Текст
                    московский АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
м. В. БОЛДИН е. с. КОЧЕТКОВ
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
МОСКВА • 1993
Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации
КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
МОСКОВСКИЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
М.В, БОЛДИН Е.С. КОЧЕТКОВ
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Учебное пособие
Утверждено на заседании редсовета 20 мая 1992 г.
I ц С. Орджоникидзе
8	।	-------—~ -----
Москва Издательство МАИ 1993
Болдин М.В., Кочетков Е.С. Практикум по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАЙ, 1993. - 92 с.
Предназначено для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов по курсу теории вероятностей и математической статистики, читаемому на факультете "Прикладная математика' МАИ.
В значительной своей части пособие может быть использовано при изучении теории вероятностей и математической статики также студентами инженерных факультетов МАИ.
Рецензенты: Ю.Ф. Кичатов, И.С. Попов
ISgN 5-7035-0725.1
Московский авиационный институт, 1993
ПРЕДИСЛОВИЕ
Издано немало задачников по теории вероятностей и математической статистике. Однако методика^ проведения практических занятий по этой дисциплине разработана слабо. Поэтому даже использование хорошего задачника нередко вызывает определенные трудности. В условиях постоянно ощущаемого цейтнота важно выделить самое главное в изучаемом материале, отказаться от соблазна "объять необъятное". Рациональный отбор задач, рекомендации по наиболее естественным методам их решения существенно облегчают задачу целенаправленного развития вероятностной интуиции студентов.
Данная работа предназначается главным образом студентам факультета "Прикладная математика" МАИ. Работа состоит из 27 разделов, каждый из которых охватывает материал одного практического занятия. Разделы разбиты на пункты, отражающие наиболее важные моменты рассматриваемой темы. Первая задача в каждом пункте предназначена для рассмотрения в аудитории во время практического занятия. Как правило, это -ключевая задача пункта; она не обязательно самая легкая в пункте. Все остальные задачи пункта расположены в порядке возрастающей трудности и предназначаются для самостоятельного решения студентами (что, конечно, не исключает возможности их решения и на практическом занятии).
Предложенная структура пособия позволяет легко ориентироваться в задачнике. Поэтому в значительной своей части "Практикум" вполне может использоваться и на инженерных факультетах МАИ, где на изучение теории вероятностей и математической статистики отводится меньше времени, чем на факультете "Прикладная математика*. Это подтверждает опыт работы авторов в МАИ.
Разд. 1 - ХУП составлены Е.С. Кочетковым, разд. ХУ 111 - ХХУ11 - М.В. Болдиным.
Авторы благодарят рецензенте® Ю.Ф. Кичатова и И.С. Попова за рекомендации по улучшению рукописи.
Раздел 1. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - 1
1.	Задачи, связанные с простым перебором возможных комбинаций
1.1.	Какова вероятность того, что при случайном расположении трехтомника стихотворений на полке хотя бы один том окажется на своем естественном месте?
1.2.	Что более вероятно при подбрасывании двух монет: монеты лягут одноименными или разноименными сторонами?
1.3.	Подбрасывают две игральные кости. Что более вероятно:
а)	выпадут цифры одинаковой или разной четности;
б)	выпадут одинаковые или разные цифры;
в)	сумма выпавших очков будет четной или нечетной?
1.4,	Какая сумма очков (9 или 10)* наблюдается чаще при подбрасывании:
а)	двух игральных костей;
б)	трех игральных костей?	«I
1.5.	Из ста занумерованных карточек £1, 2, ...» 100j наугад выбирается одна карточка. Какова вероятность того, что ее номер содержит: а) цифру О; б) цифру 5?
1.6.	Деревянный кубик с окрашенными гранями распиливается на 125 кубиков, из которых затем наугад выбирается один кубик. Какова вероятность того, что он будет содержать:
а)	ровно одну окрашенную грань;
б)	ровно две окрашенные грани;
в)	ровно три окрашенные грани;
г)	хотя бы одну окрашенную грань;
д)	не менее двух окрашенных граней?
4
1/7. Написано м писем и к ним подписано П, конвертов. Затем письма наугад вложены в конверты и отосланы по почте. Какова вероятность того, что (при П =3) по назначению:
а)	не попадет ни одно письмо;
б)	попадет ровно одно письмо;
в)	попадут ровно два письма?
1.8.	Какова вероятность того, что число, взятое наугад из множества { 1, 2,	делится на заданное число К ?
Найдите предел этой вероятности при М 0-0 •
2.	Перестановки в классической схеме теории вероятностей
2.1.	Шары (7тг белых и черных) располагаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что на k -м месте окажется белый шар?
2.2.	Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад составляется пятизначное число (без повторяющихся цифр). Какова вероятность того, что составленное число будет четным?
2.3.	В связке 20 ключей, из которых только один подходит к данному замку. Найдите вероятность того, что для открывания замка придется испробовать ровно половину этих ключей.
2.4.	Техническое устройство, состоящее из десяти блоков, вышло из строя из-за отказа одного из блоков. Для его отыскания проверяют все блоки по очереди, пока не обнаружится неисправный блок. Определите вероятность того, что проверять придется все десять блоков.
2?5, В группе 20 студентов. Из 30-ти экзаменационных билетов студент знает лишь 25. Какова вероятность того, что, идя на экзамен последним, он достанет счастливый билет?
2.6,	Из 30-ти экзаменационных билетов студент А не f знает двух, а студент В - трех билетов. Кому из них выгоднее брать билет первым и кому вторым?
2.7.	Из урны, содержащей первоначально 20 белых и 10 черных шаров, пропал один из шаров. После этого из нее наугад извлекают шар. Какова вероятность того, что это будет белый шар?
2.8.	Из урны, содержащей первоначально 20 белых и 10 черных шаров, пропало 15 каких-то шаров. После этого из нее
наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что это будет черный шар?
5
2.9.	При подбрасывании 10-ти монет выпало 3 * герба ' и 7 'решек*. Какова вероятность того, что первая монета выпала 'гербом*?
2.10.	Иэ первой урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров, наугад извлекают 6 шаров и помещают их во вторую, пустую урну. Затем иэ второй урны наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что это будет белый шар?
2.11.	Шары (10 белых и 5 черных) наугад рассыпают в две урны: в первую попадает 8 шаров, во вторую - 7 шаров. Иэ какой урны вероятнее достать наугад белый шар: из первой или из второй?
Компания иэ 10-ти человек, среди которых находятся А и В , наугад рассаживается с одной стороны прямоугольного стола. Какова вероятность того, что между А и В окажется ровно:
а)	три человека;
б)	пять человек?
2.13.	Компания из 10-ти человек, среди которых находятся Л и В , наугад рассаживается за круглым столом. Какова вероятность того, что А и В окажутся друг против друга?
3.	Размещения в классической схеме теории вероятностей
3.1.	Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад составляется трехзначное число (без повторяющихся цифр). Какова вероятность того, что это число будет четным?
3.2,	Две ладьи (белая и черная) ставятся на шахматной доске наугад. Что более вероятно: ладьи будут или не будут бить друг друга?
3.3.	В урне 6 белых, 5 синих и 4 красных шара. Иэ нее наугад извлекают шары по одному (без возвращения) до тех пор, пока извлеченный шар не окажется красным. Какова вероятность того, что из урны придется извлечь не менее четырех шаров?
3.4.	Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, наугад последовательно достают все шары и укладывают их и ряд. Чему равна вероятность того, что в этом ряду крайними окажутся шары разного цвета?
6
3.5.	В чулане десять пар ботинок. Случайно выбираются четыре ботинка. Определите вероятность того, что среди них найдется по крайней мере одна пара
3.6.	Какова вероятность того, что при произвольной расстановке букв А,А,А,А,А,Б*Б,Д,К,Р,Р образуется слово АБРАКАДАБРА?
4.	Примеры комбинаций с повторениями
4.1.	Как велика вероятность того, что взятое наугад пятизначное число записывается пятью разными цифрами?
4.2,	Подбрасываются три игральные кости. Какова вероятность того, что все выпавшие цифры будут разными?
4.3.	Какова вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости выпадет каждая из цифр 1,2,3,4,5,6?
4.4.	В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошло четыре человека. Чему равна вероятность того, что на каком-нибудь. этаже выйдет не менее двух из них?
4.5.	В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошло восемь человек. Какова вероятность того, что (при отсутствии других пользователей) лифт, Поднимаясь вверх, проско-чет какой-нибудь этаж?
4.6.	В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли трое. Найдите вероятность того, что для их выхода лифт будет останавливаться дважды.
4.7,	На прошлой неделе в городе произошло семь автомобильных катастроф. Предположим, что каждая из них, независимо от остальных катастроф, с одинаковой вероятностью могла случиться в любой день недели. Найдите вероятность того, что в понедельник в городе произошло не менее двух катастроф.
Раздел П. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - 2
1.	Сочетания в классической схеме теории вероятностей
1.1.	В коробке 90 годных и 10 дефектных шурупов. Какова вероятность того, что из пяти взятых наугад шурупов ни один не окажется дефектным?
1.2.	В урне 10 шаров, в том числе несколько белых. Вероятность того, что два одновременно извлеченных из урны
7
шара окажутся белыми, равна 1/3. Сколько в урне белых шаров?	.
1.3.	Из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 наугад выбирают три цифры. Какова вероятность того, что:
а)	в число отобранных цифр попадет цифра 9;
б)	произведение отобранных цифр будет четным?
1.4»	Из полной колоды карт (52 листа) вынимают одновременно 4 карты» Рассмотрим события: (среди вынутых карт есть хотя бы один туз); В (среди вынутых карт есть хотя бы одна бубновая), С (среди вынутых карт есть хотя бы одна червовая)» Найдите вероятности Р(Л ) и Р( В + С).
1.5.	Из чисел 2,4,6,7,8,11,12 и 13 наугад выбирают два числа и одно из них рассматривают как числитель, а другое как знаменатель дроби. Определите вероятность того, что полученная в результате дробь будет несократимой.
1.6.	Из урны, содержащей 5 белых, 4 синих и 2 красных шара, наугад извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них найдутся два разноцветных шара?
2.	Усложненные примеры использования сочетаний
2.1.	В коробке 90 годных и 10 дефектных шурупов. Какова вероятность того, что из пяти взятых наугад шурупов ровно два шурупа окажутся дефектными?
2»2. Из урны, содержащей 7 белых, 4 синих и 3 красных шара, одновременно извлекают 5 шаров. Определите вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.
2.3»	Из всех двузначных чисел наугад выбирают 4 числа. Чему равна вероятность того, что два из них будут меньше, чем 40, и два - больше, чем 80?
2.4,	В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию разбиваются на две группы по 10 человек. Найдите вероятность того, что:
а)	двое наиболее сильных игроков попадут в разные группы;
б)	четверо наиболее сильных игроков попадут по два в разные группы.
2.5,	Из урны, содержащей 2 белых, 3 синих и 5 красных шаров, наугад извлекают 3 шара. Найдите вероятность того, что среди них найдутся шары одинакового цвета.
8
2.6,	Из полной колоды карт (52 листа) одновременно достают 3 карты. Какова вероятность того, что:
а)	этими картами окажутся тройка, семерка, туз;
б)	среди вынутых карт хотя бы две будут одной масти;
в)	среди вынутых карт окажется ровно две дамы, причем одна иэ них - дама пик?
2.7,	Иэ букв слова ЛАМБАДА наугад выбирают пять букв. Какова вероятность того', что иэ выбранных букв можно составить:
а)	слово БАЛДА;
б)	слово ЛАДА;
в)	слово БАЛ;
г)	любое из слов БАЛДА. ЛАПА, БАЛ?
д)	хотя бы одно из слов БАЛДА, ЛАДА, БАЛ?
3.	Идея симметрии в классической схеме теории вероятностей
3.1,	Иэ множества *{1,2, ...» 100} последовательно, без возвращения, выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что второе число будет больше первого?
3,2.	Двое по очереди по одному разу подбрасывают игральную кость. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Какова вероятность того, что выиграет первый игрок?
3,3,	Из множества {1,2, ..., 100 j последовательно, без возвращения, наугад выбирают три числа. Найдите вероятность того, что третье число будет заключено между двумя первыми числами»
3.4,	Какова вероятность того, что при подбрасывании ста монет выпадет четное число 'гербов'?
3*5. Из всех подмножеств множества { наугад выбирают одно подмножество. Чему равна вероятность того, что оно содержит элемент Л^?
4.	Условная вероятность в классической схеме
4.1.	Иэ урны, в которой первоначально было 10 белых и 5 черных шаров, потеряны два шара. После этого иэ нее наугад извлекли одновременно 3 шара и все они оказались белыми. Какова вероятность того, что оба потерянных шара были черными?
9
±2. Из урны, в которой первоначально было 10 белых, 5 синих и 1 красный шар, пропал какой-до шар. После этого из нее извлекли наугад два шара; один из них оказался белым, а другой - синим. Какова вероятность того, что из урны про-* пал красный шар?
4.3,	Шары ( тп белых и Ъг черных) располагаются в ряд в случайном порядке. Вычислите:
а)	вероятность того, что на последнем месте будет черный шар;
б)	условную вероятность того, что на последнем месте окажется черный шар, при условии, что на первом месте будет белый шар.
4.4.	Трехтомник стихотворений расположен на полке в случайном порядке. Найдите:
а)	вероятность того, что первый том расположен на полке первым;
б)	условную вероятность того, что первый том расположен на полке первым, при условии, что вторым на полке стоит второй том.
4.5,	Разность выпавших очков при бросании двух игральных костей по модулю равна 2. Какова вероятность того, что сумма этих очков больше 5?
4?G, Двое по одному разу подбрасывают игральную кость. Выигрывает тот, у кого выпадет больше очков, Найдите:
а)	вероятность того, что выиграет первый игрок;
б)	условную вероятность того, что победит первый игрок, при условии, что победитель будет определен.
4.7.	В семье двое детей. На мой звонок дверь открыл мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок в семье - тоже мальчик?
Раздел Ш. ФОРМУЛА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.	Простейшая формула умножения вероятностей
1.1,	Пирры 1, 2, 3, 4, 5 располагаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность тотхэ, что первой окажется четная, а последней - нечетная цирра?
1.2,	Некоторое 12-ггомное издание расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что третий том окажется на 7-м месте, а седьмой том на 3-м месте? 10
1.3.	В некотором институте лишь пятая часть студен-* тов - спортсмены. Среди них мастера спорта составляют 5%, кандидаты в мастера спорта - 15%, остальные - спортсмены-разрядники (т.е. имеющие 1-й, 2-й или 3-й спортивный разряд), Чему равна вероятность того, что встретившийся случайно студент этого института является спортсменом-разрядником?
1.4,	За день до экзамена студент понял, что успеет подготовиться к нему лишь с вероятностью 0,9; при этом он с одинаковыми вероятностями может рассчитывать на любую из трех оценок: 3, 4, 5. Найдите вероятность того, что студент получит оценку 5.
1.5.	Десять единиц, 10 двоек и 10 троек располагаются в случайном порядке, образуя некоторое 30-тиэначное число. Какова вероятность того, что это число делится: а) на 2;
б) на 3; в) на 4?
2,	Общая формула умножения вероятностей
2.1.	Какова вероятность того, что при случайной расстановке букв А,А,Б,Н,Н образуется слово БАНАН?
2	2. Какова вероятность того, что при случайной расстановке букв АЛ,А,А,А,Б,Б,Д,К,Р,Р образуется слово АБРАКАДАБРА?
2.3,	Шары (5 белых, 7 синих и 3 красных) располагают в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что ца 1-ми 5-м местах будут белые шары, а на 15-м месте -красный шар.
2.4.	Группа студентов (10 девушек и 5 юношей) случайно разбивается на пять групп.по три человека в каждой группе. Чему равна вероятность того, что в каждой группе будет юноша?
2.5,	10 белых, 3 синих и 7 красных шаров, находящихся в урне, извлекают парами без возвращения. Какова вероятность того, что вое 10 пар будут состоять из шаров разного цвета?
3.	Независимые события
3.1,	Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет "герб'. Какова вероятность того, что монету придется бросать: а) ровно пять раз; б) не менее пяти раз; в) не более пяти раз?
11
3.2.	При каждом выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Ему разрешено стрелять до первого промаха. Какова вероятность того, что стрелок произведет:
а)	ровно три выстрела;
б)	не менее трех выстрелов;
в)	не более трех выстрелов?
3.3.	При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,7. Найдите вероятности следующих событий:
а)	двигатель заработает при втором включении зажигания;
б)	для ввода двигателя в работу придется включать зажигание не менее четырех раз.
3.4х	Стрелку, имеющему пять патронов, разрешено стрелять до первого промаха или пока не кончатся патроны. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок израсходует н£ все имеющиеся у него патроны?
3.5.	Игральный тетраэдр представляет собой правильный четырехгранник, у которого одна грань окрашена белым, Другая - синим, третья - красным цветом, а четвертая «рань является трехцветной: поскольку содержит краски трех цветов: и белого, и синего, и красного Условимся считать, что при подбрасывании игрального тетраэдра "выпадает" та грань, на которую он ложится. Предположим теперь, что игральный тетраэдр Подбрасывается до тех пор, пока не выпадет трехцветная грань. Какова вероятность того, что тетраэдр придется подбрасывать:
а)	ровно три разд;
б)	не менее трэх раз;
в)	не более трех раз?
3.6.	Вероятность того, что деталь окажется первосортной, равна 0,95 при условии, что она изготовлена на первом станке, и 0,8 при условии, что она изготовлена на втором станке На первом станке изготовлено 3 детали, на втором - 4 детали. Определите вероятность тогр, что все эти детали - первосортные.
4> Усложненные задачи на независимые события
4,1.	Студент пользуется тремя библиотеками, комплектование которых осуществляется независимо друг от друга. Нужная ему книга может быть в данных библиотеках с вероятно-12
стами 0,5; 0,6; 0,7 соответственно. Какова вероятность того, что студент достанет нужную ему книгу в этик библиотек ках?
4.2.	На выполнение одного и того же задания вылетели три действующих независимо друг от друга экипажа. Какова вероятность того, что задание будет выполнено хотя бы одним экипажем, если вероятности его выполнения равны соответственно 0,8; 0,7; 0,6?
4.3.	Три стрелка попадают в цель с вероятностями 0,7; 0,6 к. 0'6 соответственно. Для поражения цели достаточно одного попадания в нее. Чему равна вероятность того, что при одновременном выстреле трех стрелков цель будет поражена?
4.4.	Детали проходят три независимые фазы обработки. Вероятность получения брака составляет: на первой фазе 0,03, на второй фазе 0,02, на третьей фазе 0,01. Какова вероят- . ность того, что деталь, прошедшая все три фазы обработки, окажется бракованной?
