The Cams Mathematical Monographs
NUMBER SIX
FOURIER SERIES AND
ORTHOGONAL POLYNOMIALS
by
DUNHAM JACKSON
Professor of Mathematics,
The University of Minnesota
1941

Д. ДЖЕКСОН
РЯДЫ ФУРЬЕ
И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
ПОЛИНОМЫ
Перевод с английского
а. м. гутерман
19 4 8
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Небольшая книжка Д. Джексона представляет собой изло-
изложение важной области математики, лежащей на границе не-
нескольких математических дисциплин (теория функций, анализ и
специально краевые задачи для дифференциальных уравнений).
Изложение по возможности современно и строго, но в то же
время элементарно. Больше внимания уделено выяснению основ
данной теории и ее связей со смежными разделами математики
и математической физики, чем изысканным тонкостям, возни-
возникающим при желании довести изложение до предельной общно-
общности и логической законченности.
Ряды Фурье по тригонометрическим функциям занимают
всего 47 страниц. Но о них сказано все, имеющее интерес для
широкого круга математиков и физиков. Далее, с большой пол-
полнотой изложены свойства и применения других основных систем
ортогональных функций. В главе VII изложены основы общей
чебышевской теории ортогональных многочлеиоп. Глава IV спе-
специально посвящена краевым задачам для дифференциальных
уравнений, которые естественно приводят к рассматриваемым в
книге ортогональным системам.
Книга по своему уровню занимает промежуточное положе-
положение между совсем элементарными изложениями теории рядов
Фурье и специальными монографиями по более тонким свойст-
свойствам ортогональных функций, ортогональных полиномов и по
теории наилучших приближений. Именно эта переходная ступень
оставалась незаполненной в нашей литературе. Читатель, заин-
заинтересовавшийся более глубоко отдельными вопросами, рассмат-
рассматриваемыми в книге Джексона, может обратиться к целому ря-
ряду прекрасных, ио более специальных и трудных монографий
советских авторов (см. книги Н. И. Ахиезера, С. Н. Бернштейна
и В. Л. Гончарова, указанные в библиографии).

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В настоящей монографии излагаются основные
свойства ортогональных функций и разложения в
ряды по этим функциям. Исследование этих вопросов
интересно не только для студента, знакомящегося
с чистой математикой, но и оказывается необходимым
при анализе многих явлений природы, допускающих
математическое описание.
Математика изучает соотношения, столь глубоко
проникающие в природу вещей, что их можно встре-
встретить при самых различных обстоятельствах. Разу-
Разумеется, это, в частности, верно в отношении основных
понятий арифметики и геометрии, которые склады-
складывались в сознании человека с самого начала его
мышления. С развитием науки и соответствующим
расширением круга явлений, поддающихся количест-
количественному исследованию, возникали все более сложные
представления, которые постепенно упрощались путем
сведения их к более простым.
К такого рода представлениям принадлежит общее
аналитическое понятие ортогональности и, в част-
частности, различные виды ортогональных систем, кото-
которыми мы и будем заниматься в этой книге.
Изложение материала ведется нами по двум ос-
основным линиям, которые вначале тесно связаны
между собой, а впоследствии расходятся в соот-
соответствии с различными принципами обобщения.
При решении „дифференциальных уравнений
математической физики" с помощью ортогональных
Функций можно рассматривать разложение в ряд
Фурье как некоторое обобщение использования пря-
прямоугольных координат в элементарной геометрии.

Предисловие автора
Различный выбор систем координат приводит к рядам
Лежандра, Лапласа, Бесселя, а также и к другим
рядам, не рассматриваемым в этой книге. Словами
„ряды Фурье' в названии книги мы хотели отметить
весь круг этих вопросов.
Читатель, интересующийся прежде всего примене-
применениями ортогональных систем к физике, может начать
чтение книги с IV и V глав, обращаясь к предыду-
предыдущим главам лишь по мере надобности и оставляя
в стороне рассмотрение вопросов сходимости.
Что касается ортогональных полиномов (вторая
часть названия книги), то полиномы Лежаидра
являются в некотором смысле простейшими нз них,
так как соответствуют весу 1. Другим весовым функ-
функциям соответствуют ряды Фурье по синусам или коси-
косинусам в отдельности (при соответствующем выборе
независимой переменной), производные полиномов
Лежандра, более общие полиномы Якобн, полиномы
Эрмита и Лагерра. Сравнение этих типов ортогональ-
ортогональных полиномов, естественно приводит к рассмотрению
ортогональных полиномов, соответствующих произ^
вольному весу.
При изложении материала мы не всегда придер-
придерживались какого-нибудь единого порядка. В интере-
интересах компактности изложения или облегчения понима-
понимания, нам часто надставлялось удобным отклоняться
от, казалось бы, логически самой простой последова-
последовательности изложения. В тех случаях, когда сталки-
сталкивались между собой требования логической после-
последовательности изложения и легкости понимания, нред-
почтение отдавалось последнему.
От читателл на протяжении большей части книги
не требуется никакой специальной подготовки за
исключением знакомства с началами математического
анализа. Для понимания глав VIII, IX и X н некото-
некоторых упражнений к главе Щ необходимы некоторые
сведения о гамма- и бета-функциях. Вообще предпо-
предполагается наличие некоторой „математической куль-

Предисловий atmopa
туры" или же она должна быть приобретена в про-
процессе чтения. Читатель должен владеть общим поня-
понятием функции, которое не требует, чтобы функция
была обязательно представлена с помощью некото-
некоторой аналитической формулы. Он должен понимать
определенный ¦ интеграл, как числовую величину, под-
подчиненную отношениям „больше" и „меньше" и только
изредка как результат некоторого процесса вычис-
вычисления. В особенности он должен хорошо усвоить
„ортогенальность", как понятие математического ана-
анализа, введенное соответствующим определением,
ассоциируя его лишь в некотором приближении
с геометрическим понятием ортогональности, а вре-
временами и вовсе отказываясь от такой ассоциации,
аналогично тому, как читатель привык употреблять
слова „линейное уравнение" или „квадрат числа",
не связывая их обязательно с воспринимаемыми зри-
зрительно геометрическими объектами.
В некоторых местах мы отказываемся от „стро-
„строгости" при формулировке предложений, не внося
в них всех нужных оговорок. Однако мы надеемся,
что читатель, знакомый с методами строгого анализа,
сможет легко дополнить пропущенные оговорки и
заключения и, таким образом, убедиться в том, что
все сказанное нами действительно справедливо и
в самом строгом смысле.
Мы приводим в конце книги упражнения, отно-
относящиеся к различным главам, цель которых — не
столько „набить руку", сколько проиллюстрировать
и дополнить основной текст.
Список дополнительной литературы приведен
в конце книги, и все ссылки, если они не даны
в тексте или в подстрочных примечаниях подробно,
относятся к этому списку. К каждой главе прила-
прилагается, кроме того, краткий список литературы, отно-
относящейся к данной главе; точные данные относи-
относительно этой литературы можно узнать из общего
списка, приведенного в конце книги. Несколько

Предисловие автора
более специальных ссылок приведено в подстрочных
примечаниях.
Основой этой книги послужил курс, читанный
мною в течение многих лет в университете в Минне-
Миннесоте. Сейчас было бы невозможно отметить всех
лиц из ряда поколений слушателей, чьи замечания
были мною сознательно или бессознательно учтены.
Я признателен The Cams Monographs Committee и
особенно его председателю профессору Сондерсу
Мак-Лэйну (Saunders MacLane) за самое искреннее
сотрудничество и многочисленные ценные указания.
Апрель, 1941. Д. ДЖЕКСОН

ГЛАВА Г
РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Определение рядов Фурье. Функция f(x)
может быть представлена, при довольно общих Пред-
Предположениях, бесконечным рядом вида:
f (х) = Ао + я, cos х -f- rt2 cos 2x + • • •
v1-' —j— ^, sin jsc —f— ?asin2;c -f- • • •.
Этот ряд, если его коэффициенты определены так,
как это будет указано ниже, называется рядом Фурье.
Так как каждый член этого ряда есть функция
периодическая с пэриодом 2я, то и сумма-ряда имеет
тот же период. (Говорят, что константа а является
периодом функции <p(x), если <р (х^-а) тождественно
равно <p(x); однако а — не обязательно наименьшая
константа, для которой удовлетворяется соотноше-
соотношение такого вида: если а — период, то любое кратное
а —:также период. В соответствии с этим определе-
определением, функции cos nx и sin nx имеют период 2я, но
они имеют также меньший период-—.)
Однако, иногда ряд Фурье применяется для пред-
представления данной функции, только на интервале
длины 2к, н в том случае, если эта функция не обладает
свойством периодичности сама по себэ, а периодич-
периодичность является лишь случайным следствием пове-
поведения ряда вие интервала, на котором первоначально
была задана функция.
Период 2т может быть заменен в дальнейших
рассмотрениях периодом произвольной длины, как
это будет показано позже. При этом не возникает
дополнительных затруднений, за исключением незна»
чительнчх усложнений в формулах.

10 Глава 1
2. Ортогональность синусов и косинусов. Для
вычисления коэффициентов ряда Фурье полезно
найти значения некоторых определенных интегралов.
Если п — целое, отличное от нуля, то
1С 1С
B) f cos nx dx = 0, f sin nx dx — 0.
—я —я
Последнее соотношение выполняется также при
я = 0. Первый же интеграл при я = 0 равен 2я.
Пусть р и q — неотрицательные целые числа.
Так как
cos/>xcos qx = -2- cos(p — q) x -f -j- cos(p + q) x,
то получаем, применяя первое из равенств B) при
tt=p — q и n=p-}-q, что
C) ?cos px cos qx dx = 0,
если p^q. При p = q^O интеграл от co$(p-\-q)x,
взятый по интервалу (—«, я), попрежнему равен
1С Я
нулю, в то время как I cos (р — q) x dx = Ых=2я,
—я —я
и, следовательно, имеем:
¦Аналогично тождества
smpxslnqx— -j cos(/»— q)x — -^-cos(p + ?)x,
iA:= -i- sin(/> — 4*) a;+ -^-51

дают:
D)
E)
Ряды Фур\,е
f sin px sin qx dx = 0,
1С
/«
т Sta pX dx = It,
fc sin px cos qx dx = 0;
11
последнее соотношение выполняется как при p = q,
так и ори pjbq.
Факт обращения в нуль интегралов C), D) и E)
выражают словами, говоря, что функции 1, cos*,
cos2x,..., sin х, sin2x,... — попарно ортогональны
на интервале (—я, я).
Вообще, две функции и(х), v(x) называются
ортогональными друг другу на интервале (а, Ь),
если
ь
|'и (х) v (х) dx = 0.
Это понятие ортогональности, которое надо рас-
рассматривать как некоторую характеристику функцио-
функциональной зависимости, на самом деле родственно поня-
понятию перпендикулярности в геометрии, соответствую-
соответствующим образом интерпретированному и обобщенному'.
3. Вычисление коэффициентов. Если предполо-
предположить, имея целью формальные вычисления, что ряд
можно почленно интегрировать, то, интегрируя обе
части формулы A) и применяя B), получим:
= 2* А„ Ао = ±
1 См. упр. 5 к гл. VII » коше книги.

12 Глава I
так как каждый интеграл в правой части, за исклю-
исключением интеграла от постоянного члена, равен нулю.
Длл определения аь при k^zO нужно помножить
тождество A) на cos Ах и полученное выражение
для f(x)coskx проинтегрировать в пределах от — к
до к; при этом мы предполагаем, что почленное инте-
интегрирование законно. Снова, вследствие равенств B),
C) и E), каждый интеграл в правой части равен
нулю, за исключением одного, который содержит
cos9^jc, и мы находим, что
1С 1С
(/(х)coskxdx = «ft (cos*kxdx—*ak,
—it -—ft
1С
F) °*=4~ J/ wcos kx dx-
—it
Аналогично,
G) bk = — J /(*) sin kx dx.
—it
Нужно отметить, что формула для вычисления аь
не сводится к таковой для Ао, если k положить
равным 0. Однако, если 2Д„ обозначить через а0, то
формула F) при ?=0 дает. а0. В дальнейшем ряд
Фурье будет обычно записываться в форме:
(8) ^-
где все коэффициенты, включая а0, даются форму-
формулами F) и G).
Приведенное выше вычисление коэффициентов
потребовало некоторых предположений относительно
возможности интегрирования рядов. Однако, если
f(x) — любая интегрируемая на интервале (— к, я)
функция, то все коэффициенты ak, bk можно опреде-

Ряды Фурье 13
лить по формулам F), G), а затем уже исследовать
свойства полученного ряда (8): его сходимость и за-
законность представления им функции fix). В даль-
дальнейшем будет принята именно эта точка зрения:
каждой функции f(x), для которой интегралы F) и
G) имеют смысл, будем ставить в соответствие (схо-
(сходящийся или нет) ряд Фурье (8).
(Слово „интегрируемая" здесь и в дальнейшем
означает существование определенного интеграла,
о котором идет речь, как предела суммы, или, в слу-
случае несобственного интеграла, существование пре-
предела, сходимость к которому определяет несобст-
несобственный интеграл ', а не возможность явно выразить
этот интеграл с помощью элементарных функций.)
Если F(y) — функция переменной у с периодом
2р, где р — произвольное положительное число, то
положим
и обозначим F(y), рассматриваемую как функцию
от х, через fix). Тогда f(x) имеет период 2я. Если
f(x) представлена рядом вида (8), то этот ряд дает
представление функции F(y) в виде:
а формулы F) и (!) для коэффициентов дают:
—p
p
—р
1 Или это слово может пониматься как условие существо-
существования интеграла в смысле Лебега.

14 Глава I
Вся теория рядов Фурье применима к функциям
с любым периодом. Однако мы продолжим изложе-
изложение, пользуясь простейшими формулами, относящи-
относящимися к частному значению р = к.
Из интерпретации определенного интеграла как
площади, очевидно, и легко может быть доказано на
основе аналитического определения, что если перио-
периодическая функция интегрируется по интервалу,
длина которого равна, ее периоду, то этот интер-
интервал может быть заменен любим другим интер-
интервалом той же длины и величина интеграла при
этом не изменится. Если <р(л:) имеет период 2я, то
J <p(x)dx= j <?(x)dx
b
для всех значений а и b. В связи с этим, при вычислении
коэффициентов ряда Фурье периодической функции
с периодом 2я, соответствующие интегралы можно
брать по интервалу @, 2те), вместо интервала (—те, it);
употребление других интервалов длины периода также
вполне допустимо и иногда весьма полезно.
4. Ряды косинусов и ряды синусов. Если ? (х)—
четная функция, т. е. такая, что ?(— х) = (р(х), и если
она интегрируется по интервалу (— а, а), симме-
симметричному относительно начала координат, то легко
доказать, что
О
В самом деле, представим интеграл от — а до а, как
сумму двух интегралов соответственно в пределах
от — а до 0 и от 0 до а, и в первом из этих инте-
интегралов положим t = — х; тогда
О 0 а а
qp (х) dx = - J ? (-t) dt = fe(-t) dt =U (t) dt,
0 0

Ряды Фурье 15
следовательно, оба слагаемые, на которые разложен
весь интеграл, равны между собой.
Аналогично, если ф(л:) — нечетная функция, т. е.
если ф( — х) = — ц>(х), то
так как интегралы, взятые соответственно в преде-
пределах от — а до 0 и от 0 до а, равны между собой
по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Если f(x) —четная функция на интервале
(— тс, тс), то функция f(x)coskx — четная, а функ-
функция f(x)s\nkx—нечетная для каждого значения k.
Определяя коэффициенты ряда Фурье для f(x) по
фэрмулам F) и G), получим:
тс
(9) ak = \- f/(x) cos kx dx
о
и bk = 0. Ряд Фурье для/(х) содержит только члены
с косинусами; коэффициенты этого ряда опреде-
определяются формулой (9).
Если f(x) — нечетная функция, то произведения
f{x)coskx и /(x)sin kx будут соответственно нечет-
нечетной и четной функциями. Ряд Фурье для f(x) со-
содержит только члены с синусами, коэффициенты
при которых даются следующей формулой:
A0) Ьк = — J/C«) sin kx dx.
о
Формулы (9) и A0) сами по себе требуют зна-
знания значений функции f(x) только в интервале @, it).
Любая функция, интегрируемая в пределах от 0
до тс, может быть формально представлена в этом
интервале посредством ряда косинусов с коэффи-
коэффициентами (9) или ряда синусов с коэффициентами

16 Глава I
A0), без какого бы то ни было предположения зара-
заранее о ее четности, нечетности, периодичности и во-
вообще определенности где-нибудь вне этого интервала.
5. Примеры. Применим формулы предыдущего
пункта к функции /(л:) = л: на интервале @, it).
Для соответствующего ряда косинусов получим:
тс
ак=— \х cos kx dx.
$
При?=0 непосредственное интегрирование сразу
дает: лЛ = те. При ?>0 применим интегрирование
по частям, рассматривая х и coskxdx как сомножи-
сомножители; находим, что
1С 1С
Гл: cos kx dx= Г -у х sin kx | —ft- f sin kx dx =
6 0
4
таким образом, ak=0, если k — четное, и ак = —^j-,
если k—нечетное. В результате искомый ряд будет
иметь вид:
о
Для ряда синусов получим:
С 1С
= | ^хcosk* \ -\--г-\coskxdx =¦
6
= •—у cos
, = -^ (xsinkxdx = (—1
таким образом, этот ряд имеет вид:
,,„. „Г . sin2jc , sin3A: sin4x , 1
A2) 2^тл: ^ 1 з 4 г#**]«

Ряды Фурье 17
Каждый из этих рядов на самом деле сходится
к значению х всюду на интервале @, те), исклю-
исключая его правый конец — точку х = к для ряда
синусов. Это будет установлено в п. 10 при доказа-
доказательстве сходимости. (Сходимость некоторых рядов,
связанных с только что описанными, иллюстрируется
графиками, сопровождающими упражнения C), D),
E) гл. I в конце книги.) Если справедливость этого
утверждения принять пока на веру, то сразу обнару-
обнаруживаются некоторые интересные следствия.
Каждый член ряда A1) есть четная функция
с периодом 2те. Для значения х, взятого вне интер-
интервала @, к), каждый член ряда (И) будет такой же, как
и для соответствующего значения х на этом интервале.
Будучи сходящимся на интервале @, я), этот ряд
сходится поэтому при всех значениях х к сумме,
которая сама есть четная функция с периодом 2те.
График суммы ряда получается отражением отрезка
примой у = х, Os^xs^rc в оси_у и повторением таким
образом полученной для — irsgxsgit ломаной линии
на последовательных интервалах длины 2тс слева и
справа от интервала (—я, я). Весь график есть зигзаго-
зигзагообразная линия, имеющая углы в точках с абсциссами
0,±:те,±2я... . Сумма ряда является непрерывной
функцией, производная которой разрывна при ука-
указанных значениях х.
С другой стороны, каждый член ряда A2) есть
нечетная функция с периодом 2я. Для каждого х,
взятого вне интервала @, я), значение каждого члена
ряда A2) или равно значению этого члена для соот-
соответствующего л; на этом интервале, или равно ему
по величине, но противоположно по знаку. Сходи-
Сходимость этого ряда, следовательно, несомненна при
всех значениях х, если известно, что он сходится
на интервале @, it); сумма его есть функция нечет-
нечетная и периодическая. График суммы ряда симмет-
симметричен относительно начала координат, а сама сумма
равна л; всюду на интервале — к <^х<^ я. График сум-
2 Д. Джеироп

18 Глава I
мы ряда на интервале (B/г — 1)я, B/г -\-1) к) получается
сдвигом на 2/гя, параллельным оси х, графика сум-
суммы ряда на интервале (— я, я). Таким образом, мы
получим весь график суммы ряда. Сумма ряда являет-
является разрывной функцией с разрывами в точках
х = ±к, ±:3я, ±:5те При этих частных значениях х
ряд, очевидно, сходится к значению 0, так как каж-
каждый член его в отдельности в этих точках равеннулю.
Сумма ряда Фурье, даже в некоторых простей-
простейших (и наиболее важных) случаях, может быть,
таким образом, функцией совершенно другого рода,
чем те, с которыми имеет дело элементарный ана-
анализ. Исследование таких рядов способствует внедре-
внедрению современного понятия о функции, согласно кото-
которому у есть функция х, если каждому значению х
каким-то образом соответствует определенное зна-
значение .у, без всяких ограничений, накладываемых
на тип зависимости, благодаря которой у становится
известным при заданном х.
Описанные только что типы разрывов функции
или ее производной, конечно, не являются прису-
присущими исключительно рядам Фурье. Они одинаково
характерны для других типов рядов, которые будут
позже изучены в этой книге, и могут быть проил-
проиллюстрированы, хотя и несколько искусственно, рядами
более элементарного вида.
Например, биномиальный ряд
представляет неотрицательный квадратный корень
из 1-\-у при —1=ё_у«ё1. (Точное доказательство
этого утверждения для концевых точек интервала
не совсем элементарно, конечно, однако вид этого
ряда хорошо известен.) Если у = х* — 1, то неотри-
неотрицательный квадратный корень из 1-{-у равен х при
положительном х и равен —х при отрицательном л:,
Т, е. [1 + (х«—I)}1'* = | л: |. Интервал —1=^^<1 со-

Ряды Фурье 19
ответствует интервалу 0 sSx2^ 2, т. е. —21/ааёл:яг21/г.
В этом интервале ряд
^ 2-4-6 ^ l' 2-4-6-8 <¦* U-f----.
представляет функцию |л:!, график которой имеет
излом в начале координат. Рлд, полученный в резуль-
результате почленного дифференцирования вышеуказан-
вышеуказанного ряда (выражение (л:9 — 1)* со своим коэффици-
коэффициентом рассматривается как один член) представляет
число 1, как производную от \х\, при 0<.хг?21/а.
и представллет число — 1 при — 21/!^л:<^0; он, оче-
очевидно, сходится к 0 при х = 0, так как все члены
его при этом обращаются в нуль.
6. Абсолютная величина коэффициентов при
специальных предположениях. Пусть/(х) — функция
с периодом 2я, имеющая для всех значений х непрерыв-
непрерывную первую производную. Интегрируя по частям выра-
выражение, определяющее коэффициент Фурье ак,получим:
r.ak = \f(x) cos kx dx =
It *
= \-^-f{x)sinkx 1 j J/'C*)sin kxdx.
Произведение f(x)sinkx обращается в нуль на обоих
концах интервала (—it.it). Если Ж,—максимум tf'()\
| jjf'(x)sinkxdx

20 Глава 1
при этом мы оставляем в стороне формальное дока-
доказательство того, что абсолютная величина определен-
определенного интеграла не превосходит интеграла от абсо-
абсолютной величины подинтегрального выражения, так
как этот факт очевиден из интерпретации интеграла
как площади. Таким образом, | ak | ag ~. Аналогич-
О АЛ
но j ?ft | sg-у1; выражение f(x) cos kx, появляющееся
при вычислении Ьк, вообще говоря, не обращается
в нуль при х = ±ъ, но оно принимает одно и то же
значение на обоих концах этого интервала. Таким
образом, коэффициенты ак и Ьк стремятся к нулю
при k, стремящемся к бесконечности, по крайней
мере столь же быстро, как-^-.
Предположим теперь, что f(x) имеет, кроме того,
непрерывную вторую производную и что Мг — мак-
максимум \f(x)\. Интегрируя дважды по частям выра-
выражение для ак и принимая во внимание периодичность
функции f(x), получим:
1С It
ъак = \f{x) coskxdx= —^ \fix) sinkxdx =
—я —^
1С
= — -p- J/' (x) cos kx dx,
откуда | ak \ ^ -^-. Аналогично j bk | ^ -^.
Если функция f(x) удовлетворяет условиям по-
последнего абзаца, то можно сразу заключить, что ее
ряд Фурье сходится, так как
| а„ cos kx -f- bk sin kx \ ss -p-a,
а выражение, стоящее в правой части этого неравен-
неравенства, является общим членом сходящегося ряда. Но

Ряды Фурье 21
это еще не доказывает, что ряд сходится к f(x):
если опустить все члены с синусами, то оставшийся
ряд косинусов будет сходиться, но, вообще говоря,
не будет представлять f(x). Доказательство того,
что ряд сходится к f(x), даже при менее ограничи-
ограничительных предположениях относительно f(x), будет
дано в п. 10.
Позже нам понадобятся аналогичные неравенства
для коэффициентов при несколько иных предполо-
предположениях относительно/(х). Пусть/(х)— непрерывная
функция с периодом 2те и пусть можно подразделить
интервал (— it, те) на конечное число интервалов,
на каждом из которых fix) линейна. Графиком функ-
функции f{x) на каком-нибудь интервале длины периода
является, следовательно, связная ломаная линия,
состоящая из конечного числа звеньев, из которых
ни одно не перпендикулярно оси х. Такую функцию
будем называть для краткости ломаной функцией.
Пусть абсциссы вершин ломаной линии внутри интер-
интервала ( — те, те) будут хи хъ..., хт.и и, для едино-
единообразия обозначений в последующей формуле, пусть
хо = — те, хт = те (независимо от того, будут ли эти
точки вершинами или нет). Пусть >7 — постоянное
значение / (х) на интервале (X/_i, xj) и пусть X — наи-
наибольшее из чисел |Ху|. Для у-го интервала имеем:
х)
\ f{x) cos kx dx =
x]-i
xj
= j/(x)sink]^ —y \
¦/—1 x.
U(xj) sin kxJ —f(Xj-i)sinkXj_i] -f
-f- ~A- [ COS kXj — COS kXj_t].

Глава I
Далее имеем:
т
Так как
(—") sin (—
го
-?¦?- [COS к
т
7 —1- \с
Следовательно,
, . 1
\ Clk\= —
'"
Аналогично |Ьк \
\Xj — cos kXj_t]
OSkXj— COskXf_t]
ТП J
У 1 f(x)coskxc
^~ь*> разность
2).
Ix
2w),
/(я) COS kn —/(—Jt) COS {—h
равна нулю вследствие периодичности функций /(лг)
и cos kx, хотя члены ее в отдельности, вообще говоря,
и не обращаются в нуль. Таким образом, коэффи-
коэффициенты Фурье ak, bk ломаной функции таковы, что
A3) |Л*|^^-, |**1«2-?,
где С не зависит от k.
Если относительно функции f(x) известно лишь,
что она имеет непрерывную вторую производную
в каждом из интервалов, на которые разбит (—я, я),
причем допускаются еще угловые точки с абсцис-
абсциссами Xj, то для абсолютной величины ее коэффици-
коэффициентов Фурье может быть получена верхняя граница,
являющаяся величиной того же порядка, что и

Ряди Фурье 23
правая часть неравенств A3). Но это более общег
утверждение нам не понадобится.
Ясно, что если f(x) имеет непрерывную произ-
производную более высокого порядка, то ее коэффициенты
Фурье стремятся к нулю еще быстрее.
7. Теорема Римана о пределе коэффициентов
ряда Фурье. Пусть теперь f(x) — функция, интегри-
интегрируемая на интервале (—я, я), не обязательно перио-
периодическая и не обязательно определенная всюду вне
этого интервала, подчиненная только одному допол-
дополнительному ограничению: (/(*)]* также интегри-
интегрируема на (—я, я). Обозначим через sn(x) частную
сумму ряда Фурье функции f(x):
A4) sn(x)^^-
Из определения коэффициентов Фурье следует, что
t тс
a* §f(x)coskxdx-\-bk Г f(x)s'mkxdx\ =
fe=f -TC
Далее, применял формулы B) — E) п. 2 и интегри-
интегрируя по частям, получим:

24 Глава I
Следовательно,
тс
—к
1С 1С 1С
J [sn{x)fdx
Левая часть этого равенства, очевидно, неотри-
неотрицательна. Отсюда следует, что
2
k — 1
Так как последнее неравенство справедливо для
всех значений л и так как правая часть его не зависит
от п, то ряд 2 (flfc + *fc) сходится; отсюда; поскольку
fc=l
необходимым условием сходимости ряда является
стремление к нулю его общего члена, имеем:
A5) lim ak = 0, lim bk=0.
V/ k ЮО ft >00
Теорема о стремлении к нулю коэффициентов
Фурье, известная как теорема Римана, в действитель-
действительности верна без требования интегрируемости [/(л:)]2.
Доказательство этого более общего факта здесь
опускается. Соответствующее доказательство для
близкого типа рядов дано в п. 4 гл. XI; оно легко
может быть изменено (и упрощено) так, чтобы его
можно было применить к рядам Фурье.
Содержание соотношений A5) можно иначе выра-
выразить следующим образом; если <р(») — функция (не

Ряди Фурье 25
обязательно периодическая), интегрируемая вместе
со своим квадратом на интервале (— *, я), то
A6)
Г <КИ)sin nu du = 0.
Воспользуемся следующим вспомогательным пред-
предложением: если условия последнего абзаца выпол-
выполняются для функции ф(и), то они будут выполняться
также для функций ? (и) sin у и и ? (и) cos ^ «•
Поэтому, заменив в первом из соотношений A6)
Ф (и) через ф (и) sin -к- и, а во втором ф (и) через
«р (и) cos ~2 и и сложив результаты, получим:
sin («+ 4-)и dtt=
8. Формула для суммы косинусов. Дальнейшее
изучение сходимости рядов Фурье основывается на
одном тригонометрическом тождестве. Помножим
сумму
cos
иа 2 sin Y x/. При ft ^=1 воспользуемся соотношением
2 sin у ^ cos kv = sin (ft -f- y) ^ — sin [k — -^ J v.

26 Глава I
Получим:
= sin 5-^+2 [si
¦ 1
л
sin
и, следовательно,
A8) у + cos г>-j-cos 2г>-f • • • + cos яг> =
1
2 sin -« v
9. Интегральная формула для частной суммы
ряда Фурье. В выражении для суммы sn(x), опреде-
определяемой равенством A4), напишем явно формулы для
коэффициентов, обозначая через t переменную инте-
интегрирования:
ak = ^f(t, coskt dt, bk= ^J/@sin ktdt
— It — 1С
В произведениях akco$kx, bksmkx, с только что вы-
выписанными значениями коэффициентов, сомножители
cos ftx и sin kx ие зависят от переменной интегри-
интегрирования и поэтому могут быть написаны под знаком
интеграла. Тогда сумма ak cos kx -f- bk sin kx может
быть представлена следующим образом:
~ J /@ cos kt cos kxdt+-- §f (t) sin kt sin kxdt =
= 7 $№cosk(t-x)dt.

Ряди Фурье 27
Тогда sn(x) представляется в виде:
п п
\ J/(o[-2-+2cos*^-a
что, согласно тождеству A8) при v = t—х, эквива-
эквивалентно равенству:
sin (я+ !)(*-
sin (я+ !)(*-*)
*„(*)=4 f/w—Ц--—««•
Предположим теперь, что /(л;) имеет период 2я.
Заменим в формуле A9) переменную интегрирования,
положив u = t — х. Пределами интегрирования отно-
относительно и будут —я — х и я— х; однако, принимая
во внимание последний абзац п. 3, замечаем, что так
как подинтегральная функция имеет период 2я по
отношению к и, то интеграл от — я — х до я — х
имеет ту же величину, что и интеграл от —я до я.
Таким образом, получаем:
B0) ,.(*) = 1 f /(*+«) l }2/ du.
KJK 2sini-a
(Периодичность дроби как функции от и очевидна
из тождества A8). При возрастании и на 2я как числи-
числитель, так и знаменатель дроби меняют знак на обрат-
обратный, но величина отношения остается неизменной.)
10. Сходимость в точках непрерывности. Инте-
Интегрируя тождество A8) в пределах от — п до л, по-
получим:
* sin (л +-я-] и
—v I ' d* = *.
Л 2 sin i-и
2 sin i-и

28 Глава I
Помножим это соотношение на — jf(jf); так как/(дг)
не зависит от и, ее можно написать под знаком
интеграла:
* sin (я + 4-) в
B2) /(*) = 1 Г /(*) К—^- du.
После вычитания равенства B2) из B0) получим:
B3) 8я(х)-№ =
sin (« + -„-) а
4 [(
*4 2 sin
_4
-=¦ о
Для доказательства сходимости достаточно показать,
что, при соответствующих предположениях, это вы-
выражение стремится к нулю при п стремящемся к
бесконечности.
Пусть f(x) — функция с периодом 2w, интегри-
интегрируемая вместе со своим квадратом на отрезке длины
периода. Это условие, разумеется, удовлетворяется,
если f(x) всюду непрерывна или, если f(x) непре-
непрерывна всюду на отрезке длины периода, за исклю-
исключением конечного числа точек, в которых она имеет
конечный скачок, т. е. точек разрыва, при прибли-
приближении к которым функция имеет различные конеч-
конечные пределы слева и справа. Займемся вопросом
сходимости в какой-нибудь точке и предположим
(пока), что f(x) непрерывна в этой точке. Рассмат-
Рассматривая значение х как фиксироваиное, положим
2 sin -i a
Тогда, согласно B3), имеем:
B4) в„(х)-/(х)=4 J\p(tt)sin(/t + \)udu.

Ряды Фурье 29
Функция ф (и) может быть записана в виде:
. 1
sin-s- и
Дробь т стремится к 1 при и, стремящем-
sin у а
ся к 0, и если положить эту дробь при и = О
равной 1, то оиа становится непрерывной для
. Существование предела —(д: + ии
при и, стремящемся к нулю, эквивалентно, согласно
определению производной, существованию производ-
производной / (t) функции f(t) при t = x; если при этом су-
существует производная в строгом смысле, т. е. если
разностное отношение стремится к одному и тому
же пределу при и, стремящемся к 0 с разных сто-
сторон (слово „предел" относится всегда к конечному
пределу), то ф(и) непрерывна при и = 0, если до-
доопределить ее при и = 0 ее предельным значением.
Если правый и левый пределы разностного отноше-
отношения различны, как это имеет место, например, для
угловых точек функции f(t), то ф(и) имеет конеч-
конечный скачок при и = 0. В обоих случаях, если f(f)
непрерывна всюду, за исключением конечного числа
точек, в которых она имеет конечный скачок, то
это верно и для <р (и) на интервале (— я, л). Тогда,
согласно соотношению A7), примененному к B4),
получим:
Сформулируем полученный результат следующим
образом:
Если функция f(x) с периодом 2ъ непрерывна
всюду или же непрерывна на интервале длины

30 Глава I
периода всюду, за исключением конечного числа
точек, в которых она имеет конечный скачок, то
ее ряд Фурье сходится к значению f(x) в каждой
точке, в которой f(x) непрерывна и имеет левую
и правую производную, независимо от того, равны
ли эти производные или нет.
Тот же результат имеет место и в случае, когда
в рассматриваемой точке не существует производных,
лишь бы функция [ф(и)]9 была интегрируемой. До-
Достаточно даже, чтобы были интегрируемы ?(и) и
, ф (и) |; этот более общий факт можно доказать, если
считать известной теорему Римана, приведенную в
п. 7, в соответствующей более общей форме.
11. Равномерная сходимость при специальных
предположениях. Доказательство, приведенное в пре-
предыдущем пункте, применимо, в частности, если f(x)
есть ломаная функция, описанная в п. 6. Мы уже
видели из рассуждений п. 6, что ряд Фурье такой
функции сходится; теперь мы убедились, что сумма
этого ряда равна f(x) для всех значений х.
Так как ряд Фурье в этом случае действительно
представляет функцию f(x), то разность между f(x)
и sn(x) можно записать в следующем виде:
/(*) — sn (x) = 2) (аь coskx -f- bk sin kx).
Вследствие неравенств A3),
1С
| ak cos kx -f- bk sin kx \ =? ^,
и поэтому
oo
|/(х)-«я(*)Н?2С 2

Ряди Фурье 31
Так как ^-, «? ^- для k — 1 =S t =ss ft, то
ft-1 fc-1 fe=/I+l Я
1 _ f* < f*.
ft-1 fc-1
Отсюда для всех значений х имеем:
Правая часть этого неравенства не заласит от х
и стремится к нулю при п, стремящемся к беско-
бесконечности. Тот факт, что остаточный член ряда удо-
удовлетворяет соотношению такого рода, выражают,
говоря, что ряд сходится равномерно.
Ряд Фурье ломаной функции (определенной
выше) сходится равномерно к этой функции для
всех значений х.
Аналогичное положение имеет место, согласно
пп. 6 и 10, для периодической функции, имеющей
всюду непрерывную вторую производную. Доказа-
Доказательство равномерной сходимости при более общих
условиях будет приведено в п. 21.
Рассуждения настоящего пункта, конечно, при*
менимы и к ряду косинусов A1) п. 5, рассматривае-
рассматриваемому, как ряд Фурье функции с периодом 2п, рав-
равной |х| для —wsfcXs&rc, и из них следует утвер-
утверждение п. 5 относительно сходимости этого ряда.
12. Сходимость в точке разрыва. Ряд синусов
A2) п. 5 может аналогично рассматриваться как ряд
Фурье для разрывной периодической функции, там
описанной, и доказательство п. 10 устанавливает его
сходимость всюду, за исключением изолированных
значений х, соответствующих точкам разрыва. В этих
точках, как замечено в п. 5, сходимость рассматри-
рассматриваемого ряда очевидна, и его сумма равна нулю.
Существенно отметить, что этот ряд сходится в точ-

32 Глава t
ках разрыва к среднему арифметическому пределов
слева и справа значений функции, соответствующей
этому ряду. Мы сейчас докажем, что такое поведе-
поведение ряда Фурье в точках конечного скачка — типично.
Пусть/(х)— функция с периодом 2к. Предполо-
Предположим, для простоты, что она непрерывна всюду на
интервале длины периода, за исключением конечного
числа точек конечных скачков. Обозначим соответ-
соответственно через f(x -4- 0) и f(x — 0) правый и левый пре-
пределы функции f(x) в точке л;. Они равны или раз-
различны в зависимости от того, является ли точка х
точкой непрерывности или разрыва. Положим для
заданного х
2 sin у к
2 sin -s- и
При этом мы считаем yt определенной для и>0,
92 — для и<^0. Предположим, для простоты, что
каждое из разностных отношений
f(x+a)-f(x+0)
стремится к пределу, когда и стремится к нулю,
пробегая значения соответствующего знака. Это
означает, что функция, равная f(t) для t^>x и рав-
равная /(х+О) для t=x, имеет в точке t=x правую
производную; аналогичный смысл имеет и второе
соотношение. Тогда функции ^Pi (м) и Фг (м) также
стремятся к пределам, когда и стремится к нулю, и
если их доопределить в точке и = 0 их предельными
значениями, они будут непрерывны всюду, соответ-
соответственно на @, к) или (—я, 0), исключая конечное
число точек, в которых они имеют конечный скачок.

Ряди Фурье 33
Предположения, на которых базируется соотно-
соотношение A7), осуществляются, если ер и у* интегри-
интегрируемы на интервале @, к) и <р тождественно равна
нулю на интервале (— «, 0). Таким образом, если <р
интегрируема вместе со своим квадратом на @, я), то
1С
lim Г 9 (и) sin (л+ т)и^и == °-
П-» со J \ ^ 1
Аналогичное рассуждение применимо для интервала
(— к, 0). Так как подинтегральное выражение в фор-
формуле B1) является четной функцией от и, то
_ ж 2 sin -jr и 0 <. ,,,. ^
Интеграл в равенстве B0) можно рассматривать как
сумму двух интегралов, соответственно с пределами
— тс, 0 и 0,1г. С помощью рассуждений, аналогичных
тем, которые приводят к соотношениям B3) и B4),
получим:
. " sin I п 4- — I п
¦du,
2sinia
i/(x-0) = i J/(x-O) V V du,
1 % Л 2sin{n
2sin{n
= 7 J ?i («) si
о
о
+ ? J Фа (и) sin (я+у
3 Д. Джексон

34 Глава I
В силу предположений, сделанных относительно
f(x) во втором абзаце настоящего пункта, каждый
из двух последних интегралов стремится к нулю
при п, стремящемся к бесконечности, следовательно,
Ига вя(х) = ±
Ряд Фурье сходится к среднему арифметическому
пределов функции слева и справа.
Вследствие хорошо известной теоремы из теории
функций, ряд Фурье не может равномерно сходиться
в окрестности точки разрыва. Интересная особенность
способа поведения последовательности частных сумм
вблизи точки конечного скачка затрагивает, с точки
зрения графического представления, тонкое различие
между изменением ординаты с возрастанием п при.
фиксированном значении х или при фиксированном
интервале значений а; и изменением всей кривой как
геометрической фигуры в двумерном пространстве.
Эта особенность известна под названием явления
Гиббса \
13. Достаточность условий, относящихся к по-
поведению функции в окрестности точки, для реше-
решения вопроса о сходимости соответствующего ряда
Фурье в этой точке. Дальнейшие весьма общие вы-
выводы могут быть получены из соотношения B4).
Если f(f) и [f(t)Y интегрируемы на интервале
(—я, я) и если существует интервал (х — A, x-j-A),
на котором fit) тождественно равна нулю, то ц> (и)
и [ф(м)]9 интегрируемы на интервале (—w, я), так как
в выражении для ? (и) числитель есть тождественный
1 См. B6cher, стр. 123—132; Зигмунд, стр. 180. (Здесь
и в дальнейшем, если ссылка дается в сокращенной форме,
подробности могут быть почерпнуты из библиографии, приве-
приведенной в конце книги.)

