АКАДЕМ ИЯ
НАУК СССР
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ
Иванищев В.В., Крутов А.П., Марлей В.Е., Петров А. А., Поспелов И. Г.
РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЛАНОВОЙ ЭКОНОМИКИ
С ЭЛЕМЕНТАМИ РЫНКА В ТЕРМИНАХ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Препринт >152
Ленинград
1991


уда 519.86
АННОТАЦИЯ
В работе на примере макроэкономической модели централизованной экономики с элементами рынка рассматриваются технологические аспекты реализации математических моделей на базе алгоритмических сетей. Рассматриваются результаты вычислительных экспериментов с реализованной моделью.


СОДЕРЖАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ 4
2. ТРАНСФОРМАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СЕТИ.. .6
3. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ....12
4. РЕЗУЛЬТАТЫ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 44
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
6. ЛИТЕРАТУРА 55
7. ПРИЛОЖЕНИЕ. ЯЗЫК АЛГОРИТМИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 56


I. 	ВВЕДЕНИЕ.
Превращение метода моделирования в общедоступную и, главное, широко используемую процедуру являете? одной из задач, от решения которой в значительной степени зависят качество и обоснованность решений, принимаемых на самых разных уровнях управления. Особую актуальность эта задача приобретает на современном этапе экономического развития страны, когда число точек принятия решений в обществе резко возросло. Процессы разгосударствления экономики, стремление предпринимателей вести свою хозяйственную, коммерческую и иную деятельность оставят новые проблемы в области моделирования и его программного обеспечения. По нашему мнению, их решение следует искать на пути разработки новых технологий моделирования, позволяющих снизить трудоемкость создания моделей, дать практические методики освоения моделей, доступные для неподготовленного пользователя. В течение ряда лет работа такого рода ведется в Ленинградском институте информатики и
автоматизации АН СССР.
Несмотря на полученные результаты, реализуемый подход не свободен от ряда недостатков, один из которых состоит в том, что его практическая реализация в области экономики в значительной степени базировалась на моделях плановой экономики, перенося на себя, таким образом, те недостатки, которые присущи моделям, используемым до недавнего времени в плановых расчетах при решении задач экономического и социального развития. Как известно, главный недостаток таких моделей - высокий уровень экзогенности. В таких моделях слишком большой процент переменных, значения которых задаются извне. Это обстоятельство является источником достаточно примитивной динамики поведения таких моделей и слишком большого произвола, вносимого экзогенными переменными. Речь могла идти только о крутизне наклона или общих тенденциях (рост, спад) заданных показателей экономического развития. Как показано в [ ], модели такого рода работают на границе устойчивости и в принципе не могут продемонстрировать сколь-либо интересной динамики поведения. Вопрос об адекватности таких моделей заменяется вопросом о соблюдении "правил игры" всеми участниками, включая тех, которые задают значения экзогенных переменных. Поскольку же модели такого рода были реализованы в рамках упомянутого выше подхода алгоритмического моделирования на основе специального 4


вида алгоритмических сетей, то закономерен вопрос - а не является ли алгоритмическое моделирование, предложенное в [1-4] в принципе не способным к созданию моделей со сколь-либо заслуживающей внимание динамикой и адекватностью?
Есть разные способы ответа на этот вопрос. Здесь использован метод сравнения с ранее построенной математической моделью, репутация которой могла бы характеризовать некоторый эталонный уровень, достижимый для моделей математической экономики.
В качестве такой эталонной модели выбрана математическая модель воспроизводства в централизованной плановой экономике с товарно-денежными отношениями, разработанная в ВЦ АН СССР под руководством проф. А.А.Петрова и опубликованная в [5]. Данный препринт содержит описание модели [5] в терминах алгоритмических сетей [1-4] и анализ полученных с использованием этого подхода результатов.


2. 	ТРАНСФОРМАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ СЕТИ.
Алгоритмическая сеть (АС) [1-4] - ориентированный граф, вершины - операторы, производящие вычисления или ввод информации» дугам сопоставлены переменные. Наличие дуги указывает на информационную связь между вершинами. АС подчиняются синтаксису языка алгоритмических сетей (ЯАС) [2-3] (см. приложение). ЯАС позволяет представлять модели, содержащие рекуррентные выражения.
Для 1феобразования аналитической модели в АС она должна быть соответствующим образом преобразована. Рассмотрим примеры некоторых таких преобразований.
Например: исходная модель выражается следующим выражением:
$ - V + aY + Vk = о
Пусть в данном случае - скорость изменения объема какого-либо продукта в месте хранения, V - приход продукта в единицу времени, aY + VR - расход продукта в единицу времени. Естественно рассматривать скорость как результат (следствие) взаимодействия двух процессов - прихода и расхода продукта, выражая эту причинно-следственную связь как вычислительную, следует преобразовать исходное выражение следующим образом:
$ = V - (aY + Vk)
То есть данное выражение уже не просто математическая формула, а отражает некоторый принятый исследователем сценарий и его структуризацию.
Под сценарием в данном случае и далее понимается некоторое крупномасштабное описание процесса функционирования моделируемой системы, в котором происходящие события частично упорядочены в соответствии с имеющимся представлением о причинно-следственных связях между ними.
Для представления в ЯАС данное выражение нужно заменить соответствующим ему рекуррентным выражением. По аналогии, первой производной соответствует первая разность и т.п. ^получим
AQ(t) = V(t) (a(t)Y(t) + VR(t)) или рекуррентное выражение
Q(t) Qft 1 ) V Г t) (a(t)Y(t) + VR(t))
6


