В. Г. Пименов
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Учебное
пособие

Министерство образования Российской Федерации
Уральский государственный университет
им. А. М. Горького
В. Г. Пименов
ИЗБРАННЫЕ
ГЛАВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рекомендовано в качестве учебного пособия
Научно-методическим советом по математике и механике
УМО университетов России для математических
специальностей и направлений
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2003

УДК 517:3{fl75*t
П325
Научный редактор: кандидат физико-математических
наук Ю. А. Меленцова
Рецензенты:
кафедра прикладной математики Уральского государственного
технического университета - УПИ (заведующий кафедрой доктор
физико-математических наук, профессор А. Н. Сесекин);
доктор физико-математических наук А. В. Ким (Институт
математики и механики УрО РАН)
Пименов В. Г.
Π 325 Избранные главы дифференциальных уравнений: Учеб.
пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2003. 88 с.
ISBN 5-7996-0167-Х
В пособии излагаются такие важные для приложений
разделы обыкновенных дифференциальных уравнений, как
уравнения с разрывными по времени правыми частями, теория
линейных систем с периодическими коэффициентами, орбитальная
устойчивость, бифуркации рождения циклов, метод малого
параметра, аттракторы диссипативных систем, функционально-
дифференциальные уравнения.
Пособие написано на основе лекций, прочитанных
автором для магистрантов на математико-механическом
факультете Уральского государственного университета, и
предназначено студентам старших курсов и аспирантам.
УДК 517.9(075.8)
ISBN 5-7996-0167-Х © В. Г. Пименов, 2003
© Уральский государственный
университет, 2003

Оглавление
Введение 5
1. Системы уравнений с измеримыми правыми
частями 7
Теорема существования решения для систем
с измеримыми правыми частями 7
Теорема единственности решения 12
Теорема о продолжимости решения 13
Теорема существования решения для линейных
систем 17
2. Системы линейных уравнений
с периодическими коэффициентами 19
Теоремы Флоке 19
Эквивалентные системы уравнений 23
Мультипликаторы и характеристические
показатели 25
Характеристические показатели Ляпунова 28
Зоны устойчивости для уравнений второго порядка
с периодическими коэффициентами 30
3. Периодические решения автономной системы
(циклы) и орбитальная устойчивость 34
Понятие предельного цикла 34
Исследование предельного цикла на устойчивость
по первому приближению ЗС
Орбитальная устойчивость 37
Исследование предельного цикла на орбитальную
устойчивость 38
Признак Пуанкаре 39
4. Другие способы исследования предельных
циклов 40
Притягивающие множества двумерной автономной
системы 40
Уравнение Ван-Дер-Поля: наводящие соображения . 40
3

Метод точечных отображений Пуанкаре 41
Метод установившихся решений 43
Метод малого параметра 44
5. Бифуркация рождения цикла 46
Бифуркация в широком смысле и бифуркация
рождения циклов 46
Пример мягкой бифуркации рождения цикла 47
Теорема Хопфа 48
Пример жесткой бифуркации 50
6. Асимптотика разложений решений по малому
параметру 53
Регулярные возмущения 54
Использование метода малого параметра в теории
квазилинейных колебаний (задача Пуанкаре) 56
Сингулярные возмущения 59
Метод усреднения 62
7. Аттракторы диссипативных систем 65
Фазовый ноток. Диссипативность. Аттракторы .... 65
Модель Лоренца 68
Количественные характеристики аттракторов 70
Дробная размерность. Гипотеза Каплана- Иорке ... 72
Каскады Фейгенбаума 74
8. Некоторые сведения из теории
функционально-дифференциальных уравнений 76
Примеры уравнений с запаздыванием 76
Теорема существования и единственности начальной
задачи для ФДУ 79
Список литературы 86

Введение
Дифференциальные уравнения можно рассматривать
как раздел математического моделирования, и с этой
точки зрения они являются инструментом изучения
сложных динамических процессов окружающей
действительности. С другой стороны, теория обыкновенных
дифференциальных уравнений относится к числу
фундаментальных математических дисциплин и изучается студентами-
математиками в университетах уже на втором году
обучения. По этому курсу имеются прекрасные учебники,
например, Л. С. Понтрягина и В. С. Степанова. Однако
для специалистов, будущее направление деятельности
которых связано с дифференциальными уравнениями или их
приложениями, стандартный университетский курс
дифференциальных уравнений можно рассматривать лишь
как вводный. Особенно это касается магистров и
аспирантов (специальность 01.01.02 - «дифференциальные
уравнения» и смежные специальности), которые
сталкиваются с необходимостью изучения большого числа
теоретических и прикладных результатов, изложенных в
многочисленных монографиях и статьях. Автор надеется, что
данное пособие частично облегчит эту работу и послужит
мостиком между учебниками и монографиями.
На протяжении ряда лет автор читал односеместровый
спецкурс по обыкновенным дифференциальным
уравнениям для магистров-математиков в Уральском
государственном университете, материалы которого и легли в основу
пособия. Хорошая математическая подготовка магистров
позволила читать курс на достаточно высоком уровне
общности с привлечением средств функционального анализа,
особенно это касается первой главы, где излагается теория
уравнений с измеримыми по времени правыми частями, и
последней главы, где рассматривается теорема существо-
5

вания решения для функционально-дифференциальных
уравнений.
В то же время в пособии изложены такие важные для
приложений понятия дифференциальных уравнений, как
теория линейных уравнений с периодическими
коэффициентами, орбитальная устойчивость, метод малого
параметра в регулярном и сингулярном вариантах, метод
сечений Пуанкаре, бифуркации, аттракторы диссинативных
систем и др.
Ограниченность объема часов курса и соответственно
небольшой объем пособия, а с другой стороны, стремление
изложить как можно больше идей из теории
дифференциальных уравнений привели к тому, что многие факты
автор вынужден приводить без доказательства или
вообще ограничиваться иллюстрирующими примерами.
Иногда студенты, получившие классическое математическое
образование, морально не готовы к такому способу
изложения серьезных математических понятий. Однако
конспективный способ изложения выбран не только
вынужденно, но и умышленно с целью привлечь слушателя к
самостоятельному изучению монографий, где данные
факты изложены подробно. Для этого в конце глав имеются
краткие библиографические комментарии со ссылками на
самые доступные источники.

1. Системы уравнений с измеримыми
правыми частями
Теорема существования решения для систем
с измеримыми правыми частями
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
± = /(М, (ΐ·ΐ)
где t независимая переменная (трактуемая обычно как
время); χ 6 Rn фазовый вектор.
В одном из основных фактов теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, теореме существования и
единственности решения начальной задачи, обычно
предполагают непрерывность правой части системы (1.1)
функции f{t,x) но совокупности переменных |21|.
Между тем во многих математических моделях, прежде всего
в теории управления |7, 11|, возникают разрывные
связи, описываемые системами вида (1.1). Возникает вопрос,
в каком смысле1 понимать решение, ибо в классическом
смысле решение как дифференцируемая функция может
не существовать. Рассмотрим примеры.
Пример 1.1. Найдем решения одномерного уравнения
х = sgn{t),
в котором наблюдается разрыв в правой части при / = 0.
Если t > 0, то χ = 1 и χ = / + С.
Если t < 0, то χ = -1 и χ = .—t + С.
Потребовав непрерывность функций χ(ί), получаем
функции, которые удовлетворяют уравнению во всех
точках, за исключением ί = 0 (рис. 1).
7

Пример 1.2. В уравнении
χ = 1 - 2sgn(x)
разрыв в правой части по χ приводит к более сложным
явлениям. В самом деле, если χ > О, то i = -1 и ι =
= -t + С, если χ < О, то χ = 3 и χ = 3£ + С.
Рис. 1
Рис. 2
Даже потребовав стыковки при χ — О, мы не
получаем решение как однозначную функцию x(t) (рис. 2). При
изучении разрывов по искомой функции [23] был создан
аппарат теории уравнений в контингенциях, который
выходит за рамки данного пособия.
В дальнейшем будем предполагать наличие разрывов у
функции f(t,x) только по независимой переменной, что
позволяет перенести практически все классические
результаты теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, лишь незначительно модифицировав их.
Определение Ι.Ϊ. Функция χ = y?(t), определенная на
интервале (а, в) называется решением системы в смысле
Каратеодори, если она абсолютно непрерывна и
удовлетворяет системе уравнений (1.1) для почти всех t € (α,/3).
Напомним, что функция называется абсолютно
непрерывной, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
8

для любой конечной системы непересекающихся
интервалов {otkif%) и^ УСЛОВИЯ
Σ(& -<*k)<s
к
следует
ΣΐΜΑ)-ν(«*)Ι|<ε.
А:
Отметим, что абсолютно непрерывные функции
дифференцируемы всюду, за исключением, быть может,
множества точек меры ноль (почти всюду).
Рассмотрим условия, гарантирующие существование
решения (в смысле Каратеодори), удовлетворяющего
начальным условиям
χ(ίο)=·Γο· (1-2)
Определение 1.2. Векторная функция f(t,x).
определенная на множестве D из пространства /?м+|',
удовлетворяет условию Каратеодори, если
О) для всякого фиксированного t функция f(t,x)
непрерывна но х\
С2) для всякого фиксированного χ функция f{t,x)
измерима но t\
СЗ) существует интегрируемая по Лебегу функция m(t)
такая, что для всякого χ выполняется ||/(t,x)|| < rn(t).
Методом Пеано докажем теорему существования
решения задачи (1.1)—(1.2) в смысле Каратеодори.
Теорема 1.1. Пусть в области D = (to —a, to + a) x {:/;:
: ||χ - х0|| < β} выполнены условия Каратеодори. Тогда
существует решение задачи (1.1)—(1.2) в смысле
Каратеодори.
Доказательство. Заметим, что решение задачи (1.1)
9

(1.2) эквивалентно решению интегрального уравнения
t
x{t)=x0 + f f(r,x(r))dr. (1.3)
to
Проверка этого факта проводится в одну сторону
интегрированием, а в другую сторону дифференцированием. При
этом используется то, что суперпозиция функций, одна из
которых (внешняя) удовлетворяет условию Каратеодори,
а вторая абсолютно-непрерывна, является интегрируемой
[13].
Построение решения будем проводить вправо от
точки ίο·
Возьмем положительное число b < β.
Составим функцию
t
g(t) = f τη(ξ)άξ,
to
в силу свойства СЗ непрерывную и монотонно
возрастающую на [ίο, ίο + α)· Поэтому найдется число <i, 0 < d < a
такое, что
g{t0 + d) <b.
*- Разобьем отрезок [i0, U+d] на N равных частей с шагом
h = d/N точками U = ί0 + ίΛ, г = 0,1,... , N.
Для каждого натурального N определим на [ίο, ίο + d]
функцию xN(ί) соотношением
t
xN(t) = x0 + ff(t,xN(i-h))dt, (1.4)
to
доопределив xN(t) на [ίο - h, ί0] постоянной величиной:
xN(t) = Хо при t < ί0.
10

<) Докажем, что последовательность функций 'xN(t)
равномерно ограничена. В самом деле,
t
Ι|χΝ(ί)-χο||</||/(ξ,χΛΓ(ξ-/ι))Κ<
ίο
t
< J rnfc№ = g{t) < g{t0 + d) <Ь.
to
2) Докажем, что последовательность функций χΛ'(ί)
равностепенно непрерывна. Возьмем любые положительное ε
и натуральное N. Для чисел U h из отрезка [/0,*о + d]
выполняется
\\τΝ(к) - xN(t2)\\ <
< Ι /Ж.·'*(£ - ΛΜ -ff(t,xN(t -h)№\ <
h to
*2 tl
< l/11/^^-/0)11^1 < \Jrn(№\ = \9(t2)-.9iti)\·
Так как <?(ί) непрерывная на [ίο, t0+d] функция, то
найдется положительное число δ такое, что из условия |ίι — ί2| < δ
будет следовать \g(ta) — g{t\)\ < ε. Это доказывает
равностепенную непрерывность множества функций χΛ(ί).
3) По теореме Арцела - Асколи (критерий компактности
в пространстве непрерывных функций) [14J, из этой
последовательности можно выбрать подпоследовательность
xn{t), равномерно сходящуюся на [ίο, io+d] к функции x(t).
Покажем, что последовательность xn(t — h) также
равномерно сходится на [ίο, ίο + d] к функции χ(ί). В самом
деле, для всякого ί € [ίο, ίο + d]
\\xn(t - ft) - x(t)\\ < \\xn(t - ft) - *n(t)ll + \\xn(t) - x(t)l
11

Первое слагаемое можно сделать меньше произвольного
ε/2 в силу равностепенной непрерывности xn(t) за счет
увеличения η (уменьшения /г), второе слагаемое можно
сделать меньше произвольного ε/2 в силу равномерной
сходимости xn(t) к x(t) за счет увеличения п.
Переходя к пределу при увеличении числа точек
разбиения п, из равенства (1.4) получаем интегральное
соотношение (1.3).
Теорема единственности решения
Для рассмотрения вопроса о единственности решения
задачи (1.1)—(1.2) сформулируем условие Липшица.
Определение 1.3. Векторная функция /(ί,α;),
определенная на множестве D из пространства Яп+1,
удовлетворяет условию Липшица по переменной х, если найдется
интегрируемая функция l(t) такая, что для любых точек
(ί,χ) и [f,y) из D выполняется
\\f(t,x)-f(t,y)\\<l(t)\\x-y\\. (1.5)
Теорема 1.2. Пусть правая часть системы (1.1)
удовлетворяет условию Липшица на области D. Тогда через
точку (to,xo) G D не может проходить более одного
решения.
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть
существуют два решения (в смысле Каратеодори) x(t)
и y(t) с областями определения, содержащими отрезок
[to, to + d]? d > О такие, что
x{to) = хо, y{to) = Χο·
Составим функцию z(t) = x(t) - y(t), определенную на
[ί0, to+d], и при почти всех t из этого отрезка найдем
производную функции z2(t) (квадрат понимается в смысле
скалярного произведения векторной функции самой на себя).
12

