме того выявлено, что
регуляторы, полученные на основе общего решения, позволяют эффективно
демпфировать упругие колебания в двухмассовых электромеханических
системах.
В заключение отметим, что ряд методов и подходов изложены в книге
схематично, в виде постановки задачи и возможных путей ее решения. Это
связано как с ограниченным объемом работы, так и с тем, что полиномиальные
методы охватывают достаточно широкий круг вопросов, связанных с
разработкой и исследованием цифровых систем управления электроприводами
и технологическими процессами. Это свидетельствует также
универсальности этих методов и о хороших перспективах применения
полиномиального подхода к анализу и синтезу систем управления.
230
Библиографический список
1.	Алатырев М.С. Динамическая модель электропривода с выпрямителем на полностью
управляемых полупроводниковых приборах при малых отклонениях / М.С. Алатырев,
К.В. Быков И Труды Ш Международной (XIV Всероссийской) НТК по
автоматизированному электроприводу «АЭП-2001». Нижний Новгород, 2001. С. 44-47.
2.	Асинхронный частотно-управляемый электропривод с прямым управлением моментом /
М.А. Аверьянов, Е.И. Барац, И.Я. Браславский, З.Ш Ишматов // Труды двенадцатой
научно-технич. конф. «Электроприводы переменного тока». Екатеринбург: УГТУ-УПИ,
2001. С. 102-105.
3.	Барац Е.И. Разработка и исследование усовершенствованных структур электроприводов
на основе систем «преобразователь частоты - асинхронный двигатель» при различных
способах управления: дис. ... канд. техн, наук /Е.И. Барац. Екатеринбург, 2000.250 с.
4.	Башарин А.В. Управление электроприводами: учебное пособие для вузов /
А.В. Башарин, В.А Новиков, Г.Г. Соколовский. Л.: Энергоиздат, 1982. 392 с.
5.	Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы / В.А. Бесекерский. М.: Наука,
1976. 576 с.
6.	Бесекерский В.А. Системы автоматического управления с микроЭВМ /
В.А. Бесекерский, В.В. Изранцев. М.: Наука, 1987. 320 с.
7.	Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский,
Е.П. Попов. СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. 752 с.
8.	Богорад Г.3. Цифровые регуляторы и измерители скорости / Г.З. Богорад,
В.А. Киблицкий. М.: Энергия, 1966.121 с.
9.	Браславский И.Я. Адаптивная система прямого управления моментом асинхронного
двигателя / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, Е.И. Барац И Электротехника. 2001.
№11. С. 35-39.
10.	Браславский ИЛ. Особенности построения системы прямого управления моментом
асинхронного двигателя с адаптивным наблюдателем / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов,
Е.И. Барац И Труды Ш Международной (XTV Всероссийской) НТК по
автоматизированному электроприводу «АЭП-2001». Н. Новгород, 2001. С. 32-33.
И. Браславский ИЛ. Принципы построения микропроцессорной системы управления
частотно-регулируемым асинхронным электроприводом насоса / И.Я. Браславский,
З.Ш. Ишматов, Е.И. Барац И Электротехника. 1998. № 8. С. 6-10.
12.	Браславский ИЛ. Энергосберегающий асинхронный электропривод / И.Я. Браславский,
З.Ш. Ишматов, В.Н Поляков. М.: Изд-во «Академия», 2004. 256 с.
13.	Бургин Б.Ш. Анализ и синтез двухмассовых электромеханических систем / Б.Ш. Бургин.
Новосибирск, 1992. 199 с.
14.	Вишняков А.И. Синтез максимально-робастной системы управления дискретным
объектом с непараметрической неопределенностью / АН. Вишняков И Автоматика и
телемеханика. 1999. №3. С. 71-77.
15.	Волгин Л.Н. О грубых системах управления / Л.Н. Волгин // Автоматика и телемеханика.
1987. №4. С. 186-188.
16.	Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами /
Л.Н. Волгин; под ред. П.Д Кругько. М.: Наука, 1986. 240 с.
17>	Волгин Л.Н. Применение полиномиального исчисления к задачам теории
автоматического управления / Л.Н. Волгин // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика. 1987.
№6. С. 133-142.
18.	Волгин Л.Н. Элементы теории управляющих машин / Л.Н. Волгин. М.: Сов. радио, 1962.
164 с.
19.	Волков АИ. Структуры контура регулирования тока в электроприводе с прямым
микропроцессорным управлением / АИ. Волков И Электротехника. 1999. №5. С. 38-42.
231
20.	Гайдук А-P. К исследованию устойчивости линейных систем / А.Р. Гайдук И Автомата
и телемеханика. 1997. №3. С. 153-160.	***
21.	Гостев В.И. Системы управления с цифровыми регуляторами: справочник
В.И. Гостев. К.: Тэхника, 1990.280 с.
22.	Гудвин Г.К. Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе
М.Э. Сальгадо. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.911 с.	’
23.	Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования / Э. Джури. М*
Физматгиз, 1963.456 с.
24.	Джури Э.И. Робастность дискретных систем. Обзор / Э.И. Джури И Автоматика и
телемеханика. 1990. №5. С. 3-28.
25.	Динамика вентильного электропривода постоянного тока / под ред. А.Д. Поздеева. М •
Энергия, 1975. 224 с.
26.	Дорф Р. Современные системы управления: пер. с англ. / Р. Дорф, Р. Киптпп
Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.
27.	Залялеев С.Р. О применении метода полиномиальных уравнений для синтеза непре-
рывных систем электропривода / С.Р. Залялеев И Электротехника. 1998. №2. С. 48-53.
28.	Изерман Р. Цифровые системы управления: пер. с англ. / Р. Изерман. М.: Мир
1984. 541 с.
29.	Изосимов Д.Б. Алгоритмы и системы цифрового управления электроприводами
переменного тока / Д.Б. Изосимов, В.Ф. Козаченко // Электротехника. 1999. №4.
С. 41-51.
30.	Использование метода полиномиальных уравнений для синтеза систем управления
асинхронными электроприводами / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков, А.В. Кириллов,
Ю.В. Плотников И Электротехника. 2004 № 9. С. 29-33.
31.	Ишматов З.Ш. Использование метода полиномиальных уравнений для синтеза
микропроцессорных систем управления электроприводами / З.Ш. Ишматов //
Электротехника. 2003. №6. С. 33-39.
32.	Ишматов З.Ш. Использование метода полиномиальных уравнений для синтеза систем с
неминимально-фазовыми объектами / З.Ш. Ишматов И Электротехнические системы и
комплексы: межвуз. сб. науч, трудов. Вып.8. Магнитогорск: МГТУ, 2004. С. 42-48.
33.	Ишматов З.Ш. Использование метода полиномиальных уравнений для управления
неустойчивыми и неминимально-фазовыми объектами / З.Ш. Ишматов //
Электротехника, электромеханика и электротехнологии: материалы научно-техн. конф, с
международным участием. Новосибирск: НГТУ, 2003. С. 65-71.
34.	Ишматов З.Ш. Коэффициентные методы оценки робастности линейных непрерывных
систем / З.Ш. Ишматов И Вестник МГТУ. Магнитогорск. 2006. №2(14). С. 40-50.
35.	Ишматов З.Ш. Метод полиномиальных уравнений для синтеза микропроцессорных
систем электропривода / З.Ш. Ишматов И Тез. докл. 1-й международной (12-Й
Всероссийской) конф, по автоматизированному электроприводу. СПб.: СПГЭУ, 1995.
С.177-178.
36.	Ишматов З.Ш. О некоторых особенностях синтеза алгоритмов управления частотно-
регулируемым асинхронным электроприводом / З.Ш. Ишматов И Электротехника. 1998-
№8. С. 16-18.
37.	Ишматов З.Ш. О синтезе работоспособных цифровых регуляторов / З.Ш. Ишматов^
Вестник национального технического университета «Харьковский политехнический
институт». Выл. 45: Проблемы автоматизированного электропривода. Харьков, 2005. <'•
211-212.
38.	Ишматов З.Ш. Обеспечение грубости при синтезе цифровых систем управления
электроприводом / З.Ш. Ишматов // Электротехника. 2005. № 9. С. 27-32.
39.	Ишматов З.Ш. Опыт применения метода полиномиальных уравнений для синтез»
цифровых систем управления / З.Ш. Ишматов // Вестник национального техническо
232
университета «Харьковский политехнический институт». Вып. 10: Проблемы
автоматизированного электропривода. Харьков, 2003. Т. 1. С. 63-64.
40.	Ишматов З.Ш. Основные результаты разработки и исследования цифровых систем
управления электроприводами / З.Ш. Ишматов // Электротехника. 2004. № 9. С. 17-20.
41.	Ишматов З.Ш. Полиномиальные методы синтеза регуляторов электропривода и
адаптивное управление / З.Ш. Ишматов И Труды четырнадцатой научно-технич. конф.
«Электроприводы переменного тока». Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. С. 137-142.
42.	Ишматов З.Ш. Тиристорный электропривод постоянного тока с прямым
микропроцессорным подчиненным регулированием координат: дне. ... канд. техн, наук /
З.Ш. Ишматов. Свердловск, 1987.243 с.
43.	Ишматов З.Ш. Использование MATLAB для синтеза микропроцессорных систем
управления методом полиномиальных уравнений / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков И Труды
II Всероссийской научно-технической конференции «Проектирование инженерных и
научных приложений в среде MATLAB». М.: ИЛУ РАН, 2004. С. 1491-1500.
44.	Ишматов З.Ш. О синтезе микропроцессорных систем управления методом
полиномиальных уравнений / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков // Труды IV Международной
(XV Всероссийской) конференции по автоматизированному электроприводу
«Автоматизированный электропривод в XXI веке: пути развития». Магнитогорск, 2004.
С. 187-189.
45.	Ишматов З.Ш. Синтез регуляторов двухмассовой электромеханической системы
методом полиномиальных уравнений / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков //
Электротехнические системы и комплексы: межвузовский сб. науч. тр. Вып. 12.
Магнитогорск: МГТУ, 2006. С. 28-33.
46.	Ишматов З.Ш. Программа расчета коэффициентных оценок устойчивости, качества и
точности системы управления электроприводом / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков, М.П.
Дерябин И Труды четырнадцатой научно-технич. конф. «Электроприводы переменного
тока». Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. С. 133-136.
47.	Ишматов З.Ш. Метод полиномиальных уравнений для синтеза непрерывных
регуляторов / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков, Ю.В. Плотников И Электротехнические
системы и комплексы: межвузовский сб. науч. тр. Вып. 12. Магнитогорск: МГТУ, 2006.
С.46-60.
48.	Ишматов З.Ш. Принципы построения и методы синтеза цифровых регуляторов внешних
контуров электропривода / З.Ш. Ишматов, М.А. Волков, Ю.В. Плотников И
Электротехника. 2005. № 9. С. 62-68.
49.	Ишматов З.Ш. Метод полиномиальных уравнений для синтеза цифровых систем с
запаздыванием / / З.Ш. Ишматов, В.Б. Грахов // Электротехнические системы и
комплексы: межвузовский сб. науч. тр. Вып. 10. Магнитогорск: МГТУ, 2005. С. 14-23.
50.	Ишматов З.Ш. Методы синтеза микропроцессорных систем управления
электроприводами / З.Ш. Ишматов, Е.Г. Казаков, А.В. Кириллов. Екатеринбург: УГТУ-
УПИ, 2000. 48 с.
51.	Ишматов З.Ш. О предельном быстродействии микропроцессорных систем
электропривода с линейными регуляторами / З.Ш. Ишматов, А.В. Кириллов // Тезисы
докладов международной электронной научно-технической конференции
«Перспективные технологии автоматизации». Вологда, 1999. С. 74-75.
52.	Ишматов З.Ш. Особенности синтеза микропроцессорных регуляторов для систем
асинхронного электропривода с векторным управлением / З.Ш. Ишматов, А.В. Кириллов
И Труды двенадцатой научно-технич. конф. «Электроприводы переменного тока».
Екатеринбург: УГТУ, 2001. С. 149-153.
53.	Ишматов З.Ш. Синтез регуляторов микропроцессорной системы управления частотно-
регулируемым асинхронным электроприводом / З.Ш. Ишматов, А.В. Кириллов,
233
В.Н. Поляков И Вестник Уральского гос. техн, ун-та. Ч. 2: Электромеханика н
электротехнология. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 1995. С. 54-57.