4.5.	Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания в мишень равны 0,6 и ОД' соответственно Найдите вероятность того, что:
а)	только один из стрелков попал в мишень;
б)	хотя бы один из стрелков попал в мишень;.
в)	ни один из стрелков не попал в мишень;
г)	хотя бы один из стрелков не попал в мишень.
4.6.	Система контроля качества изделий состоит из двух независимых проверок. В результате первой проверки изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью 0.01, а бракованное изделие принимается с вероятностью 0,02. При второй проверке изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью 0.001, а бракованное изделие принимается с вероятностью 0,002. Найдите вероятность того, что:
а)	бракованное изделие будет принято;
б)	изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано, 4.7. Три самолета, несущие по одному заряду каждый, поочередно атакуют наземную цель, поражая ее с вероятностями Р< t Ра >Рз соответственно. В случае поражения пели атаки прекращаются. Найдите вероятность:
а)	поражения цеци;
б)	поражения цели при условии израсходования всех бомб;
13
в)	расходования всех бомб при условии, что цель поражена
4;8. В группе из 16 человек - половина хороших и половина средних студентов. Экзамен по теории вероятностей хороший студент сдает с одинаковыми вероятностями на одну из оценок *4* и Г5Г, а средний студент - с одинаковыми вероятностями на одну из оценок *2Г и *3*. Какова вероятность того, что на экзамене хотя бы один, студент группы получит оценку: а) '4 ' ; б) '2 г ?
4.9.	Рыбак подметил, ч'го каждая пойманная им рыбка приходится в среднем на 200 забрасываний спиннинга Какова вероятность поймать хотя бы одну рыбку при 100 забрасываниях спиннинга?
4,10.	Какое минимальное число игральных костей нужно подбросить одновременно, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,6, выпала хотя бы одна 'шестерка*?
4.11,	При одном цикле обзора радиолокационной станции объект обнаруживается с вероятностью 0,9. Обнаружение объекта в каждом цикле достигается независимо от других циклов. Какое минимальное число циклов обзора нужно осуществить, чтобы вероятность обнаружения цели была не меньше, чем 0,999?
. .4 12. Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим Какое минимальное число людей вы намерены опросить, если хотите добиться своего с вероятностью, не меньшей, чем 0.5?
5. Элементы теории надежности
5>1. Техническая система состоит из П блоков, связанных между собой по схеме последовательного соединения. Это означает, что выход из строя любого блока приводит к отказу всей системы. Заданы надежности отдельных блоков! ...• Считается, что каждый блок работает нормально или выходит из строя независимо от остальных, блоков. Чему равна надежность всей системы?
5.2.	Надежность технического устройства р , Для повышения этой надежности часто используют резервные устройства. С этой шлью к основному устройству по схеме параллельного соединения подключают Лг -1 таких же резервных устройств. В результате получается система из 7Z параллельных 14
и одинаково надежных устройств, работающих независимо друг от друга. Такая система находится в работоспособном состоянии, если работоспособно хотя одно ив ТС устройств. Какова надежность всей такой системы?
5.3,	В условиях задачи 5.2 будем считать, что р =0,9. При каком числе резервных устройств надежность всей системы будет не меньше, чем 0,99?
5,4.	Начертите две-три схемы технических систем, в которых используется последовательно-параллельное соединение отдельных блоков. Проведите расчет надежности таких систем.
Раздел 1У. ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.	Вероятность суммы событий
1.1.	Иэ урны, содержащей 10 белых, 8 синих и 2 красных шара, одновременно извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что это будут шары одного цвета?
1.2.	Иэ колоды карт (36 карт) одновременно извлекают 3 карты. Какова вероятность, того, .что это будут карты: одной масти; одного цвета?
1.3,	Иэ 20 вопросов, включенных в программу экзамена, студент подготовил лишь 15. На экзамене ему будет предложено пять вопросов, причем , для получения положительной оценки он должен правильно ответить на менее, чемна три вопроса. Что более вероятно: сдаст студент экзамен или не сдаст?
2,	Задачи на совместное использование формул сложения и умножения вероятностей
2.1.	Три стрела, попадающие в мишень с вероятностями 0,5; 0,4; 0,3 соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что в мишени образовалось ровно две пробоины?
2.2,	Вероятности попадания в цель для трех стрелков равны 0,8; 0,7; 0,6 соответственно. Для поражения цели в нее нужно попасть хотя бы два раза. Определите вероятность того, что в результате одновременного выстрела трех стрелков цель будет поражена.
2.3,	Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а 15
после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Определите наиболее вероятное число попаданий охотника в цель.
2 А, Из урны, содержащей только белые и черные шары,, извлекают поочередно дра шара с возвращением. Докажите, что вероятность того, что это будут шары одного цвета, не меньше 1/2.
2.5.	Каждое изготовленное на заводе изделие с вероятностью р имеет дефект и потому проходит три этапа контроля. На первом этапе имеющийся дефект обнаруживается с веро? ятностью , на втором - с вероятностью pg , на третьем -с вероятностью р$ , При обнаружении дефекта изделия его дальнейший контроль, естественно, прекращается. Известно, что изделие было забраковано. Какова вероятность того, что это произошло на первом, втором, третьем этапе контроля?
2.6.	Синоптики А и В предсказывают погоду ('ясно* -'пасмурно'), ошибаясь с вероятностями pi и Ра соответственно. На завтра А предсказал ясную погоду, а В - пасмурную. Какова вероятность того, что завтра будет пасмурно?
2.7,	Некоторое П -томное издание расположено на книжной полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что хотя бы один из томов оказался на своем естественном месте? Составьте таблицу значений при 7Z = 3,4,5,6,7,8; чему равен предел величины при /г 00 ?
2*8, Из 10! членов разложения определителя десятого порядка наугад выбирают один член. Какова вероятность того, что он не содержит (в качестве множителя) ни одного элемента главной диагонали определителя?
3.	Более сложные задачи на совместное использование формул сложения и умножения вероятностей
3.1.	Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет 'герб'. Определите вероятность выигрыша для каждого игрока,
3.2»	Двое поочередно подбрасывают игральную кость. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет 'шестерка'. Определите вероятности выигрыша для каждого игрока.
3.5j	. Из полной колоды карт (52 листа) двое поочередно достают по одной карте по схеме с возвращением. Выигрывает тот, кто раньше достанет туза. Определите вероятности выигрыша для каждого игрока.
16
3.4.	Сопоставьте задачи Ш - 3.1 ... 3.3; в каком случае речь идет о более справедливой игре? Станет ли игра в задаче ЗеЗ более справедливой, если требование достать туза заменить требованием достать туза пик?
3.5.	В урне П шаров, помеченных числами 1,2,3,...,^ % Двое поочередно вынимают из урны один шар (по схеме с возвращением). Выигрывает тот, у кого раньше появится шар с номером Ъ . Определите вероятность выигрыша для каждого игрока. Рассмотрите случай, когда
3.6.	Каждый из двух стрелков им^ет три пули. Вероятности попадания стрелков в мишень при одном выстреле одинаковы и равны . Стрелки поочередно производят выстрелы в мишень. Победителем объявляется тот, кто первым попадет в мишень. Найдите вероятность того, что:
а)	победит первый стрелок;
б)	победит второй стрелок;
в)	победитель не выявится;
г)	стрелки израсходуют все имеющиеся у них пули.
3.7.	Собираясь сыграть три теннисных матча со своими родителями, юноша намерен победить два раза подряд. Порядок матчей может быть либо *отец-мать-отец*, либо "мать-отец-мать*. Какой из них предпочтительней для юноши, если известно, что отец играет лучше матери?
4.	Серии "успехов* и их вероятности
4.1,	Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты "герб* выпадет по меньшей мере три раза подряд?
4.2,	Определите вероятность того, что при шести подбрасываниях игрального тетраэдра (см. за да чу	И1-3.5) трех-
цветная грань выпадет по меньшей .мере четыре раза подряд.
4.3.	Какова вероятность того, что при четырех подбрасываниях игральной кости "шестерка* не выпадет дважды подряд?
5.	Избранные задачи
5.1.	Докажите, что для всяких событий А и В Р(Ав) Ъ Р(А ) + Р(/3 ) - 1.
5.2.	Последовательности случайных событий ( А п ) и ( В) удовлетворяют условию
17
lim P(Ar^ = tim P( 8n )- О.
Докажите, что
Um РМп+вп)=О.
5,3. Последовательности случайных событий () ъ(Вп
удовлетворяют условию
)
tim Р(Ап)= Urn. Р(вп)~4 . Докажите, что
t-irrz Р(ЛпВп)= 4.
п-*°°
5.4.	Докажите, что если Р(Л) = 2/3, Р(3) = 3/4, то Р(А /В )	5/9.
5.5.	Докажите, что если Р(Л )= Р(В}-~ 1/2, тоР(ВВ)-=р(ав).
5.6.	Случайные события А , В и С независимы, а их вероятности равны 0,2; 0,3; 0,5 соответственно. Найдите вероятность события В + В.+С .
5.7.	Обозначим Б,С,К события, состоящие в том, что при подбрасывании игрального тетраэдра выпадет грань, окрашенная полностью или частично в белый, синий, красный цвет соответственно. Покажите, что события В ,С попарно независимы, но зависимы в совокупности,
5.8.	Приведите пример таких событий А , В , С , для которых РСАВС) = Р(А)Р(В) Р(С), но которые не являются независимыми в совокупности.
5.9,	Подбрасываются три игральные кости. Исследуйте на независимость следующие три случайные события:
В -	на	1-й	и 2-й	костях	выпала	одна	и та	же цифра;
В -	на	1-й	и 3-й	костях	выпала	одна	и та	же цифра;
С -	на	2-й	и 3-й	костях	выпала	одна	и та	же цифра.
5.10.	События И и	В независимы. Для	всякого пи собы-
тия С выполняется условие
Р^В/с)= Р (А/С)Р(8/С) . _
5.11.	Докажите, что если Р(Д/В) - Р(<4/в), то события А и В независимы.
5.12.	Независимые в совокупности события ^1>Агу...}Ап имеют вероятности А-А?.	.А* . Докажите, что
18
1-е •	£Р(А*А?-^Апирг№--'Ртг .
5.13.	Докажите, что если
рм,*лг*-*А„)=Е p(/>k), .	.	к-1
то при г
Р(А;А:)=О. 1 0
Раздел У, ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ФОРМУЛА БАЙЕСА
1.	Формула полной вероятности
1.1.	В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность 1-го цеха вдвое выше, чем производительность 2-го цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для 1-го цеха 95%, для 2—го цеха - 90%, Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие. Какова вероятность того, что оно окажется изделием высшего качества?
1,2,	На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй - 0,1%; продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит факованных деталей. На сборку поступило 2000 деталей с первого, 3000 деталей со второго и 5000 деталей с третьего автомата,.. Какова вероятность того, .что деталь, выбранная наугад из всех этих деталей, будет бракованной?
1,3,	Среди наблюдаемых спиральных галактик 23% принадлежит подтипу , 31% - подтипу «Si и 4в% - подтипу /Sc . Вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды составляет: в галактике За 0,0020, в галактике ЗЬ -0,0035, в галактике Зс - 0,0055. Найдите вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в далекой спиральной галактике, подтип которой определить не удается.
1.4.	В урну, содержащую П шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь наугад из этой* урны белый шар, если все возможные предположения о первоначальном числе белых шаров в урне равновероятны?
19
1.5.	В первой урне 10 белых и 5 черных шаров, во второй - 4 белых и 4 черных, шара. Наугад выбирается одна иэ этих урн и из нее. извлекается один шар, оказавшийся белым. Найдите вероятность того, что следующий шар, вынутый из той же урны, тоже будет белым. Рассмотрите два варианта: шары извлекаются иэ выбранной урны по схеме без возвращения и по схеме с возвращением.
1.6.	Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может создавать или не создавать помехи. За один цикл обзора станция обнаруживает объект с вероятностью , если помехи не создаются, ио вероятностью pg , если они создаются. Вероятность того, что во время цикла обзора помехи будут созданы, рана р и не зависит от того, создаются ли помехи во время других циклов обзора. Чему равна вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за П, циклов обзора?
1.7»	Вероятность того, что письмо находится в письменном столе, равна р . Если оно находится в этом столе, то с одинаковыми вероятностями может оказаться в любом из восьми ящиков стола. В проверенных семи ящиках стола письма не обнаружили. Каковая вероятность того, что письмо находится в восьмом ящике?
2.	Некоторые специальные случаи выбора гипотез
2>1. В первой урне 10 белых и 20 черных шаров, во второй - 10 белых и Ю черных шаров. Иэ первой урны наугад извлекают 4 шара, .из второй - 6 шаров; эти шары ссыпают в третью, пустую, урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный наугад из третьей урны, окажется белым?
2.2.	В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй - 8 белых и 2 черны* шара. Из каждой урны случайно удаляется по k шаров (1 К £ 9), а оставшиеся шары ссыпают в третью, пустую урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный наугад из третьей урны, будет белым?
2.3.	Имеется N урн, в каждой из которых находится пь белых и черных шаров. Наугад последовательно перекладывают по одному шару из первой урны во вторую, иэ второй в третью, .»., из ( ^ -1)-й в	—ю, из /V -й в первую. Найдите
вероятность того, что шар. извлеченный после этого наугад из N -й урны, окажется белым.
20
с помощью формулы
3.	Несколько задач, которые можно решать разными способами, но полезно решить полной вероятности
3.1.	Решите заново, с помощью формулы полной вероятно
сти, задачи 1У-3.1 и 1У -3.2.
3.2.	Игральный тетраэдр подбрасывают до тех пор, пока не выпадет трехцветная грань. Какова вероятность того, что тетраэдр придется подбрасывать четное число раз.
3.3.	Монету подбрасывают до тех пор, пока 'герб* не выпадет дважды подряд. Найдите вероятрость того, что монету придется бросать нечетное число раз.
4.	Формула Байеса
4.1.	Некоторое "иг делие выпускается двумя предприятиями. Объем продукции, поставляемой в продажу вторым предприятием, в Л раз превышает соответствующий объем продукции первого предприятия. Доля брака в среднем составляет: на первом предприятии 10%, на втором 5%. В продажу поступила партия данного изделия. Купленное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно было выпущено вторым предприятием?
4.2.	В первой урне 5 белых и 4 черных шара, во второй -4 белых и 2 черных шара. Случайно выбрана одна из этих урн и из нее извлечен один шар, оказавшийся черным. Определите вероятность того, что первоначально он находился в первой урне.
4.3.	В первой урне 5 белых и 1 черный шар, во второй -3 белых и 3 черных шара. Из первэй урны наугад извлекают 2 шара, из второй - 1 шар. Из трех извлеченных шаров случайно выбирают один;, он оказался белым. Какова вероятность того, чТ° первоначально он находился в первой урне?
4.4.	В данной местности мужчин и женщин - одинаковое число. Известно также, что 5% мужчин и 0,25% женщин - дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?
4.5.	Легковых автомобилей мимо бензоколонки проезжает Вчетверо больше, чем грузовых машин. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой - 0,15. Только что от бензоколонки отъехала заправленная машина. Найдите вероятность того, что это была грузовая машина.
4.6.	На предприятии 96% выпускаемой продукции отвечает стандарту» Упрошенная схема контроля качества продукции признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную - с вероятностью 0,05. Найдите вероятность того, что изделие, признанное в результате упрощенного контроля стандартным, действительно является стандартным.
4 >7 > Спутник передает на Землю сведения об облачности. Вероятность сплошной облачности на территории, наблюдаемой со спутника, составляет 0,6. Из-за помех в каналах связи правильный прием сообщений спутника осуществляется лишь с вероятностью 0,95. Сообщение, принятое со спутника, распикировано как гналичие облачности*. Какова вероятность того, что облачность действительно наблюдается?
4.8,	По каналу связи передается один из сигналов Ху и Х^ Сигнал Х^ передается в среднем вдвое чаще, чем сигнал Ху Вследствие искажений вместо поступающего сигнала на приемном конце может быть зафиксирован другой сигнал. При этом сигнал Xискажается в среднем в 10%, а сигнал Хг - в 20% случаев. Получен сигнал X / * Каковая вероятность того, что этот сигнал и был передан?
4.9»	Бросают две игральные кости. Какова вероятность того,, что на первой кости выпала 'единица*, если известно, что на второй кости выпало очков больше, чец на первой?
4.10.	В специализированную больницу поступает в сред-нет 50% больных с заболеванием Л , 30% с заболеванием В и 20% с заболеванием С . Вероятности полного излечения болезней Л ,5 и С равны 0,95, 0,90, 0,85 соответственно. Больной, поступивший в. больницум был полностью вылечен» Какова вероятность того, что он страдал заболеванием Л ?
4.11.	Вероятности попадания в мишень для трех стрелков равны 4/5, 3/4 и 2/3 соответственно. В результате одновременного выстрела трех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Что более вероятно: попал третий стрелок или промахнулся?
4.12.	В течение года наблюдений далекой спиральной галактики (см.У — 1.3) обнаружена вспышка сверхновой звезды. Чему равны вероятности того, что наблюдаемая галактика принадлежит подтипу дУл. Sb , Sc ?
22
4.13.	По каналу связи передается один из сигнале® 1111, 2222, 3333. В среднем первый сигнал встречается в 1,5ра-за чаше , второго и в три раза чаше третьего сигнала. На приемном конце вследствие различных помех каждая цифра, независимо от остальных цифр, с вероятностью 0,1 заменяется на Сфугую цифру. Получено сообщение: 3213., Как решить, какое oof обшенце в действительности было, передано?
4.14.	Управляющие снарядом команды могут быть искажены из-за помех в канале связи (вероятность правильной передачи команды 0,95) и независимо от э^ого - из-за неисправности системы, управления (надежность системы управления 0,90). Известно, что снаряд команды не выполнил. Какова вероятность того, что причиной тому явились:
а)	помехи при передаче команды;
б)	неисправность системы управления;
в)	и то и другое вместе?
Раздел У1. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА
1.	Простейшие задачи
1.1.	Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии ив четырех или пять партий из восьми? (Ничьи исключаются).
1.2,	Бросают пять игральных костей. Чему равна вероятность того, что из пяти выпавших цифр одна - четная, а остальные - нечетные?
1.3.	В четырех опытах, проводимых по схеме Бернулли, вероятность хотя бы одного 'успеха' равна 0,5904,. Что более вероятно: достижение ровно двух или ровно трех, .'успехе»' в этих четырех опытах?
1.4.	Определите вероятность того, что при П, бросаниях монеты 'гербов' выпадет больше, чем 'решек' Приведите числовые значения этой вероятности при М = 5 и П. = 6.
