А. И. МАЛЬЦЕ
Избранные труди
том
II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1976

УДК 517.1
Мальцев А. И. Избранные труды Т. II. М., «Наука», 1976, 388 с.
Во второй том Избранных трудов академика А. И. Мальцева вошли ра-
работы по математической логике и теории алгебраических систем.
Издание рассчитано на математиков.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ — главный редактор^
П. С. АЛЕКСАНДРОВ, В. А. АНДРУНАКИЕВИЧ, Ю. Л. ЕРШОВ,
М. И. КАРГАПОЛОВ, А. Н. КОЛМОГОРОВ, А. И. КОСТРИКИН,
И. А. ЛАВРОВ—ответственный секретарь, В. Н. ЛАТЫШЕВ,
А. А. МАЛЬЦЕВ, В. В. МОРОЗОВ, С. М. НИКОЛЬСКИЙ,
Л. С. ПОНТРЯГИН, Л. А. СКОРНЯКОВ, Д. М. СМИРНОВ,
С. Л. СОБОЛЕВ, А. И. СТАРОСТИН,
А. И. ШИРШОВ—зам. главного редактора
20203—270
055 @2)—76 3~~76 © Издательство «Наука», 1976 г.

ИССЛЕДОВАНИЯ
В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ*
Предлагаемое исследование является обобщением двух теорем, одной -*-
из исчисления высказываний, другой — узкого исчисления предикатов.
Первая теорема установлена Гёделем [1] и формулируется следующим
образом:
Для непротиворечивости ** произвольной счетной системы формул исчис-
исчисления высказываний достаточно, чтобы каждая конечная часть системы была
непротиворечива.
В § 1 предлагаемой работы доказывается, что приведенная теорема спра-
справедлива не только для счетных систем, но вообще для систем любой мощности.
Вторая теорема в наиболее общей форме была получена Сколемом [2J.
Он показал, что нельзя найти даже бесконечной системы формул узкого ис-
исчисления предикатов, которая полностью характеризовала бы натуральный
ряд чисел.
В § 6 мы докажем следующее более общее утверждение:
Каждая бесконечная область *** любой системы формул узкого исчисле-
исчисления предикатов может быть расширена ****.
Отсюда следует, например, что система формул, которая обладает беско-
бесконечной областью, обладает также областями любой мощности, что каждое
бесконечное алгебраическое тело имеет расширение и т. д.
Параграфы 2—5 предлагаемой работы посвящены изложению вспомога-
вспомогательных понятий и теорем. В частности, здесь- передоказываются некоторые
известные результаты Лёвенгейма, Сколема [3] и Гёделя [1].
§ 1. Рассмотрим множество 3R (вообще говоря, бесконечное) формул
исчисления высказываний. Будем говорить, что множество 3R непротиво-
непротиворечиво, если для всех элементарных высказываний, из которых построены
отдельные формулы системы, можно подобрать значения «истина» и «ложь»
так, чтобы все формулы из 3R (по правилам исчисления высказываний)
получили значение «истина».
Теорема. Для того чтобы система ЗЙ формул была непротиворечива*
необходимо и достаточно, чтобы каждая конечная подсистема SR была не-
непротиворечива .
Доказательство. Пусть мощность SR есть ^а. Так как для ко-
конечных ЗЙ теорема тривиальна, достаточно доказать, применяя индукцию^
что из справедливости утверждения для всех систем мощности меньше чем
ДОа следует его справедливость для системы 3R мощности $а.
Упорядочим формулы системы SR в трансфинитнук\ последовательность
наименьшего типа Qa:
3R = {4i(oJ, «?. • • м (h% • • м Aa(al; al, . . ., аУ), . . .} A)
* Мат. сб., 1963, 1, № 3, 323—335 (перевод с нем.).
** Непротиворечивость бесконечной системы определяется, например, в § 1.
*** См., например, § 2.
**** См. сообщение о результате Тарского в [2].

Исследования в области математической логики
(dl являются элементарными высказываниями, из которых построена фор-
формула At). Рассмотрим всевозможные начальные отрезки последовательности
3R. Так как тип последовательности является наименьшим, то все отрезки
имеют мощность меньше чем ^а и, следовательно, непротиворечивы по пред-
предположению. Следовательно, можно для любого произвольного отрезка
подобрать для всех all значения «истина» и «ложь» так, чтобы все формулы
из 3RX были истинны.
Любое распределение значений «истина» и «ложь» для элементарных вы-
высказываний будем называть моделью. Таким образом, для любого отрезка
3RX существует по крайней мере одна модель Мх, для которой 3RX истинно.
Рассмотрим теперь последовательность моделей
М\ М\ . . ., М<°, М"+1, . . ., B)
которые соответствуют всевозможным начальным отрезкам последователь-
последовательности SR. Элементарные высказывания а\, . . ., а™1 первого высказывания А г
имеют для каждой модели Мх свою систему значений. Так как для элементов
^i> • • •> #iJ имеется лишь конечное число различных систем значений, то
существует такая система значений этих элементов, которая встречается
у tfa моделей. Теперь построим формулу А[. Для этой цели припишем знак
отрицания тем элементам, которые в выбранной системе значений имеют зна-
значение «ложь», и после этого свяжем эти высказывания и все оставшиеся эле-
элементы знаками &. Ах будет иметь вид
где 6i равно а\ или
Рассмотрим последовательность
Каждый начальный отрезок Ш\ этой последовательности непротиворечив,
так как мы можем в качестве искомой модели взять старую модель АР, для
которой (х ^>Х , и элементы а\, . . ., %* обладают значениями, требуемыми фор-
формулой А{. Рассматривая отрезки последовательности ЗЛ2 и их модели, мы
можем аналогичным образом определить А\ и последовательность 3R3:
Щ = {.С А*2, А3, . . ., До, . . .}.
Предположим, что мы уже построили последовательности SRa для всех
ос< Я:
и при этом каждый начальный отрезок 9Ла непротиворечив. Пусть сначала
Ь = V + 1. Тогда
3Rx' = {4!|i<b'}U{4v, ...}.
Мы найдем А{> и так же, как при определении 3R2> получим, что непротиво-
непротиворечив каждый отрезок последовательности

Исследования в области математической логики
Пусть теперь % — предельный ординал. Положим
Нужно доказать, что каждая конечная система высказываний из 9Rx
непротиворечива. Возьмем произвольную конечную систему S высказываний
из 3Rx:
S = {A{t, А\г, . . ., 4хй, ^1хЛ+1» • • -, ^хт}.
Так как X предельный, то можно найти такой ординал \i, что Кг < \х,
^2 < f*» • • ., Л,^ < fA и fx < Л,. Рассмотрим множество Sfyx. Его отрезок 9й£т+1
содержит все формулы системы 5 и в то же время непротиворечив, так как,
по предположению, отрезки последовательностей SRa при a < А, непротиво-
речивы. Следовательно, 5 непротиворечиво, что и требовалось доказать.
Построим, наконец, множество $01* = {Лх| А, < Qa}. Каждая конечная
система высказываний Лх непротиворечива, так как она входит в какой-
нибудь отрезок 3%. Используя этот факт, очень легко построить модель
М* для множества 3R*. В самом деле, формулы множества 3R* имеют вид
При этом элемент а\ ввиду конечной непротиворечивости может входить
в различные формулы, причем либо во все без знака отрицания, либо во все
со знаком отрицания. В первом случае мы придаем ему значение «истина»,
во втором — «ложь». Полученная таким образом модель М* удовлетворяет
каждой формуле Лх и, следовательно, А\. Отсюда следует, что система Ш
непротиворечива.
§ 2. Как известно, каждое выражение узкого исчисления предикатов
можно заменить эквивалентным ему выражением в нормальной форме, т. е.
выражением вида
~ • • (Еуп) % (#!, . . ., хт, у19 . . ., уп),
где 9( не содержит знаков (х) и (Е#). В дальнейшем будем предполагать, что
каждое исследуемое выражение уже приведено к нормальной форме.
Рассмотрим произвольную (вообще говоря, бесконечную) систему S вы<-
ражений узкого исчисления предикатов и произвольное множество В с эле-
элементами любой природы. Исходя из системы S и множества В, можно постро-
построить другие множества, которые мы будем называть конфигурациями множе-
множества В. Все конфигурации являются подмножествами универсального
множества С/, которое строится следующим образом. Пусть
At (x), St (x), Bj (х, у), Bj (х, у), . . .
— элементарные предикаты системы S и их отрицания. Возьмем любой из
этих предикатов и подставим в него вместо (х, у, . . ., ъ) какую-либо комбина-
комбинацию элементов множества В. Полученное выражение, построенное из преди-
предиката с пустыми местами, заполненными элементами множества В, и является
по определению элементом универсального множества С/. Подставляя в эти,
предикаты всевозможные комбинации элементов множества В, получим мно-
множество выражений указанного вида. Совокупность всех этих выражений со-
составляет множество U.

Исследования в области математической логики
Как уже сказано, все подмножества универсального множества U назы-
называются конфигурациями множества В. Чтобы отличать элементы множества
В от элементов универсального множества, мы будем называть последние
членами. Два члена множества U называются противоположными, если один
шз них есть формула, а другой — отрицание этой формулы, причем на соот-
соответствующих местах стоят одни и те же элементы множества В. Объединяя
противоположные члены, мы разбиваем множество U на пары.
Определение. Конфигурация называется полной, если она содер-
содержит по крайней мере по одному члену из каждой пары множества U.
Определение. Конфигурация непротиворечива, если она не содер-
содержит противоположных элементов.
Определение. Множество В называется областью системы выска-
высказываний, если на этом множестве определены значения элементарных формул
таким образом, что выполняются все высказывания рассматриваемой системы.
Чтобы судить, является ли множество В областью системы высказываний
S, нужно сначала определить на В значения элементарных формул. Это мы
всегда будем делать следующим образом: выбираем какую-либо непротиво-
непротиворечивую полную конфигурацию Q множества В и даем формулам значение
«истина» при тех значениях переменных, с которыми они входят в эту конфи-
конфигурацию. При остальных значениях переменных даем значение «ложь».
В случае, когда полученная модель удовлетворяет системе S, множество В
с конфигурацией Q является областью системы S. Обратно, если дана область
системы S, мы получим соответствующую конфигурацию Q, собирая формулы
с теми значениями аргументов, при которых они истинны.
Следует указать еще истолкование элементов универсального множества.
Это истолкование лежит в основе всех дальнейших рассмотрений. Будем рас-
рассматривать все члены универсального множества как различные неопреде-
неопределенные элементарные высказывания исчисления высказываний, причем смот-
смотрим на противоположные члены множества как на соответственно противо-
противоположные высказывания исчисления высказываний. Теперь мы можем
построить из членов множества U различные высказывания исчисления выска-
высказываний, пусть 9t одно из них. Рассмотрим связанное с 91 выражение
где bt, bj, < . . — всевозможные элементы множества В, входящие в те члены
множества U, из которых составлено высказывание 91. Выражение (Е) 9t
является выражением узкого исчисления предикатов. В то же время (Е) 9t
эквивалентно высказыванию 9{, так как вполне понятно, что из выполнимо-
выполнимости одного из них следует выполнимость другого.
§ 3. До сих пор мы предполагали, что рассматриваемая система аксиом
не содержит отношения тождества. Теперь рассмотрим более общий случай,
когда система S содержит отношение тождества. При обобщении результатов
предыдущих параграфов мы сталкиваемся с трудностями определения про-
противоречивости конфигурации: например, по определению в § 2 конфигурация
А (а, Ъ) & А (а, с) & Ъ = с,
где а, Ь, с — различные элементы множества В, является непротиворечивой
в то время, как при обычном толковании тождества ее следует считать проти-
противоречивой. Расширенное определение противоречивости конфигурации Q
множества В, содержащее отношение тождества, можно получить следующим

Исследования в области математической логики
образом: элементам множества В можно сопоставить элементы другого мно-
множества Б, причем должны выполняться следующие условия:
1. Каждому элементу множества В соответствует единственный элемент
множества 2?.
2. Элементам а ж b множества В, которые в конфигурации Q связаны от-
отношением а = Ь, соответствует один и тот же элемент множества В. Напротив,
элементам, связанным отношением а ф Ь, соответствуют различные элемен-
элементы множества Б.
Заменим далее во всех членах конфигурации Q элементы множества В
соответствующими элементами множества Б. В результате получим конфи-
конфигурацию Q множества Б. Эта конфигурация содержит отношение тождества,
однако с тем существенным ограничением, что в Q не входят члены вида:
а = Ъ,
если а и Ъ являются различными элементами множества В. Вследствие этого
для конфигурации Q можно применить данное в предыдущих параграфах
определение противоречивости. Отсюда получаем искомое определение про-
противоречивости Q.
Определение. Конфигурация Q множества В, содержащая отно-
отношение тождества, называется непротиворечивой, если существует множество
Б и соответствующая конфигурация Q непротиворечива в смысле § 2.
Если дана конфигурация Q, содержащая отношение тождества, то можно
в двух смыслах говорить об ее непротиворечивости: 1) в смысле определения
§ 2 и 2) в смысле данного выше определения. В первом случае будем говорить,
что конфигурация непротиворечива при относительно понимаемом отношении
тождества, во втором — при абсолютно понимаемом тождестве. Непосред-
Непосредственно ясно, что конфигурация, непротиворечивая при абсолютно пони-
понимаемом отношении тождества, является также непротиворечивой и при от-
относительно понимаемом тождестве. Обратное неверно, как показывает при-
пример, данный в начале этого параграфа. Следующая лемма дает условия, при
которых абсолютно и относительно понимаемые тождества эквивалентны.
Лемма. Если конфигурация Q непротиворечива при относительно*
понимаемом тождестве и, кроме того, удовлетворяет системе аксиом:
(I)
& у == v & ... &z ~ w -> F (и, v, . . ., w)],
где А (х), . . ., F (х, у, . . ., z) — всевозможные элементарные формулы рас-
рассматриваемой системы S, то можно утверждать, что Q непротиворечива
и с абсолютной точки зрения.
Для доказательства мы разобьем множество В, к которому относится кон-
конфигурация Q, на классы, объединяя в один класс те элементы, которые свя-
связаны в конфигурации Q отношением тождества. Вследствие системы (/)

10 _ Исследования в области математической логики
такое разбиение возможно и классы не содержат общих элементов. В качестве
множества В возьмем множество этих классов; каждому элементу множества
В соответствует тот класс множества В, в который этот элемент входит.
Легко убедиться, что при этом будут выполняться все условия определения
абсолютной непротиворечивости, следовательно, конфигурация Q непро-
непротиворечива при абсолютно понимаемом отношении тождества.
Из этой леммы следует теорема *:
Теорема. Пусть система S, записанная в символах узкого исчисления
предикатов, содержит отношение тождества. Добавим к S соответству-
соответствующую систему аксиом тождества (I) и заменим в системе S + / отношение
тождества каким-либо вспомогательным элементарным предикатом ф (а, Ъ).
Новая система S', которая не содержит больше отношения тождества,
эквивалентна системе S.
Достаточно показать, что из непротиворечивости S' следует абсолютная
непротиворечивость системы S, так как обратное очевидно. Пусть Q — не-
непротиворечивая конфигурация множества В', которая: удовлетворяет систе-
системе Sr. Обозначив через Q" конфигурацию, которая получится, если во всех
членах конфигурации Q' заменить предикат ф (а, Ъ) опять на отношение тож-
тождества а = Ь. Конфигурация Q" непротиворечива при относительно понима-
понимаемом тождестве и удовлетворяет системам I и S. Отсюда следует по лем-
лемме, что Q" непротиворечива и при абсолютно понимаемом тождестве. Таким
образом, существует непротиворечивая в абсолютном смысле конфигурация
Q", которая удовлетворяет системе S, следовательно, система S непротиво-
непротиворечива, что требовалось доказать.
Замечание. В дальнейшем при переходе от S к S' мы не будем заме-
заменять . отношение тождества новым предикатом, а ограничимся замечанием,
что система S' содержит рел^тивизованное тождество.
§ 4, Цель этого параграфа — для каждой системы высказываний S узкого
исчисления предикатов построить соответствующую систему 35 высказыва-
высказываний исчисления высказываний так, чтобы обе системы были эквивалентны.
Пусть сначала система S конечна. Тогда можно заменить ее высказыва-
высказыванием А вида
Пусть далее В — бесконечное множество. В предположении, что выраже-
выражение А непротиворечиво, мы выберем в дальнейшем из В подмножество Вш
и построим для Soj непротиворечивую конфигурацию @«, которая удовлет-
удовлетворяет высказыванию А.
Для этой цели возьмем какой-нибудь элемент Ьо из множества В и подста-
подставим его на место всех «я» в аксиоме А. Тогда аксиома А будет утверждать
существование некоторых элементов у19 у2, . . ., уп, которые связаны с bQ
соотношением
% (Ьо, Ьо, . . ., Ь01 уг, у2, . . ., уп).
В качестве таких «у» выберем какие-либо п элементов множества В, отличных
от Ьо. Пусть этими элементами являются bl9 Ъг, . . ., Ьп. Обозначим совокуп-
совокупность элементов (Ъо, Ьг, . . ., Ъп) через Вг, отношение
% (Ьо, Ьо, . . ., Ьо, Ъ19 Ь2, . . ., Ьп),
* Аналогичная теорема находится у Сколема [3] и Гёделя [1].

Исследования в области математической логики
которому они удовлетворяют,— через SS^ Далее образуем из Вх всевозмож-
всевозможные комбинации (с повторениями) из т элементов и подставим каждую ком-
комбинацию на место «х» в аксиоме А. Для каждой такой подстановки аксиома
утверждает существование п новых элементов, в качестве которых мы берем
каждый раз какие-нибудь п элементов из оставшейся части множества В.
Совокупность всех выбранных так элементов, включающую В19 обозначаем
через В2. Элементы множества В2 удовлетворяют системе соотношений вида
где b\t9 bi2, . . ., 5iw - произвольные элементы из Bl9 a bkl, Ъкг, . . ., bkn —
соответствующая группа новых элементов. Обозначим систему этих соотно-
соотношений, включающую 95Х, через 352. Процесс, с помощью которого мы из Вх
и 95Х получили В2 и 352, можно применить к любому множеству элементов.
Будем называть его процессом применения аксиомы А. Таким образом, мы
получили множества В2, 352 применением аксиомы А к множествам Bl9 95j.
Применяя снова аксиому А к множествам В2, 352, получим множества В3,
Ч53 и т. д. При неограниченном повторении этого процесса получим два ряда
множеств
Bl9 В2, . . ., Вп, . . .
95Х, 952, . . ., 35П, . . .
Пусть
При применении аксиомы А к Вш нам не потребуется новых элементов, так
как соответствующие элементы, удовлетворяющие аксиоме А, должны нахо-
находиться внутри Вш.
Рассмотрим множество ЗЗо/, оно есть система соотношений вида:
31F', Ь\ . . ., №»>, с', с", . . ., с<*>),
где 6', Ь", . . ., Ыт\ с', с", . . ., с(п) — элементы множества В^. Каждое такое
соотношение является высказыванием исчисления высказываний, составлен-
составленным из элементарных предикатов аксиомы А, у которых пустые места запол-
заполнены элементами множества В^. Следовательно, можно, применяя определе-
определения § 2, сказать, что 35о> есть система таких высказываний исчисления выска-
высказываний, которые образованы из элементов универсального множества С/^,
соответствующего множеству В^. Если система высказываний 95W непроти-
непротиворечива, то существует непротиворечивая конфигурация Q^, которая вы-
выполняет 95oj. Множество В^ вместе с конфигурацией Q& дает нам в этом слу-
случае область аксиомы А. Это означает, что из непротиворечивости 95о> следует
непротиворечивость высказывания А. Чтобы показать справедливость обрат-
обратного утверждения, достаточно следующих замечаний:
Каждое высказывание из множества 95а> имеет вид
9t (blf . . ., bm, cl9 . . ., сп).
Рассмотрим множество (Е) 35о> высказываний вида
. . . (Ebm)(ECl) . . . (Есп) 31 (blf . . ., Ът, с19 . : ., сп).

42 Исследования в области математической логики
Все высказывания множества (Е) 95^ являются следствиями формулы А*.
Так как А предполагается непротиворечивым, то выполнимо каждое конеч-
конечное подмножество высказываний системы (Е) ЯЗо,. Отсюда следует по § 2 вы-
выполнимость любого конечного множества высказываний системы 95а>. Наконец,
вследствие теоремы § 1 получаем непротиворечивость всей системы 95W, что
м требовалось.
Мы доказали, таким образом, эквивалентность системы высказываний
Жо исчисления высказываний и выражения А узкого исчисления предика-
предикатов.
Если система S состоит из бесконечного числа выражений, то нужно вести
итерационный процесс следующим образом. Снова выбираем элемент Ьо
и применяем к нему по очереди все высказывания системы S. Каждое выска-
высказывание требует выбора некоторого числа элементов из В. Собирая эти эле-
элементы, получаем множество Вг (Ьо включается в 2?х). Аналогичным образом
составляется множество высказываний SS^ После этого применяем к Вг
опять каждую аксиому системы S. Применение каждой аксиомы дает соот-
соответствующие множества В\ и ®2. Объединяя все В\ и 95а, получаем J52 и 952
и т. д. Действуя аналогично, получаем, наконец, множества В^ и 85о>. Все
сказанное ранее по отношению к высказыванию А переносится без изменения
на общий случай.
Примечание. В случае конечной системы S множество В может быть
выбрано счетным. В случае бесконечной системы S можно выбрать множество
В той же мощности, что система S. Отсюда получается следующее обобщение
теоремы Лёвенгейма:
В каждой области бесконечной системы S высказываний узкого исчисле-
исчисления предикатов существует подобласть, мощность которой не превосходит
мощности S.
§ 5. Во многих случаях нужно начинать итерационный процесс не с од-
одного элемента, а с множества элементов. Пусть, например, дано множество
Во и конфигурация этого множества Qo, причем Qo не удовлетворяет рассмат-
рассматриваемой аксиоме А. Нужно исследовать, можно ли расширить множество
Во и конфигурацию Qo так, чтобы новое множество В^ стало областью аксио-
аксиомы А.
Для решения этой задачи выбираем множество В, которое будет служить
для отбора новых элементов, и, начиная с Во ж Qo, последовательно приме-
применяем аксиому А. Как и прежде, получаем два ряда множеств
-^0» "it "it • • м "nt . . .
<?o.»i.»a» . . .,85,», - - -
Пусть
вш - в0 и вг и в2 и .. •.
». = tfoU*iU*2U •••
Если система высказываний 95^ непротиворечива, то можно рассматривать
jBc как искомую область и задача получает положительное решение. Однако
если система 95^ противоречива, то получается отрицательный ответ **.
Множества Дй, %>& и вообще весь итерационный процесс могут быть на-
наглядно представлены с помощью конечных последовательностей различных
♦ Ср., например, [1], с. 354.
♦* Доказательство вполне аналогично доказательству в § 4.

Исследования в области математической логики 13
порядков. Назовем элементы множества Во конечными последовательностями
нулевого порядка. Совокупность вида
. ., ат — конечные последовательности нулевого порядка и i —
натуральное число <^я, назовем конечной последовательностью первого по-
порядка. Вообще конечными последовательностями &-го порядка называем
совокупности вида
где ог, [а2, . . ., от — конечные последовательности порядка -^ к — 1. Те
элементы |множества В01 которые входят либо в данную конечную последо-
последовательность, либо в ее подпоследовательности, будем коротко называть ос-
основными элементами конечной последовательности. Ясно, что каждая после-
последовательность содержит лишь конечное число основных элементов.
Перейдем теперь к построению итерационного процесса с помощью ко-
конечных последовательностей. При подстановке какой-нибудь комбинации
Ь19 Ь2, . . ., Ъш элементов множества Во на место хи х29 . ♦ ., хт в аксиому А
мы вместо того, чтобы выбирать новые элементы из множества J5, будем обо-
обозначать их как конечные последовательности первого порядка:
[bl9 . . ., Ьт; 1], [Ь19 . . ., Ьт; 2], , . ., [bl9 . . ., Ьт; п].
Вообще при подстановке конечных последовательностей а19 а2, . . ., ат
порядка ^ к на место х19 х2, . . . хт будем обозначать новые элементы, су-
существование которых утверждает аксиома, как конечные последовательности:
[о19 • , ., ат; jl], [а19 • . ., ат; 2], . . ., [ol9 f * ., от; п].
При этих обозначениям множество Вк будет совпадать с множеством всех
конечных последовательностей порядка ^ &, множество В^ будет совпадать
со множеством всех конечных последовательностей, а система 95о> будет со-
совокупностью высказываний вида
% (<*!, а2, . . ., orf, [а19 . . ., ат; 1], . . ., [crlf • . ., ат; п]),
где а19 а2, . . ., ат пробегают независимо одна от другой всевозможные ко-
конечные последовательности совокупности Д*.
Если исследуемая аксиома имеет вид
(х)(Еуг) . . . (Еуп) 91 (х9 у19 . . ., уп)9
то можно ограничиться лишь простыми конечными последовательностями.
По существу, если мы на место х подставим какой-нибудь элемент Ьо мно-
множества 2?0, то можно обозначить новые элементы через конечные последова-
последовательности
[Ъ09 1], . . ., [&0, п].
Если опять вместо х подставим эти конечные последовательности, то можем
соответствующие новые элементы обозначить снова через простые конечные
последовательности
[fo0, i9 1], [fo0, i9 2], . . ., [fo0, i, n]
и т. д. В этом случае система 35о> принимает следующий вид:
95с- {91 (а, [а, 1], . . ., [а, п]))9
где а пробегает всевозможные конечные последовательности.

14 Исследования в области математической логики
§6. Теорема. Пусть бесконечное множество В с конфигурацией Q
является областью системы аксиом 5, которая содержит отношение тож-
тождества. Тогда существует для системы S новая область Вш с конфигурацией
Qn, причем В d Вш и Q CZ Q&, та. е. каждая бесконечная область системы
S обладает по крайней мере одним собственным расширением.
Прежде всего мы, используя результаты § 3, заменим конечную систему
S на эквивалентную аксиому А:
. . . (Еуп) 91 (хх, . . ., хт, у19 . . ., уп),
которая содержит только релятивизованное тождество.
Пусть
где bt, bk пробегают всевозможные элементы области В. Ясно, что конфигу-
конфигурация Q' удовлетворяет аксиоме А, так как она отличается от Q только ука-
указанием, что все элементы множества В различны. Обозначим через Ь% какой-
нибудь новый элемент, который не входит в множество В, и положим
Система Э50 есть конфигурация множества Во, которая, вообще говоря,
уже не удовлетворяет аксиоме А. Покажем, что можно дополнить Во и 35О
таким образом, чтобы новое множество было областью аксиомы А. Отожде-
Отождествляя в новой области те элементы, которые связаны отношением тождества,
получим область системы. Эта область будет шире старой, так как элемент
fojj. в силу соотношений
не совпадает ни с одним из старых элементов.
Исходя из множеств Во и 95О» проведем итерационный процесс, как ука-
указано в предыдущем параграфе. Пусть
В„ = Во U Вг U В2 U ... U Вп U . . .,
95c = 950U®iU»2U ...U«nU •••
Если нам удастся установить, что система высказываний 95^ непротиво-
непротиворечива, то мы сможем найти конфигурацию фо, которая удовлетворяет си-
системе 95с, и таким образом показать, что Вш с конфигурацией Q^ является
областью аксиомы А. Для этого согласно теореме из § 1 достаточно показать,
что каждое конечное подмножество системы 95а> непротиворечиво.
Пусть 3R — произвольное конечное множество высказываний системы
95со. Высказывания множества 3R являются высказываниями исчисления
высказываний, их элементарные высказывания являются элементарными пре-
предикатами аксиомы А. Пустые места этих предикатов заполнены конечными
последовательностями из множества В^. Так как система 3R конечна, то
имеется лишь конечное число конечных последовательностей, которые уча-
участвуют в построении элементарных высказываний системы 3JI. Рассмотрим
совокупность всех этих конечных последовательностей, а также конечных
последовательностей низших порядков, которые входят в данные. Обозна-
Обозначим эту совокупность через М. Ясно, что каждая конечная последователь-
последовательность множества М построена снова из конечных последовательностей мно-

Исследования в области математической логики 15
жества М и натуральных чисел. В частности, М содержит конечные после-
последовательности нулевого порядка, т. е. элементы множества 2?0, и, кроме того,
М конечно.
Отобразим множество М на некоторую часть области В следующим об-
образом:
1. Элементы множества М, которые входят в область В, соответствуют
сами себе.
2. Элемент Ь% мы отображаем в элемент Ъ% области В. Мы требуем только,
чтобы Sjj. не входил в М*.
3. Пусть отображение определено для всех конечных последовательностей
порядка ^ к. Возьмем конечные последовательности порядка к + 1:
[а19 . . ., ат; 1], [о19 . . ., ат; 2], . . ., [аи . . ., ат; п].
Конечные последовательности бь б2, . . ., от —ft-го порядка, следова-
следовательно, они уже отображены в какие-то элементы области В, Пусть эти эле-
элементы соответственно
Ьъ fo2, . . ., bm.
Подставим в аксиоме А на место <ш> элементы &ь b2, . . ., Ът. Так как В
есть область аксиомы А, то среди элементов множества В найдутся такие
элементы съ с2, . . ., сп, которые удовлетворяют соотношению
9t (foi, b2, . . ., fom, съ с2, . . ., сп).
Считаем, что конечным последовательностям
[бь . . ., ат; 1], [аъ <з2, • • •» $т\ 2], . . ., [о19 <з2, • • •> Gm5 ^1
соответствуют как раз элементы съ с2, . # ., сп.
Покажем, что при этом отображении все высказывания системы 3D? будут
выполнены, если мы заменим в них элементы множества М на соответству-
соответствующие элементы области В. Действительно, система 3R содержит либо выска-
высказывания вида fojj. ф bt, где bt входит в М f] В, либо члены конфигурации Q',
либо высказывания вида
9t (ci, б2, . . ., Gm; [б1? . . ., бт; 1], . . ., [<3i, . . ., Gm; гг]).
Высказывания последнего типа переходят при отображении в
91 (Ьь fo2? - - -, bm, Сх, с2? • - •, О»
т. е. выполнены в силу 3.
Элементы конфигурации Q' содержат только элементы множества В и,
следовательно, переходят сами в себя.
Наконец, высказывания вида Ъ^. ф bt переходят в Ь% ф bt, т. е. выпол-
выполнены в силу 2.
Таким образом, при замене элементов множества М их образами все вы-
высказывания совокупности 3R выполняются. Вследствие этого непротиворечи-
непротиворечивость системы 3R доказана, так как мы можем считать, что наши предикаты
имеют те же значения, что для соответствующих элементов множества В.
В этом и в предыдущем параграфах мы для простоты предполагали, что
система S конечна. В этом случае можно было заменить ее одним выражением
* Такой элемент существует, так как по предположению область В бесконечна.

16 Исследования в области математической логики
А. Если система S бесконечна, то такая замена может не иметь места. Однако
все рассуждения остаются в силе, если только сделаны следующие изме-
нения:
а) итерационный процесс проводится в более общей форме, как указано
в конце § 4;
б) при представлении новых элементов конечными последовательностями
нужно, кроме того, указывать в новой конечной последовательности индекс
примененной аксиомы.
В остальном рассуждения повторяются почти дословно.
Выражаю профессору А. Н. Колмогорову мою сердечную благодарность
за многочисленные ценные советы.
ЛИТЕРАТУРА
1. К. Godel. Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkuls.— Monatsh.
( Math, und Phys., 1930, 37, 349-360.
2. T. Skolem. Uber die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder
abzahlbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslichen Zahlenwariablen.— Fundam.
Math., 1934, 23, 150—161.
3 T. Skolem- Logisch-kombinatorische Untersuchungen uber die Erfullbarkeit oder Be-
weisbarkeit mathematischer Satze nebst einem Tneoreme uber dichte Mengen.— Skr,
x vidensk.-akad. Oslo., I kl., 1920, N 4, 36.

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
Известно, что многие теоремы теории прямых произведений, нормальных
рядов и нильпотентных систем формулируются аналогично для групп и для
колец. Рассматривая кольца как группы с операторами, удается часть этих
параллельных результатов объединить в одной общей теории. Иногда для
той же цели хорошо служит теория структур. Однако вместо того чтобы рас-
рассматривать кольца как группы, можно, наоборот, группы рассматривать как
обобщенные кольца, в которых сложением служит групповая операция, а
умножением — .операция коммутирования. Поскольку коммутирование
в общем случае неассоциативно и недистрибутивно, то получаемые указан-
указанным способом из групп системы с двумя действиями не являются обычными
кольцами. Одна из первых попыток включить теорию групп в теорию обоб-
обобщенных колец принадлежит П. К. Рашевскому [1], изучавшему обобщенные
кольца с некоторыми дополнительными аксиомами, оказавшимися достаточ-
достаточными для перенесения в теорию обобщенных колец обычных теоретико-
групповых теорем о нормальных рядах и прямых произведениях. С другой
стороны, Мардоч и Орэ [2] рассмотрели системы, являющиеся относительно
сложения группой и обладающие операцией умножения, в общем случае
никак не связанной со сложением. Эти системы пока оказались слишком
общими, поскольку даже теория гомоморфных отображений для них значи-
значительно сложнее, чем для обычных групп или колец.
В настоящей заметке указываются аксиомы, налагаемые на системы
с двумя бинарными операциями. Эти аксиомы заведомо выполняются как для
обычных колец, так и для групп с аддитивно записываемой групповой опера-
операцией и операцией коммутирования в качестве действия умножения. В то же
время эти аксиомы позволяют без всяких осложнений перевести в теорию
подчиняющихся им алгебраических систем значительную часть теорем, име-
имеющих аналогичные формулировки в теории групп и теории колец.
1. Квазикольца. Пусть каждой упорядоченной паре элементов а, Ъ не-
непустого множества К поставлены в соответствие однозначно определенный
элемент с 6Е К, называемый суммой, и однозначно определенный элемент
d^ К, называемый произведением а и Ъ. Предположим, сверх того, что от-
относительно сложения К является группой, в общем случае некоммутативной.
Одночленом от букв хъ . , ., хп условимся называть формальное произве-
произведение вида (8io:il)(82a:i2) . . . (emxim), где гъ . . ., ет — знаки + или —, причем,
кроме выписанных скобок, в произведении должны быть расставлены скобки,
указывающие порядок перемножения сомножителей. Например, выражения
((—х) У) z и (—x)(yz) будут различными одночленами степени 3 от х, г/, z.
Многочленом от букв хъ хъ . . ., хп условимся называть алгебраическую сум-
сумму конечного числа одночленов от этих букв.
Определение. Множество К с определенными на нем операциями
сложения и умножения называется квазикольцом, если относительно сложе-
* Успехи мат. наук, 1953, 8, № 1, 165—171.
2 А. И. Мальцев, том II

18 Об одном классе алгебраических систем
ния оно является группой и если для любых элементов х, у, z из К имеют
место равенства:
1. х + у = у + х + Вг (х, у);
2. х (у + z) = ху + xz + D2 (x, у, z);
3. (х + у) z = xz + yz + D3 (x, у, z);
4. а>0 = 0-я: = 0,
где Dx (х, у) — фиксированный многочлен от х, г/, все члены которого содер-
содержат каждую из букв х, у, a D2 (х, у, z), Ds (x, у, z) — фиксированные много-
многочлены от х, у, z, каждый член которых содержит каждую из букв х, у, z.
Так как нуль можно представить в виде ху — ху и xyz — xyz, то обычные
кольца являются квазикольцами, для которых Dx = D2 = D3 = 0. С дру-
другой стороны, называя основную операцию произвольной группы сложением
и вводя новую операцию умножения посредством формулы ху = —х — у +
+ х + у, обращаем группу в систему с двумя операциями. Вытекающие из
групповых аксиом тождества
х + у = у+х+ху,
х (у + z) = ху + xz + xz-xy + xy-z,
(х + у) z = xz + yz + xz-y + (xz-y)-yz,
x-0 = 0-x = 0
показывают, что получающаяся система есть квазикольцо. Поэтому всякую
теорему теории квазиколец можно рассматривать как теорему и теории ко-
колец и теории групп. Простейшие примеры такого объединения содержания
обеих теорий далее и указываются.
2. Идеалы и гомоморфизмы. Непустая совокупность / элементов квази-
квазикольца К называется его левым идеалом, если разность любых двух элемен-
элементов из / и произведение любого элемента из К на любой элемент из / содер-
содержатся в /. Аналогично определяются правые и двусторонние идеалы. В част-
частности, ясно, что пересечение любой системы двусторонних идеалов квазиколь-
квазикольца есть снова его двусторонний идеал.
Элементы х, у квазикольца К называются сравнимыми по идеалу /, сим-
символически х = у (/), если — х + у ЕЕ I.
Сравнения по двусторонним идеалам являются конгруэнтностями на ква-
квазикольце К, т. е. для любых элементов х, г/, z, и из К имеют место следующие
утверждения: а) х = х; |3) если х = г/, то у = х; у) если х = г/, у = z, то
х = z; 8) если х = z, у = и, то х + у = z + и, ху = zu.
Докажем последнее утверждение. Пусть х = z, у = и. Тогда —х + z =
= а-, —У + и = Ъ, где a, iE/. Отсюда
ZjrU==XJraJryJrb = x + y+D1(a, у) + Ъ.
Каждый член полинома Dx (а, у) содержит множителем элемент идеала а,
поэтому D1 (а, у) ЕЕ: I и, следовательно,
—(я + ») + z + и = £>i (а, ») + 4Е/,
. е. # + г/ ^ z + и. При тех же предположениях имеем
zu = (х + а)(г/ + 6) = ху + #6 + Z>2 (х, г/, 6) + а (у + 6) +
+ Ds (x, а, г/ + &).

Об одном классе алгебраических систем 19
Так как все члены правой части, за исключением первого, содержатся в /,
то zu = ху, что и требовалось.
Совокупности сравнимых друг с другом элементов квазикольца К по дву-
двустороннему идеалу / образуют смежные классы К по /. Обозначая через [а]
смежный класс, содержащий элемент а, и полагая
[а] + [Ь] = [а + &], [аЪ] = [а] ЛЬ],
обратим систему смежных классов в алгебраическую систему с двумя опера-
операциями. В силу свойств а) — S) эти операции однозначны, и система К/1
относительно их является квазикольцом.
Однозначное отображение совокупности элементов квазикольца К на
квазикольцо L называется гомоморфизмом, если оно переводит сумму и про-
произведение произвольных элементов из К в сумму и произведение соответству-
соответствующих элементов из L. Так как гомоморфное отображение квазикольца К
на квазикольцо L является в то же время гомоморфным отображением адди-
аддитивной группы К на аддитивную группу L, то при квазикольцевом гомомор-
гомоморфизме нуль переходит в нуль, противоположные элементы переходят в проти-
противоположные и прообраз нуля из L в квазикольце К является нормальным де-
делителем аддитивной группы К. Из аксиомы 4 следует, что прообраз нуля
при квазикольдевом гомоморфизме есть двусторонний идеал. Отсюда обыч-
обычным путем получаются следующие аналоги известных теорем о гомоморфных
отображениях групп и колец:
1. Если квазикольцо К гомоморфно отображено на квазикольцо L, то
полный прообраз нуля при этом отображении является двусторонним идеа-
идеалом / в К и L изоморфно фактор-кольцу К/1. Если / — двусторонний идеал
в К, содержащий /, и Р — образ / в квазикольце L, то Р — двусторонний
идеал в L, причем K/J ^ L/P.
2. Пусть Кх — произвольное подквазикольцо квазикольца К, содержа-
содержащего двусторонний идеал /. Тогда К±[\ I есть двусторонний идеал в Кг
и (Кг + 1I1 ^ Кг/(Кг П ')•
Эти теоремы позволяют без всяких изменений распространить на квази-
квазикольца обычные теоремы о нормальных композиционных рядах.
3. Нильпотентность. Одночлен (siXii)(&2^i2) • • • (8m#im) с определенным
образом расставленными дополнительными скобками назовем правильным,
если порядок скобок таков, что в ходе вычисления каждая операция состоит
в умножении предыдущего результата на множитель вида (skxik). Например,
правильными одночленами будут (х (yz)) и, х (у (zu)), но не одночлен
(ху) (zu).
Обозначим через Кт совокупность всех тех элементов квазикольца К,
которые могут быть представлены в виде алгебраической суммы правильных
одночленов степени т от элементов К. Докажем, что совокупности Кт (т =
= 1, 2, . . .) являются двусторонними идеалами квазикольца К.
В самом деле, разность любых двух элементов из Кт в силу определения
Кт принадлежит Кт. Пусть теперь а ЕЕ Кт, х ЕЕ К. Если элемент а может
быть представлен как одночлен степени т от элементов К, то ах и ха принад-
принадлежат Кт~по определению. По индукции допустим, что принадлежность ах
и ха к Кт доказана, если а есть алгебраическая сумма не более п одночленов
степени иг, и пусть а = s + с, где с — одночлен, a s — сумма п одночленов
степени т. Согласно аксиоме 2
ха = х (s + с) = xs + хс + /J (#> 5, с).

20 Об одном классе алгебраических систем
Поскольку каждый член многочлена D2(x, s, с) содержит множителем правиль-
правильный одночлен с степени га, то все члены D2 (х, s, с) представимы правильными
одночленами степени т + 1. Это же справедливо и для xs + хс. Следова-
Следовательно, ха ЕЕ Кт+1 с Кт. Случай а = s — с сводится к предыдущему, так
как для любых х, у, z из К имеем
0 = х (у + (-у)) = ху + х (-у) + D2 (z, у, -у),
откуда
х {—у) = —(ху) — D2 (х, у, —у).
Аналогично
(—я) У = —(ху) — D3 (x, —х, у).
Из приведенных рассуждений следует также, что
Назовем квазикольцо К тга-ступенно нильпотентным, если Кт+1 = 0.
Ввиду того что каждое произведение 2т множителей можно представить
в виде правильного произведения т множителей, в m-ступенно нильпотент-
ном квазикольце любое произведение 2т элементов равно нулю.
Аддитивная группа фактор-кольца Кп/Кп+1 коммутативна, так как про-
произведение любых двух его элементов равно нулю. Аналогично доказывается,
что цепочка К Ц) К2 Ц) К3 Ц) . . . является убывающим центральным рядом
аддитивной группы квазикольца К. Отсюда следует, в частности, что адди-
аддитивная группа нильпотентного квазикольца нильпотентна.
Пусть А, В — произвольные множества элементов квазикольца К. Через
А + В обозначим совокупность элементов вида а + &, где aSi, Ь S В.
Если Кх — подквазикольцо, а / — двусторонний идеал, то Кг + I будет
также подквазикольцом.
Если Кх — подквазикольцо нильпотентного квазикольца К и Кх + К2 —
= К, то Кг = К (ср. [3]). Из определения идеалов Кт следует, что К —
= К/Кт+1 есть m-ступенно нильпотентное квазикольцо, причем
Это делает возможным доказать приведенное утверждение индукцией по
степени нильпотентности К. Если К2 = 0, то утверждение ^тривиально.
Предположим, что утверждение верно для (т — 1)-ступенно нильпотентных
квазиколец, и пусть К — /га-ступенно нильпотентное квазикольцо. Положив
К = К1Кт и обозначая чертою сверху переход к образам при гомоморфизме
К -> К, будем иметь
к. + к^к, кт = о,
откуда в силу индукции Ег = Ж, т. е. Кг + Кт = К. Беря произвольные
элементы х, у из К и представляя их в виде х = хг + а, у = уг +
+ Ь (хъ уг е Кг; а, Ъ е Кт), будем иметь
ху = (хг + а)(уг + Ь) =
так как хс — сх = 0, если с е Кт. Отсюда
и

Об одном классе алгебраических систем 21
4. Автоморфизмы. Элементы а±, ..., ап, ... квазикольца К называются
порождающими для К, если всякое подквазикольцо, содержащее аъ
..., ал, ..., совпадает с К.
В дальнейшем предполагается, что многочлены Въ D2, Ds произвольны,
но для всех рассматриваемых квазиколец одинаковы. Тогда имеет смысл
говорить о свободных квазикольцах с данным числом порождающих элемен-
элементов, о квазикольцах с данными порождающими элементами и данными тож-
тождественными и индивидуальными определяющими соотношениями. Квази-
Квазикольца с данными порождающими элементами и лишь тождественными опре-
определяющими соотношениями назовем приведенно свободными.
Имеет место следующий аналог теоремы Б. Неймана [4]:
Фактор-кольцо К/К2 приведенно свободного квазикольца К есть либо О,
либо прямая сумма циклических нуль-колец одной и той же характеристики.
Действительно, чтобы получить определяющие соотношения для К/К2,
нужно к определяющим соотношениям для К присоединить тождественное
соотношение ху = 0. Но тогда все соотношения для К/К2 приведутся к тож-
тождествам вида щхх + щх2 + . . . + nkxk = 0, где пъ . . ., nk — целые числа.
Поскольку #i, . . ., xk произвольны, то отсюда щхг = 0 и, значит, все соот-
соотношения для К/К2 равносильны тождествам dx = 0, ху — 0, где d — наи-
наибольший общий делитель чисел nt, что и требовалось.
Изучение автоморфизмов приведенно свободных квазиколец опирается
на несколько вспомогательных утверждений, имеющих силу для произволь-
произвольных алгебраических систем. В этом общем виде мы их и сформулируем.
Рассмотрим алгебраическую систему К с произвольным набором операций
и некоторую систему П тождественных соотношений, записываемых в терми-
терминах этих операций. Система порождающих элементов алгебры К называ-
называется П-свободной, если тождественные соотношения П являются полной
системой определяющих соотношений для К в этой системе порождающих
элементов. Алгебраическая система, имеющая хотя бы одну П-свободную
систему порождающих элементов, является приведенно свободной (П-сво-
(П-свободной) системой.
Если алгебраическая система К имеет конечную П-свободную систему
из п порождающих элементов и К не изоморфна никакой своей истинной
фактор-системе, то любые п порождающих элементов системы К будут П-
свободными.
Доказательство этого предложения совпадает с доказательством аналогич-
аналогичного предложения об алгебрах в работе [3].
Если алгебраическая система К имеет в порождающих элементах аь. . .
. . ., ап, . . . тождественные определяющие соотношения П, то подсистема
L, порожденная лишь частью указанных элементов, имеет их своими П-сво-
бодными порождающими элементами.
Отметим, наконец, еще следующее обстоятельство, доказанное Б. Нейма-
Нейманом для групп, но справедливое и для произвольных алгебраических систем:
Всякая конечная алгебраическая система есть гомоморфный образ под-
подходящей конечной приведенно свободной системы.
Переходя к рассмотрению специально квазиколец, заметим, что для ниль-
потентного ненулевого квазикольца всегда К Ф К2. Таким образом, если К
нильпотентно и П-свободно, то аддитивная группа квазикольца К/К2 распа-
распадается в прямую сумму циклических подгрупп одного и того же порядка d.
Систему элементов нильпотентного П-свободного квазикольца К условимся
называть полной и независимой, если образы этих элементов в фактор-кольце

22 Об одном классе алгебраических систем
К/К2 порождают циклические подгруппы одного и того же порядка, прямой
суммой которых является К/К2.
Всякая полная независимая система элементов нильпотентного приве-
денно свободного квазикольца является его приведенно свободной порожда-
порождающей системой и потому может быть переведена в любую другую полную
независимую систему подходящим автоморфизмом квазикольца.
Доказательство, аналогичное доказательству такого же предложения об
обыкновенных кольцах в работе [3], здесь может быть опущено. Обычным
способом (см. [3]) устанавливаются также следующие предложения:
Если идеал / приведенно свободного нильпотентного квазикольца К
содержится в К2 или если характеристика К/К2 есть число простое, то каж-
каждый автоморфизм фактор-квазикольца К/1 индуцируется подходящим авто-
автоморфизмом К.
Для любых двух идеалов 1Ъ /2 приведенно свободного нильпотентного
квазикольца К, содержащихся в К2 и обладающих изоморфными фактор-
квазикольцами Klli-, К11г, существует автоморфизм К, переводящий 1±
в /2.
В случае, когда характеристика К/К2 является простым числом, предпо-
предположение 1г CZ К2, I2 d К2 в условии последней теоремы может быть заме-
заменено требованием равномощности фактор-колец Aг + К2)/К2 и A2 + К2)/К2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. К. Rashevsky. Un schema unifiant la theorie des groupes abstraits avec la theorie
des groupes infinitesimaux de Lie.— G. r. Acad. Sci. Paris, 1936, 202, 1012—1013.
2. D. С Murdoch, O. Ore. On generalized rings.— Amer. J. Math., 1941, 63, N 1, 73—78.
3. А. И. Мальцев. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями.—
Мат. сб., 1950, 26, № 1, 19-33.
4. В. Н. Neumann. Identical relations in groups. I.— Math. Ann., 1937, 114, 506—525.

К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
В теории алгебраических систем, наряду с изучением свойств отдельных
конкретных систем, обычно изучаются зависимости между свойствами произ-
произвольной индивидуальной системы. Однако часто вместо отдельных систем
приходится рассматривать классы систем. Поэтому представляет интерес
также изучение зависимостей между свойствами, принадлежащими одновре-
одновременно всем системам некоторого класса. Зависимости последнего вида и рас-
рассматриваются в настоящей статье. При этом в качестве классов систем бе-
берутся так называемые примитивные классы, т. е. совокупности алгебраиче-
алгебраических систем, имеющих одинаково называемые операции и удовлетворяющих
некоторой фиксированной системе тождеств. Основными рассматриваемыми
свойствами являются перестановочность конгруэнтностей, транзитивность
группы трансляций и определяемость конгруэнтностей своими смежными
классами. В § 1—2 устанавливается ряд зависимостей между этими свойст-
свойствами. В остальных параграфах дается определение топологических алгебра-
алгебраических систем и ищутся по возможности более широкие классы их, для
которых остаются справедливыми общие свойства, присущие топологическим
группам.
Для удобства в статье приведены определения всех нужных для понима-
понимания результатов понятий. Необходимые факты, используемые в доказатель-
доказательствах, содержатся в монографиях Л. С. Понтрягина [4] и Г. Биркгофа [2].
§ 1. Трансляции. Производные системы
Отображение /, ставящее каждой последовательности хг, . . ., хп из п
элементов множества М в соответствие однозначно определенный элемент
/ (#i, . . ., хп) того же множества, называется гг-а рной операцией,
определенной на М. Если соответствующие значения / (хъ . . .
. . ., хп) определены не для всех хг, . . ., хп, а лишь для некоторых, то такая
операция называется частичной. Множество А, рассматриваемое вме-
вместе с совокупностью заданных на нем операций/а (хъ . . ., хПо),называется
алгебраической системой, а операции /а называются основными
для этой системы. Если среди основных операций есть частичные, то система
называется частичной.
При одновременном рассмотрении нескольких алгебраических систем
между основными их операциями обычно считается установленным взаимно
однозначное соответствие, при котором гг-арные операции отвечают тг-арным.
Соответствующие операции называются одноименными и обознача-
обозначаются одинаково. Изоморфизм и гомоморфизм систем с одноименными основ-
основными операциями определяются обычным образом.
Выражения вида /а (xit, . . ., xir), a также xix, . . ., xin, где xit, . . ., xin —
буквы, а /а — обозначения основных операций, называются п о л и н о -
* Мат. сб., 1954, 35, № 1, 3-20.

24 К общей теории алгебраических систем
м а м и от Xiv . . ., х\п первой ступени. По индукции выражения
вида /а (мх, . . ., ип), где иъ . . ., ип — полиномы не выше &-й ступени от букв
хг, . . ., хр и хотя бы один из этих полиномгов является полиномом k-й ступе-
ступени, называются полиномами (к + 1)-й ступени от х±, . . ., хр.
Заменяя з полиноме некоторые буквы элементами рассматриваемой алге-
алгебраической системы, получим многочлен от оставшихся букв. Каж-
Каждый многочлен от букв хг, . . ., хр можно рассматривать как /?-арную опера-
операцию, определенную на множестве элементов заданной алгебраической си-
системы. Результатом операции F (хг, . . ., хп), примененной к элементам
о>ъ • • •» ^7i> называется элемент, получающийся в результате подстановки
в многочлен F вместо букв соответственных элементов %, . . ., ап и выполне-
выполнения внутри заданной алгебраической системы операций, указанных в записи
многочлена. Операции, получаемые при помощи многочленов, называются
многочленными, или производными. Если данная система
частичная, то производные операции также могут оказаться частичными.
Преобразования множества элементов алгебраической системы, имеющие
вид х ->- F (х) = xF, где F (х) — некоторый многочлен от х, называются
трансляциями системы. Так как многочлен от многочлена есть
многочлен, то произведение трансляций, определяемое обычной формулой
x*ST = xS*T = Т (S (х)), снова является трансляцией. Поэтому совокуп-
совокупность трансляций алгебраической системы образует полугруппу — полугруп-
полугруппу трансляций. К числу трансляций всегда относится и тождественное пре-
преобразование Е. Трансляция Т называется обратимой, если существует
трансляция S, для которой ST = TS = Е. Все обратимые трансляции со-
составляют группу трансляций данной системы.
Трансляции вида х -* /а (ах, . . ., аг-г, х, ai+1, . . ., ап), где /а — ос-
основная операция алгебраической системы А, называютбя ее главными
трансляциями. Произведение конечного ^исла главных трансляций
называется элементарной трансляцией. Элементарные
трансляции образуют подполугруппу в полугруппе всех трансляций данной
системы.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение', опре-
определенное на произвольном множестве М, называется эквивалент-
эквивалентностью на М. Эквивалентность 8, определенная на М, называется ин-
инвариантной относительно преобразования Т этого
множества, если из х = у (8) следует хТ = уТ (8). Эквивалентность 8 назы-
называется согласованной с операцией / (хъ . . ., хп), если из
хх = xi(Q), . ., хп = Хп (8) следует / (хъ . . ., хп) = / (хг, . . ., хп) (8). Экви-
Эквивалентность, согласованная со всеми основными операциями алгебраической
системы, называется конгруэнтностью на этой системе. ^
Индукцией по ступеням многочленов легко доказывается
Теорема 1. Конгруэнтности инвариантны относительно всех тран-
трансляций системы. Для того чтобы эквивалентность была конгруэнтностью,
достаточно, чтобы она была инвариантна относительно главных трансля-
трансляций системы. Эквивалентность, согласованная с данными операциями, согла-
согласована и со всеми производными операциями.
Имея алгебраическую систему А с данными основными операциями, мож-
можно образовать ряд многочисленных производных операций. Совокупность
элементов А вместе с несколькими производными операциями, рассматри-
рассматриваемыми в качестве основных, будет новой алгебраической системой, называ-
называемой производной над данной. Теорема 1 утверждает, что все экви-

К общей теории алгебраических систем 25
валентности на множестве А, являющиеся конгруэнтностями для первона-
первоначальной системы, являются конгруэнтностями и для всех производных
систем.
Алгебраическая система с операцией умножения • и двумя операциями
деления / , \, элементы которой удовлетворяют тождест&дм
{ху)/у = х, у \ (ух) = х, х/у-у = х, у-у\х = х, A)
называется^ квазигруппой. Элемент е квазигруппы G называется ее
правой единицей, если х-е = х для всех х Ez G (ср. [6]). Из A)
следует, что во всех квазигруппах имеют место тождества х/(у \ х) = у,
(х/у) \ х = у, а в квазигруппе с правой единицей е, сверх того, тождества
х/е = х, х \ х = е. Квазигруппа, содержащая элемент е, являющийся одно-
одновременно правой и левой единицей, называется лупой. Лупа с ассоци-
ассоциативным умножением -является группой.
Лемма. Каждая квазигруппа содержит в качестве производной системы
лупу с произвольным наперед заданным элементом е в качестве единицы.
Действительно, пусть е — произвольный элемент заданной квазигруппы
G. Определим в G производные операции °, ^ , \ посредством формул
х о у = (х-е \ е)/{у \ е),
х У у = {х>у \ е) / (е \ е)у
у\х = е/(х\ (у-е \ е)).
Легко видеть, что для новых операций Тождества A) остаются верными. Сверх
того,
хое = еох = х,
что и требовадось.
Теорема 2. Для того чтобы каждая алгебраическая система некото-
некоторого примитивного класса содержала производную систему, элементарные
трансляции которой образуют транзитивную группу, необходимо и доста-
достаточно, чтобы каждая система класса среди своих производных систем содер-
содержала лупу.
Доказательство. Достаточность очевидна, так как элементарные
трансляции всякой квазигруппы образуют транзитивную группу. Для дока-
доказательства необходимости рассмотрим в заданном примитивном классе сво-
свободную алгебраическую систему А со счетным множеством свободных порож-
порождающих аъ а2, . . . Среди основных операций данной производной системы
над А найдется неодинарная операция F (хъ . . ., хп). Вводим обозначение:
х-у =; F (х, у; аг, . . ., ап).
По условию трансляции La, Ra, определяемые формулами
xLa = а-.х, xRa = х-а (а, х е А),
должны иметь обратные L"a, R~ai т. е. для подходящих многочленов
Р (х, а, а3, . . ., ап), Q (х,' а, а3, . . ., ап) должны выполняться тождества
Р (х£а, а, аг, . . ., ап) = Р (х, a, az, . . ., ап) La = x B)
и аналогичные тождества для Q. Вводя операции
/а \ х = Р (х, а, а3, . . ., ап), xla = Q (х, а, аъ, . . ., ап),

26 К общей теории алгебраических систем
можно придать тождествам B) вид A). Таким образом, относительно введен-
введенных трех операций множество А становится квазигруппой. Согласно лемме
в этой квазигруппе существуют производные операции, относительно которых
А является лупой.
Алгебраическую систему с двумя тернарными операциями xyz, xxyxz,
элементы которой удовлетворяют тождествам
(xyz) %y%z = x, (xrytz) yz = x, xxz = z, C)
условимся называть битернарной системой.
Заметим, что в битернарной системе имеет место тождество
ххухх = у, D)
так как из C) следует х = (хху) тхху = утхху.
Тождества C) показывают, что трансляции Rab, Sab, где
xRab = xab, ' xSab = ххахЪ,
взаимно обратны, а из тождества D) следует, что aSba = Ъ при любых а, Ь,
т. е. что группа, порожденная % трансляциями Rab, Sab, транзитивна.
Теорема 3. Для того чтобы были транзитивными группы обратимых
трансляций всех систем некоторого примитивного класса, необходимо и до-
достаточно, чтобы существовали производные тернарные операции, относи-
относительно которых системы рассматриваемого класса были бы битернарными.
Доказательство. Достаточность очевидна, так как группы обра-
обратимых трансляций битернарных систем транзитивны. Для доказательства
необходимости снова рассмотрим свободную систему данного класса со счет-
счетным числом порождающих элементов аг, а2, . . . Согласно условию существу-
существуют трансляция Р, переводящая аг в а2, и обратная ей трансляция Р~*. Иначе
говоря, существуют многочлены Р (х, аг, а2, . . ., ап), Q (х, аг, . . ., ап), свя-
связанные тождествами
Q (Р (х, аи . . ., ап), аг, . . ., ап) = Р (Q (х, аи . . ., ап), аг, . . ., ап) = х.
E)
При помощи новых операций, определяемых равенствами
xyz = Р (х, у, z, az, . . ., ап), xxyxz = Q (х, у, z, а3, . . ., ап),
тождества E) можно переписать в виде первых двух тождеств C), а условие
агР = а2 дает третье тождество C).
Произведением бинарных отноше вГи й 8lt 82, опре-
определенных на множестве М, называется бинарное отношение б-^, истинное
для тех и только тех пар элементов х, у из М, для которых в М существует
элемент z, для которого отношения xQ±z и z62^ истинны. Отношения 6Х, 82
называются перестановочными, если б-^ = баб!.
Теорема 4. Для того чтобы все конгруэнтности на каждой алгебраи-
алгебраической системе некоторого примитивного класса * были перестановочными,
необходимо и достаточно, чтобы существовал многочлен г|) (х, у, z), удовлет-
удовлетворяющий тождествам
г|> (х, х, z) = z, г|> (х, z, z) = х
на всех системах этого класса.
* Вместо примитивности класса достаточно требовать существования свободной (в рас-
рассматриваемом классе) системы ранга 3.— Прим. ред.

К общей теории алгебраических систем 27
Доказательство. Достаточность очевидна, так как если много-
многочлена!) (х, у; z) существует и для некоторых конгруэнтностей 6Х, 62 справедли-
справедливы соотношения а = с (б-^, с = Ъ F2), то
г|> (а, с, Ь) = -ф (а, а, b)@i), Ф (а, с, Ь) = -ф (а, с, с)F2)
или
ф (а, с, Ь) = Ь F^, <ф (а, с, Ь) = а F2),
откуда б^ = бабх.
Для доказательства необходимости рассмотрим в данном примитивном
классе свободную систему А с порождающими а, Ь, с. Если эти порождающие
связать соотношением а = с, то система Л перейдет в фактор-систему от А
по соответствующей конгруэнтности 6lt а если связать соотношением Ь = с,
то Л перейдет в фактор-систему A/Q2. Из сравнений а = с (дг)у Ъ = с (92)
и перестановочности 6г с 62 вытекает существование в А элемента d, связан-
связанного сравнениями а = d F2), Ъ = d (дг). Пусть d = *ф (а, с, Ь) — выражение
элемента d через порождающие. В фактор-системе А1§х имеем^ г|) (а, а, Ь) =
= Ь. Но так как A/Q± — свободная система в данном классе с порождаю-
порождающими а, Ъ (см. [3]), то г|? (а, а, Ъ) = Ъ является тождеством во всех системах
рассматриваемого класса. Аналогичным способом устанавливается и тож-
тождество г|) (а, Ь, Ъ) = а.
В битернарной системе в качестве многочлена г|) можно взять
•ф (x,y,z) = (xya) tztu,
где а — какой-либо'фиксированный элемент, и, следовательно, на битернар-
ных системах все конгруэнтности перестановочны. Вспоминая теорему 3,
видим, что конгруэнтности перестановочны вообще на всех классах систем
с транзитивными группами обратимых трансляций. Перестановочными будут,
в частности, конгруэнтности на квазигруппах.
§ 2. Нормальные комплексы
и правильные конгруэнтности
Как известно, в классическом случае обыкновенных групп конгруэнт-
конгруэнтность однозначно определена, если известен один из ее смежных классов, и
конгруэнтности взаимно однозначно соответствуют нормальным делителям.
Аналогичное положение имеет место также в лупах. В связи с этим возник
общий вопрос о характеристике более общих алгебраических систем, где
имели бы место подобные факты.
Вместе с Е. С. Ляпиным назовем совокупность К элементов алгебраиче-
алгебраической системы А ее нормальным комплексом, если на А сущест-
существует хотя бы одна конгруэнтность, для которой К является смежным клас-
классом. Нормальный комплекс К правильный, если он является смежным
классом в точности одной конгруэнтности.
Теорема 5*. Для того чтобы непересекающиеся совокупности Ki9
Kj7 . . . элементов алгебраической системы А были смежными классами под-
'ходящей конгруэнтности 6 на А, необходимо и достаточно, чтобы каждая
♦ В другой форме эта теорема для полугрупп была доказана Е. С. Ляпиным [5]. Позже
она была доказана В. В. Вагнером для однородных пространств с полугруппой преобра-
преобразований. В приведенной в тексте форме она является простым соединением результатов
Ляпина — Вагнера с теоремой 1.

28 К общей теории алгебраических систем
транслированная совокупность KtT или целиком содержалась в одной из за-
заданных, или не имела общих элементов ни с одной из заданных совокупностей.
Доказательство. Действительно, поскольку для любой конгру-
конгруэнтности 8 ш любой трансляции Гиза= Ъ (8) следует аТ = ЪТ F), то транс-
трансляция КгТ смежного класса Кг состоит из конгруэнтных элементов и, следо-
следовательно, является или смежным классом, или же частью смежного класса,
чем и доказывается необходимость условий теоремы.
Обратно, пусть заданы совокупности Кг, Kji . . ., удовлетворяющие усло-
условиям теоремы. Для элементов а, Ъ из А пишем а ~ Ъ (8), если или а = Ъ,
или а, Ъ входят в некоторое Kj, или в некотором Kj найдутся такие и, и, что
для подходящей трансляции Т будет а = иТ, Ъ = vT. Элементы а, Ъ назовем
сравнимыми по 8, если в А найдется конечная цепочка элементов
Хц . . ., хп, для которых а ~ х19 хг ~ х2, . . ., хп ^ Ъ F). Легко доказывается,
что сравнения по 8 являются конгруэнтностью на А. Покажем, что каждое
множество К\ будет смежным классом относительно 6. Прежде всего для любых
двух элементов а, Ъ из Кг имеем й^Ьи, следовательно, а = Ь F). Пусть
теперь а е Kt, Ъ = а (8). Остается доказать, что Ъ ЕЕ Кt. Согласно опреде-
определению в А найдется конечная цепочка элементов, связанных условиями
а ~ х± ~ . . *. ~ хп ~ Ъ F). Из а ~ х19 а ЕЕ Kt следует, что или xt e К^
или а = иТ, хх = vT (и, v £E Ki). В последнем случае КгТ содержит элемент
а, входящий в К%. По условиям теоремы отсюда вытекает, что КгТ d Ku
т. е. что хх ^ Кг. Применяя последовательно указанные рассуждения к па-
парам х1 ~ х2, . . ., хп ~ Ь, получим Ъ е Ки что и требовалось.
Особый интерес представляют системы, в которых подобно группам или
кольцам каждая совокупность может являться смежным классом не более
одной конгруэнтности. Для характеристики этих систем введем одно вспомо-
вспомогательное понятие. Пусть S — любая совокупность элементов алгебраиче-
алгебраической системы А. Для элементов а, Ь из А условимся писать а ~ Ъ (mod S),
если или а = Ь, или a, b ЕЕ S, или а = иТ, Ъ = иТ, где и, v S S, а Т — не-
некоторая трансляция. Элементы а, Ъ назовем сравнимыми mod 5,
если для некоторых хг, . . .*> хп из А имеем: а ^ хх, хг ~ х2, . . ., хп ~ Ъ
(mod S). Легко видеть, что сравнение mod S является конгруэнтностью на А.
Теорема 6. Для того чтобы нормальный комплекс К был смежным
классом лишь одной конгруэнтности, необходимо и достаточно, чтобы каж-
каждая пара элементов а, Ъ из А, для которой при любой трансляции Т утвер-
утверждения аТ €Е К и ЪТ ЕЕ К равносильны, была сравнимой mod Д\
Доказательство. "Конгруэнтность mod S минимальная среди
всех тех, для которых элементы S сравнимы друг с другом. Поэтому из усло-
условий теоремы следует, что К — смежный ^ласс mod К. Пусть 8 — какая-дибо
другая конгруэнтность, для которой К также является смежным классом, и
пусть а, Ъ — произвольные элементы, для которых а = Ъ (8), а=\^Ъ (mod R).
Необходимость условий теоремы будет доказана, если для пары а, Ъ утверж-
утверждения аТ ЕЕ К, ЪТ ЕЕ К окажутся равносильными для любой трансляции Т.
Но последнее очевидно, так как из а = Ъ F) следует аТ = ЪТ @), и по-
поскольку К — смежный класс для 6, то каждое из условий аТ ЕЕ К, ЬТ ЕЕ К
влечет за собой другое.
Для доказательства достаточности предположим, что существует парк
элементов а, Ъ, не сравнимых mod К и таких, что утверждения аТ е К,
ЬТ €Е|йГ для них равносильны при любрй трансляции Т. Обозначим через а
сумму сравнений mod К и mod {a, b}. Конгруэнтность а отлична от сравне-
сравнений mod К, так как а ф Ъ (mod К), а=Ъ (а). Покажем, что К — не только

К общей теории алгебраических систем, 29
смежный класс mod К, но и смежный класс для а. Пусть и 6= К, и = и (о).
Согласно определению суммы эквивалентностей последнее означает, что в
А найдутся! элементы х1У . . ., х2т связанные соотношениями
и = Xi (mod ЙГ), хг = хг (mod (а, Ь}),
х2 = #3 (mod К), . . ., #2n-i = #2n (mod {а, Ь}), х2п = v (mod i£).
Из первого соотношения следует хх ЕЕ 2£. Второе соотношение означает, что
в А имеются элементы у19 . . ., ут, для которых
^i ~ »xt 2/i — 2/2» • • •» 2/m ~ ^2 (mod (a, 6».
Таким образом, для некоторой трансляции Т имеем: хг = аГ, г/х = ЪТ или
а?! = ЪТ, уг = аГ. Поскольку ^ Е Z и по условию утверждения аТ е Ку
ЪТ Ez К равносильны, то ух £= К. Продвигаясь далее аналогичным образом
вдоль цепочки х1у уг, . . ., ym, х2, получим: х2 е -ДГ- Следовательно, из хг е
G ЛГ, ^ = ж2 (mod {а, Ь}) следует х2 е -ЙГ; далее будет следовать #3 ^ ^
и т. д. Через конечное число шагов получим требуемое утверждение v £ К.
Назовем некоторую конгруэнтность правильной, ебли она одно-
однозначно определяется любым своим смежным классом. Наконец, будем гово-
говорить, что алгебраическая система А правильная, если все конгру-
конгруэнтности на ней правильны. Соединяя теоремы 6 и 5, легко сформулировать
необходимые и достаточные условдя правильности системы. Однако эти
условия слишком громоздки и желательно вместо них иметь хотя бы только
необходимые или только достаточные, но более конкретные условия. Грубо,
это можно сделать, например, следующим образом.
При нулевой конгруэнтности, т. е. конгруэнтности, совпадающей с тож-
тождеством, каждый смежный класс состоит из одного элемента. Поэтому, если
какая-либо ненулевая конгруэнтность имеет одноэлементный смежный класс,
то она не может быть правильной. Согласно теореме % система А допускает
ненулевую конгруэнтность с одноэлементным смежным классом с только
в том случае, когда существуют отличные от с элементы а, Ь, для которых
при любой трансляции Т утверждения аТ = с и ЪТ = с равносильны. Таким
образом, для правильности алгебраической системы А необходимо, чтобы для
любой тройки разных элементов а, Ь, с из А существовала трансляция Г,
для которой аТ — с, ЪТ Ф с или ЪТ = с, аТ Ф с, в частности, необходимо,
чтобы полугруппа трансляций была транзитивной.
Несколько усиливая требования, можно получить достаточный признак.
Именно, если для каждой тройки различных элементов а, Ь, с алгебраиче-
алгебраической системы А существуют трансляции S, Т, для которых aST = a, bST =
= Ъ и или aS = с, или bS = с, то все конгруэнтности на А правильны.
Действительно, пусть К — некоторый смежный класс и а, Ъ — пара эле-
элементов, для которых условия аТ ^ К, ЪТ ЕЕ К равносильны Для любой
трансляции Т. Согласно теореме $ нужно показать лишь, что а = Ъ (mod К).
По условию Для произвольного элемента с ЕЕ К найдутся трансляции S, Т,
для которых aST = a, bST = Ъ и aS = с или bS = с. Но если aS e Кг то
bS G K,aS = bS (mod К), откуда aST == bST (mod К), т. е. а == Ъ (mod К).
Указанное достаточное условие выполняется тривиально, если группа
обратимых трансляций транзитивна, так как в этом случае можно взять
Т = fir*.
В приведенных выше формулировках говорится просто о трансляциях.
Легко проверить, что утверждения останутся справедливыми, если в необ-
необходимых условиях под трансляциями понимать произвольные общие транс-

30 К общей теории алгебраических систем
ляции, а в достаточных — под трансляциями понимать элементарные транс-
трансляции. ,
Допустим теперь, что указанный достаточный признак выполняется на
каждой системе некоторого примитивного класса. Рассматривая свободную
систему S этого класса со счетным числом порождающих а, Ь, с, аг, а2, . . .
и применяя признак к элементам а, Ь, с, мы, как и выше, придем к выводу, что
на системе S существуют две кватернарные производные операции xyzt,
xiyizit, связанные тождествами
xxyz = z, xxyxzix = у, F)
{xyxz)xy%xxz = х.
Называя алгебраическую систему с двумя кватернарными операциями,
связанными тождествами F), бикватернарной, мы видим, что все
бикватернарные системы являются правильными системами.
Легко обнаружить, что на бикватернарных системах все конгруэнтности
перестановочны.
Для этого полагаем
г|з (х, у, z) = (xyxx) xztxtx.
Из первых двух тождеств системы F) следует
г|) (х, х, z) = (xxxx) izrxTX = z,
а из третьего тождества вытекает
if (x, z, z) = (xzxx) xzxxxx = х,
что и требовалось.
Изложенное доказывает, что между перестановочностью конгруэнтностей
и правильностью систем имеется связь. Однако эти свойства, во всяком случае»
не равносильны. Например, рассмотрим систему с тремя элементами a, fe, с
и одной тернарной операцией xyz, где xyz = с, если х, у, z различны, и хуу =
= уху = уух = х — в остальных случаях. Разбиение {с}, {а, Ъ} дает кон-
конгруэнтность, имеющую такой же одноэлементный смежный класс {с}, как и
конгруэнтность, совпадающая с равенством, и в то же время конгруэнтности
на этой системе перестановочны.
§ 3. Топологические алгебраические системы
Как обычно (см. П. С. Александров [1]), под топологическим пространст-
пространством будет пониматься множество элементов с выделенной совокупностью под-
подмножеств, называемых открытыми и обладающих свойствами:
а) пустое подмножество и само множество открыты;
б) объединение любой совокупности и пересечение конечной совокупно-
совокупности открытых множеств суть открытые множества.
Топологическое пространство, в котором выполняется аксиома отдели-
отделимости Тг (i = 0, 1, 2), будет называться топологическим Ггпространством.
Частичная операция / (х19 . . ., хп), определенная на топологическом про-
пространстве А, называется непрерывной, если для каждой системы
значений аргументов хг, . . ., хп, для которой у — f {хг, . . ., хп) имеет смысл,
для каждой окрестности V точки у существуют такие окрестности Ul9 ...
. . ., Un точек хг, . . ., хп, что для всех XiG Ut выражение / (хъ . . ., хп)

К общей теории алгебраических систем 31
имеет орысл и/ (х[, . . ., хп) GF.B частности, обычная (всюду определенная)
операция / (хг, . . ., хп) называется непрерывной, если для любой окрест-
окрестности У точки у == / (х19 . . ., хп) существуют такие окрестности Ul9 . . ., Un
точек хх, . . ., хп, что / (Ul9 . . ., Un) d F.
Частичная алгебраическая система, основное множество элементов ко-
которой является топологическим пространством, а основные операции непре-
непрерывны, называется частичной топологической систе-
системой. Частичная топологическая система со всюду определенными основ-
основными операциями называется топологической алгебраиче-
алгебраической системой.
Отображение одной топологической алгебраической системы на другую
будет называться непрерывным изоморфизмом, если оно
непрержвно и является изоморфизмом в алгебраическом смысле. Аналогично
определяются непрерывные гомоморфизмы и другие сходные понятия. При-
Примитивным классом топологических алгебраиче-
алгебраических систем называется совокупность топологических алгебраиче-
алгебраических сиетем, составляющих примитивный класс в алгебраическом: смысле.
Так как непрерывная функция от непрерывной функции является непре-
непрерывной функцией, то все многочленные операции будут непрерывными.
Следовательно, все производные системы, принадлежащие данной тополо-
топологической системе А, можно также рассматривать как топологические системы,
определенные на пространстве А. Трансляции топологической системы явля-
являются непрерывными отображениями А в А, а обратимые трансляции пред-
представляют собою взаимно однозначные и взаимно непрерывные отображения
А на А. В частности, если группа обратимых трансляций топологической
системы транзитивна, то пространство системы топологически однородно.
Например, топологически одйородно пространство всякой топологической
битернарной системы.
Более сильное требование транзитивности группы элементарных обрати-
обратимых трансляций приводит к более интересному топологическому следствию,
хорошо известному для топологических групп:
Теорема *1. Если топологическая система А принадлежит примитив-
ному классу, все системы которого содержат производные системы, элемен-
элементарные трансляции которых образуют транзитивные группы, то про-
пространство системы А регулярно.
Доказательство. Пусть е — произвольный элемент системы А.
Согласно теореме 2 среди производных операций А найдутся операции
умножения и деления, относительно которых А будет квазигруппой с правой
единицей е. Нужно доказать, что каждая окрестность U элемента е содержит
окрестность е, замыкание которой содержится в С/. Так как квазигрупповые
операции непрерывны и ее = е, е/е = е, то найдется такая окрестность еди-
единицы V, для которой VVa U, V/V d U. Пусть рЕ V. Тогда pV — окрест-
окрестность точки р и потому найдется элемент v, принадлежащий пересечению
pV и V. Таким образом, для_некоторого w ЕЕ V имеем pw = v, откуда р =
:= v/w, p e V/V С U, т. е. V С U.
Говорят, что алгебраическая система А порождается элементами неко-
некоторой совокупности Р, если каждый элемент А может быть получен конечной
цепочкой основных операций, исходя из элементов Р. Элемент е алгебраиче-
алгебраической системы А будет называться главным, если он сам по себе образует
подсистему этой системы, т. е. если ft (е, . . ., е) = е для каждой основной
операции ft системы А.

32 К общей теории алгебраических систем
Теорема 8. Если топологическая система А обладает главным эле-
элементом е и порождается элементами некоторой связной окрестности U
элемента е, то пространство А связно.
Доказательство. Пусть А = Fx [j F2 — какое-либо разложение
заданной системы на непересекающиеся замкнутые множества. Предпола-
Предполагая, что е^ Fl9 докажем, что F2 пусто. В самом деле, пусть й£^2ий =
= / (иг, . . ., ип) — выражение а в виде полинома от элементов и19 . . ., ип
окрестности U. Поскольку U связна, то связно и декартово произведение
V = £/("> = U X U X . . ._ X U, причем операция / (х19 . . ., хп) = у
дает непрерывное отображение V в пространство А. Прообраз множества Ft
в V обозначим через Vt (i = 1, 2). Так как Vl9 V2 без общих точек и замкну-
замкнуты, а V связно, то одно из них должно быть цусто, вопреки тому что Vx
содержит (е, . . ., е), a V2 содержит (щ, . . ., ип).
Теорема 9. Связная лупа G алгебраически порождается элементами
любой окрестности единицы.
Доказательство. Обозначим через Н подлупу, порожденную
элементами какой-либо окрестности единицы U. Покажем, что Н одновре-
одновременно открыта и замкнута. Тогда множество G — Н будет замкнуто, а из
разложения G — Ц \J G — Ни связности G будет следовать, что G—Н пусто,
т. е. что G = Н,
Итак, пусть йЕ Н. Тогда aU — окрестность а, входящая в Н, т. е. Н
открыта. Предположим, теперь, что а — предельная точка для Н. Тогда aU
будет содержать хотя бы одну точку h из Н, т. е. для некоторого и ЕЕ U
будет h = аи, откуда а = h/u S Н.
Сравнивая доказанную теорему с теоремой 2, приходим к следствию:
Если связная топологическая система А принадлежит примитивному
классу, совокупности элементарных трансляций систем которого являются
транзитивными группами, то А порождается элементами любого открытого
множества U из А,
Действительно, для произвольного элемента е из U найдутся производные
операции, относительно которых А будет лупой. По теореме 9 система А
будет порождаться элементами U.
§ 4. Гомоморфизмы топологических систем
Отношение 6 (хг, . . ., хп), определенное на топологическом пространстве,
условимся называть непрерывным, если для каждой последователь-
последовательности элементов хг, . . ., хп, не удовлетворяющей отношению 8, существует
такая последовательность открытых множеств Uu xt ЕЕ V\ (i = 1, 2, ...
. . ., п), что для всех х\ (х[ ЕЕ Ut; i = 1, 2, . . ., п) отношение 6 (х'г, . . ., х*)
не выполняется.
Для каждой эквивалентности 6, заданной на множестве Му и каждого
его подмножества Л^б-пополнением N называется совокупность эле-
элементов, эквивалентных хотя бы одному элементу из N. Эквивалентность 6,
заданная на топологическом пространстве, называется полной, если 0-
иополнения открытых множеств открыты.
Пусть М — топологическое пространство и 6 — полная эквивалентность
на нем. Обозначим через M/Q совокупность классов эквивалентных элемен-
элементов, на которые разбивается М относительно 6. Называя образы открытых
множеств из М при естественном отображении М -►■ M/Q открытыми множе-
множествами в M/Q, мы обратим М/в также в топологическое пространство, причем

К общей теории алгебраических систем 33
отображение М -*M/Q будет непрерывным и открытым. Обратно, если за-
задано какое-либо открыто непрерывное отображение топологического про-
пространства М на произвольное топологическое пространство М1У то, называя
точки М, имеющие одинаковые образы в М1у эквивалентными, получим пол-
полную эквивалентность на М.
Таким образом, если не интересоваться выполнимостью в фактор-про-
фактор-пространствах аксиом отделимости, то можно брать фактор-пространства по
произвольным полным эквивалентностям. Дело меняется, как известно, если
необходимо, чтобы в фактор-пространстве имела место та или иная аксиома
отделимости. Для дальнейшего достаточен следующий признак:
Если 0 — полная и непрерывная эквивалентность на топологическом
пространстве М, то фактор-пространство M/Q удовлетворяет аксиоме Т2.
Обратно, если дано открытое непрерывное отображение топологического
пространства М на топологическое пространство N, удовлетворяющее акси-
аксиоме Т2, то соответствующая эквивалентность 8 на М полно непрерывна и
естественное отображение M/Q <-> N является гомеоморфизмом.
Для полноты приведем доказательство последнего утверждения. Пусть
р, q — неэквивалентные точки из М. Их образы в N различны и потому могут
быть разделены непересекающимися окрестностями Ul9 V±. Прообразы U,
У,этих окрестностей содержат соответственно точки р, q, открыты в М, и
никакая точка U не эквивалентна никакой точке V. Следовательно,
0 непрерывна. Гомеоморфность M/Q и N вытекает из того, что открытые
множества обоих пространств являются образами открытых множеств из М.
Пусть теперь А — топологическая алгебраическая система и 0 — полная
конгруэнтность на ней. Тогда, определяя обычным образом на А/0 основные
операции системы А и внося в A/Q указанным образом топологию, получим
снова топологическую алгебраическую систему, причем естественное ото-
отображение А ->А/в будет открытым и непрерывным гомоморфным отображе-
отображением.* Из сказанного видно также, что если А -» В есть открытое непрерыв-
непрерывное гомоморфное отображение топологической алгебраической системы на
систему с аксиомой Т2, то соответствующая эквивалентность 0 на 4 будет
полной непрерывной конгруэнтностью, причем естественное отображение
^4/0 -^В будет топологическим изоморфизмом.
В дальнейшем все топологические системы предполагаются с аксиомой Г2.
Теорема 10. Если на всех системах примитивного класса конгруэнт-
конгруэнтности перестановочны, то на топологических системах этого класса все кон-
конгруэнтности — полные.
Доказательство. Согласно теореме 4 в рассматриваемом классе
существует многочлен г|) (х, у, z), удовлетворяющий соотношениям i|) (x, x, z) =
= z, i|) (x, z, z) = х. Пусть 8 — произвольная конгруэнтность, U — ка-
какое-либо открытое множество и U* — его 8-замыкание. Нужно показать, что
U* — открытое. Если это неверно, то в С/* найдется точка а*, любая окрест-
окрестность которой содержит точку, не входящую в U*. По условию в U найдется
точка а, конгруэнтная а*. Так как а = г|) (а*, а*, а) и многочленг|) (х, а*, а)
является непрерывной функцией от х, то существует окрестность F* точки
а*, для которой С/З^С^*, а*, а). В силу выбора а* в окрестности V*
существует точка у, не входящая в С/*. Но тогда г|) (у, а*, а) е С/ и в то же
время из а = а* следует
я|) (у, а*, а) = -ф (у, а, а) = v,
т. е. точка v принадлежит С/* в противоречии с выбором v.
2 Заказ № 357

34 К общей теории алгебраических систем
В топологических ^-пространствах из непрерывности эквивалентности 8
следует замкнутость всех смежных классов по 0. При некоторых условиях
справедливо и обратное.
Теорема 11. Если на всех системах примитивного класса конгруэнт-
конгруэнтности перестановочны, то на топологических системах этого класса те и.
только те конгруэнтности непрерывны, у которых смежные классы замкнуты.
Доказательство. Пусть г|) (х, у, z) — многочлен, удовлетворя-
удовлетворяющий тождествам^ (х, х, z) = z, i|) (х, z, z) = z. Если я= у @), то при любом а
имеем: г|) (а, х, у) = г|) (а, х, х), т. е. при любом а имеет место сравнение
г|) (а, х, у) = а. Обратно, если для данных х, г/прилюбомаимеемг|)(я, х, у) =
= а, то, подставляя х вместо а, получим у = г|) (х, х, у) = х. Пусть теперь
х ф у. Тогда при подходящем а будем иметь гр (а, х, у) ф а, т. е. точка
г|) (а, х, у) — w не входит в смежный класс, содержащий а. Поскольку этот
класс замкнут, то с ним не будет пересекаться некоторая окрестность W точки
w. Из непрерывности г|) (а, х, у) вытекает существование окрестностей X, Y
точек х, у, для которых if> (а, X, Y) С W. Следовательно, для любых х' е Хг
yr e Y имеем г|) (а, хг, у') ф а, т. е. х' ф у', что и требовалось.
Изложенное показывает, что при помощи конгруэнтностей можно рас-
рассматривать лишь открытые непрерывные гомоморфизмы. Что касается проста
непрерывных гомоморфизмов, то для топологических групп хорошо известен
случай, когда любой непрерывный гомоморфизм является открытым (см. [4],
стр. 77). Не меняя сущности доказательства, легко убедиться в справедли-
справедливости этого и для произвольных битернарных систем.
Теорема 12. Пусть G и Gx — две локально компактные топологиче-
топологические битернарные системы, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.
Всякое непрерывное гомоморфное отображение G на Gx является открытым.
Доказательство. Следуя доказательству из [4], покажем сна-
сначала, что образ W1 в G1 произвольной области W из G содержит область.
Выбираем такую область V, чтобы замыкание ее V было компактно и содер-
содержалось в W. Трансляции вида хТаЬ = хаЪ, xSab = хЬаЬЪ взаимно обратны
и потому являются гомеоморфными отображениями G на себя. Множество
областей вида VTab покрывает все пространство, и в силу второй аксиомы
счетности из этого покрытия можно выбрать счетное VTX, VT2, . . ., где Tt —
подходящие трансляции. Обозначая образ УТг в Gx через Fi9 видим, что Ft
образуют счетное покрытие пространства G± замкнутыми множествами. По
известному предложению отсюда следует, что хотя бы одно из множеств Ft
содержит область. Если это множество есть Fa, то трансляция Тп1 переведет
VTa в F, a Fa в F, и мы получим, что образ V и, тем более, образ W содержит
область.
Пусть теперь U — произвольная область в G, XJX — ее образ в Gx и р± —
произвольная точка из Ux. Остается доказать, что найдется окрестность р19
содержащаяся в U±. Обозначим через р точку из U, переходящую в рг. Так
как ррр = pGf/i операция xyz непрерывна, то найдется такая окрест-
окрестность V точки р, что VVV d U. По доказанному образ V в Gx содержит неко-
некоторую'область Wx. Пусть qx — одна из точек W± и q — точка из V, отобража-
отображающаяся в д1# Образ Vqp содержит область WtfiPn а так как Vqp CZ VVV CZ U+
то W1q1p1 CZ U±. Ho W1q1p1 содержит точку q^iPx = pl9 что и требовалось.
Всякий гомоморфизм основных алгебраических систем является в то же
время гомоморфизмом и для соответствующих цроизводных систем. Поэтому,
сравнивая только что доказанную теорему с теоремой 3, приходим к следст-
следствию:

К общей теории алгебраических систем 35
Если полугруппа производных трансляций даждой алгебраической систе-
системы данного примитивного класса содержит транзитивную группу, то всякое
непрерывное гомоморфное отображение одной локально компактной системы
этого класса со второй аксиомой счетности на другую, удовлетворяющую тем
же требованиям, является открытым.
В частности, открытым является всякое непрерывное гомоморфное ото-
отображение одной локально компактной квазигруппы со второй аксиомой счет-
счетности на другую с теми же свойствами.
§ 5. Накрывающие гомоморфизмы
Открыто непрерывное отображение топологического пространства А
на топологическое пространство А' называется накрывающим, если
для каждой точки х из А существует такая окрестность U =э #> что данное
отображение является гомеоморфизмом, если рассматривать его только между
U и ее образом в А'. Полная и непрерывная эквивалентность 0 на топологи-
топологическом пространстве А называется дискретной, если для каждой точки
х из А существует окрестность, не содержащая ни одной пары различных
эквивалентных точек. Отображение одного топологического пространства
в другое тогда и только тогда накрывающее, когда соответствующая экви-
эквивалентность дискретна.
Топологическое регулярное Г2-пространство со второй аксиомой счетно-
счетности называется линейно связным, если любые две его точки могут
быть соединены непрерывным путем. Пространство называется локаль-
локально линейно односвязным, если для каждой окрестности U
его произвольной точки х существует такая окрестность Уэ^, что любые
два пути с общим началом и концом, целиком лежащие в У, могут быть не-
непрерывно деформированы друг в друга внутри окрестности U.
Теорема 13. Для каждой линейно связной локально линейно односвяз-
ной топологической системы А с выделенным главным элементом е существует
односвязная гомоморфно накрывающая система Ж с выделенным главным эле-
элементом, переходящим в е. Эта односвязная накрывающая система опреде-
определяется однозначно с точностью до топологического изоморфизма и принадле-
принадлежит к тому же примитивному классу, что и заданная система.
Доказательство. Рассматриваем всевозможные пути в А, вы-
выходящие из е, и идентифицируем эквивалентные пути, имеющие данный ко-
конец. В совокупность путей вносится обычным образом топология. Тем самым
совокупность классов эквивалентных путей делается топологическим про-
пространством Л. Ставя каждому пути из % в соответствие его конец, получают
накрывающее отображение односвязного пространства Ж на заданное про-
пространство А. Пусть fi (хг, . . ., хп) — одна из основных операций в А и а1 (£),...
. . ., ап (t) — пути в А, представляющие элементы а1? . . ., ап из Ж. Тогда
fi (ai (*)» • • •» ап @) = а @ будет также путем в А и будет, следовательно»
представлять некоторый элемент а из Ж. Полагая по определению ft (аг, . . .
♦ . ., ап) = а, мы превратим Ж в алгебраическую систему. Поскольку непре-
непрерывные деформации путей а1 (t), . . ., ап (t) вызывают непрерывную деформа-
деформацию пути a (t), то результат операции ft (ax, . . ., ап) не зависит от выбора
путей, представляющих элементы а1? . . ., ап, и потому операции ft в системе
Ж будут однозначными. Легко видеть, что они будут и непрерывны. Естест-
Естественное отображение Ж на А будет алгебраическим гомоморфизмом, так как
концом пути a (t) является элемент ft (ах, . . ., ап). Покажем, что еслинеко-

36 „ К общей теории алгебраических систем
торое тождество F (х19 . . ., хт) = Н (х1У . . ., хт), где F и Я — полиномы от
#!,..., хт, имеет место в А, то оно имеет место ив1. Для этого берем в А
произвольные элементы а19 . . ., ат и выбираем представляющие их пути
а1 (t), . . м яте (t) в Л. Выражения F (аг (t), . . ., ат (t)) и Я (ах (£), . . .
. . .,flm @) будут путями, представляющими F (а2, . . ., ат) и Я (а1? . . ., ат)
в Л. Т^к как для каждого значения t в системе А имеем F = Я, то пути .F (£)
иЯA) совпадают, т. е. F (а1? . . ., ат) = Я (а1? . . ., ат).
Пусть теперь А' -*А —накрывающее гомоморфное отображение неко-
некоторой линейно односвязной системы А1 на данную систему А, при котором
в главный элемент е системы А отображается главный элемент е' системы А\
Как известно, для каждого пути a(t) в системе А, выходящего из е, существует
в системе А' единственный путь a'(£), образом которого в А является путь
a (t). Ставя в соответствие элементу a' (t) тот элемент Ж, который представ-
представляется путем a (t), получим взаимно однозначное и взаимно непрерывное ото-
отображение А' на А. Остается доказать, что это соответствие является алгебраи-
алгебраическим изоморфизмом между А' и А. Пусть а' = ft (аг, . . ., а'п), где а'г....
. . ., ап — произвольные элементы системы А*. Соединяя е' путями % (£),...
... а'п (t) с указанными элементами, получим путь a' (t) = ft (ai (£), . . .
...,ат1 (t)), соединяющий ег с а'. Обозначим через a (t), ax (t), . . ., ап (t)
соответственно образы элементов a' (t), аг (t), . . ., а'п (t) в системе А. Так как
рассматриваемое отображение гомоморфно, то a (t) = ft {аг (t), . . ., ап (t)).
Но пути a (t), ax (t), . . ., ап (t) представляют в А элементы а, а1? . . ., ап
системы А, отвечающие элементам а', %, . . ., ап. Соотношение a (t) =
= /г {ax{t), . . ., ап (t)) означает, что а = ft (аг, . . ., ап). Следовательно, ото-
отображение А' на А гомоморфно, а так как оно взаимно однозначно, то и изо-
изоморфно.
Множество точек топологического пространства называется дискрет-
дискретным, если каждая точка этого множества обладает окрестностью, не содер-
содержащей других точек множества.
В битернарных системах, а следовательно, и во всех системах, содержащих
битернарные, для дискретности некоторой конгруэнтности 0 необходимо и
достаточно, чтобы был дискретным хотя бы один смежный класс, а потому и
все смежные классы по 0.
Необходимость условия очевидным образом выполняется во всех систе-
системах, а не только в битернарных. Пусть, наоборот, все смежные классы по
конгруэнтности 0 на битернарной системе дискретны. Тогда для каждой точки
а найдется окрестность U, не содержащая ни одной отличной от а и эквива-
эквивалентной ей точки. Поскольку основная тернарная операция xyz непрерывна
и ааа = а, то найдется такая окрестность V точки а, что V d U и VVa CZ U.
Пусть теперь #, у — эквивалентные точки, лежащие в V. Из х •= у @) вы-
вытекает хуа = хха = а. Так как хуа е U, то по условию хуа = а, откуда х = у.
В алгебраических системах с выделенным главным элементом е совокуп-
совокупность всех элементов, сравнимых с е по какой-либо конгруэнтности 0, назы-
называется нормальным делителем, отвечающим 0. Пусть система
А имеет операцию умножения. Элемент а называется ассоциирующим
с элементами Л, если ах-у = а»ху, ха»у = х»ау, ху»а = х-уа для всех
ху у яз А. Элемент «коммутирует с элементами Л, если ах = ха
для a;G4. Коммутирующие и ассоциирующие с А элементы называются
центральными.
Теорема 14. Все дискретные нормальные делители связной лупы лежат
в ее центре.

К общей теории алгебраических систем Ш
Доказательство. Пусть. 8 — дискретная конгруэнтность на
связной лупе G и N — соответствующий нормальный делитель. Для любых
ж£б, а£ N имеем
а = е, е/х'пх = е, е/х-ха = е @),
т. е. е/х'ах ЕЕ N, е/х'ха ЕЕ N. Соответствия х -*е/х'пх, х -^elx-xa представ-
представляют собою непрерывные отображения связного пространства G в дискретное
множество N и потому отображают G на один элемент, откуда
е/х-ах = е/е-ае = а, е/х-ха = е/е-еа = а
и, следовательно, ах = ха.
Аналогично для любых х, у из G и любого a Ez N имеем
el{cty)-(xa) у =в е, el{xy)*x (ау) = е ф).
Принимая во внимание связность G и непрерывность отображений
(х, у) -+е/(ху)-(ха) у, (х, у) -+е/ху-х (ау)
снова заключаем, что эти отображения являются отображениями на одну
точку, т. е. для всех х, у имеем
е/(ху)-(ха) у,= а, е/(ху)-х(ау) = а,
откуда (ха) у = х (ау).
Теорема 15. Фундаментальная группа линейно связной топологиче-
топологической системы А, имеющей бинарную операцию с нейтральным элементом,
коммутативна.
Эта теорема является частным случаем более общей теоремы Хопфа о
гомотопических группах пространств с непрерывной операцией. Мы укажем
здесь ее краткое непосредственное доказательство.
Пусть заданная операция есть сложение и 0 — нейтральный элемент,
так что Q-\-x = x-\-Q=x. Рассмотрим замкнутые пути a (t), Ъ (t) @ ^ t <I
^ 1) в А, выходящие из 0. Сумма с (t) = a (t) + Ъ (t) будет снова замкнутым
путем в А, выходящим из 0. Произведением путей a (t), Ъ (t) в фундаменталь-
фундаментальной группе называется путь, получающийся в результате прохождения сна-
сначала пути a (t) и затем Ъ (t). Покажем, что с (t) ~ ab ~ ba. Для этого вводим
функции х, у от параметров t, т @ ^ т ^ 1; 0 ^ £ <; 1), полагая
х = 2t, у = 0 B* - т < 0),
х = (т + 2t - 2*т)/B — T)f у = B* — т)/B — т) B* — т >0).
Отображение (£, т) -va(a;) + 6 (у) является непрерывным отображением ква-
квадрата 0</<1, 0<т<1 в пространство А, причем для каждого фикси-
фиксированного т сумма а (х) + Ъ (у), рассматриваемая как функция от t, дает
замкнутый путь, выходящий из 0. При т = 0 получаем путь с (t), а при т = 1
имеем путь aft, т. е. с ~ аЪ. Рассматривая аналогичным образом отображение
(t9 т) -*а (у) + Ъ (х), получим, что с ~ Ъа.
Следствие. Фундаментальные группы линейно связных систем, при-
принадлежащих примитивным классам с перестановочными конгруэнтностямщ
являются абелевыми.
Действительно, на таких системах существует многочлен i|5 (x, у, z)f
удовлетворяющий тождествам гр (х, z, z) = х, гр (х, х, z) = z. Беря произволь-
произвольный элемент е системы и вводя операцию умножения формулой ху =

38 _ К общей теории алгебраических систем
=ty(z,e, у), видим, что еу = у, хе=хь т. е. е—нейтральный элемент для этой опе-
операции. В силу теоремы 15 отсюда следует коммутативность фундаменталь-
йой группы.
Последнее рассуждение показывает, что на системах примитивного клас-
класса с перестановочными конгруэнтностями для каждого элемента е сущест-
существует производная бинарная операция, для которой е является нейтральным
элементом. Обратное утверждение, как легко видеть, также справедливо, что
дает еще одну характеристику примитивных классов с перестановочными
конгруэнтностями*
ЛИТЕРАТУРА
1. Я. С Александров, Комбинаторная топология. М.— Л., Гостехиздат, 1947#
2. Г. Биркгоф. Теория структур. М., ИЛ, 1952.
3. Л. И. Мальцев, Об одном классе алгебраических систем.— Успехи мат. наук, 1953,
8, № 1, 165—171.
4. Л, С. Понтрягин. Непрерывные группы. М.— Л., ГОНТИ, 1938,
5. Е. С. Ляпин. Нормальные комплексы ассоциативных систем.— Изв. АН СССР,
сер. мат., 1950, 14, № 2, 179—192.
6. Т. Evans. On multiplicative system defined by generators and relations.— Proc. Cam-
Cambridge Philos. Soc, 1951, 47, 637—649.
7. H. A. Thurston. Equivalences and mappings.— Proc. London Math. Soc, 1952, 2f
N 6, 175—182.

О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ МОДЕЛЕЙ1
Значительная часть алгебраических локальных теорем может быть вы-
выведена из следующей основной локальной теоремы: для совместимости бес-
бесконечной системы формул узкого исчисления предикатов, допускающего от-
отношение тождества и произвольное множество символов для индивидуальных
объектов и предикатов, необходимо и достаточно, чтобы была совместна
каждая подсистема данной системы.
В этой форме локальная теорема была получена мною [1] в 1941 г. при
помощи результатов работы [2]. Там же эта теорема была применена к реше-
решению некоторых в то время открытых вопросов теории групп. Результаты эти
позже вошли в обзор [3] и монографию [4], где указано и происхождение их.
Тем же методом пользовались автор [5] и А. А. Виноградов [6] в теории упо-
упорядоченных групп. Однако заметка [1] осталась малоизвестной, и несколько
лет назад возможность применения локальных теорем математической логики
к алгебре была переоткрыта рядом авторов [7], а приложения к теории упо-
упорядоченных групп и основная локальная теорема (но не локальные теоремы о
группах разрешимого типа из [8]) были переоткрыты совсем^недавно Б. Ней-
Нейманом [8] и А. Робинсоном [9].
Для доказательства конкретных локальных теорем приходится обычно
проводить вспомогательные построения. Целью настоящей заметки является
указать несколько видов локальных теорем, конкретные применения которых
не требуют этих вспомогательных построений. В качестве*примера указана
одна новая теорема об упорядоченных группах.
Пусть на некотором множестве А определены предикаты Ог, Ог, ... и
пусть каждому из них Ot (xl9 . . ., #v.) поставлена в соответствие определенная
формула Щ (хг, . . ., Хч) узкого исчисления, свободными переменными ко-
которой являются хг, . . ., xv., а предикатные символы обозначены через i?1?
i?2, . . ♦ Пусть на некотором множестве В определены предикаты i?1?
R2, ... и пусть задано отображение х ->-ха множества А на В. Мы скажем,
что а есть представление модели А в модели В типа О% -*%, если (хг) . . .
. . . (х,.) [А (= Ог (xv . . ., хч) <-> В (= % (xl . . . , 4)] to e Л>- Тип
представления считаем заданным, а модель В и отображение а искомыми.
Теорема 1. Если каждая конечная подмодель фиксированной модели А
допускает представление при помощи подмодели некоторой модели данного
аксиоматизируемого класса, то и модель А допускает представление в этом
классе.
В качестве примера на применение теоремы 1 можно указать теорему об
изоморфной представимости группы матрицами данного порядка, все под-
подгруппы с конечным числом образующих которой представимы матрицами
этого порядка. Доказательство теоремы 1 непосредственно вытекает из основ-
основной локальной теоремы.
♦ Докл. АН СССР, 1956, 108, № 1, 27—29.

40 О представлениях моделей
Рассмотренные представления можно назвать прямыми, так как в них
элементы представляются элементами. Можно построить представления, в ко-
которых элементы представляются предикатами.
Пусть снова <4; О19 О2, . . .> — некоторая модель. Каждому элементу
а ЕЕ А ставим в соответствие предикатный символ Ra (х^ . . ., хр ) и каждому
предикату Ot (хг, . . ., х^) ставим в соответствие формулу 9t (RX1, . . ., Rx^)
узкого исчисления, не содержащую свободных переменных, предикатными
символами которой являются RXi1 . . ., RXyf и может быть некоторые другие.
Мы скажем, что соответствие a -+Ra есть предикатное представление модели
А в модели <2?; Rav Rai, . . .> типа Ot -+- %, если в В формула 9t (i?ai, . . .
. . ., Лау) истинна тогда и только тогда, когда в модели А истинно отношение
Ог (alt . . .r av.). Легко видеть, что из основной локальной теоремы следует
теорема 2.
Теорема 2. Если каждая конечная подмодель данной модели А до-
пускает предикатное представление Ог ->■ Щ в некоторой модели фиксиро-
фиксированного аксиоматизируемого класса, то и сама модель А допускает представ-
представление Ог -v9t| в некоторой модели того же класса.
Примером на эту теорему может служить теорема Стоуна о представимо-
представимости бесконечных алгебр Буля. Предикаты Ra в данном случае следует взять
одноместными, а отношениями a = i + с и a = i' в алгебре Буля А поста-
поставить в соответствие формулы (х) [Ra (х) «-» Rb (х) \/ Rc (x)] и (х) [Ra (x) <-»
<-> "~1Д5 (х)]. Представления нужно искать в классе, определяемом форму-
формулами
(Щ [(Ra(х)&-\Rb(*)) V ПRa(х)&Rb(х))] (афb).
В качестве второго примера рассмотрим так называемые алгебры отноше-
отношений (relational algebras). Тарский [11] показал, что класс представимых алгебр
отношений может быть определен некоторой системой тождеств, а потому
обладает и локальным свойством. Это локальное свойство непосредственно
вытекает и из теоремы 2. Предикаты Ra теперь берем бинарные и соотно-
соотношениям а = Ь', а = йи, а = Ъ + с, а = b»c в алгебре отношений А ставим
в соответствие формулы
(*)(У) [^ *,y)++Rb{y,*)h
И (У) [Ra(*> У) ~ Rb (X, У) V Rc (*, У)],
(х){У) [Ra(х, у) ~ (Щ [Rb (х, z) & Rc(z, у)]].
Аналогичным образом теорема 2 может быть применена к выводу локаль-
локального свойства для представимых проективных алгебр Эверетта и Улама [12]
и вообще для всех предикатных алгебр.
Значительный интерес в алгебре представляют локальные теоремы, ка-
касающиеся расположения подгрупп, идеалов и других систем элементов. Для
вывода таких теорем ни прямые, ни предикатные представления непосред-
непосредственно непригодны. Поэтому целесообразно ввести еще один тип представ-
представлений.
Пусть на модели <Л; О±, О2, . . •> нужно выделить некоторые классы эле-
элементов р19 р2, . . ., обладающие известными свойствами. Эти свойства разо-

О представлениях моделей 41
бьем на два класса. К первому классу S1 отнесем те свойства, которые выра-
выражают отношения классов р19 р2> • • • между собой и которые мы будем пред-
предполагать записываемыми в узком исчислении с основными индивидуальными
объектами р19 р21 . . . Например, к этому классу принадлежат свойства быть
упорядоченной системой, решеткой и т. п. Ко второму классу S2 отнесем свой-
свойства, связывающие pi с элементами А. Их мы предположим записываемыми
в виде формул, кванторы которых частью относятся к р1? р2, • • •» а частью
к элементам А, причем выражение а €= р рассматриваем как предикат
Ez (а, р). Будем считать, что построить модель для Sx & S2 над А значит
найти дополнительное множество Р = (р1? р2, . . .} и определить ЕЕ (а, р)
и предикаты из Sx & S2 так, чтобы все предложения из S± и S2 стали истин-
истинными. Ясно, что для такой общей задачи локальная теорема места не имеет.
Однако имеет место более специальная теорема 3.
Теорема 3. Пусть все выражения из S2 указанной смешанной системы
51 & S2 не имеют кванторов существования, относящихся к элементам
фиксированной модели А. Тогда, если каждая конечная система элементов
из А содержится в подмодели АгС1 А, обладающей надмоделью для S1&S21
то надмоделью обладает и модель А.
Для доказательства вводим бесконечную систему одноместных предика-
предикатов Ra (p) (a G А) и в предложениях системы S2 заменяем всюду выражения
€Е (а, р) через Ra (р). После этого по способу из [2] приводим предложения
52 к нормальному виду, в котором кванторы всеобщности предшествуют кван-
кванторам существования. Так как среди кванторов существования не было от-
относящихся к элементам модели А, то их не будет и в предложениях нормаль-
нормальной формы. Наконец, в последних предложениях выбрасываем кванторы все-
общнбсти, относящиеся к элементам А, а вместо появившихся свобод-
свободных переменных подставляем во всевозможных комбинациях элементы из А.
В результате система S1 & S2 заменится эквивалентной системой обыкно-
обыкновенных предложений узкого исчисления, для которой локальная теорема
верна. <
В качестве примера приведем локальные теоремы из [1], согласно которым
группа G имеет нормальную разрешимую (соответственно центральную)
систему подгрупп, если такую систему имеет каждая подгруппа группы G,
обладающая конечной системой образующих. Другим примером может слу-
служить теорема 4.
Теорема 4. Всякая частично упорядоченная локально нильпотент-
ная группа без кручения обладает центральной системой, состоящей из вы-
выпуклых нормальных делителей.
Для групп с конечным числом образующих эта теорема содержится в [5],
а распространение на общий случай дает теорема 3.
Отметим, что система Sx & S2 есть по существу система из расширенного
исчисления предикатов, так как в ней могут встречаться предикаты предика-
предикатов и кванторы, относящиеся к предикатам. Указанный прием сводит ее\к бес-
бесконечной системе предложений узкого исчисления над промежуточным мно-
множеством «обычных» предикатов. Локальная теорема для предложении 2-й
ступени другого вида была указана Хенкиным [7].

42 О представлениях моделей
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп.—
Учен. зап. Ивановен, пед. ин-та, 1941, 1, № 1, 3—9.
2. А. И* Мальцев. Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik.— Мат.
сб., 1936, 1, № 3, 323—335.
3. А. Г. Курош, С. Н. Черников. Разрешимые и нильпотентные группы.— Успехи мат.
наук, 1947, 2, № 3, 18—58.
4. А. Г. Курош. Теория групп. М., Гостехиздат, 1953.
5. А. И. Мальцев. О доупорядочении групп.— Труды Мат. ин-та АН СССР, 1951, 38,
173—175.
6. А. А. Виноградов. Частично упорядоченные локально нильпотентные группы.— Учен,
зап. Ивановск. пед. ин-та, 1953, 4, № 3, 3—18.
7. L. Henkin. Some interconnections between modern algebra and mathematical logic-
Trans. Amer. Math. Soc, 1953, 74, N 3, 410—427.
8. B. Neumann. An embedding theorem for algebraic systems.— Proc. London Math. Soc.
1954, 4, N 3, 138—153.
9. A. Robinson. Note on an embedding theorem for algebraic systems.— J. London Math.
Soc, 1955, 30, N 2, 257—271.
10. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II.— Proc. Koninkl. nederl. akad.
wet., A, 1954, 16, 572-581, 582—588.
11. A. Tarski. Contributions to the theory of models, III.— Proc. Koninkl. nederl. akad.
wet., A, 1955, 17, 58—64.
12. С J. Everett, S. Ulam. Protective algebra, I.— Amer. J., Math., 1946, 68, N 1, 77—88.

КВАЗИПРИМИТИВНЫЕ КЛАССЫ
АБСТРАКТНЫХ АЛГЕБР*
Абстрактной алгеброй называют последовательность <^4; /1? /2, . . .>,
составленную из некоторого множества А и определенных на А операций
fi (#1, . . ., Хщ) со значениями в А [1]. Далее предполагается, что каждая
операция производится над конечным числом аргументов, а число операций
может быть и бесконечным. Алгебры <^4; /17 /2, . . .> и <5; gx, ^2? • • •) о д н о-
т и п н ы, если они имеют одинаковое число операций и соответствующие
операции зависят от одного числа аргументов. В дальнейшем под клас-
классом алгебр всегда понимается совокупность однотипных алгебр, со-
соответствующие операции которых обозначены одинаково. Алгебры предпо-
предполагаются определенными лишь с точностью до изоморфизма, т. е. если какая-
нибудь алгебра входит в рассматриваемый класс, то в этот класс должны
входить и все изоморфные алгебры.
Класс алгебр, элементы которых удовлетворяют тождествам вида
(*l) • • • (*m) [ф (*1> • • -t «m) = Ч> («1* • . «I «m)]f A)
где кванторы относятся к элементам алгебр, а ср, я|) — многочлены от хх,...
. . ., хт, полученные при помощи конечного числа суперпозиций основных
операций, называется примитивным. Важным свойством примитив-
примитивных классов является существование в них алгебр с заданными определяю-
определяющими равенствами. Однако в литературе встречались и другие классы алгебр,
например полугруппы с сокращениями, кольца характеристики нуль, внут-
внутри которых также оказалось возможным рассматривать алгебры с определяю-
определяющими равенствами. В настоящей заметке изучаются общие свойства классов
алгебр, внутри которых существуют алгебры с произвольными и произволь-
произвольными конечными системами определяющих равенств.
Пусть К — произвольный класс алгебр. Рассмотрим систему S формаль-
формальных равенств щ (аг, . . ., as) = ipx (as+i, . . ., at), гдесрх, ipx — многочлены;
at — элементы вспомогательного множества 3. Алгебра А класса К с по-
порождающими элементами аа, занумерованными при помощи элементов 3,
называется алгеброй с определяющими равенствами
S в К, если для любой алгеёры^В из К и любого отображения а ->- Ъа множе-
множества Зв JS, при котором в В выполняются равенства фх (bai , . . ., &as) =
s= i|) (&as+1, . • .9 baf) из S, существует гомоморфное отображение А в В, пе-
переводящее аа в 6a (a E S). При пустом множестве S алгебра А будет сво-
свободной в К в смысле Сикорского [2]. Очевидно, если алгебра А с опре-
определяющими равенствами S в К существует, то она определяется с точностью
до изоморфизмов над 3.
Класс алгебр К назовем финитно свободным, если в нем
существуют алгебры с любым конечным множеством определяющих
равенств. Класс К назовем свободным, если в нем существуют алгебры
♦ Докл. АН СССР, 1956, 108, № 2, 187—189,

Квазипримитйвные классы абсщракття
с любым множеством определяющих равенств. В свободных классах каждая
алгебра есть фактор-алгебра свободной алгебры. В финитно свободных то же
имеет место для алгебр с конечным числом образующих.
Теорема 1*. Класс алгебр К тогда и только тогда свободен, когда К
содержит все подалгебры и прямые произведения своих алгебр.
Докажем например, что свободный класс К обязательно содержит прямое
произведение любых двух своих алгебр А, В. Рассмотрим алгебру С с образу-
образующими <а, Ъу (а ЕЕ А, Ъ Е= В), имеющую в К определяющие равенства
/i«0i, &i>» • • -, On» К}) = <А(ах, . . ., ап), Д(&1, . . ., ЬП)>» B)
где fi — основные операции класса if.'Добавляя к равенствам B) соотно-
соотношения <а, Ь} = <я, Ь'> (С/), получим систему определяющих равенств для А,
а добавляя к B) соотношения <а, b) = <а', b) (F), получим определяющие
равенства для В. Если бы в С имело место равенство <а, 6> = <<?, d>, то оно
имело бы место и в системе с равенствами B) и (U), т. е. в А, откуда а — с.
Аналогично получим Ъ = d, откуда следует, что С есть прямое произведение
А и В.
В работе Мак-Кинси [3] обнаружилось важное значение для теории алгебр
не только тождеств вида A), но и так называемых условных тож-
тождеств, имеющих вид
(Хг) . . .(Хт) [ф! = Яр! & ... & фп = Я|ЭП -> фп+i = Ярп+l], C)
где фг, ifi, . . ., фп+1, ifn+1 — многочлены от переменных хг, . . ., arm.
Класс алгебр, элементы которых удовлетворяют некоторой фиксирован-
фиксированной системе условных тождеств, будем называть квазипримитив-
квазипримитивным. Если число основных операций и условных тождествут определяющих
класс К, конечно, то К будет называться квазипримитивным
в узком смысле.
В примитивных классах вместе с некоторой алгеброй А тому же классу
принадлежит и фактор-алгебра алгебры А по любой конгруэнтности на А.
Чтобы фактор-алгебра A/Q алгебры А квазипримитивного класса К принад-
принадлежала снова к К, необходимо и достаточно, чтобы конгруэнтность 0 удовлет-
удовлетворяла требованиям
Ы ... (хт) [Ф1 = if 1 & ... & Фп = Фп -► Фп+i = Фп+i (mod 0)],
соответствующим условным тождествам C), определяющим класс К.
Так как подалгебры и прямые произведения алгебр квазипримитивного
класса принадлежат тому же классу [4], то квазипримитивные классы сво-
свободны. Отсюда при помощи теоремы Биркгофа [1] непосредственно следует,
что квазипримитивный класс тогда и только тогда примитивен, когда все
фактор-алгебры этого класса содержатся в нем.
Множество А с последовательностью определенных на нем предикатов
называется моделью [5]. Обычным образом вместо операций можно брать со-
соответствующие предикаты и рассматривать алгебры как модели. Условимся
говорить, что класс алгебр К локально определим, если из того,
* Для корректности формулировок теорем 1 и 3 следует требовать дополнительно, чтобы
рассматриваемый кл&сс К алгебр содержал одноэлементную алгебру. Подробнее и для
произвольных алгебраических систем с предикатами см. в кн.: А. И. Мальцев. Алге-
Алгебраические системы. М., «Наука», 197Q, гл. 5.— Прим. ред.

Квазипримитивные классы абстрактных алгебр 45
что каждая конечная подмодель произвольной фиксированной алгебры М
изоморфна подмодели подходящей алгебры из К, следует, что М принадлежит
классу К. В случае бесконечной системы основных операций в этом опреде-
определении следует брать подмодели относительно произвольных конечных под-
подсистем основных операций.
Теорема 2. Для того чтобы класс алгебр К бил квазипримитивным,
необходимо и достаточно, чтобы он был финитно свободным и локально опре-
определимым.
Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности обозначим
через S какую-нибудь конечную совокупность формальных равенств ф (xv...
. . ., xs) = if (xs+1, . . ., xt), где ф, г|) — многочлены, a xt —элементы неко-
некоторого фиксированного счетного множества. По условию в К есть алгебра А
с определяющими равенствами S. Если в А окажется xt = Xj, то пишем ус-
условное тождество S ->■ хг = xj. Пусть 2 — совокупность всех полученных
таким способом условных тождеств. Из локальной определимости класса К
теперь видно, что К вполне характеризуется условиями 2.
Теорема 3*. Для того чтобы класс алгебр К был квазипримитивным,
необходимо и достаточно, чтобы он был локально определимым и чтобы пря-
прямые произведения алгебр К содержались в К.
Доказательства требует лишь достаточность. Но из локальной опреде-
определимости следует, что К содержит все подалгебры своих алгебр. В силу теорем
1, 2 отсюда вытекает квазипримитивность К.
Аналогично доказывается
Теорема 4. Класс алгебр <^4; /1? . . ., /т>, изоморфно вложимых в ал-
алгебры <Л; /1? . . .,/т, /m+i, . . ., /п> квазипримитивного класса с болъшимчислом
основных операций, сам квазипримитивен.
Иллюстрацией могут служить полугруппы, вложимые в группы. Извест-
Известно [6], что класс таких полугрупп определяется бесконечным числом услов-
условных тождеств, не равносильных никакому конечному числу условных тож-
тождеств. Отсюда, в частности, следует, что теорема 4 неверна для классов,
квазипримитивных в узком смысле.
Однозначная функция / со значениями в А, определенная на части А,
называется частичной операцией на Л. Множество А с заданной
на нем системой частичных операций называют частичной алгеб-
алгеброй [7]. Отображение а одной частичной алгебры в другую того же типа
называется гомоморфизмом, если из равенства у = ft (xv . . ., хр) для эле-
элементов первой следует равенство уа = /$ {х\, . . ., Хр) во второй. Однознач-
Однозначный гомоморфизм частичной алгебры А в алгебру В называется вложе-
вложением А в В. Мы скажем, что на частичной алгебре А выполняется условное
тождество C), если из существования для некоторых хг, . . ., хт многочле-
многочленов фх, я|I? . . ., фп, г|)п, фп+1, существования аргументов ipn+1 и выполнения
равенств фх = tyt, . . ., фп = tyn следуют существование грп+1 и равенство
Фп+1 = tyn+i- Вводя, как выше, понятие частичной алгебры, определяемой
«существующими» многочленами и данными равенствами, легко убедиться,
что такие алгебры существуют в квазипримитивных классах для любых на-
наборов многочленов и равенств.
Теорема 5. В квазипримитивных классах частичные алгебры, задаю-
задающиеся конечным числом существующих многочленов и определяющих равенству
См. примечание к теореме 1.— Прим. ршд*

46 Квазипримитивные классы абстрактных алгебр
конечны. Существование алгоритма для распознавания вложимости конечных
частичных алгебр квазипримитивного класса К в обычные алгебры этого клас-
класса равносильно существованию алгоритма для решения проблемы тождества
в обычных алгебрах класса К.
Для примитивных классов эта теорема доказана Эвансом [71. Доказатель-
Доказательство общего случая проводится тем же способом.
Имеет место также следующее обобщение теоремы 4:
Для изоморфной вложимости частичной алгебры А в обычную алгебру
квазипримитивного класса К необходимо и достаточно, чтобы на А выполня-
выполнялись в слабом смысле все условные тождества, имеющие место на всех обыч-
обычных алгебрах класса К.
ЛИТЕРАТУРА
1. G. Birkhoff. On the structures of abstract algebras.— Proc. Cambridge Philos. Soc,
1935, 31, 433-454.
2. R. Sikorski. Products of abstract algebras.— Fundam. Math., 1952, 39, 211—227.
3. /. McKinsey. The decision problem for some classes of sentences, without quotifies.—
J. Symbol. Log., 1943, 8, 61—76.
4. A. Horn. On sentences which are true of direct unions of algebras.— J. Symbol. Log.,
1951, 16, 14-21.
5. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II, III.— Proc. Koninkl. nederL
akad. wet., 1954, A57, 572—588; 1955, A58, 56-64.
6. А. И. Мальцев. О включении ассоциативных систем в группы.— Мат. сб., 1939, 6,
№ 2, 331—336.
7. Т. Evans. Embeddability and the word problem. — J. London. Math. Soc, 1953, 28,
76—80.

ПОДПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДЕЛЕЙ*
Теорема Биркгофа [1] о разложимости любой абстрактной алгебры в под-
прямое произведение далее неразложимых сомножителей относится к клас-
классу всех алгебр, хотя в некоторых случаях желательно иметь аналогичную
теорему для более узких или для более широких классов. Например, при изу-
изучении колец без делителей нуля или колец, вложимых в тело, естественно рас-
рассматривать разложения в подпрямые произведения колец только тех же клас-
классов. Непосредственно теоремой Биркгофа такие случаи не охватываются,
так как фактор-кольца от вложимых колец, например, могут не быть вло-
жимыми. В настоящей заметке указывается довольно широкая система клас-
классов, внутри которых теорема, аналогичная теореме Биркгофа, заведомо име-
имеет место. При этом оказалось целесообразным перейти от алгебр к моделям.
Для некоторых частных классов моделей подпрямые разложения рассматри-
рассматривались Пиккертом [2], Фостером [3], Фуксом [4]. Терминология берется в
соответствии с [5].
В дальнейшем будут рассматриваться только классы таких моделей, в ко-
которых среди основных отношений находится и отношение равенства =.
Класс однотипных моделей будет называться абстрактным, если вместе с
некоторой моделью он содержит и все изоморфные ей.
Пусть <Л; Рг, Р2, ...> и <2?; Рг, Р2, ...> — две модели одинакового типа.
Отношение а на множествах А, В назовем гомоморфизмом модели 4 на5,
если
axdbx &. . .&ans abn8 &PS (аъ ..., ап^ ->Р8(ЬЪ . . ., Ьп&) (а{ е А, Ъ^ В; s =
- 1, 2, . . .; Рг = =).
Для понятия гомоморфизма существенно* какие именно отношения считают-
считаются основными. В частности, если вместо данных отношений основными счи-
считать их отрицания, то смысл гомоморфизма будет иной. Условимся абстракт-
абстрактный класс моделей называть Н-к л а с с о м, если он вместе с некоторой мо-
моделью содержит и все ей гомоморфные.
Теорема 1. Для того чтобы аксиоматизируемый класс моделей был
Н-классом, необходимо и достаточно, чтобы он состоял из всех моделей, удов-
удовлетворяющих аксиомам вида
., *n), A)
где Qi — произвольные кванторы, a 9t (xx, ..., хп) — формула, составленная
из выражений вида Ps (Xf , ..., xin) только при помощи операций &f \Л
Достаточность вытекает из рассуждений Хорна [6], а необходимость лег-
легко обнаруживается, если заменить аксиомы системами выражений исчисле-
исчисления высказываний и воспользоваться тем, что любое гомоморфное отображе-
отображение подмодели продолжаемо до гомоморфного отображения всей модели,
ведение не будет изоморфрым A(s,b).
♦ Докл. АН СССР, 1956, 109, № 2, 264-266.

Подпрямие произведения моделей
Пусть R (М) — совокупность всевозможных моделей некоторого фикси-
фиксированного типа, определенных на множестве М. Для Мг, М2 ЕЕ R условим-
условимся писать Мг <^. М2, если тождественное отображение М на себя есть гомо-
гомоморфное отображение модели Мх на модель М2. Ясно, что отношение <^ де-
делает совокупность R (М) структурно упорядоченной и тем самым полной
решеткой. Рассмотрим отображение а произвольного множества М на неко-
некоторую модель А. Полагая значение отношения Ps (тг, ..., тП8)(тг ее М) рав-
равным значению Ps (ml, ..., твп^), мы обратим М в модель Ма. Если М было мо-
моделью, а а — гомоморфизмом, то будем иметь М ^ Мв.
Пусть <Ла, Рг, Р2, ...> — заданная система однотипных моделей. Обо-
Обозначая через А декартово произведение множеств А* и полагая отношение
Ps (аг, ..., аПз)(аг е ^4) истинным тогда и только тогда, когда Ps (%, ..., a*s)
истинно для всех а, мы обращаем А в модель, называемую прямым произве-
произведением моделей Аа [6]. Предположим, что заданы однозначные отображения
аа некоторой фиксированной модели М на модеди Аа. Отображения аа по-
порождают естественное отображение а множества М в А. Если а — изоморфизм
М на соответствующую подмодель из А, то будем говорить, что модель М
разложена в подпрямое произведение моделей Аа по проектированиям аа.
Пусть К — некоторый абстрактный класс моделей. Модель М назовем if-не-
разложимой, если в любом разложении М в подпрямое произведение моделей
класса К одно из проектирований является изоморфизмом.
Теорема 2. Абстрактный класс К моделей тогда и только тогда со-
содержит всевозможные подпрямые произведения своих моделей, когда в решет-
решетке R (М) всех моделей типа К, определенных на произвольном множестве М,
совокупность К (М) моделей класса К является полной нижней подполурешет-
кой в R (М), т. е. когда К (М) содержит произвольные произведения (в смысле
произведений в R (М)) своих моделей.
Действительно, если Мо — подпрямое произведение моделей А* класса
К по проектированиям а множества М на Аа, то согласно сделанному заме-
замечанию модель Аа можно рассматривать как модель Ма на М0, и утверждение,
что модель М0 есть подпрямое произведение моделей Аа, оказывается равно-
равносильным утверждению, что Мо есть решеточное произведение моделей Ма
в соответствии с утверждением теоремы 2.
Теорема 3. Для того чтобы модель А класса К была подпрямым про-
произведением К-неразложимых К-моделей, необходимо и достаточно, чтобы для
каждого основного отношения Ps и каждых аг, ..., аПз из А, обращающих в
ложное утверждение Ps (аг, ..., ans), существовали такие Ьг, ..., bnf в А и
такой предикат Pt, чтобы совокупность К-моделей из R (А), обращающих в
ложное утверждение Pt (Ьг, ..., bnf), имела хотя бы одну максимальную мо-
модель А E, Ъ), в которой утверждение Ps (au ..., аПз) было ложным.
Предположим, что условия максимальности выполнены. Обозначив че~
рез Ао подпрямое произведение всех моделей А ($, Ь), беря в качестве проек*
тщюваний, естественные отображения А на A (s, b). Отображение А на Ао
является изоморфизмом, и следует проверить только /Г-неразложимость мо~
де#ей A (s, Ь). Но всякая jfiT-модель В > A (s, b) будет и ЛГ-моделью > А>
содержащей Л (s, b), Ввиду максимальности A (s, b) утверждение Ps (Ьг, ..•
• ••> ЬПз) должно быть истинным в В, если В Ф A (s, b}. Иными словами»
в любом подпрямом произведении истинно гомоморфных образов модели
A (s,b) утверждение Ps (bXi ..., bns) будет истинным, а потому подпрямое произ-
произведение не будет изоморфным A(s, 6).

Лодпрямые произведения моделей 49
Пусть, наоборот, /Г-модель А есть подпрямое произведение /Г-неразло-
жимых Z-моделей Ла, содержащих А (т. е. А <; Аа), и пусть отношение
Ps (ах, ..., ans) ложно в А. Тогда оно ложно и в некоторой модели А*. Если
бы для каждого отношения Pt (Ь1? ..., Ъп^; ложного в Ла, существовала мо-
модель A (s, 6), большая А*, в которой Pt (Ь1? ..., &^) оставалось бы ложным,
то А* была бы подпрямым произведением моделей A (s, 6), вопреки предпо-
предположенной неразложимости А*. Поэтому найдется ложное в Аа утверждение
Pt (Ьх, ..., bnf), являющееся истинным во всех истинных гомоморфных К-об-
разах модели Ла, т. е. А* будет максимальной ^-моделью, в которой Pt (Ьх, ...
..., Ьщ) ложно. ,
Систему моделей назовем цепью, если из любых двух моделей системы
одна содержится в другой. Из теоремы 3 и леммы Цорна вытекает
Замечание. /Г-модель М заведомо разложима в подпрямое произ-
произведение ^-неразложимых ^-моделей, если сумма ^-моделей любой цепи из
R (М) есть снова /Г-модель.
При помощи этого замечания легко доказывается основная
Теорема 4. В любом классе К моделей, характеризуемом произволь-
произвольной системой аксиом вида B) и произвольной системой аксиом вида
B)
где 95 (xl9 . . ., хт) составлено из предложений вида Ps (xiv . . ., xin) при
помощи операций &, \Л "", каждая модель может быть разложена в под-
прямое произведение К-неразложимых К-моделей.
Класс К может быть представлен как пересечение класса Кг моделей,
характеризуемых аксиомами вида A), и класса К2 моделей, характеризуе-
характеризуемых аксиомами вида B). По теореме 1 в классе Кг сумма ^-моделей про-
произвольной цепи Z из R (М) есть ^-модель. В частности, ^-моделью будет
сумма S Z-моделей цепи Z. С другой стороны, если бы для некоторых
хг, . . ., хт из М выражение 95 (хг, . . ., хт) оказалось ложным в моде-
модели S, то в цепи Z нашлась бы 2£-модель Jkf0, в которой 95 (хг, . . ., хт) было
бы так же ложным, в противоречии с выполненностью в Мо аксио-
аксиомы B). Поэтому сумма S принадлежит классу К2, откуда S ^ К. Из
замечания теперь следует, что в классе К теорема о разложимости имеет
место.
В частности, теорема о разложимости справедлива для алгебр, удовлет-
удовлетворяющих произвольной системе универсальных аксиом вида B). К таким
классам, например, относятся классы колец, вложимых в тела, колец без
делителей нуля, полугрупп, вложимых в группы, и т. п.
Другим примером, когда теорема о разложимости имеет место, может
служить класс направленных множеств, характеризующийся аксиомами
(x)(y)(Ez)(x<z& y<z),
((x <y\/y<z\/ x<z)&(x<ty\/y< x)).
Однако если в направленных множествах основными отношениями считать
= и<£,то всякая /Г-модель будет допускать собственное разложение в подпря-
подпрямое произведение больших моделей и теорема о разложимости не будет
иметь место в классе К. Действительно, пусть в направленном множестве М

50 Подпрямые произведения моделей
имеем а <С.Ъ <С с. Множество М упорядочиваем способами М г и М2 следую-
щим образом: для элементов х, у в Мг полагаем х < у тогда и только тогда,
когда в М выполнено х < у и одновременно не выполнено а <^ х < у <^ Ь.
Способ М2 получается заменой в определении элементов а, Ъ соответственно
через Ь, с. Ясно, что при основном отношении <£ упорядоченное множество
М является подпрямым произведением Мг и Мг при тождественных отобра-
отображениях М на Ми М2 в качестве проектирований.
ЛИТЕРАТУРА
иркгоф. Теория структур. М., ИЛ, 1952.
ckert. Direkte Zerlegungen von algebraischen Strukturen.— Math. Z., 1953, 57,
1. Г. Бщ
2. G. Pick
N 4, 395—404.
3. A. L. Foster. Generalized «Boolean» theory of universal algebras, I.— Math. Z., 1953,
58, N 3, 306—336.
4. L. Fuchs. On subdirect unions, I.— A6ta math. Acad. sci. hung., 1952, 3, N 1—2, 103—
120.
5. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II.— Proc. Koninkl. nederl. akad.
wet., 1954, A57, 572—581, 582—588.
6. A. Horn. On sentences which are true of direct unions of algebras.— J. Symbol. Log.,
1951, 16, N 1, 14-21.

О ПРОИЗВОДНЫХ ОПЕРАЦИЯХ
И ПРЕДИКАТАХ*
Пусть А —- алгебра с основными операциями ft (хи ..., xmi), ^ = 1,2,
Основным типом производных операций, определенных на А, являются тер-
термы или многочлены. Но операции ft можно рассматривать и как предикаты
Рг (хи ..., xmv у), определенные на Л и означающие, что U (хи ..., xmi) = у.
Каждая правильно образованная формула 91 (хг, ..., хп) узкого исчисления
предикатов (УИП), составленная из предикатных символов Рг и содержащая
свободные предметные переменные хи ..., хп, может рассматриваться как
производный предикат на А. Может случиться, что 31 будет пред-
представлять на А операцию в указанном выше смысле. Тем самым помимо обра-
образования термов возникает еще один способ для получения новых операций
на А.
В п. 1 мы устанавливаем общий вид операций, получаемых с помощью
формул УИП в классе алгебр, характеризуемых универсальными аксиома-
аксиомами. В п. 2 дается абстрактная характеристика предикатов, представимых
конъюнкциями универсальных формул УИП, а в п.З полученные результаты
применяются к нахождению общего вида производных операций, удовлет-
удовлетворяющих некоторым дополнительным требованиям.
1. Пусть для произвольной формулы 9t УИП со свободными переменны-
переменными #i, ..., хт, у символ Ф (9t) обозначает выражение
(*l) • • • (*т) И (V) (Щ [« {ХЪ . . ., Хт, У) &
&(91 (хъ . . .,* хт, и)&%(хъ .. ., хт, v)->и = v)].
Формулы вида (z/x) ... (ур) 35 (хи ..., хп, уи ..., г/р), где 95 кванторов не
содержит, будем называть универсальными, а формулы, не содер-
содержащие свободных переменных, будем называть аксиомами.
Теорема 1. Пусть Ж — конъюнкция конечного или бесконечного чис-
числа универсальных аксиом, 91 — формула УИП со свободными предметными
переменными хг, ..., хт, у, причем аксиомы из Ж и 91 содержат лишь преди-
предикатные символы Рц ..., Ps. Если выражение
Ф (Рг) Щ.. .[& Ф (Ps) & Я -» Ф (*) A)
является доказуемой формулой УИП, то найдутся такие формулы 9t7- (хг, ...
..., хт) и термы gj (хи ..., хт), / = 1, ..., f, составленные из символов опера-
операций ft, отвечающих предикатам Pt, что формулы
«1 (^ • • •, *т) V • • • V % (*Ь . . ., Хт), B)
Щ (хг, . . ., хт) -> [91,- (хх, . . ., хт) <-> gi (х{, . . ., хт) = gj (хъ . . ., хт)], C)
. . ., Хт))&.. .& (% <-> У= gt)]
* Докл. АН СССР, 1957, 116, № 1, 24—27.

52 О производных операциях и предикатах
будут следствиями аксиом
в = {Ф(^0, • • ., Ф(Рв), Рг(хъ . . ., xmi, у) <-> /г{хъ ,. ., xmi) =
= г/, . . ., Ps (ХЪ . . ., Xms, У) <-> /s (^1, • • ., Xms) = 2/, $}•
Для доказательства обозначим через ha всевозможные термы от перемен-
переменных хи ..., хт и рассмотрим систему предложений @х = {% (хи ..., жт,
ha)i ®}« Допустим, что эта система имеет некоторую модель Л. Ввиду акси-
аксиом Ф (Pi), ..., Ф (Ps) модель А будет алгеброй с операциями Д, ..., /8, отве-
отвечающими предикатам £\, ..., Ps. Подалгебра В, порожденная в А элемента-
элементами х±1 ..., хт, будет, ввиду универсальности аксиом системы $, также мо-
моделью для ©х- Поскольку В удовлетворяет посылке выражения A), то в В
найдется элемент у = &х, для которого % (хг, ...,,#т, Ах) будет истинно, во-
вопреки допущению. Из противоречивости @х вытекает противоречивость ее
подходящей конечной части, т. е. из аксиом © для подходящих термов gx =
= hai, ..., gt = haf вытекает формула
gt. E)
Полагая теперь
%{(хъ . . ., хт) = (z)%(хъ . . ., хт, z)^z = gi(хъ . . ., хт)) (i = l,..., t),
получим B), C), D). Действительно, пусть хг, ..., хт — произвольные эле-
элементы алгебры, удовлетворяющей аксиомам к. По условию найдется эле-
элемент г/, для которого 91 (хг, ..., хт, у) истинно. Из E) следует, что у =
= g-k (xi, ..., хт) для некоторого X. Поэтому %\ (хг, ..., хт) истинно, и B)
доказано. Пусть для некоторых хг, ..., хт, у выражение 91 (хг, ..., хт, у)
ложно. Тогда найдутся z, А,, для которых 91 (хи ..., хт, z) истинно, z ==
= g\ {хх, ..., хт), z Ф г/, а потому истинно и 9tx (xu ..., хт). Тогда выраже-
выражение 9tx (#ц ...» хт) <-> у = gx (#и ...» #m) ложно. Вместе с ним ложна и вся
правая часть эквивалентности D). Таким образом, из ложности левой части
формулы D) вытекает ложность ее правой части. Аналогично доказываются
обратное утверждение и формула 3.
2. Пусть К — некоторый класс абстрактных моделей вида <М; Рг, ...
..., Psy. Предположим, что на каждой модели класса К задан каким-либо
способом, не обязательно формулой УИП и не обязательно единственным
способом, еще предикат Р (хг, -.., хп). В качестве примера можно взять пре-
предикат <ix несравненно меньше г/», имеющий смысл в каждой упорядоченной
группе, хотя он и не может быть выражен формулой УИП. Назовем Р и н-
вариантным относительно перехода к ^-подмоде-
л я м, если из истинности Р (хг, ..., хп) в /Г-модели, содержащей хи ..., хп,
следует истинность Р (хи ..., хп) во всякой ее ТГ-подмодели, содержащей
#!, ..., хп. Аналогично, предикат Р назовем инвариантным отно-
относительно перехода к iT-надмоделям, если из истинности
Р (#!, ..., хп) в некоторой /Г-модели М следует истинность Р (хи ..., хп) во
всякой /Г-модели, содержащей М в качестве своей подмодели. Предикат Р
будем называть формульным, если существует формула УИП 91 (хг, ..., хп),
для которой Р (хх, ..., хп) <-> % (#!, ..., хп) на каждой iiT-модели. Очевидно,
инвариантность Р относительно перехода к подмоделям равносильна инва-
инвариантности р относительно перехода к надмоделям. Формульный преди-
предикат, инвариантный относительно перехода к надмоделям, А. Робинсон [31
называет устойчивым на/Г.

О производных операциях и предикатах 53
Предикат Р (хи..., хп), истинность или ложность которого определены
не обязательно для всех хи ..., хп из некоторого множества М, назовем час-
частичным предикатом на М„ Отображение о множества М с частич-
частичным предикатом Р в множество N с одноименным предикатом называется
Р-гомоморфизмом, если из истинности Р {хх, ..., хп) в М следует
определенность и истинность Р (х\, ..., хп). Говорим, что множество М
Р-вкладывается в N отображением or, если сг отображает Af на Ма одно-
однозначно и если из определенности Р (хг, ..., жп) на М следует определен-
определенность Р {х\, ..., хп) на N и его эквивалентность с Р (хи ..., хп).
Теорема 2. Для того чтобы на классе К* моделей с основными преди-
предикатами Ри ..., Ps, P имела место формула
Р {хъ . . ., хп) «-> & (хп+1). . . (хРл) 95а (%ъ • • м %п, хп+ъ . . ., хРо), F)
в которой конъюнкция может быть бесконечной, а 95а — открытые формулы
УИП, не содержащие знака Р, необходимо и достаточно, чтобы класс К*
обладал следующими свойствами: если о есть (Ри ..., Р^-изоморфизм некото-
некоторой (Pl7 ..., Р8)-модели М, снабженной дополнительным частичным преди-
предикатом Р, на подходящую К*-модель М* и в то же время каждая конечная
(Рх, ..., Ps, Р)-подмоделъ частичной модели М вложима в некоторую К*-мо-
делъ, то о есть Р-гомоморфизм М на М*.
Необходимость. Пусть на М* имеет место формула F) и для
некоторых ах, ..., ап из М выражение Р (аи ..., ап) определено, а Р (а\, ...
..., ап) ложно. Поскольку о есть (Р1? ..., Р^-изоморфизм, формулы 95а
символа Р не содержат, то на М выражение, стоящее в правой части эквива-
эквивалентности F), ложно. Поэтому найдутся такое X и такие ап+1, ..., ар в М,
что Э&х (#!, ..., ар) будет ложно. По условию подмодель М\, состоящая в М
из элементов а±, ..., ар, вкладывается в некоторую 2£*-модель N, в которой
для Р имеет место выражение F). Так как Э5х (аг, ..., ар) ложно, то Р (аг, ...
..., ап) в N, а потому и в М также ложно.
Достаточность. Обозначим через %\ (х±, ..., хп) всевозможные
универсальные формулы, не содержащие символа Р, для которых в К* вы-
выполнено соотношение
Ы • • • (а^) [Р {хъ . . ., хп) ~> Stx(«i, . . ., хп)]. G)
Допустим, что существует 7Г*-модель М*, в которой выполнена система
{Их (as, ..., ап), Р (а±, ..., ап)}, где ах, ..., ап —индивидуальные конс-
константы. Пусть М есть та же модель М*, но с измененным предикатом Р: в М
полагаем Р (а1? ..., ап) истинным, а для остальных значений аргументов счи-
считаем Р неопределенным. Тождественное отображение оМ на М* есть (Р±, ...
,.., Р5)-изоморфизм. Если бы каждая конечная подмодель модели М была
вложима в подходящую 7Г*-модель, то по условию отображение о было бы
гомоморфизмом, чего нет, так как в М выражение Р {ах, ..., ап) истинно, а в
М* ложно. Поэтому найдется конечная подмодель Мо модели М, не вложи-
маянив какую #*-модель. Пусть диаграмма [2] модели Мо есть Р (аг, . . .
. . . , ап) & R (а±, . . . , ап, . . . , aq), где R — открытая формула, не со-
содержащая символа Р. В К* имеем Р (аи . . . , ап) -^ (an+i) . . . (aq) Я,
т. е. для некоторого % имеем
%-к{хъ . . ., Хп) = (an+i). . . К) Л (хъ . . ., хт ап+1, . . ., aq). (8)

54 О производных операциях и предикатах
Но в М* имеем одновременно Six (аг, . . . , ап) и R (а1? . . . , anf an+u • • •
. . . , aq), что противоречит (8). Это показывает, что модель Ж"* не сущест-
существует, т. е. в К* из & 9tx (#i> ...» пп) вытекает Р (а1у . . . , ап), что вместе
с G) дает F).
Беря в теореме 2 в качестве Р 0-местный предикат и обозначая через L
совокупность тех 7£*-моделей, на которых предикат Р истинен, приходим к
теореме А. Тарского [41: подкласс L моделей класса К тогда и только тогда
выделяется из К системой универсальных аксиом, когда из вложимости любой
конечной подмодели произвольной iT-модели М в подходящую //-модель сле-
следует, что М есть L-модель.
Предполагая в теореме 2 предикат Р формульным, получим в качестве
следствия теорему А. Робинсона [3]: для того чтобы формульный предикат
5( на аксиоматизируемом классе моделей К был эквивалентен универсаль-
универсальному формульному предикату, необходимо и достаточно, чтобы предикат 9t
был инвариантным относительно перехода к ^-подмоделям.
3. Открытые формулы являются простейшими формульными предиката-
предикатами, инвариантными относительно перехода к под- и надмоделям в любых клас-
классах К. Если класс К характеризуется универсальными аксиомами, то откры-
открытые формулы будут единственными формульными предикатами, обладающи-
обладающими указанными свойствами. Однако в классе алгебр это уже перестает быть
справедливым, так как требуемой инвариантностью обладают все термы.
Теорема 3. Если в универсально аксиоматизируемом классе алгебр
К формула % (#!, ..., хп) является предикатом, инвариантным относитель-
относительно перехода к над- и подалгебрам, то % эквивалентна в К открытой форму-
ле, составленной из выражений вида g = h, где g, h — некоторые термы.
В силу второго следствия теоремы 2 для 51 в классе К имеем представле-
представление 91 (хг, . . . , хп) <-» (у±) . . . (ур) 95 (хи . . . , хп, уи . . . , ур). Пусть
аи . . . , ап — элементы произвольной it-алгебры А и В — подалгебра, по-
порожденная в А элементами аи . . . , ап. По условию значение 9( (ах, . . ♦
. . . , ап) в А совпадает с значением этого выражения в В, т. е. в К имеем
&Я5(%, ♦. ., ап, g\, . .., gp)->9( («i, . . ., an), (9)
где конъюнкция берется по всевозможным наборам термов gl, . . . , gp. По-
Поскольку формула (9) должна следовать из системы аксиом, определяющей К,
то она должна иметь место уже для конъюнкции конечного числа членов, что
и требовалось.
Предикат Р, определенный на классе моделей К, назовем мультипл и-
кативно инвариантным, если Р «ах, Ьх>, . . . , (ап, ЪпУ) эк-
эквивалентно Р (ai, . . . , ап)& Р (&!, . . . , Ъп), где <аг, bty —элементы пря-
прямого произведения iiT-моделей А, В (аг, ЕЕ А, Ьг ЕЕ В), при условии, что А X
Теорема 4. В квазипримитивном классе [1] алгебр К формульный
предикат 9( (хи . . ., хт, у) является мультипликативно инвариантной
операцией тогда и только тогда, когда 9( представляется термом.
Согласно теореме 1 для 9( имеет место формула E). Если каждая из фор-
формул 9( (хи . . ., хт,у)-+у = gt (хг, . . ., хт) на К не выполняется, то суще-
существуют ^-алгебры At, содержащие а\, . . ., а^, Ь\ в которых % (а[, . . .
. . ., ат, Ъг) истинно и Ьг ф gt (а\, . . ., агт)Г^Полагая аа = <а«, . . .
. . . , а*а>, в Аг X . . . X At получим 9t (аг, . . ., ат,Ь) и Ъф gt (аи . . .
. . ., ат), i = 1, . . ., t в противоречии с E).