Ряды Фурм 35
нуль в окрестности той точки, в которой знаме-
знаменатель обращается в нуль. Следовательно,
lim sn(x)=f(x) = 0.
n-»oo
Пусть/, (f) и/а ($—-функции, интегрируемые вместе
со своими квадратами на интервале (—я, к) и пусть
эти функции тождественно совпадают на интервале
(х — h, х-\- К). Пусть sni (x), sn2 (x) — значения част-
частных сумм рядов Фурье соответственно для /, н /, в
точке х. Тогда разность snl — sn2 есть частная сумма
ряда Фурье функции /t—/2; так как эта разность,
согласно сказанному в предыдущем абзаце, стремится
к нулю при я —оо, то из существования предела
для одной из двух частных сумм snl(x) и s,a(x)
следует, что и другая из них стремится к этому же
самому пределу, несмотря на то, что разность между
функциями /i и /2 вне интервала (л: — h, x-\-h)
отлична от нуля. Полученный результат можно сфор-
сформулировать следующим образом: (при условии, что
функция вместе со своим квадратом интегрируема на
интервале (—к, it)) сходимость ряда Фурье функции
в фиксированной точке зависит только от пове-
поведения функции в окрестности данной точки. Можно
обойтись без предположения об интегрируемости
квадрата функции, если использовать теорему Ри-
мана (п. 7), на которую опирается доказательство,
в более общей формулировке.
14. Теорема Вейерштрасса о тригонометрической
аппроксимации. Под тригонометрической суммой по-
понимают выражение вида
|г + «1 cos х -\- ota cos 2х -\-... + ая cos пх -f-
-f- Pi sin x + h sin 2x +... + Pn sin nx,
где a.k, pft — постоянные коэффициенты. Эта сумма на-
называется суммой я-го порядка, если по крайней мере
один из коэффициентов а„, р„ не равен нулю. Во

36 Глава I
многих случаях несущественно, имеются ли, действи-
действительно, члены с cos nx и sin nx или нет, н тогда
выражение „тригонометрическая сумма я-го порядка"
может быть употреблено для краткости в смысле
„сумма не выше я-го порядка".
Теорема Вейерштрасса * устанавливает, что непре-
непрерывная функция с периодом 2п может быть равно-
равномерно аппроксимирована тригонометрической
суммой с любой заданной степенью точности.
Другими словами, если е — любое заданное положи-
положительное число, то существует тригонометрическая
сумма Т(х) (некоторого порядка) такая, что
B5) |/(*)-7Ч*IО
для всех значений л;.
В случае, когда ряд Фурье для f(x) равномерно
сходится, условие B5) будет выполнено, если взять
за Т(х) частную сумму ряда достаточно высокого
порядка. Однако надо заметить, что существуют
непрерывные функции, имеющие расходящиеся ряды
Фурье. Функции такого рода искусственны и сложны
по структуре и не будут здесь рассматриваться. Но
факт существования таких функций показывает
значение теоремы Вейерштрасса. Тригонометрическая
сумма Т(х), получающаяся в процессе доказательства
теоремы Вейерштрасса, не обязательно будет частной
суммой ряда Фурье для f(x).
Пусть f(x) — функция с периодом 2п, непрерыв-
непрерывная всюду, но не подчиненная никаким другим огра-
ограничениям. Пусть е — произвольное положительное
число. Пусть интервал (—я, к) разбит на m частей,
для простоты равных, точками хи х.г,.. .xm_t; положим
хо = — я, лгт = я, тогда Х} = — к-\--?.
'К. Weierstrass, Ober die analytische Darstel'barkcit
sogenannter willkurlicher Funktionen einer reellen Veranderlichen,
zweite JWitteilung, Berliner Sitzungfberichte, 1885, стр. 789 — 805.

Ряды Фурье 37
Пусть g(x) — ломаная функция с периодом 2*, при-
принимающая в точках X] те же значения, что и f(x),
и линейная в каждом интервале (Xj, xj+l). Ясно,
что функцию g(x) можно сделать отличающейся от
f(x) сколь угодно мало, если взять т достаточно
большим. (Это является непосредственным следствием
основного свойства непрерывных функций и может
рассматриваться как очевидное, если понятие „непре-
„непрерывная" воспринимать скорее как описательное и
само собою понятное, чем как определенное фор-
формально.) В частности, можно выбрать число т столь
большим, чтобы иметь:
B6) \f(x)-g(x)\<
для всех значений х. Выберем такое т и зафиксируем
его; соответственно определяется и функция g(x).
Согласно п. 11, ряд Фурье для g(x) равномерно
сходится. Обозначим через tn(x) частную сумму
порядка п этого ряда. Равномерная сходимость озна-
означает," что при достаточно большом п
B7) !*(*)-*„ (*)!<!¦«
для всех х. Если такое число п определено, то,
в силу неравенств B6) и B7),
и tn(x) может служить суммой Т(х) в неравенстве B5).
15. Свойство наименьшего квадрата. Пусть/(л:)—
функция, интегрируемая вместе со своим квадратом
на интервале (—я, я), и пусть sn(x) — частная сумма
ее ряда Фурье, определенная формулой A4). Поло-
Положим, f(x) — sn(x) = rn(x). Из равенств
« те
\f(x) с os кх dx = vak = Г $п (х) cos kxdx,

38 Глава I
и соответствующих равенств для Ьк и sin&x следует,
что
1С 1Е
B8) Г г„ (х) cos kxdx = [rn (*) sin kxdx = 0
— It — 1С
при k^n. Пусть
л
— произвольная тригонометрическая сумма я-ro (или
более низкого) порядка и пусть
таким образом,
л
Р»(*)=Т+ 5!(TftCOsfo;
/(*) — ^ (*) = Гп (X) — Рл W-
В силу равенства B8),
в то время как величина
ноложительна, если только не все у и8 равны нулю.
Следовательно, если tn (x) — тригонометрическая сум-
сумма порядка не выше п, отличная от sn(x), то

Ряди Фурье 89
— 1С
1С
JV (*) - tn (*)]' dx = J [rn (x) - Pn
1С — 1С
1С 1С
>«(x)Lx-2 jjrn(x)?n(x)dx
— 1С —
1С %
= J If (x) - sn (x)Y dx + J [Pn (^
Частная сумма sn (x) ряда Фурье, рассматри-
рассматриваемая как аппроксимирующая функцию f(x), от-
отличается от всех тригонометрических сумм по-
порядка не выше п тем, что для нее интеграл от
квадрата разности между функцией и тригоно-
тригонометрической суммой (среднее квадратичное от-
отклонение) является наименьшим.
Мы придем к тому же самому заключению, если
рассмотрим интеграл
где tn (x) — произвольная тригонометрическая сумма,
как функцию 2п -f-1 переменных ak, pfc и приравняем
нулю ее частные производные по этим переменным;
но, без дополнительных рассуждений, этот метод,
очевидно, устанавливает только необходимость усло-
условий akz=ak, Pfc = ftft для достижения минимума, ноне
их достаточность.
16. Равенство Парсеваля. Пусть опять f(x) — не-
непрерывная функция с периодом 2к (никаких иных
ограничений на f(x) мы не накладываем) и sn(x) —

40 Глава I
частная сумма ее ряда Фурье. Пусть ч\ — произвольное
положительное число. Согласно п. 7, имеем:
B9) J[/(*)]' dx - [f* + « J (V + V)] =
fe 1
fe = 1
Пусть 8= Um f. В силу п. 14 существует тригоно-
тригонометрическая сумма tn(x) некоторого порядка п такая,
что \f(x) — 4WK6! из этого неравенства легко
следует:
и, согласно п. 15, взяв частную сумму ряда Фурье
того же порядка я, получим:
Таким образом, для каждого положительного •») су-
существует такое п, при котором разность в левой
части равенства B9) меньше •»); Если это справедливо
для некоторого п, то это же справедливо и для
каждого n'j>n, так как с возрастанием п вычитае-
вычитаемое может только возрасти (к нему прибавляются
неотрицательные слагаемые). Поэтому разность в ле-
левой части B9) стремится к нулю при п, стремящемся
к бесконечности, а это означает, что
оо
(зо) ? + 2 («**+V)=j

Ряди Фурье 41
Сходимость последнего ряда была уже установлена
в п. 7 одновременно с тем фактом, что его сумма не
превышает величину, стоящую в правой части фор-
формулы C0); новым для нас является установленный
сейчас факт, что для каждой непрерывной функции
f(x) в выражении C0) имеет место знак равенства.
Этот вывод или более общий, выражающий
справедливость равенства C0) при более широких
предположениях относительно функции f(x), изве-
известен под названием равенства Парсеваля.
17. Суммируемость рядов. Пусть и0 -f- щ -f- иг +...
— произвольный ряд. Положим
5Я=«0+ И1 + «2 + • • • + «Я-
Ряд сходится тогда, и только тогда, когда после-
последовательность $„ стремится к пределу при п—>со.
Может случиться, что величины
_ S, + Si + ¦ ¦ ¦ + Sn-1
"~ п *
т. е. средние арифметические первых п частных
сумм сходятся к пределу даже тогда, когда ряд не
сходится. Это имеет место, например, для ряда
1-1+1-1 + ...,
для которого sn принимают поочередно значения 1
и 0 и, следовательно, не стремятся ни к какому
пределу, в то время как ол для п четного равно -к-,
а для п нечетного равно т + гл" и» значит, о„ стремятся
к -g-' Если последовательность, составленная из оя,
сходится к пределу А, то будем говорить, что ряд
суммируем методом первой арифметической сред-
средней к значению А. Это понятие суммируемости является
обобщением понятия сходимости ряда, а именно, ряд,
который не сходится, может оказаться суммируемым,

42 Глава I
как это явствует из приведенного примера. Однако,
ряд, сходящийся к некоторому значению, всегда
суммируем методом первой арифметической сред-
средней к тому же значению.
Для доказательства последнего утверждения пред-
предположим, что limsn = A, и пусть е — произвольное
П—-0О
положительное число. Тогда существует такое т,
что для всякого п^т, |5Я-Л|<^«. Разность
между оя и А может быть записана в виде:
Когда п^>т, последнюю сумму можно записать так:
2%
*=0 *=ш
В каждом члене второй из этих сумм \sk — А | <^ -к е, и
так как число ее слагаемых не превосходит п, то
для всякого п^>т. Первая сумма не зависит от п,
и поэтому, выбрав достаточно большое п, получим:
Итак, | оя — Л|<^е для всех достаточно больших п.
Отсюда следует, что Птол = Л.
Если каждый член ряда является ограниченной
функцией переменной х, то величины sk, on и А
также являются функциями от х; если ряд равно-

Ряди Фурье 43
мерно сходится, то т можно выбрать независима
от х, и приведенное выше доказательство показы-
показывает, что о„ стремится к пределу равномерно.
18. Теорема Фейера для непрерывных функций.
По известной теореме Фейера' ряд Фурье произволь-
произвольной непрерывной функции f(x) с периодом 2-к
равномерно суммируем методом первой арифме-
арифметической средней к значению функции f(x). Фейер
сформулировал свою теорему в более общем виде,
который, однако, нам здесь не понадобится. Значение
этой теоремы, как и теоремы Вейерштрасса (п. 14),
станет ясным, если вспомнить, что ряд Фурье для
непрерывной функции может быть расходящимся.
Пусть sn(x), как обычно, — частная сумма ряда
Фурье, и пусть
Пользуясь представлением B0) функции sk (x), полу-
получим:
Умножим сумму синусов, входящую в подинтеграль-
ное выражение, на 2 sin -к и и, воспользовавшись
для вычисления результата тождеством
2 sin ^ и sin (k-\- y) и = cos ku — cos (k -j- 1) u,
найдем, что
я —1
C1) 2sin-j«2si(
ft =0
= 1 — cos ли = 2 sin* ( nu).
1 L. F e j ё г, Untersuchungen fiber Fouriersche Reihen, Math.
Ann., vol. 58 A904), стр. 51-69.

44 Глава t
Следовательно,
ТС * 2
C2) о„(х) =± [f{x + и) S1" T"B du.
— ч 2 sin2 -jr и
Согласно тождеству A8),
sin
= 2 sin -^ и -j -f- cos и-f- cos 2и-f ... -f- cos ku\,
причем, для k = 0, выражение в скобках сводится
к одному только первому члену. Выпишем после-
последовательно эти тождества для k = 0,1,...,п — 1 и,
сложив их, получим:
я-1
* = о
= 2 sin ^ и Г-"- -f- (л — 1) cos и -\- ...
Из формул C1) и C3) следует, что
sin!T па
1 = " _f- (и — 1) cos и + ... -f cos (и — 1) и,
2 sin2 ^ и
откуда
C4)
Это равенство можно было бы вывести и из фор-
формулы C2), заметив, что любая частная сумма ряда
Фурье для постоянной тождественно равна этой по-
постоянной и, следовательно, то же самое справедливо
11 sin2 — flu

Ряды Фурье 45
и для среднего арифметического некоторого числа
таких частных сумм.
Важным свойством последовательности <»„(*)>
обеспечивающим ее сходимость при весьма слабых
ограничения^ на f{x), является то, что частное три-
тригонометрических функций в подинтегральном выра-
выражении формулы C2) всюду положительно, что не имеет
места для соответствующего выражения в формуле
B0). Пусть М — максимум f(x) (или верхняя грань
\f(x)\, если f{x)— ограниченная, но не непрерывная
функция); тогда
I. ,..м -Л* Г sin* jпи
2 sin* у я
что вследствие C4) дает для всех п и х:
C5)
Соответствующая оценка левой части формулы B0)
не проходит, так как нам пришлось бы заменить
частное в правой половине формулы B0) его абсо-
абсолютной величиной (см. ниже п. 20).
Предположим теперь, что функция f(x) непрерыв-
непрерывна и имеет период 2т. Пусть е — произвольное поло-
положительное число. Пусть ?"(.*:) — ломаная функция,
построенная, как описано в п. 14, но только аппро-
аппроксимирующая f{x) с точностью до -g- s, а не до ¦=¦ е:
I/(*)-*(*)!< у •.
Обозначим разность /(*) — g(x) через h(x) и обра-
образуем арифметические средние, аналогичные о„ (х),
для функций g(x) и h(x). Эти средние обозначим
соответственно через ол1(л;) и ап*(х). Тогда
= g (х) -f h (х), оя (х) = о„, (х) + о„, (х)
f(X) - °п (X) = [g (X) - оя1(х)] + [h (X) - аяа].

46 Глава 1
___, „ ^_^ т .—i
Применяя неравенство C5) к функциям1 h(x) и
о,,,, получим:
Кг (X) | < {- г, | ИХ) - ая3 (X) | <§ ¦
для всех п и всех х. Согласно п. 11, р<д Фурье для
функции g(x) сходится равномерно к значению g(x)',
поэтому, в силу сказанного в п. 17, оп1(л;) стремится
к g(x) равномерно, и
[*(¦*)--«.iMKy1
для всех л: при достаточно больших п. Следовательно,
для таких п справедливо неравенство
при всех значениях х.
19. Доказательство теоремы Вейерштрасса с по-
помощью интегральной формулы Валле-Пуссена.
Другое доказательство теоремы Вейерштрасса, инте-
интересное само по себе, и могущее дать новые сведения
о сходимости рядов Фурье, основывается на интеграль-
интегральной формуле, выведенной Валле-Пуссеном *.
Пусть f(x)—непрерывная функция с периодом 2*.
Формула Валле-Пуссена имеет вид
C6) vn(x) = ~ f/(x + 2H)coss"«(/«;
1 С. de la V a 11 ё е Р о u s s i n, Sur l'approximation des fon-
ctions d'une variable reclleet de leurs derivees pardespolyn6mes et
dcs suites limitees de Fourier, Bulletins de l'Academie Royale de
Belgique, Classe des Sciences, 1908, стр. 193 — 254; см. стр. 227-238.

Ряди Фурье 47
где #„—постоянная, равная
C7) /(„ = \cosinudu = 2 J cosMudu.
-ic/, О
Функция V/x) является тригонометрической
суммой порядка не выше п. Это можно показать
следующим образом. Заменим в формуле C6)
переменную интегрирования, положив x-\-2u=t.
Функция f(t), входящая в подинтегральное выраже-
выражение C6), имеет период 2я. Это же верно и для
-n(t — х), так как при возрастании t на 2я
cos y (t—х) меняет знак на обратный, но любая его
четная степень не меняется. Поэтому за промежуток
интеграции относительно t можно взять (¦—тс, п),
вместо (х — тх, х -\- я), следовательно,
Так как cosq-jU = -^ (I -|-cos и), то функция cosM у и
может быть записана в форме 2~п A -\- cos u)n. Это
есть сумма косинусов я-го порядка относительно и
(выражение „сумма косинусов" употрзблено здесь для
краткости и означает тригонометрическую сумму,
содержащую только косинусы). Из тождества
cos рх cos qx = -j cos (р -\- q) х -\- -^ cos (p — g)x
следует, что произведение суммы косинусов порядка
и, на сумму косинусов порядка щ является суммой
косинусов порядка щ -)- пг. Отсюда, с помощью индук-
индукции, выводим, что последовательные степени 1 -f- cos и
суть суммы косинусов соответствующих порядков,

48 Глава I
Следовательно, cos5" -^ (t — х) есть сумма косинусов
л-го порядка относительно t — х. В силу тождества
cos k{t — х) = cos kt cos kx -f- sin kt s/n kx,
справедливого для любого значения k, сумма коси-
косинусов п-то порядка относительно t—х может быть
записана как тригонометрическая сумма л-го порядка
относительное с коэффициентами, являющимися функ-
функциями от t. Применяя последнее утверждение к про-
произведению f{t) cos9" у (t — х), заключаем, что Vn(x)
есть тригонометрическая сумма порядка не выше п
относительно х с коэффициентами, не зависящими
от х.
Установив этот факт, будем основывать дальней-
дальнейшие рассуждения на исходной формуле C6). Помно-
Помножив C7) на функцию =т?-, не зависящую от пере-
менной интегрирования, получим:
/ (х) = — J / (х) cosinu d и.
Вычитая последнее соотношение из C6), получим:
я/»
Уя{х) -№= ^ J \f{x + 2») -f(x)) cos3"** d и.
Пусть f(x) подчиняется дополнительному огра-
ограничению, состоящему в том, что
C3)
для всех Xi и хг, причем X — постоянная. Тогда
|/(дг + 2») —/(ж) К 2Х |»|,

Ряди Фурье 49
Vn (*) —/(*) I *S ?r- f I в I cosinudu = ?
„ -*/2
Так как
d / n.\ sin я— и cos и cos
•Ш\Шй)= sin'a ^sTn
Ш\Шй)= sin'a
при 0<[«<-| то функция ^j на этом интер-
интервале возрастает) и мы имеем:
C9)
(Написанная выше производная, очевидно, положи-
положительна так же и при' ^ «?и<dп, ибо при этом sin»
положителен, а (—и cos и) не отрицательно.) Следо-
Следовательно,
D0) \VH(x)-f(x)\*ip\sin
о
Обозначим последний интеграл через я„. Конечно,
можно сразу вычислить его явно, но искомое отно-
отношение величины этого интеграла к Нп может быть
быстрее получено иным путем.
Если gi (x) и gi (x) — функции, интегрируемые
вместе со своими квадратами на интервале (а, Ь) и
р — параметр, то интеграл
?i (*) — V-g*{x)\4dx
не отрицателен для всех действительных значенийц.
Следовательно, квадратное уравнение отиосительио ji,
которое получится, если приравнять этот интеграл
4 Л. Джексон

SO Глава I
нулю, ие может иметь различных действительных
корней; поэтому дискриминант этого уравне/шя отри-
отрицателен или равен нулю, т. е.
ь ь ь
[ J ft (*) g, (x) dx] " ^ J [ft (*)]» dx J ?,(*)]» dx.
a a a
Это общее соотношение известно под названием не-
неравенства Шварца1. Оно будет неоднократно исполь-
использовано здесь и в последующих главах.
Рассмотрим подинтегральное выражение hn как
произведение сомножителей sin «cos" и и cos" а. В
силу неравенства Шварца, имеем:
к/» «/2
h\ s? Г sin2 и cos'" udu • Г cos2" udu.
о о
Второй из интегралов в правой части неравенства
равен -к Нп. Обозначим первый из этих интегралов
через kn. Интегрирование по частям с множителями
sin и и sin и cos*" udu дает:
К = ^гу [- sin и cosM+1 uV+ ^V-т TcosM« udu =
~ 2 2я + 1 ^- 4я ^4/1'
последнее неравенство вытекает из того факта, что
1 Так же называют и другие соотношения, по существу
такого же вида, например соотношение, которое получится,
если применить аналогичные рассуждения к кратному инте-
интегралу.

Ряди Фурье Si
cos0"** и <^ cos4" и всюду внутри интервала интегри-
интегрирования. Следовательно, имеем:
8л ' " ^ 28/s nJi 2nl/% '
Пользуясь поаледним неравенством, из D0) получаем:
Из неравенства D1) следует, что Vn(x) сходится
к f(x) равномерно при п, стремящемся к бесконеч-
бесконечности. Это справедливо, конечно, в предположении,
что/(х) удовлетворяет дополнительному условию C8).
Но пусть/(х)— произвольная непрерывная функция
с периодом 2я и g(x) — ломаная функция, построен-
построенная так, что она отличается от f{x) менее, чем
на уе; эта ломаная функция удовлетворяет условию
вида C8). Тригонометрическая сумма, получающаяся,
если в формуле C6) заменить f(x-{-2u) Hag(x-{-2u),
отличается от g(x) менее, чем на уе, если п доста-
достаточно велико, и, значит, отличается от f{x) менее,
чем на е. Таким образом, получено другое доказа-
доказательство теоремы Вейерштрасса.
Было бы почти столь же легко доказать, что сумма
V-n(x)> определенная формулой C6) для исходной
функции f(x), сходится равномерно к/(х) и не пред-
предполагая относительно f(x) ничего, кроме непрерыв-
непрерывности и периодичности. Однако цель этого пункта
не исчерпывается тем, чтобы доказать снова теорему,
которая уже была доказана; не менее существенно
для нас было вывести неравенство D1) для оценки
порядка абсолютной величины разности между выше-
вышеуказанной суммой и функцией fix) (величины ошиб-
ошибки) в случае, когда /(х) удовлетворяет условию C8).
4*

Глава 1
20. Константы Лебега. Пусть /(х) —огранлченная
и интегрируемая на интервале (—я, 7г)фуикцигя. Пусть
М—верхняя грань ее абсолютной величины, т.е. такая
постоянная, что \f(x)\*?M при — Tts?xsS«. Тогда из
равенства B0) получим:
D2) \ая(х
всюду на интервале (—я, я), причгм
. . sin|/i + ^-|a
D3)
sin
2 sin у а
(¦+!)¦
2 sin -^ a
du.
Величины Х„ [которые не зависят от/(х)] называются
константами Лебега ряда Фурье. Они не остаются
ограниченными при п, стремящемся к бесконечности;
поэтому неравенство D2) — существенно более слож-
сложное соотношение, чем неравенство C5) для о„(х).
Предельное соотношение Нт Х„ = оо не будет здесь
Л-»оо
доказано. Однако будет показано, что Х„ не «могут
стремиться к бесконечности быстрее, чем некоторая ве-
величина, имеющая такой же порядок роста1, как log п.
Рассмотрим интеграл от 0 до я в формуле D3)
как сумму двух интегралов, взятых соответственно
в пределах от 0 до — и от — до я. Так как | cos ka \ ^ 1
для каждого k, то, в силу тождества A8), имеем:
sin
¦та
2 sin ^ a
1 См. Н. Lebesgue, Sur les integrates singu'iferes, Annales
de la Faculte de Toulouse C), vol. 1 A909), стр. 25—117; см.
стр. 116—117.

Ряди Фурье
5S
для всех значений и. Применяя это неравенство,
получим:
1/я
I
sin
-s- a
В интервале ( —, тЛ, согласно неравенству C9), где
а /
и надо заменить через -н- (последняя величина не
превосходит 5-J , имеем:
sin^-a
и
эти соотношения, конечно, обращаются в равенства
при и = п. Так как, кроме того, sin (п-\--Аи
s?l, TO
I
sin in Ar -Л н
2 sin -i- а
1С
к Ida к
2" 1^2
(log к + log л).
Отсюда получим:
При л ^2,
, и мы имеем:

64 Глава 1
если постоянную [logit-f-2^]/l°g2 обозначать через
С — 1, то получим:
для
Далее, так как | sn (х) | =s Х„ М и |/(л;) | =s M, то при
2
или, если обозначить постоянную величину ~.—^
через С, og
D4) |/(х)-*.(х) К СЛ1 log я.
21. Доказательство равномерной сходимости
методом Лебега. Если Тп(х) есть тригонометрическая
сумма л-го порядка1:
и если эта функция Тп (х) разложена в ряд Фурье, то
сразу находим, что коэффициенты ак, bk в этом ряде
суть, соответственно, a.k, |$fc для k^n и равны нулю
для k^>n. Всякая тригонометрическая сумма со-
совпадает со своим рядом Фурье. Соответствующая
частная сумма sn(x) тождественна с Тп(х).
Пусть f(x) — функция с периодом 2я, для про-
простоты непрерывная. Предположим, что тригонометри-
тригонометрическая сумма п-го порядка Тп(х) и число гя таковы,
что
(чо) \Т\Х)—'nWi^e«
для всех х. Пусть f(x) — Тп(х) = гп(х) и пусть
snl (х) обозначает частную сумму га-ro порядка р 1да
Фурье для гп(х), в то время как sn(x) обозначает
1 В этом пункте „тригонометрическая сумма я-го порядка"
понимается, как сумма порядка не выше я; возможность а„ =
= Рп — 0 не исключается.

Ряди Фурье 55
теперь частную сумму ряда Фурье для/(л:); как отме-
отмечено выше, соответствующей частной суммой для
Тп(х) является сама Тп(х). Так как /(х) = гя(х) +
-т-Тп(х) и так как частная сумма ряда для суммы
двух функций получается сложением частных сумм
рядов, образованных для каждой из двух функций
в отдельности, то имеем:
sn(x) = snl(x)+Tn(x)
и
/(*) — sn (х) = г„ (х) — snl (х).
Таким образом, отклонение sn(x) от /(х) равно от-
отклонению snl(x) от гп(х); это является следствием
того, что соответствующая аппроксимация функции
Тп(х) тригонометрической суммой порядка п совпа-
совпадает с Т„(х). Функция гп(х) может быть сделана
всюду достаточно малой. Это простое замечание,
вместе с результатами предыдущего пункта, приводит
к эффективному методу доказательства сходимости,
указанному Лебегом1.
Нужно отметить, что константа С в неравенстве D4)
есть величина, которую можно вычислить раз навсегда,
поскольку она не зависит не только от х и п, но также и
от f(x). Применяя неравенства D4) и D5), получим:
Ы*) — *«i(*M «??'•/• log »;
величина, стоящая в правой части этого неравен-
неравенства, является одновременно верхней гранью и для
/()()|
).()|
Таким образом, если f(x) может быть равно-
равномерно аппроксимирована некоторой тригономе-
тригонометрической суммой п-го порядка с отклонением
(ошибкой), не превышающим е„, и если sn(x) есть
частная сумма ряда Фурье для f(x), то
\f(x)-sn(x)\^C'Snlogn
для всех значений х.
1 См. сноску на стр. 52,

56 Глава I
Предположим теперь, что f(x) удовлетворяет
условию C8). Тогда, если в качестве ^„(а;) взять
тригонометрическую сумму Vn(x) из п. 19, то соотно-
соотношение D1) означает, что неравенство D5) имеет место
при еп = -т7г- В этом случае для всех л;
п *
D6) \f(x)-sn(x)\^C'^\ogn;
log я ..
—f^- стремится к нулю при п, стремящемся к бес-
бесконечности. Частный вид оценки, данной неравен-
неравенством D6), не является в конце концов существен-
существенным; можно показать другими методами, что ряд
в действительности сходится быстрее1, чем это ука-
указано оценкой D6). Приведенные рассуждения дока-
доказывают, однако, что, если/(х)—функция с периодом
2к и такая, что
для всех хх и хъ где X — константа, то ее ряд
Фурье сходится равномерно к значению f(x).
Этл предположения относительно f(x) являются
значительно более общими, чем те, при которых
доказана равномерная сходимость в п. 11.
Дополнительная литература (см. библиографию
в конце книги): Зигмунд; Carslaw; Lebegue; Tonelli; B6cher;
Byerly; Churchill; Kellogg, стр. 335—359; Titchmarsh; Уиттекер и
Ватсон, глава IX; Hobson A); Fejer; Кураит —Гильберт: Франк
и Мизес; Полна и Cere; Kaczmarz — Steinhaus.
1 См. Н. Lebesgue, Sur la representation trigonometrique
approchee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz,
Bulletin de la Societe Mathematique de France, vol. 38 A910),
стр. 181-210; см. стр. 199—202; D. Jackson, The Theory of
Approximation, American Mathematical Society Colloquim Publica-
Publications, vol, 11, New York A930), стр. 18-23.

ГЛАВА И
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
1. Предварительные замечания. К типу рядов,
во многих отношениях аналогичных рядам Фурье,
принадлежат ряды, в которых синусы и косинусы за-
заменены полиномами, называемыми полиномами Лежан-
Лежандра. Последние можно определить различными спо-
способами, а их основные свойства находятся между
собой в столь многих взаимосвязях, что расположе-
расположение их в логической последовательности допускает
ряд перестановок. Тот порядок изложения, которого
мы придерживаемся в этой главе, позволяет довольно
быстро установить ряд нужных нам результатов.
Другой порядок изложения будет использован нами
в следующих главах, посвященных ортогональным
полиномам вообще и, в частности, полиномам Якоби,
включающим полиномы Лежандра как частный случай.
2. Определение полиномов Лежандра при по-
помощи производящей функции. Пусть
Н(х,г), рассматриваемая как функция от г, может
быть разложена, для достаточно малых значений этой
переменной, в степенной ряд. Обозначим коэффи-
коэффициенты этого ряда, зависящие, очевидно (за исклю-
исключением постоянного члена), от х, через Р„(х), л = 1,
2, Тогда:
B) //(*,r) = P,(x) + P1(x)r-f.Pi(x>* + ...
Эти коэффициенты могут быть формально вычислены,
если положить у = 2хг—г* и подставить последова-

58 Глава II
тельные степени выражения 2лт—г* в биномиальный
ряд для A — у)-1/». Первые пять коэффициентов ря-
ряда B) будут, как легко проверить, иметь следующие
значения:
Р,(х) = 1. Л(х) = х, Р4(х)=|(Зл:а-1),
Р3 (Х) = 1 Eх8 - Зх), Р4 (х) = j C5л;4 - ЗОх* + 3).
Некоторые общие свойства функций Рп (х) можно
заметить сразу. Каждая из них является полино-
полиномом от х. При этом Рп(х) есть полином степени п.
Это следует из того, что показатель х никогда не
превышает показателя г в развернутом выражении
для какой-нибудь степени у, а лг появляется при г"
только в первом члене выражения для у", и этот
член не может сократиться с каким-нибудь другим
членом. Полиномы Рй(х), Р,(х), Рг(х), ..., каждый
из которых имеет степень, указанную его инде-
индексом, называются полиномами Лежандра. Так как
каждый член ряда B) имеет четную степень относи-
относительно совокупности переменных х, г, то четные сте-
степени х входят в коэффициенты только при четных
степенях г и нечетные степени х — при нечетных
степенях г; таким образом, всякий полином Рп(х)
состоит исключительно из членов четного или нечет-
нечетного порядка, в зависимости от того, четно или
нечетно п, и, следовательно,
C) Рп(-Х) = (
При х = 1 Н{х, г) сводится к функции
т. е. Р„A)=1 для каждого значения л. Из формулы
C) следует, что Рп(—1) = (— 1)".
Функция Н(х, г) называется производящей функ-
функцией для полиномов Лежандра.

Полиномы Лежандра 59
3. Рекуррентная формула. Дифференцируя Н(х, г)
по г, мы легко выведем Соотношение:
D) A-2хг+/*M?-(*-г)//=О.
Если левую часть формулы D) записать в виде
степенного ряда относительно г, подставив в нее
представление B) для функции Н и ряд
для производной ^, то коэффициент этого ряда
при г" должен (в силу D)) равняться нулю при всех
значениях х. Обращение в нуль этого коэффициента
выражается следующим тождеством:
Это тождество есть рекуррентное соотношение, свя-
связывающее три последовательных полинома Лежандра.
Оно может быть использовано для явного вычисле-
вычисления Pi(x), РАх),..., поскольку известны первые два
полинома: Р0(х)==1, Р1(х) = х, и оно будет еще при-
применяться нами в дальнейшем для различных целей.
Пользуясь этим соотношением и определением поли-
полиномов Ро (х) и Pi (х), можно снова убедиться в том,
что все показатели членов полинома Рп(х) или четны
или нечетны, и что Рп(\) = \ при всех п.
Пусть Л„, для каждого п, — старший коэффициент,
т. е. коэффициент при хп, полинома Рп(х). Тогда
коэффициент при х"+1 в левой части формулы E)
равен (п -f- l)Ai+i — Bл + \)Ап. Так как он должен
обращаться в нуль, то
F) ЛЛ+1
Последовательные подстановки в эту формулу, начи-
начиная с Ло=1, дают: Л, = 1, Л8 = ^-, Аг = ~2, и во-

60 Глава II
обще при помощи индукции легко доказать, что
/74 А — 1 3 L 1 Bв-1)_1 -3-5-..Bя-1)
V) л»—1 • 2 • з ' 4 ' я ~ «I
(Соотношение E) справедливо также при я=0, если
считать 0 • Я_! (х) равным нулю, и вывод формулы
F) из тождества E) можно поэтому аналогично про-
провести и при п = 0.)
4. Дифференциальное уравнение и связанные
с ним формулы. Дифференцируя A) по х, получим
соотношение:
(8) A-2хг+г°)д?-гН = 0.
Сравнение формул D) и (8) (или явных выражений
дн дн\
для g- и -х-] дает более простое соотношение:
(9) гТг-(*-/)-й = 0.
Приравнивая нулю коэффициент при г" в степенном
ряде, представляющем левую часть формулы (9),
получим:
A0) п Рп(х) - х Р'п(х) + /Vi (x) = 0.
Функция Н удовлетворяет еще следующему
дифференциальному уравнению в частных производ-
производных:
(И) Г^(гЯ)-A-ГХ)^=0,
которое получается из тождества
если в правую часть его вместо г j- nrH подставить
выражения, найденные соответственно из формул

Полиномы Лежандра 61
(9) и (8). Представим левую часть формулы A1) в
виде степенного ряда и запишем условие обращения
в нуль коэффициента при г":
A2) пРп.х (х) - Р'„ (х) + */>'„_. (х) = О,
и коэффициента при r"+1 (полученное из предыдущего
подстановкой п -f-1 вместо п):
A3) (я + 1)/э„(х)-Р'и+1(дг) + а:Р'л(х) = 0.
Эти тождества сами по себе не представляют значи-
значительного интереса; больший интерес представляют не-
некоторые соотношения, которые можно вывести из них.
Сложив формулы A0) и A3), получим:
A4) Ря+1(х) - />:_i(x) = Bл + 1) Р„ (х).
Еще более важное соотношение мы получим,
если исключим /Vi(-*0 и Рл-Дх) из формул A0) и
A2). Этого можно добиться, подставляя в формулу
A2) значение для Р^_,(х), вычисленное из A0),
затем дифференцируя полученное равенство и под-
подставляя в него опять вместо полинома Pn_i(x), по-
появившегося после дифференцирования, его значение
из формулы A0). Эту же выкладку можно провести
и другим способом, а именно: обозначим левые части
формул A0) и A2) через Фх (х) и Фа (х), соответственно,
и приравняем нулю выражение
В результате получим:
A5) A - х") Р^ (х) - 2хРп (х) + п (п + 1) Рп {х) = 0.
Полиномы Лежандра Рп (х) удовлетворяют этому
линейному однородному дифференциальному урав-
уравнению.
При доказательстве вовсе не необходимо для
оправдания каждого шага ссылаться на теоремы о

€2 Глава II
дифференцировании бесконечных рядов; рассуждение
может быть основано на определении коэффициен-
коэффициентов через значения соответствующих производных
при г = 0, согласно обычному правилу разложения
функции в ряд Маклорена.
5. Ортогональность. Пусть Ут = Рт(х), у„=Р„(х).
Помножив дифференциальные уравнения вида A5),
которым удовлетворяют ут и ут соответственно на.у„
и ут, получим:
A6)
Ут [A - Х*)Уп ~ 2хуп + П (я + 1) Уп ] = 0.
¦_ I. dxg) ,, ,,
ПуСТЬ W=ymyn— УпУт\ ТОГДЭ ^ = уту„— упут,
и, следовательно, результат, полученный после вы-
вычитания одного из уравнений A6) из другого, можно
записать в виде:
A — **) w' — 2xw = ~ [A — х*) w) =
= [п (п +1) — т (т -f 1)] у„у„.
Отсюда, интегрируя в пределах от—1 до 1, получим:
1
[A -х') w] _} = [я(я + \)-т{т +1)] Гy^Jx.
-X
Выражение, стоящее в левой части в скобках, обра-
обращается в нуль при л: = ±1. Значение выражения,
стоящего в скобках в правой части, отлично от
нуля, если т и п — неотрицательные целые числа
и тфп. Поэтому, если т^Ьп, то
A7) § Pm(x)Pn(x)dx = 0,

Полиномы Лежандра 63
Любые два полинома Лежандра различных сте-
степеней ортогональны между собой на интервале
(-1. 1).
Так как Рп(х) для всякого п содержит Xя с коэф-
коэффициентом, отличным от нуля, то тождества, выра-
выражающие полиномы Лежандра через степени х, могут
быть последовательно разрешены относительно по-
последних. Всякая степень х может быть выражена
через полиномы Лзжандра, и всякий полином степени
п может быть представлен как линейная комбинация
с постоянными коэффициентами полиномов Рй(х),
Pi(x), .... Рп(х). Из формулы A7) следует поэтому,
что Рп(х) ортогонален на интервале (— 1, 1) вся-
всякому полиному степени ниже п; если q (x) — такой
полином, то
1
jjPn(x)q(x)dx = Q.
Как легко видеть, первые пять степеней х выра-
выражаются через полиномы Рп(х) посредством следую-
следующих формул:
*' = 315
6. Нормирующий множитель. При т=п инте-
интеграл A7) заведомо не равен нулю, так как тогда
подинтегральная функция неотрицательна, и отлична
от нуля всюду, за исключением, быть может, конеч-
конечного числа точек. Пусть
1
с.-=j [/>,№**.

64 Глава II
Согласно обозначениям, введенным в п. 3, старшие
коэффициенты полиномов Рп{х) и Рп-\{х) равны Ап и
Л„_, соответственно. Разность
не содержит члена сх"и является полиномом ^(л:)
степени ниже п, следовательно, ортогональным к Рп(х).
Таким образом, мы имеем:
Согласно рекуррентной формуле E),
ШТ1 Р*4 (*>•
Так как полином PnJrl{x) ортогонален Pn_t (x), то
В силу формулы F), заменяя в ней п на п — 1,
что дает: Д,=Bл—-1)-^, получим:
^, 2я — 1^,
u"—2я + 1 и"
2 2
Так как Со = 2, то С, = j, С2 = у, и по индукции
докажем, что
A8) Cn

Полиномы Лежандра 6$
Полином рп(х) ==Г-4^—I * Рп(х), в котором по-
постоянный множитель выбран таким, чтобы
1
-1
называется нормированным полиномом Лежандра
степени п. Введение нормированных полиномов
удобно для некоторых целей. Тем не менее мы будем
вести дальнейшее изложение, используя полиномы
Р„(х), определенные первоначально.
Почти непосредственным следствием свойства
ортогональности является тот факт, что корни урав-
уравнения Рп(х)=0 все действительны, различны и ле-
лежат на интервале (— 1, 1). Доказательство этого
факта для более общего случая мы приведем ниже
(см. гл. VII, п. 8).
7. Разложение произвольной функции в ряд по
полиномам Лежандра. Изложенное выше позволяет
произвольную функцию, заданную на интервале
(— 1, 1), формально разложить в ряд по полиномам
Лежандра. Сходство с рядом Фурье проявляется уже
в способе определения коэффициентов. Допустим, что
A9) /W=a0P,W+<llP1W + aA (*) + .,.;
помножим оба части этого соотношения на Рк(х) и
проинтегрируем почленно в пределах от —1 до 1,
предполагая, что ряд обладает свойствами, при кото-
которых такое почленное интегрирование законно. В силу
попарной ортогональности полиномов Рк(х), каж-
каждый из интегралов, получающихся в правой части,
кроме интеграла, содержащего Р1, равен нулю.
Вычислив этот последний интеграл с помощью фор*
мулы A8), мы получим, что вся правая часть равна
5 Д. Джексон

66 Глава II
Kjrrri. Таким образом, общий коэффициент ряда
выражается формулой:
B0) ak
—1
Как и в случае ряда Фурье, совокупность коэф-
коэффициентов может быть определена для произволь-
произвольной интегрируемой на интервале (— 1, 1) функции,
без каких-либо дополнительных ограничений a priori,
и полученный таким образом ряд можно изучать как с
точки зрения его сходимости, так и с точки зрения
законности представления им функции.
Если функция Дх) сама является некоторым поли-
полиномом «nW степени п (или ниже), то, как мы уже
знаем, существует представление этой функции в виде
A9) с конечной суммой в правой части, вместо беско-
бесконечной. Вывод формулы B0) в этом случае сводится,
если оставить в стороне вопрос о сходимости, к стро-
строгому ее, доказательству для к^п, так как из этой
формулы автоматически следует,что аь = 0лриk^>n.
Коэффициенты в представлениях функций 1, х, х*,хъ, л:4,
приведенных в конце п. 5, можно получить, подстав-
подставляя в формулу B0) вместо f(x) соответственно
X f Jiff Л* f «V t " *
8> Тождество Кристоффеля. Пусть sn(x) — част-
частная сумма ряда для произвольной функции f(x),
состоящая из членов до п-ro порядка включительно:
B1) «.(*)=a,P,<;e) + aIPI(*) + ... + aBP.(*).
Если в формуле B0) заменить переменную интегри-
интегрирования х на t и подставить полученные выражения
для коэффициентов в равенство B1), то получим:
B2) sa(x)

Полиномы Лежандра 67
где
Вывод формулы, аналогичной формуле A9) гл. 1
опирается на тождество, которое будет приведено
ниже и которое даст нам возможность несколько
упростить вычисление многочленов Kn{x,t).
Из рекуррентной формулы E), заменяя в ней п
на k, переставляя члены и умножая обе ее части на
Pk (t), получим:
B3) Bk+\)xPk{t)Pk(x) =
= (ft +1) Рк (ft Pb+l (x) -f kPk (ft /v, (x).
Эта формула имеет место также при k = 0, если
P-i(x) определить как угодно, лишь <5ы О1 »/*_! = 0;
для определенности, пусть P_i(x)~0. Вычитая B3)
из аналогичного тождества, в котором х и t пере-
переменены местами, получим:
Bk+\)(t-x)Pk(t)rk(x) =
Полагая k — 0, 1, ..., п и суммируя полученные
тождества, мы придем к следующим формулам:
if-x)
—i±l
Последняя из этих формул известна под названием
5*

Глава П
тождества Кристоффеля'. Подставляя полученное
выражение для Kn(x,f) в формулу B2), получим:
B4) sn (х) = «+! J/(
J
В частности, когда/(лг) = лп(л:) — полином степени
я или ниже, то, согласно замечанию, сделанному
в конце предыдущего пункта, sn(x) совпадает
с пп(х)> и равенство B4) имеет место, если в нем
sn (х) заменить через «я (х) и f(t) — через я„ (t).
В частности, если f(x) ¦= 1, то 5я(л;)=.1 для любого п
и
B5) !+i [^(O^W-^W^HjCa dt== i.
9, Решение дифференциального уравнения. Пусть
выражение вида
B6) у = с9 -f- dx -)- с4л:* +...
есть решение дифференциального уравнения
B7) A— Xs) У
найденное методом неопределенных коэффициентов.
Напомним, что полином Лежандра Степени п, в силу
п. 4, удовлетворяет этому дифференциальному урав-
уравнению. Подставляя выражение B6) в левую часть
формулы B7), найдем, что коэффициент при х" равен
(* + 2) (ft -f l)cfc+J - [ft(ft + 1) - n (n -f 1)] cfc.
Дифференциальное уравнение формально удовлетво-
удовлетворяется .тогда и только тогда, когда
(А+
1 Е. В. Christofiel, Ober die Qaussische Quadratur und cine
Verallgemeinerung derselben, Journal far die reine und angewandte
Mathematik, vol. 55 A«58), стр. 61--82; см. стр. 73.