Имеем неравенство
-^ = 2z(t)z(t) = 2[/(t,x(t)) - f(ty(t))}z(t) <
< 2||[/(ί,χ(ί)) - f(ty(t))\\\№\\ < 2l{i)z2{t).
Рассмотрим производную вспомогательной функции
/
d , 2/ , -2f,iT)d\ dz2{t) -2/'(T)dT 2, ч ~2/|W*-
-'2Jl(T)dr -2Jl(r)dT
< 2l{t)z2{t)e ό - 2/(i)z2(f)r 'o - 0.
Так как производная этой вспомогательной
неотрицательной функции неположительна, а в момент t — ί() она
равна нулю, то она тождественно равна нулю, откуда следует,
ЧТО J'{t) = 1j{t).
Теорема о продолжимости решения
Наряду с условиями существования и единственности
решения задачи (1.1) (1.2) важным вопросом является
условие продолжимости решения на заданный
промежуток времени. Определить решение глобально не всегда
возможно, даже если правая часть системы определена и
бесконечное число раз дифференцируема во всем
пространстве i?n+1.
Пример 1.3. Рассмотрим уравнение
χ = х2
с начальными условиями
х{0) = 1.
13

Решение этой задачи дается формулой
1
χ =
1 -ί
и не может быть продолжено, например, на отрезок [0, 2].
Такого рода эффекты создают проблемы, скажем при
применении численных методов отыскания решений.
Отсутствие в системе таких эффектов дают следующие
условия.
Определение 1.4- Векторная функция /(ί, χ),
определенная на множестве D = [to, £2] х Я71, удовлетворяет
условию Уитнера, если найдутся функции κ(ί) и <7(lkll) такие,
что для всех точек множества D выполняется
w \\щ,х)\\<к(ы\х\\),
κ(ί) - интегрируемая неотрицательная функция, <7(||#||) ~
непрерывная монотонно неубывающая функция,
переводящая [0, с») в (0, ос), такая, что интеграл
ос
/
ds
расходится.
Частным случаем условия Уитнера является условие
роста не быстрее линейного:
||/(t,x)||<K(t)(i + INI).
Теорема 1.3. Пусть правая часть системы (1.1)
удовлетворяет условию Уитнера. Тогда решение с начальными
данными (1.2) определено на всем отрезке [<о,£г]·
Доказательство. Введем вспомогательную функцию
[) I 9(8)'
&

которая является непрерывной, неотрицательной и моно~·
тонно неубывающей на [0, ос). Из условия Уитнера
вытекает, что найдется такое число ft, что
Ф(Ы)+ K.(t)dt = <!>( ft). ~~ J
J =:> - Τ CM К
Обозначим через V замкнутый шар в пространстве4 Яп
с центром в начале координат радиуса β+Ъ. Введем в
пространстве i?'t+1 компакт К = [/ο,ίϊ] χ ^· Согласно теореме
о выходе решения из любого компакта |21|, всякое решение
из компакта выходит на его границу. При этом возможны
две ситуации:
1) решение впервые покидает компакт справа по t ,
т. е. при t = t2* следовательно определено на [io^-i];
2) решение впервые покидает компакт по норме j\ т. е.
найдется момент i < /,2, такой, что
lk(«)ll = rf+t. * (1.6)
Докажем, что второй случай невозможен. Ha-[fo,f]
ои ределим функцию
/.
ад = 1ко||+/к(тЫ|Иг)||)с£г,
ίο
которая является решением дифференциального
уравнения
i(t) = ф)д(\\хШ
с начальными условиями
Цк) = |Ы|.
Ъ Покажем справедливость оценки
||ι(ί)|| < ί(ί). (1.7)
(Э

В самом деле, с использованием условия Уитнера
получаем
t t
N011 = N + //(r,x(r))dr|| < llxoll +/||/(r>x(r))||dr <
to ίο
t
<\\χο\\ + /κ(τ)9(\\χ(τ)\\)άτ = χ(ί).
to
2) Из оценки (1.7) и монотонности функции д вытекает
неравенство
ά-ψ = кШЫШ) < <t)g(x(t))-
Разделяя переменные, получаем
!Ά*Ι+»"
to to
откуда следует соотношение
t t2
Φ(χ(ί)) - Ф(||хо||) <J<r)dr < J κ(τ)άτ,
to to
ИЛИ
t'2
Φ(χ{ί)) < Ф{\\х0\\) + J κ{τ\άτ = Φ(β).
to
В силу монотонности функции Φ получаем для всякого
te[to,t)
x(t) < β,
откуда и из (1.7) следует
iwoii < β-
Эта оценка противоречит (1.6).
16

Теорема существования решения
для линейных систем
Условия Каратеодори существования решения
являются достаточно жесткими, и их можно значительно
ослабить, например для линейных систем.
Рассмотрим систему линейных уравнений
x = A{t)x + B(t), (1.8)
где A(t). B(t) интегрируемые на отрезке [f]^] матрицы-
функции. Методом Пикара докажем следующую георему.
Теорема 1.4. Для всякого ί0 ич [fi-t^] и всякого .т0 и*
В11 существует решение задачи (1.8), (1.2), определенное
на [/Ι./*].
Доказательство. Построим на отреже [f0, t2] (случай
[/1. /о] рассматривается . аналогично) последовательность
функций
• χ°(ί)=.Λ
./АИ(0 - х-о + J[A(T)xk(r) + Β{τ)\βτ. (1.9)
/о ^
Докажем, что эта последовательность равномерно
сходится. Для всякого t и:* отрезка [t^t-z] имеем оценку
t
||χ*+,(ί) -АШ < /iHrOHH^ir,) -^-'(rOlldr, <···<
ίο
t Τ!
< max \\χ1(τ)-χ0(τ)\\[ί\\Α(Ά)\\[\\Λ(τ2)\\---
to Uy
Tk-l
■■J |И(г*)||^-.-dradr!], (1.10)
to

здесь ||А|| - норма матрицы, подчиненная евклидовой
норме вектора.
Покажем, что выражение в квадратных скобках
правой части оценки мажорируется равномерно сходящимся
рядом. Обозначим
t
φ{ί) = j'\\Α(τ)\\άτ,
ίο
и индукцией проверим оценку
J \\А(п)\\ J \\А(т2)\\ - ■ ■ / \\A(rk)\\drk-■ ■ dr2dn <
to to to
<~ ψ' <!·»>
База индукции (при к = 1) следует из определения
величины ip{t).
Пусть оценка (1.11) выполняется для А: — 1. Покажем ее
справедливость для А;-кратного интегрирования.
Используя индуктивное предположение, Получаем
t т\ Tfc-i
f \\А(п)\\ f \\А(т2)\\ - ■ ■ j \\A(rk)\\drk ■ ■ ■ dr2dTl <
to to to
5 / »Л<">"!глуЦ = why. R'l^w -
to to
Таким образом, оценка (1.11) доказана, поэтому оценку
(1.10) можно переписать так:
||**+1(0 - xk(t)\\ < max, ||xV) - x°(r)||i^(i),
18

откуда следует равномерная сходимость
последовательности функций .rk(t) к некоторой функции x(t). Переходя
к пределу в (1.9), получаем, что x(t) удовлетворяет
интегральному соотношению, которое эквивалентно задаче
(1.8), (1.2)/
Заметим, что все факты общей линейной теории |21].
справедливые для случая классического определения
решения, остаются верными и для решений в смысле Кара-
теодори.
Библиографический комментарий
Подробнее вопросы, затронутые в этой главе, изложены
в монографиях |3, 7, 11, 13, 23, 25|.
2. Системы линейных уравнений
с периодическими коэффициентами
Несмотря на разработанность общей линейной теории,
вопрос об отыскании решения линейных однородных
систем аналитическими методами до конца решается лишь
в случае систем уравнений с постоянными
коэффициентами. Следующий по важности класс уравнений
представляют собой системы с периодическими коэффициентами.
Теоремы Флоке
Рассмотрим систему линейных однородных уравнений
x = A(t)x (2.1)
с периодическими коэффициентами: для всякого
вещественного t
Α(ί + ω) = A(t) {ω >0),
19

где A(t) - непрерывная на отрезке [0, ω] матрица-функция.
Заметим, что в соответствии с материалом предыдущей
главы излагаемая ниже теория справедлива также и в
случае лишь интегрируемой функции A(t).
Обозначим через Φο(ί) фундаментальную матрицу
системы (2.1), нормированную в нуле, т. е. матричную
функцию, столбцы которой удовлетворяют системе (2.1) и
выполнено условие Фо(0) = Ε, Ε - единичная матрица.
Знание фундаментальной матрицы означает фактически
определение любого решения.
Теорема 2.1 (первая теорема Флоке). Найдутся
постоянная матрица Λ и матрица-функция G(t) периода ω
такие, что
Фо(«) = G(t)eAt.
Здесь и в дальнейшем выражение вида ел, где А -
комплексная матрица, означает матричную экспоненту,
определяемую соотношением
е< = £ + л + - + ... + _ + ..,
Доказатпельст.во. Пусть Φο(ί) - фундаментальная
матрица, нормированная в нуле, тогда матричная функция
Φ(ί) = Φ0{ί + ω)
также является фундаментальной. В самом деле,
— Φ(ί) = —Ф0(< + ω) = A(t + ω)Φ0(ί + ω) =
at at
= Λ(ί)Φ0(ί + ω) = Λ(ί)Φ(ί),
причем Φ(ί) невырождена. Отсюда получаем, что
найдется такая невырожденная матрица Со, что
Φ0(ί + ω) = Ф0(«)С0. (2.2)
20

Положим в этом соотношении / = 0и получим
Со = Φ0(ω), (2.3)
матрица Со при этом называется матрицей монодромии.
Так как матрица монодромии невырождена, то для нее
можно [10| определить матричный логарифм Ln(CQ) и
ввести постоянную матрицу
А = ^Ln(Co). (2.4)
Введем также матрицу-функцию
G(t) = Φ0(*)β-Λί, (2.5)
откуда
Ф0(0 = G(t)eM. (2.6)
Покажем, что G(t) периодическая с периодом ω.
Имеем
G(t + и) = Φ0(ί + ω)ρ-Λ('+ω) = Φ0(ί)^""^-Λί =
= Φ0(/)Λ>-Λαν-Λ' = Φ0(ί)<ΓΛ£ = G{t).
Отметим, что доказательство теоремы одновременно
дает и алгоритм распространения фундаментальной
матрицы с отрезка [0, ω] на всю числовую ось. Нужно
последовательно
1) вычислить матрицу монодромии по формуле (2.3),
2) определить матрицу Л по формуле (2.4),
3) построить матрицу G(t) на отрезке [0, ω] по формуле
(2.5),
4) определить матрицу G(t) на всю числовую ось,
пользуясь ее периодичностью,
5) определить фундаментальную матрицу на всей
числовой оси по формуле (2.6).
21

Теорема Флоке справедлива и для произвольной
фундаментальной матрицы Φ(έ)> не обязательно нормированной
в нуле.
Теорема 2.2 (вторая теорема Флоке). Найдутся
постоянная матрица Λ и матрица-функция G(t) периода ω
такие, что
Φ(ί) = G(t)eAt.
Доказательство в основных чертах повторяет
доказательство предыдущей теоремы. Проверяется, что матрица
Φ(ί + ω) является фундаментальной, откуда следует
существование невырожденной матрицы С со свойством
Φ{ί + ω) =Ф(«)С. (2.7)
Это свойство называется основным соотношением, а
матрица С - основной матрицей. Основное соотношение
можно считать определением основной матрицы.
Положим в (2.7) t = 0 и получим
Ο = Φ'ι{0)Φ{ω). (2.8)
С другой стороны, в силу единственности
фундаментальной матрицы, нормированной в нуле, выполняется
Φ0(ί) = Φ(ί)φ-ι(0)*ί
откуда
ФМ = ФоМФ(0)=СоФ(0).
С учетом (2.8) получаем соотношение
С = Ф-1(0)С0Ф(0), (2.9)
которое показывает, что основные матрицы связаны с
матрицей монодромии отношением подобия.
Остальные этапы доказательства теоремы (определение
матриц Λ и G(i), проверка периодичности последней)
проводятся как в доказательстве предыдущей теоремы.
22

Эквивалентные системы уравнений
Рассмотрим две системы уравнений
x = A(t)x (2.10)
и
y = B{t)y (2.11)
одинаковой размерности и с периодическими (одного и
того же периода ω) матрицами A(t) и B(t).
Системы уравнений (2.10) и (2.11) назовем
эквивалентными, если существует линейное преобразование с
невырожденной матрицей S{t) периода ω
y = S{t):r.. (2.12)
переводящее каждое решение системы (2.10) в решение
системы (2.11).
Теорема 2.3. Системы уравнений (2.10) и (2.11)
эквивалентны тогда и только тогда, когда у них
существуют фундаментальные системы решений с одной и той же
основной матрицей.
Доказательство. Пусть системы уравнений (2.10) и
(2.11) эквивалентны, тогда если Φ(ί) фундаментальная
матрица уравнения (2.10), то матрица Ф(/) = 5(ί)Φ(/)
является фундаментальной матрицей уравнения (2.11).
Пусть матрица С является основной для Φ(ί), τ. е.
удовлетворяет основному уравнению
Φ(ί + ω) = Φ(ί)<?.
Покажем, что эта же матрица С является основной и для
Φ(ί). В самом деле.
Φ(ί + ω) = S(t + ω)Φ{ί + ω) = 5(«)Ф(«)С = *{t)C,
т. е. для Ψ(έ) выполнено основное соотношение.
23

