Методика обучения математике в I-III классах . Пособие для учителя - Моро М.И., Пышкало А.М.

Автор: Моро М.И. Пышкало А.М.
Теги: математика педагогика
Год: 1978
Похожие
Методика арифметики в начальной школе. Пособие для учителей
Совершенствование методики работы учителя математики
Методика обучения математике в детском саду
История арифметики. Пособие для учителей
Текст
                    БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
ИЕТЭДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В 1-3 НЛАССАХ

Библиотека учителя начальных классов
М. И. Моро, А. М. Пышкам
МЕТОДИКА
ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
В I—III КЛАССАХ
Пособие для учителя
Издание второе,
переработанное и дополненное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
51 (07)
М80
Рекомендовано Министерством просвещения РСФСР
Моро М. И. и Пышкало А. М.
М80 Методика обучения математике в I—III классах. Пособие
для учителя. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Просвещение»,
1978. 336 с. с ил. (Б-ка учителя нач. классов).
«Методика обучения математике в I—III классах»—практическое пособие, адре-
сованное учителю, работающему по современным стабильным учебникам. В нем
рассмотрены как общие, так и частные вопросы методики изучения всех основных
тем программы.	i
, 60501 — 466 „	„
м 1"Б3(5з) - 78 Педш,спое	51<07>
© Издательство «Просвещение», 1975 г.
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга адресована учителю начальной школы. Она ориен-
тирована на работу по современным стабильным учебникам1, с
использованием того учебного оборудования, которое имеется в
распоряжении школы или которое может быть изготовлено соб-
ственными силами.
Работая над книгой, мы имели в виду, что в практике работы
учителя используются пособия, составленные авторами учебни-
ков в качестве приложения к каждому из них1 2, а также книги
для учителя I, II, III классов3. Настоящая «Методика», сохраняя
определенную преемственную связь с этими пособиями, отличает-
ся от них прежде всего тем, что в ней раскрывается изучение
основных вопросов программы в перспективе, а не только по
отдельным годам обучения. Этот подход нашел отражение в
структуре книги.'
Книга делится на две основные части:
1) общую часть, в которой раскрываются общие вопросы обу-
чения математике в современной начальной школе, и
2) конкретную часть, посвященную рассмотрению частных
вопросов изучения программного материала по всем основным
темам. Следует заметить, что успешное применение конкретных
методических рекомендаций, содержащихся во второй части
1 Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика 1. М., 1977.
Моро М. И., Бантова М. А. Математика 2. М., 1977.
Пчелко А. С., БантоваМ. А., Моро М. И., Пышкало А. М. Математика3.
М., 1977. (В дальнейшем при ссылках на учебники обозначено — М. 1,
М. 2, П. 3.)
2 Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в 1 классе.
М., 1974.
Моро М. И., Бантова М. А. Математика во 2 классе. М., 1976.
Пчелко А. С. и др. Математика в 3 классе. М., 1974.
3 Обучение в первом классе. Сост. В. Г. Горецкий. М., 1973.
Обучение во втором классе. Сост. Н. С. Сунцов. М., 1974.
Обучение в третьем классе. Сост, В, Г, Горецкий, Н. С. Сунцов. М.,
1975.
3
книги, невозможно без систематического использования мате-
риала общей части книги.
Одной из главных своих задач авторы считали дать возможно
более точную характеристику того уровня требований, кото-
рые могут быть предъявлены к формируемым у учащихся зна-
ниям, умениям и навыкам по каждому разделу программы.
При этом авторы исходили из общих целей й задач курса,
анализа программы и учебников и опыта их реализации в усло-
виях работы массовой школы.
В книге сделана попытка осветить те типичные недостатки и
трудности, которые возникают в опыте обучения, вскрыть их при-
чины, наметить пути предупреждения и устранения этих недо-
статков.
Сейчас ни у кого уже не вызывает сомнения, что в методике
обучения не может быть готовых рецептов, не может быть в прин-
ципе таких советов, таких указаний, касающихся разнообразных
частных вопросов, возникающих в процессе обучения, которые
годились бы для всех без исключения учителей и учащихся.
Авторы предприняли попытку показать на конкретных приме-
рах некоторые возможности варьирования приемов работы учи-
теля при использовании стабильных учебников.
В книге не могли быть даны готовые ответы на все частные
вопросы, возникающие у учителя при обучении математике де-
тей младшего школьного возраста. Свою задачу авторы видели
в том, чтобы помочь учителю осознать, исходя из Чего решаются
соответствующие вопросы в программе, учебниках, методиках,
и овладеть умениями самостоятельно преодолевать возникающие
трудности.
При подготовке повторного издания книги авторы учли те
советы и предложения, которые содержались в многочисленных
отзывах читателей. .
Главным явилось дополнение книги материалом, раскрываю-
щим современные взгляды на методику как систему, включающую
пять взаимосвязанных элементов: цели, содержание, методы,
средства и организационные формы обучения (глава I).
В книге помещена новая глава (глава V), посвященная под-
робному рассмотрению основных методов обучения в современной
начальной школе и особенностей их использования при обуче-
нии младших школьников математике.
Кроме того, в текст внесен ряд уточнений и исправлений част-
ного характера.
Авторы.
I. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА I
МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
§ 1. ПОНЯТИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Определяя учебный предмет й задачи методики обучения это-
му предмету (в том числе и математике), считают, что методика
даст ответ па вопрос, чему следует учить и как лучше это делать.
Действительно, при создании того или иного учебного пред-
мета прежде всего приходится решать вопрос о целях обучения и
отборе соответствующего учебного материала, т. е. уточнять, чему
следует учить детей. Затем сразу же возникает вопрос, с помощью,
каких методов, .средств, форм организации учебных занятий мож-
но обеспечить большую эффективность обучения. Следовательно,
дается ответ па вопрос, как лучше учить детей.
Все эти вопросы неизбежно возникают и в повседневном
опыте практической работы каждого учителя начальных классов
при подготовке к работе над конкретной темой программы и даже
при подготовке к каждому уроку. Учитель отбирает учебный
материал, продумывает последовательность его изучения, наме-
чает то сродства обучения, которые могут оказать помощь детям
в усвоении отобранного материала (материал учебника, нагляд-
ные пособия и др.), решает вопрос о том, какие методы, приемы,
организационные формы обучения более всего отвечают поставлен-
ной конкретной задаче. Следует подчеркнуть, что решение этих
вопросов всегда зависит и в основном предопределяется именно
томи конкретными, задачами и целями, которые ставятся перед
обучением.
На современном этапе развития педагогической науки все пе-
речисленные выше вопросы уточнены и систематизированы, уста-
новлено наличие определенной взаимосвязи между ними. Это дает
основание считать, что в основе методики обучения любому учеб-
ному предмету лежит определенная методическая система.
Методическая система обучения математике младших школьни-
ков включает в себя ряд взаимосвязанных элементов, важнейшим
из которых являются цели обучения. Целями обучения определя-
ется такой элемент методической системы, как содержание обу-
чения. Именно этим и объясняются те изменения, которые
5
Цели oSучения
Содержание обучения
Методы обучения
Средства одучения
Формы организации обучения
Рис. 1
произошли при перестройке традиционного курса арифметики для
начальных классов в современный начальный курс математики.
Изменение целей обучения существенным образом сказывается и
на остальных элементах методической системы: на методах, сред-
ствах и организационных формах обучения.
Методическую систему обучения математике младших школьни-
ков можно изобразить в виде схемы (рис. 1).
В этой схеме стрелки обозначают связи, существующие между
элементами методической системы (например, между целями и
содержанием, содержанием и методами, содержанием и средства-
ми обучения и т. д.). Эти связи входят в состав методической
системы.
В общей части настоящей книги последовательно рассматри-
вается каждый из элементов методической системы (см. главы
II—V),'a во второй части («Методика изучения основных тем про-
граммы») детально обсуждается методическая система («Методика»)
изучения каждой темы в целом, с учетом взаимосвязей между
всеми основными элементами системы.
При подготовке книги использованы результаты многолетних
(начатых еще в 60-х годах) исследований, проводившихся -автора-
ми совместно с большим коллективом методистов, научных ра-
ботников и учителей, а также данные анализа и обобщения пере-
дового опыта современной трехлетней начальной школы.
В ходе перестройки основное внимание было уделено определе-
нию нового содержания курса и в меньшей степени остальным
элементам методической системы. Все эти вопросы не могли ре-
шаться одновременно, ибо для успешного решения вопроса об
изменении методов обучения необходимо было изучить, какое
влияние новые цели и новое содержание оказывают на методы и
приемы обучения, какие изменения должны быть внесены в новых
условиях в использование известных методов, какие новые мето-
ды и приемы обучения оказываются необходимыми для полноценно-
го усвоения нового содержания и т. д.
В специальном изучении опыта работы массовой школы нужда-
лись и такие, например, вопросы, как связь между новыми це-
6
лями (и содержанием курса) и средствами обучения, а также и
создание основного средства обучения математике младших школь-
ников — учебников. Стабильные учебники математики для I —
III классов, по которым в настоящее время ведется обучение в
массовой школе, представляют собой результат длительной по-
этапной работы, проводившейся на основе учета не только данных
специальных экспериментов, но и прежде всего коллективного
опыта учителей, работающих по новой программе. То жеЖожно
сказать и о других элементах методической системы. 'ЭД-
Ясно, что дальнейшее совершенствование методики обучения
требует не только более детальной разработки содержания обу-
чения, отдельных методов обучения, создания новых средств
обучения, внедрения новых форм организации процесса обучения,
ио и глубокого понимания взаимосвязи и тех взаимных воздейст-
вий и изменений, которые происходят в элементах методической-
системы.
Понимание и учет этих связей во многом определяют уровень
методического мастерства учителя и возможность творческого
решения возникающих в практике вопросов.
Поскольку, как уже отмечалось, основным элементом методи-
ческой системы, определяющим решение всех вопросов методики,
являются цели обучения, остановимся прежде всего на краткой
их характеристике.
в 2. ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
В I—III КЛАССАХ
Начальная школа в нашей стране -давно уже перестала быть
замкнутым звеном в системе образования. Естественно поэтому,
что обученно математике в I —III классах должно рассматри-
ваться лингв как начальная ступень в овладении школьным кур-
сом математики в целом.
Поэтому, работая в начальных классах, необходимо учиты-
вать те общие задачи, которые преследует обучение математике
в средней школе, и правильно оценивать роль начального обуче-
ния и решении этих задач.
Многие вопросы, относящиеся к программе математики для
средней школы, должны быть усвоены уже в начальных классах
в такой форме и так прочно, чтобы они стали достоянием уча-
щихся на всю жизнь, другие же вводятся на начальной ступени
обучения только в целях подготовки к основательному их рас-
смотрению в следующих классах или чтобы получить возмож-
ность повысить уровень осознанности в процессе формирования
тех или иных умений и навыков.
Эти соображения необходимо учитывать, когда речь идет о
том, что в начальных классах школы дети должны сознательно
и прочно овладеть определенным, намеченным в программе кру-
гом знаний, умений и навыков в области математики.
7
Одной из важнейших задач начального обучения всегда было
и остается формирование сознательных и прочных (во многих
случаях доведенных до автоматизма) навыков вычислений. Од-
нако на современном этапе развития школы подчеркивается, что
к этому ни в коем случае не должны сводиться цели работы над
арифметическим материалом.
В объяснительной записке к программе указывается, что
начальный курс математики предполагает «доступное детям
обобщение учебного материала, понимание общих принципов и
законов, лежащих в основе изучаемых математических фактов,
осознание тех св’язей, которые существуют между рассматривае-
мыми явлениями»1. Это относится прежде всего к изучению свойств
действий, _ существующих между ними связей, математических
отношений и зависимостей, являющихся основой формируемых
у детей практических навыков и умений.
Установление такого соотношения между рассматриваемыми
вопросами теории и практики, при котором теория помогала бы
овладению практическими умениями и навыками, — одна из цент-
ральных задач учителя и одно из ценовных средств, которые
должны помочь ему повысить эффективность обучения математике.
В качестве специальной цели обучения нужно рассматривать
обучение детей применению приобретаемых знаний, умений и на-
выков в разнообразных условиях. Это — начало работы, направ-
ленной на политехническую подготовку учащихся.'
Вместе с тем применение знаний также является одним из
важнейших средств повышения эффективности самой учебной
работы детей. Психологами доказано, что полноценное усвоение
знаний, умений, навыков может быть достигнуто только в усло-
виях активного самостоятельного их применения в изменяющих-
ся условиях. Трудности, которые неизбежно возникают при пере-
ходе детей из начальных классов школы в следующий, в значи-
тельной степени могут быть сглажены именно на этой основе.
И наоборот, если учитель не обратит специального внимания на
разнообразие условий, в которых дети должны мобилизовать на-
копленные знания, а приучит их к однотипным вопросам, зада-
ниям, формулировкам, задачам, то это усугубит сложность пере-
хода к предметному обучению в IV классе.
Этот вопрос неразрывно связан с более общей задачей разви-
тия познавательных способностей у детей. Уже в начальной шко-
ле должно быть многое сделано для развития у детей уменияt
наблюдать и сравнивать, выделять черты сходства и различия в
сравниваемых явлениях, выполнять такие операции, как анализ,
синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация.
В неразрывной связи с задачей формирования у детей умения
логически мыслить находится и вопрос о развитии у них пра-
1 Программы восьмилетней школы. Начальные классы (1—3). М., 1976,
с. 33.
8
пильной, точной, лаконичной математической речи. Это также
одна из важных задач начального обучения.
Говоря о развивающем обучении, было бы в корне непра-
вильно сводить дело лишь к развитию познавательных способ-
ностей (восприятия, памяти, мышления, воображения, речи).
Уроки математики могут и должны быть использованы в
долях формирования у детей начатков научного мировоззрения,
в целях коммунистического воспитания учащихся. Этому спо-
собствует укрепление связи обучения с жизнью. Нужно довести
до сознания детей связь математики с практикой, показать ее
роль и значение в практике коммунистического строительства.
Многое может дать решение жизненных задач и для патриоти-
ческого воспитания детей.
Занятия математикой могут быть не только тем «оселком», на
котором шлифуются мышление и память, но и прекрасной шко-
лой трудового воспитания детей. Она дает материал для постоян-
ной систематической работы по воспитанию привычки к труду и
потребности в труде, она требует дисциплины мышления и чет-
кой организации труда, сосредоточенности, аккуратности.
От учителя требуется в этом отношении многое. Он должен
проявить немалы!! педагогический такт и чувство меры, направ-
ляя работу учащихся так, чтобы их учебная деятельность при-
носила каждому Из них чувство удовлетворения.
Для этого необходимо прежде всего систематически разви-
вать у детей самостоятельность, постепенно усиливая в процессе
обучения требования к их самостоятельной работе, но соблюдая
при этом такую меру трудности, при которой предлагаемые во-
просы п аадапия, хотя и требовали бы определенных усилий от
ребенка, оставались бы посильными для него.
Решение псах перечисленных задач достигается при условии
рационально подбираемого содержания, продуманной системы
его наложения и умелого отбора соответствующих методов, форм
организации и средств обучения.
Решение этих вопросов оказывается связанным не только с
учетом поставленных целей обучения, но и с правильной оценкой
няаимосвяаей между всеми остальными элементами методики.
Следующий параграф посвящен рассмотрению наиболее важных
в практическом отношении взаимосвязей.
§ 3.	ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
МЕТОДИКИ
Как было отмечено, основным (ведущим) элементом методиче-
ской системы обучения (методики) являются цели обучения, кото-
рые отражают, с одной стороны, требования, предъявляемые к
школе жизнью, а с другой — необходимость учитывать особен-
ности детей младшего школьного возраста. Эти цели сформулиро-
ваны в объяснительной записке к программе, конкретизированы
9
в методических руководствах и нашли достаточно четкое -отраже-
ние в материале стабильных учебников.
Цели обучения в современной школе предполагают не только
усвоение ряда предусмотренных программой фактов и правил,
формирование навыков, но и овладение умением самостоятельно
применять приобретенные знания к решению разнообразных учеб-
ных и практических задач. Такая постановка стоящих перед шко-
лой задач прямо вытекает из указаний, содержащихся в докладе
Л. И. Брежнева на XXV съезде КПСС: «В современных условиях,
когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро
возрастает, уже невозможно делать главную ставку на усвоение
определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоя-
тельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном
потоке научной и политической информации»1.
Изменение целей обучения сказалось не только на содержании
курса (о чем говорилось выше), но и на остальных элементах
системы.
Особенно ярко эта зависимость проявилась в методах обуче-
ния. Действительно, если цели обучения ограничить только
формированием навыков, то в соответствии с этим ведущими стали
бы только такие методы, которые направлены на применение
усвоенных знаний в аналогичных условиях, т. е. связанные с
выполнением однотипных тренировочных упражнений. Основную
роль при этом должно было бы играть механическое запоминание.
Иное дело, если ставится цель осознанного усвоения знаний,
обеспечивающего возможность их применения в самых разно-
образных во многом новых для учащихся условиях — при реше-
нии нестандартных задач, при рассмотрении новых, не разби-
равшихся'с учителем вопросов теории, приемов вычислений и т. п.
Эта цель, очевидно, уже не может быть достигнута точно теми же
методами. Она требует использования и принципиально других
методов, направленных на активизацию познавательной деятель-
ности учащихся, на развитие самостоятельности их восприятия
и мышления: таких, например, как самостоятельная практиче-
ская работа, позволяющая провести те или иные наблюдения и
сделать на этой основе самостоятельный вывод (например, пере-
гибая вырезанный из бумаги прямоугольник, установить равен-
ство противоположных его сторон и т. п.), или так называемая
эвристическая беседа, в процессе которой дети, отве-
чая на предлагаемые учителем вопросы, приходят к выводу нового
правила, к раскрытию какой-либо закономерности, определению
понятия и т. п.		„
В связи с изменением целей в ином соотношении и сочетании
выступают все известные методы, а иногда может возникнуть
потребность и в создании новых методов.
1 Брежнев Л. И. Отчет Центрального Комитета КПСС и очередные за-
дачи партии в области внутренней и внешней политики. М., 1976, с. 93. •
10
Рассмотрим примеры зависимостей между другими парами
элементов методики: содержанием и методами обучения, содер-
жанием и средствами обучения, методами и формами организации
обучения математике младших школьников.
Включение в содержание начального математического образо-
вания таких новых вопросов, как решение уравнений и неравенств,
некоторых новых вопросов геометрического содержания, не изу-
чавшихся ранее элементов арифметической теории и т. п., само
по себе потребовало разработки соответствующих методических
рекомендаций. Эти рекомендации должны были раскрыть и цели
изучения каждого из этих вопросов и методы соответствующей
работы.
В объяснительной записке к программе указано, например,
что включение элементов алгебры преследует, прежде всего,
цель повышения уровня обобщений в процессе обучения матема-
тике. Это создает условия для более частого использования на-
блюдений: так, например, на основе наблюдения дети подводятся
к выводу о том, что а + Ъ = b + а при любых значениях а и &.
'Го же относится и к включенным в курс элементам арифметичес-
кой теории — усвоение свойств действий происходит в резуль-
тате практической работы с разнообразным дидактическим ма-
териалом. Соответствующие общие знания способствуют более
осоэпапиому усвоению приемов вычислений, формированию созна-
тельных и прочных навыков. Новое содержание геометрического
материала потребовало значительного усиления роли практичес-
ких работ (работа с моделями фигур, выполнение измерений,
простейших построений и изготовление моделей геометрических
фигу]> и др.). Изменение содержания начального курса матема-
тики связано не только с включением нового материала — этот
курс качественно отличается от изучавшегося прежде курса
арифметики. Даже традиционные арифметические вопросы за-
нимают в нем иное место и играют другую роль, чем раньше, а
потому изменения и в методах изучения этих вопросов совершен-
но необходимы.
Такое изменение содержания привело к необходимости созда-
ния принципиально новых средств обучения, и прежде всего но-
вых учебников, новых дидактических материалов и наглядных
посебий и т. п.
Рассмотрим теперь связь между методами и формами организа-
ции обучения. В свете новых задач, поставленных перед школой,
такой известный метод обучения, как самостоятельная работа
учащихся, претерпел существенные изменения, в частности, в
отношении тех форм организации учебной деятельности детей,
в каких он реализуется. Если прежде самостоятельная работа
носила общеклассный характер, когда все учащиеся работали
над выполнением одного и того же задания (часто в таких усло-
виях, когда та же работа одновременно выполняется у доски вы-
званным учеником), то теперь в опыте школы все большее
11
внимание уделяется использованию самых разнообразных форм ор-
ганизации самостоятельной работы: дифференцированная работа
с использованием нескольких вариантов заданий, индивидуаль-
ная работа, когда каждый ученик работает по карточкам-заданиям
или с тетрадью с печатной основой над заданием, учитывающим
особенности его подготовки, и др. Разнообразные формы организа-
ции учебной деятельности, создают более благоприятные, условия
для использования таких методов обучения, которые направлены
на развитие познавательных способностей детей.
Таким образом все элементы методики (цели, содержание,
методы, средства, формы организации) взаимосвязаны, влияют
друг на друга, выступают в реальном процессе обучения в нераз-
рывной связи друг с другом. Это следует иметь в виду при чте-
нии следующих глав, посвященных анализу каждого из них.
ГЛАВА II
СОДЕРЖАНИЕ И СИСТЕМА ПОСТРОЕНИЯ
НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Основным материалом начального курса математики является
арифметика натуральных чисел и основных величин. Наряду с
ним (и по возможности, в связи с ним) в курс включены также
вопросы алгебраического и геометрического содержания. На-
чальный курс математики, как на это указано в объяснительной
записке к программе, раскрывается на системе целесообразно
подобранных задач. Эти основные положения должны учиты-
ваться при рассмотрении основного содержания курса. В настоя-
щем параграфе» для удобства изложения мы рассмотрим в от-
дельности содержание арифметического, алгебраического и гео-
метрического разделов программы, хотя в программе и в реальной
практике обучения эти вопросы рассматриваются во взаимосвязи.
§ 4.	АРИФМЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ В ПРОГРАММЕ
В течение всех трех лет начального обучения ведется работа
по формированию у детей понятий о натуральном числе и ариф-
метических действиях. С самого начала это делается в неразрыв-
ной связи с рассмотрением различных случаев практического при-
менения этих понятий, с работой, направленной на усвоение
детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления,
арифметических действий и основанных на них приемов вычисле-
ний. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как
включенных в программу вопросов теоретического характера,
так и сознательное и прочное овладение навыками применения
изученных вопросов теории к решению разнообразных практиче-
ских и учебных задач и выполнению устных и письменных вычи-
слений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы
над арифметической частью программы выступать в их единстве
и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализа-
ции программы в практике массовой школы, именно это важней-
шее требование программы довольно часто нарушается.
Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки
устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необ-
13
ходимости довести до сознания детей теоретическую основу вы-
полняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появле-
ния ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмот-
рению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать
причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее.
Между тем именно сознательность усвоения — основа, на ко-
торой могут быть сформированы действительно прочные навыки
уверенных^ правильных и быстрых вычислений.
Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их
единстве проявляется также в том, что на уроках математики
нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы тео-
ретического характера, разучиваются соответствующие определе-
ния, «правила» и т. п. в отрыве от их практического применения.
При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от
учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не
предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми
значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель
в I классе требует полного ответа на вопрос: «Как называются
числа при сложении?» В такой форме знания математической тер-
минологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы де-
ти понимали смысл соответствующих слов, когда их использует
учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь.)
Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от
учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание
с помощью сложения (это материал второго года обучения) и т. п.
Чтобы не допускать подобных методических ошибок, приводя-
щих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представ-
лять себе всю систему работы над арифметическим материалом с
I по III класс, понимать значение и место тех элементов теории,
цоторые предусмотрены программой.
Работа над нумерацией и арифметическими действиями стро-
ится в начальном курсе математики концентрически. В программе
намечена система постепенного расширения области рассматри-
ваемых с детьми чисел (десяток — сотня — тысяча — много-
значные числа), причем при изучении каждой из этих тем преду-
смотрено наряду с рассмотрением новой области чисел постепенное
введение (или углубление, систематизация, обобщение) приобре-
тенных детьми ранее знаний нумерации и действий с числами.
Ознакомление детей с числами и арифметическими действия-
ми подготавливается на первых уроках математики практически-
ми упражнениями в объединении двух данных множеств предме-
тов, в установлении соответствия между элементами двух мно-
жеств, в выделении части данного множества предметов.
От операций с множествами дети постепенно переходят к сче-
ту предметов, знакомятся с первыми десятью числами натураль-
ного ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на
примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в
натуральном ряду, учатся сравнивать числа, находить их сумму и
14
разность. Сначала это делается на основе выполнения соответст-
вующих операций над множествами предметов и счета элемен-
тов множества, полученного в результате объединения двух мно-
жеств или удаления части множества, а затем и с использова-
нием некоторых приемов действий над числами (присчитывание
и отсчитывание по единице и группами и др.).
При изучении сложения и вычитания н пределах 10, а затем и
сотни дети знакомятся с вычислительными приемами, основан-
ными на использовании свойств действий (переместительное свой-
ство суммы, различные способы прибавления числа к сумме и
суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа), а
также на основе понимания связи между сложением и вычитани-
ем. При этом, как уже отмечалось, вся работа, связанная с рас-
смотрением этих свойств и разнообразных приемов вычислений,
подчиняется задаче рационализации вычислений.
Важнейшей задачей первого года обучения в отношении фор-
мирования вычислительных навыков является такое усвоение
детьми табличных случаев сложения и вычитания, которое обе-
спечивало бы возможность автоматизированных вычислений при
сложении однозначных чисел и формирования навыков быстрых
устных вычислений с двузначными числами.
В объяснительной записке к программе подчеркивается, что
табличные случаи сложения и вычитания должны быть в резуль-
тате упражнений усвоены детьми на память и поэтому большое
значение имеет своевременное создание у детей установки на их
запоминание. Необходимо также вести повседневную трени-
ровочную работу, без которой желаемого результата достичь
нельзя.
При рассмотрении нумерации в пределах 100 специальное
внимание уделяется ознакомлению детей с новой счетной едини-
цей — десятком, изучению состава чисел из разрядных слагае-
мых (13 — это 10 и 3 или 1 десяток и 3 единицы), выяснению
поместного значения цифр в записи двузначных чисел. Рассмот-
рение этих вопросов происходит на таком уровне, который пред-
полагает уверенное использование детьми соответствующих зна-
ний, но не требует усвоения каких-либо обобщенных формули-
ровок.
Умножение и деление в пределах 100 рассматривается во II
классе. При ознакомлении с этими новыми для детей арифмети-
ческими действиями учитель может опереться на подготовитель-
ную работу, предусмотренную программой для I класса (упраж-
нения в нахождении суммы одинаковых слагаемых и в представ-
лении числа в виде такой суммы).
Как и при изучении сложения и вычитания, рассмотрение при-
емов умножения и деления в пределах 100 ведется на основе пре-
дварительного ознакомления детей с некоторыми важнейшими
свойствами этих действий и связи, существующей между умноже-
нием и делением. При этом возникают вопросы, аналогичные тем,
15
которые были рассмотрены нами выше применительно к сложе-
нию и вычитанию.
Каждое из четырех арифметических действий должно проч-
но связаться в сознании детей с теми конкретными задачами,
которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается
главным образом на основе практических действий с множе-
ствами предметов и на системе соответствующих текстовых задач.
На их основе доводится до сознания детей связь между компо-
нентами и результатами действий, связь между действиями, рас-
сматриваемые свойства действий и изучаемые математические
отношения.
Уже в теме «Десяток» после ознакомления с первыми десятью
числами дети впервые встретятся с нулем. В дальнейшем, по ходу
изучения сложения, вычитания, умножения и деления уделяется
специальное внимание рассмотрению случаев действий с нулем. В
связи с изучением умножения и деления выделяются случаи
умножения и деления с нулем и единицей.	I
В органической связи с изучением чисел и арифметических
действий ведется и работа по ознакомлению детей с величинами
и их измерением. Знакомство с новыми единицами измерения и
установление соотношений между ними, упражнения в преобра-
зовании чисел, выраженных в различных единицах измерения,
связывается, как правило, с работой над нумерацией. (Так, парал-
лельно рассматриваются состав чисел второго десятка из разряд-
ных слагаемых и получение в результате измерения отрезков чисел
вида 1 дм 5 см, преобразование этих чисел: 1 дм 5 см = 15 см.
Делается это по аналогии со случаями вида: 1 дес. 5 ед. составляют
15 ед.) Этот принцип реализуется и в дальнейшем — при каждом
расширении области чисел и при рассмотрении новых случаев
действий.
При переходе к изучению тем «Тысяча» и «Многозначные чис-
ла» основное значение приобретает работа над формированием
навыков письменных вычислений. Однако при этом предполагает-
ся, что параллельно с рассмотрением приемов письменного вы-
полнения арифметических действий все время будет совершенст-
воваться и умение выполнять устные вычисления с числами в
пределах 100 (а также, в легких случаях, и с числами боль-
шими).
При раскрытии способов письменного выполнения сложения,
вычитания, умножения и деления чисел, как и для приемов уст-
ных вычислений, предусмотрено осознание учащимися смысла
выполняемых операций, их последовательности, доступное их
обоснование. Вместе с тем при этом все время должна иметься в
виду конечная цель, состоящая в выработке определенного авто-
матизма в письменных вычислениях (возврат к осмыслению про-
изводимых операций и в данном случае рекомендуется главным
образом при возникновении тех или иных затруднений или ошибок
в ходе вычислений).
16
Хотя программой предусмотрено ознакомление учащихся на-
чальных классов с нумерацией и действиями над многозначными
числами в пределах класса миллионов, в соответствии с ограниче-
нием, оговоренным в объяснительной записке, подавляющее боль-
шинство тренировочных упражнений должно включать лишь та-
кие числа и действия, которые не выходят за пределы миллиона.
Параллельно с работой над письменными вычислениями обоб-
щаются и углубляются знания детей о самих действиях, их свой-
ствах (вводятся некоторые новые свойства), о существующей
между действиями связи, об изменении результатов действий при
изменении одного из компонентов, о взаимосвязи между компо-
нентами и результатом. Обобщение и углубление соответствую-
щих знаний происходят па прочной основе наблюдений, система-
тически проводимых в течение трех лет начального обучения.
Все эти знания, как подчеркивается в объяснительной запис-
ке к программе, используются для рационализации вычис-
лений.
Параллельно и в неразрывной связи с изучением чисел и
арифметических действий ведется работа, направленная на фор-
мирование понятий выражения, равенства и неравенства. Число-
вые выражения, равенства и неравенства впервые встречаются
уже на первых уроках обучения математике и затем систематиче-
ски, из урока в урок, работа над ними продолжается. Она пред-
полагает постепенное усложнение материала не только за счет
расширения области рассматриваемых чисел, но и за счет усложне-
ния структуры рассматриваемых выражений и усложнения видов
ваданий, связанных с применением приобретенных детьми ранее
знаний. Эта система проиллюстрирована в тексте программы от-
дельными, наиболее типичными примерами. Так, в теме «Десяток»
предусмотрено сначала ознакомление детей со сравнением чисел
и записями вида: 5 = 5, 6 < 7, 9 > 8; затем вводятся чтение,
запись и сравнение выражений вида: 5 + 4 и 6 + 4, 7 + 2 и
7 — 2, 3 + 0 и 3 — 0..В теме «Сотня» приведены примеры, пред-
назначенные для сравнения выражений вида: 10 — (5 + 3) и
10 — 5 — 3 (сравнение их может проводиться как на основе пред-
варительного вычисления значения каждого из сравниваемых вы-
ражений и сравнения полученных чисел, так и на основе приме-
нения известных уже свойств действий). При изучении темы
«Умножение и деление в пределах 100» для сравнения предлага-
ются выражения вида: х • 9 и 9 • х, связанные с использованием
переместительного свойства произведения, и 7-8 и 7-9,
где может найти применение знание связи умножения со сложе-
нием, и т. п.-
Помимо задачи формирования понятий о выражении, равен-
стве, неравенстве, соответствующие упражнения служат, таким
образом, задаче закрепления как вычислительных навыков, так и
тех элементов арифметической теории, которые рассматривались
при изучении действий.
17
К арифметической части программы относится также первона-
чальное ознакомление детей с дробями. Этому вопросу посвяща-
ется относительно небольшое время, да и содержание соответст-
вующих тем во II ив III классах невелико. Программа II класса
требует формирования у детей представлений о долях величины,
об их получении делением на равные части. Дети должны на-
учиться сравнивать доли, находить заданную долю от данного
значения величины и решать' обратную задачу (по заданному зна-
чению доли находить значение искомой величины). Решение всех
таких задач выполняется на наглядной основе. В III классе пред-
усмотрено ознакомление учащихся с простейшими’дробями. Дети
учатся читать и записывать дроби, сравнивать дроби с одинако-
выми знаменателями, находить дробь числа. И здесь работа над
дробями все время ведется с опорой на соответствующие нагляд-
ные образы. Для иллюстрации часто используются различные
геометрические фигуры. Деление их на равные части выполняется
в основном с помощью перегибания листа бумаги.
Вокруг рассмотренного нами основного арифметического ма-
териала объединяются и включенные в программу элементы ал-
гебры и геометрии.
§ 5.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
В ПРОГРАММЕ
В начальном курсе математики предусматривается постепен-
ная подготовка учащихся к усвоению понятия переменной (сам
этот термин в начальных классах не используется).
Начинается эта работа еще в I классе, где рассматриваются
так называемые примеры «с окошечком» (с пропуском, который
должен быть заполнен тем или иным числом). В учебнике пред-
ставлены примеры такого рода, связанные как с равенствами, так
и с неравенствами (вида: 6 4- □ = 10, □ 4- □ — 7, 5 > □,
3 < □). Начиная с I класса дети встречаются и с простейшими
уравнениями, где буква обозначает пока лишь определенное не-
известное число. Во II классе* буква выступает уже в соответ-
ствующих выражениях как переменная, которая может приобре-
тать различные числовые значения. Дети должны научиться по-
нимать смысл простейших буквенных выражений, находить их
значение при заданных числовых значениях входящих в них букв,
выяснять, при каких значениях переменной будет верным не-
равенство вида: 3 4- а < 7.
Знакомство с элементами буквенной символики, помимо зада-
чи подготовки детей к усвоению понятия переменной и использо-
ванию алгебраического способа решения задач, используется в
целях обобщения того арифметического материала, который со-
ставляет основу программы. В связи с этим во II—III классах
специальное внимание уделяется решению задач с буквенными
данными, составлению буквенных выражений, их сравнению и пр;
18
Постепенно, в связи с рассмотрением соответствующих ариф-
метических вопросов, усложняется работа, связанная с решением
уравнений. В программе приведены образцы, иллюстрирующие
характер и сложность уравнений, решаемых при изучении каждой
темы. Решение уравнений в течение всех трех лет начального
обучения основывается на использовании знаний зависимости
между компонентами и результатами действий.
Умение решать уравнения применяется при решении тексто-
вых задач (более подробно особенности содержания, системы и
методов соответствующей работы освещены в § 51 настоящей
книги).
Геометрический материал (как и алгебраический) не выделя-
ется в программе и в реальном процессе обучения в качестве са-
мостоятельного. раздела. Вопросы геометрического содержания
рассматриваются всегда, когда это оказывается возможным, в
тесйой связи с рассмотрением остальных вопросов курса. Однако,
как это отмечено в объяснительной записке к программе, в изло-
жении вопросов геометрии должна соблюдаться и собственная
логика, подчиненная основным целям включения этого материала
в курс.
Цели же эти состоят прежде всего в развитии пространствен-
ных представлений у детей, в формировании у них представлений
о геометрических фигурах различных видов (точке, прямой и кри-
вой линиях, отрезке прямой, ломаной, прямом и непрямом угле,
различных видах многоугольников, круге, окружности). Дети
должны научиться узнавать, различать и изображать эти фигуры
как в тех случаях, когда каждая из них предлагается им в изоли-
рованном виде, так и в тех, когда знакомая фигура представляет
собой часть другой, составлять фигуры из нескольких данных
и т. ц.
При ознакомлении с геометрическим материалом значитель-
ное место уделяется измерениям: дети должны научиться нахо-
дить длину отрезка (I кл.), длину ломаной, периметр данного
многоугольника (II кл.), площадь прямоугольника (III кл.).
При этом определения понятий детям не сообщаются (и соот-
ветственно от учащихся не требуется их знания). Вместе с тем
по отношению к ряду понятий (например, по отношению к пря-
моугольнику, квадрату и др.) указываются те существенные
признаки, которые фактически отражают содержание этих поня-
тий и дают возможность выделять соответствующие фигуры из
класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию
(«прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы пря-
мые», «квадрат — прямоугольник, у которого все стороны рав-
ны» и т. п.). Дети должны научиться практически использовать
соответствующие признаки при узнавании различных фигур, их
классификации.
Вопросы геометрического содержания рассматриваются глав-
ным образом на основе практических работ, связанных со
19
сгибанием листа бумаги, вычерчиванием фигур и пр. Формированию
элементарных навыков черчения уделяется специальное внима-
ние. В программе указано время, когда дети должны научиться
пользоваться линейкой, угольником, предусмотрено, какие про-
стейшие построения и измерения они должны выполнять. Это
вычерчивание отрезков заданной длины и измерение отрезка с
помощью мерной линейки, построение на клетчатой бумаге
прямоугольника (квадрата) в I классе. Во II классе дети долж-
ны уметь пользоваться циркулем для вычерчивания окружностей
заданного радиуса, с центром в заданной точке. В III классе —
научиться строить прямой угол и прямоугольники на нелинован-
ной бумаге с помощью чертежного угольника.
Рассмотрение вопросов, связанных с измерением, естествен-
но увязывается с работой над числами и арифметическими дей-
ствиями. Геометрические фигуры часто служат средством
наглядной интерпретации рассматриваемых арифметических
вопросов (смысла сложения, вычитания, умножения, деления,
некоторых их свойств и т. п.).
Приобретенные знания, умения, навыки и при изучении гео-
метрического материала находят применение не только в ходе
практических упражнений, но и при решении текстовых задач.
§ 6.	ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
Как уже было сказано, начальный курс математики раскры-
вается на системе целесообразно подобранных задач. Значитель-
ное место занимают в этой системе текстовые задачи. При рас-
крытии смысла арифметических действий, связи, существующей
между действиями, и взаимосвязи между компонентами и ре-
зультатами действий непременно используются соответствующие
простые текстовые задачи (задачи, решаемые одним арифмети-
ческим действием). Текстовые задачи служат также одним из
важнейших средств ознакомления детей с математическими отно-
шениями, выражаемыми словами «быть на столько-то больше
(меньше)», «быть во столько-то раз больше (меньше)». Они исполь-
зуются и в целях уяснения понятия доли (задачи на нахождение
доли величины и искомого значения величины по доле). Тексто-
вые задачи помогают и при формировании ряда геометрических
понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.
Трудно переоценить роль текстовых задач в деле ознакомле-
ния детей со связью, существующей между такими величинами,
как, например, цена, количество и стоимость, время, скорость и
расстояние и т. п.
Естественно, что система расположения простых задач подчи-
нена логике развертывания соответствующих понятий в курсе.
Наряду с простыми задачами начиная с I класса решаются и >
составные задачи, которые также служат делу совершепствова--
20
ния приобретаемых теоретических знаний (свойств дейст-
вий и др.).
Вместе с тем задачи выполняют и другую важную функцию в
начальном курсе математики — они являются полезным сред-
ством развития у детей логического мышления, умения проводить
анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать,
раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явле-
ниями.
Значение обучения детей решению текстовых задач во многом
зависит от методики проведения работы над ними. Основные
общие вопросы методики обучения решению задач рассматрива-
ются в § 21 настоящей книги; частные вопросы, связанные с
особенностями методики рассмотрения задач различных видов, —
в главах, посвященных отдельным темам программы.
Мы охарактеризовали в общих чертах основные направления
работы, предусмотренной программой начального курса мате-
матики. Из сказанного видно, как сложен и многогранен этот
курс. Для полноценного его усвоения решающим является требо-
вание постоянного, непрерывного продолжения работы над каж-
дым вновь введенным понятием, чтобы в ходе обучения все вре-
мя обеспечивалось развитие и совершенствование соответствую-
щих знаний, умений и навыков. Только в этом случае можно
реализовать одну из основных идей программы, которая заклю-
чается в том, что предлагаемый учащимся курс должен при всем
разнообразии включенных в него вопросов представлять собой
единое целое, в котором все эти вопросы выступают во взаимо-
связи и единстве, помогая друг другу, создавая условия для фор-
мирования у детей системы знаний, а не отрывочных сведений из
разных областей математики.
В программе отмечается, что успех дела обучения математи-
ке младших школьников во многом зависит от методов, исполь-
зуемых учителем. Немаловажный фактор в этом деле — также
и соответствующее оснащение этого процесса.
Рассмотрению этих вопросов и посвящаются следующие гла-
вы книги.	,	• '
ГЛАВА ИГ
СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В I-Ш КЛАССАХ
§ 7.	УЧЕБНИК И ДРУГИЕ УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
Учебник и программа
Учебник является основным элементом в оснащении учебного
процесса при обучении математике. Он строится в полном соот-
ветствии с программой.
В содержание учебников входят те и только те вопросы, кото-
рые программой предусмотрены. Однако одной из главных осо-
бенностей учебников является то, что они раскрывают требова-
ния программы, конкретизируют их, показывают, на каком уров-
не должен рассматриваться каждый из вопросов курса.
Так, например, в программе для II класса есть пункт: «Деле-
ние на равные части и деление по содержанию; их обобщение».
Не рассмотрев внимательно, как представлен этот вопрос про-
граммы в учебнике, легко допустить ошибку в его трактовке. Так,
некоторые учителя считают необходимым, поскольку в програм-
ме специально оговорены эти два случая применения деления,
довести до сознания учащихся особенности каждого из них.
Они требуют от детей четкого различения соответствующих задач
с использованием этих терминов, проводят многочисленные
упражнения, направленные на то, чтобы дети научились опреде-
лять, относится ли лредложенная им задача к задачам на деле-
ние «на равные части» или к делению «по содержанию». Они тре-
буют также, чтобы дети научились приводить самостоятельно
примеры задач на деление на равные части и по содержанию и т. п.
Внимательное рассмотрение учебника должно было бы предуп-
редить возможность такого чрезмерного внимания к этим вопро-
сам. Действительно, в учебнике не выделяются специально на-
звания задач этих видов, нигде не встречаются в нем вопросы и
задания, связанные с различением таких задач. Если просмотреть
задания, которые учебник предлагает в этой связи, то становится
ясным, что дети должны научиться решать соответствующие за-
дачи, понять, что каждая из них требует применения действия
деления, и только.
Приведем еще один пример из программы для III класса.
В программе записано: «Устная и письменная нумерация в пре-
22
делах класса миллионов». Однако к этой теме относится мно-
жество самых разнообразйых вопросов. Какие из них должны за-
трагиваться в работе с учащимися III класса, а какие нет? Ка-
ким из них следует отвести основное место при изучении темы, а
каких можно коснуться лишь попутно, в порядке ознакомления?
На все эти вопросы дает ответ учебник.
Итак, учебпйк уточняет, конкретизирует, детализирует требо-
вания программы в отношении содержания обучения математике
в начальных классах школы.
Учебник во многом определяет ц систему изучения отдельных
вопросов программы, конкретизируя требования программы и в
этом отношении.
В самом деле, программа намечает систему построения курса
в целом (выделение и последовательность изучения основных
тем), а иногда и систему расположения материала внутри темы
(как это сделано, например, по отношению к теме «Умножение и
деление в пределах 100»), но программа не может раскрывать
систему изучения каждой темы и входящих в нее подтем. Это
задача учебника.
Например, в программе для I класса дается обобщенная фор-
мулировка: «Таблица сложения в пределах 10, соответствующие
случаи состава чисел. Вычитание в пределах 10».
Система ознакомления учащихся с различными случаями сло-
жения и вычитания в пределах 10 раскрывается в учебнике. Толь-
ко проанализировав содержание этой темы по учебнику, можно
выяснить, в какой связи друг с другом рассматриваются, скажем,
случаи сложения в пределах 10 и соответствующие им случаи
состава чисел первого десятка из двух слагаемых, в какой после-
довательности они вводятся в процессе обучения, как устанавли-
вается связь между сложением и вычитанием на этом этапе обу-
чения и т. и.
То же в еще более яркой форме обнаруживается, например, по
отношению к теме «Площадь многоугольника». В программе для
III класса она выделена в качестве самостоятельной, а учебник
предусматривает расчленение этой темы на ряд подтем, включае-
мых по частям в различные периоды работы над одной из основ-
ных тем программы третьего года обучения — «Умножение и де-
ление многозначных чисел».
Таким образом, разобраться как следует в системе построе-
ния начального курса математики можно только, если рассматри-
вать программу в связи с учебником.	'
Наконец, учебник раскрывает те основные методические на-
правления, которые намечены в общих чертах в программе и
объяснительной записке к ней. Так, учебник намечает конкрет-
ные пути осуществления требования взаимосвязанного рассмот-
рения теории и практики в процессе обучения. Начальный курс
математики развертывается в учебниках для I—III классов на
системе целесообразно подобранных и расположенных задач,
23
упразднений, вопросов и заданий, обеспечивающих как усвоение
включенных в программу вопросов теории, так и формирование
умений и навыков. Материал учебника создает условия для сис-
тематического закрепления и совершенствования приобретае-
мых знаний, предусматривая распределенную во времени систе-
му упражнений, требующих их применения в разнообразных
условиях. В упражнениях, предлагаемых учебником, использу-
ются все те связи и взаимозависимости, которые должны быть
установлены при рассмотрении различных вопросов курса.
Вместе с тем учителю нужно учитывать, что в учебнике пред-
ставлен лишь такой материал, который может быть использован
самим ребенком (конечно, пе только самостоятельно, но и под
руководством учителя). В связи с этим в учебниках не находят
иногда достаточного отражения такие- упражнения, которые это-
му требованию не отвечают, хотя для выполнения программы они
и необходимы.
Так, поскольку в течение первого полугодия дети еще только
овладевают навыками самостоятельного чтения, в учебнике для
I класса текстовые арифметические задачи начинают появляться
только к концу этого периода (с учетом прогресса в обучении
чтению). Вместе с тем совершенно ясно, что для выполнения
соответствующих требований программы работа над задачами
должна вестись достаточно интенсивно и в этот период. Следо-
вательно, материал учебника в данном случае необходимо допол-
нять задачами, текст которых сообщается самим учителем. В этом
же направлении должны использоваться и богато представленные
в учебнике иллюстрации.
Далее, в учебниках для каждого класса содержится довольно
много упражнений, направленных на усвоение детьми приемов
устных- вычислений. Цо для того чтобы выработать у учащихся
навыки быстрых и правильных вычислений, необходимо допол-
нять материал учебника разнообразными устными упражнения-
ми, черпая их из других источников.
Вообще правильный отбор необходимого и достаточного числа
упражнений'по каждому вопросу программы может осуществить
только сам учитель, так как только он может знать, в какой мере
удалось ему решить поставленные задачи. В одном случае учитель
может отказаться от использования некоторых упражнений из
учебника (если он видит, что соответствующий материал уже до-
статочно хорошо усвоен его учениками), в другом окажется необ-
ходимым увеличить число тех или иных упражнений, представ-
ленных в учебнике, чтобы обеспечить усвоение рассматриваемого
вопроса всеми учениками класса.
Большую помощь в этом отношении могут оказать специаль-
ные пособия, издаваемые дополнительно к стабильным учебни-
кам (о них более подробно будет сказано ниже). Что же каса-
ется системы упражнений, то учебник должен служить для учи-
теля основным ориентиром при решении этого вопроса, так как
24
в нем эта система построена с таким расчетом, чтобы создать
необходимые условия для выполнения всех требований про-
граммы. ’
Решению этой сложнейшей задачи подчинена структура учеб-
ников.
Структура учебников и планирование работы учителем
Структура учебника (его построение) определяется в основном
программой: разделы, на которые делится учебник, соответствуют
основным темам, выделенным в программе («Десяток», «Сотня»,
«Тысяча» и т. д.). Каждый раздел подразделяется на темы, рас-
крывающие содержание соответствующих тем программы.
При этом учебник отражает ту особенность программы, что на-
чальный курс математики объединяет арифметику натуральных
чисел и основных величин с элементами алгебры и геометрии.
Именно этим объясняется, что в разделы, носящие чисто «ариф-
метические» названия, включены темы геометрического и алге-
браического содержания, а также темы, связанные с изучением
величин и их измерением.
Место соответствующих тем определено в учебнике с таким
расчетом, чтобы создать лучшие условия для установления связи
между арифметическим материалом и другими вопросами курса.
В этом отношении учебник также уточняет и детализирует про-
грамму.
Проиллюстрируем это отдельными примерами из учебников
для I, 11, 111 классов. В I классе в тему «Сложение и вычитание
в пределах 10» включено рассмотрение задач на нахождение не-
известного слагаемого и сразу же вслед за этим вводится решение
уравнений. Снизь между элементами алгебры и арифметическим
материалом и данном случае органична.
Во II классе после рассмотрения распределительного свойства
произведения («Умножение суммы на число») наряду с другими
чисто арифметическими упражнениями, в которых это свойство
применяется, вводится задача на нахождение периметра пря-
моугольника. Это также сделано для того, чтобы создать усло-
вия для использования геометрического материала в качестве на-
глядной иллюстрации рассматриваемых арифметических
фа кто в.
В Ш классе ознакомление с задачей на нахождение площади
прямоугольника ведется параллельно с изучением умножения,
которое применяется при решении этих задач.
Вместе с тем в учебниках реализуется и указание объясни-
тельной записки к программе, в соответствии с которым в изложе-
нии геометрического и алгебраического материала должна
соблюдаться и собственная логика. Учебник помогает учителю вы-
полнить это требование, уточняя время и место включения соот-
ветствующих вопросов в процессе обучения.
25
Так, например, чтобы приурочить рассмотрение задачи на
вычисление периметра прямоугольника к тому времени, когда де-
ти знакомятся с различными способами умножения суммы на чис-
ло, необходимо'задолго до того познакомить детей с равенством
противоположных сторон прямоугольника, ввести и достаточно
основательно отработать понятие периметра многоугольника. Все
это учтено в учебнике, в котором точно определено место введе-
ния соответствующих вопросов.
Существенной особенностью ныне действующих стабильных
учебников математики для начальных классов является поуроч-
ное их построение.
Сделано это с целью оказать помощь учителю в тематическом
планировании учебного материала. В связи с теми особенностями
начального курса, которые были охарактеризованы выше, про-
блема тематического планирования оказывается чрезвычайно
сложной.
В самом деле, планируя работу по каждой теме, нужно проду-
мать не только вопрос о том, когда и в какой связи друг с другом
целесообразно включить при изучении каждой темы новые вопро-
сы арифметического, алгебраического и геометрического содер-
жания, но и систему подготовки к введению каждого нового поня-
тия,- а затем и систему закрепления нового. Все эти вопросы долж-
ны решаться при тематическом планировании в соответствии со
сформулированным в объяснительной записке к программе ука-
занием: «При обучении математике в начальных классах важней-
шее значение имеет систематическое, повседневное повторение
пройденного, причем повторение это должно быть связано с при-
менением приобретенных ранее знаний, умений и навыков в не-
сколько измененных условиях... Вместе с тем повторение должно
по возможности органически связываться с содержанием изучае-
мого нового материала».
Итак, перед учителем при тематическом планировании мате-
риала встают задачи: а) обеспечить систему взаимосвязанного
(по возможности) введения, алгебраического, геометрического и
арифметического материала; б) обеспечить непрерывное повторе-
ние пройденного, причем повторение это должно быть по возмож-
ности связано с введением нового материала и вместе с тем га-
рантировать непрерывное продолжение работы над введенным
ранее материалом, в целях совершенствования и развития при-
обретенных ранее знаний, умений и навыков, систематизации
знаний.и их обобщения; в) обеспечить такие условия, при кото-
рых ста'ло бы возможным установление связей между новым и
ранее изученным. Это требование предполагает своевременное
повторение, необходимое в качестве подготовки к рассмотрению
новых вопросов, повторение с целью установления связи вводи-
мого нового понятия, приема вычислений и др. с теми, которые
рассматривались прежде, последующее повторение и закрепле-
ние, в ходе которого обеспечивалась бы дифференциация рас-
26
смотренных понятий, способов действий, задач и пр.; г) выпол-
нять все эти требования так, чтобы распределение всего учебного
материала, подлежащего рассмотрению в ходе работы над те-
мой, не привело к перегрузке учащихся, к перегрузке отдельных
уроков по теме.
Решение всех этих задач и взяли на себя составители учебни-
ков, строя их по поурочному принципу.
С помощью примерной разбивки учебного материала на от-
дельные уроки составители учебников подсказывают учителю,
какие вопросы из пройденного целесообразно включить в содер-
жание каждой"темы параллельно с рассмотрением нового, в ка-
кой последовательности их следует вводить, в какой связи друг с
другом и с новым материалом, па какие «порции» целесообразно
разбить новый материал и как распределить во времени работу,
направленную на закрепление и совершенствование приобретен-
ных знаний, умений и навыков. Более того, учебник подсказыва-
ет также характер упражнений, отвечающих как частным за-
дачам изучения отдельной темы, так и общим образовательным и
воспитательным целям обучения математике в начальных
классах.
Для целесообразного использования учебника в этом отноше-
нии важно разобраться в предложенной им системе изучения
материала, в целевом назначении каждого упражнения. Только
тогда учитель сможет критически отнестись к заложенным в учеб-
никах рекомендациям и творчески использовать их в работе со
своим классом, учитывая особенности собственного стиля работы,
подготовки своих учащихся, фактическое положение дел с усвое-
нием ими тех или иных вопросов программы.
Планируя работу, следует учитывать, что в учебнике разрабо-
тано в виде отдельных уроков примерно три четверти всего числа
уроков, отводимых учебным планом для каждого года обучение.
Этого достаточно для того, чтобы наметить канву работы учителя.
Имеете с тем это дает возможность учителю варьировать темати-
ческое планирование в соответствии с конкретными условиями
своей работы, используя по своему усмотрению уроки, остающие-
ся в его резерве. (Материал для этих уроков он берет главным
образом из разделов «Дополнительные упражнения», которыми
сопровождается в учебнике изложение каждой темы.)
Поурочное построение учебника, как уже было отмечено,
призвано предупредить возможность перегрузки учащихся, кото-
рая может возникнуть в практике при нерациональном построе-
нии учебного процесса.
Особенно часто такая перегрузка бывает связана с тем, что
учитель уделяет чрезмерное внимание закреплению вводимых
знаний на многочисленных однотипных упражнениях, выполняе-
мых непосредственно вслед за введением нового. Это нарушает
один из важнейших принципов, положенных в основу программы
и учебников по математике для I—III классов, — принцип рас-
27
пределенного во времени непрерывного закрепления, связанного
с применением приобретенных знаний в постоянно изменяющих-
ся условиях, на упражнениях новых видов.
Вместе с тем перегрузка может возникнуть и в том случае,
если учитель будет стремиться, слепо следуя за учебником, вы-
полнить на каждом уроке все те упражнения, которые к этому
уроку даны в учебнике. В методических указаниях, составляв-
шихся авторами учебников в помощь учителю, работающему в I,
II, III классах1, неизменно подчеркивалось, что предусмотренный
учебником объем каждого урока является примерным, что по-
урочное построение учебника ни в коей мере не освобождает
учителя от необходимости самостоятельно продумывать содержа-
ние, характер и число упражнений, которые он намечает прове-
сти на каждом уроке. При этом он может отказаться от рассмот-
рения некоторых из намеченных учебником упражнений, заме-
нить их другими, а если это оправданно для данного класса, то
ввести в урок те или иные дополнительные упражнения.
Представленная в учебниках система упражнений отличает-
ся еще одной весьма существенной особенностью, которую никак
нельзя упускать из вида при ее практическом использовании. Со-
стоит эта особенность в том, что упражнения, связанные с рас-
смотрением того или иного вопроса программы, не только рас-
пределены во времени, но и взаимосвязаны; они расположены
так, что степень трудности их постепенно возрастает, причем
каждое упражнение нового вида подготавливается предшеству-
ющими. Если случайно в ходе работы с детьми какое-либо из
звеньев этой цепи окажется пропущенным, зто неминуемо при-
ведет к возникновению непредвиденных затруднений у учащихся.
Например, начиная с I класса в соответствии с программой
дети знакомятся с решением уравнений. Сложность рассматри-
ваемых уравнений постепенно возрастает.
Так, уравнения вида: 20 — (х + 6) = 4; (17 + х) — 14 = 11
и т. п. — рассматриваются на уроке, материал к которому дан на
с. 112 учебника для II класса. При решении таких уравнений
приходится дважды применить известные уже детям знания за-
висимости между компонентами и результатами сложения и вы-
читания. Поэтому естественно, что в качестве подготовки к ре-
шению этих уравнений в учебнике для II класса систематически
включаются уравнения вида: х + 24 = 47, 70 — х = 30 и т. п.,
а затем и несколько более сложные по структуре уравнения вида:
х + 12 = 36 — 4 и т. п. Однако этого еще мало. Для успешного
усвоения способа решения уравнений новых видов важно, что-
1 Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в 1 классе.
М., 19'74.
Моро М. И., Бантова М. А. Математика во 2 классе. М., 1976.
Пчслко А. С., Бантова М. А., Моро М. И., Пышкало А. М. Математика
в 3 классе. М., 1974.
28
бы дети научились «видеть» компоненты, из которых состоит
выражение, записанное в левой части уравнения, определять вид
этого выражения (так, в уравнении 20 — (х + 6) = 4 в левой ча-
сти записана разность, уменьшаемым является число 20, а вычита-
емое выражено суммой неизвестного числа и числа 6). Для под-
готовки к рассмотрению уравнений такого нового вида необхо-
димо поэтому провести ту подготовительную работу по чтению,
составлению, записи подобных выражений,' которая предусмотре-
на учебником (начиная со с. 87). Подобные упражнения (№ 605,
607, 615) даны в учебнике и в непосредственной близости к рас-
сматриваемому уроку. Если учитель, недооценив значение этих
упражнений для подготовки к введению новых видов уравнений,.
опустит их, то это может очень затруднить работу на рассматри-
ваемом нами уроке.
Учебник и воспитательные задачи обучения
Разнообразие видов упражнений, представленных в учебни-
ке, их расположение создают условия для решения тех воспита-
тельных задач, которые стоят перед учителем начальных классов.
Вся система упражнений построена так, что она обеспечивает
развитие у детей умения наблюдать, сравнивать, подмечать чер-
ты сходства и различия в наблюдаемых фактах, делать выводы.
Нередко учебник предлагает задания, специально на это направ-
ленные, например задания вида: «Выясни, чем похожи и чем от-
личаются следующие задачи» и т. п. Однако во многих случаях,
хотя таких специальных заданий и не дано, само содержание
упражнений открывает широкие возможности для постановки
соответствующих вопросов учителем. Вффоктивпость обучения в
дело развития учащихся может быть значительно повышена,
если не упускать такие возможности. Здесь имеются в виду много-
численные упражнения, связанные со сравнением различных вы-
ражений (часто они дают возможность сделать требуемый вывод
без выполнения вычислений, только на основе сравнения и при-
менения известных общих закономерностей), таблицы, заполне-
ние и рассмотрение которых позволяют заметить зависимость
между компонентами и результатами действий, характер, происхо-
дящих изменений, вскрыть их причины, и многие другие упраж-
нении.
Богатейший материал для решения воспитательных задач
дают иллюстрации, содержащиеся в учебниках. Они помогают
развитию у детей как конкретного, так и абстрактного мышления.
Так, постепенный переход от предметной наглядности к на-
глядности условной (разного .рода схемы, чертежи) обеспечива-
ет возможность ознакомления детей с моделированием математи-
ческих отношений в различных формах (важнейшее значение
имеет, в частности, использование в этих целях геометрических
29
образов). Иллюстрации учебника могут оказать большую
помощь в деле укрепления связи обучения математике с жизнью,
они помогают детям осознать многие математические зависимо-
сти и увидеть возможность их практического использования,
они дают материал для математических обобщений, обогащая лич-
ный опыт ребенка.
Иллюстрации учебника способствуют расширению кругозо-
ра учащихся, знакомя их с различными сторонами окружающей
действительности. Сюжеты этих иллюстраций весьма разнообраз-
ны. Это и сценки из школьной и домашней жизни самих детей,
детские игры, жизнь природы, и иллюстрации, отражающие отно-
шение человека к окружающей природе, и рисунки,' знакомящие
детей с людьми различных профессий, с их трудовой деятель-
ностью, с используемой ими новейшей техникой, показывающие,
чем заняты взрослые и дети в часы досуга (библиотека, спортив-
ные игры, кино, театр и др.). Все эти иллюстрации отражают бо-
гатство и разнообразие тех математических задач, которые пред-
ставлены в учебниках. Используя эти рисунки, нужно всегда пом-
нить, что, хотя они и представляют несомненный интерес сами
по себе, на уроках математики их роль служебная — они должны
помочь в усвоении вопросов начального курса математики, в ре-
шении соответствующих математических вопросов.
Воспитание на уроках математики должно осуществляться в
основном средствами самой математики.
Важнейшее в воспитательном отношении значение имеет фор-
мирование у детей умения работать самостоятельно, в частности
самостоятельно работать с книгой. Учебник открывает для этого
широкие возможности.
Учебные пособия по математике для I—III классов
Для организации самостоятельной работы детей над новым
учебным материалом иногда необходимо предусмотреть некото-
ные упражнения, задания, вопросы, дополняющие материал учеб-
ника. На этапе закрепления часто бывает полезно организовать
самостоятельную работу так, чтобы каждый ученик работал над
индивидуальным заданием, подобранным с таким расчетом, чтобы
оно было посильно ему, учитывало бы особенности его подго-
товки.
В решении этих задач учителю помогают пособия, издавае-
мые в дополнение к учебнику.
В настоящее время почти ежегодно большими тиражами из-
даются так называемые карточки, содержащие разнообразные
упражнения, предназначенные для самостоятельной работы уча-
щихся на уроках математики.
Так, около 300 арифметических задач дополнительно к учеб-
нику содержат «Карточки е арифметическими задачами для
30
1 класса»1. Форма, в которой даются задания в этих карточках,
позволяет уже в I классе (даже на первом месяце занятий) ор-
ганизовать вполне самостоятельное решение и составление про-
стейших задач учащимися. Наличие в каждой серии карточек
вариантов аналогичных заданий, построенных на различном сю-
жетном материале, дает возможность организовать одновремен-
но работу над различными задачами, а при проверке выполнен-
ной работы все эти задачи решить устно в классе.
Вместе с тем наличие заданий различной трудности, но свя-
занных с решением задач одного и того же вида, открывает воз-
можность дифференцированного подхода к учащимся.
То же относится и к карточкам для II класса1 2, которые, кроме
текстовых арифметических задач, содержат также материал,
охватывающий и все другие основные вопросы программы этого
класса.
Особенность карточек для III класса3, отличающая их от по-
собий того же вида для I и II классов, состоит в том, что, кроме
материала с заданиями для самостоятельной работы, в них пре-
дусмотрена система вспомогательных средств, призванных ока-
зать помощь тем-ученикам, для которых задание может оказаться
трудным. Наличие «карточек-помогалочек», как их часто назы-
BatoT дети, позволяет дифференцировать задания для индивидуаль-
ной работы учащихся.
Все перечисленные карточки могут использоваться и при про-
ведении общеклассных обучающих самостоятельных работ и в
качестве дополнительных заданий для отдельных учащихся, для
восполнения пробелов, обнаруженных в знаниях того или иного
ученика. Многие учителя используют эти карточки и при орга-
низации повседневного контроля знаний учащихся и для письмен-
ных контрольных работ.
Пособием совершенно нового типа являются издаваемые в на-
стоящее время в качестве приложения к учебнику пособия для
мплокомплектных школ4. Это пособия для учеников. К каждому
уроку, разработанному в учебниках, они дают тот дополнитель-
ный материал, который может помочь ученикам самостоятельно
справиться и с теми заданиями учебника, которые в условиях
работы с одним классом обычно выполняются под руководством
учителя.
1 Моро М. И. Карточки с арифметическими задачами для 1 класса. М.,
197В.
2 Моро М. И., Меленцова Н. В. Карточки с математическими заданиями
для 2 класса. М., 1977.
3 Моро М. И., Вапняр Н. Ф. Карточки с математическими заданиями
для 3 класса. М., 1978.
4 Вапняр Н. Ф. Задания к учебнику математики 2 класса. Пособие для
малокомплектной школы. М., 1977.
Чекмарева Т. К. Задания к учебнику математики 3 класса. Пособие
для малокомплектной школы. М., 1978.
31
Пособия этого вида могут оказаться полезными и для учителя,
работающего с одним классом, так как в них намечена та система
подготовки к выполнению заданий учебника, которую (пусть по-
другому, в других организационных формах) должен предусмот-
реть учитель и в этом случае.
В работе с Хорошо подготовленным классом или с отдельными
учениками, проявляющими повышенный интерес к математике, с
большим успехом можно использовать издаваемые параллельно
со стабильными учебники экспериментальные1. В них учитель
найдет много интересных, нестандартных упражнений, задач, на-
правленных на развитие сообразительности, смекалки у учащихся.
Отдельные разделы таких учебников с большим успехом можно
использовать во внеклассной работе с детьми.
Все зто поможет в решении задач, стоящих перед учителем.
§ 8. РАЗЛИЧНЫЕ СРЕДСТВА НАГЛЯДНОСТИ
Функции наглядных пособий и технических средств обучения
многообразны, но в основном, они заключаются в том, чтобы помо-
гать раскрывать содержание и объем новых понятий, закреплять
изучаемый материал, быть средством контроля, обеспечивать ак-
тивную самостоятельную учебную деятельность детей.
Следуя логике процесса усвоения знаний на каждом этапе по-
знавательной работы, средства наглядности могут содействовать
закономерному переходу от восприятия единичного, конкрет-
ного к общему, абстрактному и от общего, абстрактного к еди-
ничному, конкретному.
Накопление ребенком в начальный период обучения конкрет-
ных знаний как базы для активной мыслительной деятельности
имеет важное значение. Однако если учитель будет ограничивать-
ся лишь наглядным обучением, то он 'будет задерживать есте-
ственное развитие мышления ребенка.
Отсюда следует, что учитель должен уметь в зависимости от
степени подготовленности учащихся своего класса вовремя огра-
ничить применение средств наглядности или заменить ее формы
в процессе сообщения знаний, формирования навыков и умений.
Наглядное обучение должно обеспечить формирование у
учащихся первичных обобщений и установление простых свя-
зей. Оно должно способствовать движению мысли от жизнен-
ных наблюдений к сущности изучаемого понятия. В решении этих
1 Пешков К. И., Пышкало А. М. Математика в начальных классах,
ч. I. М., 1968 (ред. Маркушевич А. И.); ' .
Макарычев Ю. Н., Пешков К. И. Математика в начальных классах,
ч. II. м;, 1970 (ред. Маркушевич А. И.);
Макарычев Ю. Н., Пешков К. И., Пышкало А. М. Математика в на-
чальных классах, ч. Ill: М., 1971 (ред. Маркушевич А. И.).
32
задач неоценимую помощь могут
оказать различные виды учебного
оборудования.
Выбор того или иного учебного
оборудования, правильное согласо-
вание его с другими средствами обу-
чения невозможны без глубокого по-
нимания особенностей и места при-
менения каждого из них — такого по-
нимания, которое предполагает ана-
лиз математической сущности, ди-
дактических возможностей учебного
оборудования в целом и отдельных
его видов.
В ходе перестройки содержа-
ния и методов начального обучения
в СССР (1966—1973) разработана
система учебного оборудования по
математике, реализованная в «Пе-
речне типовых учебно-наглядных по-
собий и учебного оборудования для
общеобразовательных школ» (при-
каз министра просвещения СССР
№ 107, 31 декабря 1968 г.).
В этом «Перечне» наряду с хорошо известными учителю мо-
делями (классные счеты, счетные палочки и др.) указаны и не-
которые новые для пашей школы пособия, прекрасно зарекомен-
довавшие себя в опыте многих учителей.
Так, например, все большее распространение находят наборы
цветных палочек сечением в 1 кв. см и длиной от 1 до 10 см (рис. 2).
Эти палочки дают возможность формировать у первоклассников
важнейшие представления о натуральном числе, об измерении,
о составе чисел. На рисунке 3, например, показано, что коричне-
вую палочку (7 см), соответствующую числу 7, можно заменить
малиновой (4 см) 'и светло-зеленой (3 см), или красной (2 см) и
желтой (5 см), или зеленой (5 см) и белой (2 см) и т. д. Таким обра-
зом, с помощью палочек можно наглядно представить состав лю-
бого числа в пределах 10.
Большинство печатных пособий, указанных в перечне, уже
сейчас издается большими тиражами и с успехом применяется
учителями. Остальные разрабатываются и подготавливаются к
изданию, а пока заменяются самодельными.
Самым распространенным видом наглядности является чер-
теж учителя на классной доске. Чертеж на доске учитель вы-
полняет постепенно, в присутствии учащихся, и этим объясня-
ется высокая эффективность его воздействия в процессе обу-
чения. Во время выполнения чертежа учащиеся получают
возможность внимательно следить за объяснением учителя,
2 Заказ 367
33
• • • • О о о о о о	• • • • • О 0 О О О
Рис. 4
пояснениями к чертежу. Заранее выполненный чер-
теж менее эффективен, хотя и требует меньших зат-
рат времени.
В форме- чертежа, выполняемого на доске во
время объяснения, учитель знакомит детей с по-
строением геометрических фигур, составляет схемы
к задачам и т. п. Эти виды традиционной нагляд-
ности просты в графическом отношении, доступны
для восприятия, требуют минимальной затраты вре-
мени для их создания.
В последнее время на уроках математики в на-
чальной школе широко применяются пособия-аппли-
кации (таблицы с подвижными и съемными деталями),
магнитные доски, фланелеграф и др.
То, что учащиеся имеют возможность участвовать
в создании аппликации, делает учебную работу более
интересной, активной и продуктивной.
Большое распространение имеют в практике обучения
изготовляемые учителями или учащимися старших клас-
совой уроках труда) простейшие абаки. Пример такого абака
для рассмотрения двузначных чисел, изображен на рисунке 4.
Этот простой прибор, если кружки сделать двух цветов, мо-
жет быть хорошо использован при сравнении чисел на первых
шагах обучения. Методику применения ряда пособий мы будем
освещать при рассмотрении отдельных тем программы.
Важное место на уроках в I—III классах занимают набор-
ные полотна различной конструкции, изготовляемые из картона,
фанеры, ткани. Ид рисунке 5 изображено демонстрационное на-
борное полотно, а на рисунке 6 — индивидуальное, заготовка
для которого дана в приложении к учебнику I класса.
Другой важный вид наглядности — учебная таблица. Приме-
нение таблиц приносит большой педагогический эффект лишь в
том случае, когда их демонстрация точно определена по време-
ни. Например, таблица разрядов и классов в теме «Нумерация
многозначных чисел» должна быть перед глазами учащихся во
время изучения этой темы почти на всех уроках.
В таком случае таблица вывешивается не на- передней стене
класса, а на боковой. На передней стене класса, как правило,
должна вывешиваться таблица, применяемая только на данном
уроке. В применении наглядных пособий на уроке важно осво-
бодить переднюю стену класса от всех предметов учебного Обору-
дования, мешающих восприятию изучаемого в данный момент
материала.
Среди технических средств обучения математике все большую
роль стали играть экранные средства, применяемые с помощью
диапроекторов и других приборов.
Диапроекторы позволяют применять на уроках математики го-
товые (издаваемые массовым тиражом) диафильмы, диапозитивы.
34
получили диафильмы. Для
По своим дидактическим качест-
вам эти учебные пособия суще-
ственно различаются. Так, диа-
фильмы, как правило, посвящены
рассмотрению определенного, впол-
не законченного вопроса (напри-
мер, ознакомлению с решением
определенной задачи). При этом
учитель должен считаться с по-
следовательностью и логикой из-
ложения, предписанными авто-
ром. Диапозитивы представляют
собой отдельные, рассыпанные кад-
ры. Это дает возможность приме-
нять отдельные кадры в различ-
ном порядке.
Остановимся кратко на основ-
ных общих вопросах методики
применения экранных пособий.
Особое распространение сейчас
начальной школы выпускают главным образом цветные диа-
фильмы. Хорошо воспринимаемые детьми, такие диафильмы по-
могают лучшему усвоению материала, активизируют познава-
тельную деятельность школьников на уроке.
Распределяя систему упражнений, данную в учебном диафиль-
ме, учитель сможет значительно разнообразить и оживить учеб-
ную работу. Кадры диафильма можно демонстрировать с различ-
ной скоростью, приспособив ее к особенностям работы класса.
13 отличие от диапозитивов, каждый кадр которых может
быть использован в любом порядке и с различными коммента-
риями (кадр диапозитивов не содержит объяснительного текста),
диафильм обладает существенными особенностями. Главными из
них следует считать: 1) наличие объяснительных надписей в каж-
дом кадре1; 2) расположение этих кадров на ленте в определен-
ной последовательности, предусмотренной автором.' В порядке
исключения из диафильма можно выбирать нужные для демон-
страции на данном уроке кадры, применяя последовательность,
соответствующую принятой учителем методике изложения мате-
риала.
Некоторые диафильмы применяют отдельными фрагментами
(или кадрами) на протяжении всего учебного года, по мере изу-
чения соответствующих разделов программы. По усмотрению
учителя фрагменты и отдельные кадры диафильма могут быть
применены в ходе ознакомления с новым материалом, для за-
крепления и повторения пройденного материала или, наоборот,
для опроса учащихся и проведения контрольных работ. Опыт
1 Это позволяет, в частности, использовать диафильмы для самостоя-
тельной работы с отдельными учащимися.
2*
35
показал, что одновременный просмотр всего диафильма в методи-
ческом отношении неоправдан..
Полезно сочетать диафильмы с использованием других учеб-
ных пособий (чертежи на доске, таблицы). Часто по техниче-
ским причинам, из-за отсутствия мощного проектора и необхо-
димости в полном затемнении класса, невозможно использова-
ние классной доски и тетрадей учащихся по ходу демонстрации
диафильма. В этом случае объяснения кадра диафильма про-
должаются уже Ь незатемненном классе, на соответственно по-
добранной модели, таблице или рисунке (на классной доске) и
связываются с выполнением учащимися практических заданий и
решением задач.
Значительно повышается дидактический эффект применения
диафильмов и диапозитивов, если их показывать без затемне-
ния. класса (или при частичном затемнении близ экрана). Для
демонстрации можно использовать, например, диапроектор «Свет-
3», установив его на расстоянии 1,5—2 м от экрана (на столе учи-
теля). При этом достигается достаточно крупное изображение
и имеется возможность одновременно с экраном использовать класс-
ную доску, ученическую тетрадь, чертежные инструменты, т. е.
осуществлять разнообразные виды работы с учащимися.
Еще большие возможности открывает применение классной
доски со светлым (лучше серо-зеленым) покрытием. Такая доска
одновременно может служить и экраном.
Проекция кадров непосредственно на классную доску расши-
ряет дидактические возможности использования экранных посо-
бий. Это позволяет, например, прямо на црображении выполнять
нужные записи белым и цветным мелом (дополнительные по-
строения, введение обозначений, числовых данных и т. д.).
Использование экранных средств обучения дает особенно
хорошие результаты, если учитель овладел не только основными
методическими приемами, но и проекционной аппаратурой (с
этой целью в настоящее время институты усовершенствования
учителей проводят специальную работу).
Подготовку к использованию экранных учебных пособий сле-
дует начинать с тщательного ознакомления с их содержанием.
Для этого, например, каждое экранное пособие сопровождается
краткими методическими указаниями и аннотацией содержания,
а к серии диапозитивов прилагается брошюра аналогичного на-
значения. Однако только личный просмотр учителем избран-
ного Экранного пособия позволит наиболее точно наметить план
урока, на котором будет использовано это пособие. Во время
просмотра диафильма или серии диапозитивов учитель знако-
мится не только с их содержанием, но и с темпом раскрытия со-
держания изучаемых фактов.
Все перечисленные этапы подготовки позволяд:
1)	определить место и время демонстрации пособия или его
фрагмента на уроке;
36
2)	наметить места остановок для проведения беседы, прак-
тической работы, решения задачи или опроса, наметить момен-
ты, когда могут быть применены и другие учебные пособия (таб-
лицы, модели и т. д.), когда следует давать дополнительные объ-
яснения в ходе демонстрации экранного пособия, каким должно
быть содержание этих объяснений;
3)	наметить содержание учебной работы в классе и дома,
предшествующей демонстрации экранного пособия, в ходе этой
демонстрации и после ее завершения.
Необходимо добиться гармонического включения в ход обыч-
ного урока тех или иных учебных средств, в частности экранных.
Мы уделили несколько больше внимания рассмотрению во-
просов применения экранных пособий на уроках математики,
потому что они новы для учителей. Применение отдельных на-
глядных пособий будет освещаться в необходимых случаях при
рассмотрении методики изучения отдельных тем.
Любое учебное оборудование принесет ожидаемый эффект
лишь в том случае, если при планировании и подготовке к уро-
ку учитель выполнит необходимую подготовительную работу.
Определив задачу, для решения которой нужно использовать по-
собие, учитель, изучив само пособие и аннотацию к нему, наметит
методику работы с ним, предугадает вопросы учащихся и ре-
акцию класса на пособие.
Изложение нового материала должно быть согласовано с
используемым на уроке пособием, которое войдет в урок, не, раз-
деляя его на две или несколько разрозненных частей. Включение
в урок различных видов учебного оборудования значительно сни-
жает утомляемость учащихся на уроке, разнообразит урок, спо-
собствует поддержанию непроизвольного внимания. Неправиль-
ное, избыточное применение пособия приводит к противополож-
ным результатам.
ГЛАВА IV
ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
В НАЧАЛЬНЫХ’ КЛАССАХ; ЕГО ОРГАНИЗАЦИЯ
§ 9. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ
К вопросам организационного характера относится прежде
всего планирование работы учителя и учебно-познавательной
деятельности учащихся в процессе обучения.
Советская начальная школа работает по единым, обязатель-
ным для всех программам, определяющим содержание, систему
и основные направления в методике по каждому году обучения.
Однако планирование работы при изучении каждой темы
программы — дело учителя. В программе указывается только
примерное число часов, отводимых на работу по каждой теме.
Образцы планирования, предлагаемые в различных пособиях для
учителя, всегда примерные. Они ни в коей мере не могут и не
должны освобождать учителя от необходимости самостоятельно
продумывать план всей работы по теме. Это неизбежно и пра-
вильно, ибо реальный план — такой план, который учитель дей-
ствительно сможет полностью реализовать, может быть состав-
лен только им самим. При его составлении, конечно, каждый
учитель должен исходить из тех общих учебно-воспитательных
задач, которые поставлены перед начальным курсом математики,
и того содержания и системы работы по теме, которые вытекают
из требований программы и которые связаны с особенностями
стабильного учебника, но вместе с тем он должен учитывать ре-
альные условия обучения в своем собственном классе.
Здесь имеются в виду прежде всего особенности подготовки
учащихся класса. Только учитель знает, какие именно вопросы ив
пройденного усвоены его учащимися лучше, какие нуждаются еще
в закреплении, на каких вопросах следует остановиться еще раз,
прежде чем переходить к новому или при разъяснении нового,
с кем из учащихся необходимо пройести какую-то индивидуаль-
ную подготовительную работу, какую именно и т. п.
Планируя свою работу, учитель не может не учитывать и того,
какими средствами обучения он фактически располагает, какими
наглядными пособиями он может воспользоваться при изучении
каждой конкретной темы, есть ли у него возможность использо,-
38
вать различные технические средства обучения, обеспечен ли он
необходимым дидактическим материалом для организации диф-
ференцированной работы с учащимися и т. п. Наконец, состав-
ляемый учителем план работы над темой всегда отражает в ка-
кой-то мере и стиль работы самого учителя.
Помимо тематического планирования, в результате которого
определяется система уроков по теме, цель каждого урока, ог-
ромное значение имеет правильный отбор тех организационных
форм работы с учащимися, которые более всего отвечают задачам
каждой конкретной темы, особенностям предмета, общим учебным
и воспитательным целям обучения.
Следующим важнейшим элементом планирования процесса
обучения математике является планирование каждого отдельно-
го урока. Это одна из наиболее важных и сложных задач, кото-
рые решает учитель в своей повседневной работе.
Помимо урока, который является основной формой организа-
ции обучения в нашей школе, учитель по мере надобности ис- ,
пользует и другие формы организации занятий с детьми. Это
прежде всего домашняя самостоятельная работа учащихся, ко-
торая неразрывно связана с уроком и служит обязательным эле-
ментом процесса обучения математике. Это затем различные
формы внеурочной работы под руководством учителя. Сюда от-
носятся индивидуальные занятия с отдельными учащимися или
с изменяющейся по составу группой учащихся. Цель таких за-
нятий — восполнение пробелов, обнаруженных в знаниях детей,
пропустивших занятия по болезни или другим причинам.
Иное назначение имеют необязательные занятия со всем клас-
сом или с группой учащихся, построенные на материале «занима-
тельной» математики. Их цель — повысить интерес детей к мате-
матике, познакомить их с некоторыми любопытными математически-
ми фактами, задачами, упражнениями, играми, способствующими
развитию наблюдательности, любознательности, смекалки.
Наконец, это могут быть занятия математикой, проводимые
во время разного рода экскурсий, прогулок и т. п.
Внеурочная работа с детьми также должна планироваться,
причем план ее должен быть согласован с планом основной учеб-
ной работы на уроке.
Говоря об организации процесса обучения математике, нель-
зя забывать также о различных формах организации учебно-
познавательной деятельности детей на самом уроке. На уроке
может проводиться фронтальная работа с классом, когда все
ученики одновременно выполняют одни и те же задания учите-
ля, готовятся отвечать на поставленные им вопросы и т. п.
Довольно часто в процессе обучения используется и групповая
работа, когда класс подразделяется на группы учащихся, каж-
дая из которых работает над своим заданием, отличающимся от
задания, над выполнением которого работают учащиеся, объеди-
ненные в другие группы. Наконец, возможна на уроке и индиви-
39
дуальная работа, когда каждый ученик работает над заданием,
предназначенным только для него. В процессе обучения почти на
всех уроках наблюдаются различные формы сочетания коллек-.
тивной, групповой и индивидуальной работы. Решение вопроса,
в какой форме лучше провести ту или иную работу на уроке, за-
•висйт от многих обстоятельств. Важнейшее место среди них за-
нимает цель каждой конкретной работы, ее содержание, отно-
сительная сложность, уровень подготовленности отдельных уче-
ников к ее выполнению.
Для успешного управления учебной деятельностью детей учи-
телю необходимо получение систематической и достаточно пол-
ной информации о ходе усвоения детьми изучаемых знаний,
уровне овладения формируемыми умениями и навыками. Орга-
низация и формы осуществления контроля и учета знаний —
также одна из важнейших сторон деятельности учителя.
В следующих параграфах рассматривается более подробно
каждый из вопросов, относящихся к организации процесса обу-
чения математике в начальных классах. -
§ 10. УРОК. СИСТЕМА УРОКОВ
Урок — основная форма организации обучения математике и
основной элемент процесса обучения. В уроке — его содержании,
логике построения, используемых на нем организационных фор-
мах работы и методах обучения — должны найти более полное и
точное отражение все те принципиальные требования к обучению
математике, которые вытекают из задач данного учебного пред-
мета и его особенностей.
От качества каждого отдельного урока и всей системы уро-
ков по теме и по всему курсу в целом в конечном счете зависит
успех обучения. Мастерство учителя проявляется прежде всего
и главным образом именно в умении основательно продумать,
спланировать урок в соответствии со стоящими целями, успешно
- реализовать свой план.
Рассмотрим основные моменты работы учителя, связанные с
подготовкой и проведением урока.
Первый вопрос, который должен быть решен при подготовке
к уроку, — точное определение его цели. Задача эта чрезвычайно
ответственна, ибо цель урока определяет решение всех осталь-
ных вопросов, связанных с подготовкой и .проведением урока:
о его содержании, структуре, методике и организации работы на
уроке.
Основные цели урока определяются при составлении темати-
ческого планирования. Поурочное построение учебника, как
это уже отмечалось в § 7 настоящей книги, должно помочь учи-
телю в решении этого вопроса. Материал для каждого урока,
представленный в учебнике, подобран, исходя иэ тех целей, ко-
торые, по мнению авторов, на этом уроке должны быть постав-
40
лены. Поэтому, конечно, учителю полезно познакомиться с тем,
как охарактеризованы цели урока в пособии, составленном в
качестве приложения к учебнику его авторами (в книгах для
учителя1 планирование по математике также составлено в полном
соответствии с содержанием учебников).
Вместе с тем, готовясь к уроку, учитель должен относиться к
этим материалам творчески, продумывая каждый раз соответ-
ствие содержащихся в них указаний тем реальным условиям, в
которых будет проводиться данный урок, внося в них соответ-
ствующие коррективы.
В связи с основными особенностями начального курса мате-
матики (рассмотренными в главе II) почти на каждом уро-
ке математики в начальных классах учителю приходится иметь
в виду не какую-либо одну определенную цель, а намечать 2—3
основные цели, которые должны быть достигнуты на уроке.
Это связано прежде всего с тем, что курс объединяет 3 ос-
новных направления работы (арифметическое, алгебраическое,
геометрическое), причем программой оговорено, что все они
должны рассматриваться по возможности в связи друг с другом.
Это связано также с важнейшим требованием, сформулирован-
ным в объяснительной записке к программе, о необходимости
систематического, повседневного повторения пройденного, кото-
рое «должно быть связано с применением приобретенных ранее
знаний, умений и навыков в несколько измененных условиях».
Таким образом, наряду с рассмотрением нового материала почти
на каждом уроке вводятся и некоторые элементы новизны в ра-
боту над изученным ранее, ведется работа над совершенствова-
нием формируемых умений и навыков.
В этих условиях чрезвычайно важно уметь выделить те во-
просы, которые являются основными на данном этапе обучения,
обеспечивающими продвижение детей в овладении программой,
подготавливающими необходимую почву для ознакомления со
следующими ее вопросами. Каждый урок должен быть звеном,
в единой цепи учебных занятий, направленных на решение об-
щих образовательных и воспитательных задач обучения мате-
матике.
Приведем примеры того, как определяются цели уроков в
пособиях «Математика в 1 (2, 3) классе»2.
Цели урока, посвященного теме «Прибавить и вычесть 3» в
I классе (М. 1, с. 44):
1 Обучение в первом классе. Сост. В. Г. Горецкий. М., 1973.
Обучение во втором классе. Сост. Н. С. Сунцов. М., 1974.
Обучение в третьем классе. Сост. В. Г. Горецкий, И. С. Сунцов. М.,
1975.
г Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Математика в 1 классе.
М., 1974.
Моро М. И., Бантова М. А. Математика во 2 классе. М., 1976.
Пчелко А. С. и др. Математика в 3 классе. М., 1974.
41
1.	Ознакомление с приемом прибавления и вычитания чис-
ла 3.
2.	Закрепление знания изученных случаев состава чисел.
3.	Решение задач на увеличение (уменьшение) отрезка.
Какими соображениями может быть обосновано такое опре-
деление конкретных целей этого урока?
1)	Основной его материал—это тема программы, связанная
с изучением сложения и вычитания в пределах 10, — ознакомле-
ние с новым случаем этих действий. Это первый урок, на кото-
ром рассматривается прибавление и вычитание числа 3. Поэтому
на этом уроке должен быть раскрыт предусмотренный програм-
мой прием выполнения соответствующих вычислений;
2)	для реализации предусмотренного программой приема
прибавления (и вычитания) числа по его частям необходимо
хорошее знание состава чисел (чтобы знать, что, прибавляя 3,
можно сначала прибавить 1, а потом еще 2, надо знать, что 3
состоит из 1 и 2 и т. п.). На данном уроке необходимо знание
состава числа 3, но на следующих уроках при рассмотрении
новых случаев сложения и вычитания также важно будет зна-
ние состава чисел 4 и 5. Поэтому в порядке подготовки к рас-
смотрению этих новых вопросов закрепление соответствующих
знаний, приобретенных при изучении нумерации чисел 1—5, не-
обходимо предусмотреть заблаговременно;
3)	дети научились измерять длину отрезка, они должны упраж-
няться в вычерчивании отрезка заданной длины по линейке,
они познакомились с увеличением (уменьшением) отрезка. По-
мимо закрепления и совершенствования приобретенных знаний,
умений и навыков, увеличение (уменьшение) отрезков может
быть использовано в дальнейшем в качестве наглядной основы
при решении задач на увеличение '(уменьшение) числа на несколь-
ко единиц. К рассмотрению этих задач дети должны приступить
через несколько уроков. Следовательно, включение данного упраж-
нения в урок создает условия для установления связи пройденно-
го с тем, что предстоит ввести в ближайшее время.
Наряду с основными целями урока, определяющими его ме-
сто и значение в цепи уроков по теме, на нем могут быть рас-
смотрены и другие вопросы, связанные с закреплением прой-
денного (решение различных текстовых задач знакомых видов,
повторение приема прибавления числа 2, вопросов нумерации
и пр.), но это уже резервный материал, не относящийся к основ-
ным задачам урока.
Еще один пример из программы I класса. Первый урок, посвя-
щенный теме «Нахождение неизвестного вычитаемого» (М. 1,
с. 143—144). Помимо основной его цели — «раскрыть взаимосвязь
между компонентами и результатом действия вычитания: если
из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое»,
указывается еще одна цель урока — «закреплять навыки сложе-
ния и вычитания для случаев вида: 7 + 5, 14 — 8».
42
Почему из всех изученных случаев сложения и вычитания
для данного урока в качестве одной из основных его целей выде-
лено закрепление именно случаев вида 7 -f- 5 и 14 — 8? Объяс-
няется это тем, что через два урока, которые также посвящают-
ся в основном нахождению неизвестного вычитаемого, детям
предстоит знакомство с новыми для них случаями сложения и
вычитания вида: 36 + 7 и 36 — 7. При рассмотрении соответ-
ствующих способов вычислений им необходимо будет хорошее
знание именно случаев вида: 7 + 5 и 14 — 8. Поэтому при опре-
делении целей рассматриваемого урока эти случаи и выделены.
Это, конечно, не исключает ни в коей мере, что на том же уроке
могут решаться разнообразные задачи и выполняться вычисления
с использованием всех самых разнообразных изученных ранее
приемов. Однако при этом ни в коем случае из поля зрения учи-
теля не должны выпасть те, закрепление которых необходимо в
качестве подготовки к следующим урокам.’Нарушение этого тре-
бования может привести к тому, что «цепочка», звеном которой
является данный урок, порвется и дети окажутся недостаточно
подготовленными к изучению нового.
Пример из программы для II класса: второй урок по теме
«Умножение суммы на число» (М. 2, упражнения № 557—562).
Па предыдущем уроке дети познакомились со способами
умножения суммы двух слагаемых на какое-либо число. Поэто-
му па рассматриваемом уроке естественно возникает задача:
«Научить применять знание различных способов умножения сум-
мы на число». С этой целью на уроке предлагаются упражнения,
среди которых специально выделяются и оговариваются в цели
урока (дополнительно к имеющемуся в учебнике материалу)
«задачи на па хождение периметра прямоугольника». Почему вы-
несен в цель урока именно этот вид упражнений? Дело в том, что
логика рпскрытня геометрического материала в рассматриваемый
период обучения требует упражнения детей в применении понятия
«периметр многоугольника», с которым они познакомились за
несколько дней до изучения способов умножения суммы на число.
Кроме того, к этому времени уже было введено и достаточно за-
креплено знание о равенстве противоположных сторон прямоуголь-
ника, После ознакомления со способами умножения суммы на
число появляется возможность на примере вычисления периметра
прямоугольника по его сторонам показать наиболее рациональное
решение этой задачи. Таким образом, введение этого материала
именно на рассматриваемом уроке позволяет;-
а) упражнять детей в измерении длины отрезка; б) повторить
в ходе применения в новых условиях свойство противоположных
сторон прямоугольника; в) развивать формируемое у детей
умение находить периметр многоугольника; г) познакомить с
применением только что рассмотренного вопроса арифметической
теории (распределительного свойства произведения относительно
суммы); д) довести на этой основе до сознания детей наиболее
43
рациональный из возможных способов нахождения периметра
прямоугольника (довольно существенная в практическом отноше-
нии задача). Все это определяет значение и место данного вопроса
на уроке.
Может быть, можно было бы ограничиться на этом уроке
только рассмотренными упражнениями, добавив к ним, скажем,
решение нескольких текстовых задач и упражнения вычислитель-
ного характера? Нет, почему-то для данного урока в пособии
для учителя выделяется еще одна цель: «Закреплять умение ре-
шать уравнения, сравнивать выражения». Соответствующая ра-
бота, как и в приводившихся уже нами выше примерах других
уроков, направлена на заблаговременную подготовку детей к
последующим урокам. В самом деле, примерно через неделю
дети должны будут встретиться с решением уравнений более
сложной структуры. Успех рассмотрения этих уравнений во мно-
гом зависит от того, в какой мере уверенно научились дети ре-
шать простейшие уравнения, а также от того, в какой мере они
освоились с чтением выражений, содержащих скобки, умеют ли
они выделять последнее действие, по которому называется выра-
жение,. его компоненты. Поэтому, планируя работу, необходимо
предусмотреть на уроках, предшествующих введению уравнений
нового вида, обязательное повторение этих вопросов.
Думается, что приведенных примеров достаточно для того,
чтобы стало ясно, что цели урока определяются прежде всего
с учетом того места, которое занимает данный урок в системе
уроков по теме, той роли, которую он должен сыграть в качестве
звена, связывающего пройденное С теми новыми вопросами, ко-
торые должны быть рассмотрены на нем и на следующих за ним
уроках.
Следует, однако, заметить, что в ряде случаев может ока-
ваться более целесообразным посвятить достижению тех же це-
лей не один, а два урока, если учитель сочтет, что в условиях
работы с его классом потребуется больше упражнений, больше
времени на рассмотрение каждого из намеченных вопросов.
Возможно и такое решение, когда учитель перераспределит
упражнения, подготавливающие к следующим темам, предусмот-
рев их выполнение на следующем уроке, который он сочтет ме-
нее загруженным. При этом важно только не нарушить общий
принцип рассредоточенности упражнений во времени.
Выло бы ошибкой поступить так, как это делают иногда учите-
ля, посвящая несколько уроков подряд решению задач опреде-
ленного вида (например, задач, связанных с умножением суммы
на число), а затем выделяя специальные уроки на работу над
уравнениями и т. п. В этом случае достигается подкупающее
многих единство цели каждого урока, но это приводит к тому,
что нарушается непрерывность процесса обучения.
Это может вернуть нас к порочной практике прошлого, когда
обучение строилось по такой явно не оправдавшей себя в много-
44
летнем опыте схеме: сообщить новые знания, закреплять их в те-
чение ряда уроков, проверить усвоение, переключиться на рас-
смотрение новых вопросов, а за это время постепенно забывать
ранее пройденное, затем по необходимости отводить специальное
время на восстановление утраченных знаний, на повторение прой-
денного, без которого оказывается невозможным рассмотреть
следующие связанные с ними вопросы программы.
Один из важнейших принципов работы учителя должен , со-
стоять в том, чтобы не только не допускать забывания пройден-
ного детьми, но обеспечивать непрерывность в развитии и совер-
шенствовании усваиваемых знаний, умений и навыков.
Под этим углом зрения и должно осуществляться планиро-
вание работы по каждой теме и каждого отдельного урока.
После того как намечена цель (или цели) урока, учитель
приступает к определению' содержания работы на уроке.
Основой при решении вопроса о содержании урока также
может служить учебник, предлагающий учителю определенный
набор упражнений для большей части уроков. Однако творческий
подход к работе должен быть проявлен учителем и при решении
этого важнейшего вопроса.
Сравнение уроков, посвященных одной и той же цели, но
подготовленных разными учителями, свидетельствует о том, что.
учителя по-разному решают вопрос, на каких именно упражне-
ниях, в ходе выполнения каких практических работ, с использо-
ванием какого материала, дополняющего учебник, следует фор-
мировать у детей знания, умения и навыки, соответствующие це-
ли урока.
Так, например, в указаниях для учителя, составленных авто-
рами учебника для II класса (М. 2), ознакомление с правилом
порядка выполнения действий в выражениях, содержащих умно-
жение (и, или деление), а также сложение (и, или вычитание),
рекомендуется рассмотреть этот вопрос с использованием от-
влеченных примеров, приведенных на странице 72 учебника
(улр. № 406), а в поурочных разработках, составленных Н. Г. Ут-
киной1, работу над тем же материалом рекомендуется начать с
решения текстовой сюжетной задачи, приводящей к необходимо-
сти найти сумму двух произведений («В буфет привезли 2 ящика
яблок по 10 кг в каждом и 3 ящика винограда по 6 кг в каждом.
Сколько всего килограммов фруктов привезли в буфет?»). Оба
эти подхода вполне отвечают поставленной цели, лишь бы в ходе
работы дети были подведены к осознанию необходимости руко-
водствоваться определенным (принятым) правилом порядка вы-
полнения действий при вычислении значения выражений рас-
сматриваемых видов.
Естественно, что на различном конкретном материале может
1 Уткина Н. Г. Планирование уроков математики во 2 кл. I полугодие
М., 1971, с. 116.
45
быть осуществлено и закрепление' знаний. Продумать систему
упражнений так, чтобы она обеспечивала разнообразие условий
применения приобретенных знаний, полноту охвата,— одна из
важных задач, стоящих перед учителем при планировании как
системы уроков по теме, так и каждого урока. При определении
содержания урока учитывается, конечно, не только тот материал;
который направлен на достижение основной цели урока, но и
тот, который способствует закреплению, совершенствованию со-
общенных ранее знаний, отработке формируемых навыков. Здесь
вариативность в работе проявляется еще более ярко.
Продумывая урок, учитель намечает формы занятий с уча-
щимися, предусматривая необходимую смену видов деятельности
школьников. Он решает вопрос, какие упражнения должны быть
выполнены в устной форме, какие должны составить содержание
письменной работы учащихся. Коллективная работа под руко-
водством учителя должна сменяться различными видами груп-
повой и индивидуальной работы, что позволяет осуществить ин-
дивидуальный подход к детям в процессе обучения, учитывающий
как уровень их подготовки, так и их индивидуальные различия
в отношении темпа работы ипр.
Особого внимания учителя заслуживает при подготовке к
уроку вопрос о содержании, времени и форме проведения само-
стоятельной работы учащихся, которая должна быть обязатель-
ным элементом каждого урока. Содержание самостоятельной
работы учащихся, в зависимости от цели урока, того учебного
материала, который на нем рассматривается, может быть пост-
роено с использованием нового материала с целью первичного
вакрепления сообщенных на данном уроке знаний. Однако если
новый вопрос, рассматривавшийся на уроке, достаточно сложен
я первичное закрепление нового учитель сочтет более целесооб-
разным провести в форме коллективной работы учащихся под
его непосредственным руководством, то самостоятельная работа
может быть дана в целях закрепления, совершенствования при-
обретенных ранее знаний.
Самостоятельная работа, в зависимости отдели и содержания,
может быть различной продолжительности и проведена на любом
этапе урока. На одном уроке могут быть проведены 2—3 самостоя-
тельные работы, каждая из которых связана с решением различ-
ных задач, поставленных учителем для данного урока.
При продумывании системы уроков необходимо предусмот-
реть постепенное нарастание трудности заданий, включаемых в
самостоятельную работу учащихся. При этом важно, чтобы на-
растание трудности было связано не только с усложнением ма-
тематического содержания упражнений, но и с постепенным по-
вышением тех требований, которые данная работа предъявляет
к самостоятельности детей. Важную роль в этом отношении иг-
рает постепенное ослабление, «свертывание» инструкций, посте-
пенная смена форм использования наглядности и т. п. Все это
46
должно подготовить условия для постепенного, но планомерного
развития самостоятельности учащихся, способствовать общему
их развитию в процессе обучения.
При подготовке к уроку продумывается не только форма про-
ведения самостоятельной работы, но и формы ее проверки. Как
правило, самостоятельная работа, выполняемая детьми на уроке,
проверяться должна па самом уроке. Однако формы такой про-
верки могут быть различными, в зависимости от целей и особен-
ностей самой работы.
Так, если работа проводилась с целью первичного закрепления
на уроке сообщенного нового правила, то очевидно, что проверка
выполнения таких заданий должна выполняться вслух, чтобы
соответствующее правило (или прием вычислений, если это явля-
лось новым) было в ходе проверки самостоятельной работы неодно-
кратно повторено. Если же содержанием самостоятельной работы
было, скажем, решение задач знакомых видов, то часто оказыва-
ется целесообразным ограничиться лцшь выяснением того, какое
выражение (или уравнение) составлено по задаче, постановкой
двух-трех контролирующих вопросов, направленных на выясне-
ние сознательности выбора нужного действия (причем такие во-
просы обращаются чаще всего к тем учащимся, в знаниях которых
учитель сомневается), ответа на задачу. В тех случаях, когда са-
мостоятельная работа носила тренировочный характер, на уроке
можно ограничиться беглым просмотром тетрадей с целью выяс-
нения фактического выполнения задания всеми учащимися, а
проверку решения соответствующих задач и выполнения вычисле-
ний отложить до проверки тетрадей учителем после уроков.
Большое значение имеет также продумывание того, какое
задание должно быть предложено учащимся на дом, в какой связи
с материалом урока оно находится и почему, в какой момент на
уроке должна быть дана соответствующая инструкция.
При составлении плана урока с учетом всех намеченных
упражнений и форм их проведения продумывается и методика
работы, в частности методика использования наглядных пособий.
В плане урока обычно специально оговаривается оборудование,
которое понадобится при его проведении. Это очень важно для
того, чтобы заблаговременно приготовить все необходимое к
уроку. Важно продумать и те записи, которые учитель предпола-
гает выполнить по ходу урока на доске. Некоторые из них могут
быть сделаны заранее. Чтобы они не отвлекали внимание детей,
их прикрывают занавеской. При этом нужно оставить необходи-
мое место для выполнения тех или иных записей, которые пона-
добятся до использования заготовленных заранее на доске.