Полиномы. Лежандра 69
Коэффициентам с0 и сх можно придать произволь-
произвольные значения. Все остальные коэффициенты с, опре-
определяются тогда последовательно и равны кратным
соответственно сй или сь в зависимости от того,
будет ли индекс t четный или нечетный.
Если и — неотрицательное целое число, то ck+i ?= О
при k = n и, следовательно, ?„+«,= 0 для всех поло-
положительных щелых чисел/ Для неотрицательных »и k
выражение k(k-\-l) — п(п-\-\) отлично от нуля при
кфп, отрицательно при k<^n и положительно при
k^>n. Для п четного только конечное число коэф-
коэффициентов с четными индексами отлично от нуля,
в то время как все коэффициенты с нечетными индек-
индексами отличны от нуля, если только С\ фО.
Дифференциальное уравнение B7) при четном п
имеет, с точностью До постоянного множителя с0,
одно и только одно полиномиальное решение; за-
заметим, что для полиномиальных решений не воз-
возникает вопроса о сходимости, который остается откры-
открытым в случае палученцябесконечногоряда. Аналогично
для п нечетного, существует единственное, с точно-
точностью до постоянного множителя clf полиномиальное
решение. Известно, что для каждого п Полином
Лежандра степени п является решением этого диффе-
дифференциального уравнения. Если у есть полином от-
относительно х, удовлетворяющий уравнению B7),
то у равен произведению Рп(х) на некоторый
постоянный множитель.
10. Формула Родрига. Докажем сейчас следую-
следующую формулу Родрига (Rodrigues):
B8) PMWW
Правая часть этой формулы, будучи я-й производ-
производной полинома степени 2ге, сама есть полином сте-
степени п. Докажем, что этот полином является реше-

70 Глава II
нием уравнения B7). Дополнительным вычислением
мы определим затем постоянный множитель.
Пусть z={x* — If.Тогдаz'= %х=2пх(хг—\)п-\
следовательно,
B9) (х% — \)z' — 2nxz = 0.
Дифференцируя последовательно это уравнение, по-
получим:
(х* — 1)*" — Bп — 2)xz' — 2nz=0,
(х* — I)*'" — Bп — 4) xz" — [2« + Bп —2 )\z' = О,
и в результате (к -f 1)-го дифференцирования урав-
уравнения B9) будем иметь:
C0) (х* — 1) *(*+*) — Bя — 2k — 2) хг(*+1> -
— [2л + B« — 2) + Bя — 4)+... + Bл—2k)]z<")=0.
Можно легко написать общую формулу для суммы
арифметической прогрессии, стоящей в последней
скобке, однако это не потребуется для дальнейшего
вывода. Заметим, однако, что для частного значения
к = к эта сумма равна
2я-К2я—2) + ... + 2+0=>л(л + 1)
и уравнение C0) принимает вид:
(х* — 1) *f+J> + 2xz (ш) — п(п + \)zt") = 0.
Если умножить это соотношение на — 1 и положить
У—!7п> то полУчим:
A — х*)у" — 2ху' + п (» +1)^=0.
Следовательно,согласно последнему предложению п.9,
где /С не зависит от х.

Полиномы. Ледкандра ft
Для определения постоянной К заметим, что коэф-
коэффициент при х* в ^ равен 2лBл — 1)... (я-f-l),
а коэффициент при х" в Рп(х), согласно формуле G),
равен —'-—^-Ц——- . Следовательно,
что и доказывает формулу B8).
11. Интегральное представление. Другое пред-
представление для Рп(х) дает интегральная формула:
1С
C1) Р„(*)=4 J
о
Для доказательства справедливости этого равенства
обозначим его правую часть через уп {х). Надо дока-
доказать, что уп(х) совпадает с Рп(х).
Непосредственно интегрируя, найдем, что
Докажем, что уп(х) удовлетворяет тому же
самому рекуррентному соотношению, что и Рп (х),
откуда и будет следовать, что уп(х)=Ра(х) для
любого л.
Заметим, прежде всего, что уп {х) является поли-
полиномом степени п (хотя вовсе не необходимо дока-
доказывать этот факт сейчас, так как он будет следовать из
рекуррентной формулы). Действительно, в разло-
разложении подинтегрального выражения C1) по биному
Ньютона, всякая нечетная степень (х* — II/» умно-
умножается на нечетную степень cos<p, а интеграл от
нечетной степени cos<p в пределах от 0 до п равен
нулю: подстановка 6 = к—f дает

Глава 11
J
COS**+1 ffd9 = — ( — 1) »*+I COS»fe+1
= — f cos»*+1M6,
и, следовательно, интеграл по второй половине
интервала отличается только знаком от интеграла
по первой половине. (Тот факт, что нечетные степени
(лс* — 1)*Л исчезают при интегрировании, мы исполь-
используем в п. 12.) А всякая четная степень {х* — 1I/г
умножается на четную степень cos?. Очевидно, что
интеграл от четной степени cos 9 положителен. По-
Поэтому я" входит в выражение дляуп(х) только с поло-
положительными коэффициентами, и общий коэффициент
при хя не может быть равным нулю.
Пусть
л;-К*4 — lI./iCos9 = Z,
Тогда
** -И [* + (*•
У«!<*)** -И [* + (*•-!)* coetf Z" <#р
и
C2) (л + 1К* (х) - Bл +1) хуп (х

Полиномы ЛеЫсандра 73
где
W=(n-?l) [х* + 2*(** — l)I/scos чр -К*1 — 1) cos*?] —
— B/1 + 1)х[х + (х9 — l)'/»cos <p] +• /t = — пх% +
+ л; (л»— II/» cos ? + (д +1)(х4 — 1) cos1 ф + я =±
= — я (Xs —1)A — cos8 <р) + л; (д;* — 1)'/» cos ? +
— 1) cos2 9= — п (х* — l)sin'<p -f
— l)l/*cos (?l
Обозначим — л (х* — i)sina? через U, а второе char
гаемое последнего выражения — через V, так что
W=U-\-V. Интегрируя по частям с множителями
Z" и cos ? (fa, поручим:
J
о
+ Г sin <р • nZn~l (хя — l)Vs sincptfcp =
6 J
= n (xa — 1) f Z"-1 sina ?rf? = — f f/Z" rfcp.
6 б
Следовательно, правая часть формулы C2) равна
нулю, а это значит, что рекуррентное соотношение
E) удовлетворяется, если в него вместо Рп(х) под-,
ставить уп(х\

74
Глава II
12. Границы для Р„(х). Для значений х, принад-
принадлежащих интервалу (— 1,1), перепишем представление
C1) в виде:
C3)
1Г
РП{Х) = I J [X + i A - Ха)'/г C0Sqp]M9.
Как мы видели в п. 11, нечетные степени квадрат-
квадратного радикала, а значит и нечетные степени i
умножаются на функции, интеграл от которых равен
нулю. Если записать подинтегральное выражение
в виде Fy^-iF , где Ft — его действительная часть,
a F9— мнимая, то мы, следовательно, получим:
Так как | Fx -f- /Fa I =
и так как, очевидно,
, то
C4)
=4 1* + /A_.
те
Даже не пользуясь тем, что I /74rfcp = 0, мы полу-
о
чили бы, в силу соответствующего свойства инте-
интеграла от комплексной функции, что
J
J |

Полиномы Лежандра 78
При —1<х<1 имеем:
| X -f / A — X*I/sCOS 9 | = [** + A — X*) C0Sa9]V» =
= (cos*? -j-x* sina9I/f <C (cos*9 + sina9I/» = 1,
если 0<^ф<^п, то по динтегральное выражение в C4)
меньше 1 всюду, кроме концов интервала интегриро-
интегрирования. Отсюда следует, что \Ря(х)\<^\ всюду
внутри интервала (—1,1).
Следующая, менее очевидная, оценка для | Р„ (х) \
на том же интервале понадобится нам при исследо-
исследовании сходимости. Так как
cos'? + я* sin*9 = 1 — A — х*) sin8 ?,
то, согласно предыдущему абзацу, имеем:
итак как sin (я — 9) = sin<?> T0 интеграл, взятый
в пределах от 0 до я, равен удвоенному интегралу,
взятому от 0 до у, В последнем же интервале,
согласно формуле C9) гл. I, siiKpSs—Ч>- Если поло-
п
жить z = — A — л;8I/», то
Если у—действительное число, то, в силу обобщен-
обобщенной теоремы о среднем, имеем:
где О<^0<^1. Так как показательная функция поло-
положительна для всех значений переменной, то e~ttJI> 0 и
« "^ 1 — у, т. е. 1 — v =S е~у и, в частности, 1 — гУ <

7$ Глава Н
Следовательно,
Вводя новую переменную интегрирования *=
и обозначая ^—л— через А, лолучим:
C5) jVv/, Лр= ^Г
О 0
Для нас важно, что последний интеграл есть число,
которое не Зависит ни от п ни -от х. Следовательно,
существует постоянная С, не зависящая от я и от
х, такая, что
C6) |Я.(*)|<-
для —\<^х<^1. Для фиксированного значения х,
взятого внутри интервала (—1,1),\Рп(х)\ не пре-
превосходит некоторой постоянной, помноженной на
(Поскольку последний интеграл в формуле C5)
равен (у) *, неравенство C6) принимает вид:
Относительно вычисления этого интеграла на основе
свойств гамма-функции см. последний абзац п. 2
гл. IX.)

ПолиноМы Межандрй 7Т
13. Сходимость в точке непрерывности, лежа-
лежащей внутри интервала (—1,1). Пусть /(*) — инте-
интегрируемая функция, квадрат которой интегрируем на
интервале (—1,1), и пусть sn(x), как и в п. 8, обо-
обозначает частную сумму ее разложения в ряд по поли-
полиномам Лежандра. Рассуждениями, аналогичными при-
приведенным в п. 7 гл. I, устанавливается, что
1 fc 0 1
i 1
J \f(x)- sn (*)]' dx - J
1
J J 2
—1 —1 *—0
Так как левая часть последнего равенства неотри-
неотрицательна, то сумма, стоящая в правой части, ограни-
ограничена по я, соответствующий бесконечный ряд схо-
сходится, и, следовательно,
(
ft-» со
Отсюда, пользуясь формулой B0), получаем:
Последнее соотношение можно, пользуясь другими
обозначениями, выразить следующим образом: если
функции <?(t) и [ф(*)]а интегрируемы на интервале
С- 1, 1), то
П->аз
Это соотношение можно записать в несколько более

78 Глава //
простом виде, если l^^-Y*=[n-i-^Liam$mtb на
и1/*, что вполне законно, так как
lim
П-» 00
Пусть л;— фиксированная точка внутри интер-
интервала (—1, 1), в которой мы хотим исследовать схо-
сходимость ряда. Помножив обе части равенства B5)
на f{x), получим:
f(x\ = ^=Ь1 f
_
Вычитая это равенство из равенства B4), мы можем
записать результат в виде:
*п (X) -/(X) = Ц± РП(Х) J ср @ Pn+i (t) dt -
C7)
j
—1
где
Согласно п. 12, каждое из выражений ^ (п-\-1)Р„(х),
-2(n-\-\)Pn+i(x) имеет своей верхней границей
величину порядка га1/». Предположим, для про-
простоты, что f(x) непрерывна всюду на замкнутом
интервале (— 1,1) за исключением, быть может,
конечного числа точек с конечным скачком. Тогда

Полиномы Лежандра t9
9 @ будет функцией такого же типа, если функция
f(t) имеет производную в точке t = x (причем мы
доопределяем ср (f) в точке х = t ее пределом при t—x),
или, боЖее обще, если функция f(t) имеет левую
и правую производные в этой точке, независимо
от того, равны эти производные или нет. В этом
случае, согласно предыдущему абзацу, произведение
каждого из интегралов, стоящих в правой части
формулы C7), на величину порядка п>* стремится
к нулю при п -оо, и, следовательно, lim sn(x)=f(x).
При сделанных предположениях относительно
функции f(t), ряд Лежандра сходится в точке t = x
к значению f(x).
14. Сходимость в точке разрыва, лежащей внутри
интервала (—1, 1). Пусть с — число между — 1 и 1,
и пусть f(x)— разрывная функция, равная 1 для
— 1^х<^с и 0 для с<^х^1; значение этой функ-
функции в точке х—с не играет роли и может быть
положено равным произвольному числу. Согласно
п„ 13, ряд Лежандра функции f(x) сходится к значе-
значению f(x) во всякой точке интервала, отличной от
точки х = с. Нам нужно выяснить вопрос о сходи-
сходимости ряда в точке разрыва.
Общий коэффициент ряда в данном случае есть
В силу тождества A4), при &Ss
с точностью до постоянной интегрирования, ,и так
как Рш(-\) = р^(-\) = (-1)*-, то

ВО Глава II
При kt=O непосредственное интегрирование дает:
Частная сумма ряда в точке х — с равна
4 2 ip*« w - p*-«
Согласно п. 12, lira Pn(c) = \im Pn+i(c)=O. и» следо-
Л -»OO Л-» OO
вательно,
lim sn(c) = 4 •
n-*oo ¦«
Ряд Лежандра для выбранной функции, как и ряд
Фу^ье функции, имеющей разрыв такого же рода,
сходится к среднему арифметическому правого и
левого пределов функции в рассматриваемой точке.
Полученный результат легко обобщить. Применяя
формулу B4) к рассмотренной выше функции, полу-
получим:
—" + 1 f
—— J
J
-l
Эта величина стремится к у,когда я стремится к
бесконечности. Отсюда, подставляя х вместо с, по-
получим:
C8) lim «±1 Г
Я -» со ? у
Я -» со ? _у t — X Z
для любого х, лежащего внутри интервала (—1, 1).

Полиномы Лежандра 31
Далее, вычитая C8) из равенства B5), будем иметь:
C9) Нш «±I {^it)Pn(x)-P{t)P^(x)dt== I %
Предположим теперь, что f(t) — произвольная
функция, непрерывная для всех — 1 <^«?1, за исклю-
исключением конечного числа точек с конечным скачком,
в которых функция f(t) стремится к различным пре-
пределам /(я+0) и f(x—0), когда t стремится к х
соответственно справа я слева. Предположим, что
в точке разрыва существуют правая и левая произ-
производные в том смысле, что дроби
f(t)-f(x + O) f(ij-f(x~O)
t — x ' t — x
стремятся к пределам, когда t стремится к х соот-
соответственно справа или слева. Функция 9\ (Of опре-
определенная первой дробью для л;<^^1 и равная
нулю в интервале от — 1 до х, непрерывна на всем
интервале (—1,1) за исключением конечного числа
точек с конечным скачком, и то же самое справедливо
для функции 9а (Of равной второй дроби на интер-
интервале — l^t<^x и нулю вне этого интервала. Пред-
Представим «„(л:) в формуле B4) в виде суммы двух
интегралов sni (x) и sn2 (x), из которых первый бе-
берется в пределах от х до 1, а второй — в пределах
от — 1 до х. Если обе части соотношения C9) по-
помножить на /(а;+0), то получится выражение для
~2 f(x-{-0); аналогично, из формулы C8) получится
представление для у/С*—0), и, изменяя очевидным
образом рассуждения, приведенные выше, получим:
lim sBl(x)=4/(x-f-0), lira *«,(*)= ^-/(л-0),
и, следовательно,
lim sn (х) =l\f{x + 0) +/(х - 0)J.
ft -* оо Л
$ Д. Джексон

82 Глава И
Опять оказывается, что ряд сходится к среднему
арифметическому пределов функции слева и справа.
Вопрос о сходимости на концах интервала, хотя
и не представляет значительных затруднений при
достаточно ограничительных предположениях отно-
относительно функции f{x), потребовал бы от нас ряда
дополнительных рассмотрений, и поэтому здесь мы
на нем не останавливаемся'.
Дополнительная литература: Byerly; Stone; Chur-
Churchill; Szegfl; Уитгекер и Ватсон, гл. XV; Hobson B); Kellogg,
стр. 125—134; Кураит — Гильберт; Полна и Сегс Kaczmarz—Stein-
haus; Франк и Мнзес.
1 См., однако, в конце книги упр. 11 гл. II н замечания
К упражнениям, относящимся к этой главе.

ГЛАВА III
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
1. Предварительные замечания. Здесь, как и в
предыдущей главе, мы приведем в логической после-
последовательности некоторые результаты, не останавли-
останавливаясь особо на мотивировке самого способа введе-
введения интересующих нас функций. Эту главу с двумя
предыдущими объединяет свойство ортогональности
рассматриваемых функций. Другой подход, при ко-
котором ряды Фурье, Лежандра и Бесселя оказываются
обладающими не только общими свойствами, но и
общим происхождением, будет изложен в следую-
следующих двух главах, посвященных краевым задачам.
С точки зрения элементарного подхода, отличитель-
отличительной чертой рядов, рассматриваемых в этой главе,
является то, что они включают в себя новые, спе-
специально определенные функции, вместо хорошо изве-
известных тригонометрических и алгебраических функций.
2. Определение функции J0(x). Будем исходить
из дифференциального уравнения
Предположим, что существует решение этого урав-
уравнения, которое можно представить в виде ряда
У = со + cix + сг>^ + • • • •
Если подставить этот ряд вместо у в левую часть
уравнения A), то у полученного таким образом ряда
коэффициент при ;с* для k^O окажется равным
ck + (к -j- 2)e ck+i. Следовательно, необходимым и
в*

84 Глава tit
достаточным условием обращення в нуль этого коэф-
коэффициента является равенство:
B)
В разложении функции ~j|J, однако, имеется член
~, соответствующий показателю k = — 1, который
не может сократиться ни с одним другим членом;
поэтому, для того чтобы функция у была решением
дифференциального уравнения A), необходимо, чтобы
с, s=s 0. Тогда из формулы B) следует, что все сн% для
нечетных k, должны быть равны нулю. С другой
стороны, для четных k равенство B) будет выпол-
выполнено, если положить сй равным произвольному числу
н если
4
Ы~ 2*' *— 4*— 2*4-' • б1 2*4*6»'
Таким образом, формальное решение днфференциаль-
ногр уравнения A) есть cju{x), где
C) Л(^) = 1 ^ +
и с^/ц (х), при лроизвольном св, является наиболее
общим решением, которое можно получить таким
путем. Отсюда, однако, не следует, что это дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка имеет только
однолинейно независимое решение; мы доказали
только, что существует одно линейно независимое ре-
решение среди решений, разлагающихся в степенной
ряд по х. Точка л;=0, в которой — [коэффициент урав-
нения A)] становится бесконечным, является „особой
точкой" для этого дифференциального уравнения и
для одного из двух его линейно независимых решений.
Пользуясь признаком Даламбера, легко видеть,
что ряд C) сходится при всех х: отношение абсо-

Функции БёШля 85
лютных .величин членов порядка к и к -\- 2 равно
f ц и стремится, следовательно, к нулю при фи-
\T4
ксированном х, если k стремится к бесконечности.
Функция J0(x) называется функцией Бесселя нуле-
нулевого порядка. Бесселевы функции других порядков
будут определены в дальнейших пунктах.
3, Ортогональность. Пусть X— произвольная
постоянная н пусть Z —/„(Хл;). Тогда, если t—)jc и,
следовательно, z=Je(t), то
йг йг dt wi4\ d*z dt d I dz\ nr, /A
откуда
(здесь Штрихи обозначают производные по перемен-
переменным, стоящим в скобках). Подставляя последние
выражения в тождество
получим:
Следовательно, z есть решение этого, несколько бо-
более общего, чем A), уравнения.
Так как /„(—Хх) совпадает с Je(kx), то X, без
ограничения общности, можно считать неотрицатель-
неотрицательным.
Пусть X и 1» — два различных действительных не-
неотрицательных числа. Обозначим Л(**) и Л О**)
соответственно через zt и z2. Функции zl и гг удо-

86 Глава III
влетворяют соответственно дифференциальным урав-
уравнениям:
Помножим обе части уравнения D) на z2 и вычтем
его затем из уравнения E), умноженного на zt, тогда
полученный результат можно записать, полагая
в виде:
Умножив обе части последнего равенства на х, мы
сможем его представить в виде:
откуда, интегрируя по х в пределах от 0 до 1, по-
получим:
F)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, об-
обращается в нуль при х=0. На другом конце про-
промежутка интегрирования имеем: zl(l) = Ja(k),zz(l) =
=Л (!*•)• Следовательно, если К и р — различные
положительные корни уравнения /„ (х) = 0, то
G)
Из этого предложения, однако, еще не следует, что
такие числа X и р существуют. Мы докажем в п. 5,
что уравнение /„ (х) = 0, действительно, имеет беско-
бесконечно много положительных корней.

Функции Бееселя 87
Содержание формулы G) можно выразить сле-
следующим образом: функции xl/*Je (Хлг) и x^»Je (нос) орто-
ортогональны между собой на интервале @, 1). В другой
форме, не представляющей пока для нас особого
интереса, но вводящей понятие, важное для даль-
дальнейшего, можно выразить тот же факт следующим
предложением: функции У„(Хл;) и J0(px) ортогональны
между собой на интервале @,1) с весом х.
Значения ^ и gj при х = 1 равны соответ-
соответственно ХУ,;(Х) и yJ'o (p.). Левая часть формулы F)
обращается в нуль, если X и р. являются корнями
уравнения /в'(х) = 0. Более обще, если /(().)^0 и
0, то выражение zx~ — zt -p имеет при х=\
значение х
Л
xJ* lx\
и обращается в нуль, если у °Л принимает одина-
одинаковые значения в точках х = X и х = !*, т. е., если при
фиксированном h числа X и у- удовлетворяют уравне-
уравнению J*}*? =h- Таким образом, соотношение орто-
ортогональности G) имеет место всегда, когда X в jji
являются различными неотрицательными корнями
уравнения J'll(x) = 0 или более общего уравнения
(8) */,(*)-*./,(*) = 0
(которое сводится к предыдущему при h = 0). Слово
„положительный" заменено здесь словом „неотрица-
„неотрицательный", так как уравнение Уо'(х) = 0 имеет х=0
одним из своих корней. Существование бесконечно
многих положительных корней уравнения (8) для
любого h мы докажем в п. 5.
Если заменить (8) уравнением gx J'a (x)—hJt (x)=0,
то уравнение У„(л;) = 0 также получится как частный
Случай при ?=0,

88 Глава III
Для вычисления интеграла G) при р-=^ заменим
Хдг через t; тогда
о
Пусть y=^Jb (О- Умножим дифференциальное урав-
уравнение
У + ?+*=о,
где штрихи обозначают дифференцирования по /,
на 2**/. Результат можно записать в виде:
0= Я (<У) + 2W = ? (^''s)+ jt iff) - Vf.
откуда имеем:
**i Jf {f +У% =4 *Ч [Л WP+1Л
h
(9)
Это ceo-июшение справедлиро для всякого 4>+
4. Интегральное представление для /„(*). До-
Доказательство существования корней, о которых шла
речь в предыдущем пункте, основано на интеграль-
интегральном представлении:
A0) /0 (х) = ~ J cos (л: cos ф) dtp.
о
Мы видели в п. 2, что общее решение дифферен-
дифференциального уравнения A) в виде степенного ряда
по х имеет вид с^й{х). Степенной ряд, являющийся

Функции Беьселя
решением уравнения A) и имеющий свободный чден,
равный д» совпадает с /„{*). Докажем, что правая
часть равенства A0) является таким решением урав-
уравнения A).
Пусть
тс
у= f cos (х cos <f) dy.
о
Подставляя в подинтегральное выражение \ вместо
cos (* cos?) ряд
,. л ч . .** COS* Ф X* COS4 » X* COS* в
A1) 1--^—+__ —
получим:
1С
Нетрудно было бы вычислить I cos**qp d<? для произ-
о
вольного целого k и, таким образом, проверить со-
совпадение ряда в формуле A2) с рядом, представляю-
представляющим Jt(x). Однако мы, как уже было упомянуто,
вместо этого докажем, чтд у является решением
уравнения A).
Дифференцируя под знаком интеграла по х, по-
получим:
A3) / = — j
1С
У = — ( cos* ф cos
о
* Из теорем анализа следует, что почленное интегрирование
здесь законно, так как ясно, что для каждого фиксированного х
ряд A1) сходится равномерно по tp. Дальнейшие утверждения
этого пункта, а также результаты, излагаемые в п. и. 9—11, как
например возможность дифференцирования по х под знаком
интеграла, а также тот факт, что J0(x), будучи сумной степей-

90 Глава III
Интегрируя по частям правую часть формулы A3)
с множителями sifi(xcos9) и cos?*/?, найдем, что
У = — [sin (л: cos 9) sin ?|! —х ( sin9 9 cos (л: cos ?) dq.
Выражение в квадратных скобках на концах интер-
интервала обращается в нуль, следовательно, мы имеем:
У" -\- ^У -\-У = Г(— cos8 tpsin*<p-f 1) cos(xcos 9)^9=0.
Отсюда следует, что ~ совпадает с J0(x).
5. Нули функции JQ(x) и связанных с ией функций.
Подстановка я-~ф вместо qp переводит х cos? в —х cos?
и оставляет cos (x cos 9) неизменным. Следовательно,
интеграл в формуле A0), взятый в пределах от -g-
до я, равен этому же интегралу, взятому в пределах
от 0 до ^, и
= Ч \ cos
¦/.(*>=?/
Положим ^=xcos9, тогда dt= — X sin 9^9 =
= — (х1—РУ''*4<?, н мы пэлучим:
Знаменатель подинтегрального выражения обращается
в нуль для значения t = x, и Поэтому подинтеграль-
ное выражение, вообще говоря, при t—x обращается
в бесконечность, однако, этот несобственный интеграл
нога ряда, непрерывна и, значит, не может изменить знак на
обрагаый, не приняв значения нулц, также непосредственно выте-
вытекают из хорошо известных элементарных теорем анализа.

Функции Бесселя 91
сходится. Но если х равно произведению -= на нечет-
нечетное число, то числитель дроби также обращается
в нуль при t=x, и, раскрывая обычйым способом
неопределенность вида -^, мы найдем, что предел
дроби при t—-х равен нулю. Исследуя далее последний
интеграл, мы обратим основное внимание на эти зна-
значения х.
Пусть x — kw-j--^, где k—положительное целое
число. График подинтегральной функции, рассматри-
рассматриваемой как функция от t на интервале @, х), пере-
пересекает ось t в точке с абсциссой у и далее состоит
из ряда дуг, расположенных поочередно под и над
осью t, при этом последняя дуга, соответствующая
отрезку с концами t — \k—-*-] я и t— (^-Ьт) тс> на"
ходится над осью, если k—четно, и под нею, если
k -— нечетно. Обозначим через с значение интеграла,
взятого в пределах от 0 до -?, и через dit dt,...,dk —
величину площади, заключенной между соответствую-
соответствующей дугой и осью t, т. е. значение интеграла от
абсолютной величины подинтегральной функции* взя-
взятого по интервалу
Тогда имеем:
Значения с и dj,j= 1,2,..., k, зависят от k, однако
нет надобности указывать на этот факт явным обо-
обозначением.
Для каждого фиксированного положительного k
имеем di<^dt<^.. ,<^ак, так как абсолютные вели-
величины ординат соответствующих точек смежных дуг

93 Глава HI
равны произведению одинаковых значений [costf| на
величину, которая возрастает слева направо. Далее,
с<Цйи так как значение интеграла, взятого в пределах
от 0 до я/„ меньше, чем абсолютная величина каж-
каждого из двух интегралов, взятых соответственно
в пределах от я/, до я и от it до Зя/4, в отдельности.
Поэтому, если k — нечетно, то
в то время как если к — четно, то
Очевидно, У* ( y) ^> °» так к*к подинтегральная фуик-
щя прложятельна во всех внутренних точках интер-
интервала интегрирования. Таким образом, функция /в(х)
попеременно положительна и отрицательна в точках
-« , 3 -я-, 5 -jr»• • • и» следовательно, обращается в
нуль» по крайней мере, один раз на каждом из
интервалов (йе + -|, (i + 1)я + %)> i—°Д. • • • На
самом деле она обращается в нуль на каждом из этих
интервалов только один раз, однако этого факта мы
не будем доказывать. Доказательство основано на
том, что /„(¦*) может иметь на конечном интервале
только конечное число нулей; это следует из общих
свойств функций, представимых посредством степен-
степенных рядов. Аналогичное замечание применимо к функ-
функциям J'9 (х) и xJ't (х) — hJt(x), которые мы иссле-
исследуем ниже.
По теореме Ролля У,' (х) обращается в нуль, по
крайней мере, один раз на каждом интервале, заклю-
заключенном между двумя последовательными нулями
функции Jt{x), и, следовательно, уравнение ^(х)=0

Функции Бесселя 98
также имеет бесконечно много положительных
корней tit кроме того, корень д; = 0.
Прежде чем перейти к исследованию более общего
уравненяя (8), заметим, что функции Л С*) н •/«(¦*)
не могут одновременно обращаться в нуль. Действи-
Действительно если бы /0(а) = 0 и Ув'(а)=^° в точке афО
(очевидно, У0@) = 1 фЪ), то из дифференциального
уравнения A) следовало бы, что У^'(я)=0, и, далее,
из дифференциального уравнения
— что У^"(а)=0; таким же образом дальнейшим
последовательным дифференцированием уравнения
A) мы убедимся в том, что в точке х=а все про-
производные функции /„ (•*) обращаются в нуль. А тогда
из разложения функции Jt(x) в ряд Тейлора по сте-
степеням х — а мы получили бы, что J9(x)=Q.
Тот факт, что Jo и J'a не могут обращаться одно-
одновременно в нуль, следует также из формулы (9).
Из сказанного следует,-что У0(х) меняет свой знак
при переходе .через точку, в которой она обращается
в нуль. Если X,, Ха,... — положительные корни урав-
уравнения J9(x)=0, расположенные в порядке возраста-
возрастания, то/Дх) переходит в точке bt от положительных
значений к отрицательным, в точке Ха —от отрица-
отрицательных к положительным, и, следовательно, Л'(^1')С^
Л' 0)> /0 (х)
, , д, ЛA)С>
Л' 0^)> 0,.... Но в точке х > 0, в которой /0 (х) = О,
знак выражения x/0'(jc) — hJ0(x), составляющего ле-
левую часть уравнения (8), совпадает со знаком /,(х).
Поэтому левая часть формулы (8) попеременно отри-
отрицательна и положительна в точках X,, Х2,... и, следо-
следовательно, обращается в нуль, по крайней мере, один
раз в каждом из интервалов между корнями Х;-, Х;+1
С/=1, 2, ...).
6. Разложение произвольной функции в ряд.
Пусть Х„ 1Ъ ... — положительные корни уравнения
Л (-"О— 0, расположенные в порядке возрастания, или

94 Глава III
неотрицательные корни уравнения J[(x)—O, или
положительные корни уравнения xJ'o (x)r—hJ9(x) = 0
при некотором h-фО. Произвольная функция f(x),
заданная на интервале @, 1), может быть формально
разложена в ряд по функциям Je(b\x), Л (h*)> • • •»
аналогично тому, как это имело место в случае
рядов Фурье и Лежандра.
Пусть это разложение записано в виде:
/(*) = «Л (М) + аЛ (***) + • • •
Для вычисления коэффициента ак умножим это соот-
соотношение на xJu(lkx) и проинтегрируем обе части
в пределах от 0 до 1. Вследствие ортогональности,
установленной в п. 3, правая часть сведется к одному
члену, и мы подучим:
1 1
f xf(x) Уо (hx)dx = ак \х [У,
о 6
что, согласно формуле (9), дает:
i
С
Р J
J f№ о ^^ x-
о
Если Уь является корнем уравнения У0(х)=0 или
уравнения J'a(x)=0, то знаменатель этой дроби
сведется соответственно к [У'о (Xfe)j2 или к [Уа(^)]9.
Мы не будем здесь изучать вопроса о сходимости
такого рода рядов.
Можно выписать формулы для случая разложения
функции в ряд на интервале @, а), где а — произ-
произвольное положительное число. Онн получаются
из приведенных выше формул простой заменой пере-
переменной.
7. Определение функций У„ (х). Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение

Функций Бесееля 95
включает в себя уравнение A) как частный случай.
Можно исследовать уравнение A4) при произвольных
значениях п, действительных н комплексных. Для
наших целей достаточно пока ограничиться целыми
положительными значениями п [и значением 0, для
которого это уравнение совпадает с A)], хотя ббль-
шая часть приведенных ниже рассуждений проходит
почти без изменений для любых положительных
(и даже 'Для более широкого класса) значений л.
Чтобы несколько упростить нахождение решений,
разлагающихся в степенной ряд, введем новую зави-
зависящую от х переменную с помощью соотношения
y = x"v. Подставляя y=x"v в A4), мы получим
для v дифференциальное уравнение
которое, очевидно, сводится к уравнению A) при
п = 0. Если
A6) v = co-\-clx
то коэффициент при хк, в левой части уравнения
A5), в которое вместо v подставлен ряд A6), для
&SsO равен
Обращение в нуль этого коэффициента эквивалентно
соотношению
Знаменатель в правой части отличен от нуля для
всех &S&0, если «SsO (и более обще, если п имеет
любое значение, за исключением —1, —-|, —2,...).
Кроме того, мы будем иметь в левой части A5) член
Bл -Ь 1) Ci \
, для исключения которого необходимо,

96 Глава III
чтобы с, = 0, если только Пф— -^. При
можно приписать с„ произвольное значение, и общее
решение уравнения A5), преддтавимое в виде.ряда A6),
равно произведению константы с9 на ряд
1_
"Г
2 ¦ 4 • 6
Применяя признак Даламбера, мы убеждаемся в схо-
сходимости этого ряда для всех значений х.
Выбирая константу с0 так, чтобы ряд для y=x"v,
где л — целое положительное число, имел вид:
2B^+2)
мы получим- функцию Бесселя Jn(x) порядка п.
Считая 01 = 1,, мы получим из этой формулы при
я = 0 выражение C) для ЛС*О- Сравнивая ряд, стоя-
стоящий в правой части формулы A7) при п = 1, с рядом,
полученным в результате почленного дифференциро-
дифференцирования ряда C), легко видеть, что Jt(x)=± — ft(x).
Если п не есть целое положительное число, но для
него возможно провести предыдущее вычисление,
то Jn{x) определяется, при подходящем выборе по-
постоянной с9, с помощью гамма-функции Ч
8. Ортогональность и разложение в ряд. При
t=lx и z=Jn(kx)=Jn(t) мы найдем, аналогично
тому, как это сделано в первом абзаце п. 3, что
d2*i х dz
1 См. в конце книги упр. 4—13 и сопровождающие их заме-
замечания, относящиеся к этой главе.

Функций Бёсселя 9?
Мы будем предполагать в дальнейшем, что га — целое
положительное число (или я = 0, причем выводы,
которые здесь получатся, для га = 0 будут лишь по-
повторением установленных выше соотношений), Рас
суждения этого пункта, как и двух следующих,
годятся для любого положительного л; они не за-
зависят от частного выбора константы с0. При иссле-
исследовании возможности распространения их на отри-
отрицательные п встречается то затруднение, что для
отрицательных п функция Jn(x), вообще говоря,
становится бесконечной в точке х = 0.
Применяя к дифференциальным уравнениям, ко-
которым удовлетворяют функцииzt=Jn(kx),zt=Jn(px),
преобразования, аналогичные проведенным в третьем
абзаце п. 3, заметим, что выражения, содержащие гаа,
сократятся, а далее формулы, приводящие к соот-
соотношению ортогональности, являются буквальным по-
повторением соответствующих формул п. 3, с той
лишь разницей, что всюду вместо Уо надо писать /„.
Если X и у. — различные положительные корни
уравнения Jn{x)=0, или уравнения J'n(x) = 0, или
уравнения хУп (х) — hjo (х) = 0, то
1
о
X и A могут, очевидно, принимать значение 0, так
как /„ @ • х) = 0 при п > 0.
Для вычисления последнего интеграла при j* = X
достаточно повторить приведенную выше выкладку.
Очевидно, при этом появится член, содержащий га8,
и общая формула запишется в виде:
A9)
при я = 0 это равенство совпадает с формулой (9).
7 Д. Джексон

V8 Глава III
Факт существования корней, использованный при
получении соотношения ортогональности, будет до-
доказан в п. 11.
Пусть Х„ Х9>... — положительные корни уравне-
уравнения Jn(x) = 0 илн уравнения У'„(х) = 0 (га— целое
положительное). Всякой интегрируемой функции на
интервале @, 1) соответствует ряд (сходящийся или
нет) вида
где
1
(xf(x)Jn(\kx)dx
Знаменатель последней дроби вычисляется по фор-
формуле A9). То же самое имеет место, если Ьи X,,...—
корни уравнения xJ'n(x) — hJn(x)*=0, с тем лишь
изменением, что в частном случае h = n нужно при-
прибавить к ряду еще один член, чтобы сделать полной
соответствующую систему функций. Действительно,
в последнем случае функция z—x" является реше-
решением уравнения A8) при Х==0 и в то же время
удовлетворяет условию ^x=hz при х=\; повторяя
рассуждения п. 3 для zl=xn, zt=Jn(kkx), мы убе-
убедимся в том, что функция х" ортогональна с весом х
ко всем функциям 7„ (Х4лг)'.
1 См. С. N. Moore, The summability of the developments
in Bessel functions, with applications, Transactions of the Ame-
American Mathematical Society, 10 A909), стр. 391—435; см. стр.
418—419.

Функции Бесселя 99
9. Интегральное представление для /„(*)• Функ-
Функцию У„(д;) можно при целом положительном п пред-
представить в виде, аналогичном формуле A0):
it
B°) IF * ГТзТ5-*"-Bя-1) /sin*" * cos
Обозначим последний интеграл через v. Подставляя
ряд (И) вместо cos (хcos 9), мы увидим, что v можно
представить в виде степенного ряда по х с постоян-
постоянным членом
B1) i4,
Дифференцируя по х под знаком интеграла, по-
получим:
B2) fic = ~~ pin8" 9 cos 9 sin (л: cos 9)<*9.
о
1С
^ = — f sinM 9 cos4 9 cos (a; cos <p) d<?.
0
Проинтегрируем выражение B2) по частям, принимая
за множители sinOccoscp) и sins"9cos9<i9- Так как
функция 2n4-i обращается в нуль на концах интер-
интервала интегрирования, то
B3) g =
Поскольку sin2"+29 = sinw9sinJ9, легко видеть, что
функция v удовлетворяет уравнению A5). Следова-
Следовательно, согласно результатам п. 7, функция v отли-
отличается только постоянным множителем от "Jf .
7*

100 Глава III
Остается проверить только правильность выбора
постоянного множителя в выражении B0).
Последовательно производя замену переменной
интегрирования, установим, что
s4"
/J /3
Ап = 2 i s in4" 9 dy= 2 f cos*" 9 dy = f cos
Отсюда, подставляя ряд A1) в формулу A0), легко
видеть, что (~1)Л;ГBя)Т является коэффициентом
при xw в степенном ряде для Jv(x), и, сравнивая
с разложением C), получим:
А__ 1 л _1 -3-5- ••Bя-1)
Bn) In ~ 24» • • • B,0* ' п~ 2.4-6. • -2л '
Согласно представлению A7), -*^?- является степен-
степенным рядом с постоянным членом ^j t и, следова-
следовательно,
т 1 • з • 5 • . . Bя -\)njn(x)
в соответствии с формулой B0).
10. Рекуррентные формулы. Обозначим инте-
интеграл v, введенный в предыдущем пункте, через vn.
Тогда, согласно равенству B3), получим:
dvn___ xvn±i
dx 2я + Г *
Положим 1 • 3 ¦ 5 • • • Bя - 1) я = Сп. Так как vn= -п^г^
и Bд +1) С„=С„+1) то
1
Сп dx Ся+1
откуда
B4) y(*,(*)=T-'-(*)-

Функции Бесселя Ш
При целом положительном п можно иначе про-
произвести интегрирование по частям в формуле B2),
принимая за сомножители sin'^'^cos? и
sin
Так как
^-(sm2n-19cos9)=B« — 1) sin3"-3? cos2* — si
=Bя — l)sinte-3? — In sin *ty
то
Следовательно:
B5) /я-.м=7л
Вычитая и складывая формулы B4) и B5), полу-
полуу; (*) = -! [/„_,(*)-/,,+, (*)],
чим:
Последние равенства являются рекуррентными со-
соотношениями, с помощью которых для любого целого
положительного л^2 можно выразить Jn(x) через
Л и J1 или через Уо и Тп.
П. Нули. С помощью рассуждений, аналогичных
приведенным для случая J0(x) в п. 5, и основанных
на последовательном дифференцировании уравнения,

да Глава III
или, иначе» на соотношении A9), легко видеть, что
Jn(x) и J'nix) не обращаются одновременное нуль ни
для какого х ф 0. (В то время как У„ @) ф 0 и У^ @) ф 0,
очевидно, что У„@)=Ул@) = 0 для п S=2.)
Для любых двух последовательных корней урав-
уравнения У„ (л;) = 0, значения /„ (х) и, следовательно, зна-
значения правой части формулы B4) имеют противопо-
противоположные знаки, поэтому функция Jn+1 (x) обращается
в нуль в какой-то промежуточной между этими кор-
корнями точке. Так как функция Jn(x) имеет бесконечно
много положительных корней, то таким же свойством
обладает функция У„+1(х). Так как мы доказали су-
существование бесконечного числа корней для функ-
функции Уо (х) [и для У, (х) = — /0 (*)], то отсюда следует
по индукции, что все функции Jn(x) при целом по-
положительном п имеют бесконечно много корней.
Переход от уравнения Jn(x) = 0 к уравнениям
J'n(x) — Q и х/„(х)—ЛУл(л;)=0 можно совершить
при помощи таких же рассуждений, как приведен-
приведенные в п. 5 для случая я = 0.
12. Асимптотическая формула. „Асимптотические
формулы*, показывающие поведение функций при
больших значениях аргумента, делают значительно
яснее общий характер поведения функций Бесселя
и доставляют подготовительный материал для иссле-
исследования сходимости рядов Бесселя. Общая теория
асимптотических формул далеко не проста. Однако,
на основе того факта, что функция и — xl/*Jn (x) удо-
удовлетворяет уравнению
легко показать, что для фиксированного п существуют
такие постоянные числа а и 5, что

Функции Бесселя 103
где гп(х) функция, которая остается ограниченной
пря х-*-оо '.
13. Ортогональные функции и линейные краевые
задачи. Функции со&Хх и sinXx являются реше-
решениями уравнения
B6) у" + Ху = 0.
Они удовлетворяют дополнительным условиям:
B7) У{-*)=У{*)> У'(-*)=/00.
тогда и только тогда; если X — целое число. Отсюда
следует, что функции 1, cos х, sin x, cos 2x,
sin 2x, ..., при помощи которых строится ряд Фурье,
можно рассматривать как решения краевой задачи
для уравнения B6) на интервале (—я, я) при краевых
условиях B7).
Дифференциальное уравнение для полиномов Ле-
жандра имеет точки jc = ±1 в • качестве своих осо-
особых точек в том смысле, что если это уравнение
записать в виде
с коэффициентом при у", равным 1, то другие коэф-
коэффициенты обращаются в этих точках в бесконечность.
Решения Рп(х), соответствующие целым положитель-
положительным значениям я, отличаются тем, что они остдются
конечными в особых точках. Их можно рассматри-
рассматривать, как решения краевой задачи на интервале (— 1,1)
для соответствующего уравнения при краевых усло-
условиях несколько иного типа, чем рассмотренные в пре-
предыдущем абзаце.
Уравнение
.... , 1 .
1 См. Курант —Гильберт, I, ГТТИ, 1933, стр. 313-315.