Наоборот, если найдутся фундаментальные матрицы
Φ(ί) и Φ(ί) систем уравнений (2.10) и (2.11)
соответственно, то выполнены основные соотношения
Φ{ί + ω) = Φ{ί)0
и
*(i + o;) = *(t)C.
Положим
S(t) = *{t)1>-l{t)1
откуда
Φ(ί) = 5(ί)Φ(0· (2·13)
Покажем, что матрица 5(ί) периодическая. В самом деле,
S(t + ω) = Φ(ί + ω)Φ~ι{ί + ω) = Я/{г)СС1Ф'1 = S(t).
Так как преобразование (2.13) выполнено для
фундаментальных систем решений, то оно выполнено и для любых
решений.
Теорема 2.4 (о приводимости). Каждая система
уравнений с периодическими коэффициентами
эквивалентна некоторой системе уравнений с постоянными
коэффициентами.
Доказательство. Сначала заметим, что всякая система
уравнений с постоянными коэффициентами
У = By
имеет фундаментальную систему решений вида eBt.
Теперь возьмем произвольную фундаментальную
матрицу Φ(ί) системы с периодическими
коэффициентами (2.10). Согласно доказательству теоремы 2.2 найдется
основная матрица С, удовлетворяющая основному
соотношению (2.7), и связанная с ней соотношением βΛω = С
матрица Л.
24

Построим систему уравнений с постоянными
коэффициентами
У = ^У, (2.14)
имеющую фундаментальную матрицу Ф{£) = еМш
Покажем проверкой основного соотношения, что матрица С
является основной для Φ(ί):
φ(ί + ω) = еЛ(£+и;) = ί>ΧίβΧω = *(i)C.
По теореме 2.3 уравнения (2.10) и (2.14) эквивалентны.
Заметим, что факт эквивалентности не означает, что
решение систем уравнений с периодическими
коэффициентами сводится к решению систем уравнений с
постоянными коэффициентами, но позволяет исследовать
качественное поведение решений систем уравнений с
периодическими коэффициентами, прежде всего характер
устойчивости.
Мультипликаторы и характеристические
показатели
Рассмотрим систему (2.1) с периодическими
коэффициентами.
Определение 2.1. Собственные числа, матрицы монодро-
мии С0 назовем мультипликаторами и будем обозначать
их р. Собственные числа матрицы Л (см. теоремы Фло-
ке) назовем характеристическими показателями и будем
обозначать их λ.
Характеристические показатели являются аналогом
известного для систем с постоянными коэффициентами,
понятия собственного числа. Как нетрудно проверить, связь
между характеристическими показателями и
мультипликаторами выражается формулой
λ = —ln(p).
25

Из определения мультипликаторов следует, что
произведение мультипликаторов равно определителю матрицы мо-
нодромии и поэтому мультипликаторы не обращаются в
ноль. Заметим также, что так как собственные числа
матриц инвариантны относительно преобразования подобия,
то мультипликаторы можно определять как собственные
числа основных матриц С.
Смысл термина мультипликатор (умножитель)
вытекает из следующего утверждения.
Теорема 2.5. Число ρ является мультипликатором
тогда и только тогда, когда существует такое решение ξ
системы (2.1) что
ξ(ί + ω) = ρξ(ή (2.15)
для всех t.
Доказательство. Пусть число ρ является
мультипликатором, тогда найдется такой ненулевой вектор /ι, что
Coh = ph,
где Со = Φο(ω) - матрица монодромии, Φο(έ) -
фундаментальная матрица, нормированная в нуле.
Построим решение ξ системы (2.1) с начальными
условиями ξ(0) = h. Из теоремы единственности решения
вытекает, что
ξ(ί) = Φ0(ί)£(0)
(формула Коши). Вычислим ξ(ί + ω), используя свойство
группы фундаментальной матрицы:
ξ(ί + ω) = Φ0(ί + u))h = Φ0{ί)Φ0{ω)Η = Φ0(ί)ρΛ = ρξ(ί),
тем самым докажем свойство (2.15).
Обратно, пусть для некоторого решения ξ(ί) и числа ρ
выполняется равенство (2.15). Положив в этом равенстве
t = О, получаем
еи = Ае(о).
26

С другой стороны, но формуле Коши имеем
ξ{ω) = Φ0(ω)ξ(0),
тогда
Φ0(ω)ξ(0) = ρξ(0),
это означает, что матрица монодромии имеет собственный
вектор
*(0)
с собственным числом р.
Следствие. Система с периодическими
коэффициентами имеет периодическое решение того же периода тогда
и только тогда, когда у нее существует мультипликатор,
равный 1.
Основное применение мультипликаторов и
характеристических показателей связано с изучением вопросов
устойчивости тривиального решения системы (2.1). Так
как эквивалентные системы уравнений имеют один и тот
же характер устойчивости, то в силу теоремы о
приводимости получаем следующие результаты.
Теорема 2.6 (теорема об асимптотической
устойчивости периодической системы). Для
асимптотической устойчивости тривиального решения системы
уравнений с периодическими коэффициентами необходимо и
достаточно чтобы все мультипликаторы были по модулю
меньше единицы или (что то же самое) чтобы все
характеристические показатели имели отрицательные
вещественные части.
Теорема 2.7 (теорема об устойчивости
периодической системы). Тривиальное решение системы
уравнений с периодическими коэффициентами устойчиво
тогда и только тогда, когда все мультипликаторы
удовлетворяют условию \р\ < 1, причем мультипликаторы, равные
27

по модулю единице, соответствуют диагональным клеткам
Жордана, если их рассматривать как собственные числа
матрицы монодромии.
Теорема 2.8 (теорема о неустойчивости
периодической системы). Тривиальное решение системы
уравнений с периодическими коэффициентами неустойчиво
тогда и только тогда, когда либо среди мультипликаторов
найдется удовлетворяющий условию \р\ > 1, либо
мультипликатору, равному по модулю единице, соответствует
хотя бы одна недиагональная клетка Жордана.
Характеристические показатели Ляпунова
Характер устойчивости линейных систем с
периодическими коэффициентами, как и систем с постоянными
коэффициентами, определяют не сами характеристические
показатели, а лишь их вещественные части. Этот
результат можно распространить на произвольные линейные
системы, введя вещественную числовую характеристику
широкого класса функций.
Определение 2.2. Пусть задана комплекснозначная
функция /(ί), определенная на полуоси (ί0, ос) и нигде не
обращающаяся в ноль. Характеристическим показателем
Ляпунова (кратко - показателем Ляпунова) назовем
A[f]=\hnUn\f(t)\.
Показатель Ляпунова - это функционал, принимающий
значения из расширенной числовой оси. Отметим
некоторые его свойства, которые проверяются по определению
[10]:
1)Λ[|/(ί)|] = Λ[/(ί)|],
2)A[C/(i)| = A[/(i)|(C#0),
τη τη
3)Λ[ Σ/*(*)]< Σ Λ[Λ(01
k=l k=l
28

(в случае конечности показателей Ляпунова)
4)\(f(t)g(i)} = \[f(t)} + \{g(t)}
(в случае конечности показателей Ляпунова).
Характеристическим показателем Ляпунова векторной
функции :г(/), определенной на [ίο? ос), не обращающейся
в ноль, назовем максимум из характеристических
показателей Ляпунова ее координат.
Рассмотрим теперь линейную систему
χ = A{t)x (2.16)
с непрерывными, но не обязательно периодическими
коэффициентами. Справедливы утверждения [10].
Теорема 2.9. Если матрица A(t) системы (2.16)
ограничена на [/().эс), то каждое нетривиальное решение x(t)
системы имеет конечный характеристический показатель
Ляпунова.
Теорема 2.10. Вектор-функции xk(t), определенные на
[tju ос) и обладающие различными показателями Ляиуно-
ваТ^инейн'о независимы.
Множество всех характеристических показателей
Ляпунова решений системы (2.16) будем называть ее
спектром.
Из того что линейная однородная система размерности
ή имеет самое большее η линейно независимых решений,
вытекает
Теорема 2.11. Спектр линейной однородной
дифференциальной системы с непрерывной ограниченной
матрицей состоит из конечного числа элементов, не большего
чем размерность системы.
.С помощью спектра системы можно определить
характер устойчивости ее тривиального решения.
Теорема 2.12. Если весь спектр линейной однородной
системы (2.16) отрицателен, то ее тривиальное решение
асимптотически устойчиво.
29

Доказательство. Так как спектр отрицателен, то
найдется такое положительное ε, что
а + ε < О, а = max Лг,
г
где Λί - точки спектра.
Пусть x(t) - произвольное решение (отличное от
тривиального) системы (2.16). Так как Λ[χ(ί)] < α, т. е.
lim-/n|:r(i)| < α,
то по величине ε найдется такое Τ, что для всех / > Τ
выполняется
-ίη|χ(ί)| < α + ε,
или
\x(t)\ < e{Q+£)\
что означает стреглление x(t) к нулю при ί, стремящемся
к бесконечности, т. е. выполняется определение
асимптотической устойчивости.
Отметим связь между показателями Ляпунова и
характеристическими показателями. Если матрица А линейной
однородной системы постоянна, то из структуры ее
решений следует, что показатели Ляпунова совпадают с
вещественными частями собственных чисел матрицы. Если же
матрица A(t) периодична, то из теоремы о приводимости
следует, что показатели Ляпунова совпадают с
вещественными частями характеристических показателей системы.
Зоны устойчивости для уравнений второго
порядка с периодическими коэффициентами
Рассмотрим уравнение
У + P{t)y = 0, p{t + ω) = p(t). (2.17)
30

Если коэффициент p{t) центрирован, т. е. р(0) = 0, то это
уравнение называется уравнением Хилла.
Заменой х\ = у. х2 = у сведем уравнение (2.17) к
системе с периодическими коэффициентами
*l(*)=*2,
*2(ί) = -P{t)xu
матрица которой имеет вид
<*>-U)i)·
Эта матрица периодическая с периодом ω, поэтому можно
применить теорию Флокс», изложенную выше.
Матрица монодромии имеет вид
Со = ФоН = ( ***\ У^\ ) ,
где φ(ί) решение уравнения (2.17) с начальными
данными φ(ΰ) — 1, 0(0) = 0, a y(t) решение уравнения (2.17)
с начальными данными 0(0) = 0, φ(ΰ) = 1. Заметим, что
tr(A(t)) = 0.
Мультипликаторы ρ определяются как корни
характеристического уравнения £
ρ2 - (φ(ω) + Ψ(ω))ρ + det{Q£u>)) = 0.
В силу формулы Остроградскаго Лиувилля получаем
ω
-ftr(A)dt
(1еЩш)) = dei(4\(0))e ° =1.
Введя обозначения
а = φ{ω) + φ(ω), (2.18)
31

запишем характеристическое уравнение в виде
р2 -ар+1 = 0. (2.19)
Возможны следующие ситуации:
1) \а\ > 2, тогда корни уравнения (2.19) действительны,
различны, их произведение равно единице, тогда один из
мультипликаторов по модулю больше единицы и по
теореме 2.8 тривиальное решение уравнения (2.17) неустойчиво.
2) \а\ < 2, тогда корни уравнения (2.19) различны и
комплексносопряжены, модули их равны единице и но
теореме 2.7 тривиальное решение уравнения (2.17)
устойчиво.
3) В критическом случае \а\ = 2 может быть как
устойчивость, так и неустойчивость.
Таким образом, характер устойчивости уравнения
определяет константа а, называемая константой Ляпунова. Ее
можно считать численно, опираясь на определение (2.18),
или с помощью разложения в ряд [10]. Опираясь на
указанные выше результаты, можно также установить ряд
признаков устойчивости в терминах коэффициента p(t)
уравнения (2.17) [10].
Пример 2.1. Параметрический резонанс.
Рассмотрим уравнение Матье
χ + ω2(1 + ecost)x — 0,
которое описывает маятник с частотой ω, к которому
приложена периодическая внешняя сила амплитуды ε и
периода 2π. Это двухпараметрическое уравнение можно
исследовать указанным выше методом, определяя на плоскости
(ω, ε) границы зоны устойчивости. Граница устойчивости
дается уравнением \а\ = 2. На рис. 3 изображена область
неустойчивости при параметрическом резонансе.
Множество неустойчивых систем может подходить к оси ω
только в полуцелых точках, иными словами, раскачать качели
32

малым периодическим изменением длины можно лишь в
том случае, когда один период изменения длины близок к
целому числу полупериодов собственных колебаний.
Рис. 3
Теоретически параметрический резонанс наблюдается
при бесконечном числе соотношений ω — к/2, к целое.
Практически наблюдаемы лишь случаи, когда А: невелико.
Дело в том, что зоны неустойчивости сужаются с ростом
к, а сколь угодно малое трение приводит к тому, что
имеется минимальное значение амплитуды е^·, ниже которого
колебания затухают (рис. 3).
Пример 2.2. Стабилизация высокочастотными
колебаниями (эффект Капицы). Если точка подвеса маятника
достаточно быстро колеблется в вертикальном
направлении, то верхнее, обычно неустойчивое, положение
равновесия маятника может стать устойчивым. Выкладки
приведены, например, в [1].
33

3. Периодические решения автономной
системы (циклы) и орбитальная
устойчивость
Понятие предельного цикла.
Рассмотрим автономную систему дифференциальных
уравнений
* = /(*), (3.1)
где f(x) непрерывная на Вп функция.
Замкнутую траекторию решения в фазовом
пространстве1 назовем циклом,. При ->том замкнутость понимается
в смысле периодичности: цикл траектория такого
решения j-(t). что найдется ненулевое число ω со свойством
./(/ + и)) — x(t) для любого действительного t.
Примером циклов является случай центра в
классификации точек покоя линейных систем второго порядка с
постоянными коэффициентами. Однако для нелинейных
систем характерно более сложное поведение1 траекторий.
Определение 3.1. Замкнутую изолированную
траекторию (отличную от положения равновесия) в фазовом
пространстве назовем предельным циклом,.
Рассмотрим пример предельного цикла.
Пример 3.1.
х2 = Х] +.r2(l- yJx'i + 4).
(3.2)
Переходом к полярной системе координат х{ — г cos φ,
х-2 = г sin у? приведем систему (3.2) к виду
{*1ΐ"r)' w
34

