НОВЕЙШИЕ ЗАРУБЕЖНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
КОРРАДО ДЖИНИ
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Перевод с итальянского П. А. Лисовского и Ю. П. Лисовского
Научная редакция и вступительная статья
Г. Г. Пирогова и С. Д. Горшенина
Издательство «СТАТИСТИКА*
Москва 1970

CORRADO GINI
in collaborazione con
Gustavo Barbensi, Luigi Galvani
Stefania Gatti, Ernesto Pizzetti
LE MEDIE
Unione Tipografico—Editrice Torinese
Milano

ПРЕДИСЛОВИЕ
Применение экономико-математических методов на основе
широкого внедрения электронной вычислительной техники привлекает
внимание к проблемам, связанным с подготовкой первичных данных,
со сбором и обработкой .статистического материала, к статиэтическим
методам выявления тенденций развития конкретных экономических
явлений и прогнозирования их.
Исследователь сталкивается с тем, что закономерность
пробивает себе дорогу через массу случайных отклонений. Рассматривая
взаимосвязь категорий логики, В. И, Ленин писал: «Значит,
противоположности (отдельное противоположно общему) тождественны:
отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет к общему.
Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое
отдельное есть (так или иначе) общее. Всякое общее есть (частичка или
сторона или сущность) отдельного. Всякое общее лишь приблизительно
охватывает все отдельные предметы. Всякое отдельное неполно входит
в общее и т. д. и т. д. Всякое отдельное тысячами переходов связано с
другого рода отдельными (вещами, явлениями, процессами) и т. д.»1.
Экономическая и социальная статистика как общественная наука
изучает закономерности количественных отношений общественных
явлений, рассматриваемых в непосредственной связи с их
качественным содержанием. Она охватывает как методы наблюдения и
регистрации отдельных явлений, так и методы обработки этих первичных
данных с тем, чтобы выявить общее, закономерность на основе
наблюдения за отдельным. При выполнении этой второй задачи пользуются
методами математической статистики.
Однако индуктивная работа, осуществляемая статистикой, в
области экономических и других общественных наук обязательно
должна опираться на некоторую дедуктивную науку, позволяющую
выдвигать гипотезы, подлежащие статистической проверке. Без этого
исследователь неизбежно теряется в чрезвычайной сложности и
многообразии явлений; информация, накапливаемая статистикой,
превращается в нагромождение отдельных, не связанных друг с другом
данных, а выводы, получаемые на основе формального применения
статистических методов, могут оказаться ложными.
1 В. И. Лени н, Поли. собр. соч., т. 29, стр. 318
5

Дедуктивный метод позволяет связать информацию, полученную
на основе изучения некоторой статистической совокупности, с
информацией, полученной в прошлом, при изучении других совокупностей.
Появление новых теоретических положений на основе новых данных
возможно и необходимо, но именно преемственность определяет их
ценность. Эти новые теоретические положения появляются там, где
старая теория не в состоянии объяснить новых фактов. Завершающим
этапом является создание более общей теории, включающей как
частный случай старую и новую теории. Далее процесс накопления
данных и проверки гипотез возобновляется и наука переходит на новую
ступень развития.
Классическим примером возникновения новой теории в области
общественных наук может служить создание В. И. Лениным теории
империализма на основе новых данных, но в то же время как
непосредственное развитие марксовой теории капитализма.
Одним из важнейших методов выражения закономерности на
основе отдельных наблюдений является метод средних величин. В
современных научных исследованиях этот метод находит все большее
применение.
Но едва ли не важнейшая область применения метода средних
величин — общественные, в том числе и экономические, науки.
К. Маркс искал среди массы случайных явлений общественной жизни
внутреннюю закономерность. Он писал: «... внутренний закон,
прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их,
становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших
массах»1 Раскрывая сущность и формы проявления
социально-экономических отношений капитализма, К. Маркс для характеристики массовых
явлений широко пользуется методом средних величин. Вводя понятие
общественно необходимого времени для количественной
характеристики стоимости, К. Маркс в своей формулировке закона стоимости
фактически опирается на понятие средней величины. Другим примером
использования понятия средней для выражения общей закономерности
служит закон тенденции средней нормы прибыли к понижению.
Дальнейшее развитие применительно к общественным явлениям
метод средних величин получил в трудах В. И. Ленина, например
в работе, посвященной развитию капитализма в России. Особое
внимание В. И. Ленин обращал на однородность совокупности, для
которой вычисляется средняя с точки зрения социально-экономической.
В результате им был создан и блестяще применен метод группировки.
С помощью этого метода В. И. Ленин получил далеко идущие выводы
относительно подлинной сущности социально-экономических
процессов, происходивших в России.
В советской статистической литературе проблеме средних также
уделено внимание. Так, в книге А. Я. Боярского и др. «Теория
математической статистики», М., 1930, этой проблеме посвящена
специальная глава. Одним из основных достоинств этой главы является
1 К. М а р к с и Ф. Энгельс, Соч., изд. 2-е, т. 25, ч. II, стр. 396.
6