Ш Глава Ш __
имеет особенность в точке х = 0. Решения этого
уравнения, использованные нами в п. 6 для построе-
построения рядов, остаются конечными в особой точке и
удовлетворяют дополнительному краевому условию
на другом конце интервала @, 1).
Таким образом, ряды Фурье, Лежандра и Бесселя,
у которых мы уже ранее обнаружили ряд сходных
черт, мы сейчас объединили иначе, как решения крае-
краевых задач для дифференциальных уравнений.
Более общая проблема, по сути дела, того же
характера, хотя она и не сводится к какому-нибудь
из рассмотренных выше случаев, связана с решением
дифференциального уравнения
BS) У
при краевых условиях вида
B9) У@)-Ау@)=0, У(«) + //у(п)=О,
где q?(я) — заданная функция, непрерывная на интер-
интервале @, it), а А и И—константы. Это известная крае-
краевая задача Штурм-Лиувилля. Нетривиальные ее ре-
решения существуют для бесконечного множества изо-
изолированных значений параметра X, называемых ха-
характеристическими числами. Соответствующие ре-
решения называются характеристическими решения-
решениями, или характеристическими функциями. Функ-
Функции 1, cos х, cos 2х, ..., образующие ряд Фурье, со-
состоящий из косинусов и отличающийся от полного
ряда Фурье, получаются как решения только что
указанной краевой задачи при ?(.*)=О ий=//=0.
Функции sin for, Л=1,2, ... , без косинусов, полу-
получаются как решения этой же задачи, если ф(х) = 0
и условия B9) имеют вид: уф)=у(п)=0.
Если j>i и yt — характеристические функции крае-
краевой задачи B8) — B9), соответствующие характери-
характеристическим значениям Xt и Xs, то, комбинируя диф-

Функции Бесселя 105
фереициальные уравнения, которым удовлетворяют
У\ и Уч, соответственно, получим:
') = (К - К) J
х.
Так как левая часть последнего уравнения обращается
в нуль (согласно B9)), то функции У\ и J»« ортого-
ортогональны друг другу, если v Ф- ^*- Бескоиечную по-
последовательность характеристических функций можно
использовать для формального разложения произ-
произвольной функции в ряд (см. ссылку иа Ince'a).
Более общие краевые задачи и вопросы разложе-
разложения в ряд возникают в связи с линейными диффе-
дифференциальными уравнениями произвольного порядка
(см. ссылку на Birkhoff'a).
Понятие краевой задачи мы встретим еще в сле-
следующих двух главах, в связи с некоторыми диффе-
дифференциальными уравнениями.
Дополнительная литература: Byerly; Churchill;
Уиттекер и Ватсон, гл. XVII; Gray, Mathews and Mac Robert;
Watson; Кураит — Гильберт: Франк и Мдасс; для п. 13: Ince;
Birkhoff.

ГЛАВА IV
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Ряды Фурьё и уравнение Лапласа в беско-
бесконечной полюсе. Ряды Фурье, Лежандра, Бесселя и
другие имеют общую область применения в связи
с решением „уравнений в частных производных ма-
математической физики". Одним из наиболее важных
таких уравнений является уравнение Лапласа, имею-
имеющее в случае трех переменных следующий вид:
/t\ д*а j_ д*а л_ д°я —h
Не менее важным является соответствующее урав-
уравнение для двух независимых переменных:
B) ^+ч?7 = 0'
к которому приводится уравнение A), если рассма-
рассматривается плоская задача вместо пространственной,
или если функции, относящиеся к пространственной
задаче, не зависят от координаты г. Само по себе
уравнение B) имеет важное значение в теории функ-
функций комплексного переменного.
Вопрос, который нас будет интересовать, не сво-
сводится только к нахождению функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Легко написать
общее решение уравнения B), а именно:
где <Pi и <р« — произвольные функции одной незави-
независимой переменной, имеющие достаточное число про-
производных, и i — y^-l. Задача заключается в том,

Краевые задачи Ш
чтобы из всей совокупности решений выбрать одно
частное решение, удовлетворяющее некоторым до-
дополнительным условиям.
Пусть, например, требуется найти решение урав-
уравнения B), определенное в плоской полосе, ограни-
ограниченной прямыми х=±0, х — ъ, у = 0, и удовлетво-
удовлетворяющее следуюшпм краевым условиям:
C) u(x,0)=f(x),
D) и@,.у) = 0,
E) и(к,у) = 0,
F) lira и(х,у) = 0,
где f(x) — заданная функция. Идеализируя соответ-
соответствующую физическую задачу, и можно рассматри-
рассматривать как температуру в точке (х, у) проводника,
имеющего форму бесконечной полосы, если на грани
у=0 все время поддерживается температура /(*).
вдоль сторон х = 0 и х = п поддерживается темпе-
температура 0 и в достаточно отдаленных частях по-
полосы температура приближается к нулю. Мы счи-
считаем при этом, что поток тепла достиг „стационар-
„стационарного состояния", т. е. температура в каждой точке
полосы не зависит от времени. Задачу, более близкую
к физической действительности, однако, менее просто
решающуюся математически, мы рассмотрим в сле-
следующем пункте; в ней бесконечная полоса заме-
заменена конечным прямоугольником.
Считал ширину полосы равной п, мы достигаем
упрощения записи без ограничения общности физи-
физических условий.
Правило, которого часто придерживаются, состоит
в том, что сначала находят решения специального
вида: Х{х) • У (у), где каждый множитель зависит
только от одной переменной. Подставляя XV вместо и
Y" v"
в B), мы получаем уравнение-р =—^ .Так как обе

m Глава W
части .этого уравнения равны одной и той же функ-
функции, которая в первом представлении не зависит от х,
а во втором —от у, то эта функция является по-
постоянной. Если искомое решение должно только
удовлетворять дифференциальному уравнению, то эта
постоянная может быть любого знака. Однако для
решения поставленной задачи удобно принять ее рав-
равной положительной величине или нулю и предста*
вить в виде AJ,
Итак» функции X и У в отдельности удовлетво-
удовлетворяют следующим обыкновенным дифференциальным
уравнениям:
с одной и той же константой X в обоих уравнениях.
Первое уравнение имеет решения: cos Ax, sin Ах; вто-
второе имеет решения: е*->, е~**. Их комбинации:
G) e^coslx, e^sialx, е-^ cos Ax, г-** sin Ax,
дают при произвольном А некоторые частные реше-
решения уравнения B), как это легко непосредственно
проверить, подставляя G) в уравнение BJ. Без огра-
ограничения общности можно предположить, что As=0.
Из четырех функций G) первые две принимают
при у стремящемся к бесконечности сколь угодно
большие значения, в то время как остальные две
удовлетворяют дополнительному условию F). Функ-
Функция е—** sin Ах удовлетворяет для любого А ^= 0 как
условию D), так и условию F). Условию E) она
удовлетворяет лишь тогда, когда А — целое число
или нуль. Итак, уравнение B) и условия D), E) и F)
удовлетворяются каждой из функций e-'Vsinrcx,
л = 1, 2, о, ... .
Так как условна B), D), E) и F) являются одно-
однородными, и так как неизвестная функция, равно как
и ее частные производные, входит в них линейно,
то произведение постоянной на функцию, удовле-
удовлетворяющую этим условиям, и сумма двух функций,

КрШие задачи 169
удовлетворяющих им, также обладают этим свой-
свойством. Отсюда следует, что сумма конечного числа
членов вида b#~n*sin пх удовлетворяет условиям B),
D), E) и F). Естественно ожидать, и это доказывается
обычными методами анализа, но здесь не будет при-
приведено, что при известных условиях относительно
сходимости то же имеет место и для бесконечных
рядов, составленных из таких членов. Мы получим
формальное решение поставленной краевой задачи,
если разложим функцию f(x) в рлд Фурье по си-
синусам:
f(x) = и (х, 0) = b1 sin х -}- Ьг sin 2х -\- Ъ% sin 3x-\-... ,
и положим
(8) и (х, у) = bte-y sin x
Если ширина полосы равна а вместо п, то усло-
условие E) заменяется следующим: и (а, у) = 0, обозна-
обозначения усложняются только тем, что вместо e~"ysinnx
—иву
всюду надо подставить е а sin —, а функцию f(x)
нужно разложить на интервале@,а) в рлд S*nsin^,
причем мы используем замечание, сделанное в п. 3 гл. I.
2. Ряды Фурье и уравнение Лапласа в прямо-
прямоугольнике. Если заменить в предыдущей задаче по-
полосу прямоугольником, то мы получим задачу, более
близкую к физической действительности. Пусть
6 —длина прямоугольника, а я — его ширина. Надо
найти решение и уравнения B), удовлетворяющее
условиям C), D), E) и такое, что
(9) и{х,Ь) = 0.
(Решение задачи предыдущего пункта также важно
для физики, так как оно дает приближение к решэ-

110 Глава IV
нию только что поставленной задачи при достаточно
большом Ь; это является следствием быстрого убы-
убывания показательной функции при возрастании у).
Функции е"у$тпх и e~"ysinnx удовлетворяют
условиям B), D) и E) при любом положительном
целом п. Линейная комбинация
-| е" ье~пу sin nx — у егяЬ^у sin nx = sh n (b —у) sin nx
удовлетворяет также и условию (9). Функция
оо
и(*>У)= 2 сп*Ьп(Ь—у)sinпх
удовлетворяет формально условиям задачи, если
коэффициенты сп подобраны таким образом, что
f(x) = u(x,0) = с, sh Ъsin х-f-c2 sh 2? sin 2л:-}-...,
где с„ равны соответствующим коэффициентам ряда
синусов для функции f{x), поделенным на sh nb.
Решение этой задачи может быть, конечно, пере-
перенесено на случай прямоугольника с шириной а
вместо к. Легко видеть, что небольшими измене-
изменениями в выкладке или простой заменой переменной
в окончательной формуле мы получим решение
соответствующей краевой задачи, в которой значение
функции задается на верхней стороне прямоуголь-
прямоугольника, а не на нижней. Взаимной заменой х и у и
соответствующей заменой а на Ъ в найденной фор-
формуле мы получим решение для случая, когда зада-
задаются значения функции на вертикальной стороне.
Пусть и,(х,у),..., ик(х,у) — решения уравнения B),
удовлетворяющие, соответственно, следующим систе-
системам граничных условий:
в, (ж, 0) =/,(*), «,@,.у) = 0,
щ(х, 6) = 0, ul(a,y) = 0,
и2(х,0) = 0, Щ@,у) = 0,
и» (*, Ь) =/2 (х), и2 (я, у) = 0,

и пусть
Тогда
Щ(х,
щ(х,
Щ{х,
Щ(х,
)=щ (,
Краевые
0) = 0,
ft)=o,
0) = 0,
6>=0,
jc» j') 4-и? (х
задачи 111
«•(о,^)=Л(у),
И3(Я,;У) = 0,
и4@,д>) = 0,
«i(«,j')=/iCv)»
, j;) -f и3 (л;, j;) -f- »4 (л, j;).
и (ж, 0) =/,(*), и(х,Ь)=Мх),
и (О, JV) =/з (У), й (а, у) =/4 (у),
т. е. функция и(х, у) есть решение уравнения Лап-
Лапласа, принимающее на границе прямоугольника про-
произвольно заданные значения.
В общей теории функций, удовлетворяющих урав-
уравнению Лапласа, называемой теорией потенциала,
доказывается, что не только для прямоугольника,
но и для более общих областей, существует одно
и только одно решение уравнения Лапласа, прини-
принимающее на границе области заданные значения.
3. Ряды Фурье и колебания струны. Колебания
однородной, упругой струны с закрепленными крн-
цами описываются, при идеализированных условиях,'
являющихся лишь приближением к физической дей-
действительности, дифференциальным уравнением в част-
частных производных второго порядка, и к решению со-
соответствующей краевой задачи можно опять-таки
применить ряды Фурье.
Пусть ось х проходит через закрепленные
концы струны и пусть начало координат совпадает
с одним из ее концов. Допустим, что колебания
струны происходят в одной плоскости, которую мы
примем за плоскость (х, у). Если точка, находящаяся
в положении равновесия (х, 0), перемещается к мо-
моменту t в положение (х, у), то движение струны

112 Глава IV
полностью описывается в математических терминах,
если определить у как функцию от х я t. Эта функ-
функция у(х, t) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
где а — (положительная) постоянная, зависящая от
физических свойств струны и выбора единиц изме-
измерения. Для удобства записи допустим, что единица
длины выбрана такой, что длина струны равна «.
Уравнение A0) имеет общее решение:
, t) = ?, (* -f at) -f- <t% (х — at%
где ф, и % — произвольные функции одной перемен-
переменной. Более подробного исследования требует вопрос
о нахождении определенного решения, удовлетво-
удовлетворяющего условиям некоторой частной задачи.
Допустим, что положение струны при ?=0 (поло-
(положение покоя) описывается функцией у =f(x) и пусть,
начиная с этого момента, струна свободно колеблется.
В силу начальных условий и того факта, что концы
струны закреплены, функция у (х, t), кроме уравне-
уравнения A0), удовлетворяет еще следующим условиям:
(И)
A2)
A3)
A4)
.У @,0 = 0,
y{x,0)=f(x),
yt(x,0)=0,
где yt обозначает ?.
Найдем частные решения уравнения A0), предпо-
предполагая сначала, что функция у имеет вид произведе-
произведения X(x)T(t). Тогда уравнение A0) примет вид;
A5) ~Ц*т===~Х'

Краевые задача
Так как левая часть этого уравнения не зависит
от х, а раваая ей правая часть не зависит ot t,
то это есть постоянная, которую мы обозначим
через — X1 (положительные значения этой постоянной
не понадобятся нам для решения поставленной за-
задачи). Обыкновейные дифференциальные уравнения
для функций Т и X
имеют соответственно следующие решения:
cos hit, sin \at; cos Ух, sin Ух,
и функции
cos Ух cos У at, cos Ух sin Xal, sin Ух cos Xa/, sin Ух sin X<rf
удовлетворяют уравнению A0). Можно предположить
без ограничения общности, что XS&Q.
Из этих функций первая и третья, содержащие
множитель cos hit, удовлетворяют условию A4). Про-
Произведение sinX.xcosXa? удовлетворяет условию A1)
при любом X и удовлетворяет условию A2), если
X — целое. Функцию, удовлетворяющую дифферен-
дифференциальному уравнению A0) и всем дополнительным
условиям, можно формально представить в виде
оо
A7) у (х, t) = У bn sin nx cos nat,
где коэффициенты Ьп таковы, что
f(x)=y(x, 0) =
причем последняя формула совпадает с разложением
заданной функции f(x) в ряд по синусам.
В частности, если f(x) — hsinx, где А — постоян-
постоянная, т. е., если в начальный момент времени струна
имеет форму дуги некоторой синусоидальной кривой,
8 Д. Джемсов

Ш Глава IV
соответствующей изменению независимого перемен-
переменного на замкнутом интервале @, к) (форму дуги си-
синусоиды), то ряд Фурье функции/(л;) сводится к одному
члену, представляющему/(дс) при всех значениях х, и
соответстэующее выражение для у равно A sin x cos at.
В этом случае в каждый момент времени положение
струны описывается функцией, являющейся гроизве-
дением sin x на множитель, зависящий от t; с другой
стороны, точка струны, соответствующая фиксиро-
фиксированному значению х, совершает гармоническое дви-
движение с амплитудой A sin л; и периодом, равным ~.
Такое движение струны, при котором она в каждый
момент времени имеет вид дуги синусоиды, назы-
называется ее основным колебанием, а соответствующий
музыкальный тон называется основным тоном струны.
Если f(x)=A sin 2х, то у = A sin 2x cos 2at. При
фиксированном t струна (если в этот момент она не
совпадает с осью х) имеет форму двух дуг некото-
некоторой синусоидальной кривой; средняя точка х=?->
остающаяся во время колебания неподвижной, в по-
положении равновесия, называется узлом. При фикси-
фиксированном х движение точки совпадает с простым
гармоническим колебанием с периодом ^. Это коле-
колебание и музыкальный тон, который оно вызывает,
называются соответственно первой гармоникой и
первым обертоном. Гармоники более высокого по-
порядка определяются аналогично, а соответствующие
им частоты (величины, обратные по отношению к пе-
периодам) являются последовательными кратными ча-
частоты основного колебания. Общее колебание A7)
можно рассматривать как результат суперпозиции
основного колебания и различных гармоник с соот-
соответствующим образом подобранными амплитудами.
Разобранная задача относится к случаю, когда
свободные колебания струны начинаются из некото--

Краевые задача 115
рого ее отклоненного положения без начальной ско-
скорости. В случае, если в начальный момент времени
струна находится в состоянии равновесия и ее части-
частицам сообщается начальная скорость, имеющая на-
направление, перпендикулярное оси х, и определенную
величину, зависящую, вообще говоря, от точки х,
условия A3) и A4) заменяются следующими
{ ' л(*,о)=ф(х).
Функция sin nxsin not удовлетворяет всем условиям,
кроме A8). Решение последней задачи задается фор-
формулами:
У (X, f) = 2 С" S*n ПХ Sin Пп*>
yt {x, t) = ^ пасп sin nx cos nat,
где коэффициенты сп таковы, что
00
<?(x)=yt(x, 0)= 2 nacnsinnx.
я—1
Колебание струны и в этом случае является супер-
суперпозицией основного колебания и гармоник с теми же
частотами, что и в предыдущей задаче.
4. Ряды Фурье и затухающие колебания струны.
Если движение струны встречает сопротивление, про-
пропорциональное скорости, то дифференциальное урав-
уравнение A0) заменяется следующим:
а уравнения A5) и A6) заменяются через
— x — — Л .
8*

Ш Г.1а«а IV _________
Уравнение для X—такое же, как в предыдущем
пункте. Частными решениями уравнения для Т
являются функции
если k столь мало, что № — 4Х9а* <[ 0.
Дополнительные условия для функции у — те же,
что и в случае незатухающих колебаний. В случае,
если колебания струны начинаются из отклоненного
положения без начальной скорости, решения, удо-
удовлетворяющие всем условиям, кроме A3), записы-
записываются в виде:
е-*w(cosн-л* + 2~sin 1*„*)sinnx, п—1, 2,... ,
чтобы удовлетворить также и условию A3), будем
искать решение в виде ряда
оо
у (X, 0=2 b»e~ *^<C0S ft/ + 2^ Sin УМ Sin ПХ>
причем его коэффициенты bn должны совпадать, со-
согласно A3), с коэффициентами Фурье функции f(x),
представленной посредством ряда синусов:
Тот факт, что частоты^, соответствующие множи-
множителям cos ^4- и s*n ft/» не связаны (вообще говоря)
друг с другом никаким простым соотношением, при-
приводит к наличию диссонанса в звуке, издаваемом
струной, колеблющейся с затуханием.

краёШё задачи U7
5. Полярные координаты на плоскости. Для не-
некоторых задач полезно записать уравнение B) в по*
лярных координатах. Пусть координаты (г, ?) связаны
с прямоугольными координатами (х, у) уравнениями:
х = г cos 9» У = г sin <f>.
Если и— функция, зависящая от координат, то
да да , . да
да . да i да
= rSln9+rcos9
Решая эти линейные уравнения относительно j- и
ди
й-;, получим:
Напишем формулу A9), подставив функцию^" вместо ы
дх
Подставляя сюда вместо ? ее выражение A9) и про-
производя указанные дифференцирования по г и <?» по-
получим:
1 ди 1 . d'ul
__СО895___81Пф_].

ш __ Гмт tv „ _
Для нас ?вйчас>«еважно, что правую часть этого ра-
равенства можно записать иначе, несколько по-другому
сочетая ее члены. Аналогично получим:
1 Г да , д*и 1 . ди
- cos9[coS9Hsm9sm9
Сложение этих выражений дает:
Тот же результат можно было бы получить при-
применением формулы Грина. Этот способ не требует
столь длинных вычислений, однако мы не можем
здесь на нем останавливаться, поскольку он связан
с вопросами, выходящими за рамки настоящей книги.
6. Ряды Фурье и уравнение Лапласа в круге;
интеграл Пуассона. Удобно пользоваться уравнением
Лапласа в полярных координатах B0) для нахожде-
нахождения решения уравнения Лапласа в круге (для про-
простоты единичного радиуса, с центром в начале ко-
координат), принимающего на границе круга значе-
значения/^). Искомая функция и (г, у) должна удовле-
удовлетворять уравнению
и условию
и A,9) =/(*).
Предположим, что некоторое решение уравне-
уравнения B1) представимо в виде «=/?(г)/7(«р). Тогда мы
приходим к уравнению
(/?" + rR') F'
^3?? •=—т-

Краевые задачи 119
Так как функция, равная каждой из частей этого
уравнения, с одной стороны, не зависит от % а с дру-
другой— от г, то она равна постоянной. Приписывая этой
постоянной неотрицательное значение Ха, получим
два уравнения:
ra/?"-fr/?' — XV? = О, F
Решения первого из этих уравнений легко найти
обычными методами; еще проще проверить подста-
подстановкой, что ему удовлетворяют функции /*х и г~х.
Второе уравнение имеет решениями cos Хер и sin Хер.
Можно предположить, б^в ограничения общности,
что Х^ьО. Ограничиваясь., исследовайием решений,
непрерывных во всем круге, мы можем не рассма-
рассматривать решения г—х. Так как для значений 9» отли-
отличающихся между собой на кратное 2т, значения и
должны совпадать, то X может быть только целым
положительным числом или нулем. Частными реше-
решениями уравнения B1) будут, таким образом, функции
г" cos щ, п — 0, 1,2,...; г" sin щ, п = 1, 2, ... .
Тот факт, что эти функции, будучи соответственно
действительной и мнимой частями функции .г", где
z = г (cos 9 -\- i:sin 9), являются решениями уравнения
Лапласа, хорошо известен из теории функций ком-
комплексного переменного. Формально решение поста-
поставленной краевой задачи можно представить теперь
в виде
B2) и (г, 9) = f + 2 >¦" (а« cos «* + b**{
где коэффициенты ап и Ъп выбраны так, что
оо
/(9) = и A, 9) = у + ^ (fl« cos "? + bn sin

120 Глава IV
Обозначение постоянного члена через тг выбрано
для согласования с обозначениями главы I.
Веля представить коэффициенты а„ и Ь„ фор-
формулами
то правая часть формулы B2) примет вид:
B3) 1 //(в) [{ + J г» cos n (в - ,)] А
Пусть в—ф=а и г = г (cos а -f- i sin а). Тогда
г* = г" (cos л<х + * sin па)
00
^ cos п<х
является действятельиой частью функции
00
2?_ 1 1
1 — г 1 — г cos a — ir sin a
в — о
1 — г cos e+fr sin a
" 1 — 2Г COS a 4- Г1"" '
Следовательно,
« 1 — Г COS a
(!¦= О
1+2
1 1 —г»
2 1—2rcosa4-rs '

Краевые задачи 121
Подставляя это выражение в формулу B3), получим:
B4)
Выражение B4) для решения краевой задачи
известно под названием интеграла Пуассона.
7. Преобразование уравнения Лапласа в трехмер-
трехмерном пространстве. Обратимся теперь к уравнению
Лапласа для случая трех независимых переменных (I).
Непосредственным изучением этого уравнения в пря-
прямоугольных координатах мы займемся в следующем
пункте. Сейчас запишем это уравнение в цилиндри-
цилиндрических и сферических координатах.
Переменные (г, ер, «) или (г, ер, z) называются
цилиндрическими координатами, если они связаны
с прямоугольными координатами (л;, у, г) следующими
уравнениями:
Так как третьи координаты в обеих системах одинако-
одинаковые, то мы впредь будем обозначать их одной и той
же буквой г. Координата г представляет собою рас-
расстояние точки от оси z. Пару чисел (г, ф) можно
рассматривать как полярные координаты проекции
точки (х, у, z) на плоскость (х,у). Производные от»
по х и у выражаются в новых координатах точно
так же, как в п. 5. Производная -гт не изменяется.
Следовательно,
да , 1 дга
Сферические координаты определяются соотно-
соотношениями:
д;=р sin0cos<p,
.у = р sin 8 sin ф,
г — р cos G.

122 Глава IV
Здесь в можно рассматривать как широту, ер как
долготу, а третьи координата р есть расстояние точки
от начала координат. Выражая производные функции
и по р, 9 и 0 через дх, jy, $~ и решая полученную
систему уравнений относительно последних произ-
производных, получим:
да . с да , 1 с ди sin 9 ди
-**,mtcmfT+-cost>cm? -Г
г
Далее поступаем совершенно аналогично тому, как
это сделано в п. 5. В результате довольно громозд-
громоздкой выкладки получим:
д*в , д*и | с>8и
дх* "г" ~J/~ ~T -feT —
B6)
i
~ р* д? \р др]^ р» sin 9 Щ " dOj Т~ р8 sin4 9 d-f '
ДругЬй вывод этого равенства, значительно менее
кропотливый, но и менее непосредственный, можно
получить на основе формулы Грнна.
8. Ряды Лежандра и уравнение Лапласа в шаре.
Сферические координаты можно использовать для
нахождения функции, удовлетворяющей уравнению
Лапласа и принимающей заданные значения на по-
поверхности шара. Допустим, что дан шар единичного
радиуса с центром в начале координат. Мы рас-
рассмотрим здесь задачу в упрощенном виде, а именно,
предположим, что краевые условия не зависят от
координаты ер. Тогда выглядит правдоподобным пред-
предположение о том, что и решение не зависит от ер (из
дальнейшего будет видыо, что это действительно так).

Краевые задача 123
В этом случае в уравнении B6) отсутствует послед^
д*и
ний член, так как g-j тождественно равно нулю.
Функция и(р, в) должна, следовательно, удовле-
удовлетворять уравнению
и краевому условию
B8) «A, б) =/F),
гДе /(8) — заданная функция. Более общую задачу,
в которой координата «р не исключается, мы рас-
рассмотрим в следующей главе.
Предполагая, что некоторое решение уравнения B7)
имеет вид и —/?(р)Г(8), мы получим следующее
уравнение, которому должны удовлетворять функции
R и Т:
R ~ Т
Общее значение обеих частей этого уравнения должно
равняться постоянной. Мы получим достаточное
число частных решений, считая эту постоянную не-
неотрицательной. Для удобства дальнейшего вычисле-
вычисления предположим, что эта постоянная равна п{п-\-\),
п^О. Уравнение
Р4Я" + 2р/?' — ri (ft +1) /? = О
имеет своими решениями функции р", р"". В уравне-
уравнении
B9)
введем новую независимую переменную, положив
х = cos 6 (здесь х, конечно, ие совпадает с коорди-

124 Гм«а IV
натой х прямоугольной системы координат). Тогда
dT__ . fi djr
db~~ S dx'
и уравнение B9) принимает следующий вид:
есть дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяют полиномы Лежандра. Для неотри-
неотрицательных целых «оно имеет решением функцию
/>я(*) = />,(cos 6), непрерывную при всех значениях х
и, в частности, при — lsS*^l. Отсюда следует, что
Pn(cosb) непрерывна при всех значениях Ь. Для
обеспечения непрерывности частного решения урав-
уравнения B7) в начале координат будем рассматривать
только решение р" уравнения для /?. Соответствую-
Соответствующими частными решениями уравнения B7) являются
функции ?"PH(cosQ), я = 0, 1, 2... .
Для того, чтобы решение удовлетворяло краевым
условиям, достаточно положить
я-=0
где коэффициенты ан выбраны так, что если /(В),
как функцию от cos 6, обозначить через F(x), то а„
будут коэффициентами разложения функции F(x) в
ряд Лежандра 2,а„Ра(х):
9.Ряды Бесселя и уравнение Лапласа в цилиндре.
Пусть цилиндр ограничен поверхностями, уравнения
которых в цилиндрических координатах имеют вид:
г=0, z — b (плоскости оснований цилиндра) и г=\
(боковая поверхность). Краевую задачу, приводящую

Краевые задача 125
к разложению в ряд Бесселя, можно сформулиро-
сформулировать следующим образом: найти решение уравнения
Лапласа, принимающее заданные значения на нижнем
основании цилиндра и обращающееся в нуль на верх-
верхнем основании и на боковой поверхности. Мы опять
упростим задачу, предположив, что искомая функция
не зависит от ц> (более общей задачей мы займемся
в дальнейшем). Тогда вопрос сводится к тому, чтобы
найти функцию и (г, z), удовлетворяющую уравнению
B5), в котором последний член обращается в нуль,
т. е. уравнению
++0
и дополнительным условиям
C1) иA, 2) = 0, и (г, *) = 0, и (г, 0)=/(г),
где /(г) — заданная функция.
Подставляя в C0) вместо и произведенне/?(г)Л(г),
мы получим следующие уравнения:
C2) ^ *= _§ = _*',
где постоянную величину двух отношений мы пред-
предположим отрицательной или равной нулю. Уравне-
Уравнение Z" = X*z имеет в числе своих решеиий функции
е\г и е-\гг а также их линейную комбинацию — функ-
функцию z = sh X {b — z), которая обращается в нуль при
2 = Ь. Для /? мы получили уравнение:
которое, согласно п. 3 гл. III, имеет своим решением
функцию Je(kr). Если X равно одному из чисел Х„,
для которых Л(^я) = 0. то произведение

126 Глава IV
удовлетворяет всем требованиям C0) и C1), за исклю-
исключением требования, относящегося к заданной функ-
функции /(г). Чтобы выполнить и это требование, поло-
положим
и (г, z) = | ^shX, (b - z) Уо (Х„г),
где коэффициенты сп определяются из условий:
Разложение функции /(г) в ряд Бесселя указанного
типа завершает решение краевой задачи.
Немного изменяя выведенные формулы, мы мо-
можем получить нз них решение уравнения Лапласа,
принимающее заданные значения (не зависящие
от 9) на верхнем основании цилиндра и обращаю-
обращающееся в нуль на нижнем основании и на боковой
поверхности.
Укажем сейчас вид решения уравнения Лапласа,
принимающего на боковой поверхности заданные
значения, ке зависящие от % и обращающегося в
нуль на обоих основаниях. Эти краевые условия
можно записать в виде:
u(r, 0)=0, u(r,b) = 0, u(l,z) = F(z).
Сейчас удобно заменить — Xs в формуле C2) на X*.
Функция Z=sinX2 удовлетворяет уравнению Z" =
= — X'Z и обращается в нуль при 2 = 0. Она обра-
обращается в нуль также при z—b, если X выбрано
равным -тр, где п — любое целое число. Уравнение
/?"-|-у #' — *'# = О
имеет своим решением функцию У„(Аг), как это легко
проверить, заменяя в этом уравнении X на А; отметим,

Краевые задачи 127
однако, что функция Je(tkx) — действительная: она
представляется рядом
I j_-?l.4- —--1 "** 4-
1 г 2! ' 2*4* ' 2*486" ^"'
с положительными коэффициентами; если обозначить
сумму этого ряда через 1в(х)> т0 указанное выше ре-
решение уравнения длл /? есть не что иное, как /0 (Хг).
Дифференциальному уравнению C2) в первым двум
краевым условиям удовлетворяют функции
?) sin (^), я = 1, 2....
Функцию и (г, z\ удовлетворяющую всем поставлен-
поставленным условиям, можно представить рядом, членами
которого являются эти функции, с коэффициен-
коэффициен~-г-, где ап — коэффициенты разложе-
Ы
ния заданной функции F(z) в ряд Фурье по си-
синусам.
Выбрав подходящим образом линейную комбина-
комбинацию описанных выше решений, можно получить ре-
решение краевой задачи для уравнения Лапласа при
любых заданных значениях (не зависящих от ф)
на всей поверхности цилиндра.
Если заменить первое из условий C1) следующим:
игA, z)=0, то мы найдем решение задачи, повторив
те же рассуждения, которые приведены выше, за
исключением того, что мы теперь используем корни
уравнения fe(x) вместо корней уравнения Jb(x).
Условия иA, z)*=Q и игA, z) — 0, равно как и соот-
соответствующее условие, приводящее к использованию
корней третьего уравнения, рассмотренного нами в
и. 3 гл. III, имеют простую физическую интерпрета-
интерпретацию1.
1 См. Byerly, стр. 227.

Ш Глава tV
¦— •-¦¦
10. Ряды Бесселя и круглая мембрана. Колеба-
Колебания натянутой, упругой, однородной мембраны, при
условии отсутствия трения, описываются уравнением
где (х, у) — координаты точки в плоскости мембраны,
когда она находится в положения равновесия, а
г{х, у, ?) —смещение точки от этой плоскости в
момент времени t. Допустим, что граница такой
мембраны закреплена, и, для простоты, предположим,
что эта граница является окружностью радиуса 1
с центром в начале координат. Полярные координаты
(г, «р) в плоскости мембраны вместе с z составляют
цилиндрическую систему координат. Допустим, что
задано исходное (при t=Q) отклонение мембраны
от положения равновесия, не зависящее от ?, т. е. все
точки, находящиеся в положении равновесия на рас-
расстоянии г от центра, в исходном отклоненном поло-
положении находятся на расстоянии f{r) от плоскости
(х, у); отпустим в этот момент мембрану. Тогда
отклонение мембраны, которое мы предположим не
зависящим от ф, в каждый последующий момент вре-
времени описывается функцией z(r, t), удовлетворяющей
следующим уравнениям:
C3) дИ-а*№+1А
<34) z(l,0 = 0, z(r, O)=/(r), zt(r, 0) = 0.
Частные редаенил уравнения C3) мы получим из
соотношения г {г, t) = R(r)T(t), откуда
T—cos\at, si

Краевые задачи 129
Первому и третьему из условий C4) удовлетворяют
функции Уо (Х„г) cos Х„ at, где Х„ — корень уравнения
уо(х) = О. Необходимость выполнения второго усло-
условия C4) приводит нас к решению вида
cos
где коэффициенты ап таковы, что
Если f(f)=hJt(\kr), то z сводится к функции
hJ0(kkr)cos \kat, и любая точка мембраны, лежащая
на расстоянии г от центра, совершает гармонические
колебания с периодом г-^ . Но если наложить друг
на друга некоторое число таких колебаний, то вслед-
вследствие того, что их частоты не связаны между собой
простым соотношением, как это имело место для
гармоник незатухающих колебаний струны, звук, из-
издаваемый вибрирующей круглой пластинкой, диссо-
диссонирует даже в том случае, когда нет возмущающих
внешних сил.
Если мембрана приводится в движение дунове-
дуновением (что ближе к практике), вместо того чтобы
быть отпущенной из отклоненного положения, то
решение соответствующей задачи проводится анало-
аналогично, с той лишь разницей, что косинусы в этом
случае заменяются синусами.
В приведенных примерах мы пользовались функ-
функциями Бесселя Jn(x) только при ft =0. В следующей
главе мы применим более общие функции Бесселя
для решения других задач.
Дополнительная литература: Byerly; Churchill;
Kellogg; Курант—Гильберт; Франк и Мизес.
9 Д. Джексон

ГЛАВА V
ДВОЙНЫЕ РЯДЫ; РЯДЫ ЛАПЛАСА
1. Краевая задача для куба; двойные ряды
Фурье. Более общие краевые задачи, чем рассмо-
рассмотренные в предыдущей главе, приводят к разложе-
разложению функции двух независимых переменных в ряд
по специальным функциям, ортогональным между
собой относительно интегрирования по заданной
двумерной области. Один тип таких рядов, называе-
называемых рядами Лапласа, значительно отличающийся
по своему характеру от остальных, мы рассмотрим
несколько подробнее в этой главе. Мы укажем сей-
сейчас пример, который приводит к рассмотрению двой-
двойных рядов.
Пусть функция f(x, у) определена дляОг?хг?тс,
OsSj'sS11' Сформулируем следующую краевую задачу
для куба: найти функцию и(х, у, z), удовлетворяю-
удовлетворяющую уравнению Лапласа
и дополнительным условиям:
и{х, у, 0)=f(x, у), и(х, у, тс) = О,
и@, у, z) = 0, u(n, у, z) = 0,
и(х, 0, z) = 0, и{х, тс, z) = 0.
Подставляя в уравнение A) вместо и произведение
Х(х) -У (у)- Z(z), получим:
?1
Z '

Двойные ряди; ряды Лапласа 131
Пользуясь рассуждениями, аналогичными неодно-
неоднократно приведенным в предыдущей главе, мы най-
найдем, что величина, равная каждой из частей этого
соотношения (будучи, с одной стороны, не завися-
зависящей от у и z, а с другой — от х), является постоян-
постоянной, которую мы будем считать неотрицательной и
обозначим через >Л Тогда
уп у и
1_ ± ха
Y ~ Z '
Общее значение левой и правой части здесь опять
равно постоянной, которую мы обозначим через \ь*.
Уравнения
имеют соответственно своими решениями функции
cos lx, sinXx; cos|»y, sinjj^y; cz, c~tz; v = (*.*-{-??) l%.
Линейная комбинация последней пары решений
8I7'^ — z)
обращается в нуль при z=k. Если ). и р положить
равными целым числам т и ft, то легко видеть, что
функция
sin mx sin nx sh (тг -(- ftJ)I/l (тс — z)
удовлетворяет пяти из шести краевых условий и,
кроме того, является решением уравнения A). Остав-
Оставшееся условие, как и все остальные, выполняется
для функции
B) и(х, у, z) =
оо со
— 2 2h™sin mx sin ny sh ^м%+п^ (*—^*
9
*

132 Глава V
если f(x, у) можно представить в виде ряда
оо со
d sin mx sin ny>
со
1
причем коэффициент hmn в фбрмуле B) равен
тп и ¦-. Ряд C) есть двойной ряд Фурье,
sh(»»* -t-я2) п
имеющий в данном случае простой вид, поскольку
в нэго входят только члены с синусами.
Любые две функции sin mx sin ny, sin px sin qy
ортогональны между собой при интегрировании по
квадрату 0^.xsStr, Osgj/sStc, т. е. интеграл от их
произведения, взятый по х и по у в предэлах от О
до п, равен нулю при всех целых неотрицатель-
неотрицательных т, п и р, q, кроме случая т—р и n = q. Это
следует сразу из того факта, что двойной интеграл
по квадрату от произведения таких функций равен
произведению интегралов
sinmx sin pxdx, I sin ny sin qydy.
Если т=р и n = q, то произведение этих интегра-
лов равно -?-, а не нулю, как во всех остальных
случаях. Обычным процессом, применяемым к рядам
ортогональных функций, мы получим, чисто фор-
формально, для коэффициентов ряда C) следующие выра-
выражения:
тс тс
4 [* (*
dmn == —« I I f(x, у) sin mx sin ny dx dy
Более общие двойные ряды Фурье состоят из
членов следующих четырех типов:
cos mx cos ny, cos mx sin ny, sin mx cos ny, sin mx sin ny.
В общем случае написанные выше формулы для

