г.:.СОЛО*0:НИКО:
:.Н.ПЛОТ ИКОВ
ЛВ.ЯКОВЛЕ:
Т
:)■' ;'
■" "'■ « *
Е
| Г1
и

в. в. солодовников,
в. н. плотников,
А. В. ЯКОВЛЕВ
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Допущено Учебно-методическим объединением вузов
по машино- и приборостроительным специальностям
в качестве учебного пособия для студентов
машино- и приборостроительных вузов
/Москва
Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана J-«*-"^i$
1993 ^0-^^4^ \ *■*

ББК 32965
С60
УДК 681.5(075.8))
S
Рецензенты: кафедра автоматики Московского
энергетического института; докт. техн. наук,
проф. В. В. Семенов (кафедра «Дифференциальные
уравнения и оптимальное управление»
Московского авиационного института)
Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В.
С60 ''~1
Теория автоматического управления техническими
системами: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГТУ, 1993. — 492
с, ил.
ISBN 5-7038-0331-4
Изложены основные задачи и методы теории управления
техническими системами, вопросы автоматического регулирования. Рассмотрены
теория детерминированного оптимального управления, синтез
оптимальных систем при случайных воздействиях, методы идентификации,
понятие об адаптивных системах управления, а также сведения об
иерархических многоуровневых САУ, об автоматизации проектирования
технических систем управления.
Для студентов приборо- и машиностроительных вузов.
Ил. 304. Табл. 12. Библиогр. 20 назв.
с 1402060000-151
U 095(2)—93 l yl
ISBN 5-7038-0331-4 © В. В. Солодовников,
В. Н. Плотников,
А, В. Яковлев, 1993
СПИСОК АББРЕВИАТУР И БУКВЕННЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
1. Аббревиатуры
АКОР — аналитическое конструирование регуляторов
АО — алгоритмическое обеспечение
АПР — автоматизация проектирования
АРМ — автоматизированное рабочее место
АСАУ—адаптивная система автоматического управления
АСУ ТП — автоматизированная система управления
технологическим процессом
АФЧХ — амплитудно-фазовая частотная характеристика
АЦП — аналогово-цифровой преобразователь
АЧХ — амплитудная частотная характеристика
ДПВ — двойной пиковый вольтметр •;
ИПФ — импульсная переходная функция
ИУ — исполнительное устройство
ИЭ — импульсный элемент
КЛ — ключ (импульсный элемент)
КУ — корректирующее устройство
ЛАЧХ — логарифмическая амплитудная частотная характери»
стика
ЛО — лингвистическое обеспечение
ЛФЧХ — логарифмическая фазовая частотная характеристика
ЛЧХ — логарифмическая частотная характеристика
МП —■ микропроцессор
МПС — микропроцессорная система
МПФ — матричная передаточная функция
НГПК — низкочастотный генератор периодических колебаний
НМБ — накопитель на магнитном барабане
НМД — накопитель на магнитном диске
НМЛ — накопитель на магнитной ленте
НФ — низкочастотный фазометр-частотомер
ОМО—■ общее математическое обеспечение
ООС — отрицательная обратная связь >
ОПО — общее программное обеспечение \
ОР—'Объект регулирования \
ОС — обратная связь I
ПИ — пропорционально-интегральный регулятор
ПКУ — последовательное корректирующее устройство
ПО — программное обеспечение
ППП — пакет прикладных программ '
I*
3

ПЦ — предельный цикл
Р — регулятор
PC — реверсивный счетчик
РСУ — распределенные системы управления
РТК — роботизированный технологический комплекс
С — синхронизатор
САПР — система автоматизированного проектирования
САР — система автоматического регулирования
САС — система автоматизированного синтеза
САУ — система автоматического управления
СИАМ — система автоматизированного моделирования
СМО —■ специальное математическое обеспечение
СПО — специальное порграммное обеспечение
ТАР — теория автоматического регулирования
ТАУ — теория автоматического управления
ТАУ ТС — теория автоматического управления техническими
системами
ТЗ — техническое задание
ТЭО — технико-экономическое обоснование
ТУ ТС — теория управления техническими системами
УВК — управляющий вычислительный комплекс
УТС — управление в технических системах
ФИ — формирователь импульсов
ФЧХ— фазовая частотная характеристика
ЦАП — цифроаналоговый преобразователь
ЦВМ — цифровая вычислительная машина
ЦСУ —цифровая СУ
ШИМ — широтно-импульсная модуляция
Э — экстраполятор
ЭАП — электромеханический автопилот
ЭВМ — электронная вычислительная машина
ЭЦСП — электрический цифровой следящий привод
2. Обозначения
1i.(t) —матрица коэффициентов
П — знак произведения
А — матрица
At — коэффициент ряда Фурье
А (со) — амплитудная частотная характеристика
ав — амплитуда автоколебаний
udj — адьюнкта определителя
а (щ) _ вещественная часть числителя передаточной функции
У ((/«о)
В — матрица
Ъ(со)— мнимая часть числителя передаточной функции Y(/со)
С — матрица выхода
с — абсцисса абсолютной сходимости
Со, Си...,Сп — коэффициенты ошибок (постоянные
интегрирования)
4
См, fi — коэффициенты алгоритма Рауса
с (со)—вещественная часть знаменателя передаточной функции
У (/со)
det — детерминант (определитель)
diag — диагональная матрица
D (/со) — функция комплексного переменного (кривая £>-раз-
биения пространства параметров)
Z?p(/to)—полином знаменателя передаточной функции
разомкнутой САР
DYK\ — области, соответствующие различным значениям
корней К
D (А) — полином от Л
D (р) — полином от р
D (z) — детерминант матрицы
d(co)—мнимая часть знаменателя передаточной функции
У(/со)
е — основание натуральных логарифмов
Е — показатель цели управления
е4, е2 — напряжения на входе и выходе корректирующего
устройства
E(z) —Z-преобразование для ошибки
e*(t) —дискретный сигнал ошибки
E*(s) —преобразование Лапласа для сигнала е* (t)
E2(s) —преобразование Лапласа для функции е2(£)
extr — экстремум функции
F — сила
F (х, у, г) — функция трех переменных х, у, z
F(x)—функция распределения случайной величины
F(s) —преобразование Лапласа для функции f(t)
F(z) —Z-преобразование для функции f(k)
f (t) — возмущающее воздействие
f(k)—последовательность чисел (аргумент k указывает на
последовательность чисел)
G(s) —преобразование Лапласа для функции g(t)
G*(s)—преобразование Лапласа для сигнала g*(t) на выходе
импульсного элемента
G (г) — Z-преобразование сигнала g* (t)
G* (/to) — спектр дискретного сигнала
g(k)—дискретный сигнал на входе линейной системы
g(t)—управляющее воздействие
g*(t)—последовательность импульсов на выходе ключа
(сигнал на выходе импульсного элемента)
Н (со) —амплитудная частотная характеристика
Н(х, г]з, и)—функция Гамильтона
h(t), h(kt)—переходные характеристики
h — запас устойчивости по модулю
h(t)—переходная функция
hx(t)—переходный процесс, соответствующий единичной
частотной характеристике
5

I — единичная матрица , ,
j — мнимая единица /"= У—1
/{А/а) — эквивалентный комплексный коэффициент усиления
нелинейного звена
ki — коэффициент усиления линейной части
К, k — передаточный коэффициент (коэффициент передачи или
усиления)
До — коэффициент усиления объекта регулирования (крутизна
характеристики)
К (t)—матрица коэффициентов
k(k) —взвешенная временная последовательность
k]t) —импульсная переходная функция
*ид(0—идеальная импульсная переходная функция
ka(t)—импульсная переходная функция экстраполятора
L (со) — логарифмическая амплитудная частотная
характеристика
■^-ж(со)—желаемая логарифмическая амплитудная частотная
характеристика
Lm Я (со) —логарифм модуля характеристики Я (со)
М — момент силы
Мд — движущий момент на валу двигателя
Мп — номинальное значение момента
Мс — момент сопротивления на валу электродвигателя
т — порядок числителя передаточной функции
т (0 — управляющее случайное воздействие
п — порядок знаменателя передаточной функции
n(t)—возмущающее случайное воздействие (помеха)
Р (t) — симметричная матрица
Pi(t),.., Pn(t) —множители Лагранжа
Р (b/z) — условная плотность распределения вероятности
jP —число корней характеристического уравнения, лежащих в
правой полуплоскости
Р(со)—вещественная частотная характеристика замкнутой
САР
Q — положительно определенная матрица
Q — критерий самонастройки
Q(s) —преобразование Лапласа для функции q(t)
Q(co)—мнимая частотная характеристика замкнутой САР
q, qt — гармонические коэффициенты усиления нелинейного
звена
-R(P)—средний риск
RM(%)—взаимная корреляционная функция на входе и
выходе системы
R(s) —преобразование Лапласа для функции r(t)
Rr(io)—обобщенная вещественная частотная характеристика
R (т) — корреляционная функция
Ro(ti, U)—центрированная корреляционная функция
Rxy(-t) —взаимнокорреляционная функция
rang — ранг матрицы
6
R(z) — Z-преобразование сигнала r\t)
S — матрица
S(to) —функция спектральной плотности
5е (со) — спектральная плотность ошибки
5п,т(со); Sm,n(co)—взаимная спектральная функция плотности
Si, S\; Sa; Sb — системы
5r(fi>) — обобщенная мнимая частотная характеристика
spur — след матрицы
sup — верхняя граница
Т—время переходного процесса (или постоянная времени)
Tmm — минимальное время переходного процесса
То — постоянная времени объекта регулирования
t — время
VB — напряжение потенциометра
Uif — напряжение тахогенератора
UT — напряжение на выходе генератора
U — заданное множество (матрица)
i/Opt(0—оптимальное управление
U(s) —изображение входного сигнала u{t)
u(t)—вектор управления
Uе — сигнал ошибки
V, v — линейная скорость
V{s)—передаточная функция разомкнутой САР по отношению
к возмущающему воздействию
У(о) —мнимая часть £>(/со)
20max — максимальное значение ускорения регулируемой
величины
Wij — подпроблемы приемлемых решений
W* {fa) — передаточная функция (частотная характеристика)
разомкнутой дискретной системы
W(s) —передаточная функция разомкнутой САР по отношению
к управляющему воздействию
№oc(s) —передаточная функция элемента обратной связи
Wd(s) — передаточная функция последовательного
корректирующего устройства
Wv(s) —передаточная функция регулятора
WB(s)—передаточная функция объекта регулирования
(неизменяемой части системы)
W<j>(s) —передаточная функция фильтра
| W(z) — Z-передаточная функция дискретной системы
№э($)—передаточная функция экстраполятора
W(x)—плотность распределения вероятностей случайной
величины
X — заданное множество
■Х(/со) —частотный спектр входного сигнала
X(s) —преобразование Лапласа для x(t)
х* (t) — дискретный входной сигнал
7

xB*(t)—дискретный сигнал на входе экстраполятора (выхода
ЭВМ)
х (t) — регулируемая переменная
хвх — входной сигнал
#вых — выходной сигнал
х(оо)—установившееся значение регулируемой величины
*нач — начальное значение процесса регулирования
*опт(0 —оптимальный переходный процесс
Яшах — максимальное отклонение регулируемой величины
хв (k%r) — выходной сигнал с ЭВМ
xa(t) —выходной сигнал экстраполятора
х — вектор состояния
XB*(s)—преобразование Лапласа для величины xB*(t) на
входе
Xg(s)—преобразование Лапласа для величины хв на выходе
экстрополятора
У (/со) -—частотная характеристика САР
Y(s)—передаточная функция замкнутой САР по отношению к
возмущающему воздействию
Y(z) —Z-преобразование для y(k)
y(k) —дискретный сигнал на выходе системы
у (t) — выходная переменная
Y —выходной вектор
Z(s)—передаточная функция параллельного корректирующего
устройства
а4 — коэффициенты передаточной функции САР
Y — запас устойчивости САР по фазе
А — допустимая ошибка регулируемой величины
А* — определитель Гурвица
&M(t)—разность отклонений моментов (движущего и
сопротивления)
At — промежуток времени
б0(&) —дельта-последовательность Кронекера
б — поправки к асимптотическим ЛАЧХ
6(0 —дельта-функция
E(s) —преобразование Лапласа для сигнала ошибки e(t)
J; — коэффициент демпфирования дифференцирующего звена
2-го порядка
е(со)—логарифмическая фазовая частотная характеристика
■д — угол тангажа
®n(t) —программное значение угла тангажа
% — коэффициент наклона вещественной частотной
характеристики
%i — корни характеристического уравнения
v —■ порядок астатизма САР
|к — коэффициент демпфирования колебательного звена
р(т) —нормированная корреляционная функция
вх — дисперсия случайного процесса
о2 — шум квантования на выходе
8
cjuz — шум квантования на входе
с — величина перерегулирования, %
t — постоянная времени дифференцирующего звена 1-го
порядка
хй — постоянная времени дифференцирующего звена 2-го
порядка
t0 — постоянное запаздывание
хт; Т; Ткв — такт квантования (дискретизации)
<p(s)—матричная передаточная функция (преобразование
Лапласа для матрицы <р(0)
ф(г)—Z-передаточная функция системы с обратной связью
и ЭВМ в контуре управления
ф (Л) — расширенная матрица перехода
ф(/со) — частотная характеристика замкнутой САР
ф (t) — переходная матрица
<p(s) — передаточная функция замкнутой САР по отношению к
управляющему воздействию (преобразование Лапласа для
ф(0)
Ф„ (s) — передаточная функция ошибки
Ф(б)—матричная передаточная функция (преобразование
Лапласа для матрицы ф(0)
q(t) —'Переходная, или фундаментальная, матрица
ф(/со) —вспомогательная функция
ф(со)—фазовая частотная характеристика замкнутой САР
ij)(s) —преобразование Лапласа для ty(t)
ш—■ угловая скорость (угловая частота)
<ой — номинальная угловая скорость
<оср — частота среза ЛАЧХ
<ок — сопрягающая частота ЛАЧХ колебательного звена
Юсртщ —частота среза, соответствующая минимальному
времени переходного процесса
с>ср opt — частота среза, соответствующая оптимальному
переходному процессу
й>о — частота автоколебаний
9

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие посвящено теории управления
техническими системами — технологическими машинами и процессами,
энергетическими установками (включая ядерные реакторы),
движущимися объектами различного назначения и др.
Теория автоматического управления (ТАУ) техническими
системами представляет собой дальнейшее развитие теории
автоматического регулирования (ТАР). Предмет ТАР — системы
автоматического регулирования (САР) — достаточно полно
определен в соответствующей технической и учебной
литературе. ТАР изучает системы регулирования, осуществляющие
лишь «отработку» входных управляющих воздействий, в
предмет ТАР не входят вопросы формирования этих воздействий.
Объектом ТАУ являются системы автоматического
управления (САУ), функциональное назначение которых заключается:
во-первых, ,в формировании управляющих воздействий на
-основе соответствующих алгоритмов и исходя из цели
управления (например, оптимальных управлений, техническая
реализация которых возможна благодаря использованию цифровых
вычислительных средств);
во-вторых, в «отработке» этих воздействий на требуемом
уровне выходной мощности и с необходимой точностью при
помощи САР в условиях действия возмущений и помех.
В основе теории автоматического управления техническими
«системами лежат многие понятия, принципы и методы ТАР.
Но отличать ТАР от ТАУ необходимо, и вряд ли можно
считать оправданным то, что термин ТАР иногда подменяется в
научно-технической литературе термином ТАУ. На наш взгляд,
■оба термина имеют право на самостоятельное существование,
так как отражают различную сущность.
Материал пособия базируется в значительной мере на
книге: Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В.
«Основы теории и элементы систем автоматического регулирования»
(М.: Машиностроение, 1985. 536 с), — переработанной с
учетом достижений научно-технического прогресса за последние
годы. Показано становление и развитие ТАУ на основе ТАР,
теории информации, информатики, кибернетики и
вычислительной техники. Изложение основного материала учебного пособия
начнается с понятий и определений теории автоматического
регулирования, существенных для дальнейшего рассмотрения
ТАУ. Далее приведены методы математического описания САР
ЯО
в переменных вход-выход и в переменных состояния; дан
анализ устойчивости линейных непрерывных систем; рассмотрен
частотный метод анализа качества регулирования и синтеза
САР; перечислены элементы анализа нелинейных систем.
Кроме того, в пособии даны основы ТАУ: теория
детерминированного оптимального управления как одномерных, так и
многомерных непрерывных и дискретных систем, основы
синтеза оптимальных систем при случайных воздействиях, методы
.описания дискретных и дискретно-непрерывных систем; методы
идентификации, понятие об адаптивных системах управления,
основные сведения об иерархических многоуровневых САУ.
Изложены вопросы анализа .и синтеза дискретных я цифровых
САУ, включая цифровое управление с помощью микроЭВМ, а
также методы проектирования и автоматизации проектирования
технических систем управления.
Среди отечественных изданий, посвященных перечисленным
ранее вопросам, нет книг, в которых в сжатой и доступной
форме изложена теория автоматического управления техническими
системами (ТАУ ТС) на основании принятого здесь подхода.
Данное учебное пособие охватывает только собственно
теорию управления техническими системами, так как технические
средства САР и САУ являются предметом специальной книги.
Настоящее издание предназначено для студентов
технических вузов, изучающих курс «Управление в технических
системах» (УТС) в рамках учебных планов по различным
специальностям, .кроме специальности «Автоматика и управление в
технических системах». Студентам, специализирующимся по
системам автоматического и автоматизированного управления,
необходим больший объем научно-технической информации, чем
в данной книге. Курс «Управление в технических системах»
является фундаментальным для целого ряда технических вузов.
Для изучения этой дисциплины помимо обычного курса высшей
математики необходимо знать элементы высшей алгебры,
основы теории матриц и случайных процессов. Изучив курс УТС,
студенты будут обладать:
знаниями в области принципов построения математических
моделей, анализа и синтеза систем (а также подсистем)
автоматического управления различных классов при действии
возмущений со стороны внешней среды;
умением взаимодействовать со специалистами по системам
Управления в процессе разработки образцов новой техники и
новых технологий;
сведениями и навыками, необходимыми для формирования
обоснованного технического задания на динамическое
проектирование системы управления соответствующим технологическим
процессом. Книга может быть рекомендована также инженерам,
занимающимся проектированием систем управления
техническими объектами и технологическими процессами, как
содержащая новые подходы в этой области.
Доктор техн. наук, проф. В. В. Солодовников
П

ВВЕДЕНИЕ
Теория автоматического управления техническими
системами (ТАУ ТС) охватывает идеи, принципы и методы
информатики, а также основы теории автоматического регулирования
и управления в области техники.
ТАУ ТС как прикладная научная дисциплина имеет свою
историю. XVII—XIX века были начальным периодом в
развитии (машиностроения и машинных технологий, когда человек
управлял энергетическими машинами и ходом технологических
процессов на основе своего опыта и интуиции. Этот период
можно еще условно назвать и «веком измерений». Он
характеризовался тем, что управление машинами и процессами
осуществлялось при помощи мускульной силы человека,
ориентировавшегося на показания немногочисленных в то время
приборов, являвшихся придатками машин.
По мере развития технического процесса такой
элементарный способ управления оказался неэффективным. Появились
первые системы автоматического регулирования, основанные на
принципе отрицательной обратной связи. К ним следует
отнести такие, например, как системы, регулирующие уровень воды
в паровом котле (изобретатель И. И. Ползунов, 1765) и
стабилизирующие частоту вращения вала паровой машины при
помощи центробежного регулятора (Д. Уатт, 1768). Эти
изобретения положили начало «веку автоматики», когда устранялась
необходимость применения мускульной силы человека для
управления техническими объектами и процессами.
Параллельно с техническими средствами автоматики развивалась и наука
об автоматике.
Истоки формирования теории автоматического
регулирования как начальной научной основы управления в технических
системах связаны с 30—90-ми годами XIX в. Так, проф.
Д. С. Чижов опубликовал курс теории регуляторов (СПб.,
1838). Ястржемский Н. Ф. в курсе лекций по теоретической
механике изложил основы выбора параметров регуляторов
непрямого действия (СПб., 1846). В 1872 г. И. А. Вышнеград-
ский сделал сообщение о своей работе по теории регуляторов,
которая была опубликована под названием «Об общей теории
регуляторов» (Париж, 1876). Первая работа по вопросам
нелинейной ТАР — «О регуляторах непрямого действия» также
принадлежит И. А. Вышнеградскому (СПб., 1878).
Профессор Московского Высшего императорского учили-
12
ща — Н. Е. Жуковский разработал теорию регулирования хода
машин (М., 1909). Несколько раньше вышла в свет работа
Д. М. Ляпунова «Об устойчивости движения» (Харьков, 1892),
которая явилась в то время математическим обоснованием всей
теории систем автоматического регулирования (САР).
Роль других отечественных ученых в развитии теории
автоматического регулирования достаточно известна1.
Что касается иностранных ученых, то их работы в этой
области довольно полно представлены, например, в одном из
справочников2.
Теория автоматического управления техническими
системами начала развиваться несколько позже5*. Научной базой ТАУ
являются прежде всего теории автоматического регулирования
и информации, а также информатика и техническая
кибернетика.
Управление в принятом нами смысле отличается от
регулирования тем, что его задачей является формирование на
основе цели управления и имеющейся информации управляющего
сигнала (или уставки), отрабатываемого автоматическими
регуляторами (или следящими системами) на требуемом уровне
мощности. Другими словами, автоматические регуляторы
преобразуют уставки в управляющие воздействия на объект,
входящий в систему, так, чтобы этот объект реализовал заданную
цель управления. Таким образом, ТАР представляет собой
лишь часть или раздел более общей теории управления.
В связи с этим более существенным стал вопрос о различии
между терминами ТАУ и ТАР, так как во многих научных
публикациях дается неточное их определение.
Основной задачей ТАР является воспроизведение
(обработка) с наименьшей погрешностью некоторого произвольного
входного сигнала, причем цель регулирования состоит в
сведении к минимуму функционала от ошибки между входным и
выходным воздействиями. Главное отличие ТАУ от ТАР
состоит в том, что в ТАУ решается задача верхнего уровня, на
котором формируется входное для автоматического регулятора
Управляющее воздействие (сигнал). Эта задача,
удовлетворяющая некоторым техническим ограничениям, сводится к
нахождению экстремума сложного' функционала эффективности, в
силу чего решается с помощью мощной вычислительной техники.
Если САУ являются верхним уровнем в иерархии
управления объектами, то САР играют роль нижнего уровня, на кото-
Ром выполняется коррекция отклонений траектории движения,
п ' Техническая кибернетика: Теория автомат, регулирования: В 3 кн. /
уод ред. в. В. Солодовннкова. Кн. 1. М.: Машиностроение. 1967. 768 с.
(Сер. инженер, монографий).
2 См.: Справочник по теории автоматического управления / Под ред.
А. А. Красовского. М.: Наука. 1987.
3 См.: Основы автоматического управления: Автомат, регуляторы и
следящие системы / Под ред. В. В. Солодовннкова. Т. 3. М.: Машгнз, 1963.
13

соответствующей управляющему сигналу, из-за
неопределенности описания объекта регулирования, а также действия слу»
чайных возмущений и помех. В общем случае, характеризуя
устойчивость САР, говорят, что система является «грубой»,
если она защищена от таких неопределенностей в объекте,
которые наверняка будут иметь место в любой реальной
ситуации.
В настоящее время в стадии интенсивного развития
находятся теория и техника иерархических многоуровневых систем
управления технологическими процессами и объектами. Теория
такого рода систем является дальнейшим развитием ТАУ.
Однако теория и техника систем автоматического регулирования,
непосредственно связанные с процессами материального
производства, по-прежнему являются базой для построения САУ.
Основные понятия, принципы, задачи и методы ТАР и ТАУ
сохраняют свою актуальность и получают развитие в
современной теории, а также в подходах к проектированию сложных
автоматизированных систем. Новым в этих подходах является
существенное возрастание роли информации, а также
компьютеризации процессов ее обработки, так как любая система
управления выполняет поставленную перед ней цель при
помощи сбора, передачи, обработки и использования информации
на основе принципа обратной связи.
14
1. ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ
ИНФОРМАЦИИ, ИНФОРМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ
В этом разделе, кроме указанных в заголовке, даны и ос»
новные понятия теории автоматического регулирования и
управления. Установлены связи между этими понятиями,
являющимися фундаментальными в теории автоматического управ-
лени техническими системами.
1.1. Информация — одно из основных понятий кибернетики
Общей чертой процессов управления вне зависимости от
того, к какой области знаний они относятся (техническая,
биологическая, экономическая, социальная и др.), является их
информационный характер. Действительно, любой процесс
управления для достижения поставленной цели требует сбора,
передачи, переработки и использования информации о его
внешних и внутренних условиях для приспособления к этим
условиям и эффективного воздействия на них. Получить информацию
и действовать в соответствии с ней — существенная функция
системы управления от простой до наиболее сложной.
Под информацией в широком смысле понимают те сведения
об окружающем мире, которые получены в результате
взаимодействия с ним, адаптации (приспособления) к нему и
изменения его в процессе этой адаптации.
Сущность управления на основе информации заключается
именно в том, что целенаправленное движение и действие
значительных инерционных масс, а также передача и
преобразование больших количеств энергии регулируются при помощи
незначительных масс и небольших количеств энергии. Отсюда
Источник

информации
Передатчик

информации
и
'-,
—»•
Канал
свАэи
м
Источник
помех
Приемник

информации
h
->
Объект

регулирования
Рис. 1.1. Схема системы передачи информации
15
*

ясно, что в теории информации энергетическая сущность
процессов отступает на второй план по отношению к
информационной.
Информация передается при помощи сигналов,
реализованных в изменениях той или иной физической переменной,
характеризующей последовательность некоторых событий.
Количество переданной информации и тем более ее эффект не
определяются количеством энергии, необходимым для передачи
информации.
Процесс передачи информации в системах связи происходит
следующим образом (рис. 1.1). Источник информации формирует сообщение.
Сообщение, содержащее в себе информацию,, 'состоит из символов (букв,, цифр,
математических знаков и т. д.). Таким образом, сообщение представляет
некоторую упорядоченную последовательность символов, каждый из
которых выбирается системой из всей имеющейся совокупности. Сообщение
поступает на вход чувствительного элемента датчика (или передатчика
информации). Датчик, в свою очередь, на основе того или иного кода
преобразует данное сообщение в сигнал.
Сигнал поступает в канал связи и затем на вход приемника
информации, где происходит обратное преобразование сигнала в сообщение, или,
как говорят, декодирование сигнала. Сообщение воспринимается
получателем (объектом регулирования илн управления). Во время передачи по
каналу связи на сигнал неизбежно налагаются помехи, Которые в большей илн
меньшей степени искажают сигнал.
Процесс формирования сообщения рассматривается как вероятностный,
представляющий собой последовательность выборок из некоторой
совокупности элементарных символов, причем выбранная совокупность и
образует сообщение. Роль вероятности заключается в том, что выбор после-
i дующих символов на любой стадии процесса зависит в вероятностном
смысле от предыдущих выборов. В свою очередь, каждое в действительности
передаваемое сообщение есть результат выбора из всей возможной
совокупности сообщений одного из них. Чем выше степень непредсказуемости,
чем больше свобода выбора при образовании сообщения, тем большее
количество информации оно содержит.
Рассмотрим передачу телевизионного изображения какого-либо
предмета, когда сообщение характеризуется распределением яркости по
строкам изображения. Если имеется лишь две ступени яркости, то количество
информации о предмете мало; если же число ступеней яркости велико, то
велико и количество получаемой о нем информации. Следовательно, каждый
элемент сообщения содержит тем большее количество информации, чем
больше общее число элементов, из которых он может быть выбран.
При проектировании системы управления инженер для правильного
воспроизведения сообщения измеряет содержание информации в нем
вероятностью его появления или, если можно так выразиться, его
«неожиданностью». Поэтому, если требуется передать «белый шум», т. е. сигнал,
изменяющийся абсолютно случайным, непредсказуемым образом, то к
системе, передающей информацию, будут предъявляться наиболее жесткие
требования.
Передача и прием информации возможны лишь при
удовлетворении следующих трех условий:
сообщения должны представлять собой случайную,
непредсказуемую последовательность символов;
источник информации должен осуществлять селективные
операции над символами, из которых образуются сообщения;
символы должны иметь один и тот же смысл, определяемый
не только для источника, ,но и для приемника информации.
16
Перечисленные условия можно пояснить следующим
образом. Если на приемном конце заранее известно содержание
сообщения, то никакой информации при его приеме не будет
получено.
Таким образом, в основе понятия информации лежит
предположение о невозможности по крайней мере однозначности
восприятия сообщений, которые будут приняты в будущем на
основании сообщений, принятых в настоящем.
Но полное незнание условий также исключает возможность
передачи информации, так как для передатчика и приемника
должен существовать общий язык или код. Действительно,
если, например, читатель не знает языка, на котором написана
книга, то она не может сообщить ему никакой информации, как
бы ни было важно и интересно ее содержание.
1.2. Информатика и вычислительная техника
В современных условиях необходимость передачи и
переработки непрерывно увеличивающихся массивов разнообразной
информации вызвала к жизни новую отрасль науки и
техники— информатику. Этот термин появился несколько позже, чем
«кибернетика», но непосредственно связан с последним.
В предмет информатики входят вопросы передачи
сообщений или сигналов по линиям связи, обмена и обработки научно-
технической информации, организационного управления и
планирования; вопросы медицины, образования, лингвистики,
искусства, музыки, документалистики, сферы услуг, охраны
окружающей среды и т. д.
Широта этой научной дисциплины затрудняет однозначное,
исчерпывающее определение ее предмета. Наиболее часто информатику определяют
как отрасль науки, изучающую структуру и общие свойства научной и
Другой информации, а также вопросы ее сбора, хранения, поиска,
обработки, преобразования, распространения и использования в различных
сферах человеческой деятельности.
Информатика представляет собой новую дисциплину,
сформировавшуюся на стыке ряда областей науки и техники (теории информации,
кибернетики, вычислительной математики, теории вычислительных систем, бионики
и др.). Широкое применение информатика получила в связи с развитием
вычислительной техники.
Главным элементом, ядром информатики является весь комплекс воз-
Действий вычислительной техники иа среду применения. Использование
информатики непосредственно зависит от алгоритмических, программных и
технических средств. Обычно под информатикой понимают всю
технологическую деятельность, связанную с использованием вычислительной техники
(математическое и имитационное моделирование, алгоритмизацию и
программирование разнообразных процессов, информационное обслуживание
и т. д.).
Сущность информатики заключается в триединстве
математической модели, алгоритма, программы, что позволяет
выделить главные проблемы, которые необходимо решить при раз-
2—3591 МВТУ В1ЩЯА| 17
щ, Ц. Э 5-трс т НА I

работке новых информационных систем. Это проблемы
создания;
моделей, позволяющих использовать строгие научные
методы преобразования информации;
алгоритмов, обеспечивающих применение современных
численных методов к решению комплекса информационных задач;
программ (для ЭВМ), реализующих новую
информационную технологию в той или иной предметной области.
Особенно перспективным является проникновение идей
информатики в неформализуемые области деятельности человека,
т. е. недоступные для точных количественных методов
(например, верхние уровни управления многоуровневыми
техническими системами, системы искусственного интеллекта).
Существенные революционные изменения вносит информатика также в
медицину, биологию, лингвистику, прогнозирование событий и
т. д.
1.3. Кибернетика и управление
Термин «кибернетика» появился раньше термина
«информатика». Общим как для кибернетики, так и для информатики
является то, что в них рассматриваются информационные
процессы, которые используются в кибернетике для целей
управления, а в информатике — для более широкого круга процессов и
явлений. Так что в современном понимании информатика
является более общей отраслью знаний, чем кибернетика [4].
Кибернетика, так же как теория информации и
информатика, существенным образом связана с понятиями вероятности и
случайных процессов.
Воздействия, приложенные к системам управления как
полезные, так и вредные (помехи), в общем случае являются не
детерминированными, а случайными функциями времени,
которые невозможно заранее предугадать. Поэтому кибернетика
(как и теория информации) является теорией систем,
находящихся под влиянием случайных управляющих и возмущающих
воздействий. Под управляющим воздействием здесь понимается
сигнал, который необходимо передать от источника
информации к объекту, а под возмущающим — различные типы
возмущений и помех, влияющих на точность этой передачи.
Необходимость введения статистических методов в
информатику и кибернетику следует из того, что информационные
системы, а также системы управления должны удовлетворять
предъявляемым к ним требованиям не только для одного
определенного или детерминированного сигнала, но и для
совокупности сигналов, которая может быть охарактеризована лишь
при помощи методов математической статистики. Кроме того,
часто возникает необходимость учитывать случайные изменения
параметров системы.
Непредсказуемость реализаций управляющих и
возмущающих воздействий, т. е. их информационная сущность, привела
к необходимости введения в системы управления отрицательной
обратной связи, являющейся непременным атрибутом
структуры систем автоматического управления, позволяющим
уменьшить влияние возмущений и помех на точность воспроизведения
управляющего сигнала.
Таким образом, кардинальным в процессах управления
является принцип отрицательной обратной связи (ООС).
Сущность его заключается в том, что для достижения цели
управления, поставленной перед процессом, объектом или
системой, необходимо не только формирование управляющих
воздействий, но и получение достоверной информации о
протекании процесса на выходе САУ. Техническая реализация
принципа ООС сводится к разработке каналов прямой и обратной
связи между управляющей системой и объектом, что существенно
повышает эффективность управления при наличии
возмущающих оздействий и помех (рис. 1.2).
|-«-
Канал прямой связи
Помехи.
Цель
управления
Управляющее j
воздействие ,
Система об- .^Г~~
раб от ми и. ~\ [}5ъент
передачи <г
информации 1
Шум
измерений
Возмущая ■
щее
воздействие
Bbixod
системы
Ошибна
Источник
или датчик
информации.
Ф
Канал обратной связи
Рис. 1.2. Обобщенная схема САУ
Процессы управления — это динамические процессы,
протекающие в системах, в которых потоки информации, а также
решения и действия для достижения цели управления структурно
Реализуются в виде замкнутых контуров, т. е. систем с обрат-
ной связью.
В настоящее время понятие обратной связи стало универсальным,
характеризующим все природные и технические процессы, связанные в том
числе и с деятельностью человека. Так, например, экология является
проявлением принципа обратной связи между человеком и природой. До
недавнего времени человек использовал природные ресурсы, не заботясь об
обратной реакции, т. е. осуществлял воздействие иа природу по разомкну-
°му циклу. Сейчас он вынужден учитывать эту реакцию и в управлении
ек> осуществлять принцип обратной связи (рис. 1.3).
2*
19

Принцип обратной связи проявляется и во взаимодействии человека с
им же создаваемой техникой: последняя приобретает возможность влияния
на человека. Так, в начале технической революции ремесленный труд в зна- |
чительной мере был вытеснен машинами и их системами (например,
конвейерами). В дальнейшем в связи со стремительным развитием вычисли
тельной техники возможность такого обратного воздействия на человека в
области его умственной деятельности существенно возросла. Влияние
современной техники на социальные, трудовые, психологические и
физиологические условия деятельности человечества должно быть управляемым
(рис. 1.4).
Г»
Человек
Природа
/fa/tasr информационной 1
обратной связи г
Рис. 1.3. Обратная связь в системе человек — природа
Человек
Тшкиикл _а-
Каная информационной
обратной связи
Рис. 1.4. Обратная связь в системе человек — техника
Насколько важно уметь управлять научно-техническим прогрессом
особенно наглядно покавывает пример с развитием, ядерной энергетики.
Ведь, казалось бы, АЭС — величайшее достижение науки. Однако в случае
аварии на ней (например, из-за ненадежности технических средств или на
рушения условий эксплуатации) может последовать гибель людей и даже
угроза для самой жизни на нашей планете. Поэтому система человек—ма
шина или проблема человек—техника приобретают в настоящее время гло
бальное значение.
Наиболее возможны два пути развития техники:
1) разделение труда между человеком и машиной осуществляется
«оптимальным» способом в соответствии с их специфическими особенностя
ми и возможностями;
2) по мере прогресса в областях формализации и алгоритмизации все
процессы управления передаются машине.
Первый путь является более эффективным, дешевым, устанавливающим
гармонию между человеком и машиной. Второй путь с течением времени
может сделаться опасным, так как он может привести к такому положению
вещей, когда творческие способности человека начнут ослабевать и уже
окажется невозможным вернуться иа первый путь. Поэтому глубокое
понимание и знание принципов и идей теории управления имеют особо
важное значение.
20
1.4. Цель управления в технических системах
Основной принцип управления в кибернетике — принцип
qOC — универсален, но специфика его применения
существенно зависит от управляемого процесса, изучение которого
является предметом соответствующих наук, ставящих цели
управления (например, технических, экономических, биологических,
общественных и т. д.).
Необходимо подчеркнуть важность и определяющую роль
четкой формулировки цели управления. Нет цели — нет
управления! Например, в зависимости от того, какой у предприятия
план — по валу или по номенклатуре изделий, будут получены
совершенно разные конечные результаты.
Цель управления процессом или объектом — конечный
технический или экономический результат, который может быть
достигнут системой управления на определенном временном
интервале ее нормального функционирования1.
Цель управления формулируют не специалисты по
кибернетике, а, например, технологи, инженеры-аэродинамики,
экономисты, биологи, т. е. специалисты в той области техники, в
которой необходимо применить управление. Основная задача
специалистов по управлению состоит в том, чтобы создать систему
для сбора информации, необходимой для осуществления цели
управления, передачи, представления или преобразования ее в
удобную форму, переработки и, наконец, принятия решения о
том, как использовать эту информацию, чтобы обеспечить
выполнение цели объектом управления. Техническое решение этой
задачи связано с применением различных аппаратных и
программных средств.
Для того чтобы уяснить отличие информационных систем от
систем управления, необходимо подчеркнуть, что в первом
случае качественное воспроизведение информационных сигналов и
подавление помех являются основной целью, тогда как во
втором — промежуточной, т. е. для принятия или выработки
решений, связанных с управлением объектом, имеющим самые
различные свойства и цели управления.
Кроме того, в определении термина «информатика» не
отражена концепция обратной связи, которая требует для своей
технической реализации детального изучения того объекта, на вход
которого передается информация. Таким образом, при переходе
к понятию управления определение информатики необходимо
несколько детализировать.
В определении информатики в явной форме не отражено следующее:
Чедь обработки информации, состоящая в принятии и выработке решений
Для управления объектом на основе принципа обратной связи; анализ каче-
тва достижения цели и др. Управление —■ это единство цели, модели объ-
КТа> алгоритма, программы и анализа результатов достижения цели
1 Математическая формулировка цели управления будет дана далее.
21

Основным методом исследования и анализа информационных процессов
управления в кибернетике является метод их алгоритмизации. Он
заключается в том, что любой информационный процесс управления
рассматривается в виде некоторой последовательности связанных друг с другом и
причинно обусловленных математических и логических операций,
представляющих собой алгоритм процесса.
Решая задачу изучения общих принципов н законов эффективного
управления объектами различной природы, кибернетика стремится
установить алгоритмический изоморфизм, т. е. структурное, логическое и
количественное сходство между процессами управления, протекающими в
различных системах управления. С этой точки зрения предмет кибернетики
заключается в анализе, синтезе и реализации алгоритмов управления, как уже
имеющихся в природе и технике, так и необходимых для приспособления
к ней и эффективного воздействия на нее при достижении определенных
целей.
Алгоритмический подход позволяет кибернетике на основе точного
количественного определения понятия информации применять для
исследования информационных процессов управления методы точных наук н
современный математический аппарат вне зависимости от того, к какой
категории явлений они относятся.
Итак, учитывая все сказанное, можно дать следующее общее
определение. Кибернетика — это наука об общих принципах и
законах управления процессами и объектами различной
физической природы. Основным объектом исследования являются
системы с обратной связью, цель управления которыми
достигается на основе получения, передачи, переработки и использования
информации.
Техническая кибернетика является составной частью, ветвью
общей кибернетики. Предметная область технической
кибернетики— управление разнообразными технологическими
процессами и техническими объектами.
Контррльные вопросы
1. Что такое информация? В чем состоит информационная
сущность процесса управления?
2. Определите вероятностный аспект понятия информации.
3. При выполнении каких условий возможны передача и
прием информации?
4. Что такое информатика и информационная система? Что
такое общая и техническая кибернетика?
5. Какая связь между кибернетикой и теорией управления?
6. В чем заключается принцип обратной связи? Что такое
управление по разомкнутому и замкнутому циклам?
7. Дайте определение цели управления в технических
системах. , _3|||
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИЙ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ И АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Теория автоматического регулирования появилась и достиг
ла довольно высокого уровня гораздо раньше, чем теория
автоматического управления. Становление и развитие ТАУ потре-
22
ковало использования современных достижений теории
информации, информатики, вычислительной техники, кратко
изложенных в разд. 1.
Однако основные понятия, принципы и методы ТАУ
сформировались в ТАР. Поэтому здесь сначала даются
терминология, классификация САР, потом формулируется проблема
регулирования, а затем более сложная проблема — управления [19].
2.1. Принципы и основы построения систем
автоматического регулирования
Рассмотрим ряд технологических процессов, которые
характеризуются тем, что в течение продолжительного времени
необходимо поддерживать постоянными или изменять по
определенному закону некоторые физические величины на выходе
соответствующего управляемого объекта (машины, установки,
агрегата и т. д.). Эти величины называют регулируемыми
переменными (например, частоту вращения вала турбины,
температуру и давление на выходе технологической установки,
напряжение на клеммах генератора, координаты движущегося
объекта и т. д.).
Для технической реализации таких процессов используют
специальные устройства, называемые автоматическими
регуляторами, которые на основании измерения регулируемых
переменных должны оказывать соответствующие управляющие
воздействия на объект регулирования.
Целенаправленное изменение поведения объекта во
времени может осуществляться по принципу разомкнутого или
замкнутого циклов. Рассмотрим два варианта системы
автоматического регулирования частоты вращения вала нагруженного
электродвигателя (см. рис. 2.1).
дчЭёФзез*
Рис. 2.1. Схемы САР:
й — система без обратной связи (разомкнутый цикл):
б — с обратной связью (замкнутый цикл)
23

Система разомкнутого цикла. В системах как разомкнутого
(рис. 2.1, а), так и замкнутого цикла (рис. 2.1,6) входным
управляющим воздействием является перемещение токосъемно-
го элемента (движка 2) потенциометра 1. Последний
преобразует это перемещение в напряжение на входе усилителя 3, что
приводит к изменению тока в обмотке якоря
электродвигателя 4 — исполнительного элемента системы. Это в свою очередь
вызовет соответствующее изменение угловой скорости вала
электродвигателя (Эдв). При идеальных условиях частота
вращения вала в установившемся режиме будет однозначно
соответствовать заданной уставке — положению движка
потенциометра.
Частоту вращения вала можно контролировать при помощи
тахогенератора 5 и вольтметра 6, но результаты этого контроля
не используют в процессе регулирования.
Рассмотренная схема не имеет замкнутого пути обхода, т. е.
является разомкнутой. Для установления соответствия между
входом (положением движка 2) и выходом (частотой
вращения) система должна быть тщательно отградуирована.
Конкретная градуировочная кривая справедлива только при постоянном
значении механической нагрузки на валу электродвигателя.
При изменении этой нагрузки градуировка нарушается. Кроме
того, при износе и старении элементов системы, при
колебаниях температуры и т. д. эта градуировка также нарушается.
Поэтому системы, работающие по принципу разомкнутого
цикла, не могут обеспечить высокую точность регулирования. В них
не измеряется результат, вызываемый управляющим
воздействием, т. е. перемещением движка, и не осуществляются
действия, влияющие на этот результат, с тем чтобы он
соответствовал требуемому.
Система замкнутого цикла, принцип обратной связи. Эта
система (см. рис. 2.1,6) отличается от системы разомкнутого
цикла тем, что выходное напряжение тахогенератора 5
сравнивается с уставкой на входе, т. е. с напряжением 0П, которое
снимается с потенциометра 1. Если угловая скорость
электродвигателя отличается от заданной, то возникает сигнал
ошибки AU=Un—UTI. Усиление сигнала AU по мощности до
уровня, необходимого для нормальной работы Эдв, осуществляет
усилитель 3. Электродвигатель с встроенным на его валу тахо-
генератором отрабатывает сигнал ошибки до определенного
значения, которое в установившемся режиме и задает частоту
вращения вала нагрузки при определенном значении Un.
Значение сигнала ошибки тем меньше, чем больше коэффициент
усиления усилителя по напряжению.
Отметим, что модуль и знак сигнала ошибки определяют
соответственно угловую скорость и направление вращения
вала Эдв, т. е. вала механической 'Нагрузки.
Принцип управления, основанный на использовании ООС,
характеризуется тем, что не требует градуировки и сохра-
24
0яет высокую точность и в тех случаях, когда нагрузка и
параметры элементов системы со временем изменяют свои
значения. В этом заключается основное достоинство систем с
обратной связью.
В некоторых случаях оба принципа управления (по
разомкнутому и замкнутому циклам) используют в сочетании друг
с другом.
В системах с замкнутым циклом или обратной связью
точность регулирования, т. е. точность поддержания требуемой
функциональной связи (в частности, пропорциональной)
между входом и выходом, в основном зависит от точности, с
которой проводят измерение и сравнение требуемого и
действительного значений регулируемой переменной.
Системой автоматического регулирования называется
активная1 динамическая система, стремящаяся сохранять в
допустимых пределах отклонение между требуемым и
действительным изменениями регулируемой переменной при помощи
их сравнения на основе принципа обратной связи (замкнутого
цикла) и использования получающегося при этом сигнала для
управления источником энергии.
САР называются системы с обратной связью (ОС). Это
объясняется тем, что в них имеется не только прямая связь
между входом (входным управляющим воздействием, или
управлением) и выходом (регулируемой переменной), но и
обратная между выходом и входом, служащая для сравнения
этих величин.
Изменения регулируемых величин вызывают не только
управляющие, но и возмущающие воздействия, приложенные в
соответствующих точках системы автоматического
регулирования. Управление осуществляет
целенаправленное изменение
регулируемых переменных.
Возмущение стремится нарушить
требуемую функциональную
связь между управляющим
воздействием и регулируемой пере-
Менной. Например, на рис. 2.1,6 Цепь обратной связи
возмущающими воздействиями Рис 2>2. Схема САР с одной регу-
™°ГУТ быть момент нагрузки лируемой переменной
Мъ, приложенный к валу
электродвигателя, или изменение напряжения UB в обмотке
возбуждения последнего.
САР должна вести себя по отношению к управляющему и
возмущающему воздействиям различным образом.
Необходимо, чтобы система осуществляла управление с наименьшими
огрешностями, компенсируя действие возмущений на
регулируемые переменные.
Активной является САР, содержащая источник (источники) энергии.
25

САР с одной регулируемой величиной показана на рис. 2.2.
Цифрой / обозначено устройство для сравнения
управляющего воздействия с регулируемой переменной; цифрой 2 — объект
и регулятор. Отметим, что если управляющее воздействие g(t)
может быть приложено только к сравнивающему устройству
системы, то возмущающее воздействие f(t) может быть
приложено к любой точке САР.
Внешние воздействия на систему приводят к тому, что
требуемые и действительные значения регулируемой величины
отличаются друг от друга. Разность между необходимым и
действительным значением регулируемой величины является
ошибкой системы автоматического регулирования.
-~ Отклонением регулируемой величины называют разность
между значением регулируемой величины в данный момент
времени и некоторым фиксированным ее значением, принятым
за номинальное или за начало отсчета (рис. 2.3, а).
Рис. 2.3. Основные переменные (воздействия и сигналы) в САР:
SM и /(f) — управляющее и возмушающее воздействия; е (4) —
рассогласование или сигнал ошибки; x(t) — регулируемая переменная
В то время как отклонение x(t) регулируемой величины при
неограниченно возрастающих управляющих воздействиях
является также 'неограниченно возрастающей функцией
времени, ошибка e(t) остается ограниченной (рис. 2.3, б).
Воздействие, приложенное к сравнивающему элементу системы
регулирования, называют входным сигналом, или сигналом на
входе системы автоматического регулирования.
При введении отрицательной обратной связи система слабо
реагирует «а возмущающие воздействия и подчиняется
главным образом управляющему воздействию, т. е. замкнутая
система регулирования по существу представляет собой фильтр!
который достаточно точно воспроизводит управляющее
воздействие и подавляет возмущающее.
Сигнал, который поступает с выхода системы на ее вхоД>
называют сигналом главной обратной связи, а разность междУ
26
входным сигналом и сигналом главной обратной связи —
сигналом ошибки.
САР являются системами направленного действия. Это
означает, что выходной сигнал последующего элемента может
оказать влияние иа формирование ошибки на выходе элемента
сравнения только через обратную связь.
Итак, САР — это замкнутая активная динамическая
система направленного действия, преобразующая уставку на ее
входе в регулирующее воздействие, непосредственно
прикладываемое к объекту управления.
2.2. Классификация САР. Основные функциональные
устройства САР
В зависимости от характера изменения входного
(задающего) управляющего воздействия g(t) CAP могут быть
подразделены на три основных типа:
1) системы автоматической стабилизации (или собственно
системы автоматического регулирования). В них управляющие
воздействия представляют собой заданные постоянные
величины ( уставки);
2) системы программного регулирования. В них
управляющие воздействия являются известными функциями времени
(изменяются по программе);
3) следящие системы. В них задающие воздействия
представляют собой заранее неизвестные функции времени.
Если в САР, показанной на рис. 2.1,6, входной сигнал
сохраняет постоянное значение (движок потенциометра
'неподвижен), то она представляет систему автоматической
стабилизации угловой скорости электродвигателя. Постоянное значение,
которое имеет входной сигнал, называется настройкой
(уставкой) автоматического регулятора. Уставке соответствует
требуемое значение регулируемой величины объекта.
Если движок потенциометра перемещается по заранее
рассчитанной программе, например с помощью кулачкового
механизма, и снимаемое с него напряжение является заданной
функцией времени, то такая САР представляет систему
программного регулирования.
Если движок потенциометра перемещается по заранее
неизвестному закону, например в соответствии с показаниями
какого-либо измерительного прибора, и угловая скорость
электродвигателя должна находиться в определенной
функциональной зависимости от положения движка, то САР является
следящей системой.
На рис. 2.4 приведена типовая функциональная схема САР с
регулируемой переменноей x(t). Система состоит из объекта регулирования и
автоматического регулятора. Объект регулирования — основной элемент
системы регулирования, т. е. машина или установка, заданный режим работы
Которой должен поддерживаться регулятором при помощи регулирующих
органов.
27

Рассмотрим устройства и элементы, входящие в регулятор, по их
функциональному признаку, т. е. по назначению (см. рис. 2.4):
'^H^fsp1
I
rit)
II
il
Ofoem\
x(t)
чехоназм j
iASEL^JL"-
]у£ерВвчехоназм
-В-
(ищзритёмнм ycmsmucmto)
Рис. 2.4. Функциональная схема типовой САР и основные ее
устройства
задающее устройство / — преобразует входное управляющее воздействие
g(t) в управляющий сигнал, пропорциональный заданному значению
регулируемой переменной x(t) и удобный для сравнения с ней. Задающими
устройствами могут быть пружины, калиброванные сопротивления, уровни
и т. п. В сложных системах программного управления выработка заданной
функции осуществляется счетно-решающими или вычислительными
подсистемами, которые называют программными устройствами;
сравнивающее устройство 2— на основании сравнения управляющего
сигнала и сигнала главной обратной связи вырабатывает сигнал ошибки
е(<). Устройства сравнения, предназначенные для измерения отклонений
регулируемых величин от заданных значений, могут представлять собой
арифметическое устройство, осуществляющее вычитание из измеренного
чувствительным элементом значения регулируемой величины другой величины,
принятой в регуляторе за опорную функцию (траекторию);
преобразующие устройства 3— преобразуют одну физическую величину
в другую, более удобную для использования в процессе регулирования, не
выполняя при этом функций измерения, усиления или коррекции;
корректирующие устройства 4 (последовательное) и 8
(встречно-параллельное) — повышают устойчивость и улучшают динамические свойства
системы регулирования. Вообще, в зависимости от способов включения
корректирующие устройства (КУ) и регуляторы подразделяют на: а)
последовательные, б) параллельные, в) встречно-параллельные. С помощью
последовательных КУ сигнал ошибки преобразуется так, что в закон
регулирования вводятся воздействия по производным и интегралам регулируемых
величин по 1вр'емешг. Параллельное КУ представляет собой элемент системы,,
включенный, как правило, параллельно усилителю, так, что на выходе
осуществляется суммирование сигналов усилителя и корректирующего
устройства. Встречно-параллельное КУ применяют в качестве местной
корректирующей обратной связи. При встречно-параллельном соединении сигнал с
выхода элемента передается на вход одного из предыдущих;
вспомогательное сравнивающее устройство 5 —■ сопоставляет сигнал в
промежуточной точке прямой цепи с сигналом местной обратной связи 8;
усилительное устройство 6 — предназначено для усиления мощности
сигналов в регуляторах. Оно управляет энергией, поступающей от внешнего
источника энергии. Применяют электронные и электромагнитные усилители,
гидравлические золотники, пневматические усилители и т. д.;
исполнительное устройство 7 — вырабатывает регулирующее воздействие
r(t), непосредственно прикладываемое к регулирующему органу или к
объекту управления. Исполнительные устройства, осуществляющие механическое
перемещение регулирующего органа, называют исполнительными
двигателями, или сервомоторами;
чувствительные, или измерительные, элементы 9 — предназначены для
28
преобразования регулируемых величин или возмущающих воздействий в
сигналы управления, удобные для дальнейшего использования в процессе
регулирования. Чаще всего значения регулируемых величин преобразуются
в пропорциональные электрические сигналы илн механические перемещения;
элемент главной отрицательной обратной связи 10 — вырабатывает
сигнал, находящийся в определенной функциональной зависимости от
регулируемой переменной.
Часть регулятора, которая преобразует сигнал ошибки е(<), называют
датчиком регулятора. Он состоит из задающего, измерительного и
сравнивающего устройств.
Часть регулятора, которая преобразует сигнал ошибки в регулирующее
воздействие r(t), обычно называют сервомеханизмом.
Таким образом, САР состоит из следующих четырех частей: объект
регулирования 3, датчик /, сервомеханизм 2, элемент ООС 4 (рнс. 2.5).
lftJ.
1
\
e(t)
г У
4
r(t)
X(t)
Рис. 2.5. Функциональные элементы САР
Конкретные схемы систем регулирования могут отличаться от типовой
схемы (см. рис. 2.4). Часть устройств может отсутствовать или может быть
конструктивно объединена в одном устройстве. В системы регулирования
могут входить и другие элементы, не показанные на рнс. 2.4. Что касается
функций корректирующих устройств, то их могут выполнять также
цифровые и аналоговые вычислительные машины.
2.3. Прямое и непрямое регулирование, одноконтурные
и многоконтурные, несвязанные и связанные САР
Прямое и непрямое регулирование. Как уже отмечалось,
САР состоит из объекта регулирования и регулятора.
Регулятор имеет чувствительный элемент, который измеряет
отклонение регулируемой величины. Чувствительный элемент
воздействует на регулирующий орган, изменяющий параметр таким
образом, чтобы значение регулируемой величины стало равно
заданному. В простейших регуляторах чувствительный элемент
непосредственно осуществляет перемещение регулирующего
органа.
САР, в которых чувствительный элемент воздействует
непосредственно на изменение положения регулирующего органа,
Называют системами прямого регулирования, а регуляторы
этих САР — регуляторами прямого действия (см., например,
рис. 2.8, а). В этих регуляторах энергия, необходимая для
изменения положения регулирующего органа, поступает
непосредственно от чувствительного элемента. Следует отметить, что
Реакция регулирующего органа на чувствительный элемент
снижает чувствительность этого элемента, в результате чего
Ухудшается качество регулирования.
В системах непрямого регулирования для перемещения
регулирующего органа используются вспомогательные устройст-
29

ва, которые работают от дополнительного источника энергии.
При этом чувствительный элемент воздействует на
управляющий орган вспомогательного устройства, а вспомогательное
устройство осуществляет перемещение регулирующего органа
(см. рис. 2.9, б).
Системы непрямого регулирования необходимо применять в
тех случаях, когда мощность чувствительного элемента
недостаточна для перемещения регулирующего органа и необходимо
иметь высокую чувствительность измерительного элемента.
Одноконтурные и многоконтурные САР. Современные САР
помимо главных обратных связей часто имеют местные ОС, а
также параллельные корректирующие устройства (см. рис. 2.4).
САР с одной регулируемой величиной, имеющие только
одну главную обратную связь и не имеющие местных обратных
связей (системы с одним контуром регулирования), называют
одноконтурными. В этих системах воздействие, приложенное к
какой-либо точке системы, может обойти систему и вернуться
в первоначальную точку, следуя только по одному пути обхода
(см. рис. 2.2).
САР, которые помимо одного контура главной обратной
связи имеют и местные обратные связи, называют
многоконтурными. В них воздействие, приложенное к какой-либо точке,
может обойти систему и вернуться в эту точку, следуя по
нескольким различным путям обхода (см. также рис. 2.4).
Системы несвязанного и связанного автоматического
регулирования. Системы с несколькими регулируемыми величинами
(многомерные САР, рис. 2.6) можно подразделить на два вида.
САР с несколькими
регулируемыми
Величинами
Системы
несвязанного
регулирования
1
г~~*
<Sj
-а
*
^
lj
«О
S
_£—
«•
*
а
к-.
°s
Й
Системы
связанного
регулирования
I
«I
«а
Рис. 2.6. Классификация многомерных GAP
1. Системы несвязанного регулирования — такие, в которых
регуляторы, предназначенные для регулирования различных
физических величин, не связаны друг с другом и могут
взаимодействовать через общий объект регулирования. Системы
несвязанного регулирования можно подразделить на зависимые
и независимые.
В зависимых системах несвязанного регулирования на изменение одной
из регулируемых величин влияют изменения остальных. Поэтому в таких
системах процессы регулирования различных регулируемых параметров
нельзя рассматривать изолированно друг от друга.
■ Примером зависимой системы несвязанного регулирования является
самолет с автопилотом, который имеет самостоятельные каналы управления
рулями. Предположим, что самолет отклонился от заданного курса. При
дТом автопилот вызовет отклонение руля поворота. При возвращении к
заданному курсу угловые скорости обеих несущих поверхностей самолета, а
следовательно, и действующие на них подъемные силы будут
неодинаковыми. Это вызовет крен самолета. Автопилот отклонит элероны. В результате
отклонения руля поворота и элеронов лобовое сопротивление самолета
возрастает. Самолет начинает терять высоту и его продольная ось отклонится
от горизонтали. При этом автопилот отклонит руль высоты. Таким образом,
процессы регулирования трех регулируемых величин — курса, бокового
крена и тангажа нельзя считать независимыми друг от друга, несмотря на
наличие самостоятельных каналов управления.
В независимых системах несвязанного регулирования изменение каждой
из регулируемых величин не зависит от изменения остальных. Поэтому
процессы регулирования различных величин можно рассматривать независимо
друг от друга.
Примером независимых систем несвязанного регулирования является
САР угловой скорости гидротурбины и САР напряжения генератора, который
вращает эта турбина. Процессы регулирования в этих системах независимы.
Процесс регулирования напряжения протекает во много раз быстрее, чем
процесс регулирования угловой скорости гидротурбины.
2. Системы связанного регулирования-—такие, в которых
регуляторы различных физических величин связаны друг с
другом и могут взаимодействовать вне объекта регулирования.
Примером системы связанного автоматического регулирования может
служить электромеханический автопилот (ЭАП) (рис. 2.7). Он предназначен
для поддержания заданных курса, крена и тангажа самолета. Кроме того,
ЭАП позволяет стабилизировать положение самолета в горизонтальном
полете, производить подъем, спуск, планирование, плоские и координированные
развороты при различных режимах полета и т. д. Далее будут рассмотрены
лишь функции ЭАП, связанные с поддержанием курса, крена н тангажа. \
Чувствительным элементом, воспринимающим отклонение самолета от
заданного курса, является гирополукомпас 12 (см. рис. 2.7). Его основной
частью является азимутально-свободный гироскоп, ось которого направлена
вдоль заданного курса. При отклонении самолета от курса ось гироскопа и
связанные с ней при помощи рычага 11 щетки реостатных датчиков курса 7
и поворота 10 сохраняют свое положение в пространстве, а корпус самолета
вместе с датчиками 7 и 10 смещается. Причем смещение щеток относительно
средннх точек сопротивлений пропорционально отклонению самолета от
заданного курса.
Чувствительным элементом, который воспринимает отклонения самолета
т заданного в пространстве направления (например, от вертикали или от
оризонтальной плоскости), служит гировертикаль 14. Основная ее часть —
вободный гироскоп, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоско-
_?и- Гировертикаль связана с щетками реостатных датчиков по двум осям.
Ри отклонении оси самолета от горизонта в продольной оси происходит
тносительное смещение щетки датчика тангажа 13; при отклонении самоле-
в горизонтальной плоскости возникают относительные смещения щеток
Датчиков крена 15—17.
18 гУлиРУющими органами самолёта являются рулл поворота /, высоты
и элероны 19, а исполнительными элементами, которые управляют
полодиями рулей, — рулевые машины каналов курса, тангажа и крена. Прин-
31

f-
шп действия всех трех каналов управления автопилота одинаков. Рулевая
машина каждого нз каналов связана с потенциометрическим датчиком ОС.
Основной потенциометрический датчик 13 соединен с соответствующим
датчиком ОС по мостовой схеме. Диагональ моста подключена к усилителю 6.
Когда самолет отклоняется от заданного направления полета, щетка
основного датчика смещается. В диагонали моста появляется сигнал. В результате
срабатывает соответствующее электромагнитное реле на выходе усилителя,
которое замыкает цепь электромагнитной муфты 4. Барабан 3
соответствующей рулевой машины сцепляется с валом непрерывно вращающегося
электродвигателя постоянного тока 5. Наматывающиеся на барабан (или
сматывающиеся с него) тросы начинают поворачивать соответствующий руль
самолета и перемещать при этом щетку потенциометра ОС 2. Когда значение
смещения щетки потенциометра обратной связи будет равно значению
смещения щетки потенциометрнческого датчика, сигнал в диагонали моста
станет равным нулю и движение данного руля прекратится. При этом руль
к повернется на угол, необходимый для изменения курса самолета под дейст-
° вием аэродинамического момента до заданного направления. Щетка основ-
§ ного датчика, по мере устранения рассогласования, возвратится к среднему
о положению, что приведет к действию рулевой машины в обратном
направлении и к повороту руля в исходное начальное положение. Выходные каска-
™ ды автопилота (от усилителей б и до рулевых машин) идентичны, а вход-
£ ные — несколько отличаются друг от друга. Щетка датчика курса связана
§ с гирополукомпасом не жестко, а с помощью пружины 8 и демпфера 9.
ё Поэтому кроме смещения, пропорционального отклонению от курса, щетка
я получает дополнительное смещение, пропорциональное первой производной
j§ отклонения по времени.
g Во всех каналах предусмотрены и дополнительные датчики, осуществ-
g ляющие связанное регулирование по различным осям, т. е. необходимую
коси ордавацию действий всех трех рулей. Это обеспечивает алгебраическое
и сложение сигналов основного и дополнительного датчиков на входе
усилием теля 6.
т В канале управления курсом дополнительно установлены датчики крена
§ и разворота, а в канале управления креном — датчики поворота и разворота.
g Следует отметить, что датчик поворота отличается от датчика курса тем, что
° его отклонение пропорционально только отклонению от курса н не зависит
« от первой производной. В канале управления тангажом установлен дополни-
« тельный датчик крена.
<" Влияние каналов управления друг на друга приводит к тому, что при
g движении самолета его крен, например, вызывает изменение тангажа и на-
g- оборот.
>> Систему связанного регулирования называют автономной, если связи
^ между входящими в ее состав регуляторами таковы, что изменение одной из
ej переменных в процессе регулирования не вызывает изменения остальных.
и
си 2.4. Статическое и астатическое регулирование
1. САР подразделяются на статические и астатические в
зависимости от того, имеют или не имеют они ошибку в
установившемся состоянии при определенных воздействиях.
На рис. 2.8, а приведена схема статической САР уровня воды в
резервуаре с помощью поплавкового регулятора. Такая система является
системой прямого регулирования: поплавок в ней жестко связан с регулирующим
элементом органом — задвижкой, которая изменяет количество воды,
поступающей в единицу времени по питающей трубе в резервуар. Данная си-
тема — пример статического регулирования, при котором регулируемая
величина при разных, но постоянных внешних воздействиях на объект по
окончании переходного процесса принимает различные значения, зависящие от
начения внешнего воздействия (нагрузки). Чем больше расход жидкости
V(r) в системе, чем больше открыта задвижка и, следовательно, тем ниже
состоянни равновесия будет находиться поплавок.
3—3591
33

Характерные особенности статической системы
регулирования следующие:
равновесие системы имеет место при различных значениях
регулируемой величины;
каждому значению регулируемой величины соответствует
единственное определенное положение регулирующего
элемента;
контур регулирования системы должен состоять из
статических звеньев, осуществляющих зависимость xBM«.=f (xBK).
a S
Рис. 2.8. Статическая САР уровня (а) н астатическая (б) I
В схему САР уровня жидкости (рис. 2.8, б) включен электродвигатель !
постоянного тока. При увеличении (уменьшении) расхода жидкости поплавок
(чувствительный элемент) опускается (поднимается) и замыкает верхний
(нижний) контакт. При этом электродвигатель начинает вращаться в таком
направлении, чтобы поднять (опустить) задвижку — регулирующий элемент —
и увеличить (уменьшить) приток жидкости. Данная схема — пример
астатического регулирования, когда при различных постоянных значениях внешнего
воздействия на объект отклонение регулируемой величины от требуемого
значения по окончании переходного процесса становится равным нулю. Степень
открытия заслонки зависит от расхода жидкости, а поплавок при заданном
значении уровня занимает одно определенное положение, соответствующее
заданному. Связать поплавок и заслонку следует таким образом, чтобы
одному положению поплавка могло соответствовать любое положение заслонки.
Характерные особенности астатической системы
регулирования следующие:
равновесие системы имеет место при единственном значении
регулируемой величины, равном заданному;
регулирующий элемент должен иметь возможность занимать
различные положения при одном и том же значении
регулируемой величины.
В астатических системах первая особенность реализуется с
некоторой погрешностью, так как чувствительный элемент
обладает разрешающей способностью (нечувствительностью)-
Для осуществления указанной связи между чувствительным и
регулирующим элементами в контур регулирования должно
быть введено астатическое звено — в данном случае
электродвигатель. При отсутствии напряжения вал электродвигателя
неподвижен в любом положении, при наличии напряжения ой
непрерывно вращается. Астатическое звено находится в состоя-
34
нии так называемого безразличного равновесия при отсутствии
внешнего воздействия и выходит из равновесия при наличии
этого воздействия.
2. Следует также различать системы статические и
астатические по отношению к возмущающему и управляющему
воздействиям.
В системах, статических по отношению к возмущающим
воздействиям, не одинаковым по постоянной величине, этим
воздействиям соответствуют различные значения регулируемой
величины. В астатических системах значение регулируемой
величины остается постоянным, равным заданному, и не зависит от
значения возмущающего воздействия.
В системах, статических по отношению к управляющим
воздействиям, постоянным значениям этого воздействия
соответствует постоянная ошибка, значение которой зависит от
значения управляющего сигнала. В астатических системах после
окончания переходного процесса ошибка равна нулю.
На рис. 2.9 и 2.10 приведены кривые переходных процессов в
статической и астатической системах по отношению к возмущающему f(t) н
управляющему g(t) воздействиям соответственно.
Рис. 2.9. Переходные процессы в статической
(кривая 1) и астатической (кривая 2) системах по
отношению к возмущающему воздействию
9МК
Рис. 2.10. Переходные процессы в
статической (кривая 1) и астатической
(кривая 2) системах по отношению к
управляющему воздействию
3*

2.5. Классификация САР в зависимости от идеализации,
принятой при их математическом описании
При анализе и расчете САР возникает необходимость
выбора адекватной математической модели, которая
соответствовала бы с заданной степенью приближения изменению
переменных состояния системы в реальном времени.
Следует отметить, что почти все САР представляют собой
нелинейные системы, содержащие как переменные, так и
распределенные параметры, в которых значение переменных в
данный момент может зависеть не только от текущих, но и от
прошлых значений этих переменных.
Точное математическое описание САР представляет собой
большие трудности и не всегда связано с практической
необходимостью.
Методы теории автоматического регулирования
разработаны применительно к различным типовым математическим
моделям реальных систем автоматического регулирования.
Классификация линейных и нелинейных математических
моделей САР представлена на рис. 2.11.
САР
Линейные
\ Дискретно-
I непрерывные
Нестационарные
Т
Нелинейные
Дискретно-
непрерыбные
Пирометры системы
Рис. 2.11. Классификация математических моделей САР в зависимости от
идеализации в их описании:
/ — сосредоточенные параметры; 2 — распределенные параметры
Следует отметить, что системы (или их математические
модели) каждого из классов и подклассов могут быть
детерминированными или статистическими. Математическую модель
называют детерминированной, если приложенные к системе
воздействия и ее параметры являются постоянными или
детерминированными функциями переменных состояния и времени, и,
наоборот, статистической, если приложенные к системе
воздействия и ее параметры являются случайными функциями или
случайными величинами.
36
2.6. Системы непрерывного и дискретного действия
САР в зависимости от характера сигналов подразделяют на
непрерывные и дискретные (прерывистые).
Если в процессе регулирования структура всех связей в
системе остается неизменной, то это — система непрерывного
регулирования. Сигналы на выходе элементов такой системы
являются непрерывными функциями воздействий и времени.
Между элементами на входе и выходе системы существует
непрерывная функциональная связь. Примером системы
непрерывного действия может служить схема на рис. 2.1,6, в которой
ток в цепи якоря является непрерывной функцией напряжений
на входе усилителей.
Системы прерывистого регулирования отличаются тем, что
в них через дискретные промежутки времени происходит
размыкание или замыкание цепи воздействий.
Принципиальным достоинством дискретных САР являются:
высокая точность, помехозащищенность, многоканальность, а
также гибкость при настройке на заданные технологические
режимы.
Системы прерывистого действия подразделяют на
импульсные или релейные. В импульсных системах размыкание цепи
воздействий происходит принудительно-периодически под
действием специального прерывающего устройства. В течение
передачи импульсов процессы в этих системах протекают так же,
как и в непрерывных САР. Импульсные системы содержат
импульсные элементы и осуществляют квантование сигнала по
времени. В системах релейного действия размыкание или
замыкание цепи осуществляются с помощью реле или элемента,
имеющего релейную характеристику. Реле срабатывает при
определенном значении непрерывно изменяющегося воздействия
на его входе.
Релейные системы квантуют сигнал по уровню (см.
рис. 2.8, б). Существуют и релейно-импульсные, или кодово-
импульсные, системы, в которых квантование сигнала
происходит как по времени, так и по уровню.
К кодово-импульсным относят системы, содержащие в
контуре управления цифровые вычислительные машины (ЦВМ)
или их элементы. Такие системы называют цифровыми.
САР в зависимости от их конструктивного выполнения
подразделяют на электронные, электрические, электромеханические,
пневматические, электрогидравлические и гидравлические.
2.7. Основные технические требования,
предъявляемые к CAR
Применение САР в каждом конкретном случае зависит от
того, насколько система удовлетворяет предъявляемым к ней
техническим требованиям. Основное требование — сохранение
37

заданной функциональной зависимости между управляющими и
регулируемыми переменными на входе и выходе системы.
Идеальных систем, которые выполняют это требование абсолютно
точно, не существует. Поэтому речь может идти только о
степени приближения системы к идеальной. Чем больше эта степень,
тем сложнее система. При проектировании САР необходимо
стремиться к разумному компромиссу между высоким
качеством ее работы и простотой технических средств для достижения
этого качества.
Требования, предъявляемые к поведению системы в
динамике, зависят от ее назначения, характера и конкретных условий
работы и т. д. Различают следующие категории технических
требований: устойчивость системы (запасы устойчивости
системы); значение ошибки в установившемся состоянии
(статическая точность); поведение системы в переходном процессе
(условия качества); динамическая точность системы (значение
ошибки при непрерывно изменяющихся воздействиях).
Проектируя САР, следует учитывать и такие показатели,
как расход энергии на управление, экономическая
эффективность системы регулирования, стоимость и окупаемость
оборудования, надежность и др.
Наиболее существенным из перечисленных требований
является устойчивость системы. САР из-за наличия обратных
связей склонны к колебаниям. В устойчиво работающей системе
колебания с течением времени затухают, и система приходит в
согласованное состояние. Устойчивость системы не должна
нарушаться при изменении в определенных пределах внешних и
внутренних условий (например, окружающей температуры,
напряжения питающей сети и т. д.). Запасы устойчивости должны
быть такими, чтобы обеспечивалась возможность изменения
параметров системы во время ее работы.
Следует отметить, что принцип обратной связи САР,
применяемый для подавления колебаний и уменьшения ошибки, при
определенных условиях может привести не только к генерации
колебаний и увеличению ошибки, но и к аварийным режимам.
В качестве примера рассмотрим автомат курса, реагирующий на
отклонение самолета от требуемого направления. Пусть в начальный момент
времени под действием возмущающих сил продольная ось самолета не совпадает
с требуемым направлением движения. В результате чувствительный элемент
автомата курса вырабатывает сигнал, который заставляет отклониться рули
направления. При этом возникает вращающий момент, возвращающий
самолет на заданный курс. Однако в момент, когда продольная ось самолета
совпадает с требуемым направлением движения, это возвращение не
прекратится, во-первых, потому, что самолет имеет значительный момент инерции и
при подходе к заданному курсу будет обладать определенным запасом
кинетической энергии; во-вторых, потому что автомат курса, обладающий
некоторым запаздыванием, возвратит руль в нейтральное положение лишь через
некоторый промежуток времени после того, как продольная ось самолета
совпадет с заданным курсом. Поэтому самолет будет отклоняться от
заданного курса в направлении, противоположном первоначальному, до тех пор,
пока автомат курса не произведет перекладку руля и пока не возникнет
вращающий момент, достаточный для возвращения самолета к заданному курсу.
38
Если при этом демпфирование самолета невелико, а инерция и запаздывание
автомата курса значительны, то амплитуда колебаний самолета относительно
заданного курса возрастет и сохранение заданного курса станет
невозможным.
Таким образом, устойчивость является необходимой, но
недостаточной характеристикой динамических свойств САР в
реальных условиях работы при наличии различных воздействий.
Виды типовых воздействий. Поведение САР существенно
зависит от величины и характера воздействий на систему. При
рассмотрении конкретных условий работы системы оказывается
возможным выбрать такой вид воздействий, который для
данной системы был бы наиболее типичным или наиболее
неблагоприятным. Изучив переходный процесс, вызванный этим
видом воздействий, можно судить о динамических свойствах
системы.
Так, при анализе динамики САР в качестве типового
(тестового) часто выбирают ступенчатое воздействие, или единичный
скачок (рис. 2.12, а). Примерами такого вида воздействий
являются уменьшение (сброс) или увеличение нагрузки в
системах регулирования угловой скорости электродвигателя, отказ
двигателя в системе двухмоторный самолет — автомат курса,
внезапное изменение положения задающей оси в следящих
системах и т. д.
т>
- №
Рис, 2.12. Виды типовых воздействий
Типовое воздействие может быть в виде б-функции
(рис. 2.12, б), т. е. иметь форму импульса весьма малой
продолжительности по сравнению с ожидаемым временем переходного
процесса. В реальных условиях такой вид воздействия имеет
место, например, в случае внезапного вхождения самолета в струю
воздуха, движущегося перпендикулярно траектории движения
самолета. При этом б-функцию можно рассматривать как
производную от единичной ступенчатой функции.
При исследовании следящих систем типовым управляющим
воздействием является, например,
S(t) =g0+glt+gj*+ ... +gj', t>0. (2.1)
Частными случаями такого вида воздействий являются:
g{t)=0, t<0.j <2-2)
39

g(t) = g2t* t>0;
g(t)=o t
::)
(2-3)
Выражения (2.2) соответствуют изменению управляющего
сигнала с постоянной скоростью (кривая 1, рис. 2.12, в), а
выражение (2.3) — изменению управляющего сигнала с
постоянным ускорением (кривая 2, рис. 2.12, в). Однако при
исследовании следящих систем управления антенной радиолокационной
станции используют функцию g(t)=arctg ftf„ которая отражает
собой закон изменения азимутального угла между
направлением на цель и некоторым фиксированным направлением в
случае прямолинейного и равномерного движения
сопровождаемого объекта (рис. 2.12, г).
В отдельных случаях типовое воздействие может быть
сложной формы, которая определяется экспериментальным путем.
Переходные процессы удовлетворяют так называемым
первичным показателям качества, когда при единичном ступенчатом
воздействии время переходного процесса Tn.n^.Tmsx,
перерегулирование (хтах—Хо)/*о-Ю0%, статическое отклонение Д^Дтах,
число колебаний /«[/(max за время Гтах. Здесь l max, -Ятах,
/(max, Дтах — заданные величины, а х0 — установившееся
значение регулируемой величины x(t).
Переходные процессы. Любое воздействие вызывает в
системе процесс, по окончании которого система переходит в новое
установившееся состояние. При статическом отклонении, не
равном нулю, можно выделить следующие типы переходных
процессов (рис. 2.13):
Рис. 2.13. Основные типы переходных процессов в САР
колебательные (кривая 1), характеризующиеся наличием
двух или большего числа перерегулирований;
малоколебательные (кривая 2), характеризующиеся
наличием только одного перерегулирования;
без перерегулирования (кривая 3), характеризующиеся тем,
что значение отклонения регулируемой величины остается в
переходном процессе меньше установившегося значения, т. е.
выполняется условие x(t)^.x(oo) при всех t (с точностью до Д);
монотонные (кривая 4), характеризующиеся тем, что
скорость изменения регулируемой величины не меняет знака в те-
40
цение всего переходного процесса, т. е. выполняются условия
dxldt>0 при 0<г<Г и \x{t)-x(oo) |^д при t>TnM,
где Тп.п — время переходного процесса.
В случае воздействий, интенсивность которых неограниченно
возрастает с течением времени, отклонение значения
регулируемой переменной также неограниченно возрастает. Поэтому
будем рассматривать не установившиеся и максимальные
значения отклонения, а установившиеся и максимальные ошибки
регулируемой переменной от установившегося ее значения.
Иногда реальные условия работы системы могут быть
такими, что само понятие «переходный процесс» теряет смысл.
Это относится к случаю (рис. 2.14), когда управляющее и
возмущающее воздействия представляют собой непрерывно и
быстро изменяющиеся случайные функции времени (например,
шумы или помехи).
Рис. 2.14. Воздействие, являющееся случайной функцией времени
В качестве примера рассмотрим следящую систему для управления
угловым положением антенны радиолокационной станции. На входной сигнал
системы, воспроизводящей движение цели, накладываются помехи, или
флуктуации, представляющие собой быстро изменяющиеся случайные функции
времени. Флуктуации входного сигнала создаются непрерывным изменением
коэффициента отражения самолета вследствие рыскания и качки последнего,
а также вследствие неоднородности его отражающей поверхности и других
причин. Такого рода воздействия при анализе систем не могут быть заменены
типовыми воздействиями в виде заданных функций времени, но этими
случайными факторами нельзя пренебречь, так как от них зависит общее
знание ошибки системы. Такие показатели качества, как время переходного
роцесса, статическое отклонение регулируемой величины, число колебаний,
Урегулирование, при этом теряют смысл. Сохраняет значение или макси-
альное отклонение xmzx регулируемой величины, которое характеризует
намическую_ точность системы в неустановившемся состоянии, нли среднее
значение х за достаточно большой промежуток времени.
2.8. Системы автоматического управления
вен иная с середины 60-х годов термин ТАР исчез из названий отечест-
Л0 НЬ1Х монографий и учебников, так как был почти везде заменен терми-
«теория автоматического управления» (ТАУ). Это представляется нам
41

неоправданным, ибо в термин ТАУ было вложено другое содержание, чем в
термин ТАР (например, в работах [2, 9, 12] излагается обычная
проблематика ТАР и пренебрегается ранее установившейся терминологией в
классических трудах отечественных ученых). Поэтому необходимо пояснить
различие между ТАР и ТАУ, состоящее в том, что ТАУ является дальнейшим
Принципиальным, существенным этапом развития ТАР.
Основная проблема ТАР (см. подразд. 2.1) в векторной
форме ставится так: заданы воздействия на входе системы, т. е.
уставки, или управляющие воздействия g (t) = gBx (t), зависящие
от технологии процесса. Необходимо их наиболее качественное
воспроизведение, т. е. сведение к минимуму функционала от
ошибки Q(Ay) между векторами входа и выхода САР:
- "emin=minQ\gaK{t)—y(t)l (2.4)
Система автоматического управления (САУ) представляет
собой совокупность объекта управления и управляющей
подсистемы (системы), подчиненных общей цели управления. Однако
САУ могут состоять из нескольких объектов, объединенных
единством цели управления (рис. 2.15). В качестве таковых
можно рассматривать, например, участок производства, цех
завода или даже сам завод.
Цель
управления
~3£.
/Mi
i>
IОбъект ЬгУ| Объект \л —У\Объект
Управляемая система
7^
u(t)
САУ
x(t)
£
yft)
^L
Упра Вляющая
система
J
Рис. 2.15. Общая функциональная схема САУ
Поведение САУ в процессе нормальной эксплуатации
определяется целью управления, внешней средой или внешними
условиями, а также внутренними свойствами управляемой й
управляющей подсистем.
Система управления называется автоматизированной, если
основные функции, необходимые в процессе ее работы для до-
42
тижения цели управления, осуществляются в ней с участием
человека-оператора.
Настоящая книга посвящена в основном теории автоматиче-
кого управления, т. е. теории управления техническими
объектами без непосредственного участия человека. Для того чтобы
перейти к рассмотрению проблемы ТАУ и ее отличия от
проблемы ТАР, дадим математическое описание САУ [4, 17].
САУ характеризуется следующими основными переменными,
которые являются функциями времени:
переменные состояния2 хх (t), х2 (t), ..., xn (t),
представляющие собой обобщенные координаты;
управляющие переменные Ui(t), u2(t), ..., Um(t),
формируемые управляющей системой и представляющие собой
воздействия на управляемый объект;
внешние переменные или возмущающие воздействия fi(t),
f2(t), ■ ■-, h(t), создаваемые внешней средой и являющиеся,
вообще говоря, случайными переменными;
наблюдаемые переменные yi(t), «МО. • • ■. Ui{t),
представляющие собой те из обобщенных координат xq(t), q=\, 2, ..., n
управляемой системы, информация об изменении которых
поступает на управляющую систему.
Переменные yq{t), q=\, 2, ..., I считают выходными
переменными системы управления.
Будем рассматривать эти переменные как компоненты
многомерных векторных функций (см. рис. 2.16):
'МО
x(t)-
*(') =
Г*1 О
x2(t)
u(*) =
lxn {t)
Ltt
y(<)=
if)-
raw-
y](t)
и называть векторы х(/), u(/), f(/), y(0 векторами состояния,
Управления, возмущения, наблюдения (выхода) соответственно.
В любой момент времени t состояние управляемой системы
является функцией начального состояния х(^о) и векторов u(to),
ЧМ. т. е.
х(*)=Х{х(*о); u(f, t0); f(t, t0)}. (2.5)
векторное уравнение (2.5) эквивалентно системе из п
скалярах уравнений
*i(0=X,{jc(*0); u(t, to); f(t, to)}, (2.6)
где i=i2 n
^, ^,... ,n.
•Уравнения (2.5) и (2.6) можно рассматривать как матема-
ическую модель управляемой системы в общем случае. Для
Строгое определение вектора состояния дано в разд. 4.
43

САУ, описываемых дифференциальными уравнениями, уравне.
ния (2.5) и (2.6) можно привести к следующему виду:
g = X{x(*); u(9; Hi)}- (27)
Уравнение (2.7) — стохастическое векторное уравнение системы
где f(/) —вектор возмущений и помех, имеющий случайный ха-'
рактер.
Часто на изменение вектора состояния х(/) (или его
производных) и вектора управления и(/) накладываются ограничения
вида
х(*)еА(9; }
• и(*)ев(<). J (2-8)
которые означают, что изменения векторов х(/) и и(/) должны
быть ограничены замкнутыми областями А(/) и В(/) векторных
пространств состояний и управлений соответственно.
Пусть цель управления как конечный результат
функционирования САУ определяется экстремумом некоторого
функционала Е, называемого показателем цели управления:
Е=Е{х(0, u(f), t(t)} (2.9)
Решение задачи управления состоит в том, чтобы найти
вектор управления и(^), обеспечивающий экстремум функционала
(2.9)
Ео=Е {x(f); u(0; *(0}=extr (2.10)
и
и одновременно удовлетворяющий ограничениям и связям,
налагаемым внутренними (собственными) свойствами системы и
внешними возмущениями и помехами.
Так как в правую часть уравнения (2.7) системы (объекта)
входят случайные переменные f(t), то и процесс изменения
вектора состояния x(t) или вектора выхода у(/) оказывается
случайным.
Таким образом, общей задачей теории управления является
управление случайным (стохастическим) процессом. Эта задача
в общей постановке представляет собой математически почти
непреодолимые трудности. Поэтому решение оптимальной
задачи управления (2.10) обычно основывают на методе
последовательных приближений, причем первую и вторую итерации
определяют поэтапно:
1) этап первичной оптимизации — состоит в нахождении
оптимального вектора управления uopt(0 без учета влияния
возмущающих воздействий и помех, характеризуемых векторов
i.(t). Экстремальная задача решается в упрощенной
детерминированной постановке, учитывающей лишь основные свойства
системы, т. е. без учета влияния случайных переменных или по'
мех i(t);
2) этап вторичной оптимизации, или оптимизации качеств*"
44
правления, — состоит в определении минимума функционала
^называемого показателем качества САУ)
Q0=min{E0—Едейст), (2.11)
U
где Ео — экстремум показателя цели управления, вычисленный
согласно этапу первичной оптимизации; Едейст — действительный
показатель цели управления, учитывающий влияние внешних
возмущений и помех.
Из сравнения следует, что функционал (2.4) является
частным случаем общего функционала (2.11).
Поясним, почему проблема ТАУ более общая и сложная,
чем проблема ТАР.
Во-первых, необходимо сформировать управляющее
воздействие или вектор u(t) на основании цели управления Е
объектом, представляющей собой, в достаточно общем случае,
конечный технический или экономический результат, который может
быть достигнут САУ на определенном временном интервале ее
функционирования. Функционал Е(-), характеризующий цель
управления, может представлять собой сложную функцию,
которую трудно формализовать (представить в аналитической
форме), так как этот функционал зависит, например, от
эффективности, производительности, прибыли, стоимости, вероятности
выполнения некоторого события и т. д. Кроме того, решение
задачи затруднено ввиду значительной неопределенности при
описании модели объекта, требуемых ограничений, случайного
характера приложенных к нему возмущений и помех и т. д.
Очевидно, что цель управления гораздо сложнее, чем цель
регулирования, которая состоит лишь в нахождении минимума
функционала от ошибки между входом и выходом согласно
(2.4).
Во-вторых, сложность проблемы управления состоит в
аналитическом решении задачи определения оптимального значения
Uopt(tf), придающего экстремум функционалу цели управления
Ео- Кроме того, необходимо усилить управляющий сигнал до
Уровня, достаточного для воздействия на объект управления,
т- е. решить собственно задачу регулирования, так как
технически управляющий сигнал обычно формируется при помощи
ЭВМ на низком уровне мощности.
Таким образом, необходимо сформировать показатель
качества управления в виде функционала (2.11)
Qo=extrQ[E0 (t) —Едейст (t)] (2.12)
решить эту задачу уже в стохастической постановке.
Один из вариантов решения проблемы управления приведен
На рис. 2.16, где fi(t) и Uif) —случайные воздействия.
Итак, поставлена проблема, которая сводится к решению
адаЧи ДВуХ зависимых друг от друга функционалов (2.11) и
* -12), между тем как в математике не существует регулярных
РеДств для решения задач такого рода.
45

Цель
управления
Автома u(t)
тичеа
праВоЗы
-
-Всйапв
(и;у)
Пбикщ
яеяия J
лГ

Измерители
Рис. 2.16. Вариант построения САУ
2.9. Проблема управления
Стремление обеспечить минимум функционала ошибки Qo,
характеризующей качество управления, обычно вступает в
противоречие с условиями технической реализуемости, зависящей
от сложности системы, ее стоимости, надежности и т. д.
Действительно, чем выше качество управления, т. е. чем выше
точность аппроксимации оптимального алгоритма управления, тем
сложнее, дороже и ненадежнее управляющая система.
Проблема управления является даже не двух-, а
многокритериальной задачей, что обеспечивает наивыгоднейшие условия
компромисса между противоречивыми условиями качества и
реализуемости управления. Вопросы проектирования САУ здесь
не рассматриваются3.
Проблема управления может быть пояснена схемой,
показанной на рис. 2.17. Цель управления задается функционалом Ео
(блок 1); в блоке 2, представляющем собой ЭВМ, определяется
экстремум функционала
E0=extrE(u); (2.13)
в блоке 3 осуществляется сравнение оптимального значения Ео
с его действительным значением Едейств при использований
функционалов (2.12) и (2.13) и вычислении на ЭВМ:
Q0=extr [E0 (*) -Е дейст (*)] = extr ДЕ.
Функционал Qo определяет качество управления при на*
личии случайных возмущающих воздействий.
Реализация управления по этому принципу представляе1
собой большие технические трудности. Одна из наиболее cf
щественных — необходимость формирования ошибки ДЕ Я"
показателю цели управления Е0.
8 См.: Солодовников В. В., Бирюков В, Ф., Тумаркин В. И. Приник
сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.
46
ВЛОН 1
Б/гонг БлонЗг | /ft)
ЭВМ
Цели
управления-
функционал
•E{x.u.f.t)
=0
extr E I i\
Х,и у,
Ж
йЕ
Edeucmliu.y}
№=*-$**■=$ extruE гг£>
Рис. 2.17. Схема проблемы управления
Действительно, определение ДЕ требует измерения всех
переменных величин, от которых зависит результат и
которые входят в выражение для цели управления Е(/).
Большинство из них не может быть оперативно определено в ходе
процесса управления (либо из-за недостатка измерительных
устройств, либо из-за того, что вычисление этих переменных
может быть выполнено лишь за большой промежуток времени).
Поэтому задача управления в изложенной ранее постановке
заменяется более простой задачей, когда показатель качества
управления
Q=Q[E0-EpeaJIbH]=Q[AE]
не зависит явно от ошибки в показателе цели управления
ф(ДЕ). В этом .случае необходимость формирования сигнала
об ошибке ДЕ отпадает и задача значительно упрощается.
Таким показателем может служить точность управления,
определяемая следующим образом. Рассмотрим вектор ошибки
Ex(t)=x0(t)—x(t), (2.14)
или
М')=Уо(0—У(0.
где x0(f), yo(t) —оптимальные векторы состояния и выходной
переменной соответственно (получены на основании первичной
оптимизации функционала Е, определяющего цель управления).
Вектор состояния x(t) можно найти по результатам
наблюдения или по данным измерения вектора наблюдения (см.
Рис. 2.16). Тогда этап вторичной оптимизации (собственно
задача регулирования) не требует вычисления показателя цели
Управления Е(/) и сводится к определению оптимального
Управляющего воздействия
u<7)=kx(0,
Де^х(^)—оценка вектора состояния; к — некоторый
переменный коэффициент.
Другими словами, необходимо получить корректирующее
ВозДействие
v(t)=uovt(t)+Au(t),
47

которое компенсирует все случайные возмущения, вызывающие
отклонения от оптимального режима xopt(0 или от траектории
объекта, вычисленной согласно первичной оптимизации,
пренебрегающей этим возмущением.
На рнс. 2.18 показана возможная схема адаптивной
(приспосабливающейся) системы управления, в которой экстремум цели управления E(f)
модифицируется под влиянием наблюдения действительных управляющих
воздействий u(t) и вектора состояния х(/). Эта схема представляет собой двух-
контурную систему управления.
Цель
управления
У,У,
о £(t>
rrj> extrE(t)
г(П
Рис. 2.18. Адаптивная (приспосабливающаяся) САУ
Конечно, этот косвенный метод решения проблемы управления в
принципе менее совершенен, чем метод непосредственного измерения разности
между оптимальным показателем цели управления Е0 и его реальным показателем
Едеаств согласно алгоритму (2.1). Но этот алгоритм, как отмечалось ранее,
не реализуем в техническом отношении.
Поясним этапы первичной и вторичной оптимизации на примере системы
управления самолетом. Этап первичной оптимизации связан с необходимостью
получения максимальной точности вывода самолета на оптимальную
траекторию при условии минимальной затраты топлива.
Этап вторичной оптимизации, согласно выражению вектора ошибки
(2.14), необходим для достижения заданного конечного состояния в
определенный момент (согласно оптимальной траектории, вычисленной на первом
этапе оптимизации). Но это — траектория, вдоль которой полет самолета ие
осуществим из-за различных возмущений, действующих на самолет в полете.
Эти возмущения, отклоняющие самолет от оптимальной траектории,
необходимо компенсировать.
Отметим, что если бы величину одного из функционалов, например
показателя цели управления Е можно было ограничить затратами на энергетику,
расходуемыми рулями управления самолетом, то зависимости второго этапа
■оптимизации от первого не существовало бы и отпала бы проблема
одновременной оптимизации двух взаимозависимых функционалов. Но на самом деле
функционал Е, а также функционал Qx, зависящий от отработки САУ
оптимальной траектории и тоже требующий затрат на энергетику, т. е.
формирования корректирующего вое действия v(f), взаимосвязаны.
2.10. Примеры САР и САУ
В различных отраслях промышленности и народного
хозяйства широкое применение нашли два класса
автоматических систем: циклические, или разомкнутые, действующие по
48
сткой программе (например, разнообразные автоматы, ро-
*е ь1 СТанки-автоматы, входящие в состав поточных линий, и
о )"' ациклические, или замкнутые, функционирующие на
основе принципа обратной связи.
Приведем примеры ациклических систем4. В качестве си-
еМ регулирования рассмотрены САР нагревательной печи и
система стабилизации угла тангажа самолета; в качестве
систем управления — ряд САУ объектами
металлообрабатывающего производства.
САР температуры печи (рис. 2.19). Рассмотрим процесс стабилизации
или автоматического регулирования температуры, заключающийся в том, что
условиях неопределенности начальных условий и возмущений необходимо
поддерживать температуру 6 в электропечи постоянной (или изменять ее в
соответствии с некоторым законом), которая задается напряжением ив на
входе системы. Температуру В в печи измеряют термопарой, которая дает
напряжение ыт, пропорциональное температуре 6. Сравнение этого
напряжения с напряжением на входе системы осуществляется за счет цепи обратной
связи. Разность напряжений iAu=u0—ит называют рассогласованием, или
отклонением (ошибкой системы регулирования). Оно пропорционально
отклонению температуры от требуемого значения щ. Разность напряжений Ди
усиливается электронным, магнитным или каким-либо другим усилителем.
Напряжение с его выхода иу подается на привод, который осуществляет
перемещение s движка потенциометра и изменяет сопротивление г в
электрической цепи нагрева печи. При увеличении сопротивления г ток в цепи
нагрева уменьшается, а температура в печи снижается, и наоборот.
Характерная особенность САР заключается в том, что сама разность между
требуемым и действительным значениями регулируемой величины является
прич hoi* устранения этого рассогласования при помощи обратной связи.
Рис. 2.19. САР температуры в нагревательной печи:
1 — усилители (суммирующий и мощности); 2 — электрический привод; 3 —
реостат; 4 — электропечь; 5 — высокотемпературный нагревательный элемент;
6 — термопара
В рассматриваемом примере обратную связь осуществляет нзмери-
ельное устройство — термопара. Она является чувствительным элементом,
Реагирующим иа действительное значение регулируемой величины (темпера-
Уры ©) и формирующим сигнал ошибки Д«.
Автоматическое управление летательным аппаратом (рис. 2.20). Отклоне-
ие Действительного угла тангажа ■© от требуемого определяется с помощью
°бодного гироскопа, снабженного потенциометром. Нулевое положение по-
/ Циклические (цикловые) системы регулирования подробно рассмотрены
* м-. например Коровин Б. Г., Прокофьев Г. И., Рассудов Л. Н. Системы
Рограммного управления промышленными установками и робототехническими
комплексами. л-: Энергоатомиздат, 1990. 352 с).
4—3591
49

тенциометра соответствует требуемому углу тангажа v„ и задается программ-
ным механизмом 1. Напряжение ие на выходе потенциометра 2
пропорционально ошибке €.=■&„—■&. Устройство 3 преобразует сигнал ошибки ые в
управляющий сигнал щ. Для придания САУ требуемых динамических
свойств к сигналу ошибки с помощью корректирующего устройства
(электрической RC-цепи) добавляются сигналы, пропорциональные его
производным и интегралам.
£«*п-0
'{Ошибка
г
"с
3
X,
оос
4
Ist
Е
^
в
9
Рис. 2,20. Система автоматической стабилизации тангажа самолета
Электрический сигнал затем усиливается электронным или магнитным
усилителем 4. Выходной ток iy управляет рулевой машиной 5 летательного
аппарата 6. Рулевая машина поворачивает иа угол 6 рули, которые создают
момент, вращающий летательный аппарат вокруг центра масс и изменяющий
при этом угол тангажа ■&. Этот угол ■© сравнивается с требуемым углом ■&п и,
таким образом, система замыкается обратной связью.
Управляющим воздействием в системе является программное значение
входной величины ■0П(0- Возмущающее воздействие — силы и моменты (FB
и Мш), приложенные к летательному аппарату и вызываемые атмосферными
факторами, а также производственными погрешностями.
Металлообрабатывающие станки с числовым программным управлением
(ЧПУ). В современном производстве широко используют станки с ЧПУ [11,
19]. Применяемые в машиностроении сложные поверхности и кривые либо
описывают известными уравнениями, либо могут быть аппроксимированы по
участкам плоскостями и прямыми линиями, а также поверхностями и
кривыми второго порядка. Это дает возможность сравнительно просто
программировать процесс определения координат точек кривой и поверхности на
ЭВМ (этап первичной оптимизации системы). Поскольку число точек,
которыми должно задаваться положение рабочего инструмента при достаточно
высокой точности обработки детали, получается значительным, то на
центральной ЭВМ вычисляют лишь сравнительно небольшое число опорных точек,
которые обычно являются точками сопряжения кривых, описываемых
различными уравнениями. Эти данные выдаются в виде первичной программы
для последующей обработки на микроЭВМ, осуществляющей интерполяцию
между опорными точками и выполняющей некоторые другие операции:
управление скоростью перемещения инструмента, учет его износа и т. д. (этап
вторичной оптимизации).
Функциональная схема импульсной системы управления фрезерным
станком (системы с ЧПУ) показана на рис. 2.21. С выхода центральной управ-
лящей ЭВМ сигналы поступают в формирователь импульсов (ФИ), который
преобразует эти сигналы в прямоугольные импульсы ип*.
Синхронизаторы (С) разделяют во времени сигналы ип* прямой цепи от
импульсов обратной связи иос*. Сигналы обратной связи, пропорциональные
истинному перемещению стола фрезерного станка, в виде импульсов
снимаются с преобразователя угол — код (УК). Эти сигналы также проходят
через блок ФИ.
При наличии рассогласования в числе задающих импульсов и импульсов
обратной связи мос* на выходе реверсивного счетчика (PC) образуется
сигнал разности |Ди* = ып*—«ос*, который поступает в преобразователь ЦАП,
где импульсный сигнал преобразуется в непрерывный Дм. Знак непрерывного
напряжения Дм совпадает со знаком рассогласования Дм*.
Напряжение Дм, усиленное электронным (ЭУ) и электромашинны»*
(ЭМУ) усилителями, поступает на вход эелктродвигателя (Эдв), .который
50
Рис. 2.21. Функциональная схема импульсной системы
управления фрезерным станком (по координате х перемещения
стола станка)
приводит во вращение через редуктор ходовой винт подачи стола.
Электродвигатель будет вращать ходовой винт до тех пор, пока в результате
поворота преобразователя УК число отработанных импульсов не станет равным
числу заданных импульсов, т. е. Ди* = 0.
Для обеспечения устойчивости цифровой следящей системы станка
применена гибкая отрицательная обратная связь. В нее входят тахогенератор
(ТГ), вал которого связан с валом Эдв, и корректирующее устройство (КУ).
МикроЭВМ осуществляет экстраполяцию сигналов, интерполяцию уравнений
обрабатываемого контура и адаптацию системы.
Промышленные роботы. Промышленный робот является автоматической
машиной, представляющей собой элемент технологического оборудования,
объединенный с другим оборудованием в некоторый роботизированный
технологический комплекс (РТК).
В состав РТК входят станки, прессы илн другие технологические
агрегаты с числовым программным управлением (ЧПУ), обслуживаемые
промышленными роботами, и общая система управления [11]. Основа робота —
многостепенная механическая подсистема подвижности (манипулятор) и
микропроцессорные системы автоматического регулирования. РТК является
системой автоматического управления с общей целью управления —
максимизировать производительность труда при заданных ограничениях. Благодаря
многозвенной кинематике манипулятора и системе управления, включающей
микроЭВМ с соответствующим программным обеспечением, промышленный
Робот может легко переналаживаться на выполнение разнообразных
производственных операций. Переналадка осуществляется изменением только
программы действий, т. е. только цифровым перепрограммированием. Это свой-
тво робота принципиально отличает его от традиционной производственной
снастки и других «жестких» технологических приспособлений, которые не-
оходимо заменять на новые при другом типе изделия. Таким образом, при-
нение роботов существенно экономит подготовительное время и средства
ри ™ене продукции.
ни Р°Мышленный робот — это принципиально новый элемент оборудова-
гиб' автоматизиРУюЩий различные операции и позволяющий осуществлять
стрК^Ю И опеРативнУю перенастройку. Применение роботов в определенной
в м6НИ завеРшает комплексную автоматизацию производственных процессов
П0*!асШтабе линии, участка, цеха с приданием им гибких свойств. Роботы
тель°ЛЯЮТ исключить участие человека как в основных, так и во вспомога-
ных операциях. Робот выдерживает жару, холод, вакуум, радиацию,
4*
51

может реагировать на ультразвук, иметь удлиняющие (телескопические)
суставы своих звеньев и развивать большие усилия. Но ему, конечно,
недоступны в полной мере интеллектуальные возможности человека.
При роботизации производства для достижения цели управления
необходимо пересмотреть организацию технологического процесса, а в некоторых
случаях и переоснастить производственный участок на базе технологического
оборудования с ЧПУ, чтобы не объединять новую технику с устаревшей и
малопроизводительной. Робот важен не сам по себе, а в комплексе с
основными технологическими машинами. Именно в таком сочетании робот дает
преимущества перед традиционным составом оборудования. Эти
преимущества оправдают затраты иа роботизацию производства, если правильно
организовать РТК как хорошо продуманную комплексную систему.
Современные и перспективные промышленные роботы подразделяют на
три класса (или три поколения): программные, адаптивные и интеллектные
,(с элементами искусственного интеллекта). Все они обладают перепрограм-
мируемостью, т. е. свойством оперативной замены программы в соответствии
с целью управления.
В промышленных роботах первого поколения (программных)
перепрограммирование осуществляется человеком-оператором, после чего робот
действует, циклически повторяя жестко заданную программу.
Программа действий роботов второго поколения (адаптивных)
закладывается человеком, но робот обладает свойством в определенных пределах
автоматически перепрограммироваться, т. е. адаптироваться (см. разд. 12)
в ходе технологического процесса в зависимости от условий и обстановки,
которые были неточно определены при его проектировании (рис. 2.22).
!
1
I
I
Ввод задания,
цели
управления
Ж
Адаптация Л
р
Ж
Управление v
движением
ив„ан»1
i
£
Адтаматичес-
кие
приводи
Ж
САР
Механизмы
работа
-Ж
I
Объекты и среда
действия
Датчики
11——^/ очувствления
Датчики
информации
Рис 2.22. Функциональная схема САУ адаптивного робота
52
if
Р
<Q S,
г—
$
|
§;
Средний
Ввод задания,
цель управления
U
ЭВМ AJJ
иснуствсниога з f^Z~~
интеллекта Q 1
&
м оптимизации a JL_
действий V"
U If
Система
навевения
\\>
К JUKI
'^5
И
; распределения *
г сигналов QZ
иамЩу ~[
— i к
~1 W
Система
восприятия
обстановка
Вввд
информации
Выдача
информации
Ввод
информации
Выдача
информации
G-i
Ч
А
Двтоматичес и1_|
кие \п—1
привады 1
l\CfiP |
Механизмы _,.
^Ш 1
Объекты
и среда
действия
I—*
*
,л:
V
Система
очувствления

Информационная
система
Рис. 2.23. Функциональная схема САУ интеллектного робота
Для роботов третьего поколения (интеллектных) задание в общей форме
вводит человек-оператор, а робот может планировать свои действия в
неопределенной или меняющейся обстановке (рис. 2.23). Интеллектные роботы
отличаются значительными логическими и вычислительными возможностями.
Гибкие производственные системы (ГПС). Гибкостью производства
называется его способность оперативно и без существенных затрат труда и
средств переналаживаться на изготовление новой или модернизированной
продукции, на новые технологические процессы [11]. При этом
существенное значение имеют организация всех производственных процессов,
синхронизация работы его звеньев и обеспечение оптимального взаимодействия всех
технологических линий и таких частей производственных подразделений, как
склады, транспорт, контроль, проектирование, испытание, снабжение и т. д.,
подчиненных единой цели управления.
ГПС в целом представляет собой многоуровневую иерархическую
систему управления. Нижний ее уровень составляют локальные системы
программного управления объектами — станком, прессом, роботом,
вспомогательным механизмом. Эти объекты технологического оборудования сиабже-
Ны микропроцессорными средствами обработки информации и управления
53

верхнего уровня, а также информационными устройствами с измерителями
параметров состояния объекта и хода технологической операции в каждом
из иих. Информация поступает на их собственную микропроцессорную часть
для обработки и использования в локальной системе регулирования. Кроме
того, эта информация (или часть ее) передается на следующий уровень ГПС.
Каждый отдельный объект имеет свою внутреннюю иерархическую
систему переработки информации, управления и регулирования (например,
промышленный робот, обрабатывающий центр с ЧПУ и т. д.)
Следующим, средним уровнем в иерархии ГПС является гибкий
производственный модуль (рис. 2.24). В состав модуля входят один—три станка,
Информация
от устройств
диагностики
оборудования
\
Информация
от средств
контроля
деталей
1
I
МПС,
ЭВМ Верхнего уровня
Ж
ЭВМ
модуля
ГПС
\>
мпс„
iz.
S
¥^1Г
<=
i
МПР,
7Т
iz.
Пульт
управления
модулем ГПС
ЗУ
МПУУ
подачи
инструмента
Л-
£
SZ
\7
Автоматические привады
Рис. 2.24. Функциональная схема САУ гибкого производственного
модуля:
МПС — микропроцессоры управления станками; МПР — микропроцессоры
управления роботами; МПУУ — микропрцессорнре управляющее устрой-
роботы, вспомогательные механизмы или комплексы другого
технологического оборудования. МикроЭВМ производственного модуля получает
информационные сигналы от каждого отдельного объекта, входящего в состав
этого модуля. МикроЭВМ формирует команды управления на каждый из
объектов своего модуля, согласовывая нх совместную деятельность в
соответствии с общей целью управления и критерием оптимальности. МикроЭВМ
передает также необходимую информацию о состоянии и ходе
технологического процесса на следующий уровень САУ.
Функциональная схема всей системы управления ГПС цеха, включая
верхний уровень, показана на рис. 2.25. В единую ГПС включают не только
участки и линии, но также автоматизированные склады заготовок, деталей,
инструмента и выходной продукции цеха, внутрицеховой автоматический
транспорт, цеховые АСУ, технологические службы, подразделения
технологического контроля продукции цеха. Гибкая переналадка ГПС
реализуется с использованием сети ЭВМ с соответствующим программным
обеспечением, допускающим расширение и развитие системы в целом.
64
Й1
«Э-J3
^s*
"ао-^ч
§§^
Ш
*^
пищ поп
71
тгшнзмйо'шзи'л
nrit/эдел л
goi/efi
'лэюшэд
Диспетчерская
служба
ШШЭГНЭО
71
mu/jatvfidu/o^n
Si
ll
Г
Основное
оборудование
71П1/Э£СЛ Л
goi/efi
1уэ1/ушэд
S
1
Контрольно-
измерительные
устройства
ъндонюшзИ
Э7ГМ
-ээьлго1/оихэ±
(iQunmvn)
n»HDUI$
а
С
х
с*
d
s
в.
55

Контрольные вопросы
1. Что такое САР и САУ? Какими основными свойствами
обладают САР и САУ, функционирующие по замкнутому
циклу?
2. В чем заключается сущность прямого и непрямого авто-
матического регулирования?
3. Дайте определение и охарактеризуйте особенности сле>
дующих типов САР: систем автоматической стабилизации, си>
стем программного регулирования, автоматических следящих
систем.
4. Определите принципы и особенности статического и
астатического регулирования (по отношению к управляющему
и возмущающему воздействиям).
5. Перечислите и охарактеризуйте основные виды
воздействий на САР.
6. Каковы основные технические требования,
предъявляемые к САР? На какие технические характеристики САР и как
влияют требования к энергетике системы (мощность, КПД и
т. д.).
7. Что такое математическая модель САР? Какие
существуют основные формы представления математической модели
динамической системы?
8. Объектом регулирования является металлорежущий
станок. Какие основные возмущения действуют на систему
управления станком?
3. Дифференциальные уравнения
и частотные характеристики систем
автоматического регулирования
Основная форма математического описания объектов и
систем — дифференциальные уравнения. В частности,
динамические свойства линейных непрерывных систем описывают
линейные дифференциальные уравнения, которым адекватно
соответствуют передаточные функции и амплитудно-фазовые
частотные характеристики (АФЧХ). Последние в теории
автоматического регулирования имеют особое значение, так как
являются основой частотного метода анализа и синтеза САР
[19].
Частотная характеристика объекта (системы) может быть
получена либо из соответствующей передаточной функции
заменой s на /со, либо экспериментальным путем.
Формализм типовых линейных динамических звеньев и их
передаточных функций позволяет, с одной стороны,
осуществить декомпозицию математических моделей сложных систем,
а с другой — использовать их в качестве элементарных
структур для представления объектов и систем при
автоматизации моделирования их динамики на ЭВМ).
56
3.1. Уравнения САР
Для проектирования и анализа системы автоматического
регулирования необходимо располагать ее математическим
описанием — дифференциальными или интегродиференциаль-
ными уравнениями. Системы с сосредоточенными параметрами
описывают обыкновенными уравнениями в функции
непрерывного времени t, а системы с распределенными параметрами —
уравнениями в частных производных. Дифференциальные
уравнения определяют поведение САР в переходном процессе при
действии возмущающих сил или после прекращения их
действия.
Дифференциальные уравнения называются уравнениями
динамики, если они описывают изменение входящих в них
переменных во времени. Из уравнений динамики обычно можно
получить уравнения статики, если принять все входящие в них
производные и воздействия равными нулю или некоторым
постоянным величинам. Уравнения статики описывают состояние
системы в установившемся режиме.
При составлении дифференциальных уравнений динамики
системы автоматического регулирования ее математическую
модель обычно разбивают на отдельные независимые элементы,
или звенья, и записывают уравнение каждого отдельного
звена. Уравнения всех звеньев образуют единую систему, которую
можно преобразовать к одному уравнению путем исключения
промежуточных переменных.
Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно
выражало зависимость между величинами (переменными),
являющимися входом и выходом данного звена, т. е. между теми
величинами, которые представляют собой воздействия данного
звена на последующее и предыдущего на данное. Звено может
иметь не одну входную величину, а несколько (например, при
наличии дополнительных обратных связей). Кроме входных и
выходной величин звено имеет вход (точку), к которому
приложено возмущение.
Дифференциальные уравнения составляют на основе тех
физических законов, которые определяют протекание процесса в
соответствующем элементе. Чаще всего исходным является
закон сохранения вещества и энергии, записанный
применительно к рассматриваемому процессу [18].
При составлении дифференциального уравнения выявляют все факторы,
т которых зависит исследуемый процесс, нли переменные, входящие в это
Уравнение. При большом диапазоне изменений регулируемой величины урав-
Ние статики нелинейно. Приведем примеры.
„ Для электрического генератора с независимым возбуждением при малых
Мнениях тока возбуждения можно написать линейное уравнение вида
ге„„ г — напряжение иа выходе генератора, UB — напряжение возбуждения
"-"ератора.
57

При значительном токе возбуждения необходимо учитывать насыщение
магнитной цепи электрической машины, т. е. перейти к нелинейному уравнению
£/г=/(£/в).
Для малых отклонений регулируемой величины можно пользоваться
линеаризованными уравнениями, а для больших—нелинейными вида
*=fQ/); *=F(z).
где х, у, z — абсолютные значения регулируемой величины, регулирующего и
возмущающего воздействий соответственно.
Геометрическое изображение уравнений статики системы —
это статические характеристики, т. е. кривые, построенные в
координатах х, у или х, г. Примером таких характеристик
является статическая характеристика электронного усилителя
U^x=f(UBX) (рис. 3.1) или электродвигателя постоянного тока
Рис. 3.1. Статическая
характеристика электронного
усилителя постоянного тока
Рис. 3.2. Характеристика холостого хода
электродвигателя постоянного тока
Q=f(Uy) (рис. 3.2). Здесь иВЫх— напряжение на выходе
усилителя; UBX — напряжение на его входе; Q — скорость вала
электродвигателя, рад/с; Uy — управляющее напряжение на
якоре.
Статические характеристики (см. рис. 3.1 и 3.2) являются
нелинейными. Когда это возможно, для упрощения расчетов их
следует линеаризовать, например
методом усреднения или методом
касательной при небольшом
диапазоне изменения входной и
выходной величин (рис. 3.3).
Точка С (см. рис. 3.3)
характеристики Q=f(Uy) с координатами
Q,) и Uy0 соответствует
номинальному режиму работы
электродвигателя. Если учесть малость
отклонений Дй и AUy (угловой скорости якоря и управляющего
соответственно), то можно прилежащий к точке С КрИВОЛИНеЙ-
Рис. 3.3. Линеаризация
нелинейной статической
характеристики
58
нь1Й участок статической характеристики Q f(Uy) заменить
прЯмой (касательной или секущей). Рассматриваемый рабочий
участок можно изобразить отдельно в новых осях координат
(Дй, Д^у). обозначающих отклонение величин Q и Uy от их
номинального режима. Такую замену реальной нелинейной
характеристики линейной называют линеаризацией. Рабочий
участок описывается формулой ДО=£0Д^у, где &0=tg а —
крутизна характеристики.
Следует отметить, что имеются так называемые существенно
нелинейные характеристики. Среди них можно выделить
типичные для САР, которые могут быть представлены математически
или получены экспериментально. При анализе систем, элементы
которых содержат такие характеристики, применяют методы
теории нелинейных систем автоматического регулирования
(см. разд. 8). ■
- 3.2. Методика составления дифференциальных
уравнений САР. Линеаризация уравнений
Первый шаг при составлении уравнений динамики элемента
САР — установление физических законов его поведения. Как
уже отмечалось, ими являются основные законы физики.
Математическое выражение закона, определяющего процесс в
данном элементе системы, является исходным дифференциальным
уравнением этого элемента.
Второй шаг — выявление и анализ факторов для
определения зависимостей переменных, входящих в исходное уравнение,
и нахождение выражений, характеризующих эти зависимости.
Последние могут быть или выражены аналитическими
функциями, или заданы графически. В большинстве случаев они
являются нелинейными зависимостями. Подстановка найденных
выражений в исходное уравнение дает нелинейное уравнение
элемента (в частности, объекта регулирования).
Если для полученного уравнения линеаризация допустима,
исследование процесса (например, регулирования) может быть
Упрощено. Достаточными признаками для проведения
линеаризации обычно являются отсутствие разрывных, неоднозначных
или резко изменяющихся характеристик, а также
правомерность уравнения для всего интервала времени регулирования.
Дифференциальные уравнения линеаризуют при помощи
Формулы Тейлора. Используя ее, можно разложить нелинейную
Функцию нескольких переменных по степеням их малых
приращений (в окрестностях значений, соответствующих
установившемуся режиму). Формула Тейлора содержит остаточный член,
^следование которого позволяет оценить величину ошибки,
поучающейся в том случае, когда ограничиваются лишь первыми
ленами разложения.
ИмРр?°РмУла Тейлора, например для функции трех переменных х, у и г
ет ВИД;
59

