/
Автор: Пышкало А.М.
Теги: математика геометрия пособие для учителей издательство просвещение
Год: 1973
Текст
А.м. пышкало Методика
ОБУЧ ЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТАМ
ГЕОМЕТРИИ
В НАЧАЛЬНЫХ
КЛАССАХ
А. М. ПЫШКАЛО МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ ГЕОМЕТРИИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ Пособие для учителей ИЗДАНИЕ 2-е, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОЦОДНЕННОЕ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1973
513 (07)
П 95
Пышкало А. М.
П95 Методика обучения элементам геометрии в на-
чальных классах. Пособие для учителей. Изд. 2-е,
испр. и доп. М., «Просвещение», 1973.
208 с. с ил.
п
0065-366
МЮЗ(ОЗ)-73
613(07)
ОТ АВТОРА
В настоящее время завершен переход началь-
ной школы на работу по новому учебному плану и новым
программам.
Новая программа по математике в начальных клас-
сах, кроме основного арифметического материала, вклю-
чает некоторые сведения из алгебры и геометрии.
Использование геометрического материала в новом
начальном курсе математики далеко выходит за рамки
традиционных целей и задач, которые сводились, глав-
ным образом, к ознакомлению школьников с измерением
геометрических величин и достаточно прочно усвоены
учителем начальной школы.
Предлагаемая книга имеет еврей целью оказать по-
мощь учителям и методистам при работе по новой про-
грамме в овладении методикой обучения математике.
Перед нами стояла задача, на основе проведенных иссле-
дований, разъяснить научно-методические идеи, лежащие
в основе изменения содержания геометрического матери-
ала в начальном курсе математики.
В новой программе повышается роль геометрическо-
го материала в обучении математике. Это характеризу-
ется не только ознакомлением младших школьников с
большим числом геометрических фигур, но и усилением
внимания к изучению свойств и отношений этих фигур
и ознакомлением с геометрической формой предметов
реального мира.
Степень детализации в раскрытии некоторых вопро-
сов методики определялась главным образом в зависи-
мости от того, насколько хорошо знаком с этим вопро-
сом учитель начальных классов. Поэтому, например, из
общих вопросов методики преподавания математики
больше внимания уделено вопросу применения таких
средств обучения, как учебные диафильмы, диапозити-
3
вы, кинофильмы. По этой же причине мы почти не оста-
новились на методике проведения, например, измерений
на местности.
В соответствии с новым учебным планом школы пре-
подавание математики, начиная с IV класса, должно
осуществляться учи1телем-предметаи1ком. Однако не ис-
ключена возможность (а во многих, например, малоком-
плектных школах это неизбежно), что математику в этом
классе будет веста учитель начальной школы, не имею-
щий специального математического образования. Поэто-
му в книге уделено внимание обзору содержания элемен-
тарной геометрии, основным понятиям геометрии, их на-
учным определениям, т. е. вопросам, изучение кото-
рых повышает научную квалификацию учителя.
Это имеет значение и для любого учителя начальных
классов, так как более глубокая его математическая под-
готовка дает возможность осуществлять перспективное
обучение математике, учить выделять главное, избегать
перегрузки обучения выполнением упражнений, имею-
щих второстепенное значение. А главное — создает боль-
шие предпосылки для самостоятельных творческих по-
исков учителя в совершенствовании методики обучения.
В новом издании этой книги основная (рекоменда-
тельная) часть приведена в полное соответствие с окон-
чательным вариантом программы, которая (вместе с
учебниками) в течение 1967—1971 гг. подвергалась до-
работке и изменениям. Здесь учтен опыт массового обу-
чения, уточнены требования к знаниям и умениям млад-
ших школьников по классам. Большое внимание уделено
вопросам организации обучения (уроку), усилено вни-
мание и к теоретической подготовке учителя, например,
включено рассмотрение важнейшего вопроса о геомет-
рических задачах (раздел 1, пункт 9).
Автор приносит искреннюю благодарность старшим
научным сотрудникам АПН СССР А. С. Пчелко,
М. И. Моро, доценту Р. А. Хабибу, доценту И. П. Ирош-
никову, заведующему кафедрой методики начального
обучения МГПИ им. В. И. Ленина Л. Н. Скаткину, заве-
дующей кабинетом начального обучения Института усо-
вершенствования учителей Москвы Н. Г. Уткиной, учи-
телям и Методистам за ценные критические замечаний,
содействовавшие улучшению книги.
I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СОДЕРЖАНИЯ
И МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНЫХ
КЛАССОВ.
1. ГЕОМЕТРИЯ КАК ЕСТЕСТВЕННАЯ НАУКА.
ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДЫ.
Геометрия изучает определенные неизменен-
ные (не зависящие от времени) формы и свойства прост-
ранства.
Геометрия, как об этом, в частности, свидетельствует
ее название, первоначально была наукой об измерении
земельных участков1. Как и другие естественные науки
(такие, как биология, химия, физика и т. п.), геометрия
на своей первой (эмпирической) ступени развития зани-
малась собиранием фактов, характеризующих свойства
окружающего пространства, исследовала отношения
между этими фактами, определяла и обобщала выявлен-
ные закономерности.
Человек изучал форму предметов в связи со своей
практической деятельностью. Он строил жилища, обтесы-
вал камни, натягивал нити, изготовлял ткани, глиняные
сосуды. Нужно было сделать тысячи предметов с пря-
мыми краями, натянуть миллионы нитей, обозначить на
поверхности земли миллионы прямых линий, чтобы полу-
чить ясные представления о прямой линии как о том об-
щем, что есть в каждом из этих конкретных случаев.
Вся принятая в геометрии терминология свидетель-
ствует о том, что геометрические понятия возникли путем
абстракции от реальных предметов. Великий русский ма-
тематик Н. И. Лобачевский подметил, например, что сло-
во «точка» — отточенное острие гусиного пера. Слово
«линия» (латинское Нпеа) происходит от слова Ипит
(лат.) —«лен, льняная нить».
От других естественных наук геометрию отличает от-
носительная простота и бедность фактов и отношений,
Геометрия^-дословно «землемерие».
5
бедность качественной стороны изучаемых ею явлений т.
Именно это обстоятельство, очевидно, и привело к тому,
что в геометрии раньше, чем в других естественных нау-
ках, стало возможным применение наиболее рациональ-
ного метода исследования — дедуктивного1 2 (логиче-
ского) .
Индуктивный3 (опытный) метод познания был и ос-
тается основным, например, для такой науки, как биоло-
гия, в которой предмет исследования (живой организм)
как с качественной, так и с количественной, стороны
настолько сложен и многогранен, что иногда с трудом
поддается даже описательному обзору.
Возможность использования дедукции сравнительно
быстро привела к тому, что замечаемые людьми связи
превращались постепенно в логические выводы одних по-
ложений геометрии из других. Постепенно вырабатыва-
лось само понятие геометрической теоремы и ее доказа-
тельства, выяснились основные положения, из которых
другие могут быть выведены, т. е. выяснялись аксиомы
геометрии. Так геометрия превратилась в математи-
ческую теорию. В основных своих положениях геометрия
как математическая теория сложилась более 2500 лет
назад. По словам академика А. Д. Александрова, в «На--
чалах» Евклида (III век до н. э.) геометрия была пред-
ставлена в виде такой стройной системы, что ничего
принципиально нового к ее основам математики не смог-
ли добавить до появления работ Н. И. Лобачевского,
т. е. в течение нескольких тысячелетий.
В настоящее время важнейшими отраслями геомет-
рии стали: неевклидова геометрия (например, геометрия
Лобачевского), проективная геометрия, начертательная
геометрия, аналитическая геометрия, дифференциальная
геометрия. Каждая из названных геометрий имеет,
в большей или меньшей степени отношение к школьному
предмету геометрии, но в школьной геометрии в явном
виде не излагаются основы ни одной из них.
1 Р. Н еванлинна. Пространство, время и относительность.
М., «Мир», 1966.
2 Дедукция — метод рассуждении (доказательства) «от об-
щего к частному».
3 Индукция — получение общих выводо® из рассмотрения
отдельных (всех) частных случаев (метод рассуждения «от частно-
го к общему»).
6
г. ОСНОВНЫЕ понятия ГЕОМЕТРИИ. ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ школьного КУРСА ГЕОМЕТРИИ.
Определить понятие — это значит точно выделить тот
класс объектов, который охватывается данным понятием.
Для этого мы должны знать все существенные признаки
определяемого понятия и проверить, обладает данный
объект всеми этими признаками или не обладает. Суще-
ствует правило построения определения, в логике оно но-
сит название: «определение понятия при помощи указа-
ния рода и видового отличия». Например, мы определя-
ем квадрат как прямоугольник (название ближайшего
рода), у которого смежные стороны равны (видовое от-
личие). В системе определений геометрических понятий,
построенных при помощи указанного правила, мы неиз-
бежно приходим к вопросу об основных понятиях.
Дело в том, что в процессе определения понятия каж-
дый раз одно понятие (например, «квадрат») опреде-
ляется через другое, более широкое («прямоугольник»),
которое, в свою очередь, также может быть определено
через еще более широкое понятие («параллелограмм»,
«четырехугольник», «многоугольник»). Такую последова-
тельную цепь определений нельзя продолжать бесконеч-
но. В конце концов мы приходим к понятиям наиболее
широким и общим, для которых невозможно указать бли-
жайший род. Такие понятия называют основными (пер-
вичными или неопределяемыми). Основными понятиями
в геометрии, например, являются понятия точки, прямой
линии, плоскости.
Учитель должен хорошо представлять, что наличие
основных (неопределяемых) понятий как в науке геомет-
рии, так и в школьном курсе геометрии неизбежно. По-
этому, например, не имеет смысла ставить такие вопро-
сы: «Что называется прямой линией?», «Что называется
точкой?», «Что называется плоскостью?» и т. п., так как
эти понятия основные, они не определяются через ука-
зание рода и видового отличия. При различных построе-
ниях курса геометрии в качестве основных могут быть
приняты различные понятия: понятия, которые являются
основными при одном построении курса геометрии, мо-
гут оказаться определяемыми при другом способе пост-
роения этого курса.
Так, принятый ныне школьный курс геометрии пост-
роен на следующих основных понятиях: «точка», «пря-
7
мая», «плоскость», «движение», «множество точек»,
«принадлежит» («лежит на», «проходит через»), «лежит
между», «построить фигуру».
Следует иметь в виду, то внутри самого школьного
курса геометрии, по мере овладения учащимися геомет-
рическими представлениями, от класса к классу также
меняется система основных (неопределяемых, элемен-
тарных) понятий. В младших классах эта система более
обширна. Например, в I—III классах такие понятия, как
_ отрезок, многоугольник, угол, прямоугольник и т. п., яв-
ляются неопределяемыми. Но уже в IV классе они опре-
деляются. Из этого следует, что учащимся начальных
классов не имеет смысла ставить вопросы: «Что называ-
ется (что такое) отрезком? Что называется многоуголь-
ником? Что называется углом? и т. п.». Но уже можно
ставить вопрос: «Что называется треугольником (четы-
рехугольником, пятиугольником и т. п.)?»
Дети должны отвечать на этот вопрос примерно так:
«Треугольник — это многоугольник, у которого три угла
(вершины, стороны)». Здесь можно давать несколько
избыточное определение прямоугольника как четырех-
угольника, у которого все углы прямые; можно опреде-
лить понятие острого и тупого угла через понятие пря-
мого угла,
3. ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ.
Учитель начальной школы должен быть знаком с на-
учной трактовкой геометрических понятий, с их научным
определением.
Рассмотрим кратко этот вопрос, считая, что учитель
знаком с основными теоретико-множественными поня-
тиями. Важнейшим понятием геометрии является поня-
тие геометрической фигуры.
Определение. Геометрической фигурой называ-
ется всякое непустое множество точек.
Понятие фигуры определяется через основные поня-
тия: «точка» и «множество».
. » « « . * Из определения следует,
, в что, например, геометриче-
скими фигурами являются и
• • • • отдельно взятая точка, и
О ® & любое конечное множество
Рис. 1. точек (рис. 1). Отрезок, луч,
8
F
С
Рис. 2.
Рис. 3.
прямая, треугольник, шар, куб и другие бесконечные
множества точек также являются геометрическими фи-
гурами.
Принадлежность точки А фигуре F (рис. 2) записы-
вают так: ЛеЛ Точка В не принадлежит фигуре F. Это
записывают так: B^F.
Фигура F] называется частью фигуры F, если каждая
точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Это
записывают так: F^cF. Например, треугольник АВС на
рисунке 3 (фигура Fi) будет частью четырехугольника
ABCD.
Понятие «часть фигуры» используется при определе-
нии других фигур.
Например, отрезком MN называется часть прямой,
состоящая из точек М и N и всех точек прямой, лежащих
между ними (рис. 4).
Лучом ОК называется часть прямой, состоящая из
точки О и всех точек прямой, лежащих по ту же сторону
от точки О, что и точка К (рис. 5).
При определении некоторых геометрических фигур
используется понятие «расстояние между фигурами».
Если каждую точку фигуры F] соединить отрезком с каж-
дой точкой фигуры Е2, то наименьший из этих отрезков
определяет расстояние между фигурами Fi и Е2. Так,
расстояние между двумя точками будет определяться
Рис. 4.
Рис. 5.
9
отрезком, который соеди-
няет эти точки. Расстоя-
ние между точкой А и
отрезком MN (рис. 6) бу-
дет определяться отрез-
ком AN, а расстояние ме-
жду точкой Е и прямой
АВ определяется отрез-
ком перпендикуляра ЕС
(рис. 7).
Окружностью с цент-
ром О (точка) и ради-
усом R (отрезок) называ-
ется множество всех то-
чек плоскости, удаленных
от данной точки О на
расстояние /?.
Понятие отрезка ис-
пользуется для ведения
понятия выпуклой фигу-
ры. Фигура 1 называется
выпуклой, если ей при-
надлежит отрезок, соеди-
няющий любые две ее
точки. Так, фигуры, изо-
браженные на рисунке 8,
выпуклые, а фигуры, изо-
браженные на рисунке 9,
невыпуклые. Примерами
выпуклых фигур являют-
ся прямая, луч, отрезок,
плоскость, любой тре-
угольник. Однако не лю-
бой четырехугольник есть
выпуклая фигура (рис. 9).
Диагональю много-
угольника называется от-
резок, соединяющий две
вершины многоугольника,
не принадлежащие одной
стороне. Можно заметить,
1 Имеется в виду часть
плоскости вместе с ее границей.
10
что если все диагонали многоугольника принадлежат
ему, то этот многоугольник будет выпуклым.
Так, пятиугольник ABCDE (рис. 10) выпуклый, а пя-
тиугольник MNOPK невыпуклый, так как диагональ NP
не принадлежит этому пятиугольнику.
4. ОПЕРАЦИИ НАД ФИГУРАМИ,
Из различных фигур можно образовать новые фигу-
ры. Это выполняется с помощью операций объединения
(соединения) двух или нескольких фигур, пересечения
двух или нескольких фигур и нахождения разности двух
фигур. Некоторые из этих операций находят широкое
применение уже в самом начале обучения (разрезание
и складывание фигур).
Объединением двух или нескольких фигур называет-
ся множество всех точек, принадлежащих хотя бы одной
из этих фигур. Для обозначения этой операции применя-
ется знак «и». Объединение фигур /д и А записывается
так: FiUF2.
Например, объединением треугольника АВС (/д)
и треугольника MNO (F2) будет шестиугольник ABCNMO
(рис. 11). Объединение двух лучей О А и КВ может пред-
ставлять собой, например, прямую (рис. 12, а) или
луч О А (рис. 12, б).
Пересечением (или общей частью) двух или несколь-
ких фигур называется множество всех точек, которые яв-
ляются общими для всех этих фигур. Операция пересе-
чения обозначается знаком «П ». Так, например, на рисун-
ке 11 общей частью фигур Fi и F2 будет являться отре-
зок ON, т. е. Ft Пр2 = Дз — отрезок ON, а на рисунке 12, а
пересечением лучей ОА и КВ будет отрезок КО.
Рис. 11.
Рис. 12.
И
Рис. 13.
На рисунке 13 рассмотрены не-
которые случаи пересечения двух
треугольников. Пересечением двух
треугольников может быть четырех-
угольник (рис. 13,а), треугольник
(рис. 13,6), отрезок (рис. 13,в),
точка (рис. 13, г). Может случить-
ся, что пересечение двух фигур не
содержит ни одной общей точки
(рис. 13, д). (В этом случае говорят,
что пересечение есть пустое мно-
жество.)
Разностью двух фигур Ft и /^на-
зывается множество всех точек фигуры Fi, которые не
принадлежат фигуре F2. Разность фигур и F2 обозна-
чается символом Fi / F2.
Так, разностью двух треугольников (рис. 14) АВС и
ADC будет заштрихованная фигура, не содержащая то-
чек отрезков AD и DC.
5. КРУГ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИИ,
ИЗУЧАЕМЫХ В IV—VI КЛАССАХ.
Ознакомление учителя I—III классов с кругом поня-
тий и важнейшими терминами, которыми должны в ходе
обучения овладеть учащиеся IV—VI классов, поможет
ему лучше ориентироваться в содержании школьного
курса геометрии и правильно направлять (корректиро-
12
вать) текущую работу над геометрическим материалом.
При этом необходимо предостеречь учителя от прежде-
временного использования приведенных нами словесных
формулировок определений непосредственно в 1—
III классах. Как будет показано, основная задача изуве-
чения геометрического материала в младших классах
состоит в накоплении запаса геометрических представ-
лений, на основе которого в дальнейшем можно будет ло-
гически определять понятия. Процесс формирования ге-
ометрических понятий не следует начинать с введения
словесного (формального) определения. Он должен быть
организован так, чтобы учащиеся постепенно подошли
к правильному определению понятия.
Приведем.пример списка1 важнейших понятий и тер-
минов, рассматриваемых в IV—VI классах.
Основные геометрические понятия.
1. Геометрическая фигура есть множество точек.
2. Равными фигурами называются фигуры, которые можно сов-
местить наложением.
3. Пересечением двух фигур называется множество точек, при-
надлежащих как одной, так и другой фигуре.
4. Объединением двух фигур называется множество точек, при-
надлежащих хотя бы одной из этих фигур.
5. Отрезком АВ называется часть прямой, состоящая из точек
А и В и всех точек, расположенных между ними.
6. Окружностью называется множество точек плоскости, удален-
ных от данной точки на данное расстояние.
7. Лучом ОА называется часть прямой, состоящая из точки О и
всех точек прямой, расположенных по одну сторону от точки О.
8. Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
9. Отрезок короче ломаной линии, соединяющей его концы.
10. Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон й
больше их разности.
11. Два луча, проведенные в плоскости из одной точки, делят
плоскость на две области. Объединение этих лучей — граница каждой
области. Одна такая область вместе с ее границей называется углом.
Лучи — стороны угла. Общее начало лучей — вершина угла.
12. Развернутым углом называется угол, стороны которого со-
ставляют прямую линию.
13. Прямым углом называется угол, равный половине развер-
нутого.
1 Список составлен научными сотрудниками сектора обучения
математике ИОПО АПН СССР К. И. Пешковым и А. Д. Семуши-
ным в ходе многолетней экспериментальной работы с учащимися
IV—VI классов по проекту экспериментальной программы. Заголов-
ки" разделов строго соответствуют разделам этой программы.
13
14. Биссектрисой угла называется луч, который делит угол по-
полам.
15. Прилежащими углами называются два угла, пересечение ко-
торых служит их общей стороной.
16. Смежными углами называются два прилежащих угла, объеди-
нение которых есть развернутый угол.
17. Вертикальными углами называются два угла, смежные с од-
ним и т^м же третьим углом.
18. Вертикальные углы равны.
19. Углом между двумя прямыми называется один из наименьших
углов, вершина которого — точка пересечения прямых, а стороны —
части прямых.
, 20. Перпендикуляром к прямой называется другая прямая, обра-
зующая с ней прямой угол.
21. Через точку к прямой можно провести одни и только один
перпендикуляр.
22. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы
угла треугольника от вершниы до точки пересечения с противолежа-
щей стороной.
23. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
24. Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра
к стороне треугольника, проходящего через противолежащую вер-
шину, от вершины до точки пересечения со стороной или ее продол-
жением.
Осевая симметрия.
25. Осевой симметрией называется преобразование, при котором
каждой точке плоскости ставится в соответствие точка той же плос-
кости, совпадающая с ней при повороте плоскости около заданной
прямой до совмещения различных полуплоскостей. Прямая, около ко-
торой происходит поворот, называется осью симметрии.
26. При осевой симметрии точки оси остаются неподвижными.
27. Симметричные точки, не лежащие на оси, находятся в различ-
ных полуплоскостях относительно осн симметрии.
28. Симметричные фигуры равны.
29. Ось симметрии перпендикулярна к отрезку, соединяющему
симметричные точки, и делит его пополам.
30. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии, переходят сама
в себя
31. Точка, принадлежащая оси симметрии, одинаково удалена от
двух симметричных точек.
32. Точка, не принадлежащая оси симметрии, ближе к той из сим-
метричных точек, с которой лежит в одной полуплоскости относитель-
но оси.
33. Множество точек плоскости, одинаково удаленных от двух ее
точек, есть ось симметрии плоскости, переводящая одну из этих точек
в другую.
34. Множество точек плоскости, одинаково удаленных от двух
ее пересекающихся прямых, есть объединение двух осей симметрии
плоскости, каждая из которых переводит одну прямую в другую.
35. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у
которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми
14
сторонами, а третья — основанием равнобедренного треугольника.
Вершина, лежащая против основания, называется вершиной равнобед-
ренного треугольника.
36. В треугольнике: а) против равных сторон лежат равные углы;
б) против большей стороны лежит больший угол.
37. В треугольнике: а) против равных углов лежат равные сто-
роны; б) против большего угла лежит большая сторона.
38. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треуголь-
ника, совпадает с медианой и биссектрисой.
39. Если три стороны одного треугольника соответственно равны
трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
40. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключен-
ному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равнй.
41. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треуголь-
ника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
42. В равных треугольниках равны соответственные элементы.
43. Прямоугольным треугольником называется треугольник, .име-
ющий прямой угол. Сторона, лежащая против прямого угла, называ-
ется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами.
44. Если катеты одного треугольника соответственно равны кате-
там другого, то такие треугольники равны.
45. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно
равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треуголь-
ники равны.
46. Если катет и прилежащий (противолежащий) к нему острый
угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежаще-
му (противолежащему) острому углу другого треугольника, то такие
треугольники равны.
47. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответ-
ственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то
такие треугольники равны.
48. Если две стороны одного треугольника соответственно равны
двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между ни-
ми, не равны, то против большего угла лежит большая сторона.
49. Если две стороны одного треугольника соответственно равны
двум сторонам другого треугольника, а третьи стороны не равны, то
против большей стороны лежит больший угол.
Центральная симметрия.
50. Центральной симметрией называется преобразование плоско-
сти, при котором одна точка (центр симметрии) остается неподвиж-
ной, а каждой другой точке А ставится в соответствие такая точка В,
что центр симметрии служит серединой отрезка АВ.
51. Центрально симметричные фигуры равны.
52. Прямая, проходящая через центр симметрии, переходит сама
В себя.
53. Две центрально симметричные прямые, не проходящие через
центр симметрии, не пересекаются.
54. Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат
в одной плоскости и не пересекаются.
15
55. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести к этой
прямой одну и только одну параллельную прямую.
56 Отношение параллельности транзитивно.
5/. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.
58 Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с
внутренним углом.
59. Внешний угол треугольника: а) равен сумме внутренних уг-
лов, не смежных с ним; б) больше каждого внутреннего угла, не сме-
жного с ним.
60. Объединение двух параллельных прямых с частью плоскости,
заключенной между ними, называется полосой. Эти прямые называ-
ются сторонами полосы.
6i. Поперечным отрезком называется отрезок, концы которого
принадлежат сторонам полосы.
62. Середина поперечного отрезка полосы'есть центр симметрии
полосы.
63. Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей!,
го:
а) внутренние (или внешние). иакрестлежащяе углы равны;
б) соответственные углы равны.
64. Прямые параллельны, если при пересечении двух прямых
третьей:
а) внутренние (или внешние) накрест лежащие углы равны;
б) соответственные углы равны.
65. Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых,
перпендикулярна и к другой.
66. Два перпендикуляра к одной прямой, лежащие в одной плос-
кости, параллельны.
67. Если поперечные отрезки полосы параллельны, то они равны.
68. Шириной полосы называется поперечный отрезок, перпенди-
кулярный сторонам полосы. Ширина полосы везде одинакова-.
69. Множество точек плоскости, одинаково удаленных от двух
параллельных прямых, есть ось симметрии плоскости, переводящая
одну из этих прямых в другую. Эта ось симметрии называется осью
полосы.
70. Ось полосы Делит пополам каждый поперечный отрезок.
71. Множество точек плоскости, удаленных от прямой на дан-
ное расстояние, есть объединение двух прямых, параллельных этой
прямой н удаленных от нее на данное расстояние.
72. Два угла с соответственно параллельными сторонами равны,
если они оба острые или оба тупые.
73. Два угла с соответственно перпендикулярными сторонами
равны, если они оба острые или оба тупые.
Многоугольники.
74. Многоугольником называется объединение замкнутой лома-
ной линии и части плоскости, заключенной внутри этой линии.
75. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяю-
щий две вершины многоугольника, не принадлежащие одной сто-
роне.
76. Выпуклым многоугольником называется многоугольник, ко-
торому принадлежат все его диагонали.
16
77. Сумма внешних , углов . выпуклого многоугольника равна
360 градусам.
78. Сумма внутренних углов многоугольника равна произведе-
нию числа его сторон без двух на 180 градусов.
79. Правильным многоугольником называется многоугольник,
у которого равны внутренние углы и стороны.
80. Трапецией называется четырехугольник, у которого две сто-
роны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями
трапеции, а две другие — боковыми сторонами.
81. Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой
равны боковые стороны. Равнобедренная трапеция имеет ось сим-
метрии.
82. В равнобедренной трапеции: а) углы, прилежащие к основа-
нию, равны; б) диагонали равны.
83. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий,
середины боковых сторон трапеции.
84. Средняя линия трапеции параллельна основаниям я равна
их полусумме.
85. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяю-
щий середины двухч:торон треугольника.
86. ' Средняя линия треугольника параллельна стороне тре-
угольника и равна ее половине.
87. Параллелограммом называется четырехугольник, противоле-
жащие стороны которого попарно параллельны.
88. Точка пересечения диагоналей параллелограмма есть его
центр симметрии.
89. В параллелограмме:
а) противолежащие стороны равны;
б) противолежащие углы равны;
в) диагонали делятся пополам точкой их пересечения.
90. Четырехугольник есть параллелограмм, если:
а) две противолежащие стороны равны и параллельны;
б), противолежащие стороны попарно равны;
в) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
91. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого
имеется прямой угол.
92. Все углы прямоугольника прямые.
93. Диагонали прямоугольника равны.
94; Прямоугольник имеет центр симметрии и две оси симметрии.
95. Четырехугольник есть прямоугольник, если в нем:
а) три угла прямые;
б) диагонали равны я в точке пересечения делятся пополам.
96. Ромбам называется параллелограмм, две смежные стороны
которого равны.
97. В ромбе:
а) все стороны равны;
б) диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы ромба по-
полам.
98. Ромб, имеет центр симметрии и две оси симметрии.
99. Четырехугольник есть ромб, если в нем:
а) все стороны равны;
б) диагонали, перпендикулярны одна другой и точкой пересече-
ния делятся пополам.
2 Заказ 1821
17
100. Квадратом называется прямоугольник, две смежные сторо-
ны которого равны.
101. Все стороны квадрата равны. Квадрат есть ромб.
102. Квадрат имеет центр симметрии и четыре оси симметрии.
Параллельная проекция.
103. Проекцией точки А на прямую х в направлении прямой у
называется точка В, которая является пересечением прямой х с пря-
мой, параллельной у и проходящей через точку А; х — прямая про-
екций, у—направление проектирования.
104. Проекцией фигуры называется множество проекций всех то-
чен этой фигуры.
105. Параллельная проекция отрезка может быть меньше, равна
или больше самого отрезка.
106. Параллельная проекция отрезка, параллельного прямой
проекций, равна проектируемому отрезку.
107. Равные отрезки, если они параллельны или лежат на одной
прямой, имеют равные проекции. ।
108. Ортогогональной проекцией называется параллельная проек-
ция, у которой направление проектирования перпендикулярно пря-
мой проекции.
109. Ортогональная проекция отрезка или равна, или меньше
проектируемого отрезка.
НО. Наклонной к прямой называется не перпендикулярный
к этой прямой отрезок, один конец которого лежит на прямой.
111. Если из одной точки (вне прямой) проведены к прямой две
наклонные, то:
а) равные наклонные имеют равные, ортогоиальные проекции;
б) равные ортогональные проекции имеют равные наклонные;
в) большая наклонная имеет большую ортогональную проекцию;
г) ббльшая ортогональная проекция имеет ббльшую наклонную.
Словарь важнейших терминов.
Биссектриса треугольника 22 *. Биссектриса угла 14.
Внешний угол многоугольника 57, 59, 77.
Диагональ многоугольника 75.
Квадрат 100—102.
Луч 7.
Медиана треугольника 23.
Многоугольник 74. Многоугольник выпуклый 76. Многоугольник
правильный 79.
Множество точек, одинаково удаленных 33, 34, 69, 71.
Наклонная НО—111.
Объединение фигур 4.
Окружность 6.
Отрезок 5.
Ось полосы 70.
Параллельные прямые 54.
Параллелограмм 87, 88.
* Номера, под которыми стоят соответствующие формулировки
в приведенном выше списке.
18
Пересечение фигур 3.
Перпендикуляр к прямой 20, 21.
Полоса 60, 68. Поперечный отрезок полосы 61, 62, 67.
Признаки параллелограмма 90.
Признаки параллельности 64.
Признаки прямоугольника 95.
Признаки равенства треугольника 39—41. Признаки равенства
прямоугольных треугольников 44—47.
Признаки ромба 99.
Прямоугольник 91.
Проекция параллельная ЮЗ—107. Проекция ортогональная
108—109.
Равенство фигур 2.
Ромб 96, 98.
Свойства высоты равнобедренного треугольника 38; отрезка 9;
параллельности 55, 56; параллелограмма 89, 94.
Свойства прямоугольника 92, 93; прямой 8; ромба 97.
Симметрия осевая 25—32; центральная 50—53.
Соотношение между сторонами и углами треугольника 36, 37;
между сторонами треугольника 10.
Средняя линия треугольника 85, 86; трапеции 83, 84.
Сумма внутренних углов треугольника 57.
Трапеция 80. Трапеция равнобедренная 81, 82.
Треугольник прямоугольный 43; равнобедренный 35.
Треугольники с двумя соответственно равными сторонами 48, 49.
Угол 11; угол между двумя прямыми 19; угол прямой 13; угол
развернутый 12.
Углы вертикальные 17, 18; прилежащие 15; смежные 16; с соот-
ветственно параллельными сторонами 72; с соответственно перпен-
дикулярными сторонами 73.
6. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ И РАЗВИТИЕ
УЧАЩИХСЯ.
Для определения возможных путей изменения содер-
жания и методики изучения геометрического материала
младшими школьниками необходимо знать, как происхо-
дит процесс усвоения знаний, какими особенностями он
характеризуется на каждом этапе обучения. В последнее
время психологами и педагогами осуществлена попытка
более глубоко проникнуть в процесс развития геометри-
ческого мышления, раскрыть и выяснить его специ-
фику1.
С этой целью можно определить несколько уровней
мышления в области геометрии, которые условно назы-
вают «уровнями геометрического развития».
1 См.: А. М. Пышкало. Геометрия в I—IV классах. М., «Про-
свещение», 1965, 1968, стр. 69; А. А. С т о л я р. Логические проблемы
преподавания математики. Минск, 1965, стр. 35.
2*
19
Каждому уровню соответствует свой язык, содержа-
щий определенную геометрическую и логическую термит
нологию, своя символика, своя глубина.логической обра-
ботки изучаемого геометрического материала. Переход
от одного уровня к другому связан с изменением языка,
символики и глубины логической обработки геометри-
ческих объектов. Переход от одного уровня к другому
не является процессом самопроизвольным, идущим од-
новременно с биологическим развитием человека и зави-
сящим лишь от его возраста. Этот переход протекает под
влиянием целенаправленного обучения, а потому зави-
сит от содержания и методов обучения. Их изменение
может содействовать ускорению перехода к следующе-
му, более высокому уровню или тормозить этот переход.
Первый, исходный, уровень характеризуется тем, что
геометрическая фигура рассматривается как «целое».
На этом уровне при восприятии фигуры ученики еще не
выделяют ее элементов, не замечают, например, сходст-
ва между квадратом и прямоугольником. Фигуры разли-
чаются по своему внешнему виду. Ученик, мыслящий на
первом уровне, может легко научиться узнавать такие
фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, параллело-
грамм, хорошо запоминает их названия, но не видит об-
щих признаков в этих фигурах, не видит в квадрате ром-
ба, в ромбе — параллелограмма и т. д. Для ученика каж-
дая из этих фигур существенно индивидуальна.
При правильном обучении первый уровень может
быть достигнут всеми учащимися I класса и старшими
дошкольниками.
Учащиеся, достигшие второго уровня, умеют устанав-
ливать отношения между элементами фигур или самими
фигурами. Они выполняют анализ воспринимаемых фи-
гур. Свойства фигур выясняются только эксперименталь-
ным путем. Усвоение свойств фигур происходит в про-
цессе наблюдений, измерений, вычерчивания, моделиро-
вания (например, вырезания из бумаги). Эти свойства
используются при узнавании фигур. Но свойства не вы-
водятся и логически не упорядочены. Учащиеся еще не
понимают структуры логического следования. На этом
уровне фигуры выступают носителями своих свойств
и распознаются учащимися по этим свойствам. Но эти
свойства еще не связываются друг с другом. Например,
учащиеся довольно быстро замечают,, что и у прямо-
го
угольника, и у параллелограмма общего вида противопо-
ложные стороны попарно равны, но учащиеся еще не
приходят к выводу, что прямоугольник есть параллело-
грамм. Правильно организованное обучение, как показы-
вают данные экспериментов, позволяет обеспечить дости-
жение этого уровня всеми учащимися III класса.
Учащиеся, достигшие третьего уровня геометрическо-
го развития, уже умеют устанавливать связи между
свойствами фигур и самими фигурами. На третьем уров-
не происходит логическое упорядочение свойств. Уясня-
ется возможность следования одного свойства из друго-
го. Логические связи между свойствами устанавливаются
с помощью определений. Но порядок логического следо-
вания дается учителем или учебником, и сам ученик еще
не видит возможностей изменять этот порядок. На
третьем уровне начинают понимать, что дедукция позво-
ляет устанавливать свойства фигур более экономно и об-
ще, чем с помощью эксперимента: выяснив эксперимен-
тально одни свойства фигуры, путем логического рас-
суждения — вывода можно получить другие свойства.
На этом уровне квадрат уже считается прямоугольни-
ком, параллелограммом.
Обучение на третьем уровне геометрического разви-
тия в основном начинается (по новой программе) в
IV классе и завершается к моменту окончания школы.
Четвертый уровень геометрического развития харак-
теризуется тем, что учащиеся осознают значение дедук-
ции в целом как способа построения всей геометрической
теории.
Переходу на этот уровень способствует усвоение (по-
нимание) роли и сущности аксиом, определений, теорем,
логической структуры доказательств; анализа логичес-
ких связей понятий и предложений. Учащиеся на этом
уровне легко видят различные возможности развития те-
ории, исходя из различных посылок, и могут использо-
вать дедуктивные построения не только в области изуче-
ния свойств одной какой-нибудь фигуры.
Например, ученик может рассмотреть всю систему
свойств и признаков параллелограмма, взяв за основу
определение параллелограмма, данное в учебнике1. Но
* См.: Н. Н. Никитин. Геометрия. Учебник для VI—
VIII классов. М., «Просвещение», 1971, стр. 92.
21
может построить и другую систему, взяв за ее основу та-
кое определение параллелограмма: «Параллелограм-
мом называется четырехугольник, две противоположные
стороны которого равны и параллельны»,
Достижение четвертого уровня геометрического раз-
вития (во всей его полноте) всеми учащимися в настоя-
щее время еще ие предусматривается учебной програм-
мой школы. Однако (в чем нас убеждают эксперименты
и опыт работы математических школ) этот уровень впол-
не доступен учащимся VIII—X классов.
Пятый уровень мышления в области геометрии соот-
ветствует современному (Гильбертовокому) эталону
строгости. На этом уровне достигается отвлечение от
конкретной природы объектов и конкретного смысла от-
ношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий
на этом уровне, развивает теорию вне всякой конкретной
интерпретации. Геометрия здесь приобретает общий ха-
рактер и более широкие применения, когда, например,
точками служат некоторые объекты, явления или состоя-
ния; фигурами — любые совокупности таких точек и т. д.
Переход одного уровня к другому, более высокому,
осуществляется постепенно и последовательно. При этом
элементы более высокого уровня зарождаются «внутри»
предшествующего, появляются до того, как осуществлен
переход к этому новому уровню. Причем и после этого
перехода мы часто возвращаемся к более низкому уров-.
ню с целью обеспечения лучшего понимания изучаемых
на новом уровне вопросов. Все это дает возможность на
каждом этапе обучения определить (выявить) основной
уровень, на котором ведется обучение, а также элемен-
ты предшествующего и последующего уровней геометри-
ческого развития.
7. КРИТЕРИИ ОТБОРА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА ДЛЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ I—III КЛАССОВ.
Важным условием, обеспечивающим полноценную
реализацию обучения математике, является не только
правильное, осознанное учителем преподнесение учеб-
ного материала программы и стабильного учебника, но и
умение самостоятельно (квалифицированно) отобрать
необходимый учебный материал. Речь идет не только
22
о составлении задач, аналогичных задачам учебника,
и использовании их с целью тренировки детей, а об уме^.
нии, в случае необходимости, составить «промежуточ-
ные» задачи, позволяющие уточнять представления уча-
щихся, обобщать их или совершенствовать необходимые
навыки. Потребность в выполнении такой работы велика.
Проведенное нами в I960—1964 годах исследование
показало, что плохое качество геометрических знаний
есть результат, отражающий не столько ограниченные
познавательные возможности младших школьников,
сколько недостатки, относящиеся к реализации програм-
мы, к содержанию преподносимого геометрического ма-
териала, к системе его изучения, принятой тем или иным
учителем. Каждый учитель должен быть знаком с основ-
ными критериями, позволяющими не допускать ошибок
при отборе геометрического материала. Это важно и в
связи с реализацией творческого подхода в обучении и
развитии младших школьников. Содержание критериев
сводится к следующему.
I. Обучение геометрии в традиционной школе1 начи- ,
налось с измерений и осуществлялось в последователь-'
ности, соответствующей историческому ходу развития
науки (от геометрии «измерений» к геометрии «формы»).
Содержание геометрического материала начальных
классов сложилось в основном под влиянием потребно-
сти формирования практических измерительных навы-
ков. В то же время психологами установлено, что усвое-
ние геометрических фактов у детей идет в противополож-
ном направлении: первые геометрические сведения у них
являются по существу качественными, а не количествен-
ными. Это важное положение служит одним из критери-
ев отбора содержания геометрических знаний младших
школьников и определяет некоторые методические реко-
мендации, разработанные в новой программе. В I—III
классах, следует вести целенаправленное ознакомление
учащихся с большим числом геометрических объектов,
не связывая эту работу только с выполнением изме-
рений.
II. Известно, что в процессе обучения рисованию,
ручному труду, физкультуре и в повседневной игровой
и практической деятельности у младших школьников на-
* Традиционной будем называть школу, работавшую по
программам, ныне заменяемым новыми.
га
капливается запас предметных представлений о мате-
риальных вещах, их взаимном положении в пространст-
ве, об их свойствах (устойчивость или неустойчивость,
подвижность или неподвижность, способность сохранять
или изменять форму и т. д.). Они лежат в основе форми-
рования геометрических представлений учащихся, поэто-
му не следует считать, что изучение геометрического ма-
териала в I—III классах строится на пустом месте, и
при подготовке материалов к урокам необходимо исхо-
дить из того, что учащиеся имеют значительный запас
представлений о свойствах материальных предметов
(«геометрия как физика») Отвлечение от некоторых
свойств материальных вещей (абстрагирование) позво-
ляет выявить то общее, что лежит в основе геометричес-
ких представлений и понятий.