Из второго уравнения системы (3.3) получаем, что φ =
— /, + <^о, т. е. полярный угол равномерно возрастает.
Приравнивая г к нулю, получаем два положения
равновесия полярного радиуса: г = 0 и г = 1; первому
соответствует начало координат на фазовой плоскости (ji,i2)5 &
второму окружность единичного радиуса.
Если начальное положение г0 полярного радиуса
удовлетворяет условию 0 < г0 < 1, то из первого уравнения
системы (3.3) получаем г > 0, поэтому полярный
радиус будет расти. Так как траектории автономной системы
не пересекаются, то в этом случае траектория будет
навиваться изнутри на единичную окружность.
Если же начальное положение г0 полярного радиуса
удовлетворяет условию г0 > 1, то из первого уравнения
системы (3.3) получаем г < 0, поэтому полярный радиус
будет убывать, в этом случае траектория будет
навиваться на единичную окружность снаружи. Фазовый портрет
системы приведен на рис. 4.
Рис. 4
Приведем классификацию предельных циклов на
фазовой плоскости (определения не претендуют на строгость).
Предельные циклы, у которых другие близкие траектории
неограниченно приближаются к предельному циклу, на-
35

зываются аттракторами. Предельные циклы, у которых
все другие близкие траектории удаляются от
предельного цикла, называются репеллерами. Предельные циклы, у
которых с одной стороны траектории приближаются, а с
другой удаляются, называются полуустойчивыми.
Исследование предельного цикла на устойчивость
по первому приближению
Пусть χ = η(ί) периодическое решение (периода ω)
автономной системы (3.1), не являющееся постоянным.
Сделав замену переменных у = χ — rj(i), сведем
исследование на устойчивость решения χ = η(ί) к исследованию на
устойчивость тривиального решения системы
y = f{y + vW)-'i{t).
Разложим по формуле Тейлора правую часть системы
(3.1) в окрестности у = 0 и составим систему первого
приближения (систему уравнений в вариациях)
У = A{t)y. (3.4)
где коэффициенты α^-(ί) матрицы A(t) определяются
соотношениями
„.,„-«»
а„т - д^ .
Заметим, что матрица A(t) является периодической с
периодом ω. Покажем, что система (3.4) имеет
периодическое решение у = j)(t) того же периода. В самом деле,
Тогда, согласно следствию из теоремы 2.5, система (3.4)
имеет мультипликатор ρ = 1. Но тогда, согласно теореме
2.6, асимптотической устойчивости не может быть.
36

Справедливо утверждение [211.
Теорема 3.1 (теорема Андронова - Витта). Пусть
периодическое решение автономной системы (3.1) η не
сводится к постоянной, причем система уравнений в
вариациях (3.4) для этого решения имеет один простой
нулевой характеристический показатель, а все остальные
характеристические показатели обладают отрицательными
действительными частями. Тогда решение η(ί) устойчиво
в смысле Ляпунова.
Устойчивость по Ляпунову недостаточно полно
характеризует поведение траекторий вблизи циклов: устойчив
и предельный цикл в примере 3.1, и случай центра для
линейной системы второго порядка с постоянными
коэффициентами. Однако в первом случае есть стремление
траекторий к предельному циклу при увеличении аргумента,
а в случае центра такого стремления пет. Введем иное (но
сравнению с ляиуновским) определение устойчивости.
Орбитальная устойчивость
Пусть χ = η(ί) решение системы (3.1), определенное
при t > 0. Положительной полутра.екторией решения
х = //(ί) назовем множество в фазовом пространстве .
L+[V(-)] = {xeRn, x = f/(t), *>0}.
Определение 3.2. Решение η(ί) системы (3.1)
называется орбитально устойчивым при ί —> оо, если для любого
ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех других решений
x(t) системы (3.1) с условием ||s(0)—7j(0)|| < δ выполняется
p(x(t),L+fo(·)}) < ε для всех t > 0. Здесь p(x,L) означает
расстояние от точки χ до множества L в пространстве Rn.
Из устойчивости по Ляпунову решения следует его
орбитальная устойчивость, обратное, вообще говоря,
неверно, как показывает следующий простой пример.
37

Пример 3.2. Рассмотрим скалярное уравнение
тогда все решения даются формулой χ = х^е1 и решение
η(ί) = е1 неустойчиво по Ляпунову, но орбитально
устойчиво, так как его положительной полутраекторией
является полупрямая χ > 0.
Определение 3.3. Орбитально устойчивое решение r)(t)
называется асимптотически орбитально устойчивым,
если существует Δ > 0 такое, что для всех решений χ(ί),
удовлетворяющих соотношению \\х(0) — 7/(0)|| < Δ,
выполняется предельное соотношение ρ(χ(ί). 1/+[г/(·)]) —> 0 при
t -> ос.
Исследование предельного цикла
на орбитальную устойчивость
Пусть χ — η(ί) периодическое решение (периода ω)
автономной системы (3.1), не являющееся постоянным.
Справедлива теорема [10|.
Теорема 3.2 (аналог теоремы Андронова - Вит-
та). Пусть периодическое решение автономной системы
(3.1) η не сводится к постоянной, причем система
уравнений в вариациях (3.4) для этого решения имеет один
простой нулевой характеристический показатель, а все
остальные характеристические показатели обладают
отрицательными действительными частями. Тогда решение
η(ί) асимптотически орбитально устойчиво.
38

Признак Пуанкаре
Рассмотрим двумерную автономную систему
ί Χι =/i(xi,x2), ,« .ν
\ ±2 = /2(*1,*2), ^
которая имеет периодическое решение r?(i) периода ω.
Как уже отмечалось, система уравнений в вариациях
h = 1&Ш))Х1 + %!;(v(t))x2,
•'•'2
gf(4(t))xi + g}fo(*))*
имеет периодическое решение1, поэтому один из
мультипликаторов р) = 1. Из определения мультипликаторов
получаем, что произведение мультипликаторов равно
определителю матрицы монодромии, поэтому
р2 =аег(Ф0{ш)).
Из формулы Остроградского-Лиувилля получаем, что
Р2=^(Ф0(а;)) = йе<(Фо(0))ео
Из теоремы 3.2 получаем следующее утверждение.
Теорема 3.3 (признак Пуанкаре). Если
О L 2
то периодическое решение τ/(ί) асимптотически орбиталь-
но устойчиво.
Библиографический комментарий
Подробнее вопросы, затронутые в этой и предыдущей
главах, изложены в монографиях [1, 9, 10, 13, 21, 25].
39

4. Другие способы исследования
предельных циклов
Притягивающие множества двумерной
автономной системы
У двумерной автономной системы вида (3.5) может
быть только два вида притягивающих множеств
(аттракторов - в широком смысле этого термина), ибо справедлива
Теорема 4.1 (Пуанкаре-Бендиксона). Всякое
ограниченное решение двумерной автономной системы
является либо точкой покоя, либо циклом, либо неограниченно
приближается к точке покоя или циклу.
Классификация двумерных особых точек в линейном
случае изучается в стандартном курсе обыкновенных
дифференциальных уравнений |21|, для нелинейных систем
характер особых точек в невырожденных случаях
совпадает с характером особых точек линеаризованной
системы. В случае предельного цикла прием линеаризации не
подходит, так как предельные циклы могут быть только у
нелинейной системы. Между тем предельные циклы
моделируют такие важнейшие явления в технике, как
автоколебания - процессы преобразования энергии
поступательного движения в энергию колебаний. Можно
отметить такие явления, как колебания звука, флаттер,
ламповый генератор и другие разнообразные модели, например
хищник-жертва в биологии. Проиллюстрируем некоторые
приемы исследования предельного цикла на примере
конкретного уравнения уравнении Ван-Дер-Поля.
Уравнение Ван-Дер-Поля: наводящие
соображения
Уравнение Ван-Дер-Поля моделирует ламповый
генератор (см. [31]) и имеет вид
У + е(у2-1)у + У = 0, (4.1)
40

где ε положительный параметр.
Проведем аналогию с линейным уравнением вида
у + ау + у = 0.
Исследуя корни характеристического уравнения,
получаем, что при а > 0 тривиальное решение (асимптотически)
устойчиво, а при а < 0 неустойчиво."Заморозив"
коэффициент при у в уравнении (4.1), получаем при у > 1
устойчивость, а при у < 1 неустойчивость, т. е. малые колебания
усиливаются, а большие уменьшаются по амплитуде.
Поэтому следует ожидать устойчивого предельного цикла
аттрактора.
Для дальнейшего приведем уравнение (4.1) к
нормальной форме, сделав замену у\ = у, у2 = у. Получим
ί y\(t) = y*. ί49ν
\ y.2(t)=e(l-yi)y2-y, H~j
и рассмотрим фазовый портрет этой системы.
Метод точечных отображений Пуанкаре
Возьмем луч L на фазовой плоскости системы (4.2),
выходящий из начала координат и совпадающий с осью
абсцисс (в положительном направлении). Рассмотрим точку
с координатой г/°) на этом луче. Если траектория
решения системы (4.2), выпущенная из этой точки, снова
пересекает луч, то координату следующей точки пересечения
обозначим через у^ = Ф(у^0)), а функцию Ф(у) будем
называть функцией последования.
Проиллюстрируем идею доказательства существования
функции последования [24] и ее свойств. В силу первого
уравнения системы (4.2), у} возрастает, если точка
траектории лежит выше прямой у2 = 0. и ух убывает, если
точка траектории лежит ниже прямой у2 = 0. В силу второго
41

уравнения системы (4.2) знак у2 меняется на кривой
_ 3/1
£Г(1 - J/f)
которая на рис. 5 изображена штриховой линией.
(4.3)
-^-З
Рис.
Отсюда следует, что функция Ф(у^) определена.
Поскольку два различных решения не могут пересекаться
вследствие единственности, отображение Φ является
монотонным. В силу неустойчивости начала координат при малых
значениях аргумента последовательность у^+1) = Ф(уМ)
монотонно возрастает. И наконец, значения этой
последовательности ограничены (например, любым решением,
начинающимся на правой ветви кривой (4.3). Следователь-
42

но, должна существовать неподвижная точка
отображения Ф(у(/г)), т. е. предельный цикл. Можно показать [24],
что этот предельный цикл единственный.
Метод установившихся решений
Рассмотрим систему (4.2) при очень большом ε. В силу
второго из уравнений (4.2) производная у2 имеет большое
по модулю значение и поэтому решение будет очень быстро
приближаться к положению равновесия по у2* в
окрестности кривой (4.3). Выражая у2 из (4.3) и подставляя в
первое уравнение системы (4.2), получаем дифференциальное
уравнение первого порядка
У\ =
У\
е{\-у\У
Проинтегрировав это уравнение, получаем
У\
t
1пЫ = --+С.
Если при больших у\ пренебречь логарифмом, то эти
кривые представляют собой параболы. На рис. С приведены
решения уравнения (4.1) при ε = 10 в сравнении с
кривыми, полученными методом установившихся решений.
in1
3.0 ι
2.0
1.0 1
0
ΙΌ
20
ЯП
У
HP
V
1Л
1U
~1^V\
■^"1 -J
r^
1-4" ι
~ ]
_
f "*'*'
— —1
=5)
^ i
—
!>J
h""""""
"4j
10
20
30 40
Рис. 6
50
60
70
43

Метод малого параметра
Рассмотрим случай малого е. Будем искать
периодическое решение у(£) уравнения (4Л) в виде разложения но
степеням ε :
У(0 = 2/ο + ε?/ι +ε22/2 + ·
где j/o, Уь Уг? · * · периодические функции одного и того
же периода.
Для того чтобы свести неизвестный период к
стандартному (2π), сделаем замену независимой переменной s = at,
где величину а также разложим по степеням ε:
S /(1+ε7ι+ε272 + ···).
Используя правила дифференцирования сложной
функции, получаем
dy dy , .. 2d2y 2 „
y=dt,=ads=aV'y = adsi=ay'
Подставляя разложения для у, у, у и величины а в
уравнение (4.1), получим
(Уо" + еух" + £2у2" + · · ·)(1 + еъ + ε2η2 + '' ·)2 +
+ {Уо + еу1 + еу2 + ---) = 0. (4.4)
Приравнивая к нулю в левой части уравнения (4.4)
слагаемые, не содержащие сомножитель ε, получаем
уравнение гармонических колебаний
Уо + 2/о = 0,
общее решение которого
Уо = Л cos 5 + Б sin 5.
44

Вместо начальных условий для нахождения констант
будем использовать условия, обеспечивающие
периодичность y(s):
у£(о) = о, 1/1(0) = о, ι/2(θ) = ο,--.,
откуда получаем В — 0. Таким образом,
З/о = Л cos 5,
где константа Л будет определена на следующем шаге.
Приравнивая к нулю в левой части уравнения (4.4)
слагаемые, содержащие сомножитель ε, получаем уравнение
у'{ + ух = -271Уо + (1 " VoWo-
Подставляя функцию </о, получаем
У\ + У\ — 2Л71 cos 5 - Л sin s + Л3 (sin s - sin3 s).
Используя формулу тройного угла sin 3s = 3sin s - 4 sin3 s
и приводя подобные, получаем
А2 Л3
Ул + У\ = 2Л71 cos s + Л( — 1) sin s + — sin 35. (4.δ)
Чтобы не возник резонанс, при котором функция y\{s)
не будет периодическая, занулим слагаемые с cos5 и sins,
положив
7ι = 0, Л = 2.
В этом случае общее решение уравнения (4.5) выражается
формулой
Ух = A sin s + В cos s + - sin s — - sin 3s,
4 4
при этом константа Л зануляется из условия у[(0) = 0.
45