1.5;	На факультете 10% студентов т отличники. Определите наиболее вероятное число отличников в группе, насчитывающей 19 человек.
1^. В круг вписан квадрат. Чему равна вероятность то^о, что из четырех точек, брошенных наугад в данный круг, только
23
одна попадет внутрь квадрата? Каково наиболее вероятное число точек, попадающих в квадрат?
1.7,	Прибор выходит из строя, если перегорит не менее пяти ламп 1-го типа или не менее двух ламп П-го типа. Из всех перегорающих ламп в среднем лампы 1-го типа составляют 70%, а лампы П-го типа - 30%. Известно, что в приборе перегорело пять ламп:
1)	Какое сочетание перегоревших ламп 1-го и П-го типа является наиболее вероятным?
2)	Какова вероятность того, что прибор вышел из строя?
1.8,	Каждый выпущенный по цели снаряд попадает в нее, независимо от других снарядов, с вероятностью 0,4. Ес^и в цель попал один снаряд, она поражается с вероятностью 0,3; если два снаряда, - с вероятностью 0,7, если три или более снарядов, - с вероятностью 1, Найдите вероятность поражения цели при условии, что по ней выпущено:
а)	три снаряда;
б)	четыре снаряда.
1.9,	Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей^ Для поражения пели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую часть. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна yt? . Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность попадания в первую часть равна , а во вторую - ра. По цели производится три выстрела. Какова вероятность того, что цель будет поражена?
2.	Дальнейшие задачи на схему Бернулли
2,1,	По данным технологического контроля в среднем 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из шести изготовленных станков не менее двух станков потребуют дополнительной регулировки?
2,2.	Перерасход горючего в течение рабочего дня наблюдается в среднем по парку у 20% машин. Найдите вероятность того, что из десяти вышедших на линию машин перерасход горючего произойдет не более, чем у двух машин.
2.3.	Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,001. У меня 20 билетов. Каково наиболее вероятное число выигрышных среди них? Чему равна вероятность того, 24	/
что я выиграю: хотя бы по одному билету; не менее, чем по двум билетам?
2.4.	При передаче сообщения по каналу связи отдельные знаки этого сообщения независимо друг от друга могут искажаться. Вероятность искажения знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из пяти.знаков:
а)	не содержит ни одного искаженного знака;
б)	содержит не менее двух искаженных знаков;
в)	содержит искаженных знаков больше, чем неискаженных?
2,5.	Вероятность попадания стрелку в 'десятку* равна 0,7, в 'девятку* - 0,3. Чему равна вероятность того, что при трех выстрелах стрелок выберет не менее 29-ти очков?
2.6.	Для нормального обслуживания пассажиров на данном маршруте требуется не менее 20-^ти автобусов. Всего же для этой цели выделено 22 автобуса с учетом того, что каждый из них, независимо от остальных, выходит на линию не наверняка, а лишь с вероятностью 0,95. С какой вероятностью обслуживание пассажиров на данном маршруте будет нормальным?
2.7,	На испытательном стенде установлено 30 приборов. Каждый из них независимо от остальных во время, испытания выходит из строя с вероятностью 0,15. Определите вероятность того, что за время испытания. отказало не менее трех приборов, если известно, что не все приборы выдержали испытание.
3.	Число испытаний до ft -го 'успеха'
3.1,	Стрелок производит выстрелы по мишени до тех пор, пока общее число промахов не станет равным трем. Вероятность промаха при одном выстреле составляет 0,2. Какова вероятность того, что стрелок израсходует ровно .шесть пуль?
3.2.	Игральную кость бросают до тех пор, пока суммарное число выпавших 'шестерок' не достигнет трех. Какова вероятность того, что игральную кость придется бросать ровно восемь раз?
3.3,	В урне 10 белых, 2 синих и 3 красных шара. Из нее наугад извлекают шар, фиксируют егр цвет и возвращают в урну. Далее все повторяется до тех пор, пока общее число зафиксированных красных шаров не станет" равным четырем. Определите вероятность того, что всего извлекать шар из урны придется ровно семь раз.
3.4,	Монету бросают до тех пор, пока общее число выпавших.. “'гербе®'' не станет равным пяти. Что более вероятно: монету придется бросать ровно девять раз или ровно десять раз?
3.5.	В условиях задачи У1 - 3.1 найдите вероятность того,, что стрелку хватит пяти патронов.
4.	Полиномиальная формула
4.1.	Одновременно бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что произведение всех выпавших цифр будет равно:
а) 20; б) -24?
4.2,	Какова вероятность того, что при подбрасывании 12-ти игральных костей каждая из цифр 1,2,3,4.5,6 выпадет дважды?
4.3.	В интервал (1; 5) наугад бросают пять точек. Определите вероятности следующих событий:
а)	ю брошенных точек две попадут в интервал (1;2) и три в интервал ( 3; 5);
б)	две точки попадут в интервал (1;3) и три - в интервал (2;5);
в)	в интервалы (1; 3) и (2; 5) попадет одинаковое число брошенных точек.
4.4.	Квадрат, вписанный в круг, разбивает его на пять частей. В данный круг наугад бросают пять точек. Какова вероятность того, что брошенные точки распределятся по одной в каждой ив этих частей?
4.5.	В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошло семь, человек. Какова вероятность того, что (при отсутствии Других пользователей) лифт будет останавливаться на каждом этаже?
4.6.	В урне 10 белых, 2 синих и 3 красных шара. Из нее наугад извлекают шар, фиксируют его цвет и возвращают в урну. Такая операция проводится 15 раз. Какова вероятность того, что в результате белый шар будет зафиксирован десять раз, синий - два раза, красный — три раза?
4.7.	В урне 10 белых, 2 синих, 3 красных шара. Из нее наугад извлекают шар, фиксируют его цвет и возвращают в урну. Далее все повторяется до тех пор, пока общее число зафиксированных красных шаров не станет равным трем. Ка— 26
кова вероятность того, что при этом будет зафиксировано 10 белых и 2 синих шара?
Раздел УП. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
1.	Пуассоновская аппроксимация в схеме Бернулли
1.1»	Книга в 500 страниц содержит 400 опечаток. Оцените вероятность того, что на 13-й странице не менее двух опечаток.
1.2.	Книга в 600 страниц содержит в среднем по одной опечатке на страницу. Оцените вероятность того, что на 13-й странице:
а)	нет ни одной опечатки;
б)	не более двух опечаток;
в)	четное число опечаток*
1.3,	При выпечке булочек с изюмом случается (с вероятностью 0,003), что в булочку не попадет ни одной изюмины. Оцените вероятность того, что в партии из 1000 булочек:
а)	нет булочки без единой изюмины;
б)	имеется ровно три булочки без изюмин;
в)	имеется не менее трех булочек без изюмин.
1.4.	Сколько в среднем изюмин должна содержать булочка, чтобы булочии без изюмин встречались с вероятностью, меньшей, чем 0,01?
1.5,	Аппаратура, состоящая из 900 элементов, функционирует нормально до тех пор, пока число отказавших элементов не превысит двух. Каждый элемент независимо от других элементов в течение времени Т работает безотказно с вероятностью 0,998. С какой вероятностью система в целом проработает безотказно время Т ?
1.6,	В среднем 0,2% холодильников требуют ремонта в течение гарантийного срока. Оцените вероятность того, что из 500 холодильников ремонта (в течение гарантийного срока) потребуют:
а)	ровно два холодильника;
б)	хотя бы один холодильник.
1.7,	Знаки на линии связи искажаются независимо друг от (фуга. Вероятность искажения знака равна 0,003. Какова вероятность того, что в сообщении из 800 знаков будет искажено:
а)	ровно два знака;
б)	не менее трех знаков?
1.8»	Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность того, что изделие (независимо от других изделий) в пути повреждается, равна 0,0008. Оцените вероятность того, что среди Доставленных на базу изделий поврежденные составят не более 0,1%.
2» Нормальная аппроксимация в схеме Бернулли
2.1.	Каждый избиратель, независимо от остальных избирателей, на выборах отдает свой голос за кандидата А с вероятностью 0,7 и за кандидата В - с вероятностью 0,3. Оцените вероятность того, что в результате голосования на данном избирательном участке (5000 избирателей) кандидат А опередит кандидата В не менее, чем на 1900 голосов.
2.2»	В лыжной гонке на 50 км участвуют 3000 человек. В среднем лишь 80% участников выдерживают испытание до конца, а остальные сходят с дистанции. Оцените вероятность того, что в данной гонке к финишу придет не более 2500 человек.
2.3,	Всхожесть семян фасоли на данном участке составляет (в среднем) 85%. Оцените вероятность того, что на данном участке взойдет от 80% до 90% семян фасоли из числа посеянных 100 000 семян.
2,4,	Среди посетителей Дворца спорта дети составляют в среднем 30%, взрослые - 70%. Оцените вероятность того, что из 5000 зрителей, присутствующих во Дворце спорта, взрослые, составляют от 60 до 80%.
3.	Пределы для числа "успехов* в схеме Бернулли
3»1» Оцените пределы, в которых с вероятностью 0,95 заключено число выпавших "гербов* при 500 бросаниях монеты.
3.2.	В условиях задачи TD-1.7 оцените пределы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключено число искаженных знаков.
4.	Относительная частота "успехов* в испытаниях Бернулли
4.1,	Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью Р& 0,95 отклонение относительной частоты 28
выпадений 'герба' от вероятности выпадения 'герба' не превышало 0,01?
4.2^	Сиените минимальное число подбрасываний игральной кости, для которого относительная частота выпадений 'пятерки' с вероятностью не меньшей, чем Р, отличается от вероятности выпадения 'пятерки' не более, чем на 0.01, при:
а) Р = 0,95; б) Р = 0,99.
4.3,	Объявлено, что в результате 1000 подбрасываний монеты 'герб" выпал 530 раз. Насколько правдоподобен этот результат?
Иэ 1000 испытаний, проводимых по схеме Бернулли с вероятностью "успеха" р = 0,4. в 350 испытаниях зафиксирован "успех". Сколько раз после этого, нужно повторить испытания, чтобы в них с вероятностью Р 0,95 относительная доля 'успехов' отличалась от вероятности "успеха" р не больше, чем в первой тысяче испытаний?
4.5.	В театре, вмещающем 1000 зрителей, два входа, каждый кз которых имеет свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью Р& 0,99 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает каждый иэ входов с одинаковыми вероятностями. Как изменятся результаты расчета, если предположить, что зрители приходят в театр не парами, а поодиночке?
Раздел УШ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.	Обилие понятия
1.1.	Случайная величина £ принимает значения -2, -1,0, 1, 2. Вероятности первых четырех значений приведены в следующей таблице:
Г	-2	-1	0 1	1	2
	0,1	0,3	0,2	0,2	
Постройте график функции распределения величины I* ; найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины . ^д
1,2.	В условиях задачи Y1LI - 1.1 найдите закон распределения случайной величины р 31 $ I . Постройке график функции распределения величины р ; вычислите Ер и Dp .
1»3. Известно, что случайная величина принимает лишь натуральные значения, причем	g
Найдите: а) константу С ; б) Р (	£ 10); в) Р (10^^20);
г) .
1.4.	Случайная величина принимает лишь три значения. Частично ее закон распределения представлен в таблице
£	' 1	. 2	
р	1/2		1/4
Заполните пустые клетки этой таблицы, полагая, что случайная величина £ имеет тот же закон распределения вероятностей, что и величина $	> Найдите и ,
1.5.	Случайная величина принимает лишь три значения: -1, О, 1. Найдите соответствующие им вероятности, если
= О, =0,5.
1.6.	Функция распределения F(x) целочисленной случайной величины £ удовлетворяет условиям:
F(- 1) = О, tirn F (л) = F(0), F(2 ) = Y-Постройте график функции распределения F(x), если= 1/3.
2.	Равномерное распределение на конечном множестве
2.1.	Вышел из строя какой-то один из шести приборов. Для отыскания неисправности приборы проверяют один за Другим, пока ее не обнаружат. Сколько в среднем приборов придется проверить? Какова вероятность того, что придется проверять все шесть приборов?
2.2,	На новогодней елке погасла гирлянда, состоящая из 15-ти лампочек. Сколько в среднем лампочек придется проверить, чтобы обнаружить перегоревшую лампочку?
2.3.	Из десяти ключей в связке только один подходит к данному замку. Сколько в среднем придется перепробовать клю-30
чей, прежде, чем замбк будет открыт? Какова вероятность того, что придется испытать ровно половину ключей из связки?
2.4»	Из полной колоды карт (52 листа) наугад достают по одной карте (без возвращения) до тех пор, пока не попадется дама пик. Сколько в среднем карт придется извлечь из колоды?
3» Распределение Бернулли
3.1.	Рабочий обслуживает четыре автоматические линии, действующие независимо прут от друга. ^Вероятность того, что в течение смены эти линии потребуют вмешательства рабочего, равны соответственно: 0,30; О,*35; 0,40; 0,4 5. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа линий, которые потребуют вмешательства рабочего в течение смены,
3.2.	Из урны, содержащей 10 белых и 15 черных шаров, наугад извлекают восемь шаров. Сколько в среднем белых шаров будет среди них?
3.3.	Для задачи I - 1.7 найдите Е£ » гае If - число писем» попавших по назначению.
3.4.	В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошло десять .человек. Сколько в среднем остановок потребуется для их обслуживания?
3.5.	В группе из десяти человек 2 отличника, 3 хороших, 4 средних и 1 слабый студент. Неудовлетворительную оценку на экзамене получают: отличник с вероятностью О, хороший студент с вероятностью 0,05, средний студент с. вероятностью 0,50, слабый студент с вероятностью 0,90. Найдите математическое ожидание и дисперсию неудовлетворительных оценок на экзамене в этой группе.
4.	биномиальное распределение с параметрами
4.1.	Постройке график функции распределения случайной величины (П ,р ), если Е^ = 1, ZJg = 0,75. Укажите наиболее вероятное значение величины
4 2. Вероятность приема самолетом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Найдите закон-распределения случайной величины f - числа принятых сигналов при четырехкратной передаче. Вычислите Е^ и . Укажите наиболее вероятное значение £ ,
4.3,	На стенде испытываются десять приборов, Вероятность выдержать испытание для каждого прибора одна и та же - 0,82. Укажите наиболее вероятное число приборов, которые выдержат испытание.
4.4,	Данным маршрутом автобуса пользуются 24 чело- , века,. Но каждый из них может опоздать на этот маршрут с вероятностью 0,2. Определите наиболее вероятное число пассажиров в этом автобусе.
4.5з	Вероятность наступления события Л в отдельном испытании равна 0,4. Пусть р - разность между числом наступлений и числом ..ненаступлений события Л в ста таких испытаниях. Вычислите Ер* Dp. Укажите наиболее вероятное зна-гение .
4.6.	Как распределена случайная величина р = тг- ? если..	( П , р
5м С(Р) - геометрическое распределение с параметром р
Вычислите производящую функцию If (Z ) случайной величины ^~&(р) и найдите (с помощью этой функции) Е$ и -
5.2.	Автоматиче жая линия при нормальной настройке выпускает бракованное изделие с вероятностью. 0,001. Переналадка линии производится после выпуска каждого бракованного изделия. Чему равно среднее число изделий, выпускаемых между двумя последовательными переналадками линии?
5>3. Решите задачу УШ - 2.4 в предположении, что перед каждым новым выниманием карты из колоды ранее извлеченная из нее карта возвращается в колоду.
5.4,	Вероятность отыскания малоразмерного объекта в заданном районе в отдельном полете равна 1/3, Сколько в среднем полетов придется совершить, прежде, чем объект будет обнаружен? Какова вероятность того, что для отыскания объекта придется совершить не менее трех вылетов?
5.5,	При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7. Ему разрешено стрелять до трех промахов, Найдите среднее число израсходованных стрелком патронов. Определите вероятность того, что стрелок израсходует ровно восемь патронов
32
5.6.	На пути движения автомобиля пять светофоров. Каждый из них, независимо от остальных светофоров, с вероятностью 0,5 запрещает движение. Пусть £ - число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найдите закон распределения случайной величины £ и ее математическое ожидание.
5.7,	Имеется три заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из одной заготовки равна 0,8. Заготовки используются до тех пор, пока не будет изготовлена деталь или не будут израсходованы все заготовки. Пусть р - число заготовок, оставшихся при этом неиспользованными. Найдите закон распределения случайной величины р и ее математическое ожидание.
5.8.	В 7г корзин бросают шары. Каждый из них, независимо от других шаров, с одинаковыми вероятностями попадает в одну из данных корзин. Шары бросают до тех пор, пока не останется ни одной пустой корзины. Сколько в среднем шаров при этом будет использовано? Оцените это число шаров для больших значений П, .
5.9.	Докажите, что если F ~G(P) , то р(?= n+k /%>п) = Р ( ? =Л Л Какую интерпретацию допускает этот результат?
6. Р(Л ) - распределение Пуассона с параметров Д
6.1,	Случайное число лиц, обращающихся в справочное бюро в. течение часа, имеет распределение Р (Л ). Для каждого из них вероятность отказа равна р . Найдите закон распределения и среднее значение числа лиц, получающих в течение часа отказ.
6.2,	Число вызовов на телефонной станции за единицу времени можно рассматривать как случайную величину, распределенную по закону Пуассона с параметром Д = 100. Каково наиболее вероятное значение этой величины? Чеву равна вероятность этого значения?
6.3.	Число атак, которым может подверщуться самолет, -случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром Д = 3. Определите вероятность поражения самолета в результате. этих атак, если известно, что каждая атака заканчивается поражением самолета с вероятностью 0,4. Как
'	33
изменится эта вероятность, если предположить, что число атак не случайно и равно 3?
Раздел IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.	Функция распределения и плотность вероятности случайной величины
1.1.	В круге радиуса Z* с центром в точке О наугад выбирается точка М . Найдите функцию распределения, плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсию случайной величины £ , равной расстоянию между точками М и О .
1,2,	В кругле	наугад выбирается точка М•.
Найдите функцию распределения и плотность вероятности абсциссы I- точки М ; постройте соответствующие графики. Вычислите и
1.3,	Как выглядит график функции распределения случайной величины , если ее плотность вероятности является кусочно-постоянной функцией?
1,4.	Плотность вероятности f ( X ) случайнрй величины £ непрерывна на всей числовой прямой. Верно ли,
1,5,	Докажите, что если график функции /(х) (плотности вероятности случайной величины ) симметричен относительно прямой Х-ГП к Е^ существует, то Е^-
1,6.	График плотности вероятности случайной величины $ симметричен относительно оси ординат Верно ли, что Е^ =0?