III. В учебной и художественной литературе, в со-
держании радио и телевизионных передач, в речи учи-
- теля и взрослых, в школе, на улице и дома дети встреча-
ются с геометрической терминологией, характеризующей
форму предметов, свойства фигур и их отношения. Дети
усваивают большое число геометрических терминов. Од-
нако эти термины часто оторваны от реальных представ-
лений или употребляются детьми не по назначению, что
приводит к формированию ложных представлений. Тен-
денция исключить из обихода младших школьников тот
или иной геометрический термин или заменить его более
легким, как это, например, сделано в традиционном кур-
се с термином «параллелепипед», приводит к формирова-
нию неверных геометрических представлений, отрица-
тельно сказывается на общем развитии детей. Поэтому
при отборе содержания геометрического материала сле-
дует исходить из того, что необходимо опираться на за-
пас геометрических терминов, которым владеют ученики,
и проводить работу по раскрытию их правильного науч-
ного содержания.
IV. Умение определять геометрическую форму пред-
метов имеет большое общеобразовательное значение.
Однако в традиционном обучении не велось целена-
правленной работы по ознакомлению детей с геометри-
ческой формой окружающих предметов. Например, ми-
рились с тем, что ученик не может определить форму
1 См.: Д. Гильберт. Основания геометрии. М,—Л., 1948.
Предисловие П. К. Рашевского, стр. 7—9.
24
кастрюли, карандаша и т. п. Ознакомление детей с фор-
мой требует запаса представлений о плоских и прост-
ранственных фигурах, из которых может быть составле-
на или на которые может быть разложена геометричес*
кая модель предмета. Программа геометрического
материала I—III классов предусматривает работу по
определению формы окружающих предметов на основе
ранее созданного запаса геометрических представлений.
Поэтому учитель должен уделять постоянное внимание
работе по изучению геометрической формы предметов и
их частей, должен уметь формулировать задания и во-
просы на эту тему.
V. В повседневной практике и в учебной работе уча-
щиеся фактически широко используют не только знаком-
ство с отдельными фигурами, но и рассматривают их
связи, их взаимное положение. Например, используется
параллельность, перпендикулярность прямых. Часто при
изображении различных предметов рассматривается за-
дача о пересечении фигур, выясняется принадлежность
или не принадлежность одной фигуры другой. Например,
принадлежность точки отрезку, отрезка — многоуголь-
нику и т. п. Отношения взаимного положения фигур сами
по себе являются важными геометрическими объектами.,
Они играют существенную роль при изучении свойств
фигур, овладение ими помогает детям полнее и точнее
анализировать окружающий мир. Поэтому изучение от-
ношений взаимного положения фигур и предметов долж-
но предусматриваться в работе учителя.
VI. Начиная с дошкольного возраста дети овладева-
ют разнообразными трудовыми и практическими навы-
ками, в том числе и простейшими навыками измерений.
В школе эти навыки усложняются. Уже в I классе возни-
кает необходимость, вытекающая из потребностей прак-
тический и учебной деятельности, в измерении длины,
веса, времени. Исследование показало, что формирование
представлений о геометрических величинах должно осу-
ществляться с младших классов. Несмотря на то что
измерениям геометрических величин в традиционном
обучении уделялось много внимания, оно носило одно-
сторонний характер — обращалось внимание только на
формирование практических навыков, но учащиеся так
и не получали четких представлений о величинах и их
измерениях. Планируя работу по формированию изме-
23
рительных навыков прикладного характера, следует за-
ботиться о формировании представлений о геометричес-
ких величинах и использовать эти навыки и представле-
ния в процессе формирования понятий числа, операций
(действий) над числами, представлений о свойствах опе-
раций, тесно связывать эту работу с изучением фигур.
VII. Анализ новой программы свидетельствует о том,
что система геометрических знаний учащихся I—Ш
классов имеет определенное самостоятельное значение,
не должна истолковываться, как это имело место в тра-
диционном курсе начальной арифметики, как нечто вто-
ростепенное, дополнительное к арифметическим знаниям.
Важное место, например, занимают пространственные
представления (образы), отражающие пространствен-
ные отношения и свойства реальных вещей. Они играют
большую роль не только в усвоении геометрии, но и мно-
гих других школьных предметов (рисования, черчения,
географии, физики и т. д.). Поэтому отбор и изучение
геометрического материала в I—III классах следует осу-
ществлять так, чтобы этот материал составил нечто
цельное, законченное и играл самостоятельную роль,
обеспечивая формирование пространственных представ-
лений и пространственного воображения учащихся.
VIII. В традиционной начальной школе работа по
формированию основных геометрических навыков носи-
ла односторонний характер. Из многочисленных чертеж-
ных и измерительных инструментов дети на протяжении
первых лет обучения использовали только масштабную
линейку и не овладевали навыками использования дру-
гих инструментов, даже таких, как циркуль. Это приво-
дило к возникновению значительных трудностей в даль-
нейшем обучении, в котором указанные навыки играют
важную роль. Поэтому при отборе содержания геомет-
рического материала следует заботиться о выработке
навыков использования различных чертежных и измери-
тельных инструментов, навыков построения геометриче-
ских фигур, представлений о точности.
IX. Изучение смежных дисциплин I—III классов
предъявляет значительные требования к содержанию
геометрического материала. Эти требования не удовлет-
воряются только наличием у детей твердых измеритель-
ных навыков и умением применять их в разнообразной
деятельности школьников. Обеспечение потребностей та*
26
кого предмета, как рисование, связано е наличием пред-
ставлений о форме предметов, об отношениях взаимного
положения фигур и частей фигур на плоскости и в про-
странстве, с умением анализировать фигуры. Без этих
представлений и умений учащиеся не смогут овладеть
основами построения изображений предметов (рисун-
ком). Значительный запас представлений и навыков тре-
буется для усвоения разнообразного материала на уроках
ручного труда, где учащимся нужно уметь не только из-
мерять, но и определять форму, точно вычерчивать, иа
уроках природоведения, например, при ознакомлении
с планом. Следовательно, при определении содержания,
геометрического материала необходимо учитывать пот-
ребности смежных дисциплин, изучаемых в I—III клас-
сах.
X. Геометрический материал I—III классов является
составной частью единого курса математики восьмилет-
ней школы. Он должен изучаться так, чтобы всеми уча-
щимися к концу III класса был достигнут необходимый
(второй) уровень геометрического развития, что означа-
ет завершение геометрической пропедевтики. Поэтому
при отборе содержания геометрического материала нуж-
но заботиться не только о накоплении запаса геометриче-
ских представлений и навыков, но и достижений учащи-
мися соответствующего логического развития, усвоения
ими необходимой геометрической и логической терми-
нологии.
XI. Изучение смежных дисциплин (географии, черче-
ния, физики и др.) после окончания III класса предъяв-
ляет к содержанию геометрического материала большой
круг требований. Например, приступая к изучению гео-
графии, учащиеся должны иметь прочные представления
о круге, окружности, шаре. Значительный запас геомет-
рических представлений и навыков требуется на уроках
труда. Поэтому при отборе материала, привлекаемого
на уроки математики I—III классов, необходимо забо-
титься о постепенном включении вопросов, готовящих
школьников к изучению смежных дисциплин по оконча-
нии III-класса.
XII. Программа начального курса математики обычно
основывалась на рассмотрении минимума сведений о чис-
ле и сводилась к формированию необходимых навыков
счета и вычислений.
27
В программе трехлетней начальной школы 1 сделан
некоторый шаг вперед в построении начального курса ма-
тематики. «Основной стержень этого курса — арифмети-
ка натуральных чисел и основных величин. Вокруг этого
стержня объединяются элементы геометрии и алгебраи-
ческой пропедевтики, которые органически включаются в
систему арифметических знаний...». Такой подход уже в
настоящее время позволил использовать в процессе со-
общения сведений о числах, их свойствах, об операциях
(действиях) над числами и их свойствах теоретико-мно-
жественные представления 2. .
Это тем более важно, что в дальнейшем обучении ма-
тематике (с IV класса) эти и логические представления
широко используются не только в связи с числами и опе-
рациями над ними, но и в такой же степени в процессе
формирования геометрических знаний.
Таким образом, теоретико-множественные и логиче-
ские понятия постепенно начинают составлять основной
стержень, на базе которого формируется система матема-
тических знаний в школе. Поэтому уже в I—III классах
нужно (без употребления специальной терминологии и
символики) начинать подготовку учащихся и при отборе
упражнений геометрического содержания включать в их
число такие, при выполнении которых формируются и
используются теоретико-множественные понятия.
8. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ
МЕТОДИКУ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ.
Важнейшей задачей учителя является определение ме-
тодики, обеспечивающей раскрытие основного содержа-
ния геометрического материала начального курса мате-
матики на каждом уровне геометрического развития, а
также методики ведущих линий (направлений) изучения
этого материала:
формирование геометрических представлений;
развитие мышления;
‘ «Программа восьмилегней школы. Начальные классы». М.,
«Просвещение», 1971, стр. 35.
’Там же, стр. 36.
28
формирование пространственных представлений и во-
ображения;
обеспечение связи изучения геометрического материа-
ла с другим материалом начального курса математики;
формирование теоретико-множественных представлений
и их использование в обучении математике;
формирование навыков; использование наглядности в
обучении.
Каждая методическая линия должна быть определе-
на для каждого уровня геометрического развития с уче-
том индивидуальных особенностей и возможностей
учащихся.
•" Важным общим началом методики изучения геометри-
ческого материала является достижение активизации по-
знавательной деятельности учащихся в обучении на
каждом этапе.
Формирование геометрических представлений. Осо-
бенности методики формирования геометрических зна-
ний определяются задачей достижения всеми учащимися
к концу III класса второго уровня геометрического раз-
вития. Но этого еще недостаточно для овладения геомет-
рическими понятиями, поэтому изучение геометриечских
фигур и их отношений доводится в основном до уровня
представлений.
Работа по изучению геометрического материала
должна проводиться как в естественнонаучной дисцип-
лине: свойства фигур выявляются экспериментально, ус-
ваиваются необходимая терминология и навыки. Поэто-
му важное место в обучении должен занимать лабора-
торный метод.
Общаясь с разнообразными материальными моделя-
ми геометрических фигур, выполняя с этими моделями
большое Число опытов, учащиеся выявляют наиболее
общие их признаки, не зависящие от материала, цвета,
Положения, веса и т. п.
Это достигается систематическим применением при-
ема материализации изучаемых геометрических объек-
тов. Например, прямая линия Не только объект, получен-
ный с помощью линейки, не только след Движущейся
точки (конца карандаша), но и край — ребро линейки,
натянутая нить,, линия.сгиба листа бумаги, линия пере-
сечения двух плоскостей (например, плоскости пола
и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств
29
материальных вещей, учащиеся овладевают геометриче-
скими представлениями.
В I классе должно быть завершено первоначальное
ознакомление с фигурами и их названиями, что выпол-
няется с помощью окружающих материальных вещей,
готовых моделей и изображений (первый уровень).
У учащихся постепенно вырабатывается схема изучения
фигур, схема их анализа и синтеза, облегчающая усвое-
ние свойств каждой фигуры, т. е. переход на более высо-
кий (второй) уровень геометрического развития.
Значительное место в методике отводится примене-
нию приема сопоставления и противопоставления геомет-
рических фигур. В I классе это позволяет из множества
фигур выделить множество кругов, множество много-
угольников, множество линий и т. д. Во II и III классах
это позволяет уточнить свойства фигур, их классифика-
цию. Большое внимание следует уделять противопостав-
лению и сопоставлению плоских (круг — многоугольник,
окружность — круг и т. д.) фигур плоских и пространст-
венных фигур (квадрат — куб, круг — шар и т. п.). На-
пример, при ознакомлении с кубом следует найти в нем
характерные точки, отрезки, многоугольники, при озна-
комлении с шаром следует (реально) показать его кру-
говые сечения. Во II—III классах (второй уровень) эф-
фективным, вызывающим качественные сдвиги в процес-
се формирования геометрических представлений является
использование отношений взаимного положения фигур
для установления их свойств. Например, использование
отношений взаимного положения (пересечения) отрезка и
прямой на плоскости позволяет учащимся убедиться в ко-
нечности отрезка и бесконечности прямой.
Созданный запас геометрических представлений обе-
спечивает необходимую основу для проведения в даль-
нейшем работы по формированию геометрических по-
нятий.
Развитие мышления учащихся. В процессе изучения
материала у учащихся формируются навыки индуктив-
ного мышления, воспитываются умения делать простей-
шие индуктивные умозаключения *. Одновременно с этим
‘ Индукция (индуктивные умозаключения) — способ уста-
новления фактов (истин, положений), когда общий вывод делается
на основе ряда отдельных (частных) наблюдений (экспериментов).
30
постепенно развиваются и используются навыки дедук-
тивного мышления *.
Все это ведется через формирование приемов умствен-
ных действий таких, как анализ и синтез, сравнение,
абстрагирование, обобщение.
В 1 классе ведется работа по первоначальному озна-
комлению с фигурами. Уже при этом дети выполняют
умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей
методики обучения в этот момент является обеспечение
целенаправленного и полного анализа фигуры, на основе
которого в дальнейшем выделяются ее существенные
свойства и происходит отвлечение от несущественных
свойств. В ходе такой работы с необходимостью возника-
ет потребность применения геометрической и логической
терминологии, символики, условных изображений. Одна-
ко их введение не может являться формальным актом.
Например, введение буквенных обозначений фигур и их
элементов в I классе' может оказаться преждевременным
потому, что учащиеся еще не достигли того уровня гео-
метрического развития, когда они различают элементы
фигуры. Символика в этом случае «не работает», а пото-
му не усваивается всеми учащимися смысл ее употребле-
ния. Но уже во II классе введение буквенной символики
помогает не только отличить фигуры и их элементы, но
и является одним из средств формирования обобщений.
В традиционном обучении уже в I классе часто начи-
нали изучение фигур с введения формального определе-
ния. Эксперимент показал, что использование формаль-
ных определений в I классе оказывается преждевремен-
ным. Это происходит прежде всего потому, что запас
геометрических представлений учащихся еще мал, у них
поэтому не возникает потребность к обощению. Но уже
в Ш классе (второй уровень), когда дети овладели зна-
чительным запасом представлений, возникает потреб-
ность к обобщениям, учащиеся уже должны уметь давать
описания фигур и их свойств, близкие к определениям.
1 Дедукция (дедуктивное умозаключение) — метод рассуж-
дения (доказательства), при котором от общего предложения (суж-
дения) отправляются к частному. Например, если известно, что пред-
ложение «Всякое натуральное число, сумма цифр которого делится
на три, само делится на три» верно, то для установления факта де-
лимости данного конкретного числа, например 465, на три достаточ-
но убедиться в том, что сумма его цифр 4+6ф-5 = 15 делится на три.
31
Одна из задач методики изучения геометрического
материала состоит в систематическом осуществлении
первоначального ознакомления учащихся (особенно
III класса) с классификацией фигур; со структурой логи-
ческого следования. (Программой предусмотрено, напри-
мер, изучение классификации треугольников в теме «Ви-
ды треугольников».)
Организационно работа по развитию мышления не
расчленяется, и логические категории сами по себе не
являются предметом изучения.
Формирование пространственных представлений и во-
ображения. Пространственные представления (образы)
отражают соотношения и свойства реальных предметов,
т. е. свойства трехмерного видимого или воспринимаемо-
го пространства.
Психологи и педагоги различают два вида простран-
ственных представлений: образы памяти и образы вооб-
ражения.
Пространственные представления памяти отражают
предмет почти в том виде, как он был дан для восприя-
тия. Представления памяти в начальном курсе матема-
тики можно распределить на группы в зависимости от их
содержания: образы реальных предметов, образы гео-
метрических тел (материальных моделей) и фигур, обра-
зы чертежей и рисунков геометрических фигур и т. д.
Учащиеся воспроизводят по памяти виденные ими ранее
образы.
Представления воображения отличаются от представ-
лений (образов) памяти тем, что они являются новыми
образами, возникающими после мысленной переработки
(воссоздающее воображение) заданного материала.
Например, учащиеся по словесному описанию представ-
ляют геометрическую фигуру, выполняют затем ее ри-
сунок или чертеж, или по условному изображению (чте-
нию чертежа) представляют (получают представление)
фигуру.
Образы воображения создаются на основе образов
памяти. При их создании учащиеся опираются на усвоен-
ные знания, на свой прошлый опыт. Однако не всегда
образ воображения — это образ предмета, обязательно
встречающегося в практике ученика. Образы воображе-
ния характеризуются созданием нового образа на основа
имеющихся представлений.
32
Пространственное воображение — это деятельность,
которая проявляется в процессе создание образов вооб-
ражения. Основу работы по формированию простран-
ственного воображения составляет прежде всего созда-
ние запаса пространственных представлений, получае-
мых на основе непосредственного знакомства с образами
материальных геометрических объектов (первый уро-
вень), которые в дальнейшем совершенствуются с при-
влечением геометрических моделей.
На базе создания запаса представлений уже во
II—III классах (второй уровень) становится возможным
формирование собственно пространственных представле-
ний, когда новые пространственные представления созда-
ются как комбинация ранее созданных.
Важным методическим приемом, обеспечивающим
прочные геометрические знания, является формирование
пространственных представлений через непосредствен-
ные восприятия учащимися конкретных вещей, матери-
альных моделей геометрических образов.
В I классе (первый уровень) пространственные пред-
ставления вырабатываются в процессе приобретения
детьми практического опыта пространственной ориенти-
ровки реальных предметов, материальных моделей гео-
метрических фигур.
Во II и III классах (второй уровень) характер рабо-
ты по формированию пространственных представлений
усложняется. Следует, например, формировать пред-
ставления об одной фигуре с опорой на непосредственное
восприятие другой фигуры. Например, представления
о кубе с опорой на непосредственное восприятие модели
квадрата, изготовленного из палочек и пластилина. Дети
изготовили такую модель. На некоторое время учащимся
показывается модель куба, и после того как она убрана,
ставятся вопросы: «Можно ли из палочек и кусочков
пластилина изготовить модель куба? Сколько для этого
нужно взять палочек, сколько кусочков пластилина?»
Учащиеся решают эту задачу мысленно, в воображении
(только 10% второклассников дали ответы на вопросы,
выполнив построение модели куба, остальные дали пра-
вильный ответ, решив задачу в воображении).
Непрерывное и систематическое ознакомление млад-
ших школьников с фигурами, их свойствами, отношени-
ями геометрических фигур,ознакомление с измерениями
3 Заказ 1821 33
геометрических величин обеспечивает овладение кругом
основных геометрических представлений и навыков,
которые используются в повседневной деятельности, в
жизни.
Связь изучения геометрического материала с другим
материалом начального курса математики. В основе этой
связи лежит возможность установления отношений меж-
ду числом и фигурой. Это позволяет использовать фигу-
ры при формировании понятия числа, свойств чисел, опе-
раций над ними и, наоборот, использовать числа для изу-
чения свойств геометрических образов.
В I классе модели фигур следует применять наряду
с другими материальными вещами как объекты для
пересчитывания (счетный материал). Несколько позже
такими объектами должны стать элементы фигур, напри-
мер вершины, стороны, углы многоугольников.
В I классе учащиеся знакомятся с измерением отрез-
ков. Это позволяет устанавливать связь между отрезка-
ми и числами. Во II классе устанавливается прямая
связь между отрезками (точками) и числами. Раннее
знакомство с измерением отрезков позволяет содержа-
тельно иллюстрировать процесс формирования представ-
ления о натуральном числе, о десятичной системе счисле-
ния (сантиметр — единица, дециметр — десяток, метр —
сотня), об операциях над числами (масштабная линейка
как числовой луч, как счетный прибор). Геометрические
фигуры должны быть использованы при ознакомлении
учащихся с долями единицы.
При изучении геометрических величин рекомендуется
тщательно знакомить учащихся с фигурами — объекта-
ми измерений. Учитель должен систематически прово-
дить работу, подготавливающую представления, лежа-
щие в основе понятия «геометрическая величина» (дли-
на, площадь, объем), содействующую формированию
общих представлений об измерении геометрических ве-
личин.
На основе этих представлений учащиеся узнают, что
длина отрезка — это число, полученное определенным
способом с помощью другого (единичного) отрезка,
а площадь фигуры (не только многоугольника) —число,
полученное с помощью единичного квадрата.
Не следует форсировать работу по установлению со-
отношений между единицами измерений, которые, в свою
34
очередь, должны вводиться постепенно, а также спешить
с введением формул для вычисления площади и пери-
метра прямоугольника. Эксперимент показал, что, после
того как учащиеся, например, усвоили измерение отрезка
в сантиметрах (или площади в квадратных сантиметрах),
перенос полученных навыков и знаний при использовании
новой единицы измерения совершается без затруднений
всеми школьниками.
Важной методической линией осуществления связи в
изучении геометрического материала с остальными воп-
росами курса начальной математики является опора на
теоретико-множественные и простейшие логико-матема-
тические представления в изучении фигур, их отношений,
свойств.
В свою очередь, для уточнения теоретико-множествен-
ных и логических представлений следует использовать
знания младших школьников о геометрических фигурах,
отношениях между ними, выраженных в системе опреде-
лений, описании свойств (простейших теорем) и т. д.
Так, уже в I—III классах выполняются простейшие клас-
сификации множества углов (прямые и непрямые — в I
классе; прямые, острые, тупые — во II классе); множест
ва треугольников (по сторонам, по углам); множества
многоугольников (по числу углов) и т. д. Изучение родо-
вых и видовых отличий готовит детей к пониманию опре-
делений, построенных на указании рода и видовых
отличий.
Это уже с I класса дает возможность построить мето-
дику ознакомления с прямоугольниками таким образом,
что дети довольно рано усваивают, что любой квадрат —
прямоугольник.
Использование упражнений, в которых дети отмечают
(выделяют) точки, принадлежащие или не принадлежа-
щие фигуре или нескольким фигурам, дает возможность
в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как
множество точек. А это, в свою очередь, позволяет детям
более осознанно выполнять операции деления фигуры на
части или получения фигуры из других (складывание),
т. е. выполнять по существу операции объединения, пере-
сечения, дополнения над точными множествами.
Формирование навыков. Учитель должен систематиче-
ски проводить работу, обеспечивающую формирование
навыков использования измерительных и чертежных
35
инструментов, построения геометрических фигур, уме-
ний описывать (словесно выражать) процессы и резуль-
таты работы, выполненной учеником. Важным методи-
ческим условием реализации этой системы является
обеспечение осознанности учеником выполнения дей-
ствий и лишь затем достижение автоматизированного
действия.
Результатом обучения геометрии является не только
создание прочных практических навыков измерений и по-
строений фигур, но и формирование представлений о точ-
ности.
В I классе учащиеся овладевают навыками измерения
и построения отрезков с помощью линейки (с точностью
до 1 см), знакомятся с циркулем. При этом детям предъ-
являются не меньшие требования, чем это обычно де-
лается в отношении навыков письма. Наличие полноцен-
ных навыков уже к концу I класса позволяет проводить
работу по усвоению более сложного материала, создает
возможность для активизации мышления учащихся
в процессе ознакомления с геометрическими объектами.
Во II—III классах в практику измерений и построе-
ний постепенно включаются новые инструменты: циркуль-
измеритель, чертежный треугольник, малка. Повышаются
требования к точности измерений и построений, к качест-
ву чертежей, к описанию выполняемой работы.
Наличие к концу III класса у всех учащихся прочных
навыков выполнения измерений и построений фигур со-
здает условия, при которых в дальнейшем обучении глав-
ное внимание должно быть сконцентрировано на овладе-
нии геометрическими понятиями.
Работа по формированию навыков должна проводить-
ся распределенйо почти на каждом уроке. Это создает
условия для более частого применения знаний, умений
и навыков в учебной деятельности детей, обеспечивает
выработку прочных навыков.
Использование наглядности. Роль и место средств
наглядности в изучении геометрического материала, как
это показало исследование, на каждом этапе обучения
и для каждого уровня геометрического развития раз-
личны.
Если в самом начале I класса (первый уровень)
основным средством наглядности является конкретная
вещь, то уже в конце I класса и во II классе важным
36
средством наглядности становится геометрическая мате-
риальная модель (в том числе чертеж).
В III классе (второй уровень) заметно повышается
роль геометрического чертежа. Геометрический чертеж
постепенно становится основным средством наглядности.
В данной книге приведена разработанная автором
система наглядных пособий, учитывающая изменение
характера использования наглядности в обучении. Рас-
сказ о ней не выделен в отдельную главу, а ведется при-
менительно к частным вопросам методики обучения ма-
тематике.
Органической составной частью методики изучения
геометрического материала должно стать применение
в I—III классах клетчатой бумаги, плакатов-заданий,
карточек-заданий и тетрадей на печатной основе, учеб-
ных диафильмов и кинофильмов. В их разработке ис-
пользованы некоторые идеи программированного обу-
чения.
Применение этих средств позволяет активизировать
познавательную деятельность учащихся в обучении; со-
действует развитию навыков и умений самостоятельного
приобретения новых знаний, выработке приемов учебно-
го труда, наблюдательности, смекалки и других качеств,
определяющих характер общего развития учащихся;
обеспечивает преодоление дефекта, состоящего в форми-
ровании только навыка «воспроизводящего мышления».
Разрабатываемые дидактические материалы (учебные
кинофильмы, диафильмы, плакаты-задания, карточки для
самостоятельной работы) должны стать органической
частью системы учебных материалов начального курса
геометрии. Они способствуют формированию геометриче-
ских представлений у всех учащихся, позволяют осущест-
вить обучение с учетом индивидуальных особенностей
каждого ученика, содействуют более экономному веде-
нию процесса обучения.
Целенаправленная деятельность учителя по формиро-
ванию геометрических представлений создает благопри-
ятные условия как для успешного усвоения курса мате-
матики, так и для овладения основами знаний по другим
предметам: физике, черчению, рисованию, географии,
трудовым дисциплинам, а также содействует формирова-
нию приемов мыслительной деятельности, совершенство-
ванию в учебном труде, умению самостоятельно решать
37
сложные задачи, позволяет активизировать познаватель-
ную деятельность детей в обучении.
Изучение геометрического материала в начальном
курсе математики обеспечивает необходимую подготовку
для перехода к основному курсу геометрии. Запас гео-
метрических представлений является хорошей основой
для работы по формированию геометрических понятий,
индуктивные методы (эксперимент) служат необходимой
базой для изучения в дальнейшем курсе геометрии на
дедуктивной основе.
Геометрический материал должен рассматриваться
как основная часть единого курса математики началь-
ных классов восьмилетней школы. Геометрические зна-
ния не требуют для своего усвоения предварительного
знакомства с арифметикой и широко используются для
иллюстрации таких понятий, как «число», «операции над
числами». В значительной мере осуществлению этой свя-
зи содействует использование в обучении теоретико-мно-
жественных понятий и аналогии. Однако изучение гео-
метрического материала уже в I—III классах дает возт
можность своевременно раскрыть детям еще одну ветвь
математики, отличную от арифметики, позволяет пока-
зать учащимся важную сторону математических знаний,
9. О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.
В настоящее время происходит становление нового
курса математики, в котором (в отличие от прежнего)
наметилась единая линия( от первого до последнего клас-
са средней школы) формирования системы математиче-
ских понятий, навыков и умений. В таких условиях с
необходимостью пересматриваются сложившиеся взгля-
ды и основные методические положения.
Современные методисты прилагают значительные
усилия для осмысления функций текстовых задач в про-
цессе обучения математике. И это имеет важное значе-
ние: от того, насколько точно будут определены эти функ-
ции, зависит перестройка системы обучения решению за-
дач, определяется роль и место каждой задачи. В этом
отношении интересны взгляды К. И. Нешкова. Он исхо-
дит из того, что в обучении каждая задача выполняет оп-
ределенную основную функцию: дидактическую, позна-
вательную или развивающую.
38
Задача, выполняющая дидактические функции, в ос-
новном предназначается для усвоения теоретических све-
дений— «это задачи на прямое применение изученной
теории или рассматриваемой зависимости, на закреп-
ление всех основных фактов школьного курса матема-
тики» *.
Задачи с познавательными функциями направлены на
«усвоение основного содержания» курса математики. При
их решении происходит необходимое для всех учащихся
углубление знаний и усвоение обязательного для всех
учащихся материала.
Задачи с развивающимися функциями могут иметь со-
держание, несколько отходящее от основного курса (обя-.
зательного для всех), и более сложное. В них посильно
рассматриваются отдельные вопросы школьной програм-
мы. «Запоминание и усвоение этого материала всеми уча-
щимися не обязательно. При решении этих задач ученику
недостаточно применять изученные теоретические сведе-
ния или уже известные методы решения задач, а необхо-
димо проявить выдумку, сообразительность»1 2.
Очевидно, что при такой классификации функций'
текстовых задач одна и та же задача в зависимости от ус-
ловий и времени использования может нести несколько
функций. Однако учитель должен точно видеть и пони-
мать, какую из основных функций в данный момент несет
рассматриваемая с учащимися задача. Определив эту
функцию, учитель применяет соответствующую методику
обучения ее решения, устанавливает характер требова-
ний к учащимся.
В современных учебниках для начальной школы до-
статочно полно представлена система задач, несущих ди-
дактические и познавательные функции. Но в настоящее
время не разделяются познавательные и развивающие
функции задач, эго легко подтверждается тем, что учи-
тель требует от всех учащихся умения решить любую
задачу, которая помещена в стабильном учебнике.
Среди текстовых задач и раньше, и теперь определен-
ное место занимали так называемые задачи «геометриче-
ского содержания». В ранее действовавших стабильных
учебниках I—IV классов около 7% общего числа тексто-
1 К. И. Пешков, А. Д. Семушин. Функции задач в обуче-
нии. «Математика в школе», 1971, № 3.
2 Т а м ж е.
39
вых задач составляли арифметические задачи (вычисли-
тельного характера), содержащие геометрические терми-
ны ‘, половина которых только на первом этапе использо-
вания несли дидактическую и частично познавательную
функции по отношению к формированию понятий о длине
отрезка, периметре прямоугольника, площади прямо-
угольника и навыков измерения этих величин. Среди них
были очень немногие, косвенно связанные с формировани-
ем представлений о геометрических фигурах и их свой-
ствах.
В связи с усилением внимания к изучению элементов
геометрии в курсе математики трехлетней начальной
школы заметно изменилась система соответствующих
текстовых задач. В новых учебниках увеличилось число
таких задач. Среди них появились и задачи, несущие раз-
вивающие функции. В целом система геометрических за-
дач содержит:
а) задачи, в которых геометрические фигуры исполь-
зуются как объекты для пересчитывания (круги, много-
угольники, элементы многоугольников). При решении
таких задач в основном усваивается необходимая терми-
нология;
б) задачи, связанные с формированием представлений
о геометрических величинах (длине, площади) и навыков
измерения отрезков, площадей фигур;
в) задачи (вычислительные), связанные с нахождени-
ем периметра многоугольников, площади прямоуголь-
ника;
г) задачи на элементарные построения геометриче-
ских фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинован-
ной бумаге с помощью линейки, угольника, циркуля (без
учета размеров);
д) задачи на элементарные построения фигур с задан-
ными параметрами (треугольник с прямым углом, пря-
моугольник с заданными сторонами и т. д.);
е) задачи на классификацию фигур;
ж) задачи на деление фигур на части (в том числе на
равные части) и на составление фигур из других;
з) задачи, связанные с формированием основных на-
выков чтения геометрических чертежей, использованием
буквенных обозначений;
1 См.: А. М. Пышка л о. Геометрия в 1—IV классах, 1968
стр. 15.
40
и) задачи на выяснение геометрической формы пред-
метов или их частей.
Задачи, целью которых является формирование основ-
ных геометрических представлений и навыков, т. е. зада-
чи, несущие дидактические и- познавательные функции,
составляют основу в каждой из выделенных выше групп.
Некоторая часть задач несет развивающие функции, не-
большую часть из них учитель найдет в «Дополнительных
материалах для упражнений» 1 и во II, III, IV разделах
настоящей книги.
10. ОСОБЕННОСТИ УРОКА МАТЕМАТИКИ.
Одновременно с изменением содержания начального
обучения математике в настоящее время происходит из-
менение роли и места теоретических знаний в процессе
обучения. Именно с этим непосредственно связано изме-
нение традиционной методической системы ознакомления
детей с фактами, явлениями, понятиями. Из этого следу-
ют и те перемены, которые произошли в самой схеме про-
цесса обучения. Например, программа и учебники мате-
матики уже теперь не предусматривают, как это было
раньше, специального времени на повторение. Та схема
учебной работы, которая сложилась за последние 20—30
лет в начальной школе, зародилась в XIX веке, когда на-
чальное образование было для большинства людей ко-
нечным звеном. Подавляющее большинство после окон-
чания начальной школы сразу приступали к трудовой
деятельности. Поэтому основное внимание в обучении,
естественно, уделялось только отработке важнейших
практических навыков и умений (чертить, измерять, счи-
тать). Для достижения этой цели учителю достаточно бы-
ло: 1) как-то объяснить новый материал (чаще всего
дать определение понятия, например имени существи-
тельного, сложения и т. п.), сообщить ряд «правил»; 2) ор-
ганизовать достаточно длительное повторение упражне-
ний на данное правило, в результате чего в связи с реше-
нием десятков и сотен однородных задач формировать
нужные навыки (измерения, вычисления, письма). При
таком подходе основная нагрузка ложилась на деятель-
ность памяти. Чтобы навык не распадался, организовы-
1 Стабильные учебники математики для I, II, III классов.
41
валось повторение. Для этого программой отводилось
специальное время. Главной задачей учащихся при такой
системе обучения было правильно «воспроизвести» все
то, что в «готовом» виде ими пассивно усваивалось. При
этом возникала потребность в искусственном отрыве од-
них знаний от других. Например, вычитание чисел не свя-
зывалось со сложением, деление с умножением, геомет-
рия измерений с геометрией формы и т. д. По очень
меткому выражению А. А. Люблинской, в такой схеме
учебной работы «Повторение является не только глав-
ным, но и почти единственным действием, которого тре-
бовало заучивание учебного материала» *. Не случайно в
то время стали популярными слова: «Повторение — мать
учения».
Главной целью начального обучения теперь является
подготовка к дальнейшему обучению, к овладению осно-
вами науки.
Это, конечно, не снимает задачи формирования у уча-
щихся системы основных навыков и умений, но включает
дополнительные требования: научить детей навыкам и
умениям учебного (умственного) труда, т. е. научить их
использовать систему не только практических, но и умст-
венных действий (только одним из которых является
повторение!). При этом существенно меняется схема учеб-
ной работы, возникает иное соотношение между знаниями
и действиями учащихся. Прежде всего, сообщение ново-
го понятия не является, как это было раньше, единовре-
менным актом, в котором активным был учитель, а уча-
щиеся пассивно «на память» воспроизводили то или иное
правило, которым начиналось усвоение нового материа-
ла. Понятие формируется во времени, на базе определен-
'ного запаса представлений. В этом процессе учащиеся
выполняют (специально разработанную методистами)
выраженную в системе упражнений в новых учебниках
совокупность практических и умственных действий. При-
чем соответствующее правило (определение понятия) по-
является не на начальной, а скорее на завершающей фа-
зе обучения, в результате активной творческой (а не вос-
производящей) деятельности каждого ребенка. Можно
1 А. А. Люблинская. Использование действий в процессе
усвоения знаний и умственном развитии младших школьников. «На-
чальная школа», 1971, № 4.
42
привести много примеров. Рассмотрим один из них. И по
старой, и по новой программам учащиеся начальной шко-
лы знакомятся с понятием площади прямоугольника.
Изучение всей темы проходило в IV классе и распада-
лось на следующие этапы:
1. Ознакомление с прямоугольником (осуществлялось
в III классе).
2. Ознакомление с квадратными мерами: квадратный
сантиметр, квадратный метр (с этого начиналось изуче-
ние темы в IV классе).
3. Формулировка правила, с помощью которого вычи-
сляется площадь прямоугольника.
4. Решение задач и введение попутно единиц измере-
ния площади земельных участков (ар, гектар). Таблиц
ца мер.
2-й и 3-й этапы занимали 1—2 часа (из 16 часов, отве-
денных на всю тему). Остальное время использовалось
на формирование навыков решения задач.
Реализуя общие положения психологов, методисты
пришли к выводу, что ознакомление с представлениями
о площади фигуры в новых условиях должно вырабаты-
ваться постепенно и не в результате кратковременного
изучения связанных с этим понятием вопросов, а распре-
делено на несколько лет обучения. При этом не менее
важной, чем выработка навыков вычисления площади,
целью работы должно являться формирование общих
представлений о площади фигуры как о геометрической
величине. Поэтому изучение темы разделили 1 на следую-
щие этапы:
1. Знакомство с многоугольниками, кругом (осущест-
вляется непрерывно с I класса), в частности с прямо-
угольником.
2. Знакомство с делением фигуры на части и составле-
нием из этих частей других фигур, подсчет этих частей,
формирование первоначальных представлений о равно-
великости и равносоставленности (подготовка начинается
во II классе).
3. Формирование общих представлений о площади фи-
гуры на основе сравнения с другой фигурой (выяснения,
1 Термин «разделить» понимается не в буквальном смысле, так
как этапы не следуют один за другим, а иногда протекают одновре-
менно или почти одновременно. - •
43
которая из них может быть помещена внутри другой)
осуществляется в III классе.
4. Формирование представлений о единичном квадра-
те, с помощью которого можно всегда обнаружить, какая
из фигур имеет большую площадь (в III классе). Знаком-
ство с квадратным сантиметром.
5. Нахождение площади различных фигур в квадрат-
ных сантиметрах. Палетка (в III классе).
6. Вычисление площади прямоугольника в квадратных
сантиметрах (в III классе).
7. Вычисление площади в квадратных дециметрах (в
III классе).
8. Вычисление площади в квадратных метрах (в III
классе).
9. Вычисление площади земельных участков (в арах
и гектарах) (в IV классе).
Даже при беглом сравнении нового и старого подхо-
дов ознакомления младших школьников с необходимым
кругом представлений и навыков по теме «Площадь пря-
моугольника» бросаются в глаза существенные различия,
обоснование которых приведено выше в более общем ви-
де. Действительно, первая схема нацеливает на получе-
ние механического навыка измерения (точнее, вычисле-
ния) площади прямоугольника. Вторая схема дает воз-
можность реализовать значительно больший круг задач,
начиная с формирования общих представлений о площа-
ди фигуры, на основе которых формируется совокупность
представлений, наглядных и доступных учащимся, игра-
ющих роль основной теории. Применение этой теории свя-
зано с широким кругом практических и умственных дей-
ствий, главными среди которых, кроме повторения, есть
наблюдения, сравнения, сопоставление и противопостав-
ление и другие специально подобранные действия, помо-
гающие детям сознательно применять теоретические зна-
ния в процессе формирования навыка.
Отмеченные изменения, естественно, повлияли на об-
щие требования к учебнику. Изменилось также не только
содержание, но и структура современного урока. Теперь,
очевидно, вряд ли можно говорить, например, об уроке,
который полностью посвящается повторению или только
сообщению нового материала. Все это нашло определен-
ное отражение в новых учебниках по математике. Не слу-
чайно, что они написаны, в отличие от учебников по дру-
44
гим предметам, поурочно. Причем- система уроков в учеб-
никах обладает, помимо указанных выше особенностей,
тем своеобразием, что в ней ограничено число уроков,
полностью посвященных изучению только геометриче-
ских, только алгебраических или только арифметических
фактов. Главную часть составляют уроки с преобладани-
ем в них арифметического материала; иногда (значитель-
но реже) встречаются уроки с преобладанием алгебра-
ического или геометрического материала.
Из указанных выше положений следует, что для до-
стижения прочных знаний геометрический материал неце-
лесообразно выделять в отдельную учебную дисциплину и
посвящать его изучению отдельные уроки, концентриро-
вать эти уроки в одном месте (как это делали, например,
в III классе традиционной школы). Его целесообразно
изучать распределенно, включать в каждый урок мате-
матики. Это создает больше возможностей для осуществ-
ления связи геометрических и других знаний, а также вно-
сит определенное разнообразие в учебную деятельность
детей на уроках математики, что содействует повышению
эффективности обучения. Полный урок для изучения гео-
метрического материала может быть отведен в тех слу-
чаях, когда проводится практическая работа (например,
измерение на местности) или лабораторная работа- (из-
готовление моделей и т. д.).
Опыт показывает, что изучение геометрического мате-
риала целесообразно равномерно распределить по всему
учебному году. В процессе формирования геометрических
представлений, необходимых навыков не последнюю роль
играет фактор времени — продолжительность и постепен-
ность. Для достижения этого учитель должен заботиться
о включении почти в каждый урок (и не только урок ма-
тематики!) геометрического материала. Учитывая воз-
растные особенности младших школьников, неустойчи-
вость их внимания, очень важно разнообразить характер
деятельности ребенка на уроке. Нельзя признать нор-
мальным, например, если весь урок дети только считают
(или только пишут). Выполнение заданий геометриче-
ского содержания связано с разнообразными видами по-
знавательной деятельности школьников. Здесь есть и на-
блюдения, и измерения, и конструирование, и рисование,
вычерчивание с помощью линейки и циркуля, моделиро-
вание из бумаги и палочек и т. п. Поэтому включение гео-
45
метрического материала в урок само по себе позволяет
по мере необходимости вносить разнообразие в учебную
деятельность.