О производных операциях и предикатах 55
Теорема 5. Для того чтобы производная операция , представляемая
на квазипримитивном классе алгебр К формулой % (хг, . . ., хт, у), била тер-
термом, необходимо и достаточно, чтобы она была гомоморфно инвариантной,
т. е. чтобы для любого гомоморфизма о К-алгебры А на произвольную К-алгебру
В из истинности % (аи . . ., ат, а) в А следовала истинность 9( (#J, . . ., а^>
аа) в В.
Рассмотрим ЛГ-свободную алгебру А с свободными порождающими аг, . . .
. . ., ат, . . . [1]. По условию найдется терм g (аг, . . ., ат), для которого
9t (аи . . ., ат, g) истинно. Так как существует гомоморфизм А в любую
iT-алгебру В, в которой а\ можно выбрать произвольно, то в любой iT-алгеб-
ре % (аи . . ., ат, g) истинно, т. е. в К имеем 9( (аи . . ., ат, а) <-» а =
= g (аи . . ., а!П).
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
2. A. Robinson. A result on consistency and its application to the theory of definition.—
Indagationes Math., 1967, 18, N 1, 47—58.
3. A. Robinson. Note on a problem of L. Henkin.— J. Symbol. Log., 1956, 21, N 1, 33—36»
4. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I,II.— Proc. Koninkl. nederl. akad.
wet., 1954, A57, 572—588.

О КЛАССАХ МОДЕЛЕЙ
С ОПЕРАЦИЕЙ ПОРОЖДЕНИЯ*
В теории алгебр существенную роль играет понятие порождающих эле-
элементов. Перенося это понятие в теорию моделей, естественно говорить, что
совокупность элементов S некоторой модели М заданного класса К порож-
порождает в М ее ^-подмодель N, если N есть пересечение всех if-подмоделей мо-
модели М, содержащих элементы S (терминологию см. [1, 2]). Так как понятие
порождения будет употребляться и в другом смысле, то указанные порожде-
порождения условимся называть натуральными. Соответственно этому класс
моделей К будем называть классом с натуральными порож-
порождениями, если пересечение любой системы ^-подмоделей произвольной
if-модели М либо пусто, либо является ^-подмоделью модели М. Ниже изу-
изучаются некоторые свойства классов моделей с натуральными порождениями,
а также рассматривается другой вид порождений, естественно возникающий
при изучении алгебр с частичными операциями.
Все рассматриваемые классы моделей будут предполагаться абстрактны-
абстрактными. Число основных предикатов и индивидуальных символов в этих классах
может быть и бесконечным, но каждый предикат предполагается зависящим
от конечного числа аргументов. Класс моделей К условимся называть п с е в-
доаксиоматизируемым, если он обладает следующими двумя
свойствами: 1) если каждая конечная часть некоторой системы аксиом УИП,
записанных с помощью предикатных и индивидуальных символов класса К,
выполняется в подходящей if-модели, то и вся система выполняется в подхо-
подходящей if-модели; 2) для каждого кардинального числа m существует такое
кардинальное число tt(m), что во всякой Z-модели, содержащей некоторую
систему элементов S мощности т, существует iiT-подмодель мощности n(m),
содержащая элементы S. Согласно локальной теореме УИП, все аксиомати-
аксиоматизируемые классы моделей являются псевдоаксиоматизируемыми. Рассмот-
Рассмотренные Тарским [2] классы, составленные из моделей аксиоматизируемых
классов, на которых часть предикатов выбрасывается (РСд-классы в обозна-
обозначениях Тарского), также псевдоаксиоматизируемы. В обоих названных слу-
случаях т = п (т) для достаточно больших т. Совокупность всех упорядочен-
упорядоченных множеств предельных мощностей может служить примером псевдоаксио-
псевдоаксиоматизируемого класса, не допускающего аксиоматизации и не являющегося
РСд-классом.
1. Пусть К — псевдо аксиоматизируемый класс моделей с натуральными
порождениями; А — произвольная if-модель с натуральными порождающи-
порождающими аа, а G Гь и пусть ах, ?* ЕЕ Г2,— остальные элементы А. Обозначим че-
через D (аа, . . ., aY; ах, . . ., av) диаграмму [3] подмодели С, образованной в
А элементами aa, ... aY, ax, . . ., av, т. е. совокупность формул вида
Pt (a,i, . . ., ak) или ~ Pt (at, . . ., aft), истинных в С, где Pt — основные пре-
предикатные символы класса К. С каждым элементом ax, X e Г2, сопоставим
индивидуальные константы #х, ]/х, не входящие в множество основных конс-
♦ Докл. АН СССР, 1957, 116, № 5, 738—741.

О классах моделей с операцией порождения 57
тант класса К, и рассмотрим систему аксиом % = {D (аа, . . .; #х, . . .),
D (аа, . . .; у\, •••)>]/$ Ф- #^}, гДе £ — произвольный фиксированный ин-
индекс из Г2, a \i пробегает Г2. Если бы каждая конечная часть системы X вы-
выполнялась на подходящей ЛГ-модели, то нашлась бы iST-модель М, в которой
выполнялись бы все аксиомы из %. Но тогда в М имелись бы две минималь-
минимальные ЛГ-модели, содержащие элементы аа, что невозможно. Поэтому найдутся
конечные совокупности аи . . .,а8иЯ,19 . . .,Xt, для которых в К будем иметь
' аа1, . . ., av х^, . . ., xxt) & D{ (аа„ . . ., av yXl, • • ., Уъг) -►
— подходящая конечная поддиаграмма D (аа1, . . ., аа&, aXl, . . ., a\t).
В формуле A) константы at, x$, yj не содержатся в множестве основных кон-
констант класса К. Поэтому выражение A) можно понимать как универсальную
аксиому с кванторами всеобщности по аи xh yj.
Теорема 1. Пусть в псевдоаксиоматизируемом классе моделей К с
натуральными порождениями К-модель А порождается элементами
аа. Если G — группа автоморфизмов А, оставляющих на месте каждый по-
порождающий элемент А, то для любого а ЕЕ А множество aG конечно.
Пусть в диаграмме D (А) имеем а = а%. В А выражение D% (aai, . . .
. . ., aag, aXl, . . ., аХг) истинно. Поэтому истинно и выражение D% (aai, . . .
• • .» flas> flxtg, • • •» axtg) для любого ^Gfi.B силу A) для фиксированных
%и . . ., kt при любом g ЕЕ G имеем ag = aXl \/ . . . \J ag = a\t, т. e. aG £
£ {aXl, . . ., axj.
В классе всех алгебр фиксированного типа имеет место более сильное ра-
равенство aG = а. Однако возможен для моделей и случай aG Ф а.
Он имеет место, например, для класса всех частично упорядоченных мно-
множеств, в которых каждый элемент имеет два и только два непосредственно
больших.
2. Пусть К — псевдоаксиоматизируемый класс моделей; {аа} — некото-
некоторое множество символов, отличных от индивидуальных символов класса
К. Рассмотрим отображение аа -> а£ указанного множества внутрь некото-
некоторой .йГ-модели Aa такое, что ааа являются порождающими Аа. Пусть Da —
диаграмма модели Аа и/?ау (аа , . . ., аа , uXl, . . ., ux ) — все ее конечные
поддиаграммы, где aa, ux — элементы из подмодели, отвечающей Z)av.
В A a имеют место аксиомы
(Я#х). . . C#g) Z)av (aai, . . ., aap, хц . . ., xq), B)
которые обозначим сокращенно через 2?ov (aai, . . ., аа ).
Лемма. Если в произвольной модели М [не обязательно из класса К) вы-
выполняются все аксиомы A), рассматриваемые в качестве универсальных, и для
множества {аа} индивидуальных символов выполняются аксиомы B), то М
содержит подмодель, канонически изоморфную модели Аа.
По условию М содержит элементы, обозначенные символами aa,
и для каждого g в М есть элементы ml, . . ., mf, для которых формула
D'i(aat, ..., aas, ttii, . . ., т}) истинна. С каждым элементом их модели
Aa сопоставим новый символ ух и рассмотрим вспомогательную систему
SR, образованную аксиомами D^^a^, . . ., aas, yXl, . . .-,v\t) при всевозмож-
всевозможных v, а также аксиомами v^ = т} \/ . . . \/ v% = т$ и диаграммой модели

58 О классах моделей с операцией порождения
М, причем элементы аа в системе 31 следует заменить соответствующими
элементами модели М. Из справедливости в М аксиом A), B) следует, что
каждая конечная часть системы 31 совместна. Поэтому совместна и вся систе-
система 91, утверждающая, что М содержит подмодель, изоморфную Аа.
Лемма доказана. С помощью этой леммы может быть доказана следую-
следующая основная теорема
Теорема 2. Всякий псевдоаксиоматизируемый класс К моделей с
натуральными порождениями аксиоматизируем и притом аксиоматизируем
с помощью только аксиом сколемского вида.
Пусть @ — совокупность всех аксиом вида (хг) . . . (хт) (Зг/i) . . .
. . . (Зг/ПK3, истинных на всех моделях класса К.
Нужно доказать, что каждая модель А, на которой истинны все аксиомы
системы @, принадлежит К. Обозначим через аа (a G: Г) все элементы А и
с каждым аа сопоставим новый символ са. Рассмотрим всевозможные отобра-
отображения са ->■ й совокупности {са} в iT-модели Ма мощности п (ш), где m —
мощность А. Пусть Da —диаграмма подмодели Аа, порожденной внутри
Ма элементами с£. При любом отображении са -> Ьа элементов са в произ-
произвольную ЛГ-модель В в В выполняется аксиома
(Cai, . • ., Cap) = & \JaEay,a (cttl, . . ., C«p), C)
а потому в К имеет место и каждая из аксиом \/ аЕа>,а (cai, . . ., cap), где
vo — произвольная функция, осуществляющая выбор по одному члену
из каждого члена первой дизъюнкции. Ввиду псевдоаксиоматизируемости
К отсюда вытекает существование конечного множества {ог, . . ., ok}, для
которого в К истинна аксиома Eai*t (с) V • • • V ^<Vk (с)» а значит> ис-
истинна и аксиома (ci) . . . (ст) (Еа%п (с) V • • • V ^v* (c))» имеющая ско-
лемский вид. Но все сколемские аксиомы, выполняющиеся в К, принадле-
принадлежат @ и потому истинны на А. Следовательно, на А истинна аксиома C)г
а потому для некоторого а на А должна выполняться аксиома &^Еа^ (cai, . . .
• • ч сар)- Аксиомы A) выполняются на К и имеют сколемский вид. Поэтому
A) истинны на А. Согласно лемме отсюда следует, что модель А имеет подмо-
подмодель, содержащую элементы аа и изоморфную if-модели Аа. Но элементы
аа исчерпывают всю модель А, которая оказывается, таким образом, изо-
изоморфной А а.
Следствие. Если в моделях аксиоматизируемого класса К непустые
пересечения К-подмоделей суть К-подмодели, то всякая модель М, любое
конечное множество элементов которой содержится в подходящей К-подмоде-
ли, является К-моделью.
Это непосредственно вытекает из того, что К может быть охарактеризо-
охарактеризован аксиомами сколемского вида (ср. [4]).
3. Теорема 2 не содержит явного описания аксиом, при помощи которых
можно задать классы с натуральными порождениями и только такие классы.
Наиболее простой и достаточный признак можно сформулировать следующим
образом. Аксиомой явно функционального типа назовем конъюнкцию сле-
следующих двух выражений:
(хг). . . (аь) (ЭЗД . . . (Яз/П) 31 (хх, . . ., х,л, уъ . . ., з/п),
y1 t..9yu == z
где 9( (£, ty) кванторов не содержит, £ = (хи . . ., хт).

О классах моделей с операцией порождения 59
Теорема 3. Класс моделей К, характеризующийся аксиомами явно
функционального вида и универсальными аксиомами, обладает натуральны-
натуральными порождениями. Автоморфизм К-модели, оставляющий на месте все эле-
элементы какой-нибудь порождающей системы, оставляет на месте все элемен-
элементы модели.
Доказательство такое же, как и в случае алгебр. По виду более общими,
чем явно функциональные аксиомы, представляются конъюнкции выраже-
выражений
(?i) Cl)i) (f2) CtJ). . . E,) Ct)ft) 9t (?1, . . ., ft, t)x, . . ., i,,), D)
*(*i. • • •> ?ki 9i. • • м t)ic) & 9t (Si, ...,?»i to---. У-*fi=*i&...&?*=?>*.
E)
Однако, как легко убедиться, каждая такая конъюнкция равносильна явно
функциональной аксиоме и нескольким универсальным аксиомам. Поэтому
заключение теоремы 3 имеет силу и для классов, характеризующихся пара-
парами аксиом вида D), E).
4. Порождения, рассматриваемые в топологических алгебрах и алгебрах
с частичными операциями, не всегда являются натуральными. В связи с
этим введем следующие определения. Пусть рассматриваются модели, основ-
основные предикаты которых занумерованы элементами множества П, и пусть
л — некоторая часть П. Подмодель N модели М рассматриваемого типа на-
назовем я-замкяутой в М, если из истинности выражения Ра (хг, . . ., хП(х, у)
для «Ея, {хг, . . ., хПа) с: N, у е= М, следует у GE N. Легко видеть, что
пересечение произвольной системы jt-замкнутых подмоделей либо пусто, ли-
либо есть jt-замкнутая подмодель. Пусть рассматривается класс моделей К.
В этом классе подмодель N некоторой Z-модели М назовем я-п о р о ж д а-
ющейся элементами {аа}, если N есть наименьшая Jt-замкнутая
К -подмодель модели М, содержащая элементы аа. Класс К назовем клас-
классом с Jt-п орождениями, если непустые пересечения jt-замкнутых
/Г-подмоделей в ^-моделях являются jfiT-подмоделями.
Теорема 4. Если некоторая модель М удовлетворяет аксиоме вида
(QxxJ . . . (Qmxm) 9l (#!, . . ., xm), где 9l (хг, . . ., xm) — открытая положи-
положительная формула, в которой предметные переменные, связанные в кванторной
части знаками существования, встречаются только на последних местах эле-
элементарных членов Ра (xt, . . ., хг) и только для a G: л, rho указанная аксиома
выполняется и на всякой п-замкнутой подмодели модели М.
Отсюда, в частности, следует, что каждый класс моделей, допускающий
аксиоматизацию посредством универсальных аксиом и аксиом вида, указан-
указанного в теореме 4, будет классом с я-порождениями.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Подпрямые произведения моделей.— Докл. АН СССР, 1956, 109,
№ 2, 264-266.
2. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II.— Proc. Koninkl. nederl. akad.
wet., 1954, A57, 572—581.
3. A. Robinson. Complete theories. Amsterdam, 1956.
4. /. Los, R. Suszko. On the infinite sums of models.— Bull. Acad. polon. sci., 1955, 3.
N 4, 201—202.

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
В КАТЕГОРИЯХ*
Непосредственной целью настоящей заметки является перенесение тео-
теории определяющих соотношений в классы моделей. Одйако основные струк-
структурные понятия теории моделей — подмодели, прямые произведения и неко-
некоторые другие — могут быть выражены через понятие гомоморфизма в смысле
[1] и притом тем же способом, что и в общей теории категорий. Поэтому ниже
определяющие соотношения вводятся и изучаются сразу в общих категориях.
В конце указывается истолкование их для категорий моделей.
1. Согласно Эйленбергу и Мак-Лейну [2], категорией К называ-
называется класс элементов, в котором определены частичная бинарная опера-
операция умножения и предикат быть нейтральным элементом, подчиняющиеся
аксиомам: 1) если ab, be определены, то определены и равны a* be и ab-c;
2) если определено а*Ъс или аб-с, то определено аЪ\ 3) если е — нейтральный
элемент, то е2 = е и из определенности еа или ае следует соответственно еа =
= а или ае = а; 4) для каждого а ЕЕ К существуют нейтральные элементы
£, е' такие, что еа = ае' = а. Нейтральные элементы К называются также
объектами категории К. Если для объектов е, е' имеем еа = ае1 = а,
то а называется гомоморфизмом е в е'. Гомоморфизм а называется
изоморфизмом, если существует в К гомоморфизм 6, для которо-
которого аЪ и Ъа суть нейтральные элементы К. В этом случае объекты аЬ, Ъа назы-
называются изоморфными.
Согласно Мак-Лейну [3], объект % категории К называется прямой
композицией системы объектов 9(а (а£ Г), если существуют такие
гомоморфизмы jta объекта 9( в 31а, что для любой системы гомоморфизмов
аа произвольного объекта 95 в 3(а найдется и только один гомоморфизм
£: Э5 -> 5(, удовлетворяющий соотношениям аа = \па (a G: Г). Двойствен-
Двойственно этому объект 5( G: К называется К-о, вободной композицией
системы 31а(а£Г), если существуют гомоморфизмы Jta: 9fa -> 9t такие,
что для любой системы гомоморфизмов аа объектов Э(а в произвольный К-объ-
ект 95 наймется и только один гомоморфизм |: 9( —>■ 95, удовлетворяющий
соотношениям (Ja = \? (a E Г). Прямые и свободные композиции могут не
существовать, но если существуют, то определяются однозначно с точностью
до изоморфизма.
Далее подкатегорией L категории К будет называться подкласс
класса объектов К вместе со всеми гомоморфизмами из К, принадлежащими
всевозможным парам Z-объектов. Смысл понятий изоморфизма, прямой и
свободной композиции вообще изменится при переходе от К к L. Однако изо-
изоморфизм и прямая композиция будут далее употребляться в смысле основной
категории, а свободная композиция будет рассматриваться в различных под-
подкатегориях в смысле этих подкатегорий.
2. Далее нам будут нужны категории более частного вида, которые бу-
будут называться категориями структуризованных множеств, или просто ка-
♦ Докл. АН СССР, 1958, 119, № 6, 1095—1098.

Определение соотношения в категориях 61
тегориями структур. Аналогичные понятия рассмотрены Небелом [4] и са-
самим Мак-Лейном [3]. В основу кладется класс К объектов, называемых струк-
структурами (структуризованными множествами, пространствами). С каждой
структурой % предполагается сопоставленным однозначно определенное
множество \i (9t) — основное множество структуры 9(. Сверх
этого, задается некоторая система Н однозначных отображений основных
множеств структур в основные множества структур и требуется, чтобы тож-
тождественное отображение каждой структуры на себя входило в Н и чтобы для
отображения а структуры % в структуру 95 и отображения |3 структуры 95 в
структуру К из а, р £ Я следовало оф ЕЕ Я. Отображения из Н называют-
называются гомоморфизмами. Мы будем считать тождественны-
м и структуры с общим основным множеством, тождественное отображение
которого на себя есть гомоморфизм первой структуры на вторую и второй на
первую. Мы будем считать также, что на произвольном множестве А опреде-
определена структура, если задано взаимно однозначное отображение А на основное
множество некоторой структуры % и сказано, что это отображение есть изо-
изоморфизм. Класс структур абстрактный, если он вместе с каждой
структурой содержит и все ей изоморфные. Ниже рассматриваются лишь
абстрактные классы структур. Совокупность Н всех гомоморфизмов А'-струк-
тур является категорией в изложенном смысле. Объекты этой категории бу-
будут отождествляться со структурами, тождественными отображениями ко-
которых они являются.
В категории структур К структура 95 называется подструктурой
структуры % если: 1) \i (95) cz ц (9(); 2) любой гомоморфизм % в произволь-
произвольную структуру (£, рассматриваемый для 95, есть гомоморфизм 95 в (£;
3) любое отображение структуры (£ в 95, являющееся гомоморфизмом © в
9(, есть гомоморфизм (£ в 95. Подструктура 95 однозначно определяется
\i (95) и 9(. Структура 95 будет называться сильной подструктурой в
9(, если, кроме условий 1—3, имеем: 4) каждый гомоморфизм в 95 есть го-
гомоморфизм в 9(.
Прямая композиция 9( системы структур 9ta будет называться разде-
разделяющейся, если из апа = Ьпа для всех канонических гомоморфизмов
Jta (a ЕЕ Г) следует а = Ъ (а, Ъ £ 91). Эта композиция будет называться
полной, если для любых aa G 31a в 31 найдется элемент а такой, что
аа = а%а (a G Г). Прямая композиция называется прямым произ-
произведением, если она разделяющаяся и полная. В этом случае элементы
прямой композиции будут отождествляться с элементами декартова произ-
произведения основных множеств сомножителей.
Структуру 9( категории К назовем единичной, если % одноэлемент-
одноэлементна и отображение любой .йГ-структуры в 51 гомоморфизм. % будет называть-
называться нуль-структурой, если % одноэлементна и любое отображение
% в произвольную jfiT-структуру есть гомоморфизм. Легко видеть, что если
категория К содержит нуль-структуру, то всякая прямая композиция будет
полной и разделяющейся. Также легко доказывается
Теорема 1. Пусть в категории К все подструктуры сильные и пря-
прямые композиции разделяющиеся, и пусть в каждой К-структуре 3fa (a e Г)
выделена К-подструктура 95а и прямые композиции % = ПЭ(а, 95 = П95а
существуют. Тогда 95 есть подструктура %.
Категорию L условимся называть мультипликативно замк-
замкнутой, если в ней существуют прямые композиции любых систем Z-струк-
тур.

62 Определяющие соотношения в категориях
Теорема 2. Для того чтобы в мультипликативно замкнутой, содер-
содержащей единичную структуру категории К с сильными подструктурами и
разделяющимися прямыми композициями все канонические гомоморфизмы
К-структур в их К-свободные композиции были изоморфизмами на соответст-
соответствующие подструктуры, необходимо и достаточно, чтобы каждая К-струк-
тура была изоморфно вложима в К-структуру с единичной подструктурой.
При рассмотрении категорий структур ниже всегда будет предполагаться
выполненной следующая аксиома определенности: совокуп-
совокупность всех .йГ-структур, определенных на любом фиксированном множестве,
можно рассматривать как множество определенной мощности. Категорию
структур К будем называть ограниченной, если для каждого карди-
кардинального числа m найдется такое кардинальное п = п (ш), что в каждой
if-структуре любое множество элементов мощности ^ m содержится в под-
подходящей ^-подструктуре мощности ^ и.
3. Пусть #о*— какая-либо (общая) категория, К, L — ее подкатегории
и К ^ L. Репликой iT-объекта 91 в категории L (L-репликой 9С) будет
называться L-объект 35, для которого существует такой гомоморфизм
я: 9( —>- 35, что для любого гомоморфизма а объекта 91 в произвольный L-объ-
ект (£ найдется один и только один гомоморфизм £: 35 ->■ 6, удовлетворяю-
удовлетворяющий соотношению а = jt|. Гомоморфизмы я, £ будут называться канониче-
каноническими. Легко видеть, что если реплика существует, то она определяется с
точностью до изоморфизма объектом 9( и, в частности, L-реплика L-объекта
всегда совпадает с самим объектом.
Теорема 3. Пусть К ^ L ^ М — подкатегории и %L, 9(м суть
реплики К-объекта % в L и М. Тогда %м есть М-реплика объекта 9tL.
Если 9( есть К-свободная композиция К-объектов 3ta (аЕГ) и L-реплики
5tL, 9ta этих объектов существуют, то %L есть L-свободная композиция
системы %%.
Заметим, что если рассматриваются категории структур и 83 есть L-pen-
лика структуры 9( с каноническим гомоморфизмом я, то в 33 нет L-подструк-
туры, отличной от 35 и содержащей %п, т. е. 35 порождается элементами %п.
Совокупность элементов S структуры 9( категории К будем называть
К-п лотной в 31, если для любых гомоморфизмов г), а структуры 3(
в произвольную ^Г-структуру из «аг\ = аа для всех а е= S» следует г) = а.
Легко видеть, что если jta — канонические гомоморфизмы свободной ком-
композиции 9( структур 9(a (a G: Г), то совокупность (J 9(аа будет 7£-плотной
в 9t. Далее, если в 91 есть 7£-подструктура 35, содержащая множество
U 9t/ (Р Е Гх С Г) в качестве своей плотной системы, то 35 будет /Г-сво-
бодной композицией структур 9tp (|3 S 1\). Легко видеть, что канонический
образ структуры в ее реплике является плотным множеством в последней.
Подкатегорию L в категории К назовем 7?-полной, если каждый .йТ-объ-
ект имеет в L реплику. Из теоремы 3 видно, что 7?-полная подкатегория Л-
полной подкатегории будет 7?-полной.
Теорема 4. Если категория К мультипликативно замкнута, то вся-
всякая ее R-полная подкатегория мультипликативно замкнута. Если К со-
содержит единичную структуру, то ее содержит и всякая R-полная подкатего-
подкатегория категории К.
Структуру 9( категории К назовем регулярной, если для любого
множества S элементов 31 в 31 существует подструктура, содержащая S

Определяющие соотношения в категориях 63
в качестве своего ЛГ-плотного множества. Категория К будет называться р е-
гулярной, если регулярны все ее структуры.
Теорема 5. Если подкатегория L категории структур К содержит
единичную структуру, мультипликативно замкнута, регулярна и ограниче-
ограничена, то L R-полна и всякая система L-структур имеет определенную L-ceo-
бодную композицию.
Доказательство аналогично доказательству теоремы о существовании
топологических алгебр с данными определяющими соотношениями и тополо-
топологическим порождающим пространством [5].
4, Обозначим через К класс всех моделей фиксированного типа <Plt
Р2, . . .>, где Рг — основные предикатные символы класса.
Согласно [1] однозначное отображение а модели <Л; Рг, Р2, . . .> в модель
<jB; Q±, Q2, . . .У называется гомоморфизмом, если для любых i и а1? а2, . . .
из А из истинности Рг (аъ а2, . . .) следует истинность Qt (ахб, а2а, . . .).
Совокупность Н всех таким образом определенных гомоморфизмов К-жо-
делей удовлетворяет требованиям п. 1 и пара (К, Н) является категорией
структур — моделей данного типа. Легко проверяется, что при этом понятия
подмодели и прямого произведения моделей совпадают с понятиями под-
подструктуры и прямой композиции, единичной структурой является одноэлемент-
одноэлементная модель, на которой все основные предикаты истинны, а нуль-структурой
является одноэлементная модель с ложными основными предикатами.
Пусть теперь заданы некоторый подкласс L класса моделей К, система
А символов и система F формул вида Рг (ах, а2, . . .), av ЕЕ А. L-модель 85
естественно назвать моделью с порождающими А и определяющими соотноше-
соотношениями F в классе L, если найдется отображение я системы А в 95, обладаю-
обладающее свойствами: а) Ап L-плотно в 95; б) выражения Рг (%, а2, . . .) истинны
в 95; в) для каждого отображения а системы А в произвольную L-модель ©
такого, что Рг (%, al, . . .) истинны в (£, существует гомоморфизм g: 95 ->
->■ К, удовлетворяющий соотношению а = я£.
Обозначая через 31 модель с основным множеством А, на которой выра-
выражения из F истинны, а остальные выражения подобного вида ложны, видим,
что модель 95 с порождающими А и определяющими соотношениями F бу-
будет изоморфна реплике 51в i.
Можно также в качестве основного класса К взять совокупность всевоз-
всевозможных моделей данного типа, на основных множествах которых определе-
определены некоторые топологии, а в качестве Н взять совокупность непрерывных ото-
отображений, являющихся одновременно гомоморфизмами в смысле теории
моделей. Если теперь под L понимать совокупность топологических алгебр
соответствующего типа, то условия теоремы 5 выполняются и Z-реплика
ЛТ-структуры 31 будет топологической алгеброй, заданной в смысле [5] то-
топологическим пространством % и положительным описанием % в вышеука-
вышеуказанном смысле.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Подпрямые произведения моделей.— Докл. АН СССР, 1956, 109,
№ 2, 264—266.
2. S. Eilenberg, S. MacLane. General theory of natural equivalences.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1945, 58, N 2, 231—294.
3. S. MacLane. Duality for groups.— Bull. Amer. Math. Soc, 1950, 56, N 6, 485—616.
4. /. R. I shell. Some remarks concerning categories and supspaces.— Canad. J. Math.f
1957, 9, N 4, 563—577.
5. А. И. Мальцев. Свободные топологические алгебры.— Изв. АН СССР, сер. мат.& 1957,
21, № 2, 171—198.

СТРУКТУРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АЛГЕБР*
Мак-Лейном [1] были найдены условия, каким должна удовлетворять
общая категория, чтобы она была изоморфна категории всех абелевых по-
полугрупп с нулем. В более специальной теории категорий структур ес-
естественно наряду с общим изоморфизмом рассматривать и более специальный
вид изоморфизма — структурную эквивалентность. Основной целью настоя-
настоящей заметки является нахождение условий, каким должна удовлетворять
категория структур, чтобы она была структурно эквивалентна подклассу
класса алгебр фиксированного типа, мультипликативно замкнутому и содер-
содержащему подалгебры своих алгебр. Ниже всюду используются терминология
и результаты заметки [2].
1. Пусть L — какая-либо подкатегория категории структур К в смысле
[2] и 5(G^. Систему элементов структуры 31 назовем L-c вободной,
если любое отображение этой системы внутрь произвольной L-структуры
95 можно продолжить до гомоморфизма 31 в 95. Структура 31 будет называть-
называться L-свободной, если 5(Е1и если в 9t существует L-плотная L-cbo-
бодная система элементов. Отсюда следует, что L-свободные структуры, об-
обладающие L-плотными L-свободными системами одинаковой мощности, изо-
изоморфны. Заметим также, что если L является регулярным, ограниченным,
мультипликативно замкнутым классом структур, то в L существуют L-cbo-
бодные структуры с L-плотными L-свободными системами произвольной мощ-
мощности.
Подкатегорию L категории структур К условимся называть гомоморф-
гомоморфно замкнутой в К, если гомоморфный образ L-структуры в if-стру-
ктуре есть L-подструктура последней. Будем говорить, что система элемен-
элементов S структуры 31 является ^-порождающей системой для 9t, если 31 не
содержит L-подструктур, содержащих S и отличных от 31.
Далее всюду рассматриваются лишь категории структур с
сильными подструктурами, т. е. лишь те категории, в кото-
которых гомоморфизм в подструктуру является гомоморфизмом в структуру.
Теорема 1. Пусть категория структур L гомоморфно замкнута в
себе и содержит L-свободные структуры произвольной мощности. Тогда кате-
категория L ограничена, регулярна, пересечение любой системы Ь-подструктур
Ь-структуры либо пусто, либо есть L-подструктура, всякая порождающая
система элементов L-структуры является в ней плотной и полный прообраз
L-подструктуры L-структуры % при гомоморфном отображении на %
L-структуры 95 есть L-подструктура в 95.
Структуру 91 условимся называть L-свободно циклической, если 31 об-
обладает .L-плотным 1>свободным элементом иЗ(Е1. Тогда, если категория
L содержит L -свободно циклическую структуру, то всякая L-свободная струк-
структура будет L-свободной композицией Z-свободно циклических.
♦ Докл. АН СССР, 1958, 120, № 1, 29—32.

Структурная характеристика некоторых классов алгебр 65
Отметим следующие случаи, когда плотные системы являются порождаю-
порождающими. Совокупность элементов канонического образа ^-структуры в ее
L-реплике является ^-порождающей в реплике. Если ^-структура 31 содер-
содержит L-свободную систему элементов S, то 31 может содержать не более одной
Z-подструктуры, в которой S является ^-плотной системой. Поэтому Z-cbo-
бодная структура L-порождается своей L-плотной Z-свободной системой.
2. По аналогии с теорией групп систему {Ма} подмножеств некоторого
множества назовем локальной, если любое конечное подмножество
элементов из (J Ма лежит в подходящем подмножестве Мр. Категорию струк-
структур К назовем аддитивной, если объединение любой локальной си-
системы ^-подструктур произвольной /^-структуры является ЛГ-подструкту-
рой. if-плотную систему S элементов некоторой структуры % будем назы-
называть К-ф инитарно плотной, если любой элемент % лежит в
if-подструктуре, содержащей подходящую конечную часть S в качестве плот-
плотной системы.
Теорема 2. Всякий гомоморфно замкнутый в себе класс структур
К, содержащий К-свободные структуры с К-свободными К-финитарно плот-
плотными системами любой заданной мощности, является аддитивным. В регу-
регулярных аддитивных классах К К-свободные К-плотные системы элементов
структур являются К-финитарно плотными.
Из изоморфизма .йГ-свободных структур с ^-свободными if-плотными сис-
системами одинаковой мощности следует, что если существует /^-свободная
структура с ^-свободной ЛГ-финитарно плотной системой мощности т, то
всякая ^-свободная if-плотная система мощности m будет финитарно
плотной.
3. Предположим, что в категории структур L имеются Z-свободные стру-
структуры с L-плотным Z-свободным множеством, состоящим из любого фикси-
фиксированного конечного числа элементов. Обозначим символом Vn L-свободную
структуру, символами vna (a Ez Тп; п = 1, 2, . . .) ее элементы, из кото-
которых пусть vnX, . . ., vnn образуют L-плотную L-свободную систему в Vn (n —
= 1, 2, . . .). Определим теперь на каждой L-структуре 21 серию операций
Фпа (хъ - -, хп)(а е Тп; п = 1, 2, . . .) следующим образом. Пусть аъ . . .
. . ., ап — последовательность элементов 31. По условию найдется и только
ОДИН ГОМОМОрфиЗМ О Структуры] Vn В Э(, ДЛЯ КОТОРОГО Vni = СЦ (l = 1» . . .
. . ., п). По определению полагаем Фпа {ах, . . ., ап) = v*na,. Отсюда видно, что
если на одном и том же множестве М заданы две структуры % и 95, то значе-
значение выражения Фпа (аъ . . ., ап)(аъ . . ., ап ЕЕ М) в % может быть иным,
нежели в 95. Однако из определения следует, что если 95 есть Zr-подструкту-
ра % и аъ . . ., ап принадлежат 95, то значение Фпа (аъ . . ., ап) в % и в 95
одно и то же, т. е. операции Ф устойчивы относительно перехода к
£-над- и L-подструктурам. Далее, операции Фпа сохраняются при
гомоморфизмах, т. е. если о — гомоморфизм L-структуры Э1 в ^-структуру
95, то
Отсюда следует, что Ф-операции инвариантны относительно перехода к пря-
прямым произведениям.
Теорема 3. Пусть гомоморфно замкнутая в себе категория струк-
структур L содержит L-свободные структуры с L-финитарно плотными Ь-свобод-
ными системами любой мощности. При этих условиях подмножество 95 эле-
3 Заказ № 357

66 Структурная характеристика некоторых классов алгебр
ментов L-структуры 31 тогда и только тогда является L-подструктурой
в %, когда оно замкнуто относительно всех операций Ф.
Здесь Ф-замкнутость 95 означает, что для всех аъ . . ., ап из 95 имеем
Ф (аъ . . ., ап) е §8.
4. Категорию структур L будем называть категорией с делимыми
гомоморфизмами, если для любого гомоморфизма б L-структуры % на L-струк-
ТУРУ ® и любого отображения ф структуры 95 в L-структуру © из того,
что бф есть гомоморфизм, следует, что ф есть гомоморфизм. Легко видеть, чта
категорией с делимыми гомоморфизмами является любой класс алгебр.
Теорема 4. Пусть категория L с делимыми гомоморфизмами содер-
содержит L-свободные структуры с L-финитарно плотными L-свободными си-
системами любой мощности. Тогда всякое отображение L-структуры % в
L-структуру 95, сохраняющее Ф-операции, является гомоморфизмом
31 в 95.
Категории Кг и К2 называются изоморфными [4], если возможно устано-
установить взаимно однозначное соответствие гр между элементами (гомоморфиз-
(гомоморфизмами) Кг и К2, являющееся изоморфизмом при рассмотрении Кг и К2 в ка-
качестве частичных полугрупп. В случае категорий структур это означает, что
из ^-структуры с одним основным множеством правило if) должно позволять
сконструировать ^-структуру, вообще говоря, с другим основным множеса-
вом и из каждого гомоморфизма ^-структур сконструировать гомоморфизм
соответствующих ,йГ2-структур, обладающий надлежащими дополнительными
свойствами. Для нас будет важным следующее более жесткое понятие струк-
структурной эквивалентности категорий. Категорию структур
Кг мы будем называть структурно эквивалентной категории структур К*щ
если задано правило а|), позволяющее для каждой ^-структуры однозначно
построить ^-структуру с тем же основным множеством,
если при этом каждый гомоморфизм /^-структуры Э( в ^-структуру 95 бу-
будет [гомоморфизмом Э1Ф в 95Ф и если существует обратное правило с соответ-
соответствующими свойствами. Из теоремы 4 теперь непосредственно получается
такое следствие.
Следствие. Каждая категория структур К с делимыми гомомор-
гомоморфизмами, содержащая К-свободные структуры с К-финитарно плотными
К-свободными системами произвольной мощности, структурно эквивалентна
некоторой подкатегории категории всех алгебр надлежащего типа.
Действительно, выше указано, как ^-структуру обратить в алгебру ти-
типа {Фпсс}- Обозначим через К2 класс всех тех алгебр, которые этим способом
можно получить из ЛГ-структур. Теорема 4 показывает, что соответствие меж-
между объектами К и К2 взаимно однозначно и удовлетворяет условию совпаде-
совпадения гомоморфизмов'.
5. Подкатегорию L категории структур К будем называть квазисво-
квазисвобод н о й в К, если L содержит единичную структуру, мультипликативно
замкнута в К и .йТ-подструктуры L-структур являются L-структурами. Под-
Подкатегорию L будем называть свободной в К, если она кв&зисвобод-
на и гомоморфно замкнута в К. Согласно теореме Биркгофа, всякая свобод-
свободная подкатегория категории всех алгебр фиксированного типа есть класс
алгебр, характеризуемый системой тождеств, т. е. примитивный класс в
смысле [3]. Частным видом квазисвободных подкатегорий будут квазиприми-
квазипримитивные классы алгебр [3]. Если основная категория регулярна и ограничена,
то всякая квазисвободная ее подкатегория будет Д-полной. В частности,
Д-полным является всякий квазисвободный подкласс класса всех алгебр

Структурная характеристика некоторых классов алгебр 67
фиксированного типа. Эти подклассы могут быть охарактеризованы и свои-
своими чисто структурными свойствами.
Теорема 5. Для того чтобы категория структур К была структур-
структурно эквивалентна квазисвободному подклассу категории всех алгебр некоторого
фиксированного типа, необходимо и достаточно, чтобы К содержала единич-
единичную структуру и была регулярной, ограниченной, аддитивной, мультипли-
мультипликативно и гомоморфно в себе замкнутой.
Необходимость непосредственно следует из элементарных свойств алгебр.
Достаточность вытекает из совокупности предыдущих теорем.
6. Класс Ьг алгебр с основными операциями/а (хъ . . ., хт^а) (а ЕЕ 1\)
называется рационально эквивалентным классу L2 алгебр
с основными операциями g$ (хъ . . ., хп^))ф е Г2), если существуют такие
^-многочлены Fa (хъ . . ., Хща)) и такие Lx-многочлены G$ (хъ . . ., хп^))
(а ЕГ1? р ЕЕ Г2), что каждая Z^-алгебра, рассматриваемая относительно
С-операций, есть £2-алгебра, каждая £2-алгебра относительно F-операций
есть Lx-алгебра и указанное соответствие инволютивно [5]. Рациональная
эквивалентность вообще отличается от структурной эквивалентности, но
может и совпадать с ней. Отметим простейший случай этого:
Теорема 6. Если квазисвободные подклассы классов всех алгебр вообще
различных фиксированных типов структурно эквивалентны, то они и рацио-
рационально эквивалентны.
Пусть заданные подклассы суть Lx, L2 и пусть /а (хъ . . ., хт) — одна
из основных операций класса Lv Рассмотрим /^-свободную алгебру V с
Lx-свободными порождающими vx, . . ., vm. Из структурной эквивалентности
Ьъ L2 следует, что V будет и £2-свободной структурой с £2-свободными порож-
порождающими г?х, . . ., vm. Поэтому элемент /а (vx, . . ., vm) алгебры V должен быть
представим в виде некоторого £2-многочлена Fa (vx, . . ., vm). Из равенства
/a ivii • • •» vm) = Pa {vi, • • •» vm) B V следует, что в Lx имеет место тождест-
тождество/а (хъ • • •» ят) = Fa (хъ . . ., хт). Аналогично получаем, что для каж-
каждой основной ^-операции g$ (хъ . . ., хп) существует i^-многочлен G$ (хъ . . .
. . ., хп), для которого в Ьг имеет место тождество g$ (хъ . . ., х^) =
— £р (хъ ..., хп). Таким образом, классы Lx, L2 рационально эквивалентны.
ЛИТЕРАТУРА
' 1. S. MacLane. Duality for groups.— Bull. Amer. Math. Soc, 1950, 56, N 6, 485—516.
2. A. M. Мальцев. Определяющие соотношения в категориях.— Докл. АН СССР, 1958,
119, № 6, 1095—1098.
3. А. И. Мальцев. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
4. S. Eilenberg. S. MacLane. General theory of natural equivalences.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1954, 58, N 2, 231-294.
5. А. И. Мальцев. Свободные топологические алгебры.—Изв. АН СССР, сер. мат., 1957,
21, № 2, 171—198.
3*

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МОДЕЛЕЙ*
В заметке [1] указана структурная характеристика квазисвободных
классов алгебр. Используя этот результат, мы указываем ниже структурные
характеристики универсально аксиоматизируемых классов моделей и квази-
квазипримитивных классов алгебр* Тем самым решается одновременно и вопрос
о чисто алгебраической внутренней характеристике квазипримитивных
классов алгебраических систем, оставленный открытым в [2]. В конце пока-
показывается, что с точностью до структурной эквивалентности единственными ак-
аксиоматизируемыми гомоморфно замкнутыми классами моделей, допускаю-
допускающими теорию определяющих соотношений в смысле [3], являются квазипри-
квазипримитивные классы алгебраических систем.
Все рассматриваемые ниже категории структур будут предполагаться
с сильными подструктурами, а прямые композиции будут в случае существо-
существования предполагаться совпадающими с прямыми произведениями [3].
1. Категорию структур К условимся называть категорией с
финитарными гомоморфизмами, если, какова бы ни была
локальная система ^-подструктур 9(а, покрывающая ^-структуру 95, лю-
любое отображение структуры % в .йГ-структуру 95, являющееся для каждой
подструктуры %а гомоморфизмом Ща в подходящую ^-подструктуру струк-
структуры 35, является гомоморфизмом 3( в 95. В соответствии с обычной теоре-
теоретико-групповой терминологией ^-структуру Э( назовем локально ко-
конечной, если любое конечное множество элементов 31 лежит в ее под-
подходящей конечной ^-подструктуре. Ясно, что все категории моделей имеют
финитарные гомоморфизмы. Легко доказывается также следующая теорема.
Теорема 1. Всякая категория структур К с финитарными гомомор-
гомоморфизмами и локально конечными структурами структурно эквивалентна под-
подходящему классу моделей.
Категорию структур К будем называть локально согласован-
согласованной, если из того, что любая конечная подсистема произвольной системы
^-структур @, определенных на подмножествах некоторого множества, вло-
жима в ^-структуру в качестве ее подструктур, следует, что и вся система @
вложима в подходящую ^-структуру. Из этого определения, в частности,
следует, что в локально согласованных категориях всякую возрастающую
цепочку вложенных друг в друга ЛГ-структур можно вложить в объемлю-
объемлющую структуру. Локальная теорема узкого исчисления предикатов показы-
показывает, что все аксиоматизируемые категории моделей являются локально сог-
согласованными.
Напомним, что класс моделей К называется универсально ак-
аксиоматизируемым, если он может быть охарактеризован некоторой
совокупностью универсальных аксиом вида (хг) . . . (хп) ф (хъ . . ., хп), где
выражение ф кванторов не содержит.
* Докл. АН СССР, 1958, 120, № 2, 245-248.

О некоторых классах моделей 69
Теорема 2. Для того чтобы категория К была структурно эквива-
эквивалентна некоторому универсально аксиоматизируемому классу моделей, не-
необходимо и достаточно, чтобы К была локально согласованной, имела фини-
финитарные гомоморфизмы и любое подмножество К-структуры было ее К-под-
структурой.
Теорема 3. Если универсально аксиоматизируемый класс моделей
с конечным множеством основных предикатов Ръ . . ., Рк, структурно эк-
эквивалентен классу моделей с основными предикатами Qi, . . ., Qt, то имеют
место эквивалентности вида Рг (хъ . . ., xmi) cc tyt (хъ . . ., xmi), Qj (хъ . . .
. . ., хп.) qoQj (#i, . . ., хп.), где фь Qj — открытые фррмулы с предикат-
предикатными переменными Qj, соответственно Рг, и предикатом равенства.
В случае, когда число основных предикатов бесконечно, теорема 3 также
верна, но только в качестве фь ULj следует считать допустимыми и бесконеч-
бесконечные выражения.
2. Модель 51 с основными предикатами Ръ Р2, . . . членностей п2, п2, . . *
называется алгебраической системой типа т = </; пи
щ, . . .>, где / — некоторая часть множества индексов предикатов, если пре-
предикаты Pt для i ЕЕ / являются предикатами операций на 31. Класс А^ всех
алгебраических систем типа т есть класс ограниченный, мультипликативно
и гомоморфно в себе замкнутый, регулярный и содержащий единичную мот
дель. В [1] введены понятия квазисвободного и свободного подклассов ка-
категории структур К. Если К — категория моделей, то квазисвободные и
свободные подклассы, выделяемые из К некоторой системой аксиом, т. е.
аксиоматизируемые внутри К, будут называться соответственно к в а з и-
примитияными и примитивными в К. Квазипримитивные
(примитивные) подклассы класса К будут просто называться квазипри-
квазипримитивными (примитивными) классами алгебраи-
алгебраических систем данного типа. Из теорем Тарского — Лося [4, 5] и
Бинга [6] непосредственно следует, что подкласс L некоторого класса моделей
К тогда и только тогда квазипримитивен в К, когда L может быть выделен
из К аксиомами вида (х^) . . . (xn)(R1& . . . &RS Z) ^?s+1), где Rt суть выраже-
выражения вида Ра (хг1, . . ., х.п).
Пусть категория К: а) мультипликативно замкнута; f$) содержит единич-
единичную структуру. Тогда пересечение любой системы квазисвободных (свобод-
(свободных) подклассов в К будет квазисвободным (свободным) подклассом. Поэтому
для каждого класса ^-структур Т в К найдется наименьший квазисвобод-
квазисвободный (свободный) подкласс L, содержащий Г. Класс L будем называть ква-
квазисвободным (свободным) замыканием Т в К и будем
писать L — Tq (L = Tf). Легко видеть, что Tq состоит из всевозможных
^-подструктур прямых произведений Г-структур. Чтобы получить анало-
аналогичную характеристику Tf, наложим на К еще требования: у) К в себе гомо-
гомоморфно замкнута и б) прообраз ^-подструктуры произвольной ^-структуры
% при гомоморфном отображении на % любой ^-структуры 95 есть if-под-
структура в 93. Тогда свободное замыкание U квазисвободного подкласса
L будет состоять из всевозможных ^-структур, являющихся гомоморфными
образами L-структур. Отсюда следует, что если К и Т — аксиоматизируемые
классы моделей, то Т9 и Tf будут также аксиоматизируемыми. Далее, если
категория структур К удовлетворяет условиям а) — б) и регулярна, то вся-
всякая //-свободная структура будет принадлежать L, где L — квазисвободный
подкласс в К. В частности, если U содержит свободные структуры с любым

70 О некоторых классах моделей
числом /^-свободных порождающих, то запас свободных структур не меня-
меняется при переходе от L к его свободному замыканию.
Теорема 4. Пусть регулярная категория К, удовлетворяющая а) —
Ь), содержит конечную структуру 31. Тогда: 1) К-свободные структуры с
различными конечными числами свободных порождающих неизоморфны;
2) в минимальных квазисвободном {3t }q и свободном {31У подклассах, содержа-
содержащих 31, каждая структура с конечным порождающим множеством конечна;
3) если число неизоморфных К-структур каждой конечной мощности конеч-
конечно, то в {Щ* содержится лишь конечное число неединичных минимальных
квазисвободных и минимальных свободных подклассов.
Утверждения 1), 3) являются обобщениями теорем Фудзивара [7] и Скот-
Скотта [8], доказанных ими для примитивных классов алгебр.
3. Пусть Г — частично упорядоченное множество, любые два элемента
которого имеют общий большой элемент. Предположим, что с каждым a Ez
€Е Г сопоставлен объект 3{а, категории К и с каждой парой <a, р> (a, р ЕЕ
€= Г, а < р) сопоставлен гомоморфизм JtaC: 3ta ->3tp так, что из a < у <
< р следует JtaC = naYjtY3. Говорят, что Г и отображения a ->3la, <a,
Р)->яаР составляют прямой спектр. Объект 31 категории
К с заданными гомоморфизмами Jta: 3ta -> 3t называется пределом спек-
спектра [9], если Jta = JtapJtp (a < р) и если для любой системы гомоморфиз-
гомоморфизмов аа объектов 3ta в произвольный /^-объект 95, удовлетворяющих услови-
условиям аа = Jtap(X|5 (a < р), найдется один и только один гомоморфизм £: 31 ->-
->95, для которого aa = яа£ (а €= Г). В случае, когда К — категория струк-
структур, далее без дополнительных оговорок будет предполагаться, что Г име-
имеет наименьший элемент 0 и что отображения лар являются гомоморфизмами
3ta на ЗР3. Тогда можно считать, что структуры Э1а и 3t = lim 3ta заданы
на Э10 с подходяще определенным отношением равенства (ср. [11]). Если К —
категория всех моделей фиксированного типа, то для любого прямого спект-
спектра при указанных ограничениях предельная модель существует и конструкция
-ее описана в [11]. Там же показано, что если универсальная или положи-
положительная аксиома имеет место на всех моделях спектра, то она имеет место и
на предельной модели. Поскольку все универсально аксиоматизируемые
классы алгебраических систем характеризуются положительными и универ-
универсальными аксиомами, то каждый такой класс содержит пределы спектров
овоих систем [11]. Возможное обращение этого дает следующая теорема*
Теорема 5. Мультипликативно замкнутый класс алгебраических
систем, содержащий все подсистемы своих систем, тогда и только тогда ак-
аксиоматизируем, когда он содержит пределы прямых спектров своих систем.
В частности, квазисвободный класс алгебраических систем тогда и толь-
только тогда квазипримитивен, когда он содержит пределы прямых спектров сво-
своих систем. Принимая во внимание теорему 5 из [1], получаем: для того чтобы
категория структур К была структурно эквивалентна аксиоматизируемому клас-
классу алгебр, мультипликативно замкнутому и содержащему подалгебры своих
алгебр, необходимо и достаточно, чтобы К была категорией с делимыми го-
гомоморфизмами, мультипликативно и гомоморфно [в себе замкнутой,
ограниченной, регулярной, аддитивной и чтобы в К существовали пределы
прямых спектров указанного выше типа. Добавляя к этим условиям требова-
требование существования единичной структуры, получим структурную характери-
характеристику квазипримитивных классов алгебр.
Пусть К — произвольная категория структур и 31 S К. Отношение эк-
эквивалентности 0, определенное на основном множестве 31, назовем к о н г-

О некоторых классах моделей 71"
руэнтностью на 31 (ср. [10]), если 6 принадлежит некоторому гомо-
гомоморфизму % на подходящую Х-структуру. Эквивалентность 0 условимся
называть внешней конгруэнтностью, если для любых двух
гомоморфизмов а, р произвольной Х-структуры 95 в 91 из соотношений Ъаа ==
= Ъа F) для некоторой порождающей системы элементов Ьа структуры 85*
следует Ьа = 6Р F) для всех Ъ-ЕЕ 85.
Очевидно, для того чтобы квазисвободный класс алгебр К был свободным,
необходимо и достаточно, чтобы в К каждая внешняя конгруэнтность была
конгруэнтностью.
Таким образом, чтобы получить внутреннюю структурную характерис-
характеристику примитивных классов алгебр, достаточно к указанному выше набору
структурных свойств, характеризующих квазисвободные классы алгебр,
присоединить требование совпадения внешних конгруэнтностей с конгру-
энтностями.
4. Класс моделей К назовем классом с локальной вложи-
моет ь ю, если из того, что каждая конечная подмодель произвольной мо-
модели 3R изоморфно вложима в подходящую Х-модель, следует вложимость
самой модели $1 в подходящую Х-модель.
Лемма 1. Пусть класс моделей К с локальной вложимоетъю содержит
К-свободные модели с любым конечным числом свободных плотных порождаю-
порождающих. Тогда для каждой операции Фап (см. [1]) на всех К-моделях справедлива
формула
Фап(^ь • • 'Л) = %n+i оо(&хп+2) . . . (Яжв) 9tan (#!, . . ., хг), A)
где %ап — подходящая конъюнкция членов вида Ра (xh, . . ., xik).
Лемма 2. Если класс моделей К с локальной вложимоетъю в себе гомо-
гомоморфно замкнут и содержит К-свободные модели с любым кардинальным чис-
числом К-финитарно плотных свободных элементов, то, добавляя Ф-операции
к числу основных предикатов класса К, мы обратим его в универсально аксиома-
аксиоматизируемый класс алгебраических систем.
На основании этих лемм теперь может быть доказана
Теорема 6. Каждый R-полный в себе гомоморфно замкнутый аксио-
аксиоматизируемый класс моделей К структурно эквивалентен квазипримитив-
квазипримитивному классу алгебраических систем.
Действительно, из Д-полноты К следует [3], что в К существуют Х-сво-
бодные модели с любым кардинальным числом свободных порождающих. Из
гомоморфной замкнутости К следует [1] (теорема 1), что непустые пересече-
пересечения if-подмоделей Х-моделей суть Х-подмодели. В силу основного результа-
результата заметки [12], это влечет за собою, ввиду аксиоматизируемости К, адди-
аддитивность К. Теорема 2 из [1] показывает, что свободные порождающие Х-сво-
бодных моделей будут финитарно плотными. В силу леммы 2, наконец,
заключаем, что обогащение К Ф-операциями, определенными по форму-
формулам A), дает квазипримитивный класс алгебраических систем.

72 О некоторых классах моделей
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Структурная характеристика некоторых классов алгебр.— Докл.
АН СССР, 1958, 120, № 1, 29-32.
2. А. И. Мальцев. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
3. А. И. Мальцев. Определяющие соотношения в категориях.— Докл. АН СССР, 1958,
119, № 6, 1095-1098.
4. /. Los. On the extending of models, I.— Fund. Math., 1955, 42, N 1, 38—54.
5. A. Tarski. Contribution to the theory of models, I.— Proc. Koninkl. nederl. akad. wet.,
1954, A57, 572-581.
6. K. Bing. On arithmetical classes not closed under direct union.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1955, 6, N 5, 836-846.
7. T. Fujiwara. Note on the isomorphism problem for free algebraic systems.— Proc.
Japan Acad., 1955, 31, N 3, 135—136.
8. D. Scott. Equationally complete extensions of finite algebras.— Indagationes Math.,
1956, 18, 35-38.
9. S. Eilenberg, S. MacLane. General theory of natural equivalences.— Trans. Amer.
Math. Soc, 1945, 58, N 2, 231-294.
10. /. R. Isbell. Some remarks concerning categories and subspaces.— Canad. J. Math.,
1957, 9, N 4, 563-577.
11. А. И. Мальцев. Подпрямые произведения моделей.— Докл. АН СССР, 1956, 109,
№ 2, 264-266.
12. А. И. Мальцев. О классах моделей с операцией порождения.— Докл. АН СССР, 1957,
116, № 5, 738—743.

О МАЛЫХ МОДЕЛЯХ5
Пусть К — класс всех моделей вида 3R = (М, {Pi}, {fl/}X удовлетворя-
удовлетворяющих некоторой системе аксиом узкого исчисления предикатов, где Ри a,j —
символы основных предикатов и индивидуальных элементов; М — основное
множество модели Ж. Общее число символов Ри aj будет называться п о-
рядком, а мощность М — мощностью модели Ж. Модели, мощ-
мощность которых не меньше их порядка и в то же время бесконечна, назовем
правильными. Остальные модели будут называться малыми.
Известно (см., например, [1]), что каждая правильная модель SR аксиомати-
аксиоматизируемого класса К может быть изоморфно погружена в отличную от SR мо-
модель того же класса К, мощность которой будет равна любому наперед
заданному кардинальному числу, не меньшему мощности Ж. В настоящей за-
заметке рассматриваются особенности, которые могут встретиться при расши-
расширении малых моделей, и некоторые смежные вопросы.
1. Упомянутыми особенностями обладают, например, малые модели сле-
следующих двух классов:
А. Основными предикатами моделей класса Кх являются одноместные пре-
предикаты Ра (х), индексами которых служат всевозможные последовательно-
последовательности вида а = <ах, а2, . . .>, аг = 0,1. Класс К± образован моделями, удов-
удовлетворяющими аксиомам
(ЩРа(х), A)
(Яя,). . . (Эхп) (х1фх2&х1фх3&...& хп.х ф хп) -> (х) (Рх (х) V /V (*))> B)
где п = 2W, т = 1, 2, . . .; а, Я, р, — произвольные бесконечные последо-
последовательности указанного вида, для которых [Х]т ф [jn]m. Здесь и далее сим-
символом [Х]п обозначается начальный отрезок <А,Х, . . ., А,„> последовательно-
последовательности Я = <А,Ь А,2, . . .>.
Пусть SR — какая-либо бесконечная .Й^-модель. Согласно A) в SR найдут-
найдутся элементы ха, для которых Ра (ха) истинно, а из B) следует, что для а Ф Р
элементы ха, х$ различны. Таким образом, каждая бесконечная .Й^-модель
содержит подмодель мощности континуума. В то же время класс К± содер-
содержит конечную модель мощности 2т для каждого т = 1, 2, . . . Действитель-
Действительно, пусть Мт — совокупность всех последовательностей |3 = <рх, . . ., рт>
(р. ф 0, 1) длины т. Полагая Ра (Р) = И, если р = [а]т, и Ра (Р) = Л,
если р = [сс]т, мы обратим Мт в искомую Хх-модель. Следовательно, класс
Кг, содержа конечные модели со сколь угодно большим числом элементов,
не содержит счетных моделей.
Б. Сигнатура класса К2 состоит из индивидуальных элементов а$ и
одноместных операций /а (х), где а пробегает указанную выше совокуп-
совокупность бесконечных последовательностей, а Р = <рх, . . ., pm> (P; = 0, 1;
т = 1, 2, . . .) — произвольная конечная последовательность. Класс К2
* Докл. АН СССР, 1959, 127, № 2, 258—261.

74 О, малых моделях
определяется аксиомами
X ф Tl & . . . & X Ф Тз -> Д (х) ф /ц (Ж) ([А,]т =jfc [|1]т), C)
где {Yjl, . . ., ys} — совокупность всех последовательностей длины < иг,
т= 1, 2, . . .
Полагая /а (ар) = #[а]т, если длина |3 равна иг, мы обратим совокупность
элементов ар в счетную модель % класса К2. Пусть SR — какая-либо /Г2-мо-
/Г2-модель, содержащая 31 в качестве собственной подмодели, и пусть й:ЕЖ,
х Щ8С,;. В Ж найдутся элементы /а (#), и все они в силу C) будут различны
для различных а. Таким образом, все собственные расширения класса К2
счетной /£2-модели 31 имеют мощность, не меньшую мощности континуума.
2. Примеры А, Б показывают, что по меньшей мере для счетных и конеч-
конечных моделей границы, указываемые следующей теоремой, не могут быть по-
понижены.
Теорема 1. Если аксиоматизируемый класс К содержит модель 3R
бесконечной мощности т, то 3R обладает истинным К-расширением мощ-
мощности т^о. Если в К содержатся модели мощностей тх < т2 < . . ., то в К
содержится и модель мощности и, удовлетворяющей условию тх + ш2 + ...
... ^ и ^ tttittt2 • • •
Для доказательства сначала избавляемся дт индивидуальных символов
а/ в сигнатуре класса, если они там есть, вводя вместо них предикатные сим-
символы Aj (x) и добавив аксиомы
(Щ Aj (х) & (х) (у) (А; (х) & Aj (y)-+x = у)
к таблице аксиом, определяющих класс К, и соответственно переписав эту
таблицу в новых терминах. Согласно второй е-теореме [2] при доказательстве
можно ограничиться рассмотрением случая, когда сигнатура К состоит из
операций ft (х±, . . ., xmj) и предикатов Pj, а все аксиомы, определяющие К,
имеют вид (х±) . . . (xpjtyv (xx, . . ., xPv), где $Pv кванторов не содержит, но
может содержать функторы. Пусть 9R — заданная ZiT-модель бесконечной
мощности tn. Вводим новый символ х и называем его символом 1-го порядка.
Символами 0-го порядка называем элементы 3R, а символами (к + 1)-го по-
порядка для к > 1 называем последовательности вида <q, . . ., cmv /f>, где
cl9 . . ., cmi — символы порядков ^ к, из которых хотя бы один имеет поря-
порядок к. Пусть С — совокупность всех указанных символов всевозможных по-
порядков. Обозначим через © совокупность выражений (аксиом), получаемых
способами а) — г).
а) Для ^элементов с е SR пишем х =f= с и все формулы вида с Ф cr, Pj (сх, . . .
. . ., cnj), Pj (cl9 . . ., сп.), ft (cx, . . ., cm) = с, истинные в 3R; б) для симво-
символов порядка > 1 пишем равенства ft (с±, . . ., cmj) = <q, . . ., cmv /г>; в) для
произвольных съ . . ., cPv из С пишем формулы ф„ (с19 . . ., ср)\ г) фикси-
фиксируем в 3R бесконечную последовательность различных элементов Ьх, 62, . . .
и полагаем с (Ьп) = с для с е Ж, х (Ьп) = bn; <q, . . ., cmv /f>(bn) =
== fi (ci (bn), . . ., cmi (bn)) для символов более высоких порядков. В качест-
качестве аксиом пишем равенства с = с' для всех тех с, с' ЕЕ С, для которых с (Ъп) =
= с' (foj при п = 1, 2,
Система © аксиом а) — г) совместна. Действительно, если (£0 — какая-
либо конечная часть (£, то в записи аксиом из (£0 будет участвовать лишь
конечное число символов из С, а потому будет участвовать лишь конечное

О малых моделях 75»
множество Мо элементов из 3R. Пусть Ъп ЕЕ Мо. Подставляя в аксиомы иа
(£0 вместо элементов cGChx п-е значения с (Ьп), легко убедимся, что при
такой замене все аксиомы из ©0 будут истинны в 3R. Следовательно, любая
конечная часть (£ выполнима; поэтому выполнима вся система 6, и, значит,,
множество С можно обратить в модель 31.. Из аксиом а) — г) видно, что 31
принадлежит классу К и явлдется истинным расширением модели 3R. Для
подсчета мощности 31 достаточно заметить, что каждому с£С отвечает по-
последовательность с (fei), с (Ь2), . . . элементов из 3R, причем различным эле-
элементам С отвечают различные последовательности. Поэтому мощность 31
не выше пт*Ч
Для доказательства второго утверждения теоремы обозначим через 35^,
9#2, . . . заданную последовательность ZiT-моделей, имеющих мощности tnl9
m2, . . ., и пусть S — множество мощности шх + ш2 + • • • Строим взаимно
однозначное отображение ф^ множества Жг в S так, чтобы фг- (9Rj) cz
^ Фт (^i+i)» U Ф* №i) = $• Элементы S называем символами 0-го поряд-
порядка; символом (к + 1)-го порядка называем последовательность <с2, . . ., cmi,
fty, где сг, . . ., ст{ — символы порядков ^ к, среди которых есть символ
порядка к. Пусть С — совокупность всех этих символов. Полагаем с (п) =
= Фп1 (с), если cG(pn CRJ, и полагаем <с2, . . ., cmv ft>(n) = ft (сг (п), . . .
• • •» Стг (п)) Ддя символов более высоких порядков. Как и выше, элементы
С связываем аксиомами: 1) с Ф сг для различных с, с' из S; 2) ft (сг, . . .
• • ., cmi) = <Ci,- • • •, cmv fi>\ 3) с = с' (с, с' е С), если с (w) = с' (п) для
всех 7г, начиная с некоторого; 4) «pv (сх, . . ., cPv). Аналогично изложенному
выше легко убеждаемся, что система 1) — 4) совместна, и потому С можно
обратить в ZiT-модель. Легко видеть, что мощность этой модели удовлетворя-
удовлетворяет доказываемой теореме.
3, Класс моделей К, сигнатура которого состоит из функций и предика-
предикатов и который характеризуется универсальными аксиомами, обладает тем
свойством, что объединение возрастающей цепочки вложенных друг в друга
ZiT-моделей есть ZiT-модель. Пользуясь теоремой 1 и обобщенной гипотезой кон-
континуума, отсюда легко вывести, что каждая бесконечная К-моделъ 3R допуска-
допускает К-расширение любой наперед заданной мощности, большей мощности 9R*
Упомянутая вторая е-теорема показывает, что это утверждение верно для
любого аксиоматизируемого класса.
4. Пусть К — какой-либо класс моделей; а, |3 — кардинальные числа.
Символами Ка, К&, К%, обозначим классы ZiT-моделей, мощность пт которых
удовлетворяет соответственно соотношениям а <сС w, m ^ Р, а <: пт ^ р.
Теорема 2. Пусть К, L — однотипные аксиоматизируемые классы
моделей и для некоторого бесконечного кардинального а имеем К* d L. Тог~
да К#о d Z/, если а не меньше порядка К, и А"^о d L в остальных случаях.
Эта теорема содержит в себе теорему о полноте Воота [3] и доказывается
аналогично последней. Докажем, например, второе утверждение. Пусть Ж —
совокупность аксиом, определяющих класс К, и Э1 — произвольная из ак-
аксиом, определяющих класс L. Нужно показать, что 31 истинна на всякой бес-
бесконечной ZiT-модели мощности ^ а. Пусть, напротив, на бесконечной К-мо-
дели SR мощности пт ^ а выполняется 91. Система {$, 91}, имея бесконечную
модель 5R мощности ш, должна иметь согласно п. 3 и модель 31 мощности а.
Тогда 31 е Ка, и, следовательно, 31 е L, т. е. на 31 выполняются одновремен-

76 О малых моделях
но аксиомы % и 3(, что невозможно. Поскольку результат д. 3 установлен
с помощью гипотезы континуума, то и второе утверждение теоремы 2 доказа-
доказано лишь в предположении истинности расширенной гипотезы континуума.
5. В статье [4] введено понятие проективного класса. Для моделей с од-
одним основным множеством оно равносильно следующему. Пусть К — ак-
аксиоматизируемый класс моделей, сигнатура которых образована предика-
предикатами Рг, Qj и одночленным предикатом R (х). Берем произвольную К-шодеяъ
3R и рассматриваем ее подмодель 3R0, образованную теми элементами 9R,
для которых R (х) истинно. При этом на SR0 рассматриваем лишь предикаты
Ри не включая в сигнатуру 5R0 предикатов Qj. Класс всех 3R0, получающих-
получающихся указанным способом из if-моделей, называется проективным. Можно
показать, что теорема 1 и сформулированное в п. Зее следствие остаются вер-
верными и для проективных классов.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Untersuchun^en aus dem Gebiete der mathematischen Logik.— Мат.
сб., 1936, 1, № 3, 323—335.
2. D. Hilbert, P. Bernays. Grundlagen der mathematik, Bd. 2. Berlin, 1939.
3. P. L. Vaught. Application of the Lowenheim — Skolem — Tarski theorem to problems
of completeness and decidability.— Indagationes Math., 1954, 16, N 5, 467—487.
4. Л. И. Мальцев. Модельные соответствия.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 3,
313—336.

МОДЕЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ1
При изучении свойств классов моделей приходится, помимо свойств ин-
индивидуальных моделей, выражающихся, обычно через отношения между
элементами фиксированной модели, рассматривать отношения межДу моде-
моделями в целом, такие, например, как отношения «модель 3R есть гомоморф-
гомоморфный образ модели 91», «модель 9R изоморфна подмодели модели 91», «9R есть
прямое произведение 912, 912» и т. д. Основной целью настоящей статьи яв-
является выделение тех отношений или соответствий между моделями, которые
наиболее тесно связаны с узким исчислением предикатов, и изучение основ-
основных свойств таких соответствий. Соответствия этого типа вводятся в § 1 под
названием проективных. Основные их свойства изучаются в § 2.
В § 3 рассматриваются соответствия и классы моделей более сложного
типа, для записи которых необходим аппарат расширенного исчисления
предикатов. Для этих классов доказывается внутренняя локальная теорема,
являющаяся центральным результатом работы. В конце работы доказывается
элементарная аксиоматизируемость классов RN-, RI-, Z-групп и показыва-
показывается, что локальные теоремы как для этих групп, так и для более сложных
верхних классов RN-, RI-, Z-, 7V-групп и свободно доупорядочиваемых групп
являются частными случаями упомянутой внутренней локальной теоремы.
Локальная теорема для свободно упорядочиваемых групп является, по-ви-
по-видимому, новой. Комбинируя свойства RN, RI и т. д. с требованиями выпук-
выпуклости подгрупп, можно получить тем же способом ряд новых локальных
теорем и для частично упорядоченных групп **.
В теории моделей обычно рассматриваются предикаты, определенные на
одном основном множестве. При изучении модельных соответствий оказа-
оказалось необходимым систематически рассматривать предикаты и модели с не-
несколькими основными множествами. В формулах, относящихся к таким мно-
многоосновным моделям, предметные кванторы приходится считать специализи-
специализированными по основным множествам. Обычный процесс «унифицирования»
переменных позволяет в основном свести изучение многоосновных моделей
к изучению одноосновных, и этот прием используется в § 2 для вывода свойств
модельных соответствий из известных свойств классов обычных моделей.
По аналогии с предметными специализированными кванторами можно
ввести и специализированные предикатные кванторы, если понимать выра-
выражения (УщР), CgjP)KaK символы высказываний: «для каждого предиката Р,
обладающего свойством Ш», «существует предикат Р, обладающий свой-
свойством 9t, такой, что». Именно использование специализированных предикат-
предикатных кванторов позволило найти формулировку для основной внутренней ло-
локальной теоремы.
* Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 3, 313—336.
** Другое изложение и дальнейшие примеры см. в кн.: М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерз-
Мерзляков. Основы теории групп. М., «Наука», 1972. См. также: С. Р. Когаловский. Обоб-
Обобщенно квазиуниверсальные классы моделей.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1965, 29, № 6,
1273—1282.— Прим. ред.

78 Модельные соответствия
Аксиоматика предикатного исчисления с многоосновными предикатами
изучалась А. Шмидтом [16, 17]. Однако для единства терминологии и удоб-
удобства чтения в § 1 настоящей работы дается краткая сводка необходимых по-
понятий и результатов.
Некоторые идеи и результаты настоящей работы были опубликованы в за-
заметке [12].
§ 1. Многоосновные модели
1.1. Многоосновные предикаты. Пусть задана система множеств Ма (а ЕЕ
Е А), не обязательно различных, но непустых. Будем говорить, что на ука-
указанной системе задан га-членный предикат Р (х±, . . ., хп) рода <г1? . . ., гпУ
(iifGA, к = 1, . . ., п), если каждой последовательности <а1? . . ., апУ
(ак ЕЕ М^, к = 1, . . ., п) поставлено в соответствие И (истина) или Л (ложь).
Задать предикат рода 0 означает задать одно из двух значений И или Л.
К числу основных предикатов далее будут относиться и отношения равенства.
Все они будут обозначаться одним символом, хотя этот символ может свя-
связывать элементы различных пар основных множеств Мi9 Mj.
При записи формул род предметных переменных будет либо оговаривать-
оговариваться особо, либо будет отмечаться верхними индексами. Так, хг, у1 суть пред-
предметные символы для элементов множества Mt, Рг±' * *\ Q\x" '%п — предикат-
предикатные символы для предикатов рода <£х, . . ., iny.
Все кванторные символы будут предполагаться специализиро-
специализированными в том смысле, что выражения (хг), (Ях*), (VP1) будут озна-
означать: «для каждого х1 из Mt» «в Mt существует такой элемент х1, что» «для
каждого предиката Р1 рода <&>»• Например, аксиома
равносильна соотношению
Мt с Mj.
Более обще, если f — предметное или предикатное переменное, о — не-
некоторое свойство, то символы (Vo f), (Яо£) означают соответственно: «для
каждого £, обладающего свойством а», «существует у со свойством а такой,
что».
Обычные определения формул (правильно образованных) исчисления пре-
предикатов естественно обобщаются на случай многоосновных предикатов и
специализированных кванторов. Важно, что все обычные тождественно ис-
истинные формулы и обычные эквивалентности остаются верными и для много-
многоосновного случая.
Вполне упорядоченная система множеств Ма (а €Е А) с заданной на ней
вполне упорядоченной системой многоосновных предикатов PY (х±, . . ., хПу}
и фиксированных элементов as (у £== Г, б €Е Д) будет называться многооснов-
многоосновной моделью. Типом такой модели будет называться последовательность
номеров множеств, родов предикатов и фиксированных элементов. Множест-
Множества Ма, предикаты PY и элементы а§ называются основными множествами,
предикатами и элементами модели.
Отношения изоморфизма и гомоморфизма для многоосновных моделей
будут употребляться в том же смысле, что и для одноосновных. Понятие под
модели требуется несколько обобщить.

Модельные соответствия 79
Пусть Ма (aGA) — основные множества многоосновной модели SR и
В — некоторое подмножество из А. Тогда В-подмоделью Ш' модели 3R бу-
будет называться система подмножеств Ма с: Ма (а е В), М* = Ма (а е=
GB)c теми же предикатами и фиксированными элементами, что и в 3R. Та-
Таким образом, предполагается, что фиксированные элементы Ж, если они во-
вообще есть, должны принадлежать 3R'. В случае В = A 9JT называется просто
подмоделью 2ГО.
Классом моделей будет называться система однотипных моделей, содер-
содержащая вместе с каждой своей моделью и все ей изоморфные. Символы Ма,
Рч, #5 будут употребляться как общие обозначения основных множеств, пре-
предикатов и элементов моделей класса.
Формула, не содержащая других свободных переменных, кроме символов
Ру, as, и не содержащая этих символов в качестве связанных переменных,
будет называться аксиомой, или замкнутой формулой.
Все формулы будут предполагаться приведенными к предваренной (пренекс-
ной) форме, и когда будет говориться о кванторах, то будут иметься в виду
кванторы пренексной формы, если не оговорено противное.
Формулы, содержащие лишь универсальные предметные кванторы, бу-
будут называться универсальными.
Подкласс L класса моделей К называется аксиоматизируемым (элементар-
(элементарным) внутри К, если существует такая, вообще бесконечная, система акси-
аксиом £ узкого исчисления предикатов (УИП), что L состоит из тех и только тех
моделей класса К, которые удовлетворяют всем аксиомам рассматриваемой
системы. Если все аксиомы системы S можно выбрать универсальными, то
L называется универсально аксиоматизируемым под-
подклассом в К.
А. Тарским [18] и Ю. Лосем [5] получены простые характеристики уни-
универсально аксиоматизируемых подклассов. Чтобы представить их в нужной
для нас форме, введем следующее определение (см. [15]).
Пусть SR — модель с основными множествами Ма, предикатами PY и
фиксированными элементами as. Описанием О (Щ модели Ж называется со-
совокупность всех формул вида PY (cl9 . . ., сп), —PY (<a> • • •» О» аь = с, as Ф
Ф с, истинных в Ж, где с, с19 . . ., сп пробегают всю модель SR. В случае мно-
многоосновной модели к этому должны быть еще присоединены все истинные со-
соотношения вида с £Е Ма.
Фиксируя некоторую конечную совокупность предикатов PYl, . . ., Ру
и соединяя знаком & члены из О (Ж), относящиеся к выбранным предикатам,
мы получим финитное частичное описание Of CR) или (PYl, . . ., PY )-описа-
ние Ж. Говорят, что описание Of CR) реализуемо в модели 91, если в модели
91 выполняется аксиома
где с19 . . ., ct — элементы из SR, встречающиеся в Of CR).
Теорема 1 (ср. Тарский [18], Лось [5]). Для того чтобы подкласс
К* класса многоосновных моделей К, тип которого не содержит фиксирован-
ных элементов, был универсально аксиоматизируем в К, необходимо и доста-
достаточно, чтобы классу К* принадлежала каждая К-модель, в которой каждое
финитное частичное описание любой конечной подмодели реализуемо в подхо-
подходящей К*-модели.

80 Модельные соответствия
Необходимость непосредственно следует из основной локальной теоре-
теоремы (см. ниже п. 2.2). Для полноты докажем достаточность. Пусть U — со-
совокупность всех универсальных аксиом, имеющих место на всех 7£*-моделях,
и пусть все они выполняются на if-модели Ж. Требуется доказать, что ЗК ЕЕ
ЕЕ К*. Пусть это не так. Тогда найдется финитное описание О^ (с19 . . ., сп)
конечной системы элементов сх, . . ., сп модели 3R, не реализуемое ни в ка-
какой 7£*-модели. Это значит, что во всех 7Г*-моделях выполнена универсаль-
универсальная аксиома
(сг). . .(cn)'Of(cl9 . . ., сп),
которая, таким образом, должна принадлежать Ц и потому иметь место на
3R. Но на 3R выполняется отрицание этой аксиомы, что является противоре-
противоречием, доказывающим теорему.
1.2. Аксиоматизируемые и проективные соответствия. Рассмотрим два
класса моделей К и L, основные множества и предикаты которых обозначим
соответственно через Ма, PY (а ЕЕ А, у£Г)и JVp, Qb (P ЕЕ В, б £ Д). Мы
скажем, что между моделями классов К, L установлено соответствие а, ес-
если каждой паре моделей ЖЕ Z, 91 ЕЕ L поставлено в соответствие одно из
значений И или Л. При этом будет предполагаться, что если 9Rcr9l = И и
29?, 91 соответственно изоморфны 9Rlr 911? то З^аЭ?! = И.
Соответствие а будет называться аксиоматизируемым (эле-
(элементарным), если истинность отношения ЗКаЭ? равносильна выполнимости
на Ж, Я1 фиксированной совокупности @ аксиом УИП, конструируемой сле-
следующим образом. Берется некоторое множество новых предикатных симво-
символов S1^'* (il9 . . ., *fc ЕЕ A (J В, Я ЕЕ А) и пишется система аксиом УИП,
содержащих лишь предикатные символы вида PY, Q§, S-к. При этом выполни-
выполнимость системы © на Ж, 91 означает, что на множествах Ма, N$ (а ЕЕ А,
РЕВ) можно так определить предикаты 5х, что при заданных предикатах
из Ж и 91 на множествах Ма, N$ все аксиомы из © будут истинными.
Если число аксиом в © конечно, то выполнимость © на SR 91, равносиль-
равносильна истинности подходящей аксиомы 2-й ступени вида
Поэтому аксиоматизируемые соответствия этого частного вида можно было
бы назвать Я-соответствиями и по аналогии определить, V, 3V, V3 и т. д.
соответствия. К одному частному случаю мы вернемся в § 3, а сейчас опреде-
определим еще один класс соответствий, содержащий в себе класс аксиоматизиру-
аксиоматизируемых соответствий и столь же удобный для изучения, как и этот последний
класс.
По определению соответствие о между моделями классов К, L будет на-
называться проективным, если истинность отношения SKa9l (SR £ Ку
91 S L) равносильна выполнимости на SR, 91 фиксированной системы акси-
аксиом @ следующего строения. Берутся вспомогательное множество индексов
С и множество предикатных символов вида S^"m%1s (ix, . . ., ^e A (J В (J
[J С, А Е А) и пишутся аксиомы УИП, содержащие лишь предикатные пе-
переменные Ру, Qb, Sx- Система © называется выполнимой на Ж, 91, если мож-
можно найти такие непустые множества Т^ (jli £ С) и на множествах Ма, N$,
Тр так определить предикаты 5х, что все аксиомы из © окажутся истин-
истинными.

Модельные соответствия
Введенные понятия аксиоматизируемого и проективного соответствий меж-
между моделями двух классов очевидным и однозначным образом переносятся
и на случай соответствия о (Ж2, . . ., 9RS) между моделями s классов К±, . . .
..., ks.
Из определений этих соответствий непосредственно вытекают два следст-
следствия.
Следствие 1. Дизъюнкция конечного и конъюнкция любого числа
аксиоматизируемых {проективных) отношений между моделями заданных
классов Ки . . ., Ks являются снова аксиоматизируемыми (проективными)!
отношениями.
Следствие 2. Если a (SRly . . ., SRS) — проективное отношение меж-
между моделями классов Кг, . . ., Ks, из которых класс Ks аксиоматизируем,
то отношение
также проективное.
Формулировка следствия 2 имеет смысл при s ^> 2. При s = 2 выражение
(Я9К2)а (Ж1( Щ = т (Щ)
будет давать свойство т модели SRj, которое мы также будем называть про-
проективным, а совокупность моделей класса К19 обладающих этим свой-
свойством, будем называть проективным подклассом в Кх. Иными
словами, подкласс К* моделей класса К называется проективным в К, ес-
если он состоит из тех и только тех ZiT-моделей, которые находятся в фиксиро-
фиксированном проективном отношении хотя бы с одной моделью заданного аксио-
аксиоматизируемого класса.
Из следствия 1 вытекает, что объединение конечного и пересечение любого
числа проективных подклассов заданного класса моделей являются снова про-
проективными подклассами этого класса.
Если основной класс моделей К состоит из всех моделей заданного типа,
то его проективные (аксиоматизируемые) подклассы называются просто про-
проективными (аксиоматизируемыми) классами моделей.
Легко видеть, что проективные подклассы проективных классов моделей
являются проективными классами. Аналогично, совокупность Кг моделей
проективного класса K±i находящихся в каком-либо проективном соответст-
соответствии о к моделям проективного класса К%, является проективным классом.
В самом деле, пусть К19 К2 — классы всех моделей типа Ки i£2; 9tlr
9t2 — системы аксиом, определяющие проективные соответствия р2, р2 меж-
между моделями классов К19 К2 и моделями вспомогательных аксиоматизируе-
аксиоматизируемых классов Lx, L2, характеризуемых системами аксиом й2, й2. При этом
пусть К\ есть совокупность ^-моделей, связанных /^-соответствием с ка-
какими-либо £гмоделями (i = 1, 2). Обозначим через © систему аксиом,
определяющую проективное соответствие а. Каждая из систем аксиом dilr
SR2, © содержит символы вспомогательных предикатов /Sx'ft. Вводим для
них в каждой из указанных систем различные символы и рассматриваем про-
проективное соответствие т между моделями классов К19 К2, определяемое си-
системой аксиом X = {©, SRj, SR2, S2, й2}. Непосредственно видно, что класс
K*i состоит из /^-моделей, у которых имеются т — соответствующие 7£2-модели.
1.3. Некоторые примеры. Пусть К, L —г классы одноосновных моделей.
Вводим вспомогательный предикат S (х, у) (х е SR, у е 3i), который рас-

82 Модельные соответствия
сматриваем как отношение, устанавливающее соответствие между элемен-
элементами основных множеств моделей SR €Е К, 91 €Е L. Системой аксиом УИП
©, записываемых с помощью предикатного символа S и основных преди-
предикатных символов классов К, L, задаем некоторое свойство соответствия S.
Модели 3R, 91 находятся в ©-соответствии, если между элементами SR, 91
можно установить соответствие S, обладающее свойством ©.
К этому простейшему типу модельных соответствий принадлежат, напри-
например, отношения «модель SR изоморфна модели 91», «модель 9R есть гомоморф-
гомоморфный (сильно гомоморфный) образ модели 91», «модель SR изоморфна некоторой
подмодели модели 91», «модель SR есть гомоморфный образ некоторой под-
подмодели модели 91» и т.. д.
Отсюда следует, например, что совокупность всех фактор-моделей мо-
моделей аксиоматизируемого класса есть проективный класс,
В изложенной схеме вместо отношения S между элементами двух моде-
моделей можно рассматривать отношение между элементами нескольких моделей
и получить, в частности, отношение «модель SR есть прямое произведение
моделей 3)^, . . ., 3Rn».
Рассмотрим более сложный пример. Финитно полным под-
прямым произведением одноосновных однотипных моделей
9Ra (a ЕЕ А) условимся называть такую подмодель SR прямого произведения
этих моделей, которая для любого конечного набора различных индексов
а19 . . ., ат из А и произвольного выбора элементов yt ЕЕ SRai (i = 1, . . ., т)
содержит элемент х, имеющий уг, . . ., ут своими проекциями номеров аг, . . .
. . ., ат.
Покажем, что свойство модели SR быть финитно полным подпрямым про-
произведением системы моделей фиксированного аксиоматизируемого класса К
является проективным.
Пусть Рг (zl4 . . ., zni) (JET) — основные предикатные символы класса
К и Ж — совокупность аксиом, определяющая этот класс. Рассматриваем
следующие три класса моделей:
Класс Кг. Предикатов нет. Элементы модели — а, а2, . . .
Класс К2. Основные предикаты — Qt (х19 . . ., xnj), элементы — х,
Класс К3. Основные предикаты — Rt (уг, . . ., yni), элементы — у,
Вводим вспомогательный предикат S (а, х, у), читающийся «у есть про-
проекция номера а элемента х», и обозначаем символом © совокупность всех
следующих аксиом (кванторы всеобщности, относящиеся ко всей формуле,
для краткости опускаем):
1. (ЯуM(а,ж, у);
2. S (a, x,y)&S (а, х, уг) -» у = уг;
3. (а) (Зу) (S (а, х, у) & S (а, хъ у)) -* х = хг;
4. Qi (хъ . . ., хп.) *-> (а) (уг). . . (ущ) (S (а, хъ уг) &, . . & S (а, хщ, уп.) -»
5. T(a,y)++(
6. *1ф*2&*1фсь&. . . &am_x фОп&Тфь Уг)&...&Т(аПУ уп)
17 ж, уг) & . . . & S К, ж, ?/т)) [(лгг = 1, 2, 3, ...).

Модельные соответствия 83
7. Записываем в виде аксиом УИП, что каждая аксиома из $ имеет мес-
место на совокупности Та всех тех элементов z/, для которых Т (а, у) истинно.
Эти аксиомы пишем с кванторами всеобщности по а путем специализации
кванторов в аксиомах Ж и замены в них символов Pt символами Rt.
Ясно, что если для некоторой модели 3R ЕЕ К2 можно найти модели А ЕЕ
ЕЕ Кг, 31 ЕЕ К3, так, что на A, 3R, 31 будут удовлетворяться аксиомы 1—7,
то 3R будет финитно полным подпрямым произведением моделей Га, принад-
принадлежащих ввиду аксиомы 7 классу К, что и требовалось установить.
Если из аксиом 1—7 выбросить аксиому 6, то выполнимость оставшейся
системы для моделей A, SR, 31 будет означать, что SR есть подмодель прямого
произведения /Г-моделей. Поэтому свойство модели быть подмоделью прямо-
прямого произведения моделей проективного класса К является проективным.
Аналогичным путем можно было бы доказать проективность свойств
группы быть RI-, RN- или Z-группой, а также быть частично упорядоченной
и содержать RNr, RI- или Z-систему выпуклых подгрупп. Фактически имен-
именно это доказано в работах [9, 11]. Однако ниже в § 3 будет доказано более
сильное утверждение о простой аксиоматизируемости всех указанных свойств
групп.
§ 2. Основные свойства
проективных соответствий
2.1. Отношения равенства. Унифицирование кванторов. Пусть К —
класс многоосновных моделей с основными множествами Ма, a ЕЕ А, и ос-
основными предикатами Ру (yG Г), характеризующийся системой аксиом
УИП ©. Как уже упоминалось, в записях аксиом из © вместе с основными
предикатными символами Ру могут встречаться и знаки равенства. Хорошо
известный прием релятивизации равенств позволяет свести рассмотрение си-
систем с (абсолютным) равенством к изучению систем с предикатом эквивалент-
эквивалентности (см. [3, 8]). В случае многоосновных моделей релятивизация равенств
может иногда производиться раздельно следующим образом.
Предположим, что множество А номеров основных множеств можно раз-
разбить на взаимно не пересекающиеся непустые части Ао, А1? . . ., А так, что в
@ не будет встречаться знак-равенства, связывающий элементы множеств,
номера которых принадлежат различным частям Аг, А7-. Вводим в рассмот-
рассмотрение новые отношения 81? . . ., 6^, полагая хвгу определенным для всех
х, у е Uu где
Ut = U Me(ae A*), i - 1,2, . . ., t.
Связываем новые и старые отношения аксиомами:
Х6|Х, xQ{y —> увгХ, Хд{у & yQiZ —> X0|Z, A)
*i%i & ... & xndinyn & Ру (хъ ...]хп)-*Ру (у Х1. .., 2/п), B)
где символы 6j, 6jt, . . ., Qinпринимают всевозможные значения из системы =,
81? . . ., 6*, а переменные х, у, z, xk, ук берутся всевозможных родов, согла-
согласующихся с родами предикатов i\, 6^, 6Ы . . ., Qin. Наконец, в каждой ак-
аксиоме из @ каждое выражение вида х = у (х, у ЕЕ tf\) заменяем выражением
xdty и систему полученных таким образом новых аксиом, пополненную ак-
аксиомами A) и B), обозначим через @0. Класс моделей с основными множест-
множествами Ма (а е А) и основными предикатами Ру (у е Г), 81? . . ., 6*, на кото-

84 Модельные соответствия
рых выполняются аксиомы ©0, обозначим через Kq. Аксиомы из ©0 содер-
содержат, знак =, но лишь для элементов множеств Ма (а ЕЕ Ао), тогда как знаки
равенств, связывающих элементы остальных множеств, в ©0 отсутствуют и
заменены знаками эквивалентностей различных родов.
Каждая ©-модель 3R тривиальным образом обращается в ©0-модель, ес-
если по определению положить отношения xQty равносильными равенствам
х = у.
Обратно, пусть Ж0 — некоторая ©0-модель. В силу A) отношение 6*
является эквивалентностью на Ut и потому Ut распадается на смежные клас-
классы Ы, х GE иг по 6г-. Обозначим через Ма/дг (а ЕЕ Аг) совокупность тех смеж-
смежных классов из Ui/Qi, представители которых содержатся в Ма, и положим
>Y([*i],. .., [хп]) = Ру(хъ ..., хп). C)
Аксиома B) гарантирует, что формулами C) предикаты Ру на системе
множеств MJ$i определяются однозначно. Тем самым из каждой ©0-моде-
ли Же получается определенная модель Ш = 3R0/6. Как и в одноосновном
случае C), легко убедиться, что Ж удовлетворяет аксиомам ©.
В дальнейшем нам понадобится следующее замечание. Предположим, что
в © нет знаков равенства, связывающих элемент из Ма с каким-либо другим
элементом, и допустим, что в некоторой ©-модели Ж на множестве Ма уда-
удалось каким-то образом определить эквивалентность 6, удовлетворяющую на
Ж аксиомам A), B). Из вышеизложенного видно, что тогда аксиомы © бу-
будут выполняться и на фактор-модели 9Л/6, определенной указанным выше
способом на основных множествах М$ (|5 Ф а).
Более того, фактор-модель Ж/6 можно просто рассматривать и как под-
подмодель в Ж. Для этого из каждого смежного класса MJQ выберем по пред-
представителю и обозначим совокупность этих представителей через Ма. Пусть
Ж' есть подмодель модели Ж, имеющая основные множества Ма и М'$ = Мр
для р Ф а. Формула C) показывает, что отображение
является изоморфизмом между Ж' и Ж79:
Уже упоминалось, что рассмотрение аксиоматизируемых классов много-
многоосновных моделей естественно приводится к рассмотрению классов одноос-
одноосновных моделей путем процесса унифицирования кванторов, состоящего в
следующем (см. [16]).
Пусть заданный класс К многоосновных моделей имеет основные множе-
множества Ма (а е А) и основные предикаты Ру (yG Г). Обозначим через 7Г*
класс моделей с одним основным множеством М и предикатными символами
Fa, Ру (a G А, у Е= Г). Предикаты Va одноместные, а символы Ру того же
типа, что и Ру, лишь аргументы Ру относятся все к одному множеству М.
Каждой формуле УИП % типа К ставим в соответствие формулу % типа К*
следующим путем:
1. Если 31 кванторов не содержит, то 91* получается из % заменой сим-
символов Ру символами Ру.
2. Если % = (Эха)Э(, то St* = Cx)(Fa (x) & <).
3. Если 31 = (я*)?^, то 9t* = (x)(Va (x) ->«1).

Модельные соответствия 85
Имея модель 3R типа К, удовлетворяющую аксиоме 91, полагаем М =
= U Ma, Va (х) равносильно х е Ма и
P*te . х {рЛ*1, - • - , *п),
п п; (Л", если Ру (хъ ..., хп) не определено.
В результате получим одноосновную модель Ж*, удовлетворяющую аксио-
аксиоме 9t*. Обратно, если Ж* есть .йГ*-модель, удовлетворяющая аксиоме 3(*,
то, обозначая через Ма совокупность элементов х Е= М, для которых
^а (х) = И, и. определяя Ру соотношением D), получим .йГ-модель Ж, удов-
удовлетворяющую аксиоме 3(. Чтобы соответствие между /Г-моделями и Д"*-мо-
делями было строго однозначным, нужно еще потребовать, чтобы в Ж* не
было «лишних» элементов. Если число основных множеств конечно, напри-
например А = {1, 2, . . ., г}, то для этого достаточно в определение класса 7Г*
ввести аксиому
(x)(V1(x)\/V2(x)\/ ...\/Уг(х)),
гарантирующую истинность равенства М = (J Ма в модели Ж, получаю-
получающейся указанным выше образом из модели 3R*.
Процесс специализации (или релятивизации (см. [14,
15])) кванторов употребляется в случае, когда нужно записать, что некоторая
аксиома % с общими кванторами выполняется, если каждое связанное пере-
переменное xt меняется в подмножестве Ми определяемом формулой %г (х),
содержащей одно свободное переменное х. Для этого достаточно рассматри-
рассматривать аксиому % как аксиому со специализированными кванторами. Затем,
унифицируя кванторы в Э(, мы получим формулу Э(*. Заменяя в 91* выра-
выражения Vi (х) через 351 («r), найдем желаемую формулу.
2.2. Внешняя локальная теорема. Для случая одноосновных моделей
хорошо известна следующая
Основная локальная теорема (см, [8, 9]). Если совместна
каждая конечная подсистема некоторой бесконечной системы 3t аксиом
УИП, то совместна и вся система %.
При этом аксиомы из % могут содержать знак равенства, а также любое
число (конечное или бесконечное) индивидуальных предикатных и предмет-
предметных символов.
Допустим теперь, что заданная система аксиом % является многооснов-
многоосновной. Совместность ее означает существование многоосновной модели, на ко-
которой все аксиомы из % истинны. Применяя процесс унифицирования пере-
переменных, построим для % соответствующую одноосновную систему 5(*. Из
совместности каждой конечной подсистемы системы % следует совместность
каждой конечной подсистемы из 5(*, а потому и существование модели Ж*
для 5(*. Переходя, как указано в п. 2.1, от модели Ж* к модели 9R, мы ви-
видим, что система % совместна. Таким образом, сформулированная выше ос-
основная локальная теорема справедлива и для систем многоосновных аксиом.
Отсюда непосредственно вытекает
Теорема 2 (внешняя локальная теорема для проективных соответ-
соответствий). Пусть задано проективное соответствие о между (многоосновными)
моделями проективных классов Кг, . . ., Ks, и пусть 3R1? . . ., 9RS — модели
этих классов. Если финитные частичные описания любых конечных подмоде-
подмоделей 3R1? . . ., 9Rs моделей 9КХ . . . 9RS реализуемы в подходящих моделях 9?! ЕЕ
€Е Кг (i = 1, . . •, s), связанных а-соответствием, то модели 3R1? . . ., 9RS

86 Модельные соответствия
вложимы в качестве подмоделей в модели ^ ЕЕ Кг, . . ., 9ts ЕЕ Ks, связанные
о-соответствием.
Совокупности аксиом, определяющие классы Кг, . . ., Ks n соответствие1
а обозначим соответственно через 9t1? . . ., 9te-, 3f0. Мы можем предполагатьг
что вспомогательные предикатные и индивидуальные предметные перемен-
переменные в различных системах имеют различные обозначения. Пусть О (ЗЯх), . . ►
. . ., О (9RS) — описания заданных моделей и
в = {(?(»!),... f О (8R,), «о,-■-,*.}■
Совокупность © рассматриваем как систему аксиом, определяющую класс
многоосновных моделей. Каждая конечная часть © содержит только конеч-
конечные части систем О CRi), . . ., О CRS), содержащиеся в подходящих финит-
финитных частичных описаниях соответствующих конечных подмоделей моделей
3R1? . . ., 9KS, а потому совместна. В силу основной локальной теоремы отсю-
отсюда следует совместность и всей системы ©. Если 91 — модель для ©, 311г. . .
. . ., 8йв — ее Кг-, . . ., /^-проекции, то ffit с: 91г- (i = 1, . . ., s), ибо © со-
содержит описания моделей ЗЛ1? . . ., 3RS. Кроме того, модели 91Х, . . ., 91 s на-
находятся в сг-соответствии.
Из теоремы 2 при 5 = 1 получаем
Следствие 1. Если каждое финитное частичное описание произ-
произвольной конечной подмодели некоторой модели 3R реализуемо внутри подхо-
подходящей модели фиксированного проективного класса К, то модель Ж изоморф-
изоморфна подмодели подходящей К-модели.
Согласно [13] класс моделей К называется псевдоаксиомати-
з и р у е м ы м, если из реализуемости в подходящей /Г-модели каждой ко-
конечной подсистемы произвольной системы © аксиом УИП вытекает реализу-
реализуемость внутри подходящей /Г-модели системы ©. Повторяя рассуждения,,
употребленные в доказательстве теоремы 2, легко получить более сильное
Замечание. Каждый проективный класс моделей является псевдо-
аксиоматизируемым.
В качестве примера на применение теоремы 2 рассмотрим сильные гомо-
гомоморфизмы. Выше упоминалось, что отношение «модель 3R есть сильно гомо-
гомоморфный образ модели 9J» является проективным. Поэтому если каждая ко-
конечная подмодель некоторой модели Ж является сильно гомоморфным об-
образом подмодели подходящей модели фиксированного проективного класса
К, то и сама модель Ж является сильно гомоморфным образом подмодели
подходящей /Г-модели.
Согласно [9,11] совокупности RN-, RI- и Z-групп являются проективными
классами (см. п. 3.3). Известно также, что подгруппы групп указанных клас-
классов принадлежат тем же классам. Поэтому из следствия 1 получаем такую
внешнюю локальную теорему:
Если каждая конечная совокупность А элементов некоторой группы G,
рассматриваемая как частичная группа, вложима в подходящую Т-группу
(Т = RN, RI, Z), mo G есть Т-группа.
Напомним, что обычная (внутренняя) локальная теорема для указанных
групп формулируется следующим образом:
Если каждая подгруппа с конечным числом порождающих некоторой груп-
группы G является Т-группой, то и G является Т-группой (см. [9, 4]).
Сравнивая эти теоремы, мы видим, что первая из них более сильная. Дей-
Действительно, структура частичной группы А не определяет структуры подгруп-

Модельные соответствия 87
пы Н, порожденной элементами 4 в G, и из вложимости А в Г-группу во-
вообще не следует вложимость в Г-группу подгруппы Н.
Наконец, упомянем еще
Следствие 2. Пусть проективный класс К является подклассом ак-
аксиоматизируемого класса моделей Ко и К0-подмодели К-моделей являются
К-моделями. Тогда класс К универсально аксиоматизируем в Ко.
Для доказательства достаточно сравнить теоремы 2 и 1.
Из следствия 2 и проективности классов RN-, RI-, Z-групп следует про-
простая аксиоматизируемость этих классов. Этот факт будет получен непосред-
непосредственно в п. 3.3.
2.3. Ограниченность и расширяемость соответствий. Применяя, как вы-
выше, процесс унифицирования кванторов, из известной теоремы Левенгей-
ма — Сколема и теоремы о расширяемости бесконечных моделей (см. [8])
легко получить соответствующие теоремы для многоосновных моделей, а из
них и теоремы для соответствий и проективных классов.
Теорема 3 (ограниченности). Для каждого проективного соответст-
соответствия о между моделями фиксированных проективных классов Кх, . . ., Ks су-
существует бесконечное кардинальное число ttt = m (сг) такое, что если Жх ЕЕ
ЕЕ Кх, . . ., 9RS ЕЕ Ks — модели, находящиеся в соответствии сг, 9t1? . . .
. . ., %s — некоторые совокупности их элементов, мощности которых не
превосходят какого-нибудь кардинального числа п 2> ttt, то в 20^, . . ., 9KS най-
найдутся подмодели 3?г- ЕЕ Kt, находящиеся в а-соответствии, содержащие со-
соответственно совокупности 3tx, . . ., %s и мощности которых также не пре-
превосходят п.
Пусть © — система аксиом УИП, определяющая соответствие сг. Мы
включим в @ и системы аксиом, определяющие классы Кх, . . ., Ks. Пусть
3R — многоосновная ©-модель, проекциями которой являются модели 3RX, . .
. . ., 9RS. Унифицируя в © переменные, мы получим системы аксиом ©*,
а из модели 9R получим ©*-модель 9R*. Положим
где т1 — мощность ©*. Ясно, что число Ш, вычисленное для ©, будет тем
же, что и для ©*. Модель 9R* содержит множество
* = «1 U • • • U *.,
мощность которого не превосходит п. Согласно классической теореме Левен-
гейма — Сколема в Ж*, найдется содержащая % ©*-подмодель 31*, мощ-
мощность которой не превзойдет п. Возвращаясь от Ж* к Ж, мы получим из Sfl*
©-подмодель 3J, проекции которой Я11? . . ., 3?s удовлетворяют всем требо-
требованиям доказываемой теоремы.
При s = 1 получаем
Следствие. Для каждого проективного класса К существует такая
бесконечная мощность ttt, что если мощность подмножества 31 некоторой
К-модели 9R не выше tt ^ ttt, то в SR существует К-подмоделъ мощности не
выше п, содержащая 9(.
Для аксиоматизируемых классов число ш, вообще говоря, совпадает
с числом основных предикатов класса. В случае проективных классов для
нахождения ttt существенны не только основные, но и вспомогательные пре-
предикаты. Например, класс Кш всех множеств, мощность которых не меньше
ttt |> ДО, является проективным. Согласно доказательству теоремы для ха-

88 Модельные соответствия
рактеристики Кш необходимо не менее m предикатов, хотя сам класс Кш
основных предикатов не имеет.
Теорема 4 (расширяемости). Пусть сг — проективное соответствие
между моделями проективных одноосновных классов Кх, . . ., Ks и п — карди-
кардинальное число, указанное в теореме ограниченности. Тогда для любых находя-
находящихся в а-соответствии бесконечных моделей ^ЕЕ Кх, . . ., 9KS ЕЕ Ks сущест-
существуют связанные ^-соответствием модели 3JX ЕЕ Кх, . . ., 5RS ЕЕ Ks, мощности
которых равны п и такие, что 9К£ С 31£, Шг Ф £R£, если мощность ЗКг-, не
выше п (* = 1, . . ., s).
Если для каждого натурального т существуют связанные о-соответстви-
о-соответствием модели SR^ ЕЕ Кг, . . ., 5R^ ЕЕ Ks, среди которых каждая из моделей
$Rim\ . . ., 3R*fW* (t фиксировано, t <^ s) имеет не менее т элементов, то е
классах Кх, . . ., Ks найдутся связанные о-соответствием модели 3flx ЕЕ
ЕЕ Кг, . . ., 918 ЕЕ Ks, из которых 9119 . . ., SR* будут бесконечными.
В соответствии с работой [8] обозначим через © систему аксиом, опреде-
определяющую соответствие сг и включающую аксиомы, характеризующие классы
Кг, . . ., Ks. Пусть О (SR£) — описание 3R* и %t = {aia} (aGA,i = l,...
. . ., s) — совокупности символов мощности п. Эти символы полагаем от-
отличными от всех символов, встречающихся в © и в О (ЗКг). Обозначаем че-
через $Rt систему всевозможных формул вида ai0L = at$, aia Ф ct, где а Ф fir
а, р G A, C| G 1/, и рассматриваем систему аксиом
£ = {©, О (S»O,.. ., О(»ip), »ilt.. ., Щр),
в которой ix, . . ., ip — номера тех 3R£, мощность которых не выше п. Любая
конечная часть £/ cz £ содержит лишь конечное число символов aia, ct
и символов из © и поэтому Zf можно реализовать в 3Rlt . . ., SRS, взяв в ка-
качестве aia произвольные различные элементы этих моделей, отличающие-
отличающиеся от тех, обозначения которых явно содержатся в Zf. В силу основной ло-
локальной теоремы, отсюда следует существование модели ф у системы £. Про-
Проекции tyh, . . ., tyi модели ф содержат соответственно множества %i}i \J
U 3Rik (k = 1, . . ., р), имеющие мощность п. Согласно теореме Левенгей-
ма — Сколема, в ф1? . . ., ф8 найдутся связанные сг-соответствием подмоде-
подмодели 3Jt е Кх, . . ., bls E= Ks мощности не выше п, среди которых $1и, . . .
. . ., 3?£ будут содержать множества %h, .-. ., Шг и, следовательно, будут
иметь мощность п, что и требовалось доказать.
Доказательство второй части теоремы такое же, только в качестве £ сле-
следует взять совокупность формул aia фаг§, где а ф р, а, |5 = 1, 2, . . ., п, . . .
При s = 1 доказанная теорема переходит в
Следствие. Для каждой бесконечной модели Ж проективного одно-
одноосновного класса К существует содержащая Ж в качестве подмодели и отлич-
отличная от нее К-моделъ 3J любой наперед заданной мощности п, не меньшей
мощности Ж и удовлетворяющей условию п ^> ttt, где m — фиксированное
для класса К кардинальное число, упоминающееся в теореме ограниченности.
Если класс К для любого натурального п содержит модель $&п, число эле-
элементов которой больше п, то К содержит и бесконечные модели.
Теорема расширяемости и ее следствие сформулированы лишь для одно-
одноосновных классов. Аналогичные утверждения верны и для многоосновных
классов, только там вместо, мощности модели приходится говорить о мощ-
мощностях основных множеств модели.

Модельные соответствия 89
§ 3. Квазиуниверсальные подклассы
3.1. Устойчивость. Рассмотрим какую-нибудь многоосновную формулу
пренексного вида 2-й ступени
9t = (<?l<*l) • • • (Qm*m) ® (<*1, . . . , От, Лт+Ь •-, <*Д A)
где аи . . ., ап — предикатные и предметные переменные фиксированных
родов, относящиеся к основным множествам Ма (а ЕИ А) (ср. п. 1.1). Может
случиться, что в этой формуле все кванторы по предметным переменным,
принадлежащим множествам Мр (Р G В с А), будут кванторами всеобщ-
всеобщности. В таком случае мы будем говорить, что ЗА имеет В-универсальный вид.
При этом упомянутые универсальные кванторы в формуле 91 не обязательно
должны идти подряд: они могут чередоваться как с кванторами существова-
существования и всеобщности по предметным переменным других родов, так и с раз-
различными предикатными кванторами.
Теорема 5 (ср. [12, 18]). Если многоосновная аксиома 91 исчисления
2-й ступени имеет В-универсалъный вид и выполняется на какой-либо моде-
модели SK, то % выполняется и на каждой В-подмодели (см. п. 1.1) модели 3R .
Для доказательства потребуется несколько новых понятий. Пусть задан
некоторый класс К многоосновных моделей с основными множествами
Ма (а ЕЕ А) и основными предикатами Ру = Рг^"лк (у ЕЕ Г, ip = ip (у) ЕЕА,
к = к (у)). Мы скажем, что на К -моделях задано отношение (предикат) 2-й
ступени Z (#!, . . ., хт, Z1? . . ., Zn), где хг, . . ., хт — предметные,
Z1? . . ., Хп — предикатные переменные 1-й ступени фиксированных родов
tx1? . . ., am, px, . . ., рп, если на каждой К -модели Ж каждой последователь-
последовательности ее элементов хг, . . ., хш и каждой последовательности определенных
яа Ж предикатов Хг, . . ., Хп родов а1? . . ., aw, p1? . . ., рп поставлено
в соответствие одно из значений if, Л.
Отношение Z будет называться формульным наТ^Г, если найдется
формула исчисления 2-й ступени 3 (хг, . . ., хт, Хг, . . ., Хп), значение
которой на каждой ./^-модели 3R для каждой системы значений хг, . . ., хт,
Хг, . . ., Хп на SR совпадает со значением Z (хи . . ., хт, Z1? . . ., Хп).
Формула 3 (хц . . ., хт1 Хц . . ., Хп), кроме свободных переменных xt, Xj,
может содержать и ряд связанных предметных и предикатных переменных,
а также индивидуальные предикатные символы класса К.
Отношение Z будет называться В-устойчивым (BczA) на К,
если из истинности Z (хг, . . ., хт, Хг, . . ., Хп) в какой-либо 7Г-модели
Ж с основными множествами Ма (a S А) для каких-либо ее элементов
Хп . . ., хт и определенных на Ж предикатов Хг, . . ., Zn вытекает истин-
истинность Z (#!, . . ., xm, Z?, . . ., Zn) в каждой В-подмодели ЗЛ' модели 3R
при условии, что W содержит хи . . ., xw, а Z?, . . ., Zn — предикаты,
определенные на 3R', но значения которых совпадают со значениями Zx, . . .
. . ., Хп.
Непосредственно из определения понятия подмодели вытекает, что устой-
устойчивыми являются все основные предикаты рассматриваемого класса К,
а также их отрицания. Устойчивыми являются также конъюнкции и дизъ-
дизъюнкции устойчивых отношений. Поэтому всякое отношение Z, определенное
на К формулой, не содержащей никаких кванторов, будет устойчивым
(А-устойчивым) на К.
Легко также проверить, что если отношение Z (хг, . . , хт1 Zx, . . ., Хп)
в классе К\ В-устойчиво, то В-устойчивы на К и отношения, определяемые

90 Модельные соответствия
на К-моделях формулами
где i = l, . . ., n, j = 1, . . ., m, а род хк не входит в В.
В самом деле, пусть на модели 3R ЕЕ ^ заданы элементы #1? . . ., хт
и предикаты Xi, . . ., Xn_i, так что истинна формула
У (хг, . . ., #m, Х1? . . ., Хл-х) = \X)Z (хг, . . ., #w, An_i, X).
Это значит, что для любого предиката X на 3R истинно выражение
Z (^i, . . ., хт1 Х11 . . ., -лп-1, X),
а потому на 3R' истинно
Z (^!, . . ., хт, Xi, . . ., Xn_i, X ).
Если X пробегает всю совокупность предикатов рода X на 9R, то Х° пробе-
пробежит множество всех предикатов фиксированного рода, определенных на 5R'.
Поэтому на 9R' истинна формула
1 (х1, . . .,, хт1 Х±1 . . ., Xn_i)
и, таким образом, отношение Y устойчиво.
Рассмотрим еще последний случай. Пусть при заданных х1? . . ., хт_17
Хг, . . ., Хп на 3R истинна формула
Y (хц . . ., ^тп-1, -X^i, . . ., Хп) = (\&x)kZ (хц . . ., ^m-i? ^, Xi, . . ., Хп).
Это значит, что для некоторого а;ЕЖ будет истинным выражение
Z (#!, . . ., #w-i, ^, Х^ . . .
Так как род х не входит в В, то х принадлежит любой R-подмодели 9R'.
Но Z устойчиво, поэтому
Z (^1, . . . , #771-1? #, Xl, . . . , Хп) = ■" »
т. е. на 3R' истинно выражение
х (a?i,. . . , #rn-i, Xi,. . . , Хп),
что и требовалось доказатьШропущенные 2-й и 3-й случаи рассматриваются
аналогично.
Из сделанных замечаний доказываемая теорема вытекает непосредственно.
Действительно, пусть аксиома % имеет вид A). Формула 95, как не имеющая
кванторов, устойчива. По условию среди присоединяемых кванторов
(Qmi ^m)» • • •» (Qi> <*i) кванторы вид а (Я#), где род х принадлежит В, от-
отсутствуют. Поэтому аксиома % является устойчивой формулой, что
равносильно утверждению теоремы.
3.2. Внутренняя локальная теорема. Рассмотрим произвольный класс К
моделей с основными множествами Ма (а£А) и основными предикатами
Р-г (у G Г). Так же как и при определении проективных подклассов, вводим
в рассмотрение дополнительные множества предметов JVP ф G В) и опре-
определенные на Ма, Np предикаты (?5 F е А), вообще смешанного типа, т. е.
часть аргументов их будет пробегать некоторые из множеств Л/а, а часть
аргументов будет пробегать множества JVp. Пусть J?x (IgA) — еще одна

Модельные соответствия 91
система вспомогательных предикатных переменных, которые будут обозна-
обозначать некоторые предикаты, определенные на множествах Ма (a GA).
Рассмотрим системы аксиом $, 9tx, © следующего вида:
1. 5? — система аксиом УИП с основными множествами Ма, iVp (а G А,
PgB)h основными предикатами PY, Q§ (у ЕЕ Г, б ЕЕ А). Кванторы по эле-
элементам множеств Ма универсальные, кванторы по элементам N$ могут быть
обоих родов.
2. Для каждого К ЕЕ Л система Ы\ состоит из аксиом УИП с основными
множествами Ма (а ЕЕ А) и основными предикатами Ру (у G Г) и Д^. Все
кванторы универсальные.
3. © — система аксиом 2-й ступени с основными множествами Ма, N$.
Свободных предметных переменных (как и выше) в © нет; свободные преди-
предикатные переменные принадлежат системам {Ру}, {Qb}, все" связанные пре-
предикатные переменные принадлежат системе {i?x}. Кванторы по переменным,
относящимся к множествам Ма, предполагаются универсальными, остальные
кванторы произвольные.
Кванторы вида (i?x), (ЯДх) в аксиомах из © предполагаются специа-
специализированными — относящимися к совокупности всех предикатов
рода R\, определенных на {Ма} и удовлетворяющих системе аксиом dt\.
В аксиомах всех трех видов могут содержаться и знаки равенства, но
связывающие лишь предметные символы. Множества основных предикатных
символов и аксиом в каждой группе могут быть бесконечными.
Обозначим через S объединение систем аксиом $, <{Э?хЬ ©> и условимся
говорить, что модель 3R с основными множествами Ма (а ЕЕ А) и основными
предикатами Ру (у ЕЕ Г) удовлетворяет системе S, если существуют такие
дополнительные множества iVp (|5 ЕЕ В) и на системе {Ма} (J {N$} так
возможно определить дополнительные предикаты (?5 (8 G А), чтобы на по-
получившейся расширенной и обогащенной модели <{Afa}, {Л^}, {Ру}, {(?ь}У
выполнялись все аксиомы из S.
Класс всех моделей L, удовлетворяющих какой-либо фиксированной си-
системе аксиом S указанного вида, будем называть квазйуниверсаль-
н ы м, поскольку во всех аксиомах из S кванторы по элементам 3R являются
универсальными.
Аналогично, подкласс L некоторого класса моделей К будет называться
квазиуниверсальным подклассом в К, если L есть
пересечение К с подходящим квазиуниверсальным классом Lo, т. е. если L
состоит из всех тех .йГ-моделей, которые дополнительно удовлетворяют не-
некоторой квазиуниверсальной системе аксиом.
Чтобы получить более ясное представление о квазиуниверсальных клас-
классах, рассмотрим несколько примеров.
Докажем, что каждый класс моделей, допускающий аксиоматизацию
посредством аксиом сколемского вида
. .. (хт) (Яг/х). .. (Яг/П) Ж (хг, .. . , хт, уъ . .. , уп), B)
является квазиуниверсалъным.
Именно, покажем, что каждая аксиома B) равносильна следующей паре
квазиуниверсальных аксиом 2-й ступени:
(*i) • • • (хт) Ш • • • (Уп) № (хи . . ., хт, г/i, . . ., уп) -*■ R (хи . . ., хп)),
C)
(Д) (*х) . . . (xm)R (*x, . . ., хт), D)

92 Модельные соответствия
где квантор (R), как указывалось, специализированный, означающий:
«для всех R, удовлетворяющих аксиоме C)».
В самом деле, если аксиома B) истинна на некоторой модели 3R и преди-
предикат R на Ж удовлетворяет аксиоме C), то аксиома
(хг) . . . (xm)R (хг, . . ., хт)
на зл, очевидно, истинна. Пусть аксиома B) ложна. Тогда в Ж существуют
элементы х[, . . ., хт, для которых Ж (#i, . . ., i, г/i, . . ., г/п) ложно при
всех г/1? . . ., уп из 9R. Берем предикат R (хг, . . ., хт), ложный в точке
х[, . . ., х'т и истинный в остальных точках. Он удовлетворяет аксиоме C)
и не удовлетворяет условию (хх) . . . (xm)R (хи . . ., xw), что и требовалось
показать.
В качестве второго примера рассмотрим какой-либо (одноосновной)
класс алгебр К с основными операциями ft (хи . . ., хщ) (i = 1, . . ., s).
Добавляем аксиомы:
xRx & (xRy -* yRx) & (xRy & yRz -> xJ?z), E)
i & ... & s^-flj/n. & w = A (^i,... , жп.) & у = Д B/1,. .. , 2/щ) -> ^Ду? F)
> 1^= у)), G)
из которых аксиомы E), F) означают, что R есть отношение конгруэнтности,
а аксиома G) утверждает, что каждая неединичная конгруэнтность является
нулевой, совпадающей с отношением равенства. Таким образом, аксиомы E),
F), G) равносильны утверждению, что алгебра (гомоморфно) простая, и,
следовательно, подкласс (гомоморфно) простых алгебр в каждом классе ал-
гебр К является квазиуниверсалъным.
Аналогичным образом, рассматривая вместо E), F), G) аксиомы
R(Xl)& ... &R(хщ)&и = /{(хъ ... , xn.)->R(u),
(R)(x)(y)(z)(R(x)&R(y)&x^y->R(z)),
приходим к выводу, что совокупность алгебр, не имеющих неодноэлементных
истинных подалгебр, является квазиуниверсалъным подклассом класса алгебр.
В частности, отсюда следует, что квазиуниверсальными будут подкласс
всех простых полей и подкласс всех конечных групп простых порядков.
Ни тот, ни другой подклассы не будут проективными, так как для любого
натурального п и тот и другой содержат модели, число элементов которых
больше тг, и в то же время оба класса не содержат несчетных моделей и пото-
потому не удовлетворяют теореме расширения для проективных классов (п. 2.3).
Поскольку простые абелевы группы образуют непроективный класс,
то не будет проективным и класс всех простых групп.
Отсюда видно, что квазиуниверсальные подклассы аксиоматизируемых
классов моделей глубоко отличаются от аксиоматизируемых и проективных.
Квазиуниверсальный подкласс может состоять даже из одной бесконечной
модели, как, например, класс простых полей нулевой характеристики.
Тем не менее имеет место следующая основная
Теорема 6 (внутренняя локальная теорема). Если модель имеет
локальную систему подмоделей, принадлежащих квазиуниверсальному клас-
классу L, то 9R также принадлежит L. В частности, объединение возрастаю-
возрастающей цепочки моделей квазиуниверсального класса L есть модель того же класса.

Модельные соответствия 93
Доказательство будет проведено методом «опредмечивания» предикатов,
состоящим в том, что предикаты различных ступеней и типов начинают рас-
рассматриваться как элементы новых дополнительных основных множеетв,
после чего аксиомы высших ступеней переписываются в виде многоосновных
аксиом УИП.
Итак, пусть 9R — модель с основными множествами Ма (а£А) и ос-
основными предикатами Ру G G Г), обладающая локальной системой подмо-
подмоделей 5Кв (а ЕЕ 2), удовлетворяющих квазиуниверсальной системе аксиом
£ == {$, {5Кх}, ©} описанного выше строения. Каждому предикату R^t\
определенному на {Ма} и удовлетворяющему на 9К требованиям SKx, сопо-
сопоставляем новый символ г^ и совокупность всех r^t обозначаем через U\.
На множествах {Ма}, {U\} определяем новые предикаты Е\ следующим об-
образом: если
Rх = i?x (хъ . .., хр) (яч G Ма.),
то
Ех = #х (г*, хъ . .., яр) (гх е U-к, х{ е Afa.)
и по определению считаем
Еъ (гх, агх,. .. , xv) = Лх (^х,.. ., Яр) (я4 е Afa., р = р (к)). (8)
В результате из 3R возникает модель
с большим числом основных множеств и предикатов. Обозначим через Э?х
систему аксиом, получающихся из аксиом SRx заменой в них выражений
7?х (я1? . . ., яр) выражением Е\ (гх, я1? . . ., яр). Соответственно через S*
обозначим систему аксиом, получающихся из аксиом ® указанной заменой
i?x (я1? . . ., яр) на Е\ (гх, ях, . . ., яр) и заменой кванторов (i?x), Ci?x)
кванторами (гх) и (Згх). Аксиомы 9?х, @* будут рассматриваться как ак-
аксиомы УИП с основными множествами {Ма}, {U\}, основными предикатами
PY, Е\ и специализированными кванторами, причем во всех аксиомах Ш\
предметное переменное гх предполагается связанным начальным квантором
всеобщности, относящимся ко всей аксиоме.
Из построения 9К и формулы (8) видно, что не все аксиомы системы $С\
заведомо истинны. Более того, если удастся еще построить множества
N $ (р G В) и на системе {Ма, N р} определить предикаты Q§ так, чтобы на
{Ма, U\, TVp} выполнялась система £* = {S, {3ix}? ©*}, то тогда на Ж
заведомо будет выполняться система £ и 9К будет принадлежать классу К.
Обозначим через О CR*) описание модели 9К* и рассмотрим систему
аксиом
Г = {О (»*),«, {SR^}, ©*}.
Покажем, что эта система совместна. Согласно локальной теореме УИП для
этого достаточно доказать совместность каждой конечной части £/ систе-
системы £*. Система £/* содержит лишь конечную систему Т членов из О CR*)
и потому в записи формул, принадлежащих Г, участвуют лишь конечная
совокупность элементов аи . . ., ат из (J Afa и конечная совокупность эле*

1K Модельные соответствия
.ментов r\v . . ., гх из \JU\. По условию аи . . ., ат принадлежат некото-
некоторой подмодели 9K<j из 9К, удовлетворяющей аксиомам £.
Составляем указанным выше способом из 9Кб модель $fll и пусть
»O'CR?) — описание 9Кд. По условию предикаты R\v . . ., i?x , отвечающие
элементам гх2, . . ., гх удовлетворяют на 9К системам аксиом 31х1? • • •» ^хп-
Обозначим через i?x°. предикат, определенный на ffla и совпадающий на 9К
€ предикатом R\{. Поскольку аксиомы Ш\{ универсальные, то предикат R%£
удовлетворяет аксиомам Э1х. на 9Ка. Поэтому в множестве U\., построен-
построенном для 9Кв, найдется элемент Гх°. такой, что
(г?., агх,. . ., хр) = #х*(гх., Жх,. . ., хр)(хъ ...,a;pG3Ra). (9)
Обозначим через Т7* совокупность формул, которые получатся, если в фор-
формулах из Т символы r\v . . ., гх заменить соответственно символами
г\, • • ., ^х°. Убедимся, что Г* входит в О. CRa), т. е. что" каждая формула
из Г при указанной замене переходит в формулу, истинную на 3Re. В са-
самом деле, формулы из Т имеют вид,
Ру (о\и .. ., ais), a4 = aj, ах ф dj,
, ^(r^faklf...fakp) (е = ±1, Р1 - Р, Р - Р). A0)
Так как по условию знак равенства в аксиомах S предикатных переменных
те связывает, то и в описания Ж* и ffil мы не включаем члены вида
г\ = Гу., Гх =^= П* и соответственно Гх = г{1, гх ^= rji. Члены же Г, имеющие
вид A0), при замене г\ на гх° остаются истинными в силу (9).
Итак, система Т является частью еистемы
tf8 - {т,«, {С}, ©*},
;а система £^ выполняется на 3Ra, если для символов гх\, . . ., гх взять зна-
значения гх*, . . .; гх° из 9Ra. Следовательно, каждая система £/ совместна
и потому вся система £* имеет некоторую модель 31*, основные множества
которой пусть будут Mat 'N$, U\, aGA, РёВДеЛ. Так как £* со-
содержит описание модели 9К*, то Ма ^ Ма, U\ ^ U\ и 9R* есть подмодель
{М'а, £/'х}-проекции модели SR*.
Во всех аксиомах системы £* кванторы, относящиеся к элементам {Ма},
универсальные. Поэтому подмодель Э^ модели 31 *, имеющая основные мно-
множества Ма, Л^р, £/х, также удовлетворяет системе 2*.
На каждом множестве U\ вводим отношение эквивалентности 0х, пола-
полагая г-квгх = И, если
для всех ^, . . ., жр из (J-Ma. В аксиомах £* элементы С/х знаком равенства
ме связаны и в качестве аргументов они встречаются только у предикатного

Модельные соответствия 95»
символа Е\. Поэтому 0х можно рассматривать как релятивизированное ра-
равенство в смысле предыдущего пункта и из модели 9?i получить модель
9Ji/0 с основными множествами Ма, JVp, U-k/Q-k, на которой все еще выполня-
выполняется система аксиом £ *.
Замечаем теперь, что для каждого фиксированного r{ £E U\ выражение
Е\ (К, хх, . . ., хр) является предикатом, определенным на 3R и в силу
аксиом SRx удовлетворяющим аксиомам 9?х на 9К. Но все такие предикаты
уже были представлены элементами U\ при конструировании этого множе-
множества. Следовательно, для каждого r{ ЕЕ U\ найдется эквивалентный ему
элемент r\ ЕЕ U\ и потому модель ffil/Q в силу п. 3.1 будет изоморфна под-
подмодели 91о модели 9li, имеющей основные множества Ма, iVp, U\. Таким
образом, на 91q выполняются аксиомы £*. Модель 3R0 получается из 9?^,
отбрасыванием предикатов (?5 и множеств JVp, т. е. SR0 является искомой
моделью, и теорема доказана.
Лишь по форме является более общим, чем теорема 6, е§
Следствие. Если модель 9К какого-нибудь класса К обладает ло-
локальной системой подмоделей, принадлежащих квазиуниверсальному подклас-
подклассу L класса К, то 9К принадлежит L.
Действительно, согласно определению L = К f] Lo, где Lo — некоторый
квазиуниверсальный класс. Модель 3R обладает локальной системой Z-,
а потому и /^-подмоделей. Из теоремы 6 следует, что 3R £Е Lo. По условию
3R е К, а потому 3R ^ L, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Если квазиуниверсальный класс моделей L описывается
системой аксиом S = {&, {9?х} S}, б которой аксиомы Ы-к отсутствуют
или приводятся к всегда истинным формулам, то L является универсально
аксиоматизируемым.
Согласно теореме 5 каждая подмодель L-модели есть Z-модель. Поэтому
чтобы применить теорему 1, остается доказать лишь внешнюю локальную
теорему для L: если каждое финитное частичное описание произвольной
конечной подмодели некоторой модели 3R реализуемо внутри подходящей
L-модели, то SR есть L-моделъ.
Для доказательства этого утверждения обозначим через {3Ra} систему
тех Z-моделей, внутри которых могут быть реализованы финитные частичные
описания всевозможных конечных подмоделей модели 9К. Далее дословно по-
повторяем доказательство теоремы 6. Отличие состоит лишь в том, что теперь
ЗКс вообще не являются подмоделями модели 9К. Но условие, что ЗКв есть
подмодель модели 9К, было использовано в доказательстве теоремы 6 лишь
для того, чтобы найти в U\. предикаты R%\., связывающие элементы аг,..., аш
таким же образом, каким они связаны предикатами П{. в 9К, и в то же время
связанные в 9Кв условиями $RM (i = 1, . . ., п). Если последних условий
нет, то в качестве 7?х°. можно взять произвольные предикаты на 9Кб, имею-
имеющие на совокупности {al7 . . ., ат} значения, совпадающие ео значениями
предикатов R\ на указанной совокупности. Тем самым внешнюю локальную
теорему для L, а вместе с нею и теорему 7 можно считать доказанными.
Главный частный случай теоремы 7, когда система S не содержит ак-
аксиом К и аксиомы © не содержат кванторов по элементам дополнительных
множеств iVp, был известен ранее (см. [7, 8]). В сущности, теорема 7 утверж-

96 Модельные соответствия
дает возможность элиминации из системы $, @ связанных предикатов Rt,
вспомогательных предикатов Q§ и элементов JVP в смысле Аккермана [1].
3.3. Приложения. Понятие разрешимости группы сильно ветвится при
переходе от конечных групп к бесконечным группам и вместо единого класса
конечных разрешимых групп естественно возникают классы RN-, RI-,
-Z-групп, а также RN-, RI-, Z-, JV-групп и некоторые другие классы (см. [9,
4, 11]). Для всех указанных классов групп известны локальные теоремы.
Для «нижних» классов RN-, RI-, Z-групп, а также для упорядочиваемых
групп эти теоремы были впервые получены автором [9, 10] с помощью ос-
основной локальной теоремы УИП. Доказательства локальных теорем для
RI- и Z-групп были получены автором, а для Аг-групп — Бэром [2], но уже
с помощью некоторых специфически групповых методов. Мы теперь покажем,
что локальные теоремы для всех «верхних» классов RN-,RI, Z,-iV-rpynn
являются частными случаями доказанной выше внутренней локальной теоре-
теоремы, а известные внутренние локальные теоремы для «нижних» классов
RN-, RI-, Z-групп могут быть заменены более сильными внешними
-локальными теоремами.
Упорядоченная по включению система {Ма} подмножеств множества М
называется полной, если она содержит пересечения и объединения любой
совокупности своих членов и содержит М. Для каждой полной упорядочен-
упорядоченной системы S = {Ма} подмножеств М вводим на М бинарный предикат
Л8 = Л, полагая xRy = if, если среди множеств системы М существует такое,
которое содержит я и не содержит у. Ясно, что R удовлетворяет аксиомам:
a) xRx,
Р) xRу & yRz -> xRz,
у) xRz & yRz -> xRy.
Обозначая через R у совокупность всех тех х ЕЕ М, для которых xR у = И,
-легко убеждаемся в том, что
Ry= {J Ma, Ма= П Ry (МафМ),
т. е. что Ry e S и что каждое Ма Ф М представимо в виде пересечения под-
подходящей системы множеств Ry.
Обратно, пусть на М задан какой-либо бинарный предикат Л, удовле-
удовлетворяющий требованиям а) — у). Система множеств вида Ry будет упорядо-
упорядоченной по включению. Пополним эту систему множеством М и объедине-
объединениями и пересечениями любых совокупностей ее членов и обозначим по-
пополненную систему символом S. Тогда из а) — у) легко следует, что Rs = R
и, таким образом, полные упорядоченные системы подмножеств и предикаты
со свойствами а) — у) находятся во взаимно однозначном соответствии.
Заметим, что система Sx есть уплотнение системы 5, т. е. Sx ^ S, тогда
и только тогда, когда соответственные предикаты i?1? R связаны аксиомой
jcSy -v xSxy.
Если множество G есть группа и мы хотим рассматривать полные упоря-
упорядоченные системы подгрупп, содержащие единичную подгруппу, то к усло-
условиям а) — у) добавляем аксиомы:
6) xRz & yRz
е) х

Модельные соответствил 97
Аксиома
х) xRy -> y~xxyRy7
Очевидно, равносильна требованию, чтобы в любой паре соседних подгрупп
системы меньшая подгруппа была нормальным делителем в большей (нор-
(нормальность системы).
Аксиома
X) х =f= хх-1 & хЁу & yRx -> xyx^y^Rx
равносильна требованию, чтобы фактор-группа любых двух соседних под-
подгрупп системы была абелевой; аксиома
\i) xRy-*- z~xxzRy
равносильна требованию, чтобы все подгруппы системы были инвариантны
в G (инвариантность системы), а аксиома
v) хх-1 ф х -> xyx~xy~xRx
равносильна требованию, чтобы подгруппы системы были нормальными
делителями в G и чтобы фактор-группа G$/Ga любых двух соседних подгрупп
системы лежала в центре G/Ga (центральность системы).
До сих пор мы имели дело с предикатами, а не с операциями. Поэтому
дальше мы будем предполагать все аксиомы а) — v) записанными в преди-
предикатной форме. Например, если Р (х, г/, z)uQ (х, у) означают ху = z, у = х~1,
то аксиома е) в предикатной записи будет иметь вид:
Q (х, у) &Р (х, г/, z) &x=f= z-> zRx.
Для дальнейшего важно, что как аксиомы а) — v), так и их предикатные
записи содержат только кванторы всеобщности.
Свойство группы G быть RN-, RI-, Z-группой может быть выражено со-
соответственно аксиомами:
. (ЯД) (х) (у) (z) ((а) & (Р) & (у) & F) & (е) & (X)); (RN)
(ЯД) (х) (у) (z) ((а) & (Р) & (у) & F) & (е) & (X) & (ц)); (RI)
(ЯД) (х) (у) (z) ((а) & (Р) & G) & (б) & (е) & (v)), (Z)
где квантор (ЯД) не специализирован, а (а), . . ., (v) означают выражения
из а), . . ., v).
Вид аксиом (RN), (Д/), (Z) удовлетворяет условиям теоремы 7 и потому
имеет место
Теорема 8. RN-, RI- и Z-группы образуют универсально аксиомати-
аксиоматизируемые подклассы класса групп и потому для них справедлива внешняя ло-
локальная теорема. __
Переходя к рассмотрению RN-, RI-, Z-, N-групп, обозначим через
©1 (Д), @2 (Д), ©з (-R) матрицы (бескванторные части) выражений (RN),
(RI), (Z). Положим еще
© (Д) = (а) & (Р) & G) & (б) &'(в) & (х),
% (R) = (а) & (Р) & G) & (б) & (е) & (I).
А Заказ № 357

98 Модельные соответствия
Тогда свойство группы быть RN-, RI- или Z-группой может быть вы-
выражено соответственно аксиомами:
(V&R) (ЯеЛ) (и) (v) (uRv -* uRxv),
(V%R) (E@A) (и) (v) (uRv -* uRxv),
(V%R) (Я^ДО (и) (v) (uRv -» uRxv).
Мы видим, что эти аксиомы имеют форму, указанную в определении ква-
квазиуниверсальных подклассов. Таким образом, RN-, RI-, Z-группы образуют
квазиуниверсальные подклассы класса групп. Согласно теореме 6 отсюда вы-
вытекает, что для указанных классов групп имеет место внутренняя локальная
теорема.
Для записи определения ./^-группы надо уметь охарактеризовать /?-пре-
дикаты, отвечающие системам вида 1 С Gj С G, где G± — какая-нибудь под-
подгруппа группы G. Для этого достаточно, очевидно, к аксиомам а) — е) до-
добавить условие
п) х ф хх & xRy -> yPz.
Обозначив конъюнкцию формул а) — е), я) через 91, мы сможем предста-
представить определение 7?-группы в виде аксиомы
(У«Д) (Я^ДО (и) (v) (uRv -> uRxv).
Эта аксиома снова имеет вид, указанный в определении квазиуниверсальных
подклассов. Следовательно, N-группы образуют квазиуниверсальный под-
подкласс в классе групп и потому для них имеет место внутренняя локальная
теорема.
Аналогичные утверждения имеют силу для класса групп, допускающих
линейное упорядочение (упорядочиваемые группы), и для класса
групп, любое частичное упорядочение которых может быть продолжено
до линейного упорядочения (свободно упорядочиваемые
группы) (ср. [10]).
Пусть % (R) есть
xRx & (xRу & yRz -> xRz) & (xRy & yRx -> x = y) & (xRy -> uxvRuyv),
a 95 (R) есть конъюнкция 9t (R) и формулы
xRy \/ yRx.
Тогда свойство группы быть упорядочиваемой можно выразить аксиомой
(ая) (*)(i/)oo (и) (»)»(Д),
а свойство быть свободно упорядочиваемой можно представить в форме
(V*R) (ЯвДО (х) (у) (xRy->xRiy).
Как и выше, отсюда следует, что упорядочиваемые группы образуют универ-
универсально аксиоматизируемый подкласс класса групп, а свободно упорядочивае-
упорядочиваемые группы образуют квазиуниверсальный подкласс. Первое утверждение
было доказано Лосем [6], указавшим в явной форме универсальные аксиомы,
характеризующие упорядочиваемые группы. Из второго утверждения выте-
вытекает
Следствие. Для подкласса свободно упорядочиваемых групп справед-
справедлива внутренняя локальная теорема.