F (х, у, г) = F (Xo + Ax, y0 + Ay, z0 + Аг) =
dF dF dF
= F(x0, y0, z0)+-jfc- Ax + -$y- Ay + ~^Az +...=F (x0, y0, z„) +
Л 1 / dF dF dF \{i)
+ 2iir(-dx-Ax + -dTAy+~dTAz) +R*
1=1 s '
где x=x0+Ax; y=yB+&y; z=zB+Az; x0=const; #0=const; z0=const-
Rn+i—остаточный член. '
Если в выражении под знаком суммы показатель степени i=2, то
/ OF dF dF \s d2F dzF d2F
у d*F_
) =dx2 '
\ дх "ЛТ dy ?^ dz "*) =dx^ax ^SyTM +^
~~ n d3F d*F d'F
+ 2^aYAxAy + 2-dxl7AxAe + 2-dylI А&Аг-
Частные производные здесь вычисляются в точке с координатами хв, у0, z0
и поэтому являются постоянными.
При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются лишь
членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом R2.
Поэтому можно записать
ч г,, dF dF dF
F (x, у, z)xF (x0, №>, z0) + ~fa- Ax +~fa Ay+-j~J- A*-
Для исследования устойчивости процесса регулирования такого
приближения, как правило, бывает достаточно. Однако иногда линеаризованные
уравнения используют для исследования качества процесса регулирования.
В этом случае приращения переменных могут быть не всегда малыми. Тогда
для строгой оценки допускаемой погрешности проводят анализ остаточного
члена /?2-
Выражение приращения AF(x, у, z) функции F(x, у, г) определяется как
разность между текущим значением этой функции и ее значением F в
некоторой фиксированной точке, заданной координатами хв, Уо и z0, т. е.
AF(x, у, z)=F(x, у, z)—F(xB, ув, zB).
Подставив в это выражение значение F(x, у, г), определяемое по формуле
Тейлора, получают приближенное, с точностью до R2 соотношение
.„, dF dF dF
AF(x, у, г)»-^- Ах + -^ Ay + ^Az. (3.1)
Им следует пользоваться при линеаризации нелинейных дифференциальных
уравнений.
После линеаризации получают уравнение в отклонениях (или
в приращениях), выраженное в абсолютных единицах. Каждый
член уравнения (3.1) имеет определенную размерность. Однако
при исследовании САР удобнее иметь уравнения, выраженные в
относительных единицах с коэффициентами: безразмерными
или имеющими размерность времени и степень,
соответствующую порядку производной, к которой относится данный
коэффициент.
При приведении дифференциального уравнения в
отклонениях, выраженного в абсолютных единицах, к уравнению в от'
носительных единицах с безразмерными коэффициентами
необходимо провести следующие операции.
60
1 Все члены уравнения делят на некоторое постоянное
знание переменной, имеющей размерность членов этого уравне-
Ч«я (таким постоянным может быть, например, номинальное,
н кСймальное или некоторое начальное значение переменной).
R результате каждый член уравнения станет безразмерным.
2. Переходят к относительным единицам. Выбирают постоян-
ое значение для каждой координаты любого из приращений,
входящих в полученное уравнение. Затем определяют
соотношения приращений и выбранных постоянных значений.
3. Вводят обозначения относительных единиц и
коэффициентов уравнения.
В качестве примера рассмотрим методику составления уравнений
системы регулирования угловой скорости вала электродвигателя. Для объекта
регулирования исходным является уравнение баланса моментов:
у4г=-2ж=Жд~Жс' (3-2)
где j — момент инерции движущихся частей, приведенный к валу
электродвигателя; и —угловая скорость вращения вала; Мд—движущий (вращающий)
момент на валу электродвигателя; Мс — момент сопротивления на валу;
t—время.
Прежде всего выясним, от каких величин зависит и какими величинами
определяются движущий момент Мп, момент сопротивления Мс и является
ли постоянной величиной приведенный момент инерции /.
Отметим, что исходное уравнение (3-2) справедливо для любого
двигателя, однако вид зависимостей соответствует конкретному типу двигателя.
В случае регулирования числа оборотов, например, авиационного двигателя
при помощи винта с изменяющимся шагом движущий момент зависит от
угловой скорости двигателя, а также от наддува, которое задается датчиком
и ие может быть заранее определено, так как является неизвестной
функцией времени. Поэтому
М„=М„((о, t).
Момент сопротивления зависит от угловой скорости вала двигателя ш,
угла установки лопасти винта <рл и ряда других факторов (плотности воз-
Духа, скорости полета и др.), изменение которых учесть трудно. Выражение
Для момента сопротивления имеет вид
Afc=Afc(co, <рл, t).
Основываясь на теории двигателей, можно записать аналитические
зависимости полученных функций или представить их в виде графиков ,и т. д.
Далее, если приведенный к валу электродвигателя момент инерции
вращающихся частей является постоянным, то, как следует из (3.2), уравнение
установившегося режима, или уравнение статики при (o=const имеет вид
ЛГдо=Л1со. (3.3)
|*1алые отклонения моментов (прнращеиия) от установившихся значений
обозначим через ДМ„ и АМС. Тогда
Мд=Мд0+ДМ„; Мс=Мсо+АМс.
перь, подставив в исходное уравнение (3.2) выражение установившегося
Режима (3.3), получим
•,~аГ = АМл-АМс. (3.4)
Лог|Я ^инеаризации выражения (3.4) следует воспользоваться формулой Тей-
Ра (3.1). Приращения АМД н АМС определим из выражений:
61

дМс дМс
*мс=-щ-Дш+"л^Г Афл+ с ih
где AMa(t) и АЛ1с(0—составляющие приращений Мп и Л1С, изменяющиеся
во времени по неизвестному или заданному закону.
Угол установки лопастей винта <рл изменяют с помощью исполнительного
механизма регулятора (серводвигателя), координату перемещения которого
обозначают через т:
дфл
Функция fpn=f(m) задается обычно графически, и частную производную
(д<рп)/дт) определяют как тангенс угла наклона касательной к кривой
q>n=f(.m) в точке, соответствующей установившемуся режиму. Тогда
дМс дМс дФл
Полученные выражения подставляют в уравнение (3.4):
rfco дМ„ дМс дМс д®л
/^г=-^гДш+А^^-^гДш—Ф7^-Ли-Д^с(0. (3-5,
После переноса в левую часть уравнения (3.5) членов, содержащих Ли,
получим для рассматриваемого двигателя линеаризованное уравнение в
приращениях, выраженное в абсолютных единицах.
Для приведения дифференциального уравнения в отклонениях,
выраженного в абсолютных единицах, к уравнению в относительных единицах и с
безразмерными коэффициентами выбирают номинальное значение момента
Мк и на него делят каждый член уравнения (3.5):
1 /<ШС <ШД \ _AMf(Q J дМс д<рл
'+ М» [ д(о do ) Ас°— М» Ма д<ря дт Ат>
где AM(t)=AMn(t)—AMc(t).
В результате все члены уравнения стали безразмерными. Для координат
каждого приращения, входящего в полученное уравнение, выбирают
соответственно некоторые постоянные значения. Так, для угловой скорости —
номинальное значение шн, для координаты серводвигателя — максимальное
значение тт. Каждый член уравения, в который входит та или иная
переменная, делят (умножают) на соответствующее ей выбранное постоянное
значение.
После этого уравнение (3.5) будет иметь вид
/шн da <он /дМс дМД \ Дш AM(t) mm дМсдд>д Am
?й- (дМс d-Мд \ _Дш_ _
Ин \ д(о dco J ш„ =
д(0 д(й I ш„ Мя Мн dgjj, dm mm'
Учитывая, что
dv> d(Aa) дМ дАМ
dt dt ' да д (Дш)
и т. д.
последнее уравнение переписывают в виде
62
/Дш \
о„ d 1"5Л
Дш \ / АМС ЛДЛ1д^
4
'д-гг- &■
д
<»я Ь)н
АМС
AM(t) v Мн д<рл Am
Мн ~ д<Рп , Am mm'
mm
(3.6)
Вводят обозначения:
Дш Дот АМС АА1д_
-^■=(р; "от^"=^ ма =*с; мл -*д;
ДАНО ^£»-_т д*с д<Рл h
—м^-=/nW; mb-jv д<рл d|i - й-
Уравнение (3.6) двигателя как объекта регулирования принимает вид
или окончательно
г„-|г + *сФ=/«(0-*ц|1. (3-7)
Все величины, входящие в уравнение (3.7), за исключением t и постоянной
Г„ приведены к безразмерному виду. Полученное уравнение справедливо
и для других двигателей, так как их динамика во многом аналогична. Часто
используют другую форму этом уравнения (для инерционного объекта
регулирования) :
dxs
2'-ЗГ+**=/(0 + **1.
где *2=хр; Xi=n; Т — постоянная времени объекта регулирования (У=
~тч/Кс); f(t) = (l/kc)h(t)); k— передаточный коэффициент объекта.
Приведем для различных обектов регулирования несколько
типовых линеаризованных уравнений, записанных в
операторной ф0 ше:
(Tp+l)x2=f(t)-kXl;
TpX2=f(t)—xi;
(T2Y+T1p)x2=f(t)-xl;
Т22р2+Т ,р+1) *2=/ (t) — kxu
где р _ символ дифференцирования (p=d/(dt)).
63

Методика составления уравнений элементов
автоматического регулятора аналогична рассмотренной ранее методике со-
ального закона изменения величи-
ставления уравнений объектов. Во
всех уравнениях Т представляет
собой постоянную времени
регулятора.
В случае экспоненциального
(инерционного) процесса
постоянная времени Т может быть
определена известным способом,
показанным на рис. 3.4.
С точки зрения физики
процесса постоянная времени экспоненци-
ны х представляет собой то время, через которое эта величина
достигла бы своего конечного значения (являющегося ее
пределом в бесконечности) в случае, если бы она изменялась с
постоянной скоростью, равной скорости ее изменения в
начальный момент, т. е. если бы кривая изменения х, начиная с
этого момента, совпадала с касательной (к экспоненте),
проведенной в ее начальной точке.
Рис. 3.4. Определение
постоянной времени инерционного
процесса
3.3. Свободные и вынужденные колебания САР.
Частотные характеристики
Система линеаризованных дифференциальных уравнений,
юписывающих физические процессы элементов САР, может
-быть сведена к одному дифференциальному уравнению путем
исключения промежуточных координат, кроме одной:
__dnx йп~лх . . dx .
dmf
xdtr'
hb.
dm-V
■ + b^+bj.
(3.8)
Здесь f(t)—входное воздействие; x(t)—изменение выходной
величины; at, bi — постоянные величины, которые определяются
физическими (техническими) свойствами системы.
Уравнение (3.8) описывает физические процессы, т. е.
изменение переменных х и /, в замкнутой системе регулирования.
Его решение может быть:
1) общим, когда правая часть уравнения (3.8) равна нулю,
т. е.
а„
d"x
dt"-
-а,
dn-*x
п-\
dt"-1
-f-...+а,
dx
It'
a0x=
= 0.
(3.9)
2) частным, когда это уравнение представляет собой
выражение, которое, будучи подставлено в его левую часть, дает
правую, т. е. обращает уравнение в тождество.
■64
Общее решение уравнения (3.9) для случая ап=ап-\— ...
=а2=0 находим в виде
"Х(0=е". (3.10)
решение такого вида уравнения (3.9) позволяет определять
ободное движение системы, т. е. колебания, которые
совершает система, выведенная из состояния равновесия некоторым
воздействием после того, как это воздействие стало равным
нулю. Подставляя выражение (3.10) в (3.9), получим
(аД'+ав-Д'-Ч-. • • • +аД+а0)ея*=0.
Выражение (3.10) является решением уравнения (3.9) при
условии что к — корень характеристического уравнения:
апГ+ап-1кп-'+ ... +atX+a0=0.
Так как последнее уравнение имеет п различных корней (%i,
Я2, • • •. ^«)> то общее решение уравнения (3.9) может быть
представлено в виде
х (t) = de^'-f C2e^ + ... + С„ея<
где Си С2,..., Сп — постоянные, зависящие от начальных
условий.
Решение уравнения (3.9) удовлетворяет условию lirnx(t)=0,
t-t-oo
т. е. свободные колебания системы с течением времени
затухают только в том случае, если все корни Яг характеристического
уравнения имеют отрицательные вещественные части.
Вычисление вынужденных колебаний. Пусть воздействие
f(t) представляет собой гармоническую функцию времени, т. е.
линейную комбинацию sin at и cos at:
f(t)=f0cos(at+({>),
где со — угловая частота воздействия; /0—амплитуда; ср —
фаза.
Если начальная фаза сро=0, то
f(t)—fо cos at.
Гармоническую функцию можно рассматривать и как сумму
Двух экспонент:
/ (t) = /0 cos со* = J е'и< +4г° е->°", у = "К -1 .
Последнее удобно с математической точки зрения, так как
производная и интеграл — тоже экспоненциальные функции.
Считая данную систему линейной, применяют к ней принцип
сУперпозиции и определяют реакцию, создаваемую каждой из
экспоненциальных функций в отдельности.
При f(t) = ^eJat частное решение уравнения (3.8) имеет
вид
5—3591
65

Подставляя выражения f(t) и xiB(t) в уравнение (3.8),
получим
[flnO'oJH-c-i (/03)"-!+ ... +а, (/со)+а0]К(/(й)е^' =
=[fcm(/tu)m+bm_! (/ш)»-^ ... +Ь, (/со)—bo]eJ"f.
и, следовательно,
^ ' ял(Уи)» + в„-1(/ш)л-'+...+а1(/ш) + й0- 1Л11)
Последнее выражение может быть представлено через
амплитудную Л (со) и фазовую ср(со) частотные характеристики
системы:
У(/со)=Л(ю)е3'*".
Подставляя выражение У (/со) в формулу для ХщМ запишем
л:1в(/)=Л(со)еэ>'+^].
Если в уравнении (3.8) f(f) = *Je-je>tt T0 вынужденные
колебания
^2в(0=4°Г(--/С0)е~У'С0''
или
■*2в (t)=^A (со) е-Л<о'-Ф((о)1
Когда /(/)—гармоническое воздействие, т. е. f(t)=f0cosЫ, то
Хш(t) =xlB(t)+x2B(t)=^2 А (ш)[eiefe«-4-
(3.12)
+е-'-*е-|«"1-М (со) cos (соН-ср (со)).
Выражение (3.12) показывает, что вынужденные колебания,
вызываемые в линейной динамической системе гармоническим
воздействием, представляют собой также гармоническую
функцию времени, имеющую ту же круговую частоту со, что и
воздействие, но отличающуюся по амплитуде и по фазе. При этом
относительная амплитуда и фаза вынужденных колебаний
определяются амплитудной Л (со) и фазовой ср(со) частотными
характеристиками.
Если в выражении для функции У (/со) (3.11) в числителе и
знаменателе отделить вещественную часть от мнимой, то оно
может быть записано
Г(/со)= *(">> +■?*(">> m3)
' Vw> c(to) + /rf(co) ' (6Лй>
где
a(co)=V— £2со2+Ь4Со4 — •••!
Ъ (со) =bico—Ь3со3+Ь5Со5— ...;
с(со)=а0—а2со2+а4Со4—...;
d(to)=aico—азсо3+а5со5 —... .
66
аЖение (3.13) может быть представлено в виде
^ЫР . а (со) с (со) + 6 (at) d (со) , . Ь (со) с (со) — а (со) d
Г(М
c2(co) + d2(co)
f/
(со)
сг (со) + dz (со)
или
y(/co)=P(co)+/Q(co),
пе Р(®)> @(ю)—вещественная и мнимая частотные
характеристики системы соответственно:
Р(а) = (ac+bd)/(c*+d2); Q{m) = {bc—ad)/(c2+d2).
Амплитудная и фазовая частотные характеристики САР
определяются выражениями:
А (со) = ]/ («2+fc2)/(c4-d2),
Ф (со) = arctg [ (be—ad) f (ac+bd) ].
Частотные характеристики Л (со) и ср(со) связаны с
характеристиками Р(а) и Q(co) следующими соотношениями:
Р(со)=Л(со)-с05ф(со)$
Q(cu)=^(co)-sincp(co);
Л(со)==1/Р2(со) + <22(ш);
Ф(со) = arctg [$Щ].
На основе выражения (3.12) можно экспериментально определить
амплитудную и фазовую частотные характеристики линейной системы. Для
этого к системе прикладывается гармоническое воздействие xSx(t) =cos at,
(Д=1), имеющее угловую частоту со. В результате в системе возникают
переходный процесс и вынужденные колебания с частотой со. Через
некоторое время произойдет затухание переходного процесса, если система
*6х (t>
Динамическая
система
или зВвно
Х0ш(Ц
хбх '> "Пых
XfaxM
fa W
Рис. 3.5. Экспериментальное определение
частотных характеристик динамической
системы (динамического звена):
а — система или звено; б — процессы на входе и
выходе
5*
67

устойчива, и останутся лишь вынужденные колебания. Они будут иметь
частоту со, равную частоте воздействия, но отличаться от входного
воздействия по амплитуде и фазе (рис. 3.5). Амплитуда выходного сигнала и угод
сдвига фазы выходного сигнала хвых = А(а>) ■ cos[wt+q>((d)] по отношению
к входному зависят от угловой частоты со.
На рис. 3.6 приведена схема включения контрольно-измерительной
аппаратуры для определения частотных характеристик, которая позволяет
генерировать синусоидальные входные колебания различной частоты, измерять
амплитуду колебаний на входе и выходе системы, а также сдвиг фазы между
этими колебаниями.
Для экспериментального определения частотных характеристик
используют специальную низкочастотную аппаратуру, так как САР — обычно
низкочастотные системы. В состав аппаратуры входят, например, следующие
приборы (см. рис. 3.6):
нгпк
П1
Хбх
Обьект
*Вых
П2
:Г
ня>
МПБ
Рнс. 3.6. Схема включения измерительной аппаратуры для
определения частотных характеристик
низкочастотный генератор периодических колебаний (НГПК) для
генерирования как входных колебаний синусоидальной, прямоугольной,
треугольной, трапецеидальных форм, так и одиночных импульсов тех же форм;
низкочастотный фазометр-частотомер (НФ) для определения частоты и
фазы колебаний, которые измеряются с помощью счета импульсов
стандартной частоты (100 кГц) за время одного периода ири измерении частоты
и за время между двумя смежными прохождениями через нуль кривых
входного и выходного напряжений при измерении фазы;
двойной пиковый вольтметр (ДПВ) для измерения амплитуды на входе
и выходе системы;
П1 и П2 — преобразователи сигнала.
Приборы рассчитаны ра напряжения ±100 В и диапазон частот от 0,001 до
100 Гц.
Кривые отношения амплитуды выходной переменной Хвых к амплитуде
воздействия Хм и сдвига фазы между ними в зависимости от частоты
представляют собой амплитудную и фазовую частотные характеристики САР
соответственно.
В зависимости от условий эксплуатации системы иногда удобно подавать
на ее вход колебания прямоугольной формы (включение — выключение) и
треугольной (равномерное открытие и закрытие регулирующего устройства)
и т. п.
3.4. Передаточная функция непрерывной линейной
стационарной системы и ее свойства
В теории автоматического регулирования широкое
применение получил способ математического описания, основанный
на понятии передаточной функции. Как уже отмечалось,
физические процессы в системе (или элементе системы)
автоматического регулирования в общем случае описывают линейным
уравнением (3.8).
6S
Пусть воздействие f(t) удовлетворяет условиям:
°° ■--|e-e,df«
о
е с —абсцисса абсолютной сходимости. Тогда преобразование
Лапласа для функции f(t)
со
F(s) = [fV)erstdt.
о
Если все члены уравнения (3.8) при нулевых начальных
условиях умножить на e_st и проинтегрировать в пределах от 0
до со, то получим
(ansn+an-isn-1+ ... +fliS+flo) X(s) =
= (&„,sm+&m_iSm-,+ • •. +bls+b0)F(s),
где
со
ВД= $ x{t)e-s,dt. '
о
Следовательно, X(s) = Y(s)F(s), где оператор
У х (s) _ bmsm + bm^s"1-1 + ■ ■ ■ + e,s + б0 /315)
(^ F (s) ansn + «n-,sn-» +...+a1s + a0 V
является передаточной функцией динамической системы.
Согласно выражению (3.15), передаточной функцией
непрерывной линейной стационарной динамической системы
^называют отношение преобразования Лапласа X(s) переменной x(t)'
на выходе системы к преобразованию Лапласа F(s)
воздействия f(t) на ее входе при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция полностью характеризует
динамические, а также статические свойства системы. Зная
передаточную функцию системы и вид воздействия, можно определить
переходный процесс на выходе системы.
Передаточные функции устойчивых динамических систем
обладают следующими основными свойствами:
О передаточная функция Y(s) представляет собой дробно-
Рациональную функцию вида (3.15), причем в реальной систе-
Ме порядок т числителя не превышает порядок п знаменателя;
2) все коэффициенты bo, Ъ\,..., fcm-i, bm, «о, а,\, ■ ■ ■ ■> fln-i, an
передаточной функции вещественны. Это следует из того, что
°ни представляют собой функции параметров системы, т. е. мо-
Ут быть только вещественными;
3) невещественные нули и полюсы передаточной функции
МогУт быть лишь комплексно-сопряженными;
69

4) все полюсы передаточной функции Y(s) расположены в
левой полуплоскости комплексной плоскости, что является уело-
внем устойчивости системы;
5) при s—ja передаточная функция (3.15) преобразуется в
амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а при
s=0 — b передаточный коэффициент (для позиционных
звеньев).
\f(t)
ci(tl
Г
wp(ai
но
ч
Wg(s) ^*
x(t)
Рис. 3.7. Схема САР:
W р (s) — передаточная функция объекта
регулирования; W (s) — передаточная функция
регулятора
Передаточные функции САР. Общие дифференциальные
уравнения рассматриваемой линейной САР, приведенной на
рис. 3.7, можно записать в виде:
D(p)x(t)=M(p)f{t)+C(p)r(t) —для объекта регулирования,
(3.16)
B(p)r(t)=N(p)e(t)—для регулятора, (3.17)
e(t)=g(t)—x(t)—уравнение ошибки. (3.18)
Применяя к уравнениям (3.16) — (3.18) преобразование
Лапласа, обозначим
* со оо
X (s) = \x it) fTstdt; Е (s) = [ е {t) e~*'dt;
о о
оо оо
Ъ о
оо
F(s) = \f(t)e-Sidt.
о
Учитывая начальные условия Мщ и М&, уравнения (3.16)-"*
(3.18) можно представить в виде
D (S X (s) = M(s)F(s) + C(s)R(s) + Мл (s); Л
B(s)R(s) = N(s)E(s) + Ma2(s); (3.19)
E(s) = G{s)-X(s). J
Если из уравнений (3.19) исключить функции R(s) и E(s)
н выразить эти уравнения относительно Х^в), то
70
N (а) С (s) Q(s) + B (а) М (a) F (а) + Ми (a) „ 9f).
Л (s) — D (s) B(s) + C (s) N (s) • к°-^>
Если из уравнений (3.19) исключить функции R(s) и X(s)
вьфазить эти уравнения относительно E(s), то
D(s)B (a) G(s)~B (a) M (s) F (s)-MH (а) ,„ „ ,
MSJ— D (а) В (a) + С (а) JV (s) • \o.ti)
разделив все члены уравнений (3.20) и (3.21) на D(s)B(s)
получим
Е(s) = 1 + W& G(s>~~T+W&F^ — \+w(s)' (3-23)
где
W Is J D (а) В (s) ' V W D (a) ' v « Is' D (а) В (s) *
Первое слагаемое в правой части выражений (3.22) и (3.23)
характеризует собой эффект управляющего воздействия g{t);
второе — эффект возмущающего воздействия /(0; третье
слагаемое—эффект начальных условий. В случае нулевых
начальных условий формулы (3.22) и (3.23) могут быть переписаны
в следующем виде:
X(s)=<D(s)G(s)+Y(s)F(s);
E(s)=<b,(s)G(s)-Y(s)F(s),
v^ttww> w=iwk; <3-24>
фе (S) =! _ ф (S) = rn^j". (3.25)
Если возмущающее воздействие f(t)=0, то X(s)=<I>(s)G(s)
, , X (s)
и ®\s)=7f7J) > т- е- Функция Ф(в), определяемая
выражением (3.24), является передаточной функцией замкнутой САР
по отношению к управляющему воздействию g(t). Если
управляющее воздействие g(t)=0, то X(s) = Y(s)F(s) и Y{s)=X(s)l
'F(s), т. е. функция Y(s) представляет собой передаточную
Функцию замкнутой САР по отношению к возмущающему воз-
Действию f(t).
Функция ®e(s) = -7j4— , определяемая (3.25), называется
йеРедаточной функцией ошибки, или рассогласования.
Если САР (см. рис. 3.7) разомкнуть в точке А (чувстви-
Тельный элемент, измеряющий разность между входом и выхо-
71
где

дом, будет отключен от регулируемой переменной), то
уравнение ошибки (3.18) перестанет существовать, а уравнение
регулятора будет иметь вид
B(p)r(t)=N(p)g(t) или В (s)fl(s)=tf(s) G(s). (3.26)
Если уравнение (3.26) разрешить относительно R(s) и
результат подставить в уравнение для объекта (3.16), то для
разомкнутой системы
^P(S> D (s) Г (S)+ В (s) D (s) U Vs)"
Если возмущающее воздействие f (t) =0, то
Xv (s) N (s) C (s)
ITW^ B(S)D(S) =W(g)> (3-27)
т. е. функция W(s) представляет собой передаточную функцию
разомкнутой САР по отношению к управляющему воздействию
g(t). Когда управляющее воздействие g(t)=0,
X (s) M (s)
ТЩ-=-Щ^ = У(*), (3.28)
т. е. функция (3.28) представляет собой передаточную функцию
разомкнутой САР по отношению к возмущающему воздействию
f(t).
3.5. Типовые звенья САР
При анализе различных свойств САР вводят в рассмотрение
понятие типовых линейных звеньев как некоторых составных
частей динамических элементов системы.
Разнообразные элементы систем регулирования можно
описывать одинаковыми дифференциальными уравнениями и,
следовательно, иметь одинаковые передаточные функции.
Коэффициенты, входящие в выражения для передаточных функций,
непосредственно связаны с конструктивными параметрами этих
элементов.
Типовые звенья с различными передаточными функциями ха
рактеризуются определенным процессом, возникающим при
изменении входного сигнала (воздействия). Для сравнения
временных характеристик этих звеньев принято рассматривать
переходный процесс при скачкообразном изменении входного
сигнала на одну единицу (при нулевых начальных условиях),
т. е. при единичном ступенчатом воздействии. Функцию,
определяющую изменение переменной на выходе звена при этих
условиях, называют переходной функцией звена. Она может
быть получена экспериментально, путем регистрации изменения
выходной величины при скачкообразном изменении входной-
Эту функцию иногда называют кривой разгона.
72
■*т1
х-, Ш
хг А
xz(t)
Частотные характеристики
«новых звеньев могут быть
определены из соответствующих
Р фференциальных уравнений
Передаточных функций), а так-
Le экспериментально.
Можно указать семь видов
тйповых звеньев: усилительные
(безынерционные),
апериодические (инерционные), колебатель-
нЫе, интегрирующие,
дифференцирующие 1-го порядка,
дифференцирующие 2-го порядка,
запаздывающие.
Усилительное звено.
Воспроизводит входной сигнал без
искажения и запаздывания, но с
изменением масштаба
(увеличивая его или уменьшая).
Передаточная функция
усилительного звена W(s)=k.
Зависимость между выходной и входной величинами: xi=kx\.
При подаче на вход усилительного звена единичного
ступенчатого воздействия Xi(t) = \[t] сигнал x2(t) на его выходе
изменяется мгновенно (рис. 3.8). АФХ определяется выражением
W(j(a)=k и изображается точкой на действительной оси
комплексной плоскости.
Апериодическое (инерционное) звено описывается
дифференциальным уравнением 1-го порядка:
О
Рис. 3.8. Временные
характеристики усилительного звена:
а — входное ступенчатое воздействие;
6 — переходная функция
* ~dT~\~xi—kxx,
(3.29)
где х\ — величина на входе звена; х2 — на выходе.
Уравнению (3.29) соответствует передаточная функция
W^ = TTfT- (3.30)
где k — передаточный коэффициент (для нормированной
передаточной функции k= 1); Т — постоянная времени.
RC * а рИС' 3'9'а вх°Ди°й величиной является напряжение Ut на входе
ной в Тра' выходной — напряжение f/2 на его выходе. На рис. 3.9,6 вход-
газа ^1™°й явл^етс,я, давление газа в магистрали Рь выходной — давление
*идКпгРе3ерВуаре Р* На рИС' 3-9'е входной величиной является температура
°сти ть выходной —температура т2 тела, опущенного в жидкость.
дл Рех°Дная функция h(t) устойчивого апериодического звена
Пен °лучая' когДа *i B (3.30) представляет собой единичное сту-
нчатое воздействие хг (t) = l{t), определяется выражением
h(t)=k(\— е~''т).
73

Xy-Prft)
R
J"" ■" "^^ r
-IS*
■" и
и
I вен-
1/7Ш/7»
*гШ
"^
x2«^rt)
X^mV,(t)
•if
с 5 в
Рис. 3.9. Примеры апериодических звеньев:
а — электрический RC-фильтр; б — резервуар с сжатым газом; в — процесс закалки
детали в жидкости
Эта функция изображена на рис. 3.10 в виде кривой /.
Неустойчивое апериодическое звено имеет передаточную
функцию
^) = 7^г-
которой соответствует переходная функция
A(f)=ft(e'/r—1),
показанная на рис. 3.10 в виде кривой 2.
X, I,
x(t)
Рис. 3.10. Временные характеристики апериодического звена:
а — входное ступенчатое воздействие; 6 — переходные функции
устойчивого звена (1) и неустойчивого (2)
Частотные характеристики апериодического звена могут
быть получены из выражения для передаточной функции (3.30)
путем формальной замены s аргументом /со:
WU'a)-
Tj<i> +1 у г2ш2 + 1
е—/ arctg 7"со _
(3.31)
Модуль этой функции представляет собой амплитудную
частотную характеристику (АЧХ) апериодического звена
//(<■>)■
Утг<а2 + 1~
74
Аргумент функции (3.31) является фазовой частотной
характеристикой (ФЧХ) апериодического звена, т. е.
е(со)=—arctgrco.
Кривую (рис. 3.11), описываемую концом вектора Щ/со) на
комплексной плоскости, или годограф вектора Щ/со), при из-
jv№
а>*0,5
Рис. 3.11. АФХ апериодического звена
менении частоты от —оо до +оо называют амплитудно-фазовой
частотной характеристикой (АФХ) звена. АФХ апериодического
звена при положительных значениях частоты (со>0)
представляет собой полуокружность, диаметр которой равен
передаточному коэффициенту k. При частоте со, стремящейся к
бесконечности, выходной сигнал отстает от входного на 90°.
Колебательное звено. Динамические свойства устойчивого
колебательного звена описывают дифференциальным
уравнением 2-го порядка:
d2x
dxs
dt2 +^«Тк-^-+х2 — kXi.
(3.32)
Дифференциаль-дые уравнения неустойчивых колебательных
звеньев имеют вид
Т 2
1 V
d2x°
dx,
dt2
2£к^к-JT + x2— kXi,
(3.33
T 2 <?хг n^ T dx2 _ь
K ~dF"T~ *k1 K~dl 2~~ ''
гДе xu x2 — величины на входе и выходе соответственно; Тк —
п°стоянная времени; |к — коэффициент относительного
демпфирования (0<|к<1); k — передаточный коэффициент.
Согласно уравнению (3.32) колебательное звено имеет
передаточную функцию
W(s) =
k
TK*s*+2lKTKs + \
(3.34)
to

Передаточные функции неустойчивых колебательных звеньев
из уравнений (3.33):
W(s)-
W(s)-
TK*s*-2%KTKs + l '
k
(3.35)
(3.36)
7Ys2 + 2iKrKS—1 *
Примеры колебательных звеньев приведены на рис. ЗЛ2,а и б,
-сэ-
Х-СО
-1—5 *
A/'flO
Рис. 3.12. Примеры колебательных звеньев:
а — RLC-колебательный контур; 6 — механическая
система (т — масса, fey— коэффициент упругости пружины;
с — коэффициент демпфирования)
Переходную функцию устойчивого колебательного звена
определяют в соответствии с уравнением (3.32):
h(t) = k
--(W /т/1—Р * Vl—£„"*\
VT
. (3.37)
Переходная функция неустойчивого колебательного звена, например
(3.36),
h(t) = k
Vi
1 77' . /Vi~§k2 , ic.Vi-iK*\
е к sin 7= + arctg s . (J.db)
—PJ \ J к ёк /
Ступенчатое воздействие на входах и соответствующие переходные
функции (3.37) и (3.38) устойчивого и неустойчивого колебательных звеньев
изображены на рис. 3.13. Следует отметить, что колебания возникают лишь
хг и
Xl ,:
хлШ
хгуст
Рис. 13. Временные характеристики колебательного звена:
- входное ступенчатое воздействие; 6 — переходные функции устойчивого
звена (1) н неустойчивого (2)
76
том случае, если корни характеристического уравнения являются
комплексными величинами, т. е. когда
Бк*-1<°
Для устойчивого колебательного звеиа 0<£к<1. При £к>1 колебатель-
ое звено может быть представлено в виде двух апериодических звеньев с
постоянными времени Т\ и Г2; если £к=1, то апериодические звенья имеют
одинаковую постоянную времени, т. е. Т\ = Т2.
Если коэффициент демпфирования £к=0, то передаточная функция звена
имеет вид
W(.s)-
TK2s* + l • (3-39)
Система, имеющая передаточную функцию вида (3.39), называется
консервативной; такая система не рассеивает энергию и в ней протекают
незатухающие колебания.
Когда коэффициент £к<0, то выходные колебания с течением времени
возрастают. Такое звено является неустойчивым колебательным звеном.
Частотные характеристики устойчивого колебательного звена
имеют вид
—j arctg ■
W(/«) =
1-7- и»
к .
У(1 — Tyw^ + ^Vco2
Модуль функции (3.40) является АЧХ колебательного
k
(3.40)
звена*
Щоу)-
V(T
-2'к»ш*)»+46к-2'к-о)»
Аргумент функции (3.40) представляет собой ФЧХ:
еи =
arctg J^If,
b 1—Тк2(о2
АФХ звена (рис. 3.14) начинается
на действительной оси в точке k
при со=0. При частоте со-^оо
кривая подходит к началу координат,
касаясь действительной оси.
Выгодной гармонический сигнал при
частоте, стремящейся к бесконеч-
?оСТИ' отстает от входного на
Интегрирующее звено.
Дифференциальное уравнение этого
звена имеет вид
dxz
Рис. 3.14. АФХ колебательного
звена
dt
~kx.
(3.41)
нтегрирующему звену соответствует передаточная функция
Г(*) = 4' (3.42)
Де k — передаточный коэффициент (отношение скорости изме-
ения выходной величины к входной величине).
77

Из уравнения (3.41) следует, что значение скорости выходной
переменной интегрирующего звена пропорционально значению
входной величины.
На рис. 3.15, а изображена схема электродвигателя постоянного тока, у
которого входным сигналом является управляющее напряжение xt = Uv, a
выходным — угол поворота якоря х2=В. При этом ие учитываются электри-
^i -0W
*/»<№» —
Рис. 3.15. Примеры интегрирующих звеньев:
а — электродвигатель постоянного тока; б—резервуар с входным
трубопроводом
ческая и механическая инерционности электродвигателя. На рис. 3.15,6
показан резервуар, в который поступает поток жидкости Xi = Q; выходной
величиной является высота уровня x2=h.
Переходную функцию интегрирующего звена, согласно
уравнению (3.41), определяют с помощью выражения
h(t)—kt.
График этой функции приведен на рис. 3.16,6.
•*il
х-,М
№k
W(M
ui-*° U(w)
Рис 3. 16. Временные характеристики интегри- Рис. 3.17. АФХ
интегрирующего звена: рующего звена
а — входное ступенчатое воздействие; б — переходные
функции: / — при fti"=l, 2 —при Й2=10
Частотные характеристики интегрирующего звена (3.42) при
s=/co:
ЩУС0)=Ае '".
(3.43)
При изменении частоты w от 0 до оо (рис. 3.17) конец вектора
W(/ю), согласно (3.43), движется по отрицательной части мнй'
78
мой оси от —со до 0. Интегрирующее звено создает отставание
выходного гармонического сигнала от входного на 90е при всех
частотах. Амплитуда выходного сигнала уменьшается с
возрастанием частоты.
В САР интегрирующее звено выполняет роль астатического
элемента. Порядок астатизма системы зависит от числа инте-
Грйрующих звеньев в прямой цепи контура регулирования.
Дифференцирующее (форсирующее) звено 1-го порядка
описывается уравнением
Afc=*(l
dxx
dt
-■*!
(3.44)
а именно выходная переменная х2 определяется не только
текущим значением, но и скоростью изменения входной переменной,
т. е. ее производной.
Уравнению (3.44) дифференцирующего звена соответствует
передаточная функция
W(s)=k(xs+l). (3.45)
Здесь, в выражениях (3.44) и (3.45), k — передаточный
коэффициент звена; т — постоянная времени.
Переходную функцию дифференцирующего звена 1-го
порядка определяют с помощью выражения
А(0=*{тб(*)+[Щ, (3-46)
где 6 (t) — дельта-функция.
График переходной функции (3.46) показан на рис. 3.18,с.
При скачкообразном изменении входного воздействия на выходе
J¥(w) k
h(t)k
«Ь
t
hW
t я U(w)
a 5
Рис. 3.18. Динамические характеристики дифференцирующего
звена 1-го порядка:
а — переходная функция; б — АФХ
?йФференцирующего звена получается импульс бесконечно
ольщой амплитуды, соответствующий бесконечно большой
скорости изменения входного воздействия в момент скачка. После
того выходная величина принимает постоянное установившее-
ся значение.
79

Частотные характеристики дифференцирующего звена 1-го
порядка имеют следующий вид:
W (у со) = h l^T2co2 + le/arctE™. (3.47)
Модуль этой функции является амплитудно-частотной
характеристикой
H(a) = k VW+T, (3.48)
а ее аргумент представляет собой фазовую частотную
характеристику звена
6(co)=arctgTco. (3.49)
АФЧХ дифференцирующего звена 1-го порядка (рис.
3.18,6) —прямая, параллельная мнимой оси и начинающаяся
на действительной оси в точке К при частоте со=0.
Идеальному дифференцирующему звену соответствует передаточная
функция W(s)=ks, которая может быть получена из уравнения (3.44), если
в его правой части принять xi=0. Пример такого звена—тахогенератор
постоянного тока (рис. 3.19,и), если рассматривать установившийся режим
1 5l<
■ .
^s. ь
7^ ^
? )
_-/ Л»
F н
1 ,1
[
*э
v_
ii
и
Г *
Xj-nft) a S~ I
Рис. 3.19. Примеры дифференцирующих звеньев
1-го порядка
его работы. Входной величиной х\ является угол поворота 6 вала якоря
тахогенератор а, а выходной х2— напряжение И?т. Это напряжение
пропорционально угловой скорости Q=d8/dt якоря тахогенератора. Поэтому,
согласно уравнению Urr—kTrdQldt, передаточная функция тахогенератора
WTr (s) =
t/тг (s)
= G(s)
Свойством дифференцирования входного сигнала обладает
электрический RC-фильтр (рис. 3.19,6), имеющий передаточную функцию
W(s)--
ивът (s)
Ts
Um (s)
Ts+\ '
числитель которой характеризует дифференцирование входного напряжения,
а знаменатель — электрическую инерционность фильтра.
Как следует из формулы (3.47), дифференцирующее звено
создает опережение выходной величины по фазе. При частоте
со->оо сдвиг по фазе приближается к 90°. Наличие
дифференцирующего звена 1-го порядка в основном контуре системы Ре'
гулирования означает введение производной в закон
регулирования и применяется для улучшения динамических свойств
системы.
80
Следует обратить внимание, что выражения (3.48) и (3.49),
оПределяющие ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена
/3.45), являются обратными по отношению к соответствующим
характеристикам апериодического звена (3.30).
Дифференцирующее звено 2-го порядка. Дифференциальное
уравнение такого звена имеет вид
(3.50)
х2=k [x£ ^ +2ldxd ?jjf- + хД
Здесь выходная величина определяется не только входной
переменной, но также первой и второй производными от нее.
Звено характеризуется тремя параметрами — передаточным
коэффициентом k, постоянной времени xd и параметром £d.
Уравнению (3.50) соответствует передаточная функция
W(s)=k(Td2s2+2£dTds+l). (3.51)
Предполагается, что выражение (3.51) нельзя разложить на
простые множители, т. е. представить в виде двух выражений
первой степени. Передаточная функция (3.51) является
обратной по отношению к передаточной функции (3.34)
колебательного звена. Переходную функцию дифференцирующего звена
2-го порядка определяют с помощью выражения
h(t) = k {т/ ^Р- + 2£Л6 (*) +1 (*)}. (3.52)
График переходной функции (3.52) изображен на рис. 3.20,а.
fft)k I
м
I * h(t)
0«4*.
<о
j-Уш) к
•А
ы =
3 О к Щш)
I
Рис. 3.20. Динамические характеристики дифференцирующего звена
2-го порядка:
а — переходная функция; б — АФХ
Если
входное воздействие изменяется скачкообразно, то на вы-
Де получаются импульсы бесконечно большой амплитуды,
ответствующие бесконечно большой скорости изменения вход-
в г° воздействия и его производной в момент скачка. Затем
одная величина принимает постоянное значение.
3 "астотные характеристики идеального дифференцирующего
еНа 2-го порядка описывают формулой
6—3591
81

W(J(o) = kV(l- т/ю2)2 + (2£Лсо)2
/arctg
2
1—т^га'
(3.53)
Модуль функции (3.53) является амплитудно-частотной харак,
теристикой
Я (со) = k l/(l-T/co2)2 + (2edxdco)2,
а ее аргумент представляет собой фазовую частотную
характеристику
- eH^arctgj^.
АФХ дифференцирующего звена 2-го порядка представляет
собой параболу, которая начинается из точки К (рис. 3.20,6).
Дифференцирующее звено 2-го порядка при частотах,
стремящихся к бесконечности, вносит опережение по фазе,
стремящееся к 180°. Это звено необходимо для введения первой и
второй производных в закон регулирования для улучшения
динамических свойств системы.
Запаздывающее звено. Описывают уравнением
X2{t)=Xi(t~X0).
(3.54)
которое показывает, что входной сигнал воспроизводится на
выходе запаздывающего звена без искажений, но с
запаздыванием то (рис. 3.21,а).
*2
п
jlL
ч „
Рис. 3.21. Динамические характеристики запаздывающего
звена:
а —входной сигнал XiU) и реакция звена x2(t); б —АФХ
Уравнению (3.54) могут соответствовать:
трансцендентная передаточная функция
W(s) = e~^;
частотная характеристика
82
(3.55)
V^,(7'(o) = e-1»^,
(3.56)
е хо — постоянное запаздывание.
Амплитудно-частотная характеристика запаздывающего
звена Hi®) — ^' фазово-частотная характеристика 6(со)=—Тосо.
Согласно формулам (3.55) или (3.56), АФЧХ представляет
собой окружность единичного радиуса с центром в начале
координат (рис. 3.21,6). При увеличении частоты вектор Щ/со)
вращается по часовой стрелке.
На рис. 3.22,о изображена схема системы регулирования концентрации
смеси компонент А и В. Датчик (Д) измеряет состав смеси и через время
t =//V в зависимости от состава смеси регулирующее устройство (Р) воз-
е
е*=
ц
Рис. 3.22. Примеры САР с запаздывающим звеном
действует на заслонку, открывая или закрывая ее. (Здесь / — расстояние
измерительного элемента Д от заслонки; V — скорость движения жидкости).
На рис. 3.22, б изображена схема САР толщины проката. Регулирующее
воздействие поступает иа валки через время т0=//У (где I — расстояние Д
от валков, V — скорость проката).
Большинство звеньев САР обладает направленным
(детектирующим) действием. В общем случае выражение для
передаточной функции последовательно соединенных звеньев имеет
следующий вид:
W(S)-
v. ц 1)
TLklIL(xis + l)Jl{x2diss + 2ZdirdiS + l)
svII(7> + l)II {TllS*+2lktTkis + l)
(3.57)
где П — знак произведения.
выражение (3.57) состоит из произведения передаточных
функций типовых звеньев, рассмотренных ранее.
3.6. Логарифмические частотные характеристики
Исследование САР значительно упрощается, если пользо-
аться не обычными, амплитудно-фазовыми частотными харак-
еРистиками, а логарифмическими.
5*
83

, Амплитудно-фазовые частотные характеристики
(3.57) определяются с помощью выражения:
W(/a>) =#(©)«#»>•,
где Я (со)—амплитудная частотная характеристика;
фазовая.
Прологарифмировав выражение (3.58), получают
In №(/со)=1пЯ(сй)+/е((0).
Кривые, соответствующие функциям 1п#(со), 6 (со) и построен-
ные в логарифмическом масштабе частот In со, называют
натуральными логарифмическими (амплитудной и фазовой)
частотными характеристиками (ЛЧХ). На практике обычно
пользуются ЛЧХ, основанными на десятичных логарифмах.
Рассмотрим ЛЧХ системы, описываемой выражением (3.27).
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой
(ЛАЧХ) разомкнутой системы №(/со) называют кривую,
соответствующую двадцати десятичным логарифмам модуля
передаточной функции, построенную в логарифмическом масштабе
частот. ЛАЧХ обозначают через Lm(co) или L|№(/co) |:
Lm((o) =201g| W(ja) | =LI 1Р(/ю) I. (3.59)
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) разомкнутой системы №(/со) называют фазовую
частотную характеристику 6(со), построенную в логарифмическом
масштабе частот. Логарифм модуля передаточной функции
системы №(/со) отсчитывают в децибелах1.
Двукратному изменению частоты соответствует октава, а
десятикратному-—декада. Число октав в 'интервале частот
(юг... coi) определяют соотношением
Ig(co2/c0,)/lg2»:3,32cu2/(0i,
число декад в том же интервале частот составляет lg(co2/coi)-
Рассмотрим логарифмические частотные характеристики
типовых звеньев САР.
| Усилительное звено. Так как передаточная функция усилительного звена
W(s) =k, то ЛАЧХ и ЛФЧХ этого звена не зависят от частоты и их
определяют по формулам Lm(ico)=201g£=const и 6(ю)=0 во всем частотном
диапазоне.
Апериодическое звеио. Частотную характеристику апериодического (инер
ционного) звена определяют по формуле
1 Децибел, заимствован из теории связи, где он является единицей
измерения усиления или затухания. Если усиление или затухание Определяется
числом к, то это соответствует 20 lg к децибелам. В теории связи децибел
является безразмерной величиной. В теории автоматического регулированй"
децибел выражает 20 десятичных логарифмов отношения амплитуды выхоД
ной величины к амплитуде воздействия на его входе. Эти величины могу'
иметь разные размерности.
системы
(3.58)
е(со)^
84
^— г - ^ - 1°'
У>2ю>2 +1
рИфмические амплитудную и фазовую частотные характеристики апе-
одического звена при k=\ определяют в соответствии с выражениями
?ч59) и (3-60) по следующим соотношениям:
Lm(«)=201gVrV4-l; (3.61)
в(ю)=—arctgTei). (3.62)
Ясли в выражении (3.61) для 1лп(ш) пренебречь величиной Т2<о2 по сравне-
ю с единицей в частотном диапазоне, в котором Tto^l, и пренебречь
единицей по сравнению с Г2©2 при Ta&zl, то
Lm (ш) =—201gVT4?+T«0, Тв><Щ
Lm(co)s— 201grco, Гсо»!:! (3.63)
Lm(io)s—20 1gVT=—3 дБ. Ta=h>
Соотношения (3.63) показывают, что ЛАЧХ апериодического звена
Lm(co) приближенно может быть представлена двумя прямолинейными
отрезками (асимптотами ЛАЧХ):
Lm(co)=sO, ш«£1/Г;
Lm(<o)=— 201g7M, to^l/Г,
которые сопрягаются друг с другом при частоте ав=1/Т. Эта частота
называется сопрягающей. Максимальная ошибка, которая допускается при такой
аппроксимации, имеет место при сопрягающей частоте и составляет —3 дБ,
Lm to)=—20 1g|/n+1==_20lgV2s—3.
Наклон, который имеет асимптота при частотах co>toa по отношению к
оси частот, определяют следующим образом:
При (Oj>Cl>a
Lm(di)=— 201g7e>i,
при (o=2tOi
Lm(2t0i) =—201g 2Тац.
Следовательно,
Lm(2co0— Lm(<o0 =— 201g 2ss—6.
При двухкратном изменении частоты характеристика затухания
апериодического звена Lm(co) уменьшилась на 6 дБ, или асимптота имеет наклон,
равный —б дБ на октаву.
Если изменить частоту со* на декаду, т. е. to=10to,, то
Lm(10coO=— 201g ЮГсог,
Lm(lOtDi)— Lm(tDi) =—20.
На рис. 3.23 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена,
вычисленные по точной (сплошная линия) н приближенной (штриховая линия)
Формулам. Вне интервала, равного двум октавам вправо и влево от
сопрягающей частоты, обе характеристики (точная и приближенная) не
отличаются Друг от друга.
Значения ошибки б для различных отношений со/ша, которые получаются
пРи замене точной ЛАЧХ двумя сопрягающими асимптотами, следующие:
щ/ша...0,10 0,25 0,40 0,5 1,00 2,0 2,50 4,00 10,0
«.ДБ... 0,04 0,32 0,65 1,0 3,01 1,0 0,65 0,32 0,04
85*

иий,в£
0.1 IQ/Olg- 1,0
100B(w),°
Рис 3.23. Логарифмические характеристики апериодического
звена:
£,((■>)— ЛАЧХ; в(со)-ЛФЧХ
«5 л
и
-1
-г
-з
-*
ч
ш/и>а
0.1
0,2
0,5
10
W/u)q >
2,0
Гаи>
3.0 S.0
10
tuT
Рис. 3.24. Кривые зависимости поправки б
апериодического звена от отношения ю/юа
На рис. 3.24 показана кривая зависимости поправки б от отношения
ш/соа, ЛФЧХ апериодического звена определяют по формуле (3.62), т. е.
6(ш)=— arctg(co/&)a). (3.64)
В логарифмическом масштабе частот эта характеристика является кососим-
метричной относительно сопрягающей частоты ша, при которой она имеет
ординату —45° (см. рис. 3.23). Для построения ЛФЧХ можно пользоваться
тригонометрическими таблицами.
Так, например, при ш/о)а<0,5 фазовая характеристика (3.64)6 {а)^<о/т'-
при <о/(0а>2 6(ю)я=—(я/2—©/©а). Эти формулы получают разложением в
ряд arctgco/tOa при отбрасывании членов выше 1-го порядка малости.
Неустойчивое апериодическое звено. Частотные характеристики
неустойчивого апериодического звена при k—1 могут быть описаны выражением
B7(/f,>)— . ' - f-/4»t-arctg74o)
' У>2сог+1
Сравнив это и выражение (3.60), видим, что логарифмические амплитудные
характеристики устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев
совпадают, а фазовые отличаются друг от друга.
ЛФЧХ устойчивого апериодического звена при малых значениях w
асимптотически стремится к нулю, а при со->-оо к (—я/2). ЛФЧХ
неустойчивого звена при малых значениях со асимптотически стремится к (—я), а
при о->-оо к (—л/2). Эти характеристики строят по тем же правилам, что
и характеристики устойчивого апериодического звена.
86
v тойчивое колебательное звено. Логарифмические амплитудная и фазо-
астотные характеристики устойчивого колебательного звена определяют
(3.65)
(3.66)
" „омошыо выражений:
С Lin (ш) = -20 lg V{\-7Vto2)! + (2gK7>>)2;
e(co)=— arctg1_7.K8co8-
Гемейство кривых Lm(<o>) и 6(icu) для различных значений £к коэФФиии-
„ демпфирования Гк=const показано на рис. 3.25 и 3.26. Значения ЛФЧХ
еНТпрбательного звена при £к=0,5 даны в табл. 3.1. Кривые Lm(co) в зави-
к «-ти от значения |к могут иметь существенный пик при Гк©=1. Поэтому
СЙедставить Lm(.co) в виде сопрягающих прямолинейных отрезков в окрест-
0,1 0,1 0,3 0,4-0,5 0,6 0,9 1,0 Z 3 b S 6 В ыТ
Рис. 3.25. ЛАЧХ кодебателыиого звена при различных нзанеииих |к
0J 0Л 0.3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 2 !
Рис. 3.26. ЛФЧХ колебательного звена при различных |к
5 6
wT
87

Таблица 3.]
(0
0,01
0,04
0,06
0,08
0,10
0,20
0,30
0,40
Ф,°
—0,6
—2,3
—3,4
—4,6
—5,8
—11,8
—18,3
—25,4
ЛФЧХ колебательного звеиа
(0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
ф,°
—33,7
—43,1
—53,9
—65,8
—78,1
—90,0
—100,8
m
"к
1,25
1,50
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
(6к=0,5)
ф,°
—114,2
—129,8
—146,3
—159,4
—165,1
—168,2
—170,3
7,0
8,0
9,0
10,0
20,0
30,0
50,0
100,0
Ф,°
—171,7
—172,8
—173,6
—174,2
—177,1
—178,1
—178,8
—179,4
ностях точки 7Vco=l не всегда возможно. Однако при значениях ш<1/Гк
и <й>1/7"к ЛАЧХ (3.65) может быть приближенно заменена прямыми
линиями, т. е.
Lm(to)«=0, и<1/Гк;
Lm(co)~—201g (Г„(о)2, со»1/Гк.
ЛАЧХ колебательного звена при малых значениях <о асимптотически
стремится к оси частот (т. е. к прямой, имеющей нулевой наклон), а при
больших — к прямой, имеющей наклон —12 дБ на октаву или —40 дБ на
декаду.
Для облегчения построения логарифмических частотных характеристик
колебательных звеньев в таком интервале частот, в котором они не могут
быть заменены прямолинейными асимптотами, пользуются кривыми поправок
(рис. 3.27) или табл. 3.2.
<f,db
IB
1Z
в
4
0
-4
-8
У
а
2 0
3 0
« а
5 0
В 0.1
/1
Ч У\ "^
? 7 1
г 0,16
-0,15
-0,20
■0,25
'0,30
-о,ьо
-0,50
-0,60
-o,so
>
г <
<■ 6
- t
So
jT
Рис 3.27. Кривые поправок б для асимптотических частотных
характеристик колебательного звена
88
3"
*>
f
ш
«о
ч
о
X
S
ш
S
о.
f
X
ш
о.
се
X
S
3
S
2
се
S
Я
и
и
а>
В"
S
Е
■е-
S
о.
ш
I
се
с
с
о
с
ч
«о
ю
CU
с
г"
о
3
о
га
при
us>
1Л
о
*J'
о
р^
о
I
0,2
0,
о
о
о
о
см
ю
со
со
00
со
со
со
со
о
со
см
ю
о
со
о
0,3
0,0
о
о
о
00
сп
со
■*
О)
о
00
со
см
t-~
со
ю
см
о
со
со
о
0,3
0,0
о
о
со
■*
о
о
со
(М
t--
со
■*
ю
со
о
со
со
см
о
со
t--
о
0,3
0,0
о
о
со
О)
t--
ю
-#
со
СО
ю
о
со
со
о
(М
СЧ
о
со
со
t--
о
ю
см
0,3
0,0
о
см
о
о
сч
о
СО
о
со
со
ю
со
.—1
о
со
о
■*
о
см
■*
t--
см
со
о
t--
о
см
.—1
0,3
СО
t--
0,0
ю
см
о
СП
со
■*
■*
СП
со
■*
■*
t--
00
со
см
t--
ю
со
'—'
сгс
о-
00
ю
со
о
сч
О)
0,2
t--
0,0
о
со
о
со
■*
О)
о
со
СО
сч
со
■*
О)
-#
тГ
'—'
t--
сч
О)
о
со
со
ю
о
со
■*
0,2
О)
ю
0,0
о
■*
о
о
о
о
t--
со
t--
со
сч
о
СП
е>
t--
сч
CD
со
t--
со
о
о
f~
I'O
-#
-#
0,0
о
о
t--
—4
CM
?
t--
о
i
со
сч
со
о
■*
ю
со
о
см
СП
сч
со
со
аэ
—^.
о
сч
СП
о'о
■*
0,0
о
о
о
со
со
1
-#
t--
сч
1
о
■*
сч
[
о
со
со
о
1
-#
t--
■*
о
1
ю
■*
(М
о
1
со
о
о
1
ю
сч
—0,0
о
со
о
о
сч
со
со
1
со
О)
(М
1
о
t--
CD
сч
1
со
со
О)
■—'
1
О)
сч
7
со
-#
t--
со
1
о
■*
—0,3
со
со
о'о—
о
о.

Правила вычисления и построоения ЛАЧХ колебательного звена:
1) на оси частот отмечают точку, соответствующую сопрягающей частоте
С0к=1/7,к, и из нее проводят две асимптоты: с наклоном 0 дБ/дек влево и
—40 дБ/дек вправо. В результате получают первое приближение для
логарифмической амплитудной характеристики в виде прямолинейных асимптот,
которые сопрягаются в точке сок= 1/Ук;
2) для уточнения ЛАЧХ используют или кривую поправок, которой
соответствует значение параметра |к, наименее отличающееся от
рассматриваемого, или табл. 3.2. Поправки откладывают с соответствующим знаком от
сопрягающих асимптот.
Для вычисления значений ЛФЧХ в соответствии с выражением (3.66)
можно использовать тригонометрические таблицы и следующие
приближенные формулы:
arctg 1_T^wZ^2^KTKa. 7>)<0.4;
2ск/кй) 2ск
arctg,^^^-^, Гксо>2.5.
Ошибка при вычислении фазы по этим формулам при любом значении о не
превышает 2°.
Неустойчивое колебательное звеио. В случае неустойчивого
колебательного звена, имеющего передаточную функцию вида (3.36), выражения для
ЛАЧХ и ЛФЧХ соответственно при k=l имеют вид
Lm (со)= -20 lg У(1+7У*)г)г + (2|к7»8; (3.67)
e(co) = arctgl + т\&- (3.68)
Кривые отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических, определяемых
формулой (3.67), даны на рис. 3.28; семейство ЛФЧХ, определяемых формулой
(3.68), показано на рис. 3.29.
Для неустойчивого колебательного звена, имеющего передаточную
функцию вида (3.35), ЛАХ и ЛФЧХ соответственно при k=l имеют вид:
Lm (со) = —20 lg V(1 — Г к8сог f + (2gK7"Kco)2, (3.69)
e(co) = arctgl2lKyKK^2. (3.70)
Сравнивая формулы (3.69) и (3.70) с формулами (3.65) и (3.66), отметим,
что амплитудные характеристики Lm(co) рассматриваемых неустойчивого и
устойчивого колебательных звеньев одинаковы, а фазовые характеристики
отличаются лишь знаком.
Таким образом, при построении ЛАЧХ (3.69) можно пользоваться
рис. 3.30, а при построении ЛФЧХ (3.70)—рис. 3.31, зеркально отобразив
последние относительно оси со.
Интегрирующее звеио. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена при &=Ь
в соответствии с выражением (3.43), определяют по формулам:
Lm(co)=— 201gco; (3.71)
G(co)=— * =const. (3.72)
90
Рис. 3.28. Кривые отклонений точных
ЛАЧХ от асимптотических
неустойчивого колебательного звена
«Га/Л*
-150
-ПО
t*=r.°
о,в це
о,ч о,г
<«=«»
Щ
10,0
Тсо
Рис. 3.29. Семейство ЛФЧХ неустойчивого колебательного звена
Характеристики (3.71) и (3.72) приведены на рис. 3.30. Сдвиг фазы,
создаваемый интегрирующим звеном, не зависит от частоты и равен (—я/2).
Дифференцирующее звено 1-го порядка. ЛАЧХ и ЛФЧХ
дифференцирующего звена 1-го порядка имеют вид
Lm(co) =201gV -AoH-l;
6(co)=arctgxco.
(3.73)
(3.74)
ели выражения (3.73) и (3.74) сравнить с соответствующими
выражениями (g.gi) и (362) для апериодического звена, то при i=T они отля-
•отся друг от друга лишь знаком.
91

-45
-90
ы,Т/с
Рис, 3.30. ЛАЧХ L(ito) и ЛФЧХ 6(ito) интегрирующего эвена
Следовательно, кривые ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена
являются зеркальным отображением кривых тех же характеристик
апериодического звена относительно оси частот (см. рис. 3.31).
Цш),дБ
40
30
го
10
0(ш) /
t(ai) S
"Z
80
60
40
го
oj» at ifl ю юош
Рис. 3.31. ЛАЧХ L(co) и ЛФЧХ в (to)
дифференцирующего звена 1-го порядка
Дифференцирующее звено 2-го порядка. ЛАЧХ и ЛФЧХ
дифференцирующего звена 2-го порядка при k=l определяют с помощью формул
Lm (со)=20 lg V (1 — т/ш!)2 + (2£rfTrfco)*; (3.75)
e(co) = arctg12^^2. (3.76)
Если сравнить формулы (3.75) и (3.76) с соответствующими
формулами (3.65) и (3.66) для устойчивого колебательного звена, то при %й=Тк и
£<г=6к оии отличаются друг от друга лишь знаком. Поэтому кривые Lm(co)
и 6 (to) для дифференцирующего звена 2-го порядка могут быть получены
как зеркальное отображение относительно оси частот соответствующих
кривых колебательного звена (см. рис. 3.25 и 3.26). Поэтому во втором
случае прн пользовании табл. 3.2 следует изменить знак поправок.
Запаздывающее звено. Логарифмические частотные характеристики
запаздывающего звена определяют с помощью выражений
Lm (to ) = 0;
6(ю)=—тосо.
92
L
0,1 в(ш)° 10
>\ --ZD
W "i
W IN--
Y\ -i>o
-ео-Г\
-ео -\\
юо - \\
Рис. 3.32. ЛФЧХ запаздывающего звена
ЛАЧХ запаздывающего звена совпадает с осью частот, а ЛФЧХ показана
на рис. 3.32.
При определении логарифмических частотных
характеристик типовых звеньев САР предполагалось, что k=\. Если
передаточный коэффициент звена кф\, то, например, для
апериодического звена
№(/со)=А!/(1+Г/сй) и L(co)=201gfc—201g l/PV+1.
Таким образом, полученную ранее ЛАЧХ для k=\ следует
переместить параллельно самой себе на величину 201g& вверх
или вниз в зависимости от значения k: если k>\, то вверх (так
как 201g&>0); если k<\, то вниз (так как 201g&<0).
Рассмотренные логарифмические частотные характеристики
типовых звеньев используют в ряде систем
автоматизированного моделирования при расчете САР и САУ, реализованных в
виде п-кетов прикладных программ для персональных и уни-
6,дВв!ш)'
Рис. 3. 33. Шаблоны для построения ЛФЧХ
апериодического звена

версальных ЭВМ. Такими пакетами являются, например, СС,
СИАМ, ФАЗЕР и др. [21].
При выполнении расчетов САР с использованием
графоаналитических « графических методов, основанных на
логарифмических частотных характеристиках, применяют специальные
шаблоны. На рис. 3.33 показаны, например, шаблоны для
построения ЛФЧХ и поправки для апериодического звена.
Аналогичные шаблоны могут быть получены и для ЛЧХ других
динамических звеньев.
3.7. Приближенный способ вычисления и построения
логарифмических частотных характеристик
одноконтурных систем
Общее выражение для передаточной функции разомкнутой
одноконтурной системы можно представить аналогично
выражению (3.57):
IL kiTHriS+l)Il(T2dis* + 2?,di%dis + l)
r(s) = -i=i-J=l £=> , (3.77)
sv]I(7> + l)]I [т1,8* + 2ЪыТЫ8+1)
i=l i=l
где П — знак произведения; v — число интегрирующих звеньев
в прямой цепи системы.
Если обозначить Lm(co)=201g| W(ja) |, то выражение (3.77)
можно записать в виде
Lm(o)) = 2Lm^i + 2Lml/rTi2cu2 + l +
+ 2 Lm V(l - т2. со2)2 + (2ialxdlcof -
2=1
Р
-vLmcD-2Lml/77cu2+l —
г=1
-2Ьт1/(1_Г2гСй2)2 + (2^Гкг(й)2 . (3.78)
г=1
Выражение (3.78) показывает, что ЛАЧХ одноконтурной
системы может быть получена в результате суммирования ординат
ЛАЧХ типовых звеньев, входящих в ее состав.,
Правила построения ЛАЧХ одноконтурной системы:
1) определяют сопрягающие частоты coi = 1/ti; со2=1/т2; •••
... и т. д. и отмечают их вдоль оси частот lg со;
94
2) проводят низкочастотную асимптоту ЛАЧХ Lm(co), ко-
рая представляет собой при co<coi прямую с наклоном,
_20v дБ/дек,
е v — порядок астатизма системы, или число интегрирующих
звеньев.
Эта прямая или ее продолжение при частоте со = 1 должны
иметь ординату 201g& (где k= П kt — передаточный
коэффициент разомкнутой системы из выражения (3.77));
3) после каждой из сопрягающих частот со* наклон
асимптотической частотной характеристики Lm(co) изменяется по
сравнению с тем наклоном, который эта характеристика имела
до рассматриваемой сопрягающей частоты со*, в зависимости от
того, какому звену принадлежит сопрягающая частота. Наклон
изменяется на: —20 дБ/дек, если сопрягающая частота
принадлежит апериодическому звену; —40 дБ/дек в случае
колебательного звена; +20 дБ/дек в случае дифференцирующего звена
1-го порядка; +40 дБ/дек в случае дифференцирующего звена
2-го порядка;
4) уточняют вид Lm(co) при помощи кривых или таблиц
поправок.
Следует отметить, что высокочастотная асимптота ЛАЧХ,
т. е. часть ЛАЧХ при частотах, больших наивысшей
сопрягающей частоты, должна иметь наклон —20 (п—гп) в децибелах
на декаду (где п — порядок знаменателя; ш — порядок
числителя передаточной функции (3.77) разомкнутой системы).
Выражение для ЛФЧХ соответствующей передаточной
функции (3 77) разомкнутой системы имеет вид
р О
б(ш)= -v|— 2arctgr,o)_2arctg^i^-2 +
1=1 i=l l~ ' Ki®
+ i>ctgT^ + iarctgp^
г=1 i=l * Tdi'
ЛФЧХ одноконтурной системы, так же как и ЛАЧХ, может
быть определена в результате сложения ординат фазовых
характеристик типовых звеньев, входящих в ее состав.
Для приближенного построения фазовых характеристик
звеньев удобно пользоваться номограммами и приближенными
Формулами.
Чтобы построить графики ЛАЧХ и ЛФЧХ при помощи ЭВМ,
По оси абсцисс откладывают логарифм частоты со в линейном
Масштабе, в результате чего в отношении lg со градуировка
Ч1калы вдоль этой оси оказывается равномерной. Разметку оси
абсцисс обычно выполняют не то значениям lg со, а по
соответствующим им значениям самой частоты со, поэтому градуиров-
КУ Шкалы в отношении со получают неравномерной. При
построении графиков ЛАЧХ (3.78) по оси ординат откладывают в ли-
95

нейном масштабе увеличенные в 20 раз значения логарифма
модуля в децибелах, а при построении ЛФЧХ (3.79)
—значения фазового угла в градусах.
ЛАФХ строят либо на полулогарифмической, либо (чаще)
на миллиметровой бумаге. На последней удобно принять еле-
дующие масштабы: по оси абсцисс: 1 дек—50 мм; по оси
ординат: 1 дБ — 2 мм, 1 град— 1 мм.
Пересчет линейного масштаба оси абсцисс в логарифмический
выполняют с помощью табл. 3.3. (При построении логарифми-
Таблица 3.S
Пересчет линейного масштаба оси абсцисс в логарифмический
(0, С-1
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
d, мм
0,00
2,06
3,95
5,70
7,30
8,80
со, с-1
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
d, мм
10,20
11,51
12,75
14,40
15,05
16,20
СО, С-1
2,25
2,50
2,75
3,00
3,50
4,00
d, ММ
17,60
20,00
21,80
23,80
27,20
30,00
со, с-1
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
7,00
d, мм
32,60
35,00
37,00
39,00
40,50
42,20
СО, С-'
1 7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
10,00
d, мм
43,70
45,00
46,40
47,70
48,80
50,00
Обозначения: а—значение частот по оси абсцисс; d — расстояние по
оси абсцисс, соответствующее данной частоте.
ческих 'частотных характеристик при принятых масштабах
удобно пользоваться шаблонами [18, 20].)
Для перевода натуральных чисел в децибелы и наоборот пользуются
номограммой (рис. 3.34).
Вычислим и построим логарифмические частотные характеристики
одноконтурной системы (рис. 3.35).
Пусть необходимо построить логарифмические частотные
характеристики одноконтурной САР, имеющей передаточную функцию типа (3.77):
W (s) 20(3s+l)°
w КЪ} — s (10s + l)a (0.2s + 1) (0,04s +1)'
Построение выполняют на миллиметровой бумаге, которую
подготавливают соответствующим образом.
Определяют сопрягающие частоты, обратные по значению постоянным
-времени системы, с-1:
со1 = 1/10=0,1; ш2=1/3=0,33;
«з=1/0,2 = 5; ш4 = 1/0,04=25.
Сопрягающие частоты отмечают на оси частот.
После этого строят низкочастотную асимптоту ЛАЧХ, которая имеет
наклон —20 дБ/дек, так как система является астатической 1-го порядка
(число интегрирующих звеньев v=l). Эта прямая должна быть проведена
так, чтобы ее продолжение при частоте о>=1 имело ординату 201g&=
=26 дБ.
Далее, ввиду того что частота toi принадлежит двум апериодическим
звеньям, наклон асимптотической ЛАЧХ изменяют на —40 дБ/дек. В
интервале и>1... а>2 асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон —60 дБ/дек. При
частоте <о = ш2 начинает влиять эффект двух дифференцирующих звеньев с
одинаковыми постоянными времени. Поэтому наклон асимптотической ЛАЧХ
•86
1
13
а
п
п
15
ц
13
it
и
10
t
I
7
I
f
4
3
г
i
a
39
3d
37
31
35
34
33
32
31
SB
29
IS
27
25
25
24
23
22
21
20
ft It Ж
5)
St
57
51
55
5*
53
52
51
51
49
41
*7
if
4$
44
43
n
78
77
n
75
я
73
72
71
m
is
ft
57
If
15
64
S3
42 tt
it
it
SI
it
99
St
97
ft
95
94
93
92
91
9t
I)
It
17
It
85
14
S3
St
11
It
2,5 3 3.S i 4,5 5 5.51 (577^/i599J I
40'
XlO*
Рис. 3.34. Номограмма для перевода натуральных чисел в децибелы и
наоборот
изменяют на +40 дБ/дек и в интервале со2—«>з этот наклон делают равным
—20 дБ/дек. При частотах, больших со3, вследствие влияния апериодического
звена с постоянной времени 7*1=0,2 с наклон становится —40 дБ/дек, а
для co>(i>4 асимптотическая ЛАЧХ будет иметь наклон —60 дБ/дек.
На рис. 3.35 приведены также кривые поправок для соответствующих
типовых звеньев. Их суммирование с асимптотической характеристикой дает
точную ЛАЧХ разомкнутой системы. Там же приведены построенные по
шаблонам фазовые характеристики типовых звеньев, входящих в систему
вИ«ь e(w)d, е(ш)аз, в(©) а4> 6 (to)и.
ЛФЧХ всей системы получают путем суммирования ЛФЧХ типовых
звеньев этой системы.
Следует отметить, что здесь высокочастотная асимптота ЛАЧХ имеет
наклон, дБ/дек: — 20 (n—m) =— 20(5—2) =— 60, где от—порядок
числителя; п — порядок знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.
ЛФЧХ при частоте, стремящейся к бесконечности:
— \ (п — т) = — \ (5—2) = — -g- я.
ЛАЧХ разомкнутой САР может быть разбита на
следующие три характерных участка (|рис. 3.36).
1- Область низких частот. Этот участок находится в облас-
и частот, меньших первой сопрягающей частоты. Вид ЛАЧХ
ДОсь определяет порядок астатизма и статическую точность
йстемы. Для статических систем ЛАЧХ представляет гори-
°нтальную прямую, отстоящую от оси частот на 201g&, для
7—3591
97

Ци,),
дБ
Рис. 3.35. Пример построения ЛАЧХ и ЛФЧХ
одноконтурной системы регулирования
L(u>)
Of/гость
низких
частот
Область
средних частот
CJg СО
Область
I \высокшг
| \^vacmom
Рис. 3.36. Области низких, средних и высоких частот
логарифмической амплитудной характеристики САР
астатических систем 1-го порядка характеристика имеет
наклон —20 дБ/дек. При частоте со = 1 эта прямая или ее
-продолжение, согласно выражению (3.77), должна иметь ордина-
20\gk. Если система имеет астатизм v-порядка, то наклон*
Прямой должен быть —20 v дБ/дек.
2. Область средних частот. Вид ЛАЧХ в этой области
определяет в основном запас устойчивости и качество САР. В этом
интервале находится частота среза системы сосР,
характеризующая время переходного процесса при достаточных запасах
устойчивости. Область средних частот заканчивается частотой
3. Область высоких частот (сов... °°). Этот участок может
флть назван интервалом малых параметров. Он содержит
сопрягающие частоты, пренебрежение которыми не оказывает
существенного влияния на вид логарифмической характеристики
в интервале средних частот, т. е. на динамику системы.
3.8. Преобразование структурных схем САР
Правила преобразования структурных схем облегчают
определение передаточных функций сложных САР и дают
возможность привести многоконтурную систему к эквивалентной
одноконтурной.
Пример 1. Пусть система состоит из двух последовательно включенных
элементов с передаточными функциями Wi(s) и Wz(s) (рис. 3.37). Первый и*
Рис. 3.37. Пример эквивалентного преобразования
структурной схемы САР
^ ф£5£н°й™^ "«ьншс обратных связей с передав
э^е„^Камо^теДбаы?ГпЯ0е&г,ИРЯ Нескольких параллельно соединенных
*ти* элементов то схемак?™^v ™К СуММ/ пеРеДа™™ых функций
НаРис. 3.37,6, где Р ,а М0Ж6Т быть преобразована в схему
Z(s)=Z1(s)+Z2(s)+...+Zn(s).
гИ"иРмееетТОвТдаЯ ФУНКЦМ ЭЛеМеНТа *•<*>• Ученного обратной связьн>
«ЛИ
1 + Wt {s) Z (s) •
W,
•W=tt-
WAs)
1 + Wl (s) [Zt (s) +Zs(s)+...+Zn (s)y
7*

Таким образом, двухконтурная система заменяется одноконтурной, ко.
торая состоит из последовательного соединения элементов Wu(s) и W2{s)
(рис. 3.37,в). Передаточная функция системы с разомкнутой обратной
■связью имеет вид:
Wi (s) W* (s)
Пример 2. Схема многоконтурной (четырехконтурной) САР показана
на рис. 3.38, а. Передаточная функция W^s) элемента Wi(s), охваченного
отрицательной обратной связью Zt{s)
W*i(S)~l+Wi(s)Zi{sy
. При этом четырехконтурная система может быть сведена к трехконтурной
системе (рис. 3.38, б).
в*.
JL&^W,(S)\~&^W2(S)\~&^W,(s)\-<^Witsfo~-
ч^ь
—fcfe; \.
, ' d^(-
l \z,(s)\-
Рис. 3.38. Пример преобразования
четырехконтурной CAP
Далее последовательно соединенные структурные элементы с
передаточными функциями Ws(s) и Wm(s), охваченные обратной связью Z3(s), могут
быть заменены эквивалентным структурным элементом с передаточной
функцией
W*3 W - I + Z% (s) Wb (s) W44 (sy
или
1^3 (s) WA (s)
Wbb (s)= j + Zi (s) ^ (s) + Zs (s) ^ (s) ^ (s).
В этом случае трехконтурную схему можно свести к двухконтурной
схеме (рис. 3.38, в), которая в свою очередь может быть приведена к
одноконтурной схеме (рис. 3.38,г).
Для схемы, показанной на рис. 3.38, г, передаточная функция
wSi (s)~ j + Za (s) Wi (s) Wt3 (s)_
W, (s) Wa (s) U?4 (s)
- 1 + Z4 (s) W4 (s) + Z8 (s) W (s) W4 (s) + Zs (s) W2 (s) W8 (s) W4 (s) •
Передаточная функция всей системы с разомкнутой главной обратной
«вязью имеет вид
Z, (s) Wt (s) Wt (s) W, (s) W* (s)
— 1+ Z4 (s)W4,(s) + Z3 (s) W3 (s) tf74 (s) + Z2 (s) IF2 (s) 1^3 (s) W4 (s) -
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
100
1 W(s)
$(s)= ZAs)'l + W(,s)
У, (s) IF, (s) 1^3 (s) «^ (s)
= lTZ4 (s) W4 (s) + Z3 (s) H73 (s) U74 (s) + Z2 (s) W2 (s) W, (s) U74 (s) + *
+ Z, (s) IP, (s) №2 (s) W3 (s) W4 (s)
Пример 3. Для упрощения структурную схему САР (рис. 3.39, а) преоб-
зуЮТ к виду, показанному на рис. 3.39,6, исходя из того, что сигнал g(t)
Выг
Рис. 3.39. Пример преобразования
структурной схемы САР с двумя це-
I пями ООС
на входе элемента Ws(s), прежде чем поступить на выход системы и в цепь
обратной связи Zi(s), должен пройти через элемент W3(s).
Передаточная функция части системы, которая отмечена на рис. 3.39, б
штриховыми линиями,
W*3 (S)_ I + Z, (s) W2 (s) Ws (sy
Схема на рис. 3.39, б может быть преобразована к схеме на рис. 3.39, е,
передаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид
Wt (5) W,3 (5) Wt (S) _
ц,,5'-1+г1(8)11'1М1Г!!(«Г
Wr (s) W* (s) Ws (s)
_ 1+ Z, (s) W, (s) Wt (s) + Zs (s) W, (s) W* {sy
Пример 4. Рассмотрим преобразование структурной схемы сложной САР
(самолет с автопилотом) с несколькими регулируемыми величинами
(рис. 3.40). Система включает в себя самолет (объект регулирования) и
Рис.' 3.40. Размещение н соединение агрегатов
автопилота самолета:
/ — канал курса; 2 — руль курса; 3 — руль высоты; 4 —
канал крена; 5 — элероны; 6 — гировертикаль; 7 —
курсовой гироскоп; 8 — канал тингажа
101

автопилот, состоящий из трех регуляторов, которые координирован^
управляют самолетом по трем каналам (тангажа, курса и крена) с по.
мощью рулей высоты и курса, а также с помощью элеронов.
Для упрощения можно предположить, что боковые и продольные двн.
жения самолета независимы друг от друга. При этом ограничимся
рассмотрением курсовой и поперечной стабилизации самолета с автопилотом.
Чувствительным элементом курсовой стабилизации служит свободны^
гироскоп с горизонтальной осью свободного вращения. При помощи чув-
ствительного элемента, специального демпфирующего устройства и потенцио.
метра в автопилоте вырабатывается напряжение, пропорциональное углу
отклонения самолета от заданного курса н его угловой скорости
относительно вертикальной оси. Это напряжение подается на вход электронного
усилителя, который воздействует на серводвигатель (рулевую машину),
управляющий движением руля курса. Серводвигатель имеет электрическую
обратную связь. На вход усилителя канала руля поворота подается
напряжение, пропорциональное не только углу рысканья, но и углу бокового
крена самолета. Это напряжение поступает от потенциометра, которым
снабжен другой чувствительный элемент автопилота — гироскоп продольно-
лоперечной стабилизации, представляющий собой свободный гироскоп с
вертикальной осью вращения. На вход электронного усилителя канала
элеронов подается сумма напряжений, одно из которых пропорционально
углу бокового креиа, а другое — углу отклонения самолета от заданного
курса. Этот усилитель воздействует на серводвигатель, управляющий
поворотом элеронов. Серводвигатель канала элеронов также имеет
электрическую обратную связь.
Если не рассматривать системы продольной стабилизации и внутренних
обратных связей в автопилоте, то систему самолет—автопилот можно
представить состоящей из четырех замкнутых контуров: I) самолет—гироскоп
курсовой стабилизации — усилитель и серводвигатель курсового канала —
руль направления — самолет); 2) самолет — гироскоп продольно-поперечной
стабилизации — усилитель и серводвигатель канала элеронов —• элероны —
•самолет; 3) самолет—гироскоп курсовой стабилизации — усилитель и
серводвигатель канала элеронов —> элероны — самолет; 4) самолет—гироскоп
продольно-поперечной стабилизации — усилитель и серводвигатель канала
направления — руль направления — самолет.
Структурная схема системы самолета с автопилотом показана на
рис. 3.41, с, где через 4^(0 и ©g(i) обозначены требуемые законы
изменения курсового угла бокового крена, а через 4?(t) и Ф(£) их действительные
значения:
МО =¥e(0—Y(0; eo (.t)=®g(t)-iS>(t).
Через Wi(s) и Wi(s) (на рис. 3.41 везде Wb W2 и т. д.) обозначены
передаточные функции каналов руля направления и элеронов автопилота
соответственно, а через Ws{s) и Wt(s), W5(s) н We(s)—передаточные функции
самолета, характеризующие эффекты отклонений элеронов и руля (иа
углы бокового крена), а также рысканья соответственно.
На рис. 3.41,6 приведена преобразованная схема, на которой самолет
представлен в виде четырех параллельно соединенных элементов с
передаточными функциями Wi(s) ... We(s).
Так как сигнал от каждого из элементов сравнения по двум
параллельным цепям проходит через каналы Wl(s) и W?(s) то для определения
передаточной функции, характеризующей изменение курсового угла W(f) в
зависимости от сигнала ошибки ey(t) схему иа рис. 3.41,6 можно
представить в виде двух схем на рис. 3.41, в, г. Схема (см. рис. 3.41, в)
характеризует влияние сигнала ошибки ev(t) на курсовой угол W(t) через канал
руля Wi(s), а схема (см. рис. 3.41,г) —влияние сигнала ошибки ew(t) на
W(t) через канал элеронов W2(s).
Для выявления параллельных путей прохождения сигнала на (сМ-
рис. 3.41, в, г) изменение угла бокового крена полагается равным нулю,
т. е. <Dg=0, а передаточная функция элемента сравнения для угла
бокового крена заменяется —1. Это возможно иа основании того, что если в
уравнении
102
-ф-Шп
Рис. 3.41. Преобразование структурной схемы самолет—автопилот
(5ф(1)=ф8(0~Ф(0. <М0=°.
£ф(»)
Ф(5)
= —1.
Схемы на рис. 3.41, е, г, могут быть сведены к виду, изображенному на рис
3 41 д е Схема на рис. 3.41, в преобразуется к виду, изображенному на
рис 3 41<? так как сигнал ошибки еФ(0 после прохождения через
структурный элемент W,(s) разветвляется на две параллельные ветви. „Q^ra„„
Схема на рис? 3.41, г приводится к схеме на рис. 3.41, е. Передаточные
Функции для каждой из этих систем можно записать следующим образом:
для схемы на рис. 3.41,6:
\Р¥-л = Wi (s) W6 (s) + Wt (s) W4 (s) W& (s) i_(_ir,(S))irt(S)-
Iе ф \s))Wt
Для схемы на рис. 3-41, е:
... W1 (s)
-W- = w „ (s) wt {s) + w2 (s) w3 (s) we (s) r^f^W'WfwTls'y
Искомая передаточная функция системы с разомкнутым каналом курса
W, (s) Wt (s) Wi (s) Wb (s) WAs) W2 (s) Ws (s) We (s)
+ 1 + WAs) WAs) \+WAs)WAs)
Аналогично можно определить передаточные функции других каналов
правления.
103
t

3.9. Номограмма для замыкания системы
Как будет показано далее, для анализа качества САР
необходимо решить следующую задачу: известны логарифмические
амплитудная и фазовая частотные характеристики Я(ш) и
6(о) разомкнутой системы W{s); необходимо найти
логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики
Л (и) и ф(и) замкнутой системы
7/=20/g cose((0)±"^c°s2e(co) + ^-4
-2-1
-С— - (3.80)
-^н.ч
H = 20lg Si"te(")-<P(")] n
& sin ф (со) ' (р.61)
где Я —значение ЛАЧХ, дБ; Ан.ч — значение амплитудной
характеристики замкнутой системы, абс. ед.
Придавая А в формуле (3.80) некоторые постоянные значе
ния в абсолютных единицах, а в формуле (3.81) —в градусах,
и изменяя 6 от 0 до +360°, можно получить для каждого 6
соответствующие значения L(co) в децибелах.
При построении номограмм замыкания по оси ординат
откладывают значения Я(ю) в децибелах, а по оси абсцисс —
фазы 6(со) в градусах (рис. 3.42).
На плоскости (с координатами ЬтЯ(сй) и 6(со)) строят
кривые, соответствующие геометрическим местам точек, имеющих
постоянные значения А и ср. Значения А и <р, для которых
построены кривые, составляющие номограмму, отмечены
соответствующими цифрами (индексами).
Следует отметить, что при больших по абсолютному
значению отрицательных Я, уравнение (3.81) сводится к виду
sin (6 ф) ?»0, или 8^<р, т. е. линии равных значений <р
примерно совпадают с вертикалями (т. е. значения фазы 6 равны
индексу <р).
Номограммой пользуются следующим образом. В
координатах логарифм модуля — фаза, в которых 'построена
номограмма, строят кривую L(6), представляющую зависимость L(o)==
= Lm\W(j(i>)\ от e(o)=arg{ir(/ci)} для системы. При этоМ
угловую частоту ю рассматривают как параметр и значения &
отмечают вдоль L(Q).
Если кривая L(6) пересекает одну из кривых номограммы,
имеющую индекс N1 = LmAl при значении ©=©,, то ЛАЧХ
замкнутой системы LmA имеет значение Nr. Если при ю = йм
кривая L(0) пересекает одну из кривых номограммы, имеющую
индекс фЬ то при ю = со, ЛФЧХ ф(ю) имеет значение фь
104
Фаза 8(d)
^зво" -зго" -г8о° -гио" wo" по" во" 40° 0°
Н(4
дб
32 ■ -
ге
24 ^
20 -
W 1
if I
fy -ГШ
о 4=
-8 - -
-12 ■
-16 - - -
-20 "-"-'-
.4
ср^гу
rg
Г /
го" j
Г%°У\
\г°° ^
Ц—1
г-н
Щ^Ит
..
-0,5 /
(1,06) t
vim
r X
?.n 1
(tfi^/Г
Jr^o\
\\l 111 Y
A\i/"A
mfw
о *4*J~~
Jr7"
fir
\0,2S'
\tt03j
Л1 '^
1
J
Ш
\9--Г
u,-=
4o°\ \
v\ L
y?!Vr\ у
/Xso°
Ф&
'
1
-8,5
(0,944)
-v>
(0,891)
*,0
mm
-4J>
6fi
(o,m
-101
(0Д
-15,0
(0,178)
-ZOfl
(0,079)
-180" -140" -100° -80° -20° 0a 20° So" 100° 140° ISO'
-160° -120" -80° -40' 40° 80" 120° 160°
ИзВытак фазы
Ис- 3.42. Номограмма для определения ЛАЧХ и ЛФЧХ САР с обратной
связью (замкнутой системы) по ЛАЧХ н ЛФЧХ разомкнутой системы
105

.ив.
x(t) 9(t)
W(s)
Z(s)
*(t)
Рис. 3.43. Схема CAP:
a — с единичной ООС; 6 — с неединнчной ООС
Номограммы црименимы для САР, имеющих единичную
обратную связь (рис. 3.43, а), передаточная функция которой
Ф (5) =
W{s)
Если САР имеет неединичную обратную связь (рис. 3.43,6), то
передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет
вид
Ф(5) =
I + Z (s) W (s)
Для того чтобы применить номограмму для получения
логарифмических частотных характеристик замкнутой системы,
передаточную функцию этой системы представляют следующим
образом:
J_ [ W(s)Z(s) I
Ф(5) =
Z(s) L l+W(s)Z(s)
Выражение в квадратных скобках дает возможность
воспользоваться номограммой и найти логарифмические
характеристики, соответствующие этому выражению. Из полученных
характеристик следует вычесть характеристики,
соответствующие передаточной функции Z(s). В результате получают
искомые логарифмические частотные характеристики замкнутой
системы с неединичной обратной связью.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит задача линеаризации уравнения САР? К>'
кова математическая основа линеаризации?
2. Какова методика экспериментального определения
частотных характеристик динамической системы?
3. Охарактеризуйте особенности свободных и вынужденных
колебаний САР.
4. Что такое передаточная функция линейной САР? Какими
передаточными функциями может быть описана САР?
5. Сравните между собой основные временные и частотные
свойства типовых динамических звеньев.
J 06
6. Почему в определении передаточной функции
динамической системы начальное состояние (условия) является нулевым?
7. В чем состоят преимущества ЛЧХ в сравнении с ам-
лИТудно-фазовыми характеристиками (АФХ)?
8. Каковы правила вычисления и построения ЛЧХ системы
автоматического регулирования?
9. На какие технические свойства САР оказывают влияние
низко-, средне- и высокочастотные области ЛЧХ?
Ю. Заданы ЛЧХ разомкнутого контура САР. Как
определить ЛЧХ системы, замкнутой цепью отрицательной обратной
связи?
11. Сформулировать основные правила преобразования
структурных схем САР.
4. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ В САР
Метод переменных состояния1 в теории управления основан
на понятии состояния динамической системы (объекта или САР
в целом). Если систему описывают некоторой совокупностью
физических переменных Xx(t), x2(t), ..., xn(t),
характеризующих поведение этой системы в будущем, и если известны ее
состояние в данный момент и приложенные к ней воздействия,
то статические и динамические свойства объекта или САР в
данном случае можно описать системой дифференциальных
уравнений в нсфмальной форме Коши.
Матричная передаточная функция системы, а также
свойства наблюдаемости и управляемости позволяют глубже понять
динамику и особенности технических систем [18, 20].
4.1. Переменные состояния и уравнения состояния
динамической системы
Рассмотрим многомерную систему (рис. 4.1), описываемую
Переменными состояния *i(0> *г(0> •■•' *»(0> позволяющими
w,
*М
*г($
Wi
у, (О
•угЮ
Рис. 4.1. Система с двумя входами н
выходами, описываемая переменными состояния
•^Ь -^2» • • • » Xп
Строгое определение метода переменных состояния (нли пространства
^стояний) дано, например, в книге: Ту Ю. Современная теория управления /
с Р- с англ. Я. Н. Гибадулина; Под ред. В. В. Солодовннкова, М,: Машино-
«Роенне, 1971, с. 80—90.
107

по их начальным значениям xl(t0), x2(t0),...
■ ■■,Xn(tb) в момент t0 и заданным
воздействиям u,(t) и uz(t) при t^.t0 определить
будущие значения переменных состояния, а
также выходных переменных y^t) и y2(t).
Поясним понятие переменных состояния на простом
примере механической системы, состоящей из груза
массой т, подвешенного иа пружине с коэффициентом
упругости k и двигающегося в цилиндре с
коэффициентом трения / (рис. 4.2.). Дифференциальное уравнение
этой системы можно представить в виде
d2y dy
Рис. 4.2. Механи- ^ качестве переменных состояния введем
ческая система, по- лг, (t) — y(t),
ясняющая понятие
переменных со- г/1 d^ ^ '
стояния хг\1)— df — dt ■
(4.1)
(4.2)
Подставляя выражения (4.2) в уравнение (4.1), получим
dxs
dt
■ + fxi + kx1 = u(t).
Учитывая выражения (4.2), можно написать:
dx,
dt
dx2
dt
*2i
/ k I
~ m X2 mXl+mu-
(4.3)
Система уравнений 1-го порядка (4.3) и является уравнениями в
переменных состояния для рассматриваемого линейного объекта.
В общем случае нелинейной системы уравнения,
выраженные в переменных состояния, имеют вид
х\ (0 =f i[*i» х2, ■ ■ ■, хп; ии и2, ..., ит; t];
x\(t) =f2[xu x2, .. ., хп; ии и2, ..., ит; t];
(4.4)
xn{t) =fn[xu x2, ..., Хп; ии и2, ..., ит\ t].
Если предположить, что в уравнениях (4.4) функций fu f2, ■ ■•
..., fn линейны относительно переменных хх, х2, . . ., хп,
ии и2, ..., ит и не зависят от времени t, то их можно привести
к виду
х1=ахххх+а12х2+ ... +аХпхп+Ьххих+ЬХ2и2-\г ■ • - +Ь1шит;
x2=a2lxx+a22x2+ ... +a2nxn-\-b2lux-\-b22u2-\- . .. +b2mum;
(4.5)
xn=anlxi+an2x2+ ... +аппхп+ЬпХщ-\-Ьп2и2+ ... -{-Ь^и»
108
В матричной форме уравнения (4.5) принимают
вид
Х\
х2
Хп
+
Ь-а.
ап аХ2
«а #22
■ ьХт
• Ь2т
fhn
а„„
Xi
х2
1п\
щ
щ.
(4.6)
Матоицу-столбец, содержащую все переменные состояния в
правой части уравнения (4.6), называют вектором состояния и
обозначают через х, т. е.
х==
хх
х2
Хп
Бели вектор входных сигналов обозначить через и, то данная
линейная система в компактной векторно-матричной форме
может быть описана при помощи уравнения
х'=Ах+Ви, (4.7)
где А — квадратная [п, п]-матрица
ахх ... щп
Lan\ • • • апп J
В—прямоугольная [п, т]-матрица
Ьп ... ЬХп
В =
L"ni
х„
Для полного описания системы к уравнениям состояния (4.5)
или (4.6) необходимо добавить уравнения, устанавливающие
связь между переменными состояния хи х2, ..., хп и
выходными переменными ух, у2, ..., Уг которая обычно выражается в
виде системы линейных алгебраических уравнений:
У\ = С\\ХХ + с, 2*2+ • • • + с\пхп->
У 2 = С%ХХ + С22*2 + • • • + СЧлХ/\
Ур = СрХХу + Ср2Х2 4- • ■ . + СрпХп I
Или в векторно-матричной форме
У=Сх.
(4.8)
109

При этом матрица-столбец
У\
Уг
У= :
УР
называется выходным вектором, а матрица С(р, п) -—матрицей
выхода:
[сп ...сХп~]
С =
lpi
L-Ptlj
Уравнениям (4.7) и (4.8) может соответствовать
структурная схема (рис. 4.3), где векторные связи показаны стрелками.
Рис. 4.3. Структурная схема многомерной САР с
обратной связью А
Векторное дифференциальное уравнение (4.7) можно решить
методом, который применяют для решения уравнения 1-го
порядка. Рассмотрим уравнение 1-го порядка:
х=ах+Ъи, (4,9)
где х и и — скалярные функции времени; а и b — постоянные
величины.
Преобразовав уравнение (4.9) по Лапласу, получим:
sX(s)~ x{0)=aX(s)+bU(s),
откуда -ч
Л» =
*(0)
ъ
U{s).
~ w. (4.10)
Решение уравнения (4.9) можно найти, взяв обратное
преобразование Лапласа L~l[X(s)]:
t
x(t) = taix{p) + \ea(*^bu{x)dx. (4.11)
о
Решение векторного уравнения (4.7) определим
аналогичным образом, а именно
sX{s)—x(0)=AX(s) + BU(s)j (4.12)
или
X(s) =[sl—AJ-'x^+IsI—Ar^U^s), (4.13)
110
e i —единичная (п, п) матрица:
-1 0 ... 0~
0" -.1 ... 0
1
о о
Аналогично получим следующее решение неоднородного век-
торно-матричного уравнения (4.7):
х (t) = еА'х (0) + [ еА<'-т>Ви (т) dx,
(4.14)
где матричная функция еА' может быть представлена в виде
ряда, т. е.
eAiel + A<+Tsr + ...+TT-+....
сходящегося при всех конечных значениях t.
Общим решением однородного уравнения (4.7) при u(t) =
=0, описывающем свободное колебание системы, является
(4.15)
колебания линейной
системы с точностью до постоянной
Фи(*) ••• «ft» С)
Хс.в(0=еА'Х(0).
Функцию, определяющую свободные
?(^) = еА' =
f<Pi:
Ф*
Ф«1 (t) ■■■ 4>пп (*) J
(4.16)
называют переходной, или фундаментальной, матрицей. В
развернут й форме уравнение (4.15) имеет вид
'*! (*)
Фи (0
.Ф* С)
Фи. (0
Чпп (0
* (0)
U(0)J
lxn (*)
откуда
xi(t)=qnXl(0)+({)i2x2(0)+ ... +q>inXn(0) =
*ssXn(t)+xi2(t) + ■■■+xin(t) (i=l, ..., n). (4.17)
чевидно, что выражение (4.17) описывает изменение t-й
оставляющей вектора состояния Xi(t), вызываемое начальными
Условиями дсг(0), а каждый из членов правой части выражения
M0'=^«(0xf(0).
РеДставляет собой изменение t-й составляющей вектора со-
°яния Xi(t), вызываемое у'-м начальным условием.
Следовательно, каждый из элементов <р«(0 переходной
тРицы q(t) можно рассматривать как реакцию t-й перемен-
111

ной состояния при JCj(O) =il (/) и при нулевых начальных зна-
чениях всех остальных переменных состояния.
Выражение (4.14) с учетом матрицы (4.16) можно пред,
ставить также в виде суммы общего и частного решения:
х(0=хсв(0+Хвын(0=<Р(')х(0) +
t
+S<p(t—т)Ви(т)^т, Т4.18)
о '
где хвьш(0—реакция системы на вектор управления и(т);
t
h(t) = J(p(t—т)В^т—-матрица управляемого перехода, т. е.
о
при учете решения (4.14)
y(t—т)=еА('-т>.
Составляющая хвьш(£) является частным решением диффе*
ренциального векторно-матричного уравнения (4.7).
Методы вычисления переходной матрицы. Вычисление
переходной матрицы (f(t) линейной системы в случае, когда
матрицы А и В не зависят от времени, можно выполнить одним из
следующих трех методов.
1-й — метод разложения в ряд. Переходную матрицу
можно представить в виде бесконечного ряда
Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя их
суммирование, найдем приближенное выражение для y(t).
2-й —■ метод, основанный «а определении собственных
значений матрицы. Применяя к уравнению (4.16) преобразование
Лапласа, получим
Ф* (s) =L{y(t)}=L{eAt}=[sl—k]~\
где <B*(s)—изображение переходной матрицы (см. (4.22)) я,
следовательно,
<p(t)=L-1{[sl—A]-'}. (4.19)
Определение q>(t) сводится к вычислению собственных
значений матрицы А.
Пример. Пусть необходимо вычислить переходную матрицу системы,
уравнения которой имеют вид
Х\ == Х%\
хг=—Ьх\—ах2.
В таком случае
[л-а1=[;.+1]-
112
„зляьгагг ооращения эгои матрацл получим
Пусть матрица А имеет действительные и различные собственные значения
а 1 ,/--5 . а i
*,,== —2-+2-У«2-46; >,= — ~2~ Va*—45,
Тогда переходная матрица систему
,(.)=£-ЧФ*(5)]=?=^=гх
X
(Я,—й)е_я,< — (Я2 — а)е~^{) e_w — е~и'
ъ (е-МО__е-МО Х.е-^—Ке-^1
3-й — метод, основанный на теореме Сильвестра.
Предположим, что имеется некоторая функция /(А) от матрицы А,
которую можно представить в виде степенного ряда:
/(А) = 2 c*Ak-
k=\
где А — квадратная матрица размерностью (п, п) с п —
различными собственными значениями Я,.
Тогда, согласно теореме Сильвестра,
/(A) = 2/(^)F(U
где
F^-ns-
Aj —А/
' = 1
В частном случае, когда
/(А)=Ф(0=еА',
имеем
п
9(') = 2ex''F(A,,).
Пример. Предположим, что уравнения линейной системы имеют вид
*: = *:—Злг2;
хг=Х1~х2.
В этом случае
L 1 -1_я]=°
Непр +2 = 0, так что корни %t= ] |^2 ; а2 =—/ V*2 . Имеем матрицу
" Хода
8—3591 ИЗ

»(0 = /(A) = eA/=2]eX'/F(X,).
причем
Согласно Ю. Ту2
A+yVTi
* /2 У 2
Таким образом,
F(M =
А—У У 2 I
пут
»(')=
f А + У У2~1 ] е^2 ',-[А-/ УЩ е~^2 '
/2У2" =
(cos-j/2 0I + (-^=-sin^2~^A=cosyrrJ1 °] +
"*" у?
?(0=
:Sln '
Л— 1
cos V2 t +
V2
:sin У§~7
:Sln |/"2 *
-y=sln-j/2^
■V2"-^= sin УГ*
yg-ЬШ „Z Г COS , . ^_
4.2. Матричная передаточная функция
Применяя прямое преобразование Лапласа к
уравнениям (4.7) и (4.8), выраженным в переменных состояния,
получим
sX(s)=AX(s)+x(0) + BU(s);|
Y(s) = CX(s), ]
откуда, исключая X(s) и1юлагая*х(0) = 0, найдем
Y(s) = C(sI—A)-!BU(s).
Матрицу
<D(s)=C(sI—А)-1 В,
устанавливающую связь между векторами выхода Y(s) й
входа U(s), называют матричной передаточной функцией
(МПФ) многомерной системы.
Если система имеет только один вход u(t) и только одйй
выход у (t), то матрицы В и С в уравнениях (4.20) превращу
ются в скаляры, которые обозначим через b и с
соответственно.
(4.20)
(4.21)
(4.22)
2 Ту Ю. Современная теория управления. С. 64—65.
114
Поэтому для одномерной системы
ф(8)^Щ=с(з1-А)-Ч. (4.23>
Из формул (4.21), (4.22) видно, что для определения пере-
тоЧной функции системы по уравнениям (4.7), (4.8)
состояния требуется обращение матрицы (si—А). В случае высокой
азмерности матрицы А это может представить определенные
трудности.
Один из способов решения задачи основан на так
называемом алгоритме Леверье.
Пусть
(sl-A)-l=^-1(s)R(s),
где
ll)(s)=sK+«n-iS"-1+ • • • +«i«+«o;
R(S) =s-4+s"-2Ri+ ... +Rn_i.
Тогда а,- и Rt можно вычислить по следующим формулам: \
Ai = A-*a„_i= — spurA1-s-R1=Ai + a„_iI;
А2== AR,->-a„_2= — 2-sPur A2-^R2= A2 + a„_2I;
A„_i=AR„_2-»-fli = — £=r sPur A«-i -»-R«-i = A«-i +aib
A„= AR„_,-^a0= — — spur A„-*R„=0.
Таким образом,
Ф V > (i=0)
Пример. Рассмотрим линейную динамическую систему, описываемую
векторным уравнением:
Имеем
Г 0-1 0-1 Г4 2-] ,211
Г 0 —1 01 ПО 01
А,=А; a2 = 2; R,= —1 —2 —2 +2 0 1 0 ;
L 1 0 0j L0 0 lj
[2—10"] Г 1 0 2Т
— 1 0 —2 ; A2=AR,= —2 10; a,=*—I;
1 0 2j L 2 —1 oj
Г1 0 0"| Г 0 0 2"| Г2 0 ОТ
"s==As + (—1) 0 1 0 = —2 0 0; A3 = ARS= 02 0 ;
Ь 0 lj L 2—1 —lj L0 0 2j
115

2 + 2 + 2
«o=. § =—2; R3=A3 + (—2)1 = 0.
Следовательно,
Ф Ю=Щ$ [C3Bs« + CR,Bs +CR2B];
+
Г.?3р]["}
Б-я[-:-:-дЕЗ"Ё-я[Ч-?_?]ЕЯ-
или
Получим МПФ системы
—65s2 + 80s+70 35(—0,93s2 + 1,14s+1)
4>(s)— s3+2s2_s_2 = o,5s3+s2—0,5s— 1 *
Решение обратной задачи — определение уравнений
состояния по заданной передаточной функции, в особенности для
многомерных систем, связано с более существенными трудностями.
4.3. Управляемость и наблюдаемость
Предыдущий этап развития теории автоматического
регулирования, до широкого использования в ней понятия переменных
состояния, был связан с описанием САР при помощи
переменных вход — выход. Этот способ описания удобен для решения
задач прикладной математики и автоматики. Однако развитие
метода переменных состояния показало, что метод вход —
выход имеет и существенные недостатки. Они связаны в основном
с понятиями управляемости и наблюдаемости, которые не
учитывались в рамках данного метода.
При получении передаточной матрицы сложной многомерной
системы по передаточным матрицам или передаточным
функциям ее подсистем или элементов возможно сокращение полюсов
или нулей, оказывающих существенное влияние на динамйКУ
системы. Пренебрежение этим фактором при расчете систем Уп'
равления, как показывает опыт, может привести к ошибочны*1
результатам.
Состоянием системы x(t) можно управлять, изменяя вектор
входа и(^), а наблюдать состояние системы можно, измерЯ
вектор выхода y(t). В связи с этим возникает два вопрос*
имеющих кардинальное значение для теории автоматическог
управления. .»
1. Можно ли, выбрав соответствующим образом входы \х(ч'
перевести объект управления из некоторого произвольного с
стояния x(t0) в другое произвольное состояние x(^i)?
116
2. Можно ли, наблюдая вектор выхода у(^) в течение доста-
оЧно долгого промежутка времени, определить начальное
состояние объекта x(f0)?
фТВет на первый вопрос связан с понятием управляемости, а
оТвет на второй вопрос — с понятием наблюдаемости.
Определение понятий управляемости и наблюдаемости.
Понятие управляемости связано с возможностью приведения
системы в заданное состояние с помощью входных или
управляющих воздействий. Понятие наблюдаемости — с возможностью
определения переменных состояния по результатам измерения
выходных переменных.
В качестве примера, поясняющего эти понятия, рассмотрим
линейный объект, описываемый уравнениями состояния (рис.
4.4):
Х2==—*2—и;
хъ=—2хъ+и;
Х4=—Злч—2ы;
у=Х\+^3+0,5x4.
Как это видно из рис. 4.4, переменная Х\, которой соответствует
полюс Я=1, не соединена со входом, и поэтому вход и не
может влиять на ее изменение во времени. Такую переменную
состояния называют неуправляемой. Переменная Х2 (полюс Я,=
=—1) не соединена с выходом, и поэтому невозможно
определить переменную х2- Такую переменную состояния называют
ненаблюдаемой.
У
s-t
*ш-
гЕЬ^^
Рис. 4.4. Структурная схема САР с
одним неуправляемым (А,= 1) и одним
ненаблюдаемым (А,=—1) полюсами
117

Управляемость. Более общее определение управляемости з^
жлючается в следующем. Состояние [х0, t0] называют управляв
мым, если можно найти момент времени t\ (t\>h) и вход x\(t)
переводящий систему за интервал времени (t0, t\) из состояние
[л;0, t0] в состояние [0, t\\. Если любое состояние хбХ являете,
ti>t0, любых заданных состояний х0 и х, существует управле.
мым в момент времени U.
Можно дать и такое определение. Систему называют полно,
стью управляемой, если для любых моментов времени U и th
ti>t, любых заданных состояний х0 и Xi существует
управление и(^), (*0<*<^)> переводящее начальное состояние х0 в
конечное хь
Судить о том, является ли система управляемой по виду ее
уравнений состояния, в общем случае (за исключением одно,
мерной системы) очень трудно.
Однако если уравнения системы
x=Ax + Bu;
У=Сх
приведены к Kai:
x=Ax+Bu;
У=Сх;
где А — диагональная матрица, то судить об управляемости
системы можно, исходя из следующего.
Запишем уравнения (4.25) в развернутой форме:
m
m
1=1
m
Эти уравнения показывают, что управляющие воздействия #>
не будут оказывать какого-либо влияния на переменную xh если
m
т. е. если все элементы /-й строки матрицы В равны нулю.
Следовательно, все те канонические переменные состоянй*1
х, которые соответствуют нулевым строкам матрицы В, являю1*"
ся неуправляемыми. Это означает, что изменение этих перемер
118
} (4-24)
онической форме
(4.25)
(4.26)
Ь)Х происходит независимо от управляющих воздействий и{ и
целиком определяется начальными условиями, а также внеш-
ними возмущениями.
Такимобразом, система (4.24) является управляемой, если
матрица В не содержит строк, все элементы которых равны
нулю-
Условия управляемости для системы, описываемой
уравнениями (4.24), не требующими их приведения к канонической
форме (4.25), определяются следующей теоремой (или
критерием), полученной Р. Калманом: необходимое и достаточное
условие для управляемости системы (4.24) заключается в том,
чтобы матрица
Q=[B, АВ, А2В, ..., А""1 В] (4.27)
имела ранг п.
Часто матрица (4.27) имеет ранг п для некоторого v<n,
т. е.
Г" rangQv=rang[B, АВ, ..., А^1В]=п. (4.28)
Наименьшее значение v, при котором имеет место равенство
(4.28), называют показателем управляемости.
Из критерия управляемости (4.27) видно, что управляемость
определяется свойствами матриц А и В. При этом он остается
справедливым и для дискретной системы, если ее уравнения
представить в виде
x*+i=Axft+Buft.
Наблюдаемость. Как было показано в рассмотренном ранее
примере, переменная Хч является ненаблюдаемой, так как она
не соединена с выходом. Но для управления необходимо
располагать сведениями о всех текущих значениях вектора состояния.
Поэтому возникает вопрос: при каких условиях, наблюдая
векторы выхода и входа, можно найти переменные состояния?
Систему (4.24) называют наблюдаемой, если по данным
измерения или наблюдения векторов у(^) и u (t) на конечном
интервале времени ft^^'i можно однозначно определить
начальное состояние х(^о)- Систему (4.24) называют полностью
наблюдаемой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты
времени.
Предполагая, что уравнения системы приведены к нормаль-
Ной форме, рассмотрим уравнение связи между вектором
выхода у и вектором состояния х:
У=Сх, (4.29)
где
ГСц С\2 ••• С и ••• ^\п I
р I С_\2 С-22 • • - Cll ■ ■ • С2п J
|_C„j С „2 ••• С ni ... b„„_J
119

Уравнение (4.29) в развернутой форме имеет вид
П
Ух V) = 2 ci*x* (0 = c„xl + ...+ tijXtj +...+ сыхп;
к=\
Vi V) = 2 CikXk (t) = CiIAj + . . . + CijXj +...+CinXn
ъ=\
- УР (О = 2 cp*x* (0 = Cpi-*i + • • • + cp/xy + ... + cpfcx„.
Из этих уравнений следует, что переменная х} может быть
определена по переменным уи у2 ур, если коэффициенты
с{) для (i=l, 2, ..., р) не все равны нулю. Другими словами,
Xj является наблюдаемой переменной, если элементы /-го
столбца матрицы С не все равны нулю, или линейная стационарная
система является наблюдаемой, если матрица выхода С не
содержит столбцов, элементы которых равны нулю.
Условия наблюдаемости в общем случае, когда уравнения
(4.20) не приведены к канонической форме, определяются
следующей теоремой: необходимые и достаточные условия для
полной наблюдаемости состоят в том, чтобы матрица
R=[CT, АТСТ, (АТ)2СТ, ..., (АТ)"-'СЧ (4.30)
имела ранг п.
Из выражения (4.30) видно, что наблюдаемость
определяется свойствами матриц А и С. Так же как и в случае критерия
управляемости, если матрица R имеет ранг п для некоторого
\i<in, т. е.
rangR^rangfC1, АТСТ (Ат)"-1Ст]=п,
то наименьшее ц, при котором имеет место равенство (4.30),
называют показателем наблюдаемости.
Дуальность критериев управляемости и наблюдаемости.
Очевидная аналогия между критериями управляемости и
наблюдаемости позволяет сделать вывод об их дуальности.
Назовем два объекта 5 и S* дуальными, если они
описываются соответственно уравнениями
х=Ах+Ви;) 3D
у=Сх, J
S*: ^=А;* + СГ*1 (4.32)
w=Brz. J
Из уравнений (4.27) и (3.30) — (4.32) видно, что если 5
управляема в t0, то 5* наблюдаема в t0 и наоборот.
Таким образом, наблюдаемость одной из систем можно
проверить анализом управляемости дуальной ей системы.
120
Декомпозиция системы. Как было показано ранее, любая
йСтема, описываемая уравнениями состояния (4.24), может
/Lib представлена в виде структурной схемы (см. рис. 4.3).
рассмотрим схему системы, которая может быть
декомпозирована на две подсистемы — управляемую 1 и неуправляемую 2
/-цс. 4.5). Верхняя часть этой схемы соответствует неуправляе-
Рис. 4.5. Декомпозиция САР:
1 — управляемая подсистема; 2 — неуправляемая
мой подсистеме, так как вектор входа и не может влиять на
происходящие в ней процессы. Уравнения состояния этой
системы можно представить в виде
+
В,
о
и;
(4.33)
Гхв] ГА„ А12]
IaJ~Lo a22J
Точно так же декомпозируем систему на две подсистемы —
наблюдаемую 1 и ненаблюдаемую 2; нижняя часть схемы (рис.
4.6) соответствует ненаблюдаемой подсистеме, так как ее вектор
состояния никак не связан с выходом у.
/
1*1
*t
V-
_1_
ы
с,
I
I
J
Рис. 4.6. Структурная схема САР:
I — наблюдаемая подсистема; 2 — ненаблюдаемая
121