С другой стороны, эти же обстоятельства в значитель-
ной мере служат обоснованием нецелесообразности выде-
ления для изучения геометрического материала в I—III
классах отдельных (полных) уроков.
Таким образом, геометрическому материалу можно
уделять несколько минут (5—10) почти на каждом уро-
ке математики, стараясь связать его с изучением осталь-
ных вопросов курса математики, рассматриваемых на
этом уроке.
II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА В I КЛАССЕ.
Опыт показывает, что изучение геометриче-
ского материала в I классе целесообразно равномерно
распределить по всему учебному году. С таким расчетом
в настоящее время и построен учебник математики для
I класса.
В нем в подавляющее большинство уроков включены
упражнения и задания с геометрическим содержанием.
Для того чтобы получить целостное представление о со-
держании, приемах и методах его реализации в обучении,
мы излагаем кратко наиболее важные методические реко-
мендации. Следует учитывать, что роль этих указаний,
конечно, выходит за рамки, связанные только с интерпре-
тацией, с обогащением соответствующих методических
направлений, принятых в стабильных учебниках.
Основная цель состоит в том, чтобы дать возможность
учителю на основе четкого понимания задач, поставлен-
ных перед ним программой, творчески осуществить про-
цесс обучения младших школьников элементам геомет-
рии, не выходя при этом за рамки программы. Поэтому
методические рекомендации, как правило, и рассматрива-
ют не просто отдельные упражнения, отдельные вопросы,
а некоторые наиболее важные направления, связываю-
щие воедино эти вопросы, упражнения.
11. ОБОБЩЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ВЕЛИЧИНЕ ПРЕДМЕТОВ,
ОБ ОТНОШЕНИЯХ ИХ ВЗАИМНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ.
Еще до школы дети накапливают большое число
представлений о форме, размерах и взаимном располо-
жении различных предметов в окружающем простран-
47
стве. Эги представления являются необходимой основой
для формирования в дальнейшем важнейших геометри-
ческих представлений, а затем, и понятий. Сооружая из
«кубиков»1 разнообразные постройки, дети знакомятся
не только с отношениями взаимного положения предме-
тов (выражаемыми словами «выше», «ниже», «в середи-
не», «над», «под», «левее», «правее», «между» и т. д.),
но и обращают внимание на 'сравнительные размеры
предметов (выражая это словами «больше», «меньше»,
«шире», «уже», «короче» и т. д.).
В игровой и практической деятельности происходит
также ознакомление с формой предметов и их отдельных
частей. Например, дети сразу замечают, что колесо (ци-
линдр) или мяч (шар) обладает свойством катиться,
а коробка (призма) таким свойством не обладает. Эти
физические свойства дети интуитивно связывают с фор-
мой тел. Но так как опыт детей и накопление терминоло-
гии носит случайный характер, то важной задачей обу-
чения становится уточнение накопленных представлений
и усвоение сооветствующей терминологии. С этой целью
необходимо систематически предлагать разнообразные
примеры2 Отношения между предметами, выраженные
словами «одинаковые», «различные», «больший», «мень-
ший» и другие, устанавливаются либо на реальных пред-
метах (полоски бумаги, палочки, мячи и т. д.), либо на
их изображениях (рисунках, чертежах). Каждый из
приводимых с этой целью примеров должен четко вы-
являть основной признак, по которому выясняются эти
отношения. Например, выясняя вопрос о том, какая
из двух палочек «большая», важно обеспечить, чтобы обе
палочки были одинаковой толщины (или одинаковой
длины). Во всех случаях при сравнении необходимо под-
бирать такие предметы, для которых «признак сравне-
ния» хорошо заметен, однозначен и может быть легко
выделен учащимися.
Например, легко сравнивать два шара различного
диаметра и цветов, но трудно (особенно на первых по-
рах) — шары различного диаметра и одинакового цвета.
1 Это слово взято в кавычки потому, что в наборах «кубиков»,
кроме призм, пирамид и других многогранников, встречаются также
шары, цилиндры и тем более сложной формы (сочетание призмы и
цилиндра и т. д.).
2 Такие примеры в небольшом числе содержит учебник.
48
Рис. 15.
Учащиеся в этом случае часто говорят: «Шары одинако-
вые» (имея в виду цвет).
При выполнении подобных упражнений учитель каж-
дый раз должен подчеркивать, что интересует нас при
сравнении вещей. В частности, при изучении геомет-
рических свойств вещей нас интересует не материал,
из которого сделаны эти вещи, не их цвет, а другие ка-
чества: размеры, взаимное расположение элементов,
форма.
Термин «одинаковые» (вещи, фигуры) истолковыва-
ется как конгруэнтные (равные). По мере изучения гео-
метрических фигур этот термин будет заменен термином
«равные» (например, «равные отрезки»).
Термины «больше» — «меньше» в каждом примере
должны быть конкретизированы (заменены частными
терминами), т. е. четко и строго истолкованы. Напри-
мер, при сравнении полосок (рис. 15) нецелесообразно
спрашивать, какая из них больше (или меньше).
Лучше спросить, «какая из полосок уже (или шире)»,
«какая из полосок короче (длиннее)». Выражение «Вася
больше Кати» заменяем выражением «Вася выше Кати»,
а «береза меньше сосны» заменяется выражением «бе-
реза ниже сосны» и т. д.
Упражнений, способствующие формированию пра-
вильных и четких представлений, соответствующих тер-
минам «больше» — «меньше», «правее» — «левее», «вы-
ше»— «ниже», «над» — «под» и т. д., занимают значи-
тельное место в образовании пространственных пред-
ставлений и потому должны применяться в обучении
младших школьников не эпизодически, а систематиче-
ски. Минимум таких упражнений содержит учебник.
В случае необходимости такие упражнения могут быть
подготовлены учителем *.
1 Можно воспользоваться упражнениями из книги А. М. Пыш-
кало «Геометрия в I—IV классах». М., «Просвещение», 1965, 1968,
разд. II, п. I.
4 Заказ 1821 49
12. ГЕОМЕТРИЯ ЛИСТА БУМАГИ.
УСВОЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ОБРАЗОВ И ТЕРМИНОВ.
Выражение «геометрия листа бумаги» употребляется
нами в широком методическом смысле. Линованные и не-
линованные листы бумаги (и не только прямоугольной
формы) могут быть широко н разнообразно применены
в ходе образования геометрических представлений. Уже
на первых уроках первоклассники знакомятся с тетрадью.
Учитель обращает внимание детей на то, что листы тет-
ради покрыты прямыми линиями: эти линии проведены
в различных направлениях. Некоторые прямые линии
пересекаются (учащиеся находят примеры пересекаю-
щихся прямых), а некоторые — не пересекаются (уча-
щиеся показывают такие линии). Учитель обращает вни-
мание детей на «точку пересечения» каких-нибудь двух
прямых линий на листе тетради. Просит отметить эту
точку карандашом. Полезно употребить в таком случае
(и научить детей) выражение: «Эти две прямые прохо-
дят через отмеченную точку, пересекаются в этой
точке». Необходимо научить первоклассников отмечать
и такие точки, через которые данная прямая не прохо-
дит. В этом случае говорят: «Отмеченная точка не лежит
на прямой». Дети узнают, что в тетради по математике
линии на лйсте бумаги образуют одинаковые (равные)
клетки (квадраты).
С целью формирования представлений о прямой ли-
нии, точке, пересекающихся и не пересекающихся пря-
мых линиях следует использовать не только тетради
в клетку, но и остальные виды линованных тетрадей,
употребляемых первоклассниками.
Важно, чтобы геометрическая терминология употреб-
лялась систематически и не только на уроках математи-
ки, но и (не меньше) на занятиях по чистописанию и на
других уроках. По мере ознакомления детей с числами
и со счетом клетки тетради и отдельные точки могут ис-
пользоваться в качестве счетного материала (наряду
со счетными палочками).
Вот пример таких упражнений:
«Закрась красным карандашом четыре клетки под-
ряд» (или «столбик из четырех клеток» или «ряд из четы-
рех клеток»).
«Закрась синим карандашом какую-нибудь одну
50
клетку. Пропусти одну (две, три и т. д.) клетку справа
(слева, сверху, снизу) и закрась еще одну клетку (две
клетки)» и т. п.
«Отметь точку пересечения двух каких-нибудь пря-
мых. Отсчитай от этой точки (две, три, четыре и т. д.)
клетки вниз (вверх, вправо, влево) и отметь на прямой
еще одну точку».
Следует предостеречь учителя от употребления в обу-
чении таких терминов, как «косая» линия («косая» ли-
нейка), и не спешить с введением в словарь первоклас-
сника терминов «вертикальная», «горизонтальная», «на-
клонная» прямые линии.
13. ТОЧКА, линия, линии ПРЯМЫЕ И КРИВЫЕ,
ЗАМКНУТЫЕ И НЕЗАМКНУТЫЕ.
Успешное формирование такого абстрактного поня-
тия, как «геометрическая фигура», во многом зависит от
многообразия представлений, накопленных учащимися.
Поэтому совершенно недостаточно, например, получить
представление о прямой линии только на основе наблю-
дений линованного листа (см. выше). Учитель, макси-
мально используя опыт детей, должен привлечь разнооб-
разные предметы, с помощью которых уточняются
представления о точке, линии и т. д. и усваиваются соот-
ветствующие геометрические образы.
Если туго натянуть нитку (или кусочек шпагата), то
она напоминает прямую линию. Если же натяжение
ослабить, нить провиснет и будет представлять собой
кривую линию. Если концы нити связать и нить положить
на стол, то мы получим модель замкнутой кривой линии.
В результате достаточного числа упражнений в вычер-
чивании точек и линий учащиеся приходят к выводу,
что прямая линия — незамкнутая линия. Наблюдая
окружающие предметы, их части, контуры предметов и их
частей, дети должны уметь показывать такие из них,
которые напоминают изучаемые геометрические фигуры.
Особо благоприятные условия на наблюдения и ис-
пользования в практике школьников различных линий
представляются на уроках обучения письму, рисованию,
трудового обучения. Здесь линии возникают в связи с
движением точки (линия — след движущейся точки). Ко-
нец остро заточенного грифеля карандаша, конец пера
4*
51
представляют собой точку. Чем острее этот конец, тем
точнее получается изображение точки (тем четче пред-
ставление детей о точке).
При написании букв дети замечают, например, что
контур буквы «О» представляет собой замкнутую кри-
вую линию, а есть буквы, элементами которых являются
различные кривые линии.
Каждый рисунок ребенка возникает в результате по-
строения (проведения) различных линий. Уже в I классе
ученик должен учиться использовать геометрическую
терминологию для характеристики нарисованных им
фигур. Причем эта характеристика должна становиться
точнее и содержательнее по мере ознакомления детей
с геометрическими фигурами и их свойствами. Усвоение
геометрической терминологии является исключительно
важной задачей обучения. Соответствующие термины
должны составлять часть активного словаря школьника,
что может быть достигнуто только в случае систематиче-
ской работы по развитию речи.
Потребность в использовании терминологии возника-
ет в процессе учебной деятельности детей. Поэтому на
долю учителя падает задача целенаправленно регулиро-
вать эту деятельность на всех уроках по содержанию
и объему. В связи с этим целесообразно еще раз под-
черкнуть опасность использования ненаучной терминоло-
гии на уроках рисования, труда и других предметов.
14. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ ЛИНИИ.
ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ.
Изучение прямой линии связано с очень важным по-
нятием линейной протяженности, являющимся одним из
существенных компонентов пространственной ориенти-
ровки и пространственных представлений. Формирование
понятия «прямая линия» осуществляется постепенно.
В I классе проводится первоначальное ознакомление
с прямой линией и важным ее свойством — через две
точки можно провести только одну прямую линию. Уча-
щиеся обнаруживают, что через одну точку можно про-
вести сколько угодно кривых линий (рис. 16), а также
и сколько угодно прямых линий, т. е. в этом случае пря-
мая ничем не отличается по своим свойствам от любой
кривой. Но уже рассмотрение случая, когда линия долж-
52
на проходить через две заданные точки, ярко подчерки-
вает отличие прямой от других линий. Учащиеся отмеча-
ют две точки и проводят через них кривые линии
(рис. 17).
Затем аналогичное задание выполняется с прямыми
линиями. Оказывается, что все прямые линии, проходя-
щие через две данные точки, сливаются, т. е. через две
точки проходит одна прямая линия.
При изучении прямой линии, кроме получения ее
изображения по линейке, следует привлекать и другие
способы построения. Наглядным является, например, и
получение прямых линий в результате перегибания листа
бумаги. Линия сгиба листа бумаги прямолинейна. Уча-
щиеся перегибают небольшой лист бумаги произвольной
формы в любом направлении (складывают лист бумаги
вдвое), затем расправляют лист и видят, что получив-
шаяся линия есть прямая (рис. 18).
Важно обратить внимание детей на тот факт, что
у каждого из них был свой (различной формы) лист бу-
маги, что этот лист каждый ученик перегибал в произ-
вольном направлении и все же каждый получил один
и тот же результат, изображение прямой линии.
53
С помощью перегибания листа полезно проверить, что
через одну точку можно провести сколько угодно прямых
(лист бумаги прокалывается и перегибается так, чтобы
всякий раз линия сгиба проходила через точку прокола),
а через две точки проходит только одна прямая (два
прокола — две точки). Только одна прямая проходит че-
рез эти точки, т. е. лист в этом случае можно перегнуть
единственным способом.
Учащиеся уже умеют отмечать точки на прямой ли-
нии. Выполняется задача: отметить на прямой две точки.
Тогда часть прямой линии, границей которой будут эти
точки, называют отрезком прямой линии или сокращенно
отрезком. Эти точки называют концами отрезка (рис. 19).
Учащиеся постепенно усваивают, что изображение
прямой линии отличается от изображения отрезка пря-
мой тем, что концы последнего отмечаются точками или
штрихами. Например, на рисунке 19 изображены прямая
линия, отрезок, являющийся частью некоторой прямой
(прямая и принадлежащий ей отрезок), и просто отрезок.
По мере выполнения наблюдений и различных упраж-
нений учащиеся I класса подводятся к выводу, что от-
резок весь может быть изображен на бумаге, а вся пря-
мая на бумаге не поместится (какой бы большой лист
мы ни брали). Поэтому целесообразнее ставить учащимся
задания по отысканию предметов (или частей предметов),
напоминающих отрезок прямой линии. Например, отрез-
ком прямой линии является край линейки, край кромки
стола, классной доски, ребро шкафа, место, где сходятся
(пересекаются) пол и стена или потолок и стена, или две
соседние стены класса и т. д.
Важными являются и такие упражнения: «Отметь две
точки и соедини их по линейке отрезком (отметь четыре
точки и соедини их попарно отрезками), каждые две
точки соедини отрезком». Приведенные задачи несут раз-
личную логическую нагрузку. Эти
задачи необходимо связывать и с ра-
ботой по формированию понятия
* числа. Так, в последней задаче мож-
но спросить, сколько отрезков при
^***°^. этом получилось.
Весьма полезны следующие уп-
ражнения (использование «геомет-
Рие. 19. рии листа бумаги»): «На пересече-
54
нии двух линий отметь точку. Отступи от нее на пять кле-
ток вниз и на три клетки влево, отметь вторую точку.
Отступи от второй точки на четыре клетки вправо и на
две клетки вниз и отметь третью точку. Соедини отрез-
ками точки I и 2, точки 2 и 3. Сколько отрезков содержит
полученная фигура? Укажи концы каждого отрезка»
(рис. 20).
Представления о ломаной линии даются учащимся
I класса после того, как у них накопился некоторый опыт
наблюдения и вычерчивания отрезков и детьми усвоена
необходимая терминология.
Как видно, последнее из описанных выше упражнений
подготавливает детей к знакомству с ломаной линией.
В их опыте уже встречались различные фигуры, состав-
ленные из отрезков. Ломаной линией мы будем называть
фигуру, которая составлена из отрезков так, что конец
одного отрезка является началом второго, конец второ-
го — началом третьего и т. д. Эти отрезки не образуют
нового отрезка. Фигура (рис. 20) будет ломаной линией.
Она состоит из двух отрезков. Учащимся сообщаются
новые термины: отрезки, образующие ломаную, назы-
вают звеньями. Если на отрезке отметить какую-нибудь
точку, то она разделит его на два отрезка (на две части),
т. е. мы получим фигуру, составленную из двух отрезков,
но эта фигура не будет ломаной линией, так как все ее
звенья составляют отрезок (рис. 21).
Полезно продемонстрировать учащимся получение мо-
дели ломаной линии. Можно сделать это из палочек (от-
резки — звенья) и шариков пластилина или буквально
переломить отрезок (тонкую палочку) в одной, двух
точках. Такая иллюстрация хорошо подкрепляется тер-
мином «ломать», употребленном
в полном соответствии с пред-
ставлениями о ломаной по-
лученными учащимися.
Необходимо рассмотреть с
учащимися и замкнутые ломаные
линии, попрактиковаться в их изо-
бражении на бумаге и в изготов-
лении моделей ломаных из пало-
чек или проволоки. Это поможет
в дальнейшем при ознакомлении
школьников с многоугольниками,
55
так как замкнутая ломаная
—°’" линия является границей
многоугольников. В резуль-
тате учащиеся I класса дол-
Рис. 21. жны, например, назвать чис-
ло отрезков, составляющих
фигуры, найти среди изображенных (рис. 22) фигур лома-
ные линии, указать звенья, их число.
В частности, фигура А (см. рис. 22) состоит из трёх
отрезков. Однако постепенно учащиеся I класса должны
уметь отвечать и на вопрос: «Укажите все отрезки, ко-
торые вы видите на рисунках 23 и 24?»
На рисунке 23 можно указать 3 отрезка, а на рисун-
ке 24 — 6 отрезков.
Практика вычерчивания ломаных линий на клетча-
той и гладкой бумаге будет влиять не только на форми-
рование навыков построения фигур, на усвоение свойств
этих фигур и соответствующей терминологии, но и обе-
спечит подготовку к дальнейшему ознакомлению уча-
щихся с другими геометрическими фигурами, в частности
с многоугольниками.
56
15. МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Большинство детей уже в опыте, предшествующем
школьному обучению, встречались с многоугольниками.
Изучение развития геометрических представлений пока-
зало, что большинство детей знакомы с такой фигурой,
как круг (дети умеют отличать его от других фигур).
Это обстоятельство целесообразно использовать на пер-
вом уровне уточнения представлений о многоугольниках.
Рассматриваются круг и многоугольник, вырезанные из
картона (рис. 25).
Фигура справа отличается от круга тем, что имеет уг-
лы, много углов. Учащимся можно продемонстрировать,
как катится круг по столу. Многоугольник не катится по
столу. Этому мешают его углы. Затем для уточнения
представлений о многоугольниках целесообразно исполь-
зовать уже знакомые учащимся геометрические фигуры:
точки, отрезки, ломаные линии. Предлагаются упражне-
ния на вычерчивание и изготовление моделей многоуголь-
ников из бумаги. И здесь целесообразно использовать
клетчатую бумагу. Приведем пример. Дети (можно под
диктовку учителя) выполняют упражнение: «Отметить
на пересечении двух прямых линий точку. Отступить от
нее на шесть (или другое число) клеток и отметить вто-
рую точку. Отступить от второй точки на четыре клетки
вниз и на три клетки
вправо и отметить третью
точку. Соединить отрез-
ками каждые две точ-
ки». В результате все
учащиеся должны полу-
чить одну и ту же фигуру
(рис. 26) ’.
Учитель может повто-
рить чертеж на доске и
рассмотреть полученную
фигуру. Это замкнутая
ломаная линия. Она явля-
ется границей многоуголь-
ника, который мы закра-
1 Предлагаемое упражне-
ние — хороший пример мате-
матического диктанта. Рис. 26.
57
шиваем цветным карандашом или (по линиям границы)
вырезаем из бумаги.
Отрезки, составляющие границу, называют сторонами
многоугольника, концы этих отрезков — точки — называ-
ют вершинами многоугольника. У нашего многоуголь-
ника три стороны, а вершин тоже три (замечаем, что
у многоугольника вершин столько же, сколько сторон
и наоборот). Такой многоугольник называют треугольни-
ком. Учащимся указывается, что название многоуголь-
ника определяется числом вершин (сторон, углов). Если,
например, у многоугольника семь вершин, то его назы-
вают семиугольником.
16. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ЧИСЛА.
Легко видеть, что элементы многоугольников наряду
со счетными палочками, клетками тетради, точками
и т. п. также могут служить счетным материалом. По
мере изучения чисел учащиеся вспоминают построения
соответствующих многоугольников, находят число его
вершин (сторон).
Важно научить детей правильно показывать элементы
многоугольника. Вершина — это точка, значит, ученик
точно указывает каждую вершину (указка направляется
в соответствующую точку). Стороны многоугольника —
отрезки, значит, ученик должен показывать их от одной
вершины до другой (указка движется от одной вершины,
вдоль всего отрезка — стороны, до другой вершины).
Не следует ограничивать деятельность учащихся при
построении многоугольников только вычерчиванием вы-
пуклых фигур. Нужно стимулировать детей, поддержи-
вать у них стремление вычерчивать самые различные по
форме многоугольники. В результате правильно постав-
ленной работы дети должны уметь давать ответы, напри-
мер, на следующие вопросы к рисунку 27.
а) Какие фигуры изображены на рисунке 27?
1 — кривая линия, 2 — отрезок прямой, 3 — точка, 4—
замкнутая кривая линия, 5 — круг, 6 — замкнутая лома-
ная линия, 7 — четырехугольник, 8 — пятиугольник, 9 —
десятиугольник, 10 — прямая линия, 11 — ломаная линия.
б) Сколько сторон (вершин) у многоугольника
7, (8, 9)? Сколько звеньев у ломаной 6(11)?
Постепенно можно предлагать детям и более слож-
ные задания.
58
Рис. 27.
Какие знакомые фигуры ты видишь на рисунке 28?
Дети рассказывают (и показывают): «На этом чер-
теже изображены круг, четырехугольник, два треуголь-
ника, пять отрезков».
Следует научить детей видеть знакомые фигуры в ок-
ружающих их предметах или частях предметов. С этой
целью можно использовать примерно такой плакат (см.
рис. 29).
Работа с плакатом или с окружающими предметами
должна быть связана не только с определением формы
(вида фигуры), но и со счетом (самих фигур, их эле-
ментов) .
17. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.
При вычерчивании отрезков в ходе построения ло-
маных линий и многоугольников дети устанавливают
отношения «больше», «меньше»,
«одинаково» (равно) на множестве
отрезков. Обобщить накопленный
опыт сравнения отрезков можно с
помощью системы несложных зада-
ний. Например, учащиеся, пользу-
ясь линиями тетради (рис. 30), уста-
навливают, какой из отрезков боль-
ше: верхний или средний, какой из
отрезков меньше: нижний или сред-
59
Рис.
ний. Верхний и нижний отрезки оказались одинаковыми.
Такие отрезки называют равными.
Далее учащимся предлагается найти равные отрез-
ки в более сложных условиях, когда отрезки, например,
являются сторонами многоугольников. Эти упражнения
выполняются на глаз, а их результаты проверяются с по-
мощью; бумажной полоски или нитки. Дети отмечают ка-
рандашом на краю полоски концы одного отрезка, при-
кладывают полоску к другому отрезку (рис. 31).
Второй отрезок больше четвертого (это видно хорошо
на глаз). Наиболее трудно сравнить отрезки 1 и 3. На
полоске бумаги отмечаем точки против концов отрезка 1.
Прикладываем полоску (эти точки) к отрезку 3 и за-
мечаем, что отрезок 1 меньше отрезка 3.
Здесь еще не следует давать формального определе-
ния, какие отрезки называют равными или неравными.
Вначале можно накопить практический опыт сравнения
отрезков, развить глазомер детей.
Опыт сравнения отрезков в дальнейшем будет усо-
вершенствован применением циркуля.
18. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. САНТИМЕТР.
Ознакомление с измерением отрезков — исключитель-
но ответственный момент обучения младших школьни-
ков. Это обусловлено тем. что понятие длины отрезка
является первым примером, относящимся к формирова-
нию общих представлений об измерении величин, в част-
ности геометрических, а также и тем, что навыки в из-
мерении отрезков имеют важное практическое значение.
На первом этапе следует дать четкие представления
о процессе измерения отрезков. Опыт показывает, что
61
с этой целью можно использовать показ измерения, на-
пример, доски, рейки шагами.
Измерить доску (или другой отрезок) шагами — зна-
чит пройти (вдоль) доску от начала до конца и сосчи-
тать число шагов.
Учитель вызывает ученика (лучше самого высокого)
и просит его измерить шагами доску. У мальчика получи-
лось, например, 5 шагов. Затем вызывается другой уче-
ник (лучше самый маленький), у него получилось дру-
гое число шагов, например 7.
Числа получились разные потому, что у людей раз-
ные шаги. Другие дети получили при измерении этой же
доски новые числа. Как же быть?!
Может быть, кто-нибудь из учеников, а в случае если
таких нет, сам учитель рассказывает, что ученые дого-
ворились измерять отрезки (длину доски, высоту дерева,
ширину улицы, глубину колодца и т. д.) одним и тем же
отрезком, который назвали метром. Учащиеся, измеряв-
шие доску шагами, поочередно (под руководством и с по-
мощью учителя) измеряют доску метром и получают од-
но и то же число, например 4.
Дети понимают, что при измерении доски метром
каждый из них получит одно и то же число — длину
доски. Можно выполнить измерение нескольких отрезков
(например, длина и ширина класса) метром. Однако на
этом этапе (так определено программой) целесообразно
обратить особое внимание на измерение отрезков другой
единицей длины — сантиметром. Получение же первона-
чальных представлений об измерении с использованием
метра методически оправдано тем, что при объяснении
процесса измерения все учащиеся хорошо видят как
объект измерения, так и единицу.
Введение новой единицы оправдывается тем, что ма-
ленькие отрезки, например длину карандаша, измерять
метром нельзя. Й при измерении отрезков, меньших мет-
ра, используют другую единицу измерения — сантиметр.
Здесь еще не следует говорить о соотношении между
метром и сантиметром. Для начала можно показать мо-
дели сантиметра: бумажную полоску длиной в 1 см (ши-
рина полоски должна быть заметно меньше длины),
сантиметр — кусочек спички, проволоки. Подчеркнуть,
что общим для всех рассмотренных объектов является
то, что их длина равна 1 см. Замечается, что если на
62
пересечении двух линий тетради отметить точку и, отсту-
пив от нее на две клетки вправо (влево, вверх или вниз),
отметить вторую точку, то длина отрезка, соединяющего
эти точки, — 1 см. Учащимся демонстрируется масштаб-
ная линейка и сообщается, что длина отрезка, соединяю-
щего две соседние точки (большие штрихи), — 1 см. На
клетчатой бумаге дети вычерчивают отрезок в 1 см и из-
готовляют дома несколько моделей сантиметра (из кар-
тона или кусочков спичек).
Исключительно важным этапом в формировании
представлений об измерении отрезков и длины отрезка
является использование для этого модели одного санти-
метра.
С помощью модели сантиметра ученик должен на-
учиться решать две задачи.
Задача 1. Измерить с помощью модели сантиметра
длинный отрезок. При выполнении учащимся этого за-
дания учитель следит, чтобы каждый из них:
1. Точно приложил конец модели сантиметра к одно-
му из концов измеряемого отрезка.
2. С помощью карандаша на измеряемом отрезке,
отметил другой конец модели сантиметра.
3. Приложил снова к полученной отметке один из
концов модели сантиметра и на отрезке сделал еще одну
отметку (у другого конца). Вторая отметка свидетельст-
вует о том, что отсчитаны 2 см. Аналогично (каждый раз
делая отметки) поступают до тех пор, пока последняя из
отметок совпадет с другим концом измеряемого отрезка.
В этом случае ученик, подсчитав число отложенных на
отрезке сантиметров, получит целое число сантиметров.
В случае, если совпадения не происходит, как это по-
казано на рисунке 32, ученик дает ответ примерно в сле-
дующей форме: «Длина этого отрезка больше 4, но мень-
ше 5 сантиметров».
После приобретения достаточного навыка в исполь-
зовании модели сантиметра для измерения отрезка мож-
но провести контрольную работу (в виде математиче-
ского диктанта).
f 2 3 4
Рис. 32.
63
Учитель диктует: «Отметьте точку на пересечении
двух линий в левой (в правой) части листа бумаги. От-
ступите от этой точки на 9 клеток вправо (влево) и на
3 клетки вниз и отметьте вторую точку. Соедините отрез-
ком эти точки. С помощью модели сантиметра найдите;
длину получившегося отрезка».
Задача 2. С помощью модели сантиметра построить
(начертить) отрезок заданной длины.
При выполнении учащимися этой задачи необходимо
следить за тем, чтобы каждый из них:
1. Вначале провел прямую линию.
2. Отметил на прямой точку (один из концов отрезка)
и в каком-нибудь одном направлении от нее последова-
тельно отложил (каждый' раз отмечая карандашом)
нужное число сантиметров.
3. Отметил карандашом второй конец отрезка.
Опыт показывает, что выполнение этих задач особенно
на первых порах связано с большими трудностями для
учащихся. Это объясняется отсутствием у них навыков
владения карандашом и небольшой моделью сантиметра
(мышцы пальцев еще недостаточно тренированны).
Именно поэтому С целью получения важных для даль-
нейшей работы навыков необходимо достаточно долго
и систематически повторять указанные упражнения.
Часто выполняемый процесс откладывания модели сан-
тиметра «от одного конца до другого конца отрезка»
создает у детей важные ассоциации, которые в дальней-
шем предотвратят многие ошибки, встречающиеся при
измерениях.
На следующем (более высоком) этапе формирования
навыков измерения отрезков упомянутые выше две зада-
чи решаются с помощью масштабной линейки, не имею-
щей оцифровки. По заданию учителя на полоске плотной
бумаги учащиеся сами размечают с помощью модели
сантиметра (или клетчатой бумаги) шкалу такой ли-
нейки.
Наиболее простым, но важным для контроля усвоения
учащимися навыков измерения отрезков является упраж-
нение: «Показать на линейке отрезок заданной длины».
При этом ученик должен концом карандаша «пройти»
вдоль всего найденного отрезка (вдоль края линейки)
от одного конца до другого, называя и указывая каждый
следующий сантиметр.
64
После приобретения навыка Измерения отрезков, на-
черченных на гладкой и клетчатой бумаге, следует
научить детей вначале с помощью модели сантиметра,
а затем и самодельной масштабной линейки (без цифр
на шкале) измерять отрезки на окружающих предметах.
Объектом измерения могут служить счетные палочки,
карандаши, пенал, тетрадь, спичка и другие небольшие
предметы. Значительное место в этой работе должны за-
нимать задачи, в которых необходимо измерить стороны
многоугольника. Например, такие задачи: «Начертите
какой-нибудь треугольник (четырехугольник и т. д.)
и найдите длину каждой его стороны».
Не следует торопиться с использованием для измере-
ний маштабной линейки с оцифрованной шкалой. Дело
в том, что форсированное введение в обиход школьников
такой линейки приводит к тому, что ученик, обращая вни-
мание только на правый конец измеряемого отрезка и на
штрих, стоящий против него на шкале линейки, часто
допускает грубые ошибки. Причиной ошибки является
отсутствие внимания учеников к начальному штриху (не
всегда совпадающему с обрезом линейки).
Ученик совмещает начальный конец отрезка не С на-
чальным штрихом шкалы (рис. 33) и возникает ошибка.
Рассмотренный выше подход к формированию навы-
ков измерения отрезков позволяет избежать указанной
ошибки. Если же такая ошибка наблюдается у ряда уча-
щихся, то с ними необходимо вернуться к измерению
отрезков С помощью Модели сантиметра или полоски
бумаги (самодельной масштабной линейки с неоцифро-
ванйОй шкалой). Полезно также научить детей пользо-
ваться при измерении линейкой «с обломанными конца-
ми». Другими словами, научить измерять отрезки, делая
любой штрих шкалы началом отсчета.
Например, найти длину отрезка, если линейка прило-
жена так, как это показано на рисунке 34. При этом дети,,
не обращая внимания на цифры шкалы, последовательно
подсчитывают, сколько сантиметров укладывается в от-
резке. (В данном случае 5 см.)
Рис. 33.
T--------Г~~1--------------1--------1-------Г-' "'"'"I.........”~1-------г
5 6 7 8 9. 10 It 12 13
Рис. 34.
5 Заказ 1821
65
19. ЧИСЛА И ОТРЕЗКИ. ИЛЛЮСТРАЦИЯ
СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ С ПОМОЩЬЮ
МАСШТАБНОЙ ЛИНЕЙКИ.
В ходе овладения навыками измерения отрезков с по-
мощью масштабной линейки появляется возможность
использования единичных отрезков (сантиметр) в качест-
ве счетного материала, а шкалы линейки вначале для
иллюстрации, а затем и для выполнения операции сло-
жения и вычитания чисел.
Предварительно рассматривается задача: «Отрезок
разделен точкой на две части (рис. 35); измерить мас-
штабной линейкой длину каждой части. Можно ли без
измерения узнать длину всего отрезка? Проверить изме-
рением». '
При сложении чисел с помощью шкалы лийейки уче-
ник поступает следующим образом. Пусть нужно выпол-
нить сложение 2+4.
Вначале находится на шкале отметка «2» (она соот-
ветствует двум сантиметрам—двум единицам счета).
Затем ученик отсчитывает вправо от этой отметки еще
4 см и попадает в отметку «6». Сложение чисел таким
образом заменяется сложением длин отрезков (рис. 36).
Важно заметить учащимся, что при сложении оба от-
резка откладываются один за другим в одном и том же
направлении (вправо от начальной отметки).
Заметим, что отсчет второго числа может быть вы-
полнен по 1 см и группами (например, по 2 см) или сразу.
Рис. 35.
Рис. 36.
66
Рис. 37.
Различные варианты откладывания второго слагаемого
связаны с изучением его «состава» (т. е. представление
этого числа в виде суммы нескольких слагаемых), в том
числе и равных.
Рассмотренный прием может быть использован в ходе
изучения таблицы сложения.
При вычитании чисел, которое рассматривается почти
одновременно со сложением, учащиеся поступают так.
Пусть нужно выполнить вычитание 8—5.
На шкале линейки находится отметка «8» (уменьшае-
мое). Она соответствует. 8 см — 8 единицам счета. Затем
ученик отсчитывает от этой отметки влево столько санти-
метров, сколько единиц содержит вычитаемое (в нашем
случае 5 см). Это может быть выполнено последователь-
ным отсчетом по 1 см, а также группами (как это пока-
зано, например, на рисунке 37).
Ученик попадает в отметку «3». Отсчитав 5 единиц
следующим образом, 2 единицы, еще 2 единицы и 1 еди-
ницу, можно спросить, а как еще (иначе) можно отсчи-
тать 5 единиц? Рассматривается, например, такой случай
(рис. 38), а также и другие предлагаемые детьми случаи.
Очевидно, что масштабную линейку (длиной 25 см)
в качестве «счетной машины» можно применять доста-
точно продолжительное время (по крайней мере до пол-
ного усвоения учащимися наизусть таблицы сложения
однозначных чисел), т. е. при изучении чисел второго
десятка.
5*
67
20. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. ДЕЦИМЕТР.
Знакомство школьников с новой единицей длины —
дециметром целесообразно начать в связи с изучением
второго десятка и завершить к началу изучения сотни.
Детям напоминают (если это было сделано), что вы-
соту дома, длину забора, ширину улицы измеряют в мет-
рах. Маленькие отрезки, меньше метра, мы измеряем
в сантиметрах. Для измерения отрезков применяется еще
одна единица измерения длины. Она больше сантиметра,
но меньше метра, и называется дециметром (рис. 39);
В одном дециметре содержится десять сантиметров.
Учащихся знакомят с сокращенной записью: 1 деци-
метр — 1 дм.
Учатся читать записи: 3 дм, 5 дм, 15 дм и т. п.
Каждый ученик изготовляет из полоски плотной
бумаги или картона модель дециметра, с помощью кото-
рой выполняет . аналогичными способами измерения и
построения отрезков. Если учитель ознакомление с еди-
ницами длины начал с метра, как это у нас описано выше,'
то детей уже здесь можно познакомить с тем, что 1 м
содержит 10 дм. Дети рассматривают школьный метр
(раскрашенный по дециметрам) и используют его для
измерения (в дециметрах) размеров окружающих пред-
метов.
С помощью модели дециметра или метра (раскрашен-
ного по дециметрам) дети строят отрезки заданной длины
в тетради и на классной доске. Весьма содержательной
является задача: «Отмерьте от бумажной ленты (нитки
или шпагата) кусок, длина которого равна б дм (или
другому числу)».
В практике измерения отрезков уже с первых шагов
встречается случай, когда длина отрезка, например дли-
на карандаша, в сантиметрах равна 12 см, а в децимет-
рах она больше 1 дм, но меньше 2 дм. В этом случае дети
по своей инициативе говорят: «длина карандаша 1 децй-
1 ДЕЦИМЕТР
1 СМ
Рис. 39.
68
।...। ।.~т' I, • t.। । г- -rm c=j c=) a c=)
i i" ।. 1 I
Рис. 40.
метр да еще 2 сантиметра». Учитель подсказывает им,
что в таком случае говорят: «длина карандаша равна
1 дециметру и 2 сантиметрам», и показывает, что это
записывается так: 1 дм 2 см. Учащиеся практикуются
в вычерчивании отрезков, например, длиной в 1 дм 5 см,
1 дм 9 смит. п. Одновременно ставится вопрос: «А сколь-
ко это будет сантиметров?»
21. ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ИХ ПРИ ВВЕДЕНИИ ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ.
к моменту формирования представлений учащихся
о чтении и записи двузначных чисел у школьников дол-
жен накопиться достаточно большой опыт измерения
отрезков в дециметрах и сантиметрах, а также некоторый
навык перехода от записи 1 дм 3 см к записи 13 см. Все
это дает широкие возможности при ознакомлении с чте-
нием и записи двузначных чисел использовать не только
традиционную связку палочек — «десяток», но и 1 дм как
«десяток сантиметров». В этом случае большое значение
имеют упражнения.
1. Сколько сантиметров в 2 дм 4 см (рис. 40)?
2- Сколько сантиметров в отрезке, длина которого
7 дм и 2 см?
3. Сколько дециметров и сантиметров в отрезке, дли-
на которого равна 86 см и т. п.?
Вот что по этому поводу пишет доктор физико-мате-
матических наук А. И. Маркушевич, характеризуя экспе-
риментальную программу по математике для начальных
классов *.
«...к записи двузначных чисел мы переходим лишь
после того, как учащиеся, ознакомившись с измерением
длин отрезков и цифрами, начинают делать записи вроде
следующих: 1 дм 1 см, 2 дм, 1 дм 6 см, отдавая себе
1 Речь идет не о новой программе, а об эксперименте сектора
математики АПН СССР. К. И. Н е ш к о в, А. М. Пышкал о, Мате-
матика в начальных классах. М., «Просвещение», 1968, стр. 6.
69
отчет в том, что первая из них означает то же, что и один-
надцать сантиметров, вторая — двадцать сантиметров,
третья — шестнадцать сантиметров и т. п. Отсюда уже
легким становится переход сначала к тому, чтобы считать
предметы не только единицами, но и десятками и сначала
записывать двадцать три, например, так: 2 д. 3 ед. (два
десятка и три единицы), а затем писать просто, пропуская
подразумеваемые буквы. Таким образом, использование
десятичной системы мер служит нам своеобразным трам-
плином для того, чтобы легче сделать запись чисел по
десятичной системе счисления»
22. УГОЛ МНОГОУГОЛЬНИКА.
Термин «угол» в геометрии употребляется в несколь-
ких различных смыслах. Говорят о плоском угле (часть
плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из
одной и той же точки, двугранном угле (часть простран-
ства, ограниченная двумя полуплоскостями), многогран-
ном угле и т. д.
По вполне понятным причинам в I классе мы не мо-‘
жем говорить о плоском угле, так каку учащихся еще нет
достаточных представлений о таких геометрических фи-
гурах, как плоскость, луч, т. е. мы не можем дать верное
представление об углах многоугольника как о плоских
углах. Поэтому на первом этапе термин «угол» нами
будет употребляться в смысле «оторванный угол много-
угольника». Такая физическая трактовка более содержа-
тельна и наглядна, чем та, которую мы использовали в
самом начале ознакомления с многоугольниками.
Высказанные выше соображения, на наш взгляд,
являются хорошим обоснованием того, что сведения об
углах в I—III классах должны вводиться не навязчиво и
очень аккуратно.
При получении модели угла следует продемонстриро-
вать учащимся (для начала) оторванные углы треуголь-
ника (рис. 41) и невыпуклого четырехугольника (рис. 42).
Многоугольник разрывается на части так, чтобы каж-
дая из них содержала по одной вершине и по две сторо-
ны (части сторон), выходящих из этой вершины.
1 Подробнее с этим можно познакомиться в той же книге.