Модельные соответствия 99
Это следствие является, по-видимому, новым. Частный случай его был
указан Лосем [7], показавшим, что объединение возрастающей цепочки
вложенных друг в друга свободно упорядочиваемых групп есть свободно
упорядочиваемая группа.
Изложенное указывает на родство, существующее между классами RN->
RI- и т. д. групп и группами, упорядочиваемыми и свободно упорядочивае-
упорядочиваемыми. Это родство можно было бы еще более подчеркнуть, если вместо
предиката R рассматривать его отрицание. Действительно, полагая Р = Ё,
можно аксиомы а), |3), у) представить в виде
хРх, хРу & yPz -> xPz, xPy V уРх,
и предикат Р будет определять квазиупорядоченность, а группы типов
RN, RI, Z будут квазиупорядочиваемыми, удовлетворяющими различным
дополнительным требованиям, налагаемым на квазипорядок.
Перенося понятия RN-, RN- и т. д. групп на упорядоченные и частично
упорядоченные группы, естественно требовать, чтобы участвующие в опре-
определениях полные системы подгрупп состояли из выпуклых подгрупп. Пред-
Предшествующие рассуждения показывают, что получающиеся этим путем классы
групп будут снова универсально и соответственно квазиуниверсально аксио-
аксиоматизируемыми. В частности, этим: путем из общей внутренней локальной
теоремы можно получить ряд новых конкретных локальных теорем для групп
(ср. [111).
ЛИТЕРАТУРА
1. W. Ackermann. Untersuchungen iiber das Eliminationsproblem der mathematischen
Logic—Math. Ann., 1934, 110, N 3, 390—413.
2. R. Baer. Nilpotent groups and their generalizations.— Trans. Amer. Math. Soc, 1940,
47, 393-434.
3. Д. Гильберт, В. Аккерман. Основы теоретической логики. М., ИЛ, 1947.
4. А. Г. Курош, С. Н. Черников. Разрешимые и нильпотентные группы.— Успехи мат.
наук, 1947, 2, № 3, 18-59.
5. /. Los. On the existence of linear order in a group.— Bull. Acad. polon. sci., Ser. sci.
math., astron. et phys., 1954, 2, N 1, 21—23.
6. /. Los. On the extending of models, I.— Fundam. Math., 1955, 42, N 1, 38—54.
7. /. Los. Quelques remarques, theoremes et problernes sur les classes definissables d'alge-
bres.— In: Mathematical Interpretations of Formal Sustems. Amsterdam, 1955, 98—
113.
8. А. И. Мальцев. Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik.— Мат.
сб., 1936, 1, № 3, 323—335.
9. А. И. Мальцев. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп.—
Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та, 1941, 1, 3—9.
10. А. И. Мальцев. О доупорядочении групп.— Труды Мат. ин-та АН СССР, 1951, 38,
173—175.
И. А. И. Мальцев. Замечание о частично упорядоченных группах.— Учен. зап. Ивановск.
пед. ин-та, 1956, 10, 3—5.
12. А. И. Мальцев. О представлениях моделей.— Докл. АН СССР, 1956, 108, № 1, 27—
29.
13. А. И. Мальцев. О классах моделей с операцией порождения.— Докл. АН СССР,
1957, 116, № 5, 738—741.
14. A. Mostowski. On direct powers of theories.— J. Symbol. Log., 1952, 17, N 1, 1—31.
15. A. Robinson. Complete theories. Amsterdam, 1956.
16. A. Schmidt. Ober deductive Theorien mit mehreren Sorten von Grunddingen.— Math.
Ann., 1938, 115, 485—506.
17. A. Schmidt. Die Zulassigkeit der Behandlung mehrsortiger Theorien mittels der iibli-
chen einsortigen Pradikatenlogic.— Math. Ann., 1951, 123, 187—200.
18. A. Tarski. Contributions to the theory of models, П.— Proc. Koninkl. nederl. acad.
wet., 1954, A57, 581—588.
4*

РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДЕЛЕЙ*
В работе [5] было введено понятие аксиоматизируемого соответствия
между моделями фиксированных классов. Параграф 1 настоящей статьи
посвящен рассмотрению тех модельных соответствий, которые могут быть
заданы формулами узкого исчисления предикатов (формулами УИП), яе
содержащими дополнительных предикатных символов. Рассмотрение эта
основывается на одной элементарной лемме о приведении формул УИП
с разделяющимися переменными. В качестве иллюстрации выводятся ре-
результаты С. Фефермана [8] о формулах, истинных на прямых произведениях
конечного числа моделей.
В § 2 изучаются произведения бесконечного Числа моделей. В этом пара-
параграфе вводится новое понятие регулярного произведения моделей, более
общее, чем понятие прямого произведения. Опираясь на идею разделяю-
разделяющихся переменных, использованную в § 1, и на теорему Г. Бемана [1] о нор-
нормальной форме формул с одночленными предикатными символами, для
каждой замкнутой|формулы УИП ф, относящейся к регулярному произве-
произведению моделей №ка, удается построить эквивалентное ф выражение 9t,
составленное с помощью операций &, \/, ~~| из конечного числа высказыва-
высказываний £) вида: «среди сомножителей существуют такие модели 9Ка1, . . ., 3Ra 9
на которых соответственно истинны формулы ф^, . . ., ЭДз , причем
a*i Ф a/i> • • •> a*p Ф av где *Рэ*' • • •' 9Чи "" эФФективно конструируе-
конструируемые замкнутые формулы УИП». Таким образом, чтобы иметь возможность
судить об истинности или ложности произвольно заданной формулы УИП ф
на регулярном произведении, достаточно (в общем случае и необходимо)
уметь решать вопрос об истинности или ложности лишь формул указанного
вида, относящихся в основном к сомножителям. Это — основной результат
работы **.
Предполагая число сомножителей в регулярном (правильном в смысле
§ 2) произведении П 3Ra бесконечным, а все сомножители — изоморфными
одной и той же модели 3R0, мы видим непосредственно, что указанные выше
выражения © приводятся к высказываниям вида: «на 9R0 имеет место фор-
формула фр! & ... & $з »• Следовательно, в случае регулярной степени
П$В?а = 9Ко*£ вопрос об истинности фиксированной формулы УИП $
на SKo** сводится к вопросу об истинности подходящей эффективно конструи-
конструируемой формулы УИП на 9К0. Для случая прямых степеней это доказано»
А. Мостовским [1].
Предположим, что в правильном регулярном произведении Ж = Г19Юа
сомножители разбиты на классы изоморфных между собою моделей, что
* Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 4, 489—502.
**Еще более общее понятие произведения, оказавшееся и более удобным, введено Фефер-
маном и Воотом (см. об этом в кн.: А. И, Мальцев. Алгебраические системы. М., «На-
«Наука», 1970).— Прим. ред.

Регулярные произведения моделей
каждый класс содержит бесконечное число моделей и что совокупность
9KY (у €Е Г) является системой представителей указанных классов. Тогда
каждое упомянутое выше выражение © приводится к конъюнкции выраже-
выражений вида: «среди моделей 9KY существует модель, на которой истинна форму-
формула фр». Отрицание этого выражения имеет вид: «на каждой модели 3RY
истинно выражение фр». Следовательно, мы будем иметь алгоритм для рас-
распознавания истинных и ложных формул УИП на №iRa, если существует
алгоритм, распознающий истинность и ложность формул УИП одновременно
на всех $tY. Для случая прямых произведений этот результат сформулиро-
сформулирован Р. Воотом [8].
Помимо большей общности результатов § 2 сравнительно с соответствую-
соответствующими результатами А. Мостовского и Р. Воота, доказательства в § 2 кажутся
более простыми, чем у А. Мостовского, в основном благодаря использованию
преобразования Г. Бемана. Сравнить методы § 2 с методами Р. Воота автор
не мог, так как упоминавшиеся результаты Р. Воота опубликованы пока
без доказательств.
§ 1. Расслаивающиеся соответствия
1.1. Пусть Кг, К2 — заданные классы моделей с основными предикатами
Ру (у£Г)и (>5 (8Е А). Основные множества моделей этих классов усло-
условимся обозначать соответственно через М, N. Введем новые предикатные
символы i?x (^ GE Л) вообще смешанного характера, т. е. часть аргументов
каждого Rj, будет пробегать множество М, а часть может пробегать множе-
множество N. Обозначим через @ некоторую систему замкнутых формул (аксиом)
узкого исчисления предикатов (УИП), записанных с помощью предикатных
символов PY, (?s, Их- Эти аксиомы могут содержать знак равенства. Все
предметные переменные в них, а также кванторы будут предполагаться спе-
специализированными. Таким образом, если предметное переменное х будет
первого рода, то квантор C.x) будет означать высказывание: «в множестве М
существует такой элемент х, что...» (ср. [5]). Модели 9К ЕЕ Къ Я1 ЕЕ К2
называются связанными ©-соответствием* если на М, N возможно опреде-
определить предикаты R\ так, что все аксиомы © будут истинными.
Соответствия, определяемые указанным способом, называются аксиома-
аксиоматизируемыми. Аналогично определяются аксиоматизируемые соответствия
между моделями любого числа классов (см. [5]).
Хотя в приведенных определениях классы^, К2 могли быть произволь-
произвольными, при рассмотрении аксиоматизируемых соответствий предполагается,
что Кх и К2 — классы всех моделей данного типа. Если же Кг, К2 — аксио-
аксиоматизируемые классы, то системы аксиам, характеризующие Кг, К2, вклю-
включаются в систему @ и тем самым дело сводится к основному случаю классов
«всех» моделей. Заметим еще, что индивидуальные символы не предпола-
предполагаются в аксиомах. Вместо них в случае необходимости можно ввести новые
одноместные предикаты, поскольку число предикатных символов не ограни-
ограничивается и может быть бесконечным.
К числу простейших соответствий можно отнести соответствия, которые
допускают аксиоматизацию посредством системы @ аксиом, не содержащих
вспомогательных смешанных предикатов 7?х и, таким образом, записывае-
записываемых с помощью лишь основных символов рассматриваемых классов. Эти
соответствия условимся называть расслаивающимися. Неко-
Некоторым оправданием такому назваЕшю может служить

102 Регулярные произведения моделей
Теорема 1. Каждое расслаивающееся соответствие между моделями
классов Kl9 . . ., Ks может быть охарактеризовано системой аксиом вида
«Г V stf V • • • V 3tf}
где 91^ — аксиома, записанная в терминах класса Kt (i — 1, . . ., 5).
Эта теорема непосредственно вытекает из следующей чисто комбинатор-
комбинаторной леммы.
Лемма. Пусть в формуле УИП
95 = {QyXl) • . • (QmZ'm) 9t (ХЪ . . . , Хт, Хт+1, . . . , Хп)
(Qt = V, 3, % кванторов не содержит) множество всех предметных пере-
переменных хх, . . ., хт, хт+1, . . ., хп, встречающихся в записи 3(, удалось раз-
бить на непересекающиеся классы 1г, . . ., Is так, что никакой член вида
Р (xtl, . . ., xik) или xt = Xj из % не содержит переменных разных классов.
Тогда регулярным процессом можно найти такие формулы 95j7-, что форму-
формула 95 будет эквивалентна выражению
причем все предметные переменные каждой формулы 95г-7- принадлежат одному
из указанных классов, а префикс 95г-; является подпрефиксом префикса 95.
Процесс приведения 95 к виду Е в основном совпадает с процессом, из-
известным в теории формул с одинарными предикатами (см. [1]), и мы лишь
для полноты изложения приводим доказательство.
Если 95 кванторов не имеет, то утверждение леммы очевидно, так как
в качестве 95^7- в этом случае можно взять члены Р (xti, . . ., xik),Xi = Xj
или их отрицания. Далее пользуемся индукцией по числу кванторов в 95.
Пусть для /71 — 1 кванторов лемма верна. Тогда для формулы
(Q2x2)... (Qmxm) % (хъ ..., хт, хт+1, ...,хп)
найдется эквивалентная ей формула вида К и, значит, -будем иметь экви-
эквивалентность
Допустим, что (?х = V. Тогда
»~(Я1)(Я5и V • • • V*iki) & • • • &(*i) »pi V • • • VS5p*p).
Объединяя в 95^ \/ . . . \/ §бщ сомножители с предметными переменными
того же, что и хг, класса в один член, например в 95^, мы сможем переписать
95 в требуемой форме:
!! V • • • V »Ш& • • • &(*l) »P1 V • • • V»P*p-
Если в 95 имеем Qx — Я, то (£ переписываем в дизъюнктивной нормальной
форме и затем поступаем двойственно вышеизложенному.
Таким образом, лемма доказана, а вместе с нею доказана и теорема 1,
так как в каждой аксиоме из системы, характеризующей соответствие, пред-
предметные переменные, относящиеся к классу Kt, встречаются в качестве аргу-
аргументов только у предикатов этого же класса Кг и не сталкиваются с пред-
предметными переменными, относящимися к другим классам Kj.

Регулярные произведения моделей 103"
. - -*&
1.2. Класс моделей К называется минимальным, если он аксио-
аксиоматизируем и не содержит никакого отличного от К аксиоматизируемого
подкласса. Очевидно, минимальные классы — это те классы, которые могут
быть охарактеризованы полной системой аксиом УИП. Каждая модель
содержится в одном и только одном минимальном классе. В качестве системы
аксиом, характеризующих этот класс, можно взять совокупность всех акси-
аксиом, истинных на заданной модели.
Пусть а — какое-нибудь соответствие между моделями классов К1, К2,
Тогда каждому подклассу Lx с: Кг будет отвечать определенный подкласс
Ьга в К2, состоящий из всех тех ^-моделей, которые находятся в ст-соответ-
ствии хотя бы с одной моделью из Ьх. Класс Кг, как и любой класс, рассла-
ивается на минимальные аксиоматизируемые подклассы, которым в К2 отве-
отвечают подклассы, вообще говоря, сложной природы.
Если соответствие а между моделями классов Кг, К2 расслаивающееся, то
каждому минимальному подклассу Lm с: Кх в К2 отвечает аксиоматизируе-
аксиоматизируемый класс Lma, причем Lma = ©to для ЗЯ ЕЕ Lm.
В самом деле, пусть а и Ьт задаются соответственно системами аксиом
{31^ V %t) и (£ = {(Г}. Ввиду полноты системы (£ для каждого [г из ©
следует либо З^, либо ~~Щх. Класс Lma характеризуется системой тех аксиом
$2, для которых (£-> ~~] 9t|\ Ввиду минимальности Lm произвольная ак*
сиома 91^ тогда и только тогда истинна на SR £= Lm, когда (£ ->• Stf, откуда
По аналогии с понятием псевдоаксиоматизируемых классов моделей
(см. [6]) условимся говорить, что модельное соответствие а псевдоаксиоматй-
зируемо, если для любой системы £ аксиом УИП, записываемых с помощью
предикатных символов основных классов и вспомогательных предикатных
символов, связывающих элементы основных множеств моделей рассматривае-
рассматриваемых классов, из того, что для каждой конечной части Зо системы £ сущест-
существуют модели, удовлетворяющие £0 и связанные соответствием а, следует
существование моделей, удовлетворяющих £ и связанных соответствием а.
Аналогичным образом можно ввести понятие псевдорасслаивающегося и
псевдопроективного соответствий. Для этого следует в качестве аксиом си*
стемы £ допускать лишь аксиомы, записываемые с помощью предикатных
символов одних основных классов или же с помощью смешанных предикат-
предикатных символов, связывающих элементы основных множеств моделей задан*
ных классов с элементами вспомогательных множеств (см. [5]).
Из основной локальной теоремы УИП (см. [5]) непосредственно следует,
что каждое проективное соответствие является псевдопроективным.
Заметим, что из псевдопроективности следует псевдоаксиоматизируе-
псевдоаксиоматизируемость, а из псевдоаксиоматизируемости следует шсевдорасслаиваемость
соответствия.
Теорема 2, Соответствие в между моделями классов Кг, К2 тогда
и только тогда расслаивающееся, когда оно псевдорасслаивающееея и всякой
модели произвольного минимального подкласса из Кг отвечает в К2 один и
тот же аксиоматизируемый подкласс.
Необходимость условий установлена выше. Докажем достаточность.
По условию соответствие а описывается связями вида

104 Регулярные произведения моделей
где {(£х} — полная система аксиом типа Кг. Из псевдорасслаиваемости сг
следует, что для каждой связи указанного вида должна существовать и
связь вида
где ©х, . . ., (Ер — подходящее конечное подмножество из {©х}« Полагая
«,= d &... & б:Р9
мы видим, что а характеризуется аксиомами
имеющими расслоенный вид.
1.3. В качестве примера приведем задачу, рассмотренную С. Феферма-
ыом (см. [8]), о редукции формул, относящихся к прямому прбизведению ко-
конечного числа моделей, к формулам, относящимся к сомножителям.
Пусть SR1? 3R2 — заданные однотипные модели с основными множест-
множествами Мг, М2 и основными предикатами Р^} и Р^ (а Е А). Прямым произ-
произведением моделей Жх, 5К2 называется модель 3R, основным множеством
которой служит множество пар <%, а2> (% S Мг, а2 е М2), а основные
предикаты определяются формулами
Pa «tfi, о»>, -.., <*, с2» = />£> (аь ..., сг) & Р® (а21..., с2). A)
Пусть
— формула УИП, относящаяся к Ж. Заменяя в этой формуле выражение
Ра (xiv ..., xip)
выражением
РA) Гг^ гг- \ & РB) Гг? г2 ^
и каждый квантор (^г.гг) — парой кванторов (<2г.г*) (^гХ2), получим новую
формулу 95 со специализированными переменными, часть которых относится
к множеству Мг, а часть — к множеству М2. Это разбиение переменных удо-
удовлетворяет условиям леммы и потому формула 95 указанным в п. 1.1 процес-
процессом приводится к виду
где 95J, . . ., 95s — формулы, относящиеся к первому сомножителю, а
95?, . . ., 952 — формулы, относящиеся ко второму сомножителю.
Мы рассмотрели случай, когда модели 3Rb 5K2 имеют по одному основ-
основному множеству. Если эти модели многоосновные (см. [5]), то их прямое
произведение можно определять существенно различными способами. Пусть,
например, SKj и 5К2 определены на парах множеств М±, Ыг и Af2, N2. Тогда
прямым произведением 9В?Х X Ж2 естественно назвать модель с основными
множествами Мх X М2 и N1 X N2, предикаты на которых определяются
по формулам A). Для этих произведений сказанное выше имеет силу без вся-
всяких изменений.

Регулярные произведения моделей 105
Предположим теперь, что первое основное множество у моделей ЗК^ 3R2
общее: Мг = М2 = М. Тогда модель 3R с основными множествами М,
Л^1 X N% и предикатами Ра, определяемыми снова по формулам A), естест-
естественно назвать прямым произведением моделей 9)^, 3R2 надмножест-
надмножеством М. Прямые произведения этого вида встречаются, например, при
изучении групп и колец с фиксированной областью операторов.
На прямые произведения над фиксированными множествами указанные
выше преобразования непосредственно не переносятся. Однако теорема
А. Хорна [2], указывающая достаточный признак для того, чтобы аксиома,
выполняющаяся на каждом сомножителе, была истинной и на прямом про-
произведении, остается справедливой для обоих видов прямых произведений.
Ясно, что при этом следует требовать, чтобы в аксиоме не встречался знак
равенства, связывающий элементы фиксированного основного множества
с элементами остальных основных множеств. В частности, теорема Хорна
остается верной для аксиом расширенного исчисления 2-й ступени, содер-
содержащих лишь квантор существования по предикатным переменным и пренекс-
ной форме.
§ 2. Регулярные произведения
2.1. Переходя к рассмотрению прямых произведений бесконечного числа
моделей, обобщим само понятие прямого произведения. Для простоты далее
предполагается, что все рассматриваемые модели одноосновные.
Пусть задана некоторая система моделей
3»а = <Ма; {Р?}> (aGA,TEГа).
Мы не будем требовать ни однотипности этих моделей, ни различия Ша, Ш$
при а^=р. Предположим, что для каждого аЕА задана- система формул
УИП
-@ = Я,У; 1еЛ), B)
где 5tx — открытая формула со свободными предметными переменными
#!,..., хтх, уг, . . ., уРх, все предикатные переменные которой принадле-
принадлежат системе {Р?}. Формулы B) могут содержать знак равенства.
Введем предикатные символы
Sx (а, хг,..., хту),
в которых а пробегает множество А, а хг, . . ., хтх пробегают декартово
произведение М = Пл/*а основных множеств заданных моделей. Далее
S\ (a, #!,..., хтх) рассматриваются как символы предикатов, определен-
определенных на паре множеств А, М формулами
Sx(а, *!,..., хту) = «5(^а,..., **x), C)
где ха обозначает проекцию х S Ж в множестве Ма, а значение правой
части равенства C) вычисляется в модели 3Ra согласно формуле B).
С помощью символов S\ определяем на М новую систему предикатов по-
посредством равенств
Ру (ХЪ . . • , XnJ = {Qx&l) • • • {QqXkqy) My («1, • • • . «*,, ^Ь • • • , ^nY) (T S Г).ПD)

106 Регулярные произведения моделей
Здесь 9Jx — открытая формула УИП с предикатными символами S\ и, воз-
возможно, отношениями равенства, связывающими некоторые из переменных
аь * . ., aQy. Кванторы в D) специализированные, относящиеся к множе-
множеству А.
Модель 5К с основным множеством М и основными предикатами Pyf
определенными на М равенствами D), будет называться регулярным
произведением моделей Жа. Формулы C), D) определяют тип
регулярного произведения. Ясно, что если задано регулярное произведение
моделей 9Ка (а ЕЕ А), то можно говорить и о регулярном произведении
(того же типа) моделей 9Кр ф ЕЕ В), где В — произвольное подмножество
множества А.
Основным типом регулярных произведений можно считать тот тип, когда
все модели 5Ка однотипны, Г = Га, щ = ту и формулы C) приводятся
к виду
Регулярные произведения этого типа условимся называть правиль-
правильными. Варьируя формулы D), мы получим различные типы правильных
произведений. Например, полагая
Ру (хъ ..., хту) = (a) Sy (а, хъ ..., хт}),
получим обыкновенное прямое произведение моделей. Полагая
.- Ру (*i,..., хту) = (а) (Р) (а ф р -> 5Y (а, ^,..., жтх) V Sy ф, «b ..., smx))
или
получим правильные произведения иных типов.
Из последних примеров видно, что правильные произведения не обязаны
быть ассоциативными, даже если они коммутативны. Кроме того, правильное
произведение алгебр может и не быть алгеброй.
Теорема 3. Существует финитный процесс, позволяющий для каждой
формулы вида
еде ф* — открытая формула УИП со свободными предметными переменны-
переменными хъ . . ., хп и предикатными символами Р^, и для каждой системы формул
(<?i%).. . (QQyaQy) SRY (ai, • •., <^Y, хъ . .., ^),
«5^ 9JY — открытая формула с предикатными символами S\ (а, хъ . . ., #тх)
построить формулу
... (Qrar) U* (аь ..., аг, хъ ..., жт)
с предикатными символами Та (ос, хг, . . ., ^то) @* — открытая) и фор-
формулы $&а (#!, . . ., ^то) со свободными предметными переменными хъ . . ., #та
и предикатными символами St (х1У . . ., жтх), обладающие следующими свой-
свойствами. Пусть каждому а£А поставлены в соответствие некоторая
модель 5Ка и заданные на ней формулы %\ (хъ . . ., хтх). Обозначим через $51

Регулярные произведения моделей 107
регулярное произведение моделей 3Ra, определяемое соотношениями C), D).
Тогда на 3R будем иметь:
при условии, что переменные at пробегают А, предикаты S^ определены
на 9Юа формулами
а предикаты Та (а, хг, . . ., хт<3) определены на паре A, 3R формулами
То (а, хъ ..., хШа) = Я5« (ж?,..., Хпа), E)
где #а есть проекция х в 9Йа, 35О рассматривается в 9Ка.
1 Доказательство проводим индукцией по числу кванторов в формуле ф.
Если в $р кванторов нет, то, подставляя в ф вместо Ру их выражения из D)
и вынося кванторы по элементам А в начало, получим требуемую формулу
& со значениями
Та = Sa, S5O = «в.
Пусть теперь теорема 3 справедлива для формул, число кванторов кото-
которых меньше, чем у ф. Тогда финитным процессом мы найдем формулы
95о' Та и &*, имеющие указанное в теореме 3 строение и такие, что на 9К
. . (<?А) Ф* СО «?!(%!) . . . (Qr<Xr) U (Oj, . . ., 0tr, ^x, . . ., Xm+1)
и, следовательно,
Ф (хъ ...,xm)oo (Qm+1xm+1) Q (ax).. . (Qrar) U* (аь ..., аг, хъ ..., жте+1).
Нам остается лишь преобразовать правую часть этой эквивалентности.
Для определенности предположим, что Qm+i = V. В случае Qm+1 = 3 до.
статочно будет пользоваться двойственными формулами. Согласно уело*
вию &* выражается с помощью операций "], \/, & через формулы вида
а1 — <Xj и Та (cti, Xj , . . ., Zjma). Считая xl9 . . ., хт+1 произвольными пара**
метрами, мы можем рассматривать выражение
(Qi*i) • • • {QAr) &* (ai, • • -, Or, xi, • .., ^m+i)
как формулу с одинарными предикатами Ta (a) = Ta (a, ^1? . . .) и знаком
равенства. Поэтому при помощи известных преобразований Бемана (см, [1,
стр. 44]) мы сможем найти эквивалентную ей конъюнкцию формул вида
(&о.. • (оц.) (ait = % v • • • V % = «jP V Я! («О V • • • V Tlvv («») V
V (Яр.) Xa (Р0 V • • •
где
Xi№i) = r:;11(Pi)&
Полагая

108 Регулярные произведения моделей
и пользуясь перестановочностью универсальных кванторов (хт+1) и (at)r
мы сведем первоначальную формулу ф к конъюнкции формул вида
)(fti (о!) V • v V Ч" К) V'C?) х (р))]
и нам останется лишь надлежащим образом преобразовать выражения вида
Vi («1, ••.,«») = м с?1»; («i) v • • • v у*: ю v <
которые можно переписать в форме
(w \ г v iD \ \ / \ / т7" ^'V ^
где
По условию формулы Yi (а), X (а) выражаются с помощью операций""],
V» & через jTo (а, я^, . . .), а последние на 3R равносильны формулам
Обозначим через Y* (х*, . . ., Xm+i) и Ха (ж?, . . ., Xm+i) формулы, ко-
которые получатся, если в Yt (а) и X (а) выражения Та (а) заменить соответ-
соответствующими выражениями 95о. На 3R имеет место эквивалентность
• -,ж«) со (awi) [^? (%, • •., sgi+i) V • • • V Yl* (xl ..
Здесь квантор (xm+1) можно заменить бесконечной совокупностью кванторов
(xm+i) (ol пробегает А), так как условие, что элемент х пробегает декартово
произведение М, равносильно условию, что проекции его ха независимо друг
от друга пробегают каждая свое множество Ма. Член с квантором (Яр)
можно представить в виде бесконечной дизъюнкции
Отсюда ясно, что
& (хъ ..., хт+1) со (awi) (Y? V • • • V у1") V
V (Щ [$фах&...&$фа,& D«) Хэ (af,..
Вводя формулу
в£(^, • • -, 4) = (^X^xf,..., xL я»)
и соответствующий ей на паре A, 9R предикат
и* (р, яь..., жт) = е2 (^i,..., aw),
мы сможем второй член дизъюнкции F) переписать в окончательном виде:
Теперь остается аналогично преобразовать выражение
? («?, • • -, С+1) V • • • V Y> (*aiv, • • -, a&i». G)

Регулярные произведения моделей 109
Если бы было известно, что аг Ф aj (i Ф j; г, / = 1, . . ., v), то согласно
изложенному выше выражение F) было бы эквивалентно формуле
и редукция была бы закончена. Чтобы свести дело к этому случаю, поступают
следующим образом.
Пусть т — какое-нибудь разбиение множества / = {1, . . ., и) на по-
попарно не пересекающиеся непустые подмножества 1и . . ., Ihi. Обозначим
через т (ах, . . ., av) конъюнкцию всех выражений а7- = ак для у, А:, входя-
входящих в один и тот же класс, и выражений а^ф ак для /, fc, взятых из разных
классов /х, . . ., Ihv Так как дизъюнкция формул т (ах, . . ., ав), состав-
составленных для всевозможных разбиений т, тождественно истинна, то формула
G) эквивалентна дизъюнкции формул
т («!,..., &,) & (хт+1) (У?1 V • • • V П%). (8)
Пусть т = {/1Э . . ., /h}, /7 = {а17-, . . ., о,^.}. Полагая
Z? (af,..., a£+i) = У^1;. V • • • V ^ (? = ?i),
мы сможем формулу (8) переписать в виде
т (&!,..., aj & (.тт+1) (гГа" V... V zJH
Если среди aaj, . . ., aaih есть совпадающие, то первый член этой^формулы,
а вместе с ним и вся формула ложны. Поэтому преобразование второго члена
формулы можно вести в предположении, что аап, . . ., aaih различны.
Согласно предыдущему в этом случае второй член эквивалентен выражению
(а&и) Z? (xt • •., а&0 V • • • V %
Вводя формулы
6^+i D,..., 4) = D+1) zf D, :
и соответствующие им на A, 3R предикаты
мы сможем переписать выражение (8) в окончательном виде:
(aau, жь ..., жт) V • • • V ^W Klh, %,..., хт).
Итак, проведя все указанные^редукции, мы из формулы ф получим
эквивалентную ей на 3R формулу вида \
(«i,. •., К хъ ..., хт),
где 0О записывается с помощью операций """], \/> ^. через выражения вида
at — a7-, C7V (a7-, xjt9 . . ., д:7- ). На множествах A, 9R предикаты U? связаны
зависимостями
f/v (a, хъ ..., xv) = ©v (ж?,..., а$).
где ©v выражаются через ©о, а следовательно, и через 31х, что и требова-
требовалось доказать.

110 Регулярные произведения моделей
2.2. Рассмотрим ряд следствий, вытекающих из теоремы 3. Прежде всего
исследуем более подробно тот случай, когда заданная формула ty является
замкнутой.
Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 3 формула ty является замк-
замкнутой. Тогда соответствующая формула
U = (Q&)... (Qrar) й* (аъ ,„,аг)
замкнута и содержит лишь одночленные предикатные символы I\ (а), по-
помимо знака равенства. Для каждого отображения а ->9йа (а ЕЕ А) и каждой
системы формул 3t£ соотношения E) делают Та (а) одночленными преди-
предикатами на А и тем самым обращают А в модель 91 (А) =» <А, Тг, . . ., Tsy.
Если отображение а ->ЗКа рассматривать для части ВсА, то соответ-
соответствующая модель 91 (В) будет подмоделью модели 9i (А), а эквивалентность
V со (frox)... Юм) £Г (ах, ...л)
будет иметь место и для регулярного произведения ПзК^ (Р €= В) в том смыслег
что левая часть вычисляется в Ж, а правая — в 91 (В).
Действительно, согласно теореме 3 значения Та (а) для каждого фиксиро-
фиксированного а однозначно определяются моделью 9Ra и заданными на ней форму-
формулами 31х и не зависят от ЗЙр для |3 =^= а. А это и значит, что 91 (В) будет под-
подмоделью 91 (А). Последнее утверждение следствия непосредственно содер-
содержится в теореме 3.
Условимся систему подмножеств {А^} произвольного множества А на-
называть локальной системой в А, если каждое конечное множество элементов
А содержится в подходящем подмножестве, принадлежащем данной системе.
Следствие 2. Пусть заданы регулярное произведение SK моделей
3Ra (a S А) и локальная система {At} подмножества А. Если какая-нибудь
замкнутая формула УИП истинна на каждом произведении №Кр (р ее At)y
то она истинна и на 9R.
В самом деле, для заданной замкнутой формулы ф строим соответствую-
соответствующую формулу & с предикатными переменными Та (а) и модель 91 (А).
Согласно Г. Беману [1] формула U как формула с одночленными предика-
предикатами эквивалентна формуле сколемского вида
(Ох)... (eg (How) • • • (За,) U («!,..., а,). (9)
По условию эта формула истинна на каждой подмодели 91 (А^) модели
*Р (А), причем подмодели 9i (Аг) образуют локальную систему в ф (А).
Отсюда следует, что формула (9) истинна на 91 (А) и, значит, формула ty
истинна на 3R.
Из следствия 2 известным путем приходим к утверждению:
Пусть К — аксиоматизируемый класс моделей, 9R — регулярное произ-
произведение моделей Жа (а Е А) и {At} — локальная система подмножеств
в А. Если каждое произведение Шл^ (р ЕЕ Аг) принадлежит К, то К при-
принадлежит и произведение 9R.
В частности, если аксиоматизируемый класс моделей К содержит правиль-
правильные произведения фиксированного типа любых конечных систем своих моделей,
то К содержит и правильные произведения любых бесконечных систем своих
моделей.
Как уже упоминалось, все эти следствия для случая, когда регулярные
произведения являются прямыми, указаны Р. Воотом [8]. В качестве проблем
они были сформулированы Ю. Лосем [4].

Регулярные произведения моделей 111
Для иллюстрации рассмотрим пример из теории RN-, RI-, Z-групп (оп-
(определения см. в работе [3]). В статье [5] показано, что классы этих групп
аксиоматизируемы. Кроме того, известно, что прямое произведение двух
групп какого-нибудь из указанных классов есть группа того же класса.
Из приведенных выше утверждений об аксиоматизируемых классах непосред-
непосредственно получаем, что полное прямое произведение любого числа RN-, Д/-
или Ъ-групп есть группа того же типа.
Это обстоятельство явно, по-видимому, не отмечалось, хотя теоретико-
групповое доказательство его также не представляет трудности.
2.3. Теорема 3 позволяет без дополнительных вычислений распростра-
распространить теорему А. Мостовского [7] о разрешимости прямых степеней разреши-
разрешимых моделей на регулярные степени разрешимых моделей и, частично, на
регулярные произведения.
Пусть задана замкнутая формула УИП ф, истинность или ложность
которой нам требуется установить на регулярном произведении 3R моделей
Жа (а ЕЕ А). Согласно следствию 1 теоремы 3 мы можем найти формулу &
с одинарными предикатными символами Та (а), в определенном смысле эк-
эквивалентную ф. На основании упоминавшейся теоремы Бемана [1] формула
& может быть приведена к дизъюнкции формул вида
l ^ah&...& а, ф а, & Т\\ (ах) & ... & т\\ (а,)) & (A) U (а),
A0)
где U (а) — конъюнкция формул, имеющих вид
Для простоты предположим, что рассматриваемое регулярное произве-
произведение правильное. Тогда для каждого Та (а) мы сможем написать замкну-
замкнутую формулу $8О (о = 1, . . ., s) такую, что значение Та (а) совпадает со
значением формулы 35 о в модели Жа. Из вида формул A0) непосредственно
получается
Теорема 4. Пусть Ж — правильное произведение моделей Жа(осЕЕ А)
с предикатами Р*, заданное некоторой системой формул D). Тогда для
каждой замкнутой формулы УИП ф с предикатными символами Р^ финитным
процессом может быть построена конечная система формул ф1? . . ., spt
таких, что истинность ф на 9R будет равносильна истинности финитно
конструируемой формулы, составленной лишь с помощью операций &, \/> "Л
из высказываний вида (i): «среди сомножителей существуют такие модели
Жа1, . . ., $tam> на которых соответственно истинны формулы фР1, . . .
• • •» фрт и, сверх того, ait =f= ah , . . ., aip ф ab>.
В самом деле, согласно A0) истинность ф равносильна истинности под-
подходящей финитно конструируемой формулы, составленной из высказываний
вида (i) и высказываний вида (ii): «во всех сомножителях формула фр истин-
истинна». Так как теперь, помимо операций &, \/, допускается и операция отри-
отрицания, то вместо высказываний вида (и) можно брать их отрицания, имеющие
вид (i).
Из теоремы 4 вытекает такое уточнение следствия теоремы 3:
При заданном типе D) правильных произведений для каждой формулы
УИП ф можно найти такое натуральное п, что если ф истинна на произ-
произведении любых п моделей из произвольной заданной системы моделей 3Ra (aG
ЕА), то ф будет истинной и на произведении всей этой системы моделей.

112 Регулярные произведения моделей
Модель 9К называется разрешимой, если существует регулярный ал-
алгоритм, позволяющий для каждой замкнутой формулы УИП ф решить
вопрос об истинности или ложности ф на 3R. Из теоремы 4 непосредственно
получаем
Следствие. Любая правильная степень разрешимой модели разре-
разрешима.
Действительно, если все перемножаемые модели изоморфны некоторой
фиксированной модели 5К0, то указанные в теореме 4 высказывания вида (г)
приводятся к высказываниям вида^ «формулы ф^и • • •> Фэт истинны на
$?0, и перемножается не менее к моделей». По условию все такие высказыва-
высказывания разрешимы и, следовательно, разрешима и рассматриваемая степень
модели 9R0.
Во введении было указано также, как с помощью теоремы 4 можно по-
получить и случай Р. Воота, когда в рассматриваемом произведении №к%
для каждого сомножителя имеется бесконечное число ему изоморфных дру~
гих сомножителей.
ЛИТЕРАТУРА
1. W. Ackermann. Solvable cases of the decision problem. Amsterdam, 1954.
2. A. Horn. On sentences which are true of direct unions of algebras.— J. Symbol. Log...
1951, 16, N 1, 14-21.
3. А. Г. Курош, С. Н. Черников. Разрешимые и нильпотентные группы.— Успехи мат..
наук, 1947, 2, № 3, 18—59.
4. /. Los. On the extending of models.— Fundam. Math., 1955, 42, N ir 38—54.
5. А. И. Мальцев. Модельные соответствия.— Изв. АН СССР, сер. мат.,. 1959, 23Г № 3.
313-336.
6. А. И. Мальцев. О классах моделей с операцией порождения.— Докл. АН СССР,
1957, 116, № 5, 738—741.
7. A. Mostowski. On direct powers of theories.— J. Symbol. Log., 1952, t7r N 1, 1—31.
8. R. L. Vaught. On sentences holding in direct products of relational systems.— Proc
Internat. Congr. Math., Amsterdam, 1954, 2, 409—410.

о Неразрешимости Элементарных теории
некоторых полей*
Пусть К — какой-либо класс моделей с основными предикатными сим-
символами Ра (х19 . . ., xSo) (a €= А) и индивидуальными предметными симво-
символами ар (р е В).
Отношение Р (х^ . . ., xs), определенное каким угодно способом на каж-
каждой ^-модели, называется формульным или арифметическим на К, если
существует формула ty (x^ . . ., xs) узкого исчисления предикатов со сво-
свободными переменными х1 . . ., xs, содержащая в качестве внелогических
констант лишь символы Ра, ар и такая, что на каждой if-модели 3R выраже-
выражение ф (xt, . . ., xs) истинно для тех и только тех значений хг, . . ., xs
из 3R, для которых истинно Р (xt,..., xs).
Элементарной теорией класса К называется совокупность всех замк-
замкнутых формул узкого исчисления предикатов, имеющих сигнатуру класса К и
истинных на всех if-моделях. Элементарная теория К называется рекур-
рекурсивно разрешимой, если существует алгоритм для решения вопроса, ис-
истинна или ложна произвольно заданная формула указанного вида на всех
Z-моделях.
В случае, когда К есть класс полей, основными предикатами считаются
отношения быть суммой и быть произведением двух элементов. Если в эле-
элементарной теории индивидуального поля характеристики нуль свойство
принадлежать простому подполю является формульным, то элементарная
теория такого поля алгоритмически неразрешима (см. [3]).
В 1949 г. Ю. Робинсон [1] показала, что в поле рациональных чисел свой-
свойство числа быть натуральным является формульным. В только что появив-
появившейся работе [2] Ю. Робинсон распространила этот результат на все алгеб-
алгебраические поля конечной степени. Тем самым ею доказана рекурсивная
неразрешимость элементарных теорий этих полей.
Гипотетически можно предполагать, что неразрешимыми элементарными
теориями обладают также поля рациональных функций от одной или несколь-
нескольких независимых переменных, а также поля формальных степенных рядов,
по меньшей мере над полями с неразрешимыми теориями. В настоящей работе
доказывается вторая из этих гипотез при некотором дополнительном огра-
ограничении, наложенном на основное поле. Что касается первой гипотезы, то
мы здесь показываем лишь, что неразрешимой теорией обладает поле рацио-
рациональных функций от одной переменной с коэффициентами из действительно
замкнутого поля. Эти результаты получены с помощью самых элементарных
алгебраических факторов, что может представлять методический интерес,
поскольку упомянутые выше теоремы Ю. Робинсон доказаны с помощью
довольно тонких теорем теории алгебраических чисел, выходящих за рамки
обычных университетских курсов общей алгебры.
* Сиб. мат. ж., 1960, 1, № 1, 71—77.

114 О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей
1. Поле рациональных функций. Пусть К — действительно замкнутое
поле. Отношение порядка х <^ у определяется в К формулой
(Ru)(u2 = у -х)
и потому далее поле К будет рассматриваться как упорядоченное.
Обозначим через К (х) поле рациональных функций от переменного х
с коэффициентами из К, а через К [х] — кольцо многочленов от х с ко-
коэффициентами из К. Нам понадобится следующая известная
Лемма 1. Если в кольце К [х] ненулевые многочлены и, v, w удовлетво-
удовлетворяют соотношению
и* + и4 = и;4,
то и есть константа.
Отсюда непосредственно следует
Лемма 2. В поле К (х) свойство элемента быть константой формуль-
формульное, а именно:
Con и <-> (ЩA + и* = у4). A)
Поэтому отношение Pos и, определяемое в К(х) формулой
Pos и <-> Con и & и ф О & (Kv) (и = у2), B)
означает, что и — положительная константа из К (х).
Элемент uEz К (х) будем называть функцией, не имеющей действительных
полюсов, если он представим в виде частного двух многочленов из К [х],
из которых делитель в К корней не имеет. Совокупность всех функций из
К (#), не имеющих действительных полюсов, обозначим через 91. Очевидно,
91 есть подкольцо в К (х). Формулы A), B), определяющие понятие поло-
положительной константы, остаются справедливыми и внутри 91. Введем в Ж
отношение делимости:
и | v <-» C.w)(v = uw).
Символом Nata обозначаем утверждение, что элемент a €E $Я является
натуральным, т.е. что а есть положительное кратное единицы в 91.
Лемма 3. Отношение Nata является формульным в 91, а именно,
Nata определяется формулой *
Pos a & (u)(v){u + 1 | v & (u?)(Pos w & и + w\v -+u + w + 1 \v) ->-
-+u + a\v). C)
В самом деле, если элемент а натуральный, то выражение C) истинно
в силу обычного принципа полной индукции, который формулой C), соб-
собственно, и выражается для отношения делимости на и + а. Остается пока-
показать, что выражение C) ложно для а не натурального. Иначе говоря, нужно
показать, что для каждой положительной не натуральной константы a €E 9?
в 91 существуют элементы и, v, для которых
u-\-i\v&uJra\v&. (w) (Pos w & и + w \ v ->■ и + iv + 1 | v). D)
* Как отметил А. Тарский, эта формула ф (а) определяет Nat a только в случае архимедо-
архимедовости поля К. Для произвольного поля нужно взять формулу ф* (а) = ф (а) &
& C3.vw)(z)(Pos z -> (и + z | w «-> ф (z) & z ^ а)). — Прим. ред.

О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей 115
Покажем, что элементы
и = х2 — а — 1, v = (я2 — а) (х2 — а + 1) . . . (х2 — а + [а])
удовлетворяют условию D). Истинность выражений и + 1 \v и и -f a\v
очевидна. Пусть w — некоторая положительная константа, для которой
и -\- w\v. Возможны два случая:
1) w ^> а. Функция и -f w + 1 = #2 — (w — а) вещественных корней
не имеет и потому и + w + 1 | v.
2) и; <; а. Условие и + м; | v требует, чтобы корни ± ]^а + 1 — м>
многочлена и -\- w были корнями у, т. е. чтобы w = k + 1, где А — целое
рациональное, 0 <; к <; [а]. Поскольку w <; а, то /с < | а | и, следователь-
следовательно, корни многочлена и + w + 1, равные ± Ya — w-> Bce е1Де будут кор-
корнями у, т. е. и + w + 1 будет делителем v. Итак, элементы w, v удовлетво-
удовлетворяют требованию D) и леммаг 3 доказана.
Теорема 1.2? поле К (х) свойство быть натуральным числом является
формульным.
Ввиду леммы 3 достаточно показать, что в К (х) является формульным
свойство не иметь вещественных полюсов. Для этого нам понадобится хоро-
хорошо известная
Лемма 4. Пусть f (х) €= К {х). Тогда и только тогда / (х) > 0 для
всех значений х из К, когда f (х) = и2 + у2, u, v €E К (х).
Иначе говоря, условие «/ (х) > 0 для всех значений х из К» возможно
в К (х) определить формулой
(Яи)(ЩУ(х) = и2 + v2). E)
Для полноты изложения приведем краткое доказательство этой леммы.
Функцию / (#), очевидно, можно представить в виде A(x)-g(x)/w2, где
А (х) разлагается на линейные множители, a g(x) действительных корней
не имеет и потому есть произведение множителей вида (х — аJ + Р2. Так
как для всех значений х из К А (х) > 0, то каждый корень А (х) имеет чет-
четную кратность и потому
А (х) = z2, zGX [x].
С другой стороны, применяя несколько раз преобразование
(а2 + Ь2)(с2 — d2) = (ас — bdJ + (ad + beJ,
мы сможем представить g (х) в виде и2 + у2, после чего / (х) приобретет тре-
требуемый вид:
/ (х) = (uz/wJ + (vz/wJ.
Обозначим через R (/) предикат, определяемый формулой E), и введем
следующие формульные предикаты:
S(v)+--+ Cu)(Pos u&R(u — i;2)),
Т (v) < *S (v) & (и) (Con и -*—\S (vlx — u))9
P(v)+--*v^0& T(v) \/T (iT1),
Q (v) «_ _^ (Ям)(Ям?)E (и) & P(w) &v = uw).
Истинность S (v) равносильна ограниченности и, т. е. равносильна ут-
утверждению, что v не имеет вещественных полюсов и степень v не выше 0.

116 О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей
Истинность Т (и) равносильна утверждению, что и не имеет ни полюсов,
ни нулей и степень v не положительна. Поэтому истинность Р (v) означает,
что v не имеет ни полюсов, ни нулей. Наконец, истинность Q (v) равносильна
утверждению, что v не имеет вещественных полюсов. Таким образом, свой-
свойство не иметь вещественных полюсов оказывается формульным, что и тре-
требовалось доказать.
Заметим, что в формуле для Т (и) явно содержится символ х. Поэтому
теорема 1 доказана в предположении, что основными понятиями теории поля
К (х) (сигнатурой теории К (х)) являются операции сложения, умножения
и индивидуальный предметный символ х для основного трансцендентного
элемента К(х).
Как известно [2], из того, что понятие натурального числа в поле или коль-
кольце формульное, вытекает рекурсивная неразрешимость элементарной теории
такого кольца. При этом индивидуальные предметные символы в сигнатуре
теории несущественны и их можно опускать*. Таким образом, из теоремы
1 вытекает
Следствие. Элементарная теория поля К (х), сигнатура которой
состоит лишь из f и х, рекурсивно неразрешима.
2. Поля формальных рядов. Пусть К — некоторое поле и х — буква,
не являющаяся его элементом. Символом К{х} обозначим поле формальных
рядов вида
и = щх* + uk+lx^ + ик+ъх*+* + ... (к = 0, ± 1, ± 2,..., щ е К, ик ф 0)
F)
относительно обычных операций сложения и умножения. Далее, полагаем
Кг = К {#!>, К2 = Кг {х2} и т. д.
Введем предикат Sn (и) формулой
Sn (и) +-> (Щ A + ип = vn) (n > 0).
Характеристику поля К пока предположим равной нулю, и число к в раз-
разложении F) элемента м£ Кт = К {хг, . . ., хт} относительно Кт-г ус-
условимся называть порядком и (относительно Кт-^).
Если порядок и положителен, то обычная биномиальная формула
A + иут = 1 + 1-й- + ^±и**+ ... G)
показывает, что в этом случае утверждение Sn (и) истинно. Аналогично ес-
если и имеет разложение вида F), где к = — Z, I > 0, х = хт, ut e Кт-г
* Теорема 1, доказанная в настоящей статье, утверждает, что в поле вещественных! ра-
рациональных функций К (х) от независимого переменного х свойство элемента поля быть
натуральным числом является формульным, если в качестве сигнатурных знаков бе-
берутся +, X и символ яДОднако если в доказательстве этой теоремы сделать незначи-
незначительные изменения, то получится более сильное утверждение, что в указанном поле
К (х) свойство элемента быть натуральным числом является формульным и тогда, когда
в качестве сигнатурных знаков берутся лишь + и X. Для этого в лемме 3 под $R доста-
достаточно понимать кольцо всех ограниченных функций, а в процессе доказательства леммы
в качестве м, и, удовлетворяющих условию 4, взять и = (х2 + (а + I)") — а — 1;
v = (и + 1)(и + 2) . . . (и + 1 + [а]). Так как предикат S (/), означающий ограничен-
ограниченность функции /, определяется без символа х, то формулы для Т (v), P (v), Q (v) стано-
становятся излишними и на этом заканчивается доказательство усиленного утверждения.
В связи с изложенным отпадает надобность в ссылке на несущественность предмет-
предметных символов, в статье не доказанной (см. А. И. Мальцев. Письмо в редакцию.— Сиб,
мат. ж., 1961, 2, № 4, 639).— Прим. ред.

О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей 117
(i= к, к + 1, . . .), то, полагая
(u^xlu)n = 1 + и\ u^xlu = w, {и^х1O1 + A + и)п -1 + 2,
мы заменим уравнение
1 4- ип == vn
эквивалентным уравнением
1 -|- Z = Wn.
Так как порядок z положителен, то формула
дает решение последнего уравнения и потому выражение Sn (и) снова
истинно.
Наконец, если порядок и есть 0, то
и = и0 — игхт — щхм — ... (щ е ЛГт_!).
Из уравнения 1 — wn = i;n теперь следует, что
V = Уо
Тем самым, вопрос об истинности Sn (и) в поле Кт свелся к вопросу об истин-
истинности Sn (щ) в поле Кт-г.
Применяя эти рассуждения последовательно к полям Кт-г, . . ., К19
мы получим, наконец, что Sn (и) тогда и только тогда ложно в Кт, когда
имеют место следующие разложения:
U = Щ — и1%т — • • •»
.°. . .°. . Л .V '. . . (9)
(тп-2) (т-1) (то-1)
8п(щ ) ложно в X, (Ю)
где «?> е КтЧ.г.
Допустим теперь, что поле К удовлетворяет следующему требованию:
существуют такие натуральные г ^> 0, п ^> 0, что любой элемент а €Е jST
допускает запись вида а = ах + а2 + • • • + осг, где для каждого <хг урав-
уравнение 1 + af = рГ не имеет решений в К.
Так как для любых и, v €E i£m, имеющих вид (9),
то из указанного требования вытекает, что предикат R (и), определяемый
в Кт формулой
R (и) <^ (Киг)... (&ur)(~~]Sn (иг) & ... & П5"п (Цг) & и = щ + ... 4- и г),
истинен для тех и только тех и €Е i£m, которые допускают запись вида (9)
(без дополнительного условия A0)).
Принимая во внимание равенства A1), мы видим, что совокупность эле-
элементов Кт, для которых R (и) истинно, является подкольцом в Кт. Это
подкольцо мы обозначим через 91.

118 О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей
Элементы Кт, принадлежащие 91 и имеющие в 91 обратный, характери-
характеризуются в Кт предикатом
Q(u)++ R (и) & (Щ(Н (v) &uu = 1).
Из равенства A1) видно, что и обратим в 91 тогда и только тогда, когда и
допускает разложение вида (9), в котором Uom~1) =?*= 0. Поэтому предикат
И<? (и) & R (и) характеризует в 91 элементы вида (9), у которых постоянный
член Uq™ обращается в 0. Такие элементы образуют в 91 идеал, который
обозначим через 91. Элементы w, v кольца 91 в силу A1) сравнимы mod 9f
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые постоянные члены. Сле-
Следовательно, фактор-кольцо 91 / 91 изоморфно полю К.
До сих пор предполагалось, что поле К имеет характеристику 0. Это нам
было нужно для того, чтобы имели смысл биномиальные разложения G),„
(8). Однако, записав биномиальное разложение в виде
легко убедиться что коэффициенты а2, аъ. . . в нем целые и потому оно го-
годится и для полей простой характеристики р ^> 0, лишь бы р было взаимно
просто с /г.
Пусть поле К имеет простую характеристику р и в нем для подходящих
натуральных /г, г каждый элемент а представим в виде ах + . . . + аг,
где уравнения 1 + а? = р? неразрешимы в Z. Если п = р?п0, (/г0, /?) = 1%.
то уравнение
эквивалентно уравнению
Поэтому, взяв вместо п число тг0, мы приведем дело к случаю, когда р и п
взаимно просты, т. е. к случаю, когда все наши рассуждения остаются спра-
справедливыми. Отсюда непосредственно следует
Теорема 2. Пусть поле К имеет неразрешимую элементарную теорию
и любой его элемент а представим в виде ах + . . . + аг, где каждое из урав-
уравнений
1 + а? = р? (* = 1, . . ., г)
неразрешимо в К, причем п, г — наперед заданные натуральные числа.
Тогда элементарные теории полей степенных рядов Кт = К {х19 . . ., хт)
(т = 1, 2, . . .) будут также рекурсивно неразрешимы.
Действительно, пусть, напротив, элементарная теория поля/£т оказалась,
бы рекурсивно разрешимой. Тогда кольцо 91, как формульно определимое
в Кт, также имело бы разрешимую теорию. Идеал 91 в 91 определяется фор-
формульным предикатом. Поэтому вместе с 91 разрешимую теорию имело бы и
фактор-кольцо 9t/9(, т. е. поле if, что противоречит предположению.
Условия теоремы 2, наложенные на поле К, заведомо выполняются для
поля рациональных чисел и для поля рациональных функций от одной пе-
переменной с формально действительными коэффициентами^ В самом деле,,

О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей 119
оба поля имеют рекурсивно неразрешимые теории *. В первом из них урав-
уравнение 1 + и^ = у4 не имеет решения для любого и Ф О, а во втором — то
же уравнение неразрешимо для любого непостоянного и. Поэтому и в первом,
и во втором поле каждый элемент может быть представлен в виде аг + а2,
где ах, а2 — элементы, для которых уравнения
неразрешимы. Таким образом, мы получили
Следствие. Элементарные теории полей К {хг, . . ., хт}, т =
1,2, . . ., где К — поле рациональных чисел или поле рациональных функций
с действительными коэффициентами, рекурсивно неразрешимы.
В теореме 2 запас полей К {х^ . . ., хт} можно пополнить следующим
путем. Рассмотрим произвольную систему переменых #а, индексы которых
линейно упорядочим. Поля вида
К {хаг, Хъ2,..., х^} (аг < а2 < ... < а,) A2)
образуют локальную систему в том смысле, что любые два из них лежат
в подходящем третьем поле той же системы. Поэтому можно говорить об
объединении всех полей вида A2). Это объединение будет полем, которое мы
обозначим через Kn, где N — указанная выше линейно упорядоченная
совокупность индексов переменных ха. Каждый элемент и из поля Kn при-
принадлежит некоторому его подполю К' = К {ха1, . . ., #атп}, причем из
разрешимости уравнения 1 + ип = vn в Км следует, что i;Ef, Поэтому
рассуждения, приведшие нас к теореме 2, остаются верными и для любого
поля вида Kn* В частности, если основное поле К есть поле рациональных
чисел или поле рациональных функций одного переменного с формально дей-
действительными коэффициентами, то элементарная теория поля рядов
рекурсивно неразрешима.
ЛИТЕРАТУР А
1. /. Robinson. Definability and decision problem in arithmetic.— J. Symbol. Log., 1949,
14, N 2, 98—114.
2. J. Robinson. The undecidability of algebraic rings and fields.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1959, 10, N 6, 950—957.
3. A. Tarski, A. Mostowski, R. M. Robinson. Undecidable theories. Amsterdam, 1953. .
* Это — верное утверждение. Однако доказательство неразрешимости теории поля рацио-
рациональных функций над формально действительным полем было дано только в 1964 г.
Р. Робинсоном. По-видимому, здесь вместо «формально действительными» нужно <
ствительно замкнутыми».— Прим. ред.

ОЁ ОДНОМ СООТВЕТСТВИИ
МЕЖДУ КОЛЬЦАМИ И ГРУППАМИ*
Пусть К19 К2 — два класса моделей. Как обычно,1 под элементарной
теорией Т (Kt) класса Кг будем понимать совокупность всех формул узкого
исчисления предикатов, имеющих сигнатуру К уж истинных на всех Кг
моделях [1]. Будем говорить, что К1 синтаксически содержит-
содержится в К2, если существует алгорифм, позволяющий для каждой формулы 5f
сигнатуры Кх построить некоторую формулу сигнатуры К2 так, что истин-
ность первой формулы на всех ^-моделях влечет истинность второй на всех
/£2-моделях. Классы К1У К2 синтаксически эквиваленты,
если каждый из них синтаксически содержится в другом.
В случае синтаксической эквивалентности каждая элементарная проб-
проблема (т. е. формулируемая в узком исчислении предикатов), относящаяся
к одному классу, может быть преобразована в равносильную элементарную»
проблему, относящуюся к другому классу. Известным примером может
служить соответствие между ассоциативными телами и проективными гео-
геометриями. В настоящей заметке с указанной точки зрения исследуется одно-
соответствие между классом всех (не обязательно ассоциативных) колец,
с единицей и некоторым классом метабелевых групп с двумя фиксированными
элементами. Для довольно значительного класса колец это соответствие будет
синтаксической эквивалентностью. В сравнительно большом числе случаев
установлена алгорифмическая неразрешимость элементарных теорий колец.
[2]. Указанное соответствие позволяет отсюда получить ряд классов мета-
метабелевых групп с неразрешимыми теориями. Среди них находятся, например,,
класс всех метабелевых групп, свободные метабелевы группы ранга больше*
1 и класс метабелевых групп с тождеством 'хр = 1, где р — простое нечетное
число. Простые дополнительные рассуждения достаточны, чтобы из упомя-
упомянутых результатов вывести неразрешимость теорий некоммутативных сво-
свободных нильпотентных групп любого класса нильпотентности.
Основные результаты настоящей заметки были доложены на Втором
алгебраическом коллоквиуме в Москве в апреле 1959 г.Краткое сообщение-
о них опубликовано в [3].
1. Прямое отображение. Пусть 91 — произвольное, вообще говоряг
неассоциативное кольцо. В множество %(Щ троек (а, Ь, с) элементов 9? вво-
вводим операцию умножения формулой
(а, Ь, с)(х, у, z) = (а + х, Ъ + у Ъх + с + z). A>
Легко проверяется, что эта операция ассоциативна, тройка @,0,0) является
для нее нейтральным элементом и
(а, Ь, с) = (~а, -Ъ, Ъа - с). B)
Таким образом, % C1) относительно указанной операцди является группой»
Из формулы A) следует, что тройки вида @,0,с) являются центральными
* Мат. сб., 1960, 50, № 3, 257-266.

Об одном соответствии между кольцами и группами 121
элементами в группе % (9?), а из формулы
(а, 6, с)(х, у, z)(a, 6, с)~*(х, у, z) = @, 0, Ъх — yd) C)
вытекает, что группа % (Ж) метабелева при любом SR.
Рассмотрим теперь какую-либо замкнутую формулу узкого исчисления
предикатов
* = (<?i*i) • • • (<?пх„) % (*i, • •., хп) (Qi = V, 3), D)
Открытая часть 3t0 которой содержит лишь один внелогический символ — знак
умножения. Требование, чтобы на %(9t) была истинна формула 5t, равносиль-
равносильно некоторому требованию, наложенному на кольцо 3t. Это последнее тре-
требование можно снова записать в виде формулы %(Щ узкого исчисления пре-
предикатов. Для этого достаточно в 91 каждый квантор {QiXt) заменить тройкой
кванторов (QiXi)(QiXi)(QiXi), а каждое выражение xtXj = xk заменить фор-
формулой
Х\ + Xj = Хц & Х\ + Щ = %К & %г + %i + XiXj = Хцш
Поэтому отображение % -+%(Щ является синтаксическим вложением %(Щ
в SR. В частности, если какой-либо заданный класс колец R имеет разрешимую
элементарную теорию, то разрешимую элементарную теорию будет иметь
и соответствующий класс групп % G?).
2. Группы с выделенными элементами. Далее предполагается, что все
рассматриваемые кольца 91 имеют единицу: 1-х = хЛ = х. Тогда в соответ-
соответствующей группе естественно выделяются элементы
аг = A, 0, 0), а2 = @, 1, 0) E)
и % (91) мы будем рассматривать не просто как группу, а как несколько бо-
более сложный объект — группу с парой выделенных элементов, за которыми
закрепляем индивидуальные наименования аг, а2. Этот объект иногда для
краткости будем называть обогащенной группой. С точки зрения
теории моделей обогащенная группа есть алгебраическая система типа
«(•, ах, а2У, состоящая из основного множества, основной операции и основных
индивидуальных элементов аг, а2. В соответствии с общей теорией моделей
(ср. [4]) обогащенные группы @, &1 называются изоморфными,
если найдется обычный групповой изоморфизм @ на @х, переводящий пару вы-
выделенных элементов al9 a2 группы @ в пару аъ аг выделенных элементов
<§!• Отсюда видно, что, выделяя в какой-либо группе различные пары
элементов, можно получить и неизоморфные обогащенные группы.
Аналогично определяются гомоморфизмы и прямые (декартовы) произ-
произведения обогащенных групп. Подгруппами обогащенной группы & назы-
называются ее обычные подгруппы, содержащие выделенные элементы а1У а2
в качестве своих собственных выделенных элементов.
Кольца 91 в дальнейшем также будут рассматриваться как кольца с вы-
выделенным элементом — единицей. Это означает, что в качестве подколеп
будут рассматриваться лишь подкольца, содержащие единицу кольца, и т. п.
Отображение %, определенное в п. 1, будет теперь рассматриваться как
отображение, ставящее в соответствие каждому кольцу 91 с выделенной еди-
единицей 1 обогащенную группу % (91) с выделенными элементами ах = A, 0, 0),
а2 = @, 1, 0).Эти элементы av a2 и группы© = % (9?) обладают следующими
свойствами:

122 Оо одном соответствии между кольцами и группами
А1. Группа & метабелева; иначе говоря, элементы & удовлетворяют
тождеству xyx~iy~iz = zxyx'iy~i.
А2. Совокупности ®г, &2 элементов @, перестановочных соответственна
с flj и а2, являются абелевыми подгруппами @.
A3. Пересечение @х и @2 есть центр 3 группы @.
А4. Для каждой пары элементов zl9 z2 центра 3 в & существует эле-
элемент х, удовлетворяющий соотношениям
а^ха^х'1 = zl9 a2xa21x~1 = z2. F)
А5. Существуют гомоморфизмы Д (z), /2 (z) центра 3 соответственна
в &1 и @2 такие, что Д (с) = аг, /2 (с) = а2* и
<hfi (^) a?Vi (*Г4 = aif2 (*) %а/2 (s) = z,
где с = ааа %
В самом деле, непосредственные вычисления показывают, что @х состоит
из всех троек вида (а, 0, у), @2 состоит из всех троек вида @, C, у), а центр
3 группы & образован тройками @, 0, 7) (а, р,уЕ 91). Если z1 = @, 0, Yi)>
z2 = @, 0, у2), то а; = (—у2, — Yi» 0) есть решение системы F). В качестве
искомых гомоморфизмов можно взять f1 (z) = (у, 0, 0), /2 (z) = @, —7» 0)»
где z = @, 0, 7).
3. Обратное отображение. Класс всех обогащенных групп, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям А1 —А4, обозначим через G4. Так как эти условия легко записы-
записываются в виде формул узкого исчисления предикатов, то G4 является фи-
финитно аксиоматизируемым классом. Пусть ® -— некоторая (?4-группа с груп-
групповой операцией • и выделенными элементами аг, а2. Для элементов zx, z2
центра 3 группы @ вводим новые операции + и X, полагая
*\ + z2 = z1z29 G)
% X z2 = х^х^хг1, (8)
где х1У х2 — элементы @, удовлетворяющие условиям
хха2 = а2хг, х2ах = axa;2, а^х^хТ1 = z% (i = 1, 2). (9)
Покажем, что 3 относительно операций +, X является кольцом с еди-
единицей с — a2axcL^cL^. Действительно, согласно условию А4 элементы х19
х2, удовлетворяющие требованиям (9), существуют. Пусть
пгУгп^у? = zt (i = 1, 2; У1 е в2, у2 е ©i)
— какое-либо другое решение для (9). Из a^-ai^1 = aiXid^xl1 следует
z^y^i = uiX^yi, т. е. элемент я^1*/* перестановочен с ax, a2, и потому в силу
A3 ^Т^г S 3. Но тогда у^УгУ^У^1 = х^х1х^'х^'- Таким образом, операция X
всегда выполнима и однозначна.
Сложение в 3 совпадает с групповым умножением, и потому 3 относи-
относительно сложения является абелевой группой. Для доказательства соотно-
соотношений дистрибутивности
(u-\-v)Xw = uXw-}-vXw, wX(u-{*v)=wXu-}-wXv A0)

Об одном соответствии между кольцами и группами 123
ПОЛОЖИМ
и = а^а^х, v = a^iV» w — ^ta^t'1 (х, у ЕЕ ®2; * £= @i).
В силу А2 элементы #, г/ перестановочны и потому
ai (ХУ) «i1^) = а^ха^х^^ац/а^у'1 = и + г;,
откуда
(и + г?) X и? = txyr^x = txt^x'^tyt^y'1 = uXw + vXw.
Аналогично устанавливается и второе соотношение A0). Наконец, пря-
прямыми вычислениями легко проверяются и соотношения с Xz = zXc=z.
Отображение, ставящее каждой обогащенной G4-rpynne @ в соответствие
определенное указанным образом кольцо 3» будет обозначаться символом г|).
Если 95 = ((?!#!) . . . (Qnxn) 95О (#i> • • •» ^п) — какая-либо замкнутая
формула элементарной теории колец с единицей, то символом ty (95) условим-
условимся обозначать формулу элементарной теории групп, которая получается
из 95 заменой кванторов {QiXt) специализированными кванторами @гХг),
символа 1 в 95 — выражением a2a1'u21ai1, каждой подформулы xt + %j —
подформулой xtXj и каждой подформулы xt X Xj = xk — выражением
Ciu) C.V) (Xk = UVUTXV~X & Udx = CixU & Uu2 = CL2V & Хг =
^v'1 & Xj = a2ua2~xu~1).
Предикат £ (#) в кванторах (?f определяется формулой
£ (#) = (^) (хи = их).
Ясно, что 95 тогда и только тогда истинна на кольце \р (@), когда я|) (95)
истинна на группе @, и потому элементарная теория кольца я|) (&) содержит-
содержится синтаксически в элементарной теории обогащенной группы &. Отсюда
следует, в частности, что если элементарная теория кольца я|) (@) неразре-
неразрешима, то неразрешима и элементарная теория группы @.
Например, пусть @ — свободная метабелева группа со свободными по-
порождающими аг, а2, рассматриваемыми в качестве выделенных элементов ©.
Тогда каждый элемент & однозначно представим в виде а\а2псп (с = £?
и перемножение происходит по закону
(Л, т,..., z = 0, ± 1, +
Отсюда видно, что условия А1—А4 для & выполнены и \|) (&) есть обычное
кольцо целых чисел. Согласно теореме Черча [1], элементарная теория кель-
ца целых чисел неразрешима. Поэтому неразрешима и элементарная теория
свободной метабелевой группы с двумя свободными образующими.
4. Взаимность отображений %, if. Из предыдущих результатов следует,
что для любого кольца 91 с единицей
Ф (х (Щ = «, ■ (И)
где равенство понимается в смысле изоморфизма. Для соответствующих
синтаксических преобразований также имеем эквивалентность

124 Об одном соответствии между кольцами и группами
где 95 — произвольная замкнутая формула элементарной теории колец
с единицей, относящаяся к произвольному кольцу 8J.
Мы покажем теперь, что для (?4-групп с условием А5 имеют место и до-
дополнительные соотношения]
X (i|> (в)) = @, i|> (х («)) <-> % A3)
где & — любая группа с условиями А1 —А5 иЗ( — произвольная замкнутая
формула узкого исчисления предикатов для @.
Действительно, введем в центр 3 группы & операции -f, X по формулам:
G), (8) и для кольца 3 построим группу § = % C), образованную трой-
тройками элементов 3. Нам нужно найти изоморфизм © на @.
По условию существуют гомоморфизмы Д, /2 центра 3 в подгруппы ®1?
@2 группы @, обладающие свойствами А5. Каждой тройке h = (hv h2, h3}
из Jp ставим в соответствие элемент т (К) = Д (h±) /2 (h2)"ih3 группы @.
Отображение т есть гомоморфизм ^ в @. В самом деле, пусть h = (Alt
fe2, h3) и k = (kx, k2, k3) — произвольные элементы §. Согласно A) и G)
т (hk) = А (ЙА) U (КЮЧЧ X kt) h3k3,
откуда
т (М) т (А)"* = Д (*!&!) U Oh1)/! (tf)(h2 X AJ h3. A4)
Из соотношений
«i/г (К) агЧъ (Ю~1 = К aJi (*i) «2V1 (^l) = К
в силу (8) и (9) получаем
К X Ах = Д (А^ Д (А2) Д (АГ1) Д (А,1).
Поэтому A4) можно переписать в виде
т (hk) х (А)"» = Л (ЙА) Л (О /. iK1) h3 = А (ЛО U (V) А3.
откуда т (hk) = т (h)x (к).
В группе $р выделенными элементами являются #! = (с, е, е), а2 = (е, с, ё)г
где е — единица ®. Согласно А5
t («i) = /1 (с) Д W ^ = «1, т (aj) = Д (в)Д (с)^ = а2.
Таким образом, т является обогащенным гомоморфизмом ^ в @.
Найдем ядро т. Пусть т (А) = е, где /г = (/г1? /г2, /г3). Тогда
Л (Ю = /г (^JAs1 е 3 и в силу А5
Аналогично получим: h2 ~ е, h3 = е, т. е. h есть единица § и ядро т — еди-
единичное.
Остается показать, что т отображает § на всю группу @. Пусть g S ©►
Положим
digd^g'1 = gu /1Ы = Ai, ' /2 (gi) = А2, ^V^1 = £3 (* = 1, 2).
A5

Об одном соответствии между кольцами и группами 125
Если удастся показать, что g3 — центральный в @, то тем самым будет
доказано, что тройка (g^, g±, g3) отображением т переводится в g и, следо-
следовательно, что т отображает © на ©.
В силу А5£имеем a2hxa£h~^ = g2. Сравнивая с A5), получим K^ga2 =
= aji^g, откуда K^g e @2 (и, следовательно, g3 = h^g-h^1 e @2). Так
как в метабелевых группах имеет место тождество uvu~^-v~^ = v~i-uvu~ir
то из а^аг1/^1 = g±, a^d^g = g± получаем a^h^a^ = a^g'^g, от-
откуда gh2'1-a1 = a-L-ghl1, т. e. gh^1 e &г и, следовательно, g3 = h^-gh^Ez ®x-
Итак й G 62 f| S2 и потому, в силу А2, g3 GE 3, что и требовалось. Нами
доказана
Теорема 1. Отображение % являетсвя взаимно однозначным отобра-
отображением класса R всех колец с единицей на класс G5 всех обогащенных метабе-
метабелевых групп, удовлетворяющих требованиям А2—А5. При этом, если на
каком-либо кольце ER Ez R истинна замкнутая формула узкого исчисления
предикатов 25, то на группе % (Щ истинна формула if) (93), и, обратно, если
на группе @£б5 истинна какая-либо замкнутая формула узкого исчисления
предикатов й, то на соответствующем кольце if) (@) истинна формула % (9t).
Из условий А1 — А5, определяющих класс Gb, условие А5 сложнее осталь-
остальных. В следующих пунктах будет указано несколько более узких классов;
групп, оставляющих в силе теорему 1 и допускающих простую характери-
характеристику.
5. Некоторые частные случаи. Говорят, что кольцо Ж имеет ха-
характеристику р, если рх = 0 и из ах = 0 следует р\ а\/х = 0. Коль-
Кольцо Ы называется r-к о л ь ц о м, если аддитивная группа его — полная и
без кручения. Под р-r руппамц будем подразумевать группы с тожде-
тождеством х9 = е.
Теорема 2. Для любого простого нечетного р отображение % яв-
является взаимно однозначным соответствием между кольцами характеристики
р с единицей и метабелевыми обогащенными р-группами, удовлетворяющими
условиям А2~тА4.
Пусть 91 — кольцо характеристики р с единицей 1, ® = % {Щ — со~
ответствующая группа, g — (g1? g2, gs) — элемент @. Тогда
Sv = (Pgn Pg*, VzP (P — 1) g%g\ + Pgs) = e,
т. e. & — /?-группа. Обратное очевидно. Остается доказать лишь, что каж-
каждая /?-группа @ с условиями А1—А4 удовлетворяет условию А5. Соответ-
Соответствие
х -> (цха^х'1 (х е ®х) A6)
представляет собою гомоморфизм &г на центр 3 Q ®. Но 3 есть абелева
р-группа, и потому ее можно рассматривать как линейное пространство над
простым полем Р характеристики р. Выбираем в 3 базис {za} над Р, и пусть
иа — какой-либо прообраз za в &± относительно отображения A6). Оче-
Очевидно, можно предполагать, что z0 = с = a2axci^d^ и и0 = аг. Если теперь
z = ^naza (na GP) — какой-либо элемент 3, то полагаем по определению
/i (z) = linv.uaL- Аналогично строим и /2 (z). Так как а^и^а^и^ = za, то
Яа/i (z) а1ги (zy1 == а2 Д Щ^а? П "Г" — П *<? = z
и аналогично aj2 (z)ai1f2 (z)'1 = z, что и требовалось.

126 Об одном соответствии между кольцами и группами
Применением аналогичных рассуждений к случаю, когда 31 есть г-
кольцо, а © — полная метабелева группа без кручения, получается и
Теорема 3. Отображение % является взаимно однозначным соответ-
соответствием между r-колъцами с единицей и обогащенными полными метабелевыми
группами без кручения, обладающими свойствами А2—А4.
Из доказательств теорем 2, 3 видно, что при изучении соответствий %,
ч|э естественнее рассматривать не просто кольца, а алгебры над некоторым по-
полем Р характеристики р Ф 2. Но тогда вместо групп нужно рассматривать
метабелевы группы над полем Р, т. е. группы, для элементов которых,
кроме групповой операции, еще определена операция возведения в степень
а ЕЕ Р, удовлетворяющая известным условиям:
При конструировании группы % (91) в п. 1 следует добавить лишь условие
(х, у, z)a = {ах, аг/, V2a (а — \)ух + аг), A7)
а при конструировании в п. 3 кольца if) (@) следует добавить равенство
£a = az. Все остальные рассуждения остаются в силе, ив результате полу-
получается
Теорема 4. Отображение %, определенное условиями пЛ и A7),
является взаимно однозначным соответствием между алгебрами с единицей
над фиксированным полем Р характеристики р Ф 2 и обогащенными мета-
метабелевыми группами над Р, удовлетворяющими требованиям А2—А4.
Наконец, еще отметим, что кольцо г|) (@), построенное для обладающей
свойствами А1—А4 группы®, не имеет делителей нуля, если в© из хг ЕЕ ©1?
;г2 ЕЕ ©2» хххъ = хъх1 следует хг £Е Зили#2 ^ 3. Аналогично, если для любо-
любого g S @1? je3 каждый элемент z ЕЕ 3 представим в виде z = gxg~ix~i (x e
•ЕЕ ©2)? то "Ф (®) является телом.
6. Редукция и интерпретация класса моделей. Здесь мы напомним опре-
определения некоторых понятий, частью уже использованных в предыдущих
пунктах. Для формальных теорий они систематически изложены в [1].
Мы их введем в качестве понятий теории классов алгебраических систем.
Пусть К — класс моделей, сигнатура которого состоит из индивидуаль-
индивидуальных предметных символов at и предикатных символов Рр, где п$ Указывает
членность символа. Индексы i, j предполагаются пробегающими или весь
натуральный ряд, или его конечный начальный отрезок. Что касается ин-
индексов nj, то в случае бесконечности множества предикатных символов тре-
требуется, чтобы п3- являлся общерекурсивной функцией от /. При этих предпо-
предположениях все формулы узкого исчисления предикатов сигнатуры К можно
еетественным образом занумеровать. Говорят, что класс К или что элемен-
элементарная теория Т (К) класса К рекурсивно разре-
разрешима, если совокупность номеров S всех истинных на К формул узкого
исчисления предикатов является рекурсивным множеством натуральных
чисел. В противном случае элементарная теория Т (К) называется рекур-
рекурсивно неразрешимой. Класс К и его элементарная теория назы-
называются существенно неразрешимыми, если рекурсивно
неразрешим каждый непустой подкласс К [1].
В соответствии с [4] класс К2 назовем обогащенным подклас-
подклассом класса моделей Кг, если сигнатура Кг содержится в сигнату-
сигнатуре К2 и каждая .йГ2-модель является ^-моделью. Обогащенный подкласс
Й1 Кг назовоем несущественно обогащенным под-

Об одном соответствии между кольцами и группами 127
классом, если сигнатура К2 получается из сигнатуры Кг добавлением
лишь некоторой совокупности индивидуальных предметных символов и если
каждая ./^-модель является ^-моделью при любых значениях новых сим-
волов в ^-модели.
Класс К2 называется конечно аксиоматизируемым обо-
обогащенным подклассом класса Кг, если существует формула
узкого исчисления предикатов 9t сигнатуры К2 такая, что К2 состоит из тех
и только тех обогащений ^-моделей, на которых 9t истинна.
Обеднением класса Кг называется класс всех тех моделей,,
которые получаются из /^-моделей, если на них не рассматривать некоторых
фиксированных предикатов и индивидуальных элементов из сигнатуры Кг*
Наконец, пусть на каждой модели класса К определен одноместный пре-
предикат р (#), истинный хотя бы для одного элемента модели. Тогда р-р е-
дукцией класса К называется класс подмоделей .йГ-моделей>
состоящих из всех тех элементов моделей, для которых р истинен.
Интерпретировать теорию класса моделей К2
в теории класса Кг это значит каждому предикатному символу
Рр'из сигнатуры К2 поставить в соответствие некоторую формулу ф7- (хг, . . .
. . ., хп.) сигнатуры Кц каждому индивидуальному предметному символу
at из К2 поставить в соответствие определенную формулу pt (х) из Кг и выде-
выделить одноместный формульный предикат р (х) в Кг так, чтобы в Кг были истин-
истинны формулы
(Щ р (х) & (ЯрЖ) Pi (х) & (Ypx) (Ypy) (Pi (x) &Pi(y)-^x = у)
и чтобы каждая истинная формула 3t ЕЕ: Т (К2) переходила в истинную фор-
формулу из Т (Кг), если в 9t все кванторы заменить на одноименные р-специа-
лизированные кванторы, выражения Рр (х, . . ., z) заменить формулами
$! (х, . . ., z) и полученное в результате этого выражение 9t* (aai, . . .
• • •» aafc)» если оно будет содержать предметные символы аа1, . . ., аак>
заменить формулой 3t** = C^). . . C^fe) (9t* (иг, . . ., uh) &рг (щ) &. . .
. . . & Pk (uh)).
Если при указанном преобразовании конечная формула истинна только
в случае истинности начальной формулы, то интерпретация называется
точной.
С точки зрения теории классов моделей это значит, что аксиоматизируе-
аксиоматизируемый класс К2 тогда и только тогда точно интерпретируем в аксиоматизируе-
аксиоматизируемом классе Кг, когда К2 есть арифметическое замыкание непустого обеднения
подкласса редукции формульного обогащения Кг. Интерпретация К2в Кг —
точная, если К2 — обедненная редукция формульного обогащения Кг.
Отсюда непосредственно видно, что если элементарная теория класса К^
неразрешима и К2 точно интерпретируем в Кг, то элементарная теория Къ
также неразрешима. Если конечно аксиоматизируемый класс К2 существенно
неразрешим и интерпретируем в некотором классе Кг, то теория класса Кг
неразрешима и в Кг найдется конечно аксиоматизируемый внутри Кх под-
подкласс с существенно неразрешимой теорией (ср. [1]).
7. Неразрешимость теорий некоторых классов метабелевых групп. Пусть
& — какая-нибудь обогащенная метабелева группа, удовлетворяющая ус-
условиям А2—А4, и 91 = г|) (&) — соответствующее кольцо с единицей. Тогда
формулы G), (8) определяют точную интерпретацию 9? в ® с выделяющим

128 Об одном, соответствии между кольцами и группами
предикатом р (х) = (и)(хи = их). Эти же формулы] дают и] интерпретацию
любого класса колец с единицей R в классе соответствующих групп G =
= % (Щ' Беря в качестве R любой конечно аксиоматизируемый существенно
неразрешимый класс колец с единицей и рассматривая любой класс G групп
с выделенными элементами, содержащий % (R), получим, что G неразрешим
и что в G существует конечно аксиоматизируемый существенно неразрешимый
подкласс.
Чтобы избавиться от выделенных элементов, достаточно воспользоваться
следующим замечанием [1]:
Если класс моделей К с выделенными элементами а1? . . ., ат характери-
характеризуется аксиомой % (ах, . . ., ат), то класс К* без выделенных упомянутых
элементов, характеризующийся аксиомой (Зах). . . Cam) 3t (ах, . . ., ат),
синтаксически эквивалентен К.
Действительно, 95 (а1? . . ., ат) 6= Т (К) тогда и только тогда, когда
К). . . (О (« — Я5) <= Г (£♦).
Следствие. Класс всех мешабелевих групп М содержит существенно
неразрешимый конечно аксиоматизируемый подкласс, а потому как М, так
и всякий его надкласс неразрешимы.
Р. Робинсон [2] указал интерпретацию / конечной системы аксиом Q
с существенно неразрешимой теорией в кольце всех многочленов от одной
переменной с коэффициентами из простого поля характеристики р. Обозна-
Обозначая через Rp класс всех колец характеристики р и рассматривая / как ин-
интерпретацию Q в части Rp, видим, что Rp содержит конечно аксиоматизи-
аксиоматизируемый подкласс с существенно неразрешимой теорией.
Согласно п. 5 классу колец характеристики р при р Ф 2 отвечает класс
метабелевых /?-групп. Следовательно, класс Gp всех групп с тождеством
xv = e содержит конечно аксиоматизируемый существенно неразрешимый
подкласс, и потому элементарная теория Gp неразрешима.
Группа с порождающими ат, Ьт, ст и определяющими соотношениями
Опат — атРпст+пч ат = ит = Ст = 1,
атсп = спат, Ьтсп = спЪт (т, п - 1, 2,.. .)
отвечает кольцу многочленов от одного переменного над простым полем ха-
характеристики р и потому при р ^> 2 имеет также неразрешимую теорию.
8. Нильпотентные группы. Неразрешимость теории свободной метабе-
левой группы с двумя порождающими была установлена в п. 3. Естественно,
справедлива и более общая
Теорема 5. Элементарная теория свободной метабелевой группы
&п с п свободными порождающими при п > 2 неразрешима.
Пусть аг, . . ., ап — свободные порождающие ®п. Вводим предикат
р (х) = (Яг/) (агу = уаг&х = а^у'^у & хаг = агх).
Так как из агу = уах следует, что у имеет вид a™z, где z — центральный в ®п.
то предикат р (х) истинен лишь для элементов вида (a21ai1a2a1)m, т. е. р вы-
выделяет из ®п центр 3 свободной подгруппы с порождающими а±, а2. Вводя
в 8 операции сложения и умножения формулами G), (8), получим интерпре-
интерпретацию в ®п кольца целых чисел. Поэтому теория ®п неразрешима.
Теорему 5 можно распространить и на свободные &-ступенно нильпотент-
нильпотентные группы, если воспользоваться следующим замечанием.

Об одном соответствии между кольцами и группами 129
Пусть К — класс моделей и а (х, у) — формульный предикат на К,
рефлексивный, симметричный и транзитивный. Для каждой .йГ-модели 9R
образуем ее фактор-модель 3ft/cr и класс всех этих фактор-моделей обозначим
через Ка. Тогда если теория класса К разрешима, то разрешима и теория
класса Ка.
Для доказательства достаточно заметить, что каждую замкнутую формулу
узкого исчисления предикатов, относящуюся к ЗК/сг, легко преобразовать
в равносильную ей замкнутую формулу узкого исчисления предикатов,
относящуюся к 3R.
Теорема 6. Элементарная теория свободной k-ступенно нилъпотент-
ной группы с п свободными порождающими при п > 2, к > 2 неразрешима.
Для к = 2 теорема 6 совпадает с теоремой 5. Поэтому пусть для к = s — 1
теорема 6 истинна и пусть & — свободная s-ступенно нильпотентная группа
с п свободными порождающими. Рассмотрим предикат
а (#, у) = Cz)((^)(zu = uz) & (х = yz).
Фактор-модель @/tf будет фактор-группой от ® по ее центру, т. е. будет
свободной (s — 1)-ступенно нильпотентной группой с п свободными порож-
порождающими. По предположению элементарная теория @/tf неразрешима.
В силу приведенного выше замечания это влечет за собой и неразрешимость
элементарной теории самой группы @.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Tarski, A. Mostowski, R. M. Robinson. Undecidable theories, Amsterdam, 1953.
2. R. M. Robinson. Undecidable rings.— Trans. Amer. Math. Soc, 1951, 70, 137—159.
3. А. И. Мальцев. Об одном соответствии между кольцами и группами.— Успехи мат.
наук, 1959, 14, № 5, 208—209.
4. А. И. Мальцев. Модельные соответствия.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 3,
313-336.
5 ^ Заказ № 357

О СВОБОДНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ*
Группы, изоморфные фактор-группе FIFW свободной группы F по ее
гг-му коммутанту F(n\ называются свободными гг-ступенно разрешимыми
группами. Ниже выводятся некоторые свойства этих групп и на основе их
далее показывается, что элементарные теории свободных гг-ступенно разре-
разрешимых некоммутативных групп являются рекурсивно неразрешимыми
в смысле Тарского [1].
1. Ауслендер и Линдон [2] доказали, что если фактор-группа FIA сво-
свободной группы F по какому-либо ее нормальному делителю А бесконечна,
то центр фактор-группы FIIA, А] тривиален. Пользуясь этим результа-
результатом, легко устанавливается
Теорема 1. Пусть А — такой нормальный делитель свободной груп-
группы F, что FIA не имеет кручения. Тогда любые коммутирующие элементы
и, v группы Fo = F/IA, А] или содержатся в Ао = А/[А, А], или являются
степенями одного и того же элемента Fo.
Рассматривая вместо F ее подгруппу, порожденную и, v, А, сводим дело
к случаю, когда фактор-группа FIA абелева с двумя порождающими и, v.
Теперь возможны случаи: 1) FIA = 1; 2) FIA — свободная абелева со свобод-
свободными порождающими и, v; 3) FIA — свободная циклическая. В первом
случае и, v ЕЕ Ао, что и требовалось. Во втором случае обозначим через
а, Ъ порождающие вспомогательной метабелевой группы Н. Так как F сво-
свободная, то найдется гомоморфизм а группы F в Н, при котором и* = а,
va = Ъ. Так как а отображает А в LET, Н\ (= центр Н),то [а, Ь] = [и, у]а = 1,
что противоречит некоммутативности Н. Наконец, в третьем случае, обозна-
обозначая через сА порождающий элемент группы FIA, будем в Fo иметь и = снаг,
v = с1а2, б^, а2 €= А. Пусть Ы ф 0, s = k (к, Z), t = II (к, I). Тогда и1 =
= vsa, а ЕЕ А, где а коммутирует сив Fo. Но это значит, что а является
центральным элементом в группе {и, А}/[А, А]. Поскольку {и, А} свобод-
свободна й индекс А в ней бесконечен, то в силу упомянутого результата Ауслен-
дера — Линдона а ЕЕ [А, А] и, следовательно, и1 = Vs в Fo. Пусть sx +
+ ty = 1, w = ихиу, тогда и = w8, v = wf, что и требовалось. Аналогичные
рассуждения показывают, что случай kl = 0, и, v её А невозможен.
Для свободной группы F все факторы FIF® кручения не имеют. Поэтому,
полагая в теореме 1 А = F(n-1\ получаем, в частности, что любые два ком-
коммутирующих элемента свободной разрешимой группы или принадлежат
последнему неединичному коммутанту этой группы, или являются степеня-
степенями одного и того же элемента ее.
В свою очередь отсюда непосредственно вытекает, что если некоторый
элемент свободной разрешимой группы коммутирует со всеми своими сопря-
сопряженными, то он принадлежит последнему неединичному коммутанту группы.
Согласно Конторовичу [3], группа называется Д-группой, если для ее
элементов из хт = ут (т ф 0) следует х = у.
* Докл. АН СССР, 1960, 130, № 3, 495—4

О свободных разрешимых группах 131
Теорема 2. Если фактор-группа FIA свободной группы F по ее нор-
нормальному делителю есть R-группа, то Fo = F/[A, А] также Д-группа.
Пусть х, у ЕЕ F, хт = z/™ (mod А'). Тогда хт == ут (mod Л), откуда по
предположению имеем х = у (mod А), т. е. у = ха (а ЕЕ А) и (ха)т =
E=#m (mod А'). Так как из (ха)т = хт следует а*ш~х. . ,аха = 1, где a*v=
= х^ах, а отсюда преобразованием с помощью х получаем ах7П. . .а*2ах = 1
и, следовательно, ах7П = а, то в Fo имеем #wa = a#m. Это значит, что а ле-
лежит в центре группы {хт,А}/[А, А]. Группа {хт, А} свободная, а {хт, А}1А'
без кручения. В силу упомянутой теоремы Ауслендера — Линдона имеем
а ЕЕ А', т. е. у = х в ,Р0.
Следствие. jBce свободные разрешимые группы являются R-группами.
Для одноступенно разрешимых (абелевых) свободных групп утверждение
очевидно. По индукции предполагаем, что утверждение верно для тг-ступен-
но разрешимых свободных групп. Пусть F — свободная группа. Тогда F№ —
нормальный делитель F, фактор-группа по которому F/FO в силу индук-
индукции есть Д-группа. По теореме 2 заключаем, что (п + 1)-ступенно разреши-
разрешимая свободная группа- FIF^nJr1^ является Л-группой.
2. Пусть К — класс моделей сигнатуры S = {Рг, . . ., Ps, alf . . .
.. .,at}, где Рг, . . ., Ps — предикатные, а a1? i . ., at — индивидуальные пред-
предметные символы. Предположим, что в каждой if-модели 9R каким-либо спо-
способом выделена особая подмодель, которую будем называть а-моделью.
Условимся говорить, что а-подмодели элементарны в классе К, если сущест-
существует формула узкого исчисления предикатов 3t (ж), внелогические знаки
которой содержатся в S, имеющая единственную свободную предметную
переменную х и такая, что в каждой ^-модели 3R для каждого х G 3R фор-
формула 91 (х) истинна тогда и только тогда, когда х ЕЕ о (Щ.
При рассмотрении классов групп предполагается, что сигнатура состоит
из знаков умножения и обращения. Если же идет речь о группах или клас-
классах групп с фиксированными элементами, то это означает, что символы ука-
указанных фиксированных элементов включаются в сигнатуру соответствую-
соответствующей группы или класса групп.
Лемма. Последовательные коммутанты свободных разрешимых групп
являются их элементарными подгруппами.
В самом деле, если G — свободная гг-ступенно разрешимая группа, то
согласно теореме 1 имеем
х е= g<»-i> «_> (Vу) (х • уЧу = у-Чу • х),
х е G(n) <-+ (Vy) (ху-гху • х^у-Ч^у е G(n}), . A)
xGff^ (У у) (ху"гху • х^у'Ч^у е G").
Интересно, что в общем случае коммутант перестает быть элементарной
подгруппой. Именно, имеет место следующее
Замечание. Коммутант не является элементарным понятием в лю-
любом аксиоматизируемом классе К групп, среди фактор-групп которого имеют-
имеются свободные метабелевы группы с произвольно большим конечным числом
свободных порождающих.
Для доказательства введем формулы
• • УтЪ • • • zm) (x = [г/i, zx] ... [j/w, zm\) (m = 1, 2,.. .)•
5*

О свободных разрешимых группах
Обозначим через @ систему замкнутых формул узкого исчисления пре-
предикатов, характеризующую класс К, и допустим, что понятие коммутанта
в К определяется некоторой формулой ф (х). Тогда бесконечная система
{©, ф (с), ф (с)} (с — индивидуальный предметный символ) будет проти-
противоречивой, и потому согласно локальной теореме противоречивой будет не-
некоторая конечная подсистема указанной системы. Это значит, что в К будет
иметь место импликация (Vx) (ф (х) -*■ ф8 (х)), где ф8 (с) — формула с наиболь-
наибольшим индексом среди формул фт (с), входящих в упомянутую подсистему.
Иными словами, в if-группах все элементы коммутанта должны быть пред-
ставимы в виде произведения s коммутаторов. Пусть Н — свободная метабе-
лева группа с As свободными порождающими и G — группа класса К, фак-
фактор-группой которой Н является. Непосредственными подсчетами легко
убедиться, что каждый элемент коммутанта Н есть произведение As — 1 ком-
коммутаторов, но что в jET существуют элементы, которые не могут быть представ-
представлены в виде произведения sкоммутаторов. Поэтому и в G есть элементы ком-
коммутанта, не представимые в виде произведения s коммутаторов. Таким об-
образом, в G формула ф (х) -> $ps (x) места не имеет, и тем самым замечание
доказано.
Легко указать бесконечное множество аксиоматизируемых классов
групп, в которых понятие коммутанта элементарно. Таким, например, будут
классы Кт, где Кт характеризуется аксиомой
В классе Кт коммутант характеризуется формулой фт (х). Как упомина-
упоминалось, все метабелевы группы cm — 1 порождающими принадлежат Кт,
а свободные метабелевы с достаточно большим числом свободных порож-
порождающих в Кт не входят. Поэтому среди классов Кт бесконечно много раз-
различных.
Элементарные подгруппы групп классов, сигнатура которых не содержит
индивидуальных предметных символов, являются характеристическими под-
подгруппами, и нахождение их кажется интересным не только для тех или иных
аксиоматизируемых классов, но и для наиболее важных индивидуальных
групп.
3. Пусть К — класс моделей сигнатуры S. Обозначим через Щ (S) со-
совокупность всех замкнутых формул узкого исчисления предикатов, сигнату-
сигнатура которых содержится в S, и через $ (К) — совокупность тех формул из
Ш (S), которые истинны на каждой модели класса К. & (К) называется эле-
элементарной теорией класса К. Элементарная теория класса К называется
(рекурсивно) разрешимой, если существует алгоритм, позволяющий для
каждой заданной формулы из 8 (S) решить вопрос о ее принадлежности
к Ш (К).
Теорема 3. Элементарная теория свободной п-ступенно разрешимой
группы с фиксированными свободными порождающими а±, . . ., at при
п > 2, t > 2 неразрешима.
Слова «фиксированные свободные порождающие» означают, что сигнату-
сигнатура группы предполагается состоящей из символа умножения и индивидуаль-
индивидуальных предметных символов аг, . . ., at. Для краткости далее вместо а1у а2
пишем а, Ъ. Вводим теперь предикаты
Z (х) <-+ ха = ах,
Т (х, у) «-> ха = ах & уЪ = by & ху~х е G',

О свободных разрешимых группах 133
где вместо ху ЕЕ G' следует мыслить соответствующую формулу A.) На ос-
основании теоремы 1 в группе G имеем
Т(я, у) ++ (ЗЬи)(х = ат&у = Ът).
Наконец, вводим в G новые операции +, * формулами
z = x + y++z = xy,
z = х # у <_> (Яш;) (ихЪ = хЪи&Т (z/, v) & uv^z'1 eG'). . B)
Если теперь ограничиться элементами из Z (х), т. е. элементами вида
aw, то получим as + и1 = as+t, as * а* = ast. Действительно, первое не-
непосредственно следует из B), а из х = а\ у = а\ z = агу ихЪ = xbu,
Т (г/, v) получаем и — (asb)fc, v = bl, что вместе с соотношением uv'h'1 e
е G' дает к = t, r = st. Таким образом, элементарная теория чисел оказы-
оказывается слабо интерпретированной в элементарной теории групп G с фиксиро-
фиксированными элементами а, Ь. Элементарная теория арифметики целых чисел
в силу теоремы Черча неразрешима. Поэтому неразрешима и элементарная
теория группы G.
Из слабой интерпретируемости арифметики целых чисел в элементарной
теории группы G обычным образом получаем (см. [1]), что неразрешимой
будет элементарная теория G и без фиксированных а, Ь, а также, что сущест-
существуют конечно аксиоматизируемые классы тг-ступенно разрешимых групп для
каждого п = 2, 3, . . . с существенно неразрешимыми теориями.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Tarski, A. Mostowski, R. Robinson, Undecidable theories. Amsterdam, 1953.
2. M. Auslander, R. С Lyndon, Commutator subgroups of free groups. Amer. J. Math*,
1955, 77, N 4, 929-931.
3. Я. Г. Конторович. Группы с базисом расщепления, III.— Мат. сб., 1948, 22, № 1,
79-100.

КОНСТРУКТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ, I *
Введение
Понятие алгебраической системы — одно из наиболее общих централь-
центральных понятий современной алгебры. Важнейшим его частным случаем яв-
является понятие алгебры как системы, состоящей из произвольного множест-
множества А и конечной последовательности определенных на А операций ft (х1ч...
.. ., xrj) (i = 1, . . ., Z). Поэтому при рассмотрении вопросов общей алгеб-
алгебры, связанных с идеями конструктивности, естественно встает вопрос: ка-
какую алгебру следует считать конструктивной? Ответ более или менее одно-
однозначный — алгебра 31 конструктивна, если ее основное множество А состоит
из конструктивных элементов и конструктивно задано, а основные операции
fi также являются конструктивными. Однако здесь скрывается некоторая не-
неопределенность. Как известно, понятие конструктивности необходимо уточ-
уточнить, а это уточнение можно производить весьма различными способами,
начиная с классических уточнений Гёделя — Черча — Клини и кончая бо-
л§е новыми А. А. Маркова [10], А. Н. Колмогорова [3] и рядом других.
Соответственно этому и понятие конструктивной алгебры допускает ряд
возможных уточнений.
Конструктивные алгебраические системы встречались в ряде работ,
в том числе в работах А. Мостовского [11, 12], А. В. Кузнецова [4, 5] и осо-
особенно в статье А. Фройлиха и Д. Шепердсона [1]. В первых из них в каче-
качестве множества А рассматривались множества натуральных чисел, а в по-
последней в качестве элементов А брались слова в произвольном конечном
алфавите.
Другой подход к этой же проблеме наметился в работах А. Н. Колмого-
Колмогорова, В. А. Успенского [22, 23], X. Раиса [18] и X. Роджерса [21]. Извест-
Известна важная роль частично рекурсивных функций и их стандартной (гёделев-
ской) нумерации в теории алгоритмов. А. Н. Колмогоров, по-видимому,
первый отметил, что гёделевская нумерация, лежащая в основе теории вы-
вычислимых операций, вовсе не единственная, годящаяся для построения этой
теории, и что было бы интересным изучить в каком-то смысле все нумера-
нумерации совокупности частично рекурсивных функций, обладающие указанным
свойством. Эта программа с различными оттенками и осуществлялась в ука-
указанных статьях и среди них особенно отчетливо в работе Роджерса.
В настоящем обзоре мы попытались объединить оба подхода, введя поня-
понятие нумерованной алгебры.
Алгебра 91 называется нумерованной, если задано отображение а неко-
некоторого множества натуральных чисел Da на основное множество А алгебры
91. Отображение а называется нумерацией %. Оно может и не быть взаимно
однозначным. Функция Рг(хг, . . ., #г|), определенная на натуральном ряде,
называется представляющей операцию ft алгебры % в нумерации а, если
• •, ахп) = aF{ (хъ ..., хг.) {хъ ..., хч е Дх),
* Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3, 3—60.

Конструктивные алгебры, I 135
;
т. е. если, зная номера хг, . . ., хц некоторых элементов 91, можно найти
при помощи Рг один из номеров результата операции /ь произведенной над
заданньщи элементами.
Нумерация а может рассматриваться как род координации алгебры St.
Понятие нумерованной алгебры при этом становится в каком-то смысле
аналогом понятий аналитического многообразия, группы Ли и т. п. Эта
аналогия в некоторой степени влияла на выбор рассматривающихся в на-
настоящей статье задач. Однако Своеобразие положения в теории нумерован-
нумерованных алгебр видно хотя бы уже из того, что основной концепцией этой теории
служит не понятие изоморфизма нумерованных алгебр, а понятие их рекур-
рекурсивной эквивалентности, что уже было отмечено в работе А. Фройлиха и
Д. Шепердсона [1] по поводу теории полей.
На основании характера множества Da, разбиения этого множества на
классы, отвечающие отображению а, и характера функций Ft, представляю-
представляющих в нумерации а основные операции алгебры Э(, в § 3 вводятся различные
варианты понятия конструктивности нумерованной алгебры. Так как кон-
конструктивность определяется для нумерованных алгебр, то возникает необхо-
необходимость доказывать инвариантность конструктивности при некоторых
перенумерациях алгебры, при гомоморфизмах и т. д. Часть этих вопросов
может быть сформулирована не только для алгебр, но и для произвольных
нумерованных множеств. Поэтому оказалось целесообразным предваритель-
предварительно рассмотреть общие нумерованные множества, что и выполнено в § 2.
В частности, здесь показано, что ряд теорем, доказанных Д. Майхилом [14],
А. А. Мучником [13] и X. Роджерсом [21] о сводимостях множеств и нуме-
нумерациях частично рекурсивных функций, на самом деле может быть доказан
и для нумераций произвольных множеств.
В § 4 изучаются конструктивные нумерации алгебр с конечным числом
порождающих и алгебр с конечным числом определяющих соотношений. Мы
ограничиваемся только установлением общих фактов, касающихся изомор-
изоморфизма или эквивалентности возможных конструктивных нумераций указан-
указанных алгебр. Здесь же даны доказательства в новых формулировках теорем
А. В. Кузнецова, Д. Мак-Кинси и одной новой теоремы о существовании
конструктивных нумераций у алгебр, удовлетворяющих некоторым допол-
дополнительным требованиям.
В § 1 изложены общеизвестные понятия общей теории алгебр, и включен
он только в целях унификации терминологии.
Как уже говорилось, цель данной части обзора — разработка системы
понятий, необходимых для общей теории конструктивных алгебр, и только
очень ограниченное число конкретных результатов по специальным вопро-
вопросам вошло в эту часть. Автор надеется этот недостаток восполнить во второй
части настоящего обзора, где должны быть, по возможности, систематизиро-
систематизированы результаты алгоритмического и конструктивного характера, относящие-
относящиеся к группам, полям, кольцам и различного рода дедуктивным алгебрам.
Настоящий обзор является расширенным изложением доклада, прочи-
прочитанного автором 20.9.1960 г. на 3-м Всесоюзном коллоквиуме по общей ал-
алгебре в Свердловске. Отдельные результаты этого обзора докладывались
в июне 1960 г. на заседании Ивановского математического общества и в лек-
лекциях, прочитанных в октябре в г. Алма-Ате в Казахском университете.

136 Конструктивные алгебры, I
§ 1. Алгебраические системы
1.1. Функции, операции, предикаты. Пусть А, В — два произвольных
непустых множества. Закон /, при помощи которого каждой упорядоченной
последовательности п элементов а1? . . ., ап множества А ставится в соответ-
соответствие однозначно определенный элемент / {аг, . . ., ап) множества В, назы-
называется тг-арной или тг-местной функцией, определенной на А со значениями
в В. Если определенные элементы В ставятся в соответствие не обязательно
каждой тг-ке (ах, . . .,ап) элементов А, а, быть может, лишь некоторым, то
функция называется частичной. Совокупность тех тг-к, для которых частич-
частичная функция определена, называется областью существования или областью,
определения функции /.
Частичные функции называются равными только тогда, когда они имеют
одну и ту же область существования и когда их значения равны в каждой
тг-ке, входящей в область существования.
Частичная тг-местная функция /, определенная на множестве А, значения
которой принадлежат тому же множеству Л, называется тг-местной частичной
операцией на А. Всюду определенная частичная операция называется про-
просто операцией на А. тг-местная функция Р (хи . . ., хп), определенная на
множестве А, значения которой принадлежат особому множеству с элемен-
элементами И я Л, называется тг-местным предикатом на А. Если для некоторых
Яц • • •> ап из А имеем Р (а1? . . ., ап) = if, то говорят, что предикат
Р истинен для а1? . . ., аП1 или что элементы а1? . . ., ап находятся в отно-
отношении Р. Если же Р (аи . . , ап) = Л", то говорят, что предикат Р ложен
для аг, . . ., ап.
По формальным соображениям иногда удобно рассматривать и 0-местные
функции и предикаты, понимая под ними просто индивидуальные элементы
области значений.
Множество А вместе с какими-либо заданными конечной последователь-
последовательностью а1? . . ., ak его элементов и конечными последовательностями опре-
определенных на нем операций /1? . . ., fu частичных операций gu . . ., gm и
предикатов Рг, . . ., Рп называется алгебраической системой.
Последовательность
где гi — число мест операции ft, Sj — число мест частичной операции gj,
tt — число мест предиката Pt (i, /, I = 1, 2, . . .), называется типом ука-
указанной алгебраической системы. Множество А называется основным множе-
множеством системы, элементы аг, . . ., ah — выделенными индивидуальными
элементами ее, а /ь gj, Рх — основными операциями и основными предика-
предикатами системы.
Алгебраическая система, не имеющая основных предикатов, называется
частичной алгеброй. Если же система не имеет ни основных предикатов, ни
основных частичных операций, то она называется алгеброй. Наконец, ал-
алгебраическая система, не имеющая ни основных операций, ни основных ча-
частичных операций, называется моделью.
Алгебраические системы, имеющие одинаковый тип, будут называться
однотипными. Произвольная совокупность однотипных систем будет назы-
называться классом систем. Символом
% = <4; аъ ..., ak; Д,..., fx\ gx,..., gm; Рг, ..., Pn> A)

Конструктивные алгебры, I 137
будет обозначаться алгебраическая система % с основным множеством А,
выделенными элементами ах, . . ., а&, основными операциями /1? . . ., ftJ
частичными операциями gly . . ., gm и предикатами Ри . . ., Рп.
Пусть
95 = <Я; их,... ,"ЬЛ; /i,..., /i; gi,... ,g™; ^i,... ,РпУ
— какая-либо другая алгебраическая система, однотипная с системой 91.
Однозначное отображение множества А в множество В называется отобра-
отображением системы 91 в систему 95. Отображение ф системы 91 в систему 95
называется гомоморфизмом 9t в 95, если оно удовлетворяет следующим усло-
условиям:
1. ера* = Ь4 (i = 1,... ,А);
2. фД (жх,"..., жч) = /1 (ф#1, .. ., ф^Гг.) (i = 1, ..., I; хъ ..., хп е ^4);
3. х = gj (хъ ..., хч) =4> щ = g) (фжх , qxre;.)
(/ = 1,..., т; *!,..., жв;. е v4); B)
4. Pz (жх, . .. , жгг) = Р\
где символ =4> обозначает «влечет». Взаимно однозначный гомоморфизм 9(
на 95, для которого обратное отображение является гомоморфизмом 85 на 91,
называется изоморфизмом 9t на 95.
Заметим, что при определении понятия гомоморфизма двух систем соот-
соответствующими считаются те операции и предикаты, которые занимают одно
и то же «место» в стандартном обозначении A) алгебраических систем. На-
Например, пусть D — множество всех натуральных чисел 0, 1, 2, . . . ,
а +, X — символы, обозначающие обычные арифметические операции
сложения и умножения чисел. Рассмотрим алгебры
« = <Л; +; Х>, $ = <£>; Х,+>.
Эти алгебры не изоморфны, так как если бы отображение ф было изоморфиз-
изоморфизмом 9t на 95, то в силу условия B) мы имели бы для всех натуральных
значений х, у
ф (х X у) = ух + фг/, . фО = ф (О X у) = фО + фг/
и, следовательно, для любого у
Ч>У = О,
что противоречит взаимной однозначности отображения ф.
1.2. Порождающие совокупности. Термы. Пусть на множестве А оп-
определена некоторая частичная операция h (хи . . ., xs). Подмножество
М cz А называется замкнутым относительно А, если для каждой последо-
последовательности и±, . . ., us элементов М из определенности h (щ, . . ., us)
следует, что h (иг, . . ., и8) ЕЕ М. Множество М называется замкнутым от-
относительно системы частичных операций, если М замкнуто относительно
каждой из этих операций.
Из этих определений непосредственно следует, что пересечение любой
системы подмножеств Ма, замкнутых относительно данных частичных опе-
операций, будет либо пустым подмножеством, либо подмножеством, замкнутым
относительно указанных операций.

138 Конструктивные алгебры, I
Пусть М — некоторая система элементов множества А и g±, . . ., gm —
частичные операции на А. Обозначим через N пересечение всех подмножеств
множества А, замкнутых относительно операций gu . . ., gm и содержащих
все элементы системы М. N есть наименьшее из замкнутых подмножеств,
содержащих систему М. Это множество N называется множеством, порож-
порожденным системой М при помощи операций gu . . ., gm. Система М назы-
называется порождающей системой, а элементы М называются порождающими
элементами множества N.
Для более отчетливого описания строения множества TV целесообразно
воспользоваться понятием терма, определяемого следующим образом.
Рассмотрим некоторую конечную совокупность значков h±, . . ., каж-
каждому из которых поставлено в соответствие определенное натуральное число.
Значки эти будут называться функциональными или операторными символа-
символами, а соответствующие им натуральные числа будут называться их «арностя-
«арностями» или «членностями». Пусть задана еще некоторая совокупность символов,
отличных от указанных выше. Эти символы будут называться предметными
символами, или предметными переменными.
Термами называются особые конечные последовательности фундаменталь-
фундаментальных, предметных и вспомогательных символов (,) и ,. Строение термов оп-
определяется следующей индуктивной схемой:
а) последовательность, состоящая из одного члена, являющегося пред-
предметным символом, есть терм;
б) если <*i, . . ., йщ — какие-нибудь термы и ht — тггарный функцио-
функциональный символ, то последовательность ht (a1? . . ., ani) есть также терм.
Пример 1. Пусть заданы одинарный функциональный символ h и
предметный символ а. Тогда термами будут последовательности a, h (а),
h (h (а)), ...
П р и м е р 2. Пусть f, g — бинарные функциональные символы, а, Ъ —
предметные символы. Тогда термами будут последовательности / (а, а),
g (а, Ъ), f (а, g (а, Ъ)), . . .
Термы часто записывают в сокращенной форме, применяя так называе-
называемую операторную запись. Именно, вместо g (а, Ь) и h (а, Ь, с)* ... пишут
(ь)Лё (Ь), (a) h (Ь) h (с), . . ., где g,h — функциональные символы, а, Ь, с —
некоторые термы. В частности, термы, указанные в примерах 1, 2, в опе-
операторной записи примут вид a, ha, hha, ... и соответственно afa, agb,
af (agb), . . .
Теперь вводим понятие значения терма при заданных значениях пред-
предметных и функциональных символов в заданном основном множестве А.
По определению задать значения предметных символов — это значит каж-
каждому символу сопоставить определенный элемент множества А, который
и будет называться значением указанного символа. Указать значение
тг-арного функционального символа/—это значит сопоставить с ним какую-
либо конкретную тг-арную операцию /°, определенную на множестве А.
Иногда наряду с функциональными символами рассматривают и символы
частичных функций. Определение терма при этом остается прежним, но в ка-
качестве значения частично функционального символа допускается лю-
любая частичная операция соответствующей «арности», определенная на мно-
множестве А.
Если основное множество и значения предметных и функциональных сим-
символов заданы, то понятие значения терма определяется индуктивно следую-
следующей схемой:

Конструктивные алгебры, I 139
а) если терм а состоит из предметного символа х, то значением терма а
называется значение символа х\
б) если терм а имеет вид / (cti, . . ., ая), где / — тг-арный функциональ-
функциональный символ и значения термов а1? . . ., ая уже определены и равны соответ-
соответственно а?, . . ., а£, то значением терма а будет значение функции /° в точке
а?, . . ., а°, где /° — значение функционального символа /. Если / — ча-
частичная операция и значение ее в точке а?, . . ., а° не определено, то зна-
значение терма а считается неопределенным. Значение терма / (cti, . . ., йп)
считается неопределенным и тогда, когда не определено значение хотя бы
одного из термов ui, . . ., йп.
Пример 3. Пусть Г — совокупность рациональных чисел, + ,—,Х —
функциональные, : — частично функциональный бинарные символы, в ка-
качестве значений которых мы возьмем обычные арифметические операции сло-
сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Тогда при х = О, у = 1,
z = 2 терм х + {у : z) будет иметь значение V2, а значения термов (ху) : х,
(z + у) : х будут неопределенными.
Допустим теперь, что в некотором терме а, содержащем функциональные
символы/х, . . ., /s и предметные символыаи . . ., ат, хи . . ., хп, значения
функциональных символов и значения предметных символов а1? . . ., ат
заданы, а значения предметных символов хи . . ., хп не фиксированы. Тогда
для каждой системы значений символов х1ч . . ., хп терм а будет иметь оп-
определенное значение (или будет неопределенным), и потому мы можем счи-
тать значение терма а тг-членной функцией от переменных хи . . ., хп.
Сам терм а целесообразно считать записью указанной функции. Таким обра-
образом, имея некоторое число операций, заданных на множестве А, мы можем
прлучить бесконечное множество новых операций, записываемых в виде тер-
термов. Эти новые операции иногда называются термальными, иногда много-
многочленными операциями.
Вернемся к рассмотрению порождающих элементов. Пусть на множестве
А определены частичные операции gu . . ., gm и пусть М — какая-либо
система элементов из А. Обозначим через N множество, порожденное систе-
системой М при помощи указанных операций. Рассмотрим термы, записи которых
содержат лишь символы функций g±, . . ., gm и символы элементов из М.
Легко проверяется, что значения всех таких термов принадлежат N. Также
легко проверяется, что совокупность значений всевозможных термов ука-
указанного вида являете^ множеством, замкнутым относительно операций
gi-> • • •» gm и> значит, содержащим в себе N. Следовательно, множество N1
порожденное системой элементов М при помощи операций gu . . ., gm,
является совокупностью значений всевозможных термов, записываемых при
помощи символов функций gu . . ., gm и символов элементов системы М.
Рассмотрим произвольную алгебраическую систему
% = (А; аъ ..., ak; А,...," /f, gl9..., gm; Ръ ..., Pn>.
Пусть А0 — подмножество основного множества А, замкнутое относительно
операций /1? . . ., /г и содержащее все выделенные элементы аи . .., ah.
Обозначим через /1?. . ., /г, Рг,. . ., Рп операции и предикаты тех же «ар-
«арностей», что и соответственные операции /1? ...,/; и предикаты Р±, . . .
..., Рп, но определенные лишь на множестве А 0. Значения /*, Р) на Ао будем
предполагать совпадающими со значениями /f, Pj на этом множестве. Кроме
того, для каждой частичной операции gl введем частичную операцию g\

140 Конструктивные алгебры, I
на 40- Значение g[ (х^ . . ., z8l) для хг, . . ., iSIG40 будем считать оп-
определенным и равным значению gl (хг, . . ., z8l), если последнее определено
и принадлежит Ао. В остальных случаях g\ (хг, . . ., z8l) считаем неопре-
неопределенным. При этих условиях алгебраическая система
% = <л0; а>ь • • • ад Л, • •., /i; ft» • • •»?m; ^i,..., K>
называется подсистемой алгебраической системы 9t.
Отсюда видно, что каждое замкнутое относительно основных операций
подмножество множества А, содержащее выделенные элементы, является
основным множеством однозначно определенной подсистемы, причем все
подсистемы системы 3t имеют тот же тип, что и сама система 3t. Если мно-
множество А о замкнуто не только относительно операций Д, . . ., /г, но и отно-
относительно всех частичных операций g±, . . ., gm, то соответствующая подси-
подсистема 910 называется замкнутой подсистемой.
Совокупность М некоторых элементов множества А называется системой
порождающих алгебры 31, если элементы М вместе с выделенными элемен-
элементами %, . . ., ak порождают все основное множество А с помощью операций
fl9 . . ., fi и g1? . . ., gm. Алгебра 3t называется конечно порожденной, если
у нее существует конечная система порождающих элементов.
При рассмотрении алгебраических систем фиксированного типа <0, . . .
. . ., О, гх, . . ., ru (su . . ., sm), Ux, . . ., tn]y обычно вводят предметные
символы,' функциональные символы, частично функциональные символы и
предикатные символы, имеющие указанное в записи типа число мест. Система
всех этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Если
теперь задана какая-либо алгебраическая система 31 фиксированного типа,
то значениями символов сигнатуры на этой системе считаются соответствен-
соответственные выделенные элементы, операции и предикаты алгебраической системы.
Таким образом, сигнатурные символы являются общими обозначениями вы-
выделенных элементов, операций и предикатов на всех алгебраических системах
заданного типа. Значения сигнатурных символов на каждой системе фикси-
фиксированы, но эти значения меняются при переходе от одной системы к другой.
Пусть К — класс каких-либо алгебраических систем данной сигнатуры т.
Тогда т-термом или просто термом будем называть терм, все функциональные
зйаки которого принадлежат т. Если терм а содержит предметные символы
хг, . . ., zq, то его более подробно обозначают через a (zx, . . ., xq). Пред-
Предметные символы, входящие в сигнатуру т, в каждой системе сигнатуры т
имеют фиксированные значения и потому называются индивидуальными
предметными символами. Остальные предметные символы называются пред-
предметными переменными. Значения их можно выбирать произвольно в каждой
системе.
Индукцией по длине термов легко доказывается следующее предложение:
если ф — гомоморфизм алгебраической системы 31 сигнатуры т в алгебраи-
алгебраическую систему 35 той же сигнатуры и а (ж1? . . ., xQ) — произвольный
терм сигнатуры т, то значения этого терма в 31 и в 35 связаны равенством
фй (#1, Л •, xq) = а (фжх, ..., qxq) C)
для произвольных значений хг, . . ., xq из 3(.]
Пусть М — система порождающих алгебраической системы 31. Тогда
каждый элемент 31 есть значение] подходящего терма вида! а (хг, . . ., xq),
где #!, . . ., xqEzM. Равенство C) показывает, что образ каждого элемента 31

Конструктивные алгебры, I 141
при гомоморфизме определен однозначно, если известны образы элементов
порождающей системы М.
1.3. Примитивные и квазиприиитивные классы. Рассмотрим какой-
либо класс алгебраических систем некоторой фиксированной сигнатуры т.
Пусть a (#i, . . ., хп), Ь (хъ . . ., хп) — два терма, содержащие предметные
переменные хг, . . ., хп. Остальные символы, входящие в запись этих термов,
пусть принадлежат т. Говорят, что на алгебраической системе 91 сигнатуры т
выполняется тождество
а(хъ...,хп) = Ъ(хъ ...,хп),
если значение левого терма совпадает со значением правого для любых зна-
значений переменных хг, . . ., хп в 91. При этом если среди основных операций
системы 91 есть частичные и если при некоторых значениях хг, . . ., хп один
из термов а или Ь имеет определенное значение, то требуется, чтобы другой
терм также имел определенное значение, равное значению первого терма.
Иногда вместо указанной выше записи а = Ь для тождеств употребляется
также запись а ~ Ь (см. Клини [2]).
Непосредственным обобщением понятия тождества является понятие
условного тождества, определяемое следующим образом. Пусть т — сиг-
сигнатура рассматриваемых алгебраических систем и пусть а1? Ьх, . . ., up,
ЬР, а, Ь — какие-либо термы, содержащие, кроме сигнатурных символов, еще,
быть может, предметные переменные х±, . . ., хп. Условным тождеством на-
называется соотношение вида
а1== bi&.. .&<ip = bp=^u = fe, D)
где & обозначает союз «и».
Говорят, что условное тождество D) выполняется на алгебраической си-
системе 91, если для каждых значений переменных х±, . . ., хп ЕЕ А, для кото-
которых истинны равенства
йг (ХЪ . . . , Хп) = Ьг (ХЪ - - - ,Хп) (i = 1, . . . , р),
равенство а (х±, . . ., хп) = Ь (х±, . . ., хп) также истинно. Если в сигнату-
сигнатуре т имеются частично функциональные знаки, то, как и выше, равенство
ut = bt считается выполненным, либо когда обе части его определены и
имеют совпадающие значения, либо когда обе части не определены.
Класс К алгебраических систем заданной сигнатуры т называется при-
примитивным, если он состоит из всех систем сигнатуры т, на которых выпол-
выполняется некоторая фиксированная совокупность © тождеств. Если К состоит
из всех систем сигнатуры т, на которых выполняются тождества фиксиро-
фиксированной конечной совокупности @, то К называется финитно примитивным.
Аналогично класс всех алгебраических систем данной сигнатуры, на
которых выполняется некоторая фиксированная система условных тождеств,
называется квазипримитивным классом [7]. Если эта совокупность условных
тождеств конечна, то класс К называется финитно квазипримитивным.
Пример 4. Группоидом называется алгебра с одной основной бинар-
бинарной операцией. Полугруппой называется группоид, на котором выполнено
тождество
х X (у X z) = (х X у) X z, E)
где X — символ основной операции.

142 Конструктивные алгебры, I
Полугруппой с единицей называется алгебра, сигнатура которой состоит
из предметного символа е и функционального бинарного символа, причем
на алгебре должны выполняться тождества E) и тождества
х X е = х, е X х = х.
Полугруппой с левым сокращением называется полугруппа, на которой
выполнено условное тождество
xXy = xXz=4>y = z.
Если на полугруппе выполнено условное тождество
yXx = zXx*=$>y = z,
то полугруппа называется полугруппой с правым сокращением.
Полугруппа с левым и правым сокращениями называется двусторонне
сократимой полугруппой.
Из этих определений видно, что группоиды, полугруппы, полугруппы
с единицей составляют примитивные классы, а полугруппы с левым, правым
или двусторонним сокращением образуют квазипримитивные классы.
Пример 5. Группой называется алгебра с двумя операциями — бинар-
бинарной и одинарной, на которой выполняются тождества E) и
х X (х X у) = (у X х) X х-1 = у, F)
где X — символ бинарной, ~1 — символ одинарной операции.
Следовательно, группы составляют финитно примитивный класс.
Абелевы группы характеризуются тождествами E), F) и тождеством
х х у = у X х. Поэтому класс абелевых групп также финитно примитивен.
П р и м е р 6. Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операция-
операциями и одной одинарной операцией при условии, что элементы алгебры удов-
удовлетворяют тождествам
х + (у + z) = (х + у) + z, (- х) + (х + у) = у,
х + у = у + х, х X (у + z) = (х X у) + (х X z),
где +, X, соответственно символы 1-й, 2-й, 3-й операций. Кольцо
ассоциативно, если на нем выполнено тождество E). Отсюда видно,
что кольца и ассоциативные кольца снова образуют финитно примитивные
классы.
Заметим еще, что поскольку каждое тождество <х = Ь можно записать
и в виде условного тождества х = х =Ф> а = Ь, то каждый примитивный
класс является одновременно и квазипримитивным классом.
Легко обнаруживается, что примитивные классы вместе с некоторой ал-
алгеброй содержат и все ее гомоморфные образы. Однако гомоморфный образ
полугруппы с левым сокращением может не быть полугруппой с левым сок-
кращением. Поэтому класс полугрупп с левым сокращением может служить
примером финитно квазипримитивного класса, не являющегося примитив-
примитивным.
1.4. Определяющие соотношения. Обозначим через К класс всех алгебр,
сигнатура которых состоит из символов %, . . ., ak выделенных элементов
и функциональных символов /1? . . ., fx соответственно ^-арного, . . .
. . ., гг-арного. Фиксируем какую-нибудь совокупность © условных тож-
тождеств, функциональные символы которых принадлежат сигнатуре т. Пусть

Конструктивные алгебры, I 143
Ко — класс всех тех алгебр сигнатуры т, которые порождаются своими вы-
выделенными элементами %, . . ., а^ина которых выполняются все условные
тождества совокупности ©. Класс Ко неквазипримитивный, так как требо-
требование, чтобы все алгебры порождались выделенными элементами, не может
быть записано в виде услрвного тождества.
Рассмотрим какие-либо две алгебры;
Ц = (А; аг, <.., ak; /1?..., /z>, 95 = <B;\b1, ... ,7у, gi,.. • gii
класса Ко. Если существует гомоморфизм 3t в 85, то при нем согласно п. 1.1
элементы ах, . . ., ak должны переходить соответственно в элементы Ъъ ...
. . ., bk. Но элементы аг, . . ., ah порождают алгебру St. Поэтому, зная об-
образы элементов а1? . . ., afe, мы знаем и весь гомоморфизм. Иначе говоря,
существует не более одного гомоморфизма произвольной Я-алгебры на лю-
любую другую .йТо-алгебру.
Легко доказывается [7], что, какова бы ни была совокупность © условных
тождеств, в классе Ко существует одна и с точностью до изоморфизма только
одна алгебра, допускающая гомоморфное отображение на любую другую
алгебру класса Ко. Эта алгебра называется алгеброй, имеющей порождаю-
порождающие элементы а1? . . ., ak и определяющие соотношения ©.
Алгебра 3t называется конечно определенной условными тождествами,
если она изоморфна алгебре, имеющей конечную систему порождающих
элементов и конечную систему определяющих условных тождеств. Если оп-
определяющие соотношения являются не условными тождествами, а просто
тождествами, то алгебра будет называться конечно определенной тождест-
тождествами. В дальнейшем, если не оговорено явно противное, всегда под конечно
определенными алгебрами понимаются алгебры, конечно определенные ус-
условными тождествами.
Определяющие соотношения обычно используются следующим образом:
1) при помощи совокупности © некоторых условных тождеств фиксируют
квазипримитивный класс алгебр К; 2) к сигнатуре К добавляют систему
новых индивидуальных символов с1? . . ., ср и задают систему условных
тождеств ©1? в записи которых совсем не встречается предметных переменных
и, значит, встречаются лишь символы выделенных элементов класса К
и дополнительные индивидуальные символы с1? . . ., ср. Такие условные
тождества мы будем называть индивидуальными соотношениями.
Говорят, что алгебра 3t задана порождающими элементами с1? . . ., ср
и определяющими соотношениями (индивидуальными) @х внутри квазипри-
квазипримитивного класса К, если 9t имеет порождающие элементы %, . . ., ak,
сг, . . ., ср и определяющие соотношения в этих элементах, состоящие из со-
совокупности @х и совокупности © условных тождеств, определяющих класс К.
Пусть внутри некоторого квазипримитивного класса К задана алгебра
St порождающими сг, . . ., ср и совокупностью определяющих соотношений
©х и алгебра 95 порождающими элементами d1? . . ., dq и определяющими
соотношениями ©2. Допустим, что среди символов сх, . . ., ср, d1? . . ., dq
нет одинаковых. Тогда алгебра (£, заданная внутри К порождающими эле-
элементами с±, . . ., ср, dx, . . ., dq и системой определяющих соотношений,
получающейся объединением совокупностей @х и ©2, называется свободной
композицией (свободным произведением) алгебр 3t и 95 внутри класса К.
Если алгебры 3t, 95, © соответственно изоморфны алгебрам 9t1? 951? (£1т
то ©1 также называется свободной композицией 3tx и 95Х внутри К.

144 Конструктивные алгебры, I
Аналогично определяется и свободная композиция произвольной системы
алгебр внутри К. Легко доказывается, что свободная композиция алгебр
определяется с точностью до изоморфизма однозначно.
Пр и м е р 7. Пусть К — класс всех алгебр, сигнатура которого состоит
лишь из функциональных знаков /1? . . ., /z. Алгебра % указанной сигна-
сигнатуры, имеющая порождающие с1? . . ., ср и пустое множество определяющих
соотношений в этих порождающих, называется абсолютно свободной алгеб-
алгеброй со свободными порождающими с1? . . , ср. Конкретно эту алгебру можно
представить следующим образом. Пусть А — множество всех термов сигна-
сигнатуры /1? . . ., /z, c1? . . ., ср. На А определяем операции /J, ...,/?, полагая
/i (<*i>..., <xri)
где их, . . ., <хн — какие-либо термы. Алгебра <^4; /J, ..,/?> и есть
абсолютно свободная алгебра данной сигнатуры со свободными порождаю-
порождающими с1? . . ., ср. При этом операции /J, ...,/? и термы съ . . ., ср будут
значениями сигнатурных символов /1? . . ., /z и символов порождающих
элементов съ . . ., ср.
Алгебра 3t называется локально абсолютно свободной, если любая конеч-
конечная совокупность элементов 91 порождает абсолютно свободную подалгебру.
Легко доказывается, что каждая абсолютно свободная алгебра является
локально абсолютно свободной и, более того, что любая подалгебра абсолют-
абсолютно свободной алгебры абсолютно свободна.
Также легко доказывается, что алгебра 3t тогда и только тогда локально
абсолютно свободна, когда для любых ха, у$ из 3t имеют место соотношения
/г(хъ .. .,хн)ф/5(уъ ... ,yrj) (i^j; £, / - 1,..., Z),
Д {хъ ..., хп) = Д (уъ . .., ун) ->x1 = y1&...&xH = yri(i = l,...,l).
В частности, группоид 3t тогда и только тогда локально абсолютно сво-
свободен, когда на нем выполнено условное тождество
ху = uv —>• х = и & у = v. G)
Это показывает, что класс всех локально свободных группоидов является
квазипримитивным классом.
Легко построить примеры локально свободных группоидов, не являю-
являющихся свободными. Такими являются, например, «полные» локальные
свободные группоиды, удовлетворяющие, помимо требования G), еще усло-
условию, что каждый элемент разлагается в произведение двух других элементов.
1.5. Алгебры рекурсивных функций. Вводим следующие постоянные
обозначения:
D — совокупность всех натуральных чисел 0, 1, 2, . . .;
Ф — совокупность всех одноместных функций, определенных на D со
значениями в D;
Фч — совокупность всех одноместных частичных функций, определенных
на D со значениями в D.
Рассмотрим следующие четыре операции, определенные на Фч:
а. Сложение функций. Пусть заданы /, g S Фч- Определяем функцию Л,
полагая h (х) = f (х) + g (х), если / (х) и g (х) определены, и считая h (x)
неопределенной, если хотя бы одно из выражений / (х), g (x) не определено.
Функция h называется суммой функций /и g, символически: h = f + g.

Конструктивные алгебры, I 145
б. Суперпозиция функций. Для функций /, g ЕЕ Фч определяем новую
функцию А, полагая А(#) = f (g (#)), если g(#) и / (g (х)) определены, и счи-
считая h (x) неопределенной для остальных значений жЕЙ. Функция h назы-
называется суперпозицией функций /, g, символически: h = / * g.
в. Итерирование функции. Для заданной функции /£фч определяем
новую функцию А, полагая h @) = 0 я h (п + 1) = f (h (n)), если h (n) и
/ (h (п)) определены. Если же h (п) или / (h (n)) не определены, то h (x) для
х > тг будет неопределенной. Функцию Л будем называть итерацией функции
/ и обозначать через t/ или /1.
г. Обращение функции. Для каждой функции / ЕЕ Фч вводим новую функ-
функцию /~"\ полагая Z (а) = 6, если значения / (х) для х ^ Ъ определены и
/ F) = a, f {х) Ф а для х <. Ь. В противном случае f1 (а) считается неопре-
неопределенной.
На множестве Фч все четыре операции +, *, i, являются всюду опре-
определенными. Операция обращения на множестве Ф будет только частичной,
так как обращение всюду определенной функции может оказаться функцией,
не всюду определенной. Алгебры
№ = <Ф; Я, х; +, *, i>,
R = <ФЧ; Я, х; +, *, -1)
и частичная алгебра
Ж°"= <Ф; Я, х; +, *, -1),
где выделенными элементами служат функции
Х(х) =х + 1, х (х) = я — [/й2
([г/] — наибольшее целое, не превосходящее г/), имеют фундаментальное зна-
значение в теории вычислимых функций.
Обозначим через Фпр совокупность функций, порождаемую функциями
Я, х при помощи операций +, *, ц через Фор — совокупность, порождаемую
функциями 1, х при помощи операции +, *, ~г внутри алгебры 91°, и через
Фчр — совокупность, порождаемую функциями Я, х с помощью операций
+ , *, -1 внутри алгебры R. Функции из совокупности Фпр называются при-
примитивно рекурсивными, из совокупности Фор — общерекурсивными и из
совокупности Фчр — частично рекурсивными.
Согласно теоремам Р. Робинсона [20] и Ю. Робинсон [19], эти определе-
определения примитивно рекурсивных, общерекурсивных и частично рекурсивных
функций равносильны их обычным определениям при помощи операций
примитивной рекурсии и [i-операции, приведенных, например, в статье
А. Н. Колмогорова и В. А. Успенского [3].
Из той же теоремы Ю. Робинсон видно, что операция итерирования
функции является термальной в алгебре 91°. Поэтому все примитивно ре-
рекурсивные функции являются и общерекурсивными. С другой стороны, из
представления Клини для частично рекурсивных функций следует, что
Фор = Фчр П Ф» т. е. что каждая всюду определенная частично рекурсивная
функция является общерекурсивной.
Алгебры

146 Конструктивные алгебры, I
и частичная алгебра
будут называться соответственно алгебрами примитивно рекурсивных, ча-
частично рекурсивных и общерекурсивных функций. Все эти 3 алгебры конеч-
конечно порожденные. Далее будет показано (см. п. 4.2), что ни первая, ни вторая
алгебры не являются конечно определенными. Третья алгебра частичная,
а для частичных алгебр понятие конечной определенности нами выше вообще
не вводилось.
Пусть / е= Фчр. Подалгебра 3t/ алгебры 31, порожденная функцией
/ (вместе с выделенными функциями А,, х), называется степенью неразреши-
неразрешимости функции /. Если 91/ = 3tg, то функции fug имеют одинаковую
степень неразрешимости. Если Uf cz %g и Щ Ф %ё, то степень неразре-
неразрешимости / меньше степени неразрешимости g. Если 3t/ §ё %g и 3t# gt %^
то / и g имеют несравнимые степени неразрешимости. В частности, все частич-
частично рекурсивные функции имеют одну и ту же степень неразрешимости, рав-
равную 3tqp и наименьшую среди всех степеней неразрешимости.
Многие определения и теоремы дальше будут иметь одинаковые формули-
формулировки для примитивно рекурсивных, общерекурсивных и частично рекурсив-
рекурсивных функций. Поэтому для краткости мы введем особый символ R, значе-
значениями которого будут прилагательные «примитивно рекурсивный», «обще-
«общерекурсивный» и «частично рекурсивный», сокращенно R = пр, ор, чр.
Частичная тг-местная функция f (хг, . . ., хп), определенная на D со
значениями в D, называется R-функцией, если для любых одноместных
R-функций hx(x), • • •» hn (х) терм / (Лх (х),} . . ., Кп (х)) представляет
также R-функцию.
Этому определению можно придать более удобный вид. Рассмотрим по-
последовательность
<0, 0>, <0, 1>, <1, 0>, <0, 2>, <1, 1>, <2, 0>, <0, 3>, <1, 2>, • . . всех пар
натуральных чисел. Обозначим через v (x, у) номер пары (х, уУ в указанной
последовательности, причем нумерацию] начинаем с номера 0, так что
v @, 0) = 0, v @, 1) = 1 и т. д. Через I (п) и г (п) обозначим соответственно
левый и правый члеЪы пары номера тг. Таким образом,
v (Z (тг), г (тг)) = тг, I (v (х, у)) = х, г (v (#, у)) == у.
Для^функций v, Z, г[]легко выводятся формула [16]
v (*, У) = V2 ((х + yf +3х + у)
и аналогичные формулы для I (x) k r (х). Из них следует, в частности, что
функции v, I и г являются примитивно рекурсивными.
По индукции определяем теперь серию функций vn (хх, . . ., хп) {п =
= 2, 3, . . .), полагая
v2 (#i, *а) = v (xv x2)
и
vn+1 (хг, . . ., хп+1) = v (хг, vn (хъ . . ., хп+1)).

Конструктивные алгебры, I 147
Число vn (х1, . . ., хп) будет далее называться стандартным номером тг-ки
<#!, . . ., хп>. При vn (хг, . . ., #п) = у имеем:
Следовательно, функция Z? (г/), выражающая через г/ i-й член тг-ки номера г/,
снова является примитивно рекурсивной.
Пусть / (х±, . . ., хп) — какая-либо тг-местная R-функция. Тогда одно-
одночленная функция
/*(*)= /(£(*),... #(*)) (8)
также является R-функцией (R = пр, ор, чр.). Обратно, из (8) имеем
/(*!,... ,хп) = /* (vn(*b ...,<)).
Поэтому, ставя функции /" в соответствие функцию /, вычисленную по фор-
формуле (8), мы получаем одно-однозначное отображение множества Ф всех
одноместных R-функций на класс Фп всех тг-местных R-функций.
Пусть М — подмножество множества натуральных чисел. Функция
Хм (#), равная 1 в точках М и равная 0 вне М, называется характеристиче-
характеристической функцией М. Множество М называется примитивно рекурсивным или
общерекурсивным, если его характеристическая функция соответственно
примитивно рекурсивна или общерекурсвдна. Множество М называется ре-
рекурсивно перечислимым, если оно пусто или является совокупностью зна-
значений подходящей одноместной примитивно рекурсивной функцией. Рекур-
Рекурсивно перечислимые множества далее иногда будут называться частично ре-
рекурсивными. Таким образом, будет иметь понятный смысл выражение R-mho-
жество. В частности, легко доказывается [2], что М тогда и только тогда
R-множество, когда оно есть совокупность решений уравнения / (х) = О,
левая часть которого есть подходящая R-функция (R = пр, ор, чр).
В дальнейшем будут встречаться функции —, sg, "sg, ex, определяемые
следующим образом (см. [2, 16]):
\x —у, если
, если
sg x = 1 — х, sg x = 1 — S8 #.
Через /?Л обозначают (тг + 1)-е простое число, так что р0 = 2, /?х = 3
и т. д. Если тг = Ро°рТ - • • Рпп есть разложение числа тг на простые мно-
множители, то по определению пишут ех (£, тг) = at (i = 0, 1^ . . ., тг). Для
определенности полагают еще ex (i, 0) = 0.
Все перечисленные функции, равно как и обычные арифметические функ-
функции ху, Г—1 (гтг 1 = х\ , [у"у ], — примитивно рекурсивны, j

148 Конструктивные алгебры, I
§ 2. Нумерованные множества
2.1. Отображения нумерованных множеств. Пусть А — произвольное
непустое конечное или счетное множество. Нумерацией а множества А
называется однозначное отображение некоторого подмножества Da совокуп-
совокупности D = {О, 1, 2, . . .} всех натуральных чисел на А. Подмножество Da
называется номерным множеством нумерации а. Если п ЕЕ Da и an = а,
то п называется а-номером элемента а.
С каждой нумерацией а естественно связывается отношение эквивалент-
эквивалентности 0а, определенное на множестве Da следующим образом: числа т, п
из Da называются находящимися в отношении 0а , если am = an, т. е. если
они оба суть номера одного и того же элемента аЕ4 относительно 0а;
множество Da расслаивается на смежные классы, совокупность которых обоз-
обозначается через Z>a/9a. Нумерация а естественным образом порождает
одно-однозначное отображение Z)a/0a на А, называемое каноническим ото-
отображением.
Нумерация а называется однозначной, если отображение Da на А вза-
взаимно однозначно, т. е. если каждый элемент А имеет лишь один номер. Если
то а называется1 простой нумерацией.
Множество А, рассматриваемое вместе с какой-либо его нумерацией, на-
называется нумерованным множеством.
Подмножество Е числового множества Da называется R-подмножеством
Da (R = пр, ор, чр), если
где М есть R-множёство в обычном абсолютном смысле [3J. Подмножество
С нумерованного множества А с нумерацией а называется его R-подмноже-
R-подмножеством, если R-подмножеством в Da является совокупность всех а-номеров
элементов С.
Нумерация а множества А легко преобразуется в нумерацию aW всех
п-к <%, ..., апу элементов А. Именно, пусть D^ есть совокупность[стандарт-
ных номеров п-к (хъ . . ., хпУ, где хх, . . ., хп ЕЕ Da. Тогда для хх, ...
. . ., хп S Da по определению полагаем
a(n>v (#!, . . ., хп) = <ахх, . . ., а^>.
Совокупность М некоторых п-к элементов множества А будет называться
R-множеством, если R-подмножеством множества D^ является совокупность
всех а(п)-номеров п-к из М.
Предикат Р (%, . . ., ап), определенный на нумерованном множестве А,
будет называться R-предикатом на А, если R-множеством является сово-
совокупность тех п-к <%, . . ., апУ элементов А, на которых Р истинен.
Нумерацию а множества А условимся называть позитивной, если ее но-
номерное множество Da и соответствующая эквивалентность 0а рекурсивно
перечислимы. Нумерация а будет называться негативной, если рекурсивно
перечислимы Da и отрицание ~ 0а отношения 0а. Нумерацию а назовем
разрешимой, если отношение 0а общерекурсивно. Указанные 3 типа нуме-
нумераций: позитивные, негативные и разрешимые — обычно встречаются в наи-
наиболее важных конкретных случаях.

Конструктивные алгебры, I 149
Согласно Посту [17], если числовое множество и его дополнение одновре-
одновременно рекурсивно перечислимы, то они оба общерекурсивны. Отсюда выте-
вытекает, что если простая нумерация одновременно позитивна и негативна, то
она разрешима.
Отображение ф множества А с нумерацией а в множество В с нумерацией
Р назовем R-отображением, если существует R-функция/ (х), отображающая
Da в Z)p и удовлетворяющая соотношению
Ф (an) = р/ (п) (п е= Da). (9)
Одно-однозначное R-отображение А на В будет называться R-мономор-
физмом А на В. R-мономорфизм Л на В будет называться R-эквивалентностью
А на В, если обратное отображение В на А есть также Д-мономорфизм.
Нумерованное множество А R-мономорфно множеству В, если существует
R-мономорфизм А на В. А R-эквивалентно В, если существует R-экви-
валентность А на В.
Одно-однозначное отображение ф множества А с нумерацией а на множе-
множество В с нумерацией р назовем R-униморфизмом, если существует R-функ-
R-функция / (х), одно-однозначно отображающая Da на Dp и удовлетворяющая соот-
соотношению (9). R-униморфизм А на В, у которого обратное отображение есть
R-униморфизм В на А, называется R-изоморфизмом А на В.
Нумерованное множество А будет называться R-униморфным множест-
множеству В, если существует R-униморфизм А на В. Множество А R-изоморфно В,
если существует R-изоморфизм А на В.
Ясно, что каждый R-униморфизм есть в то же время и R-мономорфизм,
и потому каждый R-изоморфизм является и R-эквивалентностью. В частно-
частности, из R-изоморфизма множеств заведомо следует их R-эквивалентность.
Кроме того, отношения R-изоморфизма и R-эквивалентности рефлексивны,
симметричны и транзитивны.
Отношения R-мономорфизма и R-униморфизма рефлексивны, транзи-
транзитивны, но, в общем случае, не симметричны. Поэтому, в общем случае,
упомянутые отношения слабее, чем соответственные отношения R-экви-
R-эквивалентности и R-изоморфизма. Однако существуют важные случаи, когда
отношения униморфизма и мономорфизма оказываются равносильными изо-
изоморфизму и соответственно эквивалентности. Такие случаи указывает
Теорема 2.1.1. Пусть А, В — нумерованные множества с нумерация-
нумерациями а и р. Если номерное множество Da рекурсивно перечислимо, то каждый
чр-униморфизм А на В является чр-изоморфизмом А на 2?, причем из чр-
изоморфизма А и В следует рекурсивная перечислимость D$.
Если же рекурсивно перечислимо Da и абсолютно рекурсивно перечис-
перечислима эквивалентность 0р, то каждый чр-мономорфизм А на В является
чр-эквивалентностью.
Для доказательства первого утверждения теоремы обозначим через / (х)
чр-функцию, одно-однозначно отображающую Da на Z>p и удовлетворяющую
соотношению (9). По предположению Da совпадает с множеством всех значе-
значений подходящей примитивно рекурсивной функции h (x). Следовательно,
Z>3 есть совокупность значений ор-функции / (h (x)), и потому Z>p рекурсивно
перечислимо. Чр-функция
Г1 (х) =h(iiz(x=f (h (*))))
одно-однозначно отображает D$ на Da и удовлетворяет соотношению (9),
записанному в соответствующем виде. Поэтому А чр-изоморфно В.