54.	Ишматов З.Ш. Исследование влияния блока компенсации перекрестных связей на
процессы в асинхронном частотно-регулируемом электроприводе / З.Ш. Ишматов.
Ю.В. Плотников. Деп. в ВИНИТИ 15.11.04. №1719-В2004 03.11.04 г. 19с.
55.	Ишматов З.Ш. Математическая модель преобразователя частоты с базовым алгоритмом
ШИМ и пилообразным развертывающим напряжением / З.Ш. Ишматов, Ю.В. Плотников
// Электротехнические системы и комплексы: межвуз. сб. науч, трудов. Вып. 13
Магнитогорск: МГТУ, 2006. С. 38-46.
56.	Ишматов З.Ш. Учет дискретных свойств преобразователя частоты при разработке
систем управления асинхронного электропривода / З.Ш. Ишматов, Ю.В. Плотников //
Труды четырнадцатой научно-технич. конф. «Электроприводы переменного
Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. С. 143-147.
57.	Ишматов З.Ш. Электропривод постоянного тока с микропроцессорным управлением
для механизмов типа экскаваторов-драглайнов / З.Ш. Ишматов, Г.М. Упчер,
В.Н. Поляков // Тезисы докладов 1-й Международной конф, по электромеханике и
электротехнологии. 4.2. Суздаль, 1994. С. 66.
58.	Кириллов А.В. Принципы и методы синтеза микропроцессорных систем управления
частотно-регулируемым асинхронным электроприводом: дис. ... канд. техн, наук/
А.В. Кириллов. Екатеринбург, 2000.220 с.
59.	Клюев А.С. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием /
А.С. Клюев, В.С. Карпов. М.: Энергоатомиздат, 1990.176 с.
60.	Козырев С.К. Электропривод - основа автоматизации технологических процессов / СК.
Козырев, В.Д. Кочетков, Л.Н. Рассудов // Труды Ш Международной (XIV Всероссийской)
НТК по автоматизированному электроприводу «АЭП-2001». Н. Новгород, 2001. С. 14.
61.	Котов Д.Г. Синтез линейных регуляторов для управления состоянием технологических
объектов / Д.Г. Котов, С.В. Тарарыкин, В.В. Тютиков. Иваново: ИГЭУ, 2005.172 с.
62.	Круг Е.К. Цифровые регуляторы / Е.К. Круг, Т.М. Александриди, С.Н. Дилигенский. М.
- Л.: Энергия, 1966. 504 с.
63.	Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. Цикл
лекций: учеб, пособие для вузов / П.Д. Крутько. М.: Машиностроение, 2004. 576 с.
64.	Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: линейные модели /
П.Д. Крутько. М.: Наука, 1987. 304 с.
65.	Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели /
П.Д. Крутько. М.: Наука, 1988.328 с.
66.	Крутько ПД. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых
систем / П.Д. Крутько И Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1986. №1. С. 125-133.
67.	Кузин Л;Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления / Л.Т. Кузин. М *
Машгиз, 1962. 683 с.
68.	Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. М-
Машиностроение, 1976.183 с.
69.	Кузовков Н.Т. Непрерывные и дискретные системы управления и методы
идентификации / Н.Т. Кузовков, С.В. Карабанов, О.С. Сарычев. М.: Машиностроение,
1978.222 с.	.
70.	Кулесский Р.А. Электроприводы постоянного тока с цифровым управлением
Р.А. Кулесский, В.А. Шубенко. М.: Энергия, 1973.208 с.	,
71.	Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Б. Куо-
Машиностроение, 1986.448 с.
72.	Лихошерст В.И. Полупроводниковые преобразователи электрической энергии f
импульсным регулированием / В.И. Лихошерст. Екатеринбург: УГТУ, 2000.116 с.
234
Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник.
В 3 т. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления
/ под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 736 с.
;4. Микропроцессорное управление электроприводами станков с ЧПУ / Э.Л. Тихомиров,
В.В. Васильев, Б.Г. Коровин, В. А. Яковлев. М.: Машиностроение, 1990.320 с.
75.	Микропроцессорные системы автоматического управления / под общ. ред.
В. А. Бесекерского. Л.: Машиностроение, 1988.365 с.
76.	Микропроцессорные системы управления электроприводами / Р.А. Кулесский,
М.Ю. Бородин, З.Ш. Ишматов и др. Свердловск: УЛИ, 1986.49 с.
77.	Микропроцессорные средства управления для систем "тиристорный преобразователь
напряжения - асинхронный двигатель": аналитическая справка / И.Я. Браславский,
А.А. Бурлаков, А.М. Зюзев, С.И. Шилин. М.: Информэлектро,1990.32 с.
78.	Олесон Г. Цифровые системы автоматизации и управления / Г. Олесон, Дж. Пиани.
СПб.: Невский Диалект, 2001. 557 с.
79.	Опейко О.Ф. Синтез линейной системы на основании упрощенной модели объекта /
О.Ф. Опейко И Автоматика и телемеханика. 2005. №1. С. 29-36.
80.	Перельмутер В.М. Прямое управление моментом и током двигателей переменного тока /
В.М. Перельмутер. Харьков: Основа, 2004.210 с.
81.	Перельмутер В.М. Цифровые системы управления тиристорным электроприводом /
В.М. Перельмутер, А.К. Соловьев. К.: Техшка, 1983.104 с.
82.	Петров Ю.П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений /
Ю.П. Петров. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.192 с.
83.	Петров ЮЛ. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами
последних лет. 3-е изд., доп. / Ю.П. Петров, Л.Ю. Петров. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2002.
140 с.
84.	Плотников Ю.В. Дискретные модели и синтез алгоритмов цифрового управления
частотно-регулируемого асинхронного электропривода: дис. ... канд. техн, наук /
Ю.В. Плотников. Екатеринбург, 2007.240 с.
85.	Поздеев АД. Электромагнитные и электромеханические процессы в частотно-
регулируемых асинхронных электроприводах / АДПоздеев. Чебоксары: Изд-во Чуваш,
ун-та, 1998. 172 с.
86.	Поляк Б.Т. Обобщенная сверхустойчивость в теории управления / Б.Т. Поляк И
Автоматика и телемеханика. 2004. № 4. С. 70-80.
87.	Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных дискретных систем / Б.Т. Поляк,
Я.З. Цыпкин И Доклады АН СССР. 1991. Т.316, № 4. С. 842-846.
88.	Поляк Б.Т. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных
систем / Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин И Автоматика и телемеханика. 1990. №9. С. 45-54.
89.	Поляк Б.Т. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. М.:
Наука, 2002.303 с.
90.	Поляк Б.Т. Сверхустойчивые линейные системы управления. I: Анализ / Б.Т. Поляк,
П.С. Щербаков И Автоматика и телемеханика. 2002. №8. С. 37-53.
91.	Поляк Б.Т. Сверхустойчивые линейные системы управления. П: Синтез / Б.Т. Поляк,
П.С. Щербаков И Автоматика и телемеханика. 2002. №11. С. 56-75.
92.	Предельное быстродействие и качество процессов электроприводов с цифровым
управлением / А.Д. Поздеев [и др.] И Автоматизированный электропривод. М.:
Энергоатомиздат, 1990. С. 185-192.
93.	Предельное быстродействие электропривода постоянного тока с прямым
микропроцессорным управлением / А.И. Волков, З.Ш. Ишматов, Р.А. Кулесский,
Г.М. Упчер // Автоматизация машиностроения на базе новых элементов и устройств при
реализации программы “Интенсификация-90”: материалы краткосрочного семинара. Л.:
ЛДНТП, 1988. С. 18-21.
235
94.	Принципы микропроцессорного управления электроприводами скоростные
пассажирских лифтов / А.И. Волков, Я.Л. Горецкий, З.Ш. Ишматов, Р.А. Кулесский.
Г.М. Упчер И Электроприводы переменного тока с полупроводниковые
преобразователями: тез. докл. к УШ научно-техн. конф. Свердловск, 1989. С. 68.
95.	Ремизевич Т.В. Технические средства промышленной автоматизации. Сравнительная
характеристика и тенденции развития / Т.В. Ремизевич И Труды Ш Международной (XIV
Всероссийской) НТК по автоматизированному электроприводу «АЭП-2001». Н. Нов-
город, 2001. С. 18-19.
96.	Ротач ВЛ. Импульсные системы автоматического регулирования / ВЛ. Ротач. М.-Л,-
Энергия, 1964. 224 с.
97.	Синтез микропроцессорных систем управления асинхронным электроприводом с
применением метода полиномиальных уравнений / И.Я. Браславский, А.М. Зюзев,
З.Ш. Ишматов, С.И. Шилин И Электротехника. 1998. №6. С. 20-24.
98.	Синтез систем модального управления заданной статической точности / В.В. Тютиков,
С.В. Тарарыкин, Е.В. Красильникьянц, Н.В. Салахутдинов И Электротехника. №2. 200з’
С. 2-7.
99.	Синтез управляющих устройств для систем микропроцессорного управления
электромеханическими приводами / В.Л. Вейц, О.Л. Вольберг, П.Ф. Вербовой,
Б.Н. Куценко. Киев: АН УССР, Ин-т электродинамики, 1988.232 с.
100.	Синтез упрощенных структур двухмассовых электроприводов с нелинейной нагрузкой/
Л.В. Акимов, В.Т. Долбня, В.Б. Клепиков, А.В. Пирожок. Харьков: НТУ "ХПИ",
Запорожье: ЗНТУ, 2002.160 с.
101.	Синтез электромеханических приводов с цифровым управлением / В.Л. Вейц,
П.Ф. Вербовой, О. Л. Вольберг, А.М. Съянов. Киев: Наукова думка, 1991.232 с.
102.	Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами:
Инженерные методы анализа и синтеза / Б.Н. Петров [и др.] - М.: Машиностроение, 1986.
256 с.
103.	Соколовский Г.Г. Электроприводы переменного тока с частотным регулированием:
учебник для студ. высш. учеб, заведений / Г.Г. Соколовский. М.: Издательский центр
"Академия", 2006.272 с.
104.	Тарарыкин С.В. Робастное модальное управление динамическими системами /
С.В. Тарарыкин, В.В. Тютиков // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 41-55.
105.	Теория автоматического управления / под ред. В.Б. Яковлева. М.: Высшая школа, 2003.
567 с.
106.	Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления / Ю. Ту. М.:
Машиностроение, 1964.703 с.
107.	Тютиков В.В. Дискретное модальное управление динамическими системами с заданной
статической точностью / В.В. Тютиков, С.В. Тарарыкин, Е.А.Варков И Электротехника.
№7.2003. С. 2-6.
108.	Уолш ДжЛ. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в
комплексной области / Дж.Л. Уолш. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.508 с.
109.	Управляемый выпрямитель в системах автоматического управления / под Р6^*
А.Д. Поздеева. М.: Энергоатомиздат, 1984. 352 с.
ПО. Упчер Г.М. Электропривод постоянного тока с микропроцессорным управлением
механизмов типа экскаваторов-драглайнов: дис. ... канд. техн, наук / Г.М. Уп^Р-
Екатеринбург, 1993.262 с.
111.	Фанштейн В.Г. Микропроцессорные системы управления тиристорнь^0
электроприводами / В.Г. Фанштейн, Э.Г. Фанштейн; под ред. О.В. Слежановского. М”
Энергоатомиздат, 1986.240 с.	у
112.	Федоров С.М. Автоматические системы с цифровыми управляющими машинам*
С.М. Федоров, А.П. Литвинов. М.-Л.: Энергия, 1965.224 с.
236
113.	Флоренцев С.Н. Современные и перспективные приборы силовой электроники для
автоматизированного электропривода / С.Н. Флоренцев, Ф.И. Ковалев И Труды Ш
Международной (XIV Всероссийской) НТК по автоматизированному электроприводу
«АЭП-2001». Н. Новгород, 2001. С. 1548.
114.	Цифровые системы управления электроприводами / А.А. Батоврин [и др.] Л.: Энергия,
1977. 256 с.
115.	Цифровые электромеханические системы / В.Г. Каган, Ю.Д. Бери, Б.И. Акимов,
А.А. Хрычев. М.: Энергоатомиздат, 1985.208 с.
116.	Цифровые электроприводы с транзисторными преобразователями / С.Г. Герман-Галкин
[и др.] Л.: Энергоатомиздат, 1986.248 с.