70
Рис. 42.
Вершина многоугольника является и вершиной (соот-
ветствующего) угла.
Вначале целесообразно познакомить учащихся с бу-
мажными моделями углов. Дети должны изготовить их,
разорвав бумажный многоугольник. Важным с точки
зрения формирования правильных представлений об уг-
лах является формирование у учащихся навыка показы-
вать углы многоугольника. Для этого толстый конец указ-
ки нужно поместить в вершину угла (рис. 43), указку
направить вдоль одной из сторон, которой принадлежит
«эта вершина», и «веерообразным движением» поворачи-
вать указку до совпадения с другой стороной.
Указка «заметает» угол, как это можно наблюдать
при работе очистителей стекла автомашин от дождя
и снега.
С движением связа-
ны также раскрытие
содержания «умень-
шить угол» (сделать
меньше), «увеличить
угол» (сделать боль-
ше). С этой целью сле-
дует воспользоваться
«раздвижным углом» —
71
Рис. 44.
Рис. 45.
моделью малки (ее можно сделать из двух тонких палок,
скрепленных кусочками пластилина, рис. 44) или двумя
фанерными планочками, скрепленными гвоздиком
(рис. 45).
Учащимся сообщается (показывается на модели), что
чем ближе мы сдвигаем стороны угла, тем меньше он
становится; чем дальше мы отодвигаем стороны, тем угол
больше.
Становится ясным, насколько уступает (в методиче-
ском отношении) показ угла дугой (которая проводится
внутри угла от одной его стороны к другой). Поэтому мы
не рекомендуем применять дуги для обозначения углов в
обучении младших школьников. В силу рассмотренной
выше трактовки термина «угол», принятой нами в I—III
классах, не стоит рассматривать отдельно взятые углы, а
ограничиться главным образом углами многоугольников.
23. ПРЯМОЙ УГОЛ. ПОЛУЧЕНИЕ ПРЯМОГО УГЛА
ПЕРЕГИБАНИЕМ БУМАГИ.
В традиционной практике часто, вводя представление
о прямом угле, учитель ссылался на прямоугольник. Это
выглядело примерно так. Учитель говорит (и показыва-
ет): «Дети, вы знакомы с прямоугольником. Его углы на-
зываются прямыми углами. Вот они (показывает каждый
из углов прямоугольника)». Это казалось достаточным.
Однако такой подход нельзя считать корректным, логиче-
ски верным. Дело в том, что понятие «прямоугольник»
может быть дано на основании понятия прямого угла
(прямоугольником называют многоугольник, все углы
которого прямые). Поэтому в программе прежде чем
уточнять представления детей о прямоугольниках, рас-
сматривается образование прямого угла как части плос-
кости путем перегибания листа бумаги.
72
Для этого на уроке
проводится следую- t
щая работа. Каждый /
из учащихся получает I
лист бумаги, лучше не- р*___
определенной формы
(но не прямоуголь-
ной). Можно иметь и
бумажные круги раз-
личной величины. Учи-
тель имеет также свой
лист бумаги. Обращает внимание детей на тот факт, что
у каждого имеется лист бумаги не такой, другой формы,
чем у других. Затем под руководством учителя дети скла-
дывают листы вдвое (учитель говорит и показывает),
разглаживают линию сгиба двумя пальцами. Лист после
этого вновь разворачивается. Учитель обращает внима-
ние школьников на то, что линия сгиба—прямая линия,
которая делит лист бумаги на две части. После чего лист
вновь складывают (по линии сгиба) вдвое (рис. 46).
Сложенный вдвое лист бумаги предлагается перегнуть
вдвое еще раз, следя при этом за тем, чтобы части полу-
ченной ранее линии сгиба совпали. Учитель показывает
всем, как нужно еще раз перегнуть сложенный вдвое
лист бумаги, и подчеркивает, что необходимо точнее пе-
регнуть (показывает еще раз) лист бумаги. Новая линия
сгиба тщательно разглаживается двумя пальцами. Пере-
гнутый лист бумаги разворачивается. Устанавливается,
что две пересекающиеся линии сгиба (прямые линии) де-
лят лист бумаги на четыре части — на четыре угла (рис.
46). Вершина всех этих углов—одна точка. Устанавли-
вается, что все они (если перегибание выполнялось точно)
одинаковы, т. е. равны между собой (это видно, если сно-
ва перегнуть лист по линии сгиба и сложить его вчет-
веро).
Учащимся можно предложить аккуратно разорвать
(или разрезать) лист бумаги по линиям сгиба. Сравнить
полученные каждым учеником углы (наложением).
Сравнить их с углами, которые сделал другой ученик.
Учитель может обойти класс, собрать по одному углу от
каждого и показать, что они равны (сложить в пачку).
Следует обратить внимание детей на то, что, несмотря на
различие листов бумаги, несмотря на то, что работу уче-
73
ники выполняли (отдельно каждый) самостоятельно, ре-
зультат оказался один и тот же — были получены равные
углы. Такие углы называют прямыми.
24. СРАВНЕНИЕ УГЛОВ.
С помощью бумажной модели, полученной учащимися
вышеописанным способом, отыскиваются прямые и не-
прямые углы на окружающих предметах и их частях,
имеющих форму многоугольника, или у бумажных мно-
гоугольников и их чертежей. Сравнение углов с прямыми
осуществляется наложением. В связи с этой работой целе-
сообразно рассказать учащимся о применении чертежно-
го треугольника. Показывается чертежный треугольник,
с помощью бумажного прямого угла отыскиваются его
прямые и непрямые углы.
В целях достижения большей наглядности удобнее
использовать чертежный треугольник, сделанный из про-
зрачного материала.
На первом этапе (в первом классе) достаточно огра-
ничиться классификацией всех углов на прямые и непря-
мые, т. е. не спешить с введением понятий «тупой» и
«острый» углы.
Ученик говорнт, например, что углы, изображенные
на рисунке, не прямые потому, что они не совпадают с
прямыми углами чертежного треугольника.
Сведения о прямых и непрямых углах используются
для развития дальнейших представлений о фигурах и их
свойствах. Содержательными и полезными являются та-
кие упражнения 1.
Пример 1. Начертите какой-нибудь треугольник с
прямым углом. Покажите стороны, между которыми рас-
положен прямой угол.
Примечание. В случае необходимости можно по-
ставить дополнительный вопрос, связанный с измерения-
ми. Например, измерьте стороны, между которыми рас-
положен прямой угол.
Пример 2. Начертите какой-нибудь треугольник.
Можно ли разбить этот треугольник на два тре-
угольника:
1 Упражнения взяты из кн.: К. И. Пешков и А. М. Пышка-
л О; Математика в начальных классах, ч. I. М., «Просвещение». 1968.
74
а) имеющие no прямому углу;
б) не имеющие прямых углов?
Пример 3. Отметьте точку. Проведите из нее два
отрезка по 4 см, так, чтобы между ними был:
а) прямой угол;
б) угол меньше прямого;
в) угол больше прямого.
Соедините (в каждом случае) свободные концы от-
резков. Какая получилась фигура? Измерьте третью сто-
рону получившегося многоугольника.
Пример 4. Проведите отрезок так, чтобы он разбил
четырехугольник (рис. 47) на два треугольника, каждый
из которых имеет прямой угол.
Пример 5. Можно ли многоугольник, изображен-
ный на рисунке 48 разбить отрезком на два многоуголь-
ника так, чтобы каждый из них имел:
а) по одному прямому углу;
б) по два прямых угла?
25. МНОГОУГОЛЬНИКИ, СОДЕРЖАЩИЕ ПРЯМЫЕ
УГЛЫ. ПРЯМОУГОЛЬНИК. КВАДРАТ.
Уточнение представлений о прямоугольнике осущест-ч
вляется постепенно. Эту работу целесообразно начать с
рассмотрения различных многоугольников, у которых
один, два, три и т. д. угла прямые.
Для построения многоугольников, содержащих пря-
мые углы, в I классе удобно (и методически оправдано)
использовать линии клетчатой бумаги. Предварительно
(после ознакомления с прямым углом) обращают внима-
ние детей на то, что некоторые прямые линии образуют
прямые углы. Эти углы и берут за основу при построении
многоугольников, содержащих прямые углы.'
Рис. 47.
75
Рис. 49.
Вначале строят треугольник, у которого один угол
прямой (рис. 49). Отмечается вершина прямого угла
(рис. 49,а), затем строят стороны треугольника, обра-
зующие прямой угол (рис. 49, б), и, наконец, третью сто-
рону. Треугольник закрашивается (рис. 49, в)-
Можно предпринять попытку построить треугольник,
у которого два угла прямые. Отметив две точки (верши-
ны двух углов треугольника), учащиеся убеждаются, что
треугольника «не получается» (рис. 50) потому, что
линии (стороны) не пересекаются. Делается вывод,
’ что треугольник может иметь не более одного прямого
угла.
Затем выполняется построение четырехугольника с
одним (рис. 51), двумя (рис. 52) прямыми углами.
При построении четырехугольника с тремя прямыми
углами (рис. 53) дети убеждаются, что и четвертый угол
в этом случае окажется прямым.
Проверяется, что пятиугольник не может иметь все
углы прямыми (рис. 54). Учащиеся
в ходе построения различных мно-
гоугольников, содержащих прямые
углы,.убеждаются в том, что только
четырехугольник может иметь все
углы прямыми. Такой четырехуголь-,
ник называют прямоугольником.
Обращается внимание школь-
ников на форму окружающих пред-
метов (или их частей). Дети назы-
вают предметы, имеющие форму
Рис. 50. прямоугольника: крышку стола,
70
классную доску, оконное стекло, потолок (пол, стены)
и т. д.
В процессе измерения сторон прямоугольника дети
замечают, что его противоположные стороны попарно
равны. Это может быть проверено и без измерений. Дети
устанавливают, что лист бумаги, например, из тетради
имеет форму прямоугольника (можно взять и другие ли-
сточки прямоугольной формы). Учащиеся с помощью
чертежного треугольника убеждаются в том, что все. его
углы прямые. После этого путем перегибания (при этом
не следует разглаживать линию сгиба) противополож-
ные стороны совмещаются (накладываются). Это выпол-
няется по отношению к каждой паре сторон. Делается
вывод о равенстве противоположных сторон. . t
Только после этого можно приступить к выполнению
упражнений, связанных с построением прямоугольников
Рис. 54.
17
Рис. 55.
по заданной длине его сторон (длине и ширине). В
I классе, главным образом, это делается на клетчатой
тетради.
Опишем кратко ход решения такой задачи.
Задача. Начертить прямоугольник длиной 4 см
и шириной 2 см. На пересечении двух линий клетчатого
листа отмечаем точку — одну из вершин прямоугольни-
ка. Дети знают, что стороны прямоугольника, которые
содержат эту вершину (которые сходятся в этой верши-
не), называют одну шириной, а другую длиной прямо-
угольника. Значит, нам нужно из этой точки провести
два отрезка так, чтобы:
1) между ними был прямой угол;
2) один из отрезков содержал 4 см, а другой 2 см.
Выполним построение, используя клетки (можно не
пользоваться измерениями с помощью масштабной ли-
нейки, а отсчитать полученное число клеток, так как
дети уже знают, что 2 клетки соответствуют 1 см). Полу-
ченные (рис. 55, а) три точки — три вершины прямо-
угольника. Используем свойство сторон и без измере-
ний (или отсчитав, находим четвертую вершину
(рис. 55,б).
Соединим (по линейке) последовательно эти точки
отрезками. Заштриховываем цветным карандашом. Мы
получили прямоугольник, у которого длина 4 см, а ши-
рина 2 см.
78
2в. ПОСТРОЕНИЕ ФИГУР НА ГЛАДКОЙ
И КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИГУР.
Как было показано выше на отдельных примерах,
построение (вычерчивание) геометрических фигур: то-
чек, отрезков, прямых, ломаных, многоугольников — ис-
пользуется учителем не только для формирования важ-
ных навыков владения карандашом и линейкой. Не
менее важным является использование простейших
построений с целью уточнения представлений о геомет-
рических фигурах, их элементах, свойствах.
Построения по мере обучения все чаще и в боль-
шей степени могут выполняться на гладкой бумаге. Для
этого удобно использовать обычную тетрадь для рисо-
вания.
Особое внимание учитель обращает на правильную
позу ученика в момент вычерчивания (посадка, как и
при письме). Нужно обучить каждого, как правильно
держать карандаш, предупредить детей о равномерном
и несильном нажиме на карандаш. Каждому ученику
следует показать, как правильно держать линейку при
вычерчивании отрезков, как должен быть поставлен ка-
рандаш по отношению к краю линейки (наклон в ту сто-
рону, в которую проводится отрезок). Нужно научить
детей пользоваться цветными карандашами для закра-
шивания и штриховки (от руки) фигур 1. При оценке вы-
полнения отдельных заданий следует учитывать и акку-
ратность, и чистоту изображения, а не только правиль-
ность в математическом отношении.
Внимание должно быть уделено не только вычерчива-
нию, но и изготовлению бумажных, картонных (и из дру-
гих материалов) моделей геометрических фигур. Основ-
ным инструментом для их вырезания служат ножницы.
Опыт показывает, что лучше брать ножницы с тупыми
концами. Формирование навыка обращения с ножницами
требует систематической тренировки. Вначале дети учат-
ся разрезать бумагу по линиям листа тетради (или начер-
1 В случае, если учитель недостаточно знаком с правилами ис-
пользования карандаша и линейки при вычерчивании, он может
взять консультацию у учителя черчения или познакомиться с этим
по учебнику черчения.
79
ченным линиям). Большинство работ по изготовлению
моделей многоугольников может быть осуществлено в
домашней обстановке. В этом случае в классе проводится
подготовка: объясняется задание, выполняется чертеж.
27. ПРИМЕРНЫЙ СЛОВАРЬ (ЗАПАС СЛОВ
И ВЫРАЖЕНИЙ) И ПЕРЕЧЕНЬ НАВЫКОВ,
КОТОРЫМИ ДОЛЖНЫ ОВЛАДЕТЬ УЧАЩИЕСЯ
I КЛАССА.
К концу I класса дети должны усвоить (сознательно и
правильно употреблять в практике) следующие термины
и предложения;
1. Большой — маленький, высокий — низкий, длин-
ный — короткий, узкий — широкий, одинаковые — разные,
равные — неравные н т. д. Больше — меньше, выше —
ниже, длиннее — короче, уже — шире и т. д. Правее —
левее, ближе — дальше, спереди — сзади, в середине,
между, над — под и т. д.
2. Точка. Отметь точку. Линия. Кривая линия. Прямая
линия. Отметь точку на линии, вне линии. Прямая линия
проходит через эту точку (две точки) - Линии пересекают-
ся в этой точке. Проведи прямую через одну точку, через
две точки. Эти линии не пересекаются. Кривая замкну-
тая линия.
3. Отрезок. Начало отрезка. Конец отрезка. Концы от-
резка. Ломаная линия. Ломаная состоит из отрезков.
Замкнутая ломаная. Звенья ломаной. Соединить две
точки отрезком. Линейка. Край линейки. Начертить от-
резок (прямую) по линейке.
Сравни отрезки. Сравни отрезки на глаз. Равные от-
резки. Неравные отрезки. Длина отрезка. Измерь отрезок.
Найди длину отрезка. Построй (начерти) отрезок дли-
ной ... см.
Ь. Многоугольник. Граница многоугольника. Стороны
(вершины, углы) многоугольника. Треугольник, четырех-
угольник, пятиугольник и т. д.; прямоугольник, квадрат.
Начерти многоугольник. Назови многоугольник. Измерь
стороны многоугольника.
5. Угол. Сравни углы. Сравни углы иа глаз. Угол
больше (меньше). Вершина угла. Прямой угол,
80
6. Прямоугольник. Противоположные стороны пря-
моугольника равны. Длина прямоугольника. Ширина
прямоугольника. Начерти прямоугольник длиной ... см.
и шириной ... см.
7. Раздели отрезок точкой на две части. Раздели мно-
гоугольник (какой) отрезком на два многоугольника
(какие).
8. Предмет (название) имеет форму треугольника (че-
тырехугольника, прямоугольника и т. д.).
В соответствии с указанной терминологией определя-
ется перечень основных навыков, которые следует фор-
мировать.
1. Моделирование из палочек и пластилина треуголь-
ника, четырехугольника ( в том числе прямоугольника)
и т. п.
2. Моделирование из бумаги и картона. Умение вы-
полнять ножницами прямолинейные разрезы листа бу-
маги в различных направлениях. Умение вырезать из бу-
маги полоски разной длины и ширины. Умение нанести
на полоску сантиметровую шкалу.
Умение вырезать из нелинованной и клетчатой бума-
ги различные многоугольники.
Умение получить прямой угол перегибанием листа
бумаги произвольной формы.
3. Навыки вычерчивания и рисования. Проведение
прямых линий по линейке н от руки в любом направле-
нии: горизонтально, вертикально, наклонно (произволь-
но) по отношению к линиям обреза листа бумаги или к
краям классной доски. Проведение прямой линии через
заданную точку (в любом направлении). Проведение двух
пересекающихся в данной точке прямых. Проведение че-
рез одну точку нескольких прямых. Проведение прямой
через две данные точки.
Умение соединить по линейке (и от руки) две точки
отрезком прямой линии.
Вычерчивание произвольных (но с заданным числом
элементов) многоугольников на гладкой бумаге. Вычер-
чивание прямоугольников, квадратов, треугольников с
прямым углом на клетчатой бумаге (заданных размеров).
.4 . Умение сравнивать отрезки на глаз, с помощью
нитки, с помощью бумажной полоски.
Умение сравнивать углы: на глаз, наложением, с по-
. мощью модели шарнирного угла. .
6 Заказ 1821
81
Умение сравнивать углы с прямым углом чертежно-
го треугольника или с бумажной моделью прямого угла
(доски, классной комнаты и т. п.).
5. Умение измерять отрезки и выражать их длину в
сантиметрах, в дециметрах и сантиметрах, в метрах.
Умение строить (чертить) отрезок заданной длины. Уме-
ние измерять отрезки в окружающей обстановке (раз-
меры предметов). Умение измерять стороны многоуголь-
ников, звенья ломаных линий.
6. Умение определить форму предметов или их ча-
стей: назвать (на окружающих предметах) треуголь-
ники, четырехугольники, отрезки, точки и т. д.
28. СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В I КЛАССЕ.
А. Индивидуальные.
1. Линейка (25 см).
2. Чертежный треугольник (лучше с углом 60°, 30°).
3. 3—4 листочка цветной бумаги, из которой посте-
пенно (под руководством учителя) дети изготовляют на-
бор фигур (круги, многоугольники).
4. Полоски бумаги для изготовления моделей санти-
метра, дециметра, метра.
5. Палочки (или кусочки проволоки) диаметром
1—3 мм (длиной 8 см — 4 палочки, 6 см — 4 палочки,
12 см — 4 палочки).
v 6. Пластилин.
7. Нитки (или тонкий шпагат).
Б. Классные пособия общего пользования.
1. Классная линейка: для черчения — с ручкой; метр
цветной, разделенный на дециметры.
2. Чертежные треугольники.
3. Цветные мелки.
4. Набор цветных моделей многоугольников разного
вида (треугольники, четырехугольники, пятиугольники
и т. д., в том числе и правильные).
5. Набор моделей геометрических тел (можно взять
у преподавателей математики старших классов). Приз-
мы (в том числе куб и прямоугольный параллелепипед),
82
пирамиды. Набор используется с целью определения
формы граней-
6. Набор палочек (или проволочных спиц), аналогич-
ный индивидуальному. Палочки длиннее и толще в 2 ра-
за, чем в наборе для индивидуального пользования.
7. Арифметическая доска (размер 1X1 м), разлино-
ванная так, чтобы на ней имелись квадратные клетки
5X5 см (с этой целью можно использовать часть клас-
сной доски).
8. Серия диапозитивов: «Геометрический материал»,
I часть. Автор А. М. Пышкало. Издание завода «Физ-
электроприбор. № 4» (приобретается в Учколлекторе).
9. Диафильм «К урокам математики в I классе (гео-
метрический материал)». Автор А. М. Пышкало. Студия
«Диафильм», Москва (приобретается в Учколлекторе).
6*
III. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА ВО II КЛАССЕ.
Во II классе, как и на первом году обучения,
для изучения геометрического материала, включенного в
курс математики, нецелесообразно полностью использо-
вать отдельные уроки. Целесообразнее этот материал
равномерно распределять по всему учебному году, ста-
раясь, чтобы почти на каждом уроке учащиеся получали
хотя бы небольшое задание геометрического характера
(моделирование, вычерчивание, измерение, работа с пе-
регибанием бумаги, наблюдения).
Во II классе продолжается развитие линий, намечен-
ных в I классе, дальнейшее уточнение представлений, со-
вершенствование навыков, закрепление и развитие сло-
варя, приобретенного ранее.
29. ДЕЛЕНИЕ ФИГУР НА ЧАСТИ.
СОСТАВЛЕНИЕ НОВОЙ ФИГУРЫ
ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ФИГУР.
С делением фигуры на части дети уже знакомились в
I классе. Например, они усвоили, что если на отрезке от-
метить точку, то эта точка разделит его на два отрезка—
две части. Учащиеся встречались в своей практике и с де-
лением многоугольника на две (и более) части.
Деление проводилось с помощью отрезка. Поэтому
частями многоугольника снова оказывались многоуголь-
ники.
Во II классе работа должна быть расширена. Это не-
обходимо делать потому, что с делением фигур на части
и с обратной задачей (составлением из отдельных фи-
гур — частей — новой фигуры связано формирование
важных представлений, облегчающих введение понятия
84
доли величины, а также и представлений, без которых в
Дальнейшем трудно сформировать у учащихся понятие
«площадь фигуры».
Задачи, где необходимо разделить фигуру на части,
могут быть разрешены на бумажных моделях фигур (бук-
вальным разрезанием), на чертеже и в воображении.
Приведем пример одной из задач.
Задача. Разделить четырехугольник отрезком на
две части, так, чтобы:
а) обе части были треугольниками;
б) обе части были четырехугольниками;
в) одна часть была треугольником, а другая —четы-
рехугольником;
г) одна часть была треугольником, а другая — пяти-
угольником.
На рисунке 56 (под соответствующими буквами) да-
ны варианты решения этой задачи.
Для решения этой (или аналогичной задачи) на бу-
мажной модели каждый ученик должен подготовить
нужное число (в данном случае 4) одинаковых (равных)
многоугольников. Последняя задача сама по себе явится
важной с точки зрения формирования самых общих
представлений о равенстве фигур. Она может быть реше-
на тремя способами.
1-й способ. По клеточкам вычерчиваются равные
многоугольники, и каждый из них вырезается отдельно.
2-й способ. Вырезается один многоугольник. На-
кладывается на бумагу и по границе обводится каран-
дашом. Нарисованный многоугольник вырезается и т. д.
3-й способ. Берется пачка бумаги (из стольких лис-
тов, сколько многоугольников нужно получить). На верх-
нем листе вычерчивается нужный многоугольник. Вся
пачка разрезается по контурам начерченного много-
угольника.
85
После того как у учащихся подготовлено нужное чис-
ло многоугольников, они выполняют разрезание в соот-
ветствии с условием задачи.
При решении задач на разрезание фигур в воображе-
нии (устно) ученик (на глаз) прикидывает, как должен
пройти отрезок, удовлетворяющий условию задачи. Про-
верка может быть осуществлена либо построением пред-
полагаемого отрезка, либо разрезанием модели, либо
с помощью линейки.
Покажем на примере, как это может быть осущест-
влено.
3 ад ача. Можно ли провести отрезок так (покажи
это наложением линейки), чтобы он разделил четырех-
угольник, изображенный на рисунке:
а) на два треугольника;
б) на три треугольника;
в) на четырехугольник и треугольник;
г) на два треугольника и шестиугольник;
д) на пятиугольник и треугольник?
Приведем возможные решения (рис. 57), причем йй
чертеже прямая линия изображает, каким образом при-
кладывается линейка. Необходимо рассматривать раз-
личные случаи решения, предлагаемые учащимся.
Задача составления новой фигуры из нескольких фи-
гур на первых порах решается как задача обратная, рас-
смотренной выше, т. е. школьник вначале разрезал фи-
гуру на несколько частей, а затем, сложив эти части,
восстановил первоначальную фигуру. Решение задачи на
86
составление фигур лучше
осуществлять на бумаж-
ных моделях.
Следует иметь в виду,
что если четырехугольник
(см. на рис. 57) можно
было разбить на два тре-
угольника тремя спосо-
бами, то решений обрат-
ной задачи (для каждого
случая) может оказаться
бесконечно много. Напри-
мер, только для случая
(см. рис. 57, а2) из двух
полученных треугольни-
ков можно сложить большое число различных много-
угольников (рис. 58), среди которых окажется и данный
четырехугольник и т. д. Приведенный пример подчерки-
вает сложность формулировки задачи так, чтобы ее ре-
шение было однозначным или более определенным.
Например, для того чтобы из двух треугольников
можно было сложить четырехугольник, необходимо ра-
венство какой-нибудь стороны одного треугольника, ка-
кой-нибудь стороны другого треугольника или еще бо-
лее сложные требования, связанные с величиной углов
(что, понятно, еще недоступно учащимся младших клас-
сов). Поэтому не для любых двух треугольников может
быть сформулирована задача; «Составить из двух тре-
угольников четырехугольник». Тем большим требова-
нием должны отвечать два треугольника, из которых
можно сложить прямоугольник или квадрат.
Поэтому наиболее приемлемой формулировкой будет,
например, такая: «Какой многоугольник (какие) можно
сложить из двух (трех и т. д.) многоугольников (четырех-
угольников)». Задача имеет бесконечное множество ре-
шений. Ученику достаточно показать какое-нибудь одно
(или несколько).
Особый интерес учащихся вызывает решение задач
на составление различных фигур из одних и тех же час-
тей квадрата, одна из разновидностей так называемой
индийской головоломки *.
1 Другие примеры рассмотрены в разделе IV.
87
Рис. 59.
Приведем пример, квадрат 10X10 см из плотной бу-
маги (лучше цветной) делится на 7 частей так, как это
показано на рисунке 59 (части отмечены номерами для
того, чтобы были ясны примеры).
Ученики наблюдают силуэты фигур (например, «кош-
ки», рис. 59) и пытаются из семи многоугольников (ча-
стей квадрата) сложить «кошку». Большой интерес
представляет и задача: «Сложить из этих семи фигур
квадрат, четырехугольник (но не квадрат)». Решение
аналогичных задач требует много времени. Поэтому это
целесообразно делать во внеклассной работе (тема для
проведения математического конкурса) или дома.
Следует отметить, что задачи вида: «Какие знакомые
фигуры вы видите на чертеже?»1 (рис. 60) —не являют-
ся задачами на деление фигур на части и преследуют
иные цели
Причем в зависимости от чертежа они приводят к су-
щественно различным решениям. Так, например, иа ри-
сунке 60, а ученик должен заметить следующие знако-
мые фигуры:
а) отрезки КА, КМ, ME, АЕ, ОЕ, АО, AM, ОМ (8 от-
резков) ;
б) замкнутые ломаные линии КАЕМ, КАМ, АОЕ,
ОМЕ, КМОЕА, КМЕОА и т. д.;
в) незамкнутые ломаные линии АКМ, АКМО,
АКМОЕ, АОЕ, АОЕМК и т. д. на рисунке 60,6, кроме
всех вышеназванных фигур (отрезков и ломаных линий),
ученик должен будет назвать:
1 Такие задачи в достаточном числе содержатся в учебниках.
88
а) треугольники АОЕ, АМЕ, АКМ, МОЕ',
б) четырехугольник (прямоугольник) КАЕМ\
в) пятиугольники КМОЕА, К.МЕОА.
Как видите, приведенная задача существенно из-
менится в зависимости от чертежа и каждый раз (с це-
лью облегчения) нуждается в дополнительных условиях.
30. ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
БУКВАМИ.
Необходимость введения буквенной символики в
практику решения геометрических задач учащимися
II класса очевидна. Приведенные выше (п. 29) задачи
это ярко подтверждают. С другой стороны, использова-
ние буквенных обозначений позволяет во II классе вновь
рассмотреть изученные ранее фигуры, обобщить их свой-
ства, и, что самое важное, постепенно формировать
представления о математическом языке. Учащиеся быст-
ро убеждаются в том, что буквенные обозначения по-
зволяют коротко и ясно формулировать задачи, ставить
вопросы, фиксировать результаты решения.
При обозначении фигур следует употреблять заглав-
ные буквы латинского алфавита и для начала те из них,
которые пишутся и произносятся на русском и латин-
ском языках одинаково.
Этими буквами являются К, О, М, Е, Т, А. К ним
можно присоединить уже известные учащимся X — икс,
У — игрек.
Учащимся объясняют, что каждой точке на чертеже
можно дать «имя». Это целесообразно сделать, чтобы
различать точки. Для этого принято около точки ставить
одну из заглавных букв. Обозначить точку — значит на-
звать ее какой-нибудь буквой.
Концы отрезка — точки, каждую из них обозначают
заглавной буквой. Значит, для обозначения отрезка
89
удобно применять две буквы. Если, например, написано
отрезок ОК— это значит, что О и К — точки — концы
отрезка. Важно заметить, что порядок букв при обозна-
чении отрезков не существен. Так, отрезок МО и ОМ —
один и тот же.
Приведем примеры содержательного (с точки зрения
формирования геометрических представлений) исполь-
зования буквенных обозначений в обучении.
Пример 1. Начертите отрезки АО и ОК.
Решение. Из обозначений видно, что точка О явит-
ся общей для двух отрезков. На рисунке 61 приведены
некоторые решения.
Пример 2. Начертите отрезки АО, ОК, КА.
Решение. Из обозначений видно, что каждая пара
данных отрезков имеет общую точку (рис. 62).
Ясно, что приведенные примеры целесообразно ис-
пользовать в обучении только после того, как дети при-
обретут опыт применения буквенных обозначений.
Учащимся сообщается, что при рассмотрении лома-
ных линий и многоугольников применяются буквы, обо-
значающие их вершины. Эти буквы записываются одна
за другой по мере обхода вершин. На рисунке 63 изобра-1
жена ломаная АОКМ, или, что одно и то же, МКОА.
Рис. 62.
90
о
Рис. 64.
На рисунке 64 изображен треугольник ТОА (ЛОТ,
или OAT, ТАО и т. д.).
Вершины многоугольника, начиная с любой, могут
быть названы одна за другой последовательно по дви-
жению часовой стрелки или против движения часовой
стрелки.
Введение буквенных обозначений должно происхо-
дить постепенно на основе рассмотрения достаточного
числа примеров для каждого вида фигур. Например, пе-
реход к изучению буквенных обозначений углов много-
угольника может быть осуществлен только после усвое-
ния приемов обозначения буквами многоугольников, чте-
ния и записи этих обозначений. Учащимся сообщается,
что углы можно обозначать одной буквой, стоящей око-
ло вершины. На рисунке 64 — это угол А, угол О, угол Т.
Применяется значок «Z.», заменяющий слово «угол».
Так, запись «/ГЛ» читается: угол Л.
Иногда обозначать угол одной буквой неудобно. На
рисунке вершина А является вершиной трех углов. По-
этому углы обозначают и тремя
буквами. При записи углов тремя к
буквами важно, чтобы средней всег- /к
да была буква, стоящая у вершины. / D
На рисунке 65 мы имеем Z-KAT, / /к
/LKAD, A.DAT, /LAKD, /LATK, / / \
Z_KDA, Z-ADT. Л /
Мы подчеркнули вершины каж- / /
дого из названных углов. Следует / 7
заметить, что, например, A-AKD //
и Z-DKA — один и тот же угол.
Можно сообщить учащимся, что/]
иногда удобно обозначать углы рис. 6$.
91
цифрами. В этом случае соответствующая цифра ставит-
ся внутри угла ближе к вершине (рис. 66). При обозна-
чении прямых линий, как и при обозначении отрезков,
применяют две буквы. Они ставятся в различных ме-
стах около прямой. На рисунке 67 изображены прямые
линии АО, DE и отрезок КТ.
Во II классе постепенно можно использовать, напри-
мер, для записи результатов измерения отрезков такую
запись: «Д£) = 3 см». Учащиеся эту запись должны читать
так: длина отрезка AD равна 3 см. После того как уча-
щиеся усвоят смысл этой записи, задачу «Начертить от-
резок ОМ длиной 5 см» можно формулировать так: «По-
строить (начертить) отрезок ОМ =5 см».
31. ДЕЛЕНИЕ ФИГУРЫ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ.
СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР ИЗ НЕСКОЛЬКИХ
РАВНЫХ ФИГУР.
Частный случай задачи деления фигуры на части —
деление фигуры на равные фигуры («а равные части) —
играет исключительно важную роль в процессе обучения
школьников математике. Кроме назначения — заложить
исходные представления, на основе которых образуется
в дальнейшем понятие площади фигуры, эта задача поз-
воляет иллюстрировать операцию умножения чисел
(и обратную операцию). На основе представлений и навы-
ков, приобретенных при ее решении, становится возмож-
ным рассмотрение таких вопросов, как изображение чи-
сел фигурами (отрезками, точками и т. д.), в частности,
ознакомление с диаграммами. Исключительно важна
эта задача и для изучения понятий «доля величины»,
92
«дробь величины», на основе которых существенно рас-
ширяются представления о числе.
Наибольшие удобства при реализации рассматривае-
мой задачи в начальных классах представляются в свя-
зи с изучением отрезков и многоугольников, которые лег-
ко могут быть разрезаны на равные фигуры.
Опыт сравнения, измерения и вычерчивания отрезко!В
дает возможность установить, что на каждом отрезке
может быть отмечена точка, делящая этот отрезок на
две равные части (на два равных отрезка). В этом
случае говорят: «Эта точка делит отрезок пополам».
Детям сообщают, что эту точку называют серединой
отрезка.
Необходимо рассмотреть несколько способов отыска-
ния середины отрезка. Например, это можно сделать
с помощью нитки (берется кусочек нитки, равной с от-
резком длины, перегибается), с помощью бумажной по-
лоски (аналогично, как и ниткой), измерением (находят
длину отрезка). Перегибание отрезка (например, полос-
ки или нитки) позволяет делить его не только на 2, но
и на 3, на 4 (на 2 и еще раз на 2), на 5, на 6 (на 3, а затем
на 2) и т. д. частей. Деление данного отрезка на нужное
число равных частей путем его измерения в практике
обучения младших школьников (они не знакомы с дро-
бями) методически не оправданно. Однако несколько поз-
же (после ознакомления детей с циркулем, со сравне-
нием отрезков при помощи циркуля) целесообразно
показать приближенное деление отрезка на нужное чис-
ло равных частей методом проб: на глаз определяется
расстояние между концами иожек циркуля. Циркулем
«прошагивают» нужное число раз. Если при этом не
пройден весь отрезок, то расстояние между ножками не-
много увеличивают и снова «прошагивают» отрезок. Так
поступают до тех пор, пока ие станет возможным «про-
шагать» отрезок циркулем нужное число раз. После это1-
го точки —концы каждого «шага» отмечают каран-
дашом.
Бумажная полоока имеет форму прямоугольника.
Опыт ее использования для деления отрезков на равные
части может быть применен для показа деления много-
угольника на равные части (в данном случае прямо-
угольника). Это делается на первом этапе обучения,
В дальнейшем нужно раскрыть детям буквально неогра-
93
ничейные возможности решения такой задачи. Рассмот-
рим это на примере.
Задача. Разделить прямоугольник на две равные
части.
При такой формулировке решение ее чрезвычайно
многозначно. Если деление выполнять отрезком, то име-
ем (рис. 68) бесконечное множество решений.
Но прямоугольник на части можно делить, например,
ломаной линией. И в этом случае невозможно рассмот-
треть все решения. На рисунке 69 показаны некоторые
из них.
Изменим формулировку задачи: «Разделить прямо-
угольник (отрезком) на две равные части так, чтобы каж-
дая из частей была: а) прямоугольником; б) треуголь-
ником; в) четырехугольником».
Задача «а», очевид-
Рис. 68.
но, будет иметь два ре-
шения (рис. 70, а).
Задача «б» имеет
одно решение (рис.
70, б), но задача «в»
имеет бесконечное мно-
жество решений (рис.
70, в).
Рассмотренные при-
меры убеждают в том,
Рис. 69.
насколько вниматель-
ным должен быть учи-
тель, составляя тексты
задач, для решения ко-
торых выполняется де-
ление фигур на равные
части.
Наиболее подхо-
дящей в методическом
отношении формой
(особенно для начала),
как мы уже замечали
выше, является реше-
ние рассматриваемых
задач перегибанием
фигуры, например: бу-
мажных полосок —
94
ч. rm i-j
прямоугольников, треугольников, кругов и т. д. По мере
усвоения опыта постепенно все больше и больше сле-
дует выполнять решение таких задач на чертеже. Однако
и в самом начале ознакомления с задачей деления фи-
гуры на равные части дети могут пользоваться черте-
жами. Возможности для большого класса фигур откры-
вает применение клетчатой бу-
маги. Учащиеся хорошо представ-
ляют, что клетка — это квадрат и
все клетки на листе есть равные
квадраты. Поэтому любой много-
угольник, граница которого со-
ставлена из сторон клеток, всегда
(линиями клетчатого листа) бу-
дет разделен на целое число рав-
ных частей—квадратов (рис. 71).
Для того чтобы ответить на
вопрос задачи, достаточно только
найти число клеток (квадратов),
на которые разделена фигура. На
рисунке 71: фигура 1—3 клетки,
фигура 2—29 клеток, фигура
3—26 клеток.
Пользуясь клетками, легко ре-
6
Рис. 72.
95
шается и обратная задача (еще раз заметим, что обрат-
ная задача имеет не одно решение). Например, составить
(начертить) фигуру, содержащую 6 равных квадратов.
Задача имеет много решений. Приведем некоторые из
них (рис. 72). Можно, введя дополнительные условия, по-
лучить задачу, имеющую меньшее число решений, напри-
мер, начертить прямоугольник, содержащий 6 клеток.
Эта задача имеет только два решения (см. рис. 72,1,2).
Для решения аналогичных задач можно использовать на-
бор 10—12 равных квадратов. По заданию учителя дети
складывают из этих квадратов различные фигуры.
32. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ
И СОСТАВЛЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ.
Выше мы уже рассказывали о возможности исполь-
зования геометрических фигур в процессе формирования
понятия числа, операции над числами в I классе. Совер-
шенно очевидно, что аналогичная работа должна рас-
ширяться и углубляться во II классе и в дальнейшем
обучении.
Большую помощь в овладении таблицей умножения
оказывают упражнения по подсчету геометрических фи-
тур. С этой целью могут быть использованы точки, от-
резки, круги, квадраты и другие фигуры.
Пример 1. Найти число точек, отмеченных на ри-
сунке 73. -
В зависимости от времени учебного года эта задача
может быть решена различными способами:
а) непосредственным подсчетом;
б) сложением:
ученик замечает 4 строки точек, по 3 точки в каждой
строке (или 3 столбца точек, по 4 точки в каждом) и за-
писывает: 3 + 3+3 + 3 = 12(4 + 4 + 4 = 12);
в) непосредственным ' применением
* * * умножения (задача сводится к выполне-
• • • нию умножения 3-4, или 4-3).
е . . Пр и м е ч а н и е. Имеем хорошую гео-
метрическую иллюстрацию коммутатив-
• • • ности умножения (переместительный за-
Рис. 73. кои) двух чисел.
96
Совершенно не обязательно располагать точки (или
другие фигуры) в виде прямоугольника.
П р и м е р 2. Найти число геометрических фигур, изо-
браженных на рисунке 74. (Дополнительные примеры
рассмотрены в разделе IV, стр. 123.)
В связи с изучением таблицы умножения эта задача
решается примерно так: фигуры расположены в 3 стро-
ки, каждая из которых содержит 6 фигур. Поэтому 6'3 =
= 18. Можно рассуждать иначе: фигуры расположены
в 6 столбцов, в каждом из которых по 3 фигуры. Поэто-
му 3-6=18. То, что на рисунке изображено 18 фигур, мо-
жет быть проверено непосредственным подсчетом.
Рис. 74.
го е
Рис. 75.
7 Заказ 1821
97
Пример 3. Найти число квадратов, на которые
разделены фигуры (рис. 75). Учащиеся должны найти
закономерность (слои, строки, столбцы), позволяющую
применить при подсчете квадратов (клеток) умножение,
т. е. получить выражение а-b, где а — число клеток в од-
ном слое (строке, столбце и т. д.), Ь — число таких слоев.
Пример 4. Найти число квадратов (клеток), на
которые разделены прямоугольники (рис. 76). После
примеров, аналогичных рассмотренным выше, эта за-
дача проще.