150 Конструктивные алгебры, /
Переходя к доказательству последнего утверждения теоремы, обозначим
через | (п), т) (п) и h (х) такие примитивно рекурсивные функции, что Da
есть совокупность всех значений функции h (#), а совокупность пар
<£ (тг), т) (тг)> ( п = 0, 1, . . .) есть множество всех пар чисел, связанных
с эквивалентностью 0Р.
Пусть / (х) — чр-функция, реализующая заданный мономорфизм А на В.
Из условий теоремы следует, что для каждого жЕВр найдутся числа
у ЕЕ D$ и z ЕЕ Da, удовлетворяющие условию
Поэтому чр-функция
F(x)=h (г (ц* (| * - g (I (*)) | + | Ti (Z (*)) - / (Л (г (*))) | = 0))),
где I (х), г (х) — функции из п. 1.5, связанные с нумерацией пар, определена
для жЕДр, однозначно отображает D$ в Da и связана с обратным мономор-
мономорфизмом В на А соотношением (9), что и требовалось доказать.
Теорема 2.1.2. Если множество А с нумерацией а, обладающей об-
общерекурсивным номерным множеством Z>a, чр-униморфно (чр-мономорфно)
нумерованному множеству В, то А является и ор-униморфным (ор-мономорф-
ным) множеству *В.
По условию существует чр-функция / (#), одно-однозначно отображаю-
отображающая Da на D $ и удовлетворяющая соотношению (9). Так как Da — рекур-
рекурсивное множество, то функция
{/ (х), если x^Da,
0, если яёАс,
общерекурсивная, одно-однозначно отображающая Da на Ор и удовлетво-
удовлетворяющая соотношению (9). Аналогично рассматривается и случай мономор-
мономорфизмов.
Из теорем 2.1.1 и 2.1.2 следует, что отношение ор-униморфизма равно-
равносильно отношению op-изоморфизма на классе нумерованных множеств
с общерекурсивными номерными множествами.
Теорема 2.1.3. Пусть ф есть ^-отображение множества А с нуме-
нумерацией а в множество В с нумерацией |3 и пусть N — какое-либо ^-подмножест-
^-подмножество в В. Тогда полный прообраз М подмножества N в множество А будет так-
также Л-подмножеством.
Обозначим через / (х) R-функцию, отвечающую отображению ф. По ус-
условию N есть R-подмножество в В. Это значит, что для подходящей R-функ-
ции % (х) множество всех решений уравнения % (х) = 1, лежащих в /)р, бу-
будет совокупностью всех Р-номеров элементов N. Но в таком случае, как легко
убедиться, множество всех решений уравнения % (/ (х)) = 1, лежащих в
Z)a, будет совпадать с совокупностью всех a-номеров всех элементов прообра-
прообраза М множества N. Так как % (/ (х)) есть R-функция, то М есть R-подмноже-
R-подмножество в А.
Данное выше определение понятия R-предиката мы хотим теперь рас-
распространить на произвольные функции с числовыми значениями и на произ-
произвольные операции, определенные на нумерованных множествах.
Пусть g (%, . . ., ап) — функция с натуральными числовыми значения-
значениями, определенная на множестве А с нумерацией а. Эта функция будет назы-
называться R-функцией на А, если существует обычная R-функция G (хг, . . .

Конструктивные алгебры, I 151
9 . ., xn)f заведомо определенная для хг, . . ., хп ЕЕ Z>a и удовлетворяющая
условию
g (ахг, . . ., аяп) = G (^, . . ., хп). A0)
Сравнивая это определение с соответствующим определением R-предика-
тов, видим, что приК = пр,ор предикат Р тогда и только тогда есть R-npe-
дикат на А, когда его характеристическая функция есть R-функция на А.
Для R = чр имеет место измененное условие: предикат Р тогда и только
тогда рекурсивно перечислим на А, когда частично рекурсивной является
функция, равная 1 в точках истинности Р и неопределенная во всех осталь-
остальных точках.
Согласно п. 1.1 частичная функция h (ax, . . ., ап)у определенная на мно-
множестве А со значениями в этом же множестве, называется частичной опе-
операцией на А. Если множество А с нумерацией а, то h (at, . . ., ап) называет-
называется R-операцией на А, если существует R-функция Н (х1г . . ., хп), удов-
удовлетворяющая соотношению
h (ах1У . , ., ахп) = аН {х±, . . ., xn)f
где для каждых хг, . . ., a;nGfla из определенности левой части следует
определенность правой, и если множество гс-к, на которых h определена,
есть R-множество.
Теорема 2.1.4. Если числовая функция g (al9 . . ., ап) или предикат
Р (аг, . . ., аЛ), определенные на множестве А с нумерацией а, npuR-моно-
морфизме ф множества А на множество В с нумерацией Р переходят соот-
соответственно в R-функцию gx (Ь1? . . ., Ъп) или Yb-предикат Рх на В, то функ-
функция g и соответственно предикат Р являются также R-функцией или
^.-предикатом.
Д йствительно, условие, что g переходит при мономорфизме ф в функцию
gn означает, ^
g (alf • • ., ап) = gx
Пусть (?i (xlf . . ., хп) — числовая R-функция, определенная для
хг, . . ., хп е -Dp и удовлетворяющая условию gx фхг, . . ., $хп) = G± (хг,
„ . . , хп), и пусть / (х) есть R-функция, осуществляющая мономорфизм ф.
Тогда
G(xlf .. ., хп) =G1(f(z1), . . ., f{xn))
будет R-функцией, определенной для х1У . . ., хп е Da и удовлетворяющей
соотношению A0).
Рассмотрение предикатов сводится к рассмотрению множеств точек ис-
истинности их, и потому утверждение теоремы 2.1.4 относительно предикатов
сводится к утверждению теоремы 2.1.3.
Теорема 2.1.5. Числовые R-функции, R-предикаты и частичные
R-операции, определенные на нумерованном множестве А, npuR-эквивалент-
ном отображении А на В переходят соответственно в R-фунщии, 1\-пре-
дикаты и частичные R-операции на В.
Справедливость утверждения относительно числовых функций и преди-
предикатов непосредственно следует из предыдущей теоремы. Поэтому рассмотрим
случай, когда на А задана частичная операция h (av . . ., ап).
Пусть R-функция / (х) осуществляет мономорфизм ф А на В и R-функция
g (х) осуществляет обратный мономорфизм ф. Обозначим через Н (хг, . . .

152 Конструктивные алгебры, I
|
. . ., хп) R-функцию, отвечающую операции h на А. Возьмем какие-нибудь
числа хг, . . ., хп из Z>p. Требуется найти какой-либо номер элемента
hx ($xv . . ., Р#п), где hx — операция, в которую переходит h при отобра-
отображении ф. Поступаем так: числа g (хг), . . ., g (xn) суть номера соответствен-
соответственных элементов qT1 (P#i), . . ., qT1 фхп) в А и потому / (Н (g (хг), . . .,
• • •> £ (хп))) — один из номеров элемента hx фх1У . . , $хп). Следовательно,
функция
Нг (xv . . ., хп) = f (Н (g (zj, . . ., g (zn)))
отвечает операции hx в В. Являясь суперпозицией R-функций, Нг сама R-
функция.
Следствие. При ^-изоморфизмах позитивно или негативно нумеро-
нумерованное множество переходит снова с позитивно или соответственно негатив-
негативно нумерованное множество. Если множества А, В имеют рекурсивно пере-
перечислимые номерные множества, множество А позитивно или негативно и А
Л-эквивалентно В, то В также позитивно или соответственно негативно.
Действительно, позитивность или негативность нумерованного множест-
множества означает, что его номерное множество рекурсивно перечислимо и что от-
отношение равенства или соответственно неравенства двух элементов этого
множества является на нем рекурсивно перечислимым предикатом. Поэтому
оба утверждения рассматриваемого следствия непосредственно вытекают из
теорем 2.1.1 и 2.1.5.
2.2- Унивалентная сводимость нумераций. Мы сравнивали пока нумера-
нумерации а, р, вообще говоря, различных множеств А, В. Теперь более детально
будут изучены нумерации одного и того же множества А.
Как и в предшествующем пункте, символом R будем обозначать произ-
произвольное из выражений «примитивно рекурсивная», «общерекурсивная»,
«частично рекурсивная».
Пусть а, р — какие-то нумерации множества А. Говорят, что частичная
функция / (х) сводит нумерацию а к нумерации р, если / (х) определена для
всех х е Da, для каждого х ЕЕ Da имеем / (х) ЕЕ D $ и если ах = Р/ (х)
(х ЕЕ Da), т. е. если для каждого а-номера х произвольного элемента ах
совокупности A f (x) будет р-номером того же элемента.
Нумерация а будет называться R-мультисводимой или, короче, R-cbo-
димой к нумерации? р (символически а <; ятР), если существует R-функция,
сводящая а к р.
Нумерация а будет называться R-односводимой к р (символически
а<СяР)> если существует R-функция, унивалентная на Z>a и сводящая акр.
Наконец, нумерация а будет называться R-униморфной нумерации Р
(символически a <; riP)> если существует R-функция, сводящая а к р и
одно-однозначно отображающая Da на все D $.
Ясно, что каждое из отношений <^т <!jri <Ся рефлексивно и транзитив-
но и что для каждого значения R эти отношения связаны импликациями
Если Da — рекурсивное множество и нумерация а сводится к нумерации
частично рекурсивной функцией / (#), то функция
{/ (х), если жЕДа,
О, если х е Ах>

Конструктивные алгебры, I 153
будет рекурсивной функцией, сводящей акр. Поэтому при рекурсивном но-
номерном множестве Da частично рекурсивная мульти- или односводимость а
к р равносильна рекурсивной мульти- или соответственно односводимости
акр. Однако при произвольных DaJ D$ все введенные выше сводимости не
равносильны друг другу. Приведем лишь пример, показывающий, что час-
частично рекурсивная мультисводимость вообще отличается от общерекурсив-
общерекурсивной мультисводимости.
П р и м е р 8. Известно, что существуют частично рекурсивные функции,
которые нельзя доопределить до рекурсивных функций [2]. Пусть F (х) —
одна из таких функций. Обозначим через Da область определенности F (х)
и пусть А — совокупность значений, принимаемых F (х) на Da. Число
х Ez Da условимся называть a-номером числа F (x) ЕЕ А, а Р -номером числа
у Ez А назовем само это число у. Таким образом, ах = F (х) и D$ = А.
Допустим, что какая-нибудь функция / (х) сводит нумерацию а к нумерации
р. Условие перепишется теперь в виде F (х) = / (х) (х ЕЕ Da), означающем,
что / (х) — некоторое доопределение функции F (х). Поскольку общерекур-
общерекурсивных доопределений F (х) не имеет, что нумерация а рекурсивно несводи-
несводима к р, хотя а мультисводима к р частично рекурсивной функцией F (х) и
множество Da как область существования частично рекурсивной функции
F(x) является рекурсивно перечислимым.
Нумерация а произвольного множества А выше была названа простой,
если номерное множество Da есть множество всех натуральных чисел.
Следующая очевидная теорема показывает, что при довольно широких пред-
предположениях изучение произвольных нумераций можно сводить к изучению
простых нумераций.
Теорема 2.2.1. Для каждой нумерации а множества А с бесконечным
рекурсивно перечислимым номерным множеством D& существует простая
нумерация р того же множества, общерекурсивно униморфная нумерации а.
Известно, что каждое непустое рекурсивно перечислимое множество есть
совокупность всех значений подходящей унивалентной рекурсивной функции
[2]. Поэтому можно считать, что
Da = {h @), h A), h B), . . .},
где h (x) — рекурсивная унивалентная функция. Нумерацию р множества
А определяем формулой
fix = ah (х) (х = 0, 1, 2, . . .).
Нумерация р простая, а рекурсивная функция h (x) униморфно сводит
Р к а.
Вернемся снова к рассмотрению произвольных нумераций a, P какого-
либо непустого множества А. Нумерацию а будем называть R-мультиэкви-
валентной нумерации р (символически a = дтр), если a R-мультисводима
к р, а р R-мультисводима к а. Нумерацию а условимся называть R-одно-
эквивалентной р (символически a = ri|3), если a R-односводима к р, а Р
R-односводима к а. Наконец, нумерация а будет называться R-изоморф-
ной нумерации р (символически a = Rp), если a R-униморфна р, а |3 R-уни-
морфна а.
Все эти определения можно короче представить одной схемой:
^ Ria (i == m, 1, 0; R0 = R).

154 Конструктивные алгебры, I
Введенные таким способом отношения мультиэквивалентности, одноэкви-
валентности и изоморфизма, очевидно, рефлексивны, транзитивны и симмет-
симметричны.
Сравнивая понятия униморфизма и изоморфизма нумераций одного и
того же множества А с введенными в предшествующем пункте понятиями
униморфизма и изоморфизма различных нумерованных множеств, непосред-
непосредственно видим, что униморфизм (изоморфизм) нумераций а, р означает, что»
униморфизмом (изоморфизмом) является тождественное отображение А с
нумерацией а на А с нумерацией р. Поэтому из результатов п. 2.1, в частно-
частности, следует, что R-униморфизм нумерации а множества А, имеющей ре-
рекурсивно перечислимое номерное множество Z)a, на какую-либо другую
нумерацию Р множества А влечет за собою R-изоморфизм этих нумераций.
Напомним, что нумерации, имеющие в качестве номерного множества со^
вокупность всех натуральных чисел, называются простыми. Теперь, обобщая
одну теорему Майхила [14], относящуюся к теории сводимости проблем, при-
приходим к следующему предложению.
Теорема 2.2.2. 1\-однодквивалентностъ простых нумераций a, ^
равносильна их ^-изоморфизму.
Уже отмечалось, что R-изоморфизм нумераций влечет их R-одноэкви-
валентность. Для доказательства обратного утверждения условимся, следуя
Майхилу, называть финитным соответствием каждую конечную последова-
последовательность:
пар натуральных чисел, удовлетворяющую условиям
Номером финитного соответствия A1) назовем число
п = П #*&*? ' A2)
где ро = 2, рг = 3, ... — последовательные простые числа, а v (#, у) —
стандартный номер пары <#, г/>, вычисляемый согласно п. 1.5.
По предположению существует R-функция / (#), однозначно сводящая a
к р, и R-функция g (я), однозначно сводящая р к а. С помощью функций
/, g мы хотим теперь' построить R-функции S (т, п) и Т (т, тг), значения ко-
которых были бы равны номерам финитных соответствий
<з0, Уо>, • • •, <ж*, Vk>> <™<№k+i> A3)
и соответственно
где п — номер соответствия? A1), т — произвольное число, а Жь+1? Уи+i —
подходящие числа, зависящие от т и п. Укажем сначала построение функции
S (т, п).
Пусть заданы число т и соответствие A1), номер которого п.
а. Если щ ЕЕ {х0, . . ., xk} и i — наименьшее, удовлетворяющее усло-
условию Xi = m, то полагаем yh+1 = уг.

Конструктивные алгебры, I 155
б. Если т е {х01 . . ., xh} и / (т) е {г/0> • •. •» Уъ), то полагаем
1 = / ("О- _
в. Если т. е- {#0> • • •» #Л» но / (т) ^ О/о> • • •> Уъ), то берем наимень-
наименьшее ix, для которого /(яг) = г/^, и рассматриваем / (xh). Если / (xit) ЕЕ {г/0>---
. . ., yk} и i2 — наименьшее, удовлетворяющее условию / (xix) = yit, pro
рассматриваем / (xit) и т. д. Докажем, что числа г/г1, г/^, . . . попарно различ-
различны и, следовательно, что найдется число s, не большее к + 1, для которого
f(Xi8) Ш {Уо, . . ., Уи}' В самом деле, пусть для некоторого и числа yit,
Уи-> • • •» Уги попарно различны и пусть / (xiu) = г/^и+1. Если бы оказалось,
что ^u+i = ^/^ (! ^ у < ^)» то мы бы имели / (xiu) = / (^Vi)' 0ТКУДа ВВИДУ
унивалентности /получаем xiu = ^ми^и = ytv_1 вопреки предположению.
Итак, для подходящего s ^ /с + 1 будем иметь
уи, . . . , / (fl!W) = Уг8, / (^) Ё fefo» • • • ■ У*}-
В этом случае полагаем z/ft+1 = / (^^)*
Легко видеть, что во всех случаях последовательность A3) будет финит-
финитным соответствием.
Тем самым функция S (т, п) определена. Меняя ролями/, х0, . . ., xk и
Si Уо> • • ч У hi легко определяем аналогичным образом и функцию Т (т, п).
Остается доказать, что S и Т суть R-функции. Для этого введем следующие
вспомогательные функции:
ф (п) = [xz (sg rest (п, рг) = 0),
г|) (j, п) = Z (ex (j, п) — 1) + дг sg ex (i, дг),
г|)' (i, n) = r (ex (i, дг) — 1) + дг sg ex (£, дг).
Очевидно, если п — номер соответствия, A1), то ф (п) = /с + 1 и
, если i<^A + l» [2/г> если i<[/c+l,
, если i>fc + l; ^'(i'n) = U если t>* + l.
Положим еще
г
(т, п) = [xz ((ф (дг) -^- z) Д | /л — ф (i, т^) | = 0J ,
=0).
г=о
z
i=0
Так как
i=o
то
если
ft, есл
, п) = \. , л
[/с +1 в остальных случаях;
если j?i<= {j/o> • • •»J/i-i}» ^ = J/i» J <С ^ + 1»
в остальных случаях.
(I, есл
Л + 1

156 Конструктивные алгебры, I
Наконец, полагаем
9 (и, я, 0) = %' (я, п); 9 (п, х, s + 1) = х' (/ (* (б (*» х, s), и)), и).
Теперь легко видеть, что в случае «в» при выполнении условий A4) имеем
0 (л, / (т), 0) = *х, . . ., 9 (л, / (т), 5 - 1) - *в, 9 (л, / И), s) = Л + 1
и, следовательно,
i=o
При помощи указанных вспомогательных функций определение функции
S (т, п ) можно выразить следующей схемой:
S (т, п) =
"v ", если %{т,
М(ад»,/(т),н),»))) в остальных случаях.
Из формул, определяющих функции ф, яр, %, %', видно, что эти функции
примитивно рекурсивны. Что касается функций 0 и S (т, п), то они при-
примитивно рекурсивны или общерекурсивны в зависимости от того, примитив-
примитивно рекурсивна или общерекурсивна функция / (х). Поэтому из указанной
схемы для S (т, п) видно, что если/ (х) есть R-функция (R = пр, ор), то
S (иг, п) также R-функция.
Аналогично доказывается и то, что если g (х) есть R-функция, то Т (иг, п)
также R-функция.
Итак, функция S (иг, п) позволяет любое финитное соответствие A1)
пополнить парой <т, г/&+1>, содержащей в качестве левого элемента произ-
произвольно заданное число иг, а функция Т (пг, п) позволяет финитное соответст-
соответствие A1) пополнить парой (xh+1, w>, содержащей m в качестве правого эле-
элемента. Берем теперь в качестве начального соответствия соответствие,
состоящее всего из одной пары <0, / @)>, а затем постепенно, применяя по-
поочередно функции S и Г, расширяем его до отображения D на D.
Для более точного описания этого расширения введем функцию т] (тг),
равную номеру дг-ro расширения начального соответствия, полагая по опре-
определению
(Т(п/2,г\(п)), если п четно,
4V -г ; — \s{(n + 1)/2, т) (az)), если п нечетно.
Таким образом, функция ц (п) возникает посредством примитивной ре-
рекурсии из R-функции
и потому сама является R-функцией.
Рассмотрим, наконец, функцию у = h (#), значение которой при значе-
значении, х, равном левому числу какой-либо пары финитного соответствия номе-
номера г) (тг), равно правому числу той же пары. Пусть х = /г (у) — обратная
функция.

Конструктивные алгебры, I 157
Согласно схеме последняя пара финитного соответствия, имеющего номер
B#), имеет вид (х, г/&+1), причем
= г (ех Bа;, Л Bа;)) - 1),
где г (az), Z (л) — соответственно правый и левый элементы пары стандарт-
стандартного номера п. Отсюда
у = А (*) = г (ех Bа;, Ч Bа;)) - 1)
и, следовательно, h (х) есть R-функция.
Аналогичным образом для А (у) получаем формулу
х = л-1 (у) = l (ех (Ф (Л Bг/ + 1)), ц Bу + 1)) - 1),
показывающую, что /г также R-функция.
Таким образом, функция h (x) сводит R-униморфно а к р, а функция
А^сводит R-униморфно р к а и, значит, аир R-изоморфны.
Следующий очевидный пример показывает, что теорема 2.2.2, вообще
говоря, теряет силу для непростых нумераций.
Пример 9. Пусть множество А состоит лишь из одного элемента,
Da — совокупность всех четных чисел, D$ — какое-нибудь множество, со-
содержащее все четные числа и не являющееся рекурсивно перечислимым.
Функция х однозначно сводит акр, а функция 2х однозначно сводит р к а.
Однако а не может быть частично рекурсивно изоморфной р, поскольку со-
совокупность значений частично рекурсивной функции для всех четных зна-
значений аргумента есть множество непременно рекурсивно перечислимое.
Чтобы короче сформулировать обобщение теоремы 2.2.2 на случай не-
непростых нумераций, условимся под символом R' понимать одно из свойств:
«общерекурсивная» или «частично рекурсивная» для функций и соответст-
соответственно «рекурсивное» или «рекурсивно перечислимое» для множеств.
Следствие. Если нумерации а, р некоторого множества A R'-
одноэквивалентны и номерные множества Dai D$ являются W-множествами,
то a W-изоморфна р.
Действительно, согласно теореме 1.2.1 найдутся простая нумерация
а', R'-униморфная а, и простая нумерация Р', R'-униморфная р. Так как
■^а> -Dp рекурсивно перечислимы, то из R'-униморфизма нумераций а',
а и р', р вытекает, что они R'-изоморфны. Таким образом,
а' = в'Ьс = в'хР = r>$'
и, значит, а' = b'iP'. В силу теоремы 2.2.2 отсюда следует, что а' = е>Р'
и потому а = я'Р.
2.3. Эквивалентность нумераций. Согласно п. 2.2 нумерация а множест-
множества А называется R-эквивалентной нумерации р, если существуют R-функ-
R-функция, сводящая а к р, и R-функция, сводящая р к а, т. е. если по заданному
а-номеру произвольного а ЕЕ А можно R-процессом найти некоторый р-
номер а и по заданному р-номеру Ъ ^ А вообще другим R-процессом найти
а-номер Ь. Отсюда видно, что если мы интересуемся не только свойствами
множества А, но и свойствами его нумерации, то «одинаковыми» следует
считать изоморфные нумерации. Если же нас интересуют свойства самого
множества А, а нумерации его рассматриваются лишь как вспомогательные
средства, то «одинаковыми» естественно считать эквивалентные нумерации.
Поэтому обычно важно знать, не является ли какая-нибудь сложная нуме-

158 Конструктивные алгебры, I
рация рассматриваемого множества А эквивалентной некоторой ленее слож-
сложной, например простой или даже однозначной простой, нумерации А. Ясно,
что при этом особую роль должны играть, с одной стороны, нумерации, эк-
эквивалентные однозначным простым нумерациям, а с другой стороны, «устой-
«устойчивые» нумерации, которые изоморфны любым эквивалентным им нумера-
нумерациям. Такие нумерации теперь и будут рассмотрены. Как и выше, символом
R' будет обозначаться произвольное из свойств ор или чр.
Теорема 2.3.1. Для того чтобы нумерация а множества А была R'-
эквивалентна простой однозначной нумерации, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие условия'.
а) номерное множество Da содержит чр-множество М, имеющее непустое
пересечение с каждым смежным классом Da/Qa, и число смежных классов
DJQa бесконечно]
б) существует R-функция L (#, г/), характеристическая для 0а, т. е.
удовлетворяющая требованию
х, !/GDa =K6a (*, y)=*L {*, У) = 1) & Fa (я, y)ML «У)> 0). A5)
В самом деле, пусть a R'-эквивалентна простой однозначной нумерации
р. Обозначим через /, g R'-функции, сводящие соответственно а к р и р к а.
Тогда множество М = {g @), g A), . . .} удовлетворяет требованию а) и
функция L(x, у) = sg | / (х) — / (у) | удовлетворяет требованию б).
Обратно, пусть Da содержит множество М, имеющее хотя бы один эле-
элемент в каждом классе из Z>a/8a, и пусть М есть совокупность всех значений
подходящей примитивно рекурсивной функции ф (п). Вводим вспомогатель-
вспомогательную функцию я|) (п) посредством условий
-Ф @) = о,
! П
Ц(п + 1) = ixz B L(cp(i|)(i)),<p(z)) = О) .
i=0
Так как по предположению множество DJQa бесконечно, то г|) (п) —
общерекурсивная, функция, причем
L (Ф (гр @), Ф (г|> (п + 1))) =0 (i = 0, 1, . . ., п). A6)
Строим теперь простую нумерацию Р множества А, полагая $п = аф (\р (п)).
Из A6) следует, что нумерация р однозначная. Функция g (х) = ф (ф (а;)),
очевидно, сводит р к а, а функция
/ (х) = iiz (г|) (z) = \xy (L (х, Ф (у)) = 1))|
сводит акр, что и требовалось доказать.
Если рассматриваются нумерации только с рекурсивно перечислимыми но-
номерными множествами, то условие а) выполняется автоматически и остается
лишь условие б). В частности, простая нумерация а тогда и только тогда
рекурсивно эквивалентна простой однозначной нумерации, когда отношение
9» рекурсивно.
С другой стороны, если нумерация а однозначна, то в качестве L (х, у)
можно взять sg | х — у | и из теоремы 2.3.1 непосредственно вытекает, что
однозначная нумерация а тогда и только тогда R'-эквивалентна простой
однозначной нумерации, когда номерное множество Da рекурсивно перечис-
перечислимо.

Конструктивные алгебры, I 159
Отсюда в свою очередь следует, что условия теоремы 2.3.1 остаются не-
необходимыми и достаточными и для того, чтобы нумерация а была R'-экви-
валентна однозначной нумерации с рекурсивно перечислимым номерным мно-
множеством.
Теперь мы рассмотрим более подробно условия, при которых из R'-
мультисводимости нумерации а к нумерации р вытекает R'-односводимость
акр.
Для того чтобы какая-нибудь нумерация а множества А была односво-
дима к нумерации р этого множества, очевидно, необходимо, чтобы число
различных а-номеров произвольного элемента множества было не больше
числа его различных р-номеров.
Требуя, чтобы это условие выполнялось эффективно, приходим к следую-
следующим простейшим достаточным условиям.
Теорема 2.3.2. Пусть номерное множество Da нумерации а есть R'-
множество и а сводится W-функцией f (х) к нумерации р. Пусть, далееу
существует такая W-функция Q (х, г/), что Q (/ (#), у) определено и
$Q if ix)i У) = Р/ (х) для всех х ЕЕ Dai у Ez D и число различных значений^
принимаемых выражением Q (/ (#), у) при заданном значении хь не меньше
числа различных а-номеров элемента ах. Тогда а W-односводима к р.
Функцию g (x), однозначно сводящую акр, строим следующим эффек-
эффективным процессом. По условию множество Da рекурсивно перечислимо и
потому является совокупностью значений подходящей унивалентной обще-
общерекурсивной функции ф (п). Вводим обозначения а* = ф (i) {i = О, 1, . . .)
и по определению полагаем g (а0) = f (а0). Далее применяем рекурсию.
Пусть числа bt = g (at) уже определены для i = 0, 1, . . ., п. Если
/ (ап+1) отлично от &0, Ьг, . . ., &п, то полагаем g (ап+1) = / (ап+1). Если же
/ (an+i) — ^m» 0 ^ т ^ п, то ищем такое минимальное 5, чтобы Q (&m, s)
было отлично от &0, bv . . ., &п, и полагаем g (ап+1) = Q (&m, s). Так как
число различных значений выражения Q (&т, у) не меньше числа а-номеров
элемента аап+1, то требуемое значение s найдется.
Построенная функция g (x), очевидно, однозначно сводит акр. Так как
указан алгоритм для вычисления значений g (x) и g (x) определена на R'-
множестве, то g (х) в силу тезиса Черча — Клини R'-функция.
Нумерацию а множества А условимся называть нумерацией с бесконеч-
бесконечными классами, если каждый элемент из А имеет бесконечно много различ-
различных а-номеров.
Будем говорить, что нумерация а имеет R'-бесконечные классы, если
существует R'-функция Q (х, у), определенная для х е Da, у е D и для
каждого xEEDa при у = 0, 1, 2, . . м принимающая бесконечное число
различных значений, причем а(? (#, у) = ах для х £Е Da, у Ez D.
Из теоремы 2.3.2 теперь непосредственно получаем
Следствие1. Пусть номерное множество Da нумерации а является
W-множеством и а R'-мультисводима к нумерации р, имеющей R'-бесконечные
классы. Тогда а Л'-односводима к р.
Применяя это следствие дважды и принимая во внимание теорему 2.2.2,
получаем
Следствие 2. Пусть нумерации а, р имеют W-бесконечные классы
и их номерные множества Z>at D $ являются R''-множествами. Тогда из R'-
эквивалентности а и р следует W-изоморфизм этих нумераций.
Напомним, что нумерация а называется позитивной, если ее номерное
множество Da и отношение эквивалентности 0а рекурсивно перечислимы.

160 Конструктивные алгебры, I
Замечание. Каждая позитивная нумерация с бесконечными клас-
классами имеет чр-бесконечные классы.
Действительно, рекурсивная перечислимость 0а означает, что существует
частично рекурсивная функция L (х, у), определенная для х, у ЕЕ Da и
удовлетворяющая условию A5). Представим множество Da в виде совокуп-
совокупности значений подходящей пр-функции ф (п). Тогда функция
Q (*» У) = Ф (У) L (х, ф (у))+ хЩ? L (х, ф (у))
будет обладать всеми свойствами, требующимися в определении нумераций
с чр-бесконечными классами.
Из этого замечания и следствий 1, 2 непосредственно получаем
Следствие 3. Если номерное множество нумерации а рекурсивно
перечислимо и а чр-сводится к позитивной нумерации ft с бесконечными клас-
классами, то а чр-односводится к ft. В частности, если позитивные нумерации а,
Р имеют бесконечные классы и а чр-эквивалентна ft, то а чр-изоморфна ft.
Выше указано несколько случаев, в которых из эквивалентности каких-
либо нумераций а, р следует их изоморфизм. При этом условия, наклады-
накладывавшиеся на нумерации, были симметричны в целом относительно аир.
Мы хотим теперь так усилить условия, налагающиеся на а, чтобы можно
было значительно ослабить условия, налагающиеся на р, и чтобы при этом
из эквивалентности все еще следовал изоморфизм нумераций.
Вводим определение: нумерацию а называем R-устойчивой, если Da есть
R-множество и если из того, что а R-эквивалентна какой-либо нумерации
Р, у которой Z>p есть R-множество, вытекает, что а R-изоморфна р.
Придавая R значения чр, пр, получаем три вида устойчивости. Первые
два из них заведомо связаны соотношением: чр-устойчивая нумерация с об-
общерекурсивным номерным множеством ор-устойчива.
Следующая простая теорема показывает, что устойчивые нумерации всегда
довольно сложные.
Теорема 2.3.3. Никакой смежный класс R'-устойчивой (R'-чр, ор)
нумерации не может быть ор-множеством.
Обозначим через D $ совокупность чисел Da, умноженных на 2, и введем
новую нумерацию р, полагая ftn = а (-тМ, п ЕЕ D $. Допустим, что вопреки
утверждению теоремы 2.3.3 совокупность аГга всех а-номеров некоторого
элемента a ЕЕ А является op-множеством. Тогда класс ft~xa также является
op-множеством. Рассмотрим случай, когда ft~xa содержит более одного эле-
элемента. Обозначим через s какой-либо фиксированный элемент из ft~xa и пусть
Dy = (Dp\fr1a) U {s}. Вводим нумерацию у, полагая уп = ftn (n ЕЕ Dy).
Функция / (х) = х сводит 7 к р, а ор-функция
Гх, если х^^'1 (а),
q^ = Ц если ^г()
сводит Р к у. Таким образом, Р и 7 op-эквивалентны. В силу того что а пр-
изоморфна р, нумерация р R'-устойчивая. Так как Dy есть R'-множество
и 7 R'-эквивалентна р, то 7 должна быть R'-изоморфна р. Однако это не-
невозможно, поскольку элемент а имеет только один 7~номер и имеет больше
одного р-номера. Полученное противоречие доказывает теорему для случая,
когда рассматриваемый смежный класс Р (а) имеет больше одного элемен-
элемента. Если Р (а) состоит только из одного числа, то в приведенных рассужде-

Конструктивные алгебры, I 161
ниях следует положить Dy = D$ \J {1}, yi — a, yn = $n (n ЕЕ D $) и дока-
доказательство сохранит силу и для этого случая.
Чтобы сформулировать условия, достаточные для устойчивости нумера-
нумерации, введем новое понятие полноты нумерации. Именно, нумерацию а неко-
некоторого множества А назовем полной, если выполнены следующие условия:
а) в Da выделены два числа е, е', являющиеся номерами различных эле-
элементов А;
б) существует регулярный процесс, позволяющий для каждой общере-
общерекурсивной функции h (х) находить число т ЕЕ Da такое, что h (m) ЕЕ Da и
ah (m) = am.
Более точно условие б) означает, что существует общерекурсивная функ-
функция ф (х) такая, что ah (ф (га)) = аф(га), где п — номер h в смысле Клини [2].
Всякая полная нумерация является простой. Действительно, берем в ка-
качестве функции h (x) постоянную функцию, равную какому-нибудь числу s.
Тогда согласно условию б) должно найтись число т, для которого h (m) ЕЕ
е Da, откуда sE Da.
Типичным примером полной нумерации, давшим повод к введению поня-
понятия полноты нумерации, является клиниевская нумерация множества всех
одноместных частично рекурсивных функций. Действительно, обозначим
через е один из номеров функции х, а через е' один из номеров, например,
функции х + 1. Согласно теореме рекурсии (Клини [2]) для каждой частич-
частично рекурсивной тернарной функции F (а, х, у) найдется такая примитивно
рекурсивная функция ф (а), что будет иметь место тождество F (а, ф (а), у) =
= U (ф (а), у), где U (х, у) — универсальная функция Клини такая, что п
есть клиниевский номер функции U (п, х).
Пусть п — клиниевский номер какой-нибудь заданной чр-функции
h (х) = U (п, х). Вводим функцию
F (a, x,y) = U (U (а, х), у).
Согласно указанной теореме рекурсии существует пр-функция ф (х), для
которой U (U (а, ф (а)), у) -= U (ср (а), у). Полагая ср (п) = т, имеем
U (т, у) = U (U (п, т), у), т. е. ут = yh (m), где у — клиниевская ну-
нумерация.
Теперь с помощью простого перевода рассуждений Роджерса [21] на язык
нумераций легко доказывается
Теорема 2.3.4. Пусть а — произвольная полная нумерация. Тогда
S) а имеет op-бесконечные смежные классы; Б) если а op-сводима с какой-
нибудь нумерации р, то а ор-односводима к Р; В) а —R'-устойчивая нуме-
нумерация (R' = ор, чр).
Пусть op-функция / (х) сводит акр. Согласно теореме 2.3.2 для доказа-
доказательства свойства Б) достаточно построить функцию Q (х, у), обладающую
описанными в указанной теореме свойствами. Для краткости будет указан
лишь регулярный процесс для вычисления значений функций Q (я, у).
Строим сначала вспомогательную функцию S (х, у), удовлетворяющую
требованиям
aS {х, у) = ах; f (S (х, у)) ф / E (х, z)) {у ф z). A7)
Полагаем по определению S (х, 0) = х и далее по индукции допускаем,
что для некоторого г значения S (х, 0), . . ., S (х, г) найдены и что требова-
требования A7) для у, z = 0, . . ., г выполнены. Вводим одноместные частично
6 Заказ Н 357 ^

162 Конструктивные алгебры, I
рекурсивные функции
х, если f(tm{f(S(x,O)),...,f(S{x,r))),
в противоположном случае;
\ если f{f)e{f(S(x,O)),...,f(S(x,r))},
2 ^ ' \ е в противоположном случае.
Теперь, зная клиниевский номер функции / (х) и числа S (х, 0), ...
• . ., S (х, г), находим клиниевские номера пг, п2 функций hx, h2 и с помо-
помощью ф вычисляем тг = <р (щ), т2 = ф (тг2), где ф — общерекурсивная
функция, упоминающаяся в определении полноты нумерации.
Если / (щ) Ш {/ (S (х, 0)), . . ., / (S (х, г))}, то полагаем S (х, г + 1) =
= тх. Из соотношения ah1(m1) = am1 имеем ат1 = ах и потому
S (х> г + 1) удовлетворяет требованиям A7).
Если / (тх) е {/ (S (я, 0)), . . ., / (S (х, г))}, то полагаем S (х, г + 1) ==
= т2. Из соотношения / (тх) = / (S (x, i)) следует, что ат1 =» а5 (д;, i)
@ ^ i ^ г) и, значит, атх = ах. Если бы теперь оказалось, что / (т2) =
в /E (я, /)) для некоторого /, 0 ^ / ^ г, то мы бы имели равенства ае' =
= ani2j== ах, противоречащие условиям ах = ае, ае ^= а^'. Таким образом,
/ (т2) е {/ (S (х, 0)), . . ., / (S (х, г))}, причем ат2 = ае = ах. Следова-
Следовательно, и в рассматриваемом втором случае выбранное для S (#, г + 1)
значение удовлетворяет требованию A7).
Функция S (х, у) построена. Из регулярности процесса построения
функции S (х, у) следует ее общерекурсивность.
Так как aS (х, у) = ах и S (х, у) ф S (x, z) для у Ф z, то нумерация а
имеет op-бесконечные классы. С другой стороны, функция Q (х, у) =
= / (S (х, у)) удовлетворяет требованиям теоремы 2.3.2 и потому a R-
односводима к E. Наконец, если не только а к р, но и Р R'-сводима к а и
Dp есть R'-множество, то из R'-бесконечности смежных классов нумерации
а следует R'-односводимость р к а, а отсюда в силу следствия теоремы 2.2.2
вытекает, что a R'-изоморфна р. Тем самым все утверждения теоремы 2.3.4
доказаны.
Выше было установлено, что обычная гбделевская нумерация множества
одноместных частично рекурсивных функций полная. Поэтому в качестве
частного случая теоремы 2.3.4 имеем
Следствие (теорема Роджерса [211). Каждая нумерация совокупно-
совокупности одноместных частично рекурсивных функций, имеющая рекурсивно пе-
перечислимое номерное множество и чр-эквивалентная гёделевской нумерации^
чр-изоморфна гёделевской нумерации.
Каждой одноместной частично рекурсивной функции /п (х) отвечает
рекурсивно перечислимое множество соп, являющееся совокупностью всех
значений функции /п (х). Если п — гёделевский номер функции /п (х), то п
называется гёделевским номером множества соп. Из полноты гбделевской
нумерации частично рекурсивных функций очевидным образом вытекает
полнота соответствующей гёделевской нумерации рекурсивно перечисли-
перечислимых множеств. Поэтому указанная теорема Роджерса справедлива и для
гёделевской нумерации рекурсивно перечислимых множеств.
Нижеследующая теорема была доказана X. Райсом [18] для гбделёвской
нумерации рекурсивно перечислимых множеств и после передоказана
В. А. Успенским [22] для нумерации частично рекурсивных функций.

Копструктивные алгебры, I 163
Теорема 2.3.5. Каждое множество А, имеющее полную нумерацию а,
додержит лишь два общерекурсивных относительно а подмножества: само
множество А и пустое подмножество 0.
Иначе говоря, любое непустое и отличное от D множество М натураль-
натуральных чисел заведомо нерекурсивно, если оно вместе с номером произвольного
элемента aGi содержит все номера этого элемента.
Допустим, напротив, что указанное множество М рекурсивно. &Тогда
его дополнение М' также рекурсивно. Из бесконечности смежных классов
полных нумераций следует, что М ж М' бесконечны. Пусть М есть совокуп-
совокупность значений унивалентной общерекурсивной функции g (х), а М' — со-
совокупность значений унивалентной общерекурсивной функции h(x). Опреде-
Определяем функцию / (х) условиями
ф (х) = \xi ( | х — g (i) | • | x — h (i) [ = 0),
/ (x) = g (ф (x)) sg | x — h (ф (x)) | + h (ф (х)) sg | x — g (ф (х)) | .
Функция / (х) общерекурсивная и для любого т имеем a f (m) =f= am
вопреки предположенной полноте нумерации а.
Теореме 2.3.5, очевидно, можно придать следующую форму: каждый
общерекурсивный одноместный предикат, определенный на множестве с пол-
полной нумерацией, является постоянным.
В определении полноты нумерации требуется не только разрешимость
уравнения а/ (т) = am для каждой общерекурсивной функции /, но и су-
существование алгоритма для нахождения решения. Если требовать только
существование решения, то нумерацию можно называть формально полной.
В доказательстве теоремы 2.3.5 используется только такая формальная пол-
полнота, и потому теорема справедлива для любых формально полных нумераций.
Говорят (Пост [17]), что всюду определенная функция / (х) сводит множе-
множество натуральных чисел М к множеству N, если для каждого натурального х
Множество М называется сводимым к N, если существует op-функция, сво-
сводящая М к N. Если М сводимо к N, а N к М, то говорят, что М рекурсив-
рекурсивно эквивалентно N. Наконец, М называется рекурсивно изоморфным N,
если существует op-функция f(x), взаимно однозначно отображающая на-
натуральный ряд на себя и переводящая М в N
Чтобы установить связи этих понятий с соответствующими понятиями
теории нумераций, рассмотрим фиксированное двухэлементное множество
А, элементы которого условно обозначим И ж Л. Каждому множеству^М
ставим в соответствие нумерацию а множества А9 полагая
{И, если п ЕЕ М,
«//, если пе=:М.
Ясно, что понятия рекурсивной сводимости, эквивалентности и изомор-
изоморфизма множеств означают то же самое, что и понятия общерекурсивной сво-
сводимости, эквивалентности и изоморфизма соответствующих нумераций мно-
множества {И, Л}. Поэтому каждую теорему о нумерациях можно в качестве
частного случая сформулировать и как теорему о сводимости или рекурсив-
рекурсивном изоморфизме множеств. Например, из теоремы 2.2.2 этим способом по-
получается известная

164 Конструктивные алгебры, I
Теорема 2.3.6 (Майхил [14]). Если множества М и N рекурсивно од-
носводимы друг к другу, то они рекурсивно изоморфны.
Далее, временно условимся говорить, что множество М эффективно
бесконечно, если М содержит бесконечное рекурсивно перечислимое под-
подмножество. Нумерация, отвечающая множеству М, очевидно, тогда и только
тогда имеет op-бесконечные классы, когда М и его дополнение М' эффектив-
эффективно бесконечны. Из следствия 2 теоремы 2.3.2 теперь выводим, что если эф-
эффективно бесконечные множества с эффективно бесконечными дополнениями
рекурсивно эквивалентны, то они рекурсивно изоморфны.
Согласно А. А. Мучнику [13], система числовых множеств <М1, . . .
. . ., Mhy называется сводимой к системе <i\Tlf . . ., Nky, если существует
такая op-функция / (я), что
Аналогично определяются понятия односводимости, рекурсивной эквива-
эквивалентности и рекурсивного изоморфизма систем множеств.
Вводим вспомогательное множество Ak, элементы которого обозначим
символами Ио, И19 . . ., Ик. Каждой системе попарно не пересекающихся
множеств <МХ, . . ., Mhy ставим в соответствие простую нумерацию а
множества <Ак9 определяемую условиями
Г Иь если п ЕЕ МгA = 1, .. ., к),
аП=={И0, если n^M1\jMl\J...\JM1t.
Ясно, что рекурсивные сводимость, эквивалентность, изоморфизм систем
множеств при таком определении будут равносильны рекурсивным своди-
сводимости, эквивалентности и изоморфизму соответствующих нумераций множе-
множества Ah при условии, что множество Z>\ (J Мг не пусто. Системы, удовлет-
удовлетворяющие последнему условию, назовем обычными. Для необычных систем
в качестве множества Ah достаточно брать систему {И19 . . ., Ик). Из тео-
теоремы 2.2.2, примененной к нумерациям системы Ak~ непосредственно полу-
получается
Теорема 2.3.7. Рекурсивно одноэквивалентные системы непересекаю-
непересекающихся множеств рекурсивно изоморфны.
Это — небольшое усиление теоремы 1 из цитированной статьи А. А. Муч-
Мучника.
Ясно, что и теорему 2.2.2 в ее общей формулировке можно понимать как
теорему об изоморфизме произвольных, конечных и бесконечных систем
множеств.
§ 3. Нумерованные алгебры
3.1. R-нумерации алгебраических систем. Пусть задана некоторая ал-
алгебраическая система (см. п. 1.1):
где а19 . . ., ak — выделенные элементы, fl9 . . ., ft — операции, gl9 ...
• • •» gm — частичные операции и Р19 . . ., Рп — предикаты, определенные
на ос новном множестве А. Присоединяя к % еще какую-нибудь нумерацию
а мн ожества А, получим более сложный объект, который будем называть
нуме рованной алгебраической системой. Обычные, ненумерованные алгебраи-

Конструктивные алгебры, I 165
ческие системы условимся иногда называть абстрактными алгебраическими
системами. Введенные в п. 1.1 гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраиче-
алгебраических систем также иногда будем называть абстрактными, чтобы отличить их
от определяемых ниже изоморфизмов и гомоморфизмов, связанных с нумера-
нумерациями систем.
Нумерацию а системы 9t условимся называть R-нумерацией; если все
основные операции и предикаты системы 9t будут соответственно R-onepa-
циями и R-предикатами на основном множестве А, рассматриваемом с ну-
нумерацией а.
Понятия R-отображения, R-мономорфизма, R-эквивалентности и т. д.,
введенные в п. 2.1 для нумерованных множеств, мы распространим теперь
на нумерованные алгебраические системы следующим образом.
Рассмотрим какие-либо две однотипные нумерованные алгебраические
системы 3t, 95, основные множества которых А, В пусть имеют нумерации
аир. Гомоморфизм % в 95, являющийся в смысле п. 2.1 R-отображением
А в В, будем называть R-гомоморфизмом 91 в 95.
Абстрактный изоморфизм 9t на 95, являющийся R-гомоморфизмом, будет
называться R-мономорфизмом 9t на 95. Абстрактный изоморфизм 9t на 95,
являющийся R-эквивалентным отображением множества А на множество
В, будет называться R-эквивалентностью системы 91 на систему 95. Анало-
Аналогично этому R-униморфизмом и R-изоморфизмом системы 91 на систему 95
будет называться абстрактный изоморфизм 91 на 95, являющийся соответст-
соответственно R-униморфизмом или R-изоморфизмом множества А на множество В.
Алгебраические системы 91, 95 называются R-эквивалентными, если су-
существует R-эквивалентное отображение 31 на 95. Системы 91, 95 будут
называться R-изоморфными, если существует R-изоморфизм 9t на 95.
R-эквивалентность и R-изоморфизм систем — центральные понятия
теории нумерованных алгебраических систем. О значении этих понятий мож-
можно повторить то же, что было сказано в п. 2.1 относительно соответствующих
понятий для нумерованных множеств. Именно, если интересоваться только
чисто алгебраическими свойствами нумерованных систем, «одинаковыми»
следует считать эквивалентные системы. Если же интересоваться не только
чисто алгебраическими свойствами нумерованных систем, но и свойствами
их нумераций, то «одинаковыми» следует считать изоморфные системы.
Определения мономорфизма, эквивалентности и других аналогичных
понятий для алгебраических систем выбраны так, что все теоремы п. 2.1,
относящиеся к нумерованным множествам, остаются в силе и для нумерован-
нумерованных алгебраических систем. В частности, из теоремы 2.1.5 непосредственно
вытекает такая
Теорема 3.1.1. Если нумерованная алгебраическая система 91, имею-
имеющая R-нумерацию, ^-эквивалентна нумерованной алгебраической системе 95,
то нумерация 95 является также "R-нумерацией.
По аналогии с позитивно и негативно нумерованными множествами
нумерованную алгебраическую систему % назовем позитивно или негатив-
негативно нумерованной, если ее нумерация является позитивной, соответственно
негативной чр-нумерацией основного множества А.
Из следствия теоремы 2.1.5, указанного в п. 2.1, непосредственно полу-
получается, что если из двух чр-эквивалентных алгебраических систем, имеющих
рекурсивно перечислимые номерные множества, одна является позитивной
или негативной, то другая система также будет позитивной или соответст-
соответственно негативной.

166 Конструктивные алгебры, I
Далее, если нумерованная алгебраическая система позитивна или нега-
негативна, то каждая чр-изоморфная ей система также будет позитивной или соот-
соответственно негативной.
Чтобы иметь возможность непосредственно пользоваться результатами
п. 2.2 и п. 2.3 при изучении нумерованных алгебраических систем, введем
еще одно понятие.
Пусть задан абстрактный изоморфизм ср алгебраической системы 31 с
нумерацией а на какую-нибудь алгебраическую систему 95. Определяем те-
теперь нумерацию р системы 95, полагая D $ ~ Da и
A8)
т. е. полагая
Р — фа.
Нумерацию Р будем называть нумерацией а, перенесенной цри помощи ф
из % в 95. Формула A8) показывает, что отображение ф относительно ну-
нумераций аир является примитивно рекурсивным изоморфизмом системы
%£ на систему 25.
Для краткости введем символ Q, который будет принимать значения:
моно, экви, уни и изо. Таким образом, выражение Q-морфно будет означать
для нумерованных множеств (для нумераций): мономорфно (сводима), экви-
эквивалентно (эквивалентна), униморфно (односводима), изоморфно (изоморфна).
Пусть теперь нам задан некоторый абстрактный изоморфизм ф алгебраи-
алгебраической системы 95 с нумерацией р' на какую-то алгебраическую систему 3(
с нумерацией а. Перенося нумерацию Р' при помощи ф из] 95J в Э(, полу-
получим новую нумерацию
р = <рр'
системы Э(. Таким образом, абстрактная алгебраическая система % может
рассматриваться в двух аспектах: как алгебраическая система Э(а с нуме-
нумерацией а и как алгебраическая система ЗЦ с нумерацией р. Легко видеть,
что изоморфизм ф тогда и только тогда есть RQ-морфизм 95 на 91, когда
нумерация Р множества А RQ-морфна нумерации а множества А.
Отсюда непосредственно вытекает такое следствие. Пусть 3ta — неко-
некоторая абстрактная алгебраическая система 31, взятая с какой-то нумерацией
а, ЗЦ — та же система 3t, но взятая с иной нумерацией р. Система 3ta
тогда и только тогда RQ-морфна системе Э(р, когда нумерация фа основно-
основного множества А RQ-морфна нумерации р, где ф — подходящий абстракт-
абстрактный автоморфизм системы 31.
Это следствие можно представить в виде иного утверждения, которое мы
для удобства ссылок сформулируем в качестве теоремы.
Теорема 3.1.2. Пусть заданы автоморфизм ф некоторой абстрактной
алгебраической системы 9t и какая-либо ее нумерация а. Перенося а при
помощи ф, получим новую нумерацию фа системы 31. Для того чтобы систе-
система 3tcpa была RQ-морфна системе Э(а, необходимо и достаточно, чтобы
автоморфизм ф был ^Щ-морфизмом системы 3ta на себя.
Эта теорема и предшествующие ей замечания позволяют сделать некото-
некоторый обзор всех алгебраических систем, которые можно получить из данной
абстрактной системы, вводя в нее различные нумерации.
Рассмотрим какую-нибудь нумерацию а системы 3t. Как найти все те
нумерации р системы 3t, чтобы ЗЦ была R-эквивалентна Э(а?

Конструктивные алгебры, I 167
Ответ следующий. Обозначим через Еа множество всех нумераций мно-
множества А, R-эквивалентных а, и пусть iVa — совокупность всех тех нумера-
нумераций 9t, которые получаются из нумераций, принадлежащих совокупности
Еа, путем переноса их всевозможными автоморфизмами 9t. Тогда Na и
будет множеством всех тех нумераций р, при которых 9tp R-эквивалентна 9(a.
Множество Na распадается на классы R-эквивалентных нумераций.
Теорема 3.1.2 позволяет добавить несколько подробностей относительно
этих классов. Именно, пусть @ — группа всех абстрактных автоморфизмов
%. ®е — совокупность автоморфизмов 9t, являющихся R-эквивалентны-
ми отображениями 9ta на себя. Подгруппа ®е инвариантна в @ и классы
R-эквивалентных нумераций, на которые распадается Na, взаимно однознач-
однозначно соответствуют смежным классам @ по ©е.
Аналогичные утверждения можно сделать и относительно нумераций си-
системы 9t, делающих из 9( R-изоморфные алгебраические системы.
Пример 10. Пусть 9t — алгебра с основным множеством
А = {а0, alf . . .} (at ф aj для i ф j)
и операцией умножения *
я™ * ап = Яп ("*, п = 0, 1, . . .)•
Очевидно, 91 — полугруппа, причем любое одно-однозначное отображение
А на себя есть автоморфизм 9(. Отсюда следует, что любые две простые од-
однозначные нумерации А обращают 91 в примитивно рекурсивно изоморфные
нумерованные полугруппы.
Рассмотрим теперь какую-нибудь функцию ц>(х), не являющуюся общере-
общерекурсивной и одно-однозначно отображающую натуральный ряд на себя.
Вводим простые нумерации a, p полугруппы 9(, полагая
an = ап, Рлг = ацП) (и ЕЕ D).
Нумерации а, р не являются чр-эквивалентными, хотя полугруппы 9(а
и 9t p пр-изоморфны.
Нумерованная алгебраическая система 91 имеет вполне определенную
структуру, если заданы номерное множество Da, эквивалентность 0а и функ-
функции, реализующие основные операции и предикаты системы в координатной
форме. В зависимости от того, являются ли эти множество, эквивалентность,
предикаты и операции частично обще- или примитивно рекурсивными, естест-
естественно выделить следующие классы нумерованных алгебраических систем.
а. Нумерованная алгебраическая система называется позитивной (не-
(негативной), если ее нумерация частично рекурсивна и позитивна (негативна).
Из замечаний, приведенных в конце п. 2.1, следует, что нумерованная
алгебраическая система, чр-изоморфная позитивной или негативной системе,
сама позитивна или соответственно негативна. Далее, если алгебраическая
система с рекурсивно перечислимым номерным множеством чр-эквивалентна
позитивной (негативной) системе, то она сама позитивна (негативна).
Из теоремы 2.2.1 вытекает также, что каждая позитивная (негативная)
алгебраическая система чр-изоморфна позитивной (негативной) алгебраиче-
алгебраической системе с простой нумерацией.
б. Нумерованная алгебраическая система будет называться общерекур-
общерекурсивной, если ее номерное множество Da рекурсивно перечислимо, а экви-
эквивалентность 6а, основные операции и предикаты общерекурсивны.

168 Конструктивные алгебры, I
Из теоремы 3.1,1 следует, что если одна из двух op-эквивалентных алгеб-
алгебраических систем, обладающих рекурсивно перечислимыми номерными
множествами, является обще рекурсивной, то другая система также обще-
рекурсивна.
Из той же теоремы 3.1.1 и теоремы 2.1.1 вытекает, что каждая алгебраи-
алгебраическая система, общерекурсивно изоморфная общерекурсивной системе, сама
является общерекурсивной.
в. Нумерованную алгебраическую систему Э( условимся называть кон-
конструктивной, если ее нумерация а, номерное множество Da. и эквивалент-
эквивалентность 0а общерекурсивны.
Снова из теоремы 3.1.1 следует, что если одна из двух ор-эквивалентных
алгебраических систем с общерекурсивными номерными множествами яв-
является конструктивной, то другая также конструктивна. Кроме того, со-
согласно теореме 2.1.2 чр-изоморфизм и чр-эквивалентность одной конструк-
конструктивной системы на другую являются вместе с тем и op-изоморфизмом и соот-
соответственно ор-эквивалентностью.
Теорема 3.1.3. Каждая бесконечная конструктивная алгебраическая
система op-изоморфна конструктивной алгебраической системе с простой
нумерацией и op-эквивалентна подходящей конструктивной алгебраической
системе с однозначной простой нумерацией.
Каждая бесконечная конструктивная алгебраическая система с однозначг
ной нумерацией op-изоморфна конструктивной алгебраической системе с од-
однозначной простой нумерацией.
Пусть Da — номерное множество системы 5t. По предположению экви-
эквивалентность 0а общерекурсивна и число классов DJQa бесконечно. В силу
теоремы 2.3.1 нумерация а op-эквивалентна подходящей простой однознач-
однозначной нумерации у множества А. Поэтому система 5ta op-эквивалентна кон-
конструктивной системе 3tY» имеющей требуемую простую однозначную нуме-
нумерацию.
Остается проверить первое и третье утверждения теоремы. Для этого
обозначим через ф (х) унивалентную op-функцию, совокупность значений
которой равна Da, и введем нумерацию Р системы 5t, полагая
Рт — гугп (г\ (г ^^ Г)\
Теперь, полагая
— /У'\ лрптт гр г ТЛ
если x^Dai,
получим op-функцию, дающую обратное отображение Da на D. Таким обра-
образом, нумерации аир op-изоморфны и, значит, по сделанному выше замеча-
замечанию алгебра 9ta op-изоморфна 91р и потому ЗЦ конструктивна. Если нуме-
нумерация а однозначна, то, очевидно, нумерация Р также однозначна, что и тре-
требовалось.
Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что с точностью до общере-
общерекурсивной эквивалентности все бесконечные конструктивные алгебраиче-
алгебраические системы исчерпываются системами, у которых основное множество
состоит из всех натуральных чисел, основными операциями служат обще-
общерекурсивные функции; частичными операциями служат частично рекурсив-
рекурсивные функции с рекурсивной областью определенности, а основными преди-
предикатами служат предикаты, определенные на натуральном ряде, характери-
характеристические функции которых общерекурсивны.

Конструктивные алгебры, I 169
г. Наконец, нумерованную алгебраическую систему условимся называть
примитивно рекурсивной, если она имеет однозначную примитивно рекурсив-
рекурсивную нумерацию, номерное множество которой также примитивно рекурсивно.
Согласно теореме 3.1.1, если одна из двух пр-эквивалентных алгебраи-
алгебраических систем, имеющих простые нумерации с примитивно рекурсивными но-
номерными множествами, является примитивно рекурсивной, то вторая система
также примитивно рекурсивна.
Из определения «г» видно, что с точностью до пр-изоморфизма каждую
примитивно рекурсивную алгебраическую систему можно мыслить как систе-
систему, имеющую примитивно рекурсивное основное множество, основные опера-
операции и предикаты которой являются примитивно рекурсивными функциями и
предикатами, определенными на указанном числовом множестве.
3.2. Подсистемы. Рассмотрим произвольную нумерованную алгебраиче-
алгебраическую систему % с нумерацией а. Пусть 95 — абстрактная подсистема в % с
основным множеством В. Обозначая через D $ совокупность всех а-номеров
элементов В и вводя нумерацию
$п == an (nEE D$),
мы обратим 95 в нумерованную алгебраическую систему, которая будет
называться нумерованной подсистемой системы 3t. Так как все функции,
представляющие в координатной форме основные операции и предикаты си-
системы 3t, будут одновременно представлять основные операции и предика-
предикаты подсистемы 95 в нумерации р, то если а есть R-нумерация системы ЭД,
то р будет R-нумерацией подсистемы 35 (R = чр, ор, пр).
Подсистему 95 системы 9t будем называть R-подсистемой, если основное
множество В подсистемы 95 есть R-подмножество множества А с нумера-
нумерацией а.
Отметим, что согласно терминологии, принятой в предыдущем и данном
пунктах, R-подсистема нумерованной системы может и не быть R-системой.
Например, пусть номерное множество Da не содержит бесконечных абсолют-
абсолютных чр-подмножеств, но пересечение Da с подходящим op-множеством пусть
бесконечно. Определяя на Da уже упоминавшееся умножение
мы обратим Da в полугруппу. Тогда С f] Da будет ор-подсистемой в Da,
но не будет op-системой в смысле п. 3.1, б, так как номерное множество
С (~\ Da этой системы не рекурсивно перечислимо.
Однако легко проверить; что пр-подсистема пр-системы есть пр-система,
op-подсистема конструктивной или общерекурсивной системы конструктивна
или соответственно общерекурсивна и что рекурсивно перечислимые подсисте-
подсистемы позитивных (негативных) систем суть позитивные (негативные) системы.
Отметим еще, что каждая общерекурсивная нумерованная система чр-
изоморфна конструктивной системе.
В самом деле, номерное множество Da системы % по условию рекурсивно
перечислимо. Согласно теореме 2.2.1 существует простая нумерация Р ос-
основного множества А системы 9t, ор-униморфная нумерации а. Пусть 3(р —
система 9t, взятая с нумерацией р. Поскольку основные операции и предика-
предикаты системы 3tp, в том числе и отношение равенства, переходят при упомя-
упомянутом униморфизме в op-операции и op-предикаты на %а, то такими же со-
согласно теореме 2.1.4 эти операции и отношения будут и на 9(р, что и требова-
требовалось доказать.

170 Конструктивные алгебры, I
Теорема 3.2.1. Пусть М — абсолютное рекурсивно перечислимое
подмножество номерного множества Da алгебраической системы Э(, имею-
имеющей чр-нумерацию а. Подсистема 9Ю, порожденная ё % элементами множе-
множества аМ, есть а-образ подходящего абсолютно рекурсивно перечислимого
подмножества Т номерного множества Da.
Пусть /1? . . ., fp — последовательность всех (как всюду определенных,
так и частичных) основных операций системы 51. По условию существуют
частично рекурсивные функции Fl9 . . ., Fp, удовлетворяющие условию
aFi {хг,..., хп.) = fi {ахъ ..., ахп.) (хг,..., хщ е Ах, i = 1,..., р),
где из определенности одной части равенства следует определенность дру-
другой части. Обозначим через Fo (x) op-функцию, совокупность значений кото-
которой равна М. Рассмотрим теперь все термы, составленные из предметных сим-
символов Fo @), Fo A), . . . и функциональных символов Fl9 . . ., Fp.
Стандартной нумерацией указанных термов назовем следующую нумера-
нумерацию, обычно называемую также гёделевской нумерацией. Номером терма
Fo (п) (п = 0, 1, 2, . . .) называем число Зп. Далее нумерация ведется по
индукции. Пусть термы а1? . . , ani уже получили некоторые номера
Nui, . . , Nanv Тогда для терма Ft (at, . . ., ani) по определению полагают
NFt (их,..., <ц) = 2i+1^ai ... Рп*щ (Pl = 3, Рг = 5, Рз = 7,.. .)• A9)
Поскольку каждый предметный символ и каждый функциональный сим-
символ у нас имеют вполне определенные значения, то каждый терм также либо
имеет определенное значение, либо значение его не определено. Последний
случай можетJHMeTb место, так как среди функций Ft могут быть частичные.
Вводим функцию Н(п), полагая Н (п) равным значению терма номера п.
По предположению все функции Ft частично рекурсивны и, значит, су-
существуют регулярные процессы для вычисления значений каждой функции
Ftk Но тогда существует и регулярный процесс для вычисления значений
каждого терма по его номеру. Это значит,, что функция Н (х) частично ре-
курсивна|и^отому совокупность всех ее значений есть примитивно рекур-
рекурсивное множество. Это множество мы обозначим через Т. Остается лишь
проверить, что аТ есть искомая подсистема системы 31, порожденная мно-
множеством <хМ. Но это очевидно, так как из равенства A9) следует, что значе-
значение каждого из рассмотренных термов равно значению соответствующего
терма, составленного из символов основных операций/$ и символов элементов
aFQ (га) ^порождающего множества.
В доказанной теореме утверждается, что порожденная подсистема ЗЯ
есть а-образ]рекурсивно перечислимого подмножества номерного множества.
Это еще не дает права утверждать, что SR — рекурсивно перечислимая под-
подалгебра, так как последнее означает, что рекурсивно перечислимо множество
всех номеров элементов 9Ю, а не только тех, которые получаются при помощи
термов. Однако следующее простое замечание показывает, что в большинстве
важных случаев рекурсивная перечислимость 9Ю имеет место и в смысле
первоначального определения.
Замечание. 1. Если множество А имеет позитивную нумерацию а,
то а-образ каждого рекурсивно перечислимого подмножества М номерного
множества Da есть рекурсивно перечислимое подмножество А.
Нам надо установить рекурсивную перечислимость совокупности N
всех а-номеров элементов множества аМ. По условию множество всех пар

Конструктивные алгебры, I 171
0а-эквивалентных чисел из Da можно представить в виде<ф (t),ty (ф (t==
= 0, 1, . . .), гДе Ф (О» 'Ф @ — примитивно рекурсивные функции. Пусть М
есть совокупность значений примитивно рекурсивной функции % (t). Тогда
N будет совокупностью тех значений х, для которых система х = ф (и),
'Ф (и) = X (v) имеет решение <х, и, г?>. Следовательно, N рекурсивно пере-
перечислимо.
Объединяя замечание 1 и теорему 3.2.1, получаем такое
Следствие. Если алгебраическая система 3t с нумерацией а пози-
позитивна, то а-образ каждого рекурсивно перечислимого подмножества номерного
множества системы Da порождает рекурсивно перечислимую подсистему в 3t.
Выше указывалось, что каждая рекурсивно перечислимая подсистема
общерекурсивной системы чр-изоморфна общерекурсивной системе. Поэтому
подсистемы общерекурсивных систем, порожденные рекурсивно перечис-
перечислимыми подмножествами, частично рекурсивно изоморфны обгцерекурсив-
ним системам.
ПримерН. Термальные подсистемы. Пусть 31 — алгебраическая сис-
система с основными операциями fx, . . , fq, среди которых некоторые могут
быть частичными. Рассмотрим вспомогательную систему символов х19х2У. . .
и обозначим через Т множество некоторых термов, образованных из предмет-
предметных символов хг, х2,. . . и функциональных символов А,.. , /д. Совокупность
значений, которые принимают термы из Т, когда переменные хх, х2,. . . не-
независимо друг от друга пробегают все основное множество А системы Й,
обозначим через U. Подсистема 3R системы 9t, порожденная в 91 элемента-
элементами совокупности U, называется термальной (вербальной) подсистемой, оп-
определяемой в 31 термами множества Г.
Если переменные хх, х2,. . . заставить пробегать не все основное множество
А, а только его часть В, и совокупность значений термов из Т, Которые они
будут принимать при таком процессе, обозначить через V, то подсистема 91
системы ty, порожденная элементами F, будет называться термальной под-
подсистемой, определяемой термами из Т при переменных, пробегающих В.
Выше было введено понятие стандартной нумерации термов. Это понятие
мы распространим и на термы множества Т. Для этого условимся число
Зг называть номером терма хи а далее будем следовать указанному выше
индуктивному правилу A9).
Множество термов Т условимся называть рекурсивно перечислимым, ес-
если рекурсивно перечислимо множество номеров термов из Т. Теперь, повто-
повторяя дословно изложенные выше рассуждения, приходим к следующему обоб-
обобщению теоремы 3.2.1.
Замечание 2. Пусть М — абсолютное рекурсивно перечислимое
подмножество номерного множества Da алгебраической системы 9t, имею-
имеющей чр-нумерацию а, и пусть Т — рекурсивно перечислимое множество тер-
термов, составленных из переменных хх, х2,. . . и функциональных знаков сис-
системы 9t. Тогда термальная подсистема 31, определяемая термами из Т при
переменных, пробегающих множество аМ, есть а-образ подходящего аб-
абсолютно рекурсивно перечислимого подмножества номерного множества.
В частности, термальная подсистема позитивной алгебраической системы,
определяемая рекурсивно перечислимым множеством] термов, является сно-
снова позитивной системой.
Отметим также следующий еще более частный случай: термальная под-
подсистема общерекурсивной системы, определяемая рекурсивно перечислимым
множеством термов, чр-изоморфна общерекурсивной системе.

172 Конструктивные алгебры, I
Как известно, термальная подгруппа группы @, определяемая термом
(х, у) = х~ху~^у, называется первым коммутантом группы &; термальная
подгруппа, определяемая термом ((хг, х2), (х31 #4)), называется вторым ком-
коммутантом группы и т. д. С другой стороны, термальная подгруппа, определяе-
определяемая термом ((#!, х2), х3), есть второй член нижнего центрального ряда группы
@, термальная подгруппа, определяемая термом (((#!, х2), х3), #4), есть тре-
третий член нижнего центрального ряда и т. п. Аналогичные понятия вводятся
также в теории колец.
Согласно указанной выше теореме и относящимся к ней замечаниям по-
последовательные коммутанты и члены нижнего центрального ряда общере-
общерекурсивной нумерованной группы являются также общерекурсивными груп-
группами.
3.3. Гомоморфизмы и конгруэнтности. Начиная с этого места далее рас-
рассматриваются не общие алгебраические системы, а лишь алгебры. Как уже
говорилось, однозначное отображение ф основного множества А алгебры 9t
на основное множество В однотипной алгебры 35 называется гомоморфиз-
гомоморфизмом 9t на 95, если имеют место соотношения
фД (иг, ..., ип.) - gi {щъ ..., уип.) (иъ ..., ип. е А), B0)
где fi и gt — основные операции указанных алгебр. Конгруэнтностью, от-
отвечающей гомоморфизму ф, называется отношение а, определенное на мно-
множестве А условием
uov 44 q>u = ери (и, v €Е А). B1)
Известно, что отношение о рефлексивно, симметрично и транзитивно
и что, кроме того, оно удовлетворяет требованию
u1ov1 &...& uni<wn.=^fi (иа,..., ип.) afi (иъ .. ., у„.) (i = 1, 2,]...). B2)
Обратно, каждое бинарное отношение а на А, рефлексивное, симметрич-
симметричное, транзитивное и удовлетворяющее требованию B2), называется конгруэнт-
конгруэнтностью на 9t.
Зная какую-нибудь конгруэнтность а на 9t, мы можем разбить А на клас-
классы элементов, находящихся между собой в отношении а, и совокупность
Ala всех этих смежных классов обратить в алгебру, полагая
.., KD = lfi(ul9..., ип.)] (i = 1, 2,...), B3)
где через [и] обозначен класс, содержащий элемента ЕЕ А. Из условий B2/
следует, что определенные формулами B3) операции /f на Ala однозначны
и что отображение ф : и ->• [и] алгебры 9t на алгебру %1а является гомо-
гомоморфизмом, имеющим сг своей конгруэнтностью. Отображение ф называется
каноническим гомоморфизмом % на %1а.
Пусть теперь алгебра % нумерованная, имеющая нумерацию а. Опре-
Определяя нумерацию а* фактор-алгебры %1а формулой
а*п = [an] (n e />а),
мы обращаем фактор-алгебру %1а в нумерованную алгебру. Если Ft (хг,. . .
. . ., xnj) — функции, выражающие в координатной форме основные опе-
операции fi (иг,. . ., uni) алгебры 9t, т. е. удовлетворяющие соотношениям
it (ах19 . . ,ахп.) = aFt (хг, . . , xnj,

Конструктивные алгебры, /J 173
то эти же функции будут выражать в нумерации а* основные! операции
фактор-алгебры 3t/o\ Следовательно, если а есть R-нумерация (R = пр, ор§
чр) алгебры 3t, то а* есть R-нумерация фактор-алгебры %1о.
Отношение эквивалентности 0а», отвечающее нумерации а* фактор-
алгебры 9t/or, представляется совокупностью пар <#, z/> чисел из Da, для ко-
которых а*х = a*z/, т. е. [ах] = [ау] или (ах) а (ау). Иначе говоря, отноше-
отношение 9а* представляется совокупностью тех же пар чисел, что и отношение
<т на А. Поэтому 9а* есть R-отношение тогда и только тогда, когда R-otho-
шением на А является конгруэнтность а.
Вернемся теперь к общей схеме. Пусть ф есть R-гомоморфизм алгебры 9t
с нумерацией а на некоторую алгебру 35 с нумерацией р. Обозначим через
а соответствующую конгруэнтность на 3t. Отображение ф индуцирует аб-
абстрактный изоморфизм
Ф* : [и] -+уи (и £= А)
фактор-алгебры %1о на алгебру 35. Функция Н (х), представляющая ф
в координатной форме, т. е. удовлетворяющая соотношению ф (an) =
= р Н (/г), представляет, очевидно, и отображение ф*. Поэтому изоморфизм
<р* есть R-мономорфизм Ш/а на 35. Тем самым нами установлена следующая
Теорема 3.3.1. Каноническая нумерация а* фактор-алгебры %1о
от алгебры % с ^.-нумерацией а по конгруэнтности а есть R-нумерация,
имеющая то же номерное множество, что и нумерация а. Эквивалентность
6а* на %1а тогда и только тогда есть ^{-отношение, когда Л-отношением
на 9t является конгруэнтность о. Если ф есть R-гомоморфизм 9t на нумеро-
нумерованную алгебру Ж, то канонический изоморфизм S&/a на 9Э есть R-мономор-
R-мономорфизм.
Отметим, в частности, что фактор-алгебры позитивных (негативных)
алгебр по позитивным (негативным) конгруэнтностям сами позитивны (не-
(негативны). Далее, фактор-алгебра конструктивной (общерекурсивной) ал-
алгебры тогда и только тогда конструктивна (общерекурсивна),когда соответ-
соответствующая конгруэнтность общерекурсивна.
Из второй половины теоремы 2.1.1 теперь непосредственно получается
Теорема 3.3.2. Пусть алгебра 9t, имеющая рекурсивно перечислимое
номерное множество, чр-гомоморфно отображена на алгебру 9Э с позитивной
нумерацией. Тогда соответствующий канонический мономорфизм фактор-
алгебры на Ж является частично рекурсивной эквивалентностью.
Из этой теоремы и приведенных выше замечаний вытекает важное
Следствие. Каждая позитивная алгебра, являющаяся чр-гомоморфным
образом позитивной алгебры %, чр-эквивалентна фактор-алгебре алгебры %
по подходящей чр-конгруэнтности.
Аналогичные утверждения в силу тех же теорем 2.1.1 и 3.1.1 справедливы
и для конструктивных алгебр. А именно, если конструктивная алгебра 9t
отображена op-гомоморфно на конструктивную алгебру 35, то соответству-
соответствующий канонический мономорфизм 9t/or на 55 является ор-эквивалентностью,
а конгруэнтность о общерекурсивна на %.
Это показывает, что совокупность всех конструктивных ор-гомоморф-
ных образов заданной конструктивной алгебры с точностью до ор-экви-
валентности исчерпывается фактор-алгебрами алгебры по ее различным ор-
конгруэнтностям.
Выше рассмотрено задание гомоморфизмов посредством конгруэнтностей.
Конгруэнтность на алгебре % можно рассматривать как совокупность пар

. 174 Конструктивные алгебры, I
элементов алгебры 3t,, конгруэнтных друг другу. Однако в общей теории
алгебр обычно исследуют также возможность определять гомоморфизмы по-
посредством подмножеств просто элементов алгебры, а не их пар. Ниже указы-
указывается один общий род алгебр, в которых такое определение реализуется па
наиболее простой схеме.
Пусть К — какой-либо класс алгебраических систем вида A8) (из
д. 3.1). Рассмотрим произвольный терм а (хг,. . .,#5), составленный из инди-
индивидуальных предметных символов аг,. . ,ak, предметных переменных хг, . . *
. . .,xs и функциональных переменных Д,. . . , /z, gx, . . ., gm. Пусть 9t — ка-
какая-либо фиксированная алгебраическая система класса К. Тогда «значения»
символов аг,. . .,дЛ и Д,. . . , /j, gx,. .. , gm в терме й (х19. . ., х8) будут фикси-
фиксированными и каждым по произволу указываемым значениям переменных
хг в а будет отвечать значение терма а. Таким образом, терм а будет опре-
определять 5-местную операцию на каждой системе класса К. Операции, опреде-
определяемые на 91 термами, называются термальными или многочленными опера-
операциями.
Наряду с термальными операциями далее будет нужно рассматривать
операции немного более общего вида, которые будут называться квазитермаль-
квазитермальными. Именно, пусть Рг,. •. ,РП — основные предикатные символы класса
К; хг,. .. ,х8 — предметные переменные. Элементарными формулами назовем
выражения вида Pt (ах, . . , йг) и а = Ь, где ах, . .. , аг, й,Ь— термы, состав-
составленные из символов х19. . .,х5, «!,... ,afc, А, ... ,/„ ft, . . ., gm.
Выражение, составленное из элементарных формул с помощью конъюнк-
конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний по обычным правилам, будет называться от-
открытой формулой, а выражение, составленное из элементарных формул толь-
только с помощью конъюнкций и дизъюнкций, будет называться положительной
открытой формулой. Наконец, формула вида
(ЯУ1)... (Яг/О S (si, • • ■, ^ Уъ • •., Уд, B4>
где S fev • •» ^«> У it • • • » Уд — открытая формула с предметными перемен-
переменными #!,... ,х8, уц . •., уц будет называться Э-формулой. Если f — поло-
положительная открытая формула, то формула B4) будет называться полоши-
тельной Э-формулой.
Для каждых значений переменных хг,. .. ,х9 из основного множества ал-
алгебраической системы 9t формула B4) будет иметь одно из значений: истин-
истинно, ложно, неопределенно (в случае, если среди основных операций системы
9( есть частичные операции). Поэтому каждая Э-формула представляет оп-
определенный предикат (возможно, частично) на системе 91. Эти предикаты
назовем Я-предикатами.
Обозначим через Р (xv .. ,,xg) предикат, представляемый формулой B4).
Допустим теперь, что в любой алгебраической системе 31 класса К для каж-
каждых значений х±,. . . ^х^ существует не более одного значения для х8, пр»
котором предикат Р (х19... ,х8) будет истинен. Тогда, обозначая указанное
значение х$ через F (хг,. . ., #5-з), получим новую операцию на 91. Эта опера-
операция, вообще говоря, будет частичной операцией, но может оказаться, что
она будет и всюду определенной.
Операция G (xv .. .,^-х), определенная каким-нибудь способом на каждой
системе 9t класса К, называется открытой, положительной, Я-операцией,
если (?(#!,... ,#5-i) равна операции, получаемой указанным способом иа
формулы, являющейся соответственно открытой, положительной, Я-форму-

Конструктивные алгебры, I 175
лой. В частности, открытые и положительные операции называются квази-
квазитермальными на К. Характеристика их указана в [9].
Положительные 3-предикаты и Я-операции обладают следующим свой*
ством устойчивости относительно гомоморфизмов: для любого гомоморфизма
Ф алгебраической системы 31 класса К в алгебраическую систему 35 того же
класса К и любых положительных на К ^.-предиката Р (хг, . .., xs) и ^-опе-
^-операции F (#!, . . , ^s-x) для любых #!,..., xs из 9( имеем
Р (хъ ...,хя)=4>Р (ф%,..., <pxs),
причем в равенстве B5) из определенности левой части следует определен-
определенность правой.
Доказательство легко проводится индукцией по длине формулы fj.
В общей теории алгебраических систем важную роль играют предикаты
и операции, представляемые формулами, имеющими не только вид B4), но и
более общий вид (<?l2/l). . . (Qtyt) g (xl9 . .., xs, yv . . ., yt), где Q19 ...,& —
кванторы существования и всеобщности, идущие в произвольном порядке»
Нижеследующая теорема фиксирует особую роль Я-предикатов и Я-опера-
ций в теории конструктивных систем.
Теорема 3.3.3. Пусть алгебраическая система 9t имеет "R-нумера-
цию с рекурсивно перечислимым номерным множеством. Тогда а) каждый
открытый предикат и каждая термальная операция на % будут соответ-
соответственно R-предикатом и ^-операцией (R = пр,ор, чр); б) каждая всюду опреде-
определенная на 9t ^.-операция будет общерекурсивной в случае R = ор\ в) каждый
^-предикат и каждая частичная ^-операция на % будут частично рекурсив-
рекурсивными.
Все утверждения этой теоремы непосредственно вытекают из общеизвест-
общеизвестных свойств R-функций (см. [2]), и доказательства их мьг|опустим.
Теорема 3.3.4. Пусть на классе К алгебр существует положительная
^.-операция о, всюду определенная] на каждой алгебре класса К и удовлетво-
удовлетворяющая соотношениям
х о х = у о у, B6)
х о у = х о х=$> х = у B7)
для всех х, у из 9(. Тогда а) каждая конгруэнтность а на % однозначно опре-
определяется своим смежным классом, содержащим элемент е = х о х; б) кон-
конгруэнтность g тогда и только тогда является Л'-отношением на нумерован-
нумерованной алгебре 9t, имеющей W-нумерацию а с рекурсивно перечислимым номер-
номерным множеством, когда R'-множеством является смежный класс, содержащий
элемент е (R' = ор, чр); в) если операция о примитивно рекурсивна, то
примитивная рекурсивность конгруэнтности а равносильна примитивной
рекурсивности смежного класса, содержащего элемент е.
Обозначим через ф канонический гомоморфизм 91 на фактор-алгебру
tt/or. Так как операция о положительна, то она гомоморфно устойчива,
т. е. ф (а о Ъ) — ф<я о фй для а, 6еЗ(. Но аоЪ 4=$ wa = ф& и, значит,
в силу B6) и B7)
ааЪ =Ф- фа о фб = фа о ф^ =^ ф (а о &) = ф (а о а) =Ф (а о Ъ) ое.
Обратно,
(а о Ь) ое =$> ера о <рЬ = уа о ера *?$> <ра = фЬ.

176 Конструктивные алгебры, I
Таким образом, обозначая ] через [е] смежный класс по а, содержащий эле-
элемент е, имеем
ааЪ 4=» а о Ъ ЕЕ [е].
Тем самым утверждение а) доказано.
Чтобы доказать утверждение б), обозначим через d (x, у) R'-функцию,
представляющую операцию о в нумерации а. В силу теоремы 3.3.3 такая
функция заведомо существует. Пусть функция Е (х) представляет множество
[е] в нумерации а. Это значит, что ажЕ [е]44Е(х) = 1 для iGBa. Но тогда
функция Е (d (x, у)) будет представлять отношение а в нумерации а. По-
Поэтому если класс [е] есть R'-множество, то а есть R'-отношение. Обратно,
если функция S (х, у) представляет отношение а в нумерации а, то одно-
одноместная функция S (х, п), где п — какой-либо номер элемента е представляет
множество [е] и, значит, если а есть R'-отношение, то [е] есть R'-множество.
Эти же рассуждения годятся и для доказательства утверждения в).
В качестве частного случая теоремы 3.3.4 получаем: на группе (кольце)
с ^.-нумерацией конгруэнтность тогда и только тогда есть ^-конгруэнт-
^-конгруэнтность^ когда соответствующий нормальный делитель (идеал) есть ^-мно-
^-множество.
§ 4. Конечно порожденные алгебры
4.1. Общие конечно порожденные алгебры. Пусть 9t — алгебра с основ-
основными операциями ft (йг,. .., unj) (i = 1, . . . , s). Согласно п. 1.2 алгебра 3*
называется конечно порожденной, если существует, конечная система
аг, . . . ,aft элементов 9t, порождающая всю алгебру 3t. Считая а1У. .. ,ah
выделенными элементами алгебры 9t и внося символы аг, . . . , ak в сигнатуру
алгебры 9t, мы обратим 9t в алгебру типа <0,.. . , 0, пг, . .., nsy = т (см.
ш 1.1). Условие, что 9t порождается элементами аг, . . . , а8, теперь будет
означать,! что 9t не имеет! подалгебр типа т, отличных от а, т. е. что 9t есть
минимальная алгебра типа т.
Обозначим через Т совокупность всевозможных термов, составленных из
предметных символов а1?. .. ,ak и функциональных символов /1? . . .,/5.
Пусть <*!, . • ., ani — некоторые термы из Т. Рассматривая терм ft (а1э . . .
. . ., ani) как результат операции ft, выполненной над термами ах, • • м йпи
мы обратим Т в алгебру X типа т. Согласно п. 1.4 £ есть свободная алгебра
qo свободными порождающими a1? . . .,ak в классе всех алгебр типа т.
Вводим в Т нумерацию, называя номером терма й\ число З1 и полагая
далее по индукции
если номера термов а/ уже известны.
Определенную таким образом нумерацию алгебры % мы будем называть
стандартной нумерацией алгебры £ и обозначать ее символом у*. Номерное
множество Z)Y этой нумерации отлично от D. Однако легко проверяется, что
оно примитивно рекурсивно.
Из соотношения B8) видим, что операция ft в нумерации у* представляет-
представляется функцией у

Конструктивные алгебры, I 17T
Поскольку функции F^ . . . , Fs примитивно рекурсивны, то и нумерация 7*
примитивно рекурсивная. Кроме того, 7* является однозначной нумера-
нумерацией и, значит, алгебра £ вообще примитивно рекурсивна в смысле п. 3.2.
Обозначим через ф отображение £ на 9t, при котором терму а ЕЕ £
отвечает значение этого терма в 31. С помощью отображения ф переносим,
нумерацию у* на алгебру 9t, полагая
уп = ф G*я) (п е J9Y).
Отображение ф есть гомоморфизм % на % и потому функции Ft, представля-
представляющие основные операции алгебры £ в нумерации 7*» будут представлять и
основные операции алгебры 9( в нумерации 7. Таким образом, 7 является
примитивно рекурсивной нумерацией 9t. Эту нумерацию мы будем далее
называть стандартной нумерацией алгебры St.
Пусть а — конгруэнтность на £, отвечающая гомоморфизму ф. Согласно
вышеуказанным определениям канонический изоморфизм %1а на 9t обладает
тем свойством, что соответствующие элементы алгебр %1а и 9t имеют одина-
одинаковые номера.
Наряду со стандартной нумерацией иногда бывает удобно пользоваться/
еще одной нумерацией алгебры 9t, строящейся следующим образом. При-
Присоединим к числу основных операций алгебры 3t еще одну новую операцию
fs+i (u) = и. Обозначим через 9t0 алгебру 9t, обогащенную этой операцией,
и пусть £0 — соответствующая свободная алгебра. Так как основное мно-
множество у алгебр 9t и 9t0 одно и то же, то стандартная нумерация алгебры
9t0 будет одновременно и нумерацией алгебры St. Эту нумерацию мы будем,
обозначать 6 и называть расширенной стандартной нумерацией.
Стандартная нумерация может быть однозначной в случае, когда 2t —
свободная алгебра. Напротив, расширенная стандартная нумерация всегда
имеет бесконечные классы номеров. Действительно, если х—6-номер ка-
какого-нибудь элемента a Ez 3t, то число 2s+1p* будет б-номером элемента
/s+1 (а), т. е. того же самого элемента а. Функция 2S+1/?* примитивно рекурсив-
рекурсивная, поэтому примитивно рекурсивна и функция Q (х, у), определяемая схемой
Q (х, 0) = s, Ql(z, п + 1)|- 2S+V?(*'n).
Согласно сказанному, если х — 6-номер какого-либо элемента а е 3(, то*
числа Q (х, 0), Q (х, 1), ... будут 6-номерами того же элемента а и, значит,
нумерация 6 есть нумерация с пр-бесконечными классами в смысле п. 2.2.
Функции Ft, представляющие основные операции % и нумерации у^.
очевидно, представляют их и в нумерации 6. Поэтому расширенная стандарт-
стандартная нумерация примитивно рекурсивна. Нетрудно убедиться и в том, чтф
вообще расширенная стандартная нумерация пр-эквивалентна стандартной
нумерации. Это непосредственно вытекает из следующей теоремы.
Теорема 4.1.1. Стандартная и расширенная стандартная нумера-
нумерации произвольной конечно порожденной алгебры % ^-сводимы к любой
^-нумерации а алгебры 31 (R = пр, ор, чр).
Пусть R-функции Gi(xx, ..., хщ) (i = 1, . . ., s) представляют в нумерации а
основные функции алгебры 9t и пусть тг, . . ., mk — а-номера порождаю-
порождающих элементов аг, . . .,ah. Определяем функцию / (х) следующей схемой:
^ Gi (/ (ex A, х)), ..., / (ex (пь х))), если ех @, х) = i (i = 1,. .., s)r
f (x) = J ть если x = Зг (i = 1,.. ., k),
(О в остальных случаях. B9)

178 Конструктивные алгебры, I
Так как эта схема есть схема возвратной рекурсии, приводящейся обычным
образом (см. [16]) к примитивной рекурсии, и заданные функции Gu ex (*, х)
суть R-функции, то функция / (х) будет также R-функцией. Остается пока-
показать, что / (х) сводит нумерации у и б к нумерации а, т. е. что
ух = а/ (х) (х е Dy), 8х = а/ (х) (х е Db). C0)
Так как каждый 7~номер произвольного элемента 91 является в то же вре-
время его 5-номером, то из соотношений C0) достаточно доказать лишь второе.
Доказательство ведем индукцией по х. Наименьшее число в Db есть 3; это
б-номер элемента аг. Согласно схеме B9) имеем / C) = т1 и потому ах =
= б C) = а/ C).
Пусть теперь у ЕЕ Db и для всех х, входящих в />§ и меньших z/, соотноше-
соотношение C0) справедливо. Если у = 3\ то по схеме B9) находим, что / {у) = т%
и, значит, at = 8у = а/ (у). Если же ех @, у) = i, I ^ i ^ 5, то ех A, у),. . .
♦ . ., ex (ui, у) будут числами из D&, меньшими у, и потому в силу индуктив-
индуктивного предположения
б ех (/, у) = а/ (ех (/, у)) (} = 1, . . ., щ).
iC другой стороны, из схемы B9) в рассматриваемом случае находим, что
7fo) = 0|(/(ex(lf0))f ..., / (ex (nlf »)))
и, следовательно,
а/ (») = Л (а/ (ех A, у)), . . . , а/ (ех (Л|> у))) =
= Л F ех A, у), . . ., 6 ех (и|, у)) = 6i/,
что и требовалось доказать.
Доказанная теорема дает повод ввести следующее определение: нумера-
нумерация а произвольной алгебраической системы 9t называется R-гёделевской
ее нумерацией, если а есть R-нумерация 9t, R-сводимая к любой R-нумера-
ции 31.
Теорема 4.1.1 утверждает, что стандартная и расширенная стандартная
нумерации конечно порожденной алгебры являются пр-гёделевскими нуме-
нумерациями этой алгебры.
Из указанного выше определения непосредственно следует, что все
R-гёделевские нумерации алгебраической системы R-эквивалентны между
собой.
Из теоремы 4.1.1 и следствия 2 теоремы 2.3.2 также непосредственно»вы-
текает
Следствие. Каждая R'-гёделевская нумерация с R'-бесконечными клас-
классами конечно порожденной алгебры ^-изоморфна расширенной стандартной
нумерации этой алгебры (R' = ор, чр).
Важнейшими характеристиками каждой нумерации а служат тип ее но-
номерного множества Da и тип отношения эквивалентности 0а на Da, порож-
порождаемого нумерацией а. Номерные множества Dr и D% стандартных нумера-
нумераций конечно порожденных алгебр имеют простое строение — они примитив-
примитивно рекурсивны. Что же касается соответствующих эквивалентностей 0Y,
Э§, то они могут быть рекурсивными всех трех типов пр, ор, чр, а также мо-
могут и не быть рекурсивно перечислимыми. Какой из этих случаев имеет мес-
место — зависит от внутреннего строения алгебры. Именно, имеет место
Теорема 4.1.2. Если конечно порожденная алгебра % допускает хотя
бы одну позитивную нумерацию а, т. е. чр-нумерацию, у которой Da и 0а

Конструктивные алгебры, I
рекурсивно перечислимы, то класс чр-гёделевских нумераций 91 совпадает с
классом позитивных нумераций алгебры 91. Если конечно порожденная ал-
алгебра 31 допускает хотя бы одну op-нумерацию а, у которой Da и 0а обще-
рекурсивны, то класс всех нумераций % с этими свойствами совпадает с клас-
классом всех ор-гёделевских нумераций «91.
В самом деле, пусть а — чр-нумерация 9t, имеющая рекурсивно перечис-
перечислимые Da и 0а. Так как б чр-сводима к а, то в силу теоремы 2.1.1 нумерация
б чр-эквивалентна а и, в частности, эквивалентность 6s рекурсивно перечис-
перечислима. Тем самым первое утверждение теоремы 4.1.2 доказано.
Если теперь а имеет общерекурсивные Da и 0а, то в силу теоремы 2.1.2
из уже доказанной чр-эквивалентности а и 6 следует их ор-эквивалентность.,
В силу теоремы 2.1.5 отсюда, в свою очередь, вытекает, что эквивалентность.
0$ общерекурсивна. Тем самым доказано и второе утверждение теоремы 4.1.2.
Теорема 4.1.2 показывает, что все конструктивные нумерации алгебры 91
с конечным числом порождающих op-эквивалентны, и если такие нумера-
нумерации существуют у 91, то такой конструктивной нумерацией заведомо яв-
является стандартная нумерация 91.
Далее, принимая во внимание следствие теоремы 4.1.1, видим, что если
конечно порожденная алгебра 91 обладает хотя бы одной конструктивной^
нумерацией, то она обладает и конструктивными нумерациями с бесконеч-
бесконечными классами, причем все такие нумерации op-изоморфны расширенной;
стандартной нумерации 91.
Каждый элемент конечно порожденной алгебры % представим в виде зна-
значения некоторого терма указанного выше вида. Проблемой тождества (про-
(проблемой равенства) для алгебры 91 называется проблема существования алго-
алгоритма, позволяющего по записи двух термов узнать, равны или нет значения
этих термов в 91. Так как по записи терма эффективно находится его стан-
стандартный номер и по стандартному номеру эффективно восстанавливается
запись терма, то проблема тождества для алгебры 9( равносильна проблеме*
существования алгоритма для решения вопроса, являются ли произвольно*
заданные числа х, у 7~номерами одного и того же элемента 9t, т. е. являются
ли числа х, у 0у-эквивалентными. Но существование алгоритма для решения:
вопроса ©^-эквивалентности чисел равносильно общерекурсивности 9Y.
Поэтому алгебры с разрешимой проблемой тождества — это алгебры, Ьб-
ладающие конструктивными нумерациями. Такие алгебры было бы естествен-
естественно, назвать конструктивизируемыми алгебрами по аналогии с топологизируе-
мыми или упорядочиваемыми группами. Однако для краткости конструкти-
визируемые конечно порожденные алгебры можно просто называть конструк-
конструктивными, поскольку все конструктивные нумерации таких алгебр рекурсив-
рекурсивно эквивалентны.
Примером неконструктивной конечно порожденной алгебры может слу-
служить алгебра Шчр всех одноместных частично рекурсивных функций, опре-
определенная в п. 1.5. Действительно, легко непосредственно убедиться, что
стандартная нумерация SR4P пр-эквивалентна ее клиниевской нумерации.
Но клиниевская нумерация согласно п. 2.3 полная и устойчивая. Отношение
эквивалентности 0 устойчивой нумерации не рекурсивно перечислимо ж,
значит, алгебра £Кчр неконструктивна.
Из свойств устойчивых нумераций вытекает, что все ор-гёделевские ну-
нумерации 9t4p не только op-эквивалентны, но даже ор-изоморфны.
4.2. Конечно определенные алгебры. В п. 1.4 было введено понятие ал-
алгебры, определенной заданной системой условных тождеств и заданной систе-

180 Конструктивные алгебры, I
мой порождающих. Алгебра, определенная конечными системами условных
тождеств и порождающих элементов, будет называться конечно определенной
алгеброй.
Теорема 4.2.1. Отношение эквивалентности 0Y, отвечающее стандарт-
стандартной нумерации у произвольной конечно определенной алгебры 9t, рекурсивно
перечислимо иу таким образом, все чр-гёделевские нумерации конечно опреде-
определенных алгебр позитивны.
Пусть ац . . . , ак — символы порождающих элементов и пусть
d = с2 &... & с2г-1 == с2г =*>С2Г+1 = с2г+2 с = с(хъ ..., хп)) C1)
— i-e из последовательности условных тождеств, определяющих алгебру 9t.
Обозначим символом 0 совокупность пар Э^эквивалентных чисел, где у —
стандартная нумерация алгебры 9(, являющаяся одновременно и стандарт-
стандартной нумерацией всех термов, образованных из предметных символов ах, . . .
. . ., ak и символов основных операций St. Совокупность всех таких термов
была обозначена в п. 4.1. символом Т.
Берем теперь какой-либо терм Cs fal9 . . ., хп) из числа термов, участвую-
участвующих в записи условного тождества C1), и подставляем в него вместо перемен-
переменных хг, . .. , хп произвольные термы й1У . . . , йп из Т. В результате получим
терм cs (<*!, . . ., ап) из Т. Если стандартные номера термов ах, . . ., ап
суть #!,..., хп, то стандартный номер терма Cs (ах, . . . , йп) будет опре-
определенной функцией hs от хг, . . . , хп. Из теоремы 4.1.1 видно, что
hs (х±1 . . . , хп) — примитивно рекурсивная функция.
В терминах совокупности 0 условное тождество C1) теперь будет равно-
равносильно следующему утверждению:
а) если пары (fas-i ixn • • - > #n), hs fe, •• •> ^n)>(^ = 1, . . . , г) принад-
принадлежат 0, то пара ф2г+1 (хц . • ., xn),h2r+2 (х1У . . ., хп)У также принадлежит©.
Аналогично рефлексивность, симметричность и транзитивность экви-
эквивалентности 0Y равносильны утверждениям:
б) если <х, уУ е 0, то <i/, хУ S 0;
в) если О, уУ е 0 и <i/, zy e 0, то <х, z> e 0;
г) если О, #> £0, то <я + 1, я + 1> е 0;
д) <0,0)Е9.
Наименьшим множеством пар, удовлетворяющим требованиям а) — д),
очевидно, является множество 0, пополненное всеми парами вида <(#, #Х
Пусть 0О есть совокупность стандартных номеров всех пар, входящих в 0
и номеров пар <#, ху. Соответственно а) — д) вводим функции Ht, Gu G2r
*6?з, полагая
^(К+1 (I (г/i), • • -, I (Уп)), h2r+2 (I (г/i), • • -Л (уп))),
если zs = v (Й28_! (Z (ух),..., I (yn)), fe2s (I (уг),...
О в остальных случаях;
G z) = f V ^ ^' Г ^^' еСЛИ Г ^ = Z ^'
2 \ 0 в остальных случаях;
v (Z (у) + 1, Z (у) + 1), если Цу) = г (у),
О в остальных случаях.

Конструктивные алгебры, I 181
Функции Hf, Gl9 6?2, ^з здесь определены так, что если значениями их
аргументов являются номера каких-либо пар из в, то значением самой функ-
функции будет номер пары из в, получаемой из данных пар по соответствующе-
соответствующему из правил а) — д). Рассмотрим на минуту алгебру (Е с основным множе-
множеством D и основными операциями Ht, Gl9 6?2, ^з- Подмножество в0 в алгебре
{£ будет наименьшим, содержащим 0 и замкнутым относительно указанных
операций, т. е. будет подалгеброй в (£, порожденной числом 0 = v @, 0).
На основании теоремы 3.2.1 отсюда заключаем, что множество в0, а вместе
с ним и множество в рекурсивно перечислимы. Теорема 4.2.1 доказана.
Эту теорему легко обобщить и на случай алгебр, определяемых бесконеч-
бесконечными системами условных тождеств. А именно, пусть задана какая-либо
op-функция п (i). Рассматриваем три бесконечные последовательности симво-
символов: последовательность индивидуальных предметных символов аг, а2,. . .,
последовательность предметных переменных хг, #2,. • • и последовательность
функциональных символов Д, /2,. . ., членности которых (т. е. число аргу-
аргументов) равны соответственно пA), п B),. . . Совокупность U всех термов,
составленных из символов указанных последовательностей, нумеруем, при-
приписывая, например, термам аг и хг номера 3\ 5* и полагая
для термов большей длины. При помощи этой нумерации U нумеруем все-
всевозможные условные тождества, называя номером условного тождества
C0) число
2Г+2
w = П ps CsXl""yXn 9
8=1
Теперь, повторяя почти дословно доказательство теоремы 4.2.1, получаем,
что стандартная нумерация алгебры, заданной рекурсивно перечислимой
системой условных тождеств, имеет рекурсивно перечислимую эквивалент-
эквивалентность.
Путем непосредственного обращения отсюда получается такое
Следствие. Если стандартная нумерация у конечно порожденной
алгебры имеет эквивалентность 9Y, не являющуюся рекурсивно перечислимым
отношением, то алгебра не может быть конечно или рекурсивно опреде-
определенной.
В частности, отсюда вытекает, что не будет конечно определенной алгеб-
алгебра 91 одноместных частично рекурсивных функций из п. 1.5.
С другой стороны, группа Новикова [15], имеющая конечное число оп-
определяющих соотношений и неразрешимую рекурсивно проблему тождест-
тождества, может служить примером конечно определенной алгебры, не имеющей
конструктивных нумераций.
В общем случае не существует алгоритма, позволяющего по виду опреде-
определяющих тождеств судить о конструктивности соответствующей алгебры (см.
[15]). Точная формулировка и доказательство этого будут даны позже. А здесь
мы приведем только два простых условия, при выполнении которых конечно
определенная алгебра заведомо является конструктивной.
Среди конгруэнтностей произвольной алгебры 31 всегда есть две три-
тривиальные конгруэнтности: нулевая конгруэнтность, при которой все раз-
различные [элементы 91 не конгруэнтны друг другу, и единичная конгруэнт-

182 Конструктивные алгебры, I
ность, при которой все элементы 91 конгруэнтны между собой. Алгебра 9Г
называется простой, если она не имеет нетривиальных конгруэнтностей.
Теорема 4.2.2 (А. В. Кузнецов [4]). Каждая простая конечно опреде-
определенная алгебра конструктивна.
Если заданная алгебра 91 одноэлементная, то доказывать нечего. Поэтому
пусть известно, что алгебра % неодноэлементная. Пусть а19 . . . , ah — по-
порождающие этой алгебры. Согласно теореме 4.2.1 мы можем эффективна
найти примитивно рекурсивные функции g (n), h (n) такие, что совокупность
всех пар у-эквивалентных чисел будет совпадать с совокупностью членов
последовательности
.. C2)
Возьмем теперь какие-либо термы а, Ь номеров т, п и спросим себя,
равны или нет значения их в 91, т. е. входит или нет пара <т, тг> в указан-
указанную последовательность? Для решения этого вопроса присоединим соотно-
соотношение а = Ь к числу определяющих соотношений и обозначим через 95*
алгебру с этой расширенной системой соотношений. Ищем пр-функции
gx (х), hx (х) такие, чтобы отношение эквивалентности 671, отвечающее стан-
стандартной нумерации новой алгебры, состояло из пар
<*i @), К (о», <*, A), к (i)>,... ' (зз)
Если а = Ь в 9t, то в последовательности C2) должна встретиться пара
<т, п>. Если же а ф Ьв 91, то алгебра 95 должна быть единичной, так как 95
есть гомоморфный образ 91. Поэтому в последовательности C3) должны
встретиться пары <3,32>, <3,33>,- • •, <3,3te>. Просматривая поочередно пары
из 1-й и 2-й последовательности, мы через конечное число шагов либо най-
найдем пару </71, п> в первой последовательности и тогда а = Ь в Э(, либо най-
найдем все пары <3,32>,. . ., <3,3te> во второй последовательности и тогда a =f= Ъ
в 3(. Таким образом, проблема тождества в 3( алгоритмически разрешима и,
значит, Э( конструктивна.
Изложенное рассуждение, очевидно, имеет силу и для алгебр, определяе-
определяемых рекурсивно перечислимой системой определяющих соотношений.
Пусть 9t — алгебра с позитивной нумерацией а. По условию Da можно
представить как совокупность всех значений, принимаемых подходящей
пр-функцией h(x). Наряду с алгеброй 91 рассмотрим абсолютно свободную
алгебру 95 с индивидуальными предметными символами а0, а1?. . ., ап,. . .
и теми же функциональными символами ft, что и у алгебры 91. Каждому
терму а^ 95 ставим в соответствие его а-номер следующим путем: терму
ап ставим в соответствие а-номер h (п)\ если термы а19 . . ., йщ имеют а-но-
мера хх, . .,хщ, то терму ft (йх,. . ., ащ) ставим в соответствие а-номер
Pi (#i> • • •> #nj)> где Ft — функция, представляющая операцию ft алгебры %
в нумерации а.
Все пары термов из 95 располагаем стандартным образом в последователь-
последовательность
<Ь0, со>, <bi, ca>,..., <ЬП, О,...
Пусть последовательность пар их а-номеров есть
<&о> со>> <fei> ci>> • ••> <fen, сп>,. • •
По условию эквивалентность 9а рекурсивно; перечислнма и потому пары

Конструктивные алгебры, I 183
а-эквивалентных чисел эффективно располагаются в последовательность
<d0, eo>, <dx, ^>,. . ., <dn, еп>,. . .
Теперь строим последовательность равенств вида at = al следующим об-
образом:
1. Сравниваем пары <fc0, co> и <d0, ео>. Если эти пары совпадают, то по-
полагаем а0 = Ьо, йо = с0; если не совпадают, то полагаем а0 = Ьо> <*о = Ьо«
2. Сравниваем последовательность <fe0, со>, <fex, <?!> и последовательность
Kd0, е0У, <d1? ^>. Если пара <fe0, со> находится во второй последовательности,
то полагаем ах = Ьо, <*i = с0; если нет, то полагаем аг = b0, <*i = Ьо. Далее
рассматриваем пару <&i, <?i>. Если она входит во вторую последовательность,
то полагаем й2 = Ь1? <Х2 = Сх; если не входит, то полагаем й2 = Ь1? ^2 = Ьх.
3. Берем отрезки длины 3: <fe0, co>, <Ь1? сх>, <fe2, c2> и <d0, ^0>, <dx, ^>,
<^d2, ^2>. Если пара <fee, co> встречается во втором отрезке, то полагаем а3 =
= Ьо, <Хз = Со; если нет, то а3 = Ьо, <*з = Ьо. Затем то же самое проделы-
проделываем с парой <fei, схУ и т. д. В результате мы построим эффективно последо-
последовательность формальных равенств
<*о = <*о> <Xi = <Xi» • • •» <Ц = йп, • •. C4)
Пусть © — алгебра с порождающими а0, а19. . . и определяющими соот-
соотношениями C4). Обозначим через ф отображение a -vot (а — номер а,
<* S 95). Это отображение есть абстрактный гомоморфизм 35 на 91, при-
причем совокупность пар <<Х|, <*|> представляет собою конгруэнтность а на 85,
отвечающую гомоморфизму ф. Ясно, что (£ это и есть фактор-алгебра 95/а.
Легко видеть, что канонический изоморфизм 95/а на 31 является^ чр-моно-
морфизмом алгебры в/а, взятой со стандартной нумерацией, на алгебру
3t с нумерацией а. Тем самым доказана следующая
Теорема 4.2.3. Каждая позитивная нумерованная алгебра есть чр-
мономорфный образ стандартно нумерованной алгебры, заданной рекур-
рекурсивно перечислимой системой определяющих соотношений. Стандартная
нумерация каждой простой позитивной нумерованной алгебры является кон-
конструктивной.
Число элементов фактор-алгебры 9t/a называется индексом конгруэнт-
конгруэнтности а на алгебре 31. В каком-то смысле родственными простым алгебрам
являются бесконечные алгебры, все неединичные конгруэнтности на которых
имеют конечный индекс.
Теорема 4.2.4 Стандартная нумерация каждой конечно порожден-
порожденной позитивной бесконечной алгебры Ц, все конгруэнтности на которой
имеют конечный индекс, является конструктивной.
Пусть а1у . . ., ак — порождающие алгебры 31. Согласно предыдущей тео-
теореме алгебра Э( может рассматриваться как заданная рекурсивно перечисли-
перечислимой последовательностью определяющих соотношений C4).
Рассмотрим произвольные термы а, Ь. Если а = Ь в 3t, то в последо-
последовательности C4) должно встретиться равенство й = Ь. Если й ФЬ в 3t,
то, присоединяя соотношение a = Ь к системе D), мы должны по предполо-
предположению получить систему соотношений, определяющую некоторую конеч-
конечную алгебру 95. Все равенства между термами, имеющие место в 95,
располагаются в рекурсивно перечислимую последовательность
Ьо = Ьо, • •., Ьп = Ьп» • • •, C5)
аналогичную последовательности C4).

184 Конструктивные алгебры, I
Как обычно, назовем высотой терма а^ число 0. Если высоты термов
J)b . . ., J)ri уже определены и максимальная из этих высот равна s, то высо-
высотой терма fi (рх, . . ., J)r.) назовем число 5 + 1.
Обозначим через &п совокупность всевозможных равенств вида J) = С|,
где терм J) имеет высоту п, а терм С| имеет меньшую высоту. Часть совокуп-
совокупности &п назовем полной, если каждый терм высоты п является левой частью
хотя бы одного из равенств, входящих в эту часть. Пусть &п, . . .,&пп —
всевозможные полные части £in.
Ясно, что если в некоторой алгебре (X истинны все равенства какой-ни-
какой-нибудь полной части £in, то (£ конечна. С другой стороны, если алгебра (X
конечна, то найдется такое п, что все равенства подходящей полной части
&п будут истинны в ©.
Возвращаясь теперь к термам а, Ь, рассмотрим процесс $, тг-й шаг ко-
которого состоит в следующем: берем п членов последовательности C4) и смот-
смотрим, нет ли среди них равенства а = Ь. Если есть, то процесс обрывается
и в 31 имеем а = Ь. Если указанного равенства нет, то берем п членов
последовательности C5) и смотрим, не содержатся ли среди них все равенства
какой-нибудь полной части О.гт (т = 1,. . ., п; i = 1,. . ., vm). Если содер-
содержатся, то алгебра 35 конечная и, значит, в Ш имеет место соотношение й Ф Ь.
Если ни одна из указанных полных частей в отрезок Ьо = Ь'о , . ., Ьп = Ь'п
не входит, то переходим к следующему (п + 1)-му шагу процесса $.
Условия, наложенные на алгебру Э(, таковы, что процесс $ непременно
оборвется на некотором шаге и тем самым даст ответ на вопрос, равны или
нет термы <*, Ь в алгебре 91.
Рассмотрим еще один признак конструктивности алгебр. Пусть рассмат-
рассматривается какой-нибудь класс алгебр К. Алгебра 3t, не обязательно принадле-
принадлежащая К, называется аппроксимируемой if-алгебрами, если для каждой
пары а, Ъ различных элементов 91 существует гомоморфизм ф алгебры 9t
в одну из алгебр класса К, при котором фа Ф фЬ.
Теорема 4.2.5. (ср. Мак-Кинси [6]). Пусть алгебра 9J, заданная конеч-
конечной системой порождающих аг, . ,.,aku конечной системой © условных тож-
тождеств, аппроксимируема конечными алгебрами, удовлетворяющими соотно-
соотношениям ©. Тогда 91 конструктивна.
Чтобы узнать, выполнено ли в алгебре равенство а = Ь, где а и b —
произвольно заданные термы, достаточно воспользоваться разрешающим про-
процессом, п-ж шаг которого состоит в следующем. Предварительно располагаем
все полные части О.гп в последовательность
Ы...,й?,й1...,й1;... C6)
Теперь к системе соотношений @ присоединяем все равенства из п-ж системы
&гт последовательности C6) и рассматриваем алгебру 35П, определяемую
соотношениями®, &ти порождающими аг,. . ., ак. Выше уже говорилось, что
алгебра 35П заведомо конечна, причем число ее различных элементов не
превосходит эффективно вычисляемой границы, зависящей лишь от числа
основных операций, их членностей и числа к порождающих. Но в таком
случае мы, очевидно, можем решить, имеет или нет место в 95П равенство
й = Ь. Если оно в 35П места не имеет, то в 91 и подавно будет иметь место
неравенство й Ф Ъ и на этом процесс будет считаться оборвавшимся.

Конструктивные алгебры, I 185
Если в 55Л будет иметь место равенство а = Ь, то рассматриваем ра-
равенство ап = <Хп из C4). Если оно совпадает с а = Ь, то это значит, что
в 9t имеет место а = Ь и процесс на этом обрываем. Если ад = 0^ не сов-
совпадает с а = Ь, то переходим к (п + 1)-му шагу процесса.
По условию либо а = b в 31, либо й фЪ в подходящей конечной ал-
алгебре 35П. Таким образом, процесс через конечное число шагов обрывается
и вопрос о равенстве а = b разрешается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Frohlich, J. С. Shepherdson. Effective procedures in field theories.—• Philos. Trans
London Roy. Soc, 1956, 248, N 950, 407—432.
2. С if. Клини. Введение в метаматематику. М., ИЛ, 1957.
3. А. И. Колмогоров, В. А. Успенский. К определению алгоритма.— Успехи мат. наук,
1958, 13, № 4, 3—28.
4. А, В. Кузнецов. О проблемах тождества и функциональной полноты для алгебраи-
алгебраических систем.—Труды III Всес. матем. съезда, 1956, 2, М., 145—146.
5. А. В. Кузнецов. Алгоритмы как операции в алгебраических системах.— Успехи мат.
наук, 1958, 13, № 3, 240—241.
6. /. G. G. McKinsey. The decision problem for some classes of sentences without quati-
fiers.— J. Symbol. Log., 1945, 8, N 3, 61—76.
7. А. И. Мальцев. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
8. А. И. Мальцев. О гомоморфизмах на конечные группы.— Учен. зап. Ивановск. пед.
ин-та, 1958, 18, 49—60.
9. А. И. Мальцев. Структурная характеристика некоторых классов алгебр.— Докл.
АН СССР, 1958, 120, № 1, 29—32.
10. А. А. Марков. Теория алгорифмов.— Труды Мат. ин-та АН СССР, 1954, 42, 1—375.
11. A. Mostowski. On models of axiomatic systems.— Fundam. Math., 1952, 39, 133—158.
12. A. Mostowski. On a system of axioms which has no recursively enumerable arithmetic
model.—Fundam. Math., 1953, 40, 56—61.
13. А, А. Мучник. Изоморфизм систем рекурсивно перечислимых множеств с эффектна-
ными свойствами.— Труды Моск. мат. о-ва, 1958, 7, 407—412.
14. J. Myhill. Creative sets.— Z. math. Log. und Grundl. Math., 1955, 1, 97—108.
15. П. С. Новиков. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в тео-
теории групп.— Труды Мат. ин-та АН СССР, 1955, 44, 1—143.
16. Р. Петер. Рекурсивные функции. М., ИЛ, 1954.
17. Е. Post. Recursively enumerable sets of positive integers and their decision problems.—
Bull. Amer. Math. Soc, 1944, 5, 284—316.
18. H. Rice. Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1953, 74, 358—366.
19. J. Robinson. General recursive functions.— Proc Amer. Math. Soc, 1951, 1, 703—718.
20. R. M. Robinson. Primitive recursive functions.— Bull. Amer. Math. Soc, 1947, 53,
925—942.
21. H. Rogers. Godel numerings of partial recursive functions.— J. Symbol. Log., 1958, 23,
N 3, 331—341.
22. В. А. Успенский. Системы перечислимых множеств и их нумерации.— Докл. АН
СССР, 1955, 105, № 6, 1155-1158.
23. В. А. Успенский. О вычислимых операциях.— Докл. АН СССР, 1955, 103, № 5, 773—
776.

НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП*
В связи с изучением элементарных теорий различных классов алгебр
естественно возник вопрос об алгоритмической разрешимости элементарной
теории класса всех конечных групп. Вопрос этот в качестве открытой про-
проблемы упомянут в известной книге А. Тарского, А. Мостовского и Р. Робин-
Робинсона [1]. В настоящей заметке доказывается, что элементарная теория класса
всех конечных групп неразрешима. В процессе доказательства и в качестве
следствий устанавливается неразрешимость элементарных теорий некоторых
других классов конечных групп, а также некоторых классов колец и полу-
полугрупп **.
1. Пусть К — произвольное фиксированное поле. Обозначим через 9t
класс всех (неассоциативных) колец, являющихся алгебрами конечной раз-
размерности над К. Формулами будем называть формулы узкого исчисле-
исчисления предикатов единственными внелогическими символами которых будут
символ равенства элементов и символ умножения. Формулу ах = х & х2 =
= х & х ф 0 сокращенно будем обозначать через (а, х). Индивидуальны^
предметные символы а, Ъ будут играть далее особую роль. Формула % (а, Ь)
с индивидуальными предметными символами а, Ъ будет называться нор-
нормальной, если 91 есть конъюнкция некоторой формулы %г с теми же
индивидуальными предметными символами формул
al. (х) (у) (хф у & (а, х) & (а, у) -+ху = x\J ух = у & ху ф 0 \/
V У* = 0),
а2. (х) (у) (z) ((а, х) & (а, у) & (а, z) & ху ф 0 & yz ф 0 -*xz -+ф 0),
аЗ. а2 = 0 & (х) ((а, х) ^ха = 0), г
а4. аЪ = 0 & (х) (у) ((а, х) & (Ь, у) -+ху = 0) & Ъа = а
и формул fel, fe2, 63, получающихся из al, a2, аЪ заменой символа а симво-
символом Ь. Кольцо R S 31 будем называть 31-кольцом, если в нем выделены
элементы a, b, для которых 9t (а, Ъ) является истинным предложением в R,
т. е. если в R истинна замкнутая формула (За) (ЗЬ) % (а, Ь). Элемент х
9(-кольца R будет называться a-э лементом, если формула (а, х) ис-
истинна.
Модифицируя основное определение из [2], будем говорить, что формула %
представляет функцию / (т) в классе й, если выполнены
следующие условия: 1) формула 91 нормальна; 2) в любом 9(-кольце из клас-
класса 91, содержащем т a-элементов, имеется ровно / (т) Ь-элементов (т = 0г
♦ Докл. АН СССР, 1961, 138, № 4, 771—774.
♦♦О дальнейших результатах в этом направлении см. в работе: Ю. Л. Ершов, И. А. Лав-
Лавров, Л. Д. Тайманов, М. А- Тайцлин. Элементарные теории.— Успехи мат. наук*
1965, 20, № 4, 37—108.— Прим. ред.

Неразрешимость элементарной теории конечных групп 187
1, 2,. . .); 3) для каждого т = О, 1, 2, . . . в 31 существует 91-кольцо, имею-
имеющее т а-элементов.
Теорема1. Для каждой нормально заданной общерекурсивной функции
f (т) может быть эффективно построена формула 9(, представляющая
зту функцию в классе SK.
В силу теоремы Дж. Робинсон [3], теорема 1 будет доказана, если будут
построены формулы, представляющие функции
X (т) = т + 1, р (т) = т — [)Лп]2,
и будет указан эффективный] способ построения формул, представляющих
функции g (х) + h (x), g (h (x)), g'1 (x), при условии, что заданы формулы,
представляющие функции g (x), h (x). Мы построим здесь лишь формулы для
функций т + 1 и g'1 (x), так как остальные строятся аналогично.
Обозначим через 91 (а, Ь, с) конъюнкцию формул а\ — а4, Ы — ЪЪ и
^формул
(х)аа,х)-»(Ь,сх)); A)
(х) (У) ((а, х) & (а, у) &сх = су -+х = у); B)
Cz) [(fe, z) & (х) ((а, х)-+схф z)) &(y)(y=£z& (fe, у) -+ C)
-+(&х)({а, х)&у = сх)I
Формула (Яс) 91 представляет функцию т + 1- Действительно, пусть в
«аком-либо кольце Л ЕЕ 0J существуют элементы a, fe, с, обладающие свой-
свойствами A), B), C). Согласно C) множество fe-элементов R состоит из элемен-
элемента z, определяемого требованием C), и всех а-элементов, умноженных на с.
Так как в силу B) умножение различных а-элементов на с дает различные
6-элементы, то число fe-элементов в Л на 1 больше числа а-элементов.
Чтобы построить 9(-кольцо, имеющее заданное число т а-элементов, бе-
берем алгебру над К с базисом а, Ь, с, х19 . .. , хт, у19. . ., ут+1 и вводим для
базисных элементов соотношения Ъа = а, ах-г = х% = Х(ху, сх% = i/$; fei/£ =
= Уг = У«У/ (* ^ /; ^> 7 = 1> 2,. . .). Все остальные парные произведения
базисных элементов полагаем равными 0. Ясно, что полученная алгебра
будет 91-кольцом, в котором а-элементами будут хг,. . ., хт.
2. Пусть некоторая функция g (m) представляется формулой Э( (а, Ъ)
и пусть уравнение g (х) = т разрешимо для каждого т = 0, 1, 2 . . . По оп-
определению символом g~* (m) обозначается наименьшее решение указанного
уравнения. Вводим формулу 9t (a, 6; р), выражающую следующие требова-
требования: в) совокупность Rp элементов х, удовлетворяющих условию рх = х,
есть подкольцо; б) элементы а, Ъ принадлежат Rp; в) в Др формула 9t (а, Ъ)
истинна. Иначе говоря, 9t (a, b; р) есть конъюнкция формулы
! (х) (У) (рх = х & ру = у ->/? (ху) = ху^&ра = а & >fe = fe
и релятивизации формулы 9t (a, fe) для ^множества элементов х, удовлетво-
удовлетворяющих условию рх = х.
Обозначаем через 55 (a, fe, а', Ьг, р) конъюнкцию формулы % (а\ Ь'\ р)
и формулы
(х) {рх = х& (а', х) -+-C.uvde) [9t (м, у; i) & D)
<& (У) ((«'» у)&РУ = У&ух = у&у=^х -+d-ey = еу & (и, еу)) & E)

188 Неразрешимость элементарной теории конечных групп
& (У) (z) ((а'> у) & РУ = У & pz = z & (ar, z) & у Ф z -+еу Ф ez) & F
& (У) ((и, У) &dy = у -*(Я*) (pz = z& (a', z) & xz = О & у = ez)) & G)
& ((Я/) (г/) (у') (ру = у& F', у) & F', у') & ру' = у' &fy = fy' -+
-+у = у' & d-fy = fy& (v, fy) & (Я*) {dz = z& (v, z) & fyz ф fy)) V (8)
V (Я/) (у) (yf) (dy = y& (v, y) & (v, y') & dy' = y' &fy = fy' ^y = y>&
&p-fy = fy& (b\ fy) & Cz) {pz = z& F', z)) & fyz ф fy))) &
& (x) ((a, x) <-> px = x & (fe', ж)) & (ж) (F, *) <-> рж = х & (а', ж))]}. (9)
Формула Ж (a, fe, a', fe'; p) вместе с формулами al — a4, fel — ЪЪ опре-
определяет функцию g (m). Действительно, пусть в кольце R S 31 нашлись
элементы а, Ь, а', Ь', р такие, что в R истинна формула 95 и число а-элемен-
тов в R равно т. Формула '91 (а', Ъ') истинна в Rv и Rp есть подкольцо,
множество fe'-элементов которого совпадает с множеством a-элементов коль-
кольца R, а множество a'-элементов Rp в силу (9) совпадает с множеством
&-элементов R. Поэтому т = g (п), где п — число fe-элементов в R. В силу
al — a3 a'-элементы Rp можно обозначить символами хъ. . ,,хп так, что для
них будут справедливы соотношения xtXj = хгхг = xt, XjXt = 0 (i <^ /).
Согласно D) для каждого ^, 1 < i < w в i? найдутся элементы и, v, d, e
такие, что совокупность Rd будет 91-подкольцом с выделенными элементами
и, v. Условия E) — (8) гарантируют, что число w-элементов в Rd равно
i — 1, а число ^-элементов в Rd отлично от т, т. е. что g (i — 1) Ф т.
Итак, если в каком-либо й-кольце R число a-элементов равно т и число
Ь-элементов равно п, то g (п) = т и одновременно g (i) ф т для 0 ^ i < пг
т. е. п = g~i (m).
Остается проверить 3). Пусть задано т. Положим п = g~i (m). По ус-
условию для каждого i = 0, 1,. . . существует 91-кольцо Rt с выделенными
элементами at, bt, имеющее i агэлементов хг1,. . ., хИ и g (i) Ьгэлементов
связанных соотношениями
Xi0LXia = Xi0L, Хг£Х1а = 0,
= a? = fef = 0, Ъгпг = a% (a
Из этих соотношений следует, что агэлементы, Ьгэлементы и аи bt в сово-
совокупности линейно независимы. Поэтому их можно дополнить подходящими
элементами z^,. . .,zia. до базиса Rt. Предполагая алгебры Rt не имеющими
общих элементов, строим формально новую алгебру/?. Базис R образуют ба-
базисные элементы всех Rt и новые элементы dt, et, /i9 a, b (i = 1, . . ., n).
Умножение базисных элементов, принадлежащих Rt, производим по правилам
Rt и полагаем dtx = х (х G Rt), егхп$ = х# (i ^> j), ba = a, axni = xnir
Ъуп% = Упь fixnj = У и Для g (i) > m, ftytj = xnj для g (i) < т. Остальные про-
произведения считаем равными 0. Алгебра R удовлетворяет требованиям al — а4Т
Ы — &3 и 35 (а, &, а\ £/, /?) при а' = ап, Ь' = bn, p = dn. Тем самым тео-
теорема 1 доказана.
3. Из теоремы 1 легко получается
Следствие. Для каждой нормально заданной общерекурсивной
функции f (т) может быть эффективно построена формула 95 (а, Ь), пред-
представляющая эту функцию в классе ЗЦ алгебр конечной размерности над К
и обладающих единицей.

Неразрешимость элементарной теории конечных групп 189
Пусть 2С (а, Ъ) — формула, представляющая / (т) в 31, и пусть R —
Э(-кольцо из 91, имеющее т а-элементов. Обозначаем через 95 (а', Ъ', а, Ь, р)
конъюнкцию формул а'1 — а'4, Ь'1 — Ь'З, формулы % (а, Ь; р) и фор-
формулы
(х) ((а', х) *-> рх = х& (а, я)) & (я) {{V ,х) *-> рх = х & (Ь, х)).
Формула 95 (а!, V, а, Ь, р) с выделенными элементами а', V представляет
функцию / (т) в классе 9tx. Действительно, свойствами 1), 2) 95 заведома
обладает. С другой стороны, присоединяя к базису R новые элементы а',
V', р, е и полагая ей = ие = ри = и, up = О для и ЕЕ R, а'х = #, &'i/ = г/,
если х — а-элемент и у — Ь-элемент R, Vа! = а'2 = Ь'2 = 0, получим
95-кольцо, имеющее т а'-элементов и обладающее единицей е.
4. Из теоремы 1 и указанного следствия обычным путем получается
Теорема 2. Класс 91 всех колец, являющихся алгебрами конечной раз-
размерности над произвольным фиксированным полем К, и класс Шг всех Ш-колец,
имеющих единицу, имеют неразрешимые элементарные теории.
Для доказательства достаточно взять общерекурсивную функцию / (т)
с нерекурсивным множеством значений и построить представляющую ее в 3t2
формулу 91 (а, Ъ). Тогда ложность формулы
% (а, Ъ) & (Яжх ... хп) (Л (Щ Ф *i & F, Xi)) & (y)[((b, у) -> у У = *i))f
в каждом 9^-кольце будет равносильна неразрешимости уравнения / (х) =
= п.
Следствие. Элементарные теории класса всех конечных колец с тож-
тождеством рх = 0 (р — фиксированное простое) и класса всех конечных колец
неразрешимы.
Первое утверждение получается из теоремы 2 в том случае, когда К есть
простое поле характеристики р, а второе вытекает из первого, так как 9?0
есть конечно аксиоматизируемый подкласс в 91.
5. В статье [4] установлено соответствие между кольцами с единицей и
метабелевыми группами особого конечно аксиоматизируемого класса. При
этом соответствии классу колец с единицей простой нечетной характеристики
р отвечает конечно аксиоматизируемый подкласс класса всех метабелевых
групп с тождеством хр = 1. Там же указан эффективный способ, позволяю-
позволяющий для каждой замкнутой формулы, относящейся к кольцам с единицей,
получить формулу для групп такую, что истинность первой формулы на кольце
равносильна истинности второй формулы на соответствующей группе.
Так как конечные кольца при этом переходят в конечные группы, то из
следствия теоремы 2 непосредственно получается
Теорема 3. Элементарная теория класса всех конечных метабелевых
групп с тождеством хр = 1 (р — нечетное простое) неразрешима.
Указанный в этой теореме класс групп является конечно аксиоматизируе-
аксиоматизируемым подклассом класса всех конечных групп, класса всех конечных мета-
метабелевых групп, класса всех конечных полугрупп и т. п. Поэтому элемен-
элементарные теории всех упомянутых классов неразрешимы.
Пусть й — метабелево кольцо Ли нечетной простой характеристики р.
Определяя в 2 новую операцию умножения формулой ху = х + у +
+ V2 [ух], обратим S в метабелеву р-группу, причем имеем [ху] = xyx~ly~lf
х + у = ху [ух]11\ Обратно, вводя в произвольную метабелеву р-группу

190 Неразрешимость элементарной теории конечных групп
операции [ху] и х + у посредством указанных формул, получим метабелево
кольцо Ли характеристики р. Поэтому элементарная теория конечных мета-
метабелевых колец Ли нечетной простой характеристики р эквивалентна элемен-
элементарной теории конечных метабелевых р-групп и вместе с последней неразре-
неразрешима.
Метабелево кольцо Ли является и ассоциативным. Отсюда следует, что
элементарные теорий класса конечных двухступенно нильпотентных колец
я класса всех конечных ассоциативных колец неразрешимы.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Tarski, A. Mostowski, п. Robinson. Undecidable theories. Amsterdam, 1963.
2. Б. А. Трахтенброт. Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на ко-
конечных классах.— Докл. АН СССР, 1950, 70, № 4, 569—572.
3. /. Robinson. General recursive functions.— Proc. Amer. Math. Soc, 1950, 1, N 1, 703—
718..
4. А. И. Мальцев. Об одном соответствии между кольцами и группами.— Мат. сб., I960,
50, № 3, 257—266.

ЭФФЕКТИВНАЯ НЕОТДЕЛИМОСТЬ
МНОЖЕСТВА ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫХ
И МНОЖЕСТВА КОНЕЧНО ОПРОВЕРЖИМЫХ ФОРМУЛ
НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЙ?
Пусть К — некоторый класс моделей сигнатуры а. Формулы узкого
исчисления предикатов, внелогические константы которых содержатся в а,
будут называться 7Г-формулами. Замкнутая 7Г-формула 91 называется
тождественно истинной на 7$Г, если она истинна на всех моде-
моделях К. 9t называется конечно опровержимой на/iT, если ЗГ
ложна на некоторой конечной модели из К. Если 91 истинна на всех конеч-
конечных /^-моделях, то говорят, что 3( конечно истинна на К. Через
Т (К), F (К) обозначим соответственно совокупность всех тождественно ис-
истинных формул и совокупность конечно опровержимых на К /Г-формул.
В заметке [1J было показано, что F (К) — нерекурсивное множество, если
К — класс всех групй или всех ассоциативных колец, лиевых колец и т. п^
С помощью результатов этой же заметки ниже доказываются более сильные
предложения о том, что совокупности Т(К) и F{K) эффективно неотделимы,
если К — один из указанных выше классов групп или колец. Отсюда,
в частности, непосредственно следует теорема Б. А. Трахтенброта [2] о рекур-
рекурсивной неотделимости тождественно истинных и конечно опровержимых фор-
формул узкого исчисления предикатов.
1. Через L обозначим класс всех алгебр над некоторым фиксированным*
простым полем Г простой характеристики п. Как и в [2], мы сначала укажем
регулярный процесс, с помощью которого из каждой замкнутой L-формулы
91 можно построить новую L-формулу 9№nJ, выполнимость которой^ будет
равносильна истинности 91 на всех алгебрах, содержащих менее п элементов.
Обозначим через (q, х) формулу дх = х&х2 = х&хф0и через [с, х\
формулу сх = х & хс = х & х2 = 0. Элементы х, для которых формула
(<7, х) истинна, будем называть ^-элементами. Совокупность тех х, для|кото-
рых [с, х\ истинна, будет обозначаться через ЭСС и называться пространством,
принадлежащим с. Совокупность тех х, для которых рх = х, будет обозна-
обозначаться через Ыр. Обозначим еще через © (а) конъюнкцию формул al и я2
из [1J. Пусть теперь U (р, д) есть конъюнкция формул
{ху) ((?» я) & [х, у] -+ру = у) & (ху) {рх = х & ру = у -+ху = 0);
(ху) l(q, x) &(q,y)&x=£ у-+ (Яи) Цх, и] V I», и]) & П k. "I VH fo>ubh
(х) Ci/) [рх = z-+(q,y)& (и) ([г/, и]++и = х\/ и = 2х\/ . . . \/ и = тех)];
(ху) (Hz) [(q, x) & (q, у) -+(q, z) & (и) (U, и) «-> (Яш?) ([*, v] &[y,w]&u =
= v + w))l .
Истинность U (р, q) в некоторой алгебре 9i €= L, содержащей элементы
р, q,"означает, что: 1) пространство, принадлежащее любому g-элементу, содер-
содержится в 9tp; 2) пространства, принадлежащие различным g-элементам, раз-
различны; 3) каждое нульмерное или одномерное подпространство пространства
* Докл. АН СССР, 1961, 139, № 4, 802—805.

192 Эффективная неотделимость множеств формул
dip принадлежит некоторому д-элементу; 4) произведение любых элементов
из dtp равно нулю. Из U (р, q) следует, что пространство, принадлежащее
^-элементу, является линейным подпространством в dip и что каждое ко-
конечномерное подпространство из 9tp принадлежит некоторому ^-элементу.
2. Легко нодсчитывается, что число различных алгебр, которые можно
построить путем введения различными способами операции умножения в
данное линейное w-мерное пространство над Г, равно пп\ Пусть t = F (п) —
число различных линейных подпространств такого пространства и пусть
п = G (t) — обратная функция, которую для определенности полагаем рав-
равной 0, если t не принадлежит совокупности значений F. Из явной формулы
для F (п) видно, что F (п) и G (t) — примитивно рекурсивные функции. По-
Поэтому примитивно рекурсивной будет и функция S (t) = tlgW. По способу,
изложенному в [1], строим формулу @ (а, 6), обладающую следующими свой-
свойствами: 1) если в какой-либо алгебре 91 выделены элементы а, 6, удовлетво-
удовлетворяющие © (а, Ь), и если число а-элементов в 91 равно t, то число 6-элементов
в 91 равно S (t); 2) для каждого t существует конечная алгебра SR с едини-
дей, имеющая элементы а, Ъ со свойством © (а, 6), число а-элементов в кото-
которой равно t.
3. Обозначим через V (с, q, g, а, Ъ) формулу
©я (а, Ъ) &(ху)(gx = x&gy = y->g-xy = xy)&
& (Яг) {(»)[(?, y)&fR*yczK->g'zy = zy&(a, zy)] &
& (xy) [(g, x) & SR* с Ж* & (q, y) & 3t* с Ж* & zx = zj/ -> a; = y]},
где @^ (а, 6) означает релятивизацию формулы © (a, b) на множество SRg,
a dCy С 9i* означает формулу (и) ([у, и] ->~ [с, и]).
Допустим, что в алгебре 91 выделены элементы р, с, q, g, a, 6, для которых
U (p, q) & V (с, q, g, a, Ъ) истинно. Тогда пространство dig будет подалгеб-
подалгеброй, содержащей элементы а, 6, обладающие внутри dig свойством @ (а, 6).
При этом число а-элементов в dtg будет равно числу g-элементов г/, у которых
Sly содержится в 91с, и, значит, число] 6-элементов в 9lg равно яГ\ где г —
размерность 91С.
Обозначим еще через W (с, g, Ъ) конъюнкцию формул
(xyz) [gx = х & F, х) & [с, у] & [с, z] -+{xy = xz -+у = 2), &
, & (З.и) ([с, и] & xy-xz = хи)];
{xy) [gx = х & F, x)l& gy = у& F, у)&хфу -+ (KuvuwJ ([с, и] &
& [с, v] & [с, w] & [с, w±] & xu-xv = xw & yu-yv = yw± & w Ф
Истинность формулы W (с, g, Ъ) в алгебре 91, содержащей выделенные
элементы с, g, b, означает, что для любого фиксированного 6-элемента х
подалгебры fHg элементы вида хи (и S 91С) образуют подалгебру 91?, изо-
изоморфную особой алгебре, которая получится, если в линейное пространство
ЭС ввести операцию умножения (g) посредством условия у (g)z = и *-* ху*
'XZ = XU.
Допустим, что в 91 выполнены аксиомы U, F, W (p, g, 6), и пусть размер-
размерность dip равна п. Тогда число &-элементов х будет равно пш, т. е. будет рав-

Эффективная неотделимость множеств формул 193
но числу всех возможных умножений на 9?р. Поэтому среди подалгебр 9l£
найдутся подалгебры, изоморфные любой наперед заданной алгебре раз-
размерности п.
4. Пусть 91 — какая-либо замкнутая формула узкого исчисления преди-
предикатов, относящаяся к кольцам. Обозначим через 51 (с, х) релятивизацию
% относительно 9?*» т. е. относительно множества элементов и со свойством
df
Р(и, с, х) = (Щ([с, у]&и = ху).
Положим еще
1 df
Е (с, х) = (Яе) (Р (е, с, х) & (и) (Р (и, с, х)-*ие = и&еи =. и)),
at
Q (р, п) = (Яях .. . хп) (рхг = хх & .. . & рхп = хп & Д агхг + .. . + апхп Ф 0),
где конъюнкция Д распространяется на всевозможные комбинации чисел
av . . , <zn, отличные от комбинации 0,. . .,0 (а = 0, 1,. . ., я — 1). Истин-
Истинность Q (р, п) означает, что 9?р имеет размерность, не меньшую п.
Вводим, наконецг обозначения
R (P, Q) = U (p, q) & © (?) & (с) ((9| с) -> (Я^аб) X (с, 9l g, а, 6)),
Ч (?) = (cgfl&r) ((?, с) & X (с, g, g, а, Ь) & gs « х & F, ж) & £ (с, ж) -* «(с, ж)),
где X (с, д, ^, а, 6) есть конъюнкция формул V (с, q, g, а, Ь), И^ (с, ^, Ь).
Лемма 1. £Ъш формула, % истинна на всех алгебрах с единицей, раз-
размерность которых меньше п, то формула
Q(p,n)&R(p,q) -+%(q)
истинна на всех алгебрах.
Действительно, пусть в некоторой алгебре 91 выделены элементы р, д,
с, g, <г, 6, а: со свойствами""] (?(р, л), Л (р, д), (д, с), Z (с, д, g, а, 6), ga: = х,
F, a:), E1 (с, х). Тогда алгебра SR? будет иметь размерность, равную размер-
размерности 91*» т. е. будет иметь размерность, меньшую п. Кроме того, SR? будет
иметь единицу, и, значит, 91 (с, х) будет истинной формулой.
Л е м м а 2. Если % ложна на некоторой алгебре конечной размерности
п, имеющей единицу, то формула
истинна на всех алгебрах.
Пусть в произвольной алгебре 9? выделены элементы р, д так, что Q (р, п)
и R (р, д) истинны. Тогда в 3tp найдется гг-мерное подпространство, которое
будет принадлежать некоторому д-элементу с. Поэтому в 91 найдутся g,
а, Ъ, для которых 91^ будет подалгеброй, содержащей а, Ъ и имеющей яп3
6-элементов. Сдвигая 91С при помощи этих 6-элементов, получим яп3 под-
подалгебр 91?, среди которых найдется и подалгебра с единицей, в которой фор-
формула 31 ложна. Таким образом, в 9? формула ] % (д) истинна.
Л е м м а 3. Если относящиеся к кольцам с единицей замкнутая формула
% конечно опровержима, а замкнутая формула 35 конечно истинна, то фор-
формула
(pq)[R{p,q)-*{%{q)^*(q))\ A)
истинна на всех алгебрах.
7 Заказ № 357

194 Эффективная неотделимость множеств формул
Пусть 91 ложна в некоторой гг-мерной алгебре с единицей. Тогда соглас-
согласно леммам 1 и 2 формулы
П Q(P, п) & R (р, q) -*Я5 (q), Q (p, n) & R (p, q) ~> % (q)
истинны на всех алгебрах и, следовательно, на всех алгебрах истинна фор-
формула A).
Л е м м а 4. Если формула 95 ложна в подходящей конечной алгебре с еди-
единицей, а формула % истинна во всех конечных алгебрах с единицей, то фор-
формула A) на подходящей конечной алгебре с единицей ложна.
Для доказательства этой леммы надо, зная гг-мерную алгебру 91 с едини-
единицей, на которой 95 ложна, построить конечномерную алгебру с элементами
р, q, на которой R (p, q) и 9t (q) были бы истинны, а 95 (q) ложна. Построение
такой алгебры аналогично построению, указанному в [1]. Ввиду некоторой
громоздкости мы его здесь опустим.
5. Пусть А1, А2 — произвольные непересекающиеся рекурсивно пере-
перечислимые множества натуральных чисел. В [1] указан эффективный способ,
позволяющий по номерам Поста — Клини множеств А1, А2 построить по-
последовательности сЬормул %j (X = 1, 2; / = 0, 1, 2,. . .), относящихся к коль-
кольцам и таких, что тогда и только тогда т ЕЕ -4х, когда 9tm ложна на некото-
некоторой конечной алгебре с единицей. Рассмотрим последовательность формул
Фт = Ш [R (р, я) -* («S, (?) -* «S, (<?>]•
Согласно леммам 3, 4, если тЕЕ А1, тоФт тождественно истинна, если же
т ЕЕ А2, то Фт конечно опровержима в классе алгебр с единицей. Иными
словами, любая пара непересекающихся рекурсивно перечислимых мно-
множеств А1, А2 рекурсивно сводится к паре множеств Т (L), F (L). Беря в ка-
качестве А1, А2 эффективно неотделимую пару или же пользуясь теоремой
Мучника [3], непосредственно заключаем, что пара Т (L), F (L) также эф-
эффективно неотделима. Тем самым доказана
Теорема! Множество тождественно истинных формул и множества
конечно опровержимых формул на классе всех колец простой характеристики
с единицей эффективно неотделимы.
Используя, как и в [1], соответствие между кольцами и группами, прихо-
приходим к выводу, что вместе с теоремой 1 справедлива также
Теорема 2. Множества формул, тождественно истинных и конечно
опровержимых на классе всех метабелевых групп с тождеством хп = 1,
а также на классе всех колец характеристики тс =3, 5,. . . с тождествами
ху = — ух, x-yz = xy-z = 0, эффективно неотделимы.
Из теоремы 2 следует, что указанные множества формул эффективно не-
неотделимы также для класса всех групп, класса всех ассоциативных колец,
класса всех лиевых колец и т. п. *
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Неразрешимость элементарной теории конечных групп.—Докл.
АН СССР, 1961, 138, № 4, 771—774.
2. Б. Л. Трахтенброт. О рекурсивной отделимости.— Докл. АН СССР, 1953, 88, № 6,
953—956.
3. А. А. Мучник. Изоморфизм систем рекурсивно перечислимых множеств с эффектив-
эффективными свойствами.— Труды Моск. мат. о-ва, 1958, 7, 407—412.
* Более простое доказательство теорем 1 и 2, а также усиления этих теорем см. в статье:
Ю. Л. Ершов, И. А. Лавров, А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин. Элементарные теории.—
Успехи мат. наук, 1965, 20, № 4, 37—108.— Прим. ред.

ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СВОЙСТВАХ
ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП*
Элементарными свойствами группы, поля или вообще какой-нибудь ал-
алгебраической системы @ называются такие свойства @, которые можно выра-
выразить на языке узкого исчисления предикатов (УИП), принимая в качестве
исходных основные операции и отношения системы @. Соответственно это-
этому к области «элементарной» теории групп можно отнести следующие во-
вопросы:
1) какие из теоретико-групповых понятий, определяемых обычно при
помощи неограниченных логических средств (например, при помощи исчисле-
исчислений предикатов высших ступеней), допускают определения на языке УИП;
2) какова алгоритмическая структура тех или иных совокупностей эле-
элементарных предложений;
3) при каких условиях неизоморфные группы будут тем не менее обладать
одинаковыми «элементарными» свойствами и т. п.
В настоящем сообщении вопросы указанного характера рассматриваются
для следующих линейных групп:
GL (п, К) — мультипликативная группа всех неособенных матриц порядка п
над полем К (общая линейная группа);
SL (п, К) — мультипликативная группа матриц порядка п над К, имеющих
определитель 1 (специальная линейная группа);
PG (п, К) — фактор-группа по центру от группы GL (п, К) (проективная
группа);
PS (п, К) — фактор-группа по центру от SL (п, К) (специальная проектив-
проективная группа).
Во всем дальнейшем предполагается, что поле К имеет характеристику
О, хотя при некоторых оговорках основные результаты можно распростра-
распространить и на поля простой характеристики. Символом Аг -{-...-{- А8 будет
обозначаться прямая (кронекерова) сумма матриц А 1?. . . , A s, таким образом,
"II в Г
Символы Е, Еп будут обозначать соответственно единичную и единичную
порядка п матрицы. Обобщенной клеткой Жордана будет называться кле-
клеточная матрица вида
С =
АЕ
АЕ
* В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, Изд-во АН СССР,
1961, с. 110—132.
7*

196 Об элементарных свойствах линейных групп
где матрица А имеет неприводимый над К характеристический многочлен.
Число диагональных клеток А матрицы С будет называться индексом С,
а порядок А — степенью клетки С,
Таким образом, порядок клетки Жордана равен произведению ее индек-
индекса на степень. Характеристический многочлен матрицы А будет называться
корневым многочленом клетки С.
Известно (см., например, [1], с. 131), что каждую матрицу М порядка
п над К можно представить в виде U'^AU, где U e GL (п, К), а матрица А
имеет форму
... + Ds) + ... + 4s> A)
Здесь Ai, . . , А^. — клетки Жордана, построенные над одной и той же ма-
матрицей А&\ причем характеристические многочлены матриц А^\. . ., А&
различны и неприводимы над К. Пусть т) — индекс А^ и пг — порядок
основной матрицы А^ • Последовательность
X = {l(ml п1).. .(ml, п1)] ... [(ml ns)... (т*к$, ns)]}
будет называться характеристикой Сегре матрицы М = U~iAU. Известно
([1], стр. 131), что характеристика Сегре Мнад данным полем К определяется
однозначно с точностью до порядка расположения пар внутри квадратных
скобок и расположения систем, отмеченных квадратными скобками в стро-
строке %.
Символом К* далее постоянно будет обозначаться алгебраическое замы-
замыкание поля К. Каждая матрица М над К является в то же время и матрицей
с элементами из К*. Однако характеристики Сегре матрицы М над К и над
К* будут в общем случае различны. Так как неприводимыми над К* являют-
являются лишь многочлены 1-й степени, то характеристика Сегре над К* всегда
состоит из пар вида (т, 1) и в записи характеристики над К* можно для
краткости вместо пар (т, 1) писать просто их первые члены. Характеристика
Сегре над К* называется абсолютной характеристикой Сегре матрицы М.
Чтобы из характеристики Сегре над К получить абсолютную характерис-
характеристику той же матрицы, достаточно все пары заменить их первыми членами
и каждую квадратную скобку переписать столько раз, сколько единиц бы-
было во втором члене всех пар, находившихся внутри скобки. Например, если
X = {[B,2)] [A, 1)]}, то х* = {[21 [2] [1]}.
Матрица А называется формой Жордана матрицы М над К. Характери-
Характеристика Сегре учитывает, в известном смысле, лишь арифметические характери-
характеристики формы Жордана.
Основным элементарно групповым отношением называется отношение
Р (х, у, z), равносильное соотношению ху = z. Основными элементарно коль-
кольцевыми отношениями называются отношения S (х, у, z) и Р (х, у, z), равно-
равносильные соответственно равенствам x-\-y = znxy — z.
Формула 9t узкого исчисления предикатов с равенством (см. [2]) будет
называться элементарно групповой, если 31 не содержит предикатных симво-
символов, отличных от Р. Аналогично определяются элементарно кольцевые фор-
формулы.
Элементарно групповая формула 91, содержащая свободные предметные
переменные, будет называться элементарно групповым отношением. Если 91
свободных предметных переменных не содержит, то 9t будет называться
элементарно групповым предложением.

Об элементарных свойствах линейных групп 197
В § 1 настоящего сообщения указывается способ, при помощи которого
для каждой из групп GL (п, К) и SL (п, К) и любой наперед заданной ха-
характеристики Сегре % можно построить элементарно групповую формулу
Щ (х), истинную в данной группе для тех и только тех матриц х, которые
имеют характеристику Сегре %. Таким образом, в каждой из указанных групп
характеристика Сегре элемента группы может быть определена внутри са-
самой группы и притом элементарно, на языке УИП.
С помощью результатов § 1 в § 2 устанавливается, что группы @ (т, К)
и @ (п, К) (п > 3, @ = GL, SL, PG, PS) тогда и только тогда неразличимы
по своим элементарным свойствам (т. е. имеют один и тот же «арифметиче-
«арифметический тип», по другой терминологии), когда т = п и поля К, L элементарно
неразличимы. В заключение доказывается, что для каждой из указанных
групп множество элементарных предложений, истинных на группе, рекур-
рекурсивно эквивалентно множеству элементарно кольцевых предложений,
истинных на соответствующем поле К.
§ 1. Элементарность характеристики Сегре
1.1. Элементарность свойства быть диагонализируемой матрицей. Извест-
Известно, что центры групп GL (п, К) и SL (п, К) состоят из скалярных матриц
(ср. [3]). Поэтому формула
(X) (ХМ = MX)
дает элементарную характеристику скалярных матриц в указанных груп-
группах, т. е. матриц, имеющих характеристику Сегре вида {[A, 1). . .A,1)]}.
Несколько сложнее доказывается
Лемма 1. В каждой из групп GL (п, К), SL (п, К) формула
Cm (М) 1 (X) (Y) (ХМ = MX & YM = MY -> XY = YX)
истинна для тех и только тех матриц М, которые имеют характеристику
Сегре вида {1(т1, пг)]. . .[(ms, ns)]}, т. е. которые приводятся к жордановой
форме, имеющей лишь по одной клетке Жордана для каждого корневого много-
многочлена *.
Действительно, пусть матрица М имеет указанную в лемме характеристи-
характеристику и пусть X, Y — матрицы, перестановочные с М. Приводим в поле К*
матрицу М к нормальной жордановой форме А при помощи матрицы U:
А = U~lMU. Полагаем Хо = U~iXU, Yo = U~lYU. Из перестановочности
Хо и Yo с матрицей А вытекает непосредственно (см. [1], стр. 146), что X0Y0~
= Y0X0 и, значит, XY = YX.
Обратно, пусть характеристика матрицы М имеет вид, отличный от ука-
указанного в лемме. Приводим в поле К матрицу М к обобщенной жордановой
форме A). По условию среди клеток А^ найдутся хотя бы две клетки с одним
и тем же корневым многочленом. Пусть это будут клетки ^4^ и А^\ Рассмот-
Рассмотрим матрицы
Х= Хг + Еи У = Ух + Я„
* Т. е. для каждого неприводимого множителя характеристического многочлена матри-
матрицы М.

198 Об элементарных свойствах линейных групп
где Хг и Уг — матрицы с неопределенными буквенными элементами, имею-
имеющие порядок, равный порядку матрицы
в = 4Х) + 4Х\
а порядок t единичной матрицы Et выбран так, чтобы порядок X был равен
порядку А. Представляя матрицы Х1? Уг в клеточной форме, подобной кле-
клеточному представлению матрицы В, и переписывая соотношения
ВХХ = ХХВ, ВУХ = YJB B)
в виде линейных соотношений между клетками матриц Х1? Уг, легко найти
для упомянутых клеток значения, равные Е или 0 и при этом такие, что
определители матриц Х1ч Уг будут равны 1, матрицы Хг, Уг будут удовлет-
удовлетворять соотношениям B) и в то же время X™ и У^1 не будут перестановочны
при любом положительном натуральном значении т. Вычисления эти со-
совершенно аналогичны вычислениям, производимым на стр. 146 в [1], и мы
их здесь опустим. Укажем лишь, например, что если
В = AW -j- A^\
то в качестве Х1 и У1 можно взять матрицы
Е ЕII Iе
е\* Yi = \e e
Тем самым лемма 1 доказана.
Укажем теперь формулу, описывающую матрицы, приводящиеся в К*
к диагональному виду с различными диагональными элементами. В поле К
это—матрицы, имеющие характеристику Сегре вида {[A,^)], . . . , l(lyns)]}.
Лемма 2. В каждой из групп GL (п, К), SL (п, К) формула
Ddr(M) = CmM & (X)(Х^МХ-М = М-Х'ШХ -> MXrl = XrlM)
истинна при г = п, если матрица М в поле К* приводится к диагональному
виду с различными диагональными элементами. Если формула Ddr (M) ис-
истинна для какого-нибудь положительного значения г, то матрица М приво-
приводится в К* к диагональному виду с различными диагональными элементами.
Допустим, что М имеет указанную в лемме характеристику. Приведем
М в поле К* к диагональному виду и пусть Х~1МХ-М = M-X~iMX. Тог-
Тогда Х~{МХ будет снова диагональной матрицей, имеющей на диагонали те же
элементы, что и матрица М, но расположенные, может быть, в ином поряд-
порядке. Отсюда следует, что в каждой строке и каждом столбце X имеется лишь
по одному ненулевому элементу, т. е. что X — мономиальная мат-
матрица. Поэтому матрица Хщ диагональна и ХЩМ = МХЩ.
Для доказательства второго утверждения леммы достаточно для произ-
произвольной матрицы M^GL (n, К), удовлетворяющей условию Cm M, но не
приводящейся к диагональной форме в К*, построить матрицу X е SL (п, К),
никакая положительная степень которой не коммутирует с М и которая,
вместе с тем, удовлетворяем условию Х~ХМХ-М = М-Х~{МХ.
Приводим М в К к жордановой форме A). Так как М недиагонализи-
руема в Z*, то среди клеток А найдется клетка неединичного индекса.

Об элементарных свойствах линейных групп
199
Пусть это будет клетка
и пусть i — ее индекс. Полагая
Хл 1-х /<\ 2г-2 т? Г \ 2г-4 тр :
будем иметь
+ ^т),
и, следовательно,
Х~гАХ-А = А -Х-гАХ, Х1А ф АХ1, \ X | = 1,
где X = Хг -\- Eq, Eq — единичная матрица надлежащего порядка.
Лемма 3. В каждой из групп GL (п, К), SL (п, К) формула
Dn (M) L (ЯХ) (Ddn (X) & MX = ХМ)
истинна для тех и только тех матриц М, которые в К* приводимы к диаго-
диагональной форме.
Пусть Dn (M) истинна. Приводя X в К* к диагональной форме, мы одно-
одновременно приведем к диагональному виду и М, так ккк матрицы, коммути-
коммутирующие с диагональной матрицей, имеющей различные диагональные эле-
элементы, диагональны.
Обратно, пусть М диагонализируема в К*. Тогда в поле К жорданова
форма для М будет иметь вид
А = {А1 + ... f Аг) + ... + (Л + • • • + А9),-
где Аг,. . ., As — матрицы с различными неприводимыми в К характеристи-
характеристическими многочленами. Матрица А заведомо перестановочна с матрицей
X = (о}Лх + ... + <*]Ui) ■+--.. + («Ma + - • • + *18АЯ).
Ясно, что числа а) можно выбрать в К так, чтобы определитель X был ра-
равен 1 и чтобы одновременно все характеристические корни матрицы X были
простыми.
1.2. Элементарность характеристик диагонализируемых матриц. Рассмот-
Рассмотрим какие-нибудь диагональные матрицы
М = HAi + . . .+ ixnenn, N = v^u + . . .+vnenn
с элементами из К*. Условимся писать MkN, если для каждых £, /' =
= 1,. . ., п из [л,* Ф \ij следует v^ Ф Vj, т. е. если матрица М, в известном
смысле, более гладкая, нежели N.

200 Об элементарных свойствах линейных групп
Лемма 4. В каждой из групп GL (п, /£), SL (п, К) формула
истинна для тех и только тех матриц М, N, которые в поле К* одновремец-
но приводимы к диагональным матрицам А, В, связанным соотношением
АхВ.
Если М, ^приводимы совместно к диагональным матрицам А, В, связан-
связанным отношением АхВ, то формула М <^ N, очевидно, истинна. Обратно,
пусть для некоторых М, N формула М > N истинна. Из условия D (N)
вытекает, что N в поле К приводится к виду
В = (Вг -{- ... + Вг) + ... 4- (Bs -{- ... + Вв),
где матрицы Вг,. . ., Bs имеют различные неприводимые над К характеристи-
характеристические многочлены. Из MN = NM следует, что одновременно с N матрица
М приведется к форме
А = + + \ ч
где АФ обозначает клеточную матрицу, разбитую на клетки подобно матрице
В силу соотношения А ^ В, любая матрица Х&\ перестановочная с
должна быть перестановочна с АФ. Беря в качестве ХФ различные клеточ-
клеточные матрицы, составленные из единичных и нулевых клеток и в силу этого
уже перестановочные с 5(*>, легко приходим к заключению, что А<$ должна
иметь вид
Приводя теперь матрицы В1ч . . . , Bs в поле К* к диагональному виду, мы
одновременно приведем к диагональному виду и матрицы Аг, . ., As. Так
как характеристические числа матриц 2?19 . . ., Bs различны, то после указан-
указанного приведения матрицы А и В заведомо^будут находиться в отношении АхВ.
Из леммы 4, в частности, видно, что если матрицы М, N допускают при-
приведение в К* к диагональным матрицам А, В, связанным отношением АхВ,
то при любом другом приведении М, N к диагональным матрицам А*, В*
последние также будут находиться в отношении х.
Обозначим через © множество всех диагональных матриц группы
GL (п, К) или, соответственно, группы SL (п, К). Отношение х на Э реф-
рефлексивно и транзитивно. Вводим на © отношение эквивалентности 0, полагая
df
AQB = АхВ & ВхА.
Фактор-множество ©/0 есть множество классов эквивалентных в смысле 0
матриц, и отношение х на ©/0 является частичным (структурным) упорядо-
упорядочением. Класс матриц, эквивалентных матрице А = а^п + . . .+ апепп1
вполне определяется разбиением множества Г = {1, 2, . . ., п} на подмно-
подмножества 1\, . . ., Fs, образованные номерами равных между собою диагональ-
диагональных элементов матрицы А. Например, если А = еи + 2е22 + е33 + Зеи,
то 1\ = [1, 3], Г2 = [2], Г3 = [4]. При этом если диагональные матрицы А,
В связаны условием х и б1? б2 — отвечающие им разбиения множества Г,
то разбиение б2 является подразбиением разбиения б1? символически bt <I б2.

Об элементарных свойствах линейных групп 201
Иными словами, решетка ©/9 изоморфна решетке всех разбиений множе-
множества Г.
Связь между разбиением 8, отвечающим какой-нибудь диагональной мат-
матрице А, и характеристикой Сегре % матрицы А видна из следующего примера.
Пусть А = ег1 + 7е22 + ess — еы + 7еьь, тогда 8 = {[1, 3] [2,5] [4]}. Заменяя
в записи разбиения 8 все числа единицами, получим выражение % ==■
= {[1,1] [1,1] [1]}, являющееся как раз характеристикой Сегре для А.
Операция восстановления разбиения по известной характеристике
Сегре неоднозначна. Например, разбиения 8Х = {[1,3] [2,5] [4]}, 82 =
= {[1, 2] [3, 4] [5]} имеют одну и ту же характеристику % = {[1,1] [1,1] [1]}.
Однако очевидно, что все разбиения, имеющие одну и ту же характеристику,
переводятся друг в друга подходящими автоморфизмами решетки ©/6. Легко
доказывается и обратное утверждение, что переводимые друг в друга автомор-
автоморфизмами решетки ©/6 разбиения имеют одну и ту же характеристику Сегре.
Перенумеруем в каком-либо порядке все разбиения, принадлежащие ре-
решетке ©/6, и пусть символы 8а,. . ., 8Г служат обозначениями соответствующих
разбиений. Обозначим через Оп (8г,. . ., 8Г) конъюнкцию всех формул вида
8t <; 87- и 6f ^ 8j, истинных в ©/6.
Согласно сказанному, если для некоторых 1г,. . , ir формула Оп (8it , . . .
. . ., 8* ) истинна в ©/6, то отображение 8а ->- 8$а (а = 1,. . ., п) есть авто-
автоморфизм ©/6 и элементы 8а и 8i(x имеют одинаковые характеристики. Отсюда
следует, что если 8t имеет характеристику %, то формула
df
Ох (хг) = (ЯяО ... (Яжц) (Hsi+i) • • • (Яяг) О (хъ ..., хг)
в решетке ©/6 истинна для тех и только тех элементов xt из ©/6, характери-
характеристика которых равна %.
Теорема 1. В каждой из групп GL (п, К), SL (п, К), где п^Ъ, фор-
формула
df
... (Яж,.) (On (хъ ...,хг)&АТУп (ах) & Д
истинна для тех и только тех матриц xt = X{, которые в поле К приводят-
приводятся к диагональной форме, имеющей характеристику %.
Пусть Xt = и~гАи, где А имеет характеристику % и А ее ©. Выби-
Выбирая в © для кдждой характеристики одну матрицу Aj, получим набор диа-
диагональных матриц Аг,. . ., Аг, содержащий матрицу А — Аг и удовлетворя-
удовлетворяющий отношению Оп (Аг,. . ., Аг). Но тогда матрицы
Х,= U-*A,U U = 1,. . ., г)
будут удовлетворять отношению
Оп(Хъ ..., Хг) & Л Dn(Xx) & Л ХХХ^ = Х^Хх
х х,ц
и, значит, формула фх (Хг) будет истинна.
Обратно, предположим, что для некоторой матрицы Xt формула фх (Хг)
истинна. Следовательно, матрица Xt принадлежит семейству Хх,. . ., ХТ
перестановочных и диагонализируемых в К* матриц, удовлетворяющих
описанию Оп {Xi, . . ., Хг) решетки всех диагональных матриц над К*.
Но решетка диагональных матриц над К* и решетка диагональных матриц

202 Об элементарных свойствах линейных групп
над К изоморфны. Поэтому для каждого разбиения б множества Г среди мат-
матриц Хг, . . ., Хг найдется матрица, отвечающая разбиению б. Рассмотрим
разбиения {[1] [2, . .., п]},. . ., {Ы [1,. . ., п — 1]} и пусть Xiv. . ., Xin —
матрицы, отвечающие ?тим разбиениям и, следовательно, имеющие только
два характеристических различных числа. Одно из этих чисел является
простым корнем характеристического многочлена, а другой корень в силу
условия п > 3 будет иметь высшую кратность. Так как элементы матрицы
Х(Л и коэффициенты ее характеристического многочлена принадлежат полю
К, то и оба корня этого многочлена принадлежат К. Следовательно, матрицы
Xtl,. . ., Xin совместно приводимы к диагональной форме не только в поле
jST*, но и в поле К. Однако если матрицы Xtl, . . ., Xin имеют диагональный
вид, то любая матрица, перестановочная с каждой] из матриц Xtl, . ., Xin,
будет также диагональной. Итак, матрицы Х1?. . ., Хг одновременно приво-
приводимы в поле К к диагональному виду. Среди этих матриц находится и мат-
матрица Xt. В силу приведенного выше замечания характеристика Х$ не может
отличаться от %.
Выше была построена формула Dn (M), характеризующая матрицы, при-
приводимые к диагональной форме в поле К*. Теперь мы построили формулы
$РХ (М), характеризующие для каждой диагональной характеристики %
те матрицы, которые приводятся к диагональному виду характеристики
X в основном поле К. Беря дизъюнкцию формул $х (М) для всевозможных
диагональных характеристик %, получим, очевидно, формулу ty{M), ис-
истинную для тех и только тех М, которые приводятся к диагональному виду
в поле К.
При помощи формул $рх (М) легко доказывается и следующая
Теорема 2. Для каждого п существует элементарно групповая зам-
замкнутая формула Оп, истинная в группах GL (п, К), SL (п, К) и ложная в
-группах GL (т, К), SL (т, К) для т Ф п.
Действительно, рассмотрим формулу
£)n = C.Ti) . . . C#r) (Д T>n(X\) & \ X\Xu. = ЯДОх & Оп{хЪ • • •» #r))«
X X, ц
Эта формула истинна, как] мы] видели, в группах GL (тг? К), SL (тг, /£)•
В группах GL (т, К), SL (т, К) при т < п формула ©^ не может быть
истинна, так как решетка разбиений множества {1, 2,. . ., т) содержит
меньше элементов, чем решетка разбиений множества {1, 2, . . ., п), а форму-
формула Dn (X) характеризует диагонализируемые в К* матрицы не только в груп-
группах GL (п, К), SL (п, К), но и в группах GL (т, К), SL (т, К) для т < п.
Поэтому, полагая
мы получим формулу с требуемыми в теореме 2 свойствами.
Изложенные рассуждения^ неприменимы к группам GL B, К), SL B, К).
Эти группы будут ниже рассмотрены особо.
1,3, Элементарность характеристики Сегре в общем случае. Рассмотрим
формулу
(Ex(В, A)L$(B)&BA = AB&(X)(ХА = АХ-+ХВ = ВХ)&
&(Y)[ty(Y)&YA= лхг ^-/VA /v л АЛГ VTr w\ -v ^

Об элементарных свойствах линейных групп 20&
Чтобы выяснить строение матрицы Б, находящейся в отношении ©х к ка-
какой-либо заданной матрице А, приведем А к жордановой форме A) в поле К
и положим для краткости]
так что А = AW + • • • + ^(s)- Пусть У — произвольная диагонализируе-
мая в К матрица, перестановочная со всеми матрицами, перестановочными с А.
По известной теореме (см. [1], стр. 147) У может быть представлена в виде
Ф (А), где ф — подходящий многочлен. Следовательно,
Y = (У« + • • • + П1?) + • • • + (Г<8) + • • • + YPj (Yf = <р D* >)).
По условию У/г) диагонализируема в К и перестановочна с Ajl\ Отсюда сле-
следует, что Y® скалярная матрица, так как в противном случае А}г) в поле К
распадалась бы на более мелкие клетки, что невозможно. Итак, ф (А^) =
= §)Е) и, следовательно, ф (At) = fi}Et, где Аг — элементарная клетка Жор-
дана, над которой построены все клетки А^\. . ., А$. Отсюда р! = . . .
. . . = PJ.. Поэтому Y имеет вид
У = ^A) + ...+Р8,Б(8). C)
Матрицы Б, удовлетворяющие отношению (£х (В, А), наименее гладкие
среди матрицУ, т. е. это те матрицы У, у которых все числа р1?. . . , ps раз-
различны.
Рассмотрим теперь формулу
Пусть С, А — какие-нибудь матрицы, для которых эта формула истинна, и,
следовательно, С диагонализируема в К. Приводим С в К к виду
С - 7i#i + . . . + VtEu,
где у1?. . ., yt — различные числа из К. Из перестановочности А с С следует,
что А тогда будет иметь вид
А = Аг + . . . + At.
Покажем, что Al9. . , At не могут распадаться на более мелкие клетки в К*
Действительно, если бы оказалось, что Аг = А[ -\- Av то матрица
X = тХ + тХ + Т2^2 + -. + bEt
была бы перестановочной с А, С и менее гладкой, чем С, вопреки отношению
(£2. Таким образом, для каждых матриц А, В, С, находящихся в отноше-
отношениях (£х (В, А), (£2 (С, А), существует такое приведение матрицы А к
форме Жордана A), при котором В примет вид C), а С приведется к виду
Рассмотрим, наконец, еще формулу
g3 (В, А) = Dn(D) &DA + AD& (X) (Dn(X) & ХА = АХ & XD =

204 Об элементарных свойствах линейных групп
отличающуюся от формулы (£2 (D, А) только тем, что условие диагонали-
зируемости ф в К заменено условием Dn диагонализируемости в поле 2£*.
Пусть А — данная матрица ж В, С, D — какие-либо матрицы рассматри-
рассматриваемой группы, находящиеся в отношениях (£х (В, А), 62 (С, А), (£3 (С, D),
ВС = СВ, CD = DC. Приведем матрицу D в поле К к виду
D = (Z?! + .- 4- Dx) +- ... + (Ds -f ... + О.),
где Z?!,. . . , Ds — матрицы с различными неприводимыми в К характеристи-
характеристическими многочленами. Из перестановочности С и D и остальных условий
следует, что С будет иметь вид D), а матрицы В и А будут соответственно
иметь вид C) и A).
Выше были построены формулы фх (X) для значений %, равных харак-
характеристикам Сегре диагонализируемых в К матриц. Теперь покажем, как
строить формулы фх (X) для %, равных характеристикам недиагонализируе-
мых в К матриц. Пусть А — матрица характеристики
% = {[(ml n1)... (mit, n1)]... [(ml n*)... (т8^ п*)]}
и В, С, D — какие-нибудь коммутирующие между собой матрицы, находя-
находящиеся в отношениях Кх (В, А), (£2 (С, А), (£3 (-D, -4). Из приведенных выше
соображений следует, что в поле К* матрицы В, С приводимы соответствен-
соответственно к виду C) и D), а матрица D одновременно к виду
D = /\ xi xi kikEjk,
г j &
где все коэффициенты р?, у), Х}к различны. Матрицам В, С, D пусть отве-
отвечают разбиения 8Х, б2, 63 совокупности {1, 2,. . ., п} и пусть б4,. . ., бг —
остальные разбиения этой совокупности. В соответствии со сказанным выше
обозначим через Оп (8Х, 82, 63>---> ^г) описание решетки этих разбиений.
В качестве искомой формулы фх теперь можно принять
df
фх (А) = (Яхх)... (Я*г) (Ji(xlf 4) & S2 (ха, Л) & 63 (*з, A)&\Dn(хг) &
& \Х{Х5 = XfCi & ОП(ХЬ ..., Хг)).
Как уже отмечалось, формулы фх (X) в группах SL B, 2£), GL B, /£)
приходится строить специальным образом. Для х здесь возможны следующие
значения:
Xi = {Id, 1) A, 1)]}, Ъ = {[A, 2)]}, хз = {[A, 1I Ц1, 1)]},
Х4= 1К2, 1)]}.
Xi характеризует1 скалярные матрицы, и потому можно положить
Матрицы характеристик %2 и %з — это матрицы, приводящиеся в I* к4
диагональному виду с различными диагональными элементами. Согласно
лемме 2 такие матрицы описываются формулой Dd2 (Л). Следовательно, для
остающейся характеристики %4 можно положить

Об элементарных свойствах линейных групп, 205
Покажем, наконец, что матрицы характеристики %3 описываются форму-
формулой
df
фХз (А) = Ш2 (А) & (ЗХ) фХ4 (X) & АХ А'1 • X = X. 4Х4),
а матрицы характеристики %2 описываются, следовательно, формулой
В самом деле, пусть формула фХз (А) истинна и X удовлетворяет условиям
!\ 1JI
- • Тогда из
условия АХА~г*Х = Х-АХА следуетг что А —треугольная матрица и
потому приводящаяся к диагональной форме уже в поле К, что и требова-
требовалось.
1.4. Проективные группы. Проективные группы PG (п, К) и PS (п, К)
являются фактор-группами линейных групп GL (п, К) и SL (п, К) по их
центрам. Центры эти состоят соответственно из всех скалярных матриц
аЕ (а Ф 0, а ЕЕ К) и всех скалярных матриц аЕ, для которых ап = 1.
Элементами проективных групп, таким образом, служат классы элементов
соответствующих линейных групп, и элементы линейных групп можно рас-
рассматривать как представителей элементов проективных групп. При этом
матрицы А, В представляют один и тот же элемент проективной группы тогда
и только тогда, когда они связаны отношением
(ЗХ) (А =*= ВХ & (У) (XY = УХ)) ^ E)
в соответствующей линейной группе. Формулу E) можно переписать в виде
(За) (А = <хВ), где квантор За ограниченный, относящийся ко всем нену-
ненулевым элементам поля К в случае группы GL (п, К) и к множеству корней
уравнения ап = 1, лежащих в К, если рассматривается группа SL (п, К).
Пусть Э( (X, Y) — какая-нибудь элементарно групповая формула. За-
Заменяя в этой формуле каждое равенство А = В формулой E), получим но-
новую элементарно групповую формулу, которую будем обозначать Э(л (X, F).
Рассмотрим произвольные матрицы X, Y из GL (п, К) и обозначим через
IX], [Y] совокупности матриц вида аХ, аУ (а ЕЕ К, а Ф 0). Классы [X],
{У] будут элементами проективной группы PG (п, К). Ясно, что формула
9t ([X], [У]) тогда и только тогда истинна в J*G (n, К), когда в группе GL (п, К)
истинна формула 51" (X, У). То же самое справедливо и для групп PS (п, К),
SL (n, if).
Как уже говорилось, элементы проективных групп можно рассматривать
как классы матриц, отличающихся ненулевым скалярным множителем.
Но матрицы X и аХ (а Ф 0) имеют одинаковую характеристику Сегре.
Поэтому имеет смысл говорить о характеристике Сегре и элементов проектив-
проективных групп.
Мы хотим теперь показать, что характеристика Сегре является элементар-
элементарным понятием и в проективных группах. Для этого нам будут нужны сле-
следующие ,два замечания.
Замечание 1. Пусть А, В — квадратные матрицы над К, порядки
которых равны соответственно т и п, и пусть X — прямоугольная матрица
над К, имеющая т строк и п столбцов. Тогда, если характеристические много-
многочлены матриц А, В взаимно просты и АХ = ХВ, то X = 0.

206 Об элементарных свойствах линейных групп
Действительно, из АХ = ХВ следует AlX = ХВ1 (i = 1, 2,. . .) и
потому для произвольного многочлена ф (X) имеем ф (А) X = Ху(В).
Для характеристических многочленов / (Я), g (X) матриц А, В подбираем
такие многочлены р (X), q (X), чтобы pf + qg = 1. Так как / (А) = 0, g (В) =
= 0, то
X « [р (A) f(A)+q (A) g (A)] X = q{A) Xg (В) = 0.
Клеточная матрица называется клеточно мономиальной, если в каждой
ее строке и каждом столбце имеется лишь по одной ненулевой клетке.
Замечание 2. Если А = Аг -\- . . .-\- As — клеточно диагональная
матрица, характеристические многочлены ft (X) диагональных клеток Аг
которой попарно взаимно просты, и если матрица В = Х~гАХ имеет ана-
аналогичный клеточно диагональный вид Вг 4- . . .+ Bs, причем характеристи-
характеристический многочлен произвольной клетки Bt совпадает с характеристическим
многочленом соответствующей клетки AVi, то X — клеточно мономиаль-
ная, а Xs1 — клеточно диагональная матрицы.
Пусть X = || Хи\\ (i, j = 1,. . ., s). Условие АХ = ХВ дает
АгХг5 - Xi5B5. F)
Рассмотрим подстановки;
В силу замечания 1 из F) следует, что Xtj = 0, если у Ф щ или i Ф Vj,
т. е. матрица X — клеточйо мономиальная. Но тогда для любой клеточно
диагональной матрицы С = Сг + . . . + Cs имеем Х~гСХ = Сх + • • •
. . ,-j- Cs, причем если характеристический многочлен Ct равен ht (k) (i =
= 1,. . ., s), то характеристический многочлен матрицы С\ равен hv (X).
Это можно истолковать так, что преобразование клеточно диагональной
матрицы С посредством X вызывает перестановку v характеристических
многочленов диагональных клеток. Поэтому матрица Хт будет вызывать
перестановку vm. Так как vs! = 1, то Xs1 не будет передвигать характерис-
характеристических многочленов и потому будет просто клеточно диагональной матрицей.
Теперь легко доказывается следующий аналог леммы 1.
Лемма 1а. 5 каждой из групп PG (п, К), PS (п, К) формула
PC (а) = (х) (у) (ах = ха&ау = уа-> xnlynl = уп]хп])
тогда и только тогда истинна, когда А имеет в К характеристику Сегре
вида {[(??ii, Их)]. . Л(т8, ns)]}.
В самом деле, пусть а представляется матрицей А, имеющей указанную
в лемме характеристику Сегре. Формула PC (а) в соответствующей линейной
группе равносильна формуле
=[аХА &AY = ll l]
Предположим, что для некоторых X, Y имеем АХ = аХА, AY = $YA
(а, Р ЕЕ К). Приводим в К матрицу А к жордановой форме
А =Аг + . . .+А8.

Об элементарных свойствах линейных группу 207
В силу замечания 2 матрицы Xs!, У81 имеют вид
причем
АгХг = aslXiAb АгУг =
Сравнивая определители левых и правых частей этих равенств, получаем,
что aPiSl = pp*sI = 1, где^1 pt — порядок] Аг. Из соотношения Xt^AiXi ~
= as{Ai теперь получаем;
X'i^AiXl1 = ae!iP% = Аи Y~PiAiYPi = А{.
Таким образом, матрицы X?» и Yp перестановочны с жордановой клет-
клеткой Аг и потому перестановочны между собой. Следовательно, XnlYn] =
= YnlXn].
Предположим теперь, напротив, что матрица А приводится к жордановой
форме, не имеющей вида, указанного в лемме 1а, и потому содержащей ка-
какие-то две клетки, отвечающие одному и тому же. корневому многочлену.
В п. 1.1 для матрицы А, имеющей такую форму, построены матрицы X, Y
из SL (тг, К), коммутирующие с А и не коммутирующие друг с другом.
Легко проверить, что не только сами матрицы X, Y не коммутируют, но что
XlYl Ф уУ*Х1 для t = 1, 2,. . . и любого у ЕЕ К. Тем самым лемма 1а до-
доказана полностью.
Лемма 2а. В каждой из групп PG (п, К), PS (п, К) формула
i Idf
PDdn (а) = РС (ап) & (х) (х'Чх -а = а- х~Чх -> ахп] = хп]а)
истинна для тех и только тех элементов а, у которых ап в К имеют харак-
характеристику Сегре вида {[A, щ)]. . . [A, ns)]}, т. е. приводятся в К* к диаго-
диагональному виду с различными диагональными элементами.
Необходимость. Пусть ап = [Ап] имеет указанную в лемме ха-
характеристику и, значит, А приводится в К* к виду А = а1е11 + . . . +апепп,
где af Ф щ для i Ф у. Рассмотрим произвольную матрицу X, удовлетво-
удовлетворяющую требованию Х~гАХ'А = аА'Х~хАХ. Беря определители от обеих
частей, получим ап = 1. Так как {Х~1АХ)пА= сЛ4 (Х'МХO1, то Х~гАХ-
-А = А'Х^АХ. Следовательно, матрица Х~ХАХ диагональная, с различными
диагональными элементами. В силу замечания 2 отсюда вытекает, что мат-
рицаХп! также диагональная и, значит, XnlA = AXnl.
Достаточность. Если PC (An) истинно и характеристика матрицы
А не имеет вида, указанного в лемме, то А в поле К приводится к форме
А = Ах + Аъ где Ах — клетка Жордана с индексом, большим 1. Как легко
видеть, матрица X, построенная в процессе доказательства леммы 2, удов-
удовлетворяет условиям Х~гАХ' А = А-Х~гАХ, АХ* Ф Х*А. Цоэтому для
такой матрицы А формула PDdn (А) ложна, что и требовалось.
Л е м м а За. В каждой из групп PG (п, К), PS (п, К) формула
PDn (а) = (Яя) (PDdn (х)&ах = ха)
истинна для тех и только тех элементов, которые в поле К* приводятся
к диагональному виду.

208 Об элементарных свойствах линейных групп
Истинность формулы PDn ([А]) для диагонализируемых в К* элементов
непосредственно вытекает из доказательства леммы 3. Поэтому допустим, что
для некоторой матрицы А формула PDn ([А]) истинна, т. е. что существует
матрица X, у которой Хп приводится в поле К* к диагональному виду с
различными диагональными элементами и для которой АХ = аХА. Из по-
последнего равенства заключаем, что ап = 1, АХп = апХпА = ХпА и, сле-
следовательно, что А диагонализируема в К*.
Рассуждения п. 1.2 и 1.3 переносятся на проективные группы почти до-
дословно, и в результате получается
Теорема 3. В каждой из групп GL (п, К), SL (п, К), PG {п, К),
PS (п, К) для каждой характеристики Сегре % существует элементарно
групповая формула фх (А), истинная для тех и только тех элементов груп-
группы А, которые имеют в поле К харЬьктеристику %. Вид формулы фх (А)
не зависит от свойств поля К.
Для каждой группы О (п, К) (О = GL, SL, PG, PS) существует формула
Оп, истинная в D (п, К) и ложная в группах О (т, К) при т Ф п. Вид фор-
формул Оп также не зависит от свойств поля К.
Вопросы о том, какие из линейных и проективных групп обладают оди-
одинаковыми элементарно групповыми свойствами и каткие нет, будут рассмот-
рассмотрены ниже.
§ 2. Узкофункциональный
(арифметический) тип линейных и проективных групп
Говорят, что классы групп имеют один и тот же узкофункциональный,
или арифметический, тип, если каждое элементарно групповое предложение,
истинное на всех группах одного класса, истинно и на всех группах другого
класса.
Подгруппа § группы & называется элементарной, если существует та-
такая элементарно групповая формула 9t (X), что ф состоит из всех тех эле-
элементов Zg®, для которых формула 91 (X) истинна в &. Подгруппа или
произвольное подмножество © элементов группы & называется элементар-
элементарным относительно элементов Аг, . . ., Ат группы ©, если существует элемен-
элементарно групповая формула 9t (X, Ах,. ., Ат), истинная для тех и только тех
IG0, которые содержатся в ijj.
Используя результаты § 1, мы хотим теперь указать условия, при кото-
которых линейные и проективные группы имеют один и тот же узкофункциональ-
узкофункциональный тип. Попутно будет установлена относительная элементарность некото-
некоторых подгрупп указанных групп.
2.1. СИгносительная элементарность некоторых подгрупп. Имеет место
Лемма 1. Коммутант группы GL (п, К) совпадает с группой SL (п, К)
и является элементарной подгруппой GL (п, К) *.
Утверждение о совпадении коммутанта GL (п, К) с SL (п, К) хорошо
известно (см. [3]). Из обычного доказательства этого утверждения легко ус-
усматривается более сильное свойство коммутанта GL (п, К), а именно, что
каждый его элемент, т. е. каждая матрица из SL (п, К), может быть пред-
представлена в виде произведения фиксированного числа а {п) коммутаторов
* Здесь, как и всюду в данной работе, предполагается, что поле К имеет характеристику
0. Однако лемма 1 справедлива и для полей любой характеристики, за единственным
исключением: п = 2, а К имеет только два элемента [3].

Об элементарных свойствах линейных групп 2093
элементов труппы GL (п, К). Поэтому истинность формулы
в группе GL (п, К) равносильна принадлежности матрицы А коммутанту
группы GL (п, К). Таким образом, SL (п, К) является элементарной под-
подгруппой в GL (п, К).
Мы хотим теперь найти в GL (п, К) и других рассматриваемых группах
относительно элементарные подгруппы, изоморфные GL B, К).
Пусть ® — одна из групп GL (п, К), SL (п + 1, К), где п > 3. Рассмот-
Рассмотрим элементарно групповую формулу ф* D), характеризующую в @ мат-
матрицы А, имеющие характеристику Сегре % = {[A) A) A)] [A)]. . ЛA)]},
т. е. матрицы, приводимые в^к диагональному виду и имеющие один трой-
тройной и остальные (если они есть) простые корни. Положим
А==аг (еп + е22
Совокупность ^ матриц группы @, перестановочных с А, есть подгруп-
подгруппа @, образованная матрицами вида Н 4- D, где Н ЕЕ GL C, К), а В —
диагональная матрица, произвольная для ® = GL (п, К) и удовлетворяю-
удовлетворяющая условию \D | ~ | Н I в случае, когда & = SL (п + 1, К). Отсюда
следует, что в обоих случаях коммутант § состоит из Matриц вида
и потому этот коммутант изоморфен группе SL C, К). Тем самым доказана
Л е м м а 2. В каждой из групп GL (п, К), SL (п, К) (п > 3) существует
формула % (X, А), обладающая тем свойством, что для каждой матрицы
А, обладающей свойством фх (А), совокупность матриц X, для которых
9t (X, А) истинна, является подгруппой, изоморфной группе SL C, К).
Действительно, в группах GL (п, К), SL (п + 1, К) (лг > 3) в качестве
91 (X, А) можно взять формулу
(ЯХХ) (ЭУХ)... (ЗХО) (ЯГв) (Д (АХ{ = ХгА & AY{ = Y{A) & X =
df
а в группе SL C, К) можно положить 9f (X, А) = (X = X).
Рассмотрим теперь в группе SL C, К) матрицу В вида
В = а (е1г + е22) + $е33 (а ф р, а2р = 1). (8>
Матрицы Т из SL C, К), перестановочные с В, имеют вид
Т=Т, + %е33 (Т, е= GL B, К), Я, = | Тх Г). (9)
Так как коэффициент Я однозначно определяется матрицей Тг, в качестве
которой можно брать произвольную матрицу из GL B, К), то совокупность
всех Т есть подгруппа, изоморфная группе GL B, К). Соединяя этот резуль-
результат с леммой 2, видим, что имеет место
JI е м м а 3. Для каждой из групп GL (п, К), SL (п, К) (п > 3) существуют
формулы 91 (А, В), £ (X, А, В), обладающие следующим свойством: каковы
бы ни были элементы А, В рассматриваемой группы, находящейся в отноше-
отношении 91 (А, В), совокупность элементов X, находящихся в отношении
X (X, А, В) к элементам А, В, есть подгруппа рассматриваемой группы, изо-
изоморфная группе GL B, К).

210 Об элементарных свойствах линейных групп
f Действительно, если рассматривается группа — GL B, К), то в качестве
формул 91, £ можно взять любые тождественно истинные формулы. Если
же рассматривается одна из групп GL (п, К), SL (п, К) (п > 3), то в ка-
качестве 91 (А, В) берем формулу фх (А) & 91 (В, А). Чтобщ построить
% (X, А, В), обозначим через ф0 (В) формулу, характеризующую в группе
SL C, К) матрицы, имеющие в К характеристику Сегре {[AД) A,1I [A,11)}.
Тогда релятивизация формулы ф0 (В) & ХВ = ВХ на множество элемен-
элементов Y, находящихся в отношении 91 (Y, А), может быть принята в качестве
формулы Z(X,A, В).
Л е м м а 4. Для каждой из проективных групп PG (п, К), PS (п + 1, К)
(п > 2) существуют формулы 91 (А, В), £ (X, А, В), обладающие следую-
следующим свойством: каковы бы ни были элементы группы А, В, находящиеся в
отношении^ (А, В), совокупность элементов X, удовлетворяющих отношению
£ (X, А, В), образует подгруппу, изоморфную фактор-группе GL B, К)/%,
где 3 состоит из матриц вида аЕ, а3 = 1.
Рассуждая, как и выше, рассматриваем формулу фх (А), истинную для
тех и только тех элементов группы, которые представляются матрицами,
приводящимися в if к диагональному виду G). Пусть А — одна из матриц
этого вида. Берем в рассматриваемой проективной группе @ подгруппу §
элементов, перестановочных с А. Группа ijj есть фактор-группа от группы
§0 матриц Н, удовлетворяющих условию
АН = ХНА (I е К) A0)
по подгруппе 30 всех скалярных матриц аЕ (а Ф 0, а е К). Из условия A0)
видно, что матрицы А и %А должны иметь одни и те же характеристические
числа. Таким образом, умножая характеристические числа матрицы А на
число X, мы должны получить те же самые числа. Но среди характеристи-
характеристических чисел А есть лишь одно непростое. При умножении на X оно должно
дерейти в себя и потому X = 1. Итак, {р0 есть просто централизатор матрицы
А в соответствующей линейной группе, рассмотренной выше. Обозначая
через ^' коммутант группы ^J, видим, что
к),
где 3i — совокупность всех скалярных матриц в SL C, К).
Строим теперь формулу ф0 (а), истинную в PS C, К) для тех и только
тех В (а = [В]), которые приводятся в К к виду (8). Пусть а = [В] — один
из элементов этого вида и пусть S — подгруппа группы PS C, К), образо-
образованная элементами, перестановочными с а. Подгруппа S есть фактор-груп-
фактор-группа от группы 80 матриц Т вида (9) по центру SL C, К) и, значит, изоморфна
фактор-группе GL B, К)/%, где 3 образована матрицами вида аЕ2, а3 = 1.
Для окончания доказательства леммы 4 теперь достаточно повторить дослов-
дословно указанные выше рассуждения.
2.2. Группа GL B, J5Q/3. Леммы 3 и 4 показывают, что в каждой из групп
GL (п, К), SL (п + 1, К), PG(n, К), PS {п + 1, К), п > 2, имеется относи-
относительно элементарная подгруппа, изоморфная группе GL B, К)/%, где 3 —
центральная подгруппа, равная единице в случае групп GL (п, К),
SL (п + 1, К), состоящая из матриц аЕ, а3 = 1 в случае групп PG (п, К),
PS (п + 1, К) и являющаяся совокупностью всех скалярных матриц аЕ,
а Ф 0 для группы PG B, К). Чтобы не рассматривать все эти случаи порознь,
обозначим через 3 произвольную центральную подгруппу группы GL B, К)
и пусть @ обозначает фактор-группу GL B, К)/%.

Об элементарных свойствах линейных групп 211
Лемма 5. Существуют элементарно групповые формулы U (А), 58 (X, А),
@ (X, Y, Z), ф (X, Y, Z), обладающие следующим свойством: в каждой группе
& = GL B, К)/3 для каждого элемента А, удовлетворяющего требованию
U (А), совокупность @ элементов X, находящихся в отношении 95 (X, А),
образует поле, изоморфное К, относительно операций 0, (х), определенных
в 5? формулами
df
X0Y = zl ф(Х, r,Z). A2)
Докажем сначала, что в группе & формула
df
.g (а) = C#) (аГЧи?. а = а • я^ & а2х2 =j= x2a2)
истинна для тех и только тех элементов, а, которые представляются матри-
1а а II
I а =7^= 0.
Элемент а тогда и только тогда удовлетворяет отношению Зг (а) в @, ког-
когда соответствующая матрица А удовлетворяет в GL B, К) формуле
df
5Г (А) = (ЭХ) (Эос) (р) (Х"МХ• А = аЛ.Х"МХ & А2Х2 ф $Х2А2) (а, р е 3).
«ос ос II
, то формула J5" (Л) заведомо истинная,
так как в качестве X достаточно взять матрицу 2ег1 + е22.
Обратно, пусть А не приводима к указанному виду. Тогда А либо ска-
лярна, что в силу условия А2Х2 Ф Х2А2 невозможно, либо А приводится в
К* к виду А = KellL + jjl£22 (^ ф |^). Последнее также невозможно, поскольку
из Х~гАХ-А = А-Х~гАХ-а, переходя к определителям, получаем а =
= ± 1, и, значит, матрицах либо диагональна, либо имеет вид се12 + %е21.
В обоих случаях Х2А2 = А2Х2.
Теперь докажем более тонкое утверждение, что в группе & формула
df
Si (a) = C.x)(Щ(Щ g (х) & у~1ху -х = х- у~гху & z~4z.х =
= х • z~xxz &a = y~xz~xy%)
истинна для тех и только тех элементов а, которые представляются матрица-
1а р ||
, где а G 3, Р G ^.
Истинность %х (а) в группе & равносильна истинности в GL B, К) фор-
формулы
5Г (А) = (ЗХ) (ЯГ) CZ) (ЗарТ) [%п (X) &
где Л — матрица, представляющая элемент а.
Допустим, что для некоторой матрицы А формула gi (А) истинна и,
следовательно, существуют матрицы X, Y, Z с указанными в формуле свой-
свойствами. Так как 3* (X) истинна, то матрицу X можно считать имеющей вид
Р Ц . Условие У^ХГ-Х = аХУ^ХГ дает Y = II Л1 ^11 . Аналогично убе-
|| \ Ц || Т]3 ||

212 Об элементарных свойствах линейных групп
Г7 IIS1 &HI
ждаемся, что Z должна иметь вид Т и, следовательно,
II О* II
■ A3)
Обратное утверждение, что матрицы А вида A3) удовлетворяют требова-
требованию $i (А), проверяется непосредственно.
Вводим, наконец, формулы
df
©(я, У, z) = xy = z,
df
& (З.и) (Зу) (х = м^ & у = i7"xai7 & z = y^u'
и полагаем
df
tt(a) = 3f(a)
df
S3 (#, a) = Si (a) & ax = .та.
Пусть для а е 6 формула U (a) истинна. Будем считать матрицу А,
1a a II
. Каждая матрица
X, представляющая элемент х, находящийся в отношении 95 (х, а), имеет
ВИД Xl J(^Ei3). Ставя каждому числу | ^ Я в соответствие элемент
х (|), представляющийся указанной матрицей, получим взаимно однознач-
однозначное отображение поля К на совокупность Ж элементов, находящихся к а
в отношении 95 (#, а).
Из формулы @ (х, у, z) теперь непосредственно получаем, что х (|) 0
ф х (ц) = х (I + ri). Далее, если х (I) Ф е, х (ц) Ф е, то I Ф 0, г\ ф О
и из условий
U^AU^X^1 J||, У-МГ^^Ц1 J||, Z =
получаем
т. e. x (|) (x) д: (ц) = д: (Itj), и, следовательно, совокупность $ относительно
операций 0, (g) является полем, изоморфным полю if.
2.3. Основные теоремы. При помощи доказанных результатов теперь
легко доказываются и основные теоремы, сформулированные во введении.
Для удобства мы сначала соединим результаты лемм 3, 4, 5.
Лемма 6. Для каждой из групп GL (п, К), PG {п, К), SL (п + 1, К),
PS (п + 1, К) (п > 2) существуют элементарно групповые формулы 91 (а, 6),
£ {х, а, &), @ (#, г/, z), ф (#, г/, я, а), обладающие следующим свойством: для
каждых элементов а, Ъ рассматриваемой группы, находящихся, в отноше-
отношении 91 (а, 6), совокуйндсть $ элементов х, удовлетворяющих требованию
% (х, а, 6), является относительно операций 0, (х), определяемых форму-
формулами A1), A2), полем, изоморфным полю К.

Об элементарных свойствах линейных групп 213
В качестве формул 91 (a, b), Z (х, а, Ъ) мы возьмем формулы, построен-
построенные в леммах 3, 4 для каждой из рассматриваемых групп, а формулы
@ {х, г/, z), $P (х, у, z) с требуемыми свойствами построены в лемме 5.
Теорема 4. Для каждой группы GL (п, К), PG (п, К), SL (п + 1, К),
PS (п + 1, К) (лг > 2) множество элементарно групповых предложений,
истинных на рассматриваемой группе, рекурсивно эквивалентно множеству
элементарно кольцевых предложений, истинных на поле К.
Это означает [4], что существует алгоритм, перерабатывающий каждое
элементарно групповое предложение в элементарно кольцевое предложение,
причем предложения, истинные на группе, перерабатываются в предложения,
истинные на К, и, обратно, существует алгоритм, перерабатывающий элемен-
элементарно кольцевые формулы в элементарно групповые формулы и при этом фор-
формулы, истинные на поле К, перерабатывающий в формулы, истинные на
рассматриваемой группе.
В самом деле, пусть рассматриваются группа @$ (п, К) (® = CL, PG)
(/г>2,) SL, PS (п^З) и какое-нибудь элементарно групповое предложение
91 = (<?i*0 ... (QrXr) 25 (хи ..., xr) (Qi = Я, V).
Истинность % на & (п, К), очевидно, равносильна истинности на К предло-
предложения 3(к> получающегося из % следующим хорошо известным процессом:
а) в формуле 95 (хъ. . ., хг) отношения вида xt == xj и xt = XjXH заменяем
соответственно формулами
Л Ср ац) Л
х, ц. х,
б) если формула 95j+1 = (Qt+iXi+i) • • • (Qrxr)%> преобразовывается в
формулу 6i+1, то формула S&i = (Vxi)%>i+1 преобразовывается в формулу
A4)
а формула 95$ = (Эл^) 95j+1 преобразовывается в формулу
ш)... (Kxinn)(det\хпр\ф 0 & £i+i). A5)
Если рассматривается предложение 9t и специальная линейная группа
SL (п, К), то в формулах A4) и A5) вместо неравенства det ||#гмх II ф 0 сле-
следует записать равенство det ||#гх^ || = 1. Наконец, если рассматриваются
проективные группы PG (п, К) или PS (п, К), то выше уже был указан спо-
способ, позволяющий для каждого элементарно группового предложения 9t
построить новое элементарно групповое предложение 91те, истинное на груп-
группе GL (п, К) или SL (п, К) тогда и только тогда, когда на соответствующей
проективной или специальной проективной группе истинно предложение
91. Способ же преобразования формул, относящихся к группам GL (п, К)
и SL (п, К), в формулы, относящиеся к полю К, был указан выше.
Таким образом, переход от элементарно групповых формул к элемен-
элементарно кольцевым формулам, относящимся к полю К, совершенно прямой
и не зависит от предыдущих рассмотрений. Обратный переход от формул,
относящихся к полю К, к формулам, относящимся к линейным или проектив-
проективным группам, более сложен и существенно опирается на построения преды-
предыдущих пунктов.
Итак, пусть задано какое-либо элементарно кольцевое предложение
& = (Q1x1)...(Qtxt)£)(x1, ...,xt)

214 Об элементарных свойствах линейных групп
и мы хотим знать, истинно ли оно на базисном поле К группы @, где &
одна из указанных в доказываемой теореме групп. Рассмотрим формулы
5К (а, Ь), % (х, а, Ь), © (х, у, z), $p (х, у, z), построенные в лемме 6 и относя-
относящиеся к группе @. Заменяя в формуле © (хг, . . ., xt) кольцевые отношения
x-\-y = znxy = z формульными отношениями © (х, у, z), ф (х, у, z) и
произведя ограничение кванторов во всей формуле (£ на множество тех ху
которые удовлетворяют отношению % (х, а, Ъ), получим в результате эле-
элементарна групповую формулу (£& (а, Ь). Эта формула утверждает то же са-
самое, что и формула &, но лишь для множества Ж. Если элементы а, Ъ выб-
выбраны в группе & так, что истинна формула SR (а, Ь), то множество Ж с отно-
отношениями © (х, у, z), ф (х, у, z) будет полем, изоморфным полю К, Поэтому
истинность формулы (£ на К равносильна истинности формулы
(За) C6) C1 (а, 6)&<£о(а, Ъ))
на группе &, что и требовалось.
Следствие. Для каждой из групп GL (п, К), PG (п, К), SL (п-\- 1, К)г
PS (п + 1, К) (п > 2) совокупность элементарно групповых предло-
предложений, истинных на группе, является нерекурсивным множеством, еслш
нерекурсивно соответствующее множество для поля К,
Иными словами, если элементарная теория поля К неразрешима, то
неразрешимы и элементарные теории каждой из указанных групп. В част-
частности, неразрешимы элементарные теории всех указанных линейных и
проективных групп над полем рациональных чисел.
Теорема 5. Для того чтобы группы & (т, К±) ® (п, К2) (@ = GL,
PG, SL, PS, т > п > 3) имели один и тот же узкофункциональный {ариф-
{арифметический) тип, необходимо и достаточно, чтобы т = п и чтобы один
и тот же узкофункциональный тип имел поля Кги Кг.
Достаточность условий очевидна. Действительно, каждое
элементарно групповое предложение 91, относящееся к группам & (п, К-,) и
& (п, К2), можно указанным выше способом преобразовать в элементарно коль-
кольцевую формулу Шк, относящуюся соответственно к полям Кг и К2. Вид фор-
формулы %к не зависит от базисного поля. Таким образом, истинность 91 на
& (п, Кт) равносильна истинности 91к на Кг. Истинность же 91к на К± равно-
равносильна истинности Э1д-на К2 в силу одинаковости узкофункциональных типов
Кг и К2. Поэтому истинность 91 на & (п, Кг) равносильна истинности 91 на
& (п, К2), и, следовательно, © (п, Кг) и & (п, К2) имеют одинаковые узко-
узкофункциональные типы.
Необходимость условия т = п вытекает из теоремы 3. Наконец,
необходимость совпадения узкофункциональных типов Кх и К2 вытекает
из того, что каждое элементарно кольцевое предложение (£, относящееся
к Кг или К2, можно преобразовать в элементарно групповое предложение
(£&, относящееся соответственно к группе & (п, Кг) или & (п, К2) и равносиль-
равносильное первоначальному. Так как вид предложения (£& одинаков для групп
@& (п, Кг) и & (п, К2) и истинность Ко на &(п, Кх) равносильна истинности
(£& на & (п, К2), то истинность К на Кг равносильна истинности © на К2.
Теорема 5 позволяет сравнивать узкофункциональные типы групп внутри
каждой из четырех серий GL, SL, PG, PS. Что касается групп, принадлежа-
принадлежащих различным сериям, то ясно, что узкофункциональные типы групп серии
GL отличны от типов групп остальных трех серий. Совпадение или разли-
различие типов групп последних трех серий в общем случае зависят от свойств,
поля К.

Об элементарных свойствах линейных групп 215
2.4. Дополнительные замечания. В предшествующих пунктах были рас-
рассмотрены серии общих линейных и проективных групп, начиная с порядка
п = 2, и остальные две серии специальных групп, начиная с порядка п = 3.
Таким образом, из рассмотрения выпали группы SL B, К) и PS B, К),
Верна ли теорема 4 для этих исключительных групп для произвольных по-
полей характеристики 0, нам осталось неясным. Однако теорема 4 остается
заведомо справедливой и для упомянутых исключительных групп, если
базисное поле К почти евклидово, т. е. если существует такое натуральное
t, что для любого аЕ К или а, или — а естьЪумма t квадратов элементов К.
К почти евклидовым полям, например, принадлежат поле рациональных
чисел, конечные алгебраические расширения его, поля комплексных и ве-
вещественных чисел и т. п. Для всех этих полей элементарные теории SL B, К),
PS B, К) и К, следовательно, рекурсивно эквивалентны.
Если вместо поля К рассматривать кольцо R с единицей и под GL (n, R)
понимать группу матриц над R, определитель которых обратим в R, и со-
соответственно определить остальные группы SL (n, R), PG (n, R), PS (n, R),
то при естественных ограничениях теоремы 4 и 5 легко распространяются
и на такие группы над кольцами, но в предположении, что п > 3. Группы
SL B, R) и PS B, R) представляют особый интерес над кольцом целых ра-
рациональных чисел.
В § 1 было показано, что ряд важных подгрупп и систем элементов ли-
линейных групп является относительно элементарным. По-видимому, этим
свойством обладают многие подгруппы вообще всех компактных простых
групп Ли, например их простые подгруппы. Аналогичные вопросы естест-
естественно поставить также относительно простых алгебр Ли.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Я. Мальцев. Основы линейной алгебры. М., Гостехиздат, 1956.
2. Я. С. Новиков. Элементы математической логики. М., Физматгиз, 1959.
3. В. L. Van der Waerden. Gruppen von linearen Transformationen. Berlin, 1935.
4. А. И* Мальцев. Конструктивные алгебры, I.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3,
3—60.

АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ
ЛОКАЛЬНО СВОБОДНЫХ АЛГЕБР
НЕКОТОРЫХ ТИПОВ*
В заметке [1] сформулирована теорема об алгоритмической разрешимости
элементарных теорий конечно аксиоматизируемых подклассов класса ло-
локально абсолютно свободных алгебр и дана схема разрешающего алгоритма.
Ниже эта теорема распространяется на классы локально свободных алгебр
с условием симметричности основных операций, дается подробное описание
соответствующего разрешающего алгоритма, более простого, чем в заметке-
[1], и указываются некоторые новые свойства упомянутых алгебр.
1. Локально /S-свободные алгебры. Пусть а = (ф1?. . ., ф8) — совокуп-
совокупность символов, каждому из которых поставлено в соответствие определен-
определенное натуральное число пи называемое членностью символа фг. За-
дать алгебру сигнатуры а — это значит задать непустое множество А «элемен-
«элементов» алгебры и каждому символу фг- поставить в соответствие конкретную
?ггчленную операцию фД определенную на А со значениями в А. Алгебра 91
с основным множеством А и основными операциями ф?,. . ., ф° будет обо-
обозначаться через <Л; ф£, . . ., ф§> или, короче, через <4; ф1? . . ., ф8>.
Формула $ (#i> • • •? #п) узкого исчисления предикатов с равенством
называется формулой сигнатуры а, если она не содержит символов, отлич-
отличных от логических знаков &, \/, —», ], =, 3, V, (,), предметных перемен-
переменных и функциональных знаков из а. Если формула § замкнутая, то на каждой
конкретной алгебре сигнатуры а она истинна или ложна. Если 5 содержит
свободные предметные переменные #!, . . ., жп, то на каждой алгебре 91 сиг-
сигнатуры а формула $(#i,. . ., хп) истинна или ложна для каждого набора
значений х19 . . ., хп в % и, таким образом, % (хг,. . ., хп) представляет
w-членный предикат на 9t.
Классом алгебр называется произвольная совокупность алгебр одной
и той же сигнатуры. Класс К алгебр сигнатуры а называется аксиоматизируе-
аксиоматизируемым, если существует такая система формул @ узкого исчисления преди-
предикатов сигнатуры а, что алгебра сигнатуры а тогда и только тогда прцнадле-
жит классу К, когда на ней истинны все формулы системы @. Класс К назы-
называется конечно аксиоматизируемым, если существует конечная система фор-
формул @, обладающая описанными свойствами.
Пусть некоторый класс алгебр К обладает следующими свойствами:
а) вместе с каждой своей алгеброй К содержит и все ей изоморфные (абстракт-
(абстрактность К); б) К содержит все подалгебры любой своей алгебры (универсаль-
(универсальность К); в) К содержит прямые (декартовы) произведения любых систем
алгебр из К (мультипликативная замкнутость К). Тогда в К естественным
образом (см., например, [2, 3]) определяются понятия алгебры, заданной
определяющими соотношениями, и свободной алгебры с данной системой
свободных порождающих.» Алгебры, входящие в класс К и свободные в этом
классе, называются К-свободными.
Сиб. мат. ж., 1962, 3, № 5, 729—743.

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 217
Алгебра называется локально К-свободной, если каждая ее подалгебра,
порожденная конечным числом элементов, является К-свободной. Ясно, что
локально К-свободные алгебры существуют тогда, когда каждая подалгебра
с конечным числом порождающих К-свободной алгебры является К-свобод-
К-свободной, В этом случае, очевидно, все К-свободные алгебры будут локально К-
свободными.
В случае, когда К является классом всех алгебр сигнатуры а, К-свобод-
К-свободные алгебры называются абсолютно свободными. Абсолютно свободную ал-
алгебру с данным (конечным или бесконечным) числом свободных порождаю-
порождающих а1? а2,. . . обычно представляют в следующей форме.
Рассмотрим некоторое множество символов {а±,а2,. . .}, которые назовем
термами длины 1. Далее, пусть уже определено, какие последовательности
символов а-к, фь скобок и запятых называются термами длины / Для / =
= 1, 2,. . ., т. Если ai,. . ., ап{ — термы длины соответственно v1? . . .
. . ., vni и (рг — символ основной операции от пг переменных, то последова-
последовательность cp$(ai,. . ., uni) по определению называется термом длины vx +
+ . . . + vni + 1 сигнатуры а от тех переменных а\, которые встречаются
в записи терма.
Обозначим через А совокупность всех термов от переменных а\ сигна-
сигнатуры а. На множестве А определяем алгебру 91 сигнатуры а, ставя символу
<рг в соответствие операцию ф?, определенную условием
Алгебра 91 = <-4; ф?, . . ., ф?> и есть абсолютно свободная алгебра сигна-
сигнатуры а с свободными порождающими аг, а2,... Все изоморфные 91 алгебры
по определению также абсолютно свободны.
В дальнейшем, как обычно, вместо обозначений ф? будут употребляться
соответственные сигнатурные символы ф^.
Алгебры, сигнатура которых состоит лишь из одного символа бинарной
операции, называются группоидами. В качестве символа для группоидной
операции далее будет употребляться точка и вместо а-Ъ будет писаться аЪ.
В частности, согласно сказанному свободный группоид с порождающими
<а, Ъ можно представить себе как множество слов вида a, b,ab, (ab)a, a(ba),...,
умножение которых ведется по правилу a-ba = a(ba), ab-a = (ab) a
и т. п.
Из конструкции абсолютно свободной алгебры сигнатуры a = {q>i,. . .
, . ., фз} непосредственно видно, что в этой алгебре выполняются следую-
следующие предложения:
а) <р4(я1, ..., я^) = ф1B/ь •••> Ущ)-*Х1 = Vi&...&хщ = Ущ (* = 1, ...,*),
р) ф|(ж1> ...,Яп|)=£ф,-(Уь ..., ущ) (*=£/; U /==1, ...,*),
Т) ifa хъ ..., хт)фх,
где / (х, #!,. . ., хт) — произвольный терм от переменных х, х19. . ., хт,
фактически содержащий символ х. Ясно, что эти же формулы истинны и в
любой локально абсолютно свободной алгебре. Однако имеет место и обрат-
обратное утверждение.
Теорема 1. Для того чтобы алгебра сигнатуры а = {ф1,. . ., ф8}
была локально абсолютно свободной, необходимо и достаточно, чтобы в ней
были истинны формулы а), Р), у).

218 Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр
Необходимость этих условий, как отмечалось, очевидна. Поэтому дока-
докажем лишь их достаточность. Йусть алгебра 91 сигнатуры а удовлетворяет
условиям а), Р), 7)- Рассмотрим подалгебру 93, порожденную в 91 каким-либо
конечным множеством а1?. . ., ап ее элементов. Из системы а1?. . ., ап по-
последовательно выбросимте элементы, которые представимы в виде термов от
остальных элементов.
Пусть а1? . . ., аг — оставшаяся редуцированная система порождающих
для 35. Надо доказать, что равенство / (а1}. . ., ar) = g (а±, . . ., аг), где
/, g — термы, возможно в 35 лишь тогда, когда / и g будут графически сов-
совпадающими термами. Будем вести индукцию по минимальной длине п тер-
терма из пары /, g. Для п = 1 соотношение / = g имеет вид а-% = h (а1?. . ., аг).
Ввиду редуцированности системы а1?. . ., аг терм h (al9. . ., аг) не может не
содержать явно аг, а вследствие условия 7) терм h (a1?. . ., аг) не может яв-
явно содержать at. Таким образом, соотношение at = h невозможно, если h
отличен от at. Для п ^> 1 соотношение / = g распадается в силу а), Р) на
соотношения с меньшим п и теорема 1 доказана.
Из теоремы 1 следует, что класс всех локально абсолютно свободных ал-
алгебр аксиоматизируем.
Покажем, что этот класс не может быть конечно аксиоматизируемым.
Рассмотрим, например, группоид & с порождающими а, Ъ и одним опреде-
определяющим отношением
а = ((аа) . . .) а (п + 1 раз)
в классе всех группоидов. В @ аксиома а), очевидно, выполнена, а аксиома
Р) бессодержательна. Кроме того, в & выполнены все соотношения х =^=
=/=/(#;#!,. . ., хт), у которых длина /меньше п, а соотношение хф{(хх±) . • .) хп
не выполнено. Поэтому система а), Р), 7) не эквивалентна никакой конечной:
системе предложений узкого исчисления предикатов. Те же рассуждения
годятся и для алгебр любой другой непустой сигнатуры.
2. Упорядоченные группоиды. Группоид & назовем упорядоченным (ча-
(частично упорядоченным), если между его элементами введено отношение ли-
линейной (частичной) упорядоченности <;, удовлетворяющее аксиоме
6) х <; у —>■ их <^ иу& хи <^ уи.
Если отношение порядка на упорядоченном группоиде & удовлетворяет
условию
е) х <; ху & х <; ух,
то & назовем строго упорядоченным.
Группоид & назовем строго упорядочиваемым, если на нем можно опре-
определить отношение строгого порядка.
Теорема 2. Локально абсолютно свободные группоиды и только они
являются строго упорядочиваемыми группоидами, удовлетворяющими ак-
аксиоме
к) ху = uv ->■ х = и & у = v.
Покажем сначала, что строго упорядочиваем каждый абсолютно свобод-
свободный группоид @. Пусть а1? а2,. . . — свободные порождающие @. Упорядо-
Упорядочиваем произвольно множество этих порождающих. Все элементы @ одно-
однозначно представляются в виде термов от аг, а2,. . .. Полагаем / < g, если:

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 219
терм / короче терма g. Если длины термов /, g одинаковы, термы меньшей дли-
длины уже упорядочены и / = йЬ, g = cb, то цолагаем / < g, если а < С или
4 = с, b <С Ь. Ясно, что это упорядочивание удовлетворяет условиям 6), е).
Свойство строгой упорядочиваемости является квазиуниверсальным
в смысле статьи [4]. Выше показано, что локально абсолютно свободный
группоид локально строго упорядочиваем. В силу внутренней локальной
теоремы из [4], следует, что каждый локально абсолютно свободный
группоид строго упорядочиваем.
Таким образом, необходимость условий в теореме 2 установлена. Доста-
Достаточность очевидна, так как в строго упорядоченном группоиде для каждого
терма /, содержащего х, имеем х <С /, т. е. аксиомы у) в таких группоидах
заведомо выполнены.
Класс строго упорядоченных группоидов конечно аксиоматизируем.
Теорема 2 показывает, что, добавляя еще одну аксиому к), мы получим ко-
конечно аксиоматизируемый класс упорядоченных группоидов, проекцией
которого является бесконечно аксиоматизируемый класс локально абсолют-
абсолютно свободных группоидов.
Теорема 2 очевидным образом переносится и на алгебры произволь-
произвольной сигнатуры, если для них надлежащим образом определить понятие силь-
сильной упорядочиваемости.
3. S-алгебры. По аналогии с коммутативными группоидами, в которых
операция умножения подчиняется тождеству ху = ух, можно ввести по-
понятие алгебры сигнатуры с условиями симметрии основных операций. Пусть
$!, . . ., Ss — какие-либо подгруппы групп перестановок соответственно
множеств {1,. . ., щ}, . . ., {1,. . ., ns}. Мы скажем, что алгебра 91 сигна-
сигнатуры а есть алгебра с условиями симметрии S = <^S1,. . ., Ssy или, короче,
S-алгебра, если в 31 выполнены тождества
9i (хъ ..., хщ) = <р4 (я10, ..., хп.ъ) F е Si). A)
Так как класс всех S-алгебр задается тождествами, то в нем естественным
образом определяются свободные алгебры, которые далее будут называться
S-свободными. Алгебра, все конечно порожденные подалгебры которой
S-свободны, будет называться, как указывалось, локально S-свободной.
S-свободная алгебра со свободными порождающими аг, а2,. . . явно мо-
может быть определена следующим путем. Пусть А — совокупность всех тер-
термов сигнатуры а от переменных а1? а2,. . . Если ф^ (<*i,. . ., йпг) — подтерм
какого-либо терма Ь, то, заменив ф^ (<*i,. . ., ап.) внутри b термом фг (а^,. . .
« . ., <*пе), где 0 е St, получим новый терм Ь*, который будем называть тер-
термом, полученным из b элементарным преобразованием. Два терма называют-
называются эквивалентными, если один из них можно получить из другого цепочкой
элементарных преобразований. Обозначая через [Ь] класс термов, эквива-
эквивалентных терму Ь, и полагая по определению
ФгЦЬх],..., 1Ьщ]) = [%(Ьг,...,Ьщ)], B)
мы получим S-алгебру, элементами которой являются классы эквивалент-
эквивалентных термов, а основными операциями являются операции ф^, определенные
формулами B). Это и будет свободная S-алгебра со свободными порождаю-
порождающими [aj, [a2],. . . Иными словами, элементами S-свободной алгебры со
свободными порождающими а1? а2,. . . можно считать всевозможные термы
от а19 а2, . ..; операции ф^ над этими термами производятся так же, как и в

220 Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр
абсолютно свободных алгебрах, но термы, получающиеся друг из друга эле-
элементарными преобразованиями, считаются представляющими равные эле-
элементы алгебры.
Из изложенного видно, что аксиомы Р) , у), указанные выше для локаль-
локально абсолютно свободных алгебр, истинны и для любых локально S-свободных
алгебр. Что касается аксиом а), то они на локально S-свободных алгебрах
в общем случае не выполняются. На локально S-свободных алгебрах выпол-
выполняются аксиомы
Непосредственным обобщением теоремы 1 получается
Теорема IS. Для того чтобы алгебра % сигнатуры а была локально
S-свободной, необходимо и достаточно, чтобы на 91 выполнялись аксиомы
«5), A), Р) , V).
Аналогичным путем распространяется на локально S-свободные алгебры
и теорема 2. Для этого в формулировке теоремы 2 достаточно заменить усло-
условие х) условиями aS) и A).
В дальнейшем всюду, где не оговорено явно противное, вместо «локаль-
«локально S-свободные алгебры» будет говориться просто «локально свободные ал-
алгебры».
4. Специальные формулы. Введем следующие постоянные обозначения:
df
Ni(a) = (V^ ... хщ)(афцг(хъ ..., хщ)) (i = 1, ..., s),
df
Np(a) = N^a)&...&Nifc(a) (P = {*i, .... **}, 1 < *i< ...< **<*),
Er = C2/1...2/m)(N,B/1)&...&N,B/m)& Л УгФУз) (™ = 2, 3, ...),
Ej«(a»)Np(y),
D^-HEJ1, (m=l,2, ...),
где символ = означает, что находящееся от него слева выражение является
обозначением для формулы, находящейся справа. Знаки Л, V — символы
конъюнкции и дизъюнкции нескольких членов.
Элемент a S 91, для которого в алгебре 31 истинна формула N^ (а), на-
назовем р-неразложимым. Истинность в 91 формулы EJJ1 означает, что 91 содер-
содержит по меньшей мере т различных !р-неразложимых элементов, а истинность
в 91 формулы DJ1 означает, что р-неразложимых элементов в 91 меньше т.
В частности, истинность в 91 формулы Dj означает, что в 91 каждый элемент
р-разложим.
Пусть 9t — локально свободная алгебра и }) Ф {1, 2,. ..,#}, iG |)г
1 <; i <; s. Любой терм вида ф^ (а19 . . ., йщ) представляет собой р-неразло-
жимый элемент в 91. Так как элементов, представляющихся термами ука-
указанного вида, в 91 бесконечно много, то все выражения Е^1 в 91 истинны, а все
выражения Dj1 ложны при указанных значениях р.
Аналогично, в локально свободной алгебре 91 формула вида Np (/), где
/ — терм длины больше 1, истинна, если / = ф* (<*i,. . ., an.), iEM ложна,
если iE p.

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 22И
Для формул Е™, D™ при р = {1,. . >, s} введем сокращенные обозначения
Ет и Dm. Условимся также под И лЛ понимать формулы Е1 \у D1 и Е1 & D1.
Наконец, специальными формулами условимся называть формулы вида
df
ф (ХЪ ..., Хп) = (З^ ../ут) ( ДЩ Жа. = /i & Л ^ = ft" & Л ^ ¥=
=^&Д^(^)), C)
где /г, gj, hk — термы от некоторых из переменных хи . . ., хп, yt, . . ., ут,
переменные xw . . ., ха не входят в термы /г, gy, fefe; переменные я^, #р„. . .
не входят в множество {xav . . ., #а }; индексы уи, £i принимают значения,
из множества 1,. . ., т, 8, 6Е {1,. . ., s}.
Наряду со специальными формулами C), фактически содержащими сво-
свободные предметные переменные хг,. . ., хп, мы будем называть специальными
и формулы вида C), не содержащие свободных предметных переменных, т. е.
формулы вида
(ЗУ1.- Ут) (Л <Ч ФК&/\ N8j {Уф D>
Условимся символами (Vy ^ T) is. (З.у е Т7) записывать ограниченные
кванторы по множеству Т, т. е. выражения «для каждого элемента у из мно-
множества Т» и «существует такой элемент у в множестве Т7, что». Если множе-
множество Т есть совокупность элементов х, для которых истинна формула Т (#),.
то для любой формулы © (у) имеем
T) i
T)i
3(у)
Ъ (у)
*-* (Ay)
«(Ян)
(Т
(у)
(у),
&@
о (у)),
A/)).
(Яу
Сформулируем теперь в виде лемм несколько замечаний, которые будут
полезны в дальнейшем.
Лемма 1. Пусть f {хг,. . ., хр) — терм от хг,. . ., хр, имеющий дли-
длину d и содержащий явно переменное хг. Тогда в каждой локально свободной ал-
гебре уравнение а = f (#i,. . ., хр) при заданном а будет разрешимо относи-
относительно #2,. . . , хр не более чем при nd значениях для хг, где п = шах (%,. . ..
. . ., п8).
Действительно, пусть уравнение а = f имеет вид а = срг (хи. . ., яц)-
Если х\, . . ., хп. — одно из его решений, то согласно аксиоме aS) любое
другое имеет вид хг = х%, . . ., хп. = х%.$ и, значит, для хг возможны лишь
значения х±, . . ., #,?., число которых не превышает п. Пусть теперь терм /
имеет вид (pt (<*i,. . ., On.), где термы а;,. . ., ап. меньшей длины, для ко-
которых утверждение леммы по индукции можно считать верным, и пусть хг
содержится явно в 0/. По доказанному уравнение а = f для а7- дает не более
п значений а1?. . ., ап. Каждое из уравнений О/ = ak даст не более nd~L
значений для хг и потому для хг всего будет не более nd значений.
Лемма 2. Пусть Д,. . ., /Р — термы от уи. . ., ут, ут+1,. . ., уи
d — максимум длин этих термов и п = max (пг,. . ., ns). В локально сво-
свободной алгебре 9t фиксируем какие-либо множества элементов 7\, . . ., Тш
и рассмотрим формулу I

222 Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр
в которой ни один из термов ft не совпадает с уч и каждая подфор-
подформула уа,г = fi содержит явно хотя бы одно из связанных переменных
Уъ « • •» Ут- Если каждое из множеств Тг,. . ., Тт содержит более rnd
элементов, то формула E) на 31 эквивалентна Л. В частности, формула
E) эквивалентна Л, если в ней все цванторы неограниченные.
Доказательство индукцией по числу кванторов в E). При т = 1 форму-
формула E) может быть представлена в виде
(Ууг GE Тх) (yat = А V ... V 2/ар = /р V Уг = /р+1 V - V Уг = /г), F)
где каждый из термов Д,. . ., /г явно зависит от у1в Фиксируем в 9t какие-
либо значения для у2,- . ., #*• Согласно лемме 1 каждое из уравнений г/а. =
= /|, ^ = fp+j может иметь не более nd решений для у1ч а потому дизъюнк-
дизъюнкция уоц = /i V . . . V У1 = fr будет истинной не более чем при rnd различ-
различных значениях уг. По условию множество Тг содержит более rnd элементов.
Поэтому формула F) ложна.
Рассмотрим теперь формулу E) при условии m > 2 и допустим, что лем-
тма 3 справедлива для меньших иг. Если в формуле E) каждый член yai =
= ft содержит явно одно из переменных г/2,. . ., ут, то согласно индукции
уже формула
(Vy2 е= г2)... (Vym €= rm) B/ai = А V... V у«г = U)
ложна, а вместе с нею ложна и формула E). В противном случае формулу
E) представляем в виде
= U V - V »э£ = /vf V (Vy, e г2)...
(y8l - /ei V - V 2/su = Ли)),
где члены г/р = /Y не зависят от г/2,. . ., г/т, a i/s. = /£. — остальные члены
в формуле E), каждый из которых зависит явно хотя бы от одного из пере-
переменных г/2,. . ., ут. Подформула
(Vya е= т2)... (Vym е гте)(уЪ1 = /£1 у - V ^и - Ли) ^7)
удовлетворяет условиям леммы и содержит меньше кванторов, чем E).
Поэтому формула G) эквивалентна Л, а формула E) эквивалентна выраже-
выражению
{УУгСЕТгНУь^ At V - V »Э, = А,),
ложность которого уже доказана выше.
5. Стандартные формулы. Формулы, образованные из выражений Dm,
Em, N* (ха) и специальных формул вида C) при помощи лишь связок &, \/,
условимся называть стандартными или формулами стандартного вида.
В частности, стандартные замкнутые формулы — это формулы, образован-
образованные при помощи связок &, \у из выражений вида D), Dm, Еш.
Теорема 3. Существует алгоритм й, позволяющий для каждой фор-
формулы г$ (хц. . ., хп) сигнатуры о построить стандартную формулу
%о.{хг,. . ., хп) той же сигнатуры, эквивалентную формуле § (#i,. • •» хп) на
классе всех локально ^-свободных алгебр сигнатуры а.
Алгоритм Q будет называться также процессом приведения формул
к стандартному виду. Сначала мы опишем процесс приведения к стандарт-
стандартному виду формул, имеющих некоторый частный вид, который будет назы-

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 223
ватьея Е-видом. Затем будет описан процесс приведения к стандартной фор-
форме отрицаний формул Е-вида. Чередование обоих процессов позволит при-
приводить к стандартному виду произвольные формулы сигнатуры а.
Формулой Е-вида, или, короче, Е-формулой, будеъГ называть формулу,
построенную лишь с помощью знаков &, \/ и кванторов существования из
выражений вида / = g, f Ф g, Nf (xy), Dm, Еш,где f,g — некоторые термы.
В частности, Е-формулами будут все бескванторные формулы, построенные
из термов, и все стандартные формулы.
Процесс приведения к стандартному виду произвольной Е-формулы
$ (#!,. . ., хп) состоит в следующем. Вынося из % все кванторы, получим
формулу вида (Яг^. . . ут) &0 (хг,. . ., хп, г/i,. . ., ут), где $0 образована
из выражений вида / = g, f Ф g, N^ (#a), N^ (г/р), Dfc, Е* с помощью лишь
знаков & и V- Записывая Зг0 в дизъюнктивной форме и распределяя кван-
кванторы по правилу (Яг/) (А V В) «-> (Яг/) A \J (Яг/) В, видим, что дело сводится
к приведению формул типа (Яг/Х. . . ут) @, где & — конъюнкция членов вида
f = g, f Ф g, N^ (xa), f$t (ya), Dfc, Eft. Некоторые из этих членов могут не
зависеть от уи. . ., ут. Конъюнкция их пусть будет <$0, а конъюнкция ос-
остальных пусть будет ©. Представляя формулу (Яг/Х . . . ут) & в виде
@0 & (Яг/х , . •. ., ут) ©!, мы можем далее преобразовывать лишь выражение
(Яг/Х. . . уш) 9г.
Если среди членов конъюнкции &г есть выражение вида / = g, причем
термы /, g неединичной длины, то оно имеет вид
В случае i Ф j формула (8) на локально абсолютно свободных алгебрах эк-
эквивалентна Л. Если же i = /, то формула (8) эквивалентна конъюнкции
аг = bi& . . . & ащ = Ъщ, составленной из более коротких термов.
Пусть теперь в ®г существует член вида ха = /. Если терм/ содержит пе-
переменное ха, то указанный член, а вместе с ним и вся формула (Яг/Х. . . ут) <$1(
эквивалентны Л. Если же терм / не содержит ха, то заменяем во всех
членах конъюнкции &и отличных от члена ха = /, переменное ха термом /.
Аналогично, если© содержит член г/р = h и у$ входит в h, то такой член
заменяем Л или отбрасываем, смотря по тому, отличен терм h от г/р или сов-
совпадает с у р.
Допустим теперь, что @х содержит член вида y$=h, где терм h не содер-
содержит у р. Заменяя во всех иных членах & переменное г/р термом h, мы приве-
приведем формулу (Яг/1?. . ., ут) @х после перенумерации связанных переменных
к виду (Яг/Х. . . г/т_х) ((Яг/т) (ym=h& @2)), эквивалентному формуле (Яг/Х. . .
. . . г/т_х)@29 вообще не содержащей переменного ут. Если в @х входил член
вида Nj (г/р), то после подстановки этот член перейдет в выражение более
сложного типа N^ (h), но, пользуясь замечанием из п. 4, мы можем заменить
такой член или символом И, или символом Л.
Наконец, если в @х окажется член вида срг (ах,. . ., ая.) ф q>j (Ь1?. . .Ья)>
то при i Ф ] мы заменим его символом Л, а при i = j этот член
можно будет заменить выражением Д (ах ^ Ьхе V • • • V <Ц ^ ЬП|е)? со-
составленным из более коротких термов. В последнем случае после замены
новую формулу @ приводим к дизъюнктивному виду, распределяем кванто-
кванторы и продолжаем производить описанные «элементарные» преобразования.
Так как в результате каждого элементарного преобразования либо умень-
уменьшаются длины термов, либо уменьшается число членов, либо возникают*

224 Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр
члены, далее не участвующие в преобразованиях, то через конечное число
•шагов процесс остановится и все выражение примет стандартный вид.
6. Приведение отрицаний стандартных формул. Стандартные формулы
образуются из выражений вида Dm, Em и специальных выражений вида C)
с помощью связок &, \/. Так как отрицания формул Dw, Еш эквивалентны
формулам Ет и Dm, то отрицания стандартных формул непосредственно пре-
преобразуются в формулы, составленные с помощью связок &, у из тех же ВЬ1~
ражений Dm, Еш и отрицаний формул вида C). Поэтому общий вопрос о при-
приведении к стандартному виду отрицаний стандартных формул сводится к
вопросу о приведении к стандартному виду отрицаний формул C), т. е.
к приведению формул
(Vyi...yw)(Va;ei#/iVV^ = ftVVyYfc = A|kVV-|NeI(y.I)). (9)
В п. 5 был указан процесс приведения к стандартной форме Е-формул.
Поэтому, вместо того чтобы непосредственно приводить формулу (9) к стан-
стандартной форме, достаточно выразить ее лишь через Е-формулы.
Среди термов/х, /2. . . в формуле (9) пусть терм ft самый длинный. Если
длина fi отлична от 1, то' ft имеет вид фг (%,. . . аЯг). Обозначая через $5
.дизъюнкцию всех членов подкванторной части формулы (9), отличных от
члена хщ ф ft, мы можем представить (9) в эквивалентной форме
ж потому дело сводится к приведению к Е-виду подформулы
эквивалентной в силу aS) конъюнкции всех формул вида
V -. V ч° ^ <Ч V ®) @ е sr). (Ю)
Новые формулы A0) получаются из формул (9) заменой члена xai Ф ft
'членами z Ф а, у которых терм имеет меньшую длину. Поэтому, продолжая
.по указанному способу приведение новых членов, мы через конечное число
шагов выразим формулу (9) через формулы того же вида, но в которых либо
совсем не будет неравенств, либо будут неравенства лишь формы ха Ф у$.
В последнем случае формула будет иметь вид
... Ут)(х^фУх V -. \'х^хфуг V .- У^гФУр V -. V Ъ^Ф
-очевидно, эквивалентный выражению
хъгфх^У ...\/ х^фх^у ...у х^фх^у ...у х^ф x^v У
VV(Vyp+1... ^©(ж; жХ1, ..., х^ ур+1, ..., ут).
Следовательно, остается лишь указать способ преобразования формул,
.имеющих вид
i... Ут) (V rtp. ±= ft V V 2/Y;. = hk V V -] N8j (yEj)). A1)

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 225
Здесь все подформулы, не содержащие явно ни одного из связанных пе-
переменных, можно вынести за кванторы и потому можно предполагать, что
таких подформул в A1) нет. Аналогично, если формула A1) содержит чле-
члены вида х$ = х$ или уч = уу, то она эквивалентна И. Поэтому можно счи-
считать, что таких членов в A1) также нет. Если при выполнении указанных
условий в формуле A1) нет и членов вида ~~~] N5 (z/e), то согласно лемме 2
такая формула эквивалентна Л. Наконец, если в формуле A1) нет ни членов
вида х$ = g, ни членов вида уу = h, то формула A1) приводится к дизъюнк-
дизъюнкции выражений вида (Vy) ~~~] Np (у), р = {р^. . ., ръ), т- е. или к Л, или
к D1 (см. п. 4).
Допустим теперь, что формула A1) содержит как члены вида ~~~1 N§ (z/e),
так и члены иного вида, среди которых, однако, нет ни членов вида х$ =
= х$, Уч = Уч, ни членов, не зависящих от переменных уг,. . ., ут. Обозначая
через у±1. . ., yt те из переменных уг,. . ., ут, которые фактически встречаются
в членах | N5 (г/£), и обозначая свободные переменные ха через у\ с доста-
достаточно большими индексами, мы можем переписать выражение A1) в виде
; г -. Ут) (Уу,к = h)). A2)
Подформулу (Vz/j+1. . . ут) V уУк ь= hh представим в виде
V B/vn = К) \/(ЧУт -Ут) (V y,v = К),
где учи = hu — члены, в которых не встречаются переменные yt+i,. . ., ут.
Согласно лемме 2 выражение (V#f+1. . . ут) V yyv = hv эквивалентно Л
и потому формула A2) эквивалентна выражению
(Vyi - УМА N», (Угг) -* V уУн = hk). A3)
Объединяя в этом выражении] члены N5 (г/е), содержащие одно и то же
переменное г/е, и перенумеровывая подходящим образом связанные пере-
переменные, мы можем представить A3) в виде
(Vy1...yt)(SVt{y1y&...&nPt(yt)-*Vyyk = hk). , A4)
Пусть Тi есть совокупность тех элементов у алгебры, для которых NVi (у)
истинна ((£ = 1,. . ., t). Тогда A4) можно переписахь в виде
Зг = <уУ1 е тх)... (Vyt e Tt) (уУ1 = ^ v - V Ууг = Ю-
Согласно лемме 2 формула 5 эквивалентна Л, если в каждом из множеств
Тг,. . ., Tt содержится более rnd элементов. Поэтому
д - (К1 & 5) V - V (D»7 & 5) (Р = ™d).
Заменяя здесь каждое выражение D£+1 эквивалентной формулой
и замечая, что истинность Dj. равносильна пустоте Т7^, получим
8f<->Vli(D£1&Eji&3) (J = i u = l р). A5)
8 Заказ Mt357

226 Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр
Рассмотрим подробно какой-либо член, например D^&E^&S» дизъ-
дизъюнкции A5). Истинность этого члена эквивалентна утверждению, что мно-
множество Тг состоит точно из j элементов и что выражение
df
в Ы - (Vya e= т2)... (Vyt e Tt) (уУ1 = К у... v v,r = К)
истинно для уг = w-L,. . ., Wj7 где wx,. . ., Wj — различные элементы Г1#
Поэтому рассматриваемый член эквивалентен формуле
D^1 & (Ян?!... wj) (NPl (wx) & ... & NPl (?r7) & Л wx #= и^ & © (ич) & ... & ©Ю).
х
Подформулы <3 (z#x) здесь имеют такую же структуру, как и формула $,
но с меньшим числом кванторов. Применяя к этим подформулам снова из-
изложенные преобразования, мы придем, в конце концов, к Е-формулам.
7. Приведение замкнутых формул. Алгоритм, описанный в п. 5 и 6, поз-
позволяет для каждой формулы % сигнатуры а построить формулу, эквивалент-
эквивалентную % на классе всех локально S-свободных алгебр и составленную при по-
помощи связок &, \у из выражений Dm, Еш и специальных выражений вида
C), имеющих более сложную структуру. Для формул $ без свободных пере-
переменных имеет место более сильная
Теорема 4. Существует алгоритм, позволяющий для каждой замкну-
замкнутой формулы % сигнатуры о построить эквивалентную ей на классе всех ло-
локально S-свободных алгебр сигнатуры а формулу §*, составленную при по-
помощи связок &, \J лишь из выражений Dm, Em (m = 1, 2,. . .).
В самом деле, посредством алгоритма, указанного в теореме 3, мы смо-
сможем найти формулу <$, эквивалентную % на классе всех абсолютно свобод-
свободных алгебр и составленную с помощью связок &, \J из формул вида Dm,
Em и выражений вида C). Так как свободных переменных нет, то выражения
вида C), входящие в состав <$, будут иметь вид
Ут) (АУ«ФК?& N* (У1) & ... & N, (Уг)), A6)
где ha$ — некоторые термы от г/1?. . ., ут. Остается лишь найти выражение
для A6) через стандартные части вида Dm и Еш.
Допустим, что какой-нибудь из наборов р1?. . ., ))г, например набор р1т
отличен от полного набора {1,2,. . ., $}. Пусть рх не содержит £, 1 <С i ^ s.
Покажем, что в таком случае формула A6) будет эквивалентна более корот-
короткой формуле
.. ут) OV у-г Ф hrt & N,2 (г/а) & ... & Щг (уг)), A7)
полученной из A6) вычеркиванием квантора (Уг/Х) и всех членов, содержащих
явно уг. Действительно, ясно, что формула A7) есть следствие формулы A6).
С другой стороны, допустим, что формула A7) истинна и пусть г/2,. . ., ут —
те элементы локально свободной алгебры, существование которых утверж-
утверждается выражением A7). Полагая
Zl = Уъ *п+1 == фг fe, . . ., 2П) (П = 1, 2, ...),
мы видим, что каждый элемент zn удовлетворяет условию N^, (zn). Рассмот-
Рассмотрим неравенства у\ Ф h^ содержавшиеся в формуле A6) и выброшенные
при переходе к A7). Так как каждое из них содержит явно уг, то дизъюнк-

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 227
ция Vz/x = ^Хм, согласно лемме 2 при заданных у2,. . ., ут имеет конечное
число решений для уг и потому найдутся такие п, что при уг = zn все нера-
неравенства у\ = h^ удовлетворятся. Следовательно, система элементов ух =
— %ni Уъ * • • •* Ут будет искомой системой, удовлетворяющей формуле A6).
Если в формуле A7) снова найдется член Nq (у), у которого С| Ф {!,...
. . ., $}, то формулу A7) можно сократить и т. д. В результате получится
формула вида
(aft...ym)(A»«^*epAN,(!,1L...ANp(!fm)), A8)
где J) = {1,. . ., s}. Но из Np (г/) следует у Ф (pi (иг,. . ., wn.) для любых
i, 1г1?. . ., ггп.. Поэтому в формуле A8) можно вычеркнуть все неравенства§
правая часть которых имеет неединичную длину. В результате получится
формула вида
(Яг/х .- Ут) (АУг Ф Уэ&Щ(У1)& ... & Np (ут)),
равносильная, очевидно, подходящей формуле Е* (t <; т), что и требовалось.
Две алгебры сигнатуры а называются арифметически эквивалентными,
если каждая замкнутая формула сигнатуры а, истинная на одной алгебре,
истинна и на другой. Чтобы знать, какие из формул Dm, Еш истинны на ал-
алгебре и какие ложны, достаточно знать, сколько неразложимых элементов
содержит алгебра. Поэтому из теоремы 4 непосредственно получаем такое
Следствие. Для арифметической эквивалентности локально S-
свободных алгебр необходимо и достаточно, чтобы либо число неразложимых
элементов в каждой алгебре было бесконечным, либо алгебры имели одно и то же
конечное число неразложимых элементов, либо алгебры вовсе не имели нераз-
неразложимых элементов.
В качестве примера неизоморфных арифметически эквивалентных ал-
алгебр укажем группоид % с порождающими ах, а2,. . . и определяющими со-
соотношениями
ап = ап+1ап+1 (п = 1, 2, ...)
и группоид 56 с порождающими Ъг, fc2,. . .и определяющими соотношениями
Ъп = (fcn+1fcn+1)bn+1 (n = 1, 2, ...).
Оба группоида локально абсолютно свободны и не имеют неразложимых
элементов и потому арифметически эквивалентны. В то же время они неизо-
неизоморфны; так, в 31 есть элемент аг, из которого можно последовательно не-
неограниченное число раз извлекать «квадратный корень», а во втором группо-
группоиде такого элемента нет.
Аналогично пусть % — абсолютно свободный группоид со счетным чис-
числом свободных порождающих, а @ у- произвольный локально свободный
группоид. Аксиомы а), C), у), определяющие локально абсолютно свободные
алгебры, имеют хорновский вид. Поэтому прямое произведение любой си-
системы локально абсолютно свободных алгебр есть локально абсолютно сво-
свободная алгебра. В частности, прямое произведение § X S есть локально
абсолютно свободный группоид. Так как ^ X S имеет, как и группоид $,
счетное число неразложимых элементов, то 3" X & арифметически эквива-
эквивалентно S-
Пусть К — произвольная система алгебр сигнатуры а. Элементарной
теорией системы К называется совокупность всех тех замкнутых формул сиг-
8*

228 Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр
натуры а, которые истинны на каждой алгебре системы К. Мы не будем раз-
различать элементарную теорию Т (К) системы К и совокупность v (T) гёделев-
ских номеров всех формул из Т (К). В частности, условимся говорить, что
элементарная теория Т рекурсивна или примитивно рекурсивна, если рекур-
рекурсивно или соответственно примитивно рекурсивно множество v (T).
Положительное натуральное число п назовем спектральным для класса
К, если в К существует алгебра, имеющая в точности п — 1 неразложимых
элементов. Число 0 называется спектральным для К, если в К существует
алгебра, имеющая бесконечно много неразложимых элементов. Совокупность
всех спектральных чисел для К назовем спектром К и обозначим его через
U (К).
df
Введем еще обозначение: Сп = Еп & Dn+1. Формула Сп тогда и только тогда
истинна на алгебре 91, когда 91 содержит точно п неразложимых элементов.
Отсюда следует, что
п]+ 1 е= U (К) «-> п Сп ёт (К). A9)
Согласно теореме 4 для каждой замкнутой формулы £5 алгоритмически
строится эквивалентная на классе локально свободных алгебр формула ф,
являющаяся дизъюнкцией формул вида Dm, Em. Но
Em & jjm+n+l ^ Cm ^ qn+1 у ^
поэтому каждую формулу $ можно на указанном классе привести к виду
CmiVcm2V".VCmrVE™r @<m1<...<mr) B0)
или одному из видов
Ст1\/..\уСп\Л,И @<тх<...<!»,). B1)
Отсюда следует, что каждый конечно аксиоматизируемый подкласс*
класса локально свободных алгебр имеет спектр одного из видов
0, {пъ .. ., щ), {0, пъ ..., 7ik, nk + 1 ...} A < пг < ... < пк).
а спектр (бесконечно) аксиоматизируемого подкласса может быть произволь-
произвольным конечным множеством и произвольным содержащим 0 бесконечным
множеством натуральных чисел.
Теорема 5. Пусть К — произвольный аксиоматизируемый класс
локально ^-свободных алгебр. Элементарная теория Т класса К тогда и толь-
только тогда примитивно рекурсивна или рекурсивна, когда спектр U класса К
соответственно примитивно рекурсивен или рекурсивен. В частности, эле-
элементарные теории любого конечно аксиоматизируемого подкласса локально
^-свободных алгебр, а также любой ^-свободной алгебры примитивно ре-
рекурсивны.
Утверждения теоремы 5 относительно рекурсивности непосредственно
следуют из теоремы 4. Аналогично, если Т (К) примитивно рекурсивна, то
из соотношения A9) непосредственно следует примитивная рекурсивность
U (К). Допустим теперь, что примитивно рекурсивен спектр U (К). Пусть
% — произвольная замкнутая формула сигнатуры а и п = v ($) — ее
* Конечная аксиоматизируемость подкласса К внутри класса L означает, что К состоит
их тех алгебр класса L, которые удовлетворяют некоторой конечной системе формул.
Это не влечет еще финитной аксиоматизируемости К как самостоятельного класса.

Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр 229
гёделевский номер. Алгоритм приведения $ к каноническому виду B0),
B1) распадается на элементарные шаги, преобразующие формулу номера
t в формулу номера т (t). Из описания этих шагов видно, что т (t) будет при-
примитивно рекурсивной функцией. С другой стороны, нетрудно указать такую
примитивно рекурсивную функцию р (тг), что для приведения формулы но-
номера п к каноническому виду B0), B1) достаточно р (п) шагов. Обозначим
через % (п) характеристическую функцию множества формул канонического
вида, равную 1 на номерах канонических формул и равную 0 для остальных
значений п. Введем еще функцию я (/с, п), полагая
я @, п) = п; я (А + 1, /г) = т (я (/с, п)).
Ясно, что функции % и я примитивно рекурсивны. Но вместе с %, я примитив-
примитивно рекурсивной будет и функция
df
о (п) = я (\ix (х (я (я, п)) «= 1&х < р (тг)), тг),
значение которой ст (тг) равно номеру канонической формулы, эквивалентной
формуле номера тг.
Числа г, /7г17. . ., /nr в формулах B0), B1) являются примитивно рекур-
рекурсивными функциями номера I канонической формулы ф. Условие ф ЕЕ Т (К)
равносильно соотношению U (К) cz U (ф), которое можно переписать в виде
Поэтому характеристическая функция %0 (п) совокупности канонических
формул, истинных на К, примитивно рекурсивна. Но тогда и характерис-
характеристическая функция Хо (о" (п)) совокупности всех замкнутых формул, истинных
на К, будет примитивно рекурсивна, что и требовалось.
Аналогичным образом легко устанавливается, что элементарная теория
аксиоматизируемого класса локально S-свободных алгебр тогда и только
тогда рекурсивно перечислима, когда рекурсивно перечислимо дополнение
спектра указанного класса.
Отметим, наконец, что, хотя существуют рекурсивно аксиоматизируемые
классы локально свободных алгебр, имеющие неразрешимые теории, ни один
из классов локально свободных алгебр не может иметь существенно неразре-^
шимой теории, так как в каждом классе есть подкласс с конечным спектром,
теория которого разрешима.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Об элементарных теориях локально свободных универсальных ал-
алгебр.— Докл. АН СССР, 1961, 138, № 5, 1009—1012.
2. Г. Биркгоф. Теория структур. М., ИЛ, 1952.
3. А. И. Мальцев. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
4. А. И. Мальцев. Модельные соответствия.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 3,
313—336.

СТРОГО РОДСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ
И РЕКУРСИВНО СОВЕРШЕННЫЕ АЛГЕБРЫ*
Настоящая заметка возникла в связи со следующим вопросом А. Мостов-
Мостовского, сформулированным в книге [1] на стр. 84. Рассматривается арифме-
арифметика S = <{0, 1, 2,. ..},+, Х> и спрашивается, можно ли на натуральном
ряде определить бинарную операцию * и фиксировать натуральные числа
«!,..., ар так, чтобы одновременно выполнялись условия: 1) натуральный
ряд должен быть группой относительно операции *; 2) отношение х * у = z
должно быть представимо формулой узкого исчисления предикатов на S;
3) отношения x-\-y = znxXy = z должны быть представимы формулами
узкого исчисления предикатов на группе <{0, 1, 2,. . .}, *, ах,. . ., аРУ
с выделенными элементами а1?. . ., ар. Ниже указывается решение общей за-
задачи, родственной упомянутой задаче А. Мостовского. Из этого решения в ка-
качестве сопутствующего результата вытекает и положительный ответ на воп-
вопрос А. Мостовского.
1. Строгая родственность моделей. Пусть Кх, К2 — произвольные клас-
классы моделей сигнатуры соответственно аг = {Pi,. . ., Ps, Яц- • •» Яр} и
<т2 = {Qn- • • » Qu &i»- • •» bq}. Через г$г (i = 1, 2) обозначим совокупность
всех формул узкого исчисления предикатов, имеющих сигнатуру Gt. Через
% (Кг) обозначим подмножество тех замкнутых формул из %г, которые ис-
истинны на каждой модели класса Кг-. Пусть 9? (х) — некоторая формула из
$2, содержащая лишь одно свободное предметное переменное х. Задать г о-
моморфизм ф множества %г в $2 это значит с каждым предикатным сим-
символом Рг (хх,. . ., хп) сопоставить определенную формулу фг- (хг,. . ., хщ)
из §2, а с каждым индивидуальным предметным символом aj сопоставить
некоторую формулу 9t7- (x) из S2 c одной свободной предметной переменной х.
Бели ф — формула из ^х, то через ffi будем обозначать формулу из §2»
полученную из© путем следующих преобразований: 1) вместо Pt (%. . . йп.)
в-ф всюду пишем tyt (ах,. . ., ani); 2) кванторы в © ограничиваем на множест-
множество К тех элементов х, для которых К (х) истинно; 3) если в полученной после
преобразований 1), 2) формуле©! есть индивидуальные знаки а1?. . .,ар,
то вместо ©х пишем формулу C% . . . ap)(©!&9t (аг) & . . .&9t(ap)), ко-
которая и будет искомой формулой ©ф.
Гомоморфизм ф Si в $2 называется относительной Э1-и н-
терпретацией КхвК2 (см. [1]), если £ (К^ с £ (^2)- Относительная
^-интерпретация называется просто интерпретацией, если 91 (х) тождест-
тождественно истинно на К2.
Классы моделей К1? К2 называются родственными, если суще-
существуют интерпретация ф Кх в К2 и интерпретация яр Кх в К2 такие, что
(Ка) (® е Si," © е 8fa); (l)
я,- (х)ф) е £ (К2). B)
* Докл. АН СССР, 1962, 145, № 2, 276—279.

Строго родственные модели и рекурсивно совершенные алгебры 231
Пусть ф — ^-интерпретация Кх в К2, -К = <JV; Qx, . . ., Qt, bx, . .
. . ., bqy, — некоторая К2-модель. Модель W = <9t; ty^ . . ., $PS, 3t2,. . .
. . ., ЩРУ, где 9? — совокупность тех элементов из N, для которых 9? (х)
истинно, условимся обозначать через Э£ф. ^-интерпретацию ф условимся
называть изоморфной, если для каждой модели f из Кх в К2 суще-
существует модель Этакая, чтоЭ£ф изоморфна Ж. Классы Кх и К2 будут называть-
называться строго родственными, если найдутся изоморфные интерпре-
интерпретация ф Кх в К2и интерпретация я|з К2 в К1? удовлетворяющие условиям A), B).
Изложенные понятия будут применяться далее к случаю, когда Кх и К2
содержат лишь по одной модели.
2. Рекурсивно совершенные алгебрдо. Взаимно однозначное отображение
а некоторого множества натуральных чисел Da на основное множество М
модели SR = <ilf; Рг,. . ., Ps, аг,. . ., аРУ называется нумерацией
3R. Нумерация а называется рекурсивной [2], если Da рекурсивна
и все предикаты Рг,. . ., Ps при а обращаются в рекурсивные отношения на
Da. Модель Ж условимся называть рекурсивно устойчивой,
если все ее рекурсивные нумерации рекурсивно эквивалентны нумерации а.
В [2] показано, что каждая рекурсивно нумерованная конечно порожденная
алгебра рекурсивно устойчива. Однако рекурсивной устойчивостью может
обладать и алгебра, не имеющая конечного числа порождающих.
Теорема 1. Каждое поле К, являющееся конечным расширением поля
рациональных чисел, каждая группа SL (п, К) над таким полем К при п > 2t
а также группа RSL (п, К) всех треугольных матриц из SL (п, К) и любая
полная нильпотентная группа конечного ранга без кручения являются ре-
рекурсивно нумеруемыми рекурсивно устойчивыми алгебрами.
Доказательство легко проводится непосредственно для полей К и ниль-
потентных групп. Основные этапы доказательства для групп SL (п, К) и
RSL (п, К) указаны ниже в п. 3.
Рекурсивно нумерованная рекурсивно устойчивая модель или алгебра
называется рекурсивно совершенной, если она- бесконечна
и каждый рекурсивный предикат, определенный на этой модели, предста-
представим формулой узкого исчисления предикатов. Теорема Гёделя [1] показывает,
что арифметика S является рекурсивно совершенной алгеброй. Из определе-
определения также непосредственно следует
Теорема 2. Любые две рекурсивно совершенные модели строго род-
родственны друг другу.
Относительную ^-интерпретацию ф модели SR = <Af; Р1?. . ,,Р8, %,. . .
. . ., ару в модели SR = <iV; Q±,. . ., Qt, Ьх,. . ., bq\ имеющей рекурсив-
рекурсивную нумерацию |3, назовем рекурсивной, если отношения Р^ =
= tyt (#!,. . ., xnj) (i = 1,. . ., s) и $R(x) рекурсивны в нумерации р.
Теорема 3. Пусть существует относительная изоморфная и рекур-
рекурсивная интерпретация ф рекурсивно совершенной модели Ж = <Af; P±,. . fc
. . ., Psy в рекурсивно нумерованной модели 31 = <iV; Qx, . . ., Qu bx,. . „
. . ., bqy и пусть существует формула 1-й ступени U (х; хг,. . ., хг), пред-
представляющая одно-однозначное рекурсивное отображение некоторого множе-
множества @ последовательностей (хг,. . ., хТУ элементов из 9? на всю модель^.
Тогда модель SR строго родственна Ж. Если, сверх того, модель SR рекурсив-
рекурсивно устойчива, то она и совершенна.
Доказательство. Пусть Р* = фг (I = 1,. . ., s). Модель 3R0 ==
= <Э1; ф1?. . ., $ps> рекурсивна и абстрактно изоморфна совершенной мо-

232 Строго родственные модели и рекурсивно совершенные алгебры
дели 5R.. Поэтому модель Жо также совершенная. Множество @ рекурсивно
перечислимое. Поэтому существует рекурсивное на 91 отношение 95 (х; хх, . . .
. . ., хг),< одно-однозначно отображающее 91 на @. Так как модель SR0 совер-
совершенная, то отношение 95 представимо на SR формулой узкого исчисления пре-
предикатов. Но тогда формула
df
28 (х, у) = (Я*!,..., жг) (Л« Ы & 95 (ж; я1?..., xr) &U (у; а^,..., жг)) (& SR (ж)
х
представляет одно-однозначное рекурсивное отображение 91 на N. Полагая
по определению
, df , df
видим, что гр есть изоморфная и рекурсивная интерпретация 9R на модели 91.
Поэтому модель Жх = <iV; Р^,. . ., Psy совершенная. На модели Жх опреде-
определены рекурсивные предикаты Qj. В силу совершенности SRX предикаты Qj
•формульно выражаются через Р\.
Итак, модели Ж и -К строго родственные и, сверх того, на SR любое рекур-
рекурсивное отношение формульно представимо. Поэтому если известно, что SR
рекурсивно устойчива, то она будет и рекурсивно совершенной.
Следствие. Кольцо целых рациональных чисел, а также любое ко-
конечное расширение поля рациональных чисел, не имеющее нетривиальных
автоморфизмов, являются рекурсивно совершенными алгебрами.
Действительно, если К — конечное расширение поля рациональных чи-
чисел и 0 — примитивный элемент К, то, согласно Ю. Робинсон [3], существует
формула 91 (х), выделяющая в К рациональные числа, а формула
П(х; хъ .. .,хп) = (Щ(х = х1 + хгв + .. .+xnQn-x&f(Q) = 0)
дает одно-однозначное отображение 91 на множество систем (хг,. . ., хпу
рациональных чисел (/ — неприводимый многочлен, корнем которого яв-
является 0 и п — степень /).
3. Линейные группы. Согласно замечанию А. Мостовского [1], группы
автоморфизмов строго родственных моделей изоморфны. Рекурсивно совер-
совершенные алгебры не имеют нетождественных автоморфизмов, а все бесконеч-
бесконечные группы имеют. Поэтому рекурсивно совершенными могут быть группы
лишь, самое меньшее, с двумя выделенными элементами, и такие группы, как
показывает следующая теорема, действительно существуют.
Теорема 4. Группы SL (п, К) и RSL (п, К) над рекурсивно совершен-
совершенным полем К с выделенными матрицами А, В являются рекурсивно совершен-
совершенными при п ^ 3.
Здесь SL (п, К) — группа матриц порядка п с единичным определителем
с элементами из К; RSL (п, К) — группа всех треугольных матриц из
SL (п, К); А — клетка Жордана с единицами по диагонали; В — транспони-
транспонированная клетка для А в случае групп SL (п, К) и В — произвольная диаго-
диагональная матрица «общего» вида из SL (п, К) в случае, когда рассматривают-
рассматриваются группы RSL (п, К).
Мы укажем общий ход доказательства для групп RSL ( 3, К) и SL C, К)
при условии, что характеристика К не равна 3. Сходные рассуждения имеют
силу и для матричных групп более высокого порядка. Рекурсивная нумера-
нумерация поля К индуцирует естественным образом рекурсивную нумерацию
группы SL C, К), которую мы далее и будем иметь в виду.

Строго родственные модели и рекурсивно совершенные алгебры 233
Сначала рассмотрим группу RSL C, К) с фиксированными матрицами
А = е11 + ^22 + ^33 + е12 + ^23 И ^ = ^Al + &2*22 + ^3^33» ГДе ^1^ =^= ^З^
Полагая
SR (X) = (ЗУ) (AY = YA& YBAB^ - J54J5 Y & У3 = X),
SR!(X) = X2= Е&ХфЕ&ХВ = ВХ,
«R2 (X) « (ЯУ) (Ri (У) & X = А^ГЛ^У) & Ж (X),
видим, что 91 состоит из матриц вида Е + ае13, a 9?2 содержит лишь матрицу
Е + е13, где Е = еп + е22 + е3з- Полагая теперь (см. [4])
z = xey = z=: ху,
Z = ХоУ = (SLUVW)(UB = BU&VB = BV&M2(W)&UW =
= ХС/&УИ^ = У7& С/ТИ^ = ZUV) \J(X = E\/Y = E)&Z = Е)у
получим рекурсивную ^-интерпретацию К в RSL C, К) с изоморфизмом
а -+Е + ае13 поля К на доле <9t; ф, о).
Используя некоторые частные свойства треугольных матриц, нетрудно
построить формулу Ц (X; Хп, Х22, Х331 Х12, Х13, Х23), истинную лишь для
матриц вида Хц = Е + а$е^, X = ^а^е^ yi </» Tian = 1) и^ следова-
следовательно, одно-однозначно отображающую группу RSL C, К) на совокупность
последовательностей <ХП, Х22, Х33, -^13? -X"i2» ^2з> элементов множества SR.
Чтобы удовлетворить условиям теоремы 3 и тем самым доказать совер-
совершенность группы RSL C, К), остается доказать лишь рекурсивную устой-
устойчивость этой группы. Рекурсивная нумерация поля К индуцирует естест-
естественную рекурсивную нумерацию а группы RSL C, К). Пусть |3—какая-ли-
|3—какая-либо другая рекурсивная нумерация этой группы. Из вида формулы 91 (х) и
формул для ф и о легко заключаем, что множество 91 и операции ф, о рекур-
рекурсивны в любой рекурсивной нумерации RSL C, К). Так как модель <9t;
ф, о> рекурсивно совершенная, то нумерация аир на ней рекурсивно экви-
эквивалентны, т. е. существует алгоритм Л, позволяющий по номеру какого-
либо элемента 91 в одной из нумераций а, |3 найти его номер в другой нуме-
нумерации. Из конструкции упомянутой выше формулы U можно извлечь алго-
алгоритм 3d для нахождения номера матрицы X по номерам ее «координатных»
матриц Xtj (£,<C ]) в любой рекурсивной нумерации рассматриваемой груп-
группы. Теперь, зная а-номер какой-либо матрицы X этой группы, находим
а-номера матриц Xtj с помощью алгоритма S3. Пользуясь алгоритмом ЛУ
находим р-номера матриц Xtj и с помощью алгоритма 33 находим р-номер X.
Таким образом, рекурсивная совершенность группы RSL C, К) с выделен-
выделенными элементами А, В доказана.
Рассмотрим теперь группу SL C, К) с выделенными матрицами А = Е +
+ е12 + е23 и А' = Е + е21 + е32. Формулы
df df
ф (X) = ХАХ-1 А = АХАХ~\ ф' (X) = ХА'Х^А' = Л'ХЛ'Х
выделяют в SL C, К) соответственно подгруппу верхних треугольных мат-
матриц G2 и подгруппу G2 нижних треугольных матриц, диагональ которых
удовлетворяет некоторому условию. Формула ф (X) & ф'(Х) & Х6А Ф АXе

234 Строго родственные модели и рекурсивно совершенные алгебры
выделяет в SL C, К) совокупность диагональных матриц вида хе1Х + ахе22-\-
-Ь a2xe3S, где а6 Ф 1, х3а3 = 1. Любую матрицу, перестановочную с матри-
матрицей указанного вида, но не имеющую этого вида и отличную от Е, можно
принять в качестве матрицы В для построения в группах Gx и G2 с помощью
.матриц А, А' «координатизирующих» формул Ux (X; Zn, Z22, X33, Х12,
Jl13, Х23) и U2 (X; Хп, Х22, Х33, Х21, Х31, Х32). Наконец, пользуясь тем, что
жаждая матрица из SL C, К) представима в виде Y^Y2Y^Y^Yb (Y\, Ys,
ys e Gx; F4, F2 ^ G2), и зная формулы Ux и U2, легко построить координати-
Бирующую формулу для самой группы SL C, К). Рекурсивная устойчивость
SL C, К) легко получается из рекурсивной устойчивости подгрупп Gx hG2.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Tarski, A. Mostowski, R. Robinson. Undecidable theories. Amsterdam, 1953.
2. А. И. Мальцев. Конструктивные алгебры, I.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3, 3—60.
3. /. Robinson. The undecidability of algebraic rings and fields.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1959, 10, N 6, 950—957.
4. А. И. Мальцев. Об элементарных свойствах линейных групп.— В кн.: Некоторые про-
проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961, с. 110—132.

О РЕКУРСИВНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ*
Придерживаясь терминологии обзора [1], конструктивной (ил#
рекурсивной) группой далее будем называть группу G, снабженную
однозначным отображением а некоторого рекурсивного множества Da на-
натуральных чисел на Gy при условии, что существуют рекурсивные функ-
функции Э (х, у), / (х, у), обладающие свойствами:
Отображение а, обладающее всеми перечисленными свойствами, называется
конструктивной нумерацией группы G. Группы, кон-
конструктивные нумерации которых существуют, называются к о н с т р у к-
тивизируемыми или вычислимыми. Естественно возникает
общая задача: определить, какие конструктивные нумерации допускают те
или иные абстрактно заданные группы, какие из подгрупп той или иной кон-
конструктивной группы являются ее рекурсивными или рекурсивно перечне-
лимымй подгруппами и т. п. Ниже указываются некоторые исходные резуль-
результаты этого направления для случая абелевых групп.
1. Из замечаний обзора [1] следует, что при доказательстве «положитель-
«положительных» частей следующих ниже теорем можно пюедполагать, что элементами
конструктивной группы являются натуральные числа, а групповой опера-
операцией является общерекурсивная двуместная функция. Примеры конструк-
конструктивных групп будут даваться в виде групп с определяющими соотношения-
соотношениями. При этом если порождающими группы служат символы хх, х2,. . ., то
элементом номера п будет всегда предполагаться элемент х^х^* . . . х^к,
где пг, щ,. . ., nk — последовательность целых чисел номера п в стандарт-
стандартной нумерации (см. [1]).
Теорема 1. Периодическая часть конструктивной группы рекурсив-
рекурсивно перечислима. Существуют конструктивные абелевы группы, периодичес-
периодическая часть которых не является рекурсивной.
Алгоритм для перечисления периодической части строится очевидным
образом. В качестве конструктивной группы с нерекурсивной периодической
частью можно взять абелеву группу с порождающими х±, х2,. . . и опреде-
определяющими соотношениями
ях<п)= 1 (п = 1,2, . . .),
где К (п) — разнозначная общерекурсивная функция, совокупность значе-
значений которой нерекурсивна.
Если G — группа, то через П (G) обозначаем совокупность тех простых р,
для которых в G существует элемент порядка р. р-примарной компонентой G
называется совокупность элементов GGJ), включая единицу G, порядок ка-
торых имеет вид ps ($ = 1, 2,. . .).
* Докл. АН СССР, 1961, 146, № 5, 1009—1012.

236 О рекурсивных абелевых группах
Теорема 2. Все примарные компоненты конструктивной периодиче-
периодической группы G рекурсивны; множество П (G) рекурсивно перечислимо. Для
каждого рекурсивно перечислимого множества П простых чисел существует
периодическая абелева конструктивная группа G, для которой П = П (G).
Пусть (?!, G2,. . . — некоторая последовательность нумерованных групп
т пусть ап — нумерация Gn с номерным множеством Dn. Ставя натурально-
натуральному числу п в соответствие элемент а1п1-а2п2- . . .-aknk прямой суммы G =
= G^ + Ga 4- . . ., где пх, . . ., nk — набор натуральных чисел, имеющий
^стандартный номер п, получим нумерацию группы G, которую будем назы-
называть стандартной.
Если Характеристическая функция % (п, х) множества Dn, а также функ-
функции Qn (х, у) и fn (х, у) для группы Gn будут общерекурсивными функциями
от х, у, п, то стандартно нумерованная прямая сумма Gx + G2 + . . . будет
конструктивной группой. В частности, если G — конструктивная периоди-
периодическая абелева группа и П (G) = {pV(i), PvB), • • •}> гДе v @ — разнознач-
разнозначная рекурсивная функция, то G конструктивно эквивалентна прямой сум-
сумме своих прймарных подгрупп GpvA) £pv/2)> • • •» взятой со стандартной ну-
нумерацией.
2. Нумерации аир какой-нибудь алгебры назовем автоэквива-
автоэквивалентными, если существует абстрактный автоморфизм сг алгебры 9t
такой, чтЬ нумерации ста и р рекурсивно эквивалентны. Алгебру 91 будем на-
называть автоустойчивой, если все ее конструктивные нумерации
автоэквив&лентны. Алгебры, все конструктивные нумерации которых рекур-
рекурсивно эквивалентны, в заметке [2] названы рекурсивно устойчивыми. Из
рекурсивной устойчивости, очевидно, вытекает автоустойчивость, но не на-
наоборот. Конструктивно эквивалентных нумераций у каждой абстрактно за-
заданной алгебры не более счетного множества. Автоморфизмы переводят кон-
конструктивные нумерации в конструктивные. Поэтому алгебра с несчетной груп-
группой автоморфизмов не может быть рекурсивно устойчивой.
Абелева группа Арп с порождающими atj и определяющими соотноше-
соотношениями а%+1 = atj (р простое, i = 1,. . ., п; j = 0, 1,. . .; ai0 = 1) называет-
называется полной /^-примитивной абелевой группой ранга п. Стандартная нумерация
ее конструктивна. Группа автоморфизмов Арп несчетная, и потому Арп
не является рекурсивно устойчивой. В то же время легко доказать, что Арп
для любого конечного п является автоустойчивой группой.
Известно, что полные абелевы группы конечного ранга без кручения вы-
вычислимы и рекурсивно устойчивы [2]. Полная абелева группа Roo без кру-
кручения счетного ранга является прямой суммой группы 1-го ранга и потому
допускает конструктивные нумерации. Группа автоморфизмов R^ несчет-
несчетная, и потому i?oo не является рекурсивно устойчивой.
Конструктивную абелеву группу G назовем группой с алгоритмом ли-
линейной зависимости, если существует алгоритм, позволяющий для любой
системы натуральных чисел пх, п2,. . ., щ сказать, являются ли или нет
линейно зависимыми в G элементы с номерами щ, п2 . . ., щ.
Теорема 3. Для того чтобы конструктивная абелева группа без
кручения счетного ранга обладала алгоритмом линейной зависимости, необ-
необходимо и достаточно, чтобы она имела рекурсивно перечислимый базис.
Конструктивная нумерация а группы R^ тогда и только тогда автоэк-
автоэквивалентна конструктивной нумерации Р группы R^, обладающей рекурсивно
перечислимым базисом, когда а также обладает рекурсивно перечислимым ба-

О рекурсивных абелевих группах 237
зисом. Существуют конструктивные нумерации Л», при которых не суще-
существует рекурсивно перечислимого базиса в Roo- ,
Чтобы построить пример конструктивной полной абелевой группы без
кручения, не имеющей алгоритма линейной зависимости, обозначим через
Roo аддитивную группу линейных форм от переменных хг, х2У . . . с рацио-
рациональными коэффициентами и стандартной нумерацией этих форм. Пусть
v (п) — рекурсивная разнозначная функция, совокупность значений кото-
которой нерекурсивна. Подпространство Н, порожденное в Roo формами i#2v(i) —
— #2v(i)+i (i = 0, 2,. . .), как легко видеть, рекурсивно. Поэтому нумерация
Roo является конструктивной нумерацией фактор-группы R<x>/H. Алгоритма
линейной зависимости в RoolH нет, так как вопрос о линейной зависимости
р2п и ^271+1в RoolH равносилен вопросу о вхождении числа п в множество значе-
значений функции v(£), который по предположению алгоритмически не решается.
Из теоремы 3, в частности, следует, что абелева полная группа без круче-
кручения счетного ранга вычислима, но автоустойчивой не является.
Указанная нумерация группы RoolH дает отрицательный ответ также на
вопрос о существовании алгоритма, позволяющего в каждой конструктив-
конструктивной абелевой группе ранга 2 без кручения находить пару базисных элемен-
элементов. Более точно: пусть U (п, х, у) — универсальная частично рекурсивная
функция Клини, при различных значениях п дающая всевозможные двумест-
двуместные частично рекурсивные функции. Спрашивается, существуют ли обще-
общерекурсивные функции ф (тг), i|) (п) такие, что если при некотором п функция
U (п, х, у) будет групповой операцией на множестве натуральных чисел,
обращающей это множество в полную абелеву группу без кручения ранга 2,
то числа ф (п), i|) (п) будут линейно независимыми элементами этой группы?
Из теоремы 3 вытекает отрицательный ответ на этот вопрос.
3. Пусть G — конструктивная абелева группа без кручения ранга г
с заданными базисными элементами gu. . ., gr. Находя для каждого gE G
целые числа т, mt1. . ., тг такие, что mg = mxgx + . . . + nirgr, и ставя
в соответствие элементу g линейную форму 1- -—х2 + ...-( L#rOT не-
независимых переменных х2,. . ., хг, получим рекурсивное отображение G
в группу линейных форм Rr. Поэтому каждая конструктивная абелева
группа без кручения ранга г рекурсивно эквивалентна подходящей рекурсивно
перечислимой подгруппе группы i?r, содержащей единичные формы 1, х21. . .
. . ., хг. То же самое справедливо и для группы R^ с естественной нумерацией
и конструктивных абелевых групп G без кручения с рекурсивно перечисли-
перечислимым базисом.
Мы хотим теперь более детально рассмотреть подгруппы группы Rx.
Пусть G — подгруппа группы Rx, содержащая число 1. Через D (G) обозна-
обозначим совокупность пар (i, n) натуральных чисел, для которых /?i~nS G, где
Pi — i-e простое. i
Л е м ц а. Подгруппа G С R1 тогда и только тогда рекурсивна или ре-
рекурсивно перечислим^, когда рекурсивным иш соответственно рекурсивно
перечислимым является множество D (G).
В теории групп обычно подгруппы из i?x, содержащие 1, описываются при
помощи характеристик, т. е. последовательностей вида a (G) = (а0, а1?
а2,. . .), где каждое а^есть или натуральное число, или символ оо. Переход
от D (G) к a (G) совершается по правилу: at = д, если /?ГП£= G, р\п~ ё= £>
и at = оо, если pln S G для п = 1, 2,. . .

238 О рекурсивных абелевых группах
Введем частичную функцию а (х), полагая a (i) неопределенной, если
о&. = оо, и полагая a (i) = а^ для остальных значений i. Функцию а (х),
так же как и последовательность а, далее будем называть характеристикой
подгруппы G. Связь между D (G) и соответствующей характеристикой а (х)
выражается формулой]
а @ = \xx((i, х)Ш
из которой легко следует
Теорема 4. Подгруппа G тогда и только тогда рекурсивна, когда ее
характеристика представила в виде
a (i) = ixx (/ (i, x) = 0),
где f (i, x) — подходящая общерекурсивная функция.
Подгруппа G тогда и только тогда рекурсивно перечислима, когда ее ха-
характеристика представима в виде
a (i) — \лх (/ (£, х) = неопределенная),
где f (i, x) — подходящая частично рекурсивная функция.
Число п назовем обыкновенной точкой подгруппы G, если ап Ф оо.
Совокупность обыкновенных точек рекурсивной подгруппы является ре-
курсивно перечислимым множеством. Каждое рекурсивно перечислимое мно-
множество натуральных чисел есть совокупность обыкновенных точек подходя-
подходящей рекурсивной подгруппы.
Действительно, если / (х) — какая-либо рекурсивная функция, то под-
подгруппа G с характеристикой
а @ = [ix (/ (х) = 0
является в силу теоремы 4 рекурсивной и имеет своим множеством обыкно-
обыкновенных точек совокупность значений функции /.
Замечание. Пусть а (х) — характеристика некоторой подгруппы
G группы Н±. Совокупность а^ тех х, для которых а (х) > п или а (х) не-
неопределенно, является рекурсивной у рекурсивной G и рекурсивно перечисли-
перечислимой у рекурсивно перечислимой G.
В качестве примера рассмотрим подгруппу G с характеристикой a (i) =
= \ix (U (i, ^-неопределенная), где U (i, x) — универсальная функция
Клини. Совокупностью а(п> здесь служит совокупность номеров тех функций,
которые определены в точках 0, 1, . . ., п — 1. По теореме Раиса a<n> не мо-
может быть рекурсивной. В силу теоремы 4 и замечания G — нерекурсивная
рекурсивно перечислимая подгруппа в R±m
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. И. Мальцев. Конструктивные алгебры, I.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3, 3—60.
2. А. И. Мальцев. Строго родственные модели и рекурсивно совершенные алгебры.—
Докл. АН СССР, 1962, 145, № 2, 276-279.

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ КЛАССОВ МОДЕЛЕЙ*
Введение
Теория моделей, часто называемая также теорией алгебраических сис-
систем, является дисциплиной, пограничной между абстрактной алгеброй и ма-
математической логикой. В течение пятилетия, протекшего со времени пре-
предыдущего Всесоюзного математического съезда, появилось много важных
работ по теории моделей, благодаря которым сегодня можно уже с уверен-
уверенностью говорить о теории моделей как о развитой самостоятельной дисцип-
дисциплине. В настоящем докладе будет сделана попытка очертить современную
проблематику некоторых разделов теории классов моделей и сделать обзор
основных результатов по этим разделам, опубликованных преимущественно
в последние годы. Сводка более ранних результатов содержится в известном
обзоре А. Мостовского [51].
§ 1. Основные понятия
1.1. Алгебры и модели
Под тг-членной (тг-арной) операцией на множестве М понимается функция
от п аргументов, определенная на множестве М, значения которой принад-
принадлежат этому же множеству. Под тг-местным (тг-арным или тг-членным) преди-
предикатом на М понимается тг-арная функция, определенная на М, значения ко-
которой принадлежат особому двухэлементному множеству. Элементы послед-
последнего множества называются истиной и ложью и обозначаются И и Л. Если
Р — тг-членный предикат на М, а19. . ., ап£Е М и Р (а19. . ., ап) = И,
то говорят, что элементы %,..., ап находятся в отношении Р.
Отношения «а делит &», «а взаимно просто с Ь» могут служить примерами
бинарных предикатов, определенных на множестве натуральных чисел. От-
Отношение «точка А лежит между точкой В и точкой С» может служить приме-
примером тернарного предиката, определенного на множестве точек прямой.
Пусть / (х19. . ., хп) — операция, определенная на множестве М. Вво-
Вводим на М предикат F (х19. . ., хп, х), полагая по определению
}Я, если /(хъ...,хп) = х,
Ь (Хл, . . . , Хп, X) = { „ . , ч A)
къ w } [Л, если /(хъ ...,хп)фх. w
Предикат F называется предикатом, отвечающим операции /. Зная F,
мы знаем /, и потому изучение операций можно рассматривать как изучение
предикатов определенного частного вида.
Множество М, снабженное конечной системой операций fl9. . .,/s, рас-
расположенных в определенном порядке, называется алгеброй. Множество М,
снабженное конечной последовательностью предикатов Рг,. . ., Ps, назы-
называется моделью. Множество М, операции /х,. . ., /s и предикаты Рг,. . ., Ps
* IV Всес. матем. съезд. Ленинград, 1963. Труды, т. 1, с. 169—198.

240 Некоторые вопроси теории классов моделей
называются соответственно основным множеством, операциями и предика-
предикатами заданной алгебры или модели. Более подробно указанные алгебра и мо-
модель обозначаются следующим образом:
<АГ; Л,- • -,/.>, <М; Р19. . .,Р8>. B)
Так, например, выражение' <{0, 1, 2,. . .}; + > означает алгебру, основ-
основным множеством которой служит совокупность всех натуральных чисел,
а единственной основной операцией является сложение чисел. Аналогично
выражение <{0, 1, 2,. . .}; ^, |> обозначает модель с тем же основным мно-
множеством, основными предикатами которой являются отношение порядка ^
и отношение делимости |.
Если щ — членность операции ft или соответственно предиката Pf в
B), то последовательность <%,. . ., ns > называется типом соответствующей
алгебры или модели. Например, тип группоида есть <2>, тип структуры (ре-
(решетки) <2, 2>, тип алгебры Буля <2, 2, 1> и т. п.
Пусть 9t = <Af; fl9. . ., /g> — некоторая алгебра. Обозначим через
Р% (#i»« • •» Япч х) предикат, отвечающий fi9 т. е. определенный по схеме A).
Модель 9R = <М; Fl9. . ., Fsy называется моделью, отвечающей алгебре 91
или представляющей эту алгебру. Так как модель SR вполне определяет пред-
представляемую ею алгебру, то теорию алгебр можно рассматривать как теорию
моделей специального вида. Например, кольцо <{0, ±1, ±2, . . .}; +, X >
можно рассматривать и как алгебру типа <2, 2>, и как модель <{0, ±1,
± 2,. . .}; S, РУ типа <3,3>, где S и Р — предикаты, представляющие сло-
сложение и умножение.
Гомоморфизмом модели Ж = <М; Р19. . ., Р8У в однотипную модель
Ж' = <М; Р19. . ., Р8У называется отображение ф множества М в множест-
множество М' такое, что для любых х19. . ., хщ из М из истинности Pt (xl9. . ., хп.)
следует истинность Рг (х1у9. . ., хщц)) (i = 1,. . ., s). Если, сверх того,
отображение ф взаимно однозначно и обратное отображение ф — также
гомоморфизм, то ф называется изоморфизмом 9R на SR'. Модели 39? и SR' на-
называются изоморфными, если существует изоморфизм Ж на SR'.
Гомоморфизм ф модели SR в модель Ж' называется сильным, если из ис-
истинности Pt (а^ф,. . ., ХщЧ>) следует существование таких у19. . ., уп. в М,
что г/хф = ^ф, . . . , yni ф = хпк ф и Pt (г/х,. . ., ущ) истинно.
Для алгебр понятия гомоморфизма и изоморфизма определяются обыч-
обычным образом, причем обычные и сильные гомоморфизмы для алгебр означают
одно и то же. Легко видеть также, что отображение алгебры в однотипную ей
алгебру тогда и только тогда гомоморфизм, когда это отображение есть го-
гомоморфизм для отвечающих указанным алгебрам моделей.
1.2. Классы моделей
Произвольная система однотипных моделей называется классом моде-
моделей. Типом класса называется тип входящих в него моделей. Среди классов
моделей данного типа существует наибольший — система всех моделей этого
типа. Остальные классы являются подклассами этого класса*.
* Если рассматривать систему всех моделей данного типа как множество, то возникают
известные противоречия типа множества всех множеств. Поэтому при рассмотрении
классов моделей либо заранее каким-то образом ограничивают эти классы, либо придер-
придерживаются какой-нибудь аксиоматики теории множеств и т. п.

Некоторые вопроси теории классов моделей 241
Класс моделей называется абстрактным, если он вместе с любой своей
моделью содержит и все ей изоморфные. Далее почти всегда будут рассмат-
рассматриваться лишь абстрактные классы моделей.
При изучении общих свойств моделей фиксированного класса К обычно
вводят особые символы, обозначающие соответственно 1-й, 2-й и т. д. преди-
предикаты на произвольной модели класса К. Совокупность этих символов при
условии, что указаны их членности, называется сигнатурой класса К. Та-
Таким образом, чтобы задать модель данной сигнатуры, надо указать некоторое
множество М и каждому сигнатурному знаку поставить в соответствие пре-
предикат надлежащей членности, определенный на М. Этот конкретный пре-
предикат на М называется значением предикатного символа в получающейся
таким образом модели с основным множеством М.
Понятия алгебры и модели можно обобщать в разных направлениях.
Прежде всего, часто приходится рассматривать модели и алгебры, у которых,
кроме основных предикатов и операций, существенную роль играют некото-
некоторые выделенные элементы. Символические обозначения этих элементов вклю-
включаются в сигнатуру соответствующей модели или алгебры, а в записи типа
обозначаются нулями. Например, задать алгебру типа <2, О, СГ> значит за-
задать основное множество М, на нем определить бинарную операцию и фик-
фиксировать пару элементов.
Иногда встречаются множества, на которых одновременно заданы опе-
операции, предикаты и выделены особые элементы. Такие образования принято
называть алгебраическими системами. Модели и алгебры — частные виды
алгебраических систем. Однако заменяя в алгебраической системе все опе-
операции отвечающими им предикатами, получим модель, изучение которой дает
и свойства первоначальной алгебраической системы.
До сих пор рассматривались лишь системы, на которых были заданы
конечные совокупности операций, предикатов и элементов, причем операции
и предикаты имели лишь конечное число аргументов. Отказываться от усло-
условий конечности можно в двух направлениях:
1) можно допускать бесконечные системы основных предикатов, операций
и выделенных элементов, но при этом требовать, чтобы операции и предикаты
были с конечными числами аргументов;
2) можно допускать операции и предикаты с бесконечным числом аргу-
аргументов. Хотя существуют работы, относящиеся и ко второму направлению,
мы далее будем заниматься лишь системами, все операции и предикаты ко-
которых зависят от конечного числа переменных. При этом системы с беско-
бесконечным числом предикатов и выделенных элементов встречаются так часто,
что далее под словом «модель» будет пониматься обычно модель с произволь-
произвольным! кардинальным числом предикатов и выделенных элементов. Мощность
множества сигнатурных знаков называется порядком модели, а мощность
основного множества модели называется просто мощностью модели.
В развитии общей теории алгебраических систем в настоящее время на-
наметились следующие четыре направления:
А. Общая теория алгебр. По духу и проблематике эта
дисциплина наиболее близка к классической алгебре, например к общей тео-
теории групп. Гомоморфизмы и их ядра, определяющие соотношения, прямые
и свободные разложения были и пока остаются здесь главными объектами
изучения.
Б. Теория классов моделей. Характерной чертой этой
теории является то, что изучение свойств классов моделей и алгебр ведется

242 Некоторые вопроси теории классов моделей
здесь в связи с типом логического языка, на котором определяются исследуе-
исследуемые классы. Поэтому в теории классов моделей приблизительно равноцен-
равноценные роли играют абстрактная алгебра, на языке которой формулируются
общие свойства классов моделей, и математическая логика с ее формальными
языками, на которых задаются классы моделей.
В. Элементарные теории. Пусть с помощью произвольных
логических средств задан некоторый класс моделей К • который может со-
состоять и из одной индивидуальной модели. Исходя из основных предикатов
класса К, можно при помощи тех или иных логических средств определить
на моделях класса К ряд новых предикатов. Спрашивается, какие из них мо-
могут быть определены и на языке узкого исчисления предикатов, являющемся
основным классическим логическим языком? В частности, каковы те свойства
класса К, которые могут быть записаны на языке узкого исчисления; какие
модели не различимы на этом языке? Существует ли алгорифм, распознающий
по записи на указанном языке те свойства моделей, которыми обладают все
модели данного класса? Эти и аналогичные вопросы являются основными
для так называемых элементарных теорий классов моделей. Общее изложе-
изложение некоторых из упомянутых вопросов содержится в книге А. Тарского,
А. Мостовского и Р. Робинсона [66]. Более детально элементарная теория ко-
колец рассмотрена Р. Робинсоном [61], элементарная теория полей рассмат-
рассматривалась Дж. Робинсон [59, 60] и автором [44], элементарная теория групп
изучалась В. Шмелевой [83] и автором [42, 43, 45] и т. д.*
Г. Конструктивные алгебры и модели. Это направ-
направление тесно связано с теорией алгоритмов и рекурсивных функций. В при-
приведенном выше определении модели и алгебры говорится о произвольном ос-
основном множестве, произвольных основных предикатах и операциях. Если
слова «произвольный» в этих определениях заменить словами «конструктив-
«конструктивный» и надлежащим образом уточнить понятие конструктивности, то полу-
получатся определения конструктивных моделей и алгебр. Теория таких образо-
образований находится сегодня еще в стадии становления. Первоначальная свод-
сводка основных понятий и результатов содержится в обзоре автора [46], где
указана и соответствующая литература**.
Далее мы будем рассматривать почти исключительно лишь вопросы, от-
относящиеся ко второму из указанных направлений, т. е. к теории классов
моделей.
1.3. Язык 1-й ступени
Как уже говорилось, основным формальным языком теории моделей
является язык узкого исчисления предикатов с равенством, сокращенно обо-
обозначаемый далее через УИП. Язык этот подробно описывается во всех руко-
руководствах по математической логике (Д. Гильберт и В. Аккерман [86],
П. С. Новиков [53]). Его алфавит состоит из: 1) предметных переменных х, г/,
z, а, 6, хг, х2,. . ., значениями которых служат элементы основного множе-
множества; 2) предикатных переменных Р, R, S, Т, Рг, Р2,. . . различных «членно-
стей», значениями которых служат определенные на основном множестве
* Обзор работ по элементарным теориям, выполненных до 1963 г., см. Ю. Л. Ершов,
К. А. Лавров, А, Л. Тайманов, М. А, Тайцлин. Элементарные теории.— Успехи мат.
наук, 1965, 10, № 4, 37—108.— Црим. ред.
** Обзор работ по теории нумераций содержится в кн.: Ю. Л. Ершов. Теория нумераций.
Новосибирск, НГУ, т. 1, 1969; т. 2, 1973.— Прим. ред.