Уравнения состояния этой подсистемы имеют вид
[*Л ГА„ 0 |ГхЛ
+
в,
в2.
и;
В общем случае многомерная система может быть декомпо-
вирована на четыре подсистемы (рис. 4.7): управляемую и не^
наблюдаемую 5Ь управляемую и наблюдаемую 52, неуправляе-
мую и ненаблюдаемую 53, неуправляемую и наблюдаемую S4.
Наличие связей между подсистемами определяется из следую!
щих соображений: если 5i — ненаблюдаема, то она не может
воздействовать на S2 и 54, которые наблюдаемы; если 53 —
неуправляема и ненаблюдаема, то на нее не могут
воздействовать подсистемы Si и S2, которые управляемы, и т. д.
Уравнения состояния системы (см. рис. 4.7) в общем случае
Vй
вг
• s,
An
А*
' St -
Г
5з
■
Л»Г
St -
1*
Сг
с*
Рис. 4.7. Структурная схема
САР, декомпозированной на
четыре подсистемы
можно записать в виде
ха
х»
Хс
_х^ -I
=
Аи А12 А13 Ан
0 А22 0 А24
0 0 А33 А34
0 0 0 A44J
ха
хЛ
х,
-Х^_
+
в,
в2
0
0
и;
(4.34)
у=[0 С20 C4][xax6xcxd].
122
для того, чтобы система была наблюдаемой и управляемой,
\ia должна состоять только из подсистемы S2-
44. Значение понятий управляемости и наблюдаемости в ТАР
Возможно существование двух особых значений, или мод
(одной неуправляемой при s* = l и другой — ненаблюдаемой
при s*=:—1). Для этой простой одномерной системы
неуправляемость и ненаблюдаемость легко обнаружить непосредственно
по ее уравнениям или рис. 4.3.
Рассмотрим теперь пример, когда систему описывают передаточной
функцией. Эта система (рис. 4.8) состоит из двух последовательно соединен-
s-r
(S+7)(S+2)
V
s+f
(s+3)(s-l)
Рис. 4.8. Представление структурной схемы
рис. 4.4 в виде двух последовательно
соединенных подсистем
ных подсистем с передаточными функциями
s—1
WAs)- (s + i)(s + 2) '
WAs)= (S + 3)(S_1) •
Передаточная функция системы
(s—l)(s+l)
^i(*)-(s+l)(s + 2)(s + 3)(s—1)'
или (если провести сокращения)
1
wl(s)= (s + 2)(s+3) '
Однако такое сокращение полюса и нуля при s=s* = ±l возможно лишь
теоретически, так как не учитывает образование диполя системы (рис. 4.9).
Если этот диполь расположен в левой полуплоскости вблизи точки —а, то
Диполь
—О-Х-
Диполь
О—X-
а
Рис. 4.9. Нули и полюса системы в
левой и правой комплексных
полуплоскостях
123

ему в переходном процессе будет соответствовать член вида ге~"аг, где г —
вычет, связанный с полюсом. Последний очень мал, так как вблизи полюса
расположен нуль. В большинстве случаев этим членом можно пренебречь.
Если диполь расположен в правой полуплоскости, то он даст неустойчивый
член reat, каким бы малым г не был.
Заметим (см. рис. 4.8), что если по стрелке (от входа к выходу)
сначала расположен нуль, а затем полюс, как, например, при s* = l, то имеет
место неуправляемость; если по стрелке сначала расположен полюс, а затем
нуль, как, например, при s*=—1, то имеет место ненаблюдаемость.
В случае многомерных систем с многими выходами и входами, когда
сокращение может происходить в результате свойств определителей, обнару.
жение неуправляемости и ненаблюдаемости гораздо сложнее. Однако во
всех случаях это происходит из-за тех или иных сокращений в подсистемах.
Следует подчеркнуть различие между неуправляемыми (или
ненаблюдаемыми) полюсами (или нулями) в зависимости от того, расположены они в
левой или в правой полуплоскости.
Предположим, что в системе имеется наблюдаемый, но неуправляемый
неустойчивый полюс. Так как он наблюдаем, то выход неустойчив. Он не
может быть не замечен, но его неуправляемость исключает возможность
управления системой. В этом случае выходом из положения может быть
изменение не закона регулирования, а структуры системы.
Допустим теперь, что система имеет управляемый, но ненаблюдаемый
неустойчивый полюс. Так как упомянутый полюс не связан с выходом
системы, то этот выход будет наблюдаться как устойчивый. Но тем не менее
внутренняя неустойчивость системы может привести: к аварии, когда
неустойчивая переменная достигнет определенной амплитуды; к появлению
эффекта насыщения из-за выхода системы из линейной зоны.
о-
А-
1—
1
S,
1
s2
-1
5 1
1 !
ft
J j
Рис. 4.10. Структурная схема САР:
Si — неуправляемая подсистема; S2 —
управвляемая
/
Ранее было показано, что входное воздействие не влияет на
неуправляемую часть системы. Покажем, что введение обратной связи тоже ие
позволяет устранить этот недостаток.
Рассмотрим САР с обратной связью (рис. 4.10), состоящую из
управляемой Si и неуправляемой S2 подсистем. Уравнения системы в разомкнутом
состоянии:
х1=А1х1+В1и+К2х2;
х2=А2х2;
у=С1х1+С2х2.
Учитывая, что e=g—у, уравнения системы в замкнутом состоянии имеют вйД
124
[£На'Г'с';г'с']ы+[о'Ь
y==[Cj Cs] [Xi Ха] .
При этом ее характеристическое уравнение имеет вид
det [si—A,+B,C,] det [si—A2] =0.
Корни этого уравнения описывают динамику управляемой части замкнутой
системы (первый сомножитель) и неуправляемой части разомкнутой системы
(второй сомножитель).
Таким образом, введение обратной связи не повлияло на динамику
неуправляемой части. К аналогичному выводу можно прийти и относительно
ненаблюдаемой части.
4.5. Управляемость и наблюдаемость соединений подсистем
Линейную систему можно представить как упорядоченную
совокупность подсистем. Поэтому очень важно уметь определять
свойства системы по свойствам ее подсистем. Исследуем
условия управляемости и наблюдаемости при параллельном и
последовательном соединении двух подсистем, а также при
соединении подсистем с обратной связью.
Рассмотрим подсистемы Sa и St, нмеющие размерность па и пъ и
собственные значения Х1а,..., Хпаа и Xjt,..., hnb ь соответственно.
Параллельное соединение подсистем. Предположим, что подсистемы Sa
я St соединены параллельно и образуют систему S (рис. 4.11,а). Тогда
небе
Уа
Я *
h
=>
и*иа
ft»e*fc.
СЕЗ^СЕ
Увк9
Рис. 4.11. Соединения подсистем Sa и S*:
а — параллельное, б —• последовательное
■обходимые и достаточные условия для управляемости (наблюдаемости)
системы S состоят в том, чтобы обе подсистемы были управляемы
(наблюдаемы) .
Последовательное соединение подсистем. Для того чтобы система S,
^вляющаяся последовательным соединением подсистем Sa и St (рис. 4.11,6),
Ь1ла управляемой (наблюдаемой), необходимо, но недостаточно, чтобы обе
Подсистемы Sa и St были управляемы (наблюдаемы).
б Если Sa и Sb управляемы (наблюдаемы), то все неуправляемые (нена-
людаемые) моды S возникают в Sb (в Sa).
Пусть S неуправляема н ненаблюдаема несмотря иа то, что Sa и St
упРавляемы и наблюдаемы.
125

Пусть
■*la=—•*1а_Г"и1?
Xib=—2xt+Uib—uib;
Hla=X\a',
tlia — x\a\
yi=xib-
Тогда уравнения системы S имеют вид:
Ч~0-2°]Х + [оЬ;
У,=[0 1]х.
из которых видно, что система S неуправляема и ненаблюдаема.
Соединение подсистем с обратной связью. Структурная схема
многомерной САР показана на рис. 4.12. Обозначим последовательное соединение под-
Рис. 4.12. Система с обратной связью
систем Sa н Sb через Sc, а последовательное соединение Sb и 5П через So
и предположим, что (I+D„Db) — несингулярна (невырождена). Поэтому для
того чтобы система S была управляемой (наблюдаемой), необходимо и
достаточно, чтобы система SC(SD) была управляемой (наблюдаемой). То есть
необходимое, но не достаточное условие для управляемости (наблюдаемости)
S состоит в управляемости (наблюдаемости) как Sa, так и Si,- Причем
неуправляемые (ненаблюдаемые) моды S являются неуправляемыми
(ненаблюдаемыми) модами SC(S0) и возникают в S».
Во всех трех рассмотренных случаях
П — Па-\-Пь,
К Лп = \а, ...Лпаа, Ь1Ь, .
• > <^п.Ь •
наблюяя^™Р т ЧеСК°е значение снятий управляемости я
nnnl. K' напРимеР> ПРИ имитационном
моделировании проектировщики, полагаясь на устойчивость каждой из под-
веяениЛЛ™ Же ВреМЯ' НаблЮДаЯ неудовлетворительное S-
ofifa,™ И СИСТеМЫ В целОМ' иногДа Дела1°т вывод, что это
объясняется явлением насыщения в интеграторах, и стремятся
но не^пГ1" 3аН0В° масштабиРУ* переменные. Это, е"тествен-
4™™™»^* И возникает ложный вывод, что неправильно
вЪлит к п7У СЗМИ интегРат°Ры- Но их замена опять не при-
рпрм!™ положительному результату. Избежать лишних затрат
времени поможет только предварительный анализ свойств
подсистем, входящих в состав САР. ujuklib под
126
X
X X
-Л22Г] х
0 (sI-АззГ
0 0
X
X
X
(si —А44)_1_
Bi
в2
0
_0 _
(4.36)
Ввод системы управления в эксплуатацию, когда расчеты
jot хорошие результаты, но не учтена ее неуправляемость
^наблюдаемость), может привести в действительности к
неполадкам.
4.6. Задача минимальной реализации
Найдем матричную передаточную функцию,
соответствующую уравнениям (4.7), (4.8), выраженным в переменных
состояния. Применяя преобразование Лапласа в предположении
нулевых начальных условий, получим МПФ
Ф(5)=С(51—А)-'В. (4.35)
учитывая теперь структуру матриц А, В и С, найдем
4>(s) = [0 С2 О С4]Х
>1-АпГ!
О (si
О
О
= C2(sI—А22Г'В2,
у=[0С2 0С4][х, x2 xsXiF.
Таким образом, <B(s) совпадает с МПФ, описываемой
уравнениями
х2=А22х2+В2и; |
У=С2х2. / <4'37>
Следовательно, матричная передаточная функция представляет
собой только управляемую и наблюдаемую части системы и не
содержит информации о неуправляемой и ненаблюдаемой
частях. Это указывает на то, что переход от заданной МПФ <D(s)
к эквивалентной форме описания в переменных состояния дол-
Жен быть корректным.
Прежде всего необходимо найти тройку матриц (А, В, С),
причем так, чтобы
<D(s) = C(sI—А)-'В.
иДНако этому уравнению удовлетворяет бесконечное число та-
Ких троек и не все из них являются решением системы.
Размерность вектора состояния не определяется уравнением (4.35),
ак как ему можно поставить в соответствие любое число лиш-
Их переменных состояния, не изменяя вида <D(s), лишь бы они
Писывали неуправляемые и ненаблюдаемые моды.
Следовательно, для получения описания системы в перемен-
Ых состояния, т. е. для получения МПФ Ф(^), необходимо,
тобы, во-первых, тройка матриц (А, В, С) удовлетворяла урав-
еНню (4.35), а во-вторых, система должна быть управляемой
127

и наблюдаемой, т. е. чтобы матрица С имела минимальную раз,
мерность (задача минимальной реализации). Выполнение пер*
вого условия несложно, а второго — связано с определенными
трудностями.
Контрольные вопросы
1. Что такое переменные состояния динамической системы?
2. Какова физическая (математическая) сущность понятия
состояния системы?
3. Что такое переходная матрица САР? Каков физический
смысл элементов матрицы перехода?
- 4. Какие существуют способы вычисления элементов матри-
цы перехода САР? Как из матричной передаточной функции
системы получить передаточную функцию САР с одним
входом и одним выходом?
5. Что такое наблюдаемость и управляемость?
5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Одной из основных задач ТАР является исследование
динамических процессов, протекающих в системах регулирования и
управления. САР всегда подвергается действию внешних
возмущающих сил, которые могут вывести ее из состояния
равновесия. Если система устойчива, то она противостоит внешним
возмущениям: будучи выведенной из состояния равновесия,
снова возвращается к нему.
С технической точки зрения требование к устойчивости
системы является более жестким, чем при математической
постановке задачи. Техническое задание (ТЗ) на устойчивость
системы предусматривает не только саму устойчивость, но и
временной интервал, в течение которого система должна восстановить
состояние равновесия после приложения возмущающей силы.
В данном разделе рассмотрены основные критерии и
методы исследования устойчивости линейных непрерывных
динамических систем.
5.1. Понятия и определение устойчивости по Ляпунову
Устойчивость САР — одно из основных условий ее
работоспособности и включает требование затухания переходных про'
цессов. Система с расходящимся процессом на выходе будет
неработоспособной.
Рассмотрим определение устойчивости, которое было даЯ<>
А. М. Ляпуновым. САР соответствует система дифференциал^'
ных уравнений, которая может быть приведена к виду [19]
128
*£*- = Vk(!Ji. У* ---.«/„); (£ = 1,2 ,п), (5.1)
at
yk — обобщенные координаты системы, т. е. переменные,
описывающие ее состояние; Yk — известные функции,
определенные в некоторой фиксированной области G пространства
переменных уи г/г, - ■ •, Уп-
Пусть величины ую, у2о, ■. •, Уп обозначают начальные
значения переменных уи у2,..., уп- Каждой системе начальных
значений ую, Уго, ■ ■ ■, Упо соответствует решение
Ук=У"(Ую, Уго,..., Упо, t); (/г=1, 2,..., п) (5.2)
уравнения (5.1).
Установившиеся процессы описывают следующими
тривиальными решениями уравнения (5.1):
*/i=*/i*, У2=У2*,.... Уп=Уп*, (5.3)
которые представляют собой корни уравнения Yh(yit уг, ...,уп);
fji=\, 2,..., ft). Они входят в семейство решений (5.2) и
зависят от начальных значений уко=Ук*.
Обычно рассматривают случаи, когда имеется одно
решение (5.3), соответствующее вполне определенному
установившемуся процессу в системе регулирования. Введем отклонение
координат Хн от установившихся значений:
- Хк=Ук—ук*. (5.4)
Подставляя отклонения (5.4) в уравнение (5.1), получим
систему уравнений:
^jjj-= Хь(хих2 хп); k = 1, 2 п, (5.5)
где
Xh(xu хг,... ,xn) = Yh(x1+yl*; ...; xh+yn*).
Уравнения (5.5) называют уравнениями возмущенного
движения. Формула (5.4) определяет преобразование переноса
начала координат в точку yh*, вследствие чего решению (5.3)
соответствует
*i*=0;...; хп*=0. (5.6)
По терминологии Ляпунова, уравнения (5.6) называют
уравнениями невозмущенного движения динамической системы.
При t=t0 переменные Xk принимают свои начальные
значения, которые называют возмущениями. Каждой заданной
системе таких возмущений отвечает однозначное и непрерывное
решение
XA=Xh(Xi0, Х20, ..., Хп0, t)
Уравнений (5.5). Это решение называют возмущенным движе-
Нием системы.
9—3591 129

Исследования Ляпунова по устойчивости движения
позволяют судить об основных свойствах возмущенного движения, не
прибегая к интегрированию уравнений (5.5), и рационально
рассчитывать регулятор САР.
Если окажется, что при определенной настройке регулятора
решение (5.6) будет устойчивым, то система регулирования
сама, без постороннего вмешательства, изберет режим
невозмущенного движения. Если же решение (5.6) будет неустойчивым,
то такого установившегося режима получить нельзя. При сколь
угодно малых возмущениях Xko система будет от него удаляться.
В большинстве задач теории автоматического регулирования
функции Xk(Xi, X2,..., хп) допускают разложение в степенные
ряды^ сходящиеся в некоторой Я-окрестности начала
координат (5.6):
л
если #>0 достаточно мала. В этих случаях уравнениям (5.5)
можно придать вид
л* == (^k\X\ -\- • . . -р- CLksXn-рг к \Х\> -^2> ■ • • > Хп)'
(А = 1,2, ...,л), (5.7)
где OfeS (k, s=l, 2,..., п) — постоянные линейные части
разложения, а функции Fk не содержат членов ниже 2-го порядка
малости. На практике судят об устойчивости решения (5.6),
рассматривая вместо уравнения (5.7) лишь уравнения 1-го
приближения
^jf-=amx1 + ашх2 + ... + aknxn; {к = 1, 2, .... л). (5.8)
Так как справедливость замены уравнений (5.7) уравнениями
(5.8) заранее не очевидна, необходимо исследовать уравнения
(5.7), при которых устойчивость (неустойчивость) решения
(5.6) вытекает из рассмотрения уравнений 1-го
приближения (5.8).
Ляпунов все случаи исследования уравнений (5.8) разделил
на некритические и критические.
К первым относят случаи, в которых вопрос об устойчивости
(неустойчивости) невозмущенного движения однозначно
решают на основании исследования уравнений 1-го приближения
(5.8). Чтобы обнаружить эти случаи, следует составить
характеристическое уравнение системы
£>(А) =
ап — Я а12 ... а1п
(h\ Chu —« • • ■ (bin
_ап\ &п2 • • • а пп~
(5.9)
130
исследовать его корни %k (k~l, 2 п). Ляпунов доказал
11 р теоремы, которые позволяют исследовать все некритические
Теорема 1. Если вещественные части всех корней Я& харак-
еристического уравнения (5.9) 1-го приближения отрицательны,
Т невозмуЩенное движение асимптотически устойчиво
независимо от членов разложения выше 1-го порядка малости.
С Теорема 2. Если среди корней Я*, характеристического
уравнения (5.9) 1-го приближения найдется по меньшей мере один
положительной вещественной частью, то невозмущенное
движение неустойчиво независимо от членов разложения выше
1-го порядка малости.
Критические случаи имеют место, когда среди всех корней
уравнения (5.9) имеются некоторые корни, вещественная часть
которых равна нулю, а остальные корни имеют отрицательную
вещественную часть. В критических случаях вопрос об
устойчивости невозмущенного движения (5.6) не может быть разрешен
на основании исследования уравнений 1-го приближения:
устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения
определяется видом нелинейных функций Fk. Поэтому в критических
случаях требуется рассматривать уравнения (5.7) в исходном
виде.
Характеристическое уравнение, соответствующее системе
уравнений (5.8), имеет вид
апЯп+а„-1Я"-Ч- ... +а,Я+а0=0. (5.10)
Пусть для определенности все корни уравнения (5.10)
различны, тогда его решение записывают в виде
х=Де*"' +A,ew+ ... +A„eV,
где %h %2,..., Я« — корни характеристического уравнения; Аи
Л-2, ..., Ап — постоянные интегрирования, зависящие от
начальных условий.
Пусть Яй — вещественный корень. Если Я*.>0, то член
■4fceV с течением времени непрерывно возрастает и стремится к
бесконечности. В этом случае х также стремится к
бесконечности и система неустойчива. Если Я&-<0, то член Ak^"k с
течением времени стремится к нулю', т. е. затухает.
Пусть один из корней Яг — комплексный, тогда всегда
существует сопряженный с ним %г:
этом случае
AeV + AreV = Are"' sin(p* + *)-
сли а!>0, то имеют место колебания с частотой f5 и нараста-
*Цей амплитудой, т. е. движение неустойчиво. При сс=0
циЛ^ЧИМ незатухающие колебания — система находится на гра-
^е устойчивости. Если сс<0, то амплитуда колебаний с тече-
9*
131

нием времени уменьшается и колебания затухают. Отсюда мо*
но сделать следующие выводы:
если все вещественные части корней характеристическог
уравнения отрицательны, то динамическая система устойчив
(рис. 5.1): а
х
X
П/iocKocmbS
-X—
-X—
X
Вещественная
ее»
Рис. 5.1. Расположение корней
характеристического уравнения устойчивой САР на
комплексной плоскости
если хотя бы один из корней имеет положительную
вещественную часть, то система неустойчива.
Если в каких-либо корнях характеристического уравнения
вещественная часть равна нулю, а у остальных —
отрицательная, то об устойчивости невозмущенного движения по первому
приближению ничего сказать нельзя и требуется специальное
исследование полного уравнения. Наконец, если среди корней
характеристического уравнения имеется один или несколько
нулевых корней, а вещественные части остальных корней
отрицательны, то говорят, что система нейтрально устойчива. Этот
случай называют критическим, и для определения устойчивости
системы необходимо специальное исследование нелинейных
членов разложения.
5.2. Критерии устойчивости линеаризованных САР
Вычисление корней характеристического уравнения не преД-
ставляет труда для уравнений 1-й и 2-й степеней. Что касается
общих выражений для корней уравнений 3-й и 4-й степеней, то
они громоздки и практически мало удобны. Следует отметить
отсутствие общих выражений для корней в уравнениях более
высоких степеней. Поэтому важное значение приобретают
правила, которые позволяют определить устойчивость системы,
минуя вычисления корней. Эти правила называют критериями
устойчивости. Они позволяют в ряде случаев не только
установить, устойчива система иди нет, но и выяснить влияние те»
132
иных параметров, а также влияние структурных изменении
1'Л устойчивость системы. Существуют различные формы
критериев устойчивости. Однако математически эти формы
эквивалентны, так как определяют условия, при которых корни
характеристического уравнения находятся в левой части комплексной
плоскости.
Критерии устойчивости классифицируют на алгебраические
частотные. Критерии, которые позволяют определить,
устойчива ли система, с помощью только алгебраических процедур
над коэффициентами характеристического уравнения, называют
алгебраическими. К ним относят критерии устойчивости: Рауса,
Гурвица, Шур-Кона и др. [2, 19, 20]. Алгебраические критерии
для систем, описываемых уравнениями выше 4-й степени, дают
возможность определить лишь устойчивость системы при
заданных численных значениях коэффициентов уравнения. Но
затруднительно с их помощью ответить на вопрос: как изменить
параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой?
Частотный критерий устойчивости, впервые
сформулированный Найквистом, был применен для исследования устойчивости
САР А. В. Михайловым в 1936 г. Кроме того, последний
сформулировал другой частотный критерий, получивший название
критерия устойчивости Михайлова. Достоинством частотных
критериев является их наглядность, а также возможность
использовать частотные характеристики, полученные
экспериментально, когда не известны дифференциальные уравнения
системы или ее элементов. Критерий устойчивости Михайлова
целесообразно применять тогда, когда размыкание системы не
приводит к заметному упрощению задачи.
Об устойчивости замкнутой системы судят по частотной
характеристике разомкнутой, и в этом случае применяют
критерий устойчивости Найквиста—Михайлова. Кроме того,
частотные критерии устойчивости дают представление и о качестве
процесса регулирования.
5.3. Алгебраические критерии устойчивости
Критерий устойчивости Рауса. Этот критерий формулируют
следующим образом: если система автоматического регулиро-
_ вания описывается линеаризованным характеристическим урав-
' пением вида (5.10), то для того, чтобы система была устойчива
(т- е. все корни уравнения имели отрицательные вещественные
Части), необходимо и достаточно, чтобы все элементы столбца 1
табл. 5.1 для данного уравнения были одного знака.
Если ап>0, то все элементы столбца 1 табл. 5.1 должны
"Ыть положительны.
Таблицу (алгоритм) Рауса (см. табл. 5.1) составляют
следующим образом: в строку 1 вписывают коэффициенты уравне-
?ая (5.10) с индексами (о,, ап_2, ап_4, ...); в строку 2 —
коэффициенты уравнения с индексами (ап-ь ап-3, ап-ъ, ■••); в строку
133

Таблица s.
Алгоритм Рауса
Значение г
Номер
строки
Столбец
3
л>
Гг
г,
г1*
—
ап
an-i
Дп-1
Си
си
С1,Н-1
С1,Ц-2
1
2
3
4
5
Л-3
а„
a„-i
Cu=an-i— /"iC23
с15 = с23—Т1СЫ
Cl,i+3 =
fln~-2
йп-3
C23 = Oji— 4—I'oan—S
С24 = й„_5—Г1С33
С25 = СзЗ— Г2С34
c2,i+3 =
= Сз,1Ч-1 ''lC3,i+2
an— 4
&п-Ь
С33 — On —6 r<fl n —7
C34 = Q „ _7—/"^43
C35 = C43 Л2С44
c3,/+3—"
3 — коэффициенты Сп, с2з, которые подлежат определению.
В последующие строки вписывают коэффициенты chi (k — номер
столбца; i — номер строки, в которой стоит коэффициент).
Каждый из коэффициентов с\ъ, с2з, ..., chi равен определителю;
первый столбец определителя составлен из двух элементов,
записанных в следующем за искомым коэффициентом столбце таб
лицы на двух расположенных выше строках. Первый элемент
второго столбца определителя образован из частного от деления
двух элементов, расположенных в столбце 1 табл. 5.1 на двух
вышележащих строках. Второй элемент второго столбца
определителя равен единице.
Так,
Cki =
5 ЯП-1
О-П-Л 1
Ck+l,l~\
Ck-l,i-l
= ап
fi-3
1
P-at
я-з>
где
i-3
= Cl,l-2/Cl,l-i.
Значения г вписывают в боковик табл. 5.1, озаглавленный
«Значение г». На них умножают соответствующие коэффициенты-
Из критерия Рауса следуют выводы:
1) все коэффициенты характеристического уравнения
устойчивой системы должны быть одного знака. Обращение в нуль
134
пНого из коэффициентов щ (за исключением коэффициента
таршего члена) свидетельствует о неустойчивости системы или
том что она находится на границе устойчивости. Если
коэффициенты характеристического уравнения положительны, то все
рщественные корни, если они существуют, отрицательны (так
называемые «левые» корни). Комплексные корни могут быть и
«правыми»;
2) число отрицательных коэффициентов с и столбца 1
табл. 5.1 равно числу корней с положительной вещественной
частью;
3) обращение в нуль а0 приводит к появлению нулевого
корня. Обращение в нуль последних v коэффициентов а0=0; аг =
=0,... ov_i=0 приводит к появлению нулевых корней. При этом
обращаются в нуль последние коэффициенты Сц табл. 5.1
(й, n—Ci, n-i= ■ ■ ■ =ci, n-v+i—0);
4) обращение какого-либо промежуточного коэффициента ^в
нуль свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней.
Критерий устойчивости Гурвица. Этот критерий легко
получить из критерия устойчивости Рауса. Для данной цели
выразим коэффициенты cik в виде определителей:
сп = ап; сг 2 = a«~i = А,;
*я-г &пап-г _
С,я = -
-14 =
1я-1 Я я
Оя-З аП—2
ап-\
Дг.
:д.'
*Я-4 I
a-n-i «я 0
аП— 3 аП~2 аП— 1
О Я-5 йЯ-4 °Я-3
О-п-х ап
&п—г ап-
п~\
я
(5.11)
Аз
'А.'
а в общем случае
Сш =
Дй-
где Дй(£=1,2, ...) —определители Гурвица, получаемые с
помощью следующей записи:
an-l\ Q-n
ап~3 О-п-1
"я-5 й-й_4
0
««-1
#я-3
ап-7 &П-6 °я—5
0
ап
&п~2
ап_4
^я-9 &п-Ъ &П-1 &п-6
0
0
#я-1
ап-3
а„_5
0 ...
0 ...
ап ...
ап_2 • • •
ап~ь • • •
(5.12)
т- е. соответствующим отчеркиванием строк и столбцов. Все
коэффициенты с отрицательными индексами заменяют нулями.
Определитель составляют по следующему правилу. По
диагонали вписывают коэффициенты характеристического уравнения,
135

начиная с ап_ь Строки определителя, начиная с диагонали,
заполняют коэффициентами: вправо — по убывающим индекса^
а влево — по возрастающим.
Согласно критерию Рауса, необходимым, и достаточным ус,
ловием устойчивости являются соотношения
си=ап>0; Ci2=an~i>0; с13>0;...; ch n+i>0.
Этим неравенствам, как следует из (5.12), эквивалентны
неравенства вида
а„>0; Д,>0; Д2>0;
-0.
Таким образом, критерий Гурвица формулируют следующим
образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство ап!>0, а
определители Гурвица Дь Дг,..., Дя были положительны.
Для характеристических уравнений высоких степеней
порядок определителей возрастает, и практическое вычисление их
обычным путем становится громоздким.
Необходимые, но недостаточные условия устойчивости
заключаются в том, что в случае уравнения п-го порядка все
коэффициенты сп, ап_ь ..., с0 должны быть положительны я
ни один из них не должен равняться нулю.
Рассмотрим характеристические уравнения и условия устойчивости для
динамических систем, порядок которых не превышает пяти:
1) а1Х-\-ао=0. Условия устойчивости: a0>0, ai>0; 2) а27Ат-а1Я,-{-ао=0.
Условия устойчивости: а0>0, ai>0, a2>0; 3) a3?i,3+a2X2+ai^+Oo = 0. Условия
устойчивости: а0>0, fli>0, a2>0, c3>0, A2=aia2—аФзХ); 4) адЯ4+а3^,8+
+аА+Оо=0. Условия устойчивости: ао>0, at>0, a2>0, аз>0, а4>0,
A2=a2as—а1а4>0, Az=alasai—fli2a4—а0а32>0; 5) a^'ks+ai%i+ab%?'-\-ai%i-\-ai%-\-
+а0=0. Условия устойчивости: а0>0, a{>Q, а2>0, а3>0, а4>0, as>0,
Л2 =
а4 а2
-я,а5>0,
Д,==
а4
«5
0
«2
«3
«4
«0
а,
«г
= я2а3л4 + й0я4ае — а42а, —д2гае >0,
а4 а% я„ О
а6 а3 а, О
О а4 Яг ао
О а5 й3 я,
= aia2a3ai + 2alla1aiab + a0«2a3«s-
-аха<?а,—ааа^аа
-а02а5г —а,2а42>0.
Для и=2 условием устойчивости является лишь положительность
коэффициентов характеристического уравнения. Для и=3, и=4, п=5
положительность коэффициентов характеристического уравнения недостаточна.
Кроме того, коэффициенты должны удовлетворять дополнительным неравенствам
136
5.4. Частотные критерии устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова.
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
Частотные критерии в большинстве случаев используют в
ячестве графоаналитических критериев — они отличаются
нарядностью при выполнении инженерных расчетов.
Г Б основе частотных методов лежит .принцип аргумента —
ледствие из теоремы теории функций комплексного
переменного, а именно теоремы Коши, относительно числа нулей и
полюсов функции, аналитической в заданной области.
Принцип аргумента. Рассмотрим алгебраическое
уравнение я-й степени с действительными коэффициентами:
D(K)^drXn+an-iKn-l+ ... +Ы+а0=0.
Если через Яь Я2, ..., Я„ обозначить корни этого уравнения, то
многочлен D(K) можно представить в виде произведения
простых сомножителей:
£>(Я)=ап(Я—Я^ (Я—Я2) . .. (К—К).
На комплексной плоскости каждому корню соответствует
вполне определенная точка (рис. 5.2, а). Геометрически
каждый корень Яг изображается в виде вектора, проведенного из
начала координат к точке Я» (рис. 5.2, б). Длина этого вектора
° I
Действительная
ось
\ЛА
/4
argAi
Рис. 5.2. Корни характеристического уравнения системы:
а — расположение корней; б — модуль и фаза вектора )ц
Равна ^модулю комплексного числа, т. е. |Яг|, а угол, образо-
анный вектором с положительным направлением действи-
а льн°й оси, — аргументу или фазе комплексного числа Яг, т. е.
6Яг. Векторы (Я—Яг), входящие множителями в D(K), прове-
НЬ1 из точек h к точке Я. Каждый из этих векторов является
зностью двух векторов, соответствующих Я и Я, (рис. 5.3).
сли принять Я=/со в £(Я), то
D(/со) =ап(/со— Ki) (/«о— Я2) • ■ ■ (/со—Я„).
10 круговая частота (см. раздел 3.3.).
137

Рис. б.З. Элементарный вектор Рис. 5.4. Элементарные векторы
(Я—%t) (/со—Лг), i=l, 2 п
Концы элементарных векторов будут находиться на мнимой
оси в точке Я=/со (рис. 5.4). Модуль этого вектора равен
произведению модулей элементарных векторов и ап:
1^(/ю) |=«n|/co—%i\ I/to—Я21 ... 1 /со—%п\,
а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементар.
ных векторов:
argZ)(/to) = arg(/to—Ki)+arg(ja—Я2)+ .. -
...+arg(/w— Kn).
Направление вращения вектора против часовой стрелки
принимают за положительное. Тогда при изменении со от —°°
до +°° каждый элементарный вектор (/со—%t) повернется на
угол +я, если его начало (корень Я«)
находится в левой части комплексной
плоскости, и на угол —л, если его
начало (корень Kh) находится в
правой части комплексной плоскости
(рис. 5.5). Если уравнение D{k)^
имеет т корней в правой части пло
скости Я и, следовательно, п—т кор;
ней — в левой части комплексной
плоскости, то при возрастании со °т
—сю до +.°° изменение аргумент2
вектора £>(/со), или угол поворот2
^(/ю) (равный сумме изменений ар'
гументов элементарных векторов), 6У
дет
Рис. 6.5. Изменение
аргумента векторов (/to—Xi) и
(/со—Я») прн возрастании
частоты to от —оо до + °°
Д arg D(/co) = (/z — т)ы — тп = (п — 2щ)п.
(5.13)
Отсюда следует, что разность (я—т) корней уравнения D{%)^
=0, находящихся в левой части плоскости, и т корней, раС'
138
0}Кенных в правой части плоскости, умноженная на я, от-
Пя?кает собой изменение аргумента Z)(/co) при возрастании со
Р со до +оо. Это утверждение в теории автоматического
°егулирования называют принципом аргумента.
Р Критерий устойчивости Михайлова. Этот критерий основан
принципе аргумента (5.13) и является геометрической
интерпретацией соотношения
д arg D(j(£>) = (n — m)n — mn = (n~2m.)n,
где tn — число корней в правой части комплексной плоскости;
in т) — число корней в левой части комплексной плоскости.
Пусть характеристическое уравнение системы с обратной
связью (замкнутой САР) имеет вид
D(K) =a7Xn+an-i%n~1+ ... +а<к+а0=Ъ.
Если все корни этого уравнения находятся в левой части
комплексной плоскости % (система устойчива), а в правой части
плоскости корней нет, то т=0 и изменение аргумента
A arg D(/to)=mx.
—сд<га<оо
Отсюда следует вывод: САР является устойчивой, если при
возрастании со от —оо до +°° изменение аргумента вектора
D(/co) будет равно пк, где п — степень характеристического
уравнения D(K)=0.
При изменении частоты со от —со до +со вектор £>(/со) на
комплексной плоскости опишет своим концом кривую, которая
называется характеристической кривой, или годографом
вектора £>(/©).
Уравнение характеристической кривой определяют
подстановкой Я=/со в многочлен D(K) и последующим
разделением действительной и мнимой частей:
D(/со)=Оп(/со)n+a„-i(/со)—Ч- ... +а1(/со)+а0;
£ (/о) =ы (ю)+/& (о),
где
и (со) =а0—а2Сй2+а4сй4— ....
t,(co)=a1co—a3co3+a5(D5— ...
Действительная часть «(со) является четной функцией, а
мнимая часть у (со) —нечетной функцией частоты со, т. е. и(—со) =
~~f(co), <у(—со)=—у(со). Поэтому для отрицательных значе-
Д (—/со) =ы (со) —jv (со).
ТсЮда следует, что характеристическая кривая симметрич-
относительно действительной оси для +со и —со. При по-
Р°ении характеристической кривой можно ограничиться лишь
139

положительными значениями со от 0 до со. При этом угол по-
ворота вектора £>(/©), т. е. изменение аргумента D(ja),
уменьшается вдвое и критерий устойчивости формулируется следую,
щим образом.
САР будет устойчивой, если при возрастании частоты со от
О до +со вектор D(jco) повернется на угол пп/2 (где я-,
степень уравнения D(7i)=0). Это означает, что вектор харак
теристической кривой (при изменении частоты от 0 до +cot
начиная с положительной действительной оси) последователь'
но «обходит» п квадрантов в положительном направлении,
т. е. против часовой стрелки.
На рис. 5.6 приведены характеристики, соответствующие
-устойчивой системе. При /г=1 изменение аргумента равно я/2,
при п=2 изменение аргумента равно л и характеристическая
кривая лроходит через два квадранта, и т. д.
j¥((o) , i
jr(w)
Рис. 5.6. Характеристические кривые
(годографы) для устойчивых систем
(п=1...5)
Рис. 5.7. Годограф
неустойчивой системы
На рис. 5.7 приведена характеристическая кривая для /г33
= 4, которая соответствует неустойчивой системе. Система
будет находиться на границе устойчивости, если ее
характеристическая кривая при некотором значении пересекает начало
координат, обходя при этом (п—1) квадрантов. Частота со
является одновременно корнем уравнений и(со)=0 и п(со)=0.
В ряде случаев может быть использован критерий
устойчивости, называемый критерием перемежаемости корней (рис. 5.8
и 5.9). Действительно, характеристическая кривая при
изменении © от 0 до со будет обходить в положительном
направлении п квадрантов и система устойчива, если и(0)^>0>
t>(0)=0 и уравнения и(со)=0 и п(со)=0 имеют все
действительные и перемежающиеся корни, т. е. если между каждыми
двумя соседними корнями п(со)=0 лежит корень уравнений
ы(со)=0 или между двумя соседними корнями «(со) находится
корень уравнения п(со)=0.
140
Для устойчивости системы корни должны перемежаться и
Л ,ть вещественными, а сумма корней должна быть равна ло-
япку уравнения п.
ШГ рис 5.8 при п=4 изображены характеристические кривые,
ответствующие устойчивой системе, а на рис. 5.9 —
неустойчивой системе.
и(ч>)\ i
и№
рис. 5.8. Вещественная и мнимая Рис. 5.9. Вещественная и мнимая
части кривой D(j<u) устойчивой части кривой £>(/«>) неустойчивой
САР (п=4) САР (п=4)
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости (частотный
критерий устойчивости Найквиста—Михайлова). Этот
критерий, основанный на рассмотрении частотных характеристик
разомкнутых САР, был впервые доказан Найквистом
применительно к ламповым усилителям с обратной связью и введен
Михайловым в теорию автоматического регулирования.
Данный критерий, как и критерий Михайлова, вытекает из
принципа аргумента.
Для вывода амплитудно-фазового критерия устойчивости
рассмотрим вспомогательную функцию ср(/ф), которая
связана с частотной характеристикой разомкнутой системы W(ja)
соотношением
<р(/со) = 1+Щ/со).
Частотная характеристика разомкнутой системы W(jg>) может
быть выражена через полиномы числителя Мр(/©) и
знаменателя .Dp(/со) разомкнутой системы:
Тогда
Ф(/©) =
Др U&) + Мр (fto) D Ца>)
'- 757(7^) —DpUoy
Знаменатель функции ср(/со) представляет собой
характеристическую кривую разомкнутой системы, а числитель —
характеристическую кривую замкнутой системы.
Предполагается, что разомкнутая система устойчива. Устойчивость
разомкнули системы можно установить без каких-либо вычислений не-
П°сРедственно ло структурной схеме системы. Например,
141

разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и це
содержащая обратных связей, заведомо устойчива.
Если разомкнутая система устойчива, то изменение аргу.
мента при возрастании частоты © от 0 до +со будет
A arg Dp(Jа) = п-^-,
0<со<: со,
где п — степень характеристического уравнения разомкнутой
системы Dp(K)=0 (она совпадает со степенью
характеристического уравнения замкнутой системы, так как в реальных
системах степень числителя передаточной функции не может
превосходить степени знаменателя).
Изменение аргумента D(j(o) при возрастании © от 0 до
+со в общем случае:
Aarg£)p(yo)) = «^-,
0<со< со,
где п — число корней характеристического уравнения D(K) =
=0, лежащих в правой части комплексной плоскости.
Изменение аргумента функции
при возрастании и от 0 до -f- со равно разности изменений
аргумента Z) (у со) и /}р(у'со), т.е.
Д arg ф(/'со) = Д arg £)(усй)—Д arg £)'(/©)= -
0<ю<со 0<ю<со 0<С0<оо
= (« — 2/ге)-^-—я-§-= —дот.
Система будет устойчивой, если т=0, т. е. если
Aarg(p(/co)=0.
О^сог^оо
Вектор ф(/со) опишет угол, равный нулю, лишь в том случае,
когда его годограф не охватывает начало координат
(рис. 5.10); точка А отстоит от начала координат на единицу
От этой кривой можно перейти к амплитудно-фазовой
характеристике (АФХ), построенной по выражению W(j(o) на
плоскости £7 (со)/У (со), если сместить эту кривую на единицу
влево.
В плоскости W(j(o) начало вектора ф(/со) находится в
точке (—1; / 0), а конец вектора при изменении со скользит по
АФХ. Изменение аргумента ф(/со) равно нулю, если точка
(—1; / 0) будет находиться вне АФХ (рис, 5,10, б).
142
Рис. 5.10. Соотношения между годографами:
а — годограф вектора Ф(/со); 6 — соответствующий ему
годограф вектора "W(/co )
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируют
следующим образом: САР будет устойчивой, если АФХ W(j со)
Не охватывает точки с координатами (—1; / 0).
При рассмотрении многоконтурных систем, имеющих
местные обратные связи, а также систем, содержащих
неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться
неустойчивой. Для такой разомкнутой системы возможность
экспериментального определения АФХ исключается, однако эта
характеристика может быть построена по уравнениям системы и
по ней можно судить об устойчивости системы. В этом случае
изменение аргумента Др(/со) при возрастании со от 0 до -f00:
Д arg Dp (у со) = (я - 2/?) -£,
где р — число корней характеристического уравнения
разомкнутой системы, лежащих в правой части комплексной
плоскости.
Если замкнутая система устойчива (р=0), то на основании
принципа аргумента
A arg D U«) = п -§-,
0<со<со •*
следовательно,
Д arg ф(у'<а) = Д arg Л (усо)—A arg Z)p(y'co) =
0<со<<
0«и<со
0«0<о°
АР будет устойчивой, если АФХ охватывает точку (—1, / 0)
■положительном направлении р/2 раз. При р=0 получится
Реэкний результат.
„На практике удобнее пользоваться следующей формулиров-
и критерия устойчивости, исключающей необходимость не-
средственного подсчета изменения аргумента: изменение ар-
УМента ф(/со) при возрастании со от 0 до +со будет равно ну-
т > если число переходов АФХ W(j(o) через отрезок действи-
ц ьНой оси (—со...—I) из верхней полуплоскости в ниж-
10 и из нижней в верхнюю одинаково. Это изменение аргу-
143

мента будет равно ±ря, если разность между ними ра&ц.
+р/2. Переход Щ/со) (с возрастанием со) из верхней поду>
плоскости в нижнюю считается положительным, а из нижней
в верхнюю — отрицательным. *
В окончательном виде амплитудно-фазовый критерий усто$
чивости можно сформулировать следующим образом: САР бу.
дет устойчивой, если разность между положительными и от.
рицательными переходами АФХ отрезка действительной осц
(—со...—1) равна р/2, где р — число корней характернее
ческого уравнения разомкнутой системы с положительной в^.
щественной частью.
_, Следует отметить, что если W(jg>) при со=0 начинается щ
отрезке действительной оси (—со...—1)7 то считается, что
W(ja) при <а=0 совершает половину перехода. В частно^
случае, когда р=0 (что соответствует устойчивой или
нейтрально-устойчивой разомкнутой системе), система будет
устойчивой, если разность между положительными и отрицательными
равна нулю.
Пример. На рис. 5.11 изображена АФХ разомкнутой САР. В точках ее
перехода через участок действительной оси (—оо. .—1) ставят стрелки в
сторону возрастания ш и определяют разность между числом стрелок, на-
Щш)
Рис. 5.11. Интерпретация
амплитудно-фазового критерия устойчивости
на комплексной плоскости £/((й),
/1/(ю)
правленных вверх и .вниз. Для АФХ на рис. 5.11 разность между
положительными и отрицательными переходами равна единице (2—1 = 1). ЕС*
разомкнутая система неустойчива и р=2, то замкнутая система буД6*
устойчивой.
Таким образом, критерий устойчивости Найквиста—Михай'
лова позволяет по годографу АФХ разомкнутой системы су*
дить об устойчивости САР с обратной связью (замкнутой ей'
стемы). Критерий может быть использован и в тех случая*'
когда дифференциальные уравнения системы (или отдельны*
ее звеньев) не известны, но расчетчик располагает соответ'
ствующими экспериментальными частотными характеристик2'
144
0. Кроме того, критерий дает возможность исследовать устой
ййвость системы не только с сосредоточенными, но и с распре
елейными параметрами,
^jje устойчивости с после,
а также позволяет связать исследова-
последующим анализом качества.
ОШш)
WQai)
Рис. 5.12. Амплитудно-фазовые
характеристики 1-го и 2-го типа
5.5. Анализ устойчивости одноконтурных систем
автоматического регулирования по их частотным
характеристикам
АФЧХ САР в зависимости от пересечения с вещественной
осью относительно критической точки с координатами (—1; /0)
мояшо подразделить на два
типа: 1-й, когда все точки
пересечения АФЧХ с вещественной
осью расположены справа от
критической точки (кривая 1,
рис. 5.12); 2-й, когда все точки
пересечения АФЧХ с
вещественной осью расположены как
слева, так и справа от критической
точки (кривая 2, рис. 5.12).
В системах 1-го типа
увеличение передаточного
коэффициента К выше его критического
значения приводит к нарушению
устойчивости, а уменьшение
ниже критического — к стабилизации системы. Следует отметить,
что критическим называют то значение передаточного
коэффициента К, при котором АФЧХ проходит через критическую
точку (—1; /0), т. е. система находится на границе
устойчивости.
В системах 2-го типа при увеличении К выше его
критического значения система может превратиться из неустойчивой
в устойчивую, а при уменьшении — из устойчивой в
неустойчивую.
На основании амплитудно-фазовых критериев устойчивости
м°гут быть сформулированы требования, которым должны
Удовлетворять логарифмические частотные характеристики
Разомкнутой системы для того, чтобы она была устойчива в
замкнутом состоянии.
Если система имеет АФЧХ 1-го типа, то она устойчива в
случае, когда всем точкам АФЧХ, начиная с ш=0, вплоть до
точки пересечения с окружностью единичного радиуса,
соответствуют значения фазы 6, большие, чем (—я). Точке пересечения
^ФЧХ с окружностью единичного радиуса соответствует точка
Пересечения ЛАЧХ L(co) с осью частот (так как lgl=0).
Потому для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом со-
т°янии и имеющая АФЧХ 1-го типа, была устойчива и в зам-
нУтом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех
10—3591
145

частотах, при которых ЛАЧХ положительная, т. е. L(©)^0
значения фазы 6(со) не превышали (—я). На рис. 5.13,а при!
ведены характеристики устойчивой и неустойчивой систем соох,
ветственно.
Если система, устойчивая в разомкнутом состоянии, имеет
АФЧХ 2-го типа, то для того, чтобы она была устойчива в
замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность
между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных
Ць»%в(ь»
иы){
о
—Jf
М«4
•**Jj№
^***"**-£ср
i
X
а
Рис. 5.13. Логарифмические частотные характеристики САР:
а — устойчивой; 6 — неустойчивой
(снизу вверх) переходов АФЧХ отрезка действительной оси
(—оо ...—1) была равна нулю. Но в точках пересечения АФЧХ
отрезка (—оо ...—1) ЛАЧХ L(co) положительна, а фазовая
характеристика 6 (со) пересекает прямую (—я) снизу вверх
(положительный переход) или сверху вниз (отрицательный
переход) . Поэтому для того, чтобы система, устойчивая в
разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии,
необходимо и достаточно иметь разность между числом
положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики
6(со) и прямой (—я), равную нулю при тех значениях оо, для
которых ЛАЧХ L((a) положительна.
Если ЛЧХ разомкнутой системы имеют вид, изображенный
на рис. 5.14, а (разомкнутая система устойчива или нейтрально
устойчива, т. е. имеет полюс в начале координат), то замкнутая
система будет также устойчива.
Если САР в разомкнутом состоянии неустойчива и
характеристическое уравнение имеет р корней в правой
полуплоскости, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии
необходимо и достаточно, чтобы разность между числом
положительных и отрицательных переходов АФЧХ на отрезке (—оо ...—-1)
составляла р/2. Поэтому для устойчивости замкнутой системы»
характеристическое уравнение которой в разомкнутом состоя'
нии имеет р корней в правой полуплоскости, необходимо и Д0'
статочно, чтобы число положительных переходов между фазо'
вой характеристикой 6(со) и прямой (—я) превышало на р'"
146
гпо отрицательных переходов при положительных значениях
На РиС- 5.14,6 приведены ЛАЧХ, соответствующие системе
уСТОйчивой в разомкнутом состоянии, если р=2. Если
характеристическое уравнение этой системы имеет два корня с по-
l(w) J, в(ш)
Цш) А в(ш)
Рис. 5.14. ЛЧХ разомкнутых систем, устойчивых в замкнутом
состоянии:
а — число корней в правой полуплоскости Р—0; б — число корней в
правой полуплоскости Р—2
ложительной действительной частью (р=2), то такая система
будет устойчивой в замкнутом состоянии, так как разность
между числом положительных и отрицательных переходов
равна единице.
Для анализа устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам следует: определить и построить ЛАЧХ и
ЛФЧХ системы; найти интервал частот, в котором ЛАЧХ
положительна [L(<o)>0]; подсчитать число пересечений в этом
интервале частот ЛФЧХ 6(со) с прямой (—я) снизу вверх (+)
и сверху вниз (—). Если разность между числом точек
пересечения, отмеченных знаком «+», и числом точек пересечения,
отмеченных знаком «—», равна значению р/2, то система устойчи-
а! если какому-либо другому значению, то система неустойчи-
а- В случае астатических систем при подсчете числа точек
пени Т*6111151 не°бходимо учитывать точку пересечения (или каса-
Ия) амплитудно-фазовой характеристикой отрезка (—оо —
"'• 1), получающуюся при бесконечно малых значениях ох
5.6. Запасы устойчивости систем по модулю и фазе
ц0г сТ°йчивость замкнутой САР зависит от расположения го-
Точк ^0"ш) разомкнутой системы относительно критической
ТоЧки с координатами (—1; / 0). Чем ближе он к критической
е» тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.
10*
147

Для устойчивых систем удаление годографа W(ja>) от крй
тгической точки (—1; / 0) характеризуется запасом устойчиво
1¥(и" сти по модулю и фазе (рис. 5.15)"
Минимальный отрезок действи."
хельной оси h, характеризующей
расстояние между критической \
ближайшей точкой пересечения го.
дографа К7 (/со) с действительной
осью, называют запасом устойчи.
вости по модулю. Минимальный
угол у, образуемый радиусом, пр0.
ходящим через точку пересечения
годографа К7 (/со) с окружностью
Рис. 515. Запасы устойчивости единичного радиуса (с центром „
САР по модулю и фазе начале к00рдинат) и 'отрицательно?
частью действительной оси, называют запасом устойчивости
по фазе. Система обладает требуемым запасом устойчивости
если она, удовлетворяя условию устойчивости, имеет значения
модуля характеристического вектора Щ/со), отличающиеся от
единицы не менее чем на заданное значение h (запас
устойчивости по модулю), и угол поворота или фазу, отличающуюся
от ( —л) не менее чем на заданное значение у. Амплитудно-
фазовые характеристики систем, обладающие запасами
устойчивости по углу или по фазе (рис. 5.16), не должны входить в
область I—I, II—II комплексной плоскости.
В случае применения для анализа устойчивости
логарифмических частотных характеристик (рис. 5.17) запасу уСТОЙЧИВО-
^М
U(U>)
Рис. 5.16. Зона устойчивости САР на Рис. 5.17. Определение запасо*
комплексной плоскости устойчивости САР по ЛЧХ
-сти системы по модулю соответствует отрезок /=20 lg h np51
том значении частоты, при котором фазовая характеристик^
8(со)=—п. Относительно ЛЧХ можно говорить и о запаса*
устойчивости по модулю (/i и 12), соответствующих частотам &l
и ©г- Запасу устойчивости системы по фазе -у соответствуй
значение угла, превышающее значение фазовой характеристик
над линией —я при частоте среза соСр (см. рис. 5.17).
148
5.7. Определение областей устойчивости
критерии устойчивости позволяют выяснить, устойчива ли
гдр, если все ее параметры (постоянные времени,
коэффициенты усиления и др.) заданы. Часто на практике задают все
°яраметры системы (кроме одного или двух, которые могут
п^еняться в некоторых пределах) и определяют, при каких
й значениях система будет устойчивой [2].
Й Для решения этой задачи необходимо многократно повто-
яТь построение годографа Михайлова или АФХ либо, если
пользоваться критерием устойчивости Гурвица, проводить
анализ сложных и громоздких выражений. Области устойчивости
в плоскости двух действительных параметров системы были
впервые введены И. А. Вышнеградским.
Пусть в характеристическом уравнении
в„Я," + й„_,Л<п-1>+... +Й1Я + й0=0 (5.14)
все коэффициенты, кроме двух (например, а0 и ап), определены. При
некоторых фиксированных значениях йо и ап уравнение (5.14) имеет на
комплексной плоскости К корней, лежащих слева, и п—К корней, лежащих
справа от мнимой оси. Изменение в определенных пределах значений
коэффициентов ао и ап не вызывает изменения числа корней, расположенных
слева и справа от мнимой оси в плоскости корней. Поэтому на плоскости а0
и ап можно выделить такую область, каждая точка которой определяет
многочлен (5.14), также имеющий К корней, лежащих слева, и п—К
корней, лежащих справа от мнимой оси. Эту область обозначим через D(K).
Число К может иметь любое целое значение, и в плоскости а0, ап
можно указать области D(K), соответствующие разным значениям К.
Например, если характеристическое уравнение имеет третью степень (п=3), то
могут быть указаны области ДО], Д1], Д2] и ДЗ]. Область ДЗ] будет
областью устойчивости в пространстве коэффициентов. Если не существует
области ДЗ], то это значит, что при любых значениях неопределенных
коэффициентов (а0 и ап) и при заданных значениях остальных
коэффициентов уравнение не может иметь трех корней с отрицательной действительной
частью слева от мнимой оси, т. е. система не может быть устойчивой.
При трех неопределенных коэффициентах, например при а0, ai и ап,
следует рассматривать трехмерное пространство с осями координат а0> а\
и ап. При большем числе коэффициентов приходится рассматривать
многомерное пространство коэффициентов и область ДК] выделяется
гиперповерхностью. Такое разбиение пространства коэффициентов называют D-раз-
биением.
Пусть К корней полинома
avkn+an-ihn-1+ ■ ■. +а1%+а0=0
лежат слева от мнимой оси. Если плавно изменять значения
коэффициентов аи то корни могут перейти в правую полуплоскость. Этот переход мо-
^ет осуществляться либо через мнимую ось, либо через бесконечность при
значении параметров, обращающих в нуль коэффициент а0.
Переход в пространстве D-разбиения соответствует в плоскости корней
ПеРеходу корней через мнимую ось. Отсюда следует метод определения
границы £>-разбиния, которую определяют заменой в исследуемом полиноме
^ На /со и могут построить изменением значения со от —оо до +оо, т. е.
Раннца £>-разбиения есть отражение мнимой оси плоскости корней на
пР°странство коэффициентов характеристического уравнения.
. Аналогичным образом можно построить £>-разбиение пространства лю-
"■х параметров, от которых зависят коэффициенты характеристического
^Равнения (например, постоянных времени и коэффициентов усиления си-
149

Построение области устойчивости в плоскости одного комплексного ц
раметра. В том случае когда необходимо исследовать влияние на устойч^
вость только одного параметра (при заданных значениях других парами'
ров), удобно ввести вместо неизвестного параметра комплексную величие-
вещественная часть которой равна этому параметру. *
Для определения влияния., например параметра k, характеристическое
уравнение выражают относительно этого параметра k, т. е. приводят к вид^
откуда
Предполагается, что
k = U(<u)+jV(a).
Для построения области устойчивости принимают Я=/ш и разделяют ве.
щественную и мнимую части:
О (/со)
Задавая различные значения частоты ш (от —оо до +оо), строят в
плоскости U, V (плоскости k) границу £>-разбиения. При движении по мнимой оси
от со=—оо до (о= + оо на комплексной плоскости область корней с
отрицательными вещественными частями остается слева. При этом отмечают
направление движения от —оо до +оо и заштриховывают левую часть
кривой по отношению к этому движению. В той части плоскости, в
сторону которой направлены штрихи, находится отображение левой полуплоскости
корней. Поэтому областью устойчивости может быть только эта часть
плоскости. Так как область устойчивости ищется в плоскости только одного
параметра, то этой области может и не быть; поэтому необходимо
проверить условие устойчивости с помощью какого-либо критерия. После нахож
дения области устойчивости рассматривают лишь действительные значения к
Пример. Пусть дано характеристическое уравнение системы
Я3+Я2+Я+/г=0,
которое выразим относительно параметра k:
£:«=—Я3—Я2—Я.
Вместо Я подставим /ш, т. е. Я=/ю. Тогда
к=/ш3+со2—/со = U+jV,
где
[/=со2, 1/=ш3—to.
В плоскости U и V (рис. 5.18) строим область £>-разбиения. При частоте
w = 0, [/=0 и V=0; при <в=1, <У=1 и V=0, при ш-э-оо, U-*-oo и V-*-00-
Кривую границы области следует заштриховать слева при движении от (0==
=—оо к со=+оо.
Областью, соответствующей полиномам, имеющим наибольшее число
чорней слева от мнимой оси, будет область, заштрихованная на рис. 5.18-
Проверим, является ли она областью устойчивости. Для этого выберем,
например, граничную точку k—О, когда уравнение сводится к виду
Я(Я2+Я + 1)=0.
Его корни
Я, = 0, Я23=—"9" ± У—9—>
т. е. один корень нулевой, а два лежат слева от мнимой оси. Внутри об'
ласти число корней, расположенных слева от мнимой оси, должно бы**
150
Рис. 5.18. Выделение областей
устойчивости, D[l], D[2], £>[3] — области,
соответствующие различным
значениям корней
яа один больше, так как при этом происходит движение в сторону
штриховки. Следовательно, этой области соответствуют полиномы, у которых
все три корня лежат слева от мнимой оси. Здесь существенны только
действительные значения k, принадлежащие области устойчивости. Они
определяются отрезком оси U, лежащим внутри области D[3]. Условию
устойчивости рассматриваемой системы отвечают значения 0<£<1.
Контрольные вопросы
1. Дайте строгое определение устойчивости динамической
системы (САР) по Ляпунову. Что такое критерий
устойчивости?
2. В чем достоинства и недостатки алгебраических и
частотных критериев устойчивости САР?
3. В чем состоит смысл принципа аргумента?
4. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примерах
частотные критерии Михайлова и Найквиста, используя АФХ.
5. Сформулируйте и проиллюстрируйте частотный критерий
устойчивости Найквиста с использованием ЛЧХ.
6. Что такое запасы устойчивости по модулю и фазе? Что
они характеризуют?
7. Что такое полоса пропускания системы?
8. Как построить области устойчивости САР в плоскости
одного параметра? Что дает проектировщику САР выделение
областей устойчивости?
6. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Задача анализа качества процесса регулирования
заключается в нахождении ряда показателей, характеризующих
переходную функцию системы и называемых первичными показа-
Телями качества. Их удобно использовать при составлении
технического задания на проектируемую САР.
В данном разделе рассмотрены методы определения пока-
Зателей качества регулирования. Основное внимание уделено
151

частотному методу анализа, который базируется на связи Ве
щественной частотной характеристики САР, вычисленной цРй
разомкнутой цепи обратной связи, с переходной функцией Сц
стемы. Это позволяет использовать логарифмические характер
ристики разомкнутой САР, необходимые для анализа ка'
устойчивости по амплитудно-фазовому критерию, так и качестч
ва регулирования.
Для оценки точности САР в установившемся режиме прц
действии детерминированных сигналов и возмущений
используют метод коэффициентов ошибок.
6.1. Методы анализа качества САР
Качество САР или качество регулирования являются
обобщенными показателями системы, характеризующими:
во-первых, переходный процесс; во-вторых, статическую точность
системы при некоторых типовых воздействиях; в-третьих, точность
при медленно изменяющихся сигналах [19, 12].
Для оценки качества детерминированных САР выбирают
типовые (тестовые) воздействия, являющиеся наиболее
неблагоприятными или характерными для данной САР (например,
ступенчатые функции: единичные; дельта-функции; воздействия,
соответствующие движению с постоянными скоростью и
ускорением, а также гармонические воздействия и др.).
Для оценки стохастических САР применяют вероятностные
методы, определяя динамическую точность САР по значению
среднеквадратической ошибки или среднеквадратического
отклонения регулируемой переменной. Вопросы анализа и
синтеза САР, функционирующих при случайных управляющих и
возмущающих воздействиях, будут рассмотрены далее.
Качество регулирования при детерминированных
воздействиях можно оценивать: непосредственно, т. е. по
экспериментальным или расчетным кривым переходного процесса в САР;
косвенно, т. е. по каким-либо динамическим характеристикам
или параметрам системы. Оценки, полученные непосредственно
по кривой переходного процесса САР, называют прямыми
(первичными) показателями качества, а оценки, определяемые
другими способами — косвенными показателями.
Вычисление переходных процессов с математической точки
зрения сводится к отысканию общего решения неоднородного
дифференциального уравнения, описывающего физические
процессы в САР при заданных начальных условиях и воздействиях,
а также к анализу влияния изменения параметров системы на
вид этого решения. Следует отметить, что аналитическое реШв'
ние уравнений требует вычислений корней характеристического
уравнения и определения произвольных постоянных, связь
которых с конструктивными параметрами системы для уравнений
выше 3-го порядка установить трудно. Поэтому применяют
приближенные методы определения переходных процессов, не тре'
152
фоцнх, так же как и при анализе устойчивости, непосредст-
няого решения дифференциальных уравнений. При анализе
речеСТва САР необходимо установить, находится ли переход-
^ьтй процесс внутри области допустимых по техническому
задарю значений или выходит из нее.
Основные методы определения переходных процессов и ана-
й3а качества линейных САР: 1) частотный; 2) корневого годо-
11„афа (распределения и траектории нулей и полюсов переда-
очной функции системы); 3) логарифмического корневого
голографа 4) интегральных оценок. Рассмотрим их.
1. Частотный метод. Основан на рассмотрении
преобразования Лапласа X(s) для регулируемой величины при чисто
мнимых значениях аргумента s=/<a, а также на связи,
существующей между частотными характеристиками замкнутой
(разомкнутой) системы и переходным процессом. Одно из основных
различий между прямым методом анализа переходных
процессов, основанным на преобразовании Лапласа, и частотным
заключается в том, что первый является аналитическим и связан
с вычислением корней характеристического уравнения системы,
а второй (как и частотный метод анализа устойчивости) —
графоаналитическим, не требующим вычисления корней. При
использовании частотного метода анализа переходных
процессов исходными данными могут быть частотные характеристики,
которые определяют из эксперимента, без использования
дифференциальных уравнений всей системы в целом или
отдельных ее элементов. Этот метод позволяет: а) проводить полный
анализ динамики, а также решать многие вопросы синтеза
корректирующих устройств или регулятора САР; б) учитывать
особенность САР, заключающуюся в том, что анализ систем в
разомкнутом состоянии обычно проще, чем в замкнутом; в)
осуществлять анализ устойчивости, качества, а также переходных
процессов и систем любого порядка (как одно-, так и многокон-
тУрных, содержащих не только сосредоточенные, но и
распределенные параметры); г) решать вопросы анализа и синтеза
систем при непрерывно изменяющихся воздействиях.
2. Метод корневого годографа. Основан на связи между
Расположением нулей и полюсов передаточной функции системы
j* замкнутом и разомкнутом состоянии и на изучении их
перемещения на плоскости s при изменении параметров системы.
сди в процессе проектирования САР были получены
характеристики переходного процесса, не соответствующие
предъявляемым техническим требованиям, то изменением положения кор-
J-*1 характеристического уравнения можно изменить показате-
Качества. Метод корневого годографа позволяет
проанализировать, как меняются корни уравнения при изменении от
Ва°° До ^°° линейно-входящего параметра системы, и показы-
Ха5Г' как нужно изменить эти корни для получения требуемых
РаКтерИСтик.
15а

3. Метод логарифмического корневого годографа. Основа
на анализе свойств замкнутой системы по логарифмически*1
комплексным частотным характеристикам разомкнутой сист.1*
мы, т. е. характеристикам, построенным для комплексных зця"
чений аргумента s = o+/co B выражении для передаточной фуцк"
ции W(s).
4. Метод интегральных оценок. Использует определенны^
интегралы по времени от функции регулируемой величины илй
ошибки. При этом для косвенных интегральных оценок обычц0
не требуется знания корней характеристического уравнения. Оц
может быть отнесен к аналитическим методам, хотя во многих
случаях требует значительных числовых расчетов. Этот метод
эффективен при использовании электронных вычислительных
машин.
Из перечисленных методов только частотный позволяет про.
водить оценку прямых (первичных) показателей качества (вре.
мя переходного процесса, значение перерегулирования, число
перерегулирований). Остальные методы дают лишь косвенные
оценки качества (например, степень устойчивости, показатель
колебательности и т. п.).
6.2. Частотный метод определения переходных функций
линейных непрерывных САР
Первичные показатели качества. Поведение системы в
переходном процессе, вызванном типовым воздействием,
стремящимся с течением времени к постоянному установившемуся
значению, можно охарактеризовать при помощи некоторых
параметров, называемых первичными показателями качества САР.
В частности, при ступенчатом воздействии и нулевых начальных
условиях переходный режим системы характеризуется
следующими показателями качества (рис. 6.1):
x(t)k
Рис. 6.1. Определение показателей качества САР
а) установившимся значением %ст—*(°о) (т. е. статически
отклонением регулируемой переменной x(t), которое определи
статическую ошибку (точность) системы
вуст = ХВх Яуст, »
б) временем регулирования Тр (т. е. временем переходи0
процесса Тлм), которое характеризует быстродействие систем1*
154
оремя Тр определим как наименьшее значение интервала вре-
е11и tv—to, отсчитываемого от начала приложения воздействия
t до момента tp, после которого
\x(t)— ХустКД,
где А — заданная малая постоянная величина (значение А
обычно назначают равным 0,05 хуст);
в) положительным перерегулированием хтга. (т. е.
максимальным динамическим отклонением) регулируемой величины:
а=
■^тах хусг
*уст
100%;
f/ttS/fftfj,
|
J.
сии.
Г
г) числом колебаний N величины x(t) в течение времени
переходного процесса, т. е. в интервале tp—to-
Три показателя: хусг, Тр, о (или N) —определяют качество
переходных процессов минимально-фазовых систем, т. е. систем
с минимально-фазовыми или «левыми» передаточными нулями
и полюсами.
Показатели качества выбирают в зависимости от
технических требований, предъявляемых к системе. Система обладает
необходимым качеством, если она удовлетворяет заданным
условиям качества, а переходный про- х(0^
цесс не выходит из области
допустимых значений (на рис. 6.2 граница
области допустимых значений
обозначена штриховкой).
Графоаналитический метод
определения переходного процесса,
рассмотренный далее, может быть
реализован на ЭВМ с подсистемой
визуализации или с использованием
обычных графических средств. В первом
■случае данный метод является
основой для математического и
программного обеспечения ЭВМ.
Связь между частотными характеристиками замкнутой
системы и переходным процессом. Связь между частотным и
временным пространствами имеет в теории автоматического
регулирования фундаментальное значение, так как на этой основе
возможно решение различных задач анализа и синтеза систем.
Математической основой для частотного метода определения
*• анализа переходных процессов является преобразование
Урье. Оно позволяет получить на основании
дифференциальных уравнений с учетом начальных условий и приложенных к
^йстеме воздействий (или с использованием экспериментальных
Данных) некоторые функции, называемые обобщенными
частотами характеристиками САР.
„ Можно показать, что изменение обобщенной координаты
Ли Регулируемой переменной x{t) для широкого класса воз-
*■» J
Рис. 6.2. Область
допустимых значений
переходной функции
155

действий g(t) как при ненулевых, так и при нулевых
начальных условиях определяют выражениями [19]:
со
x{t)=Xn(t) + ~\Rr(.^)cosv)tda; (64)
о
оо
х (0 = хп (t) —-^ [ S, (со) sin cot dсо, (6.2)
о
где xn{t) — нерегулярная часть функции x(t), которая при ^->-оо
является расходящейся, или периодической, функцией, либо
постоянной величиной; Rr(co) и Sr(co) —обобщенная вещественная
и мнимая частотные характеристики процесса, получающиеся,
если преобразование Лапласа для функции Xr(s) при s=/o>
представить в виде
X,(/©)=K,(©)+jS,(©),
Здесь Xr(s) —регулярная часть функции X(s), т. е. когда все
полюсы ее расположены в левой полуплоскости и Hm xr(t) =0.
Формулы (6.1) и (6.2) можно переписать в виде
со
Ax(t)=x(t)—Xn(t)= — \^r(co)costedco; (6.3)
о
&x(t)=x(t)—xn{t)=— \Sr(cu)sirtfcodco. (6.4)
о
Левые части уравнений (6.3) и (6.4) представляют собой отклонения
регулируемой переменной от нерегулярной составляющей xn(t) .переходного
процесса. В случае, если функция X(s) не содержит особенностей во всей
правой полуплоскости и на мнимой оси,
limsX(s) = limx: (£) = 0
и функция x(t) имеет только регулярную часть. Поэтому выражения (6.3) и
(6.4) сводят к виду
со
х(*) = — \ Яг (со) cos fcotf<S, (6.5)
x{t)=—zr\Sr (со) sin tofiTto, t>0. (6.6)
0
Если Рг(<») совпадает с вещественной частью Я (со) выражения X(jv))> a
Sr(w) —с мнимой частью S(a>), то обобщенные частотные характеристики
определяют следующими выражениями:
К(<а)=Р(ю)Рв(<о)—Q(<a)QB(<o)+iM(o);
S(<o)=p(a)QB(№)+Q(to)p4(w)+QH(cu),
где Р(со) и Q(«) —вещественная и мнимая частотные характеристики
системы соответственно; Рв(со) и QB((u)—вещественная и мнимая частотны*
характеристики воздействия; Рв(сй) и QH((u)—вещественная и мннма"
частотные характеристики начальных условий.
156
В случае, если функция X(s) имеет простой полюс в начале координат,
все остальные полюсы расположены в левой s-полуплоскости, а также в
алучае, когда такой полюс отсутствует, формулы (6.5) и (6.6) имеют вид
(О
2Д JR
(со)
sin tad®, £>0,
(6.7)
или
х(О = Я(0) +
оо
45
S(to)
cos twd®, t>0,
(6.8)
где Я (0)—значение R (со) при ш=0.
При единичном ступенчатом воздействии g(t) = l(t) и нулевых началь-
ных условиях функциями Р(ш) и S(co), входящими в формулы (6.7) и (6.8),
являются собственные вещественная Р(со) и мнимая Q(co) частотные
характеристики замкнутой системы. Типовые вещественная Р(<в) и мнимая Q(co)
частотные характеристики САР с единичной обратной связью показаны иа
РН
CKwl t
Рис. 6.3. Типовые вещественная (а) и мнимая (б) частотные
характеристики САР с единичной обратной связью
рис. 6.3. Функция x(t) в выражениях (6.7) и (6.8) представляет собой пере-
-одиую функцию h(t) системы. Поэтому формулы (6.7) и (6.8) примут вид
Л(*) =
Р(ш)
sin tada,
(6.9)
тили
й(О = Я(0)
2 (*
л ,1
Q(to)
ш
cos tad®.
(6.10)
Таким образом, первым шагом при вычислении переходного процесса
Яо формулам (6.7) и (6.8) является определение частотных характеристик
*4<в) или Q(co) системы.
Определение вещественной и мнимой частотных
характеристик замкнутой системы по ЛЧХ разомкнутой системы.
Взаимную связь между АФЧХ замкнутой и разомкнутой САР
определяют выражением
^ак было показано ранее, АФЧХ разомкнутой системы W(j(o)
№ожет быть представлена соответствующими амплитудной
"(со) и фазовой 8(со) частотными характеристиками следующим
обРазом:
157

W(j(o)=H{&)tseW. (6.12}
Подставляя выражение (6.12) в (6.11), получим
_.. . Я (со) cos 0 (со) + ]Н (ш) sin 0 (со) п/ , . ,п,,л /д 10.
Отделяя в правой части выражения (6.13) вещественную часть
Р (о) от мнимой Q (со), найдем
р (,л _ Я2 (со) + Я (ш) cos 6 (со) . ,6 .
^1ш; — Я2(со)+2Я(со)соз0(сй) + Г v ^'
vl10; Яг (о)+ 2Я(.ш) cos 0(ш) + Г V '
Геометрическое место точек Р (со) = const = РС согласно (6.14)
определяют уравнением
Я2 (со) + я (со) cos 0 (со) р
Я2 (со) + 2Я (со) cos 6 (со) + 1 с'
ИЛИ
Я(со)со8е(со) (1-2Рс)=Я2(со) (P.—1J+JP- (6.16)
Точно так же геометрическое место точек в соответствии с
выражением (6.15)
Q(co)=const=Qc,
определяют уравнением
Я (со) sin 0 (со) q
Н" (со) + 2Я (со) cos 0 (со) +1 ~~Чс'
или
Я (со) sine (со)— 2Qc#(co)cose(co) = Qc+Qctf2(o)). (6.17)
Номограммы можно построить: в соответствии с
выражением (6.16) —для определения вещественной частотной
характеристики замкнутой системы [18, 20]; в соответствии с
выражением (6.17) —для мнимой. Эти номограммы строят в
координатах фаза — амплитуда, т. е. в следующих единицах отсчета:
град — по оси абсцисс, дБ — по оси ординат. Параметры Р и
Q номограмм — безразмерные. На номограммы наносят точки,
соответствующие значениям амплитудной характеристики L(m
разомкнутой системы (в дБ) и фазовой характеристики 6 (со),
(в град) для выбранной частоты ©г, и определяют
вещественную Р(со) и мнимую <2(со) частотные характеристики,
соответствующие частоте со,. -
Определение вещественной Р(ю) и мнимой Q(co) частотных
характеристик замкнутой системы по логарифмическим
амплитудной Л (со) и фазовой ф(со) частотным характеристикам
замкнутой системы. При вычислении переходных процессов в САР »
случае, когда возмущающее воздействие может быть приложу
но в любой точке системы, а также для системы с неединични
обратной связью, вещественную и мнимую частотные хаРак'
ристики Р(со) и Q(co) следует определять по частотным хара»
теристикам замкнутой системы:
158
р (со)=Л((й)со8ф(со); (6.18)
Q(co)=^(co)sincp((B). (6.19)
Чтобы облегчить процесс построения функций Р(со) и Q(coJ
до JI4X LA((o) и ф(со), применяют специальные номограммы.
Для нахождения вещественной частотной характеристики
р[0) пользуются номограммой, вычисленной по формуле (6.18),
при определении мнимой частотной характеристики Q(co) —
номограммой, вычисленной по формуле (6.19). Эти номограммы
достроены в координатах фаза — амплитуда замкнутой системы
ф и LA соответственно. Параметры Р и Q номограмм —
безразмерные.
Имея зависимость LA(g>) от ф(со), построенную на кальке
в масштабе номограммы, и наложив ее на номограмму, можно
найти вещественную и мнимую частотные характеристики
замкнутой системы.
Пересечение кривой ЬЛ (со) =/[ф(со)] с кривой номограммы
Рс или Qc при заданной частоте со = со{ означает, что при со =
=со{ вещественная частотная характеристика Р(со) имеет
значение Pi, а мнимая — значение Q,. Положительным фазовым
углам соответствуют положительные значения Q(co), а
отрицательным — отрицательные.
6.3. Определение переходных процессов методом
трапецеидальных частотных характеристик
Формулы (6.9) и (6.10) применимы для вычисления
переходных процессов (при нулевых начальных условиях),
стремящихся при достаточно больших значениях времени t к
постоянному значению, которое в частном случае может быть нулем.
Рассмотрим задачу вычисления переходной функции
(переходной характеристики) САР, т. е. задачу нахождения
переходного процесса как реакции системы на единичное ступенчатое
воздействие.
Первый шаг при вычислении переходной характеристики по
Формуле (6.9) или (6.10) заключается в нахождении
вещественной Р(со) или мнимой Q(co) характеристики системы. Различные
варианты задания и способы определения функций Р(со) и
Q(co) были рассмотрены ранее.
Следующим шагом является вычисление интеграла в
выражениях (6.9) и (6.10). Для приближенного нахождения пере-
х°Дйой характеристики САР применяют графоаналитический
^тод, заключающийся в аппроксимации функций Р(со) или
"(to), заданных в виде графиков, трапецеидальными
частотными характеристиками. Метод может быть реализован либо на
^ВЛ\ с графическим дисплеем в диалоговом режиме, либо с
использованием обычных графических средств.
15»

Типовая трапецеидальная частотная вещественная характе»
ристика. Эта характеристика (рис. 6.4) определяется следующй"
ми параметрами: высотой г0; интервалом равномерного процу*
екания частот ad; интервалом пропускания частот сои. Отноще,
Рис. 6.4. Типовая
трапецеидальная частотная
характеристика
ГФ-
' F В
Рис. 6.5. Аппроксимация
вещественной частотной
характеристики САР
трапецеидальными
частотными характеристиками
ние со<;/соп=х характеризует наклон боковой стороны типовой
трапецеидальной частотной характеристики.
Если /о~1, сои=1, то трапецеидальную частотную
характеристику называют единичной. Коэффициент наклона этой
характеристики может быть любым (от 0 до 1). Единичной
вещественной частотной характеристике соответствует переходная
функция КЩ.
Вычисленные значения h в функции времени t для различных
к приведены в таблице /1,,-функций [см.: 2, 10, 19]. Зная
коэффициент наклона к, по этой таблице можно определить К и
^табл- Для перехода от /^-функции процесса (на выходе САР),
соответствующего единичной частотной характеристике, к
заданной следует значение функции hx(t) умножить на г0, а
значение аргумента £табл, найденное по таблице, разделить на со„.
Так, например, если r0=5, cod=15, ©„=20, то х = <да/(йп=
=0,75; по таблице /{„-функций для х=0,75 находим значения
^табл, hx(t) и составляем табл. 6.1.
Таблица 6.1
Пример определения <Действ. и h(t)
'табл
0,0
1,0
2,0
МО
0,0000
0,5344
0,9383
, 'табл
действ „
0,00
0,05
0,10
а(о=мо'.
0,000
2,672
4,691
Далее определяем £действ и h(t)
Аппроксимация вещественной частотной характеристики тра'
пецеидальными характеристиками. Кривая Р(со) может бы**
представлена в виде совокупности из некоторого числа трапе'
160
йдальных частотных характеристик (рис. 6.5). Заменим кри-
ую Р(<й) мало отличающейся от нее ломаной Р(со), состоящей
из сопрягающихся друг с другом прямолинейных отрезков, и
проведем через каждую из точек сопряжения прямую линию,
параллельную оси частот со (штриховые линии). В результате
кривая Р((о) может быть заменена определенным числом
типовых трапецеидальных частотных характеристик Г{(со):
п
р (со) даР (со) = 2 г, (ю).
Этой сумме соответствует переходная функция h(t) системы,
являющаяся линейной комбинацией функций ht{t), т. е.
а(*)=2а'Ю-
(6.20)
/=i
Так, например, вещественная частотная характеристика
Р(со) (см. рис. 6.5) может быть аппроксимирована отрезками и
заменена суммой трех типовых трапеций (рис. 6.6): трапеция
I _ ONDF; трапеция II — OKGH; трапеция III — ОАВС.
Вычисление переходной функции. После того как
вещественная частотная характеристика разбита на трапеции, определя-
Р1ы)
#0
X(t), i
У
Рис. 6.6 Трапецеидальные
частотные характеристики,
полученные при
аппроксимации кривой Р(и>)
±EL
x(0-xfft)+jc2(t}+Xj(tl
Рис. 6.7. Составляющие
Xrt(t) и переходная функция
x{t) CAP
ют переходные функции xrt(t), соответствующие каждой
трапеции, СВеДЯ /табл К ^действ ДЛЯ КЕЖДОЙ фуНКЦИИ Xt(t) При 1=1, 2,
6- При этом пользуемся таблицами /^-функции, как это было
Изложено ранее. Затем, выполнив алгебраическое суммирова-
ние ординат кривых, соответствующих переходным функциям
**(') (рис. 6.7), получим переходную функцию h(t) CAP.
й В качестве примера рассмотрим определение переходной функции САР,
веющей в разомкнутом состоянии передаточную функцию вида:
300 (0,6s+1)
^(s) =
s (22s + 1) (0,06s + 1) (0,01s + 1) (0,002s + 1)"
11—3591
161

Рис. 6.8. Логарифмические частотные
характеристики системы W(s)
/'
W
as
0,6
Dfi
0,1
П
о,г
4*
см
в \
\
II
N
5?
г
£
т
F
W 30
N 6 _
/Т^5'
в
W
50 ы,1/с
—— н
Грапгчил
I
1
Ш
ш
Параметры mpanttiud
Ъ
-ЦП
I.SI
-Ц17
-0.1
«*
<♦
*.♦
а
30
<"п
г
п. г
30
60
ж
V
"Л
р
0
50 ft
Ы.1/С
Рис. 6.9. Определение переходной
функции САР:
а — вещественная частотная
характеристика системы; б — аппроксимация кривой
Р[о ) системы W(s) трапецеидальны»"
характеристиками
162
ЯогариФмическая амплитудная и фазовая хаарктеристики, построенные по
тому уравнению, приведены иа рис. 6.8.
9 Пользуясь номограммой, определим вещественную частотную характе-
„стяку Р(ч>) (рис. 6.9,а, непрерывная кривая). Аппроксимируем кривую
р(й>) прямолинейными отрезками. При этом разбиваем частотную
характеристику на трапеции I—IV. Находим параметры каждой
трапецеидальной характеристики (см. табл. иа рис. 6.9, б). Определим по таблице
и .функций переходные функции, соответствующие каждой из трапеций
(табл. 6.2; рис. 6.10). Суммируя ординаты этих переходных характеристик
L функции ^действ), находим, согласно выражению (6.20), искомую
переходную функцию h(t) CAP.
Таблица 6.2
Значения составляющих кривой переходного процесса
'действ-
hr0
'табл
'действ-
hr„
I .трапеция (к—
0,000
0,371
0,682
0,895
1,008
1,042
1,037
1,020
1,030
1,024
1,006
0,995
0,995
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
7,5
10,0
12,1
0,2)
III трапеция (х=0,5)
0,000
—0,052
—0,095
—0,125
—0,142
—0,146
—0,145
—0,143
—0,144
—0,143
—0,141
—0,139
—0,139
II трапедия (»<=0,4)
0,000
0,432
0,785
1,013
1,110
1,112
1,068
0,998
0,994
0,988
0,991
1,004
0,999
0,000
0,089
0,178
0,268
0,355
0,446
0,536
0,714
0,893
1,072
1,34
1,786
2,235
0,000
0,625
1,188
1,532
1,676
1,688
1,612
1,506
1,500
1,492
1,494
1,518
1,508
0
1
2
3
4
5
6
8
10
12
15
20
25
0
1
2
3
4
5
6
8
10
12
15
20
25
0,000
0,461
0,831
1,061
1,141
1,117
1,051
0,966
0,982
0,997
1,005
0,995
1,000
0,000
0,033
0,067
0,1
0,133
0,167
0,2
0,267
0,33
0,4
0,5
0,67
0,833
0,000
—0,124
—0,224
—0,286
—0,308
—0,301
—0,284
—0,261
—0,265
—0,269
—0,271
—0,26а
—0,27
IV трапеция (»<=0,5)
0,000
0,461
0,831
1,061
1,141
1,117
1,051
0,966
0,982
0,997
1,005
0,995
1,000
0,000
0,016
0,033
0,05
0,066
0,083
0,1
0,133
0,167
0,2
0,25
0,333
0,416
0,000
—0,046
—0,083
—0,106
—0,114
—0,112
—0,105-
—0,097
—0,098
-0,1
—0,100
—0,099
—0,100
11*
163

Mt)
t,e
i ь
1.1
10
0,8
0,6
о,*
0,2
в
-о,г
-4*L
т
f
/
f
s
4_
. -"
—
*W-__
**w
is:
**»)
\
x(t)
J
>s(9
¥
Рис. 6.10. Составляющие Xi(t)—Xi(t) переходной
функции и функция x(t) системы W(s)
€А. Вычисление переходного процесса в САР при помощи ЭВМ
Современные средства вычислительной техники позволяют
определять переходные процессы САР в автоматическом
режиме, т. е. без непосредственного участия проектировщика.
Рассмотрим два способа такого вычисления.
1-й способ. Заключается в применении численного интегрирования
дифференциальных уравнений, соответствующих замкнутой системе, и состоит
в выполнении таких последовательных операций (рис. 6.11,а):
1) ввод передаточного коэффициента системы, постоянных времени и
коэффициентов демпфирования, соответствующих передаточной функции
W(s) разомкнутой системы;
представление W(s) в виде отношения двух полиномов:
/га+1
2 bis1-*
2 я^'-1
где т и п — степени полиномов числителя и знаменателя разомкнутой
системы соответственно (m<n);
2) вычисление передаточной функции замкнутой системы (при
единичной СЮ£):
лч ч W& M(s~> M(-s'>
<D(s) — —
; 1 + W (s) - N (s)
n+l
2 ais1-
164
Ввод передаточной функции
разомкнутой системы tVfs)
Вычисление передаточной
функции замкнутой системы 9(s)
\Bgod передаточной функции
разомкнутой системы W(s)
I
Вычисление передаточной
функции замкнутой системы
Переход к уравнениям В
переменных состояния
Х-Ах+ви
Интегрирование системы
при х[а)"0, w1(t)
Вычисление переходного
процесса
т+1
n(t)~E biXi(t)
L-1
Вычисление Вещественной
частотной характеристики Р(и>)\
7=0
Вычисление интеграла
ь>к
Р(и)
0(7) - / —L-Lsinw Tdaj
о w
Вычисление точек
переходного процесса
п(Т) = - 3(7)
ТГ
7<*7+&7
Конец
3
Рис. 6.11. Блок-схемы программы вычисления переходных процессов:
- с использованнем численного интегрирования уравнения системы в пространстве состоя*
иия; б — с использованием вещественной частотной характеристики Р( и )
где
где
ai==[ai±bi; 1=1, д + 1 1
3) переход к уравнениям в пространстве состояний вида
x(f)=Ax(0 + Bu(0.
*<0=[*i(<). *•(<). ••■.xn[t)F;
0
0
0
a,
1
0
0
Я2
0
1
0
a3
0
0
I
an
an+i
O-n+1
a-n+i J
B =
I_an+, J
(6.21)
165

4) численное интегрирование системы уравнений (6.21) при нулевы»
начальных условиях и u(f) = I(r);
5) вычисление переходного процесса по формуле
т+\
где bi—коэффициенты, определяемые из уравнения (6.21).
Отметим, что если известно выражение для передаточной функцци
замкнутой системы <D(s), то переходный процесс может быть вычислен
разложением этой передаточной функции на элементарные слагаемые с
последующим суммированием функций, являющихся оригиналами от
составляющих <D(s). Однако такой подход требует вычисления корней знаменателя
<D(s), что при высоком порядке системы может привести к существенны^
погрешностям.
2-й способ. В качестве исходной информации используют значения
вещественной частотной характеристики Р(со). В этом случае можно
предложить несколько алгоритмов определения переходных процессов.
Первый алгоритм (рис. 6.11, б) базируется на методе трапецеидальных
частотных характеристик и на его разновидностях. Проектировщик
проводит аппроксимацию Р(к>) трапециями, задавая в качестве исходной
информации для ЭВМ значения и,-, при которых изменяется наклон
аппроксимирующей ломаной линии и соответствующие ординаты Р{. Все остальные,
т. е. наиболее трудоемкие, операции выполняют на ЭВМ в соответствии с
методом трапецеидальных характеристик. Программа использует таблицы
Л„-функций, постоянно хранящиеся в памяти. Такой подход позволяет
создать быстродействующие программы для вычисления и построения
переходных процессов, однако требует большого объема памяти ЭВМ.
Точность вычисления зависит от точности аппроксимации и шага таблиц, что
тоже связано с объемом памяти ЭВМ.
Второй алгоритм состоит в непосредственном вычислении выражения
оо
2 С Р(а)
h (t)=— \ ——" sin ta>de>
для данных значений t. В этом случае удобно использовать метод
Филона для интегрирования так называемых осциллирующих функций, т. е.
функций вида f (to) sin at. Исходную информацию берут из таблицы значений
Р{=Р((ог) [20], соответствующих дискретным значениям частоты а>и i=
= \,п. Для построения одной точки переходного процесса
hk—h(th); fe=l, m,
где т —требуемое число точек, выполняют следующие операции:
1) определяют значения функции
f((x>i, th)=Pilto{; (=27пГ
2) вычисляют интеграл
Jk^J^ + l /(<°> tit) da,
где
/».= (P' + P*> «0,-св,);
3) определяют значения переходного процесса
2
166
Второй алгоритм менее быстродействующий по сравнению с первым, од-
пля него необходим существенно меньший объем памяти ЭВМ. Кроме
1,8 он не требует участия проектировщика в построении переходных
пропсов, позволяя сосредоточить больше внимания на менее формализован-
й6,Су этапах расчета САР.
* На рис. 6.12 в качестве примера приведены переходные процессы рас-
0
0,2 ОМ 0.6 ОМ W t.c
Рис. 6. 12. Переходный процесс в
следящей системе
смотренной ранее САР, рассчитанные на ЭВМ с использованием численного
интегрирования и определения интегралов методом Филоиа.
6.5. Вычисление переходной функции в САР
с неединичной обратной связью
Упрощенная структурная схема САР угловой скорости
турбины приведена на рис. 6.13,а. Рассмотрим определение пе-
We(S)
Z(S)
ЦК)
x(t)
На
fit),
I
Wals)
Wf(s)
1
Wf(s)
Рис. 6.13. Структурные схемы CAP угловой скорости вала турбины:
" — упрощенная схема; 6 — преобразованная схема с единичной обратной связью
Реходного процесса в системе по возмущающему воздействию,
к°торое непосредственно приложено к турбине.
„« в цепи обратной связи находится регулятор. Передаточная функция
0&ьекта
*о(«)=
1
10s+ 1
167

(в данном случае можно считать, что эта функция по отношению к упрай
ляющему и возмущающему действиям одинакова). Передаточные ФункцИи"
сервомотора №|(s)=2/s, изодрома Z(s) =s/((s+l), центробежного мая-ищцка
&<j—0,09 (маятник считается безынерционным). Передаточную функцию Pg,
гулятора легко получить аналитически:
kdWb(s) 0,06 (s + 1)
^Р (s)= 1 + wt (s) Z (s) ^s (0,33s + 1) •
Последовательность определения переходного процесса такая: 1)
представление структурной схемы системы (рис. 6.13,6);
2) построение логарифмических амплитудных и фазовых характеристик
соответствующих передаточным функциям Wa(s) и WP(s) (на рис. 6.14
везде W0 и Wv);
i&*
20
0
-20
-40
-60
-80
-20 \
0,1 >w /
0,01 ^n^. ^*^^v^
—20 ^хХс^ХО
ArgW„ "\ \
—60 V^>
Arg Wp ^/\ \
—100 "^^ \
Arg Wa Wp \\
—mO . W9WP
Ar9 i+wBwp
i i i
10 WO Ш, 1/c
\\ nNst^1
\ £|К5,ГЧ
Рис. 6.14. ЛЧХ (подсистемы
3) использование номограммы для замыкания системы с целью
нахождения логарифмических частотных характеристик, соответствующих
передаточной функции (см. рис. 6.14):
Ф(5) =
WQ (s) Wp (s)
l+WQ{s)Wp(s) '
168
д) вычитание из полученных ЛЧХ характеристик регулятора Wv(s) для
учения ЛЧХ замкнутой системы, соответствующих передаточной функции
"темы по отношению к возмущающему действию (рис. 6.15):
WQ(s)
K(s)= l+WQ(s)Wp(s) ''
5) использование номограммы для определения вещественной частотной
ярактеристики с целью нахождения Р(ю) (рис. 6.16) по логарифмическим
Характеристикам замкнутой системы (см. рис. 6.15);
6) разбиение вещественной частотной характеристики Р(о) на три тра-
пепии (см. таблицу на рис. 6.16) с целью определения переходной функции
системы (рис. 6.17) методом трапецеидальных частотных характеристик.
дБ
40
20
-20
-W
-
0,01
—20
-
гбо/
0,1
1
"я
A,i) 1+WaWp
\ 1 Ю
V '
/00
1
U),l/c
,\ "Я
i\l+WgWp
Рис. 6.15. ЛЧХ САР угловой скорости вала турбины
Р(ш)
Трапеция
I
П
Ш
Параметры трапеции
г
-0JS8
0,78
0,1
ша
0
0,7
19
ып
0JB
ZS
В
я
0
№
0,36
г,5
7,5 ш, </с
Рис. 6.16. Вещественная частотная характеристика
CAP S
169

Рис. 6.17. Переходный процесс x(t) в САР
6.6. Частотный метод анализа качества регулирования
Данный метод, так же как и частотный метод определения
переходных процессов (функций), основан на использовании
интеграла и преобразования Фурье, приводящих в случае
произвольных типовых воздействий и ненулевых начальных
условий к понятию обобщенных частотных характеристик.
Частотный метод анализа качества регулирования
позволяет по свойствам приведенной обобщенной частотной
характеристики /?(со), не вычисляя интеграла
*./а 2 f sinto ,
■*(*) = —)#И-75— da.
судить о том, удовлетворяет ли функция x(t) условиям
качества регулирования или нет. Как было показано ранее, в
случае единичного ступенчатого воздействия и нулевых начальных
условий выражение для переходного процесса (переходной
функции) принимает вид
X
т^\ры)Щ^^.
Со
Эту формулу особенно широко используют на практике.
Оказывается, что по свойствам вещественной частотной
характеристики Р(ю) системы автоматического регулирования можно
судить о качестве регулирования без вычислений интеграла й
переходной функции. Рассмотрим некоторые из этих свойств-
1. Достаточно близким переходным процессам соответствуют
близкие частотные характеристики.
2. При анализе САР нет необходимости исследовать ее во
всем интервале частот от 0 до -f-°o. Достаточно ограничиться
областью существенных частот (или полосой пропускания)-
Начиная с частоты сои, имеет место соотношение
170
<0,1
0,2,
оЭтому при оценке качества регулирования вид Р(со) при
)/:
©„ можно не принимать во внимание
3. Установившееся значение %Ст переходной функции x(t)
аВно начальной ординате Р(0) функции Р(о).
" 4. Если Pi (со) и Р2(с>) отличаются только масштабом по
0сй частот, т. е. Pi (со) во всех точках идет более полого, чем
р2(ю), то переходная характеристика хД/), соответствующая
р (ю), затухает быстрее xz(t), соответствующей Р2(со), во
столько раз, во сколько масштаб Pi (со) по оси частот больше
масштаба Р2(со) (рис. 6.18). Или чем шире диапазон частот
вещественной частотной характеристики Р(со), тем быстрее
завершается переходный процесс x(t) (рис. 6.18, а и б).
Р(ш)к
Рис. 6.18. Вещественные частотные
характеристики и соответствующие им переходные
процессы:
а — характеристики Pi( ) и Ps( to ); б —
переходные процессы X\(t) и хгЦ)
Р(Ш)\
PMl
Р(ш)*0
Рис. 6.19. Положительная не- Рис. 6.20. Вещественные частотные
возрастающая вещественная характеристики САР„ находящиеся на
частотная характеристика границе устойчивости
5. Время переходного процесса будет меньше, чем положе
еЩественная частотная характеристика.
6. Если характеристика Р(со) положительна и представляет
б°й невозрастающую функцию частоты Р(со)^0; -т— ^0
18о/ ВСех и (Рис- 6.19), то перерегулирование не превышает
171

P(a>)k
е/Ш
.1
a)
7. Если вещественная часто^
ная характеристика Р((й) в тоь
ке 0}=©! имеет разрыв непре~
рывности, т. е. Pi (co) = oo, то ^tq
означает, что система находится
на границе апериодической це>
устойчивости и в ней происходи
незатухающие гармонические ко-
лебания с частотой он (рцс
6.20). Наличие острых экстрему!
мов в частотной характеристике
Р2((о) свидетельствует о наличии
медленно затухающих
колебаний. Качество процесса
повышается с уменьшением крутизны
Рис. 6.21. Вещественная частотная
характеристика, которой
соответствует монотонный переходный
процесс
частотной характеристики при отсутствии острых экстремумов.
8. Если производная dP/d<o— отрицательная неубывающая
непрерывная функция от со (рис. 6.21), то процесс монотонен,
а время регулирования
где On — частота, определяющая интервал, на котором
вещественная частотная характеристика положительна.
9. Если вещественная частотная характеристика
положительна на интервале [0, соя], то время регулирования Гр
больше, чем я/сйп, т. е. Т9>п/(0п
6.7. Определение значения передаточного коэффициента
(или добротности) астатической системы по ЛАЧХ
Передаточная функция САР в разомкнутом состоянии,
обладающая астатизмом v-ro порядка по отношению к
управляющему воздействию, может быть представлена в виде
S
Следовательно, выражение для ЛАЧХ имеет вид
Lm(со) =Lm k—v Lm co+Lm[W„ (/©)].
При значениях со, меньших значения первой сопрягающей
частоты со,=1/71, можно приближенно написать
Lm(fi>)«Lmk—v Lm со, 0<ю<о>,. (6.22)
Прямую, описываемую уравнением (6.22), называют
низкочастотной асимптотой ЛАЧХ. По ней достаточно просто опреДе'
лить передаточный коэффициент k или добротность САР прй
любом порядке астатизма (первый способ).
172
действительно, при <о=1 выражение (6.22) сводится к виду
Ьтн.ч(<о) |ш_1=ЬтА,
чего следует, что значение передаточного коэффициента к
й сТемы, выраженое в децибелах, определяется ординатой
низкочастотной асимптоты LmH.4(cu) при значениях уголовой
частоты со, равной единице (рис. 6.22).
L\W(j.u>)\
Область Область Область
: >"4«£— >Ч
низких средних частот Высоких частот
частот
Рис. 6.22. Определение передаточного
коэффициента астатической САР по ее ЛАЧХ
низкочастотной
В статических системах выражение для
асимптоты принимает вид
Lm„.4(co) |Ш<Ш1 «LmA,
из чего следует, что продолжать низкочастотную асимптоту до
значения ю=1 излишне, так как эта асимптота представляет
пРямую, параллельную оси частот, и значение k в децибелах
Равно расстоянию этой прямой от оси частот со.
Второй способ определения k заключается в следующем,
продолжим низкочастотную асимптоту 1л1н.ч(л>) ДО пересече-
НИя с осью частот (см. рис. 6.22). В точке пересечения co=cofc
LmH.4(co) [ =0.
Г
ЛеДовательно, согласно выражению (6.22),
йди
Lm &=v Lm
СОк-
■to»
е- значение k равно значению угловой частоты сок в точке
ци"/~ечения низкочастотной асимптоты с осью частот в степе-
> Равной порядку астатизма системы.
173

6.8. Коэффициенты ошибок системы
Определение точности САР в установившемся режиме ра^
боты, а также при медленно изменяющихся воздействиях яв.
ляется составной частью общей задачи анализа качества САр_
Исследование точности САР при медленно изменяющихся
воздействиях можно проводить при помощи 'Коэффициентов
ошибок.
Связь между функцией x(t) на выходе и управляющим
воздействием g(t) на входе САР может быть представлена в виде
интеграла свертки
оо
^(t)=\g(t-x)k(x)dx, (6.23)
S
где k{%)—импульсная переходная функция САР,
представляющая собой реакцию системы на б-функцию.
Коэффициенты ошибок в ряде случаев позволяют избежать
необходимости вычисления интеграла (6.23). Если ввести в
рассмотрение ошибку
«(*) = £(<)-*(*),
то
оо
B(')=g(0-§sr(*-*)*Mrf*-
о
(6.24)
Предположим, что воздействие g(t) является функцией,
имеющей г первых производных на временном интервале 0^
^t<.T. Тогда функцию g(t—т) в подынтегральном выражении
(6.23) можно разложить в ряд по производным от воздействия
g(t):
g(t~r) = g(t)-Tg(t) + ±-T2g(f)-...
•••+-^TyiLSf(r-,)(0 + /?r. 0<t<T0, (6.25)
где остаточный член
/?, = £=!р^-Г(*-Дт), 0<Д<1, 0<т<7\
Подставляя выражение (6.25) в уравнение (6.24), чюлучиМ
новый ряд
Hf) = Ccg(t) + Clg(t) + -^g(t)+...
••• + 1£%-£(г-,)(') + тР. (6-26)
В выражение (6.26) коэффициенты ряда С0, Си C2,...,Ct<
а также Кт равны соответственно:
174
£
С0=1-§ k(x)dx;
о
т
Ci = \ Tk (т) dx;
oJ
г
С8=(-1)$ r2k(x)dx;
о
г
Cr = (-1)'+1 J %rk(x)dx;
о
г
*Гг = (-1)г+,§ Trgr{t-bx)k(x)dx.
(6.27)
Выражение (6.26) представляет собой разложение ошибки
e(f) CAP в ряд по производным от управляющего воздействия
g(t). В случае медленно изменяющихся воздействий, когда в
выражении (6.26) можно ограничиться небольшим числом
членов, оно оказывается удобным для вычисления e(t), так как
при этом не требуется знания корней характеристического
уравнения. Каждый из членов ряда (6.26) можно
интерпретировать как i-ю составляющую ошибки е (t) CAP. Каждая из
составляющих является реакцией системы на соответствующую
производную от воздействия g(t). Коэффициент
пропорциональности между этой составлящей, обусловливаемой i-й
производной от g(t), деленной на i-факториал, называют
коэффициентом ошибки САР.
Если функция g(t) имеет г первых производных на
интервале О^^оо и 7=00, то формулы (6.27) принимают вид
С0=1 — V k (x)dx;
о
оо
Cr = (_l)-HjT2£(T)rfT;
О
оо
Кт = (— l)'+i { xrgr (t — Лт) k (т) dx.
о
Этом случае ошибку в (t) можно записать в виде
е(*) = ес(*) + е*(*).
(6.28>
В
175-

где
t
Ci
^cW=2t^(0; «*(<)=■§-;
Cu i=0, 1, 2, ...,r — i-й коэффициент ошибки^ ec(/J! и M?) «*„
составляющие ошибки, определяемые коэффициентами (6.28) й
характеризующие точность САР при медленно изменяющихся
g (t), имеющих г производных.
Коэффициенты С< могут быть вычислены и по заданной пе.
редаточной функции ошибки ФЕ(«) или Ф(в) системы:
Ф.
то оо
е (S) = 1 _ ф (S) = 1 _ ^k (т) e-**tfT= J Л8 (т) e-^rft. (6.29)
о о
Разложим выражение для передаточной функции (6.29) в ряд
Маклорена при малых s:
Преобразование Лапласа E(s) для ошибки e(t) на выходе
можно представить в следующем виде:
£(s)|,-o={<De(s)G(s)]^o =
= К#о + К\s + ^2S2 + ...) G (s)]^0. (6.30)
Применяя к выражению (6.30) обратное преобразование
Лапласа, получим
e(t)=Kog(t)+Kig(t)+K2g(t)+ ... (6.31)
Сравнивая выражение (6.31) с (6.26), имеем
t С0=К0; С,=/С,; С2=2\ К2\ ...; Сг=г\ Кт (6.32)
Таким образом, вычисление коэффициентов С4 сводится к
разложению в ряд Маклорена передаточной функции ошибки
ФЕ(в) при s~v0. Формулы для определения коэффициентов Ki
в соответствии с (6.32) имеют вид
/C0=C0 = lim©E(s);
S-+C
tf1 = C1=Umi[<De(s)-*'aI;
#, = §•=111114 Ф8 (S)-2#*S* .
общем случае
с^иш^ф^-^Д (6"33)
176
формула (6.33) позволяет найти каждый последующий
коэффициент Ci по известным предыдущим: С0, Си С2,..., C,-i.
Передаточную функцию ошибки <De(s) через передаточную функцию ра-
омкнутой системы определяют выражением
1 P(s)
фе ^ - 1 + W (s) - D(s) + M (s) ' (6'34)
где M(s)—числитель передаточной функции разомкнутой системы; D(s) —
знаменатель.
Коэффициенты ошибки Ct можно определить, согласно выражению
(6.33), простым делением D(s) на D(s)-\-M(s) и сравнением членов с
одинаковыми степенями s получающегося таким образом ряда с его
коэффициентами. Этот ряд, сходящийся при малых значениях s, находят в результате
разложения Фе(з) передаточной функции ошибки (6.34) по степеням s.
Коэффициенты ошибки могут быть выражены через коэффициенты
передаточной функции разомкнутой системы. В табл. 6.3 приведено несколько
первых коэффициентов ошибок для статических и астатических систем
1-го и 2-го порядка, вычисленных для случая
h *<«)=>
К (l+P,s + M2+...+pmsm)
sv (l+a,s + a2s2 + ... +a„sn)
Важным свойством астатических САР является то, что для системы с
порядком астатизма, равным v, первые v коэффициентов ошибки Со, Си .. ■
..., Cv-i равны нулю. Следовательно, соответствующие ошибки в
установившемся режиме работы системы отсутствуют.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте содержание задачи анализа САР.
Охарактеризуйте основные методы анализа САР.
2. Что такое качество системы автоматического
регулирования? Каковы основные первичные показатели качества?
3. В чем состоит связь между частотными характеристиками
САР и переходным процессом?
4. Как определить вещественную (мнимую) частотную
характеристику САР по ЛЧХ разомкнутой системы?
5. Какова последовательность действий при определении
переходной функции САР методом трапецеидальных частотных
характеристик?
6. Докажите, что значение Р(0) астатической системы рав-
Но единице.
7. Что такое добротность САР? Какими способами и как
Мояшо определить добротность системы?
8. Каков физический смысл коэффициентов ошибок?
9. Установите закономерность изменения коэффициентов Со,
'• С2, С3 по табл. 6.3.
12—3 591
177

Коэффициенты ошибок
Таблица q л.
Система
Коэффициенты
Формулы
Статическая
Астатическая
1-го порядка
Астатическая
2-го порядка
Со
С,
С2
Со
с,
с2
С3
Со
с,
с2
1/0+К)
(«I—В.)У
(1+/02
а («2—ра)/с 2а, (р.—«р/с
(1+/C)S + (1+Ю3 +
2р,(р,—g,)JJf
+ (1+Ю*
6/С (а3—р3)
(1+/С)2
6/<-[2a,a2— 2/CP,p2 +
+ (/<•— 1)(«гр,+ а.РО
+
(1+Юг
6/C(«i—Pi)(«,+/Cp.)2
(1+КУ
о
2(g|-P.) 2
+
К
к2
6 12(р,-и,)
/<? + /С2
6(ав—рг) 6Р, (P.—«t)
+ /С "+ /С
О
О
2//С
6(«i—Pi)
/С
I
7, СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Задача синтеза в процессе проектирования САР
заключается в выборе ее структурной схемы, параметров и
характеристик элементов, способа технической реализации системы»
при которых требуемые в соответствии с ТЗ статические, ди*
намические, энергетические и эксплуатационные
характеристики обеспечиваются при применении возможно более простых 0
178
дежных аппаратных средств. В некоторых случаях синтез
водится к нахождению корректирующего устройства,
включение которого в систему обеспечивает качество регулирования
„ соответствии с ТЗ.
рассмотрим частотный метод синтеза корректирующих
устройств (регуляторов), базирующийся на концепции
желаемой логарифмической характеристики разомкнутой системы
[19, 20].
7.1. Постановка задачи синтеза
При постановке и решении задачи синтеза САР необходи*
мо учитывать следующие особенности.
1. САР содержит объект регулирования и элементы с
трудно изменяемыми параметрами л характеристиками. Эту часть
системы назовем неизменяемой. В САР могут входить также
элементы с легко изменяемыми параметрами и
характеристиками. Такие элементы называют корректирующими
устройствами. При решении задачи синтеза линейной САР необходимо
учитывать статические и динамические характеристики
объекта и той части системы, которая не подлежт изменению, но
существенно влияет на свойства САР в целом.
2. Следует стремиться к реализации оптимальных
динамических характеристик. При этом задают верхний 'предел
отдельных показателей качества в области допустимых значений, но
не определяют однозначно вид переходного процесса.
3. Одни и те же технические требования к системе можно
реализовать при помощи различных корректирующих устройств.
Последние выбирают такими, чтобы они были технически наи«
более просто осуществимы.
4. Во многих случаях нельзя получить точных результатов
расчетным путем, так как современные САР характеризуются
не только постоянными, но и переменными, а иногда и
распределенными параметрами. Теоретический анализ и расчет
лишь облегчают выбор рациональной схемы, а также
ориентировочных значений параметров корректирующих устройств,
входящих в состав системы. Значение этих 'параметров
уточняют в результате последующей регулировки и настройки САР
в реальных условиях ее эксплуатации.
5. Большую роль отводят вычислительной технике,
применение которой сокращает сроки разработки и проектирования
новых систем.
Синтез линейной САР состоит из следующих этапов:
а) анализ свойств объекта регулирования и определение
его статических и динамических характеристик;
б) обоснование и формулировка критерия оптимизации,
Условий качества регулирования и других требований;
в) выбор структурной схемы и технических средств для ее
Реализации;
12*
179

г) собственно синтез оптимальных динамических характе.
ристик;
д) аппроксимация оптимального режима, т. е. выбор
динамических характеристик, обеспечивающих качество регулир0.
вания, простоту технической реализации и надежность САР-
е) определение динамических характеристик корректирую,
тих устройств, обеспечивающих желаемые динамические
свойства системы в целом;
ж) выбор схемы и способа технической реализации
значений параметров корректирующих устройств;
з) анализ полученной схемы САР с целью проверки
расчетным или экспериментальным путем соответствия этой схемы
предъявляемым требованиям качества.
Для пояснения оптимальных, или предельных по
быстродействию динамических характеристик рассмотрим переходный
процесс в гипотетической системе управления инерционным
механическим объектом без обратной связи (рис. 7.1),
описываемой трансцендентной передаточной функцией
v- i 1 ь / rain \
^°р'(^_5л^Г
1-2е
+ е
(7Л)
Два интегрирующих звена представляют собой
математическую модель инерционного объекта регулирования. Система
изменяет уровень регулирования переменной x(t) по
оптимальному (по быстродействию) закону при ступенчатом изменении
входной величины g0 (t) и ограниченном значении ускорения
w(t) регулируемой переменной (в структурной схеме это
ограничение должно быть представлено нелинейной статической
характеристикой типа насыщения).
Рассматриваемая система состоит из двух частей —
формирующего звена 1 и инерционного объекта 2 (см. рис. 7.1). На
Г
9*М\
1
1
Tmin$
~2е г-
'TminS
V
| „—£.-
г ^
, i
twft)
г I *"
I
1
S
o(t)
1
5
|_
I
I
~1
\x(t)
"1
1
Wopt(s)
Рис. 7.1. Структурная схема (без обратной связи) системы управления
инерционным механическим объектом
180
1ХОде трех параллельно соединенных звеньев при ступенчатом
во3действии go{t) формируется прямоугольная знакопеременная
функция w(t), имеющая в системе управления инерционным
бъектом в соответствии со вторым законом Ньютона размер*
йость ускорения. Первый интеграл от w(t) при нулевых
начальных условиях представляет собой треугольную функцию
ц\ — закон изменения скорости движения инерционного
объекта; второй интеграл от w(t) является искомой реакцией
уН) оптимальной по быстродействию системы №0pt(s). Процесс
x(t) —оптимальный в смысле монотонности и минимума значе-
йИя времени переходного процесса Гпп=Ттт при указанных
ограничениях на значение ускорения w(t).
Структурная схема оптимального управления инерционным
объектом с обратными связями (положительной и
отрицательной) показана на рис. 7.2. Обозначим передаточную функцию
Формирующий.
I фильтр
?4^м?>
x(t)
Рис. 7.2. Структурная схема (с обратными связями) системы
управления инерционным объектом
этой системы через OoPt(s). Учитывая выражение (7.1), не-
тРУДно показать, что
<Dopt(s) = fl7opt(s).
Система 0OPt(s) с главной ООС является оптимальной по
быстродействию, имеющей в своем составе формирователь
оптимального управления w{t). Входным сигналом системы
является ступенчатое воздействие go(t).
181

Замедление
Wit)
ш
Рис. 7.3. Оптимальный переходный процесс:
о — оптимальная функция перемещения x(t); б —
— ускорение го(()
В период разгона 0<*<Tmin/2 (рис. 7.3), когда ускорение
w=d2x/dt2 объекта сохраняет максимально возможное
значение Шщах, переходный процесс по перемещению определяют
выражениями
x(t) = ^wmtxfi; 0<*<Гт1п/2;|
(7.2)
x(t) = Q>; t<0. J
Переходный процесс для всех значений x'[t), включая период тор.
можения T'min/2<^7,min, может быть составлен из следующих
*№
г
Рис. 7.4. Представление кривой
оптимального переходного
процесса тремя параболами
ставить в виде
■"•opt (*)
1
трех парабол [(рис. 7,4): 1 —
определяется выражением (7.2) для
всех £>0; 2 — сдвинута по оси t
вправо на Ттт/2 и имеет
постоянную по значению вторую
производную —2wmax; 3 — сдвинута вправо
на Ттт и имеет по модулю
значение второй производной, т. е. wma%.
Выражение для оптимального
переходного процесса можно пред-
-2*W2.1(/) —и>шах(/-
* rain
ли
nin \
И"
-Т ~2 W max
{t-rmin)^\(t~Tmln)f
' mln
(7.3)
где 1 (t), \(t Elaj и i (t — rmin) — единичные ступенчатые
функции с соответствующими сдвигами. Предел функций
■«opt (*)
lilTlXopt (t) =Xopt (oo) = — И)тахГт1п-
Правую часть этого выражения при заданных условиях
обозначим через
£с = Т ™max^m!n = COnst.
182
отражение go(0=const характеризует ступенчатое
управляющее воздействие, которое нужно приложить к астатической си-
е№е (7.1) с оптимальными характеристиками, для того чтобы
получить переходный процесс вида (7.3).
Время Tmin, необходимое для перевода системы из одного со-
сТояния в другое, является суммой, состоящей из равных
интервалов Tmin/2 разгона и торможения. Действительно, на
интервале разгона 0<£pagr<Tmin/2 ускорение инерционной
нагрузки имеет постоянное максимальное положительное значение
+Югпах- Переходные процессы по скорости v и координате х
определяют выражениями:
ГШ1„/2
О
гш1а'!
■*(%азг = J V{t)dt==±-Wm,j2.
На интервале торможения Tmin/2<tTOpM<.Tmin имеем
соответственно:
^raln
B^'toPi.=='~ S Wm^(t)dt = {wm^Tmln/2)~ WmaJ;
rain'
rain
x(t)tTopu= I v(t)dt = (wm^T*in/8)-wma*t2/2.
Tmlnl2
Время оптимального переходного процесса Tmin при заданном
максимальном ускорении wmax зависит от значения
приложенного ступенчатого воздействия, и его определяют соотношением
7\nin = 2j/g0/«w (7.4)
Минимальное время Ттщ переходного процесса,
соответствующего оптимальной системе (7.1), имеющей оптимальные
частотные характеристики, зависит от значения управляющего
ступенчатого воздействия go(t), или начального
рассогласования — см. формулу (7.4). Поэтому оптимальную частоту среза
системы нужно определять для ступенчатого управляющего
воздействия, равного не единице, а значению, выбираемому на
основании рассмотрения конкретных условий работы системы.
Таким значением, например, может служить наибольшее
значение начального рассогласования, при котором еще возможно
Линейное рассмотрение системы.
Необходимость введения в системы автоматического
регулирования корректирующих устройств можно пояснить,
рассмотри Их влияние на изменение частотных характеристик системы.
183