выведенное дедуктивным путем уравнение, решением которого при
определенных, правда весьма общих, ограничениях, будет средняя
элементов, входящих в качестве переменных в это уравнение.
Подробное рассмотрение содержательной, социально-экономической, части
метода средних величин читатель найдет в книгах Т. В. Рябушкина
«Средние в статистике», М., 1954; «Экономическая статистика», М.,
1966; «Методы анализа статистических данных в работах В. И. Ленина»,
М., 1964.
Любое статистическое исследование может быть подразделено на
содержательную и формальнологическую части. К содержательной
частя относится постановка проблемы и выбор статистического
инструментария, а также интерпретация результата. Формальнологический
аппарат представляет собой инструментарий исследователя. Успешное
применение статистических методов в области общественных наук
немыслимо без увязки этих обеих частей. Результаты, полученные с
помощью статистических методов основоположниками
марксизма-ленинизма, оказались возможными именно благодаря огромной
теоретической, содержательной работе и правильному выбору инструментария.
Они отразились и на развитии формальнологического аппарата
статистики. Тем не менее последний обладает и определенной
самостоятельностью. Именно это и позволяет нам нередко пользоваться в
отношении формальнологического аппарата статистики трудами
буржуазных ученых — разумеется, при условии его критической переработки.
Содержательная часть этих работ, как правило, чрезвычайно обеднена
и засорена лженаучными, апологетическими и идеалистическими
представлениями. Известное влияние это оказывает и на
формальнологическую сторону исследования.
С этой точки зрения выгодно отличается предлагаемая читателю
книга Кор радо Джини «Средние величины». Она содержит в основном
формальнологический аппарат, апологетические представления
буржуазных экономических теорий, равно как и влияние философского
идеализма, отразились в ней главным образом в
терминологии.
Коррадо Джини (1884—1965 гг.) — один из виднейших
буржуазных статистиков-математиков XX века. Круг его научных интересов
был чрезвычайно широк и разнообразен. Он занимался проблемами
теоретической и балансовой статистики, демографии, социологии и
конкретной экономики. К. Джини основал журнал «Metron» и в
течение почти шестидесяти лет был его бессменным редактором. За время
своей научной деятельности он опубликовал около тысячи научных
работ, его труды переведены на многие европейские языки.
Книга Коррадо Джини «Средние величины» — последняя в
объявленной издательством серии «Новейшие зарубежные статистические
исследования». Она примыкает непосредственно к тем книгам этой
серии, в которых исследуются методы, применяемые в современной
статистике: в книге Ф. Йейтса детально рассматривались все аспекты
выборочного метода статистического изучения, в книге М. Езекиела
и К. Фокса показаны методы изучения корреляций и регрессий,
7