Продолжая этот процесс, получаем разложение для
периодического решения уравнения Ван-Дер-Поля
3 1
у = 2cos5 + ε(- sins - -sin3s) + · ■ ·,
при этом
. = »<i + 5f + -).
Библиографический комментарий
Вопросы, затронутые в этой главе, изложены в
монографиях (16, 24, 31].
5. Бифуркация рождения цикла
Бифуркация в широком смысле и бифуркация
рождения циклов
Если поведение системы зависит от некоторого
параметра, то бифуркацией в широком смысле называется
ситуация, когда малые количественные изменения
параметра вызывают качественные изменения в поведении
системы. При этом параметр называется бифуркационным.
Рассмотрим пример линейной системы, зависящей от
параметра.
Пример 5.1.
Х\ = μχ\,
Х2 = —Х2-
Собственные числа этой системы Αι = μ, Α2 = — 1. При
μ < 0 фазовый портрет системы представляет собой
устойчивую особую точку типа узел, при μ — О траектории
представляют собой вертикальные прямые, при μ > 0
особая точка становится неустойчивой - типа седло. Система
46

при μ — О имеет бифуркацию. При этом можно заметить
(рис. 7), что изменения в поведении системы произошли
плавно. В этом случае говорят, что произошла мягкая
бифуркация.
\ V '
\/ / '
f / /
i Л \
ет
Г\И
м
ί / J
Рис. 7
Бифуркацией в узком смысле называют ситуацию,
когда из особой точки появляется предельный цикл. Эту
ситуацию еще называют бифуркацией рождения цикла.
Пример мягкой бифуркации рождения цикла
Рассмотрим пример (Андронов-Хопф):
Пример 5.2.
ii = -х2 + χ\{μ - yjxl + xl),
х2 = χ\ + χ2{μ - у Ά + А)·
В полярной системе координат система имеет вид
ί ϊ = τ(μ-τ),
1 ν=ΐ·
(5.1)
(5.2)
Из второго уравнения системы (5.2) получаем, что ψ —
= t + <р(ь т. е. полярный угол равномерно возрастает.
Приравнивая правую часть первого уравнения системы
(5.2) к нулю, найдем положения равновесия полярного
радиуса. Рассмотрим три случая:
47

1) μ < 0. Здесь существует одно положение равновесия:
г = 0, причем устойчивое, что следует из отрицательности
знака правой части первого уравнения системы (5.2);
2) μ = 0. В этом случае также существует одно
устойчивое положения равновесия: г = 0;
3) μ > 0. Здесь существует два положения равновесия:
неустойчивое г = 0 и устойчивое г = μ. Последнее дает
устойчивый предельный цикл. На рис. 8 приведены
фазовые портреты этих случаев.
\Г
к
In
J л
хг I
Ja
Рис. 8
При μ - 0 произошла бифуркация рождения
устойчивого цикла из особой точки, при этом возник цикл малого
радиуса, т. е. произошла мягкая бифуркация.
Теорема Хопфа
Рассмотрим двумерную автономную систему,
зависящую от параметра
i\ = /ι(*ι,Χ2,μ)?
Ϊ2 = /2(£ΐ,Χ2,μ)·
(5.3)
Условия возникновения бифуркаций рождения цикла
дает следующая теорема.
Теорема 5.1 (теорема Хопфа). Пусть
1) при любом значении параметра μ начало координат
является точкой покоя : /ι (0, 0, μ) = /г(0,0, μ) = 0;
48

2) при некотором значении параметра μ = μ0
собственные числа линеаризованной в начале координат системы
имеют чисто мнимые корни: ДеА^/io) = ЯеА2(до) = 0;
3) ^#еАМ > 0 при μ = μ0; , ^
4) при μ = μο начало координат (0,0) является
устойчивой точкой покоя.
Тогда μ = μ0 является точкой бифуркации, т. е.
1) найдется число μι < μο такое, что при любом
значении параметра μ из интервала (μι,μο) начало координат
(0,0) является устойчивой, точкой покоя;
2) найдется число μ2 > μο такое ,что при любом
значении параметра μ из интервала (μο,μ-i) начало
координат (0,0) является неустойчивой точкой покоя,
окруженной устойчивым предельным циклом.
Доказательство см. в [19].
Проверим условия выполнения теоремы для примера
5.2.
Подставляя χι = 0 и х2 - 0 в правую часть системы
(5.1), получаем i\ = 0, х2 = 0, т. е. первое условие теоремы
выполнено.
Линеаризованная система имеет вид
ί*ι = -яг + μ*ι,
\ х2 = Х{ + μχ2·
Ее собственные числа λι = μ — г, λ2 = μ + г, поэтому второе
и третье условия теоремы также выполнены при μο = 0.
Для проверки устойчивости точки (0,0) при μ = Q
составим функцию Ляпунова V = х\ + х\ и вычислим ее
производную в силу системы: V = -2(xj + £2) γχι + χ2·
Так как функция Ляпунова положительно
определена, а ее полная производная в силу системы
отрицательно определена, то тривиальное решение асимптотически
49

устойчиво [3]. В силу теоремы Хопфа точка μ = 0
является точкой бифуркации.
Пример жесткой бифуркации
Рассмотрим пример системы (Хопф), заданной в
полярной системе координат:
r = r(/i + 2r2-r4), ,
ψ = 1. ^
Приравнивая правую часть первого уравнения
системы (5.4) к пулю, найдем положения равновесия
полярного радиуса. При всех μ существует положение равновесия
г0 = 0. остальные положения равновесия получаем, решая
биквадратное уравнение гл — 2г2 — μ = 0. Из последнего
уравнения получаем г2 = 1 — у/1 + μ, г2 — 1 + у/1 + //.
Рассмотрим несколько случаев.
1)μ<-1.
Биквадратное уравнение действительных корней не
имеет, а из анализа знака правой части первого уравнения
системы (5.4) получаем, что г0 устойчивое положение
равновесия. На рис. 9 приведено положение особой точки
на оси От в этом случае.
О г
Рис. 9
2)μ = -1-
Уравнение для г имеет вид г = —г(1 - г2)2, точки
покоя на оси г0 = 0 и г γ = 1. Если 0 < г < 1, то радиус-
вектор убывает, а если г > 1, то радиус-вектор возрастает.
Фазовый портрет имеет устойчивую особую точку (0,0) и
полуустойчивый предельный цикл радиуса 1. На рис. 10
50

приведено положение особой точки на оси Or в этом
случае.
О 1 г
Рис. 10
3) -1 < μ < 0.
Биквадратное уравнение имеет положительные
действительные корни г1 и г2. На оси г имеются три точки
покоя: г0 = 0, Γι = у 1 — у/1 + μ и г2 = у 1 + \Л + μ·
Анализ знака производной г показывает, что точки г0 и г2
устойчивы, а точка Г£ неустойчива. Фазовый портрет
имеет устойчивую особую точку (0,0) и устойчивый и
неустойчивый предельные циклы. На рис. 11 приведено
положение особой точки на оси Or в этом случае.
О г1 г2
Рис. 11
При μ — —1 произошла бифуркация: возник
полуустойчивый предельный цикл, который раздвоился на
неустойчивый и устойчивый.
4)μ = 0.
Уравнение для г имеет вид г = г3(2 — г2), точки покоя
на оси го = 0 и г2 = у/2. Если 0 < г < г2, то радиус-вектор
возрастает, а если г > г2, то радиус-вектор убывает.
Фазовый портрет имеет неустойчивую особую точку (0,0) и
устойчивый предельный цикл радиуса г2. На рис. 12
приведено положение особой точки на оси Or в этом случае.
О >/2
Рис. 12
51

5) μ > 0.
Биквадратное уравнение имеет единственный
положительный действительный корень r2 = v/l + \/1 Ч-μ. На оси
г имеются две точки покоя: неустойчивая г0 = О и
устойчивая г2. Фазовый портрет имеет неустойчивую особую
точку (0,0) и устойчивый предельный цикл. На рис. 13
приведено положение особой точки на оси Or в этом
случае.
► <+
• · ►
О г2 Г
Рис. 13
При μ — 0 произошла бифуркация: неустойчивый
предельный цикл радиуса г\ слился с устойчивой особой
точкой (0,0), в результате чего цикл исчез, а точка потеряла
устойчивость.
Проследим изменения в поведении некоторой
траектории при постепенном увеличении параметра μ. Если точка,
находившаяся в начале координат, получила малое
возмущение, то при μ < — 1 она будет стремиться к началу
координат (в силу асимптотической устойчивости начала
координат), вращаясь вблизи точки (0,0) (малые колебания).
Та же картина наблюдается и при — 1 < μ < 0, так как при
'малых отклонениях траектория не попадает в зону
влияния устойчивого предельного цикла. При μ — 0 начало
координат теряет устойчивость и точка будет стремиться к
окружности радиуса г2. Возникают колебания сразу
большого радиуса. При этом можно заметить, что изменения в
поведении системы произошли резко. В таком случае
говорят, что произошла жесткая бифуркация. Характерная
особенность жестких бифуркаций состоит в том, что
наличие бифуркации зависит от предыстории в изменении
параметра. В данном случае при μ — 0 жесткая бифуркация
52

произошла в результате процесса возрастания параметра.
Проследим изменения в поведении некоторой
траектории при постепенном уменьшении параметра μ. Если
точка, находившаяся в начале координат получила малое
возмущение, то при μ > О она будет стремиться к окружности
радиуса г2 в силу неустойчивости начала координат,
наблюдаются колебания большого радиуса. Та же картина
наблюдается и при — 1 < μ < 0: предельный цикл радиуса
г2 остается устойчивым, плавно уменьшаясь при
уменьшении параметра. При μ — — 1 предельный цикл теряет
устойчивость и колебания сразу затухают, так как
траектория стремится к асимптотически устойчивому началу
координат. При уменьшении параметра жесткая
бифуркация произошла при μ — - 1.
Значения бифуркационных параметров, при которых
наблюдается бифуркация в смысле потери (или
приобретения) устойчивости, называются границами
устойчивости. Если происходит жесткая бифуркация, то граница
называется опасной. Обычно границы опасные только с
одной стороны. Вопрос изучения безопасности границ
является важным вопросом при конструировании
технических устройств. В нашем примере граница μ = -1 опасна
справа, а граница μ = 0 опасна слева.
Библиографический комментарий
Подробнее вопросы, затронутые в этой главе, изложены
в монографиях [4, 19, 27, 31).
6. Асимптотика разложений решений
по малому параметру
Рассмотрим задачу Коши для системы
дифференциальных уравнений, зависящих от параметра
53

χ = /(ί,χ,μ), (6.1)
χ(ί0) = α(μ), (6.2)
где / - независимая переменная; χ G Rn - фазовый вектор;
μ е (α, β) - скалярный параметр.
Часто найти решение χ(ί, /χ) этой задачи при всех
значениях параметра μ сложно, но можно найти решение при
одном фиксированном значении параметра μο € (α, β),
а все остальные решения можно попытаться найти в
виде разложения по степеням отклонения μ — μ0. Без
ограничения общности будем считать, что μ0 = 0. Решение
:ro(f) = χ(ί,μο) задачи (6.1)-(6.2), соответствующее
нулевому значению параметра, будем называть
невозмущенным, а все остальные решения - возмущенными.
Регулярные возмущения
Если правые части системы (6.1) и начальных условий
(6.2) дифференцируемы по параметру μ, то, в силу
теоремы о дифференцируемости но параметру [21], решения
χ(ί,μ) также дифференцируемы но параметру. Применяя
эту теорему несколько раз, приходим к выводу, что
если правые части системы (6.1) и начальных условий (6.2)
η-раз дифференцируемы по параметру μ, то решения
x(t, μ) также η-раз дифференцируемы по параметру. Эта
ситуация называется регулярной, и в этом случае
справедливо асимптотическое представление решения
Ох ип дп χ
χ(ί,μ) = χ(ί,Ο) + μ^-(ί,Ο) + ■ ■ ■ + £L —(ί,Ο) + ε„+ι(ί,μ),
(6.3)
ΓΑβεη+ι(ί,μ) = 0(μη+1), а величины §£f(i,0) определяются
из соответствующих уравнений в вариациях.
54

Проиллюстрируем применение метода на простом
примере.
Пример 6.1.
Рассмотрим уравнение Риккати
х = a(t)x + b{t) + μφ)χ2, ,τ(0) = 0, (6.4)
решение которого в аналитической форме получить не
удается.
Будем искать решение в виде
■ χ№=Χο(ή+Χι{ί)μ + 0(μ2).
Подставляя гго разложение в (6.4) и приравнивая
слагаемые с одинаковыми степенями μ, получаем уравнения
х0 = a(t)x0 + b(t),
χλ =a(t)xx +c(t)x0{t).
Эти уравнения линейные, и, используя начальные условия
x0(Q) = хх({)) = 0, получаем дч
*о(*) = / Ь{т)еР rfr, at. _ α Д4
о *·*%
:Γι(ί) = J с{т){х0{т))2е* dr. ч b*4 -
0
Таким образом, получено приближение решения с
помощью трех квадратур.
55

Использование метода малого параметра в теории
квазилинейных колебаний (задача Пуанкаре)
Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка
х + а2х = /0(ί) + μ/(ί, χ, χ, μ), (6.5)
где функции /о и / периодические по t с периодом 2π.
При μ = 0 имеем невозмущенное уравнение
х0 + а2хо = /ο(ί). (6-6)
Главный вопрос: может ли возмущенное решение быть
периодическим, если невозмущенное решение
периодическое? Требуется также приближенно найти эти
периодические решения.
Будем искать возмущенное решение в виде ряда
x{t) = .То(<) + μΧι№ + μ2*2(0 + · · · ·
Если все функции Xo(t), X\(t), · · · будут периодические
одного и того же периода, то и функция x(t) будет
периодической того же периода.
Так как функция /0(ί) периодическая периода 2π, то ее
можно разложить в ряд Фурье
fo{t) = ^ + Y,(Abcoskt + Bb*inkt)i
1 к=\
где
2π
Ак = — / fo(t) cos ktdt,
π J
о
2π
Дь = - f f0(t) sin ktdt
7Г У
56