Пусть САР имеет АФХ W(ja>), изображенную на рис. 7.5, а (кривая п
Система, имеющая такую характеристику, будет неустойчивой. Для ее ста
билизации можно уменьшить передаточный коэффициент k (кривая 2). j^a"
правило, коэффициент k уменьшать нельзя (от значения k зависит статиче.
екая точность системы). В этом случае необходимо скорректировать форм^
АФХ на средних частотах (o)i... Ш2) так, как это показано на рис. 7.5, „
Рис. 7.5. Коррекция ЛФЧХ САР
(кривая 3). Система станет устойчивой и обеспечит заданную точность
регулирования. Это может быть реализовано при помощи корректирующего
устройства.
АФХ, показанная на рис. 7.5, б (кривая /) должна соответствовать
устойчивой системе. Однако система не имеет достаточного запаса устойчивости и
кривая пересекает окружности вещественной круговой диаграммы с
большими значениями индексов Рс. Это означает, что переходный процесс в
такой системе будет колебательным. Уменьшение передаточного
коэффициента k не может существенно уменьшить склонность системы к колебаниям. Но
если при помощи корректирующего устройства скорректировать форму АФХ
так, как это показано на рис. 7.5, б (кривая 2), т. е. создавая положительный
сдвиг фазы в интервале частот a>i... «2, то можно обеспечить достаточный
запас устойчивости и качественные показатели системы.
Пусть САР имеет АФХ 1-го рода (кривая 1, рис. 7,5, е). Требуется, что
бы система не имела установившейся ошибки при подаче на ее вход
воздействия в виде постоянной скорости. Для этого необходимо, чтобы АФХ
разомкнутой системы при частотах, стремящихся к нулю, проходила вдоль
отрицательного направления не мнимой, а вещественной оси (кривая 2),
что достигается введением в систему дополнительного интегрирующего звена.
Получим систему с астатизмом 2-го порядка, которая не обладает требуемой
устойчивостью. Поэтому необходимо скорректировать АФХ системы так, как
показано на рис. 7,5, в (кривая 3).
В автоматике применяют следующие способы коррекции
динамических характеристик САР:
1) последовательную коррекцию (корректирующее
устройство включают последовательно с усилительно-преобразующим
устройством и объектом регулирования);
2) параллельную коррекцию (корректирующее устройство
включают параллельно усилительно-преобразующему
устройству) ;
3) корректирующую обратную связь (корректирующее
устройство включают встречно-параллельно, охватывая
усилительно-преобразующее устройство системы в качестве элемента
местной обратной связи);
4) комбинированную коррекцию.
184
Предположим, что структурная схема САР задана и
привела к виду, показанному на рис. 7.6. Система состоит из: объ-
кта или неизменяемой части, включающей последовательно
дЮ -лю
—*ху—*
,
1
Wd(S)
,
Wa(S)
lis)
W„(S)
x(t)
Рис. 7.6. Структурная схема САР с
последовательным корректирующим устройством и
корректирующей обратной связью
соединенные элементы с передаточными функциями W0(s) и
Wm(s)'y последовательного корректирующего устройства (ПКУ)
с передаточной функцией Wa(s); корректирующей обратной
связи (КОС) с передаточной функцией Z(s), охватывающей
звено Wm(s). Передаточная функция САР, разомкнутой в
месте измерения ошибки, имеет вид
W(s)=Wd(s)l+%:$Z(s)W0(s).
(7.5)
Передаточные функции Wm(s) и Wa(s) заданы в виде
аналитических выражений или соответствующих им частотных
характеристик. Задача заключается в определении таких
передаточных функций Wd(s) и Z(s) последовательного
корректирующего устройства и корректирующей обратной связи, чтобы
система (7.5) обладала необходимыми показателями качества.
Этими показателями могут быть:
1) статическая точность системы при типовых входных воз-
Действиях (определяется порядком астатизма), а также
коэффициенты ошибок Ci и С2;
2) время Гп.п переходного процесса, вызванного единичным
ступенчатым управляющим воздействием;
3) значение (в процентах) перерегулирования о,
вызванного ступенчатым управляющим воздействием;
4) максимальное ускорение wmax, с которым должна
изменяться регулируемая величина;
j~ 5) запас устойчивости системы по фазе f.
■фи синтезе системы не обязательно задают все показатели
°Дновременно: можно учитывать лишь некоторые из них.
Преимуществом ПКУ является то, что они могут быть реа-
Изованы в виде простых пассивных или активных RC-филъ-
Ров на серийных или заказных микросхемах. Перечислим
недостатки ПКУ:
ВсЛе
1)
эффективность их действия существенно снижается
Ны Дствие непостоянства параметров и характеристик основ-
х элементов системы (при применении ПКУ к
характеристике

кам остальных элементов системы следует предъявлять повы
шенные требования);
2) дифференцирующие /?С-фильтры чувствительны к пом6ч
хам и шумам.
Теперь перечислим преимущества КОС:
1) КОС уменьшают зависимость динамических свойств
САР при изменении параметров и характеристик элементов
входящих в ее состав;
2) питание КОС обычно не вызывает затруднений, так как
они включаются на выходе системы, где развивается
значительная мощность;
3) системы с КОС менее подвержены влиянию помех, чем
системы с ПКУ. так как элементы системы, включенные перед
их входом, играют роль фильтров нижних частот.
Недостатки КОС заключаются в следующем:
1) высокая стоимость и громоздкость составляющих
элементов (тахогенераторы, дифференцирующие трансформаторы
и др.);
2) необходимость применения больших по значению
коэффициентов усиления.
7.2. Желаемая логарифмическая амплитудная частотная
характеристика CAR
Частотный метод САР с последовательным
корректирующим устройством связан с понятием желаемой ЛАЧХ разомкну
той системы. От этой характеристики зависит качество
переходного процесса в пределах заданной области допустимых
значений первичных показателей Tver=TD.n и о. Использование
данного метода ограничено классом линейных САР и
инерционным механическим объектом, уравнение которого подчиняется
второму закону Ньютона. Применение метода связано со
следующими особенностями синтеза САР.
Техническая реализация оптимальных частотных
характеристик САР, отвечающих требованию получения Ттт в
соответствии с выражением (7.4), сопряжена со значительными труД'
ностями. Такая реализация часто и не является необходимой,
так как в ряде случаев, по ТЗ на систему, допускаются
монотонные переходные процессы, а время регулирования больШе
^min- Множество переходных процессов, соответствующих
(по ТЗ) области допустимых значений Трег и о, будем называть
квазиоптимальными. Вводимая в рассмотрение желаемая ЛАЧА
Lm(oo) разомкнутой системы удовлетворяет требованиям полу*
чения квазиоптимального переходного процесса, а также уело'
виям, подлежащим учету при решении задачи синтеза.
При синтезе системы с ГЩУ удобными аналитическими (гра^
фическими) зависимостями являются соотношения между ма#'
симальными значениями Ртах вещественных частотных хара*\
теристик, с одной стороны, и соответствующими им значения^
186
0емени переходного процесса Tvermax=Tmax и
Перерегулировки Op maX = Omax— C Другой [18, 19].
Для решения задачи синтеза САР по критерию обеспечения
азиоптимального переходного процесса вычисляют функции
7Лпах==П \'шлх) И Cmax = /2(-Pmax)
на множестве следующих значений параметров
аппроксимированной трапецеидальной характеристики системы:
x = wd/co„; ■ка = и>а/аь; ис = ^ ; A = coi/co„.
Эти параметры определяют в соответствии с рис. 7.7.
ша wb
и>а шс
Рис. 7.7. Типовая
аппроксимированная вещественная характеристика
(to) системы
УсреДНеННЫе ГрафИКИ ФУНКЦИЙ 7'max = fl(£,max) И Огаах =
=f2(Pmax) приведены на рис. 7.8, а, б. Эти функции не зависят
от порядка характеристического уравнения системы, а приве-
Тгпах,с~,йтт,%
' max t cl "max/ A
1.0 1.1
U 1,3 7,4. Ртвх
а.
U 1,3
М V Ртах
РИС. 7.8. Кривые зависимостей бтах = /(Ртах) И 7'тах = /:(Ртах):
а —для и<0,8; ?i>0,5; иа>0,4; б — для и<0,8; 0,1<Я.<0,5; y,fl<0,4
^нные области значений к, ка и X при решении задач синтеза
тРечаются наиболее часто.
То» ли вещественная частотная характеристика Р(а)
замкнута11 системы близка по форме к трапецеидальной (см. рис. 7.7),
вРемя переходного процесса оценивают неравенством
per
(7.6)
187

ТЗ на проектируемую САР при данной постановке задач„
синтеза включает следующие данные: степень астатизма и да
бротность; допустимое значение времени регулирования
1 Per max ; допустимое значение (в процентах) перерегулирования
Omaxj максимальное ускорение регулируемой величины при зд.
данном начальном рассогласовании.
Выбор желаемой ЛАЧХ осуществляют по правилам связц
между ЛЧХ разомкнутой системы и вещественной частотно^
характеристикой САР замкнутой системы — см. формулы (6.1 h
(6.13) и др. '•
Порядок определения желаемой ЛАХ может быть, в част,
ности, следующим.
1. Исходя из требуемых по ТЗ степени астатизма v и до.
бротности k=W (s)\s=o системы, согласно выражению (7.5),
определяют (строят) ЛАЧХ объекта или неизменяемой части
САР с учетом заданных v и k. To есть формирование желаемой
ЛАЧХ начинают с низкочастотной асимптоты (объекта или
неизменяемой части системы). Желаемая ЛАЧХ при частотах,
меньших первой сопрягающей частоты, имеет наклон —20v
(в децибелах на декаду), а при частоте со, равной 1 рад/с,
имеет ординату 20 \gk (в децибелах).
2. По заданному в ТЗ ЗНЯЧвНИЮ Отах, по графику функции
Огоах=/2(/3тах) (см. рис. 7.8, с), а также по указанным в под-
рисуночной подписи значениям к, ка и X определяют соответ
ствующее значение Ртах вещественной характеристики
замкнутой системы. Значение \Ртш\ находят по приближенной формуле
IPminl~Pmax-l. (7.7)
3. Частоту среза соср желаемой ЛАЧХ синтезируемой
системы, реализующей квазиоптимальные переходные процессы,
выбирают из соотношения
мср(7-гаах) < юср< соср opt,
где соср(7- ) — частота среза, соответствующая заданному
(допустимому) по ТЗ времени регулирования; соср opt — частота
среза оптимальной, в смысле выражения (7.4), САР:
СОср opt = -b/1 min-
Здесь Tmtn=2 j/go/^max — время оптимального переходного
процесса. .
Частоту среза coCp(rmax) находят по кривой Tmax=fi (Pm**>
при значении Ртах, определенном в п. 2 (см. также рис. 7.8)•
Если заданное значение Гтах таково, что соСр opt<cucp(7-raax)»
то частоту среза САР следует выбирать не превышающей значе'
НИЯ СОср opt- ttaU%
4. Через точку соср на графике формируемой желаемой ЛАЧ
(см. п. 1) проводят прямую с наклоном —20 дБ/дек, которз
является среднечастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ синтез
руемой САР. Наклон этой части ЛАЧХ выбирают равН#
188
^,20 дБ/дек потому, что такой наклон имеет ЛАЧХ оптимальной
сйстемы (качество переходного процесса в САР в основном
определяется среднечастотной частью ЛЧХ разомкнутой систе-
мЫ) см. подразд. 6.6).
5. По номограмме (рис. 7.9) находят наименьшее
допустимое значение запаса устойчивости системы (избытка фазы ус
-но -гве -2«о -гго-т-т -тго -во -м
tm№\ Ds.gw<-J_i;/i-J.»^f I l l - [>/
Рис. 7.9. Номограмма для определения Р(<о) замкнутой
системы по ЛЧХ разомкнутой системы
при и=соСр), обеспечиваемое на интервале частот, на котором
желаемая ЛАЧХ удовлетворяет неравенству
1л1>1ш(и)>—LM, LM=Lm. (7.8)
Значения 2LM и 2-ус характеризуют собой стороны
прямоугольника, которым приближенно можно заменить область на
Номограмме рис. 7.9, ограничиваемую кривыми с индексами
^ИахИ Pmin (CM. П. 2).
6. Сопрягают низко- и среднечастотную асимптоты ЛАЧХ
аким образом, чтобы в том интервале частот, в котором спра-
еДливо неравенство
УслЬ1ТОК Фазы ^ыл не меньше ус. Проверку выполнения этого
овия осуществляют при помощи приближенной формулы
\ 1=1 /о»(й1
W-S-?-). (7.9)
1=1
189

где со* — сопрягающие частоты, меньшие того значения со, д^
котором определяют значение фазы 0; 1\ и 12 — число сопряГа
ющих частот, при которых наклон увеличивается или умець*
шается на 20 дБ/дек. В формуле (7.8) частоты сопряжении'
превышающие частоту среза, не принимают во внимание, та,!
как обычно среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ зацц,,
мает значительный интервал частот (порядка декады и более)"
Проверку можно также проводить путем построения фазовой
характеристики, например при помощи шаблонов.
Среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ сопрягают с
высокочастотной частью логарифмической амплитудной харак,
теристики (областью малых параметров) так, чтобы в том иц.
тервале частот, в котором справедливо неравенство
0>1ж(со)>—L„,
избыток фазы -у был не менее ^с.
Проверку выполнения этого условия выполняют по
приближенной формуле
т
где <?ср — наклон среднечастотной асимптоты ЛАЧХ (при
наклоне, равном —20 дБ/дек, q=l); m — число сопрягающих
частот Иср, уДОВЛеТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЮ С0/->(0ср.
7. Строят высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ так,
чтобы она мало отличалась от высокочастотной асимптоты
неизменяемой части системы. На устойчивость и качество
системы этот участок ЛАЧХ влияет незначительно.
На этом процедура формирования желаемой ЛАЧХ
синтезируемой САР завершается.
Если среднечастотная асимптота сопрягается с низкочастот^
ной асимптотой, а также с высокочастотной частью желаемой
ЛАЧХ, следует обращать внимание на то, чтобы желаемая
ЛАЧХ имела наклон, возможно менее отличающийся от
наклона ЛАЧХ неизменяемой части системы на каждом из участков
сопрягающих частот. Это необходимо для того, чтобы получит''
более простую передаточную функцию корректирующего устрой'
ства, имеющую числитель и знаменатель возможно более ни3
кого порядка.
7.3. Синтез последовательных корректирующих устройств
Предположим, что структурная схема САР имеет вид, fl
казанный на рис. 7.10. Необходимо определить тип послеДо0е,
тельного корректирующего устройства и его параметры. №Р
190
«точная функция разомкнутой синтезируемой САР (см. под-
рДазД.7.2).
VP(s) = Wa{s)W0(s). (7.11)
Предположим, что обе передаточные функции, входящие в пра-
BJjo часть выражения (7.11), являются минимально-фазовыми:
^0(/со) = //0(со)е;е°<»>; (7.12)
hniW]=Lm Hd+Lm Нв; е(и)=ей(со)+,е0(со).
дти уравнения показывают, что логарифмические амплитудная
1(a) и фазовая б (со) всей системы соответственно равны сумме
логарифмических амплитудных LmHd, LmH0 и фазовых 6<г(со),
0о(ш) характеристик последовательного корректирующего
устройства и объекта (неизменяемой или заданной части си-
стемы).
дш ет
wa(s)
W„(S)
x(t)
Рис. 7.10. Структурная схема САР с
последовательным корректирующим
устройством
Порядок операций для определения передаточной функции
ПКУ основан на формулах (7.6) — (7.10) и состоит в
следующем:
а) строят ЛАЧХ L0(co)=Lm#0 той части системы, схема и
параметры которой являются заданными;
б) определяют желаемую ЛАЧХ Ьж(со)=Ьт #ж;
в) требуемую ЛАЧХ Ьаж(а) последовательного
корректирующего устройства находят вычитанием из желаемой ЛАЧХ
L«(e>) характеристики неизменяемой части системы L0(a>):
^йж(со) =Lm (и) — L0 (со);
г) аппроксимируя ЛАЧХ LdK(co)=Lm Hdm дробно-рацио-
зльной функцией или полиномом, с требуемой степенью точ-
Сти находят желаемую характеристику последовательного
Рректирующего устройства синтезируемой САР;
Д) выбирают схему корректирующего устройства. В общем
TVn Эе осУЩествляЮт синтез пассивного электрического RC-koh-
Рек Мет°Дами> принятыми в теории электрических цепей (кор-
Ст ТиРУющий /?С-контур можно выбирать, например, в соответ-
Ии с полученной формой ЛАЧХ, приведенных в табл. 7.1);
191

Пассивные корректирующие /?С-фильтры
Таблица 7
п/п
Электрическая схема и асимптотическая ЛАЧХ
Передаточная функция Wj(j\
Lm. IB
ПИ '
6 to -да
1 1 я|
4/ «/£?4?~-
MM
. '«„ ! 3 *■
*" 1
Lm.as
яг
0
6,1 I
\ IH
? Ш* й
*
| |
1 г з 4
&
ii
•i
П
*«,«
- "0*.
6' • О
j J
4' 3"
г0#
p «
£,44
^ Mill!
'
' j
*.
■6 7
o-i-O-l-
U.'B
KtU*
кг
1 "t
-г»
ь
IB
V W
\i 14 1 II
^з^Ддх
I
II I
£s (S) 1
£o =
ico=o; r.=
R1R2
Ri + Rs
Сг
£0 =
1
1+ /?■//?! '
1
= 1+#*/#,
: £^=l:
Тг
Tts + 1
1 „_
192
Продолжение табл. 7.1
Электрическая схема и асимптотическая ЛАЧХ
Передаточная функция W^M
«
'«,_«_
сГйПпД
XL
v vvV
if^r
kLJsJ
г\ з *ss
a a
• «у «LI*
11 X X—ь -w
Wd(s)=
1
r.^s8 +
+Ki+^)+ra]s+i
£o=0; £„,=();
Wd (s)=
r8s
r,(i+£) + r."
+
s+1
£0=0; £^=0;
Wd (s)=
TjTts'
T.TiS* +
ffl
Е7^^^|йвй5*М
+Ki+l)+ra]s+i
£„=0; ^„,= 1;
Wd («) =
(r.s + lXTtS + l)
Г.Г^2 +
+
'r»(1+fl)+r']e+E7
1+#, + /?*
;£»=»;
r,=
RiRz
C,;
13—3591
193

Окончание табл. 7.j
п/п
Электрическая схема и асимптотическая ЛАЧХ
Передаточная функция ^As)
10
(J—СЭ-*-*—о
fli -i
.<Ю
ш
«'«'>£$££
1 $\№
и
(r,s + l)(r8s+l)
T^ss2 +
+Ki+^)+r2}
s + 1
£, = 1; £„=1;
12
lT<f(s)=-g-,
^=(7\s + l)(7V> + l);
B = r,7-S
K)*
x^+D+lr]^
+ N'+e+il) +
+ Л (. + £)]. + •;
£„=1;
1
io+/?«//?,)(i +
+ R*/Ri) + RJR1
Ti = RlCl\iTi = RtCi
^ = (7,s + l)(r2s+l);
+ {?\ (1+/?,//?,) +
£.=
+ !/£•;
l
Примечание. Значения L0 и £«, даны в абс. ед.
194
е) проверяют выполнение заданных требований качества при.
бранной ЛАЧХ корректирующего устройства.
9(^>с
Wm(s)
x(t)
7.4. Синтез корректирующих обратных связей
и параллельных корректирующих устройств
Для коррекции динамических свойств САР, наряду с ПКУ,
применяют корректирующие обратные связи, что позволяет
уменьшить влияние нестабильности и
нелинейности характеристик
отдельных элементов на динамические
свойства системы в целом. Рассмотрим
некоторые свойства систем с
корректирующими обратными связями,
которые могут быть положены в основу
синтеза САР с КОС.
Передаточная функция элемента
САР (например, усилителя) с КОС
(рис. 7.11) имеет вид
i(s)
Рис. 7.11. Элемент САР,
охваченный корректирующей
обратной связью
W(S)-
Wm(s)
l+Wm(s)Z(s) ■ (7ЛЗ)
Допустим, что передаточная функция Wm(s) задана.
Необходимо определить передаточную функцию Z(s) КОС в классе
минимально-фазовых систем. Для того чтобы введение
корректирующей обратной связи не понижало порядок астатизма
системы, необходимо, чтобы порядок нуля передаточной функции
Z(s) при s=0 был не ниже порядка полюса передаточной
функции Wm(s) неизменяемой части при s=0.
В интервале частот, в котором
\wu со); 1
или
12(уш)|
|Z(/co)flM/co)|>l, (7-14)
ЛАЧХ, соответствующая передаточной функции (7.13),
удовлетворяет следующему приближенному равенству1:
Lm[W]»—Lm[Z]. (7.15)
Из формулы (7.14) видно, что в интервале частот, для которого
справедливо условие (7.14) ЛАЧХ системы, состоящей из
последовательных звеньев, охватываемых КОС, приближенно рав-
На ЛАЧХ элемента КОС с обратным знаком.
Если ЛАЧХ Lm[Wm(/co)] отличается от характеристики —
Lrn[Z(/co)] в некотором интервале частот (оц, сог) не более чем
На ±AL, то это значит, что в данном интервале частот должно-
Удовлетворяться неравенство
*■» и
Здесь и далее для упрощения записи в передаточных функциях W(s),
Других оператор s=/fi> опускается.
13*
195

<
\Wm\
<!
m\Z\ ^ \l+ZWw\ ^[Z\ '
где
m=lQALI20t
или
1
<
\ZWm]
m ^ [l+ZWm[
<m.
Выражение 02m=ZWm/(l+ZWm) имеет такую же структуру,
как и соотношение Ф = №/(1 + №), представляющее
зависимость между передаточными функциями системы в замкнутом
и разомкнутом состояниях. Отсюда следует, что для
удовлетворения приближенного равенства (7.15) в некотором
интервале частот (со,, сог) с требуемой степенью точности +AL
необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале вектор
Щ/со)Wm(j(u) не попадал внутрь окружностей амплитуды
круговой диаграммы с индексами т и \jm.
При рассмотрении способа синтеза КОС в постановке
задачи и по ТЗ подразд. 7.2 предполагают, что последовательное
корректирующее устройство в составе САР (рис. 7.12) отсутст-
£^
?~~{£^
5— wm($)—-
' zrs) —
x(t)
- >■ -»»
Рис. 7. 12. Структурная схема САР с
корректирующей обратной связью
вует. Тогда процедура определения передаточной функции
КОС может быть следующей:
а) строят ЛАЧХ Lm[Wm] неизменяемой части системы;
б) исходя из заданных требований к качеству САР строят
желаемую ЛАЧХ Ьт[№ж] всей системы;
в) определяют интервал частот (оц, сог), в котором для
характеристики Lm[Z] имело бы место приближенное равенство
Lm[Z]=—Lm[Fx];
г) строят характеристику Lm[Z];
д) выбирают значение Ка так, чтобы удовлетворить
неравенство (7.11) в интервале частот (соь со2);
е) проверяют, является ли выбранное значение Ка
совместимым с требованием устойчивости контура, охваченного
элементом КОС, при соблюдении заданного запаса устойчивости. ДлЯ
этого строят фазовую характеристику, соответствующую
выбранной ЛАЧХ Lm[ZWd];
196
ж) по выбранной передаточной функции Z синтезируют
картирующую обратную связь, при этом руководствуются теми
Р,е соображениями, что и при синтезе последовательного
корректирующего устройства;
Р з) выбирают Ка так, чтобы оно имело требуемое значение;
н) уточняют вид ЛЧХ, соответствующих передаточной
функции Wm/(l+ZWm). Для этого суммируют ординаты этих харак-
теристик, соответствующих функциям №ж и 1/(1+Z№m);
к) проводят проверку удовлетворения заданных условий
качества.
Примером технической реализации задачи синтеза КОС
является схема коррекции с тахометрической обратной связью.
Последнюю обычно применяют в позиционных следящих
системах для демпфирования колебаний.
о 6
Рис. 7.13. Корректирующая обратная связь на
основе тахогенератора
На рис. 7.13, с показана КОС, состоящая из
тахогенератора ТГ, механически связанного с валом исполнительного
электродвигателя и пассивного однозвенного /?С-контура (/?С-
фильтра). Передаточная функция этого устройства
Z(s) =
kTs2
l + Ts
Вместо однозвенного может быть .применен двухзвенный
текстур (рис. 7.13,6). Тогда передаточная функция
корректирующего устройства (КУ) имеет вид
Z(S)-.
ks*
(1 + TlS) (1 + T3s)
Ha рис. 7.14 приведена схема КУ с мостовой тахометричес-
к°й обратной связью. Если мост сбалансирован, то напряже-
Ние на выходе пропорционально угловой скорости вращения
Электродвигателя; если мост не сбалансирован, то напряжение
Иа выходе пропорционально угловой скорости и ускорению.
у Рассмотрим также в общем виде (на примере изодрома, рис.
'Щ параллельные корректирующие устройства WDup(s). Изо-
197

I I
Рис. 7.14. Корректирующее устройство в виде
мостовой тахометрической обратной связи:
ЭУ — электронный усилитель; ЭМУ — электромашинный
усилитель; Эдв — электродвигатель постоянного тока
аахСО
k
ус
ь
ИНТ
S
&
Ч
u(t)
Uz{t)
"«*<*>
Рис. 7.15. Изодромное корректирующее устройство
дромное КУ представляет собой параллельное соединение двух
звеньев — интегратора и усилителя, на входы которых
поступает сигнал «вх(0- Сигнал на выходе изодромного КУ
«вых(0="1(0+"2(0>
а передаточная функция
WmoRV(s)=^-+k2=k^p-
(7.16)
Как видно из выражения (7.16), изодромное КУ обладает
свойствами интегратора и форсирующего звена в интервале
частот, примыкающих к ш = 1/Г. Техническая реализация изо-
дрома может быть выполнена на аналоговых микросхемах-
Параллельные КУ широко применяют для повышения
устойчивости различных промышленных САР.
198
7.5. Синтез САР с последовательным корректирующим
устройством и корректирующей обратной связью
Если САР содержит как последовательное КУ, так и КОС
(общий случай структурной схемы САР см. на рис. 7.6), и если
система имеет передаточную функцию (7.5), то ее ЛАХ
представим в виде
Lm[W] = Lm[Wa] + Lm[W0] + Lm[T^;i]. (7.17)
Первый шаг процедуры синтеза, состоящий в выборе на
основании заданных по ТЗ условий качества и характеристик
объекта желаемой ЛАЧХ, остается тем же, что и ранее.
Дальнейший ход решения задачи может, например, заключаться в
следующем. Принимают
Lm[Wdq = Lm[Wd] + Lm[n^],
тогда вместо выражения (7.17) можно написать
L i[W] = Lm[Wd-] + Lm[W,}. (7.18)
Выражение (7.18) имеет такой же вид, как и формула (7.12)
для Lm[№] при синтезе последовательных корректирующих
устройств. Поэтому выбор передаточной функции Wd< может
быть выполнен способом, которым осуществляют синтез ПКУ.
После определения Lm[WV] и выбора Lm[Wd] на основании
имеющихся в распоряжении четырехполюсников находят ЛАЧХ
Lm[r+iwz]
путем вычитания из Lm[№c] соответствующих характеристик.
ЛАЧХ может быть записана в виде
По ЛАЧХ (7.19) и соответствующей ей фазовой
характеристике (используя номограмму для замыкания системы)
обратным преобразованием определяют ЛЧХ, соответствующие
передаточной функции (Zfm) '. Последние дают возможность
найти характеристики передаточной функции ZWm,
представляющие собой зеркальное отображение характеристик (ZW)-1.
Путем вычитания одной из найденных характеристик ЛАЧХ
Lm[Wm] определяют искомую логарифмическую характеристику
Lm[Z]. После этого выбирают схему КУ и осуществляют про-
Верку заданных требований при полученных корректирующих
Устройствах.
Задача синтеза упрощается, если во всем существенном
Интервале частот удовлетворяется неравенство \ZWm\^>\. При
Этом ЛАЧХ L,m|WV| сводится к виду
Lm [WV]~Lm [Wd]—Lm [Z] (7.20)
199

и способ синтеза не отличается от способа синтеза ПКУ. После
определения характеристики Lm[Wd'] выбирают последователь
ное корректирующее устройство Wd и по формуле (7.20) опре.
деляют амплитудную характеристику Lm[Z] элемента коррек.
тирующей обратной связи.
Пример (построение желаемой ЛАХ). Передаточная функция
неизменяемой части позиционной САР с механическим инерционным объектом имеет
вид
W (s>= s (0,012s + 1) (0,05s + 1) " (7-2l>
Необходимо обеспечить следующее:
1) нулевую установившуюся ошибку на класс ступенчатых входных
воздействий (т. е. система должна иметь астатизм 1-го порядка, а
передаточный коэффициент k должен составлять 200 1/с);
2) перерегулирование Отах в системе не должно превышать 30%;
3) время переходного процесса Ттах не должно превышать 0,3 с;
4) максимальное ускорение регулируемой величины должно составлять
300 рад/с2 при начальном рассогласовании g0=A6, равном 0,1 рад.
Оценочное значение Т'рег можно найти по формуле (7.6).
Для построения графика желаемой ЛАЧХ системы регулирования
сначала по передаточной функции (7.21) строят низкочастотную ЛАЧХ при
£=200 1/с и v=l (рис. 7.16). Низкочастотная асимптота при со=1 имеет
Рис. 7.16. Пример нахождения желаемой
ЛАЧХ и синтез последовательного
корректирующего устройства
200
яЯяату 20 lg&, т. е. 46 дБ. Затем выбирают частоту среза желаемой ЛАЧХ
°>РД По заданному процентному значению 0тах и по графику 0тах=
%(Ртах) находят Рта, равное 1,25 отн. ед., а по графику
0сЪ
7"«ов«=
=/i Сшх) определяют 7,тах=3,75л/(0Ср=0,3 с, откуда
(Оср)г„
=39,21/с;
(<Dcp)opt= V^T = /fr= V3000S551/C.
Таким образом, частота среза желаемой ЛАЧХ должна находиться в
диапазоне 39^<йср^55.
Частоту среза желаемой ЛАЧХ выбирают равной 40 1/с. После этого
проводят среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ с наклоном •—20 дБ/дек.
Затем определяют [Ртш| =Рп»ах—1=0^25. На номограмме линий равных
значений Р(<о) (см. рнс. 7.9) кривые с индексами 1,25 и —0,25, т. е.
рИ11Х=1,25 и Pmin=—0,25, вписывают в прямоугольник, стороны которого
2Lm и 2ус. В результате по номограмме определяют значения: Lm«+15 дБ,
иия43°. Далее сопрягают низко- и среднечастотную асимптоты желаемой
ЛАЧХ отрезком прямой, имеющим наклон —40 дБ/дек.
Используя формулу (7.9), находим наибольшее значение сопрягающей
частоты (£>/, прн которой еще Ys^Yc
Среднечастотную асимптоту сопрягают с высокочастотной частью ЛАЧХ
Lm[w0]. На устойчивость системы и на ее качество высокочастотная
асимптота влияет незначительно, поэтому для упрощения корректирующего
устройства сопряжение осуществляют отрезком прямой с наклоном —40 дБ/
/дек, а в дальнейшем желаемая ЛАЧХ совпадает с Lm[W0]. Проверку
наличия избытка фазы -ус проводят с помощью формулы (7.10).
Построенная желаемая ЛАХ может быть уточнена с использованием
номограмм, приведенных далее.
Пример (синтез последовательного корректирующего устройства). Пусть
неизменяемая часть САР имеет передаточную функцию (7.21) и построена
желаемая ЛАЧХ, удовлетворяющая требуемым показателям качества (см.
рис. 7.16). Из желаемой характеристики 1лп[№ж] САР вычитают
характеристику Lm[Wo] и находят желаемую ЛАЧХ последовательного
корректирующего контура (см. рис. 7.16). По этой ЛАЧХ определяют передаточную
Функцию ПКУ в виде
Wd(s)=>
(^7S+1)(^S+1)'
лектрическая схема пассивного корректирующего контура, соответствующая
Данной передаточной функции, показана на рис. 7.17.
С1
II-
-CZJ-
/?7
иех
R2
ивых
М ъ>
С2
Рае. 7.17. Электрический пассивный
корректирующий контур
201

7.6. Номограммы для определения запаса устойчивости
показателей качества и коэффициентов ошибок САР по JlA<}v
ЛАЧХ Lm[W] систем часто можно представить состоящий,,
из следующих основных отрезков (рис. 7.18): CD (средц
частотная асимптота) с наклоном —20 дБ/дек, пересекающие
1л\(ш)
\.-208б/Зм
Рис. 7.18. Типовые ЛАЧХ САР
ось частот в точке, соответствующей частоте среза юср; АВ
(низкочастотная асимптота) с наклоном — 20 v в децибелах на
ДекаДУ (гДе v —порядок астатизма); ВС с наклоном —40...
... —60 дБ/дек (соединяет низкочастотную асимптоту с
отрезком прямой, пересекающим ось частот); DE (при высоких
частотах). Высокочастотная часть ЛАЧХ мало влияет на
качество системы и в первом приближении может не приниматься
во внимание. Поэтому ЛАЧХ можно подразделить на ряд
основных типов и для каждого из них составить номограммы,
позволяющие связать основные параметры ЛАЧХ с показателями
качества САР. Номограммы составлены для
минимально-фазовых систем и представляют интерес не только для анализа, но
и для синтеза корректирующих устройств САР.
Далее рассмотрены лишь типовые ЛАЧХ
минимально-фазовых астатических систем 1-го порядка. При этом можно
выделить четыре основных типа ЛАЧХ. Они имеют низко- и среД'
нечастотные асимптоты с одним и тем же наклоном (—20 дБ/
/дек) и отличаются друг от друга наклоном в интервале частот
(<й1...ю2) (отрезок ВС на рис. 7.18) и в интервале частот
(юз.-.оо) (отрезок DE). Передаточные функции и наклон^
асимптотических ЛАЧХ в указанных интервалах частот приве'
дены в табл. 7.2.
Каждая из типовых ЛАЧХ (см. табл. 7.2) полностью оПРе'
деляется четырьмя параметрами: передаточным коэффицией'
том, или добротностью, k и сопрягающими частотами oi = l/'1'
202
Таблица 7.2
Передаточные функции W(s) для типовых ЛАЧХ
тип
ЛАЧХ
Передаточная функция
Наклоны, дБ/дек в интервалах
0...CDI C0i..j CDj. CD2... <»s (Os... +0»
fc(T2S+l)
s (2V+l)(7Vs+l)
—20
—40
-20
—40
k(x2s+l)2
siTtS+ir{Tts + l)
-20
-60
-20
—40
k (xss +1)
sCr.s + lHTV + l)2
-20
-40
-20
-60
£(tss+1)2
s(7V+l)2(r3s + l)2
-20
-60
-20
—60
0)2=1/Г2, ю3=1/Г3. Однако удобнее пользоваться совокупностью
следующих четырех параметров: ординатой ЛАЧХ L\ при ю=
=йь частотой среза юср и относительными сопрягающими
частотами Oi/Юср И Юз/Юср.
Каждому типу передаточной функции соответствует своя номограмма,
позволяющая определять показатели качества, запас устойчивости и точность
системы непосредственно по виду типовых ЛАЧХ, заданных параметрами
L\\ Юср; <ui/tocp; соз/соср.
Для астатических САР 1-го порядка эти номограммы приведены,
например, в работе [19]; для статических и астатических САР 1-го и 2-го порядка
имеются специальные альбомы [20]. Аналогичные номограммы могут быть
построены и для других типов ЛАЧХ. Кривые номограммы представляют
собой зависимости динамических показателей: ст; TVr; *осР/Ш; о)сРСь соСр2С2 и
V от относительной сопрягающей частоты t0i/coCp при различных
фиксированных значениях L\\ со3/соср (где а — перерегулирование, %; 7"рег — время
переходного процесса; у — запас устойчивости по фазе; Ci и Сг — коэффициенты
ошибки, которые определяют точность системы при медленно изменяющихся
Управляющих воздействиях). Номограммы построены для значений Lu
равных 80; 70; 60; 50; 40; 30; 20 дБ, и значений со3/«>ср, равных 1; 2; 4; 8.
Способ применения номограмм для определения перечисленных
динамических показателей, соответствующих какой-либо конкретной ЛАЧХ,
относящейся к одному из четырех типов (см. табл. 7.2), заключается в
следующем:
1) определяют тип рассматриваемой ЛАЧХ и выбирают соответствующую
номограмму;
2) находят параметры ЛАЧХ Lx\ Wi/cocp; о)3/о)сР; wCp и при помощи
кРИвых, приведенных в номограмме, определяют динамические показатели.
Пример. Допустим, что имеется ЛАЧХ II типа (рис. 7.19) с параметрами
t==60; Ml/cocp = 0,04; G)3/<DcP = 2; v=l.
Сначала выбирают номограмму для v=l с отметками L=60 и <о3/ь>ер =
jp2- На оси абсцисс (wi/wCp) отмечают точку 0,04, и из нее проводят пер-
"ендикуляр до пересечения с кривыми номограммы. В результате получают
искомые динамические показатели: 0=45%; 7,ро)Ср/10=0,75; coCpCi=0,025;
^р2С2=2,2; <у = 58°.
тСЛи значения параметров ЛАЧХ отличаются от имеющихся в номограмме,
° Динамические показатели могут быть определены по кривым номограммы
Ри помощи интерполяции.
203

-гОдб/дек
too
SO
SO
iO
го
о
Ги/c/W
2^>
3-
1
У
0,01
0.03 Щ 0,05 0,06 ы,/шСр
0,03 Ofilt 0,05 0,06 a/t/wCi,
Рис. 7.19. Определение динамических показателей системы по
номограмме:
а — ЛАХ II типа; б — лист номограмм (кривые: I — при исС,; 2 — при
to !С2; 3 -.при а; 4 — при Тш /10; 5 —при v)
Следует отметить, что номограммы часто можно применять не только в
случае передаточных функций (см. табл. 7.2), имеющих кратные полюса и
нули, но н в случае передаточных функций, не имеющих кратных полюсов
и нулей. Однако необходимо, чтобы порядок числителя и порядок
знаменателя рассматриваемой и соответствующей типовой передаточной функции
были одинаковы.
Так, например:
номограммой, построенной для ЛАЧХ II типа, можно пользоваться в
случае систем с передаточными функциями вида
W(s)-
£(T3s+l)fas + l)
(7.22)
~s(7Vs+l)(7,2s + l)(7'6s+l)'
номограммой III типа — в случае систем с передаточными функциями
вида
W (ф
/г(М+])
(7.23)
siT.s + mT^+l) (Tts+l)'
номограммой IV типа — в случае систем с передаточными функциями вида
w (s>-s(TlS+l)(Tss + \)(Tbs+l)(Tes+l)-
(7.24)
Правило переходов от передаточных функций (7.22)—(7.24) к
передаточным функциям табл. 7.2 состоит в том, что две соседние постоянные врв'
мени Tt и Tii-i заменяют двумя одинаковыми постоянными времени, опреД?'
ляемыми по формуле
Ti,i+i = V Ti, Tt+i.
Ошибка в ЛАЧХ, которая получается при замене двух соседних неоДЯ"
иаковых постоянных времени (7\ и Ti+i) одной постоянной Tt,t+i, ПР
llTi-n<4/Ti ие превышает 2 дБ.
204
Номограммой можно также пользоваться в тех случаях, когда вместо
v апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени имеется
£вУп колебательное звено. Ошибка при этом будет уменьшаться с убыва-
offiZ коэффициента затухания |к колебательного звена.
Контрольные вопросы
1 Сформулируйте задачу синтеза корректирующего устрой-
ва САР. Что представляет собой квазиоптимальная
переходил функция системы?
2. Дайте определение желаемой ЛАЧХ. (Почему при этом
■чпжно не учитывать соответствующую ЛФЧХ?)
3 Какова связь между частотной характеристикой
разомкнутой системы и вещественной частотной характеристикой
замкнутой САР?
4 Какова последовательность процедур при синтезе
последовательного корректирующего устройства? Корректирующей
местной обратной связи?
5 Сформулируйте особенности синтеза комбинированного
корректирующего устройства (последовательного КУ и КОС).
6. Какие используют аппаратные средства для технической
реализации КУ в САР?
7 Какова структура номограммы для определения запасов,
устойчивости, показателей качества и коэффициентов ошибок
САР?
8. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Существенным отличием нелинейных систем от линейных с
точки зрения передачи и преобразования сигнала управления
является зависимость «мгновенного» передаточного
коэффициента безынерционного нелинейного элемента, входящего в
состав нелинейной САР, от значения входного сигнала. Эта
особенность не допускает применения рассмотренных ранее
методов расчета линейных САР к нелинейным системам. В
последних возможно также возникновение специфического
автоколебательного режима работы.
8 данном разделе рассматриваются специальные методы
анализа нелинейных систем, а также методы определения
параметров автоколебаний [10, 20].
8.1. Нелинейные системы. Типовые нелинейные
характеристики
САР, содержащие звенья, динамику которых определяют
^линейными дифференциальными уравнениями, относят к не-
Инейным системам, включающим элементы с типовыми
205

нелинейными характеристиками, описываемыми зависимостью
где Хвх — входной сигнал; хВЫх — выходной.
Статические характеристики типовых нелинейностей приве-
дены на рис 8.1. Могут быть и различные сочетания этих xapajj.
хвых
Чх
хеш
хеш
J «
XBx
«m-lj^
хвш.
Я*.
хвя
ХВЫХк
XBx
хВых
XBtix i
хВыхк
ХВК
хбх
t/XL Рис. 8.1. Статические характеристики типовых
нелинейностей САР:
а — релейная двухнозиционная (однозначная); б —
релейная трехпозиционная (однозначная); е — релейная с
гистерезисом; г — линейная с насыщением; д — релейная
двухпозициоиная (неоднозначная или петлевая); е —
характеристика типа «люфт»; ж — характеристика типа
«идеальный диод» (детектор); э — характеристика типа
«модуль»; и — линейная характеристика с зоной нечув-
U ствительности
теристик. К нелинейным САР относят также и релейные
системы, содержащие элементы с релейными характеристиками.
Моменты времени, при которых происходят размыкание и
замыкание системы, заранее не известны. Они зависят от внутренних
свойств системы. Физические процессы в САР описывают
дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами,
но эти коэффициенты —• функции регулируемой величины, а не
времени t.
Нелинейные САР обычно представляют в виде структурной
схемы (рис. 8.2), для получения которой выполняют следующие
операции:
[ Линейная
часть
системы
У<
i
*
*
Нелинейная
часть
систены
Рис. 8.2. Структурная схема нелинейной САР
206
составляют дифференциальные уравнения для всех звеньев
тем автоматического регулирования;
^ проводят линеаризацию тех звеньев, где это допустимо
результате звенья будут разделены на линейные и нелиней-
" линейные звенья объединяют в один блок (линейная часть);
анализируют систему одним из методов нелинейной теории
„томэтического регулирования.
а Для анализа нелинейных систем автоматического регулиро-
яния в основном применяют методы: фазовых траекторий; при-
«асовывания; гармонической линеаризации; фазовой границы
устойчивости и др.
8.2. Метод фазовых траекторий
фазовая плоскость — это плоскость, на которой по двум
координатам хну откладывают какие-либо две переменные,
характеризующие динамику САР, например отклонение
регулируемой величины х и скорость: х—у— (dx)l(dt).
При изображении процесса на фазовой плоскости уравнение
2-го порядка удобно свести к системе двух уравнений 1-го
порядка:
~dF== /2 С*. У),
где /] и /2 — в общем случае нелинейные функции координат.
Чтобы изобразить процесс на фазовой плоскости, исключают
время, для чего второе уравнение этой системы делят на
первое:
JJL /2 (у, у)
d* fx (•*, у) ■
результате получают нелинейное дифференциальное уравне-
Ие> для которого общих методов точного решения не
существует. В каждой задаче приходится изыскивать частный метод:
РеШением уравнения будет некоторая функция y=F(x), графи-
еское изображение которой на фазовой плоскости называют
разовой траекторией (или фазовым портретом системы
регулирования) .
Изображение процесса на фазовой плоскости обеспечивает
Тостаточную наглядность. Однако рассмотрение ограничено
Мо>£Ко Такими системами, динамика линейной части которых
Ног ет быть описана уравнением 2-го порядка. В тех случаях,
йя,5а Уравнение системы имеет более высокий порядок, приме-
JJ Многолистные фазовые плоскости,
iw 3°бражение на фазовой плоскости основных процессов ре-
Ме Р°вания. Рассмотрим фазовые портреты некоторых вре-
HbIx процессов.
207

"tl
\
0
a *
1
V
з J
a
X
i
Рис. 8.3. Периодияеские 'незатухающие шлебаиия в САР:
а — временная функция x=f(t); б— фазовый портрет системы
1. Периодические незатухающие колебания (с постоянными
амплитудой и частотой) (рис. 8.3). На фазовой плоскости их
изображают в виде некоторой замкнутой кривой или замкнутой
фазовой траектории. Каждому периоду колебаний системы
соответствует прохождение изображающей точкой М всей
кривой А, В, С, D, Е фазовой траектории. Если колебания
синусоидальные, то фазовая траектория имеет вид эллипса
(см. рис. 8.3) и ее описывают уравнениями
x(t) = as'mat;
... dx _
— а<вcos at,
где со=2я/Г— круговая частота (здесь Т — период колебаний);
а и аа — полуоси эллипса по осям х и у соответственно. Если
колебания не синусоидальные, то замкнутый контур траекторий
отличается от эллипса.
2. Затухающий колебательный процесс (рис. 8.4). Его
изображают на фазовой плоскости в виде спиралевидной
сходящейся фазовой траектории. Когда наступит та же фаза колеба-
y-di'
JU,
MBf
- л д
£
к^°\
Л \
fi<
~а1
ш^ »■
Рис. 8.4. Затухающий колебательный процесс:
с — функция jc=/(t); б— фазовый портрет системы
208
ййй» чт0 и в начальный момент времени, точка М окажется на
„асстоянии, меньшем, чем хп&ч.
" 3. Расходящийся колебательный процесс (рис. 8.5). Его
X
г
в
л$\\с
0
S
F6
J
fE
\
t
y dt
%
M» * л
/7Л
I v
u,
,
—&
Дa* i
aU
MB
I *
Рис. 8.6. Расходящийся колебательный процесс:
а — функция x=f(t); б— фазовый портрет системы
изображают на фазовой плоскости в виде спиралевидной
расходящейся траектории.
4. Затухающие апериодические процессы (рис. 8.6). Имеют
на фазовой плоскости траектории, сходящиеся в начале коор-
««Л,
л
0
А
»» I
(ч.!^
л^
в»
6
/г
5 /
h
5= *t
Рис. 8.6. Затухающие апериодические процессы:
0 ~ графики. (1—6) функций Xj=f(t); j=l, 2,..., 6; б — фазовые портреты (l'—б1) систем
описываемых функциями Xi=f(t)
Динат: А— начальные значения функций Xj=f(t), /=1, 2,...6;
''„ ^е — максимальные и B$Bi — минимальные значения
функций, имеющих экстремумы; Сз и Се — нулевые значения
знакопеременных функций; В/, В6' и В3', В4'—отображения
максимов и минимумов на фазовой плоскости; С3' и С6' —
отобрания нулевых значений.
„5- Расходящиеся апериодические процессы имеют на фазо-
°и плоскости фазовые траектории, изображенные на рис. 8.7.
р Правило построения фазовых траекторий. Фазовые траекто-
и строят по заданным уравнениям динамики САР. В верхней
14—3591
209

xftt
Рис. 8.7. Расходящиеся апериодические
процессы:
о —графики (1—4) функции x(t); б — фазовые
портреты W—4')
половине фазовой плоскости (где */>0) изображающая точка
всегда движется слева направо, в сторону увеличения х\ в
нижней половине фазовой плоскости (где */<0)—справа налево.
Это правило используют для расстановки стрелок вдоль
фазовой траектории.
На оси х, которая разделяет верхнюю и нижнюю половины
фазовой плоскости, */=0, dx/dt=0 (т. е. скорость изменения
координаты х равна нулю); фазовая траектория пересекает ось
х под прямым углом. По полученным фазовым траекториям
можно судить о динамических свойствах САР.
При анализе фазовых траекторий выделяются особые точки.
В этих точках не существует определенного направления
касательной к фазовой траектории, т. е. имеет место
неопределенность вида
dx
0_
О"
В особых точках фазовые траектории не пересекаются друг с
другом, а сходятся к этим точкам или выходят из них. Особые
точки являются точками равновесия системы.
Для нелинейных САР могут быть выделены, например,
случаи, когда:
1) система имеет элемент с зоной нечувствительности и
насыщением. Статическая характеристика такого элемента
изображена на рис. 8.1,6. Установившемуся состоянию равновесия
на фазовой плоскости соответствует целая область возможных
состояний равновесия (рис. 8.8). Особая точка превращается Б
особый отрезок прямой АВ. Его длина зависит от размера зоны
нечувствительности и от насыщения;
2) поведение системы характеризуется расходящимися пр0'
цессами, но до определенных пределов. Система неустойчива Б
«малом», амплитуда расходящихся колебаний ограничена-
210
Рис. 8.8. Фазовый портрет
(диаграмма) системы с зоной
нечувствительности и насыщением
Рис. 8.9. Фазовый портрет системы,
имеющей устойчивый предельный цикл
В начале координат на фазовой плоскости находится
неустойчивый фокус. Фазовый портрет (диаграмма) системы показана
на рис. 8.9. Спирали фазовых траекторий расходятся из фокуса
и приближаются асимптотически к замкнутому контуру
(замкнутой траектории), который имеет конечные размеры. Все
изображающие точки, которые начинают свое движение вне этого
контура, тоже приближаются асимптотически к этому контуру.
Контур называют устойчивым предельным циклом (ПЦ). Он
Представляет собой замкнутую изолированную траекторию,
^сли изображающая точка под влиянием внешнего воздействия
сойдет на другую траекторию, то она обязательно будет
двигаться по внутренней или внешней спирали, т. е. будет
«наматываться» на контур ПЦ и приближаться к нему
асимптотически. Устойчивый ПЦ свидетельствует о наличии области
устойчивых колебаний в САР, которые называют автоколебаниями;
3) в системе происходит затухающий процесс до тех пор,
Пока
°бл
начальные отклонения не выйдут за пределы некоторой
асти. Система устойчива в «малом», но не устойчива в
14*
211

«большом». Здесь также имеется изолированная замкнута^
траектория — неустойчивый предельный цикл (НПЦ), рис. 8.10.
Если изображающая точка находится внутри НПЦ, то она
движется к устойчивому фокусу — началу координат; если вне
НПЦ, то она удаляется по спирали в бесконечность.
Изображающая точка не может двигаться по неустойчивому циклу;
4) в системе имеется несколько предельных циклов.
На рис. 8.11 показана фазовая диаграмма, когда имеются два
Рис. 8.10. Фазовый портрет си- Рис. 8.11. Фазовый портрет системы,
стемы, имеющей неустойчивый имеющей два предельных цикла
предельный цикл
предельных цикла: внутренний неустойчивый — ПЦ1 (с него
«сматываются» фазовые траектории); внешний устойчивый —
ПЦг (на него «наматываются» фазовые траектории).
Возможен также полуустойчивый предельный цикл, когда
соседние фазовые траектории «навертываются» на предельный
цикл с одной стороны и «свертываются» — с другой.
Пример (Построение фазовой траектории в системе, имеющей
характеристику типа статического трения, см. рис. 8.1, б). Фазовую траекторию
можно получить, используя уравнение
йгх
где ,ц — постоянная, характеризующая силу трения и не зависящая от
времени.
Операторная форма этого уравнения
(Г2р2+1)х=±ц.
Общее решение находят как сумму общего и частного решений однородного
уравнения. Общее решение имеет вид
х= ±ijl-\-A cos at, х=—Am sin wt,
где <о—2п/Т— круговая частота; А — амплитуда, определяемая начальными
условиями.
Уравнение фазовой траектории
описывается эллипсом с центром в точке (±ц; 0). Знак перед ц
определяют из условия, что сила статического трения всегда направлена против ско-
212
Рис. 8.12. Построение фазовой
траектории системы с релейной трехпози-
ционной характеристикой
рости движения. Движение по фазовой траектории начинается из точки I
(рис. 8.12), имеющей координаты х=х0, у=0. От точки I до точки II
фазовая траектория представляет собой эллипс с центром в точке 0\ (00i=|i).
Уравнение эллипса находят после определения значения А\ по начальным
условиям: при t=0, х=хо, у=0.
Уравнение эллипса для участка I—II (см. рис. 8.12):
\ А, ) ^{aAt) —'■ \xQ—ц) +[(o(x0—ii)\-
Координаты точки II: х=—Хо+2ц; у=0. При изменении направления
движения за точкой II знак силы трения меняется на противоположный.
Уравнение фазовой траектории на участке II—III (см. рис. 8.12):
( А, ) +[<оАг)=и
Это — уравнение эллипса с центром в точке 02. Для определения А2 исходят
из начальных условий точки II:
х=—х0+2ц; у=0.
Значение А2 определяют из уравнения
'—Хо + Зц V , л
-д- I =1; As=x<,—Зц.
"равнение эллипса на участке II—III (юм. рис. 8.12):
У
(-
(JL+v- Y i Г у Г 1
\хв—Зц) +[со(х„— 3fx)J —'•
^0оРДинаты точки III:
х=Хо~4 ц.; у = 0.
Строение фазовых траекторий продолжают до тех пор, пока
изображаются точка не попадет в зону нечувствительности 020\ (точка IV), после
г° Движение прекращается.
8.3. Автоколебания в нелинейных САР
& нелинейных САР при малых начальных отклонениях мо
рит быть расходящийся колебательный процесс (кривая I,
• °-13), а при больших отклонениях — затухающий колеба-
213

тельный процесс (кривая 2). На фазовой плоскости эти пр0.
цессы разграничивает устойчивый предельный цикл (УПЦ), 0ц
соответствует периодическому колебательному процессу (кри.
Рис. 8.13. Виды колебательных
процессов в нелинейной САР
вая 3) с постоянной амплитудой а0 и постоянной частотой
<Оо=Т/2я. К кривой УПЦ асимптотически приближаются
фазовые траектории изнутри и снаружи. Период колебаний Т из
картины фазовых траекторий неясен. Равновесное состояние
системы неустойчиво. Но процесс расходится до определенной
амплитуды а„. Практически колебательный процесс будет
устойчивым, так как при одних начальных значениях он
расходится, а при других — затухает.
Относительно равновесного состояния эта САР
неустойчива, но она обладает устойчивыми периодическими колебаниями
с определенной амплитудой а„. Такая система пригодна для
регулирования, если амплитуда колебаний а0 невелика и
частота их не опасна (т. е. наложение этих колебаний на
регулируемую переменную допустимо по техническим
требованиям, предъявляемым к данной системе). В этом случае САР
можно считать практически устойчивой.
Если амплитуда устойчивых периодических колебаний так
велика, что систему нельзя использовать для регулирования, то
такую САР считают практически неустойчивой. Следует
отметить, что эти колебания являются собственными (так как
возмущающее воздействие f(t)=0), свободными и имеют вполне
определенные амплитуду и частоту, которые зависят не от
начальных условий процесса, а от параметров самой системы,
т. е. объекта и регулятора. Эти устойчивые собственные
свободные периодические колебания САР возникают и при
каком-то определенном сочетании параметров системы, и при
некотором множестве их сочетаний (подобно области устойчиво
сти равновесного состояния в линейной САР). Такие устойчи
вые собственные свободные колебания с параметрами а0, ®°
называют автоколебаниями. Они могут возникнуть только Б
нелинейных системах. Если в реальных САР наблюдаются зв'
214
^колебания, то это свидетельствует о наличии нелинейности
этих системах.
в К автоколебательным системам можно отнести не только
гДр, но и электронный генератор, электромагнитный
прерыватель, часы, духовой инструмент, поршневой двигатель
(пароли или двигатель внутреннего сгорания), а также шимми
/колебания управляемых колес автомобиля), флаттер
(вибраций крыла или хвостового оперения самолета).
Автоколебательный характер имеют и процессы в живых организмах
(дыхание и работа сердца).
Автоколебательной называют систему, способную создавать
незатухающие колебания. Такая система характеризуется
наличием: источника энергии; клапана (вентиля), который
регулирует поступление энергии в колебательную систему;
обратной связи (с колебательной системы — на клапан).
8.4. Примеры нелинейных САР релейного типа
Для того чтобы представить работу нелинейной САР,
рассмотрим несколько типов систем автоматической стабилизации
температуры (рис. 8.14, 8.15).
Пусть необходимо поддерживать постоянную температуру в объекта 2,
охлаждаемого воздухом (см. рис. 8.14). Регулирующим элементом являются
Рис. 8.14. Линейная САР регулирования температуры непрерывного
действия
Шторкн 1, угловое положение которых ф определяет интенсивность
поступления охлаждающего воздуха.
Измерительное устройство регулятора состоит из термометра
сопротивления S, включенного в качестве одного из плеч моста 4, и устройства 5,
измеряющего ток в диагонали моста. Мост 4 настраивается так, чтобы при
заданной температуре, которую надо поддерживать неизменной, ток в
диагонали моста отсутствовал. Чувствительный эелемент регулятора (3—5) пере-
215

мещает токосъемныи элемент потенциометра 6 пропорционально отклонение
температуры в. Потенциометр управляет работой электродвигателя Эдв с по.
мощью усилителя 7. Электродвигатель черед редуктор 8 изменяет положе.
ние шторок 1.
Недостаток системы заключается в том, что токосъемныи элемент изме.
рительного устройства 5 имеет значительное механическое сопротивление g
виде трения об обмотку потенциометра. Это снижает чувствительность
измерителя и всего регулятора к малым отклонениям регулируемой величины
в. Для устранения этого недостатка при управлении работой привода щТо.
рок вместо измерителя 5 и потенциометра 6 может быть применен
переключающий релейный элемент — поляризованное реле 5', 6Г (рис. 8.15).
(Названия позиций 1—4 и 7—8 на рис. 8,14 и 8.15 — одинаковые.)
f(t)
о +
I \J Col | 0,0-
L rt_'J
Рис. 8.15. Релейная система регулирования
температуры
Средний контакт поляризованного реле в зависимости от знака тока в
диагонали моста 4, т. е. в зависимости от знака отклонения регулируемой
величины в, замыкается с правым или левым контактом. Ток якоря
включается в одном или в другом направлениях. Электродвигатель Эдв через
редуктор 8 открывает или закрывает шторки 1, увеличивая или уменьшая
охлаждающий воздушный поток.
Уравнение объекта регулирования может быть записано в виде
dQ
T°dt+{
i=~k0(p + f(t).
(8.1)
где То — постоянная времени объекта; 6 — отклонение температуры; ко —
передаточный коэффициент объекта регулирования, определяющий
эффективность воздействия регулирующего элемента на объект; <р — угол поворота
шторок; f(t)—возмущающее воздействие на объект (изменение температуры
из-за любых других причин, кроме поворота шторок). Параметры объекта
Т0 и к0 можно определять экспериментально.
Измерительное устройство (термометр сопротивления 3 и мост 4)
характеризуется тем, что ток / в диагонали моста или в управляющей обмотке
реле пропорционален в, т. е. I=kiQ.
Из сети в переключаемую цепь поляризованного реле (цепь контактов)
подается постоянное напряжение (£/=с), питающее электродвигатель. Он°
изменяется соответственно изменению тока / в диагонали моста.
Зависимость выходного напряжения реле U от тока / называют статической
характеристикой реле.
216
и\
-ь
з\°
.
Ь '1
а
**ч
ь,ьг
I -J О
I
"\
-ъ
i,.
0
tj
г
*
I
рис. 8.16. Характеристики электромагнитных реле: &i=A и 6г=/2 — токи
отпускания и срабатывания реле соответственно
Нейтральному положению среднего контакта реле соответствует значе-
няе £/=0 ПРИ малых значениях тока — b<I<b (рис. 8.16,а). Интервал —
b^zl^b, где £/=0, называют зоной нечувствительности реле.
При токе I=b реле срабатывает, включая напряжение £/=с. При
обратном отрицательном направлении тока / реле срабатывает при /= —Ъ. При
этом электродвигатель изменит направление вращения.
Если так срабатывания реле не совпаадет с током отпускания, т. е.
коэффициент возврата реле къф\, то статическая характеристика реле имеет
вид петли гистерезиса (рис. 8.16,6).
Зона нечувствительности реле (рис. 8.16, а и б) появляется тогда, когда
средний контакт имеет нейтральное положение. Если этого нет, то якорь
реле будет перескакивать из одного среднего положения в другое (см.
рис. 8.16,а). В этом случае статическая характеристика является
идеальной— без зоны нечувствительности и без петли гистерезиса. В реальных
условиях эта характеристика при отсутствии зоны нечувствительности имеет
петлю гистерезиса (рис. 8.16,г).
Статическую характеристику реле описывают уравнением
У=Я(/).
где F,(I) — нелинейная функция (графически задается одной из форм,
приведенных на 'рис. 8.16).
Характеристика реле существенно нелинейна: ее нельзя линеаризовать.
Уравнение для электродвигателя с редуктором и со шторками, учитывая
электромеханическую постоянную времени Т\, можно записать в следующем
виде:
- d*<p d<p
*dt* +dt==ksU"
где ф — у:ГОЛ поворота шторок; к2— коэффициент Эдв.
Таким образом, осуществлено замыкание системы и ее можно предста-
Бить в виде схемы, изображенной на рис. 8.17.
9
РЭ
L.J
—
1 fft)
ОР
и
р
в
I
чэ
Рис. 8.17. Функциональная схема нелинейной САР
температуры:
ОР — объект регулирования; РЭ — регулирующий элемент; Я —
привод; ЧЭ — чувствительный элемент; Р — реле
(переключающее)
217

Релейный регулятор называют: трехпозиционным при та.
ких релейных характеристиках, как на рис. 8.16, а и б; двух*
позиционным (или регулятором по принципу «да—нет») npj
таких релейных характеристиках, как на рис. 8.16, виг.
Если характеристика реле идеальная (см. рис. 8.16, в) и
при этом не принимать во внимание постоянных времени ре.
гулятора, то закон регулирования в релейной системе без ней.
трального положения (двухпозиционной системы) опреде.
ляется характеристикой, показанной на рис. 8.18, а, т. е.
at
49
dt
в"
в
Рис. 8.18. Законы регулирования в
системе:
а — реле без нейтрального положения; б —
реле с нейтральным положением
-jj = k2c, при 6>0;
§=-k2c e<o.
Для трехпозиционной системы в нейтральном положении
(рис. 8.18,6) закон регулирования следующий:
^k2c, е>0;
= 0, е = 0;
dt
d<p
It
§=-k2c, G<0.
Работа реле во времени показана на рис, 8.19. Если реле
о. /
-*
ST и,
-с
^~ !\ /'г
1 1\ f \ t
i i Y\ 1
\\ III
1 ! ! 1
J_J '
Рис. 8.19. Временная диаграмма
работы электромагнитного реле
218
ееТ такую характеристику, как на рис. 8.16, а, то изменение
" дряжения U, которое подается на электродвигатель, будет
15 оИсходить так, как на рис. 8.19,6. Переключения реле про-
сХ0Дят пРи определенных значениях входного тока (1=Ь и
/== — 6).
Составление расчетной схемы нелинейной САР сводится к
ледующим трем этапам.
1. Выделяют нелинейное звено (реле), а все остальные
зВенья системы, включая и объект регулирования, объединяют
в линейную часть (рис. 8.20).
лч
и
\
нэ
Рис. 8.20. Расчетная функциональная
схема нелинейной САР:
ЛЧ — линейная часть системы; НЭ — нелинейный элемент
2. Представляют уравнение нелинейного звена в виде
нелинейной функции U=F(I), которая соответствует одной из
характеристик на рис. 8.16.
3. Получают уравнение динамики линейной части,
подставляя значение 8, выраженное через /, в уравнение объекта
(8.1):
dl
Из этого выражения путем преобразований получают
уравнение динамики линейной части системы в виде
гДе kn — коэффициент усиления линейной части регулятора
(^л=^Л)-
Следует отметить, что к релейным системам регулирования
и управления относят не только САР, содержащие реле, но и
системы, в составе которых есть звенья со статическими
характеристиками релейного типа (т. е. когда выходная величина
Звена меняется скачкообразно при непрерывном изменении
Годной величины).
Ранее рассматривалась система, в которой релейное
управление осуществляется приводом регулирующего элемента.
Однако часто встречаются нелинейные САР, в которых сам
рейдирующий элемент работает в релейном режиме. Типичным
219

QW
Рис. 8.21. Принципиальная схема САР
напряжения генератора постоянного тока
примером двухпозиционного регулирования с релейным
режимом работы регулирующего элемента является вибрационное
регулирование напряжения генератора постоянного тока.
Принципиальная схема такого генератора показана на рис. 8.21.
Объектом регулирования здесь является генератор Г, а
регулируемой переменной—напряжение 11. Уравнение
чувствительного элемента (электромагнита ЭМ) с учетом постоянной
времени (индуктивности) можно записать следующим образом:
Изменение тока AI создает изменение тягового усилия
электромагнита ЗМ. При уменьшении этой силы пружина замыкает
переключающие контакты К и выключает добавочное
сопротивление RK в цепи возбуждения ОВ генератора. Уравнение
регулирующего элемента в этом случае имеет вид релейной
характеристики Ar=F(AI), показанной на рис. 8.22. С учетом этих
-ь
АГ
'
0
.
,
t-K
+ х
b &1
Рис. 8.22. Статическая
характеристика
релейного регулирующего
элемента
уравнений запишем дифференциальное уравнение генератора
Рассмотренная система отличается простотой устройства,
надежностью и большим ресурсом работы.
8.5. Метод припасовывания
Одним из методов определения процесса регулирования р
нелинейных САР является метод припасовывания. Рассмотри*1
его на примере нелинейной системы автоматической
стабилизации температуры. При этом предполагается, что реле имеет
такую характеристику, как на рис. 8.16, а.
220
jlycTb известны начальные условия процесса,, которые характеризуют
ложение начальной точки искомой кривой /(/). Если |/|<Ь, то U=0.
равнение (8.2) решают при этом условии до тех пор, пока не выполнится
ловяе 1=Ь. Когда 1>Ъ, уравнение (8.2) решают при U=c и т. д.
Ус Если пренебречь малым значением произведения Т0Тх я принять возму-
нйе воздействия f=0, то метод припасовывания состоит в
последовательна решении следующих уравнений:
d4 dl
(Г. + Л) ^ + ^=0. |/|<*;
d*I dl
{T<, + Ti)jji+^=—kBkjC, I>b;
d4 dl
(T, + Tl)aii + Tt=0. \I\<b;
d4 dl
(Tt, + T1)dj2 + dl=k°k»c- K—b
и т. Д-
Таким образом, процесс регулирования в релейной системе может быть
вычислен в результате решения различных линейных уравнений по
участкам, границы между которыми определяются такими значениями тока реле,
при которых J=b и /=—Ь. При этом в качестве начальных условий для
уравнения каждого участка берут значения переменных, полученные в
конце предыдущего участка. Такой метод определения процесса регулирования
получил название метода припасовывания. Картина фазовых траекторий для
релейной системы может быть нанесена на фазовую плоскость.
Здесь метод припасовывания рассмотрен на примере САР, содержащей
электромагнитное реле для управления работой привода регулирующего
элемента. Следует отметить, что дли улучшения процесса регулирования в
релейных системах применяют те же меры и технические средства, что и в
непрерывных линейных системах. К этим средствам относятся устройства:
а) последовательные корректирующие (введение производных и интегралов в
закон регулирования); б) параллельные и встречно-параллельные
корректирующие (введение параллельных цепей, а также жестких и гибких
обратных связей); в) корректирующие по возмущению (комбинация принципа
регулирования по отклонению с принципом регулирования по возмущающему
воздействию). Кроме перечисленных корректирующих средств для изменения
качественных показателей работы релейных САР существенное значение нме-
ет изменение параметров релейных элементов (например, ширины зоны
нечувствительности, ширины петли гистерезиса и др.).
8.6. Применение метода гармонической линеаризации
для анализа устойчивости нелинейных САР
Амплитуда а0 и частота wo, а также сам факт
возникновения автоколебаний зависят от параметров САР. Для
определения этих зависимостей следует использовать дифференциальные
^Равнения системы 3-го и более высокого порядка (но иногда
2-го порядка). Решение уравнений возможно методом припа-
^овывания, однако получить зависимости а0 и соо от параметров
^стем выше 2-го порядка сложно. Поэтому применяют прибли-
енный метод — гармонической линеаризации, который для
фактических целей обладает достаточной точностью и дает не-
й0сРедственные выражения требуемых зависимостей амплитуды
Частоты автоколебаний от параметров системы. Его использу-
221

ют для общего анализа свойств системы регулирования, а так.
же при выборе структуры системы и параметров во время про.
ектирования и регулировки системы.
Сущность метода гармонической линеаризации заключается
в отыскании периодического решения на входе нелинейного эле-
мента, разложении сигнала на его выходе в ряд Фурье и заме-
не выходного сигнала его первой гармоникой. Такая замена
справедлива, если САР является фильтром низких частот, эф.
фективно подавляющим колебания высших гармоник.
Основа метода — предположение о том, что автоколебания
приближенно можно искать в синусоидальной форме
x=asmv)t.
Метод гармонической линеаризации рассмотрим на примере
нелинейной САР температуры (рис. 8,23,а,б). Входная величина
чэ
РО h
-с
ОР
Рис. 8.23. Нелинейная система автоматического
регулирования температуры:
а — функциональная схема; б — статическая
характеристика реле (см. рис. 8.1, а)
реле здесь обозначена через х, выходная — через у (в системе
регулирования температурой они были обозначены через / и V
соответственно). Характеристика реле у(х) идеальная (см. рис.
8.23,6). Если входной сигнал реле изменяется по синусоиде, то
изменение выходного выражается прямоугольной зависимостью
y(t) (см. рис. 8.23,а).
Сигнал y(t) на выходе нелинейного элемента с нечетной
статической характеристикой может быть представлен в виде
V | чистотаы-у^
Частота Jai
6
Частота ы-*£
Частота 5и
Рис. 8.24. Представление прямоугольной функции y(t) в виде суммы ряда Ч
четных гармоник
222
уцмы ряда синусоид (рис. 8.24, а—г) или нечетных гармониче-
ййХ составляющих (гармоник) в функции t:
1-я гармоника yi—Aisinat,
где Л1=4с/п;
3-я гармоника 1/з=Лз8шЗсо£,
где Лз=4с/3я;
5-я гармоника j/5==-^5sin5cof,
где Л5=4с/5я
и т. д.
Здесь а=2п/Т — частота колебаний.
Если увеличить число гармоник, то сумма синусоид ряда
#(0=£/i+£/3+£/5+£H- • • •
будет стремиться к прямоугольной зависимости.
Данное представление произвольной периодической кривой
в виде суммы гармонических составляющих называют
разложением в ряд Фурье, а все гармоники, кроме 1-й, — высшими
гармониками разложения.
Сигнал x{t) на входе реле будет близок к синусоиде, если
колебания с частотой со (1-я гармоника у\) с выхода реле будут
хорошо воспроизводиться всеми звеньями системы — приводом,
регулирующим элементом, объектом, чувствительным элементом
(см. рис. 8.23). Одновременно с этим необходимо, чтобы все
колебания с высшими частотами (высшие гармоники ys, у5, ...,
••■,Ут) плохо передавались через те же звенья системы, т. е.
чтобы амплитуды высших гармоник при этом гасились. Это, как
правило, соблюдается в реальных САР, так как их элементы
являются фильтрами нижних частот. Прямоугольный сигнал
H(t) в результате прохождения через все звенья системы
превращается в синусоиду x(t) и, пройдя через реле x(t),
преобразуется снова к прямоугольному виду и т. д. Следовательно,
^ожно искать автоколебания для переменной x(t) в
синусоидальной форме.
Начальный этап приближенного определения автоколебаний
в Релейных системах заключается в гармонической
линеаризации релейной (нелинейной) характеристики. Гармоническая ли-
йеаризация базируется на том предположении, что в разложе-
ии сигнала прямоугольной формы на выходе реле все высшие
армоники в последующих звеньях системы гасятся и во
внимание не принимаются. Учитывается только 1-я гармоника.
елейную характеристику в общем случае обозначают как
неценную функцию y=F(x). При х=аьтЫ 1-ю гармонику ух
я однозначных (непетлевых) релейных характеристик
определяют формулой
223

yi—Aismat,
где А\ — коэффициент ряда Фурье:
А = — \ F (a sin at) sin otdat.
о
Для однозначных петлевых релейных характеристик 1-ю
гармонику определяют формулой
yi=AiSmti)t-{-BlCOS(iit,
причем
2я
А =— \ F {a sin cotf) sin (atdat;
о
2-я
Bi = —\F(a sin at) cos atdat.
Следует отметить, что в расчетных формулах для метода
гармонической линеаризации интегралы отсутствуют. Так как
x=as'm&t;
dx ,
-гг = аа cos cor,
at
то
, х , 1 dx
sin cor = —; cos cor = — -rr.
Для однозначных релейных характеристик 1-ю гармонику
определяют по формуле
У\=—-X,
з. для петлевых релейных характеристик используют Еыраже
ние
^1— a X~T~Mi>'df
Зависимость у\=\(А1а)х .можно пояснить следующим образом.
Задана, например, однозначная релейная характеристика Obw
(рис. 8.25). При этом если входной сигнал х изменяется по закону #°?
=osinm>£, то 1-я гармоника выходного сигнала y\=A\sm(ot будет тако»>
как если бы вместо релейной характеристики Obef была линейная Od с КРУ
тизной (т. е. с тангенсом угла наклона), равной A^Ja.
524
yi
л
я1
0
X
,
d
е У t
box
Следовательно, при
определена 1-й гармоники tji периодиче-
сКйх колебаний на выходе
релейного звена с однозначной
характеристикой при
синусоидальном входном сигнале релейный
элемент можно заменить
линейном звеном
у=дх, (8.3)
имеющим коэффициент усиления Рнс. 8-25. Гармоническая линеари-
q—Ai/a, (8.4) зация релейной характеристики
зависящий от амплитуды входного сигнала.
В случае петлевой характеристики в том же режиме
колебаний релейный элемент заменяют линейным звеном с введением
производной
у=я*+т£% <8-5>
с коэффициентами усиления
*=т= *=т- <8-6>
Для петлевых характеристик гистерезисного типа значение <?i
всегда получается отрицательным, т. е. производную в
уравнение (8.5) вводят с отрицательным коэффициентом. Эта
производная дает запаздывание в работе звена. Первый член
уравнения (8.5) играет точно такую же роль, что и в уравнении
(8.3), т. е. является идеальным линейным звеном с
коэффициентом усиления q; второй член означает, что при рассмотрении
1-й гармоники иа выходе звена запаздывание реле, выраженное
нелинейно гистерезисной петлей, можно заменить линейным
запаздыванием в виде производной от входного сигнала с
отрицательным коэффициентом (<7i<0).
Таким образом, ограничиваясь рассмотрением 1-й
гармоники на выходе релейного звена при синусоидальном входном
сигнале, нелинейное уравнение релейного звена заменяют
линейным вида (8.3) или (8.5). Такую линеаризацию называют
гармонической линеаризацией нелинейных характеристик
потому, что она связана с разложением нелинейных колебаний на
гармонические составляющие. Величины q и qx называют
гармоническими коэффициентами усиления нелинейного звена, или
Коэффициентами гармонической линеаризации.
При обычной линеаризации нелинейную характеристику
заменяют прямой линией с определенной крутизной k, которая не
Зависит от входной и выходной переменных х и у релейного
здемента. Принципиальное отличие гармонической
линеаризации состоит в следующем: а) при ней нелинейную
характеристику заменяют прямой линией, крутизна которой q зависит от
аМплитуды входного сигнала; б) она позволяет вместо нели-
15—3591
225

нейного звена получить линейное, коэффициент усиления кот0.
рого q зависит от амплитуды а входного сигнала; в) она дает
возможность определять свойства нелинейных САР метода^
линейной теории автоматического регулирования.
Гармонические коэффициенты усиления q вычисляют По
формулам (8.4) и (8.6):
для идеальной релейной характеристики
4с
для характеристики с зоной нечувствительности
.»-=/>-5 <">',»:
для двухпозиционной релейной характеристики
гистерезиса
с петлей
4с тД б2
Ч\
-—I, а>6;
для трехпозиционной характеристики с гистерезисной петлей
2c{b2 — bt)
Я\
па'
а>Ь2
и т. д. (см. например [20]).
Графическая зависимость коэффициентов гармонической
линеаризации от входной величины а для трех типов релейных
характеристик показана на рис. 8.26.
9i
Рис. 8.26. Зависимость
коэффициентов гармонической линеаризации от
амплитуды колебаний на входе реле
226
Гармонический коэффициент усиления q уменьшается с
увеличением амплитуды а, начиная со значения a—fcj/2, так как
„еЛичина на выходе реле остается неизменной (у=с) при
увеличении входного сигнала (х>Ь). Коэффициент qu
характеризующий запаздывание вследствие наличия гистерезисной петли,
также уменьшается по модулю с увеличением амплитуды.
Коэффициенты q и qt для всех типов релейных элементов
при больших амплитудах сближаются друг с другом, так как с
увеличением амплитуды влияние зоны нечувствительности и
гистерезисной петли на работу реле становится менее заметной.
8.7. Определение амплитуды а0, частоты со0
и устойчивости автоколебаний
Метод гармонической линеаризации позволяет решить две
задачи: 1) выявить автоколебания в нелинейной САР; 2) найти
параметры автоколебаний (амплитуды а0 и частоты со0).
Рассмотрим их.
1-я задача. Для ее решения используют различные критерии,. Наиболее
простым является следующий. Если автоколебания устойчивы и
определяются амплитудой о0 и частотой со0, то случайное увеличение амплитуды на
Aq должно вызвать постепенное уменьшение амплитуды колебаний до
совпадения ее с установившимся значением а0, т. е. исследуемый процесс
является сходящимся.
При случайном уменьшении амплитуды процесс будет расходиться и
стремиться к о0. При неустойчивых автоколебаниях процесс протекает в
обратном направлении. При увеличении амплитуды на Да амплитуда
колебаний продолжает увеличиваться, а при уменьшении — уменьшаться. Согласно
критерию устойчивости Гурвица, если характеристическое уравнение имеет
все корни, расположенные в левой полуплоскости, кроме пары мнимых
сопряженных корней на мнимой оси, то все определители Гурвица
положительны, кроме предпоследнего Д„_1=0 и последнего Ап=апАп-и
Общими условиями устойчивости колебаний в системе являются:
1) при значениях о0 и со0,
отвечающих устойчивым автоколебаниям,
предпоследний определитель Гурвица
Дп-1 («о, <0о)=0;
2) все определители Гурвнца для
характеристического уравнения
замкнутой нелинейной системы после
гармонической линеаризации при
увеличении амплитуды а0, на До остаются
положительными;
3) все определители Гурвица для
же характеристического уравне-
*г ,
*г
лч
нз
"J
*t
того
Рис. 8.27. Структурная схема
нелинейной САР:
ЛЧ — линейная часть; НЭ — нелинейный
часть; НЭ -
элемент
Чя при уменьшении амплитуды (to
а До остаются положительными,
Роме Дп_, и Д„, которые становятся отрицательными.
Последний критерий должен соблюдаться при малых отклонениях от зна
еиий частоты автоколебаний со0 на ±.Дсо.
15*
227

На рис. 8.27 показана структурная схема нелинейной САР. Для линей,
ной ее части можно записать
*з=В7(/<й)х2,
где W{ju>) —АФХ линейной части системы.
Для нелинейного элемента
где 1(А/а)—эквивалентный комплексный коэффициент усиления, который
показывает, во сколько раз 1-я гармоника на выходе нелинейного элемента
больше амплитуды Л синусоидального входного сигнала;
/о(Л/а)—нормированный комплексный коэффициент усиления.
Уравнение свободных колебаний:
N1.
(4)
№(/со) + 1 = 0.
Приравнивая к нулю отдельно действительную и мнимую части комплексной
переменной, получим два уравнения с двумя неизвестнами: частотой <в и
амплитудой (Л/в) колебаний. Если в результате решения этих уравнений и
будут иметь действительные значения, то колебания в системе возможны.
Решение может быть получено графически, для чего уравнение
переписывают в виде
—NW(jw) =
I
•№
-*(4>
Годограф—NW(jv)) при изменении частоты со от —оо до +оо представляет
собой АФЧХ линейного элемента разомкнутой системы, увеличенную в N
раз; годограф Z(l(A/a) при изменении амплитуды от 0 до то — амплитудную
характеристику нелинейного элемента системы (рис. 8.28). Пересечение
АФЧХ и амплитудной характеристики нелинейного элемента определяет
частоту и амплитуду возможных автоколебаний.
Рис. 8.28. Варианты взаимного расположения на
комплексной плоскости АФЧХ линейной части
системы и обратной эквивалентной характеристики
нелинейного элемента
228
jy
\ °
0
lfA/
О
уШш,};(А1о),
/л\
I/ >*>
ЛоШо)
X
^J"
Если характеристики не пересекаются (рис. 8.28, о), то нет действитель-
ь,х значений частоты со и в системе не могут существовать автоколебания
"конечной амплитудой. Если
характеризуй касаются друг друга (рис. 8,28, в),
50 система находится на границе устой-
яивости. Изменением параметров
нелинейного звена можно устранить касание
Характеристик, т. е. подавить
автоколебания в САР.
Частота автоколебаний определяется
АФЧХ W (;ш), а амплитуда — по
обратной АФЧХ нелинейного элемента.
Если характеристики пересекаются в
пВух точках (рис. 8.28,6), то
осуществляется проверка устойчивости
автоколебаний (рис. 8.29). Точка N с частотой
Й1 соответствует неустойчивым
колебаниям, а точка М с частотой <bs —
устойчивым.
Если рассмотреть установившиеся
колебания в точке N и увеличить их по
амплитуде иа б (Л/о), т. е. колебания
возрастут и будут иметь амплитуду
(Л/й)i+6(Л/а), т0> согласно амплитудно-
фазовому критерию устойчивости,
система оказывается неустойчивой. Точка Nt охватывается АФЧХ, и колебания
будут возрастать.
При уменьшении амплитуды на б (Л/а) система оказывается устойчивой.
Точка N2 не охватывается АФЧХ, и колебания будут затухать.
Если в такой системе начальные колебания были меньше, чем (А/а)и
то автоколебания не возникнут. Если рассмотреть точку М,
соответствующую частоте со2, то при увеличении амплитуды колебаний на б (А/а)
система становится устойчивой. Точка М, не охватывается АФЧХ, и колебания
уменьшаются. При уменьшении амплитуды на 6 (Л/а) система становится
неустойчивой. Точка М2 охватывается АФЧХ, и колебания возрастают.
Система переходит в режим, соответствующий точке М.
Итак, если точка амплитудной характеристики, соответствующая
увеличенной амплитуде (А/а) +б (AJa), не охватывается АФЧХ, то
рассматриваемые колебания устойчивы; в противном случае — неустойчивы.
2-я задача. Пусть САР описана нелинейным уравнением
D{p)x+M(p)F (х, рх)=0,
которое с допустимой погрешностью может быть заменено линейным
уравнением
Рис. 8.29. Определение
периодических решений в нелинейной
САР
[D (Р) + (я + %-р) М(р)]х=0.
Коэффициенты усиления q и #i вблизи искомого периодического решения
изменяются незначительно и без скачков.
Характеристическое уравнение системы после гармонической
линеаризации будет
П,
[D(p)+(g+^PJM(P)^o.
(8.7)
°Дставляя в уравнение (8.7) значения р=/со, получим
Д(/<в)+1(о+91/)Л1(/со)=|0.
Коэфф.
.ициенты д ш gt являются функцией амплитуды а и частоты <в.
После разделения вещественной и мнимой частей имеем
х(а; ш)+/^(а; ш)=0.
229

Совместное решение уравнений х(а, <в) и у(а, ю) позволяет определить
амплитуду а и частоту <о0 автоколебаний, которые до физическому смыслу
должны быть подожителньымй и вещественными. Отрицателньые я комщ.
лексные решения свидетельствуют об отсутствии автоколебаний.
8.8. Анализ устойчивости и расчет параметров
автоколебаний. Метод фазовой границы устойчивости
Анализ устойчивости нелинейной САР выполняют после
приведения ее структурной схемы к одноконтурной, содержащей
нелинейное звено с эквивалентным комплексным
коэффициентом усиления W„(an; со), п=\, 2, 3... и линейную часть с
АФЧХ
W* (/со) = Wx (/со) W2 (/со) ...Wk (/со).
При наличии в системе автоколебаний необходимо найти их
частоту и амплитуду. Выбор метода исследования зависит от
особенности системы и целей анализа. Рассмотрим метод
определения частоты и амплитуды автоколебаний, основанный на
понятии фазовой границы устойчивости [3, 10].
Предположим, что разомкнутый контур системы устойчив. Тогда, в
соответствии с критерием Найквиста, САР будет находиться на границе
устойчивости, если
ВМ/ш)Г„(оп; (о) = —1. (,8.8)
В системе могут иметь место колебания, которые в случае их устойчивости
будут автоколебаниями. Из выражения (8.8) следует, что
w°W=-wu(L*y <8-9>
т. е. если эти частотные характеристики пересекаются, то в точке их
пересечения по Wj,(/co) можно определить частоту ico0, а по —l/WK{an; со)
амплитуду а0 колебаний, возникающих в исследуемой системе.
Устойчивость колебаний приближенно проверяют исследованием
поведения нелинейной САР при малых изменениях амплитуды щ>. Если при
положительном приращении амплитуды (+<Доо) колебания затухают, а при
отрицательном (—Дао) расходятся, то колебания, определяемые точкой
пересечения рассмотренных характеристик, будут устойчивы, т. е. имеют место
автоколебания. Однако колебания в замкнутой системе расходятся, когда АФЧХ
устойчивого или нейтрального-устойчивого разомкнутого контура системы
охватывает на комплексной плоскости точку —1; 0/. Если эта точка не
охватывается АФЧХ разомкнутого контура системы, то колебания затухают.
Математически условия нарастания и затухания колебаний выражают
заменой равенства (8.9) неравенствами. Колебания с амплитудой оа и
частотой (оа будут автоколебаниями тогда, когда АФЧХ линейной части WnU®'
системы не охватывает точку характеристики —l/WB(on, со), полученную
увеличением значения оа на +Доа, а также тогда, когда охватывает точкУ
этой характеристики, полученную уменьшением значения оа на —Доа.
Точки, соответствующие значениям oai=оа+Доа и a3i=az—Доа, показа'
ны на рис. 8.30. Из приведенного правила следует, что в системе не вознИ'
кают колебания, если характеристика нелинейного звена —l/W„{an; <в) 6У'
дет расположена вне АФЧХ линейной части И7л(/со). Если характеристик»
—1/Wn(an; со) размещена внутри области, охваченной АФЧХ Wj,(j(u), T°
колебания будут расходящимися, т. е. нелинейная САР неустойчива в т°-
смысле, в каком неустойчива линейная система. В этом отношении условие
устойчивости гармонически линеаризованной системы можно считать дал6'
230
\хг\*
Рис. 8.30. Определение устойчивости предельного
цикла
нейшим развитием амплитудно-фазового частотного критерия устойчивости
линейных систем. Вместо точки —1; 0/, которую не должна охватывать
АФЧХ разомкнутого контура системы, если замкнутая линейная система
устойчива, для гармонически линеаризованной системы служит
характеристика —l/WB{ane>), которая не должна охватываться АФЧХ линейной части
й^лО'м), чтобы колебания в замкнутой системе затухали.
Для анализа устойчивости нелинейных САР могут быть применены
ЛАЧХ и ЛФЧХ. В этом случае, согласно соотношению (8.9), должны быть
использованы два одновременно действующих условия:
20 lg [Wn (уш)]=20 lg | ~w I {
' (8.10)
argH7,
'^./w) = arg у-
I
WH (o„; со) J'
Соотношения (8.10) означают, что гармонически линеаризованная система
находится на границе устойчивости, если при частоте ш=«а пересекаются
201g|^(y<o)| и 20Ig|—1/(1Гя(ая:<в))|.
а также пересекаются ЛФЧХ arg №л(/со) и argf— I/B7„(o„<»)].
Для определения устойчивости автоколебаний, а также параметров а,
и иа удобно использовать фазовую границу устойчивости (ФГУ). Эту
границу строят следующим образом. На ЛАЧХ линейной части 20Ig| №„(/&>) |
системы накладывают логарифмические амплитудные характеристики
201g|—l/WB{an; co)|, полученные для нелинейного звена на некотором
множестве значений амплитуды о„ при п=1, 2, 3... Затем на ЛФЧХ линейной
Части (pj,=arg И7л(/со) наносит вычисленные при тех же значениях о„ для
Нелинейного звена ЛФЧХ <p„=arg[— l/WH{an; <в)]. Точки пересечения
характеристик 201g|№„(/co)| и 201g|— 1/Wh(a„; <о) | по вертикали сносят на соот-
етствующие по значениям о„ характеристики <pH(w). Кривая, проведенная
ерез эти точки пересечения, будет фазовой границей устойчивости.
Построение фру показано на рис. 8.31.
В точках пересечения ФГУ с ЛФЧХ линейной части гармонически
линеаризированная система находится на границе устойчивости. Частоту ша возни-
ак>щих в TaK0g системе колебаний определяют непосредственно по абсцис-
Ч этих точек, а амплитуду ап — интерполяцией значений о„, указанных на
эрактеристиках 201g|— 1/№н(а„; w)|. Ha рис. 8.32, например, значения а,
Ределяют интерполяцией о3 и о4. Амплитуда оа может быть представлена
относительных значениях о.
231

Lm.dB
Рис. 8.31. Построение фазовой границы устойчивости
Т 2 3 * 5 6 7В9Т0 СО
Рис. 8.32 Интерполяция значений ап
Для выполнения рассмотренного ранее условия существования
устойчивых автоколебаний при пересечении характеристики 201g| №л(/со) | с
характеристикой 2.0\g\\/WK(a„; ы)\, взятой при Оа+Лоа, фазовая характеристик
линейной части должна быть выше ФГУ, а в точке пересечения, полученной
при оа=—Аоа — ниже ФГУ, поэтому предельный цикл при частоте &ь' ие'
устойчив, а при частоте ша — устойчив.
Пля звеньев с типовыми нелинейными характеристиками эквивалентный
„лексный коэффициент усиления является функцией только амплитуды ап,
к п определяют по соотношениям (8.10). При этом
гс 1
| —W„ (а„) I Y\q (an)f + [Яг (an)V
q)H(e„) = arg[-^-^jr] = arg[^^-]-l80°
1
20 lg | ~Wu {an) | =20 lg V[q ian)? + [?. (a«)]i
%(««) = arctg[-|^]-180°.
(8-">
(8.12)
Соотношения (8.11) и (8.12) показывают, что в случае типовых нелинейных
характеристик для определения ФГУ на ЛАЧХ и ЛФЧХ линейной части
системы достаточно нанести семейство горизонтальных прямых, параметром
которых будет амплитуда ап. При однозначных нелинейных характеристиках
ФГУ представляет собой отрезок прямой, лежащей на линии значений фаз,
равных —я.
Пример. Рассмотрим систему с нелинейной характеристикой типа
насыщения (рис. 8.33). Приведенные коэффициенты гармонической линеаризации
[10, 20]:
"(a)=4(«cslni + 4|/l-i-j. а>1.
где а — относительная амплитуда на входе нелинейного элемента (а—а/Ь;
Ь — величина линейного участка статической характеристики. Зависимость
Lm„ от 5"(1<^<10), т. е. Lm„(a)=-201g<?(a)=-2,2+101ga также
приведена на рис. 8.33.
Рис. 8.33. Зависимость LmH от а для статической
характеристики насыщения
233

lmtdff
801
Рис. 8.34. Определение влияния характеристики
насыщения на устойчивость и автоколебания
На рис. 8.34 показана процедура расчета нелинейных САР для трех
типов W„(j(i)), когда линейная часть САР устойчива, неустойчива и условно-
устойчива. Очевидно, что ФГУ совпадает с отрезком линии <р=—я,
ограниченным справа частотой среза в)Ср. При увеличении о амплитудные
характеристики нелинейной части перемещаются вверх, значит ФГУ необходимо
заштриховать сверху [20].
Если САР без учета насыщения устойчива (ЛЧХ линейной части
обозначены на рис. 8.34 как 1лпЛ1 и <рщ), то нелинейная характеристика типа
насыщения не может ухудшить степень устойчивости системы, так как <рЛ1 не
пересекает ФГУ.
Если линейная часть САР неустойчива (характеристики Lnu2 и <рЛ2)> т0
характеристика <рЛ2 пересекает ФГУ, переходя из заштрихованной области в
незаштрихованную. В системе возникнут автоколебания с частотой ч>20
соответствующей точке пересечения <рл2 линейной части с ФГУ. Относительная
амплитуда автоколебаний Oi=14,5.
Наконец, если линейная часть САР условно-устойчива (характеристики
ЬгПлз и флз). то при наличии элемента с насыщением в САР возникнут
автоколебания «а частоте со30 с очень большой амплитудой о2=40 (см. рис. 8.34)
Точка пересечения ЛФЧХ с ФГУ при частоте соЕз соответствует неустой^
чивому предельному циклу — автоколебаний с такими параметрами в САг
не существует.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение нелинейной САР. Охарактеризуйте
основные методы анализа нелинейных САР.
2. В чем заключается сущность метода фазовых траекторий-
234
3 Постройте фазовую траекторию системы, содержащей
н0 из звеньев (их характеристики показаны на рис. 8.1) и
°^„рционное звено.
* 4. Что такое устойчивый (неустойчивый) предельный цикл
яСтемЫ?
с 5. Какой режим называется автоколебательным? Какими
ра'метрами характеризуются автоколебания?
6 В чем заключается сущность анализа нелинейных САР
методом гармонической линеаризации?
7. Как определить в нелинейной системе, имеющей устой-
вЫй предельный цикл, частоту и амплитуду автоколебаний?
8. В чем заключается сущность анализа нелинейной САР
методом фазовой границы устойчивости?
9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Невозобновляемые ресурсы Земли (уголь, нефть, вода, лес
и т. д.) вследствие развития техники начинают убывать. В
современных теории и технике автоматического управления
придают большое значение проблеме оптимального управления,
решение которой указывает пути экономии этих ресурсов. К
числу оптимизационных задач можно отнести минимизацию массы
горючего для полета самолета или ракеты. Отношение затрат
топлива, необходимого для доставки полезного груза, к массе
этого груза обычно весьма велико. Поэтому определение
траектории, обеспечивающей достижение заданной области
пространства (т. е. цели управления) с минимальными затратами,
является чрезвычайно актуальной проблемой теории и техники
управления. Так, например, при проектировании системы
управления химического или атомного реактора стремятся решить
оптимизационную задачу, состоящую в получении максимальной
производительности реактора.
Для расчета эффективности любой системы управления
существует множество решений, и проблема управления
заключается в том, чтобы выбрать «наилучшую» совокупность этих
Решений. Однако предварительно необходимо: а) определить
Цель управления, выраженную целевой функцией (или
критерием оптимизации), позволяющей найти количественный эффект
Л1°бого решения; б) выбрать модель для анализа и определения
эФфективности принятого решения; в) изучить все состояния
сРеДы функционирования объекта, влияющие на прошлое,
настоящее и будущее процесса управления.
При решении задач оптимального управления используют
Деи вариационного исчисления, принцип максимума, а также
Ди«амическое и математическое программирование.
235

9.1. Постановка задачи оптимального управления
Задачу оптимального управления в общем случае моле
сформулировать следующим образом (рис. 9.1). °
Г
Цел*
управления
(кратерий
у проблемам) -
фумкцао//ал
3
Система
epastav/tt/x
услобаа
И
Урабнеми*
&шанмес/(ой
састе/гы
ЗЕ
Састена
oepa/raveMaa
I I
Рис. 9.1. Схема задачи оптимального управления
Даны: 1) цель управления, математически представленная
в виде некоторого функционала или критерия управления;
2) уравнения системы (обычно в виде уравнений состояния);
3) система граничных условий в начальный и конечный
моменты времени; 4) система ограничений, которым должны
удовлетворять переменные состояния и управления. Требуется
найти вектор управления, при котором критерий цели управления
имеет экстремум (т. е. минимум или максимум).
Математическая формулировка задачи оптимального управления состоит в
следующем.
Предположим, что управляемый динамический объект
описывают системой дифференциальных уравнений:
х'=/(х, u, t); x(*o)=x° (9.1)
на интервале времени (t0, tK)*. При этом векторы состояния *
и управления и могут изменяться лишь в некоторой допустимой
области, т. е.
х(*)еХ; u(/)CU, (9.2)
где X, U — заданные множества.
* В выражении (9.1) и далее функции вида f(x, u, /) в общем случа€
являются векторными.
236
Необходимо найти такой вектор оптимального управления и*,
0бы он обеспечивал экстремум некоторого функционала
(цедрой функции или критерия управления):
'к
/= ^F [х (t), и (t), t] dt +FK [x (tK)], (9.3)
to
e. переводил систему из начального х(£0)=х0 в новое состоя-
'е> расположенное внутри области FKl (хк) \^0, я удовлетворял
„аничениям на векторы состояния х(/) и управления u(t),
которые могут быть представлены в виде выражений (9.2) или
системы неравенств:
G,(x, ")>0; G2(x, u)=0. (9.4)
Следует подчеркнуть, что оптимальное управление в ряде случаев может
и не существовать и что обычно трудно утверждать заранее, существует ли
оптимальное решение для данной конкретной задачи. Поэтому часто проще
решить задачу, если это вообще возможно, и тем самым установить, что
оптимальное управление существует. Кроме того, решение задачи нахождения
оптимального управления, за исключением ограниченного числа случаев,
может быть неоднозначным.
Найдем необходимые условия для решения задачи
оптимального управления. Эти условия дают локальный оптимум.
Но если найдены все эти оптимумы, то оптимальное
управление, соответствующее глобальному оптимуму, можно найти,
выбрав среди локальных оптимумов такое управление, для
которого функционал (9.3) имеет, например, наименьшее
минимальное значение. Таким образом, в точке глобального
оптимума управление и* минимизирует функционал /;
'к
/• = jj F [х*. u*, t] dt + FK [x* (tK), tK]<
К
t
к
< \ F [x, u, t] dt + FK [x (*K), *K] (9.5)
пРи всех ueU, для которых хбХ.
9.2. Вариационное исчисление и современные задачи
теории автоматического управления
Оптимизация САУ возможна при определении главной цели
. виде минимизируемого функционала1 или целевой функции
критерия оптимизации).
фу Если каждой функции x(t), принадлежащей некоторому множеству
(иц^ий х, (x(£)£X), отвечает некоторое число J(x{t)), то говорят, что на
*естве X задан функционал.
237

Для каждого режима технологического процесса или этап
движения подвижного объекта обычно можно указать главцу/|
цель управления. Помимо этого, процессы управления долн^/1
удовлетворять ряду условий. Так, например, самолет или кос
мический аппарат необходимо вывести в заданную точку Пр0"
странства, в заданное время, с заданной точностью, израсход0"
вав при этом минимальное количество топлива.
Одна из особенностей проектирования оптимальных САУ Со
стоит в том, что систему в ряде случаев нельзя охарактериз0~
вать одним критерием. Поэтому процесс проектирования части
представляет собой упорядоченную последовательность оптимц.
зационных задач и сводится к нахождению оптимального де.
терминированного управления. Рассмотрим задачу расчета
оптимальной траектории или оптимальной программы при пом0.
щи классического вариационного исчисления. Эта задача
формулируется следующим образом.
Даны: 1) цель управления, представленная в виде
некоторого функционала или критерия цели управления; 2)
уравнения системы; 3) граничные условия в начальный и конечный
моменты времени. Требуется найти вектор управления, при
котором критерий цели управления имеет экстремум (т. е.
минимум или максимум). Пусть управляемый объект, согласно
системе (9.1), описывают на временном интервале (ti, t2)
векторным дифференциальным уравнением
x*=f(x, u, t),
где
х№"; ueR"*; (9.6)
х — вектор состояния (выходные переменные, x€R"); u —
вектор управления (переменные управления, ueRm); t —
независимая переменная (реальное время функционирования системы).
Вариационное исчисление не учитывает ограничений, кроме
условий (9.6), которым должны удовлетворять переменные
состояния и управления.
Будем считать, что область допустимых управлений и есть
множество всех ограниченных непрерывных функций и (О Й3
Vuh).
Введем скалярный критерий качества
/ = 5 /о (х. и- t)dt + V [х (t2), t2]. (9-7)
Первое слагаемое в выражении (9.7), характеризующее &
чество управления на всем интервале (t\, t2), называется йнТ^.
тральной составляющей. Второе слагаемое характеризует т0 ,
ность в конечный (терминальный) момент времени t2. функй^
fo(x, u, t), ф[х(£2), t2] являются действительными и называют
подынтегральной и терминальной частями функционала I-
238
Задача оптимального управления — отыскание такого детер-
нНированного управления u(t), чтобы функционал / достигал,
например, минимального значения. Конкретизация выражений
И%, и> 0. /о(х, u, t) и ф[х(*2) t2], входящих в (9.6) и (9.7), по-
оо5кДает различные типы задач синтеза управления.
Функционал вида (9.7) можно назвать классическим, так как он
используется в классических задачах вариационного исчисления, а
именно:
1) в задаче Лагранжа — подынтегральная и терминальная
qacTH выражения (9.7):
/0(х, и, *)*0; cp[x(*2M2]=0; (9.8)
2) в задаче Майера:
/0(х, и, 0=0; Ф[х(*2), ^]Ф0; (9.9)
3) в задаче Больца:
fo(x, и, 0^0; Ф[х(г2), t2]¥-0. (9.10)
Кроме перечисленных особый интерес представляет и задача на
максимальное быстродействие технической системы.
Задача Лагранжа. Рассмотрим сначала интегральный
функционал вида
I=^f0(x,VL,t)dt, (9.11)
который является частным случаем критерия (9.7) при
выполнении условий (9.8).
Задача управления по минимуму критерия (9.7) связана с
оптимизацией САУ по отношению к некоторому интегралу
типа (9.11). В очень многих процессах управления,
встречающихся на практике, отклонения выходной переменной от
некоторого требуемого значения являются нежелательными. В одних
случаях вычисляют среднее значение этого отклонения или
интеграл (9.11), представляющий собой, например, прибыль; в
Других случаях эффект усредняют таким образом, чтобы полу-
чить представление об ухудшении качества продукции
(убыток). Иными словами, особый интерес представляет среднее
отклонение в течение определенного интервала времени, поэтому
задача системы управления состоит в том, чтобы обеспечить
минимум интеграла этого изменения в течение заданного
интервала времени. Задачу о минимуме функционала (9.11) традицион-
Но называют задачей Лагранжа.
Задача Майера. В этом случае, согласно условиям (9.9),
минимизируемым является функционал, определяемый только
терминальной частью (9.7), т. е.
/=
ф[х(*2), *2]=min.
239

Например, для системы управления ЛА, описываемой уравне
нием
х=/о(х, u, t),
можно поставить следующую задачу — задачу Майера: опреде,
лить управление u(0, t^t^t2 так, чтобы за заданное врещ
полета достичь максимальной дальности при условии, что в
конечный момент t2 ЛА совершит посадку, т. е. x(t2)=0.
Задачу Майера можно интерпретировать как задачу управ,
ления по минимуму времени переходного процесса, или как за-
дачу перевода объекта (процесса) из заданного начального со-
стояния х(1 в желаемое конечное х(2 за минимальное время, что
обеспечивается вектором допустимого управления и (О-
Проектирование систем управления конечным состоянием основано на
том положении, что если даны начальные условия для системы,
описываемой дифференциальными уравнениями, то при отсутствии возмущений можно
предсказать ее поведение в будущем. Желаемое конечное состояние
достигается непрерывным управлением и прогнозом конечных условий. Таким
образом, желаемые конечные значения выходных переменных в системе
приводят к требуемым значениям, если даже имеются возмущения. Принцип
управления конечным состоянием применяют при проектировании, например,
систем посадки самолетов, управляемых ракет и т. д. В системе посадки
самолета прогнозируют и доводят до желаемых значений скорость снижения
и высоту в определенный момент времени, соответствующий моменту посадки.
Задачу управления конечным состоянием можно сформулировать как
задачу определения такого вектора допустимого управления и, при котором
за данный интервал времени Т система переходит из начального (хь t\) в
такое состояние, при котором одна (или некоторая совокупность)
переменная состояний принимает возможно большее или возможно меньшее
значения, а остальные переменные состояния имеют фиксированные значения в
физических допустимых пределах. Иначе говоря, систему управления
конечным состоянием проектируют таким образом, чтобы она имела желаемую
реакцию только в один-единственный момент времени, а в остальные моменты
•ее реакция может быть произвольной в физически допустимых пределах.
Задача Больца. Сводится к задаче минимизации критерия
вида (9.7) при условиях (9.10). Можно показать, что задача
Больца приводится к задаче Майера [6].
Задача на максимальное быстродействие. Данную вариаци*
онную задачу не относят к числу классических. Термином «варИ'
ационные» объединяют такие задачи, в которых минимизирУе"
мым функционалом является время, т. е.
I=^dt = t2 — ti = T\ (9.12)
tx
при f0 (х, u, t) = 1, ф[х (t2), t2]=0.
Предположим, что концы фазовой траектории управляем0'
го объекта фиксированы. Тогда задачу на быстродействие
формулируют следующим образом: определить управлейй
и(0> которое переводит объект из состояния х( в состояние *2
за минимальное время.
240
q3. Типовая вариационная задача оптимального управления
Приведем для-примера одну из типовых задач оптимально-
управления, решаемую с использованием принципа вариа-
Г<йонного исчисления, — задачу со свободным правым концом
д заданным временем переходного процесса.
Пусть заданы объект управления x(t)=f(x, и, t), началь-
ые условия х(^), время окончания переходного процесса t2
\ функционал качества в форме (9.3), т. е.
t>
I = ^ /0 (х, u, 0 dt + Ф [х (t2), t2].
tt
Образуют вспомогательный критерий качества /
прибавлением к (9.7) системы дифференциальных уравнений (9.6) с
некоторыми множителями, совокупность которых представляют
вектором МО =[М0---МО Г:
7=Ф[Х(*2). *2] +
t*
+ 5 {/о (х, и, 0 + *т (01/ (*• и, 0 - х(01} dt. (9.13)
<i
где Т —знак транспонирования; ^(/) — множители Лагранжа
(причем Ki(t)^=0 для всех i= 1; пи являются
дифференцируемыми по 0- ,
Введем скалярную функцию Я(х, u, %, t), называемую
функцией Гамильтона, или гамильтонианом:
Я(х, и, К 0=fo(x, u, 0+МОДх, и, 0, (9-14)
где функции /0(х, и, 0 и f(x, u, 0 —функции, определяемые из
выражений (9.7) и (9.6) соответственно.
Интегрируя по частям второе слагаемое в правой части
критерия (9.13) и учитывая (9.14), получим
7=Ф[х(*а). t2]±\[H(x,u, l,t)--kT(t)k(t)]dt =
=Ф [х (t2), t2] + \[H (х, u, X, 0 + ^T (0 *(t)]dt-
-M*2)x(*2) + *T('i)x(*i). f
Пусть u(0—вектор оптимального управления, который
обеспечивает минимум функционала / (или /), а
х(0—оптимальное решение, т. е. реакция системы x(t)=f(x, и, t) на
в°3Действие оптимального управления и(0-_
Рассмотрим вариацию б7 функционала /, соответствующую
вариациям векторов и(0 и х(0, имея в виду, что вариации бх(0
16-3591 241

не должны менять закрепленной начальной точки x(t\)
fix(fi)=0;
дН (х, и, X, t)
du
]Tt>u(t)dt.
(9.15)
^ Вариации бх и 6u в выражении (9.15) представляют собой
отклонение вектора состояния х от опорного, а вектора
управления и от программного соответственно; частные производные
определяются векторами:
<?Ф(.)
дх
dq>
дхг
dq
-дхП-
. дН{.)
дх
~дН~
дхг
дН
-дхп^
. дН(.)
' ..да
~дН~
диг
дН
-дит_
объекта);
где п — размерность вектора х (порядок уравнения
т — размерность вектора и.
Найдем необходимые условия экстремума функционала
(9.15), т. е. 67=0, при произвольных стремящихся к нулю
вариаций bu(t) и 6x(t) относительно оптимального вектора
управления и соответствующей ему траектории. Для того чтобы
исключить влияние вариаций bx(t), вызываемых отклонением по
управлению bu(t) на вариации вспомогательного критерия б/,
выберем множитель %(t) таким образом, чтобы коэффициенты
при 8x(t) и bx(t2) в уравнении (9.15) обратились в нуль.
Необходимые условия экстремума будут выполнены, если
вН(.)
дщ
dxi
= 0;
*=<•
(9.16)
(9.17)
* = 1, .
т.
Так как уравнение объекта x=f(x, u, t), то и вариация 67=0»
т. е. будет выполнено необходимое условие экстремума
требуемого функционала Р. Таким образом, для нахождения
оптимального управления необходимо решение системы состоящей
из уравнений (9.6), (9,16) и (9.17), т. е.
2 Приведенные выкладки не обладают необходимой математической
строгостью, чтобы рассматривать их как доказательство необходимых усл°'
вии решения вариационной задачи.
242
i(t)=/(i.u.ty,
Ш=-^; 1 (9.18)
„рй граничных условиях х(£,)=хт,
М**;—Tr\t^n
Из гамильтониана (9.14) следует, что частная производная
дН/дКг=и(хи u, t),
а функции Ki(t) при t"=l, ..., п традиционно обозначают через
tin(t). Поэтому систему из 2п уравнений (9.18) обычно
записывают в следующем виде:
Х(') = ЩГ;
ФС>=-з& <9Л9>
ди
Для того чтобы критерий 7 достигал локального минимума,
недостаточно выполнения третьего условия системы (9.19);
необходимо также, чтобы вторая производная функционала 7 при
решениях системы (9.19) была неотрицательна для всех значений
6u(f), т. е.
62/SsO.
Таким образом, решение задачи оптимального управления
сводится к решению нелинейной системы уравнений 2 n-го
порядка (9.19), причем для вектора состояний x(t) заданы
условия в начале интервала (tu h), т. е. в точке t0, а для
сопряженного вектора -ф(^) заданы условия на конце интервала [t0, tK),
т- е. в точке tfk- Такого рода задачи называют двухточечными
краевыми.
Сложность решения вариационной задачи в форме системы
(9.19) заключается именно в том, что граничные условия для
векторов x(t) и ij>(0 заданы на различных концах. Поэтому
такие задачи решают при помощи численных методов.
В случае линейной задачи с квадратичным критерием,
рассмотренным в подразделе 9.5, эти трудности в значительной
МеРе снимаются. Задача сводится к решению уравнения Рикка-
^и (9.32) по заданным условиям на конце интервала t=ty. и
°лучению оптимального закона регулирования (9.36), спра-
еДлиього для любых начальных условий.
Для решения нелинейных двухточечных краевых задач обычно применяют
Лее ЛИ ИНУЮ итеративную процедуру, основанную на выборе некоторого бо-
или менее произвольного решения, которое должно удовлетворять сле-
16*
243

дующим условиям: уравнениям состояния; сопряженным уравнениям; orpah
чениям как на управление, так и на состояние; граничным условиям, g,
исходное решение, обычно не удовлетворяющее перечисленным условиям ,Т°
тем используют для улучшения результатов, т. е. для получения следуют^'
решения, более близкого удовлетворению необходимых условий оптимальн
ети, и т. д. (т. е. до тех пор, пока не будет получено решение, удовлетй°'
ряющее им с требуемой степенью точности). °~
9.4. Приведение задачи оптимального управления
к уравнению Гамильтона—Якоби
Предположим, что функции F и Fk, входящие в функционал
(9.3) или (9.5), являются гладкими, т. е. непрерывными и днф.
ференцируемыми функциями. Пусть
/* [х (*), Ц = min / [х (t), и (t), t]. (9.201
В уравнении (9.20) левая часть не содержит u(t). Действи-
тельно, если оптимальное управление найдено с учетом
ограничений (9.4), то минимум функционала (9.3), т. е. /*[х(*), {], уже
от него не зависит.
Имеем
/«
['. 'к -1
\ F (х, и, т) dx-i- \ F (х, и, т) dx+FK [х(tK), tK] \,
t t\ J
или, учитывая формулу (9.20),
/*[x(t), t]= min \\f(x, u, T)dT+/*[x(*,), tx] 1 (9.21)
u(MK) I/ J
Пусть tl = t-[-At, тогда, разлагая правую часть (9.21) в ряд
Тейлора, получим
I*[x(t), t]= min {AtF[x{t + aAt), u(t + aAt), {t + aAt)] +
U(t,t+At)
+ I*[x(t),t] + [d-£rlx(t),t]]T^Al +
+ ^r[x(t),t]At + 0(Atf}, 0<о<1,
откуда при At->0, найдем
dl*
dt
= -min{F(x, u, t) + [^-y/(x, u*. *)}. (9-22)
Обозначим через и* управление, минимизирующее правую
часть (9.22), тогда
^ = -F[x,u*,/]+[^-]T/(x,u^). (9.23)
Граничное условие для уравнения (9.3) имеет вид
/*№), 4НЛх(4)].
Уравнение (9.23) называется уравнением Гамильтона—Якобй-
244
9.5. Квадратичный критерий качества. Линейный объект
рассмотрим теперь задачу оптимального управления для
яСтного случая линейного объекта и квадратичного критерия,
^оторУ10 часто называют задачей аналитического
конструирования оптимальных регуляторов (AKQP) Пусть уравнения
Б^ъекта имеют вид (рис. 9.2):
aft)
A(t)
&■
-W-*
Рис. 9.2. Структурная схема оптимальной системы,
реализующей квадратичный критерий
i=A(f)x(0+B(f)u(f). x(^o)=Xo, (9.24)
где х(0—n-мерный вектор состояния; u(t)—m-мерный вектор
управления; A(t) — непрерывная матрица [пХп]; В(t) —
непрерывная матрица [пХт]. Критерий качества регулирования
{x(g, u(.). *}=$(uTR(*)u+xTQ(0x)<#+
+ x^K)FKx(*K), (925>
где Q(t) — симметричная, неотрицательно определенная весовая
матрица [пХп]; R(t) —симметричная положительно определен-
ная3 матрица [тХт]\ Fk — неотрицательно определенная
матрица [пХп]1'.
Требуется: найти вектор управления и, при котором функцио»
нал (9.25) имеет минимум; определить значение /*=min/.
U
Смысл этого квадратичного функционала можно пояснить
следующим образом: выражение
к
§ xrQxdt
является мерой нормы ||х|| вектора x(t), т. е. мерой
колебательности в процессе регулирования; выражение
t
[ uTRudt
его
0п 3 Квадратичную матрицу М называют положительно (неотрицательно)
"Ределенной, если скалярная величина uTMu положительна (неотрицательна)
я всех значений вектора и, отличающихся от нуля.
245