Из сказанного видно, как много вопросов нужно решить при
подготовке к уроку. Результаты этой работы фиксируются учите-
лем в письменном плане урока. Степень подробности такого плана
зависит от многих обстоятельств: от опыта учителя, от сложности
урока, от трудности тех упражнений, которые на нем должны
47
быть рассмотрены (в некоторых случаях учитель, составляя план,
намечает в нем и решение более сложных упражнений или отве-
ты на те вопросы, которые будут предложены детям, что облегча-
ет ему работу на уроке).
Мастерство учителя проявляется в том, в какой мере он умеет
быстро, правильно и точно отреагировать на самом уроке на то,
как воспринимаются детьми его объяснения, как работают учени-
ки, какие трудности и ошибки возникают у них при ответе на под-
готовленные им вопросы. Неожиданные ошибки в ответах учащих-
ся, неожиданный спад активности работы класса, непредвиденные
вопросы со стороны учащихся — все это может привести к необхо-
димости по ходу урока отклониться от намеченного заранее плана.
От учителя в этих случаях могут потребоваться дополнительные
пояснения, демонстрации, индивидуальная работа с отдельными
учениками. Плохо,..если учитель, стремясь выполнить во что бы
то ни стало намеченный план, не обращает необходимого внимания
тга все эти обстоятельства, возникающие в процессе обучения.
Довольно типично такое положение, когда, получив непра-
вильный ответ на предусмотренный планом урока вопрос от ко-
го-либо из учащихся, учитель спрашивает еще 1, 2, 3, пока не
получит желаемого ответа и, не задерживаясь более на вопросе,
вызвавшем затруднения у части ребят, продолжает объяснения.
Иногда это правильно. Так, при объяснении нового, задержавшись
с выяснением причины ошибки, допущенной одним из учеников,
увлекшись индивидуальной работой с ним, легко прийти к тому,
что все остальные ученики потеряют нить проводимого учителем
рассуждения.
Иное дело, если речь идет, скажем, об устных упражнениях,
которые предлагаются с целью закрепления приобретенных зна-
ний, совершенствования вычислительных умений и . навыков
учащихся. Здесь каждая ошибка должна обязательно стать пред-
метом анализа, так как часто она появляется в результате непо-
нимания того или иного приема вычисления и т. и. Прослушивание
правильных ответов товарищей в этом случае не поможет ученику.
Например, первоклассник, в начале года прибавляя к 5 число 4,
получил в ответе 8. Необходимо выяснить, как он считал: если он
называл ответ «наугад», надеясь на память, то нужно вернуть его
к использованию того приема вычисления, который может ему
помочь (прибавить сначала к пяти 2. Сколько получилось? Сколько
еще нужно прибавить? Почему?); Нередко бывает так, что учитель,
пройдя мимо ошибки в ответе ученика, не замечает, что тот поль-
зуется неправильно тем или иным приемом вычислений. Напри-
мер, первоклассник считает, что 7 + 2 = 8. Может быть, это слу-
чайная ошибка. Но обязательно нужно проверить, так ли это.
Для этого учителю нужно хорошо знать возможную природу та-
кой ошибки. Спросим у того же ученика, сколько получится,
если к 4 прибавить 2. Получив ответ: «5», можно предположить,
что ученик использует прием присчитывания по 1, но ведет счет,
48
начиная с данного числа («7 + 2»; ученик, как его и учили, при-
считывает по 1 два раза, по делает это так: «7, 8», и считает, что
ответ: «8», и т. п.). Если вовремя не заметить эту ошибку, не вскрыть
причину ее возникновения, не добиться осознания ее самим ре-
бенком, то это может привести к серьезной задержке в формиро-
вании у него соответствующих навыков. Использование правил,
которые не отвечают данному примеру, — типичная причина оши-
бок учащихся в вычислениях не только в I, но и во II и III клас-
сах. Именно поэтому так важна индивидуальная (а если в этом
возникает необходимость, то и коллективная) работа над ошибка-
ми каждый раз, когда с ними приходится сталкиваться на уроке.
Умелое сочетание на уроке индивидуальной работы с коллек-
тивной, осуществление дифференцированного подхода к учащим-
ся — существенная сторона в проведении урока. Соответствующая
работа планируется при подготовке к уроку, а при его проведении
от учителя требуется умение распределить свое внимание, осу-
ществляя одновременно контроль за работой всего класса и от-
дельных учеников. В ходе выполнения детьми самостоятельной
работы учителю часто приходится оказывать необходимую по-
мощь отдельным ученикам, без которой они могут не справиться
с заданием.
Если в силу тех или иных причин отклонения от намеченного
заранее плана оказались существенными, важно тут же, на уро-
ке сориентироваться в том, как это может повлиять на остальную
намеченную работу. Так, если учитель видит, что остается мало
времени для ’ проведения намеченной им работы над каким-то
важным вопросом, то лучше вовсе не приступать к его рассмотре-
нию. Если на уроке не удалось рассмотреть материал, который
должен послужить основой для домашнего задания, то необходи-
мо изменить намеченное заранее задание на дом. Мы обращаем
специальное внимание на все эти вопросы, так как именно недо-
статочный учет изменений в намеченном плане работы на самом
уроке нередко приводит на практике к тому, что нарушается ло-
гика учебного процесса, не создаются условия для сознательного
усвоения материала учащимися, возникает перегрузка детей
учебными занятиями как на уроке, так и при выполнении домаш-
ней работы.
Не исключена возможность изменения в ходе урока и тех це-
лей, которые поставил перед собой учитель. Однако при этом
особенно важно уметь отделить более существенное от второстепен-
ного.
Хотя, как об этом уже говорилось выше, современный урок
математики в начальных классах, кай правило, носит комбиниро-
ванный характер, когда на одном уроке решается не одна, а две-
три различные задачи, рассматривается разнородный по своему
характеру учебный материал, все же каждый урок может быть
оценен с точки зрения того, что на нем является наиболее суще-
ственным.
49
В методике принята классификация уроков, при которой выде-
ляются уроки ознакомления с новым материалом, уроки, посвя-
щенные главным образом закреплению нового или систематиза-
ции приобретенных ранее знаний, уроки, основной целью которых
является обобщение накопленных детьми наблюдений, рассмот-
ренных приемов вычислений, уроки контроля и учета знаний и др.
Учителю нужно, готовясь к уроку и проводя его, постоянно иметь
в виду, что же на данном уроке является основным, от чего нельзя
отказаться, а от чего можно, постоянно иметь в виду основную
дидактическую задачу урока.
Совершенно ясно, что в зависимости от того, какая задача бу-
дет признана для данного урока основной, во многом зависит не
только содержание урока, но и его построение (структура), время,
посвящаемое достижению именно этой основной цели. Сплани-
ровать урок нужно так, чтобы само планирование открывало воз-
можность уделить (если это потребуется) больше времени именно
этому основному вопросу, отказавшись в случае необходимости от
рассмотрения некоторых других.
Не может быть готового рецепта, по которому можно было бы
наметить структуру любого урока. Она должна определяться по-
ставленной целью и всей логикой упражнений, необходимых для
достижения этой цели.
§ И. ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА С ДЕТЬМИ
Домашняя работа учащихся
Домашняя работа, учащихся при обучении математике необхо-
дима. В ходе домашней работы закрепляются формируемые на-
выки, создаются условия для тренировки детей в самостоятельном
применении приобретенных под руководством учителя знаний.
Однако, изучая опыт, приходится констатировать, что одним из
типичнейших недостатков в постановке обучения математике в
начальных классах школы является перегрузка учащихся домаш-
ними заданиями. Перегрузка эта проявляется в двух формах:
а) задания на дом оказываются чрезмерно большими по объему;
б) задания оказываются чрезмерно трудными для детей, не мо-
гут быть выполнены ими без посторонней помощи.
Чтобы избежать такого положения, необходимо, систематиче-
ски работая над развитием у детей умений, связанных с вполне
самостоятельным выполнением учебных заданий, время от време-
ни проверять, какие задания могут быть ими выполнены самосто-
ятельно и за какое время. Эта задача не требует проведения спе-
циальных проверок. Важно только иметь в виду эту цель при
проведении обычных повседневных самостоятельных работ на
уроке, фиксируя время, затраченное на выполнение того или ино-
го задания, отмечая задания, с которыми успешно справляются
все дети. Предлагая задание на дом, учитель должен быть уверен,
50
что оно посильно и что оно потребует в среднем около 20 мин.
Поскольку умения и навыки, связанные с выполнением самостоя-
тельной работы, развиваются постепенно, задания на дом могут
предлагаться только начиная с того момента, когда существуют
необходимые для этого условия. Иначе, как это и сейчас еще до-
вольно часто бывает, задания на дом оказываются заданиями не
для учащихся, а для их родителей. Именно такого рода злоупот-
ребления домашними заданиями привели к специальному распо-
ряжению МП РСФСР о запрещении домашних заданий для перво-
классников в течение первого полугодия.
Важен вопрос о содержании заданий для самостоятельной ра-
боты учащихся при обучении математике.
Это могут быть задания всех тех видов, которые и в классе
выполняются детьми в ходе самостоятельной работы: вычисления,
сравнение выражений, решение уравнений, задания геометри-
ческого содержания ,(в частности, работы по вырезыванию каких-
либо геометрических фигур, составлению геометрических орна-
ментов и пр.), это могут быть и текстовые задачи и др. Однако
предлагаться они должны после соответствующей подготовки в
классе.
В связи с этим возникает вопрос о том, в какой связи с мате-
риалом урока должны находиться задания для домашней работы
детей. Этот вопрос следует решать в каждом конкретном случав
по-разному. Пусть, например, на уроке рассмотрен новый, но
относительно легкий вычислительный прием, причем на уроке
учителю удалось обеспечить закрепление введенного приема. Учи-
тель убедился, что дети поняли новый материал и могут спра-
виться с аналогичными упражнениями самостоятельно. В этом
случае вполне целесообразным будет ввести в домашнее задание
упражнения именно того вида, которые разбирались на самом
уроке. Домашняя работа учащихся будет естественным логиче-
ским продолжением работы, проведенной на уроке, и послужит
закреплению приобретенных на нем знаний. Проверка этой рабо-
ты па следующем уроке создаст условия для развития, совершен-
ствования приобретенных знаний на основе применения их в не-
сколько измененных условиях, на упражнениях новых видов.
Иное дело, если на уроке рассматривалось впервые какое-то
повое, относительно трудное для восприятия детей понятие, пра-
вило, задача, для усвоения которых требуется длительная работа
под руководством учителя. В этом случае, включив сразу же но-
вый материал в упражнения для домашней работы детей, учитель
допустил бы ошибку. Оказавшись недостаточно подготовленными
к сознательному выполнению задания, дети либо выполнят его
формально, либо обратятся за помощью к старшим. Помощь ро-
дителей в таких случаях нередко может оказаться не только не
полезной, но даже вредной, если их пояснения не совпадут с тем
подходом, который был избран учителем. Очевидно, в случае, ко-
гда новый материал еще не может быть включ«щ в домашнее
51
задание, содержанием этого задания должны стать упражнения из
пройденного ранее. Отбирая упражнения для домашней работы, в
этом случае особенно важно продумать, что иэ ранее пройденного
может особенно понадобиться на следующем уроке (или на бли-
жайших уроках), что может послужить основой для лучшего по-
нимания рассматриваемых в данное время вопросов. В этой связи
можно говорить о необходимости при составлении тематического
плана планировать домашнюю работу детей.
Проверка домашней работы детей необходима всегда, но фор-
мы ее осуществления могут быть весьма различны, и решение
этого вопроса также требует учета койкретного содержания про-
веряемой работы, той цели, которую она преследовала.
Так, если домашняя работа детей не была органически связа-
на с материалом предыдущего урока и не связана непосредствен-
но с задачами данного урока, то коллективная проверка ее в клас-
се могла бы только отвлечь внимание детей от главного. В таких
случаях целесообразна ограничиться проверкой фактического
выполнения задания учащимися (с помощью беглого просмотра
тетрадей на уроке), а правильность выполнения заданных уп-
ражнений проверить во внеурочное время.
Если же домашняя работа детей была построена на материале,
представляющем интерес в свете целей данного урока, то ее про-
верку можно использовать в качестве своего рода мостика между
тем, что говорилось на предыдущем уроке, и тем, чему будет по-
священ данный урок. В таких случаях часто бывает полезным не
только проверить, скажем, правильность полученных ответов, но
и прослушать объяснения выполненных действий, решения задачи
и т. п. При проверке домашнего задания в этом случае час-
то должны звучать вопросы вида: «Почему?», «Как рассуж-
дал?», «Что узнал?», «Как проверил правильность решения?»
и т. и.
Довольно часто используется выборочная проверка домашней
работы детей, нри которой проверяется только самое важное,
особенно то, что может помочь перейти к материалу данного
урока.
Если домашнее задание связано органически с той частью
урока, которая была посвящена закреплению и совершенствова-
нию приобретенных ранее знаний, то оно предлагается после это-
го этапа урока. Наконец, если задание для домашней работы не
связано с материалом данного урока, но связано с материалом
предыдущего, то оно может быть предложено в начале урока. То
же относится и к проверке домашней работы — ее место опреде-
ляется возможностью установления связи между вопросами, рас-
сматривавшимися при выполнении домашнего задания, и теми,
которые служат предметом рассмотрения на данном уроке.
Проверка домашней работы учащихся может сочетаться с те-
кущей проверкой знаний учащихся. В зтом случае устные ответы
на вопросы, позволяющие выяснить сознательность выполнения
52
учеником работы, выполнение задания, аналогичного тому, ко-
торое предлагалось на дом, могут служить хорошим материалом
для оценки уровня усвоения материала учеником.
Внеурочные занятия под руководством учителя
Внеурочные занятия по математике проводятся в разных це-
лях. Как и по отношению к основным занятиям, проводимым на
уроке, цель определяет и содержание, и характер, и организацию
внеурочной работы с детьми.
Чаще всего под внеклассной (внеурочной) работой по матема-
тике понимают занятия, направленные на то, чтобы повысить ин-
терес детей к математике, способствовать развитию у них наблю-
дательности, смекалки, запять их досуг интересными играми и
развлечениями математического содержания. Это одно из важ-
ных направлений в работе учителя. Для того чтобы оно дало же-
лаемый эффект, важно иметь в виду следующие основные прин-
ципы, в соответствии с которыми следует строить эту работу:
1.	В начальных классах, где учатся дети 7—9 лет, рано еще
говорить о каких-либо сложившихся у детей интересах в той или
иной области. Поэтому выделять для внеурочной'работы по за-
нимательной математике отдельную группу «более интересую-
щихся математикой», «проявляющих большие способности» к
пей, было бы неправильным. Задача этой работы — повысить
интерес к математике у всех детей. Внеурочные занятия могут
способствовать пробуждению интереса к математике и у тех де-
тей, которые сначала его и не проявляют. Отсутствие интереса
в этом возрасте чаще всего связано просто с недостатком знаний,
с трудностями, возникающими при выполнении предлагаемых за-
даний. Нередко бывает и так, что ученик, не всегда успешно
справляющийся с учебной работой па уроках математики, на за-
нятиях по занимательной математике проявляет завидную сме-
калку, находчивость. Это укрепляет в нем веру в свои силы, у
ребенка появляется желание проявить себя не хуже и на уроках,
он лучше начинает заниматься вообще.
В связи со сказанным внеурочные занятия по математике в
начальных классах школы лучше проводить в основном в форме
одновременных занятий со всеми учениками класса.
2.	Внеурочные занятия (хотя они и будут проводиться в прин-
ципе со всем классом) — дело добровольное. Принуждать детей к
участию в этой работе было бы большой педагогической ошибкой.
Чтобы не происходило отсева учащихся, привлеченных к этим
занятиям, важно, чтобы эти занятия были действительно интерес-
ными, чтобы они увлекли детей, понравились им. Это не значит,
что внеурочная работа должна носить исключительно развлека-
тельный характер, не требующий от детей никакого умственного
напряжения. Напротив, простой развлекательности, шуток и игр,
не имеющих никакого отношения к математике, на этих занятиях
53
не должно быть вовсе. Вся работа должна строиться на таком
материале, на котором можно вызвать живой интерес у детей,
желание «поломать голову» над поставленными вопросами, же-
лание поиграть в предложенные игры не только во время заня-
тий, проводимых учителем, но и дома, желание понять «секрет»
показанных математических фокусов для того, чтобы показать
их потом своим товарищам, родителям, братьям, сестрам и т. п.
Непременным условием для этого является доступность прово-
димых занятий. Дети располагают еще очень небогатым запасом
математических знаний, но именно его и следует считать опорой в
такой работе. Отсюда возникает требование неразрывной связи
внеурочной работы с той, которая проводится в классе на уроках.
Если содержание внеурочной работы будет прочно связано с
программой обучения, то это, с одной стороны, создаст условия
для успешного выполнения заданий, предлагаемых в ходе вне-
урочной работы, а с другой — обязательно окажет положитель-
ное влияние и на усвоение программы.
3.	Чтобы пробудить и поддерживать интерес к занятиям по
занимательной математике, необходимо разнообразить эту ра-
боту.
Разнообразие это должно проявляться и в содержании ото-
бранного материала, и в формах организации занятий, и в ис-
пользуемых в ходе этих занятий средствах наглядности, техни-
ческих средств обучения.
Так, внеурочное занятие может быть организовано в форме
математического утренника или вечеров занимательной матема-
тики, оно может быть проведено и как сбор октябрятских звез-
дочек в I—II классах, пионерского сбора — в III классе. Оно
может быть проведено в форме экскурсии, прогулки, с включени-
ем элементов подвижных игр. В условиях продленного дня или
школы-интерната математические игры и развлечения могут быть
включены в игротеку, используемую детьми по собственному
желанию в свободное время. Большой популярностью в школах
пользуются различные олимпиады, выпуски математических га-
зет, конкурсы по математической смекалке и т. п.
Содержание предлагаемых вопросов, игр, упражнений должно
затрагивать все' разделы программы.
Среди них значительное место может быть отведено разнообраз-
ным занимательным арифметическим задачам: задачи с недостаю-
щими или лишними данными; задачи, не имеющие решения; за-
дачи-рассказы; задачи-вопросы, не требующие использования
какого-либо арифметического действия для получения ответа,
наконец, задачи-шутки. Нужно проявить достаточный педагоги-
ческий такт, отбирая такие задачи, чтобы шутка была связана
действительно с математической стороной дела, а не с какой-либо
бессмыслицей.
Сравним, например, задачу-шутку такого вида: «Тройка ло-
шадей за 1 ч пробежала расстояние в 15 км. Сколько километров
54
пробежала за этот час каждая лошадь?» — с задачей-шуткой
такого вида: «В корзине было 100 яиц, одно упало. Сколько яиц
осталось в корзине?» (Ответ: «Ни одного, потому что упало дно
и все яйца вывалились из корзины».) Первая задача хотя и шут-
ка, но задача полезная. Многие дети считают, что если 3 лошади
пробежали 15 км, то одна 15 : 3 = 5 (км). Задуматься над такой
ошибкой полезно. Это неплохой урок на будущее. Вторая задач»
построена на глупом недоразумении, на созвучии слов «а дно»
и «одно». Ничего поучительного в ней нет. Ребенок, ответивший,
что в корзине осталось 99 яиц, рассуждал совершенно правильно.
«Разгадка» ничему научить его пе может. Такие задачи не могут
принести пользы в деле математического развития учащихся.
Среди упражнений занимательного характера следует обра-
тить внимание на различные математические курьезы, связанные
с числами (примеры такого рода приведены па форзацах учебника
математики для III класса, их можно найти в книгах по занима-
тельной математике), арифметические ребусы (образцы которых
также даны на страницах учебника в виде примеров со стертыми'
цифрами, для восстановления которых дети должны в новых, не-
ожиданных для них условиях применить те самые знания приемов
вычислений, связиЪежду компонентами и результатами действия,
которые постоянно рассматриваются на уроках), игры в отгады-
вание задуманных чисел, фокусы, для разгадки которых нужно
провести некоторые доступные детям рассуждения, основанные
на знаниях, приобретенных на уроках математики. Примеры таких
игр и фокусов также можно найти на страницах учебника (начи-
ная с игры «Угадай число» в учебнике для 1 класса и кончая до-
вольно сложными «фокусами», приведенными на с. 104 учебника
для 3 класса).
Содержанием занятий могут быть и разнообразные геометри-
ческие головоломки, задачи геометрического содержания. При-
меры таких головоломок также можно найти в учебниках.
Легко составить по аналогии другие геометрические голово-
ломки. Для этого достаточно взять любую простейшую геометри-
ческую фигуру (квадрат, треугольник и др.), разрезать ее на не-
сколько частей и предложить вновь составить первоначальную
фигуру из полученных частей.
К сбору материала для занятий занимательной математикой.,
очень полезно привлекать самих учащихся. Хорошо, если у учи-
теля будет подборка таких материалов (из книг, публикаций, до-
вольно часто помещаемых на страницах журнала «Начальная
школа»).
В помощь учителю в последнее время выпускается ряд диа-
фильмов математического содержания, которые с болыпйм успе-
хом могут использоваться при организации внеурочной работы.
Так, для младших школьников выпущены специальные диафиль-
мы под названием «Занимательная математика», в работе с уче-
никами I—III классов могут быть также показаны, частично или
55
полностью, и другие диафильмы, содержащие материал, тесно
связанный с программой для каждого класса, но несколько рас-
ширяющий знания детей.
Внеурочная работа по математике может помочь и в расшире-
нии кругозора детей и познакомить их с различными цифровыми
данными, характеризующими достижения нашей промышлен-
ности, науки и пр. Большой интерес вызывают, в частности, у де-
тей сведения, которые можно почерпнуть из публикаций в газетах
и технических журналах о скорости движения современных
самолетов, космических ракет, о числе автомашин, выпускаемых
в нашей стране, и т. п. Простейшие арифметические подсчеты,
которые можно выполнить, имея в распоряжении одно такое число-
вое данное, иногда производят огромное впечатление на ребенка.
Большие числа — всегда предмет особого интереса у учащихся
III класса.
Помимо рассмотрения разного рода занимательных, нестан-
дартных упражнений, в ходе внеклассных занятий по математике
полезно познакомить учащихся с некоторыми новыми для них
приемами вычислений, например наряду с рассмотрением приема
сложения и вычитания «с переходом через 10» в I классе показать
прием сложения или вычитания в тех же случаях, но без исполь-
зования «десятка» как основного рубежа в вычислениях, напри-
мер: 6 + 7 = 6 Н- (6 + 1) = (6 + 6)	1 = 12 + 1 = 13. Полез-
но в связи с этим проверить, уверенно ли знают дети суммы оди-
наковых однозначных чисел (6’+ 6, 7 + 7, 8 + 8 и т. п.).
Во II—III классах можно познакомить детей с некоторыми так
называемыми особыми приемами устных вычислений (прием округ-
ления, умножения па 5, 25, таблица умножения на 9 с использова-
нием пальцев и т. п.).
Интересно показать детям, как почти любую арифметическую
задачу, которую они решают в классе с помощью действий над чис-
лами, можно решить графически, без выполнения арифметических
действий. Пусть они увидят, что иногда такой подход приводит
к усложнению работы, а иногда дает возможность легко и просто
решить задачу.
Например, любая задача на нахождение суммы, остатка, на
увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц или в не-
сколько раз, на разностное или кратное сравнение чисел легко
может быть решена графически, если изобразить соответствующие
числовые данные в виде отрезков. Ответ в этом случае может быть
получен без выполнения вычислений, лишь на основе измерения
полученных отрезков.
Вместе с тем иногда попытка графического решения задачи
может вызвать затруднения. Чаще всего это происходит в тех
случаях, когда такое решение требует большой и сложной графи-
ческой работы. Например, можно найти одну из сторон прямоуголь-
ника по данным площади этого прямоугольника и другой стороне,
выполнив соответствующий чертеж, но в данном случае задача
56
значительно проще решается с помощью арифметики. Полезно
сравнить арифметический и алгебраический сдособы решения од-
ной и той же задачи.
Полезно также ставить такие вопросы и задания, которые
способствовали бы обобщению знаний, приобретенных на уроках.
Например, начиная с I класса дети не раз встречались с вопросом,
как может быть получено число, следующее за данным в натураль-
ном ряду, как может быть получено число, предшествующее дан-
ному. Почему бы, воспользовавшись уже имеющимися у детей зна-
ниями буквенных обозначений, не поставить перед ними задачу
записать число, следующее за числом а в ряду? Интересно поду-
мать и о формуле, с помощью которой может быть изображено
любое четное число. Для этого придется вспомнить, что четное
число — число, которое делится на 2. Обозначим это число какой-
либо буквой, например Ь. Разделив это число на 2 (Ь : 2), мы полу-
чим в результате какое-то новое число, которое тоже можно обо-
значить буквой (например, с). Тогда b: 2 = с. Зная, как находится
делимое по данным делителю и частному, получим, что b = 2 • с.
Таким образом, любое четное число (Ъ) может быть получено, если
умножить на 2 число (с). Интересно проверить зто, придавая букве с
различные числовые значения, когда с четное и когда с нечетное.
Думается, что вызовет интерес и поставленный после этого-во-
прос, как можно записать любое нечетное число (2 • с Н- 1 или
2 • с - 1).
На занятиях, посвященных занимательной математике, учи-
теля довольно часто используют разного рода стихотворные тек-
сты, считалки и пр. Это полезно, но только в том случае, если
содержание сформулированных в стихотворной форме задач ин-
тересно в математическом отношении. Иначе это теряет смысл.
Работа с занимательными математическими упражнениями
может осуществляться не от случая к случаю, а систематически.
Иногда с этой целью организуются постоянно действующие «ма-
тематические уголки», материал в которых все время пополня-
ется и обновляется самими учащимися. С той же целью практи-
куется издание стенных математических газет. Иногда наряду со
сбором интересных упражнений, вопросов, заданий, головоломок
с помощью таких «уголков», газет и пр. организуются конкурсы,
итоги которым подводятся через определенное время (например,
раз в неделю или в месяц). При подведении итогов можно зара-
нее договориться о числе очков, засчитываемых за решение каждой
задачи, за предложенные новые задачи и пр.
Систематическая работа с детьми в рассмотренном направ-
лении, согласованная с общеклассной работой на уроке, неизмен-
но приводит к повышению эффективности обучения в целом.
Совершенно отличной по содержанию и характеру будет вне-
урочная работа под руководством учителя, преследующая иную
цель — оказание*помощи в учебной работе тем учащимся, кото-
рые из-за болезни или по какой-либо иной причине испытывают
57
затруднения при рассмотрении нового материала, отстают от об-
щего темпа работь^ класса.
Эта работа носит преимущественно индивидуальный харак-
тер. Для успеха в данном случае совершенно необходимо точное
знание причин отставания того или иного ученика, учет допускае-
мых им ошибок. При занятиях с ребенком, в знаниях которого
обнаружен тот или иной пробел, учителю чаще всего приходится
обращаться к рассматривавшимся ранее способам рассуждения,
приемам вычислений и пр., используя при этом различные сред-
ства наглядности. При этом очень важно провести ученика снова
по всем основным ступеням в овладении соответствующим ма-
териалом. Это поможет выяснить, на которой из них он «споты-
кается», что именно оказалось недостаточно усвоенным, чтобы
обратить специальное внимание именно на эти вопросы.
Большую ошибку допускает учитель, если, увидев, что уче-
ник не справляется с каким-то новым видом упражнения, требу-
ющим, например, использования нового вычислительного прие-
ма, в ходе индивидуальной работы с ним предлагает ему лишь
упражнения, аналогичные тем, которые выполнялись в классе.
Как правило, гораздо больше пользы дает выполнение упражне-
ний, которые являются подготовкой к пониманию нового. Луч-
шим результатом индивидуального занятия с ребенком в таких
случаях будет, если он после соответствующей подготовки смо-
жет уже сам справиться с той работой, которая оказалась для
него непосильной на уроке.
Если речь идет о формировании какого-либо обобщения, ко-
торое ребенок не понял на уроке, то в данном случае, наоборот,
потребуется в ходе индивидуальных занятий рассмотреть еще
ряд примеров, аналогичных тем, которые разбирались в классе,
чтобы подвести в конце концов ученика к соответствующему вы-
воду.
В проведении такой работы большую пользу могут принести
различные дидактические материалы, карточки с математиче-
скими заданиями, наглядные пособия, которые содержат мате-
риал, дополняющий учебник.
Занятия, направленные на восполнение пробелов в знаниях
учащихся, могут иметь и групповой характер, но объединять де-
тей в такие группы имеет смысл лишь после того, как обнару-
жено, что природа возникающих у них затруднений является об-
щей.
Каждому учителю хорошо известно, что некоторые дети нуж-
даются в большем числе наблюдений, чтобы сделать нужный вы-
вод, что для некоторых детей важна более основательная подго-
товка к рассмотрению того или иного нового вопроса.
Индивидуальная работа с отдельными учащимися может, быть
направлена не только на устранение возникших уже пробелов в
их знаниях, не только на дополнительную тренировку, но и на
подготовку к рассмотрению нового материала на предстоящем
58
уроке. Такая предупреждающая возникновение затруднений по-
мощь во многих случаях оказывается значительно более продук-
тивной, чем помощь, которую учитель выцужден оказывать уже
после того, как возникло непонимание. Она способствует не толь-
ко лучшему усвоению материала ребенком, но и создает лучшие
условия для работы на самом уроке, на котором разбирается но-
вый материал.
Например, если на уроке учитель предполагает познакомить
детей с приемом сложения чисел вида 54 + 3, то накануне этого
урока полезно с отдельными учениками, в достаточной подготов-
ленности которых к рассмотрению этого материала учитель не
уверен, повторить специально, как можно представить в виде
суммы разрядных слагаемых двузначные числа вида 23, 76
и т. п., повторить правило прибавления числа к сумме, предло-
жить соответствующее индивидуальное задание на дом и пр.
Тот вид внеурочных занятий, о котором сейчас идет речь, не
должен носить систематического характера для кого-либо из
учеников класса. Занятия проводятся лишь в случае крайней не-
обходимости и целенаправленно, с учетом индивидуальных раз-
личий в подготовке детей к рассмотрению каждого конкретного
вопроса. Иначе это может привести лишь к перегрузке ребенка
учебными занятиями, утомлению, которое может помешать нор-
мальной его учебе. Основная работа со всеми учениками класса
должна проводиться на уроке.
§ 12.	КОНТРОЛЬ И УЧЕТ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ
УЧАЩИХСЯ
Только систематически осуществляя проверку понимания
детьми проводимых объяснений, усвоения новых знаний, умения
применять их в разнообразных условиях, постоянно следя за хо-
дом формирования необходимых навыков, можно вовремя внести
соответствующие коррективы в работу, организовать своевре-
менное устранение пробелов, обнаруженных в подготовке детей,
обеспечить условия для успешного продвижения каждого учени-
ка в овладении программой.
Систематическая проверка и учет подготовленности детей
по математике имеет и другое, общегосударственное значение,
позволяя судить о результатах обучения, о фактическом выпол-
нении государственных программ.
Учитывая цели и значение постоянной проверки и учета зна-
ний учащихся в процессе обучения, в школе используются раз-
личные виды такой проверки, осуществляемые в разнообразных
формах, с использованием специальных методических приемов.
Итак, основные цели проверки: получение обратной информа-
ции о подготовленности детей к дальнейшей работе над новыми
вопросами курса и подведение итогов обучения. Они определя-
ют и два основных вида проверки: текущую проверку знаний,
59
умений и навыков учащихся, осуществляемую из урока в урок,
и итоговую проверку, приуроченную к окончанию работы над
тем или иным разделом (темой) курса и к окончанию каждой
четверти учебного года;
Текущая проверка предполагает прежде всего выяснение уров-
ня подготовленности детей к изучению новой темы, нового вопро-
са курса, к рассмотрению которых предполагает перейти учитель
Предварительная проверка знаний необходима при переходе
к изучению каждого нового вопроса, рассмотрение которого опи-
рается на использование тех знаний, умений и навыков, которы-
ми дети должны были овладеть на предыдущих занятиях.
Особенно большое значение она приобретает в начале учеб-
ного года, когда после длительного летнего перерыва в учебе
учащиеся, естественно, что-то забывают, возникает необходимость
активизации приобретенных ранее знаний. Прежде чем спланиро-
вать соответствующую работу с классом, чтобы сделать ее воз-
можно более целесообразной, необходимо выяснить, какие имен-
но вопросы нуждаются в особом внимании при повторении прой-
денного на урокдх, какие индивидуальные задания могут помочь
в устранении пробелов, возникших в знаниях отдельных уча-
щихся.
Наиболее оперативной формой такой предварительной про-
верки является проведение соответствующим образом составлен-
ной проверочной работы, предназначенной для самостоятельного
письменного выполнения детьми. Такие проверочные работы дол-
жны быть невелики по объему, занимать на уроках от 5 до 15 мин
(в зависимости от класса и содержания). В первые дни учебных
занятий они могут проводиться ежедневно, служа отправным мо-
ментом для учителя при обдумывании того, как определить цели
и задачи следующих уроков, какие вопросы из пройденного
рассмотреть для закрепления и совершенствования приобретен-
ных ранее знаний.
В такие работы надо включать наиболее существенные воп-
росы из пройденного, причем преимущественно относящиеся к
проверке умений и навыков. Так, в начале второго года обуче-
ния важно проверить, твердо ли знают дети табличные случаи,
в какой мере уверенно используют различные приемы сложения
и вычитания чисел, рассматривавшиеся в первом классе. Поэто-
му в одну из письменных проверочных работ полезно включить
сложение однозначных чисел и соответствующие случаи вычита-
ния, в другую — примеры, требующие применения различных
приемов вычислений. Выполненную на уроке работу полезно
проверить на самом уроке, чтобы прослушать пояснения детей,
в ходе которых будут повторены соответствующие правила, рас-
крыты применявшиеся приемы вычислений, обнаружены ошиб-
ки, допущенные отдельными учениками, и вскрыты их причины.
Такая проверка в ходе коллективной работы с классом позволит
повторить все эти вопросы всем ученикам. При проверке тет-
60
радей учителем после уроков важно выделить работы тех уче-
ников, у которых обнаружились некоторые типичные для них
(но не для всех учеников класса) ошибки. В соответствии с этим
учителя подготавливают, как правило, индивидуальные задания
для этих учащихся. Сочетание проверочных письменных работ
с устной проверкой знаний детей, с коллективной работой над
ошибками и выполнением индивидуальных заданий с последую-
щим устным опросом — наиболее эффективная форма провер-
ки знаний детей и попутного восполнения обнаруженных про-
белов.
Проверка, предваряющая переход к работе по новой теме
программы, должна быть направлена на выявление уровня ус-
воения именно тех вопросов из пройденного, которые необходимы
в качестве основы для изучения новой темы. Поэтому, прежде
чем приступить к изучению новой темы, нужно проанализиро-
вать, какие вопросы из пройденного будут здесь иметь наиболее
важное значение (это сделано в настоящей книге ниже, при рас-
смотрении методики работы над основными темами программы).
По данным предваряющей проверки подготовленности детей
оценку их знаний производить, как правило, не имеет смысла.
Это не соответствовало бы основной задаче, решаемой в это вре-
мя учителем, — выяснить недостатки в знаниях, восполнить их.
Тем же целям часто подчиняется и текущая проверка зна-
ний, умений и навыков, которая проводится в ходе изучения той
или иной темы. Так, уже на первом уроке, посвященном рассмот-
рению какого-то вопроса, после первичного закрепления новых
знаний бывает полезно провести самостоятельную работу для
того, чтобы, с одной стороны, закреплять приобретаемые знания,
а с другой —проверить, как понято новое детьми. Это также
важно для планирования работы па следующем уроке. Было бы
неправильным оценивать работу детей над материалом, кото-
рый еще не усвоен ими в необходимой мере. Это относится и к
устному опросу по новому материалу и к письменным классным
или домашним работам детей.
Иное дело, когда прошел уже период закрепления новых зна-
ний, умений и навыков (период этот, конечно, будет различным
для разных вопросов), когда учитель может рассчитывать на то,
что большинство учащихся с соответствующими заданиями спра-
вится. На этом этапе необходимы проверка и учет, оценка ус-
воения детьми пройденного.
В объяснительной записке к нормам оценки знаний, умений
и навыков по математике сказано: «Текущая оценка знаний,
умений и навыков учащихся осуществляется по результатам по-
вседневного устного опроса учащихся, (индивидуального или
фронтального) выполнения ими обучающих классных и домаш-
них письменных работ, а также на основании периодического
проведения контрольных работ по изучаемому программному
материалу».
61
Устный опрос детей часто связывается с проверкой домашне-
го задания. Тогда постановкой соответствующих вопросов учи-
тель стремится выяснить умение объяснить выполненные вычис-
ления, обосновать выбор действия при решении задачи, пред-
ложенной на дом, понимание тех вопросов теории, которые
рассматривались ранее и которые нашли применение в домашней
работе. Учитывая огромное значение, которое придается усвое-
нию детьми табличных случаев действий, в устный опрос детей
полезно включить также вопросы по таблицам (соответствую-
щие задания могут предлагать даже сами учащиеся — это ак-
тивизирует работу класса во время опроса одного из учеников).
Вопросы такого рода могут предлагаться в разнообразной фор-
ме, а не только в форме примеров из той или иной таблицы (на-
пример: скажи, при умножении каких двух чисел произведение
равно 12? 36? Составь два примера на сложение двух чисел с
ответом 9. В какой строке таблицы умножения можно найти
частное чисел 36 и 9? И т. п.). Все эти вопросы, которые задаются
отвечающему ученику, должны адресоваться всему классу: де-
ти должны всегда быть готовы ответить на любой из них.
Устный опрос может быть построен и на том новом матери-
але, который в данный момент рассматривается в классе (на-
пример, после объяснения приема письменного деления на од-
нозначное число учитель может вызвать ученика для решения
аналогичного примера и, задав ему 2—3 дополнительных вопро-
са по ранее пройденному, выставить оценку за ответ).
Оцениваться могут и ответы учеников, принимавших актив-
ное участие во время фронтальной работы с классом. Фронталь-
ную проверку полезно организовать с использованием разного
рода «сигналов», позволяющих учителю проследить за пра-
вильностью выполнения задания каждым учеником. (С этой
целью широко используются такие приемы: показ учащимися
с помощью карточек ответа или знака действия, которое нужно
выполнить для решения предложенной простой задачи; сигцал
«светофор», с помощью которого дети показывают, согласны ли
они с ответом, предложенным отвечающим учеником, и др.)
Широко используется в практике также так называемая по-
луписъменная форма проверки знаний, умений и навыков уча-
щихся. Чаще всего она проводится в форме математических дик-
тантов. Цель таких диктантов может быть различной. Если речь
идет о проверке знания таблицы умножения, то, «диктуя» соот-
ветствующие задания, учитель не должен использовать различ-
ные формулировки вида: найти произведение чисел 8 и 7; число 6
увеличить в 5 раз; первый множитель 7, второй — 4, найти про-
изведение и т. п. Не следует это делать потому, что в этом случае
трудно будет при проверке работ учащихся выяснить характер
возникших затруднений, причину отказа от решения того или ино-
го примера (может быть, что ученик действительно не указал про-
изведения чисел 6 и 5, так как не помнит его, но может быть и
62
так, что он не понял задания, не знает термина «произведение»
и т. п.). С целью проверки усвоения соответствующих формулиро-
вок лучше поэтому дать другой диктант, когда учитель формулиру-
ет задания с использованием различных терминов, а дети записы-
вают либо соответствующее выражение, либо знак действия,
которое должно быть выполнено в данном случае.
С. помощью такого же диктанта может быть проверено и уме-
ние детей выбирать нужное действие при решении простых тек-
стовых задач (в такой форме за несколько минут можно прове-
рить умение решать простые задачи различных видов).
Оценка классных или домашних самостоятельных работ, по-
строенных на знакомом материале, как правило, должна соче-
таться с устной проверкой усвоения детьми отдельных вопросов
теории, навыков вычислений и др.
В текущие письменные контрольные работы наряду С вопро-
сами рассматриваемой темы должны включаться и задания по
ранее изученным разделам программы. Такие работы могут быть
построены на однородном материале (скажем, на материале
письменных вычислений или решения задач), но могут быть и
комбинированными: включающими как арифметические, так и
алгебраические и геометрические задания, упражнения в вычисле-
ниях.
В текущей проверке, однако, в некоторых отношениях более
целесообразными оказываются контрольные работы однородно-
го состава. В этом случае, пометив в журнале содержание каж-
дой такой работы, учитель более точно будет представлять себе,
с какого рода заданиями хуже справляются многие ученики (или
отдельные учащиеся).
Итоговая проверка и оценка знаний имеет целью установить,
как усвоили дети основные, предусмотренные программой обу-
чения знания, умения и навыки, необходимые им для успешного
усвоения всего курса. Таких работ в соответствии с указани-
ями Министерства просвещения проводить следует не более
4—5 в течение года, приурочивая их к концу четверти учебного
года.
Не следует перегружать такие работы заданиями, посвящен-
ными частным вопросам, предъявлять к детям требования, за-
вышающие программу (см. характеристику содержания об уро-
вне требований к усвоению основных ее разделов в § 22, 29, 41,
45). В связи с этим, как правило, ^итоговые работы по своему
содержанию могут бы^ь несколько легче, чем контрольные ра-
боты, проводимые учителем при текущей проверке знаний уча-
щихся.
На выполнение итоговой контрольной работы отводится в
I классе от 20 до 35 мин, во II и III — 35—40 мин. Объем каждой
письменной контрольной работы должен быть таким, чтобы
ученики имели возможность не только выполнить ее в установлен-
ный срок, но и проверить свою работу.
63
Приведем примерные требования к содержанию и характеру
письменных итоговых контрольных работ по каждому классу.
I к л а с с. В первом полугодии контрольная работа может со-
стоять из задачи в 1 действие, 8 примеров на вычисление и 1 гео-
метрического задания. Во втором полугодии — из задачи в
2 действия, 6 примеров на вычисления и еще 2 заданий, одно из
которых может быть геометрическим, другое — алгебраическим.
II класс. В первом полугодии контрольная работа может
состоять из 2 задач: одна задача в два действия, другая — в од-
но, 6 примеров и одного задания алгебраического характера (на-
пример, решение уравнения).
Во втором полугодии — из одной более сложной задачи в
2—3 действия, 6 примеров и по одному заданию алгебраического
и геометрического характера.
III класс. В первом полугодии в контрольную работу мо-
гут быть включены 1—2 задачи в зависимости от степени сложно-
сти, 3—4 примера с многозначными числами и по одному заданию
алгебраического характера, или 2—3 задачи, одну из которых сле-
дует решить разными способами, геометрическое задание (напри-
мер, задачи на вычисление площади или периметра), или 4 ариф-
метических примера, пример с именованными чисдами, решение
уравнения, нахождение значения выражения.
Во втором полугодии содержание контрольной работы при-
близительно такое же. Во всех случаях содержание работы дол-
жно позволить проверить знания учащихся по новому и ранее
изученному материалу.
При оценке знаний, умений и навыков учащихся учитель
должен руководствоваться утвержденными нормами1.
1 Сборник -приказов и инструкций МП РСФСР, 1973, № 25, с. 2.
ГЛАВА V
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В I-III КЛАССАХ
§ 13.	МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ
Понятие метода обучения является одним из основных в мето
дике. Тем не менее до последнего времени в соответствующей
литературе это понятие употребляется в самых различных зна-
чениях.
В работах дореволюционных русских методистов получили
широкое распространение, например, такие термины, как «метод
изучения чисел», «метод изучения действий». В данном случае
понятие «метод» используется как характеристика системы рас-
положения основного содержания курса.
Известный русский методист С. И. Шохор-Троцкпй под мето-
дом (или методой) понимал, видимо, совсем иное. Главная мысль
автора заключалась в том, что курс математики дети должны усва-
ивать на основе решения ряда таких задач, которые помогли бы
им осознать смысл рассматриваемых действий, их свойства, раз-
личные случаи практического применения изучаемых арифмети-
ческих действий и другие вопросы курса. С. И. Шохор-Троцкий
подчеркивал, что задачи эти должны быть целесообразно подобра-
ны и расположены в курсе так, чтобы была обеспечена необходи-
мая система в изучении материала. Все зто автор и назвал мето-
дом целесообразных задач1. В сущности слово «метод» здесь под-
меняет всю методику, так как охватывает и цели и содержание
обучения.
Во многих методических руководствах рассматриваются «ме-
тод эвристической беседы», «метод самостоятельной работы уча-
щихся» и др. Здесь речь идет о различных формах организации
учебной деятельности учащихся под руководством учителя.
Наряду с перечисленными называются, в частности, метод
индукции и метод дедукции.
В дальнейшем в методике обучения математике младших
школьников стали употребляться такие термины, как «арифмети-
1 См.: Шохор-Троцкии С. И. Методика арифметики. Ч. I. Для учителей
одноклассных начальных школ. Изд. 7-е, Спб., 1903, с. IV—VII.
3 Заказ 367
65
ческий и алгебраический методы решения задач», «метод взаимо-
обратных задач», «метод укрупнения дидактических единиц» и т. д.
Слово «метод», таким образом, применяется и сейчас в раз-
ных смыслах — когда речь идет о системе расположения материа-
ла, и когда имеется в виду охарактеризовать ведущий принцип
обучения (например, «метод проблемного обучения»), и когда рас-
сматриваются методы познания (анализ, синтез, обобщение, ин-
дукция, дедукция и др.)» и когда говорится о рассматриваемых
в курсе методах базовой науки (например, «метод решения тек-
стовых задач с помощью составления уравнений» или «решение
неравенств методом проб» и т. д.).
При таком положении происходит смешение трех основных по-
нятий методики — понятия содержания обучения (к пему, очевид-
но, должно быть отнесено, скажем, рассмотрение алгебраичес-
кого и арифметического способов решения текстовых задач), си-
стемы обучения (именно в этом смысле правильнее говорить об
одновременном или неодновременном введении взаимно-обратных
задач) и методов обучения.
При дальнейшем рассмотрении вопроса о методах обучения
мы будем пользоваться этим термином в том смысле, в каком он
применяется в современной дидактике: методы обучения раскры-
вают способы, особенности совместной деятельности учителя и
учащихся, при помощи которых достигается овладение знаниями,
умениями и навыками, формируется мировоззрение учащихся,
развиваются их способности.
При таком понимании термин «метод обучения» получает
бблыпую определенность. Это облегчает рассмотрение вопроса о
видах методов обучения, используемых в процессе обучения, об
особенностях каждого метода и существующей между ними взаимо-
связи.
Из десятков (а может быть, даже и сотен!) методов, о которых
пишут и говорят методисты, в этом случае останется всего несколь-
ко, а именно те, которые действительно существуют в реальном
процессе обучения и характеризуют особенности совместной
деятельности учителя и учащихся, наблюдаемой при обучении
математике.
Что же это за методы? Они хорошо известны каждому учите-
лю, так как он постоянно и неизбежно использует их в* своей
практике.
Это: а) рассказ учителя, изложение им тех или иных знаний,
которые должны быть усвоены детьми; б) беседа учителя с уча-
щимися, в процессе которой, предлагая детям вопросы, учитель
помогает им припомнить те знания, которые были приобретены
ими ранее и которые должны быть применены при рассмотрении
нового вопроса (при подведении учащихся к новому выводу, при
разборе задачи и в ходе поиска путей ее решения и т. п.), и, на-
конец, в) самостоятельная работа учащихся, которая может быть
направлена как на закрепление и совершенствование нриоб-
66
ретенных ранее знаний, умений и навыков, так и на подготовку к
рассмотрению нового, а иногда и на самостоятельное решение но-
вой задачи или какого-то нового для учащихся вопроса теории,
на самостоятельное приобретение новых знаний.
Методы изложения знаний учителем (рассказа), беседы и са-
мостоятельной работы, как легко заметить, выделяются по тому,
в какой форме организуется деятельность учителя и учащихся
в процессе обучения. Каково бы ни было содержание занятий,
как бы ни строил свою работу учитель, совместную его деятель-
ность е учащимися всегда можно отнести к одному из этих трех,
методов.
Отметим, что рассматриваемые методы не отделены друг от
друга непреодолимой стеной, а, наоборот, в реальном процессе
обучения часто взаимно проникают друг в друга, выступают в
единстве друг с другом. Так, учитель, излагая те или иные знания,
прерывает иногда свой рассказ, чтобы задать классу вопрос,
заставляющий учащихся что-то припомнить или над чем-то» заду-
маться. Это активизирует работу детей и способствует лучшему
усвоению того материала, который излагает учитель, В этом
случае можно говорить о сочетании метода изложения знаний с
элементами беседы. Довольно типично и включение элементов
самостоятельной работы учащихся в проводимую» беседу (напри-
мер, связанную! с решением' какой-либо относительно» сложной
задачи). Не исключено и сочетание изложения знаний учителем
(рассказа) с элементами самостоятельной работы.
Помимо формы, в которой организуется совместная деятель-
ность учителя и учащихся, огромное значение для характеристи-
ки процесса обучения имеет вопрос о том, из каких источников
приобретают дети знания.
Известно, что одним из основных средств передачи и приобре-
тения знаний н процессе обучения является слово — устное или
письменное. В связи с этим методы обучения, которые связаны
с использованием в. качестве источника приобретения знаний
слова, называются словесными (рассказ учителя, радиопередача,
магнитофонная запись, работа по книге или по другим печатным
материалам).
Наряду со словесными методами при обучении младших
школьников математике широко используются и методы наглядные,
при которых источником знаний становятся предметы и явления
окружающей жизни или их изображения, модели.
Наконец, немаловажную роль в начальном курсе математики
играют практические работы учащихся (например, связанные с
вычерчиванием тех’ или иных геометрических фигур, измерением,
анализом свойств рассматриваемых фигур на основе практичес-
ких действий с соответствующими моделями и т„ п.),
. Таким образом, если классифицировать методы обучения по
источнику приобретения знаний, то по этому признаку выделяют-
ся: а) словесные; б) наглядные и в) практические методы.
3*
67
Приведенные выше две классификации методов выполнены пр
разным признакам (основаниям). Они хорошо дополняют друг
друга, позволяя более полно характеризовать то, что делается
учителем и учащимися на любом уроке. В реальном процессе
обучения практически находят применение различные комбина-
ции указанных методов.
Так, рассказ (изложение знаний учителем) может быть по-
строен с использованием не только устного или письменного слова.
Он, как это показывает практика, часто требует применения
различных средств наглядности или даже связывается с организа-
цией практической работы детей. Таким образом метод рассказа
(изложение знаний учителем) из первой классификации может
сочетаться с каждым из методов, выделяемых во второй класси-
фикации. То же с полным основанием может быть повторено по
отношению к методу беседы или самостоятельной работы уча-
щихся.
В зависимости, прежде всего, от целей, которые ставит перед
собой учитель, а также от особенностей содержания той или иной
темы программы, от намеченных средств обучения эти методы ис-
пользуются в различных сочетаниях и пропорциях.
С учетом реальных условий одни и те же методы могут и дол-
жны использоваться по-разному, направляя деятельность уча-
щихся либо на простое воспроизведение приобретенных ранее зна-
ний (репродуктивная деятельность), либо на самостоятельное
решение новых для детей учебных задач (продуктивная деятель-
ность). Например, при изучении таблицы умножения, часто и
вполне оправданно, перед детьми ставятся вопросы, требующие
простого воспроизведения результатов (например: «Чему равно
произведение 5 • 5?, 6 • 7?, 7 • 8?» и т. д.). При обучении решению
задач, наоборот, предлагаемые детям вопросы должны стимулиро-
вать их самостоятельную, продуктивную деятельность.
В последнее время в дидактической литературе уделяется
много внимания анализу методов обучения именно с этой точки
зрения. В специальных исследованиях И. Я. Лернера и М. Н. Скат-
кина именно этот критерий положен в основу классификации ме-
тодов. В одном из последних пособий по дидактике («Дидактика
средней школы». Пособие для студентов педагогических институ-
тов, под ред. М. А. Данилова и М. Н. Скаткина. М., 1975) в главе
«Методы обучения», написанной И. Я. Лернером и М. Н. Скатки-
ным, выделяются в зтой связи следующие методы обучения:
Объяснительно-иллюстративный, при котором «учитель со-
общает готовую информацию ..., а учащиеся воспринимают, осоз-
нают и фиксируют в памяти эту информацию».
Репродуктивный метод, главным признаком которого явля-
ется «воспроизведение и повторение способа деятельности по
заданиям учителя». Метод обучения сводится к тому, что учитель
дает в той или иной форме образец выполнения задания, а затем
с помощью системы упражнений тренирует детей в воспроизведе-
68
нии соответствующих действий и рассуждений в соответствии с
этим образцом.
Проблемное изложение, т. е. такое изложение, при котором
«учитель ставит проблему, сам решает ее, но при этом показы-
вает путь решения..., вскрывает ходы мысли при движении по пу-
ти решения».	_
Частично-поисковый, или эвристический, метод. Это «метод,
при котором учитель организует участие школьников в выполне-
нии отдельных шагов поиска..., конструирует задание, расчле-
няет его на вспомогательные, намечает шаги поиска, а сами шаги
выполняет ученик».
Исследовательский метод, сущность которого авторы опреде-
ляют как «способ организации поисковой, творческой деятель-
ности учащихся по решению новых для них проблем». Авторы отме-
чают, что в реальном процессе обучения учащихся «большинство
исследовательских заданий должно представлять собой неболь-
шие поисковые задачи, требующие, однако, прохождения всех
или большинства этапов процесса исследования» (наблюдение и
изучение фактов и явлений, выяснение непонятных явлений, под-
лежащих исследованию, выдвижение гипотез, построение плана
исследования,' осуществление этого плана, состоящего в выясне-
нии связей, изучаемого с другими явлениями, формулирование
решения, его проверка).
Реализованный в рассмотренной работе подход к выделению
методов позволяет вскрыть весьма важную сторону процесса
обучения — направленность его не только на развитие исполни-
тельской, воспроизводящей деятельности учащихся, но и их твор-
ческих возможностей, на формирование у них знаний, умений и
навыков, необходимых для самостоятельного решения новых во-
просов, новых задач.
Учитывая цели, которые поставлены в настоящее время перед
пашей советской школой, представляется очень важным сосредо-
точить внимание учителей именно на этой стороне дела.
Для того чтобы наиболее эффективно использовать каждый
из рассмотренных выше методов, учителю важно разобраться в
том, когда, в каких случаях и почему лучше использовать один
метод, а когда — другой, как они связаны с конкретными целя-
ми обучения, а также с другими элементами методики (содержа-
нием, средствами, формами обучения), в каком соотношении друг
с другом должны выступать все эти методы в процессе обу-
чения.
Анализ тех изменений, которые произошли в теории и практи-
ке обучения математике младших школьников при переходе от
четырехлетнего начального обучения к трехлетнему, от изучения
арифметики — к изучению нового для нашей школы начального
курса математики, показывает, что заметной перестройке подверг-
лось не только содержание, но и методы обучения.
§ 14.	О СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ И О НАПРАВЛЕННОСТИ ЭТИХ МЕТОДОВ
Анализ опыта работы лучших учителей свидетельствует о
том, что в ходе перестройки все большее место в процессе обуче-
ния стали занимать такие методы, как беседа и самостоятельная
работа учащихся, в значительной мере потеснившие метод изло-
жения знаний учителем. Сейчас у хорошего учителя уже не встре-
тишь такого урока математики, на котором максимум активности
приходится на долю самого учителя, старательно объясняющего
детям решение той или иной задачи, многословно рассказываю-
щего ученикам в связи с решаемой задачей о разнообразных со-
бытиях в нашей жизни и т. п. Явное предпочтение в лучшем опы-
те отдается таким методам, которые способствуют активизации
деятельности учащихся, активному включению их в самостоятель-
ные поиски пути решения возникающих вопросов. В связи с этим
значительно изменился и характер проводимых бесед, содержание
самостоятельной работы учащихся. Если раньше беседы и тем
более самостоятельные работы были связаны чаще всего с вос-
произведением усвоенных знаний, то теперь учителя стали ис-
пользовать элементы эвристики при проведении бесед, а самосто-
ятельная работа стала связываться с самостоятельным решением
учащимися таких познавательных задач, которые способствовали
бы приобретению новых знаний. Чаще стали использовать в
процессе обучения наблюдения и практические работы, открываю-
щие также более широкие возможности для развития самостоятель-
ности детей.
Вместе с тем усиление роли методов беседы и самостоятельной
работы учащихся, как более отвечающих задаче активизации
процесса обучения, не привело и не могло привести к отказу от
использования метода изложения знаний учителем (объяснение,
рассказ). В ряде случаев ни самостоятельная работа, ни беседа,
как бы хорошо они ни были поставлены, не могут заменить объ-
яснения учителя. Это относится не только к ознакомлению с новой
терминологией, с определениями понятий, но и к тем случаям,
когда учитель ведет объяснение в форме связного рассказа, по-
тому что именно этот метод оказывается наиболее продуктивным
и экономным способом передачи знаний с учетом особенностей
учебного материала.
Изменение соотношения между методами объяснения, беседы,
самостоятельной работы детей отнюдь не является самоцелью,-
не носит искусственного характера — оно явилось следствием
тех перемен, которые произошли в содержании и главным образом
в построении всего курса.
В самом деле, сведения, сообщаемые детям прежде, часто рас-
сматривались изолированно друг от друга, а сейчас программой
поставлена задача осознания учащимися связей существующих
между наблюдаемыми детьми фактами. Это приводит к тому, что,-
70
формируя соответствующие обобщения, необходимо сначала про-
наблюдать ряд фактов, затем сравнить их, выделить на этой ос-
нове то общее, что их объединяет. Совершенно ясно, что при таком
подходе рассказ учителя не может быть подходящим методом
обучения. Стоящим при этом задачам в большей мере отвечает
проведение беседы в сочетании с элементами самостоятельной ра-
боты учащихся, организация наблюдений и практических работ,
выполняемых детьми либо самостоятельно, либо под руководством
учителя, направляющего их деятельность с помощью системы со-
ответствующим образом продуманных вопросов (при проведении
беседы) или системы заданий при организации самостоятельной
работы. Именно поэтому повышение роли теоретических обобще-
ний в курсе привело к увеличению удельного веса беседы и само-
стоятельных работ на уроках математики. Наряду с этим заметно
большее место на -уроках математики стали занимать практиче-
ские работы.
Наряду с изменением соотношения между известными метода-
ми наблюдается и изменение направленности в использовании
каждого из них. Выше уже говорилось о том, что каждый метод
может быть применен по-разному в отношении характера той
познавательной деятельности, которая организуется с его по-
мощью.
Рассмотрим па конкретном примере, как по-разному может
быть в этом отношении построено, например, изложение учителем
одного и того же вопроса. Речь пойдет об объяснении приема
внетабличного деления для случаев вида 68 I 4. Возможны раз-
личные варианты такого объяснения.
Первый вариант. Учитель ведет объяснение пример-
но так: «Чтобы разделить число 68 на 4, полезно заменить число 68
суммой таких слагаемых, каждое из которых было бы легко разде-
лить на 4, п потом использовать известное правило деления сум-
мы на число. Для облегчения вычислений в данном случае лучше
всего представить число 68 в виде суммы (40 + 28). В самом деле,
40 очень легко разделить на 4 (4 десятка делим на 4, получаем
1 десяток, или 10), а 28 : 4 = 7 (вы зто знаете из таблицы умноже-
ния). Можно записать ход наших рассуждений так: 68 : 4 = (40 -f-
4- 28) : 4 = 40 : 4 + 28 : 4 = 10 + 7 = 17.
После того как объяснение проведено, учитель обычно про-
сит кого-либо из детей воспроизвести (повторить) весь ход рас-
суждений, выясняя при этом, все ли поняли, как связан каждый
следующий шаг с предыдущим, на чем основан переход от одного
из них к другому, усвоена ли учащимися вся последовательность
рассуждений. Чаще всего объяснение повторяется в таких случа-
ях, для начала, на том же самом примере.
Второй вариант. Вы познакомились уже с такими
случаями деления двузначного числа на однозначное, когда каж-
дое из разрядных слагаемых делимого делится на делитель. Вы
умеете, например, разделить 46 на 2. Для этого мы заменяли число
71
46 суммой его разрядных слагаемых (40 +6), а затем, исполь-
зуя правило деления суммы на число, легко получали, что
46 : 2 = (40 + 6) : 2 == 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23.
Сейчас мы рассмотрим более трудный пример. Пусть нужно
разделить 42 на 3. Попробуем применить известный нам прием:
заменим 42 суммой его разрядных слагаемых (40 + 2). Мы видим,
что ни число десятков (4), ни число единиц (2) не делятся на 3.
Значит, знакомый нам прием деления в данном случае применить не
удастся. Может быть, число 42 вообще не делится на 3? Не будем
торопиться с выводами. Попробуем найти иной подход к решению.
Обратимся к палочкам: число 42 состоит из 4 десятков (4 пучка)
палочек и двух отдельных палочек. 4 десятка на 3 не делятся, но
3 десятка можно разделить на 3 равные части. Разложим 42 на 2
слагаемых: 3 десятка — одно из них, а второе — 1 десяток и 2
единицы, т. е. 12. 3 десятка разделим на 3 равные части, получим
в каждой по 1 десятку палочек (или по 10). У нас осталось еще
12 палочек. Мы знаем, что 1.2 : 3 = 4. Значит, как же можно раз-
делить 42 на 3? Сначала берем из этого числа столько десятков,
чтобы их число делилось па 3, а затем делим все оставшиеся еди-
ницы. В этом случае мы тоже заменяем делимое суммой, а потом,
как и раньше, делим эту сумму на делитель. Поскольку разрядные
слагаемые в данном случае не подходили, выбираем более удоб-
ные, такие, чтобы одно из них содержало столько десятков, сколь-
ко делится на делитель без остатка. Записать весь ход рассужде-
ния можно так: 42 : 3 = (30 + 12) : 3 = 30 : 3 + 12 ! 3 =
10 + 4 = 14.
Третий вариант. Как и во втором варианте начинаем
с того, что замена числа 42 суммой его разрядных слагаемых не
приводит к решению. Далее ставим перед учащимися вопрос:
«Нельзя ли представить это число в виде суммы каких-то других
слагаемых, но таких, чтобы каждое из них делилось на ЗРПопро-
буем это сделать. Возьмем из таблицы умножения трех, напри-
мер, произведение 3 • 5 = 15. Если одно из слагаемых 15 (оно
делится на 3), то второе будет 42 — 15 = 27. Но 27 тоже делится
на 3! Значит число 42 можно заменить суммой двух таких слага-
емых (15 и 27), каждое из которых мы умеем разделить на 3 так:
42 : 3 = (15 + 27) : 3 = 15 : 3 + 27 : 3 = 5 + 9 = 14. Мы взяли
в качестве I слагаемого число 15, но можно попробовать и другие
числа, которые делятся на 3 (например, 12, 18, 30 и др.). Тогда
каждый раз мы будем получать новые варианты замены числа 42
суммой двух слагаемых, каждое из которых будет делиться на 3.
Из всех этих случаев можно выбрать наиболее выгодный, такой,
при котором вычисления оказываются наиболее простыми. По-
пробуйте взять в качестве I слагаемого 30 (это число очень легко
разделить на 3), тогда легко найти и II слагаемое (42 — 30 = 12)
и конечный результат: 30 : 3 = 10, да 12 : 3 = 4, 10 + 4 = 14.
Очевидно, это и будет наиболее удобная замена числа 42. Итак,
42 : 3 = (30 4- 12) : 3 = 10 + 4 = 14.
72Г
Мы рассмотрели три варианта объяснения (изложения учите-
лем) одного и того же учебного материала. Мы сознательно по
касались вопроса о том, в какой форме можно было привлечь
самих учащихся к более активному участию в рассмотрении но-
вого за счет организации беседы или использования элементов
самостоятельной работы детей (вопрос о выборе наиболее подхо-
дящего для каждого конкретного случая метода обучения будет
рассмотрен специально в следующем параграфе). Представляется
интересным сопоставить описанные варианты изложения знаний
учителем.
В первом случае учитель сразу же сообщает детям те знания,
которые должны быть ими усвоены. Он передает им все знания
в готовом виде, а па долю учащихся остается лишь понять и за-
помнить проведенное объяснение.
Во втором случае объяснение строится так, что в ходе изложе-
ния тех же знаний учитель показывает детям, что знакомый им
прием действий не помогает в решении новой задачи, сталкивая их
таким образом с тем противоречием между накопленными знаниями
и возникшей новой задачей, которое заставляет искать новые
пути решения. Такое изложение активизирует познавательную дея-
тельность детей не по форме, а по существу, пробуждая учащихся
к поискам новых способов действий. Однако учитель сразу же,
на доступном для учащихся уровне, используя действенные сред-
ства наглядности, демонстрирует тот путь рассуждений, который
отвечает поставленной задаче. Знания и в этом случае сообщаются
в том виде, в каком они должны быть усвоены учащимися, но сам
процесс их восприятия детьми отличается от того, который на-
блюдается при первом изложении вопроса.
Третий из описанных выше подходов к изложению в еще боль-
шей мере направлен па возбуждение мыслительной активности
учащихся. Действительно, в этом случае учитель не только ставит
перед ними новую задачу, показывает невозможность разреше-
ния ее известными способами, но и демонстрирует, как можно
подойти к ее решению, используя разнообразные направления по-
исков. Среди намеченных в ходе изложения различных способов
решения учитель предлагает учащимся найти наиболее целесооб-
разный, позволяющий решить поставленную задачу проще и бы-
стрее. И хотя ответы на возникающие в ходе изложения вопросы
и даются самим учителем, дети, следя за ходом его рассуждений,
знакомятся не только с тем новым приемом вычислений, который
ими должен быть усвоен, но и с теми вопросами, которые возника-
ют у человека, впервые решающего подобные задачи. Таким обра-
зом обогащается и само содержание сообщаемых учителем знаний,
меняется и характер деятельности учащихся. Изложение стано-
вится проблемным.
Еще больше возможностей для активизации учащихся в про-
цессе обучения, как уже отмечалось выше, открывает использова-
ние метода беседы. Этот метод в современных условиях получил
73
свое дальнейшее развитие. На первых порах беседа на уроках
арифметики строилась чаще всего на основе вопросов, требующих
лишь воспроизведения детьми приобретенных ранее знаний.
Уже это имело значение для активизации деятельности уча-
щихся в процессе обучения, так "как по сравнению с восприятием
изложения учителя беседа предъявляет большие требования к
учащимся. Они в каждый момент беседы должны быть готовы мо-
билизовать приобретенные знания, отбирая из них те, которые
необходимы для ответа на поставленный вопрос.
Следующая ступень в развитии метода беседы связана с по-
становкой так называемых наводящих вопросов, т. е. вопросов,
которые непосредственно направляют учащихся на нужный путь
в решении поставленной перед ними познавательной задачи.
При таком подходе беседа, ранее выполнявшая исключительно
контролирующие функции, приобрела обучающий характер. При-
ведем пример такого рода беседы.
Разбирая с детьми решение той или иной арифметической
задачи, учитель, не дожидаясь, когда дети сами наметят путь
ее решения, сразу ставит перед ними такие вопросы, которые
подсказывают ход ее решения. Скажем, предложена задача: «Маль-
чик купил 4 тетради, ценой по 2 коп. каждая, и 3 карандаша, це-
ной по 5 коп. каждый. Сколько стоила вся эта покупка?» После
повторения условия и вопроса задачи учитель ставит перед детьми
вопросы: «Что мы знаем про тетради, купленные мальчиком?
(мальчик купил 4 тетради, ценой по 2 коп. каждая). Можно ли
по этим данным узнать, сколько стоили все купленные мальчиком
тетради? Что сказано в задаче о купленных мальчиком каранда-
шах? Можно ли по этим данным узнать, сколько стоили все ка-
рандаши? Как это узнать? Что мы узнали первым действием?
вторым действием? Можно ли теперь узнать, сколько стоила вся
покупка? Как это сделать?» Это разбор решения задачи с помо-
щью так называемых наводящих вопросов.
Учителя охотно используют такие наводящие вопросы. До-
стоинства их состоят в том, что в этом случае учитель действитель-
но ведет мысль учеников, направляя ее по нужному руслу. Про-
ведение такой беседы обеспечивает правильность выполнения
задания, доступность работы для всех учащихся, демонстрирует
тот ход рассуждений, который должен привести к решению.
Однако в этом случае доля самостоятельного участия детей весьма
мала. Такой подход к обучению решения задач (в особенности
если он применяется систематически) не может привести к успе-
ху в обучении детей самостоятельному решению.
Дальнейшим развитием метода беседы явилась разработка
более эффективной в отношении развития самостоятельности
учащихся эвристической беседы, определяемой в Педагогической
энциклопедии (М. Н. Скаткин) следующим образом: «Эвристи-
ческая беседа — это такая вопросо-ответная форма обучения,
при которой учитель не сообщает учащимся готовых знаний, а
74
умело поставленными вопросами заставляет их самих на основе
уже имеющихся знаний, наблюдений, личного жизненного опыта
подходить к новым понятиям, выводам и правилам».
Основное отличие эвристической беседы состоит в том, что
наряду с вопросами, требующими простого воспроизведения ра-
нее усвоенных знаний, она предполагает широкое использование
таких вопросов, которые побуждают и направляют мысль учащих-
ся, требуют от детей самостоятельного решения доступных (на-
меченных учителем) познавательных задач.-
Для иллюстрации обратимся вновь к рассмотренной выше
арифметической задаче. При ее разборе учитель мог бы поста-
вить вопрос так: «В задаче спрашивается, сколько стоила вся
покупка. Посмотрите, из чего состоит вся покупка, что купил
мальчик». Дети ответят, что мальчик купил тетради и каранда-
ши. «Что же нам нужно знать для того, чтобы узнать стоимость
всей покупки?» — спросит учитель. Вполне вероятно, что уже
этого будет достаточно, чтобы учащиеся смогли справиться с реше-
нием задачи самостоятельно. В данном случае учитель поставил
перед детьми проблему, но не подсказал им пути ее решения.
Можно было бы поставить вопрос иначе, обратив внимание детей
на данные задачи. Так, учитель мог бы спросить: «Что известно
в задаче?» Получив ответ, он поставил бы перед учащимися про-
блему: «Можно ли по этим данным узнать что-то, что может по-
мочь нам узнать стоимость всей покупки?» При таком подходе к
обучению решению задач создаются более благоприятные условия
для пробуждения самостоятельности мышления детей.
Для современного состояния характерно преимущественное
использование именно таких эвристических бесед.
Преимущества эвристической беседы с точки зрения разви-
тия самостоятельности учащихся очевидны, но из этого никак не
следует, что можно отказаться от бесед других типов, выполняю-
щих контролирующие функции. Речь эдесь может идти лишь об
изменении соотношения между этими видами бесед в процессе
обучения, что связано с особенностями учебно-воспитательных
задач, решаемых учителем, и особенностями учебного материала.
Отметим, что как бы хорошо ни было построено изложение
(объяснение) учителя или проводимая им беседа с учащимися,
ни тот ни другой методы не могут создать таких условий для фор-
мирования у детей умения самостоятельно работать, овладевать
новыми знаниями, какие возникают при организации вполне
самостоятельного выполнения детьми того или иного учебного
задания.
Самостоятельная работа учащихся при обучении младших
школьников, как и беседа, вначале связывалась почти исключи-
тельно с организацией репродуктивной (воспроизводящей) дея-
тельности школьников. Такая самостоятельная работа могла
выполняться главным образом с целью контроля за усвоением
(например, воспроизведение таблицы умножения, таблицы мер и
75
др.); усвоение таблицы умножения может быть проверено учите-
лем в ходе устной беседы, а может быть организовано и с выполне-
нием самостоятельной письменной работы или так называемого
арифметического диктанта. Помимо функций контроля, такая
работа выполнялась с целью усвоения сообщаемых знаний. В
это время получил большое распространение в методике началь-
ного обучения термин «полусамостоятельная» работа учащихся.
При этом под полусамостоятельной работой понималось, например,
то что после подробного рассмотрения всего хода решения той
или иной задачи (иногда даже с записью на доске) дети самосто-
ятельно записывали решение задачи в тетрадях или когда выз-
ванный ученик записывал на доске решение того или иного
примера, а остальные в свои тетради.
В целях активизации самостоятельной деятельности учащихся
в самостоятельную работу включались задания, требующие
не только простого воспроизведения заученных определений,
правил и других сведений, не только механического переписыва-
ния, но и применения усвоенных знаний в условиях, сходных с
теми, в которых они были рассмотрены ранее (к этому типу работы
может быть' отнесено, например, выполнение вычислений с* при-
менением усвоенных приемов и др.).
В дальнейшем под влиянием требования развития самостоя-
тельности мысли школьников, развития их творческих способно-
стей возникли принципиально новые виды заданий для самостоя-
тельной работы, требовавшие применения усвоенных знаний в
разнообразных и более сложных условиях, чем те, в которых эти
знания сообщались. При выполнении таких работ нельзя уже огра-
ничиться лишь репродуктивной (воспроизводящей, исполнитель-
ской) деятельностью, а возникает необходимость выполнения
самостоятельного поиска решения, рассмотрения различных воз-
можных вариантов выполнения задания, отбора наиболее
целесообразных из них и т. п. Такие самостоятельные работы
более всего отвечают современным задачам школы — формирова-
нию творческой личности, обладающей умением самостоятель-
но применять и приобретать знания.
С этой точки зрения большое значение имеет использование
упражнений учебника не только в качестве материала, который
должен быть разобран под руководством и с помощью учителя,
но и в качестве материала для самостоятельной работы учащихся.
Открывающиеся в этом отношении возможности далеко не всег-
да используются в практике.
Проблемность при обучении математике возникает совершенно
естественно, не требуя никаких специальных упражнений, искус-
ственно подбираемых ситуаций и пр. В самом деле, в сущности не
только каждая текстовая задача, но и добрая половина других
упражнений, представленных в учебниках математики и в дидак-
тических материалах, и есть своего рода проблемы, над решением
которых ученик должен будет задуматься, если не превращать их
78
выполнение искусственно в чисто тренировочную работу, связан-
ную с решением по готовому, данному учителем образцу.
Думая, что, облегчают детям усвоение курса, учителя нередко
наносят ущерб делу, разучивая с детьми способы решения задач
определенных видов, предлагая подряд большое число однотип-
ных упражнений, каждое из которых, будучи предъявлено среди
упражнений других видов, без дополнительных объяснений, могло
бы послужить для оттачивания собственной мысли учащихся.
Скажем, упражнения в решении составных текстовых задач,
в сравнении выражений, требующие, как правило, использования
известных детям закономерностей и связей в новых условиях,
упражнения геометрического содержания, которые часто требуют
переосмысления приобретенных ранее знаний, и другие должны
быть использованы именно для постановки перед детьми соответ-
ствующих познавательных задач. Только в этом случае обучение
математике будет оказывать действенную помощь в решении не
только образовательных, но и воспитательных задач обучения,
способствуя развитию не только познавательных способностей
учащихся, но и таких черт личности, как настойчивость в достиже-
нии поставленной цели, инициативность, умение преодолевать
трудности и др.
, Само собой разумеется, что такой подход к делу может принести
пользу лишь в том случае, если учитель все время следит за тем,
чтобы соответствующие задания были доступны для детей, чтобы
они отвечали уровню подготовки каждого ученика.
Вполне возможно использование уже и в младших классах
школы элементов исследовательской работы учащихся.
Приведем пример задания, которое связано с применением
в процессе обучения исследовательского подхода. Пусть, напри-
мер, учитель предлагает вниманию первоклассников плакат, иа
котором изображены несколько четырехугольников и пятиуголь-
ников. Все зги фигуры па плакате никак не сгруппированы, но
четырехугольники окрашены, скажем, в красный цвет, а пяти-
угольники — в зеленый. Учитель сообщает, что все красные фи-
гуры можно назвать четырехугольниками, зеленые — пятиуголь-
никами. После этого перед классом ставится вопрос: «Как вы
думаете, почему красные фигуры можно назвать четырехугольни-
ками, а зеленые — пятиугольниками?» Этот вопрос представляет
собой довольно сложную проблему, для решения которой дети
должны провести ряд наблюдений, сопоставлений, сравнений.
Так, они должны сравнить мысленно введенные учителем терми-
ны «четырехугольник» и «пятиугольник». Анализируя эти слова,
они должны расчленить их, выделив в них знакомые им слова,
являющиеся частями новых терминов, — «четыре» и «угол»,
«пять» и «угол». Такой анализ, такое сопоставление уже может
направить их мысль в определенном направлении. Проверить
правильность возникших предположений (может быть, пока еще
неясных) они смогут, обратившись к внимательному рассматрива-
77
нию предложенных им фигур. Здесь снова придется провести ряд
наблюдений, сопоставлений, сравнений, в результате которых
они должны убедиться, что действительно все красные фигуры
содержат по четыре угла, а зеленые — по пять углов. Подметив
эту особенность, сопоставив ее с особенностями терминов — на-
званий данных фигур, дети должны прийти к выводу,, который и
будет ответом на поставленный вопрос.
Далее, легко заметить, что решение любой составной тексто-
вой задачи нового для учащихся вида (содержащей новую для
них комбинацию известных уже видов простых задач) требует
выполнения всех тех элементов продуктивного мышления, кото-
рые свойственны исследовательскому подходу: это и наблюдение
и изучение фактов (анализ условия, выделение числовых дан-
ных, осознание вопроса), и выявление промежуточных неизвест-
ных (на основе анализа связей, существующих между искомым и
данными), и составление плана решения (при составлении кото-
рого могут возникнуть различные направления поиска ответа,
могут быть найдены различные способы решения), и осуществле-
ние этого плана с использованием имеющихся данных и приобре-
тенных ранее .знаний, умений и навыков. Наконец, это формули-
ровка ответа и проверка выполненного решения.
Приведенные примеры показывают, что постановка вопроса
об усилении внимания к проблемности в обучении младших школь-
ников применительно к обучению математике не является новой
для учителя. Она требует лишь правильного использования всех
тех ресурсов, которые скрыты в начальном курсе математики.
Уделяя больше внимания методам обучения,, способствую-
щим активизации познавательной деятельности учащихся, сле-
дует вместе с тем разумно оценивать и роль в обучении математи-
ке таких методов, которые связаны с передачей учителем знаний
в готовом виде (с помощью проводимого им устного объяснения
или книги, демонстрации и др.). Они ни в коей мере не утрачивают
и не могут утратить своего значения и на современном этапе раз-
вития школы, так как помогают вооружать детей фактическими
знаниями, умениями и навыками, без которых невозможна ни-
какая самостоятельная творческая деятельность («Пустая голова
не рассуждает!» П. Блонский).
Однако преобладающее использование только таких методов,
которые оставляют учащихся на положении более или менее пас-
сивно воспринимающих готовые знания, может привести к ис-
кусственному сдерживанию развития познавательных возможно-
стей учащихся. Поэтому во всех тех случаях, когда позволяет
материал и уровень подготовки учащихся, следует искать такие
пути, такие приемы проведения объяснения, организации упраж-
нений, бесед, самостоятельной работы учащихся, такие формы
использования книги и других источников знаний, которые,
наоборот, способствовали бы всемерному развитию творческих
способностей детей.
78
При продумывании методики работы по той или иной теме
перед учителем все время встает проблема выбора методов обу-
чения, которые были бы наиболее подходящими для данного
случая.
$ 15. О ВЫБОРЕ МЕТОДОВ, НАИБОЛЕЕ ОТВЕЧАЮЩИХ
КОНКРЕТНЫМ УСЛОВИЯМ ОБУЧЕНИЯ
При рассмотрении методической системы обучения математике
младших школьников (гл. I § 1) было показано, что методы
обучения неразрывно связаны со всеми остальными элементами
методики (целями, содержанием, средствами и формами органи-
зации обучения). Именно эти связи и определяют выбор того
или иного метода для каждого отдельного случая, соотношение
между различными методами в процессе обучения в целом.
Всегда помня о тех общих целях учебно-воспитательной ра-
боты, которые стоят перед учителем начальных классов на совре-
менном этапе развития школы, в повседневном опыте работы важно
ясно представлять себе те конкретные, частные дидактические зада-
чи, которые должны быть решены при изучении той или иной
темы программы и каждого отдельного вопроса этой темы. От
этого прежде всего зависит выбор того или иного метода обуче-
ния. Необходимо, кроме того, учитывать специфику того учебного
материала, с которым придется иметь дело детям, а затем и имею-
щиеся в распоряжении учителя средства обучения (разного рода
дидактические материалы, наглядные пособия и др.). Правиль-
ный выбор методов не может быть осуществлен и вне учета тех
организационных форм, в которых протекает обучение.
Обратимся к конкретным примерам.
Пусть, скажем, основной конкретной задачей урока является
аакроплопио навыков табличного умножения и деления. Этой
задаче, несомненно, более всего отвечают методы, требующие
организации репродуктивной деятельности учащихся, так как
усвоение таблицы может быть достигнуто только за счет много-
кратного воспроизведения соответствующих результатов. В этом
случае всякая попытка применить так называемые продуктивные
методы (поисковый или частично-поисковый методы, исследова-
тельский метод и др.) могла бы только усложнить дело, помешать
решению основной задачи — усвоению таблицы. Работа на уроке
в этом случае может быть организована в форме беседы учителя
с детьми (устный опрос по таблице, выяснение в ходе беседы связи
между рассмотренными табличными случаями и т. п.), но может
быть организована и самостоятельная письменная работа уча-
щихся по выполнению соответствующих вычислений, сравнению
выражений и т. п. Эта работа может быть связана с использова-
нием как словесных (например, когда в качестве источника знаний
выступает книга или тетрадь с печатной основой), так и наглядных
и практических методов (например, дети могут работать с иллю-
79
стрированной таблицей, а в случае необходимости им может быть
рекомендована практическая работа с применением различных
средств наглядности — классных счетов, палочек, абаков и др.).
Для разнообразия полезно на этом уроке использовать беседу
и самостоятельную работу, работу по книге целесообразно соче-
тать с выполнением устных заданий учителя.
На этом примере мы показали связь между конкретной дидак-
тической задачей, стоящей перед учителем, и используемыми мето-
дами. Тот же пример может иллюстрировать и связь между содер-
жанием и методами.
Так, с целью закрепления знания табличных случаев дейст-
вий могут быть использованы упражнения различного содержания
(примеры на вычисление значения данного произведения, на
нахождение суммы одинаковых слагаемых, сравнение выражений
вида 7  5 и 7 • 6, различные текстовые задачи, решаемые умно-
жением, и др.). Конкретное содержание упражнений требует и
использования того или иного метода. Так, вычислительные при-
меры могут послужить материалом для организации письменной
самостоятельной работы детей, упражнения в сравнении выраже-
ний явно целесообразнее проводить в форме беседы, так как
здесь наибольший интерес представляет выяснение той теоретиче-
ской основы, на которой выполняется сравнение (в приведенном
примере сравнение может быть выполнено без предварительного
нахождения значений сравниваемых выражений, на основе при-
менения знаний о смысле действия умножения и его связи со
сложением).
Как уже было отмечено выше, методы связаны и со средствами
обучения.
При рассмотрении темы «Меры массы» в III классе учитель
должен познакомить детей с различными видами приборов для
измерения массы: весы рычажные (торговые и аптечные), торго-
вые весы со шкалой и др. Для этого полезнее всего, очевидно,
организовать самостоятельную практическую работу учащихся,
связанную с выбором и использованием наиболее подходящего
для каждого конкретного задания прибора. Например, можно
предложить детям узнать массу одного кусочка сахара, таблетки
какого-либо лекарства, куска хлеба, пакета картофеля и т. д.
Однако организовать такую практическую работу можно лишь в
том случае, когда в распоряжении учителя имеется соответствую-
щее оборудование.
Если ею нет, то практическую работу придется заменить
наблюдением. Однако с учетом наличия средств обучения оно
может быть организовано или во время экскурсии в магазин, на
торговый склад, в аптеку, или в классе, на основе использования
соответствующих кадров диафильма, а если нет и" его, то по ри-
сункам учебника. В этом случае придется обратиться к исполь-
зованию метода беседы, сопровождая ее рассмотрением соответ-
ствующих рисунков и предметов (например, разновеса к торговым
80
л к аптекарским весам), схематических изображений, выполнен-
ных учителем на доске (например, изображается шкала торговых
весов и стрелка, указывающая на то или иное деление шкалы).
В дальнейшем аналогичные задания могут быть выполнены в ходе
самостоятельной работы с использованием учебника (см., напри-
мер, упражнение 146 в учебнике для III класса).
Из сказанного видно, что и форма организации учебной дея-
тельности детей на уроке связана со всеми другими элементами
методики. В самом деле, если учитель избрал в соответствии с
конкретной целью и содержанием занятий, например, метод
беседы (или какой-нибудь другой), то перед ним встает вопрос
о выборе наиболее подходящей формы организации работы на
уроке.
Беседа, например, может быть организована и в форме фронталь-
ной работы с классом, когда учитель обращает свои вопросы ко
всему классу, но она может носить и характер индивидуальной
беседы. В этом случае важно организовать работу остальных уча-
щихся класса так, чтобы они не оказались в роли молчаливых
свидетелей, пассивно наблюдающих за беседой учителя с вызван-
ными учениками. Лучше всего проводить индивидуальную бесе-
ду с отдельными учениками в то время, когда класс занят выпол-
нением самостоятельной письменной работы. Возможно и прове-
дение беседы в условиях разделения класса на отдельные группы.
Тогда беседа ведется с одной из этих групп учащихся, а осталь-
ные самостоятельно работают над выполнением других, предло-
женных учителем заданий. Например, при закреплении знания
новых приемов вычислений, решения уравнений и др. на первом
этапе работы будет более уместна фронтальная работа с классом;
затем, когда обнаружатся различия в степени усвоения материа-
ла разными группами учащихся, возникает необходимость диф-
ференциации занятий и в связи с этим целесообразно сочетание
фронтальной и групповой форм организации работы. Наконец,
на завершающем этапе к беседе следует обратиться лишь в случае
возникновения ошибок и затруднений у отдельных учеников.
Здесь гораздо уместнее организация самостоятельной работы
учащихся. При этом задания для самостоятельной работы долж-
ны подбираться так, чтобы было обеспечено постепенное повыше-
ние требований к детям в отношении проявления ими умения
применять приобретенные знания в измененных условиях.
Посмотрим теперь, как решается вопрос о выборе методов,
если речь идет, скажем, об уроке, на котором дети должны быть
ознакомлены с составлением новой для них таблицы (например,
таблицы умножения числа 7) и соответствующими случаями деле-
ния. Здесь на первый план выступает задача применения имею-
щихся уже у учащихся знаний (о смысле действий, взаимосвязи
между ними и др.) к рассмотрению новых примеров, ранее с учи-
телем не разбиравшихся. В связи с этой конкретной задачей на-
ряду с необходимостью воспроизведения в памяти приобретенных
81
ранее знаний возникают условия и потребность в использовании
элементов продуктивной поисковой деятельности. Какие же методы
будут наиболее эффективны в данном случае?
Учитель мог бы, конечно, просто изложить соответствующий
материал, дать его детям в готовом виде. Но при этом оказались бы
неиспользованными заложенные в самом материале (и отвечающие
цели!) возможности активизации познавательной деятельности
детей. В большей мере подошло бы в этом случае использование
беседы, причем беседы эвристического характера, предполагаю-
щей постановку перед учащимися таких вопросов, которые под-
водили бы их к самостоятельному решению возникающих проб-
лем (например: «Если ты знаешь, что 7  5 = 35, то как узнать,
чему равно произведение 7 • 6? Почему для этого достаточно
прибавить 7 к 35? Какой случай следует рассмотреть при состав-
лении таблицы умножения семи после случая 7 • 8? Как, исполь-
зуя знание произведения 7  8 = 56, узнать частное 56 : 7 или
56 I 8? Почему?» И т. п.).
При наличии достаточной подготовки класса еще более эф-
фективным было бы использование самостоятельной работы уча-
щихся по составлению новой таблицы.
При решении вопроса о выборе метода обучения в данном
случае (как, впрочем, и в других случаях) большое значение
имеет то, какими средствами обучения располагает учитель.
Так, скажем, если у учителя имеются карточки с заданиями или
тетради с печатной основой, то постановка самостоятельной
работы будет значительно облегчена.
При составлении таблиц умножения и соответствующих таб-
лиц деления полезно сочетать словесные методы обучения с на-
глядными, используя рисунки, по которым могут быть состав-
лены взаимно-обратные задачи на умножение и деление (такие
рисунки есть и в учебниках, и на демонстрационных таблицах).
Составление задач по готовым рисункам может быть заменено
самостоятельным выполнением детьми схематических иллюстра-
ций к некоторым из рассматриваемых случаев табличного умно-
жения и деления. Некоторые учащиеся могут сопровождать свои
рассуждения практической работой с раздаточным счетным ма-
териалом. Таким образом, и этот пример свидетельствует о том,
что выбор метода зависит и от содержания, и от средств обучения.
Как и в рассмотренном выше случае, форма организации работы
с классом должна и здесь подбираться с учетом всех этих элемен-
тов, и прежде всего избранного метода обучения.
Проанализированные примеры были связаны с использова-
нием методов беседы и самостоятельной работы. Объяснение
учителя, связное изложение им учебного материала потребуются
во всех тех случаях, когда цель состоит в передаче детям информа-
ции типа определения понятий, введения терминологии, озна-
комления с элементами математической символики, и в случае
ознакомления с некоторыми алгоритмами. Метод изложения зна-
82
ний учителем во всех этих случаях — единств енно верный метод
обучения. Ни с помощью беседы, ни тем более на основе самостоя-
тельной работы детей нельзя в начальной школе, например, обе-' -
спечить усвоение учащимися алгоритма умножения или деления
многозначных чисел.
Итак, выбор метода изложения, беседы, самостоятельной
работы учащихся зависит не только от этапа в овладении учеб-
ным материалом, но и от относительной его сложности, от степе-
ни подготовленности учащихся к его рассмотрению.
Одной из существенных особенностей современного урока
математики в начальных классах является его многоплановость.
На одном и том же уроке, как правило, учителю приходится
решать не одну какую-либо конкретную задачу, а ряд задач.
В соответствии с каждой конкретной задачей учитель и будет
отбирать более всего отвечающий ей метод.
В каждом конкретном случае, решая проблему выбора того
или иного метода и их сочетания на данном уроке, учитель дол-
жен использовать все. возможности для активизации познаватель-
ной деятельности учащихся, для всемерного развития их само-
стоятельности в овладении новыми знаниями, умениями и навы-
ками. Это поможет дальнейшему развитию тех положительных
тенденций в использовании всего арсенала методов обучения ма-
тематике, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
Как показывает опыт лучших учителей, умелое применение
известных методов обучения способно обеспечить значительное
повышение эффективности всей учебно-воспитательной работы с
младшими школьниками. Овладение таким методическим ма-
стерством — одна из насущнейших задач каждого учителя на-
чальных классов.
ГЛАВА VI
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВОПРОСОВ КУРСА
§ 16. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ
При характеристике содержания и системы построения на-
чального курса математики говорилось, что работа, направлен-
ная на формирование у детей понятия о числе и арифметических
действиях, ведется в течение всех трех лет начального обучения
и составляет основу всего курса. Программа предусматривает,
постепенное расширение области рассматриваемых чисел. Кон-
центризм в построении программы неразрывно связан с особен-
ностями десятичной системы счисления и нумерации чисел.
В качестве первого такого концентра выделен «Десяток».
При изучении этой темы дети знакомятся с первыми десятью
числами натурального ряда и действиями сложения и вычитания
в этих пределах.
Уже на этом весьма ограниченном числовом материале рас-
сматриваются многие вопросы, с которыми в дальнейшем уча-
щиеся будут встречаться при каждом новом расширении области
чисел.
Так, именно на этом этапе обучения учащиеся должны осо-
знать количественное и порядковое значение числа. Они должны
научиться пользоваться усвоенным ими отрезком натурального
ряда *1исел для получения ответа на вопрос, сколько элементов-
входит в состав предложенного им множества, понять, что с по-
мощью той же числовой последовательности можно расположить
элементы этого множества в определенном порядке, перенуме-
ровав их.
На примере первых десяти чисел натурального ряда дети зна-
комятся с принципами его построения. Они осознают и усваива-
ют, что для получения числа, следующего за данным, достаточ-
но прибавить единицу к данному числу и что поэтому числа в
натуральном ряду возрастают (каждое число ряда больше всех
чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше
любого числа, которое называется при счете после него). Эти
знания они применяют для сравнения чисел. Они узнают далее,
что каждое число (кроме единицы) может быть представлено. в
84
виде суммы двух или нескольких слагаемых. Уже здесь, при
первом знакомстве с числами, выясняется, что каждое число мо-
жет быть не только названо, но и записано, что для записи чи-
сел существуют специальные знаки — цифры.
Все эти знания, относящиеся к нумерации, имеют общее зна-
чение, и, хотя никаких обобщенных формулировок, отражающих
эти положения на этом этапе обучения не дается, дети с самого
начала должны подводиться к пониманию общности получаемых
выводов.
Наряду с упражнениями, при выполнении которых дети по-
лучают число в результате счета предметов, довольно скоро
включаются и такие упражнения, которые должны показать де-
тям получение числа в результате измерения.
Первым шагом в этом направлении является, ознакомление
с сантиметром и измерением отрезка с помощью разделенной
на сантиметры линейки (модель такой линейки имеется в прило-
жении к учебнику для I класса).
Уже в теме «Десяток» происходит знакомство с числом и
цифрой нуль. Таким образом, уже с первых шагов .обучения де-
ти имеют дело с расширенным натуральным рядом, хотя и зна-
комы еще с очень коротким его отрезком.
Нуль с самого начала вводится как характеристика пустого
множества (т. о. множества, которое но содержит ни одного эле-
мента. Например, пуль будет служить ответом на вопрос: «Сколь-
ко пионеров учится в нашем первом классе?» Нуль будет ответом
при решении задачи: «У мальчика было 1 яблоко. Он его съел.
Сколько яблок осталось у мальчика?» и т. п.).
При ознакомлении с линейкой специальное внимание должно
быть уделено осознанию нуля как начала отсчета: цифра 1 на
линейке обозначает конец отрезка длиной 1 хм, а начало этого
отрезка обозначено цифрой нуль.
Знакомство с линейкой, разбитой на сантиметры, дает воз-
можность использовать ее в качестве наглядного пособия при
сравнении чисел, а в дальнейшем и при выполнении сложения
и вычитания.
При переходе к рассмотрению чисел в пределах 100, 1000 и,
наконец, многозначных чисел каждый раз должен осуществляться
перенос приобретенных ранее знаний нумерации на новую область
чисел.
Вместе с тем переход от одного концентра к другому всегда
оказывается связанным с введением тех или иных принципиаль-
но новых для учащихся знаний.
Так, переходя к рассмотрению чисел в пределах 100, дети
впервые встречаются с тем фактом, что десять единиц образуют
новую счетную единицу — десяток. Они узнают, что названия
чисел, больших 10, образуются уже с использованием названий,
принятых для первых десяти чисел (один-на-дцать, две-на-дцать,
два-дцать один и т. д.), что запись чисел в пределах 100 произ-
85
водится с использованием тех же самых десяти цифр, но с помо-
щью двух цифр, значение которых зависит от места, которое за-
нимает цифра в записи. Здесь впервые дети встречаются с поня-
тием разрядных слагаемых и учатся представлять число в виде
суммы его разрядных слагаемых. В неразрывной связи с этим
изучаются и соответствующие случаи сложения и вычитания
(вида 20 + 7, 27 - 7, 27 - 20).
- Рассмотрение этих вопросов связывается с введением новой
единицы измерения — дециметра. Весьма полезным оказывается
при этом провести аналогию между получением двузначных чи-
сел с помощью счета десятков и единиц и измерением отрезка
сначала с помощью откладывания дециметра, а затем для из-
мерения оставшейся части отрезка, меньшей дециметра, — с по-
мощью откладывания сантиметра. (Например, 2 десятка и 3 едини-
цы составляют 23 единицы, а 2 дм и 3 см — 23 см.)
Каждое дальнейшее расширение области чисел, как правило,
всегда связывается с введением новых единиц измерения величин
и установления соотношения между ними. Это создает условия,
необходимые для того, чтобы подмеченная аналогия в получении
чисел при счете и при измерении могла быть в дальнейшем ис-.
пользована при рассмотрении действий с именованными числами.
Каждый раз рассматриваются новые случаи действий, основанные
на знании десятичного состава чисел.
Выделение концентра «Тысяча» дает возможность не только
закрепить все приобретенные ранее знания нумерации, но и по-
знакомить детей с новой счетной единицей — сотней. При этом
важно показать детям общий принцип образования новых счет-
ных единиц: 10 единиц образуют новую единицу счета — деся-
ток, а 10 десятков — новую счетную единицу — сотню. Уже
здесь можно сказать детям, что и дальше, при образовании но-
вых чисел, 10 единиц одного разряда (сотен) образуют единицу
следующего разряда — тысячу. Таким образом подготавливается
почва для ознакомления детей с принципом десятичной системы
счисления, который выступит в еще более общей форме при рас-
смотрении темы «Многозначные числа». Здесь новым будет ус-
воение понятия класса, принципа устной и письменной нумера-
ции чисел II и III классов.
Итак, выделение концентров в начальном курсе математики
дает возможность неоднократно возвращаться к рассмотрению
основных вопросов, связанных с особенностями десятичной си-
стемы счисления, устной и письменной нумерации чисел, за-
крепляя знания детей. Это, как было только что показано, со-
здает условия и для формирования соответствующих обобщений.
Благодаря концентрическому построению программы возникает
также возможность рассредоточить трудности, в связи с чем
в процессе обучения можно значительно увеличить долю само-
стоятельного участия детей в рассмотрении тех вопросов нуме-
рации, которые при расширении области чисел могут быть
86
ими усвоены на основе «переноса» приобретенных ранее зна-
ний.
Какой же должна быть методика работы над этими вопросами,
чтобы она облегчала детям их усвоение и чтобы она обеспечивала
не только сознательность и прочность приобретенных знаний,
но и уверенное овладение соответствующими навыками?
Прежде всего, учитывая абстрактность материала, о котором
идет речь, особенно важно продумать возможности использова-
ния различных средств наглядности при изучении нумерации.
Характер самих наглядных пособий и методика их применения
должны отвечать тем специфическим задачам, которые решаются
на каждом этапе работы над нумерацией. При этом следует также
учитывать общую задачу постепенного перевода детей от конкрет-
ного к абстрактному.
При ознакомлении с числом дети сначала имеют дело е кон-
кретными предметами и их изображениями (так называемыми
предметными картинками), но затем постепенно на .смену им
должно прийти использование более отвлеченных форм нагляд-
ности,. несущих некоторую условность (когда, скажем, любые
предметы, о которых идет речь, заменяются счетными палочка-
ми или наборами простейших геометрических фигур). Как только
встает задача анализа состава образуемых чисел из разрядных
слагаемых, предпочтение следует отдавать так называемым струк-
турным пособиям (т. е. таким пособиям, которые позволяют
наглядно представить структуру рассматриваемых чисел). Это
различного вида абаки: начиная с простейших (рис. 4), а затем
более сложных — разделенных вертикальной линией на части,
соответствующие разряду единиц и десятков, в карманы которых
могут вставляться палочки и пучки палочек. Это различные
по конструкции пособия типа наборных полотен, имеющие 2—3
ряда карманов (или других держателей), по 10 в каждом, и, на-
конец, так называемые нумерационные таблицы. В таких табли-
цах выделяются сначала 2—3 разряда (пока речь идет о числах
в пределах 100 и 1000), а затем — разряды и классы (при изуче-
нии многозначных чисел). Для демонстрации удобно такие табли-
цы снабжать карманами, в которые могут быть помещены карточ-
ки с цифрами для записи чисел. К числу структурных наглядных
пособий относятся и классные счеты — одно из важнейших на-
глядных пособий при ознакомлении е нумерацией многозначных
чисел.
Переход от одних пособий к другим должен осуществляться
так, чтобы, с одной стороны, создавались условия для постепен-
ного продвижения детей по пути абстракции, а с другой — так,
чтобы соблюдалась необходимая преемственность в рассмотре-
нии вопросов нумерации при каждом новом расширении области
рассматриваемых чисел.
Так, вряд ли было бы оправданным при ознакомлении с чис-
лами 11—100 вовсе отказаться от использования счетных палочек,
87
ставших при изучении темы «Десяток» привычной для детей
иллюстрацией чисел. Однако в связи с новыми задачами, вставши-
ми при изучении темы «Сотня», должна измениться методика
работы с этим пособием: наряду с разрозненными палочками,
здесь целесообразно использовать пучки — десятки палочек.
Это лучший способ познакомить детей с образованием новой
счетной единицы (десятка), так как здесь наглядно предстает
связь десятка с единицами. Это обеспечивает вместе с тем естест-
венный, плавный переход к таким пособиям, на которых десятки
отличаются от единиц каким-либо условным признаком, напри-
мер когда в нумерационной таблице число единиц иллюстрирует-
ся, скажем, маленькими кружками, а число десятков кружками
большего размера. Другим примером служат счеты, на которых
и десятки и единицы изображаются одинаковыми косточками и
различие состоит лишь в том, что единицы иллюстрируются ко-
сточками, откладываемыми на первой проволоке, а десятки —
на второй. Использование таблиц и счетов подводит к пониманию
записи чисел с помощью цифр.
Вместе с тем даже при рассмотрении чисел в пределах 1000,
когда дети уже знакомы и с нумерационными таблицами и с по-
местным значением цифр в записи числа, на первых порах все
же полезно воспользоваться знакомым и наиболее близким для
них способом иллюстрации — с помощью счетных палочек. До-
стигнутый к этому времени уровень подготовки детей позволяет,
однако, ограничиться в этом случае рассмотрением соответствую-
щих иллюстраций (подробнее об этом см. в § 42).
Из сказанного видно, как важно продуманно и целенапраВ-
ленно использовать в процессе обучения наглядные пособия.
Однако это лишь одно из условий, помогающих сформировать
у детей нужные знания, умения и навыки.
Отметим здесь и другие принципиальные моменты, которые
должны учитываться в работе над нумерацией, о какой бы обла-
сти чисел ни шла речь.