Невозмущенное решение также будем искать в виде ряда
Фурье
а °°
χο (t) = — + X] (α* cos kt + bk sin kt).
2 k=\
Подставляя разложения в уравнение невозмущенного
движения и приравнивая коэффициенты при cos kt и sinfci,
получаем систему уравнений
А0 = а а0,
-к2ак + а2ак = Ак, к = 1,2, · · ·,
-k2bk+tfak = Bk, к = 1,2,···.
Если коэффициент а не целое число, то решение этой
системы существует и единственно:
ао = ^'
Если же а равно целому числу fc0, то решение этой
системы существует, если только выполняются условия
отсутствия резонирующих добавок:
2π
Ако = - / /о(<) cos k0tdt = О,
о
2π
β*0 = - f f0(t) sin k0tdt = 0.
7Γ J
0
В противном случае решение невозмущенного уравнения
не будет периодическим.
57

Предполагая, что решение Xo(t) невозмущенного
уравнения периодическое, исследуем на периодичность X\{t).
Уравнение для X\{t) имеет вид
χ ι + а2хх = /(ί, x0(t), x0{t), 0).
Функция /ι(ί) = f(t,Xo(t),Xo(t),0) является
периодической и ее можно разложить в ряд Фурье
л\ оо
/,(*) = -Л + ^(Al cos kt + В\sin kt).
Решение x\(t) также будем искать в виде ряда Фурье
а1 °°
x0(t) = -ξ + Y^(a{kcoskt + 6[sinA:i),
2 k=\
при этом аналогично предыдущему получаем, что при а
нецелом такое решение найдется, а при а, равном целому
fco, только при условии отсутствия резонирующих
добавок:
2π
- //i(i)cosM<tt = 0,
π J
о
ι 2π
- / fx (t) sin k0tdt = 0.
π J
о
Продолжая этот процесс, можно сделать вывод, что при
нецелом а у системы (6.5) возмущенное решение, так же
как и невозмущенное, будет периодическим. В случае же
а целого возмущенное решение мо^кет и не быть периоди-
Гческим, если присутствует резонирующая добавка одного
\из разложений правой части по степеням параметра μ.
Замечание. Автономный случай является более
сложным, чем неавтономный. В самом деле, если система имеет
вид
χ + а2х - μ/(χ, х, μ), . (6.7)
58

то периодом функции / является любое число и период
искомого периодического решения заранее неизвестен. В
этом случае период можно искать также в виде
разложения по степеням малого параметра, используя для
определения коэффициентов разложения условия отсутствия
резонирующих добавок, так как это было сделано в разд. 4
при отыскании методом малого параметра периодических
решений уравнения Ван-Дер-Пол я.
Сингулярные возмущения
К сингулярным случаям относят ситуации, когда не
выполняются условия теоремы о непрерывной зависимости
по параметру. Например, если параметр стоит в виде
сомножителя при производной в одном из уравнений
системы, то, рассматривая предельный (нулевой) случай,
можно при определенных условиях понизить порядок системы.
Поясним ситуацию на одномерном уравнении
μ± = /(ί,χ). (6.8)
Всюду в этом разделе параметр μ будем считать
неотрицательным. При μ = О получаем алгебраическое
уравнение f{t,x) = О, и пусть χ = φ(ί) единственной корень
этого уравнения.
Если вдоль корня выполняется условие ^(f, <p{t)) < 0,
то, в силу уравнения (6.8), поле направлений уравнения
при малом положительном μ представляет собой картину,
схематично изображенную на рис. 14.
Если же вдоль корня выполняется условие |£(ί, φ(ί)) >
> 0, то поле направлений уравнения при малом
положительном μ представляет собой картину, схематично
представленную на рис. 15.
В первом случае есть стремление решения к корню при
увеличении t и можно приближенно заменить решение
59

дифференциального уравнения решением
алгебраического уравнения, а во втором случае этого делать нельзя.
Рис. 14
Рис. 15
Проведем аналитическое исследование одномерного
автономного случая. Рассмотрим задачу
μχ = /(χ), х(0) =xQ.
(6.9)
Функцию / будем считать непрерывно дифференцируемой
в некоторой области. Если в некоторой точке χ — φ выпол,-
няется /(φ) = 0, то точку χ = ψ будем называть корнем
уравнения (6.9), причем если ^{φ) < О, то корень будем
называть устойчивым. Если φ корень, то его золой
влияния назовем интервал {φ\,ψ2), где ψ\, ψ2 ближайшие к
φ корни соответственно снизу и сверху.
Теорема 6.1. Если φ устойчивый корень уравнения
(6.9), начальное значение х0 лежит в его зоне влияния,
то решение χ(ί,μ) задачи (6.9) существует на некотором
отрезке [О, Т] и имеет место предельное соотношение
lim z(t,/i) = <?,*€ (О, Τ].
/χ—>0
Доказательство. Пусть для определенности φχ < xQ <
< φ. Возьмем произвольное малое ε > 0. Тогда в
области xq < х < φ — ε, 0 < t < ε можно рассмотреть
задачу (6.9), поменяв местами независимую переменную и
искомую функцию: ^ = l^yL·, t(xo) = 0. Если μ до-
60

статочно мало, то по теореме о непрерывной
зависимости по параметру решение t(x) этой задачи определено на
хо < χ <'φ — ε и оно сколь угодно близко к вертикали
ί = 0. Таким образом, интегральная кривая,
начинающаяся в точке с координатами (0, £о)> входит в ε-окрестность
корня φ при ί = ί* < ε.
Покажем, что, попав в эту ε-окрестность φ,
интегральная кривая из нее уже не выйдет. Введем функцию
Ляпунова V(x) = (χ - φ)2, производная которой по времени в
силу системы (6.9) отрицательна из-за устойчивости
корня. Тогда функция V(x(t)) вдоль решения не может
возрастать, что означает невозможность выхода интегральной
кривой из ε-окрестности φ.
Заметим, что доказанный предельный переход в
утверждении теоремы не является равномерным
относительно J.
Наиболее эффективно работает этот прием в
двумерном случае. Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений вида
iy = f(t;y,z)
\ Vz = g{t,y,z)
с начальными условиями
ν(*ο,μ)=1Λ, (би)
Полагая μ = О, получаем вырожденную систему
ί y = f(t,y,z), ,β12ν
\g{t,v,z) = o. {b-U)
Будем предполагать, что уравнение g(t,y,z) = О
имеет действительные и изолированные решения (корни) ζ =
= <#(*>у) в некоторой области D пространства (ί, у).
Корень ζ = <p[t,y) будем называть устойчивым, если вы-
ι
полняется if(i,i/,v(i,y)) < 0 для всех {t,y) из D. Зоной
61

влияния устойчивого корня ζ = φ(ί, у) назовем интервал
(ψι,Ψϊ), где ψ\{ί,г/), <P2{t,y) - ближайшие к φ корни
соответственно снизу и сверху. Подставив корень в первое из
уравнений системы (6.12), получим задачу
У = /(*, У, <р(Ъ у)), y(t0) = Уо· (6.13)
Решение этой задачи будем обозначать y(t). Справедлива
Теорема 6.2 (теорема Тихонова). Пусть 1) правые
части системы (6.10) непрерывны вместе с частными
производными но у и г в некоторой области Η = {(ί, у) G D =
= {*о < t < Τ, \у\ < b}, \z\ < rf}; 2) функция ζ = φ(1, у)
является устойчивым корнем уравнения g(t, у, ζ) = 0, причем
в области D функция ψ(ί, у) непрерывна; 3) решение y(t)
задачи (6.13) определено при t0 <t <Т, причем |y(i)| < Ь;
4) начальное значение го принадлежит зоне влияния корня
^(<<ьУо)· Тогда решение у(/, μ), ζ(ί,μ) задачи (6.10) (6.11)
существует на [ί0, Τ] и имеет место предельный переход
limy(t^) = y(f), te[t0iT\,
Jim ζ(ί,μ) - *>(t,y(t)) = *(«), * G («ο, Τ].
Доказательство этой теоремы приведено в (22).
Отметим, что пример применения этой методики был
приведен выше при исследовании уравнения Ван-Дер-
Поля (метод установившихся решений).
Метод усреднения
Рассмотрим систему уравнений
χ = μ/(ί,χ), t > 0, χ G Яп, χ(0,μ) = х°. (6.14)
Иногда приходится исследовать поведение решения при
малом значении параметра на бесконечно большом
промежутке времени, например при исследовании устойчивости.
62

Хотя формально параметр входит в систему регулярно, но
при попытке свести изменение независимой переменной к
конечному отрезку заменой ξ = μί получаем систему
ах ._ . ч
-τ? =/(ξ/μ,χ),
ας
в которую параметр входит сингулярно.
Сформулируем правило построения асимптотики,
которое дает метод усреднения Н. М. Крылова и Η. Η.
Боголюбова. Введем усредненную функцию
τ
F^)^\v^-ff^)dt. (6.15)
о
Например, если f(t,x) - функция периодическая по t с
периодом 2π, то
2π
Ρ{η) = ±J f(t,v)dt
о
В самом деле, если Τ = 2кж + т, к - целое, то
Т 2к*+т
2к*> 0
2кп щ 2π
1
О О
Предположим, что кроме предельных соотношений
(6.15) выполняются также соотношения
¥■ = Jim ¥ / 7Г-М*. < = !.·■·.»■ (616)
63

Поставим в соответствие задаче (6.14) усредненную
задачу
ή = /iF(r?), ί > 0, η € Rn, 77(0) = x°. (6.17)
Справедлива теорема [22].
Теорема 6.3. Пусть 1) в некоторой области ||х|| < Ь,
О < t < ос функция f.{t,x) непрерывна и ограничена Вхме-
сте с частными производными по Xi\ 2) при Ц77Ц < b
существует усредненная функция (6.15), а также
справедливы соотношения (6.16), причем предельные
соотношения (6.15) и (6.16) выполняются равномерно относительно
η на множестве \\η\\ < Ь\ 3) решения χ(ί,μ) и η(ί) задач
(6.14) и (6.17) существуют и удовлетворяют
соотношениям ||χ(ί,μ)|| < 6, \\η{ί)\\ < Ь при О < t < L/μ, где L - не
зависящая от μ постоянная. Тогда равномерно
относительно t Ε [О, L/μ] имеет место предельный переход
Ηηι(χ(ί,μ)-ι?(/))=0.
Пример 6.1. Рассмотрим уравнение Ван-Дер-Поля (4.1).
Перепишем это уравнение в нормальной форме и иереобо-
значим параметр ε = μ в соответствии с принятыми в этом
разделе обозначениями
у2)и - у.
(6.18)
Для того чтобы записать систему в виде (6.14), введем
новые переменные Х\ их2, положив.
у = xlcos(t-hx2),
и = —Χι sin (t + х2)·
(6.19)
64

После преобразований получим систему
±г = μ[^(1 - ^) - ^cos2(i+ я2) + f cos4(t + x2),
1*2 = μ[τ(1 - ?)sin2(i + х2) - % sin4(i + χ2),
(6.20)
при начальных условиях Χι(0, μ) = y0l ^(0, μ) = 0,
являющуюся системой вида (6.14).
Усредненная система имеет вид
ί ψ = ^(1 - ?),
I % = о
с начальными условиями τ?ι(0) = Усь %(0) = 0. Второе
уравнение этой системы дает т/2 = 0, первое также
интегрируется и имеет два устойчивых стационарных решения:
щ = 2, ъ = -2.
Таким образом, приближенное уравнение Ван-Дер-
Поля, полученное по методу усреднения, имеет вид
» = [2 + ίι(μ)]οθ8(ί + ί2(μ))ϊ
где величины δχ(μ) и <Ь(аО стремятся к нулю при μ,
стремящемся к нулю.
Библиографический комментарий
Подробнее вопросы, затронутые в этой главе, изложены
в монографиях |6, 8, 17, 22, 29].
7. Аттракторы диссипативных систем
Фазовый поток. Диссипативность. Аттракторы
В теории дифференциальных уравнений принято
исходным объектом считать систему уравнений (для
простоты автономную)
χ = /(χ), χ £ Яп. (7.1)
65

Если функция / удовлетворяет определенным
условиям, обеспечивающим существование, единственность и
бесконечную продолжимость решения, то всякой
начальной точке Хо € #п и времени ί > О однозначно можно
поставить в соответствие вектор χ = x(t) G Rn - значение в
момент ί решения системы (7.1) с начальными условиями
х(0) — ;г0. При этом пространство Яп называют фазовым
пространством. Таким образом, система (7.1) задает
отображение Rn —> #n+1 вида χ — <jt(xo) = х{1,£ъ), которое
принято называть фазовым потоком.
В ряде монографий [1, 2] при изучении
дифференциальных уравнений принят иной подход: исходным объектом
считается не система, а фазовый поток. Дадим
определения. Фазовым пространством будем называть
пространство Яп. Отобр1ажение χ = φ(ί,ί0,χ0) пространства i?n+2 в
пространство Rn будем называть фазовым потоком. Если
функция, задающая фазовый поток, зависит не от / и /о, а
лишь от их разности t — to, то фазовый поток называется
автономным, в этом случае можно считать t0
фиксированным (в дальнейшем ί0 = 0). Будем обозначать
автономный фазовый поток χ = φι{χο)· В дальнейшем будем
рассматривать только автономные фазовые потоки.
Пусть для множеств Ω из некоторого класса
измеримых подмножеств фазового пространства определена
мера mes(Q). Будем считать, что фазовый поток χ = (+>t(xo)
переводит измеримое множество Ω0 в измеримое
множество Qt за время t. Фазовый поток назовем лиувпллевым
или консервативным, если для любого* t > 0 и для любого
измеримого множества функция m(t) — ines(Qt)
постоянна, и будем называть фазовый поток диссипативным,
если эта функция убывающая. Для фазовых потоков систем
вида (7.1) имеется критерий лиувиллевости [18, 28].
Теорема 7.1. Для того чтобы фазовый поток системы
66