117.	Цыпкин Я.З. Оптимальные дискретные системы управления неминимально-фазовыми
объектами / Я.З. Цыпкин И Автоматика и телемеханика. 1991. № 11. С. 96-118.
118.	Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1977.
560 с.
119.	Цыпкин Я.З. Робастно оптимальные дискретные системы управления / Я.З. Цыпкин И
Автоматика и телемеханика. 1999. №3. С. 25-37.
120.	Цыпкин Я.З. Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях
ограниченной неопределенности / Я.З. Цыпкин И Автоматика и телемеханика. 1992. № 9.
С. 139-159.
121.	Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин. М.: Физматгиз, 1963.
968 с.
122.	Цыпкин Я.З. Синтез модальных дискретных систем управления / Я.З. Цыпкин,
А.Н. Вишняков И Автоматика и телемеханика. 1993. №7. С. 86-94.
123.	Цыпкин Я.З. Теория нелинейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин, Ю.С. Попов. М.:
Наука, 1973.416 с.
124.	Чхеидзе Г.А. Цифровые алгоритмы управления автоматических систем слабой
параметрической чувствительности / Г.А. Чхеидзе // Изв. РАН, Техническая кибернетика.
1994. №4. С. 125-134.
125.	Шароватов В.Т. Обеспечение стабильности показателей качества автоматических
систем / В.Т. Шароватов. Л.: Энергоатомиздат, 1987.176 с.
126.	Шипилло В.П. Автоматизированный вентильный электропривод / В.П. Шипилло. М.:
Энергия, 1969.400 с.
127.	Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с
полупроводниковыми преобразователями частоты / Р.Т. Шрейнер. Екатеринбург: УрО
РАН, 2000. 654 с.
128.	Шрейнер Р.Т. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами /
Р.Т. Шрейнер, Ю.А. Дмитриенко. Кишинев: Штиинца, 1982.224 с.
129.	Электропривод постоянного тока с микропроцессорным управлением для механизмов
типа экскаваторов-драглайнов / З.Ш. Ишматов [и др.] И Инструктивные и
информационные материалы по проектированию электроустановок. М.: ВНИПИ
Тяжпромэлектропроект, 1995. №1. С. 3-12.
130.	Braslavsky I.Ya. Sensorless direct torque control system with adaptive flux, torque and speed
observer for induction motor drive / I.Ya. Braslavsky, Z.Sh. Ishmatov, E.I. Barats //
Proceedings of the 5th international conference on unconventional electromechanical and
electrical systems. Vol. 2. Szczecin, Poland, 2001. P. 573-579.
131.	Braslavsky I. Electrical drives microprocessor control systems synthesis method I
I.Braslavsky, Z.Ishmatov, S.Shilin // Proceedings of the symposium on power electronics,
electrical drives, advanced machines, power quality. Sorrento, Italy, 1998. P. 4-1-4-4.
132.	Braslavsky I. The polynomial equations method for synthesis of microprocessor control
system of electrical drives / I.Braslavsky, Z.Ishmatov, S.Shilin // Proceedings of the 8th
237
international conference “Power Electronics, Motion Control”, Vol.4 “Motor Drives”. Prague
Czech Republic, 1998. P. 4-105^-108.
133.	Braslavsky I. The polynomial equations method for synthesis of microprocessor control
system of alternative current electrical drives I I.Braslavsky, Z.Ishmatov, S.Shilin //
Proceedings “Problems of electromechanics”. University of Gent, Belgium, 1997.
134.	Хшматов З.Ш. Синтез цифровых систем керування електроприводами методом
полшом!альних р!внянь / З.Ш. 1шматов И ЕЛЕКТРОшформ. Львов, 2003. №3. С. 6-9.
135.	Matausek M.R. A Modified Smith Predictor for Controlling a Process with an Integrator and
Long Dead-Time / M.R. Matausek, A.D. Micic // IEEE Transactions on Automatic Control.
Vol. 41, No. 8, August 1996. P. 1199-1203.
136.	Polyak B., Halpern M. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance
index / B. Polyak, M. Halpern I I Int. J. Adaptive Control and Signal Processing, 2001. V. 15
№2. P. 129-152.
137.	Smith O. Feedback Control Systems IO. Smith. New York, McGraw-Hill, 1958.
138.	Толочко 0.1. Анатз та синтез електромехашчних систем 3i спостеркачами стану/
O.I. Толочко. Донецьк: Норд-Прес, 2004.298 с.
139.	The application of polynomial equations method for synthesis of frequency-controlled drives’
control systems I I. Braslavsky, Z. Ishmatov, Y. Plotnikov, I. Averbakh // Proceedings of
Symposium on power electronics, electrical drives, automation and motion. Capri, Italy, 2004.
P. 544-548.
140.	Youla D. Modem Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part II: The multivariable case /
D. Youla, H. Jabr, J. Bongiomo // IEEE Transactions on Automatic Control. 1976. № 21(3). P.
319-338.
238
239
Приложение 1
Преобразование Лапласа, z-преобразование и дельта-преобразование некоторых функций
Непрерывная функция времени f(t)	Решетчатая функция f(n I)	Изображение по Лапласу р(р)	z-изображение F(z)	б-изображение F(y)
1(f)	1(n7)	р	Z Z-1	Ty+1 Y
t	nT	1 Р2	Tz (z-1)2	Ty+1 Y2
t2	(пТ)2	2 р3	T2z(z + 1) (z-1)3	(Ty+1)(Ty+2) Y3
	е-апт	1 р + а	N I i In Q.I	Ty + 1 1-d Y+-r-
	1-е~апТ	а Р(Р+а)	(1-Cf)z (z-1)(z-d)	*4 • Q. -< z \ + di1
	пТе~апТ	1 (Р+а)2	zd (z-d)2	*4 Q. + HI i
e-ctf sinurt	e-onT Sjnajn7	ш (р+а)2+ш2	zds z2 -2zdc+d2	(7V-H)ds Ty2+2(1-dc)Y + —+C^2
e^coswf	е"алГ cos юл Г	р+а (р + а)2 +ш2	z2-zdc z2 -2zdc+d2	(7y+1)(Ty+1-cfs) Ту2 +2(1-dc)y + 1~2c^+d2
Здесь d = e~°T; ds =dsinwT; dc =dcoswT
Дискретные передаточные функции объектов
Приложение 2
П.2.1. ДПФ объекта е электроприводе
Рассматривается общая задача вычисления ДПФ объекта регулирования
когда объект состоит из последовательно включенных импульсного элемента
(модель полупроводникового преобразователя), непрерывной части с произвольной
передаточной функцией Ш0(р) и датчика мгновенных или средних значений
выходной величины, как это показано на рис. П.2.1. Полученные для этих случаев
дискретные передаточные функции объектовпервого - третьего порядка без учета
запаздывания представлены соответственно в табл. П.2.1 и П.2.2. Их можно
использовать в качестве дискретных моделей объекта для синтеза цифровых
регуляторов.
U(t) и(пТ) ------------ у(Л
» W0(p)
*nTl
Т
Рис. П.2.1. Структурные схемы объекта регулирования в электроприводе сдатчиком
мгновенных (а) и средних (б) значений выходной координаты
Таблица П.2.1
Дискретные передаточные функции объектов регулирования в схеме,
приведенной на рис. П.2.1,а
№ п/п	ПФ объекта Ш0(р}	ДПФ объекта W0(z) = Z{%(р)}
1	2	3
1	Тор+1	koz T0(z-d)' d = exp(-TIT0)		
2	^0 р	koz z-1
3	*0 р2	k0Tz (z-1)2		
4	kg Pf^oP+l)	*0(1-d)z (z-1)(z-d)’ d = exp(-77T0)		
240
1	2	3
5			 (W+1)(W+1)	к0	(d^-d2)z Т0гТ02 (z-diXz-d2)’ ^1 = ®хр(-Т/Т0.|); d2 = ехр(-Т /То2); Тд\ >"Гд2
' 6		^0	 T2p2+2?Top+1	к0	dzsincpp To5/i-$2 z2-2dzcos<po+d2 ’ d = exp(-$77T0); Фо то
7	*о(7~оР+1) р2	z(z-1+T/T0) 00	(z-1)2
8	kpiT^p+l) PfW+i)	k z(z-d2-Toi/To2+1) °	(z-1)(z-d2)	’ d2=exp(-77To2)
9	к0(Т0,р+1) (То2Р + 1)(То3р + 1)	k0	z(ptz-po) To2 ~ТоЗ (г-СкУЛ-аз)* To3 To2 Po=d3(-^-)-d2(1-^-Y. tp2	'o3 d2=exp(-77To2); d3=exp(-T/To3); To2>Toi
10	/с0(Т01Р-Ы) Т22р2+2§То2р + 1	/roTo1	z(z-pp) T°2 z2-2d2zcosq>o2 +d2 ’ p0 = d2cos<po2+d2T°2/T°i~^sin<po2; d2 = exp(-$T/ To2); фо2 = то2
11	^0	z(pjZ + po) (z-1)2(z-d) p1=T/T0-1+d; A,=1-d-dT/T0; d = exp(-T/To)
	Р2(Т0Р+1)	
12		^0	 P(7’o1P+1)(7'o2P + 1)	koToi	z(P|Z + pp) TO1-TO2 (z-IXz-diXz-dz)’ Pl=(1-cfl)7-o1-(1-d2)To2; Po = “(1 ~ di X^2^O1 + (1 - ^2 )^1^o2; d, =exp(-77To1); d2 =exp(-T/To2); To1 >To2
241
1	2	3
13			 р(70р2+2?70р+1)	к	г№ + Ро)	' ° (z-1)(z2 -2dzcos<po +d2) ’ Pl =1-dcos<po-d^~r°^sinyo; \M2 Po = d2 -dcos<po +d^.1~7°^sin<p0; V1-?2 d = exp(-CT/T0); <p0 =^7^2 	'P	
14		^0		
	(7-о1р + 1)(То2Р2 +2?То2р + 1)			x 7’<?1-2?TO1TO2+T22X x	z(p1z + po)	 (z-di)(z2 -2d2zcos<po2 +dj) ’ Pi = <*1 -d2 cos<po2 -d2 ^~Го2/]°181пфо2; Vi-?2 Po = d2 -<Мг cosq>o2 +did2 ^~fi-2/7'01 sin<po2; a/1-52 d,=exp(-T/To1); d2=exp(4T/To2); Tp2
Таблица П.2.2
Дискретные передаточные функции объектов регулирования в схеме,
приведенной на рис. П.2.1,6
№ П/П	ПФ объекта W0(p)	ДПФ объекта w0(z) = —z[^^- 	 Tz ( p ,	
1	2	3		-	
1	kg Top^	*0(1-d) z-d ' d = exp(-T/T0)			
2	кр P	k0T z-1		
3	kp P2	V2(z+1) 2(z-1)2			
4	kp P(Top+-i)	MPiZ + Pq) (z-1)(z-d)' Pl-T-T0+dT0’, Po = T0-d(T + T0).; d = e*p(-TIT0)			
242
Г1	2	3
"5		^0	 (W+1XW+1)	кд	РР + РО Ttf-To2 (z-d^z-d2y Pl=(1-^)7-oi-(1-d2)7’o2; Po = -(i-c/i)d27-oi +(1-^2^; dj = ехр(-77То1), с^2 = ехр(—Т 1Т02)\ 7*0<| > 7^2
	^0	*о(Р|?+Ро)
	Т02р2+2?Т0р + 1	z2-2dzcos<po+d2' Pl = 1 -dcos<po -d^,17°^sin<p0; Vi-?2 PO = d2 -dcos<po +d-y~7p)sin<p0; V1-C2 d = exp(4T/T0); Фо = ^7м2 ‘О
7	/со(Тор + 1) Р2	kJ PjZ-pQ 2 (z-1)2 ' Pl - +27Jj, pQ = 2T0 - T
8	pCW+I)	pz-pp °(z-1)(z-d2)' p1=T-(1-d2)(To2-To1); P0 = (1-d2)(TO2-To1)-Td2; d2 = exp(-T/To2)
9	W*1)	k0	Ptz-Po
	(То2р + 1)(То3Р + 1)	Г(ТО2-Тдз) (Z-dzMz-dj)’ Pl = <^2(T"o2 - 7o1) “ С^зГоЗ - ?o1)+7o3 - ^o2 > Po = d2(T03 -T(rt)-d3(,To2-Tai) + +d2d3(To2-Toi}-, d2=exp(-T/To2); d3=exp(-T/To3); To2>To3
10	ko(ToiP + V)	Mpiz-Po)
	Т22р2+2tJo2p+1	z2 -2d2zcos(po2 + d2 Pi = 1 -d2 cos<po2 - d27~o1/r°2~^sin<po2; aM2 Po = d2 -d2cos<po2 +d2 T^iT°2^-sm<po2; V1-?2 d2 = exp(-?T/To2); q>02 = Tti2
243
1	2	3
11	^0 р2(Тор+1)	к0 P2Z2 + P\Z + Pq 2 (z-1)2(z-d) ' p2=(70-T)2-T2(2d-1); p1=27T0(1 + d)-(4T2-T2)(1-d); Ро = 2T2(1-d)-Td(2Te +ТУ, d = ехр(-77Т0)
12	^0	*о	p2z2 + P|Z + p0
	Р(То}Р + ^(То2р+1)	Toi-T02 (z-l)(z-d1)(z-d2)’ P2=(1-^2)7o2_(1_d1)Toi+T(To1-To2); Pi = (l-d^MT^ -тД)-(^ -d2)(T^+T22)- -T(dl+d2)(To1-To2); Po = dSd2(Toi ~To2WTo1 +7o2 + 7")-<Vo1 + dtTo2> d\ = exp(-T/To1); d2 = exp(-T/To2); To1 >To2
13		кд	 р(Тор2 +2CTOP+1)	k	pjZ + PyZ + Pp ° (z-1)(z2-2dzcosq>o + d2)' Рг = T - 2§T0 + 2£Tod costpo + 2?T0cftpsin<po; Pl = 2^T0(1 - d2) - 2Tdcosq>o - 45Todipsinvo; PO =d2(T+2?To)-2?Todcos<po +2$Toctysin<po; d=expHT/T0); <p0=^5/i^2; ц>= 2^. ~1- To	2?71-?2
14		^0		kg	P2Z2+^Z + Pq
	(То1Р + 1)(То2Р2+2СТо2Р+1)	T2^-2?To1To2+T22 (z-d^iz2-2d2zcos<po2 +d2) P2=^(1-^1)+ +{2§To1 -То2)[То^2со8фо2 +ipsintpo2 -To2]; Pi=To2(2?To1-7’O2)(^1-^2)+ +d2[T<,2-^o2(2?T01-To2)-2T21(1-d1)]cos<po2- ~^2lTo2 +^To2(^To^ ~7o2)]4JS’n<Po2 J Po = diro1 -d^T^ -2?To1To2 +To22)- -d1d2To2(2^Toi - To2 )[cos<po2 - ipsin<po2]; d, = exp(-T/To1); d2 = ехр(ЧТ/То2); To2	(2?To1-To2)V1-?2	J
244
П.2.2. ДПФ технологических объектов
Будем считать, что непрерывная линеаризованная одномерная (с одним
входом и одним выходом) модель технологического объекта вместе с
электроприводом в виде ее передаточной функции W0(p) известна. При этом
управляющее воздействие подается на регулируемый электропривод, являющийся
обычно первым элементом технологической цепочки, через цифроаналоговый
преобразователь или по цифровому каналу, в обоих случаях преобразование
информации описывается моделью экстраполятора нулевого порядка с
передаточной функцией
z—1
И4(д2)=^.