2.	- равномерное распределение
в интервале ( & ,	)
2.1	, На стороне АВ равностороннего треугольника АВС со стороной 1 наугад выбирается точка’ М . Найдите математическое ожидание и дисперсию площади треугольника АМС.
2.2	, Для случайной величины £ R (О; 4) вычислите:
а) Е($<Е$)-,
б)
в) Р
2.3	Найдите числа Я. и £ , если известно, что случайная величина £ имеет равномерное распределение в интервале ( Л ; Ъ ) и	3»
34
2	4, Покажите, что если f ~то	,
2.5	. Докажите, что для случайной величины g~R(d, Ь~) вероятность	) не зависит от параметров CL
и Ь . Вычислите эту вероятность при: Л = 1, Л = 1,5, Л = 2. При каком наименьшем значении Л указанная вероятность равна 1?
2 6, Определите математическое ожидание и дисперсию площади круга со случайным радиусом ~ R (2; 3).
1 \
3,	Е(Х) - экспоненциальное (показательное) распределение с параметром Д
3.1.	Для случайной величины g~-‘E(A') вычислите
3.2,	На одном чертеже приведите графики плотностей fl(x)* /а(х) случайных величин gf- Е (1) и Е (2), а на другом - графики соответствующих функций распределения FflXjTn Fglx,), Пересекаются ли (при X > О) графики функций //(X) и Л (X); F1 (X ) и Рг ( X )?
3.3,	Какое событие для.величины	/Л)более вероят-
но: E>Eg или g<Eg • g > Eg или g Ijg^
3.4.	Пусть (X). При каком 'значении параметра Л вероятность Р g < 2) будет: наименьше ^наибольшей?
3.5.	Полагая, что g~E(A)vi р = € , найдите Ер и Dp-
3.6.	Покажите, что если g~E(A), то p = Xg^EU).
3.7.	Докажите, что для всякой случайной величины £ , распределенной по экспоненциальному закону, P(g>t*T/g>i)-P (g>T) .
Как можно интерпретировать этот результат, полагая, например, что - время безотказной работы электролампочки?
4.	1 нормальное распределение
с параметрами И
4.1	, Найдите математическое ожидание и дисперсию слу-чайнрй величины ?- I , если (09&г ) •
4,2	> Известно, что N (О . Расположите в порядке возрастания вероятности: P(\g\ * If у Р(0*g
J5
4,3	, Что больше для N	) 2
ь)Р($>£$) тр(^£^	/____
б) Р(1^-Е?НЛё^)или Р(1?-Е$1> /#$)?
4.4	. Известно, что нормально распределенная случайная величина £ удовлетворяет условию Р( !£-££/*/) = 0,87 Найдите Р {
4.5	» Пусть Р^-Л/ (О; 1), Л/ (О; 2). Что больше: Р(\$\	3) или Р( /р/ < 3)?
4.6	. Завод изготовляет шарики для подшипников, Номинальный диаметр шарика cl = 5 мм; фактический же диаметр можно рассматривать как нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием cL и средним квадратическим отклонением (э - 0,05 мм> При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального более, чем на 0,1 мм» Какой процент шариков в среднем отбраковывается?
4,7	> В условиях предыдущей задачи предположим, что О' не задано, зато известно, что в среднем отбраковывается 6% шариков. Какова вероятность того, что диаметр наугад выбранного шарика будет заключен в пределах от 4,98 мм до 5,02 мм?
4,8	, Измерение дальности до объекта осуществляется с ошибками, подчиненными нормальному закону с параметрами
= О и (Г-= 50 м? Найдите вероятность торо, что:
а)	ошибка измерения не превзойдет по модулю 100 м;
б)	полученная в результате измерения дальность не пре-зойдет истинной дальности» 2
4.9	. Пусть (О; (Г ) При каких значениях вероятность Р (2 < £ < 4) принимает:
а)	наибольшее значение;
б)	наименьшее значение?
4,10	: Известно, что	(О; 1). Укажите три каких-
нибудь отрезка Jy , Ag , 2)3 , для которых Р(^еЛ/)-Р(^вА£)^Р(^е^3)=09Ъ.
4,11	» Для случайной величины	(О; 1) среди всех
отрезков, удовлетворяющих условию Р($бА)^ 0,3, выделите тот, который имеет наименьшую длину. Опишите, как для случайной величины (d* 9 6*s) среди всех отрезков, удовлетворяющих условию Р (^GA^, выделить тот, который имеет наименьшую длину
36
4.12	- Пусть Ff(x) и Fg (X) - функции распределения случайных величин &<',&*) и $FX~/V 6^), соответственно. Докажите, что если F1(X)%Fg(x') для всякого Хе /Z f to	& (и, стало быть, F\(X) = Fg(X) . Приведи-
те графическую иллюстрацию.
Раздел X. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
на Случайные величины
1.	Моделирование случайных величин на ЭВМ
1.1	, Известно, что (О; 1). Подберите функцию (X ) так, чтобы случайная величина	имела экспо-
ненциальное распределение с параметром Д .
1.2	. Пусть (О; 1). Подберите функцию <р(Х) так, чтобы случайная величина	имела распределение Коши -/
распределение с плотностью вероятности
1.3	? Как, располагая возможностью моделировать на ЭВМ случайную величину (О; 1), можно моделировать случайное событие А с заданной, вероятностью О < 1?
2.	Исследование разрывных распределений
2.1 Найдите математическое ожидание и дисперсию слу-
чайной, величины $ с функцией распределения О, если
~ j (X -1)	- если
/ , если
XS 1; 1 <Х *
X > 2.
2;

2.2	Для случайной величины . приведенной в задаче X- 2.1, укажите Р (^=О), Р($ = f), Р($s2), Р(^ = 3).
2.3.	Для случайной величины £ , приведенной в задаче
2.1, найдите Е ЗгП	и
2.4.	Пусть	р~тгп у 1). Найдите функцию
распределения F (X ) и плотность вероятности / (X ) случайной величины О . ; начертите их графики Вычислите РР'
37
3.	Некоторые интерпретации математического ожидания
3.1.	Докажите, что для случайной величины £ с функцией распределения F(X) «
f 1-F(xT)dx о
при условии, что Eg существует.
3,2.	Используя результат задачи Х-3.1, найдите Eg для g ~ ЕСЛК
3.3;	Используя результат задачи S-3.1, найдите Eg для задачи X - 2.4.
3.4.	Докажите, что если g - неотрицательная целочисленная „случайная величина с конечным математическим ожиданием, то
Р (% >k). k=t
Примените этот результат к вычислению Eg для g d(p) (см.разд»УШ, п. 5).
3.S.	Докажите, что если функции распределения ^6я)и F^(x) неотрицательных случайных величин и gg с конечными математическими ожиданиями удовлетворяют условию Ft(x)*F2(X) для всякого XgR, то Egj & Еgг -
3,6.	Постройте пример двух равномерно распределенных случайных величин, который показывал бы, что.утверждение, обратное утверждению задачи Х-3.5, неверно.
3.7.	Докажите, что утверждение, обратное утверждению задачи Х-3 5, будучи неверным вообще, верно для величин:
a)	и
6)g^PfA.) ии
3.8.	Время $ безотказной работы системы автоматичес-го управления (АСУ) летательным аппаратом (ЛА) распределено по закону Е ( Л ). Система должна управлять аппаратом в течение времени Т Если же она выходит из строя до истечения времени Т , то осуществляется мгновенный переход на ручное управление. Пусть р - время ручного управления ЛА* т Р. Найдите функцию распределения случайной величины ? Как можно записать ее плотность вероятности? Вычислите Eg двумя способами, используя результаты задачи X—3.1, и путем использования интеграла, выражающего Eg через плотность вероятности этой величины, Покажите, что в 38
~ЛТ случае высоконадежной САУ (т.е. при P-В ~1
3.9.	Докажите, что если для случа№ой величины с функцией распределения F(x] математическое ожидание ££ существует, то в
fe = -J F(x)dx + \ (1~ F(xS)dx  ’ -oo	Q
Приведите геометрическую интерпретацию этого результата.
3,10.	Докажите, что	для всякой случайной
величины £ с конечной дисперсией и любого числа С . Когда в этом неравенстве достигается равенство?
3.11.	Докажите, что если	зЬ )=1, то
fЬ —а
4.	Асимметрия и эксцесс распределения
4.1.	Найдите коэффициент асимметрии ВСj и коэффициент эксцесса ЭСг для биномиального распределения В г (п ; р).
4.2-	Для распределения Пуассона с параметром Л найдите коэффициенты асимметрии и эксцесса двумя способами:
а)	путем прямых вычислений, с помощью производящей функции (как в задаче Х-4.1);
б)	используя результат задачи Х-4.1 и теорему Пуассона, устанавливающую связь между распределениями Bi ( П , р) иР(Л).
4.3.	Найдите коэффициенты асимметрии и эксцесса для следующих непрерывных распределений:
a)	R(a, Ъ)‘,
б)
в)	X (Л ) - распределение Лапласа с плотностью вероятности	у -Л 1x1
(Л>О) .
4.4.	Как бы вы объяснили тот факт, что найденные коэффициенты асимметрии и эксцесса не зависят от параметров рассматриваемых распределений? Докажите,, что для всяких С с случайная величина £ имеет те же коэффициенты асимметрии и эксцесса, что и случайная величина
4.5.	Булем рассматривать °C - центральный момент распределения St ( р) - как функцию аргумента fp> ;
2Z (k-np)rc*pK (/-р)п *. к~о
Докажите следующую рекуррентную формулу:
Эта формула позволяет несколько проще, чем с помощью производящей функции, найти d3 и об „ по известным .= О и
Раздел XI. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ И НЕКОРРЕЛИРОВАННОСТЬ
1, Дискретное распределение
По заданному совместному распределению случайных величин и р (см.1.1 - 1.3) решите следующие задачи:
1.1
	-1	0	1
-1	1/8	1/12	7/24
1	173	176	0
1.2
		-1	0	1
-1		2/15	1/15	1/5
1		1/5	3/10	1/10
1.3	’	’				
		-1	0	1
-1			3710	1/10	1/5
1		1/5	1/15	2/15
а)	Найдите частные распределения величин £ и р
б)	Вычислите математическое ожидание, ковариационную и нормированную корреляционную матрицы вектора.£s
в) Исследуйте величины £ и р : на некоррелированность; на независимость.
1.4.	Задачу, аналогичную задачам 1.1 - 1.3, решите для случайного вектора	распределенного равномерно
на множестве целочисленных решений неравенства
40
2. Непрерывное распределение ’ т
2.1.	Случайный вектор = ( F < 2 ) распределен равномерно в квадрате Ixl + 1у| *1. Решите для него задачу, аналогичную задачам XI-1.1... 1.4.
2.2.	Решите задачу, аналогичную предыдущей задаче, для случайного вектора = ( F •	• распределенного равномер-
но внутри эллипса a -.2
— + а У о.г кг 1 2 3 * * *' QL О
2»3. Решите задачу, аналогичную предыдущей задаче, для случайного вектора £ =(	, р )г с функцией распределения
'	X9в, у; о 
=
О	в остальных случаях.
2.4.	Докажите, что если плотность вероятности / (Лу, Х&, ..... Хп} случайного вектора £ = ( F* « £е <	Ft»)7"
представима в виде
9Х^,...,Х п)	) §2 (Х^)г, ,	X Tl) f
гая ^(x)}q^^	то эти функции с точ-
ностью до нормирующих множителей служат частными плотностями вероятности случайных величин F< > Fa • •••• Fп-
2.5,	Плотность вероятности случайного вектора ( if, р )г
О- и частные плотности вероятно-
<= и & на некоррелированность и
1. Найдите коэффициент сти величин F и р .
2. Исследуйте величины на независимость.
2.6. Случайный вектор (F > ? > JT ) распределен равномерно в кубе 1301 ~ V , • УI -	, I Z 14 i . Как распределена каж-
дая его координата? Зависимы ли величины F < Р и £ ?
2.7, Случайный вектор (	, Р , £ ) имеет следующую
плотность вероятности:
//X «2) = Р^‘ХУЯ) при|ХН?,/^1*Л IZIM ;
О в остальных случаях.
Найдите коэффициент А. Покажите, что случайные величины, 2 и 5* независимы попарно, .но зависимы в совокупности..
3, Смешанные задачи
3.1. Известно, что F у и - независимые случайные ве-
личины, причем ( О: 1),	(П 1О,ООО;Ь =1/2).
Пусть	*	41
Найдите ковариационную и нормированную корреляционную матрицы вектора р = (£>у , Рг )Т- Какие интуитивные соображения можно привести в пользу результата вычисления коэффициента корреляции величин и Рз ?
3.2.	Докажите, что если £у и - одинаково распределенные случайные величины с конечными моментами второго порядка, то величины	и	являются некорре-
лированными.
3.3,	Докажите, что если величины f и некоррелиро-ваны , и каждая из них принимает не более двух значений, то эти величины независимы.
3.4,	Известно, что	- независимые и оди-
наково распределенные случайные величины, причем
Pf^-^’f,. P(4t4>^'P
Найдите закон распределения случайной величины
3.5.	Случайные величины и £ имеют следующее совместное распределение вероятностей:
	-1	О	1
-1	1/8	1/12	7724
1	1/3	176	0
Найдите закон распределения:
1)	величины £ +
2)	величины £ р у	т
3)	вектора ( £ + р ,	.
3.6.	Докажите, что для всяких случайных величин Sjу , 1~2,	с конечными дисперсиями
)
3,7	> Каждая иэ случайных величин $ и ф распределена равномерно в интервале (О; 1). Докажите, что при любом характере зависимости между ними у
3.8,	Докажите, что для всяких независимых случайных величин и р с конечными дисперсиями
42
+Di; (Epf+Dp(E^f ,
и, в частности,
D(5p)^ Df=-D?.
3.9. Пусть?=$(%) » причем и p - случайные величины с конечными вторыми моментами. Т огда для возрастающей
функции р выполняется неравенство COZF ( f . «Р ) ^ О, а для убывающей - неравенство СО^Г (Цz Р ) <О. Докажите это
4, Вероятность попадания случайной точки в заданную область
4.1,	Диаметр вала и диаметр отверстия - независимые случайные величины, распределенные равномерно в интервалах (4,95; 5,15) и (5,0; 5,2) соответственно. Определите вероятность того, что вал войдет в отверстие.
4.2,	Случайные величины £ и р независимы и распределены по закону R (О; 1) каждая. Найдите вероятность того, что корни квадратного уравнения Хг + 2%Х + р = О вещественны
4.3.	Известно, что g и р - независимые и одинаково распределенные по закону N (О; 1) случайные величины. Найдите вероятность попадания случайной точки ( ? , Р ):
а)	в квадрат iXl £ 1 > \%1 4 1 *
б)	в квадрат 1X1 + 1% 14 1.
4,4.	Докажите, что если If и р - независимые и одинаково распределенные по закону Л/ (О; 1) случайные величины, тр
4.5»	Известно, что £ и р - независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями и соответственно. Вычислите вероятность попадания случайной точки (if , р ) в область, ограниченную эллипсом	у 2
Раздел ХП. УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ \
1 Дискретные распределения
, С помощью таблиц (см.1.1 - 1.3) задано совместное распределение случайных величин if и р.
\	43
1.1.
1	-1	1
-1	1/8	173
0	1712	1/6 1
1	7/24	°	1
1.2
F4	-1	1
-1	2/15	1/5
0	1/15	3/10
1	175	1/10
1,3
1	-1	1
-1	3/10	175
0	1710	1715
1	1/5	2/15
1)	Найдите частное распределение величины р * а также Ер и Dp•
2)	Найдите условное распределение величины р при условии: а)£ = -1; 6)^=0; в) £ = 1.
Как полученный результат может быть использован при исследовании случайных величин и р на независимость?
3)	Для каждого из пп. а)-в) предыдущего вопроса найдите соответствующие условное математическое ожидание и условную дисперсию Результаты сопоставьте с результатом решения вопроса 1.
4)	Опишите функцию Н(Х)-= £ (р lg=x) •
5)	Опишите случайную величину £ (£ /§ )• Найдите ее математическое ожидание дву-му способами: непосредствен-
ными вычислениями и по формуле полного математического ожидания.
2.	Формулы полной вероятности и полного математического ожидания в дискретном случае
2,1,	Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не выпадет "шестерка". Пусть У - сумма выпавших при этом очков. Найдите £*?*
2,2.	Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не выпадет грань "£ очков" (Л - 1, 2, 3, 4, 5. 6). Пусты? -сумма выпавших при этом очкор. При крком значении k величина ЕV минимальна и при каком максимальна?
2	3 Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не выпадет четное число очков. Чему равно среднее значение суммы всех выпавших при этом очков?
44
2.4,	Вероятность попадания стрелком в мишень при отдельном выстреле равна 0,8. Стрелку разрешается стрелять до тех пор, пока не будет зафиксировано хотя бы одно попадание и хотя бы один промах. Сколько в среднем патронов израсходует стрелок?
2.5:	В городе N каждый день с вероятностью 0,6 ясно и с вероятностью 0,4 пасмурно (независимо от погоды в другие дни). Сколько в ..среднем дней необходимо прожить в этом городе, чтобы увидеть его и в ясный и в пасмурный день?
2.6.	Пусть ? - минимальное число подбрасываний монеты, при котором хотя бы один раз выпадает "герб" и один раз -"решетка". Найдите
2.7.	Пусть 1? - минимальное число подбрасываний игрального тетраэдра (задачу Ш-3.5), при котором хотя бы по одному разу выпадет белый, синий и красный цвет. Найдите £
2.8.	Вычислите коэффициент корреляции между числом выпадений "единицы" и числом выпадений "шестерки" при П бросаниях игральной кости.
3.	Непрерывные распределения
3.	1 Для случайного вектора £ = ( £ , *7 )Г, распределенного равномерно в квадрате IX 1*1 У:
1)найдите условную плотность вероятности величины *7 при условии £ = X и постройте ее график;
2)	вычислите £ (?1|=х) и
3)	укажите функцию Н (X) такую, что с вероятностью 1 Е(2Ь:) = И($);
4)	проиллюстрируйте на данном примере формулу полного
математического ожидания.
3.	2. Задачу, аналогичную задаче 3.1, решите для случайного вектора Г = ( £ , р )г, распределенного равномерно в кру-ге Х3+уг s
3,	3. Задачу, аналогичную задаче 3.1, решите для случайного вектора 5* = (, 2 )Гс Функцией распределения
г	-лх -/“У
. х	-е -е при хъо,уъо;
р
° I Z7 6 ос/пальни* случаях .
\	4- Композиция распределений
\	4.1. Найдите плотность вероятности	суммы ,
Дели слагаемые и р представляют собой независимые
случайные величины, распределенные по закону * (О; 1).