Считаем, что Q(t-i) не может быть следствием Q(t), получим окончательное выражение:
Q(t) = Q(t-1) + V(t) - a(t)Y(t) - vk(t)
Данное выражение уже может быть представлено в виде АС (Рис.1 а,б), для более четкого выделения в структуре АС процесса расхода, а также для минимизации модели, если этот процесс используется в какой-либо другой части АС можно использовать АС вида показанной на Рис.1 в. Сеть на Рис.1 г уже нарушает принятую структуризацию модели, хотя и эквивалентна исходной модели.
В случае, если в модели используются частные производные, то для представления в НАС они заменяются табличными функциями,, например:^ представляется как At(t) = /T(Ap(t)), где /т - табличная функция, устанавливающая соответствие At и Ар (At рассматривается как следствие Ар).
Помимо рассмотренных возможны другие ситуации, но все они имеют следующие общие моменты/ обусловленные синтаксисом ЯАС:
- каждая переменная в модели, преобразуемой в АС, вычисляются только в одной формуле;
- система формул не должна содержать "алгебраических циклов" (т.е. когда переменная требует для своего вычисления самой себя);
- в формулах должны использоваться операции и функции, представимые в алфавите ЯАС.
В ряде случаев для преобразования аналитических моделей в АС могут быть использованы выделенные в ЯАС типовые конструкции, описанные в [3,6], некоторые возможные типовые конструкции описаны также в [2,4]. В любом случае следует стараться соблюдать принцип соответствия причинно-следственных связей в моделируемом процессе и вычислительных связей в АС.
На основании вышесказанного методика преобразования аналитической модели в ЯАС следующая:
1. Проанализировать математическое и словесное описание модели, выделить подпроцессы, переходы и связи между ними. Структуризовать модель в терминах выделенных подпроцессов.
2. Сформировать сценарий функционирования объекта моделирования, дающий непротиворечивую картину причинно-следственных. связей в терминах выделенных подпроцессов и согласовать его с имеющимся
7


б)
Vk(t)
a(t)Y(t)
Q(t-1)
I
О
Рис, i. Алгоритмические сети, представляющие модель.
аналитическую


представлением о семантике процесса.
3. Преобразовать исходную математическую модель в соответствии с разработанным сценарием (на основании рассмотренных выше примеров и типовых конструкций [2-4,6] в форму, представимую в ЯАС.
4. Перейти от полученной системы выражений к АС. При этом возможно уточнение сценария и модели в терминах ЯАС.
5. Проверка полученной АС на соответствие синтаксису ЯАС. Проверятся наличие запрещенных в ЯАС конструкций [2,3], которые могут возникнуть, если какая-либо переменная вычисляется в нескольких вершинах или имеется "алгебраический цикл". В первом случае необходимо проанализировать семантику модели с целью избежать этой ситуации, во втором случае достаточно отнести переменную на входе и выходе к разным моментам времени.
6. Последний этап - преобразование полученной АС с целью улучшения ее наглядности и обозримости. На данном этапе возможна перекомпоновка топологии сети, разбиение ее на отдельные блоки и т.д. Дело в том, что на начальных этапах структуризуется с целью облегчения его понимания моделируемый процесс, а на данном этапе структуризуется с целью большей наглядности и обозримости уже не процесс, а его модель. Основанием к такой перекомпоновке может служить несоответствие смысловой нагрузки элемента структуризации и сложности его математического описания. Например, ряд несущих значительную смысловую нагрузку элементов с простым математическим описанием могут быть объединены на сети в один блок, название которого будет описывать уже некоторый новый элемент, но с учетом вошедших в него составных частей. Данный этап имеет в значительной степени субъективный характер и предложить какие-либо общие рекомендации затруднительно, поэтому отметим только отдельные практические наблюдения. Первое - если объем АС превышает 20-30 вершин, то желательно разбить ее на отдельные блоки, число вершин в которых не превышает указанное. Второе - желательно, чтобы алгоритмическая соть каждого блока имела только одну компоненту связности. Третье - желательно минимизировать число связей между блоками. Также следует постараться привести сеть каждой компоненты связности к планарному виду или хотя бы минимизировать число необходимых пересечений дуг. При таких преобразованиях АС можно допустить отдельные нарушения ранее принятой структуризации процесса, например: разнести элементы одного подпроцесса по разным блокам, совместить элементы разных подпроцессов в одном блоке и т.п.
9


Однако при этом нельзя нарушать принятые аналогии причин и следствий.
Вся изложенная методика имеет итеративный характер, когда с любого этапа возможно вернуться на любой предыдущий. Полученная таким образом АС даст возможность получить приближенное численное решение по исходной модели путем имитации процесса последовательно период за периодом и воспользоваться при этом системой автоматизации моделирования САПФИР [7-9], которая позволит существенно ускорить процесс создания модели.
Укрупненно технология перехода к АС показана на Рис.2.
Представление модели в виде АС делает ее гораздо более доступной для понимания пользователем. Особенно это проявляется в том случае, если удастся удачно подобрать числовую характеристику для материальных носителей причинно-следственных связей. Примером такого удачного выбора являются потоковые представления процессов.
При сравнении результатов, полученных на АС и при решении дифференциальных уравнений, необходимо следить за соответствием шага имитации и шага интегрирования и соответствующим образом пересчитывать числовые значения исходных данных.
В последующих разделах рассматривается применение изложенной методики к конкретной макроэкономической модели.


Переход к АС
Математические модели
I t
Реальный мир
Рис.2. Технология трансформации исходной модели в алгоритмическую сеть.


3. 	ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ.
Рассматриваемая исходная модель [5] описывает процесс воспроизводства в централизованно-планируемой экономике с рыночным кооперативным сектором, основанным на арендованных государственных площадях.
Укрупненно рассматриваемый процесс можно описать:
1. Планируется деятельность госсектора.
2. В соответствии с планом осуществляется производство в госсекторе.
3. Мощности, оставшиеся в госсекторе незанятыми, арендуют кооперативы и производят на них товары народного потребления (ТИП), покупая сырье в госсекторе. Миграция трудовых ресурсов между госсектором и кооперативами происходит в соответствии с результатами коммерческой деятельности кооперативов в предыдущем периоде.
4. Произведенная в госсекторе продукция распределяется по видам (фондообразующая, ТИП, сырье, госпотребление).
5. ТИП, произведенные в госсекторе, поступают в госторговлю, а произведенные в кооперативах - на рынок.
6. Работающие в госсекторе и кооперативах на полученное вознаграждение за труд и используя свои сбережения покупают ТИП в госторговле и на рынке, оставшиеся неиспользованные деньги поступают на вклады населения.
7. Банк кредитует госсектор и госторговлю и выплачивает проценты по вкладам населению. Норма кредитования определяется на основании ссудного фонда банка и имеющихся оборотных фондов госсектора и госторговли.
8. По результатам финансовой деятельности госсектора, госторговли, кооперативов и банков формируется баланс госбюджета, определяется кассовый остаток и необходимая эмиссия наличных денег.
Из анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических выражений, описывающих модель [5], можно выделить следующие взаимодействующие процессы, которые составляют следующий уровень подробности описания:
- планирование производства и распределения в госсекторе;
- производство в госсекторе;
- распределение товара, произведенного в госсекторе;
12