в книге Г. Тинтнера — статистические и математические методы,
применяемые в эконометрии.
Предлагаемая вниманию читателей монография посвящена
проблеме средних величин — одной из важнейших проблем статистики,
приобретающей особое, значение при решении практических задач,
связанных со статистическими исследованиями. Монография К.
Джини— это наиболее полный свод положений, относящихся к
формальнологическому аппарату, связанному с применением метода средних
величин. В ней содержатся также и оригинальные разработки.
Следует более детально остановиться на формальном определении
средней, даваемом Джини в этой книге.
Известное определение Коши: «Средней нескольких величин
является новая величина, заключающаяся между наименьшей и наибольшей
из рассматриваемых величин» (см. стр. 64), а также его развитие,
предложенное Джини: «Средняя нескольких величин является
результатом действий, выполненных по определенному правилу над данными
величинами, и представляет собой либо одну из данных величин,
которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная,
или эффективная), либо какую-нибудь новую величину, промежуточную
между наименьшей и наибольшей изданных величин (счетная средняя)»
(см. стр. 64), — не дают достаточно ясного представления о сущности
метода средних величин. Это очевидное следствие увлечения автора
формальнологическим аспектом проблемы и бедности
содержательной части его работы.
Широкая область применения средних не случайна. Это
объясняется в первую очередь объективными закономерностями окружающего
нас мира, а также спецификой их отражения в человеческом сознании.
Пытаясь классифицировать отдельное явление, отнести его к какой-
либо совокупности или какому-либо типу, мы ищем общие
характеристики, относящиеся как к элементам совокупности, так и к
рассматриваемому явлению, ^средняя тем самым нашу оценку.
Это положение нуждается в дополнительном пояснении. Надо
отметить, что опознание объекта (классификация явления) складывается
из двух.взаимодополняющих моментов: с одной стороны, сравнения
исследуемого объекта (явления) с другими объектами и, с другой
стороны, отождествления его с некоторым стереотипом, являющимся
результатом накопленного человечеством опыта.
Обычно под средней величиной понимают значение параметра,
полученного путем определенных процедур и дающего максимально
возможную информацию (при этом информация мыслится в непосредственной
связи с целью нашего изучения) об исследуемом объекте на основании
имеющихся в распоряжении данных. Нетрудно видеть, что
определение Джини непосредственно следует из этого, если отвлечься от
содержательной стороны задачи. Однако не существует возможности
нахождения некой универсальной формулы, исчерпывающей понятие средней
величины и обладающей конструктивными достоиствами. Признание
существования такой формулы означало бы сведение всего много-
8

образия окружающих нас причинных связей к некоторому
определенному множеству ситуаций. Более того, в связи с этим представляется
невозможным дать формальное определение средней, которое, не будучи
слишком общим (что, естественно, не дает возможности им
воспользоваться в качестве инструмента), в то же время полно отражало бы все
необходимые аспекты этого понятия.
Превосходным примером утраты общности и обретения
конструктивных достоинств является применение понятия численного соответствия
для получения формул аналитических средних. По Длшни, численное
соответствие определяется, как величина М, удовлетворяющая
равенству: f(M, М, ..., М) = f(xlt х2, ..., хп), где / — символ
математической формулы, a xlt x2, ..., хп — совокупность действительных чисел.
Конструктивное достоинство этого понятия очевидно, так как любая
аналитическая средняя удовлетворяет этому уравнению. Но в то же
время налицо потеря общности, ибо понятие численного соответствия
не охватывает всех возможных разновидностей средних, а именно оно
не охватывает средних полол^ения (мода, медиана и т. п.).
В книге дана подробная и исчерпывающая классификация свойств
и типов средних. Особое внимание следует обратить на произведенное
Джини обобщение понятия* аналитических средних; свойства
обобщенных аналитических средних и соотношения между ними детально
рассматриваются автором. Полученные Джини новые типы средних
позволили расширить область применения метода.
Представляет также интерес применение понятия численного
соответствия, как инструмента, позволяющего уяснить те требования,
которые должны быть предъявлены членам последовательности и их весам,
чтобы можно было выделить ее среднюю.
Наибольший интерес в книге Джини представляет глава,
посвященная распространению понятия средней величины на качественные
признаки. В ней почти целиком излагаются оригинальные результаты
исследований автора. Эти результаты представляют собой
качественно новый шаг в развитии понятия средней.
Действительно, для определения средней в ряду вариант признака
необходимо, чтобы эти варианты были расположены последовательно,
иными словами, так, чтобы средняя могла попасть между начальной и
конечной вариантами признака. Для количественных признаков это
необходимое условие, очевидно, выполняется. Нужно было ввести
такие характеристики качественных признаков, которые позволили бы
создать условия, аналогичные тем, которые имеют место в
количественном случае. Задача эта оказалась очень не простой. Вкратце
остановимся на основных построениях и принципиальных моментах,
связанных с ее решением.
Вначале Длшни вводит понятие ряда, т. е. такой связи между
признаками, когда независимый переменный признак X служит
качественной характеристикой. Этим понятием Джини оперирует на
протяжении всего дальнейшего изложения.
Ряды разбиваются на упорядоченные и неупорядоченные.
Упорядоченные ряды в свою очередь разделяются на прямолинейные и цикличе-
9