Некоторые вопроси теории классов моделей 243
предикаты соответствующих членностей; 3) логические символы &, \/, ~~],
->, =, V, 3, содержательно истолковываемые соответственно как: и, или,
не, влечет, равно, для каждого значения, существует такое значение..., что
4) вспомогательных символов — скобок и запятых. Конечные последователь-
последовательности алфавитных символов, образованные по определенным правилам, на-
называются формулами УИП.
В теории классов моделей формулы УИП интерпретируются следующим
образом. Пусть К — какой-нибудь класс моделей, сигнатура а которого
состоит из предикатных символов Рг, Р2- . . и предметных символов аг, а2,. . .
Рассмотрим формулу УИП 91, все предикатные символы которой содержатся
в а и в которой нет связанных предметных переменных, содержащихся в а.
Часть свободных предметных переменных формулы % может входить в а.
Пусть этими переменными являются atl, . . ., aiR. Остальные свободные пред-
предметные формулы % пусть будут #!,..., хп. Наконец, пусть предикатными
переменными, встречающимися в формуле 91, будут Pjt, . . ., PJr Чтобы
указать все это, пишут кратко
91 = 91 (хъ ..., хп) = % (хъ ...,хп; щ19..., aik; Ph,..., Р^).
Выберем теперь какую-нибудь модель сигнатуры а
3R = <АГ; Р19 Р2,. . ., аг, а2, . . .>.
В этой модели символы PJt,. . ., PJt и ait, . . ., aik обозначают какие-то
вполне определенные предикаты и элементы. Если дополнительно еще ука-
указать в множестве М значения для хг,. . .,хп, то формула % при содержатель-
содержательном ее истолковании обратится в некоторое высказывание о модели SR и эле-
элементах #!,..., хп, которое будет истинным или ложным. Тем самым каждому
набору п элементов хг,. . ., хп модели Ж поставлено в соответствие одно из
значений И, Л и, значит, получен тг-членный предикат на Ж. Этот предикат
называется предикатом, определенным формулой % (хг,. . ., хп). Предика-
Предикаты, которые могут быть определены формулами УИП, называются формуль-
формульными на Ж или, соответственно, на классе К,
Формула 9(, не содержащая свободных предметных переменных, назы-
называется закрытой. Такая формула на каждой модели, сигнатура которой со-
содержит сигнатуру формулы, либо истинна, либо ложна и потому может рас-
рассматриваться как утверждение о свойствах модели. Утверждения этого вида
будут далее называться аксиомами.
Язык УИП обладает инвариантностью относительно изоморфизмов мо-
моделей и потому приспособлен для выражения абстрактных свойств моделей.
Более подробно это означает следующее. Пусть Ж, SRr — две модели од-
одной и той же сигнатуры а, ф — изоморфизм 3R на W и % (хг,. . ., хп) —
какая-нибудь формула УИП, сигнатура которой содержится в а и которая
содержит свободные предметные переменные х19. . .,хп. Тогда формулы
9f (#!,. . ., хп) и 91 (^ф,. . ., хпу) либо одновременно истинны, либо одно-
одновременно ложны для любых значений хг,. . ., хп в Ж. В частности, если за-
закрытая формула УИП истинна на какой-либо модели Ж, то она истинна и на
всех моделях, изоморфных Ж.
Наконец, напомним, что формулы вида (хг) . . . (хп) 91 (#!,..., хп), где 91
кванторов не содержит, называются универсальными, или V-формулами.
Формулы вида
... (хт) C уг)... C уп) % (хъ ...,хтшуъ...,уп)

244 Некоторые вопросы теории классов моделей
называются сколемскими, или УЯ-формулами. Формулы вида
Ы • • • (хт) (Яух).. . (Куп) BХ)... (zp) 31 (хг, ...,xm,y1,...,ywz1,..., zp)
называются УЭУ-формулами и т. д.
§ 2. Аксиоматизируемые классы моделей
2.1. Общие свойства
Класс моделей К произвольной (вообще бесконечной) сигнатуры а
называется аксиоматизируемым (или арифметическим, по А. Тарскому [63]),
если характеристические свойства его моделей могут быть описаны на язы-
языке УИП, т. е. если существует такая вообще бесконечная система @ замкну-
замкнутых формул УИП сигнатуры а, что К содержит те и только те модели сигна-
сигнатуры а, на которых все формулы © истинны. Формулы <S называются аксио-
аксиомами, определяющими класс К.
Класс моделей К называется конечно аксиоматизируемым, если он имеет
конечную сигнатуру и может быть задан конечной системой аксиом. Класс
моделей конечной сигнатуры называется рекурсивно аксиоматизируемым,
если он может быть задан рекурсивным множеством аксиом.
Выше отмечалось, что каждый класс алгебр можно рассматривать и как
класс моделей, если вместо основных операций ввести соответствующие пре-
предикаты. Имея это в виду, легко заметить, что многие важные классы алгебр
являются аксиоматизируемыми. Например, конечно аксиоматизируемыми
являются классы всех групп, всех колец, всех решеток (структур), всех по-
полей и т. д. Классы всех групп без кручения, всех полей характеристики О,
всех алгебраически замкнутых полей и многие другие рекурсивно аксиома-
аксиоматизируемы, хотя и не являются конечно аксиоматизируемыми.
Пусть задана некоторая модель Ж = <М; Рг, Р2 . . .)% сигнатура которой
может быть и бесконечной. Рассмотрим произвольное непустое подмножество
М' множества М, и пусть Рг, Р2,. . . — предикаты, определенные на М, зна-
значения которых на М' совпадают со значениями предикатов Рг, Р2,. . . Мо-
Модель Ж' = <АГ; Pi, Ръ,. . .> называется подмоделью модели Ж. Так как
подмодель Ж' однозначно определяется заданием в М подмножества Мг,
то вместо «подмодель <М, Рг, Р2,- . . •>» говорят кратко «подмодель М' мо-
модели М».
Если К — какой-нибудь класс моделей сигнатуры а и Ж — некоторая
модель сигнатуры а, то подмодели модели Ж, принадлежащие К, называются
isT-подмоделями Ж. Например, пусть К— класс групп. Тогда подмодели ка-
какой-нибудь группы & вообще не будут подгруппами @. Подгруппами ® будут
лишь ее if-подмодели.
Исторически первой общей теоремой об аксиоматизируемых классах
моделей явилась классическая
Теорема (Левенгейма — Сколема). Пусть К — аксиоматизируе-
аксиоматизируемый класс моделей, сигнатура которого имеет мощность q, и пусть 3R —
некоторая К-модель. Тогда каждое множество элементов Ж, имеющее мощ-
мощность т, содержится внутри подходящей К-подмодели модели Ж мощности
не выше т + q -f- J$.
Частные случаи этой теоремы: 1) каждое конечное или счетное множество
элементов модели аксиоматизируемого класса К конечной сигнатуры лежит
внутри конечной или счетной if-подмодели этой модели; 2) каждая модель

Некоторые вопроси теории классов моделей 2АЪ
аксиоматизируемого класса К конечной сигнатуры содержит конечную или
счетную jST-подмодель.
Второй случай был доказан впервые Л. Левенгеймом [29]. В общем виде
теорема была доказана Т. Сколемом [62].
Итак, согласно теореме Левенгейма — Сколема в каждом непустом ак-
аксиоматизируемом классе моделей, сигнатура которого имеет бесконечную
мощность <j, содержится модель мощности не выше <t, а в каждом непустом
аксиоматизируемом классе моделей конечной сигнатуры ийеется конечная
или счетная модель. Возникает вопрос: существуют ли в аксиоматизируемых
классах модели наивысшей мощности? В общем случае отрицательный ответ
на этот вопрос дает
Теорема (о расширении моделей, А. И. Мальцев [31]). Если 9R —
бесконечная модель аксиоматизируемого класса К, то в К найдется модель,
мощность которой превосходит любое наперед заданное кардинальное число
и которая содержит SR в качестве своей подмодели. Если в аксиоматизируе-
аксиоматизируемом классе К содержатся модели со сколь угодно большим конечным числом
элементов, то в К содержатся и бесконечные модели.
Хотя в статье [31] была указана более слабая формулировка этой теоремы,
приведенное там доказательство дает теорему расширения в полном объеме.
Доказательство основывается на следующем важном свойстве аксиоматизи-
аксиоматизируемых классов:
Теорема (локальная теорема УИП (теорема компактности) К. Гё-
дель [85], А. И. Мальцев [31, 32]). Пусть задана какая-либо бесконечная си-
система аксиоматизируемых классов моделей фиксированной сигнатуры. Если
пересечение каждой конечной подсистемы классов этой системы непусто, то
пересечение всех классов системы также непусто.
Для случая конечной сигнатуры эта теорема непосредственно вытекает
из теоремы полноты К. Гёделя. В общем случае доказательство опирается
на аксиому выбора. Е. Лосем [84] показано, что из локальной теоремы обрат-
обратно можно вывести аксиому выбора*.
2.2. Малые модели
В теореме о расширениях ничего не говорится о том, расширения каких
именно мощностей существуют у заданной бесконечной модели. Чтобы полу-
получить ответ на этот вопрос, условимся называть модель Ж правильной, если
она бесконечна и ее мощность не меньше мощности сигнатуры 3R. В против-
противном случае 3R будем называть малой моделью [41]. Из теоремы о расшире-
расширениях и теоремы Левенгейма — Сколема непосредственно следует, что каж-
каждая правильная модель 3R аксиоматизируемого класса К допускает погру-
погружение в отличную от Ж модель того же класса К, мощность которой равна
любому наперед заданному кардинальному числу, не меньшему мощности
модели 3R.
При расширении малых моделей могут встретиться особенности. Так,
в упомянутой заметке [41] построены аксиоматизируемые классы Кг и К2
континуальной сигнатуры, обладающие следующими свойствами: а) класс Кг
* Кроме первоначального доказательства локальной теоремы в [31], основанного на так
называемых описаниях моделей и приведении аксиом к сколемской форме, в настоящее
время опубликовано много других доказательств, основанных на существенно иных
идеях (см. например, [48, 55, 77], а также А. И. Мальцев. Алгебраические системы.
М., «Наука», 1970).— Прим. ред.

246 Некоторые вопросы теории классов моделей
содержит конечные модели со сколь угодно большим числом элементов,
и в то же время все бесконечные ^-модели имеют мощность, большую или
равную мощности континуума; б) в классе К2 существует счетная модель,
все отличные от которой ее ./^-расширения имеют мощность, не меньшую мощ-
мощности континуума. Тем не менее имеет место
Теорема (см. [41]). Если аксиоматизируемый класс К содержит мо-
модель Ж бесконечной мощности т, то Ж обладает истинным К-расшире-
нием мощности тХо. Если в К содержатся модели мощностей тг < т2 <
<...,шб К содержится модель мощности, лежащей между тх + nt2 + . . .
И Ш1'Ш2* • • •
Если воспользоваться обобщенной гипотезой континуума, то можно до-
доказать также [41], что каждая бесконечная модель Ж аксиоматизируемого
класса К допускает ^-расширение любой наперед заданной мощности, боль-
большей мощности Ж *.
Те же вопросы независимо рассматривал М. О. Рабин [94]. Алгебру % =
= (А; Д, /2,. . -У он называл полной, если для любой конечноместной опе-
операции /, определенной на А, среди основных операций /а алгебры 3t сущест-
существует такая, которая равна /. Аналогично определяется и понятие полной мо-
модели. При помощи техники ультрапроизведений (см. ниже § 4) М. О. Рабин
доказывает утверждения, аналогичные некоторым из сформулированных
выше результатов о малых моделях, а также доказывает следующее основ-
основное предложение:
Теорема (Рабин [94]). Пусть справедлива обобщенная гипотеза
континуума. Если мощность m полной модели Ж меньше первого слабо не-
недостижимого кардинального числа ит^°^>т, то $51 не имеет истинных рас-
расширений мощности т, арифметически эквивалентных Ж.
Какие из приведенных утверждений равносильны гипотезе континуума
и какие можно доказать без помощи этой гипотезы, остается, по-видимому,
открытым вопросом.
2.3. Полнота и категоричность
Класс моделей К называется категоричным, если все его модели изоморф-
изоморфны, т. е. если с точностью до изоморфизма К состоит лишь из одной модели.
Класс К называется полным, если его модели неразличимы друг от друга на
языке УИП. Последнее означает, что если какая-либо закрытая формула
УИП, сигнатура которой содержится в сигнатуре К, истинна на одной моде-
модели класса К, то она истинна и на любой другой модели К,
С теоретико-множественной точки зрения полные аксиоматизируемые
классы сигнатуры а — это минимальные среди аксиоматизируемых классов
данной сигнатуры, а полные неаксиоматизируемые классы — это части пол-
полных аксиоматизируемых классов. Например, пусть Ж — какая-нибудь мо-
модель сигнатуры а. Обозначим через © совокупность всех закрытых формул
УИП сигнатуры а, истинных на Ж. Тогда класс К моделей сигнатуры а,
на которых истинны все аксиомы из ©, будет полным аксиоматизируемым
классом, содержащим модель Ж.
Система аксиом данной сигнатуры а называется полной, соответственно
категоричной, если полон, соответственно категоричен, класс моделей сиг-
сигнатуры а, определяемый указанной системой аксиом.
* Требование обобщенной гипотезы континуума м©жет быть опущено.— Прим. ред.

Некоторые вопросы теории классов моделей 247
Теорема о расширении моделей показывает, что ни один категоричный
класс, состоящий из бесконечных моделей, не может быть аксиоматизируе-
аксиоматизируемым.
Поэтому представляется весьма интересным понятие категоричности
в данной мощности, введенное Е. Лосем [87]. Именно, согласно Е. Лосю,
класс моделей К называется категоричным в мощности т, если изоморфны
между собою все модели К, имеющие данную мощность ш.
Например, известно, что
а) все счетные линейно упорядоченные в себе плотные неограниченные
множества изоморфны;
б) все алгебраически замкнутые поля данной характеристики, имеющие
одну и ту же несчетную мощность, изоморфны.
Отсюда видно, что класс линейно упорядоченных плотных неограничен-
неограниченных множеств категоричен в счетной мощности (и не категоричен в любой
несчетной мощности), а классы алгебраически замкнутых полей фиксиро-
фиксированной характеристики категоричны в любой несчетной мощности (и не ка-
категоричны в счетной мощности).
Пусть К — некоторый класс моделей и а, |3 — кардинальные числа. Сим-
Символами Ка, К&, Ка обозначим классы if-моделей, мощность tn которых удов-
удовлетворяет соответственно соотношениям а ^ т, ю ^ р, a ^S m ^ p. Тогда
имеет место
Теорема 1 (А. И. Мальцев [41]). Если для аксиоматизируемых одно-
однотипных классов К, L для некоторого кардинального числа а истинно соотно-
соотношение Ka^L, то К#9С^Ь, если а не меньше мощности сигнатуры К,
и К^о CZ L в остальных случаях.
Второе из этих утверждений доказано с использованием расширенной
гипотезы континуума.
Допустим теперь, что аксиоматизируемый класс К категоричен в беско-
бесконечной мощности а, большей или равной мощности сигнатуры К. Обозначим
через Ж jST-модель мощности а, и пусть L — аксиоматизируемый полный
класс, содержащий 3R. Пусть, кроме того, все модели К бесконечны. Тогда
согласно теореме 1 К с: L и, значит, в силу минимальности L имеем К = L.
Тем самым получена
Теорема 2 (P. Boot [57]). Если все модели аксиоматизируемого клас-
класса К бесконечны и К категоричен в бесконечной мощности, не меньшей мощ-
мощности сигнатуры К, то К — полный класс.
По аналогии с понятием категоричности в данной мощности можно вве-
ввести и понятие полноты класса в данной мощности. Из приведенного выше
доказательства теоремы Воота видно, что в формулировке этой теоремы усло-
условие категоричности в мощности можно заменить более слабым условием
полноты в мощности.
Класс моделей К конечной сигнатуры а называется рекурсивно разре-
разрешимым, если существует алгоритм, позволяющий для каждой закрытой фор-
формулы УИП сигнатуры а узнать, истинна или нет эта формула на каждой мо-
модели класса К. Важную связь между полнотой и рекурсивной разрешимо-
разрешимостью дает очевидная
Теорема 3. Каждый рекурсивно аксиоматизируемый полный класс
моделей рекурсивно разрешим.
Из теорем 2, 3, в частности, непосредственно вытекает рекурсивная раз-
разрешимость классов, указанных в примерах а), б).

248 Некоторые вопросы теории классов моделей
А. Эренфойхт и А. Мостовский [82] показали, что в каждом аксиоматизи-
аксиоматизируемом классе моделей, содержащем бесконечные модели, найдутся модели,
группа автоморфизмов которых имеет сколь угодно большую мощность.
С помощью результатов этой статьи А. Эренфойхт [81] нашел ряд свойств
аксиоматизируемых классов моделей, категоричных в мощности вида
2Ш (ш Sg Ко)- В частности, он доказал, что в таких классах не может быть
формульным никакое отношение порядка.
2.4. Теоретико-множественная характеристика
аксиоматизируемых классов
В связи с общими свойствами аксиоматизируемых классов моделей,
изложенными в п. 2.1, естественно возникла задача о нахождении необхо-
необходимых и достаточных признаков, характеризующих аксиоматизируемые клас-
классы. Так как язык, на котором надо формулировать эти признаки, не указы-
указывается, то задача может допускать различные решения. Так, Е. Лось [25]
охарактеризовал аксиоматизируемые классы на языке булевых алгебр.
И. Мыцельский [52] указал характеристику аксиоматизируемых классов
на языке функций. Однако эти работы пока полностью не опубликованы,
и содержание их мы излагать не будем.
В 1959 г. появилась важная статья С. Чжана [79], в которой дана про-
прозрачная характеристика на языке отображений тех классов моделей, которые
могут быть описаны аксиомами сколемского вида. Обобщив надлежащим об-
образом определения С. Чжана, А. Д. Тайманов [68, 69] решил и общую зада-
задачу, найдя теоретико-множественные характеристики аксиоматизируемых,
конечно аксиоматизируемых и других аксиоматизируемых классов моделей.
При этом в качестве простых следствий получились известные теоремы Ло-
Лося — Тарского, Лося — Сушко, А. Робинсона о характеристиках V- и V3-
классов. Ниже кратко излагаются упомянутые результаты А. Д. Тайманова*.
Другие характеристики изложены в § 4. Пусть Жх — некоторая подмо-
подмодель модели Ж. тг-расширением Жх внутри Ж называется всякая подмодель
Ж2 модели Ж, получающаяся присоединением к Жх не более п каких-нибудь
элементов Ж. Будем говорить также, что Жх есть ^-подмодель, если Жх
содержит не более ^элементов (или пустая в случае пх = 0).
Рассмотрим какие-нибудь однотипные модели Ж, 91, и пусть ЗВ^ — не-
некоторая Пх — подмодель модели 3R. Изоморфное отображение фх модели Жх
в модель 91 называется (гг1? тг2)-отображением, если любое ^-расширение 9?2
подмодели 9?! = Ж}1 можно отобразить в Ж лри помощи изоморфизма ф2,
совпадающего с ф^1 на 9tle
Аналогично указанный изоморфизм фх называется (п^ тг2, тг3)-отображе-
нием Жх в 91, если для каждого 7г2-расширения 9?2 подмодели 9?! = SRi*
найдется такой изоморфизм \f>2 модели 9?2 в Ж, совпадающий с ^ на 9t1? что
для каждого тг3-рас1пирения Ж3 подмодели Ж2 = 9?22 найдется изоморфизм
ф3 модели Ж3 в 91, совпадающий с г^1 на Ж2. Таким же образом определяет-
определяется и понятие (пх, п2,. . ., ?гг)-отображения ^-подмодели Жх модели Ш в мо-
модель 91.
* См. также R. Fraisse. Sur les classifications des systems de relations.— Publs. sci. Univ.
Alger, 1, 1954, N 1.— Прим. ред.

Некоторые вопросы теории классов моделей 249
Если для заданной подмодели Жх модели Ж существует (п±, тг2,. . ., тг^)-
отображение Жх в модель 91, то пишут
SR^C»i; лгх, лггK1 A)
и говорят, что Жх из 3R (гг1?. . ., гг^-отобразима в 91.
Если отношение A) имеет место для любой ^-подмодели Жх модели Ж,
то пишут
B)
и говорят, что Ж (пг,. . , тгг)-вложима в 91.
В частности, из приведенных определений вытекает, ^ при пг = О
отношение B) равносильно отношению 91 ^ (тг2,. . ., пг) Ж.
Модели Ж, 91 называются (пг,. . ., тг^-эквивалентными, есл^ <дая из
них (пг,. . ., тгг)-вложима в другую.
Напомним еще, что модели ЖиЖ называются арифметически эквивалент-
эквивалентными (УИП-неразличимыми), если каждая закрытая формула УИП, сигна-
сигнатура которой входит в сигнатуру Ж, истинная на одной из моделей Ж, 91,
является истинной и на другой.
Теорема 1 (А. Д. Тайманов [70)]. Для того чтобы модели 3R и Ы
одинаковой сигнатуры были арифметически эквивалентными, необходимо
и достаточно, чтобы они были (пг,. . ., п^-эквивалентными для любого кор-
кортежа (пх,. . ., пг) (I = 1, 2,. . .).
Для того чтобы сформулировать условия А. Д. Тайманова для аксиома-
аксиоматизируемости классов моделей, условимся аксиомы вида
(Yxxl.,. х1п^ (З.х21... х2П2)\ .. (Qxh ... xln^ % (х1Ъ. Л , ^пг),
(<? = V, 3)
C;г21... х2П2)... (Qxit.;.. хщ^) % (х1Ъ Л ., хщ^),
называть соответственно (пг, . . ., тгг)-аксиомой и @, %,. . ., тг^-аксиомой
и говорить, что первая аксиома принадлежит кортежу (%,. . ., пг), а вто-
вторая принадлежит кортежу @, п2,. . ., nt). Число I называют длиной кор-
кортежа.
Теорема 2 (А. Д. Тайманов [70]). Абстрактный класс моделей К
конечной сигнатуры тогда и только тогда описываем V3V... Q-аксиомами
I i I
(соответственно 3V3 . .. Q-аксиомами), когда из того f что произвольная модель
i—,—i
591 сигнатуры К для любого кортежа (пг,. . ., п{) (пг, . . ., щ)-вложима
[@, пг. . ., пь)-вложима] в подходящую К-модель следует, что Ж принад-
принадлежит К,
Теорема 3 (А. )Д. Тайманов [68]). Абстрактный класс моделей К
тогда и только тогда аксиоматизируем, когда из того, что произвольная
модель Ж для любого кортежа (пг,. . ., пг) (пг,. . ., пг)-вложима в подходя-
подходящую К-модель, вытекает, что Ж принадлежит К,
Теорема 4 (А. Д. Тайманов [70]). Абстрактный класс моделей ко-
конечной сигнатуры К тогда и только тогда описывается одной (пг,. . ., пг)-
аксиомой [@, пг,. . ., п^-аксиомой], когда существует такой кортеж (пг, . . .
. . ., щ), что каждая модель Ж заданной сигнатуры, (пг,. . ., щ)-вложимая
[@, пг, . . ., щ)-вложимая] в подходящую К-модель, принадлежит классу К.

250 Некоторые вопросы теории классов моделей
Для кортежей вида (пг, п2) указанные выше определения и теоремы
были получены С. Чжаном [79]. Для кортежей длины 1 теоремы 2 и 4 обра-
обращаются в теоремы А. Тарского [63] и соответственно Р. Воота [88], указы-
указывающие характеристику классов, описываемых V-аксиомами или, соот-
соответственно, одной V-аксиомой.
Условия аксиоматизируемости С. Чжана и А. Д. Тайманова имеют фор-
форму условий замкнутости класса К: из «родственности» данной модели Ж мо-
моделям класса К вытекает принадлежность Ж классу if. Развивая эту старую
идею, С. Р. Когаловский [18] придал условиям А. Д. Тайманова «то-
«топологический» вид и на этом пути нашел ряд других все более тонких «то-
«топологических» свойств аксиоматизируемых классов, в том числе и необхо-
необходимых и достаточных.
2.5. Категории моделей
В п. 1.1 было определено понятие гомоморфного отображения одной мо-
модели на произвольную модель той же сигнатуры. Поэтому каждый класс
моделей К заданной сигнатуры можно рассматривать с более общей точки
зрения как систему множеств © (основных множеств моделей) и систему $q
отображений некоторых из заданных множеств в некоторые множества той
же системы (гомоморфизмы моделей). Система !р, очевидно, удовлетворяет
следующим требованиям:
а) тождественное отображение каждого множества из © на себя принад-
принадлежит ©;
б) для любых ф, \|) из §, если ф — отображение Мг в М2 и \|? — отобра-
отображение М2 в М3, то фг|? есть отображение Мг в М3, принадлежащее §.
Пара <©, ip>, составленная из системы множеств © и системы отображе-
отображений !р, удовлетворяющих условиям а), б), называется категорией множеств
или конкретной категорией. Ряд обьшных алгебраических понятий, таких,
например, как понятие изоморфизма, понятия свободного и прямого произ-
произведений и т. п., может быть определен в произвольных категориях. Поэтому
естественной казалась задача выделить те свойства классов моделей, кото-
которые могут быть выражены в чисто категорийных терминах при условии, что
рассматривается категория моделей в указанном выше смысле. Так, в замет-
заметке [36] ставится вопрос: в каких классах моделей возможно определить по-
понятие порождающих элементов так, чтобы оно обладало обычными свойства-
свойствами? Оказалось, что ответ на этот вопрос целесообразно дать именно в виде
условий, налагаемых на категорию моделей этого класса.
В заметках [36, 38] изучаются те свойства отдельных классов алгебр и
моделей, которые могут быть выражены на категорийном языке. В ряде
случаев оказывается возможным дать полную категорийную характеристи-
характеристику классов алгебр и классов моделей. Например, в [37] на этом пути охарак-
охарактеризованы категории квазипримитивных классов алгебр, категории уни-
универсально аксиоматизируемых классов моделей и некоторые другие конкрет-
конкретные категории*.
Начатое в упомянутых заметках [36—38] исследование категорийных
свойств классов моделей было продолжено С. Р. Когаловским [18, 20] и Дж.
Небелом [13—15]. В частности, С. Р. Когаловскому [20] удалось найти кате-
* Это значит, что L состоит из тех и только тех подмоделей, на которых истинны указан-
указанные аксиомы.

Некоторы-е вопросы теории классов моделей 251
горийную характеристику универсально аксиоматизируемых классов алгебр.
Изменяя само понятие категории класса моделей, он же нашел категорийные
характеристики и общих аксиоматизируемых классов моделей.
В работах Дж. Исбела [13—15] рассматриваются общие категории клас-
классов алгебр и моделей и для этих новых категорий решаются задачи, в извест-
известном смысле аналогичные описанным выше.
Ввиду того что исследования по категориям опираются на большую си-
систему специальных понятий, которые в дальнейших частях доклада нигде
не потребуются, мы не будем здесь приводить формулировок даже основных
результатов о категориях моделей, ограничившись только упоминанием о су-
существовании этой ветви теории классов моделей.
§ 3. Некоторые специальные
аксиоматизируемые классы
Пусть V — какое-нибудь свойство классов моделей. Как и выше, мы
будем говорить, что аксиома % обладает свойством F, если этим свойством
обладает класс моделей, определяемый аксиомой St. Иногда случается, что
аксиомы, имеющие данное простое внешнее строение W, заведомо обладают
свойством F. Тогда естественно встают следующие вопросы: а) для каждой
ли аксиомы, обладающей свойством F, существует равносильная ей аксиома,
имеющая строение W? б) каждый ли аксиоматизируемый класс моделей,
обладающий свойством F, допускает описание при помощи аксиом, имеющих
строение TF? в) каким требованиям структурного типа должен удовлетворять
класс К, обладающий свойством F, чтобы этот класс был аксиоматизируем
и притом аксиомами данного строения TF?
Например, возьмем в качестве V такое свойство: «все подмодели моделей
класса К принадлежат классу К» . Тогда упомянутые в п. 2.4 теоремы А. Тар-
ского и Р. Воота будут как раз ответами на вопросы а), б), в) применительно
к рассматриваемому случаю. Ниже излагаются решения вопросов а), б),
в) для некоторых других свойств F.
3.1. Гомоморфно замкнутые классы
Класс моделей К называется гомоморфно замкнутым, если он вместе с каж-
каждой своей моделью SR содержит и каждую модель, являющуюся гомоморфным
образом SR. Аналогично если L подкласс класса моделей К, то L называется
гомоморфно замкнутым внутри (или относительно ЛГ), если каждая ЛГ-модель,
являющаяся гомоморфным образом L-модели, содержится в L.
Пусть 91 — формула УИП, имеющая предваренную конъюнктивную фор-
форму. Говорят, что предикатный символ Р имеет позитивное (негативное) вхож-
вхождение в 9t, если в % встречается выражение вида Р ($!,. . ., $k) (соответ-
(соответственно вида"~1 P(Si,. . ., $k))i где £х,. ..,$& — предметные символы.
Формула 9t называется позитивной в символах Ръ ...,Рг, если ни один
из этих символов не имеет негативных вхождений в 31.
Давно было замечено (Е. Марчевский [47]), что все позитивные аксиомы
гомоморфно замкнуты, и, следовательно, если подкласс L характеризуется
внутри К позитивными аксиомами, то L гомоморфно замкнут внутри К.
В 1955 г. Е. Лось [25] сообщил без доказательства, что каждый аксиомати-
аксиоматизируемый гомоморфно замкнутый подкласс класса алгебр аксиоматизируем
с помощью позитивных аксиом. Независимо от Е. Лося в 1957 г. докладчик

252 Некоторые вопроси теории классов моделей
[34] анонсировал, что каждый аксиоматизируемый гомоморфно замкнутый
класс моделей аксиоматизируем посредством позитивных аксиом. В 1959 г.
Р. Линдоном вместе с подробным доказательством была опубликована общая
Теорема 1(Р. Линдон [23]). Каждый аксиоматизируемый и гомо-
гомоморфно замкнутый подкласс аксиоматизируемого класса моделей аксиомати-
аксиоматизируем внутри этого класса с помощью одних позитивных аксиом.
Основным средством для доказательства этой теоремы явилась следую-
следующая важная
Теорема (интерполяционная теорема УИП, Р. Линдон [22]). Пусть
% и £5 — закрытые формулы УИП, которые могут содержать наряду
с предикатными символами и символы операций, и пусть 91 ->• 58 —
тождественно истинная формула УИП. Тогда существует закрытая фор-
формула (£ такая, что: 1) формулы 91 ->• (£ и (£ ->- 35 тождественно истинны;
2) каждый предикатный символ, входящий в (£ позитивно, позитивно входит
ив 91, и в 35; 3) каждый предикатный символ, входящий в (£ негативно, не-
негативно входит и в %, и в 35 {все формулы %, 35, (£ предполагаются имею-
имеющими предваренную конъюнктивную форму) *.
Если в формулировке интерполяционной теоремы вычеркнуть слова
«позитивный» и «негативный», то получится формулировка теоремы В. Крей-
га [17], уточнением которой и является интерполяционная теорема.
В п. 1.1 одновременно с понятием гомоморфизма было введено понятие
сильного гомоморфизма. Там же упоминалось, что внутри класса алгебр
слабые и сильные гомоморфизмы совпадают. В связи с этим было бы интерес-
интересно найти ответ на
Вопрос 1. Нельзя ли указать строение тех аксиом, которые описывают
классы моделей, внутри которых каждый гомоморфизм сильный?
Вопрос 2. В теореме 1 условие аксиоматизируемости подкласса L
в классе К заведомо не необходимо. Как его следует ослабить, чтобы теорема
все еще оставалась верной и, в частности, для сильных гомоморфизмов?
3.2. Универсальные и сколемские подклассы
В п. 2.4 упоминалась теорема А. Тарского о характеристике классов,
допускающих описание посредством универсальных аксиом. При переходе
от классов к подклассам получается более общая
Теорема 1(Е. Лось [26], А. Тарский [64]). Подкласс L класса моделей
К конечной сигнатуры тогда и только тогда может быть охарактеризован
внутри К системой универсальных аксиом, когда выполнены следующие два
условия: 1) каждая К-подмодель произвольной L-модели есть L-моделъ; 2) если
каждая конечная подмодель некоторой К-модели SR изоморфно вложима
в подходящую L-модель, то 3R также вложима в подходящую L-моделъ.
В цитированной работе [26] Е. Лось указал интересное приложение тео-
теоремы 1 к следующему важному алгебраическому вопросу: даны два однотип-
однотипных класса адгебр Кг и К2, требуется охарактеризовать класс L тех Кг-
алгебр, которые изоморфно вложимы в ЛГ2-алгебры. Из теоремы 1 непосред-
непосредственно следует, что в случае, когда исходные классы Кг и К2 аксиоматизи-
аксиоматизируемы, класс L заведомо является универсально аксиоматизируемым. На-
Например, до сих пор явно не установлены условия вложимости ассоциативных
* См. реф.: М. A. Taitzlin. J. Symbol. Log., 1960, 25, N 3, 273—274.— Прим. ред.

Некоторые вопросы теории классов моделей 253
колец в тела. Тем не менее эти условия заведомо можно представить в виде
некоторой системы универсальных высказываний *.
Е. Лось и Р. Сушко [28] рассмотрели также несколько более общую за-
задачу, названную ими проблемой совместной вложимости. Пусть даны ал-
алгебры ЗКх, 9Л2, принадлежащие аксиоматизируемому классу К, При каких
условиях существует алгебра 3R, содержащая подалгебры, изоморфные $кг
и 3R2? Оказалось, что такое совместное расширение SR существует тогда и
только тогда, когда из выполнимости аксиомы вида
(*i) • • • W (Уг) • • • Ш (« (*i, • • • ,хт) V ® (Уъ\- • •, Уп))
на классе К вытекает или выполнимость аксиомы^) . . . (хт) 5t (хг,. . ., хт),
или выполнимость аксиомы (г/х) . . . (уп) 93 (г/i,- . . , уп) одновременно на ^
и на 3R2.
Аналогичные условия найдены этими авторами и для существования сов-
совместного расширения любой системы алгебр заданного аксиоматизируемого
класса.
Очевидно, что объединение возрастающей цепочки групп есть группа, воз-
возрастающей цепочки колец есть кольцо и т. д. Спрашивается, для каких клас-
классов if-моделей верно, что объединение возрастающей цепочки ^-моделей есть
ЛГ-модель? На языке УИП аналогичный вопрос можно сформулировать так:
для каких аксиом 91 верно, что из истинности 91 на каждой модели возра-
возрастающей цепочки SRx cz 3R2 cz . . . вытекает истинность 9t на модели (J 33^?
Ответ на эти вопросы дает
Теорема 2 (Е. Лось и Р. Сушко [27]). Аксиоматизируемый класс
моделей К тогда и только тогда описываем аксиомами сколемского вида (т. е,
У3.-аксиомами), когда объединение каждой возрастающей цепочки К-моделей
является if-моделью.
На подклассы аксиоматизируемых классов моделей эта теорема была пе-
перенесена А. Робинсоном в следующей форме:
Теорема 3 (А. Робинсон [58]). Подкласс L аксиоматизируемого
класса моделей К тогда и только тогда может быть охарактеризован внутри
К аксиомами сколемского вида, когда L аксиоматизируем и в то же время из
принадлежности К объединения любой возрастающей цепочки L-моделей вы-
вытекает, что это объединение есть L-моделъ.
Теорема 3 была обобщена на случай аксиом произвольного V3V . . . ^-ти-
^-типа (Q = V, Я) Д. А. Захаровым и X. Кейслером. Мы изложим результат
в формулировке Д. А. Захарова [11].
Пусть SR — подмодель некоторой модели SR и 311 в свою очередь — под-
подмодель модели SR. В соответствии с определениями п. 2.4 пишем
SR^(SRi; п{\:.,пг)^ A)
если тождественное отображение 31Х в SR есть (w1? . . ., тгг)-отображение па-
пары 311 cz 3! в SR. Если условие A) выполняется для каждой ^-подмодели
SRi модели 31, то пишут
Я1^К,...,^)^- B)
Наконец, говорят, что 31 есть Z-подмодель модели 3R, если условие B)
выполняется для каждого кортежа (w1?. . ., щ) данной длины I. Тогда ии-
* Проблема решена (см., например, P. Cohn. Free rings and their relations. Acad. Press,
1971, p. 280—287).— Прим, ред.

254 Некоторые вопросы теории классов моделей
Теорема 4. (Д. А. Захаров [11]). Аксиоматизируемый подкласс L
аксиоматизируемого класса моделей К тогда и только тогда может быть оха-
охарактеризован внутри К аксиомами типа V3V ... Q (I + 1 символов,
Q = V, 3), когда для любой возрастающей цепочки L-моделей, связанных ус-
условиями Жх rg i$&2 ^ . . ., (J3Rn £= К, следует, что (J $Rn ЕЕ L.
Отношение ^Шг r§ 3R2 равносильно утверждению, что З^ есть подмодель
модели 3R2 B обычном смысле слова. Поэтому, полагая в теореме Д. А. Заха-
Захарова I = 1, получим снова теорему 3.
Еще более широкие обобщения теоремы 3 в различных направлениях по-
получил Д. А. Тайманов [69].
3.3. Прямые произведения моделей
Пусть каждому элементу а некоторого множества А поставлена в соот-
соответствие определенная модель3Ra = <Ma; P±, Р2, ...)> фиксированной сигна-
сигнатуры о = <Р2, Р2, ...)>. Обозначим через М прямое (декартово) произведение
множеств Ма, т. е. совокупность всех функций /, определенных на А и та-
таких, что / (а) ЕЕ Ма. На М определяем предикат Рг, полагая выражение
Pi (/n • • -> fn) истинным тогда и только тогда, когда Pt (/2 (a), . . ., fn (a))
истинно для каждого а е А. Модель SR = <М; Р1? Р2, ...> с определенными
так предикатами Pt называется декартовым произведением системы моделей
SBJa с нумерующим множеством А, Всякая модель, изоморфная SR, назы-
называется прямым произведением моделей SRa.
Если модели SRa — алгебры, то модель SR будет также алгеброй, изо-
изоморфной обычному «полному» прямому произведению алгебр SRa.
Благодаря важной роли, которую играют прямые произведения в теории
групп и в других алгебраических дисциплинах, в последнее десятилетие
появилось довольно много работ, посвященных изучению прямых произве-
произведений моделей. Так, в 1951 г. была опубликована статья А. Хорна [78],
в которой было отмечено, что если аксиома вида
• • (<? А) (Л Аи V • • • V Ai4\/ А{ & Д Бп V • • • V В^г) (<? = 3, V),
г j
A)
где А а, Аи В^ —атомарные формулы вида Pk (xu xs, . . ., хг), (Q = 3, V),
истинна на некоторых моделях SRa сигнатуры б, то эта же аксиома истинна
и на прямом произведении моделей SRa. В настоящее время формулы вида
A) принято называть хорновскими.
Условимся произвольную формулу называть мультипликативно замкну-
замкнутой, если она обладает упомянутым выше свойством, т. е. если из того, что
формула истинна на некоторых моделях S8Ja, следует, что она истинна и на
прямом произведении моделей 3Ra.
В работе А. Хорна было доказано, что если какая-нибудь универсальная
формула мальтипликативно замкнута, то она эквивалентна универсальной
формуле хорновского вида. В связи с этим возник естественный вопрос: не
будет ли всякая мультипликативно замкнутая формула эквивалентной аксио-
аксиоме хорновского вида?
Справедливость этого предположения для позитивных аксиом и аксиом
некоторых других видов была доказана К. Бингом [3]. Недавно то же было
доказано К. Адделем [2] для аксиом, не содержащих никаких предикатных
символов, кроме знака равенства. Однако А. Морел и С. Чжан [80] нашли
один необходимый признак для эквивалентности какой-нибудь формулы

Некоторые вопроси теории классов моделей 255
формуле хорновского вида и с помощью него построили пример мультипли-
мультипликативно замкнутой формулы, не эквивалентной никакой хорновской фор-
формуле. В этой же статье А. Морел и С. Чжан поставили задачу о нахождении
необходимых и достаточных условий для того, чтобы некоторая формула
была эквивалентна формуле хорновского вида. С другой стороны, Р. Линдо-
ном [21] одновременно была высказана гипотеза о том, что мультипликативна
замкнутые формулы сколемского вида эквивалентны аксиомам хорновского
вида. Там же Р. Линдон утверждал, что мультипликативно замкнутые Я-фор-
мулы эквивалентны хорновским формулам. В 1959—1960 гг. А. Д. Тай-
манов [71] нашел необходимые и достаточные условия для эквивалентности
формулы формуле хорновского вида, решив тем самым проблему А. Морел
и С. Чжана. При помощи этих условий А. Д. Тайманов показал, что формула
2 (х2) & П Р3 (*3) & ^i (*з) V ^ (%)), B)
будучи мультипликативно замкнутой, тем не менее к хорновскому виду не
приводится *. Так как формула B) эксистенциальная, то тем самым была
опровергнута гипотеза Р. Линдона.
Некоторые другие результаты о мультипликативно замкнутых классах
моделей будут указаны ниже по ходу дела, а здесь упомянем лишь работу
А. Обершельна [54], относящуюся к мультипликативно замкнутым форму-
формулам.
Особое направление в теории мультипликативно замкнутых классов
моделей было начато работой А. Мостовского [49], в которой было показано,
что любая прямая степень рекурсивно разрешимой модели рекурсивно
разрешима. Из результатов А. Мостовского вытекало также, что если аксио-
аксиоматизируемый класс моделей содержит конечные прямые степени своих
моделей, то он содержит и любые бесконечные прямые степени своих моделей.
Это дало повод Е. Лосю [25] высказать следующую гипотезу:
Каждый аксиоматизируемый класс моделей, содержащий все конечные
прямые произведения своих моделей, содержит и любые бесконечные прямые
произведения своих моделей.
Гипотеза эта была доказана Р. Воотом [8]. В совместной работе С. Фефер-
мана и Воота [75] изложено подробное доказательство гипотезы Е. Лося и
даны обобщения ее, а также упоминавшейся выше теоремы А. Мостовского на
произведения моделей, отличные от прямых.
Независимо от работы С. Фефермана и Р. Воота докладчиком была опуб-
опубликована заметка [40], в которой прямые произведения обобщаются в ином
направлении и указываются каноничесие формы для формул УИП, относя-
относящихся к произведениям, выраженные через формулы, относящиеся к сомно-
сомножителям. В качестве частных случаев отсюда снова получаются упоминав-
упоминавшиеся результаты А. Мостовского и Р. Воота.
3.4. Подпрямые произведения
Пусть 3Ra (a ЕЕ А) — система моделей фиксированной сигнатуры а =
= <Р1? Р2, ...Xй пусть 3R — декартово произведение моделей 9Ra. Допустим
еще, что заданы однозначные отображения фа какой-то модели 31 сигнатуры
* Данная формула приводима к хорновскому виду (см. P. G. Hinman, J. Symbol. Log.,
1965, 30, № 3, 253—254; А. Д. Тайманов. Исправления к работе «О классах моделей,
замкнутых относительно прямого произведения».— Изв. АН СССР, сер. мат., 1966,
30, № 1, 257). Полное решение вопроса о гипотезе Линдона см. F. Golvin. Horn senten-
sentences.— Ann. Math. Log., 1970, 1, № 4, 389—422.— Прим. ред.

256 Некоторые вопросы теории классов моделей
а на модели 3Ra. Отображения фа порождают естественное отображение ф
модели 91 в модель 3R. Если ф — изоморфизм 31 на некоторую подмодель из
3R, то говорят, что модель 91 разложена в подпрямое произведение моделей
3Ra с проектированиями фа.
Пусть К — некоторый абстрактный класс моделей. Модель 31 называется
подпрямо неразложимой в К, если в любом разложении 31 в подпрямое
произведение моделей класса К хотя бы одно из проектирований является
изоморфизмом.
Г. Биркгофом [41 было доказано, что каждая алгебра произвольной сиг-
сигнатуры g разложима в подпрямое произведение алгебр, далее подпрямо не-
неразложимых в классе всех алгебр сигнатуры а. Ясно, что аналогичная тео-
теорема справедлива и для любого гомоморфно замкнутого класса алгебр.
В заметке [34] найдены условия, которым должен удовлетворять класс моде-
моделей К, чтобы каждая ЛГ-модель была подпрямым произведением ЛГ-моделей,
подпрямо неразложимых в К. В качестве следствия отсюда получается, что
если класс моделей К описываем универсальными и позитивными аксиомами,
то любая ЛГ-модель есть подпрямое произведение /Г-моделей, подпрямо не-
неразложимых в К.
По аналогии с мультипликативно замкнутыми классами класс моделей
К будем называть подпрямо замкнутым, если подпрямое произведение лю-
любой системы .йГ-моделей принадлежит К. Естественно возникает вопрос:
аксиомами какого специального строения описываемы подпрямо замкнутые
аксиоматизируемые классы моделей? В отличие от аналогичного вопроса для
мультипликативно замкнутых классов вопрос о подпрямо замкнутых классах
оказался более простым. Полное его решение дает
Теорема (Р. Линдон [24]). Аксиоматизируемый класс моделей тогда
и только тогда подпрямо замкнут, когда он допускает описание аксиомами
вида
(*i) • • • (хп) C1 (гг, ...,*„)-> Pt (xaiJ . . ., хащ)),
где 3t — позитивная формула, а Р — основной предикатный символ.
Введем еще одно понятие. Подкласс L класса моделей К будет называться
подпрямо замкнутым в К, если каждая /Г-модель, разлагающаяся в подпря-
подпрямое произведение L-моделей, является L-моделью. Указанная выше теорема
о характеристике подпрямо замкнутых аксиоматизируемых классов перено-
переносится без изменений и на подпрямо замкнутые подклассы аксиоматизируемых
классов моделей (Р. Линдон [24]).
3.5. Конвексные и квазиаксиоматизируемые классы
Пересечение любой системы подгрупп произвольной группы является
снова подгруппой, и, следовательно, если G — класс групп, то пересечение
любой системы G-подмоделей произвольной G-модели есть снова G-модель.
То же самое верно, еслиО — класс всех колец, всех полей и т. д. Исходя из
этих примеров, А. Робинсон [56] предложил называть класс моделей К конвекс-
ным, если пересечение любой системы /Г-подмоделей произвольной /Г-модели
либо пусто, либо является /Г-моделью. В цитированной работе А. Робинсо-
Робинсона показано, что любой аксиоматизируемый конвексный класс моделей аксио-
аксиоматизируем посредством аксиом сколемского вида. С. Чжан усилил этот
результат, доказав, что справедлива .

Некоторые вопроси теории классов моделей 257
Теорема 1(С. Чжан [79]). Если в каждой модели аксиоматизируе-
аксиоматизируемого класса К пересечение любых двух К-подмоделей либо пусто, либо является
К-подмоделъю, то класс К аксиоматизируем посредством сколемских аксиом.
Результат А. Робинсона был усилен в другом направлении в заметке
[35], где условие аксиоматизируемости класса К заменено более слабым тре-
требованием его квазиаксиоматизируемости. Ниже дается более подробная
формулировка этого требования.
Произвольный класс моделей К условимся называть компактным, если
для любой системы @ аксиоматизируемых внутри К подклассов класса К
из условия, что пересечение каждой конечной подсистемы системы ©непусто,
вытекает, что и пересечение всех подклассов системы ® непусто.
Класс моделей К будет называться локально ограниченным (ср. п. 2.2),
если для каждого кардинального числа m существует кардинальное число
п — F (ttt), обладающее следующим свойством: в каждой .йГ-модели каждое
множество элементов мощности не выше ttt содержится в подходящей ее
подмодели мощности не выше п.
Класс моделей К называется квазиаксиоматизируемым, если он одновре-
одновременно компактен и локально ограничен.
Теоремы компактности и Левенгейма — Сколема из п. 2.1 показывают,
что каждый аксиоматизируемый класс моделей заведомо компактен и локаль-
локально ограничен. Однако легко строятся квазиаксиоматизируемые классы, не
аксиоматизируемые в обычном смысле. Поэтому понятие квазиаксиомати-
квазиаксиоматизируемости можно рассматривать как непосредственное обобщение понятия
аксиоматизируемости класса моделей.
Теорема 2 (А. И. Мальцев [35]). Каждый абстрактный конвексный
квазиаксиоматизируемый класс моделей аксиоматизируем посредством аксиом
сколемского вида.
Недавно С. Р. Когаловский заметил, что условие компактности класса
моделей можно использовать и в задаче о характеристике аксиоматизируе-
аксиоматизируемых классов. Условимся говорить, что класс моделей арифметически замкнут,
если вместе с каждой своей моделью он содержит и все арифметически эк-
эквивалентные ей модели (п. 2.3). Из теорем А. Д. Тайманова (п. 2.4) легко
выводится
Теорема 3 (С. Р. Когаловский [19]). Каждый компактный арифме-
арифметически замкнутый класс моделей аксиоматизируем.
Эту теорему легко представить и в несколько более общей форме. Усло-
Условимся говорить, что подкласс L класса моделей К арифметически замкнут
в К, если каждая /Г-модель, арифметически эквивалентная L-модели, есть
L-модель. Из теоремы 3 теперь непосредственно следует, что подкласс L тогда
и только тогда аксиоматизируем в компактном классе К, когда L компактен
и арифметически замкнут в К. Условие компактности К можно заменить
здесь надлежаще определенным условием компактности L внутри К.
§ 4. Ультрапроизведения
В самые последние годы большое значение в теории моделей приобрели
так называемые ультрапроизведения моделей, являющиеся непосредственным
обобщением прямых произведений. Начало этому направлению было заложе-
заложено в работах Е. Лося [25]. Дальнейшее развитие теория ультрапроизведений
получила в работах А. Тарского и некоторых других исследователей и в осо-
особенности в работах С. Кочина [93] и X. Кислера [96]. Техника ультрапроиз-
9 Заказ № 357

258 Некоторые вопроси теории классов моделей
ведений позволила получить заново и единообразным методом почти все
изложенные выше результаты и получить ряд новых сильных теорем.
4.1. Основные определения
Система D непустых подмножеств множества / называется фильтром
над /, если выполнены условия:
а) пересечение любых двух подмножеств из D принадлежит D;
б) если 4ейи4сВс/,тоВ£Й.
Фильтр D над / назцвается главным, если существует такое i£fl, что
D = {х \А с: х Q /}.
Каждый фильтр над конечным множеством является главным. С другой
стороны, если пересечение всех множеств какого-либо фильтра пусто, то
фильтр заведомо не главный.
Фильтр D над / называется ультрафильтром, если для любого A cz /
либо А, либо I — А содержится в D.
С помощью аксиомы выбора легко доказывается, что каждая система F
подмножеств произвольного множества / может быть пополнена до ультра-
ультрафильтра над /, если пересечение любого конечного числа множеств из F не-
непустое.
Пусть теперь каждому элементу i множества / поставлена в соответствие
некоторая модель Зй* = <Л/у, Ptl, Pi2, ...)> фиксированного типа, и пусть D
какой-либо фильтр над /.
В декартово произведение М = Дi^iMt множеств М\ вводим эквивалент-
эквивалентность ==£>, полагая
х = вУ *-* {* I xi = Vi)e D fay&M).
Через MID обозначим фактор-множество и на нем определяем новую модель
3R = {MID; Рг, Р2, ...}== Дге! WD>
полагая
Px{x\...,xn*)~{i | РхD,...,<х) = Я}еО. A)
Модель 3R называется редуцированным произведением системы моделей
3R* (i ^ /) относительно фильтра D.
Из этого определения вытекает, что если фильтр D главный, порожденный
множеством А, то редуцированное произведение J\i&ffii/D изоморфно декар-
тову произведению П^аЭД*. Существенно новым является случай, когда
D — ультрафильтр.
Редуцированное произведение моделей относительно ультрафильтра назы-
называется ультрапроизведением. Значение ультрапроизведений определяется
следующим их основным свойством:
Теорема 1 (ср. [93]). Пусть заданы
а) некоторая формула % (хг, . . ., хп) сигнатуры а = {Рг, Р2, ...} со сво-
свободными предметными переменными хг, . . ., хп;
б) ультрафильтр D над множеством I;
в) система моделей 33^ = <Mf; Ptl, Pi2, ...)> сигнатуры о и система эле-
элементов а1, . . ., ап в декартовом произведении \\М(.

Некоторые вопросы теории классов моделей 259
. Обозначим через а\, . . ., а? проекции а1, . . ., ап в множестве Mt. Формула
91 (a4D, . . ., an/D)
тогда и только тогда истинна в улътрапроизведении Ц*е/^*/^» когда
совокупность номеров тех моделей 3R$, в которых истинна формула 91 (а!,. . .
• . ., а™), принадлежит D.
Доказательство этой теоремы проводится непосредственно индукцией по
числу кванторов в формуле 91 в предваренном виде (см., например, [933).
Из теоремы 1 следует, что каждый аксиоматизируемый класс К моделей
замкнут относительно ультрапроизведений и что
Если в редуцированном произведении Дзз^/О все модели $}г совпадают
с одной и той же моделью 3R, то редуцированное! произведение называется
редуцированной степенью 5Я? относительно D и обозначается SK1//). Редуциро-
Редуцированные степени относительно ультрафильтров называются ультрастепенями.
Ставя в соответствие элементу а из 2)? элемент Ъ ЕЕ 3R1, все проекции
которого совпадают с а, получим каноническое вложение модели 3R в реду-
редуцированную степень SR1//).
Согласно сказанному выше отображение ф некоторой модели 3R в модель
31 той же сигнатуры называется элементарным вложением 3R в 91, если для
каждой формулы 91 (хг, . . ., хп) со свободными предметными переменными
#и • • • » %п1 имеющей сигнатуру модели 9R, истинность 91 (а1, . . ., ап) в 3R
влечет истинность формулы 9t (а*ф, . . ., апф) в 31 для произвольных а1, ...
. . ., ап из ЗЮ.
Теорема 1 показывает, что каноническое отображение 3R в ультрастепень
3RT/Z> является элементарным вложением. Таким образом, каждую ультра-
ультрастепень модели 3R можно рассматривать как элементарное расширение моде-
модели SR, лежащее в любом аксиоматизируемом классе моделей, содержащем SR.
Если ультрафильтр D главный, то он порождается некоторым одноэлемент-
одноэлементным множеством {i}. В этом случае каноническое вложение SR в ультра-
ультрастепень SR1//) будет просто изоморфизм Ж на ffl/D. Если же фильтр D не
главный и SR бесконечна, то вложение SR в 3Rr/D заведомо не будет одно-одно-
одно-однозначным отображением 3ft|Ha SRJ/Z>. Поэтому, беря в качестве / любое бес-
бесконечное множество, а в качестве D любой неглавный ультрафильтр над /,
получим нетривиальное расширение модели 9Л тех же аксиоматизируемых
классов, что и модель $}. Тем самым получено новое доказательство теоремы
о расширении моделей из п. 2.1.
С помощью ультрастепеней оказывается возможным перекинуть естествен-
естественный алгебраический мост от понятий изоморфизма и изоморфного вложения
моделей к понятиям элементарной эквивалентности и элементарного вло-
вложения моделей. Пусть 5R, ^Иг — однотипные модели. Отображение 3R -^.^
называется степенным вложением $} в 2J?X, если найдутся такие ультрафиль-
ультрафильтры </, £>)>, </х, -DiX для которых существует изоморфизм ф модели 3RJ/Z> на
^ удовлетворяющий ^диаграмме
V
if t*
где /, k — канонические вложения.
9*

260 Некоторые вопроси теории классов моделей
i
Из теоремы 1 следует, что каждое степенное вложение элементарно. При
помощи обобщенной гипотезы континуума Кислер [96] доказал справедли-
справедливость и обратного утверждения.
Аналогичным образом устанавливается и следующая несколько более
общая
Теорема 2 (Кислер [96]). Если подходящие улыпрастепени моделей
3R, 3? изоморфны, то модели 3R, 31 элементарно эквивалентны. Если верна
обобщенная гипотеза континуума, то верно и обратное: из элементарной
эквивалентности моделей 9R, 91 следует изоморфизм подходящих улыпрасте-
пеней этих моделей над одним и тем же фильтром *.
Указанное выше утверждение о степенных вложениях получается из
теоремы 2 простым внесением в сигнатуру всех элементов модели SR.
Без помощи гипотезы континуума легко устанавливается
Теорема 3 (Фрейн [95]). Для того чтобы модели Ж, 3J были элемен-
элементарно эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой
ультрафильтр </, Dy, для которого существует элементарное вложение 31
в WID.
Достаточность следует из теоремы 1. Для доказательства (см. [93]) необ-
необходимости расположим все элементы модели 31 в трансфинитную цепочку
Ъ = <й0, Ь1? ...)>. С каждым Ъа сопоставим символ ха и обозначим через Т
множество всех элементарных формул, все свободные предметные переменные
которых содержатся в множестве символов ха. Пусть запись Э1 |— р (Ь), где
рЕ?1, означает, что формула р будет истинной в 31, если в р все свободные
предметные переменные заменить соответствующими элементами из 31. Поло-
Положим / = {р | р ЕЕ Т и 31 |— р (&)}. Если рЕ/и хах, . . ., хап — свободные
переменные, встречающиеся в р, то формула (З.ха1, . . . хап) р истинна в 31,
а значит, истинна и в 3R, т. е. в 3R найдутся такие элементы а9 = <яРа;, . . .
• • •» Ярая\ что 3R |— р (ар).
Для рЕГ полагаем Зр = (р' | ^JJ j— р' (ар)} и пусть 3 = {3Р |р G Т }. Так как
пересечение любого конечного числа множеств из системы 3 непусто, то
найдется ультрафильтр </,/)>, содержащий 3- Отображение ф: 31 ->3RTAD,
определяемое условием ф (ba) = fJD, fa (p) = ара для всех а, является,
как легко видеть, искомым элементарным вложением.
4.2. Прямые пределы и ультрапределы
Направленной системой {SR, /} моделей над направленным множеством/
называется отображение, которое каждому а £Е / ставит в соответствие мо-
модель Ша и каждой направленной паре а <^ р элементов / ставит в соответ-
соответствие гомоморфизм /а г SRa—>3J}p, так что гомоморфизмы /а суть тождествен-
тождественные отображения SRa на SRa и для а < р <^ у имеем /£/£ = /„.
Прямым пределом системы {SR, /} называется модель SRoo того же типа, что
и модели SRa, определяемая следующим путем. Обозначим через М совокуп-
совокупность всех пар вида <а, ааУ, аа ЕЕ SRa. Пары <a, aa)>, <p, fep)> называются
эквивалентными, если существует у ^> а, 7 ^> Р, Для которого /I«a = /pbp-
Классы эквивалентных пар образуют основное множество конструируемой
* Без предположения гипотезы континуума эта теорема доказана (см. S. Shelach. Every
two elementary equivalent models have isomorphic ultrapowers).— Israel J. Math., 1971V
10, N 4, 224—234.— Прим. ред.

Некоторые вопросы теории классов моделей 261
модели SRoo- Основное отношение Ps (а, Ъ, . . ., с) называется истинным в
$}<», если существует такое а, что а == <а, аа>, . . ., с = <а, са> и Р" (аа,
&а> • • • » са) ИСТИННО В ЗКа.
Отображение /a : SRa —^SRoo, определяемое соотношением /ааа =
= | <а> ла>|, где | <а, аа> | -— смежный класс из SK*,, содержащий пару <а, а^У,
называется проектированием SRa в SRoo.
Если все отображения /£ являются изоморфизмами, то проектирования
/а, очевидно, также являются изоморфными вложениями. Однако справедли-
справедлива и более тонкая
Теорема 1 [67]. Если в направленной системе {SR, /} каждый гомомор-
гомоморфизм /а есть элементарное вложение, то каждое проектирование 3Ra есть
элементарное вложение модели 9Ла в предельную модель Ш^.
Пусть теперь заданы некоторая последовательность (типа со) ультра-
ультрафильтров <70, Doy, </1? Огу ... и некоторая модель SR. Как упоминалось
выше, существует последовательность натуральных вложений
©г ^ ф/в0 = щ-> аЙ7^1 = эг2 -> s>^7 A = ®г3 -^. (т)
Прямой предел SRT этой последовательности будет моделью, однотипной
с моделью SR и называемой ультрапределом. Проектирование SR -^- Жт будет
согласно теореме 1 арифметическим вложением SR в SRT.
Алгебраическая характеристика элементарно эквивалентных моделей
Кислера (п. 4.1, теорема 2) была дана в предположении истинности обобщен-
обобщенной гипотезы континуума. Без помощи гипотезы континуума доказывается
аналогичная
Теорема 2 (Кочин [93]). Для того чтобы модели SR и tSl были элемен-
элементарно эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовала после-
последовательность ультрафильтров (т), для которой соответствующие ультра-
ультрапределы Ш и 31 изоморфны.
Класс моделей К называется модельно полным (А. Робинсон [57]), если из
того, что какая-либо ЛГ-модель Ш есть подмодель 7£-модели 31, следует, что
SR элементарно вложена в 31.
Теорема 3 (Кочин [93]). Пусть класс моделей К замкнут относитель-
относительно изоморфизмов и ультрастепеней. Класс К тогда и только тогда модельно
полон, когда для каждой пары К-моделей 9R с: 31 существует ультрафильтр
</, Dy и вложение 31 —^SR1 ID, для которого индуцированное вложение 9R1
в Ш1 ID является каноническим вложением Ш в SR1//).
4.3. Условия аксиоматизируемости классов.
Элементарные отношения
Условия аксиоматизируемости класса моделей были^выше указаны в тер-
терминах кортежных отображений. Кочиным и Кислером подучены условия
аксиоматизируемости, выраженные в терминах ультрапроизведений и име-
имеющие более алгебраическую форму. Мы ограничимся формулировкой лишь
нескольких наиболее принципиальных результатов.
Без гипотезы континуума доказана
Теорема 1 (Кочин [93]). Для аксиоматизируемости класса моделей
К необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:
а) К замкнут относительно взятия ультрапроизведенищ
в) К и его дополнение К' замкнуты относительно улътрапределов;

262 Некоторые вопроси теории классов моделей
в) К замкнут относительно изоморфизмов.
При помощи обобщенной гипотезы континуума доказана более сильная
Теорема 2 (Кислер [96]). Аксиоматизируемость класса К эквивалент-
эквивалентна каждому из следующих двух утверждений:
а) К = Prod (К) и К' = Pow (К');
б) для некоторого L cz К имеем К = {9R/Pow (Щ f] Prod (L) Ф 0}.
Здесь через Prod (К) обозначен класс моделей, каждая из которых изо-
изоморфна подходящему ультрапроизведению 7£-моделей. Если Prod (К) = К,
то К условимся далее называть ультразамкнутым. Аналогично через Pow (К)
обозначен класс всевозможных ультрастепеней ^-моделей и моделей, им
иаоморфных.
Условия конечной аксиоматизируемости К формулируются еще проще.
Теорема 3 (Кочин [93]). Класс К конечно аксиоматизируем тогда и
только тогда, когда К и К' замкнуты относительно ультрапроизведений,
ультрастепеней и изоморфизмов.
С помощью обобщенной гипотезы континуума доказана более сильная
Теорема 4 (Кислер [96]). Для конечной аксиоматизируемости класса
К необходимо и достаточно, чтобы К и К' были ультразамкнутыми.
С использованием гипотезы континуума Кислером доказаны также два
следующих признака отделимости:
Теорема 5. Если К = Prod (К), L = Pow (L), К fl L = 0, то су-
существует такой аксиоматизируемый класс Кг 3 К, что Кг f] L = 0.
Если же К = Prod (К), L = Prod (L), К f] L = 0, то существует
конечно аксиоматизируемый класс Кг 3 К, такой что Кг f] L = 0.
Непосредственной специализацией второй части этой теоремы полу-
получается теорема Крейга (см. п. 3.1).
В заключение рассмотрим еще вопрос об элементарности отношений,
заданных на моделях. Пусть К — класс моделей сигнатуры а = (Рг,
Р2, . . .>, и пусть дана некоторая формула £i(#x, . . ., хп) сигнатуры б со
свободными переменными х19 . . ., хп. Тогда на каждой модели 3R ЕЕ К
формула О. (х17 . . ., хп) определяет тг-членное отношение Qw (xl9 . . ., хп),
которое называется элементарным или формульным. Обратим теперь во-
вопрос. Пусть на каждой модели 3R £= К задано какое-то тг-членное отно-
отношение Q (х19 . . ., хп) (например, при помощи формулы исчисления 2-й
ступени). Спрашивается, каким условиям алгебраического характера дол-
должно удовлетворять отношение Q (х1У . . ., хп) для того, чтобы существо-
существовала такая формула О. (х19 . . ., хп) 1-й ступени, чтобы для каждой мо-
модели 5SR е= К и любых alf . . ., ап из 3R
Q (а19 . . ., ап) «-* fit(alf * . »,,ап).
Ответ на этот вопрос дает
Теорема 6 (Бет [92]). Пусть К* — аксиоматизируемый класс мо-
моделей сигнатуры a* = {Q, Рг, Р2, . . .}, где Q — п-членный предикатный
символ. Для того чтобы существовала формула О, (хг, . . ., хп) сигнатуры
о = {Р1у Р2, . . .}, такая что на каждой К*-модели
(Ухи . . ., хп) (Q (хи . . ., хп) <-> О. (хг, . . ., хп)),
необходимо и достаточно, чтобы на каждой модели 9R = <7lf; Рх, Рг, . .
можно было определить новый предикат Q (хг, . . ., хп) не более чем одни
способом так, чтобы обогащенная модель 3R* = (М; Q, Ри Р2, . . .> был
К*-моделъю.

Некоторые вопросы теории классов моделей 263
Эта теорема Бета с помощью техники ультрапроизведений была обобще-
обобщена Кочиным, результат которого мы теперь и сформулируем.
Теорема 7 (Кочин [93]). Отношение Q.(xu . . ., хп), определенное
каким-либо способом на каждой модели аксиоматизируемого класса К, сиг-
сигнатура которого не содержит символа Q, тогда и только тогда элемен-
элементарно на К, когда выполнены одновременно следующие условия:
а) обогащение ультрапроизведения К-моделей равно ультрапроизведе-
ультрапроизведению обогащенных сомножителей;
б) обогащение ультрапредела К-модели равно ультрапределу обога-
обогащенной модели;
в) если К-модели изоморфны, то изоморфны и обогащенные модели.
Упомянем еще, что Кислером [96] в терминах ультрапределов и
редуцированных произведений получены условия хорновской аксиома-
аксиоматизируемости (см. п. 3.3), а также получены теоремы о существовании
универсальных и однородных моделей.
§ 5. Некоторые классы моделей 2-й ступени
5.1. Аксиомы 2-й ступени
Вопросы, рассматривавшиеся в предыдущих разделах, были непосред-
непосредственно связаны лишь с узким исчислением предикатов, т. е. с формальным
языком 1-й ступени. Следующим по важности формальным языком являет-
является язык исчисления предикатов 2-й ступени. Формулы в этом языке со-
составляются из тех же логических символов &, \Д ], ->, V, Я, предметных
и предикатных переменных, что и в узком исчислении. Отличие состоит
лишь в том, что в формулах 2-й ступени кванторные символы V, 3 могут
связывать не только предметные переменные, но и предикатные переменные.
Оценка (истинность — ложность) формулы 2-й ступени на модели, сигнату-
сигнатура которой содержит все свободные предикатные и предметные символы,
содержащиеся в записи рассматриваемой формулы, определяется так же,
как и в исчислении 1-й ступени (см. [86]). Например, истинность формулы
(R) (Cz) R (z) -> (Я*) (у) (R (x) & (Д (у) -> * < у)))
на линейно упорядоченном множестве означает, что это множество впол-
вполне упорядочено (каждое непустое подмножество содержит наименьший
элемент).
Класс моделей, на которых истинна какая-либо фиксированная аксио-
аксиома 2-й ступени естественно называть классом 2-й ступени. Если аксиома
2-й ступени не содержит ни предметных, ни предикатных свободных пере-
переменных, то истинность или ложность ее зависят лишь от мощности основ-
основного множества. Поэтому классы 2-й ступени могут состоять из абстракт-
абстрактных множеств некоторых мощностей, и набор этих мощностей, называемый
спектром аксиомы, будет вполне характеризовать такие классы.
Простейшие результаты о спектрах классов 2-й ступени были уже
довольно давно получены А. А. Зыковым [12]. Именно им доказано, что
существуют алгоритмы, позволяющие
1) для каждой формулы 2-й ступени построить эквивалентную форму-
формулу, имеющую вид
(Q1T1)... (Q^Tm) (Qm+ix1)... (Qm+nxn) St {хъ ..., xn; Тъ ..., Гт;

264 Некоторые вопросы теории классов моделей
где Ть Pj — предикатные, xk, yi — предметные переменные, <РХ, . . ., Pt;
Ун • • •» УвУ — сигнатура рассматриваемого класса моделей, Qt = V, 3;
2) для каждой закрытой формулы 3t 2-й ступени построить такую закры-
закрытую формулу 2-й ступени 35 вида
(Я5) (В) (Q1x1)... (Qnxn) S (^,..., хп; S, R) (Q{ = Я, А), A)
что спектр © формулы 3t будет однозначно отображаться на спектр £
формулы 35 функций
m + ml + 2ml = п (m е в; гс е £)
E — двухместный, Л — одноместный предикатные символы, I — число мест
самого многоместного встречающегося в формуле 31 предикатного символа).
Однако вопрос о том, какие совокупности кардинальных чисел могут
являться спектрами формул вида A), остается открытым. Ясно, что вопрос
этот тесно связан с аксиоматикой теории множеств, но подробно он до сих
пор не изучен.
Язык исчисления предикатов 2-й ступени весьма сильный. Многие важные
математические понятия непосредственно записываются на этом языке.
Поэтому детальная разработка теории языка 2-й ступени представляется
одной из центральных задач теории моделей. В настоящее время более или
менее систематически изучены лишь частные виды языка 2-й ступени, полу-
получающиеся при наложении на предикатные кванторы тех или иных огра-
ограничений. Некоторые из результатов, полученных в этих направлениях,
будут ниже кратко описаны.
5.2. Проективные классы
По определению класс моделей К конечной сигнатуры </\, . . ., Psy назы-
называется финитно проективным, если он состоит из всех моделей, удовлетво-
удовлетворяющих некоторой фиксированной аксиоме 2-й ступени, имеющей вид
... (Qnxn) 9i (хъ ..., хп, Ръ ..., />„ Тъ ..., Тп)
(Qi = 3, V), A)
где Ръ . . ., Тт — предикатные, хг, . . ., хп — предметные переменные.
Рассмотрим вспомогательный класс моделей Ко сигнатуры <7\, . . ., Тт,
Рг, . . ., Psy, определяемый аксиомой 1-й ступени: '
(хъ ..., хп, Ръ ..., Р„ Тъ ..., Тп). B)
Сравнивая аксиомы A) и B), видим, что произвольная модель <;
jPx, . . ., Psy тогда и только тогда принадлежит классу К, когда на М можно
так определить дополнительные предикаты Тг,.. .,Гт, чтобы обогащенная мо-
модель <7kf; Рх, ... Ps, 7\,..., Tmy принадлежала классу Ко. Модель<7kf; Рг, ...
. . ., Psy называют <РХ, . . ., Р5>-проекцией модели <7kf; Р±, . . ., Ps, Тг, . . .
. . ., Тту, и потому класс К состоит из <Р1, . . ., Р^-проекций моделей клас-
класса Ко. Иначе говоря, финитно проективные классы — это проекции конечно
аксиоматизируемых классов. Проекции произвольных аксиоматизируемых
классов естественно называть (общими) проективными классами. Совокупно-
Совокупности финитно проективных и общепроективных классов моделей А. Тарский
[64] предложил обозначать символами РАС и РАСд.

Некоторые вопросы теории классов моделей 265
В качестве примера рассмотрим класс К колец, сигнатуру которых будем
считать состоящей из придиката сложения S {х, г/, z) и предиката умножения
Р (х, у, z), эквивалентных соответственно равенствам х + у — znxy = z.
Обозначим через G Р-проекцию класса К. Класс G проективный, состоящий
из трех полугрупп, которые изоморфны мультипликативным полугруппам
ассоциативных колец. Недавно С. Р. Когаловский [19] показал, что класс G
неаксиоматизируемый.
Значительная часть свойств аксиоматизируемых классов моделей прису-
присуща и проективным классам. Формулировать явно эти свойства мы здесь не
будем, так как все они присущи редукционным классам, к описанию которых
мы теперь переходим.
5.3. Редукционные классы
До сих пор мы рассматривали модели с одним основным множеством.
Однако иногда целесообразно рассматривать модели с двумя и большим
числом основных множеств. Например, в системе аксиом геометрии Евкли-
Евклида — Гильберта имеется три основных множества: множество точек, мно-
множество прямых и множество плоскостей. В аксиоматике теории множеств в
качестве основных обычно берут множество «элементов» и множество «мно-
«множеств» и т. п.
Переходя к общему случаю, мы ради краткости далее будем предпола-
предполагать, что рассматриваемые модели имеют два основных множества. Из них
одно будем называть первым, а другое — вторым множеством. Формулы
соответствующего двухсортного исчисления предикатов имеют тот же вид,
что и формулы обычного односортного узкого исчисления предикатов. Раз-
Различие состоит в том, что в двухсортном исчислении предметные переменные
разделяются на два «сорта»: значениями переменных 1-го сорта служат
элементы 1-го основного множества, а значениями переменных 2-го сорта
служат элементы 2-го основного множества. Основные предикаты двухсорт-
ных моделей определены на паре множеств и в соответствии с сортностью
своих аргументов могут быть разных типов. Предикаты и предикатные пере-
переменные, все пустые места которых предназначены предметным переменным
1-го сорта, условимся называть -предикатами 1-го типа. Предикаты, все
пустые места которых предназначены для предметных переменных 2-го сорта,
будем называть предикатами второго типа. Остальные предикаты условимся
называть предикатами смешанного типа. Таким образом, предикаты 1-го и
2-го типа — это обычные одноосновные предикаты, и лишь смешанные преди-
предикаты являются существенно многоосновными.
Кванторы в многосортном исчислении предикатов истолковываются как
ограниченные кванторы, относящиеся к соответствующим основным множест-
множествам.
Наконец, аналогичным образом строятся и истолковываются и формулы ^
многосортного исчисления предикатов 2-й ступени.
Класс двухсортных моделей называется конечно аксиоматизируемым, если
он состоит из всех моделей данной сигнатуры, удовлетворяющих некоторой
фиксированной (конечной) системе аксиом двухсортного узкого исчисле-
исчисления предикатов.
Обозначим теперь через К* какой-либо аксиоматизируемый или конечно
аксиоматизируемый класс двухсортных моделей, и пусть сигнатура К* со-
состоит из предикатных символов Рг, . . ., Ps 1-го типа, предикатных символов
R-l, . . ., Rs 2-го типа и смешанных предикатных символов 5^, . . ., Sr, Каж-

266 Некоторые вопроси теории классов моделей
дая модель SR класса К* имеет два основных множества Мг, М2. Рассматри-
Рассматривая в 3R лишь множество Мг и сохраняя на нем только предикаты Рг, . . ., Ps,
получим одноосновную модель <Af1; Рг, . . ., Ps>, которую назовем редук-
редукцией модели 3J? по первому основному множеству.
Определение. Класс К обычных односортных моделей называется
(финитно) редукционным классом, если К совпадает с редукцией какого-либо
двухсортного (конечно) аксиоматизируемого класса [39].
В этом определении редукционные классы односортных моделей опреде-
определяются при помощи двухсортных моделей. Чтобы найти определение одно-
односортных редукционных классов на языке односортных моделей, рассмотрим
какую-либо односортную модель 3R = <7kf; Рг, . . ., Ps, i?>, сигнатура кото-
которой, помимо предикатных символов Рг, . . ., Ps, содержит еще специально
выделенный одноместный предикатный символ R. Обозначим через Mr со-
совокупность тех элементов множества Л/", на которых R истинен. Модель
<Mr; Рг, . . ., Р8У условимся называть /?-редукцией модели 3R. Теперь легко
доказывается
Теорема 1. Класс К односортных моделей сигнатуры <Р1, . . ., Р8У
тогда и только тогда (финитно) редукционный, когда К является (Р±, . . ., РвУ~
проекцией R-редукции подходящего (конечно) аксиоматизируемого класса,
сигнатура которого содержит символы Рг, . . ., Р8, R.
Эта теорема и дает искомую характеристику редукционных классов одно-
односортных моделей в рамках теории односортных моделей.
Из теоремы 1 непосредственно следует, что все (финитно) проективные
классы содержатся среди (финитно) редукционных классов односортных
моделей. Верны ли обратные утверждения, докладчик не знает. Однако редук-
редукционные классы обладают и такими свойствами, верность которых для проек-
проективных классов находится под сомнением. Так, легко доказываются следую-
следующие свойства редукционных классов [39]:
а) пересечение любой (конечной) системы (финитно) редукционных
классов есть (финитно) редукционный класс;
б) объединение конечного числа (финитно) редукционных классов есть
(финитно) редукционный класс;
в) редукционные классы являются квазиаксиоматизируемыми в смысле
п. 3.5;
г) для каждого редукционного класса моделей К существует такое кар-
кардинальное число и, что каждое множество элементов мощности ^ m произ-
произвольной ЛГ-модели лежит внутри подходящей 7£-подмодели этой модели мощно-
мощности не выше m + п (теорема Левенгейма — Сколема для редукционных
классов);
д) для каждого редукционного класса К существует такое кардинальное
число и, ( что каждая бесконечная модель мощности т может быть расшире-
расширена до модели, имеющей любую наперед заданную мощность, не меньшую
m + и;
ж) система всевозможных прямых произведений моделей редукционного
класса есть редукционный класс;
з) система всех гомоморфных образов и система всех сильно гомоморф-
гомоморфных образов моделей (финитно) редукционного класса являются (финитно)
редукционными классами;
и) система всех моделей, допускающих гомоморфное или сильно гомоморф-
гомоморфное отображение на какую-либо модель заданного (финитно) редукционного
класса, являются (финитно) редукционными классами.

Некоторые вопросы теории классов моделей 267
Свойства а) — д) присущи и проективным классам. Что касается свойства
з), то верность его для проективных классов, по-видимому, по&а остается
под сомнением *.
Поскольку вопрос о совпадении редукционных и проективных классов
остается открытым, может представлять интерес
Теорема 2. Если все модели финитно редукционного класса К беско-
бесконечны, то К является финитно проективным классом.
Для полноты приведем доказательство этой теоремы. Пусть класс К есть
</>!, . . ., Р5>-проекция Л-редукции класса L моделей сигнатуры <РХ, . . .,PS,
Ps+1, . . ., Ри Л>, характеризуемого аксиомами 9(а (Р, R). Пусть 9Ке К,
и пусть 31 — та L-модель, проекцией Д-редукции которой SR является.
Согласно теореме Левенгейма — Сколема в 31 найдется L-подмодель З^,
содержащая 9R, мощность которой равна мощности 3R. Таким образом, каж-
каждая ЛГ-модель 3)? есть проекция Д-редукции L-модели той же мощности, что и
3R. Следовательно, существует предикат S (х, у), определенный на 3R1 и
осуществляющий одно-однозначное отображение 31Х на SR, а потому удов-
удовлетворяющий аксиомам
(х) (у) (z) ((S (х, z)&S (у, z) ->* = у) & (S (х, y)&S (x, z) -+y =
= z&R(y))),
(х) (Яг/) (S (х, y)&R (у)) & (у) (Я х) (R (у) -+ S (х, у)).
Конъюнкцию этих аксиом обозначим через 95 E, R). Перенося предика-
предикаты /^ . . ., Pt, i?, S, с помощью отображения S из множества 31Х на мно-
множество 3R получим новые предикаты Рг , . . ., Pt, R*, 5*, причем модель
3R* = <М; Р*ъ . . .,Pj, Л*> будет изоморфна модели 31Х, и, следовательно,
на 3R* будут истинны аксиомы
По определению имеем для xv . . ., хп{ G 9K
Л (жь ..., хп.) <^ (ЯУ1... г/я.) E* (жь 1/г) & ... & S* (хп., уп.) & Р\ (уъ ..., уп.)). A)
Обозначим через 31 систему всех аксиом ?С 25* A) для i = 1, . . *, s и
рассмотрим класс ® моделей, определяемый системой аксиом 31. Приведен-
Приведенные выше рассуждения показывают, что на каждой if-модели ЗЙ мощно так
определить предикаты 7?*, 5*, Р±, . . ., Р*, чтобы на обогащенной, модели
выполнялись аксиомы 31. Иначе говоря, каждая ЛГ-модель есть проекция
подходящей ©-модели. Обратно, пусть 9R есть <РХ, . . ., Р^-проекция не-
некоторой ©-модели Щ. Обозначая через SR2 <Р*,. .., Р*, 7?*>-проекцию
5К1? видим, что 50?2 есть ^-модель. Из формул 95* и A) следует, что эта ре-
редукция изоморфна модели 3R, т. е. (Рг, . . ., Р5>-проекция каждой ©-модели
есть 7£-модель. Следовательно, класс К как проекция аксиоматизируемого
класса © является проективным классом.
* Решение системы см. М. Makkai. On PC-classes in the theory of models.— Magyar tud.
akad. Mat. es. fiz* oszt. kozl., 1964, 9, 159—194; 1965,-9, 601—602.— Лрим< pea.

268 Некоторые вопроси теории классов моделей
5.4. Квазиуниверсальные классы
Пусть на классе моделей К задан некоторый частичный одноместный
предикат А{$51). Говорят, что предикат А обладает локальным свойством,
если имеет место следующее предложение: пусть задана модель 9R £=Е К и
система {3Rx} ее подмоделей, так что каждое конечное множество элементов
3R содержится внутри подходящей модели 9Rx. Тогда если предикат А опре-
определен на 3R и на каждой модели 3Rx предикат А истинен, то А истинен и на SR.
Например, пусть К — класс всех групп и А — свойство группы быть
абелевой гс-ступенно разрешимой или тг-ступенно нильпотентной (п — фикси-
фиксированное натуральное число). Тогда легко доказывается, что в каждом из
этих случаев А обладает локальным свойством, которое обычно формулирует-
формулируется в более слабой форме: если каждое конечное множество элементов группы
& порождает внутри й подгруппу, обладающую свойством А, то U сама об-
обладает свойством А.
Вопрос о том, является ли некоторое свойство групп А локальным *,
нередко возникает в теории бесконечных групп, и решение его иногда бывает
довольно трудным. В заметке [32] был указан способ сведения проблемы
локальности свойства к локальной теореме УИП, и при помощи его была
доказана локальность свойства группы иметь центральную систему подгрупп
и локальность некоторых других свойств. Это было, по-видимому, первым
случаем применения теории моделей к решению конкретных проблем, возник-
возникших в областях математики, непосредственно не связанных с исчислением
предикатов.
Непосредственным следствием упомянутой теоремы компактности явля-
является и
Теорема (Хенкин [76]). Если каждая конечная подмодель некоторой
модели 9R вложима в модель аксиоматизируемого класса К, то и сама SR
вложима в подходящую модель класса К.
Эта теорема была обобщена А. Д. Таймановым [69] на тг-вложения, опи-
описанные выше (п. 2.4).
В большинстве интересных конкретных локальных теорем, например
теоретико-групповых, речь идет о свойствах, непосредственно записываемых
не в исчислении 1-й ступени, а в исчислении предикатов 2-й ступени. Поэто-
Поэтому представляется важным описать, по возможности, более широкий класс
формул 2-й ступени, выражающий предикаты, обладающие локальным свой-
свойством. Требуется лишь, чтобы описание это было формальным (синтаксиче-
(синтаксическим) и чтобы формулы этого класса давали возможность доказывать интерес-
интересные теоремы в конкретных теориях. Один класс таких формул, названных
квазиуниверсальными, построен докладчиком в статье [39]. Формулы эти
конструируются следующим образом.
Обозначим через Рг, . . ., Ps сигнатуру рассматриваемых моделей и введем
дополнительно систему предикатных символов Rx, . . ., Rt каких-нибудь
членностей. Рассмотрим систему 31, состоящую из формул
(хъ "ч хпг; Pi ,. . •, Ps, Ri) (* = 1, ...,*) A)
и формулы
lf... , xmt). .. (QtRt) t ;
R1,...,Rt), B)
Т. е. обладает ли предикат А локальным свойством в классе всех групп?

Некоторые вопроси теории классов моделей 269
где Q\ = Я, V, 31^ — открытые бескванторные формулы 1-й ступени, со-
составленные из указанных в скобках предикатных и предметных переменных,
а 95 (хг, . . ., Rt) — формула 1-й ступени, составленная из указанных симво-
символов и не содержащая кванторов. В формулах A), B) может встречаться и
знак равенства, но связывать он должен лишь предметные символы.
Мы скажем, что на модели 3R = <М; Р1ч . . ., Ps> выполняется квази-
квазиуниверсальная система аксиом A), B), если на 3R истинна формула B) при
условии, что встречающиеся в ней кванторы по Нг, . . ., Rt понимаются
как ограниченные кванторы по совокупностям всех предикатов на М, удов-
удовлетворяющих соответственным аксиомам A).
В случае, когда условия A) тавтологичны или их нет, выполнимость
квазиуниверсальной системы A), B) равносильна истинности на 3R выраже-
выражения B) как обычной формулы 2-й ступени. В общем случае выполнимость
на 9R квазиуниверсальной системы A), B) равносильна истинности на 3R
формулы 2-й ступени, имеющей в пренексной форме кванторы существова-
существования по предметным переменным. Так, например, квазиуниверсальная си-
система
(х) % (х; Р; Д),
(Д) (у) 9 (у; Р, R)
равносильна формуле
(R) (Кх) (у) (Я +35).
Поэтому на квазиуниверсальные системы можно смотреть как на формулы
2-й ступени особой структуры.
Теорема (внутренняя локальная теорема для квазиуниверсальных
классов [39]). Все свойства моделей, которые можно выразить квазиунивер-
квазиуниверсальными системами формул, обладают локальным свойством.
Эта теорема верна и в общем случае, т. е. для любых бесконечных систем
формул вида A) и B), относящихся к многоосновным моделям.
В качестве конкретного примера рассмотрим класс ЛГ-групп. Двучленные
предикаты R, определенные на группе и удовлетворяющие аксиоме
(х) (у) (z) (и) (v) ((xRy & yRx -+x = у) & (xRy & yRz -*xRz & uxvRuyv)),
называются частичными упорядочениями группы, а предикаты S, удовлет-
удовлетворяющие аксиоме
(х) (у) (z) (и) (г?) {{xSy &ySx -+x = у) & xSy \J ySx & (xSy & ySz -+
-*xSz & uxvSuyv)),
называются линейными упорядочениями группы. Группа G называется до-
упорядочиваемой E0-группой), если на ней истинна формула
(УД) C5) (х)(у) (xRy -+xSy),
где кванторы V/?, 35 — ограниченные, относящиеся соответственно к частич-
частичным и линейным упорядочениям G. Отсюда видно, что свойство доупорядочи-
ваемости группы является квазиуниверсальным и, значит, локальным.
Ряд других теоретико-групповых теорем, получаемых непосредственным
применением внутренней локальной теоремы, указан в статье [39]. Локаль-
Локальная теорема Мак-Лейна [30] также почти непосредственно вытекает из внут-
внутренней локальной теоремы.

270 Некоторые вопросы теории классов моделей
Класс моделей К естественно назвать квазиуниверсальным, если он со-
состоит из всех моделей некоторого аксиоматизируемого класса Ко, обладаю-
обладающих фиксированным квазиуниверсальным свойством. В цитированной
статье [39] указан ряд примеров, показывающих, что свойства квазиунивер-
квазиуниверсальных классов принципиально отличаются от свойств аксиоматизируемых
или редукционных классов. Например, оказалось, что квазиуниверсальный
класс может состоять лишь из одной бесконечной модели, квазиуниверсаль-
квазиуниверсальными являются классы всех простых групп, всех простых колец и т. п.
Более детальное изучение квазиуниверсальных классов не производилось и
представляется интересным *.
5.5. Формулы с кванторами
по одноместным предикатам
Как уже говорилось, о классах моделей, определяемых формулами 2-й
ступени общего вида, мало что известно. Можно было бы надеяться упро-
упростить задачу, ограничившись рассмотрением тех классов моделей, кбторые
характеризуются формулами 2-й ступени, содержащими предикатные кван-
кванторы лишь по одноместным предикатным символам. Формулы этого вида
условимся называть монарно кванторными. Однако теорема А. А. Зыкова
из п. 4.1 показывает, что проблема спектра для классов моделей с одним би-
бинарным предикатом S, характеризуемых монарно кванторной аксиомой
вида
(R) (QlXl) . . . (Qnxn) % (*„ . . ., хп; R, S) (Qt = V, 3),
имеет такую же степень общности, как и проблема спектра для произвольных
аксиом 2-й ступени.
Существенно более элементарен случай классов моделей, имеющих лишь
монарные (одноместные) основные предикаты и характеризуемых монарно
кванторными аксиомами. Классическая теорема Бемана (ср: [1]) показывает,
что каждый такой класс либо пуст, т. е. соответствующая аксиома противо-
противоречива, либо содержит конечную модель, число элементов которой не превос-
превосходит границы, эффективно выражаемой через длину соответствующей ак-
аксиомы.
В связи с теорией автоматов в последнее время большой интерес вызвали
монарно кванторные формулы, относящееся к модели
1, 2, . . .}, S>,
где S — бинарный предикат, выражающий отношение непосредственного
следствия: S (х, у) х + 1 = у. Лишь недавно Дж. Бюхи [7] удалось пока-
показать, что множество монарно кванторных формул, истинных на @, алгориф-
мически разрешимо. Отношение монарно кванторной теории модели & к тео-
теории автоматов подробно рассмотрено в работах С. Клини, А. Черча [89],
Б. А. Трахтенброта [72—74] и других авторов.
Большой интерес представляет язык слабых монарно кванторных формул.
Для описания этого языка условимся одночленный предикат, определенный
на каком-либо множестве М, называть финитарным на М, если он истинен
лишь на конечном подмножестве множества М. Формула 2-й ступени назы-
* См. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. Основы теории групп. М., «Наука», 1972,,
с. 220.— Прим. ред.

Некоторые вопроси теории классов моделей 271
вается слабо монарно кванторной, если все ее предикатные кванторы отно-
относятся к одноместным и притом финитарным предикатам. Например, формула
(VR) ((Эх) R (х) -*(Яу) (R (у) &(z) (R (z) -+у < г)))
в слабо монарно кванторном языке содержательно истолковывается как пред-
предложение: каждое непустое конечное подмножество R основного множества
с предикатом ^ имеет «наименьший» элемент.
Рассмотрим еще один пример. Пусть @ — система аксиом УИП, описы-
описывающая класс линейно упорядоченных групп с групповой операцией и отно-
отношением порядка <J\ Тогда система @ и слабо монарно кванторная аксиома
(*) (У) 1 < У < * ->■ (ЯД) (Эк) (R (z) & Л A) & х < z & 95 (у,
где 95 (у, R) означает формулу
(и) (v) (R(u) & R (v)&(w) (R (w) -+w^.u\/v^w)&u=jbv-+v = uy)%
совместно описывают класс архимедовски упорядоченных групп.
Как известно, в классе архимедовски упорядоченных групп существует
максимальная группа — аддитивная группа вещественных чисел, не содер-
содержащаяся в качестве упорядоченной подгруппы ни в какой большей архиме-
архимедовски упорядоченной группе.
Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим класс линейно упорядо-
упорядоченных множеств, удовлетворяющих слабо монарно кванторной аксиоме
(За) (х) (а < х) & (х) (Щ (х< у & х ф у) & (х) (ЯД) (у) (у < х + R (у)),
Ясно, что этот класс состоит из множеств, изоморфных множеству всех
натуральных чисел.
Условимся временно класс моделей называть слабо монарно кванторным,
если он может быть описан на слабо монарно кванторном языке. Приведенные
выше второй и третий примеры показывают, что слабо монарно кванторные
классы могут содержать максимальные модели континуальной мощности, но
могут и просто быть категоричными. Тем не менее для них справедлив следу-
следующий аналог теоремы Левенгейма — Сколема:
Теорема (А. Тарский [65]). В каждой модели слабо монарно кван-
торного класса К, имеющей бесконечную несчетную мощность, существуют
К-подмодели любой меньшей бесконечной мощности.
В частности, из этой теоремы следует, что каждый категоричный слабо
монарно кванторный класс состоит из счетной модели.
Более детально свойства слабо монарно кванторных классов пока, по-ви-
по-видимому, не изучены. В статье И. Бюхи [6] указывается ряд конкретных моде-
моделей, слабо монарно кванторные теории которых изучались как в связи с ав-
автоматной проблематикой, так и вследствие их чисто математического инте-
интереса *.
* См. также М. Rabin. Weakly definable relations and special automata.— In: Mathema-
Mathematical logic and foundation of set theory. Amsterdam, 1970.— Прим. ред.

272 Некоторые вопроси теории классов моделей
ЛИТЕРАТУРА
1. W. Ackermann. Solvable cases of the decision problem. Amsterdam, 1954.
2. K. J. Appel. Horn sentences in identity theory.— J. Symbol. Log., 1959, 24, N 4, 306—
310.
3. К. В ing. On arithmetical classes not closed under direct unions.— Proc. Amer. Math.
Soc, 1955, 6, N 5, 836-846.
4. G. Birkhoff. Subdirect unions in universal algebras.— Bull. Amer. Math. Soc, 1944T
50, 764—768.
5. Г. Биркгоф. Теория структур. М., ИЛ, 1952.
6. /. В. Buchi. Weak second-order arithmetic and finite automata.— Z. math. Log. und
Grundl. Math., 1960, 6, N 1, 66—92.
7. /. B. Buchi. On a problem of Tarski.— Notices Amer. Math. Soc, 1960, 7, 570—572.
8. R. L. Vaught. On sentences holding in direct products of relational systems.— Proc
Internat. Gongr. Math., Amsterdam, 1954, 2, 409—410.
9. В, М. Глушков. Некоторые проблемы синтеза цифровых автоматов.— Ж. вычисл.
мат. и мат. физ., 1961, 1, № 3, 371—411.
10. В. М. Глушков. Абстрактная теория автоматов.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 5Т
3—62.
11. Д. А. Захаров. К теореме Лося — Сушко.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 2, 200—
< 201.
12. А. А. Зыков. Проблема спектра в расширенном исчислении предикатов.— Изв. АН
СССР, сер. мат., 1953, 17, 63—76.
13. /. R. Isbell. Adequate subcategories, III.— J. Math., 1960, 4, 541—552.
14. /. R. Isbell. Two set-theoretic theorems in categories. Preprint. 1961.
15. /. R. Isbell. Subobjects, adequacy, completeness and categories of algebras. Preprint,
1961.
16. А. Г. Курош, А. X. Лившиц, Е. Г. Шулъгейфер. Основы теории категорий.— Успехи
мат. наук, 1960, 15, № 6, 3—52.
17. W. Craig. Linear reasoning. A new form of the Herbrand — Gent theorem.— J. Symbol.
Log., 1957, 22, N 3, 250—268.
18. С. Р. Когаловский. Об одном общем методе получения структурных характеристик
аксиоматизируемых классов.— Докл. АН СССР, 1961, 136, № 6, 1291—1294.
19. С. Р. Когаловский. О мультипликативных полугруппах колец.— Докл. АН СССР,
1961, 140, № 5, 1005-1007.
20. С. Р. Когаловский. Универсальные классы моделей.— Докл. АН СССР, 1959, 124, № 2,
260—263.
21. R. С. Lindon. Properties preserved under algebraic constructions.— Bull. Amer. Math.
Soc, 1959, 65, N 5, 287—299.
22. R. C. Lindon. An interpolation theorem in the predicate calculus.— Pacif. J. Math.,
1959, 9, N 1, 129—142.
23. R. C. Lindon. Properties preserved under homomorphisms.— Pacif. J. Math., 1959,
9, N 1, 143—154.
24. R. C. Lindon. Properties preserved under subdirect unions.— Pacif. J. Math., 1959,
9, N 1, 155—164.
25. /. Los. Quelques remarques, theoremes et problemes sur les classes definissables d'algeb-
res.— In: Mathematical interpretations of formal systems. Amsterdam, 1955.
26. /. Los. On the extending of models, I.— Fundam. Math., 1955, 42, 38—54.
27. /. Los, R. Suczko. On the infinite sums of models.— Bull. Acad. polon sci., 1955, 3,
N 4, 201—202.
28. L. Los, R. Suczko. On the extending of models, II.— Fundam. math., 1955, 42, N 2,
343—347.
29. L. Lowenheim. Uber Moglichkeiten im Relativkalkul.— Math. Ann., 1915, 76, 447—
470.
30. D. H. McLaine. Local theorems in universal algebras.— J. London Math. Soc, 1959,
34, N 2, 177—184.
31. А. И. Мальцев. Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik.— Мат.
сб., 1936, 1, № 3, 323—335.
32. А. И. Мальцев. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп.—
Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та, 1941, 1, № 1, 3—9.
33. А. И. Мальцев. О включении ассоциативных систем в группы, П.— Мат. сб., 1940,
8, № 2, 251—263.
34. А. И. Мальцев. Подпрямые произведения моделей.— Докл. АН СССР, 1956, 109,
№ 2, 264—266.

Некоторые вопроси теории классов моделей 273
35. А. И. Мальцев. О классах моделей с операцией порождения.— Докл. АН СССР,
1957, 116, № 5, 738—741.
36. А. И. Мальцев. Определяющие соотношения в категориях,— Докл. АН СССР, 1958,
119, № 6, 1095—1098.
37. А. И. Мальцев. Структурная характеристика некоторых классов алгебр.— Докл.
АН СССР, 1958, 120, № 1, 29—32.
38. А. И. Мальцев. О некоторых классах моделей.— Докл. АН СССР, 1958, 120, № 2,
245—248.
39. А. И. Мальцев. Модельные соответствия.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 3,
313-336.
40. А. И. Мальцев. Регулярные произведения моделей.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959,
23, № 4, 489—502.
41. А. И. Мальцев. О малых моделях.— Докл. АН СССР, 1959, 127, № 2, 258—261.
42. А. И. Мальцев. Об одном соответствии между кольцами и группами.— Мат. сб.,
1960, 50, № 3, 257—266.
43. А. И. Мальцев. О свободных разрешимых группах.— Докл. АН СССР, 1960, 130».
№ 3, 495—498.
44. А. И. Мальцев. О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей.— Сиб. мат.
ж., 1960, 1, № 1, 71—77.
45. А. И. Мальцев. Неразрешимость элементарной теории конечных групп.— Докл. АН
СССР, 1961, 138, № 4, 771—774.
46. А. И. Мальцев. Конструктивные алгебры, I.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3,
3—60.
47. A. Marczesski. Sur les congruences et les proprietes positive d'algebres abstraites.—
Colloq. Math., 1951, 2, 220—228.
48. A. Morel, D. S. Scott, A. Tarski. Reduces products and the compactness theorem.— No-
Notices Amer. Math. Soc, 1958, 5, 674.
49. A. Mostowski. On direct powers of theories.— J. Symbol. Log., 1952, 17, N 1, f— 31.
50. A. Mostowski. Concerning a problem of H. Scholz.— Z. math. Log. und Grundl. Math.,
1956, 2, 210—214.
51. А. Мостовский. Современное состояние исследований по основаниям математики.—
Успехи мат. наук, 1954, 9, № 3, 3—38.
52. /. Mycielski. A characterization of arithmetical classes,— Bull. Acad. polon sci., cl. 3,
1957, 5, N 11, 1025-1027.
53. Ц. С. Новиков. Элементы математической логики. М., Физматгиз, 1959.
54. A. Oberschelp. Ober die Axiome produkt — abgeschlossener arithmetischer Klassen.—
Z. math. Log. und Grundl. Math., 1958, 4, 95.
55. H. Rasiowa, R. Sikorski. A proof of the completeness theorem of Godel.— Fundam.
Math., 1950, 37, 193—200.
56. A. Robinson. On the metamathematics of algebra. Amsterdam, 1951.
57. A. Robinson. Complete theories. Amsterdam, 1956.
58. A. Robinson. Obstructions to arithmetical extension and the theorem of Los and Susz-
ko.— Indagationes Math., 1939, 21, N 5, 489—495.
59. /. Robinson. Definability and decision problem in arithmetic— J. Symbol. Log.,
1949, 14, N 2, 98—114.
60. /. Robinson. The underlability of algebraic rings and fields.— Proc. Amer. Math. Soc.r
1959, 10, N 6, 950—957.
61. R. M. Robinson. Undecidable rings.— Trans. Amer. Math. Soc, 1951, 70, N 1, 137—
159.
62. T. Skolem. Logisch-kombinatorische Untersuchungen tiber die Erfullbarkeit oder Be-
weisbarkeit mathematischer Satze nebst einem Theoreme tiber dichte Mengen.— Skr.
vidensk.- akad. Oslo, I kl., 1920, N 4, 36.
63. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II.— Proc. Koninkl. nederl. acad.
wet., 1954, A57, 571—588.
64. A. Tarski. Contributions to the theory of models, III.— Proc. Koninkl. nederl. acad.
wet., 1955, A58, 58—64.
65. A. Tarski. An extension of the Lowenheim — Skolem theorem to a second-order logic —
Abstrs, Short communs Internat. Congr. Math. Edinburgh, 1958, 10.
66. A. Tarski, A. Mostowski, R. M. Robinson. Undecidable theories. Amsterdam, 1953.
67. A. Tarski, R. Vaught. Arithmetical extensions of relational systems.— Composit. Math.,
1957, 18, N 2, 81—102.
68. А. Д. Тайманов. Характеристика аксиоматизируемых классов моделей, I.— Изв..
АН СССР, сер. мат., 1961, 25, № 4, 601—620.

74 Некоторые вопросы теории классов моделей
69. А. Д. Тайманов. Характеристика аксиоматизируемых классов моделей, II.— Изв.
АН СССР, сер. мат., 1961, 25, 755—764.
70. А. Д. Тайманов. Характеристика конечно аксиоматизируемых классов моделей.—
Сиб. мат., ж, 1961, 2, № 5, 759—766.
71. А. Д. Тайманов. О классе моделей, замкнутом относительно прямого произведения.—
Изв. АН СССР, сер. мат., 1960, 24, 493-510.
72. Б. А. Трахтенброт. Синтез логических сетей, операторы которых описаны средства-
средствами исчисления предикатов.— Докл. АН СССР, 1958, 118, № 4, 646—649.
73. Б. А. Трахтенброт. Некоторые построения в логике одноместных предикатов.—
Докл. АН СССР, 1961, 138, № 2, 320—321.
74. Б- А. Трахтенброт. Конечные автоматы и логика одноместных предикатов.— Сиб.
мат. ж., 1962, 3, 103—131.
75. S. Feferman, R. Vaught. The first order properties of products of algebraic systems.—
Fundam. Math., 1959, 47, N 1, 57—103.
76. L. Henkin. Some interconnections between modern algebra and mathematical logic —
Trans. Amer. Math. Soc, 1953, 74, 410—427.
77. l. Henkin. The completeness of the first order functional calculus.— J. Symbol. Log.,
1949, 14, 159.
78. A. Horn. On sentences which are true of direct unions of algebras.— J. Symbol. Log.,
1951, 16, N 1, 14—21.
79. С. С. Chang. On unions of chains of models.— Proc. Amer. Math. Soc, 1959, i0, N 1,
120—127.
80. С. С Chang, A. Morel. On closure under direct products.— J. Symbol. Log., 1958,
23, 149.
81. A. Erenfeucht. On theories categorical in power.— Fundam. Math., 1957, 44, N 2, 241 —
248.
82. A. Erenfeucht, A. Mostowski. Models of axiomatic theories admitting automorphisms.—
Fundam. Math., 1956, 43, N 1, 50-68.
83. W. Szmielew, Elementary properties of Abelian groups.— Fundam. Math., 1955, 41,
N 2, 203—271.
84. /. Los, C. Ryll-Nardzewski. Effectiveness of the representation theory for Boolean algeb-
algebras.— Fundam. Math., 1954, 41, N 1, 49-^-56.
85. K. Godel. Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkiil.—Monatsh.
Math., 1936, 377 349—360.
86. Д. Гильберт, В. Аккерман. Основы теоретической логики. М., ИЛ, 1947.
37. /. Los. On the categoricity in power of elementary deductive systems and some related
problems.— Colloq. Math., 1954, 3, 58—62.
88. R. L. Vaught. Remarks on universal classes of relational systems.— Proc. Koninkl.
nederl. acad. wet., 1954, 57, 589—591.
89. A. Church. Application of recursive arithmetic in the theory of computers and auto-
automata. Advanced theory of the logical design of digital computers. Univ. Michigan 1958,
June.
90. H. J. Keisler. Theory of models with generalized formulas.— J. Symbol. Log., 1960,
25, N 1, 1—26.
91. L. Henkin. On a theorem of Vaught.— Indagationes Math., 1955, 17, 326—328.
92. E. Beth. On Padoa's method in theory of definition.— Indagationes Math., 1953, 56,
330-339.
93. S. Kochen. Ultraproducts in the theory of models.— Ann. Math., 1961, 74, N 2, 221 —
261.
94. M. O. Rabin. Arithmetical extensions with prescribed carbinality.— Indagationes
Math., 1959, 21, N 4, 439—446.
95» Т. Е. Fraine, D. S. Scott. Model-theoretical properties of reduced products.— Notices
Amer. Math. Soc, 1958, 5, 675.
96. H. J. Keisler. Ultraproducts and elementary classes.— Indagationes Math., 1961, 23,
N 5, 477—495.

Андрею Николаевичу
КОЛМОГОРОВУ
ко дню шестидесятилетия
ПОЛНО НУМЕРОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА*
Фундаментальным фактом теории алгоритмов является существование
частично рекурсивной функции (ч.р.ф.) двух переменных U (п, х), из которой
при различных фиксированных значениях первой переменной п получаются
все одноместные ч.р.ф. Называя число п номером функции Un (х) = U (п,х)%
получаем нумерацию системы всех одноместных ч.р.ф., порожденную уни-
универсальной функцией U (п, х). Называя п номером совокупности всех значе-
значений функции Un (х), получим соответствующую нумерацию системы всех
рекурсивно перечислимых множеств. Специализируя особым образом функ-
функцию U, получают нумерации Клини и Поста [1] функций и множеств, имею-
имеющие ряд важных специальных свойств.
Однако подобного рода нумерации можно строить не только для ^систем
всех ч.р.ф. или рекурсивно перечислимых множеств (р.п.м.), но и для некото-
некоторых частей этих систем. При этом на первый план выдвигаются те нумерации,
в которых для каждого заданного номера п существует алгоритм, позволяю-
позволяющий вычислять значения функции номера п или числа соответствующего мно-
множества номера п. В связи с изложенным, А. Н. Колмогоровым (см. [3]) была
выдвинута программа систематического изучения свойств вычислимых нуме-
нумераций семейств функций и множеств. Эта программа в своей существенной
части была выполнена В. А. Успенским в работах [3—51.
Тем не менее начавшееся примерно в те же годы изучение конструктивных
алгебр убедительно показало, что интерес представляют не только нумера-
нумерации систем функций, но и нумерации произвольных множеств объектов. Ис-
Исходя из этой более общей точки зрения, начала общей теории нумерованных
совокупностей были изложены в 1-й части настоящего обзора [1]. Среди ряда
других понятий там было введено понятие полной нумерации произвольной
совокупности объектов, в какой-то мере обобщающее понятие нумерации
Клини. В данной статье вводится новое определение полной нумерации,
отличное от прежнего. Полно нумерованные множества в новом смысле будут
полно нумерованными и в старом смысле. Однако теория полных нумераций
в новом смысле оказывается более законченной. В частности, теория полно
нумерованных множеств в новом смысле позволяет объединить многие важ-
важные результаты Майхила [8], Роджерса [10], Мучника [2] и Шмульяна [9],
казавшиеся до сих пор не связанными друг с другом. Изложение этой теории
занимает п. 1—5 данной статьи.
В п. б описывается структура семейств ч:.р.ф., совокупность всех кли-
ниевских номеров которых является р.п.м. Источником для этой части яви-
явилась работа Раиса [6], в которой аналогичная задача была впервые рассмот-
рассмотрена и в сущности, полностью решена для постовской нумерации ч.р.м.
Задача для клиниевской нумерации ч.р.ф. имеет специфические особенности
* Алгебра и логика, 1963, 2, № 2, 4—29.

76 Полно нумерованные множества
и была решена В. А. Успенским [3]. Наше изложение параллельно изложе-
изложению Раиса [6].
В качестве дополнения в п. 7—8 разобраны некоторые примеры нумераций
семейств объектов.
Хотя материал настоящей статьи связан с содержанием обзора [1], изло-
изложение настоящей статьи не предполагает от читателя знакомства с указанным
обзором.
1. Полные нумерации. Нумерацией X совокупности некоторых объектов
Ж называется однозначное отображение какого-либо подмножества N1 мно-
множества N натуральных чисел 0, 1, ... на 9R. Если Хп = а (п ЕЕ N\, а ЕЕ Щ,
то п называется Я-номером объекта а. Совокупность N\ называется номер-
номерным множеством нумерации X. Совокупность 3R, заданная вместе с какой-либо
своей нумерацией X, называется нумерованным множеством. Нумерация X
называется простой, если iVx = N. Ниже будут рассматриваться почти всегда
лишь простые нумерации.
Основное определение. Простая нумерация X называется
полной, если в совокупности Зй существует особый элемент о, такой, что
для каждой частично рекурсивной функции / (х) существует общерекурсив-
общерекурсивная функция g (х), удовлетворяющая условию:
СХ/(х), если f(x) определено,
Xg(x) = \ A)
[о для остальных х.
Основным примером полной нумерации может служить нумерация Кли-
ни всех одноместных частично рекурсивных функций. Получается она сле-
следующим образом. Величина
С (т, п) = V2 ((т + пJ + Зт + п)
называется канторовским номером пары <етг, тг)>. Через I (х) и г (х) обозначаем
числа, удовлетворяющие соотношению С (I (х), г (х)) = х.
Легко видеть, что функция
[т, п] = С (I (т), С (г (ш), п))
Its
также осуществляет одно-однозначную нумерацию всех пар натуральных чи-
чисел. Пусть
[х1У х2, . . ., xs] = [[хг, х2], х3, . . ., xs] (s = 3, 4, . . .).
Если
[х19 . . ., xs] = п,
то полагаем
%i = Msi (f = 1, . . ., s).
Пусть теперь U (n, x) — какая-либо ч.р.ф. от переменных п, х, универ-
универсальная для всех одноместных ч. р. ф. от х. Положим
К$> (х) = К& (л, z) = U(l (л), С (г (п), х)),
#(*+*) (х0, х19 . . ., xs+1) = JCO (lx0, х±1 х2, . . ., xs+1) (s = 1, 2, ...).
Простые рассуждения показывают, что К& (п, х±, . . ., xs) является
универсальной функцией с параметром п для системы всех частично рекурсив-

Полно нумерованные множества 277
ных функций от #!,..., xs. Функции К& называются универсальными
функциями Клини.
Ставя натуральному числу п в соответствие 5-местную функцию
R& (п, хх, . . ., xs) от переменных х±, . . ., xs, получаем нумерацию Клини
x<s) множества всех частично рекурсивных функций от s переменных. Нумера-
Нумерацию х^ одноместных функций сокращенно обозначим через х. Нигде не
определенную функцию в нумерации x<s) обозначим через о.
Через соп обозначим совокупность всех значений функции Кп\- Отобра-
Отображение со : гг ->• соп будет называться нумерацией Поста совокупности всех
рекурсивно перечислимых множеств. Символом о в нумерации со обозначим
пустое- множество.
Пусть <9R, X} — какое-нибудь нумерованное множество. Если А — мно-
множество натуральных чисел, то символом X А будем обозначать семейство
тех объектов множества 9R, хотя бы один из номеров которых находится в А.
Если £ — семейство элементов из 9R, то через АГ1 % будем обозначать
совокупность всех номеров всех объектов из £. Штрих обозначает дополне-
дополнение множества (в N или, соответственно, в Щ. Например, ©~1о есть совокуп-
совокупность всех постовских номеров пустого множества, а к~1о есть совокупность
всех клиниевских номеров всех функций с непустой областью определения.
Теорема 1.1. Нумерации Клини x<s) E = 1,2,...) и нумерация
Поста со являются полными нумерациями, у которых множества x(s>-V и
co~V рекурсивно перечислимы.
Мы докажем полноту лишь нумерации х, так как полнота остальных
нумераций является непосредственным следствием полноты х.
Пусть / (х) — какая-либо частично рекурсивная функция. Ищем такое
число а, чтобы для всех значений хь t было
К (/ (х), t) = К (а, х, t) = К ([а, х], t).
Но это и значит, что общерекурсивная функция (о. р. ф) g (x) = [а, х] удов-
удовлетворяет условиям A). Утверждения о рекурсивной перечислимости мно-
множеств gTV x~V вполне очевидны.
Теорема 1.2. Для каждой полной нумерации, X существует общерекур-
общерекурсивная функция рп (#!, . . ., хп) такая, что для каждой ч. р. ф. h(xx, . . ., хп)
найдется число а, для которого при любых х2, . . ., хп
(Xh (а, х2,. . ., хп), если h (а, х2,. . . , хп) определено,
Хрп (а, х2,. . •, хп) = \ оч
4 ' [о в противном случае. B)
Для доказательства рассмотрим функцию
f(x) =К([Х]П1, . . ., Ыпп),
где [x]ni — указанные выше функции. Согласно определению найдется о.р.ф.
g (х), связанная с / (х) условием A). Следовательно, для любых х1У . . ., хп
имеем
{ХК {хъ ..., хп), если К (хъ ..., хп) определено,
\
\р в противном случае.
Так как К^ — универсальная функция, то при некотором с имеем
Полагая теперь ^n (^x, . . ., xn) = g (t#i, . • •» ^nD» я = tc» cl» получаем B).

Полно нумерованные множества
Теорема 1.3. Если X — полная нумерация, то для каждой ч.р.ф.
и (хг, . . ., хп) найдется такая о.р.ф. g (х2, . . ., хп), что для всех значений
переменных х2, . . ., хп
Xg (х2,.. ., хп) =
| Хи (g (х2,. . ., хп), х2, . . ., хп), если и (g (х2, .. ., хп), х2, . .. , хп) определено,
\о в противном случае. C)
Пусть h (#!, . . ., хп) = и(рп (#!, . . ., хп), х2, . . ., хп), где рп (х±, . . .
..., хп) — функция, указанная в теореме 1.2. Согласно этой теореме найдется
такое число а, что
'а, х2,..., хп), если это выражение определено,
[о в противном случае.
Хрп(а,х2,. ..л) = 1
Таким образом, в качестве функции g (х2, . . ., хп), удовлетворяющей
условию C), можно взять рп (а, х2, . . ., д:п).
Из теоремы 1.3 непосредственно вытекает, что каждая полная нумерация
X неединичного множества 3R является полной и в смысле статьи [1].
Действительно, нумерация X полна в смысле A), если существует такая
о.р.ф. ф (х), что
ХК (п, ф (п)) = А,ф (п)
для всех тех значений п, для которых функция К (п, х) есть всюду опреде*
ленная функция от х. Применяя теорему 1.3 к функции U (х±, х2) = К (х2, хг)г
видим, что в качестве ф может быть взята функция g (x).
2. Изоморфизм. Фактор-нумерации. При сравнении друг с другом двух
нумераций приходится различать два случая, когда: а) сравниваются нуме-
нумерации двух разных множеств и б) сравниваются между собой нумерации
одного и того же множества (см. [1]). Рассмотрим отдельно оба случая.
Пусть Хг, Х2 — две простые нумерации одного и того же множества 3R.
Нумерация Хг называется о.р.-сводимой к нумерации Х2, если существует
о.р.ф. / (п) такая, что
Хгп = X2f (n). - D)
Если Хг о.р.-сводима к Х2 и Х2 о.р.-сводима к'Х±, то Х± и Х2 называются о.р.-эк-
о.р.-эквивалентными. Нумерации Хг, Х2 называются рекурсивно изоморфными, если
существует о.р.ф. / (х), осуществляющая одно-однозначное отображение на-
натурального ряда на себя и такая, нто выполнено условие D).
Так как всякая полная нумерация полна и в смысле [1], то из теоремы
2.3.4 статьи [1] вытекает
Теорема 2.1. Если простая нумерация Хг множества 3R эквивалентна
некоторой полной нумерации Х2 того же множества, то Х± и Х2 рекурсивно
изоморфны.
Пусть теперь ^ и 12 — простые нумерации соответственно множеств
SRi, 3R2, вообще различных. Нумерации Хг и Х2 называются свободно изо-
изоморфными, если существует общерекурсивная функция / (#), осуществляю-
осуществляющая одно-однозначное отображение натурального ряда на себя и такая,
что для любых натуральных тип
Ххт = Xtn <H> X2f (т) = XJ {п).

Полно нумерованные множества 279
Аналогично нумерация Х2 называется гомоморфным образом нумерации
Ях, если существует общерекурсивная функция / (#), отображающая одно-од-
одно-однозначно натуральный ряд на себя и такая, что для любых натуральных
гп и п
Хгт = Х±п =» XJ (т) = X2f (п).
Пусть X — нумерация произвольного множества 31! и а — некоторая
.эквивалентность на 9R. Обозначая через [а]а совокупность тех элементов 3R,
которые сравнимы по а с а и полагая
Хоп = [Хп]а,
получаем нумерацию совокупности ЗЛЛт всех смежных классов. Нумерация
Яо будет называться фактор-нумерацией XI а от нумерации X по а. Ясно, что
все фактор-нумерации от X являются гомоморфными образами нумерации X.
Теорема 2.2. Гомоморфные образы полной нумерации являются пол-
полными нумерациями.
Действительно, если нумерация Хо множества ЗЛ0 есть гомоморфный об-
образ полной нумерации X множества 3R с особым элементом она — некоторый
Л-номер о, то, полагая а = Xof (а), видим, что о.р.ф. р2 (хг, х2), удовлетво-
удовлетворяющая для X условиям теоремы 1.2 из п. 1, удовлетворяет требованиям
этой теоремы и для нумерации Хо и, следовательно, Хо — полная нумерация.
В качестве примера можно взять нумерации Клини х и Поста со, опреде-
определенные выше. Так как К$ = К$ =¥ сот = соп, то со есть гомоморфный
образ нумерации х.
3. Перечислимые семейства элементов. Пусть X — простая нумерация
некоторого множества 3R. Подмножества Ш условимся называть семействами
(объектов $Я). Понятие рекурсивной перечислимости можно определить
для семейств следующими тремя основными способами:
а) семейство a cz 5JR называется слабо перечислимым, если а есть Я-образ
некоторого рекурсивно перечислимого множества чисел А с: N;
б) семейство а называется сильно перечислимым, если а есть одно-одно-
одно-однозначный Я-образ подходящего рекурсивно перечислимого множества чисел
А, т. е. если ХА =аи из 7/г, п Ez А, т Ф п следует Хт = Хп;
в) семейство а называется вполне перечислимым (вполне креативным,
вполне рекурсивным и т. п.), если таковым является множество всех номе-
номеров всех элементов а.
Теорема 3.1 (см. [1]). Множество 3R с полной нумерацией X не имеет
непустых и отличных от 3R вполне рекурсивных семейств.
i Пусть, напротив, непустое и отличное от 3R семейство о вполне рекур-
рекурсивно, т. е. рекурсивно числовое множество АгЧт. Тогда дополнение его
АгЧт' также рекурсивно. Пусть а ЕЕ Агкг, Ъ ЕЕ Х~1а. Строим рекурсивную
функцию
Согласно теореме 1.3 найдется о.р.ф. g (x), для которой
Xg(x) =Xf{g{x), x). E)
Если g @) е Я"%, то f(g @),0) = Ьи, следовательно, Xg@)G a, A,/(g(O),O) =
= ХЬ ЕЕ а', что противоречит E). Предположение g @) ЕЕ Х~1аг аналогич-
аналогичным путем также ведет к противоречию.

280 Полно нумерованные множества
Теорема 3.2. Если вполне перечислимое семейство а объектов полно
нумерованного множества 3R содержит особый элемент о, то а = 9R.
Пусть, напротив, а Ф Зй и XJ Е а'. Вводим функцию:
{fc, если х ЕЕ Х~^о,
не определена, если х^Х^в.
Функция / (х) частично рекурсивная. В силу полноты нумерации найдется
о. р. ф. g (x) такая, что
{ХЪ,
о, х^Х 1б.
Отсюда следует, что
х ЕЕ Х~1аг 44 g (x) ЕЕ АгЧт,
т. е. множество АГЧт' ^-сводимо к рекурсивно перечислимому множеству
Я~% и, значит, множество Х~1а' рекурсивно перечислимо. Так как взаимна
дополнительные множества рекурсивно перечислимы, то они оба рекурсивные.
Это значит, что а и а' вполне рекурсивны, вопреки теореме 3.1.
Теорема 3.3. Каждое нетривиальное (т. е. отличное от 0 и Щ вполне
перечислимое семейство а объектов множества 9R с полной нумерацией X явля-
является вполне креативным.
Пусть Х~1о есть совокупность всех значений о.р.ф. F (х) и пусть А —
какое-нибудь креативное множество чисел. Введем вспомогательную функ-
функцию:
\F(x), если хЕЕ А,
[не определена, если х!=А.
Функция / (х) — частично рекурсивная, и потому найдется о.р.ф. g (x)T
для которой
**<*)» Р*(х)' если x-t F)
\^ I/, c5UJ±.H .*/ £~ ^1.
Согласно теореме 3.2 о Ш а. Поэтому из F) следует
т. е. креативное множество А ^-сводимо к р.п. множеству X % и, значит,
множество Х~*о также креативно.
Теорема 3.4. Пусть в множестве 3R с полной нумерацией X семейство
о' всех неособых элементов вполне перечислимо. Тогда каждое отличное от
3R семейство элементов о\ содержащее о, является вполне продуктивным.
Введем частично рекурсивную функцию:!
Ь, если х е ArV,
[не определена, если х^К хо,
где ХЪ ЕЕ а'. Тогда найдется о.р.ф. g (x), для которой
[ХЪ, если
Xg(x)= \
5 v ' о, если

Полно нумерованные множества 281
я, значит,
х е Г'о <н> g (х) е ГЧт. . G)
Согласно теореме 3.3 множество X~io продуктивно. Поэтому из G) вытекает,
что множество Х~*о также продуктивно.
4. Полно нумерованные множества, у которых каждое семейство неосо-
неособенных элементов вполне перечислимое. Пусть 3R — множество с полной
нумерацией Я, обладающее указанным в заголовке этого пункта свойством.
Так как совокупность всех р.п. числовых множество счетная, а совокупность
всех подмножеств бесконечного множества несчетная, то множество 3R конеч-
конечное, причем совокупность номеров каждого его неособенного элемента ре-
рекурсивно перечислима.
Пусть 9JR = {о, т0, тг, . . ., ms}. Положим
Mt = Х~^ти i = О, 1, . . ., s.
Систему множеств Мо, Мг, . . ., Ms назовем системой, ассоциированной
с нумерацией X.
Обратно, пусть задана система Мо, Мг, . . ., М\ каких-то непустых, по-
попарно не пересекающихся множеств чисел, не исчерпывающих в совокупно-
совокупности всех натуральных чисел. Вводим нумерацию X вспомогательной системы
символов {о, т0, . . ., ms} = 3R, полагая по определению
Хп = mt<k=¥ n(= Mt (i = о, 0, 1, . . ., s)$
где т0 = о, Мо = N — Мо — ... — Ms. Нумерацию X назовем ассоцииро-
ассоциированной с системой множеств Мо, . . ., Ms (ср. [1]).
Напомним еще следующие общеизвестные определения [2]: система мно-
множеств Ао, Аг, . . ., As называется m-сводимой к системе множеств Во,
Вг, . . ., Bs, если существует о.р.ф. g (x), для которой
х е аг <н> g (x) e Bt (i = о, 1,. .., s).
Система С/о, Ux, . . ., Us непустых, попарно не пересекающихся рекур-
рекурсивно перечислимых множеств называется универсальной, если к этой
системе m-сводима любая система из s + 1 непустых попарно не пересекаю-
пересекающихся рекурсивно перечислимых множеств.
Системы множеств Ао, . . ., As и Во, . . ., Bs называются т-эквивалент-
ными, если каждая из них m-сводима к другой. Эти системы называются ре-
рекурсивно изоморфными, если одна из них m-сводима к другой с помощью
о-р.ф. g (#), осуществляющей взаимно однозначное отображение натураль-
натурального ряда на себя.
Теорема 4.1. Если X — полная нумерация конечного множества
$Я = {о, т0, . . ., ms}, каждый неособенный элемент которого вполне пере-
перечислим, то ассоциированная система множеств Mt = Х~*тг (i = 0, . . ., s)
является т-универсалъной. Обратно, если Мо, Мг, . . ., Ms — какая-нибудь
т-универсалъная система множеств, то ассоциированная нумерация полная
и ее каждый неособенный элемент вполне перечислим.
Действительно, пусть X — полная нумерация множества 3R = [о,
т0, . . ., ms} с вполне перечислимыми неособенными элементами. Тогда мно-
множества системы Мо, . . ., Ms рекурсивно перечислимы и не пересекаются
попарно. Пусть Ао, . . ., As — какая-либо другая система попарно не пере-

282 Полно нумерованные множества
секающихся рекурсивно перечислимых множеств. Рассмотрим функцию:
(аь если хееАь
не определена для остальных х,
где а0, . . ., as — какие-нибудь фиксированные числа из множеств МОг
Мг, . . ., Ms. Так как / (х) частично рекурсивная, то найдется о.р.ф. g (x)r
для которой
(Хал, если xeElAx,
%g (х) = \
v ' [о для остальных х.
Следовательно, функция g (х) m-сводит систему Ао, . . ., As к система
Мо, . . ., Ms и потому последняя система является т-универсальной.
Обратно, пусть Мо, . . ., М& — m-универсальная система множеств и
X — ассоциированная нумерация вспомогательной совокупности 9R =
= {о, т0, . . ., ms}. Пусть / (х) — произвольная частично рекурсивная функ-
функция. Положим
Аг = с*|/(*)е мг) (i = o, ...,s).
Рекурсивно перечислимые множества Ао, . . ., As попарно не пересека-
пересекаются. Поэтому найдется о.р.ф. g (х), m-сводящая систему Ао, . . ., А&„
к системе Мо, . . ., Ms и потому удовлетворяющая условию полноты A),
что и требовалось.
Сопоставление определений понятий ттг-эквивалентности и рекурсивного
изоморфизма для систем множеств и для ассоциированных нумераций непо-
непосредственно показывает, *гго системы множеств Ао, . . ., As и Мо, . . ., Ms
тогда и только тогда m-эквивалентны (соответственно рекурсивно изоморф-
изоморфны), когда т-эквивалентны (рекурсивно изоморфны) ассоциированные нуме-
нумерации вспомогательной совокупности 9R = {о, т0, . . ., ms} (ср. [1]). Теперь^
сравнивая теорему 2.1 с теоремой 4.1 и замечая, что все т-универсальные
системы из фиксированного числа 5 + 1 множеств m-эквивалентны, приходим
к важному предложению:
Следствие. Все т-универсалъные системы, состоящие из фиксиро-
фиксированного числа 5 + 1 множеств, рекурсивно изоморфны друг другу (Майхил [8]г
А. А. Мучник [2]).
Рассмотрим несколько примеров полных нумераций конечных множеств.
Пример 1. В постовской нумерации со назовем сг-эквивалентными
все непустые р.п. множества. Нумерация со/сг есть полная нумерация двух-
двухэлементной совокупности {о, о'}, где о — пустое множество и о' — система
всех непустых р.п. множеств. В этой нумерации элемент о' вполне перечис-
перечислим и, значит, множество gTV (совокупность всех постовских номеров не-
непустых р. п. м.) является m-универсальным множеством.
Пример 2. Рассмотрим снова постовскую нумерацию со совокупно-
совокупности £2 всех р.п. множеств. Разобьем Q на три класса: класс о, состоящий лишь
из пустого множества, класс т0 всех р.п. множеств, равных JV, класс тх
всех остальных р.п. множеств.
Пусть а — эквивалентность на Q, отвечающая этому разбиению £2 на
классы. Нумерация со/сг совокупности Q/a полная. Семейство о' в этой нуме-
нумерации вполне неречислимое, а неособенные элементы т0, тг вполне перечис-
перечислимыми не являются.

Полно нумерованные множества 283
Из теоремы 4.1 непосредственно вытекает следующее обобщение теоре-
теоремы 3.3:
Теорема 4.2. Пусть X — полная нумерация некоторой совокупности
$Я и а0, (Гц . . ., as — какая-либо система попарно не пересекающихся вполне
перечислимых непустых семейств объектов из зде. Тогда система множеств
чисел Аг^сго, Аг1^, . . ., Х~*о8 является т-универсалъной системой.
В самом деле, пусть а0 — семейство всех объектов из 9R, не вошедших в
сг0, . . ., as. Обозначим через а эквивалентность на М, отвечающую разбие-
разбиению сг0, сг0, . . ., crs, и рассмотрим нумерацию Я/а = Хо конечной совокупно-
совокупности 3R0 = {а0, сг0. . . ., as}. Эта нумерация полная. Так как X^Ot = Яг1^
(i = О, . . ., s), то все неособенные элементы 3R0 вполне перечислимы и, зна-
значит, по теореме 4.1 система множеств Ат1^, . . ., X^Og m-универсальная.
Теорема 4.2 дает возможность очень просто строить т-универсальные
системы. Например, рассмотрим нумерацию Клини и. Обозначим через
Oi семейство всех частично рекурсивных функций, принимающих в точке
О значение i (i = 0, 1, . . ., s). Семейства at вполне перечислимы в к (см. п. 6)
и не пересекаются попарно. Поэтому множества сг0, сгх, . . ., as образуют
/7г-универсальную систему.
Известно, что иг-универсальные пары множеств являются эффективно
неотделимыми [9]. Поэтому, например, множества клиниевских номеров
всех функций семейств а0 и аг являются эффективно неотделимыми.
5. Универсальные серии множеств. Результаты п. 4 относительно т-уни-
версальных систем, состоящих из фиксированного конечного числа мно-
множеств, очевидным путем распространяются и на бесконечные системы мно-
множеств. Именно, с каждой бесконечной последовательностью множеств
связываем предикат А (£, х), полагая по определению
А (£, х) 4=з> х<= Аг.
Последовательность (8) будем называть серией, если предикат А (£, х
рекурсивно перечислим и если множества последовательности (8) попарно
не имеют общих элементов.
Последовательность А (£, х) назовем m-сводимой к последовательности
В (i, x), если существует о.р.ф. g (x) такая, что
A (U x)^B (U g (*)).
Взаимно яг-сводимые друг к другу последовательности А (£, х) и В (£, х)
будем называть ^-эквивалентными, а последовательность А (£, х), сводимую
к последовательности В (£, х) с помощью о.р.ф. g (x), осуществляющей одно-
однозначное отображение натурального ряда на себя, назовем т-изоморфной
В (I, х).
Серия U (i, х) будет называться ттг-универсальной, если к ней т-сводится
любая серия А (г, х) *.
Полную нумерацию Я совокупности объектов 3R назовем серийной, если
все неособенные объекты 3R можно так расположить в простую последова-
[ Понятия] универсальных и креативных' последовательностей были введены Кливом
(/. P. Cleave. Creative functions.— Z. math. Logik und Grundl. Math., 1961, 7, N 3,
205—212), распространившим на них основные результаты Мучника — Шмульяна о
кр еативных парах множеств. В частности, Кливом получена (иным путем) теорема 5.2.

284 Полно нумерованные множества
тельность т0, тг, . . . (mt =f= т}- для i ф f), что последовательность множеств
Я-^о, Х^тг, . . ., Х~*тг, ... (9)
будет связана с серийным предикатом М (i, x) (т. е. (9) будет серией). Имеет
место следующий аналог теоремы 4.1-
Теорема 5.1. Серия М (i, х), связанная с серийно полной нумерацией
X, является т-универсалъной. Обратно, пусть дана некоторая т-универ-
салъная серия М (i, x). Тогда нумерация X вспомогательной совокупности
3R = {о, т0, тг, . . .}, определенная условиями
Хп = т-г 4=$М (i, n), A0)
является серийно полной нумерацией.
Докажем, например, первое утверждение. Пусть дана произвольная
серия А (i, х). Пусть i = ам (t), х = рм (t) — параметрическое представле-
представление М (iy x) с помощью о.р.ф. ам (t) и $м (t). Полагаем
i (х) = аА (mm, (pA (t) = х))9
f (x) = pAf (mm, (aM (t) = i (x)))
и рассматриваем о.р.ф. g (х), для которой выполнено условие A). Из A),
A0) следует, что
А (*, х) 4Ф М (U g(x))i
т. е. что серия А (£, х) m-сводима к М (i, n). Аналогично доказывается и вто-
второе утверждение теоремы.
Теорема 5.2. Все т-универсалъные серии т-изоморфны друг другу.
Пусть Мг (£, х) и М2 (i, x) m-универсальные серии. Берем вспомогатель-
вспомогательное множество 3R ={0> ^о» mit •••} и строим при помощи формулы A0) две
его нумерации Ях, Я2, отвечающие сериям Мг (i, x) и М2 (i, x). Из т-сводимо-
сти серий Мг, М2 друг к другу следует m-эквивалентность нумераций Хг
и Х2. Так как эти нумерации полные, то согласно теореме 2.1 эти нумерации
изоморфны и, следовательно, серии Мг и М2 также т-изоморфны.
Аналогом для теоремы 4.2 служит
Теорема 5.3. Пусть X — полная нумерация совокупности 3R и пусть
в 3R существует последовательность сг0, сгх, . . . попарно не пересекающихся
непустых семейств объектов ЗЙ, такая, что предикат A (i, x), определенный
условиями
A (i, х) 4Ф Хх е оь
является рекурсивно перечислимым. Тогда серия A (i, х) является т-универ-
сальной.
Эта теорема выводится из теоремы 5.1 тем же способом, каким теорема
4.2 выводится из теоремы 4.1.
В качестве примера рассмотрим снова нумерацию Клини и. Семейства
ат всех частично рекурсивных функций, принимающих в точке 0 значение
т, образуют при т = 0, 1, 2, . . ., как легко видеть, серию, удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям теоремы 5.3. Поэтому серия множеств ^"^о, х^!, . . .являет-
.является т-универсальной.
6. Вполне перечислимые семейства частично рекурсивных функций»
Ниже мы хотим построить систему полных нумераций, имеющих весьма
естественный вид, и доказать, что эти нумерации не являются изоморфными.

Полно нумерованные множества 285
Для этого нам будет нужно знать структуру вполне перечислимых семейств
частично рекурсивных функций в нумерации Клини. Вполне перечислимые
семейства рекурсивно перечислимых множеств в нумерации Поста были
найдены Райсом [6]. Аналогичный результат для ч.р. функций был получен
В. А. Успенским [3]. В работах В. А. Успенского условия теорем и дока-
доказательства выражены в топологических терминах. Необходимые нам ре-
результаты относительно вполне перечислимых множеств функций мы изложим
здесь, следуя рассуждениям Раиса [6], так как некоторые попутные уточне-
уточнения для нас также будут представлять интерес.
Функция / (х) называется продолжением или расширением частичной
функции h (х), если в каждой точке х, в которой определено h (x), выраже-
выражение / (х) также определено и равно h (x). Частичная функция h (x) называется
конечным ограничением функции / (х), если / (х) есть расширение функции
h (x) и h (x) имеет конечную область определенности. В частности, нигде не
определенная функция о есть конечное ограничение любой функции / (х).
Гёделевским номером (у-номером) функции k (х), определенной на непус-
том конечном множестве {а0, аг, . . ., ап), назовем число jV.Pi ... P2nP2n+ir
где pi — i-e простое, а0 <^ аг <^ . . . <^ ап. Гёделевским номером нигде не
определенной функции условимся считать 0. Функции с конечными областя-
областями определения назовем конечно определенными.
Повторением рассуждений Раиса [6] непосредственно получается
Теорема 6.1. Пусть а — семейство конечно определенных функций,
гёделевские номера которых образуют р.п. множество. Тогда множество
всех клиниевских номеров всех расширений функций из а будет также рекур-
рекурсивно перечислимым.
Аналогичным образом непосредственно получается и
Теорема 6.2. Множество А гёделевских номеров всех конечно опреде-
определенных функций, содержащихся в к-вполне перечислимом семействе ч.р. функ-
функций, является рекурсивно перечислимым.
В самом деле, пусть fn (х) — конечно определенная функция, гёделев-
ский номер которой есть п. Так как fn (x) является частично рекурсивной
функцией от переменных п, х, то при подходящем фиксированном а имеем
fn (х) = К (а, п, х) = К ([а, п], х).
Поэтому
А = [[a, N] П х"Чт]22
и, значит, А — рекурсивно перечислимое множество.
Теорема 6.3. Пусть k (x) — ч.р.ф., имеющая рекурсивную область
определенности, / (х) —ч.р.ф., отличная от h (x), являющаяся расширени-
расширением h (x). Тогда каждое множество чисел А, содержащее все клиниевские номера
h и не содержащее ни одного номера /, является продуктивным.
По определению х^ есть совокупность всех и-номеров нигде не опреде-
определенной функции. Обозначим через % (х) функцию, равную 0 вне yTio и не
определенную внутри к~1о. Так как x~V рекурсивно перечислимое, то функ-
функция % (х) частично рекурсивная. Без ограничения общности можно предпо-
предполагать, что 0 {= к~1о. Обозначим через ф (х) функцию, равную 0 в области
определенности h и равную 1 вне этой области. Ищем такое а, чтобы для
любых п, х
% (жр (х)) + / (х) = К (а, п, х) — К ([а, п], х).