Примечание. В стабильном учебнике1 дается
квадрат (10X10 см), разделенный на квадратные санти-
метры, а также бумажный угольник. Располагая соот-
ветствующим образом угольник — экран, можно получить
прямоугольники с любым числом клеток, получающихся
в результате умножения однозначных чисел. На рисунке
77 показан случай для выражения 5’3, или 3-5. Геомет-
рические фигуры, разбитые, в частности, на равные квад-
раты (или сложенные из таких квадратов), целесооб-
разно использовать для составления и вычисления зна-
чений более сложных, чем произведение двух чисел, вы-
ражений. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Составить выражение для нахождения
числа квадратов, составляющих фигуру, изображенную
на рисунке 78.
Решение может быть выполнено двумя способами.
1) Фигура составлена из прямоугольников АМУЕ
и ОУТК.
1 М. И. М о р о, М. А. Б а н т о в а. Математика для второго клас-
са. М., «Просвещение», 1972, стр. 36.
98
Первый из них содер-
жит 4-6 клеток, а второй
2-5 клеток. Получаем вы-
ражение для нахождения
числа клеток 4-6+2-5. На-
ходим значение выраже-
ния (выполняем вычисле-
ния), получаем 34, 34
квадрата содержит дан-
ная фигура.
2. Эту фигуру можно
разделить иначе: на пря-
моугольник АХОМ, содер-
жащий 2-6 клеток, и на
прямоугольник ХК.ТЕ, со-
держащий 241 клеток.
Получаем выражение
2-6 + 241, значение кото-
рого также равно 34.
Пример 2. Соста-
вить выражение для на-
хождения числа клеток,
составляющих фигуру
(рис. 79). Задача также
может быть решена не единственным способом. Однако
наиболее простое выражение, составленное по условию
задачи, будет 13-7—5-3. От клеток, заполняющих боль-
шой прямоугольник, отбрасываются клетки прямоуголь-
ника, расположенного внутри. Использование в обучении
рассматриваемых задач связано с дополнительными
трудностями для учителя (нужно каждый раз рисовать
7*
99
фигуру, разделенную на
клетки). Применение
арифметической доски
значительно упрощает
работу. Рассмотрим
только один пример. На
арифметической доске
(рис. 80) буквами обозна-
чается несколько точек.
Учащимся предлагается,
например, начертить
(пользуясь линиями тет-
ради в клетку) много-
угольник АМЕТХП и най-
ти число клеток, составля-
ющих многоугольник (со-
ставить выражение).
Такой способ задания удобен и при выполнении са-
мостоятельных или контрольных работ. В этом случае
каждый ученик получает «свою» фигуру (каждому уче-
нику сообщается свой вариант). Например, I вариант —
вычерчивает многоугольник МЕТХУК, II вариант —
МКОТХВ, III вариант — АКУВЕД, IV вариант —
АК.УХТД и т. д.
33. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦИРКУЛЯ
ДЛЯ СРАВНЕНИЯ ОТРЕЗКОВ И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ.
Во II классе становится возможным использовать
циркуль для сравнения отрезков. С этой целью, кроме
циркуля-измерителя, можно применять обычный циркуль
и даже «козью ножку» (самый простой и дешевый цир-
куль). Учащиеся получают задание начертить два отрез-
ка. Учитель на доске также вычерчивает отрезки AM
и ОЕ (рис. 81) и проводит показ, сопровождаемый объ-
яснением. Дети по ходу объяснений работают в тетра-
дях. Ставится вопрос: как с помощью циркуля сравнить
эти отрезки? Поставим одну ножку циркуля (иглу) в
точку А (один из концов отрезка ЛМ), раздвинем цир-
куль так, чтобы вторая ножка (конец карандаша) попал
в точку М (рис. 81, а). Не изменяя положения ножек, по-
ставим одну из них в начало второго отрезка в точку О
и посмотрим, куда поместилась вторая ножка. На ри-
сунке 81, б видно, что отрезок AM меньше отрезка ОЕ.
100
Учитель знакомит детей с записью, применив соответ-
ствующие знаки: ЛМ<0£ или ОЕ>АМ. Такая запись
читается: отрезок AM меньше отрезка ОЕ, или отрезок
ОЕ больше отрезка AM. С помощью циркуля учащиеся
сравнивают стороны многоугольников, звенья ломаных
и т. д.
После того как учитель убедился в том, что дети ов-
ладели основными навыками сравнения отрезков, учи-
тель показывает с помощью циркуля построение отрезка,
равного данному отрезку, и затем рассматривает при-
емы измерения отрезков с помощью циркуля и масштаб-
ной линейки.
Пусть нам нужно измерить сторону прямоугольника.
Прикладываем циркуль к стороне так, как это показано
на рисунке 82. Не меняя положения ножек, прикладыва-
ем их концы к линейке (см. рисунок). Мы видим, что
длина этого отрезка равна 5 см. У учащихся может воз-
никнуть вопрос: зачем
куль, когда эту сторону
можно измерить, при-
ложив линейку? Детям
можно рассказать, что
в некоторых случаях
(особенно в производ-
ственной практике)
линейку не удается сов-
местить с отрезком.
Вот тогда и целесооб-
разно применить для
измерения циркуль.
Можно также отметить
тот факт, что измере-
101
ние отрезков с помощью циркуля и линейки точ-
нее.
После этого учащиеся при небольшой помощи со сто-
роны учителя догадаются, каким образом с помощью
циркуля (и линейки) можно начертить отрезок заданной
длины. Особенно легко в этом случае решается задача
«увеличения данного отрезка в несколько раз» (последо-
вательным откладыванием на прямой данного отрезка
нужное число раз). О том, как использовать циркуль для
деления отрезка на несколько равных частей, мы уже рас-
сказали на странице 93.
34. ОБОБЩЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
ОСНОВАНИЕ И ВЫСОТА ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
КВАДРАТ.
К этим вопросам во II классе следует вернуться и
в связи с повторением и, главным образом, с целью
уточнения первоначальных представлений. Для провер-
ки утверждения, что противоположные стороны прямо-
угольника попарно равны, эти стороны сравнивают
(у различных прямоугольников) с помощью циркуля.
В ходе решения разнообразных задач на сравнение
и измерение отрезков полезно рассмотреть и такие1.
1. Сравнить отрезки, соединяющие противоположные
вершины прямоугольника (рис. 83), т. е. сравнить отрез-
ки AM и ЕК.
Дети обнаруживают, что у прямоугольника такие от-
резки равны.
2. Сравнить отрезки АО, ЕО, КО, МО.
Точка О—точка пересечения отрезков, соединяющих
противоположные вершины прямоугольника. Она делит
эти отрезки пополам.
Замеченные свойства позволяют построить прямо-
угольник (не на клетчатой бумаге) без
применения чертежного треугольника.
Для этого нужно начертить две пере-
секающиеся прямые (рис. 84, а). От
точки пересечения отложить равные
отрезки (рис. 84, б) и их концы соеди-
нить по линейке (рис. 84, в). Инте-
1 Эти задачи не для обязательного использования.
102
Рис. 84.
ресно эту задачу выполнить путем перегибания листа
бумаги.
Изучение опыта работы школы и состояния знаний
учащихся убеждает, как часто дети усваивают некоторые
неудачные в научном отношении термины, что связано
с дальнейшим переучиванием. К таким терминам, на наш
взгляд, можно отнести термины «длина» и «ширина»
прямоугольника. Наиболее существенным недостатком
выражения «длина прямоугольника» состоит в том, что
в нем термин «длина» употребляется в ином смысле, чем
в выражении «длина отрезка». Длина прямоугольника—
это его сторона, это отрезок. Длина отрезка — это число.
Следует заметить, что по традиции длиной называют не
любую сторону прямоугольника, а большую (соответст-
венно шириной обязательно называют меньшую из сто-
рон) и если учесть, что через год обучения (в IV классе)
дети будут знакомиться с новой терминологией (с осно-
ванием и высотой), то не лучше ли будет уже во II клас-
се начать постепенно вводить эту терминологию.
Для начала детям следует привести пример. Они
знают, что сатин, ситец (или другая ткань) изготовляет-
ся на фабрике в виде длинной полоски одинаковой шит-
рины (ширина ткани). Ситец сворачивается в рулон.
(Дополнительные сведения даны в разделе V, стр. 190.)
При продаже от этого рулона отрезаются куски прямо-
угольной формы, длина этих кусков зависит от желания
покупателя. Пусть, например, ширина ткани 80 см. Один
человек, пусть это будет мама, купила 2 м, бабушка ку-
пила 80 см, а сестра — 50 см. Оказывается, что (при од-
ной и той же ширине) длина прямоугольника может
быть различной и быть больше ширины, меньше ее и рав-
на ширине. Этот пример предназначен для того, чтобы
разрушить вышеупомянутую условность. После этого
103
учащимся можно сообщить, что
в математике вместо слов «дли-
на» и «ширина» стороны пря-
моугольника называют основа-
нием и высотой. Если одна из
сторон названа основанием, то
другую сторону прямоугольни-
ка, имеющую с ней общую вер-
Рис. 85.
шину, называют высотой
(рис. 85). Заметим, что прямой угол заключен между
основанием и высотой (или основание и высота, образу-
ющие прямой угол, являются сторонами прямого угла).
Квадратом называют прямоугольник, у которого ос*
нование и высота (длина и ширина) равны между собой.
Это значит, что все стороны квадрата равны между со-
бой. Дети постепенно должны усвоить, что любой квад-
рат является прямоугольником (четырехугольником, у
которого все углы прямые), но прямоугольник не всегда
будет квадратом.
Так как квадрат является прямоугольником, то для
него выполняются свойства, рассмотренные на страни-
це 102, т. е. отрезки, соединяющие противоположные вер-
шины квадрата, равны. Точка пересечения этих отрезков
делит их пополам. Но дополнительно к этому учащиеся
замечают, что у квадрата отрезки, пересекаясь, образу-
ют прямые углы. Это проверяется с помощью циркуля и
чертежного треугольника. Результаты наблюдений ис-
пользуются для построения квадрата из листа бумаги
путем перегибания.
Лист бумаги неопределенной формы сгибается вчет-
веро, как при получении прямого угла. От точки пересе-
чения линии сгиба (по этим линиям откладываются рав-
ные отрезки) отмечаются точки (прокалываются). Лист
снова складывается вчетверо и через две нз точек выпол-
няется разрезание (рис. 86).
Рис. 86.
104
35. ДЛИНА ЛОМАНОЙ.
ПЕРИМЕТР МНОГОУГОЛЬНИКА.
Уже в I классе учащиеся решали много задач, свя-
занных со сложением и вычитанием длин отрезков. На-
пример, «от отрезка длиной 9 см отнять отрезок длиной
4 см», или «сложи отрезки длиной 5 см и 3 см» или «дли-
на первого отрезка 4 см, второй отрезок иа 3 см длиннее
первого, а третий на 2 см длиннее второго, чему равна
длина третьего отрезка?». Все перечисленные задачи но-
сят «вычислительный» характер. Учащиеся при их реше-
нии оперируют длинами отрезков, т.е. числами, и для
решения этих задач несущественно наличие чертежа.
Таким образом, сумма длин отрезков — это число, являю-
щееся суммой чисел.
Когда же говорят о сумме отрезков, то имеют в виду
новый отрезок, получение которого не связано с измере-
нием (с длиной), т. е. является не вычислительной, а гео-
метрической задачей.
Это различие должно быть ясно учителю. Во II классе
в ходе рассмотрения вычислительных задач с длинами
отрезков следует все чаще и чаще искать возможности
использовать при их решении геометрический подход.
Другими словами, учащиеся узнают, что сумма отрез-
ков — это новый отрезок, полученный из данных следую-
щим способом.
Для построения суммы двух отрезков нужно эти от-
резки расположить на прямой линии так, чтобы конец
первого совпал с началом второго. Тогда отрезок, начало
которого является началом первого отрезка, а концом—>
конец второго, и будет суммой двух отрезков (рис. 87)'.
Рис. 87.
105
Для получения разнос-
ти этих отрезков 2 (вы-
читаемое) накладывается
на отрезок 1 (уменьшае-
мое). Разностью отрезков
1 и 2 будет та часть отрез-
ка .1, на которую он боль-
ше (длиннее), чем отре-
зок 2 (рис. 88).
Сумму или разность
-------- -”'<л 1 1 -.—отрезков можно построить
-----------------.-—.с помощью циркуля, не
2м...................используя масштабную
Рис. 89. линейку. Учащиеся про-
веряют, что длина отрез-
ка, являющаяся суммой данных отрезков, есть сумма
длин слагаемых отрезков.
Очень наглядно эти понятия связываются с решением
простейших уравнений.
Пример. Точка О делит отрезок AM = 12 см, на от-
резок АО = 3 см и отрезок ОМ. Найти длину отрезка ОМ.
По условию и приведенному чертежу (рис. 89) (бук-
вой х обозначить длину отрезка ОМ) учащиеся могут
составить различные уравнения:
1. 3+х= 12
2. 12—х=3
3. 12—3 = х
В результате решения любого из этих уравнений по-
лучаем, что отрезок ОМ = 9 см.
Интерес представляет следующая форма постановки
аналогичной задачи: «Пользуясь чертежом, составить
уравнение и найти неизвестный отрезок» (рис. 90).
Длина ломаной линии равна сумме длин ее звеньев.
Длину ломаной можно найти двумя способами.
1. Измерить каждое звено и полученные числа сло-
жить. Мы получили новое число — длину ломаной
(рис. 91): 4+7+3=14 (см).
ЬСМ Хсм
I-----------1 « I—;-----------
....... - ...... . .
/5 см
Рис. 90.
106
7 см
Рис. 91.
Дм.на этого отрезка кем
Рис. 92.
2. Найти геометрическую сумму звеньев. Например,,
с помощью циркуля отложить на прямой линии одно за
другим (рис. 92) все звенья ломаной. Этот процесс на-
зывают «выпрямлением» ломаной. Полученный отрезок
измерить. В обоих случаях результат должен быть одним
и тем же.
Выпрямление ломаной можно продемонстрировать
учащимся, проведя небольшой эксперимент. Берется мо-
дель ломаной, сделанная из тонкой и мягкой (например,
медной) проволоки. Сначала находят ее длину первым
способом, затем выпрямляют проволоку и измеряют ее
(как отрезок).
После решения достаточного числа задач на нахож-
дение длины (замкнутых и незамкнутых) ломаных мож-
но ознакомить детей с понятием периметра многоугольни-
ка. Предварительно им необходимо напомнить, что гра-
ница многоугольника есть замкнутая ломаная. Затем со-
общить, что длину границы многоугольника называют пе-
риметром этого многоугольника. Дети самостоятельно
приходят к выводу, что периметр многоугольника есть
длина ломаной линии.
Для первых задач, в которых нужно найти периметр
многоугольника, целесообразно использовать различные
треугольники. Используют бумажные или картонные мо-
дели многоугольников. Дети измеряют каждую сторону,
находят длины сторон. Получают сумму длин. Это и бу-
дет периметром многоугольника. Затем переходят к ре-
шению задач на чертежах разнообразных многоугольни-
ков. В этом случае иногда, например для треугольников,
целесообразно также находить периметр вторым спосо-
бом (спрямлением ломаной).
Задача нахождения периметра прямоугольника или
квадрата тесно связана с использованием свойств их
противоположных сторон и с составлением выражения
(формулы) для нахождения периметра.
107
Рис. 93.
Однако еще до этого целесообразно показать уча-
щимся возможность составления таких выражений и для
других многоугольников. Например, найти периметры
многоугольников, изображенных на рисунке 93.
Учащиеся составляют выражение для вычисления пе-
риметров этих фигур. Соответственно 4-3=12 (см);
2-3+6-2=18 (см); 2-10 = 20 (см)- После достаточной
тренировки в решении аналогичных задач дети без труда
усваивают структуру выражения для вычисления пери-
метра прямоугольника и квадрата. Так, например, для
вычисления периметра прямоугольника со сторонами 9 см
и 7 см можно составить два выражения Э-2 + 7-2 и
(9+7)-2.
Для вычисления периметра квадрата со стороной 6 см
составляется выражение 6-4.
36. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ.
Учащиеся понимают высказывание: «Расстояние меж-
ду двумя точками может быть указано по-разному». Из
своего жизненного опыта они знают, что, например, от
школы до дома можно идти различными дорогами, раз-
личными путями. При этом одна дорога короче (или
длиннее) другой.
Поэтому во II классе нужно уточнить это понятие. На
арифметической доске рассматривается задача (рис. 94):
«Из точки А (школа) в точку М (дом) можно- идти
разными дорогами (улицы — стороны квадратов), про-
ходя при этом разные пути (обозначаются цветными- мел-
ками)».
Ставятся вопросы: по какой дороге нужно идти, что-
бы пройти:
а) наибольшее расстояние!
108
б) наименьшее рас-
стояние?
Для сравнения рас-
стояний (длин лома-
ных) находится соот-
ветствующее число
«улиц».
Ломаная красного
цвета состоит из 17
улиц (равных отрез-
ков — сторон квадра-
та), синяя — из 15, зе-
леная— из 17 таких же
—Синяя
•.....Зеленая
отрезков, и, наконец, Рис. 94.
белая — из 7. Можно
поставить вопрос о нахождении других (не отмеченных
на рисунке) расстояний между точками А и М по раз-
личным ломаным линиям. Здесь можно еще раз напом-
нить, что две точки можно соединить различными лома-
ными, их сколько угодно и только одним отрезком. Дли-
на отрезка меньше длины любой из ломаных, соединяю-
щих его концы. Поэтому за расстояние между двумя
точками принимают отрезок, соединяющий эти точки.
Упражнения в измерении расстояний между точками
могут быть использованы для изучения (обнаружения)
некоторых свойств фигур. Например, при измерении
расстояний между противоположными вершинами пря-
моугольника дети обнаруживают, что эти расстояния рав-
ны. Вершина А находится на таком же расстоянии от
вершины М, как и вершина Т от вершины Е (рис. 95).
Путем измерений можно установить, что внутри прямо-
угольника можно найти точку, которая одинаково удале-
на от всех его вершин (несколько советов дано и в оаз-
деле V, стр. 192).
37. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТРЕЗКАМИ.
Изображение чисел геометрическими
фигурами в различных формах широко
используется с I класса. Например, при
первоначальном ознакомлении с числом
и операциями над числами, кроме счет-
ных палочек, применяются геометриче-
ские фигуры и их элементы. Уже при
Рис. 95.
109
использовании масштабной линейки для иллюстрации
операций сложения и вычитания дети знакомятся с воз-
можностью изображать числа отрезками: числу 3 соот-
ветствует отрезок в 3 см, а числу 7 — отрезок длиной
7 см и т. д.
Дети знакомятся с возможностью изображать усло-
вия различных задач отрезками. Краткая запись усло-
вия задач «в отрезках» весьма эффективный прием,
позволяющий более наглядно представить содержание
задачи. Однако этот прием может быть введен посте-
пенно на основе четких представлений об отрезках, об
их сравнении, о длине отрезков. Изображение условий
задачи «в отрезках» связано с формированием четких
представлений о масштабе (во II классе этот термин
можно еще не вводить в обиход школьников). Представ-
ления вводятся в ходе решения, например, таких задач.
Задача 1. Отрезок АО (рис. 96) соответствует
(изображает) 1 единице. Сколько единиц изображает
отрезок МТ, К.Е? Каким отрезком (начертить) можно
изобразить число 9?
Задача 2 отличается тем, что отрезок О А изобра-
жает не 1 единицу, а, например, 2 (3; 4; бит. д.). Вопро-
сы ставятся те же, что и в предыдущей задаче.
З.адача 3 несколько сложнее предыдущих. Отрезок
МО изображает число 3 (5; 7 и т. п.). Какие числа
изображают остальные отрезки (рис. 97)? Каким отрез-
ком (начертить) можно изобразить число 12?
Отсюда уже недалеко до введения термина «диа-
грамма».
Для этого учащимся рассказывают, что иногда вели-
чины удобно изображать отрезками. Чертеж, на котором
величины изображены отрезками, называют диаграм-
мой1. Рассматриваются примеры простейших диаграмм.
1 Это делают в III классе.
ПО
Например, дети должны
уметь прочитать диаграмму,
показывающую сравнитель-
ные успехи школьников вто-
рых классов в сборе бумаж-
ной макулатуры: сразу ска-
зать, какой из классов со-
брал больше (меньше), чем
остальные. Расположить их
в порядке убывания (или
возрастания) количества со-
бранной макулатуры и, на-
конец, назвать числа, харак-
теризующие успехи каждого
класса (рис. 98).
Рис. 98.
38. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИРКУЛЬ.
Знакомство учащихся с окружностью и* кругом свя-
зано с известными трудностями, которых можно избе-
жать. Учащимся напоминают, что для вычерчивания от-
резков прямых линий служит линейка, и рассказывают
(сопровождая показом), что для вычерчивания окруж-
ностей есть специальный инструмент — циркуль. В мо-
мент показа работы циркуля, когда еще не вся окруж-
ность начерчена, полезно подчеркнуть, что одна ножка
циркуля (с иглой) стоит на одном месте (эту точку на-
зывают центром окружности), а другая ножка движется
и ее конец (мел, карандаш) вычерчивает линию. Эту ли-
нию называют окружностью. Очень важно на первых
порах сразу подчеркнуть, что окружность есть граница
фигуры, с которой учащиеся хорошо знакомы. Эта фигу-
ра — круг. При этом уместно привлечь для сопоставления
многоугольник, границей которого является замкнутая
ломаная линия. Учащиеся подводятся к выводу, что
окружность — замкнутая кривая линия — является гра-
ницей круга. •
Полезно показать учащимся вычерчивание окруж-
ности с помощью планки (или картонной полоски). По-
лоска гвоздиком прибивается к доске. К другому ее кон-
цу прикладывается мел, полоска вращается около гвоздя
и мел вычерчивает окружность. Большую окружность
можно начертить на земле с помощью веревки и двух
колышков (рис. 99).
111
Рис. 99.
С целью уточнения представления детей об окруж-
ности и круге необходимо рассмотреть задачи.
1,.Назовите точки, принадлежащие и не принадлежа-
щие окружности (рис. 100).
2. Назовите точки (рис. 101): а) принадлежащие кру-
гу; б) принадлежащие окружности; в) не принадлежащие
кругу; г) принадлежащие кругу, но не принадлежащие
окружности.-Учащиеся отвечают на вопросы задачи:
а) О; Е; Д\ М\ б) М; Д; в) Г; Д; г) О, Е.
Затем учащихся можно познакомить с понятием «ра-
диус» окружности. Для этого они проводят окружность.
По просьбе учителя отмечают на окружности какую-ни-
будь точку и соединяют отрезком эту точку с центром.
Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром,
называют радиусом. Предлагается провести еще 2—3 ра-
диуса и сравнить их. Учащиеся постепенно приходят к
выводу о том, что все радиусы этой окружности равны.
В конечном итоге дети начинают понимать, что рас-
стояние между любой точкой окружности и ее центром
постоянно одно и то же и равно ее радиусу, т. е. точки
окружности одинаково удалены ст ее центра.
112
Рис. 102.
Известно, что навык вычерчивания окружности фор-
мируется медленно и требует большого числа упражне-
ний (многократных повторений). Для тренировочных са-
мостоятельных упражнений (дома) можно рекомендо-
вать построение разнообразных «розеток» (например,
таких, как на рисунке 102).
В результате учащиеся должны научиться вычерчи-
вать окружность с центром в заданной точке и с радиу-
сом данной длины.
39. ДОЛИ ЕДИНИЦЫ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ДОЛЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ.
Накопленные учащимися представления и навыки де-
ления фигуры на равные части являются основными, ис-
ходными для формирования важнейших представле-
ний о долях единицы, на основе которых формируется
понятие дроби.
Основной целью обучения во II классе является полу-
чение четких представлений,об одной доле единицы. Роль
единицы играют различные предметы и геометрические
фигуры.
Начать можно с рассмотрения жизненных примеров..
В частности, булку хлеба (батон) можно (по весу) раз-
делить на две равные части, пополам. Если говорят «дай
мне половину яблока», это значит, что яблоко нужно
разделить на две равные части и одну часть отдать, т. е.
отдать нужно одну вторую часть. После этого получение
долей (так называют равные части величины) мож-
но иллюстрировать на самых различных геометрических
фигурах. В ходе такой работы, кроме формирования чет-
ких представлений об одной доле фигуры, дети выпол-
няют разнообразные задания, связанные с вычерчивани-
8 Заказ 1821 113
ем, перегибанием фигур, их разрезани-
ем, т. е. совершенствуют важные в
практическом отношении навыки, усва-
ивают геометрические термины. Эта
деятельность способствует также вос-
питанию геометрической интуиции.
Ознакомление с одной долей вели-
чины целесообразно начать с уточне-
ния представлений о половине — одной
второй доле.
Рассматривается половина отрезка,
половина прямоугольника, половина
квадрата. Учащиеся должны увидеть,
что одну вторую долю прямоугольника
можно получить несколькими способа-
ми (рис. 103). При этом целесообразно использовать бу-
мажный прямоугольник (полоску), который в случаях,
представленных на рисунках 103, а и б, реализуется пу-
тем перегибания так, чтобы полученные части совпали.
В случае, изображенном на рисунках 103, в и г, сначала
выполняется перегибание так, чтобы линия сгиба про-
шла через две противоположные вершины прямоуголь-
ника. Затем прямоугольник разрезается по линии сгиба,
и путем наложения одного из полученных треугольников
на другой дети убеждаются в их равенстве, так как тре-
угольники совпадают (совмещаются). Дети видят, что
одна доля фигуры может иметь различную форму. После
этого можно повторить получение одной второй доли фи-
гуры на чертеже. Затем показывается образование
половины круга, половины треугольника (равнобедрен-
ного). Вслед за половиной показывается получение од-
ной четвертой доли фигуры. При этом необходимо под-
вести детей к пониманию того, что одна четвертая доля
может быть получена при делении одной второй пополам.
Это последовательно показывается на разнообразных
Рис. 104.
114
Рис. 105.
фигурах (рис. 104). Затем, очевидно, формируются пред-
ставления и навыки в получении одной восьмой доли.
И опять этот процесс целесообразно связать с формиро-
ванием представления о том, что одна восьмая есть по-
ловина одной четвертой. Очень важно для усвоения тер-
минологии употреблять все выражения, характеризую-
щие процесс получения той или иной доли. Так, напри-
мер, дети должны заметить, что для получения одной
второй доли полоски ее нужно сложить вдвое, одной
третьей — втрое, одной четвертой — вчетверо и т. д.
Поэтому употребление слов «сложить вдвое, втрое и т. п.
ту или иную фигуру» методически оправдано.
Следующая группа содержит одну третью, одну
шестую доли. Такая группировка оправдана тем, что
шестую долю можно получить как половину одной
третьей доли или как третью часть одной второй доли
(рис. 105).
Дети должны уметь практически получать более мел-
кие доли из крупных путем деления последних на рав-
ные части.
Одна девятая доля получается делением одной
третьей на три равные части (рис. 106) , а одна десятая —
как результат деления пополам одной пятой доли. При
этом фигура делится на пять равных частей, затем пя-
тая доля делится пополам. После этого можно показать
получение десятой доли вначале делением отрезка попо-
лам, а затем делением поло-
вины на пять равных частей.
В заключение иллюстриру- t , , । -| ||||L )
ется получение одной седь- xTZz
мой доли фигуры.
Знакомство с миллимет- /W/\
ром — новой единицей дли- । |-r-i I СиР-Э
ны— целесообразно осуще-
ствить после первоначально- Рис. 106.
8*
115
го ознакомления с долями единицы. В этом случае мил-
лиметр можно строго определить как одну десятую до-
лю сантиметра. Если же по тем или иным причинам
представления о миллиметре даются до изучения долей
единицы, то все равно следует обратить внимание уча-
щихся на то, что миллиметр—одна десятая доля санти-
метра. Необходимо вспомнить, что дециметр — это десять
сантиметров. Значит, дециметр делится на 10 равных
частей — долей, т. е. одна десятая дециметра — санти-
метр. Аналогично устанавливается, что дециметр — одна
десятая метра. Приведенные факты не только важные
практические приложения усвоенных учащимися сведе-
ний об одной доле единицы, но являются существенными
в подготовке основных представлений, на базе которых
строится понятие десятичной дроби.
40. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАСШИРЕНИЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОБ УГЛАХ.
В I классе дети были ознакомлены с прямым углом.
Они научились на глаз и с помощью чертежного уголь-
ника узнавать среди углов многоугольников прямые уг-
лы, отличать их от непрямых. Это позволило познакомить
детей с такой фигурой, как прямоугольник (квадрат).
Во II классе осуществляется дальнейшее ознакомле-
ние детей с углами. Им даются представления о тупых и
острых углах, на основе сравнения с прямым углом. При
сравнении углов используются слова «больше», «меньше»,
В связи с этим необходимо наглядно продемонстрировать
увеличение или уменьшение угла. С этой целью можно
приготовить несложную модель «переменного» угла. Вы-
резать из плотной бумаги или тонкого картона прямо-
угольник размером 60X40 см. Прорезать в нем щель. Из
плотной цветной бумаги (пленка) вырезать круг диамет-
ром 18 см, прорезать его по радиусу и вставить часть
круга в прорез картонного прямоугольника. С помощью
полученной модели угла выполняются различные упраж-
нения.
Учитель показывает, как можно уменьшить угол. Для
этого достаточно поворачивать его сторону так, чтобы
она сближалась с другой стороной. Для увеличения угла
нужно вращать его сторону так, чтобы она удалялась от
другой стороны. При этом полезно задание формулиро-
>16
вать так: «Покажите угол больший (меньший), чем на
модели». (Ученик поворачивает подвижную сторону угла
в нужном направлении.)
После такой подготовки можно знакомить детей с ост-
рым (тупым) углом, как с углом меньшим (большим)
прямого с помощью чертежного треугольника.
Во втором случае угол больше прямого угла потому,
что он может быть получен из прямого угла, если его сто-
роны еще больше удалить (повернуть) друг от друга. В
первом случае угол меньше прямого потому, что его мож-
но получить, если стороны прямого угла сблизить. В обо-
их случаях целесообразно применять подвижную модель
угла.
Во втором классе не следует обращать внимание на то,
как учащиеся усвоили словесное описание тупого и ост-
рого углов.
Важно добиться, чтобы среди рассматриваемых углов
многоугольника (или на окружающих предметах) уча-
щиеся могли различать на глаз или с помощью чертеж-
ного угольника прямые, тупые или острые углы.
41. КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
Учащиеся II класса накопили значительный опцт
сравнения отрезков. Получили четкие представления о
сравнении углов многоугольников, научились определять
на глаз и с помощью чертежного треугольника (или бу-
мажной модели прямого угла) острые или тупые углы.
Все это дает возможность начать работу по ознакомле-
нию детей с возможными случаями классификации тре-
угольников. На наш взгляд, в этом состоит обоснование
столь раннего ознакомления с такой классификацией.
Определение видов треугольников в зависимости от. уг-
лов дает возможность еще раз уточнить понятия «пря-
мой», «острый» и «тупой» углы. Все треугольники в зави-
симости от углов можно разбить на три класса:
остроугольные — у них все углы острые;
прямоугольные — у них один угол прямой;
тупоугольные — у них один угол тупой.
Правильно обученные дети во II классе интуитивно
чувствуют, что не существует (нельзя начертить) тре-
угольника с двумя прямыми или со всеми прямыми угла-
ми (аналогично о тупых углах). Поэтому у них нет co-
in
Треугольники
Треугольники
Рис. 107.
Рис. 108.
мнения в том, что каждый треугольник попадет только
в один из классов.
На первом этапе дети оперируют набором бумажных
треугольников. Каждый ученик получает набор из 10 —
12 различных треугольников. Учащиеся определяют на
глаз или с помощью чертежного треугольника их углы
и сортируют на кучки. Для проведения такой работы учи-
тель должен иметь раздаточный материал (он может
быть подготовлен с помощью детей на уроках труда).
Затем аналогичные упражнения выполняются на чер-
тежах. В результате учащиеся II класса научатся строить
заданные (остроугольные, прямоугольные и тупоуголь-
ные) треугольники.
При ознакомлении с классификацией треугольников
по их сторонам учитель должен избежать широко рас-
пространенной логической ошибки: классифицировать
треугольники на разносторонние, равнобедренные н рав-
носторонние,— так как равносторонние треугольники яв-
ляются и равнобедренными (по определению). Если в
отношении классификации треугольников «по углам»
мы имели схему, изображенную на рисунке 107, то схема
классификации треугольников «по их сторонам» иная
(рис. 108).
42. ПРИМЕРНЫЙ СЛОВАРЬ И ПЕРЕЧЕНЬ
НАВЫКОВ, КОТОРЫМИ ДОЛЖНЫ ОВЛАДЕТЬ
УЧАЩИЕСЯ П КЛАССА.
ВО II классе совершенствуется, уточняется, расши-
ряется и закрепляется словарь, приобретенный учащи-
мися в I классе.
Расширение словаря происходит в связи с овладением
новыми фигурами, новыми свойствами фигур, их отно-
118
шениями в связи с выработкой новых навыков. При этом
учащимися должны быть усвоены:
1. Термины, употребляемые в связи с сравнением
и измерением отрезков и расстояний между точками
с помощью циркуля и линейки:
Измерь расстояние между двумя точками. Измерь
отрезок (расстояние между точками) с помощью цир-
куля и линейки. Сравни отрезки (расстояния между точ-
ками) с помощью циркуля. Я сравнил эти отрезки, они
равны (не равны) между собой. Один из отрезков боль-
ше (меньше) другого. Измерь расстояние между проти-'
воположными вершинами прямоугольника (квадрата,
четырехугольника).
2. Термины, употребляемые в связи с измерением
длины ломаной и периметра многоугольника: .
Длина ломаной — это сумма длин ее звеньев. Найди
длину ломаной. Граница многоугольника — замкнутая
ломаная. Длина границы многоугольника называется его
периметром. Периметр многоугольника — длина ломаной/
ограничивающей его.
3. Термины, употребляемые в связи с введением бук-
венных обозначений: точек, отрезков, прямых, много-
угольников, углов многоугольников, ломаных линий:
Обозначьте точку буквой1.... Обозначьте буквами
концы отрезка. Это точка М (эм). Это отрезок КМ (ка-
эм) и т. п. Это треугольник АОЕ и т. п. Обозначьте вер-
шины многоугольника (название многоугольника) бук-
вами... . Обозначьте угол одной буквой. Это угол А и т. п.
Обозначьте угол тремя буквами. Это угол OEM. Его вер-
шина— точка Е. Обозначьте последовательно вершины
многоугольника... . Назовите точку (отрезок, ломаную,
угол многоугольника). Назовите противоположные сто-
роны прямоугольника (квадрата). Назовите противопо-
ложные вершины четырехугольника (прямоугольника,
квадрата).
4. Термины, употребляемые в связи с делением фигур
на части и понятием «дояя фигуры»:
Точка... делит отрезок на две части (на две равные
части; на две неравные части). Точка... делит отрезок...
пополам. Точка... является серединой отрезка... . Разде-
1 Здесь и далее точки заменяют конкретные буквенные обозна-
чения геометрических фигур.
119
лить отрезок пополам. Разделите отрезок на две (три,
четыре и т. д.) части. Разделите отрезок на две (три,
четыре и т. д.) равные части. Провести отрезок (отрезки)
так, чтобы он разделил прямоугольник на две части. Раз-
делить прямоугольник на две равные части (на три, че-
тыре, пять... и т. д. до десяти) равные части. Эта фигура
(многоугольник, прямоугольник, квадрат) состоит (со-
держит) из ... равных квадратов (равных прямоугольни-
ков, треугольников). Разделить фигуру (многоугольник,
прямоугольник, круг) перегибанием на две (три, четыре...
и т. д.) равные части. Покажите одну... долю (одну
часть) этой фигуры. Это одна вторая (одна третья, одна
четвертая, одна пятая, одна шестая и т. д. до одной
десятой) фигуры (круга, отрезка, прямоугольника
ит. д.).
5. Терминология, связанная с представлениями о кру-
ге и окружности, циркуле и его частях:
Окружность — линия, вычерчиваемая с помощью цир-
куля. Центр окружности. Окружность — замкнутая кри-
вая линия. Окружность — граница круга. Круг ограничен
окружностью. Радиус окружности. Соедините точку
окружности с ее центром. Циркуль. Ножки циркуля. По-
ставьте ножку циркуля в точку.... Начертите окружность
с центром в точке....
6. Терминология, употребляемая для характеристики
взаимного расположения геометрических фигур:
Точка... лежит на прямой.... Прямая... проходит через
точку... . Точки... (две, три) лежат на прямой. Прямая...
проходит через точки.,.. Эти прямые пересекаются в точ-
ке... . Этот отрезок и прямая пересекаются (не пере-
секаются).
Точка лежит внутри фигуры (круга, многоугольни-
ка...). Точка лежит на стороне многоугольника (на
окружности, на границе...). Точка лежит вне фигуры (на-
звание). Точка не принадлежит фигуре.
7. Терминология, употребляемая при классификации
треугольников:
Это остроугольный (прямоугольный, тупоугольный)
треугольник. Этот треугольник разносторонний, этот
треугольник равнобедренный (равносторонний).
Примерный перечень практических умений и навыков,
которые приобретают учащиеся II класса, шире, чем
у первоклассников. А сами навыки совершеннее. Под
120
влиянием систематических упражнений по вычерчиванию,
перегибанию фигур, моделированию фигур из бумаги
и палочек значительно возрастает скорость выполнения
заданий. Причем при значительно большей, чем у перво-
классников скорости выполнения заданий, качество их
выполнения также заметно выше.
Расширение круга умений и навыков и совершенство-
вание их во II классе происходит за счет выполнения
большого числа упражнений, практических заданий, сре-
ди которых многие являются новыми.
Характерными являются умения и навыки в примене-
нии циркуля для сравнения отрезков, для приближен-
ного деления отрезков на равные части (доли), для изме-
рения (циркулем и линейкой) отрезков и расстояний
между точками и, наконец, по своему основному назначе-
нию, для вычерчивания окружностей и кругов заданного
радиуса с центром в данной точке.
Следует значительно увеличить требования к точ-
ности измерений, моделирования фигур (в том числе
построения чертежей). Необходимо повысить требования
и к аккуратности (тщательности) выполняемых моделей,
чертежей.
Перечислим основные умения, приобретаемые уча-
щимися II класса:
1. Отметить точку на прямой (отрезке), вне прямой
(две точки, три точки). Отметить точки на заданном рас-
стоянии друг от друга.
2. С помощью клетчатой бумаги построить фигуру,
содержащую один (два, три) прямых угла. Построить
прямоугольник, квадрат.
3. С помощью чертежного треугольника определить
вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупо-
угольный).
4. Сравнить отрезки и расстояния между двумя точ-
ками с помощью циркуля.
5. С помощью циркуля и линейки измерить отрезки,
стороны многоугольников, звенья ломаных, находить дли-
ну ломаной, находить периметр многоугольника.
6. Уметь составить выражение для нахождения пери-
метра прямоугольника (квадрата) по готовым данным
и по данным, полученным путем непосредственного изме-
рения.
121
7. Уметь использовать таблицу умножения для на-
хождения числа равных квадратов, на которые разделена
данная фигура.
8. Уметь обозначать фигуры (точки, отрезки, прямые,
ломаные, многоугольники, углы многоугольников) бук-
вами и читать эти обозначения.
9. Уметь разделить фигуру (отрезок, круг, прямо-
угольник, квадрат) на равные части (доли) и указать
одну из полученных долей.
10. Уметь определять форму окружающих предметов
и их частей.
43. СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ВО II КЛАССЕ.
К списку учебных пособий для I класса (стр. 82) сле-
дует добавить Ч
А. Индивидуальные:
1. Циркуль (можно «козью ножку») с карандашом.
2. Набор из 10—15 треугольников (из бумаги).
Б. Классные пособия общего пользования:
1. Циркуль деревянный—классный.
2. Циркуль-измеритель.
3. Диафильм «Математика. II класс (геометрический
материал)». Автор А. М. Пышкало. Студия «Диафильм».
Москва, 1968 год (приобретается в Учколлекторе).
1 Все посо&ия, указанные в списке для I класса, применяются и
во II классе.
IV. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА В III КЛАССЕ.
В III классе (в отличие от I и II классов) неко-
торые уроки целесообразно полностью посвящать изу-
чению геометрического материала. Такими уроками
прежде всего могут быть уроки, связанные с выполне-
нием практических работ. Однако подавляющее боль-
шинство учебного материала, как и во II классе, в III
классе целесообразно распределять равномерно по всему
учебному году, чтобы почти на каждом уроке дети встре-
чались с решением задач геометрического содержания.
Как и в предыдущие годы обучения, нужно стараться,
чтобы дети получали возможность изучать геометриче-
ские факты (фигуры, свойства фигур, отношения) в раз-
личных интерпретациях: в ходе наблюдения окружающих
предметов, изучения их формы и размеров; в конструи-
ровании моделей геометрических фигур (из бумаги, кар-
тона, проволоки, палочек и пластилина); при вычерчива-
нии геометрических фигур; при измерении отрезков и рас-
стояний между точками.