Первое, на что следует обратить внимание учителя, —при
изучении нумерации- большое значение имеет богатейший речевой
опыт, которым располагают многие дети уже ко времени поступ-
ления в школу и который быстро обогащается в школьные годы.
Названия чисел, особенности образования соответствующих чис-
лительных дети воспринимают не только со слов учителя. Огром-
ную роль играет при этом интуиция (чутье), основанная на вла-
дении родным языком. Дети' легко самостоятельно (а иногда
лишь при небольшом намеке со стороны учителя) подмечают
принцип образования названий чисел и сами догадываются, как
будут называться следующие числа, если только дать им для
примера два-три аналогичных названия, Например: «двадцать
один», «двадцать два»... (Трудности возникают только в таких
случаях как «сорок», «пятьдесят», «девяносто», которые прихо-
дится специально оговаривать.)
88
 Учитывая это обстоятельство, в процессе обучения нужно
стремиться к тому, чтобы усвоение последовательности соотве-
тствующих числительных всегда несколько опережало ту область
чисел, которая рассматривается в данный момент более осно-
вательно.
Так, приступая к изучению чисел первого десятка, дети долж-
ны уже к этому времени более или менее уверенно знать назва-
ния этих чисел, порядок их следования при счете. Изучая тему
«Десяток», полезно уже заранее в устных упражнениях исполь-
зовать счет предметов и в тех случаях, когда он выходит за пре-
делы 10. Это не значит, что нужно требовать от всех детей проч-
ного усвоения соответствующей последовательности чисел. Пусть
ее усвоят не все, пусть некоторые еще будут иногда ошибаться,
воспроизводя ее. Важно, чтобы она была им знакома к тому вре-
мени, когда они приступят к изучению темы «Нумерация чисел
в пределах ста».
Что это дает?
Во-первых, при 3T0NJ легче усваивается устная нумерация на
уроках, специально посвященных этим вопросам.
Во-вторых, знание названий чисел, к рассмотрению которых
дети приступают (даже если и не все эти названия усвоены оди-
наково уверенно всеми учениками), позволяет учителю опереть-
ся на анализ самих этих названий (числительных) для раскры-
тия принципа образования чисел, их состава из разрядных сла-
гаемых. Например, если ученик знает, что после двадцати идет
число двадцать один, затем двадцать два и т. д., то достаточно
обратить его внимание на то, что «-дцать» в названии числа двад-
цать означает «десять» («десяток»), как десятичный состав
любого из чисел в пределах 100 становится понятным по одному
его названию: три дцать четыре — 3 десятка и 4 единицы и т. п.
(исключение составят только числа от 40 до 49 и от 90 до 99).
Наконец, в-третьих, некоторое забегание вперед в усвоении
счета предметов за пределом изучаемой области чисел помогает
сформировать у детей правильное представление о том, что всегда
можно назвать число, которое больше самого большого из извест-
ных уже к этому времени чисел. Дети перестают в этих условиях
думать, что, например, на числе 10 (или 100, или 1000) счет обры-
вается.
Такое забегание вперед создает, кроме того, условия для пе-
реноса изученных операций (в частности, операции счета предме-
тов, приема присчитывания по 1 и др.) на несколько расширен-
ную область чисел. Это очень важно в качестве психологической
подготовки детей к работе с большими числами.
Далее, как это было показано выше, концентризм в изучении
нумерации создает такие условия, при которых в каждой новой
теме дети вновь возвращаются к рассмотрению всех тех вопросов,
которые рассматривались раньше. Это обязывает особенно внима-
тельно следить за тем, чтобы не нарушить одно из основных
89-
педагогических требований — не объяснять как новое то, что уже
известно, всячески стимулировать самостоятельное перенесение
детьми приобретенных знаний на рассмотрение новых чисел.
- Поскольку одной из конечных целей изучения нумерации чисел
является усвоение ряда общих принципов, лежащих в основе деся-
тичной системы счисления, устной и письменной нумерации,
важно систематически и целеустремленно вести детей к соответст-
вующим обобщениям. Для этого нужно каждый раз выделять и
подчеркивать то общее, что обнаруживается при рассмотрении
новых случаев и случаев, рассматривавшихся ранее. Новое надо
рассматривать в сравнении с ранее изученным. На основе таких
сравнений, проведения аналогий полезно побуждать детей к вы-
сказыванию некоторых доступных им предположений, догадок,
подтверждая или опровергая их.
В упражнениях, направленных на усвоение последователь-
ности чисел в натуральном ряду, специальное внимание прихо-
дится уделять гибкости в ее усвоении. Известно, что дети, даже
хорошо усвоив эту последовательность, часто испытывают зна-
чительные затруднения при необходимости воспроизвести ее в
обратном порядке. Немалые трудности возникают у них и при
выполнении заданий, требующих умения назвать ряд последо-
вательных чисел, начиная с любого заданного числа, назвать
число, непосредственно следующее за данным или непосредствен-
но ему предшествующее.
Отрабатывая усвоение ряда чисел, необходимо поэтому вклю-
чать соответствующие упражнения наряду с выделением наибо-
лее трудных пунктов этого ряда, связанных с переходом к новой
счетной единице (97, 98, 99..., 998, 999,...) илис введением числи-
тельного, представляющего собой исключение из общего правила
(например, «сорок»).
В результате изучения нумерации чисел дети должны не толь-
ко усвоить соответствующие общие положения, но и овладеть
важнейшими умениями и навыками.
Поэтому в учебниках математики для начальных классов на-
мечена система упражнений, необходимых для сознательного
усвоения детьми всех основных вопросов, связанных с изучением
нумерации. Для формирования прочных навыков в данном случае
необходимо такие упражнения давать специально почти на каж-
дом уроке, составляя упражнения по образцу данных в учебнике
и включая их небольшими порциями на уроках, следующих за
изучением данной гемы (по 2—3 упражнения).
Изучение нумерации, как известно, является основой работы
над арифметическими действиями. Здесь применяются все зна-
ния, умения и навыки, которые дети получают, знакомясь с деся-
тичной системой счисления и нумерацией. Поэтому в ходе изуче-
ния действий происходит естественное закрепление и совершен-
ствование приобретенных знаний.
90
5 17. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Содержание, система и основные методические направления
работы, связанной с изучением арифметических действий в на-
чальных классах, определены программой (§ 4 настоящей книги).
Из требований программы вытекают следующие задачи:
1.	Довести до сознания детей смысл рассматриваемых дей-
ствий, научить их правильно выбирать нужное арифметическое
действие при решении различных простых задач.
2.	На доступном для младших школьников уровне и в доступ-
ной для них форме познакомить их с теми свойствами рассматри-
ваемых действий, которые являются теоретической основой изу-
чаемых приемов устных и письменных вычислений. Научить при-
менять изученные свойства в разнообразных условиях, используя
соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а
также в целях отыскания наиболее рационального способа реше-
ния задач.
3.	Обеспечить усвоение детьми связей, существующих между
действиями. Научить применять соответствующие знания: а) в
вычислениях (при нахождении частного с опорой на знание соот-
ветствующего случая умножения, при нахождении разности с опо-
рой на знание соответствующего случая сложения); б) при про-
верке правильности выполненных вычислений; в) при решении
задач на нахождение неизвестного компонента действий и г) при
решении простейших уравнений.
4.	Обеспечить сознательное и прочное усвоение детьми основ-
ных приемов устных и письменных вычислений, умение сознатель-
но выбирать такие из известных приемов вычислений, которые
более всего отвечают особенностям каждого конкретного при-
мера.
5.	Сформировать у детей сознательные в прочные навыки
быстрых и правильных вычислений.
Для успешного решения каждой из этих конкретных задач
курса необходимо не только определить содержание и систему
соответствующих упражнений (это в основном сделано в учебни-
ках), но целесообразно использовать различные методы обучения.
Осознание смысла действий, существующих между ними свя-
зей, зависимости между компонентами и результатами действий
может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение
этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собст-
венного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь
должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом деть-
ми в ходе разнообразных практических действий с предметами,
но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.
Так, скажем, при ознакомлении с действиями сложения и вы-
читания, которое происходит в ходе работы по теме «Десяток»,
опорой служат практические упражнения в объединении двух
множеств предметов, удалении некоторых предметов^ составляющих
91
данное множество. Несколько иначе обстоит дело при изучении
действия умножения. В качестве опоры при формировании поня-
тия об умножении было бы неверным ограничиться только
использованием практического объединения нескольких равночис-
ленных множеств. Хорошо уже усвоенная к этому времени деть-
ми операция сложения чисел может и должна на этом этапе вы-
ступать в качестве основы для формирования понятия нового
для детей, не встречавшегося в их предшествующем опыте дей-
ствия — умножения.
Рассмотрение умножения, связи между его компонентами и ре-
зультатом в свою очередь становится опорой при рассмотрении
действия деления.
Мы наблюдаем на этих примерах, как то, что было абстракт-
ным на одной ступени обучения, ' становится на следующей
ступени конкретной основой для формирования еще более абстракт-
ных знаний. Такой подход стимулирует развитие как абстрактно-
го, так и конкретного мышления учащихся, что имеет очень боль-
шое значение в деле развития познавательных способностей
детей в процессе обучения.
Следующее положение, которое следует еще раз подчерк--
нуть, — необходимость немедленного применения приобретаемых
теоретических знаний к решению разнообразных практических за-
дач. Это требование должно учитываться и при отборе методов
работы над рассматриваемым материалом.
В ходе упражнений знания не только закрепляются, но и
углубляются и совершенствуются. Только при систематическом
выполнении разнообразных упражнений дети могут научиться
сознательному, целесообразному отбору нужных приемов выпол-
нения действий и решения задач.
Большую пользу в этом отношении могут принести упражне-
ния, в которых требуется сравнить различные приемы вычисле-
ний, различные способы решения задач,' выбрать наиболее ра-
циональный из них для каждого конкретного случая.
Далее следует обратить внимание в качестве общего требова-
ния к работе над арифметическими действиями на необходимость
создания в процессе обучения таких условий, при которых усвое-
ние табличных Случаев этих действий будет доведено до автома-
тизма. Это одна из основных задач начального курса математи-
ки, и об этом ни на минуту нельзя забывать в течение всех трех
лет начального обучения. Как показывает практика, условием,
совершенно необходимым для прочного усвоения таблиц сложе-
ния в I классе и таблиц умножения во II, является выполнение
довольно большого числа однотипных тренировочных упраж-
нений.
Недооценка значения систематической, повседневной трени-
ровки детей, постоянного контроля за усвоением ими табличных
случаев действий — одно из самых серьезных упущений в работе
учителя начальных классов. Недостаточно твердое знание таб-
92
лиц довольно часто оказывается основным препятствием в овла-
дении приемами письменных вычислений в III классе. Анализ
письменных работ учащихся III класса показывает, что относи-
тельно большое число ошибок в вычислениях падает на случаи
табличного сложения и умножения. То же наблюдается и в ра-
ботах учащихся следующих классов. Вообще нельзя не учиты-
вать тот факт, что слабое усвоение табличных случаев действий
в начальной школе с очень, большим трудом восполняется в ходе
дальнейшего обучения. Отработка соответствующих навыков,
доведение соответствующих умений до автоматизма должно быть
обеспечено именно в начальной школе.
Далее, продумывая содержание и систему проведения повсе-
дневных упражнений, необходимо обеспечить постепенное повы-
шение требований к детям, все время имея при этом в виду, ка-
кие умения и навыки в области устных вычислений станут необ-
ходимыми на следующем этапе обучения.
После ознакомления с приемами письменных вычислений и в
ходе работы над ними важно установить правильное соотношение
между устными и письменными вычислениями, продолжая все
время работу над совершенствованием навыков устных вычисле-
ний, приучая детей и в ходе письменного решения все более лег-
кие вычислительные операции выполнять устно.
Таковы общие и наиболее существенные вопросы методики
изучения арифметических действий. Более подробно содержание,
система и методы работы над каждым относящимся к этому раз-
делу курса вопросом рассматриваются в § 25, 33, 34 и др., посвя-
щенных методике работы по отдельным темам программы.
§ 18. МЕТОДИКА РАССМОТРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ
Введение элементов алгебры в начальный курс математики
позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу,
направленную на формирование у детей таких важнейших мате-
матических понятий, как выражение, равенство, неравенство,
уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа,
обозначающего любое число из известной детям области чисел,
создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в на-
чальном курсе вопросов арифметической теории, является хоро-
шей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятия-
ми переменной, функции. Более раннее ознакомление с использо-
ванием алгебраического способа решения задач позволяет внести
серьезные усовершенствования во всю систему обучения детей
решению разнообразных текстовых задач.
Как видно из сказанного, алгебраическая часть программы
имеет существенное значение. Работа над всеми перечисленными
вопросами алгебраического содержания, в соответствии с тем,
как это намечено в учебниках, должна вестись планомерно и си-
стематически в течение всех трех лет начального обучения. При
93
этом усвоение ни одного из вводимых понятии в данном случае
не должно доводиться до уровня формального определения. При
обучении в следующих классах соответствующие понятия будут
уточняться, трактовка некоторых из них претерпевать более или
менее существенные изменения. Учитывая это, при обучении в
начальных классах не следует забегать вперед, требовать каких
бы го ни было формулировок, раскрывающих сущность рассмат-
риваемых понятий. Это не только преждевременно, но и вредно,
поскольку способствует закреплению в сознании детей знаний,
которые в дальнейшем пришлось бы перестраивать.
Определяя методику работы над вопросами алгебраического
содержания, нужно поэтому особенно четко представлять себе
цель этой работы, задачу, которая должна быть решена на на-
чальном этапе обучения. Рассмотрим эти требования примени-
тельно к каждому из вопросов, относящихся к алгебраической
пропедевтике.
Числовые выражения
С простейшими числовыми выражениями (сумма вида 2 4-3,.
разность вида 5 — 1) дети встречаются начиная с первых шагов
в изучении арифметических действий: они учатся читать, записы-
вать такие выражения, вычислять их значение (сами термины «вы-
ражение», «значение выражения» вводятся обычно только во
II классе). Однако задача подготовки детей к усвоению понятия
выражения не была бы решена, если бы все свелось только к вы-
числениям. Самое важное, чтобы дети поняли, что при решении
задачи вида: «Па одной тарелке 2 яблока, па другой 5 яблок.
Сколько всего яблок на этих тарелках?» — ответить на поставлен-
ный вопрос можно не только, сказав, что всего на них 7 яблок, но
и так: «Всего на этих тарелках 2 + 5 яблок» или: «Число яблок
на обеих тарелках равно сумме чисел 2 и 5» Этот переход совер-
шается естественно, когда дети знакомятся с составлением число-
вого выражения при решении задач в 2 и более действий.
Только здесь, в сущности, и начинает «работать» само выраже-
ние, создаются реальные условия для «разведения» в сознании
учащихся понятий «выражение» и «значение выражения».
Чтобы дети овладели соответствующими умениями, важно
упражнять их в составлении выражений по тексту задач, включая
в упражнения как задачи сюжетные (в которых идет речь о ка-
ких-либо реальных предметах), так и задачи, сформулированные
в отвлеченной форме.
Так, прежде чем приступить к составлению выражения по тек-
сту задачи в 2 действия, полезна упражнять детей в записи вы-
ражений по заданиям такого вида: «Сумму чисел 5 и 4 уменьшить
на 2» и т. п.
Для формирования понятия о выражении большое значение
имеют также задания, в которых требуется сравнить 2 выраже-
94
ния. Например: детям предлагают сравнить две суммы: 5 + 6 и
6 + 5, поставить нужный знак: >, < или = . Иногда сравнение
выражений может быть выполнено без вычисления их значений
(так, в приведенном примере знак равенства может быть поставлен
на основе знания свойства, в соответствии с которым от переста-
новки слагаемых сумма не изменяется).
Предлагая подобные упражнения и проверяя знания и умения
дегей в этой области, учитель должен стремиться лишь к тому,
чтобы они умели практически выполнять подобные задания: за-
писать выражение, прочитать его, составить выражение по пред-
ложенной задаче, составить задачу по данному выражению (или
«по-разному» прочитать данное выражение), понимали, что зна-
чит записать сумму (разность) с помощью цифр и знаков действий
и что значит вычислить сумму (разность), а в дальнейшем, после
введения соответствующих терминов, что значит составить выраже-
ние и что значит найти его значение, т. е. чтобы они умели выпол-
нять такие задания. Вопросов же вида: «Что называется выраже-
нием? Что называется значением выражения? Что значит найти
значение выражения?» — задавать детям не следует.
Хорошее овладение умением составлять выражение по тексту
любой простой задачи, а также составить выражение по тексту не-
сложной составной задачи яаляется важнейшим элементом в
подготовке детей к использованию алгебраического способа ре-
шения задач. Без такой подготовки составление уравнения при
решении относительно трудных задач, рассматриваемых в III
классе, стало бы невозможным.
Мы привели лишь отдельные примеры упражнений, наметили
основное направление работы над числовыми выражениями.
Более подробно эти вопросы (и, в частности, вопросы, связанные
с усвоением порядка выполнения действий в выражениях, содер-
жащих несколько действий) будут рассматриваться в разделах,
посвященных изучению отдельных тем программы.
Числовые равенства и неравенства
В практике обучения в начальных классах числовые выраже-
ния с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с чис-
ловыми равенствами и неравенствами.
В математике числовые равенства и неравенства делятся на
истинные и ложные. В начальных классах вместо этих терминов
употребляют слова «верные» и «неверные». Например, равенство
6 + 7 = 13 верное, а равенство 6 + 7 = 12 неверное. Для лучшей
подготовки детей к рассмотрению вопросов об истинности или
ложности рассматриваемых равенств и неравенств в следующих
классах полезно приучать детей к оценке истинности или ложно-
сти полученных равенств и неравенств уже с первых шагов обуче-
ния в начальных классах.
86
Так, в I классе, где еще термины «равенство» и «неравенство»
не используются, учитель может при проверке правильности вы-
полненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме:
«Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное зто решение
или неверное?», или предлагать детям упражнения, в которых
требуется проверить решение данных примеров, найти неверные
записи, заменить их верными и т. п. Аналогично при рассмотре-
нии числовых неравенств вида 5 < 6, 8 > 4 и более сложных
учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти
ваписи?» (а после введения термина «неравенство» — «Верные ли
»ти неравенства?») Или: «Подбери такое число, чтобы, подставив
его в «окошечко», мы получили верное равенство: 5 4- 18 =
= 18 + □».	•
Начиная с I класса дети знакомятся и с преобразованиями
числовых выражений, выполняемыми на основе применения
изученных элементов арифметической теории (нумерации, смыс-
ла действий, свойств действий и др.). Например, на основе знания
нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представ-
лять любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это
умение используется при рассмотрении преобразования выраже-'
ний в связи с изучением многих вычислительных приемов. На-
пример: 23 4- 4 = (20 4- 3) 4- 4, применяя затем известное
уже к атому времени правило прибавления числа к сумме, дети
могут продолжить преобразование выражения, заменив его таким:
20 4- (3 4- 4) и т. д.
В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети
встречаются с «цепочкой» равенств.
Подготовка к ознакомлению с переменной.
Элементы буквенной символики
Введение в начальный курс обучения элементов буквенной
символики предполагает, что дети уже в младшем школьном воз-
расте должны подняться еще на одну чрезвычайно важную сту-
пень на пути к овладению абстрактными понятиями математики.
Переход от действий с числами, от рассмотрения числовых вы-
ражений, равенств и неравенств к выражениям, содержащим
переменную, обозначенную буквой, — сложная и ответственная,
задача.
Этот переход должен быть весьма тщательно подготовлен. Си-
стема соответствующей подготовительной работы, намеченная в
учебниках для I—III классов, обеспечивает накопление достаточ-
ного запаса знаний в ходе изучения чисел и арифметических дей-
ствий с ними; она предусматривает и специальные упражнения,
постепенно подводящие детей к осознанию переменной.
Учителю важно разобраться в этой системе и целенаправленно
использовать каждое такое упражнение, чтобы не «перескочить»,
96
работая с детьми^ ян через одну из намеченных в этой «лесенке»
ступеней.
Так, впервые дети встречаются с использованием переменной
уже в теме «Десяток» (I класс), когда им предлагаются так на-
зываемые примеры с «окошечком». Например, при составлении
таблиц сложения и вычитания в пределах 10 используется та-
кое обозначение: □ + 1 (М. 1, с. 34). Учитель объясняет, что в
«окошечко» можно подставлять числа от 1 до 9, записывать со-
ответствующие примеры,' решать их, и в результате получится
таблица, данная на той же странице книги.
Несколько позднее наряду с примерами, в «окошечко» кото-
рых должно быть подставлено определенное число, подсказывае-
мое соответствующим рисунком, вводятся и такие примеры, в
которых в «окошечко» Могут быть подставлены и разные числа
(см., например, упражнения, раскрывающие прием прибавления
числа по частям вида 5-)-3 = 5-|-П4-П. В данном случае
в первое «окошечко» можцо подставить, скажем, число 1, тогда
во втором будет число 2, но можно поступить и иначе, прибавив
сначала 2, а потом 1).
На страпице 45 мы встречаемся уже с такими примерами:
□ _т □ ~ 6, 6 = □ + □. Дети убеждаются, что верное равен-
ство в данном случае можно получить, подставляя вместо пропу-
сков различные комбинации чисел (5 и 1, 4 и 2 и т. п.). Эти упраж-
нения постепенно усложняются. Приведем, например, задания
такого вида (как даны на. с. 47 учебника под № 3), где детям пред-
лагается составить задачу по рисунку и записи □ + 3 = □,
причем рисунок не подсказывает числа, которое должно быть
поставлено вместо первого «окошечка».
Подготовкой к рассмотрению переменной является и вся си-
стема упражнений по заполнению таблиц, в которых представле-
ны, например, различные значения слагаемых, а требуется найти
соответствующее каждой паре таких значений значение суммы.
Среди таких таблиц встречаются и таблицы, которые дают воз-
можность познакомить детей практически со случаем, когда зна-
чение одного слагаемого (или уменьшаемого, вычитаемого и пр.)
остается постоянным, а значения другого слагаемого изменяются.
К сожалению, наблюдения за практикой работы школ показы-
вают, что довольно часто учителя недооценивают важности этих
упражнений и ишЮльзуют их лишь как упражнения в вычисле-
ниях и для закрепления знания связи между компонентами и ре-
зультатами действий. Это ослабляет подготовку детей к осознанию
смысла буквы, которая во II классе будет введена для обозначе-
ния переменной.
Чтобы использование таблиц такого вида было полноценным,
важно обращать внимание на то, меняется ли значение уменьшае-
мого, вычитаемого^ разности, спрашивать, какое значение разно-
сти соответствует тому или иному значению уменьшаемого и вы-
читаемого и т. и.
41 Заказ 367
97
Во II классе в начале года вводятся буквенные обозначения
переменной и начинается работа над выражениями с переменной.
Основные направления в работе, связанной с использованием
буквенной символики, в дальнейшем состоят в нахождении зна-
чения выражения, содержащего переменные, при заданных чис-
ловых значениях входящих в него букв, в записи в общем виде
некоторых усвоенных ранее арифметических закономерностей
(например, переместительного свойства суммы: а + Ъ = b + а),
в решении задач с буквенными данными. Методика соответствую-
щей работы подробно рассмотрена в § 37 настоящей книги.
Неравенства с переменной
Впервые с неравенствами, содержащими переменную, дети
встречаются в I классе, где такие неравенства задаются с исполь-
зованием условного знака, который дети часто называют «окошеч-
ком». (Равенства такого вида упоминались выше.) Так, на стра-
нице 47 учебника для I класса предлагаются, например, неравен-
ства вида: 5 + 3 < □. Дети должны подставить в «окошечко»
такие числа, чтобы запись была верной. Аналогичные упражнения
во II классе, после введения букв, предлагаются уже с обозначе-
нием переменной любой буквой латинского алфавита.
Решаются неравенства в начальной школе только методом
подбора. Как правило, и задания формулируются так: «Подбери
такое число, при котором данное неравенство будет верпым». До-
вольно часто детям дают несколько значений переменной и пред-
лагают из данного ряда чисел выбрать те, при подстановке кото-
рых в данное неравенство получится верное неравенство. .
’ Работа с неравенствами в начальной школе в основном на-
правлена на формирование понятия о переменной и с точки зре-
ния обучения решению неравенств носит пропедевтический ха-
рактер.
Уравнения
При характеристике содержания обучения в начальных клас-
сах отмечалось, что первое знакомство с уравнением происходит
в I классе, где оно вводится как название равенств вида:
3 + х = 8, 9 — х = 2, х — 6 = 3.
В ходе решения этих уравнений у детей должно быть посте-
пенно сформировано понимание уравнения как равенства, содер-
жащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны
понять, что всякий раз, как мы встречаемся с уравнением, зада-
ча заключается в том, чтобы найти то значение этого неизвестного
числа, при котором равенство будет верным. Значение неизвест-
ного при решении уравнений в I—III классах', как правило, на-
ходится на основании знания связи между компонентами и ре-
зультатами действий.
98
Наряду с этим (основным для начальных классов) способом ре-
шения уравнений в ряде случаев можно использовать и другие,
основанные на применении известных детям элементов арифмети-
ческой теории. Например, уравнение вида х • 17 = 17 • 35 может
быть решено без выполнения вычислений на основании знания
переместительного свойства произведения. Аналогично уже в
I классе уравнение вида 26 + х — 26 Н' 13 может быть решено
на основе простого рассуждения:
«Если к равным числам прибавили поровну, то и получится
поровну. Значит, х = 18».
Сложность рассматриваемых уравнений от класса к классу,
от года к году повышается в соответствии с требованиями, зафикси-
рованными в программе. Подробно методика работы над уравне-
ниями различных видов рассматривается при описании работы
по каждой теме (§ 27, 37, 51, 52).
§ 19. МЕТОДИКА'ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Основное содержание геометрического материала, включен-
ного в программу и реализованного в системе тщательно отобран-
ных задач, направлено на формирование достаточно полной си-
стемы геометрических представлений (включающей образы гео-
метрических фигур, их элементов, отношений между фигурами,
их элементами).
На этой основе формируются пространственные представления
и воображение, развивается речь и мышление учащихся, органи-
зуется целенаправленная работа по формированию важных прак-
тических навыков.
Важнейшей задачей учителя является определение методики,
раскрывающей содержание геометрического материала на том
уровне, который должен быть достигнут учащимися к моменту
их перехода в IV класс, а также ведущих направлений изучения
этого материала1.
Для формирования геометрических представлений работа долж-
на проводиться следующим образом: свойства фигур учащиеся
выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходи-
мую терминологию и навыки; основное место в обучении должны
занимать практические работы учеников, наблюдения и работы
с геометрическими объектами.
Оперируя разнообразными предметами, моделями геометриче-
ских фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, уча-
щиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от
материала, цвета, положения, массы и т. и.).
В методике формирования геометрических представлений важ-
но идти от «вещи» к фигуре (к ее образу), а также наоборот — от
образа фигуры к реальной вещи.
1 Пышкало А. М. Методика обучения элементам геометрии в начальных
Классах. М., 1973, с. 28—33.
4*	99
Это достигается систематическим
использованием приема материали-
зации геометрических образов. На-
пример, прямая линия не только вы-
черчивается с помощью линейки,
представление о ней дает и край —
ребро линейки, натянутая нить,
линия сгиба листа бумаги, линия
пересечения двух плоскостей (на-
пример, плоскости стены и плоскрсти
потолка). Отвлекаясь от конкретных
свойств материальных вещей, уча-
щиеся овладевают геометрическими
представлениями. Так, например,
можно видоизменять способ деления
многоугольника отрезком на части.
Вначале это может быть перегиба-
ние бумажного многоугольника
(рис. 7). В этом случае отрезок (ли-
ния сгиба) реально делит многоуголь-
ник на 2 части. Этот опыт полезно
продолжить, разрезав многоуголь-
ник по линии сгиба на 2 многоуголь-
ника. Несколько позже эту же зада-
чу полезно решить на чертеже, вна-
чале путем непосредственного про-
ведения (вычерчивания) отрезка
(рис. 8), затем прикладыванием
указки (рис. 9).
В I классе в основном завершает-
ся первоначальное ознакомление с
фигурами и их названиями. Это де-
лается на основе рассмотрения ок-
ружающих вещей, готовых моделей
и изображений фигур. У детей пос-
тепенно вырабатывается схема изуче-
ния фигур, схема их анализа и синтеза, облегчающая усвоение
свойств каждой фигуры.
Значительное место в методике должно отводиться примене-
нию приема сопоставления и противопоставления геометрических
фигур. В I классё это позволит из множества фигур наглядно (без
помощи определений) выделять множество кругов, множество
многоугольников, множество линий и т. д.; во II и III классах —
уточнять свойства фигур, классифицировать их. Больше’внимания
следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских
фигур (круг — многоугольник, окружность — круг *и т. д.);
плоских и пространственных фигур (квадрат — куб, круг —
шар и пр.).
100
Причем эта работа должна проходить не только на уроках ма-
тематики, но и на уроках труда и особенно на уроках рисования,
когда воспроизведение формы предмета зависит от качества и
глубины анализа его геометрической формы. Например, при на-
блюдении куба (или предмета, имеющего форму куба) следует
найти в нем характерные точки, отрезки, многоугольники; при
наблюдении шара можно обратить внимание на его круглые се-
чения.
Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометриче-
скими фигурами в I классе дети выполняют умственные операции
анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей мето-
дику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе
которого выделяются ее существенные свойства (признаки) и
несущественные. Так, например, существенным для треугольника
будет не его положение на плоскости (листе бумаги), не относи-
тельные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин);
для прямоугольника существенно то, что он четырехугольник
(четыре угла) и все его углы прямые. Все остальное не сущест-
венно.
В процессе обучения возникает потребность применения гео-
метрической и логической терминологии, символики, чертежей.
Тик, уже no II классе введение буквенной символики помогает
не только различать фигуры и их элементы, но и является одним
из средств формирования обобщений. Например, запись ОК < 5 см
говорит учащимся о том, что отрезок ОК — любой отрезок, имею-
щий длину меньшую, чем 5 см.
Как показывает опыт обучения математике в I—III классах,
под влиянием той легкости и интереса, с которыми учащиеся I —>
III классов воспринимают не только очевидные простые, но иног-
да трудные геометрические факты, учитель начинает недооцени-
вать наглядный и практический подход к изучению геометриче-
ского материала, не выполняет минимума упражнений, помещен-
ных в учебнике, обращает мало внимания на формирование прак-
тических навыков. Такой учитель встает на неверный и опасный
путь формального ознакомления младших школьников с геомет-
рическими фигурами. Он начинает знакомить детей с фигурами
не путем их наблюдения, изготовления из бумаги и вычерчива-
ния, а сообщая формальное определение, только словесным спо-
собом.
Например, учитель сообщает детям то определение понятия
отрезка, которое ему самому запомнилось из школьного курса
геометрии, думая, что этого будет достаточно для создания необ-
ходимого представления об отрезке.
Такой подход преждевременен. И если дети что-то и выносят
из устного объяснения, то положительно воздействовать на них
при этом будут не столько слова учителя, сколько показ чертежа
отрезка. Более того, учитель должен хорошо помнить, что опреде-
лить понятие—это значит точно выделить тот класс объектов,
101
который охватывается данным понятием. Для этого мы должны
знать все существенные признаки определяемого понятия и про-
верить, обладает данный объект всеми этими признаками или не
обладает. Поэтому для того, чтобы понять определение отрезка,
сообщаемое учителем, ребенок должен иметь отчетливые пред-
ставления о прямой линии и ее свойствах, о некоторых точках
прямой, которые в данном случае «ограничивают» отрезок и при-
надлежат отрезку. Но и этого мало. Если учитель сообщит детям,
что «отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя
точками», то может возникнуть различное истолкование данного
предложения в связи с его неточностью. Действительно, о какой
части прямой идет речь о. той, точки которой принадлежат пря-
мой и лежат между граничными Точками, или о той части прямой,
которая включает все точки прямой, кроЛге точек, лежащих между
граничными (два луча)? Как много должен знать ученик, чтобы
в этом случае понять учителя! Другое определение отрезка, ко-
торое, к сожалению, часто используют учителя: «Отрезком на-
зывается часть прямой, ограниченная с двух сторон», — облада-
ет еще большими недостатками.
Учитель не пойдет по такому пути, если будет знать и учиты- ’
вать, что в процессе определения понятия каждый раз одно поня-
тие (например, «квадрат») определяется через другое, более ши-
рокое («прямоугольник»), которое в свою очередь также может
быть определено через еще более широкое понятие («параллело-
грамм», «четырехугольник», «многоугольник»). Такую цепь оп-
ределений нельзя продолжать бесконечно. 13 конце концов мы
приходим к понятиям, наиболее широким и общим, для которых
невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют ос-
новными (первичными или неопределяемыми).	‘
Учитель должен хорошо представлять, что наличие основных
(неопределяемых) понятий как в науке геометрии, так и в школь-
ном курсе геометрии неизбежно. Поэтому, например, он совершит
грубую математическую ошибку, если будет ставить такие вопро-
сы: «Что называется прямой линией?», «Что называется точкой?»,
«Что называется плоскостью?» и т. п., так как эти понятия основ-
ные, они не определяются через указание рода и видового отличия.
Нужно иметь в виду, что в школьном курсе геометрии по мере
овладения учащимися геометрическими представлениями, от клас-
са к классу система основных понятий меняется. В младших
классах эта система более обширна. Например, в I—III классах
такие понятия, как «отрезок», «многоугольник», «угол» и т. п.,
являются неопределяемыми. Но уже в IV классе они определяют-
ся. Из этого следует, что учащимся начальных классов не имеет
смысла задавать вопросы: «Что называется (что такое) отрезком?
Что называется многоугольником? Что называется углом?» й т. п.
Так как понятия «отрезок», «многоугольник», «угол» являются
здесь неопределяемыми, но уже можно ставить вопрос: «Что назы-
вается треугольником (четырехугольником, пятиугольником)?»
102.
и т. п. Дети могут отвечать на
этот вопрос примерно так: «Тре-
угольник — это многоугольник,
у которого три угла (вершины,
стороны)». Здесь можно давать
несколько избыточное опреде-
ление прямоугольника как че-
тырехугольника, у которого все
углы прямые.
Попытки ранней формали-
зации при ознакомлении млад-
ших школьников с геометри-
ческими фигурами приводят к завышению программных требо-
ваний, к недостаточному, а иногда и неверному усвоению мате-
риала.. Так, например, в классах, где учителя злоупотребляли
«теоретическим» подходом к изучению фигур, многие учащие-
ся не смогли, например, указать правильно все фигуры,
изображенные на рисунке 10. Они путали отрезок (2) и пря-
мую (14), четырехугольник (8) и замкнутую ломаную ли-
нию (9).
Как правило, более высокого уровня усвоения достигают те
учителя, которые, понимая самостоятельную значимость геомет-
рических знаний, стремятся осуществить связь изучения геомет-
рического материала с другим материалом начального курса
математики. В основе этой связи лежит возможность установле-
ния отношений между числом и фигурой, свойствами чисел и
свойствами фигур. Это позволяет использовать фигуры при фор-
ма ровании понятия числа, свойств чисел, операций над ними и,
наоборот, использовать числа для изучения свойств геометриче-
ских образов и их отношений.
I) I классе фигуры следует применять наряду с другими ма-
териальными вещами как объекты для пересчитывания. Несколь-
ко позже такими объектами должны стать элементы фигур, на-
пример вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся
постепенно знакомятся с измерением отрезков. Это позволяет
усга па вливать связь между отрезками и числами. Во II классе
устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и чи-
слами.
Геометрические фигуры используются при ознакомлении
учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается
больше возможностей органически связать изучение геометриче-
ских объектов с арифметическим материалом, включенным в курс
математики для I—III классов.
Уже в I—III классах выполняются простейшие классификации
углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и
т. д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пони-
манию определений, построенных на указании рода и видовых
отличий.
103.
Это дает, например, возможность построить методику ознаком-
ления с прямоугольниками таким образом, что в дальнейшем уче-
ники усваивают, что любой квадрат есть прямоугольник.
Использование упражнений, в которых дети отмечают (выделя-
ют) точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или
нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геомет-
рическую фигуру как множество точек. А это позволяет более
осознанно выполнять операции деления фигуры на части или
получения фигуры из других (складывание), т. е. выполнять по
существу операции объединения, пересечения, дополнения над
точечными множествами.
Важной общей методической линией осуществления связи в
изучении геометрического материала с остальными вопросами
курса начальной математики является таким образом неявная
опора на теоретико-множественные и простейшие логико-мате-
матические представления в изучении фигур, их отношений,
свойств.
Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные гео-
метрические знания, является формирование пространственных
представлений через непосредственное восприятие учащимися
конкретных реальных вещей, материальных моделей геометриче-
ских образов. В I классе пространственные представления выра-
батываются в процессе приобретения детьми практического опыта
при изучении отношений взаимного положения предметов, выра-
жаемых словами «выше», «ниже», «справа», «в середине», «слева»,
«между», «внутри», «вне», «над», «под», «снизу», «сверху», «спереди»,
«сзади» и т. д. Во II—III классах характер работы по формирова-
нию пространственных представлений усложняется. Например,
представления об одной фигуре формируется с опорой на другую.
Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно
получить представления о прямоугольном треугольнике.
Учитель должен систематически проводить работу по форми-
рованию умений и навыков применения чертежных и измеритель-
ных инструментов, построению изображений геометрических фи-
гур, умений описывать словесно процесс работы, выполняемой
учеником, и ее результат, умений применять усвоенную символи-
ку и терминологию. Важным методическим условием реализации
этой системы является сначала осознанное выполнение действий
и лишь затем автоматизация этих действий.
Результатом обучения в I—III классах должно быть форми-
рование первоначальных представлений о точности построений и
измерений.
В I классе учащиеся овладевают навыками измерения и по-
строения отрезков с помощью линейки (с точностью до 1 см).
При этом детям предъявляются не меньшие требования, чем это
обычно делается, например, в отношении навыков письма.
Во II—III классах в практику измерений и построений посте-
пенно вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль-измери-
104
тель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования
к точности построений и измерений, к качеству чертежей и мо-
делей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов
проделанной работы.
Работа по формированию навыков должна проводиться рас-
пределенно и постепенно почти на каждом уроке (и не только на
уроках математики). Это создает условия для более частого при-
менения этих навыков в учебной и практической деятельности,
обеспечивает необходимую их прочность.
Для правильного выбора методики обучения младших школь-
ников учитель должен иметь общие представления о системе за-
дач, представленных в учебниках. Эта система включает в каж-
дом классе задачи:
а)	в которых геометрические фигуры используются как объек-
ты для Пересчитывания (круги, многоугольники, элементы много-
угольников). При решении таких задач в основном усваивается
необходимая терминология и образуются умения узнавать и раз-
личать фигуры;
б)	связанные с формированием представлений о геометриче-
ских величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков,
площадей фигур;
в)	вычислительные, связанные с нахождением периметра много-
угольников, площади прямоугольника;
г)	на элементарные построения геометрических фигур на
клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаге с помощью
линейки, угольника, циркуля (без учета размеров);
д)	па элементарные построения фигур с заданными парамет-
рами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными
сторонами и т. д.);
о) па классификацию фигур;
ж)	па деление фигур на части (в том числе на равные части)
и па составление фигур из других;
з)	связанные с формированием основных навыков чтения
геометрических чертежей, использованием буквенных обозначе-
ний (формированием «геометрической зоркости»);
и)	на выяснение геометрической формы предметов или их
частей.
§ 20. МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ ДЕТЕЙ С ВЕЛИЧИНАМИ
И ИХ ИЗМЕРЕНИЕМ
В начальном курсе математики рассматривается ряд вопросов,-
направленных на формирование у детей представлений о величине,
об измерении величин.
Важнейшее место в этой работе отводится формированию
умений и навыков, связанных с измерением ряда величин, прак-
тическому ознакомлению детей с соответствующими измеритель-
ными приборами и их шкалами, ознакомлению с системой единиц
105
измерения и с переходом от одной единицы измерения к другим
(таблица мер). В основе методики изучения величин Лежит прак-
тическая деятельность учащихся, связанная с овладением навы-
ками измерения таких величин, как длина отрезка, площадь
фигуры, масса тела, время. Перечисленные величины в программе
начальной школы называют основными. Кроме основных величин,
дети знакомятся с некоторыми производными величинами, на-
пример со скоростью равномерного движения. По по отношению
к производным величинам в I—III классах не ставится и не ре-
шается задача обучить измерению этих величин, например изме-
рению скорости движения тела.
В основе другого важного направления, определяющего в це-
лом методику изучения величин в I—III классах, лежит четкое
понимание учителем различий между понятиями «число» и «ве-
личина» и той связи, которая между ними имеется. Отметим
сразу, что появление у некоторых учащихся таких часто встреча-
ющихся ошибок, когда дети смешивают такие понятия, как «от-
резок» и «длина отрезка», «площадь прямоугольника» и «прямо-
угольник», «периметр прямоугольника» и «площадь прямоуголь-
ника», говорят о «величине доли (или дроби)», сравнивают числа
«по их величине» и т. д., связано с неправильным применением
самим учителем термина «величина».
Следует помнить, что число возникает в связи с измерением
величин. Так, при измерении отрезка, например ширины обложки
учебника «Математика 2» (в сантиметрах), мы получаем число
17 (17 см). Это число в математике называют мерой отрезка (ши-
рина обложки книги) в сантиметрах, а в школе длиной отрезка
обозначают два несовпадающих, ио близких понятия: меру отрез-
ка и его свойство иметь меру1.
В связи с этим в речи учителя и учащихся должны использо-
ваться формулировки вида: «Измерьте отрезок» или «Узнайте
длину отрезка». В результате измерения мы узнаем длину отрезка
и говорим, например: «Длина отрезка 5 см» или «Длина отрезка
равна 7 дм 2 см».
Большое значение при ознакомлении с величиной имеет ис-
пользование знаний, умений и навыков, приобретаемых учащи-
мися в связи с изучением числа, действий над числами, а также
изучением фигур и операций над фигурами (деление фигур на
части, составление фигур из других). И наоборот, использова-
ние представлений о величине, ее свойствах и измерении в про-
цессе формирования понятий «число», «фигура», «действие над
числами».
Так, например, на основе четких представлений об измере-
нии отрезков и их длине «в дециметрах» и «в сантиметрах» мож-
1 Учителю полезно вспомнить основные положения, связанные с поня-
тием «величина». Для этого, например, можно воспользоваться учебным по-
собием А. М. Пышкало и др. «Теоретические основы начального курса мате-
матики». М., 1974,-с. 341—300,
106
но наглядно иллюстрировать ознакомление первоклассников с
двузначными числами, а на основе представлений о сумме чисел
знакомить детей с важнейшим свойством величины, которое
заключается для длины в том, что если отрезок состоит из двух
отрезков, то его Длина равна сумме длин этих двух отрезков.
Для такой величины, как площадь фигуры, это свойство состоит
в том, что площадь фигуры, составленной из нескольких частей,
равна сумме площадей этих частей, а для такой величины, как
масса тела, — в том, что масса тела, составленного из несколь-
ких тел, равна сумме масс этих тел. Заметим, что рассмотренное
свойство величин справедливо при условии, что каждый раз из-
мерения выполнялись одной и той же (соответствующей) единицей
измерения, например длина только в сантиметрах (или только
в дециметрах и т. д.). Совершенно очевидно, что это свойство
величины не фиксируется в памяти учащихся в виде каких-либо
правил, а только применяется при решении соответствующих
задач.
Упоминаемые выше положения дают возможность строить
ознакомление с числами, фигурами и величинами «параллельно».
Используя для этого систему текстовых задач, при решении ко-
торых учащиеся выполняют ряд действий над числами, представ-
ляющими, в частности, некоторые значения той или иной вели-
чины (длины, площади, массы, времени, скорости). Специфиче-
скими, относящимися только к усвоению представлений о вели-
чинах являются задачи, связанные с выработкой измеритель-
ных навыков, выработкой навыков «чтения» шкалы мерной (мас-
штабной) линейки, часовой шкалы, шкалы торговых весов и т. п.
Здесь важно сформировать у детей умение правильно устанав-
ливать измерительный инструмент или прибор. Например, при
измерении отрезка нужно расположить линейку так, чтобы с
началом отрезка был совмещен начальный штрих линейки (точ-
ка» отсчета); при взвешивании сначала уравновешиваются пус-
тые чашки весов, а если весы циферблатные, то стрелка ненагру-
женных весов устанавливается на нуле.
Учащиеся должны уметь правильно «ставить глаз» по отно-
шению к шкале. Нужно учитывать, что явление параллаксов,
вызываемое смещением (неправильным положением) глаз наблю-
дателя, является источником частых ошибок при отсчетах деле-
ний па шкалах. Чтобы избежать этих ошибок, нужно учить детей
смотреть на шкалу так, чтобы линия взгляда проходила через
конечную точку измеряемого отрезка или через конец стрелки
прибора и была строго перпендикулярна к шкале.
При изучении величин и шх измерении необходимо формиро-
вать реальные представления о единицах измерения, добиваться
умения измерять отрезок «на глаз», оценивать массу небольших
предметов, прикидывая ее «на руку», приучать определять не-
большие промежутки времени без использования часов. При
этом особую роль играет знание детьми (на основе лично
107
выполненных измерений) наиболее знакомых учащимся значений
величин. Например, знание собственного роста (в сантиметрах),
массы (в килограммах), размеров классной комнаты (длина и
ширина в метрах). С учащимися III класса можно опытным путем
выяснить, что (в среднем, приблизительно) расстояние от кончи-
ков пальцев одной руки до локтя другой руки, когда обе руки
вытянуты в стороны (горизонтально, параллельно полу), состав-
ляет около 1 м, расстояние от пола до середины груди (стоя)
также составляет около 1 м, ширина ладони несколько меньше
-1 ди.
Эти и другие знакомые значения величин дают возможность
детям на основе непосредственно выполненных сравнений, а пос-
ле этого и на основе сравнений «на глаз» правильно оценивать
значения величин при решении большого круга задач. Напри-
мер, если ученик III класса знает, что скорость пешехода (в сред-
нем) может быть равна 3—5 км в час, то, скажем, ответ «туристы
прошли за 1 ч 21 км» заставит этого ученика искать ошибку в
своем решении.
Измерения без инструментов («на глаз», «па руку») способст-
вуют формированию у учащихся представлений об окружающей
действительности, в частности формированию пространствен-
ных и временных представлений. Глазомер играет большую роль
в практической и учебной деятельности человека, начиная с ин-
струментальных измерений, где постоянно приходится оценивать
«на глаз» относительные, а в некоторых случаях и абсолютные
размеры частей делений на шкалах.
Важным моментом в методике обучения измерениям «на глаз»
и «на руку» является оценка значения величины (расстояния,
высоты, длины, массы, площади и т. д.) через сравнение с уже из-
вестными значениями этой величины. Для этого необходимо
сформировать у учащихся четкий образ единицы измерения. Он
создается в процессе длительных упражнений, связанных с инстру-
ментальными измерениями.
С опорой на хорошие измерительные навыки осуществляется
работа по установлению соотношений между единицами измере-
ния одной и той же величины, усваивается таблица мер.
В этой связи здесь мы обратим особое внимание учителей на
существенные изменения, связанные с введением новой между-
народной системы единиц измерения величин — системы «СИ».
В ней как основная величина вместо веса тела принята масса
тела. При этом запрещается использование слова «вес». В ре-
зультате взвешивания (это слово сохраняется) с помощью весов
(слово сохраняется) мы получаем массу тела (а не вес). Основной
единицей массы является 1 килограмм (1 кг).
Здесь на протяжении длительного времени особенно на учите-
лей и родителей будет оказывать влияние усвоенная ими термино-
логия. Поэтому перестройка принятой терминологии, -.связанная
с заменой слова «вес» словом «масса» (а эта замена не просто
108
формальная, она связана с использованием существенно различных
понятий), еще многие годы должна находиться в поле зрения учите-
ля. Это требует изменения формулировки условий довольно рас-
пространенных, часто встречающихся задач. Рассмотрим примеры:
1. Вместо: «12 одинаковых деталей весят 24 кг. Сколько весит
одна деталь?» — нужно будет сказать: «Масса 12- одинаковых
деталей 24 кг. Найдите массу одной детали».
2. В тексте задачи: «В магазин привезли 15 ц картофеля. До
обеда продали 7 ц. Сколько картофеля осталось в магазине?» —1
никаких изменений вносить не следует.
Заметное место в работе по формированию представлений о
величинах занимает изучение простейших зависимостей между
величинами, на основе которых изучаются производные вели-
чины. Наиболее ярким примером служит зависимость между
скоростью движения, пройденным расстоянием и временем дви-
жения.
В силу того что можно непосредственно наблюдать процесс
измерения геометрических величин (длины, площади), формиро-
вание основных представлений о величине и ее свойствах естест-
венно связано с их изучением. На этой основе с использованием
простейших аналогий возможно первоначальное знакомство с
измерением емкости (объема), введение единиц емкости — лит-
ра, знакомство с измерением массы (взвешиванием) и, наконец,
с измерением времени. На этой же основе можно обычную из-
мерительную линейку использовать в качестве «счетной маши-
ны», особенно на раннем этапе ознакомления учащихся со сложе-
нием и вычитанием натуральных чисел.
Часто наиболее известные детям измерительные инструменты
могут играть роль хороших наглядных пособий. В качестве
наглядного пособия, иллюстрирующего образование уравнений,
используются обычные двухчашечные весы. Например, если
па левой чашке уравновешенных весов находится предмет, Массу
которого нам нужно найти (обозначим массу предмета буквой z),
и гиря в 1 кг, а на правой чашке — гиря в 5 кг, то легко состав-
ляется уравнение: я: 4- 1 = 5, откуда х — 4, т. е. масса предмета
равна 4 кг. Такой подход дает возможность не только формиро-
вать необходимые навыки измерения массы, но и готовит к осозна-
нию идеи уравнения.
Выполнение измерений дает возможность вырабатывать у
учащихся .необходимые представления о приближенных значениях
величины, о точности измерений, что подводит к пониманию
процесса округления, помогает раскрыть смысл округления.
Поэтому учитель должен показывать детям не только случаи
измерений, приводящие к целочисленным значениям величины,
но и другие. Довольно рано учащиеся должны уметь оформить
результат измерения, например, отрезка следующим образом:
«длина этого отрезка около 7 см» или «приблизительно равна
7 см».
109
Нужно иметь в виду, что прочное овладение младшими школь-
никами системой измерений длины и массы лежит в основе
методики дальнейшего расширения понятия числа при ознаком-
лении учащихся IV—V классов с десятичными дробями и дейст-
виями над ними.
Но методика усвоения таблицы мер в I—III классах должна
строиться не на запоминании или частом повторении, а на тесной
связи с практической деятельностью детей при решении задач,
особенно таких, в которых данные полудаются в результате
непосредственных измерений. Примерами таких задач являются
задачи на нахождение размеров класса, классной доски, а затем
их площади и т. д.
§ 21. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Каждому учителю хорошо известно, какое большое место в
начальном обучении математике занимали всегда, да и сейчас
продолжают занимать текстовые задачи.
Методика обучения детей решению задач протерпела серьез-
ные изменения в связи с введением в начальный курс математики
работы над числовыми и буквенными выражениями, равенствами
и уравнениями.
По-новому стала оцениваться роль, которую играют задачи
в процессе обучения математике, в связи с этим изменилось содер-
жание соответствующей работы (отбор задач, предназначенных
для рассмотрения с младшими школьниками, отбор тех способов
их решения, с которыми должны быть ознакомлены дети). Корен-
ным образом изменилась система расположения соответствующих
упражнений во времени. Совершенно ясно, что в этих условиях
существенной перестройке должны подвергнуться методы и прие-
мы обучения решению задач.
Отбор задач и тех способов их решения, с которыми учитель
должен познакомить учащихся, определены программой. Соот-
ветствующие требования программы реализованы в учебниках.
В учебниках благодаря поурочному их построению в основных
чертах намечена и система распределения соответствующих уп-
ражнений во времени и некоторые основные методические на-
правления работы над задачами. И все же, как показывает ана-
лиз опыта массовой школы, перестройка в. этом отношении про-
ходит с большим трудом. Многие учителя до сих пор еще не осо-
знали в должной мере происшедшие изменения, пытаются новое
содержание и новую систему обучения решению задач осуществ-
лять, используя традиционный подход в отношении применяемых
методов обучения. Это не может привести к успеху.
Учитывая сказанное, представляется важным рассмотреть бо-
лее подробно, что представляют собой задачи, решаемые в на-
чальных классах школы, в чем заключается специфика этого
вида учебных упражнений по сравнению со всеми другими ви-
110
дами математических упражнений, что может и* должно дать
включение их в курс длц достижения тех общих целей, которые
он преследует.
*
Задача, ее главные элементы
Задача — это сформулированный словами вопрос, ответ на
который может быть получен с помощью арифметических дейст-
вий. Рассмотрим основные элемен ты, из которых состоит каждая
задача, и выясним, что значит решить задачу.
Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязатель-
но должен быть .заключен какой-то вопрос. Без вопроса задачи
нет. Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен
в результате арифметических действий, очевидно, в пей должно
заключаться требование узнать то или иное число (или числа) —
искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа,
с помощью действий над которыми может быть найдено искомое.
Поэтому обязательными элементами всякой арифметической за-
дачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько иско-
мых чисел) и данные числа.
Основная особенность сюжетных текстовых задач состоит
в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие
(действия) должно быть выполнено над данными числами для
получения искомого. Текст задачи должен поэтому содержать
какие-то косвенные указания на ту связь, которая существует
между данными числами и искомым и которая определяет выбор
нужных арифметических действий и их последовательности. Это
условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь
между данными числами и искомым, естественно, включает число-
вые данные задачи.
Учащиеся, как правило, довольно легко усваивают, что в за-
даче должно быть не меньше двух числовых данных; несколько
труднее при первом знакомстве с задачами идет осознание того,
что в задаче непременно должен быть заключен вопрос. Дети
часто подменяют задачу описанием условия и вытекающего из
пего следствия. Например, они составляют такие «задачи»: «На
ветке сидели 3 птички. К ним прилетела еще 1 птичка. Всего
стало 4 птички». В связи с этим при первом знакомстве с задачей
важно принять специальные меры для того, чтобы сосредоточить
внимание детей на важности вопроса задачи (соответствующие
приемы работы рассмотрены в § 26).
Итак, основные элементы задачи — условие и вопрос. Число-
вые (или буквенные) данные представляют собой элементы усло-
вия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых
случаях задача формулируется так, что вопрос может включить
в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса.
Все это необходимо учитывать при обучении детей решению
задач. Один из важных моментов обучения состоит в том, чтобы
111
дети научились самостоятельно выполнять первичный анализ
текста задачи, отделяя известное от неизвестного. Существенно,
чтобы они умели не только вычленить из задачи числовые дан-
ные, на и объяснить, что обозначает каждое из содержащихся в
ней чисел в контексте самой задачи, что сказано про то число,
которое нужно найти, и т. п. Важно, чтобы при первичном ана-
лизе внимание обращалось не только иа выделение данных и
искомого, но и на связи между ними, описанные в тексте задачи.
Рассмотрим теперь вопрос о том, что значит решить задачу.
На первый взгляд может показаться, что этот вопрос ясен, что
он не нуждается в обсуждении. Однако это не совсем так.
Термин «решение задачи» употребляется в методике и в жи-
вой речи учителя и учащихся в различных смыслах, и на этой
почве в процессе обучения возникают иногда определенные труд-
ности, которые учителю следует заранее иметь в виду.
Вообще говоря, решить задачу — это значит ответить на по-
ставленный в ней вопрос. Имению так чаще всего понимают тре-
бование решить задачу сами дети. Довольно часто бывает так,
что как только учитель сообщил задачу, дети сразу же дают от-
вет на ее вопрос. Но это далеко не всегда удовлетворяет учителя.’
Он стремится выяснить, как получен этот ответ, на основе каких
рассуждений, с помощью какого арифметического действия и
т. п. Например, была предложена задача: «На одной тарелке
5 яблок, на другой — 3 яблока. Сколько всего яблок на этих двух
тарелках?» Дети отвечают: «8 яблок». Сначала учитель обычно
требует «полного» ответа на вопрос. (Это имеет смысл не только
с точки зрения развития устной речи учащихся, но и для того,
чтобы дети еще раз вернулись мысленно к тексту задачи, сопоста-
вили свой ответ с условием и вопросом -задачи.) Получив ответ:
«На двух тарелках было всего 8 яблок», — учитель продолжает
спрашивать: «Как ты это узнал?» Этот, казалось бы, простой
вопрос нередко для ребенка бывает очень трудным: «Я догадал-
ся», «Я подсчитал» — вот типичные ответы первоклассников в
подобных случаях (а иногда и просто: «Я не знаю»). Среди учите-
лей распространено мнение, что если ученик не может объяснить,
как он получил ответ на вопрос задачи, значит, он не решил ее.
Дети внутренне никогда не могут с этим согласиться. Возникает
своего рода конфликтная ситуация, которая в данном случае
совсем не полезна. Причина ее заключена в том, что учитель пони-
мает требование решить задачу значительно шире, чем просто
дать ответ на ее вопрос.
Для того чтобы не возникало такого взаимонепонимания меж-
ду учителем и учащимися, необходимо разъяснить детям смысл
требования «решить задачу».
Думается, что полезно сказать детям примерно следующее:
задачи, которые вы будете решать на уроках математики, — это
не загадки, которые нужно разгадать. Решить задачу — это зна-
чит объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить
112
над данными в ней числами, чтобы после вычислений получить
число, которое в ней нужно узнать. Записать решение задачи —
значит с помощью цифр и знаков действий показать, что нужно
сделать, чтобы найти неизвестное число, выполнить вычисления
и дать ответ на вопрос задачи.
Роль и место задач в начальном курсе математики
Особенности текстовых задач и их решения во многом опре-
деляют их роль и место в процессе обучения.
Так, в частности, если бы целью обучения математике мож-
но было считать лишь ознакомление детей с числами, арифмети-
ческими действиями, их свойствами, существующими между ни-
ми связями и отношениями, т. е. только с математической сторо-
ной дела в чистом виде, то, вообще говоря, можно было бы и
вовсе отказаться от рассмотрения сюжетных задач и ограничить-
ся изучением этих зависимостей и отношений в общем плане, с
использованием абстрактной математической формы их выраже-
ния. Текстовые задачи сами по себе ничего нового в раскрытие
этих общих математических фактов не вносят и внести не
могут.
Однако, учитывая, что речь идет о начальных ступенях в обу-
чении математике, формирование отвлеченных теоретических
знаний естественно вести на основе обобщения накопленного
детьми опыта жизненных наблюдений и практических действий,
систематизируемого и обогащаемого под руководством учителя.
Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошо
попятные детям жизненные ситуации, могут в этих условиях
оказаться полезным средством ознакомления учащихся с теми
понятиями, си'шипениями, закономерностями, которые составля-
ют предмет начального курса математики.
В этом смысле текстовые задачи играют как бы подсобную
роль в курсе математики наряду с такими средствами, как ис-
пользование различных наглядных пособий, проведение практиче-
ских работ и пр.
Отметим, кстати, что, так же как по отношению к наглядным
пособиям, использование сюжетных задач в качестве опоры при
введении новых понятий, при рассмотрении новых математиче-
ских закономерностей должно учитывать общую задачу постепен-
ного перехода от конкретного к абстрактному. Если на первых
этапах обучения это средство конкретизации отвечает уровню
подготовки учащихся, то в дальнейшем, как уже указывалось
выше, достаточной «наглядной» конкретной основой для. полу-
чения иовых выводов может оказаться сравнение математиче-
ских выражений, наблюдения по числовым таблицам и пр.
Так, например, в I классе ознакомление с новыми свойства-
ми действий начинается обычно с практических упражнений с
использованием разрезного дидактического материала, после че-
113
го детям' предлагается соответствующая сюжетная’ задача, раз-
личные способы решения которой помогают им уяснить смысл
рассматриваемого свойства, и только после этого они переходят
к сравнению соответствующих способов решения на отвлеченных
примерах. Во II классе эту работу можно начать с рассмотрения
текстовой задачи. В III же классе при рассмотрении, например,
нового свойства умножения числа на произведение оказывается
уже возможным пойти другим путем: начать со сравнения раз-
личных способов умножения числа на произведение на несколь-
ких числовых примерах. На этой основе делается соответствую-
щее обобщение, которое затем учащиеся применяют как в но-
вых случаях вычислений, так и при поисках различных способов
решения соответствующих сюжетных задач. Здесь сюжетная за-
дача является, таким образом, уже не отправным моментом в оз-
накомлении с новой для детей математической закономерностью,
а одной из форм упражнений, выполняя которые дети закреп-
ляют и совершенствуют приобретенные знания, учатся приме-
нять их к решению практических, жизненных вопросов и
задач.
Во всех рассмотренных случаях сюжетные задачи использу-
ются в качестве одного из средств формирования у детей тех или
иных новых математических знаний (либо на этапе ознакомле-
ния с новым, либо на этапе применения в разнообразных усло-
виях, с целью закрепления и совершенствования формируемых
понятий, усвоения изученных свойств действий и г. п.).
Однако к этому функции сюжетных задач, рассматриваемых
в начальном курсе математики, нс сводятся.
Одна из общих задач обучения математике в школе, как это
отмечалось выше (§ 2), состоит в том, чтобы подготовить уча-
щихся к их дальнейшей трудовой деятельности, с учетом совре-
менного уровня развития науки и техники.
Научить видеть в окружающей действительности такие фак-
ты и закономерности, которые могут быть описаны математи-
чески, — одна из важнейших задач обучения. Началом этой ра-
боты и является многое из того, что. связывается с решением
текстовых задач в I—III классах.
Так, начиная с первых шагов обучения, дети должны научить-
ся выделять в окружающей обстановке (или зга рисунке) мно-
жество предметов, объединенных каким-либо общим признаком,
подмечать количественные изменения, которые происходят в
результате тех или иных жизненных действий. (Например: «На
аэродроме было несколько самолетов. Прилетел еще 1 самолет».
Число самолетов на аэродроме увеличилось. И т. п.)
Они должны научиться выяснять, какие данные необходимы
(или достаточны) для ответа на тот или иной вопрос, если мы
хотим решить его с помощью арифметических действий над чис-'
лами (например, что достаточно знать для того, чтобы опреде-
лить стоимость 6 чашек, жакие данные еще необходимы, если
114
известна дата окончания события, а нужно узнать его продол-
жительность и т. п.).
Дети должны научиться предложенную им сюжетную зада-
чу переводить на язык математических выражений, овладеть
умением составлять по задаче уравнение (это оговорено про-
граммой). Все эти требования вытекают из необходимости под-
готовить учащихся к решению разнообразных по содержанию за-
дач, выраженных в словесной форме, с помощью доступных им
математических средств.
В этом смысле работу над текстовыми задачами можно срав-
нить с переводом текста с одного языка на другой.
Известный американский педагог и математик Д. Пойа в сво-
ей интереснейшей книге, посвященной специально проблемам
обучения решению задач, пишет, между прочим: «Составить урав-
нение — значит выразить математическими символами условие,
сформулированное словами. Это перевод о обычного языка на
язык математических формул. Трудности, которые могут встре-
титься при составлении уравнений, являются трудностями пере-
вода»1. То же с полным правом может быть отнесено и к составле-
нию выражения по задаче.
Обучение Детей такому переводу должно быть осознано учи-
телем как специальная задача начального курса Математики.
Это третья функция, выполняемая текстовыми задачами в обуче-
нии математике.
Наконец, наряду с перечисленными специальными целями ре-
шение задач является упражнением весьма полезным в воспита-
тельном отношении. Решение задач — упражнение, развиваю-
щее мышление. Мало того, решение задач способствует воспита-
нию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению
иптерисц к самому процессу поиска решения, дает возможность
испытать глубокое удовлетворенно, связанное с удачным решени-
ем. Кик мы уже говорили, именно школа должна воспитать лю-
бовь и даже потребность в трудовом (и, в частности, в умствен-
ном) усилии. Начальная школа может и должна положить нача-
ло формированию у детей этих важнейших качеств личности.
Решение задач — одно из средств, помогающих в этом деле.
Из рассмотрения роли и места текстовых задач в современном
начальном курсе математики должно стать ясно, что целью ра-
боты над задачами вовсе не является разучивание с детьми спо-
собов решения задач каких-то определенных видов.
Цель состоит в том, чтобы, используя текстовые задачи как
один из видов упражнений, обеспечить лучшее усвоение вклю-
ченных в программу вопросов теории, научить детей применять
приобретенные теоретические знания на практике. При этом у
них должны быть сформированы некоторые общие умения, не-
обходимые для самостоятельного решения несложных жизнен-
1 Пойа Д. Как решать задачу, М., 1961, с, 185—186,
115
ных задач, поддающихся «переводу* на язык математики. Мы
должны развивать у учащихся умение рассуждать, основанное
на способности отделить известное от неизвестного, установить
существующие между ними связи, перевести эти связи с конкрет-
ного языка текстовой задачи на абстрактный язык математиче-
ских отношений и зависимостей.
Это принципиально новая постановка целей работы над тек-
стовыми задачами, которая должна войти в жизнь с введением
нового для начальной школы учебного предмета — «математи-
ки». Как показывает анализ опыта массовой школьц эта зада-
ча осознана и «принята на вооружение» далеко не всеми учите-
лями. Сила укоренившихся традиций, в соответствии с которыми
перед учителем ставилась цель научить детей решать задачи
определенных (перечислявшихся в прежних программах) типов,
продолжает оказывать отрицательное влияние и в настоящее
время. Отбор специально составленных так называемых «типо-
вых» задач, разучивание способа решения задач каждого такого
типа — путь, который не может обеспечить том математической
подготовки учащихся, которая требуется в современных условиях.
Отбор, система расположения задач в курсе, методика рабо-
ты над ними должны отвечать общим целям обучения и учиты-
вать при этом те функции, которые могут быть возложены на
этот вид упражнений и которые были рассмотрены выше.
Система задач, представленных в курсе длй I—III классов
Отбор задач и система их расположения определяются рас-
смотренными выше целями, строятся с учетом тех функций, ко-
торые задачи выполняют в курсе.
Текстовые задачи как конкретная наглядная основа при оз-
накомлении детей с новыми математическими знаниями (при
формировании новых понятий, при рассмотрении новых законо-
мерностей и пр.) используются в течение всех трех лет началь-
ного обучения.
Система их расположения, естественно, совпадает с логикой
развертывания вводимых понятий, ознакомления с арифметиче-
скими действиями и их свойствами и т. п. Особенность задач, ко-
торые отбираются в этих целях, — максимальная их простота.
Они должны быть совершенно понятны, близки детям по сюже-
ту, наиболее просто изложены, не содержать никаких непонят-
ных, новых для детей слов, которые требовали бы дополнитель-
ных пояснений.
Именно этой цели подчинена большая часть простых задач,
широко представленных в программе и в учебниках для каждого
года обучения.
Поскольку в I классе дети впервые знакомятся с действиями
сложения и вычитания, а во II классе — с действиями умножения
и деления, то естественно, что в этих классах предусмотрено ис-.
116
пользование простых текстовых задан, направленных прежде
всего на раскрытие смысла этих действий. Напомним, что ни-
каких определений действий в начальных классах не дается, а
потому смысл действий должен быть уяснен детьми, главным’
образом на основе практических операций с различными множе-
ствами предметов и в ходе решения соответствующих простых
сюжетных задач, позволяющих перевести эти операции в план
умственных действий.
Итак, первая группа задач, рассматриваемых в начальном
курсе математики, — задачи, направленные на раскрытие смысла
арифметических действий.
Каждая из этих задач вводится, ос.тествеппо, в то время, когда
программой предусмотрено ознакомление с соответствующими
действиями.
Ко второй группе простых задач относятся задачи, раскры-
вающие различные отношения между числами.
Термин «отношение» употреблен здесь не в том узком смысле,
когда под отношением понимается лишь частное, получаемое
при делении одного числа на другое, а в значительно более ши-
роком, как это принято в современной математике (более подроб-
но об этом можно прочитать в пособии для школьных отделений
педагогических училищ «Теоретические основы начального курса
математики»1).	.
В начальном курсе математики особенно много внимания
уделяется работе над отношениями между числами, которые мо-
гут быть выражены словами «быть равными», «быть на столько-
то больше (меньше), чем», «быть во столько-то раз больше (мень-
ше), чем».
Смысл этих отношений раскрывается на основе разнообраз-
ных практических упражнений, связанных с установлением вза-
имио-одиозначпого соответствия между элементами двух мно-
жеств. Например, если дано множество, состоящее из несколь-
ких треугольников, и другое множество, состоящее из нескольких
кружков, то, образуя пары «треугольник — кружок», можно
выяснить, являются ли Эти множества равночисленными или нет.
На основе таких практических-упражнений в сочетании со
счетом предметов можно выяснить, на сколько больше (или мень-
ше) треугольников, чем кружков, и т. п. При этом устанавлива-
ется и взаимообратность этих отношений (если кружков на 2
больше, чем треугольников, то это значит, что треугольников
на 2 меньше, чем кружков и г. и.).
В дальнейшем аналогичные упражнения используются длй
разъяснения отношения «быть во столько-то раз больше (меньше),
чем».
Только после этого дети учатся выражать рассмотренные от-
ношения в различной форме (с помощью составления соответст-
1 Пышкало А. М., Стойлова Л. П., ИрошниковП. П., Зельцер Д. Н.
Теоретические основы начального курса математики, М., 1974,
117
вующих числовых равенств, уравнений, а также с помощью раз-
личных словесных формулировок).
Широко используются в целях раскрытия этих отношений при
начальном обучении и текстовые задачи.
Третья группа^простых задач, используемых в целях конкре-
тизации, большей наглядности и доступности при рассмотрении
некоторых новых вопросов арифметической теории, — задачи,
раскрывающие связи между компонентами и результатами ариф-
метических действий. Это задачи на нахождение одного Из ком-
понентов действия, когда даны другой компонент и результат,
например:
1.	Задачи на нахождение одного из слагаемых по дайной
сумме и другому слагаемому, а) «На пруду плавали 6 лебедей.
Один из них был черный, а остальные — белые. Сколько белых
лебедей было на пруду?»; б) «В коробке было 6 красных хлопу-
шек и несколько желтых. Всего в коробке было 10 хлопушек.
Сколько желтых хлопушек было в коробке?»; в) «На столе ле-
жало несколько тетрадей. Когда учительница положила па стол
еще G тетрадей, то всего стало 10 тетрадей. Сколько тетрадей
было на столе сначала?»
2.	Задачи на нахождение уменьшаемого по данным вычитае-
мому и разности: а) «После завтрака на тарелке осталось 3 огур-
ца. За завтраком съели 2 огурца. Сколько огурцов было на та-
релке до завтрака?»; б) «На полке стояло несколько книг. Когда
1 книгу взяли, то на полке осталось 7 книг. Сколько кпиг было
на полке сначала?»
3.	Задачи па нахождение неизвестного вычитаемого по дан-
ному уменьшаемому и разности: а) «На наборном полотне было
6 кружков. Учительница убрала несколько кружков. На полотне
осталось 3 кружка. Сколько кружков убрала учительница?»;
б) «На стоянке стояло 8 машин. Когда несколько машин уехало,
на стоянке осталось 3 машины. Сколько машин уехало?»
4.	Задачи на нахождение неизвестного множителя по дан-
ным произведению и другому множителю.
Попробуйте составить сюжетную задачу такого вида. Вы убе-
дитесь, что, какую бы задачу вы ни составили, она окажется за-
дачей одного из двух видов: либо задачей на деление на равные
части, либо задачей на деление по содержанию.
Учитывая это обстоятельство, при раскрытии связи между
множителями и произведением можно использовать лишь отвле-
ченные текстовые задачи вида: а) «Если задуманное число ум-
ножить на 3, то получится 18. Какое число задумано?»; б) «Коля
задумал число. Если 5 умножить на это число, то получится 20.
Какое число задумал Коля?»
5.	Сказанное относится и к задачам на нахождение неизвест-
ного делимого или делителя.
Мы рассмотрели основные виды простых задач, которые ис-
пользуются на этапе ознакомления детей со смыслом арифметй-
118
ческих действий, со связью между компонентами и результатами
действий, при разъяснении смысла важнейших количественных
отношений.
Простые задачи часто используются в начальном курсе мате-
матики и при ознакомлении детей с другими новыми вопросами
программы.
Так, очень важна роль сюжетных задач в деле формирова-
ния у детей представлений о величинах, об их измерении, о свя-
зи, существующей между.такими величинами, как цена, количе-
ство и стоимость, масса одного предмета, число предметов и общая
масса, скорость, время и пройденный путь, длина и ширина
прямоугольника и его площадь, норма выработки за единицу
времени, затраченное время и общая выработка, норма расхода
каких-либо материалов на одно изделие, число изделий и общий
расход материала на них и т. п.
Математическая сущности этих задач, естественно, остается
той же — они сводятся к одному из видов задач, рассмотренных
выше. Однако с точки зрения формирования понятия о величи-
нах имеет смысл говорить специально о задачах на нахождение
стоимости по данной цене и числу купленных предметов, о зада-
чах на нахождение цены по данным стоимости и числу куплен-
ных предметов и т. п.	•	'
Соответствующие задачи вводятся в курсе I—III классов по-
степенно, по мере расширения круга рассматриваемых в нем ве-
личин, в связи с изучением соответствующих вопросов и на мате-
риале других упражнений.	>
Так, в начале работы над задачами на нахождение суммы
рассматривались только такие задачи, в которых необходимость
объединения двух множеств предметов, о которых идет' речь в
условии, очевидна. На следующем же этапе вводятся задачи, ус-
ловия которых сформулированы так, что выбор нужного дейст-
вия выполнить несколько труднее. Приведем для сравнения
пары таких задач:
1) «В коробке было 4 карандаша. Мальчик положил в нее
еще 2 карандаша. Сколько всего карандашей стало в коробке?»
2) «Из коробки вынули сначала 4 карандаша, а потом 2 ка-
рандаша. Сколько всего карандашей вынули-из коробки?»
Во второй задаче выбор действия сложения затруднен тем,
что описанные в задаче жизненные действия («вынули», «еще
вынули») в сознании детей связываются с действием вычитания.
Здесь требуется большее внимание к анализу текста задачи.
С целью формирования у детей умения анализировать зада-
чу, выделять в ней данные и искомое, те связи между ними, кото-
рые отражены в тексте задачи, сознательно подходить к выбору
нужного действия, вводятся и так называемые задачи, выражен-
ные в косвенной форме.
Это задачи на увеличение (или уменьшение) числа на несколь-
ко единиц (или в несколько раз), в текст которых входят слова
lit
«на столько-то больше», но решается задача не сложением, а
вычитанием, слова «во столько-то раз больше», а решается зада-
ча не умножением, а делением и т. п.
Своевременное введение этих задач необходимо для того, что-
бы исключить возможность создания в сознании детей прочных
связей между отдельными, выхваченными из контекста задачи
словами и выражениями и определенным арифметическим
действием. Введение этих задач с самого начала должно способство-
вать формированию у учащихся правильного подхода к реше-
нию любой-задачи, который предполагает обязательный и доста-
точно тщательный анализ условия, всестороннее его рассмотре-
ние. (О методике работы над соответствующими задачами более
подробно рассказано в § 32 и 35.)
Итак, подбор и расположение простых текстовых задач для
I—III классов подчиняется логике рассмотрения новых вопросов
арифметической теории и вместе с тем отвечает требованию по-
степенного усложнения заданий. Это усложнение может быть
связано с некоторыми особенностями той формы, в которой пред-
ставлены в задаче математические связи и отношения, определяю-
щие выбор арифметического действия,-необходимого для ее реше-
ния. Усложнение заданий происходит также при введении новых
величин, при рассмотрении новых для детей связен между ними.
Наряду с задачами в тех же целях с успехом используются
в начальном обучении близкие к ним по характеру упражнения,
которые условно можно назвать задачами-вопросами. Сходство
их-с задачами состоит в том, что в них, как и в задачах, задают-
ся в словесной форме те или шиле зависимости, отношения, свя-
зи, которые могут быть переведены на язык математики, а раз-
личие заключается в том, что для ответа на поставленный вопрос
не требуется выполнять какое-либо арифметическое действие
над числами, а нужно лишь применить знания некоторых мате-
матических фактов, закономерностей.
Приведем для примера несколько таких задач-вопросов:
1)	«Если известно, сколько книг было на одной полке и сколь-
ко книг было на другой полке, то каким действием можно узнать,
сколько всего книг на этих двух полках?» Для ответа па вопрос
достаточно понять, что в задаче речь идет об объединении двух
данных множеств предметов, и указать, что решается эта задача
сложением.
2)	«Несколько карандашей разложили в 2 коробки поровну.
Б одной коробке оказалось 6 карандашей. Сколько карандашей
в другой коробке?»
Решение основывается на пониьушии выражения «поровну»,
требует ясного представления описанной жизненной ситуации,
но не требует выполнения какого-либо действия над числами.
3)	«С двух станций одновременно навстречу друг другу вышли
два поезда. Они встретились через 2 ч. Сколько времени был в
пути каждый из них до момента встречи?»
120
Ответ на поставленный вопрос основывается на понимании
того, что от общего момента начала встречного движения до мо-
мента встречи оба поезда шли одинаковое время, которое указа-
но в тексте задачи-вопроса: «2 ч».
4)'«Как с помощью одного арифметического действия можно
узнать периметр квадрата, если известна длина его стороны?»
Ответ в данном случае может быть дан учеником па основе
такого рассуждения. «Периметр квадрата — это сумма длин всех
его сторон. У квадрата четыре стороны. Мы знаем, что у квад-
рата все стороны равны. Поэтому периметр квадрата можно най-
ти умножением, умножив длину стороны па 4».
К задачам-вопросам примыкают и упражнения, которые ус-
ловно называют задачами с недостающим вопросом или задачами
с недостающими данными. Например:
1)	«Известно, что кукла стоит 2 руб., а заводная машина
4 руб. Какой вопрос можно поставить к этому условию, чтобы
получилась арифметическая задача?» («Что можно узнать по
этим данным?»)
Здесь возможны 'разные ответы, и особенно важно бывает
рассмотреть все те случаи, которые уже известны детям. Так, ес-
ли упражнение дано после изучения всех четырех действий в
пределах 100, то по данному условию можно узнать: а) «сколько
стоят кукла и машина вместе»; б) «на сколько машина дороже
куклы»; в) «на сколько кукла дешевле машины»; г) «во сколько
раз машина дороже куклы»; д) «во сколько раз кукла дешевле
машины».
2)	«В первом отряде 25 пионеров, а во втором больше. Сколь-
ко пионеров во втором отряде? Какого данного не хватает для
того, чтобы можно было ответить на поставленный вопрос?»
((«казано, что во втором отряде больше пионеров, чем в пер-
вом, ионе сказано па сколько. Если бы мы знали, па сколько их
больше, то па вопрос можно было бы ответить, выполнив сло-
жение.)
3)	«Какие нужны данные, чтобы составить задачу, в которой
спрашивается, на сколько один человек старше другого?»
Учителю полезно иметь в виду и такие «задачи», в которых не
хватает для решения не числовых данных, а того или иного эле-
мента условия, формулируемого словесно. Например: «На почте
приняли 5 посылок с фруктами. В одной посылке было 6 кг фрук-
тов. Сколько килограммов фруктов было во всех 5 посылках?»
(В данном случае задачу решить нельзя, так как в тексте ее не
указано, что все ящики были одинаковыми.)
Наконец, следует упомянуть также о задачах с лишними дан-
ными. Например: «Витя поймал 3 ершей и 1 щуку, а Вася 5 ер-
шей. Сколько всего ершей поймали мальчики?» Такие задачи
также позволяют обратить специальное внимание детей на важ-
ность тщательного анализа текста задачи — ее условия и во-
проса.
121
Задачи-вопросы, задачи с недостающими данными или не-
достающим вопросом, задачи с лишними данными — все эти
упражнения можно рассматривать как дополнительные к системе
простых задач, рассмотренной выше. Они могут использоваться
учителем в разных целях, на разных этапах ознакомления с тем
или иным вопросом курса, в качестве одного из средств, позво-
ляющих обратить специальное внимание детей па важность эле-
ментов задач, сосредоточить их внимание на выяснении зависимо-
сти и т. п. Поскольку, как правило, трудно предугадать, в какой
момент упражнения такого вида могут понадобиться, в учебниках
они представлены лишь в отдельных случаях. Однако учителю
полезно всегда помнить о тех возможностях, которые они откры-
вают, и использовать их по мере надобности как в коллективной
работе с классом, так и в индивидуальной работе с отдельными
учащимися.
Мы рассмотрели основные виды простых задач, их роль и мес-
то в начальном курсе математики.
Многое из того, что говорилось о простых задачах, относится
и к задачам составным.
Так, аналогично тому как простые задачи используются в
качестве наглядной опоры при рассмотрении таких вопросов
теории, как, например, связь между компонентами и результата-
ми действий, значительная группа составных задач подчинена
цели осознания детьми свойств рассматриваемых действий.
Это задачи, иллюстрирующие рассматриваемые в первом
классе свойства сложения и вычитания, а также рассматриваемые
во II и в III классах свойства умножения и деления.
Иллюстрация изучаемых свойств с помощью таких задач мо-
жет быть достигнута в том случае, если дети будут упражняться
в решении их различными способами. Например: «На полке
стояло 30 книг. Девочка сняла сначала 5 книг, а потом еще 3 кни-
ги. Сколько книг осталось на полке?» (задача № 292 из учебника
для I класса, иллюстрирующая свойство вычитания суммы из
числа). (Первый способ решения: 30 — (5 + 3) = 22, второй:
(30 - 5) - 3.)
В учебнике для III класса дана задача (№ 608), иллюстри-
рующая свойство умножения числа на произведение: «На одной
машине привезли 24 мешка муки, по 80 кг в каждом, а на другой
привезли таких же мешков в 2 раза больше. Сколько килограм-
мов муки привезли на второй машине?» Детям предлагается
решить эту задачу различными способами (один способ: (80 • 24) X
X 2 = 3840, второй: 80 • (24 • 2) = 3840).
Задачи такого рода помогают детям не только осознать смысл
рассматриваемых свойств, но и увидеть, в каких случаях они
могут найти применение. Знание этих свойств, рассмотрение со-
ответствующих им различных способов решения текстовых задач
позволяет поставить вопрос о том, какой- из возможных способов
решения является более целесообразным (простым, легким).
122
Составные задачи, как и простые, используются и при озна-
комлении с некоторыми новыми понятиями, новыми случаями
действий, они помогают детям осознать новое для них понятие
дроби числа и другие вопросы курса.
Таким образом, ряд составных задач, как и простые, исполь-
зуются в качестве наглядной конкретной основы при рассмотре-
нии новых понятий, свойств действий и т. п. Этой функцией оп-
ределяется и место их в общей системе курса: они вводятся тогда,
когда рассматриваются соответствующие вопросы, и в таком
количестве, какое нужно для разъяснения новых вопросов кур-
са. (При этом специальной цели обучить детей решению задачи,
скажем, двумя способами не ставится. Важнее, чтобы они могли
решить ее рациональным способом.)
Другая группа составных задач, занимающих относительно
большое место в учебниках для начальных классов школы, свя-
зана (как и простые) с работой над различными количественны-
ми отношениями. Такие задачи вводятся после того, как дети
достаточно хорошо усвоят количественные отношения и научатся
применять свои знания при решении простых задач, включающих
слова «па столько-то (во столько-то раз) больше (меньше)» в раз-
личном контексте.
Включении подобных простых задач в состав задач в 2—3 дей-
ствии позволяет создать несколько более трудные условия для
ирпмепеивя приобретенных ранее знаний. В составной задаче
сходные в некоторых отношениях формулировки, которые часто
смешиваются детьми и в решении простых задач, оказываются в
непосредственной близости друг от друга, что создает дополни-
тельные трудности, требует еще более внимательного анализа
текста. Все это служит условием для лучшего усвоения и диф-
ференциации соответствующих знаний. Так, в одной и той же за-
даче дети могут встретиться с увеличением числа па несколько
единиц и увеличением числа в несколько раз или с увеличением
в несколько раз и уменьшением в несколько раз и д. н.	,
То же относится и к составным задачам, включающим зада-
чи на нахождение суммы, разности, частного, произведения или
задачу на нахождение неизвестного компонента действия. Ре-
шая их, дети в одной и той же задаче встречаются с необходимо-
стью выполнять различные арифметические действия или ис-
пользовать одно и то же действие, но в одном случае, скажем,
дли нахождения суммы, а в другом — для увеличения числа на
несколько единиц и т. н.
Одной из функций составных задач является, таким образом,
развитие приобретенных знаний, совершенствование их в про-
цессе применения в измененных условиях.
Однако включение в начальный курс математики составных
сюжетных задач, как это уже отмечалось выше, преследует не
только эти цели.
123
’ Одной из функций текстовых задач (и в особенности состав-
ных) является обучение детей «переводу» словесно заданных
отношений и связей между различными величинами, числами, на
язык математических выражений, равенств, уравнений. Этой це-
ли в значительной степени подчинены и подбор задач, и, главное,
система их расположения во времени, и методика работы над
ними.
Эта система обеспечивает постепенный переход от простого’
ко все более сложному: от составления простейших выражений
и уравнений при решении задач в одно..действие к составлению
выражений, содержащих 2—3 действия при решении достаточно
легких по своей структуре составных задач, и к составлению урав-
нений по задаче, в которой установить связь между данными и
искомым не так легко. Речь идет о задачах, в которых требуется
для составления уравнения использовать не только умение выра-
зить ряд промежуточных неизвестных в виде простых матема-
тических выражений, содержащих как данные задачи, так
и ее искомое, по и установить затем связь, которая между
ними существует и которая дает возможность составить урав-
нение.
Постепенность в нарастании трудности таких заданий воз-
можна только в том случае, если учитель, сознавая стоящие пе-
ред ним задачи, будет соответствующим образом использовать
в этих целях предлагаемые в учебниках упражнения.
Только учитель может определить, например, какую задачу
в каждый данный момент следует предложить детям, какое за-
дание имеет смысл связать с решением этой задачи: в одном
случае достаточно указать действие, которым решается задача,
в другом — составить по ней выражение или уравнение (без обя-
зательного выполнения вычислений), в третьем — может оказать-
ся целесообразным разобрать ход решения по действиям, после-
довательно выясняя смысл каждого из них и комментируя полу-
чаемые результаты, и т. п.
Составные задачи дают возможность продолжить и значи-
тельно расширить и углубить работу, направленную на ознаком-
ление детей с различными величинами и зависимостью между
ними. Группа составных задач, связанных с необходимостью
применять знания связи между такими величинами, как цена,
количество, стоимость, занимает большое место в учебниках для
всех трех классов. Специальное внимание'уделяется задачам,
раскрывающим связи между этими величинами в I—II классах.
Во II классе вводится ряд новых величин (норма расхода мате-
риала на изделие, число изделий, общий расход материала; норма
выработки за единицу времени, затраченное время и общая вы-
работка и др.); в- III классе дети знакомятся со связью между
скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении,
со связью между сторонами прямоугольника и его площадью.
Все эти новые вопросы рассматриваются обязательно не только
124
на основе практических работ, связанных с наблюдениями, из-
мерениями и пр., по и на материале решения разнообразных сю-
жетных задач, показывающих, какого рода практические вопро-
сы требуют знания и применения изученных взаимосвязей между
величинами.
Решение текстовых сюжетных задач, включающих различные
величины, позволяет познакомить детей (в соответствии с требо-
ваниями программы) с различными случаями взаимосвязи между
величинами. Так, наряду с задачами на вычисление площади
начиная со II класса решается довольно много задач на нахожде-
ние периметра прямоугольника. Б одном случае (когда речь идет
о нахождении площади прямоугольника по его сторонам) дети
встречаются с прямой пропорциональной зависимостью, в другом
(при нахождении периметра) — с зависимостями между величи-
нами, которые не пропорциональны.
Решение составных арифметических задач играет важнейшую
роль в обучении детей тем общим приемам умственной деятель-
ности, которые необходимы при решении любой задачи: а) ана-
лизу предложенной задачи, вычленению известного и неизвест-
ного; б) установлению связи между данными и искомым; в) состав-
лению плана решения; г) переводу зависимости между данными
и искомым, выраженной в задаче словесно, на язык мате-
матических выражений, равенств, уравнений; д) выполнению
соответствующих действий (решению соответствующего урав-
нения) и получению ответа на вопрос задачи; е) проверке ре-
шения.
 Решение задачи представляет собой сложное умение, включаю-
щее каждое из названных выше умений в качестве одного из со-
ставных элементов. Обучение решению составных задач дает
возможность работать как пад каждым из этих частных умений
в отдельности, так и над комплексным их использованием *в про-
цессе решения. При этом усваивается и общий подход к решению
любой задачи (план работы над любой задачей).
Подбор и система расположения задач проведены в началь-
ном курсе математики с учетом этого обстоятельства. Представ-
ленные в нем задачи позволяют учителю постепенно повышать
требования к учащимся в отношении самостоятельного выполне-
ния отдельных элементов решения или всего решения в целом.
Задачи, предназначенные для решения с помощью и под руко-
водством учителя, чередуются в курсе с более легкими и знако-
мыми детям задачами, которые могут быть использованы в Каче-
стве материала для самостоятельной работы детей.
Система расположения задач в курсе подчинена не только
цели создания условий для постепенного нарастания трудности
заданий, но и цели более частого сопоставления, противопостав-
ления, сравнения различных (но в чем-то схожих между собой)
задач. Делается это с целью создания условий для лучшей диф-
125
ференциации в сознании детей формируемых понятий, для вы-
работки у них более внимательного отношения к анализу предла-
гаемых задач.
Затронутые вопросы., хотя они и относятся к отбору и, глав-
ное, к системе расположения задач в курсе, имеют уже самое
непосредственное отношение и к вопросам методов работы учителя
при обучении детей решению задач.
Методы обучения определяются теми целями, которые пре-
следуются при решении текстовых задач, теми функциями, кото-
рые этот вид упражнений выполняет в процессе обучения мате-
матике в начальных классах шкойы2 особенностями содержания
решаемой задачи.
Поскольку на разных этапах обучения функции, выполняемые
текстовыми задачам^ меняются, меняется и характер самих за-
дач и приемы работы над ними. Соответствующие вопросы раз-
бираются подробно при рассмотрении методики изучения каж-
дой темы программы.
II. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕМ ПРОГРАММЫ
ГЛАВА VII
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДЕСЯТОК»
§ 22. ЧЕМУ ДОЛЖНЫ НАУЧИТЬСЯ ДЕТИ В РЕЗУЛЬТАТЕ РАБОТЫ
НАД ТЕМОЙ
Изучая рассматриваемую тему, первоклассники знакомятся
с числами, некоторыми вопросами, связанными с нумерацией на-
туральных чисел, числом О, с арифметическими действиями —
сложением и вычитанием.
В тему «Десяток» включен также довольно большой геомет-
рический материал (знакомство с прямой и кривой линиями,
различными видами многоугольников и их элементами, с вычер-
чиванием, измерением и сравнением отрезков).
Наряду с арифметическим и геометрическим материалом
программа предполагает уже в ходе работы над темой «Десяток»
познакомить детей с некоторыми величинами, их измерением
(знакомство с монетами, килограммом, литром, 'измерением
отрезка с помощью сантиметра).
Учителю нужно совершенно отчетливо представлять себе уро-
вень, па котором должен быть усвоен каждый из вопросов этой
темы. В связи с этим представляется целесообразным конкрети-
зировать требования, которые могут быть предъявлены к уча-
щимся к концу изучения темы «Десяток», показать, что же имен-
но должны знать и уметь дети, какими навыками они должны
овладеть в ходе работы над этой темой.
Именно в этот период у детей должно быть сформировано
первоначальное представление о числе и арифметических дей-
ствиях. Понятия эти на данном этапе обучения рассматриваются,
на чисто интуитивном уровне. Покажем, что именно должны
знать дети. Они должны твердо усвоить названия и последова-
тельность первых 10 чисел натурального ряда (при этом возмо-
жен и даже желателен некоторый выход за пределы 10 при
счете предметов). К концу работы над темой у детей не должно воз-
никать затруднений при требовании воспроизвести эту последова-
тельность как в прямом, так и в обратном направлении, начиная
с любого заданного числа (по заданиям вида «5, 6... называй
следующие числа», «8, 7... называй дальше числа в обратном
порядке»), ученики должны хорошо знать «место» каждого числа
127
в ряду. (Они должны уметь отвечать на вопросы вида: «Какое
число идет при счете после числа 7? Перед числом 6? Какое число
находится между числами 4 и 6? Между какими числами нахо-
дится в ряду число 8?» В вопросах этого вида можно использо-
вать термины «предыдущее число», «последующее число». Дети
должны понимать значение этих терминов.)
Учащиеся должны уверенно овладеть операцией счета пред-
метов, выполнять ее в различных условиях: а) при счете отдель-
ных предметов, представленных в виде, удобном для пересчиты-
вания (когда, например, предметы расположены в ряд, когда
пересчитываемые предметы можно при счете брать по одному
руками и переставлять и т. п.); б) в более сложных условиях
(когда, например, ведется счет звуков, движений и пр. или когда
приходится считать предметы, изображенные на рисунке в не-
упорядоченной группе). Дети должны отчетливо представлять
себе, что ошибки при счете могут возникнуть, если будет пропу-
щен один из пересчитываемых предметов или какой-нибудь из них
окажется «сосчитанным» дважды. Никаких формулировок, свя-
занных с этим, от детей не требуется. Выполняя счет предметов,,
дети знакомятся с такими случаями, когда множества оказыва-
ются равночисленными (5 яблок, 5 кружков, 5 пальцев, 5 пало-
чек и т. п.). На этой основе они должны уловить то общее, что су-
ществует между всеми этими множествами («в них поровну пред-
метов», «яблок столько же, сколько кружков», и т. п.). Объединяя
два множества, одно из которых содержит, например, 2 предмета,
а другое 3, дети убеждаются с помощью счета, что в полученном
в результате объединения, множестве оказалось 5 предметов.
Важнейшим при этом является осознание ребенком того факта,
что в данном случае не имеет значения, о каких именно предметах
идет речь: объединялись ли два множества яблок или огурцов,
палочек или кружков. Дети должйы понимать, что если 2 палочки
и 3 палочки при объединении составили 5 палочек, то и 2 яблока
и 3 яблока — будет тоже 5 яблок, что если мы к двум кружкам
прибавим три кружка, то получим тоже 5, и вообще, что бы мы
ни складывали, если к 2 прибавить 3, то всегда получится 5.
Это тот уровень овладения понятием числа, которого можно и
нужно достичь при изучении темы «Десяток».	т
Используя счет предметов, дети должны научиться отвечать на
вопросы вида: «Сколько в классе окон, дверей, сколько на картин-
ке игрушек?» и т. п., а также на вопрос: «Которым по счету яв-
ляется указанный предмет?» При ртом они должны понимать,
что, отвечая ла вопрос «сколько», можно пересчитывать пред-
меты в любом порядке, а отвечая па вопрос: «Которым по счету
будет тот или иной предмет?», необходимо знать, в каком поряд-
ке они должны пересчитываться (например, если предметы рас-
положены в горизонтальном ряду, то нужно знать, требуется ли
вести счет слева направо или справа налево; если предметы рас-
положены в вертикальном ряду — сверху вниз или снизу вверх,
128
и т. п.). Соответствующие знания проявляются в том, что ученик
правильно выполняет задание, когда ему указан порядок, в
котором производится счет, и отказывается ответить на вопрос,
которым по счету будет указанный предмет, пока такое уточнение
не сделано.
В соответствии с программой дети должны не только усвоить
названия и последовательность чисел в ряду, по и научиться их
читать (узнавать как печатные, так и письменные цифры), пра-
вильно ц аккуратно записывать цифры в тетрадях с клетчатой
разлиновкой.
Дети должны уверенно выполнять сравнение чисел, выяснять,
равны ли они, отвечать на вопрос, какое из двух данных чисел
больше (меньше) другого, выполнять соответствующие записи
с использованием знаков «>», «<», «=».
Ученики должны знать, что число, следующее за данным в
ряду, может быть получено прибавлением 1 к данному числу, а
число, предшествующее данному («предыдущее»), может быть
получено вычитанием 1 из данного числа. - Соответствующие зна-
ния проверяются с помощью вопросов типа: «Как получить чис-
ло, следующее при счете за числом 5?» (К 5 прибавить 1.) Или:
«Как получить число, предыдущее по отношению к числу 8?»
(Нужно из 8 вычесть 1.) «Какое число получим, если к 6 приба-
вим 1?» (Сели к 6 прибавить 1, то получим число, следующее за
мим при счете, это 7.) «Какое число получим, если из 9 вычтем. 1?»
(Нели из 9 вычесть 1, то получим 8, потому что оно идет при счете
перед числом 9.)
Опираясь на практические действия с предметными множе-
ствами (объединение двух данных множеств, удаление части дан-
ного множества), раскрываем смысл действий сложения и
вычитания. Усвоение смысла этих арифметических действий прояв-
ляется в умении правильно выбрать нужное действие при реше-
нии простейших текстовых задач на нахождение суммы и остатка,
на увеличение (уменьшение) данного числа на несколько единиц.
В результате изучения-сложения и вычитания в пределах 10
дети усваивают терминологию, которая при этом вводится. Они
должны понимать формулировки вида: «Первое слагаемое 5,
второе слагаемое 4. Найти сумму»; «Найти сумму (разность) чи-
сел 6 и 2»; «Вычислить сумму, зная, что одно слагаемое равно че-
тырем, а второе шести»; «Уменьшаемое 10, вычитаемое 2. Найти
разность»; «6 увеличить (уменьшить) на 3»; Соответствующие
формулировки должны постепенно включаться в речь самих де-
тей. Отметим кстати, что не следует задавать детям вопрос в та-
кой форме: «Как называются числа при сложении (вычитании)?» —
соответствующую терминологию дети усвоят в процессе повсе-
дневного использования ее учителем, без особого нажима.
В связи с ознакомлением с действиями в I классе рассматри-
ваются и первые простейшие выражения (сумма и разность двух
чисел). Дети должны уметь записать, прочитать соответствующие
5 Заказ 367
129
выражения по заданию учителя, составить выражение в соответ-
ствии с условием простейшей текстовой задачи, уметь, находить
значения простейших выражений и на этой основе сравнивать
число и выражение, 2 простейших выражения.
Знакомясь с числами первого десятка, а затем изучая в опре-
деленной системе приемы сложения и вычитания, дети должны
применять прием прибавления и вычитания числа по частям, на-
пример, знать, что для того, чтобы прибавить к данному числу 4,
достаточно прибавить к нему сначала 2, а потом к полученному
результату еще 2, поскольку 4 = 2 -J- 2 и т. п. Учащиеся должны
усвоить прием прибавления большего числа к меньшему, основан-
ный на знании переместительного свойства суммы (самого назва-
ния свойства учащиеся могут и не знать). Дети должны овладеть
также приемом вычитания, основанным на использовании соот-
ветствующего случая сложения и знания связи, существующей
между суммой и слагаемыми.
На основе многократных упражнений знание табличных слу-
чаев сложения и вычитания в пределах 10 необходимо в основном
довести до автоматизма. При этом следует, однако, учитывать,
что процесс автоматизации соответствующих умений происходит
у разных учащихся по-разному, требует различного числа упраж-
нений и что поэтому к моменту окончания работы над темой у
одних из них будет достигнуто уже усвоение табличных резуль-
татов на память, другие будут выполнять вычисления, используя
рассмотренные приемы, а для некоторых детей в отдельных слу-
чаях может еще потребоваться и опора па наглядность. Однако
цель, к которой необходимо стремиться, — твердое и прочное
усвоение на память всех случаев сложения и вычитания двух
чисел в пределах 10.
Знание связи между суммой и слагаемыми применяется не
только при выполнении вычислений, но и при решении задач
на нахождение неизвестного слагаемого по данным сумме и дру-
гому слагаемому.
Связь между суммой и слагаемыми рассматривается сначала
на наглядной основе, затем при решении соответствующих тек-
стовых задач с использованием соответствующих иллюстраций.
Усвоив, как может быть найдено неизвестное слагаемое по дан-
ным сумме и другому слагаемому, учащиеся применяют эти зна-
ния в вычислениях (например, при вычислении разности 8 — 6,
когда рассуждение ведется примерно так: 8 — это сумма 6 й 2,
если из 8 вычесть одно из слагаемых —6, то получим второе сла-
гаемое —2), а затем и при решении простейших уравнений ви-
да: х ф 3 = 8, 6 4- z = 9. Однако на рассматриваемом этапе
обучения происходит лишь первое знакомство детей с уравнения-
ми. Хотя в это время и вводятся термины «уравнение», «реше-
ние уравнения», эти понятия никак не определяются. На этом
этапе от учащихся требуется лишь понять, что если равенство со-
держит букву, то задача состоит в том, чтобы найти то неизвест-
130
ное число, которое этой буквой обозначено. Решение уравнений в
теме «Десяток» может выполняться всегда с использованием на-
глядности. Работа по обучению детей решению простейших урав-
нений и соответствующих текстовых задач (как и задач, связан-
ных с разностным сравнением чисел) в теме «Десяток» только
начинается и будет продолжена при изучении следующих тем
программы.	v	,
Знакомство с величинами на этом этапе обучения сводится
лишь к тому, чтобы дети знали, когда в повседневной жизни про-
изводится взвешивание, когда используется в качестве единицы
измерения литр, научились измерять отрезки с помощью санти-
метров. На этих примерах до сознания первоклассников должна
быть доведена та основная мысль, что установление определенных
единиц измерения позволяет более точно сравнивать различные
предметы. Учащиеся должны также практически убедиться в том,
что всякое измерение выполняется с помощью счета и в резуль-
тате измерения получается число, которое указывает, например,
сколько гирь в 1 кг должно быть поставлено на другую чашу ве-
сов, чтобы уравновесить взвешиваемый предмет, сколько литров
воды, молока и пр. может вместйть данная кастрюля и т. п. Более
детально рассматривается процесс измерения па примере сравне-
ния отрезков и определения длины отрезков в сантиметрах. (Под-
робнее о тех требованиях, которые в этом отношении должны
быть предъявлены к детям к концу работы над темой, сказано
в § 28. В нем же даны указания и об уровне усвоения вопросов
геометрического содержания, включенных в тему «Десяток».)