286 Полно нумерованные множества
Если п ЕЕ х~*о, то х (иф (#)) определено лишь в области определенности
Ли потому /£ ([а, тг],.#) = /г(;г),т. е.
л е х^а =Ф [а, w] е х""/* с: ^4. A1)
Если же п ЕЕ х-1о, то % (жр (ж)) определена всюду и потому К ([а, п],х) =
= / (я), т. е.
7г Е= х-1о =4> [а, п]£Е А. A2)
Множество х-1о продуктивно. Согласно A1) и A2) множество х о иг-сво-
дится к А. Поэтому А продуктивно.
Несколько более громоздко доказывается
Теорема 6.4. Множество А натуральных чисел заведомо продуктив-
продуктивно, если оно содержит все к-номера какой-либо ч.р.ф. f (x) и не содержит ни
одного к-номера никакого конечного ограничения функции f (x).
Сначала введем особую вспомогательную нумерацию К одноместных час-
частично рекурсивные функций, называя число п Я-номером функции
п
%п (х) = K(n,x,x)+2iO.K (#i, t, x) -KBltf^) (ж). A3)
Из формулы A3) видно, что выражение X (х) является частично рекурсив-
рекурсивной функцией от 72, х, и потому для подходящего фиксированного а имеем
К п (х) —К ([а, 72], х)ш
Следовательно, если 72 есть Х-номер, то [а, п] х-номер той же функции и,
значит, Х-нумерация тп-сводима к х-нумерации. Обратно, ищем такое Ь,
ЧТОбы ДЛЯ ВСеХ 72, X, у
К (и, х) = К (Ь, тг, г/, х).
Тогда из формулы A3) заключаем, что если 72 есть х-номер функции /, то
[fe, 72] будет ее Х-номером. Следовательно, нумерации х и Я иг-эквивалентны
и в силу теоремы 2.1 эти нумерации рекурсивно изоморфны. При одно-одно-
одно-однозначных отображениях натурального ряда на себя продуктивные множества
чисел переходят в продуктивные множества. Поэтому вместо того, чтобы дока-
доказать теорему 6.4 для х-нумерации, достаточно доказать ее для Х-нумерации.
Заметим еще раз, что Х-номером 72 функции / (х) называется х-номер
двухместной функции К$ = К G2, х, г/), из которой функция / (х) получается
оператором 31, определенным формулой A3). Таким образом, если требуется
найти какой-либо новый Я-номер т функции /, имеющей Я-номер тг, то для
этого достаточно построить двухместную функциюh (x, у) такую, что h Ф К%\
$Rh = /, и найти произвольный х-номер функции h. Этим приемом мы и вос-
воспользуемся при доказательстве продуктивности множества А, указанного
в теореме 6.4 (для Я-нумераций).
Итак, пусть дано некоторое z, для которого coz С А, где
со2 = {uOi иъ . .}, щ = К (z, i).
Обозначим через р какой-либо Я-номер /, так что / = 91ЙТ^, К$ — К (р, х, у).
Мы хотим указать регулярный процесс для построения функции F (х, у),
отличной от К%\ К-^ и такой, что 91F = /. Обозначая через g (z) х-но-
х-номер этого процесса, т. ет х-номер функции F, мы будем иметь требуемое

Полно нумерованные множества 287
соотношение
g (z) е А — <oz.
Пусть а (п), Ъ (п) — о. р. ф. такие, что пары последовательности
<а0, Ь0Х Oi, &i>, . . ., <ап, Ьп> , .. ., (ап = а (и), Ъп = Ъ (п)) A4)
образуют область определенности функции /£ (р, #, г/). В процессе построе-
построения функции F (х, у), которая будет определена также на множестве A4),
будет строиться вспомогательная последовательность <с0, do>, <c1? dx>, . . .
такая, что функция К(ип, х, у) будет заведомо определена на паре <cn, dn>.
Сам процесс построения F (х, у) будет разбит на шаги Ао, Во, Аг, Ви . . .
При этом на шаге Ап будет определяться выражение F (ап, Ьп), а на шаге-
Вп будет определяться пара <cn, dn>.
Шаг Ао. Полагаем
(К(р, а0, Ьо), если а0 = Ьо>
(а°' o) = U(p,ao,feo) + l, если
Шаг -4n+i. По условию предполагается, что значения F (аь Ъг) для 0 ^
^ ^^С п Уже определены, определены также пары <с0, do>, . . ., <cn, dn^
и значения К (ut, cu dt).
Рассмотрим ряд случаев:
а. On+i, Ьп+1> = <аь fe^>, где i < ^г. Тогда F (ап+1, Ьп+1) уже определено.
б. Пара <an+i, fen+i> новая, т. е. отличная от пар <а0, feo>, . . .,<an, fen),
но ап+1 = Ьп+1. Тогда полагаем F (ап+1, Ьп+1) = К (р, ап+1, bn+i).
в. Пара <an+i, fen+i> новая и ап+1 ^ь Ьп+1. Тогда полагаем F (ап+1, Ьп+1)
равным наименьшему числу, не входящему в множество значений К (иг, ct, dt)
для тех £, 0^ i^n, для которых <an+i, fen+i^ ^ <сь ^г>- Если таких i
нет, то полагаем, например, F (ап+1, Ьп+1) = 0.
Шаг Вп. Пару <cn, dn> ищем такую, чтобы она входила в область опреде-
определенности функции К (ип, х, у) и чтобы для нее выполнялось хотя бы одно
из следующих условий:
г) сп ф dn и <cn, dny ё {<а0, feo>, . . ., <an, fen>};
Д) сп = dn, Z (p, cn, dn) определено и К (р, cn, dn) ^ь ^ (Mn, cn, dn).
Пара <cn, dn>, удовлетворяющая указанным требованиям, заведомо су-
существует. Действительно, противное означало бы, что функция К (ип, х, у)
определена лишь на конечном числе недиагональных пар, содержащихся
в последовательности <а0, Ьо>, . . ., <ап, Ьл>, и что значения К (ип, х, у}
в диагональных парах <#, хУ совпадают с К (р, х, х), если К (р, х, х) опре-
определено. Но отсюда следовало бы, что одноместная функция ШК^ является
конечным ограничением /, причем Х-номер Stfi^ , равный ип, содержится в А.
Это противоречит требованиям, наложенным на А.
Итак, пара <cn, dn>, удовлетворяющая указанным требованиям, сущест-
существует. Чтобы найти ее, достаточно пересматривать по порядку совместно пары
из области определенности функций К^ и К&К
Функция F (х, у) построена. Она отлична от каждой функции К^- Дей-
Действительно, если сп = dn, то F (cn, dn) = К (р, сп, dn) ф К (ип, ^п, dn).
Если <cn, dny не входит в область определения К (р, х, у), то F (cn\ dn)
также не определено. Однако К (ип, сп, dn) определено, и потому F Ф \
'n*

288 Полно нумерованные множества
Наконец, если К (р, сп1 dn) определено, то значение F (cn, dn) будет опре-
определяться тогда, когда пара <cn, dny уже будет находиться в записанной после-
последовательности, и потому F (cn, dn) будет иметь значение, отличное от
К (ип, сп, dn).
Из доказанных четырех теорем непосредственно вытекает основное
Следствие 6.1. Семейство ч. р. ф. тогда и только тогда к-вполне
перечислимо, когда оно состоит из всевозможных расширений конечно опре-
определенных функций, совокупность г'ёделевских номеров которых образует
рекурсивно перечислимое множество.
Как уже говорилось, следствие 6.1 содержится в более общих результа-
результатах В. А. Успенского, который любезно сообщил следующий простой путь
вывода указанного следствия. На топологическом языке следствие 6.1 оз-
означает, что семейство ч.р.ф. тогда и только тогда вполне перечислимо, когда
оно эффективно открыто, т. е. оно является суммой перечислимого числа
обобщенных бэровских интервалов (см. [3] и § 10 из [4]). В такой форме
следствие непосредственно вытекает из теоремы 2 заметки [3] (так как кли-
ниевская нумерация потенциально вычислима) и теоремы 5 той же заметки
(так как система всех ч. р. ф. со-сепарабельна и ее клиниевская нумерация
является накрывающей).
7. Проективные семейства функций. Вычислимые нумерации. Если рас-
рассматриваемое семейство объектов Z состоит из одноместных ч. р. ф., то
среди нумераций % естественно выделяются так называемые вычислимые
(А. Н. Колмогоров — В. А. Успенский) нумерации. Именно, говорят, что
простая нумерация т семейства % является вычислимой, если значение
функции из £, имеющей номер п, в точке х является ч. р. ф. от переменных
7г, х, т. е. если % обладает универсальной ч. р. ф. Т (п, х), осуществляющей
нумерацию £. Не каждое семейство функций обладает нумерацией (ср. п. 9).
Семейства функций, обладающие хотя бы одной вычислимой нумерацией,
называются вычислимыми.
Пусть £ — вычислимое семейство ч. р. ф. и Т (п, х) — какая-либо его
вычислимая простая нумерация. Ищем такое число с, чтобы для всех 72, х
быЛО Т G2, X) = К (С, П, X) = К ([С, 72], х).
Отсюда следует, что всякое вычислимое семейство функций является
х-образом рекурсивного множества [с, JV], т. е. является слабо х-перечисли-
мым в смысле п. 3. Обратное также очевидно.
Простая вычислимая нумерация т семейства £ называется главной
(ср. [3]), если к т о.р.-сводима любая другая простая вычислимая нумера-
нумерация £. Так как согласно этому определению все главные нумерации £
о. р.-эквивалентны друг другу, то из теоремы 2.1 непосредственно вытекает
Теорема 7.1. Если семейство функций обладает хотя бы одной пол-
полной главной нумерацией, то все его главные нумерации полные и изоморфные.
Не входя в дальнейшие подробности, мы хотим теперь указать некоторое
"число конкретных семейств функций, допускающих полные главные нуме-
нумераций.
Пусть Р — какой-либо вычислимый оператор, отображающий систему
91 всех одноместных ч. р. ф. на ее некоторую часть %. Оператор Р будем
называть проективным, если Р2 = Р. С проективным оператором Р свяжем
нумерацию я его совокупности значений £, полагая по определению
пп = РК^ (п = 0, 1, . . .).
Так как оператор Р вычислимый, то для некоторого р имеем:

Полно нумерованные множества 289
Следовательно, функция Т (п, х) = К([р, л], х) является универсальной
для нумерации я и потому я — вычислимая нумерация.
Ч. р. ф. f (х)и g (x) условимся называть Р-эквивалентными, если Pf — Pg.
Из Р2 = Р следует, что / = Pf. Поэтому в каждом классе [f]p содержится
в точности одна функция из £, и полученное таким образом взаимно одно-
однозначное соответствие между £ и фактор-системой SR/P является рекурсив-
рекурсивным изоморфизмом, если эти системы рассматривать вместе со своими нумера-
нумерациями я и к/Р. Но фактор-нумерации от полных нумераций полные (см.
п. 2), поэтому нумерация я — полная.
Пусть Т± (п, х) — универсальная функция для какой-либо другой про-
простой вычислимой нумерации ях. Ищем такое число с, чтобы
Тг (л, х) = К ([с, л], х).
Если п есть я^номер какой-либо функции / из £, то из
следует, что [с, п] есть я-номер / и, значит, нумерация я является главной.
Семейство функций условимся называть проективным, если оно есть об-
образ системы всех одноместных ч. р. ф. относительно некоторого проектив-
проективного оператора. Из приведенных рассуждений вытекает
Теорема 7. 2. Каждое проективное семейство функций обладает
полными главными нумерациями. Если проективное семейство % содержится
в проективном семействе £1? то главная нумерация я семейства £ изоморф-
изоморфна некоторой фактор-нумерации от главной нумерации ях семейства %г.
Понятия вычислимой и главной нумераций естественно было бы рас-
распространить и на произвольные нумерованные семейства объектов следую-
следующим путем. Нумерацию Хг семейства объектов ЗЛ с нумерацией Я назовем
вычислимой относительно нумерации Я (или подчиненной нумерации Я),
если А,! тп-сводима к Я. Нумерация ЯД-нумерованной системы 3R называет-
называется главной, если каждая простая Я-вычислимая нумерация 3R является
771-сводимой к Хг. Иными словами, главными нумерациями 3R являются все
простые нумерации этой системы, тп-эквивалентные основной нумерации Я.
Поэтому если основная нумерация 3R полная, то все главные нумерации си-
системы изоморфны между собой.
Однако легко привести пример полной нумерации даже двухэлементной
системы, которая имеет полные вычислимые нумерации, не изоморфные ос-
основной. Например, разобьем все ч. р. ф. на два класса: класс SR0 всех функ-
функций, принимающих лишь значение 0 и обладающих непустой областью
определенности, и класс 9t0 всех остальных функций. Обозначим это разбие-
разбиение символом р. С другой стороны, пусть а есть разбиение всех ч. р. функций
на нигде не определенную функцию о и класс о' всех остальных функций.
Нумерации х/р и х/cr двухэлементного множества полные, и нумерация х/сг
иг-сводима к х/р. В то же время х/р неизоморфна х/сг, так как совокупность
всех х-номеров ни класса 9t0, ни класса 9t0 не является рекурсивно перечи-
перечислимой, а множество номеров класса о' рекурсивно перечислимое.
Тем не менее легко заметить, что справедлива
Теорема 7.3. Каждая полная нумерация конечной системы объектов,
имеющая вполне перечислимые неособенные объекты, а также каждая серийно
полная нумерация обладают следующим свойством: каждая т-сводимая к ним
полная нумерация является главной.
10 Заказ № 357

290 Полно нумерованные множества
Эта теорема является непосредственным следствием теорем 4.1 и 5.1.
Пусть, например, серия М (г, х) порождает полную нумерацию X системы
3R = {о, т0, m-L, . . .} и нумерация Хг системы 9R о. р.-сводима при помощи
функции g (x) и нумерации X. Тогда нумерация Хг будет также серийной, свя-
связанной с серией М (£, g {x)). По условию нумерация Хг полная. В силу тео-
теоремы 5.1 отсюда следует m-универсальность серии М (i, g (#)), а в силу
теоремы 5.2 это влечет изоморфизм нумераций X и Хг.
Возвращаясь к проективным операторам, введем следующие определения:
проективный оператор Р назовем направленно проективным, если из того,
что функция / (х) есть расширение функции g (x), следует, что Pf есть рас-
расширение Pg. Совокупность всех значений направленно проективного опера-
оператора назовем направленно проективным семейством ч. р. ф.
Пусть я — главная нумерация какого-нибудь направленно проективного
семейства одноместных ч. р. ф. £. Так как каждый х-номер произвольной
функции / из Z является и ее я-номером, то из направленности оператора
проектирования на X непосредственно заключаем, что теоремы 6.3 и 6.4 о
продуктивности множеств номеров остаются в силе и для я-номеров функ-
функций 13 £.
С другой стороны, теорема 6.1 очевидным путем переносится на любые
вычислимые нумерации вычислимых семейств функций, а теорема 6.2 непо-
непосредственно переносится на главные нумерации любых проективных семейств
функций.
Из всех этих замечаний, как и в п. 6, получаем основное
Следствие 7.1. Пусть я — главная нумерация направленного про-
проективного семейства £. Подсемейство о cz% тогда и только тогда п-впол-
не перечислимо, когда оно состоит из всевозможных Х-расширений конечно
определенных %-функций, совокупность гёделевских номеров которых является
рекурсивно перечислимым множеством.
Мы хотим теперь более подробно рассмотреть серию простейших направ-
направленно проективных семейств функций.
Пусть А — некоторое непустое рекурсивно перечислимое множество
чисел. Обозначим через £д семейство тех ч.р ф., все значения которых при-
принадлежат А. Для краткости положим
Вводим функции фп (х) и флг (х), полагая по определению ф^ (х) = х я
[х, если 0<^х<^п,
, если п <^ х.
Операторы Рп, определенные формулами
Put = Фп (/) (п = N,0,1,.. .),
являются направленно проективными, причем Pn9t — Zn. Обозначим череа
кп главную нумерацию £п, связанную указанным выше способом с операто-
оператором Рп.
Следующие изоморфизмы очевидны:
1. Если А — конечное множество, содержащее п чисел, то главная ну-
нумерация семейства Za изоморфна нумерации у^ семейства Zn.
2. Нумерация х0 семейства £0 изоморфна нумерации 6) системы всех
рекурсивно перечислимых множеств.

Полно нумерованные множества 291
3. Если А — бесконечное рекурсивное множество, то главная нумера-
нумерация семейства %а изоморфна клиниевской нумерации х.
4. Нумерация хт изоморфна фактор-нумерации от хп для т < п.
Следствие 7. 1. описывает строение всех вполне перечислимых под-
подсемейств £п, взятых с их главными нумерациями. Пользуясь этим строени-
строением, в п. 8 мы покажем, что нумерации х, х0, хх, . . . неизоморфны.
8. Квазиупорядочение объектов. Пусть 3R — совокуцность, имеющая
долную нумерацию Я. Обозначим через 2 систему всех вполне перечислимых
семейств объектов 3R. Изучение структуры 2 можно производить либо на
топологическом языке, вводя при помощи 2 подходящую топологию на 3R,
что близко идеям В. А. Успенского [3, 4], либо на языке частично упорядо-
упорядоченных множеств, вводя в 3R надлежащий порядок. Этим последним способом
мы сейчас и воспользуемся.
Объект а из 2 условимся называть подчиненным объекту Ь ЕЕ 3R (сим-
(символически а<^Ь), если каждое вполне перечислимое семейство из 2, со-
содержащее а, содержит и Ь. Отсюда непосредственно, следует, что для каж-
каждых а, Ь, с из 3R имеем о < а и 1из а <; b, b <; с следует а <; с, т. е. что
^ есть отношение частичного квазипорядка с наименьшим элементом о.
Из указанного определения также непосредственно вытекает, что из изо-
изоморфизма нумерованных множеств <3R; Xy и <9l, v> следует изоморфизм
моделей <SR; <> и <31; <>.
В каждой нумерации xs семейства Zs всех частично рекурсивных функ-
функций с областью значений 0, 1, . . ., s отношение f <^ g означает (в силу след-
следствия 7.1), что функция #есть расширение функции /. Поэтому для нумера-
нумераций xs отношение <^ является отношением частичного порядка. Более того,
пусть f,g — какие-либо функции из £s. Тогда функция, график которой ра-
равен пересечению графиков / и g, будет наибольшим объектом, подчиненным
/ и g, т. е. £s будет нижней полуструктурой относительно <^.
Как уже отмечалось, особый элемент о будет наименьшим в полуструкту-
полуструктуре %s. Из следствия 7.1 видно, что частичные функции, определенные лишь
в одной точке, будут атомами в £s, а все общерекурсивные функции, содер-
содержащиеся в £5, будут максимальными объектами полуструктуры %s.
Атомы /0 и g0 назовем изотопными, если /0 = g0 или если у них нет об-
общего кратного в 3R. Объекты / и g назовем изотопными, если для каждого
атома /0, подчиненного /, существует атом g0, изотопный /0 и подчиненный
g, и обратно. Из смысла отношения <^ в %s следует, что изотопные объек-
объекты — это функции, имеющие одну и ту же область определения. Поэтому в
нумерации xs все атомы распадаются на классы изотопных друг другу, при-
причем каждый из этих классов содержит одно и то же число объектов, равное
s+ 1. Так как у изоморфных нумерованных множеств классы изотопных ато-
атомов должны содержать равное число элементов, то из изложенного следует,
что нумерации последовательности х, х0, хх, . . . попарно неизоморфны.
9. Внутренне продуктивные семейства. В п. 3 было введено абстрактное
понятие слабо перечислимого семейства объектов совокупности 3R с нуме-
нумерацией X. С другой стороны, в п. 7 было введено понятие вычислимого семей-
семейства одноместных ч. р. ф. Сравнивая определения обоих понятий, непосред-
непосредственно видим, что вычислимые семейства ч. р. ф. это и есть слабо перечис-
перечислимые семейства ч. р. ф. относительно нумерации Клини х.
Ясно, что каждое вполне перечислимое семейство является слабо пере-
перечислимым. Райе [7] нашел условия, при которых дополнение вполне перечис-
перечислимого семейства является слабо перечислимым.
10*

292 Полно нумерованные множества
Теорем а9.1. В каждой иэ нумераций серии к, к0, кх, . . . дополнение
а' вполне перечислимого семейства функций а тогда и только тогда слабо
перечислимо, когда а' есть семейство всех расширений совокупности конечно
определенных функций, множество гёделевских номеров которых рекурсивно.
Райе доказал эту теорему для нумерации Поста со. Однако его рассужде-
рассуждения остаются верными и для остальных нумераций, упомянутых в теореме.
Ввиду сравнительной простоты рассуждений мы их не воспроизводим.
Согласно определению семейство а объектов нумерованной совокупности:
<Ж, Ху называется слабо перечислимым, если а = ХА, где А — некоторое
непустое рекурсивно перечислимое множество натуральных чисел. Семейст-
Семейство о естественно назвать слабо рекурсивным, если его можно представить
в виде а = ХА, где А — подходящее непустое рекурсивное множество .
Однако имеет место.
Теорема 9.2. В полно нумерованных совокупностях каждое слабо
перечислимое семейство является слабо рекурсивным.
В статье [1] доказано, что для каждого полно нумерованного множества
<3R, Ху существует общерекурсивная функция h (x, у) такая, что Xh (x, у) =
= Хх, а численные значения h (x, у) при любом фиксированном х и различ-
различных значениях у различны. Пусть а = ХА, где А — совокупность значений
о. р. ф. / (п). Определяем новую функцию g (х), полагая g @) = / @) и
g(n+l)=h(f(n+ I), min, (h (/ (п + 1), t)>g (»))).
Так как Xg (n) = X f (ri), то о = ХВ, где В — множество всех значений, при-
принимаемых функцией g. Но функция g общерекурсивная и монотонно воз-
возрастающая. Поэтому множество В рекурсивное.
Введем еще одно определение: семейство а объектов нумерованной сово-
совокупности <SR, ХУ назовем внутренне продуктивным, если существует общере-
общерекурсивная функция g (n) такая, что для каждого п имеем
®п ф 0 & ta*>n с= а =ф Xg (п) е а & Xg (п) е taon.
Из этого определения непосредственно вытекают такие следствия:
а) никакое внутренне продуктивное семейство не может быть слабо пе-
перечислимым;
б) каждое внутренне продуктивное семейство содержит сильно перечис-
перечислимое (см. п. 3) бесконечное подсемейство объектов.
Обычный канторовский диагональный метод позволяет непосредственно
обнаружить продуктивность ряда простых семейств функций в нумерациях
ks (s = оо, 0, 1, . . .).
Теорема 9.3. В каждой из нумераций ks является внутренне про-
продуктивным каждое семейство а, состоящее из функций с бесконечной областью
определенности, при условии, что о содержит все частичные характеристи-
характеристические функции всех бесконечных рекурсивных множеств.
Напомним, что частичной характеристической функцией множества А
называется функция, равная 0 на Л и не определенная вне А.
Для доказательства теоремы 9.3 обозначим через h (n) частично рекур-
рекурсивную функцию, обладающую следующими свойствами:
а) если соп Ф 0, то h (п) определено и xscon = *с8соЛ(П);
Р) если h (n) определено, то К (h (n), t) определена для всех t.
Пусть для некоторого п соп = 0 и >cscon cz а. Полагая К (К (h (га), f),x) =
= F™ (х), ищем последовательно точки определенности а0 < Ьо для функ-
функции F% (x), точки определенности ах, Ъх функции F™(x), подчиненные условию

Полно нумерованные множества 293
#о < ai < &i» точки определенности а2, Ь2 функции F% (x), подчиненные
условию fei < а2 < &2> и т- Д- Множество Лп = {а0, а1? а2, . . .} является
рекурсивным и бесконечным. Обозначим через Gn (#) функцию, равную 0 в
точках х ЕЕ Ап и не определенную вне Лп.
Так как Gn (x) есть частично рекурсивная функция от п и #, то при неко-
некотором а будем иметь Gn (х) = i£ (а, тг, #). Функция g (п) = [а, тг] удовлет-
удовлетворяет условиям продуктивности а.
В самом деле, согласно условию а), имеем Ks(on = >csco^n). Семейство
Ks(dh(n) состоит из функций Fq (x), Fi (х), . . . Но xsg (тг) = Gn Ф F2, так как
в точке Ьг функция F™ определена, a Gn нет. В то же время Gn входит в а,
так как она определена на бесконечном рекурсивном множестве и равна на
нем 0. Следовательно, Ksg (n) ЕЕ о — ^со^, что и требовалось.
Аналогичным образом доказывается и
Теорема 9.4. В каждой из нумераций к, х0, Xi, ... является внутренне
продуктивным каждое семейство а, состоящее из частично рекурсивных
функций с бесконечной областью определенности, при условии, что о содер-
содержит все обще рекурсивные функции, принимающие значения 0 и 1 (или любые
другие два фиксированных значения).
Пусть h, Ff, at, bt обозначают то же, что и выше, и лишь функцию 6?пмы
теперь определим иначе, а именно, по определению полагаем:
Gn @) = ... = Gn (а0) = ig К (а0),
Gn(a0 + 1) = ... = G ^
Функция GnB точке at отлична от F™ и потому Gn ее Ks®n- Однако Gn e с,
так как Gn общерекурсивна и принимает лишь значения 0,1.
Понятие внутренней продуктивности семейства рекурсивно перечисли-
перечислимых множеств впервые было введено в статье Деккера и Майхила [11], где
доказана внутренняя продуктивность многих важных семейств рекурсивно
перечислимых множеств. Ряд результатов, связанных с нумерацией К лини
и вопросам, рассмотренным в п. 6.9, содержится у Шапиро [12].
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Я. Мальцев. Конструктивные алгебры, I.— Усп. мат. наук, 1961, 16, № 3, 3—60.
2. А. А. Мучник. Изоморфизм систем рекурсивно перечислимых множеств с эффектив-
эффективными свойствами.— Труды Моск. мат. о-ва, 1958, 7, 407—412.
3. В. А. Успенский. Системы перечислимых множеств и их нумерации.— Докл. АН
СССР, 1955, 105, № 6, 1155-1158.
4. В. А. Успенский. К теореме о равномерной непрерывности.— Успехи мат. наук,
1957, 12, № 1, 99-142.
5. В. А. Успенский. Несколько замечаний о перечислимых множествах.—Z. math. Log.
und Grundl. Math., 1957, 3, N 2, 157—170.
f\. H. G. Rice. Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1953, 74, N 2, 358—366.
7. H. G. Rice. On completely recursively enumerable classes and their key arrays.— J.
Symbol. Log., 1956, 21, N 3, 304-308.
8. /. Myhill. Creative sets.— Z. math. Log. und Grundl. Math., 1955, 1, N 2, 97—108.
9. R. M. Smullyan. Theory of formal systems. Princeton, 1960.
10. #. Rogers. Godel numberings of partial recursive functions.— J. Symbol. Log., 1958,
23, N 3, 331—341.
11. /. С Dektier, /. Myhill. On classes of recursively enumerable sets.— Trans. Amer. Math.
Soe., 1958, 89, N 1, 25-59.
12. N. Shapiro. Degrees of computability.— Trans. Amer. Math. Soc, 1956, 82, N 2, 281 —
299.

К ТЕОРИИ
ВЫЧИСЛИМЫХ СЕМЕЙСТВ ОБЪЕКТОВ*
В течение последних десяти лет разными авторами были введены поня-
понятия главной нумерации (В. А. Успенский [5]), полной нумерации (А. И. Маль-
Мальцев [2, 3]), стандартной и специальной нумераций (А. X. Лахлан [1]) и ряд
других. Цель этой статьи — выяснить основные связи между указанными
понятиями. При выполнении этой программы пришлось ввести несколько
новых типов нумераций: нормальные и субнормальные нумерации, суб-
субспециальные нумерации, эффективно главные нумерации и т. п.
В качестве типичных результатов упомянем следующее: вычислимое се-
семейство множеств тогда и только тогда обладает вычислимой полной нуме-
нумерацией, когда оно содержит наименьшее множество. Главные нумерации та-
таких семейств изоморфны. Понятие эффективно главной нумерации равно-
равносильно понятию нормальной нумерации. Семейство множеств тогда и только
тогда субспециально, когда оно со-плотное и т-замкнутое в смысле Успенско-
Успенского [5].
В отличие от статей [5, 2] в данной статье под нумерацией а совокупности
ffl некоторых объектов всегда понимается однозначное отображение
a:N —>■ 3R множества N всех натуральных чисел на совокупность SR. Число п
называется номером объекта an. Подсовокупности совокупности 3R будут
называться семействами объектов.
Хотя главный интерес представляет случай, когда основная совокупность
5К есть совокупность всех рекурсивно перечислимых множеств (р. п. м.) на-
натуральных чисел, а нумерация а является нумерацией Поста я (см. [3]), тем
не менее там, где это будет казаться целесообразным, определения и теоремы
мы будем формулировать для случая совокупнбсти 9R произвольных объек-
объектов и произвольной ее нумерации а. Такая точка зрения особенно удобна
в том случае, когда изучаются подсемейства какого-либо специального се-
семейства 3R р. п. м., например семейства всех частично рекурсивных функ-
функций (ч. р. ф.).
§ 1. Главные и полные нумерации
Пусть a — какая-нибудь нумерация произвольной совокупности 3R
объектов. Нумерация Р семейства объектов 8сЖ называется сводимой
к нумерации а, если существует общерекурсивная функция (о. р. ф.) / (х),
для которой
рлг = а/(/г) (п = О, 1, ...).
Нумерации семейства 35, сводимые к нумерации а, называются а-вычисли-
мыми. Семейство 35 называется a-вычислимым, если оно обладает хотя бы
одной a-вычислимой нумерацией. Если совокупность 3R и нумерация a
заранее фиксированы, то вместо a-вычислимая будем говорить просто вычис-
* Алгебра и логика, 1964, 3, № 4, 5—31.