В III классе акцент должен быть сделан на формиро-
вание навыков и умений использования для построения
геометрических фигур линейки, циркуля, чертежного
треугольника. Причем все чаще эти построения следует
выполнять на гладкой (нелинованной) бумаге.
В III классе продолжается дальнейшее развитие ос-
новных линий в обучении, намеченных еще в I классе
и продолженных во II. Уточняются представления, со-
вершенствуются навыки.
Новым, а потому требующим особого внимания от
учителя в курсе математики этого класса будет форми-
рование основных представлений учащихся о площади
фигуры как еще об одной геометрической величине, фор-
123
мирование основных представлений о единицах измере-
ния площади, формирование представлений о непосред-
ственном измерении площади фигур (с помощью палет-
ки или клеток листа тетради) и навыков вычисления пло-
щадей прямоугольников.
Вторым важным и сравнительно новым для учащихся
вопросом будет уточнение представлений учащихся
о долях величины, нескольких долях, т. е. об обыкновен-
ной дроби. В связи с этим открывается возможность рас-
ширить и уточнить представления детей о диаграммах;
познакомить с масштабом линейных и столбчатых диа-
грамм. При этом широко используются знания о геомет-
рических фигурах.
Третьим вопросом, на который следует обратить осо-
бое внимание в III классе, можно считать вопрос, свя-
занный с обобщением понятий и навыков измерения от-
резков, установления соотношений между единицами
измерений, т. е. ознакомление детей с метрической си-
стемой мер (в частности, длины и площади).
44. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ
ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ПЛОЩАДЬ
ПРЯМОУГОЛЬНИКА».
Как мы уже отметили выше, одним из основных но-
вых для учащихся (трудных в методическом отношении
и по существу) вопросов курса математики III класса
является формирование правильных представлений
о площади фигуры.
Для учителя начальных классов вопрос об изучении
темы «Площадь прямоугольника» не является новым
вопросом. Большинство учителей хорошо знакомы с ме-
тодикой изложения этой темы, так как уже вели препо-
давание (и неоднократно) в IV классе. И несмотря на это
вопрос «Что такое площадь прямоугольника?» ставит
учителя в тупик. Учитель иногда не в состоянии дать на
этот вопрос достаточно правильный ответ (то же самое
можно отнести и к понятию длины отрезка).
Казалось бы, что ученик тем более не справился бы
с ответом на поставленный в такой явной форме вопрос
(кстати, перед учеником так ставить вопрос не следует).
•Однако если этот вопрос поставить перед учеником
в другой форме, например, так: «Найти площадь этого
прямоугольника» (или «Найти длину данного отрезка»)«
124
то в большинстве случаев мы получим совершенно пра-
вильный ответ: «Площадь этого прямоугольника, напри-
мер, равна 40 квадратным сантиметрам» (или «Длина
этого отрезка равна 10 сантиметрам»). Площадь прямо"
угольника (как и длина отрезка) есть число, полученное
определенным способом в результате измерения. Поэто-
му, как мы уже об этом говорили, процесс формирования
понятий длины отрезка, площади фигуры должен быть
тщательно и всесторонне рассмотрен с учащимися. Эта
тщательность и всесторонность в методике ознакомле-
ния учащихся четвертых классов не была обеспечена.
Отсюда н невысокий уровень навыков и знаний школь-
ников *.
Дело в том, что в учебной литературе1 2 и в практике
обучения сложился такой методический подход, в резуль-
тате которого, очевидно, стремились привить только
практический навык вычисления площади прямоугольни-
ка (только прямоугольника!). Изучение всей темы рас-
падалось на известные этапы3.
Вся тема изучалась в IV классе (16 часов) в течение
двух недель. На первом уроке детям сообщались сведе-
ния о единицах измерения и правило вычисления площа-
ди прямоугольника. Остальное время использовалось на
формирование навыков решения задач. Очевидно, что
такой подход к изучению этой темы в III классе мог при-
вести к еще более слабым знаниям многих школьников.
Поэтому в методическую схему изучения рассматривае-
мой темы внесены существенные качественные измене-
ния, такие, что они позволяют добиться от учащихся
третьих классов в усвоении этой темы более глубоких
знаний и хороших навыков. Такие возможности откры-
лись в результате ряда экспериментов и подтвердились
массовой практикой обучения. Постараемся обобщить ре*
зультаты этих экспериментов и практики.
Представления о площади фигуры должны вырабаты-
ваться постепенно и не в результате кратковременного
изучения связанных с этим понятием вопросов, а распре-
1 Об этом говорят результаты контрольных работ, систематичес-
ки . проводимых Министерством просвещения РСФСР и Академией
педагогических наук. «Математика в школе», 1961, № 4; 1966, № 5
и др.
2 А. С. П ч е л к о и Г. Б. П о л я к. Арифметика для 4 класса, М.,
«Просвещение», 1967, стр 66—76.
3 См. раздел I, стр. 43.
125
деленно на несколько лет обучения. При этом не менее
важной, чем выработка навыков вычисления площади,
целью работы должно являться формирование общих
представлений о площади фигуры как о геометрической
величине. Поэтому изучение темы целесообразно разде-
лить 1 на следующие этапы:
Знакомство с многоугольниками, кругом (осуществля-
ется непрерывно с I класса).
Знакомство с прямоугольником, с квадратом.
Знакомство с делением фигуры на части и составлени-
ем из этих частей других фигур, подсчет этих частей, фор-
мирование первоначальных представлений о равновели-
кости и равносоставленности (подготовка начинается во
II классе).
Формирование представления о единичном квадрате,
с помощью которого можно всегда обнаружить, какая из
фигур имеет большую площадь (в III классе). Знакомст-
во с квадратным сантиметром. Палетка.
Нахождение площади различных фигур в квадратных
сантиметрах (в III классе).
Вычисление площади прямоугольника в квадратных
сантиметрах (в III классе).
Вычисление площади в квадратных дециметрах (в III
классе).
Вычисление площади в квадратных метрах (в Ш
классе).
Вычисление площади земельных участков (в арах
и гектарах) (в IV классе).
45. ФОРМИРОВАНИЕ ОБЩИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ*
О ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ.
Сравнение отрезков дает возможность узнать, какой
из отрезков больше или меньше другого. Смысл этих
отношений для отрезков определяется довольно четко,
однозначно и наглядно, так как сама операция сравнения
проста и наглядна. Она легко воспринимается младшими
школьниками, ибо отрезок «одномерен» и обладает толь-
ко свойством протяженности.
1 Термин «разделить» понимается не в буквальном смысле, так
как этапы не следуют строго один за другим, а иногда протекают
одновременно или почти одновременно.
126
Перед проведением беседы, в которой впервые будет
использован термин «площадь» фигуры, важно обобщить
накопившиеся сведения о сравнении отрезков, отноше-
ниях «больше», «меньше», «равны» для отрезков и длине
отрезка. Это существенно, так как в ходе формирования
первоначальных общих представлений о площади фигу-
ры, представлений о новой геометрической величине нуж-
ны четкие представления о длине отрезка. Учитель рас-
сказывает (привлекая ответы учащихся), как при изуче-
нии отрезков мы установили, что их можно сравнить.
В результате сравнения любых двух отрезков выясняет-
ся, какой из них больше (меньше) или, может быть, они
равны. Это выполняется путем наложения одного отрез-
ка на другой (показ).
Затем мы научились измерять отрезки. В результате
измерения (с помощью единичного отрезка — единицы
измерения) для каждого отрезка мы получим определен-
ное число (приводятся примеры для нескольких отрезков,
изображенных на доске). Это число называем длиной
отрезка.
Иное дело, когда учащиеся должны сравнить, напри-
мер, два многоугольника или два круга. Учащимся инту-
итивно ясно, что слова «больше», «меньше» в этом слу-
чае имеют другой смысл, чем в применении к отрезкам.
Действительно, что можно сказать, например, о пря-
моугольниках, изображенных на рисунке 109?
Который из них больше? Можно, например, сказать,
что 1-й прямоугольник больше 2-го? Да, скажут некото-
рые дети. Он больше потому, что его основание больше,
чем основание 2-го прямоугольника.
Нет, скажут другие ученики. Больше 2-й прямоуголь-
ник, ведь он шире, чем 1-й/Такой разговор учащихся
вполне естествен, так как в их опыте пока еще было рас-
смотрено и усвоено сравнение отрезков и они переносят
имеющиеся знания и применяют их к качественно новому
свойству, которым обладают двумерные фигуры (напри-
мер, многоугольники) и не обладают одномерные — от-
резки, линии.
Появляется необходимость вы-
яснить смысл операции сравнения —------—
двух многоугольников, т. е. уста-
новить, можем ли мы говорить, *——-—»
какой из них больше или меньше 1 г
другого или они равны. Рис. 109.
127
Наблюдая различные фигуры, можно заметить, что
одна из них при наложении на другую полностью поме-
щается внутри первой. Иногда это можно заметить до-
вольно легко, на глаз. Например, четырехугольник
Б (рис. НО) полностью помещается внутри круга А. Ес-
ли мы вырежем такой четырехугольник из бумаги, то он
весь поместится внутри круга.
В таком случае говорят, что площадь круга больше
площади четырехугольника, или площадь четырехуголь-
ника меньше площади круга. Рассматривается несколько
аналогичных примеров.
• В результате сравнения фигур, изображенных на ри-
сунке 111, ученики должны сказать, что площадь фигу-
ры В больше площади прямоугольника А (или Г), боль-
ше площади треугольника Б, но меньше площади четы-
рехугольника Д.
Учащиеся замечают, что прямоугольники А и Г равны.
Делается вывод, что равны и их площади. Учащиеся объ-
ясняют, что площадь четырехугольника Д больше площа-
ди каждой из фигур (А, Б, В и Г) потому, что каждая из
этих фигур полностью помещается внутри четырехуголь-
ника Д.
Затем рассматривают слу-
чай, когда сравнить площади
фигур на глаз трудно или прос-
то невозможно. Например,
трудно сказать, какая из фигур
I или II, изображенных на ри-
сунке 112, занимает больше
места на плоскости. Попытки
128
Рис. ИЗ.
поместить одну ИЗ ЭТИХ фигур внутри Другой (это М0Ж1.0
продемонстрировать на бумажных моделях) не дают от-
вета на поставленный вопрос. Фигура I не помешается
полностью внутри второй, а фигура II не помещается
внутри I.
Как же быть? Как выяснить, например, площадь ка-
кого из прямоугольников (см. рис. 109) больше? Вот
здесь и пригодятся навыки (приобретенные еще во II
классе) деления фигур на равные фигуры (например, на
равные квадраты). Разделим каждый из прямоугольни-
ков на равные фигуры. Если мы эти прямоугольники рас-
положим на клетчатой бумаге, то такими равными фигу-
рами будут квадраты — клетки (рис. 113). Та из фигур
будет иметь большую площадь, которая содержит боль-
шее, чем у другой фигуры, число квадратов — клеток.
1-й прямоугольник содержит (учащиеся уже научились
использовать таблицу умножения для нахождения чис-
ла клеток) 27 квадратов, а 2-й — 40 квадратов. Значит,
Рис. 114.
9 Заказ 1821
2-й прямоугольник имеет большую площадь, чем 1-й
(клетки имеют равные площади). Или площадь 1-го пря-
моугольника меньше площади 2-го. В дальнейшем для
сравнения площадей фигур используется клетчатая бу-
мага. Сравниваются площади различных многоугольни-
ков (рис. 114) и фигур, границы которых — кривые линии
(рис. 115).
Подсчет целых (и нецелых — больших половины)
клеток, составляющих каждую из фигур, дает возмож-
ность установить, которая из них имеет большую
площадь.
Дети должны получить представление и о том, что для
сравнения площадей можно использовать не только рав-
ные квадраты (клетки), на которые делятся фигуры, но и
другие фигуры, например треугольники. Для выяснения,
какая из фигур (рис. 116) имеет большую площадь, мож-
но использовать треугольники (например, полклетки).
Оказывается, что большая площадь у фигуры А (она со-
держит 18 треугольников, а фигура Б — 17 таких же тре-
угольников).
Рис. 117.
130
Рис. 118.
Таким образом, навык разрезания фигур на части
и составления фигур из других фигур имеет решающее
значение в процессе формирования общих представлений
о площади фигуры. Важным при этом является понима-
ние учащимися того, что различные фигуры имеют одну
и ту же площадь, если каждая из них составлена из
одних и тех же частей (упражнения с «китайской» голо-
воломкой весьма полезны в этом отношении).
Например, все фигуры на рисунке 117 имеют одну и
ту же плошадь (занимают одинаковое место на бумаге)
потому, что каждая из них составлена из 6 одинаковых
частей (клеток).
То же самое можно сказать о фигурах, изображен-
ных на рисунке 118. Каждая из них составлена из двух
одинаковых (равных) треугольников.
46. ЕДИНИЧНЫЙ КВАДРАТ. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
В КВАДРАТНЫХ САНТИМЕТРАХ.
Учащиеся постепенно знакомятся с процессом изме-
рения площади. При этом важно использовать аналогию
с известной им величиной — длиной отрезка, с измере-
нием отрезков. Дети вспоминают, что измерение отрез-
ков сводилось к выяснению того, сколько раз единичный
(принятый за единицу) отрезок укладывался в измеряе-'
мом отрезке. Такими единичными отрезками могут быть
любые отрезки. Для общего пользования ученые пред-
ложили применять в качестве единичных отрезков метр,
дециметр (одна десятая метра), сантиметр (одна деся-
тая дециметра), миллиметр (одна десятая сантиметра),
километр (1000 метров).
Площади фигур также можно измерять. Для этого
нужна единица измерения. Пригодны ли для этой цели
единичные отрезки? Имеющийся опыт учащихся поможет
им прийти к выводу, что нет.
Условились для измерения площадей фигур приме-
нять единичные квадраты. Это такие квадраты, сторона
9* 131
которых равна единице. Таким
квадратом может быть квадрат
со стороной в 1 см (или квадрат
со стороной в 1 дм, или квадрат
со стороной в 1 м). Такой квад-
рат принято (соответственно)
называть квадратным сантимет-
ром, квадратным метром и т. п.
Единичным квадратом может
быть и любой другой квадрат, на-
пример одна клетка клетчатой бу-
маги.
Учащиеся вычерчивают квад-
ратный сантиметр и для сравне-
Рис. 119. ния рядом—сантиметр (рис. 119).
Им сообщается, что запись
«3 кв. см» читается: три квадратных сантиметра, а запись
«3 см» — три сантиметра. Предлагается начертить «3 см»
(рис. 120) и «3 кв. см». Они это выполняют по-разному.
Так с самых первых шагов исключается возможность пу-
тать, смешивать эти различные понятия. Ибо они усваи-
ваются не формально, а на основе конкретного практиче-
ского опыта учащихся, связывающихся с реальными об-
разами.
Выполняется ряд упражнений, где фигуры разбивают-
ся на квадратные сантиметры или составляются из квад-
ратных сантиметров. Для этого каждый ученик должен
изготовить набор из 15—20 кв. см. Затем, подметив, что
квадратный сантиметр содержит четыре клетки, исполь-
зуется клетчатая бумага.
Учащиеся узнают, что если площадь одного квадрат-
ного сантиметра принять за единицу площади, то можно
найти площадь данной фигуры. Для этого нужно сосчи-
Рис. 120.
132
тать, сколько квад- Г
ратных сантиметров |
содержит эта фигу-1
ра. Таким образом,
площадью фигуры
(в квадратных сан-
тиметрах) называ-
ется число квадрат-
ных сантиметров,
на которые эта фи-
гура может быть
разделена (разре- L
зана). Выясняется,
что измерить пло-
щадь фигуры — значит найти число единичных квадратов
(в данном случае квадратных сантиметров), на которые
может быть разделена фигура.
С помощью «математической доски» ставится ряд за-
дач (рис. 121) по нахождению площадей фигур. Непо-
средственным подсчетом числа квадратных сантиметров
находят, что площадь 1-й фигуры—10 кв. см, 2-й —
12 кв. см, 3-й—15 кв. см, а 4-й — 24 кв. см. Дети бы-
стро обнаружат, что для нахождения площади иногда
можно составить выражение, вычислив значение кото-
рого находим площадь.
Это не будет для детей трудной проблемой, так как
во II классе они решали подобные задачи. Поэтому для
нахождения площади фигуры (рис. 121) учащиеся соста-
вят выражение и, вычислив его значение, найдут пло-
щадь: 6-4 = 24 (кв. см) *. (Фигура 2 составлена из четы-
рех прямоугольников, каждый из которых содержит по
6 кв. см.) Аналогично может быть вычислена площадь
и другой фигуры. Так, фигура 3 имеет площадь 5-3 =
= 15 (кв. см), а фигура 4—4-6 = 24 (кв. см) или
6-4 = 24 (кв. см).
В результате делаются важные выводы, что площадь
фигуры может быть найдена непосредственными подсче-
тами квадратных сантиметров, а в некоторых случаях
1 Нам представляется целесообразным использовать такую фор-
му записи при вычислении площадей. Это объясняется тем, что при
составлении выражений (и уравнений) нецелесообразно указывать
наименование величин. Однако можно употреблять и традиционную
запись: 3 кв. слХ4 = 12 кв. см.
133
0 вычислением. В последнем случае мы не подсчитываем
непосредственно все квадратные сантиметры, на которые
разделена фигура.
47. НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ
С ПОМОЩЬЮ ПАЛЕТКИ.
Привлечение в качестве аналогии фактов, хорошо
известных учащимся, для того чтобы формировать но-
вые представления и понятия, — эффективный прием
обучения. Мы показывали, как это может быть сделано,
например, в ходе формирования представлений о площа-
ди фигуры (аналогия — длина отрезка). Для введения
представлений о палетке также следует воспользоваться
аналогией с масштабной линейкой.
«Мы выяснили, что площадь фигуры можно измерить
(как можно измерить и длину отрезка). Для этого у нас
есть единица измерения (квадратный сантиметр). Но
для измерения длины отрезков имеется специальный ин-
струмент. Мы с ним хорошо знакомы. Это масштабная
линейка. С помощью какого инструмента измеряют пло-
щадь, есть ли такой инструмент? Да, есть. Он называется
палеткой».
Примерно так может начать свою беседу учитель.
Учащимся показывается палетка, показывается способ ее
применения для измерения площадей различных фигур.
Для того чтобы преодолеть известные трудности, во-
зникающие при использовании палетки, необходимо про-
вести ряд подготовительных упражнений. Эти упраж-
нения могут выполняться учащимися непосредственно пе-
ред тем, как они познако-
мятся с применением па-
летки или раньше (в связи
с задачей деления фигуры
на части, например, на рав-
ные квадраты с подсчетом
этих частей). Приведем при-
мер таких задач.
Задача 1. Найти пло-
щадь каждой фигуры (рис.
122).
Учащиеся замечают, что
фигура состоит из целых
134
квадратных сантиметров и из их «половин». Две поло-
вины дают 1 кв. см, и таким образом площадь 1-й фигу-
ры равна 4 кв. см; 2-й — 3 кв. см; 3-й — 6 кв. см.
3 а д а ч а 2. Найти площадь каждой фигуры (рис. 123).
Учащиеся подмечают, что фигура А содержит
2 кв. см, фигура Б — 4 кв. см, фигура В — 6 кв. см, фигу-
ра Г— 6 кв. см, фигура Д— 6 кв. см. В случае затрудне-
ний (например, ученик не видит, как образуется квадрат-
ный сантиметр из двух частей) необходимо показать это,
например, на фигуре А с помощью бумажной модели
(рис. 124).
Задача 3. Найти площадь фигуры (рис. 125).
Вначале подсчитываем число целых квадратов
(их 21), затем половинок (их 8). Каждые две половинки
дают один целый квадрат. Значит, фигура содержит
25 кв. см. После такой подготовки учащиеся легче справ-
ляются с измерением площади фигуры палеткой. Для
Рис. 124. Рис. 125.
135
того чтобы установить
преемственность с ана-
логичными упражнени-
ями, выполняемыми на
клетчатой бумаге, уста-
навливается, что клет-
чатая сетка листа тет-
ради нами использова-
лась как палетка.
Перед учащимися
ставится задача самого
общего вида (граница
фигуры — контур — имеет произвольный вид). Палетка
(рис. 126) произвольно наложена на фигуру. Нужно по-
казать учащимся способ подсчета квадратных сантимет-
ров. Для этого подсчитывают, число квадратных санти-
метров, составляющих многоугольник, расположенный
полностью внутри фигуры. Их оказалось 15. Затем под-
считываем число квадратных сантиметров, которые пе-
ресечены линией границы нашей фигуры. Таких квадра-
тов оказалось 16. Эти квадраты не полностью располо-
жены внутри фигуры. У некоторых из них фигуре при-
надлежит больше, половины, у некоторых меньше поло-
вины квадратного сантиметра. Можно считать, что все
неполные квадраты составляют 8 полных: число непол-
ных квадратов делим на 2. Таким боразом, приблизи-
тельно мы нашли площадь фигуры. Она равна (15 + 8 =
= 23) 23 кв. см. Следует подчеркнуть, что измерение
площади палеткой (так же как и измерение отрезков ли-
нейкой) выполняется приблизительно.
48. СОСТАВЛЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
ИЗ КВАДРАТНЫХ САНТИМЕТРОВ. НАХОЖДЕНИЕ
ПЕРИМЕТРА ЭТИХ ФИГУР.
Прежде чем переходить к ознакомлению учащихся
третьих классов с правилом вычисления площади пря-
моугольника, можно выполнить упражнения, раскрываю-
щие соотношения между размерами прямоугольника
(в сантиметрах) и его площадью (в кв. сантиметрах).
Эти упражнения можно связать также с повторением
геометрических сведений, усвоенных учащимися раньше.
Рассмотрим примеры,
136
Рис, 127.
Рис. 128.
1. Из 6 кв. см составить несколько (3—4) фигур. Най-
ти их периметры (рис. 127).
Длина стороны квадратного сантиметра равна 1 см.
Значит, в частности, периметр квадратного сантиметра
равен 4 см, периметр фигуры 1—14 см, фигуры 2—10 см,
фигуры 3—12 см, фигуры 4—14 см, делается вывод, что
у всех фигур одна и та же площадь (6 кв. см), но раз-
ные периметры. •
2. Составить из 12 кв. см прямоугольник. Найти раз-
меры этого прямоугольника. Задача имеет 3 решения.
Уже в этом случае можно заметить, что произведение
длины на ширину в каждом из случаев составляет 12
(рис. 128) (т. е. равно площади этого прямоугольника).
49. ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ
ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
Совершенно очевидно, что после систематической под-
готовки, некоторые стороны и особенности которой мы
характеризуем, формулировка правила вычисления пло-
щади прямоугольника (по известным длинам его сторон)
может быть высказана учащимися самостоятельно,
при незначительной помощи со стороны учителя. При
этом может быть использована хорошо иззестная учите-
лям методика, о которой мы рассказывать не будем.
Подчеркнем лишь, что в процессе постепенного подведе-
ния учащихся к осознанию правила вычисления площа-
ди прямоугольника можно выделить несколько последо-
вательных этапов.
I этап (исходный). Подсчет числа квадратных сан-
тиметров, когда все они видны (фигура разбита на квад-
137
ратные сантиметры). Он еще не связывается с размера-
ми прямоугольника — его высотой и основанием (или
длиной и шириной). Дети в этом случае обнаруживают
полосы, на которые делится прямоугольник, замечают,
что каждая полоса содержит одно и то же число квадрат-
ных сантиметров. После этого умножают число квад-
ратных сантиметров в одной полосе на число полос.
II этап. Дети обнаруживают, что число квадратных
сантиметров в одной полосе равно длине прямоугольни-
ка в сантиметрах, а число полос равно ширине этого пря-
моугольника (также в сантиметрах). После обобщения
полученных сведений делается вывод: «Площадь прямо-
угольника (в квадратных сантиметрах) равна произве-
дению длины его основания (в сантиметрах) на длину
высоты (в сантиметрах)». Или «для вычисления площа-
ди прямоугольника (в квадратных сантиметрах) нужно
измерить (в сантиметрах) его длину и ширину и полу-
ченные числа перемножить».
Приведем различные иллюстрации, используемые по-
следовательно, в процессе подведения учащихся к фор-
мулировке выше приведенных правил (рис. 129).
В процессе формирования общих представлений
о площади фигуры, при выводе правила для вычисления
П э т а п
Рис. 129.
138
площади прямоугольника (примерно в течение 1 полу-
годия) учащиеся находят площади фигур в квадратных
сантиметрах. Эта работа тесно связывается с повторе-
нием и закреплением знаний таблицы умножения, с со-
ставлением выражений и вычислением их значений.
С этой целью полезно находить площади фигур, состав-
ленных из прямоугольников, размеры которых могут
быть найдены непосредственным измерением (учащиеся
получают картонные фигуры) или по данным чертежа.
Причем для нахождения нужных размеров учащиеся
применяют знания о свойствах противоположных сторон
прямоугольников, сведения о сумме и разности отрезков.
Короче говоря, задачи на вычисление площадей должны
быть связаны с повторением геометрического материала,
изученного в I и II классах. Приведем одну из таких
задач.
Задача. Составить выражение для нахождения пло-
щади и периметра фигуры, изображенной на рисунке
139
Рассмотрим решение этой задачи. Данную фигуру
с целью нахождения ее площади можно представить ли-
бо в виде: а) объединения прямоугольника АОМД и пря-
моугольника ДКТЕ (рис. 130, Л); б) объединения прямо-
угольника ЕАОХ и прямоугольника МКТХ (рис. 130, Б);
в) разности прямоугольника АУТЕ и прямоугольника
ОУ КМ (рис. 130, В).
Рассмотрим случай а). Найдем размеры прямоуголь-
ников. У прямоугольника АОМД АО = 6 см (дано),
ОМ есть разность отрезков АЕ и ДЕ, но ДЕ —КТ (про-
тивоположные стороны прямоугольника), поэтому ОЛ1 =
=9—4 = 5 (слг). Размеры прямоугольника ДЕТК извест-
ны (они непосредственно видны). Составим выражение
для нахождения площади прямоугольников (6-5);
(10-4) и всей фигуры: 6-5+10-4. Вичислим значения
выражения: 1) 6-5 = 30; 2) 10-4 = 40; 30+40 = 70.
Ответ: площадь фигуры 70 кв. см.
Рассмотрим случай б). Найдем размеры прямоуголь-
ников. У прямоугольника АОХЕ основание ЕХ=6 см,
потому что противоположная сторона прямоугольника
А0 = 6 см, высота £/1=9 см (дано).
У прямоугольника МКТХ основание XT—10—6 =
=4 (см), а высота КТ=4 см (дано).
Составим выражения для нахождения площадей пря-
моугольников (6-9; 4-4) и площади всей фигуры: 6-9 +
+ 4-4. Вычислим значение выражения: 1) 6-9 = 54;
2) 4-4=16:54 + 16 = 70.
Ответ: площадь фигуры 70 кв. см.
Рассмотрим случай в).
Размеры прямоугольника ЕАУТ известны. Найдем
размеры прямоугольника ОУКМ: OM — S—4 = 5 (см),
МК=10—6=4 (см).
. Составим выражения для нахождения площадей пря-
моугольников (10-9; 5-4) и площади всей фигуры: 10-9—
5-4. Вычислим значение выражения: 1) 10-9 = 90;
2) 5-4 = 20; 3) 90—20 = 70.
Ответ: площадь фигуры 70 кв. см.
Для нахождения периметра можно поступить двумя
способами:
1) Найти длину каждой стороны фигуры. Составить
выражения (9 + 6 + 4+5 + 4 + 10) и найти ее значение
(38). Ответ: 38 см.
140
2) Заметить, что периметр этой фигуры равен пери-
метру прямоугольника АУТЕ.
Составить выражение: (9+10)-2 и найти его значе-
ние (38). Ответ: 38 см.
Приведенные нами рассуждения должны выполнять-
ся устно. Учащиеся (для каждого случая) выясняют раз-
меры нужных прямоугольников, не обязательно поль-
зуясь буквенными обозначениями.
50. КВАДРАТНЫЙ ДЕЦИМЕТР. ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПЛОЩАДИ В КВАДРАТНЫХ ДЕЦИМЕТРАХ.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КВАДРАТНЫМ
ДЕЦИМЕТРОМ И КВАДРАТНЫМ САНТИМЕТРОМ.
К мысли о необходимости введения еще одной еди-
ницы измерения площади дети подводятся учителем. Для
этого достаточно решить задачу на вычисление площади
многоугольника больших размеров (например, площади
крышки учительского стола или классной доски). При
этом получается сравнительно большое число квадрат-
ных сантиметров. Предлагается использовать новую еди-
ницу площади—квадратный дециметр: площадь квадра-
та со стороной в 1 дм.
Дети некоторое время решают задачи (аналогичные
тем, которые рассматривались в связи с вычислением
площади в квадратных сантиметрах). Затем ставится
задача нахождения площади одного и того же прямо-
угольника сначала в квадратных сантиметрах, затем в
квадратных дециметрах. При этом даются прямоуголь-
ники, периметры которых выражаются целым числом
дециметров. В частности, рассматривается задача: «Най-
ти площадь квадратного дециметра в квадратных санти-
метрах».
Выясняется, что 1 кв. дм содержит 100 кв. см, т. е.
1 кв. дм =100 кв. см.
Только после решения сравнительно большого числа
задач целесообразно применять формальное правило
«превращения» мелких мер (кв. см) в более крупные
(кв. дм), используя выведенное соотношение между эти-
ми единицами. В частности, решаем задачу: «Найти пло-
щадь прямоугольника (в квадратных дециметрах) дли-
ной 25 см и шириной 20 см».
Учащиеся находят площадь в квадратных сантимет-
рах 25-20 = 500 (кв. см). Затем, пользуясь соотношением
141
'1 кв. дм100 кв. см. устанавливают, что 500 кв см^
= 5 кв. дм.
При ознакомлении с соотношением между квадрат-
ным дециметром и квадратным сантиметром важны на-
глядные реальные представления. С этой целью полезно
(в качестве домашнего практического задания) предло-
жить учащимся изготовить из бумаги квадратный деци-
метр и расчертить его на квадратные сантиметры.
51. КВАДРАТНЫЙ МЕТР. ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ
В КВАДРАТНЫХ МЕТРАХ, СООТНОШЕНИЕ
МЕЖДУ КВАДРАТНЫМ МЕТРОМ И ДРУГИМИ
ЕДИНИЦАМИ ПЛОЩАДИ.
Введение новой единицы измерения площади — квад-
ратного метра объясняется по аналогии с тем, как это
было сделано при ознакомлении школьников с квадрат-
ным дециметром. Квадратным метром называется пло-
щадь квадрата со стороной в I м. Для получения реаль-
ных представлений о квадратном метре целесообразно
вначале продемонстрировать бумажную модель квадра-
та со стороной в 1 м (можно склеить из газетных ли-
стов), а затем предложить каждому ученику изготовить
такую модель (в качестве практического домашнего за-
дания). z
Квадратный метр — широко распространенная в жиз-
ни единица измерения площадей. Ею исчисляется пло-
щадь помещений (комнат, квартир и т. д.). Поэтому не-
обходимо хорошо познакомить детей с измерением пло-
щадей помещений. Следует расшифровать выражения:
«площадь комнаты», «площадь квартиры», «площадь
класса», «площадь коридора» и т. п. Во всех выражени-
ях имеется в виду площадь пола того или иного поме-
щения.
Важно провести практическую работу по измерению
площади класса (площади пола). Учащиеся устанавли-
вают, чго пол класса имеет форму прямоугольника. Из-
меряются стороны этого прямоугольника (длина и ши-
рина класса) в метрах. Может оказаться, что их длина
не выражается в целых метрах. В этом случае выполня-
ется округление до целых метров. При этом рассужда-
ют, например, так: длина класса 8 м 65 см. 65 см больше,
чем полметра. Поэтому будем считать, что длина класса
М2
9 м. Ширина класса 6 м 20 см. 20 см меньше, чем пол-
метра, поэтому будем считать ширину равной 6 м. Пло-
щадь класса будет: 9-6 = 54 (кв. м).
Эту же задачу учащиеся повторяют дома. Они вычис-
ляют площадь своей комнаты.
После решения задач на вычисление площадей пря-
моугольника в квадратных метрах по данным, получен-
ным путем измерений (самими учащимися), и по гото-
вым данным (например, обозначенным на чертеже или
сообщенным в условии задачи) ставится вопрос о на-
хождении соотношений между квадратным метром и
квадратным дециметром. Для этого решаются задачи,
в которых площадь прямоугольника вначале вычисляет-
ся в квадратных метрах. При этом стороны прямоуголь-
ников должны быть выражены целыми числами метров.
Учащиеся подмечают (в случае необходимости это под-
сказывается учителем), что площадь в квадратных мет-
рах и площадь в квадратных дециметрах выражаются
числами, у которых отличается только число нулей (пер-
вые несколько цифр одинаковы). По результатам реше-
ния нескольких таких задач составляется таблица, где
это хорошо видно.
Метры Дециметры
длина ширина кв. метры длина ширина кв. дециметры
5 м 3 м 15 кв. м 50 дм 30 дм 150Э кв. дм
5 м 4 м 20 кв. м 50 дм 40 дм 2000 кв. дм
12 м 5 м 60 кв. м 120 дм 50 дм 6000 кв. дм
Только после этого решается задача: «Найти площадь
1 кв. м в квадратных дециметрах». Сторона квадратного
метра равна 10 дм. Площадь этого квадрата (в квадрат-
ных дециметрах) равна 10-10 = 100 (кв. сЬи), т. е.
1 кв. м = 100 кв. дм.
Соотношение между квадратным метром и квадрат-
ным сантиметром может быть получено двумя спосо-
бами:
1. Непосредственным решением задачи: «Вычислить
площадь 1 кв. м в квадратных сантиметрах (сторона
квадратного метра 1 м = 100 см, 100-100=10 000 (кв. см)».
143
2. Применяя известное учащимся соотношение меж-
ду квадратными дециметрами и квадратными сантимет-
рами: I кв. лт—100 кв. дм (это установлено при решении
задачи). Значит, 100 кв. дл< = 100 кв. слоЮ0= 10 000 кв. см
(раздробление квадратных дециметров в квадратные сан-
тиметры). ' Таким образом, 1 кв. л< = 100 кв. дм —
= 10 000 кв. см, т. е. 1 кв. м =10000 кв. см.
52. ЗАДАЧИ, ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
В процессе решения разнообразных задач на вычис-
ление площади прямоугольника уже в связи с вычисле-
нием площади в квадратных сантиметрах (и в дальней-
шем) следует познакомить учащихся с обратными за-
дачами.
Основная задача на вычисление площади прямо-
угольника в общем виде формулируется так: «Известны
длина и ширина прямоугольника. Найти его площадь».
Эта задача имеет две обратные:
1. Известны площадь и длина прямоугольника. Най-
ти ширину прямоугольника.
2. Известны площадь и ширина прямоугольника. Най-
ти длину прямоугольника.
Для решения обратных задач удобно использовать
уравнения. Например, при решении задачи: «Площадь
прямоугольника 500 кв. см, его ширина 20 см. Найти дли-
ну» — учащиеся рассуждают так: «Пусть длина прямо-
угольника к см. Площадь прямоугольника равна про-
изведению длины на ширину, значит, 20-х = 500. Неиз-
вестный множитель равен произведению, деленному на
известный множитель. Поэтому х=500:20==25».
Ответ: длина прямоугольника равна 25 см.
Аналогично решается задача нахождения ширины
прямоугольника по его известным площади и длине. '
30см
Г—1
т
Можно практиковать схематиче-
ские задания задач (рис. 131). На
основании этой схемы составляется
уравнение: 80-х = 3200, откуда х =
3200:80 = 40.
Очень важно чтобы (особенно на
первых порах) площадь и размеры
прямоугольника выражались «од-
3200
кв.см
Рис. 131.
144
поименными» единицами площади и длины. Например,
если площадь дана в квадратных метрах, то один из ли-
нейных размеров этого прямоугольника должен быть
выражен в метрах.
Только после того как учащиеся хорошо ознакомятся
с метрической системой мер площадей (соотношениями
между известными им единицами площади), можно пред-
лагать учащимся решение обратной задачи, где площадь
и один из линейных размеров прямоугольника выражают-
ся «разноименными» единицами площади и длины. На-
пример, площадь прямоугольника равна 2000 кв. см, дли-
на 5 дм. Найти ширину. При решении этой задачи уче-
ник может поступить двумя спсобами.
1-й способ. Площадь выразить в квадратных де-
циметрах (2000 кв. см = 20 кв. дм). Тогда искомая ши-
рина (20:5=4) будет выражена в дециметрах (4 дм).
2-й способ. Выразить длину прямоугольника в сан-
тиметрах (5 дм = 50 см). Тогда искомая ширина прямо-
угольника (200:50 = 40) будет выражена в сантиметрах
(40 см).
53. ПРОВЕШИВАНИЕ ПРЯМЫХ. ИЗМЕРЕНИЕ
И ПОСТРОЕНИЕ ОТРЕЗКОВ НА МЕСТНОСТИ.
Очень часто практические работы на местности про-
водятся в конце учебного года. Причиной этого являются,
главным образом, не методические соображения, а ме-
теорологические условия (плохая погода в зимнее время
и т. п.). Такое положение нельзя считать нормальным.
Для того чтобы практические работы были не простой
формальностью (нужно выполнять программу!), следует
обеспечить их проведение в течение всего учебного года
и стараться органически связывать с изучением текущего
материала.
Поэтому работу: «Провешивание прямой. Измерение
и построение отрезков на местности» — целесообразно
провести в первой четверти, в связи с повторением све-
дений об измерении отрезков.
Выражение «провешить1 прямую» означает расста-
вить вехи так, чтобы они были расположены на одной
прямой линии. При этом используется важное свойство
1 Слово «провешить» происходит от слова «веха».
10 Заказ 1821
145
прямой: чер.ез две точки можно провести одну и только
одну прямую линию. Об этом необходимо напомнить уча-
щимся перед проведением работы.
Для того чтобы провешить прямую в заданном на-
правлении, нужно иметь набор из трех вех, набор дере-
вянных колышков (или проволочных спиц).
Положение прямой определяется двумя вехами (1
и 3), которые втыкаются в землю (рис. 132). Провеши-
ваемый отрезок отмечается колышками. Для того чтобы
каждый из колышков оказался на прямой, определенной
вехами (1 и 3), один из учеников становится, например,
у вехи 3. Другой ученик в это время старается поставить
веху 2 между вехами 1 и 3 так, чтобы для наблюдателя
(ученик, стоящий у вехи 1) все три вехи совпадали. Для
того чтобы это произошло, наблюдатель подает команду
голосом или руками. О характере команды необходимо
условиться заранее. После того как веха 2 установлена
на линии вех 1—3, у ее нижнего острия третий ученик
вбивает колышек. Так постепенно между вехами 1 и 3
будут вбиты несколько колышков, расположенных на
одной и той же прямой. Колышки вбиваются (приблизи-
тельно) на расстоянии 4—5 м друг от друга. Вдоль про-
вешенной прямой от любой ее точки и в любом направ-
лении может быть отложен (отмерен) заданный отрезок.
Измерение отрезков может быть выполнено с помощью
ленты, рулетки, мерной веревки (тонкой веревки, на ко-
торой через каждый метр завязан узелок).
146
54. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОГО УГЛА
И ПРЯМОУГОЛЬНИКА НА МЕСТНОСТИ.
Построение прямого угла и прямоугольника на мест-
ности выполняем после того, как учащиеся знакомы
с провешиванием прямых линий. Как мы уже упоминали
выше, это целесообразно связать, например, с построе-
нием.
В ходе подготовки к проведению работы в памяти
учащихся восстанавливаются сведения о прямом угле,
его построении, о прямоугольниках, свойствах их сторон.
Построение прямого угла на местности может быть вы-
делено в отдельную работу, если построение прямоуголь-
ника связывается с реализацией конкретных представле-
ний об аре или гектаре (в IV классе).
Построение прямоугольников с заданными размерами
•может быть связано и с разбивкой грядок и газонов пря-
моугольной формы на пришкольном участке.
Для построения прямоугольников на местности при-
меняется экер, несколько вех и колышков. Экер представ-
ляет собой два деревянных бруска, сбитых крестообраз-
но под прямым углом (рис. 133). На концах брусков
вбить по гвоздику. Он укрепляется на палке с заострен-
ным концом (удобнее втыкать в землю). Можно изгото-
вить модель экера из старого классного треугольника
(рис. 133). Гвоздики вбиваются в вершинах углов. Так
как школьники уже имеют опыт построения прямых уг-
лов с помощью чертежного треугольника, то экер, изго-
товленный из него, быстро ими осваивается.
При построении прямого уг-
ла вначале (колышком) отме-
чается его вершина. В этой точ-
ке устанавливается (вбивает-
ся) палка экера.
Вначале провешиваются
стороны угла. С помощью ви-
зира устанавливаются вехи
(1) и (2). С помощью вехи (3)
и колышков провешивается од-
на сторона прямого угла, а по-
том и другая (рис. 134).