Двойные ряды; ряды Лапласа 133
вычисления коэффициентов усложняются благодаря
наличию членов, в которые входит множителем
cos kx или cos ky при k = 0. Здесь мы не будем прово-
проводить подробного исследования двойных рядов Фурье.
Что касается краевой задачи для куба, то ясно,
что все рассуждения, проведенные для нижней грани,
годятся и для любой из остальных пяти граней.
Складывая решения соответствующих краевых задач,
мы получим формальное решение при любых крае-
краевых условиях на всей границе куба. Полученные
формулы легко обобщаются на случай прямоуголь-
прямоугольного параллелепипеда любого числа измерений.
2. Общие сферические функции. Построение
частных решений общего уравнения Лапласа в сфе-
сферических координатах требует довольно длинного
исследования.
Согласно формуле B6) гл. IV, уравнение Лапласа
в сферических координатах имеет вид:
... д ( о да\ . 1 д I . йда\ . 1 д*а п
D) э-Р(рт?)+шт(*тЬт)+шо-д?=0-
Если подставить в это уравнение вместо и произве-
произведение /?(р) • 7F) • F(y), то оно примет вид:
._. р*/?" -f- 2р/?' . Т" -f- ctg 6Г' . 1 F" n
*¦ ' R T sin* 6 F ~~ '
Первое частное не зависит от 6 и <?, а согласно урав-
уравнению, оно не зависит и от р, поэтому оно рав-
равняется постоянной. Обозначим эту постоянную через
m{m-{-\). Умножив уравнение E) на sin86, мыуви-
F"
дим, что частное у не зависит от ф и также не зависит
от р и 6; поэтому можно допустить, что оно равно — л8.
Итак, функции R и F удовлетворяют следующим
уравнениям:
F) р«/г
G)

Глава V
Если заменить в E) первое частное и у соответственно
чергз т (т -(-1) и — п%, то уравнение E) примет вид:
(8)
Уравнение F), как мы уже заметили в п. 8 гл. IV
(там оно было записано в других обозначениях),
имеет решения prt и р". Предположив, что т не-
неотрицательно, мы будем рассматривать первое из
них, непрерывное при р = 0. Решениями уравнения G)
являются функции cosre? и sinre?; здесь п предпо-
предполагается целым неотрицательным числом. Мы огра-
ограничиваемся только целыми п, во избежание много-
многозначных решений и, которые появились бы из-за того,
что координата ф для каждой точки определена
лишь с точностью до кратных 2гс.
Уравнение (8) отличается от уравнения B9) гл. IV,
кроме обозначений, лишь наличием члена sfW"
внутри квадратных скобок. Подстановка x=cosb
переведет этот член в fb&~> a все Уравнение,
при этом, принимает вид:
(9) (i_*«)g_
Введем новую зависимую переменную, положив
Т= A — x*)n/2z (z не совпадает с соответствующей ко-
координатой прямоугольной системы координат). Под-
Подставляя это выражение для Т в уравнение (9), после
Элементарных преобразований, получим:
A0) A— x*)z" —
+ [m (m 4- 1) — n (n
С другой стороны, если y — Pm(x)> то' повторное
дифференцирование уравнения
A — х*)у " — 2ху' + m (гп +1)^ = 0

ДвойнЫё рЯдк; ряды. Лаплаба 135
дает:
A-х3)/" — 4xy"+[m(m + l) — 2]/=0
A — x*)ylv- Gxy'" + [»(«+ 1) — 6]У =0
)^ ( + )У +
(от +1) - я (л +1I jK«) = 0.
Отсюда следует, что функция г= ^- удовлетворяет
уравнению A0). Следовательно, уравнению (9)
при неотрицательных целых щ и га удовлетворяет
функция
которую в обозначениях (8) можно запасать в виде:
Так как при п^>т эта функция тождественно об-
обращается в нуль, то нетривиальный результат мы
получаем только для я=0, 1, ..., т.
Обозначив через Р^а){х) или через /Jm<")(cos6)
производную в последнем выражении, положим
, я = 0, 1, 2,...,т,
vmn = sin щ sin PJ*) (cos 0), n = 1, 2,..., m.
Частными решениями уравнения D) являются функ-
функции ртитя и ?mvmn. Эти функции координат (р, в, ер)
называются сферическими функциями. Так же назы-
называются функции итп и vmn, не содержащие сомножи-
теля рт и зависящие только от 6 и ф.
Для каждого т, 2т -f 1 функций итп, ©т„ (или
соответствующие функции с одним и тем же со-
сомножителем рт) линейна независимы; это значит,
что не существует системы чисел Ло, Аи ... , Ат,

136 Глава V
Bi Вт, из которых хотя бы одно отлично от
нуля, такой, что
т
A1) Айит + 2 (Anumn+Bnvma)=0.
я=>1
Действительно, выражение
т
A2) ао + 2 (а« cos пЧ + Р* sin Л *)
я = 1
не может быть тождественно равным нулю, кроме
случая, когда все а,,,..., а^,, ^ jim равны нулю.
Сумму A1) можно представить в виде A2), если
положить
а0 = А0Рт (cos 6),
оя = Ап sin" 6 Р%> (cos 6), р„ = Вп sin" 6 РЙ> (cos 6),
л=1, 2,..., т.
Если бы эта сумма обращалась в нуль тождественно
относительно 6 и ф, то коэффициенты а,,, аь.., ат,
Pi.'-.Pm обращались бы в нуль тождественно отно-
относительно 6, что возможно лишь в том случае, когда
все числа Л и В равны нулю. Факт линейной неза-
независимости сферических функций, быть может, очеви-
очевиден, однако мы его подчеркнули, так как он нам
понадобится в дальнейшем.
3. Ряды Лапласа. При помощи функций, введенных
в предыдущем параграфе, мы сможем решить крае-
краевую задачу для уравнения Лапласа в шаре (см.
гл. IV, п. 8) и в том случае, когда краевые условия
зависят от ф. Пусть к(р, 6, ф) —функция, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению D) и краевому условию вида
и A. 6; ф)=/(б, ф).
Для того, чтобы найти ее, мы поступаем аналогично
тому, как это делалось в других случаях: сначала

Двойные ряды: ряды Лапласа 137
мы находим частные решения дифференциального
уравнения и затем определяем коэффициенты ряда
0
таким образом, чтобы выполнялось условие
A3) /F, <р) = иA, 6, ?) =
2
т=0
(Для от = 0 выражение, стоящее в квадратных
скобках, сводится к одному только члену -g- am.) Ряд
вида A3) называется рядом Лапласа.
Определение коэффициентов ряда Лапласа облег-
облегчается, как и в случае рядов рассмотренных выше
типов, тем обстоятельством, что функции Лапласа
ортогональны между собой. На сфере (граница
шара) можно принять, что 6 меняется от 0 до к, а
Ф меняется от — те до-}-*! и так как элемент пло-
площади сферы равен sin б фош, то интеграл от функции
^(в ф) по поверхности, сферы равен
тс ъ
Г Г F F, ф) sin 6
0 —
Две функции ортогональны между собою, если ин-
интеграл от их произведения равен нулю. Любые две
функция итп, urs ортогональны между собою на
сфере, кроме случая, когда т = г и n = s; анало-
аналогично, ортогональны между собою функции v;
каждая из функций итп ортогональна каждой из
функций vrs, независимо от того, совцадают ли
их нижние индексы или нет.

138 Глава V
Интеграл гго сфере от произведения любой пары
функций, указанных выше, сразу приводится к про-
произведению двух интегралов. Например, интеграл от
итп urs по сфере равен
тс
I cos я q? cos s<p dtp X
X si
S
Первый интеграл равен нулю всегда, кроме случая
n = s. Аналогично убеждаемся в ортогональности
vmn И Vrs ДЛЯ n^S И фуНКЦИЙ Umn И Vrs ДЛЯ ЛЮ-
бых значений индексов; при этом мы пользуемся
только известной нам ортогональностью тригономе-
тригонометрических функций. При п — s мы исследуем второй
интеграл последнего выражения, который в этом
случае равен
те
A4) Г sinw+1epmC) (cos 6) Pr<n) (cos 6) db,
$
независимо от того, рассматриваем ли мы произве-
произведение функций и или функций v.
Сделав в интеграле A4) замену переменной:
х = cos 6 (х не следует путать с соответствующей
координатой прямоугольной системы), получим:
A5) U\-xyP%\x)Py>{x) dx.
Л
Так как РЙ^дс) является решением уравнения A0),
то

Двойни? р'ядйГ ряды. ЛаплаШС
Умножим* 3to уравнение на (\—хч)п Р^п) (х) и вычтем
его затем иЬ соответствующего уравнения* в ко-
котором /лиг поменялись местами (индекс «—один я
тот же для обоих случаев). Полагая'
можно записать полученный результат в виде':
A6) A-^)п+1^ — 2(я+1)*A— л8)»а/ =
= [т{т + 1)-г(г+1)] A-*Т Я<тл)(х) /^я> (дс).
Левая часть здесь является производной от A —л;*)в+1да;
интеграл от нее в пределах от — 1 до 1 равен нулю.
Величина, стоящая справа в квадратных скобках,
отлична от нуля, если г и от неотрицательны и раз-
различны. Итак, интегрируя A6) в пределах от— 1 до 1,
получим:
1
J A - хУ ЯЙ>(*) f**>(pc)dx = 0.
J
Для дальнейшего важно вычислить интеграл A5)
при т<=г. Для я = 0 мы уже знаем из гл. II, что
-1
Интегрируя по частям, вычислим интеграл
j
Если положить

140 Глава V
то этот интеграл примет вид I udv. Пользуясь диффе-
дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет
Рт(х), получим:
du = [A - *') Р"т (х) - 2х Р'т (х)] dx =
= -m(m + l)Pm(x)dx.
Так как произведение uv равно нулю при х = zt 1,
то
1
Г A-х4) [Рт(х)]Чх
J [Ря(х)ГЫх =
1
J
—1
Пусть теперь п — произвольное целое число;
проинтегрируем выражение
1
%+i\Y dx
Л
по частям, полагая
и = (Г-
(х) dx, v=f*S (x).
Так как Р(т\х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению A0), то
du = [A -х9)»+1 Р%+2) (х) —
- 2 (п +1)хA — *Т/3(m+1)(*I dx =
= - [т(т +1) - » (» + 1I A - х*ГРт*(х) dx =
= - (т - л) (т + п +1) A — хУ № {х) dx.

Двойные ряды; ряды Лапласа 141
Пользуясь тем, что произведение uv обращается
в нуль на кондах интервала, получим:
1
= (m - n)(m -f it + 1) J A -x4)" [F%} (x)]%dx.
Это соотношение позволяет вычислить значение инте-
интеграла по индукции для любого целого п. Мы найдем
таким образом, что
1
л
= (m-»-f-l)(« —»-f 2)... (™ + «J^qri =
_{т±п)\ 2
(т — п)! 2т + ! *
Если 6 — переменная интегрирования, то найденная
величина равна величине интеграла A4) при т = г.
Применяя обычный способ для вычисления коэф-
коэффициентов ряда, состоящего из ортогональных функ-
функций, мы получим для атп и Ьтп в формуле A3) сле-
следующие представления:
_(«-я)) 2т+ 1 v
Umn~(m+n)\ к Л
A7)
X J ]/(е»Ф) sin*+1e co
и _ (w-n)l 2m+l чу
тя"~ (т + я)! 2п А
1t It
X J J/F, «p) sin^16 sin nyPff (cos
О —1
Формула для атп имеет место также при п = 0.

U2 Глава V
4. Гармонические полиномы '. Мы докажем сей-
час, что сферические функции ртитп, pmvmn, рассма-
рассматриваемые как функции от прямоугольных координат
(•*> У, z)> являются однородными полиномами сте-
степени т, т. е. каждый член этих полиномов имеет
степень т относительно совокупности трех перемен-
переменных. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа,
называется гармонической функцией. Каждая из
функций ?титп, ?mvmn есть однородный гармониче-
гармонический полином.
Можно представить cos «9 различными способами
в виде полинома относительно cos ф и sin 9. В частно-
частности, по теореме Муавра, т. е. разделением действи-
действительной и мнимой частей в выражении
cos nt?-\-t sin щ = (cos 9 + i sin ф)я,
cos»9 можно представить в виде суммы функций
С cos"-* 9 sin*?» где С —постоянная, зависящая от
п и,A, a k — неотрицательное четное число. Анало-
Аналогично, sin «9 выражается суммой такого же рода,
причем все значения k, входящие в нее, — нечетные.
^), будучи полиномом степени т — п относи-
относительно cos 6, состоит из членов вида cos/B~"~2A6 (где
h — неотрицательные целые числа и m—n^2h)с по-
постоянными коэффициентами. Таким образом, каждый
член выражений ртитп и pmvmn имеет вид:
Cp/Bcos"~*9sin*9 sin" 6 cosm-"~2A6 =
= Ср2Ар"~* sin"-* 6 cos"-* 9 • p* sin* 6 sin*9X
а это и есть полином относительно (х, у, г), все
члены которого имеют степень т.
1 В этом пункте, как и в трех следующих, мы рассматри-
рассматриваем вопросы, важные для изучения рядов Лапласа как таковых;
однако этн пункты можно пропустить без ущерба для понимания
дальнейших глав книги.

Двойные ряди; ряди Лапласа 143
Перечислим всевозможные однородные гармони-
гармонические полиномы степени т. Пусть U(x, у, г) обо-
обозначает такой полином. Упорядочим произведения
xlyizk, где i-\-J-{-k = m, пользуясь следующей тре-
треугольной таблицей:
Лш viz—111 ЪЩ—2 \ i* *•' \ t/ti -^2 *• 11"' — 1
a») I;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:;
Пусть коэффициент при x'yJzk в полиноме U равен
ciJh. Допустим, что коэффициенты ciJk также упоря-
упорядочены в виде соответствующей треугольной та-
таблицы. Пусть mSs2: все полиномы порядка 0 и 1, оче-
очевидно, гармонические.
Функция
является суммой членов вида DafaX*y$&, где
a-fP + Y=^ — 2. Условие того, что и — гармони-
гармоническая функция, эквивалентно требованию обращения
в нуль всех коэффициентов Д,рг. Коэффициент Л
имеет вид:
Приравнивая это выражение нулю, мы можем выра-
выразить, например, коэффициент с«,р. т+2 через с+2, р,т
и св, р+2,т- В треугольной таблице, образованной из
коэффициентов" с, строка, в которой стоит данный
коэффициент, определяется его третьим индексом,

144 Глава V
равным 0 для первой строки, 1 — для второй и т. д.
Коэффициент са, р, т+2 стоит не выше, чем в третьей
строке, в то время как коэффициенты d+2, р, T и
с«,р4-2,т стоят на две строки выше, чем са, р, т+2.
Если заданы коэффициенты первой строки, то ими
однозначно определяются коэффициенты третьей
строки, последние, в свою очередь, однозначно опре-
определяют коэффициенты пятой строки и т. д. Ана-
Аналогично вторая строка коэффициентов определяет
последовательно все коэффициенты, стоящие в чет-
четных строках. Если задать произвольно коэффициенты
первых двух строк, то можно определить все осталь-
остальные коэффициенты таким образом, чтобы выраже-
выражение A9) было тождественно равно нулю.
Например, существует один и только один
однородный гармонический полином, в котором коэф-
коэффициент при хт равен 1, а все остальные коэффи-
коэффициенты, стоящие в первых двух строках таблицы
коэффициентов с, равны нулю. Существует один и
только один однородный гармонический полином,
в котором из коэффициентов первых двух строк
только коэффициент, стоящий при хт~1 у, равен 1,
а все остальные равны нулю, и т. д. Наконец, суще-
существует один и только один однородный гармониче-
гармонический полином, в котором коэффициент при выраже-
выражении ym~xz, стоящем на последнем месте во второй
строке, равен 1, и все коэффициенты, стоящие в пер-
первых двух строках, равны нулю. Обозначим 2т -(-1
таким образом определенных, специальных полинома
через Um и„ Vm_x V,.
Слгдовательно, если U— однородный гармониче-
гармонический полином степени т, и сш,о,о, •••» com.ui —
первые две строки его коэффициентов, то этот поли-
полином можно выразить через Um, ..., Uo, Vm_b ..., Vo
в виде
т т
1,0 ?/«-»

Двойные ряды; ряды Лапласа 145
Действительно, выражение, стоящее в правой части,
является однородным полиномом степени т, удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению A9) и имеет ука-
указанные выше коэффициенты с своими коэффициентами
при членах, стоящих в первых двух строках таблицы
A8), а мы доказали выше, что существует лишь один
полином, удовлетворяющий этим условиям.
В частности, каждую из 2/и -j-1 сферических функ-
функций ?титп и pmvmn, как являющуюся однородным
полиномом относительно (х, у, z), можно представить
в виде линейной комбинации полиномов ит, ..., ?/0,
V/n-i,..., Vo. Если бы детерминант, составленный из
Bm -f-1L коэффициентов соответствующих уравнений,
был равен нулю, то существовала бы линейная зависи-
зависимость между функциями fmUmn, ?mVmn, что противоре-
противоречит результатам п. 2. Итак, можно решить эту систему
уравнений относительно LJ п V, т. е. выразить U и
V через функции р Umn, pm Vmn. Следовательно, каж-
каждая линейная комбинация функций U и V является
в то же время некоторой линейной комбинацией
функций tmumn и fmvmn. Таким образом, любой одно-
однородный гармонический полином степени т отно-
относительно (х, у, z) является линейной комбинацией
сферических полиномов ?титп, pmvmn.
5. Поворот осей координат. Пусть (х, у, z) —
прямоугольная система координат и (S, -ц, С) — система
координат, полученная из (х,,у, z) поворотом вокруг
начала. Тогда переход от (х, у, z) к (I, •»), С) описы-
описывается системой уравнений вида
B0) т) = спх -f city -f C&S,
где
з з
B1) 2^ = 1, 2 c№cJk=:Q, t,J=\, 2, 3,
10 Ц.

146 Глава V
и аналогичные соотношения имеют место, если по-
поменять ролями строки со столбцами, йокажем, что
уравнение Лапласа инвариантно относительно
таких преобразований.
Эти формулы можно записать w более компакт-
компактном виде, если х, у, z заменить через хи хя, х3 и
?> •»)> С —через 5i, 1Ъ 1п. Тогда уравнения B0) можно
объединить в одной формуле
При тех же обозначениях имеем:
з
а \l da jd?j
3 3
да ^\ да d?i V . да
дхи
Значение последнего выражения, конечно, не изме-
изменится, если индекс суммирования i заменить через/
Применяя ту же формулу к-^- вместо и, получим:
3
дхк* Li '
Отсюда
3
2,
д 1 да\ ч
3 3
V V
3 3
й!в _ V у
3 3 3
-У У (У
Z Z. \Z
3
3
У, °ikC
CikCJb)
3
.B«
д'-а
да
__
ZZ\Z

Двойные ряди; ряды Лапласа 147
В силу соотношений B1), сумма, стоящая в скобках,
равна 0 или Ц в зависимости от того, различны или
нет индексы i te j, и, следовательно, тройная сумма
сводится к У-^Лг, что дает, если возвратиться к преж-
прежним обозначениям,
дх* ~т~ дуа "Г" dz* ~ W г" а^» ~Г df1'
Преобразование, обратное к B0), задается урав-
уравнениями
с теми же самыми коэффициентами, но с заменой
строк на столбцы. Из того факта, что это преобра-
преобразование переводит полином, однородный относительно
одной системы переменных, в полином той же сте-
степени, однородный относительно другой системы пере-
переменных, и из инвариантности уравнения Лапласа
относительно такого преобразования, следует, что
однородный гармонический полином степени т от
(х, у, z) является также однородным гармониче-
гармоническим полиномом степени т относительно (I, ч\, С),
и наоборот.
Величина
р = (jc« -f у + *»)•/.= (р + тL + С*) '/¦ .
одинакова в обеих системах координат. Пусть (р, у, <J») —
сферические координаты, соответствующие точке
E С)
cos<}», ttj = р sin у sin <!», C =
Будем теперь рассматривать итп, vmn как символы соот-
соответствующих операций над переменными, указанными

148 Глава {V
в скобках, т. е. представим сферические, функции итп,
vmn в более явном виде: итп(Ъ, <р), xw(G, 9), и пусть
И1яП(т» +)» ^mn(Y. 40 — соответствующие функции от т и <1».
Так как ?титп (?, <}») и p'"f mn(T. Ф) — гармонические поли-
полиномы степени т относительно \, ч\, С и, следовательно,
та#же гармонические полиномы степени /га относитель-
относительно переменных х, у, z, то их можно представить в виде
линейной комбинации функций ртитп(Ь, <?), vmn(b,f);
или, исключал из рассмотрения множитель рт, полу-
получаем, что каждая из функций итп (у, ф), vmn (y, Ф)
является линейной комбинацией 2т -J- 1 сфериче-
сферических функций от (Ь, f) того же порядка т. Ана-
Аналогичное предложение, очевидно, справедливо, если
углы (у, <}») и F, ф) поменять ролями.
Такое представление сферических функций отно-
относительно одних переменных через сферические функ-
функции относительно других переменных является не
чем иным, как рядом Лапласа, состоящим из конеч-
конечного числа членов, отличных от нуля, и, следова-
следовательно, не представляющим никаких трудностей
в вопросах сходимости. Поэтому коэффициенты та-
такого представления можно найти обычным способом,
пользуясь свойством ортогональности членов, и сразу
выписать эти коэффициенты, пользуясь форму-
формулами A7).
6. Интегральное представление группы членов
ряда Лапласа. Обозначим через Sm группу членов,
соответствующих фиксированному значению индекса
т в формуле A3):
B2)
т
+2
п=-\
(Функция ито(Ь, ф) в действительности не зависит
от 9, будучи равной Рт (cos 6). Согласно формулам A7),

_ Двойные ряди; ряди Лапласа 149
обозначая переменные интегрирования вместо F, ф)
через F', ф'), имеем:
/(б', ф') итп(Ъ', q')s\vi.%'d4'db',
б —ir
я и
I I' (' ,
™ I I / (б ф ) V (v ф ) Sin '
Подставлял эти выражения в правую часть формулы
B2), можно написать:
где
B3) Gm (в, 9, в', ф') = ито (8, ?) ито (в', 9') +
т
т
2 (
Мы найдем для GmF, 9, 6', 9') выражение более ком-
компактное чем B3).
Будем описывать положение точки на единичной
сфере через ее угловые координаты (широту и дол-
долготу), опуская постоянную р = 1. Предположим, что
F, ф) — координаты фиксированной точки М, и обо-
обозначим координаты переменной точки Р через @', ф').
Пусть N— „северный полюс", т. е. точка сферы, для
которой 6 = 0. В сферическом треугольнике MNP
стороны NM и NP равны соответственно 6 и 6', а
угол при N (не учитывая его алгебраический знак,
который несущественен для наших целей), равен
ф' — 9- Обозначим через ? угловую меру стороны МР.
Тогда, согласно теореме косинусов из сферической
тригонометрии, имеем:
B4) cos y = cos б cos б' -\~ sin б sin б' cos (9' — ф).

150 Глава V
Пусть в новой прямоугольной системе координат
(&, ¦»), С) ось С проходит через точку М. Пусть (?, ф) —
соответствующие координаты точки Р на сфере, при
этом координата ? совпадает с ранее определенной
угловой мерой у. Согласно результатам § 5, приме-
примененным к координатам F', ф') и (у, ф), функцию
мто (т> Ф) = Лп (cos y) можно представить в виде:
т
B5) i Лоито F', <р')+2 [АЛ« F', 9') + В„^т„ (V, ф')],
где
B6)
/ /р-(C0ST)
О —it
и коэффициенты Вп определяются аналогичной фор-
формулой. С другой стороны, каждую из функций итп (Ь1, ф')
и vmn (e'« 9') можно представить выражением
т
fc = l
где коэффициенты зависят, конечно, от той функции,
которую представляет данное выражение.
Если F(V, ф') = Н(т, Ф) — представления одной
и той же функции в двух системах координат, то
а
так как в обеих частях этой формулы стоят инте-
интегралы от этой функции, взятые по всей сфере.
Предположим, что выражение B7) представляэт функ-
функцию итп F', ф'); подставим тогда B7) в подинтеграль-
F F', Ф1) sin VdjdV = 1^ A> Ф) sin T
1
0 —«

Двойные ряди; ряди Лапласа
ное выражение B6) и проинтегрируем по т и |. Так
как функцияPm(cos"()= и„0(т,ф)ортогональна к каж-
каждой из функций итк{ъ <Sf), vmk(t, <{<) при &Ssl, то
те те
J J Рт (cos т) итп F', ф') sin 6'rf9W =
6 —it
=J j1 т "• гр* <cos т)]2 sin Trf^=
6 —я
и, следовательно,
""-п\а.й.
Однако а0 можно явно вычислить, если в выра-
выражении B7), которое, как мы предполагаем, предста-
представляет функцию итп F', <р'), положить y = 0. При у = 0,
6' и <р' совпадают соответственно с 6 и <р, функция
ито (т. Ф) = ''(в (cos y) равна 1, а каждый член под
знаком суммы обращается в нуль, так как содержит
в качестве сомножителя некоторую положительную
степень sin 7* Таким образом,
\ «о = в»„ F, 9), Л„ = 2 g=igj «„„ (в, ф).
Аналогично, подставляя vmn(b', ф') вместо ««„(в1, ф'),
получим:
а _9(<и —л)! .. ч
Вычисление, проведенное для коэффициентов Ап, го-
гордится, в частности, и при п = 0, и мы имеем:

152 Глава V
Подставляя эти коэффяциенты в представление B5)
функции Pot(cosy) и сравнивая полученное выраже-
выражение с выражением для GOTB3), мы увидим, что оба
они тождественны. Следовательно,
sm=2s±l J J7F', ф-) Рт (
6
J J(, ф) т (cos
6 —1С
где cosy определяется формулой B4). После того,
как найдено выражение для Sm, ряд Лапласа A3)
можно записать в виде
171 = 0
Применяя полученный результат, выведем фор-
формулу для случая трех измерений, соответствующую
интегралу Пуассона, приведенному в п. 6 гл. IV. Функ-
Функцию и (р, в, ф), определенную формулой, предшествую-
предшествующей A3), являющуюся решением краевой задачи для
СО
шара и равную ^ Рот^от, можно, как это вытекает из
171=0
сказанного, по крайней мере, формально, представить
в виде
И(р, % <Р)=^
О—ic
где
оо
Ф (Р, в, ф, 6', ф') =2 Bт + !) POT/>m (COS T).
Согласно формулам A) и B) гл. II,
Р^Лп (cos 7) = Я (cos т, р) = A — 2р cos 7 -f p*)~ Vl,

Двойные ряди; ряди Лапласа 153
причем ряд сходится для всех значений ч, если
0«ер<1, так как | Яот(х) | =s? 1 для |jcj=s?l; далее,
имеем:
00
?тРт (COS Y) = ?j-9H(C0S 1, р) =
= (р cos y — р?) A — 2 р cos y + pe)~s/*.
Таким образом, представления для Ф и и принимают
следующий вид:
Ф (Р. 6. <Р> в', ?') = A - р9) A - 2р cos т + рТ'Л,
Я
/(ef, <р') !—i!—j-sine'^w.
У^ У (I—2pcosY+p8)/s
Последняя формула есть интеграл Пуассона для слу-
случая трех измерений. Отметим, что если М' — точка
внутри шара со сферическими координатами (р, 0, ф)
и Я —точка сферы с координатами A, б', ?'), то
1— 2pcos"r + p* равно квадрату расстояния М'Р. Ана-
Аналогичную интерпретацию допускает формула B4)
гл. IV.
7. Полнота системы сферических функций. Осо-
Особого исследования требует вопрос о том, возможно
ли действительно представить произвольную функ-
функцию, заданную на сфере, при помощи ее ряда Ла-
Лапласа. Мы не можем здесь подробно рассматривать
этот вопрос. Отметим, что при" решении его при-
приходится делать ограничения относительно „произ-
„произвольности" заданной функции; однако можно сде-
сделать весьма общие выводы, если принять следующие
утверждения как почти очевидные или правдопо-
правдоподобные:
а) Если /(в, ф) — функция, непрерывная на единич-
единичной сфере, то р/F, ф) — непрерывная функция в про-
пространстве трех измерений.

Ш Глава V
b) По теореме Вейерштрасса, любую функцию
трех переменных, непрерывную в ограниченной обла-
области, можно равномерно аппроксимировать с любой
наперед заданной степенью точности полиномами
относительно (x,y,z); аппроксимируя заданную функ-
функцию в трехмерной области, содержащей единичный
шар, мы получим, в частности, аппроксимацию этой
функции на сфэре.
c) Любой полином на сфере можно представить,
пользуясь равенством х* +yi-\-z'i = l, как полином,
содержащий z в степени не выше первой.
d) В частности, каждый из
однородных гармонических полиномов порядка не
выше т можно представить на единичной сфере ли-
линейной комбинацией (ог-}-1)* одночленов x'y}z*, где
e) Если бы детерминант, составленный из (^У
коэффициентов этого представления, был равен нулю,
то существовала бы линейная зависимость между
значениями однородных гармонических полиномоэ
на сфере, т. е. существовала бы линейная зависимость
между сферическими функциями от 6 и % к которым
эти полиномы сводятся.
f) He может существовать линейной зависимости
между функциями итп, vmn, как с одинаковыми индек-
индексами т, так и с различными. Действительно, в про-
противном случае одну из этих функций можно было бы
выразить через остальные и, так как эта функция орто-
ортогональна всем функциям, через которые она выра-
выражается, она должна была бы быть ортогональной
самой себе, что невозможно.
g) (/n-j-1)9 уравнений, упомянутых в замечании d),
можно решить относительно одночленов, которые,
вследствие этого, линейно выразятся через одно-
однородные гармонические полиномы.

Двойные ряды; ряды Лапласа 155
h) Любой полином и, в частности, аппроксимирую-
аппроксимирующий полином, о котором речь шла в замечании Ь,
можно на сфере представить как линейную комби-
комбинацию однородных гармонических полиномов, т. е.
посредством сферических функций итп и vmn с раз-
различными т.
Из всего сказанного выше следует, что любую
нгпрерывную функцию на сфере можно равномерно
аппроксимировать, с любой степенью точности, при
помощи сферических функций.
8. Краевая задача для цялиндра; ряды по функ-
функциям Бесселя положительного порядка. Если в пер-
первой краевой задаче п. 9 гл. IV не предполагать
заданные функции независящими от ф, то формулы C0)
и C1) надо заменить следующими:
д*а, 1 ди , 1
++
B9) и A, т, z) = 0, и (г, ср, Ь) = 0, и (г, ф, 0) =f(r, 9).
Обычный способ, состоящий в подстановке в ура-
уравнение B8) вместо и произведения R(r)F((p)Z(z), при-
приводит к следующим формулам (в которых уже ука-
указаны обозначения для постоянных):
R" FZ +1 R'FZ+уг RF'Z + RFZ" = 0,
/?" + ff>
R
C0) #'+!#
Уравнение Z" = X4Z имеет своим решением, обращаю-
обращающимся в нуль при z = Ь, функцию sh X {b — z) (она

156 Глава V
является линейной комбинацией е^ и е—**). Уравне-
Уравнение F" — — n%F имеет своими решениями функции
cos щ и sin щ, которые при целом п не меняют сво-
своего значения при замене координаты ф данной точки
на значение, отличающееся от нее на кратное 2-к.
Согласно п. 8 гл. III, уравнение C0) имеет своим
решением функцию Jni}r).
Если Хл1, Х„,, ... — положительные корни уравне-
уравнения /„(jc) = O, то уравнению B8) и первым двум
условиям B9) удовлетворяют функции
sh \ф (Ь - z) cos я<р/„ (Х„*г), sh Xrt (Ь - z) sin
при я = 0, 1, 2, ..., k= 1, 2, ..., причем, очевидно,
значение п = 0 надо пропустить для случая решения,
содержащего синус. Решение, формально удовлетво-
удовлетворяющее поставленным условиям, имеет вид:
U(X, <р, 2!) = y
sh Хя* (b ~ ^ fa*cos nc?+^"*sin
причем
C1) u(r, ф, 0)=/(r, <p) = ^
oo oo
+2
"* ~" sh lak b> Vnk ~ sh
Функции cos яфЛ(^п*'О и sin n<p У„ (Х^г), рассма-
рассматриваемые для всех пар индексов, входящих в фор-
формулу C1), образуют ортогональную систему в том
смысле, что интеграл от произведения двух различ-
различных функций, взятый по единичному кругу, лежа-

Двойные ряды; ряды Лапласа 157
щему в плоскости (г, <р), обращается в нуль. Если
F(r> т) —функция полярных координат, то интеграл
от этой функции по кругу равен
я 1
J J F(r,9)rdrd9.
—я 6
Для F(r, <p) = coswp/n(Xnftr)cos/№ip/OT(>OTAr) этот инте-
интеграл сводится к произведению
1С 1
C2) Г cos щ cos nvfdf f rJn (X^r) Jm (Х„.Аг) dr.
Первый сомножитель в этом произведении равен
нулю при тфп, а второй сомножитель, согласно
п. 8 гл. Ill, равен нулю, если т = п, h^bk. Анало-
Аналогично проводится выкладка для произведений, содер-
содержащих sin щ sin /гаер или coswpsinm?.
Обозначим через d^ значение второго интеграла
в выражении C2) при т = п, h = k (см. формулу 19
гл. III). Тогда коэффициенты ряда C1) выразятся
следующим образом:
к 1
«W = jgr; J J*f(r, ?) cos mpJn (Xnftr) rdrdy,
к 1
/(r> *) sin п^"(x«
«* = M?k J J
причем формула для а„4 справедлива и при я = 0.
Заметим, что члены формулы C1), имеющие cos пер
общим сомножителем при фиксированном я>0,
можно получить, умножая на cos гщ разложение
функции
/„ (г) = ~ J / (г, ср) cos n<fdq>

158 Глава V
в ряд по функциям Бесселя /„(Х^г). Аналогичное
замечание справедливо для членов, содержащих со-
сомножителем sin/ftp. Двойной ряд можно поэтому рас-
рассматривать как включающий в себя разложения
такого типа, как рассмотренные нами в гл. III.
Дополнительная литература: Byerly; Churchill;
Уиттёкер и Ватсон, гл. XVIII; Hobson B); Gray, Mathews and
Mac-Robert; Kellog; Курант — Гильберт; Франк и Мизес.

ГЛАВА VI
ФУНКЦИИ ПИРСОНА
1. Дифференциальное уравнение Пирсона. Со-
Содержание этой главы может показаться на первый
взгляд не связанным с предшествующим материалом,
однако излагаемые здесь результаты понадобятся
нам для дальнейшего (см. п. 10 гл. VII).
К. Пирсон (Pearson) ввел некоторый класс функ-
функций для представления эмпирических законов рас-
распределения. Предложенные им функции действи-
действительно нашли широкое применение для этой цели.
Функции этого класса определяются дифференциаль-
дифференциальным уравнением
(\\ 1 йу_ Р + Ех
V' у dx~~ А + Вх+Сх* '
где А, В, С, D, Е—постоянные. „Нормальная" функ-
X*
ция распределения е 2 удовлетворяет этому урав-
уравнению при ? = — 1, А = \, B = C = D=0. Функции
Пирсона можно рассматривать как обобщение .нор-
.нормальной" функции. Типы этих функций будут клас-
классифицироваться в зависимости от характеристик зна-
знаменателя A -f- Вх -?- Схг, а именно, от его степени
(действительно ли он второй степени или ниже) и от
его поведения при действительных значениях пере-
переменной, т. е. от того — действительны или мнимы
корни уравнения, которое получится, если прирав-
приравнять нулю знаменатель правой части формулы A).
2. Случай, когда знаменатель — полином второй
степени с действительными корнями. Предположим
сначала, что С^О и что уравнение
B)

160 Глава VI
имеет различные действительные корни а и Ь, причем
а^>Ь. Разделив числитель и знаменатель правой
части A) на постоянную С, мы можем записать диф-
дифференциальное уравнение A) в виде:
(Х\ LdJL — _f i. Р _— Р <L_
^ ' у dx x — a<x — b x — b a — х>
где а, Р —некоторые постоянные.
В правой части формулы C) оба знаменателя по-
положительны в интервале 6<Jc<a. Общее решение
уравнения C) задается функцией
у = k(a — х)а (х— bf.
Эта функция действительна в интервале (Ь, а) (если
к— действительно) при любых действительных пока-
показателях а, р. Она равна нулю при х = а, если <х>0,
принимает в этой точке значение, отличное от нуля,
если а=0, и обращается в бесконечность, еслиа<0.
(Предполагается, чток ф 0.) Аналогично ведет себя эта
функция и на другом конце интервала. Для того
чтобы у можно было интерпретировать как функцию
распределения, равно как и для применения ее в тео-
теории ортогональных полиномов, важных для нашего
изложения, у должна быть функцией, интегрируемой
на интервале (Ь, а). Для этого требуется, чтобы
а> —1, Р> —1, так как в противном случае соот-
соответствующий несобственный интеграл расходится.
В дальнейшем множитель к мы будем считать поло-
положительным.
dv
Производная -?. обращается в нуль, когда х при-
принимает значение
Если числа а и Р — оба положительны или оба отри-
отрицательны, то 6<л;0<а. В первом случае функция у

Функции Пирсона Ш
обращается в нуль в точках а и Ь, положительна
(при k^>0) внутри интервала (Ь, а), и, следовательно,
у достигает максимума внутри этого интервала, и
именно в точке л; = л;0. Если показатели отрица-
отрицательны, v достигает в точке х — х0 своего минимума.
Пусть х = x — xo,c = a—x9,d = x9 — b, тогда функ-
функция у принимает вид:
где yt — k&iP, 7f = -jf ; здесь у0 — максимум (или ми-
минимум) ординаты на интервале {р — хо,а — х0). Он
достигается при х' = 0.
Линейным преобразованием переменной л:, т. е.
преобразованием вида х' = gx -\- п, можно свести
интервал (Ь, а) к интервалу (—1, 1). Это преобразова-
преобразование неменяетвеличины максимума или минимумафунк-
ции у и значений а и Р (которые теперь могут быть
одного знака или разных знаков). Таким образом,
предполагая наличие различных действительных кор-
корней полинома, мы можем, без ограничения общности,
считать знаменатель правой части уравнения A)
равным 1—х*. Мы воспользуемся этим замечанием
прн рассмотрении ортогональных полиномов.
Интегрируя уравнение C), представленное в виде:
1 dy= а , р
у dx х — а' х — Ъ '
получим:
y = k(x — a) (x — b)t.
Если Ь<^а, то при произвольных действительных а, |$
эта функция принимает на бесконечном интервале
х^>а действительные значения. Для интегрируемости
функции у в окрестности левого конца этого интер-
интервала необходимо предположить, что а>—1. При А",
стремящемся к бесконечности, величина у имеет тот
же порядок роста, что и ха+$, и требование интегри-
11 Д. Джексон

Ш Глава VI ____„
руемости функции у на всем интервале х > а
вызывает необходимость еще одного ограничения:
a-j~P<C—!• Для применений в статистике необхо-
оо
димо также, чтобы существовал интеграл I xpy dx
а
для некоторых целых положительных р, т. е. чтобы
функция распределения, представляемая посредством
у, имела конечные «моменты" соответствующих поряд-
порядков. Для конечности момента порядка р необходимо,
чтобы а + Р + р<С —1.
Третьей формой решения, по существу совпадающей
со второй, является функция y — k (а—x)a{b — х)$,
принимающая на интервале (— оо, Ь) действительные
значения при любых действительных а и Р, если
только Ь<^а.
В том случае, когда уравнение B) имеет одина-
одинаковые (совпадающие) корни, можно предположить,
без ограничения общности, что кратный корень равен
нулю, так как этого всегда можно достигнуть при по-
помощи линейного преобразования переменной х. Тогда
уравнение A) принимает вид:
1^1 — JL_L-i.
у dx х* ' х
Интегрируя это уравнение, получим:
у =
Эта функция действительна при любом р (и любом а),
если х^>0. Множитель е * стремится к 1 при х
стремящемся к бесконечности, и для сходимости
интеграла от у на интервале (А, оо), А^>0, на-
надо предположить, что р < — 1; для конечности мо-
момента порядка/? необходимо, чтобы P+jp<^ — 1. При

Функции Пирсона 163
р<[—1, функция .у не интегрируема на интервале
(О, А), если assO, и интегрируема на этом интервале,
если <х>0, без дальнейших ограничений на (J.
3. Случай, когда знаменатель—полином второй
степени с комплексными корнями. Если корни урав-
уравнения B) комплексны, то дифференциальное урав-
уравнение A), после переноса (в случае надобности)
начала координат, можно привести к виду
1 dy __
у dx~~
где величина а^>0 в знаменателе задана; знак минус
и коэффициенты а и 2 в числителе введены для удоб-
удобства определения постоянных а и (J. Решение этого
уравнения записывается в виде:
logy = - a arc tg (-J) - (J log (xa f a3) + K,
При действительных значениях постоянных эта
функция принимает действительные значения для всех
действительных х. Показательная функция в числи-
числителе непрерывна для всех значений х и стремится,
соответственно, к пределам е , е , когда х
стремится к отрицательной или положительной беско-
бесконечности; следовательно, эта функция не влияет на
сходимость интеграла от у, взятого в пределах
от —оо до -f-oo. Функция у принимает особенно
простой вид, когда a = 0. При х, стремящемся к бес-
бесконечности любого знака, у имеет тот же порядок
роста, что и лгаР. Поэтому для сходимости интеграла на
бесконечном интервале необходимо, чтобы Р^у, а
для конечности момента порядка р необходимо, чтобы
11*

164 Глава VI
4. Случай, когда знаменатель—линейная функ-
функция или постоянная. Если в знаменателе правой части
уравнения A) С==0, ВфО, то переносом начала ко-
координат можно достигнуть того, чтобы Л = 0. Тогда
дифференциальное уравнение A) примет вид
у dx х v'
Без труда находим его решение:
logy = a log х — $х f К,
Оно всегда действительно для х^>0, если действи-
действительны постоянные. Неравенство а ]> — 1 есть усло-
условие интегрируемости функции у в окрестности точки
х = 0, а условие р^>0 обгспечивает интегрируемость
и на бесконечном интервале. Когда оба эти условия
выполнены, то все интегралы, определяющие все
моменты положительных порядков, сходятся.
Линейным преобразованием переменной х, остав-
оставляющим на месте начало координат, но изменяющим
единицу длины вдоль оси х, можно достигнуть того,
что показатель (J будет равен 1. Тогда у, с точностью
до постоянного множителя, совпадает с подинтеграль-
ной функцией обычного интегрального представления
функции Г (а -|- 1). С другой стороны, мы получили бы
решение во внешне более общем, хотя по существу
эквивалентном виде, если бы мы не добивались об-
обращения в нуль постоянного члена в знаменателе
при помощи смещения начала координат.
Если В = С = 0, то сдвигом начала координат
можно добиться упрощения числителя в правой части
уравнения A) и получить уравнение в виде
J7x~"~^x'
Это уравнение имеет решение:

Функции Пирсона 165
Если постоянные действительны, то эта функция при-
принимает действительные значения при всех значе-
значениях х. Для интегрируемости функции .у на интервале
(—оо, оо) необходимо, чтобы Р>0; если р">0, то
моменты любых порядков коиечны. Заменой перемен-
переменной х можно сделать постоянную Р равной 1, а
тогда у с точностью до постоянного множителя
совпадает с нормальной функцией в том частном
виде, о котором мы упоминали в п. 1 этой главы.
5. Конечность моментов. Мы увидим в следующих
главах, что функции, удовлетворяющие дифферен-
дифференциальному уравнению A), играют большую роль
в качестве „весовых функций" для систем ортого-
ортогональных полиномов на соответствующих интервалах.
Но, чтобы быть весовой функцией, данная функция
должна быть не только сама интегрируема на соот-
соответствующем интервале, но и произведение ее на
произвольный полином должно также быть интегри-
интегрируемо на этом интервале. Это требование эквивалентно
требованию конечности моментов любых порядков.
В случае конечного интервала последнее требование
не налагает дополнительных ограничений; однако,
в случае бесконечного интервала оно выполняется
только для функций п. 4. В дальнейшем для нас
будут важны три типа решений: с конечным интер-
интервалом интегрируемости — решения п. 2, с бесконеч-
бесконечным в одном направлении интервалом — решения п. 4,
и третий тип — решения из п. 4, интегрируемые на
всей действительной оси. Этим трем типам отвечают,
соответственно, полиномы Якоби, Лагерра, Эрмита.
Заметим, что во всех этих случаях произведение
функции Пирсона на соответствующий знаменатель
А -|- Вх-\- Сх* обращается в нуль на концах интервала,
независимо от того, конечен интервал или нет,
Дополнительная литература: Elderton; Pearson;
Rietz.