ские; представителями неупорядоченных рядов ел у жат та к называемые
несвязанные ряды. Мы уже говорили, что для нахождения средних
ряда необходимо, чтобы была возможность определить, какая варианта
является начальной, а какая конечной. Но этого недостаточно, ибо
для определения аналитических средних необходимо иметь возможность
соотнести каждой варианте ряда определенную меру. Однако за
исключением прямолинейных рядов в большинстве случаев это невыполнимо.
Здесь Джини и пользуется тем обстоятельством, что понятие меры
можно отнести к критерию «различия», существующему между
различными вариантами качественного признака. Эта возможность позволила
разрешить проблему определения и нахождения средних для
непрямолинейных рядов в весьма большом числе практически интересных
случаев.
Определение понятия средней качественных признаков, полученное
Джини, принадлежит к числу первоклассных результатов, ибо
нахождение новых типов средних несомненно раздвигает горизонты
науки.
Далее Джини обобщает понятия и результаты, полученные ранее
на случай порядков и рядов, зависящих от нескольких количественных
или качественных признаков, подробно рассматривает наиболее часто
встречающиеся на практике случаи порядков и рядов с двумя
переменными.
Материал, изложенный в IV главе, касается применения средних
величин в области статистики; подробно разбирается введенное ранее
понятие средних действительных и средних счетных. В то же время
предлагается и другое разделение средних: на средние объективные и
субъективные. Нам это последнее представляется надуманным, и уж,
во всяком случае, его значение автор явно переоценивает. Из
предшествующего разбора определения средней нетрудно сделать вывод, что
любая средняя, если только она применена правильно, с учетом
однородности данных, с учетом содержательной оценки явления, например
его социально-экономической стороны, выражает объективную
закономерность. Видимо, слабость своей позиции в этом вопросе чувствует
и сам автор, когда говорит, что некоторые средние носят двойственный
характер, будучи в одном аспекте субъективными, а в другом
объективными.
Далее Джини переходит к рассмотрению путей для нахождения
средних в условиях неполноценных данных.
Заканчивая изложение, автор дает ряд рекомендаций, помогающих
избежать возможных ошибок при неправильном пользовании средними.
Кроме того, обсуждается вопрос о том, каким должен быть критерий
для того, чтобы из бесконечного множества средних, которые можно
определить для любой совокупности явлений, отобрать среднюю,
наилучшим образом отвечающую стоящим перед нами требованиям.
Кончается книга разбором ряда важных проблем, решение которых требует
осторожного пользования методом средних.
Книга Джини не свободна от недостатков и помимо уже отмеченных.
На наш взгляд, недостаточно освещен вероятностный аспект теории
10