является мерой количества энергии, используемой для управ
ления; выражение
xkTFkxk
характеризует норму llxk|| вектора х(^), т. е. отклонение от уСТа,
новившегося значения на конце интервала регулирования.
В некоторых задачах нужно стремиться к тому, чтобы все
эти три значения были возможно меньшими. Поэтому задача
оптимального регулирования состоит в минимизации функцц0
нала (9.25).
Предположим, что, в соответствии с критерием (9.25), яв-
ляющнмся квадратичной формой, выражение для I*[x(t), t] так-
же можно представить в виде квадратичной формы
I*[x(t), t]=x?(t)P(t)x{t), (9.26)
где P(t) —симметричная матрица.
Сравнивая уравнение (9.25) с (9.3) и уравнение (9.1) с (9.24)
легко видеть, что в рассматриваемом случае
> F(x, u, 0=uTRu+xTQx; (9.27)
/(х, u, 0=A(Ox+B(f)u. (9.28)
Согласно выражению (9.26),
^)Т = 2ХТР; (9.29)
(5
dI*/dt=xrPx. (9.30)
Подставляя выражения (9.27) — (9.30) в уравнение (9.22),
получим
xTPx=min[uTRu+xTQx+2TPAx+2xTPBuJ. (9.31)
u(«)
Последнее выражение можно преобразовать в виду
хтРх = - min [(u + R-,BTPx)T R (и + R'BTPx) +
и
+ xT(Q-PBR-'BTP + PA+ATP)x].
Если матрица R является положительно определенной, то
выражение (9.31) имеет минимум при
U*(f)=-R-'(0BT(0P(*)x(f).
т. е. когда выражения в первых двух скобках в формуле ,(9.31)
обращаются в нуль. Но тогда
хтРх=— xT(Q—PBR-»BTP+PA+ATP)x.
Полученное уравнение справедливо для всех x(t), поэтому
—Р(0 = РА+АТР—PBR-'BTP+Q. (9.32)
Уравнение (9.32) является матричным нелинейным дифферей'
циальным уравнением Риккати. Граничные условия можно опре*
246
пить из следующих соображений. Согласно выражению (9.25),
Слагая в нем t0=h, получим
l*[x(tk), *k]=xT(0FkX(*k),
тКуда, учитывая формулу (9.26), найдем ,
xT(^)P(/k)x(^)=xT(4)Fkx(M,
сЛедовательно,
P(^k)=Fk.
£Сли Fk=0, то P(^k)i=0.
Согласно (9.26), оптимальное значение /* критерия (9.25)
/*[x(fo), t]=x4t0)P(t0)x(tc). . (9.33)
Выражения (9.32) и (9.33) остаются справедливыми для
любого начального значения t, т. е.
и* (/) =_R-i (f) Вт (0 Р (*) х (t) (9.34)
I*[x(t), t0]=x?(t)P(t)x{t). (9.35)
формулы (9.34) и (9.35) 'представляют собой решение
поставленной задачи оптимизации.
Равенство (9.34) можно переписать в следующем виде:
и*(0=К(0х(0. (9-36)
где
К(0=—R-40BT(0p(0-
Анализ выражения (9.36) позволяет сделать следующие
выводы:
1) закон регулирования (9.36) приводит к структурной
схеме с ОС, так как вектор управления непосредственно
зависит от вектора состояния x(t);
2) закон регулирования (9.36) является «кинематическим»,
а не «динамическим», так как в нем не содержатся
производные или интегралы от х;
3) закон регулирования (9.36) даже в случае объекта и
критерия с постоянными параметрами содержит матрицу K(t),
зависящую от времени. Следовательно, замкнутая система
регулирования является системой с переменными параметрами;
4) основные трудности задачи оптимизации —
необходимость решения матричного уравнения Риккати и выбор весо-
Вь1х матриц Q и R;
5) решение характеризует свободные колебания системы.
' Заметим, что решение задачи оптимизации ранее было
получено в предположении, что внешние задающие (или
управляющие) воздействия отсутствуют.
Рассмотрим задачу оптимального регулирования для слу-
Чая, когда интервал оптимизации T=tk—ft) бесконечен. Эта
задача имеет решение только в том случае, если система
полостью управляема:
247

u* (f) =—R' (0 BT (f) Р (f)x(O,
где P(t)—так называемое установившееся решение уравнени
Риккати (9.33) при граничном условии P(t, Г,): н
PM-HmPfrT,).
7*-*оо
Пример. Поясним приведенные результаты на следующей задаче. Даиы
линейный объект 2-го порядка
<Ру
dy
ац-572+а1-г. + а0у=и
df
(9-37)
и критерии оптимизации вида
-- г
I=l(y2 + ru*)dt.
о
где г — коэффициент.
Найти вектор оптимального управления u*opt(0-
Введем переменные состояния
*i={/; x2=Xi — y.
Уравнение (9.37) перепишем в виде
bJ"L~2~lJ+LiJ'-aJ'
Из выражений (9.28) и (9.38) следует, что
Матричное уравнение Риккати (9.32) принимает вид
L «2 «J [I --
1Рп P22J — L «2 J Lp,2 PszJ
или
(9.38)
Pn Pn
.РП PS2
]-
Pw Pli
Pl2 />22
—ГРи Р гг—— Pn
Й0
Й2
Ргг Pn—— Psi
Pl2
РпРы
РхгРгг
a22
P22
(9.39)
L «2Z a2z _
Сравнивая левую и правую части равенства (9.39), получи
—Ри=1—2—/>,,-
Р?2
Гв22
248
-Pi2 = 2p,,—2—р,2-
«1
—Р22 = 2р,2—2—Р;
РкРз2
га-?
„2
РЧ2
га.
Оптимальное управление будет описываться, согласно формуле (9.34)
выражением
* «л 1 Гл " 1 ГР" ^>г1 Г у~\ р™ р™
Гйг
{/
На рис. 9.3 приведены кривые, полученные в результате решения
уравнений иа ЭВМ при «о—а]—«2=1; г=1. При этом видно, что во мере
увеличения t функции pn, pi2, P22 стремятся к установившимся постоянным зна-
N
J
<"'
1
\
-
<м
«5>ч
Рис. 9.3. Кривые p(t)
чениям и для достаточно больших t дифференциальные уравнения для рп,
Рц, Р22 сводятся к алгебраическим уравнениям:
0=1-2-^р12
„2
Pi 2
Гв2
0=2Л1-2-Ьрм
Й2
0=2Pl
Й2
Р22-
P12P22
гя82
2
Р22
ГЯ.
Но
Н° Полученные уравнения нелинейны, и непосредственное решение их
затруднительно. Поэтому их решение удобнее находить, наблюдая дифференциаль-
Г* Уравнения для переменных ри, Pn, P22 на математической модели, а так-
*е наблюдая, к каким установившимся значениям они стремятся при доста-
0<i8o больших значениях времени t. Для рассматриваемого случая
Рц(оо)=0,91; р1г(оо)=0,41; р^оо^О.Зб.
Ко Найдем условия, при которых матрица К коэффициентов усиления в за-
ч 8е Регулирования (9.36) не зависела от времени. Для этого необходимо,
*обы решение Р уравнения (9.32) удовлетворяло условию Р=0 и чтобы все
"тРнцы
в правой части уравнения Риккати (9.32) не зависели от времени.
24 9

В этом случае установившееся решение Р является решением нелинейног
алгебраического уравнения °
РА+АТР— PBR-'BTP+Q=0.
Таким образом, матрица К не зависит от времени только в том случа6
если оптимизацию проводят на бесконечном интервале, объект регулирования
стационарен и весовые матрицы R и Q, входящие в критерий (9.25), не завц.
сят от времени. Для этих условий можно сформулировать критерий устойчц~
востн замкнутой оптимальной системы регулирования. Уравнения для такой
системы легко получить подстановкой закона (9.34) в уравнение (9.24).
х=(А—BR->BTP)x,
и критерий устойчивости заключается в следующем.
Замкнутая система регулирования асимптотически устойчива, если пара
[A, D] полностью наблюдаема, где D — любая матрица, удовлетворяющая
условию
DDT = Q,
а квадратичная форма хтРх является функцией Ляпунова.
9.6. Оптимальные ПИ-регуляторы
В подразделе 9.2 был дан метод расчета линейных
оптимальных регуляторов с обратной связью по вектору состояния.
Такие регуляторы позволяют свести к нулю с течением времени
влияние на выход объекта ненулевых начальных условий или
кратковременных импульсных воздействий. Однако в случае
постоянных или медленно изменяющихся входных воздействий
такие регуляторы не могут обеспечить равенство нулю
отклонений регулируемых величин от заданных значений. Для того
чтобы они удовлетворяли такому требованию, закон
регулирования должен содержать не одну, а две составляющие, одна из
которых зависит от вектора состояния, а другая — от интеграла
вектора состояния. Такие регуляторы называют
пропорционально-интегральными, или ПИ-регуляторами.
Рассмотрим следующую задачу.
Предположим, что задан линейный динамический объект с
постоянными параметрами, описываемый уравнениями
х=Ах+Ви, х(г0)=х°, ' (9.40)
причем критерий качества регулирования имеет вид ,
со
/[х(д, и, у = $ (uTRu + uTSu+xTQx)^, (9.41)
и
где S — положительно определенная; R и Q — неотрицательно
определенные симметричные матрицы.
Предположим, что начальное значение управления и(*°'"Г
=u° задано. Необходимо найти управление и*, минимизирУ10'
щее этот критерий.
Введем новые переменные
250
новые матрицы
*-[$ ?]• В, = [?]. «.-8. *-|? £]■
В новых переменных уравнение (9.40) и критерий (9.41)
соответственно примут вид
z-A.z+B.v, z(t0)=z°; (9.42)
оо
/ [z (У, v, У = \ [v fR,v + zTQz] dt. (9.43)
'о
На рис. 9.4 показана система, описываемая уравнениями
(9.42). Применим в этой системе теорию оптимального регули-
I 1
/
±*Ах+Ва
1 *
1 и
I -.
Ряс. 9.4. Структурная схема ПИ-регулятора
рования, предварительно проверив условия управляемости и
наблюдаемости. В результате получим схему регулирования
(рис. 9.5). Эта схема с безынерционным регулятором может
Г
• ОР
i'Ax*Ba
1
.J
П
*
1
БР
!±р
к
.zj
Рис. 9.6. Преобразованная схема ПИ-регулятора
РР —объект регулирования; БР —блок регуляторов
251

г
1
1
1
1
а
S
ит
к2
it
1—
1
■—*■
1
[ОР
х=Ах+Ви
■,..,—■-... -»
и
г 1
1—1 ->■
i
С\*
У
*,г
l
п
1
1
1
1
1
1
1
1
5 1
Рис. 9.6. Схема системы, состоящей из объекта регулирования
и линейного динамического регулятора
быть преобразована в схему, показанную на рис. 9.6,
состоящую из первоначального объекта регулирования ОР,
описываемого уравнением (9.40), и линейно динамического
регулятора Р.
Далее будет показано, что эту схему можно также
преобразовать к виду, показанному на рис. 9.7, где регулятор
осуществляет обратную связь по вектору состояния и интегралу от
вектора состояния (регулятор типа ПИ). То, что эти регуляторы
являются искомыми оптимальными, будет ясно из дальнейшего
изложения.
Г
1
! !
1 г
1 S
i
\
\
l_
г
1
1 -.
^
i£'
х=Ах+Ви
S
*1
<
*-
1
1
1
1
1 ?
1
J
/
Рис. 9.7. САР с оптимальным ПИ-регулятором
252
Итак, найдем минимум функционала (9.43) при условии
/о 42). Предварительно заметим, что для существования зако-
' регулирования и конечности функционала (9.43), а также
^я асимптотической устойчивости замкнутой системы
необходимо принять два дополнительных допущения:
^ пара [А4, В,] полностью управляема;
пара 1А1( D,] полностью наблюдаема для любой D,T, удов-
еТворяющей условию D,D,T=Qi. При выполнении этих
допущений можно использовать результаты, полученные ранее,
согласно которым оптимальный закон регулирования имеет вид
v*=_RriB,TPz
I*[z(t0),to]=^(t0)Pz(t0).
Здесь
p = hmP(t,T) = MmP(t, T).
Т-*са t-t-co
Причем Р есть решение уравнения Риккати:
__p=PAI+A1TPJ-PB1Rr,B1TP+Q,
Р(7\Т)=0.
Первое предположение обеспечивает существование Р, а^
второе определяет асимптотическую устойчивость замкнутой
системы
i=(AI-BIR,-1BiTP)z.
Можно показать, что оба предположения эквивалентны
допущениям, которые ранее делались для уравнений (9.40),
(9.42), и что оптимальные значения показателей качества
регулирования, согласно уравнениям (9.41) и (9.43), одинаковы.
Перейдем теперь к интерпретации результатов
минимизации расширенной системы, для того чтобы получить решение
задачи минимизации для первоначальной системы. Как это
было замечено ранее, оптимальное управление и* для
модифицированной проблемы регулирования удовлетворяет равенству
"^v при u*(*0)=u(f0). Минимальное значение /* одинаково
Для обеих задач:
/Пх(*0), и(*оМо]='*И*оМо].
Оптимальное управление и* и минимальное значение /*
м°Жно выразить через параметры модифицированной задачи
СлеДующим образом.
Пусть
P=fPl1 P2'
P21 P22,
-С. _
Оптимальное регулирование
253
i

u"=v*, u*tf0)=u°
определяют выражением
*-№—СТЕ21И-
=[xT(g.uT(gi
fPn pJ.]
[р21 p22j
= -S->P21x-S-ip22u*.
т. е. оптимальное регулирование и* имеет вид \
u*=K,Tx+K2Tu* и u*(*0)=u°. (9.44)
Здесь
kj=-s->p22.
Минимальное значение показателя качества /:
/ [х (g> u (g. g = '* [z (g. д=zT eg pz (д=
и(^]=хТ(др11х(д+
+2Ut (д р21х (д=ит (д р22и (д.
Необходимо заметить, что при u(g=0
/•=х*(*о)РцХ(*о).
Матрицы Рш P2i, Р22, входящие в оптимальный закон
регулирования и в минимальное значение /, можно найти как
пределы Р„, Р2) и Р22 при t-*-oo, причем
-P11=P))A+ATP1)-P21TS-'P2)+Q; Ptl(T) =0;
—P„ = PMA+BTPlt-P2J!S-*Pai;Plt(7')=0;
-P22=P21B+BTP21t_P22S-'P22+R; Р(Г)=0.
Итак, получено решение задачи оптимального
регулирования при наличии производной и от регулирующего
воздействия и.
Полученным результатам можно придать несколько другую форму,
свидетельствующую о том, что регулятор действительно являтся ПИ-регулято-
ром. Согласно уравнению (9.40),
и= В-1 (х—Ах) = (ВтВ)-1ВТ(х—Ах).
Полагая, что ВТВ положительно определена, уравнение (9.44) перепиЮеМ
в следующем виде:
и'*=Кзтх+К4тх; u*.(<„)=u°. (94б)
Здесь
К3т = К2т(втв)-1ВТ; К4т=К1т—КзтА.
Интегрируя уравнение (9.45), получим ' ,
t с\
u*(t =Kjx(t +JkJx(t rft + u(M — K3fx(4)- (9-
254
0з уравнения (9.46) видно, что оптимальное регулирование реализовано
йде ПИ-регулятора. Таким образом, схема оптимального регулятора имеет
Р „ показанный на рнс. 9.7 или рис. 9.8.
^рассматривая расширенную систему (9.42) как первоначальную и при-
йЯя ту же процедуру, можно получить решение задачи оптимального ре-
й лйрования при наличии вторых производных от управления и.
9.7. Понятие о принципе максимума
Принцип максимума может рассматриваться как обобще-
нйе классического вариационного исчисления на случай, когда
уПравляющие воздействия и(^) принадлежат к замкнутому
множеству, т. е. их значения ограничены определенными
пределами, что всегда имеет место на практике.
Принцип максимума дает изящный способ решения задачи
детерминированного оптимального управления. Он позволяет
только в общем случае найти необходимые условия оптимума»
а в отдельных случаях — необходимые и достаточные условия,
как например в задачах с квадратичным критерием и
линейными уравнениями объекта. Однако использование этого
принципа, так же как и вариационных методов, затруднено
решением двухточечных краевых задач. Кроме того, он не
позволяет определить оптимальное управление как функцию и(х)
переменных состояния и поэтому остается открытым вопрос о
реализации системы управления как замкнутой системы с
обратной связью.
Принцип максимума Понтрягина. Ранее была рассмотрена
задача Лагранжа и сформулировано необходимое условие
оптимальности. Оно состоит в том, что оптимальное управление
должно быть стационарной точкой функции Гамильтона (9.14),
т- е. удовлетворять векторному уравнению
ди
Основное предположение, сделанное при решении задачи
Лагранжа, состояло в том, что управление может принадлежать
всему пространству U, т. е. на управление не налагалось ни-
Каких ограничений. В практических задачах, однако,
необходимые условия, определенные ранее, естественно, не пригодны.
Согласно теореме Понтрягина, получившей название
Принцип максимума», оптимальное управление должно обес-
Печивать функции Гамильтона максимальное значение.
Введем понятие допустимого управления. Вектор управле-
ия будет допустимым, если каждая его компонента
М/), i= 1, 2,..., m является ограниченной кусочно-непрерыв-
°й функцией, такой, что u(£)eU для всех t, t^t^.^. Началь-
^й момент времени tt предполагают фиксированным, а
косный t2 может быть как фиксированным, так и нефиксиро-
еанньщ.
255

Чтобы проиллюстрировать понятие допустимого управленц
рассмотрим систему с двумя управляющими входами u, (n ч>
u2(t), на которые наложено ограничение й
где М0 — некоторая положительная константа.
Множество U, т. е. и„ иг щ, состоит из внутренней ча»
сти и границы круга радиусом М0 (рис. 9.8). В данном случае
управляющий вектор на плоско,
сти щ, и2 может иметь любое На-
правление, но его значение огра.
ничено М0. Таким образом, уп,
равление u(t) как функцию вре-
мени t будем искать в классе
кусочно-непрерывных функций.
Единственное затруднение,
которое возникает по сравнению
с задачей Лагранжа, заключается
в появлении нового условия
допустимости управлений. В связи
с этим допустимые вариации
Рис. 9.8. Область допустимого управления должны удовлетво-
управления рять уравнению
u=u+6u ueU (9.47)
т. е. вариации управления не могут быть произвольными, они
должны удовлетворять заданным ограничениям.
Если х, и реализуют минимум /(х,и), то необходимо,
чтобы вариации (9.15) функционала (9.7) были неотрицательны
6/(х, и, бх, 6и)>0
для любых допустимых вариаций бх, би.
Постановка задачи. Сформулируем задачу оптимального
управления в виде, удобном для последующего изложения
принципа максимума и его приложений, а также уточним ряД
понятий и определений.
Пусть состояние управляемой системы характеризуете"
л-мерным вектором состояния x(t). Целенаправленное воздей'
ствие на процесс можно осуществлять с помощью т-мерног°
вектора управления u(t). На векторы управления и состояние
могут накладываться ограничения:
u(0eu, х(0ех,
где U и X — области допустимых управлений и состояний coof
ветственно.
Будем считать допустимыми управляющими воздействий^
кусочно-непрерывные функции на отрезке управления \tit U]
точками разрыва первого рода. Между u(t) и x(t) существ
256
рйсимость, записываемая в виде системы дифференциальных
равнений
££ = fi{x,u), /=1,2 п, (9.48)
at
где Xi —1_я координата (переменная) вектора состояния.
Заданы граничные условия: начальное состояние
управляли системы х(4)=х° и конечное состояние x(tK)=xK в
^.мерном фазовом пространстве. Момент времени tz полагаем
не зафиксированным, а характеризующим только момент
перехода в конечное состояние хн. Цель управления описывают
функционалом (9.7) при равенстве нулю терминальной части,
т. е.
и
/ = J/0(x,u, *)<#■ (9.49)
Теперь постановку задачи оптимального управления можно
сформулировать следующим образом.
В n-мерном фазовом пространстве X6R" даны две точки
х, и х2. Среди всех допустимых управлений, для которых
фазовая траектория, исходя в момент tB из точки, х,, приходит в
точку х2 в 4, найти такое управление, при котором
функционал / типа уравнения (9.49) принимает наименьшее
возможное значение (о минимуме функционала речь идет только
для определенности). Такое управление называют оптимальным,
а соответствующую ему фазовую траекторию — тоже
оптимальной.
Постановку задачи можно видоизменить, введя в
рассмотрение еще одну координату вектора состояния,
характеризующую текущее значение функционала:
x0(t)=\/0(x,n,t)dt (9.50)
Дифференцируя уравнение (9.50), получаем уравнение
относительно новой координаты вектора состояния
§6=/о(х. и) (9.51)
с граничными условиями
*о(*,)=0, *о(М=*. (9-52)
еперь речь будет идти о (п+1)-мерном фазовом пространстве
1ДЛя пространства состояния сохраним обозначение XeRn+)).
Приведем новую постановку задачи, эквивалентную
предыдущей [6]. В (n-f-1)-мерном пространстве X заданы: точка с
о°°Рдинатами (0, х,) и прямая Я, проходящая параллельно
.Си х0 через точку с координатами (0, х2). Среди всех допусти-
Ь1х Управлений, для которых соответствующая фазовая траек-
17—3591
257

тория, исходящая в момент времени из точки (0, х,), пересечет
прямую Я, найти управление u{t), обеспечивающее
наименьшее возможное значение координаты пересечения прямой п
вдоль оси д;0.
Постановка задачи геометрически интерпретирована ДЛя
случая рис. 9.9.
у
Рис. 9.9. Постановка задачи оптимального управления
Основная теорема — принцип максимума. Кроме основной
системы уравнений (9.48) и (9.51) с граничными условиями
(9.52)
(9.53)
^2 =/,(*,«), i = 0, 1,2 п,
введем в рассмотрение дополнительную систему
дифференциальных уравнений относительно вспомогательной вектор-
функции яр*:
а-&=-2Ш*> ' = °-Ь2 п. (9.54)
.7=0
Целесообразно записать уравнения (9.53), (9.54) в более
удобной форме. Для этого введем функцию Гамильтона в следУ'
ющем виде:
п
Н (х, ф. и) = 2 // (х. и) <Ь=Г* (х, и). (9-55>
.7=0
Системы уравнений (9.53) и (9.54) теперь можно объединить
записью в форме так называемой системы Гамильтона (кано'
нических уравнений Гамильтона):
dxt_dH. d^_ _дН_ ; = п , 9 п (9.5б)
dt <%' v dt
dxf
i = 0, 1, 2, ..., n,
258
где фгт —элемент функции я(зт= СМ'о, tyn ..., я]э„)T размерности
,^1; Т —знак транспонирования ,в уравнении (9.55).
Из системы канонических уравнений (9.56) следует, что
функция Гамильтона есть непрерывная функция 2(n+,l)+m
0еременных х0, xt хп; ty0, уи ..., i]v, и„ ..., ит. При
фиксированных х и яр функция Гамильтона Я есть функция только
^правления и и времени t.
Система Гамильтона (9.56) обладает интерсным
свойством: частная производная от функции Я по переменной ■ф1
равна скорости изменения переменной хи а частная
производная от функции Я по переменной xt — скорости изменения
переменной %.
Обозначим через М{х, яр) максимальное значение (точную
верхнюю грань) функции Гамильтона Я:
М(х, ij))=sup#(x, яр, u). (9.57)
Формулировка основной теоремы. Пусть вектор u(t) на
отрезке (£о, ^i) —допустимое управление, удовлетворяющее
условию задачи. Тогда для оптимальности управления u(t)
необходимо, чтобы существовала ненулевая вектор-функция яр(/;),
такая, что:
1) для всех t на отрезке (tu t2) функция Гамильтона как
функция u, ueU достигала максимума, определяемого
выражением (9.57):
H[x(f), u(0, W)]=M{x(t), ♦(/)]; (9-58)
2) в конечный момент времени t=t2 выполнялись
соотношения
ШХО, M[x(t2), q(t2)]=0. (9.59)
Ввиду важности п. 1 теорема названа принципом
максимума. Подчеркнем, что этот принцип в общем случае дает
необходимые условия для определения оптимального управления
МО-
Таким образом, имеет 2(n-f-l)+m соотношений (9.53), (9.54)]
и (9.58) (т соотношений дает п. 1 принципа максимума) меж-
ДУ 2(n+l)-f-m координатами векторов x|f), ty(t} и u{t), Так
как т соотношений — недифференциальные, то решение систем
(9.53), (9.54) и (9.58) зависит от 2(п+1) неизвестных
параметров; кроме того, tz>tl (или U—h=T) является параметром.
Один из параметров несущественен, так как яр(£) определяется
с точностью до общего множителя в силу однородности Я
относительно яр.
Итак, для нахождения 2(п+1) параметров имеем 2(п+1)
гРаничных условий на функцию x(t) и уравнение (9.59).
Применение принципа максимума для синтеза системы,
оптимальной по быстродействию. Линейное оптимальное
быстродействие. Важным для технических приложений является класс
17*
259

задач на оптимальное быстродействие: требуется найти управ,
ление и(/), переводящее точку в фазовом пространстве из со.
стояния k в момент tt в состояние k' за минимальное время
Поэтому функционал (9.7) в данном случае
и
I = ^dt = t2—tlt /0[x,u]=l.
Функция Гамильтона принимает вид
п
Н (х, ф, и) = 2 У] (х. и) ty=1И- Я, (х, ф, и),
1 п
7=о
где
п
Нх (х, ф, и) = 2 /, (х, и) ф/
"фо^^О — неположительная постоянная, полученная на основании
п. 2 принципа максимума.
Значение ip0 влияет не на u(t), а только на значение
максимума. В случае принципа максимума при нахождении
оптимального быстродействия имеем функции #,(х, ф, и) и
М (х, 1р, u) =max Я, (x, ф, и); поэтому равенства (9.58) и (9.59)
основной теоремы представим соответственно в виде:
Сформулируем задачу на линейное оптимальное
быстродействие. Применим принцип максимума для нахождения
оптимального быстродействия САР, которую описывают системой
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
т
Чг = 2 аЧх1 + 2 Му (* = Ь 2..... я). (9.60
/=i >=i
Полагаем, что управляющие воздействия подчинены
ограничениям вида
\u,{t) \<MU Mt>0, /=1, 2, ... т. (9.61)
Требуется минимизировать время перехода системы (9.60) из
состояния х° в х1, т. е.
Im = t\ to-
Составим функцию Гамильтона
п п т п т
нх (х. ф, и)=2 Mi=2 ф* 2 «'Л+2 ф* 2 *л- <9,62)
г=1 /=i ;=i i=i /=i
260
;
изменим порядок суммирования во второй группе слагаемых
в (9.62):
п т т п
Я(х, ф, и)=2ф/2 ЗД+2 «у 2 Ф!*!у
'=1 7=1 /=i /=i
(9.63)
г=1 7=1
7=1
/=i
На основании принципа максимума вектор-функцию u(t)
следует искать, исходя из максимума Я(х, f (и)) относительно
u(t), для всех * из (t0, U) при учете ограничения (9.61).
Нетрудно видеть (рис. 9.10), что значение, принимаемое щЦ) в
Рнс. 9.10. Формирование оптимального управления
п
каждый момент t, определяется знаком 'Lbij^i(t) в гамильто-
i=i
ниане (9.63), т. е. изменение и, (t) происходит по закону
п
Uj(t) = Mjsgn2 b,fll(i) = MJsgnCJ(t). (9.64)
/=i
У" = 1,2, .... n,
где С} — оптимальная функция переключения, М,=const.
Таким образом, 1-е свойство управления в задачах на
линейное оптимальное быстродействие следующее: управляющие воз-
Действия Uj(t), /=1, 2, ..., п представляют собой кусочно-по-
Стоянные функции, которые принимают либо максимально,
либо минимально допустимые для них значения. Иначе: оптималь-
н°е управление принимает значения на вершинах многомерного
ПаРаллелепипеда U (9.61).
Изменим порядок суммирования в первой группе слагаемых
Функции Гамильтона (9.62):
п п п т
н (х, $, и)=2 *j 2 ачь+2 Ф* 2 ъчиг
7=1 1=1 i=l 7=1
261

Уравнения гамильтоновой системы (9.55) относительно вспом0
гательной функции -ф (/) будут иметь вид
d^t
, dt^-Hajrt" *'=L2 п. (9.ба
Эта система уравнений является однородной; следовательно
общее решение можно записать в виде '
п
' Ф'Ю*= 2 AyeV для всех i=l, 2 п, (9.66)
где "К, — совокупность корней характеристического уравнения
или собственные значения матрицы А.
Полагаем, что Xit /=1, 2, ..., п являются простыми
вещественными корнями. Тогда каждая из функций "§t{t) как сумма
монотонных функций не более (п—1) раз пересекает ось t.
п
Так как функция C}(t) — 2 b{}${(t) является суммой п моно-
тонных функций, то можно сформулировать 2-е свойство
оптимального управления u(t).
В случае задачи на линейное оптимальное быстродействие
систем n-го порядка, корни (9.66) характеристического
уравнения которых вещественны, управляющие воздействия имеют не
более п промежутков знакопостоянства или не более (п—1)
переключений.
Пример. Пусть управляемая система представляет собой двойное
интегрирующее звено, т. е.
d2x
а ограничение иа управляющее воздействие имеет вид ]ы(/)]^1. Требуется
иайти управление u(t), переводящее фазовую точку из х° в начало
координат фазового пространства за минимальное время.
1. Введем фазовые координаты
i
dxx
dt '
тогда в нормальной форме корни уравнения системы типа (9.53) запишем в
виде
dXj dxt
2. В соответствии с (9.55) выражение для функции Гамильтона
Н(Х, ф, U) =ф1ЛГ2+ф2М.
Система уравнений Гамильтона (9.56) относительно вспомогательной
вектор-функции (9.66) имеет вид
Отсюда '
262
^1==—Ci=const, ^2=Cit+C2.
3 На основании свойств управления, согласно закону (9.64),
Г 1, CJ + i
1, С,*+ 00,
-Сг<0.
ч,гло переключений управления u(t) — не более одного. Уравнения семейсг-
4f базовых траекторий при и(*) = 1, jtf/2-=*,+C, и при и(/)=—1, *22/2=
BJtZ.Xi+C2 показаны иа рис. 9.11а и рис. 9.116 соответственна Под
действиям *>
и=-1
Рнс. 9.11. Фазовые траектории
ем управления ы=±1 фазовая точка может попасть в начало координат
только по выделенной траектории; для того.чтобы фазовая точка попала в
начало координат не более чем за одно переключение, движение должно быть
организовано, как показано на рис. 9.12. Систему, реализующую подобное
оптимальное по быстродействию движение, можно реализовать в
соответствии с рис. 9.13.
Рнс. 9.12. Фазовые траектории и оптимальный
процесс
263

К *i
г
1
♦/
-f
JJ
IT*
tf
1
s
X-JCj
Phc. 9.13. Схема системы оптимального управления при
_. M=Afsgnifi
Задача оптимального управления линейным процессом.
Рассмотрим простой линейный процесс, характеризуемый
уравнением (9.60):
х=—ах-\-"\и,
где с и 1 — положительные постоянные.
Начальное состояние процесса x(to)=xQ, а управляющее
воздействие ограничено: |и|^М. Определим управляющее
воздействие u(t), которое обеспечивает минимум показателя
качества (9.7), т. е.
/(а) = J х* (и, t) dt.
Положим, что Xi=x, и пусть новой координатой будет
х2=К xx2dt.
Тогда дифференциальные уравнения системы (9.60) примут вид
х1=—а1х1+^щ х2=х12.
Задача сводится теперь к определению управляющего
воздействия u(t), минимизирующего критерий /. Функция
Гамильтона (9.14) для этой системы имеет вид (9.62)
И=ijpif 1+^2=^1 (—axi+^u) +^2хх2.
Для применения принципа максимума необходимо найти
максимум функции Гамильтона по отношению к и. Очевидно,
что функция Гамильтона имеет максимум, если знак управляю'
щего воздействия и, согласно (9.64), совпадает со знаком if>i, a
его значение равно максимально допустимому значению М, т. е-
«=MsgrMjji,
где s
264
1. %>0;
sgn ip 1 = о. »pi = 0;
1-1, 1*<0.
Канонические уравнения Гамильтона (9.56) имеют вид:
дН • „
Л^Л^' x1=—axl+-iu, х2=х12,
ipj = — Лё",' Ui ^ а$1 — %х1§2> ij)2=0-
Начальные условия для х:
x1(t0)=x°=xl0, x2(t0)==0.
Граничные условия для if:
ф, (*!)=(), $2(tl)=— 62=—1, ф1('о)=Фи>.
Так как
то
■ф2 (0 = COnst = 1.
Подставляя условия (9.65) максимума функции Гамильтона в
канонические уравнения (9.56), получим
Х\——ах\+1М sgntyi,
^1=сф1—2xi"^2=a^\-\-2xi.
Известные из условия задачи граничные условия для этих
двух дифференциальных уравнений имеют вид:
*i(fo)=Jt°;Mfi)=0.
Это и есть задача с граничными значениями в двух точках,
так как граничные условия заданы для обоих концов
траектории. Теперь приведенные ранее два дифференциальных
уравнения необходимо решить относительно Х\ и -§х при этих двух
гРаничных условиях. Процедура решения заключается в
выборе наугад значения tyi(to)—p и в нахождении значений Xi и
*ь При которых удовлетворяется другое граничное условие
M^i)=0. После того как определено tfi(*o). находят
управляющее воздействие u=Msgntyu которое переключается согласно
знаку функции rpi(0- Следовательно, % (t) —- требуемая
функция переключения. Стратегия оптимального управления и=
^Msgnij)! может быть легко реализована (рис. 9.14).
Иногда легче определить if>i (t) при помощи аналоговой
иодирующей установки. Из рйс. 9.15 следует, что управляющее
°3Действие образуется посредством подачи переменной состоя-
нНя в схему, отмеченную пунктирной линией и известную под
с^3ванием сопряженной системы. Последнее понятие будет рас-
Отрено в дальнейших разделах. Оптимальное управляющее
265

Рис. 9.14. Структурная схема
оптимальной САР
Рис. 9.15. Схема оптимальной САР с сопряженной системой
(1)
воздействие является нелинейной функцией переменной
состояния. Следует отметить, что закон управления не может быть
выражен аналитически как функция переменной состояния.
Такую схему оптимального управления иногда называют
релейным вариантом оптимального управления.
Задача оптимального управления конечным состоянием. При
отсутствии ограничений на вектор управления в задаче Майера
классического вариационного исчисления определяют значение
функции от координат состояния в конечный момент t—t\, т. е.
Пусть управляемую систему описывают системой
дифференциальных уравнений rt-го порядка
§-' = // (х, и) = /, (х) + 2 dtjUj, / = l,2,
т
(9.67)
с граничными условиями x(f0)=x°; x(tl)=xl.
Эти уравнения линейны относительно m-мерного вектора управ-
ления u(t). На управляющие воздействия накладываются огрЗ'
ничения вида
\щ\^М- (М,->0), /=1, 2, ..., т. (9.68)
Требуется определить вектор управления, минимизирующий
функционал
I = ^[xx{t), x2(t) xn(t)]t=tl.
1. Введем новую координату
x0(t)=<p[x(tn
266
^оПолнительное дифференциальное уравнение относительно
It) запишем в виде ,
л
~dt ~ dxi dt
граничными услоэиями
Хо№)=ф[хо], x0{t)=I.
2. Функция Гамильтона (9.14) для системы (9.67)
^дх[ dt '
Выполняем ряд несложных преобразований функции #(х, ф, и):
1=0 ' i=\ *
шолняем ряд несложных преобраз
tf(x.<M) = 2(*i-^)/*(x. и)==
п . п т
л . т п
При выполнении преобразований, в силу ^=0, ^{t\)=—1,
полагаем ■ф0(0==—1-
3. На основании принципа максимума при введенных
ограничениях оптимальное управление конечным состоянием для
данной системы определяют выражением
Uj(t) = Mjsgn^[Ь-Щdtj, 1 = 1,2, ....т. (9.69)
Таким образом, управление ut{t) является
кусочно-постоянной функцией.
Оптимальная функция переключения
ад-|(*-£Ц , .
Может быть вычислена после решения гамильтоновой системы
^Равнений при заданных граничных условиях.
Задача управления на минимум расхода энергии. Это — за-
^ача оптимального управления, имеющая большое практическое
рачение. Расход энергии, затраченной на управление,
пропорционален интегралу по времени от квадрата управляющего
воздействия. Если расход энергии по всем входам брать с
одинаковыми весовыми коэффициентами, то функционал (9.7) можно
Писать в виде * v
2 67

где 1/2 — коэффициент, введенный для удобства последующ^
выкладок.
Система, описываемая дифференциальными уравнения^
n-го порядка:
п т
Ж = 2 a'JxJ+ 2 ьФг 1 =^~п- (9-70)
Рассмотрим два случая определения оптимального управление
по расходу энергии на управление: 1-й, когда на вектор
управления не накладывается ограничений; 2-й, когда управляющее
воздействия подчиняются ограничениям вида
MOI<Mj(Mj>o),/=i.n-
Введем новую координату
'.
Соответствующее, этой координату диффзэачдиэлыэз уразне
ние
т
при граничных условиях х0(/о)=0, xo(ti)=I. Функция
Гамильтона для этой системы имеет вид (9.70)
т п п п т
Меняем порядок суммирования в последней группе слагаемых
и полагаем, как и прежде, что -ф0 = — 1.
п п т п т
я(х, ,, и)=2*'2«'Л+2«/2*«*'/-т2«л <9-71)
1-й случай. На вектор и(/) не накладывается ограничений. Максиму*1
функции Гамильтона (9.71) относительно и может быть найден на основания
необходимого условия экстремума функции из классического анализа:
дН (х, ф, и)
ди
Дифференцируем по щ:
С/(/)-«,(*)=о, /=17^
где
268
с, (0=2,*'to «I/
о&
„я оптимальное управление
' ((0=С,(0, / = С^
2й случай. Управляющие воздействия подчиняются ограничению:
|W/(i)l<M/. (М/>0),/=1,т.
у[3 1-го случая ясно, что если \Ci(t)\^M,, то функция
fl7l) максимальна при к,(£) =С,(0- С другой стороны, для таких t, д
ых \Cj(t)\>Mj, с учетом ограничения на Uj(t) функция Гамильтон
Гамильтона
для ко-
а мак-
тС^„пьна если
сИмальна,
£/,т=М^пС/(0-
01сюда заключаем, что оптимальное управление (9.72) может быть записано
вЕИДе ( Сj it). \C](t)\<Mj>
U> (<)== \M, sgh С; (О- I C j (t)\>Mj.
Для определения C,{t) необходимо решить систему уравнений Гамильтона.
.. 1Г
9~А?
1£
C=Bf
'Л«
Х*Ах+Ви
Рис. 9.16. Схема САР с управлением по минимуму расхода энергии:
1 — сопряженная система; 2 — управляющее устройство; 3 — объект
Систему, реализующую управление по минимуму расхода
энергии, схематично можно представить в виде блок-схемы (рис.
9.16). Если начальное состояние сопряженной системы
определено, то нахождение последующих векторов ясно из схемы.
9.8. Формулировка и классификация методов
математического программирования
Пусть / — целевая функция вектора х переменных Х\, х%, ...,
" • ■ > хп. Необходимо, чтобы вектор х удовлетворял ограничениям
в Виде равенств
°2i(«i) =0, /=1, 2 flf,
Ли в векторной форме
Gs(x)=0.
Задачу математического программирования4 можно
сформуем n^unvicm r Динамическое программирование / Пер. с англ.
^SbSSTTw': п°« е<* н- н- в°Р°бьева> м-: Изд-В0 иностр- лит-
См.: Беллмаи Р.
Ащ
400 с.
269

лировать следующим образом: найти экстремум функции (фУ},
ционала) 7(х) при условии ^
G,(x)>0; G2(x)=0,
или, кратко, найти
extr{/ (x); <3i (x) >0; G2 (x) = 0}.
Если вместо определения экстремума функции /(х) огран
читься, например, определением ее минимума, то задача не Тр
ряет общности, так как минимизация функции /(х) эквивалент
на максимизации функции /(х). Это же замечание справедлив
и для ограничений.
Действительно, если например, заданы ограничения
G,f(x)<0,
то, определив множество функций
Gi=—Gu,
вновь получим ограничения в виде неравенств.
Если /(х), Gi(x) и G2(x) являются линейными функциями
от х, то задача математического программирования
формулируется как задача линейного программирования, т. е.
п
I(x) = ^clx,=crx. (9.73)
<=i
Если целевая функция квадратичная, в то время как все
ограничения линейны, то имеем задачу квадратичного
программирования, для которой
п п
I (хх, ..., х„) = 2 см + 2 xidijxp (9-74'
ИЛИ
7(x)=cTx+xTDx.
В формуле (9.74) через dti обозначены элементы симметрй4'
ной (так как xixi=xix{ матрицы D размерностью (пХп)-
К нелинейному программированию относят те задачи, в^ к°
торых целевая функция нелинейна и (или) имеется по крайне
мере одно нелинейное ограничение на переменные х{.
Задачи линейного программирования, описываемые выра*
нием (9.73), в которых переменные принимают лишь дискретВь
целочисленные значения, относят к целочисленному программ
рованию. vj0
Если параметры, входящие в ограничения или в целеЕ|У
функцию, являются случайными переменными, то в этом слУ
приходим к задачам стохастического программирования.
270
д.9. Сведение задачи оптимального управления к задаче '
математического программирования
Для сведения задачи оптимального управления к задаче ма-
матического программирования прежде всего рассмотрим ин-
теГрал, входящий в критерий оптимального управления (9.3).
от0т интеграл можно представить как предел суммы
'к N
lF[x(t).u (t); t\ dt = lim 2 ^ [x (*i«), u (tfi; t,"] (tt - *,_,),
J N-+co l=l
где для каждого из интервалов tt—fi-i при i=\, ..., N
выбрало некоторое значение ttq, удовлетворяющее условию
Дифференциальные уравнения состояния при такой дискретизации по
времени примут вид
Ига д-[х(*1)—х (**-,)] = /[х (**-,), u fo-,), t^].
Az-0 a'
гдеА*=*|—*«-ь t=l, 2 N; N-+co.
Аналогично можно записать ограничения (9.4) в виде
G2[x(U), u(/,)]==0, t=0, 1 N.
Условия FK(xK)^:0 на конце интервала и второй член FK(xK) в
выражении (9.3) являются функциями только одной части в пространстве
состояний и поэтому остаются неизменными.
Таким образом, задача оптимального управления сводится к
следующей задаче математического программирования. Найти экстремум
выражения
f N
extr lira 2 P t* (<i«). u (<!*)• 'i*](<i—<!+.) +^k[x(M»
(JV-*oo i=i
Удовлетворяющего условиям
Ига тг[х(*,)—х(**_,)]=/ [x{U-x), ufo-o. tt-,];
л/-*о '
At=,tt—ti-i; t=l, 2, ..., N; N-+<x>; (9.75)
FK[x(tN)]2*0
пРи наличии ограничений
Gi[x(*<), н(/<)]>0; G2[x(/,), u(fc)]=0;
['=0, 1, .... W; JV-э-оо.
Задача, описываемая системой уравнений и неравенств (9.75), отличает-
от обычной задачи математического программирования лишь тем, что
На содержит бесконечное, а не конечное число переменных.
9.10. Формулировка задачи оптимального управления
в дискретной форме
Для решения задачи оптимального управления на ЭВМ ее
е°бходимо привести к дискретной форме. Разделим весь вре-
271

менной интервал [t0, tK] на N в общем случае неодинаковых йь
тервалов ^
Xi=tt—U-U i= 1, 2, ..., N, 2 xi=T=tK—to.
Часто Т, а также все т, заранее неизвестны. Критерий оптр
мального управления типа (9.3) примет вид суммы
N
1 = 2 F [х (/), и (i -1); tt] xt + FN [x (N)].
/=i
При этом каждую (скалярную) составляющую хи и{-{ рассма?.
ривают для каждого дискретного момента времени U как
отдельную переменную. Таким образом, общее число переменны^
равно N(п-\-т-\-\,) где N—число рассматриваемых моментов
времени; п, т — размерности векторов состояния и управления
соответственно.
Естественно, что уравнения состояния должны
удовлетворяться в любой момент времени. Если решение уравнений
состояния в аналитической форме не известно, что имеет место в
большинстве задач, то необходимо произвести их численное
интегрирование. Для этого уравнения состояния (9.1) дискрета*
зируют и записывают в виде разностных уравнений:
х(Н-1)-х(0=т«+,Ях(0, u(i); U\, i=0, 1, .... N-1. (9.76)
Уравнения (9.76) можно рассматривать как nN ограничений в
виде равенств, которые, однако, вследствие дискретизации
являются приближенными. Заметим, что уравнения (9.76)
получены при помощи достаточно простого подхода. Применяя более
совершенные разностные схемы, можно улучшить точность
решения.
Итак, задача оптимального управления может быть
сформулирована следующим образом. Найти экстремум выражения
extr |2 F Гх ('*)• u С - О; <ib, + Z7* [x (АО]}
при ограничениях на переменные состояния х и управления и:
FK[x(A0]>0; G,[x(i), u(t); t{]>0;
G2[x (0, u (0 ;*,]=0, i=l ,...,#,
если известно, что переменные состояния удовлетворяют следУ'
ющим уравнениям:
x(t+i)—х(0=тжЯх(0, u(i); Я; *=о, 1, .... n—i.
Рассмотрим применение метода математического прогрЯ
мирования в случае непрерывных линейных систем. ПредпоЛ
жим, что объект управления можно описать системой линейй
дифференциальных уравнений n-го порядка:
*=Ax+Bu, (9-77)
где матрицы А и В стационарные.
272
йЧем критерий оптимального управления можно представить
вйДе линейной или квадратичной формы (9.25).
в решение уравнений состояния (9.77) можно представить в
замКнУт0Й Ф°Рме:
х (0 = Ф (/, Q х (0) + jj Ф (t, т) Ви (т) dx,
о
йе Ф(^> т) —[пУСт]-иерная переходная матрица состояния.
Переходя к дискретному времени, получим для интервала
времени между моментами ts-i и t} выражение
х(У) = Ф('у.^-1)х(У-1) +
Ч
+ \ Ф (Vi- x)Bu O-l) dx, у = 1...., N. (9.78)
Для линейных систем
Ф(0 = еА'
„At;
И
Ф (t}. tj-i) = Ф (*j - tj-i) = e^r-'i-J = eA
Уравнения (9.78) можно теперь переписать в виде
ограничивающих равенств:
Ч
x(/)-eAr'x(/-l)- \ eMti--x)BuU-l)dx=0, (9.79)
<j->
у — 1 /V.
Если учесть, что размерность вектора х равна п, то уравнения
(9.79) образуют систему из nN ограничивающих равенств.
Вектор ц(у—1) предполагается постоянным в интервале
Итак, задача линейного оптимального управления в
терминах математического программирования может быть
сформулирована следующим образом. Найти экстремум критерия
N 1
IN
J
ПРИ Условии, что переменные управления и переменные состоя-
Нйя Удовлетворяют ограничениям в виде неравенств
uimax— |Ui|>0; i=\, ..., m;
*та$— Xj
ПеРеменные состояния х удовлетворяют равенствам
18—3591 273

:(у)-еАт^х(/-!)- J еА(|/-»-х)Ва(У -1)<*т=0,
У' = 1 /V.
Ограничения (9.4) общего вида заменены ограничениями вид
Ц/гаах—|иг|>0' ' = Ь .... да; 1
х/тах—|Xj|>0, 1=1, ...,П, J
согласно которым ограничены абсолютные значения переменны,
состояния и управления.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте задачу оптимального управления.
2. Что представляет собой вариационное исчисление?
Типовая задача вариационного исчисления?
3. Что такое «квадратичный критерий оптимального
управления»?
4. Каковы необходимые условия для оптимального
управления в случае нелинейного объекта и линейного критерия?
5. Сформулируйте задачу и назовите методы
математического программирования.
6. Как формулируется задача оптимального управления в
дискретной форме?
7. Что представляют собой оптимальные ПИ-регуляторы?
8. Что такое принцип максимума?
10. ОСНОВЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА САУ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Анализ и синтез САУ при учете лишь заданных,
детерминированных воздействий не может дать полного представления
об их свойствах. Возмущающие воздействия или помехи преД'
ставляют собой случайные функции реального времени.
Поэтому теорию САУ можно считать полной тогда, когда в
рассмотрение вводят не только детерминированные, но и случайны
воздействия1. ?
Основные источники возмущений или помех, действуют^
на систему, приведены на рис. 10.1. Во-первых, это возмуШ31:,
щие воздействия или помехи, присутствующие во входном СК
нале, которые приводят к возникновению дополнительной о1ийд,
ки в САР. Во-вторых, это возмущения, приложенные непоср<*
ственно к самому объекту регулирования. В-третьих, это ^
мехи, являющиеся результатом «шумовых» свойств элемеНт
1 Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем
матического управления. М,: Физматгиз, 1960. 656 с.
274
f,(t)
g(t)
w,fs)
1—<Э~Ч **го
*ю
w3(s)
Т4Ю
4#;
Рнс. 10.1. Источники возмущений и помех, действующих
на САУ
й устройств САР, и прежде всего, измерительных и
чувствительных элементов. Заметим, что точность САР не может быть
выше точности элементов, входящих в состав системы.
ЮЛ. Постановка задачи
анализа динамической точности САР
При анализе качества САР предполагалось, что воздействия
представляют заданные функции времени. Иногда допущение,
что воздействие, вызвавшее переходный процесс, является
заданной функцией времени, т. е. функцией значение которой в
любой будущий момент времени однозначно определяется ее
изменениями в предыдущий момент времени, не дает
возможности описать реальные условия работы системы и правильно
подойти к выбору ее характеристик. Зависимость воздействий,
которым .подвержена система, от времени заранее нельзя
установить. Воздействия, приложенные к САР. представляют
собой случайные непрерывно изменяющиеся функции времени,
так как знание конкретного значения воздействия в любой
определенный момент времени не позволяет однозначно определить
закон изменения воздействия в последующие мометы. Методы
анализа и синтеза САР при наличии случайных непрерывно
Изменяющихся воздействий имеют большой практический
интерн [19, 20]. Проблема динамической точности является
проблемой
анализа и синтеза систем автоматического регулирова-
Ия> находящихся под влиянием таких .непрерывно
изменяющихся воздействий, когда понятие о переходном процессе
еРяет смысл и полной характеристикой неустановившегося про-
Сса, происходящего в системе, может служить абсолютное
ачение разности |е(^)| между требуемым и действительным
1 ачениями регулируемой величины в заданном интервале
йя ^^2- Это направление теории автоматического регулиро-
нИя базируется на методах теории вероятностей и матема-
есКой статистики.
ь
(tijyM Качестве первого примера САР, находящейся под влиянием помех
W°B). которые накладываются на управляющие воздействия (полезный
и°и сигнал), можно рассмотреть систему самолет — автопилот. В ней по-
18*
275

лета
сти
лезными могут быть сигналы, поступающие на вход автопилота и задает,
требуемую траекторию движения самолета, а помехами являются непрерЛ
иые случайные изменения лобового сопротивления и подъемной силы са^4,
вследствие хаотического изменения потока воздуха, колебаний плот?'
атмосферы и других причин. &•
Вторым примером может служить система регулирования скорости Tv
богенератора. В иен задающим воздействием служит постоянный сигнал, ^
ответствующий номинальному значению скорости, а возмущающим — нёл^
рывиые колебания нагрузки, создаваемые подключенной к генератору щ^'
ней цепью. Этн колебания зависят только от потребителей и заранее !,
могут быть предугаданы. ^
Третий пример — следящая система радиолокационной станции. В Этш
•системе задающим воздействием является входной сигнал, который зав.,
сит от движения цели и не может быть точно предугадан. Возмущающ,,,:'
воздействиями являются флуктуации входного сигнала и помехи, котодь
лакладываются иа входной полезный сигнал. Они вызваны непрерывным Из'
менеиием коэффициента отражения самолета (нз-за рыскания и качки casi0.
лета, вращения винтов и др.). Закон изменения флуктуации во времев»
вследствие сложности явления также не может быть точно определен.
Кроме полезного сигнала и помех иа входе следящей системы радиоле,
катора, в ней образуются шумы, которые накладываются иа этот полезны^
сигнал. Шумы возникают, например, в приемнике, в контактах, потенциомет.
pax н других частях следящей системы. Зеркало антенны радиолокационной
станции находится под влиянием ветровой нагрузки, которая также пред.
ставляет собой случайную функцию времени.
Одинм нз основных свойств системы управления является помехоустой
чивость, которая может характеризоваться средним значением ошибки (меж
ду требуемым и действительным значениями регулируемой величины),
вызываемой случайными возмущающими воздействиями илн помехами.
10.2. Случайные величины и функции, стохастические процессы
Величину, которая в зависимости от результатов опыта
может принимать те или иные числовые значения, называют
случайной. Чтобы задать такую величину, необходимо указать
все возможные ее значения и поставить им в соответствие
вероятности, с которыми случайная величина принимает эти
значения.
Функцией распределения вероятностей (или, просто,
функцией распределения случайной величины |) называют функции
F(x), равную вероятности Р события, состоящего в том, чт°
эта случайная величина примет значение меньшее, чем х, т. &
F(x)=P(£,<ix), где х — все значения на числовой оси (р"0,
10.2, с).
функция распределения, являющаяся неубывающей, прини-
т значения, заключенные между нулем и единицей, т. е.
тремится к нулю при неограниченном уменьшении х, а к еди-
" де — при неограниченном возрастании х, т. е.
lirn /r(x) = 0,
х-*-°°
\imF(x) = \.
да
Если функция распределения дифференцируема, то ее всег-
можно представить в виде
/Ч*)= $ W(x)dx,
где
W(x)=dF(x)/dx.
Производную от функции распределения вероятностей
W(x) называют плотностью распределения вероятностей
случайной величины.
Плотность распределения вероятностей является
неотрицательной функцией, т. е.
№(*)Х).
Вероятность события, состоящего в том, что случайная
величина примет значение, заключенное в интервале [а, Ь],
равна определенному интегралу от плотности распределения
вероятностей на этом интервале, т. е.
ь
P(a,b)=^W(x)dX
а
(рис. 10.2,6).
Интеграл от плотности распределения вероятностей равен
еДинице, т. е.
со
\ W(x)dx=l.
—оо
Случайные функции. Функцию, значение которой при каж
8ели
значении независимой переменной является случайной
276
Рнс. 10.2. Основные характеристики случайной величины-
а-функция распределения; б-плотность распределения вероятностей
Ры Чин°й> называют случайной. Случайные функции, для кото-
j. х независимой переменной является время t, называют сто-
Сд^Тическими процессами. Регистрацию в той или иной форме
Дайной функции называют реализацией случайной функции.
ц0 предположим, что исследователь располагает
совокуплю, или ансамблем случайных функций |, характеризую-
277

щих изучаемый стохастический процесс (например, пр0це
изменения ошибки следящей системы при влиянии помех) с
момент tk .некоторым множеством значений случайной вели^
ны lh. Если фиксировать момент th, то для данного ансавд^'
реализаций (рис. 10.3) можно найти плотность распределен^
е,щ
vv/b^/uvA^^xAwV^
! I i
ЪЩ
f^s^^Y^^ ^
tt tz tj
Рис. 10.3. Графики случайных функций g(£)
W(x, th). Сечения ансамбля реализаций случайной функции
при ряде значений времени tb .... 4, • • •. 4 дают п-мерную
случайную величину.
Таким образом, случайную функцию можно рассматривать
как многомерную случайную величину, характеризуемую
многомерной плотностью распределения вероятностей. Важными
характеристиками случайной величины являются ее так
называемые моменты, которые можно вычислить на основании
многомерных плотностей распределения вероятностей.
Пусть | — случайная переменная. Если известна одномеР"
ная плотность распределения вероятностей Wx(x, t), то моме
том первого порядка, или математическим ожиданием случа
ной функции, называют
т = М [I (t)l = ^ xWx (х, t) dx.
Далее, зная двухмерную плотность распределения W2(xu Xi'0e
t2), можно найти момент второго порядка, или математичес
ожидание
278
оо оо
№ [I (*i)> IШ = § $ xxx2W2 (хх, х2; tx, t2) dxxdx2
—оо —оо
* ТПусть i= (ii, U • • -. Sn) — "-мерная случайная величина.
да моментом п-го порядка называют выражение
T°W(*i)' Б(<а) &(<»)] =
- \ ... \ ххх2... xnW„(хх, ...,x„; tx tn)dxx йхп.
—оо —оо
п
Ввиду трудности определения или вычисления моментов
тсокого порядка обычно ограничиваются лишь двумя первыми
моментами, а именно математическим ожиданием (моментом
первого порядка)
ОО
w= \x(t)WAx, t)dx О0-1)
—оо
и моментом второго порядка, который называют
корреляционной функцией и обозначают
ОО
R Pit *2> = \ xxx2W2 (хх, х2\ tx, t2) dxxdx2. (Ю.2)
—оо
Теорию стохастических процессов, изучающую лишь те
свойства, которые определяются двумя первыми моментами, т. е.
m и R(tx, t2), называют корреляционной теорией случайных
функций.
Введем еще несколько определений.
Центрированной, или несмещенной, корреляционной
функцией называют центральный момент второго порядка
случайных величин l(tx), l(t2), т. е.
R0(tx, t2)^M{[x(tx)-mx(ti)\[х(U)-тх(t£] =
со оо
= С С [x(tx)-mx(tx)][x{t2) -тЛЩ W2(xx, x2; tx, t2) dxxdx2
—оо —оо
Дисперсией ох2 случайного процесса называют
математическое ожидание квадрата отклонения x(t) от mx(t), т. е.
M{l(t)}=cx2(t)=M[x(t)~mx(t)Y=
оо
= 5 [х - тх (t)f Wx (x, t) dx. (Ю-3)
—со
Взаимной корреляционной функцией двух стохастических
ПР°Цессов называют их смешанный момент второго порядка
279

RJcy(tl>t2) = M[x(tl),y(t2)] =
со oo
= ) J -ад2WziXv Уъ h> t$dxxdy2, (10,
—oo —oo
4)
а центрированной взаимокорреляционной функцией g называв
выражение т
R*y ft, t2) = M {[x- mx (*,)] Jy - tny (Щ)=
OO CO
— OO —CO
-~ Математическое ожидание, корреляционная функция, дцс.
персия и взаимокорреляционные функции, определяемые выра.
жениями (10.1) — (10.5) соответственно, являются основными
характеристиками случайных функций и стохастических про.
цеосов.
10.3. Стационарные и эргодические случайные процессы
Математическое описание и экспериментальное исследование
случайных процессов, на которые не наложено никаких
ограничений, представляют значительные трудности. Поэтому
обычно рассматривают случайные процессы, удовлетворяющие
определенным допущениям. Значительное внимание уделяется так
называемым стационарным случайным процессам.
Случайный процесс |(£) называют стационарным, если
математическое ожидание, или момент первого порядка т, для
случайной переменной | при различных значениях параметра
t постоянно, т. е.
сю
МЦ]= \ xW (x, f)dx = const,
—oo
а корреляционная функция R(f\, t2) зависит только от
разности аргументов, т. е.
со со
/? (t, t + т) = jj jj x, {t + т) x2 (t) W (xx; x2; т) dxydx2.
— CO —OO
В корреляционной теории случайная функция характеризУ"
ется моментами первого и второго порядка — математически^
ожиданием и корреляционной функцией. Математическое оЖи„'
дание является средним значением по множеству реализаций
случайной функции, т. е.
оо
Щ1{Щ= § xW{x,t)dx=mx{t)-
280
ii-гобы оценить математическое ожидание, необходимо выпол-
йТЬ большое число экспериментов, а затем определить в
каждом сечении t среднее значение случайной функции.
рассмотрим условия, при которых удовлетворяется
приближенное равенство
г
tn^\lx(t)dt (10.6)
—г
дЛя любой реализации случайного процесса %f. Можно
показать, что это имеет место, когда дисперсия по всему ансамблю
функдий gi стремится к нулю при Т-*-оо, т. е.
IlmM \\zr\l(t)dt-m | = 0. (10.7)
При этих условиях стационарный процесс называется эрго-
дическим. Если выполняется соотношение (10.7), то семейство
величин сходится в среднеквадратическом смысле к m при
т
Игл ™ \ Z,(t)dt = m,
где lim — среднее по времени процесса £(£)• Обозначим через
£(/) среднее по времени эргодического случайного процесса
£(£). Тогда, используя предыдущее соотношение, можно
написать
l(t)=M[Ut)]=m.
Среднее по времени равно среднему по ансамблю, и
приближенное равенство (10.6) будет иметь место при достаточно
большом Т для любой реализации эргодического случайного
процесса.
Обобщая, можно сказать, что стационарный случайный
процесс обладает эргодическим свойством, или подчиняется эрго-
Дической гипотезе, если все его статистические свойства могут
быть определены по одной-единственной реализации.
Таким образом, каждая из систем может быть использована
Для анализа поведения некоторого множества систем:
определяются не только все их возможные состояния, но и вероят-
н°сть любой совокупности этих состояний. Это значительно
Упрощает исследование систем управления.
Корреляционная функция эргодического случайного процес-
Са- На основании определения (10.2) выражение для
корреляционной функции стационарного процесса может быть
записано так.
281'

/?(*)= 5 Xl P + ^2W(^, X2, T)dXldX2 =
—oo
T
= rli2r§ x(t + *)x(t)di=x(t + x)x{t). (10
Физический смысл корреляционной функции (10.8) состоит в
следующем: если случайная функция x(t) в момент t имеет
вероятность хи то в момент t+x она имеет значение х2, т. е
характеризует взаимную связь между x(t) и x(t-[-x). Если т'
мало по сравнению с постоянной времени системы, то связь
x(t+t) и x(t) велика и значение R(x) достигает максимума
т. е. при очень малых т вероятность того, что значение функции
x(t-\-x) мало отличается от значения функции x(t), т. е. близка
к единице. По мере увеличения т составляющая x(t),
определяемая начальным значением x(t) ,при £=0, затухает, связь
между величинами x{t) ,и x(t-\-%) ослабевает, они делаются
взаимонезависимыми, а функция R{x) стремится к нулю. Другими
словами, при достаточно больших т вероятность того, что
значение x(t+x) будет мало отличаться от значения x(t),
практически равно нулю.
Рассмотрим некоторые свойства корреляционной функции.
1. Корреляционная функция R(x) случайного процесса, согласно (10.8),
со средним значением, равным нулю, прн достаточно больших т также
стремится к нулю, т. е.
Пга/?(т) = /?(оо)=0.
Т-»-оо
2. Начальное значение ^(0) корреляционной функции R{x) равно
среднему значению квадрата случайной функции x(t) и поэтому положительно,
т. е.
/?(0) = lira/?(T) = F>0.
т-*0
Согласно определению,
т
/?(0)= lira ™ \ x{t)x{t)dt = xz.
—Т
3. Корреляционная функция R(x) является четной относительно т, т. е.
Я(т)=Я(-т).
4. Значение корреляционной функции R(x) при любом т не может
превышать ее начального значения, т. е. R (0) ^ | R (т) [.
При анализе случайных процессов часто пользуются понятием
нормированной корреляционной функции (очевидно, что р(0) = 1);
Р(т)=7Г(бг
При рассмотрении связи двух случайных процессов x(t) и y(t), согласно
определению (10.4), используют взаимокорреляционную функцию Rx,y(%)- „
т
Rx,ub)=iim J x{t)y(t+x)dt. (10.9)
Т-*-оо у
282
Взаимокорреляцноиная функция Rx,y(%) в соответствии с (10.9)
определяет взаимную связь различных случайных процессов. Примером таких
процессов могут быть две координаты пространственного положения
подвижного объекта.
рассмотрим некоторые примеры корреляционной функции
Ж*)- . . .
1. Белый шум — это случайный процесс,
характеризующийся отсутствием какой-либо взаимосвязи между предыдущими и
последующими значениями x(t). Такой процесс еще называют
абсолютно случайным. Корреляционная функция белого шума
равна нулю при всех значениях т, кроме т=0, и ее можно
представить в виде дельта-функции (рис. 10.4, а) или, практи-
*(т)>
'
J
\\
\
1
Рис. 10.4. Корреляционная функция:
а — белого шума; случайного процесса: б — содержащего по-
стояннную составляющую, в — с периодической составляющей,
г — без постоянной и гармонической составляющих
Чески, в виде импульса достаточно малой длительности.
2. Случайный процесс x(t) содержит постоянную
составлявшую. Корреляционная функция R(x) также будет содержать
Постоянную составляющую .(рис. 10.4,6).
283

3. Случайный процесс x(t) содержит периодическую
составляющую. Корреляционная функция ^(т) также будет содер,
жать периодическую составляющую, которая имеет тот же
период (рис. 10.4, в).
4. Если стационарный случайный процесс x(t) не имеет
постоянной и периодической составляющих, корреляционная
функция R(r) имеет вид, показанный на рис. 10.4, г.
На практике корреляционную функцию обычно вычисляют
путем обработки экспериментальных данных, представляющих
собой запись, или реализацию, исследуемого случайного
процесса. Корреляционная функция R(x) определяется
выражением
-г
(10.10)
Промежуток времени Т делят на N малых интервалов Д так,
чтобы функция x(t) мало изменялась на каждом из них (рис.
10.5), т. е. T=NA, t и % придают дискретные значения,
кратные Д:
t=vA, v=l, 2, ...
t=uA, fi.=0, 1, ...
x(t)
Рис. 10.5. Определение корреляционной функции по
экспериментальным данным
При сделанных допущениях интеграл в формуле (10.10)
можно заменить знаком суммы и записать
N
/?(т) = /?(мА)«2лГГ1- 2 *(vA)*[(v + |i)A] (Ю.11)
v=—N
при x=fxA, ц = 0, 1,2, ...
Далее вводят обозначения:
R(liA)=R{lx); x(vA)=xv; 4(v+^)A]=xv+li.
Тогда выражение (10.11) можно представить в виде
N
#*(м) = 2лГйГ 2 XvXw (10Л2)
v——N
284
гтпи рассмотрении положительного промежутка времени Т
формула (10.12) имеет вид:
N—И
(10.13)
v=l
Для взаимокорреляционной функции ^(т) приближенно
ложно написать
N—Ц
(10.14)
Rxy {V) ~7v=7T 2 XvUv+n, [i>0-
" v=t
Формулы (10.13) и (10.14) показывают, каким образом могут быть
вычислены корреляционная функция экспериментальной кривой x(t) и
взаимокорреляционная функция кривых x(t) и y(t) при помощи изменения ординат
этих кривых, расположенных друг от друга на расстоянии |Д в пределах
рассматриваемого интервала Т.
Приведенный способ определения корреляционной функции по
экспериментальным данным представляет собой трудоемкий процесс. Так, например,
для того чтобы вычислить ординату корреляционной функции, необходимо
произвести N—и, действий умножения и N—и, действий сложения. Поэтому
1
x(t)
Cvu/m/fawatee
уе/пройше'е
\
x(t)
Устройстве
умножения
'
*<*\
1
Cvumbida/otqee
устрейстбе
1
емен
заяаз9ыо'а//ия
y(t+r)
x(t)y(t+T)
f/z/metpamop
Jx(t)gft+T)dt
{/строймбс
умножения
i ±s*(tMt*T)dt
ВшоВ/юе
устройство
Рис 10.6. Функциональная схема коррелятора
285

разработаны приборы-корреляторы, которые позволяют и ряде случаев ав.
томатизировать вычисление корреляционной функции.
Формулы (10.8) и (10.9) для автокорреляционной и взаимокорреляциоц.
ной функций показывают, что корреляторы должны проводить следующйе
операции (рис. 10.6):
преобразовывать ординаты кривых x(t) и y(t), заданных, например, ь
виде осциллограмм, в некоторые пропорциональные им физические
величины (перемещения, напряжения и т. д.);
перемножать иелнчины, соответствующие ординатам кривых x(t) и уи\
для значений t и сдвинутые друг относительно друга на т;
интегрировать результат умножения в пределах выбранного промежут.
ка Т.
Кроме того, прибор должен допускать регулировку сдиига т между
перемножаемыми ординатами кривых x(t) и y(t) в требуемых пределах.
Варианты технической реализации коррелятора могут быть различными
(аналоговыми, цифровыми, гибридными).
Спектральная плотность S(<o). Корреляционная функция
R(x) стационарного случайного процесса и спектральная
плотность S((o) представляют друг относительно друга
преобразование Фурье (так же, как и переходная и передаточная
функции):
—оо
оо
•Ми)= §/г*(*)е-'и^т.
Если применить преобразование Фурье к корреляционной
функции (10.8), то можно получить другую формулу для
определения Sx((o)
5Л«) = "т^ \XTUco)f=±\X(ja)?. (10.15)
Действительно, реализация случайной функции xT(t) на
интервале ( — Т,Т)
т
1 ('
#т-(т) = 2у^ xT(t)xT(t + T:)dr.
—т
Откуда, умножая правую часть на efate~j^ = 1, получим
со оо Т
—оо —со —T
OO CO
= Tf \ Xt WeJat dx \xTitJr*)e-W+x)d{t + x).
—CO —OO
Или, проведя замену переменной X = t-{-x:
СО ОО 1
^(0))=^ jj xT{t)e***dt jj xT(K)e-i^dK. (10.16)
—со —00
Но
286
Хг(/«»)= ^хт(Ь)е-*оЧК (10.17)
—оо
я так как функция X(ja) четная,
ОО
Х*(У»)= \xT(t)eJ«"dt. (10.18)
—00
Подставляя формулы (10.17), (10.18) в выражение (10.16),
найдем
5гИ = ^^(Ую)^(/») = ^1^(Уо))Р;
так как S(o))=M[ST(o))], то спектральную плотность
определяют формулой (10.15).
Для вычисления среднеквадратического значения
случайной функции x(t), равного Rx(0), необходимо в формуле (10.8)
принять т=0. Тогда
сю
3? = 2^ § Sx(a)d(D.
—00
Рассмотрим некоторые свойства спектральнюй плотности S(co).
1. Спектральная плотность 5(ш) является действительной четной
функцией, т. е. S (ш) =S (—<о).
2. Спектральная плотность белого шума представляет равномерное
распределение энергии по всему спектру частот — от 0 до оо (рис. 10.7, а).
3. Случайный процесс содержит постоянную составляющую. Функция
спектральной плотности S(u) имеет б-нмпульс в начале координат (рис.
Ю.7, б).
4. Случайный процесс содержит гармонический сигнал частоты шо-
Спектральная плотность имеет пики при частотах шо и —«о (рнс 10.7, е).
5. Если случайный процесс не имеет постоянной и гармонической
составляющих, спектральная плотность имеет вид гладкой функции, такой,
как на рис. 10.7, г.
Для определения спектральной плотности экспериментально, по
реализации случайного сигнала x(t), может быть использовано устройстио,
показанное на рис. 10.8, а. Оно состоит из анализатора спектра и вычислителя
среднего значения квадрата выходной величины.
Р Анализатор спектра представляет собой набор узкополосных фильтров,
^сли обозначить через Xi(t) величину на выходе t-ro фильтра с полосой
й<0 (рис. 10.8, б), то
„ 2л —
Следовательно, S (шг) s j— x{-
c Значение спектральной плотности пропорционально составляющей xi*
Учайного сигнала на выходе t'-ro фильтра.
287

\S(u>)
i S(a>)
0
a
S(e*>-wD)
,, S(to)
Sfa>+a>e)
0
б
"«о
0
в
■^iV
S(a>)
Рис. 10.7. Спектральная плотность случайного
сигнала:
а — белого шума; б — с постоянной составляющей, в —
с гармонической составляющей, г — без постоянной и
гармонической составляющих
x(t)
Леренеямь/й
узко/го/ге>с//ый
филь/лр
Xi(t)
ocf(t)
~Sx(a>)
Рис. 10.8. Анализатор спектра:
а — функциональная схема: б — характеристика спектральной плотности
288
10.4. Связь между спектральными плотностями и
корреляционными функциями на входе и выходе
линейной динамической системы
j^a рис. 10.9 приведена схема линейной динамической си-
eJlbi, на вход которой поступает управляющее воздействие
с\{) и возмущающее n(t).
m(t)
n(t)
x(t)
m(t)
Ф(/а>)
Рис. 10.10. Линейная
екая система при
*(*)
динамиче-
m(r)¥=0;
рис 10.9. Общая структурная
схема линейной динамической
системы при тЩФО и n(t)^0
Если на вход системы действует только полезный сигнал
а помеха отсутствует, т. е. n(t)=0 (рис. 10.10), то справедливо
следующее выражение:
XT(j®)=Q>(j®)mT(ja). (10.19)
где А'т(/ю) и тТЦы) —преобразованные по Фурье сигналы на
выходе и входе системы, определенные на интервале [—Т, Т],
причем Г-^оо.
Справедливо также и соотношение
АУ*(/ш)==Фг*(/о))тг*(/со), (10.20)
или
г
—т
Перемножение правых и левых частей выражения (10.19) и
первого из выражений (10.20) дает
ХтЦы)Хт* (/со) = Ф (/ю) Ф* {j(o)mT (ja)tnT* (jco)
ИЛИ
|Хг(/ю|2=|Ф(/ео)|2|т,(/'«О Iя-
Применяя к полученному выражению формулы (10.15), полу-
Чим при Г-^со
5*(<о) = |Ф(/ю)|25т(ш). (10.21)
Взяв обратное преобразование Фурье от уравнения (10.21),
°Жно определить соотношение между сигналами на входе и
'Ходе системы во временной области с переменными интегри-
Рования Я и Ч:
ОО ОО
%*(*) = § k(K)d(K) § /?т(т + Л,—1])£(т])Лт (Ю.22)
^ Спектральную плотность ошибки ei определяют выраже-
19—3591
289

S8l(o))-|0«(/<o)l2Sm((fl). (Ю.23)
Эта формула описывает спектральную плотность ошибки чере
спектральную плотность Sm(co) полезного сигнала и переда?^
Спектральную плотность ошибки ег определяют выражен^
Ss2((o)=\Y(j(o)\2Sn((o). (Ю.24)
Эта формула определяет спектральную плотность ошибки Че_
рез спектральную плотность помехи Sn(a) и передаточную
функцию замкнутой системы по отношению к возмущающе^
воздействию У (/со).
Полное выражение для спектральной плотности ошибки
САР, согласно формулам (10.23) и (10.24), имеет вид
5Лса) = |Ф«(/ш) |2Sm(co) + |y(/<o) |2Sn(o).
Если точки приложения управляющего и возмущающего воз-
действий совпадают, т. е. У(/ю)=Ф(/<о), то
(10.25)
S.(fi>) = | Фг (/0)) | 2Sm ((В) + | Ф (/Ю) |2Sn (й) ,
или
5-<шЧт+^Г5-<ш)+
WUa>)
l + WUa)
'S„ ДО-
Формул а (10.25) позволяет определить спектральную плотность
ошибки Se(o)) по заданным спектральным плотностям
полезного сигнала Sm(a), помехи Sn(co) и передаточной функции
разомкнутой системы W(/g>).
Среднее значение квадрата ошибки, по аналогии с формулой (10.7),
вычисляют с помощью выражения
=2я
Пример. Пусть дана принципиальная схема
(рис. 10.11). Уравнения системы имеют следующий вид:
для корректирующего устройстиа
de
e=n0e + n1jj. z{t) = m(t)—x(t);
следящей системы
Рис. 10.11. Принципиальная схема следящей системы:
КУ _ последовательное корректирующее устройство; ТУ — транзисторный У<=я'
литель; Эде — управляемый электродвигатель
290
для усилителя
дЛя электродвигателя
d2x dx
J rdF + bdt=klia'
e—.напряжение на входе усилителя; ia — ток якоря двигателя; k\ —
r'tt ффициент уоиленвя усилителя; / — приведенный момент инерции; Ъ —
•*оффициеит вязкого треиия; «о. "ь k2 — постоянные коэффициенты.
Передаточная функция следящей системы в разомкнутом состоянии
X(s) k (T,s+l)
W(s)— E(s)~ s (T2s+l)'
n, J n0k,kz
Предполагается, что спектральная плотность скорости полезного
сигнала т (О имеет вид
2ря*
Sm(«)=cos + p2 •
Помеха представляет собой чисто случайный процесс, или белый шум, т. е.
спектральная плотность помехи Sn(co) сохраняет постоянное значение, не
зависящее от частоты:
5„(ш)=с2.
На основе формулы (10.26) среднее значение квадрата ошибки может
быть представлено в виде суммы двух составляющих:
М{гг}=,М{егт} + М{е2п},
где
М
V2$a(TJa + l) f da
j(o (Г Jo + 1) + k (TJa + 1) | 0)2 + p*
Mi 2\ L С I " -Ac(г,у<й +1) i2
WlM-2n Л /<o(TsJ(a + lY+k(TJ(o+l) | da'
—oo
Подьштегральные выражения представляют собой квадрат модуля дроб-
о-рациональной функции. Каждый из интегралов можно вычислить, иапри-
Р. определив корни знаменателя н разложив подынтегральное выражение
ры пР°Стейшие дроби. Имеются и другие способы вычисления М{а2}, кото-
(■йя Не тРебук>т определения корней и позволяют получить в явном виде
^язь между параметрами, входящими в выражение для Sc((u), и зиачени-
сРеднего квадрата ошибки.
'0.5. Синтез САР при входных случайных воздействия
йом е было показано, что если на входе следящей системы
0ом Мо УпРавляК)Щего есть и возмущающее воздействие (или
Jwexa)> то ошибка следящей системы состоит из двух состав-
He *Чих. Одна из них вызывается тем, что следящая система
^(/^°Жет абсолютно точно воспроизводить полезный сигнал
Уме а дРУгая — реакцией на помехи n{t). Обычно стремление
Чьшить первую составляющую ошибки приводит к увелк=
19*
291

чению второй составляющей, и наоборот. Здесь задача синте3
состоит в том, чтобы обеспечить оптимальное решение, при ^ а
тором сумма обеих составляющих имеет минимальное возмо^"
ное значение.
Амплитудная частотная характеристика Л (со) рассматрц
ваемой системы, а также спектральные плотности Sm(©)
S„(o) графически изображены на рис. 10.12. Если помеха имеет
AM
О w
Рис. 10.12. АЧХ системы и спектральные плотности сигналов
более высокочастотный спектр, чем полезный сигнал, то при
сужении полосы пропускания системы (кривая Ai(co) на
рис. 10.12) система почти не будет реагировать на помехи. Но
в этом случае значительно возрастает ошибка воспроизведения
полезного сигнала. Если увеличить полосу пропускания (кривая
А2(а) на рис. 10.12), то влияние помехи существенно
возрастает. Поэтому при решении подобных задач необходим
некоторый компромисс, обеспечивающий наивыгоднейшие
условия работы системы.
Возможны следующие три способа решения задачи синтеза следящих
систем при наличии помех.
1. В случае, когда полезный сигнал имеет гораздо более
низкочастотный спектр, чем помехи (рис. 10.13). Полоса пропускания системы дол»-
Рис. 10.13. Выбор полосы частот системы в случае
высокочастотного возмущающего воздействия (высокочастотной
помехи)
292
быть выбрана достаточно широкой (но такой, чтобы она не реагирова-
йа иа помехи) для обеспечения требуемой точности воспроизведения сиг-
^ча (кривая А(и>) на рис. 10.13). В этом случае помехи могут быть
полтью отфильтрованы.
"°с 2. В случае, когда управляющее воздействие имеет спектр частот, очень
сТро убывающий прн возрастании частоты, а спектр помех близок к бе-
омУ шУму (рис- 10-14)- Форму амплитудной частотной характеристики
Wja>)\
Рис. 10.14. Выбор АЧХ системы при быстроубы-
вающем спектре частот полезного сигнала и прн
наличии помехи в виде белого шума
|1У(/ш)| разомкнутой системы выбирают при низких частотах (когда
|Щ/ш)^>1| и сконцентрирована основная энергия полезного сигнала)
возможно более близкой к форме АЧХ полезного сигнала. Прн этом АЧХ
разомкнутой системы должна быстро убывать, по возможности следуя за
убывающей АЧХ сигнала.
Таким образом, достигают, с одной стороны, равномерного ослабления
влияния всего основного спектра частот полезного сигнала на ошибку
(в интервале частот, содержащем основную энергию сигнала, амплитудный
спектр ошибки оказывается приблизительно равным малой постоянной иели-
чине l/k), а с другой, — уменьшения влияния помех ввиду быстрого
убывания значений |Щ/<в)|. Быстрота убывания функции | W(/<o) | ничем не
ограничивается лишь при |Щ/<в)|»1. Для значений ш, при которых |№(/a>)|*=l,
слишком быстрое убывание этой величины может привести к уменьшению
запаса устойчивости или даже к нарушению устойчивости системы.
3 В случае, когда спектры частот полезного сигнала и помехи
накладываются друг на друга (см. рис. 10.12) и имеют произвольную форму.
^тот способ дает наиболее строгий н общий подход к решению задачи
синтеза не только следящих, но и других преобразующих систем при наличии
помех. Систему часто строят так, чтобы ее частотная характеристика
максимально приближалась к спектральной характеристике полезного сигнала.
"•6. Метод оптимизации динамических систем при случайных
воздействиях (фильтры Винера)
Широкое применение получил метед синтеза оптимальных
Истем на основе критерия минимума среднеквадрэтической
^ибки. Согласно Н. Винеру, постановка задачи синтеза
заключен в следующем. Предполагается, что на вход системы по-
З'Пает управляющее воздействие (полезный сигнал) m(t) с
Сложенным на него возмущающим воздействием (помехой)
'О, так, что входной сигнал q>{t) имеет вид (рис. 10.15)
293

m(t)
n(t)^ jL^rfc)
*u3 (jv>)
*«3 (t)
ф(/й>)
*(t)
A*(t)
1
x(t)
\'<\
\
Рис. 10.15. Постановка задачи Винера (определение
оптимальной частотной характеристики Ф(/со) системы)
q>(t) = m(t)+n(t),
где m(t) и n(t)—стационарные случайные сигналы с
известными корреляционными функциями и равными нулю средними
значениями.
Система должна осуществлять линейное преобразование
полезного сигнала m(t) на входе в сигнал h(t)=ix(t) на
выходе согласно формуле
L[h(t)]=H(s)L[m(t)],
где H(s) —заданный преобразующий оператор.
Требуется, пользуясь этими данными, найти импульсную
переходную функцию k(t), удовлетворяющую условию
физической осуществимости
/г (0=0, *<0
и обеспечивающую минимум среднего значения квадрата
ошибки
р2 =
lim -Ir- \ {h(t)-x(t)fdt
Т-*со
(10.27)
—т
между требуемым h(t) и возможным в рассматриваемых
условиях изменением значения величины x(t) на выходе системы-
Интегральное уравнение, определяющее минимум средне*
квадратической ошибки^ Найдем выражение для среднего
значения квадрата ошибки е2.
Учитывая, что
со
долучим на основе (10.27)
72(*) = Нт ~ jj \h(t)- J <p(t-T)k{x)dv\ dt. (\0.2ё>
294
чаДаЧа заключается в том> Чтобы найти передаточную
функцию ФУ'®) системы
оо
Q(j(Cl) = i\k(t)e-i<i>idt
&
аКим образом, чтобы значение е2 было минимальным,
раскрыв в (10.28) фигурные скобки и поменяв порядок ин-
ррирования, получим
Г со Т
Г2=Ит -^г jj &(t)dt—2 jj kitydllim ^ J A(*)X
—7" —оо — Т
оо оо
ХФ('—%#+ [ klfodb [ k{®)d®lim -|~-Х
J J Т-*-оо
—оо —оо
г
X \ ф"(* -т) ф(t —Ь) dt. (10.29)
-г
Введя в рассмотрение корреляционные функции
г
Rh (х)=нт 4- £ л-(<+да;<й;,
—г
г
#,(т) = 11т4г- ^ ф(^ + т)ч»(0Л = /?«(т)+/?я(х) +
+ /?«я(х) + /?ля,(т);
Ял, (-г) = Km ^_ J Л (< + т) ф (fyit = /?ftm (т) + Rm (т)
—у
и приняв во внимание, 3что
г
вместо (10.29) можно написать
оо
Г2=/?й(0)-2 J А (Л)/?Дф (Л) dX +
—оо
со оо
+ \ к (A) d (Я) J £ (ф) #ф (Л -&) db. (10.30)
—-оо —оо
Та
к как согласно условию физической осуществимости
*«)-о, *<а

то нижние пределы интегрирования в (10.30) нужно принят
равными нулю: ь
е2 = #Л (0) -2 § k {Ц /?Лф (X) dk +
+ ^k (Я) dA, Y (ft) /?ф (X - ft) db. (10.3i)
о о
Уравнение (10.31) показывает, что вид &(/) при рассматрц.
ваемых условиях зависит не от самих функций h(t) и ср(/)( 9
от их корреляционных функций. Это означает, что если имеют-
ся две совокупности функций {h(t)}, {ср(0} c корреляционными
функциями ^л(т), Rv(t), /?лФ(т) и если известна функция k(t)t
дающая минимум среднего значения квадрата ошибки для
каких-либо двух функций h(t), (p(t), входящих в рассмотрение,
то эта же функция k{t) даст минимум среднего значения
квадрата ошибки и для любых других функций, входящих в те же
совокупности.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
функция k(t) обращала выражение (10.31) в минимум, заключается
в том, чтобы она представляла собой решение интегрального
уравнения
со
/?лф(т) —^/?„(т—A,)Jfe(a,)dA, = 0, т>0. (10.32)
<г
Рассмотрим другой вывод уравнения (10.32).
Величину е2 (см. формулу 10.31) с точностью до постоянной /?л(0)
определяют выражением
DO СО ОО
/= — 2 J k (X) R. (X) dX+\ k (Ц dX f ft (ft) #ф (X— ft) dft. (Ю.ЗЗ)
о о о
Пусть
ОО
/?A4,(A.) = j" /?ф (Я—«) ff («) rf«, Х>0, (10.34)
о
где q(Q) —пока неизвестная функция, которая должна быть найдена таким
образом, чтобы выражение (10.33) имело минимум.
Учитывая (10.34), вместо (10.33) можно написать
ОО ОО ОО ОО
/= — 2 _[ q (ft) rfft \ R {%—ft) k (К) dX+\ k (ft) db \ k (X) R (Х-ЩА%*
ob b b
ОО ОО
= -J" q (ft) rfft f #ф (К- ft) «- (Я,) d (К) +
0 О
со оо £.
+ f [ft (ft)-^ (ft)] rfft f Д (Я-ft) [k (X)-q (X)] dX. (Ю-ЗУ
b b
oo
Учитывая, что /?ф(т) = 2— \ S. (ш) Г^'Л1, и полагая
296
ОО
О (./«») = J q(t)e-Jatdt,
о
еСТо (10.35) получим:
оо оо оо
/= -2^ 55 9 («) e-^rfft ^ q (X) z^dX § S„ (ш) rfco +
0 0 —оо
оо со оо
0 0 —со
оо
—CO
оо
■ +27Г § Iф №—Qи^ '2 S4> (ш)rfw- <10-36>
—оо
Выражение (10.36), очевидно, имеет минимум, если
<2(/со)=Ф(/со). (10.37)
В силу (10.37)о можно написать
q(t)=k(t),
и равенство (^0.34) сведется к интегральному уравнению (10.32). Условия
минимума на е2 определяют интегральным уравнением (10.32).
10.7. Решение интегрального уравнения относительно
оптимальной передаточной функции
Не рассматривая процедуру решения интегрального
уравнения (10.32) относительно ИПФ k{t) или соответствующей ей
со
передаточной функции Ф(/со) = | k(t)e~wdt, приведем оконча-
о
тельное решение. Оно имеет вид
оо оо
Ф (/ а) = I [ e-*»t С Аф ((0) e*"dco
{J > 2jx¥(/co)JC ) ¥*(/ш) е "ш'
0 —оо
где ^(у'ш) и Ч* (/со) определяют как комплексно-сопряженные
Части выражения для спектральной плотности
оо
5ф= ^ /?„ (со) е-*""<#.
—со
Следует обратить внимание на определение
комплексно-сопряженных функций W* и Y по спектральной плотности Sv(to).
ifTa задача сводится к разложению четной, симметричной
Функции Sv((o) на два множителя:
S,(ее) =W (/со) W* (/со) = | ¥ (/со) |2.
Обозначим квадратичную АЧХ спектральной плотности
297

5„(о)) через
Л,2(ш) = |Т(/о))|2=^(/(0)^*(/<о).
где
Л<р КШ} с„+с,<в8+...+шг"
и все коэффициенты £о, еь ..., с0, С! и т. д. — вещественны.
Учитывая, что корни числителя Yi и знаменателя Л< являют,
ся комплексно-сопряженными, можно написать
XL («d-v)--.(«-^») J' (10-38)
где
Y«*s=06i—/Э«, а,->0.
Обозначим первое из выражений в правой части (10.38),
содержащее все нули и полюсы в верхней полуплоскости, через
ЧЧ/со) а второе, в нижней полуплоскости, через Чг*(/ш).
Таким образом, задача определения W (/со) и TF*(/©), входящих
в формулу (10.38), заключается в факторизации, или
разложении на множители, спектральной функции S„(co).
Рассмотрим выражение для оптимальной среднекиадратической ошибки.
Оно может быть представлено в виде
e*=*ft(0)+/,
где / определяют формулой (10.33).
Из (10.36) следует, что в случае удовлетворения условия оптимума
(10.37)
СО
/==~27Г $ !<">(/«»)l*S,(ffl)d(o.
—оо
Поэтому минимальное срэднее значение квадрата ошибки
—оо
Учитывая, что
оо
Л*(0)=й?=§5- J SA(o.)rfo) (1O.40)
—CO
и подставляя (10.40) в (10.39), найдем
со
"52.in=dr S {5А(<й)-1Ф(/о))125ф(и)}й<в. (10.40
—оо
Иногда может оказаться более удобной другая формула для e2mm, K°'
торую можно получить из (10.41):
298
^.п=ЙГ ${«* («0-1 * (/•)!'}*»■
—со
оо
С |B(/co)|srfco = |p2(0^.
ледовательно
оо
10.8. Алгоритм вычисления фильтров
Предположим, что на вход системы подается стационарный
случайный сигнал
m(t)+n(t),
где tn{t) — полезный сигнал; n(t) — помеха.
Определим передаточную функцию системы таким образом,
чтобы она воспроизводила на выходе с минимальной средне-
квадрэтической ошибкой полезный сигнал m(t). Эту задачу
назовем задачей сглаживания, так как помеха n(t) обычно
содержит более высокие частоты, чем полезный сигнал m(t), и
наилучшее воспроизведение этого сигнала может быть
достигнуто лишь в результате «сглаживания» входного сигнала, т. е.
подавления его высокочастотных составляющих.
В рассматриваемом случае
h(t)=m(t),
S(p(o))=Sm(o))+S„(o))+Smn(o))+S„m(o)),
Shv (со) =Smip(oj) =Sm (со) +Smn (со)
и общая формула имеет вид
со оо
/WWJ 2л¥(/<в))е ат )¥*(.№) е а •
0 —оо
где
|4<-(co)|2=S,(g)). (Ю.42)
Согласно (10.41), минимальное среднее значение квадрата
°Шибки сглаживания
е2
т:
1п=^5{5гаИ-|Ф(Уо))|25ФН}^. (10.43)
—оо
. Вычисление оптимальной сглаживающей передаточной
Функции. Заданы аналитические выражения для спектральных
Плотностей SJw) и SmT(o) в виде дробно-рациональных функ-
299

ций от со. Выражение для Sv(a) представляет собой четцу^
функцию от со как при отсутствии, так и при наличии взаимное
корреляции между полезным сигналом и помехами. Действ^
тельно, в первом случае
5тя(и)=5ЯЯ|(©)=0, 1
5ч,(и) = 5т(а)) + 5я(<а). J (1°44)
Из (10.44) ясно, что функция 5Ф(а>) является четной, так как
она представляет собой сумму двух четных функций: 5т(ы) ц
Sn (со).
Функции Smn((o) и Snm(a) имеют комплексно-сопряженные
нули и полюсы. Поэтому выражение Smn (со) +Snm (со) является,
четной функцией. Следовательно, 5ф(со) и в этом случае
представляет собой четную функцию. Таким образом, функция
5Ф(со), если она является дробно-рациональной, всегда может
быть представлена в виде
Ь0 + ь1е>2 + ... +£„согр
S,(a>) = — — ^- (10.45)
В отличие от 5ч>(со) функция Sm<p(co) является четной от ©
лишь при отсутствии корреляции между полезным сигналом и
помехой, когда
Smn (CO) = Snm (СО) =0
и
Smtf (со) =от (со).
Согласно (10.42) и (10.45), для вспомогательной функции
Ч? (ja>) получим
(<в—у,) (со —у2) ...(со—у)
УUо) = СФ (ш_я1)(в_Л1)...((В_^) .
(« + T,)(«> + Yi) ...(м + у
т U®) £<J> (№ + A,)(co + ;i2)...(co + Av) '
где
Итак, алгоритм вычисления оптимальной передаточной функции
заключается в следующем.
1-й шаг. Производят факторизацию спектральной плотности
5ф(ш) = |я]3(/ш)|2=-ф(/ш)^*(/ш).
2-й шаг. Определяют спектральную плотность
Sm<p(co) =Sm(co)+Sn({o),
где отсутствует взаимная корреляция между m(t) и n{f).
3-й шаг. Вычисляют интеграл
(«о
300
а шаг. Вычисляют интеграл
оо
0(/со)=[Р(Ое'ю/<«,
о
гщчем отбрасывают (не принимают во инимание) нули и полюсы Ч'*(/со),
"родящиеся в нижней полуплоскости, так как нас интересует лишь P(f)>0.
" 5-й шаг. Вычисляют оптимальную передаточную функцию
В (/со)
б-й шаг. Вычисляют минимальную среднеквадратическую ошибку
еш1п—2я
jj {Sm (<о) -1 Ф (/со) Is S„ (со)} dm.
Если необходимо определить оптимальную импульсную' переходную
функцию &opt(0> TO вычисляют интеграл
k(t) = ^®U<»)e,atd<».
Пусть корреляционная функция полезного сигнала m(t) задана
выражением Rm(t) =а2е-1т1, помехи — выражением Rn(t) = b2e~aM; помеха и
полезный сигнал не коррелированы, Фид(/со) = 1, т. е. должна быть решена
задача оптимальной фильтрации (или сглаживания).
Прежде всего необходимо по известным Rm(%) и Rn(r) вычислить
5т(со) и Sn(co). График функции Rn(x) показан на рис. 10.16.
Рис. 10.16. График корреляционной функции R„(i)
Для определения S„(co) представим интеграл Фурье в виде суммы
оо 0 оо
S„(co)= j б*е—Ме-*",,*г= J 62е-(^и>тй + \ b^{a-)m)xdi=
—оо -оо 0
b* b* 2b2a
~a + J(o + а—/со ~а2 + со2 •
Аналогично получим
2ог
Далее процесс решения задачи Винера состоит из следующих операций.
301

1. Вычислим S?(o))=Sm(u))+Sn(o)), а также ij)(a)) и if*(to):
где
P2=2e2«s+26sa, V2=2e2 + 262a.
Для вычисления я]) (./со) и i]i* (/to) разложим на комплексно-сопряжеинце
множители Sv (со) :
с ,», Уи-ур У<й + /Р
0"»1°Ч —(ш_/)(со—У«)"(о> + У)(со+Уа) •
Отсюда
2. Вычислим взаимную спектральную плотность Spv (со) с использова-
S„v О»)
нием общей формулы (10.32) и определим 5 (/©)=■.„, /у^у
Поскольку m(t) и п (t) не коррелирован ы,
5да (со) =ФЕД (/со) Sm(co);
2ог
^pvH^r+ci2"'1-
2д2 (to + /) (ш +/«) 2д» (to + /и)
#(/со)_ (1+Со2)(тев + /Р) ~ (со—/)(у« + /р) '
3. Определим функцию В* (/ш). Ее можно вычислить:
а) определением функции
со
о
а затем обратным преобразованием
со
£+( /ш) = J Ь (t) e~Je>t dt;
о
б) разложением В (/со) на слагаемые с неопределенными
коэффициентами и вычислением этих коэффициентов:
Л,тв+^,УР + Лт—Лг/=2л2(со + /а).
Умножением полученного уравнения на / и выделением членов при раВ"
ных степенях /со получим два алгебраических уравнения:
ArMi=2as, Л,р+Л2=2а2а.
Откуда
2д2(1+«)
1_ (V + P) '
„ , 2я2(1+а) 1
в+^и>=-(тТрГ^=7-
4. Вычислим частотную характеристику оптимальной системы согласи*?
формуле (10.26):
302
Ф (/«>) =
В+ (/со)
¥(/в) *
цЛ«
2да(1+«)
Ф(/«) = (Т + Р)
1 (со—/) (со—/и)
2g2(l+a)
(со-/)
(/со) + «
(Vco—/р)
= (Y + P)
V(/co) + p
« тех случаях, когда задана неизменяемая часть системы, после
вычисления Ф(/со) необходимо провести синтез корректирующего устройства. При
этом Ф(/ш) считается желаемой характеристикой и синтез проводят
обычаи способом.
Рассмотрим еще один пример. Предположим, что полезный сигнал
m(t) (рис. 10.17) сохраняет постоянное абсолютное значение а и что
среднее число перемен его знака в единицу временя равно ц.
m(t)
1пшиш1
-А #(/*>;
*(t)
Рис. 10.17. Расчетная схема системы
1 — эталонная; 2 — экспериментальная
Спектральная плотность Sm(co) такого сигнала имеет вид
2иац
SmM= o>s+V •
В качестве помехи иозьмем белый шум, т. е. предположим, что
Sn(co)=£2. (10.46)
Выбрав для простоты коэффициенты а и ц так, чтобы можно было
написать
Sm(a)-.
1
= со2 + 1 '
(10.47)
найдем передаточную функцию, обеспечивающую наилучшее в смысле
минимума среднеквадратической ошибки иоспроизиедеиие сигнала m(t).
Сложив (10.46) и (10.47), получим
<> , . J , . 1+с8 + с2со3
ИЛИ
(VT+? + Jen) (VT+?—У«а)
Лф(Ш)= (1+/С0)(1—/СО) •
Откуда
уТ+72 + /сю
*<*»)=—г+7^ '
СЛеДовательно,
303

Srnv (W>
(1—Усо)
Ч*(У«в) - (1+Уш)(1-уш) (уг+Уг-Усш) =
1
Но
(1+Уш)(У1+с2—jca)
1
(И-У^НУИ-с2 —У«о) c+Vl+c2
>СИВ ВТ
эсти, н
B+Utoy
■f-L.
\1 + /
со+ Vl+c2
-Ус<о
Отбросив второй член в скобках, соответствующий полюсу в нижней под»
плоскости, найдем
1
1
"с+1Л+с2 (1+/со)
и, следовательно,
Ф(Усо) =
ЧЧУш) (С+У"1+с»)(У1+с! + /й1))
10.9. Синтез систем с минимальной среднеквадратической
и нулевой или заданной динамической ошибками.
Постановка задачи
Предположим, что на вход системы поданы управляющее
y(t) и возмущающее n(t) воздействия. Управляющее
воздействие является суммой двух составляющих:
y(t)=g(t)+m(t),
где g{t)—функция времени, заданная своим аналитическим
выражением.
Для простоты предполагаем, что
£(*)=2 м*.
«-=о
т. е. имеет вид полинома с известными значениями
коэффициентов kq, a m{t) — стационарный случайный сигнал с заданной
корреляционной функцией Rm(r) или спектральной плотностью
5т(ю) (рис. 10.18).
Возмущающее воздействие (помеха) n(t) также
предполагается стационарной случайной функцией времени с заданной
m(t)
n(t)
H(j*>)
Mt)
О
*min CKO ft)
Ч±>
ФО'а>)
*(t)
Рис. 10.18. Постановка задачи синтеза системы с
минимальной среднеквадратической ошибкой (СКО)
304
Орреляционной функцией /?„(т) или спектральной плотностью
ся(«)- Будем считать, что функции m(t) и n{t) взаимно не кор-
елированы. Обозначим величину на выходе системы через
Р/^), а ее импульсную переходную функцию через k(t).
Предположим, что
k(t)=0, t<0~, (10.48)
k(t)=0,f>T+. (10.49)
выражение (Ю.48) представляет собой условие физической
осуществимости, а выражение (10.49)—условие качества2,
согласно которому время переходного процесса, вызванного
управляющим воздействием в виде ступенчатой функции, не должно
превышать значения Т.
Предположим, что величина y(t) на входе должны быть
преобразована в соответствии с некоторым оператором Н(р).
Если требуемый закон преобразования можно было бы
осуществить идеально точно, то величину h(t) на выходе можно
определить соотношением
h(t)=H(p)y(t)=VL(t) (10.50)
или
h(t)= { y{t—x)x{t)dx,
где
xW=%i § нU*>)&**dv>.
В действительности на выходе мы будем иметь величину x(t),
а не ft (t).
Учитывая (10.48) и (10.49) для x(t) на выходе, можно
написать
г
x(t) = [[g V — т) + m(t — x) + n{t —t)] k (т) d%.
0
Ошибку %(t) преобразования управляющего воздействия
полезного сигнала y\t)
e(t)=h(t)-x(t)=H(p)y(t)-x(t)
Можно представить в виде двух составляющих:
1) неслучайной, или динамической,
т
М*)= Н (p)g(t)-\g(t-x)k(T)dn (10.51)
"~~~—____ °
р, s Услоиие (10.49) относится не к импульсной переходной функции.
*-*llllnrr~~ _ _ . .Л —.
ЧИт,
Лнако очевидно, что если оно имеет место, то переходный процесс закон-
ФУИК!
ся в течение времени Г и в случае иоздействия в виде ступенчатой
Ции.
20—3591
305

2) случайной
т
бел (*) = Н (р) тп (t) - § [m (t - т) + n (t - t)] k (x) rfx. (10.52)
0
Потребуем, чтобы неслучайная ошибка eK(t), определяема^
(10.51), равнялась нулю:
M0s0. (10.53)
Тогда, разлагая в выражении (10.51) функцию g(t—т) в ряд
g{t-x)=g(t)-Tg(t)+£g(t)-... + (- ly^gt'Ht)
и учитывая тождество (10.53), получим
-■•+(-Vr%glr)(t)> (10.54)
где
г
Hv= § xvk {x)dx, v= 1, 2, .... г. (10.55)
о
Тождество (10.54) определяет значения первых г+1
моментов ц0, fii, ..., fir оптимальной импульсной переходной функции
через преобразующий оператор Н(р). Поэтому будем считать
эти моменты, определяемые тождеством (10.54), заданными
величинами.
Таким образом, тождество (10.54) накладывает г+1
ограниченных условий на импульсную переходную функцию. Так,
например, если
Н(р)=р и h{t)=py(t)=y(t),
vEr,
то sr(')=i*o«r(0-niiW+--. + (-i)'^ff<r)(0
или
Цо==0,
т
lii = Srk(x)dx=—l,
о
1^2=0,
|Ыг=0.
Точно так же, если
h(t)=y(t—t0),
306
g(t-t0)^ix0g(t)-ixlg(t)-{-...+{-iy%glr4t).
Og(t-t0)^g(t)~tcg(t) + ^-g(t)-... + (-\y^g^(t),
сЛедовательно,
т
цо=\ k{i)dT=\,
о
т
v,x = \xk{x)di = tu,
о
т
цг= ^Trk(x)dT=t0r.
о
Постановку задачи можно сформулировать следующим
образом. ,.,-! »l|j
По заданным корреляционным функциям Rm{t), /?„(т)
стационарной случайной составляющей tn(t) полезного сигнала
y(t) и стационарной помехи n(t) найти импульсную
переходную функцию k(t), удовлетворяющую условиям (10.48), (10.49)
так, чтобы среднеквадратичная случайная ошибка есл(0»
определяемая формулой (10.52), имела минимальное значение. Это
значение совместимо с условием (10.53) или вытекающим из
него условием равенства нулю динамической ошибки ед(£)
преобразования составляющей g(t) полезного сигнала y(t) в
соответствии с законом преобразования (10.50) и выражением
(10.54). Другими словами, — найти импульсную переходную
Функцию k(t), обеспечивающую условный минимум дисперсии
ошибки преобразования при равенстве нулю математического
ожидания g(t) полезного сигнала.
Контрольные вопросы
1. Как ставится задача определения динамической точности
САр?
2. Дайте определение стационарного случайного процесса.
3. Что такое корреляционная функция? Каковы ее основные
свойства?
4. Как определить корреляционную функцию по
экспериментальным данным?
5. Что такое функция спектральной плотности? Приведите
пРймеры функции спектральной плотности случайного сигнала.
. 6. Как связаны спектральные плотности и корреляционные
Функции на входе и выходе линейной динамической системы?
20*
307

7. Сформулируйте задачу синтеза оптимальных передатоц
ных функций следящих систем, находящихся под влиянием слу~
чайных воздействий. v y~
8. Назовите основные этапы решения задачи Винера.
11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Исходными данными для расчета и проектирования САР и
САУ являются динамические свойства объектов
(математические модели), которые описывают дифференциальными или
интегральными уравнениями. Однако математические модели
объектов регулирования проектировщику бывают известны лишь
частично. Поэтому приходится прибегать к экспериментальным
исследованиям для определения динамики объектов
регулирования. Эту проблему называют проблемой идентификации.
В некоторых случаях вообще отсутствует какая-либо
априорная информация об объекте, поэтому структура его
математической модели должна быть определена из эксперимента.
Однако почти всегда для модели требуется оценка некоторых
неизвестных параметров, основанных на экспериментальных
данных.
Итак, идентификация — это определение математической
модели объекта, или, точнее, — определение оптимальной оценки
Л* истинного оператора реального объекта Л из заданного
класса операторов по входным и выходным переменным этого
объекта.
Если в задаче анализа определяют выходную переменную
y(t) по заданному входу u(t), т. е.
y{t)=Au(t),
то идентификация является обратной задачей, когда требуется
найти оператор Л-1, обратный оператору Л:
u(t)=A~ly(t).
Ее решение состоит из следующих этапов: а) выбор метода
идентификации, исходя из априорных сведений о свойствах
объекта и конкретных условий его работы; б) выбор
воздействий, при которых следует ставить эксперимент; в) выбор
способа обработки экспериментальных данных; г) оценка точности-
Задачу идентификации решают в широком и узком смысле,
в зависимости от имеющегося объема априорной информации
о системе. При идентификации в широком смысле априорная
информация о системе незначительна либо вообще отсутствует-
Система представлена в виде «черного ящика», и для ее
идентификации необходимо решить ряд дополнительных задач, свя^
занных с выбором класса математической модели, оценкой ста'
ционарности, иестационарности, линейности и др.
308
Идентификация в узком смысле предполагает, что известны:
_асс математических моделей; структура системы;
соответствующая информация о характеристиках рассматриваемых
процессов.
В зависимости от того, какой критерий применяют как меру
соответствия математической модели реальному объекту,
методы идентификации можно разбить на три группы:
1) методы, основанные на минимизации ошибки выхода.
Магматическую модель выбирают таким образом, чтобы обеспе-
чйть возможно меньшее отклонение выхода модели от выхода
реального объекта;
2) методы, основанные на минимизации ошибки уравнения.
За меру отклонения поведения модели от поведения реального
объекта принимают невязку между уравнением объекта вида
f[y(t), y'(t), ... yM(t); u{t), u'(t), ..,, u™(t); plf ..., pft]=0
и уравнением модели
f[y(t), у'(t), ...,£<»>(0; u{t), ...; ft, ...,P*] = f(*),
где у и и — наблюдаемые выход и вход; ft —оценки параметров;
3) методы, основанные на минимизации статистической
ошибки выхода.
Известно большое число методов идентификации. В табл.
11.1 приведены наиболее часто применяемые из них.
11.1. Идентификация методом частотных характеристик
Метод частотных характеристик составляет основу
классических методов идентификации, анализа, синтеза при расчете и
проектировании линейных САР. Частотный метод
идентификации, в свою очередь, основан на преобразовании Фурье:
У(/со)=Ф(/со)(7(/со),
гДе У (/со)—преобразование Фурье величины на выходе
динамической системы; Ф(/со)—частотная характеристика
(передаточная функция); (7 (/со)—преобразование Фурье для
величины на входе.
Так как Ф (/со) — комплексная величина, то
Ф(/со)=Р(со)+/£(со).
Модуль Ф(/со), или АЧХ
А (ш) = IФ (У и) I = 1^» + №)
И фцх
Ф(со) = ащ[Ф(/ш)] = аг^|||.
Выход y(t) линейной системы имеет ту же частоту, что и
Ь*°Д u{t):
309

Классификация методов идентификации
Таблица 11.1
Характеристики
Параметры в обыкновенных
дифференциальных уравнениях. Методы*:
дифференциальной аппроксимации
параметрической оптимизации
оптимального управления
настраиваемой модели
ступенчатого воздействия
повторного интегрирования
Параметры в аналитическом
решении. Методы:
поисковые
Прони
Параметры в дискретных моделях.
Методы:
Модель
Структура
(известна
или не
известна)
Да
»
»
»
»
»
»
»
\
Тип
Линейная и
нелинейная
То же
»
г»
Линейная
»
Линейная и
нелинейная
Линейная
i

Многомерная
»
»
»
Одномерная
»

Многомерная
Одномерная

Непрерывная
»
»
г»
»
»
»
»
1
Параметр
Тип

Постоянный
»

Переменный
»

Постоянный
»
»
»
1

Ограничение
Возможно
»
»
Нет
)

Доступность
измерения
(да/нет)
Да
Нет
»
»
»
»
»
»
У

Чувствительность
метода к

возмущению
—
—
—
Высокая
»
—
—
статистической оценки
калмановской фильтрации
Коэффициенты функциональных
рядов. Методы:
рядов Вольтерра
Винера
Импульсная переходная функция.
Методы:
непосредственного определения
ИПФ
свертки
корреляционный
моментов
Частотные характеристики. Методы:
непосредственного определения
частотных характеристик
импульсный
частотной характеристики из
переходного процесса
частотной характеристики из
спектрального анализа
Нет
Линейная и
нелинейная
То же
Нелинейная
Линейная

Многомерная
Одномерная
Дискретная
»
Дискретно-
непрерывная
»

Непрерывная
»
»
»
»
»
»
»
_)

Переменный

Постоянный
»
»
»
»
»
»
»
»
»
Возможно
Нет
—
—
—
—
—
»
—
—
—
—
Л
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
Высокая
»
Низкая
Высокая
Низкая
Все методы идентификации, кроме калмановской фильтрации, не применимы в реальном масштабе времени.