Сигнал обратной связи получается с датчиков мгновенных или средних за
период дискретности Т значений регулируемого технологического параметра.
Структуры моделей технологического объекта представлены на рис. П.2.2. ДПФ
объекта, изображенного на рис. П.2.2,а, можно вычислить по формуле:
IV0(z) = —
z I P J
которая отличается от соответствующей формулы для рис. П.2.1,6 лишь
отсутствием сомножителя 1/7. Поэтому для вычисления ДПФ технологических
объектов со структурой рис. П.2.2,а можно использовать данные табл. П.2.2,
домножив их ДПФ на 7. Дискретные передаточные функции для некоторых моделей
рис. П.2.2,б первого - третьего порядка представлены в табл. П.2.3.
Заметим, что в некоторых случаях управляющее воздействие на
технологический объект подается через устройства, моделью которых является
импульсный элемент (например, используется широтно-модулированное
импульсное воздействие), тогда модель объекта управления представляется
структурами, изображенными на рис. П.2.1, а ее ДПФ вычисляется в соответствии с
табл. П.2.1 или П.2.2.
рис. П.2.2. Модели объектов с экстраполятором нулевого порядка и датчиками мгновенных
(а) и средних (б) значений
245
Таблица П.2 з
Дискретные передаточные функции объектов регулирования в схеме,
представленной на рис. 2.2,6
№ п/п	ПФ объекта W0(p)	ДПФ объекта W0(z) = 	7zz [ pz J
1	2		з	
1	кд ТОр+1	*o P1Z + PO	‘ 7 z(z-d)’ p,=7-70 + d70; Po = 70-d(7+70); d = exp(-7/70)
2	кд Р	k0T z + 1 2 z(z-1)
3	кд Р2	k0T2 z2 + 4z + 1 6	z(z-1)2
4	кд pfToP + 1)	kg p^+P^ + Pp 27’ z(z-1)(z-d) ’ P2=(7-o-D2-72(2d-1); Pt = 2770(1 + d)-(472-72)(1-d); Pg =272(1-d)-7d(270+7); d = exp(-7/70)
5		^0	 (То1р + 1)(7о2р+1)	kg	P2Z2+P^ + Pq T(To^-To2) z(z-d1)(z-d2)' P2 =^-d2)To2 -(1-d|)70i +7(7o1 -7o2); Pl = (1-d1d2)(7^ -722)-(d1 -d2)(721 +722)- -7(dl+d2)(7o1-7o2); PO = ^2(^01 “ ^o2)(7oi +To2+T)- d272,+d|7/2; = exp(-Tcfe = exp(—T/Tog); To^ > T02
6		^0		ko	Pi^+PP + PQ
	72р2+2$70р+1	7 z(z2-2dzcos<po+d2)’ P2 = T - 2?70 + 2§70d cos<po + 2?70dipsin<p0; Pl = 2^7o(1-d2)-27dcosфo -4$70ctysin<p0; Po = d2(T+2^7o)-2§7odcos<po+2?70dipsin<p0; d = exp(-^7/7o2);	=	ф= zL To	2§V1-?2	J
246
' 1	2	3
'Т'	МТоР*1) Р2	V p2Z2+p^Z-pQ 6	z(z-l)2 p2=37^,+7; P| =47; Pq=3T0-T
	MW+i) PO^P+I)	k0 P2z2+P^z-p0 27 z(z-1)(z-d2) ’ P2 = T2 +2(7o1 -7o2)[7-7o2(1-d2)]; P2 = 72(1-d2)+2(7o1 -7o2)[27o2(1-d2)-7(1+d2)]; A, = 72d2 +2(7o1 -7o2)[7o2(1-d2)-7d2]; d2 = exp(-7/7o2)
~9	(7o2P + 1)(7o3P+1)	ко	p2z2+p1z-p0 7(7o2-7o3) z(z-d2)(z-d3)' P2 = (To2 ~ ^>3)+T02^ ~ ^2 )(7rf _ T02) ~ -Wi-Woi-Tos); Pi = (T02 ~ Тоз ЖТ'ог+Тоз - Toi )(1 - d2d3) - T(d, + d2)] + +(d2-dMTo2 +7o3)-(722+7o23)] ; Po = To2d3(To2 - To1)+ ro3d2(To1 - ro3) ~ -d2d3(T-To1 +7o2 +To3)(To2 -To3); d2=exp(-7/7o2); d3 =exp(-T/To3); To2>To3
10		k0 Рг^+^+Ро
	722p2+2?7o2p+i	T z(z2 - 2d2zcos<po2+d2)' Рг = Т+(2$To2 - 7o1)(d2 cosq>o2 -1)+ф sin <po2; Pl = (2?To2-To1)(1-dj)-2d2ipsin<po2 -2Тс/2СО8фо2; PO = d2T+d2(2?To2 -7o1)(d-cos<po2)+4Jsin<po2; d2 = ехр(ЧТ/То2); Фо2 =	; To2 ГО2^2-^-^
11	^0 P2(TOP+1)	k0 p3z3+p2z2 + p1z+po 67	z(z-1)2(z-d) Рз = 73 -37O72 + 6727 -673(1 -d); P2=187O3 -12727 + 473 -d(1873 +6727-37072 +73); Pt = d(1873 +12727 - 473)-1873 + 6727 + 37o72 +73; PO =673(1-d)-d(6727 + 37072 + 73); d = exp(-7/70)
247
1	2		з		
12		^о	 Р(7’о1Р + 1)(7'О2Р + 1)	k0	p3z3+p2z2+p,z+po	" 2T(To1-To2) z(z-1Xz-d|)(z-d2)’ = exp(-77To1), (/2 = exp(-TIT02)'i 7”ol > ^o2	
13		bp	 p(Top2+2t,Top^)	t	p3z3 + p2z2+P|Z + A)	
		r'O z(z-1) d = exp(-i	z2 - 2dz cosf ^l-^2 |+d2 J J 7/T0)	
14	1 (W+1)X X	*0	 (То2р2+2§То2р+1)	Q	о .	p3z^ + p2zd+plz+p0	
		(z-dj dy = exp(-	z2 - 2d2zcos| -Д-^/l-^21+d2 Vo2	J J r/To1); d2 = exp(-?T/To2)
Примечание. Выражения для коэффициентов pi ДПФ 12-14 не приведены из-за их сложности.
248
Приложение 3
Элементы полиномиальной алгебры
В известных работах Л.Н. Волгина [15-18] впервые был разработан и
применен метод полиномиальных уравнений для синтеза оптимального дискретного
управления динамическими системами. В этих работах используются полиномы от
оператора запаздывания на один временной такт длительности Т: z = ехр(-рТ), где
р - оператор Лапласа. Однако в теории управления дискретными системами (см.,
например, ставшие классическими работы [5-7,23,28,67,70,75,105,117,120 и др.])
традиционно используются полиномы и рациональные функции от оператора
z = exp(pT), а оператором запаздывания является величина z-1. Это не имеет
принципиального значения, пока рассматриваются только полиномы. Но при работе
с дробно-рациональными функциями, которыми представляются передаточные
функции объектов регулирования и регуляторов дискретных систем, прямой перенос
методов, разработанных Л.Н. Волгиным, в системы с привычным представлением
передаточных функций приводит к ошибочным результатам. В данной работе
используется классическое понимание оператора z, в связи с чем далее приведены
некоторые положения полиномиальной алгебры, заимствованные из [16] и
адаптированные к привычному представлению цифровых моделей динамических
систем.
П.3.1. Кольцо полиномов
Рассмотрим полугруппу физически реализуемых операторов
tz.z2,z3,...,образованную из степеней одного оператора z, который связан с
оператором Лапласа р соотношением z = ехр(рТ).
Пусть R - поле действительных чисел, aeR. Полиномом от z над R назовем
конечную сумму вида
пА
A(z) = а0 +щг+...+anA^znA~' +anAz”A = £а^,
/=о
причем аПд *0. Целое число пА называется степенью, или индексом, полинома
A(z), и обозначается
nA = deg A(z) = incLA(z).
Числа a, е R называются коэффициентами полинома A(z). Вообще числа можно
Рассматривать как полиномы нулевой степени, поэтому понятие полинома является
обобщением понятия числа.
Основная теорема алгебры утверждает, что полиномы представимы в виде
произведения
A(z) = аПд (z - a, )(z - a2)...(z - аЛд) = аПА rf(z - а,),
/=1
где а,- - в общем случае комплексные, попарно сопряженные числа, называемые
Ариями, или нулями, полинома Д(г). Выражение «полином A(z) имеет нуль в точке
а/» означает, что Д(а, ) = 0. Поэтому оператор z, по степеням которого составлен
п°лином, можно рассматривать как обыкновенное комплексное число z = v + jw,
249
j = V-1, а сам полином A(z) как аналитическую функцию комплексного переменного
z, определенную на всей плоскости комплексного переменного z € Z.