К теории вычислимых семейств объектов 295
лимая. В частности, если 3R — совокупность всех р.п.м., то в качестве основ-
основной нумерации будет всегда браться нумерация Поста п (см. [3]).
Нумерации а, аг одной и той же совокупности Ж называются эквива-
эквивалентными, если каждая из них сводима к другой. Они называются изоморф-
изоморфными, если одна из них сводима к другой при помощи о. р. ф. / (х), осуществ-
осуществляющей одно-однозначное отображение натурального ряда на себя.
Нумерация Р семейства 95 объектов совокупности 3R с нумерацией а
называется а-главной, если нумерация р а-вычислима и каждая а-вычис-
лимая нумерация семейства 93 сводится к р.
Теорема1. Пусть совокупности © cz 95 с: 3R имеют соответствен-
соответственно нумерации у, р, а, причем нумерация р а-главная, а нумерация у а-вычис-
лимая. Тогда нумерация у ^-вычислима.
Пусть /, g — о.р. функции, сводящие у, р к а, в частности, (£ = {а/ (т)},
95 = {ag(m)}. Вводим о.р.ф. h (x), полагая
h Bт) = f (ттс), h Bт + 1) = g (m).
Из © cz 95 следует 95 = {ah (п)}. Поэтому отображение v : vn = ah (n)
является а-вычислимой нумерацией семейства 95. Нумерация v должна сво-
сводиться к а-главной нумерации Р некоторой о. р. функцией ф (х). Таким обра-
образом, a h (п) = р ф (п), откуда
уп = a f (п) = Рф Bп)
и, значит, нумерация у[Р-вычислима.
Если в теореме 1 требование, чтобы нумерация Р была а-главной, заме-
заменить условием, чтобы Р была а-вычислимой, то утверждение теоремы может
оказаться и неверным.
Согласно [3] нумерация а совокупности 9R называется полной нумера-
нумерацией с особым объектом оЕЕЗК, если для каждой частично рекурсивной функ-
функции (ч. р. ф.) / (п) существует такая о. р. ф. g (n), что
{ос/ (лг), если / (п) определено,
о, если f(n) не определено.
Теорема 2. Пусть основная нумерация а совокупности 3R полная от-
относительно особого объекта о ^ 9R. Тогда каждая вычислимая нумерация Р
произвольного вычислимого семейства @, содержащего особый элемент о, сво-
сводится к подходящей вычислимой нумерации рк семейства ©, полной относитель-
относительно объекта о.
Покажем, что требуемыми свойствами обладает нумерация рк, определен-
определенная формулой:
f $К (лг, 0), если К (п,0) определено,
~~~ I о, если К (п, 0) не определено,
где К (п, х) — функция Клини (см. [3]).
а. Нумерация Р* а-вычислимая. По условию существует о. р.ф. / (п),
для которой fin = а/ (п). Так как нумерация а полная, то для ч. р. ф.
/ (К (п, 0)) должна существовать о. р. ф g (n), удовлетворяющая соотноше-
соотношению
[af(K(n,% ($K(n,0)
ag (п) = 1 =1 = Р*гс
5 v ' { о { о г
и, следовательно, сводящая нумерацию рх к нумерации а.

296 К теории вычислимых семейств объектов '
б. Нумерация Р сводится к нумерации (Зх. Ищем такое число а, чтобы имело
место тождество (см. [3]): га = К (а, га, х) = К ([а, га], х).
Имеем
рлг - р# ([а, га], 0) = р* [а, га],
т. е. о.р.ф. [а, га] сводит р к рх.
в. Нумерация рх полная относительно о. Обозначим через х нумерацию
Клини совокупности всех ч.р.ф., определяемую соотношением хга = /£ (га, х).
Эта нумерация полная относительно нигде не определенной функции Л.
Имеем
хт = кп=5>К (т, 0) = К (га, 0) =^ Cxm = [Зхга,
ига = Л4=>.£ (га,0) не определено 44>[3хга = о.
Иначе говоря, нумерация рх есть гомоморфный образ полной нумерации к
и потому рх — полная нумерация [3].
Теорема 2 доказана. Из нее непосредственно вытекает основное
Следствие!. Пусть нумерация а совокупности SR полная относитель-
относительно объекта о. Тогда все а-главные нумерации произвольного семейства ©, со-
содержащего о, полные относительно о и изоморфные между собой.
Пусть р — какая-нибудь главная нумерация семейства ©. Согласно тео-
теореме 2 Р сводится к некоторой вычислимой полной нумерации рх. Из вы-
вычислимости рк следует, что рх сводится к р и потому нумерация Р эквивалент-
эквивалентна полной нумерации рк. Согласно обобщенной теореме Роджерса [2, 3],
каждая нумерация, эквивалентная полной, полна и ей изоморфна. Таким
образом, нумерация р полная. Из определения главных нумераций следует,
что все главные нумерации одного и того же семейства эквивалентны друг
другу. Так как главные нумерации полные, то из обобщенной теоремы Род-
Роджерса заключаем, что они изоморфные.
§ 2. а-порядок и а-топология
Для того чтобы охарактеризовать семейства, допускающие вычислимую
полную нумерацию, мы наложим некоторые ограничения на строение множе-
множества вполне перечислимых семейств.
Согласно [3] семейство © объектов совокупности Ж с нумерацией а назы-
называется а-вполне перечислимым (а-в.п.), если множество а © всех а-но-
меров всех объектов из © рекурсивно перечислимое. Из этого определения
непосредственно следует, что каждое а-в. п. семейство а-вычислимо и что
объединение и пересечение конечного числа а-в. п. семейств являются
а-в. п. семействами. Имеет место также следующая очевидная
Лемма 1. Пересечение а-в. га. семейства © с произвольным семейством 35,
обладающим а-вычислимой нумерацией р, является §-в. га. подсемейством
в семействе 35.
Действительно, пусть Рга = а/ (га), где/ (га) — подходящая о.р.ф. Тогда
и, следовательно, множество Р (© П Щ рекурсивно перечислимое.
Следствие. Если нумерация а' совокупности Ж сводится к ее нуме-
нумерации а, то каждое а-в. га. семейство является и а'-вполне перечислимым.
В частности, эквивалентные нумерации обладают одним и тем же множе-
множеством вполне перечислимых семейств.

К теории вычислимых семейств объектов 297
Инвариантность множества всех вполне перечислимых систем относи-
относительно перехода к эквивалентным нумерациям позволяет рассматривать
структуру указанного множества в качестве характеристики заданной ну-
нумерации семейства. При помощи этого множества наиболее естественно ввести
в совокупность 3R топологию [4] и псевдопорядок [3].
По определению а-открытыми семействами объектов совокупности 3R
с нумерацией а называются произвольные объединения а-в, п. семейств.
Объект Ь ЕЕ SR называем а-надобъектом объекта й ЕЕ $R (символически
а^ аЬ), если для каждого а-в. п. семейства ©
Отношение <^а транзитивно и рефлексивно, но, вообще говоря, не анти-
антисимметрично. Ясно, что условие антисимметричности
равносильно требованию, чтобы 3R относительно a-топологии было Го-про-
Го-пространством. При выполнении этого требования SR становится частично упо-
упорядоченной совокупностью. Из леммы 1 непосредственно вытекает
Следствие. Пусть семейство 35 имеет а-вычислимую нумерацию р.
Тогда для любых объектов a, b из семейства 35 имеем
аЬ. A)
В частности, если основная совокупность SR относительно а-топологии
есть Т0-пространство, то каждое семейство 35 с: Ж, обладающее а-вычисли-
мой нумерацией р, является Т ^-пространством относительно fy-топологии.
Например, совокупность всех рекурсивно перечислимых множеств отно-
относительно нумерации Поста образует Г0-пространство. Поэтому Го-простран-
Го-пространствами являются и все семейства множеств, имеющие вычислимые нумерации.
Лемма 2. Пусть Ж — совокупность с произвольной нумерацией а.
Если семейство 95 cz 9R имеет а-вычислимую нумерацию р, полную относи-
относительно объекта а ЕЕ 35, то й является а-наименьшим объектом в 35.
В [3] доказано, что совокупность, имеющая полную нумерацию, не имеет
в. п. семейств, содержащих особый объект и отличных от всей совокупности.
Таким образом, в 35 особый объект а является р-наименьшим. В силу A)
этот объект является и а-наименьшим.
Нумерацию а совокупности 3R назовем верхней, если для каждого a ЕЕ
ЕЕ Ж существует о. р. ф. g (n) такая, что
ag (n) = й V ап> B)
где a V an есть наименьший среди общих a-надобъектов объектов а и an.
Л е м м а 3. Пусть нумерация а основной совокупности верхняя и полная
относительно какого-то объекта о. Тогда совокупность 35 всех а-надобъектов
произвольно заданного объекта а обладает а-главной нумерацией, полной
относительно объекта а.
Вводим нумерацию р системы 35, полагая
Ргс = а V an.
Из формулы B) вытекает, что нумерация р a-вычислимая. С другой сто-
стороны, для любых иг, п имеем
am = an =^ Риг = Рлг,
am = о =4> Риг = а,

298 К теории вычислимых семейств объектов
т. е. Р есть гомоморфный образ а. Так как а полная относительно а, то Р
полная относительно а.
Остается показать, что нумерация Р а-главная. Пусть семейство 95 имеет
нумерацию у, для которой уп = а/ (п), где / (п) — некоторая о. р. ф. Из
й<1 ауп следует
уп == й\/ уп = а\/ af (п) = р/ (/г),
что и требовалось.
Из лемм 2, 3 теперь непосредственно следует
Теорема 3. Пусть нумерация а основной совокупности 9R верхняя
и полная относительно некоторого объекта. Для того чтобы семейство ©С1$)?т
имело вычислимую нумерацию, полную относительно какого-то объекта йЕб,
необходимо и достаточно, чтобы © имело а-наименъший объект а.
Необходимость условий дает лемма 2. Обратно, пусть © содержит объект
а, а-наименыпий в ©. Согласно лемме 3 совокупность 95 всех а-надобъектов
для й обладает главной нумерацией р, полной относительно объекта й.
Согласно теореме 1 система © CI 95, являясь а-вычислимой, будет и р-вычис-
лимой. Но © содержит особый объект а Р-нумерованной системы 95 и потому
согласно теореме 2 © обладает р-вычислимой нумерацией, полной относи-
относительно объекта а.
В качестве примера рассмотрим нумерацию Поста я совокупности всех
р. п. м. Эта нумерация верхняя и полная относительно пустого множества 0.
Для любых р.п.м. Ь, С отношение Ь ^ пС равносильно включению 95 cz с.
Согласно теореме 3 имеем: вычислимое семейство р.п.м. тогда и только тогда
обладает вычислимой полной нумерацией, когда среди его множеств есть
наименьшее.
Отметим еще, что лемма 3 теряет свою силу, если в ее условиях опустить
требование, чтобы нумерация а была верхней. Действительно, пусть 3R —
совокупность всех одноместных ч.р.ф. и а — нумерация Клини к (см. [3]).
Отношение b ^ *С теперь означает, что функция С есть продолжение частич-
частичной функции Ь. Рассмотрим ч. р. ф. а, которая не может быть доопределена
до о.р.ф., и пусть 95 — совокупность всех ч.р.ф., являющихся продолжения-
продолжениями частичной функции а. Семейство 95 невычислимо. В самом деле, пусть,
напротив, 95 имеет вычислимую нумерацию р. Обозначая через В (п, х)
функцию р-номера п, видим, что В (п, х) есть ч.р.ф. от переменных п, х.
Область определенности В рекурсивно перечислимая, и потому ее можно
расположить в рекурсивную последовательность
<Щ, Zp>, <7l!, #!>, ... C)
Пусть х — произвольно заданное число. Так как в 95 заведомо найдутся
функции, определенные в точке х, то в последовательности C) найдется пер-
первая пара (nt, xty, у которой хг = х. Вводим функцию ф (х), полагая ф (х) =
= В (пг, х). Функция ф (х) общерекурсивная и совпадающая с а в области оп-
определенности а, что противоречит недоопределяемости а.
§ 3. Нормальные и субнормальные нумерации
Нумерация |3 семейства объектов 95 некоторой совокупности 3R с нуме-
нумерацией а называется а-субнормальной, если р а-вычислима и существует та-
такая ч. р. ф. g (п), что
an e 95 =Ф g (n) определено и an = $g (n). D)

К теории вычислимых семейств объектов 299
Нумерация Р называется а-нормальной, если р а-вычислима и существует
о.р.ф. g (n), обладающая свойством D).
Соответственно этому семейство 85 называется а-субнормальным (а-нор-
мальным), если существует а-субнормальная (а-нормальная) нумерация 95.
Теорема 4. Для а-субнормалъных (нормальных) семейств понятие
а-главной нумерации равносильно понятию а-субнормальной (нормальной)
нумерации.
Доказательство удобно разбить на две очевидные леммы.
Л е м м а 4. Каждая а-субнормальная нумерация Р семейства 95 является
а-главной.
По условию существуют о. р. ф. / (п) и ч. р. ф. g (n), для которых вы-
выполнены условие
Ря = а/ (и) E)
и условие D). Пусть у — какая-нибудь а-вычислимая нумерация семейства 95
и h (п) — соответствующая сводящая о. р. ф. такая, что
уп = ah (n). F)
Из D) — F) имеем
уп = р£ (h (л)),
причем g (h (n)) определена всюду. Таким образом, нумерация у сводила к
Р, что и требовалось.
Лемма 5. Каждая нумерация у произвольного семейства 95, эквивалент-
эквивалентная некоторой а-субнормальной (нормальной) нумерации Р этого семейства,
сама является 3,-субнормалъной (а-нормальной).
Так как у сводится к р, то нумерация у а-вычислима. По условию суще-
существуют функции g, /, удовлетворяющие соотношениям D), E), и о. р. ф.
р (п), удовлетворяющая соотношению $п = ур (п). Отсюда получаем an Ez
€= 95 =Ф> an = Р# (п) = ур (g (n)) и р (g (n)) определено. Следовательно,
нумерация у а-субнормальна (а-нормальна).
Докажем теорему 4. Согласно лемме 4 каждая а-субнормальная нумера-
нумерация является а-главной. Обратно, пусть у есть а-главная нумерация
а-субнормального (а-нормального) семейства S5 и, следовательно, существует
некоторая а-субнормальная (а-нормальная) нумерация Р этого семейства.
В силу леммы 4 нумерация Р а-главная и потому р эквивалентна у. В силу
леммы 5 отсюда вытекает, что нумерация у а-субнормальная (а-нормальная).
Теорема 5. Пусть S с: 95 с: 3R — семейства объектов, имеющие со-
соответственно нумерации у, рг а. Тогда:
а) если у субнормальна (нормальна) относительно аир субнормальна
(нормальна) относительно а, то у субнормальна (нормальна) относительно р;
б) если у субнормальна (нормальна) относительно р и Р субнормальна
(нормальна) относительно а, то у субнормальна (нормальна) относительно а.
Проверим утверждение а) для субнормальных нумераций. По условию
существуют о.р.ф. /, /г, удовлетворяющие соотношениям E), F), ч. р. ф.
S {п)ч удовлетворяющая соотношению D), и ч. р. ф. К (п), удовлетворяющая
соотношению
а/г 6Е © =Ф к (п) определено и an = yk (п). G)

300 К теории вычислимых семейств объектов
Согласно теореме 4 нумерация р а-главная и потому согласно теореме 1
нумерация у р-вычислима. С другой стороны^ из E) и G) получаем
[ рга ЕЕ Б *Ф рлг - af (п) = у к (/ (п)),
что и требовалось. Остальные утверждения проверяются аналогично.
Нумерация Поста совокупности всех р. п. м. удовлетворяет двум уело"
виям: она полна относительно пустого множества о = 0 и совокупность всех
непустых р. п. м. вполне перечислима в этой нумерации. Легко видеть, что
при этих условиях нормальные и субнормальные семейства отличаются друг
от друга лишь содержанием особого объекта о.
Теоремаб. Пусть основная нумерация а совокупности 3R полна отно-
относительно объекта о. Тогда
а) каждое содержащее о а-субнормальное семейство 35 а-нормалъно;
б) если совокупность всех неособенных объектов из 9R а-вполне перечислимая,
то, добавляя объект о к произвольному а-субнормалъному семейству 35, получим
а-нормалъное семейство 35Х.
Докажем а). По условию существует ч. р. ф. g (n), удовлетворяющая
требованию D). Вводим новую нумерацию у семейства 35, полагая
($g(n), если g(n) определено,
гп = \ . ч (8)
[ о, если g(n) не определено. v '
Так как семейство 35 вычислимое, то для подходящей о. р. ф. / (п) имеем
Ря = ее/ (п) и, следовательно,
\af(g(n)), если f(g(n)) определено,
о, если f(g(n)) не определено.
Из полноты нумерации а следует, что для подходящей о.р.ф. h(n)
(af(g(n)), если f(g(n)) определено,
а/г (п) = \ ,. . ч '
v ' у о, если f(g(n)) не определено.
Таким образом, для любых п имеем ah (n) = уп. Поэтому нумерация
у а-вычислима. Из (8) получаем
an €= 35 =Ф an = уп,
что и требовалось.
Переходя к доказательству утверждения б), обозначим через А совокуп-
совокупность всех а-нрмеров всех неособенных объектов из SR. Пусть f(n) — о. р. ф.,
для которой Рлг = а/ (п), g (п) — ч. р. ф., удовлетворяющая требованию D).
Совокупность А является рекурсивно перечислимой. Поэтому функция
Г g(n), если п^А,
4 ' \неопределенность, если пфА,
частично рекурсивная. Вводим нумерацию у семейства 35Х, полагая
{$gi(n)i если gi(n) определено,
о, если g1 (n) не определено.

К теории вычислимых семейств объектов * 301
Как и выше, легко проверяем, что нумерация у а-вычислима. С другой сто-
стороны, из определения gx (х) и соотношения D) следует
о Ф an Er 95 =Ф an = |3g (тг) & тг €= А =Ф атг = утг,
о ф an =ф- п б£ ^4 =#> ^i (тг) не определено =Ф> утг — о,
т. е.
an ЕЕ 35Х =Ф- а^ = Yw
для любых тг, что и требовалось.
Теорема 7. Пусть совокупность объектов 9R имеет нумерацию а и со-
содержит такой объект а, что совокупность 9R — {а} а-вполне перечислимая.
Если некоторое а-нормальное семейство 35 содержит а, яго семейство Я50 =
= 35 — {а} а-субнормальное.
Обозначим через |3 какую-нибудь а-нормальную нумерацию 35, и пусть
f% g — °- Р- Ф-> Для которых
(З^г = а/ (тг), an е Э5 =ф> а^г = Pg (тг).
Пусть Л — р.п.м. всех а-номеров всех объектов из 9R — {а}. Тогда мно-
множество А 0 всех тех чисел тг, которые удовлетворяют соотношению / (п) ЕЕ ^4,
является рекурсивно перечислимым и потому совпадает с множеством зна-
значений подходящей о.р.ф. ср (t). Отображение у, определяемое формулой
уп = а/ (ф (тг)),
является а-вычислимой нумерацией семейства 35О. Покажем, что нумерация
7 является а-субнормальной. Вводя ч.р.ф.
gx (п) = тгщ (ф (t) = g (n)),
получим
an e 95O =^> an = a/ (g (тг)) и / (g- (тг)) е Л,
/ (g (тг)) E4=^?WG40^?iW определено и g (тг) ж <р (gx (тг)). Следо-
Следовательно,
атг е 35О =4> атг = а/ (ф (gx (тг))) = v& W-
Отметим такое следствие теоремы 7: если нормальное семейство 95 р.п.м.
содержит наименьшее множество а, являющееся рекурсивным, то семейство
95 — {а} субнормально.
§ 4. Эффективно главные нумерации
Число тг условимся называть (постовским) номером семейства 35 объектов
а-нумерованной совокупности 9R, если 35 ■■■= а (л;тг), где jt — обычная нуме-
нумерация Поста р.п.м. Это же число тг будем называть номером (частичной)
нумерации у семейства 35, определяемой формулой ух = аК (тг, х), где
К (тг, х) — функция Клини. Если К (тг, х) определена для всех х, то у являет-
является а-вычислимой нумерацией семейства 35.
Вычислимая нумерация Р семейства 35 называется а-эффективно главной,
если существует ч.р.ф. со (#), позволяющая по номеру тг произвольной
а-вычислимой нумерации у семейства 35 находить номер со (тг) о.р.ф., сводящей
у к р, т. е. если существует ч:р.ф. со (х), удовлетворяющая требованию

302 К теории вычислимых семейств объектов
апп = 95, и К (тг, х) всюду определена =£> аК (тг, t) = fiK (со (тг), t), где
пп — совокупность всех значений функции К (тг, х).
Теорема 8. Понятия а-субнормалъной нумерации и а-эффективно
главной нумерации равносильны.
Пусть р — а-эффективно главная нумерация семейства 35 и со (тг) — со-
соответствующая ч. р. ф., позволяющая по номеру тг вычислимой нумерации
у семейства 35 находить номер со (тг) функции, сводящей у к р. Пусть о.р.ф.
/ (х) удовлетворяет условию fix = а/ (х). Рассмотрим произвольное число тг.
Присоединяя объект атг к семейству 33, получим новое семейство (£, для ко-
которого строим вычислимую нумерацию у, полагая ух = aF (тг, х), где
F (тг, 0) = тг, F (тг, х + 1) = / (х).
Функция F (п, х) от переменных п, х общерекурсивная, и потому для подхо-
подходящего числа а имеем
F (п, х) = К (la, n], х).
Пусть an е 35. Тогда (£ = 95 и [а, п] — номер вычислимой нумерации
ух = аК (la, п], х) семейства 35. Поэтому аК ([а, п], х) — р75Г (со ([а, тг,]), х)
и, следовательно,
а/г = аК ([а, тг], 0) = р# (со ([а, тг]), 0).
Вводя частично рекурсивную функцию g (тг) = К (со ([а, тг]), 0), будем иметь
атг €= 35 =^ атг = р# (тг) и g (тг) определено. (9)
Обратно, пусть заданы о.р.ф. / (х), для которой fix = а/ (х), и ч.р.ф.
g (x), удовлетворяющая соотношению (9).
Рассмотрим какую-нибудь вычислимую нумерацию у: ух = аК (тг, х)
семейства 95. Так как аК (тг, х) £Е 95, то из (9) следует
аК (тг, х) = Р£ (К (тг, х)) = fiK ([6, тг], х),
где 6 — подходящее фиксированное число. Отсюда видно, что в качестве
сводящей функции со (тг) можно взять функцию [6, тг].
§ 5. Стандартные семейства
и предполные нумерации
В статье [2] введено следующее понятие полной нумерации: нумерация
а называется полной, если существует такая о.р.ф. ср (х), что
аК (тг, ф (тг)) = аф (тг) A0)
для всех тех тг, для которых функция К (тг, х) всюду определенная. Иначе
говоря, нумерация а полная, если существует алгоритм, позволяющий по
клиниевскому номеру тг произвольной о.р.ф. g (х) = К (тг, х) находить
решение х (неподвижную точку преобразования g) уравнения
ag (x) = ах.
Для того чтобы не смешивать это понятие полноты с введенным выше
понятием полноты относительно фиксированного объекта, мы будем называть
лредполными нумерациями нумерации, полные в смысле [2].

К теории вычислимых семейств объектов 303
Каждая нумерация,, полная относительно некоторого объекта, является
предполной [3]. В каких случаях верно обратное утверждение, неизвестно *.
В [2] показано (обобщенная теорема Роджерса), что эквивалентные предпол-
ные нумерации изоморфны.
Теорема 9. Пусть нумерация а совокупности 9R предполная. Тогда
каждая а-нормальная нумерация fi произвольного а-нормалъного семейства
$5 Q 3R предполная и все а-нормалъные нумерации 95 изоморфны друг другу.
В частности, все главные нумерации произвольного нормального семей-
семейства р.п.м. предполные и между собой изоморфные.
Пусть /, g, ф — о.р. функции, удовлетворяющие соответственно условию
$х — а/ (х)л требованиям (9), A0), и пусть п — число, для которого функция
К (тг, х) всюду определена. Ищем число а, для которого
/ [К (п, g (х))) = К (а, п,х)^К ([а, п], х)
тождественно относительно п, х. Из (9), A0) получаем
fiK {п, g (Ф ([а, п]))) = а/ (К (п, g (Ф ([а, п])))) = аК ([а, п], <р ([а, п])) =
= аф ([а, п\) = |3g (ф ([а, п])).
Таким образом, g (ф ([а, п])) есть искомая неподвижная точка для преобра-
преобразования К (п, х) в нумерации C и потому нумерация C предполная.
Согласно теореме 4 все а-нормальные нумерации 95 а-главные и потому
друг другу эквивалентные. В силу обобщенной теоремы Роджерса эквива-
эквивалентные предполные нумерации изоморфны, и, следовательно, все а-нормаль-
а-нормальные нумерации 95 изоморфны.
В соответствии с определением А. Лахлана [1] нумерацию C семейства
95 ci 5SR условимся называть а-стандартной, если нумерация C а-вычислимая
и
an е 95 =^ |3тг = а/г.
Семейство, допускающее а-стандартную нумерацию, называется а-стан-
дартным.
Ясно, что каждая стандартная нумерация нормальна и потому каждое
а-стандартное семейство сх-нормалъное. Последнее утверждение- допускает
обращение:
Т е о р е м а 10. Каждая а-нормалъная нумерация р произвольного а-нор-
мального семейства 95 эквивалентна подходящей а-стандартной нумерации
семейства 95, и, следовательно, понятия сс-нормального и а-стандартного
семейства равносильны.
Пусть /, g — о.р.ф. такие, что для всех
|3тг = а/ (п), an €= 95 =» an = pg (тг).
Вводим новую нумерацию у семейства 95, полагая уп = fig (п). из уп =
^ $8 (п) = а/ (S (п)) следует,] что нумерация у а-вычислимая. Кроме того,
an e= 95 =4> an = fig (n ) = уп.
Таким образом, нумерация у а-стандартная. Согласно теореме 4 нормальные
нумерации C, у эквивалентны.
* Имеется пример предполной нумерации, не являющейся полной (см., например, Ю. Л.
Ершов. Теория нумераций. Новосибирск, НГУ, 1969).-— Прим. ред.

4
304 К теории вычислимых семейств объектов
Следствие. Если основная Нумерация а предполная, то каждая
а-нормалъная нумерация р изоморфна подходящей а-стандартной нумерации.
Согласно теореме 10 нумерация |3 эквивалентна а-стандартной нумера-
нумерации у. Согласно теореме 9 обе эти нумерации изоморфны.
Заметим, что нумерация, изоморфная а-стандартной нумерации, не обя-
обязана быть а-стандартной, но, конечно, будет ai-стандартной для подходящей
нумерации а1? изоморфной а.
Теорема 11. Если Р — предполная главная нумерация семейства
р.п.м. 95, (£ — ^-субнормальное семейство и
$h @) с рл A) с ..., и МО е 95, рл (о е <£,
где h (i)—некоторая о.р.ф., то (J h (i) ЕЕ S.
Частный случай этой теоремы, когда 33 — совокупность всех р.п.м.у
а (£ — некоторое нормальное семейство, доказан А. Лахланом. Его доказа-
доказательство почти без изменений переносится и на теорему 11. Для полноты из-
изложения мы приведем доказательство теоремы 11.
Введем обозначения: p/i (i) = Гь U Тг = Т. Следуя Лахлану, находим
строго перечислимые семейства конечных множеств Ttj, Stj такие, чтобы
где у есть р-субнормальная нумерация Ки j~ ч.р.ф., для которой fin G=
G К =4 pw = 7? W- Полагаем
Тогда множества
1c5il/)) (И)
будут образовывать вычислимую последовательность р.п.м., содержащих-
содержащихся в 95. Так как нумерация р главная, то согласно теореме 1 найдется о.р.ф.
г (тг), для которой Rt = pr (i). Нумерация р предполная. Поэтому найдется
число е, удовлетворяющее равенству
Re = pr (е) = ре.
Рассмотрим множество yg (e). С самого начала мы можем предполагать,
что То =f= 0> Тц =jb 0. Если g (е) не определено, то yg (е) = Sej = 0,
в формуле A1) членов Тх нет и Re = То. Но из р^ = То G © следует, что
g (e) определено. Итак, g (e) определено.
Если yg (е) = Т, то Г ЕЕ © и все доказано. Если у# (в) =^= Г, то найдется
число р, для которого р ^ yg (е), р (£ Т или р ^ Y? D р Е Г. В первом
случае для больших х ни при каких у не выполняется соотношение Uy э
Z3 5ел:, а во втором случае для больших х ни при каких у не выполняется со-
соотношение Ux-X гэ 5в1/. Поэтому в формуле A1) для i?e имеется лишь ко-
конечное число членов Тх и, следовательно, Re = Гп. Если для всех m Tm =
= Гт+1, то Т = ^„i & © и теорема доказана. В противном случае должна
существовать тг, для которого Re = Гп, ТпФ Тп+1. Из соотношений р^ =
= Гп е © следует, что Гп = у# (в). Поэтому для больших у имеем
Uу 13> Гп1/ ^ *^е п+1 > Un ^ 5в1У.
Следовательно, член Тх, х — п + 1 должен входить в представление Re
по формуле A1) и потому Re 13 Гя+1, что противоречит условию Re = Тп Ф-
Ф Тп+1. Это противоречие и доказывает теорему 11.

К теории вычислимых семейств объектов 305>
Теорема 12. Если совокупность произвольных объектов 33, имеющая
предполную нумерацию р, является объединением конечного числа р-в. п. се-
семейств 95Х, Э52, •••» ^s> и10 хотя бы одно из этих семейств совпадает с 93.
Доказательство, очевидно, достаточно провести для случая s — 2.
Пусть
{ГЧ&2 = {Ф2 @), ф2 A),..., ф2 (п),...},
где ф1? ф2 — подходящие о.р.ф. Обозначим через Вг совокупность тех чисел^
которые появляются в первой строке ранее, чем во второй, и пусть В2 — сово-
совокупность тех чисел, которые появляются во второй строке не позже, чем
в первой. Так как®! LJ ^52 = 35, то Вг (J 2?2 = N. Множества В19 В2 рекур-
рекурсивно перечислимые, Вг f) В2 = 0 и потому они рекурсивны. Пусть 95Х Ф
^ 33, 332 ^ 33. Тогда найдутся числа а, Ъ такие, что fia ЕЕ 331? fia ф 952, РЬ ЕЕ
€= 332, РЬ ф 33Г Рассмотрим о.р.ф.
{Ь, если 2?
а, если 2
Так как нумерация р предполная, то должна существовать неподвижная
точка е, для которой р# (е) = Ре. Если eG^c Р®!, то $е е 95Х, ^ (е) =
= &. Из р^ (е) = р^ получаем, что pb G 95Х в противоречии с условием
р ^ S5le Аналогично опровергается и предположение е е 2?2.
Следствие. £с./ш семейство р.п.м. 95 допускает вычислимую пред-
предполную нумерацию р и содержит минимальное множество а, являющееся ре-
рекурсивным, то это множество наименьшее в S5.
Действительно, в противном случае в 35 нашлось бы множество Ь, не со-
содержащее а. Семейство 35Х тех множеств из 95, которые содержат хотя бы
одну точку из а, и семейство тех множеств из 95, которые содержат хотя
бы одну точку из N — а, являются Р~в. п. семействами, отличными от 95Г
объединение которых совпадает с 95, что противоречит теореме 12.
Для стандартных нумераций семейств р.п.м. теорема 12 и ее следствие
в несколько иной форме были доказаны А. Лахланом [1]. Следствие пред-
представляет интерес, так как не известно, всякое ли стандартное семейство имеет
наименьшее множество и даже всякое ли семейство р.п.м., допускающее
вычислимую предполную нумерацию, содержит наименьшее множество *.
В качестве простого примера нормального семейства р.п.м. можно взять
семейство 95^ всех рекурсивно перечислимых надмножеств произвольного
р.п.м. А. Пусть А = па, S (т, п) — о.р.ф., для которой nS (m, п) =
= пт \J пп. Тогда отображение р : Ртг = nS (а, п) является вычислимой
нумерацией семейства 95л. Эта нумерация стандартная, поскольку
%п е= 95л =4 Р?г = па {J пп = пп.
Более сЛожщш примером может служить семейство @, состоящее из пу-
пустого множества и всех множеств вида я®, где 95 произвольное в.п. се-
семейство р.п.м. Нормальность семейства @ легко устанавливается, еслц вос-
воспользоваться теоремой о строении в.п. семейств р.п.м. (см. § 7).
Имеются примеры предполных нумераций, не имеющих наименьших множеств (см.г
например, А. Н. Lachlan. On the indexing of classes of recursively enumerable sets.—
J. Symbol. Log., 1966, 31, N 1, 10—22).— Прим. ред.\

306 К теории вычислимых семейств объектов
§ 6. Специальные
и субспециальные нумерации ( v
Нумерация р семейства объектов 35 некоторой совокупности объектов 3R,
имеющей нумерацию а, будет называться а-субспециальной, если она ос-вы-
числима и существует ч.р.ф. g (х), удовлетворяющая условиям
<хх ЕЕ $& =$> g (%) определено и ах = $g (х), A2)
g(x) определено =¥>$g(x)^aax. A3)
Первое из этих условий означает, что нумерация р а-субнормальна.
Если существует о.р.ф. g (х), удовлетворяющая условиям A2), A3),
то нумерация р будет называться а-специальной. Условие A2) показывает,
что каждая специальная нумерация нормальна.
Семейство объектов 35 будет называться а-субспециальным (а-специ-
альным), если существует а-субспециальная (а-специальная); нумерация 35.
Допустим, что совокупность ЗЛ содержит а-минимальный объект о и <ха =
= о. Тогда из A3) следует, что если 35 — а-специальное семейство, то fig (а) =
= о и потому о ЕЕ 35. В частности, каждое специальное семейство р.п.м.
содержит пустое множество.
Нумерацию р семейства 35 условимся называть а-специальной стандарт-
стандартной нумерацией, если р а-стандартна и для всех п
Замечание. Если основная нумерация а полна, то каждая а-специ-
альная нумерация произвольного а-специального семейства 95 изоморфна
подходящей специальной стандартной нумерации у семейства 35.
Как и в § 5, вводим нумерацию у : уп = fig in). Соотношения A2), A3)
обращаются соответственно в условия
ах е= 35 ==> ах == уж, уж ^а ах,
показывающие, что у есть а-специально стандартная нумерация 35. Соглас-
Согласно теореме 9 нормальные нумерации р, у изоморфны.
Согласно А. Лахлану [1], семейство 35 р.п.м. называется специальным,
если оно допускает специальную стандартную нумерацию. Приведенное выше
замечание показывает, что понятия специального семейства и семейства, спе-
специального по Лахлану, равносильны.
Нижеследующие теоремы почти дословно повторяют соответствующие
теоремы 5, 6 и 7 из предыдущего параграфа.
Теорема 13. Пусть 9R ^ (S ^ 35 — совокупцости объектов, имеющие
соответственно нумерации а, у, fi. Тогда
а) если у <х-(суб)специалъная и fi у-(суб)специальная, то fi <х-(суб)специ-
альная;
б) если р у-вычислимая и а-(суб) специальная, у а-вычислимая и для любых
объектов а, Ь из © условие й ^ аЬ влечет а ^ УЬ, то нумерация fi у-(суб)-
специалъная.
Докажем б). По условию существуют ч.р.ф. g (х) и о.р.ф. / (х), для ко-
которых выполнены условия A2), A3) и соотношение уп = af(ri). Отсюда полу-
получаем
уп е 35 =» а/ (п) е 35 =Ф а/ (п) - fig (/ (п))

К теории вычислимых семейств объектов 307
ИЛИ
уп е 95 =Ф g (/ (гс)) определено и уп = $g (/ (тг)).
Кроме того, имеем
g (/ (тг)) определено =ф Р# (/ (/г)) < аа/ (тг) = уп,
откуда по предположению следует, что
g (/ (тг)) определено =Ф $g (/ (тг)) < 7у^-
Таким образом, нумерация Р 7-(суб)специальна.
Теорема 14. /?&/ш основная нумерация а совокупности 5К полна отно-
относительно объекта о, то, добавляя о к произвольному а-субспециальцому се-
семейству 95, получим а-специальное семейство 95Х. В частности, при указанной
полноте а, а-субспециалъное семейство тогда и только тогда а-специалъно,
когда оно содержит о.
Пусть |3 — а-субспециальная нумерация 95. Из полноты а следует, что ну-
нумерация у семейства 95Х, определенная формулой
($g(n), если g(n) определено,
{ о, если g(n) не определено,
является а-вычислимой. Из A2), A3) следует, что у является специальной
стандартной нумерацией.
Теорема 15. Пусть совокупность объектов 3R, имеющая некоторую
нумерацию а, содержит такой объект а, что совокупность 3R — {а} а-впол-
не перечислимая. Если а-субспециальная совокупность 95 cz 3R содержит
а, то семейство 95О = 55 — {а} также а-субспециальное.
Пусть р — а-субспециальная нумерация 95 и g — ч.р.ф., / — о.р.ф.,
удовлетворяющие требованиям A2), A3) и соотношению ртг — а/ (тг). Пусть
у — нумерация семейства 95О и ф, gx — функции, построенные в процессе
доказательства теоремы 7. Имеем
gx (тг) определено =* ygx (тг) = а/ (ф {g1 (тг))) — $g (n) Q an
и, следовательно, нумерация у а-субспециальна.
Так как нумерация Поста jt совокупности всех р. п. м. полна и семейство
всех непустых р. п. м. является вполне перечислимым, то из предыдущих
теорем непосредственно получаем
Следствие. Каждое специальное семейство р. тг. м. содержит пустое
множество. Каждое не специальное субспециальное семейство р. тг. м. полу-
получается из соответствующего специального семейства отбрасыванием пусто-
пустого множества.
Мы хотим теперь изложить основную теорему А. Лахлана о строении
специальных классов р. п. м. и указать некоторые ее связи с результатами
В. А. Успенского.
Нумерация а семейства у конечных множеств называется строго вычис-
вычислимой, если о вычислимая и функция
S (тг) = мощность а (п)
общерекурсивна. Семейство конечных множеств, допускающее строго вы-
вычислимую нумерацию, называется строго перечислимым.
Теорема 16. Для того чтобы семейство р. п. м. было субспециальным,
необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало с совокупностью всех р. п. м.,

308 К теории вычислимых семейств объектов
являющихся пределами монотонных последовательностей множеств подходя-
подходящего строго перечислимого семейства конечных множеств.
А. Лахланом [1] доказано, что семейство р. п. м. тогда и только тогда
специально, когда оно совпадает с совокупностью всех р. п. м., являющихся
пределами монотонных последовательностей множеств подходящего строго
перечислимого семейства конечных множеств, содержащего пустое множе-
множество. Отбрасывая в этой формулировке условие о пустом множестве, полу-
получаем ввиду теорем 14, 15 теорему 16.
В § 7 нам будет нужно несколько более общее предложение, которое мы
теперь и сформулируем. Согласно В. А. Успенскому [4], семейство р. п. м. 33
называется со-плотным, если совокупность всех принадлежащих ему конеч-
конечных множеств строго перечислима и каждая конечная часть любого множе-
множества В из 95 содержится в подходящем конечном множестве, принадлежащем
33 и содержащемся в В.
Теорема 17. Если C — главная нумерация ю-плотного семейства
р. п. м. 33 и подсемейство (£ обладает $-субспециалъной нумерацией у, то
семейство (£ а)-плотно.
Мы приведем подробное доказательство этой теоремы, хотя оно и совпа-
совпадает йочти полностью с доказательством Лахлана упомянутой выше §олее
частной теоремы.
По условию существуют о. р. ф. h (п) и ч. р. ф. g (n) такие, что
{$h (п)} (п = 0,1, ...) — строго перечислимая последовательность всех ко-
конечных множеств из 33 и
fin GE (£ =» g (п) определено и рлг = yg" (тг),
g (п) определено =*> yg (n) cz $n. A4)
Покажем сначала, что совокупность всех конечных множеств, принад-
принадлежащих (£, строго перечислима. Так как все конечные множества из & со-
содержатся в последовательности {$h (n)}, то нам надо найти лишь те значе-
значения п, для которых |3/г (п) €= (£. Из A4) видим, что
|3/г (п) G © 4=¥ g (h (n)) определено и
yg (h (n)) = |3 h (п) <Н> g (h (n)) определено и |3 (h (n)) cz yg (h (n)).
Поскольку множества $h (n) даны эффективно, то совокупность значений п,
удовлетворяющих условиям: g (h (n)) определено и &h (n) cz yg (h (п)),
заведомо рекурсивно перечислимая.
Остается показать, что каждое конечное подмножество U произвольного
множества BGl содержится в подходящем конечном множестве F, V е (£,
V cz В. Допускаем, что это ложно. Пусть U — фиксированное конечное под-
подмножество некоторого BGE, для которого не существует V, удовлетворяю-
удовлетворяющего указанным требованиям. Так как BGS, то найдется такая о. р. ф.
р (п), что
Пусть t (п) — о. р. ф., совокупность значений которой нерекурсивная.
Положим
Tt= {t@), t(l), ...,.* (i)>, \JTt = T,

К теории вычислимых семейств объектов 309
Имеем
i^T=$Ri = B\ i(=T=$Ri = Bm.
Таким образом, все множества семейства {Rt} принадлежат 95. Ясно, что ну-
нумерация i ->i?j вычислимая. В силу теоремы 1 эта нумерация должна быть
Р-вычислимой, т. е. для подходящей о. р. ф. s (i) имеем Rt = fis (i).
Из соотношений
следует, что
ъфТ <=ф> U с= 7^@-
Но совокупность значений &, удовлетворяющих соотношению U cz ys (г),
заведомо рекурсивно перечислима, что противоречит предположенной нере-
курсивности множества Т.
Разумеется, теорема 17 была бы прямым следствием теоремы 16, если бы
было показано, что каждая главная нумерация со-плотного семейства эффек-
эффективно главная. Если же это предположение неверное, то могло бы представ-
представлять некоторый интерес следующее обобщение теоремы 16:
Пусть р — предполная главная нумерация ш-плотного семейства р.п.м. 95.
Подсемейство (£ этого семейства тогда и только тогда fi-cy]6специально,
когда оно состоит из множеств" некоторого строго вычислимого семейства F
конечных множеств и всех множеств семейства 95, являющихся пределами
возрастающих последовательностей] конечных множеств семейства F.
Необходимость этих условий непосредственно следует из теорем 11 и 17,
а достаточность доказывается так же, как и в соответствующей теореме
Лахлана [1].
В цитированной статье В. А. Успенского [4] наряду с понятием со-плот-
ности рассматривается еще условие т-замкнутости. Легко видеть, что для
со-плотных семейств т-замкнутость равносильна замкнутости относительно
взятия предела вычислимой последовательности возрастающих р. п. м. и по-
потому теорема 16 допускает следующую формулировку: семейство р. п. м.
тогда и только тогда субспециально, когда оно со-плотно и т-замкнуто.
§ 7. Вполне перечислимые семейства
Пусть совокупность 9R имеет нумерацию а и Ж — семейство объектов из9К,
имеющее а-вычислимую нумерацию р. Согласно замечанию из § 2 все
подсемейства зида 95 П ®» гДе ® — произвольное а-в. п. семейство, являются
Р~в. п. подсемействами в 95. Их называют ос-продолжаемыми |3-в. п. се-
семействами. Нумерации р, у которых все Р~в. п. семейства а-продолжаемы,
представляют особый интерес. Например, для таких нумераций р-топология
семейства 95 совпадает с топологией, индуцируемой на 95 основной а-топо-
логией. Один тип этих нумераций описан В. А. Успенским (см. [5, теорема
5]). Мы хотим показать, что эта теорема непосредственно следует из резуль-
результатов, содержащихся в § 5 и 6.
Согласно Успенскому, вычислимая нумерация Р семейства 95 р. п. м.
называется эффективно открытой, если каждое |3-в. п. подсемейство К

310 К теории вычислимых семейств объектов
состоит из всевозможных принадлежащих 95 надмножеств подходящей
строго перечислимой системы конечных множеств, принадлежащих семей-
семейству 95.
Ясно, что каждое подсемейство (£ этого вида является jt-продолжаемым.
Таким образом, эффективно открытые нумерации принадлежат к упомяну-
упомянутому классу нумераций с продолжаемыми вполне перечислимыми семей-
семействами, но, конечно, не исчерпывают этот класс.
Теорема 18. Пусть нумерация а основной совокупности 3R верхняя
и полная, нумерация |3 семейства 95 cz Ш а-главная и а, Ь — объекты из 95,
связанные соотношением а< аЬ. Тогда каждое числовое множество А, удовлет-
удовлетворяющее условиям
[Г1 а с Л, ^niT'b-Q, A5)
является продуктивным.
Рассмотрим какое-нибудь креативное множество Г. Согласно лемме 3
из § 2 совокупность 91 всех а-надобъектов объекта Ь обладает а-главной ну-
нумерацией у, полной относительно а. Пусть Ъ — один из у-номеров объекта Ъ.
Обозначим через t (х) функцию, равную Ъ на Т и1 неопределенную вне Т.
Ввиду полноты нумерации у найдется о.р.ф. g (x), для которой
а,
если же Г,
если х(£Т.
Следовательно, отображение v : vn = yg (n) является а-вычислимой нуме-
нумерацией семейства (£, состоящего лишь из объектов а, Ь. Семейство (£ содер-
содержится в семействе 95, имеющем главную нумерацию р. Поэтому согласно тео-
теореме 1 нумерация v р-вычислима, т. е. для подходящей о. р. ф. / (п) имеем
yg (n) = р/ (га). Из A5) теперь следует
,,Еу4р/(^М/(х)е р-1ь =ф / (х) ф А,
хе Гр/М 4/Ме4
или жЕ Г44/(ж)Е 4. Таким образом, продуктивное множество
Г'т-сводится к Л и потому Л продуктивно.
Следствие. Пусть нумерация а совокупности 3R верхняя и полная,
нумерация р семейства 95 cz Ш а-главная. Тогда, если какое-нибудь
Р~ в. п. семейство К с: 95 содержит некоторый объект а, то © содержит и все
а-надобъекты объекта а, принадлежащие 95.
Действительно, в противном случае существовал бы объект Ь S 95 та-
такой, что а < аЬ, b EЁ ©. Тогда множество Л = р© удовлетворяло бы усло-
условиям A7) и потому было бы продуктивным, что противоречит предположен-
предположенной рекурсивной перечислимости А.
Т е о р е м а 19. Какова бы ни была нумерация р совокупности 95, каждое
Р-0. п. семейство (£ с: 95 является $-субспециальным.
По условию множество р© рекурсивно перечислимо и потому является
совокупностью всех значений некоторой о.р.ф. / (х). Отображение
у : уп = р/ (га) есть вычислимая нумерация (£. Покажем, что она субспециаль-
относительно ч. р. ф. g (га), определенной формулой
g (n) = min x(/ (ж) = га).

К теории вычислимых семейств объектов 311
Действительно
Рга ЕЕ © =Ф гае Р© =Ф g (га) определено и га = / (g (га)) =» Рга = yg (га),
g (га) определено =ф рга = р/ (g- (га)) = -yg" (га),
что и требовалось.
Теорема 20 (В. А. Успенский [5]). Главная нумерация Р произволь-
произвольного (о-плотного семейства р. га. м. 95 является эффективно открытой.
Пусть К — какое-либо р-в. п. семейство р. п. м. Согласно теореме 19 се-
семейство К р-субспециально. Применяя теорему 17, видим, что семейство К
(о-плотное.
Итак, совокупность (£нп всех конечных множеств, принадлежащих (£,
строго перечислима и каждое множество, принадлежащее ©, содержит хотя
бы одно подмножество, принадлежащее (£ип. Но по теореме 18 каждое множе-
множество, входящее в 95 и содержащее хотя бы одно множество из (£, принадле-
принадлежит ©. Следовательно, К есть совокупность всех тех надмножеств множеств
из ©fin, которые входят в 95, что и требовалось.
В заключение укажем один класс нормальных семейств р. п. м., связан-
связанных с р-вполне перечислимыми семействами.
Теорема 21. Пусть семейство р.п.м. 95 имеет вычислимую нумерацию
Р, h (х) — о.р.ф. и 6га = р/г- (га) (га = ОД, . . .) — строго вычислимая последо-
последовательность конечных множеств из 95. Обозначим через уа семейство всех
р. га. м., имеющих вид Р (£, где либо (£ пусто, либо существует такая
о. р. функция р (х), что (£ состоит из всех тех множеств семейства 95, кото-
которые содержат хотя бы одно из множеств серии Ьр (га). Тогда семейство уЬ нор-
нормально.
В самом деле, обозначим через оп совокупность р-номеров всех тех мно-
множеств семейства 35, которые содержат хотя бы одно множество вида бя, х ЕЕ яга.
Если яга = Q, то полагаем ага= Q. Ясно, что а является вычислимой нуме-
нумерацией семейства 75 и что
яга cz пт =Ф> on cz am. A6)
Далее, имеем яга = Р" Е, где К — семейство всех 95-надмножеств мно-
множеств б (яга). В частности,
б (яга) eg. ' A7)
Обозначим через псп совокупность всех х, для которых 8х S (£. Из A7)
видим, что псп з яп- Поэтому в силу A6) осп ^ оп. С другой стороны, каж-
каждое 8х (х S ясп) содержит некоторое 8у (у S яга) и потому асп cz on. Таким
образом,
осп= ап. , A8)
Так как
х ^ псп Ф4> $h (x) ^g<^ft(^)^ р~х(£ 4=¥ х ^ Л"хбп,
то ясп — Й^. Поэтому для любого 7?г найдется такое га, что
Я7?г ^ Y& =4» Я7?г = dn =ф ясп = h~17im. A9)
Обозначая через g (w) о. р. функцию, для которой ЬГ^шп = я# (иг), из A9)

312 К теории вычислимых семейств объектов
получим лсп = ng (иг). Поэтому в формуле A8) в качестве сп можно взять
g (m) и, следовательно, для любого т
пт ЕЕ 75 =Ф лиг = а# (иг),
т. е. нумерация а нормальна.
Из теорем 20, 21 непосредственно вытекает упоминавшаяся в конце § 5
нормальность семейства множеств вида я (£, где К — либо пустое, либо
в. п. семейство р. п. м.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Н. Lachlan. Standard classes of recursively enumerable sets.— Z. Math. Log. und
Grundl. Math., 1964, 10, N 1, 23-42.
2. А. И. Мальцев. Конструктивные алгебры, I.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3,
3—60.
3. А. И. Мальцев. Полно нумерованные множества.— Алгебра и логика, 1963, 2, № 2Г
4-29.
4. В. А. Успенский. О вычислимых операциях.— Докл. АН СССР, 1955, 103, № 5, 773—
776.
5. В. А. Успенский. Системы перечислимых множеств и их нумерации.— Докл. АН СССР
1955, 105, № 6, 1155—1158.

ПОЗИТИВНЫЕ
И НЕГАТИВНЫЕ НУМЕРАЦИИ*
Нумерацией Р совокупности некоторых объектов 95 называется однознач-
однозначное отображение множества N всех натуральных чисел на 95. Нумерацион-
Нумерационной эквивалентностью 6^ называется бинарное отношение на N, определенное
формулой х%у <Н> fix = $У- Если нумерация Р изоморфна (терминологию
-см. в [1]) некоторой вычислимой нумерации подходящего семейства рекур-
рекурсивно перечислимых множеств (р.п.м), то существует общерекурсивная
функция (о.р.ф.) F (х, у, и, и), для которой fix = fiy 44> VuQv (F (х, у, и, v) =
= 0). Таким образом, нумерационные эквивалентности вычислимых нуме-
нумераций семейств р.п.м. имеют класс V3 по классификации Клини. Ниже
рассматриваются более детально свойства нумераций класса /, у которых
эквивалентность 0 имеет или вид fix = fiy ^ ^(F (х, у, и) = 0), или вид
$х = рг/ <в> Vu (F (х, г/, и) = 0), где F (х, у, и) — подходящая о.р.ф. В пер-
первом случае совокупность пар <#, г/>, для которых fix = Рг/, рекурсивно пере-
перечислимая и нумерация Р называется позитивной. Во втором случае
нумерация р называется негативной. При негативной нумерации ре-
рекурсивно перечислимой оказывается совокупность пар <#, г/>, для которых
fix Ф Рг/. Нумерация Р разрешимая, если она одновременно позитив-
позитивная и негативная.
1. Пусть совокупность 3t имеет некоторую нумерацию а. Нумерация Р
подсовокупности 95 cz % называется а-вычислимой, если р^г =
= а/ (п) для подходящей о.р.ф./. Нумерация Р совокупности 95 называется
униформизируемой, если существует одно-однознач-
одно-однозначная р-вычислимая нумерация 95. Подсовокупность 95 cz % называется
а-у ниформной, если существует а-вычислимая одно-однозначная нуме-
нумерация 95. Семейство 95 cz 9t называется а-изолиров анным, если
а-вычислимые нумерации 95 существуют и все они эквивалентны друг другу
(т. е. вычислимы относительно друг друга). Если основная совокупность —
совокупность всех р.п.м. и а — обычная постовская (= гёделевская) нуме-
нумерация л, то вместо я-рычислимая, Jt-униформная, я-изолированная будем
говорить вычислимая, униформная и т. д.
Теорема 1. Если основная нумерация а совокупности объектов 3t по-
позитивна (негативна), то каждая а-вычислимая нумерация Р произвольной
подсовокупности 95 cz 3t также позитивна (негативна). Если а позитивна
и подсовокупность $& а-вычислимая (т. е. обладает хотя бы одной а-вычисли-
мой нумерацией), то 95 является а-изолированной.
Первое утверждение непосредственно следует из определений. Докажем
второе. По предположению совокупность 0 пар <#, г/>, для которых ах = аг/,
может быть расположена в рекурсивную последовательность <#0, г/0>,
<#!, угУ, . . . Пусть Р, 7 — произвольные а-вычислимые нумерации 95 и Р^г =
= а/ (п), уп = ag (п), где /, g — подходящие о.р.ф. Для заданного п в по-
последовательности <#0, г/0>, (хи угУ, . . . ищем пару вида </ (п), g (х)У и пола-
полагаем х = h (n). Тогда fin = yh (n).
* Докл. АН СССР, 1965, 160, № 2, 278—280.

314 Позитивные и негативные нумерации
Следствие. Униформизируемые позитивные нумерации разрешимы*
Действительно, пусть а — позитивная, р — а-вычислимая одно-одно-
одно-однозначная нумерации совокупности 95 = 3t. Согласно предыдущей теореме-
аир эквивалентны. Но Р разрешима, поэтому и а разрешима.
2. Семейство р.п.м. SB назовем финитно разделяющимся,
если существует такая строго перечислимая последовательность конеч-
конечных множеств а0, ах, . . ., что каждое из множеств семейства 95 содержит
хотя бы одно из указанных конечных множеств и каждое из этих конечных
множеств содержится не более чем в одном из множеств семейства 95. Напри-
Например, если семейство 95 есть р а з б и е н и е (т. е. множества 95 непустые,
попарно не пересекающиеся и в объединении дающие N), то 95 финитно раз-
разделяется последовательностью {0}, {1}, ...
Теорема 2. Каждая позитивная нумерация а произвольной совокупно-
совокупности объектов изоморфна вычислимой нумерации соответствующего разбиения
NI 0а. Каждое финитно разделяющееся семейство р.п.м. 95, обладающее
вычислимой нумерацией р, является изолированным позитивным семейством..
Пусть [а] = (х | ах = аа). По условию для подходящей о.р.ф. F (а, х, у)
имеем ах = аа 4Ф 3 у (F (а, х, у) = 0). Следовательно, [а] есть область
определенности ч.р.ф. Ф (а, х) = \лу (F (а, х, у) = 0) и потому отображение-
ax : а -»- [а] является вычислимой нумерацией разбиения N I 0а. Так как
аа = аЪ 4Ф аха = ахЬ, то нумерации а, а1 изоморфны.
Для доказательства второго утверждения рассмотрим строго перечисли-
перечислимую последовательность конечных множеств а0, <*i , . . . , финитно разделяю-
разделяющую 95. Пусть р — произвольная вычислимая нумерация 95. Беря произ-
произвольное п и вычисляя постепенно элементы множеств пп, Ру, at (£, j = 0, 1, ...),
ищем такие i, /, чтобы а^ cz лп, а* cz Р/. Обозначим через g (n) первое /,
встретившееся в этом процессе и удовлетворяющее указанным условиям.
Ясно, что g (п) есть ч.р.ф. и что пп е 95 =Ф g (п) определено и лп = $g (n).
Это означает, что произвольная вычислимая нумерация Р семейства 95
субнормальная [1]. Но все субнормальные нумерации эквивалентные, и по-
потому семейство 95 изолированное. Остается показать, что нумерация Р по-
позитивная. Вычисляя постепенно элементы множеств р/, at (i, j = 0, 1, . . .) и
отмечая те пары <а, Ь>, для которых в какой-нибудь момент будет at cz p#
и 6j cz рь, перечислим все пары, для которых $а = pb, что и требовалось.
Из теоремы 2 следует, что если какое-нибудь финитно разделяющееся се-
семейство допускает вычислимую неразрешимую нумерацию, то оно неуни-
неуниформно. Простейший пример такого семейства строится следующим образом.
Пусть А — нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество чисел г
Л = {а0, аг, а2, . . .}. Строим множества* А 0, А19 . . ., внося в каждое At натг-м:
шаге число г, а в множества АШп и А2ап+1 внося числа 2ап и 2ап + 1. Тогда
а : i -+At является вычислимой позитивной нумерацией разбиения
{А о,-4Ь . . .}. Эта нумерация неразрешима, так как A2i = A2i+i 4=^
Полагая fin = Ао у Аг \J ... \J An, получим вычислимую нумерацию
неубывающей последовательности конечных множеств: р0 cz pi ^ ...,
\J fin = N. Нумерация Р изоморфна а и потому позитивна и неразреши-
неразрешима. Согласно следствию теоремы 1 нумерация Р неуниформизируемая. В то
же время из рассуждений Фридберга [2] вытекает (см. [3]), что каждое вы-
вычислимое семейство р.п.м., содержащее строго перечислимую последователь-
последовательность возрастающих конечных множеств, допускает одно-однозначную вы-

Позитивные и негативные нумерации 315
числимую нумерацию. Поэтому семейство $N заведомо обладает одно-одно-
одно-однозначной вычислимой нумерацией и служит примером униформного семейства,
допускающего неуниформизируемую позитивную вычислимую нумерацию.
3. Пусть р — вычислимая нумерация некоторого семейства о.р.ф. одного
переменного. Это значит, что для подходящей о.р.ф. U (п, х) имеем тожде-
тождество ($п)(х) = U (п, х). Вычисляя последовательно U @, 0), U @, 1),
U A, 0), ... и отмечая те пары <а, &>, для которых для некоторого х будет
U (а, х) Ф U (Ь, х), мы перечислим вообще все пары <а, Ь>, для которых
f$a Ф рЬ. Поэтому все вычислимые нумерации семейств общерекурсивных
функций негативны. Обычная нумерация семейства всех п.р.ф. [3] мо-
может служить типичным примером неразрешимой негативной нумерации.
ТеоремаЗ. Каждая негативная нумерация а произвольного семейства
объектов изоморфна подходящей вычислимой нумерации подходящего семей-
семейства общерекурсивных функций, принимающих лишь значения 0, 1.
По условию совокупность "~~| 0 всех пар <а, Ь>, удовлетворяющих соотно-
соотношению аа Ф ab, можно расположить в рекурсивную последовательность
~"] 0 = {<а0, Ь0У, <а1? Ьх>, . . .}. Строим функцию U (п, х) и вспомогательные
множества S7o, Sil посредством следующего алгоритма. Для произволь-
произвольного т полагаем U (ат, т) = 0, U (Ьт, т) = 1, S^ = {ат}, SZ = {Ът}.
Пусть для некоторого s конечные множества 5^5, S™ уже построены так,
что i ЕЕ SZ ==$> U (i, т) = 0 и iE S™ =Ф U (i, т) = 1, причем если i ЕЕ
е SZ, j ^ S™, то <£, /)Е"]9. Пусть х — наименьшее натуральное, не
содержащееся в S^ (J S™- Берем какую-нибудь пару <а, by, где а€ S^y
Ъ S S™- Так как аа Ф ab, то аа Ф ах или аЬ Ф ах и, следовательно, пере-
перебирая пары в последовательности ~~] 0, мы найдем в этой последовательности
или пару вида <а, х\ или пару вида <&, ху. Выделим для каждой пары <а, Ь>,
а £ 5^, 6GSU пару (uab, x} S  0, wa& = а, Ь. Среди выделенных
пар непременно встретятся или все пары вида <а, хУ, а ЕЕ 52, или все пары
^ида <Ь, ж)>, 6G 5££. В первом случае полагаем U (х, т) = 1, 5™ц =
= 5S U М, ^ю = 51?, а во втором U (х, т) = 0, 5jJie = SZ U {^},
.iSJtn = S™. Индуктивные предположения при этом сохраняются и функция
U (х, т) построена. Ясно, что аа = аЪ 4=$ V #([/ (а, х) = С/ (Ь, #)) и потому
вычислимая нумерация п -+U (п, х) изоморфна нумерации а.
Среди различных нумераций семейства обычно интересными бывают
предполные [3]. Однако для негативных нумераций имеет место.
Замечание. Никакая негативная нумерация а совокупности 9(,
состоящей более чем из одного объекта, не может быть предполной.
В самом деле, пусть а, Ь — различные объекты из St. Совокупность всех
<х-номеров всех объектов, отличных от а, рекурсивно перечислима. Аналогич-
Аналогично рекурсивно перечислимой является и совокупность всех a-номеров всех
объектов, отличных от Ь. Иными словами, семейства Э1 — аи Э1 — Ь
а-вполне перечислимые. Они отличны от Э* и объединение их совпадает с 3t,
а этого согласно Г1] для предполных нумераций быть не может.
литература;
1. А. И. Мальцев. К теории вычислимых семейств объектив.— Алгебра и логика, 1964,
3, № 4, 5—31.
2. R. М. Friedberg. Three theorems on recursive functions: I. Decomposition; II. Maximal
sets; III. Enumeration without duplication.— J. Symbol. Log., 1958,23, N 3, 309—316.
3. А. И.. Мальцев. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., «Наука», 1965.

ИТЕРАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
И МНОГООБРАЗИЯ ПОСТА*
Обозначим через Р^ совокупность всех иг-местных функций, определен-
определенных на непустом множестве А со значениями в этом же множестве. Пусть
Ра = U Р*а\ Следующие операции над функциями из Ра можно считать
в каком-то смысле самыми «элементарными».
Рассмотрим некоторый терм а (хг, . . ., хп\ Fx, . . ., Fs), записанный
с помощью предметных символов хх, . . ., хп и функциональных символов
F±, . . ., Fs, имеющих какие-то «местности» или «арности» т^ . .., ms.
Подставляя в этот терм вместо символов F±, . . . , Fs символы Д, . . ., fs
некоторых конкретных функций из Ра> имеющих арности т^ . . ., ms, полу-
получим запись конкретной функции
из Ра- Функция /называется результатом термальной опе-
опера ц и и а, произведенной над функциями Д, . . ., /s. Например, пусть А —
совокупность натуральных чисел и
а = Fx (x2, F2 (х„ Fx (хг, х9))).
Тогда результатом операции а, произведенной над обычными арифметиче-
арифметическими функциями +, •, будет функция
/ (#]_, X2i Xq) = Х2 ~г Х±' (#]_ + Х3),
Алгебра, элементами которой являются функции из Ра, а основными
(сигнатурными) операциями служат всевозможные термальные операции,
называется алгеброй |Л|-значной логики, где через | А \
обозначена мощность множества А.
В настоящее время благодаря главным образом фундаментальным рабо-
работам Э. Поста довольно хорошо известны свойства алгебры двузначной логи-
логики, которая обычно и называется алгеброй логики. Благодаря внутреннему
интересу и связям с многозначными логиками и теорией автоматов в последние
годы появилось много работ, посвященных алгебрам &-значных логик (к > 2)
(см. С. В. Яблонский [1], Ю. И. Янов и А. А. Мучник [2], А. Саломаа
[5] и указанную в них литературу).
С другой стороны, параллельно теории алгебр логик возникла и стала
весьма разветвленной дисциплиной теория алгебр Буля. Первый аналог ал-
алгебры Буля для случая алгебры /с-значной логики был введен Э. Постом.
Основы теории этих алгебр Поста были созданы Розенблумом [7] в
1942 г. Сравнительно недавно A960) более удобное понятие решетки
Поста и теория представлений этих решеток были даны Эпстейном [6].
Классы алгебр Поста и решеток Поста термально эквивалентны и на разных
* Алгебра и логика, 1966, 5, № 2, 5—24.

Итеративные алгебры и многообразия Поста 317
языках определяют один и тот же объект, отвечающий алгебре &-значной ло-
логики.
По-видимому, до сих пор в печати не появлялось работ, изучающих более
детально связи между алгебрами логик и решетками (или алгебрами) Поста.
Основная цель настоящей заметки — изложить на обычном алгебраическом
языке связи между указанными важными концепциями, в частности, описать
теорию представлений алгебр логик на основе теории представлений решеток
Поста и с ее помощью дать полную классификацию подалгебр алгебры
Z-значной логики, изоморфных алгебре &-значной логики.
Так как термальных операций бесконечно много, то алгебры логик имеют
бесконечную сигнатуру. Кроме того, термальные операции применимы только
к таким наборам функций, которые имеют фиксированные местности. Поэто-
Поэтому алгебры логик приходится рассматривать либо как алгебры с частичными
операциями, либо как градуированные алгебры, что вносит нежелательные
усложнения в их теорию. С целью придать стандартный алгебраический об-
облик теории алгебр логик были сделаны предложения (см., например, Кон
[4], Витлок [8]) — рассматривать в качестве сигнатурных операций лишь не-
некоторые из термальных операций. В отличие от упомянутых авторов мы
предлагаем рассматривать в качестве сигнатурных операций или 5 операций
£, т, А, V, *, определение которых указано ниже, или 4 операции £, т, А, *.
Через них легко выражаются все термальные операции и, главное, эти опе-
операции играют фундаментальную роль в современной теории автоматов. Ве-
Вероятно, это предложение не новое, так как с ним связан, как нам кажется, ряд
удобств, начиная с чисто терминологических.
Уже говорилось что с алгеброй &-значной логики были связаны два мно-
многообразия: многообразие алгебр Поста порядка fa, введенное Розенблумом,
и многообразие решеток Поста порядка к (наш термин), введенное Эпстейном.
Используя способ, которым были получены эти многообразия, можно полу-
получить из алгебры /с-значных логик (в том числе, и бесконечно многозначных)
серию других многообразий, которые мы предлагаем называть много-
многообразиями Поста. Все они термально (или «рационально», см. [3]}
эквивалентны друг другу и потому представляют собой с алгебраической точ-
точки зрения единый объект.
1. Итеративные алгебры. Операции £, т, А, V, * над функциями из Ра оп-
определяем тождествами:
(£/) (хи -. ., жте) = /(ж2,. .. , хт, хг),
(Т/) (Xi, Ж2» Х3, . . . , Хт) = / (Х2, #1, Х$, . . . , Хт),
(А/) (%, #2, X3i • • • 1 xm-l) == / \х1ч х\ч хЧч • • • » %m-l)i
(V/) (Xi, Х2, Х%, . . . , Xm+i) = / (#2, Х%, . . . , Xm+i),
(/ * g) (ХЪ Х2,---, %k+m-l) = f(g (xl, • • • , xh
где /, g — произвольные 7?г-местная и /с-местная функции из Ра- Если функ-
функция / одноместная, то по определению полагаем
У = XJ, = А/ = /.
Алгебры
Фа = <Ра; £, т, Д, V, •>,
$Ра = <Ра; £, т, А, *>

318 Итеративные алгебры и многообразия Поста
условимся называть соответственно итеративной алгеброй
и предытеративной алгеброй над множеством А*7 Мощ-
Мощность множества А будем называть порядком этих алгебр. Мощности
самих алгебр Фа, Фа всегда бесконечны и равны, очевидно, 21А1, если Л бес-
бесконечно.
Ясно, что произвольная функция / ЕЕ Ра тогда и только тогда представи-
ма в виде какого-то собственного (т. е. отличного от просто предметного
символа хг) терма а (хг, . . . хп; /х, ..., /s), где Д, . . . , /s e Ра, когда / мож-
можно получить из Д, . . . , Д посредством операций £, т, А, V, *. Например,
f{gi(x), ■ ■ ■. *».(*)) = А1* ((С ..«((С/) • *„)) * ...) *gl)(x) (fo, ... ,*m -
одноместные).
Селекторными функциями на А называются функции
е\ (хг, . . . , хп) = ^ (* <л; *, и = 1, 2, 3, . . .).
Функция ej (я) = в (ж) = ж называется также единичной функ-
функцией на А. Совокупность всех селекторных функций является подалгеб-
подалгеброй алгебр фл, Фа- Соотношения
Д^2 __- р р2±рп — п+1 Л п ___ п
показывают, что функция е\ является элементом, порождающим всю упомя-
упомянутую подалгебру.
Из равенства V/ = f*e\ видно, что каждую термальную функцию a (xv . . .
• • • > хп\ Д» • • • > /s) (включая и несобственные термы вида д;г) можно по-
получить из функций Д, . . . , /8 и селекторной функций ^ с помощью лишь
операций £, т, А, * предытеративной алгебры. Поэтому, если интересоваться
лишь такими подалгебрами алгебры Фа» которые содержат селекторные
функции,, то вместо итеративной алгебры Фа можно рассматривать предыте-
ративную алгебру Фа»
2. Итеративные алгебры частичных функций. Обозначим через Q^ сово-
совокупность всех частичных 7?г-местных функций на А со значениями в А
и положим QA = (JC^A1*. Таким образом,
^А С (/А , t'A С_ VA-
Операции g, т, А, * над частичными функциями /, g мы определяем теми же
формулами, что и над всюду определенными функциями. При этом значение
функции / * g считается определенным тогда и только тогда, когда опреде-
определены значения g (х^ . . . , xk) и
/ (g (хп . . . , sft), xk+l9 . . . , ^fe+m_1).
Алгебра
Ua = <^a;E, t, A, *>
будет называться предытеративной алгеброй частич-
частичных функций над множеством А.
* Если множество А конечно и содержит к элементов, то алгебры ^а и Фа обозначаются
также через tyk и фх соответственно.— Прим. ред.

Итеративные алгебры и многообразия Поста 319
Чтобы установить связь между алгебрами вида Фа и &а, фиксируем про-
произвольный элемент со ЕЕ А. Функцию / ЕЕ Р$ назовем со-функцией,* если
#1 = <>> V • • • V Хп = СО ->/ (#!, . . . , Хп) — 0).
Легко видеть, что совокупность всех со-функций из Ра образует подал-
подалгебру в алгебре Фа. Эту подалгебру мы будем обозначать через Ua (или Ua)
и называть специальной подалгеброй *. Пусть Аш = А\{(о}. Каж-
Каждой частичной функции / ЕЕ Qa^ ставим в соответствие ту функцию / е 1Ц,
значения которой совпадают со значениями функции / в области определен-
определенности / и равны со в области неопределенности /.
Легко проверяется, что отображение / ->/ (/ЕЕ (?аш) является изомор-
изоморфизмом алгебры £Law на специальлую подалгебру Ua и, таким образом, задача
изучения структуры алгебры О.аш становится частным случаем задачи изу-
изучения структуры подалгебр предытеративной алгебры Фа.
Если А = {О, 1, . . . , п — 1}, то в качестве со будем всегда выбирать чис-
число п — 1 и алгебры Фа, Ua, &a будем обозначать через фп, Un, &п. В част-
частности, алгебры Un, Qn_! изоморфны.
3. Конгруэнтности на ф^ и &^- На алгебре Фа и всех ее подалгебрах, как
я на любой алгебре, имеются две тривиальные конгруэнтности х0, хх, где щ
совпадает с отношением равенства, а хх с тождественно истинным отношением.
Помимо конгруэнтностейх0, хх, на любой подалгебре алгебры Фа существует
еще одна конгруэнтность, которую мы обозначим через ка и назовем арност-
ной. По определению / == g (xa), если функции /, g имеют одинаковую
арность **. Фактор-алгебра Фа/^си очевидно, изоморфна алгебре фх.
Введем еще отношение хш, полагая / ^ g (кш) тогда и только тогда, когда
/ = ^или же/, g — постоянные функции, равные со, имеющие различные ар-
арности. Легко проверяется, что xw является конгруэнтностью на подал-
подалгебре Ua.
Наконец, если множество А состоит лишь из двух элементов а, со, то все
функции из Ua разбиваем на два класса. К первому относим все постоянные
функции t$\ равные тождественно со, а ко второму — все остальные. Это
разбиение отвечает эквивалентности х2 на U1» которая является и конгру-
конгруэнтностью на U1.
Теорема 1. На произвольной подалгебре 35 алгебры ф1, содержащей
специальную подалгебру Ua и отличной от Ua> никаких иных конгруэнтно-
стей помимо х0, хх, %а не существует. Если \ А | > 3, то на Ua сущест-
существуют лишь конгруэнтности х0, к1У хо, кш. На алгебре \\£ существуют 5 кон-
груэнтностей: х0, хх, ха, кш, щ.
Доказательство разобьем на части.
* Если множество А конечно и содержит к элементов, то М0^ обозначается также через U£.—
Прим. ред.
** Для некоторых подалгебр алгебры ^а конгруэнтности иа и хо совпадают.— Прим.
ред.

320 Итеративные алгебры и многообразия Поста
а. Если для какой-то конгруэнтности х на подалгебре 95 алгебры
ty*A (Ua S 35 S Фа) в 95 существуют две разные функции fl9 /2, сравнимые
по к и имеющие одинаковые арности, то любые функции из 95, имеющие оди-
одинаковые арности, сравнимы по к.
По условию в множестве А существуют такие элементы а, . . . , с, щ, и2,
что щ Ф щ и
/, (а, . . . , с) = щ (i = 1, 2).
Ясно, что функцииqUJ tZ, еш (и ЕЕ -4), определенные условиями
(и, х = и, (и, x=k(d, (у, хфю,
qu(x) = { _^ С(х)={ ^ е"(х,у) = Г ^
v 7 [со, хфщ v ' [со, х = со; v 7 [со, ж == со,
принадлежат Ua и, следовательно, принадлежат 35.
Из двух различных элементов и±, и2 хотя бы один отличен от со. Будем
предполагать, что щ Ф со. Мы хотим сначала доказать, что t^x ^ С (х). Для
этого придется рассмотреть два случая.
1-й случай: в 35 существует функция h, для которой h (со, . . .
. . ., со) Ф со. Пусть й (со, . . ., со) = р Ф со.
Тогда постоянная функция
принадлежит 95, а вместе с нею подалгебре 35 будет принадлежать и любая
постоянная функция tu (х) = С (*р (^))-
Из /х = /2 (х) вытекает, что функции
x),...,tc(x))(i = l4 2)
^с-конгруэнтны. Из tUt = tUi следует gUl * tUl = gUl * tU2 (x), т. e. ^Ul = ^ш (х),
откуда
^ (ж, ^(ж)) = ^ (ж, *о> (ж)) (х) или d = t*(х).
2-й случай: для любой /i S 35 h (со, . . ., со) = со. Из Д = /2 (х) те-
теперь вытекает, что х-конгруэнтны функции
Из С = С (х) получаем grUi * ^ = 7ui * С (х), т. е.
Итак, в обоих случаях t%,t ^ С (х), поэтому функции
^ (С (я)> ж) = ж и е05 (С (х), х) = С (%)
"Х-конгруэнтны.
Следовательно, для произвольной /с-местной фу?тлгщии / е 95 имеем
е * / = С */(х), т. е. / = ^^ (х), где 4fe — постоянная /с-местная функция,
значения которой равны со.
б. A'c^w для какой-то конгруэнтности х на алгебре 95 (Ul QZ 95 с ф^)
существуют сравнимые по х функции /, ^ ^ 95, имеющие различные

Итеративные алгебры и многообразия Поста 321
арности т, п (т <^ п), то все постоянные (^-функции t^ сравнимы меж-
между собой по х.
Из / = g (х) следует г£1} * / = 41} * g (х), т. е. 4т) = $° (х). Отсюда
дп-2 t(m) ^ дп-2^п) ^ т е £> = £2) ^ Отсюда далее получаем е» * $ =
== е°> * 42) (х), т. е. d2) = d3) (x), и т. д.
в. Если для какой-то конгруэнтности х на алгебре 95 (Ua £ 95 £ Фа)
существуют сравнимые по х функции /, g £ 35, имеющие различные ар-
арности т, п uf ф t^\ причем \ А | > 3 гг^иг Ж =^= U1, то к = хг.
Если при указанных условиях g= 4Г\ то в силу «б» будем иметь $?* ^
= ^ = / (х) и в силу а, б получим х = хх.
Таким образом, можно предполагать, что / Ф $?\ g Ф $Р и т<^ п. Обо-
Обозначим через а, ...,с,р£4те элементы, для которых/ (а, . . ., с) = р ф ю.
Из / = g вытекает, что функции
сравнимы пох, причем г (р) = р. Из г = s (x) следует
т. е. е ^ еш * г? (х), где е — единичная и v — одноместная функции. Если
v ~ t^\ то е<* * v = t$ и мы приходим к рассмотренному выше случаю.
Пусть v Ф t£\ Из те = е, хе ^ т (е" * г;) (х) получаем &* * г? ^ т (е" * г;) (х).
Если е" * г? =^= т (еш * г;), то, применяя результаты «а», «б», снова получаем,
что х = хх. Поэтому можно предположить, что
**{v(x)y) = e»(v(y),x). A)
Так как е = Де ^ А (е" * г;) (х), то можно предположить также, что
х = е<* (v (х), х) и, следовательно, х Ф ы -* v (х) Ф <д. Подставляя х =
= а Ф со в A), получим
у = а (у ф а),
что в случае | А \ > 3 невозможно.
Поэтому полагаем | Л | = 2, Л = {со, а} и Ug ^ 95. Пусть / е 95,
/ 6j£ U2. Переставляя^при помощи операций £, т аргументы / и применяя, если
надо, операцию А, ^получим из / бинарную функцию gG 95, для которой
g (со, а) = а или g (со, со) = а.
Обратимся к функции v (х) в тождестве A). Если v (со) = а, то, полагая
в A) х = со, получим г/ = со для г/ = а, со, что невозможно. Поэтому г? (со) =
= со, v(а) = а (г? ^ £^)? т, е, у = е и сравнение е = е" * г? (х) обращается
ве = еш(х), откуда g = g* e = g * еш (х) и ^2g ==£2 (g* e") (х). Поскольку
£2g = g, то g * ё* = S2 («Г * в») (х). Если
11 Заказ № 357

322 Итеративные алгебры и многообразия Поста
то в силу а, б получаем к = их. Поэтому можно предполагать, что g * еР =
=- £2 (g * *•), т. е.
g (*• (ж, у), «) = «г («" (*. «,) У).
Отсюда при х = z = (д, у = а получаем g (со, со) = а, и потому постоян-
постоянная функция 41* = g (t(aj tu) принадлежит 58. Из сравнения е = еш вытекает $
что
Из t^x) = 4Х) теперь получаем е\ == т^ (х), т. е. е\ = ej (и). Так как е\ Ф el, то
в силу а, б к = Xj.
г. Если 35 g£ Ua, то и© не является конгруэнтностью на 95.
- Действительно, если g (со, а) =^= со и ^ = ^ (х), то g* ^ = gr * t$ (x),
причем g * t$ Ф t£\ Поэтому к Ф к^.
Объединяя a — г, получим теорему 1.
4. Автоморфизмы. Обозначим через ср произвольное одно-однозначное ото-
отображение А на себя. Для произвольной функции /ЕЕ Ра определяем функцию
/а соотношением:
/а (slf . . ., хп) = / fo ф, . . ., хп ф) ф. B)
Легко проверяется, что отображение а: / ->/а есть автоморфизм алгебры Ч$а»
Соотношение B) можно переписать в обычной форме
/ (х19 . . ., хп) ф = /а {хх ф, . . ., жл ф). C)
В частности', если со ЕЕ А, соф = со, то отображение а является автомор-
автоморфизмом итеративной алгебры частичных функций Ua« Автоморфизмы вида
C) подалгебр алгебры фл» инвариантных относительно отображения \ а,
называются внутренними автоморфизмами этих подалгебр.
Теорема 2. Пусть ©Ei, Ua — подалгебра алгебры $а» обра-
образованная всеми (^-функциями из Ра, и% — какая-нибудь подалгебра алгебры
$Ра> содержащая Ua« Тогда все автоморфизмы % внутренние. В частно-
частности, внутренними являются все автоморфизмы полной итеративной алгеб-
алгебры Фа и все автоморфизмы предытеративной алгебры О.*а частичных
функций.
Для каждого автоморфизма а алгебры 9t нам надо построить взаимно
однозначное отображение ф А на себя, удовлетворяющее условию B). Так
как при изоморфизмах арность функций не меняется, то а является автомор-
автоморфизмом полугруппы Ш^ всех одноместных функций из 9t относительно опе-
операции *, содержащей в себе полугруппу U^ отображений А в себя, остав-
оставляющих неподвижной точку со. Обычные рассуждения показывают, что а
является внутренним автоморфизмом 9Д1) в указанном выше смысле. Для
полноты проведем доказательство.
Обозначим через ta постоянную одноместную функцию, всюду равную а,
и через иРа — функцию, определенную условиями:
Up*(P) = P, ира(х) = а (хфр).
Теперь сделаем несколько замечаний.

Итеративные алгебры и многообразия Поста т 323
А. Если для некоторой функции f ЕЕ Рд для ссех g ЕЕ 11д (и тем бо-
более для всех g ЕЕ Щ f * g = f, то f постоянная.
Действительно, пусть с Ф со, х ЕЕ А< Берем функцию gG Цд, для
которой g (со) = со, g (с) = х. Тогда из / * g = / имеем / (х) = / (с).
В частности, так как t^ ЕЕ Ид и из tu> * g = £о> следует
то функция Й постоянная и потому Й = *о>* Для некоторого со* ЕЕ Л*
Б. f * ta = ta * f <=> f (a) = а. Поэтому Ul = Цд, где Цд — совокуп-
совокупность всех со*-функций из фд.
В. Если f обратима и принадлежит 11д, то иРа * / = иРа. Если для
всех обратимых f из ид имеем g * f = g, то g = uva для подходящего а.
Доказательство очевидно.
Так как обратимые функции при автоморфизме переходят в обратимые,
то из Б, В вытекает, что и^а — иш*а* для подходящего а*.
Итак, для каждого a£i существует такое а*, что uta = ww*a*. Обо-
Обозначим отображение а -*а* через ф. Это отображение взаимно однозначное,
так как автоморфизм а должен переводить а* в а.
Отображение ср порождает внутренний автоморфизм аф алгебры $д*
Вместо автоморфизма а рассмотрим изоморфизм |3 = aa^1 алгебры 91 нк
подалгебру W. Нам надо доказать, что изоморфизм р оставляет неподвиж-
неподвижными все функции из 91.
Из построения изоморфизма р видно, что и^а = иша- Пусть / е t$*«
Из равенства / * иша = ^«/(а) получаем /^ * иша = ww/(a), т. е. /Р (а) =
= / (a) (a G Л) и, следовательно,
Пусть теперь / (со) = а =^= ю, / е 9t<1>. Тогда ta = f * ^w e 91. Для
произвольного сеЛ строим функцию g : g (#) — с, g (^) = х (х"Ф а). Так
как g (со) = со, то g е 11д, ^с = g * ^a e 9t, т. е. в рассматриваемом случае
подалгебра 91 содержит все постоянные функции.
Покажем, что t$ = tc. Введем функцию h ЕЕ Цд\ полагая А (с) = А (со) =
= со и h (х) = х (х Ф с). Так как h * tc = t^, то № * t$ = ^о>, т. е. А * ^ = ^»
Выше показано, что ^ = *d Для подходящего й£4. Условие h * t$ = Ъ
дает A (d) = со и, следовательно, d — со или d ^ с. Первое невозможно, так
как ti = t^. Поэтому t$ = tc.
Возвратимся к функции /. Для любого cGi имеем f * tc ~ ^/(C), откуда
f * h = ^/(c) и потому f (с) = f (с), f = /.
Итак, все автоморфизмы полугруппы Ш^ внутренние. Остается лишь
показать, что отображение р оставляет неподвижными и все многоместные
функции из 91.
Пусть F — произвольная бинарная функция из 91. Для любой /
имеем A (F * /) е 9W1*, и потому
т. е.
F (/ (х), х) = F3 (/ (х), х). . D)
11*

324 * Итеративные алгебры и многообразия Поста
Если a, 6G 4,а^= «, тов U^ лежит функция g:
g (и) = 6, g (х) = х (х ф а).
Подставляя ее в D) вместо /, будем иметь
F F, a) = Ft (ft, а) {а ф со). E)
Переставляя у F при помощи операции т аргументы, получим
F (а, Ъ) = F^ (а, Ъ) {а ф со). F)
Наконец, из (AF)t = AF имеем
F (х, х) = Ft (x, x) (x e А). G)
Соотношения E) — G) дают F = Ft.
Этим же способом получаем требуемое соотношение F = Ft для функции
F любой арности.
5. Представления итеративных алгебр. Представлением алгебры фл
в алгебре фв называется гомоморфизм фл в $#. Согласно п. 3 гомоморфиз-
гомоморфизмы фл? не являющиеся изоморфизмами, тривиальны и потому изучение
представлений фл равносильно изучению изоморфизмов фл в ф#. Мы ука-
укажем здесь некоторые очевидные изоморфизмы, которые назовем стандартны-
стандартными. Далее будет показано, что произвольный изоморфизм фА в фя приводит-
приводится к комбинации стандартных.
Пусть задано вложение а: А -+-В. Положим С = А*. Предположим,
кроме того, что задана какая-то проекция р: В ->■ С, т. е. отображение В на С,
оставляющее все элементы С неподвижными. Каждой функции / (хг, . . ., хп)
из фл ставим в соответствие тг-арную функцию /ар, определенную следую-
следующими формулами:
/а (#1 » • • •? %п) = / \xli • • •? %п) \%11 • • •» хп ЕЕ С),
/ар B/1, • • ., Уп) = /а B/1 , • • •, Уп) (У г, ...JnE 5).
Отображение / ->/а есть каноническое отображение фл на фс, индуциро-
индуцированное наложением а : Л ->С. Для каждой функции g (zl9 . . ., zn) из фс
функция
^B/ь • • ;Уп) = g(vL • • -, J/й)
называется проекционным продолжением функции g на множестве Б. Оче-
Очевидная проверка показывает, что при проекционном продолжении опера-
операции £, т, А, V, * остаются инвариантными и потому отображение / ->-/ар
является изоморфизмом фл на подалгебру алгебры ф#, образованную ука-
указанными продолжениями функций /а.
Изоморфизмы вида / ->/ар будем называть проекционными. Если а есть
наложение А на Б, то р — тождественное отображение В на В и изоморфизм
/ ->7аз есть канонический изоморфизм фА нафв. Теорема 2 показывает, что
никаких других изоморфизмов фА на фв нет.
Допустим теперь, что задано семейство представлений

Итеративные алгебры и многообразия Поста 325
Образуем декартово произведение В = Пвг (i ЕЕ /). Произвольной
тг-арной функции fEE фА в каждом множителе Вг отвечает тг-арная функция
fl. Обозначим через /* тг-арную функцию, определенную на В, проекцией
которой в Bt является функция /^ (i ЕЕ /). Непосредственная проверка по-
показывает, что отображение а, определяемое формулой
а:/-*/" (/ефД (8)
является представлением Фа в фв.
Если все представления (Зг совпадают с фиксированным представлением,
то формула (8) дает представление а = (З1 : фА -^ФБ/, называемое декар-
декартовой степенью представления р. В частности, возводя в различные
степени единичное (тождественное) представление е : Фа ->-Фа, получим
набор степенных представлений
еп:фл->фАп G1 = 1,2,3,...)- (9)
Пусть множество А содержит конечное число s элементов. Тогда множе-
множество Ап содержит sn элементов и представления (9) в каждой алгебре фв, где
| В | = sn, фиксируют определенные итеративные подалгебры, изоморфные
алгебре ф8.
Условимся представление а : фл ->■ Фб называть селекторным, если функ-
функция el (x, у) = у отображается в селекторную же функцию el, определен-
определенную на В. Так как из функции el при помощи операций £, т, А, * можно полу-
получить все селекторные функции е™ (i <; т, i, т = 1,2, . . .), то при селектор-
селекторных отображениях селекторные функции из фл переходят в соответствующие
селекторные функции из ф^. Если рассматриваются не предытеративные ал-
алгебры фА, фв» а итеративные алгебры фА, фв? включающие операцию V,
то для селекторности представления, очевидно, достаточно, чтобы единичная
функция е (х) = х из фл переходила в единичную функцию из фв.
Из определения декартова произведения видно, что декартово произве-
произведение селекторных представлений является селекторным представлением.
В частности, все степенные представления алгебры фл являются селекторными.
6. Постовские многообразия. Задача нахождения представлений алгебры
Фа легко связывается с теорией особых многообразий, которые мы назовем
многообразиями Поста и определим следующим образом. Выберем в множе-
множестве Ра какую-нибудь систему функций
fi(x1,...,xn.) («e/)f (Ю)
с каждым символом i сопоставим гсгарный функциональный знак Ft и рас-
рассмотрим алгебру
« = <Л; Q> (Q = {^:ie/}),
в которой символ Ft имеет значение ft. Минимальное многообразие сигнатуры
й, порожденное алгеброй 91, обозначим через %. Если из функций ft, e\ при
помощи операций £, т, А, * можно получить любую функцию из Ра, т. е. если
совокупность el, ft (i G /) - порождающая в алгебре Фа, то многообразие
9t называется постовским многообразием, отвечающим по-
порождающей совокупности ft. Мощность множества А называется п о р я д-

326 Итеративные алгебры и многообразия Поста
ком постовского многообразия St. Хотя каждой мощности 5D? — | А | от-
отвечает много различных постовских многообразий, зависящих от выбора
порождающих ft, все постовские многообразия одного и того же порядка
рационально эквивалентны. Это означает, что главные операции одного мно-
многообразия можно термально выразить через главные операции другого при
помощи формул, не зависящих от выбора конкретных алгебр многообразий
(см. [3]).
Первый конкретный вид постовских многообразий конечного ранга был
изучен Розенблумом в 1942 г. [7]. Алгебры этих многообразий были названы
Розенблумом алгебрами Поста. Их определение может быть пред-
представлено в следующей форме. Алгебрами Поста порядка п (п ^ 2) назы-
называются алгебры многообразия £Rn, где
х \Jy = min(tf, у),
а' = а+1 (а = 0, 1,..., п — 2),
(п — 1)' = 0.
Розенблум доказал, что многообразие 5Rn любого фиксированного конеч-
конечного порядка п конечно аксиоматизируемое (т. е. определяется конечным чис-
числом тождеств). Отсюда следует, что все постовские многообразия конечного
порядка конечно аксиоматизируемые. Далее, Розенблумом показано, что
мощность каждой конечной алгебры Поста конечного ранга порядка п имеет
вид пк и что все конечные алгебры Поста, имеющие одинаковую мощность,
изоморфны. Из этого следует, что каждая конечная алгебра Поста изоморф-
изоморфна декартовой степени порождающей алгебры 9tn.
Другой тип многообразий Поста конечного порядка был определен Эп-
стейном A960 [6]). Согласно Эпстейну, решетками Поста поряд-
порядка /г называются алгебры минимального многообразия, порожденного ал-
алгеброй
£п - <{0, 1, . . ., п - 1}; V' Л> Со, Съ . . ., Сп-1>,
где
x\J у = шах (х, у), х Д у = min (я, у);
Эпстейном показано, что многообразие 2п характеризуется следующей
простой системой аксиом:
Ы. Решетки Поста относительно операций \Д Д являются дистрибу-
дистрибутивными решетками с нулем 0 и единицей и.
• £2. С0(х)\/С}(х)\/...\/Сп-1(х) = и, Ci(x)/\Cj(x) = 0 [гф]).
L3. В каждой решетке Поста порядка п существуют элементы
е0, ег, . . ., еп-х такие, что
а) e*-l Аег = ег-1 (l = 1, . . ., И — 1);
б) х/\ег = 0-># = 0;
в) х V е*_1 = ег -> х = е^ (i = 1, . . ., п — 1);
г) х = (ег Д Сг (х)) \/ (е2 Д С2 (^)) V • • • V (^-i Д CnHL (x)).

Итеративные алгебры и многообразия Поста 327
Пусть задано некоторое множество S. Одноместные функции / (х) из S
в множество {0, 1, . . ., п—1}- назовем тг-значными. Для любых тг-значных
функций /, g вводим функции f\Jg,ff\g, Сг (/), полагая по определению:
(/ V 8) (х) = max (/ (*), g (*)), (/ Д g) (x) = min (/ (s), g (x)), A1)
Тогда оказывается справедливой следующая основная
Теорема (Эпстейн [6]). Каждая решетка "Поста порядка п изо-
изоморфна алгебре всех непрерывных п-зпачных функций на подходящем вполне
несвязном компактном хаусдорфовом пространстве 5, основные операции
которой
V' Л' Со, • • •» Сп-1
определяются формулами A1).
Для конечных постовских решеток отсюда снова получается, что все та-
такие решетки изоморфны декартовым степеням базисной решетки Поста &п.
7. Селекторные представления предытеративных алгебр. Теорему о пред-
представлениях решеток Поста легко превратить в теорему о представлениях
лредытеративных алгебр конечного порядка. В самом деле, пусть задана ка-
жая-то решетка Поста
I
Между функциями из РП1 определенными на основном множестве А =
= {0, 1, . . ., п — 1} производящей решетки Поста £п, и функциями из
Рв определяем отношение а, полагая
Ф(\А Л» Со, • • м Cn-i, е1)*Ф(\/, Л, Со, . . ., Cn-i, Й), A2)
где Ф — какой-нибудь терм, образованный из указанных знаков функций
с помощью операторных символов £, т, А, *, причем е\, ё\ — упоминавшие-
упоминавшиеся выше селекторные функции.
Так как из функций \/> Д, Со, . . ., Сп-г с помощью операций £, т, А, *
можно получить любую функцию из РП1 то отношение а определяет (быть мо-
может, многозначное) отображение Рп в Рв- Покажем, что на самом деле ото-
отображение а однозначное.
Путь для некоторых термов Ф, Y
ф (V. Л. со,..., Cn-i, 4) = т (V, Д, Со,..., Cn-i, ^ A3)
Это равенство означает, что в постовской решетке Sn имеет место тождество:
ф(\А Л» со, , Cn-i, 4)Ci» • • м жв) «T(Vi. .-, ej)(«i, . . ., яв),
где 5—арность функций, представляемых термами^Ф, Ч?. Но тогда на любой
алгебре многообразия йп должно быть истинным соответствующее тожде-
тождество, т. е. из A3) следует
Ч\/ТК Со, • • ., Сп^ el) = Т (V, Л. ^о. . . ., Cn-i, el).
Из определения A2) видно, что отображение а сохраняет операции
£, т, А, V, * и потому является итеративным изоморфизмом $n в $#.

328 Итеративные алгебры и многообразия Поста
Обратно, пусть задан какой-нибудь селекторный изоморфизм предытера-
тивной алгебры ф„ в некоторую алгебру фв. Среди функций, образующих
алгебру фп» находятся и функции
V» Л' ^0» • • •» Сп-1» ^2*
В алгебре фв им отвечают какие-то функции \/, Д, ?0, . . ., Cn-i, ё!» причем
для любого терма Ф
Ф(\А Л» Со, . . м Cn-i, $ = Ф(\Л Л, ^0, . . м Cn-i, 3). A4)
Любое тождество, истинное в решетке Sn, можно представить в виде A3).
Но тогда в силу A4) соответствующее тождество будет истинно в алгебре
Щ = <Б; V» Л» Со, • • ., ?n-i, ё|>,
и потому эта алгебра будет решеткой Поста,
Ясно, что в приведенных рассуждениях вместо многообразия решеток
Поста порядка п можно взять любое многообразие Поста порядка п. Конеч-
Конечность п также несущественна. Итак, справедлива
Теорема 4. Выберем в фл произвольную порождающую систему
ft (i ЕЕ /), и пусть 9t — минимальное многообразие, порожденное алгеброй
Отображение а: ф! ->■ Фб тогда и только тогда селекторный изомор-
изоморфизм фл в фв, когда алгебра
»= <Я; {/":*ЕЕ/}>
принадлежит многообразию 9t.
Неселекторные изоморфизмы сводятся к селекторным следующим путем.
Теорема 5. Пусть а — произвольный изоморфизм фА в фв, е — еди-
единичная функция в Ра, е* — ее образ в $в, С — совокупность значений е*
на В, J — ограничение функции /а (/ е фл?/а €= фв)ма С. Тогда отображе-
отображение р:/—>-/ является селекторным изоморфизмом ф^. в ф^» отображение
е*\ х-^е* (х) есть проектирование В на С и первоначальный изоморфизм а есть
проекционное е^-продолжение изоморфизма р.
В самом деле, так как е * е = е в фл, то еа * еа = еа и потому из cGC
следует с = еа (#), еа (с) = еа (еа (#)) = еа (д;) = с, т. е. отображение о: ->
-►■ еа (а:) является проектированием 5 на С.
Аналогично, иэ / = е * / следует, что /а = еа * /а, т. е. значения любой
функции /а (/ ЕЕ Фа) принадлежат совокупности С. Поэтому отображение
§:/->/ является гомоморфизмом ф! в фс. Из / (х1, . . ., a:n) = f (е (а^), . . •
. . ., е (а:Л)) ^ G i) вытекает
/"B/1, • • ., 2/.) = Г (е*(Уг), - • м е*(уп% (уъ . . ., !/nG5),
и поэтому а есть ^-продолжение гомоморфизма р. Наконец, соотношения
ё\ (еа (х), еа (у)) = ef (ea (х), еа (у)) = еа (у) (х, у ЕЕ В)
показывают, что гомоморфизм р селекторный.

Итеративные алгебры и многообразия Поста 329
Из теоремы 1 видно, что есля С содержит более одного элемента, то гомо-
гомоморфизм р является изоморфизмом. Если же С состоит из одного элемента,
а множество А имеет не менее двух элементов, то р, а вместе с ним и а будут
истинными гомоморфизмами (т. е. неизоморфизмами), что противоречит усло-
условиям доказываемой теоремы.
8, Подалгебры, Теоремы 3—5 позволяют дать полное описание всех под-
подалгебр алгебры ф8, изоморфных алгебре фл (п < s; n, s — конечные).
Условимся говорить, что функция h, принадлежащая какой-то подалгебре
5t алгебры ф8, является единицей подалгебры 9t, если Ah = h
(т. е. h — одноместная) VLf*h = h*f = f для каждой / ЕЕ 9t. Ясно, что каж-
каждая подалгебра может содержать не более одной единицы и если единичная
функция принадлежит подалгебре, то она и является ее единицей.
Рангом одноместной функции h ЕЕ фв называют мощность множества
h (В). Рангом подалгебры 9t cz фв, имеющей единицу, называется ранг этой
единицы.
Подалгебры фв называются сопряженными, если они переводятся друг
в друга подходящими автоморфизмами фв. Подалгебры алгебры фв назовем
проективно сопряженными, если они являются проективными
продолжениями сопряженных подалгебр.
Теорема 6. Все подалгебры алгебры ф8, изоморфные фл, имеют ранги
вида
для каждого числа вида nkgZ.s в ф8 существует и с точностью до проективной
сопряженности лишь одна подалгебра, изоморфная фп и имеющая ранг тЛ
В частности, если пк = 5, то ф5 имеет и с точностью до сопряженности
лишь одну подалгебру, изоморфную фп и содержащую единичную функцию
из ф,.
Пусть п <^ пк <^ s. Берем в 2? = {0, 1, . . ., s — 1} произвольное под-
подмножество Д содержащее пк элементов, и переносим на D структуру решет-
решетки Поста £п, где &п — порождающая решетка Эпстейна из п. 7. В результа-
результате получим решетку Поста:
i! = <£; V» Л. £о. • • ., Cn-i>.
В силу теоремы 4 эта решетка порождает изоморфизм р > фп -> tyD. Берем
какое-нибудь проектирование б множества В на D и продолжаем отображе-
отображение р до изоморфизма а: фп ~> фв- Образ фп при изоморфизме а и является
искомой подалгеброй ранга пк, изоморфной фп.
Пусть теперь U1? U2 — какие-то подалгебры одного и того же ранга г,
изоморфные фп. Обозначим через б1? б2 их единицы и положим бх (В) =
= />!, б2 (В) = ^2- Согласно теореме 5 заданные изоморфизмы at : фп ->
—>■ 9(j (i = 1, 2) являются соответственно §г- и б2-пРоДолжениями селектор-
селекторных изоморфизмов:
Рассмотрим соответствующие решетки Поста:
Их мощности одинаковы. Поэтому в силу теоремы Розенблума — Эпстейна
обе они изоморфны подходящей декартовой степени £jj производящей решет-

330 Итеративные алгебры, и многообразия Поста
ки £п. Следовательно, мощности множеств 2Iи2J равныпки существует на-
наложение ср: Dx -»- D2, порождающее наложение 2п1 на 2п2. Наложение ф про-
продолжаем каким-либо способом до автоналожения я|э : В ->- В. Преобразова-
Преобразование г|) порождает автоморфизм сц алгебры Щ. Ясно,^ что] автоморфизм Оф
переведет алгебру 9(х в такую^ алгебру, которая будет проективным расши-
расширением алгебры фл -
ЛИТЕРАТУРА
4. СВ. Яблонский. Функциональные построения в fc-значной логике.— Труды Мат»
^ин-та АН СССР, 1958, 51, 5—142.
2/ Ю. И. Янов, Л. А. Мучник. О существовании /с-значных замкнутых классов, не имею-
имеющих конечного базиса.— Докл. АН СССР, 1959, 127, № 1, 44—46.
3. А. И. Мальцев. Структурная характеристика некоторых классов алгебр.— Докл. АН
СССР, 1958, 120, № 1, 29—32.
4. P. M. Cohn. Universal algebra. N. Y., 1965. /
5. A. Salomaa. On basic groups for the set of functions over a finite domain.*- Ann. Acad.
Sci. Fennicae, 1963, Al, № 338, 1—15.
6. G. Epstein. The lattice theory of Post algebras.— Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 95,
N 2, 300—317.
7. P. С Rosenbloom. Post algebras. I. Postulates and general theory. -— Amer. J. Math.,
1942, 64, N 2, 167—188.
S. H. J. Whitlock. A composition algebra for multiplace functions.— Math. Ann., 1964,
157, N 2, 167—178.

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИИ
О КВАЗИМНОГООБРАЗИЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ*
По-видимому, до сих пор в литературе рассматривались лишь многообра-
многообразия (примитивные классы) и квазимногообразия (квазипримитивные классы)
алгебр (см. [1, 2]). Ниже в § 1 указываются естественные определения
многообразий и квазимногообразий алгебраических систем,
сигнатура которых может содержать, помимо функциональных, также и
предикатные символы. Все обычные свойства многообразий и квазимного-
квазимногообразий алгебр при этом без изменений переносятся и на многообразия и ква-
квазимногообразия алгебраических систем произвольной сигнатуры за исклю-
исключением теории вполне характеристических конгруэнции, в которой вместо
конгруэнции приходится рассматривать вполне характеристические фак-
фактор-системы.
В § 2 при помощи фильтрованных произведений для квазимногообра-
квазимногообразий устанавливаются структурные характеристики и формулы, в какой-то
мере аналогичные известным в теории многообразий алгебр.
§ 1. Тождества и~квазитождества}
Пусть Q — совокупность предикатных и функциональных символов,
имеющих конечные фиксированные арности. Через Qp и Qf обозначим соответ-
соответственно функциональную и предикатную части Q. Отношение равенства в Й
не включается. Если предикат Р, либо сигнатурный, т. е. принадлежащий
Q, либо совпадает с равенством, то пишем Р Ez {Q, =}. Формулы вида:
Р (A (*i, • • •, *п), ••-,/* (*i, • • -, *п)). (!)
Pi(/(i1}, . . ., /.а)) & ... & ^ Ц?\ . . ., /?>) - P[(/i, • • ., /.), B
где хг, . . ., хп —предметные переменные, Д, /^ —термы сигнатуры
Q (Q — слова [2]) от хг, . . ., хп, называются тождествамии соответ-
соответственно квазитождествами сигнатуры Й. Тождество A) или ква-
квазитождество B) называется истинным в алгебраической системе 9t сигнатуры
Я, если указанные формулы истинны в 91 при любых значениях переменных
хх, . . ., хп в %.
Произвольная непустая совокупность Ж - систем фиксированной сигна-
сигнатуры Q будет называться классом сигнатуры Q, если вместе с произволь-
произвольной системой $ содержит и все ей изоморфные.
Для любого класса Ж систем сигнатуры Q через /Ж и Q® будут обозна-
обозначаться совокупности всех тождеств и квазитождеств сигнатуры Q, истинных
во всех системах класса Ж (Ж-системах). Аналогично, если S — какая-ни-
какая-нибудь совокупность тождеств или квазитождеств сигнатуры Q, то через К®
Алгебра и логика; 1966, 5, № 3, 3—9.

332 Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраических систем
будет обозначаться,класс всех систем сигнатуры Q, в которых истинна каж-
каждая формула из S.
Класс 5? называется многообразием (квазимногообра-
(квазимногообразием), если существует такая совокупность @ тождеств (квазитождеств), что
5? = К®. Иначе говоря, класс 5? — многообразие, если $ = KI&, и класс
5? — квазимногообразие, если 5? = KQ®.
Для любого класса систем Ж сигнатуры Q через 5Ж, ПХ, Ф$, Н& обозна-
обозначается соответственно класс всех подсистем 5?-систем, декартовых произ-
произведений ^-систем, произвольных фильтрованных произведений 5?-систем,
гомоморфных образов S-систем.
Согласно теореме Биркгофа, класс $ алгебр тогда и только тогда
многообразие, когда одновременно выполнены условия:
а) *S5? = 5? (наследственность класса 5?);
б) П$ = Ж E? мультипликативно замкнут);
в) НШ — 5? (S гомоморфно замкнут).
Эти же условия необходимы и достаточны для того, чтобы был много-
многообразием класс $ алгебраических систем.
Пусть 5? — какой-нибудь класс систем сигнатуры Q и % произволь-
произвольная система сигнатуры Q, не обязательно содержащаяся в 5?. Некоторая
совокупность М элементов % называется ^-независимой, если произвольное
отображение а : М -> К, где К — произвольная ^-система, продолжаемо до
гомоморфизма а : М -> К, где М — подсистема, порожденная в 9t совокуп-
совокупностью М. Из этого определения непосредственно вытекает (ср. [2])
Следствие 1. Если совокупность М ^-независима, то М HSIlE-не-
зависима.
Совокупность М с: 9t называется ^-свободным базисом системы 9t, если
М порождает Ш и М 5?-независима. Система 9t называется свобод-
свободной системой ранга и в классе 5?, если % ЕЕ 5? и 9t имеет какой-
то ^-свободный базис мощности п. Система 9t называется (в себе) свободной
системой ранга п, если она имеет 3(-свободный базис мощности п.
Система % называется единичной, если она состоит лишь из одного эле-
элемента а и все формулы Р (а, . . ., а) (Р £Е Q) в ней истинны. Класс $ назы-
называется единичным, если он состоит лишь из одной единичной системы (с точ-
точностью до изоморфизма). Класс 5? называется тотальным, если он со-
содержит все системы фиксированной сигнатуры. Все многообразия данной
сигнатуры Q образуют решеточно упорядоченное множество относительно
теоретико-множественного отношения включения многообразий. Единич-
Единичный и тотальный классы являются наименьшим и наибольшим элементами
в указанной решетке многообразий.
Легко проверяется, что в каждом неединичном многообразии систем су-
существуют свободные системы любого наперед заданного ранга *.
Для любого класса систем Ж совокупность КШ является наименьшим
многообразием, содержащим $. Из теоремы Биркгофа легко вытекает] фор-
формула
= HSIIS.
В действительности это утверждение справедливо лишь для алгебр, т. е. для систем,,
сигнатура которых не содержит предикатных символов. Для существования свободных
систем любого ранга в многообразии алгебраических систем с предикатами нужно тре-
требовать, чтобы это многообразие было невырожденным, т. е. не удовлетворяло тождеству
х = у.— Прим. ред.

Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраических систем 333
Пусть 9t = (A; Q> — какая-нибудь система сигнатуры Q. Обозначим че-
через А/а произвольное разбиение А на смежные классы по некоторой экви-
валенции а. Система вида 9ta = (А/cf; Я> называется фактор-систе-
фактор-системой для 9t, если каноническое отображение а -> acr (atf есть смежный класс,
содержащий элемент а) является гомоморфизмом 9t на 9tfl. Заметим, что одной
л той же эквиваленции может отвечать много различных фактор-систем. Со-
Совокупность всех фактор-систем для 9t частично упорядочивается (см. [1]): по
определению полагаем 9tfl <I 91е, если каноническое отображение аа -> aQ
есть гомоморфизм 9tfl на 9te и аа cz а0.
Фактор-систему 9t/a назовем вполне характеристической, если для лю-
любого эндоморфизма ф : 9t -> 9t имеем
a, . . ., апв) =» Р (ахфб, . . ., апфб) (Ре{Й, = ); аъ . . ., an<= 9t).
Вместо теоремы о соответствии между многообразиями алгебр
и вполне характеристическими конгруэнциями получаем для систем
•следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть $о> — свободная система счетного ранга в многооб-
многообразии Ж. Тогда отображение
Зг„/б->*/($«/о)
является антиизоморфизмом решетки всех вполне характеристических фак-
фактор-систем системы %ш на решетку всех подмногообразий многообразия $.
Если Ж — многообразие алгебр, то фактор-системы однозначно соот-
соответствуют конгруэнциям и теорема 2 обращается в упомянутую известную
теорему о вполне характеристических конгруэнциях.
§ 2. Квазимногообразия систем
Сигнатура Я алгебраической системы 9( состоит в общем случае из функ-
функциональной части Qf и предикатной части Qp. Каждой сигнатурной функции
F (#1? . . ., хт) (F £Е Qf) ставится в соответствие предикат F* (хъ . . ., хт, х),
истинный тогда и только тогда, когда F (хг, . . . , хт) = х. Пусть
Модель 9t* = С4; Q*>, полученная указанным образом из системы 9t =
= <Л; Q>, называется моделью, отвечающей системе 91, или просто моделью
системы 91. Подмодели модели 91* называются подмоделями системы 91.
Qx-обеднением системы 9t = C4; й> (Qi^Q) называется система 95 = С4;
Ях)>, в которой сигнатурные знаки из Qx имеют те же значения на А, что и
в системе 91. Если сигнатура Qx конечная, то обеднение называется финит-
финитным.
Из теорем Тарского — Лося и Хорна легко выводится следующая
Теорема 3. 5? Класс систем тогда и только тогда есть квазимного-
квазимногообразие, когда совместно выполнены условия:
а) класс 5? содержит единичную систему;
б) 5? мультипликативно замкнут;
в) если каждое финитное обеднение каждой конечной подмодели какой-
нибудь системы 91 вложимо в подходящую ^-систему, то % принадлежит Ж.
Изменяя подходящим образом теорему 1.15 из статьи [4] и пользуясь обыч-
обычными свойствами фильтрованных произведений, можно в теореме 3 изба-

334 Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраических систем
виться от не совсем «алгебраического» условия в) и показать, что имеет
место
Теорема 4. Для того чтобы класс Ж алгебраических систем был
квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
а) Ж содержит любое фильтрованное произведение своих систем;
б) Ж наследствен;
в) Ж содержит единичную систему.
Для любого класса систем Ж класс KQ Ж называется квазипримитивным
замыканием Ж, или #вазимногообразием, порожденным ^-системами. Из
теоремы 4 обычным путем получается
Следствие 5. Для любого класса Ж
KQ® = 5ФЖе, C>
где через Же обозначается класс, получаемый из Ж присоединением единичной
системы.
Пусть заданы класс Ж систем сигнатуры Q и произвольная система 91
сигнатуры Q, не обязательно содержащаяся в Ж. Эпиморфизм a: 9t ->■ EГ
называется Ж-ш орфизмом, если KgSh для любого гомоморфизма
ф: 9t -> 3R(9K £Е Ж) существует гомоморфизм £ : (£ ->■ 3R, для которого
ф = а£. Система© и гомоморфизм а, удовлетворяющие указанным условиям,
определены с точностью до эквивалентности. (£ называется ^-репликой
9t (см. [3]). Класс Ж называется реплично полным, если для каж-
каждой системы Э( в Ж существует реплика К. Легко убедиться [3], что класс
Ж тогда и только тогда реплично полный, когда он наследственный, мульти-
мультипликативно замкнутый и содержит единичную систему. Отсюда следует, что
для любого класса Ж класс SJJ Же является наименьшим содержащим Ж
реплично полным классом.
Отметим, что каждый аксиоматизируемый реплично полный класс явля-
является квазимногообразием. Если класс Ж аксиоматизируем, то реплично^
и квазипримитивное замыкания Ж совпадают, т. е.
_ зычная теория определяющих соотношений имеет место в реплично
полных классах и только в них [3]. В частности, среди аксиоматизируемых
классов систем полной теорией определяющих соотношений обладают ква-
квазимногообразия и только они. Каждая частичная алгебра сигнатуры Q мо-
может быть рассматриваема как й*-модель, и многообразия частичных алгебр
этим путем обращаются в квазимногообразия соответствующих систем. Тем
самым теория определяющих соотношений для частичных алгебр становится
частным случаем теории определяющих соотношений в квазимногообразиях
алгебраических систем.
Для любой последовательности {%t : i £= /} алгебраических систем
9lj сигнатуры Q и любого класса Ж систем той же сигнатуры ^-компо-
^-композицией систем %i называется любая 5?-система 91, для которой
существует последовательность гомоморфизмов at : %t ->- %, обладающая
свойствами:
а) % порождается совокупностью (J 9I?1;
б) для любой последовательности гомоморфизмов вида

Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраический ЬисШем 339
где (£ порождается совокупностью JU Эф, существует гомоморфизм
?■ : 9t ->- (£, для которого уг = ос$£.
Композиция систем %t называется инъективной, если принадле-
принадлежащие ей гомоморфизмы с*| являются изоморфизмами.
Согласно Лосю, совокупность систем %г (i ее /) называется совместно
вложимой в Ж-систему, если существует совокупность вложений 91г ->■ 5(
в подходящую 5?-систему 51. Из теоремы компактности вытекает, что если
класс Ж аксиоматизируемый и любая пара S-систем] совместно вложим^
в ^-систему, то любая совокупность ^-систем совместно вложима в 5?j
систему. Отсюда в свою очередь получается
Следствие 6. Для произвольного квазимногообразия $ тогда и тоАЪ*
ко тогда все ^-композиции ^-систем инъективны, когда любая пара $-си-
стем вложима в ^-систему.
Из формулы C) и следствия 6 получается
Теорема 7. Квазимногообразие Ж тогда и только тогда порож-
порождается одной системой, когда любая пара ^-систем вложима в ^-систему.
Действительно, если условие вложимости выполнено, то для каждого
квазитождества Л б£ Q§ рассматриваем ^-систему 91^, в которой Л ложно.
Из следствия 6 вытекает, что совокупность систем 91^ вложима в подходя-
подходящую Ж-систему 91, которая, очевидно, и будет порождать Ж. Для доказа-
доказательства обратного утверждения достаточно воспользоваться формулой C).
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. И. Мальцев. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
2. P. Cohn. Universal algebra. N. Y., 1965.
3. Л. И. Мальцев. Определяющие соотношения в категориях.— Докл. АН СССР, 1958,
119, № 6, 1095—1098.
4. Т. Егаупе, А. С. Morel, D. S. Scott. Reduced direct products.— Fundam. Math., 1962,
51, N 3, 195—228.

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
НА МНОГООБРАЗИЯХ КВАЗИГРУПП*
Цель этой заметки — построить многообразие L коммутативных луп,
определенное конечной системой тождеств от одного переменного и такое,
что задача о распознавании истинности произвольно заданного тождества от
одного переменного на каждой лупе многообразия L является алгоритми-
алгоритмически неразрешимой. Это значит, что в многообразии L свободная лупа с од-
одним порождающим элементом неконструктивна.
В § 1 напоминаются некоторые общеизвестные определения и факты.
В § 2 строится вспомогательное многообразие алгебр с двумя унарными опе-
операциями, имеющее нерекурсивную свободную алгебру. При помощи этого
многообразия в § 4 строятся многообразие луп и многообразие коммутатив-
коммутативных луп, в которых нерекурсивны свободные лупы с одним порождающим.
В § 3 доказывается вспомогательная лемма о доопределении частичных луп.
§ 1. Проблема тождественных соотношений
Пусть Fi, . . ., F& — произвольная конечная система символов, каждому
из которых поставлено в соответствие некоторое натуральное число, называ-
называемое арностью соответствующего символа. Задать алгебру сигнатуры
0 = {Fi, . . ., Fs} — значит задать некоторое множество А и каждому
символу Ft поставить в соответствие какую-то тггарную операцию ft, опре-
определенную на А, со значениями в А, где nt есть арность символа Ft. Опера-
Операция ft называется значением функционального символа Ft в алгебре А.
Классом алгебр называется произвольная система алгебр заданной сигна-
сигнатуры.
Понятие терма сигнатуры {Fx, . . ., Fs) от некоторых предметных пере-
переменных хи . . ., хт определяется индуктивно:
а) выражения вида хх ,. . ., хт по определению называются термами;
б) если <*i, . . ., йщ — термы, то выражение Ft (а1? . . ., ам) также терм.
Задать значение предметной переменной Xj в алгебре А — значит символу
Xj поставить в соответствие какой-то элемент алгебры А. Если а — терм
сигнатуры о от переменных хг, . . ., хт и значения всех этих переменных
в алгебре А сигнатуры а заданы, то, производя над значениями хи . . ., хт
в алгебре А все те операции, которые указаны в записи терма а, получим
элемент А, называемый значением терма а при заданных значениях
переменных хъ . . ., хт.
Выражение вида а = Ь, где а,Ъ — термы заданной сигнатуры а от пере-
переменных #!, . . ., хт, называется тождеством (или тождественным соот-
соотношением) сигнатуры а ранга т. Тождество а = Ь истинно на алгебре А,
если для любых значений хи . . ., хт в А значения а и b равны. Тождество
й = Ь истинно на классе К алгебр, если оно истинно на каждой алгебре клас-
класса К (К-алгебре).
♦ Мат. сб., 1966, 69, № 1, 3—12.

Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп 337
Через 1т (К) условимся обозначать совокупность всех тождеств от
#i» • • •» %, истинных на классе К. Объединение всех 1т (К) обозначим
через / (К). Так как тождества — это слова в алфавите #, Fx, . . ., Fsy
= , , , (,) (xt кодируем словом хх . . . #), то можно ставить вопрос о томг
является ли для данного класса К совокупность / (К) (или совокупности
1т (К)) рекурсивной (рекурсивными). Этот вопрос называется пробле-
проблемой тождественных соотношений на классе К.
Ясно, что из нерекурсивности 1т (К) для какого-нибудь т следует нерекур-
сивность / (К) и всех 1п (К) для п > т.
Для каждого класса К и каждой совокупности символов аи . . ., ат
может быть построена особая алгебра, называемая свободной алгеб-
алгеброй ранга т (или алгеброй со свободными порождающими ах, . . ., ат}
для класса К. Построение это осуществляется следующим образом. Пусть
а = {Рг. . . ., Fs} — сигнатура К. Обозначим через %т совокупность всех
термов сигнатуры а от переменных аи . . ., ат. Термы а, Ь из 5tm назовем
эквивалентными, если соотношение
а(хъ . . ., хт) = Ь(хъ . . ., хт)
является тождеством, истинным на классе К. Обозначим через $т множество
классов эквивалентных термов и на $т определим операции Д, . . ., /s
формулами
где [о,] — класс термов, эквивалентных терму щ. Алгебра ^т с основным
множеством $т и операциями Д, . . ., /s и называется свободной
д л я К алгеброй ранга т с порождающими а1? . . ., ат. Из построения
алгебры гут видно, что проблема эквивалентности слов в $т равносильна
проблеме тождественных соотношений ранга т на классе К.
Пусть @ — некоторая система тождеств данной сигнатуры а и К —
какой-нибудь класс алгебр сигнатуры а. Через К(@) обозначается система
всех тех К-алгебр, на которых истинны все тождества из @. Класс алгебр
Кх называется многообразием К-алгебр, если Кх = К (@) для под-
подходящей системы тождеств @. Класс Кх называется конечно опре-
определенным многообразием К-алгебр, если Кг = К (@), где @ — не-
некоторая конечная система тождеств. Класс Кх называется многообра-
многообразием ранга т К-алгебр, если Кх = К (@), где @ — система тождеств»
каждое из которых является тождеством не более чем от т переменных.
Наконец, если К — класс всех алгебр данной сигнатуры, то многообразие-
К-алгебр называется абсолютным многообразием или просто много-
многообразием алгебр (данной сигнатуры). Абсолютными конечно определенными
многообразиями являются, например, классы групп, абелевых групп, колец*
ассоциативных колец, лиевых колец, решеток, полугрупп и т. п. Алгебры,,
свободные для многообразий, принадлежат соответствующим
многообразиям. Во всех перечисленных многообразиях (групп, коммута-
коммутативных групп, колец и т. п.) свободные алгебры конструктивны, т.е. имеют
алгоритмически разрешимую проблему равенства слов. По-видимому, в ли-
литературе не встречались конечно определенные абсолютные многообразия
алгебр с неразрешимой проблемой равенства слов в свободных алгебрах.
Ниже будут построены конечно определенные абсолютные многообразия
ранга 1 алгебр простейших сигнатур, для которых неразрешима проблема*
тождества слов в свободных алгебрах ранга 1.
1/А\2 Заказ № 357

1338 Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп
§ 2. Алгебры с унарными операциями
В известном смысле простейшими являются алгебры, сигнатура которых
^состоит лишь из одной унарной операции F (х). Согласно Эренфойхту, класс
всех алгебр этой сигнатуры имеет разрешимую элементарную теорию и по-
потому проблема тождественных соотношений ддя любого конечно аксиомати-
аксиоматизируемого класса алгебр с одной унарной операцией разрешима. В частности,
тривиально разрешима проблема тождественных соотношений для любого
^конечно определенного многообразия алгебр с одной унарной операцией.
Для алгебр с двумя унарными операциями положение коренным образом
меняется.
Теорема 1. Существует конечно определенное многообразие ранга 1
•алгебр с двумя унарными операциями, для которого проблема тождественных
соотношений от одного переменного алгоритмически неразрешима.
Согласно теореме Поста — Маркова (см. [1]), существует полугруппа Е,
заданная подходящей системой порождающих элементов си . . ., сг и опре-
определяющих соотношений
af == bi (j = 1, .. ., п), A)
где a*, hi — некоторые слова в алфавите с±, • • •» сг, для которой проблема
эквивалентности слов алгоритмически неразрешима. Пусть аи аг — новые
символы. В соотношения A) вместо букв ch подставляем соответственные
слова
ck - Й1а2а*+14+1 (ft = 1, . . ., г). B)
"После этой подстановки соотношения A) перейдут в соотношения, имеющие вид
aa(i,l)a<x(i,2) • • • aaiUVj) = Я0<г,1) • • • Я0(г, в|)> C)
тде a (г, /)» Р (*> /) = 1> 2, i = 1, . . ., п. Соотношения C) определяют
полугруппу ф с порождающими аг, а2. Ясно, что формулы B) определяют
изоморфное вложение полугруппы (£ в полугруппу ф (см. [2]). Так как проб-
проблема эквивалентности слов в полугруппе К алгоритмически неразрешима,
то проблема эквивалентности слов в полугруппе ф также алгоритмически
неразрешима.
Рассмотрим теперь класс алгебр с двумя унарными основными операция-
операциями Ах жЛ2 Каждому определяющему соотношению C) ставим в соответствие
тождество
от переменной х сигнатуры Аи А%. Обозначим через ffi многообразие тех
алгебр сигнатуры Аи А2, на которых истинны все тождества D).
Произвольное тождественное соотношение ранга 1 в сигнатуре Аг, Аг
лмеет либо вид
Aai (Ааг ...(Аар {х)).. .) = А* (. .. (Л$в (х)). . .), E)
либо вид
Легко убедиться, что тождество E) истинно" на многообразии 3R тогда
и только тогда, когда в полугруппе ф истинно равенство
(tafias. . . aap = а^а^г. . . а^. F)

Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп 339
В самом деле, пусть 51 — произвольная алгебра из 9К. Каждая унарная
операция, определенная на 9t,— отображение 9t в 91. Все отображения
91 в % составляют полугруппу относительно обычного умножения отобра-
отображений. В этой полугруппе рассмотрим подполугруппу ф*, порожденную отоб-
отображениями Ах и А2. Тождества D) означают, что в полугруппе ф* элементы
Аг, А2 связаны соотношениями C). Если равенство F) истинно в полугруп-
полугруппе ф, то оно истинно в каждой полугруппе, в которой элементы а1у а2 свя-
связаны соотношениями C). Поэтому в полугруппе ф* истинно равенство
^ai^a, • • • ^-ap = A fa A pt . . . Aqj
равносильное тождеству E). Таким образом, из F) следует E).
Обратно, пусть E) истинно на многообразии 9К. К полугруппе ф при-
присоединяем внешнюю единицу е, т. е. полагаем е ф. ф, ее = е и ех = хе — х
дляя^ф. Новую полугруппу ф [j {е} обозначим через фе. На фе опре-
определим операции А1у А2, полагая
Ахх = ахх, А2х = а2х. G)
Рассмотрим алгебру %е с основным множеством фе и операциями А1у А2.
Из соотношения C) вытекает, что на 9te истинны тождества D), и поэтому
%е принадлежит 9R. Согласно предположению на многообразии 3R, а следо-
следовательно, и на алгебре 9te истинно тождество E). Полагая в нем х = е и поль-
пользуясь G), получим равенство F), что и требовалось.
Итак, на многообразии Ж, определенном конечным числом тождеств ран-
ранга 1, проблема тождественных соотношений первого ранга алгоритмически
неразрешима, и теорема 1 доказана. Однако многообразие 9К обладает еще
одним свойством, которое нам будет нужно в дальнейшем.
Лемма. Пусть 3R — построенное выше многообразие алгебр с основными
операциями Аг, А2, удовлетворяющих тождествам D). Обозначим через ЗК0
класс бесконечных алгебр из 9К, в которых существует такой элемент 0, что
для любых элементов х, у
а) А\+1х = ]
Р) АгАг2 х = х <-> х = О,
Т) А1х = А2у++х = у = 0 (i = O,l,...)»
б) А2х = А2у ++х = у,
е) АхАг2+1х = Ахх <-> х == 0.
Тогда каждое тождество вида E), истинное на всех $Я0-алгебрах, будет
истинно на всех $&-алгебрах, и потому проблема тождественных соотно-
соотношений на классе Шо алгоритмически неразрешима.
Пусть тождество E) истинно на каждой алгебре класса 9К0. Рассмотрим
алгебру 9te, построенную в процессе доказательства теоремы 1. Присоеди-
Присоединим к ней новый элемент 0 и положим Аг0 = А20 = 0. Расширенную ал-
алгебру обозначим через 9t0. Для х = 0 соотношения D) тривиально истинны.
Поэтому тождества D) истинны на 9t0 и 9t0 ЕЕ ЗК. Покажем, что алгебра 9t0
обладает свойствами а) — г).
Элементами алгебры 9t0 являются 0, е и элементы полугруппы ф, пред-
ставляющиесй непустыми словами в алфавите аи а2. При этом два слова
эквивалентны, т. е. представляют один и тот же элемент ф, тогда и только
12* А. И. Мальцев, том II

340 Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп
тогда, когда одно из них может быть переведено в другое элементарными
преобразованиями, отвечающими определяющим соотношениям C). Усло-
Условимся слово в алфавите ах, а2 называть регулярным, если оно (графи-
(графически) распадается в композицию слов вида a1a2ali+1e>2+l (& > 0)- Особен-
Особенность соотношений C) состоит в том, что их левые и правые части являются
регулярными словами. Отсюда, в частности, следует, что регулярное слова
может быть эквивалентно лишь регулярному слову. Более того, каждая
буква произвольного слова может входить не более чем в одно подслово
вида а1а2а1+ а2+1'. Поэтому произвольное слово в алфавите а1? а2 однозначно
распадается в композицию своих максимальных регулярных кусков, со-
соединенных нерегулярными отрезками, не содержащими подслов вида
a1a2ai+1u2+1. В процессе элементарных преобразований меняются лишь
максимальные регулярные куски? а упомянутые нерегулярные отрезки на
меняются.
Проверим'свойство у). Пусть Ахх = А2у и х Ф 0 или у Ф 0. Тогда х Ф 0г
г/^Ои потому ахх = а2у. При элементарных преобразованиях начальная
буква слова не меняется. Поэтому эквивалентность ахх = а2у невозможна
и х = у = 0.
Пусть А2х = А2у. Если х = 0 иЛй у = 0, то х = у = 0. Если же х Ф 0Т
у ф 0, то в $е имеем а2х = агу, Но буква а2, стоящая в начале слова, в эле-
элементарных преобразованиях участия принимать не может. Поэтому х= у
и свойство 8) истинно» Наконец, если Агх = АгА2х, х Ф 0, то ахх = аха2х
в фе. Левые и правые части определяющих соотношений C) являются сло-
словами, длина которых четна. Отсюда следует, что разность длин эквивалент-
эквивалентных слов есть число четное. Разность длин слов ахх и аха2х равна единице,
и потому эквивалентность ахх = аха2х в полугруппе $в невозможна. Анало-
Аналогичным образом проверяются и остальные свойства.
Итак, алгебра 910 принадлежит классу 9)?0, и потому на 9t0 истинно тож-
тождество E). Полагая в нем х = е, получим равенство F), из которого, как
показано выше, следует, что тождество E) истинно на каждой алгебре много-
многообразия 9К.
§ 3. Частичные квазигруппы
Алгебра Q с одной бинарной операцией о называется квазигруп-
квазигруппой, если для любых а, х, у из Q имеют место законы сокращения
аох = ао у ->х = у, (8)
%о а = у о а ->х = у (9)
и для каждых а., b из Q в Q разрешимы уравнения
аох = Ь, у о а = Ь.
Элемент 0 квазигруппы Q называется ее нулем, если
0оя - х (х е Q). (Ю)
Множество Q, содержащее фиксированный элемент 0 и снабженное час-
частичной бинарной операцией о, называется частичной квазигруппой
с нулем 0 относительно операции о, если в Q для всех х определены и равны
х произведения жо0,0о #ив Q имеют место законы сокращения (8), (9) при
условии, что все входящие в них произведения определены в Q.

Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп 341
Квазигруппа с операцией о называется коммутативной, если на
ней истинно тождество хо у = у о х. Частичная квазигруппа называ-
называется коммутативной, если в ней из определенности х о у вытекают
определенность у о х и равенство х о у = у о х.
Теорема 2. Пусть Qo — счетная коммутативная частичная квази"
группа с нулем 0, удовлетворяющая условиям
i) для каждого а Ф 0 конечна совокупность тех х, для которых опреде-
определено а о х или хо а;
ii) для каждого г Е= Qo существует бесконечно много таких р €Е QO1
что уравнение р о х = г неразрешимо в Qo.
Тогда операцию о можно доопределить до всюду определенной операции
на Qo так, что Qo относительно новой операции будет коммутативной ква-
квазигруппой с нулем 0.
Без ограничения общности можно считать, что элементами Qo являются
натуральные числа и что число 0 — нулевой элемент Qo. Всевозможные пары
натуральных чисел располагаем каким-нибудь образом в последовательность,
например в следующую последовательность:
@,0), @,1), A,0), @,2), A,1), (И)
Пусть Мо — множество тех пар (#, г/), для которых произведение хоу
определено в частичной квазигруппе Qo. Далее мы будем отдельными шагами
расширять множество Мо, доопределяя надлежащим образом операцию о
и следя за тем, чтобы множество Qo с доопределенной операцией оставалось
частичной коммутативной квазигруппой, удовлетворяющей требованиям
0, и).
Итак, пусть после п-vo шага мы получили множество пар Мп, для которых
произведение о определено, и пусть продолженная частичная коммутативная
квазигруппа Qn с областью определенности Мп удовлетворяет требованиям
i), ii). Берем в последовательности A1) первую пару (а? Ь), не входящую
в Мп. Из коммутативности Qn и свойств нулевого элемента следует, чтс*
(Ь, а) ф. Мп, а Ф 0, Ь Ф 0. Согласно i) совокупность тех х в Qn, для которых
определено а о х или хо а, конечна. Поэтому найдется число с, отличное от
всех значений, принимаемых произведениями а о х, х о Ъ в Qn. Полагая а о Ъ =
= Ъ о а = с, мы расширим операцию о и получим частичную коммутативную
квазигруппу Q*n с областью определенности М*п = Мп \J {(а, Ь), (Ь, а)}.
Ясно, что условия j), ii) для Qn выполняются.
Теперь в последовательности A1) ищем первую пару (/?, г), для которой
уравнение/? о х = г неразрешимо в Qn. В силу г), и) существует такой элемент
д, что уравнение q о х =■ г неразрешимо и poq не определено в Q*n. Расширяем
операцию о, полагая р ° q = q ° р = г. Новую частичную квазигруппу с об-
областью определенности Мп+1 = Мп (J {(p, q), (q, p)} обозначим через
Qn+1» Условия j), ii) в Qn+1, очевидно, выполняются.
Мы получили последовательность частичных квазигрупп Qo, Q^ Q2, . . .,
определенных на множестве натуральных чисел, с постепенно расширяющей-
расширяющейся операцией о. Предельная алгебра Q будет искомой коммутативной квази-
квазигруппой.
Заметим, что теорема 2 верна и для произвольных (некоммутативных)
квазигрупп. Ее легко обобщить и на несчетный случай.
12**

342 Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп
§ 4. Многообразия квазигрупп
В § 2 были рассмотрены алгебры с двумя унарными операциями. Вместе
с ними в каком-то смысле простейшими будут и алгебры с одной бинарной
операцией, т. е. группоиды. Положение для группоидов оказывается таким
же, как и для алгебр с двумя унарными операциями.
Теорема 3. Существует конечно определенное многообразие ранга 1
группоидов & такое, что проблема тождественных соотношений ранга 1
алгоритмически неразрешима на любом классе группоидов^ содержащемся
в ® и содержащем совокупность &0 всех бесконечных коммутативных
квазигрупп с нулем, принадлежащих @.
Рассмотрим систему тождеств D), упоминающуюся в лемме из § 2.
В каждом тождестве D) выражения вида А2 (z), Ax (z) последовательно
заменяем термами сигнатуры о с помощью формул
А2 {£) = zoZj . A2)
Ах (z) = (zoz)oZ. A3)
Например, выражение А2 (Аг (х)) при таком преобразовании перейдет в терм:
((хох)ох)о((х°х)ох). A4)
В результате из тождеств D) получим тождества вида
Gx (x) ^ Hi (*), -■ A5)
где Gb Hi — термы от переменной х сигнатуры о. Обозначим через © много-
многообразие группоидов, удовлетворяющих тождествам A5), и через ®а — класс
всех коммутативных квазигрупп с нулем, содержащихся в @.
Возьмем произвольное тождество вида E). Преобразуя его указанным
способом, получим тождество вида
F(x} = G(x). A6)
Для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что 1) из истинности
тождества A6) на классе &0 следует истинность тождества E) на классе SR0
алгебр с операциями Аг, А2 и 2) из истинности E) на классе SR0 вытекает
истинность тождества A6) на многообразии @.
Начнем со второго утверждения. Пусть тождество E) истинно на классе
Шо (из леммы § 2). Тогда оно согласно этой лемме истинно и на многообра-
многообразии SR, определенном тождествами D). Возьмем произвольный группоид G
из многообразия ©. Определив на G новые операции Аи А2 по формулам A2),
fl3), мы обратим G в алгебру сигнатуры Аг, А2. Так как на группоиде G ис-
истинны тождества A5), то на алгебре G истинны тождества D), т. е. алгеб-
алгебра G принадлежит многообразию Зй, и потому на алгебре G истинно тожде-
тождество E), означающее в силу формул A2), A3), что на группоиде G истинно
тождество A6).
Первое утверждение доказывается несколько сложнее. Пусть тождество
A6) истинно на классе @0? и пусть 9t — произвольная алгебра класса SR0,
удовлетворяющая требованиям а) — г) леммы из § 2. В частности, 9t содер-
содержит элемент 0, удовлетворяющий перечисленным требованиям. На совокуп-
совокупности элементов алгебры 9t определяем частичную операцию о с помощью
формул A2), A3) и соглашений
zo(zoz) = Axz, A7)
Ooz = zoO = z. A8)

Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп 343'
Из свойств ос) — е) вытекает, что формулы A2), A3), A7), A8) не про-
противоречат друг другу. В самом деле, формула A2) определяет произведение
для диагональных пар (z, z) и для этих пар находится в согласии с форму-
формулой A8), так как А20 = 0. Пара (zoz, z) может быть диагональной только в
том случае, когда zoz = z, т. е. когда A2z = z. Согласно свойству а) отсюда
следует, что z = 0, а согласно свойству |3) следует, что Аг0 = 0. Наконец,
пара вида (zoz, z) не может быть при z Ф 0 парой @, z) в силу того же свой-
свойства а). Итак, на множестве элементов алгебры % с помощью формул A2),
A3), A7), A8) определяется некоторый частичный группоид,
который мы обозначим через Qo. Этот частичный группоид коммутативен
и содержит нулевой элемент 0. Проверим закон сокращения. Пуеть для
некоторых а, х, у имеем аох = аоу в Qo. Если а = 0, то х = у. Поэтому
далее предполагаем а Ф 0. Произведение аох определено в Qo только в
следующих четырех случаях: •
х = 0, х = а, х = аоа, а = хох.
Аналогично, произведение аоу определено также лишь в случаях
у = 0, У = а, у = а о а, а = у о у. A9)
Надо просмотреть всевозможные комбинации этих случаев. Если х = 0,
то в трех последних случаях в A9) соответственно получим
а = а о а = А2а, а = Ага, а = Ащ = А2у, -
т. е. в силу свойств а) — у) у = а = 0. Аналогично и во всех остальных слу-
случаях получим х = у. Таким образом, (?0 — частичная коммутативная ква-
квазигруппа с нулем 0.
Легко проверяется, что Qo удовлетворяет и требованиям i), и) теоремы 2.
Действительно, пусть а Е= (H, а Ф 0. Тогда произведение а о у будет опре-
определено только в случаях A9). Но уравнение у о у = А2у = а в силу 6) имеет не
более одного решения. Поэтому существует не более четырех значений для г/,
при которых а о у определено в (H, и свойство i) истинно для Qo.
С другой стороны, пусть задан произвольный элемент г ЕЕ Qo- Если
г = 0, то уравнение р о х = г неразрешимо в (?0 для любого р Ф 0. Пусть
г Ф 0. Рассмотрим элементы A2r, Air, . . . Согласно а) все эти элементы
различны. Уравнение (Аг2+1г) о у = г может иметь решение у лишь в слу-
случаях A9). Но в этих случаях соответственно получаем
4+V = г, 4+2г = г, А2у = 4+V -> у = А\г, АхА\г = г,
откуда в силу а), Р) получаем, что г = 0.
Итак, частичная коммутативная квазигруппа (?0 удовлетворяет требова-
требованиям теоремы 2, и потому ее можно доопределить до коммутативной квази-
квазигруппы Q с нулевым элементом 0. На алгебре 91 выполняются, тождества D).
Поэтому в силу соотношений A2), A3) на квазигруппе Q удовлетворяются
тождества A5), т. е. Q ^ @0, и, следовательно, на Q истинно тождество A6).
В силу тех же соотношений A2), A3) это означает, что на алгебре 91 истинно
тождество E), что и требовалось.
Лупой (примитивной лупой) называется алгебра с операцией умноже-
умножения и операциями деления /, \, связанными тождествами
(ху) / у = г/ \ (ух) = у (у \ х) = (х / у) у = х, х\х = у / у.

344 . Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп
Лупа, удовлетворяющая тождеству ху = ух, называется коммута-
коммутативной.
Каждая лупа относительно операции умножения является квазигруппой
с нулевым элементом. Обратно, на каждой квазигруппе с нулевым элементом
можно так доопределить операции деления, чтобы она обратилась в лупу.
Поэтому из теоремы 4 непосредственно вытекает
Следствие. Существует конечно определенное многообразие ранга 1
луп L такое, что проблема истинности тождеств ранга 1 алгоритмически
неразрешима на любом классе луп, содержащемся в L и содержащем все ком-
коммутативные лупы из L.
В частности, проблема истинности тождеств ранга 1 алгоритмически
неразрешима на многообразии всех коммутативных луп, содержащихся вХ.
Помимо известного вопроса об алгоритмической разрешимости проблемы
Тождественных соотношений на любом конечно определенном многообразии
групп, интересно было бы решить вопрос о существовании конечно опреде-
определенного многообразия луп, конечные лупы которого составляют класс с ал-
алгоритмически неразрешимой проблемой тождественных соотношений.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. Марков. Теория алгоритмов.— Труды Мат. ин-та АН СССР, 1954, 42, 3—376.
2. М. Hall. The word problem for semi-groups with two generators.— J. Symbol. Log.,
1949, 14, 115-119.

ОБ ОДНОМ УСИЛЕНИИ
ТЕОРЕМ СЛУПЕЦКОГО И ЯБЛОНСКОГО*
Рассмотрим алгебру Поста (см. [1])
Рк = <РЙ; £ т, А, V, *>
конечного ранга /с, где Pk—совокупность всех одноместных, двухместных
и т. д. функций, определенных на множестве Nk = {О, 1, . . ., к — 1}
со значениями в этом же множестве. Если A cz PkJ то через Ап будем обо-
обозначать совокупность всех гс-местных функций, содержащихся в А, а через
Д{г) — совокупность всех функций из А у принимающих не более i различных
значений. Совокупность Р\ относительно операции подстановки * является
полугруппой, а совокупности
являются подполугруппами полугруппы Р\. Произвольную подполугруппу
G из Р\ назовем т раз транзитивной, если для любых попарно различных
а19 . . ., ат из iVfc и произвольных, не обязательно различных dx, . . ., dm
из iVfc в полугруппе О существует такая функция а, что
а (at) = dt (i = 1, . . ., in).
Ясно, что каждая полугруппа ,Р£(гп) A <^ т ^ А:) является т раз тран-
транзитивной подполугруппой в Р\. Полугруппа Р\ к раз транзитивна, и других
А раз транзитивных подполугрупп в Р\ нет. Полугруппа Р^к^ к — 1 раз
транзитивна, но при 4>3 в Р^~х) есть и другие к — 1 раз транзитивные
подполугруппы. Например, обозначим через Т\ совокупность тех / £= Р\,
для которых
/ @ = / @) V/ @ = / A) V • • • V/ @ = / (* - 1) V/ @ =
= /(* + 1) V • •• V/@ =/(*-i).
Ясно, что Т\ есть к — 1 раз транзитивная подполугруппа я Р$к~^, отличная
от Р^Gс~1) и не содержащая в себе Р]£к~2\ Аналогично и внутри каждой дру-
другой полугруппы P\^s) при s > 2 существуют истинные s раз транзитивные
подполугруппы. Простые подсчеты показывают, что полугруппами Т& Ti,
Т\ исчерпываются все 2 раза транзитивные подполугруппы полугруппы P^V
Функция g (х1У . . ., хп) называется существенно одноместной, если для
подходящих i £= {1, . . ., п) и / ^ Р\
g (х17 . . ., хп) = / (xt) (хг, . . ., хп = 0, . . ., к — 1).
В противном случае функция g называется существенно многоместной. Су-
Существенно многоместная функция из Pfe, принимающая всевозможные зна-
* Алгебра и логика, 1967, 6, № 3, 61—74.

346 Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского
чения О, 1, . . ., к — 1, называется существенной функцией, или функцией
Слупецкого. Согласно Слупецкому, если при к > 3 какая-нибудь подалгеб-
подалгебра А алгебры Рк содержит Р\ и хотя бы одну существенную функцию, то
А — Pk. С. В. Яблонский [2] усилил эту теорему, показав, что в теореме
Слупецкого вместо Pi cz А достаточно требовать Р]^~^ cz А. Ниже дока-
доказывается несколько более сильное утверждение, из которого, в частности,
следует, что в формулировке теоремы Яблонского условие Pjj^'^c: А можно
еще ослабить, заменив его требованиемG cz А, где G — произвольная к — 1
раз транзитивная подполугруппа полугруппы Р$к~х\ Указываемое ниже
доказательство этого утверждения не сложнее первоначального доказатель-
доказательства Яблонского и является небольшой его модификацией.
Далее нам потребуется несколько известных лемм. Для полноты изло-
изложения мы приводим их вместе с доказательствами.
1. Подполугруппы. Покажем, что истинна
Лемма 1. Если 2 ^ р <^ к и G — р раз транзитивная подполугруппа
полугруппы Pi j то полугруппа
Gv~x = G Г) P\{v-X)
р — 1 раз транзитивна.
Каждую функцию f ЕЕ Pi можно записать в виде подстановки
a)
где cl9 . . ., сг — различные числа из iVfc, а {А17 . . ., Аг} — какое-то раз-
разбиение множества NK на непересекающиеся непустые подмножества; г —
это ранг подстановки /, причем ранг произведения подстановок не превос-
превосходит ранга любого сомножителя. По условию G содержит подстановку
0 1 ... р — \р ... к — 1\
Ч> ... «**-i Г
ранг которой >/?. Покажем, что G содержит подстановку, ранг которой точ-
точно равен р — 1. Из подстановок, содержащихся вби имеющих ранг > р,
выберем ту, ранг которой наименьший. Пусть это будет подстановка A).
Так как полугруппа G р раз транзитивна, то в G найдется подстановка вида
\ 62 C2 ... Ср ... /
эгда npi
\ 62
Но тогда принадлежащая G подстановка
J±2 ... Ар .
c2 ... Cp .
будет иметь ранг, меньший* г, но не меньший р — 1, и потому равный р — 1.
Пусть Ъг е Ах U A2j bt €= Ai+1 (i >2). Берем произвольные различные
числа а19 . . ., ар-г и не обязательно различные числа d±J . . ., dp^ из
NK. По условию G содержит подстановки вида

Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского 347
Подстановка $gfa принадлежит G, имеет ранг р — 1 и потому входит в GKp~"O.
Кроме того, Р#/<х переводит числа ах, . . ., ар_х соответственно в числа
dx, . . ., dp-!- Поэтому полугруппа G(p~i>} (р — 1) раз транзитивна.
Из леммы 1 при р = 2 получаем, что каждая 2 раза транзитивная под-
подполугруппа полугруппы Pi содержит все постоянные функции.
Вместе с Е. Ю. Захаровой [3] введем обозначения:
R\—совокупность всех подстановок из Pj(k~2) и подстановок из Р\^'х\
принимающих значение i (i = О, 1, . . ., к — 1);
Щ — совокупность всех подстановок из Р£(/с~2) и тех подстановок из-
Р^*, которые принимают значения i и / или переводят i и / в одно и то же
число (i Фу, i, / = 0, 1, . . ., к — 1).
Лемма 2. Полугруппы R£, Rtf являются максимальными в системе
не к — 1 раз транзитивных подполугрупп полугруппы Р^ .
Рассмотрим Д°. Пусть G — какая-нибудь большая полугруппа: R% d
d G cz P^'^. Тогда в G должна найтись подстановка вида
1... k-lu)
Покажем, что G к — 1 раз транзитивна. Пусть ах, . . ., afe_x — различные
и dx, . . ., dfe_x — произвольные числа из Nk. Надо убедиться, что при под-
подходящем х подстановка
будет принадлежать G. Если Ое {йх, . . ., d^-i} или df = dj (i Ф j)r
то £ содержится в i?£ при х = 0. Поэтому можно считать, что £ имеет вид
Так как из 0g {bx, . . ., fefe-i} следует, что
то в качестве \ можно взять подстановку
...A-ll
Рассмотрим теперь полугруппу Л^1. Пусть снова G — полугруппа, содер-
содержащая R0^ строго внутри себя, и пусть а£б\ Rf. Поэтому а имеет вид
\
где сх, . . ., с^-! — попарно различные числа из Nk и {0, 1}
£t {^i» • • •» ^fe-i}- Если 0 ^ {сх, . . ., Cfe-i), то а будет иметь вид

348 _ Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского
В этой формуле можно считать bh Ф О, 1, и потому
(О, l}S{&i, ..., bfc-i}. D)
Действительно, по условию аО Ф al и, следовательно, {bj, bk} Ф {О, 1}.
Если бы в C) было Ьк ЕЕ {0, 1}, то bt Ф 0, 1 и, переставляя столбцы
/ЬЛ /ЬД
J . ] , I . 1 , мы пришли бы к соотношению D).
Заметим еще, что из
О 1 2 ... к —
^вытекает
V 0 2 ... fefc.i у /
Покажем теперь, что любая подстановка | вида B) при подходящем х
содержится в G. Действительно, если аК = 0, at = 1 или ак = 0, аг = О,
то £ е Z??1 при х = dt. Аналогично, если
или dt = dj (i Ф /), то снова £ ЕЕ Л?1 (при а; = dt во втором случае). Поэто-
Поэтому можно предполагать, что в формуле B)
(О, l}Q{ab ...,<**-!>,
числа dx, . . ., dfc_x попарно различны и либо 0 ф {dx, . . ., d^x}, либо
1 Qe {dx, . . ., dfc-i}. Рассмотрим первый случай. Перепишем £
в виде
я*
Из D) следует, что
/7, \
- г>01
и потому в качестве | можно взять подстановку
В случае 1 е {^i, . . ., dK_x} рассуждаем аналогично, заменяя подстановку
а определенной выше подстановкой фа.
2. Существенные тройки значений. Пусть / — ттг-местная функция. Ус-
Условимся вместо
писать / (a, ^j, b), где a = (a1? . . ., аг.г), Ъ = (Ь«+ц • • •» bm)-1 Совокуп-
Совокупность и, г?, и? трех различных чисел будем называть существенной

Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского 349
тройкой значений функции /, если для подходящих i, a, Ъ, а, Ь,
с, Ь
/ (а, а, Ь) =и, / (а, Ь, Ь) = г;, / (с, а, Ь) = w.
Л е м м а (С. В. Яблонский [2], А. Саломаа [4]). Каждая существенно
многоместная функция /, принимающая более двух значений, обладает по
меньшей мере одной существенной тройкой значений. Каждая функция,
обладающая существенной тройкой значений, существенно многоместна
и любое ее значение входит в подходящую существенную тройку значений.
Первое утверждение есть модификация так называемой леммы Яблон-
Яблонского, а второе принадлежит Саломаа. Мы укажем здесь краткое доказатель-
доказательство этих утверждений.
Пусть / — существенно многоместная функция, принимающая более
двух значений, и vx — какое-то значение /. Для краткости предположим,
что / существенно зависит от первого (и какого-то другого) аргумента. По-
Покажем сначала, что или найдутся такие v2 Ф vx, х, у; £, X), i, j, что
({h J) = {1, 2}), A)
мли v± входит в некоторую существенную тройку значений /.
По условию для некоторых a, a f (a, a) = vv Далее могут быть лишь
случаи А, В, каждый из которых мы разобьем на 2 подслучая.
С л у ч а й А. Существует такое Ъ, что f (Ъ, а) Ф- vx.
Подслучай 1. Существует такое Ь, что f {а, Ь) Ф- vv Тогда? пола-
полагая v2 = f (Ь, а), видим, что
/ (а, а) = vx, f (b, й) = v2, f (а, Ь) ф vv
и утверждение A) истинно.
Подслучай 2. Для любого f f(a, $ = vx. Так как / существенно
многоместна, то для подходящих Ъ, Ъ, С имеем / F, Ь) Ф f (b, С). Пусть
/ (Ь, Ь) Ф vv Тогда, полагая v2 = f (b, Ь), имеем
/ F, Ь) = г?2, / (а, Ь) = г?!, / F, с) ф и2
и утверждение A) снова истинно.
Случай В. Для любого х f(x, a)~ vx. Так как 1-й аргумент сущест-
существенный, то для подходящих Ь, с, т имеем
/ (Ь, ш) ф/(с,т)
и мы можем положить, что v2 = f (fe, tn) Ф vx.
Подслучай 1. / (с, ш) Ф vx. Тогда соотношения
/ F, m) = v2, f (с, m) = v3, f (b, a) = vx
доказывают, что тройка (v2, v3, vx) существенная.
Подслучай 2. f (с, m) = vx. Соотношения
/ F, m) = v2, f (c, m) = vx, f F, a) = v^ v2
доказывают, что утверждение A) истинно.
Итак, пусть соотношения A) истинны для каких-то v2, x, у, f, t). Если
для некоторого g имеем / (х, iN£{^i» гл>}, то, полагая v3 = / (х, $), придем
i

350 - Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского
к соотношениям
/ (х, у) = v{, f (у, f) = Vj, f (х, i) = v3,
показывающим, что тройка {vb Vj, v3) существенная.
Остается рассмотреть положение, при котором для любого j
/ (х, Ь) S {*„ v2}. B)
По условию для подходящих d, Ь имеем / (d, b) е=£ {vu v2}. Ввиду A) и B)
теперь возможны лишь случаи: а) / (х, Ь) = vt, f (х, X)) = Vj и б) / (х, Ь) =
= vj, f (x, t)) = vj' В случае а) имеем соотношения:
/ (х, Ь) = ии f (d, Ь) = vs, f (x, d) = i;,-,
а в случае б) — соотношения
/ (X, Ь) = Vj, f (d, Ь) = !78, / (Ж, J) = I7i,
из которых видно, что тройка (vt, v3, Vj) и соответственно тройка (vj, г;3, г;^)
существенные для функции /.
3. Условия полноты. Перейдем к доказательству основного утвержде-
утверждения:
Теорема. Пусть некоторая подалгебра А алгебры Рк удовлетворяет
одному из следующих трех условий:
1) А содержит некоторую р раз транзитивную подполугруппу G полу-
полугруппы JPfc , р^А и А содержит функцию /, принимающую любое значение
из р + 1 -элементного множества V = {v0, г^, . . .г г;р}, заключающего
в себе хотя бы одну существенную тройку значений /;
2) А содержит р раз транзитивную подполугруппу G полугруппы Р$р Т
р = 3 и А содержит функцию /, принимающую все значения из множества
V ~ I27*)» • • •» яр)* содержащего существенную тройку значений функции /;
3) А содержит р раз транзитивную подполугруппу G из Р£(р\ р = 2
м Л содержит существенно многоместную функцию /, принимающую только
3 значения, каждое из которых принадлежит множеству V = {v0, vx, г;2}.
Тогда подалгебра А содержит все функции из Рк, все значения которых
содержатся в множестве V, а также все функции из Рк, принимающие не
более р различных значений.
Согласно лемме 1 из п. 1 подполугруппа G содержит постоянные функции.
Поэтому и алгебра А содержит все постоянные функции от любого числа
переменных.
Для краткости будем предполагать, что / существенно зависит от первого
аргумента и что тройка ее значений (г;0, vx, v2) является существенной.
Условимся далее элементы v0, . . ., vp обозначать числами О, 1Т . . ., р.
Существенность тройки значений @, 1, 2) означает, что для подходящих
^i» л, Ьц Ь
/ К, а) = 0, / Flf а) = 1, / К, Ь) - 2. A)
По условию также при подходящих cix, ct
. /fai,c,) = i (* = 3,...,p). B)

Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского 351
Переписав соотношения A), B) в развернутом виде, получим
/ (аг, а2, . . ., ат) = О,
/ (Ъг, а2, . . ., ат) = 1,
/ (а±, 62, . . ., Ьт) = 2, C)
/if* f* С I D
V PI* P2* * * *' pm/ Jr
По условию полугруппа G p раз транзитивна, и поэтому в ней найдутся
функции фг (i = 1, 2, . . ., т), подчиненные условиям:
X . ф1 ф2 . . . Фт
£ ^31 ^32 • • v • ^Зт
Вводим функцию
g (Ж, V) = f (ф1 (Ж), ф2 (»), - - - , ф
Так как функции /, фх, . . ., фт принадлежат подалгебре А, то g ^ А. Из
C) и D) получаем
g@, 0)=0,
g(l, 0) =1,
g @, 1) - 2,
g(i, i) = * + 1 (i = 2, . .., p-1). E)
Функции из алгебры А определены на множестве Nk = {0, 1, . . ., к —1}.
Обозначим через Ах совокупность всех функций, определенных на множест-
множестве {0, 1} и являющихся ограничениями на этом множестве соответственных
функций из А. Напомним, что Р2 есть совокупность всех функций, опреде-
определенных на множестве 0, 1, все значения которых принадлежат этому же мно-
множеству. Докажем следующее утверждение:
А) А* з Р2.
Для каждой функции / ЕЕ Рн обозначим через /х ограничение / на мно-
множестве {0, 1}. Ясно, что отображение X : f -*fx является гомоморфизмом
Рк на Рь. Если в алгебре А найдутся функции /1? . . ., /s, ограничения кото-
которых /i, . . ., /J" (принадлежащие по условию Ах) порождают всю алгебру
Р2, то функции /х, . . ., /в породят в А подалгебру, Х-образ которой будет
содержать Р21 и поэтому Xх будет содержать Р2. Таким образом, для дока-
доказательства утверждения А) достаточно найти в Р2 функции, порождающие
Р2 и в то же время являющиеся ограничениями функций из А.
Полугруппа G заведомо дважды транзитивна. Поэтому в ней существует
функция ф, для которой ф @) = 1, ф A) = 0. Ограничение фх является
просто операцией отрицания ~~| в алгебре Р2 двузначной логики. Константы
0, 1 также принадлежат полугруппе G, а поэтому принадлежат и Ах.

352 Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского
Хорошо известно, что если к функции "~| присоединить любую функцию*
h (х, у) из Р2, которая в точках @, 0), A, 0), @, 1), A, 4) принимает триж-
трижды одно из значений 0, 1 и один раз другое, то получится система, порождаю-
порождающая всю алгебру Р2. Поэтому для доказательства утверждения А) доста-
достаточно найти в G такую функцию ср, чтобы функция ф (g (х, у)) в указанных
четырех точках принимала 3 раза одно и 1 раз другое из значений 0, 1. Ясно,
что функцию ф придется подбирать с учетом значения g A, 1), отсутствую-
отсутствующего в таблице E), и значения р.
1-й с л у ч а й: р > 4. Пусть g A, 1) ф {0, 1, 2}. Так как полугруппа
G 4 раза транзитивна, то найдется такая функция (pGG, что ф @) = 0,
Ф A) = ф B) = ф (g A, 1)) = 1, и функция ф (g (х, у)) будет удовлетворять
указанным выше требованиям. Если g A, 1) £5 {0, 1, 2}, то в качестве
ф берем ту функцию из G, для которой
Ф (а) = 0, ф (Ь) = Ф (g(l, 1)) - 1.
где {а, Ь, g(l, 1)} = {0, 1, 2}.
2-й случай:/? = 3. По условию G содержится в Р\® и 3 раза тран-
транзитивна. Поэтому в G найдется подстановка ф ранга 3, для Которой ф @) =
= 0, ф A) = 1, ф B) — 2. Так как ф принимает только 3 значения, та
Ф (g A, 1)) ЕЕ {0, 1, 2}. Берем теперь функцию яр ЕЕ G, для которой
я|; (а) = 0, я|> (Ъ) = яр (Ф (g A, 1))) - 1, где {а, Ь, Ф (^A, 1))} = {0, 1, 2}.
Тогда функция я|) (ф(# (х, у))) будет удовлетворять указанным требованиям.
3-й случай: р = 2. По предположению в этом случае /, а значит,,
и g принимают точно три значения, и потому
*A, 1)е= {0, 1, 2}.
Пусть а, Ъ — различные числа из множества 0, 1, 2, отличные от g A, 1)..
По условию в G найдется подстановка ф ранга 2, для которой ф (а) = 0г
ф (fe) = 1. Тогда ф (g A, 1)) G= {0, 1} и при любом из этих значений функция
ф (g (x, у)) удовлетворяет высказанному выше требованию. Утверждение^
А) доказано.
Обозначим через Pki совокупность тех функций из Рк1 значения которых,
принадлежат совокупности {0, 1, . . ., i — 1}. Докажем теперь утвержде-
утверждение
Б) А=эРй2.
В самом деле, из Ах э Р* следует, что в А существует функциям
/ (^0, . . ., ^-х), удовлетворяющая требованию
I (ХО1 Х19 . . . , ХК-г) = Х0Хг . . . Хъ-г (ХО1 . . . , Хъ-х = 0, 1).
С другой стороны, из леммы 1 (п. 1) вытекает, что полугруппа G f)
2 раза транзитивна и потому в ней должны существовать функции %*у (i
Фу, i, / = 0, 1, . . ., к — 1), для которых
хм @ = 1. Xii (/) = о» Xii И е @,1} (ж = о, 1,... д -1).
Полагая
Хг (Ж) = I (Xio И, • • • , Хг/с-1 (*)) (l = 0, 1, . . . , -1),
видим, что Xi Ei и

Об ЬдШМ усилении тёорёМ Слупецкого и Яблонского 353
Из Ръ^к Ах также следует, что в А существуют функции
Которые для всех значений аргументов, равных 0, 1, удовлетворяют следую-
следующим требованиям:
хъ если ух = 1,
^2, если з/i = О»
если ух = ... = уп_1 = 0, z/n=l,
если i/i = ... = уп = 0.
Отсюда видно, что для любой одноместной функции от (#), принимающей лишь,
значения 0 или 1,
от (х) = Ек (от @), . . ., от (к — 1), Хо (*), - • ., Х*-2 И).
Так как константы 0, 1, а также функции %о> . . ., %fc-2» J?fc содержатся
в ^4, то о» ^ ^4. Итак, Pj2 ^ ^4- Далее по индукции предположим, что для
некоторого гс > 1 РнъЯ^А. Пусть h e Put1- Из определений функций
#лг» Хо» • • •» Хлг-2 видно, что при любых #0, а?!, . . ., хп значение h (хО1„
Хц • • •» #п) совпадает с значением выражения
j?k (А @, жх, . . ., хп), . . ., h (к — 1, хг, . . ., жп), Хо (хо), • • •
• • •» Xfr-2 (ЖО)).
По условию гс-местные функции h (i, xx, . . ., хп) принадлежат А. По-
Поэтому и функция А принадлежит А.
Мы показали, что Р^2^^- Теперь по индукции предположим, что
Ры с: А для какого-то £, 2 <^ i ^ р. Пусть h (х^ . . ., #п) — произвольная
функция из Р]ц+1. Из E) видно, что для любых хг, . . ., хп ЕЕ Nk в Nt най-
найдутся такие числа и (хг, . . ., #п) и г; (х1ч . . ., хп), что
g (u (^, . . ., хп), v(x1 . . ., хп)) = А (а?!, . . ., жп). F>
Поскольку функции и (х1ч . . ., #п) и г; (хг, . . ., хп) принадлежат совокуп-
совокупности Pfc^, лежащей по условию в А, то из F) следует, что h ЕЕ А.
Итак, для любого i ^ p P^ci, Полагая i = p, получаем первое
утверждение доказываемой теоремы. Второе утверждение есть непосредст-
непосредственное следствие первого. Действительно, пусть какая-то функция h (хг, . . .
. . ., хп) принимает лишь значения из какого-то множества {ах, . . ., ар}.
Так как полугруппа G р раз транзитивна, то в ней найдутся подстановки
£, г), удовлетворяющие требованиям
I (аО = г - 1, r\(i) =аг (г = 0, . . ., р - 1).
Отсюда следует, что
г] (I (х)) = х (х = alf . . ., ар).
Все значения функции £ (А) принадлежат совокупности Np и потому по дока-
доказанному l(h) ^ А. Поскольку г] е^4, то т]£ (А) =Ае4,. что и требова-
требовалось.
Теорема доказана. Полагая в ней р = к — 1, получаем

.354 Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского
Следствие 1. Если подалгебра А алгебры Рк при к > 5 содержит
существенную функцию и какую-то к — 1 раз транзитивную подполугруппу
полугруппы Р\, то А = Pk.
Если подалгебра А алгебры Рк при к — 3, 4 содержит существенную
функцию и какую-то к — 1 раз транзитивную подполугруппу полугруппы
.Рр-», то А= Ph.
Действительно, при р = к — 1 множество V содержит вообще все зна-
значения существенной функции / и среди них, согласно лемме Яблонского,
должны находиться и существенные тройки значений.
Следствие 2. Если подалгебра А алгебры Рк при к ^> 6 содержит
существенную функцию и какую-то к — 2 раза транзитивную подполугруп-
подполугруппу полугруппы Рк, то А з Рк2) . Если подалгебра А алгебры Ръ содержит
существенную функцию и 3 раза транзитивную подполугруппу полугруппы
Pli3\ то А содержит Р[3) .
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Мальцев. Итеративные алгебры и многообразия Поста.— Алгебра и логика,
1966, 5, № 2, 5-24.
.2. С. В. Яблонский. Функциональные построения в /с-значной логике.— Труды Мат.
ин-та АН СССР, 1958, 51, 5—142.
3. Е. Ю. Захарова. Критерий полноты систем функций из Рк.— Проблемы кибернетики,
1967, 18, 5-10.
4. A. Salomaa. On essential variables of functions, especially in the algebra of logic— Ann.
Ac«LJ3ci. Fsnnicae, 1963, Al, N 339, 1—11.

ОБ УМНОЖЕНИИ КЛАССОВ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ *
Классом алгебраических систем сигнатуры Q будет называться произ-
произвольная (возможно, и пустая) совокупность систем сигнатуры Q, содержащая
вместе с каждой своей системой и все ей изоморфные. Пусть SR — совокуп-
совокупность некоторых подклассов данного класса $ алгебраических систем. Со-
Совокупность SR является частично упорядоченным множеством (ч.у.м.) отно-
относительно обычного отношения включения. Во многих важных случаях
ч.у.м. 3R является полным и решеточным, и потому в этих случаях можно
говорить о решетке 5I. Однако структура этой решетки оказывается,
как правило, сложной и редко допускающей явное описание.
Если 5? — класс всех групп и Ш — совокупность всех его подмногообра-
подмногообразий, то в 5SR, помимо упомянутых решеточных операций, X. Нейман ввела
еще операцию умножения многообразий, относительно которой совокуп-
совокупность 3R оказалась ([1—3]) свободной полугруппой с нулем и единицей.
Таким образом, хотя строение решетки 1 остается пока неизвестным,
строение полугруппы SR (кроме ее мощности) ** оказалось вполне
выясненным.
По аналогии с умножением многообразий групп в настоящей заметке
дается определение произведения любых двух подклассов 9t, $5 произволь-
произвольного фиксированного класса систем $. Это произведение зависит от выбора
основного класса S и для случая, когда $ — многообразие всех групп
и 91, 95 — его подмногообразия, оно совпадает с произведением ЗШ5 в смысле
X. Нейман. В данной заметке изучаются лишь общие свойства произведе-
произведений классов систем. Краткое сообщение об основных результатах было сде-
сделано автором в докладе на Московском международном конгрессе математи-
математиков A966).
1. Основное определение. Пусть А — алгебраическая система какого-то
фиксированного класса Ж и А/9 — произвольная фактор-система от А. Эле-
Элементами А / 9 являются смежные классы а9 (а Ez А), каждый из которых мы
будем рассматривать как подмодель модели А. Некоторые из этих под-
подмоделей могут оказаться подсистемами системы А, принадлежащими
классу $, но некоторые подмодели могут не быть подсистемами или, будучи
подсистемами, не будут принадлежать классу Й. Для любых подклассов
91, 35 класса $ вводим понятие их ^-произведения 9t|®, полагая по опре-
определению
* Сиб. мат. ж.,. 1967, 8, № 2, 346—365.
** А. Ю. Ольшанский доказал, что полугруппа многообразий групп имеет мощность кон-
континуума (см. А. Ю. Ольшанский. О проблеме конечного базиса тождеств в группах.—
Изв. АН СССР, сер. мат., 1970, 34, № 2, 376—384). См. также С. И. Адян. Бесконечные
непроизводимые системы групповых тождеств.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1970, 34,
№ 4, 715—734; М. R. Vaughan-Lee. Uncountably many varieties of groups,— Bull.
London Math. Soc, 1970, 2, N 6, 280—286,— Прим. ред,
23*

356 Об умножении классов алгебраических систем
Например, если для некоторых классов S, ScS на какой-то ^-си-
^-системе А существует фактор-система А/9, принадлежащая 95, ни один смеж-
смежный класс которой не является ^-системой, то согласно A) для любого под-
подкласса Ж с: $ имеем А ее Ж^8.
Отметим несколько следствий основного определения A).
Пусть $ — произвольный класс систем, Q — его сигнатура, 9t, 3tl7 25,
852 — какие-нибудь подклассы класса S.
Следствие 1. Операция ^-умножения подклассов согласована с отно-
отношением включения, т. е.
«iE*&»iCB^«i.»iC«oe. B)
Доказательство очевидно.
Напомним, что подкласс S класса систем $? называется наследст-
наследственным в S, если каждая ^-подсистема произвольной й-системы явля-
является 8-системой. Класс Й, наследственный в тотальном классе KQ всех
систем данной сигнатуры Q, называется абсолютно наследствен-
наследственным или просто наследственным.
Ясно, что отношение наследственности транзитивно: если 3t — наслед-
наследственный подкласс класса 2 и й — наследственный подкласс класса Й, то
% наследственный в Ж. В частности, каждый наследственный подкласс абсо-
абсолютно наследственного класса является абсолютно наследственным.
Отметим одно очевидное свойство абсолютно наследственных классов.
Пусть Ж — абсолютно наследственный класс, Ае8 и А/0 — какая-
нибудь фактор-система от А. Тогда если какой-нибудь смежный класс ав
содержит некоторую ^-подсистему В системы А, то а9ЕЙ.
В самом деле, пусть ЬеВ,^, . . ., хп^ав, ЯП)ЕЙ. Так как В — под-
подсистема в А, то F (Ь, . . ., 6)еВ и, следовательно,
F (а^, . . ., хп) 9 ^F (Ь, . . ., Ь) 9 = а9,
т. е. ав есть подсистема в А. Из наследственности $ теперь заключаем, что
аОЕ8.
Следствие 2. Если Q — наследственный подкласс класса систем
Ж и % с: й, 85 Q S, то
C)
В самом деле, пусть А е= 91^85 и А/9 — какая-то фактор-система/ удов-
удовлетворяющая условиям A). Тогда AeS, A/9 e ® и для любого fl£A
ввиду наследственности й в Ж имеем
й8 Е S -^а8 Е « & а8 с А Е 8 ->а9 Е £ -^а9е21,
т. е.
()П
Обратное включение
спрайедливо, очевидно, для произвольных (не обязательно наследственных)
подклассов й и потому для наследственных £ истинно равенство C),

Об умножении классов алгебраических систем 357
Через En или Е далее будет обозначаться единичная система сигнатуры
Q, т. е. одноэлементная система, на которой все сигнатурные отношения ис-
истинны.
Следствие 3. Для любого % cz $
ЗЬЕ = «. D)
я
Для любого наследственного подкласса 3t класса $
Eo3t=>3{. E)
я
Для доказательства достаточно заметить, что каждая система А среди
своих фактор-систем содержит А и Е.
Пусть Ео — совокупность всех одноэлементных S-систем. Аналогично
убеждаемся, что для любого 95 cz $
Е0о95 э 95. F)
я
В частности,1 из B) и D), F) получаем
Ее»«*«4»э«, G)
E0Q3t =^95^95. (8)
Легко видеть, что в F) знак включения в общем случае нельзя заменить
знаком равенства. Пусть, например, $ — класс всех полугрупп, 95 —
класс всех коммутативных полугрупп, А — полугруппа пар (а, Ъ) (а, Ъ =
= 1, 2, 3, . . .), перемножаемых по формуле
(а, Ъ) (с, d) = (а + с, а + be + d),
и G — аддитивная полугруппа положительных чисел. При гомоморфизме
8: (а, Ъ) ->■ а ни один из смежных классов А/8 не является полугруппой
и в то же время А/8 ^ G £= 95. Следовательно, А Е Е о й, А ^ 95.
Пусть А — произвольная алгебраическая система и А/с, А/8 — какие-
либо ее фактор-системы. По определению А/ог <; А/8, если отображение
ав -+ ав (a EH А) есть гомоморфизм А/8 на А/сг (ср. [5]). Тем самым совокуп-
совокупность всех фактор-систем данной системы обращается в частично упорядо-
упорядоченное множество. Фактор-система А/8 называется 3t-p e п л и к о й систе-
системы А, если А/8 является наибольшей среди всех фактор-систем от А, содержа-
содержащихся в классе 9t.
Следствие 4. Если ^-система А имеет $Ь-реплику А/р и % —
наследственный подкласс абсолютно наследственного класса $?, то А £= 9tg 95
тогда и только тогда, когда ар G Ж =£► ар е 9t.
Надо лишь проверить, что
А е 9f о95 =¥ ар е Ж -> оср е 9t.
Пусть А/8 — фактор-система, удовлетворяющая условию A), и для неко-
некоторого aGA имеем ар G &. Так как ар с: ав и ар есть подсистема в А,
то ав — также подсистема в А. По условию класс $ вместе с системой А
содержит и все ее подсистемы. Таким образом, й8е8 и потому ав G3t.
Но класс 3t наследственный в Ж. Поэтому ар G 5t, т. е. из ap E S выте-
вытекает ар ^ ЭД, что и требовалось.
13 Заказ № 357

358 Об умножении классов алгебраических систем
Теорема 1. В наследственном классе 5? произведение любых двух
наследственных подклассов 91, 95 есть наследственный подкласс.
Пусть А ЕЕ 9f ° 95, А/8 — фактор-система, удовлетворяющая требова-
требованиям A), и Аг сг А, Аг ge Ж. Обозначим через Аг/вг соответствующую фак-
фактор-систему от Ах, являющуюся подсистемой в А/9.
Так как класс 95 абсолютно наследственный и Аг/в± есть подсистема
95-системы А/9, то А^! ЕЕ 95. Пусть для некоторого аг ЕЕ Аг смежный класс
а191 есть ^-система. Так как axQt cz ai9, то агв — подсистема системы А. Из на-
наследственности $ вытекает, что агв gSh потому ax9 ЕЕ ЭД. Поскольку класс
9t наследственный и агдг есть подсистема St-системы агв, то агвг £3(и по-
потому Аг ЕЕ 21 о 95. Таким образом,
AE^SS&AiC A& Ах
и потому класс 3t ° 95 наследственный.
Через $ = </; F} условимся обозначать фильтр над /, т. е. совокуп-
совокупность F некоторых подмножеств множества /, обладающую свойствами:
а) 0фР\ 6)A(=F&A<^B=*B<=F; в) A(=F&B <=F=>A f]B ^F.
Если Зг состоит только из одного множества /, то фильтр называется де-
декартовым. Фильтр % называется ультрафильтром, если для любого подмно-
подмножества Ас/ или AgS) или дополнение А принадлежит $. Через Д А{/Зг
будем обозначать ^-произведение (фильтрованное по 5 произведение)
серии {At: i ^ /} алгебраических систем At.
Класс Ж систем называется S-замкнутым, если ^-произведение любых
Ж-систем принадлежит Ж. Ж называется мультипликативно замкнутым,
если каждое декартово произведение любых S-систем принадлежит &.
Класс Ж называется ультразамкнутым, если любое ультрапроизведение ^-сис-
^-систем принадлежит к. Подкласс 3t класса Ж называется ^-замкнутым
в $, если каждая ^-система, изоморфная ^-произведению ЗК-систем, при-
принадлежит 9t. Аналогично определяются понятия мультипликативной замк-
замкнутости и ультразамкнутости % в классе Ж.
Теорема 2. Пусть 9t, 95 — подклассы наследственного класса ал-
алгебраических систем Ж, причем класс % мультипликативно замкнут в Ж,
а класс 95 (абсолютно) мультипликативно замкнут. Тогда подкласс 9^95
мультипликативно замкнут в &.
В частности, в наследственном мультипликативно замкнутом классе
систем $ ^-произведение любых двух мультипликативно замкнутых под-
подклассов является мультипликативно замкнутым подклассом.
Пусть] AeS, А = ПА^ (i G /) и А{ G ^^* Для П°ДХ°ДЯЩИХ фактор-
систем Aj/9j имеем
95, а А е * «* afii G 91. (9)
Рассмотрим канонический гомоморфизм А —►■ ПА^/9^ и обозначим через
А/9 соответствующую фактор-систему. Так как
и класс 95 мультипликативно замкнут, то А/9 е 95. Обозначая через а*
проекцию в At произвольного элемента «еА, имеем
a9 s Uafiu A0)

Об умножении классов алгебраических систем 359
тде а9, afit рассматриваются как подмодели (реляционные подструктуры)
моделей A, At. Пусть а9 Е S и, следовательно, а9 — алгебраическая систе-
система. Тогда все ее проекции afii также являются алгебраическими системами.
Так как класс $ абсолютно наследственный и а$г — подсистема $-систе-
мы At, то afii gSh потому в силу (9) afit ЕЕ 3t. Из разложения A0)
я мультипликативной замкнутости 9t в классе $ получаем а9 ЕЕ 9f, т. е.
А е %as.
Теорема 3. Пусть 3t, 95 — подклассы наследственного класса ал-
алгебраических систем Л, сигнатура которого содержит лишь конечное число
функциональных символов, $ = <Д F) — произвольный ультрафильтр.
Тогда, если 9t ^-замкнут внутри Ж иЕ ЕЕ 5t, а класс 95 (абсолютно) %-замкнут,
то подкласс 9t^95 ^-замкнут внутри &.
Пусть AgS, А = ПА^/Э, At ее $%35, a Af/0f — фактор-системы,
удовлетворяющие условиям (9). Как и выше, рассматриваем канонический
гомоморфизм А-> П (Ai/Qi)/% и обозначаем через А/9 соответствующую
фактор-систему. Обозначая через at декартову проекцию a G А в сомножи-
сомножителе А$, будем иметь
Так как сигнатура Q содержит лишь конечное число функциональных
знаков, то условие, что модель а9 является алгебраической системой сигна-
сигнатуры Q, можно записать в виде закрытой формулы Л исчисления 1-й ступе-
ступени. Условие, что формула Л истинна в модели] М, будем записывать в виде
М f— J,. Так как g — ультрафильтр, то
а91— Л 4=> \i: a
Пусть /0 = {i : a$i [~ Л) и g0 - {С/ П Л> : U е 5}. Тогда
Полагая
В,- = аД (f е /о), Bi == Е (fE/\ /о),
будем иметь
а9^|П(а;9;.)/50 = ПВг/Э. A1)
Каждый сомножитель В;- = afij есть подсистема Ж-системы А;- и потому
В; е St Из (9) получаем В; е 3L Подкласс 9t ^-замкнут в & и потому
в силу A1) имеем a9EE9L Таким образом, а9 ее®->-a9£= 3t, что и требова-
требовалось.!
В изложенном рассуждении] условие Е е 9t было нужно, чтобы восполь-
воспользоваться импликацией
!П(*А)/&е1*>» П
Но фильтр 50 является ультрафильтром и потому импликация будет заве-
заведомо истинной, если класс 31 ультразамкнут. Следовательно, если подкласс
Ч ультразамкнут в наследственном классе Ж, 95 — его абсолютно ультра-
13*

360 Об умножении классов алгебраических систем
замкнутый подкласс и сигнатура $ содержит конечное число функциональ-
функциональных символов, то класс 9t^95 ультразамкнут в $.
Класс $ алгебраических систем называется реплично полным, если он
наследственный, мультипликативно замкнутый и содержит единичную си-
систему. Из теорем 1—3 непосредственно получаем
Следствие. Если класс Ж реплично полный, то ^-произведение
любых его реплично полных подклассов реплично полно. Если сигнатура на-
наследственного] улыпразамкнутого класса $ содержит лишь конечное число
функциональных символов, то R-произведение любых улътразамкнутых
подклассов класса $ улътразамкнуто.
Заметим, что это следствие не позволяет еще говорить о группоиде всех
реплично полных подклассов какого-либо фиксированного реплично полного
класса, так как реплично полный класс может не быть множеством, имеющим
определенную мощность (за исключением тривиальных случаев). Однако
этот недостаток легко устранить, рассматривая не «все подклассы» класса
Ж, а лишь подклассы, подчиняющиеся подходящим более сильным условиям,,
например, типа аксиоматизируемости или мощностных ограничений.
2. Произведения аксиоматизируемых классов. Пусть Г — какой-нибудь
класс закрытых формул узкого исчисления предикатов (исчисления 1-й сту-
ступени с равенством и функторами; УИП). В частности, Г может быть классом
Щ всех тождеств, классом щ всех квазитождеств, классом V всех общност-
ных формул (см. [5]). Если Ж — какое-то множество формул вида Г, имею-
имеющих заданную сигнатуру Q, то через Kq.M =К,// обозначаем класс тех сис-
систем сигнатуры Q, в которых истинны все формулы из Л. Обратно, если задав
некоторый класс $ алгебраических систем сигнатуры Q, то через Г5? обозна-
обозначаем множество формул вида Г, имеющих сигнатуру Q и истинных на каж-
каждой системе из $. Множество Г$ называется Г-теорией класса 5t Совокуп-
Совокупность всех замкнутых формул УИП будем обозначать через Щ.
Подкласс S класса 5? называется Г-подклассом в $, если S = 5? П
Г) КГ£.
Класс Й называется (абсолютным) Г-классом (или Г-аксиоматизируе-
мым), если 5? = КГ5?. ^-аксиоматизируемые классы (подклассы) называ-
называются просто аксиоматизируемыми, ^-классы называются многообра-
многообразиями, @г и V-классы называются соответственно квазимного-
квазимногообразиями и общностными классами (универсальными
классами или универсалами).
Для любого вида Г пересечение любого семейства Г-подклассов данного
класса 5? является Г-подклассом в $?. Поэтому множество всех Г-подклас-
Г-подклассов любого класса алгебраических систем $ можно рассматривать как пол-
полную решетку относительно обычного отношения включения классов. Эту
решетку будем обозначать через Lr$. Так как ^-произведение двух Г-
подклассов не обязательно будет Г-подклассом, то множество всех Г-подклас-
Г-подклассов класса Ж относительно операции ^-умножения будет частичным груп-
группоидом и лишь для специальных $?, Г оно будет обычным группоидом с всю-
всюду определенной операцией умножения. Этот группоид обозначим через
Покажем, что совокупность всех подмногообразий заданного многообра-
многообразия может не быть (тотальным) группоидом. Пусть Ж — многообразие всех
полугрупп с (сигнатурной) единицей е и 31 — подмногообразие всех комму-
коммутативных полугрупп в Ж. Ясно, что Ж Ф 3U3t. Например,^ пусть А5 —

Об умножении классов алгебраических систем 361
мультипликативная полугруппа всех четных перестановок чисел 1, . . ., 5>
т. е. полугруппа знакопеременной группы 5-й степени. Факторами А5 явля-
являются лишь А5 и Е. Но А5 ф_ 3t, поэтому Аб ф_ 31 о 3t.
С другой стороны, пусть F — свободная в $ полугруппа со свободными
порождающими а, Ъ. Фактор-полугруппа F/a по конгруэнции ст, определен-
определенной соотношением
amibni. .. am*bnkGaPlbqi ... aVz &тг + ... +mk = Pl+ ... + pv
является абелевой полугруппой с одним порождающим acr, a потому F/а ЕЕ 3f.
Так как единица е является сигнатурным элементом в $, то лишь те смеж-
смежные классы хв принадлежат $, которые содержат е. Но таких классов лишь
один: ев = {е, Ъ, Ь2, . . .}, и он является коммутативной полугруппой.
Поэтому F е 81 о gt.
Если бы класс 31 о 31 был подмногообразием, то все фактор-полугруппы
от F принадлежали бы 3( ° 31. Однако рассмотренная выше полугруппа А5
имеет порождающую систему из двух элементов; поэтому А5 изоморфна
фактор-полугруппе от F и тем не менее не принадлежит 81 о 91.
Нижеследующие теоремы показывают, что в отличие от многообразий
квазимногообразия и общностные классы ведут себя более регулярно.
Теорема 4. Пусть $ — общностный класс, сигнатура которого со-
содержит лишь конечное число функторов. Тогда ^-произведение любых двух
общностных подклассов 91, 95 класса Ж будет общностным подклассом, т. е*
частичный группоид GVS будет просто группоидом.
Действительно, поскольку классы $, 91, 95 общностные, то они наслед-
наследственные и ультразамкнутые. Тогда класс Э1§35 согласно теореме 1 будет
наследственным и согласно теореме 3 будет ультразамкнутым. Из наслед-
наследственности и ультразамкнутости произвольного класса вытекает, что этот
класс общностный (ср. [5]).
Теорема 5. Для каждого квазимногообразия $, сигнатура которого
содержит лишь конечное число функциональных символов, частичный группоид
Gg$ подквазимногообразий Ж является группоидом.
Пусть 31, 95 — подквазимногообразия в $. Согласно предыдущей теоре-
теореме класс 3t|95 общностный, а согласно теореме 2 класс 3^95 мультиплика-
мультипликативно замкнут и содержит единичную систему. Все общностные, мультипли-
мультипликативно замкнутые классы, содержащие единичную систему, являются ква-
квазимногообразиями (ср. [5]), и потому 31^95 — квазимногообразие.
Приведенные доказательства теорем 4, 5 основываются на свойствах
ультрафильтров. Однако эти теоремы легко доказать, не пользуясь ультра-
ультрафильтрами. Пусть $ — какой-нибудь класс алгебраических систем сигна-
сигнатуры Q и йх cz Q. Рассматривая системы класса $ как системы сигнатуры
Qx, получим класс Ло4 систем сигнатуры Qx, называющийся Qj-проекцией
(или Qj-редукцией) класса ®. Проекции аксиоматизируемых классов назы-
называются проективными классами.
Теорема 6. Если Ж — конечно аксиоматизируемый класс моделей^
то ^-произведение любых аксиоматизируемых подклассов 31, 95 класса $ яв-
является проективным классом моделей.
По условию сигнатура Q рассматриваемых классов моделей состоит лишь
из предикатных символов Ра надлежащих арностей тга. Каждому символу
Ра ставим в соответствие новый предикатный символ Ра* той же арности,
что и символ jPa, и совокупность всех этих новых символов обозначаем через

362 - Об умножении классов алгебраических систем
Q*. Вводим еще дополнительный бинарный предикатный символ 6 и обозна-
обозначаем через Ль. совокупность следующих аксиом:
(xQy -> yQx) & (хву & yQz -» xQz), Р* fa,..., хПо) -> P* fa,..., arnj,
i fa,.. ., avia)& Sifyi & • • •
Аксиомы ^^ выражают, что если А = (A; Q, Й*, 6> — какая-нибудь
модель, удовлетворяющая системе Ли, то £2*-проекция А является 8-фак-
тор-системой от Q-проекции А.
Согласно предположению класс Ж характеризуется какой-то одной
аксиомой Л, а классы 9(, 35 характеризуются какими-то, вообще говоря,
бесконечными системами аксиом Л% и Лъ- Обозначим через Л*, Лъ сово-
совокупности аксиом, получающихся из аксиом Л, Лъ заменой в них символов
Ра,= соответственно символами Р\ и 6. Обозначим через Лх релятивиза-
релятивизацию (ограничение) аксиомы Л на множество {у: удх} и рассмотрим объеди-
объединение Г аксиом Л, Л*, совокупностей Ли, Лъ и всех аксиом
Из смысла всех этих аксиом вытекает, что произвольная модель А =
--= {A; Q, Q*, 6> тогда и только тогда удовлетворяет системе Г, когда
fi-проекция А принадлежит классу Sl^SB. Таким образом, этот класс есть
проекция аксиоматизируемого класса КГ и теорема 6 доказана.
Следствие. Пусть S? — общностный класс алгебраических систем,
сигнатура которого Q содержит лишь конечное число функторов. Тогда
^-произведение любых аксиоматизируемых подклассов Э(, 55 класса 5? явля-
является проективным классом систем.
Рассмотрим тотальный класс КЯ всех алгебраических систем сигнатуры
fi. Согласно формуле A)
Пересечение аксиоматизируемого класса и проективного класса есть
проективный класс. Поэтому достаточно обнаружить лишь проективность
класса Э1к°а2В. Каждую алгебраическую систему заданной сигнатуры Q
можно рассматривать как модель, удовлетворяющую аксиомам
* fa, • • • , aVia-i, У), Pa, fa, . . . , У) & Pa fa, . . ., z) -> У = Z, A2)
утверждающим, что предикат Ра отвечает функтору из Q. Так как множест-
множество функторов в Q конечно, то и отвечающие им аксиомы A2) образуют лишь
конечное множество, т. е. класс KQ, рассматриваемый как класс моделей,
является конечно аксиоматизируемым. Применяя теорему 6, получаем, что
класс 9tK°a35 является проективным, что и требовалось.
Из следствия 4 (п. 1) в свою очередь непосредственно выводится теорема 4,
а вместе с!нею и теорема 5. В самом деле, согласно этому следствию из усло-
условий теоремы 4 вытекает, что класс %^ 95 проективный. Согласно теореме 1
(п. 1) класс %^ 95 наследственный. В то же время известно, что наследствен-
наследственные проективные классы систем являются общностными.
Покажем, что в теореме 6 утверждение проективности, вообще говоря,
нельзя заменить утверждением аксиоматизируемости. Рассмотрим класс
Ж алгебр, сигнатура которого состоит из двух унарных функторов /, g и

Об умножении классов алгебраических систем 363
который определяется тождествами
fgx = gfx = x. A3)
Пусть а — произвольный элемент какой-нибудь Ж-алгебры А. Вводя
обозначения а@> = а и
а<"> = fnx = / ... fx, a(-n) = gnx (л = 1, 2,...),
будем в силу аксиом A3) иметь
= j,CM> («, / = 0, ± 1, + 2,.. .)•
Назовем элементы а, Ъ ЕЕ А принадлежащими к одному «циклу», если
а = &(*) для некоторого i. Ясно, что алгебра А распадается на непересе-
непересекающиеся циклы, каждый из которых является подалгеброй алгебры А.
Обозначим через 91 класс ^-алгебр, удовлетворяющих аксиомам
A4)
A5)
у->х = у, A6)
з<*> = х-*х№ = х (i = 2,3,...), A7)
т. е. распадающихся на один одноэлементный цикл и некоторое непустое
множество бесконечных циклов.
Легко видеть, что произвольные ^-алгебры А, В тогда и только тогда
изоморфны, когда для каждого тг = 1, 2, . . ., (о мощность множества
тг-элементных циклов у алгебр А, В одна и та же, и, следовательно, любые
две 91-алгебры, имеющие равные несчетные мощности, изоморфны. Так как,
сверх этого, все 91-алгебры бесконечны, то по признаку Воота % является
минимальным аксиоматизируемым классом. В частности, если окажется, что
Stf«S«, St£«=^=«, A8)
то класс 91^ 91 будет заведомо неаксиоматизируемым.
Докажем A8). Пусть А €Е 91^ 91 и 6 — та конгруэнция, для которой
А/вЕ«, аее£==>а6еЭ(. A9)
Согласно A4) в А/6 существует одноэлементный цикл xQ = (
Это показывает, что смежный класс xQ является подалгеброй в А и потому
в силу A9) xQ 6E 91. Следовательно, в #6, а потому и в А существует одно-
одноэлементный цикл е = е^\ Если бы в А существовал еще какой-то конечно-
элементный цикл {а, а^\ . . ., а(т>}, то совокупность аб, аA>6, . . .
. . ., аы^ 6 была бы конечной подалгеброй в А/8. Из А/6 6Е 91 следует, что
в А/6 есть лишь одна конечноэлементная подалгебра ев и потому {а, аО-\ . . .
. . ., a<w)} cz ев ЕЕ 91, откуда а = е. Итак, алгебра А содержит лишь один
конечный цикл, а именно е. С другой стороны, из А/9 €Е 91 следует, что ал-
алгебра А бесконечна. Поэтому А 6Е 91, и первое из условий A8) доказано.
Рассмотрим теперь алгебру С, распадающуюся на одноэлементный цикл
е и бесконечный цикл {. . . , a(-1), a, aSx\ . . .}. Пусть 8 — произвольная
конгруэнция, для которой С/8 €Е 91. Если для некоторых i, / (i =?= j) ока-
окажется а^Юа(^ или а^ ве, то алгебра С будет конечной в противоречии с ус-

364 . Об умножении классов алгебраических систем
ловием С/0 Ez 9(. Поэтому конгруэнция 6 является равенством и е = е 0ЕЕ
G S, й ^ 91, откуда С ф 9tj St.
Итак, оба условия A8) выполнены и класс 91 может служить примером
аксиоматизируемого подкласса конечно аксиоматизируемого многообразия
$? для которого класс 91^91 неаксиоматизируем.
Покажем еще, что ^-произведение конечно аксиоматизируемых под-
Многообразий из $, являясь по теореме 5 квазимногообразием, может не
быть конечно аксиоматизируемым. Обозначим через 91 многообразие Ж-ал-
гебр, удовлетворяющих тождеству #B) = х, и рассмотрим произведение
Щ% = 3t2. Пусть А ЕЕ 9t2 и 8 —- конгруэнция на А, удовлетворяющая
условиям A9). Предположим, что для некоторых а ЕЕ А, т ^> 0 имеет место
равенство аBт+1) = а.
Так как а0B> = а0, то
, аB™>6а, а = ,
Отсюда ввиду A9) получаем
а<2> = а, а<2т> = а, а = aW,
т. е. в классе 9B истинны квазитождества
^am+D^^^sCD^a. B0)
Обратно, допустим, что на какой-то ^-алгебре А истинны все квази-
квазитождества B0) и, следовательно, алгебра А распадается на некоторые (воз-
(возможно, и пустые) множества одноэлементных циклов {аа}, циклов
{Ъ$, Ь$\ . . ., Ъ$т^ } четного порядка и бесконечных циклов {cY, c(^\
с^\ . . .}. Вводим на А бинарное отношение 8, полагая по определению
Ясно, что 0 — конгруэнция на А и А/0 ^ 35. Так как для любого х е А
имеем
х0 е £ =4> яб^1) Н> (За) (ж = аа) ==> яК») = ж,
то А е 912.
Итак, класс 91 характеризуется в $ бесконечной системой квазитож-
квазитождеств B0). Эта система не эквивалентна никакой своей конечной части, так
как для любого п > 0 Ж-алгебра, состоящая из одного цикла длины 2п +
+ 1, удовлетворяет квазитождествам B0), у которых т < п, и не удовлет-
удовлетворяет квазитождеству B0) при т = п.
3. Умножение в некоторых специальных классах систем. В связи с изу-
изучением свойств частичных группоидов Gr$ естественно возникает круг воп-
вопросов вида: для каких Г и Ж частичный группоид Gr$ обладает теми или
иными заданными свойствами, например, является группоидом ассоциатив-
ассоциативным, коммутативным и т. п. Выше указаны простые условия, накладывае-
накладываемые на класс Ж, при выполнении которых Gv$ и G@$ являются группои-
группоидами. Теперь мы укажем сначала условия, при которых G^S? является
группоидом, а затем условия, при которых Gr$ ассоциативен.
Элемент а называется идемпотентом относительно операции / (хг, . . .
• • •» хп) (/-идемпотентом), если / (а, . . ., а) = а. Элемент а алгебраической
системы А называется идемпотентом этой системы, если он идемпотентен
относительно каждой сигнатурной операции на А. В частности, если сигна-

Об умножении классов алгебраических систем 365
тура содержит 0-арные операции, то идемпотент А должен совпадать со зна-
значениями этих операций.
Полярной операцией (опорной операцией) на системе А называется
термальная унарная операция, все значения которой одинаковы и являются
идемпотентом А. Значение полярной операции (поляры) системы А называ-
называется полярным (опорным) элементом А или полюсом А. Полярой класса $
(^-полярой) называется унарный терм, представляющий в каждой $-сис-
теме полярную операцию. Класс Ж называется поляризованным, если он
обладает хотя бы одной полярой. Ясно, что каждый полюс системы А обра-
образует ее одноэлементную подсистему и каждая подсистема системы А содержит
все ее полюсы. Поэтому каждая система может иметь не более одного полю-
полюса. Если t (х) — поляра класса $, то значение ее в каждой ^-системе А яв-
является некоторым идемпотентом ра этой системы. Очевидно, отображение
А -> ра обладает следующим свойством: для любого гомоморфизма ср
St'-системы А в ^-систему В
Ф (Ра) = Рв- B1)
Покажем, что если класс $ содержит ^-свободную' систему F ранга 1
и каждой ^-системе А можно поставить в соответствие некоторый ее идемпо-
идемпотент ра так, что выполняется условие B1), то класс $ поляризованный*
В самом деле, пусть v — свободный порождающий элемент F. Тогда
Pf = t (г;), где t — какой-то терм. Пусть А е S, а Е А. По условию суще-
существует гомоморфизм ф: F ->- A, vr4? = а. Из B1) следует, что ф (pf) = t (a)
и потому рА есть значение поляры t в системе А.
Сделаем еще одно очевидное замечание. Пусть система А имеет полюс
р и 9 — некоторая конгруэнция на А. Тогда из смежных классов А/9 класс
рв и только он один является подсистемой системы А. В частности, если
9t, 95 — подклассы поляризованного класса S, то A G 9ts95 тогда и только
тогда, когда для подходящей конгруэнции 9 на А имеем А/9 ЕЕ 95, р 9 ее 9t,
где р — полюс А.
Многообразия луп и групп поляризованные. Полюсами групп и луп яв-
являются их единичные элементы. Многообразие всех неассоциативных колец
в сигнатуре —, • имеет поляру х — х = 0. Напротив, многообразия всех
решеток и всех полугрупп поляр не имеют.
Теорема 7. Если $ — поляризованное многообразие алгебр и на всех
^-алгебрах конгруэнции перестановочны, то ^-произведение любых двух
^-подмногообразий 91, S5 является многообразием.
Таким образом,) в указанном случае частичный группоид G^S? является
просто группоидом с единицей Е и нулем Ж.
Действительно, согласно теоремам 1, 2 класс 91^95 наследственный
и мультипликативно замкнутый. В силу теоремы Биркгофа, остается лишь
доказать, что упомянутый класс содержит все фактор-алгебры любой своей
алгебры А. Пусть 9 — та конгруэнция на А, которая удовлетворяет требо-
требованиям
Рассмотрим произвольную фактор-алгебру А/а. Из соотношений
А/а/а9^А/9/а9е»,
(Ра9)/с*^(р9)/аПЙеЕЭ1
и сделанного выше замечания непосредственно видим, что А/а 6= 91 о 35.

366 Об умножении классов алгебраических систем
Известно, что на всех группах, кольцах, лупах конгруэнции перестано-
перестановочны и все эти алгебры поляризованные. Поэтому для любого многообразия
групп, колец или луп S? частичный группоид G^S? является группоидом,
но, как правило, неассоциативным. Чтобы сформулировать достаточные ус-
условия его ассоциативности, введем несколько определений.
Конгруэнция а на какой-то алгебре А называется вербальной
(квазивербальной), если существует такое многообразие (квази-
(квазимногообразие) $, что а является наименьшей среди конгруэнции на А,
фактор-алгебры по которым принадлежат классу $.
Фактор-система А/0 и соответствующая конгруэнция 0 называются харак-
характеристическими (вполне характеристическими), если для каждого автомор-
автоморфизма (эндоморфизма) ф : А -> А и каждого Pg{Q, =* }
Фактор-система А/0 £^и соответствующая конгруэнция 0 называются
вербальными (квазивербальными) в классе $, если существует такое мно-
многообразие (квазимногообразие) 91, что А/0 есть 31-реплика системы А.
Пусть^ $ — фиксированный класс алгебраических систем, AeS
и А/0 — какая-нибудь фактор-система, принадлежащая S?. На каждом смеж-
смежном классе ат0, являющемся ^-системой, задаем какой-нибудь фактор
ат®/$т ЕЕ $• Совокупность всех этих факторов {am0/Cm: m ее М) назовем
частичным $-п одфактором фактор-системы А/0. Частичный
подфактор назовем характеристическим, если он состоит из характеристи-
характеристических факторов. Частичный подфактор назовем вербальным (ква-
(квазивербальным), если все его факторы являются ^-репликами для
подходящего многообразия (квазимногообразия) 31.
Частичный] подфактор {am0/Cm : т е= М} называется ^-продолжаемым,
если все его факторы совместно продолжаемы до подходящего фактора
А/р GS(pc 0), т. е. если
и каноническое отображение х$ ->■ х$т (х ЕЕ а>п$) е°ть изоморфизм ат0/р
на ат0/рт.
Система AeS называется в классе $ трансхарактеристической (вполне
транс характеристической), если каждый ее характеристический (вполне
характеристический) частичный $-под|>актор характеристического (вполне
характеристического) ^-фактора ^-продолжаем.
Аналогично система Ag^ называется в классе $ трансвербаль-
трансвербальной (трансквазивербальной), если каждый ее вербальный
(квазивербальный) частичный подфактор произвольного вербального (ква-
(квазивербального) фактора ^-продолжаем.
Класс $ называется трансвербальным (трансквазивербальным, транс-
трансхарактеристическим), если каждая ^-система трансвербальна (трансква-
зивербальна, трансхарактеристична) в $.
Так как для любой фгкпэр-сы^тгмъъ А/9 вербх/ььпосгпъ -=> кзазивгрба/ьъ-
пость =Ф> характеристичность, то для любого класса 5? и любой Ае^
трансхарактзристичностъ =£> транскзазизерба/1ъностъ=$>*прансзербалъностъ.
Подкласс 8 называется гомоморфно замкнутым в классе S, если для лю-
любой фактор-системы А/0 системы А имеем A8&A9SA/88
Достаточно требовать выполнимость условия (#, '/) 6 9 4 (#ф, уф) ЕЕ 0.— Поим. ред.

Об умножении классов алгебраических систем 367
Из приведенных определений следует, что каждый гомоморфно замкнутый
подкласс трансвербального класса является трансвербальным.
Пусть система А имеет полюс р, $ — некоторый класс систем, содержа-
содержащий А. Подсистема С системы А называется ^-нормальной, если существует
фактор-система А/у, принадлежащая классу $, для которой ру = С. Нор-
Нормальные системы, отвечающие вербальным (квазивербальным, характери-
характеристическим) фактор-системам, называются вербальными (квазивербальными,
характеристическими). Так как среди всех смежных классов А/у только
класс ру является подсистемой, то в наследственном классе $ поляризован-
поляризованная система А тогда и только тогда является трансвербальной (трансквази-
вербальной, трансхарактеристической), когда вербальная (квазивербальная,
характеристическая) подсистема вербальной (квазивербальной, характе-
характеристической) подсистемы системы А является ^-нормальной в А.
Характеристическая подгруппа нормального делителя каждой группы
является нормальным делителем группы. Поэтому многообразие групп
трансхарактеристическое, а следовательно, и трансвербальное.
Ясно, что многообразие всех ассоциативных колец не является транс-
трансвербальным. Пусть, например, 3t6 — многообразие всех ассоциативных
колец, удовлетворяющих тождеству х1х2х3х/кхъх6 = О, и51 — многообразие
коммутативных ассоциативных колец. Обозначим через А 31-свободное
кольцо с порождающими а19 а2. St-вербальный идеал S в А состоит из цело-
целочисленных линейных комбинаций членов вида а (аха2 — а2ах) f, где а, f —
одночлены. Э(-вербальный идеал в кольце S состоит из элементов, допуска-
допускающих запись вида
(т + п) да^Ф — та$2 — п№аг (i — 1, 2; Ф = ага2 — а2аг;
т, п = О, + 1),
которые не образуют идеала в А.
Теорема 8. В наследственном трансверб алъном (трансквазивербаль-
ном) классе алгебраических систем Ж для любого его наследственного под-
подкласса % и любых абсолютных подмногообразий (подквазимногообразий) 55,
© выполняется условие ассоциативности
Прежде всего легко заметить, что в любом наследственном классе систем
для любых его подклассов Э(, 35, К истинно включение
Действительно, пусть А е= 9I-95S и, следовательно, Ае8и для под-
подходящей фактор-системы А/6 имеем А/6 е 95S и
. , B2)
Условие А/6 ее Я5К означает, что А/6 ES и для некоторой фактор-
системы А/6/сг = А/о имеем А/0 £Е © и
аз 16 е Ж =¥ ав 16 е 55, B3)
Пусть ао €Е $. Надо показать, что отсюда следует па ЕЕ 9155. Так как
аа — подсистема в А, то ее образ ао/в в системе А/6 является подсистемой
системы А/6. Поскольку А/ 6 Е S и класс Ж наследственный, то aolQ €Е $.
В силу B3) отсюда получаем aa/Q е 55, что в силу B2) дает ао е 3E5.

368 Об умножении классов алгебраических систем
г
Доказательство обратного включения
*будет основано на жестких условиях теоремы 8. Пусть А е= 9C5-© и А/у —
'©-реплика системы А. Так как класс 3C5 наследственный и АееЗ№-(£,
то в силу п. 1
(шел), B4)
где через ату обозначены смежные классы из А/у, являющиеся ft-подсисте"
мами системы А. Обозначим через ату/$т 95-реплику системы ату. Из уело"
вия B4) и наследственности класса % в ft следует, что
я$т е ft =ф ^ж е « (же адат). B5)
Так как класс ft и фактор-система А/у вербальные (квазивербальные),
35 — многообразие (квазимногообразие), то совокупность 25-реплик ату/$т
должна иметь общее продолжение A/J3 ЕЕ ft (Р S т)> ПРИ котором ату/Р =
/P
) (я; е 4iT & ^ = ^да). B6)
В силу B6) и B5) требуемое отношение А е= 91 •35© будет доказано,
если удастся установить, что А/р е 25©. Но
и потому надо установить лишь импликацию
® (жеА).
Пусть #у/р е ft. Так как ху является полным прообразом подсистемы
ур cz A/p e ft при гомоморфизме А ->(А/р)/у, то ху — подсистема систе-
системы AGl Из наследственности ft вытекает, что ху ЕЕ ft и потому ху =
t35 откуда
что и требовалось.
Из теоремы 8 получаем
Следствие 1. Для каждого трансквазивербалъного квазимногообра-
квазимногообразия систем ft группоид G^ft является полугруппой.
Объединяя теоремы 7 и 8, получаем
Следствие. 2. Для каждого поляризованного трансвербального мно-
многообразия ft алгебр с перестановочными конгруэнциями группоид G^ft явля-
является полугруппой с нулем ft и единицей Е.
Как отмечалось выше, каждое многообразие групп поляризованное и вер-
вербальное и на всех группах конгруэнции перестановочны. Поэтому из следст-
следствия 2 получаем (ср. X. Нейман [1]): для каждого многообразия групп ft груп-
группоид G^ft является полугруппой с нулем и единицей.
Согласно теореме Нейманов — Шмелькина [2—3], если @ — многообра-
многообразие всех групп, то G^O — свободная полугруппа с нулем и единицей. Для
других групповых' многообразий ft С © * строение G^$ может быть более
сложным.
4. Дополнительные замечания. Наряду с операцией умножения клас-
классов можно ввести операцию (правого) деления классов, в известном смысле

Об умножении классов алгебраических систем 369
обратную к операции умножения. Пусть © — произвольный и Ж — реплич-
но полный подкласс класса $. Частным ©/®35 назовем класс тех ^-систем,
которые изоморфно вкладываются в отдельные смежные классы 35-вербаль-
ных фактор-систем подходящих ©-систем.
Из этого определения непосредственно видно, что класс ©/®35 всегда
наследственный. Далее, если £ — наследственный подкласс класса $ и ©,
35 — подклассы в S, то ©/®35 = ©/#35. Ниже вместо ©/®33 будем писать ©/85.
Теорема 9. Пусть $ — некоторый наследственный класс систем
и 91, 35, © — его наследственные подклассы, из которых 35 реплично полный.
Тогда
^©/35o35, B7)
91, B8)
5==9to85. B9)
Согласно определению из А ЕЕ ©/35 вытекает, что А есть ^-подсистема
подходящей ©-системы. Ввиду наследственности © это дает А ЕЕ © и по-
потому ©/35 cr ©. С другой стороны, если CgS и С/6>в — ее 35-вербальная
фактор-система, то С/6» ЕЕ 35 и по определению
т. е. Се ©/35 о 35.
Проверим теперь B8). Пусть А ЕЕ (9t о 35)/35. Тогда А есть Ж -подсистема
подходящей системы вида cQ%, где сЕЕС, CEE$f°35. Но классы Ж, 9$
наследственные; поэтому cQ$ G^ и, следовательно, сб» ЕЕ 9(, Ag5I,
т. е. B8) истинно.
В силу B7) имеем
а умножая обе части включения B8) на 35, получим
и потому соотношение B9) также истинно.
Для произвольного класса систем й обозначим через Sv наименьший
V-класс, содержащий й. Его можно определить также формулой
где s$, uS? обозначают соответственно класс всех подсистем ^-систем и класс
всех ультрапроизведений ^-систем.
Через Ss и й^ обозначим соответственно квазимногообразие и многооб-
многообразие, порождаемые классом S.
В п. 1 указаны многообразия, произведение которых многообразием
не является. В этом примере G^R является лишь частичным группои-
группоидом. Однако, вводя вместо операции ^-умножения о операцию ^/-умноже-
^/-умножения, определенного формулой
мы обратим совокупность всех подмногообразий] многообразия $ в группоид
G^S) с всюду определенной операцией.

370 Об умножении классов алгебраических систем
Аналогичным путем можно вместо деления классов / ввести деления
/v»/^» Аз» определяемые формулами
и наряду с группоидами Gx$ рассматривать квазигруппоиды
Qx£ = <LX£; о,д> (Х|= V, @).. |/
Так как для 91 ЕЕ Qx$ по определению 9(х = 91, то из B7) — B8), по-
получаем
<Е/х» S С S С/х» • Я5, (91 о»)/хЯ5 с 91 C0)
и: потому
(9(о35)/х35о35 = 9(о35.
Отсюда видно, что в формуле C0) знак включения можно заменить знаком
равенства тогда и только тогда, когда соответствующий группоид Gx$ удов-
удовлетворяет закону правого сокращения.
Алгебраическая система А называется й-р азложимой, если су-
существует неединичная фактор-система А/а, принадлежащая классу й.
В противном случае А называется й-н еразложимой [6]. В частности,,
если класс й реплично полный, то система А тогда и только тогда й-не*раз-
ложима, когда ее й-реплика является единичной системой. Система А назы-
называется й-д остижимой, если существует такая принадлежащая й е&
фактор-система, у которой каждый смежный класс, являющийся подсисте-
подсистемой в А, й-неразложим.
Наконец, подкласс 91 наследственного класса & называется достижимым
в $, если каждая ^-система является 9(-достижимой.
Теорема 10. Если реплично полный подкласс 9( наследственного клас-
класса $ достижим в $, то для любого наследственного подкласса Ж CZ 5?
(Ж-91)-91=^91. C1>
Действительно, каждый реплично полный класс содержит единичную
систему [5]. Поэтому Ее51 и
Обратно, пусть A GE 3£9t-9t, и, следовательно, обозначая через А/8 9(-реп-
лику системы А, имеем
Пусть аб е $• Тогда, обозначая через aQ/a 9(-реплику системы аб, из
соотношения а8 е 3£9t получим
По условию система А является 91 достижимой, и потому aQ/a = Е, асг =
= аб = огсг, т. е. а0ЕЙ ->й6е Ж, Ag ЭШ, что и требовалось.
В произвольном мультипликативном группоиде элемент а, удовлетво-
удовлетворяющий условию аг = а, называется идемпотентом, а элемент а,
удовлетворяющий условию (;ш) а = ха для всех #, называется правым
идемпотентом. Ясно, что в группоиде с левой единицей каждый
правый идемпотент является идемпотентом. В ассоциативном группоиде-
верно и обратное: каждый идемпотент является правым идемпотентом-

Об умножении классов алгебраических систем 371.
В частности, если класс 3t достижим в классе $ и %-реплика А/6 про-
изволъной ^-системы А удовлетворяет требованию
Va(aQ<=®->aQ=E)=>A/Q = A, C2)
то Э1 о 3t = 3t.
Действительно, из C2) следует, что E3t = 3t, а потому, полагая Ж = Е
в C1), получим 3t3t = St.
Например, условие C2) заведомо выполняется для любых ^-факторов
А/Э любых St-алгебр в произвольных классах $ луп, групп, колец и т. п.
Поэтому каждый достижимый подкласс 31 в любом из указанных классов
удовлетворяет условию 3t3t = St.
Теорема 11. Если подмногообразие (подквазимногообразие) St транс-
вербального (трансквазивербалъного) наследственного класса Ж удовлетворяет
соотношению 3t о 3t = 3t, то класс 3t достижим в $.
Обозначим через А/Э 31-реплику произвольной ^-системы А. Если для
какого-нибудь а£А смежный класс ад окажется подсистемой, то через
ад/а условимся обозначать ее 31-реплику. Из трансвербальности (трансква-
зивербальности) системы А вытекает существование такой ее фактор-системы
A/or* (or* cz 9), что
Поскольку А/а*/0 ЕЕ St и
(ао*) 9/а* е &Н> (аа*)9/а* е »,
то А/а ЕЕ St-St и потому в силу соотношения StSt = St А/а* е St.
Так как А/9 является St-репликой, то 0 cz а*, что вместе с включением
а* cz 9 дает А/9 = А/а*, откуда
а9 е ^ =Ф а9/а* = а9/9 - Е,
означающее, что класс St достижим в Ж.
Выше уже отмечалось, что все группы являются квазивербальными ал-
алгебрами, удовлетворяющими условию C2). Поэтому в любом наследственном
классе групп Ж достижимы те и только те квазимногообразия, которые яв-
являются идемпотентами полугруппы G@$.
Приведем несколько примеров. Согласно теореме Нейманов — Шмелькина
для класса © всех групп, полугруппа G^@ является свободной полугруп-
полугруппой с нулем и единицей. Единственными идемпотентными элементами сво-
свободной полугруппы являются нуль и единица. Принимая во внимание ска-
сказанное выше, получаем, что многообразие групп не имеет нетривиальных
достижимых подмногообразий. Это утверждение доказано иными методами
Тамурой [6].
Обозначим через 3lfc многообразие всех &-ступенно нильпотентных групп.
Решетки Ь^х (см. [7]), а также решетки L^9J2, L^Sft3 [8, 9] известны в явном
виде. Каждое подмногообразие многообразия 91Х всех абелевых групп опре-
определимо внутри 3^ одним тождеством вида
хт = 1 (т = 0, 1, 2, 3, . . .).
Обозначая это подмногообразие через 3tm, будем иметь
3tm°3(n = 3tmn {m,n = 0,1,2...),
и потому полугруппа G^x изоморфна мультипликативной полугруппе на-
натуральных чисел.

372 Об умножении классоё алгебраических систем
Каждое подмногообразие многообразия ЭГС2 взаимно однозначно опреде-
определяется внутри ЭГС2 парой тождеств
хп = 1, (х-^хуГ = 1 (п | т; т, п = О, 1, 2, . . .).
Обозначая это подмногообразие через [т, п], после простых вычислений
получаем формулу
[a,b].[m,n] = [am, [^2n)'д2уг)] »
где (л:, г/) обозначает наибольший общий делитель чисел я, г/. Из этой форму-
формулы видно, что полугруппа G^3t2 некоммутативна и не являемся полугруппой
с законами сократимости.
Наконец, рассмотрим класс $ = К£2 всех алгебр данной сигнатуры
Q и обозначим через ф многообразие алгебр этой сигнатуры, определяемое
тождествами
F (х, х, . . .) = х (F е £2). C3)
Легко убедиться, что
Действительно, обозначая через А/0 ф-реплику произвольной алгебры
А из класса ф о ф, видим, что для любых хг, х2, . . ., взятых в произволь-
произвольном смежном классе xQ, имеем
F (х19 . . .) 9 = F foe, . . .) = F (xQ, . . .) = xQ,
т. е. каждый смежный класс xQ является подалгеброй в А. Из условия
А ее ф о ф вытекает xQ e ф, откуда следует, что в А имеют место тождест-
тождества C3) и потому А ее ф.
Легко проверить, что если Q содержит неунарные символы, то для
подходящего Ж имеем Жф-ф Ф Жф и потому класс ф недостижим в KQ.
Если же Q состоит лишь из унарных функциональных символов, то много-
многообразие ф достижимЬ в KQ. Действительно, в этом случае произвольный
фактор А/а тогда и только тогда принадлежит ф, когда все его смежные клас-
классы аа являются подалгебрами и любое разбиение А на непересекающиеся
подалгебры является ф-фактором от А. Отсюда следует, что смежные клас-
классы ф-реплики не разбиваются далее на подалгебры и представляют собон>
ф-неразложимые алгебры.
[ЛИТ EJ?,A,T УРА
1. Я. Neumann. On varieties of groups and their associated nearrings.— Math. Z., 1956».
65, N 1, 36—39.
2. B. H. Neumann, H. Neumann, P. M. Neumann. Wreath products and varieties of
groups.— Math. Z., 1962, 80, N 1, 44—62.
3. A. JI. Шмелъкин. Полугруппа многообразий групп.—Докл. АН СССР, 1963, 149,.
№ 3, 543—545.
4. А. И. Мальцев. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической ло-
логики.— Междунар. конгр. математиков. Москва, 1966. Тезисы. М., «Мир», 1968.
5. А. И. Мальцев. Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраических систем.—
Алгебра и логика, 1966, 5, № 3, 3—9.
6. Т. Tamura. Attainability of systems of identities on semigroups.— J. Algebra, 1966,
3, N 3, 261—276.
7. А. А. Виноградов. Квазимногообразия абелевых групп.— Алгебра и логика, 1965^
4, № 6, 15—20.
8. В, Н. Ремесленников. Два замечания о трехступенно нильпотентных группах.— Ал-
Алгебра и логика, 1965, 4, № 2, 59—66.
9. В. Jonsson. Varieties of groups of nilpotency three.— Notices Amer. Math. Soc, 1966^.
13, N 4, 488. • /

УНИВЕРСАЛЬНО АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ ПОДКЛАССЫ
ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ КЛАССОВ МОДЕЛЕЙ*
Подкласс S некоторого класса моделей & называется универсально ак-
аксиоматизируемым в Ж, если существует такая совокупность 2 универсаль-
универсальных (общностных) формул исчисления предикатов 1-й ступени, что S со-
состоит из тех и только тех Ж-моделей, в которых истинны все формулы из 2.
Если совокупность 2 можно выбрать конечной или независимой, то подкласс
S называется соответственно конечно V-аксиоматизируемЫм или независи-
независимо V-аксиоматизируемым в ®. Аналогично определяются и понятия конеч-
конечной Г-аксиоматизируемоСти и независимой Г-аксиоматизируемости для
любого типа формул Г. В настоящей заметке указываются несколько про-
простых признаков конечной и независимой V-аксиоматизируемости подклас-
подклассов локально конечных классов J?. В качестве примера показано, что суще-
существует континуум различных универсально аксиоматизируемых подклассов
класса всех неориентированных графов степени ^2 и столько же универ-
универсально аксиоматизируемых подклассов частично упорядоченных множеств
фиксированной размерности. Последний вопрос возник в связи с тем, что
класс всех линейно упорядоченных множеств и класс всех алгебр Буля имеют
лишь счетное число универсально аксиоматизируемых подклассов. В п. 1
напоминаются в видоизмененной форме хорошо известные условия Тарско-
го — Лося универсальной аксиоматизируемости.
1. Условия универсальной аксиоматизируемости. Пусть задана общ-
ностная формула
Ш = (Ухъ...,хп)®(х1,...,хп)
чисто предикатной сигнатуры Q = {Ро, Рг, . . ., Ps}, где через Ро обозна-
обозначен знак равенства. Подформула & (хх, . . ., хп) формулы 91 является
{&, V, ~~]}-полиномом от первичных формул вида Р (ха1, - - -,ха .)• Пусть
f5ii . . ., Sr - всевозможные формулы этого вида. Тогда & (хх, . . ., хп)
будет равносильна конъюнкции некоторого числа дизъюнкций вида
ХгРг V Х252 V • • • V ВДг № = П, А; Л - пустое слово)
и потому предложение 91 будет равносильно конъюнкции предложений вида
*« == И (СТа*... хп) (Xi^i & • • • & Yr%r) (Yi = -[ Xt). A)
С точностью до изоморфизма существует не более одной модели Мг сигна-
сигнатуры £2, элементы которой могли бы быть обозначены символами хг, . . ., хп
так, чтобы в Мг была истинна формула
y1g1&...&rrgr. B)
Если такой модели нет, то формула A) тождественно истинна и ее можно вы-
вычеркнуть из 91. Пусть модель М% существует. Тогда истинность предложения
A) в какой-нибудь модели А сигнатуры Qo = Й означает, что модель Мг
* Сиб. мат. ж., 1967, 8, № 5, 1005—1014.

374 Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей
невложима в модель А (символически ~~| Mt вл А), а истинность в А первона-
первоначальной формулы 5t означает, что ни одна из моделей Мх, . . ., Mt не вло-
жима в А.
Обратно, пусть задана конечная совокупность конечных моделей Мх, . . .
. . ., Mt какой-нибудь конечной сигнатуры £2. Обозначим через п макси-
максимальную из мощностей указанных моделей. Тогда элементы любой модели
Mt можно обозначить буквами хх, . . ., хп (возможно, и с повторениями).
Строя для М% формулу B) и беря конъюнкцию соответствующих формул A),
получим универсальную формулу 9t, истинность которой будет равносильна
невложимости ни одной из заданных моделей Мг, . . ., Mt. Тем самым при-
приходим к следующему утверждению, различные модификации которого хо-
хорошо известны (ср. [1]):
Теорема 1.1. Для каждой общностной нетождественно истинной
формулы ЭД сигнатуры Q существует конечная последовательность таких
конечных моделей Мх, . . ., Mt конечной сигнатуры Q, что истинность
91 в любой модели А сигнатуры Qo ^ Q равносильна невложимости в А ни
одной из моделей Мг, . . ., Mt. Обратно, если Мх, . . ., Mt —последова-
—последовательность моделей конечной сигнатуры Й, мощность каждой из которых не
превосходит конечного числа п, то существует общностная формула 5t
с п кванторами, истинность которой в произвольной модели А сигнатуры
Qo =э £2 равносильна невложимости в А ни одной из моделей Мг, . . ., Mt.
В этой теореме идет речь об истинности в произвольных моделях заданной
сигнатуры. Применяя ее не ко всем моделям данной сигнатуры, а лишь
к какому-нибудь специальному классу $, встретимся с тем неудобством,
что модели Ми . . ., Mt, о которых идет речь в указанной теореме, могут
оказаться не принадлежащими классу $. Чтобы избежать этого неудобства,
вводим следующее
Определение. Класс моделей S называется ^-локально конеч-
конечным, если в любой 8-модели любая конечная совокупность элементов лежит
в конечной Ж-подмодели.
Отдельная модель А называется ^-локально конечной, если этим свойст-
свойством обладает класс S, состоящий лишь из модели А. >
Если к — некоторый класс моделей сигнатуры Q и 2 — какая-то сово-
совокупность замкнутых формул сигнатуры Q, то через $2 будем обозначать
класс всех тех ^-моделей, в которых истинны все формулы из 2. Классы вида
ЖЕ, где 2 — какая-нибудь совокупность V-формул, называются универ-
универсально аксиоматизируемыми подклассами класса Ж, или универсалами
Ж-моделей. Из теоремы 1.1 непосредственно вытекает следующая модифика-
модификация известной теоремы Тарского — Лося [1]:
Теорема 1.2. Для каждого подуниверсала 5t класса $ моделей сиг-
сигнатуры Q существует такая совокупность {М\ :^Gi} конечных моделей
М(\) конечных сигнатур Q\ с: Q, что S-модель А тогда и только тогда
принадлежит Й, когда в А не вложима ни одна из моделей М\. Для любой
совокупности {М\ ::К (= L} определенный указанным способом подкласс 3t
является подуниверсалом в Ж.
В общем случае в формулировке этой теоремы выделенное слово моделей
нельзя заменить словами ^-моделей, так как класс & может вообще не
содержать конечных моделей. Однако такую замену сделать возможно, если
класс Ж содержит достаточно много конечных моделей.
Теорема 1.3. Для каждого подуниверсала 9t локально конечного клас-
класса моделей Ж существует такая совокупность {Bt : t (= Т} конечных Ж-моде-

Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей 37S
лей, что ^-модель А тогда и только тогда принадлежит 91, когда ни одна
из моделей указанной совокупности не вкладывается в А.
Пусть {Мх : А<ЕЕ L} — та совокупность конечных моделей, существование
которой утверждается теоремой 1.2. Покажем, что требованиям теоремы 1.3-
заведомо удовлетворяет совокупность {Bt : t ЕЕ Т} всех тех конечных ®-
моделей, в каждую из которых вложима какая-нибудь модель М\. Дейст-
Действительно, если ^-модель А принадлежит 9t, то в нее не вложима ни одна
модель М\, а значит, не вложима и ни одна $-модель At. Обратно, если
4gS и 4 $51, то для подходящего ^Gi существует вложение
Ф : М\ -+А. В силу локальной конечности & в А найдется конечная ^-под-
^-подмодель Z?, содержащая множество ф (Мх). Отсюда следует, что В изоморфна
какой-то Ж-модели Bt и, следовательно, в рассматриваемом случае не все
модели множества {Bt : t ЕЕ Т} не вложимы в А.
2. Независимая аксиоматизируемость,. Рассмотрим какой-нибудь тип
Г формул 1-й ступени, например тождества (/-формулы), квазитождества
((^-формулы), общностные формулы (V-формулы). Подкласс £ какого-либо
класса моделей $ сигнатуры Q называется Г-аксиоматизируемым подклас-
подклассом или Г-подклассом внутри $, если существует такая совокупность 2
замкнутых Г-формул сигнатуры Q, что £ = $2. Подкласс £ называется
конечно Г-аксиоматизируемым, если существует конечная совокупность
2Г-формул, для которой S = $2. Символом Е будем обозначать класс
вообще всех формул 1-й ступени. Г-подкласс тотального класса всех моделей
данной сигнатуры называется просто Г-аксиоматизируемым классом, Е-
аксиоматизируемость называется просто аксиоматизируемостью. Заметим,
что из теоремы компактности получается непосредственно, что в случае,
когда основной класс $ аксиоматизируем, для любого Г-подкласса свойства
конечной Г-аксиоматизируемости равносильны свойству конечной £"-аксио-
матизируемости.
Совокупность 2 замкнутых формул сигнатуры Q называется независимой
относительно класса моделей Ж той же сигнатуры, если из 2Х d 2 следует
Ж21зЖ2. Подкласс S cz $ называется независимо Г-аксиоматизируе-
Г-аксиоматизируемым в $, если S == Ж2, где 2 — какая-то независимая относительно Ж
система Г-формул. Ясно, что каждый конечно Г-аксиоматизируемый под-
подкласс является и независимо Г-аксиоматизируемым.
Приведем пример £1-подкласса, не являющегося независимо О-аксиома-
тизируемъш.
Пусть Ж — класс алгебр, сигнатура которого состоит из предметного
символа 0 и одноместных функций /, h, определяемый квазитождествами
/О = 0, fx = х -+х = 0; C)
fhx = hfx = х\
fx = fy-+x = y. D)
Пусть S — подкласс, выделяемый в £i квазитождествами
f*x = х -+х = 0 (п = 1, 2, 3, . . .). E)
Покажем, что S не является независимо ^-аксиоматизируемым в &. Введем,
обозначения
fx = х, f-Ч = №х (к = 1, 2,...).

376 Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей
Пользуясь ими, произвольное квазитождество сигнатуры 0, /, h можно за-
записать б форме
/mtMl = fn1Vl & ... & f"sUa = f»BVa _* Г и = f»V, F)
где u±J v^ . . ., и, v — какие-то символы из последовательности 0, хг, . . .
. . :, хр, а Ши Пц . . ., т, п — числа из совокупности {0', + 1, + 2, . . .}.
Из D) следует, что в классе $
Поэтому в классе ® квазитождество F) можно привести к виду
/П1у = у & . . . &fnty = y-+fmX=Z, G)
где z = х, у, 0. Подставляя сюда значения х = 0, у = 0, видим, что G)
либо равносильно квазитождеству вида
f™*x = х& .. . &fmsX = x-^fmx = ж, (8)
либо равносильно паре квазитождеств вида
р*х = х& . .. &/тзЖ = ж-*ж = 0. (8')
Но в классе S
/^^ = х& ... &/ms^ = x^fdx = ^f (9)
где d — наибольший общий делитель чисел т19 . . ., ms. Поэтому (9) в клас-
классе $ равносильно квазитождеству из E), а (8) равносильно квазитождеству
вида
fx = x-*fmx = х.
Итак, дело свелось к вопросу: может ли класс S характеризоваться внутри
Ж независимой системой формул А19 А2, . . ., где At — формула вида
x-*f*x = x)&...& (fu^ux = x->fitx = х). A0)
Смысл формулы A0) легко представить в более наглядной форме. Каждая
алгебра А класса & есть объединение минимальных подалгебр следующих
видов: цикла длины 1, состоящего лишь из элемента 0; циклов {хОг хг, ...
. . ., Xjn-i} конечной длины т, где
i, /£m_! = х0 (i = 0,1,..., т — 2),
и бесконечных циклов {...., х-^ х0, хи . . .}, где
Любой набор циклов указанных видов, включающий единственный цикл
длины 1, определяет ^-алгебру с точностью до изоморфизма.
Ясно, что формула хт -= х -+х = 0 тогда и только тогда истинна в ал-
алгебре А, когда А не содержит циклов, длина которых равна т или неединич-
неединичному делителю т. С другой стороны, так как

Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей 377
то формула
ЯР+З = X -» XV = X
равносильна формуле
хы = х-*я? =х, A1)
истинность которой в алгебре А равносильна истинности утверждения,
что А не содержит неединичных циклов, длина которых равна делителю
числа kd, отличному от d. Таким образом, каждая формула 9tfe утверждает,
что алгебра А не содержит циклов каких-то фиксированных длин а1? . . .
..., as. Алгебры класса £ в силу E) не содержат конечных циклов. Поэтому
среди аксиом %г, 3f2, • • • должна иметься аксиома %t, утверждающая,
что А не имеет циклов длины а = (d± . . . dsJ.
Это может быть лишь в том случае, когда конъюнкция A0) содержит или
член хка = х -+х = 0, или член хш = х -+xv = x. Но в первом случае
аксиома %г одновременно утверждает и отсутствие в А циклов длины d±, . . .
. . ., ds, т. е. из 3tj вытекает 91Л и система 9tx, 9t2» ... не независима.
Во втором случае, чтобы из 91 г не вытекала аксиома 91^, число р должно рав-
равняться какому-то из чисел d1? . . ., ds, например dx. Итак, аксиома %-г
утверждает отсутствие в алгебре А циклов каких-то длин d2, . . . , ds,
^1? . . ., Р/. Рассуждая аналогично, заключаем, что среди аксиом 9t1?
9t2, . . . должна иметься аксиома 9t7-, утверждающая, что А не содержит
циклов длины
Ъ =
и, следовательно, 9t7- содержит утверждение вида
хгь = х -> хг = х, re. {dx,... , ds).
Теперь, если г = а1? то 9t7- =Ф 9t^, если же г ^= о^» то {9tfe, 9tj}=4> 9tj
вопреки независимости системы 9t1? 9t2, . . . Итак, квазимногообразие S
не является независимо ^-аксиоматизируемым в Ж. Следующее общее ут-
утверждение показывает, что S также не является и независимо V-аксиома-
тизируемым в Ж.
Теорема 2.1. Пусть класс моделей $ и его подкласс 2 мультипли-
мультипликативно замкнуты и содержат единичные модели. Если 2 независимо V-ак-
V-аксиоматизируем в $, то £ независимо ^.-аксиоматизируем в Ж.
Пусть 91Х, 9t2, ... — независимая относительно Ж система V-формул,
выделяющая S из S. Так как класс $ мультипликативно замкнут, то каж-
каждая формула 9tj в $ равносильна некоторой конъюнкции 9til? . . ., 5(^
хорновских формул. Поскольку эти формулы должны быть истинны на еди-
единичной модели класса $, то все они не содержат чисто отрицательных дизъ-
дизъюнкций и потому все их можно считать 0,-формулами. Итак, S выделяется
из Ж совокупностью групп
{^u,...,5tiSl},{9t21,...,9t2S2),...
U-аксиом, причем каждая группа независима в S от совокупности всех
остальных групп. Выбрасываем теперь по порядку все те аксиомы 91^-,
которые вытекают в $ из всех остальных аксиом, остающихся в списке
в момент выбрасывания. Ясно, что оставшиеся после завершения процесса
аксиомы будут составлять искомую ^-независимую систему &-формул,
характеризующих S.

378 Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей
Теорема 2.2. Каждый Vг-подкласс S локально конечного класса S? ко-
конечной сигнатуры является независимо Y-аксиоматизируемым.
Согласно теореме 1.3 Й состоит из ^-моделей А, в которые не вложима
ни одна из фиксированных конечных ^-моделей В1ч В2, . . ., попарно неизо-
неизоморфных между собой. Пусть j?ai, Ва2, . . .— те из моделей В1ч В2, . . ., ко-
которые не вложимы ни в какую другую модель указанной последовательности-
Ясно, что S состоит из всех тех ^-моделей, в которые не вложима ни одна
из моделей i?ai, В^, . . . Обозначим через $&г V-формулу, означающую не-
вложимость В<х. Совокупность формул 25а1, 33a2, . . . выделяет S из S? и она
независима в классе $. Действительно, например, совокупность $5a2, 33а3>- • •
выделяет в $ подкласс й1? содержащий модель Sai, так как в эту модель не
вложима ни одна из моделей Ва , ... Но В^ ф, S и потому йх Ф £.,
Теорема 2.3. Для того чтобы каждый подуниверсал локально конечно-
конечного класса моделей S? конечной сигнатуры был в $ конечно аксиоматизируе-
аксиоматизируемым, необходимо и достаточно, чтобы не существовало бесконечной системы
{Bt : i ЕЕ М} конечных R-моделей, ни одна из которых не вложима в другую.
Действительно, пусть j?1? Z?2, ... — бесконечная последовательность
конечных Ж-мрделей, никакая из которых не вложима в другие. Обозначим
через $&i общностную аксиому, утверждающую невложимость Bt. Из приве-
приведенных выше рассуждений следует, что система 331? 332, ... независима
относительно $. Поэтому различные подсистемы указанной системы опреде-
определяют в $ различные подуниверсалы и, таким образом, мощность множества
всех подуниверсалов в S? равна мощности континуума. Множество конечно
аксиоматизируемых подуниверсалов в $ имеет не более чем счетную мощ-
мощность. Следовательно, в $ существуют подуниверсалы, не являющиеся ко-
нечно аксиоматизируемыми.
Обратно, пусть подуниверсал % не конечно аксиоматизируем в ®. Соглас-
Согласно теореме 1.3 существует совокупность {Bt : i е М) попарно не вложимых
конечных ^-моделей, обладающая тем свойством, что ^-модель А тогда
и только тогда принадлежит 9t, когда в А не вкладывается ни одна из моде-
моделей Вг. Если бы совокупность М была конечна, то подуниверсал % опреде-
определялся бы конечной системой аксиом 25г, что невозможно.
3. Графы конечной степени. В качестве примера рассмотрим универсал
фг всех частично упорядоченных множеств (ч.у.м.), размерность которых не
превосходит данного конечного числа г (см. [2]). Сколько различных подуни-
подуниверсалов содержит универсал фг?
Теорема 3.1. В универсале $2 существует не конечно аксиоматизи-
аксиоматизируемый подуниверсал и потому ф2 обладает континуумом различных под-
подуниверсалов.
Согласно теореме 2.3 нам достаточно указать такую бесконечную последо-
последовательность конечных ч.у.м. размерности 2, чтобы ни один ее ч.у.м. не был
вложим в другой. Последовательность
очевидно, обладает требуемым свойством. Действительно, при вложении
одного графа в другой степени вершин не могут понижаться. В каждом из-
графов указанной последовательности имеется лишь 2 вершины степени 3.
Поэтому, если вложение было бы возможно, то упомянутые вершины накла-
накладывались бы. друг на дйуга. Соединяющие их простые ломаные также накла-
накладывались бы друг на друга, что невозможно, поскольку длины этих лома-
ломаных увеличиваются.

Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей 379
Эти рассуждения остаются справедливыми и в случае, когда изображен-
изображенные выше графы считаются неориентированными. Поэтому универсал не-
неориентированных графов степени <^ 3 имеет континуум различных подунивер-
салов. Рассматривая последовательность правильных многоугольников с рас-
растущим числом вершин, легко убеждаемся, что универсал неориентированных
графов степени ^ 2 также имеет континуум подуниверсалов.
Ясно, что универсал всех линейно упорядоченных множеств содержит
лишь счетное множество подуниверсалов. Более тонкий пример универсала
со счетным числом подуниверсалов доставляет класс сходящихся ч.у.м.,
характеризующийся аксиомами частичного порядка и следующими двумя
аксиомами^
(Уху) (Щ (z^x&z^y).
Конечные сходящиеся ч.у.м.— это конечные деревья. Согласно теореме
Крускала [3], не существует бесконечной последовательности попарно не вло-
жимых конечных деревьев. В силу теоремы 2.3 это означает, что каждый
подуниверсал сходящихся ч.у.м. конечно аксиоматизируем и потому су-
существует лишь счетное число таких подуниверсалов.
4. Равномерно локально конечные классы. Сужая понятие локальной
конечности, непосредственно приходим к следующему определению: класс
моделей й называется равномерно й-локально конечным (S? = р.л.к.), если
существует функция Ф: Ф : N ->~N(N = {1, 2, . . .}), такая, что в любой
й-модели А любые т элементов а1? . . ., ат (т = 1, 2, 3 . . .) содержатся
в некоторой ^-подмодели А1 CZ А, причем | Аг\ ^ Ф(т). Класс й называется
просто р.л.к., если он $-р.л.к., где $ — класс всех систем заданной
сигнатуры.
Ясно, что каждый ^-равномерно локально конечный класс является и S?-
локально конечным. Обратное в общем случае неверно, но остается справед-
справедливой
Теорема 4.1. Пусть 5? — произвольный, аи — аксиоматизируемый класс
какой-то конечной сигнатуры Q. Если класс S ^-локально конечен, то S являет-
является равномерно ^-локально конечным.
Допустим, что 8 не является равномерно St-локально конечным. Это зна-
значит, что существует такое натуральное т, что для каждого натурального
п^т найдется S-модель Лив ней такие элементы а1? . . ., ат, что любая под-
подмодель ^СЛ, содержащая элементы а1ч . . ., ат и имеющая мощность,
не превосходящую числа п, не будет ^-моделью. Чтобы записать последнее
утверждение в виде формулы, введем символы хг, х2, . . ., хп и обозначим
через Э^1, Э^, . . . всевозможные диаграммы сигнатуры Q, построенные на
символах х1ч х2, . . ., хп. Каждая из этих диаграмм S? определяет модель
сигнатуры Q. Пусть ©£, . . ., ©£ —диаграммы тех моделей, которые не
принадлежат классу 5?. Теперь упомянутое утверждение можно сформулиро-
сформулировать так: для любого п > т найдется S-модель, в которой истинна формула
C.x,... хт) (Vxm+l .. . хп) (©Г V • • • V ©"J- A2>
Добавим к сигнатуре Q индивидуальные символ^! а1? . . ., ат и обозна-
обозначим через $*, S* классы тех моделей сигнатуры Q* = Q (J {ах, . . ., am}i
которые получаются соответственно^ 5?- и й-моде|[ей произвольными до-

380 Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей
определениями в них значений символов а1? . . .,ат. По условию классй ха-
характеризуется какой-то системой 2 замкнутых формул 1-й ступени. Класс S*
характеризуется той же системой формул 2. Из A2) следует, что в классе й*
существует модель Л*, в которой истинна формула
(Yxm+1. .. хп)£>1(аъ ... ,ат, хт+1,... ,хп)\/...
.. . V ©Гп (яь .. . ,ат, хт+1,. . . , хп).
Эту формулу мы обозначим через Ап. Сказанное означает, что совокупность
формул 2 (J {5tn} совместима. Из смысла формулы %п следует, что если в не-
некоторой модели Л* сигнатуры £2* имеет место формула An+]i, то в Л* истинна
и формула 9tn. Таким образом, любая конечная часть совокупности {2, 9tmr
5tm+1, . . .} совместна. В силу принципа компактности отсюда следует, что
и вся указанная совокупность совместна. Пусть А* — какая-нибудь модель,
удовлетворяющая этой бесконечной совокупности. В Л* для любого п ]>
1> т истинна формула Ап, означающая, что совокупность {ах, . . ., ат) на
лежит ни в какой ^-подмодели модели Л*, имеющей мощность не выше пг
т. е. что совокупность {ах, . . ., ат) не лежит ни в какой конечной Ж-подма-
дели модели А, вопреки предположенной ^-локальной конечности А.
Теорема доказана. Покажем, что в ней нельзя опустить условие конеч-
конечности сигнатуры Q.
Теорема 4.2. (Пример аксиоматизируемого локально конечного уни-
универсала алгебр бесконечной сигнатуры, не являющегося р.л.к.) Обозначим
через й универсал алгебр, сигнатуры которых состоят из одноместных функ-
функциональных символов /i, /г» • • •» определяемый совокупностью формул
f**x = х (р0 = 2, рг = 3, р2 = 5,.. .),
/гХфх-> /5у = у (/ ф i; i, / = 0,1, 2,...).
Тогда S есть л.к., но не р.л.к.
Пусть at, . . ., ат — какие-нибудь элементы S-алгебры А. Если в А ис-
истинны все формулы(Yx)(fiX = x) (i = 0, 1, 2, . . .), то само множество я1? . . -
. . ., ат будет конечной S-подалгеброй, содержащей заданные элементы.
Пусть, напротив, в А есть элемент а, для которого fta Ф а при некотором i.
Тогда для / Ф i имеем (Vz/)(/7z/ = у) и потому совокупность
будет конечной подалгеброй, содержащей заданные элементы а1ч . . ., ат+
Таким образом, класс S локально конечный. Однако в S-алгебре Аг с различ-
различными элементами с1? с2, . . ., cvv определенной равенствами
/Л = ск (Л= 1,... 1Ри]фъ),
/гСк = СК+ъ /1Ср = Сг (к = 1,.. . ,pi — 1),
каждый элемент порождает всю алгебру и потому класс S не р.л.к.
Заметим еще, что каждое локально конечное квазимногообразие S любой
сигнатуры является р.л.к. Действительно, для любого т в 2 есть свобод-
свободная алгебра Fm ранга т. Из локальной конечности й следует конечность Fm.
Пусть а1? . . ., ат — какие-то элементы произвольной й-алгебры А. Беря
гомоморфизм т: Рт ->~А, переводящий свободные порождающие Fm в эле-
элементы а1? . . ., ат, получим подалгебру х (Fm) Q Л, содержащую заданные

Универсально аксиоматизируемые подклассы классов моделей 381
-элементы аг, . . ., ат, мощность которой не превосходит числа Ф (т) =
С помощью понятия равномерной локальной конечности можно сформули-
сформулировать следующее добавление к теореме 2.2:
Теорема 4.3. Для каждого конечно V-аксиоматизируемого подкласса
£ равномерно Ш-локалъно конечного класса моделей $ конечной сигнатуры Q
существует такая конечная последовательность Вг, 2?2, . . ., Bs конечных $-
моделей, что ^-модель А тогда и только тогда принадлежит S, когда ни одна
из моделей Вг, В%, . . ., Bs не вкладывается в А.
Согласно теореме 1.1 из конечной V-аксиоматизируемости в S? подкласса S
вытекает существование конечной последовательности Мг, . . ., Mt конеч-
конечных моделей сигнатуры Q (не обязательно ^-моделей), которая обладает ука-
указанными в теореме 4.3 свойствами. Обозначим через т максимум мощно-
мощностей моделей Мг, и пусть Ф — функция, упомянутая в определении равномер-
равномерной локальной конечности. Так как сигнатура Q конечна, то существует лишь
конечная совокупность попарно неизоморфных ^-моделей, мощность кото-
которых не превосходит Ф (т). Пусть J31? . . ., ВТ — все эти ^-модели. Пусть
из них Baiv . . ., Bair —те, в которые вложима модельМг (i = 1, . . ., i).
Последовательность ^-моделей
BaiV •.., Дх1Г1, • • •, Дха, • • •, Вч^ A3)
удовлетворяет всем требованиям доказываемой теоремы. Действительно,
пусть Лей. Тогда любая модель Мг, а вместе с нею и любая Ж-модель Ва{.
не вложимы в А. Пусть, напротив, А ЕЕ $, А ф. й. Тогда некоторая модель
Мг допускает вложение ср: Mt -*A. Так как| ср (Mt) \ ^ m, то в А найдется
^-подмодель А±, для которой | Аг \^.т и ф (Mi) с Аг. ПосколькуАх е S,
| Ах | ^ т и существует вложение ср: Mt ~> Л1? то модель Аг изоморфна какой-
то модели Bav и, значит, не все модели совокупности A3) не вложимы в А.
I ЛИТЕРАТУРА
1. A. A. Tarski. Contributions to the theory of models, I, II, III.— Proc. Koninkl. nederl.
akad. wet., 1954, A57, 572-581, 582-588; 1955, A58, 58—64.
2. Г. Биркгоф. Теория структур. М., ИЛ, 1962, с. 198.
3. /. В. Kruskal. Well-quasi-ordering, the tree theorems and Vazsonyi's conjecture.— Trans.
Amer. Math. Soc, 1960, 95, N 2, 210—225.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ А. И. МАЛЬЦЕВА
I. Статьи в журналах и сборниках*
1. Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik.— Мат. сб.г
1936, 1, № 3, 323-335.
2. On the immersion of an algebraic ring into a field.— Math. Ann., 1937,
113, 886-891.
3. Абелевы группы' конечного ранга без кручения.— Мат. сб., 1938, 4Г
№ 1, 45-67.
4. О включении ассоциативных систем в группы.— Мат. сб., 1939, 6, № 2,
331-336.
5. О включении ассоциативных систем в группы, II.— Мат. сб., 1940, 8Г
№ 2, 251—263.
6. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами.— Мат,
сб., 1940, 8, № 3, 405-421.
7. О локальных и полных топологических группах.— Докл. АН СССР*
1941, 32, № 9, 606-608.
8. Об одном общем методе получения локальных теорем теории групп.—
Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та, 1941, 1, № 1, 3—9.
9. Об односвязности нормальных делителей групп Ли.— Докл. АН СССР,
1942, 34, № 1, 12-15.
10. Подгруппы групп Ли в целом.— Докл. АН СССР, 1942, 36, № 1, 5—8.
11. О разложении алгебры в прямую сумму радикала и полупростой подал-
подалгебры.- Докл. АН СССР, 1942, 36, № 2, 46-50.
12*. О структуре групп Ли в целом.— Докл. АН СССР, 1942, 37, № 1, 3—6.
13. О линейных связных локально замкнутых группах.— Докл. АН СССР,
1943, 40, № 3, 108-110.
14. О представлениях бесконечных алгебр.— Мат. сб., 1943, 13, №2—3,
263-285.
15*. Ортогональные и симплектические представления полупростых групп
Ли.- Докл. АН СССР, 1943, 41, № 8, 332-335.
16. О полупростых подгруппах групп Ли.— Изв. АН СССР, сер. мат.,
1944, 8, № 4, 143-174.
17. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли.— Изв. АН СССР,
сер. мат., 1945, 9, № 4, 291—300.
18. О разрешимых алгебрах Ли.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1945, 9, № 5,,
329-352.
19. On the theory of the Lie groups in the large.— Мат. сб., 1945, 16, № 2,
163-189; 1946, 10, № 3, 523.
20. Топологические разрешимые группы.— Мат. сб., 1946, 19, № 2, 165—
173.
21. Замечание к работе А. Н. Колмогорова, А. А. Петрова и Ю. М. Смирно-
Смирнова «Одна формула Гаусса из теории наименьших квадратов».— Изв.
АН СССР, сер. мат., 1947, И, № 6, 567—568.
* Работы, отмеченные звездочкой, не включены в настоящее издание.

Опубликованные работы Л. И. Мальцева 383
22*. Топологическая алгебра и группы Ли.— В кн.: Математика в СССР
за 30 лет. М.— Л., Гостехиздат, 1948, с. 134—158.
23. О включении групповых алгебр в алгебры с делением.— Докл. АН
СССР, 1948, 60, № 9, 1499-1501.
24. О нормированных алгебрах Ли над полем рациональных чисел. — Докл.
АН СССР, 1948, 62, № 6, 745—748.
25. О группах конечного ранга.—Мат. сб., 1948, 22, № 2, 351—352.
26*. О бесконечных разрешимых группах.— Докл. АН СССР, 1949, 67, № 1,
23-25.
27. Об одном классе однородных пространств.— Изв. АН СССР, сер. мат.,
1949, 13, № 1, 9-32.
28. Нильпотентные группы без кручения.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1949,
13, № 3, 201—212.
29. Об упорядоченных группах.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1949, 13, № 6,
473-482.
30. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы.—
Мат. сб., 1949, 25, № 3, 347-366.
31. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями.— Мат.
сб., 1950, 26, № 1, 19—33.
32. О доупорядочении групп.— Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1951, 38, 173—
175.
33. О некоторых классах бесконечных разрешимых групп.— Мат. сб., 1951,
28, № 3, 567—588.
34. Симметрические группоиды.— Мат. сб., 1952, 31, № 1, 136—151.
35. Об одном представлении неассоциативных колец.— Успехи мат. наук,
1952, 7, № 1, 181-185.
36. Мультипликативные сравнения матриц.— Докл. АН СССР, 1953, 90,
№ 3, 333-335.
37. Нильпотентные полугруппы.— Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та, 1953,
4, 107—111.
38. Об одном классе алгебраических систем.— Успехи мат. наук, 1953,
8, № 1, 165—171.
39. К общей теории алгебраических систем. — Мат. сб., 1954,35, №1, 3—20.
40. Аналитические лупы.— Мат. сб., 1955, 36, № 3, 569—576.
41. Два замечания о нильпотентных группах.— Мат. сб., 1955, 37, № 3,
567—572.
42. Группы и другие алгебраические системы.— В кн.: Математика, ее со-
содержание, методы и значение. Т. 3. М., Изд-во АН СССР, 1956, с. 248—
331.
43. Замечание о частично упорядоченных группах.— Учен. зап. Ивановск.
пед. ин-та, 1956, 10, 3—5.
44. О представлениях моделей.—Докл. АН СССР, 1956, 108, № 1, 27—
29.
45. Квазипримитивные классы абстрактных алгебр.— Докл. АН СССР,
1956, 108, № 2, 187—189.
46. Подпрямые произведения моделей.— Докл. АН СССР, 1956, 109, № 2,
264—266.
47. О производных операциях и предикатах.— Докл. АН СССР, 1957, 116,
№ 1, 24-27.
48. О классах моделей с операцией порождения.— Докл. АН СССР, 1957,
116, № 5, 738—741.

384 Опубликованные работы А. И. Мальцева
49. Свободные топологические алгебры.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1957,
21, № 2, 171-198.
50. О гомоморфизмах на конечные группы.— Учен. зап. Ивановен, пед.
ин-та, 1958, 18, 49—60.
51. Определяющие соотношения в категориях.— Докл. АН СССР, 1958,
119, № 6, 1095-1098.
52. Структурная характеристика некоторых классов алгебр.— Докл. АН
СССР, 1958, 120, № 1, 29-32.
53. О некоторых классах моделей.— Докл. АН СССР, 1958, 120, № 2, 245—
248.
54. О малых моделях.— Докл. АН СССР, 1959, 127, № 2, 258—261.
55. Модельные соответствия.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, 23, № 3,
313-336.
56. Регулярные произведения моделей.— Изв. АН СССР, сер. мат., 1959,
23, № 4, 489-502.
57. О неразрешимости элементарных теорий некоторых полей.— Сиб. мат.
ж., 1960, 1, № 1, 71-77; 1961, 2, № 4, 639.
58. Об одном соответствии между кольцами и группами.— Мат. сб., I960,
50, № 3, 257—266.
59. О свободных разрешимых группах.— Докл. АН СССР, 1960, 130, № 3,
495—498.
60. Конструктивные алгебры. I.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 3, 3—60.
61. Неразрешимость элементарной теории конечных групп.— Докл. АН
СССР, 1961, 138, № 4, 771-774.
62*. Об элементарных теориях локально свободных универсальных алгебр. —
Докл. АН СССР, 1961, 138, № 5, 1009-1012.
63. Эффективная неотделимость множества тождественно истинных и мно-
множества конечно опровержимых формул некоторых элементарных тео-
теорий. - Докл. АН СССР, 1961, 139, № 4, 802-805.
64. Об элементарных свойствах линейных групп.— В кн.: Некоторые проб-
проблемы математики и механики. Новосибирск, Изд-во АН СССР, 1961,
с. 110-132.
65. Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр некоторых ти-
типов.— Сиб. мат. ж., 1962, 3, № 5, 729—743.
66. Строго родственные модели и рекурсивно совершенные алгебры.—
Докл. АН СССР, 1962, 145, № 2, 276-279.
67. О рекурсивных абелевых группах.— Докл. АН СССР, 1962, 146, № 5,
1009-1012.
68. О частично упорядоченных нильпотентных группах.— Алгебра и логи-
логика, 1962, 1, № 2, 5-9.
69. Об уравнении zxyx~iy~iz~i = aba~lb~l в свободной группе.— Алгебра
и логика, 1962, 1, № 5, 45—50.
70. Некоторые вопросы теории классов моделей.— Труды IV Всес. матем.
съезда, т. 1. Ленинград, 1963, с. 169—198.
71. Полно нумерованные множества. — Алгебра и логика, 1963, 2, № 2,4—29.
72. К теории вычислимых семейств объектов.— Алгебра и логика, 1964,
3, №4, 5-31.
73. Позитивные и негативные нумерации.— Докл. АН СССР, 1965, 160,
№ 2, 278-280.
74. Итеративные алгебры и многообразия Поста.— Алгебра и логика, 1966,
5, № 2, 5-24.

Опубликованные работы А. И. Мальцева 385
75. Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраических систем.—
Алгебра и логика, 1966, 5, № 3, 3—9.
76. Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп.— Мат. сб.г
1966, 69, № 1, 3-12.
77. Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского.— Алгебра и ло-
логика, 1967, 6, №3, 61-74.
78. Об умножении классов алгебраических систем.— Сиб. мат. ж., 1967,
8, № 2, 346-365.
79. Универсально аксиоматизируемые подклассы локально конечных клас-
классов моделей.— Сиб. мат. ж., 1967, 8, № 5, 1005—1014.
80. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики. —
Междунар. конгр. математиков. Москва, 1966. М., «Мир», 1968, с. 217—
231.
81. К истории алгебры в СССР за первые 25 лет.— Алгебра и логика, 1971,
10, № 1, 103—118.
II. Книги
82. Основы линейной алгебры. М.—Л., Гостехиздат, 1948.
83. Основы линейной алгебры. Изд. 2-е, перераб. М., Гостехиздат, 1956.
84. Foundations of linear algebra. Transl. from Russian by Т. С Brown. San
Francisco — London, W. H. Freeman and Co., 1963. Имеются пер. на
япон. и кит. яз.
85. Рекурсивные функции. Ротапринт. Новосибирск, 1960.
86. Некоторые вопросы современной теории классов моделей. Ротапринт»
Новосибирск, 1961.
87. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., «Наука», 1965.
88. Алгебраические системы. М., «Наука», 1970.
89. Основы линейной алгебры. Изд. 3-е, перераб. М., «Наука», 1970.
90. The metamatematics of algebraic systems. Collected papers: 1936—1967»
Amsterdam, 1971.
III. Резюме, рецензии, научно-популярные статьи
и другие публикации
91. Рец. на кн.: Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. М., 1938.— Изв.
АН СССР, сер. мат., 1941, 5, № 6, 445-447.
92. Рец. на кн.: А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.—Л., Гостехиздат,
1950.—«Сов. книга», 1952, № 12, 21—22.
93. Из доклада на Ивановской областной конференции сторонников мира.—
Газ. «Рабочий край», 1951, 16 сент.
94. Группы.— БСЭ, т. 13, 1952, с. 138.
95. Инварианты.— БСЭ, т. 17, 1952, с. 613.
96. Советская наука служит благородному делу мира.— Газ. «Рабочий
край», 1952, 5 окт.
97. Все силы — делу укрепления мира!— Газ. «Рабочий край», 1953,
19 сент.
98. Мы — мирные люди.— Газ. «Ленинец», 1954, 30 дек.
99. Алгебраические системы.— Труды Ш Всес. матем. съезда, т. 2. М.,
1956, с. 8.
100. Защита мира — важнейшее дело человечества.— Блокнот агитатора
(Иваново), 1957, № 23.

386 Опубликованные работы А. И, Мальцева
101. О гомоморфизмах на конечные группы.— Успехи мат. наук, 1958, 13,
№ 3, 237-238.
102. Об одном соответствии между кольцами и группами.— Успехи мат. на-
наук, 1959, 14, № 5, 208-209.
103. Великое движение современности. (К 10-летию Всемирного движения
сторонников мира).— Газ. «Рабочий край», 1959, 19 апр.
104. Современное состояние теории классов моделей.— Труды IV Всес. ма-
тем. съезда. Л., 1961, с. 19—21.
105. Theories of the first order of some classes of groups and rings.— Interna-
International Congress Mathematicians. Stockholm, 1962.
106. О теориях 1-й ступени некоторых классов групп и колец.— Internatio-
International Congress Mathematicians. Stockholm, 1962.
107. Сергей Николаевич Черников. (К 50-летию со дня рождения).— Успе-
Успехи мат. наук, 1962, 17, № 5, 177—181 (совместно с В. С. Чариным).
108. Полные нумерации.—5-й Всес. коллоквиум по общей алгебре. Резюме
сообщ. и докл. Новосибирск, 1963, с. 38.
109. О некоторых вопросах теории конструктивных алгебр.—5-й Всес. кол-
коллоквиум по общей алгебре. Резюме сообщ. и докл. Новосибирск, 1963,
с. 38.
110. Предисловие к русскому изданию.— В кн.: Математическая логика
и ее применение. М., «Мир», 1965.
111. Петр Григорьевич Конторович. (К 60-летию со дня рождения).— Успе-
Успехи мат. наук, 1965, 20, № 4, 209—212 (совместно с Б. И. Плоткиным).
112*. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логи-
логики.— Междунар. конгр. математиков. Тезисы докл. по приглашению.
М., 1966, с. 26.
113. О стандартных обозначениях и терминологии в теории алгебраических
систем.— Алгебра и логика, 1966, 5, № 1, 71—77.
114. Сергей Антонович Чунихин. (К 60-летию со дня рождения).— Успехи
мат. наук, 1967, 22, № 2, 189—197 (совместно с С. А. Сафоновым,
С. Н. Черниковым и Л. А. ГОеметковым).
115. Математика нужна всем.— Газ. «Правда», 1967. 29 янв.

СОДЕРЖАНИЕ
Исследования в области математической логики 5
Об одном классе алгебраических систем 17
К общей теории алгебраических систем 23
О представлениях моделей 39
Квазипримитивные классы абстрактных алгебр 43
Подпрямые произведения моделей 47
О производных операциях и предикатах 51
О классах моделей с операцией порождения 56
Определяющие соотношения в категориях 60
Структурная характеристика некоторых классов алгебр. 64
О некоторых классах моделей 68
О малых моделях 73
Модельные соответствия . 77
Регулярные произведения моделей 100
О неразрешимости элементарных теорий некоторых по-
полей 113
Об одном соответствии между кольцами и группами 120
О свободных разрешимых группах 130
Конструктивные алгебры, I 134
Неразрешимость элементарной теории конечных групп . . 186
Эффективная неотделимость множества тождественно истин-
истинных и множества конечно опровержимых формул некото-
некоторых элементарных теорий . 191
Об элементарных свойствах линейных групп . 195
Аксиоматизируемые классы локально свободных алгебр не-
некоторых типов 216
Строго родственные модели и рекурсивно совершенные ал-
алгебры 230
О рекурсивных абелевых группах 235
Некоторые вопросы теории классов моделей 239
Полно нумерованные множества 275
К теории вычислимых семейств объектов 294
Позитивные и негативные нумерации 313
Итеративные алгебры и многообразия Поста 316

388 Содержание
Несколько замечаний о квазимногообразиях алгебраи-
алгебраических систем 331
Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп 336
Об одном усилении теорем Слупецкого и Яблонского 345
Об умножении классов алгебраических систем 355
Универсально аксиоматизируемые подклассы локально ко-
конечных классов моделей * 373
Опубликованные работы А. И. Мальцева 382
АНАТОЛИЙ ИВАНОВИЧ МАЛЬЦЕВ
Избранные труды т. II
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Утверждено к печати
Институтом математики Сибирского отделения Академии наук СССР
Редактор издательства Н. Н. Бузина. Художник В. Г. Виноградов.
Художественный редактор В. А. Чернецов, Технический* редактор П. С. Кашина.
Сдано в набор 14/1 1976 г. Подписано к печати 28/VI 1976 г.
Формат 70Xl001|i6. Бумага №2. Усл. печ.л. 31,28. Уч.-изд. л. 31,1
Тираж 4200 Т-09559. Тип. зак. 357. Цена 2 р. 42 к.
Издательство «Наука». 103717 ГСП. Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10