$ 23. МЕТОДИКА РАБОТЫ, НАПРАВЛЕННОЙ НА ПОДГОТОВКУ ДЕТЕЙ
К ИЗУ ЧЕ11И1О НУМЕРАЦИИ И АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Подготовка к изучению чисел и арифметических действий фак-
тически в той или иной форме начинается еще в дошкольный пе-
риод жизни ребенка. В детских садах предусмотрена специальная
программа соответствующих занятий с дошкольниками, в усло-
виях семейного воспитания та или иная подготовка в этом направ-
лении также ведется, хотя й без определенной программы.
Поэтому первая задача, которая возникает в этой связи перед
учителем, — выяснить уровень той математической подготовки, с
которой пришел в школу каждый ребенок. Данные такой проверки
необходимы для того, чтобы более точно определить содержание!
и формы работы на уроках подготовительного периода. Только
после такой предварительной проверки можно уточнить, какие
именно вопросы нуждаются в более пристальном внимании в ра-
боте со всем классом и с отдельными учениками.
Проверку подготовленности детей по математическим вопро-
сам многие учителя выполняют еще до начала занятий, при прие-
ме детей в школу. Однако она ни в коем случае не должна прово-
5*
131
диться в такой форме, чтобы дети или их родители восприняли
ее как Своего рода экзамен.
Школьная программа предполагает возможность обучения в
школе детей, не получивших никакой специальной подготовки.
В этом вопросе должны быть полная ясность и полное взаимо-
понимание между учителем и родителями.
Для предварительной проверки важно выделить минимум наи-
более существенных вопросов, которые задаются ребенку в тоне
непринужденной беседы. Например: «Умеешь ли ты считать? По-
считай. Сколько здесь палочек? (На столе разложены в ряд, на-
пример, 8 палочек.) Положи столько же красных кружков, сколь-
ко палочек. А теперь попробуй узнать, каких кружков больше:
синих или красных». (В руки ребенку дается 7 синих кружков.)
Учитель наблюдает, как выполняются соответствующие зада-
ния, и отмечает в заранее - составленной табличке условными зна-
ками, уверенно ли справляется с заданием ребенок или с ошиб-
ками, какими способами он при этом пользуется. Так, в таблице
могут быть выделены, например, такие графы:
№ п/п	Дата	Фамилия, имя	Счи- тает до	Счет предме- тов	Столь- ко, сколь- ко	Каких больше (меньше)		
						на глаз	пере- сче- том	соот- несе- нием
1	25/VIII	Александров Саша	10	+	+			4-
Если предварительной проверки подготовленности детей к
обучению математике учителю провести не удалось, то он осу-
ществляет ее в течение первой недели занятий, в ходе фронталь-
ной работы с классом (спрашивая отдельных учащихся, предла-
гая им те же задания, которые приведены выше, учитель делает
соответствующие пометки в своей таблице).
С самого начала работы с классом важно, по возможности,
дифференцировать вопросы, предлагаемые отдельным ученикам,
учитывая их знания.
Основное внимание на уроках подготовительного периода
(продолжительность которого зависит от общего уровня подго-
товки класса и может занять 6—7 уроков) должно быть сосредо-
точено на выяснении, пополнении и систематизации имеющихся
у детей знаний, умений и навыков.
Вся работа на этих уроках обычно ведется в форме прак-
тических упражнений с использованием предметов из окружа-
ющей обстановки, разнообразного счетного материала (карточки
с изображением различных отдельных предметов, вырезан-
ные из картона геометрические фигуры различной формы и
цвета и т. п.).
132
Коллективная фронтальная работа с классом, когда учитель
или кто-либо из вызванных им учеников выполняет соответствую-
щие демонстрации у доски, работая'с наборным полотном такого
вида, какое изображено на рисунке 5 (с, 35 настоящей книги),
полезно все время сочетать с индивидуальной работой детей.
Каждый ученик работает с имеющимся в приложении к учебнику
счетным материалом (в приложении к учебнику помещена и за-
готовка для изготовления индивидуального наборного полотна,
которое понадобится уже на первых уроках и которое будет ис-
пользоваться и в дальнейшем, в течение всего первого года обу-
чения) .
Основные виды упражнений, характерные для уроков подго-
товительного периода и играющие важную роль и в дальнейшем,
при ознакомлении с числами первого десятка:
1.	Счет предметов. Дети должны как можно скорее освоиться
в новой для них обстановке. Этому помогает рассмотрение всех
тех предметов, которые находятся в классе, счет этих предметов
по вопросам: «Сколько в классе дверей? окон? Это классная доска.
Сколько в классе досок? Как стоят парты в классе? Сколько
рядов парт в нашем классе? Сколько парт в первом от окна ряду?
во втором ряду от окна? в третьем ряду? Сколько учеников сидит
яа одной партой? Сколько девочек сидит в первом ряду? Сколько
мальчиков но втором ряду?» и т. и.
Сначала подобные вопросы задает учитель, затем сами учени-
ки. Можно даже устроить своего рода соревнование в поисках
все новых и новых возможностей постановки вопроса «сколько?».
Дети должны научиться выделять по самым разнообразным при-
знакам предметы, по отношению к .которым можно задать вопрос
«сколько?». Соответствующие упражнения можно провести с ис-
пользованием разнообразного счетного материала, а затем по
рисункам учебника. В пособии для учителя приведено, напри-
мер, 11 вопросов со словом «сколько?», которые можно поставить
по рисунку с кружками, данному на странице 4 учебника. Ана-
логичные упражнения можно легко составить, используя набор-
ное полотно.
В ходе упражнений, связанных со счетом предметов, должно
быть отработано (по возможности у каждого ученика) умение
соотносить при счете называемое число и один из предметов, под-
лежащих счету, понимание того, что последнее из названных при
счете чисел дает ответ на вопрос, Сколько предметов в пересчи-
тываемой группе, понимание того, что при счете нельзя пропустить
пи один предмет и пи один из них нельзя считать дважды.
Усвоение последовательности первых десяти чисел теми деть-
ми, которые еще ошибаются в этом, достигается в ходе трениров-
ки как на этих уроках, так и на следующих уроках, посвященных
ознакомлению с нумерацией чисел 1—10.
2.	Ознакомление с порядковым значением чисел. Соответст-
вующие упражнения можно выполнять начиная с первых уроков.
133
Полезно связывать эти упражнения с ответом на вопрос «сколь-
ко?». После выяснения того, сколько всего кружков на полотне,
спросить, которым по счету оказался последний кружок, крас-
ный кружок и т. п. Главное при этом, чтобы дети поняли, что
порядковый номер зависит от порядка, в котором пересчитыва-
лись предметы.
3.	Практические упражнения в сравнении двух множеств
предметов по числу составляющих их элементов (сначала без
использования счета, а затем в сочетании со счетом элементов
каждого множества).
Прежде всего следует обратить внимание детей на те Случаи
однозначного соответствия между элементами двух множеств
предметов, с которыми они часто сталкиваются в жизни. Напри-
мер, чашку ставят на блюдце. Сколько чашек на столе, столько
и блюдец. Это можно сказать, не пересчитывая их. И т. п.
В ходе практических упражнений дети должны научиться са-
мостоятельно устанавливать однозначное соответствие между
предметами двух сравниваемых множеств. При этом полезно по-
знакомить их с различными практическими способами установле-
ния такого соответствия. Так, если сравниваются, например, не-
сколько больших кубиков и несколько маленьких, то можно на
каждый большой кубик поставить по одному маленькому и в ре-
зультате выяснить, что маленьких кубиков столько же, сколько
и больших, или их не поровну (например, больших кубиков мень-
ше, а маленьких больше).
Работая с полотном, можно узнать, каких кругов больше —
синих или красных, выкладывая их в вертикально расположенные
ряды. Например, в левом ряду кладем красный кружок, а в пра-
вом синий и т. п. Установить соответствие между элементами двух,
сравниваемых множеств предметов можно, не располагая их опре-
деленным образом друг по отношению к другу. Скажем, чтобы
узнать, каких орехов больше — лесных или грецких — в двух
предложенных пакетиках, можно вынимать их по одному и скла-
дывать в третий пакет, пока в конце концов пе выяснится, каждо-
му ли грецкому ореху нашлась пара среди Лесных, пе осталось ли
каких-либо лишних орехов. Полезно также познакомить детей
с возможностью образования пар при сравнении двух множеств
предметов, изображенных на рисунке. В данном случае уже не
представляется возможным образовывать пары, располагая пред-
меты в удобном для сравнения виде. В связи с этим полезно пока-
зать детям прием установления соответствия между элементами
двух сравниваемых множеств предметов с помощью связывающих
их линий. Так, вывесив на доске две полосы бумаги, на каждой
из которых изображены различные геометрические фигуры
(рис. 11), можно поставить перед детьми следующий вопрос: «Как,
не используя счета, узнать, где больше фигур — слева или спра-
ва?» Вызванный к доске ученик должен будет, проводя мелом
линии на доске, образовать пары, устанавливая однозначное со-
134
ответствие между фигурами, изображенными
слева, и фигурами, изображенными справа. (Со-
единяются линией, например, верхний кружок
слева и верхний маленький треугольник спра-
ва^зторые сверху фигуры на обоих плакатах,
третьи и т. д.) Таким образом выясняется, что
на обоих плакатах фигур поровну (или слева
столько же фигур, сколько и справа). По этим
же плакатам может быть поставлен вопрос: «На
котором из них больше (или меньше) треуголь-
ников (кругов, маленьких треугольников, чсу-
пых фигур и т. и.)?» В этом случае пары будут
образовываться с учетом смысла вопроса: соеди-
нив, например, попарно треугольники, изображенные на левом
и правом плакатах, убеждаемся, что па правом плакате оста-
лись треугольники, которым не нашлось пары на левом. Делаем
вывод, что справа треугольников больше, чем слева, и т. п.
Сравнивая два множества фигур, изображенных на классной
доске в виде неупорядоченных групп, можно использовать прием
перечеркивания фигур, образующих пару, и т. п.
Специальное внимание следует уделить упражнениям, связан-
ным с уравниванием двух множеств предметов, в одном из кото-
рых содержится больше элементов, чем в другом. Полезно обра-
тить внимание детей на два возможных способа такого уравнива-
ния: убрать лишние предметы или добавить недостающие. Инте-
ресны и обратные задания, когда даны два множества, содержащих
одинаковое число предметов, а ставится задача — сделать так,
чтобы в одном из них оказалось предметов больше (или мень-
ше), чем в другом. Задача может быть решена двумя способами.
Например, если днны 3 красных кружка и 3 синих, а нужно
сделать так, чтобы красных стало больше, чем синих, то можно
добавит!, один или несколько красных кружков, но можно посту-
пит). иначе — убрать 1—2 синих.
Такие упражнения служат хорошей подготовкой как к изуче-
нию действий и сравнению чисел, так и к формированию понятий
о равенстве и неравенстве.
В ходе таких упражнений вводятся и формулировки вида}
«столько же, сколько», «больше (меньше), чем...». При этом важ-
но с самого начала обратить внимание детей на взаимосвязь отно-
шений больше — меньше: если в одном из сравниваемых мно-
жеств оказалось больше предметов, чем в другом, то это значит,
что во втором из них содержится меньше .предметов, чем в первом,
и наоборот.
Соединяя затем упражнения в сравнении двух множеств со
счетом предметов, входящих в каждое из них, мы тем самым под-
водим детей к изучению чисел.
В самом деле, в ходе упражнений этого вида дети убеждаются,
что если в одном из сравниваемых множеств содержится
135
столько же элементов, сколько и в другое, то в результате счета
предметов как того, так и другого множества получается одно и
то же число. Это основа для понимания того, что число характе-
ризует то общее, что присуще всем самым разнообразным множе-
ствам, в которых «поровну» элементов.
Счет предметов, составляющих два таких множества, в одном
из которых содержится больше элементов, чем в другом, служит
базой для сравнения соответствующих чисел.
4.	Упражнения, направленные на уточнение представлений
детей о пространственных отношениях (связанных с пониманием
и правильным использованием выражений «выше — ниже», «сле-
ва — справа» и др.) и отношениях «следовать за», «стоять (идти)
перед», «находиться между».
На ознакомление с примерами таких отношений не следует
выделять специальные уроки. Они рассматриваются в связи с
проведением всех других упражнений. Дети должны научиться
понимать указания учителя, связанные с рассматриванием ри-
сунков на странице учебника (верхний, нижний, слева нарисо-
вано столько-то кружков, а справа — столько-то треугольников
и т. п.).
Порядковые отношения лучше всего продемонстрировать при
построении самих детей перед уроком и после его окончания и т. п.
Именно здесь уместнее всего поставить вопрос, кто пойдет пер-
вым, кто должен идти за ним, между кем идет тот или иной уче-
ник и т. п.
Все эти вопросы являются необходимой подготовкой к озна-
комлению с числами, их последовательностью, отношениями меж-
ду ними.
5.	Подготовкой к изучению действий сложения и вычитания
чисел являются практические операции по объединению двух
данных множеств предметов и выделению по тому или иному
признаку части данного множества. Упражнения такого вида
могут выполняться уже. на уроках подготовительного периода
в связи со счетом предметов. Так, например, учитель может вы-
ставить на наборном полотне 3 карточки с изображением белых
грибов и 2 — подосиновиков и спросить, сколько белых гри-
бов, сколько подосиновиков, сколько всего грибов. Или, выставив
 на полотне 5 птичек, ’убрать одну и спросить, сколько было пти-
чек, сколько улетело, сколько птичек осталось и т. д.
Упражнения этих видов должны быть широко представлены
на дальнейших уроках, посвященных изучению нумерации.
§ 24. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ
ПЕРВОГО ДЕСЯТКА
Все те упражнения, которые были рассмотрены, выше, про-
должают систематически использоваться в течение всей работы
над темой «Йумерация чисел 1—10». Однако здесь основное зна-
136
чение придается вопросам, связанным непосредственно с получе-
нием каждого нового числа, с выяснением соотношений, сущест-
вующих между смежными числами ряда, с рассмотрением сос-
тава чисел из двух слагаемых. Большое внимание уделяется
работе, направленной на подготовку детей к изучению действий
сложения и вычитания.
При рассмотрении каждого из чисел прежде всего должно
быть выяснено, как оно может быть получено. Для того чтобы
подчеркнуть принцип построения натурального ряда чисел, важ-
но начать с получения числа путем прибавления 1 к предыду-
щему числу. Однако, как это уже отмечалось, дети должны ус-
воить последовательность чисел в ряду как в возрастающем
порядке, так и в убывающем. Поэтому важно познакомить их с
получением любого числа и вычитанием 1 из числа, которое идет
при счете сразу же после пего.
Получение числа прибавлением 1 к предыдущему или вычи-
танием 1 из последующего легко связать со сравнением этих чисел.
Так, например, на уроке, посвященном ознакомлению детей
с числом 4 (как и с любым другим числом в пределах 10), полезно
начать с повторения того, как получали рассматривавшиеся
ранее числа, например число 2 (1 -J- 1, 3 — 1), число 3 (2 + 1).
Предложив детям выставить на верхней полочке наборного по-
лотна 3 треугольника и поставить соответствующую цифру, а на
нижней — столько же кругов, спросим: «Сколько выставлено
кругов?» (Их столько же, сколько и треугольников, значит,
тоже 3.) «Добавьте еще 1 круг к тем трем, которые уже стоят на
полотне». «Сколько теперь стало кругов?» Пересчитав круги,
дети ответят: «Теперь на полотне стало 4 круга». «Как получили
4 круга?» (К трем прибавили 1.) Учитель показывает цифру,
которой записывается число 4, выставляет ее па той полочке
полотна, на которой выставлено 4 круга (рис. 5 настоящей книги).
После этого естественно поставить вопрос, чего больше — кругов
или треугольников. Выясняется, что кругов больше, а треуголь-
ников меньше. После проведения аналогичных упражнений с
использованием индивидуального дидактического материала и
индивидуальных наборных полотен делаются общие выводы:
«Чтобы получить число 4, можно к трем прибавить 1» (показы-
вается соответствующая запись); «Чтобы получить число 3, мож-
но к двум прибавить 1, а можно из 4 вычесть 1» (делаются соот-
ветствующие записи с использованием карточек с печатными
цифрами и знаками). Наконец, делается вывод, что 3 меньше,
чем 4, а 4 больше, чем 3. После введения знаков > и < (которое
предусмотрено учебником уже при рассмотрении чисел 1 и 2) при
сравнении следующих чисел выполняются соответствующие за-
писи (как с помощью печатных цифр, так и письменно в тетрадях).
В ходе таких демонстраций и самостоятельных практических
работ дети знакомятся, таким образом, сразу и с получением числа
прибавлением 1 к предыдущему, и — вычитанием 1 из следую-
137
щего за ним, и с количественными отношениями между сосед-
ними числами ряда, и с местом, занимаемым данным числом в
ряду (после какого числа оно идет при счете, перед каким числом
оно идет, между какими числами находится), с обозначением
числа с помощью печатной и письменной цифры. Упражняются
в записях с использованием знаков действий (4- и —) и отноше-
ний (>, <, =).
Каждое новое число с самого начала выступает как продол-
жение изученного отрезка натурального ряда чисел. При та-
ком подходе создаются условия для того, чтобы дети подметили
некоторые общие свойства чисел натурального ряда; не только
данное, рассматриваемое на этом уроке число, но и вообще лю-
бое число может быть получено прибавлением 1 к тому числу,
которое встречается при счете перед ним, или вычитанием 1 из
числа, которое идет при счете сразу же после пего; любое число
на 1 больше, чем ему предшествующее; любое число больше,
чем каждое из чисел, встречающихся в ряду перед ним, и меньше
любого из идущих за ним (поэтому для сравнения двух чисел
достаточно знать, какое из них раньше встречается при счете —
оно и будет мепыиим).
Чтобы у детей не сложилось такого впечатления, что числа
образуются только с помощью прибавления или вычитания 1,
очень важно показать им различные способы получения чисел
из двух и более слагаемых. Учитывая сложность и многообразие
вопросов, с которыми детям приходится встречаться при изуче-
нии зтой первой темы программы, здесь рассматриваются толь-
ко простейшие случаи: получение числа в результате сложения
двух слагаемых и соответствующие случаи состава числа, т. е.
разложения числа на два составляющих его слагаемых и состав
числа из единиц (дети должны понять, что число 5. состоит из 5
единиц, может быть получено в результате последовательного
сложения 5 единиц, 7 — 7 единиц и т. п.).
Каждому учителю хорошо известно, какое огромное значение
в дальнейшей работе над сложением и вычитанием, при рассмот-
рении приемов сложения и вычитания в пределах 10, а затем и
100 имеет усвоение детьми на память состава чисел из двух сла-
гаемых. Поэтому естественно на уроках по теме «Нумерация чи-
сел 1—10» уделить соответствующим упражнениям специальное
внимание. Однако при этом, как показывают наблюдения, учи-
тель довольно часто предъявляет к детям завышенные требова-
ния, стремясь к тому, чтобы они усвоили па память состав каж-
дого из чисел в пределах 10 (в частности и чисел 6, 7, 8, 9, 10).
Это требование вступает в явное противоречие с той системой
изучения сложения и вычитания в пределах 10, которая опреде-
лена программой и реализована в современном учебнике.
В самом деле, программа предусматривает ознакомление
детей в теме «Десяток» с приемами прибавления и вычитания
числа по частям (по 1 и группами), приемом вычитания, основан-
ий
пым на связи его со сложением. В программе и учебнике выделе-
на специальная тема «Сложение и вычитание в пределах 10»,
на изучение которой отводится достаточно большое время.
Если же состав всех чисел первого десятка будет усвоен детьми
на память уже при ознакомлении с самими числами, то смысл
всей этой работы в значительной мере теряется. Вместе с тем,
чтобы дети запомнили все случаи состава чисел 6, 7, 8, 9, 10, на
ознакомление с каждым из этих чисел следовало бы отвести не
1—2 урока, как это предусмотрено в теме «Нумерация», а значи-
тельно больше времени.
Учитывая сказанное, пужно яспо отдавать себе отчет в том,
что требование усвоения на намять состава числа из двух слагае-
мых целесообразно отнести только к наиболее легким случаям
состава чисел (для чисел 2, 3, 4, 5), а по отношению к числам
6—10 эта задача при изучении темГл «Нумерация» не ставится.
Это вовсе не исключает возможности разбора с учащимися раз-
личных примеров такого рода, но разбор этот должен вестись
в плане ознакомления, а не изучения с целью усвоения на память.
На уроках, посвященных числам 1—5, надо выполнить доволь-
но много упражнений, направленных на прочное усвоение со-
става этих чисел: практические упражнения в объединении двух
множеств предметов и удаления части множества с использова-
нием дидактического материала, составление примеров и задач
по картинкам, упражнения в составлении учащимися соответ-
ствующих примеров с опорой на наглядность, показ состава чисел
2, 3, 4, 5 с помощью числовых фигур или с помощью карточек
с цифрами (см. приложение к учебнику).
При рассмотрении же чисел 6—10 такие упражнения должны
выполняться лишь эпизодически (см., например, с. 25 учебника),
чтобы дети понимали, что и эти числа можно заменять суммой
двух каких-то других мспыпих чисел, что каждое число можно
представить В виде суммы двух слагаемых и получить в ре-
зультате сложения двух чисел. Однако по отношению к числам
6, 7, 8, 9, 10 разбор соответствующих случаев должен проходить
всегда в опоре на наглядность, с использованием счета, без требо-
вания воспроизвести все возможные случаи разложения любого,
из этих чисел на два слагаемых по памяти (без опоры на на-
глядность).
Как при работе над числами первого пятка, так и при озна-
комлении с числами второго пятка важнейшее значение име-
ет удачное применение наглядности. Наряду с постоянным ис-
пользованием разнообразных демонстраций и самостоятельных
практических работ с разрезным счетным дидактическим мате-
риалом, а также иллюстраций учебника, полезно применять спе-
циальные приемы при рассмотрении состава чисел и организо-
вать практические упражнения, которые помогли бы детям рас-
смотреть все случаи состава того или иного числа в определенной
системе. Так, например, соответствующую демонстрацию можно
139
выполнить так: на верхней полочке наборного полотна выклады-
ваем 5 кружков. Предлагаем детям 1 из этих кружков’, перело-
жить на нижнюю полочку, выясняем, как удалось разложить
5 кружков на 2 полочки (4 на одной и 1 на другой). Затем снова
перекладываем 1 кружок с верхней полочки на нижнюю, выяс-
няем следующий вариант разложения: 3 и 2 и’ т. д. Аналогичная
иллюстрация состава числа 6 представлена в учебнике (с. 25) на
рисунках, изображающих k соответственно такие случйи состава
числа: 5 и 1,4 и 2,3 и 3.	•
На той же странице приведен образец и другого способа иллю-
страции состава числа. На рисунке изображено 8 одинаковых
кружков. Разделим их на две группы, отделив карандашом (указ-
кой) сначала 1 кружок, посчитаем, сколько кружков слева от
карандаша, получим один из возможных случаев: 7 и 1. Затем
можно передвинуть карандаш, отделив им 2 кружка. Посчитав
кружки, оказавшиеся слева и справа от карандаша, получим
6 и 2 и т. д. , 
Хорошим способом иллюстрации различных случаев состава
числа из двух слагаемых является использование двухцветных
полосок. Соответствующие иллюстрации могут быть даны с по-
мощью разпоцветпых^брусков, упоминавшихся при перечислении
различных видов наглядных пособий (с. 33 настоящей книги).
Полезно также по аналогии с этим предложить детям обводить
в. тетради нужное число клеточек и затем раскрашивать их цвет-
ными карандашами, называя (или записывая) каждый раз соот-
ветствующий случай состава данного числа.
Для демонстрации в' классе полезным и удобным пособием
являются также двухцветные кружки, нанизанные' на резинку
(рис. 12). Сначала показывают все кружки классу так, что они
оказываются одного цвета. Выясняется, сколько всего кружков
(например, 6). Затем один из кружков переворачивается. Полу-
чаем иллюстрацию случая 5 и 1, затем переворачиваем еще 1
кружок (4 и 2) и т. д.
Использование разнообразных пособий позволяет поддержи-
вать у детей интерес к подобным упражнениям, больше прово-
дить их на уроках и тем самым создавать условия для лучшего
усвоения состава рассматриваемых чисел, систематизации соот-
ветствующих знаний.
С целью закрепления знания состава чисел первого пятка и
ознакомления с составом чисел 6—10 учебник предусматривает
решение довольно большого числа примеров и задач по рисункам.
Эти упражнения следует рассматривать как подготовку к изуче-
Рис. 12
нию сложения и вычитания.
При постепенном расширении
знакомства детей с числами важно
каждый раз основательно отрабаты-
вать те знания, умения и навыки,
формирование которых было начато
140
еще в подготовительный период. Здесь имеется в виду усвоение пос-
ледовательности чисел (в пределах рассмотренных) на таком уровне,
при котором не вызывает затруднений предложение воспроизвес-
ти эту последовательность как в прямом, так и в обратном на-
правлении, начиная с любого из изученных чисел. Здесь имеется
также в виду умение восстановить пропуски в ряду чисел, на-
звать число, непосредственно следующее за данным или ему пред-
шествующее, назвать «соседей» данного числа в ряду, указать,
какое число должно находиться между двумя данными, и т. п,
Отработке этих умений посвящаются специальные упражнения,
которые могут выполняться как в условиях фронтальной работы
с классом, так и в ходе индивидуальных самостоятельных работ.
Уже в это время возможны и диктанты, которые могут включать,
например, такие задания:
— Запиши цифрой, сколько кружков на этой карточке (учи-
тель показывает карточку с 2 или 3—4 кружками).
— Нарисуй столько кружков, сколько указано па этой кар-
точке (учитель показывает карточку с цифрой 1, 2) и др.
— Запиши число, которое идет при счете после числа 5 (4, 7, ...).
— Запиши число, которое стоит в ряду между числами 4 и 6.
— Запиши в тетради только те числа, которые пропущены
в этом ряду (на доске записан, например, такой ряд: 1, 2, ..., 4,
5....7).
— Запиши число, которое на 1 больше, чем 4 (меньше, чем 7)
и т. п.
При изучении каждого из чисел повторяется не только уме-
ние считать предметы, отвечая на вопрос «сколько?», но и
определить порядковый номер того или иного предмета в зависи-
мости от порядка, в котором проводится счет. Продолжается ра-
бота, направленная на уточнение и усвоение таких порядковых
отношений, как «идти раньше», «идти после», «встречаться до
(и после)», «находиться между» и Т. п.
Все рассмотренные выше вопросы должны разбираться при
ознакомлении с каждым из новых чисел. Различия, как уже отме-
чалось, заключаются в том, что на разном уровне требований
изучается возможность получения данного числа в результате
сложения двух других чисел и соответствующие случаи состава
числа: по отношению к числам 2—5 цель состоит в запоминании
этих случаев, по отношению к числам 6—10 такой цели на дан-
ном этапе обучения пока не ставится.
Однако по мере ознакомления с новыми числами характер
рассмотрения тех же вопросов (о получении числа, о месте, за-
нимаемом им в ряду, сравнение данного числа с изученными ра-
нее и др.) должен постепенно изменяться. Учитель всячески сти-
мулирует «перенос» учащимися тех знаний, которые они приоб-
рели при рассмотрении ранее изученных чисел, на новые для щих
случаи. Если при изучении чисел 2, 3, 4 учитель сам организует
соответствующие демонстрации, подсказывает детям с помощью -
141
наводящих вопросов каждый шаг в рассуждениях, связанных о
получением числа или со сравнением двух чисел, то уже, скажем,
при изучении чисел 6, 7, 8 и далее детям должна быть в этом
отношении предоставлена большая самостоятельность. Так, вспом-
нив, как получались знакомые уже числа, учитель может по-
ставить вопрос, как может быть получено следующее число, а
затем и следующее за ним, уже не проводя соответствующих де-
монстраций. Вместе с тем, поскольку у разных детей процесс
обобщения протекает далеко не одинаково, даже получив пра-
вильный ответ на такого рода вопросы от одного-двух учащихся,
все же необходимо использовать соответствующую наглядность.
Характер наглядной иллюстрации также полезно при этом по-
степенно изменять, обеспечивая плавный переход от более кон-
кретных форм ее к более абстрактным. Так, если при объясне-
нии получения чисел 2, 3, при их сравнении, как было описано,
использовались сначала какие-то реальные предметы (палочки
и др.) или их изображения (карточки с изображением грибов,
машин и др.), то при рассмотрении аналогичных вопросов по
отношению к большим числам (7, 8 и более), как правило, ока-
зывается возможным уже ограничиться использованием «число-
вой лесенки», дополняя ее новыми столбиками, иллюстрирующи-
ми рассматриваемые числа. Такая «лесенка» не только иллюст-
рирует образование следующего' числа, но и дает возможность
рассмотреть с опорой на наглядность все те вопросы, которые
связаны с изучением нумерации. Приведем вопросы, которые
могут быть поставлены перед детьми, например, при ознакомле-
нии с числами 8, 9, ответить па которые им поможет «числовая
лесенка»: «Посмотрите на столбик, изображающий число 5.
Сравните это число с предыдущим. На сколько 5 больше, чем
предыдущее число (4)? Посмотрите на следующий столбик. Ка-
кое число оно иллюстрирует, на сколько 6 больше, чем 5? Как
можно получить число, следующее за числом 6? за числом 7?
Какое это будет число? На сколько 8 больше, чем 7? На сколько
7 меньше, чем 8? Какое число идет при счете за числом 8? Как
его можно получить? На сколько 9 больше, чем 8? Между каки-
ми числами находится в ряду число 8?» И т. п.
«Числовая лесенка» — одно из основных пособий при изуче-
нии 'вопросов нумерации в пределах 10. Наибольшую пользу это
пособие может принести., если «лесенка» будет «вырастать» на
глазах у детей постепенно, по мере ознакомления с новыми чис-
лами, а не будет дана с самого начала в полном виде. Работа с
этим пособием создает условия для формирования нужных обоб-
щений.
Следующей ступенью в постепенном переходе к использова-
нию наглядности все более абстрактного характера будет ис-
пользование, в качестве опоры при рассмотрении вопросов нуме-
рации, линейки с нанесенной на нее сантиметровой шкалой (под-
робнее об этом см. в § 28).
142
После ознакомления с числами 1—10 предусмотрено знаком-
ство с числом и цифрой 0 (нуль).
В связи с этим следует отметить некоторые особенности в
работе с этим числом.
Дело в том, что при системе, намеченной учебником, дети
раньше встречаются с цифрой 0, чем с числом нуль. Впервые
эта цифра выступает в качестве начала отсчета при использова-
нии линейки для измерения отрезков, затем они встречаются с
нулем при записи числа 10. Пив том, пи в другом случае этот
знак не выступает еще в качестве цифры, обозначающей какое-
то число. Понятие же о нуле дается специально, причем форми-
руется оно, как и понятие о любом другом числе, па основе прак-
тических действий с предметными множествами. Пуль как харак-
теристика пустого множества (множества, которое не содержит
ни одного элемента) выступает в результате упражнений, показы-
вающих, что, вычитая из какого-либо числа последовательно все
его единицы, в результате мы получаем все меньшие и меньшие
числа (к этому дети готовы) и, наконец, вычтя последнюю едини-
цу, получаем нуль. Выполнение соответствующих упражнений,
работа по рисункам учебника (М. 1, с. 32) должны подвести детей
к пониманию того, что 0 получается в результате вычитания 1
из 1, что поэтому это число на 1 меньше, чем 1, и, следовательно,
в ряду чисел оно должно запять место перед 1 как число, ему
предшествующее.
Познакомившись с этим, можно вернуться к рассмотрению
линейки и дать истолкование того, почему первая цифра, кото-
рая на ней обозначена, именно 0, а не 1. Можно также осмыслить
и значение цифры 0 в записи числа 10.
Изучение вопросов нумерации связывается с рассмотрением
ряда других вопросов программы — дети знакомятся с простей-
шими геометрическими фигурами и их элементами, с измерением
отрезков и др. (эти вопросы рассмотрены подробно в § 28 на-
стоящей главы).
В теме «Нумерация» происходит и первое знакомство детей
с текстовыми арифметическими задачами (особенности работы,
связанной с обучением решению первых -таких задач, рассматри-
ваются в § 26).
Уже в этой первой теме курса дети встречаются и ^упражне-
ниями, направленными на формирование понятий равенства,
неравенства, уравнения. Некоторые из пих были описаны выше.
Система соответствующей работы раскрывается в § 27.
В результате изучения нумерации чисел первого десятка дети
приобретают ту подготовку, которая необходима для ознаком-
ления их с действиями над числами, поскольку все те основные
приемы выполнения этих действий, с которыми учащиеся встре-
тятся в дальнейшем, основаны на уверенном знании натуральной
последовательности чисел (пока в пределах 10, с включением
числа нуль) и понимании Toroj что каждое число может быть за-
143
менепо суммой двух или нескольких чисел. Здесь применяется
и знание на память состава чисел 2—5 из двух слагаемых.
Этой подготовки оказывается достаточно для перехода к ра-
боте над следующей темой программы — «Сложение и вычитание
в пределах десяти».
§ 25.	МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В ПРЕДЕЛАХ 10
Сложение и вычитание изучается на основе практических
упражнений, связанных с объединением двух множеств предме-
тов или удалением части данного множества предметов. Такие
упражнения выполнялись начиная с первых уроков математики,
продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание», но здесь
главное значение приобретает ознакомление с действиями над
числами.
Познакомив детей с самими действиями (их названиями, обо-
значением), последовательно рассматриваем затем различные
приемы вычислений, создающие возможность сознательного и
прочного усвоения всех случаев сложения и вычитания в пределах-
десяти.
Система в изучении различных случаев сложения и вычита-
ния в пределах 10, представленная в учебнике, полностью отве-
чает требованиям, сформулированным в программе. Она пред-
полагает ознакомление детей со смыслом этих действий, различ-
ными случаями их применения при решении разнообразных
жизненных задач, направлена па усвоение детьми предусмотрен-
ных программой вычислительных приемов и формирование соот-
ветствующих умений и навыков.
Навыки сложения и вычитания в пределах 10, как это уже
неоднократно подчеркивалось, должны быть доведены до авто-
матизма, т. е. конечным результатом рассмотрения приемов вы-
числений и выполнения соответствующей системы упражнений
должно стать прочное («на всю жизнь») усвоение детьми всех
случаев сложения и вычитания в пределах 10 (и соответствую-
щих случаев состава чисел) на память. Это необходимое усло-
вие для продолжения работы над сложением и вычитанием в теме
«Сотня».
Программа предусматривает ознакомление со следующими
основными приемами вычислений, которыми учащиеся должны
уметь пользоваться (поначалу, до усвоения на память) при сложе-
нии и вычитании чисел в пределах 10:
1)	прием «прибавления и вычитания числа по его частям» (по
единице или группами);
2)	прием сложения двух чисел с использованием переста-
новки слагаемых;
3)	прием вычитания, основанный па знании связи между сло-
жением и вычитанием^ когда при вычитании чисел (например,
144
вида 9—6) используется знание соответствующего случая сложе-
ния (9 = 6 + 3) и умение находить одно из двух слагаемых по
сумме и другому слагаемому.
Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по еди-
нице или группами) универсален: он может быть использован
применительно к любому случаю сложения или вычитания.
Однако для его использования нужно обладать определен-
ными знаниями. При тех зпаппях, которые дети получили, зна-
комясь с числами 1—10, он может быть применен только по от-
ношению к случаям прибавления (вычитания) чисел 2, 3, 4, 5,
так как дети усвоили состав только этих чисел. Да и в этих слу-
чаях одного знания состава чисел мало. Нужно обеспечить по-
следовательное усвоение случаев прибавления и вычитания снача-
ла числа 1, затем 2 (па основе дважды используемого прибавле-
ния или вычитания единицы). Только после этого можно будет
говорить о применении рассматриваемого приема к случаям
прибавления или вычитания числа 3 (сводящихся к прибавлению
или вычитанию сначала 1, а затем 2) и числа 4 (+2 4- 2 и —2—2).
Для применения этого приема по отношению к числу 5 потребует-'
ся уже знание случаев прибавления и вычитания числа
3 (5 = 2 + 3).
Можно применить этот прием и к прибавлению или вычита-
нию чисел 6, 7, 8, 9, однако здесь он оказывается менее рациональ-
ным, чем другие из предусмотренных программой приемов. Эти
приемы позволяют построить изучение всех случаев сложения
и вычитания в пределах 10 значительно более экономно.
Так, перестановка слагаемых может облегчить вычисления
в случаях, когда к меньшему числу прибавляется большее. В са-
мом деле, если, например, к 3 нужно прибавить 6, то, вообще
говоря, можно было бы и в данном случае применить прием при-
бавления чисел по единице или группами, производя вычисления,
скажем, так: 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, или 3 + 2 + 2 + 2
(для этого нужно только знать, что 6 = 2 + 2 + 2),илиЗ -4 2 + 4
(если известно, что 6 = 2 + 4), или 3 + 3 + 3 и т. п. Однако
легче, переставив слагаемые, рассуждать так: 3 + 6 = 6 + 3,
а 3 можно прибавить к 6 либо сразу (если соответствующий случай
сложения уже усвоен на память), либо по частям так: 6 + 1 + 2
или 6 + 2 + 1. Совершенно ясно, что для ознакомления с прие-
мом перестановки слагаемых нужно предварительно рассмотреть
переместительное свойство суммы, показать, что от перестановки
слагаемых результат сложения (сумма) не изменяется. Озна-
комление с этим одним из основных свойств суммы важно само
по себе: с его практическим применением учащиеся постоянно
будут иметь дело в дальнейшем. Понимание и усвоение переме-
стительного свойства суммы, как показывает опыт, не вызывает
каких-либо затруднений , у детей уже в теме «Десяток». Вместе
с тем введение приема перестановки слагаемых позволяет рас-
смотреть одновременно случаи прибавления чисел 5, 6, 7, 8, 9,
145
так как с его помощью они сводятся к уже изученным детьми
ранее случаям прибавления чисел 1, 2, 3, 4. Таким образом, ис-,.
пользование этого приема позволяет рационализировать систему
изучения сложения в пределах 10, уменьшая число случаев, ко-
торые должны запоминаться.
Несколько сложнее обстоит дело с приемом вычислений для
случаев вычитания чисел 5, 6, 7, 8, 9. Чтобы прием, основанный
на знании связи между сложением и вычитанием, действительно
облегчал детям вычисления, необходимо, чтобы они до того не
только хорошо усвоили, как можно найти одно из слагаемых по
данным сумме и другому слагаемому, но и прочно знали уже сос-
тав чисел в пределах 10. В самом деле, вычитая, например, 6 из
9, ребенок должен в этом случае знать, что 9 является суммой
чисел 6 и 3. Только после этого он, применяя умение находить
одно из слагаемых, может сказать, что, вычтя одно из слагаемых
6, мы получим другое слагаемое 3.
Применение этого приема вычитания, как показывают наблю-
дения, трудно, а иногда и просто непосильно для тех учащихся,
которые не усвоили еще к этому времени достаточно прочно состав
чисел (таблицу сложения в пределах 10). В том же случае, если
удалось добиться хорошего знания состава чисел, этот прием
позволяет свести все эти случаи вычитания (а по аналогии с ними
и вообще все случаи вычитания) к соответствующим случаям
сложения, что очень важно не только для этого этапа в изучении
сложения и вычитания, но и в дальнейшем (особенно при изуче-
нии остальных случаев табличного сложения и вычитания одно-
значных чисел).
Всеми этими соображениями и определяется система рассмот-
рения различных вопросов, связанных с изучением сложения и
вычитания в пределах 10, представленная в учебнике. Следуя
этой системе, нужно вместе с тем иметь в виду, что она не должна
исключать возможности использования детьми наряду с теми
приемами вычислений, с которыми знакомит их учитель, и других
приемов. Так, например, находя сумму 5 4-4, некоторые ребята
используют знание случая 5 + 5 = 10 и интуитивное понимание
того, что, прибавив на 1 меньше (4 на 1 меньше, чем 5), получить
должны на 1 меньше, т. е. не 10, а 9. Для некоторых учащихся
более простым и легким оказывается вычислить сумму 2 + 6 так:
2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8, чем использовать перестановку слагаемых
и находить сумму 6 + 2 и др.
Попытки ограничить инициативу детей в поисках таких «соб-
ственных» приемов вычислений, каждый раз требуя от них при-
менения именно приема, сообщенного учителем, могли бы толь-
ко нанести ущерб развитию математического мышления учащихся.
Если ответ дан верно, то нет никаких оснований для недо-
вольства со стороны учителя, а если ученик при этом еще может
объяснить, как он выполнил вычисления, то его объяснения
всегда следует выслушать с полным вниманием, и если в них
146
нет ошибок, то остается только похвалить ребенка, а никак не
порицать его за то, что он действовал не по установленному за-
кону (об этом приходится говорить, поскольку, к сожалению, с
такими фактами приходится еще встречаться в практике). Вместе
с тем использование намеченных учебником приемов вычислений
связано с применением некоторых вопросов теории, подготавли-
вает детей к рассмотрению тех приемов, с которыми они встретятся
при изучении сложения и вычитания в пределах 100, а потому
эти приемы должны использоваться в качестве основных.
После этих общих замечаний, характеризующих систему и
общий подход к ознакомлению детей с выполнением сложения
и вычитания в пределах 10, перейдем к рассмотрению частных
вопросов методики соответствующей работы.
Первый урок по теме «Сложение и вычитание» должен явиться
своего рода рубежом между работой над нумерацией и изучением
собственно арифметических действий.
Дети фактически имели уже дело со сложением и вычитанием,
выполняли соответствующие записи, решали соответствующие
задачи и даже должны были усвоить к этому времени часть таб-
лицы сложения и вычитания (в пределах 5) и случаи прибавления
и вычитания 1 к любому числу в пределах 10. Однако до сих пор
все эти упражнения они выполняли на основе использования
такой наглядности, при которой искомую сумму или остаток
всегда можно было найти с помощью счета предметов. Начиная
с первого же урока по теме «Сложение и вычитание» встает зада-
ча перевести детей на новую ступень в этом отношении, когда
сумма или разность двух чисел находятся на основе действий
с числами (а пе па основе счета предметов). Опорой при этом
должно быть хорошее знание последовательности чисел 0, 1, 2, ...,
10, понимание того, что любое число может быть получено при-
бавлением 1 к числу, встречающемуся при счете непосредственно
перед ним, или вычитанием 1 из следующего за ним в ряду чисел.
Па этой основе на первом уроке, посвященном изучению сло-
жения и вычитания, дети должны быть подведены к выводу, что
прибавив к данному числу 1, мы получим следующее за ним при
счете число, а вычтя из данного числа 1, — предшествующее ему
в ряду чисел. В дальнейшем при вычислении суммы вида a -f- 1
(или разности вида а — 1) не следует уже разрешать детям поль-
зоваться такими пособиями, как палочки и другой счетный мате-
риал. Результат должен быть назван ими на основе припомина-
ния числа, следующего за данным (при нахождении разности —
предыдущего по отношению к данному). В случае возникновения
затруднений можно разрешить использовать в качестве наглядно-
го пособия числовой ряд, записанный на доске,, или масштабную
линейку с сантиметровой шкалой и с цифрами от 0 до 10.
Уже на следующем уроке дети знакомятся с такими примерами
на сложение и вычитание, в которых требуется прибавить (или
вычесть) 1 дважды: 5 f 1 + 1, 6 — 1 — 1 и т. п. Решаются эти
147
примеры с называнием промежуточного результата: 5 4-1=6,
6 + 1 = 7 (6 — 1 =5, 5 — 1=4). При их решении также мож-
но использовать в качестве наглядного пособия линейку.
На этой основе рассматривается и прием прибавления числа
два: 54-2 = 5 + 1 + 1, 7—2 = 7 — 1 — 1.
Хочется предупредить учителя, что при использовании прие-
ма присчитывания (и отсчитывания) числа 2 по 1 с помощью
линейки (или по памяти) у детей довольно часто возникают ошиб-
ки, связанные с тем, что, присчитывая 2, они начинают счет
с данного числа, а не со следующего за ним (например, когда
нужно найти сумму 5 + 2), они «считают» так: «5, 6», и думают,
что сумма равна 6. Аналогичная ошибка возникает и при отсчи-
тывании. Обнаружив такую ошибку, необходимо сразу же вскрыть
ее причину, вернуть ребенка к использованию приема присчиты-
вания на предметах («В коробочке 5 палочек, а к ним нужно
прибавить эти 2», — говорит учитель, показывая две палочки.
«Считай: сколько же всего палочек?»). Полезно также показать
детям, что, «шагая» по линейке, нужно «наступать» на данное
число и только после этого делать «шаг» вперед (направо), если
нужно прибавить 1, или «шаг» назад (налево), если нужно вы-
честь 1 (см', также пояснения на с. 172 настоящей книги).
После того как прием прибавления и вычитания числа 2 по 1
усвоен, необходимо организовать работу, направленную на ус-
воение соответствующих таблиц (М. 1, с. 42).
При этом важно обеспечить усвоение на память как случаев
сложения, так и соответствующих случаев вычитания, а также со-
ответствующих случаев состава чисел (6 = 4 + 2, 7 = 5 + 2,
8 = 6 + 2, 9 = 7 + 2, 10 = 8 + 2). Прочное усвоение таблиц
прибавления и вычитания 1 и 2 — необходимое условие для рас-
смотрения следующих случаев сложения и вычитания приемом при-
считывания и отсчитывания числа по его частям (а ± 3, а ± 4,
а ± 5). Работа над каждым из этих случаев, как и над случаем
а ± 2, строится так:
1.	Прежде всего в порядке подготовки к изучению нового
повторяются соответствующие случаи состава числа из двух
слагаемых и изученные уже случаи табличного сложения и вы-
читания (так, перед рассмотрением приема для случаев а ± 3
повторяется состав числа 3, случаи вида а ± 1 и а ± 2).
2.	Затем в ходе демонстраций с использованием разнообраз-
ных множеств предметов учитель знакомит детей с соответствую-
щим вычислительным приемом (для случаев а ± 4, а ± 5 чаще
всего становится возможным рассмотреть прием с привлечением
самих учащихся к его объяснению).
Поставив задачу, требующую, например, сложения в случае
6 + 3, учитель демонстрирует (с помощью пособий), как можно
прибавить Зкб (+1 + 2, +2 + 1), на доске даются соответствую-
щие записи: 6 + 3 = 6 + 2+1. Вычисления выполняются устно,
с называнием промежуточного результата: 6 + 2 = 8, 8 + 1 =9,
148
Задаются вопросы: «Сколько сначала прибавили? Сколько
еще прибавили? Сколько всего прибавили? Сколько получилось?»
Ответ записывается. Получается такая запись: 6+3=6+2+
+ 1=9. Аналогично рассматриваются другие способы прибав-
ления и вычитания числа 3.
3.	Рассмотренный прием используется в аналогичных упраж-
нениях по рисункам,, а затем ив упражнениях, требующих при-
менения соответствующих случаев сложения и вычитания в иных
условиях.
4.	В результате применения изученного приема в разнооб-
разных условиях достигается его усвоение и вместе с тем созда-
ются условия для запоминания соответствующих табличных слу-
чаев. Эта работа завершается составлением таблиц.
5.	Ведется специальная тренировка, направленная на запоми-
нание табличных случаев сложения, соответствующих случаев
состава чисел и вычитания.
Наблюдения показывают, что, уделяя самое пристальное вни-
мание разъяснению каждого нового вычислительного приема,
упражнениям, направленным на сознательное его усвоение деть-
ми, учителя недооценивают иногда значения заключительного
этапа работы над каждым новым случаем — тренировки, необхо-
димой для прочного усвоения соответствующих случаев.
В методйко известно множество приемов, помогающих разучи-
ванию таблиц (повторение соответствующих случаев подряд и
вразбивку, составление примеров с заданным ответом, повторение
таблиц с закрытыми ответами, счет «цепочкой», игра «Молчанка»
и др.). Все эти приемы должны быть применены для того, чтобы
решить главную задачу изучения сложения и вычитания в преде-
лах 10 — усвоение таблиц па память.
До рассмотрения случаев а + 5 (С>, 7, 8, 9) дети знакомятся с
переместительным свойством суммы. При его разъяснении, ко-
торое дастся па основе рассмотрения нескольких примеров,
очень важно умело использовать наглядность. Хороша в этом
случае такая иллюстрация, при которой становится очевидным,
что сумма остается той же, что оба примера на сложение, отли-
чающиеся только порядком расположения слагемых, составлены
по отношению к тем же самым множествам предметов. Например,
учитель ставит на книгу, которую держит в руках, в один ряд
слева 3 красных кубика и справа 1 синий.
Записывается сумма: 3 + 1=4. Затем, не снимая и не добав-
ляя ни одного кубика, учитель
поворачивает книгу с кубиками
•так, чтобы синий кубик оказал-	\
ся для ребят слева, а красные Г)	\	/
справа. Выполняется соответству-
ющая запись: 1 + 3 = 4 (одина- 1 + 3 = 4	3 + 1 = 4
ковость результата в этом слу-
чае для детей очевидна). Другая	Рис. 13
149.
форма иллюстрации представлена на следующем рисунке (рис. 13).
Здесь примеры 1 + 3 и 3 + 1 составляются также по одному и
тому же зрительному образу, но составление их связано с раз-
личным истолкованием рисунка (1 кружок одного цвета и 3 дру-
гого. Сколько всего кружков? 3 маленьких кружка и 1 большой.
Сколько всего?). По этому же принципу составлена и иллюстра-
ция, предложенная на странице 53 учебника (2 санитарные ма-
шины и 1 пожарная. Сколько всего машин? Впереди одет 1 по-
жарная машина, а за ней 2 санитарные. Сколько всего машин?).
Аналогично должны рассматриваться и другие иллюстрации,
данные в учебнике. После рассмотрения нескольких примеров
делается общий вывод, что от перестановки слагаемых сумма
(результат сложения) не изменяется. Затем дети применяют его.
На этой основе рассматриваются одновременно случаи вида
а + 5 (6, 7, 8, 9). Таким образом оказывается рассмотренной вся
таблица сложения в пределах 10. Начиная с этого момента ве-
дется целенаправленная работа по заучиванию тех случаев таб-
лицы, которые должны быть усвоены на памяты
2 + 2 = 4
3 + 2 = 5
4+2=6	3+3=6
5 + 2 = 7	4 + 3 = 7		
6 + 2 = 8	5 + 3=8	4 + 4 = 8	
•7 + 2 = 9	6 + 3=9	5 + 4 = 9	
8 + 2 = 10	7 + 3 = 10	6 + 4 = 10	5 + 5 = 10
Остальные случаи таблицы могут быть получены перестанов-
кой слагаемых.
Такую таблицу полезно вывесить в классе и работать по ней
систематически, проверяя ее усвоение, предлагая выделить все
примеры с одинаковыми ответами, перечислить примеры, ко-
торых не хватает в каждом столбике, выделяя примеры с одина-
ковыми слагаемыми, повторяя ряды чисел, получающиеся в ре-
зультате прибавления (вычитания) числа 2 (3, 4 и т. д.).
Используя эту же таблицу, нужно все время тренировать де-
тей и в перечислении различных случаев состава чисел первого
десятка, который должен быть усвоен на этом этапе обучения
уже основательно.
Эта работа ведется параллельно с рассмотрением новых во-
просов темы, важнейшим из которых является вопрос о нахожде-
нии одного из слагаемых по данным сумме и другому слагаемому.
Разъяснение связи между суммой и слагаемыми можно на-
чать с практической работы: пусть дети возьмут из имеющихся
у них наборов 4 кружка одного цвета и 3 другого. С помощью
этих кружков они могут проиллюстрировать сумму чисел 4 и 3,
а затем вычесть из этой суммы сначала первое слагаемое (4) и
установить, что при этом получилось второе слагаемое, а затем
150
вычесть из суммы второе слагаемое (3) и установить, что при этом
получается первое слагаемое.
Аналогично рассматривается с помощью демонстрационных
пособий случай 6 + 2, и на доске делаются соответствующие за-
писи: 6 + 2 = 8, а ниже: 8 — 2 = 6 и 8 — 6 = 2.
Учитель помогает детям подметить, как получены второй и
третий примеры из пёрвого. Для этого первый пример надо про-
читать так: первое слагаемое 6, второе 2, сумма 8, а второй при-
мер так: из суммы (8) вычли второе слагаемое (2), и получилось
первое слагаемое (6) и т. д.
После этого рассматриваются рисунок и записи к нему на
странице 57 учебника (М. 1). Учитель поясняет, что на рисунке
изображена полка с кружками — 3 кружки одного цвета и 2
другого, а всего 5.
Прикрыли одну дверцу — оказались закрытыми 3 кружки, а
осталось 2. «Из суммы вычли первое слагаемое, — говорит учи-
тель и спрашивает: — Что получили?» (2 — второе слагаемое.)
«Рассмотрите последний рисунок и запись и расскажите, какое
слагаемое вычитали из суммы и какое получилось». Дети отве-
чают. Ставится обобщающий вопрос, подытоживающий проведен-
ные наблюдения: «Как же можно сказать, что получится, если
из суммы двух слагаемых вычесть одно из них?» (Получится
другое слагаемое.)
При выполнении упражнения № 1 дети должны решать при-
меры, составляя их по образцу, а при проверке'объяснясь, как
получились второй и третий примеры из первого, что получилось,
когда из суммы вычитали одно из слагаемых.
После этого дети переходят к решению соответствующих за-
дач (о методике их рассмотрения см. в следующем параграфе).
. Закрепляя знание связи между суммой и слагаемыми, по-
лезно сочетать эту работу с повторением изученных случаев
сложения и вычитания, упражняя детей в решении примеров на
вычитание по таблице сложения, в составлении двух примеров
на вычитание по данному примеру на сложение. Это послужит
хорошей подготовкой к рассмотрению следующих случаев вычи-
тания вида а — 5 (6, 7, 8, 9).
В качестве подготовки к рассмотрению нового приема надо
повторить следующие вопросы из пройденного: 1) состав чисел
первого десятка; 2) нахождение неизвестного слагаемого по дан-
ным сумме двух слагаемых и одному из них.
И то и другое может быть повторено на основе использования
различных устных упражнений. При повторении состава чисел
лучше использовать краткую формулировку вида: «8 — это 6 и 2».
При повторении нахождения неизвестного слагаемого полезнЙэ
воспользоваться таблицей (см. с. 152).
По этой таблице (заранее записанной на доске) дети повторят
и названия компонентов сложения и правило (если из суммы
вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое).
151
Слагаемое	6	4	3	1		
Слагаемое	2	3			2	2
Сумма			7	8	5	6
Начать рассмотрение самого приема лучше на примере, ил-
люстрируя его на наборном полотне, скажем, двухцветными круж-
ками. Учитель спросит у детей: «Как из 10 вычесть 6?» На по-
лотне выставляется 10 красных кружков. Кто-нибудь из учащих-
ся может предложить вычесть из 10 сначала 2, еще 2 и еще 2;
другой вычесть 3 и-еще раз 3; могут быть и иные предложения.
Учитель одобрит каждое из них, но скажет, что можно выпол-
нить вычитание еще легче: «Вы ведь уже знаете, что десять —
это 6 и 4. Если вычесть одно слагаемое —G, то останется другое —*
4». Свои слова учитель подкрепляет демонстрацией и записью:
6 кружков из 10 переворачиваются обратной синей стороной
к классу. Запишем: 10 — 6. Если вычтем первое слагаемое —6,
то получим второе. Значит, 10 — 6 = 4. После этого может быть
проведена работа по рисункам учебника, иллюстрирующим случаи
7 — 5 и 9 — 6. Следующие примеры дети решают под руководст-
вом учителя, объясняя каждый раз используемый прием вычис-
ления.
 Тренировочными упражнениями, направленными на прочное
усвоение всех случаев сложения и вычитания чисел в пределах
10, должны быть насыщены все следующие уроки по рассматри-
ваемой теме.
Новыми вопросами, на которых придется специально остано-
виться на уроках, будет рассмотрение случаев сложения и вычи-
тания с нулем.
Рассмотреть этот вопрос можно с использованием демонстра-
ции. Учитель дает ученику коробку с карандашами. В ней 6 ка-
рандашей. Затем дает еще одну коробку, но в ней нет каранда-
шей (0 карандашей). Больше стало карандашей у мальчика или
нет? Сколько у него стало карандашей? Аналогично выполняются
соответствующие упражнения и по учебнику (М. 1, с. 61, упраж-
нение № 3).
Параллельно с изучением различных случаев сложения и вы-
читания ведется работа над текстовыми задачами, помогающими
на этом этапе формировать у детей понимание того, в каких слу-
чаях применяются рассматриваемые действия, какова связь,
существующая между ними. Одновременно происходит и перво-
начальное знакомство детей с выражениями и уравнениями (под-
робнее об этом см. § 27).
§ 26. ПРОСТЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА СЛОЖЕНИЕ
И ВЫЧИТАНИЕ
Работа над текстовыми арифметическими задачами начина-
ется фактически уже на самых первых уроках математики и про-
должается повседневно.
Главное здесь выполнение большого числа практических уп-
ражнений, в ходе которых дети имеют дело с реальными пред-
метами, объединяют данные множества или удаляют часть дан-
ного множества.
Такого рода упражнения должны выполняться на каждом
уроке.
От практических действий с предметами дети постепенно пе-
реходят к выполнению соответствующих действий «по представ-
лению», с опорой на использование таких иллюстраций, которые
дают возможность усмотреть и пересчитать как слагаемые, так
и сумму, как уменьшаемое, так и вычитаемое и разность. Это
рисунки такого вида: например, изображены две тарелки, на
одной из которых 3 яблока, на другой — 2. Выясняя, сколько все-
го яблок на этих тарелках, дети могут пересчитать их (объедине-
ние двух данных множеств производится при этом «по представ-
лению»).
При рассмотрении соответствующих задач на нахождение
суммы, а особенно задач на нахождение остатка на этом этапе
очень хороши так называемые парные картинки, один из примеров
которых дан на рисунке 14. Сравнивая такие картинки, дети
под руководством учителя подмечают, какие изменения прои-
зошли (на ветке было 3 птички, 1 птичка улетела). Предложен-
ная учителем задача па нахождение остатка может быть решена
и в этом случае на основе пересчета птичек, оставшихся па ветке.
Этот способ нахождения результата сохраняется до конца изу-
чения нумерации в качестве основного. Решение текстовых задач
в этом плане способствует формированию у детей понятия об
арифметических действиях, раскрывает связь между сложением
и объединением множеств, вычитанием и удалением части множе-
ства. Работая с соответствующими иллюстрациями учебника,
дети учатся наблюдать, сравнивать, выделять предметы, которые
могут быть объединены в одно множество по какому-то определен-
ному признаку, учатся ставить вопрос по картинке и т. п. Все
это необходимо в качестве
подготовки к изучению дей- --------------- —----------_
ствий и к решению соответ-	Jab
ствующих задач.
На определенном этапе
работы над задачами (в учеб-	7/	''Яп
нике он намечен на с. 15) П / /'	//-'
первоклассники должны поз- ---------------J ---------------
накопиться и с основными	Рис. 14
153
элементами задачи — условием и вопросом, понять, что
значит решить задачу, научиться соответствующим образом
оформлять решение, формулировать ответ на вопрос, заключен-
ный в задаче. Цель первого урока, посвященного этим вопро-
сам, — довести до сознания детей, что каждая задача состоит
из условия и вопроса. Дети под руководством учителя должны
научиться отделять в данной задаче известное от неизвест-
ного.
Начинать лучше с решения задач, иллюстрируемых с помощью
наглядных пособий. Задачи эти (на нахождение суммы, а затем
остатка) формулирует учитель. В ходе демонстраций, к которым
могут быть привлечены дети, учитель должен четко отделить то,
что известно в задаче, от того, что является неизвестным. Он же
вводит термины — условие задачи, вопрос задачи, а после ее
решения — решение и ответ.
Дети должны 'с самого начала приучаться внимательно вы-
слушивать задачу, повторять ее, не ожидая дополнительных во-
просов со стороны учителя. При повторении задачи с самого на-
чала полезно приучать детей разделять известное и неизвестное —<,
условие и вопрос задачи.
Особое внимание уделяется разъяснению того, что без во-
проса нет задачи. Этому помогут такая иллюстрация задачи,
при которой ответ нельзя «увидеть» непосредственно, повторение
и решение задачи по ролям (когда один из учеников формулирует
условие задачи, другой — ее вопрос, третий сообщает решение
задачи, а четвертый формулирует ответ на ее вопрос и проверяет
правильность его), а Также такой прием, когда один из учеников
задает задачу другому, а тот решает ее.
После проведения такой работы с использованием различного
счетного материала аналогичные вопросы могут быть разобраны
и в ходе работы по рисункам учебника. Используя рисун-
ки, дети учатся ставить вопрос в соответствии с данным услови-
ем, составлять задачу так, чтобы она решалась заданным дей-
ствием и т. п.
В теме «Нумерация чисел 1—10» дети впервые встретятся и
с задачами на увеличение или уменьшение данного числа. Прав-
да, здесь речь пока идет о наиболее легких задачах этого вида
(М. 1, с. 30 и 31). Следует подчеркнуть, что рассмотрение задач
на увеличение (или уменьшение) числа на 1 подготавливается
задолго до их введения. На предыдущих уроках дети уже много
раз подмечали при решении задач, что прибавление одного ийи
нескольких предметов к данной группе приводит к увеличению
первоначального числа предметов. На каждом уроке подчеркива-
лось и то, что, прибавляя к числу 1, мы получаем следующее
за ним число ряда, которое на 1 больше данного. Остается только
добавить, что случаи 5-|- 1, 6 ф 1, 7 ф 1 и т. п. можно рассмат-
ривать как случаи прибавления единицы к данному числу, но
можно в этом случае говорить и об увеличении данного числа на 1,
154 
так как в результате прибавления 1 мы увеличим число, получим
число на 1 больше данного. Это и нужно учитывать, организуя
упражнения на уроке. Все сказанное в полной мере относится и
к вопросу об уменьшении числа па 1.
На рассмотрение увеличения и уменьшения числа на 1 по
планированию предусмотрено 2 урока. В учебнике материал для
изучения этих тем дан на двух отдельных страницах. Можно по-
строить работу так: на первом уроке рассмотреть увеличение
числа на 1 (М. 1, с. 30), а на следующем — уменьшение на 1
(М. 1, с. 31). Одпако можно поступить и иначе, рассмотрев эти
вопросы сразу па первом уроке, а второй урок посвятить закреп-
лению понимания детьми рассматриваемых отношений во взаимо-
связи. Выбор одного из этих путей — дело учителя.
Пойдя первым путем, учитель на первом уроке начнет с про-
ведения двух-трех демонстраций, иллюстрирующих, что прибав-
ление 1 приводит к увеличению первоначального числа на 1. Это
можно сделать, используя сначала классное наборное полотно, а
затем и практическую работу всех учащихся со своим индивиду-
альным материалом. Затем можно перейти к работе по рисункам
учебника, разбирая по ним те же вопросы, что и при демонстра-
ции. Например, по рисунку на странице 30 учебника: «В ма-
газине было 6 телевизоров. Продавец принес еще 1 телевизор.
Сколько стало телевизоров?» (7.) Больше стало телевизоров или
меньше? (Больте.) Почему? (Потому что 1 еще прибавили.) Верно,
1 прибавили,'и стало на 1 больше, говорит учитель. А если еще 1
принесут, то на сколько еще увеличится число телевизоров? (На 1.)
Если еще 1 телевизор принесут, то сколько их станет? (9.) По-
чему опять увеличилось число телевизоров? (Потому что к 8
прибавили 1.)
Примеры, записанные под рисунком, можно прочитать так: 
«К 6 прибавить 1, получится 7». Затем дети читают по-разному
другие примеры, записанные под рисунком. Почему можно про-
читать пример 8-(-1 = 9 так: «8 увеличить на 1, получится 9»?
(Потому что, когда прибавили к восьми 1, то получилось на 1
больше. Число увеличилось на 1.)
На этом этапе может быть предложена задача вида: «В авто-
бусе ехали 6 пассажиров. После остановки число пассажиров в
автобусе увеличилось на 1. Сколько стало пассажиров в автобусе?»
При решении ее выбор действия обосновывается так: «В задаче
сказано, что число пассажиров увеличилось на 1, а их было 6.
Чтобы 6 увеличить на 1, надо к 6 прибавить 1». Записывают реше-
ние дети самостоятельно.
На втором уроке, посвященном уменьшению числа на 1, вся
работа над новым материалом может быть проведена совершенно
аналогично тому, как это описано выше для увеличения чис-
ла на 1.
В порядке закрепления на странице 31 учебника предлагаются
примеры с пропусками следующего вида:
155
1° |Z| |-|=9
> 7 О
При выборе действия дети рассуждают так: «Было 10, а стало 9.
Стало меньше, число уменьшилось. Значит, надо вычитать». Анало-
гично для следующего примера: «Было 7, а стало 8. Стало боль-
ше. Число увеличилось, значит, надо прибавлять».
Б дальнейшем, изучая тему «Сложение и вычитание в преде-
лах 10», дети продолжают решать задачи на нахождение суммы,
остатка, на увеличение (уменьшение) данного числа на несколь-
ко единиц. Однако методика работы над этими задачами и со?
держание работы несколько меняется в связи с изменением це-
лей обучения.
Приступая к изучению сложения и вычитания в пределах 10,
от практических действий с предметами дети должны перейти к
выполнению действий с числами. В соответствии с этим меняется
характер иллюстраций, предназначенных для работы над зада-
чами, и методика их использования.
Так, если на предыдущих уроках по тому или иному рисунку
составлялась всегда только какая-то одна задача (либо на нахож-
дение суммы, либо на нахождение остатка и т. п.), то теперь не-
которые рисунки должны послужить материалом для составления
не одной, а двух или более задач различного вида. г
Например, если на рисунке изображено б красных помидоров
и 2 зеленых, а под ним даны такие условные записи: □ + 2 и
□ — 2, то, используя этот рисунок, учитель может проиллюстри-
ровать 3 различные задачи на нахождение суммы (6 + 2), остатка
(8 — 2), на увеличение числа на несколько единиц. («На кусте
было сначала 6 помидоров, а потом стало на 2 помидора больше.
Сколько всего помидоров стало, на кусте?»)
Для решения и составления задач на нахождение . суммы в
дальнейшем используются иллюстрации такого вида, как пока-
зано на рисунке 15. В этом случае трудно решить задачу с по-
мощью счета, рисунок наводит детей на использование числа,
так как одно из слагаемых искомой суммы указано в виде числа.
Решая задачу по -этому рисунку, дети должны воспользоваться
приемом присчитывания (начав счет банок
с 6, они должны будут к шести прибав-
лять 2).
По мере ознакомления с новыми слу-
чаями сложения и вычитания включают-
ся задачи на увеличение и уменьшение
не только на 1, но и на 2, на 3 и т. п.
При этом рассматриваются как задачи на
увеличение (уменьшение) данного числа
предметов, так и на увеличение или
Рис, 15	уменьшение данного отрезка.
156
Так, например,' после того Как дети научились уже вычерчи-
вать отрезки заданной длины по линейке (§ 28), им можно пред-
ложить задание: «Отрезок длиной 3 см увеличить на 2 см».
Вместе с учителем должен быть намечен план предстоящей
работы: «Проведем прямую, отложим на ней с помощью линейки
отрезок длиной 3 см, от правого его конца отложим вправо' отре-
зок длиной 2 см».
Соответствующие рисунки используются в качестве иллюст-
рации задач, предлагаемых учителем, и рассматриваются под
его руководством.
Принципиально новым в работе над задачами, связанными с
увеличением (уменьшением) числа на несколько единиц, является
введение задач, в которых сравниваются 2 множества предметов
или 2 отрезка.
Подготовка к решению таких задач велась буквально с первых
уроков математики, когда дети учились’устанавливать взаимно-
однозначное соответствие между элементами двух множеств пред-
метов, когда в ходе многочисленных упражнений выяснялись
отношения «больше — меньше на столько-то» или «столько же,
сколько».
Перед введением нового вида задач необходимо устно повторить
с детьми то, что им известно об этих отношениях, решать задачи
на увеличение (уменьшение) числа знакомых видов.
Начать лучше всего с коллективной работы. Учитель предла-
гает вызванному ученику положить на верхней полочке набор-
ного полотна 5 кружков, а на нижней — столько же синих (все
ученики делают то же на своих индивидуальных пособиях). За-
тем ставит вопрос: «Что нужно сделать, чтобы синих кружков
стало на 2 больше?» (Нужно добавить еще 2 синих кружка.)
«Сравните теперь, каких кружков больше — синих или красных».
(Синих кружков больше.) «На сколько?» (Синих кружков на 2
больше, чем красных.)
Аналогичные упражнения можно повторить с использованием
другого счетного материала.
Подводя итог проделанной работе, учитель спросит: «Как вы
поймете, если я скажу, что в этой корзинке (показывает) на 3 гри-
ба 'больше, чем в ведре (показывает)?» Дети должны объяснить,
что в корзинке столько грибов, сколько в ведре, да еще 3.
Аналогично разбирается в ходе практических работ, что зна-
чит, что в одной вазе на 2 яблока меньше, чем в другой. (Это
значит, что во второй столько же, сколько в первой, но без 2.)
Перейдя затем к работе по рисункам учебника (М. 1, с. 49),
учитель поставит перед детьми следующие вопросы: «Елок 5, а
лип на 1 больше, чем елок. Что это значит? Как вы это понимае-
те?» (Значит, лип столько же, сколько елок, да еще 1.) «Как узнать,
сколько лип?» (К 5 прибавить 1, получится 6.) По этому же ри-
сунку можно составить и такую задачу: «Лип 6, а елок на 1 мень-
ше. Сколько елок?» Дети отвечают, что елок 5, так как 6 — 1 = 5.
157
По следующему рисунку: '«Сколько кружков в верхнем ряду?
(4.) А во втором ряду на 2 больше. Как узнать, сколько кружков
во втором ряду?» (4 4-2 = 6.) Далее: «В третьем ряду 5 кружков,,
а в четвертом на 3 меньше. Как узнать, сколько кружков в ниж-
нем ряду?» (В нижнем ряду столько же, сколько в третьем, но
без 3. Поэтому надо из 5 вычесть 3, получится 2.)
От сравнения двух множеств предметов переходим к задачам,
связанным со сравнением двух отрезков.
Дети уже знакомы с задачами на увеличение (уменьшение)
отрезка на несколько сантиметров. От этого легко оттолкнуться
при рассмотрении нового. Так, учитель предлагает детям начер-
тить отрезок длиной 4 см, а ниже — отрезок такой же длины.
Полезно спросить, какой должна быть длина второго отрезка.
Затем предлагает увеличить второй отрезок, продолжив его на
2 см. Ставит вопрос: «Какой из двух отрезков теперь больше —
верхний или нижний, па сколько сантиметров? (2 см.) Сколько
в верхнем?» (4 см.) «А в нижнем 4 см да еще 2 см». «Как узнать
длину второго отрезка?» (44-2 = 6 — длина второго отрезка
6 см.)
После этого аналогичная задача рассматривается по рисунку ”
учебника. Дети измеряют длину верхнего отрезка и составляют
задачу по заданию: «Составьте по рисунку задачу, в которой
было бы сказано, что второй отрезок на 3 см длиннее первого».
Решается задача устно.
По последнему рисунку может быть составлена и решена за-
дача: «Один отрезок длиной 8 см, а другой па 3 см короче. Ка-
1 кой длины второй отрезок?» Дети решают задачу устно, а потом
проверяют измерением. Полезно выполнять соответствующие по-
строения по клеткам тетради.
Следующий шаг в обучении решению задач — введение задач
на нахождение неизвестного слагаемого.
После того как дети поймут связь, существующую между
суммой и слагаемыми, они приступят к рассмотрению задач.
В I классе такие задачи должны решаться па основе нагляд-
ности, сначала с использованием практических действий с пред-
метами, а затем с использованием иллюстраций.
Соответствующие рисунки в учебнике должны использоваться
главным образом в качестве иллюстрации задачи, предложенной
учителем.
Например, учитель формулирует задачу. «На блюдце лежало
несколько чашек, и отдельно стояли 2 чашки. Известно, что все-
го на столе было 9 чашек. Сколько чашей лежало на блюдце?»
Учитель предлагает рассмотреть рисунок на странице 57 учебни-
ка и показать, где находятся 9 чашек. Дети должны понять, что
это все нарисованные чашки: и те, которые лежат на блюдце, и те,
которые стоят отдельно. Под руководством учителя они должны
прийти к выводу, что для ответа на вопрос надо из 9 вычесть 2
(если убрать 2 чашки, то останутся те, что на блюдце). Задача ре-
158
шается устно. После решения учитёль
говорит: «Можно сказать, что здесь
мы знали сумму — чему она была рав-
на? (9) — и одно из слагаемых. Чему
оно было равно? (2.) А что нужно было
узнать? (Второе слагаемое.) Как мы
его узнали?» (Из суммы 9 вычли слага-
емое 2 и получили второе слагаемое 7.)
10
Рис. 16
Аналогично рассматриваются и другие задачи этого вида
(рис. 16).
Через несколько уроков после введения задач на нахождение
неизвестного слагаемого предусмотрено ознакомление детей с
обозначением неизвестного буквой х («икс»), и составлением и
решением простейших уравнений вида X -|- 5 = 7, 3 + х => 9,
х = 4 + к
Специальный урок отводится ознакомлению с составлением
уравнения по задаче (см. подробнее § 27).
Последний вид задач, рассматриваемый в теме «Десяток»,—
задачи на разностное сравнение чисел (М. 1, с. 68—69). Глав-
ное здесь — наглядно разъяснить детям, почему задачи," в
которых спрашивается, на сколько одно число меньше или боль-
ше другого, решаются вычитанием. Начать работу лучше всего
с демонстрации. Например, учитель наклеивает на доске или
фланелеграфе слева 6 кружков из зеленой бумаги, а справа 10
красных, каждый кружок обводит мелом. Дети считают, сколько
кружков слева и сколько справа, устанавливают, что справа их
больше. Ставится вопрос: «На сколько больше красных кружков,
чем зеленых?» Учитель говорит: «Будем снимать сразу по одному
красному и одному зеленому кружку. (Снимает до тех пор, пока
на доске останутся 4 красных кружка.) Сколько зеленых кружков
сняли? А красных? ('Гоже 6, столько же, сколько и зеленых.)
Сколько красных кружков осталось? (4.) На сколько же было
больше красных кружков, чем зеленых? (На 4.) Сколько всего
красных кружков было? (10.) Сколько их сняли? (6.) Как полу-
чили 4 кружка?» (Из десяти вычли 6.) Учитель записывает на
доске: 10 — 6 = 4. Что показывает число 4.) (Красных кружков
на 4 больше, чей зеленых, а" зеленых на 4 меньше, чем красных.)
Аналогично с использованием индивидуального счетного ма-
териала проводится сравнение двух других чисел, например 7 и
9 (дети отсчитывают 7 красных кружков и 9 синих, затем, вы-
кладывая их парами на полотно, приходят к выводу, что, когда
все красные уже <аказалисв выложенными, осталось еще 2 синих.
Следовательно, синих на 2 больше). Выясняется, что для полу-
чения ответа достаточно из 9 вычесть 7 (столько же, сколько
красных кружков). Лучше, чтобы каждый сравнивал выбранную
им пару чисел, чтобы при проверке можно было рассмотреть раз-
личные случаи. Например, один ученик будет узнавать, на сколь-
ко 7 больше, чем 5, другой — на сколько 6 больше, чем 2, и т. д.
159
На основе рассмотрения ряда фактов можно сделать обобщение:
чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого,
нужно из большего числа вычесть меньшее.
Этот вывод тут же должен найти применение при решении
текстовых задач.
После этого в процессе упражнений полезно сопоставить за-
дачи на разностное сравнение чисел с задачами па увеличение
и уменьшение числа на несколько единиц. Это поможет детям
различать в дальнейшем такие задачи, предупредит ошибки, свя-
занные с тем, что в задачах; на разностное сравнение в вопросе
может содержаться слово «больше», с которым до сих пор дети
встречались лишь в задачах, решаемых сложением. Это послу-
жит и хорошей подготовкой к рассмотрению в дальнейшем за-
дач, выраженных в косвенной форме.
В заключение данного параграфа подчеркнем, что достаточ-
ная подготовка учащихся к дальнейшей работе над задачами
может быть-достигнута только при условии, что учитель будет
целенаправленно вести описанную подготовительную работу в
теме «Десяток», начиная с первых дней занятий и, как правило,
из урока в урок.
Большую помощь учителю при организации работы над зада-
чами может оказать использование специальных диафильмов,
содержащих большой, разнообразный и интересный' материал,
дополняющий материал учебника.
§ 27. ПЕРВЫЕ ШАГИ В ФОРМИРОВАНИИ ПОНЯТИИ
«РАВЕНСТВО», «НЕРАВЕНСТВО», «УРАВНЕНИЕ»
С отношениями равенства и неравенства дети встречаются
начиная с первых уроков при сравнении двух множеств предме-
тов, посредством установления взаимно-однозначного соответ-
ствия между ними, их элементами (еще до счета предметов). Уже
в ходе этих упражнений ученики наблюдают, что если в одном
из сравниваемых множеств оказалось больше элементов, чем в
другом (в результате установления соответствия некоторые' эле-
менты этого множества оказались без пары в другом множестве),
то это означает, что в другом из сравниваемых множеств элемен-
тов меньше, чем в первом. _
После того как практические действия с множествами связы-
ваются со счетом предметов, соответствующие упражнения уже
прямо подводят детей к рассмотрению вопроса о равенстве ц не-
равенстве чисел.	’	*•
В ходе дальнейшей работы при изучении темы «Нумерация
чисел 1 *— 10» на основе аналогичных практических упражнений
первоклассники усваивают количественные отношения между дву-
мя соседними числами ряда, осознают последовательность чисел
в натуральном ряду как такую, в которой каждое следующее
число на 1 больше предыдущего. В связи с этим они усваивают,
160
что каждЬе число в ряду больше любого из тех, которые встре-
чаются при счете перед ним, и меньше любого из тех, которые
встречаются в ряду чисел после него. Таким образом они учатся
сравнивать числа уже без опоры на данные непосредственного
опыта, без опоры на предметную наглядность, лишь на основе
знания того, какое из двух сравниваемых чисел встречается при
счете раньше другого (оно и будет меньшим, а другое большим).
Уже при ознакомлении с числами 1 и 2 знакомятся дети и со зна-
ками отношений и упражняются в записи и чтении числовых ра-
венств и неравенств вида 1 < 2, 2 > 1, 3 = 3.
С числовыми равенствами дети встречаются и тогда, когда
записывают, как может, быть получено каждое из рассматривае-
мых чисел в результате сложения двух других чисел или в ре-
зультате вычитания. Это равенства вида: 3 + 1=4, 4 — 1 = 3
и т. п.	У
Однако на этом этапе обучения подобные записи еще не трак-
туются в качестве равенства. Исподволь ведется подготовка к
такому их пониманию.
В теме «Нумерация чисел 1 — 10» дети встречаются фактиче-
ски и с равенствами, содержащими неизвестное число (в записях
вида: 3 + □ =5, □ — 1 = 6 и т. п.). Неизвестное находится в
зто время на основе знания соответствующих случаев состава
чисел.
В связи с рассмотрением задач на нахождение суммы и ос-
татка, а также задач на увеличение (уменьшение) данного чис-
ла на несколько единиц, выясняется, что, прибавляя к данному
числу 1 или несколько единиц, мы тем самым увеличиваем его,
а вычитая — уменьшаем. Это знание используется в дальнейшем
при рассмотрении вопроса о том, как из данного неравенства
может быть получено равенство. Еще на первых уроках, проводя
практические упражнения с множествами предметов, обращалось
внимание учащихся на то, как можно уравнять два неравных
между собой по числу элементов множества (убрать '«лишние»
или добавить «недостающие»). Это помогает рассмотреть и во-
прос, как уравнять левую и правую части в данном неравенстве
(соответствующие термины в работе с детьми при этом не ис-
пользуются).
Рассматривая получение числа в результате сложения и со-
ответствующие случаи разложения числа на два слагаемых (со-
става числа), дети выполняют записи вида: 4 + 2 = 6, 6 = 4 + 2
(М. 1, с. 39 и др.). Такие упражнения, хотя в ходе их выполнения
и не используются никакие специальные термины, служат под-
готовкой к формированию у детей понятия равенства, свойства
симметричности отношения равенства между натуральными чис-
лами.
Постоянно встречаясь с составлением простейших числовых
выражений и вычислением их значения, дети пока не пользуются
соответствующими терминами, но накапливаемый опыт готовит
6 Заказ 367
161
их к проведению сравнения выражений, а в дальнейшем — и к
выполнению действий над выражениями, к работе с выражения-
ми более сложной структуры.
На странице 59 учебника вводится название выражения вида:
8 + 2 — «сумма».
Сравнение выражений сначала предлагается детям в виде
сравнения двух заданных «примеров». Так, после вычисления
сумм 5 + 3 = 8и5+4 = 9 детям предлагается выяснить, чем
похожи и чем отличаются эти примеры, какая ив полученных сумм
большая, почему?
Сравнение выражений используется и при ознакомлении с пе-
реместительным свойством суммы. Дети сравнивают при этом
примеры вида: 5 + 1 и 1 + 5,2 + ЗиЗ + 2. Вычислив значения
этих выражений, они делают требуемый вывод и записывают:
2 + 3 = 3 + 2.
При рассмотрении случаев вида а ± 2 дети знакомятся со
сравнением числа и выражения и соответствующими записями
(М. 1, с. 43). Сравнение выполняется на основе вычисления
значения выражения и сравнения полученного числа с данным:
«8 — 2 <8, так как 6 < 8». Однако уже и при рассмотрении этих
первых примеров можно обратить внимание детей на то, что от-
ветить на вопрос, что больше — 8 или 8 — 2, можно, и не вычисляя
разности, на основе такого рассуждения: если из 8 вычестд 2, то
станет меньше, чем 8, данное число при вычитании из него не-
скольких единиц уменьшается, значит, 8 — 2 меньше, чем 8. На
первых порах такие рассуждения выполняются уже после того,
как сравнение выполнено с использованием вычислений, но в
дальнейшем они могут стать исходными, а полученный на их ос-
нове вывод и в этом случае должен проверяться с помощью вы-
числений.
На странице 65 учебника предусматривается ознакомление
детей со сравнением двух выражений. Одновременно рассматри-
ваются случаи равенства и неравенства двух выражений. Как и
по отношению к сравнению числа и выражения, сначала основой
служат вычисления и сравнение полученных чисел (3 + 2 = 4 + 1,
так как 5 = 5 или: 2 + 3 >5 — 1, так как 5 > 4). Однако,
сравнивая два выражения, дети часто «угадывают» ответ, опи-
раясь на интуицию. Например, сравнивая выражения 6 + 2 й
6 + 3, ребенок уверенно говорит, что 6 + 3 больше, чем 6 + 2,
и объясняет, например, так: «было поровну, где больше приба-
вили, там и стало больше». Такой подход к решению надо все-
мерно поддерживать, стимулируя попытки сравнивать выражения
до вычисления их значения, однако каждый раз такую «догадку»
следует проверять с помощью вычислений.
При ознакомлении детей со связью между суммой и слагае-
мыми, с нахождением одного из слагаемых по данным сумме и
другому слагаемому, вводится обозначение неизвестного числа
с помощью буквы х («икс») и детям сообщается, что запись ви-
162
да 3 4- ж = 9 называется уравнением, что х в этой записи обозна-
чает то неизвестное число, которое нужно прибавить к 3, чтобы
получилось 9. Решить уравнение — значит найти это неизвестное
число.
Уравнении читаются в это время так: «Сумма чисел 3 и «рав-
на 9. Найти «»; «Если к трем прибавить неизвестное число ж, то
получится 9. Какое это число?», или: «Какое число нужно при-
бавить к 3, чтобы получилось 9?»; «К какому числу нужно приба-
вить 5, чтобы получилось 6?» и т. п.
На странице 62 учебника дан образец решения уравнения.
Работу над новым материалом на уроке, посвященном озна-
комлению с уравнением и его решением, можно провести так.
Начав с повторения того, как может быть найдено неизвестное
слагаемое, решив несколько заранее записанных на доске приме-
ров с «окошками», в которых надо найти первое и второе слагае-
мые, можно перейти к работе по учебнику. Рассматривая таблицу,
дети должны ответить на вопросы: что известно в первом стол-
бике таблицы (слагаемое, слагаемое, сумма) и что известно во
втором столбике (известны сумма и одно из слагаемых)? Что не-
известно? (Второе слагаемое.) В таблице вместо него оставлена
пустая клетка. Когда мы записывали такие примеры, то мы тоже
вместо неизвестного слагаемого ставили пустую клетку. «Но, —
говорит учитель, — в математике неизвестные числа обозначают
буквами, причем нерусскими. Так,* мы будем с вами обозначать
в дальнейшем неизвестное число буквой, которая пишется так
же, как русская буква х, но называется «икс». Так, если нужно
записать, что к 5 прибавили какое-то неизвестное нам число и
получили 7, то раньше мы записали бы это так: 5 + □ = 7, а те-
перь вместо «окошечка» (стирает его на доске) мы запишем бук-
ву х. Читается запись так: «Если к пяти прибавить х, то полу-
чится 7», или: «Сумма чисел 5 и ж (ж — тоже число, только enfe
неизвестное нам) равна 7. 5 + х = 7 — это уравнение». В этом
уравнении неизвестно второе слагаемое. Узнать это слагаемое,
найти его — значит решить уравнение.
Вспомните, как можно узнать неизвестное слагаемое (дети
повторяют правило). Запишем: х = 7 — 5. Мы записали, как мож-
но узнать х, теперь выполним вычитание и запишем, чему равен
х. Запись: х = 2. Мы нашли, чему равен х. Проверим, правильно
ли мы его определили. Для проверки правильности решения урав-
нения нужно найденное число подставить в уравнение на место не-
известного числа и выполнить вычисления. Если к 5 прибавить 2,
то получится 7. Слева от знака равенства у нас записана сумма
чисел 5 и 2, а справа — число 7. Выясним, правильно ли будет
поставить между ними знак «равно». Вычислим сумму, запи-
санную слева от знака равенства (5 + 2 = 7) и справа от знака
равенства (тоже 7). Значит, мы решили уравнение правильно».
Аналогично разбирается решение уравнений, образцы кото-
рых приведены в учебнике.
6*	163
На следующем уроке полезно познакомить детей с составле-
нием уравнения по текстовой сюжетной задаче, на примере задач
различных видов. Покажем, как это может быть сделано.
Решив два-три уравнения (в одном из которых будет неиз-
вестно первое слагаемое, в другом — второе), можно предложить
детям записать уравнение под диктовку учителя. Учитель дикту-
ет; один из учеников записывает под его диктовку уравнение на
доске, остальные — в своих тетрадях. «Если к числу 6, — говорит
учитель, — прибавить неизвестное число, то получится 8. Как вы
записали?» Дети читают на доске запись, проверяют по ней свои
записи. Решают они уравнение сами, используя образец записи,
данный на странице 62 учебника.
Далее учитель сообщает следующую задачу: «Я задумал чис-
ло. Если к этому числу прибавить 3, то получится 5. Какое число
я задумал? Запишите. Составьте уравнение по этой задаче, обо-
значив буквой х задуманное число». Учитель еще раз повторяет
текст задачи. Запись снова проверяется коллективно.
Следующие задачи: 1) «Первое слагаемое неизвестно, вто-
рое 3. Сумма равна 7. Найти неизвестное слагаемое».
2) «Первое слагаемое 7, второе слагаемое 1. Сумма неизвест- .
на». (Уравнение, составленное по этой задаче, будет иметь вид:
7 + 1 = х.) Чтобы решить его, достаточно найти сумму чисел 7
и 1. Аналогично для задачи на нахождение остатка: чтобы узнать
задуманное число, нужно из 8- вычесть 2. Какое число задумано?
х — 8 — 2; значит, х = 6.
«Так чему же мы научились сегодня?» — спрашивает учитель,
подводя итог проделанной работе. Дети должны ответить, что они
научились составлять уравнение по разным задачам. Учитель под-
черкнет, что уравнение можно составить по любой задаче.
Доведя до сознания детей, что уравнение может быть состав-
лено по любой задаче, учитель на последующих уроках будет вре-
мя от времени упражнять их в этом, однако решение задачи мо-
жет выполняться и без составления уравнения (в том числе и
задач, связанных с нахождением неизвестных компонентов дей-
ствий). Каждый раз, когда учитель захочет, чтобы дети составили
уравнение, он должен будет это требование специально оговари-
вать. Если такой оговорки не сделано, то каждый ученик может
записать решение задачи и без составления уравнения.
Как при решении текстовых задач на нахождение неизвест-
ного слагаемого, так и при решении соответствующих уравнений
на первых уроках решение следует искать не столько на основе
применения правила нахождения неизвестного слагаемого (оно
еще не может быть достаточно сознательно и прочно усвоено в
это время), сколько на основе наглядности.
Так, на уроке, следующем за введением уравнений и показа
их решения, соответствующие упражнения выполняются с исполь-
зованием иллюстраций, аналогичных тем, которые даны на стра-
нице 63 учебника.
164
Поясняя рисунки, учитель скажет, что дощечкой прикрыто ’
сколько-то четырехугольников, а сколько — неизвестно. Поэтому
на дощечке и написано х. Надо узнать, сколько их прикрыто.
Следует обязательно объяснить способ решения наглядно: все-
го 9 четырехугольников, 6 видно. Надо узнать, сколько прикрыто.
Если из 9 убрать все те, которые видны, то останутся те, что при-
крыты. Нужно из 9 вычесть 6, получится 3; х = 3.
Решение текстовой задачи (например, задачи № 4 на с. 64
учебника): «Около дома 10 уток и кур. Уток 8. Сколько кур около
дома?» — может быть выполнено и без составления уравнения,
но затем в качестве дополнительного задания можно предложить
составить уравнение по зтой задаче. Дети, сравнив оба решения,
еще раз повторят правило нахождения неизвестного слагаемого.
Вообще, все упражнения, связанные с нахождением неизвест-
ного слагаемого, на данном этапе обучения должны быть исполь-
зованы в качестве основы для формирования соответствующего
обобщения. Преждевременное использование правила как основы
их решения на данном этапе обучения, как показывает опыт, не-
редко приводит к формализму в знаниях детей. Ребенок должен
каждый раз понимать, почему задача (уравнение) решается о
помощью действия вычитания. Только после этого внимание уча-
щихся должно обращаться на то, что было известно (сумма и
одно из слагаемых), что требовалось узнать (второе слагаемое),
каким действием его нашли (вычитанием). Таким образом, пра-
вило может и должно на этом этапе обучения чаще выступать в
качестве вывода, обобщения уже выполненного решения, а не в
качестве его основы. Это не значит, конечно, что следует запре-
щать детям ссылаться на правило в ходе решения. Нужно, однако,
каждый раз проверять, в какой мере сознательно ими это правило
используется, могут ли они объяснить, почему все же для нахож-
дения одного из слагаемых приходится из суммы вычитать дру-
гое. Такое объяснение можно дать, используя наглядность или
приведя более простой пример: 3	2 = 5, 5 — 2 — 3, 5 — 3 =
= 2, — когда из суммы вычитаем одно из слагаемых, то получаем
другое.
Связь между результатами и компонентами действий — осно-
ва, на которой строится вся дальнейшая работа по обучению де-
тей решению уравнений в начальных классах. Этому вопросу сле-
дует уделить самое серьезное внимание, с самого начала обеспе-
чив достаточно осознанную и прочную основу для применения
соответствующих знаний.
§ 28. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ И ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО
С ВЕЛИЧИНАМИ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕМ
Геометрический материал достаточно равномерно распределен
по урокам темы «Десяток». При этом почти на каждом уроке ра-
бота идет в нескольких направлениях. По отношению к геометри-
165
ческой части программы можно выделить два основных направле-
ния:
1) первичное ознакомление первоклассников с геометрической
фигурой, ее образом (точка, линия, прямая линия, отрезок, круг,
многоугольник) и
2) формирование исходных представлений о величине и ее из-
мерении в связи с измерением длины отрезков.
В эти два основных направления включаются и другие вопро-
сы (отмеченные выше, в § 19, 20).
Методика изучения геометрического материала требует, что-
бы, кроме учебника, у учителя был набор пособий, включающий
цветные геометрические фигуры (которые могут крепиться на
магнитной доске, с помощью фланелеграфа и, наконец, кнопка-
ми), для фронтальной работы, набор измерительных и чертежных
инструментов, набор цветных (по 1—1,5 м длиной) шнурков,
полосок из цветной бумаги, плакаты по математике для I класса1.
Желательно также иметь диафильм «Геометрия в I классе»1 2.
Обязательно наличие у каждого ученика набора цветных фи-
гур, набора цветных шнурков (или толстых нитей длиной 15—
20 см), мерной линейки (ученическая линейка 20 см), нескольких
листков цветной бумаги (в том числе полосок длиной 15—20 см),
набора цветных карандашей.
Минимум индивидуального и общего оборудования, которое
заранее должно быть по указанию учителя подготовлено, дает
возможность эффективно провести те несколько минут урока, на
которых первоклассники изучают геометрический материал.
Однако геометрический материал рассматривается не только
на уроках математики. G такими геометрическими фигурами,
как точка, кривая линия, прямая линия, отрезок и др., дети встре-
чаются и на уроках рисования, уроках обучения письму. Так,
при работе с тетрадью учитель обращает внимание на то, что лист
тетради покрыт прямыми линиями, эти линии проведены в раз-
личных направлениях. Некоторые прямые линии пересекаются
(учащиеся находят примеры пересекающихся прямых), а некоторые
не пересекаются (учащиеся показывают такие линии). Обра-
щает внимание детей на точку пересечения каких-либо двух пря-
мых линий. Дети отмечают точку карандашом. Полезно употре-
бить при этом выражение: «Эти две прямые проходят через отме-
ченную точку, пересекаются в этой точке». Необходимо научить
первоклассников отмечать и такие точки, через которые данная
прямая не проходит. В этом случае говорят, что отмеченная точ-
ка не лежит на прямой. Дети узнают, что в тетради по математике
линии образуют одинаковые (равные) клетки (квадраты), а в те-
тради в линейку — полоски.
1 Моро М. И. Демонстрационный материал по математике для I класса.
М., 1974.
2 Выпуск студии «Диафильм», 1973 (цветной),
166
По м,ере ознакомления детей со счетом и с числами клетки
тетради могут использоваться в качестве счетного материала (на-
ряду со счетными палочками).
Вот примеры таких упражнений: «Отметь точку пересечения
двух каких-либо прямых. Отсчитай от этой точки две (три, четыре
и т. д.) клетки вниз (вверх, вправо, влево) и отметь на прямой
еще одну точку», или: «Закрась красным карандашом четыре
клетки подряд, или столбик из четырех клеток, или ряд из четы-
рех клеток», или: «Закрась синим карандашом какую-нибудь од-
ну клетку. Пропусти одну (две, три и т. д.) клетку справа (слева,
сверху, снизу) и закрась еще одну клетку, две клетки» и т. д.
Совершенно недостаточно формировать представление о пря-
мой линии только на основе наблюдения их на листе клетчатой
бумаги или изображения в учебнике. Учитель, максимально ис-
пользуя опыт детей, должен привлечь разнообразные предметы,
с помощью которых уточняются представления о точке, линии
и т. д. и усваиваются соответствующие геометрические образы.
Если туго натянуть нитку (или кусочек шпагата), то она напо-
минает прямую линию. Если же натяжение ослабить, нить про-
виснет и она будет представлять собой кривую линию.
При письме или рисовании линии возникают в связи с движе-
нием точки (линия — след движущейся точки). Конец остро зато-
ченного карандаша, шарик авторучки представляют собой точку.
Чем острее этот конец, тем точнее получается изображение точки.
На страницах 4—7 учебника математики даются подготови-
тельные упражнения, выполняя которые учащиеся в различных
сочетаниях вычерчивают точки и отрезки. Уже в I классе уче-
ник должен научиться использовать геометрическую терминоло-
гию для характеристики нарисованных фигур.. Термины должны
составлять часть активного словаря школьника, что может быть
достигнуто только в случае систематической и целенаправленной
работы по развитию речи.
Одновременно с формированием образов точки, линии начина-
ется работа над изучением многоугольников. Большинство детей
еще до школы знакомы с такими фигурами, как прямоуголь-
ник и круг (дети умеют их отличать от других фигур). Это обстоя-
тельство целесообразно использовать при сообщении первых све-
дений о многоугольнике. Рассматриваются круг и многоугольник,
вырезанные из картона. Многоугольник отличается от круга тем,
что имеет углы, много (несколько) углов. Многоугольник не ка-
тится по столу. Этому мешают углы. Дети рассматривают изо-
бражение треугольника (М. 1, с. 10), находят треугольники в
наборе цветных фигур, замечают, что эти многоугольники на-
зывают треугольииками по числу углов.
Далее (М. 1, с. 12, 14) устанавливается, что многоугольник, у
которого четыре угла, называют четырехугольником и т. д.
На этих уроках целесообразно выполнить чертежи треугольни-
ка (на клетчатом фоне доски, как на с. 10 учебника). Обратить
167
внимание на то, что для этого нужно было отметить 3 точки. Эти
точки называют вершинами треугольника. Затем вершины со-
единить отрезками. Таких отрезков также будет 3. Каждый из
них называют стороной треугольника. Здесь еще рано просить
первоклассников вычерчивать такой же треугольник, как на доске
(по клеточкам), в тетради. Но просить, например, отметить вер-
шины треугольника в тетради уже можно. Вычерчивание много-
угольников по заданным вершинам в силу недостаточного навыка
вычерчивания отрезков целесообразно позднее (не ранее чем при
работе по с. 30 учебника). Однако строить многоугольники с
помощью палочек или проволочек и шариков пластилина, когда
палочки изображают стороны, а кусочки пластилина — вершины
многоугольника, полезно уже на этом этапе.
При изучении прямой линии, кроме наблюдений и получения
ее изображения по линейке, следует, например, понаблюдать по-
лучение прямой линии в результате перегибания листа бумаги.
Учащиеся перегибают небольшой лист бумаги произвольной фор-
мы и в любом направлении: складывают лист бумаги вдвое, за-
тем расправляют лист и видят, что получившаяся линия —
прямая.
Важно обратить внимание детей на то, что у каждого из них
был свой (различной формы) лист бумаги, что этот лист ученик
перегибал в произвольном направлении и все же каждый получил
один и тот же результат — изображение прямой линии.
Учащиеся уже умеют отмечать точки на прямой линии. Учи-
тель, знакомя с отрезком, отметит на прямой две точки и оставит
только часть прямой линии, заключенную между этими точками,
стерев ненужные части изображения прямой. Это, показывает
учитель, отрезок прямой линии, или, сокращенно, отрезок. Эти
две точки называют концами отрезка.
В ходе наблюдений и различных упражнений первоклассники
подводятся к выводу, что отрезок может быть изображен на бу-
маге, причем концы его отмечаются точками, а вся прямая линия
на бумаге не поместится (какой бы большой лист мы ни брали).
Полезно предложить учащимся задания на отыскание предметов
или их частей, напоминающих отрезок прямой линии. Например,
отрезками прямой линии являются" край линейки, край кром-
ки стола, классной доски, ребро шкафа, место, где пересекается
пол и стена, или потолок и стена, или две соседние стены класса
и т. д.
Важны такие упражнения: отметить 2 точки й соединить их
по линейке отрезком (отметить 4 точки и соединить их попарно
отрезками).
Эти задачи необходимо связывать и с работой по формирова-
нию понятия числа. Так, в последней задаче можно спросить,
сколько отрезков при этом получилось.
Легко видеть, что элементы многоугольников наряду со счет-
ными палочками, клетками тетради, геометрическими фигурами
168
и т. д. могут служить счетным материалом. По мере изучения
чисел учащиеся выполняют построение соответствующих много-
угольников, находят число их вершин (сторон).
Важно научить детей правильно показывать элементы много-
угольника. Вершина — это точка; значит, ученик точно указыва-
ет каждую вершину (указка направляется в соответствующую
точку). Стороны многоугольника — отрезки; значит, он должен
показывать их от одной вершины до другой (указка движется от
одной вершины вдоль всего отрезка — стороны до другой вер-
шины).
Нужно поддерживать у детей стремление вычерчивать самые
различные по форме многоугольники.
При вычерчивании отрезков и многоугольников устанавлива-
ются соотношения «больше», «меньше», «одинаково», для двух
отрезков. Дети приобретают опыт сравнения отрезков с помощью
системы несложных заданий. При этом устанавливается смысл
слов «равные», «неравные», для отрезков на основе более понят-
ных слов «одинаковые», «длиннее», «короче». Эти отношения уста-
навливаются при наблюдении отрезков вначале на глаз (М. 1,
с. 23), затем можно показать равенство двух одинаковых кусочков
проволоки или палочек путем наложения одного на другой
(рис. 17, а). Затем сравнивать отрезки, когда один из них непосред-
ственно нельзя наложить на другой, это делается с помощью бу-
мажной полоски или нитки. Натянутую- нить прикладывают
вначале к одному отрезку (рис. 17, б), а затем к другому (не сдви-
гая пальцев, отмечающих на нити положение концов первого
отрезка). Далее учащимся предлагается найти равные отрезки в
более сложных условиях, когда они, например, являются сторо-
нами многоугольников. Это задание выполняется «на глаз», а
затем равенство отрезков проверяется с помощью бумажной по-
лоски или нитки. Дети отмечают карандашом на краю полоски
концы одного отрезка, прикладывают полоску к другому от-
резку (стороне).
После того как учитель убедится в том, что дети научились
сравнивать отрезки, можно приступать к измерению отрезков. Оз-
накомление с измерением отрезков — весьма ответственный момент
обучения младших школьников. Это
обусловлено тем, что понятие «дли-
на отрезка» является первым приме-
ром, относящимся к формированию
общих представлений об измерениях
геометрических величин, а также
тем, что навыки в измерении от-
резков имеют важное практическое
значение.
Сначала следует дать четкие
представления о процессе измере-
ния отрезков.