Общее число нулей полинома на плоскости Z равно его степени. Число нулей
полинома в точке z = 0 называется дефектом полинома и обозначается
с/д = deLA(z). Выражение «полином A(z) имеет дефект dA » означает, что dA первых
коэффициентов полинома равны 0: ао =а-| = ... = a^_-| =0. Полиномы, имеющие
нулевой дефект, называются приведенными. Полиномы, отличающиеся только
величиной дефекта, называются сдвинутыми.
Каждый полином можно представить в виде:
A(z) = zd*A,(z),
где A|(z) - соответствующий приведенный полином. Степень приведенного
полинома А| (z) называется рангом полинома Д(г) и обозначается rA = rankA(z).
Индекс полинома равен сумме его дефекта.и ранга: nA=dA+rA.
Нулевой коэффициент полинома A(z) обозначается ao=ctA(z). Он равен
нулю в том и только в том случае, если deM(z) > 0, и отличен от нуля в том и только
в том случае, если deM(z) = 0.
Полиномы образуют кольцо R[z], т. е. их можно складывать, вычитать и
умножать один на другой, получая при этом новые полиномы.
Суммой двух полиномов C(z) = A(z) + B(z) называется полином с
коэффициентами с,* = а/ + Ь/.
Степень суммы полиномов не может быть выше максимальной из степеней
слагаемых:
deg^ + В) < max{deg Д deg8} или пА+в < тах{лд, пв},
а дефект суммы полиномов не может быть меньше минимального из дефектов
слагаемых:
def(^ + B)>min{deM,defB} или dA+B zn\in{dA,dB}.
Свободный член суммы двух полиномов равен сумме свободных членов
слагаемых:
ct(Xl + B) = ct4 + ctB или Со=ао+Ьо.
Произведением полиномов C(z) = A(z)B(z) называется полином с
коэффициентами:
«с
k=0
Степень произведения полиномов равна сумме степеней сомножителей:
ПАВ =ПА +ПВ‘
Дефект произведения полиномов равен сумме дефектов сомножителей:
def(4B) = def4 + defB.
Свободный член произведения полиномов равен произведению свободны^
членов сомножителей:
250
<Я(АВ) = сЛА(ЛВ или с0 = аоЬо.
П.3.2. Полиномиальные уравнения
Полиномиальными уравнениями (тт-уравнениями) называются
функциональные уравнения, в которых неизвестными функциями являются
полиномы. Истоки теории полиномиальных уравнений можно проследить в трудах
великих математиков Древней Греции - Евклида и Диофанта. Потому иногда в
литературе встречается название «диофантовы уравнения». Полиномиальным
уравнением относительно неизвестных полиномов X|(z), X2(z)........Xp(z) при
заданных полиномах A|(z), A2(z)..A^(z) называется функциональное уравнение
/3(А1,Д2,...,ДлЛ1,Х2,...,Хм) = 0,
где F-заданная аналитическая функция своих аргументов. В частности, уравнение
А^ + А2Х2 +... + А МХЦ = С,	(П.3.1)
где	и С - заданные полиномы, есть линейное тт-уравнение. Решением
п-уравнения называется набор полиномов Х1,Х2,...,Хр, ему удовлетворяющий.
Если р = 1, то уравнение (П.3.1), как правило, не имеет решений, так как отношение
двух полиномов С и Д-| не является полиномом, если, конечно, Af не является
делителем С. При р = 2 уравнение (П.3.1), которое запишем в виде
AX + BY = C,	(П.3.2)
где А, В, С - известные, а X и Y - неизвестные полиномы, причем полиномы А и В -
взаимно простые, имеет бесконечное множество решений.
Пусть {Х*,У*} - некоторое частное решение тт-уравнения (П.3.2). Можно
доказать, что все решения этого уравнения выражаются через одно его частное
решение следующим образом:
X = X*+BD, У = У*-ДО,	(П.3.3)
где D - произвольный полином.
То есть, подобно тому, как это имеет место для линейных дифференциальных
Уравнений, общее решение линейного полиномиального уравнения (П.3.2) равно
некоторому его частному решению плюс общее решение соответствующего
однородного тг-уравнения.
В том случае, если полиномы А и В не взаимно просты, тг-уравнение (П.3.2),
как правило, не имеет решений.
Частное решение тт-уравнения (П.3.2) можно построить с помощью алгоритма
Ввклида, который будет рассмотрен ниже.
Среди всех полиномов X, входящих в общее решение (П.3.3), существует
°Дин так называемый минимальный полином Хо, степень которого минимальна
среди всех X, удовлетворяющих тт-уравнению (П.3.2). Этот полином может быть
Найден как остаток от деления X* на В, и его степень лх0 <п^. Практически
всегда, кроме так называемых «исключительных случаев», мы получим пх0 =пв~'\.
Поскольку, по крайней мере, два слагаемых в тт-уравнении (П.3.2) должны иметь
одинаковую степень, то степень соответствующего Xq полинома У0 должна быть
251
равна либо луо = лд -1, либо луо = лс - ле. Точно так же минимальный полином
Уо, получающийся как остаток от деления У* на А, имеет степень лу0 = пА -1, а
соответствующий ему полином X - одну из следующих степеней: пхо =nQ-<\
лхо = по - пА.
Таким образом, в общем случае тт-уравнение (П.3.2) имеет два минимальных
решения: {Хо.У0} и {Х°,У0}.
Обозначив остаток и частное от деления X* на В через Хо и X1t имеем
Х*=Х0+ВХ1. Подставляя это выражение в тт-уравнение (П.3.2), получаем
формулу для соответствующего полинома У°=У*+АХ1. Аналогично, обозначив
остаток и частное от деления У* на А через Уо и Ур У*=У0+АУ|, получаем
формулу для соответствующего полинома Х° = X* + ВУ|.
В том случае, когда тт-уравнение является правильным, т. е.
пс < па + пв >
оба минимальных решения совпадают, поскольку Хо = Х° и Уо = У0. Таким
образом, правильное тт-уравнение (П.3.2) имеет единственное минимальное
решение с лу = л^ -1, nY = лА -1.
Выбирая степени неизвестных полиномов согласно этим условиям и*
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, можно развернуть
тт-уравнение (П.3.2) в систему линейных алгебраических уравнений с лу+Лу+2
неизвестными коэффициентами искомых полиномов X и У.
Уравнение (П.3.2) называется вырожденным, если степень по крайней мере
одного из полиномов А или В равна нулю, т. е. один из этих полиномов является
просто числом. Пусть B(z) = Ьо- Деля тт-уравнение на это число, получим
AX + Y = C.	(П.3.4)
Общее решение этого уравнения имеет вид:
X = D, Y = C-AD,
где D - произвольный полином. Если уравнение (П.3.4) является правильным, т. е.
лс с лд, то минимальное решение получается из общего при D = 0. Оно равно
Хо = О, У0=С.	(П.3.5)
Если уравнение (П.3.4) является неправильным, т.е. ncznA, то оно имеет
два различных минимальных решения, причем минимальное решение относительно
X совпадает с (П.3.5), а минимальное решение относительно У есть частное и
остаток от деления С на А.
На вырожденные тт-уравнения можно целиком перенести все правила,
справедливые для невырожденных уравнений, если условиться считать равным
нулю полином, степень которого формально получается равной -1.
П.3.3. Алгоритм Евклида	~
Рассмотрим вопросы делимости полиномов. Для любых двух полиномов А и
252
(причем А*0) можно найти такие полиномы Q и Р, для которых выполняется
равенство (деление производится, начиная со старших членов)
B = AQ + P,	(П.3.6)
причем либо пр <пА, либо Р = 0. Отсюда следует, что степень полинома Q равна
ло=Пв-лЛ.	(П.3.7)
В случае па>пв степень полинома Q получается отрицательной: это значит, что Q=0.
Полином Q называется частным от деления В на А, или целой частью
отношения В к А
Полином Р называется остатком от деления В на А Рациональная функция
А [AJ
называется дробной частью отношения В к А. Условия (П.3.6) и (П.3.7) определяют
частное и остаток единственным образом. Как правило, степень полинома Р
получается на единицу меньше степени А: пр = пА -1.
Если остаток от деления В на А равен нулю, то полином А называется
делителем полинома В. Полиномы нулевой степени, т. е. просто числа, являются
делителями любого полинома. Поэтому когда речь идет о делителях полинома В, то
имеются в виду полиномы степени выше нулевой.
Полином С, являющийся одновременно делителем полиномов А и В,
называется их общим делителем. Наибольший по степени из общих делителей
полиномов А и В называется их наибольшим общим делителем и обозначается
(А, В). Полиномы, не имеющие общих делителей степени выше нулевой, называются
взаимно простыми. Наибольший общий делитель двух взаимно простых полиномов
есть число.
Нахождение наибольшего общего делителя двух полиномов А и В
производится последовательным делением полиномов с помощью алгоритма
Евклида по следующей схеме:
B = AQq+P\, 0^/7p1</?g,
А = Я|О| + ^2» 0 — Прь <	»
Я| = P2Q2 + ^з> 0 - ПР$ < ПР2 >
вс-2 = pk-lQk-l +pk> ° npk < Прк },
pk-1 = pk®k > ^+1 = &
Наибольший общий делитель полиномов А и В равен Рк, т.е. последнему
отличному от нуля остатку в цепи последовательного деления. Если полиномы А и В
взаимно простые, то последним отличным от нуля остатком является полином
нулевой степени, или просто число Рк = р.
Процессу последовательного деления полиномов А и В соответствует
Разложение рациональной функции W = В/А в цепную дробь:
253
W = Q0 +---------.
Qt.+------Ц------
Q2 4-------—
Полиномы Qo.Qi.'"^, получающиеся в процессе последовательного деления
остатков, называются неполными частными. Составленные из них функции вида
Wo=Qo. ^ = 0)+-^-, и/1 = 0о+—Ц-....
*
W2
называются подходящими дробями. Последняя подходящая дробь равна исходной
функции Wk =Ш = В/А. Обозначая через В/ и А, числитель и знаменатель /-й
подходящей дроби Wj = В, / А,, можно вывести рекуррентные соотношения:
В/ = S/-iQ/ + В/-2> А, = Aj.^Qj + Д/_2,
справедливые при начальных условиях В_2 =0; В_^ =1; Д_2 =1;	= 0.
Приведем несколько первых числителей и знаменателей подходящих дробей:
Bq =Qo>	A) = t
В-| = 1 + QoQ-j,	Aj = Qj,
B2 = Qo + Q2 + Q0Q1Q2»	= 1+Q|Q2>
B3 = 1 + Q0Q1 + Q0Q3 + Q2Q3 + Q0Q1Q2Q3. ^3 = Qi + Q3 + QiQ2Q3> • • •
Разность двух соседних подходящих дробей
Wl _	=	= НЛ1
A*A-i АА-1
П.3.4. Рациональные функции
Рациональной функцией W(z) называется отношение двух полиномов
W(z) = B(z)M(z). Корни полинома B(z) называются нулями рациональной функции
W(z), а корни полинома A(z) - ее полюсами. Полюса рациональной функции
образуют ее спектр. Индексом рациональной функции называется разность между
числом ее нулей и полюсов. Так как число корней полинома равно его степени, то
индекс рациональной функции Пщ = indl/V = Пв~пА. Так как полином является
частным видом рациональной функции, то для него понятия индекса и степени
совпадают.
Если степень полинома может быть только положительной, то индекс
рациональной функции может быть как положительным, так и отрицательным.
Рациональная функция с indl/V^O называется правильной, а с indW>0 "
неправильной.
Дефектом рациональной функции называется разность дефектов полиномов
ее числителя и знаменателя. Каждая рациональная функция может быть
представлена в виде
W = zd\
Al
254
где d - дефект, а 4 и в| - приведенные полиномы. Функция 1/^=8^^
называется приведенной частью рациональной функции W.
Рангом рациональной функции называется индекс ее приведенной части.
Таким образом, имеет место соотношение
indl/V = deflV + rankl/V.
Суммой рациональных функций называется рациональная функция вида
и/ = иц + W2 =^. + ^. = -^2+В2Д1.
Al А2 А^А2
Произведением рациональных функций называется рациональная функция
вида
|/У = |/Ц|/У2 =—— = ^^-.
1 2 AlA2 а^а2
Непосредственной проверкой можно убедиться, что при таком определении
суммы и произведения свойства функционалов ind и def, присущие им в алгебре
полиномов, сохраняются и в алгебре рациональных функций:
ind(W| ±W2) < maxfindWj.indM^};
def (Wj ± W2) £ mirtfdef 146, def W2};
ind( Wj W2) = indl/Ц + indW2;
def (Wj W2) = def WA + def W2.