если u{t) чисто синусоидальный входной сигнал с частот »
со, т. е. °й
w(^)=H0sina>^
то выход
y(t)=y0sin{cot+(p),
причем
^=|Ф(уЮ)| = Л(со),
"о
<p=arg[<D(7{o].
Таким образом, амплитудную Л (и) и фазовую ф(со)
частотные характеристики Ф(/со) определяют подачей синусоидальных
входных сигналов H0sinco£ на различных частотах и записью
выходных сигналов г/osin (со^+ф) в том диапазоне частот, в
котором представляет интерес частотная характеристика Ф(/©),
причем для каждой из частот определяют г/о/«о= У А и ф.
Так как каждая точка частотной характеристики должна
быть найдена в результате отдельного эксперимента, то
определение частотных характеристик системы требует значительного
времени. Метод удобен для оценки поведения системы при
заранее известных или заданных частотах, однако он чувствителен
к шумам.
Амплитуду Но гармонического входного сигнала следует
выбирать в зависимости от особенностей системы и ожидаемых
условий ее работы. Так, например, если на вход в нормальных
условиях эксплуатации последовательно поступают ступенчатые
функции с промежутками, превышающими время переходного
процесса, то амплитуду и0 входного сигнала u(t) выбирают
несколько меньшей, т. е. в соответствии со значением ступенчатой
функции.
Очень важно, что частотные характеристики при различных
амплитудах входного сигнала позволяют установить область
линейности объекта и время запаздывания. Кроме того, частотные
характеристики можно использовать для построения общей
модели системы, причем устойчивость разомкнутой системы может
быть определена непосредственно.
Частотный метод идентификации может быть применим как
для одно-, так и для многомерных САУ.
Пример. Рассмотрим ЛАЧХ системы (рис. 11.1). Такая характеристика
может быть, например, получена экспериментально. Необходимо идентифи'
цировать систему по заданной ЛАЧХ математической моделью в форме
передаточной функции G{s), составленной из соответствующих типовых дй"8
мических звеньев.
В качестве 1-го варианта задачи рассмотрим ЛАЧХ системы, не име1°'
щей особенностей типа резонансных пиков.
Предварительно осуществим аппроксимацию экспериментальной хар8*
теристики асимптотической ЛАЧХ (пунктирнье линии АВ, CD, EF, КМ <
стандартными наклонами (см. рис. 11.1). Точки пересечения а, б, в эти
312
являются точками сопряжения
-40 дБ/дек с осью частот. Обозначим частоты,
соответствующий ЯЯЛИДНЧ1 шчшши ширттоши асимптот; точка В— пересечение
je точкам сопряжения а, б, в через а>ь <в2, ш3.
^ Исходя из известных сиойств типовых динамических звеньев, анализ
пйЧХ целесообразно начать с ее низкочастотной части. Как видно из
ixZ Ц.1, наклон ЛАЧХ
Lb, дБ
начать с ее низкочастотной части.
системы на низких частотах, равный
-40 дБ/дек
Рис. 11.1. ЛАЧХ объекта G(s) яри £=1
dA
(производная -^ =—20v=— 40 дБ/дек, v=2), указывает на то, что
передаточная функция G(s) содержит звеио s~2. Значение наклона
асимптотической ЛАЧХ правее первой точки сопряжения в диапазоне
ч>1= 1/Г1<а><*й2= 1Дг
составляет 0 дБ/дек, т. е. наклон отрезка аб ЛАЧХ по отношению к ее
низкочастотной части изменился на +40 дБ/дек. Это означает, что
точка а с абциссой <01=1/Г1=4,5 1/с является точкой сопряжения ЛАЧХ
звена s-2 со звеном иторого порядка: (Г,я+1)2 или (7Vs2+2ii7\s+l) (при
£i=l,0, если иеиязка между асимптотической и задаииой ЛАЧХ на частоте
Щ = 1/Т1 составляет 6 дБ).
Далее рассмотрим участок бв характеристики в диапазоне <о2=1/7'2<
<со<ш3= 1/Гз (т. е. а>2=16 1/с), имеющий наклон —20 дБ/дек, что
соответствует инерциоииому звену l/(7"2s+l)- На участке вг в диапазоне со8=
= 1/Г8«о<*>4 (со3=190 1/с) асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон
~-40 дБ/дек; этот участок соответствует второму инерционному звеиу.
Заметим, что частота а>4 выбрана произвольно, ио с условием, что
ослабление на этой частоте составляет более —40 дБ/дек, т. е. высокочастотная
часть ЛАЧХ практически не влияет на характер переходного процесса в
системе.
Следовательно, передаточную функцию G{s) идеицифицируемой системы
Чожно записать в виде произиедеиия передаточных функций указанных вы-
^е звеньев, т. е.
г,, /С(7\5 + 1)2
s*(TiS + l)(T3s + l) '
где
Г,=—= 0,221 с; Г2
:-J-=0,063c; F3 = ^- = 0,0053 с.
u Коэффициент усиления К в G{s) можно определить следующим образом
Частота <в0 в точке пересечения В связана с коэффициентом К соотношением
lg-
0)0
к
(У*>о)л -°'
°оэтому К»=(йоп= 122= 144.
313

Другой способ определения коэффициента К заключается в следуют-
При значении to, меньшем значения первой сопрягающей частоты a>,=sjЛ
можно приближенно написать
Lm(u))=LmK=vLm(G)).
Действительно, при to = 1 последнее выражение сводится к
«№1».
■LmK-
Из него следует, что значение передаточного коэффициента К в децибел
лах определяют ординатой низкочастотной амплитуды LB.4(<o) при значений
угловой частоты to, равном единице.
Решением задачи идентификации по ЛАЧХ системы при отсутствии р6
зонансных пиков является
144-(0,221s+ 1)а
- ° W — s2 ■ (0,063s + 1) (0,0053s + 1) •
В качестве 2-го варианта задачи рассмотрим экспериментальную ЛД1Д
(рис. 11.2). Система в среднечастотной области на частоте a)i=4,5 1/с име.
ет резонансный пик. Предполагается, что в низко- и высокочастотной обла.
стях ЛАЧХ на рис. 11.2 ие отличается от ЛАЧХ на рис. 11.1.
I Lm, дБ
Рис. 11.2. ЛАЧХ объекта G(s) при £<Д
В этом случае для математического описания среднечастотной части
ЛАЧХ следует использовать евено (r1zss+27"igiS+l), подобрав значение
gi=0,03 по значению невязки между асимптотической и экспериментальной
ЛАЧХ с использованием кривых поправок 6. Действительно, имеем
_ 144- (0,221У+2-0,03-0,22ls + l)
G(s) = ss (0063s + ,j (0)005s + ])
Для получения G(s) ранее была использована только АЧХ. Эту же %&'
рактеристику можно использовать и для определения функции G'(s)°?
=k(T1s—l)2/[s2(T2s+l)(T3s+l)]. Поэтому для установления различия we*'
ду G{s) и G' (s) необходимо иметь ФЧХ.
Если объект состоит из нескольких динамических элементов, то s?efL,.
су
тельно наблюдать форму сигнала иа выходе каждого из них, так как
ход объекта может иметь почти гармоническую форму сигнала при
щественно нелинейных характеристиках промежуточных элементов. 0,
Очевидно, что рассмотренный метод практически не применим и Ус^0,
виях нормальной эксплуатации системы, так как подаваемые на вход гар f
нические сигналы могут привести к изменению технологических режимов
производственном процессе, к снижению качества выпускаемой проДУ
ции и т. д. ЫЯ
Из рассмотренных далее материалов следует, что эксперименталы* с
метод идентификации частотных характеристик относится к способам
314
бным или искусственным сигналом, а динамические характеристики
"Р еделяются в установившемся режиме движения системы. Последнее
пебует больших по сравнению с «памятью» системы интервалов наблюде-
а& с целью исключения переходной составляющей реакции, что также
11 желательно в системах .регулирования производственных процессов.
11.2. Идентификация методом свертки в случае
произвольного входного сигнала
Классический метод идентификации позволяет определить
передаточную функцию системы. Однако обычно требуется
найти дифференциальные уравнения в условиях работы системы при
реальных, а не при гармонических входных сигналах. Сделать
это особенно трудно, когда экспериментальные результаты
заданы в графической форме, как это имело место в предыдущем
случае.
Рассматриваемый метод идентификации1 лишен этого
недостатка и позволяет определить математическое описание
объекта практически при любом входном сигнале.
Связь между y(t), u{t) через k(t) при нулевых начальных
условиях определяют выражением (уравнением свертки)
t
y{t) = ^k{x)u{t-x)dx, t>0, (11.1)
б
где k(x) — ИПФ объекта; u(t) — входной сигнал,
или эквивалентным ему выражением
t
y{t) = {u(x)k{t — x)dx, t>0.
Выражению (11.1) можно поставить в соответствие дискретную модель.
Одни из способов ее получения заключается в следующем.
Пусть переменная t изменяется на некотором отрезке [0, Т], Т>0. Если
ограничиться рассмотрением только дискретных значений t=lA (где Д>0 —
постоянный шаг дискретизации, 1=1, 2, ..., п и пА=7'), то в соответствии с
выражением (11.1) получим
/Д
г/(/Д)=| k(x)u(l&—x)dx, 1 = 1,2,...,п.
о
Аппроксимируя при каждом / = 1, 2, ..., п интеграл
J k(T)u(l&—T)dx,
0 Формуле прямоугольников с постоянным шагом дискретизации по
перечной т, равным А, получим соотношения:
с 1 Дмитриев А. Н., Егупов Н. Д. Определение динамических характери-
k ик объектов регулирования из экспериментальных данных // Техническая
flon Рнетика: Теория автомат, регулирования: В 3 кн. / Под ред. В. В. Со-
Довникова. Кн. 2. М: Машиностроение, 1967. С. 93—234. (Сер. инженер,
биографий).
315

у (Д)=| k (т) и (Д—т) dx=k (Д) и (0) Д +6ь
о
2Д
у (2Д)= J * (т) и (2Д—т) сГт=А (2Д) и (0) Д + k (Д) и (Д) + ба;
о
«Д
у (пА) = [ Л (т) и («Д—т) сГт= ft (пД) к (0) Д +
о
(U.2)
+ А((и— 1)Дв)(Д) + ... +k(A) и ((«—1) Д) Д + б„,
где 6i, 62, ..., бп — погрешности, иозникающие при замене соответствующих
интегралов их аппроксимациями по формуле прямоугольников.
.- Введя обозначения
yi=y(A), у2=у(ЧА), ..., уп=*у(пА);
kl=k(A), k2=k(ZA), ..., kn = k(nA); ^
Ui = u(0), иг=и(А),..., ип=и(п—1)Д),
соотношения (11.2) можно записать в матричной форме:
Ух
Уч.
\-Уп.
= Д
и, 0
%_Un tt„_j
0
..0
-*1_
к
Jtn_
+
-6,-
S2
_&„_
или более компактно:
у=Дик+6,
где
(11.4)
(11.5)
к= [ku k2, ..., k„]r; у= [уи у2 уп]т; 6 = [бь й2,
и—квадратная матрица порядка п вида
"ttj 0 ... 0
6„]г
и =
Us U,
о
U/i Ufi—i . . . ttj
ее определитель det u= [«i]n, detu=0, если Ы1 = и(0)=И=0; Т —знак операция
транспонирования.
Выражения (11.1), (П.4), (11.5) не могут непосредственно использоваться
для оценки ЙПФ, поскольку функции y(t) и u(t) не могут быть точно
известны, а вместо них заданы y*(t) и u*(t) —приближенные значения
точного входа u(t) и выхода y(t). Кроме того, в выражениях (П.4) и (И "
неизиестными являются компоиены вектора 6.
Для получения оценки ИПФ вместо выражений (11.1) и (11.5)
используют уравнение
y*(t) = jk*(x)u*(t — x)dt, t>0
(11.6)
либо его дискретный аналог (пренебрегая погрешностями аппроксимави
интегралов)
y.=Au.k„ (ll7>
где компоненты векторов-столбцов у», к. образуются по аналогии с коми
иеитами векторов у, к, но иа основе y*(t), k*(t).
316
Квадратная матрица и порядка п:
и*—
~к,* 0
«2* "l*
* *
и , и
■■
-I •
. 0 ~
. 0
. И,*
ГДе
числа «г* образуются по аналогии с щ (1=1, 2, ..., п) и определяются
Сражениями (11.3)"
чаесь исходной является функция u*(t), т. е.
й1*=и*(0), ы2*=и*(Д) ип»=и*((п—1)А).
11.3. Метод ортогональных разложений
Применение пробных воздействий в виде ступенчатой
функции или импульса не всегда желательно. Кроме того,
получение в виде графиков переходные функции САУ не имеют удоб-
н0й аналитической формы для дальнейшего использования.
Быстрота проведения эксперимента не компенсирует длительной
я связанной со значительными погрешностями работы по
аппроксимации кривой переходного процесса.
Процесс определения динамических характеристик по
типовому пробному сигналу можно существенно упростить и
автоматизировать применением ортогональных разложений. Смысл
метода состоит в том, что осуществляют аппроксимацию
произвольной функции САУ с помощью системы функций {q>i(t)},
удовлетворяющих условию ортогонализации на интервале
a<t<b
ь
а также условию нормализации
ь
\y?(t)w(t)dt = \, i = j.
а
Множества функций {ф*(0} представляют собой системы
°Ртонормированных функций с весом w(t)2. Эти системы
отличаются друг от друга интервалом, на котором проводят
аппроксимацию, а также полнотой разложения. Систему функций
называют полной, если произвольную функцию данного множест-
Ва можно представить бесконечным числом членов ряда.
^ Рассмотрим сигнал u(t), действующий на входе системы.
Для тот чтпбы чястняя сумма сяда
того чтобы частная сумма ряда
п
tt«w=2cl«pl(f)
«Вл
(=0
Ялась наилучшим приближением для u(t), т. е. функционал
еаи ,Рес°м w(t), или весовой функцией, называют параметр ортонормиро-
Ной системы, влияющей на скорость сходимости ряда.
317

о
E=^[u(t)-un(t)f'w(t)dt
(И
*)
был минимальным, необходимо и достаточно, чтобы {ct}
коэффициентами Фурье функции a(t) в системе {<рг (•£)},
определялись по формуле
ct=\u(t)(pt(t)w(t) dt.
т. „•
(11.9)
Достоинство ортогональных разложений по критерию (1\$\
состоит в том, что искомую функцию получают в удобной ана-
литической форме, а выбором подходящей ИПФ можно при не-
большом числе членов (11.9) ряда добиться удовлетворительно-
го приближения.
С практической точки зрения некоторые ортогональные системы
реализуют даже средствами аналоговой вычислительной техники. Тогда в
рассматриваемом методе определение динамических характеристик сводят к
нахождению коэффициентов Фурье вида
т
c, = ]j u(t)cpt(t)w(t)dt. (11.10)
о
Для вычисления интеграла Фурье в соответствии с (11.10) сигнал u(t)
подают на вход четырехполюсника, обладающего переменным коэффициентом
усиления
fti(0=<P«(0«40.
а затем интегрируют. В момент t=T величина на выходе интегратора будет
иметь значение а. Совокупность {а} как коэффициентов разложения
импульсной переходной функции по выбранному ортогональному базису
является ортогональной спектральной характеристикой, аналитически
представляющей собой динамические свойства системы:
п
к (0 = 2 с,.
г=о
На рис. 11.3 приведена структурная схема анализатора для определения
{сг} в соответствии с (11.9). Известны анализаторы, использующие различные
ортогональные системы. Их реализуют при помощи как цифровых
вычислительных машнн, так и пассивных JRC-цепей.
aft)
ЬЮ~9*Ю"Ю
*t(t)~rt(t)»(t)
ftn(t)"Yn(t)w(t)
u(t)y,(t)w(t)
1
P
и® уг ft)*>ft)
1
P
'
u(t)r„(t)w(t)
T
p
ъ
Рис. 11.3. Структурная схема анализатора для определения с*
318
\ 1.4. Идентификация методом корреляционных функций
Этот метод основан на понятии корреляционных и взаимо-
рреляционных функций, например
(Н.И)
требую-
является их по-
лСйовным преимуществом корреляционных методов,
цИх решения интегрального уравнения (11.11), явля<
шехоустойчивость.
Действительно, предположим, что к объекту приложено не
только воздействие tn(t), но и помеха n(t) (рис. 11.4). Тогда
mfit)
0<Гъеш
(НПФ k(rj)
\n(t)
*ф —Зь.
Рис. 11.4. Метод ортогональных разложений
(схема системы с m(t) и n(t))
вместо формулы (11.11) необходимо написать
ОО ОО
z(t)={m(t-т)k (т)dx+^nit-г)ka(x)dx, (11.12)
о о
где &„(т) —ИПФ относительно точки приложения помехи n(t).
Определить k(x) из этой формулы достаточно трудно, так
как второй член в правой части является источником
погрешности, оценка которой часто невозможна. Если умножить обе
части формулы (11.12) на m(t-\-'k) считая, что m(t) и n(t)
взаимно некоррелированы, и усреднить их, то получим уравнение
(11.11), которое остается справедливым при любом числе
сигналов помех ni{t), действующих на объект при условии, что
°ни не коррелированы с воздействием m(t).
Схема взаимокорреляционного метода показана на рис. 11.5.
, I За$ерж*а I "(*-*)
А> fpettetsu I
Рис. 11.5. Схема взаимокорреляционного метода
319

Шумы tn{t) и n(t) предполагают эргодическими с нулев^.
средним значением. Усредненный выход коррелятора ^
t
xa(t)= — }x(k)dh,
6
причем
x(t)=z(t)m(t—т);
z(t)^y(t) +n(t);
оо
У(*)^^1г(г})тУ-г})с1г}. (11.13)
-- б
Математическое ожидание выхода коррелятора
t
M{xa(t)} = \-\M[x(b)]db = M[x(t)} = F>mz{T),
о
где Rmz(%) — взаимокорреляционная функция.
Из уравнения z(t)=y(t)-\-n(t) и уравнения (11.13)
получаем, что функция
Rm(T)=M{m(t)m{t+x)}
равна функции
M{xa{t)}^Rmz{x)=^k^)Rm(x-4)d-n. (11.14)
о
Один путь решения состоит в применении настраиваемой
модели таким образом, чтобы Rmz{%) была ее выходным сигналом
при входе Rm(x).
Итак, идентификацию объекта можно осуществить,
воспользовавшись N корреляторами, соединенными параллельно, т. е.
Rm(xt)=k(tt),l—\,2,...,N.
Другой подход основан на аппроксимации интеграла (11.14):
Г/2 со ('+Т)Г
Яог(т)= |й(ч)#т(т—4)rff] + 2 -f *01)Ят(т — т])Л],
Ruz (кТ)к-^к (0) Ru (kT) + 2 k (iT) Ru (k—i) T. О1-15'
В качестве примера перепишем уравнение (11.15) в матричном виде Дл
трех выборочных значений ИПФ:
320
ГДиЛО) 1 ГД„1
l = \Ruz(T) «\Ru(
LRu,(2T)J LRU\
Ru®) Ru{~-T) RU{~2T)
Ru (?) = | Ruz (T) | » | Я„(Г) *„ (0) /?„ (— Г)
:(2Г) /?и(0 /?„(0) J
Г2-*(0)
А (Г)
.* (2Г) .
3аМетим, что матрица Rk(t) симметричная, т. е. R„(t)=R„(—т).
Определение оценки k(x) может быть связано с переходом в частотную
область. Применяя преобразование Фурье к уравнению (11.15), получим
Sup(/w)=0(/<b)Su(/(b),
откуда
Метод корреляционных функций имеет ряд положительных качеств:
а) идентификация может проводиться в условиях реальной эксплуатации;
б) корреляция в пределах достаточно продолжительного периода времени
позволяет сделать амплитуду тестового сигнала очень малой, поэтому сигнал
в виде белого шума не может повлиять на режим работы объекта; в)
никакой априорной информации о системе не требуется.
Но есть и следующие недостатки, ограничивающие применение метода:
а) время идентификации обычно должно быть весьма продолжительным;
б) необходимость получения белого шума является самостоятельной
проблемой; в) метод ограничен линейными системами с постоянными параметрами
или по крайней мере системами, параметры которых достаточно медленно
изменяются во времени;
г) для выявления высокочастотных составляющих k(t) необходимо,
чтобы тестовый сигнал mT(t) был широкополосным.
11.5. Ортогональный метод моментов
Предположив, что принимаются меры для исключения из
реакции САУ составляющей свободного движения, можно точно
решить интегральное уравнение (11.1) на основе теоремы
свертывания, если известны изображения входного U(s) и
выходного Y(s) сигналов:
Y(s) = W(s)U(s), (11.16)
где W(s) — передаточная функция системы.
Интегральное уравнение (11.1) сведено к простой
алгебраической форме. Однако для решения (11.16) необходимо найти
изображения произвольных действующих сигналов u(t) и y(t),
3 затем по вычисленной из выражения (11.16) функции W(s)
найти k(t).
Рассмотрим преобразование Лапласа:
U
со
(s)=Jtt(f)e-*'rff. (11.17)
о
Существует ряд методов приближенного решения
интегрального уравнения (11.17) относительно u(t), отличающихся слож-
°стью вычислений, значением ошибки и характером ограниче-
и^- Для определения динамических характеристик с использо-
аНИем средств вычислительной техники удобным является ор-
того
Нальный метод моментов.
21—3591
321

Привлечение понятий классической проблемы моментов ц0
зволяет осуществить интерполяцию и экстраполяцию прибли^р"
ния функции с помощью функционала (11.8). Наиболее пр!"
стые вычислительные схемы получают, если рассматривать из0
Сражение Лапласа как моментную функцию для оригинал *
Тогда решение интегрального уравнения (11.17) относительц3'
подынтегрального переменного, т. е. «восстановление» оригица°
ла, например, импульсной переходной функции k(t), сводят ,!
нахождению значений изображения — передаточной функцци
W(s)—в вещественных точках. В этом случае интегральц0е
уравнение принимает вид
W(s) = ^e-**k(t)w(f)dt,
01.18)
имеет вид
где w(t) —весовая функция, которая, например,
ш(/)=ес' (здесь с — постоянная величина).
Это интегральное уравнение хорошо согласуется с
формулами обращения Римана и Меллина и обеспечивает выполнение
условия
оо
\jw(t)\k(t)\dt<™.
Полную систему функций образует система
{е-«>; й-0, 1, 2,... (11Л9)
в пространстве L2(0, оо). Полагая в выражении (11.18) s=0,
1, 2,..., получим моменты цк функции k{t) с весом w(t)
относительно системы (11.19) в виде (рис. 11.6):
*ft> i 1 №
Объект
Анализатор
mweneurf
сие нала и (С)
"
Анализатор
номеитоб
сигнала y(t)
,
Вы**елителб ftotteumoj и/глулАСНой
лереховной функции
' '
W
ВнмслателА t, i опальной елеятралб
но* ха/юхте/гисти//*
{*}
Рис. 11.6. Идентификация ортогональным
методом моментов
322
И*
оо
^w(t)e-*'k(t)dt, £ = 0, 1,2 (11.20)
следовательно, решение задачи сводят к отысканию по
задании моментам {ц*} многочлена степени п относительно показа-
тельной функции е-'
п
таКого вида, что
\w(t)e-ktqn(t)dt = \xk, 0<k<n. (11.22)
о
Система (11.22) линейна относительно неполных
коэффициентов flo, fli,..., ап. Она имеет решение и притом
единственное. Это решение удовлетворяет критерию минимума
взвешенного квадрата ошибки (11.8). Минимум является абсолютным,
если многочлен qn(t), коэффициенты которого определены из
выражения (11.22), построен на основе ортогональной системы.
По определению, многочлен qn(t) можно представить в виде
интегроинтерполяционного многочлена в моментах, т. е.
?«(*)= 2 м*»(*)« (п-23>
где Wk;n(t) — многочлены степени п, такие, что
оо
§■ (f)e-J"PbinV)dt = № J.tX: 0<y, k<n. (11.24)
Если имеется классическая ортогональная система {q>k(t)} с
весовой функцией w(t), или система, полученная из выражения
(11.19) методами ортогонализации, то многочлен Qn{t) можно
представить в виде
я
М*) = 2«?*<М'). (11-25)
со
гДе сА= S. k (t) q>k (t) w (t) dt — коэффициенты Фурье,
о
. Следовательно, задачу сводят к вычислению коэффициентов
j™. Для этого необходимо выбрать ортогональную систему
Ди синтезировать Uph(t)}, а далее найти рвязь между {сл} и
21* 323

Разложив в ряд Фурье функцию e_s(, получим
со
e-*<=2X*(s)<M'); 01.261
ft=0
где
Xk(s) = ^e-^w(t)^(t)dt.
о
Последнее выражение имеет место для любого s с Res^O. На
основе обобщенного равенства Парсеваля получим
оо со
W (s) = \ w (*) е-**к (*) dt = 2 ckXk (s). (II.27)
oJ *=°
Можно показать, что вычисление коэффициентов {Ck} в
форме ряда (11.27) обеспечивает абсолютную и равномерную
сходимость в плоскости Re s5=0.
Аппроксимирующий многочлен (11.25) в этом случае может
быть представлен в виде
п
9» (0 = 2 сне"1". (И -28)
причем система {t~skt} также принадлежит интервалу (0; °°).
Ортогонализируя исходную систему (11.19), получим
методом Грамма — Шмидта систему функций {ф*(0*
Фо(0 = ас;
Ф,(*) = с#> + а|«>е-';
ф2 (*)=а$*> + а<2>е-' +«<2>е-2';
Ф»(0 = «4")+«|")е"'+ • • ■ +а»е-»'.
ортогональных с весовой функцией е-' на интервале (0; °°)-
Коэффициенты разложения определяют из выражения
со
с*=$ А (<)е^Ф* (*)<#•
о
Это выражение можно переписать так:
i
сь= § А(*)(«<*> + «i(ft)e~' + 4ft>e-2'+ ... +aJ*)e-*0de-' =
о
1 1
= of) J A (*) rfe-' + «ift) $ * (0 e-'de-' +
о о
324
+ a<,*> ^ A (0 e-*de-' + ... + «f) J A (0 e^de'*,
о о
tft = a<*> \ A (e-*) AT'+a}*> J A (е-*) e^rfe"' +
о о
l i
+ c#> ^ A (e-0 e-^'de-' + ... + aj*> [ k (e~0 e"*'de-' =
= a<* )|*0+«i*)m +«ift)Ma+ • ■ • + <W (П-29)
T e. коэффициенты {£*} связаны с моментами {цА} выражениями
А=о41)|*о+а}1)и;
(11.30)
причем моменты {р,*.} вычисляют по изображению Лапласа
W(s) при £=0, 1, 2,... Необходимо иметь в виду, что на
основании теоремы смещения аргумент s в изображении W(s)
изменится на Si=s+c, где с—масштабный коэффициент весовой
функции w(t)=e-ct из выражения (11.23).
Система Oh.n(t)} и система {q>ft(0} связаны рекуррентными
соотношениями
Ч* п (0 =Ч\: „_, (0 +a»w<p* (0, 0<А<в— 1;
ЧгЧ1,(0=о„(я,Фп(0. (11.31)
гДе ай(") — коэффициенты многочлена
и
чмо=2а1п)е""й'-
fc=0
В приведенной ранее вычислительной схеме (11.18) — (11.31)
''ожно использовать классические ортогональные системы
полиномов Якоби, Лежандра, Эрнеста и, особенно, Лягерра.
Вычисление изображения Лапласа основано на том, что
Умножение известной функции f(t) на t соответствует диффе-
Ренцированию изображения с изменением знака, т. е.
со
Fln)(s) = ^(-\)ntnf(t)e~stdt. (I1.32)
о
ь Вычисляя взвешенные мо
^Ражение (11.32), получим
Вычисляя взвешенные моменты функции f(t), входящей в
ВЫ Г» л, /11 Г\Г\\
325

v-0=\flt)w{t)dt;
0
oo
-V\ = \tf{t)w(t)dt\
0
oo
(-\V^n=\tnf(t)w(t)dt.
(И.ЗЗ)
Ввиду аналитичности изображения Лапласа получим при фуцк.
ции w(t)=erct необходимое число производных изображения в
точке s=c:
V-o'-
\f(t)e-ctdt = [F(s)]s=c;
со
о
со
<—1>"7Г„_ 5' v (о e-'d*=[gf (5)];^
(11.34)
Возвратимся к уравнению (11.16). Используя, например,
полиномы Лягерра, запишем следующую систему равенств (см.
рис. 11.7):
Рис. И,7. Импульсные переходные функции
системы:
/ — эталонная, 2 — экспериментальная
326
р2(л0+2^, р, + №ро=«й
Рзйс + 3HiPa + 3jt2pi + ИзРс = «sj
§5 ЙО + 5^1 Р4 + * °№рЗ + Ю|^3р2 + б^ + [*5р0 = «Б
Откуда моменты импульсной переходной функции
(11.35)
Ис=
«о.
■ИГ
Р.
Й2 =
— йз
-" Дз — Мч>Р»—3HiPs — ЗЦ2Р1
Р.
(11.36)
(-1)ПЦп
где
<#;
а„=$*»х:(*)
о
Р«=5'"/(')е-^
(11.37)
— моменты входного и выходного сигналов.
Ортогональную спектральную характеристику как
совокупность коэффициентов {Ck}, по аналогии с (11.30), для случая
полиномов Лягерра вычисляют в виде
с1 = !-10— С^1'
c2 = ii0 — 2сщ +(1/21) с2|л2;
с3= jIo-Зсй, + (3/2!)с2№-(1/3!) cVs?
с4 = ^-4сй +(6/21)c2il2-(4/3!) с3[Гз+(1/4!) ^с4.
(11.38)
Специальные анализаторы вычисляют моменты входного и
входного сигналов на интервале [0, Т], соизмеримом с
длительностью переходного процесса в системе, по формулам
(И.32) — (11.38). Импульсная переходная характеристика мо-
^ет быть получена в удобной аналитической форме. На
Рис. 11.7 приведен пример определения k(t) объекта второго
^°Рядка, имеющего передаточную функцию W(s) = l/(T2s2+
~i~2g7,s-+l) при: постоянной времени Г=0,4 с; 1=0,6; Rf=
^-«'cc-sjtf; cc=10; mf=3.
327

11.6. Метод дифференциальной аппроксимации
при помощи систему
(П.39)
входное
Объект может быть смоделирован
уравнений (шум отсутствует)
x'=f(x, u, b),
где х — n-мерный вектор состояния; и — т-мерный
вектор; f — n-мерный вектор, описывающий динамику объекта-
b — А-мерный вектор неизвестных параметров.
Если все переменные состояния и их производные доступны для
измерения, то первоначальную задачу оценки сводят к более
простой — определению параметров алгебраической модели.
Для оценки параметров составляют функцию ошибки
х—f(x, u, p; t)=e,
после чего можно применять статистические методы оценки.
В различные моменты ti производят измерение некоторых
физически доступных состояний системы. Результат этих
измерений можно представить в виде
<с(^), x{ti)>=bi\ £=1, 2,..., т, (11.40)
где < > — знак скалярного произведения; ti£(t0, tk) и т
выбирают таким образом, чтобы получить п-\-к условий вида (11.40).
Вектор u(t) должен быть доступен для измерения в интервале
(^о, tf) наблюдения.
Итак, задана модель (11.39) динамической системы.
Требуется найти значения неизвестного вектора параметров b так,
чтобы критерий
т т
У(Ь)=^||х —f(x, u, p; t)\\2dt = mm{e2(§)dt, (11.41)
j уо)=\\\ж — \ (X, u, p; r)||'fltf = mln
'о Р о
т. е. имел минимум по g на интервале (О, Т), здесь §-
оценочных параметров.
Необходимое условие минимума
vp/(P)lPs=-p=o
принимает в данном случае вид
т т
- вектор
$f^Hff(x>u'P)^'
(11.42)
где
df__\dft -[_
йР L <% J
dp,
dfn
-dp,
' dp*
dfn
dp*_
~ df
dp»
df
Mm
11.43)
328
неизвестных составляющих вектора b определяют из k со-
^лестных уравнений (11.42).
Изложенный метод дифференциальной аппроксимации прост
„^числительном отношении, но предполагает отсутствие шу-
*мз измерений.
Пример. Пусть объект описан уравнением
х-\-а1Х+аоХ?>=Ьи,
модель — уравнением
"x-\-aiX+«XoX*—р0и = е.
Следовательно,
дг . де 1дг
да^^*'' ба7=х3; Wo = ~""
т т т
fflin § **dt + jj J e4t= J 2e || dt=0.
0 0 0
T
Используя критерий min ( e2dt (11.41) и подставляя в интеграл произ-
0 о
водные по параметру р = а0, а,, ро:
т т т
§exdt=0; J Ex*dt = 0; J eadt=0,
0 0 0
получим систему уравнений, линейных относительно неизвестных параметров:
т т т т
a, JxW + a0 J x3xdt—p0 J uxdt= — \ xxdt;
oooo
T _ T T T
a,j" xx'dt + ttoj xdt — fa] ax*dt = — \ xx3dt; \ (11.44)
о ooo
T T T T
a, J 'xudt + a„ f x3udt—p0 f u*dt = — f xudt,
о о о i
• e- система (11.44) представляет собой три уравнения с неизвестными а0г
11.7. Идентификация объектов методами теории
оценивания параметров
Оцениванием в математической статистике и теории
управляя называют обработку данных измерений с целью умень-
Ц^ния влияния на них случайных факторов. В классической
теории оценивания рассмотрены различные методы оценок, к числу
КОторых относят следующие:
D 1) метод байесовских оценок, или оценок с минимальным
JJCk°m. Для его реализации необходимо априорное знание плот-
Са^и распределения вероятности неизвестных параметров
^ и размера так называемого штрафа за ошибки. Под
329

«штрафом» понимают потери из-за недостижения абсолют^
точной идентификации; °
2) метод максимального правдоподобия. Предполагается
что динамические свойства объекта управления аппроксимир0'
ваны некоторой параметрической моделью. Кроме того, необ*
ходима информация о плотности распределения вероятность
наблюдаемого (измеряемого) процесса;
3) метод наименьших квадратов. Предполагается то же, чт0
и в п. 2;
4) метод марковских оценок. Необходимо знание корреля.
ционной (ковариационной) матрицы возмущения.
Во многих случаях алгоритмы оценивания осуществляют
оптимизацию, например поиск приближения к минимуму фуцк.
ции затрат, максимуму вероятности некоторого события
минимуму дисперсии ошибки и др. Идентификация объекта
системы управления на основе классической теории оценивания
по вектору наблюдения z* заключается в выборе метода
определения и вычисления вектора р оценочных параметров,
удовлетворяющего критерию наилучшего приближения к вектору b
действительных параметров исследуемого объекта.
Рассмотрим систему, показанную на рис. 11.8. Предположим,
Динамит
объекта
г
Априориаи
анфорнац
ая
\ j
Оцеиибаиие
р
Рис. 11.8. Схема идентификации при помощи классической
теории оценивания
что наблюдения скалярных процессов осуществляют в
дискретные моменты с постоянным шагом А (далее символ А буДе^
опускать). Время t последовательно принимает значения 1, *■*
3,..., k. Требуется найти правило, или оператор оцениваний,
т. е. некоторую связь, которая позволила бы получить для неиЗ'
вестного вектора параметров объекта адекватное числовое (в&'
торное) приближение — оценку р:
Р=р{и(1),...,и(й);г(1),.
.z(£)}=P(u.z),
управления;
Z=[2(D.
где и=[ы(1),..., u(k)] — вектор
... ,z(k)\ — вектор состояния.
Эта оценка зависит от имеющейся последовательности набл*0
дений, описываемых и и z, а также от длины k выборки.
330
ректор помехи п (см. рис. 11.8) представляет собой реали-
адию многомерного случайного процесса с конечными момен-
Заци второго порядка. Поскольку z*=z+n, T0 z* независимо от
Характера вектора управления интерпретируется как случайный
е1стор. Будем считать, что р также имеет моменты второго
порядка, поэтому при идентификации можно использовать
свойства оценок параметров вектора b вместо его плотности
распределения вероятности. Такими свойствами могут быть:
1) несмещенность, когда для каждого k математическое
ожидание вектора р совпадает с Ь, т. е.
М[Р]=Ь;
2) состоятельность, если с ростом длины выборки k для
любого 8>0
limpflp—Ы>8}=0,
ft-»-со
где р — вероятность события;
3) эффективность оценки (достижение наилучшей точности
или минимальной дисперсии результирующей оценки для всех
несмещенных оценок).
Когда 1-е и 3-е из перечисленных свойств выполняются только
при &-»-оо, то их называют асимптотическими.
Метод байесовских оценок. При использовании этого метода
для решения задач идентификации объекта в распоряжении
разработчика имеется наибольшая априорная информация (т. е.
полученная до проведения измерений), включающая следующее:
1) плотность распределения вероятности шума п. По ней
можно определить условную плотность распределения
вероятности измерений z*, которая зависит от параметров объекта b
й управления и и обозначается через p(z*/b);
2) плотность распределения вероятности параметров Ь,
обозначаемая через q(b);
3) потери, связанные с численной оценкой Р при истинном
значении параметра Ь. Эта функция штрафа, или потерь с(р, Ь),
Имеет минимум при р=Ь.
При использовании байесовских оценок исходим из формулы
Байеса:
P(b/z*)=^ip, (11.45)
гДе p(b/z*)—апостериорная3 плотность распределения
вероятности вектора b при заданных результатах измерения z*;
P(z*) —плотность распределения вероятности z*. На основе
нформации о p(b/z*) требуется определить вектор Ь. Опреде-
JlHNl условный риск выбора P(z*) оценки при истинном
значении вектора параметров b как математическое ожидание функ-
р * Апостериорной называют информацию, полученную после выполнения
изМерений.
331

ции потерь с(р, Ь) по наблюдениям z*, а средний риск ^(о,
как математическое ожидание условного риска по распр!
делению значений параметра объекта Ь:
/?(P) = Af6[Afz*/b[c(p,b)]==
= jj jjc(p, b)p{z*/b)q(h)dkz*dm™b,
m+l k
оо со
где \ означает (да + 1)-кратный интеграл \ ... \ ;
m+l —оо —оо
m+l
^dm+1b = dbcdbl ... dbm.
Оценка, минимизирующая выражение R($), называется
оценкой минимального риска. Поскольку p(z*)>0, то средний
риск можно минимизировать, сделав внутренний интеграл как
можно меньше при z*=c. Необходимое условие минимума
R($) имеет вид:
/р J c(P, Ь)/>(Ь/с)<Г-'*|р=р = 0. (11.46)
m+l
Получаемая из выражений (11.45) и (11.46) оценка р
называется байесовской.
Метод максимального правдоподобия. Допустим, что
функция штрафа сф, Ъ), условная плотность распределения
вероятности p(z*/b) и априорная плотность распределения
вероятности q(b) 'параметров b системы не известны. В этом случае
<7(b)=^=const в области возможных значений параметра Ь.
Для произвольного z* имеем
max p(b/i*) =— так p(z*;b), (11.47)
ь Р \г ) ь
причем max берется по bCRm+1, где Rm+1 — (m+l)-мерное
вещественное арифметическое пространство. Так как параметр Ь
не является случайной величиной, а представляет неизвестный
постоянный параметр, то в выражении p(z*/b) правой части
уравнения (11.47) вместо косой черты стоит точка с запятой-
Априорная плотность распределения вероятности имеет
вид p{z*(l), ..., z*(k), b}. Апостериори становится известной
реализация выборочных значений z*(l)=c(; ...; z*(k)^c"
или z*=c.
Обозначим плотность распределения вероятности,
связывающую реализацию выборочных значений с вектором 0 оцей'
ки параметров системы, через
Цси ..., ch; p}.
332
яг0 выражение называется функцией правдоподобия. Выберем
якое значение §т, которое максимизирует L. Необходимое
тсЛовие этого максимума:
g выражении (11.48) вместо L удобнее рассматривать InL,
-к как из-за монотонности логарифма максимумы L и InL
постигаются при одном и том же значении 0, определяемом из
|lnL(£;P)|p=p = 0. (11.49)
равенство (11.49) называют уравнением правдоподобия.
Отыскивая решение этого уравнения, обеспечивающее наибольшее
значение L(c; р) или InL (с; 0), определим оценку
максимального правдоподобия 0.
Перечислим некоторые асимптотические свойства этой
оценки:
1) нормальность, т. е. р(0/Ь) при &-*-со приближается к
нормальному распределению;
2) несмешенность, т. е. Af[0]-*-b при £-*-°°;
3) эффективность, т. е. стремление к большей точности или
минимуму дисперсии;
4) состоятельность.
Метод наименьших квадратов. Не требует никакой
априорной информации о статистических характеристиках
рассматриваемых процессов. Результаты наблюдений в отличие от
предыдущих представляют векторами-столбцами. Оценку вектора
параметров ищут в классе линейных несмещенных оценок.
Необходимое и достаточное условие минимума функции от
ошибки /(0) определяют системой нормальных уравнений. Оценку,
минимизирующую 7(0) по peRm'+1 при R#=E (где Е —
единичная матрица порядка k), называют оценкой метода
наименьших квадратов с весовой матрицей R. Полагая R=E и
минимизируя /(0) по peRm+1, получают классический метод
наименьших квадратов.
Метод марковских оценок, или обобщенный метод
наименьших квадратов. Предположим, что известна ковариационная
Матрица аддитивного шума, воздействующего на САУ:
[M[n(l)n(l)]...M[n(l)n{k)]l
lM[n(k)n{\)]... M[n(k)n{k)]\
°Жйо доказать, что при N#=1 наилучшую линейную оценку
•яучают минимизацией выражения
333

что приводит к следующему правилу оценивания:
p=[UTN-Hj]-HjTN-iz>
где U — неизвестная kX(m+l)-матрица, которая строится
использованием элементов вектора и.
Марковская оценка является линейной, несмещенной, Э{ц
фективной. В качестве критерия для оценки параметров, Ко>
торая зависит от р, примем 1ф). Полагая N=1 и минимизируй
1($) по р, получаем классический метод наименьших квадра,
тов:
UtUp*=Uz
или
р=[итиг'ит2.
Метод наименьших квадратов в детерминированной и
статистической интерпретации широко используют для оценки
параметров в дифференциальных и в разностных уравнениях,
а также для определения значения импульсной? переходной
функции.
Все рассмотренные методы идентификации объектов
управления и САУ имеют соответствующие алгоритмическое и
программное обеспечение.
Контрольные вопросы
1. Что такое идентификация?
2. Перечислите методы идентификации САУ.
3. Как производится идентификация методом частотных
характеристик?
4. В чем заключаются преимущества идентификации
методом корреляционных функций?
5. В чем состоит ортогональный метод моментов?
6. Сформулируйте сущность метода дифференциальной
аппроксим ации?
7. В каких случаях целесообразно применять байесовские
оценки?
8. В чем состоят оценки методом максимального
правдоподобия?
12. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
Адаптивные (приспосабливающиеся) системы автомате'
ческого управления (АСАУ) могут рассматриваться как сй'
стемы с элементами искусственного интеллекта. Назначение
АСАУ состоит в том, чтобы заменить человека-оператора пР
принятии решений об улучшении характеристик системы
334
0дессе ее нормальной эксплуатации (такая необходимость
о#ет возникнУть. например, тогда, когда условия
функционирования системы не допускают участия оператора).
Р Первые работы по самоприспосабливающимся системам,
росящимся к классу самонастраивающихся, появились в се-
пеДине ^"х гоДов'- АСАУ стали внедрять в различные
отрасли промышленности во второй половине 70-х годов, чему
способствовало быстрое развитие вычислительной техники.
12.1. Функциональные особенности и классификации
адаптивных САУ
Системы управления с неизменяемой в процессе
эксплуатации структурой, а также параметрами настроек,
полученными на этапе проектирования, часто не могут обеспечить
качественного и даже устойчивого управления объектами. Это
связано с тем, что: во-первых, математическая модель САУ
обычно не может быть точно задана на этапе разработки
системы; во-вторых, САУ всегда действует в случайной среде, ее
реальные характеристики априорно можно учесть лишь
статистически. Эти два фактора приводят к тому, что в процессе
нормальной эксплуатации параметры системы изменяются
случайным образом, а степень их неопределенности может быть
различной. Случайные изменения параметров САУ в процессе ее
функционирования и сами эти параметры называют
неконтролируемыми. Причины неконтролируемое™ изменений
параметров САУ различны (например, из-за нестабильности
источников питания, температуры и давления окружающей среды,
естественного старения и пр.). Что касается контролируемых
или желаемых изменений, то под ними понимают изменения
статических и динамических свойств АСАУ, производимые
регулятором на основе данных текущей информации о внешних
и внутренних условиях работы системы. Контролируемые
параметры регулятора адаптивной САУ называют
настраиваемыми.
Если диапазон изменения неконтролируемых параметров
невелик, их разброс может быть уменьшен в процессе работы
благодаря обратным связям в системе. Но если этот диапазон
Или степень неопределенности параметров значительны, то
Удовлетворительные технические характеристики могут быть
п°лучены лишь в результате самоприспособления системы к
^меняющимся условиям в ходе ее нормальной эксплуатации.
Химерами таких систем являются: АСАУ сверхзвукового
самолета, характеристики которого существенным образом
меняется в зависимости от скоростного напора; система моделиро-
6 См. например: Солодовников В. В. Некоторые принципы построения и
д пРосы теории самонастраивающихся систем автоматического управления //
2сгоОМатическое регулирование и управление. М.: Изд-во АН СССР, 1956, С.
ад-259. (Труды сессии АН СССР).
335

вания объекта высокой размерности с помощью модели ц6й
сокой размерности и др. ^-
Приведем краткую классификацию приспосабливающие
систем, объединив их общим термином — «адаптивные сигCii
мы». Итак, адаптивные САУ можно подразделить на (n e'
12.1): VPlic-
Лрвспоса6ла£а/вща?ся
Санонвстревба*-
сцаес*
Cnnccpea*if3g/oa(iiece
Сеяс-
ccrrccfyfaKUji/ecg
fleecafat/e
d/tmutfxure
Pejorr/fHy/nt/e
За/тянутые
Annjrumuveettt/е
f}0*e*efae
#o/rfi///t/pofa/r//A/e
Рис. 12.1. Классификация адаптивных САУ
1) самонастраивающиеся (или системы с параметрической
адаптацией). Используя текущую информацию о
характеристиках внешних воздействий или/и о динамических
характеристиках объекта, они осуществляют контролируемые изменения
параметров регулятора, что обеспечивает улучшение качества
функционирования системы;
2) самоорганизующиеся (или функционально адаптивные)'
Уменьшение априорной неопределенности, приводящее к улУ4'
шению качества управления технологическим процессом #л1*
техническим объектом, достигается в них путем использования
информации, получаемой в ходе непрерывного измерения Д°с'
тупных входных и выходных сигналов;
3) .самообучающиеся. Информация о неизвестных хараКте'
ристиках процесса и окружающей среды вырабатывается ъ*.
в ходе обучения. Эта информация используется в дальней!*1**
для оценивания, классификации и принятия соответствую11115
336
дений с целью существенного улучшения качества работы
Ре,сТеМЫ.
с Теперь можно дать следующее общее определение приспо-
0ЛИвающейся системы: система управления называется при-
са сабливающейся, или адаптивной, если она обладает способ-
сГ1сТЬю уменьшать априорную неопределенность и повышать
"дфективность управления, используя информацию, получае-
9?Ю в процессе нормальной (штатной) эксплуатации.
Необходимость применения адаптивных систем возникает в
„«чае неполной информации о проектируемой системе, т. е.
огДа не известны: параметры объекта и точные характеристи-
й их изменения во времени; внешние возмущения; задающие
ялй управляющие воздействия.
В адаптивной САУ в процессе ее работы могут
осуществляться изменения контролируемых (настраиваемых)
параметров, структуры системы, цели и критерия управления, что
позволяет компенсировать в широком диапазоне изменение
неконтролируемых параметров и поддерживать технические
характеристики системы на требуемом уровне.
12.2. Пассивные и активные, разомкнутые и замкнутые
адаптивные системы
В зависимости от способа, которым осуществляют
желаемые изменения, АСАУ можно подразделить на (см. рис. 12.1):
1) пассивные. В них контролируемые изменения
программно зависят от имеющейся на стадии проектирования АСАУ
априорной информации о внешних и внутренних условиях
работы системы;
2) активные. В «их осуществляются контролируемые
изменения собственных характеристик в зависимости от текущей,
а не только от априорной информации об условиях работы
системы управления.
Кроме того, АСАУ могут быть (см. рис. 12.1):
1) с разомкнутым контуром самонастройки;
2) с замкнутым контуром самонастройки.
Адаптивными системами с разомкнутым контуром (циклом)
самонастройки, или, просто, разомкнутыми АСАУ, называют
Истемы, в которых программа настройки параметров
определится заранее и таким образом, чтобы система управления
аходилась в расчетном квазиоптимальном режиме при неко-
Рых типовых или наиболее вероятных внешних и внутренних
ловиях. Для настройки системы во всем диапазоне изменения
Их условий необходим больший объем априорной информа-
ц, Яа рис. 12.2 приведена схема обычной, неприспособ авливаю-
Ися .системы стабилизации углового положения ЛА. При
Мнении условий полета меняется передаточная функция
22—3591
337

Sft) S,(t) f„(t)
U(t) _£(t)
|*GH" "'Ю
it
w,m •*{+)"* ty0(s)
<P(S)
y(t)
—*■
Рис. 12.2. Неприспосабливающаяся система
стабилизации ЛА
Wc(s) ЛА, а следовательно, и динамическая характеристика
всей системы стабилизации:
Ф(*) =
(12.1)
где U(s) и V(s)—лапласовские изображения входного и
выходного сигналов.
Возмущения со стороны внешней среды f\(t), ..., fn(t),
приводящие к неконтролируемым изменениям параметров системы,
приложены к различным точкам регулятора и объекта.
На рис. 12.2 возмущающее воздействие f(t), приложенное
непосредственно к входу объекта управления, в отличие от
fi(Ot •••> /з(0 не меняет его параметров. Поэтому в процессе
работы системы измеряют только f\(t), .... f3(t) (см. рис.
12.3).
В соответствии с принципом обратной связи и выражением
(12.1) неконтролируемые изменения характеристики W0(s) из-
Ш9 Ш9 W*)
Рис. 12.3. Приспосабливающаяся система стабилизации ЛА
338
возмущений и помех вызывают сравнительно небольшие
з3 еНения параметров <D(s). Если поставить задачу более пол-
,,3й компенсации неконтролируемых изменений, чтобы переда-
tf0 йая функция <D(s) системы стабилизации ЛА оставалась
т°аКТически неизменной, то следует надлежащим образом
избить характеристику регулятора W\{s). Это и осуществляется
^приспосабливающейся САУ, выполненной по схеме, приведен-
8 g на рис. 12.3. Параметры внешней среды, характеризуемые
и гНалами fi(t), ..., /з(0. например давление скоростного на-
сора рн(0. тмпература окружающего воздуха T°(t) и скорость
полета v(t), непрерывно измеряются датчиками Д1—ДЗ, и
текшие значения параметров поступают в вычислительные
«стройства В1—ВЗ, вырабатывающие сигналы, с помощью
которых подстраивается характеристика Wi(s), чтобы
компенсировать изменения характеристики W0(s). Однако в АСАУ
данного типа (с разомкнутым циклом настройки) отсутствует
самоанализ эффективности осуществляемых ею контролируемых
изменений.
Адаптивные системы с замкнутым циклом самонастройки,
или, просто, замкнутые АСАУ, обладают способностью
осуществлять такой самоанализ. С точки зрения структуры
замкнутые АСАУ отличаются от разомкнутых наличием
дополнительного замкнутого контура самонастройки, служащего для
анализа эффекта изменения качества системы управления в
процессе адаптации.
Приведем несколько примеров простых адаптивных систем.
В АСАУ с разомкнутым циклом (рис. 12.4) самонастройка проходит с
-f
| *> И'иМ
"ее
i—*. *(s) —(
У
i ^-
Рис. 12.4. АСАУ с разомкнутым циклом
настройки
Jetom изменений характеристик системы и входного сигнала. Текущая ин-
X Рмация об этих изменениях получается на основе анализа ошибки e(t).
^ Чонастройка выполняется дополнительным корректирующим устройством
jjeMs)> которое включается, например, когда сигнал ошибки контура
управой йя превышает заданные пороговые значения. Эта система, следовательно,
рд/^РУЖивает изменения: или входного сигнала при наличии шумов; или па-
метр0в объекта; или те и другие одновременно
Чей;
К замкнутой АСАУ следует отнести автоколебательную систему с нели-
ус Иым элементом (НЭ) в прямой цепи (рис. 12.5). (На этом рисунке и далее
с"— сигнал самонастройки.) Система обладает способностью изменять пе-
22*
339

Рис. 12.6. АСАУ с замкнутым циклом самонастройки
редаточиый коэффициент прямой цепи таким образом, чтобы обеспечить
оптимальный процесс управления, мало зависящий от динамических свойств
объекта. Замкнутый контур системы практически можно выполнить
эквивалентным усилительному звену с передаточным коэффициентом, равным
единице, а следовательно, инвариантным к изменению динамических
характеристик объекта; причем значение коэффициента усиления в прямой цепи
этого контура должно быть наибольшим. Желаемая динамика системы
управления обеспечивается характеристикой модели фильтра Ф. Эта модель
включается последовательно с замкнутым контуром управления.
Чем больше значение передаточного коэффициента прямой цепи, тем в
меньшей степени характер переходных процессов зависит от динамических
свойств объекта. Однако увеличение значения передаточного коэффициента
ограничено из-за автоколебаний или неустойчивого функционирования
системы управления, в связи с чем возникает проблема контроля автоколебания.
Возможны два пути управления автоколебаниями: 1) настройка
передаточного коэффициента с целью ограничения амплитуды колебаний; 2)
поддержание коэффициента усиления на уровне, соответствующем границе
появления автоколебаний.
Структурная схема АСАУ с настройкой коэффициента усиления для
ограничения амплитуды автоколебаний показана на рис. 12.6. К основному кон-
£*0
^Ч,
1
1
'
'
/
'
"ее
W,(s)
-&*-
W9(S)
Hb(s)
У
340
Рис. 12.6. АСАУ с настройкой коэффициента усиления
САР добавляют контур подстройки параметра. Последний состоит из:
турУ ра и детектора Ч^ф(«), измеряющего действительную амплитуду автоко-
фЯ^иЙ; компараторов для сравнения действительной амплитуды автоколе-
лг & с заданной а3; интегрирующего элемента, выход которого использует-
ба ля изменения значения передаточного коэффициента системы. Недоста-
СЯ раиной системы самонастройки заключается в непрерывном колебании
^"пянительных органов управления.
й0" Колее удачной представляется другая схема АСАУ, построенная по тому
принципу, но работающая вблизи границы автоколебаний (рис. 12.7). Эта
W#(s)
-*<=>
tt^ft)
IV, (s)
W)
_ У,
Рис. 12.7. АСАУ, работающая вблизи границы автоколебаний
схема отличается от предыдущей лишь контуром самонастройки. Модуль
сигнала ошибки с выхода фильтра W$i{s) подается на интегрирующий
элемент так, чтобы последний увеличивал значение передаточного коэффициента
kc системы. Следовательно, при наличии входного сигнала того или иного
знака значение передаточного коэффициента kc будет увеличиваться, что
приведет постепенно АСАУ к режиму автоколебаний. Однако автоколебания
в системе не поддерживаются, а срываются с помощью дополнительной
подсистемы настройки передаточного коэффициента. Последняя содержит:
устройство W$2(s), состоящее из полосового фильтра, воспринимающего сигнал
автоколебаний системы; детектор, выпрямляющий этот сигнал. Сигнал
автоколебаний подается на интегрирующий элемент для уменьшения значений
коэффициента kc и срыва автоколебаний. В цепях увеличения и уменьшения
значения передаточного коэффициента включаются нелинейные элементы для
ограничения скорости такого изменения. Максимальная скорость уменьшения
значения коэффициента kc должна превышать максимальную скорость его
Увеличения, что и обеспечивает срыв автоколебаний как при любых значе-
Ииях входного сигнала, так и при любых параметрах автоколебаний.
12.3. Аналитические и поисковые адаптивные системы
В зависимости от способа, с помощью которого система
реализует цель управления, АСАУ можно подразделить на:
А аналитические (или беспоисковые); 2) поисковые (см. рис.
■!)• Рассмотрим их.
!• В аналитических АСАУ контролируемые изменения пара-
д6тров или входных воздействий осуществляются в результате
оналитического вычисления условий экстремума функции,
пРеДеляющей цель и качество управления.
„ ^а рис. 12.8 показана схема аналитической АСАУ, само-
в^СтРаивающейся в зависимости от изменения характеристик
х°Дного сигнала. Этот сигнал, представляющий собой сумму
341

полезного сигнала u(t) и случайной помехи n(t), подается
вход как системы, так и специального вычислительного yCxD I9
ства ВУ1. Допустим, что характеристики этих составляю^"
заранее не известны, но некоторая априорная информация *
них имеется (например, практический интерес представдя °
случай, когда сигнал u(t) зависит от некоторых параметр
и разработчик системы ими не располагает, а помеха имр В
известные статистические характеристики). т
Рис. 12.8. Аналитическая АСАУ
Такая система (см. рис. 12.8) работает следующим
образом. Вычислительное устройство ВУ1, оценив параметры
полезного входного сигнала u(t), формирует оптимальную ИПФ
&орт(0- Последняя сравнивается с ИПФ системы k(%), текущее
значение которой вырабатывает ВУ2. По результатам
сравнения этих функций устройство настройки параметров с
передаточной функцией W„(s) изменяет собственные контролируемые
параметры так, чтобы приблизить ИПФ k(x) к оптимальной.
Если неконтролируемые параметры изменяются, то проиесС
самонастройки повторяется. С течением времени точность
опенок возрастает и, следовательно, повышается динамически
точность АСАУ в целом.
Для обеспечения заданного качества переходных процессе
АСАУ осуществляют самонастройку контролируемых параме
ров корректирующих устройств, вводя импульсные пробн^
сигналы. Обычно качество процесса регулирования зависит
системы-
положения нулей и полюсов передаточной функции ^«v,--
Это положение, в свою очередь, зависит от текущего знаЧе^ля
неконтролируемых параметров объекта или регулятора. Д Q
стабилизации положения нулей и полюсов системы необхоД15
управлять передаточным коэффициентом или другими пара*1
рами корректирующих устройств, компенсируя уход некоНТР^
лируемых параметров. Непосредственное определение э
342
о3кений в процессе эксплуатации системы не представляется
Сложным, поэтому косвенным критерием оценки в этом слу-
0°3 может стать число колебаний за время переходного
пропса, 'вызванного импульсным воздействием.
Структурная схема такой АСАУ изображена на рис. 12.9.
Генера/пор
* }
'
—nr; - v
ВУ
♦
Wn(s)
\ШСС
W0(S)
У
Рис. 12.9. АСАУ с пробными импульсными сигналами
На вход системы подается пробный импульсный сигнал, под
действием которого в ней возникают затухающие колебания.
Эти свободные колебания измеряются и подаются на вход
устройства ВУ, которое определяет число их полупериодов.
Действительное число колебаний сравнивается с заданным, на
основе чего вырабатывается сигнал самонастройки ucc(t).
В аналитических АСАУ используется также принцип
статистической коррекции сигналов, заключающийся в непрерывном
наложении белого шума малого уровня на входной
управляющий сигнал системы. Белый шум представляет собой пробный
сигнал, реакция на который взаимно коррелируется с входным
сигналом.
В качестве текущей динамической характеристики системы
выбирают ИПФ, что основано на следующем. Если система,
имеющая импульсную переходную функцию k (t),
возбуждается Шумовым сигналом, имеющим автокорреляционную функцию
^п(т—t), то взаимокорреляционная функция входного и
выходного сигналов
-|-оо
Я«(т)= ^*(т)#я(т — t)dt.
(12.2)
сли шумовой сигнал имеет полосу частот, превышающую (не
еНее чем в 3 раза) полосу пропускания системы, то Rn(x—t)
^Вляется б-функцией. Поэтому, согласно формуле (12.2), Rm=
^~ х- Взаимокорреляционная функция Rnx, используемая в
Честве текущей динамической характеристики, может быть
Мерена в процессе работы системы.
343

На ,рис. 12.10 изображена структурная схема такой АСдл
Контур самонастройки, оптимизирующий систему управде17 ■
выполняет следующие основные операции: определение Те^Ч
щей динамической характеристики (импульсной переход|Д"
Рис. 12.10. АСАУ с оптимизацией динамической
характеристики
функции); установление соответствия между текущей
динамической характеристикой системы и оптимальной или
требуемой; выработку сигналов самонастройки и перестройку
параметров системы для получения оптимума.
2. В поисковых АСАУ определение значений
контролируемых параметров осуществляется в результате поиска
экстремума функции качества. Поиск выполняется в такой области,
в которой положение рабочей точки обеспечивает требуемые
статические и динамические показатели САУ во всем диапазоне
изменения контролируемых параметров. Очевидно, что
необходимы специальные методы, позволяющие отличать эту
область от другой.
Если заранее ничего не известно о расположении данной
области и в процессе поиска нет возможности путем экстраЛ0"
ляции получить о ней некоторые сведения, то приходится Д0'
вольствоваться следующими методами случайного поиска:
1) сканированием — когда система просматривает т°чК
области одну за другой в определенном порядке;
2) чисто случайным поиском — когда, например, систем
выполняет автоматический поиск условий ее устойчивости. ™
построен гомеостат Эшби, в котором параметры АСАУ MeF5„T
ются случайным образом до тех пор, пока система не стай
устойчивой. Тогда настройка параметров прекращается. -
При промежуточном анализе результатов поиска примени^'
например, метод Гаусса—Зайделя, когда система осуществи
ет поочередные адаптивные движения по переменным, при4
344
а)Кдый раз по одной из них при фиксированных значениях
яРУгИХ-
релаксационный метод отличается от метода Гаусса—Зай-
еЛя тем, что предварительно оценивается та из переменных,
кот°Рая наиболее существенно влияет на искомое состояние
системы. Именно по ней и ведется поиск.
Метод градиента основан на отыскании некоторого крите-
рИя самонастройки — функции Q путем простых движений
вдоль осей координат градиента. Самонастройка ведется в
направлении, противоположном знаку градиента, небольшими
фагами, в промежутках между которыми каждый раз путем
пробных движений отыскивается новый знак градиента.
Метод наискорейшего спуска отличается от метода
градиента тем, что поиск направления градиента происходит после
того, как функция Q принимает минимальные значения при
движении системы в сторону, противоположную ранее
найденному знаку градиента. При этом методе достигается
минимальное число пробных движений.
Основные принципы проектирования аналитических и
поисковых АСАУ. При сравнении аналитических и поисковых АСАУ
необходимо иметь в виду, что: аналитические требуют
соответствующей априорной информации и небольшого промежутка
времени для вычисления оптимального режима, но не
нуждаются в поиске; поисковые, наоборот, требуют на это
значительного времени, но не нуждаются в априорной информации.
Вследствие указанных свойств поисковые АСАУ находят
преимущественное применение в тех случаях, когда цель
управления заключается в реализации оптимальных условий
работы в квазистатическом режиме. Так, например, если
потребление топлива двигателем зависит от статических значений
нескольких переменных, то поисковая система автоматически
отыскивает оптимальное положение рабочей точки в области
контролируемых параметров. При этом характерны медленно
изменяющиеся статические условия и сравнительно быстро
изменяющиеся искусственные возмущения. Что касается
аналитических самонастраивающихся АСАУ, то их применяют
Равным образом в случаях, когда изменяются и динамические
свойства управляемого объекта, и внешние условия. Однако
следует отметить, что между поисковыми и аналитическими
^СДУ 'не всегда можно провести четкую границу. Более того,
значительный интерес представляет создание комбинированных
Систем, использующих как аналитический, так и поисковый
°РИнципы самонастройки.
АСАУ с разомкнутым контуром самонастройки целесообраз-
а° Применять там, где допустимы значительные отклонения от
°Птймальных режимов.
При малом диапазоне изменения неконтролируемых
парадов объекта достаточно эффективна АСАУ с дополнительной
^линейной обратной связью, а также системы с нелинейными
345

элементами в цепи управления, работающие вблизи границ
устойчивости или в автоколебательном режиме. ^
Выбор того или иного принципа самонастройки во много
зависит от возможности введения в систему пробного сигнале
АСАУ с пробным сигналом обладают высокой стабильность^
контура настройки параметров (влияние внешних воздействий
незначительно).
Ограничения в выборе принципа самонастройки связаны
длительностью процесса управления и его цикличностью. Так
для объектов разового действия при небольшом времени функ'
щюнирования применение поисковых адаптивных систем
исключается. Нерационально применять аналитические адаптивные
системы, у которых используется коррелятор для определения
динамических характеристик. В то же время для АСАУ, у ко-
торых процесс управления достаточно продолжителен, а
характеристики объекта заранее не известны, целесообразно
использование поискового принципа самонастройки с применением
коррелятора для определения динамических характеристик
объекта.
12.4. Адаптивное управление техническими объектами
с эталонной моделью
К настоящему времени сформировалось два основных
направления в теории и практике адаптивных систем: АСАУ с
эталонной моделью и с идентификацией объекта управления;
АСАУ с эталонной моделью, реализующие градиентный метод.
Структурными элементами АСАУ с эталонной моделью
(АСАУЭМ) являются: основной контур управления с
управляемым объектом, эталонная модель и устройство адаптации.
Регулятор и объект представляют собой адаптивную систему-
Эталонная модель задает необходимые статические и
динамические свойства основного контура. В процессе штатной
эксплуатации динамика замкнутого основного контура непрерывно
сравнивается с поведением эталонной модели. Задача
устройства адаптации заключается в минимизации некоторого
функционала от рассогласования их выходов либо путем изменения
параметров основного контура (параметрическая адаптация)-
либо путем формирования дополнительного сигнала на ег°
вход. Адаптация необходима для компенсации возмущений, Де^'
ствующих на объект управления. С помощью АСАУЭМ уД°0'
но решать задачу формирования входного сигнала, действу1^
щего на контур регулирования, на основе цели управлеНЯ ■
Общая схема системы с эталонной моделью приведена й
рис. 12.11. Эталонная модель формирует желаемую peaKH15
для настраиваемой системы. Устройство адаптации, минимиз
руя функционал от разности между выходами t)c(t) настраи6
емой системы и соответственно выходами эталонной моДе *
tju{t), изменяет параметры адаптивной системы или вычисл#
346
Возмущения
Эталонная
модель
Уп
Возмущения \^-
Л,
АОалтибная
система
А---,
Формирование
бе/гон'огателмого
входного саенала
~х.
Ус
^Лараметртемая
адалтаиия
Устройство
адалтаиаи
Рис. 12.11. Функциональная схема АСАУ с
эталонной моделью
вспомогательный входной сигнал. Одно из наиболее важных
преимуществ АСАУ этого типа состоит в относительно высокой
скорости адаптации, так как функционал эффективности
(качества) эталонной модели совместно с системой представляет
собой линейную функцию от переменных состояния. Однако
для технической реализации АСАУЭМ необходима некоторая
априорная информация (об управляемом объекте или о
настраиваемой модели). В качестве автоматического регулятора
может быть применен контроллер — специализированная
цифровая ЭВМ, встраиваемая в контур управления.
Рассмотрим применение адаптивных систем с эталонной моделью. Так,
АСАУ, приведенная на рис. 12.12, стремится «копировать» выход эталонной
Модели при наличии возмущения параметров системы или входа.
Контролируемые параметры регулятора — ku, kc, kv. Устройство адаптации изменя-
ет параметры регулятора (контроллера) или синтезирует вспомогательный
Входной сигнал для обеспечения качества слежения за моделью. Эту АСАУ
Чожно назвать адаптивной системой слежения за эталонной моделью.
На рис. 1,2.13 показан другой тип АСАУ. В ней эталонная модель
заметна объектом с известной структурой, но неизвестными параметрами, а
напаиваемая система — настраиваемой мюдвлью объекта. Благодаря эффекту
Даптации параметры настраиваемой модели будут «следить» за параметрами
Ьъекта. Таким образом, перед нами система идентификации с параллельно
^встраиваемой эталонной моделью и одновременно наблюдатель состояния,
ак как при f-s-oo состояния настраиваемой модели и объекта управления
0впадают.
т С этих позиций наблюдатель Люенбергера и фильтр Калмана можно
Рэктовать как частные случаи АСАУЭМ с сигнальной адаптацией по вход-
347

Эталонная
модели
Ун
^
Одъект
Ус *
Настраиваемые Формирование
параметры дс/гомогателоного
оагнала
Устройство
адалтаиаи
; Рис 12.12. АСАУ с эталонной моделью (устройство адаптации
формирует вспомогательный входной сигнал)
Помеха
1
>
Вектор
состояли
Одъект
<*
Пастраадаемая
модель одъекта
я
модели
Параметры
■«с ■
модели
/
Помеха
1
*е—,
.>-
Устройство
ад&
r/?/naq£/it
Рис. 12.13. Схема АСАУ с идентификацией
ному воздействию, причем параметры объекта предполагаются известными и
исследуется действие внешних возмущений и рассогласования (между на
чальными состояниями объекта и модели) на состояние объекта управления
(рис. 12.14, где Ар, As — матрицы управления и состояния объекта, Вр, Bs -"
матрицы управления, С — матрица выходного сигнала, k — коэффициент уси"
ления, х — вектор состояния объекта, хе — вектор состояния наблюдаюШе
го устройства).
Однако, когда параметры объекта отличаются от параметров набл'ОДа_
теля состояния, необходима адаптивная самонастройка последних, что п
зволит устранить неустойчивость процесса идентификации. Адаптивный 1,а_
блюдатель состояния в этом случае является настраиваемой эталонной м
делью (которая имеет ту же структуру, что и объект) и одновременно ой
нивает параметры объекта. ю
В схеме можно объединить адаптивную систему слежения за модел1^.
с адаптивным регулятором состояния (с настраиваемой моделью объекте
348
Эталонная
модель Помеха
Объект /
т-ОШь
Рис. 12.14. АСАУ с наблюдателем в качестве устройства
адаптации
(рис. 12.15, где Ei (t) и е2(£)—ошибки по первому и второму уровням
слежения, ы2(0—сигнал на входе объекта, Ui(t)—входной сигнал). Такая
АСАУ рассматривается как двухуровневая. Устройства адаптации 1 в 2
настраивают контролируемые параметры модели и регулятора состояния
соответственно. Кроме того, устройство адаптации 2 осуществляет настройку
предварительного фильтра.
■
/[—

Настраиваемый лре&№
рительши
.. у
-ф"
Эталонная
модели
Постоянный
шрфицие/гт
усиления
иг
Ц»
А
мый —
регулятор
состояния
<
г
Уп
АХ
\
Объект
/

Настраиваемая
модель
/
Помеха
Г
■
г
/
Рис. 12,15. Функциональная схема двухуровневой АСАУ
349

12.5. Адаптивная система с эталонной моделью,
реализующая градиентный метод
Поисковые АСАУ требуют для своего функционировани
значительного интервала времени, что связано с определение"
необходимого направления движения, или знака скорости
Этот недостаток может быть устранен введением в систему Эта'
лонной модели с использованием градиентного метода.
Вектор, определяемый градиентом некоторой функции Q от
переменных величин си (£=0, 1, 2, ...), выражается формулой
gradQ = 2a£-Ki, (12.3)
где kj — взаимно-ортогональные единичные векторы.
Если применить понятие градиента к адаптивным системам
управления, то функцию Q следует рассматривать как
некоторый критерий, являющийся функцией настраиваемых
параметров ос; системы. Тогда, согласно методу градиента, вектор-
функция скоростей изменения настраиваемых параметров
pa=±XgradQ,
где К — положительный скалярный множитель (знак «+»
относится к функции Q с экстремум-максимумом, а знак «—» —
с экстремум-минимумом), p=d/dt.
Если функциональная зависимость Q от параметров си
заранее не известна, то для определения градиента функции Q и
его составляющих -s— необходимы специальные «пробные»
движения, что и осуществляется в поисковых адаптивных
системах.
Поясним рассматриваемый метод самонастройки.
Алгоритмы для общей схемы АСАУЭМ определим, используя понятие
вспомогательного оператора. Уравнение основного контура
управления (основной системы) запишем в -виде
X(s)=Q>(s)G(s), (12.4)
где <D(s)=<D(a, р)—оператор основной системы, зависите11
от произвольно изменяющихся параметров — неконтролйрУе'
мых р и контролируемых а, которые могут быть использовайй
в качестве настраиваемых.
Пусть эталонная модель описывается уравнением
X,(s)=<D9(s)G(s), (l2-5)
где <D3(s)—стационарный оператор, по структуре совпаД3
щий с оператором G>(s) основной системы. _
Примем в качестве критерия самонастройки экстремальна
функцию Q(ei), где, как и ранее,
350
ошибка между выходными переменными эталонной моде-
е°ГЬу (t) и основной системы x(t). Эта ошибка зависит от пара-
$$°*аЯ*- ,12 <«
Согласно методу градиента, на основании уравнения (l^.o;
0рость изменения настраиваемого параметра сь будет
Это выражение показывает, что мгновенная скорость /-го
„страиваемого параметра может вычисляться путем
перемножения частных производных —■ и ■—- (где Л, —постоянный
положительный коэффициент).
Так как критерий самонастройки Q является функцией
ошибки е, (t), то множитель ~ легко формируется в
соответствующем вычислительном устройстве» на вход которого
подается сигнал ошибки е, (t).
де.
Для получения ^~ можно использовать метод
вспомогательного оператора. Действительно, этот множитель может
быть вычислен по уравнению (12.6) с учетом уравнения (12.4).
Так как переменная x3(t) от параметров основной системы не
зависит, то
де дх
dai dai'
Эта частная производная может быть вычислена
непосредственно дифференцированием по си уравнения (12.4).
Поскольку воздействие g(t) от параметров системы не зависит, то
dai dat
Таким образом,
det дФ (s)
dai dai '
Частная производная —^р- представляет собой
вспомогательный оператор, который может быть реализован
некоторым вычислителем с оператором
Wt(s)-
дФ (s)
dai '
и> следовательно, множитель ^- реализуется как выходной
Сигнал этого вычислителя при подаче на его вход воздействия
£(')• В результате уравнение (12.7) принимает вид
351

Структура вычислителя Wt(s) известна, так как апри0р1.
известны структура и функциональная зависимость от парам!
ров оператора Ф(«). Неизвестными остаются текущие значен/*
параметров аир (причем а могут задаваться вычислителю Я
при использовании эталонной модели необходимость в инфо а
мации о неконтролируемых параметрах р отпадает). Р"
Рассмотрим АСАУ, приведенную на рис. 12.16. Основной контур ее
равления характеризуется оператором
Уп-
\УФ (s) W, (s) W0 (s)
Ф <S>-I+ W1(s)W0(s) Woc(s)-
(На рис. 12.6 передаточные функции <b3(s) —эталонной модели, Ц7фл
фильтра, WK(s) —корректирующего фильтра, W0(s) — объекта, Woc(s
(12.8)
Рис. 12.16. АСАУ, реализующая градиентный
метод настройки
цепи обратной связи; ya(t) —выход эталонной модели.) Будем полагать, что
в выражении (12.8) оператор WD(s) зависит от произвольно изменяющихся
параметров Рц, т. е.
1Fo(s)=W0(ftO, ц=0, 1, 2,...
Остальные операторы от ри не зависят и являются функциями
соответствующих настраиваемых параметров:
ЙЧ«) = №.(«<);
Woc(s) = Woc(a.OCi), t=0, 1, 2,...
Вычисляя частные производные по параметрам афг, а* и ао« от ФР*[
ции CP(s), получим выражения для операторов соответствующих вычислит6'
лей:
*fi <*)
дФ(в)
даф1
Q(s) дЩ (s)
_ дЩ (s)
l+W1(s)W0(s)Woc(s)' даф1 -■
W, (s) W0 (s)
— Щ($) ' даф1 ;
352
dO(s) w<$> (s) W0 (s) дИ?! (s)
&ы ^ - dat — (1 + Wx (s) Wo (s) Woc (s)f ' дщ —
ф2(*> .^.(*). fl29)
дФ (s) И^Ф (*) «V («) ^o fr) ^ocJf)_
Иха (*)- ao0Cl -(l+W, (s) U70 (S) H7oc (s))2 * da0Ci -
<D»(s) «WqcW
= + ^Ф (s) <?«oa '
Цель самонастройки системы заключается в обеспечении равенства x(t) =
=ХэМ- На основании уравнений (12.4) и (12.5) это равенство может быть
обеспечено при соблюдении условия
€>(s)=*Ms). (12.10)
g уравнениях (12.9) можно заменить оператор 0(s) на <Ds(s). Тогда, если
из второго уравнения (12.9) исключить оператор, заменив его значением
Wo (s) = Wi (s) (Н7ф (s)_^3 (S) B70C(s))'
полученным из выражения (12.8) с последующей заменой Ф (s) на Фэ (s)
будем иметь:
g Фэ (s) дЩ (s)
^Ф<(5)- й7ф(5) даф1 •
Фэ(«) dWtis)
К, W= - П7Ф (5)У, (5) ^Ф (*)-Фэ (*) Woc (s)) -^; (12.11)
пт* , . Фэ8 (s) <^ос (*)
^оа (5>-Ц7ф(5) daOCi •
Таким образом, полученные операторы (12.11) являются функциями
настраиваемых параметров и не зависят от произвольно изменяющихся
неконтролируемых параметров р.
Изложенное будет тем справедливее, чем точнее в каждый момент
времени в процессе функционирования АСАУ будет удовлетворяться равенство
(12.10), Это, в свою очередь, требует выполнения следующих условий:
а) система должна изменять настраиваемые параметры о со скоростями,
превышающими скорости изменения неконтролируемых параметров ip;
б) скорости изменения параметров р должны быть малыми по сравнению
°о скоростями протекания переходных процессов в основном контуре и в
эталонной модели;
в) возможные скорости изменения настраиваемых параметров должны
"Ьггь выше скорости изменения функции-критерия Q(ei) вследствие изменения
ошибки ei(<) под влиянием управления g(t). При соблюдении этих условий
Становятся справедливыми действия с операторами W0(s). W$,(s), Wi(s),
70с(s) как передаточными функциями системы, что нашло отражение в при-
еДеиных ранее преобразованиях.
Контрольные вопросы
1- Назовите основные функциональные особенности АСАУ.
2. цто представляют собой самонастраивающиеся, самоор-
Низующиеся и самообучающиеся системы?
3- Проведите сравнение аналитических и поисковых АСАУ.
23—3591 353

4. В чем различие пассивных и активных, разомкнутых
замкнутых АСАУ? е
5. Каково назначение эталонной модели в АСАУ?
6. Как реализуется градиентный метод в АСАУ?
13. ДИСКРЕТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Электронные вычислительные машины (ЭВМ) в настоящее
время используют не только для решения разнообразных
задач, связанных с расчетом и проектированием технических
систем. Аналоговые и цифровые ЭВМ применяют в составе
систем автоматического регулирования и управления различного
назначения. Еще более широкие перспективы для цифровых
ЭВМ открылись в связи с появлением микроЭВМ. Поэтому
знание основных понятий, определений, методов
математического описания и расчета систем, содержащих цифровые ЭВМ
и называемых дискретными системами регулирования и
управления, является совершенно необходимым.
13.1. Определение дискретной системы. Разностные уравнения
Входные и выходные сигналы непрерывных систем
являются функциями непрерывного времени /. Если независимая
переменная t принимает непрерывную последовательность
значений, то сигнал называется непрерывным; если она
принимает только конечное множество значений 4 (где k=0; ±1;
±2;... ), то сигнал называется дискретным. В дискретных САР
и САУ в отличие от непрерывных, которые были рассмотрены
ранее, циркулирующие сигналы являются дискретными. *
На рис. 13.1, с изображен непрерывный сигнал, а на
рис. 13.1,6 — дискретный. Формирование дискретного сигнала
gfr)i
ffWk
б
И
9Ш
t-l t-г *о */ tt *J t* tg tg t
Рис. 13.1. Виды сигналов:
a — непрерывный; 6 — дискретный
354
0)Кно представить себе следующим образом. Пусть имеется
*\юч (КЛ) (рис. 13.2), .который включается на очень короткий
* Ошежуток времени Ах, а затем остается разомкнутым в те-
дЮ
№
д*М
а
д*Ю
g(t);g*(t)
к
Рис, 13.2. Работа идеального ключа (импульсного
элемента):
1 — сигнал на входе ключа; 2 — сигнал на выходе
чение Тр. Если на вход такого ключа подать непрерывный
сигнал g(t), то на его выходе образуется последовательность
импульсов g*(t), разделенных друг от друга во времени
интервалами хг, причем величина (амплитуда) каждого из импульсов
будет равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные
моменты tA. В дальнейшем принимают, что интервал хг
(называемый интервалом, или шагом дискретизации по времени)
является постоянным тг=const. Поэтому, если сигнал
наблюдают в течение 7Н, то Тш=к.тг, где к— целое число. Ключ по
существу является амплитудным модулятором непрерывного
сигнала в дискретные моменты и называется импульсным
элементом.
Системы, в которых входные и выходные сигналы являются
Дискретными, называют дискретными. Системы,
характеризуемые как непрерывными, так и дискретными сигналами,
называют дискретно-непрерывными. Дискретные системы описывают
Разностными уравнениями, а непрерывные системы
—дифференциальными.
Понятие разностного уравнения можно пояснить на
следующем примере. Предположим, что необходимо вычислить
интеграл
y{i)=[u(r)dx
случае, например, если подынтегральная функция и(х)—не
знтегрируемая в замкнутом контуре. Тогда обычный прием
а!^лючается в том, что функция и(х) аппроксимируется кусоч-
°-постоянной функцией и(х) (рис. 13.3), причем
и (т) = и (кх), kxr<x<.kxr-\-Xr-
23*
355

tf/l
Рис, 13.3. Численное интегрирование
функции ы(т)
Тогда
У{кхг)= \j u(x)dx^^) xru(ixr).
kx.
k—l
г=о
(13.1)
С помощью формулы (13.1) определяют процесс
интегрирования при Тт-->0. Она требует запоминания всех прежних
значений сигнала u(hT) для того, чтобы определить значение
интеграла в данный момент t=k%r. Гораздо более простой способ
состоит в том, что вначале находят
y(kxr+xr) = \ и(т)сГт«Утги(/тг),
(13,2)
г=о
а затем вычисляют выражение (13.1) из соотношения (13.2).
В результате получают
У (ktr+Tr) ~У (kxr) =ТГЫ (k%r) ,
(13.3)
или
у[ (k+l)xr]=y(kxr) +xru(kxr).
Согласно формуле (13.3), необходимо запоминать только
предыдущие значения интеграла y(kxr) и его значение и(х) Б
данный момент, чтобы определить значение интеграла в
последующий момент (&+1)тг.
Выражение (13.3) является разностным уравнением 1-го й°'
рядка. Алгоритм его интегрирования заключается в следуют6**'
1) запоминается начальное условие
0(0) =0;
356
2) формулу (13.3) применяют последовательно для значе-
Лйй^0' 1.2,..-, т.е.
у (Тг) =тгы (0) +у (0) =тги (0);
y(2xr)=xru(%r)+.y(xr);
у (Зтг) =тгы (2тг) +у (2хг);
у (кг) =хти[ (t— 1) тг] +у\ (i— 1) тг].
На каждом шаге этого итерационного процесса каждое по-
сЛедующее значение выхода у(кт) вычисляют сложением его
предыдущего значения y[(i—1)тг] с предыдущим значением
входа u[(i—\)xT\ умноженным на тг.
В общем случае линейное разностное уравнение имеет вид
y(n+k)+aty(n+k—1)+ ...+any(k) =
(13.4)
= b0u(n+k)+b1u(n-{-k—1)+ .. • +bnu(k).
Для того, чтобы при помощи этой формулы вычислить y(n-r-k),
необходимо запомнить предыдущие значения выхода
y(n-r-k—1), y(n+k—2),...,y(k) и входа u(n-\-k), u(n+
-\-k—\),...,u(k), а затем выполнить указываемые действия
умножения и сложения.
13.2. Методы математического описания дискретных систем
Дискретные системы, так же как и непрерывные системы,
имеют три формы математического описания во временной
области в виде:
разностных уравнений вход-выход, являющихся аналогом
Дифференциальных уравнений;
взвешенной временной .последовательности, являющейся
аналогом описания непрерывных систем при помощи импульсной
переходной функции;
разностных уравнений в переменных состояния, являющих-
Ся аналогом описания дифференциальных уравнений в
переменных состояния для непрерывных систем.
Разностные уравнения вход-выход. Уравнение (13.4) часто
п°льзуют для описания связи между входом и выходом
цифровой ЭВМ. При этом его приводят к следующему виду:
y{k)=b0u(k)+b1u(k— 1)+ • •. +bnu(k—n)-~
(13.5)
-~a1y(k—l)—a2y(k—2)—.. .—any(k—n).
т Число y(k) характеризует собой выход в момент kx, (шаг дискретности
'Обычно для простоты написания формул опускают). Числа y(k—1),
~~2) характеризуют предыдущие значения выхода, запоминаемые в памя-
357

ти ЭВМ. Аналогично числа u(k), u(k—1) характеризуют вход в дискрет^
моменты k, k—1,... и т. д. (они также хранятся в памяти машины). Ура 6
нение (13.5) называют рекурсивным, или разностным, позволяющим выЧйБ"
лить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным. с'
Описание линейной системы при помощи взвешенной вре
менной последовательности. Для систем, описываемых линей*
ными дифференциальными уравнениями, очень важным и удоб"
ным является понятие импульсной переходной Функцщ!
(ИПФ). Если для системы, находящейся в покое, известна
ИПФ, то, пользуясь интегралом суперпозиций или интегралом
свертки, можно найти реакцию системы на любое входное
воздействие. Аналогичное понятие, называемое временной
последовательностью, существует и для дискретных систем.
ИПФ для непрерывной системы определяют как ее реакцию
на дельта-функцию. Она имеет вид некоторой непрерывной
функции. В дискретных системах в случае входного
воздействия в виде дельта-функции получается последовательность
чисел, а не непрерывная функция времени. Эта
последовательность чисел может быть получена следующим образом.
Рассмотрим систему, описываемую разностным уравнением
(13.5) вход-выход, находившуюся в состоянии покоя до
момента приложения входного воздействия, т. е. #(к)=0 при к= —1,
-2,...
Пусть
1, к = 0.
и(к) = 60(к) = {с,; к=Д
где бо('к) —дельта-последовательность Кронекера.
Положим в уравнении (13.5) ы(к)=б0(к); обозначив
получающуюся при этом реакцию системы через k(к), можно
записать
^(к) = Ь0б(к)+М(к—1)+.-.+М(к—п) —
(13.6)
—a±k (к— 1) — a2k (к—2) — ... —ank (к—п).
Взвешенную временную последовательность k (к) называют
весовой (рис. 13.4).
Шк
к(Ц
Ш)
Ш)
т)
_j
О 1 2 3 * 5 к
Рис. 13.4. Взвешенная временная
последов ательность
358
Вычисление &(к) по уравнению (13.6) проведем следующим образом.
Полагая £(к)=0, к<0, получим
НО) = *о; ]
fe(l) = 6i6(0) — alk(0) = 6l — a,C„; } (13.7)
fe(2)=626(0)—a,fe (1)—a%k (0)=62— albl + ql4„—a260. J
и т. Д-
Предположим теперь, что входной является дельта-последовательность
fa0, к=0;
ц(к)=«А(к)=|0) ^о
Тогда
j^(k)=oA(k),
где надстрочный нуль при у означает взвешенную (множителем «о) реакцию
системы (13.6) на дельта-последовательность, приложенную в момент к=0.
Найдем реакцию системы у'(к) для входа в виде
дельта-последовательности, приложенной в момент к= 1:
fa,, к=1
a(K) = oI61(K) = |0j кфи
В этом случае у(к)=0 при к<1 и
у(1) = 5„н(1) = а1*0; 1
Sf (2) = о, (*,-«,*,); (13.8)
y(3)=at [Ьг—a0bl + a02b0—a,60]J
и т. д.
Сравнивая систему уравнений (13.8) с (13.7), получим
t/(к) =а0к(к— 1).
Точно так же, если дельта-последовательность приложена в момент к=/,
и(к)=а>5>(кЧоГкЛ:
то у(к)=0 при к</. Следовательно, согласно уравнению
(13.6),
»(/+,l)=o,(6.—оЛ); (13.9)
(/0'+2)=aj(62-fl161+o12b0+flA);
^'(к)=а^(к-/).
Рассмотрим теперь общий случай, когда входная функция
Представляет собой сумму дельта-последовательностей,
приложенных в моменты к=0, 1,2,..., т. е.
"Mi lil
Или
«(к)=а0б0(к)+а1б1(.к)+а2б2(к)+ ...
359

Тогда на основании принципа суперпозиции регулируемая пере,
менная системы будет равна сумме реакций, вызванных сигна'
лами «(0), «(1), ы(2),..., «(к):
ч
у{к) = у°{к) + у> (к)+ ■. • +0*(к) = 2У(к),
или, принимая во внимание формулу (13.9),
я
#(к) = 2ау^(к —Л-
-- Таким образом, если на вход системы, находящейся в
покое, подана временная последовательность чисел [и(0),и(1),...]
то временную последовательность на выходе определяют по
формуле
y(K) = ^Eik(K — j)u{j), к=0, 1,2,... (13.10)
После замены переменных m = K — j формула (13.10)
примет вид
я
У(к)=^к(т)и(к—т). (13.11)
т=0
Выражения (13.10) и (13.11) являются аналогами интегралов
свертки для непрерывных систем.
Описание линейной системы при помощи разностных
уравнений в переменных состояния. Для дискретных систем роль
дифференциальных уравнений 1-го порядка переменных
состояния для непрерывных систем играют разностные уравнения
1-го порядка:
x[(k + \)xr] = Ad(kxr)x(kxr) + Bd(kxr)u(xr)
y(kxr) = Cd(kxr)x(kxr)
при начальных условиях х(0) =х0.
Это — система разностных уравнений, в которых векторы
x(kxr), u(kxr), y(kxr) рассматривают в дискретные моменты
t=kxr, k=0, 1, 2,... (где хг — интервал дискретности). В даль'
нейшем предполагают, что xr=const. Поэтому в уравнениях
параметр %г обычно опускают и эти уравнения записывают в виДе
x(k+\)=Ad(k)x(k)+Bd(k)u(k);
(13.13)
y(k) = Cd(k)x(k).
Здесь так же, как и в случае непрерывных систем, Ad(k)'
Bd(k), Ca(k)—матрицы размерности «Хп, пУ^т, рХ"
соответственно.
360
(13.12)
кТурная схема, соответствующая уравнениям (13.13), изо-
С*а)Кена на рис. 13.5.
и(к) I 1 Л*И) I "1*00 Г~П#М
Bd
^г
^х(к+/)
—*\и
33
Ad
х(к)
с*
Рис. 13.5. Структурная схема дискретной системы
r случае стационарных систем запись еще больше упрощается, так как
риды, входящие в уравнения (13.13), не зависят от k:
х(Й + 1) = А^(й) + Вйи(й); | (1314>
у(А)=СйХ(й); х(0) = х0. J
Решение уравнений (13.14) может быть получено следующим образом.
Придавая индексу k значения 0, 1, 2,.... v, запишем
x(l)=Adx(0)+Bdu(0);
x(2)=Adx(l)+Bu(l)=Adx(0)+AdBdu(0)+Bdu(l),
или
v-1
x(v) = A> (0) +2 К~1~1ваи «). v=/- 2.3, ...
Матрицу
<Pd(v)=Adv
называют фундаментальной, или переходной.
Подставляя матрицу (13.6) в уравнение (13.15), получим
и-1
x(v) = <p(v)x(0) + ^ Ч> (v—i—1) Bdu (»)•
(13.15)
(13.16)
(13.17)
«=о
ото — общее решение первого из уравнений (13.14).
Первый член уравнения (13.17) зависит только от начальных условий
5(0) и определяет реакцию системы, ие зависящую от воздействия u(t).
ВтоРой член зависит только от значений u(0), u(l) u(v—1).
С учетом уравнений (13.14) и (13.17) сигнал на выходе определяют с
'омощыо выражения
и—1
У М = Сафл (v) х (0) + 2 Grtte (v-i-1) B,ju (t).
Определение взвешенной временной последовательности по
Равнениям в переменных состояния. Найдем взвешенную вре-
Ст^нУю последовательность для системы, описываемой разно-
Ь1ми уравнениями в переменных состояния, т. е. реакцию
6^темы к(&) при .нулевых начальных условиях х(0)=0 и входе
йЯе дельта-последовательности:
ц(К\=6 /К\=(Ь к=0;
361

Последовательно решая уравнения (13.14), при к=0 i 0
получим • «I
x(l)=Bd; у(0)=0;
x(2)=AdBd; y(l)=CdBd;
x(3)=Ad2Bd; y(2)=CdAdBd;
x (к) = Ад*-*Bd, у (к-1) = СЛк''Bd.
Итак, искомую взвешенную временную последовательное!
— определяют формулой ь
f 0, к<0;
к(К) = {слАГ,В<, к>0. 03.М)
Пример. Найти взвешенную временную последовательность для дискрет.
иой системы, описываемой уравнениями (13.13):
,«-n-.i[SSJ-
Воспользовавшись (13.18), получим
kW=n-i][-f'3ST[?]' "^
Для вычисления
Г—0,3 0,4-|к-«
L 1 0 J
применим формулу Сильвестра. Собственные значения матрицы определяют
характеристическим уравнением
ГА + 0,3 —0.41
det I __i % |=(Х + 0,3)Л—0,4=(Х + 0,8) (X—0,5)=0,
так, что Х,= —0,8, Х2 —0,5. Имеем
Ad—М 1 Г—0,3—0,5 0,4"] 1_Г0'8 ~~0,41
Ad,— X,—Х2 — —1,3 L 1 "0.5J — 1,3 L— 1 — 0,5 J *
А,;—Л,1 1 Г0,3 +0,8 0,41 1 Г0,5 0,41
Ааш — А,—Я,, 1,3 L 1 0.8J —1.3L1 0,8j-
Подставляя эти выражения в формулу (13.18) для k (к), найдем
й(о^{(,-„[г-°0;3(о.в,.-+п-п[г::][:]<оИ'
= j-g {— 0,9 (— 0,8)*-'—0,4 (0.5)*-1}=0,692 (0,8)*-' — 0,308 (0,5)*''-
362
„ ч Прохождение непрерывного сигнала через цифровую
I3"*' ЭВМ
j3 контур управления САР и САУ часто входит ЭВМ. Для
яснения принципа действия таких систем и методов их рас-
"°га рассмотрим, каким образом можно представить прохож-
^яце сигнала через цифровую ЭВМ.
^е Схема, имитирующая этот процесс, изображена на
,г 13.6. Составными элементами схемы являются: ключ КЛ
Рис. 13.6. Схема, имитирующая прохождение сигнала
через ЭВМ:
а — с преобразователями АЦП и ЦАП; б — динамически
эквивалентная схеме а
(или импульсный элемент), преобразующий непрерывный
сигнал (например, от измерительного устройства) в аналоговый
дискретный; преобразователь АЦП; ЭВМ; преобразователь ЦАП;
экстраполятор Э. Следует различать аналоговый дискретный
сигнал на выходе ключа КЛ от дискретного. Первый может
принимать любое значение в заданном амплитудном диапазоне,
в то время как амплитуда дискретного сигнала ограничена
некоторой совокупностью значений, определяемой разрядностью
Цифровой ЭВМ. Далее сигнал поступает на ЭВМ в цифровой
бинарной форме со скоростью, соответствующей интервалу
Дискретизации по времени тг. После ЭВМ цифровой сигнал
трансформируется преобразователем цифра — аналог в
дискретно-аналоговую форму. Наконец, экстраполятор Э приводит
сигнал к аналоговому непрерывному виду, форма которого
определяется порядком экстраполятор а.
Влияние на динамику имеют лишь три из перечисленных
элементов: ключ, ЭВМ и экстраполятор, — а характеристики
преобразователя аналог — цифра и преобразователя цифра —
^алог обычно не вдияют на математическое описание системы.
Поэтому схему (см. рис. 13.6, а) можно представить в
упрощенной форме (см. рис. 13.6,6).
Далее предполагают, что анализ схемы с цифровой ЭВМ
пРаведлив при следующих ограничениях:
1) шаг дискретности хг постоянен (тг=Дт+тр—const);
~ч 2) запаздыванием, создаваемым процессом вычисления в
ВЭД, можно пренебречь;
3) ЭВМ выполняет любую линейную операцию (дифферен-
363

цирование, интегрирование, упреждение, запаздывание, ре.
ние дифференциальных и интегральных уравнений и т. д.).
4) ЭВМ работает в реальном времени; '
5) ЭВМ может использовать настоящую и прошлую, Но
будущую информацию (принцип физической осуществимости
Система, содержащая ЭВМ, квантует сигнал и по уровне'
и по времени. Квантование по уровню создает на выходе ощЗ
ку второго порядка малости по сравнению с эффектом от кван
тования по времени (ошибку квантования по уровню Можн'
уподобить воздействию некоторого шума). Поэтому в дальней°
шем, при рассмотрении динамики системы в первом приближе
нии, квантованием по уровню пренебрегают.
Квантование по времени означает дискретизацию, замену
непрерывной кривой последовательностью импульсов. Вообще
говоря, такая замена может привести к потере информации
Условие, когда при квантовании по времени информация не
теряется, т. е. когда по дискретным данным можно восстановить
исходную кривую, определяется из теоремы Котельникова.
Если кривая x(t) (рис. 13.7) обладает конечным спектром
♦ Wja)\
Рис. 13.7. Дискретизация и спектр непрерывного сигнала:
а — квантование сигнала по времени (**(') — дискретный сигнал);
б — частотный спектр X(j (й ) непрерывного сигнала
(рис. 13.7 6), то информация не будет потеряна при выполнении
условия
где соо — ширина спектра, когда период повторения достаточно
мал.
Рассмотрим, как трансформируется сигнал при его
прохождении через каждый элемент (см. рис. 13.6). Обычно можно
предположить, что ключ КЛ включается и выключается
мгновенно через каждые тг секунд, генерируя числовую послеДов2'
тельность
{...g(—2тг), g(—Xr), g(0), g(Tr) -..},
подаваемую на вход АЦП. Итак, на выходе ключа КЛ имее
£*(*)= 2 g(Ktr)6(/-KTr).
364
Пусть g(*) = 0, *<0. Тогда
со
„*({) = % g(K\)b(t-KTr)' (13.19)
Сигнал g*(t), определяемый формулой (13.19), поступает
вход ЭВМ и преобразуется в другую цифровую последова-
"альНость, определяемую линейным разностным уравнением
хв(ктг) =Ьо£(ктг)+Ь.£[(к— 1)т,-1+ ■ • • +*я£[(к—п)тг] —
—й,хв[(к— 1)тг]— а2д;в[(к—2)тг]— ... —апхЛ(к—п)хг]. (13.20)
Выходной сигнал с ЭВМ хв(ктг) [к=0, 1, 2 ... п] подается на
вход преобразователя ЦАП. Задача последнего состоит в том,
чтобы преобразовать цифровую последовательность (13.20) в
непрерывный сигнал x3(t)=u(t), которым можно
воздействовать на непрерывную часть системы управления. Обычно
желательно, чтобы этот сигнал xa(t) — u(t) представлял собой
огибающую для временной последовательности хв(кт,.), т. е. в
интервале ктг^^(к+1)тг преобразователь ЦАП должен
экстраполировать значение амплитуды входного сигнала в момент
Kir (на интервал %г вперед). Устройства, выполняющие эту
функцию, называют экстраполяторами.
Экстраполятор m-го порядка определяют как экстраполятор, выход
которого в данный момент зависит от т+1 прошлых дискретных значений на его
входе. Обычно используют полиномиальную экстраполяцию. В этом случае
ж3(ттг-г-т:г)=атТгт+ат-1Тгт-1+-.-+ао, Р<т<тг, (13.21)
причем нужно, чтобы для всех к
Коэффициенты от, flm-i,.... "о в равенстве (13.21) вычисляют так, чтобы
Удовлетворялись ограничения
Жэ(кТг)=Жв(КТг)
при к=п—т, п—т+1,..., п.
Через каждый интервал хг коэффициенты ат, flm-ь.... во необходимо,
в°обще говоря, вычислять заново.
Простым полиномиальным является экстраполятор, реализующий поли-
> нулевого порядка (т=0), т. е. x9(mr+r)=x,{mr) при 0<т<т,, где
°; ±1; ±2;... Выход такого экстраполятора представляет собой кусочно-
Постоянную функцию (рис. 13.8).
ря Экстраполятор 1-го порядка (рис. 13.9) описывают полиномом 1-го по-
Мпх,+х)=а1%+а0, О^т^Тг, (13.22)
пРиЧем
*э(птг)=Жв(пТг).
365

Экстряле-
/unnfffi
*t(t)
0
и ft)
*l*r)
«(tor)
u&t,)
u(*b)
u(5tr)
1
1
.
Zvr Svr **r
Л>
Рис. 13.8. Экстраполятор нулевого порядка:
а — функциональная схема; б —выходной сигнал при
«запоминании» на Т. ,
*№)
О тг гтг з*г *гг Лг t
Рис. 13.9. Выходной сигнал экстраполятор а 1-го порядка
Общая схема прохождения сигнала показана на рис. 13.10, причем
импульсный элемент (ключ) представлен как модулятор, в котором происходит
модуляция последовательности импульсов непрерывным входным сигналом
g(t). Полагая в выражении (13.22) т=0 и т=—г,, получим
а„=хв (п%г);
хв(пгг)~ хв{(п— 1)тг]
Следовательно, уравнения экстраполятор а 1-го порядка имеют вид
где « = 0, ±1, +2, ...
г + хв(пхг), 0<т<тг,
Рис. 13.10. Общая схема прохождения сигнала через Э.ВМ:
М — модулятор; Э — экстраполятор
366
13.4. Преобразование частотного спектра непрерывного
сигнала при его прохождении через цифровую ЭВМ
рассмотрим теперь преобразование частотного спектра сиг-
при его прохождении через ЭВМ (см. рис. 13.10). Это по-
наЛ йТ наглядно представить влияние на процесс
преобразовала шага дискретизации и характеристик экстраполятора.
и" цифровую ЭВМ заменим разностным уравнением вход-вы-
т. е. дискретной системой, передаточная функция которой
отделяется алгоритмом цифровой машины.
Вид сигнала на выходе преобразователя АЦП позволяет
усматривать его как модулятор, т. е. как устройство,
осуществляющее модуляцию бесконечной последовательности им-
^льсов q{t) входным сигналом g{t). Проследим за теми
изменениями, которые претерпевает сигнал g(t) в частотной
области (см. рис. 13.6).
Преобразование Фурье от входного сигнала
оо
Пусть амплитудный частотный спектр [G(/co)] входного сигнала
g(t) (рис. 13.11, а) имеет вид (рис. 13.11,6). Действие ключа
дм
a
ео'ш)
вОы)
JL
Т Т Т Т |.| 1
О (г- ы
ы С
fft)
О at
б в
д'М
о т.
II 111
-й£.
Рис. 13.11. Преобразование частотного спектра непрерывного
сигнала при прохождении через импульсный элемент:
а—входной сигнал g(t); б — амплитудный частотный спектр G(.ico); e — по-
Иедовательность импульсов q(t); г — линейчатый спектр QUa)
последовательности импульсов g(t); d — сигнал на выходе ключа в виде
последовательности импульсов g*(t)
\£М. рИс |зб) состоит в том, что сигнал g(t) модулирует по-
т^еДовательность импульсов q(t) (рис. 13.11, в).
Последовательность бесконечно высоких импульсов единичной площади
. Задает бесконечно широким линейчатым спектром
РИс. 13.11,2), т. е. ее спектр представляет бесконечную сумму
т Р'чоник, частоты которых кратны значению иг=2п/пг (где
f""""" Шаг дискретизации).
367

Действительно, преобразование Лапласа для последовать
ности дельта-функций ^ь.
оо
—ОО
Имеет вид
—оо
+ e~JaTr+е2/ют'+е~2/и^ +...
Таким образом, сигнал на выходе импульсного элемента пред.
ставляет собой последовательность импульсов, модулированных
по амплитуде:
оо
g* (*) = 9(*)g (<) = g (*) 2 б С - ««,)•
—оо
Так как дельта-функция равна нулю, кроме ^=кт„ и g(t)=Q
при ^<0 (рис. 13.11,5), то
оо
g* О = 2 £ <КТЛб (' - ктг)- (13.23)
к=0
Найдем преобразование Лапласа для g*. Вывод основан на следующем
свойстве: преобразование Лапласа для произведения интегралов равно
свертке их изображений в области комплексной переменной:
С+/оо
L[4{t)g{t)] = ±j J QQ.)Q(s-b)dk. (13.24)
С—/оо
В правой части записан интеграл свертки функций Q(s) и G(s) (где <3(5'
и G(s) —преобразование Лапласа для q(t) и g(t)). Если один из
сомножителей подынтегрального выражения представляет собой функцию, обладаю-
щую только простыми полюсами, то интеграл берется довольно просто.
Л ('к \
Пусть q(k) представлено дробно-рациональной функцией в(\\ и имеет
только простые полюсы, т. е. все корни уравнения £ (Я,)—разные. ТогДа'
согласно теореме вычетов,
c+joo
1 С А{%) -у A(%i)
С—/оо &1
где Я,- — полюсы функции Q (А,);
£'(^) = [В'(Л/)Ь=.* ■
В нашем случае
<?(Я.)=£[в(0+б(<—!,) + ...+в(<-кгг)]=1+е v+...+e "V-
.368
(13.25)
-x.h
Q(%) представляет собой сумму убывающей геометрической
прогрессе0
&*■ 1
. сЛедовательно,
' А(Ь)=1. £(Я) = 1-е"'Л
ПоЛюсы <?(>■)—это корни уравнения
1—е г =0.
Корни этого уравнения
2я
Яу= ±7'—v=/corv, v=0, 1,2, ....
е (о =2я/тг—угловая частота. Далее
£'(Яу) = |тге r U=4 = ^e
Согласно уравнениям (13.23) и (13.25),
со
с*(*)=2 т-(*-Ч)=7- 2 ° <* + **>'>■
J.v Г Г V=— оо
Если s=/o), то получим соотношение, выражающее спектр дискретного
сигнала G*(/co) через спектр непрерывного сигнала G(/w):
со
G* (/*>) = — У. G(/co + /vfflr). (13.26)
V=—оо
Из последнего равенства следует, что спектр дискретного сигнала —
периодическая функция со, т. е.
G*(/(o) = G*(/(o+/tOr).
Действительно, согласно соотношению (13.26),
оо
G* (/со + /cor)=_L "V G[/eo + / (v + 1) сог]=С* (/со),
т' ^
так как пределы суммирования бесконечны.
Таким образом, влияние модулятора в частотной области
фис. 13.12) соответствует периодизации спектра
модулирований»;,
■~ о
р«с. 13.12. Периодический частотный спектр G*(/(0) дискретного
сигнала q*(t) на выходе ключа
24—3591 369

ного сигнала (амплитуда каждой гармоники спектра G*i-
уменьшается при этом в тг раз). Период спектра G*(/co) рМ0*)
2л/тг (периоду спектра Q (/со) модулируемой последователе еН
сти импульсов q(t)). В результате модуляции дискретного ц!!0'
образования спектр сигнала становится периодическим и g
конечно широким. С-
Форма спектра G*(/co) дискретного сигнала на каждо^ п
риоде будет мало отличаться от формы спектра G(/co) тод.е'
в том случае, если спектры соседних периодов не налагают*50
друг на друга, т. е. если выполняется условие Са
Сигнал g*(t) преобразуется ЭВМ в соответствии с алгорцт.
мом ее работы в сигнал xB*(t) (рис. 13.13,а), что, разумеется
k*?&
^lms^^
kXiU")
ЖAAAЖА
/л
поп
*3(t)
Рис. 13.13. Преобра&оваиие дискретного сигнала при его
прохождении через цифровую ЭВМ и экстраполятор:
а — сигнал *в*(<) на выходе ЭВМ; б—частотный спектр Хв*(/и)
дискретного сигнала на выходе ЭВМ; в — огибающая дискретного сигнала
jrB*(<) на выходе ЭВМ
приводит к изменению его частотного спектра (рис. 13.1^> е.
При этом спектр Хв*(/со) сигнала xB*(t) остается период
ским, сплошным и бесконечным. Для сопряжения ЭВМ с п° f
дующими непрерывными элементами необходимо сгладить л
нал xB(t) так, чтобы получить огибающую xa(t), показа»^,
на рис. 13.13,в. В частотной области эта операция соотве
370
сет
выделению только первого периода и фильтрации всех вы-
вУе'частотных периодов спектра.
с° ЯаДача сглаживания возлагается на преобразователь ЦАП
сТраполятор). Для идеально точной фильтрации АЧХ фик-
(Эдуюшего устройства (экстраполятора) должна иметь вид, как
с" рйс. 13.14, а. Реализация идеального экстраполятора невоз-
1,3 жна- Поэтому на практике осуществляется приближенное
м°траполирование.
"Э.и8 Q
О ы
а
#*■<»
Рис. 13.14. Характеристики экстраполятора нулевого порядка:
а — АЧХ идеального экстраполятора; б — ИПФ; в — ИПФ,
представленная двумя единичными ступенчатыми функциями; г — АЧХ и ФЧХ
реального экстраполятора
Самый простой способ приближенного преобразования дис-
Ретного импульсного сигнала в непрерывный — способ запоми-
^ания (длительность импульса сохраняется экстраполятором до
омента поступления следующего импульса), т. е. применение
л СтРаполятора нулевого порядка. Для того, чтобы экстрапо-
U Т°Р мог проводить операцию запоминания, его ИПФ долж-
ля Иметь вид, как на рис. 13.14,6. Реализация такого экстрапо-
5 ^°Ра с помощью дискретных элементов не представляет осо-
0 тРУда.
Фун ka{t) может быть представлена двумя единичными
(р ^Чиями, сдвинутыми друг относительно друга на т,
с- 13.14, в), т. е. ke,(0 = 1(0—l(t—т,). Передаточная функ-
24* 371

ция экстраполятора определяется как преобразование Лагт
от k3(t) %
W*(s) = l=f£. (13.27)
Устройство, реализующее эту передаточную функцию, дод^
обладать частотной характеристикой "°
или соответственно АЧХ
- |у.(/")н*г |slnT(;ff]
и ФЧХ (рис. 13.14,г)
фэ(со) =—Тг(о/2.
При этом рассматриваемый экстраполятор является фильтром
низких частот, но отличается от идеального тем, что он хотя и
ослабляет, но все же пропускает в некоторой степени и
высокочастотные составляющие спектра Хв(}(о). Наличие
высокочастотных составляющих и объясняет с точки зрения спектра тот
факт, что сигнал на выходе экстраполятора имеет ступенчатый
(см. рис. 13.8), а не плавный характер, как это было бы в
идеальном случае.
13.5. Передаточные функции дискретных систем
Ранее понятия «передаточная функция» и «частотные
характеристики» использовались при анализе и синтезе непрерывных
САР. Теперь эти понятия будем применять и относительно
дискретных и дискретно-непрерывных систем.
Рассмотрим дискретно-непрерывную систему (рис. 13.15).
кл
g(t)
-*.
g*(t)
?».
Непрерывная
froScucaietta
x(t)
Рис. 13.15. Типовая схема дискретно-непрерывной
системы
состоящую из непрерывной подсистемы (объект, имеющий И*
k3(t) и передаточную функцию №o(s)) и импульсного элемей
(КЛ), на вход которого подан непрерывный сигнал g(0-
нал на выходе импульсного элемента согласно (13.19)
СО
к=0
372
образование Лапласа для g* (t) имеет вид
I 'И оо
/7*(s) = 2 ёЫе~КТг*.
к=0
йгнал на выходе непрерывной части
оо
х(<) = 2М<-ктг)£(ктг). 03.28)
к=0
Преобразуя по Лапласу уравнение (13.28), получим с уче
tomG*(s)
ОО Р СО "~|
X{s)=\ 2 k9(t-Kxr)g(Ktr)\e-'tdt=
О Lk=0 J
оо о°
^ё(ктг)е-кхгЛкэ^-кхг)е-^~к^а^-ктг)^
к=0 о
= 2 g(Mr)e-KX'sW0{s) = W0(s)G*(s).
к=0
Таким образом, передаточная функция непрерывного выхода
x(t) по отношению к дискретному входу системы (см. рис. 13.15)
w°^=M)- ' <13-29>
В качестве примера системы рассмотрим экстраполятор, на вход
которого подается дискретный сигнал хв*(кхг) (см. рис. 13.10).
Выходной сигнал x,(t) экстраполятора нулевого порядка связан с его
дискретным входом хв*(ктт) соотношением хэ(ктг+т) =хв(ктг), 0^т^тг.
Если предположить, что xB*(t)=0, t<.0, то \
оо
хэ (0 = 2 *в (Иг) fl (t — KXr) — l (t^-KXr-Xr)]. (13.30)
к=0
Но, так как преобразование Лапласа от функции I (t—к%г)
-№ТГ
Ч1(*-к-Гг)] = -^ ,
0 Преобразование Лапласа для (13.30) имеет вид
оо Г —якт —*(к+1)тг "]
£ [*э(0] = ^э(в) = 2 Хв{КХт) ~ ~^~ '
и=0 L J
«ЛИ
^ ' к-0
373

С учетом (13.27)
A"B*(s)=2 л:*(кг)е *КТг.
к=0
Но Хв*(х) есть перобразование Лапласа для лгв*(0 на входе, а ЛэЫ
для хэ(0 на выходе. Поэтому, согласно общему определению передатопд
функции, Ws(s) можно рассматривать как передаточную функцию экстра
лятора нулевого порядка, на вход которого подан дискретный сигнал. П°"
Формула (13.29) определяет передаточную функцию Wo(s) как отноц,
ние преобразования Лапласа X(s) непрерывного сигнала на выходе непс
рывной части к перобразованию Лапласа дискретного сигнала на вход"
Получить выражение для передаточной функции в замкнутой форме, есГе
рассматривать непрерывный вход G(s) н непрерывный выход XB(s) (B „J1
кретно-непрерывной системе, а не в дискретной, как в предыдущем случае)
нельзя. Действительно, в этом случае
а* &=ч; 2 G (s+Jv(i>r)- (J3-32)
у
Для сигнала х (t) на выходе объекта преобразование Лапласа
X (s) = w (s) ~ ^ G (s + /vcor).
v
Следовательно,
X(s)
W&= I ^_. . =
~тг 2G (s+ Jv<°r)
V
X(s)
= —г . (13.33)
— l...G(s~Je>r) + G(s) + G(s + j.(ur)-i-...]
Из формулы (13.33) следует, что передаточная функция
системы W(s) не может быть представлена в замкнутой
математической форме, так как ее знаменатель является бесконечным
рядом.
Найдем теперь выражение для передаточной функции ЭВМ.
Как было показано ранее, цифровую ЭВМ, осуществляющую
любую линейную операцию, описывают разностным
уравнением (13.4). Преобразуя его по Лапласу, получим
*в* (s) = b0G* (s) + ft.e^'O* (s)+.... + bn<Tmx'G* (s) -
-axX* (s)e-^- ... -anX*(s)е^У
Откуда для передаточной функции ЭВМ получим выраженйе
G* (s) i , —st, , , —ns%r'
w l+a,e r+...+ane r
—vsir
2 V
■^ • (13-34)
i+2 a,
374
n
—VST,
Vе Г
v-=0
Пример. Предположим, что ЭВМ осуществляет дифференцирование, ко-
может быть выполнено лишь приближенно, согласно формуле
TOP06 g*(^_g*(f_Tr)
Хв* (О= Тг •
л^ччя это уравнение по Лапласу, получим
^образуя
хв* (*)=■
6*(s)
G* (s)
Tr
уда для передаточной функции WB (s) цифрового дифференциатора найдем
-т *
1—те г
irB*(s)='
дЛя частотной характеристики
-г /и
1-е Г
1ГВ(УЮ)=—Z •
(13.35)
**л№)
На рис. 13.16 изображены частотные
характеристики идеального
дифференциатора Ww(/co)=/co и цифрового №„(/&)).
Как видно из формулы (13.35), №„(/&))
является периодической функцией с
периодом <йг, причем дифференцирование
осуществляется тем точнее, чем меньше
полоса частот дифференцируемого сигнала по
сравнению с частотой дискретизации <ог
(во всяком случае, она должна быть на
порядок меньше а>г).
Рис. 13.16. Частотные
характеристики идеального №ид(/<о) и
цифрового WB(/'co)
дифференциатора
13.6. Передаточная функция САР с ЭВМ в контуре управления
Рассмотрим САР с ЭВМ в контуре управления (рис. 13.17).
Эта замкнутая система с обратной связью состоит из:
сравнивающего элемента, формирующего сигнал ошибки e(t); ключа
(или импульсного элемента К.Л, преобразующего непрерывный
сигнал e(t)=g(t)—r(t) в дискретный z*(t); ЭВМ, имеющей
Передаточную функцию WB*(s); экстр аполятора Э с
передаточной функцией W3(s), преобразующего дискретный сигнал
xB*{t) на выходе ЭВМ в непрерывный сигнал x3(t); объекта
Регулирования О с передаточной функцией W0(s) и элемента
°братной связи ОС с передаточной функцией Woc(s), форми-
хь
э
Щ
*э
0
Wo
yd)
Рис. 13.17. САР с ЭВМ в контуре управления
375

' ЭВМ 3 0
• 6' F* 1 1 1 1 1
-^0 » we» —•» w9 -» щ —
\ ОС
У
Рис. 13.18. Эквивалентная САР с ЭВМ в контуре
рующего сигнал обратной связи r(t), который сравнивается с
входом g{t). Регулируемой (выходной) переменной является
y(t). При этом имеем
XB*(s) = WB*(s)E*(s).
Преобразование Лапласа регулируемой переменной
У (s) = W0 (s) Wa (s) WB* (s) £* (s),
или
Y(s)=*W(s)WB*(s)E*(s), (13.36)
где
W(s) = W0(s)Wa(s).
Преобразуем схему (рис. 13.17) в эквивалентную ей
(рис. 13.18). Имеем:
E*(s)=G*(s) — R*(s),
R*(s) = WB*(s)[W(s)Wcc(s)]*E*(s),
или
E*(s) + WB*(s)[W(s)Woc(s)\*E*(s) = G*(s),
откуда
E*(s) = 5^
I*' - 1 + WJ> (s) [W (s) Woe (s)f '
или, учитывая (13.32),
E*(s)^-
1
— _2 V(s + jv<or)
1
l+WV*(s)— ^ W(s + /vcor)Woc(s + /vcor)
(13.37)
Подставляя (13.37) в (13.36), получим выходную функции
(по Лапласу)
V(s)-
1
UV (s) U7 (*) — 2 G(s + /v(Dr)
у=—оо
- _ .
(13.38)
376
формулы (13.38) видно, что для дискретных систем нельзя
^3„Хить выражение для передаточной функции Y(s)/G(s) в
П°^нутой форме, так как связь между Y(s) и G(s) выражает-
33 через бесконечные суммы. Для того чтобы преодолеть это
с55 „уднение, введем понятие «Z-преобразование».
13.7. Z-преобразование
При анализе дискретной системы необходимо решение раз-
ггных уравнений, устанавливающих связь между ее входом
выходом. Z-преобразование сводит это решение к алгебраи-
л киМ операциям. Преобразование Лапласа превращает не-
пеоывные функции времени t в функции комплексного
переменного s, a Z-преобразование — функции дискретного
времени (последовательность чисел) в функции комплексной
переменной Z=eV. Z-преобразование позволяет ввести понятие
1 передаточной функции, имеющей аналогию с обычной
передаточной функцией для непрерывных систем.
Последовательность чисел возникает при вычислительном процессе,
выполняемом ЭВМ, а также при дискретизации непрерывных функций
времени. Запишем последовательность чисел в виде
Дк) :{... Л(-1)Л(0)Л(1)Л(2),...},
где к—аргумент, указывающий на порядок следования
чисел. При дискретизации функции важным параметром
является интервал дискретизации тг. Однако для простоты записи,
как и ранее, будем его опускать.
Если последовательность чисел f(k) определена только для
положительных значений к, то одностороннее Z-преобразование
для /(к) определяют при помощи соотношения
Z [/ (к)]=F (Z) = 2 / (К) Z~K- (13-39>
к=0
Если /(к) определена как для положительных, так и для
отрицательных целых чисел, то двухстороннее Z-преобразова-
Ние для /(к) дается формулой
со
2*[/(K)] = /="*(z)= 2 /(К)*"
К=—оо
Обратное, Z-преобразование определяют формулой
/(к)=Z-' {F (г)}=2Ь J F W z^dz' (13-40>
г
Де Г — некоторый замкнутый контур в плоскости z.
н связь Z-преобразования с теорией дискретных систем лег-
Чоказать на примере соотношений, описывающих импульс-
377