а)
169
Первая единица измерения, с которой знакомятся первокласс-
ники, — сантиметр.
Важным этапом в формировании представлений об измере-
нии отрезков является использование для этого модели одного
сантиметра. Для начала можно показать модели сантиметра:
узкую бумажную полоску длиной в 1 см, кусочек спички в 1 см,
кубик из арифметического ящика с ребром 1 см. Подчеркнуть,
что общим для всех рассмотренных предметов является то, что
их длана равна 1 ем.
Замечается, что если на пересечении двух линий тетради от-
метить точку и, отступив от нее на две клетки вправо (влево,
вверх, вниз), отметить вторую точку, то длина отрезка, соединя-
ющего эти две точки, 1 см (М. 1, с. 23). На клетчатой бумаге дети
вычерчивают отрезок в 1 см и изготовляют дома несколько моделей
сантиметра из картона или кусочков спичек.
С помощью модели сантиметра ученик должен научиться ре-
шать две задачи.
Задача 1. Измерить данный отрезок. При выполнении
зтого задания учитель следит, чтобы каждый учащийся:
1)	точно приложил конец модели сантиметра к одному из кон-
цов измеряемого отрезка;
2)	с помощью карандаша на измеряемом отрезке отметил
другой конец модели сантиметра;
3)	приложил снова к полученной отметке один из концов мо-
дели сантиметра и на отрезке сделал еще одну отметку. Вторая
отметка показывает то, что отсчитаны 2 см. Аналогично (каждый
раз делая отметки) поступают до тех пор, пока последняя из от-
меток совпадет с другим концом измеряемого отрезка. В этом
случае ученик, подсчитав число отложенных на отрезке санти-
метров (число сделанных «шагов»), получит длину отрезка (в
сантиметрах).
Эту задачу можно решить и с помощью укладывания вдоль
измеряемого отрезка нескольких моделей сантиметра, как это по-
казано на рисунке 18.
Задача 2. G помощью модели сантиметра построить отре-
зок заданной длины.
При выполнении этой задачи необходимо следить за тем, что-
бы каждый из учащихся:
1)	вначале провел по линейке прямую линию или выбрал ка-
кую-нибудь линию на листе тетради;
2)	отметил на прямой точку (один из Концов отрезка) и в ка-
ком-нибудь направлении от нее последовательно отложил (каж-
дый раз отмечая карандашом) нужное
число сантиметров;
3)	отметил карандашом второй ко-
нец отрезка.
Опыт показывает, что выполнение
Рис. 18	этих операций, особенно на первых.
170
порах, связано с большими труд-
ностями для учащихся. Это объ-
ясняется отсутствием у них навы-
ков владения карандашом и
небольшой моделью сантиметра
(мышцы пальцев еще недостаточно
тренированы). Именно поэтому с
целью получения важных для
дальнейшей работы навыков необ-
ходимо достаточно долго и систе-
матически повторять указанные
упражнения. Процесс откладыва-
ния модели сантиметра — «про-
шагивание» от одного конца до
другого конца отрезка — создает
у детей те представления, кото-
рые в дальнейшем предотвратят
многие ошибки, встречающиеся
при измерениях.
На следующем этапе формиро-
вания навыков измерения отрез-
ков упомянутые выше две задачи
решаются с помощью масштаб-
ной линейки, на которой не на-
несены цифры. По заданию учи-
теля на полоске плотной бумаги
учащиеся сами размечают с по-
мощью модели сантиметра (или
клетчатой бумаги) шкалу такой
линейки. На рисунке 19, а пока-
зано, как при измерении отрезка
Рис. 21
ученик делает «шаги» от одного конца до другого, подсчитывая
их число. Он сделал 6 «шагов». Длина отрезка 6 см. На рисунке
19, б трех «шагов» оказалось мало, а четырех много. В этом случае
говорят, что «длина отрезка больше 3 см» или «меньше 4 см».
При переходе к измерению отрезков обычной мерной линейкой
ученик вначале должен показать на линейке отрезок заданной
длины. При этом он должен концом карандаша «пройти», как это
показано на рисунке 20, а, вдоль измеряемого отрезка от одного кон-
ца до другого, называя и указывая каждый следующий сантиметр.
Не следует торопиться с использованием для измерения мас-
штабной линейки с оцифрованной шкалой. Несмотря на кажу-'
щуюся легкость, преждевременное введение такой линейки часто
приводит к тому, что ученик, обращая внимание только на пра-
вый конец измеряемого отрезка и цифру, стоящую против него на
шкале линейки, допускает грубые ошибки из-за отсутствия вни-
мания к правильной установке начального штриха (не всегда сов-
падающего с концом линейки). Ученик совмещает начальный
171
конец отрезка не с начальным штрихом шкалы, а с левым краем
линейки, и возникает ошибка (рис. 20, б). В этом случае большин-
ство учащихся, недостаточно осмысленно овладевших навыком
измерения, скажут, что длина отрезка равна 5 см.
Чтобы исправить такую ошибку, можно вернуться к измере-
нию отрезка линейкой с неоцифрованной шкалой. Полезно также
научить детей измерять отрезки, делая любой штрих шкалы на-
чалом счета, например найти длину отрезка, если линейка при-
ложена так, как это показано на рисунке 21. При этом дети, не
обращая внимания на цифры шкалы, последовательно подсчиты-
вают, сколько сантиметров укладывается в отрезке (в данном
случае 3 см).
В ходе овладения навыками измерения отрезков с помощью
линейки возникает возможность использования единичных отрез-
ков (сантиметр) в качестве счетного материала, а шкалы линей-
ки — вначале для иллюстрации, а затем для выполнения опе-
рации сложения и вычитания чисел.
При сложении чисел с помощью шкалы линейки ученик
поступает следующим образом. Пусть нужно выполнить сложе-
ние 2 + 4. Вначале находится на шкале отметка «2» (она со-
ответствует 2 см — двум единицам счета). Затем ученик отсчи-
тывает от этой отметки еще 4 см и попадает в отметку «6». Сло-
жение чисел, таким образом, заменяется сложением длин от-
резков.
Важно обратить внимание учащихся, что при сложении оба
отрезка откладываются один за другим в одном и том же направле-
нии (вправо от начальной отметки).
Заметим, что отсчет второго числа может быть выполнен по
одному сантиметру, по «группам» (например, по 2 см) или сразу.
Различные варианты откладывания второго отрезка слагаемого
связаны с изучением его состава из слагаемых (в том числе
равных).	'
Рассмотренный прием может быть использован при изучении
таблицы сложения.
При вычитании чисел учащиеся поступают так: пусть нужно
выполнить вычитание 8—5. На шкале линейки находится отмет-
ка «8». Она соответствует 8 см — 8 единицам счета. Затем ученик
отсчитывает от этой отметки влево 5 см. Это может быть выполне-
но последовательным счетом по одному сантиметру, а также груп-
пами. Ученик попадает в отметку «3».
Масштабную линейку (длиной 25 см) в качестве «счетной ма-
шины» можно применять вплоть до полного усвоения учащимися
наизусть всей таблицы сложения однозначных чисел.
Обучение измерению отрезков происходит постепенно на про-
тяжении почти всех уроков темы «Десяток». Эта работа связы-
вается с формированием важных навыков построения отрезков и
многоугольников. При этом учитель должен предъявлять боль-
шие требования к качеству выполненных чертежей. Необходимо
172
следить за правильным положе-
нием руки, удерживающей ли-
нейку, правильным положени-
ем (наклоном, нажимом) каран-
даша. Необходимо обучать детей
вычерчиванию отрезков на клас-
сной доске. На рисунке 22
слева показана неверная поза
при вычерчивании отрезка, а
справа — верная.
Вначале при вычерчивании
отрезков в тетради концы отрез-
ков могут совпадать с точками
пересечения линии листа тетра-
ди. Ученик отмечает две точки
(рис. 23), прикладывает линей-
ку, в зависимости от расположе-
ния точек, так, как это показано
на рисунке 22. Позднее точки,
обозначающие концы отрезков,
могут быть поставлены вне ли-
ний листа тетради (рис. 24). Это
подготовит детей к вычерчива-
нию отрезков на нелинованной
бумаге.
Прежде чем приступить к
вычерчиванию многоугольни-
ков на клетчатой бумаге, целе-
сообразно выполнить подгото-
вительные упражнения. Напри-
мер, работу над «бордюрами»,
образцы которых представлены
па рисунке 25. Это могут быть
отдельные (цветные) точки, за-
кономерность расположения
которых может быть легко под-
мечена учащимися (рис. 25, а,
б, в, г), и фигуры, составленные
из отрезков. Подготовительная
работа по вычерчиванию много-
угольников требует внимания
и времени. Эту работу следует
связывать с дальнейшим со-
вершенствованием геометричес-
ких представлений, например
начертить четырехугольник и
треугольник, как на рисун-
ке 26, а (слева), затем начертить
Рис. 22
173
четырехугольник, как на том
же рисунке справа. Учащиеся
замечают, что первые два мно-
гоугольника могут быть полу-
чены путем деления третьего
многоугольника на части. Ана-
логичная работа выполняется
и с многоугольниками, изоб-
раженными на рисунке 26, б.
Начиная с урока, которому
посвящена страница 54 учебни-
ка, ведется систематическая
работа, в ходе которой дети
учатся делить фигуру на части и составлять из двух или более
фигур новую фигуру. Например, в задании 6 (М. 1, с. 55) пред-
лагается вырезать квадрат, разрезать его на 2 треугольника и из
этих треугольников сложить новый треугольник, а затем че-
тырехугольник. Эту задачу, используя части квадрата, можно
продолжить: разрезать каждый треугольник на 2 треугольника
(рис. 27, а) и сложить из этих четырех треугольников фигуры,
изображенные на рисунках 27, би 27, в.
Рис. 27
Рис. 28
Одновременно рассматрива-
ется деление отрезка точкой
на две части — два отрезка
(рис. 28, а), многоугольника от-
резком на два многоугольника
(рис. 28, б, в). Возникает , за-
дача, в которой нужно найти,
заметить и показать все знако-
мые фигуры. Например, на ри-
сунке 28, г указать все отрез-
ки, а на рисунке 28, б все
треугольники. Ученики не сра-
зу обнаруживают, что на ри-
сунке б можно указать 3 тре-
угольника. Для того чтобы
каждый учащийся мог это сде-
лать, на первых порах нужно
с помощью набора треугольни-
ков, вырезанных из бумаги
(рис. 29), показать каждый из
треугольников отдельно. Толь-
ко после этого можно несколь-
ко усложнить задания. Так,
например, ученики должны чер-
тить каждый из многоуголь-
ников (рис. 30). Окажется, что
многоугольник можно разделить
174
на 2 треугольника и четырехуголь-
ник. То же и на рисунке 31. В слу-
чае затруднений целесообразно по-
казать это на бумажных фигурах.
При решении более сложных за-
даний (задание 5, с. 64 учебника ма-
тематики) также необходимо пока-
зывать каждый из многоугольников.
Пример выполнения такого показа
дан на рисунке 32.
Трудность такого типа задач для
I класса должна быть ограничена
примерами, приведенными на рисун-
ке 33. Наиболее сложна задача, при
решении которой ученик обнаружит
на чертеже (рис. 33, в) 3 треугольни-
ка, 2 четырехугольника и 1 пяти-
угольник, всего 6 многоугольников.
В теме «Десяток» учащиеся полу-
чают самые первые представления сб
измерении таких величин, как масса
тела и емкость сосудов. Здесь не
преследуется цель дать полные пред-
ставления об этих величинах, а
нужно дать возможность правильно
использовать слова «масса» и.«ем-
кость».
Напомним (см. § 20), что в бли-
жайшие годы будет происходить до-
вольно сложный для усвоения про-
цесс перехода к единице измерения
массы (килограмм), которая вводит-
ся в обиход в соответствии с Меж-
дународной системой единиц «СИ»
(в быту единицы раньше, да и
сейчас еще часто называют единица-
ми веса).
С основной единицей массы — ки-
лограммом — учащиеся знакомятся
в ходе упражнений во взвешивании
(определении не веса, а массы тела)
на чашечных весах. На таких весах
может быть показано, как сравнива-
ется масса измеряемого тела с мас-
сой единицы измерения — гири или
их набора. Для начала груз нужно
подобрать так, чтобы масса была
равна целому числу килограммов.
Рис. 33
175
Если груз не выбран специальным образом, то его масса, как
правило, не выражается целым числом килограммов. Это на пер-
вом этапе будет затруднять понимание идеи измерения массы.
Поэтому первые упражнения должны быть упражнениями во
взвешивании стандартизируемых пачек или пакетов: 1 кг сахара,
2 кг картофеля, 3 кг муки и т. п.
Только на основе наблюдения и практического измерения мас-
сы различных предметов можно переходить к решению текстовых
задач, содержащих значения такой величины, как масса. Это об-
стоятельство в одинаковой мере относится и к такой величине,
как «вместимость» (емкость) сосудов. В I классе детям дается
первоначальное представление о литре.
Так как эти представления формируются до того, как учащие-
ся знакомятся с понятием объема, здесь не ставится задача рас-
смотрения различных единиц измерения емкости, установления
соотношения между ними. В 1 — 111 классах следует ограничиться
ознакомлением учащихся с процессом измерения вместимости (ем-
кости). С этой целью полезно продемонстрировать измерение вмес-
тимости кастрюли, банки с помощью стакана или другого сосуда,
а затем перейти к использованию мерной (литровой) кружки.
ГЛАВА VIII
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «СОТНЯ»
§ 29.	ЧЕМУ ДОЛЖНЫ НАУЧИТЬСЯ ДЕТИ В РЕЗУЛЬТАТЕ
РАБОТЫ НАД ТЕМОЙ
Тема «Сотня» — одна из самых больших тем курса. Ее изуче-
ние начинается во второй четверти учебного года в I классе и
заканчивается в третьей четверти второго года обучения.
В результате работы над темой дети должны овладеть следую-
щими знаниями, умениями и навыками:
1.	По нумерации чисел в пределах 100: уметь безошибочно
записывать и читать соответствующие числа, отлично знать по-
следовательность чисел натурального ряда, состав каждого дву-
значного числа из разрядных слагаемых.
2.	По теме «.Арифметические действия в пределах 100»:
а)	овладеть терминологией арифметических действий — знать
названия компонентов и результатов этих действий, понимать
формулировки, связанные с использованием этих терминов, уметь
использовать их в своей речи при чтении рассматриваемых
программой выражений, равенств, неравенств, уравнений;
б)	понимать смысл четырех арифметических действий, что
должно проявляться в умении правильно осуществлять выбор
действия при решении разнообразных жизненных задач;
в)	твердо усвоить на память таблицы сложения и умножения
однозначных чисел, уметь уверенно и быстро на этой основе нахо-
дить разность и частное двух чисел. Соответствующие навыки
должны быть доведены до автоматизма;
г)	знать переместительное свойство суммы и произведения,
знать, как можно: прибавить число к сумме и сумму к числу, вы-
честь число из суммы и сумму из числа, сложить две суммы и вы-
честь сумму из суммы; дети должны уметь разными способами
умножить сумму на число ц разделить ее на число (когда это воз-
можно). Соответствующие знания должны проявляться в умении
выбрать рациональные приемы вычислений для каждого случая,
рациональные способы решения соответствующих задач, объяс-
нить (хотя бы кратко) использованный способ решения;
д)	уметь уверенно и быстро устно находить сумму, разность,
произведение и частное чисел в пределах 100, уметь вычислять
177
. значение выражений, содержащих 2—3 действия (как одной, так
и двух ступеней, как со скобками, так и без скобок) в соответст-
вии с принятыми правилами о порядке выполнения действий;
е)	знать, как можно найти один из неизвестных компонентов
действия, если известны другой компонент и результат действия,
уметь применять эти знания для проверки действий и при реше-
нии соответствующих задач и уравнений;
ж)	уметь самостоятельно решать простые задачи на все дей-
ствия, а также составные задачи в 2 действия (а для более лег-
ких по структуре задач и в 3 действия), соответствующие средним
по трудности задачам из учебника для II класса. При этом от
учащихся требуется умение составить по задаче выражение или
уравнение или умение решить задачу по действиям. По требова-
нию учителя дети должны уметь пояснить, что они узнают каж-
дым действием и почему считают нужным выполнить зто дейст-
вие, дать полный ответ на вопрос задачи;
з)	уметь прочитать и записать с помощью букв простейшие
выражения (сумму, разность, произведение, частное двух чисел),
когда один из компонентов действия остается постоянным и когда
оба компонента являются переменными; уметь найти числовое
значение таких выражений при заданных значениях входящих в
них букв.
3.	О долях: знать, как можно иолучить одну третью (четвер-
тую, пятую, ...) часть отрезка, круга и др., назвать любую долю
со знаменателем в пределах 10 и обозначить ее с помощью цифр,
сравнивать доли, решать задачи на нахождение доли числа и чис-
ла по его доле.
4.	О величинах и их измерении:
а)	знать, что длина отрезка выражается числом, уметь изме-
рять с помощью мерной линейки и чертить отрезок заданной
длины;
б)	твердо знать отношения между изученными единицами
измерения и выполнять переход от одних единиц к другим (от
более крупных к более мелким и наоборот);
в)	иметь представление об отрезке длиной 1 см, 1 дм, 1 м,
уметь примерно, «на глаз», показать отрезки такой длины;
г)	знать такие единицы времени, как минута, час, сутки, неде-
ля, месяц, год; знать отношение между ними, порядок следования
дней недели и месяцев в году; уметь определять время по часам
и пользоваться табелем-календарем;
д)	знать, какими единицами измерения пользуются при взве-
шивании (килограмм) и при измерении емкости (вместимости)
сосудов (литр);
е)	на конкретных примерах дети должны обнаружить пони-
мание связи между такими величинами, как цена, количество,
стоимость; масса одного предмета, число предметов и общая их
масса и др.; зная любые две из трех таких величин, они должны
уметь найти третью.
178
5.	По геометрическому материалу.
уметь называть, различать, чертить на клетчатой бумаге и
обозначать буквами изученные геометрические фигуры: точку,
линию, отрезок, угол, ломаную, окружность, многоугольники
разных видов, в том числе прямоугольники (квадраты), измерять
и чертить отрезки заданной длины, сравнивать отрезки, находить
длину ломаной линии и периметр многоугольника, в том числе и
прямоугольника (квадрата).
Всеми этими знаниями, умениями и навыками учащиеся овла-
девают постепенно, на основе систематических упражнений, про-
водимых в ходе работы над рассматриваемой темой.,
§ 30.	МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ 100
Расширение области рассматриваемых чисел — дело всегда
достаточно трудное для младших школьников. Впервые с трудно-
стями, которые при этом возникают, они сталкиваются при озна-
комлении с числами в пределах 100. Следует отметить, что даже
последовательность чисел, их названия бывают известны к этому
времени далеко не всем детям. Поэтому то, что кажется легким, а
иногда и очевидным тем, кто ею уже хорошо владеет, для тех,
для кого соответствующие вопросы оказываются новыми, очень
трудно. Любая поспешность в изучении нумерации может приве-
сти к самым тяжелым последствиям, стать причиной серьезного
отставания в усвоении программы для ряда учащихся.
Учитывая эти обстоятельства, намеченная в учебниках систе-
ма работы над нумерацией предполагает, что соответствующие
вопросы будут находиться в центре внимания учителя и учеников
в течение довольно длительного времени — ознакомлению с ну-
мерацией в пределах 100 посвящается около 30 уроков. В ходе
работы над этой темой рассматривается ряд других вопросов
программы, во вопросы, связанные с изучением нумерации, хотя
и распределенные по урокам небольшими дозами, остаются при
этом важнейшими.
Учитывая особенности в образовании числительных, обозна-
чающих в русском языке числа 11—20, по сравнению с названия-
ми чисел от 21 до 100, эти случаи рассматриваются раздельно.
Сначала дети знакомятся с устной и письменной нумерацией
чисел 11—20.
Прежде всего в порядке подготовки к рассмотрению новых
чисел необходимо повторить те вопросы по нумерации, которые
изучались в теме «Десяток»: образование следующего числа ряда
прибавлением 1 к данному числу, соотношение между соседними
числами ряда, названия чисел и их обозначение. При этом сле-
дует обратить внимание детей на то, что каждое из рассмотренных
ими чисел имело свое особое название, слова эти никак не были
связаны между собой, для обозначения каждого из чисел от 0
до 9 существует свой особый знак, который называется цифрой
179
(при записи числа 10 использованы 2 цифры — 1 и 0). Ставится
вопрос, сколько всего цифр знают дети. После этого, отсчитав
10 палочек, учитель говорит, что 10 палочек иначе можно назвать
одним десятком (связывает палочки в пучок) и что названия сле-
дующих чисел связаны с этим. Ведя дальше счет палочек, учитель
на связанный пучок-десяток палочек кладет сверху еще 1 палочку
и спрашивает, какое число идет за числом 10 (если, что малове-
роятно, никто из детей не знает названия, то его сообщает сам
учитель). Далее учитель подчеркивает особенность слова один-
надцать: «один-на-дцать» (можно даже сделать соответствующую
запись на доске). Затем можно, используя брусок из арифметиче-
ского ящика, разделенный на 10 кубиков, положить сверху еще
1 кубик и спросить, сколько всего кубиков, чтобы слово«один-
на-дцать» было еще раз повторено и проанализировано. Так же
демонстрируется образование следующих чисел, причем каждый
раз обращается внимание на принцип образования соответствую-
щих числительных,, чтобы ученики сами смогли назвать числа
пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать, девятнадцать.
Выложив на бруске 10 отдельных кубиков, учитель заменяет их
вторым бруском и спрашивает, сколько всего получилось десят-
ков. Сообщается название полученного числа (два-дцать).
Познакомив детей с образованием, названием и последова-
тельностью чисел от И до 20, на том же уроке и на следующих за
ним нужно выполнить упражнения, направленные на усвоение
учащимися десятичного состава рассмотренных чисел. Сначала
такие упражнения выполняются с опорой на наглядность, а затем
и без нее. Вот примеры таких упражнений: отсчитайте 13 палочек,
свяжите 10 палочек в пучок-десяток. Сколько десятков и сколько
единиц в числе 13? Сколько всего единиц в этом числе? Возьмите
1 десяток палочек, добавьте еще 6 палочек. Сколько всего палочек
получилось? Сколько десятков и единиц в числе восемнадцать?
Какое число состоит из 1 десятка и 9 единиц?
Наряду с этим все время должна повторяться последователь-
ность чисел по вопросам вида: какое число идет при счете после
числа 16? 18? 19? Какое число находится между числами 15 и 17?
Назови число, которое встречается при счете перед числом 16,
12, 11 и т. п.
Лучшему усвоению нумерации чисел второго десятка способ-
ствует ознакомление детей с дециметром и измерением отрезков с
помощью дециметра и сантиметра. Упражнения в измерении сна-
чала, как и при ознакомлении с сантиметром, полезно проводить
с использованием модели дециметра (бумажной полоски длиной
1 дм, разделенной на сантиметры, которая имеется в приложении
к учебнику) и модели сантиметра. Затем можно перейти к изме-
рению с помощью линейки, выделив па ней 10 см. Для этого луч-
ше всего наклеить на линейку полоску цветной бумаги длиной в
1 дм от отметки «0» до отметки «10». Пользуясь такой линейкой
при измерении отрезков, длина которых равна 11, 12 и т. д. санти-
180
метрам, ребенок легко установит, что 15 см = 1 дм 5 см, 1 дм 7 см =
= 17 см; ее использование окажется полезным и при сравнении
чисел, выраженных в дециметрах и сантиметрах. Линейку можно
в дальнейшем использовать в качестве наглядного пособия при
рассмотрении десятичного состава чисел второго десятка, при
вычислении суммы и разности чисел в пределах 20 в случаях
вида: 10 + 2, 13 — 3, 18 — 10. Наряду с этими случаями при изу-
чении нумерации рассматриваются также случаи увеличения и
уменьшения числа на единицу.
Если при ознакомлении с устной нумерацией чисел И—20
главным было показать образование из 10 единиц 1 десятка, рас-
крыть десятичный состав чисел второго десятка, то при ознакомле-
нии с письменной нумерацией центральным становится вопрос
о том, как десятичная группировка единиц при счете отражается
в записи числа. Здесь впервые дети встречаются с важнейшим во-
просом о поместном значении цифр в записи чисел.	—
Лучшее пособие для разъяснения поместного значения цифр
и для показа записи двузначных чисел — абак, изображенный на
странице 84 учебника (М. 1).
В дальнейшем очень полезной оказывается таблица разрядов
с двумя подвижными лентами, изображенная на странице 85 учеб-
ника. (Заготовка для изготовления такого пособия дана в при-
ложении к каждому учебнику.) Демонстрации у доски можно
выполнять, используя абак, а учащиеся будут пользоваться ин-
дивидуальными пособиями — таблицами разрядов.
С использованием этих пособий выясняется, что для записи
чисел 10—20 используются те же самые цифры, но требуется две
цифры — первая (если считать справа налево) обозначит чис-
ло отдельных единиц в рассматриваемом числе, а второе место
(при счете справа налево) занимает цифра, указывающая, что
в этом числе 1 десяток. Специально должны быть рассмотрены
случаи записи чисел 10 и 20; цифра 1 (2) в этой записи показы-
вает, что в числе содержится 1 десяток (2 десятка), а цифра 0 —
что в числе нет других единиц, кроме тех, которые образовали
десятки.
Новым и требующим внимания вопросом является различие
однозначных и двузначных чисел. Предлагая детям сравнить за-
пись чисел 1, 3, 5, 4, 0 и чисел 15, 19, И, 10, учитель подводит их
к выводу, что для записи каждого из чисел 1, 3, 5, 4, 0 потребова-
лась только 1 цифра, а для записи каждого из остальных чисел —
по 2 знака, по 2 цифры. Полезно обратить внимание на то, что
для записи числа И дважды использована одна и та же цифра 1,
но записано зто число с помощью двух знаков, хотя и одинако-
вых. Термины «однозначное» и «двузначное число» ученики дол-
жны усвоить и научиться понимать и использовать их в своей
речи.
После ознакомления с письменной нумерацией чисел И—20 с
помощью пособий необходимо упражнять детей в записи этих
181
чисел и соответствующих случаев сложения и вычитания в тетра-
дях.
При ознакомлении с числами от 21 до 100 (М, 1, с. 91 и далее)
ведется работа, аналогичная описанной выше. При этом основ-
ными новыми вопросами будут закрепление введенного уже
представления о десятке как новой счетной единице, ознакомле-
ние с образованием чисел 20, 30 и т. д. на основе счета десятков,
их названиями. При анализе зтих названий специальное внима-
ние должно быть обращено на случаи «сорок» и «девяносто», являю-
щиеся исключением из общего принципа образования соответ-
ствующих числительных. После этого ученики знакомятся с
образованием любых других чисел в пределах 100 на основе счета
десятков и единиц, например: 3 десятка и 4 единицы, а всего 34
единицы.
При ознакомлении с устной нумерацией чисел 21—100 вводит-
ся новая единица измерения отрезков — метр, устанавливается
соотношение: 1 м = 10 дм. Как и раньше, изучение чисел идет па-
раллельно с рассмотрением соответствующих чисел, выраженных
в дециметрах и сантиметрах (их образование, состав, сравнение).
Наряду с сантиметровой лентой при разъяснении вопросов уст-
ной и письменной нумерации применяются те же пособия, при-
чем комплект карточек с числами 10, 20 дополняется вновь изу-
ченными (30, 40,,...). С их использованием разбираются случаи
сложения и вычитания вида: 56 — 6, 56 — 50, 70 + 8, как это пока-
зано на рисунке 34. Все время продолжается работа и над усвое-
нием последовательности чисел, свойств натурального ряда.
К обычным вопросам, которые задавались прежде, могут быть
добавлены вопросы вида: «Сколько чисел находится в ряду между
числами 10 и 20? 1 и 100? Назови наибольшее однозначное число,
наименьшее двузначное, трехзначное, наибольшее двузначное
число. Сколько получится, если 99 увеличить на 1? если 100 умень-
шить на 1?»
Выполняется довольно много упражнений, связанных с ана-
лизом десятичного состава чисел. При этом используются как
термины «десятки» и «единицы», так и новые термины, введенные
при изучении чисел 21—100 — единицы первого и второго разря-
дов. Важны не столько названия сами по себе, сколько указание
на то, что единицы пишутся на первом, а десятки на втором месте,
считая справа налево. Важно, чтобы дети осознали связь между
этими терминами и значением цифр в записи чисел. Важно также
подчеркнуть, что счет начинается со счета единиц — это первый
разряд. Набрав 10 единиц, получим
1 десяток, продолжая счет, получая
новые десятки, можно перейти на
этой основе к счету десятков. Та-
ким образом, десяток — вторая счет-
ная единица, которая используется
Рис. 34	при счете большого числа предме-
182
тов. Поэтому десятки могут быть названы единицами второго
разряда.
Знания нумерации, усвоенные при изучении рассматриваемой
темы, должны систематически закрепляться на всех следующих
уроках, посвященных теме «Сложение и вычитание в пределах
100». Часто такое закрепление происходит естественно, в связи с
рассмотрением приемов вычислений. Но даже и тогда, когда та-
кой органической связи с изучаемым новым материалом устано-
вить нельзя, полезно время от времени специально включать в
упражнения вопросы по нумерации.
$ 31. ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С СОСТАВНЫМИ ЗАДАЧАМИ
Ознакомление с задачами в два действия в учебнике приуро-
чено к изучению темы «Нумерация чисел в пределах 100». Обычно
зта работа приходится на первые дни третьей четверти учебного
года. Необходимо в начале занятий после зимних каникул повто-
рить наиболее важные вопросы из пройденного. На двух-трех
уроках, предшествующих введению составных задач, важно в
качестве подготовки упражнять детей в постановке вопроса к
данному условию простой задачи, умении дополнить недостающее
числовое данное в условии задачи, предложенной учителем, под-
бирать числовые данные, необходимые для ответа на поставленный
учителем вопрос, и формулировать соответствующую задачу.
Полезно также решать так называемые «цепочки» задач (когда
искомое предыдущей задачи входит как известное в условие сле-
дующей задачи).
Хорошей подготовкой детей к составлению выражения при ре-
шении составной задачи являются упражнения такого вида, как
на странице 86 учебника (М. 1, № 41). Полезно предложить и
такие вопросы: пользуясь тем же рисунком, объясни, что обозна-
чают такие записи: 8 + 2 (стоимость лыжных палок и костюма),
8 + 3 (стоимость костюма и шапки), 5—2 (сдача, которую можно
получить с 5 руб., купив лыжные палки), 9 — 3 (на сколько конь-
ки стоят дороже, чем шапка?) и т. п.
В учебнике предусмотрено и заблаговременное ознакомление
детей с выражениями более сложной структуры, содержащими
скобки (вида: 10 + (10 — 4) и др.).
На уроках, посвященных ознакомлению с составными задача-
ми, важно довести до сознания детей их основную особенность:
зти задачи нельзя решить сразу, одним действием. Чтобы отве-
тить на вопрос задачи, приходится вначале находить число, ко-
торого нет в условии задачи.
Существуют различные точки зрения по вопросу, с чего начи-
нать знакомство с составными задачами. В соответствии с одной
точкой зрения лучше начинать с рассмотрения задач, содержа-
щих простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и
нахождение суммы. Например: «У Коли 6 тетрадей, а у Оли на
183
2 тетради меньше. Сколько тетрадей у Коли и Оли вместе?» В
соответствии с другой точкой зрения более целесообразно начи-
нать с рассмотрения составных задач, содержащих задачи на
нахождение суммы и остатка. Например: «У Коли было 6 тетра-
дей и у Оли 2 тетради. 7 тетрадей они отдали учителю. Сколько
тетрадей у них осталось?»
На задачах первого вида ярко раскрывается отличие задачи
составной от простой. Здесь удобно вести разбор от вопроса
к числовым данным. При этом сразу обнаруживается то, что за-
дачу нельзя решить одним действием, хотя надо признать, что
само решение задач первого вида несколько труднее для детей,
чем решение задач второго вида. Так как основная цель учителя
на первых уроках — раскрыть специфику составной задачи, а
выработка умения решать их будет осуществляться постепенно
на многих последующих уроках, в учебнике знакомство с пими
дается именно на этих задачах.
Задачи второго вида дети воспринимают как соединение про-
стых задач и, решая одну простую задачу за другой, недостаточ-
но осознают суть составной задачи, не улавливают связь выпол-
няемых действий между собой и целенаправленность их на реше-
ние главного вопроса. Если начинать с составных задач второго
вида, что вполне возможно, то умение решать составные задачи
начинает формироваться с первых уроков, особенность же их бу-
дет осознаваться постепенно в процессе решения составных за-
дач различных видов.
Учитель, избравший в качестве первой задачи составную,
включающую уменьшение числа и нахождение суммы (I вари-
ант), рассматривает задачи в том порядке, в каком они идут по
учебнику.
Учитель, избравший в качестве первой задачи составную, вклю-
чающую нахождение суммы и нахождение остатка (II вариант),
на первом, втором и третьем уроках включает задачи, которые
по учебнику даны на четвертом, пятом и шестом уроках, и, соот-
ветственно, задачи, данные в учебнике на первых трех уроках по
этой же теме, переносит на четвертый, пятый и шестой уроки. На
последующих уроках при обоих вариантах включаются, переме-
жаясь, задачи рассмотренных видов, а также задачи новой струк-
туры так, как они идут в учебнике. Разумеется, остальные упраж-
нения, по нумерации чисел первой сотни и др., данные в учебнике
к этим урокам, переставлять не нужно, они пойдут в том поряд-
ке, в каком включены в учебник.
Необходимо сказать несколько слов о приемах, помогающих
детям усвоить содержание задач, понять и представить то, о чем
говорится в задаче. В практике с этой целью применяются:- ри-
сунок к задаче, краткая запись задачи, словесное рисование
(расскажите, какую бы вы нарисовали картинку к этой задаче),
повторение задачи в различных формах (повторите условие, повто-
рите вопрос задачи или объясните, что показывает каждое число
184
и что неизвестно в задаче). Как правило, на первых уроках при
рассмотрении задач новой структуры эти приемы используются
в сочетании: рисунок и повторение, краткая запись и словесное
«рисование», краткая запись и повторение. Позднее, когда задачи
данной структуры будут знакомы детям, ограничиваются одним
из приемов, наиболее экономным и целесообразным с точки зрения
учителя. Наконец, бывает и так, когда с первого чтения задачи
дети видят ее решение и отпадает необходимость в специальной
работе по усвоению содержания задачи.
Умение сделать схематический рисунок (позднее — чертеж)
к составной задаче или записать задачу кратко вырабатывается
постепенно в результате многочисленных упражнений, включа-
емых в определенной системе. В I классе наиболее часто надо
использовать коллективную работу детей под руководством учи-
теля, когда рисунок или краткая запись выполняется только на
доске (сначала самим учителем, позднее — вызванными учени-
ками).
Когда навыки письма у детей окрепнут и накопится доста-
точный опыт выполнения краткой записи составных задач и ис-
пользования кратких записей задач, данных учителем на доске
для составления по ним задач, можно постепенно включать та-
кие упражнения и в задания, выполняемые учащимися в тетра-
дях под руководством и с необходимой помощью учителя (одно-
временная запись на доске и в тетрадях, коллективная работа по
отбору и расположению слов и чисел для краткой записи и др.).
При решении задач в домашней или в проверочной работе не
нужно требовать краткую запись каждой составной задачи как
обязательного элемента выполнения задания.
В методике и практике обучения известны различные формы
записи решения составных задач. Для первоклассников овладе-
ние любой формой записи решения задач в 2 действия является
делом нелегким, но еще труднее оказывается для них выбор фор-
мы записи. Поэтому необходимо из разнообразных форм записи
отобрать те, которые более всего отвечают целям обучения. Учи-
тывая необходимость готовить учащихся начальных классов к
решению задач с помощью уравнений, можно рекомендовать со-
ставить по задаче числовое выражение и вычислить его значение.
Решение задачи: «Мальчик нашел 5 грибов, а девочка на 2 гриба
меньше. Сколько всего грибов они нашли?» — записывается так:
5 + (5 - 2) = 8 (гр.).
Очень важно, чтобы выражение составлялось в соответствии
с планом решения и возникало'по ходу рассуждения. Чтобы най-
ти ответ на вопрос задачи, надо выполнить вычисления.
Поскольку, ранее дети познакомились с решением простых
задач с помощью уравнений, то можно и при решении составных
задач обозначить неизвестное (искомое) число буквой. В этом
случае, после того как составлено выражение, следует поставить
вопросы: что мы узнаем, если выполним действия? А что нужно
185
узнать в задаче? Как мы обозначили искомое число? Запись ре-
шения принимает вид:
1 11
ж = 5 Н- (5 - 2)	5 + (5 - 2) = х
х = 8	или	х — 8
Ответ: 8 грибов.	Ответ: 8 грибов
Важно, чтобы дети поняли, что уравнение можно составить
как к простой, так и к составной задаче, и с этой целью следует
в течение второго полугодия решать под руководством учителя
некоторые составные задачи с помощью уравнений. Как правило,
можно ограничиться составлением по задаче числового выраже-
ния и вычислением его значения.
Приведем более подробное описание работы над новым мате-
риалом на первом уроке, посвященном рассмотрению составной
задачи (с использованием материала страницы 89 учебника).
В качестве подготовительной работы можно сначала решить
простую задачу на уменьшение числа на несколько единиц, чтобы
потом ее сравнить с составной задачей. Например: «Одна учени-
ца прочитала за день 7 страниц книги, а другая на 3 страницы
меньше. Сколько страниц прочитала вторая ученица?»
Привлекая детей к активному участию, учитель записывает
кратко задачу на доске и предлагает решить ее самостоятельно.
Для знакомства с составной задачей можно взять задачу
№ 57. Рассказывая условие задачи, учитель показывает, сколько
карандашей в первой коробке (6); показывает вторую, закрытую
коробку и говорит, что в ней па 2 карандаша меньше. Формули-
руя вопрос, учитель одну коробку придвигает к другой. Затем
дети повторяют задачу но вопросам учителя, а учитель по ходу
работы выполняет схематический рисунок на доске: «Что извест-
но про первую коробку? (На рисунке первой коробки появляется
число 6 к.) Известно ли, сколько карандашей было во второй ко-
робке? (На второй коробке ставится вопросительный знак.) Что
известно про карандаши во второй коробке? (Запись под рисун-
ком: на 2 к. меньше.) О чем спрашивается в задаче?» (Обе короб-
ки объединяются фигурной скобкой, и под нею ставится вопроси-
тельный знак.) Когда рисунок готов, учащиеся повторяют по не-
му задачу, поясняя, что обозначает каждое число и каков вопрос.
Далее ведется разбор, с помощью которого дети подводятся к
решению Задачи: «Знаем ли мы, сколько карандашей в первой
коробке? во второй? Можем ли сразу (одним действием) узнать,
сколько всего карандашей в двух коробках? Почему нельзя? (По-
тому что неизвестно, сколько карандашей было во второй короб-
ке.) Можно ли сразу узнать, сколько карандашей во второй ко-
робке? (Можно.) Что для этого нужно сделать? Почему? Что
узнаем, если из 6 вычтем 2? (Сколько карандашей во второй ко-
робке.) Что потом надо будет сделать, чтобы узнать, сколько ка-
рандашей в двух коробках вместе? (Сложить число карандашей в
186
первой и число карандашей во второй коробке.) Ответим ли мы
тогда на вопрос задачи?» (Да.) Решение задачи записывают на
доске и в тетрадях. Учитель объясняет и показывает, как вести
запись решения: что мы должны узнать сначала? Каким дей-
ствием? (Запишем посредине строки 6 — 2.) Что мы узнавали
потом? Каким действием? (Прибавили к полученному результату
еще 6.) Запись: (6 — 2) + 6. Вычислите, сколько карандашей в
двух коробках, и скажите ответ:
(6 - 2) 4- 6 = 10 (к.)
Ответ можно подчеркнуть. По записи решения дети еще р» з
могут пояснить, что узнавали первым действием, что узнавали
вторым действием и какой ответ можно дать па вопрос задачи.
Теперь полезно сравнить составную задачу с простой и уста-
новить, чем они похожи (условия одинаковые), чем отличаются
(вопросы задач, решения и ответы разные). Делается вывод, что
первая задача решается одним действием, а вторую задачу ре-
шить одним действием нельзя, она решается двумя действиями.
Для закрепления аналогично рассматривается задача № 58.
Полезно до решения задачи спросить, какое число получится в
ответе: больше или меньше, чем 7? Почему больше? После реше-
ния убедиться, что число, полученное в ответе, действительно
больше, чем 7.
Если учитель изберет для ознакомления с составной задачей
иной путь и начнет с разбора задачи такого вида, как № 71 на
странице 92 учебника, то работа на первом уроке будет выгля-
деть иначе.
В качестве подготовительных упражнений можно включить
решение задач, в которых детям нужно сформулировать вопрос
или дополнить недостающее данное. Например:
1) У девочки было 10 тетрадей в линейку и 7 — в клетку.
Что можно узнать по этому условию задачи? (Сколько всего
тетрадей было у девочки? На сколько больше было тетрадей в
линейку, чем в клетку?) Решать будем задачу с первым вопросом.
Повторите задачу целиком. Назовите (запишите) решение и ответ.
2) У мальчика были голуби. Двух голубей он отдал товарищу.
Сколько голубей осталось у мальчика?
После повторения задачи выяснить, почему нельзя ответить
на вопрос задачи. (Не знаем, сколько голубей было у мальчика
вначале.) Дополните задачу, назовите недостающее число. Повто-
рите задачу целиком. Запишите решение задачи и дайте ответ на
ее вопрос.
Первую составную задачу полезно сопровождать показом со-
ответствующих объектов и действий над ними, заботясь о том,
чтобы после показа предметы были скрыты и, отвечая на вопросы
задачи, дети выполняли действия над числами, а не просто нахо-
дили результат с помощью счета. Так, задачу № 71, которую рас-
сказывает учитель, можно иллюстрировать следующим образом:
187
«Саша принес 6 морковок (мальчик показывает 6 морковок,
вырезанных из плотной бумаги), а Оля 4 морковки (девочка по-
казывает 4 морковки, затем складывают все морковки в корзин-
ку). 8 морковок отдали кроликам (вынимают из корзинки 8 мор-
ковок). Сколько морковок осталось?»
При повторении задачи по вопросам учитель зарисовывает
ее схематически на доске (можно прикрепить рисунки двух пуч-
ков морковок и записать числа около них, остальное записать
кратко). Можно без рисунков записать задачу кратко, так:
Принесли — 6 м. и 4 м.
Отдали — 8 м.
Осталось — ?
Опираясь на краткую запись, учитель ведет разбор задачи:
«Если мы знаем, что Саша принес 6 морковок, а Оля 4 морковки,
то что можно узнать по этим данным? (Сколько всего морковок
принесли Саша и Оля.) Каким действием? Если нам известно,
сколько морковок принесли дети, и знаем, сколько морковок от-
дали кроликам, то что сможем узнать? Ответим мы тогда на во-
прос задачи? Научимся записывать решение этой задачи в тет-
радях». Учитель ведет запись решения на доске и привлекает к
его пояснению детей: «Что узнаем сначала? Каким действием?
Запишем поередине строки: 6 + 4. Что узнаем далее? Каким дей-
ствием? Вычтем из полученного результата 8». Запись: (6 + 4) — 8.
Далее учащиеся выполняют вычисления и называют ответ зада-
чи. Можно предложить слабым ученикам, опираясь на запись
решения, еще раз пояснить, что узнавали первым действием и
что — вторым действием. Учитель обращает внимание ребят, что
для ответа на вопрос задачи пришлось выполнить 2 действия,
этим она и отличается от задач, которые решали ранее.
Для закрепления знаний в течение двух-трех уроков рассмат-
риваются задачи такого же вида, как введенные на первом уроке,
а затем включаются задачи нового вида.
В дальнейших упражнениях важно все время предлагать
задачи различных видов, составные и простые, чтобы при решении
их дети не действовали по шаблону, а каждый раз должны были
внимательно отнестись к анализу текста задачи и только на его
основе наметить план решения и реализовать его.
Помимо рисунков и разнообразного демонстрационного мате-
риала, при рассмотрении с учащимися составных задач полезно
использовать специальные диафильмы.
§ 32, НОВЫЕ ВИДЫ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ НА СЛОЖЕНИЕ
И ВЫЧИТАНИЕ В ТЕМЕ «СОТНЯ»
Параллельно с обучением детей решению составных задач в
рассматриваемой теме все время продолжается работа над прос-
тыми задачами. Закрепляются и совершенствуются умения, фор-
мировавшиеся в ходе изучения темы «Десяток», предусматрива-
188
ется ознакомление детей с несколько более трудными для вос-
приятия простыми текстовыми задачами на нахождение суммы,
остатка, на увеличение, уменьшение и разностное сравнение чисел.
В конце первого года обучения решаются текстовые задачи на
раскрытие связи, существующей между компонентами и резуль-
татом вычитания.
Внесение известного разнообразия в формулировки задач на
нахождение суммы, остатка, на увеличение и уменьшение числа
на несколько единиц предупреждает возможность образования
штампов в решении такого рода задач.
Так, например, поскольку глаголы «улетели», «съели», «вы-
нули» и др. встречаются чаще в задачах на нахождение остатка,
у детей может возникнуть ложное представление о том, что нали-
чие их в тексте задачи само по себе указывает на то, что задача
решается вычитанием. (Это довольно типичное явление.) В свя-
зи с этим полезно включить и такие задачи, в текст которых вхо-
дят те же слова, но решается задача сложением. Например: «Из
коробки вынули сначала 2 карандаша, а потом — 1. Сколько все-
го карандашей вынули из коробки?», или: «Из гаража выехали
3 машины «Жигули» и 1 машина «Москвич». Сколько всего машин
выехало из гаража?»
Особенно большие трудности возникают у детей при встрече
с задачами па увеличение (или уменьшение) числа, выраженными
в косвенной форме. Косвенность формулировки этих задач со-
стоит в следующем: до сих пор задачи этого вида формулировались,
например, так: «У мальчика 10 коп., а у девочки на 3 коп. мень-
ше. Сколько денег у девочки?» В задаче содержится выражение
«на столько-то меньше», требуется узнать меньшее число, задача
решается вычитанием. Такие задачи называются задачами, вы-
раженными в прямой форме. То же отношение между известными
и искомой величиной может быть облечено в такую форму: «У
мальчика 10 коп., это на 3 коп. больше, чем у девочки. Сколько
денег у девочки?» Эта задача решается тоже вычитанием, так как
в ней требуется найти меньшее число (у мальчика на 3 коп. боль-
ше, чем у девочки, значит, у нее на 3 коп. меньше, чем у мальчика),
а в тексте задачи содержится выражение «на столько-то больше»,
которое прежде встречалось детям только в задачах на увеличе-
ние числа, решавшихся сложением. В связи с этим возникает
конфликтная ситуация, нередко приводящая к ошибкам. Введе-
ние задач, выраженных в косвенной форме, наряду и в сопоставле-
нии с задачами, выраженными в прямой форме, следует рассматри-
вать как методический прием, направленный на то, чтобы создать
в процессе обучения Такие условия, при которых выбрать дей-
ствие при решении задачи без всестороннего анализа ее, по от-
дельным, выхваченным из контекста словам и выражениям было
бы невозможным.
При обучении детей решению таких задач самое важное
научить их выяснить: а) в каком из рассматриваемых в задаче мно-
189
жеств больше элементов и в каком — меньше и б) какое число
нужно узнать — большее или меньшее.
Выяснив эти вопросы, дети не должны уже сомневаться в
выборе действия: если находится меньшее число, то задача ре-
шается вычитанием, если большее — сложением.
Например, при разборе приведенных выше задач должны
быть поставлены вопросы: а) у кого больше денег — у мальчика
или у девочки? (Выясняется, что у мальчика денег больше, а
у девочки меньше.) б) Что нужно узнать? Выясняется, что нуж-
но узнать, сколько денег у девочки, а у нее денег меньше; значит,
нужно узнать меньшее число. После этого делается вывод, что
задача (как та, так и другая) решается вычитанием.
Разобраться в этих вопросах детям помогает использование
наглядности. Сначала это могут быть демонстрации, (связанные с
использованием дидактического материала) того вида, которые
проводились при сравнении двух множеств предметов с первых
уроков математики, затем — рисунок, чертеж, краткая запись.
Если рисунок отображает число предметов, содержащихся в
сравниваемых множествах, то он, по существу, заключает реше-
ние. Например, решается такая задача: «На столе 8 чашек, их
на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?» По ходу
разбора, задачи будем выполнять рисунок так: нарисуем в ряд
8 чашек, а затем ниже, под каждой чашкой, по 1 стакану. Полу-
чим, что стаканов столько же, сколько чашек. Но в задаче ска-
зано, что чашек должно быть на 3 больше. Всего должно быть
8 чашек (как и изображено па рисунке). Значит, их трогать нель-
зя, а чтобы их оказалось на 3 больше, чем стаканов, нужно «уб-
рать» 3 стакана (на рисунке можно перечеркнуть 3 изображения
стаканов). Такая иллюстрация помогает оживить в сознании де-
тей уже известные им соотношения: а) если в одном из сравни-
ваемых множеств на сколько-то предметов больше, то в дру-
гом — их на столько же меньше, т. е. если чашек на 3 больше,
значит, стаканов на 3 меньше; б) чтобы стаканов стало на 3 мень-
ше, чем чашек, нужно взять столько же стаканов, сколько и ча-
шек, без 3.
Отсюда уже естественно вытекает и запись решения:
8 — 3 = 5 (ст.)
В дальнейшем, однако, нужно использовать такую иллюстра-
цию задач, связанных со сравнением двух множеств предметов
(или двух значений величины), при которой рисунок отражает
только те отношения, которые описаны в тексте задачи, но не от-
ражает ее числовых данных. Хорошей иллюстрацией такого ро-
да может служить чертеж. К той же задаче он может быть вы-
полнен так: изобразим с помощью произвольного отрезка число
чашек, надпишем над ним, что он изображает «8 ч.», начертим
ниже равный ему отрезок, который должен условно изображать-
столько же стаканов. Обращаясь к тексту задачи, вспоминаем, что-
190
8 чашек — это на 3 больше, чем стаканов. Значит, верхний отре-
зок должен быть больше, а нижний изображающий число ста-
канов, — меньше. Отделяем на нижнем отрезке часть его, иллю-
стрирующую «лишних» 3 стакана, и надписываем над ней.’ «3 шт.».
Над остальной частью отрезка можно поставить знак «?», так как
она иллюстрирует искомое.
Использование таких чертежей для иллюстрации задач, свя-
занных с увеличением (уменьшением) числа на несколько еди-
ниц, помогает, таким образом, и в установлении важного для вы-
бора действия соотношения: «на 2 (3, 4) больше», значит, «столь-
ко же и еще 2 (3, 4)», «на 5 (6, 7) меньше», значит, «столько же
без 5 (6,*7 ...)».
Краткая запись задач на увеличение (уменьшение) числа бу-
дет иметь такой вид:
Чашек 8 шт., на 3 шт. больше Чашек 8 шт.
Стаканов —?	Стаканов—?, на 3 ст. меньше.
При рассмотрении задач, выраженных в косвенной форме, в
качестве специальных упражнений полезно практиковать пере-
фразировку задач по заданиям вида: Скажи ту же задачу со сло-
вом «меньше» («больше»). Для нашей задачи зто будет выглядеть,
так: «Чашек 8 штук, а стаканов на 3 меньше. Сколько стаканов?»
(Такая перефразировка задачи находит отражение и в приведенном
выше втором варианте краткой записи.)
Задачи, выраженные как в прямой, так и в косвенной форме,
следует предлагать вперемежку: пары таких задач для сравне-
ния, объединяя в пары иногда две задачи на увеличение, одна
из которых выражена в прямой, а другая в косвенной форме; в
других случаях — две задачи, из которых одна — на увеличение,
а другая — на уменьшение, но обе они выражены в косвенной
форме, и т. и. Это поможет предупредить смешение рассматри-
ваемых задач детьми, сделает подход к решению этих и вообще
любых задач более осознанным.
В конце первого года обучения рассматривается связь между
компонентами и результатом вычитания. В это время вводятся
задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого.
Сначала, используя дидактический материал, надо подвести
учащихся к пониманию того факта, что уменьшаемое может быть
получено в результате сложения вычитаемого’ и разности.
Например, детям предлагается разложить в ряд 8 квадратов,
затем отнять (отодвинуть) 2 квадрата, найти разность (6 квадра-
тов); объединяя 6 квадратов и 2 квадрата, учащиеся снова полу-
чат 8 квадратов. Рассуждение сопровождается соответствующей
записью: 8 — 2 = 6, 6 + 2 = 8. После выполнения ряда подобных
упражнений дети упражняются в составлении по данному при-
меру на вычитание примера на сложение: 18 — 10 = 8, 10 + 8 =
= 18. Затем вводятся текстовые задачи на нахождение неизвест-
191
ного уменьшаемого. Работа-над ними строится по аналогии с рабо-
той над задачами на нахождение неизвестного слагаемого. При
решении таких задач дети формулируют вывод: чтобы найти не-
известное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
Этим выводом они и руководствуются в дальнейшем.
При объяснении способа нахождения вычитаемого предлага-.
ем, например, лоложить в ряд 10 кружков, затем отодвинуть
3 кружка и узнать, сколько осталось.
Запись: 10 — 3 == 7.
Полезно записать, что 10 — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 7—
разность. «Что получим, если из уменьшаемого (10) вычтем раз-
ность (7)?» — спрашивает учитель (вычитаемое 3).
Выполнив с помощью иллюстрации ряд таких упражнений,
дети формулируют вывод: если из уменьшаемого вычесть раз-
ность, то получится вычитаемое. Далее, предлагаются упражне-
ния на применение нового правила, после чего включаются за-
дачи на нахождение неизвестного вычитаемого. При этом пра-
вило формулируется так: чтобы найти неизвестное вычитаемое,
надо из уменьшаемого вычесть разность.
§ 33. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
В ПРЕДЕЛАХ 100
Если вернуться к рассмотрению тех конкретных задач, кото-
рые вытекают из требований программы в отношении усвоения
знаний, умений и навыков в области сложения и вычитания
(§ 17), то можно сказать, что для достижения этих целей много
уже сделано на предшествующем этапе обучения. В самом деле,
при изучении сложения и вычитания в пределах 10, а затем ра-
ботая над темой «Нумерация чисел до 100», учащиеся уже по-
знакомились со смыслом действий сложения и вычитания, на-
учились применять зти действия при решении различных жизнен-
ных вопросов и задач. Складывая и вычитая числа первого
десятка, дети практически познакомились с основными свойствами
этих действий, овладели простейшими приемами вычислений,
которые на них основаны (§ 25). Уже здесь было показано, что
для выбора рационального приема вычислений важно предва-
рительно разобраться в особенностях предложенного примера
или задачи. В теме «Десяток» была раскрыта и связь, сущест-
вующая между сложением и вычитанием, возможность использо-
вания этой связи при вычислении разности на основе знания со-
ответствующего случая сложения, при нахождении неизвестных
компонентов действия по другому, известному компоненту его
и данному результату. К моменту изучения сложения и вычита-
ния должны уже быть автоматизированы умения выполнять сло-
жение и вычитание в пределах 10.
При изучении сотни работа во всех этих направлениях про-
должается.
192
Смысл действий сложения и вычитания уточняется в ходе ре-
шения разнообразных задач, в том числе тех простых задач но-
вых видов, о которых говорилось в предыдущем параграфе
(§ 32), а кроме того, задач составных, решение которых создает
особенно благоприятные условия для сопоставления различных
действий, сопоставления различных случаев применения одного
и того же действия (когда, скажем, в одной и той же задаче де-
ти встречаются с необходимостью увеличить данное число на не-
сколько единиц, требующей использования сложения чисел, а
затем должны решить задачу, связанную с объединением двух
множеств предметов, которая также решается сложением, или
когда в одной составной задаче встречается задача на увеличе-,
ние числа на несколько единиц и задача на уменьшение числа на
несколько единиц и т. п.).
При ознакомлении с нумерацией чисел в пределах 100, как
было показано выше, расширяется знание детей о числах и их
свойствах (§ 30). Для рассмотрения различных приемов сложения
и вычитания наиболее важно знание того, что десятки можно
считать так же, как единицы. От этого легко перейти к рассмотре-
нию действий с числами, оканчивающимися нулем, рассматривая,
их как действия над десятками и выполняя их на основе сложе-
ния и вычитания в пределах 10. (Например, задачу вычисления
суммы 30 + 50 можно осмыслить так: 3 д. + 5 д. Зная, что 3 +.
+ 5 = 8, можно сделать вывод, что в результате сложения 30
и 50 получается 8 д., или 80.)
Чрезвычайно важно также приобретенное при изучении ну-
мерации двузначных чисел знание того, что любое число может
быть представлено в виде суммы двух других. Умение заменить
число суммой необходимо для понимания.и усвоения всех основ-
ных приемов вычислений. Особое значение имеет при этом умение
представить число в виде суммы его разрядных слагаемых, так
как большая часть новых вычислительных приемов, позволяющих
рационализировать вычисления, построена на основе использо-
•вания разрядного состава чисел. Например, чтобы к 36 приба-
вить 3, можно, конечно, воспользоваться приемом присчитыва-
ния числа 3 по его частям, который применялся при изучении
сложения и вычитания в пределах 10. Однако после усвоения на
память случаев сложения однозначных чисел гораздо более ра-
циональным оказывается прием, основанный на применении зна-
ния разрядного состава числа 36 (36 = 30 + 6).
Дальнейшее развитие при изучении темы «Сотня» получает
и работа над свойствами действий как теоретической основы рас-
сматриваемых приемов вычислений. Здесь детй знакомятся с
теми важнейшими следствиями из переместительного и сочета-
тельного свойств суммы и свойств разности, которые непосред-
ственно применяются в устных вычислениях с двузначными чис-
лами. Ознакомление с ними ведется на .уровне практическом,
без введения соответствующих формулировок. На конкретных
7 Заказ 387
193
примерах дети убеждаются в том, что прибавить число к сумме,
сумму к числу, сумму к сумме можно различными способами,
осознают эти способы и учатся применять их в разнообразных
случаях сложения чисел в пределах 100. Аналогично обстоит дело
и с рассмотрением различных способов вычитания числа из сум-
мы, суммы из числа, суммы из суммы.
Знание перечисленных выше вопросов нумерации и тех пра-
вил, которые являются следствиями из основных свойств дей-
ствий, дает возможность познакомить детей с приемами вычисле-
ний, позволяющими свести каждый новый случай сложения и
вычитания в пределах 100 к рассмотренным ранее.
Чтобы это требование было соблюдено, необходимо строго
придерживаться определенной системы в рассмотрении различ-
ных случаев сложения и вычитания. Система, представленная в
учебнике, позволяет рассредоточить рассмотрение новых вопро-
сов теории и соответствующих им вычислительных приемов, обе-
спечить планомерное и систематическое применение приобретае-
мых теоретических знаний, формирование соответствующих уме-
ний и вычислительных навыков.
Это достигается благодаря поурочному построению учебника,,
которое облегчает учителю планирование работы по теме. Вместе
с тем это обстоятельство в значительной степени ограничивает
возможности внесения каких-либо принципиальных изменений в
последовательность рассмотрения предусмотренных программой
вопросов теории и соответствующих случаев практического их
использования при изучении вычислительных приемов и выработ-
ке требуемых навыков. В самом деле, изменения в последова-
тельности введения тех или иных вопросов могли бы в условиях
работы по данному учебнику легко привести к нарушению логи-
ки учебного процесса, так как заложенная в учебнике система
упражнений перестала бы отвечать последовательности рассмот-
рения соответствующих вопросов курса.
Следуя за учебником, учитель уже при изучении нумерации
чисел в пределах 100 познакомит детей со следующими случаями
сложения и вычитания, основанными на знании свойств нату-
рального ряда, вида: 15 + 1, 78 — 1. В это же время дети научатся
решать и вопросу, связанные с пониманием десятичного состава
рассматриваемых чисел. Им соответствуют случаи сложения и
вычитания вида: 50 + 7, 57 — 7, 57 — 50. Методика их рассмот-
рения разобрана выше (§ 30).
В теме «Сложение и вычитание в пределах 100» первыми бу-
дут случаи сложения двузначных чисел, оканчивающихся нулем,
которые, как это было показано выше, сводятся к действиям в
пределах 10, если рассматривать их как действия над десятками
(М. 1, с. 106). Прием вычислений может быть показан с помощью
развернутой записи решения, данной в учебнике. Он может быть
для начала проиллюстрирован с использованием тех же пособий,
которые применялись при работе над нумерацией (пучки-десятки
194
палочек или их изображения, полоски с кружками, бруски ариф-
метического ящика). Пояснения при выполнении соответствую-
щих упражнений должны даваться только на примере первых
двух-трех случаев. Рассматриваемый прием вычислений настоль-
ко прост, что обычно не вызывает затруднений у детей. Однако
при возникновений затруднений у отдельных учащихся необ-
ходимо вернуться к соответствующим устным пояснениям, а
если понадобится, то и к иллюстрации. Работа над рассматривае-
мыми случаями сложения и вычитания служит делу закрепления
знания нумерации в пределах 100, табличного сложения и вычи-
тания в пределах 10. Поэтому упражнения такого вида полезно
включать и в дальнейшем. Это тем более важно, что для успеш-
ного усвоения следующих приемов вычислений соответствующие
навыки должны быть уже достаточно отработанными.
Следующий шаг в работе над темой — ознакомление с различ-
ными способами прибавления числа к сумме. Остановимся подроб -
нее на методике соответствующей работы, поскольку то, что
относится к рассмотрению этого свойства, в полной мере может
быть отнесено и ко всем другим.
Первое, на что следует обратить внимание, приступая к разъ-.
яснению различных способов выполнения решения, — на пони-
мание детьми стоящей перед ними задачи.
Учащиеся неоднократно уже встречались с заданиями такого
вида: «Из суммы чисел 5 и 4 вычесть 3»; «Из 10 вычесть сумму
чисел 3 и’2» и т. д. Среди них могли, конечно, встретиться и та-
кие случаи, когда к сумме двух чисел требовалось прибавить
какое-то число. Поэтому сама задача — вычислить значение выра-
жения вида: (4 + 3) + 2 — для детей не нова. Рассмотрение раз-
личных способов решения психологически не может быть оправ-
дано в данном случае и какой-либо выгодой в отношении большей
легкости одного из этих способов, так как после усвоения табли-
цы сложения все эти способы одинаково просты для детей. По-
становку задачи рассмотрения различных способов прибавления
числа к сумме можно, конечно, объяснить просто указанием на
то, что знание этих способов пригодится в дальнейшем.
В этом Случае способы вычислений могут быть рассмотрены
сразу на отвлеченном примере, с использованием различного
счетного материала. Так, учитель может предложить детям взять
4 красных квадрата и 3 синих, сказать, что к этим квадратам на-
до прибавить 2 треугольника и узнать, сколько всего фигур по-
лучится. При демонстрации можно сначала положить в конверт
квадраты и обозначить соответствующую сумму (4 + 3), а затем
прибавить к ним 2 треугольника. Вычисления записать на доске:
(4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9. Затем вынуть все фигуры, расставить
их на наборном полотне так, чтобы снова была проиллюстрирована
сумма чисел 4 и 3 (квадраты) и число 2 (треугольники). Затем учи-
тель прячет в конверт сначала 4 квадрата и 2 треугольника,
обозначает их сумму, прибавляет к ней 3 (вкладывая в конверт
7*
195
оставшиеся 3 квадрата). На доске получаем новую запись: (4 -г
4- 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 — 9. Сравнивая эту запись с
предыдущей, поясняя в ней каждый шаг, устанавливаем, что в
первом случае сначала вычисляли сумму, а потом к полученному
результату прибавили число 2, а во втором случае число 2 при-
бавили к первому слагаемому суммы, а затем к результату при-
бавили второе слагаемое. Сравнив полученные ответы, устанав-
ливаем, что результат в обоих случаях получился одинаковый.
Аналогично рассматриваем третий способ: (4 4- 3) 4- 2 = 4 4-
4- (3 4- 2) = 4 4- 5 = 9.
Можно, однако, провести объяснение, отправляясь не от аб-
страктного примера, а от сюжетной задачи. С точки зрения про-
буждения у детей интереса к рассматриваемому вопросу этот
подход оказывается даже более удачным.
Предложим задачу: «Папа нес две сумки с овощами. В одной
руке у него было 4 кг картофеля, а в другой 3 кг моркови. Папа
купил еще 2 кг капусты. Сколько всего килограммов овощей ку-
пил папа?» Сообщая задачу, учитель выставляет на наборном
полотне (или записывает на доске) цифры: 4, 3 и 2, оставляя меж-
ду ними место, достаточное для расстановки знаков при решении
задачи.
Решая эту задачу, дети, естественно, пойдут сначала по тако-
му пути: 1) узнаем, сколько овощей было в двух сумках до по-
купки капусты: (4 4~ 3) кг; 2) узнаем, сколько всего овощей
купил папа:' (4 4- 3) 4-2 = 74-2 = 9 (кг). Задача решена. Со-,
ответствующая запись делается на доске. Поставим дополнитель-
ный вопрос: «В какую сумку положил папа капусту»? В задаче об
этом ничего не сказано. Может быть, что в сумку с картофелем,
а может быть, что и в сумку с морковью. Учитель показывает,
свяв с полотна карточку с цифрой 2, что эти 2 кг капусты можно
положить в сумку с 4 кг картофеля (указывает на цифру 4), а
можно — в сумку с 3 кг моркови (указывает карточкой с цифрой
2 на цифру 3). Задача тогда будет решаться по-разному. Решим
задачу разными, способами. Далее, с использованием нагляд-
ной демонстрации рассматриваются новые способы решения. На
доске каждый раз выполняется развернутая запись, поясняю-
щая ход вычислений. Затем соответствующие способы вычисле-
ний и полученные результаты сопоставляются аналогично тому,
как это было описано выше.
После коллективного рассмотрения с демонстрацией и под-
робным анализом хода решения одного примера или задачи мож-
но обратиться к учебнику и, рассматривая предложенные в нем
иллюстрации различных способов вычислений, провести анало-
гичную работу по этим иллюстрациям и подписям, которые к
ним.даны. Рисунки, данные на страницах 108, 114, 124 и 138
учебника для I класса при ознакомлении с четырьмя следствия-
ми из основных свойств суммы и разности, представляют собой
своего рода таблицы. Расположение рисунков облегчает выпол-
196
нение разнообразных сопоставлений и сравнений. Так, выясняя
каждый способ вычислений, мы должны последовательно рас-
смотреть с детьми те 3 картинки, которые иллюстрируют каж-
дый шаг в проводимых рассуждениях. Эти картинки расположе-
ны в одном горизонтальном ряду, под каждой из них записано
математическое выражение, отражающее соответствующий шаг
в рассуждениях. После того как таким образом будут разобра-
ны все три способа вычислений, сравнить их можно, рассматри-
вая те же рисунки, но уже по вертикальным рядам. Так, срав-
нивая картинки в первом слева столбике таблицы, убеждаемся,
что исходная задача была во всех случаях одинаковой (к сумме
чисел 4 и 3 надо было прибавить 2). Сравнивая картинки в край-
нем правом столбце, убеждаемся, что результат вычислений то-
же во всех случаях оказался одинаковым.
Сравнивая картинки среднего столбца, имеем возможность
еще раз обратить внимание на различия в способах решения.
После описанной работы дети, как правило, оказываются уже
в состоянии самостоятельно (или с комментированием) выпол-
нить следующее задание учебника, связанное с вычислением тре-
мя способами значений аналогичных выражений.
На следующем уроке можно еще раз вернуться к этому во-
просу, прослушав подробные объяснения на конкретных приме-
рах. Приведем примерный образец таких объяснений. Выполня-
ется задание: «Реши тремя способами: (6 + 1) + 3». Прежде
всего ученик читает: «К сумме чисел 6 и 1 прибавить 3». Затем объяс-
няет: «Прибавить число к сумме можно разными способами. Мож-
но вычислять, как записано: сначала найду сумму 6 и 1: Она
равна 7, а потом к 7 прибавляю 3. Получится 10. Можно делать
по-другому: прибавляю число 3 ко второму слагаемому: 3 4-1 =
— 4, теперь прибавляю 4 к первому слагаемому: 6 + 4 = 10».
Аналогично объясняется и случай (6 + 1) + 3 = (6 + 3) + 1.
Подчеркнем еще раз, что знания правила прибавления числа
к сумме, какой-либо отвлеченной словесной его формулировки от
детей не требуется. Они должны лишь уметь пояснить каждый
шаг в выполняемых вычислениях примерно так, как' это пока-
зано выше.
Подчеркнем также, что главное, ради чего программа преду-
сматривает ознакомление с этими свойствами действий, — это
применение их в практике при ознакомлении с наиболее рацио-
нальными приемами сложения и вычитания в пределах 100.
Поэтому от рассмотрения трех способов решения в тех случа-
ях, когда все эти способы, по сути, оказываются одинаково прост
тыми, следует как можно скорее перейти к выполнению таких за-
даний, в которых применение усвоенных знаний дает существен-
ный, доступный пониманию детей выигрыш, облегчая решение^
Уже через два урока учебник предлагает задания такого ви-
да: «Реши удобным способом: (8 4- 6) -|- 2, (9 4- 7) 4~ 3, (6 4-
4- 4) 4- 8» и т. п.
197
Легко заметить, что в первом из приведенных примеров зна-
чительно легче выполнить вычисления, если прибавить число к
первому слагаемому, так как 8 + 2 = 10, а к 10 прибавить 6 лег-
ко. Во втором случае легче прибавить число ко второму слагаемо-
му, а потом полученный результат прибавить к первому слагае-
мому, в третьем примере более удобным оказывается вычислить
сначала сумму чисел 6 и 4, а затем прибавить к ней 8.
Рассмотрение таких примеров — важнейший момент в деле
подготовки к использованию рассмотренных свойств действий
в более сложных случаях сложения в пределах 100. Именно на
этих примерах до сознания детей должно быть доведено, что
тот или иной способ вычислений выбирается с учетом особенно-
стей предложенного примера. Именно здесь должно быть пока-
зано, какие преимущества дает знание рассмотренных возмож-
ных способов прибавления числа к сумме.
Учитель допустил бы методическую ошибку, если при рас-
смотрении этих упражнений ограничился подсказкой того пути,
который удобнее использовать в каждом случае. Очень важно,
чтобы дети сами убедились в том, что в этих примерах далеко
не безразлично, как выполнять вычисления. Понять зто они
могут, только попытавшись решить один и тот же пример разны-
ми способами, а затем выбрав наиболее легкий из них.
Пусть, скажем, решая пример (8 4-6) + 2, они попробуют сна-
чала вычислить сумму чисел 8 и 6, чтобы потом прибавить к ней 2.
Учителей иногда смущает такая постановка вопроса, посколь-
ку случаи вида 8 + 6 будут рассматриваться с учащимися позд-
нее. Это действительно так, но это вовсе не значит, что дети не
могут справиться со сложением этих чисел теми средствами,
какие им уже известны. В самом деле, еще в теме «Десяток» уча-
щиеся усвоили прием прибавления числа по его частям, усвои-
ли состав числа 6. Применяя даже только эти, специально изу-
чавшиеся ранее знания, они уже могут справиться со сложени-
ем чисел 8 и 6. Они могут, например, прибавить к 8 сначала 3
(прибавляя сначала 2, а затем еще 1), а затем еще раз 3 (хотя
бы присчитывая 3 раза по 1). Зная, что 6 = 2 + 4, они могут вос-
пользоваться приемом прибавления числа по его частям и таким
более легким способом: 8 + 2 + 4. Будет даже полезно, если де-
ти поймут, что усвоенные ими при изучении «Десятка» приемы
сложения (вычитания), вообще говоря, могут, быть применены
к любым числам. Выполнить соответствующие действия нелегко,
можно поэтому разрешить детям использовать счетный матери-
ал. Зато, найдя после этого прием, основанный на применении
только что приобретенных знаний разных способов прибавления
числа к сумме, они действительно убедятся .в большей его ра-
циональности.
В целях закрепления знания о разных способах прибавления
числа к сумме (или вычитания числа из суммы и др.) полезно
также практиковать решение различными способами соответст-
198
вующих текстовых задач. Задание решить задачу другим спосо-
бом можно предлагать, мотивируя это желанием проверить пра-
вильность решения.
При этом следует, однако, иметь в виду, что далеко не вся-
кую задачу можно решить всеми тремя способами, которые рас-
сматриваются при ознакомлении с соответствующими правила-
ми. Это может быть связано с особенностями числовых данных.
При вычитании числа из суммы, например, три способа решения
вообще возможны только в том случае, если каждое из слагае-
мых больше вычитаемого. Если одно из них больше вычитаемо-
го, а другое меньше, то возможны два способа решения; если же
каждое из слагаемых меньше вычитаемого, то возможно только
одно решение. Это, естественно, относится и к отвлеченным при-
мерам и к текстовым задачам. По решение текстовых задач на-
кладывает некоторые дополнительные ограничения на использо-
вание рассматриваемых правил. Эти ограничения связаны уже не
с особенностями числовых данных, а с логикой той жизненной
ситуации, которая в задаче описана и которая иногда не может
быть осмыслена детьми в трех разных аспектах. Проиллюстри-
руем это для ясности на конкретных задачах.
Рассмотренная выше задача про купленные папой овощи до-
пускала возможность трех различных способов решения. Рас-
смотрим теперь такую задачу: «Миша поймал утром 3 окуней и
2 лещей, а потом еще 5 окуней. Сколько всего рыб поймал Ми-
ша?» Естественно будет сначала узнаДь, сколько рыб поймал
Миша утром, а затем — сколько он всего поймал рыб. Получим
первый' способ решения: (3 + 2) + 5. Можно узнать первым дей-
ствием, сколько всего окуней поймал Миша, а затем — сколько
всего рыб он поймал. Получим второй способ решения: (3 + 5) +
+ 2. Что же касается третьего способа вычисления: (2 + 5) + 3,
то его осмыслить при решении этой задачи с точки зрения жизнен-
ной логики трудно. Использовать данную задачу для иллюстра-
ции всех трех возможных способов вычислений было бы насилием
над здравым смыслом ребенка.
Вообще текстовые задачи должны решаться именно на осно-
ве здравого смысла, т. е. учета реальных конкретных жизненных
связей и отношений, описанных в задаче, и лишь после решения
задачи можно использовать составленные при решении ее разны-
ми способами выражения для иллюстрации того, что при реше-
нии этой задачи оказалось возможным, скажем, как в рассмот-
ренных случаях, использовать различные способы прибавления
числа к сумме.
При таком подходе решение текстовых задач может помочь
детям в усвоении рассматриваемого правила. Прямой методиче-
ской ошибкой было бы вести детей противоположным путем; от
правила к решению задачи.
После трех-четырех уроков, посвященных специально задаче
разъяснения и усвоения детьми свойства, можно приступать к
199
рассмотрению тех вычислительных приемов, которые на его ос-
нове строятся.
Чтобы учащиеся были как можно лучше подготовлены к ус-
воению (а может быть, даже и к самостоятельному открытию!)
приема вычислений в новых для них случаях сложения и вычи-
тания чисел в пределах 100, важно непосредственно перед введе-
нием нового материала повторить с ними те вопросы, знание ко-
торых необходимо применить в каждом конкретном случае.
Так, после рассмотрения различных способов прибавления
числа к сумме вводятся случаи сложения видй: 34 4- 20 и 34 + 2.
Соответствующий прием вычислений не вызовет каких-либо труд-
ностей у детей, если они к этому времени будут уже хорошо уметь:
а) представлять двузначное число, не оканчивающееся нулем,
в виде суммы его разрядных слагаемых; б) решать удобным спо-
собом примеры вида: (20 + 7) + 30 и (40 + 6) + 3.
Поэтому именно такие упражнения предшествуют ознакомле-
нию с приемом вычислений. В ходе этих упражнений уже долж-
но быть выяснено, что десятки легче прибавлять к десяткам, а
единицы — к единицам.
Сам прием после этого может быть рассмотрен с большой до-
лей участия учащихся в объяснении и демонстрации каждого
шага. При объяснении полезно использовать на первых порах -на-
глядные „пособия (те же, которые уже использовались при изу-
чении нумерации). По ходу решения на доске должна постепен-
но появляться и соответствующая развернутая запись решения.’
После рассмотрения обоих случаев, скажем на примерах: 25 + 40,
25 + 4, полезно сопоставить эти два случая, выяснить, что было
общего в проводившихся при вычислении рассуждениях и чем
они отличались. Сравнение будет облегчено, если записи будут
сделаны одна под другой так:
25 + 40 = (20 + 5) + 40 = (20 + 40) + 5 = 65
25 + 4 = (20,+ 5) + 4 = 20 + (5 + 4) = 29
Сравнивая условия, устанавливаем, что к одному и тому же
числу 25 прибавляли в первом случае 40, а во втором случае 4.
Сравнивая первый этап рассуждений, видим, что он является
общим для обоих случаев: представляем число 25 в виде сум-
мы его' разрядных слагаемых. Различие выступает на следую-
щем этапе, когда мы прибавляли число к сумме чисел 20 и 5:
число 40 мы прибавляли к первому слагаемому (к 20), а число
4 ко второй слагаемому (к 5). Сразу же важно подчеркнуть,
что различие это связано с трм, что десятки надо прибавлять к
десяткам, а единицы — к единицам.
После того как будет разобран у доски еще один пример, а
дети запишут его решение в тетради, можно обратиться к рабо-
те по учебнику (с. 112) и предложить детям рассмотреть рису-
нок, заключенные в рамку записи и приготовиться объяснить эти
записи. Один из учеников устно комментирует решение первого
200
примера, второй — следующего. Затем можно перейти к само-
стоятельному решению детьми аналогичных примеров.
На следующих уроках выполняются упражнения, направлен-
ные на формирование умения применять разобранный прием
вычислений в разнообразных условиях.
Уже на втором уроке, после ознакомления с новым вычисли-
тельным приемом, объяснения хода решения должны стать более
сокращенными. Вполне достаточно, если, вычисляя сумму 36 4- 2,
ученик скажет: «36 — это 30 и 6, сложу 6 единиц и 2 единицы.
Получится 8 да еще 30, получится 38».
Самостоятельно может быть рассмотрен случай вида: 57 + 3
(когда при сложении единиц получается десяток, который нуж-
но, прибавить к десяткам), и случай вида: 4 + 62, когда можно
использовать перестановку слагаемых, а затем рассуждать в сот
ответствии с рассмотренным приемом вычислений.
В ходе дальнейших упражнений приобретенные умения долж-
ны закрепляться, совершенствоваться, и в результате у детей
должен быть сформирован навык быстрого и правильного выпол-
нения вычислений в рассмотренных случаях. Для выработки та-
ких навыков необходимо не только разнообразие, но и достаточ-
ное число соответствующих упражнений, которые полезно вы-
полнять как в письменной форме, так и устно.
Аналогично ведется работа и над остальными свойствами и
основанными на них приемами вычисления (система их введения
определена учебником). С введением каждого нового свойства,
естественно, расширяются возможности все более самостоятель-
ного рассмотрения детьми как самих свойств, так и соответствую-
щих приемов вычислений. Главное внимание учителя должно
быть при этом обращено на заблаговременную подготовку к рас-
смотрению нового, основанную па актуализации тех знаний,
умений и навыков, использование которых понадобится при
работе над новым материалом, и на обеспечение в процессе обу-
чения условий, необходимых для закрепления приобретенных
•умений, для выработки соответствующих навыков.
Особое место в системе изучения сложения и вычитания в
пределах 100 занимает сложение однозначных чисел, приводя-
щее к выходу за пределы десятка. Это табличные случаи. Их ус-
воение должно быть доведено полностью до автоматизирован-
ных навыков, как и при изучении части таблицы, относящейся
к теме «Десяток». Об этом ни на минуту нельзя забывать учите-
лю, рассматривающему соответствующие вопросы наряду с други-
ми, по отношению к которым задача запоминания наизусть не
ставится.
Специфика этих случаев требует особой тщательности на эта-
пе подготовки детей к их рассмотрению и закрепления приоб-
ретенных умений.
При подготовке надо отработать до полного автоматизма уме-
ние дополнять любое предложенное однозначное число до 10 и
201
вычитать из 10 любое однозначное число, умение представить
любое однозначное число в виде суммы двух слагаемых, когда
одно из них задано (например, при устном выполнении упраж-
нений вида: «9 — это 3 и...», «8 — это 4 и...» и т. п.).
Рассматривая с учащимися приемы вычислений для этих слу-
чаев, нужно использовать все те способы, с которыми к этому
времени дети уже знакомились. Необходимо стимулировать ис-
пользование разнообразных приемов, облегчающих поиски ответа.
Так, случай 6 + 7 может быть рассмотрен и на основе приме-
нения правила прибавления числа к сумме, и на основе примене-
ния правила прибавления суммы к числу, и с использованием пе-
рестановки слагаемых, и на основе знания на память случая
6 + 6 (случаи 5 + 5, 6 + 6, 7 + 7, 8 + 8,. 9 + 9 легче, быстрее
усваиваются детьми на память и могут быть использованы в даль-
нейшем в качестве опоры при решении многих других примеров),
и на основе использования других приемов, к которым некоторые
ученики приходят по интуиции еще до специального рассмотре-
ния их с учителем. Например: «6 + 7 — это 16 без трех», — может
сказать кто-либо из детей, и это нужно только приветствовать:
«6 + 7 — это 12 да еще Г», — скажет другой, и это тоже хорошо.
Можно только спросить, как получено 12.
Как и всегда, когда речь идет об усвоении на память, необ-
ходимо обеспечить тренировочную работу, связанную с рассмот-
рением отдельных случаев из таблицы и с воспроизведением
их в определенной системе. Например, полезно выделить, напит
сать, повторить случаи сложения, объединенные тем, что остает-
ся постоянным первое слагаемое (табл, на с. 141 учебника) или
когда постоянным будет второе слагаемое (упр. № 281 и подоб-
ные ему) и т. п. Большое значение имеет также работа над усвое-
нием рядов чисел, получаемых при прибавлении по 2, по 3 и т. д.
Специально следует упражнять и в усвоении соответствующих
случаев состава чисел. Так, дети должны хорошо знать, как может
быть получено число 12 не только при сложении десятков и еди-
ниц, но и как результат сложения двух однозначных чисел
(9 и 3, 8 и 4, 7 и 5, 6 и 6). Разучивать состав чисел второго десятка
из двух однозначных слагаемых необходимо не только для лучше-
го усвоения таблицы сложения, но и для того, чтобы соответствую-
щие случаи вычитания дети могли усвоить в опоре на знание таб-
лицы сложения, как это делалось и в теме «Десяток», а не только
на основе тех приемов, которые в -это время рассматриваются
в учебнике. Большое значение в этом отношении имеет решение
и составление пар, троек, четверок примеров вида: 7 + 6, 13 — 6,
6 + 7, 13 — 7 и т. п.
При рассмотрении следующих случаев сложения и вычитания
в пределах 100 вида: 36 + 7 и 36 — 7, 26 + 18 и 93 — 25 — также
важно использовать наряду с другими и такие приемы, которые
способствуют усвоению табличных случаев сложения и вычита-
ния — заставляют их «работать» в новых условиях. Соответст-
202
вующее объяснение дано на странице 164 учебника, но можно
ввести этот прием и раньше (после объяснения, данного на стра-
нице 146) и тренировать детей в ходе устных упражнений в ис-
пользовании как того, так и другого приема.
Для усвоения табличных случаев сложения и вычитания мож-
но использовать те же упражнения, что выполнялись в теме
^Десяток», но, конечно, несколько усложняя их. Это примеры о
пропусками в одно-два действия, счет «цепочкой», составление
примеров на сложение (вычитание) с заданным ответом и т. п.
Работа над табличными случаями сложения и вычитания
должна вестись из урока в урок параллельно с рассмотрением
новых вопросов программы как в I, так и во II классе.
В начале второго года обучения вводятся приемы поразрядного
сложения и вычитания двузначных чисел.
Окончательная отработка знания таблицы должна быть обе-
спечена ко времени перехода к изучению умножения и деления,
но и в дальнейшем о необходимости постоянно поддерживать у
детей.приобретенные навыки забывать нельзя.
§ 34. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
В ПРЕДЕЛАХ 100
«Умножение и деление в пределах 100» — центральная тема
программы II класса. На ее изучение отводится почти 3 четверти
учебного года. Подготовка к рассмотрению этих действий на-
чинается еще в I классе.
Подготовительная работа в I классе связана с реализацией и
расшифровкой следующего пункта программы для этого класса:
«Нахождение суммы одинаковых слагаемых и представление
числа в виде суммы одинаковых слагаемых».
Соответствующие упражнения предусмотрены учебником
(М. 1) начиная с рассмотрения первых же таблиц сложения и
вычитания в пределах 10. Дети учатся присчитывать (прибав-
лять) по 2 к данному числу и отсчитывать по 2 от данного числа
(вычитать несколько раз по 2). В связи с этим специальное вни-
мание уделяется усвоению рядов чисел, которые при этом полу-
чаются (1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10). С упражнениями такого вида
первоклассники встретятся уже на страницах 38, 39 учебника.
Аналогично по ходу рассмотрения новых случаев сложения и
вычитания рассматриваются случаи прибавления (вычитания)
по 3, по 4 и т. д. Работа в этом направлении продолжается в те-
чение всего первого учебного года, а в конце его специально
рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением
суммы одинаковых слагаемых. Причем здесь уже ставится цель —
научить детей понимать выражения «по стольку-то взять столько-то
раз» (упр. № 453 и др.). Внимание детей каждый раз обращается
на то, что слагаемые одинаковы, каждый раз выясняется, сколько
таких слагаемых, чему равна их сумма. При решении текстовых
203
задач, всегда сопровождаемых иллюстрацией, ставятся те же
вопросы. Задачи эти по своей формулировке совершенно аналогич-
ны тем, которые во II классе будут решаться умножением, но
шока дети решают их с помощью нахождения суммы нескольких
одинаковых слагаемых (задачи № 458, 473 и др.). Это прямая
подготовка к рассмотрению умножения.
Для подготовки к изучению деления в I классе предусмотре-
ны" практические упражнения, в ходе которых дети, оперируя
множествами предметов, фактически решают задачи на деление
на равные части и деление «по содержанию» (задачи № 466, 467,
477 и др.). Иллюстрации учебника дают возможность решать
такие задачи, как обратные задачам на нахождение суммы одина-
ковых слагаемых. Эту связь полезно проследить уже в I классе,
предлагая детям составить по рисунку, который иллюстрирует
деление, задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых.
Именно с описанных упражнений начинается систематическая
работа над действиями умножения и деления во II классе. Озна-
комлению учащихся со смыслом этих действий, некоторыми их
свойствами, существующей между ними связью, взаимосвязью
между компонентами и результатами этих действий посвящается
около 30 уроков по теме. Рассмотрение этих и некоторых других
вопросов теории предшествует составлению и систематическому
изучению самих таблиц.
Это специфическая особенность представленной в учебнике
для II класса системы изучения умножения и деления, которую
нужно хорошо осознать учителю. Умелое проведение уроков, по-
священных этим вопросам, должно вооружить детей такими зна-
ниями, умениями и навыками, которые во много раз уменьшают
нагрузку на память, позволяют обеспечить сознательное и проч-
ное усвоение табличных случаев умножения и деления с меньшей
затратой сил и времени.
Рассмотрим методику ознакомления со смыслом действий
умножения и деления и теми вопросами теории, изучение которых
предпослано составлению и разучиванию таблиц.
Знакомство с умножением начинается с раскрытия смысла
этого действия и проводится на конкретном материале. Можно
предложить учащимся задачу, для решения которой нужно най-
ти сумму одинаковых слагаемых. Подобрать задачу следует так,
чтобы ее содержание было легко показать наглядно. Затем, опи-
раясь на знания, приобретенные в I классе, дети сначала напишут
решение этой задачи сложением.
Приведем выдержку из соответствующего урока.
Учитель говорит: «Будем решать задачу, слушайте внима-
тельно.
«Продавец отсчитал покупательнице 4 раза по 2 яблока. Сколь-
ко всего яблок он отсчитал?» Что в задаче известно? (Что продавец
отсчитал 4 раза по 2 яблока.) Что нужно узнать? (Сколько всего
яблок он отсчитал.) Зарисуйте в тетрадях условие этой задачи,
204
а Коля сделает рисунок к задаче на доске. Рисуйте яблоки в
одной строчке». —Когда рисунки выполнены, учитель спрашивает:
— По скольку яблок давал продавец каждый раз? (По 2 яб-
лока.)
— Сколько раз по 2 яблока он давал? (4 раза.)
— Каким действием можно узнать, сколько всего яблок он
дал? (Сложением, нужно к 2 прибавить 2, 2 и еще 2, получит-
ся 8.)
На доске появляется запись: 2 + 2 + 2 + 2 = 8.
Ответ: 8 яблок.
— Чем интересна записанная сумма? (В этой сумме все сла-
гаемые одинаковые.)
После этого учитель сообщает, что сложение одинаковых сла-
гаемых называют умножением. До сих -пор мы изучали
сложение и вычитание. Сегодня начинаем знакомиться с новым,
третьим арифметическим действием. Нужно знать его назва-
ние — умножение, уметь его применять, записывать и читать со-
ответствующие примеры.
Выполненную нами запись можно прочитать так: «По 2 взять
4 раза, получится 8». Записывается это с помощью знака действия
умножения так: 2-4 = 8. Мы записали решение нашей задачи
умножением (точка — знак умножения). Число 2 в этой записи
показывает, какие слагаемые складывались, а 4 — сколько их
было. Вызванный ученик читает запись: «По 2 взять 4 раза, по-
лучится 8». Учитель сообщает, что ту же запись можно прочитать
и по-другому: «2 умножить на 4, получится 8»„
Рассматривается еще одна задача этого вида. Затем дети чи-
тают записанные на доске примеры на умножение и решают йх
с помощью сложения одинаковых слагаемых.
После этого выполняются упражнения в замене сложения
одинаковых слагаемых умножением. Каждый раз при этом вы-
ясняется, какое число должно быть записано первым (то, которое
показывает, какие слагаемые складывались), как обозначается
умножение, какое число записывается вторым и что оно обозна-
чает (сколько таких слагаемых).
Упражнения такого рода выполняются на следующих двух-
трех уроках, причем наряду с такими примерами, в которых заме-
нить сложение умножением можно, включаются и такие, в кото-
рых такая замена невозможна (слагаемые, хотя они чем-то и похо-
жи друг на друга, не являются одинаковыми, например: 28 + 2 +
+ 8, 7 + 4 + 47 и т. п.).
Помимо решения задач на замену суммы произведением и на-
оборот, здесь, например, детям предлагается сравнить два выраже-
ния: 3 • 6 и 3 • 7.
Возможны разные подходы к решению:
1. Наиболее простой способ — заменить оба сравниваемых
произведения суммами (удобно записать соответствующие приме-
ры один под другим) так:
205
3-6 = 34-3 + 3 + 34-34-3
3-7 = 3 + 3 + 34-3 + 3+ 3 + 3
Сравнив суммы, легко заметить, что во второй из них одной
тройкой больше, чем в первой, а из этого следует, что 3 • 7 боль-
ше, чем 3-6.
2. Не заменяя произведения суммами, рассуждаем так: запись
3 • 6 означает, что по 3 нужно взять 6 раз, иначе говоря, сло-
жить 6 троек; 3 • 7 — это 7 троек, на 1 тройку больше.
Аналогично разбираются упражнения вида:
6 - 4 = 6 + 6 + 6+6.
Через два-три урока вводятся названия: первый множитель,
второй множитель, произведение. Одновременно показывается,
что выражение 8 • 4 называется произведением, как и результат
умножения чисел. В классе вывешивается плакат с названиями
чисел и выражения при умножении, сделанный по образцу запи-
си, данной на странице 34 учебника для II класса.
Параллельно с работой, направленной на усвоение детьми
связи между умножением и сложением, продолжается и решение
конкретных задач на деление.
В течение всех 30 уроков, отводимых на подготовку к состав-
лению и изучению таблиц умножения, все задачи на деление при-
ходится решать, опираясь на наглядность (на основе практиче-
ских действий с предметами или с использованием схематических
рисунков), Tati как знание связи между'действиями деления и
умножения и результатов табличного умножения в это время
еще только формируется.
После решения задачи «6 карандашей раздали по 2 каждому
ученику. Сколько учеников получили карандаши?» с соответст-
вующей демонстрацией рассматривается вторая задача по учеб-
нику (М. 2, № 162). Учитель сообщает, что обе эти задачи решены
с помощью нового арифметического действия, которое называ-
ется делением, показывает, как записывается решение задач,
как читаются соответствующие записи.
Через два-три урока вводятся задачи на деление на равные
части, которые дети уже решали в I классе, но устно, без записи.
Учитель показывает, что и эта задача решается делением, дает
образец записи. Затем рассматривается по учебнику задача № 191.
В дальнейшем задачи па деление решаются либо с использова-
нием рисунков из учебника, либо с помощью схематических
рисунков, которые выполняют в ходе решения сами учащиеся.
Такие рисунки можно использовать и при коллективном и при
самостоятельном решении задач и примеров на деление.
Наприйер, решается задача: «На каждый конверт надо на-
клеить по 2 марки, а у Нади 8 марок. На сколько конвертов
хватит этих марок?»
Учитель предлагает детям зарисовать условие задачи, обводя
вместо каждой марки одну клетку, а вместо конверта — прямо-
200
угольник. Ученик рисует 8 марок, а затем рассуждает так: «Марки
наклеивали по 2 на конверт. Возьму 2 марки и наклею их на
первый конверт (отделяет и перечеркивает 2 марки из 8 нарисо-
ванных, рисует конверт и 2 марки на нем)». Так же продолжает
решение: отделяет и зачеркивает еще 2 марки из данных, ри-
сует второй конверт с марками и т. д., пока не кончатся все
марки.
По этому рисунку легко ответить на вопрос задачи. Решение
и ответ записываются: 8i2 = 4. Ответ: на 4 конверта.
Решение задачи на деление с помощью рисунка может быть
выполнено и в том случае, когда задача требует деления на рав-
ные части. Например: «9 кусков сахара положили поровну в
3 стакана. Сколько кусков сахара положили в каждый стакан?»
Дети зарисовывают схематично условие (3 прямоугольника,
9 клеточек), затем дети начинают «раскладывать» сахар в стака-
ны. Стаканов 3. Поэтому берем сразу 3 куска и кладем их по 1
в стакан. На рисунке отделяются и зачеркиваются 3 «куска» и в
каждом стакане рисуется 1 «кусок».
Затем так же раскладываются еще 3 «куска» и, наконец, за-
черкиваются последние 3 «куска». С помощью полученного рисун-
ка легко может быть проведено решение задачи и получен ответ:
9 : 3 = 3. О т в е т: по 3 куска.
При решении задач (и примеров) на деление рисунки исполь-
зуются, таким образом, не только для иллюстрации текста зада-
чи, но и как средство ее решения (необходимость в таком исполь-
зовании рисунка отпадает только тогда, когда дети смогут решать
задачи на деление, опираясь на знание соответствующих случаев
табличного умножения и знание связи между делением и умноже-
нием).
После того как дети усвоят конкретный смысл действия ум-
ножения и соответствующую терминологию, рассматривается
переместительное свойство произведения. Это свойство может
быть «открыто» самими учащимися, если хорошо организовать
соответствующую практическую работу на уроке. Работа может
быть проведена примерно так: учитель раздает, детям различные
прямоугольники, вырезанные из клетчатой бумаги, и каждый
ученик подсчитывает, на сколько клеток разбит прямоугольник.
Для этого считают, сколько клеток в одном столбике (например, 4)
и сколько таких столбиков (например, 3). Результат подсчиты-
вается устно с помощью сложения (4 4- 4	4 — 12) и записы-
вается. Затем ученик решает эту задачу другим способом. .
Получаем две записи: 4 • 3 = 12 и 3 • 4 = 12. Сравнив ре-
зультаты, дети замечают, что они равны. Сравнив выражения,
устанавливают, что они отличаются только порядком множите-
лей. Поскольку у детей были различные прямоугольники, полезно
заслушать, как проведен подсчет числа клеток в разных случаях.
Прослушав три-четыре примера, можно сделать вывод, который
затем дети должны прочитать по учебнику (М. 2, с. 39).
207
Сразу же выполняются упражнения, требующие применения
этого свойства в различных условиях (упр. № 221, 222, 227
и др.). Заполнение таблицы, которая дает возможность сравнивать
несколько произведений, отличающихся лишь порядком множи-
телей (№ 226), дает возможность уже на следующем уроке под-
вести детей к записи переместительного свойства произведения
с помощью букв: а • b = Ъ • а. '
Следующий шаг в ознакомлении детей с умножением и деле-
нием — рассмотрение вопроса о связи между компонентами и ре-
зультатом умножения, а после введения соответствующей терми-
нологии и связи между . компонентами и результатом деления.
Связи эти раскрываются на основе рассмотрения задачи на на-
хождение неизвестного компонента действия по данным резуль-
тату и второму компоненту.
Методика соответствующей работы аналогична той, которая
использовалась при нахождении неизвестных компонентов сло-
жения и вычитания.
После изучения этих вопросов становится возможным убеди-
тельно доказать детям, что задачи на деление на равные части и
на деление по содержанию могут быть истолкованы как задачи
на нахождение одного из множителей по данным произведению
и другому множителю. Обобщение этих задач на деление дает
возможность в дальнейшем рассматривать каждую из них как
задачу на деление, и различие между ними будет выступать толь-
ко в истолковании полученного ответа. Например, решаются две
задачи, которые можно записать кратко в такой таблице:
		Цена	Количество	Стоимость
1	Конверты	5 коп.	X шт.	10 коп.
II	Марки	X коп.	5 шт.	10 коп.
1 задача — на деление по содержанию. По ней можно со-
ставить такое уравнение: 5 • х — 10. Решаем его: х = 10 : 5,
т. е. х = 2. Формулируем полный ответ на вопрос задачи: «На
10 коп. можно купить 2 конверта, ценою по 5 коп. каждый». За-
писываем ответ кратко: «Ответ: 2 штуки».
II задача — на деление на равные части. По ней можно
составить такое уравнение: х • 5 = 10. Решаем, его: х-= 10 : 5,
т. е. х = 2. Формулируем полный ответ на вопрос задачи:
«Если 5 марок стоят 10 коп., то одна марка стоит 2 коп.». Записы-
ваем ответ кратко: «Ответ: 2 коп.»
Для удобства сравнения этих задач и их решения полезно
запись на доске выполнить так:
208
I
5  г = 10
x = 10 : 5
x = 2
Ответ: 2 шт.
II
х • 5 = 10
х = 10 : 5
х — 2
О т в е т: 2 коп.
Решение-тех же задач может быть выполнено и без составления
уравнения. Тогда выражения, составленные по каждой из них,
совпадают: 10 : 5 ~ 2, но ответы различаются (см. выше).
Знакомство со связью между компонентами и результатами
действий должно найти применение при решении разнообразных
упражнений, чтобы уже на этом этапе было достигнуто прочное
усвоение их детьми. Это залог успеха при использовании в даль-
нейшем таблиц умножения для рассмотрения соответствующих
случаев деления.
Наиболее важны задания, связанные с составлением пар,
троек, четверок примеров вида: 6 • 3 = 18, 3 • 6 = 18, 18 : 3 =•
= 6, 18 : 6 = 3. При этом главное, чтобы дети поняли,'что пример
на умножение дает возможность решить пример на деление уже
без опоры на наглядность. Начиная с этого момента можно вы-
числять произведения с помощью сложения, а соответствующие
примеры на деление решать на основе связи деления с умножением.
Поначалу результат полезно проверять на основе практических
операций с множествами предметов..
Отметим, что прослеживать связь между делением и вычита-
нием на этом этапе обучения не стоит. Это могло бы отвлечь вни-
мание детей от главного — связи между делением и умножением,
которая лежит в основе всей дальнейшей работы над умножением
и делением.
До составления таблиц рассматриваются случаи умножения и
деления с числами 1 и 10. Умножение 1 на любое число не должно
вызвать затруднений (1*5 = 14-14-14-14-1=5ит. п.).
Важно обобщить решение . нескольких таких примеров, чтобы
в дальнейшем пользоваться уже этим общим правилом (с. 50
учебника, упр. № 310, 311 и др.).
Правило умножения на 1 должно быть введено учителем.
Логическую ошибку допустил бы учитель, стремясь как-либо
объяснить умножение на 1. В этом случае нельзя сказать, что
здесь одно слагаемое, так как в сумме не может быть одного сла-
гаемого; следовательно, на основе того определения умножения,
с которым дети были ознакомлены, случай умножения на 1 ис-
толкован быть не может. Иногда учителя вводят этот случай,
используя переместительное свойство произведения, рассуждая
при этом так: мы уже знаем, что 1-6 = 6, а произведение 6 • 1
отличается от- данного только порядком множителей; следова-
тельно, 6 • 1 = 6. На первый взгляд как будто все правильно, но
на самом деле это далеко не так. Логическая ошибка допущена
и в этом случае, так как переместительное свойство произведе-
209
ния не может быть распространено на случай умножения на 1,
пока этот случай специально не оговорен как особый, не подпадаю-
щий под введенное определение действия.
Итак, случай вида 6 • 1 должен быть введен учителем как осо-
бый. Учитель может даже сказать, что в этом случае нельзя ска-
зать, что у нас есть сумма одинаковых слагаемых, но договори-
лись и этот случай считать умножением, причем считать, что
произведение любого числа на 1 равно числу, которое мы умно-
жили. На этот случай можно распространить и переместительное
свойство: так, если 6-1=6, а мы знаем, что 1-6 = 6, то
6 • 1 = 1 - 6.
Деление на 1 рассматривается на основе связи между умно-
жением и делением: 3:1=3, так как 1 • 3 = 3, 5 : 1 = 5, так
как 1 • 5 = 5 и вообще: а : 1 = а, так как 1 • а = а. Эти выводы
можно сделать на основе рассмотрения упражнения № 325 учеб-
ника.