(7.1) был лиувиллев, необходимо и достаточно чтобы
выполнялось условие
Если же div(f) < О, система будет диссипативна, и ее
фазовый объем со временем сокращается. В конечном сче-Ί
те (т. е. при t -» ос) все решения такой системы сосредо-у
точатся на некотором подмножестве фазового
пространства, которое называется аттрактором. Более точно, ат-^
трактором по Лэндфорду называется такое множество В
фазового пространства Яп, которое удовлетворяет
условиям: 1) В инвариантно относительно фазового потока;
2) существует окрестность G (область притяжения),
которая сжимается к В под действием потока; 3) В нельзя
разложить на два непересекающихся инвариантных
множества.
Рассмотрим виды аттракторов диссипативной системы
(7.1) в зависимости от размерности п.
При η = 1 существует только один вид аттракторов:
устойчивые особые точки.
При η = 2 существует два вида аттракторов:
устойчивые особые точки и устойчивые предельные циклы
(аттракторы в узком значении этого термина, см. разд. 3).
Эти аттракторы имеют размерность соответственно 0 и 1.
Других видов аттракторов нет в силу теоремы Пуанкаре-
Бендиксона.
При η > 3 кроме устойчивых особых точек и
устойчивых предельных циклов появляются устойчивые
инвариантные торы. В частности, двумерные инвариантные
торы представляют собой поверхности, образованные
траекториями квазипериодических решений с двумя
рационально независимыми частотами. Отметим, что многомерные
67

притягивающие торы являются неустойчивым
образованием, так как под воздействием всегда присутствующих
в системе возмущений происходит синхронизация
колебаний.
Все перечисленные аттракторы называются простыми,
поскольку являются многообразиями целой размерности.
Но в системах размерности η > 3 могут существовать и
аттракторы, не являющиеся простыми, они получили
название странные.
Модель Лоренца
Рассмотрим систему Лоренца, которая получается из
уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции в
подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости:
{х = ay — σχ,
У = гт-у- χζ, (7.2)
ζ = ху - bz.
Здесь σ число Прандля, г приведенное число Рэлея,
Ь - постоянная, характеризующая размеры физической
системы. Будем считать, что σ = 10, 6 = |, и проследим
эволюцию системы при изменении положительного
параметра г.
Дивергенция системы div(f) = — (6 + σ + 1) < 0,
поэтому система диссииативна. Система Лоренца симметрична
относительно замены χ -» —χ, у —> —у, ζ —> г, поэтому ее
фазовый портрет симметричен относительно оси Οζ.
Найдем положения равновесия из уравнений
оу — σχ = 0, тх — у - χζ = 0, ху — bz = 0,
откуда получаем, что при любых значениях параметра
начало координат О(0,0,0) является положением
равновесия, а при г > 1 в системе возникает еще два поло-
68

жения равновесия: точки Oi(Jb(r — 1), Jb(r — I),r - 1) и
(hi-y/Kr-l), -y/b(r-l), г - 1).
Исследуя корни линеаризованной системы вблизи
положения равновесия, получаем, что при г < 1 точка О
устойчива, а при г > 1 теряет устойчивость. Точки Οι и Οι
теряют устойчивость при г > гс = а{а+Ъ+Ъ)/{а — Ъ—\) = 23.
Численными расчетами можно обнаружить [18] в
диапазоне 13.926 < г < гс наличие предельных циклов,
окружающих точки Οι и 027 радиус которых уменьшается с
ростом г. При г = гс предельные циклы сливаются с точками
и точки теряют устойчивость. Единственным устойчивым
предельным множеством при г > гс будет аттрактор
Лоренца - совокупность кривых, переходящих от вращения
вокруг точки 0\ к вращению вокруг точки Ог-
Поведение траекторий выглядит хаотично. На рис. 16 приведено
поведение траекторий при г = 28.
Можно попытаться исследовать аттрактор Лоренца ме-
69

тодом сечений Пуанкаре, проведя в фазовом пространстве
плоскость Π: ζ = г — 1. Численное изучение отображения
Р(П) показывает, что существует критическая линия,
выше которой решения идут вправо, а ниже - влево.
Следовательно, образ Р(П) состоит из двух множеств, как
показано на рис. 17.
Отсюда вытекает, что образ Р2 включает 4 слоя, образ
Р3 8 слоев и т. д., причем слои размещаются все ближе,
друг к другу. Поэтому аттрактор состоит из бесконечного
числа листов, расположенных наподобие канторова
совершенного множества. Причина возникновения аттракторов
сложной природы в двух явлениях, могущих
одновременно возникать в нелинейных системах: глобальной
(структурной) устойчивости и локальной неустойчивости.
Количественные характеристики аттракторов
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (7.1)
и для нее два решения X\(t) и X2{t) с начальными
условиями xi(0) и х'2(0) соответственно. Обозначим d(t) =
= 11^2(0 - £ι(*)||· Назовем энтропией Ко,ямогорова Синая
ks = hm - In -—■-.
d(o)->o,t->oo t d(0)
70

Отметим, что эта характеристика глобальная по тому
множеству фазового пространства, откуда берутся начальные
условия. В частности, если начальные условия берутся из
окрестности устойчивого положения равновесия, то, как
можно проверить, ks < 0. Для устойчивых предельных
циклов и инвариантных торов ks = 0. В случае странных
аттракторов ks > 0. В последнем случае часто
используют также tmiX = \/ks - время перемешивания, начиная с
которого описание поведения системы может быть только
вероятностным.
Введем другую характеристику. Зафиксируем
начальную точку х(0) = х0 и ей соответствующее решение x(t).
Дадим приращение ξ (Ε ft71 начальной точке и
рассмотрим решение χι(έ), соответствующее начальному условию
х0 + δξ. Введем d(t) = \\x\{t) - x(t)\\. Показателем
Ляпунова, определенным на векторах начального смещения^
назовем
Λ(ξ) = lim 7ln ιγιιι^ιι·
Функция Λ(ξ) меняется скачками и принимает лишь
конечное число значений Λχ,Λ2, · · ·,Λη, совпадающих с
показателями Ляпунова в смысле определений разд. 2 для
системы уравнений в вариациях, линеаризованной вблизи
решения χ(ί). Отметим некоторые свойства показателей
Ляпунова [18].
1. Один из показателей Ляпунова, отвечающий
смещению вдоль траектории, не оканчивающейся в особой точке,
всегда равен нулю.
2. Сумма показателей Ляпунова равна среднему вдоль
траектории значению дивергенции.
3. Максимальный из показателей Ляпунова равен
энтропии Колмогорова-Синая.
Опираясь на эти свойства, проведем классификацию
71

аттракторов диссипативных систем в зависимости от
знаков показателей Ляпунова.
Для одномерной системы аттракторами могут быть
только устойчивые особые точки, для которых существует
один показатель Ляпунова, который является
отрицательным (-).
Для двумерной системы аттракторами могут быть
устойчивые особые точки, для которых существуют два
отрицательных показателя Ляпунова (-,-), и устойчивые
предельные циклы: один отрицательный и один нулевой
показатель (-,0).
Для трехмерной системы возможны варианты:
(-,-,-) - устойчивая особая точка;
(-г»0) ' устойчивый предельный цикл;
(-ДО) устойчивый инвариантный тор;
(-Д I) странный аттрактор.
Дробная размерность. Гипотеза Каплана-Иорке
Существует несколько подходов к определению
нецелой размерности множеств в конечномерном
пространстве. Приведем одно из них.
Пусть А С Rn. Покроем множество А п-мерными
кубиками со стороной ε > 0, и пусть Ν = Ν(ε) - минимальное
число кубиков, необходимых для такого покрытия.
Назовем фрактальной размерностью множества А число
м л\ ν 1пДГ
а(А) = lim _ .. ,
V ' e->0ln(J)
если такой предел существует.
Рассмотрим некоторые примеры. Если в трехмерном
пространстве задан прямоугольный параллелепипед, то
Ν = Αε"3 и d = 3.
72

Рассмотрим канторово совершенное множество на
отрезке [0,1]. Напомним, что это множество получается,
если отрезок поделить на три равные части, убрать среднюю
часть, оставшиеся части также поделить на три равные
части, из которых также убираются средние части и т. д.
Возьмем последовательность ε = (|)m, m = 0,1,2, · - ·.
Тогда если ε = 1, то N = 1, если ε = 1/3, то N = 2, если
ε = (±)2, то N = 4, если ε = (|)m, то N = 2m, и
фрактальная размерность канторова совершенного множества
вычисляется как
„ л, л. In2m In2 Л _
d(A) = hm г-—- = — % 0,631.
V / m-Kx>ln3™ 1пЗ
Рассмотрим ковер Сериинского. Это множество
получается из единичного квадрата делением его на девять
равных частей, выбрасыванием средней части, делением
оставшихся частей также на девять частей с
выбрасыванием средней части и т. д. (рис. 18). Аналогично
предыдущему примеру устанавливается, что размерность этого
множества равна
Шш\тШш\шШ
Шш\шШш\шШ
к-1
Рис. 18
А-3
73

Пусть теперь в качестве множества А выступает
аттрактор диссипативной системы.
Упорядочим характеристические показатели Ляпунова
по убыванию
Λι > Λ2 > •·Λη,
и выберем номер j из условия
Λι + Л2 + · · · + Aj > О,
Λι + Л2 + · · · + Aj + Ai+i < 0.
Тогда
Это равенство называется гипотезой Каплана Иорке,
которая доказывается при некоторых дополнительных
предположениях [18).
В частности, в трехмерном пространстве странный
аттрактор имеет размерность
d(A) = 2+±-
1Лз|
Так, странный аттрактор в системе Лоренца при
параметрах σ — 10, ft — 8/3, г — 28 имеет приближенно
размерность d(A) = 2,05.
Каскады Фейгенбаума
Буде&1 менять теперь в системе Лоренца (7.2) параметр
ft, одновременно полагая σ = ft + 1 + J2(b+ l)(ft-f 2) и
г = гс. Проведем сечение плоскостью ζ = г — 1 и
исследуем неподвижные точки отображения Пуакаре (в силу
симметрии достаточно исследовать одну координату),
которые соответствуют периодическим решениям.
Воспроизведем результаты численных расчетов [24J.
74

Для малых Ь существует одна периодическая
траектория, затем при b — Ь\ = 0,1397 она расщепляется на
траекторию с периодом 2, которая, в свою очередь, при
Ь — Ь2 = 0,1433 расщепляется на траекторию с периодом
четыре, затем восемь и т. д. Существует точка 6^, после
которой движение становится хаотичным. Но и за этим
значением снова и снова встречаются интервалы
аттракторов периода 5,3, · · ·. Полная картина (рис. 19)
напоминает результат вычислений по рекуррентной формуле
я*+1 = μ{χη -*η)·
Неподвижные точки этого отображения отрезка [0,1] в
себя и возникающие при этом бифуркации хорошо
исследованы [18] и получили название каскадов Фейгенбаума.
0.140 0.145 Ь
Рис. 19
Замечательное открытие Фейгенбаума состоит в том,
что для всех подобных отображений всегда наблюдаются
75

одни и те же явления, в частности, величина
lim Ъ* ~ Ьг~1 « 4,6692016091029906715
ι-» ос b-+1 - bi
является универсальной константой - постоянной Фейген-
баума.
Библиографический комментарий
Подробнее вопросы, затронутые в этой главе, изложены
в монографиях [18, 24, 28). См. также библиографические
комментарии и библиографию к главе 2 [18|.
8. Некоторые сведения из теории
функционально-дифференциальных
уравнений
Дифференциальные уравнения с запаздыванием,
называемые т&кже уравнениями с последействием или
функционально-дифференциальными уравнениями (сокращенно
ФДУ). являются обобщением обыкновенных
дифференциальных равнений.
Примеры уравнений с запаздыванием
Рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 8.1.
χ = x(t — τ),
где ί > 0. г = 1, χ - одномерный фазовый вектор с
начальными условиями х(0) ξ 1. Но для того чтобы
определить дальнейшее положение системы, задание начального
положения фазового вектора недостаточно, нужно задать
начальную,функцию. Пусть Xo{s) = 1 ПРИ — 1 < s < 0.
Тогда
76

а) если О < t < 1, то известна функция x(t - 1) = 1 и,
интегрируя исходное уравнение, получаем
x(t) = х(0) + I x{t - l)dt =l + t,
Jo
т. е. на этом участке решение - линейная функция;
б) если 1 < ί < 2, то x(t - 1) = 1 + (t - 1) = t, и,
интегрируя исходное уравнение, получаем
x(t) = х{1) + [ x(t - \)dt = 2 + /* tdt = ΐ- + ^
ii yi 2 2
т. е. на этом участке решение - парабола.
На последующих участках решение также можно
выписать, при этом его гладкость повышается с течением
времени.
Примененный метод интегрирования уравнений с
запаздыванием называется методом шагов.
Рассмотренный пример относится к типу уравнений с
постоянным сосредоточенным запаздыванием
x = f(t,x(t),x(t-r)).
Если правая часть этого уравнения от x(t) не зависит, то
запаздывание называется чистым.
Величина запаздывания может быть переменной.
Пример 8.2.
х = x(t - (е~г + 1)) + cosi - sin(i - е~ь - 1),
где t > О, χ - одномерный фазовый вектор.
Величина запаздывания τ(ί) = е~~г + 1, поэтому 1 <
< r{t) < 2.
Если начальные условия задаются функцией χ = sini
при —2 < t < О, то непосредственной подстановкой
проверяется, что решение χ = sini при t > 0.
77