. 4*2*, Как распределена сумма , если t- и р - независимые и одинаково распределенные по закону Е (Л ) случайные величины?
4.3.	Деталь обрабатывается последовательно на П станках. Времена обработки	- независимые и оди-
наково распределенные по закону Е ( Л ) случайные величины Найдите плотность вероятности суммарного времени €* = ?> + + ^+•<•+^72 обработки детали, а также ЕТ и DT.
4.4.	Найдите закон распределения разности	, если
£ и? - независимые и одинаково распределенные по закону Е(Л) случайные величины. Чему равны Еф и ?
4.5.	Как распределена сумма , если £ и р - независимые случайные величины и % ~ Е (Л),	Р (Л) ?
4.6.	Докажите, что если хотя бы одна из независимых случайных. величин £ и р имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей, то и сумма £ + р имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей Существенно ли здесь условие независимости величин £ и р ?
Раздел ХШ. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.	Одномерный случай
1.1.	Найдите плотность вероятности случайной величины и постройте ее график, если случайная величина § распределена равномерно:
а)	в интервале	)У
б)	в интервале (О,\7Г) •
1,2.	Найдите плотность вероятности случайной величины Р= и постройте ее график, если случайная величина g распределена:
а)	равномерно в интервале (0,250; 0,37 5);
б)	равномерно в интервале (О; 0,5);
в)	по закону Коши
1,3.	Случайная точка М распределена равномерно на
2	2	2
окружности X + (у“*) = А* с центром в точке /V , Как распределена абсцисса точки Pt в которой прямая МЫ пересекается с осью абсцисс.
46
2.	Многомерный случай
2.1.	Каждая из независимых случайных величин f f и распределена равномерно в интервале (О: 1). Найдите закон распределения случайной величины:
fl) ? б) 5 в) .
2.2.	Каждая ив независимых случайных величин имеет экспоненциальное распределение с параметром Я . Найдите закон распределения случайной величины:
а)	; б)	; в)	s •
2.3?	Случайный вектор ( $ , р ) распределен равномерно в круге Xs +	= Как распределена величина f /р ?
2.4,	Каждая из независимых случайных величин и р имеет стандартное нормальное распределение вероятностей. Найдите распределение частого ?/р » Как с помощью полученного результата можно заново решить задачу XLU - 12в ?
2.5.	Координаты вектора ( £ , Р )г- независимые й одинаково распределенные по закону Л (О; 1) случайные величины. Найдите совместное распределение полярных координат данного вектора и их частные распредения.	т
2.6-	Плотность вероятности случайного вектора ( $ , р ) равна	Г £
(s+x+y)s 1 если О в остальных случаях. Найдите плотность вероятности случайной величины
2.7.	Докажите, что если каждая из независимых случайных величин и fa распределена по экспоненциальному закону с параметром Л , то независимы:
а)	случайные величины ру= f y+fe и р^ s f у /(f s
б)	случайные величины fa и p^3 f y/fa -
2.8.	Докажите,что если каждая из независимых случайных величин f, и fa распределена равномерно в интервале (О; 1), то случайные величины
гае	независимы и имеют одно и то
же распределение - Л/ (О; 1).
47
2.9.	Найдите распределение случайной величины
если 1 и 5а - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение.
3,	Моменты функций случайных величин и смежные вопросы
3.1.	Для случайной величины 5 В г	вычислите
Е (дА) и D ), где CL - заданное число.	£
3.2.	Для случайной величины	вычислитеЕ(& )
и 27 (а? ), где Л - заданное число.
3.3.	Для случайной величины	вычислите Е(в )
и О(е~*).
3.4.	Для случайной величины ^-R (Q ; b ) вычислите
3.5.	Для случайной величины £ -R (JL ;& ) вычисли-те
3.6.	Пусть Z'-R (О; 2.3Г},	, £>»= ^-5 £ . Иссле-
дуйте величины i и р% на некоррелтфованность и на независимость.
3.7.	Известно, что	независимые и
одинаково распределенные по закону R (О; 1) случайные величины. Пусть
р'=тИг($<Яг,- -ЛтО , р”*тах ($< ,%а
1.	Найдите закон распределения для каждой из величин р1 и р
2.	Вычислите с (р - р ) - среднее значение 'размаха* последовательности	тг - у
3.8,	Для случайного вектора ( £ . р ) с независимыми и одинаково распределенными по закону /V (О; 1) координатами, найдите	,р ) и Ema*
3*9. Написано П. писем и к ним подписано тъ конвертов. Затем письма наугад вложены з конверты и отосланы по почте. Пусть 1? - число тех писем, которые придут по назначению. Найдите £? и О V.
3,10,	Четыре точки наугад и независимо .друг от друга бросают в квадрат О 1, О у 6 1. Найдите вероят-48
ность того* что они окажутся в вершинах некоторого выпуклого четырехугольника.
4.	Разные задачи
4.1.	Техническое устройство состоит из П, блоков и выходит из строя (отказывает) при выходе из строя хотя бы одного блока (последовательное соединение блоков). Пусть длительности безотказной работы	t ...» блоков пред-
ставляют собой независимые случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону с параметрами Л, Л соответственно. Обозначим через время безотказной работы устройства в целом;
Найдите закон распределения величины р и соответствующее среднее значение Ер . Выразите Ер через E^1t E%29„.fE^n •
4.2.	Техническое устройство состоит из п блоков, работающих по схеме параллельного соединения - оно выходит из строя лишь в результате выхода из строя каждого из П, блоков. Пусть длительности безотказной работы блоков представляют собой независимые и одинаково распределенные по закону Е ( Я ) случайные величины. Обозначим через р время безотказной работы устройства в целом:
]. Найдите функцию распределения величины р •
2.	Вычислите двумя способами: непосредственными вычислениями и используя характеристическое свойство экспоненциального распределения вероятностей (задача IX-3.7).
4.3.	Пусть (О; 1)
's	$ г?
’+' дЗ	дгг * ‘ ’
где каждая из величин	...,Гп..... принимает лишь
значения О и 1 (таким образом, речь идет о двоичном представлении величины ). Докажите, что величины
. ♦	независимы, причем Р (	= О) = Р ( £ = 1) =
= 1/2 (Л = 1, 2, ...).
49
Раздел Х1У. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ. И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
1.	Композиция распределений
1.1.	Докажите, что для всякого леМ функция = = является характеристической функцией некоторой случайной величины. Опишите закон распределения этой величины
при =
1, 2, 3. Докажите, что для всякого 4гпп1:
rieN функция у если £ tO} , если i =О
является
4>п<*>я
характеристической функцией некоторого абсолютно
непрерывного распределения вероятностей. Постройте график соответствующей плотности вероятности при П = 1. 2, 3.
1,3.	Докажите что если^£)- характеристическая функция» то и функция I <?( 4)12	- характеристическая.
1,4.	Методом характеристических функций найдите закон распределения вероятностей случайной величины	, где
? и Р - независимые и одинаково распределенные по закону Е ( А ) случайные величины".
1.5.	Найдите закон распределения случайной величины ? =
где	независимые и одинаково распределен-
ные случайные величины с плотностью вероятности
= IF 1 + х* (закон Коши).
1.6.	Вычислите^интеграл
^а,Ъ ла+и& Ъг+(х-и)&
1,7.	Приведите пример таких случайных величин £ и р . которые были бы зависимыми, но плотности вероятности (X) и jn (X ) которых бы удовлетворяли условию
*	о©
V 2Г	-оо	’
(как это имеет место для любых независимых случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями вероятностей).
1.8. Докажите, что фикция _
является характеристической функцией некоторого абсолютно непрерывного распределения вероятностей и укажите соответствующую плотность вероятности.
2.	Метод производящих функций
2.1,	Методом производящих функций докажите, что композиция пуассоновских распределений Р ( Л 1 ) и Р ( Л2 ) есть пуассоновского распределение Р (Л у + Л а ) -
2.2.	При каком условии композиция биномиальных распределений В1 (7zi ; pi ) и Bi (TZs-pQ ) есть биномиальное распределение? Каковы его параметры?
2.3.	Каждая из независимых случайных величин и р принимает лишь значения иэ множества { О, 1, 2, ...»и их сумма F*P имеет биномиальное распределение. Как могут быть распределены величины и р ?
2.4,	Верно ли, что композиция геометрических распределений G (fa ) и G (Ра. ) есть геометрическое распределение?
3.	Некоторые свойства характеристических функций
3*1. Докажите, что если (£ ), Ц>а ( * )»	( £ ) -
характеристические функции,	- неотрицательные числа, дающие в сумме единицу, то	+
+	(^ ) + ... +	характеристическая функция.
3/2» Останется ли верным утверждение задачи X ТУ-З 1., если в нем опустить условие	, Qa^O , ..., И?? О,
сохранив лишь равенство Qf + Qq + . . + 47^ = 1?
3.3.	Покажите, что функция
yw= 4- (1 + 2. COS t) о
является характеристической функцией и укажите соответствующий закон распределения вероятностей.
3.4,	Пусть 0^04 1. Постройте пример характеристической функции такой, что
tzTTZ if (t) =Л .
3.5.	Докажите, что если	характеристическая функ-
ция, то RG <p(t) - также характеристическая функция.
3.6,	Докажите, что характеристическая функция ^/^абсолютно непрерывного распределения вероятностей удовлетворяет условию I (f(i)l <1 при £ * О.
53
3.7.	Докажите, что если характеристическая функция ф(4:) удовлетворяет условию
то при любых целых значениях т и тс (f (m -t^n -6g ) - /.
3.8.	Докажите, что характеристическая функция случайной величины £ удовлетворяет условию = / топ-да и только тогда, когда величина имеет вырожденное распределение вероятностей: Р
4.	Характеристические функции и моменты
4.1.	Докажите, что функция <р(4)-В не является характеристической функцией.
4.2,	Докажите, что функция ip It) не является характеристической, если:
а)	(р(*) = СОШг)у
б)	<+ t~ *
4.3,	Методом характеристических функций выведите фор-^ мулу для дентальных моментов случайной величины	)".
'=<>>
4.4,	Докажите, что если характеристическая функция tp(t) дифференцируема в нуле, то она дифференцируема и во всякой точке числовой прямой. Верно ли обратное утверждение?
4>Д- Докажите, что функция (?(*) = \Colt I не относится к характеристическим функциям.
4.6.	Докажите, что функция 0F ( 2 ) = / ЯЕI не является производящей функцией ни для какой неотрицательной целочисленной величины.
4.7.	Докажите, что если (X) и (х) - функции распределения, а (i ) и (* ) - соответствующие им характеристические функции, то.
5.	Теорема Пойа и смежные вопросы
5.1,	Приведите пример двух различных характеристических функций ) и {t ), совпадающих в некоторой окрестности точки t = О. Существуют ли различные производящие 52
функции ( Z ) и ф% ( £ ) • совпадающие в некоторой окрестности точки % = О?
5.2.	Постройте пример независимых случайных величин , р и £ таких, что величины ? и £ имеют неодинаковые распределения вероятностей, а суммы |=+р и f + £ распределены одинаково.
5.3.	Приведите пример характеристических функций и t ), удовлетворяющих условию:
а)	для всякого itR)
Ф/ (ё) < Фг (4) Для всякого Ъ to.
, Раздел ХУ. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - 1
1.	Частные и условные распределения
1.1.	Плотность вероятности случайного вектора ( ? , Р ) такова:	а	а
/(х^ = Аекр[~Ч(х-5)-а(х-5)(у*ъ)-(у+з) ] . Найдите:
а)	коэффициент А ;
б)	математическое ожидание и ковариационную матрицу данного вектора;
в)	частные плотности вероятности (X ) и /г (у ) случайных величин £ и £ и соответствующие им характеристические функции if., (t ) и (t );
г)	условную плотность вероятности (Х/у ) величины ly при условии , а также условную плотность вероятности faliCf/x) величины р при условии £-х:
- д)е(?/^у) и	e(pi^x)aU(Pl^sX);
e)£($l?) иДГ(Р/£ ) проверьте, что £(£
£ ( £ (Р/5 )) =Fp (формула полного математического ожидания).
1.2.	Задачу, аналогичную задаче ХУ -1.1, решите для случайного вектора (, р )т с плотностью вероятности
J(x,y)=Aexp{-Xlx2~x(y-2) + Гу-г)2]} .
1.3,	Для случайного вектора, рассмотренного в задаче ХУ-1.1, найдите:
а) Р(2$ + 3??2) • б)	^20))
г) Р(-3<р*0\^-Ь ).
53
1.4.	Для случайного вектора (£ , р ), рассмотренного в задаче ХУ-1.2, найдите:
в)	Р (I £ +2р1<4 );
г)	Р I ?=2).
1.5.	Вычислите интегралы:
a)	JJ ехр\_-Зхг-1<х(у-7)-2 (у-7) ]dxcly •, — в®
б)	ИехР{-j[(x+if-6(x+i)y+ Щу*]]dxdy.
2. Специальные методы нахождения частных и условных распределений
2-1. Плотность вероятности случайного вектора ( £ , )т такова:
J(x,y, %)-/lexp[-2XZ 3,5уг-г+2ху-2х%.-уя].
Найдите:
а)	условную плотность вероятности IX, у ) случайной величины при условии, что ?	~2~У)
б)	плотность вероятности(Х,у) случайного вектора
( tj , р )Т
в)£(?1?=х,р=у)	,р=у);
г) условию плотность вероятности (Уlx) случайной величины р при условии, что £ - Я* ;
д) Р (p>ol$*O)-, е)Р(^е(ч;1)).	т
2.2. Для случайного вектора (	рассмотренно-
го в задаче ХУ- 2.1, найдите:
ъ)/ц23 <xl Th*), б)/гз
в)Г6^|р = у, r*Z> г)/2/3 (У !^)У д) С(2\Г=> ) е) \р=у)
я D(^ 1? = У,Т = *Ъ
и Р(Р1Г = 2) ;
и	=
54
Раздел ХУ1. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - 2
1.	Теорема о нормальной корреляции
1.1. Для нормально распределенного случайного вектора (£,£>,£ )7заданы математическое ожидание ционная матрица К : /-1 = О
V 2
коварна-
(5
-1
О
-1
2
3
и
О 3 6
Найдите:
и I	, $-1) у
и О =2 ).
б)
1.2. Дл^ нормально распределенного случайного вектора ! JL и ковариа-
(	< Р . £ )Г заданы математическое ожидание
ционная матрица К j (О '
1 -3
(2
О
-2
-2
1
4
О 1 1
Найдите:
и
и
и
2.	Линейные преобразования нормально распределенного случайного вектора
2.1»	Известно, что	независимые и
одинаково распределенные по закону А/ (О; 1) случайные величины. Пусть	4
= + т
Найдите закон распределения случайного вектора (	)
двумя способами?
а)	по формуле умножения плотностей (т.е., используя понятие условного распределения вероятностей);
б)	путем нахождения ковариационной матрицы вектора )У а по ней - плотности вероятности этого вектора.
2.2.	Задачу, аналогичную задаче ХУ1 - 2.1, решите для случая, когда каждая из величин	> •••>
распределена по закону:	__
a)	N (0; 4);
б)	/V (1; 4)
2.3.	Задачу, аналогичную задаче ХУ1 - 2.1, решите для случая, когда
Уо	Ню
К'3<
2.4,	Плотность вероятности случайного вектора J =(	,
5 2 )гтакова:	Q
£(Х<,Хг)=/1ехр{-2(х?ъ)+%(х<+3)хг-5'Хг ] -
-1
3
И =
Найдите коэффициент А и плотность вероятности случайного вектора	, где
Z 1 2
2.5.	Постройте пример случайных величин , р , $ , не являющихся попарно некоррелированными, для которых, однако,

3.	Линейные преобразования нормально распределенного случайного вектора к вектору с независимыми координатами
3.1,	Случайный вектор £ =	имеет плотность вероятности	г	<?->
//>,, Хг) =4ехр l~2,5 (х- i) -3 (х<- <)(х?з)~6,5 (xz+ з) J.
Приведите этот вектор к вектору р “ (Р/ >Р<? ) с независимыми составляющими ру и при помощи:
а)	треугольного преобразования;
б)	ортогонального преобразования.
Какой в каждом из этих случаев будет ковариационная матрица вектора р ?
3.2.	Задачу, аналогичную задаче ХУ 1-4.1, решите для случайного вектора f г , $> )Т с плотностью вероятности /(XifXz^Aexp l-xf+SX, (xz-i)-2,5 (хг-1 )2] .
3.3.	Известно, что	) s где
«=(.1 Л)-
Приведите вектор £ к вектору ? = (Л , р^ )тс независимыми составляющими р^ и р^ при помощи:
а)	треугольного преобразования;
б)	ортогонального преобразования.
56
Какой в каждом из этих случаев будет ковариационная матрица вектора ?
3,4.	В условиях задачи ХУ1 - 3.3 подберите вектор А = ( Ау,Лгг) и матрицу Н порядка 2x2 так, что
Раздел ХУП. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - 3
1.	Моделирование нормально распределенного случайного вектора на ЭВМ
1.1.	Известно, что = ( Fv > ?з ) *** ^ (0,1). Подберите вектор А = (	, 1гг ,k3 )т и матрицу Н порядка 3x3 так,
чтобы вектор p=H£+fz имел следующие параметры (математическое ожидание и ковариационную матрицу):
/ 2 \	/11	-2 \
о , к =	1	2 -11.
'l-l /	<	2	-1	7 /
Однозначно ли осуществляется выбор вектора Z? и матрицы АГ? Если не однозначно, то приведите два разных решения.
1.2,	Задачу, аналогичную задаче ХУП - 1.1, решите для случая
/ О \	/ 4	-1	2 \
№ 1 , ~2 2 0 ) *
с 2 /	с 2 О 5/
1.3.	Известно, что Г =	I ). Подбе-
рите вектор А = (Лг t ,л3 ) ги матрицу н порядка 3x3 так, чтобы вектор	имел следующую плотность вероятности
+ 4 (^2) (уг-	.
1.4.	Пусть 5 = (	/V (/4 ; К ), где
Н=( 1	“2
<*'^3/	V.-2	5 /*
57
Подберите вектор ft —(	, kg) и матрицу Н порядка 2x2 так,
чтобы векторр=//^*Лимел распределение А/(^К^; Kq ), где
1).
2.	Распределение 2 2.1, Решите заново задачу XI-4.5, используя % -распределение.