После этого проводится ра-
бота по построению на мест-
ности прямоугольника с задан-
147
Рис.. 134.
ними размерами. В ходе работы используются экеры, ве-
хи, колышки, рулетка. Строится (как было описано вы-
ше) прямой угол. В направлении каждой из сторон от-
кладываются заданные отрезки — длина и ширина буду-
щего участка прямоугольной формы. Таким образом, мы
уже получили (рис. 135) три вершины прямоугольника
(А — вершина прямого угла ОАК). Для нахождения чет-
вертой, последней вершины этого прямоугольника можно
.148
4 ’
Рис. 136.
поступить по-разному. Можно с помощью экера постро-
ить прямой угол с вершиной в одной из двух вершин пря-
моугольника. Например, в точке О (рис. 135) отложить
отрезок (отмерить) ОМ, равный отрезку АК. Можно по-
ступить иначе. Найти вершину М, построив прямые углы
в вершинах К и О. Для этого одновременно устанавлива-
ются два экера (рис. 136). Ученик, подчиняясь одновре-
менно командам наблюдателей К и О, устанавливает ве-
ху в точке М. После этого стороны КМ и ОМ прямоуголь-
ника отмечаются колышками.
Мы кратко охарактеризовали содержание измери-
тельных работ, но не останавливались на организацион-
ных моментах и других вопросах их проведения потому,
что все они многократно описывались в методической
литературе и хорошо известны учителю.
55. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ДРОБЕЙ.
Геометрические фигуры и возможность их деления на
равные части, как об этом было сказано выше, яви-
лись основой, на которой были получены первоначаль-
ные представления об одной доле величины, доле еди-
ницы. В III классе программа предусматривает перво-
начальное ознакомление школьников с дробью величины.
Совершенно очевидно, что и в этом случае геометриче-
ские фигуры также необходимы в процессе формирова-
ния понятия дроби.
149
им
ж
Рис. 137.
Деление различ-
ных фигур на равные
части и рассмотре-
ние фигур, содержа-
щих одну, две и т. д.
такие части позво-
ляют ввести необхо-
димую терминоло-
гию и символику
для обозначения
дробных чисел.
Последовательно
рассматриваются гео-
метрические модели
всех дробей (с зна-
менателем не бо-
лее 10).
Например, после-
довательно образу-
ются
1_. £. J3. 1-
8 ’ 8’ 8’ 8’
4-(рис. 137).
_е.
8’ 8’
Аналогично, применяя по возможности различные фи-
гуры, знакомим с дробями, имеющими другие знамена-
тели. В частности, для изображения дробей с знаменате-
лем 10 (как и в других случаях) удобно использовать
прямоугольник, содержащий 10 клеток тетради (рис. 138).
Учащимся предлагается назвать (записать обыкно-
венной дробью или сказать словами), какая часть прямо-
угольника закрашена (какая не закрашена).
На этом этапе ознакомления детей с дробями геомет-
рическая интерпретация является единственной, дающей
'возможность рассмотреть операцию раздробления дро-
бей в более мелкие доли и обратную операцию.
Рис. 138.
150
Как мы указывали, уже в ходе ознакомления школь-
ников II класса с долями единицы целесообразно, на-
1 1 z .
пример, получать из -g- путем деления одной вто-
рой доли на две равные части (рис. 139). При этом
(в III классе) дети устанавливают, что -g- (половина
единицы) содержит две четвертые доли единицы, т. е.
1 2 „
можно сказать, что-g-=—.При иллюстрации раздроб-
ления дроби в более мелкие доли нужно использовать
отрезки, круги, прямоугольники (удобно, например, ис-
пользовать клетки тетради). Покажем, например, что
3 6 гг
у Начертим один под другим два прямоугольника
длиной в 8 клеток — каждый будет изображать единицу.
Клетка в этом случае изображает -g-долю (рис. 140).
гг 2 12 1
Две клетки составляют -у, или — то, что -g- = —,
дети устанавливают по чертежу. Заштриховываем на
верхнем прямоугольнике шесть восьмых, а нижнем — три
четвертых. Путем сравнения убеждаемся в том, что соот-
ветствующие (заштрихованные) прямоугольники равны
, „ 3 6 6 3
между собой, значит у или -§-= у •
ГТ 2
Покажем на круге, что у получаются путем раз-
дробления (делением на два) -у Чертим круг. Делим его
на три части (это можно сделать на глаз или с помощью
циркуля, если известен прием деления окружности на
6 частей). Заштриховываем — часть круга (рис. 141).
Затем каждая третья часть круга делится пополам. Уста-
Рис. 139.
151
Рис. 141.
навливается, что заштрихо-
ванная часть круга содержит
две шестые доли круга. Де-
лается вывод, который и за-
1 2
писывается так:
3 о
2 1 „
или-д-=-5~. Только после
о о
рассмотрения достаточного числа геометрических иллю-
страций, в результате чего у детей накапливается запас
представлений, можно переходить к формальному реше-
нию примеров вида: «Вставьте пропущенное число до-
.60 1 □
леи: “iQ- = -y', или -у = -у-» и т. п.
66. ДИАГРАММЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.
Во II классе дети впервые познакомились с тем, что
числа, например,-данные в условиях задач, можно изоб-
ражать геометрическими фигурами: отрезками, прямо-
угольниками, т. е. познакомились с простейшими диаграм-
мами. —
И дело не только в том, что в III классе можно исполь-
зовать соответствующую терминологию (использовать
слова: диаграмма, масштаб, график), но прежде всего в
том, что уточняются представления о масштабе.
Первоначальное ознакомление детей со столбчатыми
диаграммами (слово «столбчатые» не обязательно сооб-
щать учащимся) целесообразно связать с изучением
долей фигур. В III классе необходимо только ознакомить
детей с первоначаль-
ными представления-
ми о столбчатых ди-
аграммах. Каждый
столбик — прямо-
угольник — состав-
ляется из равных
прямоугольников.
Один из таких пря-
моугольников (мас-
штаб) принимается
ПАКЕТ УТЮГ ГУСЬ
С КАРТОФЕЛЕМ.
Рис. 142.
за одну или несколь-
ко единиц. Слож-
ность предлагаемых
152
заданий постепенно увеличи-
вается (аналогично с тем,
как это делается при озна-
комлении с линейными диаг-
раммами).
Учащимся напоминают,
что числа можно изображать
отрезками. Такой чертеж, на
котором это сделано, назы-
вают диаграммой, затем по-
казывают и объясняют, как
можно изображать числа
прямоугольниками (полос-
ками, столбиками). Пусть
I клетка соответствует, на- кп- кл кп-
пример, 1 кг, тогда по числу Рис. 143.
таких клеток в каждом из
столбиков (рис. 142) можно судить о весе обозначенных
в диаграмме предметов.
Затем решается более сложная задача. Усложнение
состоит в том, что масштабный прямоугольник соответст-
вует не одной, а нескольким единицам. Учащимся, на-
пример, предлагается прочитать диаграмму (рис. 143),
показывающую число учащихся в различных классах
школы. Дети рассказывают (подсчитывая число мас-
штабных прямоугольников, содержащихся в каждом
столбике), что в I классе учатся 40, во II — 32, в III — 36,
в IV — 28 учащихся. Диаграммы не обязательно изобра-
жаются на клетчатом фоне (клетчатый, фон «математиче-
ской доски» удобен для этого). Можно продемонстриро-
вать диаграммы двух видов на гладком фоне.
Диаграмма сбора бумаги
153
Рис. 145.
На рисунке 144 учащиеся выясняют (читают диаграм-
му), что больше всех бумаги собрано учащимися
II В класса (90 кг). Учащиеся II Б класса и II Г класса
собрали по 60 кг, а II А класса — 75 кг бумаги.
На диаграмме другого вида масштабный прямоуголь-
ник не задан. При чтении диаграммы (рис. 145) учащиеся
пользуются шкалой. В этой диаграмме определяют вы-
соту столбиков на глаз. Они устанавливают, что первая
бригада перевыполнила план ремонта, а четвертая не
выполнила. Первая бригада отремонтировала 200 трак-
торов. Это на 50 тракторов больше, чем по плану. Уча-
щиеся последовательно рассказывают о каждой бригаде,
называя число тракторов, указывая, на сколько тракто-
ров перевыполнен или недовыполнен план. Третьеклас-
сники должны уметь строить простые диаграммы по
данным, взятым из жизни класса (число мальчиков и де-
вочек и т. д.).
Кроме того, диаграммы в III классе следует исполь-
зовать как наглядное средство, играющее важную роль в
общем развитии школьника, как один из способов до-
ведения до школьников разнообразной научной инфор-
мации. Эту работу необходимо проводить систематиче-
ски в течение учебного года, постепенно усложняя.
Начать нужно с упражнений, при выполнении кото-
рых уточняется и закрепляется навык в чтении диаграмм
(эта работа была начата еще во II классе). В этом слу-
чае и удобно использовать диаграммы, содержащие све-
154
Рис. 146.
дения общеобразовательного характера. Например, на
рисунке 146 дана диаграмма, показывающая часовые
скорости, которые могут быть достигнуты человеком (с
помощью только его физической силы).
На рисунке 147 дана диаграмма, показывающая дли-
ну некоторых важных рек мира. Учитель может исполь-
зовать различные данные о высоте важнейших вершин
СССР (Европы, Азии), об океанских глубинах, о про-
должительности жизни животных (растений), о высоте
различных пород деревьев, о весе животных и т. п. Све-
дения для построения таких диаграмм можно получить
СРАВНИТЕЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА ВАЖНЕЙШИХ РЕК (в КМ, х
Миссури
Нил
Янцзы
Амазонка1
Ла-Плата
Конго
Дмур
Обь
Лена
EhhceiT
I ВОЛГА
Q 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Рис. 147.
135
в справочниках и энциклопедиях (в частности, в Детской
энциклопедии). Обширна группа диаграмм, используе-
мых как с общими воспитательными целями, так и с це-
лями формирования навыков чтения: диаграммы, отра-
жающие ход развития нашей страны, достижения ее
науки и техники, культуры и искусства.
Учащиеся должны научиться составлять диаграммы
на материале своего класса, школы, научиться выбирать
удобный масштаб, строить диаграмму. Для уточнения
представлений о масштабе и совершенствования навыков
чтения диаграмм целесообразно решить несколько спе-
циальных задач.
Задача 1. Найти масштаб диаграммы (рис. 148)..
Прочитать диаграмму.
Задача 2. Найти масштаб диаграммы (рис. 149).
Прочитать диаграмму.
С помощью диаграммы можно поставить (и решить)
ряд задач. Например, найти число взрослых, мальчиков
и девочек (рис.. 150), если известно, что мальчиков на
Рис. 148. Рис. 150.
156
8 меньше, чем девочек. (Решенние задачи сводится к на-
хождению масштаба диаграммы.) Или: на диаграмме
(рис. 151) изображен сбор яблок и груш с пришкольного
сада. Найти, сколько собрано отдельно груш и яблок,
если всего собрано 210 кг фруктов.
В III классе учащимся можно сообщить начальные
сведения о графиках. Наиболее удобным случаем для
этого является диаграмма (график) по результатам
наблюдений температуры воздуха в течение недели( ме-
сяца) — календарь погоды.
Учащимся рассказывается, что на горизонтальной оси
(прямой) указаны точки, обозначающие дни недели
(месяца), на вертикальной — температура в градусах.
Горизонтальная ось (прямая) пересекает вертикальную
в точке О (нуль градусов). Вниз от горизонтальной оси
откладываются отрезки, соответствующие характери-
стике «холодно», вверх от этой оси — отрезки, соответст-
вующие характеристике «тепло» (говорят: «Температура
воздуха выше нуля, ниже нуля»).
Пусть в течение одной недели марта учащиеся изме-
ряли температуру воздуха. Наблюдения оформляли
в таблице.
Дни нежели 1 2 3 4 6 в
Температура воздуха' в градусах 3° х. 5° х. 0° 2° т. 4° т. 1° т.
Учитель рассказывает и показывает ход построения
графика (диаграммы) изменения температуры воздуха
в течение 1-й недели марта (рис. 152).
157
57. ПРИМЕРЫ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ВЕЛИЧИНАМИ. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ
ПЛОЩАДЬЮ И ДЛИНОЙ СТОРОН
ПРЯМОУГОЛЬНИКА.
Программа математики предусматривает ознакомле-
ние учащихся III класса с примерами зависимости меж-
ду величинами. По существу речь идет о формировании
функциональных представлений. Кроме таких зависимо-
стей, которые обнаруживают себя в связи с решением
задач на движение (зависимость между временем, ско-
ростью и путем),'задач, где учащиеся устанавливают за-
висимость между ценой единицы товара, числом куплен-
ных единиц этого товара и суммой, уплаченной при этом,
следует использовать зависимость, существующую меж-
ду длиной одной из сторон прямоугольника (другая сто-
рона построена) и площадью, а также зависимость меж-
ду сторонами прямоугольника, имеющих одну и ту же
площадь.
На решении ряда задач, учащиеся легко приходят
к выводу, что из двух прямоугольников, у которых одна
и та же ширина (или одна и та же длина), площадь того
прямоугольника больше, у которого больше длина.
Причем площадь правого прямоугольника (рис. 153)
будет больше площади левого прямоугольника в два ра-
за потому, что у второго из них в два раза больше длина.
Показать это можно непосредственно вычислением. Этот
вопрос целесообразно связать с изучением «изменения
результатов умножения с изменением одного из компо-
нентов». В результате дети должны уметь сформулиро-
вать ответ к задаче: «Ширину прямоугольника увеличили
в 5 раз, оставив длину без изменения. Как изменится пло-
щадь прямоугольника?» Площадь прямоугольника уве-
личится в 5 раз потому, что площадь прямоугольника —
это произведение двух множителей (длины и ширины)
прямоугольника. Один из множителей (ширина) уве-
личивается в 5 раз, значит, и произведение (площадь)
увеличивается во столько же раз.
Полезно рассмот-
реть зависимость
длины прямоуголь-
ников заданной пло-
щади от его ши-
рины.
?0 40
Рис. 153.
158
Пусть у нас имеются прямоугольники, площадь кото-
рых постоянна и равна, например, 64 кв. см. Одним из
таких прямоугольников может быть, в частности, прямо-
угольник шириной 1 см и длиной 64 см. Увеличим шири-
ну в 2 раза и посмотрим, какой будет длина прямоуголь-
ника, площадь которого равна 64 кв. см (постоянна).
Найдем длину нового прямоугольника: х-2=64; х=64:2,
х=32 (см).
Мы видим, что с увеличением ширины в 2 раза длина
уменьшилась в 2 раза. Попробуем увеличить ширину в
8 раз. Новая ширина будет 8 см. Найдем длину (х) пря-
моугольника. Составим уравнение х-8=64; х=64:8;
х=8 см. Заметим, что длина уменьшилась в 8 раз...
Оказывается, что длина уменьшается во столько же
раз, во сколько раз увеличивается ширина в том случае,
если площадь прямоугольника не изменяется. Очевидно,
что эта задача в дальнейшем может быть истолкована
в связи «с изменением частного в зависимости от изме-
нения делителя». Делимое — площадь, делитель — длина
(или ширина), частное — ширина (или длина). При уве-
личении (уменьшении) делителя в несколько раз частное
уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Решение подобной задачи находит практическое при-
менение, например, в связи с нахождением размеров воз-
можных прямоугольников (стороны которых измеряются
целым числом), площадь которых задана.
58. ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ОБ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ.
Представляется целесообразным изложить основные
методические соображения о характере ознакомления
младших школьников с осевой симметрией. Дело в том,
что выражение «эта фигура симметрична», «эти фигуры
симметрично расположены» и т. п. часто используются в
обучении младших школьников (особенно на уроках ри-
сования, ручного труда). Еще чаще эти или аналогичные
выражения дети слышат по радио, телевидению, от взрос-
лых и старших товарищей.
Введение представления об осевой симметрии не
должно носить формального характера, а основываться
на конкретных примерах, наблюдениях, связанных с прак-
тической деятельностью детей.
159
На уроках (рисова-
ния, ручного труда или
других) можно провес-
ти ряд небольших прак-
тических работ, в про-
цессе выполнения кото-
рых дети используют
основные представле-
ния об осевой симмет-
рии фигур, знакомятся
с терминологией.
Практическая рабо-
та 1. Возьмите неболь-
Рис. 154.
шой лист бумаги. Нанесите на него каплю чернил или ту-
ши. Перегните лист так, чтобы линия сгиба прошла че-
рез каплю или вблизи нее. Плотно прижмите друг к дру-
гу сложенные части листа бумаги, разгладьте линию сги-
ба. Раскройте листок (рис. 154). Вы увидите, что по раз-
ные стороны от прямой линии (линии сгиба) получились
совершенно одинаковые фигуры (отпечатки).
Эти фигуры называют симметричными относительно
прямой линии, а прямую линию (линию сгиба) называют
осью симметрии.
Возьмите листок бумаги и повторите еще раз опыт
с каплей чернил. После того как чернила просохнут,
начертите карандашом ось симметрии получившейся
фигуры.
Практическая работа 2. Перегните лист плотной (же-
лательно черной) бумаги. Хорошо разгладьте линию
сгиба так, чтобы обе части листа прилегали друг к другу.
,С помощью булавки или иголки наколите какой-нибудь
рисунок так, чтобы игла каждый раз прокалывала обе
части сложенного листа. Раскройте листок и посмотрите
его на свет. Что вы увидите? Как расположились фигуры
относительно линии сгиба? Как можно назвать эту
линию?
Практическая работа 3. Возьмите лист бумаги и пе-
регните его пополам. Хорошо разгладьте линию сгиба
и отметьте на ней две точки. Не раскрывая листа бумаги,
вырежьте какой-либо узор так, чтобы не перерезать ли-
нию сгиба на отрезке, ограниченном этими точками. Рас-
правьте листок. Какую фигуру вы получили? Укажите
ось симметрии.
160
Во внеклассной работе можно использовать разнооб-
разные упражнения.
1. Приложить край линейки к изображенным на
рисунке 155 фигурам так, чтобы он служил осью симмет-
рии.
2. Фигуры, изображенные на рисунке 156, разделены
линией на две части. В каких случаях эта прямая будет
осью симметрии?
3. В каких случаях (рис. 157) прямая линия не явля-
ется осью симметрии?
4. Каждая ли из прямых линий, изображенных на
рисунках 158 и 159, является осью симметрии фигуры?
Все ли фигуры могут иметь ось симметрии?
Рис. 155.
П Заказ 1821
161
Рис. 156.
Рис. 157.
Рис. 159.
Рис. 158.
5. На рисунке 160 изображены фигуры, имеющие од-
ну, две, три оси симметрии. Сколько осей симметрии име-
ет каждая фигура, изображенная на рисунке 161?
6. Вырезать из клетчатой бумаги прямоугольник раз-
мерами 3x2 см и квадрат 3x3 см. Установить путем
перегибания этих фигур, сколько осей симметрии имеет
каждая из них.
7. Рассмотрите предметы или их части, находящиеся
в классе (дома). Укажите, какие из них имеют одну (или
несколько) ось симметрии.
8. Пользуясь клетками тетради, нарисовать фигуру,
имеющую две (четыре) оси симметрии.
9. Нарисовать фигуру, имеющую три, шесть осей
симметрии.
162
10. Сколько осей симметрии имеет пятиконечная
звезда?
11. Нарисовать прямоугольник и все его оси симмет-
рии.
12. Нарисовать квадрат и его оси симметрии.
13. На рисунке 162 изображены печатные буквы А,
О, Н, М, Т. Сколько осей симметрии имеет каждая из
этих букв? Назовите еще буквы русского алфавита, изо-
бражения которых имеют оси симметрии.
14. Говорят, что кленовый лист симметричен — имеет
ось симметрии. Назовите еще растения, листья которых
имеют ось симметрии.
15. Часто оконные рамы симметричны. Покажите, как
проходит ось симметрии оконной рамы. Назовите еще
предметы или их части, имеющие ось симметрии. В каж-
дом случае покажите, как проходит эта ось.
16. Нарисуйте прямоугольник. Нарисуйте его ось сим-
метрии. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?
Нарисуйте все оси симметрии прямоугольника.
17. Нарисуйте квадрат и все оси симметрии квадра-
та. Сколько осей симметрии имеет квадрат?
18. Нарисуйте четырехугольник, не имеющий осей
симметрии, имеющий хотя бы одну ось симметрии. На-
рисуйте эту ось.
АОНМТ
Рис. 162.
11*
163
19. Нарисуйте треугольник, не имеющий ни одной оси
симметрии; имеющий только одну ось симметрии. На-
рисуйте эту ось.
20. Начертите отрезок. Имеет ли отрезок ось сим-
метрии?
21. Начертите окружность. Отметьте ее центр. Про-
ведите прямую линию через ее центр. Будет ли эта пря-
мая линия осью симметрии окружности?
22. Ось симметрии делит фигуру на две равные части
(на две доли). Сколько осей симметрии нужно провести,
чтобы разделить круг на 4 доли; на 8 долей? Начертите
круг, проведите в нем оси симметрии так, чтобы они раз-
делили его на 4 доли. Закрасьте одну четвертую долю
круга.
23. Вырезать из бумаги круг. Путем перегибания сло-
жите круг вдвое, затем вчетверо и, наконец, еще раз.
Разгладьте линии сгиба, расправьте круг. Являются ли-
нии сгиба осями симметрии? Сколько получилось осей
симметрии? На сколько долей они разделили круг?
59. ПРИМЕРНЫЙ СЛОВАРЬ И ПЕРЕЧЕНЬ
НАВЫКОВ, КОТОРЫМИ ДОЛЖНЫ ОВЛАДЕТЬ
УЧАЩИЕСЯ III КЛАССА.
В III классе совершенствуется и закрепляется сло-
варь, усвоенный учащимися в предшествующие годы.
Расширение словаря происходит за счет изучения но-
вых вопросов и прежде всего в связи с изучением вопроса
о площади фигуры, построениями.
1. В связи с изучением измерений площадей усваи-
ваются необходимые слова и выражения:
Эта фигура занимает большее место, чем... . Ее пло-
щадь больше. Единичный квадрат. Квадратный санти-
метр. Квадратный дециметр. Квадратный метр. Сколько
единичных квадратов содержит фигура (название).
Сколько квадратных сантиметров (квадратных децимет-
ров и т. п.) содержит фигура. Палетка.
Число квадратных сантиметров, размещающихся в
один ряд по длине (основанию), по ширине (высоте)...
совпадает с числом линейных сантиметров. Измерить
площадь фигуры — значит найти число квадратных сан-
тиметров (квадратных дециметров и т-. п.), содержащихся
в этой фигуре.
164
Вычислить площадь прямоугольника. Площадь пря-
моугольника в квадратных сантиметрах (квадратных
дециметрах, квадратных метрах) равна произведению
его длины на ширину в сантиметрах (дециметрах, мет-
рах).
Единицы измерения площади, квадратные единицы.
Меры площади.
2. В связи с проведением измерительных работ дети
усваивают необходимые слова и выражения:
Рулетка, мерная лента (веревка), колышки, вехи, экер.
В III классе учащиеся должны:
1. Уметь определить радиус окружности (круга), если
задан ее центр. Уметь разделить окружность точками на
2, 3, 4, 6, 8, 9 частей. Уметь разделить круг (радиусом)
на 2, 3, 4, 6, 8, 9 равных частей.
2. Уметь вычислить площадь прямоугольника, квад-
рата и простых фигур, составленных из прямоуголь-
ников.
Уметь раздроблять и превращать квадратные меры.
3. Уметь читать и составлять столбчатые и линейные
диаграммы. Уметь определять их масштаб.
4. Уметь пользоваться простейшими инструментами
для измерений отрезков, для построения отрезков и пря-
моугольников.
5. Уметь разделить отрезок (круг, квадрат, прямо-
угольник) на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 равных частей и за-
штриховать заданное число частей. Уметь устанавливать
равенство этих частей — фигур (наложением).
6. Уметь построить (на нелинованной бумаге) с по-
мощью линейки и чертежного треугольника прямоуголь-
ник (квадрат) с заданными размерами.
60. СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В СВЯЗИ С ИЗУЧЕНИЕМ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В III КЛАССЕ.
В III классе используются все средства, употребляе-
мые в списке для II класса (стр. 122). К ним должен быть
добавлен ряд пособий классного и индивидуального
пользования.
А. Индивидуальные пособия.
5—6 листов миллиметровой бумаги для построения
диаграмм.
165
2
Рис. 163
Б. Классные пособия.
1. Серия диапозитивов «Геометрический материал»,
часть II. Автор А. М. Пышкало. Производство завода
«Физэлектроприбор», № 4. Москва. 1.968.
2. Диафильм «Диаграммы». Автор А. М. Пышкало.
Производство студии «Диафильм».
3. Диафильм 1 «Прямоугольник, его периметр и пло-
щадь». Автор А. М. Пышкало. Производство студии
«Диафильм». Москва.
4. Диафильм «Геометрические фигуры и их взаимное
положение». Авторы К- И. Пешков, А. М. Пышкало. Про-
изводство студии «Диафильм». Москва.
5. Диафильм «К урокам математики в III классе».
Автор А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм».
Москва.
6. Диафильм «Доли величины. Дроби». Автор
А. М. Пышкало. Производство студии «Диафильм». Моск-
ва. 1968.
7. «Таблицы по математике для 3 класса», «Просве-
щение», 1972.
8. Прибор (демонстрационный) для упражнений при
изучении линейных диаграмм (рис. 163). Прибор пред-
ставляет собой фанерную доску (3) размером 70X90 см.
Поле доски покрыто квадратной сеткой, как у арифмети-
ческой доски 5x5 см. В доске проделаны отверстия (7),
1 Диафильмы и диапозитивы могут быть приобретены в магази-
нах Главснабпроса (областном Учколлекторе).
166
сквозь которые продета тесьма (2). Тесьма раскрашива-
ется так, чтобы одна ее часть (половина) была яркого
цвета, а другая — цвета, которым окрашена доска. (Вмес-
то окраски этой части тесьмы ее можно заменить, напри-
мер, прозрачной полиэтиленовой полоской.)
Подготовленные таким образом кусочки тесьмы про-,
деваются сквозь соответствующую пару отверстий и сши-
ваются. Образуется кольцо, которое можно непрерывно
продергивать сквозь эту пару отверстий. По мере про-
дергивания на внешней стороне доски появляется боль-
шая или меньшая часть ярко окрашенной тесьмы (в это
время другая ее часть уходит за доску). На приборе мож-
но очень быстро установить данные диаграмм, задать
масштаб и упражняться в чтении и составлении линейных
диаграмм.
9. Прибор демонстрационный для упражнений при
изучении столбчатых диаграмм. Отличается от описан-
ного выше тем, что у него вместо тонкой тесьмы в доста-
точно широкие (щелевидные) прорези продеты кольца
из лент (шириной 5—10 см).
V. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ
ПРИМЕНЕНИЯ НАГЛЯДНЫХ ПОСОБИЙ
И ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ
В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
В I—III КЛАССАХ.
61. КОМПЛЕКСНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УЧЕБНЫХ
СРЕДСТВ.
Новое содержание курса математики началь-
ной школы предполагает и новые приемы и методы обу-
чения и влечет за собой значительное расширение арсе-
нала учебных средств, с помощью которых осуществля-
ется формирование геометрических представлений и
понятий, выработка необходимых навыков.
В последнее время, кроме традиционных: арифмети-
ческого ящика, серии таблиц, разверток прямоугольного
параллелепипеда, моделей геометрических фигур, изго-
товляемых учителем или учащимися, чертежей на доске
и в тетрадях — в обучении все больше применяются диа-
фильмы, диапозитивы, кинофильмы, тетради на печатной
основе, карточки-задания и другие дидактические мате-
риалы ’. Все это вызвало к жизни проблему комплекс-
ного использования различных средств обучения. Оче-
видно, что в основе решения этой проблемы лежит реали-
зация основных принципов дидактики и принципа
наглядности обучения в особенности.
В ходе развития геометрических представлений у
младших школьников должно быть рассмотрено макси-
мальное разнообразие видов геометрических фигур, в ре-
зультате обобщения и абстрагирования которых выде-
ляются существенные признаки, характеристические
свойства, лежащие в основе понятий. Поэтому следует
стремиться привлекать на уроки самые различные учеб-
ные средства. Например, наряду с применением диа-
фильмов, следует одновременно использовать таблицы
(или чертежи на доске), модели. Это обеспечит и разно-
1 Например, дидактический материал для I класса М. И. Моро.
М., «Просвещение», 1966, 1969, 1972.
168
образие деятельности учителя и учащихся в ходе обуче-
ния, даст возможность детям не только наблюдать иллю-
страции тех или иных объектов, но и экспериментировать,
вычерчивать, отвечать на вопросы, писать, т. е. сущест-
венно активизирует познавательную деятельность уча-
щихся. В настоящей работе мы не имеем возможности
подробно останавливаться на характеристике и методике
применения всех видов учебного оборудования, но уде-
лим внимание тем из них, которые менее известны учи-
телю и еще недостаточно описаны в методической лите-
ратуре. Такими учебными пособиями, на наш взгляд,
являются экранные пособия (диафильмы, диапозити-
вы, кинофильмы). Следует отметить, что с каждым годом
производство этих пособий заметно увеличивается.
62. УЧЕБНЫЕ ДИАПОЗИТИВЫ. ИХ СОДЕРЖАНИЕ
И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПРИМЕНЕНИЮ.
В 1966 году по заказу Министерства просвещения
РСФСР впервые была выпущена серия диапозитивов
«Геометрический материал в курсе математики началь-
ной школы», часть I, в 1968 году выпущена II часть этой
серии1. Эти диапозитивы предназначены для использо-
вания в I—III классах (I часть для I—II классов,
II часть — для III классов), и с их помощью можно рас-
смотреть все основные вопросы курса. Всего они содер-
жат около 100 цветных кадров размером 24x36 мм. Это
дает возможность получить на экране большое, яркое
и четкое изображение.
Проследим на примере более подробной характери-
стики I части серии диапозитивов за их содержанием,
характером и приемами применения в обучении.
. Предлагаемая вниманию учителя серия диапозитивов
применяется в I—III классах. В ней обобщены современ-
ный опыт и методика изучения геометрических вопросов,
методика формирования геометрических представлений,
представлений о геометрических величинах и их измере-
ниях.
1 Выпущены заводом «Физэлектроприбор», № 4. Москва, 1966—
1968 годы. Автор диапозитивов А. М. Пышкало. Редактор В. С. Роч-
ко. Диапозитивы можно прибрести в Учколлекторах (областных ма-
газинах Главсиабпроса).
169
Диапозитивы не только помогают учителю экономить
силы и время в ходе подготовки к урокам и при изложе-
нии нового материала, но и являются эффективным ди-
дактическим пособием (в виде заданий, вопросов, задач),
позволяющим организовать активное обучение на всех
его этапах (проведение самостоятельных работ, опроса,
контрольных работ и т. д.).
Отдельные кадры или группы кадров этой серии диа-
позитивов, отобранные учителем для урока, могут либо
представлять собой основной материал, на котором
строится весь урок (или его часть, если не весь урок от-
водится для изучения геометрического материала), либо
играть вспомогательную роль. Тогда диапозитивы ис-
пользуют наряду с другими пособиями (таблицами, моде-
лями, диафильмами и кинофильмами).
Значительно повышается дидактический эффект при-
менения диапозитивов, если осуществлять их демонстра-
цию без затемнения класса (или при частичном затемне-
нии близ экрана). Для демонстрации можно использовать
диапроектор «Свет-3», установив его на расстоянии 1,5—
2 м от экрана (например, на. столе учителя). При этом
достигается достаточно крупное изображение изучаемого
объекта и, главное, возможность одновременно с экраном
использовать классную доску, ученическую тетрадь, чер-
тежные инструменты, т. е. осуществлять разнообразные
формы работы с учащимися.
Еще большие возможности открывает применение
классной доски с светлым (лучше серо-зеленым) покры-
тием. Такая доска одновременно может служить и экра-
ном. Проекция кадров непосредственно на классную дос-
ку расширяет дидактические возможности диапозитива.
Это позволяет, например, прямо на изображении выпол-
нять построения белым и цветным мелом (дополнитель-
ные построения, введение обозначений, числовых данных
и т. д.).
Прежде чем использовать диапозитивы на уроках или
при индивидуальной работе (например, с отстающими
учащимися), учитель должен тщательно ознакомиться
с их содержанием и методическими указаниями ’. Это
даст возможность отобрать нужные кадры, определить
1 К каждой серии диапозитивов прилагается брошюра, содер-
жащая методические указания.
170
их место и роль в системе изложения учебного материа-
ла, избранной тем или иным учителем. Здесь не только
возможны, но н необходимы варианты, связанные, на-
пример, со степенью подготовленности данного класса.
Знакомство с содержанием каждого кадра позволит учи-
телю соответствующим образом планировать не только
те уроки, на которых будут использованы диапозитивы,
но и предшествующие и последующие уроки, отобрать
и подготовить необходимые пособия, инструменты и ма-
териалы.
Приводимый ниже текст к кадрам показывает харак-
тер работы с диапозитивами и может быть изменен в за-
висимости от того, в каком классе, на каком этапе обу-
чения и с какой целью они применяются. Так, например,
один и тот же кадр, рассматривающий многоугольники,
может быть использован как иллюстрация при ознаком-
лении школьников с многоугольниками в I классе и в хо-
де тренировочной работы при формировании понятия
«натуральное число» и знакомстве со счетом (подсчет
числа вершин, сторон, углов). Этот же кадр может быть
показан и при дальнейшем обучении в связи с ознаком-
лением учащихся с понятиями «острый», «прямой» и «ту-
пой» углы (определении на глаз вида углов и т. д.), а
затем и в процессе формирования понятия «периметр
многоугольника» и т. д.
2.1. Точка. Прямая линия. Отрезок. При ознакомлении
учащихся с геометрическими фигурами, точкой и линия-
ми можно использовать ученические тетради (их разли-
новку). Учитель рассказывает, что лист тетради покрыт
прямыми линиями, которые образуют клетки (поэтому
такую тетрадь называют «тетрадь в клетку»). Учащиеся
должны уметь показывать пересекающиеся и непересе-
кающиеся прямые линии, найти и отметить точку пере-
сечения (например, на кадре красным цветом отмечены
точка пересечения двух прямых линий, отступить от этой
точки на несколько клеток вправо (влево, вверх, вниз)
и отметить еще одну точку на этой же прямой (на кадре
вторая точка отстоит от Первой на три клетки вправо,
а на вертикальной прямой — на четыре клетки вниз).
Представления о непересекающихся прямых форми-
руются при рассмотрении листа «в линейку». Учащиеся
1 Указан номер кадра.
171
должны уметь показать непересекающиеся прямые, а так-
же точку, лежащую на прямой и не лежащую на прямой.
При этом следует употреблять выражения: «Прямая про-
ходит через точку» и «Прямая не проходит через точку».
В нижней части кадра на одной прямой линии отме-
чены две точки. Часть прямой линии между этими двумя
точками называют отрезком прямой линии или просто
отрезком. Отмеченные точки называют концами отрезка.
3. Линии прямые и кривые. Замкнутые кривые. Уча-
щиеся должны уметь чертить с помощью линейки пря-
мые линии, отличать их от других линий. На кадре изо-
бражены прямые линии (1, 2 и 3), кривая линия (4),
замкнутая кривая линия (5), отмечена точка пересечения
172
прямых линий 1 и 3. Учащиеся могут указать (приблизи-
тельно) положение точки пересечения прямых линий 3
и 2. Этот кадр целесообразно использовать после некото-
рой тренировки в вычерчивании линий.
4. Прямая линия. Отрезок прямой линии. Кадр может
быть использован в процессе постепенного ознакомления
школьников с прямой линией, отрезком, кривой линией,
а также для проверки усвоения ими уже изученного ма-
териала.
Вопросы и задания учащимся:
а) Какие фигуры изображены здесь?
Учащиеся должны указать точки, отрезки, прямые,
кривые линии. Можно напомнить им, что изображение
прямой линии отличается от изображения отрезка тем,
что у последнего отмечены конечные точки — концы.
б) Показать отрезок и его концы. Отметить еще одну
точку на, отрезке. Сколько точек можно отметить на от-
резке?
в) Показать кривую линию. Отметить на ней точку,
две точки.
г) Показать прямую линию и какую-нибудь точку на
ней. Можно ли отметить еще одну точку на прямой? От-
метить точку, через которую не проходит прямая
линия.
Примечание. Отметить точку — значит показать
указкой ее место на экране. Дети подводятся к выводу,
что на линии и на отрезке можно отметить сколько угод-
но точек,
173
5. Точка. Прямая и кривая линии. Отрезок прямой
линии. «На прямой отмечено три точки. Сколько отрез-
ков при этом образовалось?» Для постановки и выясне-
ния этого вопроса используется первая часть кадра. Уча-
щиеся должны заметить не два, а три отрезка. Один от-
резок имеет концами точки 1 и 3, второй — 1 и 2 и
третий — точки 2 и 3 (концы отрезка — точки — прону-
мерованы).
Вторая часть кадра посвящена подведению итогов
работы по формированию представлений о точке, лини-
ях и отрезке. Учащиеся показывают (или называют по
указанию учителя) точки, отрезки, прямые и кривые ли-
нии, замкнутые и незамкнутые кривые линии. В частно-
сти, интересно заметить, что фигура 6 состоит из двух
отрезков, фигура 7 — из отрезков и кривых линий, фигу-
ра 8 — замкнутая кривая, содержит два отрезка и т. д.
6. Ломаная линия. Кадр может быть использован при
первоначальном знакомстве учащихся с ломаной линией
и при опросе. Дети должны уметь показать замкнутые
и незамкнутые ломаные линии, каждый отрезок — звено
ломаной, вершины ломаной. Обращается внимание на то,
что фигура 4, хотя и составлена из двух отрезков, лома-
ной линией она не является, так как эти отрезки состав-
ляют вместе новый отрезок (лежат на одной и той же
прямой линии).
7. Многоугольники. Кадр используется при ознаком-
лении учащихся с понятием многоугольника. Устанав-
ливается, что фигуры 1 и 4 ограничены замкнутыми кри-
174
выми линиями (одну из этих фигур учащиеся, вероятно,
назовут кругом). Границей же фигур 2 и 3 являются ло-
маные линии. Такие фигуры называются многоугольни-
ками. Стороны (отрезки) ломаной линии называют сто-
ронами многоугольника, концы отрезков вершины лома-
ной— вершинами многоугольника.
Учащиеся должны уметь показать каждую вершину,
каждую сторону многоугольника, найти число вершин
(сторон). Они устанавливают, что вершин у многоуголь-
ника столько же, сколько и сторон, и узнают, что много-
угольник, у которого три вершины (стороны, угла), на-
зывают треугольником, а у которого, например, семь вер-
шин,— семиугольником. Ознакомление с различными
175
многоугольниками может вестись постепенно, по мере
того как дети знакомятся с числами. Элементы много-
угольника могут использоваться и как дидактический
материал (наряду со счетными палочками) в процессе
ознакомления с числами.
8. Многоугольники. Кадр демонстрируется как иллю-
страция при формировании первоначальных представле-
ний учащихся об углах многоугольников. От треугольни-
ка «отрываются» углы. Одновременно с диапозитивами
целесообразно показать «оторванные» углы на бумажной
модели многоугольника.
Демонстрация углов на экране осуществляется с по-
мощью указки. Указкой обводят обе стороны угла или
один конец ее устанавливают в вершине угла. Сама же
указка направляется по одной из сторон угла и медленно
вращается к другой, «заметая» угол так, как это можно
наблюдать при работе очистителя стекла автомобиля.
9. Многоугольники. Кадр может быть использован
для обобщения представлений учащихся о многоугольни-
ке и его элементах (вершинах, сторонах, углах) и для
опроса, а в дальнейшем, например после ознакомления
с прямым, острым и тупым углами, для закрепления этих
понятий (определить на глаз углы многоугольника).
Подсчет числа вершин каждого многоугольника дает
возможность не только определить его название, но и ве-
сти работу по развитию понятия «число».
10. Геометрические фигуры. Кадр демонстрируется
при обобщении представлений об изученных фигурах
176
(точка, прямая, отрезок, кривая линия, ломаная линия,
многоугольник). Этот же кадр может быть использован
и для опроса учащихся, для проверки усвоения ими прой-
денного материала.
Примерные задания:
а) показать (назвать) многоугольники. Ученик пока-
зывает фигуры 4 и 6 и говорит: «Эта фигура (4) — тре-
угольник, а эта (6)—пятиугольник». Попутно могут
быть даны задания: показать стороны, углы, вершины
и т. д.;
б) показать (назвать) замкнутую ломаную (кривую)
и т. д.;
в) показать (назвать) прямые линии;
12 Заказ 1821
177
г) показать (назвать) отрезки. Кроме фигуры 7, уче-
ник может указать отрезки — звенья ломаной (фигуры
2, 5), стороны многоугольников (фигуры 4, 6);
д) назвать фигуры, изображенные на кадре. Ученик
должен определить (в любом порядке) вид фигуры. Не-
которые учащиеся не будут делать отличия фигур 4 и 5
и назовут их треугольниками. В этом случае необходимо
подчеркнуть, что треугольником (в нашем понимании)
является фигура 4, а фигура 5 — замкнутая ломаная ли-
ния, состоящая из трех звеньев.