Умножение десяти сводится к умножению одного десятка:
соответствующее пояснение дается в учебнике (№ 332). Дети
должны самостоятельно составить-все примеры на умножение 10
в пределах 100. Для большей наглядности можно в данном слу-
чае вернуться к использованию пучков-десятков палочек (или
их изображений).
На этом завершается первый этап работы над умножением и
делением во II классе и начинается работа по рассмотрению по-
следовательно всех табличных случаев умножения и деления.
Рассмотрение каждой таблицы умножения и соответствую-
щих случаев деления ведется примерно по одному и тому же 1
плану, с постепенным усилением доли самостоятельного участия
детей в этой работе. При составлении таблиц используются все
те приемы, которые были уже усвоены детьми на предыдущих
уроках.
Начинается работа по изучению каждого случая таблицы
умножения и деления (с числом 2, 3 и т. д.) с составления табли-
цы по постоянному первому множителю. При таком подходе в
большей мере используется хорошо усвоенный детьми смысл
действия умножения как сложения одинаковых слагаемых. Дети
легко устанавливают связь каждого следующего примера из
таблицы с предыдущим. Однако уже здесь с самого начала (начи-
ная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать
для получения результата переместительное свойство произведе-
ния. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вы-
числяя произведение 2 • 9, можно заменить этот пример другим:
9-2 — и найти результат так: 9 + 9 = 18.
Каждая составляемая впервые таблица умножения того или
иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уло-
вили и принцип ее составления. Таблица записывается на доске
столбиком, затем по отношению к каждому из примеров состав-
ляется соответствующий ему пример, получаемый перестанов-
ке
кой множителей, и два примера на деление. С такой работой
дети тоже уже хорошо знакомы. Часть работы поэтому можно
выполнить под руководством учителя, а остальную — поручить
детям проделать самостоятельно. Эта работа должна обязатель-
но дублироваться на доске, чтобы в тетрадях оказались правиль-
но записанные таблица умножения и соответствующие таблицы
деления.
Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух
одинаковых чисел (например, при изучении умножения четырех:
4 • 4), так как все предыдущие случаи умножения данного числа
являются уже известными — они могут быть получены в рассмот-
ренных ранее таблицах, если переставить множители.
На это обстоятельство стоит обратить специальное внимание
детей, а в итоге после рассмотрения каждой таблицы выписы-
вать отдельно те новые случаи из данной таблицы, которые долж-
ны быть усвоены на память. Таких случаев всего 36. Они приведе-
ны в упражнении № 543 учебника.
При составлении таблиц полезно использовать наглядные по-
собия. Это могут быть карточки с изображенными на них пара-
ми, тройками и т. п. предметов, «числовые фигуры», разбитые на
равные квадраты и прямоугольники, квадратный дециметр, раз-
битый на квадратные сантиметры, и вырезанный из картона угол,
с помощью которого можно отделять заданное число квадратных
сантиметров на этом пособии.
При составлении таблиц с использованием этих пособий сле-
дует обращать внимание детей на то, как может быть получен
каждый следующий результат в рассматриваемой таблице из пре-
дыдущего, отрабатывать знание соответствующих рядов чисел.
На рисунке 35 показано, как с помощью числовых фигур, на
каждой из которых изображено по 3 кружка, можно иллюстри-
ровать произведения при составлении таблицы умножения трех.
Цифры, надписанные над фигурами (например, 6), показывают
номер каждой из них, они показывают, сколько взято фигур (вто-
рой множитель равен 6), внизу под каждой фигурой записано
соответствующее произведение (18). Дети должны хорошо понять,
что его можно получить, пересчитав все кружки, изображенные
на этих шести фигурах. Эта же иллюстрация позволяет объяснить
наглядно и получение соответствующих частных (внизу записано
делимое, а число, записанное сверху, будет указывать, сколько
раз по 3 пришлось взять, чтобы его получить).
Разобрав такую иллюстрацию один раз, можно в дальнейшем
использовать соответствующие
рисунки, данные в учебнике
по каждой таблице.
На этих рисунках не запи-
саны числа, указывающие но-
мера фигур; дети должны под- 3 б 9 12 15 18 21 24 27
считывать их число для оп-	Рис, 35
123456789
•	• ••	• • •	• • •	•	• • •	•	• • •	• • •
211
a)
5)
6)
Рис. 36
ределения результата. Это де-
лает работу с иллюстрацией
еще более сознательной.
Выше говорилось о том,
как полезно использовать при
изучении переместительного
свойства умножения подсчет
клеток, на которые разбит дан-
ный прямоугольник. Такого ро-
да упражнения важны и при
составлении и разучивании таб-
лиц умножения и деления.
Допустим, идет работа над
таблицей умножения числа 4.
Предлагаем детям начертить в
тетради прямоугольник, по од-
ной стороне которого уклады-
вается 4 клетки, а по другой—
10. Этот прямоугольник, раз-
битый на равные клетки, по-
может им найти любое произ-
ведение из таблицы умножения
числа 4. Так, чтобы найти
произведение 4 • 6, достаточно
в этом прямоугольнике отде-
лить 6 столбиков клеток (по 4
клетки в каждом) и подсчитать
общее число клеток в этих
столбиках. Для ускорения под-
счета полезно перенумеровать
клетки, как зто показано на
рисунке 36, а.
Теперь легче увидеть, что
в каждом столбике по 4 клет-
ки и что отделено 6 столбиков.
Подсчитав, сколько клеток в 6
столбикйх, полезно записать
полученный результат в пра-
вом нижнем углу соответ-
ствующего прямоугольника
(см. рис. 36, б). Аналогично,
скажем, для случая 4 • 8 (рис. 36, в).
Если для индивидуальной практической работы удобны опи-
санные чертежи в тетради, то для общеклассной работы в тех же
целях используется демонстрационная таблица, на которой
изображен квадрат, разбитый на 100 равных квадратов, и спе-
циальное приспособление для работы с ним — две скрепленные
под прямым углом линейки. На рисунке 37 показано, как с по-
212
мощью такой таблицы и уголка может быть проиллюстрировано
произведение 7 • 6. Чтобы получаемые при работе с описанным
пособием произведения можно было записать, на лицевой сторо-
не одной из линеек полезно приклеить (с помощью изоляцион-
ной ленты или лейкопластыря) карман из плотной бумаги, в
который можно было бы вставлять карточки с нужным числом.
Для этого придется заготовить карточки с соответствующими
числами (все произведения из таблицы умножения однозначных
чисел). Описанная работа служит хорошей подготовкой к рас-
смотрению сводной таблицы умножения, данной на обложке учеб-
ника.
После рассмотрения каждой таблицы умножения и соответст-
вующих случаев деления на всех следующих уроках должна про-
водиться систематическая работа по запоминанию таблиц. Уста-
новка на запоминание должна быть дана детям с самого начала.
Случаи, которые должны быть усвоены на память, каждый раз
выписываются не только в ходе классной работы, но и дома на
специально для этого отведенной странице тетради.
Для запоминания легче более краткие формулировки при чте-
нии примеров на табличное умножение. Поэтому их необходимо
своевременно ввести и использовать наряду с известными. Это
формулировки вида: «2 на 2 — 4», «6 на 3 — 18» (или «дважды
два,— 4, «трижды шесть — 18»).
В ходе заучивания таблиц важно разнообразить задания, по-
становку вопросов, внешнюю форму предъявления соответствую-
щих упражнений. Это и решение заданных примеров из таблицы
(подряд и вразбивку), и составление учащимися следующего
примера из таблицы (например, дается учителем: 6 • 4 — , уче-
ник отвечает: 24 — и называет следующий пример: 6 • 5, его
решает другой ученик и т. п.), и составление примеров по задан-
ному ответу (на умножение или на деление), причем в данном
случае может быть получено не одно решение (12 = 3 • 4, 12 =
= 2-6, 12 = 12 • 1). С ответом 3 может быть получено много
примеров на деление и т. п., составление по данному примеру
на умножение соответствующего примера на деление, а еще лучше,
наоборот, по заданному примеру на деление составлять соответст-
вующий пример на умножение и т. п. Эти упражнения могут быть
предложены в игровой форме.
Полезно практиковать решение . примеров цепочек вида:
2 • 3 • 4, 2 • 6 • 3, 7 • 8 : 8, 6 • 4 : 3, 27 : 3 • 4 и т. п.
Приведем образцы некоторых более трудных, но интересных
упражнений, которые полезно использовать в то время, когда
уже навыки табличного умножения и деления должны отшлифовы-
ваться:
1)	составьте все, какие можно, примеры на умножение двух
чисел с ответом 12 (2 • 6, 6 • 2, 3 • 4, 4 • 3, 12 • 1, 1 • 12), с
с ответом 16, 20, 24, 26 и т. п. (некоторые дети, выполняя такие
упражнения, приводят и примеры на внетабличное умножение
213
и деление. Правильность их можно проверить с помощью сложе-
ния, например, 12 • 2 = 24. Проверка: 12 4- 12 = 24 и т. п.);
2)	из данных чисел выписать (или подчеркнуть, если числа
записаны на доске) числа, которые делятся на 2 (на 3, на 4 и т. п.).
Предлагать числа можно в любом порядке, например: 8, 11, 16,
15, 10, 14, 17, 9 или 21, 13, 12, 20, 6, 15, 18, 32 и т. п.;
3)	заменить каждое из следующих чисел произведением трех
множителей, например: 12 = 2 • 2 • 3; 18 = ...; 36 = ...;64 = ...;
56 =	40 = ... и т. п.
Решаются такие примеры подбором. Например, желая подоб-
рать 3 числа, дающие в произведении 18, начнем с‘числа 2. По-
пробуем умножить на 2: 2 • 2 = 4. Нет такого третьего числа, что-
бы 4, умноженное на это число, дало 18. Значит, 2 • 2 не подходит.
Попробуем 2*3 = 6. Это подойдет, так как 6 • 3 =?= 18. Запишем:
18 = 2 • 3 • 3. Другое решение: 18 = 3 • 3 • 2 и т. д.;
4)	тоже довольно трудное упражнение — составить все воз-
можные примеры на умножение и деление с данными числами
так, чтобы и компоненты и результаты действия были числами
из данного рдда, например 12, 6, 3, 8, 4, 2, 18. Приведем решение:
12 : 6	12 : 2	6:2
12:3 t 6*2	6:3
12:4	6*3	3-2
3-4	2*6	18 : 6
3*6	4:2	2-2
4-3	18 : 3	2-3
После изучения всех случаев табличного умножения и Деле-
ния рассматриваются вопросы, связанные с умножением и деле-
нием нуля и на нуль. Рассуждения, которые должны быть при
этом проведены, достаточно четко изложены в учебнике (М. 2,
с. 105-106).	•
По отношению к правилу умножения числа на 0 следует сде-
лать ту же оговорку, какую мы делали, рассматривая умножение
на 1. Никаких разъяснений здесь быть не может, учителю сле-
дует придерживаться той формулировки, которая дана в учебни-
ке. Невозможность деления на 0 может быть пояснена ссылкой
на связь между умножением и делением. В самом деле, если бы
мы захотели разделить на 0 какое-то число, например 6, то это
значит, что надо было бы найти такое число, которое при умно-
жении на 0 (на делитель) дало бы 6 (делимое), но при умножении
на 0 любого числа мы получим, всегда 0. Значит, такого числа
найти нельзя иделить на нуль нельзя.
Следующий этап в изучении умножения и деления в преде-
лах 100 — рассмотрение случаев умножения и деления чисел,
оканчивающихся нулем. Эти случаи легко сводятся к табличным,
если рассмотреть их как умножение и деление десятков (М. 2,
с. 109). Их решение может быть проведено детьми самостоя-
тельно, а при проверке могут быть использованы описанные
выше пособия.
Одновременно с изучением различных случаев умножения и
деления (табличных, особых, умножения и деления чисел, оканг
214
чивающихся нулем) расширяется знакомство детей со свойствами
изучаемых действий. Именно здесь рассматриваются различ-
ные способы умножения числа на сумму и суммы на число, т. е.
распределительное свойство произведения относительно суммы.
Рассмотрение этого свойства может быть проведено пример-
но по тому же плану, по которому проводилось ознакомление со
свойствами сложения и вычитания. Начать можно с демонстра-
ции, иллюстрирующей решение отвлеченного примера. Тогда
лучше использовать и более абстрактные формы наглядного ма-
териала — ряды кружков, числовые фигуры (см. № 498 учебника
М. 2), а можно начать и с решения разными способами текстовой
задачи, аналогичной той, которая дана в учебнике (№ 552).
Изучение свойств — прямая подготовка к рассмотрению при-,
емов внетабличного умножения и деления Двузначного числа на
однозначное.
В сущности, для решения примеров вида: 17 • 4; 36 : 2, после
того как хорошо усвоено умножение и деление суммы на число,
нет даже необходимости в специальном объяснении. Все дело
здесь сводится к тому, чтобы выбрать наиболее удобное разложе-
ние данного числа на слагаемые.
Для случая умножения двузначного числа на однозначное
нужно представить первый множитель в виде суммы разрядных
слагаемых, а затем найти произведение числа десятков на дан-
ный множитель, произведение числа единиц на данный множи-
тель и полученные произведения сложить.
Все эти операции уже хорошо известны детям, и, таким обра-
зом, внетабличное умножение в пределах 100 не должно вызы-
вать у них никаких принципиальных затруднений.
В учебнике намечена система соответствующих подготови-
тельных упражнений, после которых рассмотрение случаев вне-
табличного умножения и деления на однозначное число можно
будет организовать сразу же на основе самостоятельной работы
учащихся, как это и намечено учебником.
После повторения правил умножения суммы на число, а также
умения представить число в виде суммы разрядных слагаемых
детям предлагается самостоятельно рассмотреть развернутую
запись решения примера 23 • 4 и объяснить ход решения. Дальше
дается ряд упражнений на применение рассмотренного приема.
Прежде чем приступить к их выполнению, дети должны отдать
себе отчет в трех основных этапах, из которых складывается
решение примера: 1) представить множимое в виде суммы разряд-
ных слагаемых; 2) умножить на число каждое слагаемое в от-
дельности; 3) найти сумму полученных произведений. Именно
на эти этапы работы и должен обратить внимание учитель, четко
выделив их при проверке самостоятельного решения первого
примера.
При умножении однозначного числа на двузначное можно
применить известное детям правило умножения числа на сумму
215
или сначала использовать перестановку множителей и применить
правило умножения суммы на число.
Разъясненные приемы вычислений, как и обычно, должны
закрепляться в ходе выполнения разнообразных по содержанию
упражнений, широко представленных в учебнике.
При рассмотрении различных способов деления суммы на
число (которые возможны в том случае, если каждое из слагае-
мых делится на данное число) надо подготовить иллюстрацию.
Так, учитель может выставить на полотне 6 красных яблок и 4
зеленых и предложить разложить эти яблоки поровну на две
тарелки (на полочки полотна). В этом случае можно показать,
что сумму чисел 6 и 4 можно разделить на 2 так: сначала раз-
делить поровну красные яблоки (делим I слагаемое), затем — зе-
леные (делим II слагаемое), затем складываем полученные ре-
зультаты. Делается соответствующая запись:
(6 + 4) : 2 = (6 : 2) + (4 : 2) = 3 + 2 « 5.
(Поскольку к этому времени детям уже известно правило по-
рядка выполнения действий лишние скобки можно и не ставить.)
Однако с помощью той же иллюстрации уже трудно будет
показать другой способ деления. Для этого лучше те же яблоки
сложить в конверт и предложить вызванному ученику, не глядя,
не различая красные и зеленые яблоки, расставить их поровну
на двух полочках полотна. В зтом случае на каждой полочке
могут оказаться различные яблоки, но результат деления будет
получен тот же. Демонстрация сопровождается записью: .
-	(6 + 4) : 2 = 10 : 2 = 5.
 Аналогично проводится работа по иллюстрациям учебника
(М. 2, с. 119). (Средний рисунок изображает момент, когда солнце,
скрылось за тучей и нельзя стало различить цвет костюмов, в
которые одеты мальчики.)
Дальнейшая работа, связанная с выполнением различных уп-
ражнений, направленных на усвоение этого свойства, а также
рассмотрение основанного на нем приема деления двузначного
числа на однозначное, проводится как обычно.
При рассмотрении различных способов деления двузначного
числа на однозначное необходимо выделить прежде всего случай,
когда удобно представить делимое в виде суммы его разрядных
слагаемых. Это удобно только тогда, когда каждое из разрядных
слагаемых делится на данное число, например:
84 : 4 = (80 + 4) ! 4 = 80 : 4 + 4 : 4 = 21
Отдельно рассматривается случай, когда разрядные слагаемые
не делятся на данное число, а для решения делимое удобно пред-
ставить в виде суммы таких слагаемых, одно из которых содержа-
ло бы только десятки, а другое можно было разделить на данное
число, используя знания табличных результатов, например:
216
84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 10 + 4 = 14
или
84 : 4 = (80 + 4) ! 4 « 80 : 4 + 4 : 4 = 20 + 1 = 21,
или
70 i 2 = (60 + 10) । 2 = 60 i 2 + 10 : 2 = 35.
В учебнике предлагается развернутая запись решения пер-
вого из примеров такого вида. Эти примеры могут быть рассмот-
рены под руководством учителя, но лучше, если дети попытаются
самостоятельно объяснить эти способы решения. После само-
стоятельного рассмотрения соответствующих упражнений в учеб-
нике (№ 692 и 701) объяснение должно быть обязательно вы-
слушано в классе. Затем следуют упражнения на закрепление
приобретенных умений в ходе письменных и устных вычислений.
Как всегда, подробные пояснения должны довольно скоро за-
меняться более краткими — вида: «72 : 3. 70 на 3 не делится.
Буду делить сначала 60 на 3, а потом 12. 60 : 3 = 20, 12:3 = 4;
20 да 4, получится 24». Учитель может для контроля спросить,
откуда взяты числа 60 и 12 или как получилось 12, но злоупотреб-
лять такими вопросами не стоит, если вычисления выполнены
верно. В дальнейшем объяснения будут еще более краткими. В том
же случае ученик может сказать: «72 : 3. 60 : 3 = 20 да еще
12:3 = 4. Получится 24».
Перед рассмотрением последнего случая внетабличного деле-
ния в пределах 100 — деления двузначного числа на двузнач-
ное — рассматривается вопрос о проверке деления умножением.
Связь между этими действиями хорошо известна детям. Она
служила основой всей работы над табличными случаями деле-
ния, а еще до этого учащиеся выполнили много упражнений, свя-
занных с нахождением неизвестного компонента действий. Здесь
показывается только, что знание зтой связи может быть исполь-
зовано- для проверки правильности выполненных вычислений.
Хочется обратить внимание учителя на ту формулировку, ко-
торая дана в учебнике (№ 719). Дети часто считают, что если при
проверке, в результате умножения частного на делитель полу-
чилось делимое, то можно быть уверенным, что пример решен
верно. Между тем, как хорошо известно, это далеко не так. До-
вольно типичен такой случай, когда ученик, допустивший ошиб-
ку в делении, повторяет ее при проверке, перемножая соответст-
вующие числа. В этом случае делимое может получиться, но по-
лучится оно не потому, что пример решен верно, а потому, что
ученик дважды допустил ошибку — и при решении и при про-
верке. Например, деля 85 на 5, ученик ошибочно рассуждал так:
50 : 5 = 10, да еще 35 : 5 = 9. Всего получится 19. При проверке
этот ученик так же точно может посчитать, что 5 • 10 = 50 и
5 • 9 = 35( и получить в результате 85. Вот, если делимое не полу-
чилось при проверке^ то можно сказать^ что где-то (то ли при
217
решении, то ли при проверке) ошибка была допущена. Аналогич-
но обстоит дело и с проверкой умножения делением.
Упражнения в проверке умножения делением и наоборот, по-
мимо того значения, которое они имеют сами по себе, служат хо-
рошей подготовкой к рассмотрению нового случая деления вида:
51 : 17. Решаются эти примеры способом подбора. Надо подо-
брать такое число, при умножении которого на делитель получит-
ся делимое.
Надо учить детей тому, как быстрее найти возможный ответ,
внимательно рассмотрев делимое и делитель. В этом им может
помочь, с одной стороны, хорошее знание рядов чисел, получае-
мых при табличном умножении, а с другой — приблизительная
предварительная «прикидка» того, какое число стоит попробовать
в качестве частного. Например, если нужно 95 разделить на 19,
то, хорошо зная ряды произведений из таблиц умножения, дети
могут догадаться, что в данном случае нужно испробовать число 5,
так как только в таблице умножения пяти получаются числа,
оканчивающиеся на 5 (на это стоит обратить их внимание). Если,
скажем, решается пример 48 : 24, то, сравнив эти числа, нетрудно
догадаться, что стоит попробовать число 2; при решении примера
87 : 29 воспользоваться приемом округления; рассуждая так: 87 —
почти 90 делят на 29; а это почти 30. 90 : 3 — 30. Попробуем, не
подойдет ли 3. 29 • 3 = 87. Значит частное равно 3.
После рассмотрения всех случаев внетабличного умножения
и деления необходимо продолжать работу над ними как в ходе
письменных, так и в ходе устных упражнений, чтобы обеспечить
формирование соответствующих навыков. Недостаток внимания
к формированию навыков устного выполнения внетабличного ум-
ножения и деления — основной тормоз в овладении детьми на-
выками письменных вычислений в III классе.
Работая над внетабличным умножением, ни в коем случае
нельзя забывать о необходимости продолжать систематические
упражнения в табличном умножении. При этом особое внимание
должно быть уделено тем случаям табличного умножения и де-
ления, которые в примерах на внетабличное умножение и деле-
ние не встречаются вовсе. Это случаи 6-9, 7 • 9, 8 • 9, 7-8.
6 • 8 и др. Они не встречаются во внетабличных действиях, и
вместе с тем, как показывает опыт, именно эти случаи из таблиц
дети запоминают с большим трудом. Поэтому такие примеры и соот-
ветствующие случаи деления должны постоянно использоваться
параллельно с рассмотрением нового.
Заключительный этап в работе над умножением и делением
в пределах 100 — рассмотрение табличного деления с остатком.
Деление с остатком — случай, который при решении практи-
ческих задач встречается гораздо чаще, чем деление без остатка.
Поэтому знакомство с ним имеет большое практическое значение
хотя бы в этом смысле. Это тем более важно, что в школьной
практике дети., постоянно встречаясь лишь со случаями деления
218
без остатка (в течение всей работы над темой «Умножение и деле-
ние в пределах 100»), часто приходят к убеждению, что, скажем,
7 разделить на 2 вообще нельзя. Если в практике им приходится
иногда сталкиваться с такой задачей, то они теряются, не знают,
как поступить. Нужно сделать все для того, чтобы такие случаи
пе «пугали» детей, чтобы и в дальнейшем они не объясняли ошиб-
кой (опечаткой) в условии задания такие случаи, при которых
числа «не делятся».
Деление с остатком нужно хорошо знать для сознательного
усвоения алгоритмов письменных вычислений, с которыми уча-
щиеся будут знакомиться в HI. классе. Это одна из причин, в
связи с которой этому вопросу следует уделить самое присталь-
ное внимание.
Для подготовки к рассмотрению деления с остатком полезно
повторить: 1) табличное деление; 2) решение простых задач,
требующих деления; 3) ряды чисел, делящихся на заданное чис-
ло (из таблицы умножения).
Упражнения, непосредственно подводящие к делению с ос-
татком: «Среди чисел от 1 до 20 назови все те, которые делятся
на 2 (на 3, на 4 и т. д.)»; «Делится ли на 3 число 10? 12? 14? .18?»,
«Назови число, ближайшее к 16, которое делится на 3».
Рассмотрение деления с остатком лучше всего начать с прак-
тической демонстрации: пусть вызванный ученик разложит 7 яб-
лок на порций, по 3 яблока на каждую тарелку. Дети должны
следить за его действиями и рассказать, что получилось 2 пор-
ции, а 1 яблоко осталось лишним. Пусть другой ученик раздаст
8 карандашей по 3. Выясняется, сколько человек получили по 3
карандаша и сколько карандашей осталось. Каждая демонстра-
ция сопровождается записью, которую делает на доске учитель:
7:3 = 2 (ост. 1), 8 : 3 = 2 (ост. 2). После этого можно перейти к
работе по учебнику. Пусть дети в тетрадях, а вызванный ученик
у доски выполнят'упражнение № 756. Объяснение выслушива-
ется в классе. Затем самостоятельно разбирается задача № 757
с последующим устным объяснением. После этого можно перей-
ти к самостоятельному выполнению задания К° 759 (решение
примеров с использованием дидактического материала).
Познакомившись, таким образом, со смыслом деления с ос-
татком, на следующем уроке дети могут уже более внимательно
разобраться в этом новом случае действий на числовых примерах.
В качестве подготовки выполняется записанное на доске за-
дание:
Разделить на 3:	Разделить на 4:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27	82, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40
Один из вызванных учеников должен будет подчеркнуть чис-
ла, которые делятся на 3 (I ряд), другой — числа, которые де-
лятся на 4 (II ряд).
219
В дальнейшем под числами, которые на 3 (на 4) не "делятся,
будут записаны те остатки, которые при этом получаются.
Запись примет вид:
21, 22, 23, 24, 25, 26, _27	32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40
12	12	12 3	12 3
По аналогии с этим выполняется упражнение № 766.
Учитель обращает внимание детей на остатки, которые полу-
чаются при делении на данное число, делается вывод, что остаток
всегда меньше делителя.
Следующий шаг — ознакомление с приемом деления числа
в случае, когда получается остаток. Дети должны понять, что для
того, например, чтобы разделить 34 : 5, нужно взять самое боль-
шое число, которое меньше-34 и делится на 5. Для этого нужно
припомнить числа, которые делятся на 5. Увидим, что из этих чи-
сел ближайшим к 34, но меньшим, чем 34, будет 30. Делим 30 : 5 =
= 6. Мы разделили 30, а надо было разделить 34 . 34 — 30 = 4:
4 получилось в остатке. 34 : 5 = 6 (ост. 4). Аналогично разбирает-
ся упражнение № 778 и следующие эа пим, в которых для облег-
чения даны пары примеров вида 21 : 7 и 22 : 7 и т. п.
В дальнейшем примеры на деление с остатком предлагаются
как для письменного, так и для устного решения. При этом все
время обращается внимание на получаемые остатки, их сравнение
с делителем, повторяются ряды, чисел, делящихся на данное
число.
§ 35. ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ УМНОЖЕНИЕМ И ДЕЛЕНИЕМ
Работа над простыми задачами, решаемыми умножением и
делением, ведется в неразрывной связи с изучением темы «Ум-
ножение и деление в пределах 100». Именно на этих задачах
раскрывается смысл новых для учащихся действий, связь между
их компонентами и результатами, отношения «быть во столько-то
раз меньше (больше), чем...». Вместе с тем простые задачи на
этом этапе обучения помогают показать связь изучаемых вопро-
сов арифметики с жизнью, с решением жизненных вопросов.
Они используются как средство, облегчающее детям осознание
связи между различными величинами. Раскроем особенности ме-
тодики работы над задачами различных видов.
Задачи, раскрывающие смысл действий умножения и деления
Работа над умножением и делением начинается с практиче-
ского решения задач на нахождение суммы одинаковых слагае-
мых и на деление по содержанию и на равные части. До тех пор
пока детям не будет показана связь между делением и умноже-
нием, все задачи на деление решаются практически (дети ра-
ботают с различным дидактическим материалом и по рисункам).
220
Задачи на умножение в это время могут решаться и практически,
и на основе сложения. Сначала по условию задачи устанавли-
вается, что для решения необходимо найти сумму нескольких
одинаковых слагаемых, выясняется, какое число повторяется
слагаемым, сколько раз. Решение записывается со знаком умно-
жения, а результат вычисляется с помощью сложения. Реше-
ние таких задач на умножение используется всякий раз для того,
чтобы спросить у детей, почему для решения можно использо-
вать умножение, какое число йдесь является первым множителем,
вторым множителем, почему. Точно так же и при практическом
решении задач на деление внимание учащихся каждый раз со-
средоточивается на том, каким действием решается задача, какое
число является делимым, какое — делителем, что показывает по-
лученное частное в каждой задаче.
При решении задач на деление по содержанию и на равные-
части важно подчеркивать не только различие, но и то общее,
что их связывает и благодаря чему обе они решаются одним и
тем же действием — делением. Общность этих задач должна
быть показана в ходе демонстрации практического деления на
равные части и по содержанию. Начать демонстрацию лучше с
задачи на деление по содержанию. Например: «6 яблок разло-
жили на блюдца — по 2 яблока на каждое. Сколько потребова-
лось блюдец?» После повторения задачи на наборном полотне
выставляется 6 яблок. Учитель говорит: «Будем раскладывать
эти 6 яблок по 2 на блюдце. Беру 2 яблока (показывает) и кла-
ду их на одно блюдце, беру еще 2 яблока и кладу их на второе
блюдце, осталось еще 2 яблока на третье блюдце. Мы разло-
жили, разделили 6 яблок по 2 на каждое блюдце. Сколько раз
мы брали по 2 яблока? (3 раза.) Сколько блюдец потребовалось?»
(3 штуки.)
На доске делается соответствующая запись:
6:2 = 3. О т в е т: 3 шт.
Далее учитель предлагает решить задачу № 2: «6 яблок раз-
ложили на 2 блюдца поровну. Сколько яблок на каждом блюдце?»
На полочке наборного полотна снова выставляется 6 яблок.
Учитель говорит: «Нам нужно разложить 6 яблок на 2 блюдца
поровну и узнать, сколько яблок будет на каждом из них. Берем
2 яблока и раскладываем их поровну — на каждое блюдце по
одному яблоку. Берем второй раз 2 яблока и раскладываем их
на 2 блюдца. На каждом блюдце будет по 2 яблока. Возьмем,
наконец, третий раз 2 яблока — на каждом блюдце будет по
3 яблока». После того как кто-нибудь из детей расскажет, как
выполнялось деление, сколько раз брали по 2 яблока, сколько
получилось яблок на каждом блюдце, учитель спрашивает, похо-
жа эта задача на первую, каким действием она решается.
На доске делается соответствующий рисунок и запись:
6 : 2 => 3. Ответ: 3 яблока.
221
Следующие задачи на деление решаются аналогично. Дети
должны научиться решать такие задачи с помощью практиче-
ских действий со счетным материалом или с помощью схематиче-
ских рисунков, примеры которых описаны выше (см. с. 206—207).
Сопоставляя решение таких пар задач, учитель подводит детей
к обобщению: если делимые и делители равны, то и в частном
получится одно и то же число, хотя в каждой конкретной задаче
зто число и может означать различные вещи, например в первой
из разобранных выше задач блюдца, во второй яблоки.
Поскольку обобщение двух видов деления отнесено учебни-
ком к тому времени, когда дети уже знакомы с нахождением не-
известного множителя, полезно провести следующую работу.
Обозначим в каждой из рассматривавшихся задач неизвестное
число буквой х и составим по ним уравнения.
Задача 1. 2 • ж = 6 (если по два яблока взять х раз, то по-
лучится 6 яблок).
Задача 2. ж-2 = 6 (если по х яблок взять 2 раза, то полу-
чится 6 яблок).
Сравнив записи, легко сделать вывод, что обе задачи на на-
хождение одного из двух множителей и решаются они поэтому
одинаково: произведение делим на известный множитель и на-
ходим другой множитель. В дальнейшем не делается различий
в записи решения задач этих двух видов. Нет необходимости
и в том, чтобы дети пользовались названиями этих видов задач,
лишь бы они понимали, что задача решается делением, и умели
дать правильный ответ на вопрос задачи.
Задачи на нахождение неизвестного множителя,
делимого или делителя
Задачи на нахождение неизвестного компонента того или ино-
го действия рассматриваются примерно по одному и тому же
плану.
1.	На основе одного и того же рисунка составляются три вза-
имообратные задачи (примера). В качестве исходной выступа-
ет та задача, которая решается умножением, если речь пойдет о
нахождении неизвестного множителя, и делением, если разбира-
ется нахождение неизвестного делимого или делителя.
2.	Ио данной задаче (примеру) выясняем, как называются
компоненты и результат соответствующего действия, а затем, со-
храняя те же наименования, смотрим, как получен каждый сле-
дующий пример (задача) из первого. Например: 2-3 = 6, 2 —
первый множитель, 3 — второй множитель, 6 — произведение.
6:2 = 3 — произведение (6) разделили на первый множитель (2),
получили второй множитель (3).
6:3 = 2 — произведение (6) разделили на второй множитель (3),
получили первый множитель (2).
222
Аналогично для деления!
8:2 = 4 — 8 — делимое, 2 — делитель, 4 — частное.
4 • 2 = 8 — частное (4) умножили на делитель (2), получили де-
лимое (8).
8:4 = 2— делимое (8) разделили на частное (4), получили де-
литель (2).
3.	Рассмотрев по аналогии с приведенными выше еще два-три
примера, подводим детей к выводу: «Если произведение двух
чисел разделить на один из множителей, то получим другой мно-
житель».
4.	От этого вывода переходим к вопросу, как найти неизвест-
ный множитель. Предлагаем упражнения на нахождение неиз-
вестного множителя вида:
1)	5 • а = 10,
2)	2 • х = 6,
3)	8 • Ъ = 16.
Чтобы найти неизвестный множитель, ученик должен вспом-
нить правило и выполнить деление практически (на наглядных
пособиях или по рисунку). Так, решая пример 5 • а = 10, ученик
говорит: «В этом примере известны первый множитель (5) и
произведение (10), а неизвестен второй множитель (а).
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение
(10) разделить на известный множитель (5). Нарисую 10 круж-
ков, разделю их по 5 кружков. Таких частей получится 2. Зна-
чит, а — 2.
Проверю: подставлю вместо а его значение (2) и заменю умно-
жение сложением! 5 • 2 = 5 + 5 = 10; 10 = 10. Пример решен
верно».
5. Примеры на нахождение неизвестного компонента дейст-
вия чередуются с соответствующими текстовыми задачами. Де-
тям предлагается составить по задаче уравнение, решить его и
дать ответ на вопрос задачи.
В ходе упражнений полезно предлагать для сопоставления
такие пары задач: на нахождение неизвестного множителя и
произведения, на нахождение делимого и делителя, на нахожде-
ние делимого и частного или делителя и частного.
Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз
Знакомство с увеличением (уменьшением) числа в несколько
раз происходит параллельно с работой над табличным умноже-
нием и делением (М. 2, с. 67 и следующие). В методике работы
над этими задачами есть много общего с тем, как зто делалось
при рассмотрении задач на увеличение (уменьшение) числа на
несколько единиц в I классе. Как и там, задачи эти связаны с
разъяснением смысла изучаемых отношений. Отношения больше
(меньше) уже хорошо известны детям. Они знают, что если одно
223
из сравниваемых чисел больше другого, то это последнее меньше
первого. Эти знания должны быть использованы и при ознаком-
лении с отношением больше (меньше) в несколько раз. Известно;
что эти отношения дети часто смешивают с известными им разно-
стными (больше или меньше на несколько единиц). С самого начала
можно предупредить детей об опасности такого смешения, обра-
тить их внимание на сходство и различие в рассматриваемых от-
ношениях. Решив одну-две задачи на увеличение числа на не-
сколько единиц (выраженные как в прямой, так и в косвенной
форме), дети вспоминают все, что они знают о смысле этих отно-
шений (на 3 больше, значит, столько же да еще 3) о связи между
ними (раз в первом на 3 меньше, чем во втором, значит, во втором
на 3 больше, чем в первом); о том, каким действием решаются
соответствующие задачи (например, если надо узнать, сколько
во втором, а сказано, что в нем на 3 больше, чем в первом, а в
первом' 5, значит, надо к 5 прибавить 3). После этого учитель
предупредит, что познакомит учащихся с новыми задачами, кото-
рые очень похожи на эти, но.решаются совсем иначе — другим
действием, что в дальнейшем нужно особенно внимательно читать
задачу, всматриваться в ее условие, чтобы не ошибиться в выборе
действия.
.Отличие заключается только в одном — в задаче будет ука-
зываться не на сколько одно число больше (или меньше) другого,
а во сколько раз больше (или меньше). Самое главное — научить-
ся правильно понимать и различать соответствующие выражения.
Один из учеников по заданию учителя выставляет на верх-
ней полочке наборного полотна 3 красных кружка, а на нижней
синие — на 2 больше. После этого учитель выставляет наверху
3 красных квадрата, а внизу в первый раз 3 синих квадрата, во
второй — еще 3 синих квадрата и поясняет, что синих квадратов
в 2 раза больше, чем красных.
Далее полезно поставить вопросы:
1) Синих кружков на 2 больше, чем красных. Что можно ска-
зать про красные кружки — их больше или меньше, чем синих?
На сколько?
2) Синих квадратов больше или меньше, чем красных? Во
сколько раз синих квадратов больше? (Учитель поясняет, что о
красных квадратах можно сказать, что их в 2 раза меньше, чем
синих.)
После выполнения нескольких упражнений с разнообразным
дидактическим материалом можно перейти к решению соответ-
ствующих задач.
При решении задач этого вида в течение' нескольких уроков
полезно требовать от детей зарисовки условий.
Начиная с первого урока, когда смысл нового отношения рас-
крывался в сопоставлении с известным, сравнивать соответству-
ющие задачи нужно систематически. Сначала сравниваются за-
дачи на увеличение в несколько раз а на несколько единиц, за-
224
тем на увеличение и на уменьшение в несколько раз. Только на
основе сравнения с выражением «в 3 раза больше» может быть
разъяснен смысл выражения «в 3 раза меньше» и осознан спо-
соб' решения соответствующих задач. Пусть, например, сказано,
что красных кружков 6, а синих в 3 раза меньше. Как узпать,
сколько синих кружков. Рассуждать в этом случае придется
так: «Чтобы синих было в 3 раза меньше, надо, чтобы красивых
было в 3 раза больше. Красных должно быть 3 раза по стольку,
сколько будет синих».
Задачу можно решить, обозначив неизвестное число синих
кружков через х: «Синих кружков — х. Если по х взять 3 раза,
то получится 6 (х • 3 = 6). Находим неизвестный множитель
действием деления (х = 6 : 3; х = 2). О т в е т: 2 синих кружка».
Полезно несколько раз повторить, каким действием можно
найти число, которое в несколько раз больше (меньше) данного,
на несколько единиц меньше (больше) данного. В дальнейшем
при решении соответствующих задач эти вопросы должны каж-
дый раз обсуждаться.
Как и в I классе, при решении подобных задач дети должны
приучиться задавать себе некоторые контрольные вопросы, кото-
рые дают «ключ» к решению. Вот эти вопросы:
Какое из сравниваемых чисел больше и какое меньше?
Какое число нужно узнать — большее или меньшее? (Если
большее, то задача решается либо сложением, либо умножением,
если меньшее — вычитанием или делением.)
Что сказано в задаче: на сколько больше искомое число или
во сколько раз оно больше другого? Если на сколько больше,
задача решается сложением, если во сколько раз больше, умно-
жением (аналогично для вычитания и деления).
Как видим, контрольные вопросы стали более сложными, но
зато они подходят к любой задаче этих видов, в том числе и к
косвенным. Чтобы дети научились применять их, потребуется,
конечно, специальная тренировочная работа.
Большое значение при решении задач, связанных с использо-
ванием разностного или кратного отношения, придается умению
выделить из текста задачи элементы, которые имеют существен-
ное значение для решения.
Особенно полезно задачи рассматриваемого вида иллюстри-
ровать с помощью рисунка или чертежа. На чертеже отрезок
любой длины может выражать одно из сравниваемых чисел, тог-
да другой отрезок будет изображать в том же масштабе искомое
(термин «масштаб» во II классе не вводится).
Чертежи делают рассматриваемые отношения более нагляд-
ными, а потому помогают детям в выборе действия.
Часто используется и краткая запись таких задач, которая
выполняется аналогично тому, как зто делалось в Г классе.
Итак, главное при обучении решению задач рассматриваемого
вида:
8 Заказ 367
225
1)	довести до сознания детей смысл отношений «во столько-то
раз больше (меньше)», используя наглядный дидактический
материал, зарисовки;
2)	научить их практически пользоваться приведенным выше
«ключом» к решению. Для этого соответствующие вопросы долж-
ны ставиться и разбираться при решении любой задачи этого
вида,
3)	обеспечить постоянное сопоставление, противопоставление
задач этого вида друг с другом в ходе упражнений.
Задачи на кратное сравнение чисел
Работа над задачами этого вида начинается тогда, когда от-
ношения «больше (меньше) в несколько раз» уже хорошо усвое-
ны детьми. Дети знают к этому времени и связь, существующую
между этими отношениями. Оттолкнувшись от этих знаний,
легко показать, как можно узнать, во сколько раз одно число
больше (меньше) другого. Для этого учитель проводит такую
демонстрацию.
На наборное полотно выставляется 3 квадрата. Учитель спра-
шивает ученика, сколько квадратов на наборном полотне, и пред-
лагает взять треугольников в 2 раза больше. Ученик должен
объяснить, почему он взял 6 треугольников (в 2 раза больше,
значит, 2 раза по 3).
Затем учитель берет 12 треугольников и спрашивает, как уг-
нать, во сколько раз треугольников больше, чем квадратов. Вы-
ясняется, что для этого нужно узнать, сколько раз взяли по 3
треугольника. Не давая детям возможности решить задачу прак-
тически, учитель спрашивает, как же узнать, сколько раз по 3
надо взять, чтобы получилось 12. Каким действием это можно
узнать? Дети отвечают и решают задачу. После этого учитель
выставляет на полотне 12 треугольников, разбивая их по 3. Чтобы
получить 12, надо взять по 3 четыре раза. Во сколько же раз 12
больше, чем 3? (В 4 раза.) А во сколько раэ 3 меньше, чем 12?
(Тоже в 4 раза.)
После выполнения нескольких подобных упражнений (на
этом же или на следующем уроке) делается вывод, как узнать,
во сколько раз одно число больше или меньше другого (М. 2,
с. 76, 77).
При обучении решению задач на кратное сравнение чисел,
как и при рассмотрении задач, связанных с увеличением (умень-
шением) числа в несколько раз, большое значение имеет такая
организация упражнений, при которой учащимся все время при-
ходилось бы сравнивать задачу нового рида с теми из ранее изу-
ченных, с которыми дети их смешивают. Так, задачи на кратное
сравнение дети часто смешивают с задачами на разностное срав-
нение. О возможных ошибках такого рода надо предупредить
учеников, специально рассмотрев две такие задачи, которые
226
отличаются лишь одним-единственным признаком, например,
в одной требуется узнать, на сколько книга дороже блокнота, а
в другой — во сколько раз книга дороже блокнота.
Задачу на кратное сравнение, в вопросе которой есть слово-
«больше», полезно сравнить и с задачами на увеличение числа
в несколько раз, так как дети иногда смешивают и эти задачи.
Полезно сравнивать и такие задачи, которые хотя и отлича-
ются друг от друга, но решаются одним и тем же действием, ^на-
пример задачи, в одной из которых спрашивается, во сколько
раз первый отрезок длиннее второго, а в другой — во сколько
раз второй отрезок короче первого, или задачи на уменьшение
числа в несколько раз и задачи на кратное сравнение, в вопросе
которых есть слово «меньше», и т. п.
Постоянное сопоставление этих задач будет способствовать
сознательности в выборе действия.
Простые задачи, связанные с рассмотрением
пропорциональных величин
Речь идет о задачах вида: «В буфет привезли 3 ящика яблок
по 8 кг в каждом. Сколько килограммов яблок привезли?» Или:
«Один карандаш стоит 8 коп. Сколько таких карандашей можно
купить па 16 коп.?»
В связи с изучением умножения и деления решается много
таких задач. Работа над ними должна быть использована для
того, чтобы постепенно подвести детей к обобщению и осознанию
связи, существующей между ценой, количеством и стоимостью,
между массой одного предмета, числом таких предметов, общей
их массой и т. п. К концу второго года обучения дети должны
уметь объяснить, как может быть найдена, например, цена, если
известны стоимость нескольких предметов и число их (с исполь-
зованием этих терминов).
Чтобы подвести детей к этим обобщениям, полезно с самого
начала приучить их кратко записывать задачи этого вида в таб-
лице (по образцу, данному в учебнике). Прежде чем решить та-
кую задачу, следует каждый раз, повторяя ее условие, вводить
такие термины: «цена», «количество», «стоимость», «расход ма-
терии на одну вещь», «число вещей», «общий расход материи»
и т. п. Например, в задаче сообщено: «На 10 коп. купили конвер-
ты по 5 коп. за конверт. Сколько конвертов купили?» Дети долж-
ны уточнить, что известно: 10 коп. в этой задаче — стоимость куп-
ленных конвертов, 5 коп. — цена конверта, а нужно узнать число
купленных конвертов.
После этого выясняется, как найти число купленных конвер-
тов, если известны цена и стоимость. Сколько раз по 5 коп. мож-
но заплатить, имея 10 коп.? Как это узнать? Как же узнать ко-
личество, зная цену и стоимость? (Стоимость разделить на цену.)
8*
227
Дети решают такие задачи, составляют и решают задачи, об-
ратные данной, и постепенно усваивают связь между соответст-
вующими величинами.
$ 36. РАБОТА НАД СОСТАВНЫМИ ЗАДАЧАМИ НОВЫХ ВИДОВ
После того как в самом начале изучения темы «Сотня» дети
познакомились с первой составной задачей, работа над ними все
время продолжается, причем сложность рассматриваемых задач
постепенно возрастает. Возрастают и требования, которые предъяв-
ляются к умению прочитать и понять предложенную задачу,
разобраться в том, что в ней известно и что является искомым.
Дети знакомятся с различными приемами, помогающими
в проведении такого анализа текста (составление по задаче ри-
сунка, чертежа, краткой записи ее). Каждый раз, когда рассмат-
ривается задача новой для учащихся математической структу-
ры, эти вопросы, естественно, оказываются более трудными, и
обычно сначала учителю приходится руководить соответствую-
щей работой учащихся, помогая им выбрать наиболее подходя-
щую форму иллюстрации, краткой записи и др. Во. всех этих
случаях важно, чтобы демонстрация, иллюстрация, составление
чертежа или краткая запись задачи выполнялись по ходу разбо-
ра ее, а не предлагались учителем в готовом виде. Только в этом
случае все эти приемы могут оказаться действенным средством,
оказывающим реальную помощь в деле обучения детей самостоя-
тельному решению задач.
Главным и наиболее ответственным моментом при решении
состввной задачи является умение наметить путь ее решения.
Выше (§ 21) уже говорилось о том, что для составления плана
решения необходимо сначала разобрать эту задачу, установить
связи, существующие между известными в задаче величинами
и искомой. Такой разбор можно вести, отправляясь как от во-
проса задачи, так и от ее данных, путь рассуждений как в том,
так и в другом случае будет аналитико-синтетическим в том смыс-
ле, что все время будет соотноситься то, «что можно узнать»,
с тем, «что нужно узнать», для решения задачи, и наоборот.
Приведем образцы разбора составных задач, типичных для
тех, которые представлены в учебнике для II класса в теме« Сотня».
«Для украшения елки мальчики вырезали 28 красных флаж-
ков и 10 зеленых, а девочки вырезали 40 голубых флажков. На
сколько флажков больше вырезали девочки?» (М. 2, задача № 207,
с. 37).
Начнем разбор, отправляясь от данных. В задаче сказано,
что мальчики вырезали 28 красных флажков и 10 зеленых. Что
можно узнать по этим данным? Ответ может быть таким: «Мож-
но узнать, сколько флажков они всего вырезали, можно узнать
на сколько они больше вырезали красных флажков, чем зеленых,
или на сколько меньше зеленых, чем красных». Чтобы наметить
228
план решения задачи, необходимо обратиться к вопросу ее, что-
бы выяснить, что именно нужно узнать по выделенным данным,
что может помочь в решении данной задачи. В задаче спраши-
вается, на сколько флажков больше вырезали девочки, чем маль-
чики; значит, надо сравнить число флажков, вырезанных девоч-
ками и мальчиками, и полезно знать, сколько всего флажков вы-
резали мальчики. Зная это и зная из текста задачи, что девочки
вырезали 40 флажков, можно будет уже сразу узнать, на сколько
девочки вырезали больше флажков, чем мальчики. Разбор на
этом можно считать законченным и перейти к составлению пла-
на решения: сначала узнаем, сколько всего флажков вырезали
мальчики. (Для этого нужно найти сумму 28 и 10.) Затем, вто-
рым действием, можно ответить на вопрос задачи (нужно полу-
ченную сумму вычесть из 40.)
Разбор той же задачи можно было бы провести, отправляясь
от ее вопроса. Повторяем, что в задаче спрашивается, на сколько
флажков больше вырезали девочки. Ставим вопрос: «Что для
этого нужно знать?» (Нужно знать, сколько флажков вырезали
девочки и сколько мальчики.) Обращаясь снова к условию зада-
чи, выясняем, что число флажков, вырезанных девочками, извест-
но (40), а число флажков, вырезанных мальчиками, неизвестно,
но его можно узнать по имеющимся данным (поскольку извест-
но, что они вырезали 28 красных и 10 зеленых флажков). Далее
от разбора переходим к составлению плана решения и его осу-
ществлению.
Оформление решения задачи может быть выполнено либо с
составлением по задаче выражения (а), либо по действиям (б):
а) 40 - (28 + 10) = 2 (фл.), б) 1) 28 + 10 = 38 (фл.), .
2) 40 - 38 = 2 (фл.).
Ответ: на 2 флажка больше.
Разберем еще одну задачу: «Группа экскурсантов размести-
лась в 2 катерах, по 6 человек в каждом, и в 2 лодках, по 4 чело-
века. Сколько всего человек было в группе?» (М. 2, № 588).
Вопросы при разборе, исходящем от данных: «Что можно
узнать, зная, что в двух катерах разместились по 6 человек в
каждом?»; «Поможет ли это решению и почему?»; «Что можно
узнать, зная, что в 2 лодках разместились по 4 человека в каж-
дой?»; «Можно ли будет после этого ответить на вопрос задачи?»
Вопросы при разборе, исходящем от искомого: «Из каких ча-
стей состояла группа, численность которой нужно узнать?» (Лю-
ди, разместившиеся в катерах, и люди, разместившиеся в лод-
ках.) «Известно ли число людей, разместившихся в катерах?»; «Мож-
но ли узнать это число по имеющимся в условии данным?» И т. д.
Решение может быть записано в виде выражения, которое
составляется после того, как намечен план решения:
6 • 2 + 4 • 2 = 20 (ч.)
229
(Отметим кстати, что перестановка множителей в произведениях
6 • 2 и 4 • 2 не является ошибкой в решении задачи, нескольку
дети знакомы уже с переместительным свойством произведения.)
При решении составных задач, в которых речь идет о пропор-
циональных величинах, полезно выполнять краткую запись в
виде таблицы такого вида, какие представлены на страницах
учебника (с. 73, 118 и др.). Заполнение таких таблиц по ходу
анализа текста задачи помогает в дальнейшем установить связь
между искомым и данными, способствует, кроме того, усвоению
детьми соответствующих понятий (цена, количество, стоимость
и др.), связи, существующей между этими величинами. Разбор
задачи после составления краткой записи задачи в таблице так-
же выполнить значительно легче. Запись в таблице помогает
организовать работу по составлению задач, обратных данным,
способствуя рассмотрению связей между теми же величинами
при решении новой задачи.
Рассмотрим для примера ход работы над задачами с пропорци-
ональными величинами, встречающимися в учебнике II класса.
Вот одна из таких задач: «4 конверта стоят 28 коп. Сколько
стоят 6 таких конвертов?» (М. 2, № 492).
При повторении задачи выясняется, что в задаче известны
количество конвертов (4 конверта), их стоимость — 28 коп. Тре-
буется узнать стоимость 6 таких конвертов. Таким образом уже
при повторении задачи вводятся термины «стоимость», «количе-
ство». Опираясь на знания, приобретенные детьми при решении
простых задач, вспоминаем, что стоимость можно узнать, если
известны количество предметов и цена каждого из них. Учитель
предлагает записать задачу в таблице с графами «Цена», «Коли-
чество», «Стоимость».
Сначала в таблицу заносятся данные задачи — в одной строке:
4 шт. (в графе «Количество») и 28 коп. (в графе «Стоимость»), во
второй строке — 6 шт. (в графе «Количество»). Затем с помощью
вопросительного знака обозначается то, что требуется узнать, —
стоимость 6 конвертов. Затем ставится вопрос: «Что известно о
цене конвертов?». Это очень важный вопрос, без ответа на который
задача решена быть не может. Выясняется, что цена конвертов
в задаче не’указана, но говорится о стоимости таких же конвертов,
что эти слова следует понимать так, что речь идет о конвертах,
одинаковых по цене. После этого в таблице, в графе «Цена» запи-
сывается между первой и второй строкой слово «одинаковая».
Таблица примет вид:
Цена	Количество	Стоимость	|
Одинаковая	4 шт. 6 ШТ.	28 коп. ?
230
Повторив задачу по таблице, приступаем к ее разбору. Раз-
бор может быть начат с вопроса задачи, но может быть проведен
и отправляясь от данных. В первом случае выясняется прежде
всего, что нужно знать, чтобы узнать стоимость 6 конвертов.
(Для этого нужно знать цену одного конверта.) Затем, обращаясь
к условию, устанавливаем, что цена конвертов в условии не ука-
зана, но ее можно узнать, так как известно, что 4 конверта стоят
28 коп. Для этого нужно стоимость 28 коп. разделить на количе-
ство конвертов (4). Проведя такой разбор, можно составить план
решения: сначала узнаем цену (28 : 4) коп., а затем стоимость
6 конвертов, для чего найденную цену умножим на 6. Намечен-
ный план решения фиксируется составлением выражения:
(28 : 4) • 6.
Разбор задачи можно было провести и так: констатируем, что
из условия задачи известна стоимость 4 конвертов, выясняем,
что можно узнать по известным стоимости и количеству — можно
узнать цену, как это сделать — нужно стоимость разделить на
количество. Поможет ли это решить задачу? Обращаясь к вопросу
задачи, вспоминаем, что нужно узнать стоимость 6 конвертов.
Если будет известна цена одного конверта, то по цене и количе-
ству можно будет узнать стоимость. Проведенный разбор, как и
в первом случае, завершается составлением плана решения и
соответствующего выражения. Дальнейшая работа над задачей
сводится к тому, чтобы вычислить значение составленного выра-
жения и дать ответ на вопрос задачи. Чтобы проверить правиль-
ность решения, в этом случае полезно составить задачу, обрат-
ную данной. Например, такую: «6 конвертов стоят 42 коп. Сколь-
ко стоят 4 таких конверта?.» Решая эту задачу, дети повторят все
те рассуждения, которые проводились при решении предыдущей,
вспомнят те же зависимости между величинами и вместе с тем
проверят правильность решения (если получится, что 4 конверта
стоят 28 коп., значит, задача была решена верно).
Отметим, что описанный ход работы над задачами такого вида
ни в коем случае не должен стать образцом для решения каждой
следующей задачи. Так, довольно скоро можно отказаться от за-
писи задачи в виде таблицы, заменив ее более простой записью
вида:
4 шт. — 28 коп.
6 шт. — ?
При этом сначала можно записать «Цена одинаковая», а потом
можно отказаться и от этого, ограничившись устным пояснением.
С течением времени (а для некоторых учащихся и после решения
первой же задачи такого вида), возможно, отпадет вообще необхо-
димость в краткой записи задачи. Было бы лишней тратой времени
требовать ее выполнения и в том случае, когда ход решения ясен
ученику сразу же, после прочтения задачи.
231
Различны могут быть и формы записи решения. Приведем их
образцы:
1. С составлением выражения: 2. С составлением уравнения:
28 : 4 • 6 = 42	х = 28 : 4 • 6
Ответ: 42 коп.	х = 42
Ответ: 42 коп.
3. С записью отдельных действий:
1) 28 : 4 = 7 (коп.)
2) 7 • 6 = 42 (коп.)	О т в е т: 42 коп.
Если учитель не оговорил специально, как должно быть оформ-
лено решение задачи, то ученик вправе воспользоваться любой
из этих форм записи.
Помимо этих наиболее лаконичных форм записей, могут также
(но не слишком часто!) использоваться и более пространные за-
писи либо с краткими пояснениями, показывающими, что узнали
каждым действием, либо с записью вопросов, также уточняющих,
что будет найдено в результате выполнения того или иного дей-
ствия.
Запись решения с краткими пояснениями выглядела бы в этом
случае так:
1) 28 : 4 = 7 (коп.) — цена 1 конверта
2) 7 • 6 = 42 (коп.) — стоимость 6 конвертов.
Ответ: 42 коп.
С записью вопросов ученик решит эту задачу так:
1) Сколько стоит 1 конверт?
28 : 4 = 7 (коп.)
2) Сколько стоят 6 конвертов?
7 • 6 = 42 (коп.)
Ответ: 42 коп.
В процессе обучения решению задач можно использовать
все эти формы записи с учетом особенностей самой задачи и уров-
ня подготовки учащихся. Однако предпочтение следует все
же отдавать более кратким из них и в особенности составлению
выражения по задаче или составлению уравнения. Нельзя забы-
вать о том, что соответствующие требования зафиксированы в
самом тексте программы.
Вместе с тем по отношению к ряду задач решение по действи-
ям окажется единственно возможным. Это задачи, в которых
требуется сравнить два числа в разностном или кратном отноше-
нии, причем не указано, которое из неизвестных чисел больше
(меньше). Например: «На корм для кур за месяц израсходовали
30 кг зерна, а для уток 40 кг. На одну курицу расходовали в
месяц 3 кг зерна, а на одну утку 5 кг. Кого было больше: кур
или уток — и на сколько?» Ясно, что для решения этой задачи
нужно сначала узнать, сколько было кур и сколько было уток,
232
и только после этого можно будет сравнить найденные числа.
Решение должно выполняться по действиям, составить сразу вы-
ражение нельзя^
Составные задачи в учебниках предлагаются наряду и в срав-
нении с задачами простыми, причем и те и другие даются рассре-
доточенно во времени, так, что задачи одного и того же вида не
встречаются в большом числе подряд. Это создает условия для
того, чтобы каждый раз, приступая к решению новой задачи,
ученик пытался разобраться в ней, отправляясь от анализа ее
текста, доискиваясь смысла содержащихся в ней указаний, а не
пытался лишь припомнить способ решения задачи, аналогичной
данной и решавшейся с помощью учителя.
§ 37. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В ТЕМЕ «СОТНЯ»
В теме «Сотня» продолжается, развивается и значительно
обогащается работа, связанная с рассмотрением числовых вы-
ражений, равенств и неравенств, с решением уравнений. Систе-
матически ведется подготовка детей к осознанию идей перемен-
ной величины, соответствия.
При изучении нумерации чисел в пределах 100, после озна-
комления с дециметром и метром, наряду со сравнением отвлечен-
ных чисел дети учатся сравнивать и числа, выраженные в деци-
метрах и сантиметрах, в метрах и дециметрах. Например, для
сравнения предлагаются такие пары чисел: 5 дм 3 см и 5 дм 6 см,
5 дм и 5 см, 6 дм 2 см и 2 дм 6 см и т. п. _
В период подготовки к решению составных задач дети знако-
мятся с числовыми выражениями, содержащими скобки, напри-
мер, такого вида: 10 — (2 + 5), 4 + (8 — 3) и др. Возможность
объяснения смысла таких выражений подготавливается за счет
выполнявшихся ранее упражнений в сравнении двух выражений
(см., например, М. 1, с. 83, упр. № 20).
На уроке, посвященном ознакомлению с выражениями, со-
держащими скобки, целесообразно начать с повторения извест-
ного детям: вспомнить названия знакомых выражений (сумма,
разность), выполнить упражнения в сравнении двух выражений,
сопровождая их соответствующими пояснениями, наконец-, пред-
ложить детям устно вычислить сумму чисел, например 5 и 2, а
затем предложить вычесть сумму чисел 5 и 2 из числа 10. Получив
ответ, учитель спросит детей, как они получили 3. После этого
можно предложить кому-либо из учеников записать на доске
рассмотренный пример. Если ученик запишет: 10 — 5 + 2, то,
выполнив вычисления, дети убедятся, что это не тот пример, ко-
торый был ими решен. Возникшее затруднение учитель сможет
ликвидировать, объяснив, что в том случае, когда нужно выпол-
нить какое-то действие над выражением (суммой или разностью),
это выражение заключается в скобки. Необходимо показать,
как открываются и закрываются скобки. Детям помогает усвоить
233
этот новый для них знак такой прием: соответствующее выражение
учитель окружает, подчеркивая, что вычесть нужно не одно
число, а все это выражение. Затем поясняет, что на строке тетради
вся окружность не поместится, а потому оставляют только часть
ее, и что соответствующие знаки и называются скобками. После
такого объяснения ученики уже редко в дальнейшем оши-
баются в написании скобок (в противном случае дети нередко
воспроизводят скобки в зеркальном изображении).
Для закрепления под руководством учителя выполняются
аналогичные упражнения. Чтобы помочь детям правильно читать
выражение и находить его значение, учитель может поставить
такие вопросы: какое действие надо выполнить над числами, за-
писанными в скобках? Следовательно, что записано в скобках?
Посмотрите на другой знак действия и скажись, что нужно сде-
лать с этой суммой (разностью). Вычислите сумму (разность)
чисел. Прибавьте ее к числу (или вычтите ее из числа) и назовите
ответ. Устные пояснения полезно' сопровождать записью. Напри-
мер: 6 +(3 4-1) = 6 + 4 = 10.
В связи с рассмотрением свойств действий и приемов вычис-
лений уже в I классе дети знакомятся с цепочкой равенств вида:
34 + 20 = (30 + 4) + 20 = (30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54
(М. 1, с. 112) и др. Постепенно усложняется и структура выраже-
ний, предлагаемых для сравнения (см., например, М. 1, упраж-
нение № 276, в котором для сравнения предлагаются выражения:
(50 + 4) + 3 и 50 + 4 и др.).
Во II класссе при повгорении и обобщении пройденного на
первом году обучения вводятся термины «математические вы-
ражения» и заменяющий его более короткий — «выражения», а
также «значение выражения». Начиная с этого времени появля-
ются такие формулировки в заданиях: «Запиши выражения и
вычисли их значения», «Сравни выражения» и т. п.
При ознакомлении с различными способами сложения двух
сумм, а затем и с различными способами вычитания суммы из
суммы дети учатся читать, записывать, сравнивать числовые
выражения еще более сложной структуры — вида:
(7 + 2) + (3 + 8), (8 + 2) - (6 + 1) и т. п.
В зто время соответствующие выражения читаются так: «К сум-
ме чисел 7 и 2 прибавить сумму чисел 3 и 8»; «Из суммы чисел 8
и 2 вычесть сумму чисел 6 и 1».
Для составления подобных выражений на наборном полотне
удобно иметь набор карточек, на которых записаны сумма или
разность каких-либо чисел. Используя эти карточки вместе с
Обычными демонстрационными карточками с цифрами и знака-
ми действий, можно легко и быстро составлять самые разнооб-
разные выражения более сложной структуры. Использование
этих пособий позволяет наглядно показать детям, что компонен-
том действия может быть не только одно число, но и выражение.
234
Полезны в этом отношении такие демонстрации: под диктовку
учителя ученик записывает на доске выражение «Сумма чисел
6 и 7». Затем учитель предлагает заменить в этом выражении
первое слагаемое, используя карточки из другого набора (с за-
писанными на них простейшими выражениями). Ученик выни-
мает, например, карточку, на которой записана сумма (4 4- 2),
и вставляет ее вместо карточки с цифрой 6. Полученное выраже-
ние читается: «К сумме чисел 4 и 2 прибавить число 7» (с такими
выражениями дети уже многократно встречались в I классе).
Затем следующий ученик заменяет второе слагаемое 7 новой
карточкой, на которой записана, скажем, сумма (5 + 2). Полу-
ченное выражение читается, вычисляется его значение. Таким
образом обеспечивается постепенность в усложении рассматри-
ваемых числовых выражений.
Ознакомление с правилами порядка действий в выражениях
без скобок, содержащих действия как одной, так и двух ступе-
ней, является следующим шагом в расширении знакомства детей
с числовыми выражениями различной структуры.
Соответствующие правила учитель вводит, объясняя, что до-
говоренность о порядке выполнения арифметических действий в
выражениях сложвых видов, принятая в математике, позволяет
упростить записи, которые иначе потребовали бы использова-
ния большого числа скобок для указания того, какое действие
выполняется первым, какое — вторым и т. п. Разъяснить соот-
ветствующие правила — значит облегчить понимание учащимися
содержащихся в них указаний. Понимание это достигается за
счет рассмотрения различных случаев применения изучаемых
правил. Чтобы не вызвать каких-либо дополнительных трудно-
стей, связанных с усвоением новых терминов, не следует даже
употреблять довольно часто используемые понятия «действия
первой ступени» (сложение и вычитание) и «действия второй сту-
пени» (умножение и деление). Без таких терминов суть вводи-
мых правил дети усваивают лучше.
Основное значение при обучении детей применению правил
о порядке действий имеет целесообразный подбор упражнений.
В основном он обеспечен теми конкретными упражнениями, ко-
торые даны в определенной системе в учебнике. Дополняя мате-
риал учебника при проведении устных вычислений на уроках,
учителю стоит обратить особое внимание на такие задания и
упражнения, которые помогают подчеркнуть значение соблюде-
ния правила порядка действий. Например, в предложенном вы-
ражении расставить скобки так, чтобы значение его стало равно
указанному числу, например: 36 : 4 + 5 • 2 = 8 или 12 4-6:2 +
+ 2 = 11, 24 - 12 : 4 + 2 = 23 и т. п.
Другое задание: расставить пропущенные знаки действий,
скобки так, чтобы значение выражения стало равно указанному
числу. Например:
12*6*3 = 6	12*6*3 = 30
235
Полезны также и такие пары примеров, которые иллюстри-
руют различные случаи порядка действий: 4-|-6-Зи4-6-|-3,
16:2 + 5- Зи16 + 2- 5 — Зит. п.
Соответствующие выражения в зто время могут читаться так:
«К 4 прибавить произведенве чисел 6 и 3», или «Сумма числа 4
и произведения чисел 6 и 3», или «Сумма, первое слагаемое кото-
рой равно 4, а второе выражено произведением чисел 6 и 3» и т. п.
Чтение выражений более сложной структуры связано с опре-
деленными трудностями для учащихся. Поэтому нужно позна-
комить их с тем, как это должно делаться. Можно, например,
дать такое пояснение. Выясним сначала, какое действие должно
выполняться последним. Если это сложение, то данное выражение
можно назвать суммой и смотреть дальше, что представляют
собой слагаемые этой суммы. Если последним действием является
вычитание, то соответственно выражение представляет собой
разность и остается выяснить, что представляют собой уменьшае-
мое и вычитаемое. Каждый раз, когда один из компонентов пред-
ставляет собой выражение, дается его название, например:
50-3-4
Выясняем, что последнее действие — вычитание. Можем ска-
зать, что данное выражение — разность. Далее видим, что умень-
шаемым является число 50, а вычитаемое выражено произведе-
нием чисел 3 и 4 и т. п. Упражнения в таком чтении выражений, с
одной стороны, важное условие правильного применения изу-
ченных правил порядка действий, а с другой — подготовка к ре-
шению уравнений более сложных видов, с которыми дети встре-
чаются во II классе.
Принципиально новым шагом в работе над. выражениями бу-
дет ознакомление с выражениями, содержащими одну-две пере-
менные, обозначенные буквами латинского алфавита.
В § 27 настоящей книги уже говорилось о том, что подготовка
детей к ознакомлению с переменной и выражениями с перемен-
ной начинается еще в теме «Десяток». В теме «Сотня» (в начале
второго года обучения) они вводятся в явной форме.
Самое важное, что должно быть доведено до сознания детей
на первом же уроке ознакомления с буквенными выражения-
ми, — что буквой обозначено в них не какое-либо одно опреде-
ленное (известное или неизвестное) число, а любое число, и бук-
вам в таких выражениях можно придавать различные числовые
значения.
Показать это нужно как можно более наглядно, чтобы соот-
ветствующая демонстрация запомнилась детям.
Начать можно с рассмотрения простой задачи, связанной с
объединением двух множеств предметов: «На одной полке 3 кни-
ги, а на другой — 5 книг. Сколько всего книг на этих полках?»
(На верхней и нижней полках наборного полотна выставляются
карточки с изображением книг.) Учитель спрашивает, что нужно
сделать, чтобы узнать, сколько всего книг на двух этих полках.
236
Дети отвечают, что для этого нужно сложить числа 3 и 5. На до-
ске выполняете# запись:
На I полке На II полке Всего на двух
полках
3 кн.	5 кн.	(3 + 5) кн.
Затем в предложенной задаче меняются числовые данные. На-
пример: «На I полке — 6 книг, на второй — 4 книги». Снова ста-
вится тот же вопрос, и соответствующие данные записываются
на доске во второй строчке. Можно решить еще одну-две анало-
гичные задачи, после чего поставить вопрос: «Вообще, если мы
знаем, сколько книг на одной полке и сколько на другой, то как
мы узнаем, сколько всего книг на этих двух полках?» Дети отве-
чают, что нужно сложить число книг на I полке и число книг на
II полке. Можно еще раз уточнить, что это верно для .любого чис-
ла книг, сколько бы их пи было на полках. После этого учитель
предлагает обозначить число книг на I полке буквой я, число
книг на II полке буквой к, записывает эти обозначения в кон-
це таблицы, которая получилась на доске. Ставится вопрос: как
записать, сколько всего книг на двух полках, если на одной из
них я книг, а па другой к книг? Учащиеся сами или с помощью
учителя, если это требуется, записывают: (я + к) книг. После
этого полезно еще раз подчеркнуть, что буквы в этой записи мо-
гут обозначать самые разные числа — и те, которые уже записа-
ны в таблице, и другие. Можно составить еще две-три анало-
гичные задачи, предлагая новые значения для я и Л, и решить
эти задачи.
Можно первое знакомство с буквенными выражениями про-
вести и на отвлеченных примерах. Важно лишь, чтобы дети по-
няли что буквы в составленном выражении (я + к) обозначают
самые разнообразные числа. Среди других случаев имеет смысл
выделить и такой, когда обе буквы приобретают одинаковое
значение (например, когда книг на I и II полке стоит поровну —•
по 6 или по 12), и такой, когда одна из букв приобретает, ска-
жем, значение 0 (когда на I полке стоит, скажем, 8 книг, а на II
'— ни одной, а нужно узнать, сколько книг на обеих полках).
Дети должны также понять, что значение буквенного выра-
жения может быть вычислено только после того, как указано
числовое значение каждой из входящих в него букв.
С целью закрепления знаний, приобретенных при первом зна-
комстве с буквенными выражениями, полезно выполнить ряд
упражнений, связанных с вычислением значения данного буквен-
ного выражения при заданных значениях букв. Полезным по-
собием при проведении таких упражнений будут таблички с
прорезями, в которые вставлены подвижные ленты с написан-
ными на них различными числами (рис. на с. 14, М. 2). Передви-
гая ленты, получаем различные числовые выражения, вынув
вх — соответствующее буквенное выражение. Можно сделать
237
и третью подвижную ленту, со знаками действий. Тогда с по-
мощью одной такой таблицы демонстрируются все виды прос-
тейших выражений с переменной (сумма, разность, произведе-
ние и частное). Можно будет показать и такой случай, когда
один из компонентов действия представляет собой определен-
ное число (постоянное), а второй — переменную, обозначенную
буквой.
Учебник предусматривает выполнение разнообразных упраж-
нений, связанных с нахождением числового значения буквенных
выражений (задания, в которых даны выражение и значения
букв, те же задания с записью в форме таблиц, задания, в ко-
торых детям предлагается самим подобрать значения для букв
и вычислить соответствующие значения данного выражения, ре-
шение задач с буквенными данными и составление задач по дан-
ному выражению и др.).
Существенным моментом, на который нужно обратить специ-
альное внимание, является ознакомление детей с разностью ви-
да: а — к. Важно, чтобы дети разобрались в том, что в данном
случае буквам а и к нельзя придавать любые, какие угодно зна-
чения, так как в известной учащимся области чисел из меньше-
го числа нельзя вычесть большее. Аналогично не может быть
произвольным и подбор числовых значений для выражения а : х,
так как дети еще не знакомы с дробями и поэтому здесь числам
а и х можно придавать лишь такие значения, при которых деле-
ние выполнимо .в целых числах.
Начиная с первого же урока учитель предупреждает, что в
буквенных выражениях можно использовать самые различные
буквы, что в математике принято пользоваться для обозначения
любого числа буквами латинского алфавита, с которыми дети
постепенно знакомятся. Полезно вывесить в классе плакат с ла-
тинским алфавитом, в котором указать и начертание букв (про-
писных и строчных) и их названия.
Продолжается в теме «Сотня» и работа над равенствами, не-
равенствами и уравнениями. В начале II класса (М. 2, с. 49)
вводятся сами термины «равенство» и «неравенство». Делается
это без каких-либо разъяснений, как названия известных уже
детям вещей. В дальнейшем в формулировках заданий все чаще
встречаются термины «верные равенства (неравенства)» и «не-
верные равенства (неравенства)». Детям предлагается проверить,
какие из предложенных равенств (или неравенств) являются
верными, а какие нет.
Продолжаются упражнения в сравнении выражений, реша-
ются подбором простейшие неравенства с переменной. Чаще все-
го в этих случаях детям предлагается набор чисел, из который
они должны выбрать те, при которых данное неравенство оказы-
вается верным. Эти упражнения не вызывают обычно затрудне-
ний у детей. Единственный формальный вопрос, который возни-
кает иногда в связи с выполнением таких заданий, —< форм*
238
записи. На данном этапе обучения лучше всего выписывать от-
дельно каждое из найденных значений буквы. Например, если
требовалось узнать, при каких значениях а верно неравенство
а < 8, и были предложены на выбор числа: 9, 5, 10, 8, 2, 7, то от-
вет будет: при а — 5, а = 2, а = 7. Сама подстановка этих значе-
ний и вычисления производятся устно.
Упражнения, связанные со сравнением выражений, в принци-
пе не отличаются от тех, которые выполнялись раньше, хотя и
строятся они, естественно, с использованием того нового мате-
риала, который накапливается по мере изучения свойств дейст-
вий, новых чисел, новых единиц измерения.
Значительно усложняется в теме «Сотня» работа по решению
уравнений. К решавшимся в теме «Десяток» уравнениям, осно-
ванным на использовании связи между компонентами и резуль-
татами сложения и вычитания, добавляются аналогичные прос-
тейшие уравнения, связанные с нахождением неизвестного ком-
понента умножения и деления. (Вопросы, связанные с раскрыти-
ем связи между компонентами и результатами этих действий,
рассматриваются в § 34 и 35.)
Однако наряду с этими уравнениями во II классе вводятся
также несколько более сложные по своей структуре уравнения,
связанные с нахождением неизвестного компонента сложения
или вычитания.
В программе предусмотрены следующие виды таких уравне-
ний: х + 15 = 38 — 20, 17 — х = 50 — 30, (18 + 22) + х = 50,
(16 + х) — 34 == 10 и т. п.
Наиболее легкими из них являются такие, в одной из частей
которых содержится числовое выражение, найдя значение кото-
рого легко свести это уравнение к знакомому детям виду:
14 — х = 3 • 2. Вычислим значение произведения, записанного
в правой части уравнения, и получим уравнение
знакомого вида:
14 — х = 6, с решением которого учащиеся легко справятся,
если усвоили, как находится неизвестное
вычитаемое
(х = 14 — 6, х = 8). Как и обычно, выполняется проверка реше-
ния:
14 — 8 = 3-2. Вычислив значения выражений в левой и
правой части равенства, получим:
6 = 6.
Немногим труднее уравнения вида: (18 + 22) х = 50. Здесь
тоже достаточно вычислить значение числового выражения, за-
ключенного в скобки, чтобы свести это уравнение к известному
детям. Однако в этом случае ученикам несколько труднее «уви-
деть» это числовое выражение. Этому помогает правильное чте-
ние таких уравнений, при котором с самого начала выделяются
компоненты последнего действия. Так, прежде чем решать рас-
сматриваемое уравнение, следует предложить детям прочитать
239
его (я поступать так же и при самостоятельном решении). Вы-
ясняем, какое действие является последним. Это сложение. На-
ходим первое слагаемое. Это сумма чисел 18 и 22. Второе сла-
гаемое — х. Сумма равна 50. Первое слагаемое выражено сум-
мой. Ее можно вычислить.
Наиболее сложен случай, когда неизвестное число входит в
состав одного из компонентов, который выражен суммой или
разностью. В этом случае приходится дважды применять извест-
ные правила нахождения неизвестного слагаемого. При этом
исходным моментом является установление того, какой компо-
нент последнего действия известен. Зная его и результат, нахо-
дим, чему будет равен неизвестный компонент, а затем получаем
уже уравнение знакомого вида. Например: (36 — х) 4- 5 = 20.
Устанавливаем, что известно второе слагаемое 5 и сумма 20 и
что поэтому неизвестное слагаемое, которым в данном случав
является выражение 36 — х, может быть найдено так: 36 — х —
= 20 — 5. Получили знакомое уравнение (см. выше). Закончить
решение и осуществить проверку его можно предложить детям.
Поскольку решение такого рода уравнений трудно, то боль-
шая их часть решается под руководством учителя, с комменти-
рованием. Для самостоятельной работы сначала можно предла-
гать только отдельные элементы решения, причем обычно самым
трудным является первый шаг в рассуждении, который невозмо-
жен без четкого «прочтения» заданного уравнения. В. связи с
этим, как правило, всегда такие уравнения должны быть снача-
ла прочитаны вслух в классе.
§ 38 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ В ТЕМЕ «СОТНЯ»
При изучении геометрического материала, включенного в эту
тему, внимание учителя, как и прежде, должно быть направлено
на совершенствование представлений об изучаемых фигурах и
их элементах, навыков вычерчивания этих фигур на клетчатой
бумаге, умения находить знакомые фигуры, входящие как часть
в состав других фигур.
Постепенно происходит расширение круга изучаемых объек-
тов и соотношений между ними.
Измерение отрезков. Дециметр. Метр
Знакомство школьников с новой единицей измерения длины —
дециметром — начинается в связи с изучением чисел второго де-
сятка в I классе.
Естественно, что необходимость введения новой единицы
должна быть обоснована. С этой целью учащимся предлагается
отрезок длиной, например, 90 см, для измерения которого обыч-
ная ученическая линейка длиной 20 см коротка. Воспользовав-
шись затруднением, учитель знакомит детей с дециметром. Оя
показывает полоску (палочку) длиной в 1 дм и, прикладывая е<
240
к шкале линейки, говорит, что 1 дм = 10 см. Учащиеся знакомят-
ся с сокращенной записью 1 дециметра — 1 дм, учатся читать
записи: 3 дм, 5 дм, 15 дм и т. п.
Каждый ученик, используя приложение к учебнику, изготав-
ливает модель дециметра, с помощью которой измеряет отрезки.
Вначале длина измеряемых отрезков должна выражаться целым
числом дециметров.
С помощью модели дециметра, а затем метра, раскрашенно-
го по дециметрам, дети чертят отрезки заданной в дециметрах
длины, учатся отмерять и отрезать от бумажной ленты или нит-
ки кусок, длина которого равна, например, 5 дм.
Затем рассматривается случай, когда длина отрезка равна,
например, 12 см; она больше одного дециметра, но меньше двух
дециметров. Учитель объясняет, что в таком случае говорят:
«Длина отрезка равна одному дециметру и двум сантиметрам».
Он показывает, что это записывается тай: 1 дм 2 см. Учащиеся
практикуются в вычерчивании отрезков длиной в 1 дм 5 см, 1 дм
9 см и т. п. Одновременно ставится вопрос: «А сколько это бу-,
дет сантиметров?» На основе таких упражнений усваивается
переход от измерений в сантиметрах к измерениям в деци-
метрах.
По аналогии с тем, как вводился дециметр, ставится задача,
которая приводит к необходимости ввести еще одну, более круп-
ную единицу измерения — метр. Показывается деревянный
метр, различные отрезки длиной в 1 м. После решения задач,
связанных с измерением отрезков (на окружающих предметах)
метром (задача № 76), можно установить соотношение между
дециметром и метром, метром и сантиметром.
Эти соотношения усваиваются в ходе практических измере-
ний, а также при выполнении специальных упражнений по срав-
нению и преобразованию чисел вида: 2 дм 5 см = ... см. Сравни
5 дм и 5 см, 2 дм 5 см и 5 дм 2 см.
В теме «Сотня» (еще в I классе) продолжается работа по со-
ставлению многоугольников из частей, например квадрата (рис. 38).
Постепенно эти задачи усложняются.
Новым этапом в развитии геометрических представлений
первоклассников является ознакомление с прямым углом. Перед
этим полезно более четко показать детям углы многоугольника.
Бумажный многоугольник разрывается на части так, чтобы каж-
дая из них содержала по одной вершине и по две стороны (части
сторон), выходящих из этой вершины. Обращается внимание
детей на то, что вершина многоугольника является и вершиной
соответствующего угла.
Вначале целесообразно познакомить учащихся с бумажными
моделями углов. Дети должны изготовить их, разорвав бумаж-
ный многоугольник.
Важно при формировании правильных представлений об
, углах учить детей правильно показывать углы многоугольника.
24.1
После этого показывается получение прямого угла перегиба-
нием бумаги. Каждый из учащихся получает лист бумаги, лучше
«неопределенной» формы, учитель тоже берет лист бумаги. Вни-
мание детей обращается на то, что все листы бумаги различной
формы. Затем под руководством учителя дети складывают лис-
ты вдвое (рис. 39, а), разглаживают линию сгиба. Лист вновь
разворачивается. Выясняется, что линия сгиба — прямая линия,
которая делит лист бумаги на две части. После этого лист вновь
складывают по той же линии сгиба и перегибают еще раз, следя
за тем, чтобы части полученной ранее линии сгиба совпадали
(рис. 39, 6). Учитель показывает всем, как нужно это сделать.
Новая линия сгиба также тщательно разглаживается. Сложен-
ный лист разворачивается (рис. 39, в). Устанавливается что две
пересекающиеся линии сгиба делят лист бумаги на четыре части —•
на четыре угла. Вершина всех этих углов — одна точка. Подме-
чается, что все эти углы, если только перегибание выполнялось
точно, одинаковы, т. е. равны. Это легко проверить, если снова
перегнуть лист по линиям сгиба.
Полезно сравнить полученные углы (наложением) с углами,
которые сделал другой ученик. Следует обратить внимание
детей на то, что, несмотря на различие формы листов бумаги,
каждый ученик получил равные углы. Такие углы называют
прямыми.
Сравнение углов. С помощью бумажной модели прямого угла
отыскиваются прямые и непрямые углы на окружающих предме-
тах и их частях, у бумажных многоугольников и на чертежах.
Сравнение непрямых углов с прямым осуществляется наложе-
нием. Показывается чертежный треугольник, с помощью бу-
мажного прямого угла отыскиваются его прямые и непрямые
углы.
На схеме (рис. 40) показано, как сравнивать углы много-
угольника с прямым углом. Нахождение прямых углов (задачи
№ 147, 166 и др. из учебника для I класса) может выполняться
с помощью бумажной модели прямого угла, чертежного треуголь-
Рис. 38
Рие. 39
242
ника или «на глаз», с помощью линий
клетчатого листа. Полезно рассмот-
реть многоугольники с одним, двумя,
тремя прямыми углами, отыскивать
прямые и непрямые углы на более
сложных чертежах. На основе пред-
варительной работы по ознакомле-
нию учащихся с прямым углом
уточняются представления перво-
классников о прямоугольнике —
многоугольнике, у которого все
углы прямые.
Эту работу целесообразно начать
с рассмотрения различных
многоугольников, у которых один, два, три и т. д. угла прямые.
Например, на рисунке 41 изображены треугольники, у которых
один угол прямой. Нужно найти этот угол.
Для построения многоугольников, содержащих прямые углы,
в I классе следует использовать линии клетчатой бумаги, обра-
зующие прямые углы.
Наблюдение и построение различных многоугольников на-
глядно убеждает детей в том, что только у четырехугольника все
углы могут быть прямыми (рис. 42). Такие четырехугольники
называют прямоугольниками. Выполняется построение различ-
ных прямоугольников на клетчатой бумаге так, чтобы стороны
прямоугольников совпадали с линиями листа.
В результате измерений сторон прямоугольников выясняется,
что есть прямоугольники, у которых все стороны равны между
собой. Такие прямоугольники называют квадратами. Построение
квадратов также выполняют на клетчатой бумаге. Здесь можно
рассмотреть и такие случаи, когда стороны прямоугольника
(квадрата) не совпадают с линиями листа тетради (рис. 43). Боль-
шое значение при этом имеют упражнения, в которых по задан-
ным точкам — вершинам нужно построить прямоугольник (квад-
рат). Вначале задаются все четыре вершины, затем три — в этих
случаях задача имеет единственное решение.
243
Во II классе можно предлагать построение прямоугольника
по двум или даже одной вершине (рис. 44). Выполнение таких
задач заметно влияет не только на усвоение таких свойств пря-
моугольника, как равенство его противоположных сторон, но и
на неявные, но интуитивно верные представления о центральной
и осевой симметрии этой фигуры.
Важно подчеркнуть, что построение прямоугольника по двум
или одной вершине имеет сколько угодно решений.
При ознакомлении с прямоугольником обращаем внимание
школьника на форму окружающих предметов или их частей. Де-
ти находят предметы, имеющие вид прямоугольников: крыш-
ка стола, классная доска, оконное стекло, потолок, пол, стены
и т. д.
В процессе измерения сторон прямоугольников дети замеча-
ют, что их противоположные стороны попарно равны.
В первом полугодии II класса продолжается работа, начатая
в I классе. Она усложняется и связывается с расширяющимся
набором геометрических фигур. Например, часто встречающаяся
задача деления многоугольника отрезком на части требует рас-
смотрения всех возникающих случаев. Так, на рисунке 45 четырех-
угольник разделили отрезком на две части так, чтобы: «) обе
части были треугольниками; б) обе части четырехугольниками;
в) одна часть — четырехугольник, а другая — треугольник;
г) одна — пятиугольник, другая — треугольник.
Для решения таких задач полез-
но, чтобы каждый ученик подготовил
нужное число одинаковых (равных)
многоугольников. Эта практическая
задача сама по себе важна с точки
зрения формирования общих пред-
ставлений о равенстве фигур. Она
может быть решена тремя способа-
ми: а) по клеточкам вычерчиваются
равные многоугольники, и каждый
из них вырезается отдельно; б) вы-
Рис. 45
244
резается один многоугольник. Затем он накладывается на
бумагу и по границе обводится карандашом. Нарисованный
многоугольник вырезается и т. д.; в) берется пачка из стольких
листов бумаги, сколько многоугольников нужно получить. На
верхнем листе пачки вычерчивается нужный многоугольник.
Вся пачка разрезается по контурам начерченного многоуголь-
ника.
После того как у учащихся подготовлено нужное число рав-
ных многоугольников, они выполняют их деление в соответствии
с требованием задачи. При этом рассматриваются все возможные
случаи.
При решении задач на деление фигур в воображении ученик
«на глаз» прикидывает, как должен пройти отрезок, удовлетворяю-
щий условию задачи. Проверка может быть осуществлена по-
строением предполагаемого отрезка.
Задача составления новой фигуры из нескольких фигур на
первых порах решается как задача, обратная задаче на деление
фигуры. Вначале ученик фигуру разрезает на несколько частей,
а затем, сложив эти части, восстанавливает первоначальную фи-
гуру. Решение задачи на составление фигур лучше проводить на
бумажных моделях.
Следует иметь в виду, что если квадрат (см. рис. 38) можно
было разбить па 4 равных треугольника одним способом, то со-
ставить из этих треугольников новых многоугольников можно
много (среди них окажется и данный квадрат).
Особый интерес учащихся вызывает решение задач на со-
ставление различных фигур из одних и тех же частей квадрата.
Одна из разновидностей такой «головоломки»: квадрат 10 X 10 см
из плотной бумаги делится на 7 частей так, как это показано на
рисунке, помещенном на последнем форзаце учебника для II
класса.
Ученики наблюдают силуэты фигур (например, «кошки») и
пытаются из 7 частей квадрата сложить «кошку». Решение анало-
гичных задач требует много времени. Это целесообразно делать
во внеурочной работе или дома. С целью подготовки детей к ре-
шению таких задач можно
предложить более простые
варианты, с использованием
клеток листа бумаги. Так,
пользуясь клетками листа,
можно вырезать фигуры 1—6,
изображенные на рисунке 46,
и просить из этих фигур
сложить квадрат. Два воз-
можных варианта располо-
жения «деталей» показаны
на рисунке 46 (А и Б).
245
Важным и новым шагом в изучении элементов геометрии яв-
ляется ознакомление с применением буквенных обозначений. Ис-
пользование буквенных обозначений позволяет не только вновь
рассмотреть изученные ранее фигуры, обобщить их свойства, но
и, что самое важное, постепенно формировать представления о
математическом языке. Учащиеся быстро убеждаются в том, что
буквенные обозначения позволяют коротко и ясно фиксировать
результаты решения, кратко формулировать многие объяснения
и задачи.
При обозначении фигур следует употреблять заглавные бук-
вы латинского алфавита и для начала те из них, которые пишут-
ся и произносятся на русском и латинском языках одинаково
(К, О, М, Е, Т, А).
Учащимся объясняют, что каждой точке можно дать «имя»,
чтобы различать эти точки. Для этого принято около точки ста-
вить одну из заглавных букв. Обозначить точку — значит на-
звать ее какой-нибудь буквой (рис. 47, а).
Концы отрезка — точки, каждую из них обозначают заглав-
ной буквой. Значит, для обозначения отрезка удобно применять
две буквы (рис. 47, б). Если, например, дан отрезок АВ — это
значит, что А и В точки, концы отрезка. Важно заметить, что
порядок букв при обозначении отрезков несуществен. Так, от-
резок АВ и В А один и тот же.
Учащимся сообщается, что для обозначения ломаных- линий
и многоугольников применяются буквы, обозначающие их вер-
шины. Эти буквы записываются одна за другой по мере обхода
вершин. На рисунке 47, в изображена ломаная MNK, или, что
одно и то же, KMN.
На рисунке 47, г изображен пятиугольник ABCDE (умя.
AEDCB, или BCDEA, или EABCD и т. д.).
Буквенные обозначения вводятся постепенно на основе рас-
смотрения достаточного числа примеров для каждого вида фи-
гур. Например, переход к изучению буквенных обозначений уг-
лов многоугольника может быть осуществлен только после ус-
воения приемов обозначения буквами многоугольников, чтения
и записи этих обозначений. Учащимся сообщается, что углы
можно обозначать одной буквой, стоящей около вершины. На
рисунке 47, д это угол А. Применяется значок «А.», заменяющий
слово «угол». Так, запись «АЛ» читается «угол Л».
246
Иногда обозначать угол одной буквой неудобно. Поэтому уг-
лы обозначают и тремя буквами. При записи углов тремя бук-
вами важно, чтобы «средней» всегда была буква, стоящая у вер-
шины.
На рисунке 47, д мы имеем А_ВАС. Следует заметить, что,
например, /LBAC и А.САВ — один и тот же угол. Можно сооб-
щить учащимся, что иногда удобно обозначать углы цифрами,
В этом случае соответствующая цифра ставится внутри угла,
ближе к вершине. При обозначении прямых линий, как и при
обозначении отрезков, применяют две буквы. Они ставятся в
различных местах около прямой.
Дети должны, например, постепенно усвоить, что при реше-
нии задачи: «Начертите отрезки АВ и АС» — уже из обозначений
видно, что точка А является общей для двух отрезков. На рисун-
ке 48 приведены некоторые возможные решения.
Во II классе постепенно можно использовать для записи ре-
зультатов измерения отрезков, например, такую запись: «АВ —
>= 25 мм». Учащиеся эту запись должны читать так: «Длина от-
резка АВ равна 25 мм» (рис. 49). После того как учащиеся усвоят
смысл этой записи, задачу: «Начертить отрезок DC длиной в
15 мм» можно формулировать так: «Построить отрезок CD — 15 мм».
Во II классе предусмотрено использование циркуля для срав-
нения и измерения отрезков. С этой целью, кроме специального
циркуля-измерителя, можно взять обычный циркуль. Учащиеся
чертят два любых отрезка в тетрадях, а учитель — на доске.
Ставится вопрос, как с помощью циркуля сравнить отрезки АВ
и CD. Поставив одну ножку циркуля (йглу) в точку А (один из
концов отрезка АВ), раздвинем циркуль так, чтобы вторая нож-
ка (конец карандаша) попала в точку В. Не изменяя положе-
ция ножек, приложим одну из них к началу второго отрезка, к
точке С, и посмотрим, куда поместилась вторая ножка. Оказа-
лось, что отрезок АВ меньше отрезка CD. Учитель знакомит де-
тей с записью: «АВ < CD» или «CD > АВ». Такая запись читает-
ся: «Отрезок CD больше отрезка АВ». С помощью циркуля уча-
щиеся сравнивают стороны многоугольников, звенья ломаных.
247
Рис. 50
После этого учитель показыва-
ет, как с помощью циркуля можно
построить отрезок, равный данному
отрезку, и затем рассматривает прие-
мы измерения отрезков с помощью
циркуля и масштабной линейки
(рис. 50).
Опыт сравнения измерения и
вычерчивания отрезков дает возмож-
ность установить, что на каждом
отрезке может быть отмечена точка,
делящая его на две равные части
(на два равных отрезка). В этом
случае говорят: «Точка делит отрезок пополам». Называют эту
точку серединой отрезка.
Необходимо рассмотреть несколько способов отыскивания се-
редины отрезка (с помощью перегибания нитки или бумажной
полоски, равной с отрезком длины; с помощью измерения отрез-
ка). Перегибанием можно разделить отрезок не только на две,
но и на три равные части, а значит, например, на шесть частей —-
на три, а затем на две и т. д. частей.
Деление фигуры на равные части часто облегчается примене-
нием клетчатой бумаги.
Пользуясь клетками, легко решить и обратную задачу, на-
пример составить (начертить) фигуру, содержащую 6 равных
квадратов (задача имеет много решений); начертить прямоуголь-
ник, содержащий 6 клеток (эта задача имеет только два решения).
Во II классе вводится термин «ломаная линия». Сообщается,
что ломаные линии состоят из отрезков и бывают замкнутыми
и незамкнутыми. Дети легко приходят к выводу, что замкнутые
линии являются границей многоугольников, что позволяет свя-
зать понятие периметра многоугольника с длиной, соответствую-
щей ломаной линии.
Длина ломаной определяется как сумма длин ее звеньев.
Чтобы ее найти, нужно измерить каждое звено и полученные
числа сложить (рис. 51). Мы получим новое число — длину ло-
ман' й. После решения задач на нахождение длины замкнутых
ломаных можно ознакомить
детей с периметром многоуголь-
ника. Периметр многоугольни-
ка есть длина ломаной линии
— границы многоугольника,
т. е. сумма длин всех сторон
многоугольника (М. 2, № 532).
Среди первых фигур, у ко-
торых нужно найти периметр,
целесообразно использовать
различные треугольники. Вна-
чале лучше брать бумажные
248
или картонные модели многоугольников. Дети измеряют каж-
дую сторону, находят длины сторон и получают сумму длин.
Затем переходят к решению задач на нахождение периметра
разнообразных многоугольников.
Задача нахождения периметра прямоугольника или квад-
рата связана с использованием свойств их противоположных
сторон.
Для проверки утверждения, что противоположные стороны
прямоугольника попарно равны, эти стороны сравнивают (у раз-
личных прямоугольников) с помощью циркуля или непосредст-
венным перегибанием бумажного прямоугольника. Следует по-
казать, что для вычисления периметра прямоугольника, напри-
мер, со сторонами 9 см и 7 см можно составить два выражения:
9 • 2 + 7 • 2 или (9 + 7) • 2. Для вычисления периметра квадрата
со стороной 6 см составляется выражение 6 • 4.
Окружность и круг
Учащимся рассказывают, что для вычерчивания окружности
есть специальный инструмент — циркуль. В момент показа ра-
боты циркуля, когда еще не вся окружность начерчена, полезно
заметить, что одна ножка циркуля (с иглой) стоит на одном мес-
те, неподвижна. Эту точку называют центром окружности. Дру-
гая ножка циркуля движется, и ее конец (мел, карандаш) вычер-
чивает линию. Эту линию называют окружностью. Очень важно
сразу подчеркнуть, что окружность есть граница круга. При этом
уместно напомнить детям, что границей многоугольника, знако-
мой фигуры, является замкнутая ломаная линия. Учащиеся под-
водятся к выводу, что окружность, граница круга — замкнутая
кривая линия.
Полезно показать учащимся, как можно вычертить окружность
с помощью планки (картонной полоски, кусочка шпагата). По-
лоска прибивается гвоздиком к доске. К другому ее концу при-
кладывается мел. Полоска вращается около гвоздя, и мел вычер'
чивает окружность. С целью уточнения представлений об окруж-
ности и круге полезно рассмотреть такие задачи:
1. Назовите точки, принадлежащие и не принадлежащие ок-
ружности (рис. 52, а).
2. Назовите точки: а) при-
надлежащие кругу, б) принад-
лежащие окружности, в) не при-
надлежащие кругу, г) принадле-
жащие кругу, но не принадлежа-
щие окружности (рис. 52, б).
Затем учащихся знакомят с
радиусом окружности. Для этого
на окружности отмечают какую-
Рис. 52-
249
нибудь точку и соединяют эту точку отрезком с центром (зада-
ча № 797). Отрезок, соединяющий точку окружности с центром,
называют радиусом. Предлагается провести еще 2—3 радиуса
данной окружности и сравнить их. Учащиеся приходят к выводу,
что все радиусы одной и той же окружности равны между собой.
Известно, что навык вычерчивания окружности формируется
медленно и требует выполнения большого числа упражнений.
Эти упражнения могут выполняться и на уроках труда. В резуль-
тате второклассники должны научиться вычерчивать окружность
с центром в заданной точке и с радиусом заданной длины.
§ 39. МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ С ДОЛЯМИ ВЕЛИЧИНЫ
Накопление представлений о делении фигур на равные части
является исходным при формировании первоначальных пред-
ставлений о долях. Начинать лучше с рассмотрения деления на
равные части некоторых предметов, часто встречающихся в ок-
ружающей ребенка жизни. Например, если говорят: «Дайте по-
ловину яблока», — это значит, что яблоко нужно разделить на
две равные части и одну из них отдать. Получение долей (так на-
зывают равные части величины) можно иллюстрировать кадра-
ми диафильма или плакатами. На протяжении всех 5 уроков, от-
водимых для ознакомления с долями: с их получением, сравне-
нием и решением задачи «нахождение доли числа», необходимо
иллюстрировать каждый шаг не только рисунками, но и практи-
ческими работами с перегибанием прямоугольников (бумажных
полосок) и квадратов (рис. 53). G
этим связаны и упражнения, пред-
лагаемые учебником (задачи № 813,
815, 816, 821 и др.) При этом по-
Рис. 54
лезно выполнять также чертежи та-
кого вида, как на рисунке 54.
Здесь важно обратить внимание
1
учащихся на то, что — долю можно
4
получить
делением
(половины)
на 2 равные части. Одна четвертая
доля — зто половина одной второй
доли и т. п.
Различные доли одной и той же
величины (одной и той же фигуры:
отрезка, прямоугольника, круга
и т. д.) дают возможность наглядно
1 111
сравнить —и—, — и—ит. д. Для
2	3 3	4
этого удобно использовать доли ОТ-'
£
2
259
резка или прямоугольника (задача № 822 в учебнике). Здесь
полезно и применение печатных плакатов — таблиц.
Результаты сравнения долей записываются с помощью знаков
11
«>» и «<». Например, — > —, что читается так: «Одна вторая
2	3 *
1	1
больше одной трети». Это можно записать и так — < — и про-
3	2
читать: «Одна треть меньше одной второй».
В результате ознакомления с долями и их получением дети
должны научиться с опорой на чертеж сравнивать доли и знать,
например, что в целом отрезке (в единице) две половины, три
третьих доли, четыре четвертых доли и т. д.
Только после того как учитель удостоверится в том, что каж-
дый из учащихся это представляет, можно переходить к решению
простых задач, где нужно найти долю числа.
Первые задачи на нахождение доли числа должны быть свя-
заны с практической деятельностью, решаться практически.
Так, например, практическая деятельность при решении задачи
4
№ 828, где нужно узнать «длину — полоски длиной 12 см», долж-
на привести к пониманию, что для «теоретического» решения
вопроса достаточно 12 разделить на 4. А в случае нахождения —
этой полоски нужно 12 разделить на 3. Только после этого можно
переходить к решению задач, ситуацию которых трудно изобра-
зить практически, например задачи: «На лугу стадо в 48 голов.
~ стада составляют ягнята. Сколько ягнят паслось на лугу?>
6
С опород на наглядность и здравый смысл решается обратная
задача.
Если длина половины полоски равна 4 см, то длина всей по-
лоски будет равна 4 • 2 = 8 (см), так как во всей полоске 2 поло-
вины. Если длина — полоски равна 5 см, то длина всей полоски
будет 5 • 3 = 15 (см), так как во всей полоске три третьих доли.
Каждая из этих задач иллюстрируется практическими операция-
ми с полосками соответствующей длины.
Не следует формулировать специальных правил для решения
задач, связанных с нахождением доли числа или числа по его
известной доле. Формальный подход, как это показывает прак-
тика, может привести к тому, что дети начинают смешивать эти
две задачи, допускают ошибку в выборе действия.
Хорошее усвоение того, что две половины, или три третьих,
или четыре четвертых, или пять пятых долей составляют целое
(единицу), весь предмет, лежит в основе решения задач на на-
хождение числа по его известной доле. Первые задачи такого ти-
па решаются с опорой на реальные вещи (№ 838 в учебнике).'
§40. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ВРЕМЯ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ»
Первые представления об измерении времени дети получают
еще до школы. Они оперируют осознанно такими словами, как
«один день», «два дня» и т. п. Многие дети знают, что неделя со-
стоит из 7 дней. Надо иметь в виду, что слово «день» дети пони-
мают по-разному: один день — одни сутки и день как светлая
часть суток в отличие от вечера, ночи, утра. Многие второклас-
сники уже умеют определять время по часам, знают названия и
последовательность дней в неделе, реже — названия и последо-
вательность месяцев в году. Поэтому тема «Меры времени», от-
несенная ко второму году обучения и календарно завершающая
раздел программы «Сотня», носит в основном обобщающий ха-
рактер.