2.2,	Известно, что $ * , з~ независимые случайные величины и N (О; б* ) (Л = 1, 2» 3). Найдите вероятность попадания точки ( ? 1 ,	> 5зг ) в область, ограниченную
ЭЛЛИПСОИДОМ ~ £	лг г	—
•А» 1	*Л. %	3
(Ь6\)а^ (k&3^ (k&3^ = 1‘
2.3.	Докажите, что если	ТО
Е^-п, D^-Zn,
Пусть f	(/<.;/(). Докажи-
те,ЧТ°
2^ Пусть 5 = (?у,е2. ••	(О; I). где I -
единичная матрица и Н - произвольная идемпотентная матрица^ т е, Н -Н. Докажите, что квадратичная форма	Н % имеет —
распределение с числом степеней свободы, равным рангу матрицы Н .
3.	Другие распределения, связанные с многомерным нормальным распределением
3.1»	Пусть ^*6^,	4/{?£,>••,Рг* ) ~
независимые и одинаково распределенные по закону N (О; К ), случайные векторы. Рассмотрим вектор f =(	» Хг..) Г»
=г-2.....
Распределение такого вектора естественно назвать многомерным экспоненциальным распределением (задача Х1-4.4). Докажите, что характеристическая фунюция такого вектора равна
58
c if С fa • • * Ст Cai Саг • • • Сеть
Cft-fC-na.	Сггп
C21 Сгг.-г1±а .	Сг?г
сш	Спг < • • cnj^2itTL
где С - II С £j II = К *
3.2,	Выразите ковариационную матрицу экспоненциально распределенного случайного вектора JT (задача ХУП - 3.1) через ковариационную матрицу К вектора £ .
3.3,	Докажите, что для экспоненциально распределенного случайного вектора £ из попарной некоррелированности координат вытекает их совокупная независимость.
3.4.	Докажите, что для экспоненциально распределенного случайного вектора ?=(	) условное математическое
ожидание Е(lfy = Xf) представляет собой линейную функцию аргумента Д'у .
3.5.	Какой способ моделирования на ЭВМ вы могли бы предложить для многомерного распределения Коши с зависимыми координатами?
Раздел ХУШ. ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СХОДИМОСТИ- 1
1.	Сходимость по вероятности
1.1.	Докажите несколькими способами, что если
1.2.	Пусть { ?п j - последовательность случайных величин с плотностями /л (-х) -	—777—;а • Доказать,
Jr (2-Q) + (Чп/
что ? — я.	р р
1»3. Доказать, что если	, рп“**Р^то:
a)?zz+Pn-*?*P;6) CL^n * а?; &)аЪ'*Ь?г+а$*Ь?.
р
1.4,	Показать, что если^*£* и в то же время то случайные величшы £ и f эквивалентны, т.е.Р( * р) = о.
1.5.	Пусть	и	непрерывная функция. Тогда
Щ&п)	• Доказать.	р
1.6,	Приведите пример, когда	> но	'
хотя вое математические ожидания существуют.
59
2.	Сходимость с вероятностью единица (пх)
2.1.	Пусть (~О-п > &-п), CLn iO. Докажите, что ЪЛ* ° '
2.2.	Пусть	и i/(X)-непрерывная функция. Покажите, что </>(* "9Т )	ч>(&.
2.3.	Докажите, что если {} - последовательность не-завис^дх случайных величин, А3/ 5 п- о) = //n* Р(/) - У- V#, то	только при <* >*1.
2.4,	Пусть 27	। ?я I < 00 при некотором oL > О. Дока-
зать, что О.	пн
2.5.	Может ли быть так, что £ , а Р(1 I стремится к нулю сколь угодно медленно?
2.6,	Приведите пример последовательности {	} такой,
5 . но
2.7.	Пусть J«P«r<Mj ,	Р - мера Лебега, слу-
чайные величины £п определены на ($? , F , Р ) и
, f 1 fc *,***>«*/* •
/TZ (Ш)3 1 Q СО> 1/п .	Р
ПН	7	,
Докажите, что ^^0 , но при любом р^о	.
3.	Сходимость в среднем
и
3.1.	Докажите, чт°:
а)	если ₽ , то Е^ ~Е$ л X*	4’
б)	если	, i7O. то	при любом
3.2,	Докажите, что если	> то	л
но обратное, вообще говоря, не верно.
3.3.	Последовательность {5л} называется равномерно
тегрируемой, если	ч Е[1^п}1{^п1>сУ]-^О
Xе
при ^-»вв. Известно, для того чтобы	необходимо и до-
статочно, чтобы 5 и последовательность {|^п | * } была
ин-
равномерно интегрируемой.
Докажите, что {^л} равномерно интегрируема, если выполнено одно из условий:
а)	’ Е2 <во-
б)	при некотором << >0.
60
3,4. Пусть и либо I 5^ / <2 •»	< “°	• либ°
/2^2? Е/^.г) ****-? ло при некотором ot.>o . Покажите, что в обоих случаях
3.5,	Доказат^, что если if(X) - непрерывная ограниченная функция, то из	следует, что If
при любом & >0.	пн
3.6,	Приведите пример, когда	> но	.
Раздел XIX.ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СХОДИМОСТИ-2
1.	Слабая сходимость - определение и простейшие свойства
1,1,	Пусть (®пР*^гяе Лп^О- г	.
Докажите, что	^(а.,6"г).
1.2.	Пусть £„= (~ /)п$ Ю/О • Докажите, что ?
но	d	£
1.3.	Пусть % . Верно ли, что	О .
с£	р
1,4.	Пусть	, О. - константа. Докажите, что
Пусть ^5 и	непрерывная функция. Докажи-
те, что
1.6,	Пусть случайная величина сосредоточена в точке ^п.»7х= 1,2, .... Докажите, что^^^^ тогда и только тогда, когда существует ^^^=4иё сосредоточена в т. а.
1.7.	Пусть £?тг} - последовательность целочисленных случайных величин. Доказать, что £ тогда и только тогда, когда Р ( ?п-Ь )*** Р($ ~к) для каждого^елого К .
1.8,	Докажите, что если	то
2.	Слабая сходимость и моменты
2,1.	Пусть £ . Привести пример, когда существуют, а - нет и наоборот
2.2.	Пусть	• Привести пример, когда
существуют, но	F ,
мерно интегрируема и ^тг §
3.	Слабая сходимость случайных векторов
3.1.	Пусть случайные векторы €/? п>. Докажите, что тогда и только тргда, когда для любого постоянного вектора
61
3.2.	Пусть случайные векторы
£	. Докажите, что 1^-п. lZ-£. I 1г ~Хг^>гг )•	.
/	х Г
3.3.	Докажите, что если	?«,-»<:. то	(£<7
3.4.	Найдите ошибку в следующем рассуждении. Пусть
. Тогда вектор (?Л,5 ) — (£,5). Функция (X,у)~х~У непрерывна, а потому //?и,¥)=?л"?г-*’^$г,£.)=0. Итак, оС	оС
получили, что из	следует	. Но это неверно
(задача Х1Х-1.2).
4.	Разные задачи
4,1.	Пусть 5* - случайная величина с заданным дискретным распределением. Постройте последовательность абсолютно непрерывных случайных величин £1=^7 такую, что
4.2,	Плотность вероятности/(х) случайной величины £=* непрерывна и ограничена наГаб7Я и равна нулю вне его. Пусть - дробная часть числа. Докажите, что
4.3.	Пусть { j - последовательность независимых случайных величин и р . Доказать, что имеет вырожденное распределение.
4.4.	Доказать, что если	- последовательность не-
зависимых одинаково распределенных случайных величин (невырожденных), то Р сходится) = О.
4.5.	Пусть КАо") ,	- независимы. Докажите,
Раздел XX. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
1.	Неравенство Чебышева
1.1,	Пусть - неотрицательная случайная величина, положительная неубывающая пр и	функция. Докажите, что
при любом с >о Р	.
1.2.	Доказать, что равенство нулю дисперсии = О равносильно тому, что случайная величина с вероятностью единица равна константе.
1,3,	Известно, что	. Оценить вероятность
P(?n-3G £1-	3 G) * Полученный результат сравнить
62
с точным значением указанной вероятности в случае, когда величина § имеет:
а)	нормальное распределение;
б)	показательное распределение;
в)	равномерное распределение.
2. Проверка справедливости закона больших чисел
с помощью неравенства Чебышева
2.1.	Пусть	последовательность некоррелированных
случайных величин с дисперсиями . Докажите, что если 1	с 7
— s	, то к последовательности { J приме-
ним закон больших чисел (ЗБЧ).
2.2.	а). Пусть ?yz ^2 / • • - - некоррелированные случайные 2
величины с	• а) Докажите, что к последователь
ности f применим ЗБЧ. б) Пусть Р = -<?	л
Р( $£= О) = 1-2~г. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
2.3.	Проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью успеха. Пусть
успешны
_ ! 1, если г -е и (г + 1 )-е испытания
[ О в противном случае. Выполняется ли для последовательности	ЗБЧ?
2.4.	Пусть	- последовательность случайных вели-
чин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем зависит только от ?л-/И	> но не зависит от остальных If*.
Докажите, что к последовательности {fn-J применим ЗБЧ.
2.5.	Пусть	- последовательность случайных вели-
чин с дисперсиями frpf . Докажите, чур если ковариация $£ и ₽• неположительна при itj и —	при
то к последовательности	применим ЗБЧ.
3.	Усиленный закон больших чисел
ЗА. Пусть - число успехов в гс испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р . Докажите, что	? 7-г-
3.2,	Известно, что если случайные величины	-
независимы и ряд £	сходится, то к последовательности
применим усиленный ЗБЧ (УЗБЧ). Проверьте, что УЗБЧ
63
Проверьте, что УЗБЧ применим к последовательностям из задачи ХУ-2.2., если, вдобавок, {fn}- независимы
3.3.	Пусть ,?г» • »- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, С Докажите, что последовательность	)//f	)
сходится почти наверное и найдите ее предел.
3.4.	Проверьте, что для последовательности	ИЗ
задачи XX -2.4 УЗБЧ выполняется
4.	Разные задачи
4JL Пусть ? ,?г, ... - последовательность, стандартных нормальных и независимых случайных величин. Величина tr* =
t /пгт*—
имеет распределение Стьюдента с ^степенями свободы 3(1*) , Докажите, что	N(Ot 1),
4.2,	Пусть	, ... - последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величину	... -
равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чисел Можно ли утверждать, что если ЗБЧ или УЗБЧ выполняется ДЛЯ £?тг] , ТО ОН выполняется И ДЛЯ^рпJ
4.3.	Пусть 5/ »	“ последовательность случайных
величин, для которой выполняется ЗБЧ. Обязан ли выполняться ЗБЧ для последовательности ,15г1 , ..?
4.4.	Пусть -09	-Следует ли отсюда
4X0 ,*!>*•-**»» .г
Раздел XXI. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
1.	Непосредственное использование центральной предельной теоремы
1.1.	В предположении, что один шаг пешехода равномерно распределен в интервале от 70 до 80 см и размеры шагов независимы, найдите вероятность того, что за 10 000 шагов пешеход пройдет расстояние не менее 7,49 км и не более 7,51 км.
1.2,	Случайные величины , ^, ...» $=><•> о независимы и равномерно распределены на отрезке ^),1^Найти
1,3,	При составлении статистического отчета надо сложить 10 000 чисел, каждое из которых округлено до 10"т 64
Считая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0,5*10	, 0.5-10 rn)i найдите пре-
делы, в которых с вероятностью 0,95 будет лежать суммарная ошибка.	4 2
1,4,	Интеграл I* IXoLx вычислен методом Монте-Карло на основании 10 000 независимых опытов. Какова вероятность того, что абсолютная погрешность в определении I не превосходит 0.01?
1.5,	Пусть	независимые одинаково распределенные случайные величины,	<°®,	•
Докажите, что для любых констант Л и Ъ tim Р (Q рк^Ь)-О.
1.6.	Пусть выполнены условия задачи XXI-1.5. Найдите , если Р (/ /яГ >4) = п	<2
1.7.	Случайная величина^ = ?V +	имеет рас-
пределение хи-квадрат с лг степенями свободы, если и независимы. Докажите, что ) /ёп £ ^н(0/ 1)л
2.	Условие Линдеберга
tn~^*** . Доказать, что
2.1,	Доказать, что условие Линдеберга выполнено для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией.
2.2,	Пусть	> - - гезависимые случайные величины и такие, что для всех П %. 1	, где А - некоторая
константа 7 и Вп - £
для такой последовательности выполнено условие Линдберга.
2-3. Пусть	последовательность независимых слу-
чайных величин, равномерно распределенных на отрезке f » . Найдите ti
2.4.	Пусть {fnj- последовательность независимых нормально распределенных случайных величин о. =0, Л > ’1, = ^*"гпри£»2	= 1. Покажите, что в этом слу-
чае условие Линдеберга не выполнено, но центральная предельная теорема справедлива.
3.	Разные задачи
3.1,	Пусть ~-Р (п)~ Докажите, что
65
3.2.	Пользуясь задачей XXI-3.1, докажите, что Urn е~пЕ. 7т*/Л/ = ^.
3.3.	Докажите, что в условиях задачи XX1-1.5. при любом X lim.P(prfx'> равен О, либо 1, либо 1/2.
3,4.	Пусть дополнительно к условиям задачи XXI-1.5.
= О. Докажите, что при любом X >о t£?n*P(Iрп равен. О при оС < 1/2 и d при oL > 1 /2
3»5. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин c£^i = О, О=1. Докажите, что величины = /7Г••	)/f	f rz2 )
ъ9п = <?, + •	+ ... +5=4 при п оо слабо схо-
дятся к стандартной нормальной величине.
3.6»	Пусть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и абсолютно интегрируемой характеристической функцией. Пусть (X ) - плотность вероятности случайной величины Чп = (f‘f +	Докажите, что равномерно
по X Urn рп сх) = (1/ /гУт") е хг/г.
Раздел ХХП. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
1.	Проверка несмещенности и состоятельности конкретных оценок
1.1,	Проверьте, что следующие оценки, построенные по выборке Л = (Х/,	являются несмещенными и состоя-
тельными:
*	4 П,
"И?, момента \7Ъ-Е.Х* л гъ
X £	- оценка теоретического начального
, Л = 1,2,..;
2
) - оценка дисперсии при условии
известного среднегб Q -E К f у
в) S ----—	(&•-& ) - оценка дисперсии D X f при
i=i	«	у	ГЬ	А
условии неизвестного	среднего	|7,	А = ^	S
7	/Т	г=/
66
1.2,	Доказать, что в случае выборки Л =( X ,Xft) из N (Л ,0 ) оценка B-Ja	параметра в является
несмещенной и состоятельной.
13.	Пусть X =( X,, ...» Хп)- выборка с EgXfB . Можно ли выбрать числа , ..., Сп так, чтобы оценка g-s. С; X:
п параметра В была несмещенной и имела меньшую, чем А дисперсию?
1.4.	Пусть X = (Ау , ...,ХЛ) - выборке, из R (О , 6 ) и
В, =	%(пу>	fyi), rneXfiJ
вариационный ряд выборки. Доказать, что г г = 1,2^- несмещенные оценки, но 0t - состоятельна, а вг - нет.
1.5.	Показать, что для логистического распределения с плотностью вероятности /(х,8) =	)Я
несмещенной и состоятельной оценкой для 0 является X .
1.6,	Пусть Х=Х< - выборка объема п-1 из а) Р(9), б)<г(1,£-) и требуется оценить параметрическую функцию Т(8)	. Доказать, что несмещенной оценки для 'Zr(O) не
существует.
1,7.	Пусть/ = (Х^, ...,ХП) - выборка b3F(X ) и (*) характеристическая функция F(x) . Пусть Fn	(число
е1**', £г=-1
GO&bMXL F (X ) и (fl ( t ) соответственно. Доказать, что Fn (Я?) и <Рп (*) - несмещенные и состоятельные оценки.
1.8.	Пусть X = (Xf , .., Хп) - выборка из F(x-e)x. F(X) симметрична относительно Q Оценкой & возьмем выборочную медиану О ~ X с rzi 21 + у	, где Х^ А“ к-й член вариационного
ряда выборки X . Доказать, что Q - несмещенная оценка 0 .
2.	Среднеквадратическая мера качества оценок А 21
2.1.	Доказать, что едри/?Л(в)	- в) - срецнеквад-
ратическая ошибка оценки О параметра 8 , а	Eq
ее смещение, то
л 2.2. JlycTb X1 - выборка объема п = 1 из ^(8,1) 7 0€ СО, 1], я К-/*/г А	- две оценки 0 . Доказать, что
смещенная оценка 9# имеет меньшую среднеквадратическую ошибку, чем несмещенная оценка &f.
67
2.3.	В модели Н & ) требуется оценить функцию (8 ) = 8 по выборке^ = ( Ху , . .,Кп). Показать, что смешенная оценка 53-^- Е	имеет меньшую среднеквад-
*=у	А 1 ъ ,у .а
ратическую ошибку, чем несмещенная оценка•
Z
2.4.	Пусть/ = (/у; ...Х^) - выборка из N(8t,8e )f ^2 i п -	2
»s‘=bV^ - несмещенная оценка дисперсии 9g п~1 1-1	g •
(задача^ХХП-l .L). Рассмотрим класс оценок дисперсии 9g вида Л 5 3 (при Л*/ это смешенные оценки 93 ). Покажите, что в этом классе наименьшую среднеквадратическую^ошибку g имеет оценка с Я = (n-i )/(п+1 ), имеющая вид-^т-£ fX-'X}.
3.	Оценивание параметров методом моментов
3,1.	По выборке А из Л ( Q1 ,9g ) оценить вектор в = методом моментов. Доказать состоятельность оценки.	£
3.2,	Пусть X - выборка из Д' (8f ,&g). Найти оценку вектора & - (9f ,9g ) методом моментов и исследовать свойства оценки..
3.3.	Пусть X =(Ху..Хп) - выборка из распределения
F (X, 8 )= (1— оС )	- вектор не-
известных параметров, Q*eL*4 , О (F (X,О ) называется смесью двух нормальных распределений.) Найдите оценку методом моментов и докажите состоятельность оценки.
3.4.	Пусть / ~(Xf ,...,Хп) - выборка из F(X,8) 6^9S ^(х)- заданная функция: rnа - Z Q (
Л 1-1X
- оценкА ТП. (6 ). Оценкой 9 по обобщенному методу моментов / называют решение уравнения	Пусть/-
выборка ^из N(Q,82) ,^f(x)-\x-Q.\ , gz(x)^(x-af	Найти
оценки 0^ и для 0 с помощью обобщенного метода моментов. Какая из них предпочтительнее при больших тт ?