ный элемент. Преобразование Лапласа для импульсного эде
мента имеет вид:
С*(*) = 2гИг)е"
v=0
и представляет собой бесконечный ряд по отрицательны^
степеням е-Тг*. Поэтому используем подстановку z=eV ^
заменяя в этом выражении s на
s=—lnz,
можно записать
оо
G* (s) = G* (4- In г) = У g (vTr) 2"v,
т. е. выражение, совпадающее с выражением (13.39), опреде-
ляющим Z-преобразование.
Итак, Z-преобразование от g* (t)
оо
Подчеркнем, что Z-преобразование содержит информацию о
соответствующей непрерывной функции времени только в
дискретные моменты, поэтому оно определяет не непрерывную
функцию, а ряд ее последовательных дискретных значений.
Значит, одному Z-преобразованию может соответствовать
множество непрерывных функций, имеющих одинаковые значения
в моменты ктг (рис. 13.19), так как им будут соответствовать
одни и те же дискретные функции.
gftls
Рис. 13.19. Множество непрерывных
функций g(t), имеющих одно и то же Z-преоб-
1 разование
Поэтому при применении Z-преобразования информация
непрерывном сигнале, за исключением дискретных момейТ
ктг, полностью теряется. Другими словами, можно считать, ч
введение Z-преобразования соответствует включению на в
378
иэ
Мелрерь/0//ая
система
а
иэ
Непрерывная
система
+^-+
^-- Фишибиый
ИЭ
Рис. 13.20. Непрерывная система;
импульсным элементом на входе; б — с импульсным
элементом на входе и фиктивным на выходе
ход системы не существующего в реальной системе
импульсного элемента, т. е. исходная система (рис. 13.20, а) заменяется
системой, показанной на рис. 13.20,6. Z-преобразование
дискретной функции в отличие от преобразования Лапласа
может быть записано в замкнутой математической форме.
На основе определения (13.39) рассмотрим следующие примеры
Z-преобразования:
1) Z-преобразование последовательности импульсов одинаковой
амплитуды. Ранее было получено выражение для преобразования Лапласа
функции вида (рис. 13.21, а)
Ht),,
, 1
0
Гг
4t) -
0
».
III
^_ t
?г
111
т t
Рис. 13.21. Примеры Z-преобразования:
а — последовательности импульсов одинаковой
амплитуды; б — единичной ступенчатой функции; в — линейной
функции
379

1 e r
F* (s) =
1—e r e r —1
Перейдя к Z-преобразованню, т. е. заменяя в этом выражении е-xrs на г-i
получим '
г
F(z)=_
2) Z-преобразованне единичной ступенчатой функции (рис. 13.21,6) Не
отличается от Z-преобразовання функции, рассмотренной в первом приме
ре, так как в моменты ктг они имеют одинаковые дискретные значения f*(t).
Это лишний раз показывает, что Z-преобразование «не чувствует»
промежуточных значений «сходной непрерывной функции;
3) Z-преобразованне линейной функции (рис. 13.21, в)
Эта функция соответствует дискретной последовательности
х(кхг) =ктг {к= 1, 2, 3,... }
Применяя формулу (13.39), получим F(z) в форме суммы бесконечного
ряда
F(z) =T,z-I+2Trz-2+3Tr?"3+ ...
Разделив юбе части уравнения «a zxr, получим
F (г) 1
+ -тг + -^- +
гхг г' ' z* ' г*
Интегрируя обе части данного уравнения, найдем
С F(z) 111
) -гЧГ d2= -T—?"—ii"- • • • +«•
где с — постоянная интегрирования.
Правая часть этого выражения — сумма убывающей геометрической
прогрессии, первый член которой a0=l/z, а знаменатель q=ljz, тогда
С F(z) I а0 \ I z \ 1 "~~
Z
Дифференцируя обе части последнего выражения, найдем
F(z) I
zxr - (z-iy '
откуда
FW = (z— I)2 *
т. e. Z-преобразование получено в замкнутой математической форме.
Z-преобразования элементарных функций приведены в табл. 13.1.
380
Таблица 13.1
Z-преобразования для некоторых функций
Z-преобразование обладает рядом свойств [см.:
Кузин Л. Т. Расчет и проектирование дискретных систем
управления. М.: Машгиз, 1962]. Здесь приведены лишь теоремы о
начальном и,конечном значениях.
Теорема о начальном значении. Предположим, что задано
^-преобразование F(z) и требуется определить начальное
значение /(0) последовательности, которой соответствует F(z).
Согласно определению (13.39),
F (2) =f (0) +f (1) Z-1-!-/ (2) 2-2+ . . .
Этот ряд сходится при всех lz|>l. Поэтому при z->-oo
f(0)=limf(z).
Теорема о конечном значении. Ограничим
последовательность /(ктг), положив k=N, где N — достаточно большое число.
Образуем функцию f{Kxr—тг), запаздывающую относительно
' (ктг) на Тг. Если
N
F(z)^f{KTr)z-K,
к=0
381

то ^-преобразованием для fN(kxr—хт) будет
N—1
Fn (г) = 2 / (кг,) г"**-' = z~lF (z).
к=0
Найдем разность FN(z) и Т7*-, (z), положив г = 1:
г)-
2 /(кхг)гг*-г^ 2 /(ктг)г-к =HNxr)
Lk=o к=0 j^_j
Пусть N-э-сю, тогда
/ (оо) = Hm(l—z~») F (z).
Последняя формула устанавливает связь между Z-преобразова-
нием и конечным значением функции.
13.8. Z-передаточная функция дискретной системы
Как было доказано ранее, дискретный сигнал у (к) на
выходе линейной системы, первоначально находившейся в покое,
имеет вид
У(к)= 2 k(K — m)g(m), (I3.41)
где k (k) — взвешенная временная последовательность
дискретной системы.
Взяв ^-преобразование от функции (13.41), получим
ZOr(K)}=r(«)= %у(к)г-*,
или Z-преобразование регулируемой (или выходной) переменной
оо Г оо -|
Г(*) = 2' 2 b(K-m)g(m)\z-* =
А=—оо Lff£ = —°° J
оо оо
= 2 8(т) 2 k{K-tn)z-\ "^ (13.42)
Сделав замену переменных п=к—т в выражении (13.42)»
найдем
оо оо
У(г)= 2 S (т) 2 * (и) г**"1"=
#г=—оо п=— оо
оо оо
= 2 £ (да) «"* 2 * («) •г""=G и w («)■ (t3-43)
/л=—оо /г=—оо
382
\Г(г)=Щ5)- (13.44)
fjr?(Z) называют Z-передаточной функцией дискретной системы.
В формуле (13.44) через Y(z), G(z) обозначены Z-лреобра-
оВания последовательностей импульсов у(пхТ) и g(nxr)-
Обычно непрерывную систему задают ее передаточной
функцией в области комплексной переменной s. Для
использования формулы (13.43) необходимо по заданной функции W(s)
уметь определить функцию W{z). Поэтому применяют простой
способ, основанный на использовании формулы
оо
W(z) = ^k(KTr)zK,
к—О
где
к (Ktr) = k (t)t=Ki"r, к—О, 1,2
Здесь k(ty=L~l[W(s)] — импульсная переходная функция
системы.
Прямер. Пусть необходимо определить W(z), соответствующую s-nepe-
даточной функции
^> = ТогЬр
Взяв обратное преобразование Лапласа от W (s) (см. формулу (13.40)),
получим
fe(0=£-'[^(S)]=£-1[v~7T^] = (1-e-a')'
так что
, , ч . —акт.
k (ктг) = 1 —е гп к > 0;
*(frr,)=0, k<0;
■Z-преобразоваиие этой последовательности
WW = 2 (1-е—0^-^!^-, ' t =
к=0 1—е г
г-*(1-е~отТ_
^—г- l2l>1-
(1— «)-•(!— е г^-')
Аналогичным способом можно получить Z-преобразовання, соответствующие
Наиболее часто встречающимся или типовым функциям W(s).
Вычисление реакции дискретной системы по ее Z-переда-
т°чной функции. Рассмотрим теперь метод вычисления реакции
Дискретной системы с заданной Z-передаточной функцией на
Известный дискретный сигнал на входе.
Предположим, что Z-передаточная функция (13.44) систе-
383

мы выражается отношением двух полиномов относительно
луг,-л l>oZ" + l>iZn-1+...+bn п„
Предположим, что полюса К{ передаточной функции W(z) пр0с
тые и не совпадают с полюсами Z-преобразования входн0г"
сигнала G(z).
Тогда, разлагая правую часть выражения (13.43) на простые
дроби, можно записать, что
«1
-^■п
_ , (разложение G (г) на] ,.„
1 [простые дроби J* vio-<ft)
Пользуясь табл. 13.1, для обратного Z-преобразованця
выражения (13.46) найдем
У (к) = о, (Я,)к-' + Щ (Я2)-> + ... + ая (КГ1 +
_lZ-i (разложение О (г) }
1 [на простые дроби/" (ю.ч/)
В формуле (13.47) члены а((Кг)п~1, характеризующие
переходный процесс, определяются полюсами W(z). Член
~_, (разложение G (z) 1
{на простые дроби/
характеризует установившийся процесс и определяется
полюсами G(z).
Пример. Найти реакцию дискретной системы с передаточной функцией
^1*) = *» —(к1 + Кг)г + Ккг ■
на дискретный ступенчатый вход
Согласно выражению (13.43), Z-преобразование вькодной переменной
у, . Ъхгг + Ьгг с' ■ Са .
7 w~ (г— Л,) (г—Л2)(г— 1) —г—А, +г—Лг +
f £, + 6,
(1—ЛЕ) (1—Лг)
2—1
где
At (б^! + Ь2) А-г (^1^г + Ы
Cl= p,-M(V,-i) ; Сг= (Яг—К){К—1)
Взяв обратное Z-преобразование от Y (г1), получим
у (к) = с, (Л,)- + с2 (Л2)к-. + (1_^+/1Лг) .
384
йчем, реакция системы в установившемся состоянии будет равна дискрет-
flPf дос'ледовательностн
»» + »■
{/(оо)-(1_Л1)(1_Лг).
^-передаточные функции ЭВМ. Ранее было приведено раз-
Остное уравнение (13.20), описывающее связь между входом
\ Быходом ЭВМ. Рассмотрим теперь, каким образом при по-
01ди этого уравнения можно получить Z-передаточную функ-
;йюэвм.
Взяв обратное Z-преобразование от уравнения (13.4),
получим
Г(2) = (6о+6.-г-1+ ... + b„z-")Q(z)-
-(alZ^+...+anz-")Y(z),
или
V(z) = WB{z)Q{z),
где
WB{z)=
b0 + bxz~* + ...+ bnz-n
1 + агг~г + ... + anz-n '
Wt(z) является передаточной функцией цифровой ЭВМ,
осуществляющей некоторую линейную операцию над цифровой
по -ледовательностью g (ятг).
13.9. Типовые дискретно-непрерывные системы
Дискретно-непрерывная система с экстраполятором. На
основе соотношений, полученных в предыдущем подразделе,
можно при помощи Z-преобразования анализировать
различные дискретные системы. Рассмотрим, неапример, типовую
импульсную систему (рис. 13.22, а) с экстраполятором нулевого
порядка, имеющим передаточную функцию (13.27), т. е.
а
тм
wb(s)
—»■
б
W0fs)
yd)
Рис. 13.22. Дискретно-непрерывные системы:
в — типовая; б — с ЭВМ
25—3591
385

Связь между Z-преобразованиями входного и выходного сцг
нала дается уравнением
Y(z)=Z[W3(s)W0(s)]G(s). (13.48)
Подставляя формулу (13.27) в выражение (13.48), получим
Вводя обозначение
и применяя теорему смещения, найдем преобразование Лапласа
r~l
L *
При этом
z[^W.]=Z[A(/-,r)J-
= «-'Z[A (KTr)J = ^-'Z [—^]. (13.49)
Учитывая передаточную функцию экстрапрлятора, выражение
(13.49) приведем к виду
Z[W3(s)W0(s)]^(l-z^)z[^-]. (13.50)
Формула (13.50) определяет способ вычисления Z-преобразо-
вания для системы, состоящей из последовательного
соединения экстраполятора и объекта.
Типовая схема с ЭВМ. На рис. 13.22, б показана другая
типовая дискретно-непрерывная система. Ее отличие от
предыдущей схемы заключается в наличии ЭВМ, включенной
между входным импульсным элементом и экстратюлятором.
Обозначая через ZB(z) Z-преобразование сигнала на выходе
ЭВМ, получим
г-
xAz) = Z[xB(nxr)]=z
Zi -M«Tr-KTr)£-(KTr)
К=—no
Кроме того, можно написать
Y(z)-Z[Wa(s)W0(s)]XB(z),
X,(z) = WB(z)G(z).
Следовательно, Z-преобразование на выходе системы
Y(z) = WB(z)Z[Wa(s) W0(s)]G(z).
Замкнутые дискретные системы, содержащие управляюШУ*?
ЭВМ. Рассмотрим САР с обратной связью, содержащую ЭБ^1
386
Рис. 13.23. САР с обратной связью и ЭВМ в прямой цепи
в прямой цепи (рис. 13.23). Найдем Z-передаточную функцию
эТой системы, обозначая Z-преобразование для ошибки, через
E(z)^Z{z(nxr)},
получим
Y(z)=*W,(z)Z{WB(s)W0(s)}E(z), (13.51)
Точно так же может написать
R{z)=°WB(z)Z{We(s)W0(s)Woc(s)}E(z), (13.52)
где R(z) = Z{r(nxr)}—Z-преобразование сигнала r(t) на выходе
цепи обратной связи, имеющей передаточную функцию Woc(s).
Fo так как
е (ктг) =g (ктг) —г (ктг),
где g(kxr) и г(ктг)—дискретные последовательности, соответ-'
ствующие входному g(t) и выходному r(t) сигналам в цепи
обратной связи,
то
E(z)=G(z)—R(z). (13.53)
Пользуясь (13.52) и (13.53), получим
Е № = i~wB (z) z {w3 (s) Wo (s) w0c(s)} °M- (13.54)
На основании выражений (13.51) и (13.54) найдем
следующую Z-передаточную функцию системы с обратной связью и с
^ВМ в контуре управления (см. рис, 13.23):
ф /м - У (*) _ ^в (г) Z {W3 (s) W„ (s)}
(13.55)
" G (z) l + WB (z) Z {W3 (s) Wo (s) Woc(s)Y
^еРедаточная функция ЭВМ WB(z) оказывает основное влия-
Ие на динамические свойства системы Ф (z). Поэтому основ-
ая задача проектирования состоит в таком выборе WB(z),
т°бы САР обладала необходимыми динамическими свойства-
вы,. качестве примера для вычислений переходного процесса у(пхг) на
оде системы с обратной связью рассмотрим частный случай схемы, по-
25*
387

SM
s
i
' * wi *"
/-e-">
5-
/
sfs+f)
y(t)
Рис. 13.24. Дискретная система с единичной обратной связью
казанной на рис 13.23, т. е. рассмотрим схему, не содержащую ЭВМ и
имеющую единичную обратную связь (рис. 13.24). При этом W0e(s) = l:
л.._1^) Z{W3(s)W0(s)}
ф^-(?(г)- l+Z{W9(s)W0(s)} г
(13.56)
где
И7„ (s)=
1
s(s + l) •
1-е
—jt_
В соответствии с выражением (13.50) имеем
Z {И7Э (s) W, (s)} = Z {(1 -е-**') ^(Дц}'
= (1-^-I)z{F7iW}=(1-^,)Z{i'-T+TTr}'
откуда, пользуясь табл. 13.1, найдем
Z {Ws (a) 1У„ (g)}=(l-0-') Г(Д*1)2 ~^Т+ _%r ]•
Пусть тг=1,0 с, тогда
„, , , 0,3б8г + 0,264
Z {«79 (S) И70 (*))=(г-1)(г-.0,зб8) •
Предположим, что входом системы является единичная ступенчатая
функция gi(t) = l(t). Тогда
(13.57)
0(*)=5=Т-
(13.58)
Подставляя (13.57), (13.58) в формулу (13.56), найдем Z-лреобразование
регулируемой переменной:
(0,368г + 0,264)г / 0,368гг + 0,264 \-'
Y (г) —(г—1) (г—0,368) (г— \)\ + (г—1) (г—0,368) J *
илн
(0,368г + 0,264) г
Y (z>— (z— 1) {г2 — г +0,632) •
Установившееся значение регулируемой переменной
{/(oo) = lim(z— 1)К(г)=1,
г=1
(13.59)
388
система имеет нулевую статическую ошибку. Для вычисления времен-
т f" последовательности г/(ктг) разложим выражение (13.59) в бесконечный
д п° степеням z_':
рЯ у(Z) =0,368z-1 + l,000z-2+l,399z-3+
4-l,399z-4+l,147z-5+0,894z-e+...
Итак,
(/(к*,) = {0,368; 1,000; 1,399; 1,399; 1,147; 0,894; ...}.
Понятие Z-передаточной функции упрощает исследование дискретно-не-
_ерывных систем. Однако следует подчеркнуть, что, пользуясь Z-переда-
очной функцией, можно определить переходный процесс на выходе дис-
т етно-непрерывной системы лишь в дискретные моменты ктг (к=
^=0 1, 2,...). Поэтому на выходе систем (например, см. рис. 13.20,6)
штриховой линией обозначен фиктивный импульсный элемент, для того,
чтобы показать, что известен ход переходного процесса лишь в дискретной, а не
в непрерывной форме.
13.10. Анализ дискретно-непрерывных систем,
описываемых уравнениями в переменных состояния
Реакция непрерывной системы на кусочно-постоянный
входной сигнал. Большой интерес представляет вопрос о
вычислении выходного сигнала (в виде дискретной
последовательности) системы (рис. 13.25), если ее непрерывная часть
кл
х3(Атг)
Непрерывная
система
КЛ
Рис. 13.25. Непрерывная часть системы (объект), к которой
подключен экстр аполятор
(объект), к которой подключен экстр аполятор, описывают
дифференциальными уравнениями в переменных состояния
(таб 13.2).
Таблица 13.2
Основные формулы для непрерывных и дискретных систем
Математическое описание
равнения системы
Систма
непрерывная
x(0=Ax(*)+Bu(0
у(0=Сх(0
дискретная
x(k+l)=Adx(k+l) +
+ BdU(k+l)
y(k)=Cdx(k)
Переходная матрица
Преобразование пере-
х°Дной матрицы
*еРедаточная матрица
кратное преобразова-
■*е передаточной мат-
ф(^)=еА'
<D(s)=[sI—A]-1
W(s)=C<D(s)B
ф(*)=С<р(0В
<рс(к)=Л<гк
tpd(z)=Z{zI—Ad]-1
Wd(z)=Z-lCdQ>d{s)Bd
(D(k)=Cd(pd(k— l)B<i
kS*l
389

Предположим, что сигнал хМ) с выхода экгтпяппп
нияГГ Н3 ВХ°Д НепРеРывн°й -^мы!СсЫв\е7оГур>.
ниями в переменных состояния: «=ииИ УРавн^
Х(*) = Ах(г) + Ви(*), лг(д = лу )
yW=CxW. ) (13.^
где u(t) —входное воздействие, приложенное к объек™ ,
ляющееся в данном случае сигналом TmL °0ъектУ и я8.
полятора, т. е. ы (0=^(0 СИГНалом МО н* выходе экстре
При этом ограничимся рассмотрением экстраполятова т™
го порядка, для которого чр«шолятора нуЛев0.
u(0=u(^T)r> ктг<*<(/Н-1)тг.
Начальные условия для интервала [ктг—(к+1)т 1-
х(4)=х(ктг).
Решение первого уравнения (13.60) имеет вид
t
х (*)=еА('-'.>хо + J eA('-x)Bu (т) rfT.
Для определения х(/) в конце интервала (*+1)Тг полагаем
Го=кт,. и t=(k+l)xr.
Тогда
(к+1)хг
x/(K+l)xr] = eAVx(KTr)+ J еА"к+'>^Ви(ктгЫт,
или, так как вход и постоянен на интервале интегоотовяния то
произведя замену переменных /= r^+1W интегрирования, то,
в правой части, получим: (*+1Н-т для интеграла
или, окончательно,
х[(к+1)тг1 = еА^х(ктг)+{5еАггВйх!и(ктг). (13.61)
Есл^^ринятГ3811611^""86^0131104 Разностно^ 1-го порядка-
eAV = Ad(xr) = AJ (13.62)
390
At,
СеА^Вйт = ВЛт) = В^ (13.63)
о
0 уравнение системы (13.61) можно привести к виду
x[(k+l)TrJ=Ad(Tr)x(kTr)+Bd(T,)u(kT,). (13.64)
Второе уравнение (13.60) при этом принимает вид
у(ктг)1=С(х(ктг). (13.65)
уравнения (13.64) и (13.65) представляют собой дискретную
модель непрерывной САР при кусочно-постоянном входном
сигнале. Они аналогичны по виду уравнениям дискретной системы
в переменных состояния, а математическая модель непрерывной
системы с кусочно-постоянным входом эквивалентна линейной
дискретной системе со входом в виде числовой
последовательности. Отличие заключается лишь в том, что матрицы Ad(tr) и
Вй(тг) зависят от интервала тг.
Если матрица А неособенная, то
ВЛтг) = А-ЧеАх'-1)В.
Таким образом, Ad(tr), Bd(Tr) — постоянные матрицы,
элементы которых являются функциями от тг. Из уравнения (13.62)
следует два основных свойства .матрицы Ad:
А/=АЛитг) = еАлт';
A,(0) = I.
Проведенный анализ показывает следующее. Подадим на вход
дискретной модели, описываемой уравнениями (13.64), (13.65), снгвал и(ктг) и
предположим, что матрицы Ад и Ва удовлетворяют соотношениям (13.62),
(13 63). Когда ее вектор состояния х и вектор выхода у в каждый
'дискретный момент ктг будут принимапъ те же значения, что и вектор состояния
x(t) и вектор у(0 на выходе последовательного соединения экяралолятора
нулевого порядка и непрерывной модели, есл на вход эвстраполятора
подавать то же воздействие.
Этот результат позволяет моделировать поведение непрерывных САР
пРи помощи цифровых ЭВМ. Изложенный подход можно также рассматри-
Вать как метод решения дифференциальных уравнений (13.60), дающий
результат для дискретных моментов ктг.
Определение дискретной модели, эквивалентной непрерывной, требует
вычисления матрицы е V Для этого можно воспользоваться одним из сле-
дУющ,их способов.
1. Разложение в ряд. При этом имеем
Ат Атг2 А«тг"
Ная А и тг и ограничиваясь конечным числом членов этого ряда, можно
аити е хг. (Вообще говоря, этот способ неудобен, так как для обеспечения
°чностн он требует учета большого числа членов ряда.)
391

2. Матрица А диагональна. В этом случае е хг также днагональн
если A=diag(A,i, А2,... Д„), то Э:
е r=diag[eAlT,> е г,...,епг\.
Полученный результат показывает, что часто оказывается удобным предВа
рнтельно приводить матрицу А к диагональной форме.
3. Применение формулы Сильвестра. Если все собственные значена
матрицы А различны, то ч
Анализ дискретных систем, описываемых разностными
уравнениями в переменных состояния. Изложим метод вычисления
дискретного сигнала на выходе дискретной системы, в частности
для дискретной системы, эквивалентной непрерывной. Применяя
Z-преобразование к уравнениям (13.64), (13.65) состояния
дискретной системы, получим
zX(z)— 2x(0)=AdX(z)+BdU(z), (13.66)
Y(z) = CdX(z), (13.67)
где X(z), U(z), Y(z)—векторы размерности nXl, mXl, pXI
соответственно.
Решение (13.66) относительно X(z) дает
X (z) = (zl—Ad) -'zx (0) + (zl—Ad) -' BdU (z). (13.68)
Подставляя выражение (13.68) в уравнение (13.67), найдем
Y(z) = Cd{(zI-Ad)-Izx(0) + (zI-Ad)^IBdu(z)}. (13.69)
Покажем, каким образом, пользуясь уравнением (13.69),
можно найти дискретную последовательность у(п) на выходе.
Тем самым будет установлена взаимосвязь между описаниями
во временной и в z-комплексной области.
Полагая в уравнении (13.68) u(z)=0 и применяя обратное Z-
преобразование, найдем выражение для фундаментальной
матрицы <pd(k):
(P(k)=-Z-1[z(zI-Ad)'-1]. (13.70)
Таким образом, фундаментальная матрица является
обратным Z-преобразованием матрицы z(zl—А)"1, имеющей
размерность пХп.
Алгоритм вычисления обратной матрицы (zl—А)-1 заключается в
следующем. Пусть имеем
(.гГ-А)-1^^^ adj (zl-Kd), (13.71)
где D(z)—детерминант матрицы (zl—Ad).
Представим D(z) в виде полинома от z:
£)(z)=z"-Jp,z"-1^p2^-2—...—рк. , (13.72)
392
an показать, что
Al°adj(z,-Ad) = IzK-'+HiZ"-2+ ... +Hn_,. (13.73)
Здесь
ц,=Ad—Pi I, Pi == spur Ad;
Hj=AdHi—P2I, p2=!spur(AdH,) (13.74)
Л3=АлН2НРз1, ,Ps=ispur(A,iH2);
jjn=AdHK_i—ip„I, pK=—spur(AdHK_,).
ЛорМулах (13.74) через spur обозначен след соответствующей матрицы,
" еделяемый как сумма ее диагональных элементов. Пользуясь уравнения-
oflP/iQ?!1»—П3.74^. можно найтн (zl—Ал)-1, я затем по Формуле (13.70>
(13.71)—(13.74), можно найтн (zl—Ad)-1, а затем по формуле (13.70)
^числить матрицу ф(к).
13.11. Анализ устойчивости дискретных САР
В случае дискретных САР передаточная функция
разомкнутой системы, согласно (13.37) или (13.38), при мнимых
значениях s=jo имеет вид
W*U®)=J-WB*U<») 2 WWocUv + JWr)' (13-75)
т. е. представляется бесконечной суммой. Однако она все же
может быть использована для исследования дискретных систем.
Это объясняется тем, что непрерывная часть системы в виде
экстраполятора и объекта обладает свойствами
низкочастотного фильтра, и поэтому в правой части формулы (13.75)
можно учитывать лишь несколько первых его членов.
Покажем, каким образом частотные характеристики
дискретной системы могут быть применены для анализа ее
устойчивости. Для простоты предположим, что ЭВМ в контуре
управления отсутствует. Тогда частотный спектр выходного сигнала
м/ю), согласно формуле (13.38), принимает вид
оо
Гу<й)= %4г^ • (13.76)
1 +— У WW0C (/со + /vcor)
V=—оо
Cad Ф°РмУлы (13.76) видно, что устойчивость дискретной
Р определяется корнями характеристического уравнения
1+т7 2 WWoc(s + ycDr) = 0,
V=—со
а°Рое является aHaJ
""РЫвной системы
1+^(e)Woc(s)=0,
^р °Р°е является аналогом характеристического уравнения
неравной системы
393

причем выражение
оо
может рассматриваться как передаточная функция разом^ь
той системы. У'
На основании сделанного ранее замечания заменим бес
нечную сумму в уравнении (13.77) суммой небольшого чцсл"
членов, т. е. а
^ WWoc Uсо + yvcor)« ±{WWoe (/со) + WWoc (Усо + у cor) +
- +WWocU®+2je>r) + ... + WWocU<*-J«>r) +
+ WWoc (yco -2ycor) + ...}. (13.78)
Члены в правой части выражения (13.78) представляют со-
бой векторы, проведенные из начала координат до точек со, (©+
+©,), (со+2сог), ..., (со—to,), (со—2сог) АФЧХ т,-ЧПРосО«>)
непрерывной части системы. Из выражения (13.78) следует, что
АФЧХ дискретной системы может быть получена
суммированием этих векторов. Так как WWoc* (/to) является
периодической функцией частоты со с периодом /сог, то переменной со
достаточно придавать значения в интервале от 0 до сог. Более того, так
как [WW]* (ja) симметрична относительно действительной оси,
т. е. ее годограф в диапазоне частот от сог/2 до сог является
зеркальным отражением годографа для частотного диапазона от О
до сог/2, то оказывается достаточным изменять частоту со в
интервале (0, сог/2).
Число необходимых членов в выражении (13.78) зависит
от ширины полосы частот непрерывной части системы и
частоты дискретности со,-. Если частота сог велика по сравнению с
шириной полосы, то часто можно ограничиться первыми тремя
членами в выражении (13.78).
После того как АФЧХ, или годограф дискретной САР, я°'
строена, анализ ее устойчивости можно проводить при пол"'
щи частотного критерия устойчивости, который применяв
для анализа устойчивости непрерывных систем.
Таким образом, для дискретных САР можно сформулир
вать следующий частотный критерий устойчивости. Для т0
чтобы дискретная САР, устойчивая в разомкнутом состояв '
была устойчива и в замкнутом состоянии, необходимо и Д°сТ,,
точно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W7*(/co) не охва*р
вала критическую точку (—1, / 0) при изменении со в инт v
вале —сог/2<со<со,/2. 0
Анализ дискретных систем с помощью определения и
строения их АФЧХ является трудоемким процессом, в осе?о
«ости, когда необходимо учитывать больше трех членов ра3
394
0я выражения (13.78). Кроме того, он не строг, так как бес-
#е чНая сумма заменяется небольшим числом членов.
диалог частотного критерия устойчивости для z-плоскости.
^-передаточная функция дискретной САР с ЭВМ в контуре
„еделяется формулой (13.55). Вводя обозначение
°П W(z) = WB(z)Z{Wa(s)W0(s)W0D(s)}
полагая, что обратная связь единичная, вместо форму-
11 (13-55) можно написать
W(z)
Характеристическое уравнение дискретной системы имеет
вид
l+W(z)=0.
Корни этого уравнения определяют устойчивость. В плоскости
комплексного переменного s для устойчивости требуется,
чтобы все корни характеристического уравнения находились в
левой полуплоскости. Следовательно, для того чтобы судить
об устойчивости в плоскости комплексного переменного z=
=eV, необходимо отобразить левую полуплоскость в
плоскости s в соответствующую ей область в плоскости z.
На мнимой оси s = yco и г=еХг'т, т. е. мнимая ось
отображается на плоскость z в окружность единичного радиуса
(рис. 13.26), причем 2 = e/T,l(B представляет собой
многозначную функцию со с единичной амплитудой и фазовым углом тгсо.
Таким образом, отрезок мнимой оси, лежащей между
точками со=0 и со=сог, где сог=2п:/Тг, отображается в единичную
2jur
-J"r
-*Jo>r
ь
Пл *
Лл.г
Рис. 13.26. Отображение минимой оси плоскости s на
окружность единичного радиуса на плоскости z
395

окружность плоскости 2. Этот процесс повторяется, когда
возрастает до сй+шГ) ю+2(вг и т. д. То же самое, но в обг, ^
ном направлении вращения по окружности единичного рад'
са, происходит, если со изменяется от 0 до —юг, —<о-~Г^
—со—2юг и т. д. В любой точке плоскости s=o+/g> и \
В точке о=—со, оэ=0 плоскости s значение z равно нулю, т
точка, лежащая в бесконечности на отрицательной действи'
тельной оси плоскости s, отображается в начало коордицд
плоскости 2. т
Для любых значений о<0, т. е. для любой точки в левой
полуплоскости s, e°V<l и |г|>1. Следовательно, левая По
луплоскость s отображается во внутреннюю область единичной
окружности в плоскости 2. С другой стороны, так как |2|>j
для о>0, правая половина плоскости отображается в область
лежащую вне единичной окружности. При этом очевидно, что
дискретная система устойчива, если все корни характеристи-
ческого уравнения лежат внутри единичной окружности с
центром в начале координат плоскости 2. Предполагая, что Z-
передаточная функция W(z) является дробно-рациональной от
z, можно написать
tH-i+irH-^:;:;:^.
ли
ew-i+irH-g^j-gza'-
где fi - - - Т" — нули; Xi—Я„ — полюсы вспомогательной
функции |(2).
Так же как и в случае систем с непрерывным временем,
можно получить критерий, являющийся аналогом частотного
критерия устойчивости для непрерывных систем. Если
дискретная САР устойчива в разомкнутом состоянии, то, для того
чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии,
годограф W(z) при изменении частоты от 0 до юг=2п:/тг не до-*1'
жен охватывать критическую точку (—1, /0). Если
дискретная САР неустойчива в разомкнутом состоянии и р полюсов
W(z) расположено внутри единичной окружности, то, для
того чтобы система была устойчива в замкнутом состояний,
число оборотов годографа W(z) относительно точки (—'*'
/ 0) при изменении частоты от 0 до сэг=2п:/т). должно бЫ^
равно п—р.
Пример. Пусть передаточнаи функция дискретной системы
Кг 0-е~т')
W(z) =
(z-l) U-eT0
396
построения годографа W(z) необходимо для каждого значения г
ДЛ" жйть нли разделить друг на друга векторы типа К, г, (г—е~гг) и
> 1). 1"—е~Х г' Все 0НН могут быть получены на плоскости z графическим
цУ^редлоложим, что
0,792/Сг
If (*) — (z— 1) (z—0,208) '
flycib
2 равно векоторому значению Z\ (вектор А) (рис. 13.27,а). Тогда
"ктор zi~~l< Ранныи разности векторов zx и 1, изображенных на
0е* i3 27, а через векторы А и В, можно изобразить вектором М, a (z\—
р 0 208), равный А—С, — вектором N. Произведя необходимые преобразо-
"" 'й,я получим на плоскости W(z) вектор W(zi). Частота щ, соотвегствую-
пая данному zlt определяется нз соотношения г,, = е r. Например, если
,^j, то, чтобо! равенство /=е удовлетворялось, нужно, чтобы
показатель степени был /(л/2), т. е. /со, (л/2)=/ (л/2), откуда ш,= 1,0 рад/с.
При изменении z по окружности единичного радиуса (рис. 13.27, б)
годограф №(z) не охватывает критическую точку, т. е. система при данном
коэффициенте усиления устойчива.
б :L_
г*0,20в Z'lf
В
m-Spaff/e \
u>=2paff/c \
\
WfziirZf-.io-a/
'tis z=f
Рис. 13.27. Критерий устойчивости дискретных систем:
с — построение кривой W(z); б — кривая (годограф) W(z)
У Анализ устойчивости на плоскости z. Рассмотрим критерий
т°йчивости, позволяющий производить анализ устойчивости
с Расположению полюсов 2-передаточной функции замкнутой
сцС?МЬ1' Этот критерий удобен, если имеется цифровая ЭВМ,
Ной енная пРогРаммои Для вычисления полюсов Z-передаточ-
Дис Функции (т. е. корней характеристического уравнения
•фетной системы). Согласно формуле (13.55),
f УИ=Ф(2)С(2),
"^Ль ^ — передаточная функция, являющаяся дробно-рацио-
Чой функцией от 2.
397

Предположим, что все полюса Ф(г) различны и G(z) = i, •*
да Гч
и временную последовательность k (ктг) определяют выра)!{
нием
ft (ктг) = 6,Я,К-' + ^Г1 + • • • + ЬпК~1 >
где Яь А,2, ..., Я„ — простые полюсы Ф(г).
Очевидно, что если полюса простые, то последовательность
k(kxr) будет оставаться ограниченной при к>\, если удовлет,
воряется условие
|Я<|<1, t=l, 2, ..., и,
т. е. если полюса передаточной функции расположены внутри
круга единичного радиуса.
Можно доказать, что этот результат справедлив также и
для случая, когда полюса передаточной функции являются
кратными.
Устойчивость 'дискретных систем, описываемых
уравнениями в переменных состояния. Рассмотрим САР, описываемые
разностными уравнениями типа
x[(k+l)Tr]=Adx(kTr)+Bdu(kTr).
Как это было показано ранее, его решение имеет вид
к-1
х (кг,) = А/х (0) + 2 AS-'-'BrfU (lXr).
1=0
Для анализа устойчивости ограничимся случаем
однородного уравнения при u(iTr)=0:
х[ (k+1) тг]=Adx (ktr).
Решение этого уравнения имеет вид
х(ктг)=А/х(0). (13.79)
Если предположить, что собственные .значения переходи0
матрицы в формуле (13.79) различны, то при помощи теоре'
мы разложения Сильвестра матрица Adk может быть пр^
ставлена в виде ряда. Так, если Ad является матрицей плп
собственными значениями Яь Яг, ..., Яп, то
j.gO)
где
a/=2w. (I3j
/=1
398
ПоДставляя выражение (13.80) в уравнение (13.79), найдем
ккая xi
х(к) = |]А^Ягкх(0).
, этого выражения видно, что последовательность векторов
i(0), ХП)> ■••> х(к)> •••} стремится к нулю при произволь-
ь№ начальных условиях только в том случае, если каждый из
"енов Ък стремится к нулю.
Таким образом, для того чтобы дискретная система была
т0йчива, собственные значения Я,-к матрицы А должны
удовлетворять условию
|Я,|<1, *=1, 2, ..., и. . (13.81)
Ранее был рассмотрен случай, когда все собственные
значения матрицы А различны. Однако можно показать, что
критерий устойчивости в виде неравенства (13.81) справедлив
и для систем с собственными значениями любой степени
кратности.
Пример. Предположим, что матрица
Г0.368 —0,632-]
40,632 —0," ~
632J
и шаг дискретности тг=1,0 с. Тогда собственные значения определяют с
помощью уравнения
in , , 1^-—0,368 0,632 I
1«-АН-0,632 Л-0,632Н2-Л + 0'632=°.
«куда | Я,, | = | А2| = 0,796< 1.
Следовательно, дискретная система устойчива.
13.12. Электрический цифровой следящий привод
с электродвигателем постоянного тока
чес „качестве примера дискретной САР рассмотрим электри-
сцсКИЙ Цифровой следящий привод (ЭЦСП) микропроцессорной
сист6МЫ УпРавления (Рис- 13.28). Отличительной особенностью
Пир Мы' кР°ме квантования сигналов по времени (квантова-
г0 м По уровню пренебрегаем), является ограничение выходно-
^апряжения усилителя мощности.
раз ХоДной управляющий сигнал иупр(пхг)—цифровой много-
0бгеЯ^НЬ1^ код' характеризующий требуемое угловое положение
(с)ц кТа Управления. Эффект квантования сигналов по времени
TgR' Рис. 13.28) представлен ключом с мгновенным замыканием;
Чця 3аМыкания КЛЮЧИ i кв тг. Цифровой сигнал рассогласова-
%e"8(ftTr) поступает на ЦАП (являющийся экстраполятором
Чере °Го порядка с запоминанием на такт квантования ТКВ) с
Даточной функцией
399

WUm(s) =
*ЦАпО-е "')
Непрерывная часть привода состоит из безынерционного у
лителя мощности, имеющего статическую характеристику ^
напряжению типа насыщения, и моментного электродвигате
постоянного тока с инерционной механической нагрузкой. ^
Передаточная функция непрерывной части привода
W <s)— Куэ"
где Куэн — передаточный коэффициент усилитель — электродвн,
гатель — нагрузка; Тэм — электромеханическая постоянная вр^
мени привода.
Нелинейная характеристика насыщения усилителя На
рис. 13.28, а условно обозначена структурным элементом ./V.
SbJnT)
\
-JZ-
V(z)
Т)
f-t«r
\to s
\_
т
m,
Я*
/У
щ
"кЯр
s(Tms*l)
п
"■til
-o-Sr
/-г
*i(0) Ч*,Ю
охг(0) Qx,
D(z) -* /V -i0* - -f* -J
I m> I 1 "/T I 1 I
-M
ml
',0
*M
" 0
mm
Рис. 13.28. Электрический цифровой следящий привод:
а — структурная схема (N — нелинейный элемент, т. е. усилитель мощности): яе-
схема в переменных состояния; в — статическая характеристика нелинейного
мента
400
На выходном валу привода установлен многоразрядный
.цП угол — код, коэффициент преобразования которого kyK.
Преобразователь угол — код формирует код £„ых(птг), пропор-
иональный угловому положению вала аЕых. Пренебрегая
эффектом квантования по уровню (так как шаг квантования по
уровню несоизмерим с заданной ошибкой регулирования),
преобразуют структурную схему привода к виду на рис. 13.28,6.
Здесь К=кцапкУэнкук — статический коэффициент привода при
разомкнутой ОС. Характерной особенностью цифрового привода
является ограничение фазовых переменных из-за нелинейности
статической характеристики усилителя мощности.
Для исследования переходных процессов в цифровой
системе с нелинейной характеристикой типа насыщения при
значительных по модулю рассогласованиях частотный метод не
применим. Анализ процессов в нелинейной системе выполним
методом переменных состояния: эффект нелинейного преобразования
сигнала рассогласования рассматривается как мгновенное
изменение статического коэффициента передачи системы на
каждом такте квантования.
Введем следущие обозначения переменных привода:
gBx(nxr)—единичная ступенчатая функция; tni(nxr) и m2(nxr) —сигналы на входе и выходе
нелинейного элемента-усилителя соответственно; -К1(мтг)=1аВых(я1г);
Xi(n%T) =аВых (п%г) ■
Не нарушая общности, допустим, что
/С=1,0; Тви=1,0 с; Гкв=тг=1,0 с.
Схема в переменных состояния ЭЦСП приведена на рис. 13.28,6,
статическая характеристика нелинейного элемента (НЭ)—на рис. 13.28, е.
Предположим, что искомый вектор-функция х—[хй х2]т, а расширенный
вектор исследуемой системы
v=feB*; xu х2; /и,]т,
гДе Т — знак транспонирования.
При нулевых начальных условиях £вх(0)=0 и управляющем воздействии
£вх(мтг)=2,0 запишем расширенный вектор системы в момент t*=0:
v(0)i=![2,0; 0; 0; 0]т.
Для ипределения переходных процессов в системе по дискретным
значениям компонент вектора v(nrr) воспользуемся методикой переменного
(Дискретного) коэффициента передачи, основанной на аппроксимации
сигналов прямоугольниками Эйлера. Определим матрицу квантования Т следяще-
0 привода из следующих уравнений (см. рис. 13.28,6):
gBx(nTr+)=gBX(nxr);
*«(»«,+) = *, (»«,-); ,
« (птг+)= т, (птг+) = £вх (nxr+)—Xt (пхг-).
°тсюда
Т=
г1
0
0
1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
— 10 0
(13.83)
26—3591 401

В уравнениях (13.82) переменные «упр(0. *i(0> x2(t), m(t)=m.i(t)
соответствующие дискретные моменты t = nxr определяют двумя значениям^
u7up(nxr~); Xi(nxr~) и т. д.—■ слева относительно рассматриваемой точк:
пхт; «тпр(«тг+), xi(nxr+) и т. д.—справа. й
Расширенный вектор v в момент <=0 по условию задачи:
v(0-) = v (*,)== [2, 0; 0; 0; 0]т. (13.84)
Общий вид расширенной матрицы перехода следящего привода
10 0 0
Ф(Я)=
0 1 1-
-е
-я
(1-
-l+e~K)k
N(n)
"е )*Л'(п)
(13.85)
0 0
_0 0 0 1
а так как Я=7'кв==тг= 1,0 с, то матрицу (13.85) можно записать в виде
"10 0 0
0 I 0,632 0,368Ад,(й)
0 0 0,368 0,632ft^„j
__0 0 0 I
где кщп) — мгновенный коэффициент передачи нелинейного элемента N
системы на n+1-м периоде (такте) прерывания (в момент t=nxr),
определяемый в виде отношения сигналов на выходе и входе элемента N:
-?А—T-L (13.87)
* (Тш)=Ф(кщп)) =
(13.86)
k „,„.=■
'л-(я) — т1(п%г+)'
Для иллюстрации вычислительного алгоритма выполним сначала
несколько элементарных рекуррентных процедур в соответствии с известными
матричными выражениями:
v (nxr+) = Tv (пхг); (13.88)
v (п+1хг~)=Ф (хг) v (nxr+). (I3.89)
1-й период прерывания. Используя выражения (13.83), (13.84), (13.88)
при /г = 0 и нулевых начальных условиях, имеем
v(0+) = Tv(0-)=[2; 0; 0; m1 = 2,0]T,
так как
mi(0+)=fi*(0+)—х,(0+).
Мгновенный коэффициент передачи НЭ привода,
лой (13.87) н его статической характеристикой,
_ М
в соответствии с форму"
Щ0)~ m1(0+)—0'5.
Так как
т2(0) = +ЛГ= + 1, m, = (0+)=2,0.
Используя матрицу (13.86), определим расширенную матрицу <D(ftw(o»
для 1-го периода прерывания при kNm=0,5:
ф(*;у(0)) =
г! 0 0 0 п
0 1 0,632 0,184
0 0 0,368 0,316
0 0 0 1
402
«чиМ расширенный вектор состояния при t=%r—
е\(хг)=ф (*лчо))у(°+)=[2> °; °'368= °>632; 2> °]т-
2-й период прерывания, «=1. Расширенный вектор состояния систе-
„„ при '=^+
v(tr+) = Tv(Tr-)=[2,0; 0,368; 0,632; m, = 1,632] .
„еделим мгновенный коэффициент передачи НЭ:
М 1
Ayv(D= от, (тг+) — 1,632 —°'612"
расширенная матрица перехода Ф(А^(п) в соответствии с матрицей (13.85):
-10 0 От
Lc
0 1 0,632 0,225
0 0 0,368 0,387
J) 0 0 1
расширенный вектор состояния при t=2xr~
у(2гг-) = Ф(*л,(1))у(т|.+) = [2,0; 1,135; 0,864; 1,632]т.
3-й период прерывания, п==2. Расширенный вектор при t=2xr+
v(2tr+) = Tv(2Tr-)=[2,0; 1,135; 0,865; OTl = 0,865]T.
Мгновенный коэффициент передачи элемента N соответствует мгновенному
положению рабочей точки на линейной части статической характеристики
НЭ, т. е.
тг
0,865
= 1,0.
RN(2) — и, (2тг+) —0,865;
Вычислим матрицу перехода Ф(£ж2>):
1-1 0 0 От
0 1 0,632 0,368
0 0 0,368 0,632
.0 0 0 I _
Ф (*7V(2)> =
x,tt)
t,b
',t>
О
3
Is
2
'/ 1 1
1
n 1 2 3 * 5 t
Рис. 13.29. Переходные функции ЭЦСП:
1—3 — кривые *i(t), вычисленные при "ущ) =2,0; 1,5; 1,0
соответственно
26*

Расширенный вектор состояния системы при t = 3xr~
v(3tr-) = 0(Avv(2))v(2Tr+) = [2,O; 2,0; 0,865; 0]т.
Аналогичным образом могут быть вычислены соответствующие кощ
неиты расширенного вектора при м=3; 4;... т (где т определяется вре^,0'
нем затухания переходного процесса в исследуемом ЭЦСП). е'
На рис. 13.29 приведены переходные функции X\(t) следящего привода
усилителем, имеющим зону насыщения, вычисленные в соответствеии с рес
курреитнымн процедурами при различных значениях gm(mr)- Эффект 0гра
ничения фазовых координат становится понятным при сравнении фуцк"
ций X\(t), соответствующих разным по модулю входным воздействиям.
На рис. 13.30 приведена блок-схема программы вычисления в виде
О
Т;иЩ;ф(кт)
г
Цикл: n=t,SO
С
I
и(пТ+)-Г1г(пГ)
Нет
1
т,(пГ*)=т,та%
а > __
Рис. 13.30. Блок-схема программы вычисления вектор-функции
„ярвых функций ЭЦСП с нелинейным элементом в соответствии с выра-
с яиями (13.87)—(13.89). Программа, имеющая два цикла, состоит из
&е „ующих блоков:
сл i — ввод исходных данных. Расширенная матрица перехода Ф(&кЧп>)
„дится в форме (13.86), а затем в цикле после вычисления К.щп) осущест-
вВ«ется следующее преобразование:
е ф24=0,368 kN(n); (p34 = 0,632 kN(n);
2 — задание цикла с шагом тг=1,0 с, п=1...50, предполагая при этом
пятидесяти тактов квантования достаточно для наблюдения переходных
4 Оцессов в исследуемом нелинейном приводе:
"^ з — вычисление значений компонент вектора v(mt,+);
4—6 — определение в цикле мгновенного (дискретного) на данном так-
те п коэффициента передачи кццП) нелинейного элемента с заданной харак-
теристикой насыщения (рис. 13.28, в);
7 — определение матрицы Ф(й«чп) для n-го такта квантования,
соответствующие элементы которого зависят от мгновенного коэффициента
передачи, вычисленного на n-м такте;
8 — вычисление вектора состояния в конце п-го периода прерывания, т. е.
вектора \(mr-)=v(n— 1тг);
9—11—вывод на печать, оператор конца цикла и стоп соответственно.
Контрольные вопросы
1. Что представляют собой дискретные системы управления?
2. Назовите формы математического описания дискретных
систем.
3. Как проходит дискретный сигнал через цифровую ЭВМ?
4. Как преобразуется частотный спектр непрерывного
сигнала при его прохождении через цифровую ЭВМ?
5. Дайте определение передаточной функции дискретной
системы управления.
6. Что такое Z-преобразование? Приведите примеры Z-npe-
образования.
7. Что представляет собой Z-передаточная функция
дискретной системы?
8. Приведите примеры типовых дискретно-непрерывных
систем.
9. Охарактеризуйте анализ дискретно-непрерывных систем
Управления, описываемых уравнениями в переменных
состояния.
Ю. Сформулируйте условия устойчивости дискретных
систем.
П. Объясните назначение экстраполятора. Его основные
Характеристики.
И. цифровое управление с помощью микроэвм
14.1. Общие сведения
Систему автоматического регулирования (управления), со-
*РЖащую микроЭВМ в контуре, называют микропроцессорной
Соматической (МП-системой), так как основой микроЭВМ
405

Ifuppotou но&
(0xe8)
ЭВМ
h
ЦАП
УлраЛпгеньш
ofoew
Аналогов
АЦП
-
Рис. 14.1. Функциональная схема типовой МП-системы с цифровым входов
является микропроцессор. МикроЭВМ в составе МП-системы
выполняет роль управляющей ЭМВ. На рис. 14.1 показана
типовая система управления такого рода. Если входным сигналом
является цифровой код, то она состоит из цифровой ЭВМ, циф.
роаналогового преобразователя (ЦАП), управляемого объекта
(процесса), аналогово-цифрового преобразователя (АЦП).
ЭВМ преобразует входной сигнал в цифровой управляющий
в соответствии с алгоритмом, заложенным в программу; АЦП,
или квантователь, преобразует выходной сигнал управляемого
процесса в последовательные импульсы; ЦАП, или экстраполя-
тор, преобразует цифровой выход ЭВМ в аналоговый сигнал,
который воздействует на управляемый процесс.
Если применяется аналоговый вход и аналоговый выход
(а не вход в виде цифрового кода), то используется схема,
показанная на рис. 14.2.
Аналогобь/й
бхо0
1
АЦП
. ЭВМ
Аналоговый
Samvu/t
ЦАП
Управлие/тый
Аналоговый
fftmod
Рис. 14.2. Функциональная схема МП-системы с аналоговым входом
В технике ЭВМ используют в двух основных случаях.
1. ЭВМ применяют для моделирования и расчета динамики систем.
Математические модели реальных систем описывают нелинейными уравнениям11
высокого порядка, что существенно затрудняет использование аналитических
методов. Поэтому удобно проводить анализ и синтез сложных систем
управления на ЭВМ. К моделированию на ЭВМ обращаются также 0я
проверки результатов, полученных аналитическими методами.
2. ЭВМ используют в системах управления в качестве встроенных Koff^
роллеров или процессоров (микроконтроллеров и микропроцессоров сооТ'
ветственио). Для инженеров — специалистов по системам управления й й5
роконтроллер представляет собой устройство, предназначенное для прео^
разования входного сигнала в выходной согласно некоторому алгоритм
управления и программе, легко составляемой на языке высокого УРовН0
Так как управляемые процессы имеют в основном аналоговый характер>
в большинстве цифровых систем управления циркулируют как аиалоговь'^
так и цифровые сигналы. Следовательно, необходимо такое преобразоваИ^
сигналов, которое обеспечивало бы взаимодействие цифровых и аналогов^'
элементов. Например, аналоговые сигналы должны быть подвергнуты аИ
406
гоВо-Цифровому преобразованию перед дальнейшей их обработкой в циф-
пвом процессоре или контроллере.
Р Яналогово-цифровое преобразование может быть записано как опера-
йЯ кодирования. В то же время цифровой код ЭВМ может быть послаи
на непрерывные устройства системы только после цифроаналогового
преобразования.
Дешевые микропроцессоры появились за рубежом уже в 1971 г. В свя-
и с этим открылась возможность: создания микроЭВМ, состоящих из
микропроцессоров, полупроводниковой памяти и устройств ввода-вывода;
пешения задач управления объектами на нескольких вычислительных
машинах. Это привело к разработке систем децентрализованного управления
ва базе ЭВМ, например для контроля и управления объектами, имеющими
с 16 регулируемых переменных. Общая архитектура (структура)
микропроцессор3 представлена на рис. 14.3.
I I
Тайпер
*. Микропроцессор
i
ВШ
i ,
i и
i
1
г*
1
L
L
1
Выбор
1
' '
039
ПЗУ
1
1
1
Лерирерия, да/мам,
исло^натеугьнь/е yc/vpoacmfa
1
i
1
Данные и
бсло/гогателмах
информация
Рис. 14.3. Общая архитектура микропроцессора
Преимущества дискретных (цифровых) систем в
современной технике управления и обработки информации следующие:
а) повышенная чувствительность, высокая надежность,
отсутствие дрейфа, высокая помехоустойчивость, небольшие
габариты и масса, низкая стоимость, удобство при
программировании; б) высокая гибкость по сравнению с аналоговыми
регуляторами, заключающаяся в изменении программы цифрового
регулятора (в соответствии с требованиями разработчика) или
аДаптации к характеристикам объекта без каких-либо
изменений в аппаратных средствах; в) возможность работы в режиме
Разделения времени и др.
Однако цифровым системам управления (ЦСУ), и в
особенности микропроцессорным (МСУ), присущи следующие
ограничения: а) частоты квантования сигналов по времени, что
снижает скорость выполнения программы вычисления в системе;
6) разрядной сетки или числа бит в разрядом слове управля-
407

управляю^
ющей ЭВМ (например, разрядная сетка
микроЭВМ составляет 8 или 16 бит). "Л
При проектировании микроЭВМ следует предусмотреть все
задачи, необходимые для логики ее функционирования; кроме
того, требуется спроектировать модули памяти, а также
соответствующий интерфейс для обмена информацией между ЭВА1
и измерительными, усилительно-преобразующими устройствами
системы.
Рассмотрим некоторые примеры цифровых систем управления
техническими объектами.
На рис. 14.4, а представлена функциональная схема аналоговой систе-
Ipttfitreii
ериеялю*
4*» А
&
Лрее6раз&\
fames*
-••Л-Лй,
I I
Аяалоеа-
лятор
Динамика
Щг
Гирос/te/r
Л

ориентация
'г*®
Я5Н
flpeef-
Ьгюга-
tjeppefyj
fS
Д*вв/галалё\
мпме/гмве»
amapaeta
Л
Гирееяея
*\
Л
Да/кы/л
ериеята-
4«е
б
Рис. 14.4. Функциональная
СХеМсамИоС1етаЫ управления Угл°вым движением
а — с аналоговым автопилотом; б — с цифровым
мы управления угловым движением самолета для одной управляемой пере
менной (угол тангажа, рыскания или крена). Цель управления состоит в
отслеживании угла ориентации объекта за командным сигналом. Для
улучшения устойчивости системы введена обратная связь по угловой скорости
объекта.
Аналоговый автопилот (управляющая подсистема) может быть заменен
на цифровой; при этом в систему должны быть включены аиалогово-цифр»
вой и цифроаналоговый преобразователи. Заметим, что, поскольку все
остальные элементы системы, кроме цифрового контроллера, остались
аналоговыми, использование этих преобразователе л является обязательным
(рис. 14.4,6).
408
J
управление Рядом производственных процессов осуществляют на осно-
„рименения сШМ (например, в современном прокатном производстве).
% РиС' показана функциональная схема управления прокатным станом.
Толщина
ярекима
рис. 14.5. Функциональная схема системы упрвления прокатным
станом
Непосредственной функцией цифровых ЭВМ. является реализация управ-
яюших алгоритмов, сформулированных разработчиком или пользователем,
"задачей их периферии—сбор и регистрация исходных данных (значений
диаметров управляемого процесса), а также их обработка.
" Существуют следующие режимы работы управляющей ЭВМ: диалого-
вЬ1й пакетной обработки и реального времени. Расчеты экономического н
научно-технического характера выполняют в основном в диалоговом и
пакетном режимах, когда время выполнения расчетов не оказывает влияния
0 конечный результат. Систему обработки данных в режиме реального
времени можно определить как систему, получающую исходные данные и
выдающую результаты с такой скоростью, которая обеспечивает
своевременную реакцию системы на изменения, происходящие во внешней среде.
Время ответа Та управляющей ЭВМ должно соответствовать времени
регулирования Гр процесса:
1
"2/Ср '
че /Ср — частота среза системы, Гц.
п
Р= «ср
14.2. Эффекты квантования по уровню. Аналоговый вход
Так
мала
как погрешность из-за квантования по уровню столь
«ада, что ею можно пренебречь, иногда при исследовании циф
Ровых систем управления сигналы считают практически непре-
1вными. Это вполне оправдано, если сигналы изменяются в
■фоком диапазоне и их обработка ведется на ЭВМ, обладаю-
их большой разрядной сеткой. Если отклонения сигналов не-
лики, а ЭВМ оперирует со словами малой разрядности, как
д0 Р°ЭВМ, то возникают существенные погрешности, которые
*ны учитываться при анализе цифровых систем.
аМп антование п0 УР0ВНЮ (амплитуде). В цифровых системах
Нцял^тУДа импульсов может иметь лишь определенные значе-
в°зм импульс, значение которого находится между двумя
1°Рь^>Кными Уровнями, преобразуется в импульс с уровнем, ко-
Ац,п и наиболее близок к действительному значению сигнала.
tyiQ ИтУДные уровни квантованного сигнала затем преобра-
^°ЛкЯ в кодовые группы, каждая из которых состоит из не-
1)3 диКих импульсов. Кодовая группа передается для каждого
скретных значений сигнала, определение которых с по-
409

мощью числового кода, например двоичного, называется и„
рованием. Аналоговые входные сигналы квантуются по уроЗ-
в АЦП и переводятся в цифровые коды. %
Шаг квантования q задается разрядностью преобразовав
(т. е. длиной его слова, за исключением знакового разрЯл6^
Максимальное число N уровней, пред ставимых двоичным )•
дом разрядности с, определяется с помощью формулы °-
Л/=2С—1,
где с — длина слова в битах.
Отсюда можно найти относительный шаг квантования
уровню °
q^l/N^J-^-.L. (Hl)
Шаг квантования q и разрешающая способность АЦП в да.
висимости от зарядности слова следующие:
Длина слова, бит
Количество чисел
Разрешающая
способность, %
7
127
0,787
8
255
0,392
10
1023
0,098
12
4095
0,024
15
3276?
0,003
Разрешающей способностью АЦП (q, %) называют
наименьшее значение переменной на его входе (#min, %), когда
символ младшего разряда числа на выходе (Q) изменяется с
0 на 1.
Статическая характеристика АЦП Q^cpiy) является
многоступенчатой релейной, имеющей по оси ординат N уровней {№*
=0, 1, 2,..., 2е—1 — порядковый номер уровня квантования,
рис. 14.6, с). Шаг квантования в соответствии с выражением
(14.1) —это такое приращение значения у на входе АЦП, к0'
торое приводит к изменению переменной на выходе на одну
единицу (бит).
Если бит старшего разряда числа у отнести к знаку этог
числа, то модуль у уменьшается вдвое, что соответствует пер
носу осей ординат и абсцисс статической характеристики
0,5(2С— 1) вправо и на 0,5q(N— 1) вверх (рис. 14.6,6). Та#м
образом, АЦП является нелинейным звеном с нечетной мН°г$
ступенчатой релейной характеристикой Q=<p(t/), симметрй4"
относительно начала координат. . р-
Согласно статической характеристике, на выходе АЦП Ф^
мируется цифровое значение, равное целому числу / я^.до,
квантования q, содержащихся в аналоговом сигнале У '■ У?
где /=0, 1,2,..., N. Ьф-
Остаток Ъя либо округляют, в результате чего получают 0.
жайшее снизу или сверху к значению yq целое число, либо *
сто усекают. При усечении все биты, меньшие, чем самый ^
ший значащий бит, отбрасывают.
410
(14.2)
gj обоих случаях справедливо соотношение
у*=УчЛ~Ъяг
bq — относительная ошибка квантования (шум
квантовали) > заключенная в следующих пределах (см. рис. 14.6,6):
H-tt gpeet*»' *
S-i
г-й
f-й
тг
Г
а
N/t-й j/ребе/п
\ Qm (У)
У
н
**
JLL
N/2-й уровень
Рис. 14.6. Статическая характеристика АЦП:
а — несимметричная; б — симметричная относительно
точки 0
при округлении
-0.5<(^ <0,5;
\ч /окр
Чм. усечении
Цифровые коды с выхода АЦП пересылаются в центральный
Р°Цессор, где обычно преобразуются в слова большей размер-
°сТи,
т. е. в двоичные коды ск.
411

Вычисления, связанные с реализацией линейных алгоритм
управления (см. рис. 14.5): °*
при отклонении регулируемых переменных
eg=qg(k)~yq(k); (l4
в случае управляющей переменной
uq(k) =—Ьиид(k—\) — ... —bmuq(k—\i) +
+c0^(ft)+...+cv9. (144
Здесь eq — отклонение регулируемой переменной; yg(k)—опре.
деляется согласно уравнению (14.2); ug(k), uq(k—1)
..., uq(k—ц) —управляющая переменная при k, к—1,..., &1_ц.'
о-од ■ ■ ■ O-W-, b\q ... 6м9 — коэффициенты системы.
Ошибки квантования по уровню. В управляющих ЭВМ и
цифровых регуляторах сигналы подвергаются квантованию по
уровню на нескольких этапах. Если в системе управления
используются цифровые датчики, то их выходные сигналы могут
принимать только определенные квантованные дискретные
значения. Квантование по уровню происходит также в
центральном процессоре (ЦП). Наконец, в ЦАП сигналы также
квантуются. Этапы квантования по амплитуде можно выделить и в
тех системах, где используются датчики с аналоговым выходом
(АЦП).
Ошибки квантования по уровню в общем виде описывают
уравнением (14.2).
Во избежание нежелательных явлений из-за квантования по
уровню необходимо соблюдать следующие условия:
1) разрядности слов в АЦП и ЦАП, а также диапазон чисел
в ЦП должны быть достаточно велики и соответствовать друг
другу;
2) максимального наполнения разрядной сетки и
правильного использования допустимого диапазона чисел надо
добиваться масштабированием переменных;
3) разрядность ЦП должна значительно превышать
разрядность слов АЦП и ЦАП;
4) в случае, если при работе цифрового контроллера
обнаружен предельный цикл, надо, несколько изменив параметры,
ослабить действие регулятора;
5) в цепях прямой связи (в системах с цифровыми
фильтрами и алгоритмами управления) не должны возникать зоны не'
чувствительности относительно установившихся состояний.
Нелинейные эффекты в МП-системе связаны с процессами
(рис. 14.7): квантования и округления в АЦП; преобразование
в ЦАП; округления при умножении в центральном процессор6
и ДР- м
Разрядность АЦП выбирают следующим образом: 1) чтоо^
его погрешность квантования была меньше статических и дйна
мических ошибок датчиков (обычно достаточно 10 двоичн^
разрядов для достижения относительной погрешности в 0,1%''
412
. чтобы изменение управляющей переменной на один шаг
вантования вызывало (после прохождения через непрерывную
*асть системы) изменение кода в АЦП на единицу младшего
!а3ряда.
I—""
кТ„
r(^
У
£
-II
и
Чщ>№*»
71-
f<Vil
ir-
Я^ф
и
Алгоритм
y/rpu0j7t#{fjr
У
£.
<"e\t\ кТа
=С®*0+
Окруеление
1 " АЦ" _| L_ 'girmm/>a»_
_1
.1 Онругле/нн
1| / ЦАП
.J
Центра/гь/ши лрецесмр
Рис. 14.7. Нелинейные эффекты в МП-системе
«Ix ft) r>J(t)
&
скт
мк
УРМ
Объект
aitait)
Рис 14.8. Функциональная схема системы управления радиолокационной
антенной
На рис. 14.8 дана функциональная схема микропроцессорной системы
управления угловым положением радиолокационной антенны (СУРА). Для
измерения углового рассогласования Q(t) между направлением на объект и
Действительным положением оси антенны в системе использован синусно-
Косииусный трансформатор (СКТ). Микроконтроллер (МК) является уни-
Версальным цифровым регулятором; в СУРА ои выполняет функции
вычислительной подсистемы, реализующей алгоритм управления антенной.
Наиболее экономичным и надежным является способ непосредственного
управления источником питания через усилитель-регулятор мощности (УРМ)
Системы.
Рассмотрим функциональную схему микроконтроллера 8085,
используемого
антенны
/ в позиционной системе стабилизации радиолокационной
^Рис. 14.9). МК, работающий в реальном времени, состоит из центрального
РрЦессора, блоков преобразователей АЦП, портов входов и выходов,
Дилеров, регистров, счетчиков, блоков памяти (ОЗУ, ПЗУ, СППЗУ) и др.
Учкциональные блоки МК связаны общей шиной — информационным
канале с разделением времени. Блок логики связывает счетчик МК с управ-
WlUefl программой.
Си АЦП состоит из двух элементов: аналогового ключа, селектирующего
3oRHajI отсчета и напряжение обратной связи от СКТ; биполярного преобра-
йц„ еля аналог —цифра (им является 8-разрядный преобразователь,
•^чая знак).
418

ffpeterctf
Ж
7^
tittt#e 0в0*&/ж
~Tf 1F7S
TV
5ГТПГ1ПГТПЕ
TV
Вал е#теяяы —\
Рис. 14.9. Позиционный цифровой сервомеханизм
антенны
Напряжение уставки %Ст=5 В, следовательно, разрешающая способность
Рразд = 5/128=40 мВ/бит.
Она определена с учетом значения уровня шума квантования АЦП.
Цифровой управляющий элемент, имеющий передаточную фуикдй0
WD(z), реализует простую управляющую программу МК:
Ui=ei+Aui-i+Bei+1,
(14.5)
где А к В — коэффициенты программы.
В качестве усилителя-регулятора мощности в СУРА использован У0"
лнтель с ШИМ, обладающим высоким КПД, надежностью и простотой
управлении. .
После того как итерация управляющей программы закончена, МК вЫР г
батывает абсолютное значение команды. Таймер и счетчик формирУ^
управляющий импульс для ШИМ (знак и длительность этого ивНгЯ* д
определяются мгновенным значением рассогласования 0 и nporpa^jr v
Wz,(z)). Импульсы с выхода ШИМ непосредственно воздействуют на *
который отрабатывает угловое рассогласование 6(t). «ф
На рис. 14.10, а приведены частотные характеристики системы (1 —с цсСе
ровым регулятором, 2 —■ с аналоговой компенсационной схемой). В пРоК^(j(
проектирования СУРА была рассмотрена 8- и 16-разрядная арифметика ™
414
Л(и)п
О
-5
-10
-ts -
а
10 раВ/с
*щ
Рис. 14.10. Характеристики дискретного
регулятора и аналоговой компенсационной
схемы:
а — полосы пропускания; б — переходные процессы
следствие того что динамика системы несколько лучше при большем числе
^3РЯДов, был выбран вариант с использованием 16-разрядного слова. На
Ря '4.10,6 сравниваются переходные процессы в СУРА для 8- и 16-раз-
Р Дной арифметики (кривые 1 и 2 соответственно) с реакцией системы при
алоговой коррекции (кривая 3).
•3* Длина слова в АЦП, ЦАП, арифметическом устройстве
и МП-системе регулирования
^ Длина слова и интервал дискретизации хг по времени взаи-
U Зависимы, и выбор максимального интервала дискретизации
д^инимальной длины слова является итеративным процессом,
р иНа слова практически определяется выбором 8- или 16-раз-
Дйм °Г0 микРопРои-ессоРа- Однако при проектировании необхо-
бс »° оценить требуемую длину слова для различных устройств
системы управления. Обычно необходимо стремиться к ми-
415

нимальной стоимости системы. Очевидно, что стоимость j,
средственно связана с длиной слова, а также с интервалп°-
дискретизации. %
Длина слова АЦП. Числовое значение кода плюс знакоь
бит, т. е. с-\-1, составляют длину слова АЦП, которую опреде^
ют динамическим диапазоном аналогового сигнала и щ^*' ну-—
квантования. Динамический диапазон—это отношение ita^ г/ / ^i \ sin f/fr
мального значения етах аналогового сигнала e{t) на входеС1)- \wv.№\J>\ ///л
его минимальному значению значению р~-.~ Пппагог, - ►
_ , ., —^.„^«лл А.<шну слова АЦП, которую опред^ь •
ют динамическим диапазоном аналогового сигнала и Щум*^
квантования. Динамический диапазон—это отношение мак°
мального значения етах аналогового сигнала e(t) на вход»11'
его минимальному значению значению етщ. Полагая етах^*
шаг квантования
q 6rnin/^max> (14 fil
где, согласно формуле (14.1), q— наименьший значащий би
Решая уравнение (14.6) относительно с, получим
c=log2emax/emin. (14.7)
Влияние шума квантования на динамику системы:
при усечении
-2 а2 2~2ст
0гУс = ?2 = — i (14.8)
при округлении
a|OKp=g=2-2^+1), (14.9)
где q—наименьший значающий бит, причем Сг=с«+1.
Предположим, что случайный гауссов сигнал со средним
значением 0,5 и максимальной амплитудой 1 является
аналоговым. Тогда дисперсия этого сигнала
?=4- (14.Ю)
Отношение сигнала к шуму, согласно выражениям (14.8) и
(14.10),
Пример. Входной сигнал имеет насыщение при пороговом отношении 250
соответствует разрешающей способности 0,04%). Требуемое отношение
('''..яла к шуму 40 дБ. Тогда, используя соотношение (14.13), получим
«"^([1+8), [7,47]}, т. е.ст>9 бит.
Длина слова ЦАП. Передаточная функция экстраполятора
леВого порядка дает выражение для модуля:
? _ 1/9 J12CT
а*ус 1/3 (2-2^) 3 •
Переходя в выражении (14.11) к децибелам, получим
F = Ю lg (e2/orycf = Ю lg ~=20cT lg 2 - Ю lg 3.
Решая последнее выражение относительно Ст, получим
Ст 201g2 6 ^и'°- У1*
Длина слова определяется наибольшим значением ст> п0$'
ченным согласно уравнениям (14.7) и (14.12),
сг > max {[l + log2g2] [-£ + 0.8]}. (\4.$
416
де^=1/тг (здесь хг — такт квантования сигнала), \—%- .
Запаздывание по фазе, град:
Фпап(/) = 180.//Ь.
для низких частот / усиление близко к единице, но
запаздывание по фазе может быть значительным. Длина слова для
ЦАП определяется динамическим диапазоном аналогового
исполнительного устройства системы.
Длина слова арифметического устройства (разомкнутая
система). Шум квантования АЦП усиливается в арифметическом
устройстве процессора. Отношение шума квантования сы2 на
входе к шуму о2 на выходе:
(14.14)
где D(z)—Z-передаточная функция алгоритма управления
(см. например, выражение (14.5)).
Полагая, что гауссов сигнал имеет максимальную
амплитуду, получим отношение сигнала к шуму:
F=l01gfi
1/9
[2 T\km/3
(14.11) еШая уравнение (14.15) относительно ст, получим
Cr>4 + 0,8+^lg^
(14.15)
(14.16)
6 Пример. Пусть Z — передаточная функция D(z) = l/(1—0,9 г-1) для
треного F=40 дБ. Тогда по формулам (14.14) и (14.16) получим
ст> 6,7+0,8+1,2=8,7;
Миим, что длина слова сг=с+1 и
гДе и min
•пах — максимальное значение выхода; umm — разрешающая способность.
27—3591 417

Выбор длины слова для контура регулирования. Исслед0в
ния показывают, что главные численные трудности при np0J|'
тировании замкнутого контура цифрового регулятора связаны
зоной нечувствительности АЦП и регулятора. Так как AjtjS
наиболее сложный элемент САР, то рекомендуется разреща1о
щую способность АЦП приравнивать максимальному допуСТй"
мому значению амплитуды предельного цикла замкнутого коц"
тура.
Лучше выбрать длину слова следующим образом:
(С+1)арифм = 4+(С+1)АЦП ,
„ (с+1)цап =(с+1)ацп— 2,
причем (с+1)ацп определяется допустимым предельным одк.
лом.
В центральном процессоре возникают новые ошибки
квантования, обусловленные конечной разрядностью с чисел, при
помощи которых представлены следующие величины:
gq(k) —задающая переменная;
ug(k—i) —управляющие переменные;
О.Щ, big (i=l, 2) — параметры;
biqUq(k—i), aigeq(k—I), i=l, 2,... — произведения.
Если для записи чисел используют слова малой разрядности в
формате с фиксированной запятой, то при вычислении
произведений могут возникать значительные ошибки квантования и
соответствующие нелинейные искажения. Что касается
квантования задающей переменной и параметров регулятора системы,
то оно вызывает лишь определенные отклонения от
номинальных значений указанных величин и, следовательно, не создает
.дополнительных нелинейностей в контуре управления (с>
рис. 14.7).
Теоретический анализ системы даже с одной нелинейностью
сопряжен со значительными трудностями. Более сложную
задачу представляет исследование всех эффектов, связанных с
квантованием по уровню (см. рис. 14.7). Поэтому обычно преД'
полагают, что ошибки квантования случайны и распределены в
соответствии с равномерным законом. Наиболее достовернь16
результаты дает математическое моделирование МП-системЬ1-
Все источники квантования можно объединить в три основ'
ные группы: 1) квантование переменных (округление регу^.
руемой или управляющей переменной в АЦП, ЦАП, Ш*''
2) квантование переменных регулятора (округление параметр0
регулятора); 3) квантование промежуточных результатов ПР
реализации алгоритма управления, в частности округление ПР
изведений, входящих в уравнение (14.4). у.
При исследовании, эффектов квантования возможны еле™
ющие случаи. е
1. Эффекты квантования настолько малы, что контур уПр ^
ления практически сохраняет асимптотическую устойчиво0
418
^тдэтому ошибка регулирования, вызванная начальным рассо-
ясованием, стремится к нулю:
\ime{k)=0.
2. Контур управления не возвращается в устойчивое нуле-
е состояние, и возникает статистическая ошибка:
Мте(к)фО.
3. При подаче постоянного возмущения вырабатывается
дополнительный случайный сигнал — шум квантования, или
округления.
4. В системе возникает предельный цикл с определенными
периодом и амплитудой.
14.4. Прохождение шума квантования через систему
Значение шума квантования 8д в соответствии с
уравнением (14.2) было определено как разность между точным
числом и числом, выдаваемым АЦП и процессором при конечной
длине слова. Если q=2~c есть наименьший значащий бит, то
статистически шум квантования 8д может принимать любое
значение между 0 и q. (Далее будем основываться на
предположении, что ошибка 8д генерируется быстроизменяющимся
сигналом, который может рассматриваться как белый шум,
распределенный между 0 и q.)
Плотность распределения вероятности для ошибки
усечения изображена на рис. 14.11, с. Среднее значение ошибки
усечения
Л
а
Гус
4W
9
-fft
ffi 4
■Wokp
V
Рис. 14.11. Плотность распределения вероятностей:
а — для ошибки усечения; б — для ошибки округ лени я
27*
419

6гус=ЛНб7-ус}=<7/2,
а дисперсия
о
о£ус=Л1{62}= § у(bg-bTfdb = qV\2. (\Щ
Плотность распределения вероятностей для ошибки округ,
ления представлена на рис. 14.11,6. Среднее значение и дис,
Персия ошибки округления:
<Wp = М {бяокр}=0;
чп (14-!8)
о|окр = М{а%окр\ = § -1 62tf6 = <j*/12.
Прохождение шума квантования б9 зависит от передаточной
функции между источником ошибки б9 и выходом.
Предположим, что при известной статистике входного шума необходимо
определить статистические характеристики (14.17) и (14.18)
выходного шума, т. е. определить, усиливает или ослабляет
алгоритм управления шум квантования.
Предположим, что задана устойчивая линейная система,
имеющая ИПФ ki(nrr) или Z-передаточную функцию Ф(г).
Тогда среднее значение величины на выходе
оо
или
оо
или
у(г) = Ф(г)Ъ(г),
и так как 6=const, то, воспользовавшись теоремой о конечном
значении, получим
~у=Ь\1тгЩг).
Z-.-0
Связь спектральных плотностей SBx(z) И *Ьвых (z) входного
и выходного сигналов линейной МП-системы с постоянным»
параметрами устанавливают следующей формулой (по
аналогии с непрерывной системой):
SBbIx(z) = l<D(z)l2SBX(z),
где Ф(г)—Z-передаточная функция системы (2=е'штг, гДе
Хг — такт дискретизации).
420
Спектральная плотность St(z) флуктуационной ошибки мо-
^ет быть определена по формуле
^z) = ^(z)l2=SBx(z) + |<D(Z)|2S„(z),
де Sn(z)—спектральная плотность помехи; <D«(z)—Z-nepe-
паточная функция ошибки:
фс(г) = 1-Ф(г).
Дисперсия сигнала ошибки МП-системы
1
-£j <J)|<Mz)|2SBX,
1г|=1
:(z)Z dZ-{-
+ <kj §\^(z)\2Sn(z)z^dz.
(14.19)
|z|=l
По формуле (14.19), зная передаточную функцию
МП-системы и спектральные плотности SBX(z) и Sn(z), можно
вычислить флуктуационную ошибку системы.
14.5. Аналоговый выход
ЦАП, являющийся нелинейным элементом, служит для
преобразования кода (или последовательности чисел в цифровой
форме) в непрерывную функцию времени, которая может
воздействовать на аналоговый элемент системы (рис. 14.12).
ffft)
д(*гг)
Эястралолятор
m(t)
*>
W(S)
*ft)
Рис. 14.12. Схема включения экстраполятора
Назначение ЦАП состоит в том, чтобы преобразовать
последовательность чисел на его входе u(krr), разделенных во
времени интервалом т>, в непрерывную функцию u*(t). Обычно
Желательно, чтобы функция u*(t) была, грубо говоря,
огибающей для последовательности u(krr). В интервалах Л/тг<^
М" + 1)тг преобразователь должен экстраполировать
значение входа ulk%r) в ближайшее, следующее за ним значение
(Рис. 14.13).
а*М,Ьк
\и(-1г)
и(гтг)
"(Тг)
Г
t,c
Рис 14.13. Функция u(ht,)
421

Часто используемым является метод полиномиальной эксртаполяцй
На входе экстраполятора нулевого порядка формируется полином того J*-
порядка, т. е. u*(kxr+x) =u(kxT) при 0^т^тг, k = 0, ±1, ±2,... е
Выход экстраполятора первого порядка описывают полиномом тоже перв0г
порядка, т. е. °
и*(ЙТг + т)=0[Т+Оо
я т. д.
В качестве типовой дискретной САР рассмотрим МП-систему, состоя
щую из следующих элементов: ключа, экстраполятора первого порядка, об»"
екта. Сигнал g(t), имеющий после ключа интервал дискертизации по време"
ни тг, преобразуется в последовательность импульсов т(пхг).
Пусть передаточная функция непрерывной части МП-системы (объекта)
s+1
^(s)= (s + 2)(s + 16) *
Уравнения дискретной системы для кусочно-постоянного входа имеют вид
Г ж, l(k + 1)тг]1 Г -0,0338 0,01691 Г*, (**г) 1 , Г 0,05841
U»[(* + l)i>]J L — 0,338 0,169 ]'Ы(кхг) j +1 — 0,315j'g (krr),
x(kxr)=k2(kxr).
Форма сигналов m(t) и x(t) для синусоидального входного сигнала
g(t) при различных интервалах хТ (рис. 14.14) свидетельствует о двух важ-
mft)
pvw^
f^W^ir-w
^Jf^Jf^r
■\-r-Tr'0
-Tr-qs
xr--*r~i,o
Рис 14.14. Сигналы m(t) и x(t) для синусоидального
сигнала g(t)
422
\
.« аспектах — дискретизации сигнала по времени и прохождении его
пез экстраполятор нулевого порядка. Чем выше частота квантования
*jeP e чем меньеш интервал хг), тем лучше экстраполятор в составе МП-си-
еМЫ способен воспроизводить функцию времени, представляющую входной
С«гвал- Выходной сигнал экстраполятора m(t), хотя эта функция и
представляет удовлетворительное воспроизведение g(t), отстает по времени. Си-
усоидальный сигнал сильнее искажается по форме. Для синусоидального
*7/А выходной сигнал в значительной степени зависит от значения интерва-
я дискретизации. Так, для тг=0,1 выходной сигнал по своей форме бли-
лоК к сигналу на выходе непрерывной системы (т. е. тг=0). Однако, когда
интервал дискретизации возрастет (т,=0,5 и т,= 1,0), то сигнал x(t) не
имеет ничего общего с синусоидальным сигналом на входе системы.
На рис. 14.15 видна реакция x(t) системы с непрерывной передаточной
функций
на единичный ступенчатый вход g(t) при интервалах дискретизации тг=0,1;
10; 2,0; 4,0 (следует обратить внимание на изменение масштаба для
последней кривой).
vr~0,t
Рис. 14.16. Переходные Функции системы при
Тг=0,1; 1,0; 2,0; 4,0 с
14.6. Дискретизация по времени
Тсудно сформулировать общий метод выбора интервала
1рудно oqjt.pmyjiwb' тная теорема Котельникова, со-
Дискретизации. Хорошо известная ieuFc™* \
гласно которой частота дискретизации должна «е менее чем в
2 раза превышать наивысшую частоту, сод^жашуюся в спей
ре сигнала, не всегда применима для Цифровой ^ Деи^
тельно, во-первых, дискретный сигнал можно восстановить
423

только в реальном времени, когда обычно возникает запазд^
вание, необходимое для накопления достаточного числа дИсч
кретных точек; во-вторых, сигнал не точно определен, так ца'
необходимо учесть полосу частот замкнутого контура и щ^
измерений. При проектировании объект управления обычц0
представляют математической моделью, причем одни из ц6ч
которых переменных учитывают как оценки, а другие не
используются в управлении.
Поэтому при проектировании САУ обычно предпочитают
простую модель объекта и малоразрядный контроллер, удов-
летворяющий приближенным критериям управления, Верифц.
кация результатов расчета может быть выполнена на более
сложной модели, использующей цифровое имитационное
моделирование.
Рассмотрим в качестве примера систему управления тангажом
самолета (рис. 14.16). Внешнее возмущение (ветер), а также шум измерений
Порывы
ветра
Ц^Ллрефеют/к .
П В П"
Рис 14.16. Функциональная схема системы управления тангажом самолета
ЮЖНО Mnromm„„„
.. . .*lti ujuuui иашилеха
можно моделировать в виде цветного шума, чтобы избежать математической
трудности (бесконечная энергия белого шума). Шум частоты изгибных
колебаний и частота электрического источника энергии (400 Гц) могут быть
отнесены к нежелательным возмущающим источникам.
Как видно из рис. 14.17, ветровое возмущение М0, действующее
непосредственно на самолет, не может быть отфильтровано. Нежелательные
частоты (например, 50 Гц) источников питания, а также частоты изгибных
колебаний ЛА воспринимаются инерционными чувствительными элементами,
но не пропускаются полосовыми фильтрами. Иногда эти частоты могут быть
смоделированы, и ими можно управлять, например, при помощи фильтров
Калмана. Задача заключается в том, чтобы связать эти сложные явления с
выбором частоты дискретизации (см. рис. 14.12).
Рассмотрим следующие три случая.
424
:>L
J^
i
ЦВМ
—»
ДАЛ
|
~~®-~
дцр
7ГО-"(0,ШЧ)
»о
*0
/s* А го,г .^, \
в
Ш
Рис. 14.17. Структурная схема цифровой системы управления
самолетом
1. Нежелательные частоты расположены далеко от существенных частот
(см. рис- 14.17). Постоянные времени аналогового префильтра малы, и прн
этом можно включать или не включать фильтр в систему. Нежелательные
частоты обычно не принимают во внимание. Частоту дискретизации
выбирают в соответствии с полосой частот и требованиями к переходному
процессу.
2. Частоты нежелательных колебаний устойчивы и находятся вблизи
желаемой полосы частот системы. Нужное решение можно найтн при
помощи фильтров Калмана. Частоту дискретизации выбирают в соответствии с
полосой частот и требованиями к переходному процессу. Резонансная
частота аналогового или цифрового фильтра не должна существенно влиять на
результаты расчета (на частоту дискретности).
3. Резонансные частоты нежелательных колебаний приближаются к
полосе частот объекта. Большие постоянные времени низкочастотного
префильтра или широкополосного фильтра должны учитываться при
проектировании управляющего контура.
Качество воспроизведения реакции системы и скорость
выборки. Частотная реакция дискретного контроллера зависит от
отношения входной частоты юВх к частоте выборки cos. При
изменении oBx/os от 0 до 0,5 амплитуда выхода при ювх
уменьшается, а амплитуда других гармоник возрастает. Результатом
является искажение между входом и выходом.
Качество воспроизведения зависит от отношения амплиту-
^Ь1 наивысшей гармоники к амплитуде выхода на основной
частоте
1+1-
^аЧество воспроизведения наилучшее, когда г=1.
Ча^ °WC)s>0,5 наивысшая входная составляющая в выходной
стоте больше не присутствует.
э Выбор интервала дискретизации по времени. Практически
jj0 связано с длиной слова в ЭВМ. Чтобы сохранять требуе-
боп ВЬ1числительную точность, для более высокой частоты вы-
^Рки необходимо более длинное вычислительное слово: ина-
це Вся изменяющаяся информация сконцентрируется в наи-
НьШих значащих битах.
425

На практике обычно делают выбор между микропроцес„
ром с восемью или шестнадцатью битами. Для управления цс0%
цессами с небольшими постоянными времени необходима бо^
высокая скорость выборки, поэтому используют процессор е?
длиной слова в 16 бит. с
На практике выбор скорости дискретизации зависит -
требования к длительности переходного процесса в МП-сист?
ме (этот процесс должен быть реализован в полосе часто'
замкнутого контура). Значение частоты дискретизации доля^
быть в 10 раз больше, чем значение полосы пропускания С(,
стемы.
Рассмотрим в качестве примера выбор частоты дискретизации для цц*
рового управления транспортным роботом. Цель — расчет цифрового кон£
роллера, удовлетворяющего точности позиционирования e(0=Sj2 мрад щ'
t>0. Возмущающий момент
(5 Нм, 0<t<50 мс;
М„ (0=1
[0, 50 uc<t.
Полоса частот возмущающего момента (рис. 14.18) приблизительно в 2 раза
больше полосы частот разомкнутого контура системы. Полоса частот замк-
1 ь—*.
О /в tojjf Гц
Рис 14.18. Полоса частот возмущающего момента
нутого контура уменьшается до /=4 Гц, и демпфирующий коэффициент
возрастает от 0,2 до 0,5.
Пользуясь явным решением для е(/) как функции .возмущающего
момента, получим, что ошибка е никогда не превысит значения в 2 мраД-
Прежде чем достигнуть цифрового процессора, возмущающая частота
сигнала ослабляется объектом. Поэтому интервал дискретизации для цифр080
аппаратуры основан на полосе частот замкнутого контура, а не возмуш81""
щего сигнала. Соответственно скорость выборки в 10 раз больше, чем шУ
полосы замкнутого контура, т. е. /8=40 Гц.
14.7. Микропроцессор как универсальный регулятор -—
основа нового поколения иерархических систем управления
Применение микропроцессора для типовых задач регулиР
вания. Цифровой автоматический регулятор обладает б°л у
значительной гибкостью, чем обычный аналоговый. Поэто л
можно реализовать цифровые многорежимные регуляторы, «°:
торые приц помощи стандартных алгоритмов и соответствую©55*
соединении могут быть подключены к сложным системам авт°
матического регулирования.
426
[1ри соответствующей обработке входа-выхода в периферии
гулятора число регулируемых контуров прежде всего ограни-
Р^рается временем вычисления и считывания. Для контуров ре-
11 -ирования минимальное время считывания информации 50 мс:
актически можно обслужить 10 контуров регулирования.
Уставки и параметры регулирующего алгоритма, содержащиеся
памяти, можно изменять вручную или программным способом.
0 Описанный цифровой многорежимный регулятор на
микропроцессорной базе использует непрограммируемую микроЭВМ.
fro функции зависят от взаимодействия со специальным уст-
О _п/-чШГ Т ТтГ ЛЛТ-\*"\Г»Г\ТТ ТТТ\ TTTTYT Т7ГГ ТТЛ ЛП1Г\ Г\ ЛТТII ГТ wnI/Лпл *-.*-._чтт» «„,•-.-> «
р
1ойством. Цифровой принцип построения такого регулятора
облегчает создание иерархических автоматизированных систем.
На рис. 14.19 показана структура цифрового
многорежимного регулятора с 8-разрядным микропроцессором. С одним таким
Тиктгенератор
\Bxod-fo/xod
Ронанды

Программа
Мияропроиеесор
Показания
* *
АВреса
»■
\Да////ые\

Сопряжение
ПЗУ
t
U, АЦП ЦАП
Bxod-foi-
хоВ
f f « f Т
Регуляторы
Рис. 14.19. Функциональная схема системы цифрового
многоканального регулирования с 8-разрядным МП
Регулятором, имеющим Ы\ входов и JV2 выходов, можно
реализовать в мультиплексном режиме п отдельных систем
регулирования совместно с управляющими алгоритмами типа ПИД
(с различными уставками и коэффициентами, входящими в
закон регулирования).
Рассмотрим структуру 4-канального регулятора (рис. 14.20).
Два первых рабочих канала обеспечивают максимальное ис-
п°Льзование двух каскадных цепей регулирования, причем для
^Дающего и следящего регулятора имеется отдельный канал.
Другие два канала предусмотрены для одноконтурных цепей
РегУлирования. Для каждого из четырех каналов
регулировали применяется своя уставка и можно задавать максимум
Шестнадцать аналоговых измерительных входных сигналов, из
Них четыре служат для ввода сигнала обратной связи. Поэтому
427

на
двенадцать входов можно подавать любые значения у„
вок, а также регулирующих и вспомогательных сигналов. Вс?9'
для каждой цепи регулирования используется, следователь/0
три аналоговых ихплнну гигнапа — ^тг.,„. ~—
три аналоговых входных сигнала — один регулируемый н
Но
Cugt/afi&t J .
G^IHSKEb*
Рис. 14.20. Функциональная схема 4-канального МП-регулятора:
ЗУ — входное устройство; МАЦП — многоканальный АЦП; КП — кодовый
преобразователь; АР — автоматический регулятор; РВ — ручное включение;
АЦП — преобразователь «аналог — цифра»
вспомогательных. К каждому блоку сигналов могут быть
подключены максимум шесть входных уставок. Связь между всеми
измерительными сигналами и уставками, с одной стороны, и
входами каналов регулирования — с другой, осуществляется
при помощи сигналов, формируемых программно.
Для микропроцессорного регулятора можно использовать
различные варианты структуры обработки сигнала (рис. 14.21).
В системе можно выделить следующие пять иерархических
уровней: 1-й — измерительный и исполнительный; 2-й —
децентрализованного регулирования и управления; 3-й —
децентрализованной координации; 4-й — центральной координации; 5-й —
централизованного управления.
Для измеряемых величин требуется предварительная
обработка сигналов, предусматривающая как аналоговые операций
(например, преобразование ток — напряжение, аналоговая
фильтрация), так и цифровые. В частности, можно осуществить
коррекцию нелинейности, например при изменении потока через
дросселирующий элемент. Цифровое сигнальное устройство
устраняет насыщение при переходных процессах, связанных с
пуском, или при больших изменениях уставок. Для включения
системы используют уставки регулятора или сигналы цепи
обратной связи.
Все главные и вспомогательные функции микропроцессорной
регулятор осуществляет через специальное программное
обеспечение.
Микропроцессор как основа нового поколения САУ. УпРа^д
ляющая и регулирующая система с использованием микроЭВ^1
428
Рис. 14.2Т. Иерархическая МП-система
\см. рис. 14.21)—основа современных иерархических САУ и
систем автоматизации. Иерархическая структура удовлетворяет
требованиям как гибкости, так и приспосабливаемости системы.
Широкое применение микроЭВМ (микропроцессоров) в САУ
15 системах автоматизации обусловлено следующим:
а) разнообразием необходимых функций (для обеспечения
Управления, вычисления, контроля, оценки надежности и т. д.);
б) возможностью установления иерархической связи автома-
ических устройств системы через функционально децентрали-
Ованное координированное управление (см. уровни 4-й и 5-й
а Рис. 14.21). При таком управлении можно преодолеть боль-
г,Ие расстояния между микропроцессорами и центральной ЭВМ.
^°с.Чедовательная передача информации по коаксиальным ка-
УмЛям 0т Центральной ЭВМ к микроЭВМ и одновременное
еньшение объема этой информации позволяют значительно
Изять стоимость комплекса и кабельной сети по сравнению
стоимостью централизованного управления. Кроме того,
погнется возможность координации и оптимального управления
ильными процессами.
429

При проектировании децентрализованных комплексов и
Ш ВОЗМОЖНЫ" пя.чяааы-о ™-тг~«
г и,д«шш)1л уриинеи и децентрализ"
ванных микропроцессоров; аппаратная и программная целес°"
образная избыточность; организация контроля и диагностик
Правда, при этом несколько усложняется решение проблем?;
надежности программного обеспечения комплекса.
14.8. Позиционная следящая система с МП-корректирующИ1и
устройством
Позиционная следящая система станка с ЧПУ (рис. 14.22) имеет в кок
туре регулирования дискретное корректирующее устройство, реализованное
на базе микроконтроллера с длиной слова в 32 бит. Класс входных управ,
ляющих воздействий — ступенчатые функции, диапазон значений которых от
1 до 232. Нелинейное звено в контуре характеризует ограничение статической
характеристики электродвигателя по скорости.
~ед(пТ)
i/—**
t-e"T
ПЛИ f
)
Т
т,
N
Лу,
т.
*уЭр
S(h„S*l)
«в
Г X
х,(о)
*[7Гр7 ~Н*-
Рис 14.22. Позиционная МП-система с ШИМ:
а — функциональная схема; б — структурная схема
вектор состояния v=[gBS; Х\\ х2; т^"1, т0
Если расширенный
при п=0
v(0+) = [2; 0; 0; m,=2, 0]*;
v(Tr-)=12,0; 0,368; 0,632; 2,0] т;
при п=\
v(Tr+) = [2,0; 0,368; 0,632; 1,632]т;
v(2Tr-) = [2,0; 1,135; 0,864; 1,632]т;
при п=2
v(2*r+) = [2,0; 1,135; 0,865; 0,865]т.
Так как амплитуда сигнала т(2тг+) =0,865 теперь меньше 1,0, то Д^,
определения мгновенного передаточного коэффициента *3 следует исполь3
вать другие условия, обеспечивающие максимальное быстродействие СА* '
счет дискретного корректирующего устройства:
430
,(3t,-) = *(*i)v(2i>+) =
v(3tr+) = Tv(3Tr-) =
Диалогично при п—3
v(4Tr-) = *(^3)v(3i;r+)
2,0
l,68l+0.318fe2
0,318 + 0,547А2
0,865
2,0
1,681+0,318*2
0,318 + 0,547*2
.0,319—0,318*2 J
U
2,0
! +0,664*2 + 0,117(1-
-*г)*г
0,117 + 0,201*2 + 0,201 (1—*2)*3
0.319—0,318*2
(14.20)
Условия максимального быстродействия находим из вектора-столбца (14.20)
/так как система имеет астатизм 1-го порядка):
"I
(14.21)
*2= 0,341;
(14.22)
1,882+0,664*2+0,117(1— *2)*з=2,0;\
0,117+0,201*2+0,201(1—*2)*з=0. /
Решая систему (14.21), определим мгновенные коэффициенты:
£s=—1,40. В результате получим
т(Зт,+)== 0,319—0,319*2=0,210
и два полинома
М, (г)=2 + 1.6322-1 + 0,8652-* + 0,210г-3;
Мг (г)==1 + г-1 + 0,295z-i—0,296z-JS.
Так как характеристика насыщения является линейной в пределах
уровня ограничения, то Mi(z)=M$(z) и, следовательно, D(z)—передаточная
фуикция корректирующего устройства, согласно теореме (14.22), имеет вид
М2 (г) 0,5 (1 +z~l +0,295z-g—0,296г-3)
/:,(г)=Л11(2)==1+01816г-1 + 0,433г-2 + 0,105г-8 '
Передаточная функция D(z) реализуется МП-контроллером системы.
а6ых
3,0
7 t,c
Рис. 14.23. Переходные функции в нелинейной
ШИМ-системе:
/-при g-BX(O=2,0; г-при гвх(0-1.К г-при
431

Переходный процесс на выходе следящей системы заканчивается за
тыре такта дискретизации, т. е. ил=4хт (рис. 14.23). При отсутствии нелЬ
нейного элемента можно было бы в 2 раза увеличить быстродействие с:*-
темы. Насыщение электродвигателя по скорости приводит при значительна
по модулю сигналах управления к более длительным переходным процеССа *
Контрольные вопросы
1. В чем состоят достоинства цифрового моделирования
помощью микроЭВМ?
2. Как осуществляется квантование сигнала по уровню?
3. Как проходит аналоговый сигнал в МП-системе управл.е.
ния?
- " 4. Как влияют шумы квантования на работу САР?
5. Приведите пример использования микропроцессора в
качестве универсального регулятора.
6. Каковы возможности применения МП в качестве
корректирующего устройства?
15. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МНОГОУРОВНЕВЫЕ
УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим большие системы, в которых процессы
взаимосвязаны выполнением единой цели. Эти системы всегда
являются управляющими и представляют собой совокупность
элементов или подсистем, объединенных целью выполнения тех или
иных задач путем выбора решений на основе полученной
информации. Такого рода системы обычно многоуровневые, или
иерархические.
15.1. Примеры иерархических структур
Простейшую иерархию — двухуровневую можно рассмотреть
на примере штата лаборатории НИИ, где нижний уровень СО'
ставляют сотрудники, выполняющие частные задачи, а верхний
уровень — руководитель лаборатории, координирующий ход ра'
боты каждого сотрудника и деятельность лаборатории в целом
согласно плану. Последний составляется в процессе
итеративного обмена информацией: координатор определяет задание
(цель) для каждого сотрудника-исполнителя, учитывая его вза-
имодействие с другими; сотрудник в свою очередь сообщает,
может ли он выполнить это задание. В случае необходимое
руководитель выдает новое, скорректированное задание, и этот
процесс продолжается до тех пор, пока будут сформулирован
задания, достижимые для каждого и, в то же время, обеспечй
вающие выполнение цели деятельности всей лаборатории.
Более сложную иерархию представляет собой управлени. >
например, техническим процессом на каком-либо промышле
ном предприятии (рис. 15.1). Целью могут быть максимальна
прибыль, высокое качество продукции и т. д.
432
Общая цел/, управления,
директивы, ресурсы
и еграяиуеяая
5Z
! Предприятие
Рухебодителл
(директор)
Off/гея информацией" '
Руяид'едцтели
ароиздадстдеялш подразделений
(цехов, ovacmxorf, отделав)
'
Обмен информацией '■
Услоляители
Уровни
иерархии:
верхний
средний
яажяии
L_
Рис. Т5.Т. Иерархия управления техническим процессом
(управляемый объект — координация)
Верхний уровень (директор предприятия) осуществляет
выбор общей стратегии, анализ и выработку приемлемого плана
производства, обеспечивающего выполнение директив. Планом
этим определены лишь основные цели. На следующем, среднем
Уровне руководители производственных подразделений
выясняют, можно ли выполнить эти цели при имеющихся ресурсах.
Каждый из этих руководителей, получая информацию от
исполнителей (нижний уровень), оценивает возможности своего под-
Разделения в выполнении определенной части плана предприя-
Таким образом, здесь обмен информацией и принятие
решений — итеративный процесс. Директор, координируя
деятельность всех подразделений, дает указания каждому из
руководителей этих подразделений. Руководитель в свою очередь со-
°бщаег директору о разбалансе между тем, что может
достигать подразделение, и тем, что предложено директором. Инфор-
аЦия, полученная от всех подразделений, используется для
изменил распоряжений, при этом последовательно уменьшается
Цазбаланс для каждого из подразделений. Из сказанного вид-
°> что осуществление такой иерархии целесобразнее реализа-
*;Ии постоянного общения между всеми лицами, принимающими
Решение.
с Теперь перечислим основные условия действия иерархии
'ЧоЖных систем — с большим числом уровней.
28—3591
433

1. Элементы иерархии, от которых зависит принятие и в,
полнение решения, должны быть расположены в виде nnpajJ-
ды, причем на каждом уровне этой пирамиды некоторое числ
таких элементов должно работать параллельно. °
2. Глобальная цель и цели всех «решающих» элемент0й
образующих иерархию, должны быть согласованы.
3. Между «решающими» элементами различных уровне
иерархии должен происходить итеративный обмен информации
преимущество отдается информации, передаваемой сверху вни^
последняя должна рассматриваться нижними уровнями как ц0[
манда, которой необходимо подчиниться, если только это воз-
можно.
^ 4. Масштаб времени должен возрастать при движении вверх
по иерархии (т. е. процессы обмена информацией в этом случае
могут замедлиться).
Элементы технической системы могут быть расположены в опре-
деленном порядке в зависимости от принятого критерия. Одним
из таких критериев может быть возрастающая сложность
элементов системы, или шкалы сложности.
На примере живых организмов можно представить уровни
иерархии в соответствии со шкалой сложности;
элементарные организмы, самостоятельно поддерживающие
свое существование, т. е. клетки;
организмы с низкой способностью восприятия информации,
т. е. растения;
высокоорганизованные организмы;
организмы, обладающие сознанием, т. е. люди.
Более высокими уровнями иерархии по отношению к людям
являются:
организации (например, общественные);
социальные системы (например, государство).
Иерархия позволяет из более простых систем построить
сложные и, наоборот, сложные системы разбить на их
составные части, или подсистемы, в соответствии с некоторой шкалой
сложности.
В случае «сложных» «целеустремленных» систем принцип
построения иерархии заключается в следующем: цели подсистем
нижних уровней подчиняются целям подсистем более высокого
уровня. Так, системы управления техническими процессами
или объектами могут иметь следующую иерархию по шкале
сложности (рис. 15.2).
Основой иерархии может быть, например, и сложность ма-
тематического описания. Так, иерархию математических моДе'
лей непрерывных динамических систем можно представить п
шкале сложности описывающих их уравнений. На первом ме^
сте будут модели, описываемые линейными стационарным
уравнениями, на втором — линейными нестационарными, #
третьем — нелинейными нестационарными, на четвертом —■н
линейными стохастическими дифференциальными уравнениям
434
J L улре/)ле#ая
I
I mexMuvecxa/fti лрецеееа/ги
г и о&ъех/яагн/ \
М//0гоо#ъект1>ь/е АСУ
/лехничесяа/ги eff^e/t/r/a/ti/
\
\
О0ноо0ъекшыс м//егомернь/г
САУ или АСУ ТП
I
Миогоггер//б/е САР
I _^__
/ I Обмен информацией '>
■ i у ■ *
О&я0ме/?//б/е САР
\
I / У/трс0ляеные о&ъекяш (/7р0цееш)~~^\ \
I f ^^^^ _^_ ____, ^_ а—_ —_ .^__ шеи» _•_ __• айв — -^— ^_— ч-Л «ыаЁ
Рис. 16.2. Иерархия систем управления техническими
процессами и объектами
Иерархическое построение предпочтительно и в случае,
когда в наличии большое число элементов, взаимодействие которых
друг с другом не может быть объяснено или организовано
простым способом. В таких сложно организованных системах целое
не сводится к его частям в том смысле, что по известным
свойствам этих частей и законам их взаимодействия совсем не
просто установить свойства системы в целом.
В применении к техническим системам иерархия означает,
что:
1) система состоит из других систем (подсистем);
2) для всякой заданной системы можно найти такую
систему, которая включит ее в себя;
3) если заданы две системы, то система, включающая в
себя другую, называется системой высшего уровня, а эта
другая —- системой низшего уровня;
4) системы низшего уровня, в свою очередь, содержат
системы еще более низкого уровня, для которых первые являются
системами «высшего уровня».
^•2. Автоматизированные системы управления техническими
объектами как иерархические системы
Любая система управления состоит из управляемого объекта
J Управляющей системы. Далее ограничимся рассмотрением
еХнических управляемых систем и объектов, т. е. любых ма-
Ин (в том числе и вычислительных), технологических процес-
435

сов, движущихся объектов и т. д., созданных человеком в соот
ветствии с его целями.
Управляющие системы можно подразделить на:
1) неавтоматические — информационное взаимодействие ще
жду входящими в их состав элементами и принятие решенця
осуществляются людьми;
2) автоматические — все основные процессы переработки
информации и принятия решений происходят без непосредСт.
венного участия человека;
3) автоматизированные — процессы информационного
взаимодействия между элементами и принятие решений
осуществляются при помощи распределения функций между
техническими средствами и людьми.
Системы управления отдельными техническими объектами
могут быть объединены в автоматизированные СУ нескольких
технических объектов, имеющие общую цель управления. Такие
системы называют многообъектными СУ. Автоматизированные
многообъектные технические системы управления, например в
рамках промышленного предприятия или крупного военного
объекта, обычно имеют иерархию из следующих пяти основных
уровней (причем каждый последующий уровень включает в
себя предыдущий) (рис. 15.3).
/ \
/
ПСУ
\
/ZS
НсАУ
НСАУ
zv\\
МСАУ
МСАУ
ОСАУ ОСАУ •••[
\
L1\
1-3-й
уровни
\
I
L
САР
САР
I I
Рис. 16.3. Иерархия комплекса, имеющая 5 уровней
436
1-й уровень — системы автоматического регулирования
/САР)- Состоит из отдельных управляемых объектов или
процессов; регуляторов и следящих систем, задачей которых
является отработка управляющих воздействий, вырабатываемых
„а 2-м уровне, и обеспечение требуемых динамических свойств
Однообъектной многомерной САР в целом.
2-й уровень — однообъектные системы автоматического
управления (ОСАУ). Содержит средства получения и переработки
ицформации, необходимые для принятия решений и выработки
управляющих воздействий, обеспечивающих оптимальное или
допустимое управление отдельными объектами или процессами
1-го уровня в соответствии с локальными целями управления
каждым объектом в отдельности.
3-й уровень — многообъектные системы управления (МСАУ).
Содержит средства получения и переработки информации,
необходимые для принятия решений и координированного
управления всеми ОСАУ 2-го уровня в соответствии с общей целью
управления, которой должны быть подчинены локальные цели.
Общим для этих трех уровней является то, что решаемые на них задачи
управления обычно подчинены критериям качества и точности управления при
ограничениях, связанных с динамическими свойствами объектов
4-й уровень — интегрированные системы
автоматизированного управления (ИСАУ) или системы комплексного
координированного управления. На нем осуществляется
координированное управление всеми аспектами функционирования технических
объектов и подсистем, входящих в 3-й уровень (например, в
рамках участка производства). Такими аспектами являются:
технологический, динамический, организационный,
эксплуатационный и экономический (или тактический). Все они
взаимосвязаны и имеют различные критерии и оценки эффективности.
Таким образом, управление на данном уровне является
многокритериальным.
Что касается организационного аспекта, то к нему прежде всего относят
планирование и перевод плана в производственные задания и рабочие
процедуры для каждого из объектов, входящих в участок производства. При
этом важное значение имеют обработка информации и текущий контроль
Реализации плана.
Эксплуатационный аспект состоит в минимизации простоев оборудовав
Ния, расходов на ремонт и на содержание основных фондов. К
экономическому аспекту относят оперативный анализ хода производства по следующим
Показателям: техническим (простой оборудования, скорость протекания
процессов, производительность и т. д.); технико-экономическим (выполнение
суточного плана); экономическим (финансовое состояние, себестоимость и т. д.).
Комплексное рассмотрение АСУ участка производства требует
формулировки глобальной для него цели управления, которой должны быть под-
Чинены локальные цели управления всех входящих в него подсистем. Таким
°бразом, необходимо взаимосвязанное рассмотрение динамического и
административно-хозяйственного управления. Одна из основных возникающих при
этом трудностей состоит в наличии своего рода алгоритмического барьера
Чежду динамическими задачами управления, решаемыми на языке
математического анализа, и задачами организационного управления, требующими
"зыка «логических переменных», свойственных человеческому мышлению.
437

5-й уровень — организационное управление всей технической
системой в целом, или интегрированные СУ (ИСУ). Согласц?
рис. 15.3, техническая система, например предприятие, може1,
состоять из совокупности объектов, объединенных в группу
которые в случае производственных процессов соответствую^'
участкам производства, а в случае движущихся объектов, нд.
пример, соединению летательных аппаратов. Задачи управления
каждой из таких групп, или подсистем, решаются на 4-м уровне
Основная задача 5-го уровня — обеспечить выполнение директив
более высокого уровня и глобальной цели управления всей
технической системой, например заводом, аэропортом, кораблем д
т. д., подчинив ей теперь уже считающиеся локальными цели
управления каждой из групп объектов 4-го уровня.
Следует отметить, что 4-5-й уровни относятся к управлению, или
руководству, административно-хозяйственной деятельностью, либо к
организационному управлению всей совокупностью объектов сложной технической
системы, которое обычно осуществляется людьми. Отличие организационного от
динамического управления заключается в наличии большого числа людей,
участвующих в управлении; характере носителей информации, которыми
являются документы в первом случае и физические сигналы — во втором; в
большом объеме информации, подлежащей обработке; более длительном
протекании процессов; большой степени неопределенности в формулировке целей
и описании возмущений и требуемых режимов; трудности формализации и
математического описания. Несмотря на то, что динамические и
организационные уровни образуют единую, или «интегрированную», систему управления,
комплексное рассмотрение такой системы с единых позиций и разработка ее
теории представляют большие трудности.
Необходимо иметь в виду, что все эти уровни имеют не
только прямые связи — от верхнего к нижнему, но и
обратные — от нижнего' к верхнему, что способствует эффективному
их функционированию. Сложные системы управления строятся
по иерархическому, многоуровневому принципу, согласно
которому цели подсистем нижних уровней подчиняются целям
подсистем более высоких уровней. При этом надо отметить
следующее: подсистемы верхнего уровня «имеют дело» с более
широкими аспектами поведения системы; период принятия решения
для подсистем верхнего уровня больше, чем для подсистем
нижнего уровня; подсистемы верхнего уровня «имеют дело» с
более медленным «поведением» системы; описания и проблемы
на верхнем уровне содержат больше неопределенностей и труД'
нее поддаются формализации.
15.3. Централизованные и иерархические управляющие
вычислительные комплексы
Современное развитие теории и практики АСУ
характеризуется переходом от простого регулирования объектов с одним
входом и выходом к довольно сложному управлению многомерв'
ными системами со многими входами и выходами. Следующий
этап — управление многообъектными топологическими
системами, так или иначе распределенными в пространстве. Управле-
438
такими системами невозможно без использования средств
"^лслительной техники (ВТ), снабженных надлежащим мате-
а-гяческим и программным обеспечением, а также средствами
%ена информацией.
0 до недавнего времени все АСУ ТП, основанные на
применяй ВТ, имели одну и ту же централизованную структуру с
qgM высокой производительности, с чувствительными, измери-
елЬными и исполнительными элементами, посылающими к
центру и принимающими от него аналоговую информацию (рис.
l5 4). Применяют также системы с двумя центральными дубли-
Средетба
u//pop»aquu
ЭВМ
Ннтеррейс
, ,
* • а
• • •
if и
&/7ра/?шеяый процесс
(объект*/, регулирующие еистепы)
Рис. 16.4. Типовая система централизованного
управления
Рующими ЭВМ, одна из которых резервная. В системах,
требующих особенно высокой надежности, предусмотрены три
Централизованные ЭВМ, работающие по принципу голосования:
если две машины дают одинаковые результаты, а третья —
другие, то принимаются решения, основанные на одинаковых
результатах двух машин.
Все сигналы вход-выход передают по проводам (шинам) в
Центральный пункт управления, что требует сложного кабель-
Ого обеспечения между пунктом управления и остальной ча-
Тью системы. Для уменьшения протяженности кабелей в неко-
орых установках применяют интерфейсы (ЭВМ-процесс), снаб-
енные мультиплексорами, установленными как можно ближе
оборудованию. При этом одна из основных трудностей —
концентрация всех функций в одном процессоре, тогда как
значительная часть его производительности затрачивается на вспомо-
ательные функции. Кроме того, существенно возрастает стои-
°сть программного обеспечения из-за его сложности и
длинного времени, необходимого для его разработки.
- Что касается решения задач управления, то
централизование системы с одной ЭВМ также имеют недостатки. В случае

полностью централизованных систем управления даже при D
шении статической задачи с алгебраическими ограничениями 6"
при большом числе переменных могут возникнуть сложности "
вычислении, обусловленные ограниченной памятью ЭВМ и дЛь6
тельностью процесса решения. Еще большие затруднения появ*
ляются в процессе оптимизации сложных систем при оператцв-
ном управлении и в динамических режимах: оптимизация тре*
бует нахождения экстремума некоторых функционалов от ве^.
торов состояния и управления. Эти векторы связаны друг
другом системой дифференциальных уравнений, описывающах
динамику системы при наличии ограничений в виде неравенств.
^ Поэтому необходим подход к решению задач управления,
основанный на декомпозиции процесса на подпроцессы,
взаимодействующие друг с другом. Такая декомпозиция естественна,
поскольку большие системы обычно состоят из нескольких
взаимосвязанных объектов, или подсистем.
Таким образом, управляющие вычислительные комплексы
(УВК) разумно рассматривать как иерархические
многопроцессорные и вычислительные процессорные комплексы, в которых
несколько ЭВМ решают задачи оптимизации параллельно для
каждого объекта или для каждой подсистемы в отдельности, а
ЭВМ более высокого уровня координирует локальные
оптимальные решения, стремясь достичь при этом глобального оптимума
в результате этого решения.
До недавнего времени вопрос о предпочтении
централизованной или иерархической системы, т. е. о предпочтении одной
ЭВМ высокой производительности или нескольких мини-машин,
образующих иерархическую структуру, был дискуссионным. Так,
сторонники централизованного варианта указывали на более
широкие возможности управления работой предприятия, так как
вся информация о ходе производства группируется в одном ме
сте. Однако были выявлены и недостатки: повышенные
требования к надежности; усложнение задач программирования;
высокая стоимость систем передачи данных. Что касается одно
процессорных централизованных систем, то расходы на их
кабельное обеспечение и резервирующие устройства возрастают
Кроме того, необходимость обеспечения качества продукций-
экономии сырья и энергии, безопасности и охраны окружаюШей
среды ведет к усложнению системы. Еще один недостаток —"
увеличение нагрузки на операторов, обусловленное сложностЫ0
их общения с большими ЭВМ.
В настоящее время этот вопрос решен однозначно благодари
появлению микроЭВМ: их низкая стоимость, гибкость и наде*
ность позволяют решить многие вопросы в пользу иерархиче'
ских систем.
Возможность реализовать функции управления при помои1"
отдельных небольших цифровых устройств повысила практиче'
ское значение результатов, полученны.. в теории управления
уЛирования, расширив границы ее использования — от про*
Ре j!0 регулирования и до иерархического управления.
сТ Возможность выполнить каждую функцию в отдельном бло-
приводит к распределению функций, т. е. к распределенным
к6стемам управления (РСУ) на основе многопроцессорных
увК.
15.4. Распределенные системы управления
распределенные системы управления (РСУ)1 — это системы,
Б которых все техническое и математическое обеспечение
распределено между их блоками (элементами) таким образом, что
выход из строя любого из блоков не влияет (или мало влияет)
на работу систем, т. е. на выполнение порученных им функций.
Можно сказать, что РСУ — это совокупность подсистем,
соединенных устройствами связи и выполняющих управляющие,
вычислительные и информационные функции.
Укрупненная структура УВК РСУ имеет следующие три
основные составляющие:
1) подсистему связи. Осуществляет передачу информации
между элементами системы и состоит из: кабельной сети,
соединяющей узлы, в которых расположены ЭВМ; средства для
надежной передачи сообщений исполнительным элементам;
2) операционную систему. Управляет всеми ресурсами
системы и обеспечивает связь, синхронизацию, управление базой
данных, решение задачи, связь с файлами и т. д.;
3) подсистему управления. Специалист по управлению
формулирует глобальную стратегию управления и программирует
ее в УВК, пользуясь операционной системой и банком данных.
Топологическая и функциональная децентрализация. Для
определения топологически оптимальных точек установки ЭВМ
применяют математическую модель, основа которой —
пространственное распределение чувствительных (измерительных) и
исполнительных элементов. Цель такого распределения —
упростить и удешевить кабельную подсистему.
Цель функционального распределения — уменьшить
сложность системы делением большого вычислительного процесса на
Несколько более простых. В некоторых случаях это приводит к
еетественному подразделению на подпроцессы, мало зависящие
ДРуг от друга, управление которыми можно поручить отдельным
dBM. Сложность систем при этом значительно уменьшается,
°Днако необходимо располагать алгоритмами, обеспечивающими
Управление параллельно протекающими процессами.
Последовательное применение одной ЭВМ для параллельно
гротекающих процессов представляет некоторое затруднение.
0 еЩе труднее распараллелить процесс, чтобы управление
I,. ' Не следует путать с термином «системы с распределенными пара-
441