- воспроизводство трудовых ресурсов;
- потребление трудового ресурса в кооперативах;
- потребление трудового ресурса в госсекторе;
- производство в кооперативах;
- формирование объема потребительских расходов в госсекторе и кооперативах;
- воспроизводство производственных мощностей в госсекторе;
- накопление оборотных фондов в госсекторе;
- формирование сбережений работающих в госсекторе и кооперативах;
- покупка товаров народного потребления, произведенных в госсекторе, в госторговле;
- формирование оборотных фондов в госторговле;
- продажа товаров народного потребления, произведенных в кооперативах, на рынке;
- движение наличности у населения;
- движение финансов в госсекторе;
- движение финансов в госторговле;
- движение финансов в банке;
-- движение наличных денег в оборотной кассе банка;
- эмиссия наличных денег банком;
- распределение средств бюджета, образование дефицита.
В рассматриваемой модели предполагается, что кооперативы производят только товары народного потребления на арендованных у госсектора мощностях и купленном в госсекторе сырье. Арендуемый кооперативами избыток мощностей в госсекторе образуется за счет того, что госзаказ планируется меньше максимально возможного выпуска в госсекторе.
Исходя из сделанной структуризации сформируем первоначальный сценарий, описывающий функционирование моделируемой системы, который позволит выделить использованные ниже причинно- следственные связи.
Первым этапом в общем процессе, как выше указывалось, является реализация процесса планирования. Планирование осуществляется исходя из достигнутого системой состояния, которое определяется имеющимися на начало периода производственными мощностями, оборотными фондами госсектора на производстве и в торговле, оплатой труда в предыдущем периоде в госсекторе и кооперативах, вкладами населения, объемом наличности в обращении, остатками на счетах в банке госсектора, госторговли, госбюджета, имеющимся объемом трудового ресурса, коэффициентом брака. При 13


планировании используются постоянные нормативные коэффициенты (норматив выбытия мощностей, плановый темп роста мощностей, объем госзаказа и т.д.). В процессе планирования определяется объем госзаказа, который задает плановый выпуск конечного продукта. Далее определяются необходимые объемы фондообразующей продукции, продукции госпотребления и сырья. Товары народного потребления планируются по остаточному принципу.
На следующем этапе на основании выработанного плана реализуется процесс воспроизводства, формируется фактический объем выпуска, который получается в результате сравнения плана с имеющимися мощностями и сырьем. Полученный выпуск не превышает плановый. Фактический выпуск распределяется по видам продукции (госпотребление, фондообразующая, сырье, товары народного потребления) в тех же пропорциях, что были заложены е плане.
Оставшиеся за вычетом занятых госзаказом мощности арендуются кооперативами, но не обязательно целиком. Объем арендуемых мощностей определяется исходя из соотношения оплаты единицы выпуска в госсекторе и в кооперативах. Чем зарплата за единицу выпуска в кооперативах выше чем в госсекторе, тем большую часть свободных мощностей в госсекторе арендуют кооперативы (зависимость близка к логистической кривой, верхний предел - единица). Считается, что кооперативы полностью используют арендованные мощности, то есть выпуск равен мощностям. Исходя из выпуска, нормативной трудоемкости и задаваемого коэффициента удлиннения рабочего дня в кооперативах определяется объем трудовых ресурсов, потребляемых кооперативами. С учетом норматива затрат сырья на единицу выпуска и среднего времени технологического цикла определяем потребность кооперативов в сырье.
Общий объем трудовых ресурсов определяется на основе заданных темпов его прироста. Вое не занятые в кооперативах трудятся в госсекторе (т.е. безработица не предусматривается). Если план выпуска напряженный (то есть трудовых ресурсов в госсекторе не хватает для его выполнения), определяем фактическую трудоемкость и, сравнивая ее с нормативной, определяем коэффициент брака в выпуске госсектора. Этот момент один из самых интересных в модели [5], по сути дела это означает, что для выполнения напряженного плана приходится засчитывать как годную бракованную продукцию, таким образом нормативная трудоемкость будет всегда меньше или равна фактической.
14


Далее следует ряд этапов, последовательность которых относительно друг друга может быть произвольной. Это формирование производственных мощностей для следующего временного шага моделирования. Оно происходит на основании норматива выведения фондов, произведенного в текущем периоде фондообразующего продукта с учетом среднего времени ввода фондов и коэффициента брака. (То обстоятельство, что в фондообразующий продукт попадает брак, не позволяет полностью его использовать и фактический прирост мощностей будет меньше, чем в том случае, если бы брака не было). Формируются оборотные фонды в госсекторе, из имеющегося объема вычитаются затраты на производство в госсекторе и кооперативах, и поступает произведенное в этом периоде сырье. Формируется поток доходов работающих в госсекторе и в кооперативах, который складывается из оплаты труда в прошлом периоде и денег, снимаемых с.вкладов. Оплата труда в госсекторе задается нормативным коэффициентом от оптовой стоимости произведенного конечного продукта, в кооперативах - как разница между рыночной стоимостью произведенного продукта и суммой всех выплат кооператива государству (аренда, покупка материалов, налоги и т.п.). Считается, что продается весь товар кооперативов.
Товары народного потребления, произведенные в госсекторе и кооперативах, распределяются между ними пропорционально доходам. Покупка производится по розничной цене предыдущего периода, розничная цена на следующий период определяется исходя из оплаты работающих в госсекторе и объема выпущенных госсектором в текущем периоде товаров народного потребления. Покупаются все качественные товары, возможна даже покупка части недоброкачественных товаров, но только работающими в госсекторе. Определяется объем оборотных фондов в торговле, исходя из разности купленных и поступивших в торговлю товаров. Исходя из вышесказанного, в оборотных фондах торговли оседает в основном недоброкачественный продукт.
Оставшаяся после покупки товаров в госторговле часть потребительских расходов часть доходов реализуется на рынке кооперативных товаров, но не целиком. Доля доходов занятых в госсекторе, которая реализуется на кооперативном рынке, определяется исходя из анализа соотношения кооперативной и розничной цены, исходя из времени, которое покупатель готов затратить на поиски качественного более дешевого товара в госторговле. Чем кооперативная цена выше государственной, тем