Отсюда следует, что сумма, разность и произведение правильных функций 146 и VV2
(indl/Ц <0, indl/V2 <0) являются правильными функциями:
ind(l46 ± W2) < 0, ind(Wjl/V2) < 0,
т. е. правильные функции образуют кольцо.
Если полиномы и А2> В2 и Ау не взаимно простые, то при умножении
рациональных функций может происходить сокращение их наибольших общих
делителей, или частичная компенсация.
Рациональные функции можно делить одна на другую, получая при этом
снова рациональные функции. Следовательно, рациональные функции образуют
поле. Поле рациональных функций над полем действительных чисел обозначается
R(z). Отношением рациональных функций I/Ц и И/2 называется рациональная
функция
W=WL=BJ^
W2 AfB2 ’
Индекс отношения рациональных функций равен разности их индексов, а
дефект - разности дефектов. Функция веда ИС1 =А1В называется обратной по
отношению к W. При умножении взаимно обратных функций происходит их полная
компенсация: W И/”1 =1. Легко видеть, что
ind(IV1) + indW = 0, def(IV”1) + def W = 0.
Рациональные функции, связанные соотношением IV + G = 1, называют
взаимно дополнительными. Взаимно дополнительные функции обладают
255
следующими свойствами:
если indIV £ 0, то indG = indIV;
если ind IV < 0, то indG = 0;
если def IV 0, то def G = О;
если def IV <0, то def G = deflV.
Рациональную функцию с неположительным дефектом W(z) = B(z)/A(z)t
def IV 0, можно разложить в степенной ряд по отрицательным степеням
переменной z, в этом случае z"1 трактуется как оператор запаздывания:
W(z)='£wiz~'.	(П.3.8)
/=о
Если такое соотношение имеет место, то говорят, что процесс {и//} имеет
изображение в виде рациональной функции IV(z). Разложение в ряд (П.3.8) легко
получить, используя алгоритм деления полинома B(z) на полином A(z), начиная со
старших членов.
Полином
wn(z)=
1=0
называется усеченным изображением процесса {%•}. Можно показать, что
усеченное изображение IVn равно минимальному полиному У следующего
тт-уравнения:
г-п-1Х + ДУ = Szn’1 или Х + ДУгп+1 =Bzn+1.	(П.3.9)
Действительно, производя разложение рациональной функции
уЛ+1д
zn+1IV = -__—
А
на сумму двух функций
^^- = — + Yzn+‘l,	(П.3.10)
А А
получаем тт-уравнение (П.3.9). Минимальный полином У этого уравнения имеет
степень n. С другой стороны, умножая степенной ряд (П.3.8) на zn+1, получаем
zn+1W(z) = zn+1 Wn(z) +	z~'.	(П.3.11)
/=0
Сравнивая формулы (П.3.10) и (П.3.11), заключаем, что
Wn(z) = Y(z), X^-n-lz-''
j=o
Как следствие, получаем
256
%+l(*) =
*(0)
Л(О)
П.3.5. Инверсия
Инверсией полинома A(z) называется замена ее аргумента z обратным ему
аргументом z'1, который называют оператором запаздывания. Чтобы избежать
недоразумений, обозначим оператор запаздывания, как это сделано в работах
Я.З. Цыпкина [117,119,120], переменной q = z"1=e“Tp. Результатом инверсии
является инвертированный полином A(z) = Д(г“1) - A(q).
В результате инверсии полинома, имеющего представление
A(z) = a0 + а1г+...+а„АгПл,
получается полином вида
А(г) = ^- = аог~Пл + а,г-Лл+1+...+an = аод”Л + a1qn'*'1+...+an = A(q).
Результатом инверсии рациональной функции W = BIA является
инвертированная функция l/V(z) = l/V(z”1) = W(q).
В результате инверсии правильной функции, имеющей представление
W{:}-B(z)_b0+b,z + ... + bnBznB
A(z) ao+a^z + ... + аПА znA ’
(П.3.12)
где Л5 = indB, лд = indA, indl/V = ng - лд £ 0, получается рациональная функция с
представлением
ivw . г». щ ®	(п злз)
^(z) А(Я) aQqnA+а&ПА 1+... + аПА
Сравнивая выражения (П.3.12) и (П.3.13), можно убедиться в справедливости
следующих соотношений:
indW + defW = 0, indW + defW = 0.
Учитывая, что инверсия удовлетворяет условию W = I/V, эти соотношения можно
получить одно из другого. Легко убедиться, что оператор инверсии коммутирует с
операторами суммы, произведения, взятия обратной и дополнительной функции.
П.3.6. Факторизация и сепарация
Обозначим через Г контур |z| = 1, через Z+ - область, лежащую внутри этого
контура: Z+={|z|<1}, а через Z” - область, лежащую вне его: Z”={|z|>1}.
Факторизацией полинома А называется разбиение его на произведение А = А+Д~
двух полиномов А+ и А“, один из которых А+ не имеет корней в области Z”, а
другой А” - в области Z+. Что касается корней полинома А, расположенных на
самом контуре Г, которые мы будем называть особыми, то вопрос об их отнесении в
257
А+ или в А” требует в каждом конкретном случае специального исследования
Полиномы, имеющие особые корни, также называются особыми.
Факторизация существует для всех полиномов и является единственной для
всех неособых полиномов с точностью до числового множителя, который можно
относить как в А+, так и в А”. Факторизация полинома, коэффициенты которого
являются действительными числами, также дает полиномы с действительными
коэффициентами. В самом деле, все комплексные корни полинома А являются
попарно сопряженными и, следовательно, попадают одновременно либо в область
Z+, либо в область Z“. Множитель z, следуя общему правилу, необходимо относить
в А+.
Легко видеть, что
incLA = indA+ + indA“, defA = defA+, defA“=O.
Факторизация рациональной функции IV=fi/A производится путем
факторизации ее числителя и знаменателя: А = А+А“, В = В+В~. В результате
получаются рациональные функции вида IV+ = В+ / А+, IV" = В" / А “,
произведение которых равно исходной функции W =	. Функции IV+ и IV"
называются соответственно положительной и отрицательной частями
рациональной функции IV. Легко видеть, что indIV = indlV+ +ind!V", def IV = def IV",
deflV+=0.
Сепарацией рациональной функции называется разложение ее на сумму двух
функций IV = IV++IV_, одна из которых IV+ не имеет полюсов в области Z", а
другая IV- - в области Z+. Чтобы произвести сепарацию рациональной функции,
достаточно произвести факторизацию ее знаменателя А = А+А", а затем решить тт-
уравнение
A+Y + A~X = B.	(П.3.14)
В результате получим
1Л, В X Y
А А+ А"
Очевидно, что IV+=Y/A+, IV_=Y/A”. Функции IV_ и IV+ называются
соответственно правой и левой частями рациональной функции IV.
Поскольку тт-уравнение (П.3.14) имеет множество решений, сепарация не
является однозначной операцией. Сепарация, для которой выполняется условие
indlV+<0 правильности левой части, называется правильной. Правильная
сепарация любой рациональной функции существует и является единственной. Она
соответствует получению минимального относительно Y решения тт-уравнения
(П.3.14). Если исходная функция IV является правильной, то правильная сепарация
обеспечивает также правильность правой части: indlV_ <0. Кроме того, для функции
IV. всегда выполняется условие defIV. <0.
258
Приложение 4
Стандартные характеристические полиномы непрерывных систем
и соответствующие им переходные функции
Характеристический полином в общем случае имеет вид:
Д(Р) = Апрп + An-iPn~1 +... + ХЦр + До •
Преобразуем его к виду:
Д(р) = Рп + an_ipn-1 +... + aip+во =
= рп + an_1Qopn-1 +...+a1Qg-1p+Q"
(П.4.1)
где a(-=-^- = a,Qj Qo = tfao - среднегеометрический корень, определяющий
Ап
скорость протекания процессов.
Переход к новой комплексной переменной p*=p/ClQ приводит к полиному
Л(р.) = р»" + ап^р*п^ + ••• + сцр. +1.
Ниже, в табл. П.4.1, приведены нормированные коэффициенты a-j, а2,...,ал-1
характерйстических полиномов 2 - 8-го порядка, а на рис. П.4.1 - П.4.5
соответствующие им нормированные переходные характеристики в относительном
времени f* = Qot для наиболее известных и часто используемых настроек и
размещений корней характеристического уравнения в предположении, что замкнутая
система описывается передаточной функцией
пл
G(p) =________________________________
pn+an_1Qop° 1+...+aiQ” ^+0"
Биномиальное распределение корней. Все корни характеристического
уравнения располагаются на отрицательной части вещественной оси, на расстоянии
Qo от начала координат. Коэффициенты характеристического уравнения (П.4.1)
вычисляются по формуле Ньютона:
/ = 1,2,...,л-1.
/!(л —/)!	1-2-...-/
Настройка используется в тех случаях, когда перерегулирование в переходной
функции недопустимо, например в позиционных системах станков.
Модульный оптимум. Широко известная в электроприводе стандартная
настройка, связанная с понятием малой некомпенсируемой постоянной времени Ту,
которая определяет скорость протекания процессов в системе. Характеристический
полином n-го порядка обычно записывают в веде [137]:
Д(р) = 2п-1Тмр(2п-2Тмр(...(217мр(20Тцр+1) + 1)...)+1) + 1) =
= 2п(п-1)/27-прп + +2Ц2п-1-Ъ12т^р1 +... + 2«-1тмр + 1.
Преобразование его к веду (П.4.1) дает:
(П.4.2)
(П.4.3)
(П.4.4)
259
а. = 2(Л-Л(2п-2-/)/2. Qq = у^(П-1)/2^). = 1 /(2<"-1)/2Qo)	(Пд 5)
Характерным для этой настройки является значительное (по сравнению с другими
настройками) увеличение относительного времени регулирования Г с ростом п.
Распределение по Баттерворту. В этом случае все корни уравнения
располагаются на полуокружности радиусом Qo, а нормированные коэффициенты
характеристического полинома вычисляются по рекуррентной формуле [137]:
Ctf-iCOS^-1)п
а/=а0-/=---------ЙГ2-• '=1.2,...,л-1.	(П.4.6)
sin—
2л
Эта настройка при пА <. 3 совпадает с настройкой на модульный оптимум. Ее
особенностью является увеличение перерегулирования с ростом порядка
характеристического уравнения.
Настройка с кратными комплексно сопряженными корнями и заданным
перерегулированием 5%. Настройка предполагает размещение корней на
окружности радиусом Qq , причем все комплексно сопряженные корни
одинаковы [137]. При нечетной степени полинома, кроме комплексных, имеется один
вещественный корень. Для каждого порядка выбирается такое соотношение
вещественной и мнимой части комплексно сопряженных корней, чтобы
перерегулирование было равно 5%.
Настройка на скорейшее затухание процессов. Корни находятся на одной,
вертикальной линии, мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию.
Настройка характеризуется минимальным временем переходного процесса [7].
Опыт проектирования систем электропривода постоянного и переменного
тока, а также систем управления различными технологическими процессами
показывает, что наиболее удобными в смысле простоты расчетов являются
биномиальное распределение корней и модульный оптимум. Как видно
из табл. П.4.1, коэффициенты полиномов для этих двух настроек достаточно просты
и имеют четкие соотношения как в рамках характеристического полинома одного
порядка, так и между полиномами различных порядков. Это особенно важно при
расчете систем подчиненного регулирования.
При биномиальном распределении, так же как и для модульного оптимума,
можно использовать понятие некомпенсируемой постоянной времени Тц=1/(лОо)-
Тогда характеристический полином л-го порядка для биномиального распределения
можно записать в виде:
А(р} = (пТи)прР +ап_1(лТм)л“1р'’'1 +...+а1л7'мр+1,
где а/ вычисляются по (П.4.3) или берутся из табл. П.4.1, a Qo = 1/(nTp).
При других распределениях корней характеристического полинома
некомпенсируемая постоянная времени связана со среднегеометрическим корнем
соотношением
T^I/^Qo).
Для удобства сравнения различных настроек систем одного порядка межДУ
собой на рис. П.4.6 приведены нормированные по Qo переходные функции АлЯ
рассмотренных выше пяти распределений корней.