Примечание. Кадры 6, 7, 8, 9 и др. могут быть
использованы и при работе по изображению учащимися
фигур иа клетчатой и гладкой бумаге. Например, можно
предложить ученику нарисовать или вырезать из бумаги
фигуру, похожую (или такую же) на фигуру 3 (кадр 7)
и т. д.
11. Геометрические фигуры. Изучение геометрической
формы предметов. Задача этого кадра — помочь форми-
рованию представлений учащихся о геометрической фор-
ме. Дети рассматривают фигуры, изображенные на кад-
ре, и, пользуясь обозначениями (верхний ряд — номера,
нижиий ряд—буквы), составляют пары, обозначающие
фигуры одной и той же формы. Например, 1-Е (отрезок),
8-Б( ломаная линия), 2-Д (круг), 3-3 (четырехугольник,
прямоугольник), 5-В (четырехугольник) и т. д. Учащие-
ся отвлекаются от цвета фигуры.
12. Геометрические фигуры. Изучение геометрической
формы. В этом кадре учащиеся сталкиваются с более
сложным, цем в предыдущем, заданием. Здесь фигуры
Кадр //
1 2 3 4 5 6 7 8
MOliD
А Б В Г Д Е Ж 3
178
отличаются не только цветом, но и размерами и различ-
ным положением на плоскости. Задание может быть
сформулировано примерно так: указать (назвать) фигу-
ры, имеющие одинаковую форму. Учащиеся составляют
пары обозначений: А-3 (круги), Г-6 (треугольники), Б-4
(треугольники) и т. д.
Примечание. Кадры 11—12 могут быть использо-
ваны и в связи с изучением в дальнейшем углов и т. д.
13. Изучение геометрической формы (см. стр. 60,
рис. 29). Учащиеся должны найти на рисунке предметы
или их части, изображающие знакомые им геометриче-
ские фигуры. Например, они должны уметь определить
форму кусочков стекла, вставленных в оконные рамы,
форму стенки ящика, его крышки, крышки для бочки,
форму клумбы и т. д. Ответ формулируется примерно
так: «Крышка для бочки имеет форму круга», «Клумба
имеет форму шестиугольника, внутри которого помещен
друг» и т. д.
После этого учащиеся определяют геометрическую
форму предметов и их частей, находящихся в классе, на
улице, дома. Ученик показывает предмет, например учеб-
ник, и говорит: «Лист учебника имеет форму четырех-
угольника», или он говорит: «Волейбольная площадка
имеет форму четырехугольника, прямоугольника», не
имея перед глазами этой площадки, т. е. решая задачу
в воображении.
14. Изображение фигур на клетчатой бумаге. Кадр
может быть использован для иллюстрации возможных
12* 179
построений (простейших) на клетчатой бумаге (начало
этой работы показано на кадре 2).
Учитель рассказывает (дает задания):
а) Рисунок А. На пересечении двух прямых линий
клетчатого листа бумаги отмечена точка 1. Для того что-
бы построить (отметить) точку 2, нужно отступить от
точки 1 на четыре клетки вправо и затем на три клетки
вверх. Соедините по линейке точки. 1 и 2, и вы получите
отрезок, изображенный на рисунке. '
б) Рисунок Б.'Точка 1 — точка пересечения двух пря-
мых линий клетчатого листа бумаги. Отступим на восемь
клеток влево и отметим точку 2. От точки 2 отступим на
три клетки вниз и затем на три клетки вправо. Отметим
точку 3. Соединив по линейке точки 1 и 2, 2 и 3, получим
ломаную линию (можно спросить: как называется эта
фигура?).
в) Рисунок В. Приведем возможную формулировку
задания (или объяснения). Отметим на пересечении
двух прямых линий точку 1. Отступим от нее на шесть
клеток вправо и на одну клетку вниз и отметим точку 2.
От точки 2 отступим на четыре клетки вниз и на три
клетки влево, отметим точку 3. Соединим по линейке
точки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1.
г) Рисунок Г. Отметим на пересечении двух прямых
линий точку 1. Отступим от нее на три клетки вправо и
отметим точку 2. От точки 2 отступим на четыре клетки
вправо и на пять клеток вниз и отметим точку 3. Отсту-
пим от точки 3 на семь клеток влево и отметим точку 4.
180
Соединим последовательно (по порядку номеров) эти
точки. Закрасим полученную фигуру цветным каранда-
шом. Как она называется?
Кадр 14 можно показывать на разных этапах изуче-
ния фигур и с различными целями. Например, его можно
использовать для проверки выполнения учащимися са-
мостоятельной работы. (Под диктовку учителя учащиеся
последовательно выполняют построение точек и т. д., и по
окончании работы демонстрируется кадр. Дети проверя-
ют свой чертеж, исправляют ошибки и т. п.)
15. Изображение фигур на клетчатой бумаге. Все, что
было описано выше, относится и к этому кадру.
Примечание. Кадр можно показывать также и в
связи с изучением углов многоугольника (определить
на глаз прямой, тупой, острый углы), при ознакомлении
учащихся с периметром многоугольника (начертить
в тетради такой же многоугольник, найти его периметр).
16. Сравнение отрезков. Кадр иллюстрирует началь-
ный этап формирования представлений о сравнении от-
резков наложением. Учащиеся убеждаются, что части 1
и 3 рейки (отрезки, куски) совпали (концы реек совпа-
ли) Такие отрезки (куски рейки) принято называть рав-
ными. При наложении отрезков 2 и 3 одни концы их сов-
пали, а другие нет, такие отрезки не равны, кусок 2 рей-
ки больше куска 3.
Ставится вопрос: можно ли сравнить отрезки 4 и 5
при показанном способе наложения? Учащиеся должны
уметь объяснить, что нужно сделать с кусками 4 и 5, для
181
того чтобы сравнить их (т. е. сказать равны или не рав-
ны они).
17. Сравнение отрезков. Учащиеся сравнивают (на
глаз) отрезки и устанавливают, что отрезки 1 и 2 не рав-
ны, отрезок 2 равен отрезку 3, отрезок 4 больше отрезка
2 (1, 3, 5), отрезок 5 меньше отрезка 1 (2, 3, 4).
Ставится вопрос об определении наибольшего, наи-
меньшего из данных отрезков и т. д.
18. Измерение отрезков. Кадр следует показывать
после ознакомления школьников с сантиметром (построе-
ние отрезков заданной длины с помощью модели сан-
тиметра, измерение отрезка с помощью одного сантимет-
ра последовательным откладыванием).
182
Этот рисунок иллюстрирует приемы использования
масштабной линейки при измерении отрезков. Важно об-
ратить внимание школьников на необходимость точной
установки нулевой отметки (она не всегда совпадает с
краем линейки — обрезом) около одного из концов от-
резка (рис. А, Б, В). Надо рассмотреть случай, когда
длина отрезка может быть определена при произвольной
установке линейки (рис. В), а также когда учащиеся,
еще не знакомые с милли-
метром, при измерении
получают число, напри-
мер, большее 4, но мень-
шее 5 см. Дети должны
усвоить эту терминоло-
гию (На рисунке Г изо-
бражен отрезок, длина
которого больше 4 санти-
метров, но меньше 5 см).
19. Прямой угол. Кадр
иллюстрирует беседу,
предваряющую изготов-
ление учащимися модели
прямого угла. На рисунке
поэтапно показано изго-
товление этой модели:
а) каждый ученик по-
лучает листок бумаги не-
определенной формы (не-
прямоугольной);
183
б) перегибаем его вдвое, расправляем линию сгиба;
в) расправляем листок. Он разделен прямой линией
на две части;
г) перегибаем листок снова, вначале вдвое, а затем
вчетверо. Следим, чтобы при этом совпали прямолиней-
ные края;
д) расправляем листок. Он разделен прямыми ли-
ниями на четыре угла, каждый из которых называют
прямым;
е) разрежем (разорвем) листок по линиям сгиба.
Сравним полученные углы. Наложим один угол на дру-
гой так, чтобы у них совпали вершины и стороны. Если
они совпадут, то такие углы называют равными. Учитель
может собрать у нескольких учащихся по одному из полу-
ченных углов. Сравнивает их наложением. Дети видят,
что все полученные углы (прямые) равны между собой.
ж) один из этих прямых углов учащиеся сравнивают
с углами чертежного угольника и убеждаются, что и у
чертежного угольника один угол прямой. Прямой угол
сравнивают с другими углами, например с углами мно-
гоугольника, и выясняют, какие из этих углов прямые, а
какие не прямые (это можно делать еще до введения по-
нятий «острый» и «тупой» углы).
20. Сравнение углов. Угол 1 наложен на угол 2 так,
что у них совпали вершины и одна из сторон. Если при
этом совпадут и две другие стороны, то углы будут рав-
ны. Здесь этого не произошло. Поэтому угол 1 не равен
углу 2, а меньше его, так как составляет часть второ-
го угла.
184
Кадр используется в качестве иллюстрации к беседе
учителя. Одновременно (или несколько ранее) нужно
продемонстрировать сравнение углов наложением на бу-
мажных моделях (рассмотреть случай равенства и нера-
венства).
21. Сравнение углов. Малка (шарнирный угол)—угол
с подвижными сторонами, с помощью которого можно
сравнивать углы. Его можно сделать из двух тонких реек
или полосок плотного картона, скрепив их гвоздиком.
Чем больше мы сближаем стороны, тем меньший угол
получаем.
Установим малку так, чтобы ее угол был равен углу 2.
При наложении малки на угол 3 видим, что угол 2 мень-
ше угла 3.
185
Этот кадр используется для иллюстрации беседы учи-
теля и дополняет непосредственный показ сравнения уг-
лов с помощью малки.
22. Сравнение углов. Острый и тупой углы. Кадр ил-
люстрирует понятия «острый» и «тупой» углы. Учитель
напоминает, что один из углов чертежного треугольника
прямой. С этим углом сравниваются углы 1, 2, 3 и 4. Угол
меньше прямого называют острым углом (углы 1 и 3),
угол больше прямого — тупым углом (углы 2 и 4). Затем
с помощью чертежного угольника (и на глаз) определя-
ют прямые, тупые и острые углы многоугольников.
23. Построение многоугольников, имеющих прямые
углы (на клетчатой бумаге). После того как учащиеся
научились определять прямые углы многоугольников,
можно переходить к построению многоугольников, имею-
щих прямые углы. Кадр предназначен для использования
в двух основных случаях:
а) для иллюстрации объяснений учителя, касающихся
построения многоугольников, содержащих только по од-
ному прямому углу. Дети подмечают (при участии учи-
теля), что две пересекающиеся прямые линии клетчатого
листа образуют прямой угол (четыре прямых угла), и
проверяют это с помощью чертежного треугольника. За-
тем учитель объясняет, например, порядок построения
треугольника, имеющего один прямой угол (рис. А), пос-
ле чего учащиеся самостоятельно выполняют построение
такого многоугольника;
б) для контроля выполненной учащимися самостоя-
тельной работы по построению треугольника (или четы-
186
рехугольника), один из углов которого прямой, задание
может быть сформулировано так, как в тексте к кадру.
24. Построение многоугольников, имеющих прямые
углы (на клетчатой бумаге). Методика использования
этого кадра аналогична описанной в тексте к кадру 23.
Отличие — в содержании заданий. Учащиеся должны
убедиться в том, что можно построить четырехугольник,
пятиугольник, шестиугольник и т. д., имеющие два пря-
мых угла. Следует поставить задачу: построить треуголь-
ник, имеющий два прямых угла. Учащиеся приходят к
выводу, что этого сделать нельзя.
25. Построение многоугольника, имеющего прямые
углы (на клетчатой бумаге). Методика использования
кадра та же. Отличие — в содержании задачи. Здесь н.а-
187
до построить многоугольник, у которого три угла прямые.
Учащиеся еще не знают, сколько сторон будет иметь та-
кой многоугольник. Построение убеждает их в том, что
таким многоугольником может быть четырехугольник.
Более того, у этого четырехугольника и четвертый угол
также прямой. Формулируется определение: «Четырех-
угольник, у которого все углы прямые, называют прямо-
угольником».
26. Построение многоугольников, имеющих прямые
углы (на клетчатой бумаге). Методика использования
кадра та же. Здесь продолжается выяснение характерных
свойств прямоугольника. Главная задача, поставленная
перед учащимися, — установить тот факт, что, кроме
четырехугольника, никакой другой многоугольник не мо-
жет иметь все углы прямые. Учащиеся могут попытаться
(на клетчатой бумаге) построить пятиугольник, у кото-
рого все углы прямые. Это не получается.
Примечание. В кадрах 23—26 раскрыто содержа-
ние только некоторой части работы по построению мно-
гоугольников, в частности прямоугольников. После пост-
роения многоугольников с произвольными сторонами не-
обходимо постепенно подойти к построению, например,
прямоугольных треугольников (термин «прямоуголь-
ный» можно и не сообщать учащимся) и прямоугольни-
ков с заданными (в сантиметрах) сторонами, образую-
щими или составляющими прямой угол. Этой работе
должны предшествовать упражнения учащихся по изме-
рению сторон многоугольников (в том числе и прямо-
угольников).
188
27. Прямоугольник. Кадр предназначен (в основном)
для выяснения степени усвоения учащимися понятия
«многоугольник». Можно поставить вопрос: какой из
многоугольников, изображенных на кадре, является пря-
моугольником? Каждая фигура анализируется в соответ-
ствии с определением понятия «прямоугольник»:
а) прямоугольник — четырехугольник;
б) у прямоугольника все углы прямые.
Примерные ответы учащихся:
Фигура А не прямоугольник потому, что не является
четырехугольником (или потому, что не все углы этой
фигуры прямые).
Фигура Б не прямоугольник по тем же причинам.
Фигура В — прямоугольник, так как она четырех-
угольник, у которого все углы прямые.
Фигура Г — не прямоугольник, потому что у этого
четырехугольника углы не являются прямыми.
Фигура Д —не прямоугольник, так как она не четы-
рехугольник и не многоугольник, ибо ее границей не яв-
ляется ломаная линия.
28. Прямоугольник. Свойство сторон. В своей пред-
шествующей работе дети уже познакомились с термином
«противоположные стороны» и в процессе построения
прямоугольника (например, по клеточкам тетради) они
подметили равенство противоположных его сторон. Кадр
предназначен для иллюстрации беседы, в ходе которой
учащимся будет дана окончательная формулировка
свойства сторон прямоугольника.
189
29. Прямоугольник. Основание и высота прямоуголь-
ника. До снх пор мы не давали специальных названий
сторонам прямоугольника. (Возможно, что дети еще из
дошкольной практики знакомы с терминами «длина»
и «ширина» прямоугольника.) Нам представляется неце-
лесообразным закреплять этн термины в учебном оби-
~ ходе школьников. В процессе дальнейшего изучения кур-
са будут употребляться слова «основание» и «высота».
Кроме того, употребление слова «длина» для обозначе-
ния стороны прямоугольника создает известные трудно-
сти в понимании таких выражений, как «длина забора»,
«длина отрезка» и т. п. Поэтому вначале мы объясняем
учащимся, что длина прямоугольного куска ткани может
190
быть больше ширины, равна ширине и меньше ширины.
Затем заменяем термины. Вводим термин основание пря-
моугольника (одна из сторон прямоугольника) и высота
прямоугольника — сторона, имеющая с основанием об-
щую вершину (не противоположная сторона). Здесь же
можно впервые разъяснить термин квадрат — прямо-
угольник, у которого основание и высота равны или у ко-
торого равны все стороны.
30. Прямоугольник. Квадрат. С помощью этого кадра
уточняются и закрепляются понятия «основание», «высо-
та», «квадрат».
Примерные вопросы: какой из прямоугольни-
ков является квадратом? Назовите основание и высоту
каждого прямоугольника и т. д.
31. Квадрат. Кадр предназначен для закрепления по-
нятия «квадрат». Может быть использован, в частности,
в связи с проведением самостоятельной работы или
опроса.
Примерные вопросы: какие из многоугольни-
ков, изображенных на кадре, являются квадратами.
Объясните, почему многоугольник Б (четырехугольник,
у которого все стороны равны), не является квадратом.
Почему не является квадратом многоугольник В и т. д.
32. Выпрямление ломаной линии. Кадр помогает
формированию представлений учащихся о длине лома-
ной линии. Длина ломаной линии равна сумме длин от-
резков, составляющих эту ломаную линию. Пользуясь
191
- клетчатой бумагой (две клетки— 1 см), учащиеся опре-
деляют длину каждой ломаной линии в сантиметрах^
Затем ломаные линии сравниваются (попарно) между
собой (1 и 2, 4 и 5, 3 и 4 и т. д.).
Можно предложить учащимся построить (начер-
тить) отрезок, длина которого равна длине ломаной (вы-
прямление ломаной). Эти упражнения целесообразно
связать с изучением понятия «расстояние между двумя
точками».
33. Выпрямление ломаной линии. Расстояние между
двумя точками. Упражнение № 1. От одной точки
к другой можно двигаться различными путями. Напри-
мер, если двигаться только по линиям клетчатого листа,
192
то путь по зеленой ломаной AM будет равен 13 см. Надо
предложить учащимся найти расстояние между точками
А и М по синей ломаной и по красной ломаной. Они долж-
ны найти наиболее короткий путь по различным ломаным
линиям (в данном случае красная ломаная). Таким пу-
тем будет путь по прямой, проходящей через две точки.
Предлагается проверить это измерением.
(Учащиеся строят в тетрадях точки А и М, как на
кадре.)
Упражнение №2 может быть сформулировано
так. Точка Д — мой дом, точка Е — наша школа. Сторо-
ны клеток — улицы. Из школы домой (и наоборот) мож-
но идти только по улицам, проходя каждую один раз.
Вопросы: какой из отмеченных путей самый длинный,
самый короткий? Найти кратчайший путь и т. д.
Упражнение № 3. Учащиеся строят такие же, как
на кадре, точки у себя в тетрадях и цветными каранда-
шами вычерчивают самые короткие ломаные, соединяю-
щие каждую пару точек (длину выражают в санти-
метрах) .
34. Периметр многоугольника. Периметром много-
угольника называют длину его границы, т. е. длину ло-
маной линии. В кадре поставлены три задачи по опреде-
лению периметра. Они могут быть предложены как при
ознакомлении учащихся с изучаемым понятием, так
и для самостоятельной работы (если данный материал
был изложен).
13 Заказ 1821 193
В задаче № 2 обращается внимание на то, что может
быть составлена формула, упрощающая вычисление пе-
риметра (вместо 5+8+5-I-8 можно записать (5+8)-2).
35. Подсчет клеток (квадратов), из которых состав-
ляется фигура. В упражнениях 1, 2 и 3 учащимся пред-
лагается сосчитать число равных квадратов, из которых
составлена каждая фигура. Несколько позже можно по-
ставить вопрос о вычислении периметра каждой из этих
фигур (допустим, что каждый квадрат имеет сторону
в 1 см).
Задания 4, 5 и 6 излагаются примерно в такой фор-
ме: из облицованной кафелем стены выпало несколько
плиток. Сколько плиток (какого цвета) нужно для ре-
монта?
194
Кадр 36
36. Подсчет числа клеток, из которых составлена фи-
гура. Прн подсчете клеток учащиеся подмечают неко-
торые закономерности и применяют формулы, упрощаю-
щие подсчет. Например, фигура 1 составлена из 5 полос,
по 3 клетки в каждой. Значит, всего фигура содержит
3X5=15 клеток. Фигура 2 как бы сложена из трех оди-
наковых чдстей, каждая из которых содержит по 5 кле-
ток. Поэтому вся фигура состоит из 5x3=15 клеток.
Фигура 3 содержит 4-9=36 клеток (квадратов). Для
подсчета числа равных квадратов, из которых сложена
фигура 4, учащиеся должны заметить, что если выступа-
ющие в нижнем левом углу фигуры 5 клеток перенести
в вырез правого верхнего угла фигуры, то получится пря-
моугольник (квадрат), содержащий 5 столбцов, по 5 кле-
ток в каждом. Поэтому фигура 4 состоит из 5X5 = 25 кле-
ток (квадратов). Если сторону каждого квадрата при-
нять, например, равной 1м (1 см. или 1 дм~}, то можно
поставить задачу: найти периметр каждой фигуры.
37. Подсчет числа клеток, из которых составлена фи-
гура. Учащиеся находят простейшие формулы для под-
счета числа клеток. Фигура 1—4-2, или 2-4. Фигура 2—
4-6, или 6-4. Фигура 3 — можно подсчитать, например,
число больших квадратов (по 4 клеточки в каждом)
и умножить это число на 4 (4-3) -4.
При подсчете числа клеток, составляющих фигуру 6,
можно заметить, что если «отрезать» квадрат из четырех
клеток в верхнем левом углу фигуры и поместить его
в «вырез» нижнего правого угла, то получится квадрат,
13* 195
содержащий 6 столбцов клеток, по 6 в каждом,
т. е. 6-6 = 36.
Найти число клеток, содержащихся в фигуре 7, мож-
но несколькими способами:
1-й способ: (8-5)4-(4-4);
2-й способ: (9-4)+ (5-4);
3-й способ: (9-8)—(4-4).
Учащиеся замечают, что фигура представляет собой
прямоугольник «девять на восемь», из которого удален
квадрат «четыре на четыре» (клетки).
Фигуры могут быть использованы также и для вычис-
ления периметра (в сантиметрах).
38. Нахождение числа клеток, составляющих фигуру.
Кадр предназначен для опроса учащихся и для проведе-
ния самостоятельных работ.
196
Примерные задания:
а) найти число квадратов, составляющих фигуру
АОЕМ, фигуру КМЕОСД;
б) прямоугольник разделен на квадраты со стороной
в 1 см (1 дм или 1 м). Найти периметр фигуры АСТМ
(каждый ученик может получить самостоятельное за-
дание).
39. Разностное и кратное сравнение отрезков (рис. 39).
Надо установить, что отрезок АО меньше (короче) отрез-
ка ME на 2 см, или что отрезок ME больше (длиннее)
отрезка АО на 2 см. Предлагается найти (по клеткам)
длину каждого из остальных отрезков.
С помощью отрезков 1—5 выясняется также смысл
выражения: «Отрезок 1 в десять раз длиннее (больше)
отрезка 2», «Отрезок 3 в два раза короче (меньше) от-
резка 4» и т. д. Несколько позже отрезки 1—5 можно
использовать в качестве основной иллюстрации при изу-
чении «линейных диаграмм». Например, пусть одна кле-
точка соответствует весу в два килограмма. Тогда отре-
зок 1 будет изображать вес в 40 килограммов, отрезок
2 — четыре килограмма и т. д.
40. Окружность и круг (рис. 40). Учащиеся знакомят-
ся с терминами: «центр окружности» — точка, «радиус
окружности» — отрезок, «окружность» — замкнутая кри-
вая линия, все точки которой находятся на одинаковом
расстоянии от центра. Окружность—граница круга
(круг не есть линия!).
При вычерчивании окружности циркулем радиус
окружности — расстояние между концом иглы циркуля
197
и концом карандаша (расстояние между двумя точка-
ми) — может быть измерен по линейке.
41. Деление круга и окружности на части. Учащиеся
устанавливают, что отрезок, соединяющий две точки
окружности и проходящий через ее центр, делит окруж-
ность и круг на две равные части (рис. 1), а отрезок, не
проходящий через центр, делит окружность и круг на
две неравные части (рис. 2).
На рисунке 3 окружность и круг разделены на четыре
равные части. Упражнения 5, 6 и 7 посвящены делению
на равные и неравные части других фигур. Равные части
называют долями. Сказать: «На сколько долей разделена
фигура», все равно, что сказать: «На сколько равных
198
частей разделена фигура». Под равными фигурами
(частями фигур) понимаются те, которые совпадают при
наложении. Это необходимо проверить на практике с по-
мощью вырезанных из бумаги фигур. Полезно выполнить
деление круга на доли путем перегибания.
42—43. Доли единицы. Их обозначение. Кадры иллю-
стрируют представления о долях величины (равных
частях фигур. Могут быть использованы и при опросе
учащихся и для проведения самостоятельных работ.
Примерные задания:
Написать (назвать), какая часть (сколько долей) фи-
гуры А—4 заштрихована красным (синим). Фигура А—4
находится в ряду А в столбце под номером 4.
Кадр 43
1 2 3 4 5 6
«ИаВМЙ
ъ А\
199
44. Деление данной фигуры на части. Примерные во-
просы: «На сколько частей отрезок КМ разделил треуголь-
ник АМТ (рис. 1)?» (На два треугольника АМК и КМТ.)
«Сколько треугольников видно на рисунке?» (Три: тре-
угольники АМТ, АМК и КМТ.) «На сколько и каких фи-
гур отрезки АЕ и МК разделили четырехугольник АМТ К
(рис. 5)?» (На четыре многоугольника: треугольники
АОМ, МОЕ, АОК и четырехугольник КОЕТ.) «Сколько
многоугольников изображено на рисунке 5?» (Четырех-
угольники АМТК, КОЕТ, треугольники АОМ, АМК, АОК,
АКМ, МОЁ, АМЕ, КМТ, пятиугольники КАМЕО, КАОМТ,
КОАМТ, шестиугольник АМОЕТК.)
45. Виды треугольников. Кадр предназначен для оп-
ределения (на глаз) вида треугольника как по углам, так
и по сторонам:
200
треугольники 1, 4, 6, 8 равнобедренные;
треугольники 2, 3, 5, 7 разносторонние;
треугольники 1, 5, 6 остроугольные;
треугольники 2, 4 прямоугольные;
треугольники 3, 7, 8 тупоугольные.
Кадр может быть использован при объяснении и при
закреплении темы, а также при опросе учащихся.
46. Составление фигур из данных частей. Учащимся
предлагается разрезать квадрат на части, как это ука-
зано на рисунке. Сложить из всех частей квадрата каж-
дую из фигур.
63. УЧЕБНЫЕ ДИАФИЛЬМЫ.
КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИХ СОДЕРЖАНИЯ
И ОСОБЕННОСТЕЙ МЕТОДИКИ ПРИМЕНЕНИЯ.
В отличие от диапозитивов, каждый кадр которых
может быть использован в любом порядке и с различны-
ми комментариями (кадр диапозитива не содержит объ-
яснительного текста), диафильм обладает существенными
особенностями. Главными из них следует считать: 1) на-
личие объяснительных надписей в каждом кадре
1 Это позволяет, в частности, использовать диафильмы для са-
мостоятельной работы с отдельными учащимися.
201
2) расположение этих кадров на ленте в определенной
последовательности, предусмотренной автором.
По заказу Министерства просвещения РСФСР для
I—III классов школы студией «Диафильм», Москва, вы-
пущены следующие диафильмы:
1. «Изучай форму предметов». I часть, черно-белый.
Автор А. М. Пышкало. Диафильм может быть исполь-
зован во внеклассной работе с учащимися третьих клас-
сов *.
2. «Геометрические фигуры и их взаимное положе?
ние». I часть. Цветной. Авторы К. И. Нешков и А. М. Пыш-
кало. Может быть использован в классной и внеклассной
работе с учащимися II—III классов1 2.
3. «Прямоугольник, его периметр и площадь». I часть.
Цветной. Автор А. М. Пышкало. Диафильм предназна-
чен для использования в III классе в связи с изучением
темы «Площадь прямоугольника».
4. «К урокам математики в I классе (геометрический
материал)». I часть. Цветной. Автор А. М. Пышкало. Диа-
фильм рассматривает основной геометрический мате-
риал, вошедший в урок математики по проекту програм-
мы. Для удобства диафильм разделен на фрагменты:
I фрагмент. «Точка, линия, отрезок» (9 кадров).
II фрагмент. «Многоугольник. Вершина и стороны
многоугольника» (4 кадра).
III фрагмент. «Сравнение отрезков» (4 кадра).
IV фрагмент. «Измерение отрезка. Сантиметр»
(4 кадра).
V фрагмент. «Прямой угол. Прямоугольник» (7 кад-
ров).
Последний кадр диафильма предназначен для учителя
и содержит краткие методические указания о применении
диафильма.
Рассматриваемый диафильм применяется отдельны-
ми фрагментами (или кадрами) на протяжении всего
учебного года по мере изучения соответствующих раз-
делов программы. По усмотрению учителя фрагменты
и отдельные кадры диафильма могут быть применены
в ходе ознакомления первоклассников с новым материа-
1 О содержании и методике его использования смотри в журна-
ле «Начальная школа», 1965, № 2, стр. 20.
2 Подробнее смотри журнал «Начальная школа», 1966, № 3,
стр. 25.
202 '
лом, для закрепления и повторения пройденного мате-
риала или, наконец, для опроса учащихся и проведения
контрольных работ. Опыт показал, что одновременный
просмотр всего диафильма (например, для повторения
всего курса) в методическом отношении не оправдан. '
Полезно сочетать диафильм с использованием дру-
гих учебных пособий (чертежи на доске, таблицы). В ча-
стности, это особо необходимо, когда по техническим при-
чинам (отсутствие мощного проектора, а поэтому необхо-
димость в полном затемнении класса) невозможно
использование классной доски и тетрадей учащихся по
ходу демонстрации диафильма. В этом случае объясне-
ния кадра диафильма продолжаются (уже в незатем-
ненном классе) на соответственно подобранной модели,
таблице или рисунке (на классной доске) и связываются
с выполнением учащимися практических заданий и реше-
нием задач.
Приведенные выше замечания в равной мере отно-
сятся и к другим диафильмам по математике.
5. «К урокам математики во II классе (геометриче-
ский материал)». Цветной. Автор А. М. Пышкало. Как
и выше рассмотренный, этот диафильм составлен в точ-
ном соответствии с новой программой. Он имеет фраг-
ментарную структуру, соответствующую основным раз-
делам курса математики, содержащим геометрический
материал.
6. «Диаграммы». I часть. Цветной. Автор А. М. Пыш-,
кало. Диафильм может быть частично использован во II
классе (в ходе первоначального ознакомления детей
с диаграммами). В основном же он предназначен для
применения в III классе. В нем подробно рассматривают-
ся разнообразные задачи, решение которых обеспечивает
навыки построения и чтения столбчатых, линейных и сек-
торных диаграмм.
7. «Доли величины. Дроби». I часть. Цветной. Автор
А. М. Пышкало. Диафильм может быть частично приме-
нен во II—III классах в ходе формирования первона-
чальных представлений детей о долях величины. Фор-
мирование этих представлений в диафильме основано на
показе деления фигур на равные части.
I фрагмент «Сравнение частей величий» предназна-
чен для уточнения представлений учащихся о возмож-
ности деления величины (в частности, геометрических фи-
203
гур) на части, рассматривается сравнение частей (фигур).
Долями называют равные части.
II фрагмент «Одна доля величины» рассматривает
получение одной доли величины в результате деления
различных фигур (отрезков, прямоугольников, кругов)
на заданное число равных частей (фигур).
В III фрагменте «Дробь величины» учащиеся рассмат-
ривают различные возможности получения несколько до-
лей величин — дробь величины.
I—III фрагменты могут быть полностью использова-
ны во II—III классах в связи с изучением «долей едини-
цы со знаменателем до 10», что соответствует требова-
ниям новой программы.
IV фрагмент «Изображение дробей точками луча.
Сравнение дробей» рассматривает возможность изобра-
жения дробей точками луча, что используется для иллю-
страции сравнения дробей. Для сравнения дробей
применяется изображение их и . частями равных
кругов.
8. «К урокам математики в III классе—геометрический
материал». Цветной. Автор А. М. Пышкало. Содержит
отдельные фрагменты, соответствующие программе и
учебнику.
I фрагмент «Повторение пройденного». II фрагмент
«Круг и окружность» посвящен отношениям системы гео-
метрических-представлений, полученных в I—II классах.
III фрагмент «Общие представления о площади фигуры».
IV фрагмент «Квадратный сантиметр. Площадь фигуры
в квадратных сантиметрах», используемый отдельными
кадрами при изучении соответствующих вопросов в ходе
их объяснения на уроке. V фрагмент «Диаграмма».
VI фрагмент «Геометрические фигуры и дроби».
Диафильмы, как и диапозитивы, могут быть приобре-
тены в личное пользование каждым учителем (или шко-
лой) в Учколлекторе (областном магазине Главснаб-
проса). - .
ЛИТЕРАТУРА
Адама,р Ж. Элементарная геометрия, ч. I и II. М. Учпедгиз,
1948, 1951.
Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия. М„
«Просвещение», 1966.
Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигу-
ры. М„ ГИТТЛ, 1956.
Г ильберт Д. Основания геометрин. М., Гостехиздат, 1948.
Данилов М. А.', Есипов Б. П. Дидактика. М., Иэд-ibo АПН
РСФСР.
Колмогоров А. Н. Статьи в журнале «Математика в шко-
ле», 1966—1968.
Маркуше вич А. И. Об очередных задачах преподавания ма-
тематики в школе. «Математика в школе», 1962, Ns 2.
«Математика. Ее содержание, метод и значение». М., Изд-во АН
СССР, 1953.
Макарычев Ю. Н., Нешков К- Н. Математика в началь-
ных классах, ч. II, под ред. проф. А. И. Маркушевича. М., «Педаго-
гика», 1970.
М а к а р ы ч е в Ю. Н., Н е ш к о в К. И., П ы ш к а л о А. М. Ма-
тематика в начальных классах, ч. III, под ред. проф. А. И. Маркуше-
вича. М., «Педагогика», 1071.
МенчинскаяН. А., МороМ. И. Вопросы методики н пси-
хологии обучения арифметике в начальных классах. М., «Просвеще-
ние», 1965.
Моро М. И., Б амтов а М. А., Б е л ьт ю к о в а Г. В. Мате-
матика. I класс. М., «Просвещение», 1972.
Моро М. И., Бант о в а М. А. Математика. 2 класс. М., «Про-
свещение», 1972.
Не в анлинна Р. Пространство, время, относительность. М.,
«Мир», 1966.
Нешков К. И., Пышка л о А. М. Математика в начальных
классах, ч. I, под ред. проф. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение»,
1968.
«Основы методики начального обучения математике», под ред.
Пчелко А. С. М., «Просвещение», 1965.
П ч е л к о А. С. Методика преподавания арифметики в началь-
ных классах. М., Учпедгиз, 1953.
Пчелко А. С„ Б а нто в а М. А., Моро М. И„ Пышка-
л о А. М. Математика. 3 класс. М., «Просвещение», 1972.
Пышка л о А. М. Геометрия в I—IV классах. М., «Просвеще-
ние», 1965, 1968.
«Энциклопедия элементарной математики», кн. IV (геометрия),
под ред. В. Г. Болтянского, И. М. Яглома. М., Изд-во физико-мате-
матической литературы, 1963.
СОДЕРЖАНИЕ
От автора................................................. 3
I. Общие вопросы содержания и методики изучения геометри-
ческого материала в курсе математики начальных классов
1. Геометрия как естественная наука. Ее содержание и методы 5
2. Основные понятия геометрии. Основные понятия школьного
курса геометрии.........................................7
3. Понятие геометрической фигуры ..........................8
4. Операции над фигурами.................................11
5. Круг геометрических понятий, изучаемых н IV—VI классах 12
6. Изучение геометрии и развитие учащихся............... 19
7. Критерии отбора геометрического материала для начального
курса математики I—III классов...........................22
8. Основные положения, определяющие методику изучения гео-
метрического материала в начальных классах...............28
9. О геометрических задачах в начальном курсе математики . 38
10. Особенности урока математики...........................41
11. Методические рекомендации по изучению геометрического
материала в I классе
11. Обобщение первоначальных представлений о величине пред-
метов, об отношениях нх взаимного положения в прост-
ранстве ................................................ 47
12. Геометрия листа бумаги. Усвоение основных геометрических
образов и терминов........................................50
13. Точка. Линия. Линин прямые и кривые, замкнутые и незамк-
нутые ................................................ . 51
14. Прямая линия. Отрезок прямой линии. Ломаная линия . . 52
15. Многоугольники.........................................57
15. Многоугольники и числа.................................58
17. Сравнение отрезков................................... 59
18. Измерение отрезков. Сантиметр..........................61
19. Числа и отрезки. Иллюстрация сложения и вычитания с по-
мощью масштабной линейки..................................66
20. Измерение отрезков. Дециметр...........................68
21. Двузначные числа и использование их при введении изме-
рения отрезков...................... . .................69
22. Угол многоугольника ...................................70
23. Прямой угол. Получение прямого угла перегибанием бу-
маги .....................................................72
24. Сравнение углов........................................74
25. Многоугольники, содержащие прямые углы. Прямоугольник.
Квадрат...................................................75
26. Построение фигур на гладкой н клетчатой бумаге. Модели-
рование фигур.............................................79
27. Примерный словарь (запас слов н выражений) и перечень
навыков, которыми должны овладеть учащиеся I класса . 80
28. Список учебных пособий, используемых в связи с изучением
геометрического материала в I классе......................82
206
III. Методические рекомендации по изучению геометрического
материала во II классе.
29. Деление фигур на части. Составление новой фигуры из
нескольких фигур ......................................... 84
30. Обозначение геометрических фигур буквами...............89
31. Деление фигуры на равные части. Составление фигур из не-
скольких равных фигур..................................... 92
32. Использование геометрических фигур при изучении таблицы
умножения н составлении арифметических выражений . . 9в
33. Использование циркуля для сравнения отрезков и нх изме-
рения ....................................................100
34. Обобщение свойств прямоугольника. Основание и высота
прямоугольника. Квадрат...................................102
35. Длина ломаной. Периметр многоугольника...............10ft
36. Расстояние между двумя точками........................108
37. Изображение чисел отрезками...........................109
38. Окружность и круг. Циркуль....................111
39. Доли единицы. Изображение долей геометрическими фигу-
рами ..................................................''.113
40. Дальнейшее расширение представлений об углах..........116
41. Классификация треугольников...........................117
42. Примерный словарь и перечень навыков, которыми должны
овладеть учащиеся II класса..................................П S
43. Список учебных пособий, используемых в связи с изучением
геометрического материала во II классе....................12*
IV. Методические рекомендации по изучению геометрического
материала в III классе.
44. Краткая характеристика системы изучения темы «Площадь
прямоугольника» ................ , .......................124
45. Формирование общих представлений о площади фигуры . 126
46. Единичный квадрат. Площадь фигуры в квадратных санти-
метрах .............................................. » 131
47. Нахождение площади фигуры с помощью палетки . . .134
48. Составление многоугольников из квадратных сантиметров.
Нахождение периметра этих фигур...........................136
49. Правило вычисления площади прямоугольника.............137
50. Квадратный дециметр. Вычисление площади в квадратных
дециметрах. Соотношение между квадратным дециметром
и квадратным сантиметром . . ............................141
51. Квадратный метр. Площадь фигуры в квадратных метрах.
Соотношение между квадратным метром и другими едини-
цами площади..............................................142
52. Задачи, обратные задаче вычисления площади прямоуголь-
ника ................................................. .• 144
53. Провешивание прямых. Измерение и построение отрезков
на местности.............................................: 148
54. Построение прямого угла и прямоугольника на местности . 147
55. Геометрическая иллюстрация дробей................... 149
56. Диаграммы и простейшие графики.........................152
57. Примеры зависимости между величинами. Зависимость
между площадью и длиной сторон прямоугольника . . 158
58. Первоначальное представление об осевой симметрии . . . 159
207
69. Примерный- словарь и перечень навыков, которыми должны
овладеть учащиеся III класса ............ 164
60. Список учебных пособий, используемых в связи с изучени-
ем геометрического материала в III классе ...... 165
V. Некоторые вопросы методики применения наглядных по-
собий и технических средств обучения в процессе изучения
геометрического материала в I—III классах
61. Комплексное использование учебных средств ....;. 168
62. Учебные диапозитивы. Их содержание и методические ре-
комендации по применению......................... . 169
63. Учебные диафильмы Краткая характеристика их содержа-
ния и особенностей методики применения 201
Литература ...................................... 205
Анатолий Михайлович Пышкало
методика обучения элементам геометрии
в НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
Редактор Л. А. Сидорова
Переплат М. Ф. ВолъшевскоеО
Художественный редактор Е, Н. Карасик
Технический редактор В. Ф. Коскина
Корректор Р. Б. Штутман
Сдано в набор 21/IV 1972 г. Подписано к печати 22/V 1973 Г. 84X108'/,,.
Бумага тип. № 2. Печ. л. 6,5. Услов. л. 10,92. Уч.-изд. л. 10,67. Тираж 150 000
Заказ 1821
Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Типография № 2 Росглавполиграфпрома, г. Рыбинск, ул. Чкалова, 8.
Цена без переплета 29 к., переплет 13 к.
42 к.