большее время покупатель готов потратить на поиски товара в госторговле, тем меньшая доля его доходов попадет на кооперативный рынок. Считая, что все кооперативные товары реализуются, цена в текущем периоде определяется отношением части доходов населения, попавших на кооперативный рынок,, к выпуску кооперативов. Нереализованная часть доходов поступает на банковские вклады работников госсектора и кооперативов. При атом определяется также объем наличных денег на руках у населения.
Далее определяются финансовые результаты деятельности госсектора и госторговли. Актив госсектора определяется на основе разности задолженности текущего и прошлого периодов (чем дольше кредит, тем больше денег у предприятия), поступлений от продажи товара и платежей кооперативов. Пассив госсектора - оплата труда, покупка сырья, оплата процента по краткосрочной задолженности банку. Задолженность текущего периода определяется . стоимостью оборотных фондов в оптовых ценах, умноженной на норматив кредитования, рассчитанный банком по результатам прошлого периода. Разность актива и пассива - прибыль госсектора. Для госторговли задолженность банку определяется стоимостью ее оборотных фондов в розничных ценах с учетом норматива кредитования. Актив ее формируется за счет проданных товаров, пассив - процентом по краткосрочной задолженности и оптовой стоимостью закупленных в госсекторе товаров народного потребления. Разность актива и пассива торговли дает ее прибыль. Прибыль банка определяется разностью процентов за кредиты госсектору и торговле и выплатой населению процентов по вкладам с учетом выделения резервного банковского фонда.
Остаток средств на счету бюджета определятся как разность суммы прибылей госсектора, госторговли, банка, налога с кооперативов и оптовой стоимостью фондообразующей продукции и продукции госпотребления. Остаток наличности в кассе банка определяется как разность 4суммы продаж товаров, поступлений на вклады населения, платежей кооперативов (с налогом) и эмиссии в предыдущем периоде и суммы выплаченной зарплаты и снятых с вкладов денег. Эмиссия в текущем периоде покрывает недостаток средств в оборотной кассе банка для обслуживания наличного 'оборота. Считаем, что запас наличности в кассе банка поддерживается на постоянном уровне. Норматив кредитования для следующего периода планируется исходя из отношения ссудного фонда банка к. стоимости оборотных фондов госсектора в оптовых ценах и 16


госторговли в розничных.
Рассмотренный сценарий фиксирует картину причинно-следственных связей, представленных в одном шаге имитации модели. На каждом шаге эта картина повторяется. Значения переменных, определявших исходное состояние, на каждом шаге пересчитываются и становятся исходными для следующего шага.
На основании приведенного сценария выражения, описывающие модель [5] в рекуррентные выражения (пример для одного из выражений модели [5.1 приведен в предыдущем разделе), а затем в АС, был проведен синтаксический контроль полученной сети, осуществлено преобразование АС с целью улучшения ее наглядности. На последнем этапа модель была разбита на 19 блоков, каждому блоку соответствует, в основном, одно из выражений исходной модели [5], преобразованное в вид, представимый в ЯАС. Ниже приводится перечень блоков полученной АС:
- блок I - производственные мощности госсектора;
- блок 2 - оборотные фонды госсектора;
- блок 3 - производство, планирование и распределение в
госсекторе;
- блок 4 - производство в кооперативах;
- блок 5 - трудовые ресурсы и доля брака з госсекторе;
- блок 6 - оплата труда и максимальные потребительские расходы в
госсекторе и кооперативах;
- блок 7 - вклады кооператоров в банке;
- блок 8 - вклады рабочих госсектора в банке;
- блок 9 - потребление продукции госсектора;
- блок 10 - торговля;
- блок II - кооперативный рынок;
- блок 12 - наличность у населения;
- блок 13 - финансовый баланс госсектора;
- блок 14 - финансовый баланс торговли; -блок 15 - финансовый баланс банка;
- блок 16 - баланс госбюджета;
- блок 17 - баланс наличных денег в оборотной кассе банка и
расчет необходимой эмиссии;
- блок 18 - баланс активов и пассивов ;
- блок 19 - планирование норматива кредитования.
Ниже приводятся рекуррентные выражения, полученные из исходной модели i51, сама исходная модель в целях экономии текста не приводится. Поскольку представляется конечный результат, то 17


выражения приводятся разбитыми по блокам. Разбиение по блокам несколько нарушает принятую в сценарии структуризацию, по аналогии соотношения причин и следствий в выражениях результатов и исходных переменных сохранено в соответствии с изложенным сценарием. Расшифровка каждой переменной приводится только один раз, когда она первый раз встречается.
I. 	Блок I.
1.1. M(t) = M(t-1 )(1-|l(t)) + l(t)
1.2. I(t) = X(t)
M(t), M(t-1) - производственные мощности;
p.(t) - коэффициент выбытия мощностей;
l(t) - поток вновь создаваемых мощностей;
x(t) - часть продукта, идущая на создание новых мощностей; b(t) - затраты фондообразующей продукции на единицу мощностей; p(t) - коэффициент брака.
2. Блок 2.
2.1. Q(t) = Q(t-1) + V(t) - VR(t) - Y(t)a(t)
Q(t), Q(t-1) - оборотные фонды;
V(t) - поставки сырья госсектору;
vR(t) - поставки сырья кооперативам;
Y(t) - фактический выпуск продукции;
a(t) - норма затрат сырья ня единицу выпуска.
3. Блок 3.
3.1. k(t) = min {1, maz{ E(t), g(t) + у (M-(t) + ?(*)) +
+ (a(t) + a(t)T(t)7(t)}}
k(t) - доля госзаказа;
E(t) - задаваемый госзаказ;
7(t) - плановый темп роста мощностей;
- технологический цикл;
- плановая доля госпотробления.