260
Настройка на скорейшее затухание процессов								Кратные комплексно сопряженные корни и 5%-ное перерегули- рование								Распределение по Баттерворту								Настройка на модульный оптимум								Биномиальное распределение корней							| Настройка
со		о	Ol	4k	CO	M		оэ		о	О|	4k	Са>			00		о>	Ol	4k		м		оо		о>	Ol	4k	Со	ю		оо		о	Ol	4k	<-э	м	3
LOS'S |	I 4,859 |	4,192	I 3,69 I	Ю 00	I 2,39 I	1 1.38		| 5,983 I	I6J91 I	| 4,449 |	| 3,663 |	I 2,913 |	| |	I 8£'L		сл со	I 6fr> I	I 3,86 I	I	Ю CD —ж.	ю	[LFL		I 8^/2	00	&		ГО	ю	ю]		00	•ч	0>	сл	ь.	со	ю	
4k 00 СЛ	I 10,27	I 8,573	Zfr'S I	CO 00	1 2,05			I	I 13,05 |	I 9,596 |	I 6,436 |	4k Ю —ж.	| 9П‘3 I			| 13,14 I	р о	I	I	I 3,41	ю			2	к	CD	00		ю			Ю 00	го —Ж.	—Ж, сл	о	О)	со		г?
I		I 10,28 |	L 5J1	Ю CD				I 31,33 I	I 19,96 |	I 12,158 |	I 6,436 I	[2.913 I				ю	р!4,60 |	I 9.13	сл К	I 2,61				ю 00 ю]	2	I ?A9L	00	1 2-J2 1				сл CD	со сл	го о	о	4k			Q о
| 28,46	I 11.69	Z66‘Z |	Ю СЛ					I 37,85 I	| 19,96 |	| 9,596 |	| 3,663П					I 25,70 |	I 14,60 |	I 9fr'Z	I >г'е					I 256	2	о>						о	со сл	сл	сл				£
| 22,78	| 8,109	9ZZ‘€ |						I 31,33 I	I 13,05 |	| 4,449 |						I 21,85 |	р о	I 3,86 |						ю 00 NO)	СО ю	I 4J2						8	го —ж.	CD					Q СП
I 12,87								I 17,42	| U6J/9 |							I 13,14	| 6^> |							2	00							ю 00	ч						Q о>
I 4,670 I								| 5,983 |								сл —ж. со								I 8>/2 |								00							
Таблица П.4.1
Коэффициенты полиномов 2-8-го порядков для различных настроек
Рис. П.4.1. Нормированные по Qq переходные функции
Рис. П.4.2. Нормированные no Qo переходные функции
для настройки на модульный оптимум
262
Рис. П.4.3. Нормированные по Qq переходные функции для распределения по Баттерворту
Рис. П.4.4. Нормированные по Qg переходные функции для настройки с кратными
комплексно сопряженными корнями и 5%-ным перерегулированием
263
Рис. П.4.5. Нормированные по Qg переходные функции	, х
для настройки на скорейшее затухание процессов
В качестве меры быстродействия системы (и соответственно
масштабирующего коэффициента) можно использовать другую величину:
ш0 = ад /а<| = Qo /а<|. Тогда характеристический полином запишется так:
Ар)=рп+Амр"'1 +...+Ар+А> =	(п.4.7)
= рп + an_1p^iOpn~y+...+а^Л^р+а?а>8,
где Aj =afa”~itoQ~', /=0Д...,л-1. Переход к новой комплексной переменной
= р/000 приводит к
Д(р.») = 4гР«* +	+ • + ^-Р?» + Р»» +1.	(П.4.8)
а" а"	а.
Ha рис. П.4.7 - П.4.11 приведены нормированные переходные характеристики
в относительном времени t** = для рассмотренных типовых настроек.
Характерным для них является то, что при использовании такого масштаба по
времени процессы разного порядка имеют примерно одинаковое быстродействие.
Это обстоятельство может быть использовано для аппроксимации передаточной
функции контура регулирования передаточной функцией меньшего порядка из
условия равенства параметра о)0 =ао = О0 /сц в исходной и аппроксимирующей
передаточных функциях.
264
Рис. П.4.6. Сравнение нормированных по Qq переходных функций 1-8 порядка:
1 - биномиальное распределение; 2 - модульный оптимум; 3 - настройка по Баттерворту;
4 - настройка с 5%-ным перерегулированием; 5 - настройка на скорейшее затухание
Например, пусть исходная передаточная функция третьего порядка имеет
265
вид:
G(p) =-----------------------=_____________-_________
р3 + a2Q0p2 + o-iQqP + Qq Д.рЗ + а| 2^.01^'
Q3 Q2 Qq
(П.4.9)
где w0 =a0/a1 =Q0/а,. Аппроксимируем ее передаточной функцией первого
порядка вида:
G(p) =
б0 1
р+^о -=!-р+1
°о
(П.4.10)
с йо = б0. Приравнивая значения Шо и йо для этих передаточных функций,
получим б0 = По /а1 • Тогда аппроксимирующая передаточная функция примет вид:
ё(Р)=о2па/1а'=Ъ~!~-	(П-4-11)
P+Q0/ai	ai__ + 1
Qo
Аппроксимация (П.4.9) передаточной функцией второго порядка
G(p) = 2 -1°-----Я2=1-------------- (П.4.12)
p2+aiQop + Q5	1 2+ai +1
Йо Йо
«w м «w	** а<	**
с wo =Qo^ai Дает °о гДе а1 выбирается для соответствующей настройки
системы второго порядка по табл. П.4.1. Так, при настройке исходной системы
(П.4.9) на модульный оптимум
G(n} -	°0	=_____________!________
р3 + 2Q0p2 + 2Q§p + 8Тм3р3 + 8Тр р2 + 4Трр +1 ’
где Qo=1/(27jj), w0 =Qo/ai s1/(4Ty). Ее аппроксимация передаточной функцией
первого порядка дает
G(p) =	1 ,,	(П.4.13)
р+Qq 4Тур+1
где Йо = 1/(4Тр). Аппроксимация второго порядка равна
Х2	л
G(p) = -3—=£-----= —уз-------------,	(П.4.14)
P2+V2QOP + Qo 8Тм2р2+4Тур + 1
где Й0=л/2/(4Тр).
Одним из достоинств такой аппроксимации является то, что площадь под
кривой ошибки переходного процесса в исходной и аппроксимирующей системах
остается неизменной. Это особенно важно в тех случаях, когда каждая последуюШаЯ
266
переменная в системе подчиненного регулирования является интегралом от
предыдущей (например, момент и скорость вращения двигателя, скорость вращения
и угловое положение вала и т.д.).
Заметим, что при использовании в (П.4.9) других настроек условия
аппроксимации изменятся и, например, для биномиального распределения исходной
системы третьего порядка
__________Пр______________________1__________
G(₽)" р3 + 3Q0p2 + ЗОоР + °0'27Т3р3 + 27Ту р2 + 9Трр +1
с Q0=1/(3TM) и ш0 =П0/а1 =1/(97ц) аппроксимирующие передаточные функции
первого (П.4.13) и второго (П.4.14) порядка будут выглядеть следующим образом:
®(₽)=р + Й0 =9ТрР + Г
где Йо =1/(9Тм);
G(p) = -5—2е—=---------=-4------,
р2 + 2П0р + Q0 (81 /4)Т2р2 + 9ТцР +1
где Йо = 2/(9Тр).
267
Рис. П.4.8. Нормированные по u)q переходные функции
для настройки на модульный оптимум
Рис. П.4.9. Нормированные по <a)q переходные функции
для распределения по Баттерворту
268
Рис. П.4.10. Нормированные по u)q переходные функции для настройки с кратными
комплексно сопряженными корнями и 5%-ным перерегулированием
Рис. П.4.11. Нормированные по (jOq переходные функции
для настройки на скорейшее затухание процессов
269
Рис. П.4.12. Сравнение нормированных по Wq переходных функций 1 -8 порядка:
1 - биномиальное распределение; 2 - модульный оптимум; 3 - настройка по Баттерворту;
4 - настройка с 5%-ным перерегулированием; 5 - настройка на скорейшее затухание
270
Приложение 5
Коэффициентные показатели устойчивости и качества стандартных
характеристических полиномов
Ниже, в табл. П.5.1 и П.5.2, приведены значения коэффициентных
показателей устойчивости
Af=.aLaM_ =	, / = 1,2,...,п-2,
а/-1а/+2	а/-1а/+2
для рассмотренных в прил. 4 характеристических полиномов 3 - 8-го порядка
вида (П.4.1), а также значения показателей формы
а? а?
б/=----, / = Х2...............л-1,
а/-1а/+1 а/- 1а/+1
и показателей быстродействия
w0 =0о/а1 или г0 =V<»o =ai/ao = а1/Ц)
при условии, что замкнутая система описывается передаточной функцией 2 - 8-го
порядка вида (П.4.2).
Заметим, что tq является временным показателем быстродействия (чем
меньше величина то, тем динамичнее процессы), а ш0 - частотным, связанным с
полосой пропускания или частотой среза системы. Так, если использовать понятие
некомпенсируемой постоянной времени Тр = 1 /(офо) (см- прил. 4), то
w0 =1/(af7p); т0=а2ти.
В частности, для модульного оптимума
ш0 = У(2(-п-^2п~3\); т0 =
а при биномиальном распределении
ш0=1/(л2Тр); т0=л2Ти.
Отметим также, что показатели устойчивости А/ и формы процесса б/ не
зависят от показателей быстродействия Qo, ш0 или то, поэтому они могут
использоваться для стабилизации системы и формирования желаемой формы
переходного процесса независимо от требуемого быстродействия системы.