ГЛАВА VII
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
1. Вес. В п. 3 гл. V мы показали, что
1
С \ П I / \ ГЛ I \ J
J х х- ,
где Рт(х), Рк(х)— полиномы Лежандра различных
степеней. Это соотношение можно выразить еще
следующим образом: функции A—x*)l/* Pm(x),
A —х%)х/*Рк'(х) ортогональны на интервале (—1,1).
Можно еще сказать, что полиномы Р„ (х), Рк' (х)
ортогональны между собой относительно веса 1—х*.
Более обще, полиномы Р{т(х), Pt\x) ортогональны
между собой относительно веса A — х*)а, если п —
любое положительное целое число. Понятие системы
полиномов, ортогональных относительно некоторого
веса, будет очень важно для нас в дальнейшем,
В равенстве
0) Г cos mb cos ШЪ = 0, т ф k,
о
произведем замену переменных: л; = cos6, dx=*
= — A — x*)l/*db. Функцию cos mb можно представить
в виде полинома степени т относительно cos б:
cos /пб = Ст (cos 6) = Ст (х);
аналогичное соотношение имеет м.е_сто для

Ортогональные полиномы Ш
Таким образом, формула A) принимает следующий
вид:
f A - *') ~ •/. Ст (х) Ск (х) dx = 0.
-Ji
Полиномы Ст (х), m = 0,1,... ортогональны с весом
A—х*)~1/а. (Мы не будем каждый раз указывать
интервал интегрирования, рели он не вызывает со-
сомнения.) Функцию sin (/п 4-1)9 можно представить в
виде
sin (т + 1) в = sin 6 Sm (cos 6),
где Sm — полином порядка т. Соотношение
6 = O (mjbk),
эквивалентно равенству
f (l-x^^Snix) Sk(x)dx = 0.
Полиномы Sm (х) ортогональны с весом A — д*I/*.
Полиномы Ст(х) и Sm(x) называются тригоно-
тригонометрическими полиномами, или полиномами Чебышева.
Вместе с полиномами Лежандра и их производными
они являются частным случаем полиномов Якоби —
одного из трех основных типов ортогональных поли-
полиномов, рассматриваемых в следующих главах. На-
Название полиномы Чебышева употребляют также для
систем полиномов, ортогональных относительно произ-
произвольного веса'. В настоящей главе мы займемся
началами общей теории таких ортогональных систем.
1 В теории приближения полиномами название .полином
Чебышева" имеет другой смысл: так называют полином данной
степени, аппроксимирующий заданную функцию наилучшим об-
образом.

Ш Глава VII
2. Метод Шмидта. Пусть ф0 (х), 9i (*), 92 С*)» ¦ • • —
произвольная последовательность функций, опреде-
определенных на интервале (а, Ь), интегрируемых и линейно
независимых на этом интервале. На протяжении этого
пункта интервал (а, Ь) может быть заменен интерва-
интервалом (—оо, оо) или интервалом (а, оо), если только
обеспечена сходимость соответствующих интегралов.
Мы предполагаем, что всякая линейная комбинация
Ф = ^о + • • • + kmc?m конечного числа функций 9»
в которой не все постоянные коэффициенты k0,..., km
равны нулю, отлична от нуля на таком множе-
множестве точек, что определенный интеграл от <J*a на
интервале (а, Ь) отличен от нуля (и, следовательно
положителен).
Пусть
о
так что J [&(*)]* Ас = 1. Пусть
а
Ь
), <?„= J 9i С*) ^o it)
Тогда
b b b
J Glgadx = 0= J gig^dx, J g\dx = \.

Ортогональные полиномы 169
Вообще, пусть функции g2 (х), gt (х),... последова-
последовательно определены следующими соотношениями:
в-1 ь
О п {х) = ?„ (х) — ^ cnkgk (*). спк = J ?„ (л;) gk (х) dx,
fc=0 a
Из определения Gn(x) сразу следует, что каждая
функция ga ортогональна ко всем ga,..., g^u и
нормирована, т. е. интеграл от ее квадрата, взятый
по интервалу (a, ft), равен 1. Так как соотношение
ортогональности симметрично, то можно сказать, что
любые две функции g ортогональны. Тот факт, что
функции g нормированы и ортогональны между со-
собой, выражают одним термином — ортонормирован'
ная система. Если, в частности, взята последователь-
последовательность функций 1, х, л:*,..., которые рассматриваются
на интервале (— 1, 1), то соответствующими функ-
функциями g являются нормированные полиномы Лежандра
(см. п. 6 гл. II).
Этот способ построения ортогональной системы
из произвольно заданной системы функций обычно
называют методом ортогонализации Шмидта1.
Функции gn являются линейными комбинациями
функций Фо» .... ?„ (термин линейная комбинация
всегда будет употребляться в смысле линейной
комбинации с постоянными коэффициентами);
обратно, так как коэффициент при <р„ в выражении
для #я всегда отличен от нуля, то соотношения, свя-
связывающие функции 9 с функциями g, можно после-
последовательно разрешить относительно 9, и, следова-
1 См. Е. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen
Integralgleichungen, I часть: Entwicklung willkfirlicher Funktionen
nach Systemen vorgeschriebener, Math. Ann., 63 A907), стр.
^33—476; см. стр. 442-444,

170 Глава VII
тельно, ф„ выражается линейно через g0,..., gn. От-
Отсюда следует, что функция gn ортогональна любой
линейной комбинации функций ф0, ..., <?п_{.
Если т (х)—линейная комбинация функций ф0 ф„,
ортогональная каждой из функций 90,..., 9„_1, то у (x)
отличается от функции gn(x) только постоянным
множителем. Это ясно из самого процесса построения
функции gn(x), при котором коэффициент с,0 и по-
последующие коэффициенты спк в выражениях для
функций Оп{х) определяются однозначно требованием
ортогональности каждой из функций Gn(x) ко всем
gn-i(x) C>0) н тем, что коэффициент при ф„ в выра-
выражении для Ga равен 1, хотя само по себе требование
ортогональности допускает умножение всего выраже-
выражения для О„ на произвольный множитель. Отсюда
следует, что функция т(х) отличается от Gn(x) лишь
постоянным множителем. Этот факт можно доказать
еще следующим образом: если а„>0 и ап' — коэф-
коэффициенты при ф„ в выражениях для функций gnn т.
соответственио, то выражеиие для функции f — ('—¦
не содержит ф„; следовательно, функция т—( —
является линейной комбинацией функций ф0, ...,
и, кроме того, ортогональна любой из них, следова-
следовательно, ортогональна самой себе, т. е. интеграл от
ее квадрата на интервале (а, Ь) равен нулю, а это
означает, вследствие предположения о линейной неза-
независимости функций ф, что коэффициенты при Фо,..., ф„_1
в выражении этой функции равны нулю. Если потре-
потребовать еще, чтобы функция у была нормирована и
чтобы ап' ^ 0, то т должна тождественно совпадать с gn.
3. Ортогональные полиномы, соответствующие
произвольному весу. Пусть р (л;) — произвольная
неотрицательная функция, интегрируемая на интер-
интервале (а, Ь) и отличная от нуля на таком множестве

брМогонйльнШ полиноМЫ lfl
точек, что ее определенный интеграл на (а, Ь) поло-
положителен. В большинстве приложений р(лг) будет
непрерывной функцией, положительной всюду на
(а, Ь), за исключением, быть может, концов интер-
интервала, в которых она обращается в нуль или в бес-
бесконечность. В случае бесконечного интервала надо
еще предположить, что произведение функции р(лг)
на любой полином интегрируемо на этом интервале.
Примем произведения [р(д;)]1/!! л;*, k — 0, 1, 2,..., за
функции 9н(х) предыдущего пункта. Соответству-
Соответствующие функции gn(x), будучи их линейными комби-
комбинациями, имеют вид [?(x)]1/!tpn(x), где р„(х) — поли-
полином.
Полиномы рп(х) являются нормированными и
ортогональными или ортонормированными поли-
полиномами относительно веса р (•*:). Они удовлетворяют
следующим условиям:
ъ
J P(x)pm(x)pn(х)dx = 0,
каждый из них имеет степень, указанную его инде-
индексом, и имеет положительный коэффициент при х".
Эти свойства полностью определяют систему поли-
полиномов рп(х).
Каждый полином степени п. можно представить
как линейную комбинацию функций ро(х), ..., р„(х).
Каждый полином ря(х) ортогонален с весом р(л;)
любому полиному степени меньше п, т. е., если q (x) —¦
такой полином, то
и
f p(x)pn(x)q(x)dx =

Глава Vll
Эти факты являются непосредственными след-
следствиями общих результатов, полученных выше.
Некоторые свойства полиномов Лежандра, уста-
установленные в гл. II, присущи произвольным системам
ортогональных полиномов. Другие свойства относятся
лишь к некоторым частным видам весовой функции,
и, наконец, некоторые свойства имеют место только
для полиномов Лежандра. Некоторые обобщения
фактов, известных для полиномов Лежандра, мы при-
приведем ниже.
4. Разложение произвольной функции в ряд.
Полиномы рп(х) можно использовать для формаль-
формального разложения произвольной функции в ряд. Для
этого мы поступаем, в основном, таким же образом,
как в случае ортогональных функций, рассматривав-
рассматривавшихся в предыдущих главах. Соответствующие фор-
формулы, с одной стороны, несколько усложняются из-за
наличия весовой функции, а с другой—упрощаются бла-
благодаря тому, что функции р — нормированы. Умно-
Умножая соотношение
B) f{x) = coPt(x) + ciPl(x) + ...
на р(х)Рь(х) и интегрируя обе его части в пределах
от а до Ь, получим
ь
C) c* = J ?(x)f(x)pk(x)dx.
Если /(•*) — функцил, для которой существует инте-
интеграл C) при любом к, то последняя формула может
служить для определения последовательности коэф-
коэффициентов ск, и, аналогично случаям, рассмотренным
ранее, ряд \ скрк (х) можно исследовать независимо
от функции /(*), не предполагая заранее его сходи-
сходимости.

Ортогональные пьланоми
Обозначим через sn(x) частную сумму ряда B)
до члена с„рп(х) включительно:
D) sn (х) = с0р0 (х) -Ь Ctpi (х) +... + с„р:, (х).
Заменяя переменную интегрирования х в C) через/
и подставлял явно выражения для с в соотношение D),
мы получим:
ь
E) sn(x) = j?(t)f(t)Kn(x,t)dt,
а
где
F) Кп(х, t) = Kn(t,x) =
А—О
В частности, если f(x) — полином степени я или
ниже, f(x) = ten(x), то, как известно из предыдущего
пункта, для л„ (х), существует представление вида B),
причем в правой части его стоит вместо бесконечного
ряда конечная сумма. В этом случае при определении
коэффициентов можно не заботиться о сходимости;
коэффициенты задаются формулой C), sn(x) совпа-
совпадает с я„ (х), и для тс„ (х) имеет место тождество
5. Рекуррентная формула. Произведение хрп(х)
есть полином степени n -j-1 и поэтому может быть
представлено в виде
п + 1
(8) хрп(х)= ^c^pbix),
ft—О
где
ь
(9) сл = J p (х) хрп (х) pk (x) dx.

t?4 Глайа VII
Если k<^n—1, то хрк(х) является полиномом сте-
степени k -f 1 < п, и так как функция рп (х) ортого-
ортогональна любому такому полиному относительно веса р,
то все коэффициенты с^, при/кГя—1, равны нулю.
Пусть ак— коэффициент при х* в полиноме рк(х)
(k — любое положительное число или нуль). Срав-
Сравнение коэффициентов при xk+1 в обэих частях фор-
формулы (8) дает: сп, п+1 = —- . Так как, согласно (9),
спк — ckn Для любых значений п и k, то с„, „_, =
= сп-ип — ~%±• Таким образом, формула (8) сводится
к следующей рекуррентной формуле, связывающей
три последовательные функции р:
(Ю) ХРп (X) = ^рш (X) + СПпРп (X) + -^Рп-г (X).
Если условиться ввести, для удобства записи, функ-
функцию p-i(x), положив ее тождественно равной нулю,
и а_,=0, то формула A0) будет иметь место как
для »=0, так и для любых положительных значе-
значений п.
Если bk означает коэффициент при л;* в рк(х)
так, что рк(х) = akxk-j-b^'1 -\~... для любого k,
то значение с„„ мы получим, сравнивая коэффициенты
при л" в обеих частях формулы A0):
6. Тождество Кристоффеля-Дарбу. Умножим обе
части соотношения A0) на pn(t); получим:
{Х)РП if) = ?рш (Х)рп @ + СппРп (Х)рп @ +
Если вычесть это равенство из соответствующего
равенства, в котором tax поменялись местами, то

Ортогональные полиномы 175
член cmpn{t)pn(x) сократится, и результат можно
записать в виде:
Запишем аналогичные соотношения, заменяя после-
последовательно п через п — 1, п — 2, ..., 0. Складывая
эти п +1 соотношений, получим
или, пользуясь обозначением F), получим
IS (у /\_ «Я />Я-Н С) Р/. W — Рп @ Pn-t-l (¦«)
Это тождество, совпадающее для полиномов Ле-
жандра с тождеством Кристоффеля, было обобщено
Дарбу' на системы ортогональных полиномов с про-
произвольным весом.
7. Случай симметричного интервала ортогональ-
ортогональности и четной весовой функции. Интересен тот
частный случай, когда интервалом ортогональности
является интервал (—с, с) (или (—оо, оо), симме-
симметричный относительно начала координат, и когда
?(х) — четная функция. Если #(.*) — полином, то
q(— х) — полином той же степени. Пусть ^ (л:) —про-
—произвольный полином, степень которого меньше п.
Произведем в интеграле
с
1= §?(x)pn(—x)<i(x)dx
— с
замену переменной: t——х.
1 См. ParbQux, стр. 4П—414,

176 Глава VII
Тогда <
/= J p(-t)pn(t)q(-t)dt:
— e
так как/>„@ ортогонален относительно веса р любому
полиному степени меньше п. Обращение в нуль инте-
интеграла / доказывает, что функция рп {— х) обладает
тем же свойством ортогональности. Далее, функция
Рп(~х) нормирована, и (— 1 )"/>„(—л;) имеет поло-
положительный коэффициент при хп. Следовательно,
(—1)" рп{—х) совпадает с ра(х). Отсюда следует,
что рп(х) содержит или только четные степени х
или только нечетные степени х, в зависимости от
четности или нечетности п.
В частности, коэффициент, обозначенный в п. 5
черэз Ьп, равен нулю для любого п, если интервал
ортогональности симметричен и функция р(*) —четная,
следовательно, в этом случае в формуле A0) с„„ = 0.
8. Нули полинома рп(х). Мы докажем сейчас, что
корна уравнения рп (х) = 0 все действительны, раз-
различны и лежат на интервале (а, Ь). Это предложение
в применении к полиномам Лежандра можно рассма-
рассматривать как дополнение к гл. II, однако оно дока-
доказывается столь же просто и для случая полиномов,
ортогональных относительно произвольного веса и
произвольного интервала ортогональности. Если ин-
интервал ортогональности совпадает со всей прямой
(— оо, оо), то наша предложение сводится к тому, что
все корни уравнения рп (х) действительны и различны.
Так как р„(х) — полином степени п, то доста-
достаточно показать, что рп(х) меняет знак п раз внутри
интервала. Сначала заметим, что так как /7„(л:)орто-

Ортогональные полиномы. 177
тонален с весом p(#) к полиному нулевой степени,
то для я>0
ь
Это соотношение заведомо не имело бы места, если бы
функция р„(х) не меняла вовсе знака на интервале
(а, Ь). Предположим, что она меняет знак между
а и b в точках хи ха> • • • > хт. Пусть
п(х) = (х — *,)(.* — *2)... (х — хт);
к(х)— полином степени т. Так как произведение
рп(х)ъ(х) не меняет знака на интервале (а, Ь), то
»
Если т<^п, то это соотношение противоречит свой-
свойству ортогональности полиномов р„(х). Следова-
Следовательно, т — п.
9. Свойство наименьшего квадрата. Пусть /(*)—
произвольная функция, удовлетворяющая условиям
интегрируемости, и пусть с„ и sn(x) определяются
соответственно формулами C) и D). Пусть гп(х) =
=f(x) — sn (x). Непосредственным следствием этих
определений являются формулы:
ъ
\?{x)sn{x)pk(x)dx = ck,
A1) ь S
J ?(x)rn(x)pk(x)dx = 0, k = 0, 1,. . ., п.
а
Пусть тг„ (х) — произвольный полином степени н^
выше п.

178 Глава VII
Пусть
*=0
так что тс„(л;) совпадает с sn(x) лишь тогда, когда
все коэффициенты d равны нулю, и
/(*)-«•(*)=Л. (*)-»¦,(*)•
Интеграл от произведения квадрата разности/(х)—
— тт„ (а;) на вес р (х) равен
ь ь
J Р (*) [/W - п„ (дс)Г d* = J р (х) [г„ (х) - 8„ (а;)]1 ^ =
Однако, согласно формулам A1) и пользуясь выра-
выражением Ьп(х) через функции р(х), получаем:
Ь Ь п
$?(x)rn(x)bn(x)dx = 0, JP(*)[§„(*)]* dx=2 dk"-
a a k=0
Следовательно,
P(x)[f(x) - п„(x)Tdx>§?{x)[rn(x)Ydx,
если хотя бы один из коэффициентов d не равен
нулю. Полином sn (x) обладает тем свойством, что
среди всех полиномов степени не выше п интеграл
от произведения квадрата разности между задан-

Ортогональные полиномы 179
ной функцией и полиномом на вес р(л;) достигает
для sn(x) своего минимума.
В частности, пусть f(x) равно хп, и пусть с — коэф-
коэффициенты, с помощью которых х" выражается через
полиномы р:
х" = с„/>0 (х) + ctpt (х) + • • • + с„рп (х).
Применим сформулированное выше предложение к
случаю аппроксимации функции х" полиномами сте-
степени не выше п — 1. Полином, дающий наилучшее
приближение в среднем, равен
Sn-i (х)=соро (х) + с,/>, (*)+...+ <v,/v, (x);
но
•к"-*•-1 С*) =
Итак, полином р„{х) с точностью до постоянного
множителя равен разности между Xя и тем поли-
полиномом степени я— 1, для которого значение инте-
интеграла от произведения квадрата этой разности
на функцию веса достигает минимума.
10. Дифференциальное уравнение. Предположим
сейчас, что функция р (х) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
р(лг) ~'А +Вх+Сх* '
в котором А, В, С, D, Е — постоянные и функция
(А^-Вх-\-Сх*)р(х) обращается в нуль на концах
интервала. Эти условия накладывают довольно силь-
сильные ограничения, однако функции веса, удовлетво-
удовлетворяющие им, имеют большое теоретическое значение
и важны для применений. Уравнение A2) является
уравнением Пирсона (гл. VI), и мы раньше занима-
занимались им именно с целью использовать его здесь.
Этот пункт можно читать без предварительного озна-
ознакомления с предыдущей главой, однако, в случае
12»

Глава VII
бесконечного интервала надо тогда предположить до-
дополнительно, или считать, что это известно из других
соображений, что произведение р (х) на произвольный
полином стремится к нулю, когда х стремится к бес-
бесконечности. При этих условиях мы докажем', что
рп(х) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению вида
в котором а(х)—полином второй степени, а именно,
А -f- Вх -f Cx*, ji (л;) — полином первой степени, не
зависящий от п, и ?п зависит от п, но не зависит
от х.
Пусть qm (x) — произвольный полином степени
m<ji. Обозначим знаменатель А+Вх+Сх* через G (х).
Проинтегрируем выражение:
ъ
/= J ЯЛ*) ? [О (х) р (х) р'п (х)} dx
а
по частям, считая
du=q'm(x)dx, v = G (x) p (x) р'„ (х).
Так как функция uv равна произведению G(x)f(x)
на полином, то она обращается в нуль на концах
интервала, и, следовательно,
ь
/= ~ j G (х) р (х)р'п {х) q'm (x) dx.
а
Интегрируем по частям еще раз, причем полагаем
?«(л:), dv=p'n{x)dx,
=j^[G (х) р(л;)q'm(x)]dx, v=pn(x).
1 См. М. М а г d e n, A rule of signs involving certain ortho-
orthogonal polynomials, Annals of Math., 3, B), A932), стр. 118--124:
см. стр. 120.

Ортогональные полиномы 181
Опять uv обращается в нуль на обоих концах интер-
интервала, и
а
Так как
то
4- [О (х) р (х) q'm (х)} = (В + 2Сх) р (х) q'm (x) +
= р (х) [(В + 2Cx) ^ (х) -f (D -f- Ex) q'm (x) +
Выражение, стоящее справа в квадратных скобках,
является полиномом гт {х) степени не выше т. От-
Отсюда, в силу свойства ортогональности полиномов
р„(х), имеем:
ч
1= § ?(x)pn(x)rm(x)dx = 0.
а
В первоначальном выражении для /второй из сомно-
сомножителей, составляющих подынтегральную функцию
+ О(х)9'(х)р1п(х)+О(х)?(х)рЦх) =
= Р (х) [(В + 2Сх)р'п (х) + (D + Ех)р'„ (х) +
+ 0{х)рЦх)},
имеет вид ?(х)пп(х), где п„(х) — полином степени
не выше п. Таким образом, для произвольного поли-
полинома qm{x) степени /и<л

Ш Рлайа VII
Следовательно, функция пп{х) обладает свойством
ортогональности, присущим, при фиксированном п,
только функциям, являющимся произведением по-
постоянного множителя на ра(х). Итак, существует
постоянная Ка такая, что
Сравнивая коэффициенты при х" в обеих частях этого
тождества и обозначая снова через апф0 коэффи-
коэффициент при хп в полиноме />„(#), получим:
Сп (п - 1) а„ + BС+Е) пап = АГ„ап,
Кп = Сп(п
Итак, окончательно имеем:
A3)
В случае полиномов Лежандра p(x) = l. Условие
предыдущих рассмотрений, заключающееся в обраще-
обращении функции О(д;)р(д;) на концах ннтервала в нуль,
выполняются, если записать дифференциальное урав-
уравнение р1 (х) = 0 в виде
р'(*)_ о
р(х)—1-х*>
где
B = D = E = 0, A = l, С = —1.
Подставляя эти значения постоянных в дифферен-
дифференциальное уравнение A3), приходим к известному нам
уравнению:
A - **)/>» (*) - Я*?*(*)Л-п{п^- \)рп(х) = 0.
Мы видели в гл. VI, что дифференциальное урав-
уравнение Пирсона имеет три типа решений, произведе-

Ортогональные полиномы 183
ние которых на любой полином интегрируемо на
соответствующем каждому из этих типов интервале,
который в одном случае конечен, в другом — бес-
бесконечен в обе стороны, в третьем — бесконечен
в одном направлении. Соответствующие системы
ортогональных полиномов называются соответственно
полиномами Якоби, Эрмита и Лагерра. В отдельности
эти системы мы будем изучать в следующих трех
главах.
Дополнительная литература: Szegd; Shohat;
Полна и Cere; Курант — Гильберт; Darborux; Kaczmavz — Stein-
haus; Франк и Мизес.

ГЛАВА VIII
ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
1. Обобщение формулы Родрига. Областью орто-
ортогональности полиномов Якоби является конечный
интервал, который, без ограничения общности, можно
принять равным интервалу (—1, 1), так как любой
конечный интервал можно свести к нему линейной
заменой переменной. Весом для полиномов Якоби
является функция
где а, {$ — произвольные действительные числа, удо-
удовлетворяющие лишь условиям а> — 1, Р>—1 (эти
условия обеспечивают интегрируемость р (л:) на интер-
интервале (— 1, 1)). Мы определим ортогональные поли-
полиномы сразу с помощью формулы, обобщающей фор-
формулу Родрнга для полиномов Лежандра. Пользуясь
этой формулой, мы установим свойство ортогональ-
ортогональности, а связь с общей теорией, развитой в гл. VII,
станет ясна из дальнейшего. Аналогично мы будем
поступать и в следующих двух главах.
Положим, при данных а, р, п,
9„ (х) = g(x) h (x), g(x) = A - *)-+",
Л (*) = A+*)?+-,
причем мы опускаем индекс при вспомогательных
функциях g и А. Если а, р — не целые числа, то ука-
указанные степенные функции можно интерпретировать
как многозначные функции, и мы будем в этом слу-
случае рассматривать те ветви этих функций, которым
соответствуют действительные и положительные зна-
значения g(x) и h{x) при —!<;.*< 1. Согласно фор-

Полиномы Якоб и
муле Лейбница для производной порядка я от произ-
произведения, имеем:
При 0«?/«?я функция glJ)(x) является кратной
функции
A - x)a+a-J=(l - х)* A - xf-J,
а АС"у) (х) — кратной функции A -f- x)? A + хУ.
Функция tpjn> (x) равна произведению выражения
на полином степени не вышел. Обозначим этот поли-
полином через уп(х):
A) Л(*)~
Тот факт, что уа(х)асть действительно полином сте-
степени п, а не ниже, станет ясен из дальнейшего.
Полиномами Якоба называются произвгдения
уп (х) на ¦ ¦уй! • Они обычно обозначаются черезР^'^
Эта формула является обобщением формулы Родрига
для полиномов Лежандра, которая получается из нее
как частный случай, при а = р = О.
2. Ортогональность. Если представить функцию
Фп(й)(¦*) ПРИ k<Cn> пользуясь формулой Лейбница,
то ни один из показателей а-{-я, р + я в каждом из

tMia Vlll
членов разложения не уменьшается больше, чем на k
единиц, и поэтому можно вынести из всего выраже-
выражения множитель
Так как
т0 Фл^Ч*) обращается в нуль при *=drl.
Пусть т,п неотрицательные целые числа, причем
т^п, и пусть
Интегрируем по частям, полагая
и =Ут (х), dv = срп(") (х) dx,
du=ym'(x)dxt v = «nl»-l)(x).
Так как v обращается в нуль на концах интервала,
получаем:
1
Последовательно интегрируя по частям т раз, по-
получим:
B) /= (- 1Г+« J^f-J (*) ?я1»-т) (х) dx.
Если т<^п, то, интегрируя еще раз по частям, по-
получим:
J

Полиномы Якоба 18?
так как ут — полином степени не выше т и
.Vm(m+1) (x) = 0. Из первоначального выражения для /
видно, что ут(х) и уп(х) ортогональны с весом
A)A+)Р
При т=п формула B) принимает вид:
1
Пусть а„ — коэффициент при х" в полиноме уп(х),
в котором сделано приведение подобных членов.
Тогда
и
C) f A -х)* A +xf \yn
1
J
Так как первый интеграл равенства C) положителен,
то отсюда следует, что *пф0. Значение а„ мы найдем
в следующем пункте, а затем мы займемся вычисле-
вычислением / в формуле C).
3. Старшие коэффициенты. Если а и р — целые
числа, то правая часть формулы A) (с очевидным
истолкованием ее при х = ±\) является полиномом
у (х) т е. функцией, однозначно определенной для
всех значений х. Мы можем еще представить выра-
выражение для уп(х) в виде
Последнее выражение представляет уа(х) при л:>1
р случае, когда аир — нецелые числа, если берутся

188 Глава VIII
те ветви степени х— 1 и степени л: -f-1, которым соот-
соответствуют действительные и положительные значения
прн xj>\. Это сразу видно, если явно выписать по
формуле Лейбница значение я-ой производной в фор-
формулах A) и D) * (без последующего приведения по-
подобных членов).
При х^>1 произведение
можно представить, применяя к двум последним со-
сомножителям теорему о разложении в биномиальный
ряд, в виде
A:«+p+2»-f (Р — a)x«+P+2"-1 -f. . .,
причем после членов с положительными степенями х
следует, в случае нецелых a, (J, ряд, состоящий из
отрицательных степеней х. Итак (при я>0),
2л-2). . .
. . .(o-f р + я),
и, согласно представлению D), имеем:
i Этот факт можно также легко усмотреть, проследив пове-
поведение многозначной функции A—х)а при обходе вокруг точки
ветвления на комплексной плоскости.

Полиномы Якоба IS9
В более компактном виде коэффициенты при х* и
л;" в у„(х) можно записать с помощью гамма-
функции:
„ — {
Заметим, что Рл = 0, если а = р, что находится в пол-
полном согласии с результатами п. 7 гл. VII.
При п = 0 имеем у0 (х) = 1 для всех а и р\ Формула
для <х„E) также имеет место, если только a-fjJfl^O
4. Нормирующий множитель; ряды по полино-
полиномам Якоби. В интеграле
1
сделаем замену переменной:
^ = 1A+*), \—t=\A-х), dx = 2df.
Тогда i
f ^+«A— t)'+ndt =

190 Глава VIII
Это выражение для J и формулу E) для а„ можно
использовать для вычисления значения / в форму-
формуле C). Если через 8„ обозначить соответствующий
интеграл, в котором вместо уп (х) стоит Рп<"< &(х), то
откуда
Если
то
Это вычисление приводит к определению норми-
нормированных полиномов Якоби Pn^'^ix):
Разложение функции /(л:) в ряд по нормирован-
нормированным полиномам Якоби является частным случаем
разложения, приведенного в п. 4 гл. VII, при а = — 1,
~ И p
Через полиномы Рп(а'$(х) это разложение записывается
в виде:
$
5. Рекуррентная формула. Обозначим />„<«• ?) (х)
и Рп{а'^Кх) чеРез Р"(х) и ^W соответственно. Как
и в п. 5 гл. VII, мы будем обозначать коэффициенты

Полиномы Якоби Ш
при Xя и Xя'1 в полиноме рп (х) соответственно через
а„ и Ьп. Сравнивая коэффициенты а„ и |Jn(n. 3 настоящей
главы) с соответствующими коэффициентами поли-
полинома Рп(х), мы получим, что последние равны
и ^ 1^"^;
отсюда
" 2л1бУ» ' * 2"!У«
Из формулы E) мы имеем:
«n+i
у/. «.
i „»
Подставим эти значения в рекуррентную форму-
формулу A0) гл. VII. Заменяя в этой формуле pk(x) че-
рез -*i/ при A = «-f~l» n> n — 1, мы получим после
подстановки значения 8„ из формулы F) и некоторых
упрощений:

Ш Глава VIII
При а=р = О эта формула сводится к известному
рекуррентному соотношению для полиномов Ле-
жандра.
6. Дифференциальное уравнение.Весоваяфункция
удовлетворяет уравнению
Р' (X) а_, р
()~ 1 — Х~Г\+Х~
+
которое получается из уравнения A2) гл. VII при
Л=1, В = 0, C=-l,
Условие обращения в нуль на концах интервала
выполнено для A — х*)р(х) вследствие предположе-
предположения, что а^> —1, Р>— 1. Так как дифференциаль-
дифференциальное уравнение A3) гл. VII для ортогональных поли-
полиномов однородно, то его коэффициенты определены
с точностью до общего для всех коэффициентов
постоянного множителя, и, в частности, это уравне-
уравнение не изменит своего вида, если в него вместо уа (х)
подставить р„(х) или Р„(х). Для полиномов Рп(х)
это дифференциальное уравнение запишется в виде
Последнее уравнение сводится при а=р = О
к дифференциальному уравнению для полиномов
Лежандра, а при а и Р, равных одному и тому же
положительному целому числу, оно сводится, с точ-
точностью до обозначений, к уравнению A0) гл. V.
Заметим, что степень полинома z = PmW(x), удо-
удовлетворяющего уравнению A0) гл. V, равна т — п,
а функция веса в этом случае равна A — л;4)", по-
поэтому для получения уравнения для ?>„,(") (х) надо
в вышенаписанном уравнении подставить вместо
а н Р п, а вместо я подставить т — п.

Полиномы Якоба 193
По вопросу об определении полиномов Якоби
с помощью коэффициентов степенного ряда, пред-
представляющего „производящую функцию", мы отсы-
отсылаем читателя к более подробным сочинениям'.
В мемуаре, в котором впервые были определены
полиномы, известные теперь как полиномы Якоби,
после введения производящей функции, сказано?:
„Эта формула, не отличающаяся простотой, не будет
в дальнейшем употребляться". Важные применения
этой формулы были найдены другими учеными3,
однако мы не будем здесь останавливаться на этом
вопросе4.
Дополнительная литература: Szego; Shohat; По-
Полна и Сеге; Курант — Гильберт; Франк и Мизес.
1 См. Szego, стр. 68—70.
2 См. G. J. Та с о b i, Untersuchungen iib?r die Differenth!glei-
chung der hypergeometrishcn Reihe, Journal fur die reine u. ange-
wandte Mathematik, 56 A859), стр. 149—165; см. стр. 158.
3 См. D a r b о u x стр. 20—21 A859), стр. 149—165; см. стр. 158.
4 Относительно производящей, функции для сравнительно
простого случая ? = а см. в конце книги упр. 6 к гл. VIII.
13 Д. Джексон

ГЛАВА IX
ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
1. Определение. Полиномы Эрмита ортогональн
ha интервале (— оо, оо); весом в этом случае являете
функция * е--*'/2.
Пусть
<р(х) = е-**я.
Последовательным дифференцированием получим:
?'(•*) = -хе-**'\ «р"(х) = (х*-1)е-***,
?'" (*) = (- х3 + Ъх)е -**/,, ....
Легко видеть, что производная любого порядка фун
ции е—*i/2 равна произведению е ~ **'2 на полином отн
сительно х (ниже это будет доказано с помощь
индукции).
Пусть
Тогда q>W(;t) = (— \f е-х-^Нп{х), и, дифференциру
это равенство, получим:
= (-1)» [- х Нп(х) + н; (х)\ е -"*.
1 В литературе можно встретить отличающиеся от даниь
определения и обозначения. Так, вместо e~xi/i за вес прин
мают иногда ё~х*; выражение для л-го полинома отличает
иногда от приведенного ниже в тексте множителем (— 1)" или .

Полиномы Эр ми та 195
Но, с другой стороны,?^1*^) = (— 1)п+1 е-х1яНп+\ (х),
следовательно,
A) Hn+i(x)=xHn(x)-Hln(x).
Так как Н0(х) = \, то, с помощью индукции, убеж-
убеждаемся, что пп(х) является полиномом степени п
с коэффициентом при jc", равным единице. Полино-
Полиномы Нп(х) называются полиномами Эрмита.
2. Ортогональность и нормирующий множитель.
Пусть /га, п — целые неотрицательные числа, и пусть
п — большее из них, если они не равны: т^п. Пусть
/=
—оо
со
Положим при интегрировании по частям
и*=Нт(х), dv = ^)(x)dx,
du = Н'я (х) dx, v=qpO»—*) (х).
Тогда uv, будучи произведением полинома на е~*3/2,
обращается в нуль при л;=±оо, и
Применяя тот же прием т раз, получим:
со
B) / = (—!)»+/» J №%(х) <р<n-OT) (x) dx.

195 Глава IX
Если п^>т, то, интегрируя по частям еще раз, по-
получим: 1=0, так как #<™+1)(х) == 0, ибо Нт(х) —
полином степени т. Это значит, что полиномы Нт(х)
и Н„(х) ортогональны на интервале (—оо, оо) отно-
относительно веса е~**Р.
При т = п, согласно формуле B), получим:
J e ~xtv[#„ (х)}Чх = I = J //<;> (л;
—оо
C)
= я! J в-**/аЛс = я
Нормированные полиномы Эрмита задаются вы-
ражением: —1/пК \,-. В дальнейшем мы будем, од-
(и!) '• B>г) '*
нако, вести рассуждения, пользуясь исходными поли-
полиномами Нп(х).
Вычисление последнего интеграла в формуле C),
хорошо известного в теории вероятностей, можно
провести, пользуясь гамма- и бета-функциями, с по-
помощью соотношений
п== Г dx
= Г dx =
-1
¦1
— op
OO
=2 - v» J ^ - v«e - t

Полиномы Эрмита
где в первом случае сделана подстановка t = у A -\~х),
а во втором — подстановка t = лг/2; можно также вычи-
вычислить интересующий нас интеграл другим, более пря-
прямым способом.
3. Ряды Эрмита и Грама-Шарлье. Формальное
разложение произвольной функции f(x) в ряд по
полиномам Эрмита имеет следующий вид:.
D)
причем знаменатель в формуле для ск вычислен нами
раньше (см. формулу C)).
Полиномы Эрмита применяются в статистике для
представления функций распределения на интервале
(—со, оо); однако для. этой цели удобнее рассма-
рассматривать ряд, составленный из членов вида cke~xi^Hk (х),
а не ряд по полиномам. Пусть F (х) — заданная функция
и пусть f(x)=e~xi/i F(x). Тогда ряд D) принимает сле-
следующий вид:
к =>0
со
= ——i7- Г F(x) Hk (x) dx.
Ряды такого вида носят название рядов Грама-Шарлье
(Gram-Charlier).