3.2. x(t) = + 7(*))
x(t) - план выпуска фондообразующей продукции.
3.3. V(t) = M(t-1 )k(t) (a(t) + a(t)T(t)7(t))
v(t) - план выпуска сырья.
3.4. Y(t) = k(t)M(t-l)
Y(t) - план выпуска.
3.5. o(t) = Y(t) - x(t) - V(t) - Z(t)
o(t) - план выпуска товаров народного потребления, z(t) - план госпотребления;
3.6. Y(t) = min { Y(t),
Y(t) - фактический выпуск.
3.7. Механизм планирования.
3.7.1. 	x(t) = Y(t)
Y(t)
x(t) - выпущенный фондообразующий продукт.
3.7.2. 	V(t) = Yft)
Yft)
Yft) - выпущенное сырье.
A
o.c.o. о\ia
Yft) eft) - товары народного потребления.
3.7.4. 	z(t) = Yft) £*11
Yft)
z(t) - госпотребление.
19


4. 	Блок 4.
4.1. 	MR(t) = (max{0, M(t-1) - Y(t)})K?)
M^t) - мощности кооперативного сектора;
KE) - доля арендуемых кооперативами свободных мощностей госсектора.
4.2. 	Щ) - задаваемая функция, близкая к логистической кривой, О К?) I
<(t) - соотношение оплаты единиц труда в кооперативах и
госсекторе;
®K(t) - оплата труда з кооперативах;
®(t) - оплата труда в госсекторе.
4.3. 	ZK(t) = шах{0, x(t) Мк(1))
Mt) - нормативная трудоемкость;
Iic(t) - занятые в кооперативах;
H(t) - доля увеличения производительности за счет удлинения рабочего дня.
4.4. QK(t) = a(t)T(t)Mk(t)
QK(t) - оборотные фонды кооперативов.
4.5. VK(t) = a(t)(MK(t) + T(t) )
5. 	Блок 5.
5.1. 	L(t) = L(t-1)(1 + n(t))
L(t), L(t-1) - трудовые ресурсы; n(t) -- темп роста трудовых ресурсов.
5.2. 	b(t) =
l(t) - численность занятых в госсектора.
20


0.3. p(t) = max{0, (1 - "ГП;7ГГЕТ'1 '*
6. Блок 6.
6.1. Ф(Х) = T)(t)p(t)Y(t)
®(t) - фонд заработной платы в госсекторе;
T](t) - норматив зарплаты на единицу стоимости производимого продукта;
p(t) - оптовая цена продукта в госсекторе.
6.2. Фк (t) = (1 - V(t))(Мк(t-1)р (t-1) - MK(t)(q(t) + р (t)(a(t
1К к
+ a(t)T(t) ■ Мк(1^к7^Г'~'">~~)))
v(t) - налог с доходов кооператоров;
P1K(t_1) “ розничная цена кооперативного продукта;
q(t) - арендная плата кооператива госсектору;
PK(t) - оптовая цена отпуска сырья кооператорам.
$(t) =• Мк(г-1 )plR(t-1 ) - MK(t)[q(t) + PK(t)(a(t) + а (t) т (t) •
MK(t) - MK(t-1 ) 4,
J(t) - фонд заработной платы кооператоров без учета налогов.
6.3. ф(г) = Ф(1-1) - %(t)(Ф(г) - Ф(.с-1)) + б(t)D(t-i;
<|)(t) - планируемые потребительские расходы занятых в госсекторе;
X(t) - норматив склонности населения к накоплению наличности; 6(t) - доля изымаемых вкладов;
D(t) - сбережения трудящихся в госсекторе.
6.4. фк(1) = Фк(1-1) - %(t)($K(t) - Mt-П) 4 5(»Рк(Ы)
tpK(t) - планируемые потребительские расходы коог.ерато»х’в; Dk(t) сбережения кооиероторов.
7. Блок 7.
J)K(t) =-г2 ) - 6(t)DK(t-1) + UJc(t)
21


r2(t) - процент по вкладам;
- поток вкладов (или изъятий) кооператоров.
8Г Блок 8.
D(t) = D(t-1) + r2(t)D(t-1) - O(t)D(t-1) + U(t)
U(t) - поток вкладов работающих в госсекторе.
9. 	Блок 9.
p(t) - доля качественного потребительского продукта госсектора, достающаяся работающим в госсекторе.
9.2. 	p,(t)
р1(t) - розничная цена потребительского продукта, произведенного в госсекторе.
p(t)(l-0(t))C(t) + p(t)C(t)}
W(t) покупка товаров госсектора рабочими госсектора;
u(.t) - коэффициент, выражающий степень предпочтения рабочими госсектора качественного продукта.
9.4. 	WK(t) = min { • (1~P(t))(1-p(t))C(t)}
WK(t) - покупка товаров госсектора кооператорами.
10. 	Блок 10.
QT(t) ~ QT(t-4) + C(t) - - WK.it)
QT(t), зясяс нух-дуктя i; торговля.
22


II.Блок II.
11.1. 4>c(t) -- max {0, <|)(t )-p1 (t-1 )W( t)} + ((Jac(t )-p1 (t-1 )WK(t))
фс (t) - платежеспособный спрос на кооперативном рынке.
11.2. Ud(t) - 4>c(t)w(o)
Jd(t) - фактически удовлетворенный спрос на кооперативном рынке; w(o) -- доля платежеспособного спроса, удовлетворенного на кооперативном рынке.
II.3. 	w(о) - задаваемая функция, близкая к убывающей экспоненте, О w(o) 1
nm _ piK(t_1) 6(t) (To(t)-T(t))
o(t) - e
o(t) - полезность покупки в зависимости от цены и времени поиска товара;
P1KU-1) - цена на кооперативном рынке;
T(t) - время ожидания покупки;
Tc(t) - нормативное время ожидания покупки.
II.4.
T(t) - To(t) ц_1
П.5.
_ Ud(t)
МкГП
II.6.
P,(t) -
max{0, ф(t)-pi(t-1)W(t)>
*c(t)
p^t) - доля кооперативного продукта, госсекторе.
покупаемого занятыми в
12. Блок 12.
12.1. NL(t) x<t)®(t-1)
NJ,(t) - наличность у рабочих госсектора.
23