В результате изучения темы у детей должны быть сформули-
рованы достаточно четкие представления о таких промежутках
времени, как минута, час, сутки; учащимися должны быть ус-
воены соотношения между минутой и часом, часом и сутками,
основанные не на «десятичных» соотношениях. Учащиеся долж-
ны также усвоить соотношение между такими единицами изме-
рения времени, как неделей и месяцем, месяцем и годом.
Каждый учащийся к окончанию II класса должен уметь оп-
ределять время по часам с точностью до 1 минуты, используя
такие общепринятые выражения, как «сейчас 22 минуты перво-
го», «сейчас без пяти минут двенадцать», «сейчас четверть третье-
го», «сейчас без четверти пять», «сейчас половина шестого или
пять часов тридцать минут» и т. п. Дети должны научиться ис-
пользовать табель-календарь, усвоить последовательность на-
званий дней недели, месяцев в году.
Определяя методику, учитель должен учитывать, что понятие
времени весьма отвлеченное. Представление о том или ином про-
межутке времени может быть дано лишь на основе сравнения
с каким-нибудь хорошо известным детям промежутком, например
продолжительностью урока или перемены.
Знакомство с такими единицами, как год, месяц, неделя, свя-
зывается с использованием табеля-календаря. Кроме очень не-
большого числа упражнений, предложенных в учебнике, специ-
альных упражнений для этого не требуется. Необходимые све-
дения даются детям в ходе текущей работы. Например, при
записях в тетрадях даты «30 ноября» им сообщается, что 30 нояб-
ря — это последний день месяца, что ноябрь — последний ме-
сяц осени, что завтра начнется декабрь и т. п.
С опорой на табель-календарь решаются важные практиче-
ские задачи по определению продолжительности событий, если
указана дата его начала и его конца. ,
При обучении измерению времени по часам (с точностью до
минуты) необходимо использовать модель циферблата с подвиж-
ной часовой и минутной стрелками и, конечно, настольные часы;
252
В классе необходимо иметь демонстрационную модель и жела-
тельно модели малых размеров у каждого ученика. Соответст-
вующие навыки не могут быть выработаны в одинаковой мере
хорошо у всех учащихся за отведенные на изучение этой темы
5—6 уроков. Работу следует проводить и дальше, обращая вни-
мание на тех учащихся, которым эти навыки даются с трудом.
К моменту ознакомления с часом и минутой учащиеся уже
имеют представления о долях единицы. Это нужно использовать,
знакомя детей с такими выражениями, как «четверть третьего»,
«половина десятого», «без четверти три» и т. д. Для этого на моде-
ли циферблата часов мелом нужно провести два диаметра, деля-
щие циферблат на четыре четверти. Это поможет иллюстрировать
смысл соответствующих выражений.
Как было сказано выше, важно пе только научить детей узна-
вать время по часам, но и вооружить их конкретными представ-
лениями о продолжительности промежутков времени.
Полезно установить с детьми, что продолжительность урока
равна 45 мин, что перемена длится 10 мин, что за 1 мин средним
шагом можно пройти 60—70 м или просчитать не очень быстро от
1 до 60. Необходимо систематически давать ученикам задания
для самостоятельного измерения времени дома: сколько вре-
мени (у каждого) требуется на то, чтобы встать и собраться в шко-
лу, сколько времени он тратит на приготовление домашних зада-
ний, какова продолжительность рабочего дня родителей. Подоб-
ные упражнения, развивая временные представления детей,
имеют и большое воспитательное значение. Нужно приучать де-
тей беречь время, рационально его использовать.
ГЛАВА IX
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ТЫСЯЧА»
§ 41. ЧЕМУ ДОЛЖНЫ НАУЧИТЬСЯ ДЕТИ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
В ходе изучения темы «Тысяча» учащиеся усваивают врпро-
сы, связанные с нумерацией чисел. Это одна из самых важных
целей, к которой должен стремиться учитель в течение всей ра-
боты над этой темой.
Все те знания, которые были приобретены детьми ранее, при .
изучении чисел в пределах 10, а затем и в пределах 100, должны
быть распространены на расширенную область чисел (на числа
трехзначные). В связи с этим дети должны: а) знать место каж-
дого числа в ряду чисел (знать, какое из двух данных чисел встре-
чается при счете раньше и какое позднее, какие числа находятся
между двумя данными числами); б) знать, как образуется каж-
дое следующее число в ряду, на сколько каждое данное число
больше непосредственно ему предшествующего и меньше числа|
Следующего за ним в ряду чисел; в) уверенно владеть знанием
последовательности чисел в ряду (в пределах изученной области
чисел), умея воспроизвести любой отрезок этой последователь-
ности как в прямом, так и в обратном направлении, начиная
с любого данного числа; г) безошибочно читать и записывать.
числа в пределах тысячи, осознавая значение каждой цифры
в записи любого однозначного, двузначного и трехзначного
числа; д) уметь представить любое двузначное и трехзначное
число в виде суммы разрядных слагаемых; е) уметь сравнивать
два числа по месту, которое они занимают в ряду, используя
знания разрядного состава чисел; ж) понять и усвоить, что каж-
дые 10 единиц одного разряда составляют единицу следующего,
высшего разряда, знать названия этих разрядов (единицы, де-
сятки, сотни); з) уметь отвечать на вопрос, сколько всего единиц
(десятков, сотен) содержится в данном числе.
В результате распространения изученных ранее приемов уст-
ных вычислений на трехзначные числа, оканчивающиеся нулем,
дети должны:
1) уметь уверенно выполнять устно сложение и вычитание
трехзначных чисел вида: 340 + 130, 480 + 320, 670 — 270, 560 +
254
4- 190 (и, тем более, в простейших случаях вида: 200 ± 200,
740 ± 20 и др.);
2) уметь выполнять устно умножение и деление трехзначных
чисел, оканчивающихся нулями, в случаях, сводящихся к таб-
личному умножению и делению.
Одна из важных задач изучения темы «Тысяча» — научить
детей выполнять сложение и вычитание трехзначных чисел с ис-
пользованием письменных приемов вычислений. При этом об-
щий случай применения соответствующих алгоритмов должен
быть усвоен учащимися основательно, чтобы они умели не толь-
ко безошибочно выполнять соответствующие действия, но и да-
вать необходимые пояснения по ходу вычислений. Для более
сложных случаев, приводящих в ходе сложения к получению еди-
ниц высшего разряда, а в ходе вычитания — к необходимости за-,
менять единицы высшего разряда единицами низшего, ставится
задача — довести до сознания детей соответствующие приемы вы-
числений и научить их сознательно, обдумывая каждый шаг, вы-
полнять эти вычисления, но не ставится пока задача отработки
соответствующих навыков.	(
/
$ 42. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ 1000
Первый шаг в рассмотрении устной нумерации чисел — зна-
комство детей с новой счетной единицей — сотней. Нужно пока-
зать детям, что, точно так же как десять единиц образуют новую
счетную единицу — десяток, десять десятков в свою очередь об-
разуют новую счетную единицу — сотню и что счет сотнями ве-
дется так же, как десятками и единицами. Для того чтобы дети
хорошо поняли это, необходимо поначалу воспользоваться на-
глядной иллюстрацией этих положений.
Для демонстрации образования новой счетной единицы и сче-
та с помощью сотен лучше всего воспользоваться хорошо знако-
мыми детям палочками и пучками палочек. Пусть первый боль-
шой пучок — «сотня» будет получен из десяти меньших пучков —
«десятков» на глазах у детей в результате счета десятков. Следую-
щие пучки — «сотни» могут быть заготовлены заранее. Считая
сотнями, учитель обратит внимание детей на то, как называются
одна сотня, две сотни и т. д. Повторяя эти названия вслед за учи-
телем, дети по его указанию будут наблюдать за тем, как образу-
ются эти новые для них числительные. Познакомившись с на-
званиями «пятьсот», «шестьсот», дети должны сами попробовать
образовать названия для семи сотен, восьми сотен, девяти сотен.
Главный вывод, к которому нужно подвести детей на основе
счета единицами, десятками, сотнями, состоит в том, что каж-
дые 10 единиц счета составляют новую, более крупную счетную
единицу.
Для дальнейших демонстраций лучше исцользовать уже не
такие громоздкие и малоудобные пособия.
255
Н. С. Попова предложила в этих целях пособие под названием
«Квадраты и полоски». В этом пособии единицы обозначаются
квадратами (квадратный сантиметр), десятки — полосками по
10 квадратов в каждой, а сотни — квадратами размером в 1 кв. дм,
разбитыми на 100 кв. см. (Пособие, аналогичное этому, исполь-
зовалось уже в I классе, при изучении нумерации чисел в
пределах 100.) Вырезать такие квадраты и полоски дети могут
на уроках труда. С таким же успехом для демонстрации можно
использовать кубики и бруски иэ так называемого «арифметиче-
ского ящика».
Некоторые учителя при рассмотрении нумерации (и даже дей-
ствий) в пределах 1 000 с большим успехом используют своеоб-
разный абак, предложенный И. С. Сысоевым. Это пособие, как и
обычный абак, представляет собой таблицу, разделенную на три
графы, соответствующие разрядам единиц, десятков, сотен. Од-
нако в графах помещены не кружки, как это сделано в абаке,
изображенном на приводившемся нами выше рисунке (рис. 4 на
с. 34), а рисунки, изображающие в графе «Единицы» отдельные
палочки, в графе «Десятки» — пучки из десяти палочек каждый,
а в графе «Сотни» — пучки из сотни палочек каждый. С помощью -
трех движков, используя такой абак, можно продемонстрировать
любое трехзначное число. При этом иллюстрация сохраняет
преемственную связь со знакомыми детям палочками и пучками
палочек. Полезно иметь и демонстрационный вариант такого
пособия и индивидуальные пособия такого же вида.
С их помощью легко организовать самостоятельную работу '
детей, дать несколько упражнений, в ходе которых они показы-
вали бы учителю названное им число сотен, десятков, единиц и
называли, сколько сотен показывает им учитель, и т. п.
Следующий шаг в изучении нумерации — заполнение нату-
рального ряда чисел от 100 до 1 000. Отправляясь от того, что уже
известно детям к этому времени о нумерации, учитель должен по-
мочь им распространить эти знания на новую область чисел.
Повторив, как образуется каждое следующее число в ряду и
на сколько оно больше предыдущего, учащиеся сами должны по-
казать, как получаются числа, идущие в ряду вслед за числом 100
и далее. Кто-нибудь из детей обязательно скажет, как называется
число, следующее за числом 100, как образуется следующее чис-
ло и т. д. (В случае, если это вызовет затруднения, учитель дол-
жен сам назвать следующие числа.) Важно обратить внимание
детей на особенности образования соответствующих числитель-
ных, подвести учащихся к необходимым обобщениям, чтобы, уло-
вив принцип, они могли, уже опираясь на это знание, а не толь-
ко на память, усвоить последовательность и названия чисел от
100 до 1000.
Формированию представлений о числах натурального ряда
от 1 до 1000 помогают также такие упражнения (представленный
в учебнике), как: «Запишите все числа, которые расположен!!
256
между числами 597 и 605 , 859 и 870. Сколько чисел находится
между числами 100 и 200, между 700 и 900, 100 и 1 000?» Полезны
также практические работы с рулеткой: дети должны уметь по-
казать куски ленты заданной длины. Рулетку можно использо-
вать и в качестве наглядного пособия, по которому легко повто-
рить те или иные вопросы, связанные с нумерацией и заменой
более крупных мер более мелкими и обратно.
Следующий шаг — рассмотрение разрядного состава чисел
(их образования из сотен, десятков и единиц). На основе боль-
шого числа упражнений (в ходе которых широко используются
описанные выше наглядные пособия) дети должны научиться от-
вечать на вопросы вида: «Назовите числа, в которых 8 сотен, 2
десятка и 2 единицы; 9 сотен и 5 единиц и т. п. Сколько сотен,
десятков и единиц в числах: двести пятьдесят, триста два?». Кро-
ме того, на этом этапе можно уже предложить и задания, тре-
бующие сложения чисел для случаев, основанных на нумерации
(устно): 100 + 40 + 8, 100 + 8, 500 + 50 + 9 и др.
Параллельно с рассмотрением устной нумерации чисел ведет-
ся работа над заменой чисел, выраженных, например, в рублях
и копейках, — в копейках («Сколько копеек в 3 руб. 20 коп.?») —
или, наоборот, замена чисел, выраженных в более мелких едини-
цах, числами, выраженными более крупными единицами («Сколь-
ко метров составляют семьсот сантиметров, девятьсот сантимет-
ров?» и т. п.). В связи с этими упражнениями полезно также пред-
ложить детям сравнить два числа, например: 6 м и 60 см, 8 м и
800 см.
Когда дети разберутся в образовании чисел в пределах 1 000,
научатся иллюстрировать числа с помощью пособий, можно при-
ступить к рассмотрению письменной нумерации.
Для начала необходимо, конечно, повторить то, что уже изве-
стно детям об особенностях записи чисел в пределах 100. В свя-
зи с этим еще раз уточняется смысл терминов «число» и «цифра»,
различие между терминами, повторяются названия «однознач-
ные» и «двузначные» числа, дети вспоминают и объясняют, с чем
связаны эти названия (полезно еще раз рассмотреть такие при-
меры, как числа вида: 10, 22, 51 и 15). Рассмотрев еще раз на
знакомых числах вопрос о поместном значении цифр в запйси
чисел, полезно выполнить несколько упражнений, требующих ана-
лиза разрядного состава однозначных и двузначных чисел по их
записи (например, чисел 87, 50, 6, 60 и т. п.). Затем можно пе-
рейти к рассмотрению письменной нумерации, трехзначных чисел.
Здесь оказывается необходимой таблица разрядов, в которой
числа обозначаются сначала кружками, а затем цифрами. Напри-
мер, число 321 будет изображаться в такой таблице так: в графе
«Сотни» будет поставлено 3 кружка, в графе «Десятки» — 2 и в
графе «Единицы» — 1 кружок. В дальнейшем в графах будут за-
писываться соответствующие цифры. С самого начала работы пад
письменной нумерацией надо еще раз напомнить детям о том, что
9 Заказ 367
257
цифра в записи числа может иметь различное значение в зависи-
мости от того, какое место она занимает в этой записи. Полезно
поупражнять детей в чтении различных чисел, записываемых од-
ними и теми же цифрами (например, числа 321 и 123, 546 и 654
и др.). Специальное внимание должно быть уделено использова-
нию нуля в записи чисел, раскрытию его значения. Соответствую-
щие упражнения помещены в учебнике. Параллельно с исполь-
зованием нуля в записи отвлеченных чисел полезно познакомить
учащихся с использованием его, например, при записи чисел
5 м 06 см, 2 руб. 03 коп.
Очень полезны на этом этапе карточки, на которых записаны
числа (цифры 0, 1, 2, ..., 9, числа 10, 20, ..., 90, 100, 200, ..., 900,
1000). У каждого ученика должен быть такой набор карточек,
и на уроке следует провести несколько упражнений в записи
чисел с использованием этого пособия. Так, выполняя задание —
записать число, содержащее 5 сотен, 4 десятка и 3 единицы, уче-
ник возьмет карточку с числом 500, наложит на нее сверху кар-
точку с числом 40 так, чтобы она прикрывала последние две циф-
ры в записи первого числа, и, наконец, поверх этой карточки, при-
крывая 0, положит карточку с цифрой 3. С помощью этого же'
пособия можно выполнять и те упражнения на сложение, которые
предлагаются в это время. Использование этого пособия помогает
предупредить возникновение ошибок в записи трехзначных чи-
сел, которые довольно часто допускают дети, когда, например,
число 320 они записывают так: 30020, а число 806 так: 8006. Ошиб-
ки такого рода свидетельствуют о том, что ученики, их допуска-
ющие, плохо усвоили значение цифр в записи чисел. Поэтому с
ними особенно важно разобрать, почему для изображения таких
чисел нужно одну из карточек накладывать на другую и как это
нужно делать, и выполнять побольше упражнений вида: 500	30 =
= 530, 870 — 70 = 800, 870 — 800 = 70, 300 + 40 + 2 = 342
и т. п.
При изучении нумерации учителю нужно внимательно следить
за правильностью формулировок как в своей речи, так и в речи
учащихся. Так, нельзя допускать смешения терминов «число» и
«цифра». Нужно четко различать вопрос, сколько единиц содер-
жит тот или иной разряд (сколько десятков, сотен и т. п.) и сколь-
ко всего единиц этого разряда содержится в данном числе (на-
пример, можно сказать, что в числе 127 одна сотня, два десятка
и семь единиц, но всего в нем 12 десятков, всего в нем 127 еди-
ниц). Далее, цифра 0 указывает на отсутствие единиц в том или
ином разряде, но нельзя говорить, что 0 означает отсутствие раз-
ряда и т. п.
Обучая детей чтению и записи чисел, полезно проводить упраж-
нения, направленные на выявление сходства и различия записи
чисел, например, такого вида: 7, 70, 700. На этом основании
сделать вывод, что означает в записи каждого из этих чисел циф-
ра 7. Отсюда можно перейти и к выяснению того, какое из этих
258
чисел наибольшее, какое — наименьшее. Интересно предложить
для сравнения и числа вида: 420, 426, 406 и т. п.
Новые дЛя детей понятия «трехзначные числа», «единицы
третьего разряда» формируются на основе уже известных детям
понятий «однозначное число», «двузначное число», «единицы пер-
вого» и «единицы второго разряда», а потому особых трудностей
здесь не возникает.
В теме «Тысяча» вводятся новые единицы измерения длины.
Это километр и миллиметр. Здесь знания мер длины должны
быть приведены в определенную систему. С этой целью состав-
ляется таблица мер длины (М. 2, с. 168), и в дальнейшем нужно,
неоднократно возвращаясь к ее использованию, обеспечить усвое-
ние этой таблицы учащимися.
В результате изучения нумерации дети должны овладеть теми
знаниями, умениями и навыками, которые были перечислены
в предыдущем параграфе (§ 41, п. 1). Проверить уровень их ус-
воения учащимися можно с помощью вопросов и заданий
вида:
1.	Какое число встречается при счете раньше — 399 или 400?
Сколько чисел находится между числами 200 и 230? между чис-
лами 400 и 500? между числами 100 и 1 000? Какие числа нахо-
дятся между числами 498 и 503? между числами 688 и 692?
2.	Какое число следует при счете сразу же после числа 699?
На сколько 700 больше, чем 699? На сколько 830 больше, чем
829? (Для ответа на этот вопрос не требуется выполнять вычи-
тание, а нужно только вспомнить, что число 830 идет при счете
сразу же за числом 829 и, следовательно, оно на 1 больше,
чем 829).
3.	Расположи в порядке возрастания числа 369, 368, 370, 367.
Расположи те же числа в порядке убывания (так, чтобы каждое
следующее число было меньше предыдущего).
4.	Какие числа пропущены в следующих рядах: 447, 448, ...,
451; 803, 802, 801, .... ..., 798 и др.?
5.	Прочитай числа 307, 840, 999, объясни, что означает каж-
дая цифра в записи этих чисел.
6.	Как можно представить в виде суммы разрядных слагаемых
числа: 257? 840? 903? 400?
7.	Сравни числа 567 и 675, 345 и 346, 980 и 908.
8.	Объясни, как записывается число семьсот один и число
семьсот десять, и объясни, почему они так записываются.
Сколько десятков содержится в сотне? Сколько в сотне еди-
ниц?
9.	Сколько всего десятков в числе 340? 803? 950? Сколько
всего единиц в каждом из этих чисел? Сколько в каждом из них
сотен?
10.	Запиши число, которое состоит из 2 сотен и 3 единиц, 5 со-
тен и 2 десятков и т. п.
9*
§ 43. МЕТОДИКА РАССМОТРЕНИЯ ПРИЕМОВ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В ТЕМЕ «ТЫСЯЧА»
Приемы устных вычислений в пределах тысячи аналогичны
тем, которые использовались при изучении действий в пределах
100. Они основаны на тех же хорошо уже известных детям свой-
ствах действий и требуют лишь хорошего знания состава трех-
значных чисел из разрядных слагаемых, понимания того, что
счет десятков или сотен ведется, как и счет единиц, умения распро-
странить известные приемы вычислений на новую область чисел.
В самом деле, сложение и вычитание в случаях вида 500 + 300
сводится к сложению чисел 5 и 3, если только дети понимают,
что 500 — это 5 сотен, а 300 — 3 сотни и что действия с сотнями
можно выполнять так же, как и с единицами. На том же основано
и рассмотрение тех случаев устного умножения и деления, кото-
рые предусмотрены темой «Тысяча»: 600 : 2 сводится к делению 6
сотен на 2, 300 • 3 сводится к умножению 3 сотен на 3, деление
240 : 3 сводится к делению 24 десятков на 3 и т. и.
Случаи вида 300 + 50, 600 + 40 + 9, 700 + 8, 870 — 70,
800 + 70, 635 — 5, 635 — 30, 635 — 600 рассматриваются как
нумерационные, так как сумма или разность находятся во всех
этих случаях на основе понимания того, как образуются трех-
значные числа из сотен, десятков и единиц.
Нахождение суммы и разности в случаях вида 650 ± 30,
650 + 300 может быть выполнено сведением этих случаев к зна-
комым детям действиям в пределах 100 (65 д. ± 3 д. или 65 д. ±
± 30 д.). Однако желательно, чтобы дети овладели умением на-
ходить сумму и разность в таких случаях, не производя подоб-
ных преобразований, а применяя прием, аналогичный тому, ко-
торый используется и при выполнении действий в пределах 100.
Находя, например, сумму чисел 650 и 30, ученик, если он хорошо
представляет себе, что 650 является суммой чисел 600 и 50, может
применить известное ему правило прибавления числа к сумме, и,
прибавляя 30, прибавит это число ко второму слагаемому (50 +
+ 30 = 80, 600 + 80 = 680), а прибавляя к 650 число 300,
прибавит его к первому слагаемому (600 + 300 = 900, 900 + 50 =
= 950). Аналогично при нахождении разности он сможет вос-
пользоваться правилом вычитания числа из суммы, вычитая де-
сятки из десятков, а сотни из сотен.
Поскольку соответствующие приемы уже хорошо усвоены
детьми при изучении действий в пределах 100, подробное объяс-
нение хода рассуждений при рассмотрении подобных примеров
можно провести лишь один-два раза, в условиях сопоставления
новых случаев действий со знакомыми. В дальнейшем же все по-
добные упражнения должны выполняться детьми лишь с кратки-
ми пояснениями (без каких-либо дополнительных записей).
Убедившись в том, что приемы устных вычислений во всех
рассматриваемых случаях действий с трехзначными числами ана-
260 '
логичны знакомым, дети могут самостоятельно выполнить вычис-
ления в случаях вида 840 + 60, 700 — 80 и др. Однако, поскольку
в этих случаях возникают некоторые дополнительные трудности,
связанные с тем, что здесь приходится прибавлять к сотням новую
сотню, полученную в результате сложения десятков, или представ-
лять число 700 в виде суммы 600 + 100, чтобы вычесть 70, необхо-
димо прослушать несколько раз подробное объяснение хода ре-
шения учениками.
Начинать работу над рассмотрением каждого нового случая
необходимо с повторения соответствующих случаев сложения и
вычитания в пределах 100. Примеры вида:
74 + 20	74 + 2	74 - 2	74 - 20
86 - 40	97 - 5	78 - 40	56 -4
могут быть предложены детям для самостоятельного решения,
чтобы потом проверить их коллективно, сопровождая разбор
каждого примера подробным объяснением. Ту же работу можно
организовать в форме решения примеров с комментированием по
ходу решения или в форме самостоятельной работы с развернутой
записью решения. Важно лишь, чтобы на основе рассмотрения
этих примеров были повторены все те вопросы, которые пона-
добятся для объяснения аналогичных приемов вычислений с чис-
лами в пределах 1 000.
После такой подготовки становится возможным, как это пре-
дусмотрено и учебником, предложить детям самостоятельно рас-
смотреть данную в учебнике развернутую запись решения новых
примеров и подготовиться к их комментированию.
Закрепляя навыки вычислений в рассмотренных выше слу-
чаях, включить в упражнения и примеры таких видов, как 175 +
+ 23, 243 + 400, 456 — 3, 827 — 500. Их решение будет также
основываться на применении тех же правил. Единственное раз-
личие состоит здесь в том, что в данном случае число удобнее но
разбивать на сумму разрядных слагаемых (здесь их было бы три),
а заменять суммой двух слагаемых, например: 456 — 3 =
= (450 + 6) — 3 = 450 + (6 — 3) = 450 + 3 = 453,	243 +
+ 400 = (200 + 400) + 43 = 600 + 43 = 643.
Большая группа случаев устного сложения и вычитанйя мо-
жет быть рассмотрена на основе применения правила прибавле-
ния суммы к числу:
600 +	180	= 600	+	(100 + 80)	=	...
' 820 +	150	= 820	+	(100 + 50)	=	...
360 +	240	= 360	+	(200 + 40)	=	...
80 +	60	= 80	+	(20 + 40)	=	...
280 +	60	= 280	+	(20 + 40)	=	...
280 +	160	= 280	+	(100 + 60)	=	...
Однако полезно рассмотреть и иные способы рассуждений,
которые могут быть здесь использованы: 1) сведение к сложению
и вычитанию в пределах 100 (например, 80 + 60 заменяем:
2€1
8 дес. + 6 дес. = 14 дес., 14 дес. — это 140, следовательно,
80 4- 60 = 140) и 2) применение правил прибавления суммы к
сумме и вычитания суммы из суммы, которое приводит к поразряд-
ному сложению: действия выполняются отдельно над единицами,
десятками и сотнями, а полученные при этом результаты склады-
ваются. Этот прием особенно продуктивен при сложении без пере-
хода через десяток:
820 4- 150 = (800 + 100) + (20 4- 50) = 970
360 + 240 = 500 4- 100 = 600
603 4- 204 = (600 4- 200) 4- (3 4- 4) = 800 4- 7 = 807
Использование этого приема в устных вычислениях будет хо-
рошей подготовкой к ознакомлению с письменными приемами
сложения. При сложении с переходом через десяток поразрядное
сложение может быть использовано в том случае, когда вычис-
ления хотя и выполняются устными приемами, но сам пример
записан, а при решении примера, воспринятого на слух, здесь
могут возникнуть значительные затруднения, так как слишком
много промежуточных результатов должно быть удержано в па-
мяти по ходу решения. Действительно, в случаях 380 4- 170 рас-
суждения будут выглядеть так:
1)	300 4- 100 = 400
2)	80 4- 70 = (80 4- 20) 4- 50 = 100 4- 50 = 150
3)	400 4- 150 = (400 4- 100) 4- 50 = 550
Приступая ко второму этапу решения, дети забывают данные
числа и часто забывают результат первого и т. п.
Для таких примеров лучше воспользоваться приемом после-
довательного прибавления разрядных слагаемых второго из скла-
дываемых чисел. Тогда хотя бы первое число никак не изменяет-
ся, и каждый раз используется в вычислениях только что полу-
ченный промежуточный результат, например, 380 4- 170, 380 4-
4- 100 = 480, 480 4- 70 = (480 4- 20) 4- 50 = 550.
Обучая детей приемам устного решения примеров этого вида,
учителю нужно все же учитывать их относительную трудность
и не ставить перед собой цель — довести навыки решения подоб-
ных примеров до автоматизма. Вполне допустимо, чтобы подоб-
ные примеры решались с использованием письменных приемов
вычислений. То же относится к случаям вида: 328 4- 40, 250 4-
4-123 — для сложения, 340 — 160, 567 — 40, 850 — 326 — для
вычитания.
Группа случаев, основанная на применении правила вычита-
ния суммы из числа, вида:
800 - 270 = 800 - (200 4- 70) = (800 — 200) - 70 = ...
460 - 120 = 460 - (100 4- 20) = (460 - 100) - 20 = ...
140 - 60 = 140 - (40 4- 20) = ...
340 - 60 = ...
340 - 160 = ...
рассматривается совершенно аналогично.
262
Всего на рассмотрение устных приемов сложения и вычитания
в пределах 1000 может быть отведено 6—7 часов. После этого
можно провести контрольную самостоятельную работу для про-
верки того, как дети усвоили нумерацию и устные вычисления в
пределах 1000. В работу полезно включить упражнения вода:
1)	записать число, состоящее из 7 сотен и 2 десятков, содер-
жащее 18 десятков; 309 единиц;
2)	заменить следующее число суммой его разрядных слагае-
мых 862, 357;
3)	сравнить числа 209 и 902, 209 и 290.
Далее в контрольную следует включить не менее четырех при-
меров на сложение и столько же на вычитание в пределах 1000.
Такая работа потребует примерно 20 мин и может быть прове-
дена па уроке закрепления пройденного.
В конце изучения темы «Тысяча» рассматриваются устные
приемы умножения и деления. Как уже отмечалось, программа
предусматривает рассмотрение лишь таких •случаев этих дейст-
вий в пределах 1000, которые могут быть сведены к табличному
умножению и делению (80 • 3, 420 : 7 и др.). При их рассмотре-
нии полезно поэтому все время сопоставлять примеры вида: 18 : 2
и 180 : 2, 8 : 4 и 800 : 4 и т. п.
Наряду с примерами, сводимыми к табличному умножению
и делению, можно, если это позволяет время, включать и такие,
которые сводятся к впетабличному умножению в пределах 100,
например: 260 : 2, 840 : 6, 120 • 4. Это поможет повторить на
новом материале внетабличное умножение и деление, правила
умножения и деления суммы на число.
Во всяком случае в устные вычисления на уроках, посвящен-
ных изучению рассматриваемой темы, внетабличное умножение и
деление включать совершенно необходимо в порядке повторения.
Если учитель сочтет, что распространять соответствующие при-
емы на действия с трехзначными числами рано, то можно огра-
ничиться внетабличным умножением и делением в пределах 100.
То же относится и к делению с остатком. Чем больше внимания
будет уделено соответствующей тренировке, тем лучше дети ока-
жутся подготовленными к изучению письменных приемов умно-
жения и деления в III классе.
§ 44.	МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ С ПИСЬМЕННЫМИ ПРИЕМАМИ
СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ
Ознакомление с письменными приемами сложения и вычита-
ния в теме «Тысяча» имеет очень важное значение: во-первых,
оно способствует закреплению и окончательной отработке знания
на память табличных случаев сложения и вычитания (так как
все вычисления при сложении и вычитании «столбиком» неиз-
бежно требуют автоматизма в сложении однозначных чисел и
соответствующих случаях вычитания, чего нельзя сказать об уст-
263
вых приемах вычислений), во-вторых, рассуждения, которые при-
ходится проводить при выполнении письменных вычислений, не-
разрывно связаны с применением знаний нумерации в пределах
1 000, они обеспечивают активное усвоение детьми особенностей
десятичной системы счисления; в-третьих, усвоение алгоритмов
письменного сложения и вычитания трехзначных чисел — залог
успеха в овладении умением выполнять эти действия при сложе-
нии и вычитании любых многозначных чисел.
Эти обстоятельства должны учитываться в методике работы
над вопросами программы, чтобы более полно оказались исполь-
зованными все указанные возможности.
Навыки письменных вычислений в конечном счете должны
быть доведены до автоматизма, однако, мы стремимся к тому,
чтобы в любой момент, по первому требованию, при первом же
затруднении ученик мог самостоятельно разобраться и объяс-
нить каждый шаг в ходе решения. 
Именно поэтому рассмотрение письменного сложения и вы-
читания начинается с того, что учитель напоминает учащимся
те правила, которые являются теоретической основой производи-
мых при вычислениях операций. Не удовлетворяясь одним только
теоретическим обоснованием, мы каждый раз будем стремиться
сделать используемый прием понятным детям с помощью соот-
ветствующих (описанных выше) наглядных пособий.
Переход от устных вычислений к письменным на первом уро-
ке, посвященном этой теме, осуществляется следующим образом.
Детям предлагается рассмотреть способ решения примера
32 4- 46, основанный на правиле прибавления суммы к сумме. За-
тем это правило распространяется на случай сложения двух
сумм, каждая из которых содержит по три слагаемых:
246 4- 123 = (200 4- 40 4- 6) 4- (100 4- 20 4- 3) = (200 4- 100) +
4- (40 4- 20) + (6 4- 3) = ...
После этого легко перейти к решению того же примера стол-
биком, поскольку и здесь применяется то же самое правило.
Единственное различие, на которое важно обратить внимание
детей, — это то, что письменное сложение начинается не с сотен
(как это делалось при устных вычислениях), а с единиц. На дан-
ном этапе не представляется еще возможным объяснить детям,
почему это удобнее, объяснение будет дано позднее, когда воз-
никнет проблема перехода через разряд.
Объяснив детям, как должны подписываться одно под дру-
гим складываемые числа и как нужно вести дальнейшие рас-
суждения (М. 2, с. 179), полезно затем поупражнять учащихся
в самостоятельном выполнении соответствующих действий. Ра-
бота в это время должна проводиться на разграфленной в клетку
части доски, а все дети будут выполнять соответствующие запи-
си в тетрадях. Для того чтобы им яснее стала необходимость
264
правильной записи чисел одного под другим, приводятся приме-
ры, в которых одно из слагаемых является трехзначным числом,
а другое — двузначным. Очень полезно, чтобы дети сами разоб-
рались в том, какая из двух предложенных в учебнике записей
является правильной и какая — нет. Пусть они проверят свой
вывод с помощью вычислений (сначала письменных, а затем
устных), тогда введенное правило будет воспринято не формаль-
но, а с пониманием его смысла.
Среди примеров, при решении которых учащиеся будут при-
менять новый для них прием письменных вычислений, обязатель-
но должны быть и такие, в которых встречаются числа с нулем
на конце или в середине записи числа.
На эти случаи следует обратить особое внимание. Например,
рассматривая случай +□*,!;, дети должны будут давать те же по-
яснения, что и обычно, но при сложении единиц они сразу же
встретятся с необходимостью прибавлять к нулю шесть (или на-
оборот). Поскольку это случай особый, с которым до сих пор
ученики встречались не так уж часто, полезно в качестве под-
готовки к решению подобных примеров его повторить. (Это
относится не только к сложению с нулем, но и к вычитанию
нуля.)
Следующий этап (па который отводится специальный урок) —
рассмотрение таких случаев, когда сумма единиц (или десятков,
или и единиц и десятков) оказывается равной 10. Это примеры вида:
,327	,346	,254	,729
+ 133	^263	^446	+271
460	609	700	1000
Характер пояснений, которыми должно сопровождаться вы-
числение в подобных случаях, определен учебником. Такое под-
робное объяснение нужно если и не всегда, то довольно часто во
II классе, ибо, как это уже отмечалось выше, одна из главных
задач изучения темы «Тысяча» состоит в основательном, проч-
ном усвоении нумерации в пределах 1 000. Кроме того, тщатель-
ная отработка пояснений вида 3 дес. + 7 дес. — 10 дес. (10 десят-
ков составляют 1 сотню. На месте десятков запишем 0, а 1 сотню
прибавим к сотням и т. п.) поможет учащимся при рассмотрении
случаев сложения, при которых сумма единиц того или иного
разряда оказывается больше 10.
Прежде чем приступить к рассмотрению этих случаев, хочет-
ся обратить внимание учителя на примеры с записанным отве-
том или с пропущенными цифрами. Такие упражнения будут ис-
пользоваться и в дальнейшем, чтобы помочь детям после само-
стоятельного решения примера нового вида проверить себя по
данному в учебнике ответу или хотя бы по некоторым опорным
265
цифрам. Следует обратить внимание также на формулировку за-
дания при решении примеров на сложение (в дальнейшем и на
вычитание) трехзначных чисел: «Решите примеры, записывая их
столбиком, когда трудно сложить числа устно» (М. 2, упр. № 1018).
Важно с самого начала подчеркнуть, что всегда, когда это до-
статочно легко, вычисления следует выполнять устно и только
в более сложных случаях следует воспользоваться записью стол-
биком. Дело учителя — проследить за тем, чтобы учащиеся
всегда руководствовались этим правилом.
На следующих уроках рассматриваются наиболее трудные
случаи сложения с переходом через десяток. Для подготовки к
ним необходимо заранее повторять соответствующие случаи сло-
жения в пределах 20. Важно также проделать подготовительные
упражнения вида: 15 ед. = 1 дес. 5 ед., 12 дес. = 1 сот. 2 дес. (как
всегда, такого рода упражнения полезно выполнять в сопостав-
лении с аналогичными заданиями, связанными с преобразова-
нием именованных чисел вида: 18 см = 1 дм 8 см, 16 дм = 1 м 6 дм
и т. п.).
На рассмотрение различных случаев сложения с переходом
через десяток отводится три урока (первый, когда больше 0 полу-
чается при сложении единиц, второй, когда переход через деся-
ток имеет место при сложении десятков, третий — сложение с
двумя переходами через десяток). Следующий урок служит за-
креплением приобретенных знаний. Новым является здесь лишь
сложение трех или большего числа слагаемых.
В течение всей недели, посвященной изучению письменного
сложения, наряду с рассмотрением новых вычислительных прие-
мов и тренировочных упражнений, формирующих соответствую-
щие умения и навыки, продолжается работа над задачами, а также
над упражнениями, связанными с решением уравнений, вы-
числением числового значения буквенных выражений и др. Одна-
ко на этих уроках, поскольку на них изучается важный новый
материал, все эти упражнения носят в основном повторительный
характер.
Различные случаи письменного вычитания, на рассмотрение
которых отводится 5 уроков, изучаются аналогично тому, как
это делалось для сложения. Отметим только, что случаи вида
800 — 326 не рассматриваются в плане письменных вычислений,
так как при необходимости дети смогут выполнить соответствую-
щие вычисления устно, опираясь на правило вычитания суммы
из числа (800 — 300 = 500, 500 — 20 = 480, 480 — 6 = 474).
С письменными приемами вычислений в таких случаях дети
познакомятся в III классе. Поскольку вычитание проходится уже
после того, как дети овладели письменным сложением, хорошо
чаще применять проверку вычитания сложением, чтобы, с одной
стороны, все время продолжать работу над выработкой навыков
сложения, а с другой — продолжать формирование у детей яс-
ного представления о связи, существующей между этими дей-
266
ствиями. Так же как и при сложении, во всех тех случаях, когда
для ученика оказывается доступным устное решение предложен-
ного примера, ему следует отдавать предпочтение по сравнению
с письменным, прибегая к записи решения столбиком только для
тех случаев, где она достаточно оправдана.
После окончания темы «Письменное вычитание» и 2—3 уро-
ков закрепления пройденного следует провести самостоятельную
работу, направленную на проверку усвоения навыков письмен-
ного сложения и вычитания.
В самостоятельную проверочную работу по теме могут быть
включены все рассмотренные случаи действий, но в итоговую
учетную работу за II класс случаи сложения, требующие пере-
хода через десяток, и случаи вычитания, связанные с необходи-
мостью замены единицы высшего разряда единицами низшего,
включать не следует, так как соответствующие навыки не могут
еще быть отработаны за тот краткий срок, которым располагает
учитель во II классе, — это задача следующего года обучения..
ГЛАВА X
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА»
§ 45.	ЧЕМУ ДОЛЖНЫ НАУЧИТЬСЯ ДЕТИ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
Тема «Многозначные числа» — заключительная и весьма от-
ветственная тема всего курса_начального обучения.
Правильный уровень требований к знаниям, умениям и навы-
кам при изучении темы «Многозначные числа» во многом опре-
деляет преемственность между III и IV классами. Поэтому учи-
тель должен четко представлять все то, чему должны научиться
дети в результате изучения этой темы.
О числах и арифметических действиях с ними. Учащиеся
должны уметь свободно читать и записывать (в десятичной си-
стеме) многозначные числа в пределах класса миллионов.
Уметь выполнять письменно действия сложения, вычитания,
умножения и деления многозначных чисел, выполнять проверку
правильности вычислений. Уметь выполнять устные вычисления
в пределах 100 и с большими числами в случаях, сводимых к дей-
ствиям в пределах 100.
Знать порядок выполнения вычислений при нахождении зна-
чений сложных выражений, содержащих 3—4 действия.
Иметь представления о долях и дробях, уметь записывать их,
иллюстрировать образование дробей и сравнивать их (на нагляд-
ной основе). Уметь самостоятельно решать простые задачи на
все действия, а также составные задачи в 2—3 действия, соответ-
ствующие средним по трудностям задачам из учебника для III
класса.
Об элементах алгебры. Учащиеся должны познакомиться
с употреблением букв при записи уравнений и выражений.
Уметь читать и записывать простейшие выражения; находить
их числовые значения. Уметь решать уравнения предусмотрен-
ных программой видов на основе знания зависимости между ком-
понентами и результатами арифметических действий, решать
задачи с помощью составления уравнения.
Об элементах геометрии. Учащиеся должны уметь узнавать
и называть такие геометрические фигуры, как точка, линия,
прямая линия, отрезок, ломаная линия, окружность, различные
268
виды многоугольников, круг, и обозначать их с помощью букв;
находить прямые и непрямые углы многоугольников. Быть зна-
комыми с прямоугольниками, знать, что у прямоугольника все
углы прямые, противоположные стороны — равные отрезки.
Уметь начертить на нелинованной бумаге с помощью необхо-
димых инструментов (линейки, угольника, циркуля) прямоуголь-
ник (в том числе квадрат) по заданным сторонам, окружность
заданного радиуса.
О величинах и их измерениях. Учащиеся должны иметь реаль-
ные представления об основных единицах измерения таких вели-
чин, как длина отрезка, площадь прямоугольника, масса тела
(предмета), время, стоимость. Знать соотношения между едини-
цами измерения величин, указанных в программе (таблицу мер).
Уметь, пользуясь соответствующими инструментами, выполнять
измерения перечисленных величин с точностью, свойственной
глазомерным приемам чтения шкал этих приборов.
Иметь представления о зависимости, существующей между
некоторыми величинами (ценой, количеством и стоимостью то-
вара; длиной, шириной и площадью прямоугольника; путем, вре-
менем и скоростью равномерного движения), и на этой основе
решать соответствующие задачи.
Перечисленные здесь знания, умения и навыки характери-
зуют наиболее важные результаты обучения в III классе; уро-
вень их усвоения определен требованиями материала учебника
и нормами оценок.
Овладение этими знаниями, умениями и навыками позволит
каждому учащемуся успешно изучать программу IV и дальней-
ших классов.
§ 46.	МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Основная задача изучения темы «Нумерация многозначных
чисел» сводится к прочному усвоению каждым учеником навыков
чтения и записи любого многозначного числа в пределах, преду-
смотренных программой. Этого можно добиться лишь на основе
обобщения накопленных учащимися представлений о десятичной
нумерации однозначных, двузначных и трехэначных чисел. В ос-
нове хороших навыков чтения многозначных чисел лежит проч-
ный навык чтения однозначных, двузначных и, главное, трехзнач-
ных чисел, так как для безошибочного чтения многозначного
(более чем трехзначного) числа необходимо: 1) уметь читать трех-
значные числа, 2) знать названия классов.
Этими обстоятельствами, очевидно, и определяются основные
методические требования к организации изучения нумерации на-
туральных чисел. При расширении множества натуральных чи-
сел последовательно ведется,ознакомление с новым классом чи-
сел — классом тысяч, структура которого повторяет структуру
уже известного учащимся класса единиц. Этот новый класс так-
269
же содержит 3 разряда. При ознакомлении с названиями разря-
дов новых классов некоторые учителя сразу обучают детей не-
скольким названиям одного и того же разряда. Например, они
требуют от учащихся умения назвать разряд «десятки тысяч»
«вторым разрядом класса тысяч» и «пятым разрядом» (нумеруя
последовательно все разряды многозначного числа). Это созда-
ет дополнительные трудности (особенно для слабых уча-
щихся).
Опыт работы по новым программам и учебникам показал, что
основное внимание должно быть сконцентрировано на усвоении
названий разряда, связанного с названием класса. Это лучше
помогает учащимся, например, справиться с важной задачей
представления многозначного числа в виде суммы разрядных
слагаемых.
Таким образом, до мере ознакомления с новыми классами
многозначных чисел целесообразно изучение названий каждого
разряда внутри этого класса. При этом учащиеся обнаруживают
общее в строении каждого класса и различное между значения-
ми одноименных разрядов различных классов.
Общее состоит в том, что каждый класс содержит 3 разряда:
единиц, десятков, сотен. В каждом классе сохраняются соотно-
шения между соседними разрядами: всегда 10 единиц низшего
разряда образуют .1 единицу соседнего высшего разряда. Разли-
чие определяется соотношением между единицами одноименных
разрядов двух соседних классов. Для этого при ознакомлении с
классом тысяч учащиеся должны подметить, что 1 десяток тысяч
больше 1 десятка в 1 000 раз, 1 сотня тысяч больше 1 сотни также
в 1 000 раз.
Важнейшими пособиями при изучении основных вопросов ну-
мерации являются таблицы разрядов и классов с набором цифр,
помогающие формированию навыков чтения и записи много-
значных чисел, выяснению «поместного» значения цифр, в записи
чисел и др. Это пособие, особенно на первых порах, используется
одновременно со счетами (или абаком), классными или индиви-
дуальными, причем счеты применяются не как прибор для вы-
числений, а только как пособие, иллюстрирующее основные
положения письменной и устной десятичной нумерации много-
значных чисел. С их помощью учащиеся тренируются в отклады-
вании записанных или устно заданных чисел и наоборот, в чте-
нии и записи уже отложенных чисел.
При работе со счетами и таблицей разрядов и классов следу-
ет еще раз обратить внимание на роль цифры 0 в записи много-
значного числа: цифра 0’в записи числа означает отсутствие в
нем единиц соответствующего разряда (но не самого разряда,
как зто часто говорят дети).
Общими требованиями, во многом определяющими содержа-
ние и методику уроков, на которых изучаются вопросы нумера-
ции многозначных чисел, является обеспечение связи:
270
1.	С реальными представлениями учащихся о числах, особен-
но в связи с данными, характеризующими развитие промышлен-
ности, сельского хозяйства, культуры страны, республики, об-
ласти.
2.	С реальными представлениями о значении основных ве-
личин и их измерением. Например, для наглядной иллюстрации
1 миллиона интересно сообщить детям, что для того, чтобы на-
звать все числа от 1 до 1 000 000, если на произнесение каждого
числа (в среднем) затрачивается 1 с, потребуется более 10 су-
ток непрерывного счета или одного месяца при 8-часовом рабо-
чем дне.
Здесь важно также в связи с приобретением умений опреде-
лять число десятков, сотен, тысяч, в данном числе рассмотреть
соотношения между единицами измерения длины (таблица мер)
и использовать их в качестве иллюстрации.
3.	С изучением увеличения (уменьшения) числа в 10, 100,
1 000 раз (упр. № 51—55, М. 3).
Обеспечение этих и других связей, конечно, потребует восста-
новления в памяти учащихся необходимых сведений и умений,
начиная с навыков внетабличного умножения и деления.
В ходе изучения вопросов нумерации многозначных чисел
продолжается работа по совершенствованию вычислительных
навыков, решению задач, формированию и уточнению геометри-
ческих представлений. Поэтому уроки, посвященные изучению
нумерации, обязательно включают в той или иной мере различ-
ные виды упражнений, не имеющих непосредственного отноше-
ния к изучению нумерации.
В зависимости от подготовленности класса можно пойти дву-
мя путями: либо вначале организовать 2—3 урока, посвященных
повторению основного материала, изученного во II классе (учеб-
ник М. 3, с. 21, 22), либо с первого урока следовать в основном
системе заданий, данной в учебнике, несколько изменяя ее, если
некоторая часть учащихся затрудняется выполнить те или иные
задания.
При любом из выбранных подходов наиболее важным явится
урок, на котором будет выполнено первоначальное ознакомление,
учащихся с новым классом — классом тысяч (упр. № 10—13,
М. 3).
Рассмотрим подробнее этот урок.
Цель урока. Познакомить учащихся с классом единиц и
тысяч. Восстановить в памяти сведения о геометрических фигу-
рах и их обозначениях. Повторить приемы устного сложения и
вычитания.
Оборудование урока. Демонстрационные счеты,
индивидуальные счеты. Таблица классов и разрядов с разрезными
цифрами.
Ознакомление с новым материалом. На
основе рассмотрения упражнений № 10, 11, 12 вводится понятие
271
класса. На примере рассматривается, что каждый класс содержит
3 разряда. Это иллюстрируется на счетах и одновременно с по-
мощью таблицы разрядов и классов. Следует предварительно озна-
комить учащихся с классными счетами, например, последователь-
но откладывая на них числа: 1, 3, 10, 32, 100, 105, 900.Толь-
ко затем переходят к упражнению № 10. Учащиеся выполняют
на своих счетах все операции, которые демонстрируются на клас-
сных счетах.
Для выполнения упражнения № 11 может быть вызван один
из учащихся. С помощью учителя вводятся термины «класс еди-
ниц», «класс тысяч», названия разрядов. Определяется разряд-
ная роль каждой проволоки счетов (на первой проволоке снизу —.
единицы, на второй — десятки, на третьей — сотни и т. д.). Одно-
временно рассматривается упражнение № 12, с помощью которого
осуществляется первичное закрепление знаний названий клас-
сов и разрядов. Под руководством учителя разбирается упражне-
ние № 13. На этом завершается основная часть урока.
Затем в качестве самостоятельной работы по вариантам (с
дальнейшей фронтальной проверкой) могут быть предложены
упражнения № 14 и 16.
В качестве домашнего задания учащимся можно использовать
те варианты упражнений № 14 и 16; которые они не рассматрива-
ли на уроке.
Упражнение № 15 выполняют под руководством учителя не
полностью (только одну верхнюю или только нижнюю строчку),
при этом обращается внимание на правила нахождения неизвест^
ных слагаемых, уменьшаемого или вычитаемого.
В заключение урока по заранее заготовленному на доске чер-
тежу (или плакату), на котором изображены и обозначены бук-
вами несколько точек, отрезков и 2—3 различных многоуголь-
ника, фронтально выясняются названия изображенных геометри-
ческих фигур, названия их элементов (концы отрезков, вершины,
стороны и углы многоугольника) и их обозначения буквами.
Упражнение № 17 может быть дано для домашней работы.
Заметим, что время, отводимое для первой и второй частей
урока, в данном случае делится приблизительно поровну. При-
мерно по такой схеме целесообразно строить и остальные уроки,
отводя не меньше половины времени урока вопросам повторе-
ния, так как разделом «Нумерация» начинается учебный год в
III классе.
В результате изучения раздела «Нумерация» каждый ученик
должен уметь:
1)	под диктовку учителя правильно (оставляя промежутки
между классами) записать, например, числа 237 712; 300 000;
21 000 257; 200 200 200 и т. д.;
2)	прочитать числа 1 234 756; 1 023 500; 3 000 001 и т. д.
3)	определить, сколько сотен (тысяч) в числе 30 827 и др.;
4)	представить число в виде суммы разрядных слагаемых;
272
5)	увеличить, например, число 29 в 1000 (100) раз;
6)	уменьшить число, например, 2 010 000 в 100 (1000) раз.
Соответствующие упражнения необходимо выполнять и в
дальнейшем.
§ 47.	ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ И МАССЫ. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР
Тема «Меры» изучается в связи с работой над темой «Нуме-
рация многозначных чисел» и, по существу, продолжает работу
по ней.
Изучение этого раздела предполагает обобщение и уточне-
ние полученных ранее знаний, умений и навыков измерения ве-
личин (длины отрезка, массы, времени, стоимости) и некоторое
расширение сведений о способах измерения и новых единицах
измерений.
Важным методическим требованием при изучении этого во-
проса является использование практических работ и наглядных
демонстраций для усвоения таблицы мер, а также для совершен-
ствования измерительных навыков.
На обобщение сведений о мерах длины отводится 2 урока.
На первом из них должна быть рассмотрена таблица мер дли-
ны, включающая следующие единицы измерения: 1 мм, 1 см,
1 дм, 1 м, 1 км и все соотношения между этими единицами:
1 км = 1 000 м, 1 м = 100 см, 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм.
Только после этого можно ставить вопросы о соотношении,
например, между дециметром или миллиметром или метром и
миллиметром. Каждое из этих соотношений устанавливается в
ходе решения задач.
При рассмотрении первого из них рассуждают примерно так:
«1 дм = 10 см, 1 см — 10 мм; значит, 1 дм — 10 • 10 (мм) =
= 100 мм».
Таким образом устанавливается, что 1 м = 1 000 мм, 1 км =
= 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм.
На этой основе выполняются упражнения, в которых нужно,
шапример, длину отрезка в миллиметрах выразить в сантимет-
рах (дециметрах) или наоборот (упр. 120, 121 и т..п.). С перехо-
дом от одной единицы измерения величины к другой связана
успешность выполнения и таких упражнений, где нужно, напри-
мер, сравнить 3 м 20 см и 3 м 2 дм или 48 мм и 5 см.
Наконец, важное место как в усвоении нумерации много-
значных чисел, так и в усвоении таблицы мер длины занимают
упражнения с переходом от одной записи числа к другой, напри-
мер: «Заполни пропуски так, чтобы равенства были верными:
25 тыс. 3 ед. — ... ед.; 25 м 3 мм = ... мм».
При этом нумерационные соотношения совпадают с соотно-
шениями между единицами измерения длины.
Наблюдения показывают, что усвоение таблицы мер длины,
как правило, не вызывает больших трудностей у третьеклассни-
10 Заказ 367
273
ков. Это, вероятно, объясняется достаточно большим опытом уча-
щихся I—II классов в измерении отрезков. Однако некоторые
учащиеся еще допускают ошибки при измерении отрезков. Глав-
ные причины этих ошибок: а) неправильное совмещение нулевой
отметки шкалы линейки с концом измеряемого отрезка; б) не-
правильное положение глаз наблюдателя относительно шкалы ’
линейки при чтении результата. В последнем случае, когда из-
мерение выполняется с точностью до 1. мм, ошибка в (зависи-
мости от толщины линейки) может достигать 2—5 мм. Для устра-
нения указанных и других ошибок желательно систематически
включать в уроки или в домашние задания упражнения на изме-
рение отрезков и на построение отрезков заданной длины. Для
повышения точности измерения следует использовать циркуль.
В результате изучения раздела «Меры длины» каждый уче-
ник должен безошибочно знать таблицу мер длины, уметь приме-
нять эту таблицу для выражения результата измерения длины в
различных единицах, уметь применять эти знания при решении
практических и учебных задач.
Если в разделе «Меры длины» учащиеся оперируют достаточ-
но известными им понятиями и сведениями, то несколько иначе-
обстоит дело с изучением «Мер массы». Поэтому при организа-
ции уроков, посвященных изучению этого раздела, учитель дол-
жен иметь в виду, что:
1)	учащиеся не обладают достаточным практическим опытом
измерения массы с помощью весов;
2)	учащиеся не знакомы с такими единицами измерения мас-
сы, как центнер и тонна.
Дополнительной трудностью, о которой мы уже говорили, яв-
ляется введение, в соответствии с международной системой еди-
ниц «СИ», измерения массы, вместо измерения веса. Поэтому
на изучение мер массы соответственно нужно отвести больше
уроков, чем на меры длины.
На первом уроке, отведенном для изучения таблицы мер мас-
сы, после перечисления уже известных учащимся единиц массы!
1 кг, 1 г и соотношения между ними: 1 кг = 1 000 г, полезно
продемонстрировать учащимся процесс взвешивания, когда
с помощью чашечных весов и набора гирь выясняется масса
предметов.
Дети должны хорошо понимать, что для измерения массы
тела нужно положить это тело на одну из чашек весов, на дру-
гую поставить гири (масса каждой из которых указана) до тех
пор, пока не наступит равновесие (стрелки чашек совпадут).
Подсчитав общую массу гирь, мы устанавливаем тем самым мас-
су тела.
Так мешочек с крупой (упр. 146 (1) М. 3.) имеет массу, рав-
ную 750 г. На нескольких уроках необходимо-провести достаточ-
ное число практических работ с весами, чтобы усвоить идею опре-
деления массы предмета.
274
Известную помощь в разъяснении этой идеи могут оказать
таблицы для III класса и рисунки в учебнике.
Для упражнений в оценке массы «на глаз» и «на руку» перед
взвешиванием следует всякий раз называть предполагаемую мас-
су предмета.
Знакомство с центнером и тонной расширяет представления
детей о мерах массы. При ознакомлении с этими единицами нуж-
но создать у учащихся конкретные представления о них. Можно,
например, сообщить детям, что масса двух мешков картофеля
приблизительно равна 1 ц, а масса всех учеников в классе
(30 — 35 чел.) составляет приблизительно 1 т.
Выбрав удобное время, можно в течение учебного года ор-
ганизовать экскурсию на ближайший торговый склад, базу, пред-
приятие, где дети могли бы познакомиться со взвешиванием боль-
ших грузов. Эта экскурсия попутно может преследовать и иные
цели, в том числе по другим предметам.
После сообщения учащимся сведений о новых единицах мас-
сы: 1 т = 1 000 кг, 1 ц = 100 кг — учащиеся устанавливают, что
1 т = 10 ц. На этой основе составляется (записывается в тетра-
ди) таблица мер массы. Ее обязательное усвоение связывается
не только с практическими работами и наблюдениями, но и с вы-
полнением достаточного числа упражнений, в которых необхо-
димо результат измерения массы в одной из единиц выразить в
другой единице измерения массы, например выразить 25 000 кг
в тоннах (центнерах).
Следует заметить, что в уроки, на которых происходит озна-
комление учащихся, включаются не только повторительные уп-
ражнения, обеспечивающие совершенствований вычислительных
навыков и решения задач, но особое внимание обращается на
уточнение представлений учащихся о простейших уравнениях.
Это методически оправдано," потому что особенно наглядными и
доступными иллюстрациями уравнений являются различные при-
меры использования чашечных весов.
Например, оказалось, что для уравновешивания весов на од-
ну чашку нужно было поставить гирю в 5 кг, а на другую — па-
кет с яблоками и гирю в 1 кг. Дети очень легко приходят к выво-
ду, что если обозначить массу пакета с яблоками через х, то мож-
но составить уравнение х + 1 = 5. Откуда х = 4, т. е. масса
пакета с яблоками равна 4 кг. Составление и решение уравнений
на основе конкретных данных, получаемых при определении массы
предметов на чашечных весах, становится весьма перспективным
методическим приемом ознакомления учащихся с уравнениями,
их свойствами, способами решения.
Полезно рассмотреть иллюстрации таблицы «Решение урав-
нений», па которой с помощью чашечных весов последователь-
но иллюстрируется ход решения уравнения х • 3 + 50 = 500.
Работа с плакатом создает необходимую основу для дальнейшего
совершенствования навыков решения подобных задач.
10*
275
В результате изучения раздела «Меры массы» каждый
ученик должен знать таблицу мер массы, применять эти зна-
ния при записи результатов измерений в различных единицах
(переходить от крупных к более мелким единицам и наоборот),
например уметь выразить 4 т 500 кг в центнерах или килограммах,
2 500 000 г в килограммах, центнерах.
Один из уроков этого раздела посвящается закреплению зна-
ний детей о мерах стоимости (упр. № 158, 159, 160), совершен-
ствованию умений выразить рубли в копейках или, наоборот, ко-
пейки в рублях.
В заключение раздела несколько расширяются знания детей
о системе единиц измерения времени, вводится еще одна едини-
ца — секунда, устанавливается соотношение между нею и уже
известными учащимся единицами времени — минутой, часом,
сутками.
В результате учащиеся должны запомнить, что в 1 сутках
24 часа, в 1 часе 60 минут, в 1 минуте 60 секунд, и уметь на этой
основе решать простейшие задачи.
При этом полезно обратить внимание учащихся на несколько
иной характер соотношений между единицами измерения дли-
ны: в ряду единиц измерейия длины (1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м) каж-
дая последующая единица больше предыдущей в 10 раз, в то
время как в ряду единиц измерения времени (1 с, 1 мин 1 ч) —
каждая последующая единица в 60 раз больше предыдущей.
§ 48.	МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
В результате изучения темы «Сложение и вычитание много-
значных чисел» учащиеся должны:
1)	понимать конкретный смысл действий сложения и вычита-
ния, что проявляется в умении правильно выбрать одно из этих
действий при решении задач;
2)	знать взаимосвязь, существующую между этими действия-
ми, о чем может свидетельствовать прежде всего умение прове-
рить правильность сложения с помощью вычитания (и наоборот),
а также умение решать уравнения на нахождение неизвестного
слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого;
3)	понимать, что складывать можно сколько угодно чисел и
в любом порядке, применяя это при вычислениях;
4)	знать, как изменяется сумма при изменении одного из
слагаемых и разность при изменении уменьшаемого или вычитае-
мого, т. е. уметь правильно отвечать на вопросы вида: «Одно из
двух слагаемых увеличили на 5. Как изменится сумма?»; «Ис-
пользуя равенство 248 + 372 — 620, найдите значение выражения
(248 4- 90) + 372» и т. п.;
5)	овладеть навыком сложения и вычитания многозначных
чисел, что должно подтверждаться положительной оценкой вы-
276
лолнения письменных и устных вычислений (в соответствии с
нормами оценок).
На первом из уроков, посвященных изучению сложения и вы-
читания многозначных чисел, главной задачей является распро-
странить уже известные учащимся правила (алгоритм) сложе-
ния и вычитания трехзначных чисел на числа четырехзначные,
пятизначные и т. п. Как правило, этот перенос большинству уча-
щихся дается довольно легко. И если у некоторых из них и по-
являются затруднения, то эти затруднения в основном связаны
с двумя обстоятельствами:
1) с плохим знанием таблицы сложения однозначных чисел;
2) с неумением распорядиться суммой разрядных слагаемых
в том случае, когда она является двузначным числом.
Поэтому, приступая к работе над новым материалом, следует
рассмотреть два-три примера сложения и вычитания трехзначных
чисел, подробно вспомнив правила выполнения действий и со-
провождая выполнение действий достаточно педробными объясне-
ниями, как это делалось во II классе.
Затем предлагается выполнить с комментированием сложение
и вычитание четырех- и пятизначных чисел.
Заметим, что сравнительно сложным случаям вычитания,
когда', например, уменьшаемое содержит несколько нулей под-
ряд, целесообразно посвятить специальный урок. При этом по-
следовательно можно рассмотреть, например, как выполняются
действия в следующих случаях:
_100	_200	_2000
4	34	197 и т. п.
В каждом из случаев подробно рассматривается процесс «за-
нимания» и замены 1 единицы высшего разряда 10 единицами
ближайшего низшего разряда. Например, при решении первого
из приведенных примеров можно сказать: «Из нуля единиц вы-
честь 4 единицы нельзя. Возьмем одну сотню (для памяти над
ней поставим точку) и заменим ее 10 десятками. «Займем» 1 де-
сяток, 9 десятков этой сотни оставим в разряде десятков, а 1 де-
сяток заменим 10 единицами. Из 10 единиц вычтем 4 единицы,
получится 6 единиц. Записываем их под единицами. Из 9 десят-
ков ничего не вычитается, поэтому число 9 подписываем в ре-
зультате под десятками». Получаем:
100
” 4
96
Учащиеся уже имеют определенные представления о взаимо-
связи вычитания и сложения. Они часто использовали их в I и
II классах, например, для решения уравнений вида: х 2 = 7;
х — 3 = 5 и т. п.
277
При этом для нахождения одного из слагаемых им прихо-
дилось выполнять вычитание, а при нахождении уменьшаемо-
го —« сложение. В III классе, не давая определения вычитания
через сложение (оно будет дано позже, в IV классе), можно по-
казать учащимся, как вычитание связано со сложением. Напри-
мер, обратить внимание детей на то, что вычесть из числа 27
число 15 — значит найти такое число, которое при сложении с
числом 15 даст число 27. Это число 12.
27 — 15 = 12, потому что 15 + 12 = 27.
Выявление этой связи должно быть использовано для про-
верки вычитания с помощью сложения и наоборот. Нужно при-
учить детей без специального указания или требования со сто-
роны учителя обязательно выполнять проверку результатов
вычислений одним из способов. Проверка должна стать необхо-
димой частью решения вычислительной задачи.
В ходе изучения рассматриваемой темы обобщаются пред-
ставления об основных свойствах сложения. Необходимо убе-
диться в том, что переместительное свойство сложения имеет
место и для трех и для четырех и для большего числа слагаемых.
Для этого достаточно вычислить значение одного и того же вы-
ражения (суммы трех или четырех слагаемых), меняя местами
рядом стоящие слагаемые. Необходимо рассмотреть достаточно
яркие примеры, убеждающие в том, что применение перемести-
тельного свойства может упростить вычисления. Например, при
нахождении суммы 27 + 92 + 73 учащиеся должны заметить, что
если поменять местами слагаемые 92 и 73, то в сумме 27 + 73 + 92
первые 2 слагаемых дадут число 100, а найти сумму 100 и 92 не
представляет труда.
Сразу после этого, в связи с изучением порядка действий и
прйменением скобок для записи выражений, необходимо ознако-
мить учащихся с возможностью группировать слагаемые при вы-
числении суммы (сочетательное свойство суммы). Наконец, де-
лается вывод, который постепенно усваивается в виде правила:
«При сложении трех и более чисел любые два (или больше) чис-
ла можно заменить их суммой». Наиболее важным при этом яв-
ляется усвоение не самой формулировки правила, а формирова-
ние умений использовать сочетательное свойство суммы в вычи-
слениях, вначале на примерах, аналогичных упражнению № 207,
а затем и одновременно с применением переместительного свой-
ства, например: 27 + 196 + 33 + 4 = (196 + 4) + (27 + 33) =
= 200 + 60 = 260.
В связи с такими упражнениями нужно целенаправленно го-
товить учащихся к выводу, что в выражениях, составленных толь-
ко с помощью знака «+», наличие или отсутствие скобок не влияет
на их значение.
В методике, обеспечивающей правильное и осознанное усвое-
ние детьми порядка выполнения действий, достигается правиль-
на
ное понимание роли скобок наряду с опорой на свойства сложе-
ния и вычитания и известных учащимся с I класса некоторых
следствий из них (правила «прибавления к числу суммы», «...сум-
мы к числу», «вычитания из числа суммы» и т. п.). Исключительно
важную роль при этом играют навыки чтения выражений и состав-
ления выражений. Совершенствование этих навыков должно пред-
ставлять непрерывный процесс с постоянным усложнением требо-
ваний. Большое значение имеет в этом отношении решение тек-
стовых задач с помощью составления выражений или уравнений
(см. подробнее в § 51). Работа по формированию указанных выше
умений, как правило, должна быть тесно связана с совершенст-
вованием вычислительных навыков, с усвоением алгоритмов вы-
полнения сложения или вычитания. Этой цели отвечают, напри-
мер, упражнения вида: «Запиши с помощью знаков действий и
вычисли:
а)	сумму числа 1127 и разности чисел 3957—2839;
б)	выражение, в котором уменьшаемое есть число 20 137, а
вычитаемое выражено суммой чисел 7213 и 2931». Примеры та-
кого рода учитель найдет в учебнике (№ 203, 241 и т. п.). Следует,
однако, предостеречь учителя от необоснованного усложнения
формулировок и содержания аналогичных заданий и превышения
уровня сложности приведенных выше примеров.
Ранее во II классе уже рассматривались правила порядка дей-
ствий и роли скобок в выражениях, содержащих не только сло-
жение и вычитание, но и умножение и деление; *в III классе, ес-
тественно, нужно продолжить формирование соответствующих
умений. При этом важно, чтобы дети после рассмотрения доста-
точного числа примеров усвоили, что скобки можно отбрасы-
вать, если при этом выражение не изменяет своего числового
значения. Этот факт, конечно, не фиксируется специальным пра-
вилом, а реализуется учащимися практически. Например, при
составлении выражения по задаче «Один рабочий изготовил за
5 ч 120 деталей, а другой — за 7 ч 84 детали. На сколько больше
деталей за 1 ч изготовляет первый рабочий, чем второй?» — уча-
щиеся получают выражение (120 : 5) — (84 : 7), значение которо-
го не изменится, если опустить скобки. Однако из этого вовсе не
следует, что ученик, поставивший в данном выражении скобки,
допустил ошибку. Более того, особенно в первое время целесо-
образно при решении текстовых задач с помощью составления вы-
ражений сохранять скобки, так как они дают возможность четче
подчеркнуть связь выражения с условием задачи: (120 : 5) —
число деталей, которое изготовил за 1 ч первый рабочий; (84 ! 7) —
число деталей, которое изготовил за 1 ч второй рабочий.
Тем более эта рекомендация сохраняет и усиливает свое зна-
чение, если, например, в предложенной выше задаче заменить
вопрос со словами «на сколько...» вопросом со словами «во сколько
раз...». «Во сколько раз больше деталей за 1 ч изготовляет первый
рабочий, чем второй?»
279
По этой задаче мы получаем выражение: (120 : 5) : (84 : 7).
Выражение, полученное из данного путем отбрасывания скобок:
120 :'5 : 84 : 7, вовсе не будет соответствовать поставленной
задаче. .
Как уже отмечалось, заметное влияние на усвоение свойств
сложения и вычитания, на изучение порядка действий оказы-
вает завершение работы по ознакомлению учащихся с измене-
нием результатов сложения и вычитания в зависимости от изме-
нения одного из компонентов действия. Некоторые учителя счи-
тают, что цель изучения этого вопроса сводится к формулировке
соответствующего правила, которое служит как бы обобщением
наблюдений, проводившихся в I классе.
Опыт и специальные исследования показывают, что такой под-
ход приводит к формализму в знаниях некоторых учащихся.
Допустим, отвечая на вопрос «Как изменится разность, если
вычитаемое уменьшить на 2 единицы», ученик сказал, что «раз-
ность также уменьшится на 2 единицы». Как в этом случае испра-
вляется ошибка? Мы допустим методический промах, если пой-
дем по пути сравнения ошибочного ответа с соответствующим
правилом (которое, в частности, ученик забыл или перепутал сло-
ва41 «уменьшится» или «увеличится»). Наиболее правильным пу-
тем является опора на конкретный пример. Ученик, допустивший
ошибку, должен придумать и записать какой-нибудь пример на
вычитание (пусть 9 — 7 = 2), затем уменьшить в нем вычитае-
мое на 2 (7 — 2 = 5), вычислить новую разность (9 — 5 = 4) и
сравнить ее с первой разностью. Она окажется на 2 больше. В
случае затруднений ученик должен обращаться к конкретным
примерам, а не к «правилу».
Не случайно в стабильном учебнике математики для III клас-
са не формулируются соответствующие правила. Этим подчер-
кивается не обязательность их заучивания. В итоге проведен-
ной работы дети должны уметь ответить на вопросы вида: «Как
изменится разность, если уменьшаемое оставить без изменения,
а вычитаемое увеличить на 10? на 27? на 48? на Л?» При ответе
на последний из вопросов (с переменной k) ученик скажет: «при
этом разность уменьшится на k>>. Можно поставить дополнитель-
ный вопрос, в котором вместо переменной поставить слова «не-
сколько единиц», добиваясь в ответе применения слов «на столь-
ко же единиц», т. е. получая правило в результате систематиче-
ской работы.
Полезны при рассмотрении вопроса об изменении результатов
действий таблицы, по которым можно наблюдать изменение
значения (суммы или разности) с одной переменной. Например,
заполнить таблицы (см. с. 28).
 На заключительном этапе можно практиковать упражнения,
где, например, нужно, не вычисляя выражений, найти значение
выражения 540 — (330 + 7), если 540 — 330 = 210.
280
Татов действий могут рассматриваться задачи, решение которых
основано на их применении. Например, задача «За 2 ч самолет
пролетел 1300 км. Сколько километров пролетел бы этот само-
лет за 2 ч, если бы расстояние, пройденное за второй час, уве-
личилось на 40 км, а расстояние, пройденное за первый час, не
изменилось?» При решении может быть использовано такое рас-
суждение: «1300 км — это сумма расстояний, пройденных само-
летом за каждый из двух часов полета. Одно из слагаемых уве-
личилось на 40 км, а другое не изменилось: значит, сумма уве-
личилась на 40 км, Следовательно, самолет пролетит в этом случае
1300 + 40 = 1340 (км)».
В случае затруднения при таком подходе, можно конкрети-
зировать задачу, указав, что за первый час самолет пролетит
600 км, а за второй — оставшиеся 700 км (сумма должна быть
равна 1300 км). После этого увеличить второе слагаемое на 40
и получить искомый результат. Однако не следует требовать
от учащихся решения задач на основе знания изменения резуль-
татов, особенно в том случае, когда обычными путями задача
решается проще. Например, решая задачу № 236, с помощью
наводящих вопросов учителя дети могут рассуждать и так: «78 л —
общее количество воды в двух сосудах (сумма двух количеств);
взяв 12 л из одного-сосуда, мы уменьшаем одно из слагаемых на
12, значит, и сумма уменьшается на 12, а потому общее количе-
ство воды, когда в каждом из них окажется воды поровну, можно
выразить так: (78 — 12). Если это количество разделить на 2,
то мы получим выражение (78 — 12) : 2, значение которого и
является решением задачи (33 л).
Однако при самостоятельном решении ученик не обязан думать,
глядя на рисунок к задаче, о том, что при решении можно приме-
нить знания того, как изменяется сумма двух чисел и т. д. Ве-
роятнее, что дети будут решать эту задачу «по действиям» или
составляя выражения и не применят при этом упомянутые выше
знания. Не следует в этом случае совершать насилие над их здра-
вым смыслом. Пусть рассуждают любым образом. Это обстоятель-
ство становится тем более важным, что решение аналогичной
задачи очень просто выполняется уже учащимися IV класса с
помощью уравнения .2 • х + 12 = 78.
Методика обучения решению задач в теме «Многозначные
числа» рассматривается ниже, в § 51. Отметим лишь, что в связи с
изучением темы «Сложение и вычитание многозначных чисел» сле-
дует решать не только задачи, связанные с выполнением сложения
281
или вычитания, но и задачи, требующие применения умноже-
ния и деления.
Как уже отмечалось выше, одним из важнейших направлений,
во многом определяющим методику усвоения сложения и вычи-
тания многозначных чисел, является дальнейшая работа над ус-
воением сведений о величинах, их измерениях, операциях над их
значениями. Тесная связь между изучением сложения и вычита-
ния многозначных чисел и изучением величин основывается на
одном из свойств величин, которое, например, по отношению к
длине отрезка можно было бы сформулировать примерно так:
если отрезок состоит из двух (трех и т. д.) частей, то его длина
равна сумме длин этих частей; то же относится и к другим вели-
чинам.- На этой основе на протяжении всего раздела должна ве-
стись систематическая работа (особенно в связи с решением тек-
стовых задач) по выполнению сложения и вычитания чисел, вы-
ражающих длину, массу, время, стоимость. При зтом важно
уметь выразить компоненты действий в одних и тех же единицах.
Так, например, при сложении 2 т 5 ц и 500 кг нужно, чтобы дети
нашли эту сумму, выразив слагаемые в центнерах (25 + 5 = 30 (ц))
либо в килограммах (2500	500 = 3000 (кг)). Заметим, что оба
результата (30 ц и 3000 кг) должны (при данной постановке во-
проса) удовлетворить учителя, если при постановке задачи не
было точно указано, в каких единицах измерения должен быть
получен ответ. При выполнении более сложных вычислений ста-
новятся важными требования к оформлению записи, от чего
часто зависит алгоритм вычислений. Приведем пример различного
объяснения того, как выполнено действие 42 м 65 см + 26 м 83 см =
== 69 м 48 см:
1) ,4265	2) ,42 м 65 см
"г2683 или ^26 м 83 см
6948 см	69 м 48 см
69 м 48 см
Однако в любом случае дети должны понимать, что сложение
и вычитание длины, массы и т. д. выполняется так же, как и сло-
жение и вычитание многозначных чисел.
Одним из очень важных моментов в изучении сложения и
вычитания многозначных чисел является ознакомление учащих-
ся III класса с алгоритмом сложения «в столбик» более чем двух
слагаемых (упр. 291 и т. п.). В практике обучения третьеклассни-
ков число многозначных слагаемых не должно превышать трех-
четырех.
Очевидно, что при таком нахождении суммы успех определяет-
ся прочным знанием таблицы сложения однозначных чисел и на-
выками устного сложения нескольких однозначных слагаемых':
Поэтому в качестве подготовки целесообразно упражнять уча-
282
щихся в вычислении значения сумм вида: 5+9+0, 3 + 7 + 8,
8 + 5 + 6, 7 + 3 + 4 и т. п.
Вообще в связи с усвоением навыков письменных вычислений
постоянно используются устные вычисления (без записи проме-
жуточных результатов). Они главным образом касаются сложения
или вычитания однозначных чисел и основаны на прочном усвое-
нии таблицы сложения однозначных чисел. Но, кроме этого, в
III классе вводятся и некоторые новые приемы устных вычисле-
ний, основанные на применении уже изученных свойств сложения
и вычитания. В частности, таким приемом является так называе-
мый прием округления чисел.
Учащимся сообщается, что округлить число — значит заме-
нить его ближайшим числом, не содержащим значащую цифру
низшего разряда (или оканчивающимся нулем). Например, ок-
руглить число 12 — это значит заменить его числом 10, так как
число 10 ближе к 12, чем к 20. Округлить 19 — значит заменить
его числом 20, так как 19 ближе к 20, чем к 10.
Учащиеся округляют 29(30), 41(40), 58(60), 99(100), 203(200),
997(1000), 1002 (1000) и т. п.
Довольно часто по традиции учителя используют при этом
термин «круглое число». Говорят, например: «Замените данное
число ближайшим круглым числом».
Здесь в сущности и идет речь об округлении с точностью до
10 или 100, 1000 и т. д. (например, для числа 97 ближайшим
круглым числом будет 100, для 92 — число 90, для 128 — 130).
Вместе с тем следует иметь в виду, что уже в IV классе дети
встретятся с задачей округления числа с точностью до 1, до 0,1
и т. д. Поэтому не следует слишком фиксировать внимание уча-
щихся на термине «круглое число» применительно только к чис-
лам, оканчивающимся нулями.
После того как учительубедится в том, что большинство
учащихся усвоили, каким образом выполняется округление данных
чисел, рассматриваются примеры использования округления, даю-
щие возможность заменить письменное сложение или вычитание
устным.
Так, пусть, например, требуется сложить 62 и 19. Округлим
одно из слагаемых, в частности 62, до 60. Эта сумма меньше ис-
комой на 2, так как при округлении мы число 62 уменьшили на 2.
Значит, искомая сумма должна быть на 2 больше числа 79, т. е.
она равна 81.
Можно было округлить второе слагаемое 19 до 20. При этом
сумма 62 + 20 = 82 будет на 1 больше искомой суммы, так как
при округлении слагаемое 19 мы увеличили на 1, значит, искомая
сумма равна 82 — 1 = 81.
Другой пример. Пусть требуется из 91 вычесть 38, Округлим
38 до 40. Получим 91 — 40 = 51. Вспомним, что мы вычли из 91
на 2 единицы больше, поэтому искомый результат будет больше
51 на 2 и равен 53.
283
В ходе изучения раздела «Сложение и вычитание многознач-
ных чисел» на уроках рассматривается алгебраический и геомет-
рический материал, методика изложения которого рассмотрена
в § 52 и 53.
§ 49. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УСТНЫХ И ПИСЬМЕННЫХ ПРИЕМОВ
ВЫЧИСЛЕНИЙ ПРИ УМНОЖЕНИИ И ДЕЛЕНИИ
МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
На изучение темы «Умножение и деление многозначных чи-
сел» отведено более половины учебного времени третьего года
обучения.
Основная задача изучения этой темы — формирование у детей
прочных навыков умножения и деления многозначных чисел.
Расширяется здесь и знакомство со свойствами этих действий.
Рассматривается вопрос об изменении произведения и частного
в зависимости от изменения одного из компонентов действия.
Дети должны научиться отвечать на вопросы вида: «Один из
множителей увеличился в 3 раза. Как изменится произведение?»,
или: «Произведение равно 27. Чему станет равно произведение,
если один из множителей уменьшить в 3 раза?»
В тесной связи с усвоением основных знаний и умений, каса-
ющихся умножения и деления многозначных чисел, дети учатся
вычислять площадь прямоугольника, изучают связь между дли-
ной, шириной и площадью (решают задачи, в которых по двум
из этих величин находится третья), а также связь между ско-
ростью, путем и временем движения; стоимостью, ценой и коли-
чеством товара и другими тройками величин. Методика изучения
этих вопросов рассматривается в этой главе.
Следует обратить внимание на тот факт, что основные трудности
усвоения некоторыми учащимися навыков умножения и деления
многозначных чисел и типичные ошибки при выполнении этих
действий связаны прежде всего с недостаточным знанием таблиц
сложения и умножения однозначных чисел и только для самого
незначительного числа (около 5% от всех допускающих ошибки)
со слабым усвоением самих алгоритмов вычислений. Заметим,
например, что более 50% учащихся, допускающих ошибки при
умножении многозначных чисел, ошибаются при выполнении
сложения однозначных чисел (особенно в тех случаях, когда их
более трех). В связи с этим необходима систематическая работа
с учащимися по совершенствованию навыков табличных вычис-
лений.
Усвоение алгоритма деления, связанное' часто с большими
трудностями, протекает медленнее и поэтому требует особенного
внимания со стороны учителя. Система и методика изучения те-
мы, в основном, определяется тем подходом, который реализован
в учебниках. Характерная его особенность — одновременное изу-
чение на каждом из этапов умножения и деления. Это позволяет
284
не только совершенствовать понимание взаимосвязей действий
умножения и деления, но и проводить систематически работу по
изучению зависимостей между величинами, дает возможность
своевременно овладеть способами проверки одного из действий
с помощью другого, расширяет круг решаемых задач и уравнений.
В учебнике принят следующий порядок изучения умножения
и деления многозначных чисел:
1)	умножение и деление на однозначное число (так как к этому
сводится общий случай умножения и деления многозначных
чисел);
2)	умножение и деление на 10, 100, 1 000 и т. д.;
3)	умножение и деление на «круглые числа»;
4)	умножение и деление на двузначное и трехзпачное число.
Умножение и деление на однозначное число изучается почти
на всем протяжении второй четверти. В связи с этим рассматри-
ваются также такие разделы,- как «Скорость, время, расстояние»
(4—5 часов); площадь прямоугольника (5—6 часов), учащиеся
знакомятся с новыми видами задач (например, задачами «на
движение»). Здесь же постепенно рассматривается умножение и
деление именованных чисел.
Умножению и делению многозначных чисел на однозначное
число уделяется много внимания потому, что полученные знания
и навыки лягут в основу усвоения алгоритмов умножения и деле-
ния на двузначное, трехзначное и т. д. число.
Непосредственно перед уроком, на котором будет введено пра-
вило умножения многозначных чисел на однозначное число
(№ 338, 339), можно повторить сведения об умножении, которыми
располагают дети. Так, в связи с упражнениями № 330, 331 рас-
сматривается определение умножения через сложение. Здесь, по
существу, дается некоторое обобщение этого понятия. Учитель
должен понимать, что определение будет неполным, если не ого-
ворить, что а • 1 = а, а • 0 = О1. Здесь же можно вспомнить
правило умножения суммы двух и более чисел на число, а также
умножение на однозначное число чисел, оканчивающихся нулем.
Центральное место на уроке ознакомления с алгоритмом
умножения занимает рассмотрение упражнения № 339. Первая
его часть не вызывает затруднений. Дети понимают, что вначале
многозначное число представляют в виде суммы разрядных сла-
гаемых, затем выполняется умножение каждого из слагаемых
на 3, складываются полученные результаты, получается число
1 278 = 426 • 3. Трудности возникают в связи со «свернутой»
(краткой) записью алгоритма умножения. Важно указать детям,
что умножение можно начинать как со старших, так и с младших
разрядных слагаемых и в некоторых случаях, если многие уча-
щиеся не сразу поняли порядок выполнения операций при «крат-
1 Пышкало А. М. и др. Теоретические основы начального курса мате-
матики. М., 1974. с. 215.
285
кой» записи, можно при «краткой» записи или при объяснении
разобрать записи промежуточную между развернутой и краткой:»
a)	v426
3
18
+ 60
1200
1278
Затем уже перейти к краткой записи:
б)	v426
3
1278
Характер и содержание объяснений, которые можно требовать
от учащихся, примерно такие: «Умножение начинается с единиц.
6 умножаю на 3, получаю 18. Или 1 десяток и 8 единиц. 8 единиц
записываю под единицами, а десяток запоминаю. 2 десятка ум-
ножаю на 3. Получаю 6 десятков да еще один десяток (который
запомнил), будет 7 десятков, подписываю их под десятками.
4 сотни умножаю на 3, получаю 12 сотен, или 1 тысячу и 2 сотни.
Сотни записываю под сотнями, получаю 1278».
На этом и нескольких последующих уроках учитель должен
тщательно следить за правильностью выполнения записей, так
как от этого во многом зависит усвоение общего правила умно-
жения многозначных чисел. -Особое внимание обращается на слу-
чай умножения числа, в записи которого встречаются нули в се-
редине (например, 102, 4 002, 304 005 и т. п.) или в конце (напри-
мер, 370, 125 000 и т. п.). '
В каждом случае, например при решении упражнения № 346,
один из примеров в каждом столбике рассматривается с подроб-
ными пояснениями; «408 • 7; 8 единиц умножить на 7, получится
56; 6 единиц пишу, 5 десятков запоминаю; 0 десятков умножить
на 7, получаю 0 десятков, да 5 десятков, получается 5 десятков.
Пишу 5 под десятками. 4 сотни умножить на 7, получится 28 со-
тен. Пишу 28 сотен. Получаю 2 856».
Объяснение того факта, что «нули», которыми оканчивается
первый множитель, можно приписать справа «к результату», ве-
дется так:
800 - 6	12 000 • 4
8 сот. • 6 = 48 сот. »= 4800 12 тыс. • 4 = 48 тыс = 48 000
800-6 — 4 800	12 000 • 4 = 48 000
На этой основе легко подвести детей к пониманию записи это-
го случая умножения в столбик. Например, вместо
2300 .... пишут 2300
X 7	Х7
16100	16100
286
Закрепление приобретенных умений может быть достигнуто
только на основе систематических упражнений в самостоятель-
ном применении изученных алгоритмов.
Овладение делением многозначного числа на однозначное яв-
ляется исключительно важным этапом формирования общего ал-
горитма деления. Поэтому нужна тщательная и заблаговременная
подготовка учащихся к его усвоению. Здесь важно не только вос-
становить в памяти учащихся смысл деления, его связь с умноже-
нием, вспомнить, как находится делимое, делитель, рассмотрев на
этой основе необходимые уравнения, но и вспомнить сведения о
делении суммы па число, о всех случаях табличного и внетаблич-
ного деления, усвоенных ранее. Специальное внимание следует
при этом уделить делению с остатком.
Отметим, что введение письменного деления многозначного
числа на однозначное в общем случае (когда не каждое разряд*
ное слагаемое делится на это число) не может быть непосред-
ственно объяснено только с опорой на «деление суммы на
число».
Урок, на котором впервые показывается способ письменного
деления на однозначное число, целесообразно начать с рассмотре-
ния примера, который должен сопровождаться подробными объ-
яснениями и показом необходимых записей. Остановимся на не-
которых сторонах.такого объяснения.
Разделим, например, 628 на 4. Запишем это так: 628 |4.
Угол обозначает знак деления. Результат деления будем запи-
сывать под горизонтальной стороной «угла».
Разделим вначале' на 4 число сотен. При делении 6 сотен на 4
в частном получим первую цифру 1. Эта цифра обозначает число
сотен и свидетельствует о том, что в частном будет три цифры.
Запишем первую цифру частного (1) и поставим после нее две
точки, указывающие, что в частном должно быть еще найдено две
цифры (1..). Умножим число сотен в частном (1) на делитель (4),
получим 1-4 = 4. Напишем результат под числом сотен делите-
ля. Вычтем из 6 сот. 4 сот., получим 2 сот. (остаток отделения 6 на
4). Для того чтобы получить цифру десятков в частном, заменим
2 сотни (полученные в остатке при делении сотен) десятками:
2 сотни — это 20 десятков. Добавим к ним 2 десятка, содержа-
щихся в делимом. Получим 22 десятка. Разделим 22 десятка на 4,
получим 5 десятков и 2 десятка в остатке. Запишем цифру 5 в ча-
стном. Умножим 5 десятков на 4, получим 20 десятков. Подпишем
число 20 под числом 22 и найдем их разность. Разность равна
2 десяткам. Это 20 единиц. Добавляем («снесем») к ним еще 8
единиц, получим 28. Разделим 28 на 4 и получим 7 — цифру
единиц в частном. Запишем ее. Получим в частном число 157.
При умножении 7 на 4 получили 28. Записываем их под числом
единиц и находим разность (28 — 28 = 0), она равна 0. Это свиде-
тельствует о том1 что деление выполнено без остатка.
287
Окончательно запись примет вид:
628 [£_
4	157
22
20
28
28
.0
Только после этого можно предложить учащимся рассмотреть
упражнение № 426 (с. 89 учебника), раскрывающее ход реше-
ния в случаях вида 867 : 3 и 376 : 4.
Опираясь на краткое объяснение, дети должны описать поря-
док выполнения действий. При объяснении по ходу записи на до-
ске следует обращать особое внимание на остатки, необходимость
их раздробления. Полезно показать учащимся, что 6 сот., 24 дес.
и 27 ед. в сумме дают делимое (600 + 240 + 27 = 867). Это позво-
ляет связать алгоритм письменного деления с делением суммы на
число:
867 : 3 = (600 + 240 4- 27) : 3 = 200 + 80 + 9 = 289
Аналогично рассматривается и пример 376 ! 4. Отмечается, что
частное будет содержать только цифры десятков и единиц, так
как 3 сотни при делении на 4 не дают ни одной целой сотни. По-
атому сразу рассматривается число десятков (37) и т. д.
На последующих уроках постепенно усложняются примеры на
деление. Рассматриваются случаи деления 4-5-6-значных чисел.
Особое внимание следует обратить на те случаи деления, когда
в середине или на конце частного появляются пули. Нужно рас-
смотреть случаи:
1) 1509 | 3	2) 1525 | 5	3) 1590 | 3
15	503	15 305	15	530
9	25	9
9	25	9
0	0	0
В первом примере учащиеся легко заметят, что 15 сотен де-
лятся на 3 без остатка, получают в частном 5 — цифру сотен. За-
мечают, что в разряде десятков в делимом 0. Важнейший момейт:
«0 десятков при делении на 3 дает 0 — цифру десятков в частном».
Остается найти цифру единиц 9:3 = 3.
Во втором примере, получив цифру сотен (15 сотен: 5 = 3),
нужно обратить внимание, что десятков в частном быть не может,
так как при делении 2 дес. па 5 мы не получили ни одного целого
десятка. Поэтому заменили 2 десятка па единицы и прибавили к
ним 5 единиц. Получим 25, что при делении на 5 дает 5 единиц.
288
В третьем примере необходимо подметить, что в делимом сто-
ит 0 единиц. Значит, в частном цифра единиц должна быть 0.
При выполнении делений на однозначное число следует си-
стематически требовать проверки результата с помощью умно-
жения. Это, в частности, дает возможность совершенствовать на-
вык умножения на однозначное число.
В связи с решением текстовых задач становится необходимым
объяснить способы умножения и деления на однозначное число
результатов измерения величин, например, разделить 21 т на 8;
10 м 80 см на 8 и т. п.
Целесообразно показать учащимся наиболее общую запись,
когда делимое выражается в более мелких единицах (см. образ-
цы таких записей на с. 81 и 94 учебника).
Следующий этан — рассмотрение умножения и деления чи-
сел, оканчивающихся нулями. На ознакомление с умножением
в этом случае затрачивается 3—4 урока, с делением — также
3—4 урока. Здесь же рассматривается и деление с остатком на
числа, оканчивающиеся нулями.
Умножение многозначного числа на числа, оканчивающиеся
нулями, сводится с помощью правила «умножения числа на про-
изведение» к умножению многозначного числаг на однозначное.
Поэтому на первых уроках, посвященных изучению нового разде-
ла, рассматривается умножение числа на произведение. Под ру-
ководством учителя разбираются все три возможных способа
умножения числа на произведение двух чисел. В качестве мно-
жителей выбираются такие, чтобы по крайней мере одна пара
давала в произведении число, оканчивающееся нулями. Напри-
мер, в упражнении № 570 сравниваются результаты вычисления
значений выражений и показывается, что можно по-разному
группировать и переставлять множители и это не влияет на зна-
чение выражения: 1) 3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30; 2) 3-- (5 • 2) =
= (3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30; 3) 3 • (5 • 2) = (3 • 2) • 5 = 6 х
X 5 = 30.
После рассмотрения нескольких аналогичных примеров уста-
навливается, что наиболее простым из трех подходов является
тот, где сразу получается (в промежуточном вычислении) число,
оканчивающееся нулями. Например, при умножении 16 • (9 • 5)
выбираем случай (16 • 5) • 9 = 80 • 9 = 720.
Каждый раз обращается внимание на выбор более простого
способа вычисления. После такой подготовки и показывается ал-
горитм умножения па числа, оканчивающиеся нулями. Устанавли-
вается, что числа, оканчивающиеся нулями, всегда можно пред-
ставить в виде произведения однозначного числа на 10, 100, 1 000
и т. п. Например, 70 = 7 • 10, 300 = 3 • 100, 9 000 = 9-1 000
И т. д.
После этого рассматривается с подробным объяснением реше-
ние в случае вида: 621 • 30
621 - 30 = 621 • (3 • 10) = 621 • 3 • 10 = 18 630 и
289
показывается краткая запись решения «в столбик» (с. 124 учеб-
ника).
В связи с решением задач и примеров на том же уроке выпол-
няется первичное закрепление навыка умножения на числа, окан-
чивающиеся нулями (одним, двумя, тремя). На последних уро-
ках с объяснением рассматриваются случаи, когда и первый
множитель оканчивается нулями (упр. № 598, 599 и т. п.).
В результате решения нескольких таких упражнений учащие-
ся должны быть подведены к выводу: «Если множители оканчива-
ются нулями, то можно выполнять умножение, не обращая внима-
ния на эти нули, но к полученному произведению необходимо при-
писать столько нулей,, сколько их в конце первого множителя, а
затем еще столько, сколько их на конце второго множителя»
(число нулей, которыми оканчивается произведение, равно сум-
ме чисел нулей, которыми оканчиваются множители).
Деление на число, оканчивающееся нулями, связывается с де-
лением на произведение. Заметим, что в отличие от весьма про-
стого правила умножения числа на произведение правило «де-
ления числа на произведение» более сложно для усвоения. Эта
сложность, очевидно, связана с тем, что в первом случае при
группировке не появляется нового (отличного от умножения)
действия. Во втором случае умножение «заменяется» делением.
Обратим внимание учителя, что сами правила не заучиваются, а
реализуются учащимися в виде примеров.
Представления о делении числа на произведение даются при
рассмотрении простых примеров, иллюстрируемых делением од-
ного и того же отрезка. При коллективном рассмотрении задания
№ 619 выясняется, что вычислить значение выражения 12 : (3-2),
равного 2, можно тремя способами:
1)	12 : (3  2) = 12 : 6 = 2;
2)	12 : (3 • 2) = (12 : 3) : 2 = 4 : 2 = 2;
3)	12 : (3 • 2) = (12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2.
После первичного усвоения различных способов деления числа
на произведение обращается внимание на удобные случаи. Так,
например, при делении 180 на (15 • 3) удобнее поступить так:
180 : (15 • 3) = (180 : 3) : 15 = 60 : 15 = 4.
В связи с этим (упр. № 626 и др.) рассматриваются ёлучаи
деления на двузначное число, на число, оканчивающееся нулями,
когда делитель представляется в виде произведения двух мно-
жителей, например: 420 : 14 = 420 t (7 • 2) = 420 ? 7 1 2 =
= 60 s 2 = 30;	570 s 30 = 570 : 10 i 3 = 57 i 3 = 19; 7200 i
: 900 = 7200 i 100 i 9 = 72 s 9 = 8.
В последнем случае учащиеся замечают, как деление на число,
оканчивающееся нулями, в этих случаях заменяется делением
на однозначное число.
Представлиние делителя в виде произведения двух множите-
лей может быть использовано и в случае деления с остатком. Учи-
290
тиль объясняет, например, ход рассуждений при делении 135 на
30. Обращается внимание, что в частном мы получим однознач-
ное число (одна цифра). Затем делим 135 на 101 получаем 13. 13
делим на 3, получаем 4.
4 и будет искомым частным. Найдем теперь остаток. Для этого
умножим делитель на 4 (30 • 4 =* 120) и вычтем .120 из 135 (135 —
— 120 = 15). Получим остаток, равный 15. Решение запишем в
виде 135 I 30 = 4 (ост. 15). Обратим внимание, что остаток меньше
делителя. Заметимл что решение может быть записано и в таком
виде:
135 [30
120 F
15
Отметим также, что при выполнении деления с остатком во
всех рассмотренных случаях допустим и иной подход. Например,
после того как будет установлено, что при делении 195 на 50. в
частном будет однозначное число (одна цифра), можно подбирать
эту цифру «прикидкой». Попробовать 4 — много (50 • 4 = 200),
попробовать 3 (50 • 3 = 150) — подходит. Получаем: 195 : 50 =
— 3 (ост. 45), или
195 [50
150 3
45
Деление с остатком готовит учащихся к усвоению алгорит-
ма деления на число, оканчивающееся нулями, вида:
4 550 : 70; 215 820 : 30 и т. д.
На уроке, где будет рассмотрен пример рассуждений и запи-
си такого вида, следует с подробной записью на доске рассмот-
реть одно-два задания вида: 12 480 : 60. После этого учащиеся
самостоятельно выполняют аналогичные упражнения № 638 и др.
Заметим, что нахождение, например, числа сотен в' частном
27 680 : 80 может быть выполнено и «прикидкой» (276 : 80 дает
3 и остаток). Усвоенный прием распространяется затем на случаи
вида: 46 800 : 600; 945 000 : 5 000 и т. п. (№ 644 и др.).
Рассмотрение указанных примеров целесообразно предварить
соответствующими подготовительными примерами на деление с
остатком. Причем результат деления целесообразно оформить в
виде такой записи:
18730 | 100	12500 | 1000
100	187	1000- 12
	
873	2500
800	2000
	- 
730	500
700	
	
30	
291
После этого при участии учителя рассматривается № 644,
№ 645 выполняется самостоятельно. Часть примеров из этого
задания может войти в домашнее задание.
После достаточного числа упражнений, когда деление сопро-
вождается проверкой с помощью умножения, убедившись в том,
что дети усвоили рассматриваемые приемы, можно перейти к
изучению общего алгоритма умножения и деления.
Материал в учебнике расположен так, что вначале изучаются
умножение на двузначное число и трехзначное (примерно в те-
чение 2—2,5 недель), а затем деление на двузначное и трехзнач-
ное число (примерно в течение 2,5—3 недель). Заметим, что вве-
дение и первичное закрепление общих алгоритмов умножения и
деления многозначных чисел в объеме, предусмотренном про-
граммой, завершается в третьей учебной четверти. Совершенст-
вование вычислительных навыков связывается органически с ре-
шением не только примеров, но и большого числа задач, часто
включающих такие величины, как длина, площадь, масса, ско-
рость, время ит. д., а следовательно, и умножение и деление со-
ответствующих чисел — значение этих величин.
Урок, на котором будет впервые показан алгоритм умноже-
ния на двузначное число, может быть начат с рассмотрения при-
мера вида 37 • 25. При этом учитель широко привлекает детей к
«открытию» правила умножения. Умножим 37 на 25. Предста-
вим множитель 25 в виде суммы разрядных слагаемых, тогда
37 • 25 — 37 • (20 + 5) = 37 • 20 + 37 • 5. Умножать много-
значные числа на однозначное число и на число, оканчивающееся
нулями, дети умеют. Пусть они выполнят их сами, а затем, сложив
полученные произведения, найдут ответ: 925.
Учитель показывает, как эти вычисления можно записать ко-
роче, столбиком, сопровождая каждый шаг пояснениями, обра-
зец которых дан в учебнике (с. 146).
После рассмотрения этого или аналогичного примера учащие-
ся самостоятельно работают над заданием № 673. Они внима-
тельно разбирают особенности краткой записи, изучают объясне-
ние. После самостоятельной работы учитель вызывает нескольких
детей для объяснения решения второй половины этого упраж-
нения, а также упражнений № 674, 675. В качестве домашнего
задания может быть использовано упражнение № 676.
Распространение краткой записи умножения двузначного чис-
ла на двузначное на случай умножения трехзначного, четырех-
значного числа на двузначное не встречает больших затруднений.
После того как учитель убедится в том, что большинство уча-
щихся хорошо овладели правилом умножения на двузначное
число, это правило распространяется на случай умножения на
трехзначное число. Опыт показал, что можно ограничиться срав-
нением этих случаев (упр. № 701, М. 3).
При этом можно спросить учащихся: «Почему в первом слу-
чае мы имеем 2 слагаемых^ а во втором 3?»; «Сколько слагаемых
292
мы получим при умножении на четырехзначное число?» При рас-
смотрении первых примеров необходимо обращать особое вни-
мание на правильное подписывание получаемых «неполных про-
изведений».
Специально рассматриваются случаи умножения на трехзнач-
ное и четырехзначное число с нулями в середине их записи.
Для этого целесообразно рассмотреть под руководством учи-
теля, с объяснением, примеры вида: 387 • 204; 1 364 • 5 006. Затем
предложить самостоятельно выполнить (с последующей провер-
кой) первых 2—3 примера из упражнения № 714 (М. 3). Если
при проверке окажется, что допущено большое число ошибок, то
необходимо рассмотреть с подробным объяснением еще 1—2 при-
мера. Окончательное усвоение алгоритма умножения происхо-
дит постепенно в связи с решением задач, уравнений и вычисле-
нием значений специально подобранных выражений, включаю-
щих не только выполнение умножения, но и всех остальных
действий, алгоритмы которых уже усвоены.
Наибольшую сложность для учащихся представляет усвоение
алгоритма деления на многозначное число. Это прежде всего
связано с недостаточными навыками устных вычислений, кото-
рые важны при отыскивании способов прикидки цифр частного.