198 Глава IX
4. Рекуррентные формулы; дифференциальное
уравнение. Функция <р(х) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
Дифференцируя это уравнение, получим: 9"() +
-\-х<р (х)-\-<?(х) = 0; в результате я-кратного диф-
дифференцирования будем иметь:
<p(n+1) (ЛГ) + Х<р(п) (X) + ЯфС-1) (х) = 0.
Выражая производные, входящие в это уравнение,
через полиномы Эрмита, мы придем к следующей фор-
формуле:
[(-1Г1 Нш (х) + х (-1)" Ня (х) +
или
E) //„, (х) - хЯ„ (х) + »//_, (х) = 0.
Это есть рекуррентное соотношение между тремя
последовательными полиномами Эрмита.
Пользуясь нормированными полиномами hk(x)~
= if- со старшими коэффициентами ak = —гг, где
"ft dk
dk = klBTty/*, мы представим формулу E) в следую-
следующем виде:
(я + l)v«Awi W ~ *ЬЯ (х) + nV-A^., (л;) = 0.
Последнее уравнение является частным случаем урав-
уравнения A0) гл. VII.
По формуле A) Я„+! (х) — хН„ (х) =—Н'п (х). Срав -
нивая это равенство с соотношением E), получим:
F) H'n{x)

Полиномы Эрмита 199
Выразим Яп+1 двумя способами: во-первых, заме-
нля в формуле F) я через п -\-1, а во-вторых — диф-
дифференцируя уравнение A); сравнение полученных ре-
результатов приводит к уравнению
G) Нп(х)-хН'п(х) + пНп(х) = О.
То же уравнение мы получим, подставляя в фор-
формулу A3) гл. VII значения D = B = C = 0, ? = —-1,
Л = 1, соответствующие дифференциальному урав-
уравнению ~щ = — х, которому удовлетворяет функция
е~ *2/i. Вид уравнения G) не изменится, если в него вме-
вместо Нп (х) подставить нормированные полиномы hn (х).
Факт совпадения коэффициентов в уравнениях E)
и G), могущий привлечь внимание, не имеет глубо-
глубокого значения: уравнение E) в отличие от уравне-
уравнения G) изменяет свой вид при введении нормирую-
нормирующего множителя или другого множителя, зависящего
от п.
По формуле E) можно явно вычислить последо-
последовательные полиномы Эрмита, если известны полиномы
//„ и Я,. Еще удобнее пользоваться для этой цели
уравнением F), если предварительно вычислить зна-
значения полиномов Эрмита в нулевой точке, что легко
сделать с помощью индукции, пользуясь форму-
формулой E):
^@) = (-l)*. 1 -3-5- • .
Первые шесть полиномов Эрмита имеют следующий
вид:
#„(*)= 1, Н3(х) = х*-3х,

200 Глава IX
5. Производящая функция. Обозначим функцию
ext-t*/2 через Н(х, t). Запишем разложение этой функ-
функции в ряд по степеням t в виде
Н{х, t)=Gt ±
Легко видеть, что Оа(х) = 1, G1(x) = ^. Непосред-
Непосредственно проверяется также, что Н(х, t) удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению -^- = (х — t)H.
Если записать это уравнение, подставляя вместо Н (х, t)
соответствующий степенной ряд, то, сравнивая коэф-
коэффициенты при if1, получим:
щ Gnu (*) = ^ О„ (х) - ^ly, G^ (x),
On+i (х) ~ xGn (x) + яОл_1 (х) - 0.
Это соотношение совпадает с рекуррентной формулой
для полиномов Эрмита. Так как G6 = H0 и О, = #,,
то отсюда следует, что О2 =¦ Я2, О3 = Я3,... и, по
индукции, Gn = Hn для любого /г. Полиномы Эрмита
связаны с производящей функцией Н(х, t) следую-
следующим тождеством:
6. Волновое уравнение линейного осциллятора.
В математической физике полиномы Эрмита появ-
появляются, например, в связи с элементарной формой
волнового уравнения Шредингера (SchrSdinger) в
квантовой механике. Хотя полное исследование по-
полученных формул как с математической, так и с фи-
физической точки зрения неосуществимо в пределах

Полиномы Эрмата
этой книги, однако сами формулы сравнительно
просты.
Уравнение Шредингера для частицы в силовом
поле имеет следующий вид:
(8)
где 47—функция геометрических координат частицы
и времени t, ДЧ7 — выражение, стоящее в левой
части уравнения Лапласа для соответствующего числа
измерений, т. е. сумма вторых частных производных
функции 47 по переменным, являющимся координа-
координатами в прямоугольной системе, w — функция коор-
координат, не зависящая от t, и т— постоянная.
Если искать решение уравнения (8) в виде 47 =
= uT(t), где и не зависит от t и Т не зависит от
геометрических координат, то, разделяя переменные
аналогично тому, как это проделано в гл. IV и V,
пользуясь уравнением (8) и тем, что Д47 = Тки, по-
получим:
(9) 2— = ?.
Обозначим постоянное значение, которому равны как
правая, так и левая части уравнения (9), через — X.
Уравнение "G"= — ХГ имеет своим общим решением
Ae-№t)<t где А — произвольная постоянная, а функ-
функция и удовлетворяет уравнению
A0) Ди + (Х — w)a=0.
Решения этого уравнения, удовлетворяющие опре-
определенным краевым условиям, существуют лишь для
некоторых значений X.
В одномерном случае, полагая w — cx%, где с —
постоянная, мы получаем уравнения линейного осццд,-

202 Глава IX
лятора1. В этом случае Ли сводится к ^. Таким об-
образом, уравнение A0) принимает следующий вид:
Пусть vn = e~xi/iHn(x). Функции v с различными
индексами ортогональны на интервале (— оо, оо)
с весом, равным единице. Дифференцируя уравне-
уравнение Hn(x) = e~xi/ivn и подставляя полученные выра-
выражения в уравнение G), получим:
Запишем теперь это уравнение, обозначая независи-
независимую переменную через т вместо х:
A2) v"n
Пусть х — ах, где а—постоянная; тогда
A3) ия (х) = vn (t) = vn (ax) = е -°!х!"Нп (ах)
и -^%=Да^п('с); в результате подстановки в уравне-
уравнение A2) получим:
Итак, если а положить равным DсI/4, то функ-
функция ип(х), определенная формулой A3), удовлетво-
удовлетворяет уравнению A1) при X =; (п -\- j\ д8.
Дополнительная литература: SzegO; Shohat; Rietz;
Полна и Cere; Курант — Гильберт; Uspensky; Kacgmaj?—5teip-
haus; Франк н Мизес; Weyl (для п. 6),
« Сц. Weyl,стр. 54—90,

ГЛАВА X
ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА
1. Определение. Интервалом ортогональности для
полиномов Лагерра является @, оо), весом — функция
причем предполагается, что <х>—-1, чем обеспечи-
обеспечивается интегрируемость ?(х). Функция р(х) = хае~х
является обобщением простой показательной функции
е~х. Иногда называют полиномами Лагерра орто-
ортогональные полиномы, соответствующие весу е~х. Эти
полиномы являются частным случаем тех, которые
будут рассмотрены ниже.
Пусть
) +
Применяя формулу Лейбница для вычисления л-ой
производной функции фя(*)> мы видим, что фвЛ) (х) яв-
является произведениэм хае~х на полином степени п
с коэффициентом (—1)" при *". Обозначим произве-
произведение этого полинома на (—1)" через lip (x) или
проще — через Ь„(х):
A) l?4x) = L,,(x) = (-lYx—?
Мы примем формулу A) за определение ' полиномов
Лагерра. Как легко видеть, у полиномов Лагерра
старший коэффициент равен 1 при любом п.
1 Иногда полиномами Лагерра называют функции, которые
отличаются от приведенных здесь постоянным множителем.

204 Глава X
2. Ортогональность; нормирующий множитель;
ряды Лагерра. Каждая производная функции ф„(х)
порядка меньшего, чем п, является произведением
ха + *е~* на некоторый полином и обращается в нуль
при х — 0, так как а^>—1, и при * = -j-oo.
Пусть т пп — целые положительные числа, т < п,
и пусть
с» с»
/ = Г х«е ~ *Lm (х) Ln (a-) dx=(-\ Т Г Lm (х) ^ (х) dx.
О О
Последовательно интегрируя т раз по частям, при-
чэм на каждом шаге мы принимаем за множители
u = ^=i Lm{x) и dv = qfr~k + i)(x)dx, и замечая,
что uv, где v = 4п ~к) (х), каждый раз обращается
в нуль на обоих концах интервала, мы получим1:
со
B) /= (-1Г- Г {Lm (л))С") 4n-m\x)dx.
о
Если п^>т, то, интегрируя еще раз по частям, най-
найдем, что 1 = 0, так как (Ьт(х)Ут+^ = 0. Полиномы
Lm{x), Ln(x) ортогональны с весом хае~*.
При т = п формула B) сводится к следующей:
Так как старший коэффициент полинома Ln(x)равен 1,
то (Ln(x)yn'i = п\. Обозначим через dn значение /
в этом случае:
1 Мы пользуемся обозначением (Lm(x))<m) do изиежяшш
смешения с полиномом L$ (х) при показателе степени а = т.

Полиномы Лагерра 205
оо
/
л**—*[?„(.*:)]* <йс =
= dn = nl j' ха+ пе ~ xdx = nl Г (a -f я -f 1).
6
Нормированные полиномы Лагерра 1„(х) задаются
формулой:
Разложение функции f(x) в ряд по полиномам
Lit(x) на интервале @, оо) имеет следующий вид:
к =
оо
с* = Т\ Г^Г+Y+T) J' AV "Ж/(Л')Z*(A')dx-
о
3. Дифференциальное уравнение и рекуррент-
рекуррентные формулы. Длл веса р (а-) = х^е~х имеем:
?4^?- = •— — 1; следовательно, р (х) удовлетворяет урав-
уравнению A2) гл. VII при
произведение хр(х) обращаетс51 в нуль на обоих
концах интервала @, оо). Следовательно, полиномы
Лагерра удовлетворяют уравнению A3) гл. VII при
указанных выше значениях постоянных. Написанное
для полиномов Ln(x) (или для 1п(х), что, в силу
однородности уравнения, не изменяет его вида), это
уравнение имеет следующий вид:
C) хС (х) + (а +1 - х) L'a (x) -f- nln (х) = 0.

Глава X
Старший коэффициент нормированного полинов
/„ (х) есть ап = —у-. Коэффициент при х"~г в пол§
номе Ln(x) равен — я (a -j- га), в чем можно убедитьс
применив формулу Лейбница к производной, вход
щей в выражение A) для Ln(x). Следовательно, соо-
ветствующий коэффициент Ь„ в 1п(х) равен — ??^
Отсюда для коэффициента спп в формуле A0) гл. \
имеем: сяя = —— ^- —а-{-2п4-1. Если в форму
+1 I Гаг)
A0) гл. VII вместо 1п(х) подставить -",/» то это р
куррентное соотношение после элементарных пр
образований примет следующий вид:
D) \n(a]-n)Ln_l(x) = 0.
Другое рекуррентное соотношениэ, выражают
Ln+i(x) через Ln(x) и Ln'(x), можно вывести неп
средствэнно из формулы A). Пусть в тождестве
выражение, стоящее в скобках, рассматривается к
произведение х на х" + пе-х; применим формулу Лей
ница для вычисления производных от этого nf
изведения. Все производные порядка выше перво
от сомножителя х тождественно равны нулю. Так1
образом, имегм:

Полиномы Лагерра 207
= х ГХ f i-Vr^e- *Ln (x)) + (я -f 1) (-1)" х°е~ *Ln (*)=
Отсюда следует, что
4. Производящая функция. Пусть
обозначим коэффициент при ^" в разложении Н(х, t)
в степенной ряд по t через (—I)"-1—-. Tor да имеем:
Н{х, 0 = O,(Jc)-GIJ
E) +^ол
Мы докажем, что функция Оп(х) тождественно
равна Ln{x).
Из формулы A) при я = 0 ия=1 мы получим
следующие выражения для первых двух полиномов
Лагерра:
L0(x)=l, Ll(x) = x — a—l.
Продифференцировав по t выражение для Н, полу-
получим:
F) ?//(*, О^^-^Щдс, О-
Отсюда
G0(x) = H(x, 0) = l, Gi(x) = — Ht(x, O) = jc —о—1.
Итак, функции О0 и О, совпадают соответственно

208 Глава X
Напишем тождество F) в виде
и подставим сюда ряд E) (вместо Н(х, t)) и ряд,
полученный почленным дифференцированием по t
ряда E) (вместо Ht(x, t)). Приравнивая нулю коэф-
коэффициент при tn в полученном ряде, найдем:
Gn+l + Bга - X + а + 1) Gn + (я« + па) Gre_, = 0.
формула совпадает с соотношением D),
м ?„_,, Ln и /,„+1) и так как О0 = /.„
Так как эта
связывающим
и Gj=^Lu то, последовательно подставляя в эту
формулу га = 1, 2,..., мы получим, что О„ (х) = /.„ (х)
при всех га.
5. Волновое уравнение для атома водорода. Вол-
Волновое уравнение Шредингера, изучение которого
мы начали в п. 6 гл. IX, применимо к электрону атома
водорода в пространстве, если это уравнение написано
для трех измерений и функция w выбрана соответ-
соответствующим образом. Решения этого уравнения в дан-
данном случае выражаются через полиномы Лагерра.
В этом случае функция w равна—-, где р —
расстояние от начала координат и с — постоянная '.
Дифференциальное уравнение A0) гл. IX принимает
тогда вид:
G) Ди+(х +
Вследствие вида функции w, целесообразно исполь-
использовать сферические координаты и записать Ди в
1 См. Курант — Гильберт, стр, 322—324; в связи с этим
пунктом см. также Ван дер Варден, стр. 16—20, и Wеу 1.
дтр. 63-7Q, ? Y > V t

Полиномы Лагерра 209
виде B6) гл. IV. Тогда, если к левой части уравне-
уравнения D) гл. V прибавить член (Хр2 + ср)й, то мы полу-
получим уравнение G) настоящей главы. Подставляя
/? (р) Т F) F (ф) вместо и в уравнение G), получим
уравнение, совпадающее с уравнением E) гл. V,
к левой части которого прибавлено > р3 -|- ср. Следо-
Следовательно, уравнение F)гл. V заменяется уравнением
(8) ?R" 4- 2Р/?' -г- [Хр* + ср-т (т + 1)] R = 0.
Уравнения для Т и F не изменятся, и, используя
частные решения этих уравнений, мы получим в каче-
качестве функций T(Q)F(<{i), как и раньше, сферические
функции. Нам остается найти частное решение урав-
уравнения (8). (Множитель ГF), конечно, ничем не связан
с функцией T(t) из п. 6 гл. IX; заметим еще, чтобы
больше не оговаривать этого, что п в уравнениях G)
и (8) гл. V не то же самое, что п, появляющееся
ниже.)
Считая, что m имеет то же значение, что и
в уравнении (8), положим а = 2/п-|- 1,и пусть Ln(x) —
соответствующий полином Лагерра: L%(x) = L%a + i (x).
В силу уравнения C), имеэм:
(9) xl'i (х) + Bm -f 2 - х) L'n (x) j nln (х) = 0.
Пусть vn{x) = xme~i^Ln{x); две функции г> с различ-
различными индексами ортогональны на интервале @, со) с
вэсом д:. Дифференцируя тождество^(х) = x~mex/*vm
получим:
с (х)=^»н^+A - 2f) *'*+f j+ (| -

210 Глава X
Подставляя эти выражения в уравнение (9) и умно-
умножая затем это уравнение на хт**е~х/*, получим:
A0) -{-[-±-
Пусть теперь х = а„р, где а„ — постоянная, зави-
зависящая от п, и р имеет прежнее значение, тогда х не
является одной из координат прямоугольной системы,
выбранной для решения физической задачи, а имеет
только вспомогательный характер в настоящем вы-
вычислении. Пусть
R (Р)=vn (х) = vn
Тогда fn(^) = l/?'(p), v"(x) = Aj/?"(p).причем штри-
п ап
хи обозначают в каждом случае производную по
переменной, стоящей в скобках; подстановка в
уравнение A0) дает:
- \ al? -f (m -f ra-f 1) anP — m (m -f 1)]/?= 0.
Таким образом, если положить я„ равной—^—t-j,
то функция /?(р), определенная выше, удовлетворяет
а2
уравнению (8) при Х = — — .
Дополнительная литература: Szego; Shohat; По-
Полна и Сеге; Курант — Гильберт; Uspensky; Kaczmarz — Steinhaus;
Франк и Мизес; для ц. 5: Кураит — Гильберт; Ван дер Вардеи;

ГЛАВА XI
СХОДИМОСТЬ
1. Задачи настоящей главы. Вопрос о сходимо-
сходимости рядов, составленных из ортогональных полиномов,
при достаточно общих предположениях, — весьма
сложный.
Однако значительную часть предложений о схо-
сходимости, установленных для рядов Фурье в гл. I,
или для рядов Лежандра в гл. II, можно без особого
труда распространить на ортогональные полиномы
с конечным интервалом ортогональности, соответ-
соответствующие различным весам, если только полиномы,
образующие ортонормированную систему, ограни-
ограничены при п, стремящемся к бесконечности,
т. е. если существует постоянная Я, не завися-
зависящая от п, такая, что \рп{х)\^Н для всех зна-
значений п, причем это неравенство имеет место
или в одной точке х, в которой надо доказать схо-
сходимость, или (при одной и той же постоянной Н)
на некотором множестве точек,содержащихся в интер-
интервале ортогональности, или, проще, на всем интервале.
Например, ортонормированные полиномы, соответ-
соответствующие весу A — х*)-1/*, ограничены на всем ин-
интервале (—1, 1). Действительно, если Сп(х) — поли-
полином, представляющий cos nb, где х = cos 6, то по-
последовательность таких полиномов (п = 0,1,2,...)
образует ортогональную, но не нормированную систему
(см. гл. VII, п. 1), и \Сп (х) | = |cos «0|s2 1 при — 1 s2 Ж1,
причем нормирующий множитель 8„~1/8 определяется
и*

212 Глава XI
по формуле:
1 it
К= f A-*')-'Л [С» С*)]9** = Г cos2
—1 О
/2W* ,
и имеет постоянное значение (—1 для всех п^\.
Полиномы Sn(x), введенные в п. 1 гл. VII, орто-
ортогональны относительно веса A — х*I/з, но не норми-
нормированы и ограничены на каждом из интервалов
(— \~\-h, 1 — h), h^>0, т. е. на всем интервале орто-
ортогональности, за исключением его концов. Действи-
Действительно, если х = соз 0, 1—h = cos 7, 0<Л<!-^' то
sin (л -)- 1) в
slnl
siuO sirif
при yssO^tt — f, т. е. при — 1 -f-/г =^ л: =ss 1 — h.
Нормирующий множитель 8 л—V* опять-таки не зависит
от п и задается формулой
-1 о
Иными словами, ортонормированные полиномы ~v"
равномерно ограничены на любом замкнутом ин-
интервале, лежащем внутри интервала ортогональ-
ортогональности; очевидно, что всякий такой интервал, даже
если он не симметричен относительно начала коор-
координат, можно заключить в интервал (— 1 -)- /г, 1 — К)
при соответствующем выборе /г.

Сходимость 213
Согласно п. 12 гл. II, нормированные полиномы
Лежандра f  j *Рп{х) равномерно ограничены на
любом замкнутом интервале, содержащемся внутри
интервала (— 1, 1).
Мы покажем в следующих пунктах, что свой-
свойством равномерной ограниченности навеем интервале
или навсеминтервалезаисключением окрестностей его
концов, или на части интервала, подчиненной некото-
некоторым ограничениям, обладают ортонормированные по-
полиномы, соответствующие довольно общим весовым
функциям. При этом обнаружатся некоторые подроб-
подробности относительно значения этого свойства в теории
сходимости.
2. Величина коэффициентов; первое предпо-
предположение. Пусть р(х) — весовая функция (гл. VII), за-
заданная на конечном1 интервале (а,Ь), и пусть/»„(а-),
п = 0, 1, 2,..., — соответствующая ей система нор-
нормированных ортогональных полиномов. Пусть f(x) —
такая функция, что произведение ?(x)f(x) инте-
интегрируемо на интервале (а, Ь) и пусть
0) 2 Ckpk №' Си = \? (х)/(х)Рь (х) dx>
¦—формальное разложение функции f(x) в ряд по
полиномам ри (х). Пусть sn (x) — частная сумма поряд-
порядка п ряда A):
л
Sn (X) = У. С„р„ (Л).
1 Это ограничение здесь по существу нам не нужно, мы
воспользуемся им лишь в следующем пункте.

214 Глава Xt
Тогда, согласно определению коэффициентов ск и
свойствам ортонормированных полиномов рк(х),
ь
J 9(x)f(x)sn(x)dx =
а
Ь
= 2Ск J
*0
а
п Ь
J
Ь п
Если функции р/ и р/г интегрируемы, то
ь
ft Ь
+ J P (x) [sn (x)Y dx = j p (x) [/(Л)]' dx -
п
fc-0
Так как левая часть неотрицательна, то это же
справедливо и для правой части, т. е.
ft=O
для любого п. Следовательно, ряд 2е** сходится, и
. = 0.
*—00

Сходимость 215
3. Сходимость; первое предположение. Согласно
п. п. 4 и 6 гл. VII,
ь
B) sn(x)=jj9(t)f(t)Kn(x,t)dt,
/g\ IS /у. А __ an _Pn±l(tLPn (•*¦) — Pn @ Pn+l (x)
an+l t — x
где, в обозначениях п. 5 гл. VII,
(Л\ п .— ^ —. I #ч {уЛ v-fi (v\ n ('v\ iiv
К) «n+i "" "' "+I ~~ J P K ' Pn W Pn+i W
a
Далее, согласно формуле G) той же главы, при
¦яп(х) = 1, имеем:
ь
а
Умножая обе части этого равенства на функцию/(х),
которая не зависит от переменной интегрирования,
найдем, что
ь
E) f(x)=$?(t)f(x)Kn(x,t)dt,
а
и, вычитая равенство E) из равенства B), получим:
ь
F) sn (х) -f(x) = J p it) [fit) -fix)]Kn ix,t) dt
a
Для фиксированного х положим

216 Глава XI
Тогда, подставляя правую часть формулы C) в ра-
равенство F), мы получим для sn(x)—f(x) следую-
следующее выражение:
ь
(8) —— pn (x) p (t) cp (t) pn+l (t) dt —
Доказательство сходимости состоит в том, чтобы
при соответствующих предположениях установить
сходимость к нулю выражения (8) при п-*-оо.
Пусть С — большее из чисел \а\, \b\. Тогда на
всем интервале (а, Ь) \х\ ^Си, в силу равенства D),
ь
C fjP(x)\pn(x)pn+1(x)\dx
(так как коэффициенты ап и ап+1 — оба положитель-
положительны, то нет необходимости ставить в левой части
знак абсолютной величины). По неравенству Шварца
(см. гл. I, п. 19) имеем:
ъ
{J[P {*)V'*\Pn (ХУ. • [Р {хУЦРп,г (Х)\
а
Ь Ь
(х) [рп {x)f dx j р (х
Следовательно, —— ^C для любого п.
п+1
Если функция f (t) — такова, что рср и рср2, где
9 (t)—разностное частное G), составленное для точки х,
в которой исследуется сходимость, интегрируемы
на интервале (а, Ь), то каждый из интегралов, вхо-
входящих в выражение (8), согласно предыдущему

Сходимость 217
пункту, стремится к нулю при п, стремящемся к
бгсконечности. Если, в то же время, в рассма-
рассматриваемой точке х величины рп (х) ограничены при
п -> со, то все выражение (8) стремится к нулю, и
sn (x) сходится к значению f (x).
Относительно функции р мы предполагаем,
конечно, что она интегрируема. Если интегралы
понимаются в обычном смысле, употребляемом в
элементарном анализе (а не по Лебегу), то мы пред-
предполагаем у функции р (х) наличие не более, чем конеч-
конечного числа точек разрыва, в которых эта функция имеет
конечный или бесконечный скачок. Вышеуказанное
предположение относительно функции ф будет вы-
выполняться, например, если функция f(t) ограничена
и интегрируема на интервале (а, Ь), непрерывна в
точке t = х и или имеет в этой точке конечные левую и
правую производные, или, более обще, удовлетво-
удовлетворяет условию \f(t) — f(x)\ =s?X 11 — x\, где X — по-
постоянная.
Предположение относительно ср будет также вы-
выполнено, если функции р/ и р/2 интегрируемы на
интервале (а, Ь) и если функция f(t) тождественно
равна нулю в некоторой окрестности точки t~x.
В этом случае последовательность sn(x) стремится
к нулю. Если /, и f<i — функции, удовлетворяющие
только что упомянутым условиям интегрируемости
и совпадающие в некоторой окрестности точки х, то
частные суммы ряда, соответствующего разности
/i—/ь равные разности соответствующих частных
сумм, стремятся к нулю; если, ряд, соответствую-
соответствующий одной из этих функций, сходится в точке х,
то и второй ряд сходится в этой точке к тому же
самому значению. Если функция /— такая, что
функции р/ и р/" интегрируемы на интервале (а, Ь),
то сходимость ряда для f(x) в точке, в которой
ортонормированные полиномы ограничены, зависит
только от поведения функции в окрестности
этой точки.

218 Глава XI
4. Величина коэффициентов; второе предпо-
предположение х. Результат, установленный в п. 2, имеет
место и без предположения интегрируемости,
функции р/\ если только полиномырп (х) равномерно
ограничены на всем интервале. Болеэ общо, пред-
предположим, что существует множество точек Е, содер-
содержащееся в интервале (а, Ь), и постоянное чясло Н,
не зависящее от я их, такое, что |рп(х)|s?H для
любого п и для всех точек х из множества Е. Обо-
Обозначим через СЕ дополнение этого множества по от-
отношению к интервалу. В приложениях представляет
интерес тот случай, когда множество Е является
некоторым интервалом, принадлежащим (а, Ь), или
состоит из конечного числа таких интервалов. Для
дальнейшего достаточно предположить, что Е со-
состоит из конечного числа интервалов, или, в случае,
когда интегралы понимаются в смысле Лебега, что Е—
измеримое множество(это выполняется автоматически,
еслиЕ является множеством всех тех точек, для кото-
которых |рп(х) | ^Н). Если функции р/и р|/| интегриру-
интегрируемы на всем интервале (а, Ь) и функцчя р/4 интег-
интегрируема на СЕ, то попрежнему справедливо соотно-
соотношение: Нтся = 0. В случае интегрируемости в смысле
л „со
Лебега, дополнительное требование интегрируемости
функции р|/| излишне, так как тогда интегри-
интегрируемость и абсолютная интегрируемость эквива-
эквивалентны.
Пусть s — произвольно малое положительное
чясло. Представим множество Е в виде суммы двух
непересекающихся подмножеств Ех и Еь таких, что
(9)
f
1 Пункты 4 и 5, в которых устанавливается сходимость
при более общих предположениях, можно пропустить без ущерба
для понимания дальнейшего.

Сходимость 219
и \f(x)\ ограничена на ?2, т. е. существует посто-
постоянная М, для которой \f(x)\s^M во всех точках
.ve?2. Если интегрирование понимается в смысле
Лгбега, то множество Ег можно определить как со-
совокупность всех точек х из Е, для которых \f(x) \^>M
при достаточно большом М, а множество Еа состоит
из точек Е, для которых |/(х)|^Л1. При элемен-
элементарном исследовании достаточно заключить точки
разрыва функции / (имеющиеся у нее в конечном
числе) в достаточно малые интервалы, принять за
множество Ei часть множества Е, содержащуюся в
сумме этих интервалов, а за ?3 — оставшуюся часть
множества Е.
Пусть 1и /,, /3 —значения интегралов от
произведения ?(x)f(x)pn(x) по множествам Еи
Еа и СЕ соответственно, так что
а
Согласно неравенству (9),
A0)
Г
при всех п, так как \рп(х)\^Н ^на [множестве Ег
для любого п. Пусть /t (л:) — функция, равная нулю
на Ех и равная/(х) в остальных точках интервала (а, Ь).
Тогда
/8 + /»=
a
Но функция рД интегрируема на (а, Ь)\ она инте-
интегрируема на множестве СЕ, согласно предположе-

220 Глава XI
нию, на множестве Е2 она интегрируема, так как!/,] =
= \f\^M на Е2 и, следовательно, p/f^Afp|/, и,
наконец, интегрируема на Еи так как она там тож-
тождественно равна нулю. Следовательно, согласно п. 2,
ь
Ига Г р (х) /, (х) рп (х) dx = О,
п и оо *)
а
т. е. Иш (/2 -}- /3) = 0. Таким образом, для достаточно
П-* ОО
больших я | /3 --J- /31<] -|- и, учитывая неравенство A0),
получаем:
а это и означает, что
lim
5. Сходимость; второе предположение. Сохра-
Сохраняя обозначения п. 3, рассмотрим вопрос о сходимо-
сходимости при условии, что ортонормированные полиномы
равномерно ограничены на множестве точек Е, как
это имело место в п. 4. Предположим, что функции
р/ и Pl/I интегрируемы на интервале (а, Ь) и функ-
функция р/* интегрируема на множестве СЕ.
Пусть х — внутренняя точка множества Е. Тогда
функция р92 интегрируема на СЕ, так как знамена-
знаменатель ф имеет положительную нижнюю грань на
этом множестве. Заметим еще, что из интегрируе-
интегрируемости функцчи р!«| следует интегрируемость рф.
Кроме того, функция pl9i будет интегрируемой на
всем интервале {а, Ь), если она интегрируема • на
каком-либо интервале (x — h, x-\h), Л>0. Если
функции р/ и p/i интегрируемы на (а, Ь) и функ-
функция р/2 интегрируема на СЕ, то ряд будет,
сходиться к значению f(x) во всякой внутренней

Сходимость 221
точке х множества Е, при условии, что функция
Р ] ФI интегрируема на интервале, содержащем
точку х внутри себя. Действительно, при этих
предположениях функция 9 удовлетворяет требова-
требованиям, наложенным на функцию / в п. 4, и можно
повторить рассуждения первых трех абзацев п. 3
для этого случая, если вместо результатов п. 2
воспользоваться результатами п. 4 для установления
сходимости к нулю интегралов, входящих в выра-
выражение (8). Существенным отличием между настоящи-
настоящими предположениями относительно функции / и
предположениями, сделанными в п. 3, является то,
что здесь мы не требуем интегрируемости функции
р-р* в окрестности точки х.
Все рассуждения, с очевидными изменениями, го-
годится и для точек а и Ь, если они входят в мно-
множество Е. Можно не рассматривать отдельно дру-
других точек границы множества Е, так как в прило-
приложениях, если множество Е соответствует некото-
некоторому частному значению постоянной Н, его граничные
точки (отлитые от а и Ь) будут внутренними для мно-
множества, соответствующего большему значению Н.
Если сотонормированные полиномы равномерно
ограничены на всем интервале (а, Ь), то относительно
функций p/J и р93 ничего не нужно предполагать
зараиег, и доказательство сходимости проходит для
вс^го замкнутого интервала.
Если функции р/и р|/| интегрируемы на (а, Ь)
и если р/2 интегрируема на СЕ (последнее условие
можно опустить, если множество Е совпадает со
всем интервалом), то сходимость ряда во внутрен-
внутренней точке множества Е зависит лишь от поведения
функции / в пронзпольно малой окрестности этой
точки.
G. Специальные полиномы Якоби. Пусть pk{x) —
нормированный полином Лежандра степени^. Положим,
для любой пары четных значений 2т и 2п индекса k,

222 Глава XI
l
'= fРчт (х) ргп (х) dx = 2 §р2т (х) pin(x)dx.
i о
-i о
Во втором интервале, пусть
Так как рш(х) и pin(x) содержат только четные
степени х, то они являются полиномами относитель-
относительно t, соответственно степени /пил; обозначим их
через Qm{f) и Qn(t). Тогда
Если тфп, то /=0. Если т = п, то вследствие
нормированное™ полиномов р
==/=?77 J
J ^«^I*(П
и последний интеграл равен г1/». Полиномы qk{t) =
~ %7"> * = 0, It 2,..., образуют на интервале(—1,1)
ортонормированную систему с весом A + 0~ Vl- Они
являются нормированными полиномами Якоби, соот-
соответствующими а = 0, Р = — -л • Так как полиномы р
равномерно ограничены всюду, за исключением окрест-
окрестностей точек х = \ и х = — 1, то полиномы q
равномерно ограничены всюду вне произвольной
окрестности точки t=\, т. е. равномерно

Сходимость 223
ограничены на каждом из интервалов —
А>0.
Аналогичными рассуждениями, в которых вместо
указанной выше замены переменной интегрирова-
интегрирования используется подстановка х* =-^ A — t), доказы-
доказывается, что полиномы Якоби, соответствующие
а = —к, Р=0, равномерно ограничены всюду на интер-
интервале (—1, 1), за исключением произвольно малой
окрестности точки t=~l.
Эти факты, вместе с отмеченными уже в п. 1 для
полиномов Лежандра и полиномов, представляющих
косинусы кратных углов, показывают, что норми-
нормированные полиномы Якоби, для которых показа-
показатели (а, E) равны соответственно ( — у, — у),
(— у, 0J, (о, — у I и @,0), равномерно ограничены
на всяком замкнутом интервале, внутреннем к
(-1. !)•
Из только что приведенного заключения и частного
случая результата, который мы установим в следую-
следующем пункте, вытекает, что последнее утвержде-
утверждение справедливо для полиномов Якоби, соответ-
соответствующих любой паре показателей (а, $), каждый
из которых является целым числом или дробью
со знаменателем 2 (конечно, предполагается, что
<х^> — 1, р^> — 1). Развитая выше теория сходимости,
очевидно, применима для таких полиномов Якоби.
Доказательство соответствующего предложения для
произвольных полиномов Якоби выходит за рамки
настоящей книги.
7. Умножение и деление весовой функции на по-
полином. Пусть П (х) — полином, неотрицательный на
интервале (а, Ь). Выбрав такой полином, мы не меняем
его во всем дальнейшем изложении. Пусть степень
Щх) равна т. Пусть /»*(*), А = 0, 1, 2,..., — орто-

224 Глава XI
нормированные полиномы на интервале (а, Ь), соот-
соответствующие весу р (х), и пусть qk (x), k = 0,1,2,..., —
ортонормированная система, соответствующая весу
II (х)р(х). Докажем, что из ограниченности поли-
полиномов /7Й(х)следует ограниченность полиномов qk(x).
Произведение TL(x)qn{x), будучи полиномом сте-
степени т~\-п, может быть представлено в виде
т-\-п
П (х) qn (х) = ^ спкрк (х),
fc=O
Ji
?(x)TL{x)qn{x)pk{x)dx.
а
Если k<^n, то С„к = 0, так как функции д„(х) ортого-
ортогональны относительно веса П(х)р(х). Итак,
т-\-п
A1) П(хН,(х)= У cnkpk(x),
где в правой части стоит сумма т-\-\ слагаемых
вместо суммы от -f- n -f- 1. Для необращающихся в нуль
коэффициентов имеем:
ь
: J [р (х)]V. П (х) | qn (х) | • [р (х)]'/31 рк (х) | dx
а
Ь Ь
р (х) [П (х)Г \qn (х))Чх ( р (х) [pk {x)f dx,
согласно неравенству Шварца. Последний интеграл
равен 1 вследствие того, что полиномы р нормиро-
нормированы относительно веса р(х). Пусть G — максимум
функции П(д;) на интервале (а, Ь).

Сходимость 225
о
Тогда J р (х) [П (*)]' [д„ {х)\Чх
а
ь
так как полиномы q нормированы относительно веса
П(х)р(х). Итак, ICrtl^QVi.
Пусть для полиномов pk (x) имеет место нера-
неравенство \рк{х)\^\Нна множестве точек Е,являю-
Е,являющемся частью интервала (а, Ь), причем Н не за-
зависит ни от к, ни от х{Е; тогда, согласно равен-
равенству A1) и неравенству для с^, имеем:
для любого х?Е. Если Е^—часть множества Е,
на которой полином П(.»с) имеет положительную
нижнюю ърань (или все множество Е, если ГЦл:)
имеет на всем Е положительную нижнюю грань), то
полиномы qn(x) равномерно ограничены на Ех.
Заключение, касающееся некоторых полиномов
Якоби, на которое мы ссылались в предыдущем пунк-
пункте, получается сразу из вышеприведенных резуль-
результатов, если принять П(х) = A — л>*A+л:)в, где
А и В — неотрицательные целые числа.
Пусть Ръ (х) — полином степени к из ортонорми-
рованной системы полиномов, соответствующей весу
р(х), и пусть П (х) — полином степени т, положи-
положительный на замкнутом интервале (а, Ь). Пусть теперь
Ян (х)> А = 0,1,2,..., — ортонормированные полиномы,
соответствующие ^
> См. G. Peebles, Some generalizations of the theory of
orthogonal polynomials, Duke Mathematical Journal, 6 A940),
стр. 89—104 CM- стр. 92.
15 Д. Джексон

Ж Глава XI
В представлении
л
коэффициенты с^ можно написать в виде:
ь
причем этот интеграл равен нулю, если полином
П(х)рк(х) имеет степень, меньшую чем л, т. е. если
ft < я —/га. Итак, при п^т имеем:
В правой части стоит опять-таки сумма т-\-\ члена.
Кроме того, в этой сумме
ь
1*я*1*? J [P W1'» кл(х)\ • Ил)]1'- 1л(*) Irfjc,
а
и, применял неравенство Шварца, получим:
ь ъ
а
b
a
b
а
где G — максимум полинома П(х) на интервале (й, Ь).

Сходимость 227
Если полиномы р равномерно ограничены на мно-
множестве Е, \pk(x)\^H, то \qn(x)\^(m-{-\)G1/*H
и полиномы q также равномерно ограничены на том
же множестве.
Приведенное выше рассуждение применимо и в том
случае, когда полином Щл;), не меняя знака, обра-
обращается в нуль в некоторых точках интервала (а, Ь),
если только функция д^н; интегрируема на (а, Ь).
Из полученных результатов следует, что если
ортонормированная система полиномов, соответствую-
соответствующая весу р(х), заданных на конечном интервале
(а, Ь), равномерно ограничена на множестве Е, то
этим же свойством обладают ортонормированные
полиномы, соответствующие весу ?(x)R(x), где
R(x) — дробно-рациональная функция, числитель и
знаменатель которой положительны на замкнутом
интервале (й, Ь). Внося соответствующие изменения,
мы установим аналогичный факт и для того случая,
когда числитель или знаменатель обращаются в нуль
в некоторых точках интервала {а, Ь).
8. Теорема Коруса об ограниченных ортонор-
мированных полиномах. Значительно более сильную
теорему, чем та, которая доказана в предыдущем
пункте, касающуюся введения ограниченных поло-
положительных сомножителей в функцию веса, можно
установить, пользуясь элементарным доказательством,
принадлежащим Корусу (J. KorousI.
Пусть р (х) — весовая функция на конечном интер-
интервале (а, Ь), и пусть р0(х), ру(х), ... — полиномы соот-
соответствующей ей ортонормированной системы. Пусть
0 С*) — функция, положительная на замкнутом интер-
интервале (а, Ь) и удовлетворяющая условию
A2) I°Ck«)-°(*i)KMx*-*iI>
1 См. S z e g б, стр. 157.
15*

228 Глава XI
где X — постоянная. Пусть Ц0(х), qt (х),... — орто-
нормированная система полиномов, соответствую-
соответствующая весу р(х)о(х). Мы покажем, что из ограничен-
ограниченности полиномов р следует ограниченность полино-
полиномов q.
Пусть
Согласно формуле G) гл. VII,
ь
A3) qn (х) = f p (t) qn (t) Kn (x, t) dt=
a
b b
= Pn{x) J?(t)qn(t)Pn(t)dt+ f ?(f)q«
Так как функция Кп^ {х, t) при фиксированном х
является полиномом относительно t степени не выше
п—1, то К„^(х, t) ортогональна функции qn(t) отно-
относительно веса f(t)a(t):
Отсюда
Однако, если ап и а^ — старшие коэффициенты
полиномов рп и />„_!, соответственно, то, в силу то-
тождества Кристоффеля-Дарбу (гл. VII, п. 6), имеем:
= ^i=i РпWPm@-р«-1 (х)Рп(t)

Сходимость 229
Следовательно, последний интеграл в формуле A3)
равен
-Pn-i(x)P*(t)]dt.
Пусть
»
(v]Z.f(if) In {f)pk (t) dt, (k = n — \, n),
При этих обозначениях равенство A3) можно запи-
записать в виде:
A4) qn (х) = JPn (x) + &=!¦ • -^ [/„_! (дс) ря (х) -
-4Wp»-iW].
Согласно предположению A2),
Отсюда для любого k:
ь
Пусть ?> 0 — минимум функции о(лг) на интервале
(а, Ь). Последнее подинтегральное выражение можно
записать в виде:
а тогда, по неравенству Шварца, получим:

230 Глава XI
b b
\ Jp (t) о (t) [qn (*)]« dt J p @ \Pk (*)]« dt=±.
Отсюда следует, что для всякого k \1к{х)\^,
и в то же врем! J^g~l/*. Применяя неравенство
Шварца, мы получим, как это уже отмечено в п. 3
(где п надо заменить через п — 1), что -j— ^ С, где
С = тах(|а|, |*|).
Применяя эти неравенства и пользуясь оценки
)i мы получим из формулы A4), что
Последнее неравенство имеет место для всех точек х
интервала (а, Ь), независимо от того, ограничены
полиномы рк(х) или нет. Если полиномы р равно-
равномерно ограничены на множестве Е, содержащемся
в интервале (а, Ъ), то то же самое верно и
для полиномов q.
Из результатов настоящей главы следуют
теоремы о сходимости рядов, состоящих из орто-
нормированных полиномов на интервале (—1, 1),
соответствующих весу вида:
где показатели аир являются целыми числами
или дробями со знаменателем 2, а функция о (х)
удовлетворяет условиям настоящего пункта.
Дополнительная литература: SzegO; Shohat; Dar»
?; КасгщзггSteinhaus

УПРАЖНЕНИЙ
ГЛАВА 1
I. Найти коэффициенты ряда Фурье функции f(x) с перио-
дом 2л, которая равна — 1 при — г. < х < 0 и равна 1 при
Отв./(*) = -
L J
2. Найти коэффициенты ряда Фурье четной функции f(x)
с периодом 2к, равной х при 0 ^ л: sg-у гс и равной -jr- it
1
ПрИу1
—«т cos -я 1 cos Ал; =
Чертеж l.

232
Упражнения
sin kx
и у = ¦? — ~ на интер-
Графики функций у.
вале @, к). ^ t
3. Найти коэффициенты ряда Фурье нечетной функции /(х)
с периодом 2п, равной -^т-п— -^-л: при 0<л:<п:
а) непосредственным интегрированием, Ь) подставляя в ряд,
стоящий в квадратных скобках в формуле A2) *, к — х вместо х.
Отв. — - - ' Sin2*
4. Найти коэффициенты ряда Фурье нечетной функции/(л")
с периодом 2к, которая равна х при 0^х^-^-к и равна к—х
при -S- к ^ х ^ п: а) непосредственным интегрированием, Ъ) под-
1
ставляя jc +-к-п вместо л: в формулу A1) и вычитая из получен-
полученного выражения константу.
Отв .".-* 4 Г.- .. sin3x , sin5x sin7x
/г а
Чертеж 2.
1
Графики функций _у = sin х — -^ sin Ъх При 0 ^ х ^ г и
у ^
При 0:
т (я—л:) при
 '
1 Номера формул или пунктов, встречающиеся в упраж-
упражнениях к любой из глав, относятся к соответствующим главам,
если не оговорено противное.