12.2. NK(t) = %(t)®k(t-1)
NK(t) - наличность у кооператоров.
12.3. U(t) = ®(t-1) + O(t)D(t-1) - (NL(t)-NL(t-1 ) + p^t-DWd) + P-ijJIOP, (t)MK(t))
12.4. UK(t) = ®K(t-1) + 6(t)DK(t-1) - (NL(t)-NL(t-1 ) +
+ P1(t-1)WR(t) + p1K(t)(1-pl (t))MK(t))
13. Блок 13.
13.1. N(t) = p(t)g(t-1)Q(t-1)
N(t) - краткосрочная задолженность госсектора;
?(t-1) - норматив кредитования.
13.2. nK(t) = MK(t)(q(t) + pK(t)(a(t) +
+ a(t)T(t) ))
nK(t) - платежи кооператоров госсектору.
13.3. G(t) = N(t) - N(t-1) + nK(t) + p(t)Y(t) - ®(t) - p(t)V(t)
- r,(t)!f(t-1)
G(t) - прибыль госсектора;
r^(t) - процент по краткосрочным ссудам.
14. Блок 14.
14.1. NT(t) = р,(t-1)£(t-1)QT(t—1 )
NT(t) - краткосрочная задолженность торговли.
14.2. GT(t) - NT(t) NT(t 1) 4 ₽l(t-1)W(t) + pl(t-1)WK(t)
- r,(t)NT(t-1 ) - p(t)C(t)
GT (t,) прибыль торговли.
24


15. 	Блок 15.
15.1. GB(t) = (r1(t)N(t-1) + r^t) NT(t-1 ) - r2(t)D(t-1) -
- r2(t)DK(t-1 ))(1-j(t))
GB(t) - прибыль банка;
j(t) - доля прибыли, отчисляемая в резервный фонд (данной переменной в исходной модели нет, ее пришлось ввести для обеспечения вычислимости).
15.2. R(t) = R(t-1) + 1j) GB(t)
R(t), R(t-1) - резервный фонд банка.
16. 	Блок 16.
NG(t) = NG(t-1) + V(t)®(t) + G(t) + GT(t) + GB(t) - x(t)p(t) -
- z(t)p(t)
№(t), NG(t-lF'~ остаток средств бюджета.
T7. Блок 17.
K(t) = K(t-1) + v(t)5(t) + IIK(t) + Pl(t-1)W(t) Ч- E(t-1) +
+ p1(t-1)WK(t) + u(t) + Uj^t) - ®(t) ■■ 6(t)D(t-1) - <3(t)DK(t-r
K(t) - остаток наличности в кассе банка;
E(t-1) - эмиссия за предыдущий период.
18. Блок 18.
18.1. 0(t) = N(t) + NT(t) + K(t) - D(t) - DK(t) - R(t) - №(t) 0(t) - сумма денег в обращении, необходимая в текущем периоде.
18.2. E(t) = Q(t) - fl(t-1)
E(t) - эмиссия в текущий период.
19. Блок 19.
D(t-1)_.+ DK(t -1) + N°(t-1) + O(t-1) - К(t-1) Q(t)p(t) ♦ QT(t)p1(t-1)
25
ut) =


Блок-схема модели приведена на Рис.З, Алгоритмические сети блоков на Рис.4-15. Список входных переменных АС приведен в таблицах I, 2. Важнейшие расчетные переменные приведены в таблице 3.


YU)
Qft)
pH)
Р>Н-4)
LX
Я 3, W
I
1?
GW
Klt>
Slit)
ч<мт
S)lt),£>Klt)
Рис.З. Блок-схема модели воспроизводства в централизованно'
экономике с элементами рынка.
21


Рис.4. Блок I - производственные мощности госсектора, блок 2 - оборотные фонды госсектора


Рис.5 Блок 3 - производство, планирование и распределение в госсекторе.


Рис.6 Блок 4 - производство в кооперативах.


Рис.7. Блок 5 - трудовые ресурсы и доля брака.


it •>
Dlk)
\
w
Рис.8. Блок 6 - оплата труда и максимальные потребительские расходы в госсекторе и кооперативах.
Блок 7 - вклады кооператоров.
Блок 8 - вклады рабочих госсектора.
дМк
X
Lit)
Ljt) П
о—
ИЗ W
x


Рис.9.^лок 9 - потребление продукции госсектора. Блок Ю торговля.


Рис.10. Блок II - кооперативный рынок»


Рис.II. Блок 12 - наличность у население.


Рис.12. Блок 13 - финанс вый баланс госсектора.


Рис.13. Блок 14 - финансовый баланс торговли.
Блок 15 - финансовый баланс банков.


Ри
14.
Блэк 16 -
Бл^к I? -
Б.т-у IS -
баланс госбюджета.
баланс наличных денег в оборотной кассе.
баланс '•‘.ктивор и пассивов и расчет необходимой
эмиссии.


Рис.15. Блок 19 - планирование норматива кредитования.


Список переменных, задающих исходное состояние.
Таблица I.
СПИСОК ПЕРЕМЕННЫХ МОДЕЛИ
N | Обозначение | Код в АС | Ед. измерения
1 I
M(t-1 ) |
1
2 I
Q(t-1) |
3 I
Qk( t-1) |
3
4 I
Mk(t-1) |
4
5 I
a(t-1) |
5
6 I
P(t-1) |
6
1 1
®(t-1) |
7
8 1
®k(t-1) |
8
9 Г
D(t-1) |
9
10 |
Dk(t-1) |
10
11 I
QT(t-1) |
11
12 |
Pi (t-1) |
12
13 |
NL (t-1 ) |
13
14 |
Nk(t-1 ) I
14
15 |
N(t-1) |
15
16 |
NT(t-1) |
16
17 |
R(t-1) |
17
18 |
№(t-i) i
18
19 |
K(t-1) |
19
20 |
0(t-1) |
20
21 I
E(t-1) I
21
22 |
e (t-D i
22
23 |
p1k(t-D i
23