При нахождении цифр частного можно округлять делитель в
меньшую сторону или в большую сторону. Первоначальное озна-
комление с делением на двузначное число выполняется с по-
мощью не очень сложных примеров. Пусть, например, нужно
найти частное: 522 : 87. Выясним, сколько цифр будет в частном.
Так как 52 десятка не делятся на 87, в частном будет 1 цифра.
Найдем цифру частного. Округляем 87 до 80. Разделим 522 па
80. Для этого 52 разделим на 8. Это может быть 6 (потому что
6 • 8 = 48). Проверим найденную цифру: 87 • 6 = 522. Цифра 6
оказалась верной. После этого учащиеся самостоятельно рассмат-
ривают объяснение, данное в учебнике (№ 736). Затем учащиеся
вызываются к доске (на которой в это время может быть записан
образец решения одного из примеров), выполняется реше-
ние 3—4 аналогичных примеров (№ 737). Остальные зада-
ния предлагаются для самостоятельной работы в классе и
дома.
На следующих уроках рассматриваются случаи, когда при
делении на двузначное число в частном получается не однознач-
ное, а двузначное число. При этом выполняются объяснения,
аналогичные тем, которые были приведены выше (или приводят-
ся в № 737). Особое внимание обращается на случаи, когда для
нахождения цифры частного нужно выполнить несколько проб.
Рассмотрим для иллюстрации упражнение № 748: 168 : 28. При
округлении делителя 28 до 20 мы получаем пробную цифру 8
(16 : 2). Она велика, цифра 7 также велика. Цифра 6 подходит
(28 • 6 = 168). Эту цифру легче было найти, если 28 округлить до
30 (заметим, что 30 ближе к 28, чем к 20). Тогда первая пробная
293
цифра будет 5 (16 s 3). Она мала. Следующая цифра 6 подходит.
Число проб в этом случае меньше, чем в первом.
После достаточного числа упражнений, когда учитель убе-
дился в том, что основной случай деления на двузначное число
усвоен, можно рассмотреть случай, при котором в середине за-
писи частного содержится 0. Сначала устно рассматриваются
примеры вида; 3 624 i 12 = (3 600 + 24) ; 12 = 3 600 i 12 4-
+ 24 ; 12 = 302.
Полезно определить вначале число цифр частного. Оно будет
трехзначным, так как будет содержать цифру сотен. Выполнить
запись;
3624 |12
36	302
24
24
0
из которой видно, что цифра десятков в данном случае 0. После
такой подготовительной работы можно вызвать учащихся к дос-
ке и выполнить упражнение № 762. Следует заметить, что для
рассмотренных случаев необходимо систематически выполнять
проверку. Нужно уже к этому моменту добиться такого положе-
ния, когда учащиеся, не дожидаясь указания учителя, выполня-
ют проверку деления умножением, умножения — делением. Важ-
ную роль в совершенствовании вычислительных навыков (во всех
рассмотренных выше случаях) занимает решение задач, особен-
но с заданными значениями таких величин, как длина, масса,
стоимость, цена и т. п.
Деление на трехзначное число вначале связано с, рассмотре-
нием случая, когда делимое также число трехзначное. Как и в
предшествующих случаях, наиболее важен навык отыскивания
цифры частного. Схема рассуждений остается прежней. Пусть
нам необходимо разделить 744 на 248. Узнаем, сколько цифр
будет в частном (одна). Заменим делитель ближайшим числом,
оканчивающимся нулями. Таким числом может быть число 200.
Будем делить. При делении 744 на 200 предположительную
(«пробную») цифру частного найдем путем деления 7 на 2. Это 3.
Проверим эту цифру: 248 • 3 = 744. Цифра найдена верно. Мож-
но записать деление столбиком.
После этого учащиеся самостоятельно рассматривают упраж-
нение № 786, изучают объяснение, выполняют записи в своих
тетрадях. Упражнение № 787 частично выполняется учащимися
на доске, частично дается как самостоятельная работа в классе
с последующей фронтальной проверкой. После решения доста-
точного числа упражнений можно перейти к рассмотрению слу-
чаев деления четырехзначного числа на трехзначное, когда в
частном получаются не только однозначные, но и двузначные
294
числа. Каждый из случаев рассматривается в описанной выше
последовательности. Вначале устанавливается число цифр в част-
ном. Затем подбирается первая цифра частного (с помощью
округления делителя) с последующей ее проверкой. После под-
робного рассмотрения 1—2 примеров с учителем учащиеся са-
мостоятельно рассматривают объяснения в учебнике. После это-
го выполняется первичное закрепление, на основе которого ряд
упражнений аналогичного содержания и характера выполняется
самостоятельно (в классе и дома).
Особое внимание обращается на случай, когда цифра частно-
го находится в результате нескольких проб (806 и др.). Закреп-
ление выполняется систематически и в связи с рассмотрением
большого числа упражнений.
Следует отметить, что по мере формирования навыков пись-
менных вычислений необходимо усиливать внимание к устным
вычислениям. При этом в ходе устных вычислений часто должно
использоваться переместительное свойство произведения, прави-
ла умножения на сумму или разность, умножения и деления сум-
мы на число и др. Однако важнейшую роль при формировании
навыков вычислений играют прочные знания таблицы сложения
и вычитания однозначных чисел. Поддержание высокого уровня
последних — одна из задач, которая должна решаться на всем
протяжении обучения в начальной школе.
§ 50. МЕТОДИКА ОЗНАКОМЛЕНИЯ С ПРИМЕРАМИ ЗАВИСИМОСТИ
МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ
В теме «Многозначные числа» рассматриваются примеры за-
висимости между величинами. По этому поводу объяснительная
записка к программе1 дает достаточно точную и важную уста-
новку: «При изучении величин рассматриваются способы их
измерения, соответствующие единицы измерения, связь между
величинами, зависимость между ними, которая в конечном счете
выражается таблично, а иногда (в более простых случаях) и с
помощью формул».
Основной методический аппарат, с помощью которого проис-
ходит ознакомление учащихся со взаимосвязью между величи-
нами, представляет собой подбор задач и примеров, которые их
раскрывают. Для определения соответствующей методики сле-
дует также иметь в виду указание, что «первоначальное озна-
комление детей с разного рода зависимостями очень важно для
установления причинной связи между явлениями окружающей
действительности и имеет большое значение для подведения де-
тей к идее функциональной зависимости». Заметим, что в этом
случае речь идет о зависимости между двумя (а не тремя) ве-
личинами, например между путем, пройденным телом, и време-
1 Программа восьмилетней школы. Начальные классы. М., 1973, с. 43.
295
нем, затраченным на прохождение этого пути (здесь скорость
величина постоянная). В этом случае мы имеем дело с тремя
множествами: 1) множеством значений такой величины, как вре-
мя движения; 2) множеством значений длины (пути, пройденного
за различные промежутки времени) и 3) множеством пар, в ко-
торых на первом месте стоит значение времени, а на втором —
соответствующее одно значение пути. В таком случае, действи-
тельно, формируются определенные функциональные представ-
ления1. Причем эта функция может быть задана, например, таб-
лицей:
Время в се- кундах	1	2	3	4	5.	6
Расстояние в метрах	6	7	И	12 .	12	18
из которой можно сделать выводы, что тело двигалось неравно-
мерно, в частности в течение одной секунды (пятой) оно было не-
подвижно, что формулой эту зависимость выразить нельзя. Иног-
да в более простых случаях зависимость между временем движе-
ния и пройденным за это время путем можно выразить и с помощью
формулы.
Например, наблюдая изменения расстояния s в зависимости
от времени t по таблице:
Время в часах	1	2	3	4	5
Расстояние в километрах	5	10	15	20	25
нетрудно заметить, что v — s : t.
На основании полученной закономерности можно, например,
выяснить, какое расстояние з пройдет тело за 10 ч (50 км), за
какое время t тело пройдет расстояние в 100 км (20 ч) и т. д.
Для ознакомления детей с примерами зависимости между
величинами следует брать такие примеры, которые достаточно
часто встречаются детьми в жизни, понятны им.
Прежде чем ознакомить школьников с примерами зависимо-
сти, которая может быть выражена формулой, следует рассмот-
реть, например, зависимость массы ребенка от его возраста. Де-
ти по.нимают, что по мере их роста увеличивается их масса (ис-
ключение составляет случай заболевания: во время болезни дети
1 Пышкало А. М., Стойлова Л. П., Ирошников Н. П., Зельцер Д. Н.
Теоретические основы начального курса математики. М.,'1974.
296
иногда худеют). Данные об изменении массы в зависимости от
возраста дети узнают при медицинских осмотрах в школе, в пио-
нерском лагере. Учитель рассказывает: «В нашей поликлинике
я получил такие данные о мальчике Вове»:
Возраст в годах	1	2	3	4	5	б	7
Масса в килограммах	12	15	17	18	19	20	23
По этим конкретным данным можно установить, что, чем
старше становился Вова, тем больше становилась его масса, что
за год (от 1 до 2 лет) она увеличилась на 3 кг, а на следующий
год — на 2 кг и т. п.
К сожалению, в практике обучения редко рассматриваются
такие примеры и все внимание концентрируется на случаях за-
висимости, которые в математике называют прямой и обратной
пропорциональной зависимостью. Здесь допускается ряд ти-
пичных ошибок, вызывающих перегрузку учащихся. Главная
из них — подробное рассмотрение характера изменения одной из
связанных между собой величин при изменении другой (когда
третья остается постоянной).
Это рассмотрение часто имеет целью заучивание. Дети раз-
учивают, например, такие правила: «При одинаковой цене с
увеличением количества в несколько раз стоимость увеличива-
ется во столько же раз». «Если цена не изменяется, то с увели-
чением стоимости в несколько раз во столько же раз увеличива-
ется количество» и т. п.
В некоторых случаях учителя добиваются от учащихся
III класса понимания того или иного случая пропорциональной
зависимости, используя при этом соответствующую терминоло-
гию. Все это прямое завышение программы, ибо программа
III класса не ставит задачи, сформировать у детей понятия о
пропорциональной зависимости. Преждевременно полученные
при этом обобщения неполны, случайны и могут мешать в даль-
нейшем формированию понятия пропорциональной зависимости
на функциональной основе (это задача следующих лет обуче-
ния).
Ошибку допускают и те учителя, которые знание связи между
величинами (цена, количество, стоимость и др.) рассматривают
в качестве основы для решения хорошо известных учащимся за-
дач. Например, при решении задачи: «Сколько стоят 6 м ткани
ценою по 4 руб. за метр?» — в первую-очередь должен исполь-
зоваться здравый смысл.
Опираясь на имеющийся у них опыт, ученики будут рассужу
дать так: «4 руб. стоит каждый метр ткани. Всего 6 м. Чтобы
297
узнать, сколько стоит вся ткань, надо по 4 руб. взять 6 раз, или
4 • 6».
После того как задача решена (а не до этого), полезно выяс-
нить, что нужно было узнать (стоимость), что было известно
(цена и количество), посмотреть по решению, как узнали стои-
мость через количество и цену.
Определяя правильную методику изучения вопроса програм-
мы «Примеры зависимости между величинами», учитель должен
помнить, что зто делается распределенно (а не на одном-двух
уроках) в связи с решением задач. В связи с изучением темы
«Умножение и деление многозначных чисел» появляется возмож-
ность обнаружить некоторые постоянные для рассматриваемых
величин закономерности.
Важным результатом ознакомления учащихся III класса С
этим вопросом является усвоение простейших формул, связыва-
ющих такие величины, как скорость, время и расстояние (н, t, s);
длина, ширина и площадь прямоугольника (а, Ъ, S).
Рассмотрим для примера основные пути усвоения зависимо-
сти между величинами, характеризующими равномерное движе-
ние (зависимость между величинами, связанными с площадью
прямоугольника, рассматривается в § 54).
На рассмотрение связи между скоростью, временем н рас-
стоянием выделяется 4—5 уроков в начале изучения умножения
и деления многозначных чисел. Полученные сведения системати-
чески используются в дальнейшем при решении задач «на дви-
жение» в течение всего учебного года.
В результате рассмотрения этих вопросов ученик должен по?
лучить представление о новой величине — скорости, которая ха-
рактеризуется расстоянием, проходимым в единицу времени.
Подчеркивается, что речь идет о таком движении, при котором
скорость не изменяется. Раскрывается связь между скоростью,
расстоянием и временем (при равномерном движении) в виде
формулы v = s : t, где з — пройденное расстояние, v — скорость
движения, t — затраченное время. Дети учатся решать задачи, в
которых по времени и скорости находится путь; по времени и
пути находится скорость; по скорости и пути находится время.
В ходе решения этих задач у учащихся формируются пред-
ставления о некоторых средних скоростях (пешехода, велосипе-
диста, автомобиля, теплохода, самолета), представления о встреч-
ном движении и о движении в одном и том же направлении. На
зтой основе дети должны уметь решать простые и несложные
составные задачи.
На первом из уроков необходимо, опираясь на жизненный
опыт и наблюдения учащихся, обратить внимание детей на то,
что некоторые предметы могут двигаться быстрее или медленнее.
Например, велосипедист может обогнать пешехода, автомобиль «—
велосипедиста, самолет — автомобиль и т. д. Предметы могут
двигаться равномерно. Так, например, пешеход может прохо-
298
дить за каждый час по 3 км; автомобиль может проезжать за каж-
дый час по 100 км, бегун может пробегать за каждую секунду по
8 м и т. д. В этом случае говорят, что скорость (соответственно)
пешехода — 3 км в час (записывают —> 3 км в час), автомобиля —
100 км в час (100 км в час), бегуна — 8 м в сек (8 м в сек).
Таким образом, скорость движения — это расстояние, которое
проходит движущийся предмет за единицу времени. Затем
рассматриваются простые задачи (типа № 300, 301, 302), на ос-
новании которых делается вывод, что, для того чтобы найти ско-
рость движения предмета, нужно расстояние, которое прошел
предмет, разделить на затраченное для этого время. Коротко этот
вывод можно сформулировать так: скорость равна расстоянию,
деленному на время. Если скорость обозначить буквой v, путь
буквой s, а время буквой t, то можно записать этот вывод в виде
формулы: v = s : t.
На последующих уроках с помощью соответствующих про-
стых задач устанавливается, что расстояние равно скорости,
умноженной на время: s = v • t.
На основе задачи № 316 устанавливается, что время равно
расстоянию, деленному на скорость. Можно обратить внимание
учащихся на связь между этими тремя формулами (например,
последняя формула может быть выведена из первой: t = s •> v) на
основе правила нахождения неизвестного делителя н, когда из-
вестно частное t и делимое s.
На этих 4—5 уроках до понимания учащихся должен быть
доведен тот факт, что 5 м в минуту и скорость 5 км в час — не
одно и то же. Необходимо рассмотреть, например, в связи с ре-
шением задачи № 327, что скорость черепахи (5 м в мин) со-
ответствует 300 м час, а скорость пешехода (5 км в час) соот-
ветствует 5 000 м в час: 5 000 > 300, поэтому 5 км в час > 5 м в
минуту. Только на этой основе всегда в связи с решением задач
в дальнейшем устанавливается, что при равномерном движении
за одно и то же время тело пройдет тем большее расстояние, чем
больше будет скорость (если скорость увеличить в несколько
раз, то и расстояние увеличится во столько же раз), при одной
и той же скорости расстояние уменьшается во столько же раз,
во сколько увеличится время движения, и т. п.
Вопросы эти ставятся только в связи с решением задач, об-
общенных словесных формулировок этого вида не требуется.
§ 51. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
В ТЕМЕ «МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА»
Решение текстовых задач включается как необходимый эле-
мент в каждый урок, посвященный изучению многозначных чи-
сел и действий над ними. Значительное число этих задач дает
возможность наряду с практикой выполнения соответствующих
299
вычислений применять изучение закономерности, правила р
учебной, а иногда и практической деятельности третьеклассни-
ков. Как мы отмечали, многие из задач используются в процессе
формирования представлений о величинах, их измерений, о свой-
ствах величин (§ 47, 50, 53, 54), в связи с расширением понятия
числа (§ 56).
На основе полученных в I и II классах навыков решения про-
стых задач, связанных с каждым из четырех арифметических
действий, и первоначальных навыков решения задач в 2 дейст-
вия в III классе зти навыки получают свое дальнейшее раз-
витие.
Методика обучения учащихся III класса решению задач в ос-
новном повторяет или опирается на уже апробированные в I —
II классах приемы и положения: а) опору на наглядность и по-
нимание ситуации с помощью различного вида схем и краткой
записи задачи (мы подчеркиваем важность применения различ-
ных, а не стандартных, одних и тех же схем). Здесь могут приме-
няться геометрические фигуры (отрезки, прямоугольники), клет-
ки листа тетради и т. п.; б) использование задач-вопросов, задач
с неполными данными. Применение обратных задач — средство,
помогающее уточнить соотношения между данными и искомыми,
выявить условие и вопрос задачи. Оговорим сразу, что здесь мно-
гие учителя чрезмерно усложняют такие упражнения, заставляя,
например, формулировать все задачи, обратные данной составной
(в 2 и более действий) задаче, — задание более чем сложное и
не дающее заметного эффекта даже в случае его частичного выпол-
нения, приводящее к заметной перегрузке; в) использование со-
ставления задач по данному выражению или уравнению, а также
объяснений к выражениям и равенствам, составленным к данной,
уже решенной задаче (например, № 277 и т. п.).
Как нами уже упоминалось (с. 264), следует избегать для
обоснования выбора действия при решении задачи формальных
знаний об изменении результатов действия в зависимости от из-
менения одного из компонентов в тех задачах, которые просто
решаются по здравому смыслу. Другими словами, надо всячески
избегать заучивания каких-либо правил решения задач того или
иного вида. В связи с этим не следует употреблять в обучении
детей сведений о классификации задач, использовать в разгово-
ре с детьми такие еще бытующие в методических пособиях тер-
мины, как: «Задачи на пропорциональное деление», «...на нахож-
дение неизвестного по двум разностям», «... на деление на рав-
ные части», «... на деление по содержанию» и т. п. Усвоение этих
названий какой-либо классификации задач не является целью
обучения детей в начальных классах, а потому учителя, которые
требуют от них соответствующих знаний, перегружают программу,
значительно ее усложняют.
Следует также обратить внимание на особенности использо-
вания при решении задач выражений и уравнений. Работа по~
300
составлению выражений является необходимым условием обуче-
ния решению задач с помощью уравнений. В этом случае состав-
ление выражений, соответствующих отдельным частям задачи,
является, как правило, задачей менее трудной, чем составление
уравнения к этой же задаче. В то же время решение некоторых
составных задач только с помощью составления выражения иног-
да оказывается более трудным, чем решение той же задачи с по-
мощью уравнения.
Это следует учитывать, исходя из анализа конкретного текста
задачи, чтобы не создавать искусственно дополнительных трудно-
стей для учащихся. По той же причине не следует также настаи-
вать, как это иногда делается, на составлении «всех возможных
уравнений» к данной задаче.
Часто полезнее давать свободу учащимся для выбора спосо-
ба решения, каждый раз подчеркивать преимущества (или не-
достатки) одного из них перед другими, не считать недочетом,
если ученик выбрал «свой» путь решения, разумеется, кроме тех
случаев, когда учителем или учебником заранее выдвинуты
определенные требования в этом отношении.
Например, задача № 272 может быть решена детьми без по-
мощи уравнения:
1) 40 — 28 — 12 (коп.) (стоимость трех карандашей);
2) 12:3 — 4 (коп.) (стоимость одного карандаша).
Но не случайно здесь написано: «Эту задачу можно решить
и уравнением». Отсюда следует, что после решения ее по дейст-
виям целесообразно показать решение этой задачи с составле-
нием по ней уравнения.
В некоторых случаях учебник включает задачи, формулиров-
ка которых ориентирует детей на решение с помощью урав-
нения. Такими задачами, например, являются № 270, 273
и т. п.
Рассмотрим некоторые из возможных рассуждений при реше-
нии задачи № 273: «В швейной мастерской было 240 м ситца.
Когда сшили несколько платьев, расходуя на каждое по 3 м
ситца, то в мастерской осталось 90 м ситца. Сколько платьев
сшили?»
После предварительного рассмотрения и решения задачи
№ 272 не обязательно проводить фронтальный разбор приведен-
ной выше задачи. Целесообразнее с целью выявления .различных
путей рассуждения просить класс приступить к самостоятельно-
му ее решению,, подчеркнув, что решение должно быть выполне-
но с составлением уравнения. Наблюдая за классом и обнару-
жив, что большая часть учащихся уже составила уравнения,
можно приостановить самостоятельную работу и попросить од-
ного из них рассказать, как и какое уравнение он составил. Рас-
смотрим возможные пути. Неизвестное — число сшитых платьев.
Обозначим его буквой х. После этого возможны различные рас-
суждения. Вот одно из них:
301
(3 • х) метров ситца израсходовали на платья.
(240 — 3 • х) метров осталось. Так как осталось 90 м, то мож-
но составить такое уравнение: 240 — 3 - х = 90.
А вот другое: (240 — 90) метров ситца пошло на платья. Зна-
чит, 3 • х = 240 — 90. И наконец, третье рассуждение. Если 3  х
метров пошло на все платья, то (3 • х + 90) метров должно со-
ставлять количество всей ткани, бывшей в мастерской. Поэтому
можно составить уравнение: 3 • х + 90 = 240.
Каждое из этих рассуждений полезно рассмотреть с учащи-
мися, записать на доске соответствующие уравнения. После
этого учащиеся продолжают прерванное решение задачи само-
стоятельно тем способом, который избран каждым, или если ре-
шение не было начато, выбирают один из предложенных спо-
собов.
Из сказанного ни в коем случае не следует, что от учащихся
можно (или даже нужно) требовать составления всех возмож-
ных уравнений по одной и той же задаче.
При решении задачи № 359 (М. 3) рассматривается как ре-
шение с помощью составления по задаче выражения, так и с
помощью составления уравнения. Эта задача, конечно, могла бы
быть решена и по действиям: 1) 15 : 3 = 5 (руб.) — цент одного
мотка; 2) 5 • 6 = 30 (руб.) —• стоимость синей шерсти.
В дальнейшем аналогичные задачи (№ 360, 361 и др.) не обя-
зательно всегда решать с составлением уравнения. Наоборот,
следует использовать при их решении и запись отдельных дейст-
вий и составление выражения.
Методика обучения решению более сложных задач, где в ос-
нове задачи лежит зависимость между двумя из трех величин
(цена, стоимость, количество), связана с использованием схем,
в частности краткой записи в виде таблицы. Совершенствова-
ние умения решать такие задачи предусмотрено учебником.
Здесь же постепенно формируется умение решать более сложные
задачи «на движение».
Методика обучения решению задач «на встречное движение»
основывается на четких представлениях учащихся о скорости
равномерной} движения, которые уточняются и обобщаются на
специально отведенных этому вопросу уроках (§ 50). На основе
жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл
слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных на-
правлениях», «выехали одновременно из двух пунктов и встре-
тились через ...» и т. п.
После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью
учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить
детей изображать схему таких задач «в отрезках». Причем ста-
раться соблюдать соотношения их длин в зависимости от скоро-
стей и пройденных (в частности, «до встречи») расстояний. Если,
например, скорость одного поезда была 60 км в час, а другого
45 км в час, то первая стрелка должна быть длиннее второй и т. п.
302
Если в распоряжении учителя имеется диафильм «Задачи на дви-
жение» (выпуск студии «Диафильм». М., 1970), то его можно
использовать на этом уроке. Только после такой подготовительной
работы последовательно, под руководством учителя рассматрива-
ется задача № 464 (или ей подобная). Прежде чем разбирать эту
задачу на уроке, следует повторить и восстановить в памяти сле-
дующие сведения: связь между скоростью, расстоянием и време-
нем (как одна из трех величин выражается через две другие?),
ситуацию, при которой «два пешехода одновременно вышли на-
встречу ...». Затем учащиеся под руководством учителя и при его
участии вчитываются в задачу № 464 (1). По схеме, дублированной
на доске, вызываемые учащиеся рассказывают содержание за-
дачи. При этом выясняется: откуда начал движение каждый пе-
шеход? С какой скоростью двигался каждый? Почему их место
встречи на схеме обозначено ближе к месту выхода одного из пе-
шеходов? Кого из них? Можно спросить при этом: «В каком случае
флажок окажется точно на полпути (в середине, образно)? Что
означают деления слева от флажка, справа от флажка? Почему
они различны по длине? Что означают числа над стрелками?»
Такое подробное рассмотрение учит детей «читать» схему.
Затем учитель может спросить у класса: «Как решить задачу?»
Возможно, один из учеников приведет примерно такое рассуж-
дение: «Один пешеход до встречи (до флажка) прошел 4 • 3 =
= 12 (км), а другой — 5 • 3 = 15 (км). Расстояние между селами
будет 12 + 15 = 27 (км)».
Если такого ученика не нашлось и предложения детей неполны
или неверны, то учитель проводит, пользуясь наводящими вопро-
сами, эту работу с классом, постепенно подводя его к составле-
нию по задаче выражения:
4-34-5-3 (км).
Найдя значение этого выражения, получим ответ: расстояние
между селами равно 27 км.
В связи с нашей задачей учитель должен провести специаль-
ную работу, на основе которой будет выявлен смысл понятия
«скорость сближения».
Для этого по схеме выясняется, что за каждый час пешеходы
сближаются на (4 + 5) км в час. «На сколько километров сбли-
зятся пешеходы за 3 ч?» Это дает нам второй путь решения зада-
чи! (4 + 5) • 3.
Затем, пользуясь схемами, подробно рассматривают задачу
№ 464 (3).
Задачу № 464 (2), как более сложную и опирающуюся на по-
нятие «скорость сближения», можно рассмотреть в заключение
урока, когда дети уже приобретут некоторый опыт решения по-
добных задач.
При рассмотрении задачи № 464 (3) можно пойти по пути со-
ставления уравнения. Если обозначить скорость второго пешехода
303
буквой х, расстояние, которое он пройдет до встречи, будет (3 X
X х) км; расстояние, которое пройдет первый пешеход до встре-
чи, будет (4 • 3) км. Общее расстояние, пройденное пешеходами до
встречи, будет (4 • 3 + 3 • х) км, и оно равно 27 км. Получаем
уравнение: 4 • 3 + 3 • х = 27.
Эту же задачу можно решить и по действиям!
1)	4 • 3 = 12 (км) прошел до встречи первый пешеход;
2)	27 — 12 — 15 (км) прошел до встречи второй пешеход;
3)	15 : 3 = 5 (км в час) скорость, с которой шел второй пеше-
ход, и только теперь целесообразно составить выражение к этой
задаче: (27 — 4 • 3) : 3.
В дальнейшем при решении подобных задач можно использо-
вать как запись отдельных действий, так и составление уравне-
ния или выражения.
На следующих уроках продолжается работа по формированию
и совершенствованию навыков решения задач «на встречное дви-
жение». Эти задачи получают некоторое развитие для случая,
когда предметы начинают движение из одной точки и в противо-
положных направлениях (№ 541, 544 и т. п.). Перед решением
таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсцени-
ровке, что «встречное движение» — тоже движение в «противо-
положных направлениях», что после встречи, если скорости тел
не изменились, они будут «удаляться» друг от друга с той же
скоростью, с какой «сближались». Поэтому скорость удаления
также равна сумме скоростей движущихся тел.
При рассмотрении первой из подобных задач не следует сразу
опираться на понятие «скорости удаления», а решить ее различ-
ными способами аналогично тому, как рассматривалась задача
№ 464.
Основные положения методики обучения решению задач на
нахождение доли числа, числа по его доли и дроби числа разби-
раются в § 56. Заметим здесь, что каждая из этих задач, особен-
но задачи па нахождение доли или дроби числа, встречаются
(как элементы) при решении различных задач, в том числе и
задач «на движение».
Параллельно рассматриваются и задачи, обратные задаче на-
хождения площади прямоугольника по данным его сторонам (см.
подробное в § 54).
Задачи нового вида — задачи, которые в методике по тради-
ции называются задачами па пропорциональное деление.
Задача № 592 (1) является подготовительной по отношению
к задаче № 592 (2). При объяснении решения первой из них, в том
случае, если у учащихся возникнут затруднения, следует подчерк-
нуть, что стулья, купленные в первый и во второй раз, одинаковые,
т. е. имеют одну и ту же цену. Поэтому цена каждого стула выра-
жена так: 50 : (6 -|- 4) руб.
Приступая к рассмотрению задачи № 592 (2), целесообраз-
но отметить, что только что решенная задача входит в состав
304
этой новой. Безотносительно к тому, каким из способов будет
решена задача, нужно установить: 1) сколько стульев куплено;
2) цену одного стула; 3) стоимость 6 стульев; 4) стоимость 4 сту-
льев.
Важно обратить внимание учащихся, что для решения зада-
чи необходимо составить два выражения 50 : (6 4- 4) • 6 и
50 : (6 -|- 4)  4, так как в задаче заключено два вопроса.
Задачи этого вида должны решаться и по действиям и с по-
мощью составления выражений.
Среди задач этого вида, как показывает опыт, несколько слож-
нее задачи, где встречается «деление по содержанию», например
деление стоимости на цену для выяснения количества куплен-
ного.
При рассмотрении подготовительной задачи 612 (1) после
чтения текста задача разбивается на две простые:
1. «Девочка купила на 90 коц. ленты ценою по 30 коп. за 1 м.
Сколько метров ленты она купила?»
2. «Девочка купила на 60 коп. ленты ценой по 30 коп. за 1 м.
Сколько метров ленты она купила?» Решение этих задач, как пра-
вило, затруднений не вызывает, а чтобы выделить их, необходи-
мо только выяснить, по какой цене покупала ленты каждая
девочка.
Затем рассматривается задача № 612 (2).
При разборе этой задачи важно установить, чТо нам не обой-
тись без выяснения «цены 1 м ленты». Для этого дети должны
понять, что" сначала нужно узнать и что ответ на этот вопрос:
«Сколько стоят 5 м ленты?» — дает выражение (90	60) коп.
После этого мы получаем возможность узнать цену 1 м, а тогда
легко получить искомые ответы. Так как выражения для их полу-
чения требуют применения «двойных» скобок, лучше ориентиро-
вать учащихся на решение таких задач по действиям. Было бы не-
целесообразным требовать от учащихся реЩения подобных задач
и с составлением уравнений. Подчеркнем еще раз нежелатель-
ность сообщения учащимся термина «задача на пропорциональ-
ное деление» и т. п. Это ориентирует на заучивание способов ре-
шения типовых задач, от чего школа давно и вполне обоснованно
отказалась.
Это же замечание относится и к задачам № 685, 696 и т. п.
Рассмотрим так называемые задачи на нахождение неизвест-
ного по двум разностям. Успех решения этих задач, например
№ 685, зависит от осознания учащимися того, что если «в одном
куске ткани па 4 м больше, чем в другом куске такой же ткани
(той же цены), то первый кусок будет стоить больше, чем второй.
Причем разница стоимости приходится на эти 4 м. Значит, если
первый кусок стоит на 24 руб. больше, чем второй, то 4 м. этой
ткани стоят 24 руб.». Нахождение цены 1 м ткани не составит
труда-для большинства учащихся. После решения задачи № 685 (1)
предлагается разобрать задачу № 685 (2), которая представляет
11 Заказ 367
305
(руб.) — стоит 1 м ткани;
(руб.) — стоят 4 м ткани;
(руб.) — стоят 7 м ткани.
собой некоторое усложнение предыдущей. Ее целесообразно
рассмотреть по действиям:
1) 7 — 3 = 4 (м) — стоят 24 руб.;
2)24:4 = 6'
3) 6 • 4 = 24
4) 6 • 7 = 42
Развитие умений решать подобные задачи и связано с исполь-
зованием известных учащимся зависимостей между другими ве-
личинами (например, общей массой, массой одного предмета,
количеством предметов). При рассмотрении подобной задачи
(№ 696 (1) можно применить схему-зарисовку, в которой круж-
ками разного цвета изображаются банки с вареньем: 12 круж-
ков — с вишневым вареньем, 20 кружков — с малиновым. Схема
дает возможность увидеть, что масса малинового варенья на
16 кг больше, чем вишневого, потому что этого варенья на 8 ба-
нок больше. После этого решить задачу легко.
Выше уже отмечалось, что важным направлением в обучении
решению задач в III классе является овладение учащимися реше-
нием задач с помощью составления уравнений. Система задач,
представленная в учебнике, предусматривает постепенное услож-
нение соответствующих заданий, но в пределах тех их видов,
которые определены программой.
Рассмотрим пример наиболее сложной задачи (№ 666):
«На участке росли 56 лип и несколько сосен. Когда одну сос-
ну сломало бурей, то их стало в 2 раза меньше, чем лип. Сколько
сосен было на участке?»
Авторы учебника поставили перед учеником целы
«Объясни, как составлено по задаче уравнение:
56 : (ж — 1) = 2».
Этот вопрос во многом определит методику рассмотрения •
задачи, логику рассуждений учащихся. В уравнении х — число
сосен до бури; (х — 1) — число сосен после того, как 1 сосну
сломало бурей; 56 : (х — 1) показывает, во сколько раз число лип
больше числа сосен после бури (или во сколько раз число
сосен меньше числа лип). Зная по условию задачи, что число
сосен меньше числа лип в 2 раза, составляем уравнение:
56 : (х - 1) = 2.
Следует подчеркнуть, что изложенный нами подход к обуче-
нию решению задач, в котором не отдается преимущества ни
одному из возможных способов решения задачи, позволяет сфор-
мировать необходимые умения чтения текста задачи, использова-
ния краткой записи или схемы (в случае необходимости) прове-
дения разбора задачи и т. д.
Если дети научатся в I—III классах решать задачи той степе-
ни трудности, которые представлены в учебниках, используя при
зтом как арифметический, так и алгебраический способы реше-
ния1 то это обеспечит необходимую преемственность между III
Ж
и IV классами. При этом в I—III классах не ставится цель про-
демонстрировать преимущества решения задач с помощью со-
ставления уравнения по сравнению с арифметическими спосо-
бами.
§ 52.	ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В ТЕМЕ «МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА»
В теме «Многозначные числа» алгебраическая терминология
и алгебраический аппарат не расширяется, но ведется работа
по его уточнению,- Она направлена на формирование более четких
представлений о выражениях., равенствах, уравнениях, неравен-
ствах.
В результате изучения алгебраического материала каждый
ученик, окончивший III класс, должен:
1.	Уметь правильно употреблять термины: выражение, зна-
чение выражения, равенство, уравнение, неравенство, решить
уравнение. В качестве критерия усвоения этих вопросов высту-
пает не знание каких-либо определений этих понятий, а уме-
ние прочитать или записать несложное выражение, отличить
выражение от уравнения, умение найти числовое значение "выра-
жения, сравнить выражения, т. е. поставить между ними один из
знаков отношений так, чтобы получить верное равенство или
неравенство, умение решать уравнения предусмотренных про-
граммой видов, опираясь на знание взаимосвязи между компо-
нентами действий и их результатами.
2.	Уметь составлять по задаче выражения и уравнения, ис-
пользовать буквенную символику при решении задач, условия
которых содержат переменную (букву), при записи изученных
свойств сложения и умножения, при записи формул (скорость,
периметр и площадь прямоугольника).
С этой целью подавляющее большинство уроков в III клас-
се включает конкретный материал, использование которого по-
зволяет формировать и совершенствовать перечисленные умения.
Эти упражнения тесно связываются с новыми сведениями, по-
лучаемыми учащимися о числе, о действиях над числами, о свой-
ствах действий и т. п.
Необходимое усложнение материала предлагается не случай-
но, а для создания условий по повышению уровня обобщае-
мого материала. Например, в начале изучения темы «Много-
значные числа» предлагаются задачи вида: «Запиши с помо-
щью зраков действий: «Сумму, чисел а и Ъ уменьшить на 40».
Вычисли значение полученных выражений при а — 200; Ъ = 300».
Далее эти умения применяются для обобщения сведений об из-
менении суммы в зависимости от изменения одного из слагаемых
при решении заданий вида: «а + Ъ = 50. Найти значение выраже-
ния а + {Ъ + 40)» и т. п.
Учащиеся III класса должны понимать требование «сравни
Выражения» как необходимость поставить между ними знак «=»,
11*
307
«>» или «<» так, чтобы получилось верное равенство или не-
равенство. (Во II классе в аналогичных заданиях вопрос ста-
вился так: «Сравни выражения, поставь нужный знак =4 >
или < ».)
В связи с усвоением алгебраической терминологии важно, на-
пример, что задания: «Выполни сложение 25 + 73», «Найди сум-
му 25 4- 73», «Выполни действие 25	73» и т. п. и «Найди значе-
ние выражения 25 + 73» — имеют один и тот же смысл, причем
наиболее общей формой задания является последняя.
Если в начале III класса с целью повторения и закрепления
навыков чтения выражений целесообразно было предлагать
учащимся задания вида: «Прочитай выражения 72 : ас, 6 + с,
у — 5, а • 8» и т. п., то в дальнейшем их можно усложнить.
Через некоторое время аналогичные задания можно видоиз-
менить так: «Прочитай выражения: 72 : k, Ь с, у — 5, а • 8.
Придай буквам по три значения, начиная с наименьшего, и вы-
числи соответствующие значения выражений».
Из приведенного примера, однако, не следует, что в началь-
ной школе должен изучаться вопрос об исследовании рассмат-
риваемых выражений. Такие требования, как «найдите наиболь-
шее и наименьшее значение выражения», «значение букв, при
которых выражение принимает наименьшее (наибольшее) значе-
ние» и т. п., приводят к необоснованным завышениям требований
программы, к неизбежной перегрузке учащихся.
Методика обучения решению уравнений в III классе по срав-
нению с тем, как это делалось в теме «Тысяча» (во II классе),
не претерпевает существенных изменений.
В связи со сложением и вычитанием многозначных чисел рас-
сматриваются подробно уравнения, где неизвестное является сла-
гаемым, уменьшаемым или вычитаемым и в порядке повторения
уравнений, решение которых связано с умножением и делением.
Сначала предлагаются уравнения с небольшими числами, а за-
тем и с многозначными числами. Использование уравнений с не-
большими числами представляет собой хороший прием для вос-
становления в памяти правила нахождения неизвестного ком-
понента.
Так, при решении уравнения 1875 — х = 1297 в случае, если
ученик забыл правило нахождения неизвестного вычитаемого,
полезно составить аналогичное уравнение с небольшими числами,
например 5 — х = 2. Из последнего примера ученик быстро заме-
тит, что х — 5 — 2. Если 5 — уменьшаемое, а 2 — разность, то
легко уже увидеть, что вычитаемое равно уменьшаемому минус
разность.
При решении более сложных уравнений, в которых для- на-
хождения неизвестного необходимо выполнить более чем одно
действие, полезно использовать простой прием. Пусть нужно
решить уравнение: 105 — 3 •. х = 45. Следует обратить внимание
учащихся^ что неизвестное (х) входит в состав вычитаемого. При-
зов
кроем вычитаемое бумажным кругом или прямоугольником:
105 — □ = 45. При этом дети часто представляют, что первым
шагом решения уравнения является нахождение числа, которое
должно быть поставлено в круг. На этой основе (по соответствую-
щему правилу) записываем 3 • х = 105 — 45. Выполняем дей-
ствие в правой части записи, получаем 3  х ~ 60. В полученном
уравнении находим неизвестный множитель: з> = 60 : 3, х = 20.
В III классе целесообразно решать уравнения, где неизвестное
находится не только в левой, но иногда и в правой части. Такие
уравнения появляются иногда при решении задач. Например,
15 = х — 2; 144 = 12 • х; 127 — 27 = 5 • х и т. п.
Подбор упражнений, связанных с решением простейших не-
равенств, и методика ознакомления детей с неравенствами на-
целены на формирование представлений о переменной. Это глав-
ная задача. В связи с этим нельзя считать удачным такой подход,
когда решение неравенств в III классе сводится к решению урав-
нений, например, решение неравенств вида: 5 — х < 2; 72 : х <
<36 — сводится к решению уравнений соответственно 5 — х ~ 2
и 72 : х = 37. Такой подход, с одной стороны, противоречит глав-
ной задаче, а с другой — влечет излишнюю нагрузку, так как при-
ем использования уравнения при решении неравенства не приме-
няется в дальнейшем обучении в IV и более старших классах.
Основной метод решения неравенств в III классе — метод
проб (подбора). Учитель здесь следует постоянно усложняю-
щейся системе упражнений учебника.
Например, «Подбери по 3 значения буквы, при которых верно
неравенство с < 14». Несколько позже задача может быть ус-
ложнена, но методика ее решения остается той же— подбор с
помощью подстановки и проверки каждого из значений буквы.
Например, заполни таблицу:
а	12	11	7	1	0	9	10
а-8							
Выпиши из таблицы те значения а, при которых верно неравен-
ство а  8 < 75.
И наконец, наиболее сложным упражнением является упраж-
нение вида: «При каких значениях буквы верно неравенство
а • 8 < 24; 18 — k < 12; Ь 4- 4 < 4?» Здесь учащиеся должны ме-
тодом проб подобрать все значения буквы, удовлетворяющие
неравенству. При решении неравенства а • 8 <24 можно переби-
рать и находить подходящие числа в порядке «уменьшения» или
«увеличения» значения буквы. При этом ученик рассуждает при-
мерно так: «Возьмем а = 02
309
тогда 0	• 8	=	0; 0 <	24, значит,	0 подходит.	Возьмем а —	1,
тогда 1	• 8	=	8; 8 <	24, значит,	1 подходит.	Возьмем а =	2,
тогда 2	• 8	=	16; 16	< 24, 2 подходит. Возьмем а = 3,
тогда 3	• 8	=	24; 24	не меньше	24, значит,	3 не подходит.
Следовательно, чтобы неравенство а • 8 < 24 было верным,
буква а может принимать значения 0, 1, 2, 3 и т. д.»
§ 53.	ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ В ТЕМЕ «МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА»
Исходя из общего для начального обучения математике прин-
ципа «распределенного» изучения геометрического материала,
включаемого в программу, а также основных результатов, ко-
торые должны быть достигнуты по выходе из начальной школы,
изучение элементов геометрии идет в трех основных направле-
ниях, в зависимости от которых во многом определяется соответ-
ствующая методика:
1)	дальнейшее совершенствование представлений о геомет-
рической фигуре, ее образе, свойствах, отношениях;
2)	изучение геометрических величин (длина отрезка, площадь
многоугольника, прямоугольника), выработка элементарных из-
мерительных навыков;
3)	выработка навыков простейших построений геометриче-
ских фигур.
При этом усваиваются и используются терминология и сим-
волика.
В основу методики, как и ранее, при изучении геометрического
материала, включенного в тему «Многозначные числа», должны
быть положены наблюдения и практическая деятельность уча-
щихся и только некоторая часть задач геометрического содер-
жания, связанная с вычислениями.
Опыт показывает, что, несмотря на большой интерес учащих-
ся к геометрическим задачам, у многих из них не вырабатыва-
ется достаточно ясных представлений и ориентировки в изуча-
емых фигурах, они не усваивают элементарных навыков постро-
ения фигур, даже такой фигуры, как прямоугольник, несмотря
на то что ознакомление с этой фигурой начинается в I классе.
Причиной этому главным образом является тот факт, что, варь-
ируя материал уроков, предлагаемый учебником, некоторые
учителя опускают (как «легкие», «и без того понятные» и т. п.)
геометрические упражнения. В результате иногда долгое время
учащиеся не получают необходимых упражнений для поддер-
жания и дальнейшего развития геометрических знаний, умений и
навыков. Учебник содержит тщательно отобранный минимальный
материал по геометрии, который относительно равномерно вклю-
чается в содержание большинства уроков. Поэтому в зависи-
мости от подготовленности класса, речь может идти не об исклю-
чении геометрического материала на некоторых уроках (т. е.
освобождении ряда уроков), а лишь об его перегруппировке и
в ряде случаев о дополнении уроков геометрическими заданиями.
310
Последняя рекомендация полезна в тех случаях, если учитель
обнаруживает пробелы в знаниях учащихся.
Разделы «Нумерация», «Меры длины, меры массы, меры вре-
мени. Секунда» включают повторительный материал, охватыва-
ющий основные геометрические факты и навыки, уже знакомые
детям.
На одном из первых уроков и в виде фронтального опроса
по таблице (или рисунку на доске), с использованием чертежей
учебника (например^ № 17, М. 3) или кадров диафильма «Гео-
метрия в III классе» учащиеся вспоминают названия, обозначения
буквами фигур, с которыми они встречались раньше: точки, от-
резки, ломаная, многоугольник (треугольник, четырехугольник,
пятиугольник и т. д.), вершина и сторона многоугольника, угол
многоугольника, прямой угол, прямоугольник (квадрат).
В дальнейшем все эти фигуры будут встречаться учащимся
в упражнениях, где необходимо, например, найти периметр мно-
гоугольника, измерив его стороны (№ 24 и подобные, М. 3).
Рассматриваются также различные вычислительные задачи (ко-
торые могут решаться без опоры на чертеж), связанные с на-
хождением периметра многоугольников, и в том числе прямо-
угольника (№ 32 и т. п.). Выполняются упражнения не только в
измерении отрезков, но и в построении отрезков заданной длины.
Причем эта задача может быть связана с выполнением чертежа
(№ 85 и т. п., М. 3), например начертить отрезок АВ = 2 см и
отрезок CD на 3 см длиннее отрезка АВ.
После того как учащиеся хорошо вспомнили названия фигур
и их обозначения, можно предлагать более сложные упражнения,
в которых эти знакомые фигуры являются элементами других
фигур, например находить отрезки и многоугольники, являющие-
ся элементами других многоугольников (№ 66, М. 3). Необхо-
димо включить и ряд упражнений, при решении которых повторя-
ются сведения о прямоугольнике, о свойстве его сторон, об его
углах (№ 116, М. 3). При этом целесообразно использовать
клетчатую бумагу. Такие упражнения готовят к восприятию
новых сведений о прямоугольнике. В частности, упражнение
№ 116 готовит к введению понятия площади.
Определенную роль при этом играют и упражнения на раз-
резание (деление) фигур на части и складывание из этих частей
новых фигур (упр. 36, с. 25, М. 3). В ходе выполнения повтори-
тельных упражнений необходимо широко использовать все изве-
стные учащимся инструменты. Для сравнения отрезков целесо-
образно применять циркуль (упр. 35, с. 38. М. 3). Для измерения
отрезков с большой точностью (с точностью до 1 мм) применение
циркуля необходимо (упр. 144 и др. М. 3).
В разделе «Сложение и вычитание многозначных чисел»,
помимо работы над закреплением и совершенствованием знаний,
на этой основе рассматриваются новые для учащихся зада-
чи: впервые показываются приемы построения прямого угла с
SH
помощью чертежного треугольника и линейки (№ 287, М. 3), а
также построение прямоугольника (в том числе квадрата) на
нелинованной бумаге (до этого времени, эти построения выполня-
лись на клетчатой бумаге). Следует заметить сразу, что основ-
ным критерием усвоения правил построения прямоугольника
будет практическое выполнение правильного и аккуратного чер-
тежа, а не умение рассказывать, как это делается.
Формирование умения выполнять построение прямоугольника
с заданными сторонами требует определенной тренировки, кото-
рая может проводиться дома (домашние задания), на уроке тру-
да при разметке простейших изделий и выполнении их чертежей.
Важную роль играет урок, на котором учитель впервые показы-
вает и разъясняет приемы построения. Причем на это тратится
основная (по времени) часть урока. Но на одном из предыдущих
уроков учитель показывает способ построения прямого угла с
помощью угольника и линейки. При этом последовательно рас-
сматриваются (с опорой на рисунок упр. № 287) этапы построе-
ния. Ставится задача «Построить прямой угол с вершиной в
точке А». Объясняется, что чертеж будет неточным, если вершину
прямого угла чертежного треугольника поместить в точку и попы-
таться начертить его стороны, пользуясь соответствующими
сторонами угольника, так как и после проведения сторон отме-
ченная точка А не окажется вершиной или вершина угла окажется
смазанной (закругленной), нечеткой, и нужно будет подчищать
чертеж.
Учитель показывает поэтапно построение прямого угла на
нелинованной бумаге:
1)	провести через точку А прямую линию, которой принад-
лежит одна из сторон прямого угла;
2)	приложить к этой прямой линии чертежный треугольник
так, чтобы одна из сторон его прямого угла совпала с прямой ли-
нией, а вершина прямого угла совпала с точкой А. Не нажимая
сильно на карандаш, наметить положение другой стороны пря-
мого угла так, чтобы его вершиной была точка А;
3)	сдвинуть треугольник немного вниз и четко провести вто-
рую сторону угла.
Только' после этого на одном из уроков подробно рассматри-
вается построение прямоугольника заданных размеров на не-
линованной бумаге. Как мы уже говорили, этот урок один из
тех, которые почти полностью посвящены изучению геометри-
ческого вопроса.
Цель урока. Ознакомить со способами построения прямо-
угольника на нелинованной бумаге с помощью линейки и чертеж-
ного треугольника.
Оборудование. Чертежные треугольники и линейка
классная, а также листы нелинованной бумаги или специальная
тетрадь для построений (тетрадь для рисования)! которую нужно
завести каждому ученику.
312,
Работа над новым материалом. Учитель вы-
ясняет, что прямоугольник — четырехугольник, у которого все
углы прямые. Ставит задачу: построить прямоугольник со сто-
ронами 3 см и 2 см.
На доске последовательно выполняется построение прямо-
угольника ABCD, если АВ == 3 см, AD — 2 см.
I этап. Строим прямой угол с вершиной в точке А (построе-
ние выполняется в соответствии со всеми правилами).
II	этап. На одной из сторон прямого угла откладываем
АВ — 3 см, на другой стороне AD = 2 см.
III	этап. Строим прямой угол с вершиной в точке В и со
стороной В А.
IV	этап. Строим прямой угол с вершиной в точке D и со
стороной DA. Другая сторона этого угла пересечет сторону пря-
мого угла, имеющего вершину В, в точке С.
Выполняем проверку построения двумя способами.
1) угол ВС А должен оказаться прямым. Проверяем с помо-
щью чертежного треугольника;
2) сторона ВС должна быть равна AD, a CD = В А. Устанав-
ливаем это непосредственно измерением или с помощью циркуля-
измерителя.
После этого каждый ученик под наблюдением учителя вы-
полняет построение по тем же этапам с опорой на чертеж, вы-
- полненный на доске, и рисунок учебника (№ 288, М. 3). Затем
самостоятельно выполняется задание (№ 288, 2, б) — построе-
ние квадрата со стороной 5 см.
Учитель открывает заранее заготовленный на доске чертеж
первого этапа построения квадрата. Напоминаем, что АВ = 5 см,
затем (без объяснений) выполняют заключительный этап по-
строения.
Задание 288, 2, а) оставляется для домашней работы.
В заключительной части этого урока может быть рассмотре-
но несколько упражнений из текущего материала. Рассмотреть
фронтально упражнение № 289. Самостоятельно (по вариан-
там) по два примера из № 291 (остальные два оставить на дом —
противоположный вариант). Если на последнее задание остается
мало времени, его можно не проводить.
На следующих уроках (или в форме домашнего задания)
обязательно, не реже одного раза в неделю, выполнять на нели-
нованной бумаге 2—3 построения прямоугольников по заданным
размерам сторон рассмотренным выше способом (упр. 31, 32,
с. 64, М. 3).
Кроме задач на построение, в разделе «Сложение и вычита-
ние» рассматриваются задачи на уточнение представлений о
многоугольниках, их классификации (№ 288). Следует обратить
внимание па задачи № 222, 276 и им подобные. Решение этих
задач связано с построением отрезков и окружностей с заданны-
ми параметрами и выполняется в тетради для построений или
313
на отдельных листах. Кроме приобретения и совершенствования
необходимых навыков, эти задачи помогают уточнить представле-
ния учащихся о свойствах отрезка и окружности, о возможном
взаимном расположении фигур, об элементах этих фигур. Целе-
сообразно эти задачи рассмотреть на уроках под руководством
учителя. Решаются задачи,, уточняющие представления о пери-
метре прямоугольника.
В разделе «Умножение и деление многозначных чисел» со-
средоточен геометрический материал, изучение которого нацеле-
но па достижение основных результатов обучения (с. 268).
Специальные геометрические уроки здесь отводятся для рас-
смотрения приемов построения знакомых учащимся фигур, с
опорой на свойства этих фигур. В этом разделе дети впервые зна-
комятся с новой для них геометрической величиной — площадью
фигуры. Рассмотрению методики изучения площади фигуры мы
посвятили следующий параграф. Здесь же остановимся на ха-
рактеристике методики совершенствования геометрических зна-
ний, умений и навыков, которой целесообразно придерживаться
до конца третьего года обучения.
Продолжение работы по изучению приемов построения с по-
мощью .чертежною треугольника и линейки связано с построе-
нием треугольников, имеющих прямой угол (термин «прямо-
угольный треугольник» не применяется). Прием показывается
учителем на доске, затем учащиеся выполняют самостоятельно
построение (унр. № 328).
Особое внимание следует обратить па решение задачи № 343,
где учащиеся должны на нелинованной бумаге выполнить по-
строение прямоугольника с заданными сторонами, но с опорой
на свойство противоположных сторон прямоугольника. При этом
меняется последовательность и этапы построения. В основе ме-
тодики, как и на уроке (с. 315), где рассматривался другой при-
ем построения, лежит сочетание фронтальной работы с индивиду-
альной: после демонстрации построения на доске (учитель) уча-
щиеся с опорой на чертеж учебника (с. 72 учебника) выполняют
построение по этапам:
1)	построить прямой угол с вершиной в точке А. На сторонах
угла отложить отрезки заданной длины: AD = 4 см, АВ = 2 см;
2)	построить прямой угол с вершиной в точке D и со сто-
роной DA. На другой стороне этого угла отложить отрезок
ВС — 2 см;
3)	соединить отрезком точки В и С.
Проверить двумя способами, что полученный четырехуголь-
ник — прямоугольник: а) установить, что все его углы прямые,
б) установить, что противоположные стороны (особенно AD и
ВС) попарно равны.
Практика в построении фигур на нелинованной бумаге свя-
зывается с рассмотрением ряда вопросов, которые готовят, уча-
щихся к восприятию понятия площади и других понятий.
314
Например, задачи (№ 322, 350 и т. п. М. 3), где необходимо .
начертить одну фигуру так, чтобы она поместилась внутри дру-
гой, помогают не только формировать элементарные представления
о пространственных отношениях, но и готовят учащихся к по-
ниманию того, что, например, если круг весь поместился внутри
прямоугольника, то он составляет часть прямоугольника,
а потому его площадь меньше площади прямоугольника. Разо-
брав в классе одну, из таких задач, другие (аналогичные) можно
использовать для организации самостоятельной работы (в том
числе и домашней).
Исключительно важной линией работы по формированию
образов геометрических фигур являются упражнения, с помощью '
которых формируется геометрическая «зоркость», умение обна-
ружить (заметить, выделить) геометрическую фигуру, обладаю-
щую (или не обладающую) тем или иным свойством. Такие за-
дачи, начиная с № 172 (№ 172, 443, 517, 542, 583, 618, 655, 704,
797, 859, 897), с постепенным усложнением решаются на уроках
и в домашних работах. Рассмотрим наиболее типичные из этих
задач.
Пользуясь чертежом (рис. 55), назвать все многоугольники,
которые вы видите (четырехугольник ABCD, треугольники ABD
и BCD). Назвать многоугольники, для которых точка А является
вершиной (ABCD, ABD), не является вершиной (BCD). На этом
или более сложном чертеже можно рассмотреть и другие вопро-
сы. Например, назовите все многоугольники (рис. 56), у кото-
рых отрезок BE: 1) является стороной (ABE, BCDE, ВСЕ)',
2) не является стороной (CDE)', 3) является общей стороной (т. е.
стороной одного и другого многоугольника) — АВЕ и BCDE',
АВЕ и ВСЕ.
Рассмотрите рисунок 57. Назовите все многоугольники, углом
которых является угол A (ABDE, ABCDE), для которых угол А
не является углом (многоугольник, не содержащий угла А, —>
BCD).
В связи с задачами на построение, при решении которых изу-
чаются некоторые элементы и свойства окружности, можно от-
метить упражнения с вычерчиванием виньеток из окружностей
одного радиуса (упр. 32, с. 111 и т. п., М. 3), задачи на изучение
с
Рис. 55
315
пространственных отношений окружности и отрезка (№ 649
ит. п., с. 145, № 48 и т. п.); упражнения, где с помощью деления
окружности на равные части можно построить многоугольники
с равными сторонами (в том числе квадрат).
Необходимо систематически рассматривать задачи, где фигу-
ра делится на части (№ 314), в том числе и на равные части
(Л» 357, 362), где нужно подсчитать число таких частей, напри-
мер квадратов. В заключение при повторении материала можно
давать комбинированные задачи, в которых выполняется деление
фигуры на части, а затем нахождение всех фигур, которые при
этом образовались (№ 941 и т. п.), или задачи, когда наиболее
экономичным способом одну из данных фигур (№ 690) нужно до-
строить до треугольника, до прямоугольника и т. п. В целях об-
легчения техники выполнения подобных задач следует использо-
вать фигуры, изображенные на классной доске.
Для выяснения степени развития геометрической зоркости
можно практиковать главным образом в качестве самостоятель
ной (домашней) работы задачи, в которых, пользуясь клетками
тетради, нужно начертить отдельно каждую из фигур (много-
угольников), которые ученик видит на рисунке (задача № 780
и т. п., М. 3).
С этой же целью изредка нужно предлагать задания более
простые, но выполнение которых должно быть у каждого учени-
ка безошибочным. Примером такого задания является, в част-
ности, упражнение № 817 и ему подобные. При выполнении их
учащиеся должны показать (когда учитель называет) или на-
звать (когда учитель показывает) ту или иную из известных фи-
гур, каждая из которых изображена отдельно.
§ 54. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ РАЗДЕЛА
«ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА»
Ознакомление с новой для учащихся величиной и ее измере-
нием (площадью фигуры) происходит параллельно с изучением
умножения и деления многозначных чисел, распределенного на
протяжении почти трех четвертей учебного года, и может быть
разделено на три основных этапа.
I э т а п (подготовительный). На этом этапе в ходе закрепле-
ния и повторения выявляется необходимый, минимальный круг
сведений, на основе которых строится ознакомление с понятия-
ми площади фигуры. Назовем главные вопросы, нуждающиеся в
повторении:
1)	представление о равных фигурах (отрезках, прямоуголь-
никах, треугольниках и т. д.);
2)	представление о делении фигур на части, о получении но-
вых фигур путем складывания их из других фигур. Подсчет чис-
ла частей фигуры;
316
3)	представление о прямоугольнике (в том числе и квадра-
те), о свойствах сторон.
Минимальное число упражнений, с помощью которых эти
представления уточняются, рассматривается в разделе «Сложе-
ние и вычитание многозначных чисел» (с. 38, М. 3).
II этап имеет своей задачей обеспечить получение общих
представлений о площади фигуры, познакомить с единицей из-
мерения площади и с измерением площади фигуры (в квадрат-
ных сантиметрах) с помощью палетки, познакомить с правилами
(формулой) для вычисления площади прямоугольника и реше-
нием на этой основе задач, в которых: по известной длине и ши-
рине находится площадь прямоугольника; по известной площади
и длине (ширине) прямоугольника находится его ширина (длина).
III этап имеет своей целью, на основе переноса основных зна-
ний, умений и навыков, полученных на II этапе, расширить пред-
ставления учащихся о системе единиц измерения площади
(кв. см, кв. дм, кв. м), соотношениях между ними в процессе ре-
шения задач.
В результате изучения раздела «Площадь многоугольника»
учащиеся должны:
1. Усвоить систему единиц измерения площади и соотноше-
ния между ними
1	кв. см = 100 кв. мм;	1 кв. дм — 100 кв. см
1	кв. м = 100 кв. дм;	1 кв. м = 10 000 кв. см
Иметь элементарные представления о возможности (прибли-
зительного, с помощью палетки) измерения площади любого
многоугольника, круга или фигуры, имеющей более сложный
(произвольный) контур, например, площади листа дуба.
2	. Уметь выполнять необходимые измерения и вычислять
площадь прямоугольника или площадь фигуры, составленной из
2—3 прямоугольников. Уметь по данной площади прямоуголь-
ника и длине одной из сторон прямоугольника найти длину смеж-
ной стороны.
Методика изучения этого раздела программы строится на
систематическом использовании большого числа чертежей и ри-
сунков, на основе которых выполняются практические работы
учащихся по измерению.
Назовем минимум предметов учебного оборудования к разде-
лу «Площадь многоугольника».
1) набор демонстрационный бумажных фигур, с помощью
которого впервые вводится представление о площади фигуры
(упр. № 371, М. 3);
2) таблицы № 4, 5, 6 из серии «Таблицы по математике для
III класса». М., «Просвещение», 1972, 1973.
Многие из них могут быть самодельными.
В случае, если учитель имеет в своем распоряжении необхо-
димое оборудование (диапроектор, экран), то можно рекомен-
317
довать использование (последовательно, по фрагментам) диа-
фильмов «Прямоугольник. Его периметр и площадь», «Геомет-
рия в III классе» или «Измерение величин. Таблица мер»,
выпускаемых студией «Диафильм». М., 1971—1975.
Особое внимание учитель должен уделить организации и ме-
тодике проведения первого урока, на котором впервые будет
использоваться термин «площадь».
Одной из особенностей этого урока является четкое сочетание
фронтальной и индивидуальной работы с опорой на демонстра-
ционные пособия (рисунки на доске, таблицы, кадры диафиль-
ма) и иллюстрации учебника.
Цель этого урока сформировать у учащихся необходимые
представления, на основе которых они могут правильно упот-
реблять термин «Площадь фигуры». Новому материалу на этом
уроке отвести 70—80% времени.
Приведем подробно один из возможных вариантов такого
урока.
Работа над новым материалом начинается с беседы учителя.
На доске — бумажный круг и квадрат. Под ними изображены
такие же (равные) круг и квадрат внутри круга. Их можно за-
штриховать цветными мелками соответственно цвету бумажных
фигур. Учитель рассказывает и показывает. Квадрат является
частью круга. В этом случае можно сказать, что площадь квад-
рата меньше площади круга (показывает бумажные фигуры;
помещает бумажный квадрат в круг). Обращает внимание на то,
что квадрат помещается внутри круга. После такого вступления
дети самостоятельно рассматривают упражнение № 371. Таким
образом, выяснить, площадь какой из фигур больше или меньше,
можно путем наложения одной на другую. Если, например, тре-
угольник можно наложить на круг так, чтобы он весь поместился
внутри круга (составил часть круга), можно точно сказать, что
«площадь треугольника меньше площади круга», или «площадь
круга больше площади треугольника».
Затем предложенный способ сравнения фигур по их площади
проверяется, например, на фигурах, изображенных на рисунке 58
(такие фигуры достаточно больших размеров вырезаются из бу-
маги).
Оказывается, что ни одна из этих фигур не помещается (при
наложении) внутри другой. Как быть?
Рассматривается упражнение № 372, при выполнении кото-
рого обнаруживается еще один способ сравнения площадей фигур:
разбить каждую фигуру на равные квадраты (клетки тетради) и
находить число квадратов (клеток), из которых составлена каж-
дая из сравниваемых фигур. Например, площадь фигуры А
(рис. 59) меньше площади фигуры Б потому, что фигура А со-
держит 17 клеток, а фигура Б — 20 таких же клеток. Затем фрон-
тально рассматриваются задания № 373, 374, 375 (или же Им по-
добные). При решении задачи М 373 важно установить фигуру,
318
имеющую наибольшую площадь, — розо-
вый прямоугольник (так как любая из
остальных фигур помещается внутри
этого прямоугольника, составляет его
часть). Если для некоторых учащихся за-
дание № 375 вызывает затруднения, то
необходимо на заранее подготовленных
из бумаги фигурах продемонстрировать,
как из 2 треугольников (половин клеток)
можно составить одну целую цлетку —
квадрат.
В качестве самостоятельной работы в
классе можно дать задачи № 376 и 377
(по вариантам). Учащиеся перерисовыва-
ют соответствующие фигуры (по клеткам)
в тетрадь и около каждой записывают
искомое число клеток. На дом дается
противоположный вариант задания.
На следующем уроке вводится пред-
ставление о квадратном сантиметре.
Для этого детей просят нарисовать в тетради квадрат со
стороной в 1 см. Учитель рассказывает, что такой квадрат
называют квадратным сантиметром. Его площадь принимают за
единицу измерения площади. Эта единица также называется
квадратным сантиметром. Сообщает о правилах записи и чтения:
«5 кв. см — 5 квадратных сантиметров».
После рассмотрения задачи № 381 выясняется смысл задания
«найти площадь фигуры в квадратных сантиметрах». Делается
вывод, что для нахождения площади фргуры в квадратных санти-
метрах нужно найти число квадратных сантиметров, на которые
можно разбить (разделить) фигуру или из которых эта фигура
может быть составлена (сложена).
После рассмотрения в целях предварительного закрепления
полученных сведений в памяти учащихся задачи № 382, полезно
рассмотреть 1—2 коротких упражнения, где «целые» квадратные
сантиметры составляются из отдельных частей фигуры. G этой
целью на доске заранее могут быть подготовлены чертежи, изо-
браженные на рисунке 60 (1, 2). Учащиеся (с места) устанавли-
вают, что площадь фигуры 1 равна 4 кв. см, 2—3 кв. см, 3—6 кв. см.
Типичным недостатком в знаниях некоторых учащихся явля-
ется смешение единиц измерения длины и площади. В частности,
дети иногда путают 1 см и 1 кв. см. Чтобы избежать появления
такого смешения уже на первом уроке, где впервые рассматрива-
ется квадратный сантиметр, нужно обратить внимание на упражне-
ние № 383, где понятия противопоставляются: 1 см и 1 кв. см;
периметр и площадь. В дополнение к этому упражнению на уроке
можно рассмотреть такое: «Начертите 3 см и 3 кв. см». На ри-
сунке 61 показаны примеры выполнения этого задания. С помощью
319
таблицы № 4 (из серии
«Таблицы по математике
для III класса») на одном
из следующих уроков сле-
дует бегло проверить,
насколько точно усвоили
учащиеся первоначальные
сведения о площади фигу-
ры. Следует обратить вни-
мание учащихся на тот
факт, что иногда площадь
фигуры можно найти не
из непосредственного сче-
та квадратных сантимет-
ров, которые ее заполня-
ют, а с помощью нахож-
дения значения выраже-
ния, которое составляется
для той или иной фигуры.
Например, для нахожде-
ния площади фигуры 2
(рис. 62) в квадратных
сантиметрах можно со-
ставить выражение 3 • 4
(заметим, что фигура сос-
тоит из 4 полос, каждая
из которых состоит из
3 кв. см); для нахожде-
ния площади фигуры 3
имеем: 5 • 3; для нахож-
дения площади прямо-
угольника, изображенно-
го на рисунке 59, мож-
но составить выражение
4-6, или 6 • 4. Площадь
прямоугольника равна
24 кв. см. Только после
такой подготовки можно
переходить к ознакомле-
нию школьников с пра-
вилом вычисления площа-
ди прямоугольника, т. е.
к формуле площади пря-
моугольника. Обычно де-
ти сами достаточно лег-
ко связывают длину пря-
моугольника с числом
квадратных сантиметров,
820
укладывающихся вдоль этой стороны. Это же самое можно ска-
зать и о другой стороне прямоугольника.
В случае, если учащиеся плохо воспримут беседу учителя,
связанную с рассмотрением задания № 387, в результате чего
формулируется правило для вычисления площади прямоугольни-
ка (а это проверяется успешностью выполнения упражнений 388
и 389), необходимо на этом же уроке (или на следующем) рас-
смотреть задания таблицы Я° 6 (из серии «Таблицы по матема-
тике для III класса»). В обоих случаях нужно остановиться на
четырех типах упражнений.
I т и п. Прямоугольник разделен линиями на квадратные сан-
тиметры. В этом случае рассматривается число столбцов (оно
равно числу, выражающему длину прямоугольника в сантимет-
рах) и число квадратных сантиметров в одном столбце (оно рав-
но ширине этого прямоугольника в сантиметрах). Произведение
этих чисел (т. е. длины и ширины в сантиметрах) и дает число
квадратных сантиметров, на которые разделен прямоугольник,
другими словами — площадь прямоугольника в квадратных сан-
тиметрах.
II тип. Прямоугольник не полностью разделен (это деле-
ние намечено частично) на квадратные сантиметры, но можно
выяснить, сколько квадратных сантиметров укладывается вдоль
каждой его стороны. Эти числа соответственно равны длине и ши-
рине прямоугольника в сантиметрах. Произведение этих чисел
дает число — площадь прямоугольника в квадратных санти-
метрах.
III тип. Стороны прямоугольника точками разделены на сан-
тиметры. Для нахождения площади нужно подсчитать число
сантиметров (длину и ширину) и перемножить их.
IV т и п. К сторонам прямоугольника приложена измеритель-
ная линейка. По их шкалам находится длина и ширина в санти-
метрах. К этому моменту почти все дети умеют составить произ-
ведение длины на ширину, значение которого и определяет пло-
щадь прямоугольника в квадратных сантиметрах.
Опыт показывает, что последовательное рассмотрение неболь-
шого числа упражнений каждого типа приводит к хорошему ус-
воению правила вычисления площади прямоугольника.
Важную роль в формировании верных и точных представле-
ний о площади фигуры играют первоначальные навыки в исполь-
зовании при измерении площади палетки, и не столько сами на-
выки, сколько связанное с ними понимание каждым учеником
III класса, что «иметь площадь» — это не только свойство прямо-
угольников. Представление о том, что площадь бывает только у
прямоугольников, к сожалению, складывается у учащихся тех
классов, в которых учитель недооценил (пропустил, не выполнил)
упражнения, связанные с измерением площадей фигур с помощью
палетки. Поэтому один из уроков должен быть специально по-
священ этому вопросу.
321
Успех такого урока зависит во многом от наличия у каждого
ученика палетки размером 10 • 10 см (квадратный дециметр из
кальки, разделенный на квадратные сантиметры). На доске
предварительно вычерчивается (на клетчатом фоне) многоуголь-
ник, как это, например, сделано на рисунке 63. Подобные задачи
уже рассматривались. Поэтому это вводное упражнение дает
возможность установить последовательность нахождения пло-
щади фигуры: вначале подсчитывают целое число квадратов (их
21), затем число «половинок» (их 8). Значит, площадь фигуры
равна 25 кв. см.
После этого рассматривается упражнение № 397. Устанавли-
вается, что площадь фигуры равна примерно 19 кв. см, из которых
«полных» квадратных сантиметров 11 и 8 кв. см дают все (15)
неполные квадратные сантиметры.
Можно рассмотреть общее правило нахождения площади фи-
гуры с помощью палетки:
1)	наложить палетку на фигуру (рис. 64);
2)	не сдвигая палетки, подсчитывается число квадратных сан-
тиметров наибольшего из многоугольников, составленного из
«целых» квадратных сантиметров. На рисунке этот многоуголь-
ник обведен жирной линией. Его площадь равна 15 кв. см;
3)	не сдвигая палетки, подсчитывается число квадратных
сантиметров, которые пересечены границей фигуры. Таких квад-
ратов оказалось 16. Эти квадраты не полностью расположе-
ны внутри фигуры. У некоторых из них фигуре принадлежит
больше половины, у некоторых — меньше. Можно в среднем ска-
зать, что общая площадь той части фигуры, которая составлена
«неполными» квадратными сантиметрами, равна 16 : 2 = 8 кв. см.
Таким образом, площадь фигуры приблизительно равна 23 кв. см
(15 + 16 ! 2 = 23). Следует подчеркнуть, что измерение площади
палеткой (так же как и измерение отрезков линейкой) выполня-
ется приблизительно.
На следующем уроке, прежде чем предлагать для самостоя-
тельной работы упражнение № 406, полезно дать необходимые
сведения об использовании палетки (можно рассмотреть табли-
322
цу № 5 из серии «Таблицы по математике для III класса»). Для
этого достаточно бегло рассмотреть общее правило, изложенное
выше. Очевидно, что это правило не должно заучиваться учащи-
мися.
На протяжении уроков, связанных с изучением и делением
многозначных чисел на однозначное, рассматриваются задачи на
вычисление площади прямоугольника (в тем числе квадрата).
Следует одновременно с площадью находить и периметр прямо-
угольника, что еще раз напомнит учащимся о существенных раз-
личиях этих понятий.
В связи с изучением деления впервые могут быть рассмотрены
задачи, в которых по известным площади и длине одной из сто-
рон прямоугольника находится длина другой стороны. При рас-
смотрении задачи № 475 выясняется, что решение задачи на на-
хождение длины сводится к составлению уравнения, на основа-
нии правила (формулы) вычисления площади прямоугольника.
При этом проводятся примерно следующие рассуждения: нам
известна ширина прямоугольника (3 см) и его площадь (18 кв. см).
Если обозначить длину этого прямоугольника буквой х, то мож-
но составить уравнение: х • 3 = 18 (так как площадь прямоуголь-
ника равна произведению длины на ширину). Решим уравнение,
найдем неизвестный множитель по произведению и другому мно-
жителю: х = 18 : 3, х — 6. Ответ: длина 6 см.
Затем полезно рассмотреть три связанные между собой зада-
чи: задачу на нахождение площади по данным сторонам прямо-
угольника и две обратные задачи (№ 476). На последующих уро-
ках, связанных с постепенным изучением алгоритмов умножения
и деления многозначных чисел, решаются все виды задач на
нахождение площади прямоугольника в квадратных санти-
метрах.
В связи с изучением умножения на трехзначное число, на од-
ном из уроков вводится еще одна единица измерения площади —
квадратный дециметр. Для введения этой единицы по аналогии
с введением единиц измерения длины отрезков дается примерно
такое объяснение: при вычислении площади больших прямоуголь-
ников, например площади классной доски или крышки стола,
в квадратных сантиметрах мы получаем большие числа. Затем
рассматривается задача № 720 (что может сопровождаться соот-
ветствующими кадрами диафильма «Измерение величин»), с по-
мощью которой вводится понятие квадратного дециметра, как
площади квадрата со стороной в 1 дм.
Сразу же устанавливается, в связи с решением задачи № 721,
а не формально, что 1 кв. дм = 100 кв. см. Для.этого просто вы-
числяется площадь квадрата со стороной 1 дм = 10 см (10 • 10 —
= 100).
Наблюдения показывают, что учащиеся достаточно легко пе-
реносят опыт вычисления площади прямоугольника в квадратных
сантиметрах на новую единицу — квадратный дециметр. Для до-
323
стижения возможности решать задачи с данными, полученными
путем непосредственных измерений при выполнении практиче-
ских работ, необходимо выполнить ряд упражнений вида:
«Выразить в квадратных сантиметрах: 2 кв. дм; 1 кв; дм 75 кв.
см» ит. п.; «Выразить в квадратных дециметрах: 300 кв. см;
2500 кв. см» и т. п.; «Выразить в квадратных дециметрах и квад-
ратных сантиметрах: 570 кв. см; 1250 кв. см» и т. п.
Некоторые из задач, связанные с вычислением площади пря-
моугольника, позволяют познакомиться с особенностями, на-
пример, увеличения площади кцддрата в зависимости от увеличе-
ния в несколько раз его стороны. Так, например, можно уста-
новить, что если сторону квадрата увеличить в. 2 раза, то площадь
увеличится в 4 раза; при увеличении стороны квадрата в 3 раза
площадь увеличится в 9 раз. В III классе еще не следует добивать-
ся обобщения, основанного на этом наблюдении.
Следует практиковать задачи на вычисление площади фигур,
составленных из прямоугольников, вначале из двух прямоуголь-
ников (площадь такой фигуры может быть найдена как сумма
или разность площадей прямоугольников, ее составляющих).
Образцом наиболее сложных задач такого типа является зада-
ча № 871.
К изучению деления на двузначное и трехзначное число можно
приурочить ознакомление учащихся с еще одной единицей изме-
рения площади — квадратным метром. Необходимость введения
большей, чем квадратный дециметр, единицы площади связана
с потребностью измерить площадь таких прямоугольников,
как полы, стены, прямоугольный участок сада, огорода и т. п.
Квадратный метр — площадь квадрата со стороной 1 м (сддо этот
квадрат также называют квадратным метром). Решаются зада-
чи, в которых площадь квадрата со стороной в 1 м вычисляется
в квадратных дециметрах (10 • 10.= 100; 1 кв. м = 100 кв. дм), в
квадратных сантиметрах (100 • 100 = 10 000; 1 кв. м = 10 000
кв. см). Должна- быть составлена и усвоена (в связи с решением
задач) таблица:
1 кв. м — 100 кв. дм
1 кв. дм = 100 кв. см
1 кв. м = 100 кв. дм'== 10 000 кв. см
На этой основе учащиеся должны уметь записывать результат
измерения площадей, полученный в одних единицах, с помощью
других единиц.
§ 55. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ РАЗДЕЛА
«ВРЕМЯ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ»
Основное назначение темы «Меры времени» — обобщить накоп-
ленные представления и знания об измерении времени. Однако
здесь дети знакомятся и с новыми единицами измерения — веком
(столетием) и с решением простейших, но практически важных
324
для дальнейшего обучения (в частности, истории, географии и
др.) задач. Это задачи, в которых исчисляются даты начала или
конца и продолжительность того или иного события не только в
пределах одних или нескольких суток, но в пределах одного или
нескольких столетий.
На первом из уроков, посвященных изучению «Меры времени»,
приводятся в систему ранее приобретенные знания об измерении
времени. На этом уроке следует провести краткую беседу с ис-
пользованием таблиц, циферблата часов, глобуса или фрагмента
«Измерение времени» из диафильма «Измерение величин. Табли-
ца мер». В беседе можно сообщить детям, что сутки — первая при-
родная мера времени, замеченная человеком. Она определяется
законами вращения Земли вокруг своей оси. Вспоминается, что
1 сут. = 24 ч, 1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с. Наблюдая за изменени-
ем длины солнечной тени, которую отбрасывает вертикально по-
ставленная палка, человек придумал солнечные часы. Самая ко-
роткая тень приходится точно на полдень — 12 ч дня. Для опре-
деления времени ночью и в пасмурные дни в древние времена
использовали песочные и водяные часы. Теперь для измерения
времени используют сложные приборы — механические и элект-
рические часы. Год — это время, в течение которого Земля совер-
шает полный оборот вокруг Солнца. 100 лет образуют еще одну
единицу времени — 1 век, или 1 столетие. Простой год содержит
365 суток. После каждых 3 лет (один год из четырех) наступает
год, содержащий 366 суток. Такой год называется високос-
ным. Можно заметить, например, что Олимпийские игры орга-
низуются в високосные годы.
Заметим, что усвоение таблицы мер времени многим детям да-
ется с некоторыми трудностями. Эти трудности связаны с раз-
личными соотношениями между единицами времени в отличие,
например, от десятичных соотношений между мерами длины. По-
этому усвоение таблицы должно проходить постоянно, переход от
одной единицы времени к другой выполняется на небольших
числах и должен по возможности иллюстрироваться различны-
ми примерами и средствами наглядности.
Так, например, при ознакомлении с годом, месяцем целесо-
образно использовать табель-календарь и круговую схему ( № 891
из учебника III класса). С помощью этих пособий дети усваива-
ют порядок следования месяцев в году, продолжительность каж-
дого месяца, названия зимних, весенних, летних и осенних меся-
цев и т. д.
По табелю-календарю выясняются дни недели, связанные с
различными событиями. Например, на какие дни недели в теку-
щем году приходятся 1 и 2 мая, 7 и 8 ноября? На какой день при-
ходится день твоего рождения? Непосредственно подсчитывается
число дней (продолжительность каникул и других событий).
Параллельно выполняются упражнения (на основе использо-
вания таблицы мер) в замене крупных единиц времени более мел-
- 325.
кими и наоборот. Например, 5 сут = 120 ч; 3600 с = 60 мин =
1 ч, 3 ч 28 мин = 208 мин, 129 с = 2 мин 9 с и т. п.
Только после того, как учитель убедился в том, что дети усвои-
ли таблицы, можно переходить к изучению правил сложения и вы-
читания и решению несложных задач, где требуется выполнить
действия над числами, означающими время.
На уроке, где рассматривается сложение, сначала рассмат-
риваются упражнения вида, в которых сумма минут {секунд)
меньше, чем 60, а сумма часов — меньше, чем 24:
LO СО + 1	сут	3	ч	4-Ю	мин	25 с	1 12 ч 22 мин-
	сут	17	ч или	+25	мин	И с или '10 ч 17 мин	
8	сут	20	ч	35	мин	36 с	22 ч 39 мин
После	этого рассматриваются					более	сложные случаи вида:
	сут	12	ч	+4	мин	37 с	। 1 год 7 мес.
^4	сут	15	ч	9	мин	28 с	~3 года 8 мес.
9	сут	27	ч	26	мин	65 с	4 года 15 мес.
10	сут	3	ч	27	мин	5 с	5 лет 3 мес.
Трудность при решении приведенных или аналогичных приме-
ров связана с тем, что сумма часов в первом из них составляет
27 ч или 1 сут 3 ч. Поэтому получившиеся 1 сут необходимо доба-
вить к сумме суток (9 сут + 1 сут = 10 сут). Во втором примере
сумма секунд, число 65 с, превышает 1 мин и равна 1 мин 5 с.
Здесь между минутами и секундами вступает иное соотношение
(1 мин = 60 с), чем между сутками и часами (1 сут = 24 ч), и
ученик это должен постоянно помнить. Поэтому на первых порах
обучения решению таких примеров целесообразно иметь перед
глазами плакат «Таблица мер времени» или разрешать учащимся
пользоваться таблицами, помещенными на обложке учебника.
Рассмотрение вычитания целесообразно начать с решения
примеров вида!
1ч — 25 мин; 2 мин — 37 с; 12 сут — 1 сут 7 ч и т. п.
При этом вначале можно использовать записи:
1ч — 25 мин = 60 мин — 25 мин = 35 мин;
2 мин — 37 с = 1 мин 60 с — 37 с = 1 мин 23 с;
12 сут — 1 сут 17 ч = 11 сут 24 ч — 1 сут 17 ч = 10 сут 7 ч.
Одновременно с формированием навыков сложения и вычита-
ния необходимо включать в уроки решение задач, например за-
дачи: «Туристы шли пешком 2 ч 45 мин, плыли на лодке 1 ч 50 мин.
Сколько времени двигались туристы?» и т. п.
Одним из трудных вопросов является рассмотрение «12-часо-
вого» и «24-часового» счета времени в сутках. Ознакомлению с
этим вопросом следует посвятить специальный урок.
326
На этом уроке необходимо ис- (	 ж I
пользовать циферблат часов, модель, /| 1111111111111111111111 н\
приведенную на рисунке 65. Уча- Л 0 2 4 6 8 10 121416 10 20 2? 24 |
щимся рассказывается (и показыва- |	:—jr
ется на указанных пособиях), что А	в
сутки начинаются в полночь. В это	р
время обе стрелки часов показыва-
ют 12 ч ночи. 12 ч ночи совпадают
также с концом суток — 24 ч, что соответствует 0 часов —
— началу следующих суток. С помощью чертежа к упраж-
нению № 942 (М. 3) учащиеся узнают, что 17 ч — это 5 ч
вечера; 9 ч вечера — это 21 ч и т. п. Выполняются задания, в ко-
торых нужно прочитать показания часов или расположить стрел-
ки так, чтобы часы показывали 21 ч, 19 ч, 15 ч и т. п.
Полученные знания применяются при решении задач, напри-
мер таких: «Экскурсия началась в 9 ч и закончилась через 6 ч.
Когда закончилась экскурсия?» Учащиеся получают результат:
15 ч. Отвечают: «в 15 ч, или в 3 ч дня».
Для развития первоначальных временных представлений о
веках предусматриваются специальные упражнения, на основе ко-
торых вырабатывается, например, навык определения века, в ко-
тором произошло то или иное событие (например, А. С. Пушкин
умер в 1837 году. В каком веке это было?). Вначале на основе
соотношения 1 век = 100 лет устанавливается, например:
1)	сколько лет в 3 (5, 7 и т. д.) веках;
2)	сколько веков составят 800 лет; 1200 лет;
3)	сколько полных веков составляют: 387 лет; 1024 года.
Ответы на эти вопросы интерпретируются с помощью «вековой
шкалы» (чертеж к задаче № 960, М. 3). Затем рассматривается
вопрос о событиях, происходивших в 1812, 1870, 1917, 1941—
1945 гг., в 1961 г. и т. п. Определяется, к какому веку относятся
эти события.
Следует напомнить учителю, что в начальной школе решаются
наиболее простые задачи. Следует добиваться легкости в ре-
шении этих задач каждым учащимся, не усложнять их.
§ 56. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДРОБИ»
Ознакомление учащихся III класса с дробными числами в
форме обыкновенных дробей проводится в связи с изучением
умножения и деления многозначных чисел и основывается на
представлениях, знаниях, умениях и навыках, выработанных
учащимися II класса при ознакомлении с долями величин (числа).
Методика ознакомления с простейшими дробями имеет своей ос-
новой опору на конкретные образы долей величины, па практи-
ческое получение той йли иной доли, а затем и дроби, путем де-
ления предметов, геометрических фигур на нужное число равных
327
частей и т. п. Здесь не допускается попытка формально определить
это понятие.
В зависимости от подготовленности класса на изучение раз-
дела «Дроби» может быть отведено 7—8 уроков. Причем в уроки,
на которых дети знакомятся с новым для них материалом — дро-
бями, включается (до 50%) текущий материал, связанный с со-
вершенствованием техники вычислений, решения уравнений, ре-
шения задач.
В результате изучения этого раздела учащиеся должны:
1)	уметь называть и показывать доли со знаменателями, не
превышающими числа 10, знать обиходное название таких долей,
111
как —, —, — (половины, трети, четверти);
2)	уметь читать и записывать обыкновенные дроби со знаме-
нателями, не превышающими числа 10, уметь указать знамена-
тель и числитель дроби и показать соответствующую дробь от-
резка (круга, прямоугольника);
3)	уметь сравнивать (с опорой на рисунок) указанные выше
дроби. Без опоры на рисунок уметь сравнивать дроби, у которых
111
числитель равен 1 (—, —, — и т. д.);
2 3 4
4)	уметь решать задачи на нахождение доли числа и числа по
его доле, а также на нахождение дроби числа.
Формирование перечисленных знаний, умений и навыков
достигается в ходе практической деятельности учащихся при ре-
шении системы специально подобранных задач и с применением
необходимого минимума учебного оборудования.
Назовем среди них:
1)	набор (демонстрационный) кругов и прямоугольников (бу-
мажных или картонных), разделенных на различное число частей
(долей);
2)	таблицы № 7, 8 и 9 из серии «Таблицы по математике для
III класса» (М., «Просвещение», 1973);
3)	набор бумажных прямоугольников (полосок) длиной 10 см
или 12 см (на каждого ученика по 8—10 полосок) для проведения
практических работ, иллюстрирующих образование дробей;
4)	карточки-задания по математике для. III класса, серии
С — 21 и учебные диафильмы «Доли величины. Дроби» и «Гео-
метрия в III классе» (студия «Диафильм», Москва).
Первый из уроков, посвященный ознакомлению учащихся с
обыкновенными дробями, начинается короткой беседой, в ходе ко-
торой (с применением таблиц и набора бумажных фигур) обнов-
ляются представления учащихся о долях величины — одной из
равных -частей, на которые разделен отрезок.
При выполнении задачи № 518 (или аналогичной), кроме
одной доли, например «одной четверти отрезка», можно рас-
сматривать «две четвертые», «три четвертые», «одну четвертую»
и «две четвертых», «три четвертых», и назвать их дробями. G
328
помощью таблицы, рисунка на доске или, если имеется, то кадра
диафильма (рис. 66) рассматриваются дроби фигуры и сообща-
(2 \
— . Для первич-
5 /
ного закрепления выполняется задание № 519 или ему подобное.
После такой подготовки детям сообщают первоначальные све-
дения о названиях и значениях чисел, с помощый которых запи-
сывается дробь (числитель и знаменатель).
Одновременно выполняется упражнение 520. Упражнения
К» 519 и 521 могут быть оставлены для домашней рабо!ы. В ка-
честве подготовительного в классе могут быть использованы
кадр диафильма (рис. 67) или соответствующая таблица (рису-
нок), выполненная учителем на клетчатой части доски. В связи с
решением в классе задачи № 522 (самостоятельно с последующей
проверкой) учитель может дать указание, что в этом случае удоб-
но взять отрезок длиной в 10 клеток, и напомнить, что — дм =
== 1 сМ, затем рассмотреть упражнение, аналогичное тому, ко-
торое дано на рисунке 68. Затратив на изложенную выше работу
2
около — времени урока, оставшуюся часть его можно использовать
для вычислительных упражнений, связанных с совершенствова-
нием навыков сложения, вычитания, умножения на однозначное
число, на 10, 100, 1 000 и т. д.
На следующем уроке, отведенном для дальнейшего ознаком-
ления детей с дробями, на изучение нового можно отвести не-
сколько меньше времени (до 50%). На этом уроке, опираясь на
уже имеющиеся сведения, рассматривается важный факт, от усво-
ения которого в дальнейшем зависит понимание основного свой-
ства дроби, понимание способа получения дробей с другими зна-
менателями, сравнение дробей с одним и тем же числителем и
другое. При фронтальном рассмотрении задачи № 528 с привле-
чением к этому отдельных учащихся, по чертежу, выполненному
на доске (и такому же чертежу в учебнике), устанавливается, что
«единица содержит две половины,

Прямоугольник разделен на 5долей. 2 доли прямо-
угольника закрашены. Говорят, п закрашено две пя-
тых прямоугольника" Вместо cnofi „дде пятых"
пишут j. Назовите и запишите, какая часть
круга закрашена»
Рис. 66
329
Рис. 68
!! ян
Какую часть дециметра составляет длина каждого из
изображенных предмето8(назадите и запишите).
Начертите 8тетради отрезки: 1дм; £ дм; / дм.
Какую dpoSt квадрата Мсоставляют фигуры
А,б,В,Г?
Рис. 69
1	1
восьмых», что — может быть получена делением — на две рав-
4	2
1 1
ные части или соединением (сложением) — и —. Пользуясь чер-
8	8
тежом, дети	решают	задачи	№	529,	530. Они убеждаются в том,
1	2	1	4	1	2
что — = —; — =	—;	—	=	—	и т.	д.
2	4	2	8	4	8
В классе может быть выполнена (устно) задача № 531 (1).
На последующих уроках рассматриваются последовательно
задачи № 535, 536, 538. Их назначение то же, что и задачи № 528.
Дополнительно с опорой на рисунок сравниваются дроби с раз-
личными знаменателями. Для сравнения удобно использовать
отрезки.
Важное место в совершенствовании представлений о дроби
занимают задачи № 545, 549 и им подобные. При их рассмотре-
нии учащиеся обнаруживают (устанавливают) часть (дробь)
прямоугольника, закрашенную или незакрашенную. Для трени-
ровки в выполнении этих задач можно использовать заранее под-
готовленные (на клетчатой части классной доски) чертежи или
кадры диафильма (рис. 69). При решении этих задач вначале
находится знаменатель будущей дроби. Его значение, как прави-
ло, равно числу частей (клеток-квадратов), на которые разделе-
на фигура. Затем подсчитывается число закрашенных (или не-
закрашенных) клеток. Полученное число является числителем
искомой дроби. Например, в задаче № 549 (1) мы получили, что
з
красным цветом закрашена — квадрата. Можно преобразовать
1	3	1
этот результат и получить — (так как — = —). Можно получить
3	9.3
1	3
результат — и непосредственным наблюдением (минуя —). При
этом рассуждак)т примерно так: квадрат разделен на три части
(красную, белую, синюю). Красная — Д- квадрата. Затем уста-
' о
33(1'
навливают, что закрашено
1
квадрата, не закрашена —
3
квад-
рата. Закрашенная часть больше незакрашенной па —.
Полученные сведения о дробях и их изображениях использу-
ются при решении задач двух типов: 1) нахождение дроби числа
и 2) нахождение числа по его доле (по дроби с числителем, рав-
ным единице).
Учитель не должен спешить с общими выводами, что при на-
хождении дроби числа сначала находят «одну долю» (делят чис-
ло на знаменатель дроби), а затем и всю дробь числа (получен-
ный результат умножают на числитель).
Целесообразно систематически иллюстрировать решение за-
дачи рисунками. Первые задачи на нахождение дроби числа дол-
жны сводиться к нахождению дроби отрезка, прямоугольника.
Так, при решении задачи № 555, центральной задачи, с помо-
щью которой впервые сообщается способ решения и характер
записи, рассматривается реальный, начерченный отрезок длиной
10 см. Для нахождения — этого отрезка выполняются и иллюст-
рируются две операции:
а)	нахождение — этого отрезка: 10 : 5 = 2 (см);
5
3
б)	нахождение длины — отрезка: 2 • 3 = 6 (см).
5
В дальнейшем при решении задачи можно составлять выра-
жение, объединяющее обе операции: (10 : 5) • 3 = 6 (см).
з
Ответ может записываться так: — от 10 см равны 6 см.
Вся работа по первоначальному ознакомлению учащихся с
получением и сравнением дробей, с решением задач, связанных-с
использованием дробей, должна осуществляться с опорой на на-
глядность. Каждый раз при решении таких задач следует исполь-
зовать рисунки, схемы, простые чертежи^ образцы которых
были приведены выше.
*. ♦ •
Заканчивая рассмотрение как общих, так и частных вопросов
методики обучения математике в начальных классах, представля-
ется целесообразным еще раз обратить внимание учителя на не-
которые вопросы методики, играющие особую роль при совершен-
ствовании процесса обучения младших школьников.
Одним из таких вопросов по-прежнему остается вопрос о пу-
тях предупреждения перегрузки детей учебными занятиями.
Передовой опыт лучших учителей школы свидетельствует, что
при работе по современным программам и учебникам могут быть
созданы условия, при которых такой перегрузки не возникнет.
331
Главным при этом оказывается умение выделить основной,
наиболее важный для данного этапа обучения материал, умение
отличить существенное от несущественного. Одной из причин
появления перегрузки чаще всего и бывает стремление учителя
рассматривать все вопросы, включенные в программу и учебник
данного класса, на одинаково высоком уровне.
Именно поэтому рассмотрение методики изучения каждой те-
мы программы в книге мы начинали с указаний на то, «чему долж-
ны научиться дети в результате работы над темой». Выделенные
вопросы и должны рассматриваться в качестве основных, на их
изучении должно быть сосредоточено главное внимание. Рассмот-
рение остального материала должно носить ознакомительный
характер. Из этого, однако, не следует, что этот материал, в
той или иной части, вообще можно опустить, так как его включение
в программу и учебник связано с необходимостью заблаговремен-
ной подготовки к более полному и основательному его изучению
в дальнейшем.
Другой причиной возникновения перегрузки, как показывает"
опыт, может стать нерациональное распределение материала во вре-
мени. Довольно типичным остается такое положение, когда учи-
тель старается каждый новый вопрос сразу, немедленно дово-
дить до требуемого уровня усвоения, проводя большое число
тренировочных упражнений, направленных на закрепление при-
обретаемых знаний в течение ближайших уроков. При этом нару-
шается правильное соотношение между рассмотрением нового
и постепенным закреплением, развитием, углублением приобре-
тенных ранее знаний, умений и навыков, нарушается логика учеб-
ного процесса, заложенная в программе и учебниках. В настоя-
щей книге мы неоднократно обращали внимание учителя на во-
просы планирования работы по теме, на целесообразное исполь-
зование материалов учебника и других пособий, построенных
в соответствии с ним. Только при этом условии учитель может с
реальной пользой для дела реализовать творческий подход в
своей работе, не приводящий к искажению требований про-
граммы.
Общепризнанно, что основная работа по изучению курса долж-
на быть обеспечена на уроках. Домашние задания и другие формы
внеурочных занятий с детьми по своему объему и содержанию не
должны превышать существующих норм. Нарушение этого тре-
бования в практике работы некоторых учителей становится одной
из важных, причин перегрузки учащихся. Нарушение правиль-
ного соотношения между работой детей на уроке и вне урока явля-
ется следствием недостаточной продуманности содержания урока,
его построения, отбора методов и средств обучения, используе-
мых на уроке.
Главный резерв повышения эффективности обучения в целом
и Следует искать в улучшении качества каждого урока. При этом
большое значение имеет усиление воспитывающей и развивающей
332
роли обучения математике. При рассмотрении конкретных во-
просов методики мы стремились показать, какие методы и приемы
обучения, в зависимости от конкретного материала и целей обу-
чения, способствуют пробуждению у детей интереса к занятиям,
усилению их активности и самостоятельности, пробуждению
творческой мысли ребепка.
В основе мастерства учителя, несомненно, лежит умение
весь процесс обучения построить так, чтобы дети были активными
участниками этого процесса. Это — основное условие, необхо-
димое для успешного решения учебных и воспитательных задач
обучения математике младших школьников.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................. 8
I. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
Глава 1
МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МЛАДШИХ
ШКОЛЬНИКОВ
f 1. Понятие методической системы ........................  5
§ 2. Цели обучения математике в I—III классах.............. 7
I 3. Взаимосвязи между основными элементами методики....... 9
Глава 11
СОДЕРЖАНИЕ И СИСТЕМА ПОСТРОЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ
} 4. Арифметический материал в программе ................. 13
§ 5.	Алгебраический и геометрический материал в программе ...	18
§ 6.	Текстовые задачи в начальном курсе математики....... 20
Глава III
СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В I-Ш КЛАССАХ
§ 7.	Учебник и другие учебные пособия.................... 22
5 8. Различные средства наглядности ...................... 32
Глава IV
ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ;
ЕГО ОРГАНИЗАЦИЯ
§ 9.	Общие вопросы организации обучения	........ 38
§ 10.	Урок. Система уроков	........................... 40
§ 11.	Внеурочная работа с детьми , ....................... 50
§' 12. Контроль и учет знаний, умений и навыков учащихся ....	59
3$4 
Глава V
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В I—III КЛАССАХ
§ 13.	Методы обучения и их виды............................ 65
§ 14.	О соотношении между различными методами в процессе обучения
и о направленности этих методов............................ 70
§ 15.	О выборе методов, наиболее отвечающих конкретным условиям
обучения .................................................. 79
Глава VI
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВОПРОСОВ КУРСА
§ 16.	Методика изучения нумерации чисел....................... 84
§ 17.	Методика изучения арифметических действий............... 91
§ 18.	Методика рассмотрения элементов алгебры ................ 93
§ 19.	Методика изучения геометрического материала ............ 99
§ 20.	Методика ознакомления детей с величинами и их измерением. .	105
§ 21.	Методика обучения решению задач........................ 110
II. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕМ ПРОГРАММЫ
Глава VII
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДЕСЯТОК»
§ 22.	Чему должны научиться дети в результате работы над темой. .	127
§ 23.	Методика работы, направленной на подготовку детей к изуче-
нию нумерации и арифметических действий .........	131
§ 24.	Методика изучения нумерации чисел первого десятка .....	136
I 25. Методика изучения сложения и вычитания в пределах 10 . . . 144
f 26. Простые арифметические задачи на сложение и вычитание . . . 153
§ 27. Первые шаги в формировании понятий «равенство», «неравенство»,
«уравнение» .........................................   160
§ 28.	Геометрический материал и первое знакомство с величинами и
их измерением ......................................    165
Глава VIII
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «СОТНЯ»
§ 29.	Чему должны научиться дети в результате работы над темой . •	177
§ 30.	Методика изучения нумерации чисел в пределах 100...................................... 179
§ 31.	Первое знакомство с составными задачами............................................... 183
§ 32.	Новые виды простых задач на сложение и вычитание в теме
«Сотня» .....................................................  188
§ 33.	Методика изучения сложения и вычитания в пределах 100	.	.	192
§ 34.	Методика изучения умножения и деления в пределах	100 ..	.	.	203
§ 35.	Простые задачи, решаемые умножением и делением	*.....	220
§ 36.	Работа над составными задачами новых видов.................................. 228
§	37.	Элементы	алгебры в теме	«Сотня»	................ 233
§	38.	Геометрический материал	в теме «Сотня» ............. 240
§	39.	Методика	ознакомления с	долями	величины	.	. •... 250
$	40.	Методика	изучения темы	«Время	и его измерение».	252
835
Глава IX
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ТЫСЯЧА»
§ 41.	Чему должны научиться дети в результате изучения темы . . .	254
| 42. Методика изучения нумерации чисел в пределах 1000 ........ 255
§ 43.	Методика рассмотрения приемов устных вычислений в теме
«Тысяча» .....................................................   260
§ 44.	Методика ознакомления с письменными приемами сложения и
вычитания чисел ................................................ 263
Глава X
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА»
§ 45.	Чему должны научиться дети в результате изучения темы . . .	268
| 46. Методика изучения нумерации многозначных чисел.......... 269
§ 47.	Измерение длины и массы. Метрическая система мер........ 273
§ 48.	Методика изучения сложения и вычитания многозначных чисел 276
§ 49.	Методика изучения устных и письменных приемов вычислений
при умножении и делении многозначных чисел.................... 284
§ 50.	Методика ознакомления с примерами зависимости между ве-
личинами ...................................'................. 295
§ 51.	Текстовые задачи на все действия в теме «Многозначные числа» 299
§ 52.	Элементы	алгебры в теме «Многозначные числа»............ 307
§ 53.	Элементы	геометрии в теме «Многозначные числа».......... 310
§ 54.	Методика	изучения раздела «Площадь многоугольника» . . .	316
| 55.	Методика	изучения раздела «Время и его измерение»....... 324
§ 56.	Методика	изучения темы «Дроби» ......................... 327
ИБ № 4328
Мария Игнатьевна МОРО,
Анатолий Михайлович ПЫШКАЛО
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
В I-Ш КЛАССАХ
Редактор Л. А. Сидорова
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор В. Ф. Коскйна и М. М. Широкова
Корректор Т, Ф. Алексина
Сдано в набор 20. 07. 77. Подписано к печати 03. 03. 78. 60Х90’/м. Бумага тип. № 3.
Лит. гарн. Высокая печать. Условн. л. 21. Уч.-изд.- л. 23,22. Тираж 400 000 экз.
Заказ № 367. Цена 95 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглав-
полиграфпррма Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

95 коп.