Упражнения 233
5. Построить графики пяти первых частных сумм рядов,
полученных в упражнениях 3 и 4, переходя от частной суммы
порядка к к частной сумме порядка k -f-1 с помощью графиче-
графического сложения соответствующих ординат графика суммы по-
порядка к и предварительно начерченного графика того члена
ряда, который надо прибавить (см. черт. 1 и 2)'.
6. Пользуясь тождеством
COS (k + 1) X = 2 COS kx COS X— COS (k — 1) X,
показать, что cos nx для любого целого положительного л можно
представить как полином степени п относительно cos*.
Вывести отсюда следствия:
a) Любая сумма косинусов порядка л (т. е. тригонометри-
тригонометрическая сумма, состоящая только из косинусов) является поли-
полиномом степени я относительно cos x.
b) Функцию cos" л: можно представить в виде суммы коси-
косинусов порядка я.
c) Любой полином степени я относительно cos x можно пред-
представить как сумму косинусов порядка я.
7. Пользуясь результатами упражнения 6 и тождеством
sin (к + 1) х = 2 cos kx sin x + sin (k — 1) x,
показать при помощи индукции, что для любого положительного и
sin их можно представить в виде произведения sin лг на полином
степени я—1 относительно cosx.
8. Видоизменив доказательство п. 14, показать, что любую
четную функцию с периодом 2тс можно с любой степенью точ-
точности равномерно аппроксимировать тригонометрической сум-
суммой, составленной из косинусов. (Функцию g (x) можно выбрать
четной.)
1 На чертеже такого размера включение еще одного члена
в тригонометрическую сумму, изображенную на черт. 2, сделает
график суммы всюду, за исключением окрестности вершины,
почти не отличающимся от графика функции, к которой сходится
соответствующий ряд Фурье.
В каждом случае графики тригонометрической суммы и
функции, представляемой соответствующим рядом Фурье, будучи
рассматриваемы на всей прямой, симметричны относительно
начала координат и имеют период 2тс,

234 Упражнения
9. Показать, что если /(л:) —произвольная функция, непре-
непрерывная иа сегменте — 1 ^ х «5 1, то ее можно с любой сте-
степенью точности равномерно аппроксимировать полиномами отно-
относительно х, на всем сегменте. (Положив jc = cos6 н пользуясь
упражнениями 8 и 9, показать, что функция /(cos б), как четная
функция от в, может быть равномерно аппроксимирована полино-
полиномом относительно cos в.)
Отсюда вывести, пользуясь линейной заменой независимой
переменной, что любую непрерывную на сегменте а^х^Ь
функцию f(x) можно с любой степенью точности равномерно
аппроксимировать на этом сегменте полиномами. В этом
заключается теорема Вейерштрасса об аппроксимации поли-
полиномами '.
10. Показать, что если р и q — любые различные неотрица-
неотрицательные целые числа, то функции sin />-)-—)л; и sin(q+ -^)х
ортогональны между собой на интервале @, it).
11. Показать, что функция f(x), заданная на интервале @, п)>
определяет коэффициенты формального представления функции
со
/(х) на интервале @, тс) в виде ряда Л ck sin (k -\- -=-) х.
12. Доказать для рядов, введенных в предыдущем упражнении,
свойство наименьшего квадрата, аналогичное выведенному в п. 15.
13. Доказать для рядов, введенных в упражнении 11, теоремы,
аналогичные доказанным в первых двух абзацах п. 7.
14. Получить для рядов, введенных в упражнении И, нера-
неравенства, соответствующие (в такой степени, в какой это воз-
возможно) неравенствам, выведенным в п. 6, предполагая, что функ-
функция f{x) обращается в нуль при х=0.
15. Получить для частных сумм рядов, введенных в упраж-
упражнении 11, формулу, аналогичную формуле A9).
Отв. sn(*)=4
2s\nj(t+x)
T, I ^""nWSSfeK' ГуРСа' КурС математического анализа,

Упражнения 235
ГЛАВА И
1. Зная полиномы Лежандра Ро (х), ..., Р4 (лг), вычисленные
в п. 2, найти при помощи формулы E) полиномы Рс (х) и Р, (л;).
Отв.
0 (х) =-1 B31ж« — 315д^ + 105лг* — 5).
2. Найти корни уравнений Pk(x)—0 и Рк'(х) = 0 при
3. Пользуясь результатами упражнения 2, вычертить графики
полиномов Ро С*), • • •, Р& (х).
4. Найти с помощью рекурреитной формулы значение Pj, @)
для любого к.
Отв, Pfc@) = (-l)*/2 l ';f.*4 "б'^Т^ ДДЯ четного *>О>
Pfc@) = 0 для нечетного А.
Проверить этот результат, вычислив коэффициент при г*
п разложении в степенной ряд функции Н@, г), где Н(х, г) —
производящая функция, определенная в п. 2.
5. Найти значение Рк' @), считая его коэффициентом при г*
в разложении в степенной ряд функции -j— при лг = О.
Отв. Pfc'@) = 0 для четного А; для нечетного k:
и @) = (-1) <*-
Проверить полученный результат с помощью математической
индукции, основываясь на рекурреитной формуле.
6. Найти коэффициенты ряда Лежандра для | х |. (Интегри-
(Интегрировать по частям и воспользоваться уравнением A4), как это
сделано в п. 14, при интегрировании полиномов Лежаидра.)

236 Упражнения
Отв. а*=0 для нечетного*; 0,,=-^ ; as=-5-; для четного*>2:
7. Построить график первых пяти частных сумм для ряда,
полученного в упражнении 6, переходя от одной частной суммы
к следующей путем сложения графика первой суммы с графиком
прибавляемого члена.
8. Построить аналогичные графики для ряда, рассмотренного
в первых двух абзацах п. 14, принимая с = 0.
1С
9. Вычислить I cos'Jfdf для j = 0, 1, 2, ..., положив лг=О
о
в формуле C1) и пользуясь результатом упражнения 4.
Отв. J cos»; fd9 = ] 23 45 6 • BJBj) г) К приУ>0.
1
(•
\Pn(x)\dx не превосходит произведения
-1
константы на п/»: а) пользуясь неравенством C6); Ь) с по-
помощью формулы A8) и неравенства Шварца (см. п. 19 гл. I).
11. Пользуясь соотношением A4) для вычисления I
установить для рядов Лежандра теоремы, соответствующие тео-
теоремам п. 6 гл. I для рядов Фурье.
Показать, что 1) если f(x) имеет непрерывную производную,
то | аь\ не превосходит произведения константы на k~l/*; 2)если
f(x) имеет непрерывную вторую производную или является
ломаной функцией, то \ak\ ие превосходит произведения кон-

Упражнения 237
станты на А~3/Ч Отсюда и из формулы C6) для фиксированного
значения х, лежащего внутри интервала (— 1, 1), следует, что
I a\fk (х) I имеет своей верхней гранью в первом случае вели-
величину порядка -с- и во втором—порядка г;, что вполне аналогично
результатам, полученным для рядов Фурье.
Отметим, что если \ak[ убывают, как к~3/ш, то ряд
Лежандра сходится равномерно на всем интервале, включая
концевые точки. Согласно п. 13, сумма ряда равна /(х) в любой
внутренней точке интервала. По теореме анализа, утверждающей,
что сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
является непрерывной функцией, следует, что сумма ряда Лэ-
жандра в данном случае равна f(x) также и на концах интер-
интервала.
12. Доказать для полиномов Лежандра свойство наименьшего
квадрата, соответствующее' тому же свойству, установленному
в п. 15 гл. I для рядов Фурье: если f(x) и [f(x)\* интегрируемы
на интервале (—1,1) н если sn (x) — частная сумма ряда Ле-
i
жандра для функции /(*), то интеграл 1 \f(x) — sn{x)]*dx имеет
Л
меньшее значение, чем аналогичный интеграл, в котором sn(x)
заменено любым другим полиномом той же (или меньшей)
степени.
13. Пользуясь упражнением 12 и теоремой Вейерштрасса
об аппроксимации полиномами (см. упражнение 9 гл. I), доказать
для рядов Лежандра равенство, аналогичное равенству Парсеваля,
доказанному в п. 16 гл. I: если /(дг) —функция, непрерывная иа
сегменте — 1 ^ х ^ 1, и ак — общий коэффициент ее ряда
Лежандра, то
—l

238 Упражнения
ГЛАВА III
1. Вычислить к xJ0 (x) dx. (Получить другое выражение для
о
xJ9(x) из дифференциального уравнения A).
х.
xJa (x) dx = — l Л' (I)-
о
2. Найти коэффициенты разложения в. ряд, рассмотренный
в п. 6, для функции /(л:)= 1, заданной иа интервале @, 1), счи-
считая, что Xft — кории уравнения Ja (х) = 0.
2
Отв. flfe = —г—.,.. >.
Какой вид имеет ряд, если Ik являются корнями уравнения
./„'(*) = 0?
3. Проверить формулу A0), подставляя в A2) значение
it
, вычисленное в упражнении 9 к гл. II.
I
(Значение I cos-" ydf, нужное в и. 9, можно получить
отсюда же, вместо того чтобы для его вычисления пользоваться
доказательством формулы A0), приведенным в п. 4.)
4. Показать, что ряд, стоящий в скобках в формуле A7),
1 . sin х 1
представляет при п=-^-функцию и при п=———функ-
ЦИЮ COSAT.
5. Показать с помощью прямой подстановки, что функции
sinjc cos*
—у- и , - удовлетворяют дифференциальному уравнению:
к которому сводится уравнение A4) при п = ±-^-.

Упражнения 239
Для произвольного Л (кроме целых отрицательных значений
— 1, — 2,.... для которых необходимы дополнительные поясне-
пояснения) функция Jn(x) определяется формулой
... х" Г, jc* .
J (х) == — 1 — ¦ \-
2"Г(л + 1) L 2Bя + 2)
+ 2-4-Bл+2)Bя + 4)~ *••]»
которая получается, «ели приписать постоянной с0, о которой
речь идет в последнем предложении п. 7, значение — •
/3\ 1 М \
В частности, так как Г ^ п-к'Аи Г (f ^п1/»» то
[2 1 V»
-j sin*,
'-V. <*>-
Очевидно, что каждая из этих функций (как и другие функции
Уя(лг)) обращается в нуль для бесконечного множества положи-
положительных значений х.
В следующих упражнениях мы предполагаем известным эна-
к
чеиие интеграла I sin^ncp rfcp для любых л > — -=-; с помощью
о
подстановки l = sin:?, получим:
я х/8 1
Г sin^tprfcp = 2 Г sin2" cprfcp = Г /я-'/а A _ *)-Vt rff _
Мы будем в дальнейшем считать л действительным, хотя
некоторые предложения верны и для комплексных я,

240 Упражнения
6. Замечая, что вывод формулы B3) годится ие только для
целых, а также для любых л>—у, и, аналогично, рассуждения,
примененные при решении уравнения A5) с помощью степенных
рядов, приведенные в п. 7, проходят для любых л > —*-, пока-
показать, что
х" *
Jn (х) — т~~ {"у Г sin2^ cos (х cos <р) rf<p
\ ~2/ о
для всех я > —к-.
7. Проверить непосредственным интегрированием формулу
упражнения 6 для л = -д-.
8. Показать, пользуясь упражнением 6 и формулой B3),
что формула B4) справедлива для всех л > —д-.
9. Показать при помощи упражнения 6, применяя метод
п. 5, что функция Jn (х) при, —-д- < я < — обращается в нуль для
бесконечного множества положительных значений х.
10. Замечая, что интегрирование по частям, проведенное во
втором абзаце п. 10, выполнимо не только для целых положи-
положительных я, а также для любых п> у, показать, что формула B5)
справедлива для любых я>-д-.
11. Пользуясь упражнениями 8 и 10 и фактами, упомянутыми
ранее относительно J+.J. (х), показать, что уравнение Jn(x)=Q
2
при любом л^—^- имеет бесконечно много положительных
корней.
12. Показать с помощью подстановки соответствующих сте-
пеииых рядов и сравнения коэффициентов, что формулы B4) и
B5) верны для любых п, кроме (если пользоваться непосред-
непосредственно определением Jn(x), данным выше) целых отрицатель*
ных и, в случае B5), еще кроме нудц,

Упражнения 24J
13. Показать, что уравнение У„(л:) = 0 имеет бесконечно
много положительных корней для любого й, не являющегося
целым отрицательным числом. (Даже это ограничение становится
излишним, если функция Jn(x) определена и для целых отрица-
отрицательных/!, так как этоопределениетаково, чтоУ_„ (л:) = (— \)nJn(x),
где « — целое число.)
Если п не есть целое число, то функции Jn (х) и У_„ (л:)
линейно независимы, так как одна из них обращается в нуль
при х = 0, а другая обращается в этой точке в бесконечность;
общим решением уравнения A4) является AJn (x) -f- ВУ_„ (х).
Другое решение этого дифференциального уравнения при п = О
дается в следующем упражнении. Вид второго решения для дру-
других целых я мы здесь не приводим.
14. Пусть у — решение уравнения A) и пусть
г=у—Ja (х) log х.
Показать, что функция z удовлетворяет дифференциальному
уравнению
и найти решение этого уравнения в виде степенного ряда.
Если z — такое решение, то Ja (x) log x -\- г является решением
уравнения A), линейно независимым от Уе (л:).
^ 2 "^ 3/24*6*
(или сумма этой функции и произведения /0 (лг) на произвольную
постоянную).
ГЛАВА IV
1. Выписать явно (т. е. с соответствующими числовыми коэф-
коэффициентами) ряды, представляющие решения краевых задач, рас-
рассматриваемых в пп. 1 и 2, для дифференциального уравнения B)
при дополнительных условиях C), D), E) и F) в одном случае,
19 Ц- Джецсод

242 Упражнения
и при дополнительных условиях C), D), E) и (9) — в другом, если
f(x)=\ на интервале @, тс) (см. упражнение 1 к гл. 1).
2. Показать с помощью подстановки в дифференциальное
уравнение и в дополнительные краевые условия, что функция
2 . sinx
a arctg
является решением краевой задачи, рассматриваемой в п. 1, для
полосы шириной тс при f(x) = l (кроме угловых точек, являю-
являющихся точками разрыва).
Для уяснения себе связи между написанным выше выраже-
выражением и решением, представленным в виде ряда, достаточно раз-
разложить комплексную функцию
в степенной ряд по С и заметить, что приведенная выше функ-
функция является действительной частью этой функции комплексного
переменного.
3. Написать в явном виде ряд, представляющий решение
следующей краевой задачи для струны (рассматриваемой в п. 3):
начальное положение струны задается функцией /(х), равной
hx при 0 г^ х г^ тг в и равной h (тс — х) при — к ^ х sg тс, где
* 2
~
h — постоянная, а начальная скорость -~
упражнение 4 к гл. I).
4. Показать, что функция
равна нулю (см.
У (х, t) = у [f(x + at) +f (x - at)]
является решением такой краевой задачи для струны, когда
начальная скорость точек струны равна нулю и начальное поло-
положение струны задается функцией f(x), если при этом функция
f(x) продолжена из интервала @, тс) на всю прямую таким обра-
образом, что продолженная функция является нечетной и имеет
период 2тг.
Показать, что этот вид решения можно получить из ряда A7).

Упражнения 243
5. Решить краевую задачу для струны, если ее начальное
отклонение равно нулю, а начальная скорость ее точек <р (х)
равна 0 при 0 sg х < у я — 6 и при уп-(-5<лг^п и равна h
при -i-n —6< х<-к-я+о, где h и 5—положительные константы.
Отв. у (х, t) =
6. Найти в явном виде решгние задачи, рассмотренной в п. 8:
1) когда /F) = cos«6 при OsgOsgn; 2) когда/(9) равна 0 при
0г^9<-~-п и равна 1 при -у тс<9 sg тс (см. п. 14 гл. II);
3) когда / F) = | cos 91 при 0 sg в sg тс (см. упражнение 6 к гл. II).
7. Написать в явном виде ряд, представляющий решение
задачи, определенной формулами C0) и C1) п. 9, когда /(г) = 1
при 0^г< 1 (см. упражнение 2 к гл. 111).
8. Проанализировать колебания круглой мембраны с зату-
затуханием, пропорциональным скорости, если отклонение точек
мембраны от положения равновесия в начальный момент времени
является функцией только расстояния от центра, начальная ско-
скорость точек мембраны равна нулю; г, как функция rut, удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
дЧ , t dz . (d*z , 1 dz'
где k и л1 — положительные постоянные.
Проанализировать соответствующую задачу, когда в началь-
начальный момент времени мембрана находится в положении равно-
равновесия, а начальные скорости ее точек зависят только от расстоя-
расстояния от центра.
ГЛАВА V
1. Выписать явно сферические функции атп (в, <р) и vmn (в, <р)
для tti ^? 3.
2. Выразить sin8 9 cos8 <p в виде линейной комбинации сфе-
сферических функций; это представление можно рассматривать
16*

244 Упражнения
как ряд Лапласа, который сводится к конечному числу членов.
Отв. sin* в cos* <р = j я00 — -5- ям + -q ям.
3. Разложить функцию
/(9. <p) = (l-|cos9])(l+cos2<p)
в ряд Лапласа.
00 СО
Отв. /@, tp)= 2 •2
ОТ=О ОТ =2
аот0 = 0,^ = 0 для нечетного т;
дСо=1; Л"» четного /и ^2: аотог= — 2B/п + 1)сот,
"-«I*/-*—(ж_])(я+2)
(см. упражнение 6 к гл. II).
4. Написать ряд, представляющий решеиие краевой задачи,
рассматриваемой в п. 3, если /(9, <р) — функция из предыдущего
упражнения.
5. Проанализировать колебания квадратной мембраны с за-
закрепленными сторонами; z являетси решением уравнения
dt* \дх* ду*}'
6. Проанализировать колебания круглой мембраны, при на-
начальных условиях, не зависящих от <р.
ГЛАВА VI
1. Начертить графики функции A —х)" A -\-xft на интервале
(—1, 1): а) при а = р = 2, Ь) при а = р=1, с) при а = р = -^-,
d) при о = р = — — е) при а = — —t p = 2, f) при а==—^,

Упражнения 245
2. Начертить графики функции х'е * для х > 0:
а) при о=2, Ь) при о= 1, с) при a = ~t d) при а = 0, е) при
— _-L
а~" 2 *
3. При фиксированной системе координат и фиксированном
масштабе измерения начертить графики кривых
' J n A+*•)»¦
(Заметим, что вторая функция принадлежит к типу функций,
рассматриваемых в п. 3, при а = 0. Каждая из этих кривых опре-
определяет плотность распределения вероятностей, со средним зна-
значением, равным 0, и дисперсией, равной 1.)
ГЛАВА VII
1. Найти последовательно пять первых полиномов ортонор-
мированной системы, соответствующей весу \х\ на интервале
(-1, П-
2. Пустьр„(;е) — общий полином ортонормированной системы,
соответствующей весу р(х), и пусть т — произвольное положи-
положительное целое число; показать, что функция хтрп(х) связана
рекуррентной формулой с 2л» -f-1 полиномами
Рп-т(х) Рп+т (х).
3. Показать, пользуясь методом, примененным в п. 6, что
Ка (х, t) представимо в виде
Crs IPr @ Ps (X) ~Рг (х) ps (*)],
где коэффициенты crs — постоянные, а суммирование распро-
распространяется только на три пары значений индексов (г, s) :(я -f 2, я),
(л + 1, я) и (я+1, я-1).
4. Пусть go (x), gi (x), ... — ортонормированная последова-
последовательность на интервале (а, Ь). Показать, что если
л я
п (*) = 2 °ft Sfe (*)• »(¦*)= 2 5ft ^ft ^'
4=.O ft=0

!>46 Упражнения
то
Г u(<)v(x)dx
5. Пусть в упражнении 4 л=1 и О, Я, Q — соответственно
точки @, 0) (а0, ot), (Jo> *0 в некоторой ортогональной системе
координат и пусть в — угол POQ; показать, что
uvdx
а
1'
A) cos 8 =
В частности, я и v ортогональны, если отрезки ОР и 0Q
л ер пендикуляр ни.
Заметим, что эта формулировка применима к любым двум
функциям (a, v), интегрируемым в квадрате и линейно независи-
независимым (в смысле п. 2), так как функции a, v можно принять в каче-
качестве функций <р0 и tp, в процессе ортогонализации Шмидта, и
выразить их линейно через соответствующие функции ?0 и gv
Далее, так как | cos в | ^ 1, то соотношение A) дает другое
доказательство, или интерпретацию неравгнстза Швзрца (см.
гл. I, п. 19).
6. В упражнении 4 пусть п — 2; пусть О, Р, Q — соответ-
соответственно точки @, 0, 0), (а0, alt a»), (Jo, blt bs) в некоторой орто-
ортогональной системе координат, и пусть 0 — угол POQ; показать,
что cos 9 опять выражается формулой A) упражнения 5.
7. Развить теорию тригонометрических сумм, ортогональных
и нормированных относительно положительного веса р(х)
с периодом 2ге, причем построить ортонормированную систему,
применяя процесс ортогонализации Шмидта к функциям pl/i,
p1/f cos x, fl/i sin x, pVs cos 2x, p1/s sin 2x, ...

Упражнения 247
ГЛАВА VIU
1. Показать, что если а = р= — -^- и, следовательно, если
рп (х) =. I —) , причем л > 0 и х = cos 0, то рекуррентная фор-
формула A0) гл. VII сводится к тождеству, связывающему косинусы
углов, кратных 6.
2. Подставляя x=cos9 в дифференциальное уравнение, при-
приведенное в первом абзаце п. 6, при a = j3==— -=-, показать, что
cos я 9 удовлетворяет преобразованному уравнению.
3. Произвести ту же самую замену независимой переменной
в дифференциальном уравнении при а = з= — и показать, что
• Т— удовлетворяет преобразованному уравнению.
sin и
4. Решить это дифференциальное уравнение при любых аир
методом неопределенных коэффициентов, получить формулы, по
которым можно последовательно вычислить коэффициенты. Пока-
Показать, что при а> — 1, р> — 1 уравнение имеет только одно,
с точностью до постоянного множителя, полиномиальное решение
(л — целое положительное число или нуль).
5. Дифференцируя это уравнение, в котором л заменено
через л 4-1, и пользуясь упражнением 4, показать, что
d
dxl
стоянным множителем.
6. Построить теорию „ультрасферических полиномов", отли-
отличающихся от полиномов Якоби при ? = а лишь постоянным
множителем, определяя их как коэффициенты разложеиия произ-
производящей функции A — Ъсг + г*)~ " ~1//> в ряд по степеням г и
следуя (насколько это возможно) построению теории полиномов
Лежандра в гл. II. (Предполагается, что аф-—- Л
ГЛАВА IX
1. Принимая последнюю формулу п. 5 за определение поли-
полиномов Эрмита, вывести непосредственно из нее соотношение F),
функция -т- р%л?1 (*) отличается от Р% +lf ^ +1) (х) только по-

Упражнения
2. Вывести дифференциальное уравнение G) иа основе соот-
соотношений E) и F); имея в виду п. 5 и упражнение 1, показать,
что дифференциальиое уравнение G) можно получить из опре-
определения функций Эрмита при помощи производящей функции.
3. Вывести свойство ортогональности полиномов Эрмита из
дифференциального уравнения G).
4. Решить дифференциальное уравнение G). методом неопре-
неопределенных коэффициентов и показать, что для каждого неотри-
неотрицательного целого п существует лишь одно, с точностью до
постоянного множителя, полиномиальное решение.
5. Вывести соотношение F) при помощи диффереицироваиия
уравнения G), пользуясь при этом результатами упражнения 4
и тем фактом, что старший коэффициент у полинома На(х)
равен 1. (Заметим, что в п. 10 гл. VII мы вывели дифференциаль-
дифференциальное уравнение G), не пользуясь соотношением F)).
6. Обозначая через Сп интеграл, стоящий в левой части
формулы C), вывести рекуррентное соотношение, связывающее
последовательные С, аналогично тому, как это сделано в п. 6
гл. II, и, поступая таким образом, найти значение Сп, предпола-
предполагая известным Со.
ГЛАВА X
1. Определяя полиномы Лагерра при помощи производящей
функции (п. 4), вывести дифференциальное уравнение C) при о = 0.
(Использовать соотношения:
2. Решить ту же задачу для любого а.
3. Вывести уравнение C) для любого а, используя опреде-
определение полиномов Лагерра, данное п. 1. (Продифференцировать
л + 1 раз тождество
и два раза уравнение
и использовать полученные результаты,)

Упражнения 249
4. Вывести свойство ортогональности для полиномов Лагерра
из их дифференциального уравнения.
00
5. Обозначая интеграл I x*e~x [Ln(x)]a dx через С„, вывести
о
рекуррентное соотношение, связывающее последовательные С
(поступая, как в п. 6 гл. II), и таким образом найти значения С„.
6. Решить дифференциальное уравнение C) методом неопре-
неопределенных коэффициентов и показать (для а > — 1), что для каж-
каждого неотрицательного целого я уравнение C) имеет лишь одно,
с точностью до постоянного множителя, полиномиальное решение.
7. Дифференцируя уравнение C) и пользуясь упражнением 6,
показать, что
d
dx'
ГЛАВА XI
В упражнениях 1—3 через рп(х) обозначается полином сте-
степени в, принадлежащий системе полиномов, ортонормированных
относительно веса р(дг) на конечном интервале (а, Ъ), и через
сь — коэффициент при рк в разложении функции f{x) в ряд «о
этим полиномам.
1. Используя свойство наименьшего квадрата (гл. VII, п. 9)
и теорему Вейерштрасса об аппроксимации полиномами (гл. I,
упражнение 9), показать, что если / (х) — функция, непрерывная
на интервале (а, Ь), то
к—О
2. С помощью неравенства Шварца показать, что
0)
[

250 Упражнения
3. Если полином п„_, (х) имеет степень не выше Я — 1 и если
на всем интервале (а, Ь)
где «n_i — постоянная, то ICnl^T^-i- где у равно значению
интеграла, стоящего в правой части соотношения A) в упражне-
упражнении 2. (Заметим, что ра (х) ортогонален s^,_t (дс) относительно
веса р.)
4. Показать, что ортонормированные тригонометрические
суммы, соответствующие весу р(х) (см. гл. VII, упражнение 7),
равномерно ограничены, если р (х) — всюду положительная три-
тригонометрическая сумма или функция, обратная такой сумме.

БИБЛИОГРАФИЯ
Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксимации. Гостех-
нздат, 1947.
Н. И. А х и е з е р, О полиномах Чебышева, Сборник — Научное
наследие Чебышева. Изд. Академии Наук, Москва, 1945.
С. Н. Бернштейн, О полиномах, ортогональных в конеч-
конечном .интервале, Харьков, 1937.
С. Н. Бериштейи, Экстремальные свойства полиномов,1937.
G. D. В i r k h о f f, Boundary value and expansion problems of
ordinary linear differential equations, Transactions of the
American Mathematical Society, 9 A908), pp. 373^-395.
M. Bdcher, Introduction to the theory of Fourier's series, Annals
of Mathematics, 7 B), A906), pp. 81—152.
W. Б. Byerly, Fourier's Series and Spherical Harmonics, Bo-
Boston, 1895.
H. S. С a r s 1 a w, Fourier's Series and Integrals, London, 1930.
R. V. Churchill, Fourier's Series and Boundary Value Prob-
Problems, New York, 1941.
R. Courant and D. Hi 1 bert, Methoden der mathematischen
Physik, B. I, Berlin, 1931. (Русский иеревод: Р. Курант
и Д. Гильберт, Методы математической физики,
том I, ГТТИ, 1937.)
G. D a r b о и х, Memoire sur I'approximation des fonclions de
tres grands nombres, et sar une classe etendue de develop-
pemenls en serie, Journal de Mathematiques pures >et appli-
quees, 4 C), A878), pp. 5—56, 377—416.
W. Palin Elderton, Frequency-Curves and Correlation,
London, 1906.
L. F e j ё r, Untersuchungen iiber Fouriersche Reihen, Mathema-
tische Annalen, 58 A904), pp. 51—69.
В. Л. Гончаров, Теория интерполирования а приближения
функций, 1934.
A. Gray, G. В. М a t h e w s and Т. М. Mac Robert, Bessel Fun-
Functions, London, 1922.
E. W. Hob son, The Theory of Functions of a Real Variable
and the Theory of Fourier's Series, Cambridge, 1907 и бо-
более поздние издания. (Цитируется как Hobspn (I).)
Е. W. Hobs on, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Har-
Harmonics, Cambridge, 1931. (Цитируется как Hobson B).)
E. L. Incei Ordinary Differential Equations, London, 1927;
Chapters IX, X, XL (Русский перевод: Е. Л. Айне,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, ГТТИ, 1937.)

252 Библиография
S. Kaczmarz und H. S t e i n h a u s, Theorie der Orthogonal-
relhen, Warsaw, 1935.
O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Berlin, 1929.
P. О. Кузьмин, Бесселевы функции, ГТТИ, 1930.
Н. Lebesgue, Lecons sur Us series trlgonometriques.Paris, 1906.
Karl Pearson (Editor), Tables for Statisticians and biomelri-
cians, Cambridge, 1914; pp. LX—LXX.
Q. P 61 у a und Q. S z e g 6, Aufgaben und Lehrsutze aas der
Analysis, Berlin, 1925; B. II, Section 6, Polynome und
trigonomertische Polynome. (Русский перевод: Полна и
Cere, Задачи и теоремы из анализа, том II, ГТТИ, 1939.)
„R i e m a n n-W e b e r", Differentialgleichungen der Physik, von
P. Frank und R. von Mises, Braunschweig, 1925 (B. I),
1927 (B. II). (Русский перевод 2-го тома: П. Франки
Р. М и з е с, Дифференциальные уравнения математиче-
математической физики, ОНТИ.)
Н. L. R i e t z, Mathematical Statistics, Carus Mathematical Mono-
Monographs, No. 3, Chicago, 1927.
on at, ~
J. Shoh at, The'oriegeneratedespolynomesorthogonauxdeTchebi-
cft*/(Memori3le des Sciences Mathematiques, No. 66), Paris, 1934.
Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. Ill, 1933.
М. Н. S t о n e, Developments in Legendre polynomials, Annals
of Mathematics, 27 B), A926), pp. 315—329.
G. SzegO, Orthogonal Polynomials, American Mathematical
Society Colloquium Publications, vol. 23, New York, 1939.
E. С Titchm arsh, The Theory of Functions, Oxford, 1932;
Chapter XIII.
L T о n e 11 i, Serie Trigonometriche, Bologna, 1928.
J. V. U sp en sky, On the development of arbitrary functions
in series of Hermite's and Laguerre's polynomials, Annals
of Mathematics, 28 B), A927), pp. 593—«19.
B. L. van der Waerden, Die gruppentheoretische Methode in
der Quantenmechanik, Berlin, 1932. (Русский перевод:
Ван дер Варден, Метод теории групп в квантовой
механике, ОНТИ, Харьков, 1938.)
О. N. Watson, Theory of Bessel Functions, Cambridge, 1922.
H. W e у 1, Gruppentheorie und Quantenmechanlck, Berlin, 1930.
E. T. W h i 11 a k e r and Q. N. W a t s о n, A Course of Modern
Analysis, Cambridge, 1920 и более поздние издания.(Русский
перевод: Уиттекер и Ватсои, Курс современного
анализа, ГТТИ, 1937.)
A. Zygmund, Trigonometrical Series, Warsaw, 1935. (Русский
перевод: А. Зигмунд, Тригонометрические ряды,
ОНТИ, 1937.)
См. также J. S h о h a t, E. H i 11 e, and J. L. W a 1 sh, A Biblio-
Bibliography on Orthogonal-Polynomials, Bulletin of the Natio-
National Research Council, No; 103, Washington, 1940.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Этот указатель не содержит ссылок на постоянно повторяю-
повторяющиеся имена Фурье, Лежандра, Бесселя, Лапласа, Якобн, Эрмнта
и Лагерра, а также ссылок на имена, встречающиеся в списках
дополнительной литературы в конце глав или в подстрочных
примечаниях.
Валле-Пуссен, 46
Вейерттрасс, 35, 36, 43, 46,51,
154, 234, 237, 249
г
Гиббс, 34
Грам (Cram), 197
Грин, 118, 122
Д
Дарбу, 174, 175, 228
К
Корус (Korous), 227
Кристоффель (Chrlstoffel), 66,
68, 174, 175, 228
л
Лебег, 13, 52, 54, 55, 217, 218
Лейбниц, 185, 188, 203, 206
Лиувилль, 104
М
Маклорен, 62
Муавр, 142
п
Парсеваль, 39, 41, 237
Пирсон (Pearson), 159, 165,179,
182
Пуассон, 118, 121, 152, 153
Р
Рнман, 23, 24, 30, 35
Родриго (Rodrigues), 69,184,185
Ролль (Rolle), 92
Тейлор, 93
ф
Фейер (Feyer), 43
ч
Чебышев, 167
ш
Шарлье (Charlier), 197
Шварц, 50, 216, 224, 229, 236,
246, 249
Шмидт (Schmidt), 168, 169, 246
Шредннгер (SchrCdinger), 200,
Штурм, 104

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотическая формула для
Jn(x), 102
В
Вес, 87, 166; для полиномов
Якоби, 18'i; для полиномов
Эрмнта, 194; для полиномов
Лагерра, 203
Волновое уравнение линейно-
линейного осциллятора, 200; для
атома водорода, 208
г
Гармонические полиномы,
142—145
Границы для полиномов Якоби,
211, 221; нормированных
полиномов Якоби, других
ортогональных полиномов,
221—230
Д
Двойные ряды Фурье, 130—133
Дифференциальное уравнение
для синусов и косинусов,
103; для полиномов Лежан-
дра, 61,124; для производных
от полиномов Лежандра,
135; для У0(лг), 83—84; для
Jn(x), 94—96; для функций
Штурм-Лиувнлля, 104; для
функций распределения
Пирсона, 159—165; для неко-
некоторого класса ортогональ-
ортогональных полиномов, 179—183;
для полиномов Якоби 192—
193; для полиномов Эрмнта,
198—199; для полиномов
Лагерра, 205—207
Затухающие колебания, 115—
116
Интеграл Пуассона, 118—121
Интегральное представление
для Рп(х), 71— 73;дляУо(лг),
88-90; для Je(x), 99—100
Интегрируемость, 13; в смысле
Лебега, 13, 218
к
Колеблющаяся мембрана, 127—
129, 243—244
Колеблющаяся струна, 111 —
116, 242—243
Конечный скачок, 29
Константы Лебега, 52—54
Краевая задача Штурм-Лиу-
вилля, 104
Краевые задачи, 106—158,
241—244
Ломаная функция, 21
м
Метод ортогоналнзации Шмид-
Шмидта, 168—170
Моменты, 162
н
Неравенство Шрарца, 50, 246
Нечетная функция, 15
Нормирующий множитель для
полиномов Лежандра, 63—65;
для полиномов Якоби, 189;
для полиномов Эрмита, 195;
для полиномов Лагерра, 204

Предметный указатель
255
Нули функций Бесселя, 90, 101;
общих ортогональных поли-
полиномов, 1/6
Ортогональность, 11; синусов
и косинусов, 10—11; поли-
полиномов Лежандра, 62; функ-
функций Бесселя, 85; функций
двух переменных, 132, 137;
лолиномов Якоби, 185; по-
полиномов Эрмита, 195; поли-
полиномов Лагерра, 204
Ортогональные полиномы, 166
Ортонормальные полиномы,
169, 171
Ортонормальные функции,169
Особые точки Дифференциаль-
Дифференциальных уравнений, 84, 103
Период, 9
Полиномы Лагерра, 203—210
Полиномы Лежандра, 57—82
Полиномы Эрмита, 194—202
Полиномы Якобн, 184—193
Поток тепла, 107
Производящая функция для
полиномов Лежандра, 57;
для полиномов Якобн, 193;
для полиномов Эрмнта, 200;
для полиномов Лагерра, 207;
для ультрасферических по-
полиномов, 247
Равенство Парсеваля, 39—41
Равномерная сходимость ряда
Фурье, 30—31
Рекуррентные формулы для
синусов и косинусов 233,
247; для полиномов Лежан-
Лежандра, 59; для функций Бес-
Бесселя, 100; для общих орто-
ортогональных полиномов, 173;
для полиномов Якоби, 190;
для полиномов Эрмнта, 198;
для полиномов Лагерра, 205
Ряды Бесселя, 93—94, 96—98,
127-129, 155—158, 238
Ряды Грама-Шарлье, 197
Ряды косинусов, 14—15
Ряды Лагерра, 205
Ряды Лапласа, 136
Ряды Лежандра, 65, 77—82
Ряды синусов, 14—15
Ряды Фурье, определение, 9
Ряды Эрмита, 197
Ряды Якоби, 189
Свойство, наименьшего ква-
квадрата для рядов Фурье, 37;
для рядов Лежандра, 237;
для общих ортогональных
полиномов, 177
Сумма косинусов, 47
Суммируемость рядов, 41
Сферические координаты, 121
Сходимость рядов Фурье, 27—
35, 54—56; рядов Лежандра,
77—82; более общих рядов
ортогональных полиномов.
211-230
Теорема Всйерштрасса о триго-
тригонометрической аппроксима-
аппроксимации, 35; об аппроксимации
полиномами, 234
Теорема Римаиа, 23
Теорема Фейера, 43
Тождество Кристоффеля, 66
Тождество Крнстоффеля-Дар-
бу, 174
Тригонометрическая сумма, 35
Ультрасфернческие полиномы,
247
Уравнение Лапласа, 106
Уравнение Шредингера, 200,
208

256 Предметный указатель
Формула Родрнга, 69 Цилиндрические координаты,
Функции Бесселя нулевого по- 121
1 ч
рядка,«3; порядка ±.у, 239; Четная функция, 14
порядка л, 94 Я
Функции распределения, 159 Явление Гиббса, 34

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие , 5
Глава I. РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Определение рядов Фурье 9
2. Ортогональность синусов и косинусов. . , 10
3. Вычисление коэффициентов . . . Ц
4. Ряды косинусов и ряды синусов , , . . «. 14
5. Примеры 16
6. Абсолютная величина коэффициентов при специальных
предположениях 19
7. Теорема Римана о пределе коэффициентов ряда Фурье 28
8. Формула для суммы косинусов 25
9. Интегральная формула для частной суммы ряда Фурье 26
10. Сходимость в точке непрерывности 27
11. Равномерная сходимость при специальных предположе-
предположениях 30
12. Сходимость в точке разрыва 31
13. Достаточность условий, относящихся к поведению функ-
функции в окрестности точки, для решения вопроса о схо-
сходимости соответствующего ряда Фурье в этой точке. 34
14. Теорема Вейерштрасса о тригонометрической аппрокси-
аппроксимации , . . 35
15. Свойство наименьшего квадрата 37
16. Равенство Парсеваля ?9
17. Суммируемость рядов 41
18. Теорема Фейера для непрерывных функций 43
19. Доказательство теоремы Вейерштрасса с помощью
интегральной формулы Валле-Пуссена 46
20. Константы Лебега 52
21. Доказательство равномерной сходимости методом Лебега 54
Глава II. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
1. Предварительные замечания 57
2. Определение полиномов Лежандра при помощи произ-
производящей функции 57
3. Рекуррентная формула 59
4. Дифференциальное уравнение и связанные с ним
формулы 60
1/417 Д. Джексон

258 Оглавление
5. Ортогональность 62
6. Нормирующий множитель 63
7. Разложение произвольной функции в ряд по полиномам
Лежандра 65
8. Тождество Крнстоффеля 66
9. Решение дифференииад»»огр уравнения 68
10. Формула Родрига 69
11. Интегральное представление 71
12. Границы для Р„ (х) 74
13. Сходимость в точке непрерывности, лежащей внутри
" интервала (— I, 1) 77
14. Сходнмост> в точке разрыва, лежащей внутри интер-
интервала (—1, 1) , 79
Глава HI. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
i, Предварительные замечания 83
% Определение функции J0(x) 83
3; Ортогоначьность ,....,..,. 85
4. Интегральное представление для J0(x) 88
5. Нули функции J0(x) и связанных с ней функций ... 90
6. Разложение произвольной функции в ряд 93
7. Определение функций Jn(x) 94
8. Ортогональность н разложение в ряд 9о
9. Интегральное представление для Jn{x) 99
10. Рекуррентные формулы 100
11. Нули. ... 101
12. Асимптотическая формула . 102
13. Ортогональные функции и линейные краевые задачи. 103
Глава IV. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Ряды Фурье и уравнение Лапласа в бесконечной полосе 106
2. Ряды Фурье н уравнение Лапласа в прямоугольнике , 109
3. Ряды Фурье н колебания струны Щ
4. Ряды Фурье и затухающие колебания струны. . , . . . 115
5. Полярные, координаты на плоскости ,. . . . 117
6. Ряды Фурье а уравнение Лапласа э круге, интеграл
Пуассона ,..«,,,.. П8
7. Преобразование уравнения Лапласа в трехмерном
пространстве . , .,..,.,.. 121
8. Ряды Лежандра и уравнение Лапласа в шаре .... 122
9. Ряды Бесселя и уравнение Лацааса в цияиндре .... 124
10. Ряды Бесселя и круглая мембрана J28
Глава V. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ; РЯДЫ ЛАПЛАСА
1. Краевая задача для куба; двойные ряды Фурье 130
2. Общие сферические функции 133
3. Ряды Лапласа 136

Оглавление 259
4. Гармонические- полиномы 142
5. Поворот осей координат. t . . , , 145
& Интегральное представление группы членов ряда
Лапласа 148
7. Полнота системы сферических функции . , 153
8. Краевая задача для цилиндре; ряды по функциям
Бесселя положительного порядка 155
Глава VI. ФУНКЦИИ ПИРСОНА
1. Дифференциальное уравнение Пирсона 159
2. Случай, когда знаменатель — пойиййМ второй степени
с действительными корнями 159
3. Случай, когда знаменатель — полином вторий степени
? комплексными корнями 163
4. Случай, когда знаменатель — линейпая функция нли
постоянная . 164
5. Конечность моментии 165
Глава VII. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
1. Вес 166
2. Метод Шмидта 168
3. Ортогональные полиномы, соответствующие произволь-
произвольному весу 170
4. Разложение произвольной функции в ряд 172
5. Рекуррентная формула 173
6. Тождество Кристоффеля-Дарбу 174
7. Случаи симметричного интервала ортогональности н
четной весовой функции 175
8. Нули полинома рп(х) 176
9. Свойство наименьшего квадрата 177
10. Дифференциальное уравнение 179
Глава VIII. ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ
1. Обобщение формулы Родрига 184
2. Ортогональность 185
3. Старшие коэффициенты 187
4. Нормирующий множитель; ряды по полиномам Якоби. 189
5. Рекуррентная формула 19Э
6. Дифференциальное уравнение 192
Глава IX. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
1. Определение 19t
2. Ортогональность и нормирующий множитель 195
3. Ряды Эрчита н Грама-Шарлье 197
4. Рекуррентные формулы; дифференциальное уравнение 198
5. Производящая функция 200
6. Волновое уравнение линейного осциллятора 200

$60 Оглавление
Глава X. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА
1. Определение 203
2. Ортогональность; нормирующий множитель; ряды Лагерра 204
3. Дифференциальное уравнение и рекуррентные формулы 205
4. Производящая функция 207
5. Волновое уравнение для атома водорода 208
Глава XI. СХОДИМОСТЬ
1. Задачи настоящей главы 211
2. Величина коэффициентов; первое предположение .... 213
3. Сходимость; первое предположение 215
4. Величина коэффициентов; второе предположение .... 218
5. Сходимость; второе предположение 220
6. Специальные полиномы Якоби 221
7. Умножение и деление весовой функции на полином. . . 223
8. Теорема Коруса об ограниченных ортоиормированных
полиномах 227
Упражнения 231
Библиография 251
Именной указатель ,...., 253
Предметный указатель 254
Редактор С. В. Фомин
Технический редактор А. Н. Никифорова. Корректор Б. А. Ерусалнмский
Подписано к печати 20/Ш 1948 г. A-0270J. Печ. л. 16V*. Уч.-издат. л. 12,5. Фор-
Формат 82X108V33- Издат. № 1/40. Зак. № 13С6. Цена 14 руб.
2-я типография „Печатный Двор* им. А. М. Горького треста „Полиграфкнига"
ОГИЗа при Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.