Список входных временных рядов и констант.
Таблица 2.
N | Обозначение | код в АС | Ед. измерения
1 I
константа "I"
I 24
2 I
|i(t)
I 25
з I
a(t)
I 26
4 I
E(t)
| 27
5 I
g(t)
| 28
6 I
7(t)
| 29
7 I
T(t)
| 30
8 I
константа "0"
I 31
9 I
Mt)
| 32
ю |
«(t)
| 33
11 I
n(t)
I 34
12 |
T)(t)
I 35
13 |
P(t)
I 36
14 |
v(t)
| 37
15 |
q(t)
| 38
16 |
Pk(t)
I 39
17 |
6(t)
| 40
18 |
r2(t)
I 41
19 |
x(t)
I 42
20 |
n(t)
I 43
21 I
T0(t)
I 44
22 |
b(t)
I 45
23 |
| 46
24 |
Tj(t)
I 47
Примечание: ♦ ) входная переменная
для обеспечения ее вычислимости.
введена в модель дополнительно


Список важнейших переменных модели.
Таблица 3.
N | Обозначение | код в АС | Ед. измерения
1 I
M(t)
| 50
2 I
I(t)
| 53
3 I
p(t)
| 49
4 I
Q(t)
1 Ы
5 I
K(t)
1 71
6 I
Y(t)
1 61
7 I
X(t)
| 64
8 I
V(t)
| 65
9 I
C(t)
| 63
10 |
Z(t)
| 62
11 |
Y(t)
| 60
12 |
X(t)
| 58
13 j
V(t)
| 59
14 I
C(t)
1 57
15 I
Z(t)
| 56
16 |
Mk(t)
| 89
17 I
| 104
18 |
L(t)
| 108
19 i
^(t)
| 92
20 |
Kt)
| 109
21 I
vk(t)
| 70
22 |
®(t)
| 116
23 |
| 117
24 |
«(t)
| 122
25 |
»k(t)
| 122
26 |
D(t)
| 128
27 |
Dk(t)
| 129
28 |
p(t)
| 153
29 |
P^t)
| 146
30 |
W(t)
| 162
31 1
Wk(t)
1 161
42


Таблица 3(продолжение).
N | Обозначение | код в АС | Ед. измерения
32 |
Q (t)
| 165
33 |
®.(t)
| 171
34 |
U^(t)
| 172
35 |
Pi(t)
| 181
36 |
NL(t)
| 188
37 |
Nk(t)
| 189
38 |
N(t)
| 197
39 |
G(t)
| 200
40 |
NT(t)
| 207
41 |
GT(t)■
| 219
42 |
GB(t)
| 218
43 |
R(t)
| 217
44 |
№(t)
| 225
45 |
K(t)
| 231
46 |
fl(t)
| 234
47 |
E(t)
| 235
48 |
£(t)
| 239
49 |
Plk(t)
| 173
43


4. РЕЗУЛЬТАТЫ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.
Полученная модель, выраженная в НАС, была реализована в рамках системы САПФИР [41. Результаты машинных эксперементов близки к результатам, полученным на исходной модели.
Исходные данные для расчета (взяты из [51):
А=-1, Ъ=4, ц=0.02, т=2.5, а=0.353, %=0, р=0.4, 7U=0, g=0.1, ^=0.03, 1*2=0.03, 0=0.2, ае=2, v=0, 7=0.04, k=0.99, n=0.04.
Исходя из соотношений заданных в [51 рассчитано и принято: р=1, q=0.25, pk=3.87, ₽(0)=0.247, С(0)=1.21. М(0)=18,
Q(0)=159, Qk(0)=17.75, Mk(C)=0.167, t(0)=15.075, Ф(0)=7.08,
®U0)=0.12, D(0)=58>/r 1^(0)^.96, QT(0)=1, p, (C)=2.19, NL(0)=0, N*(0)=0, N(0)-190, MT(0)=2.65, R(0)=0, NC(0)=15G, K(0)-0, Й(0)=0, E(0)=0, p1k(0)=8.
Значение Tq=I000 подобрано эмпирически.
Поскольку X”0, K(0)=-0, Q(0)=0, R(0)=0 то введенный в
алгоритмическую модель коэффициент j=0.
Шаг моделирования равен 0.1 года (равен шагу интегрирования основной модели (51).
Результаты расчетов по модели, реализованной в ЯАС, представлены на Рис.16-23.
Результаты, представленные в графиках на Рис.17,20, полностью совпадают с соответствующими результатами полученными по исходной модели. Характер изменения показателей модели представленный в графиках на Рис.16,18-19 качественно совпадает с поведением соответствующих показателей в исходной модели. Графики на Рис.21-23 показывают особенности поведения модели, на которые в [51 не было обращено внимание. На Рис.21-22 показаны зависимости производства в кооперативах(М^) и цены на кооперативном рынке(р1к) от фактически удовлетворенного спроса на кооперативном рынке(U^), которые показывают опережающий характер роста цены при росте спроса, что соответствует существующей практике. На Рис.23 представлена динамика вкладов, которая показывает переток денег со вкладов работающих в госсекторе на вклады работающих в кооперативах при практически не изменяемом объеме денежной массы на руках у населения.
Целью данной работы является не экономическая интерпретация полученных результатов (это сделано в (51), а исследование свойств самой модели. К выявленным особенностям модели 151, реализованной в ЯАС, с учетом принятых значений входных величин следует отнести:
44


40.00
Рис.16. Изменение розничной иены кооперативовр^^и объемов реализуемой кооперативной продукции


4^ оо
Рис.19. Изменив объемов реализуемо продукции кооперативов (172) и госсектора pY (115)


250.00


27.00 т23
I
I
Й
22.00
17.00 •
12.00
I
I
X
X
x
Рис.22. Зависимость
—I 1
1.7500 3.5000
(23) от Z/^(I72).
5,2500