было распределено между несколькими ЭВМ. Чаще всеГо
функциональный оптимум отличается от топологического: щ
первом увеличиваются расходы на кабельное обеспечение; цр
втором предусматриваются средства передачи данных меж
1АУ
ЭВМ. Более экономичен второй вариант
В промышленных установках обычно применяют РСУ, ИмР
ющие иерархическую структуру, распределенную между минц
и микроЭВМ (рис. 15.5), Главный процессор выполняет супео"
S
Бая*
&аияш
УВМ1
II
• • ф
МикроЭВМ
УCOt
■ *» г
К 1
Объект 1
\
яям
Системе еЛязи
увмг
м ,
i
• • •
1
-1
i
1
МикроЭВМ
У СО 2
1 4 Д
1 » 1
Объект 2
• • •
*■
\ глоЛ/игкои
пявн/т/здгши
N.
УВММ
1 .. л
• • •
Mt/xpoSBM
&CON
Т i 1
« * I
06~ъет N
Упраб/гкемый /rpetieee
/
Уровень
"*~Л локелькой
/
Рис. 15.5 Распределенная система управления:
УВМ 1 ... yBiMW — управляющие вычислительные машины; УСО 1 .. . yCOiV —
устройства сопряжения с объектом
визорные, контрольные, организационные функции. Главная
ЭВМ имеет банк данных с новейшей информацией о работе
производства, что помогает его оптимизации. Главный
процессор часто «перепоручает» задачи ЭВМ-спутникам, т. е. УВМ
более низкого уровня, при помощи линий связи, обеспечивая
таким образом работоспособность распределенной системы
при выходе из строя технических средств или программного
обеспечения.
Методы осуществления связи и стратегия управления завй'
сят от характера задачи, выполняемой сетью УВМ, или УВК.
а также от численности УВМ, расстояний между ними, среД'
ней длины сообщения, времени реакции на аварийные
сигналы и т. д. Обычно ЭВМ-спутники, т. е. малые мини- или микр0'
ЭВМ без дисковой памяти, выполняют функции сбора даннь1*
и преобразований (аналог — цифра, цифра — аналог), реаЛИ'
зуют локальные алгоритмы, а также функции управления»
приема аварийных сигналов, их передачи и др. При отсутствие
ЭВМ-спутников эти функции возлагают на главный процессор»
442
вльши задачами которого являются распределение управ-
ййЯ, общая оптимизация хода процесса и использование ба-
Ле да'нных. Важнейшее положительное свойство
вычислительна сети, содержащей мини- и микроЭВМ, — размещение
образки информации между ними, что сокращает время реакции
6° й3менения в процессе, не увеличивая нагрузки на главный
Процессор-
15.5. Особенности распределенных систем управления
Надежность. Выбор иерархической структуры сети ЭВМ
оправдан высокой надежностью, достигаемой распределением
супервизорных и управляющих функций между мини- и
микроЭВМ, а также созданием одного или нескольких уровней
резервирования для каждого уровня структуры. Так, например,
главный процессор может резервировать мини-ЭВМ, а
последние, в свою очередь, — микроЭВМ на более низком уровне
(см. рис. 15.5).
Под надежностью понимают меру успеха, с которой
система выполняет ТЗ (среднее время между сбоями элементов
технических средств системы). Для того, чтобы местные сбои
не влияли на сбои всей системы, применяют избыточные
структуры из процессоров, устройств связи, памяти и т. д.
Преимущество иерархических систем — высокая степень
надежности при частичной избыточности. В централизованной
системе та же степень надежности достигается только полным
дублированием центральной ЭВМ. Итак, в распределенных
управляющих вычислительных системах, во-первых,
декомпозиция сложных задач на более простые, но четко сформулирован-
ные, позволяет уменьшить общую функциональную сложность
построения системы; во-вторых, выход из строя какого-либо од-
Ного блока нарушает нормальное функционирование не всей
^истемы, а, вследствие распредленности технических средств и
эличия избыточности, только части ее.
Гибкость. Распределенные системы управления обладают
с0?ЬШеи гибкостью, чем централизованные. Гибкость — это спо-
ность соединять друг с другом элементы системы для полу-
нИя различных или более совершенных управляющих струк-
^Р- Особое значение она имеет в АСУ ТП, так как многие
б Них. как правило, содержат ошибки проектирования и тре-
^т постоянной модернизации.
% позволяют улучшить гибкость, упростить математиче-
ф0е Программирование, повысить точность и «живучесть» ин-
fy^ <*Ции логическими приемами ее проверки и резервирова-
W" Кроме того, в РСУ можно преодолеть некоторые харак-
\ Ь1е Для централизованных систем трудности, как, напри-
%' УСтановить приоритет одной ЭВМ на решение нескольких
\ критически зависящих от времени.
443

Итак, преимущества распределенных систем заключаются
следующем: я ft
а) более надежны, чем централизованные. Сбои в них лег
локализуются и корректируются; ^
б) допускают эволюцию уже реализованной системы;
в) локализация их использования снижает требов'анИя
пропускной способности линий передачи информации; *
г) позволяют наглядно представить структуру входящих
их состав технических средств; в
д) минимизируют возможность ошибок при учете взаим^
действий частей системы;
-~ е) являются гибкими и допускают эволюцию системы связи
(например, перемещение в другое место командного центра)
ж) по своей структуре соответствуют традиционной анало
говой структуре СУ;
з) упрощают кабельное хозяйство, а также его установку
и) благодаря их модульной структуре предъявляются
сравнительно простые требования к программному обеспечению при
работе в реальном времени.
Трудности проектирования. Создание РСУ не ограничивается
установкой нескольких ЭВМ и соединением их друг с другом
Необходимо дальнейшее развитие теории иерархических
управляющих многопроцессорных вычислительных систем, а также
вопросов организации математического и программного
обеспечения, синхронизации задач, порученных различным
процессорам.
Анализ работы распределенных систем свидетельствует о
необходимости обоснованного выбора их структуры,
правильного распределения их функций и такого планирования их
возможностей, чтобы время реакции удовлетворяло всем
условиям ТЗ. Для достижения баланса между стоимостью и
качеством РСУ их структуру выбирают в соответствии со
спецификой применения.
15.6. Системы передачи данных в РСУ. Требования к
программному обеспечению и особенности проектирования
операционных систем
Пропускная способность системы передачи данных (СПД'
должна быть высокой, так как для большого числа чувств11
тельных и исполнительных элементов может быть необхоДИ1"
одновременная передача сообщений. СПД должна располагз
логическими средствами для координации и синхронизации 3
дач, решаемых различными процессорами. Это важно пото^
что различные процессоры используют разные базы времени' (
то время как передача синхронизирующих сообщений тре^У
значительной его затраты. л
«Живучесть» многопроцессорной СУ означает, что систе|%
имеющая п процессоров, при выходе из строя т процессор
444
—,№) способна выполнять свои функции со следующей, по
("„иней мере, эффективностью, %:
#Ра
«Г^-100.
п
Для того чтобы функции выбывшего из строя процессора
0жНО было передавать резервным процессорам, последние
**длжны располагать следующей информацией, доставляемой
гПД: ° состоянии выполняемой задачи; о состоянии процессо-
а- какой процессор и когда вышел из строя; о доступе к
периферии отказавшего процессора.
Диагностика, осуществляемая СПД, должна быть
эффективной, так как устройства системы могут быть распределены
на нескольких квадратных километрах и при этом необходимо
быстро локализировать сбой, определить его характер и
срочно ликвидировать. СПД должна иметь доступ к
централизованной информации, например к центральной базе данных, что
связано с дополнительной передачей сообщений и решением
дополнительных задач координации. Итак, важнейшие
требования к СПД: большая пропускная способность; малое
транспортное запаздывание; высокая надежность; возможность
бесперебойного распределения всех информационных ресурсов и
передачи информации.
Появление мультипроцессорных ВК привело к
необходимости распараллеливания вычислительных процессов. При этом
особое внимание уделяется следующему: языковым средствам
программирования; устройствам трансляции, обеспечивающим
автоматическое распараллеливание; средствам обнаружения
ошибок в выполнении программ; вычислительным ресурсам
операционных систем (ОС); конструированию алгоритмов,
использующих преимущества параллельных вычислений.
ОС мультипроцессорных ЭВМ выполняют задачи,
аналогичные задачам ОС обычных ЭВМ. Кроме того, они организуют:
взаимодействие параллельных вычислительных процессов; их
временную последовательность; диспетчеризацию
вычислительных циклов с учетом их распараллеливания; изменение конфи-
гУрации системы; динамическое перераспределение имеющихся
Ресурсов.
При этом возможны следующие варианты:
1) мультипроцессорные ОС могут использовать только один
Какой-либо процессор, что упрощает проектирование системы,
н° уменьшает ее надежность, так как выход из строя данного
пРоцессора приводит к выходу из строя всей системы;
2) ОС может функционировать на основе любого
процессора, что усложняет проектирование ОС, но повышает
надежность, так как при сбое одного процессора система может
Функционировать на основе другого;
3) часть функций может быть передана центральному про-
Сс°РУ, остальная — периферийным. В таком случае главный
445

процессор освобождается от выполнения многих функций пг
что повышает его эффективность. ч
Распределение функций ОС между процессорами зависит
цели, порученной системе, характеристик центрального и пещ?
ферийных процессоров, топологии и быстродействия интерфе*"
сов, обеспечивающих обмен данными между процессорами
Оптимальное распределение функций ОС между процессора^'
существенно увеличивает производительность системы и
«живучесть» при отказе технических средств. е
15.7. Координированное управление иерархическими системами
— Основная идея иерархической теории управления заключа-
ется в том, что лучше иметь дело с несколькими системами
(подсистемами) нижнего уровня, чем с одной системой верх-
него уровня. Поэтому надо декомпозировать большую систему
на подсистемы и так произвести расчет каждой из них, чтобы
цель управления всей системой была выполнена. Однако как
бы удачно ни была проведена декомпозиция, решение всех
выделенных подпроблем не означает решения самой проблемы
вследствие взаимодействия подсистем или объектов. Иными
словами, управление, позволяющее получить оптимальное
решение для одной из подсистем, должно быть приемлемым и для
других подсистем.
Следовательно, для каждой из подсистем должна решаться
задача с ограничениями, причем общее решение,
удовлетворяющее всем подсистемам, обычно будет результатом той или иной
итеративной процедуры. По этой причине в двухуровневом
случае декомпозицию осуществляют таким образом, чтобы система
верхнего уровня управляла или координировала подсистемы
нижнего уровня исходя из цели управления всей системой в
целом. Очевидно, что этот принцип является общим и для систем
с любым числом уровней.
Декомпозиция может быть либо естественной (когда О
состоит из реальных объектов 0\, 02, • • •, 0N, распределенных тем
или иным образом в пространстве и взаимодействующих ДРУ1
с другом), либо искусственной (когда реальные объекты раС'
пределены по формальным соображениям). Если общий пр0'
цесс — высокого порядка, то его декомпозиция основана на
стремлении упростить вычислительную процедуру задачи оптй'
мизации.
УВК РСО состоит из трех основных подсистем (см. подрав
15.4). Рассмотрим третью из них — подсистему управления-^
относительно алгоритмического обеспечения для осуществлен^
оптимального управления иерархически распределенными cVl'
стемами. Структура АСУ ТП приведена на рис. 15.6.
Нулевой уровень этой структуры состоит из взаимодейс
вующих друг с другом объектов 0\, 02, ■. ■ ,0N, образуют1^
общий объект управления О. На первом уровне решается заДа'
446
ВхоД
г
г
^
ъ
,
•
^
7
Г
.
о,
-~т
7г
У
i
Ог
" t
OS*
ты
?»
"
О*
Выхсщ
Рис. 15.6. Структура АСУ ТП
ча локальной оптимизации каждого из объектов, на втором —
задача глобальной оптимизации всей системы в целом.
Весь объект управления О, состоящий из объектов Оъ
02, • • -, 0N, можно описать дифференциальным уравнением п-го
порядка
x=f[x(t), u(t), t]; x(t0)=x0; х<Жп. (15-1)
Предположим, что цель управления — минимизация
функционала
I=Fk[x(tk)]+^F[x(t), u(i), t\dt.
(15.2)
Декомпозируем систему (15.1) на N подсистем, каждая из
которых имеет размерность пи так что
N ___
2Х = я, /=1,2 N=\,N,
Причем
■х,ея"'.
Введем допущение, что каждая из подсистем связана с другими
п°Дсистемами ограничениями на взаимодействия S,- вида
МО ~g<(x„ щ), }Ф1, i=hN; /=Or. (15-3)
15 Запишем уравнение каждой из подсистем в виде
*Mi[Xi, st, и,, t\, x, (t0) =*o. <15-4)
447

Функция fi в уравнении (15.4) отличается от соответствую^,,
составляющих в уравнении (15.1) тем, что векторы состоянця
не связанные с t'-й подсистемой, заменены переменными взаим0'
действия s^
Кроме того, введем допущение, что глобальный критерщ
(15.2) аддитивен, т. е. может быть представлен в виде суммы Дг
локальных критериев:
1 = 2 Wh (■*' С*'))] + S pt [Л (*)• "<• (0. s„ t] dt). (15.5)
Задача состоит в том, чтобы найти
— min /
ut
при ограничениях (15.3).
Однако задачу оптимизации каждой из подсистем нельзя
рассматривать как задачу минимизации локального критерия
1и поскольку необходимо учитывать переменные
взаимодействия Si(t).
Поэтому необходимо сформулировать задачу оптимизации
каждой из подсистем с учетом переменных взаимодействия и в
то же время так, чтобы обеспечивалось решение глобальной
проблемы оптимизации для всей системы. Для этого введем
гамильтониан
Н[х, u, t]=F[x, и, t]+p4 (x, u, t), (15.6)
где рт — вектор-функция сопряженных к системе (15.4)
переменных. Перепишем (15.6) в виде
N
Н[х, и, X, t] = '^i{Ft [x„ и,, t] +
обозначив через Xi(t) вектор-функцию неопределенных
множителей Лагранжа для t'-й подсистемы. Заметим, что
PT^W, Р2Г,...,РЛ НФН, (15.8)
а неравенства (15.8) превращаются в равенства только тогда,
когда [Sj(^)—gi(t)]=0 (т. е. точно учтены переменные
взаимодействия) .
Осуществим теперь декомпозицию задач оптимизации, отне*
ся к t'-й подсистеме только ту часть i амильтониана (15.7), кО'
торая содержит лишь t'-е вектор-функции состояния и взаиМ0'
действия. Для этого введем допущение, что уравнение (l5-4J
можно представить в виде
хг=Цх,-, ub t]+Si(t), t=l, N,
а каждая скалярная компонента вектор-функции s4(f) есть
448
sft(0 = Sk(t) = 2Sbj (Xj, Uj), k = \,n,
рйчем суммирование проводят по тем переменным xh щ, ко-
^рые не относятся к t'-й подсистеме.
Теперь гамильтониан (15.7) можно переписать следующим
образом:
N
Я=2</7'+Pirf'fa. u" '1 +V [M')-Bi№
<=1
0,едовательно,
N
я=2//<> (I5-9)
где
tf«=/Yfp«Tf«+№(0-g« (*)]■ (15.10)
Каждая из функций (15.10) в выражении (15.9) является
функцией векторов состояния и взаимодействия, связанных
только с t'-й подсистемой.
Таким образом, проблема оптимизации системы
декомпозируется на задачи оптимизации, решаемые на нижнем уровне
каждой из подсистем. Эту проблему можно сформулировать
как задачу минимизации критерия
'*
Ji = Fbi + ]{Fl+r>Jh + h[St-gi]}dt (15.11)
по и{ при условии, что
x1=fi(x()ui, t)+sb х*(г0)=хю. (15.12)
При этом задача определения переменных взаимодействия Si(t)
может решаться как на нижнем, так и на верхнем уровнях;
задача определения множителей Лагранжа %t(t) решается на
ВеРхнем уровне.
Назовем векторы %,, ss координирующими векторными
переменными. Задача координирующих переменных состоит в том,
Чтобы обеспечить удовлетворение ограничений между
системами, так как только в этом случае локальные решения позволят
Решить глобальную задачу. 'Поэтому определение
координирующих переменных может рассматриваться как основная задача
Расчета данного класса иерархических систем.
При решении этой задачи используют следующие два
принципа:
k 1) принцип прогнозирования взаимодействий, когда верхний
°°Рдинирующий уровень, или координатор, задает обе
перечные kt(t) и s,(t). Принцип назван так потому, что коорди-
29—3591
449

натор прогнозирует значение переменной взаимодействия Sj. зк
разим это значение через Si(ki). При этом задача каждой
подсистем нижнего уровня будет состоять в том, чтобы, noj],3
зуясь s,-(Ai) и Ki, определенными на верхнем уровне, найти оптй"
мальное управление us. Выразим через g{x*, и*) действитед,"
ное значение s*(t), соответствующее найденному таким образ0,1
оптимальному управлению. Тогда, согласно принципу прогн0
зирования, глобальная задача оптимизации может считатьс"
решенной, если ч
s(A)=g(JC*. «*),
т. е. если координатор вычислил значение Я(/), позволяющее
ему точно .предсказать значение координирующей переменной
s(0;
2) принцип баланса взаимодействий, когда координатор
определяет только Я*(О, МО принимается на нижнем уровне
как добавочная управляющая переменная. Принцип назван так
потому, что приводит к решению глобальной задачи при до-
стижении баланса взаимодействий между подсистемами.
Допустим, что каждая подсистема трактует Si(t) как
управляющую переменную. Выразим через s(A, и*) значение $(t),
полученное при этом в результате решения всех локальных задач
оптимизации. Определим теперь истинное значение s(t) и
выразим его через s(x*, и*). Тогда принцип баланса
подтверждает, что условие получения решения глобальной задачи
сводится к равенству
s(A, u*)=g(x*, и*).
Таким образом, задача верхнего уровня для обоих
принципов состоит в таком определении А{, при котором ограниче
ния на взаимодействия удовлетворяются. Но k(t) и s(/) играют
различные роли в процессе координации. Вектор s(t) теснее
связан с подсистемами нижнего уровня в принципе баланса
взаимодействий, и его выбор определяется минимизацией
локальных критериев, между тем как K(t) выбирается
управляющим устройством верхнего уровня, причем именно от А(0>
а не от s(/) в первую очередь зависит экстремум
глобального критерия.
Сравним принципы баланса (ПБ) и прогнозирования (ПП)
взаимодействий в двухуровневой системе.
Память. На первом уровне оба принципа предъявляют ИРИ
близительно одни и те же требования к памяти ЭВМ. В случае
ПБ необходимо хранить в памяти текущую и предыдуШУ10
траектории ошибки s(t). Так, например, если вектор взаиМ^'
действия имеет порядок г, а интервалы интегрирования "[
дискретных точек, то метод наискорейшего спуска обусловЛе
хранением в памяти (l+2r)m данных. Так как вычислен0*
450
втором уровне проводятся последовательно, то некоторая
**с?ъ памяти может быть общей для обоих уровней и требует
*\е rtn ячеек.
е^ 0ремя эычислений. На первом уровне время вычислений
близительно одинаково для обоих принципов. Но на втором
"^овне ПБ требует больше времени, так как для определения
^аГа необходимы 3—4 повторных вычисления. Если
вычисления на нижнем уровне требуют р операций умножения, то на
VpoM Зр умножений для определения длины шага, плюс
веКОТОрое число операций для определения множителей Лаг-
ЙаНжа. Для реализации ПП на первом уровне необходимо
только р операций умножения.
Таким образом, ПБ требует на 2|3 больше операций
умножения. Следовательно, в случае ПП обеспечивается более
быстрая сходимость решений при таком же объеме памяти.
Использование изложенных принципов позволяет заменить
0дну большую проблему Рв последовательностью подпроблем
(задач координации) Р\,..., PQ. Так как время вычислений
обычно зависит от размерности задачи нелинейно, то решение
задач Р\, ..., PQ проще, чем проблемы PG. Преимущество
оказывается подавляющим при больших Q. Однако необходимость
в итерациях и координации указывает на то, что всякая
экономия в вычислениях зависит от конкретной системы.
Декомпозиция безусловно выгодна, если задачи не только имеют
меньшую размерность, но и менее сложны, чем проблема PG.
Преимущество алгоритмов декомпозиции состоит в
возможности получения решений Рг независимо от Рв. Таким образом,
если проблема Рв требует большей памяти, чем имеется в
наличии, то для решения каждой из задач Pt на отдельном
процессоре эта память достаточна. Согласно имеющимся
алгоритмам, ни координатор, «и локальные регуляторы не
должны быть «осведомлены» о проблеме PG, в частности о полной
МоДели системы (сведения о модели децентрализуются).
Контрольные вопросы
1- Что такое «иерархическая система управления»?
2- Что такое «распределенная система управления»?
3. Назовите уровни иерархических систем управления.
г 4. Сравните принципы координации целей (баланса) и
пробирования (экстраполяции) взаимодействий.
0- 5- Охарактеризуйте состав, структуру, алгоритмическое
еспечение для оптимального управления иерархическими
сПределенными системами.
цп "■ Каковы требования к программному обеспечению при
Актировании РСУ?
'• Каковы основные особенности РСУ?
29*
451

16. АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Проектирование сложных систем — трудоемкий и длитр
ныи процесс, поэтому заложенные в них идеи часто устя?"
вают еще до ввода их в эксплуатацию. Кроме того ве™
число лиц, занятых в сфере технического проектирования• °
стоянно возрастает и время, сложность, а также стоимость »
осуществления. В процессе создания новой техники (науЧ1Г0
исследование - проектирование - производство) сдержив^
щим фактором является медленное освоение научных дости^"
Развитие ЭВМ, периферийной аппаратуры, алфавитно-цЙЛ
ровых и графических дисплеев, а также персональных комщГ
теров открыло широкие перспективы автоматизации пропев
проектирования - в первую очередь его рутинных, формализм
мых этапов Применение систем автоматизированного проекта
рования (САПР) позволяет: ускорить и улучшить процесс ппп
ектирования; уменьшить его стоимость; осуществить сложные
расчеты на ЭВМ; снизить число ошибок при расчете сложных
систем; быстро выполнять несколько вариантов расчетов hdh
изменении постановки задачи, критериев, технических средств-
получить детальную документацию для всех стадий проектипо-
вания (с помощью базы знаний и банка данных).
Вначале термин «автоматизация проектирования» (АПР)
применялся в тех случаях, когда ЭВМ использовались для
расчетов, связанных с проектированием. Теперь этот термин
приобрел более специфический смысл, так как относится к
интерактивным, т. е. человеко-машинным, системам. С помощью
AHF разработчик при проектировании объектов использует
новые идеи и технические средства в графической форме что
оОлегчает проведение анализа и синтеза. Кроме того АПР
позволяет создать необходимую документацию и проверить
полученные результаты. Развитием АПР явилась разработка систем
автоматизированного проектирования (САПР).
САПР — это система проектирования, в которой
осуществлено рациональное распределение функций проектирования
между инженером и техническими средствами. При этом
проектирование рассматривается как единый процесс —от разработки
технического задания до изготовления конструкторской
документации. YJ V
САПР можно определить и как человеко-машинный
проблемно-ориентированный комплекс, представляющий собой
автоматизированную систему управления таким технологически
процессом, как создание технической документации
необходимой при изготовлении проектируемого объекта
16.1. Сущность процесса проектирования
Появлению любого объекта, уже задуманного человеком,
яСегДа предшествует проектирование. Цель этого процесса
состоит в том, чтобы на основе априорной (исходной)
информации, а также апостериорной (дополнительной), полученной при
разработке проекта, представить наиболее полное описание
объекта в виде технической документации, удовлетворяющее
заданным требованиям и ограничениям.
Комплект документации должен быть достаточным, чтобы с
его помощью можно было:
а) оценить принцип и целесообразность создания объекта
йЛй системы (аванпроект или технические предложения по
созданию системы, содержащие технико-экономическое
обоснование и некоторые наиболее важные методы и способы решения
основных задач);
б) определить способы технического решения основных
проблем по созданию объекта и его систем управления (эскизный
проект);
в) точно представить весь объект, его подсистемы, блоки,
устройства и детали (технический проект), а также
взаимодействие подсистем со средой на всех режимах работы (в том
числе и аварийных).
'
'
\
Техническое за&аииг
на разработку о&ъекта
или системы
'
1 '
' '
*
Разработка технических
предложений
'
Г
Эскизное проектирование
у
Техническое проектирование
ч
изготовление объекта
или системы Нсвы/пания
Рис. 16.1 Этапы проектирования САУ
453

Проектирование чаще всего ведется при наличии прототип
объекта или отдельных его частей. Поэтому такие этапы, к 5
разработка аванпроекта и создание эскизного проекта, являю^
ся условными. т'
Рассмотрим три главные особенности процесса проекту
вания.
1-я — многоэтапность. На рис. 16.1 представлена последоВа
тельность основных этапов проектирования. Необходимо 0'
метить, что возможны циклы возвращения к уже пройденные
этапам при получении отрицательного решения. Так, если эскиз,
ное проектирование выявило невозможность технической ред_"
лизации системы с заданной точностью, то осуществляется воз.
врат на любой из пройденных этапов, а также их повторение с
учетом отрицательных результатов. Этапы проектирования де.
тализированы на рис. 16.2.
Абаипроект
Эскизный
проект

Формулировка техкше-
сксео
задания

Предварительное

проектирование
t Г__ТГ
Ir—L
Pacve/лы.
Эскизы
Макет

Лабораторные испи/-
та/гия
Эскизное

проектирование
Г
Т
Расчеты.
Эскизы
Опытные
образцы
испытания
Технический
проект
I
L
.LZZZLJ
Техиигескее

проектирование
Тсхиигес/гея
tfOKj/nt»-
I /лоция
СП
Равогая
докунентв-
i/ия
Опытные
ойразиы
Испытания
i
Рис. 16.2. Детализация этапов проектирования
Техническое задание обычно содержит сведения, характер
зующие следующее: 0
а) назначение системы; условия эксплуатации — не толь
климатические, но и механические (например, вибрация, Ус1^<
рение); режимы работы; другие условия (например, возМ0
454
гтй транспортировки, наличие радиации и т. д.); габариты;
fj" .
•* б) точность, стабильность характеристик, требования к ди-
яамике;
р в) энергопотребление, надежность, компоновку, условия
0оизводства, технологию производства, стоимость.
^ В задачи предварительного проектирования входит
следующее:
а) изыскание или разработка принципов построения;
создание структурной схемы; выбор технических средств;
математическое описание и идентификация объекта; динамический
расчет; выбор параметров системы; проведение оптимизации;
б) математическое моделирование проектируемой системы;
в) анализ результатов и сравнение их с ТЗ.
Эскизное проектирование предусматривает:
а) уточнение структурной схемы и ее техническую
реализацию;
б) уточнение состава подсистем, их функций, основных
характеристик и взаимосвязей;
в) анализ характеристик технических средств, проведения
оптимизации, сокращение номенклатуры технических средств;
г) моделирование (математическое, имитационное,
полунатурное, физическое);
д) разработку эскизной документации (схемной,
конструкторской, монтажной, текстовой);
е) изготовление экспериментальных образцов;
ж) создание специальных стендов, тренажеров, документации
на них и ее корректировку.
Эскизный проект содержит пояснительную записку, эксиз-
ную техническую документацию, заключение о соответствии
полученных результатов условиям ТЗ.
Что касается технического проектирования, то оно
предусматривает улучшение и детализацию результатов, полученных
в условиях, близких к эксплуатационным, а также проведение
испытаний.
2-я особенность проектирования — цикличность. Процесс
состоит из ряда циклов, причем каждый из последующих
Уточняет предыдущие. Происходит это потому, что
проектируемый объект в большинстве случаев представляет собой
сложную САУ, состоящую из различных подсистем (например,
ПоДсистемами летательного аппарата являются двигательная
Установка, система управления, приборы целевого назначения,
Навигационное оборудование, радиосистемы и т. д.).
Характеристики САУ и каждой из ее подсистем являются взаимоза-
Исимыми, что должно учитываться при проектировании. Сле-
^Ует иметь в виду и то обстоятельство, что требования,
предъявляемые отдельными подсистемами к САУ в целом, часто про-
Нворечивы, поэтому проектные решения почти всегда
окапаются компромиссными.
455

3-я особенность проектирования — наличие нерутинщ,,
творческих элементов. Именно это не позволяет полност^
автоматизировать процесс проектирования.
Все три перечисленные особенности свидетельствуют о тоь
что автоматизация проектирования представляет собой трул'
ную задачу. От чего же зависит ее решение?
Во-первых, необходимо провести анализ всего процесСа
проектирования с целью выявления формализуемых на данное
этапе развития науки и техники составляющих этого процессд
Во-вторых, поскольку созданием проекта любой сложной си!
стемы занимаются большие коллективы проектировщиков, ну^.
но организационные мероприятия направить на то, чтобы
хорошо «состыковать» формализованные и неформализованные
элементы процесса проектирования, а это далеко не просто
если учесть существующую иерархию проектных организаций и'
соответственно, принятия решений. Традиционно согласование'
решений осуществляется посредством совещаний или путем
обмена информацией на так называемых «твердых» носителях —
бумаге, кальке, ватмане. В случае полного пересмотра
структуры коллективов организационные мероприятия значительно
усложнятся, так как они затрагивают интересы большого числа
людей.
В-третьих, необходимо, чтобы формализованные элементы
процесса были математически точно описаны и чтобы по этим
описаниям были составлены и отлажены программы для ЭВМ
и устройств, работающих с ней. Но программы составляют
различные разработчики, поэтому необходимы специальные меры
по обеспечению работоспособности большой программы,
составленной из частей.
Обычно для нормального функционирования проектного
учреждения необходимо следующее:
1) коллектив проектировщиков;
2) технические средства;
3) структура обмена информацией и принятия решений,
средства связи и управления, а также оценивающий и
координирующий орган;
4) методические, инструктивные и нормативные материалы
Все это относится и к системе автоматизированного
проектирования (САПР) и специально ориентировано на примени
ние ЭВМ с программным обеспечением. Итак, САПР включает-
1) коллектив проектировщиков, использующих в своей Ра
боте новые методы проектирования на основе широкого прй'Ме
нения вычислительной техники с развитой сетью терминальны
устройств;
2) технические средства. Среди них вычислительные машин ^
и их сети, терминальные устройства (например, алфавитй°
цифровые и графические дисплеи, графопостроители, АР^'
машинные носители информации, линии и устройства свя3
456
д0жительная техника, в том числе с возможностью
редактирования и кодирования и др.;
Р 3) новую организационную структуру, позволяющую
эффектно эксплуатировать и обслуживать технические средства и
программное обеспечение САПР;
4) машинно-ориентированные методики, инструкции и
нормативные материалы, развитую программную поддержку, опе-
ационные системы и специальное математическое
обеспечение технических средств, а также проблемно-оринтированные
языки.
Таким образом, САПР — это система технических и
программных средств с методическим сопровождением,
осуществляющая автоматизированное проектирование объектов
(процессов) некоторого класса.
Если предположить, что коллектив проектировщиков,
технические средства и соответствующая организационная
структура уже имеются, то основной проблемой создания САПР
является разработка машино-ориентированных методов расчета
и принятия решения, т. е. таких, которые могут быть
реализованы на ЭВМ в виде программ.
С кибернетической точки зрения проектирование, по
существу, представляет собой процесс управления с векторной
обратной связью (рис. 16.3). ТЗ на проектирование формирует

Техническое
задание
^Н
В 61 fop струх-
туры, ларанелА
pod а техни
ческах
средств
А ив паз
результатов
7=>
Резуртигтн
мроехтироба/шя
Рис. 16.3. Процесс проектирования как система управления
с векторной обратной связью
входы, или уставки, которые сравниваются с результатами
Проектирования, и в случае отклонения от ТЗ цикл
проектирования повторяется вновь до тех пор, пока ошибка не
окажется в допустимых пределах.
Процесс проектирования можно представить также в виде
^ерархии решений, а ее, в свою очередь, — в виде графа
(рис. 16.4). Принимая точку О за исходный этап
формулировки проблемы, варианты решения этой проблемы можно
представить линиями аи а2, ..., а„. Каждому варианту
соответствует несколько подпроблем: Wn, W12; W2U W22, №23", W3U W32.
457

Wss и т. д. Поэтому очевидно, что принятие варианта а,\ тре
бует решения подпроблем Wn, Wn, а варианта с2 — подпро^'
лем W2i, R^22t W23 и т. д. Иногда можно получить приемлемы^
Рис. 16.4. Процесс проектирования, представленный в виде графа
решения для всех подпроблем Wq. В таком случае
проектировщик должен выбрать вариант, наилучшим образом
удовлетворяющий цели проектирования. Предположим, например, что
после выбора варианта аз и решения всех связанных с ним
проблем обнаруживается, что решения для подпроблемы Wmi
следующего уровня «е существует. Тогда необходимо
отбросить вариант ази и попытаться найти решение для других
проблем, связанных с вариантами аззг и аззз- Если, однако,
окажется, что ни одна из подпроблем й^ззи и W3321 не может быть
решена, то необходимо вернуться к точке разветвления
предыдущего, более высокого уровня (в данном случае, к точке О).
Выбор варианта а\ является творческим, трудно
формализуемым процессом. Но по мере продвижения вниз по дереву
сложность формализации уменьшается и реализация ее
решения упрощается.
16.2. Проектирование и понятие сложности
Решение задачи проектирования при создании любого
объекта должно быть разумно компромиссным относительно его
качества и сложности и должно обеспечивать достижение Де'
ли проектирования с помощью возможно более простых
средств. Действительно, требования к качеству и сложности
объекта обычно взаимно противоречивы: качество должно быть
как можно более высоким, а сложность — как можно более
низкой. Чем сложнее система, чем выше ее стоимость, больи*6
масса и габариты, тем меньше ее надежность. Если раньше за*
дача достижения разумного компромисса между качеством
458
0)кностыо не стояла так остро, то теперь, при возрастании
С-Ожности вновь создаваемой техники, становится все труднее
сещать эту задачу. В результате увеличиваются сроки и
стоимость проектирования и, как следствие, новая техника к
моменту ее ввода в эксплуатацию морально устаревает.
Проектируемые системы имеют тенденцию к увеличению
чцсла входящих в них частей или подсистем и числа
взаимосвязей между ними, и это один из факторов возрастания
структурной сложности. Другим фактором является степень
неопределенности исходных данных. Однако необходимо иметь в виду,
что при усложнении целей проектирования единственным
средством их достижения часто может быть лишь повышение
сложности системы.
Что такое сложность? Первые попытки учесть сложность при
проектировании САР сделаны В. В. Солодовииковым при разработке частотного
метода синтеза корректирующих устройств. При этом за меру сложности был
принят порядок числителя и знаменателя передаточной функции
синтезируемой САР. Теория информации не может быть единственной основой для
теории систем и определения их сложности. Система как целое не сводится
к простой совокупности своих частей. Каждая из системных переменных
действует не независимо, а в связи со многими другими.
Понятие структурной сложности связано с понятием широты класса, в
котором решается задача синтеза САУ, и с конструированием шкал
сложности для тех или иных технических систем. Так, класс нелинейных уравнений
и-го порядка шире, чем класс линейных уравнений того же порядка, и
поэтому решение задачи в первом случае сложнее, чем во втором. Технический
смысл понятия структурной сложности можно пояснить следующим
образом. Рассмотрим множество, или класс операторов х£Х (например,
импульсная переходная функция, передаточная функция, частотные характеристики
и т. д). Пусть
Се (X) = sup с (х); Re (X) = sio г (х); N (X) = sup п„ (х),
х£Х *rgX vgX
где се(х) —минимальная стоимость реализации х с точностью до е; гг(х) —
ненадежность (вероятность отказа) системы, реализующей х с точностью до
е, пе(х)—минимальное число операций для определения с точностью до е.
Если X[CzX2, т. е. Xi более узкое множество, чем Х2, тогда
CS(X,)^CE(X2); fc№)<fc(X2); JVt(X,KJV«(I2),
поскольку максимальное значение функции не может уменьшаться при
расширении области ее определения. Таким образом, чем выше класс, тем
больше вероятность отказа, минимальная стоимость и число операций.
Не следует ожидать, что сложные задачи могут быть решены простыми
средствами. Поэтому сложность применяемых средств или методов должна
соответствовать сложности решаемых задач. Чем сложнее цель и объект
пробирования, тем сложнее методы и технические средства, реализующие
результаты проектирования.
Одна из проблем проектирования — избежать противоречия между
стремлением улучшить, усложнить, расширить класс моделей САУ и стремлением
Выбрать простейший метод ее решения, позволяющий сохранять
адекватность модели исходной постановке, поскольку по мере расширения класса
м°делей решение становится все более трудным, а при сужении этого
класса — все более приближенным.
Каково значение понятия сложности в теории управления
Техническими системами? До недавнего времени методы ТАУ
459

были направлены в основнном на обеспечение динамическог
качества и точности и почти не учитывали сложности техничес°
кой реализации полученных результатов и других многочислен*
ных требований, предъявляемых к системе автоматического
управления (например, надежность, стоимость, масса, габа.
риты и т. д.) и имеющих непосредственное отношение к поля,
тию сложности. Современные условия, особенно в связи с
проблемой создания САПР систем управления, диктуют необ-
ходимость постановки таких задач проектирования, синтеза ц
выбора технических средств, которые отличаются от традщщ.
онных учетом требований не только к динамике и статике, но
и к сложности реализации результатов расчета. (Такого рода
задачи называют технически корректно поставленными.)
Следует учитывать и то, что основными техническими средствами
автоматизации проектирования и расчета систем управления
являются ЭВМ. Поэтому методы разработки должны
приводить к алгоритмам, которые можно реализовать на ЭВМ.
Однако многие методы решения задач ТАУ оказываются часто
непригодными, так как не обеспечивают' устойчивости решения
из-за неизбежных ошибок реализации алгоритмических
процедур на ЭВМ и погрешности исходных данных.
Таким образом, возникает проблема обеспечения и
математической корректности задачи проектирования. Принцип учета
как технической, так и математической корректности при
постановке задачи управления был назван принципом сложности.
16.3. Системный подход к проектированию
На практике существует некоторый набор приемов,
позволяющих преодолеть основные трудности проектирования
сложных технических систем в условиях многоэтапности и
итеративности самого процесса проектирования. Под системным
подходом к проектированию подразумевается не конкретный рецепт
для решения технических проблем, а общее (генеральное)
направление. Например, решение сложных задач нужно
проводить в соответствии со следующими этапами: 1) разбивка
сложной задачи на ряд подзадач; 2) решение подзадач; 3)
решение общей задачи с помощью подзадач. Таким образом,
разделение задачи на подзадачи и принятие общего решения
на основе результатов этих подзадач и составляет суть
системного подхода.
Декомпозиция — это рациональное разделение
интегрированного целого на части с целью упрощения решения
проектных задач с последующим обобщением результатов. Основную
смысловую нагрузку в этом определении несет слово «рацй°'
нальное». Имеется в виду, что рациональным является то, что
улучшает характеристики системы в целом.
Эффект от применения метода декомпозиции значительно
возрастает в случае большого числа альтернативных вариан-
460
оВ. Вообще, при автоматизированном проектировании число
усматриваемых результатов намного больше, чем при
проектировании традиционными методами, так как в последнем
сЛучае разработчик очень часто отвергает те или иные
варимы на основании лишь своего опыта и интуиции. Число
вариантов растет в связи с углублением их рассмотрения и
усложнением задач, стоящих перед системой управления.
Именно поэтому для каждого этапа проектирования определяют
разумный уровень детализации, от чего зависит и число
рассматриваемых вариантов.
Декомпозицию обычно осуществляют по видам анализа:
функциональный, алгоритмический и структурный.
Свойства системы, формирование критериев. Свойством
системы называют признак, составляющий отличительную
особенность каждой из множества ее сторон, которые выделяют
при сравнении данной системы с другими. Свойствами САУ
могут служить все параметры, характеристики, факторы,
отличающие данную систему от других. В области комплексного
проектирования используются разнородные понятия:
устойчивость, стоимость, надежность, массо-габаритные параметры
и т. д. С помощью такого признака, как свойство, их можно
объединить в несколько групп. Итак, работу САУ
характеризуют следующие свойства:
1) функциональные-—точность, расход энергии (рабочего
тела), динамические качества (устойчивость, быстродействие
и др.), рабочие диапазоны, структурная надежность и т. д.;
2) технологические и производственные — стоимость, время
разработки, технологичность, преемственность разработки,
степень унификации, наличие научно-технического задела,
производственных мощностей и специалистов, дефицитность
используемых материалов и т. д.;
3) технические — масса, энергопотребление, габариты,
объем, особые требования к конструкции, надежность
элементной базы и блоков, допустимый диапазон внешних условий
(перегрузки, вибрации, температурные режимы, радиационная
стойкость и др.), помехозащищенность и т. д.
Кроме того, по ряду факторов, существенно влияющих на
Процесс принятия решения, можно выделить и такие свойства,
как, например:
1) рациональность распределения функций между
автономными и неавтономными подсистемами;
2) возможность желаемой проверки новых принципов по-
строения какой-либо системы.
При проведении комплексного проектирования отбирают
Ограниченное число наиболее важных свойств, которые в
дальнейшем будут служить критериями оценки. Отобранные свой-
СтВа должны довольно полно характеризовать систему. Их
состав и число должны быть достаточными для принятия
обоснованного решения. Используя перечень отобранных свойств,
461

можно определить критерий (или группу критериев), позволь
ющий судить о пригодности (преимуществах) создаваемой C{J
стемы, а также составить упорядоченное множество вариантов
систем управления для последующих этапов проектирования.
Критерии рассматривают как функции свойств систем. Ц»
разных этапах принятия решения используют различные крц.
терии, причем чем выше уровень принятия решения, тем
больше свойств СУ должен учитывать критерий.
Критерии могут быть общими и частными. Общий
включает в себя комплекс свойств системы управления и позволяет
выбрать оптимальный вариант ее построения с учетом
взаимозависимости этих свойств.
Частный критерий характеризует собой часть свойств
системы, или одну из сторон проектирования, и служит для
принятия решения на промежуточных этапах проектирования.
Выбор оптимального варианта системы. Процесс принятия
решения заключается в выборе оптимального варианта
системы из числа возможных на основе одного или множества
критериев, учитывающих требования, предъявляемые к системе.
В многокритериальных задачах оптимизации, или задачах
векторной оптимизации, множеству критериев соответствует
множество функций цели, которые математически могут быть
выражены линейными или нелинейными функционалами. В случае
непротиворечивых критериев решением задачи является
результат, оптимальный для каждого из них. В общем случае
решением многокритериальной задачи считают результат,
приемлемый для всего множества критериев, и такое решение
называют компромиссным.
Расчет оптимальных управлений по векторному критерию.
При создании современных систем управления
проектировщик редко имеет дело с системами, работоспособность и
качество которых можно оценить одним-единственным
показателем. Чаще всего существует целое множество таких
показателей (критериев), каждый из которых характеризует тот или
иной аспект функционирования системы управления.
Проблему решения задач оптимизации с учетом множества
показателей эффективности называют проблемой решения
многокритериальных задач, или проблемой векторной оптимизации.
Очевидно, что ее не существовало бы, если все отдельные
показатели (локальные критерии) могли быть выражены в одних
единицах измерения (например, в рублях или тоннах) и тем
самым сведены к единому глобальному критерию. Не
существовала бы она и при непротиворечивости локальных
критериев, когда изменение параметров управления одновременно
приводило бы к положительному или отрицательному
изменению этих критериев. Однако в задачах векторной оптимизации
всегда присутствуют противоречивые критерии, когда
улучшение одного из них приводит к ухудшению другого и наоборот-
Например, улучшение критерия надежности системы управле-
462
иЯ обычно связано с увеличением массы, а критерия
быстродействия — с увеличением мощности и т. д. Таким образом,
Проблема векторной оптимизации возникает всякий раз, когда
„езультаты проектирования системы управления приходится
Уценивать по нескольким не сводимьш один к другому и про-
йВоречивым показателям.
Проблема векторной оптимизации возникает в следующих
случаях:
а) когда задачи управления решаются в результате
совместного функционирования нескольких объектов (систем)
управления, эффективность каждого (каждой) из которых
оценивается различным критерием;
б) когда объект управления находится в различных
режимах эксплуатации и каждый режим характеризуется
собственным показателем эффективности;
в) когда программа использования объекта может быть
разделена на этапы и каждый этап оценивается отдельным
показателем эффективности функционирования объекта.
Приведенный перечень свидетельствует о том, что
проблемы векторной оптимизации в той или иной форме приходится
решать для подавляющего большинства современных объектов
управления. Так, эти проблемы возникают не только при
выборе оптимальных траекторий движения, но и при синтезе
оптимальных управлений и оптимальных систем. В задачах
синтеза используют методы скаляризации.
16.4. Особенности автоматизации проектирования
систем управления
Общим для всех САПР является то, что они независимо от
объекта проектирования могут рассматриваться как
автоматизированные системы управления технологическим процессом
производства технической документации. Но САПР систем
Управления (САПР САУ) имеют и следующие характерные
особенности:
1) при проектировании различных систем управления
основные трудности связаны с выбором структуры, информационных
потоков, функциональных, динамических, логических и
алгоритмических связей между подсистемами;
2) вычислительные машины, обслуживающий персонал и
потоки информации представляют собой не только состав САПР
^А.У, н0 и модель конкретной системы управления в процессе
ее нормальной эксплуатации;
3) математические модели САУ создаются в условиях
существенно неполной информации об объекте управления, о
действующих на него возмущениях, а также в условиях неполной
^мерительной информации, искаженной помехами;
4) системам управления обычно адекватны не статические,
а логико-динамические модели высокой размерцости, учитыва-
463

ющие принципиальную структурную особенность САУ, прел
ставляющих собой системы с ОС, для которых важными усл^
виями работоспособности являются устойчивость, управляй"
мость, наблюдаемость, динамическая точность и качество;
5) САПР САУ должна предусматривать возможность цс>
следования вопроса о рациональном распределении функццд
между человеком-оператором и ЭВМ в процессе эксплуатации
системы.
Процесс проектирования САУ состоит из следующих этапов (рис. 16.5)
1. Технико-экономическое обоснование (ТЭО). Цель—формирование
Вид
га
7ех#и#о-э#0но\
ffiiveexoe обо
снесшие it
техямесяое
| задали г
/?рг&0а/?иге£б
нее vccpe&v-.
бание
Лредяр0**т\
#&е MP f
Эсмиэ-
прсехт
ыл
TttMtive-
скай
лрое/ип
Непыт/нше W
I
Выход
L_
Анализ функ-
циомиробаяин
Вяедрейи*
Рис. 16.5. Этапы процесса проектирования САУ
обоснованных с позиций заказчика предложений по разработке САУ с
описанием ее основных функций и технических характеристик.
2. Техническое задание. Основные работы: обоснование возможности
создания эффективной САУ, удовлетворяющей исходным техническим
требованиям; планирование всех необходимых научно-исследовательских, проектных,
опытно-конструкторскнх н монтажно-наладочных работ; подготовка
материалов, необходимых для их проведения. Прн этом выполняются:
а) предварительное исследование объекта или процесса управления,
позволяющее обосновать целесообразность и возможность создания САУ,
удовлетворяющей исходным техническим требованиям;
б) предпроектные научно-исследовательские работы, заключающиеся в
исследовании наиболее сложных задач управления и выборе способов их
решения. Цели — составление структурных схем математических моделей,
анализ информационных потоков; формулировка критериев управления с учетом
ограничений; определение содержания функций, которые должна реализовать
САУ; оценка возможности выполнения этих функций при помощи ЭВМ и
других технических средств;
в) эскизная разработка основных материалов, подтверждающих
целесообразность и возможность создания САУ. Эти материалы должны быть
посвящены разработке функциональной и алгоритмической структур системы;
синтезу основных алгоритмов регулирования, управления и контроля с уче"
том возможности их декомпозиции; выбору технических средств; созданию
общего программного обеспечения системы; выбору алгоритмических и пр°"
граммных модулей, пакетов и библиотек прикладных программ из
соответствующих фондов; расчету надежности; формулировке требований к управ'
ляющен ЭВМ; экспериментальной проверке результатов. По завершение
эскизной разработки проводится (при необходимости) корректировка ТЭи
создания системы.
2. Технический проект. Выполняемые работы: проведение обшесистеМ
ного и структурного синтеза САУ; разработка математического и информ^'
ционного обеспечения; подготовка проектно-сметной документации; составл
ние заданий на разработку новых технических средств; расчет ожидаемо
техннко-экономнческой эффективности; составление общей проектной ДоКУ
ментацин на САУ.
464
3, Рабочий проект. Цель — подготовка конструкторской документации
создаваемую систему. Рабочий проект на САУ состоит из проектно-сметной
А8 уМентации, необходимой и достаточной для производства или
приобретений, монтажа и наладки комплекса технических средств системы; докумеи-
ГяДйй' программного и организационного обеспечения, необходимой для пуска,
гулировки и эксплуатации системы; специального обеспечения иа машин-
PjL носителях.
" 4. Внедрение. Главный результат — передача действующей системы в про-
^ушлелнную эксплуатацию.
* 5. Анализ функционирования. Цель — получение объективных и система-
«зированных данных о качестве разработанной САУ, текущем состоянии и
реальном эффекте от использования системы на основе опыта ее
промышленной эксплуатации.
16.5. Системы автоматизированного синтеза
Интерактивные человеко-машинные системы управления
процессом проектирования называют системами
автоматизированного проектирования. В настоящее время автоматизация
проектирования (АПР) САУ находится в основном на уровне,
когда разработчик и ЭВМ взаимодействуют друг с другом в
режиме диалога при помощи пакетов прикладных программ
(ППП), реализующих методы автоматического регулирования
и вычислительной математики.
Следующий, более высокий уровень АПР САУ будем
называть автоматизированным синтезом САУ. Он связан в
основном с начальными этапами проектирования, с автоматизацией
предпроектных работ и эскизным проектированием. Человеко-
машинные системы, выполняющие автоматизированный синтез,
называют системами автоматизированного синтеза (САС) САУ
(рис. 16.6).
Ис- 16.6. Система автоматизированного синтеза как составная часть САПР САУ
Автоматизированный синтез ориентирован на решение следующих задач:
D 1) составление математических (или физических) моделей объекта
уловления и внешней среды по имеющейся априорной информации и резуль-
атам идентификации действующих объектов;
Ли ^ составление предварительной структурной схемы САУ на основе ана-
нза: особенностей объекта или процесса управления, необходимых
информационных потоков, возможности получения измерительной информации, то-
* приложения управляющих воздействий, вариантов декомпозиции системы
30—3591
465

в случае ее сложности и распределения функций управления по соотвегСт
вующим уровням (распределенные или иерархические системы);
3) формулировка критериев управления (целезых функций) и ограни^
ний по уровням (локальные и глобальные цели управления);
4) формализация постановок задач оптимального управления н выб0п
методов их решения; •*
5) разработка алгоритмической базы и программного обеспечения д»
решения задач регулирования, локального и глобального управления;
6) решение задач многокритериальной оптимизации;
7) выбор технических средств (элементной базы);
8) разработка общего и специального программного и информационного
обеспечения и формулировка требований к ЭВМ;
9) цифровое, гибридное, полунатурное моделирование проектируемой
системы;
10) общесистемный, структурный и параметрический синтез системы;
11) подготовка технической документации.
При этом следует обеспечить не только необходимые качество и точность
регулирования или управления, но н предъявляемые к системе требования
(относительно эффективности и надежности, сложности, стоимости, массы
габаритов и т. д.). '
16.6. Математическое, алгоритмическое, программное
и лингвистическое обеспечения САПР САУ
Математическое обеспечение (МО). Представляет собой
совокупность математических методов, .моделей и алгоритмов,
необходимых при решении задач автоматизированного
проектирования и обработке информации с применением
вычислительной техники в составе САПР. МО САПР позволяет
эффективно разрабатывать программы решения на ЭВМ
конкретных задач АПР, управлять и контролировать работу ЭВМ в
течение этого процесса.
Цель разработки МО САПР — предоставить пользователю
широкий спектр услуг по технологии проектирования.
Разработку проводят с учетом конкретных ЭВМ, которыми оснащена
проектируемая система. Существует общее и специальное
математическое обеспечение (ОМО и СМО).
Машинно-ориентированное ОМО представляет собой совокупность математических
и логических методов, а также комплекс программ,
реализующих эти методы при решении конкретных задач. ОМО,
поставляемое вместе с ЭВМ, позволяет максимально сократить
время и затраты на подготовку, отладку и внедрение системы
АПР, а также увеличить ее производительность. СМО — это
математический аппарат для формализации определенного
класса задач.
Специальное математическое обеспечение САПР и СА^
основывается на методах теории автоматического
регулирования и вычислительной математики. Однако реализация эти*
методов средствами вычислительной техники представляет
собой сложный и трудоемкий процесс. Первым этапом этого
процесса является разработка алгоритмического обеспечения
(АО).
466
Трудности при создании АО связаны, в частности, со свойством «конеч-
оСТи» алгоритма. Естественно, алгоритм должен заканчиваться после
конечного числа шагов (это свойство называют потенциальной осуществимостью),
„ричем число шагов является критическим параметром, влияющим на
эффективность (а также сложность) алгоритма. В принципе алгоритмически
jioJKHO решать многие задачи, но процесс решения может оказаться очень
длтельным. Поэтому практически реализуемый алгоритм должен давать
«твет после небольшого числа шагов, выполненных за короткий промежуток
„ремени.
Быстрое увеличение времени вычислений, известное как «комбинаторный
взрыв», является ограничивающим фактором во всех областях, связанных с
Обработкой информации, и, в частности, исключает применение формальных
алгоритмических методов, направленных на точное оптимальное решение,
jjo сама реализация задач регулирования и управления не требует точных
оптимальных решений.
При проектировании невозможно (и даже нежелательно) получить точное
однозначное решение (в большинстве случаев оно и не существует). А так
как суть проектирования состоит в поиске удовлетворительного, а не точного
решения, то значительный интерес представляют методы реализации такого
поиска на ЭВМ.
Разработка базы алгоритмического обеспечения связана с
осуществлением принципа модульности. Согласно этому
принципу каждый вид обеспечения (а не только алгоритмический^
процессов проектирования представлен совокупностыр
отдельных независимых частей, называемых модулями, между
которыми вводятся определенные связи, что расширяет и делает
открытой и адаптируемой систему алгоритмического
обеспечения.
Итак, модуль представляет собой математическое и
алгоритмическое описание решения какой-либо отдельной логически
законченной задачи проектирования, для которой однозначно
определены входная и выходная информация. (При делении
модуля на более мелкие структурные части теряется его
функциональный смысл.) Модуль можно объединить с другими и
многократно использовать для решения задачи в различных
условиях. Кроме того, он обладает инвариантностью к
программной реализации и фиксированной формой представления.
Совокупность таких модулей, связанных в единый алгоритм,
образует макромодуль. Упорядоченная совокупность модулей
и макромодулей, объединенных общим целевым назначением,
Позволяющая получить алгоритмы решения различных задач
Рассматриваемого класса, называется пакетом
алгоритмических модулей.
Программное обеспечение (ПО). Представляет собой
совокупность программ, реализующих цели и задачи АПР и
обеспечивающих функционирование комплекса технических средств
САПР. Прогр аммное обеспечение подразделяют на общее
(ОПО) и специальное (СПО). ОПО — это программы на
носителях данных (программных изделий) и программные
документы, входящие в комплект поставляемой вычислительной тех-
нИки (машин, комплексов, систем). СПО — это программы на
30*
467

носителях данных, разработанные проектировщиками Сд^
САПР, с необходимой программной документацией.
Главный вопрос при разработке программного обеспеченно
САПР — организация данных и программ в системе. ПО САПр
можно рассматривать как одну глобальную программу, имею,
щую иерархическую структуру. На нижнем ее уровне находя?.
ся программные функциональные модули; на более высоки^
уровнях — программы-диспетчеры, осуществляющие совместно
с операционной системой ЭВМ управление работой
функциональных модулей, а также их вызов в определенной
последовательности, модификацию, объединение и т. д.
Программное обеспечение тоже основано на принципе
модульности. В этом -случае модуль представляет собой
программу (или ее часть). Он при помощи средств операционной
системы может быть объединен с другими такими же модулями в
единую программу, включаемую в состав ПО.
Модульный принцип позволяет при сборке программы
использовать модули, составленные на различных
алгоритмических языках. Возможность накапливать модули и затем их
многократно применять позволяет экономить труд программистов.
Из программных модулей можно составлять для ЭВМ
библиотеки программ, что облегчит сбор и обработку информации,
моделирование объектов и систем управления, решение задач
управления, а также организацию и обслуживание
вычислительных процессов. При этом специальные программы служат
для связи пользователя с библиотекой.
Более высокой формой организации программных средств
являются пакеты прикладных программ (ППП), реализующих
цели и задачи системы, обеспечивая функционирование
комплекса ее технических средств. Одним из основных в ППП
является принцип генерации, осуществление которого позволяет
настроить пакет на параметры конкретного объекта управле-
ния. В результате ППП превращается в специализированный
программный комплекс, реализующий конкретную систему
управления. В ППП использованы также принципы
организации управления в виде алгоритмов и формализованных
описаний процессов управления и принятия решений. Кроме того,
ППП служат программой реализации алгоритмов.
Лингвистическое обеспечение и системы общения.
Работоспособность и эффективность САПР в значительной мере
зависят от лингвистического обеспечения (ЛО) — совокупности
языковых средств (термины, определения и т. д.), а такЖе
правил формализации естественного языка, включая методы
сжатия и развертывания текстов в целях повышения эффектиВ'
ности обработки информации и облегчения общения пользовЗ"
теля с ЭВМ.
ЛО представляет собой набор языков программирования, на котор61^
■удобно выражать требования к вычислительным процессам и которые оДн°
468
^ачио интерпретируются ЭВМ. Под языком программирования понимают
»цаКовую систему, применяемую для описания процесса решения задач на
орМ- Описание этого процесса осуществляют с помощью:
алфавита (множества символов, выражающих собой входную
информации. """ знаков арифметических или логических операций);
словаря (перечня используемых слов или правил их построения);
синтаксиса (набора правил, определяющих последовательности
символов) ;
семантики (набора правил для однозначного восприятия ЭВМ смысла
предложения);
прагматики (набора правил, определяющих связь между входным текстом
и состояниями элементов комплекса).
Известно более двух тысяч различных алгоритмических языков и более
семисот областей их применения для решения соответствующих задач на
ЭВМ. Для любого из этих языков, используемых для ввода информации в
ЭВМ, должен быть транслятор, переводящий входной текст в
соответствующий набор команд для ЭВМ.
Использование диалогового режима является эффективным
способом общения пользователя с ЭВМ. В настоящее время
известно два его вида: 1) режим вопросов и ответов (дает
возможность расширения набора вопросов); 2) режим
накопления и формализации информации (в результате происходит
генерация ППП).
16.7. САПР как интеллектная система
САПР в процессе проектирования является своего рода
партнером разработчика (конструктора) САУ в его
деятельности. Для обеспечения такого партнерства при создании САУ
необходимо наделить САПР определенным интеллектным
уровнем, т. е. ввести в ее память определенный объем знаний,
относящихся к конкретной области деятельности проектировщика.
Этот объем зависит от степени разработки теории данного
класса объектов проектирования. Наличие достаточно развитой
теории позволяет создавать в памяти ЭВМ формальную модель
предметной области. Такая модель содержит все понятия и их
взаимосвязи, полную информацию о конкретной области
знаний, интересующей разработчика. Все это реализуется в ЭВМ
Б виде ППП и является для проектировщика средством
решения конкретных задач. При этом нет необходимости подробно
излагать машине программу решения возникшей задачи.
Достаточно на обычном профессиональном языке кратко
изложить, что требуется от машины. Программа сама запросит
Необходимые ей исходные данные, проанализирует их, соста-
Бит план решения задачи и сообщит результат, обличенный в
Математическую форму и представляющий собой особого рода
Ресурс творческой деятельности разработчика. Этот ресурс
^ожно назвать информационным в системе проектирования.
Его носителями являются проектировщик и различные модели,
Реализованные в системе. Чем выше качество информационного
Ресурса системы, тем обширней ее интеллектный уровень, тем
Меньше затраты труда на разработку объекта, организацию
его производства и эксплуатацию.
469

В процессе проектирования информационные ресурсы це_
прерывно используются и перерабатываются. В результате осу,
ществляются генерирование и отбор вариантов построения пр0.
екта, его анализ и оптимизация.
Информационные ресурсы. Преставлены в САПР САУ в
форме информационных и математических моделей объектов
ППП, банков данных и организационно-методических матери!
алов (см. рис. 16.7). В зависимости от этапа проектирования
Техна*ее/юе
задание
Снрабевнш
данные,
стандарты,
модели и т.д.
Взаеюдейенго'ае
е
гаино/f.
Раыетные нри-\
терии, данные
дыгеелений
и т.д.
Г/гадный
£анн
данных
Денунентаиея
^
1
* 1
1
J
*
Вычисления it
имитационное
ноде/гародани*
Структура
Параметры
Выбор
mexnuvecnux
средстд
Синтез
Диаенестина
J
Ряс. 16.7. Обобщенная схема САПР
информационные ресурсы могут отражать собой: объективные
закономерности природы; отраслевые правила и предписания,
полученные в результате обобщения отраслевого опыта, а
также специфику отдельного предприятия.
Разработка и создание информационных ресурсов в форме
программного и информационного обеспечения САПР —
сложный и трудоемкий процесс. В нем участвуют специалисты
различных областей знаний. При этом одной из наиболее
насущных проблем является обеспечение: максимальной
инвариантности информационных ресурсов; нх слабой зависимости от
конкретной области применения; простоты их настройки на
отраслевую специфику. Информационные ресурсы должны быть
таким образом представлены в САПР, чтобы обеспечивалась
сквозная совместимость как моделей объектов, так и моделей
процессов проектирования и чтобы происходило пополнение
этих ресурсов в процессе эволюции САПР.
Обобщенная схема САПР. Ее центральным элементом
является главный банк данных (рис. 16.7), непосредственно
связанный с каждым функциональным пакетом САПР, а также с
некоторыми ПОП. Последние во время работы могут получать
необходимую входную информацию от банка данных или °т
470
ругих пакетов. Внешние данные для САПР подготавливают
^bi4HO разработчики. Для этого они обращаются к библиотеке,
°оСхоящей из каталога модулей, ограничений и других
расчетах параметров. Информация, вводимая в терминал проекти-
оВщиком в интерактивном режиме (в реальном времени),
Цдляша содержать исходное описание системы, запросы к
документации, данные о модификации и коррекции библиотеки,
выборе расчетных критериев, т. е. все для входных операций САПР
осуществляющей управление функциями системы, например
выбором и очередностью применения пакетов.
Эффективность САПР повышается при включении в ее
структуру пакетов синтеза на основе диалога. В результате
проектировщик, используя ТЗ, может решать вопросы
оптимизации и технической реализации проектируемой системы при
помощи набора соответствующих модулей аппаратных и
программных средств. При этом по мере обучения в процессе
взаимодействий с машиной его профессиональное мастерство
возрастает.
16.8. Моделирование и автоматизированный синтез САУ
Сущность моделирования как научного и инженерного
метода заключается в использовании при эксперименте модели САР
или САУ вместо реальной системы путем установления
определенного соответствия между ними.
Отражение в модели, являющейся средством хранения опре»
деленных знаний, всей имеющейся информации (о структуре
системы, ее функциях и т. д.) позволяет использовать эту модель
как некоторый прототип реальной динамической системы.
Основные этапы моделирования — выбор и задание модели
в определенной форме; проведение эксперимента и обработка
результатов. Особую роль играет моделирование с
использованием математических способов описания, реализуемое на
аналоговых или цифровых вычислительных машинах. ,
Главным средством автоматизированного синтеза САУ
является имитационное моделирование, сущность которого состоит
в том, что разработчик сначала создает модель-прототип, а
затем с помощью ЭВМ имитирует поведение исследуемой
системы с учетом свойств внешней среды, <в которой должна
функционировать реальная САУ. Управляя ходом моделирования,
аНализируя полученные результаты и используя выводы и
свойства модели-прототипа, проектировщик синтезирует систему
Управления, характеристики которой должны соответствовать
Имитационная модель представляет собой некоторую
комплексную программу для ЭВМ, учитывающую структуру
проектируемой системы, ее динамические характеристики, а также
Функциональные связи между ее элементами. В отличие от
магматического имитационное моделирование не требует анали-
471

тического решения задачи. В имитационной модели-прототцп
должны быть описаны лишь правила действий объектов (ЭЛре
ментов) САУ. Модель строится таким образом, чтобы в ходе е~
испытаний элементы начинали функционировать самостоя
тельно, выполняя предписанные им операции при взаимодейСтч
вии друг с другом. Задача проектировщика в процессе оптими."
зации сводится к наблюдению и последовательной целенапрае".
ленной модификации модели, а также к оценке полученны»
данных.
Итак, имитационное моделирование можно рассматривать как управляв
мый эксперимент, проводимый с помощью модели (проектируемой системы)
реализованной да ЭВМ. Модель объекта имитации формируется иа основе'
дедуктивного и индуктивного подходов. Дедуктивный, или подход «сверху _
вниз», предполагает определение модели-прототипа по соответствующим фи-
зическим законам и структуре САУ с последующим уточнением параметров
модели. Индуктивный, или подход «снизу — врерх», оперирует с
экспериментальными данными типа вход-выход без использования информации о
внутренних свойствах системы.
Анализ проектирования и функционирования реальных САУ показывает
что система может быть разделена на некоторое число разных с точки
зрения физики элементов, каждый из которых характеризуется присущим ему
набором параметров и функциональными зависимостями.
Расчленение (декомпозиция) системы часто носит условный характер.
Полученная в результате этой процедуры модель становится прототипом, так
как в условиях имеющейся информации наиболее полно отображает
характеристики реальной САУ. Дискретная структура возникает естественным
образом, так как система представляет собой многоуровневую конструкцию из
взаимодействующих элементов, объединенных в подсистемы различных
уровней. Элемент этой системы — уже неделимая подсистема — имитирует
соответствующий физический эквивалент. На уровне возникновения дискретной
структуры САУ определяется и вид взаимодействия, или механизм обмена
информацией (сигналами) между элементами, так как от этого существенно
зависит процесс функционирования системы.
Математическими моделями являются объекты (элементы) САУ,
обладающие пространственно-временными свойствами. Отсюда естественна
следующая классификация:
системы с непрерывным временем и дискретной пространственной
координатой (НВДК);
системы с дискретным временем и дискретной пространственной
координатой (ДВДК);
системы с непрерывным временем и непрерывной пространственной
координатой (НВНК).
Системы с НВДК характеризуются сосредоточенными параметрами,
описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями; системы с
ДВДК — процессами, проходящими только в дискретные моменты времени
(в частности, заранее известные); системы с НВНК учитывают непрерывные
пространственно-временные свойства составных элементов системы и
описываются уравнениями в частных производных (по всем независимым пере*
мениым).
472
16.9. Система автоматизированного моделирования
и оптимизации САР и САУ
Система автоматизированого моделирования и
параметризуй оптимизации (СИАМ)1 предназначена для
автоматизации инженерных расчетов, анализа и синтеза линейных и
нелинейных систем автоматического регулирования и управления с
сосредоточенными параметрами. СИАМ дает пользователю
Бозможность: проводить имитационное моделирование САР и
САУ; осуществлять параметрическую оптимизацию; вычислять
я строить на экране дисплея частотные характеристики,
фазовые портреты и т. д.
На рис. 16.8 изображена структура СИАМ по управляющим
связям. Система имеет семь иерархических уровней. На верх-
I S/AM I
Т.
т
/ STKCT
Рабата са
структурой (С
smm
вШ с
- J с терминала
STXOU
PuCcff С
* * ни терминал
S1SIU
Вдсд С
* * с far/fa
SUSOC
ВиШ С
~ * на ёиек
г гакам
Рабата с
параметрам* (П)
3 PUHCM
Управление eve-
том и бн/бодам
* тм
Лусн
В'аВ П
\с терминала
Btitcff
результатов (Р)
PC/IF
Baited П
\па термина А
веоо п
с диска
ВИад
режима cveora
Указание
\move* ffi/foeta\
РВЕМ
Науалнннш
чуек
KFLBW
Чг
Продолже-
Чз
FCHKO
3
шаг Г]
Cffpoc
структур
Вн/бСО* П
на диск
I
Н/
Bt/So9
epa^uueS на
терминал
OTftT
Bntod графил
ка! на АУРУ'
Из
esse
Be/Jeff
таОлии ни
терминал
Сарос
уоараметрае
S0KT
Н*
юявг
1—г
ив
VEST
ВыЛеЗ mat
лиц *а ЛЦ№
ОС#Т
ОЕХТ
\В*/£ед грсргА
\*00 0в /мст-
P(W0fMti
Рис. 16.8. Структура СИАМ
Нем находится модуль SIAM, в функции которого входит
инициирование системы и организация начальной фазы диалога:
Пользователь проверяет правильность структуры и передает
Управление одному из модулей второго уровня (RUNGH,
STRCT, PARAM, RUN, OUT). В задачу этих модулей входит
семантический контроль введенной директивы, после чего
Управление передается модулям третьего рабочего уровня.
В группе модулей STRCT осуществляется манипулирование
структурой моделируемой системы:
STRIN и STROU — осуществляют считывание с
терминала и вывод на терминал операторов задания структуры соот-
ветствен«о;
1 Разработана В. В, Фароиовым (см.: Фаронов В. В. Система автомати-
э»рованного моделирования СИАМ. М.: Изд-во МГТУ, 1989).
473

SDSIN — вводит операторы задания структуры с диска;
SDSOU — формирует символьный дисковый файл с запц.
сями операторов структуры моделируемой системы;
SCLER — стирает хранящуюся в оперативной памяти иц.
формацию о структуре и о связанных с ней параметрах.
В группе модулей PARAM осуществляются действия,
аналогичные действиям группы STRCT, но только по отношению %
параметрам, конкретизирующим структуру моделируемой си-
стемы.
В группе модулей RUNCH подготавливается режим счета
(моделирования) системы: RCNR—запоминает в диалоговом
режиме взаимодействия с пользователем информацию о вы-
бранном методе численного интегрирования, интервале
изменения независимой переменной и шаге ее приращения;
RCNO — запоминает условные номера тех точек в
структуре моделируемой системы, состояние которых в процессе
моделирования лредставляет интерес для пользователя;
RCNRO — объединяет функции модулей RCNR и RCNO.
В группе модулей RUN реализуется собственно
имитационное моделирование исследуемой системы:
RBGN — осуществляет начальный запуск счета;
RFLOW — продолжает предыдущий счет после его
естественного окончания или после его прерывания по инициативе
пользователя;
RCOUT — уточняет в диалоге с пользователем характер
вывода оперативной информации в процессе счета и, при
необходимости, формирует условие завершения переходного процесса
в некоторой контрольной точке:
SORT — осуществляет подготовительные действия,
преобразующие исходную информацию о структуре исследуемой
системы в совокупность дифференциальных уравнений первого
лорядка, представленных в канонической форме;
WORK и LITB — реализуют процедуру численного
интегрирования уравнений с пошаговым контролем выполнения
сформированных условий окончания или прерывания процесса.
В группе модулей OUT осуществляется вывод
накопленной информации на внешние устройства:
ODSG и ODST — выводят результаты в виде таблиц и
графиков соответственно на экран терминала;
OTRG и OTRT — подготавливают вспомогательный файл
для последующего вывода результатов счета в форме таблиц
или графиков на системную печать;
OCNT — обеспечивает доступ к фактическим координатам
в любой точке структуры системы сразу после
инициированного прерывания счета;
ОЕХТ—..выводит данные на двухкоординатный построитель
в виде графика.
Характерной особенностью СИАМ является
реализованный в ней графическими средствами ПЭВМ объектно-ориенти-
474
оВанный диалог: на экране ПЭВМ структура модели воспро-
Р водится так же, как и на листе бумаги, при ее разработке, а
.г необходимые указания пользователь задает СИАМ с по-
м0щью функциональной клавиатуры. Такая форма диалога
й3бавляет пользователя от необходимости изучения входного
Зыка, концентрируя его внимание на вопросах решаемой
задачи [21].
СИАМ ориентирована на блочно-структурное представление
математических модулей САР (САУ), формируемых и
перестраиваемых в процессе проектирования или исследования
системы. Модель в СИАМ — это структурная схема системы,
представляющая собой упорядоченную совокупность типовых
линейных и нелинейных блоков, типовых сигналов, а также
связей между ними. Элементами модели могут быть как
линейные, так и нелинейные типовые динамические звенья (А, В, С
и т. д.)- Связать блок-звено А с блоком В — означает подать
на вход алгоритма, реализованного в блоке В, результат
работы алгоритма2, реализованного в блоке А. Выходной сигнал
любого блока может быть передан на вход других блоков, что
позволяет воспроизводить средствами СИАМ математические
модели большой сложности.
Система СИАМ имеет четыре основных режима работы.
Каждый из них задается соответствующей клавишей ЭВМ и
отличается видом графического экрана. При этом
использование зон экрана не меняется: верхняя строка-меню указывает
назначение функциональной клавиатуры в текущем режиме
работы; средняя зона — это рабочее окно, в котором
отображается структурная схема модели; нижняя зона служит для
оперативного построения (вывода) графиков, организации
диалога с пользователем, а также для вывода некоторой
справочной информации. Дадим краткую характеристику каждого
из четырех основных режимов работы системы СИАМ.
Режим ввода (задания) модели. Процесс ввода (задания)
модели САР состоит в формировании
пользователем-проектировщиком на экране дисплея блоков системы и
соответствующих связей, т. е. соединяющих их линий. Этот режим можно
считать основным, так как только из него можно перейти в
любой другой режим работы СИАМ. Назначение используемой
клавиатуры ЭВМ:
F1 —вызов справочной службы СИАМ;
F2 — переход к подрежиму ввода блока структурной схе-
^bi CAP и исходящей из данного блока связи (линии);
F3 — поднятие (опускание) пера (при опущенном пере сло-
во «Перо» в меню выделено негативно);
F4 — переход к режиму редактирования блоков;
2 Условимся называть: результат работы алгоритма любого
блока—выгодным сигналом (или, просто, сигналом блока); сигнал, используемый на
8*оде алгоритма, — входным.
475

F5 — запись структурной схемы САР на диск ЭВМ или пр0,
чтение ее с диска;
F6 — появление или исчезновение окна-подсказки в нижнее
зоне экрана:
F7 — переход к режиму имитационного моделирование
проектируемой САР;
F8 — переход к режиму параметрической оптимизации;
F9 — переход к режиму вычисления и построения
частотной характеристики системы;
ESC — выход из СИАМ.
В режиме ввода модели используются также другие
клавиши (для перемещения графического курсора, для смещения
структурной схемы и т. д.). Рассмотрим этапы режима ввода
(задания) модели.
1-й 'Этап — ввод типовых блоков-звеньев. При «ажатии на клавишу F2
СИАМ переходит в подрежим выбора блоков из системной библиотеки
типовых блоков. При этом перо опускается, а курсор перестает мигать (его
перемещение уже недоступно пользователю). В нижней части экрана независимо
от состояния двоичного переключателя F6 появляется окио-подсказка с
пиктограммами (условными обозначениями) некоторых типовых блоков. Одна из
пиктограмм на экране выделена негативом — соответствующий блок будем
называть активным. Пользователь клавишей управления курсором
перемещает негативное изображение к соседним блокам, делая их активными
При иажатии на клавишу Ввод СИАМ переходит к процедуре задания
параметров активного блока. Экран полностью очищается, н на ием
появляется текст, описывающий алгоритм выбранного активного блока и
поясняющий смысл используемых в ием параметров. Активный параметр (по
аналогии с активным блоком) выделяют световым окном. Клавишами перевода
курсора вверх (вниз) выделяют нужный параметр, после чего цифровыми
клавишами вводят его новое значение.
После установки параметров необходимо нажать клавишу Ввод. По
этому сигналу СИАМ возвращает экран в графический режим и помещает
в рабочем окне пиктограмму выбранного блока с исходящей нз него линией
на то место, которое занимал курсор.
Структурные блоки можно располагать только на горизонтальных
линиях. В зависимости от направления линии, входящей в блок, последний
будет ориентирован слева направо, и наоборот. Если перед обращением к
режиму ввода блоков перо было поднято, то СИАМ автоматически опускает
перо или на линию (тогда блок приобретает ориентацию этой линии), или на
свободное место (и тогда блок будет ориентирован слева направо).
После выхода из процедуры ввода параметров СИАМ остается в
подрежиме ввода блоков, предоставляя пользователю возможность продолжить
формирование структурной схемы3 (рис. 16.9).
2-й этап — ввод линий. В большинстве случаев используют структурные
схемы САУ с обратными связями и ветвлениями. Чтобы получить ветвящиеся
структуры на экране дисплея, необходимо прекратить построение блоков ,в
ряд и дорисовать недостающие связи с помощью линий.
При вычерчивании линии ее конец может достигнуть границ некоторого
блока. В этом случае раздастся звуковой сигнал, перо автоматически
поднимется и СИАМ приступит к анализу: если блок имеет хотя бы один
незанятый вход, она установит связь от блока, «помнящего» линию, к данному
блоку; в противном случае она сообщит об ошибке и уничтожит текуШУ10
линию.
3-й этап — редактирование блоков. В ходе работы с системой часто в°3'
никает необходимость в получении вариантов решения при изменении пара'
* Эта схема на экране компьютера набрана на основе меню блоков СИАМ
476
п
13 5 7
-»о—
^v
тК
-<;
-«—
Х-.
-/*
к.
(г,г+П(тгг*0
, Г
■ц
>
«,<
^ а
к
**
Г~
-т-
s
Ць
г
п.
!Г
1
ю
J*L
Hit
рис, 16.9. Структурная схема линейной позиционной следящей системы:
/ — уставка (ступенчатая функция); 2— элемент сравнения входного и выходного
воздействий; 3 — статическая характеристика измерителя; 4 — элемент сравнения
напряжений измерителя и тахогенератора; 5 — передаточная функция усилителя-
преобразователя; 6 — элемент сравнения напряжений управления и протнвоЭДС;
7, 12, 13 — передаточные коэффициенты вращающего момента, противоЭДС и
тахогенератора; 8 — элемент сравнения вращающего момента и момента трения;
9, 10 — передаточные функции электродвигателя; // — статическая
характеристика трення
метров модели. Для изменения или анализа параметров ранее созданного
блока модели используют режим редактирования. Этот режим инициируется
клавишей F4 при любом другом режиме работы СИАМ.
4-й этап — уничтожение и добавление блоков. Для этого используется
следующий прием. Курсор с поднятым пером перемещают по экрану до тех
пор, пока его центр не попадет внутрь нужного блока. Затем нажимают
клавишу DEL: изображение блока начинает мигать и появляется приглашение
подтвердить операцию уничтожения. Если подтверждение получено, СИАМ
уничтожает блок и все исходящие из него линии. (Отметим, что это
единственная возможность стереть ранее созданную линию, для чего надо
уничтожить блок, из которого она выходит.)
Для добавления к структуре нового блока нужно сначала создать
линию, на которой он будет располагаться, либо отвести курсор на свободное
место. Следует иметь в виду, что СИАМ при создании нового блока и
исходящей из него линии никак не контролирует топологию ранее созданной
структуры, оставляя этот контроль полностью иа усмотрение пользователя.
В результате блоки, как н линии, могут частично или целиком
накладываться друг на друга, что, однако, никак не повлияет на образование связей
Между ними.
Режим имитационного моделирования. Переход к режиму
Моделирования осуществляется клавишей F7 из режима ввода
Модели. Назначение используемой клавиатуры:
Fl-Пмщ—вызов справочной службы СИАМ;
F2-MeT — выбор метода и параметров интегрирования;
РЗ-Счет — запуск процедуры интегрирования;
Р4-Ред — редактирование блока;
F5-Okho — задание блоков для отображения их в окнах;
F6-rp<p — задание блоков для вывода их графиков;
F7-Pe3 — задание числа точек графиков; вывод таблицы
Результатов на экран или принтер;
F8-Mcui — масштабирование графиков в окнах;
Р9-Прд — продолжение интегрирования;
ESC-Выход—'возвращение в режим ввода модели.
477

Кроме того, в этом режиме доступны клавиши: PGUP, PGDb
HOME, END (смещение структуры относительно окна); управ'
ления курсором (перемещение курсора в окне); DEL (унт/
тожение блока).
В ходе моделирования осуществляется численное решение,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДу\
которую автоматически формирует СИАМ по исходной стру^.'
турной схеме. Результаты решения запоминаются в LG-точках
для каждого блока и затем используются для построения гра.
фиков и при выводе таблиц.
Порядок интегрируемой системы ограничивается лишь до.
ступной памятью. Что касается структуры, то она должна быть
такой, чтобы входной сигнал любого блока вычислялся
системой до определения его выходного сигнала. Система допускает
интегрирование как в «прямом» (tK>to), так и в «обратном»
(^к<^о) времени. Моделирование можно прервать в любой
момент, нажав клавишу ESC. Клавишей F9 можно продолжить
прерванное с помощью клавиши ESC или завершившееся по
условию t=tK моделирование. В последнем случае СИАМ
автоматически удваивает конечное время tK и соответствующим
образом изменяет накопленные в памяти результаты.
Рассмотрим этапы режима моделирования:
1-й этап — выбор метода н установка параметров интегрирования
К процедуре выбора метода и установки нужных параметров интегрирования
можно перейти нажатием клавиши F2. В результате экран полностью
очистится и на нем появится текст, поясняющий последовательность действий
для выбора метода и установки параметров.
В СИАМ могут использоваться следующие методы численного
интегрирования СОДУ: Кутта — Мерсона 4-го порядка точности с автоматическим
выбором шага интегрирования; Фельберга 5-го порядка точности с
автоматическим выбором шага; Рунге — Кутта 4-го порядка с фиксированным
шагом; Эйлера 2-го порядка с фиксированным шагом.
2-й этап — выбор блоков для динамического отображения графиков.
СИАМ имеет возможность отображать выходные сигналы любых блоков на
экране непосредственно в ходе моделирования. С этой целью используют два
небольших окна, создаваемых системой в нижней зоне экрана.
3-й этап — начальный запуск и продолжение моделирования. Для такого
запуска нажимают клавишу F3. Начальный запуск означает активацию
внутренней процедуры создания системы обыкновенных дифференциальных
уравнений по структурной схеме модели. В ходе этой процедуры СИАМ
контролирует правильность связей между блоками: если какой-либо блок не имеет
связи с другим блоком по входному сигналу для осуществления алгоритма,
СИАМ сообщает об ошибке и блокирует запуск моделирования. Кроме того,
СИАМ проверяет возможность вычисления входного- сигнала для каждо1"0
блока. Входной сигнал считается вычисляемым, если он порожден
выходным сигналом или олока-генератора, или динамического блока с
начальными условиями, или блока с вычисляемым входом. (Отметим, что
динамический блок с начальными условиями служит источником вычисляемого вход3
только в случае, когда он описывается передаточной функцией, порядок
полинома числителя которой не меньше порядка полинома знаменателя.)
4-й этап — вывод графиков. При нажатни клавиши F6 СИАМ
приступает к выбору блоков для изображения их выходных сигналов в виде гра^
фиков: загорается транспарант Грф в строке-меню и один из блоков стрУ^
туры выделяется мигающим изображением. Клавишами перевода курсор
влево (вправо) можно сместить мигающее изображение к соседним блокам-
478
^лЯ вывода графика выходного сигнала выделенного блока нажимают кла-
£1шу Ввод.
v 5-й этап — масштабирование графиков в окнах. Поскольку перед нача-
оМ моделирования СИАМ не может оценить диапазон изменения сигналов
соответствующих блоков, масштаб изображаемых в окнах графиков может
„казаться неудачным.
Для масштабирования графиков с учетом накопленных результатов
служит клавиша F8. При одновременном нажатии клавиш Alt и F8 происходит
аВтомасштабирование, при повторном таком нажатии автомасштабирование
прекращается.
Режим параметрической оптимизации. Позволяет
целенаправленным изменением одного или нескольких параметров
додели (оптимизируемых параметров) достигнуть в момент
модельного времени t=tK всемерного уменьшения выходного
сигнала некоторого блока. Этот выходной сигнал
отождествляется с целевой функцией.
Система автоматически изменяет параметры в соответствии
с выбранным методом оптимизации. В качестве целевой
функции (ЦФ) может использоваться выходной сигнал любого
блока модели (выбор этого блока, а также оптимизируемых
параметров возлагается только на пользователя). Конкретное
значение ЦФ при некотором наборе оптимизируемых параметров,
т. е. шаг вычисления ЦФ, система получает в результате
осуществления имитационного моделирования на интервале
t0 ■.. tK. Системе для поиска экстремальной точки может
понадобиться много шагов, что замедлит процедуру оптимизации.
Назначение используемой клавиатуры:
Fl-Пмш — вызов справочной службы СИАМ;
F2-MeT — выбор метода параметрической оптимизации и
установка конечного интервала неопределенности параметров;
Alt+F2 — установка параметров численного
интегрирования;
ЁЗ-Счет — запуск процедуры оптимизации;
Р4-Ред — редактирование блока;
Р5-Функ — выбор блока, выходной сигнал которого для
g(f) = l будет использоваться в качестве целевой функции;
F6-nap — выбор оптимизируемых параметров и диапазона
их изменения.
Рассмотрим этапы режима параметрической оптимизации.
1-й этап — выбор метода. Процедура выбора метода параметрической
оптимизации активизируется при нажатин клавиши F3. При этом появляется
°Кно-меню с предложением выбрать один из доступных методов
оптимизации.
2-й этап — выбор целевой функции. С помощью клавиши F5 в режиме
°Птимизацин активизируется процедура выбора блока, выходной сигнал
которого для t=tb будет интерпретироваться системой как целевая функция.
Механизм выбора блока подобен описанному ранее: мигающее изображение
Клавишей перевода курсора смещают к нужному блоку и нажимают
клавишу Ввод.
3-й этап — выбор оптимизируемых параметров. Нажатием клавиши F6
^еРеходят к процедуре выбора оптимизируемых параметров и установке
диаконов их изменения. СИАМ позволяет оптимизировать до десяти
параметров одновременно, причем каждый нз них может принадлежать любому
479

блоку (исключение составляют только параметры тип, определяющие об1д6
число параметров для динамического и нелинейного блоков общего вида\е
Режим вычисления и построения частотных характеристик
СИАМ имеет средства, облегчающие и упрощающие процесс
построения частотных характеристик (ЧХ) модели или ее со.
ставных частей. Эти средства становятся доступными при на.
жатии клавиши F9 в режиме ввода модели.
СИАМ при переходе к режиму построения ЧХ прежде всего
проверяет наличие в модели линейных блоков, т. е. блоков
описываемых линейными дифференциальными уравнениями
(передаточными функциями). Каждый из таких блоков
помечается символами от А до Z, исключая Ми/-4, а если число
блоков больше, чем 24, то символами от АХ до ZX (где X -,
цифры от 0 до 9).
В данном режиме несложный входной язык. С его
помощью пользователь указывает системе последовательность
необходимых действий, ведущих к построению ЧХ.
16.10. Технические средства САПР
В традиционных системах проектирования подготовка
.исходных данных для цифровых ЭВМ, представление
результатов расчетов (вычерчивание графиков или чертежей) и
многие другие операции выполняются вручную. Что касается
САПР, то ей свойственно максимальное использование
различных ЭВМ и устройств (рис. 16.10).
В настоящее время применяют САПР, в которых
предусмотрено следующее:
автоматизация расчетных работ;
автоматизация вычерчивания типовых элементов, деталей и
сборочных единиц;
автоматизация расчетов при геометрических
преобразованиях чертежей;
возможность использования диалоговых систем для
корректировки чертежей, текстов, программ, исходных данных
программ;
широкие возможности по хранению промежуточных
результатов на машинных носителях, по получению твердых копий
и т. д.;
возможность работы с ЭВМ на расстояниях как небольших
(до 1 км — на территории одного предприятия), так и больших
(совместная работа нескольких предприятий, соединенных
телефонным кабелем, над одним проектом);
возможность работы с ЭВМ, принадлежащими нескольким
пользователям одновременно.
4 Символы М и L система резервирует для следующих целей: сочетай1^
MX (где X— цифра) употребляется Для обозначения одного из десяти вйУ*
тренних буферов СИАМ, а символ L — для обозначения частотной характе'
ристики.
480
Технические
cpeffcmfa
САПР
—*■
—■*■
ЭВМ
различных
классов
Устроас/по'а
хранения
информации
i/cmpoucmda
Mo0a - 06/foda
//с/яройс/пб'а
fit/fada
на наси/пели
Ус/ярейс/лд'а
диалога
Услгре'йшб'а
лгелеобрабстяи
&ая#ш
Рис.
16.10. Технические
САПР САУ
средства
Перечисленные работы выполняются большим количеством
периферийных устройств (подсистем), которые могут быть
объединены в несколько групп:
устройства хранения информации;
накопители на магнитных лентах (НМЛ);
накопители на магнитных барабанах (НМБ);
накопители на магнитных дисках (НМД);
устройства ввода-вывода информации перфокарточного и
"ерфоленточного вида;
устройства вывода на бумажные носители (буквенно-циф-
овые печатающие; графопостроители);
устройства диалога (дисплеи алфавитно-цифровые и
графические; устройства для кодирования графической информации
11 введения ее в вычислительную машину);
устройства телеобработки данных (для сопряжения
каналов ЭВМ с аппаратурой передачи данных по линиям связи —
Мультиплексоры; для передачи данных).
31—3591
481

Следует отметить, что простое применение любых из пер6н
численных технических устройств вместе с ЭВМ для выполни"
ния проектных работ не является автоматизацией процесса
проектирования. Лишь объединение этих устройств в систему
для решения организационных и методических проблем проек.
тирования позволяет назвать эту систему автоматизированной
В последнее время все более широкое распространение по,
лучили так называемые автоматизированные рабочие места
(АРМ) — комплекты устройств, позволяющих автоматизиро.
вать решение научных, инженерных и конструкторских задач
подготовку, преобразование, редактирование текстовой и гра-
фической информации, а также организовать диалог
разработчика с САПР. АРМ является средством коллективного
пользования для проектировщиков. В состав АРМ обычно входит
небольшой процессор, обслуживающий устройства АРМ и
обрабатывающий информацию при взаимодействии с процессором
системы.
Контрольные вопросы
1. Какова сущность процесса проектирования САУ?
2. Что такое «сложность»? Структурная сложность?
3. В чем заключается системный подход к проектированию
САУ?
4. Что такое «декомпозиция системы»?
5. Какие особенности имеют САПР систем управления?
6. Дайте определения системам автоматизированного
синтеза (САС). Какие задачи они решают?
7. Охарактеризуйте математическое, алгоритмическое и
программное обеспечение САПР.
8. Что представляет собой имитационное моделирование
систем (ИМ) ? Каковы особенности ИМ?
9. Почему САПР можно рассматривать как интеллектную
систему?
10. Перечислите функции системы автоматизированного
моделирования (СИАМ)?
11. Какие технические средства используются в САПР?
482
ЛИТЕРАТУРА
1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управле-
вИЯ / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1990.
2. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления:
Автоматическое регулирование непрерывных систем. М.: Энергия, 1980.
3. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления: Особые
линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981.
4. Информация, управление, вычислительная техника / Под ред.
В В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1989.
5. Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы
(элементы, теория, методы расчета, справочный материал). М.:
Машиностроение, 1977.
6. Моисеев Н. Н., Иваншов Ю. П., Столяров Е. М. Методы оптимизации.
М: Наука, 1978. v
7. Плотников В. Н., Зверев В. Ю. Оптимизация
оперативно-организационного управления. М.: Машиностроение, 1980.
8. Плотников В. Н., Зверев В. Ю. Задачи принятия решений и их
применение в иерархических системах управления. М.: МГТУ, 1990.
9. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования
н управления. М.: Наука, 1989.
10. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического
регулирования и управления. М.: Наука, 1979.
11. Попов Е. П. Робототехника и гибкие производственные системы. М.:
Наука, 1987.
12. Руководство по проектированию систем автоматического управления
/ Под ред. В. А. Бесекерского, М.: Высш. шк., 1983.
13. Системы автоматизированного проектирования: Учеб. пособие:
В 9 кн. / П. К- Кузьмин, В. Б. Манычев; Под ред. И. П. Норенкова. Кн. 5.
М.: Высш. шк., 1985.
14. Солодовников В. В. Проблемы автоматизации проектирования и
методы теории автоматического управления // Изв. АН СССР. Техн.
кибернетика. 1980. № 5. С. 23—30.
15. Солодовников В. В. Оптимизация иерархических систем управления.
М.: МВТУ, 1982.
16. Солодовников В. В. Системный анализ и проектирование
многообъектных систем управления. М.: МВТУ, 1982.
17. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип
сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.
18. Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В. Основы теории
"? элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение,
1985.
п 19. Техническая кибернетика: Теория автомат, регулирования: В 3 кн. /
'1од ред. В. В. Солодовникова. Кн. 1. М.: Машиностроение, 1967. (Сер.
Инженер, монографий).
20. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического ре-
гУлирования. М.: Машиностроение, 1989.
., 21. Фаронов В. В. Система автоматизированного моделирования. СИАМ.
М-: Изд-во МГТУ, 1989.
31*
483

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 213, 227, 230
Автоматизация проектирования 452
Автоматизированная система
управления 42
Автоматика 12
Автоматический регулятор 23
Автопилот 31, 102
Адаптивные системы управления
аналитические 334
поисковые 341, 345
с эталонной моделью 346, 350
Алгоритмическое обеспечение 466
Амплятудно-фаэовая
характеристика 75, 77, 80—82
——■—второго рода 145
динамических звеньев 80—82
■ первого рода 145
Амплитудно-частотная
характеристика 67
Анализ, задача
— дискретно-непрерывных систем 389
— дискретных систем
— качества регулирования
— нелинейных систем
— устойчивости
■ дискретных систем
непрерывных систем
по АФХ
по ЛЧХ
Астатическая система
392
152, 170
206
128, 145
393, 397
128
141
145
33
— типовые 39
Время
— дискретное 355
— запаздывания §2
—переходного процееа
регулирования 154
Вынужденные колебания 64
Г
Гармоническая линеаризация 221
Гипотеза эргодичности 280
Д
Декада 84
Декомпозиция системы 121
Дельта-функция 39
Децибел 84
Динамическая точность 275
Динамические характеристики (см.
также Уравнение динамики) 57
Дискретная САР
, анализ 354
, анализ устойчивости 393
, математическое описание 357,
360
, передаточные функции 375, 382
Дифференциальные уравнения (см.
также Уравнения динамики) 59
Добротность 172
— САР 172
Д-разбиение 149
Байесовские оценки
Белый шум
331
283
Ж
Желаемая ЛАЧХ
186
В
Вариациюяое исчисление 237
Вещественная частотная
характеристика
замкнутой системы 157
обобщенная 156
.применение 161, 170
—.свойства 170
Воздействие 25, 39
— возмущающее 39, 41
— единичное ступенчатое 39
Задача
— анализа
— АКОР
— вариационная
— Винера
— Лаграяжа
— Майера
— оптимального управления
при наличии помех
— синтеза
Задающее устройство
128, 151
245
241
293
239
239
235
297
179
28
484
чапас устойчивости
^,_--по модулю
— по фане
147
148
148
Звено
_, апериодическое (инерционное) 73
— дифференцирующее
(форсирующее) 79
__— второго порядка
__— первого порядка
_- запаздывающее
__- интегрирующее
_-колебательное
_- неустойчивое апериодическое
_— колебательное
_- усилительное
Зона
— насыщения
— неоднозначности
И
81
79
82
77
75
74
76
73
206
206
Идентификация
— методом корреляционных
функций 319
— методом частотных
характеристик 309
— по методу свертки 315
Изображающая точка 208
Импульсная переходная функция
— дискретной системы 358, 361
непрерывной системы 326, 242
Импульсный элемент 355, 363
Интервал частот 84
Информатика 17
Информация 15
Исполнительное устройство 28
К
151 154
152
364, 423
409
18
Качество САР
, анализ
Квантование
—то времени
— по уровню
Кибернетика
Классификация
— динамических звеньев 72
— нелинейных характеристик 206
-—устройств САР 27
Ключ (см. Импульсный
элемент 355, 363
Корректирующее устройство
~-— параллельное 195
■ последовательное 190
Коррелятор 285
Корреляционная функция 281
■ , свойства 282
" , связь со спектральной
плотностью 286
Коэффициент
■— гармонической линеаризации 226
— демпфирования 75
— ошибки 174
■— передаточный 73
Критерий
— качества регулирования 152
— кв адр этичный 245
— монотонности 172
— перемежаемости 140
— устойчивости 132
— амплитудно-фазовый (Найквиста —
Михайлова) 141
Михайлова 137, 139
Рауса — Гурийца 123
Л
Линеаризация 59
— гармоническая 221
— дифференциальных уравнений 59
— нелинейных характеристик 58
Логарифмическая
амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)
желаем ая 186
, построение для .одноконтурной
разомкнутой САР 94
типовая 202
Логарифмические частотные
характеристики (ЛЧХ) 83
—, анализ устойчивости 145
динамических звеньев 84—92
, метод построения 93
САР 94
М
466
Математическое обеспечение
Матрица
— выхода ПО
— единичная 111
— квадратная 109
— переходная (фундаментальная) 111
— симметричная 245
Матричная передаточяая функция 114
Метод
— анализа качества 152
■—переходных процессов 153
устойчивости 132
— вычисления переходной
матрицы 112
— дифференциальной
аппроксимации 310
— максимального правдоподобия 332
описания 56, 107
— ортогональных разложений 317
— переменных состояний 107
— трапецеидальных частотных
характеристик 159
— фазовой плоскости
(траекторий) 207
— частотный 56
Мнимая частотная характеристика 156
485

н
Наблюдаемость 116
Нелинейная система 205
— характеристика 58
, линеаризация 59
Нелинейный элемент 206
Номограмма
—для определения Р(со) 158, 159„ 189
Q(to) 158, 159
запаса устойчивости,
показателей качества 202
перевода натуральных чисел 97
-— аамыкания 105
О
Обеспечение САПР
■ алгоритмическое 466
математическое 466
• программное 444, 467
Область устойчивости 149
САР 150
построение 150
Обобщенная характеристика
вещественная 156
мнимая 156
Обратная связь (см. Связь
обратная) 24
в САР 19, 21
отрицательная 19, 24
Объект регуилрования 29
, дифференциальные уравнения 63
Октава 84
Определитель Гурвица 135
Оптимальное упарвление 235
Оптимальная система 264, 266
— быстродействие 259
в дискретной форме 271
Оптимальный линейный
регулятор 237, 252
— переходный .процесс 182
Особая точка 210
Особый отрезок 210
Отклонение регулируемой 'величины 26
Оценка точности
динамической 275
Оценки
— байесовские 331
— марковские 333
Ошибка (погрешность) 24
П
Параметр
■— системы 329
Пассивный корректирующий
фильтр 201
Передаточная функция 68
, определение 69
■ ошибки 71
-САР 70, 94
дискретной
непрерывной
с управляющей ЭВМ
элементов и устройств
». 70
^. 3?5
САР 7о
. Z-передаточная функция 389
Передаточный коэффициент
циент передачи)
, определение
САР
(козффи_
313
95, 179
—■— элементов и устройств
САР 63
Переменные состояния
Пер ерегул врав ание
Переходная функция
Переходные процессы
„ определение методом
ций
Плоскость фазовая
;. 73-81
107
40, 154
161
35, .-.о
трапе-
159
207
Показатели качества
регулирования
Постоянная времени
——, определение
Предельный цикл
Преобразование
— структурных схем
— частотного спектра
—, Z-преобразование
Привод
Принцип
— аргумента
— максимума
Проблема
— динамической точности
— сложности
154
63
64
210
99
367
377
399
137
255
274
458
Пр огр аммир ов ание м атем
этическое
Проектирование САР
, сущность
предварительное
техническое
эскизное
Прямой метод Ляпунова
269
452
453
454
454
454
128
Распределенные системы
управления 441
Расчет САР (см.
Проектирование) 452
Регулирование
— импульсное 37
— непрерывное 37
Регулируемая величина 25
Регулятор 29
— ПИ 250
Релейная САР 216
Робот "
САПР
— интеллектная
452
469
486
обобщенная схема 453
^' сложность 458
'"'технические средства 480
САР 23
СДР типовые,
дискретно-непрерывные 385
гвязь обратная (см. Обратная
связь) 19, 21, 24
Сервомеханизм 29
Сигнал
_- входной 26
выходной 26
__ главный обратной связи 26
ошибки 24
Синтез корректирующего
устройства 178
параллельного 195
последовательного 190
.постановка задачи 179
Синтез САР при входных случайных
воздействиях 291
Система
— автоматизации проектирования
(САПР) 452
— автоматизированного синтеза 465
Система автоматического
регулирования (САР)
адаптивная 48, 337
астатическая 33
дискретная 37, 385
многоконтурная 30
нелинейная 205
непрерывная 37
релейная 216
— статическая 33
Стационарный случайный
цеос
Структурная схема САР
вро-
280
185
Система автоматического управления
(САУ) 19, 41
адаптивная 336
иерархическая
многоуровневая 429, 435, 456
самонастраивающаяся 337
распределенная 441
самообучающаяся 336
самоприспосабливающая 335
Система
— несвязанного регулирования 30
— связанного регулирования 30
— стабилизации 27
Следящая система 27, 430
—— позиционная 430
Сложность
—, основные понятия 458
—, шкала сложности 459
Случайные процессы 280
Спектр
— дискретного сигнала 369
— непрерывного сигнала 367
Спектральная плотность 286
Сравнивающее 'устройство 28
Статическая характеристика 58
Теорема
— Котельникова 364
— принципа максимума 258
— Ляпунова 131
Теория автоматического
регулирования 10, 12
Теория автоматического
управления 10, 12
Техническая кибернетика 18
Техническое задание 454
Точность
— динамическая 275
— статическая 97„ 174
Трапецеидальная частотная
характеристика
——— единичная 160
.применение 161
У
Управление оптимальное 235
— «а минимум расхода энергии 268
Управляемость и наблюдаемость 116
■—;, определение 117
— системы 125
Управляющее воздействие 28
Уравнение (см. Дифференциальные
уравнения) 57
— Гамильтона — Якоби 244
— динамики 57
— линеаризации 59
— объекта регулирования 63
— ошибки 70
— разностное 354
— Риккати 253
— статики 58
— статических характеристик 58
Устойчивость 128
— автоколебаний 227
— дискретных САР 393, 397
— в «большом» и в «малом» 210, 211
— одноконтурных САР 145
—.определения 128
— по Ляпунову 128
Фазовая плоскость 207
— частотная характеристика 67
Фазовый портрет 208
Фильтр Винера 293
Функциональная система САР 28
Характеристика
— временная
40
487

— статическая 58
— частотная (см. Частотная
характеристика)
Характеристическое уравнение 131, 137
Ц
Цель управления1
Цикл регулирования
замкнутый
предельный
разомкнутый
Цифроаналогавый
тель
Цифровая ЭВМ
21
24
211
24
преобраз01ва-
363
363
6?
75
67
амплитудная
амплитудно-фазовая
вещественная
логарифмическая амплитудная 84
мнимая 57
обобщенная lgg
типовых звеньев 74, 77—-82
трапецеидальная 1бо
фазовая 6?
, экспериментальное определе
67
критерий устойчивое-
137
Чувствительный элемент 2
ние
Частотный
ти
Частота
— автоколебаний 213, 227
— сопрягающая 85, 94
— среза 99
Частотная характеристика 67
Экспериментальное определение
корреляционной функции 284
спектральной плотности 287
—— частотных характеристик 67
Экстр аполятор 371, 421
Эргодичность 281
488
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список аббревиатур и буквенных обозначений 3
Предисловие }"
Введение ■ • • ■ • •
1. Понятия и определения теории информации, информатики и
кибернетики '5
1.1. Информация — одно из основных понятий кибернетики . . 15
1.2. Информатика и вычислительная техника 17
1.3. Кибернетика и управление 18
1.4. Цель управления в технических системах 21
2. Основные понятия теорий автоматического регулирования и
автоматического управления 22
2.1. Принципы и основы построения систем автоматического
регулирования
23
2.2. Классификация САР. Основные функциональные устройства
САР 27
2.3. Прямое и непрямое регулирование, одноконтурные и
многоконтурные, несвязанные и связанные САР 29
2.4. Статическое и астатическое регулирование 33
2.5. Классификация САР в зависимости от идеализации,
принятой при их математическом описании 36
2.6. Системы непрерывного и дискретного действия .... 37
2.7. Основные технические требования, предъявляемые к САР 37
2.8. Системы автоматического управления 41
2.9. Проблема управления 46
2.10. Примеры САР и САУ 48
3. Дифференциальные уравнения и частотные характеристики систем
автоматического регулирования 56
3.1. Уравнения САР 57
3.2. Методика составления дифференциальных уравнений САР.
Линеаризация уравнений 59
3.3. Свободные и вынужденные колебания САР. Частотные
характеристики 64
3.4. Передаточная функция непрерывной линейной стационарной
системы и ее свойства 68
3.5. Типовые звенья САР 72
3.6. Логарифмические частотные характеристики 83
3.7. Приближенный способ вычисления и построения
логарифмических частотных характеристик одноконтурных систем . . 94
3.8. Преобразование структурных схем САР 99
3.9. Номограмма для замыкания системы 104
4. Метод переменных состояния в САР 107
4.1. Переменные состояния и уравнения состояния динамической
системы 107
4.2. Матричная передаточная функция 114
4.3. Управляемость и наблюдаемость 116
4.4. Значение понятий управляемости и наблюдаемости в ТАР 123
4.5. Управляемость и наблюдаемость соединений подсистем . . 125
4.6. Задача минимальной реализации 127
489

5. Анализ устойчивости линейных непрерывных систем
автоматического регулирования 128
5.1. Понятия и определение устойчивости по Ляпунову . . . 12$
5.2. Критерии устойчивости линеаризованных САР . ... 132
5.3. Алгебраические критерии устойчивости 133
5.4. Частотные критерии устойчивости. Критерий устойчивости
Михайлова. Амплитудно-фазовый критерий устойчивости . . 137
5.5. Анализ устойчивости одноконтурных систем автоматического
регулирования по их частотным характеристикам .... 145
5.6. Запасы устойчнвости систем по модулю и фазе .... 147
5.7. Определение областей устойчивости 149
6. Анализ качества линейных непрерывных систем автоматического
регулирования 151
6.1. Методы анализа качества САР 152
6.2. Частотный метод определения переходных функций линейных
непрерывных САР 154
6.3. Определение переходных процессов методом трапецеидальных
трапецеидальных
6.4. Вычисление переходного процесса в САР при помощи ЭВМ 164
6.5. Вычисление переходной функции r ГДР г юоо-т™™~я. -^
ратной связью
167
6.6. Частотный метод анализа качества регулирования. ... 170
6.7. Определение значения передаточного коэффициента (или
добротности) астатической системы по ЛАЧХ 172
6.8. Коэффициенты ошибок системы 174
7. Синтез корректирующих устройств линейных систем автоматического
регулирования 178
7.1. Постановка задачи синтеза 179
7.2. Желаемая логарифмическая амплитудная частотная
характеристика САР 186
7.3. Синтез последовательных корректирующих устройств . . 190
7.4. Синтез корректирующих обратных связей и параллельных
корректирующих устройств 195
7.5. Синтез САР с последовательным корректирующим устройством
и корректирующей обратной связью 199
7.6. Номограммы для определения запаса устойчивости,
показателей качества и коэфициентов ошибок САР по ЛАЧХ . . . 202
8. Элементы теории нелинейных систем автоматического
регулирования 205
8.1. Нелинейные системы. Типовые нелинейные характеристики 205
8.2. Метод фазовых траекторий 207
8.3. Автоколебания в нелинейных САР 213
8.4. Примеры нелинейных САР релейного типа 215
8.5. Метод припасовывания 220
8.6. Применение метода гармонической линеаризации для анализа
устойчивости нелинейных САР 221
8.7. Определение амплитуды а0, частоты ц>о и устойчивости
автоколебаний 227
8.8. Анализ устойчивости и расчет параметров автоколебаний.
Метод фазовой границы устойчивости 230
9. Основы теории детерминированного оптимального управления . , 235
9.1. Постановка задачи оптимального управления 236
9.2. Вариационное исчисление и современные задачи теории
автоматического управления 23/
9.3. Типовая вариационная задача оптимального управления . . 241
9.4. Приведение задачи оптимального управления к уравнению
Гамильтона—Якоби 244
9.5. Квадратичный критерий качества. Линейный объект . . . 245
9.6. Оптимальные ПИ-регуляторы 250
9.7. Понятие о принципе максимума 255
490
9.8. Формулировка и классификация методов математического
программирования
9.9. Сведение задачи оптимального управления к задаче
математического программирования __• ^'1
9.10. Формулировка задачи оптимального управления в дискретной
форме 2
10. Основы анализа и синтеза САУ при случайных воздействиях 274
10.1. Постановка задачи анализа динамической точности САР 275
10.2. Случайные величины и функции, стохастические процессы 276
10.3. Стационарные и эргодические случайные процессы . . . 280
10.4. Связь между спектральными плотностями и корреляционными
функциями иа входе и выходе линейной динамической
системы 289
10.5 Синтез САР при входных случайных воздействиях . . . 291
10.6. Метод оптимизации динамических систем при случайных
воздействиях (фильтры Винера) _- 293
10.7. Решение интегрального уравнения относительно оптимальной
передаточной функции 297
10.8. Алгоритм вычисления фильтров 299
10.9. Синтез системы с минимальной среднеквадратической и
нулевой или задаииой динамической ошибками. Постановка
задачи 304
11. Методы идентификации объектов регулирования 308
11.1. Идентификация методом частотных характеристик . . . 309
11.2. Идентификация методом свертки в случае произвольного
входного сигнала 315
11.3. Метод ортогональных разложений 317
11.4. Идентификация методом корреляционных функций . . . 319
11.5. Ортогональный метод моментов 321
11.6. Метод дифференциальной аппроксимации 328
11.7. Идентификация объектов методами теории оценивания
параметров 329
12. Основные принципы построения адаптивных систем .... 334
12.1. Функциональные особенности и классификация адаптивных
САУ 335
12.2. Пассивные и активные, разомкнутые и замкнутые адаптивные
системы ' 337
12.3. Аналитические и поисковые адаптивные системы .... 341
12.4. Адаптивное управление техническими объектами с эталонной
моделью 346
12.5. Адаптивная система с эталонной моделью, реализующая
градиентный метод 350
13. Дискретные цифровые системы автоматического управления . . 354
13.1. Определение дискретной системы. Разностные уравнения 354
13.2. Методы математического описания дискретных систем . . 357
13.3. Прохождение непрерьшного сигнала через цифровую ЭВМ 363
13.4. Преобразование частотного спектра непрерывного сигнала при
его прохождении через цифровую ЭВМ 367
13.5. Передаточные функции дискретных систем 372
13.6. Передаточная функция САР с ЭВМ в контуре управления 375
13.7. Z-преобразование 377
13.8. Z-передаточная функция дискретной системы .... 382
13.9. Типовые дискретно-непрерывные системы 385
13.10. Анализ дискретно-непрерывных систем, описываемых
уравнениями в переменных состояния 389
13.11. Анализ устойчивости дискретных САР 393
13.12. Электрический цифровой следящий привод с
электродвигателем постоянного тока 399
491

14. Цифровое управление с помощью микроЭВМ 405
14.1. Общие сведения 405
14.2. Эффекты квантования по уровню. Аналоговый вход . . 409,
14.3. Длина слова в АЦП, ЦАП, арифметическом устройстве н
МП-снстеме регулирования 415
14.4. Прохождение шума квантования через систему .... 4ig.
14.5. Аналоговый выход 421
14.6. Дискретизация по времени 423
14.7. Микропроцессор как универсальный регулятор и основа
нового поколения иерархических систем управления .... 426
14.8. Позиционная следящая система с МП-корректирующим
устройством 430
15. Иерархические многоуровневые управляющие системы . . . 432
15.1. Примеры иерархических структур 432
15.2. Автоматизированные системы управления техническими
объектами как иерархические системы 435
15.3. Централизованные и иерархические управляющие
вычислительные комплексы 438
15.4. Распределенные системы управления 441
15.5. Особенности распределенных систем управления . . . 443
15.6. Системы передачи данных в РСУ. Требования к
программному обеспечению и особенности проектирования операционных
систем 444
15.7. Координированное управление иерархическими системами 446
16. Автоматизация проектирования 452
16.1. Сущность процесса проектирования 453
16.2. Проектирование и понятие сложности 458
16.3. Системный подход к проектированию 460
16.4. Особенности автоматизации проектирования систем управления 463
16.5. Системы автоматизированного синтеза 465
16.6. Математическое, алгоритмическое, программное и
лингвистическое обеспечение САПР САУ 466
16.7. САПР как интеллектная система 469
16.8. Моделирование и автоматизированный синтез САУ . . . 471
16.9. Система автоматизированного моделирования и оптимизации
САР и САУ 47»
16.10. Технические средства САПР , , 480
Литература 483
Предметный указатель 484
492
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Владимир Викторович Солодовников
Вадим Николаевич Плотников
Альберт Васильевич Яковлев
Теория автоматического управления
техническими системами
Редакторы Л. П. Строганов, Е. С. Ивашкина
Художник С. К. Девин
Технический редактор О. В. Рыбина
Корректоры О. В. Калашникова, Л. И. Малютина
ИБ 012
ЛР № 020523 от 23.04.92. ю11(и
Сдано в набор 30.08.93. Подписано в печаи> 23.11.93.
Формат 60X90/16 Гарнитура литературная. ЪУ™*™ ™?" 33 Q5
Печать высокая. Усл. печ. л 31 Уч.-изд л- 33.95
Тираж 3000 экз. Заказ 3591. Изд. № 31.
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Производственно-издательский ком1бинат ВИНИТИ.
140010, г. Люберцы, Октябрьский пр., 403.