Этот пример относится к типу ФДУ с переменным
сосредоточенным запаздыванием:
x = f{t,x{t),x{t-r{t))).
Величина запаздывания должна быть неотрицательна и
ограничена: 0 < r(t) < т.
Запаздывание может быть распределенным.
Пример 8.3.
J xt{s)d8 = J* χ{ξ)άξ.
Продифференцировав обе части этого уравнения,
получаем
х = x[t) — x[t - τ).
Будем искать решение этого уравнения в виде χ = eXt, в
результате подстановки получаем трансцендентное
характеристическое уравнение
λ2 - 1 = -β"λτ,
которое имеет ненулевой вещественный корень А0. Этот
корень можно найти численно. Так, при г = 1 А0 « 0.7.
Таким образом, если начальные условия задать в виде
x(s) = eAoS, s G [—1,0], то решение при t > 0 получается
вида x(t) = ex°f.
Существуют и более сложные виды запаздываний.
Многочисленные примеры применения функционально-
дифференциальных уравнений в моделировании
процессов в. различных отраслях науки и техники приведены в
[5, 15/20, 26, 30].
Все эти уравнения можно объединить формулой
.x = f{t,xt(·)),
78

где t - независимая переменная; χ - фазовый вектор;
xt(·) = {x(t + s),— τ < s < 0} - функция-предыстория
фазового вектора, действующая на систему.
Теория функционально-дифференциальных уравнений
в настоящее время развита почти с той же полнотой,
что и теория обыкновенных дифференциальных
уравнений (см. "монографии [20, 26, 30]). Основным
инструментом в исследовании этого объекта является
функциональный анализ. Приведем в качестве примера всего одну
теорему, в которой иллюстрируются особенности изучения
функционально-дифференциальных уравнений.
Теорема существования и единственности
начальной задачи для ФДУ
Рассмотрим начальную задачу (задачу Коши)
* = /(ί, *<(·)), (».1)
хМ = у°(8), -г<5<0. (8.2)
Здесь f{t,y) - функция (векторный функционал),
отображающая [ίο, ίο + 0] х С в Rn; θ - величина
временного интервала, τ > 0 - величина интервала запаздывания,
Rn - n-мерное евклидово пространство с нормой, в
дальнейшем обозначаемой || · ||; С = Сп[—г, 0] - пространство
n-мерных непрерывных на [—т, 0] функций у(·) с нормой
||у(-)||с = max{||y(s)|| : — г < 5 < 0}. Начальная функция
предполагается непрерывной: у°(·) € С.
Будем предполагать что выполнены следующие
условия.
Условие А1. Функция / в своей области определения
непрерывна по совокупности аргументов.
Условие А 2. Функция / в своей области определения
липшицева по второму аргументу, т. е. найдется
постоянная L такая, что для всех ί € [ί0,*ο + 0]> 2/(1)(')>У(2)(·) е С
79

выполняется
\\f(t,y{l)(-))-f(t,yi2)(-))\\<L\\yW(-)-yW(-)\\c.
При указанных предположениях справедлива
Теорема 8.1. Найдется Δ > 0 такое, что решение
задачи (8.1) (8.2) существует и единственно на [to,-to + Δ].
Прежде чем доказывать теорему, приведем несколько
утверждений из функционального анализа.
Лемма 8.1. Пусть n-мерная вектор-функция x(t)
определена и непрерывна на отрезке [ί0-τ, ί0+Δ], τ > О, Δ > О,
тогда функция х«(·), определенная на отрезке [ίο, ίο + Δ],
непрерывна в метрике пространства С.
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. В силу
того что функция x(t) непрерывна на отрезке [ί0—τ, ίο+Δ],
она равномерно непрерывна на этом отрезке, и найдется
число δ = δ (ε) > 0 такое, что из условия |ίι — ^| < ^
следует ||χ(ίι) - x{t2)\\ < ε для всех ibi2 £ [ίο - τ, ί0 + Δ].
Возьмем tl e [ί0.ίο + Δ] и ί2 6 [ίο, ίο + Δ],
удовлетворяющие условию |ί[ - t2\ < δ. Тогда
\\xti(·) - XtA')\\c = max Hxii1 + s) - x(t2 + s)\\ =
se[~T,o]
= \\x(tl+s)-x(t2 + s)l Se[-r,0].
Обозначив ί1 + ё = t\ 6 [ίο τ, ί0 + Δ],: t2 + s = t2 e [ί0 -
-τ,ί0+Δ], получаем ||х^(-)-х^(-)||с < ε. Лемма доказана.
Пусть Лг банахово (т. е. полное линейное
нормированное) пространство. Оператор Р: X —> X называется
вполне непрерывным, если он непрерывен и всякое
ограниченное множество переводит в предкомпактное.
Справедливо следующее утверждение (см., например,
[12])·
Лемма 8.2. Принцип неподвижной точки Шаудера.
Если Ω - замкнутое ограниченное выпуклое подмножество
80

X и оператор Ρ: Ω -> Ω вполне непрерывен, то
оператор имеет неподвижную точку, т. е. существует χ € Ω:
Р(х) = χ.
Пусть задано множество D в пространстве Сп[а,6]
непрерывных на отрезке [а, Ь] n-мерных вектор-функций.
Множество D называется равностепенно непрерывным,
если для любого ε > О найдется δ > 0 такое, что для всяких
У € D, U € [а, Ь], t2 € [а, Ь], из условия |ίχ - ί2| < δ следует
||У(^)-У(<2)||<£.
Множество D называется равномерно ограниченным,
если найдется число Μ такое, что для всяких Υ б D,
ί е [а, 6] выполняется ||У(*)|| < М.
Справедливо следующее утверждение (см., например,
|14))·
Лемма 8.3. Критерий компактности Арцела. Для
того чтобы замкнутое множество D было компахтным в
Сп[а,6], необходимо и достаточно, чтобы оно было
равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Доказательство теоремы 8.1. Зафиксируем
начальную функцию у°(·) € С. Для Δ > 0 будем обозначать
через Еь{у°(·)) множество непрерывных продолжений у°(·)
вправо на [О, Δ], т. е. множество функций Y{s),
определенных на [—г, Δ] со значениями Rn таких, что
Y(s) = y°(s), -т<5<0,
Y(s) — непрерывна на [О, Δ].
На множестве X = Е&(у°{·)) введем операции сложения
У [s) + Y [s) - j yl(s) + y2(5) _ ущ^ о < s < Δ,
и умножения на число
СУ^-\С(У(5)-у°(0))+у°(0),
0 < s < Δ,
81

а также норму
||Г(-)||а'= max ЦП*) - г/°(0)||.
0<s<A
Тогда, как можно проверить, X является банаховым
пространством.
Для β > О рассмотрим множество Е±(у°(·)) таких
функций 1Г(·) € Ед(х0,у°), что
\\Y(s)-y°{0)\\<P,0<s<&.
Множество Е±(.То, У°) является ограниченным, замкнутым
и выпуклым в Л", как замкнутая β окрестность но норме
X.
На множестве Л* = Е&(у°(·)) определим оператор Р:
Ρ(Υ(.))-Ι 2/°И· 5€.[-т,0).
1 м"' Ь°(о)+й+,дии(·
))dt, ь€ [0.Δ].
Покажем, что :*а счет уменьшения числа Д можно
добиться того, чтобы оператор Ρ переводил множество
£1(у°(;))всебя.. ;
Введем функцию Υ(·) € £д(у°(*)):
1[s}}-\ j/°(0), βε [ο,Δ]..
Вдоль Υ(·) функция /(ξ,Υξ_ίο(·)) непрерывна, а
следовательно, ограничена на [О, Δ], т. е. найдется такое число К,
что
ΙΙ/&ή-«.(·))ΙΙ<*, 4€[σ,Δ].
Тогда
ах \VY(s)-v"(-)\\ = max II f*0*'
Q<s
max \fr(8) - y°(-)ll = max || Л" f(t, Yt-M)dt\\ <
0<s<A 0<5<Δ JiQ
82

&аЛ ιι l0°S(/(i' *-«·(■))* - я*, Yt-t0(-)))dt\\-
fto+s
+ max || / f{t,Yt-M)dt\\<LfiA + Kb
0<β<Δ JtQ
(использовано условие А2).
Выберем
и тогда
m«rW-V(O)||<0,
что означает Р(Е? (у°(·))) С я£(у°(·)).
Обозначим D = Р(£?(у°(·))) и покажем, что это
множество, равностепенно непрерывно и равномерно
ограничено в пространстве Сп[0, Δ].
Так как D С £^(у°(·)), то для всяких У € D, s 6 [О, Δ]
выполняется ||У(*)|| < ||у°(0)|| + /?, что означает
равномерную ограниченность.
Докажем равностепенную непрерывность. Возьмем
произвольные У € D, t\ € [О, Δ], ί2 € [О, Δ], по определению
множества D = Р(Е?(у°(·))) найдется У 6 £? (у°(·)))
такое, что Р(У) = У
Тогда
||У(*,) - У(*2)|| = ||у°(0) + Г*"1 f(t,Yt-t0(-))dt-
J to
fto+t2
-y°(o)-/ /(t,W-))*ll<
Jto
/**0+*2
< / \\f(t,Yt.to(-))-f(t,Yt.to(-))\\dt+
Jto+h
fto+t2
+ [ ||/(t, W-))||A < Wi - *al + K\U - hi
Jto+ti
83

что означает равностепенную непрерывность множества
D.
Можно проверить, что множество D является
замкнутым. Тогда по теореме Арцела множество D компактно.
Это означает, что оператор Ρ вполне непрерывен и по
теореме Шаудера имеет неподвижную точку, т. е. найдётся
такое У(-), что
У (а) = УЧ·) + Г^ f(t,Yt-t0(-))dt, s € [О, Δ].
J to
Последнее равенство эквивалентно тому, что Υ(·) -
решение задачи (8.1)—(8.2).
Докажем единственность. Пусть на [ί0? *ο + Δ]
определены два решения xl(t) и χ2(ί). Будем считать, что Δ
настолько мало, что выполняется условие
LA < 1.
В силу непрерывности xl(t) и x2{t) найдется момент
t\ € [to, U + Δ] такой, что
max. Цх1^)-^)!^^1^)-^!)!!·
*е[*о,*о+А]
Но тогда
llz1^) - χ2(ίι)|| = ||у°(0) + Г f(t,xlt(-))dt-
J t0
-y°(o)-Г/(*,*?(·)«<
J to
< LAWx'ih) - x2(h)\\ < \\xl{ti) ~ *2(<i)ll,
что возможно, если только x{t\) = x2(t2)' Это означает,
что xx(t) = x2(t) для всех t € [ίο>*ο + Δ].
84

Замечание 8.1. В отличие от обыкновенных
дифференциальных уравнений решения ФДУ могут пересекаться.
Так, для скалярного уравнения
x(t) = — x(t — τ)
два решения x\(t) и хг(*)» получаемые при задании двух
начальных условий:
1) x(s) = 1, -l<s<0;
2) x(s) ξξ -1, -1 < s < О,
пересекаются, это можно проверить методом шагов, Χι(1) =
= £2(1) = 0. Однако это пересечение не противоречит
теореме существования и единственности, так как
пересекаются конечномерные составляющие, а предыстории в
точке пересечения разные.
Замечание 8.2. Теорема утверждает существование и
единственность решения на отрезке [ίο^ο + Δ], т. е. в
положительном направлении. В отличие от обыкновенных
дифференциальных уравнений, в отрицательном
направлении теорема неверна, например, может наблюдаться
эффект слипания решений.
Замечание 8.3. Теорема носит локальный характер.
Вопрос о продолжимости решения на весь промежуток
определения функционала правой части системы сложнее, чем
в обыкновенных дифференциальных уравнений.
Библиографический комментарий
Подробнее вопросы, затронутые в этой главе, изложены
в монографиях [5, 15, 20, 26, 30].
85

Список литературы
1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1971.
2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1976.
3. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.
4. Баутин Η. Η. Поведение динамических систем вблизи границ области
устойчивости. М.: Наука, 1984.
5. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.:
Мир, 1967.
6. Боголюбов Η. Η., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы
нелинейных колебаний. М,: Наука, 1974.
7. Варга Дою. Оптимальное управление дифференциальными и
функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
8. Васильева А. Б., Бутузов В. ф. Асимптотические разложения
решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
9. Далецкий Ю. Α., Крейн М. Г. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967.
11. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.:
Наука, 1974.
12. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный аначиз. М.: Наука,
1977.
13. Коддингтон Э. Α., Левинсон Н. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
14. Колмогоров А. #., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1972.
15. Красовский Η. Η. Некоторые задачи теории устойчивости движения.
М.: Гостехиздат, 1959.
16. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней
свободы. М.: Наука, 1980.
17. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.:
Наука, 1981.
18. Лоскутов А. Ю, Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука,
1990.
86

19. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. М.: Мир, 1980.
20. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с
запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.
21. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1983.
22. Тихонов А. Ну Васильева А. В., Свешников А. Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1985.
23. Филиппов А. Ф. Диференциальные уравнения с разрывной правой
частью. М.: Наука, 1985.
24. Хайрер Э., Нерсетт С, Боннер Г. Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
25. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир,
1970.
26. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.:
Мир, 1984.
27. Хессард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации
рождения цикла. М.: Мир, 1985.
28. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.
29. Элъсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. М.: Наука, 1969.
30. Элъсгольц Л. Э., Норкин С Б. Введение в теорию дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.
31. Эрроусмигп Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.

Учебное издание
Пименов Владимир Германович
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учебное пособие
Редактор и корректор Т. А. Федорова
Компьютерная верстка - В. Г. Пименов,
А. Б. Ложников
Лицензия ИД N«05974 от 03.10.2001. Темплан 2003 г., поз. 152.
Подписано в печать 10.10.2003. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Times. Уч.-изд. л. 4,5. Усл. печ. л. 5,1. Тираж *200 экз. Заказ 3Ί€.
Издательство Уральского университета. 620083, Екатеринбург, пр. Ленина, 51.
Отпечатано в ИПЦ «Издательство УрГУ». 620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4