- большую зависимость поведения модели от функции спроса сэ(о). стабильность модели обеспечивается только при резком падении и (до 0.5) при незначительных отклонениях о от нуля и малом изменении при отклонениях о в промежутке оо >о ХГ;
- вносимые изменения исходных данных в малой степени влияют на контур материального воспризводства, но даже малые отклонения значений от вышеприведенных вызывают существенные возмущения в показателях, списывающих финансовые потоки;
- зависимость модели от шага моделирования - имитация с шагом один год и 0.01 года дало неустойчивый результат, который очень быстро расходится с устойчивым результатом полученным при шаге моделирования 0.1 года (нестабильность можно скорректировать изменяя характер поведения функции ш(о)).
Переход от дифференциальных уравнений к рекуррентным выражениям и принятое в формулах распределение переменных по моментам времени обусловило следующие особенности поведения модели в процессе проведения машинных эксперементов:
- в формуле 3.6 ограничение по M(t-1) никогда не срабатывает;
- в формуле 4.1 всегда Mk(t)>0;
- в формуле 4.3 всегда L^CDX).
В рассмотренном варианте расчета из-за принятых значений исходных переменных формулы 12.1, 12.2, 15.2, 17, 18.1, 18.2 не использовались, а следующие формулы приняли вид:
- 3.1 k(t)=k(t);
- 4.1 )-Y(t) (за исключением первых шагов, где
^cxd; 1 L(t)
- 5.3 p(t)= a(t) • (1- );
- 9.3 W(t)= p(t)*(i- p(t))’C(t).;
- 9.4 wk(t)= (1- P(t))"(1- p(t))'C(t);
- значения co (а) колеблются около точки w(o)=0.5.
В проведенных эксперементах над структурой модели ее поведение значительно стабилизировалось при внесении механизма, позволяющего изменять £(t), р1(t) не в каждом периоде, как возникло возмущение, а ступенчато, по достижении некоторого предельно-допустимого рассогласования.
53


5. 	ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Проведенные исследования, в частности, сопоставление динамики изменения переменных, позволяют сделать вывод о своего рода равномощности, точнее, равных возможностях исследуемых моделей, позволяющих получать достаточно сопоставимые результаты.
Второй результат состоит в более детальном анализе влияния ряда факторов уже в рамках алгоритмической модели, таких как:
- повышенной чувствительности модели к функции спроса на кооперативном рынке;
чувствительности поведения части модели, описывающей финансовые потоки и т.п.
Предложения:
1. Хотя в рассматриваемом случае конечно-разностные уравнения, полученные при дискретизации исходной модели и на основании алгоритмических сетей, совпали, это не снимает необходимости анализа обеих моделей при различных методах дискретизации дифференциальных уравнений.
2. Возможно создание объединенной методики построения математических моделей, в которой общение с заказчиком и составление первоначальной версии модели осуществлялось бы на основе алгоритмических сетей, которые более наглядны и понятны неподготовленным пользователям, а для более детального анализа использовались бы дифференциальные уравнения, полученные па основе алгоритмических сетей.


6.ЛИТЕРАТУРА
1. Иванищев В.В. Алгоритмический базис для описания механизмов
экономики.// Алгоритмические модели в автоматизации
исследований. М.: Наука, 1980, с.37-42.
2. Иванищев В.В. Автоматизация моделирования потоковых систем.
Л.: Наука, .1986, 142с.
3. Иванищев В.В., Марлей В.Е., Морозов В.П. Система
автоматизацими моделирования САПФИР-Искра. Основы построения системы. Л.: ЛИИАН, 1989, 63с., препринт М 99.
4. Иванищев В.В., Михайлов В.В., Тубольцева В.В. Инженерная
экология. Л.: Наука, 1989, 150с.
5. Крутов А.П., Петров А.А., Поспелов И.Г. Математическая модель
воспроизводства в централизованной плановой экономике с
товарно-денежными отношениями. М.: ВЦ АН СССР, 1989, 49с.
6. Иванищев В.В., Марлей В.Е. Типовые конструкции алгоритмических сетей.// Вопросы алгоритмического моделирования сложных систем. Л.: ЛИИАН, 1989, с.7-25
7. Иванищев В.В., Марлей В.Е., Морозов В.П. Инструментальная экспертная система синтеза программ для построения моделей плановой экономики.// Ш Всесоюзная конференция "Автоматизация производства систем программирования. Таллинн: АН ЭССР, 1986, C..I20-I22
8. Михайлов В.В.г, Тубольцева В.В. Особенности системы автоматизации экологического моделирования.// Вопросы алгоритмического моделирования сложных систем. Л.: ЛИИАН, 1989, с.26-31
9. Егоров М.Б., Каширская Е.В. Программное обеспечение системы автоматизации САПФИР-РС.// Вопросы алгоритмического моделирования сложных систем. Л.: ЛИИАН, 1989, с.97-113.
55


ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Операторы языка представления моделируемых объектов
Идеограмма
Реализуемая функция
1
2
3
0
г у
п-1
п-1
Хп - Е X,
2
0
Х| N
>
У
хп-1
П'1
хп = Х1 - £ Х1
3
0
Х1
*1—Ул >
у
’n-l
п-1
X = П Х< п 1=1 1
4
0
Х1.
v N-
Мэ—■" хп/
п-1
= Х1 7 Д Х1
0
*1 К t ui Vi
Mo—
п-1
Uj < / *п ; 1 » 1,п-1
56


1
2
3
6
ZACxi
n-1
“■>-’ - ' -J, “1
E
Xzn-1
Xi = Хд* *4 ; 1 = 1 «п~1
7
x
xi
Xq ~ Ш&Х (X^ 9 • • * 9 9 • • • 9 j
-Й»
*11-1
8
z'\
11 жа Л
Xyi = min(Xj j • • • »x^t • • • )
?8
z
9
£2
Xg(t+1) = Xj (t)
10 s
— ►(tb) *2
X2 = TAB (X1)
57


1
2
3
11
й«1*Ё]
*2
X1 ig = e
и
Ctrl
?
4
-’’3
x2 '
Xg = l/1
к
Ctrl
‘H
>
■*
Xg = in X1
V
Ctrl
I
’0
11 \ X3
—- у
хз = ^вх/г


1
2
3
ctrl +Й+
Обозначает группу логических функций
*□
*1 Х3
X—>
Х2 /
г
х3 = 1j если х^ = х2
х3 =■• 0, если х^ # х2
Х1 \ х
Хх-3 х2 /
х3 = 1, если х^ / х2 х3 = 0, если х^ = х2
х3 = 1, если х1 > z2 х3 = 0, если Х| < Xg
11 \ >х-
х2 /
х3 = i, если х1 х2 х3 = 0, если х1 > х2
. Л
с.
<
х3 = 1, если х^ > х2 х3 = 0, если х1 с х2
■+[ t]
■-!.
XD
Х2 /
!
х3 =-- i, если х^ < х2 х? 0, если £ х2


Зак. 23 Объем 3 печ. л. Тираж 150 экз. Цена 70 коп.
Типография ВВМИУ им. Ф. Э. Дзержинского