271
272
Настройка на скорейшее затухание процессов							Кратные комплексно сопряженные корни и 5%-ное перерегули- рование							Распределение по Баттерворту							Настройка на модульный оптимум							Биномиальное распределение корней						Настройка
со	Ч	с»	<Л		СО		со	ч	с»	<Л		со		со	ч	со	<Л		со		со	ч	со	сл		со		со	ч	со	сл		со	
2,631	1,908	I 2,899	I 2.427	I 3,529	00 со со		3,327	I 3,387	| i49‘e |	| 3,663 I	I 4,120	I 4,601 |		| 3,085 |	| 3,106 |	| 3,155 I	| 3,239 |	I	I	-U		-U	-U	ь.		-U	-U		ь.	ю	"сл	сл	О)	(О	
2,206	SlVZ |	I 2,573	I 3,149	о со СО			I 2,414 ।	| 2,509 j	I 2,752	I 3,087 I	| 4,120 |			I	I	I szt I	I	I	Г 2,615 I	I 3>417 I			-U		-U		-U			м со	СО	| 3,33 I	-U	О)		го*
2,028	I 2,003	ю О) м	I 3,801				1 2,175		| 2,752 |	I 3,663 I				I 9*6 Ч, |	| 2,091 |	I 2,37 I	| 3,239 |				-U	-U	-U					м О1	I 2,67 I	I 3,33 I	сл			со*
2,089	2,580	I 3,495					К) "*_х сл	I 2,509 I	|	:3,511					I 1,946 |	ьо м СЛ	| 3,155 |					-U	-U	-U					м "сл	СО	-U сл				4Ь*
2,356	3,497						2,414	3,387						I 2,171 |	| 3,106 I			-			-U	-U						м со	ьо					СЛ*
3,289_J							3,327 J								| 3,085 I	•-*						-U							-U						<г
Коэффициентные показатели устойчивости для различных настроек
к>
Настройка на скорейшее затухание процессов								Кратные комплексно сопряженные корни и 5%-ное перерегули- рование								Распределение по Баттерворту								Настройка на модульный оптимум								Биномиальное распределение корней							|~ Настройка
со	*4	с»	СЛ	<и	Сй>	кз		со		оз	СЛ	<и	и	кэ		со	*ч	оз	сл		СО	кз		со		о	сл		СйЭ	КЗ		со	*ч	03	сл		со	КЗ	а
| °U/IOS'S |	4,859/Qo	4,192/Qol	3,69/Qo	2,8/По	2,39/QoJ	I 1,38/Qo I		| 5,983/Qo |	I 5,191/Ор |	, 4,449/Оо|	| 3,663/Qo |	|2^13/Qo I	I 2,145/Qo I	I °U/884 I		I 5,13/По |	I 4,49/Qo I	| 3,86/Qo I	I 3,24/Qo |	I 2,61/Qo |	₽	°и/^ч		1 8-J2/Q0 1	00 ₽	-U КЗ] р	р	КЗ КЗ] р	12 Р	КЗ] 5 о		1	£	03				КЗ р	о
03 (О о	0,933	1,736	1,177 I	1 BZZ4	1 1758 |	i		2,054 |	2,065 |	2,063 |	2,085 |	2,059 I		i		2,003 I	I 1,996 |	“со со	I 2,003 |	8664	кз	кз		КЗ	КЗ	КЗ	КЗ	КЗ	КЗ	КЗ		| 2,286	КЗ 00 00	КЗ	КЗ "сл	КЗ 5	со		OI
СП сл	I 2,045|	ОЗ о	| 2,062 |	i	I 2,786 |			ОЗ кз	ОЗ •и	8	—X сл	кз о о —X	I 914*3 I			$	сл а	'а	ОЗ —X	-А	кз			КЗ	КЗ	КЗ	КЗ	КЗ	КЗ			-X сл	00	1 1,875	КЗ	КЗ КЗ сл	00		О1 КЗ
—х ^А	_к La со —X	$ —X	"сл кз	Г2,063 1				—X	’а	ОЗ —X	—X сл	I 2,059 |				—X fx	I 1,446 |	“сл	ОЗ —X	“со со оо				кз	КЗ	КЗ	КЗ	КЗ				“оз	“оз	-А ОО	КЗ	КЗ 03			О1 Сл>
и, 431 I	И ,696 I	ГТ705 |	12,489 |						сл 00	8	2,085 |					00 00	i	“сл 00	| 2,003 I					КЗ	КЗ	КЗ	КЗ						-А 03	I 1,875	КЗ “сл				О1 4х
I 1,460 |	“сл кз —X	кз "о о						СО		I 2,063 |						—X fx	I 1,556 |	I 1,997 I						КЗ	КЗ	КЗ						“оз	00	КЗ					d СП
I 1,614 I	| 2,299 I							ОЗ кз	I 2,065 |							S	I 1,996 |							КЗ	КЗ							_х сл	КЗ G3 00						d о»
I 2,038 |								2,054 |								| 2,003 I								КЗ								2,286							-d
Приложение 6
Стандартные характеристические полиномы цифровых систем
Найдем аналогичные приведенным в прил. 4 стандартные характеристические
полиномы для цифровой системы управления с периодом дискретности Т. Для
решения этой задачи комплексные в общем случае корни характеристического
уравнения непрерывной системы (П.4.1)
Pi=0i+3i
переводят в z-плоскость, используя известную формулу:
Zj =ea'Q°r(cos₽/Qo7’+/8in₽,floT')-
Тогда дискретная передаточная функция замкнутой цифровой системы с
учетом только m нулей, равных 0, примет вид:

(П.6.1)
где A(z) - характеристический полином, который можно представить в виде
п
Д(г) = П (z - 2i) = z” + an-iz” 1 + - +	+ a0 .	(П.6.2)
/=1
Заметим, что наличие в (П.6.1) нулей, отличных от 0, как и в непрерывных
системах, приводит к искажению процессов в замкнутой системе из-за появления
соответствующих вынужденных составляющих.
Коэффициенты характеристического уравнения A(z) = 0 связаны с его корнями
Zj следующими соотношениями:
ап-1 = ~(zi +z2 +...+zn) = zz;
/=1
an-2 =(-1)2(ziz2 +Z1Z3 + - + zizn +z2z3 +z2z4 +...+zn_1z„) = (-1)2£ z,zy;
i*j
(П.6.3)
= (-1)n"1(z2z3...zn +^3..^ +...+z^2...zn^n +^1z2...zn_1) = (-1),,4£ Y[zj,
/=1 j*i
ao =(-1)”z1z2...zn = (-1frizr
/=1
Таким образом, коэффициенты ак полинома A(z) являются симметрическими
функциями его корней Z/, т.е. есть сумма всех
п\
(n-k)lkl
произведений, каждое
из которых содержит к сомножителей z/ с несовпадающими индексами.
Коэффициенты дискретных характеристических полиномов A(z) для типовых
настроек, рассмотренных в прил. 4, приведены в табл. П.6.1. Нормированные
переходные характеристики при достаточно малом периоде дискретности Т или
m = п в моменты квантования полностью совпадают с приведенными в прил. 4, а
при значениях Т, сопоставимых с временными оценками качества переходной
функции, и m < п, должны быть сдвинуты вправо на величину (л - m)T = -Т indG(z).
В табл. П.6.1 приведены коэффициенты полиномов только до 5-го порядка
274
включительно из-за быстро растущей сложности выражений для систем более
высокого порядка. При необходимости коэффициенты дискретных полиномов
любого порядка могут быть вычислены по известным коэффициентам
соответствующего непрерывного полинома по программе, написанной на
внутреннем языке Matlab 6.x, которая приведена на рис. П.6.1.
clc
clear
Ар=[1 6 15 20 15 6 1];%3десь задать вектор коэффициентов А(р)
syms W р Т z
%W - среднегеометрический корень; Т - период дискретности;
%p,z - операторы
k5=length(Ар)-!;%’Определение степени полинома A(z);
i=sqrt(-1);
Bi=poly2sym(Ap,p);
%Вычисление корней А(р)
if length(Ар)~=1
A9=solve(Bi,p); A9=sym2poly(А9);
else disp('nA(p)=0’)
break;
end
%Вычисление корней A(z)
for I-l:k5
Az(I)=exp(real(A9(I))*W*T)*(cos(imag(A9(I))*w*T)+i*sin(imag(A9(I))*w*T));
end
%Аг-вектор корней A(z)
%Формирование полинома A(z)
Az1=1;
for 1=1:k5
Azl«Azl*(z-Az(I));
end
Az2=simplifу (Azl); Az3=collect (Az2,z);
i=l;
while Az2~=0
a(i)=subs(Az2,z,0);
Az2=collect(Az2-a(i),z); Az2=simple(Az2/z);i=i+l;
end
a«fliplr(a);
simplify(a);
vpa(a.’)
ans =
[	Id
[	-6. /exp(W*T) ]
[	15./exp (W*T) A2 ]
[	-2O./exp(W*T)	A3]
[	15./exp(W*T)	A4]
[ -6.*exp(-l.*W*T)A5]
[	exp(-l.*W*T) A6]
Рис. П.6.1. Программа расчета коэффициентов дискретного характеристического
полинома A(z) в общем (символьном) виде по известному непрерывному полиному А(р)
и результат ее работы
275
Стандартные характеристические полиномы дискретных систем
Таблица П.6.1
Пл	Характеристический полином A(z)	Биномиаль- ное распре- деление	Модульный оптимум	Распределение по Баттерворту
1	z-a0	ao = a = e °°r		
2	2 z -a<\z + ao	a0 = a2 a-i = 2a	a0 = a'/2 ai=2a^/2cos^I 2	
3	z3 -a2z2 + 4-afZ-ao	Q)	Q)	0) Ю -* О II	И	II W	0)	a0 =a2 a1 =a + a1,5u a2 =a+a0,su o=2cos(^Q0T/2)	
4	А	О	О z* -a3z° +a2z - -a-iz + ao	0)	0)	0)	0) w	к>	о и	и	и	и ? к \ K> «	ab=a2-82842	? a, =2ua2^32	( a2 =a1,41421(v + 4) a3=2t/a0’70711 t/ = 2cos(0,70711Q0T); v = 2cos(1l41421Q07’)	ao=a2-61 a, =a1’687v+a2'228u aj =uva1,305+a0’764+a1,846 a3=a0382O+a0'923v u = 2cos(0,9242Q0T); v = 2cos(0,3844Q07)
5	z5 -a4Z4 + a3z3 - 2 -a2z +aiz-a0	Ш	Q)	0)	0)	0) 4k <*> Ю	о (I	II	II	II	II »g	g».	•« N) W	^>=a4 a1=ua2’878256+va3'621744+a3 = a3,243489 +a1,756511 +uat878256 +va2,621744 + wa25 = a2243489 +a0,756511 +oa2.121744 +va1378256 + ^1,5 a4=a+^121744+ua0-378256 u = 2cos(1306622QoT); v = 2cos(Q,44X^&7QqT)	аи=а3,240 a,=ua2932+va2'428+a2'240 аг = a2,624 +a1-616 +ua1’932+va1'428 +Wva*120 аз =a1'624 +a°'616 +иаг308 +va1’812 +uvaV№ a^a+ua0'308+va°^2 и = 2со8(0,95140оЛ; v = 2cos(0,5834QqT)
277
Пл	Характеристический полином A(z)	Кратные комплексно сопряженные корни и 5%-ное перерегулирование	Настройка на скорейшее затухание процессов
1	z-aQ	ао=а = (	5-Q0t
2	2 z -a^z + aQ	а0=а1,38 a, = 2а°’69 cos(0,7238Q0T)	а0 =а^ a, =2a^/2cos^l 2
3	+ N 0) w N > 1 r? 0) N o NJ +	а0 =а2’145 a, = ua1S72S + a1,14S a2=a+ua0,S72S u = 2cos(0,8199Q0T)	a0=a20S а, =а1,3®162 +иа’38919 а2 =аова838 +иа°88081 и =2cos(0,994578Q0T)
4	4	3	2 z -a^z +a2Z - -a-iz + ao	a0 =а2,9130 a, =ua2’9465 +vav748S a2 =a147e31 +a’’43ees +uva1'45650 a3 = ua071835 +va0,73815 и = 2cos(0,695685Q0T); v = 2cos(0,674634Q0T)	а0 =а2,8 a, =ua1'98838 +va191362 а2 =а122724 +а’ 37276 +uva13 a3=ua061362 +v8088838 u = 2cos(1,01268QoT); v = 2cos(0,49206Q07)
5	z5 -a4z4 + a3z3 - 2 -a2Z +a^z-aQ	ao =a 3,66300 ai = ua2,99262 +va3,00188 ч-а2,66300 - _-2,34076 . -2,32224 . f/_1,99262 . .,-2.00188 . f/1/-2.33150 02 “Cl	' ci	 ug	 va	 UrG a3 =at3We +aW2224 + ua1.67038 + ^1.66112 +uva 1.33150 a4=a+ua°'e7038 +va°’6en2 и = 2 cos(0,751397Q0T); v = 2 cos(0,741017Q07)	a0 =a2,5 a-| =a2(a + v + 1) a2 =a1,5(2 + u + v + t/v) аз =a(2 + u + v + uv) ад =a0,5(1 + t/ + v) и = 2 cos(1,504fl!oT); v = 2 cos(Q,7337Q0T)
Научное издание
Ишматов Закир Шарифович
МИКРОПРОЦЕССОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ.
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Редактор Н.П, Кубыщенко
Компьютерная верстка авторская
ИД № 06263 от 12.11.2001 г.
Подписано в печать 07.09.2007		Формат 60x84 1/16
Бумага типографская	Офсетная печать	Усл. печ. л. 16,16
Уч.-изд. л. 20,5	Тираж 200 экз.	Заказ 456
Редакционно-издательский отдел УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ризография НИЧ УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ишматов Закир Шарифович - кандидат технических наук,
доцент кафедры «Электропривод и автоматизация
промышленных установок» Уральского государственного
технического университета - УПИ. Закончил энергетический
факультет Магнитогорского горно-металлургического
института в 1979 г., в 1987 г. защитил кандидатскую диссертацию
на тему «Тиристорный электропривод постоянного тока с прямым
микропроцессорным подчиненным регулированием
координат». Работает в УГТУ-УПИ с 1991 года.
Основное научное направление - микропроцессорные
системы управления электроприводами постоянного
и переменного тока. Число научных трудов - более 170.
В монографии изложены вопросы построения моделей объекта
в электроприводе и связанном с ним технологическом процессе
с учетом особенностей цифрового управления, дискретности элементов объекта,
запаздывания в контуре регулирования.
Рассмотрены вопросы синтеза работоспособных аналоговых и цифровых
регуляторов, основанные на математическом аппарате полиномиальных
(диофантовых) уравнений.
Полиномиальный подход использован и для решения некоторых задач
анализа устойчивости, качества, точности и чувствительности систем управления
электроприводами и технологическими объектами. Приведены примеры
использования предложенного подхода к расчету электропривода постоянного
и переменного тока и некоторых технологических объектов.

зВ. Ш. Ишматов

опроцессо] ное управление
опригодами и технологическими
объектами.
номиальные методы