68
Раздел ХХШ. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ
1.	Информация Фишера и неравенство Рао - Крамера
1.1.	Проверьте, что количество информации L ( 6 ) для соответствующих моделей имеет вид, указанный в таблице:
Модель	ц(в^г)		ею	вЦк&)	Р(9)
i(9)		е/ег	'/в*		’/е
12.	Если F(Xft) -F(X-0) , 0€ R1 , то говорят, что в есть параметр сдвига. Докажите, что в этом случае i(O) есть константа и найдите эту константу. Для каких моделей в задаче ХХШ 1.1. 0 есть параметр сдвига?	А
1.3,	Пусть Ъ-п 10) -£*9' в - смещение оценки 0 параметра 9 ев) и существует Ьп(0) . Докажите, что среднеквадратическая ошибка оценки 9 удовлетворяет неравенству
2.	Критерий эффективности
2.1»	Используя критерий эффективности, найдите все функции в) , допускающие эффективное оценивание в моделях задачи 1.1, и выпишите соответствующие оценки.
2.2.	Плотность вероятности/ ( X, 9	называет-
ся плотностью экспоненциального типа, если f (X,0)-ехр\9(*)Л(9) + с(0) + ell*)}.	что плотности семейств в задаче 1.1
являются плотностями экспоненциального типа.
2.3.	Пусть / (X ,9 ),0ев££' - регулярная плотность вероятности экспоненциального типа. Опишите все функции Т(9) допускающие эффективное оценивание.
2.4.	Если для семейства	>9^QSR J некоторая
функция Т(9) допускает эффективное оценивание, то соответствующая плотность вероятности У 69- плотность экспоненциального типа Доказать.
2.5,	Пусть Л - выборка из распределения К (0) . Доказать, что в этом случае не существует функций 2V9), допускающих эффективное оценивание.
69
3.	Асимптотически эффективные оценки
3.1,	Пусть Л - выборка из F (X ,& ),0* 0 £ R* 1 * и 9 такая оценка 9 , что /Я* (£-9) -if,	Величина
1/{.93(9) ЦвУ\-е(б,в) называется эффективностью оценки 9 . Если #(#,#) - 1 при всех#€ 9 , то 9 называется асимптотически эффективной. Проверьте, что если оценка эффективна, то она и асимптотически эффективна.
3.2.	Пусть X = (Ху, ,.рХп) - выборка из N (fl, 9г). Покажите, что эффективной оценки для 0 в такой модели неЛ существует, а асимптотически эффективной является оценка О -
3.3.	ЕслиХ = (Х^, ,..,ХП) - выборка язР(х~9),9еК > то оценкой 0 можно взять выборочную медиану 9sX(fnfe]*<) (задача ХХП - 1.8.). Известно, что если Flo}' 7г ц P'fo)>(fy то/п(9-9)^ ,	//сгр7о)]а).
Проверьте, что для выборки X из N (0 ,6Z) асимптотическая эффективность выборочной медианы &( &, & ) = ^/Л'= О.бЗ^-Пользуясь этим результатом, сравните качественно оценку# с с выборочным средним X .
4.	Эффективные оценки в векторном случае •
4.1. Пусть X - выборка из N (01	), Покажите, что:
а) информационная матрица I (9^,9£ ) равна
I 0	’	т
б) оценка 9*= (X ,54)гвектора 9 =(	,9г ) не являет-
ся эффективной (здесь 3 = —----Z_» (Х.-Х ) ):
i-i г
в) оценка & является асимптотически эффективной.
Раздел XX1У. ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ
1. Построение достаточных статистик с помощью критерия факторизации
.1. Постройте достаточные статистики для моделей N(0, 9г), Н(К,6г), P(Q),Bi(K,Q), Р(е).
70
1,2.	Найдите достаточную статистику для модели Н (0^ , 6г)-
1,3,	Полазать, что для выборки X = (Xt , . , Х^) из К ( 6 ) не существует достаточной статистики размерности меньше
1,4,	Пусть X = ( X/t ,..,ХП) - выборка из R (О .3 ). Доказать, чтсХ^Лу достаточная статистика.
1.5,	Пусть X =(Х7, . ., Хп) - выборка из И (0 .23). Показать, что в данном случае не существует одномерной достаточной статистики. Существует ли двумерная достаточная статистика?
2.	Теорема Рао - Блекуэлла - Колмогорова
2.1	Найдите следующие условные средние:
а)	). где X = (X*...Х^) - выборка из семей-
ств
б)	fX/^a fXjJ^rne X = ( Ху , ...,ХП) - выборка i(X) = £ Е (X{-fi.)a.
2:/	2 А
2.2	. Пусть X = ( X,, X*) - выборка из N(37G ) ъТ(в) = = Z( Х<<Хв) - несмещенная оценка для функции Т(е)-P# (Х<ХО). Постройте несмещенную оценку lej для	с дисперсией
меньшей, чем у Т ( 3 ).
3.	Полные достаточные статистики и оптимальные оценки
3.1.	Пусть X = (ХГ, . ..Х^) - выборка ъз Ffx Достаточная для семейства { F(X, 3), ffe&J статистика t(x) = = if(Xf	X^) называется полной, если из условия
для всех 8€0 следует, 4To^Y£?=0 на всем множестве значений статистики ё( X ). Доказать, что если существует полная достаточная статистика для{£ (х .3 ), Зе 6^}, то любая функция ф(i) on нее является оптимальной оценкой своего среднего Ее <?(*(*>).
3+2^ Пусть X = (Xi , ....Х^) - выборка из 3f fy0)£(*)= = Xf + . . + Хп. Доказать, что f (X ) - полная достаточная статистика.
3.3»	Продолжение задачи XXIУ - 3.2. Доказать, что следующие статистики являются оптимальными оценками функций О :
a)	- оптимальная оценка 3 ; 2
б)	t	- оптимальная оценка 3 ;	7
в)	г ——	- оптимальная оценка 0(1-в),
п п-1
3.4.	Продолжение задачи XX1У - 3.2. Доказать, что для функции	при нг? пне существует оптимальной оценки.
3.5.	Пусть Л = ( Ху , ...,Х п) _ выборка из 9(0,0)t 0 >0. Доказать, что полная достаточная статистика. Получить отсюда, что X п - оптимальная оценка 6 . Будет ли 9 эффективной?
3.6.	Пусть Ху - выборка объема п = 1 и Pg (= -1 )=О, Z^(X=K ) =(1-0 )а9*,К = 0,1........0*9*1. Проверьте:
Ху - неполная достаточная статистика;
если Eg U(Ху) = О при всех О* О* 1 , то £//Ху) = <?Ху - константа;
a J 1, X. = -1 - несмещенная и любая, оценка 0у = < Л 10 в противном случае
несмещенная оценка 0 представлена в виде 0»^у*а.Ху)
г) несмещенная уценка с минимальной в точке 9О дисперсией имеет вид 0в=0,+ 4вХу , где Д#= Последнее означает, что оптимальной оценки для 9 не существует, хотя несмещенные оценки есть.
б) где О.
в)
Раздел ХХУ. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
1.	Гладкий случай
1.1.	Пусть Л - выборка из семейств:
a) N(9,GS\ 9*R1, 6)Р(9),9*0.
Найти оценку максимального правдоподобия (о.м.п.)0 для0 .
1.2.	Пусть X - выборка объема П из Е(0) ,& >О. Найти о.м.п. § для 9 . Доказать, что § - состоятельная оценка. Исследовать несмещенность оценки в случае Ъ = 1.
1.3.	Случайная величина X , характеризующая срок службы электронной аппаратуры, имеет плотность вероятности
f (X, 9 ) =	9 А , 9>О . Построить по соответствую-
щей выборке о.м.п. в для 9 и доказать ее состоятельность.
1.4.	Получены п измерений случайной величины X при помощи разных приборов. В предположении, что результат i -го измерения - случайна^ величина с распределением 9(9	найдите о.м.п. 9 для 9 . Покажите, что оценка
72
является несмещенной и найдите ее дисперсию. Когда 9 будет состоятельной?
2.	Негладкий случай.
Существование и единственность оценок
2.1.	Пусть Л - выборка из N {6 ,6Z), 9£Ca,i]^ Найти о.м.п. для 0 и доказать ее состоятельность.
2.2.	Найдите о.м.п. для О в модели Е(е)	.
Будет ли оценка состоятельной?	г
2.3.	_ Пусть X - выборка из /V {9 ,0 ), 9 > О . Доказать, что при	о.м.п. для 9 в такой модели не существует.
2.4.	Пусть А - выборка из Л (8	. Най-
дите о.м.п. Для 9 . Сколько таких оценок? Можно ли гарантировать их состоятельность?
2.5.	По выборке X из 9(0,9), 9> О , найдите о.м.п. для 9 , ее среднее и дисперсию.
2.6.	Пусть/ = (Ху, ...,Хп) - выборка из распределения
где 9= (<Х	, 6" ) - вектор неизвестных параметров,
(ff >0, -<*>	*_ 1,2. Покажите, что о.м.п, в та-
кой модели не существует.
2,7.	Пусть Л - выборка из распределения Лапласа с плотностью J!(x 0}=~ 9~*iX~,86 R1 . Докажите, что о.м.п для 0 совпадает здесь с выборочной медианой (определение в задаче ХХП - 1.8).
3.	Принцип инвариантности
3.1.	По выборке X из Н(0,6г),0& R* оцените функцию гС(О) = О*-1 методом максимального правдоподобия.
3.2.	Для выборки Л из: а) Л/ (J9 ,2 );	9 (0
9е 91 , найдите о.м.п. 9 для 9 .	&
3.3.	Для выборки К = (X1 , ...,Хп) лз N (9^ ,9г ) найдите о.м.п. вероятности Рв (Х^Хо )> а 0г)-
4.	Асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия
4.1.	Приведите пример о.м.п., которая не является асимптотически эффективной.
7 3
4.2.	Проверьте асимптотическую эффективность о.м.п. для Q в модели Е(в), Of О.
4.3,	Пусть X =(Х^.Лп) -выборка из распределения
Лапласа с плотностью/(X,Q)~ £ (?*	, р £ д'. Пользуясь
задачей ХХШ-З.З., покажите, что о.м.п. для В (выборочная медиана) асимптотически эффективна.
Раздел ХХУ1. ДОВЕРИТЕЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
1. Доверительные интервалы для параметров нормальных выборок. Одиовы бор очнаяза дача
2
1.1,	Пусть Л - выборка из N	). Доказать, что
/Л ( X-- центральная статистика, построить центральный доверительный интервал для В надежности 1- <К.
1Д. По наблюденным значенияь^ 2.3; 1.98; 2.03? 2.15? 1.98; 1.93 нормально распределенной случайной величины с дисперсией 0г= 0.01 построить центральный доверительный интервал для среднего надежности 0.95.
1.3.	Пусть Л - выборка из N	и доверительный
интервал надежности 1- el для 8 строится с помощью пен-ральной статистики Лг (Х-в) /G". Доказать, что наименьшую длину имеет центральный доверительный интервал.
1.4,	Сколько наблюдений нужно провести над нормально распределенной случайной величиной с дисперсией &г= 0.01, чтобы по ним можно было построить центральный доверительный интервал для среднего надежности 0.95 и длиной не более 0.01?	2
1,5.	Доказать, что для^выборки X из N ) центральной является статистика J, г (д ,-^ц)2 , а для выборки ев
2 1 г
) центральная статистика -	. Построить от-
сюда центральные доверительные интервалы для & и 9г*
1.6.	По наблюденным значениям нормально распределенной величины 1.03; 0.95; 0.80; 0,82; 1.0; 1.15 построить центральный доверительный интервал для дисперсии надежности 0.99.
1,7.	Пусть X - выборка из N (9? , 0г ). Доказать, что /zz- / (	)/S - центральная статистика и соответствующий
центральный доверительный интервал имеет наименьшую длину. 74
1.8.	По наблюденным значениям нормальной величины 2.03; 2.21; 2.15; 1.96; 1.91; 1.94 построить центральный доверительный интервал для среднего надежности 0.90.
2.	Доверительные области Для параметров нормальных выборок
2.1,	По выборке X иэ N	построить доверитель-
ную область для двумерного параметра в ={91 ,9г) надежности 1- 9..
2.2.	По наблюденным значениям нормальной величины 1.20; 1.02; 1.12; 0.90; 0.95 построить доверительную область для среднего и дисперсии надежности 0.95. Нарисовать эту область.
3.	Доверительные интервалы для параметров нормальных выборок. Двухвыборочная задача
3.1.	По выборкам X и X иэ N (01 v.N(9z i&'t) объемов 7t и тп соответственно, построить доверительный интервал для 9^ - 9% надежности 1-оС.
3.2.	По выборкам X и Г иэ Л! ( 9, , 9Z ) и N ( 93 , 9Q ) объемов тп и тг соответственно построить доверительный интервал для 9Z /ву надежности 1- cL .
4.	Асимптотические доверительные интервалы в 10 000 сеансах игры с автоматом выигрыш выпал 4000 раз: а) найти приближенный 95% доверительный интервал для вероятности выигрыша; б) сколько сеансов игры следует провести, чтобы с вероятностью 0.99 вероятность выигрыша отличалась от частоты не более чем, на 0,01?
Из большой партии электроприборов 400 было проверено на продолжительность работы Выборочная средняя продолжительность работы оказалась равной 12204. Указать приближенные границы, в которых с вероятностью 0.99 находится средняя продолжительность работы прибора этой партии. Время работы прибора - экспоненциальное.
5.	Доверительное оценивание в негауссовском случае
5<1. Пусть X = (Xf, ....Х^) выборка из распределения с плотностью	Доказать, чтоХ^г# цент-
75
ральная статистика и построить доверительный интервал для 9 надежности 1- ос.
5.2,	Пусть X =( X/t,.Xn) - выборка из Я ( О , 9 ). Доказать, чтоХп/0 - центральная статистика и построить центральный доверительный интервал для 9 надежности 1- << •
Раздел ХХУП. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
1.	Проверка гипотез о параметрах нормальных выборок с использованием доверительного оценивания
1.1.	Пусть X - выборка из N (Z? , 6 2). Проверить А/© • 0=0G против Z/y : 0 ^0С с помощью доверительного интервала из задачи XXI-1.1 предыдущего раздела. Найти мощность критерия V/ZeA Построить график функции мощности.
1.2.	По выборке Хх ,	тлз N (0 с ZT= 5.2
найдено X = 27.56. Пользуясь результатом задачи XX 1-1.1, проверить гипотезу Но : в = 26 против альтернативы Z4:0 126. Уровень значимости = O.Q5. Найти вероятность ошибки второго рода при альтернативных значениях 6 = 26.52; 27.04;
25.48.	г
1.3.	Пусть X - выборка из X (9j .9^ )w Проверить гипотезу Но : 9i~ 9fO против	* Рю , пользуясь довери-
тельным интервалом из задачи XXI-1.7.
1.4.	Пусть X - выборка из N , 0^ ). При уровне значимости^ , пользуясь результатом задачи ХХУ 1-1.5, проверить гипотезу Но :	против	*вго . Найти мощ-
ность критерия.
1^ Пусть X = (ХУ ,...,АП) и Y =(Г¥............-	выбор-
ки из N (9<.& ).я.М (9г,6\f ) соответственно. С помощью доверительного интервала для 9Г~ в г. из задачи ХХУ1--3.1 проверить гипотезу	9^ против Hiz91^9z~
1.6.	Проведены наблюдения 0,90; 0,93; 1.20; 1.02; 1.10; 0.95 над случайной величиной, распределенной по закону N (0,9t), и наблюдения 0.92; 0,96; 1.09; 0.93; 1.15; 1.20 над случайной величиной, распределенной по закону N (9 г,0 ). Проверить Ho '.Of-9г против 6^*^» при вС = 0.005. Использовать доверительный интервал для 01~9г из задачи ХХУ1 - 2.1.
1 7 По наблюденным значениям 1.20; 0.90; 0.95; 1.11; 1.08; 0.93 нормальной N {0t ,0г) величины прове-76
рить гипотезу Но : G1 = 1, О г. = 0.1. Уровень значимости взять 0.05.
2.	Критерий Неймана - Пирсона
2.1,	Пусть X - выборка из М (0 Ho'G-Go : в-в, > вс • Построить наиболее мощный критерий уровня ос для проверки На против Н^ . Найти мощность критерия Ы(6(). Построить график функции мощности. а
2.2.	Пусть Л - выборка из N (в ,& ) и с помощью критерия Неймана -Пирсона проверяется гипотеза	против
Hi :в~ Of > ff0 . Какой наименьший объем надо взять, чтобы обеспечить проверку Но против //у с заданными вероятностями ошибок первого и второго родаоС и уЗ ? 2
2.3,	Пусть X - выборка из (О, О ). Построить критерий Неймана - Пирсона для проверки Но ; 9-9^ против Н : 9-в^9о.
2.4,	Для распределения Коши К (0) проверить Но'. 9- о против Х/у : 6 =1 критерием Неймана - Пирсона Показать, что при уровне значимости оС = 1/2 -(Ул’ )ат^с (1/2) для выборки объема 7t = 1 критерий задается критической областью (XfZg } . Если oL-U/jr) arctf3-arctg / ? то критическая область имеет вид {/S Xf$ 3], а. мощность равна (1/л)аг>с tgZ
3.	Определение приближенной границы критического множества
3.1,	Построить критерий Неймана - Пирсона уровня оС для проверки по выборке X из Е ( G ) гипотезы Н,- Ge Go против : в-Q-f *G0. Найти приближенную границу критического множества при больших М-
3.2,	Пусть Л - - выборка иэ Р ( О ). Проверить гипотезу Но’. 8-Go против Н<‘. 9-G.f >9 о с помощью критерия Неймана -Пирсона. Уровень значимости взять оС . Найти приближенную границу критического множества при больших Tt .
3.3.	Пусть Л - выборка vs,8i (1,9} . Проверить //в'.0= = Во против Х/у • 9- G1> во на уровне значимости oL с помощью критерия Неймана - Пирсона Найти приближенную границу критического множества при больших 7т .
77
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ
Раздел 1. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - 1
1.1, 2/3, 1.2. События равновероятны. 1,3: а) события равновероятны; б). событие 'выпадут разные цифры"; в) события равновероятны. 1,4г а) 9; б) 10. 1,5: а) 0,1; б) 0.19. Д-6: а) 0,432; б) 0,288; в) 0,064; г) 0,784; д) 0,352. 1.7. а) 1/3; б) 1/2; в) О. 2.1.-gy- - 2.2, 2/5. 2.3, 1/20. 2.4, 1/10. 2.5. 5/6. 2.7, 2/3. 2.8, 1/3. 2.9, 0,3. 2.10. 2/3. 2.12. а) 2/15; б) </^. 2.13, 1/9.3.1. 2/5. 3.3. 33/91. 3.5. 99/323. 4.1. 0,3024. 4.3. 61	6>
gg ft 0,015; 4.5. 1-	0.9976.
Раздел П. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - 2
Г г
1.1, X/.*	0,58. 1.3, а) 0,3;
' с &
‘	,о° за
1.5. 9/14. 2.1. Сла С'° о. 0.07. 2.3.
Г г Lfoo
= 11/12.
0,029.
л а) 1/7; б) 1/3; в) 10/21; г) 1/7;
/2. 3.2, 5/12. 3.5, 1/2. 4.1,
£ & ыл
ТС	*2
б)
Раздел Ш. ФОРМУЛА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1, 0,3. 1.3, 0,16. 1.5, а) 1/3;
(10!\s 10
2.1, 1730. 2.3. 2/91. 2.5. “/2
б) 1; в) 20/87.
3.1:. а) 1/32;
б) 1/16; в) 31/32. 3.3. а) 0,21; б) 0,027. 3.5. а) 9/64:
б) 9/16; в) 37/64. 4.1, 0,94. 4.3. 0,952. 4.5.
а) 0,46; б) 0,88;
+ Pj(l-/>,)(!-/£);
в) 0,12; г) 0,58. ~4.7. а)р^)+
б)?3 ; в)___
р^РаН-Р^+РзЧ-РЛ (
78
199 100	1 200	4 1
1 “ ^200^	- 1 - ( 1- 200)	yQT
Раздел 1У. ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. 44/285. 2.1, 0,29. 2.3, 2. 2.5. Ср1? срг (1-Pil;cp3 (1-Р1И 1-Р*)9 где С -	(1~Pi)*p3 (1-р1>(1~рз')3 1.
1, 2/3; 1/3. 3.3. 13/25; 12/25. 3.5, -—
-_»Ж-
<?П’/
3.7. отец-мать-отец 4.1. 1/4.
РМ)+Р(В)~1
Указание: Р(Д/В) ? ----_ .	<—
Р( о)
Раздел У. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
1.1. 14/15. Т.4. П*—_ 1.5. 27/49; 25/42. 2.1,
-i-j.	—X-	х
13/30.	4.1- * т .4.3. 10/13. 4^. 1/13.
7тг 71	к+
4.7. 57/59	4.9, 1/3. 4.14, 9/29: 19/29: 1/29.
Раздел У1. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА
1.1. Три партии из четырех. 1,3. Ровно Два 'успеха' 1.5. 1 и 2. 1.7. 1) 4 лампы первого типа и 1 лампа второго типа; 2) 0,63985. . 2.1. ~ 0,006. 2.3. О; 0,02;	„
® 0,0002. 2,5. 0,784. 2.7. йг 0,855. 3.1. С* 0,230,8 = = 0,04096. 3.3 ~ 0,016. 3.5. 0,05792. 4.1. а) 1/72;' б) 1/24. 4.3. а) 5/64. 4.5. 6 ~	~ 0,054.
81 £7
Раздел УП. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
—О 8	х
1.1, 1-1,8# ’ я>0,19. 1,4, Искомое среднее число Я изюмин находится из уравнения #“л= 0,01, т е k. 5.
1.7. а) 2,88#2,4а0,26; б) 1-6,28#2,4х.0,43	2.1
79
~Ф *( 1,543>« 0,9386. > 9604 .
1,	(228; 272)	4.1. Щ
Раздел УШ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1,2. Ер =	= 0,49. 1.3. а) 1; б) 10/11;
в) 10/231; г) Е§ не существует. 2.1, 7/2; 1/6. 2.4.
53/2. 3.1, 1,5; 0,925..	J4.3. 9. 5.2.
Ю00.	3; 4/9,	+ l
99; 100 - наиболее вероятные значения.
Раздел IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
UL =f	2^ при k = Гз. 1-е4
4JL^ = /F(7 ,Dp =(1-J)£5aa. *0,87 * 4,6%. 4.7. ~ 0,29.
Раздел X. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ НА СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ЩХ) (1-х) или <f(x)

1-6р + 6рг
Раздел XI. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ И НЕКОРРЕЛИРОВАННОСТЬ
1,1,	= (О; -1/6)7, К=
-1/2 Л 13/18/
2.2. Величины
аа. ^р=-/)=^Г
1= и р некоррелированы, но зависимы.
1-и-	4-2t>T\.
У казание: рассмотрите	4.1. 0,71875. 4 2. 1/3
Раздел УП. УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
2JL 21.	5.25. 2.6. 3. 4.2.
80	(ХЬ-О).
^/(Ю^Ле'АМ; E^O,J)t=^,-
Раздел ХШ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
2.3, По закону Коши. 2 4. По закону Коши. 2.6 f(x)=
3.7. 2) 1-----3 9. EQ=D^ = i.
ж--	п^1	---
Раздел Х1У. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ (а+Ьузг 1	>
1^" £,4	"£»---- Функция'/'fZ}
не является аналитической в точке О 4.7, Указание: рассмотрите каждый из интегралов как соответствующее математическое ожидание и примените формулу полного математического ожидания.
Раздел ХУ. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - 1
Lb «)^ = 6) (5; -3)Т;	’7®);
е ,, , -(^г
1.3, а) ~/~ Ф ( 0,46) » 0,3228; б) 1. 1,5, а)^
81

г
1.1. а) 4; 1;
Раздел ХУ 1. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - 2
в)-0,4; 1,8. 2.1. /(Х.у) =
3>1. а) преобразование ?=«< с матрицей
Н=\о j/n)' Kt~\o ц )>
б) Преобразование р- с матрицей
fro
<26-2 7
Раздел ХУП. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - 3
"Г
-2
О
82
Раздел ХУШ. ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СХОДИМОСТИ - 1
IX.
1.3. Пусть ^n=(l^~Pl~ Цы),	1.2, • . тогда ^?=р) =
Если Р(Ц=?)*1 , то существует ггго :
Р(Ат ) *1  Покажите, что последнее невозможно. 1.6 PlfnPO)*-<- Чп,Р(Чп= n) = t/n XX I /*ап <е при любом для	23. Ecnn ffn} независимы,
то^л^Г4з>£ Pflfn-C [>€)< — п91	'
для любого €>О . 2.4. См Указание к задаче ХУШ -2,3
2.6, Указание к задаче ХУШ - 2.3. 2.7. .£^/Я*Т 3.1. Воспользуйтесь неравенством Ляпунова: при о< (Е1р/ ) *<£1?1 )' а также неравенством Минковского: при
3.2. Воспользуйтесь обобщенным неравенством Чебышева: Р(1?п£1}£)£Е1?ъ?I*/£*, е?о, i?Q,
a) Cl^nlKlfn 1>О]4ЕС?1(р7с1\+О,С+<*>;
G)tupEl^n\I(^n\?c)]±supEt(Vfn\ ‘t/ci)T(lfnI>c)V 5.	/*ос n
supElfnl
3.4. Воспользуйтесь задачей ХУШ - 3.3. 3.6. P(^n~DP^'^i P (fn = 1) = '/«. U n J - независимы
РаэделХ1Х. ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СХОДИМОСТИ - 2
XX Неверно. XX f &Eg($n ) •* -•f g(.f) Для любой непрерывной ограниченной д 1,6. Рассмотрите характеристические функции и 2.3 Докажите что "tim lEEn-Efl ssvp j IfnldP + S I^I^CP
3.1. Указание к задаче XIX - 1.5. 3 3. воспользуйтесь задачами XIX-1.8 и 3.1. 3.4.	). 4.3 Из усло-
вия fn - fn+.f -* Р- Пусть ifln (i) - характеристическая функция . Тогда <рп (t) У*. J-t) -* i Ф | Vn (V И <fn- f (~VI
!4>п	. Ho	T.e,
4 4 Покажете, что P (последовательность {^n| фундаментальна)= = О.
83
Раздел XX. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
1,1. Доказывается аналогично неравенству Чебышева (> */п ),П= 1.2, . , Тогда (£*Г ) = = -Но в сипу неравенства Чебышева	=О
1.3. 0,997; 0.982: 1. 2.2 а) Воспользуйтесь задачей
п
ХУ - 2.1; б) Да. Воспользуйтесь 2.2.а	2.3. Выполняется
= О. Torfla-PC(5V*”'*S’n =
2.5 Проверьте, что
31 — е --Z. »7.
' м. ^П.	I' i7. ~
1, в г’ -м опыте успех О, в г -м опыте неудача,
-i-i - ч независимы. 4Д
Раздел XXI. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 1 1. 0.995.1.2. 0.5. 1.3 (-56 58.16**). 56.58.10^
1^ Пусть	1), Р- ( I ^~"~оо	I * 0,Ol) =
’ 2	1 п г <
2j.l, Пусть Вп =^~ ^^Ki7n~£?..Тогда	21 J IX-m|aFK (х)-
t:t	1	в»^^-т\>€В1.
-П .. |	|X~m\2ol F (х)-^О,
’	г--->
2.2. Из неравенства Чебышева J	dFK(X)
IX-77?jcl >£ВП
2	2
Р(^тк\>ЛЪпУ(^} откуда п .	8 .
Z £2 j \x-mK\dFK(x)< -г г ~^0.
Вп Kzf\х-тк\>£Вп	п
84
2 3 Воспользуйтесь задачей XXI - 2.2. 2 4 ( £/ + -.+ Гг?)/ +	+ D
и {$7 }-независимы 3 2/ ПЕ 71-К/ к \ - Р ~~	Kzff
=Р((5пп)/№4О)яф(о)='/г, 3 3. О, если ; 1, если Е%*0	; 1/2, если Е%< ~, О- 3.4. 1гтР(\!?-п\/Т1*	=
Tl	*
3.6. Пусть (рп(*) — характеристическая функция. Тогда 2	00	' 7	2
Раздел ХХП. ТОЧЕЧНЫЕ ОПЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА „	3
1. в) Воспользуйтесь представлением 5
-(Х-^ ) UL Нет 1.4. Р (ХЛ^х) = = (Х/в )П при ff£x *0 , Р {Х1<х )= 1 -	OiXtQ. Зная функции рас-
пределения величин Х.^Л и Л^,), найдите их среднее. Покажите, HToX^'Xotjjs QU/kn , а Р(Кп^/)^'в\>е)-^О
1 6. а) Пусть •& (Л / ) - оценка С (0 ) Из несмещенности S	, е >0. о™ £ е^е‘л ъ'в>о.
к:о К{ о	к>,о *1	‘
Последнее невозможно
1.8. Воспользуйтесь тем, что функция распределения Л (ц) Р(*(К>*Х^£ C^F(X-0^U-E(X-^-< л ,	г п-t
2 3 nS Ю '-Х (п-1), откуда ^5 - ~п & ' в £-^)0 \ Ео (5а-&г)г^58^СЕе (&'^=г &f П^лг 1б (тг)7 откуда, аналогично, 9 2, у	2
2A^Eff(^S'G2 )=<р(Л)Ог> г^(Г(л)^2Л/(п^)^(Л-1) .
Найдите min(f(А) 3 1.	J , &гхХ + /5\5 .
А,	>
3.2. (X ,S ). 3.3. Система уравнений по методу момен
тов
85
Г	3 л
J 1 — oi. oLC — Q z л \з +Гог<7*=17у .
n?J*Га''в‘7йС(х^а’ = &, /п(е,-е)	Jn (ег-е& н(о,ег/г).
Отсюда лучше Qf при больших П.
Раздел ХХШ. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ
1,2. г(е)~ Ц/мГ//МЛх 13. Доказывается JC:/fx)O
аналогично
неравенству Рао - Крамера. 2.1. Эффективно оцениваются функции Л Т(0)+Ь , где Т(6) соответственно X,
% . *	2.з. г-(в) =	(&), где 2>(0)г -с 1(е)/Ъ *(е),
й. тл Ъ - каяст&лты. 2.4. Воспользуйтесь критерием эффективности. 2.5 Распределение Коши не принадлежит экспоненциальному типу. 3.1 Воспользуйтесь критерием эффективно-
СТВ.	=
41, б) Ковариационная матриця оценки Q равна
О 29г/(п-1 JХ-О,)’/п	*(е]).
1.1
Раздел ХХ1У. ДОСТАТОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ И ОПТИМАЛЬНЕЕ ОЦЕНКИ п п	п тг
С оответственн о	л-,? /. •
s	izi lfi-i	i-i i-i
(X, 5 ). l^ZfX,e?^4	 зиесь нет
статистики размерноётп меньше П, дающей факторизацию п	fl т>о
, где^ГХ?
1.5 . L = 1, если	.Отсюда (Х<7ЪХОг))-
86
двумерная достаточная статистика,_ а одномерной не существует' 2.1. а) Все средние равны Х^ ; б) i (2.2.	,
0г)Х - достаточная статистика и
= Pff (ХгХ'-Я*-*/*) . HoX,-X и X независимы (проверь-те!) и	. Поэтому	>5^/)
3 2.	(ПО) . Пусть $(£) - любая функция, определенная'
на множестве О, 1, ..., П . Условие/^ gCt) = О,	,
имеет вид:	я	.	. n-t
Z 9Мсп9 d-е) -o,o*e*i, £=* *
Отсюда	О для Z = О, 1, . , П 3.3. Проверьте, что
выписанные статистики несмещенно оценивают соответствующие фуНКПИИ.	-ц-f,
3.5. Плотность вероятности JгОт0^Х£6 достаточная статистика. Пусть Ёд^Ц.) - J £(*) X (А.Х - О, 8>О. Дифференцируя по G , получим $(&) - О, &>0 ,
£(И)- К(пу - полная статистика Наконец, Eg Ki-ny = 0)Q>O. и, можно воспрльзоваться^эадачей XX1УЛ- 3.1 3.6. а) Ё^К^-=о,осе<1‘7 §=e^(e-of) и Ее (е-ej-o, о<в<1 , ао ищется из условия минимума Г РСХ^Ю^ОО-ацГ.
т.е.
РазделХХУ МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
11 Для б*) и Р(в) в = К 1^8=	1.3.	'
1г = /	//|г--/	/	илХ>1.
П — О' —
Состоятельность следует из^	в 2^2 Решается ана-
логично ХХУ - 2.1. 2.4. 0 - любая точка отрезкаХр,} . 2^.5. # = ХГгт). далее используйте задачу ХХП -1.4	2.6. Если
=Х^ и , то при^юбых фиксированных &г и
дУ XnZ(Xjj*-SJL'2“^rX-5‘-7 3.2
87
тогда* ; б)*=УТ . 3JL ((Хв - X )/S	4*1.
Х^ в модели R. ( О , 0 ). 4.2. Используйте центральную
предельную теорему
Раздел ХХУ1. ДОВЕРИТЕЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
1~ *У2
1.2. Длина произвольного доверительного интервала надежности 1 - <Z t (?,$>}-(£'№/fn , гае Ф(0) ~Ф(£) = /-•(. Проверьте, что минимум Z (/’’•/Э) при условии Ф(р)~ Ф(?) ~ 1~о1 достигается при	. 1.4. П Ъ 1537. 1.5. Для
,02)	(п) , Для N ,8? ) и
5^/е^	/пч (Х~в<)/
/ns> /fc<e2*n$Z/fz _> rae ^--h-Л и
Л = i+jr. А-УГГг)=>7*7Х
3.2, Центральная статистика С-5 ж / Qz J/[
3.1, Центральная статистика (X -Y )G~у	ft (о /)
4.1, а) (X 97s1*(l’*)ln « (0.39, О. 41); б)^>16231.
5.1, ( Xf + fr^/n,Xy). 5.2.
Раздел ХХУП. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
IX	(^/г-	)7
где	1,4, Мощность критерия	) = 1 -
"ГХл-/	&го1бг )~Хп-/	@го /&г )1 т
где/„.у ( Хл.$)	2.1, Критическая область	:
: X Л ч/г +г#а1	) = 1 - ^/г.  2и2^.
= j z д|+ х> гдерГ] - целая часть
2.3. Критическая область I	~	»
88
где/м
(}Cn = 1“^- 3.1» Критическая область^.. = гь 9 -J
= ] X ; X X • - £ [	, где С -квантиль уровня 1 - об гамма-
распределения с параметрами ( ^д,7г). При больших П С^(/п +
+	)J7Z /ffо , Ф ( $<)= <Х . 3.2. Критическая область
где с определяется неравенством
При больших
п С ^тг&о^
3 3. Критическая область
Л7<.{х.£х,.»с] v “ 7
, где С
определяется неравенством
гп=с	m=c-i
При больших 71 С 7t	/- ^в)\
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . ....................... .	3
Раздел 1. Классическая схема теории вероятностей -1........................................    4
Раздел П. Классическая схема теории вероятностей -2............................................. 7
Раздел Ш. Формула умножения вероятностей . .	10
Раздел 1У. Формула сложения вероятностей ...	15
Раздел У. Формула полной вероятности. Форму-
ла Байеса .  ................................ 19
Раздел У1. Схема Бернулли. Полиномиальная схема ...............  ....................... 23
Раздел УП. Предельные теоремы в схеме Бернулли ............................................. 27
Раздел УШ. Дискретные случайные величины ,	29
Раздел IX. Непрерывные случайные величины. .	34
Раздел X. Смешанные задачи на случайные величины..........................................  37
Раздел XI. Случайные векторы. Независимость и некоррелированность.............................  40
Раздел ХП. Условные распределения и условные математические ожидания............................ 43
Раздел ХШ. Функции случайных	величин .	46
Раздел Х1У. Характеристические и производящие функции ....................................... 50
Раздел ХУ. Многомерное нормальное распределение - 1........................   ........	53
Раздел ХУ1. Многомерное нормальное распределение -2......................................... 55
90
Раздел ХУП. Многомерное нормальное распределение - 3.......................................... 57
Раздел ХУШ. Виды вероятностной сходимости 59
Раздел XIX. Виды вероятностной сходимости-2	61
Раздел XX. Закон больших чисел................... 62
Раздел XXI. Центральная предельная теорема	64
Раздел ХХП. Точечные оценки параметров и их общие свойства.................................  66
Раздел ХХШ. Эффективные оценки ......	69
Раздел ХХ1У. Достаточные статистики ....	70
Раздел ХХУ. Метод максимального правдоподобия ................ . . . .....................  72
Раздел ХХУ1. Доверительное оценивание параметров ..................;....................... 74
Раздел ХХУП. Проверка параметрических гипотез  ................................... 76
Ответы, указания ........................... 7 8
Тем. план 1993, поэ.169
Болдин Михаил Васильевич Кочетков Евгений Семенович
ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Редактор Р.Н. Фурсова
Техн.редактор Е.А. Смирнова
Подписано к печати 9.03.93
Бум.офсетная. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная
Усл.печ.л. 5,35. Уч.-иэд.л. 5,50. Тираж 1000
Зак. 2100 /531.С 10.
Отпускная цена для реализации в МАИ 28 р.
Типография издательства МАИ
125871, Москва, Волоколамское шоссе, 4