средних, что в большей степени объясняется прагматическим подходом
к проблеме, традиционностью в изложении метода средних, а также
позицией Джини в вопросе об основополагающем законе теории
вероятностей — законе больших чисел. Эта позиция автора придает
изложению заметный оттенок эмпиризма.
Нельзя согласиться с трактовкой Коррадо Джини сущности
закона больших чисел.
Резко разграничивая и даже противопоставляя друг другу понятия
теоремы и закона, он впадает в определенную крайность. В действи*
тельности эти понятия не отделены неприступной стеной; известное
высказывание Пуанкаре, посвященное закону больших чисел, весьма
образно подтверждает это положение: «Каждый уверен в
справедливости закона ошибок, экспериментаторы — потому, что они думают,
что это математическая теорема, математики — потому, что они думают,
что это экспериментальный факт».
На самом деле понятия теоремы и закона тесным образом связаны
друг с другом: очень часто теорема является формальным выражением
закона, что подтверждает известное положение марксистской
диалектики о единстве сущности и формы. Очевидно, что и сама уверенность
в справедливости закона больших чисел, о которой говорит
Пуанкаре, не случайна. Применение закона больших чисел приводит на
практике к хорошим результатам, оправдывающим надежды как
экспериментаторов, так и теоретиков. Видимо, если бы это было не так,
то уверенность давно уже сменилась бы серьезными сомнениями.
Джини же, противопоставляя понятия теоремы и закона, приходит
к выводу «о теоретической и практической невозможности доказать
закон больших чисел».
Специфика закона больших чисел формально, казалось бы, требует
для его доказательства проведения бесконечного числа испытаний.
В действительности же достаточным критерием для существования
закона должно служить не подтверждение его бесконечным числом
испытаний, что заведомо невозможно, а подтверждение его на
практике во всех случаях, когда имеются условия для его проявления, а
также достаточная общность условий в теоремах, выражающих закон.
Если же теория приводит к выводу о невозможности явления, часто
и достоверно наблюдаемого на практике, то такая теория должна быть
пересмотрена.
Отрицая возможность доказательства закона больших чисел,
Джини чрезмерно ограничивает понятие закона вообще, неоправданно
ограничивая тем самым и возможности человеческого познания. Однако
нахождение великими русскими учеными Чебышевым, Марковым,
Ляпуновым общих условий, при которых обязательно наблюдается
статистическая устойчивость средних, служит лучшим аргументом
против сторонников такой позиции.
Вызывает также возражение утверждение автора, что закон
больших чисел, даже при условии его существования как закона,
ограниченно применим «при наблюдении фактов в том виде, как они
выступают в действительности». Это сомнение, казалось бы, основательно,
11

ибо требуемое в формулировке закона больших чисел условие
независимости причин находится в видимом противоречии с основным
философским представлением о взаимосвязи явлений. Однако закон
больших чисел трактует о случайных явлениях, в само определение которых
включен элемент независимости. То обстоятельство, что в
действительности с ним переплетается взаимосвязь, не затрагивает самого
закона. К тому же и связь может быть несущественной.
Надо отметить, что Коррадо Джини разделяет точку зрения тех
авторов, которые принимают систему аксиом, основывающуюся на
свойствах частот. Основным представителем этой школы является
Р. Мизес.
Мизес определяет вероятность события как предел частоты — этого
события, когда п стремится к бесконечности. Согласно подходу Мизеса,
теория вероятностей имеет дело с бесконечными последовательностями
результатов испытаний, называемыми коллективами, которые
должны удовлетворять определенным требованиям. Теоретическая
несостоятельность концепции Мизеса неоднократно рассматривалась в
советской и зарубежной литературе.
Однако из сказанного не следует необходимость замены в переводе
терминологии Джини, в частности термина «коллектив», с которым
связывать идеи Мизеса необязательно.
Такая большая работа, как книга Джини, естественно, не может
быть свободна от некоторых неточностей в изложении отдельных
вопросов. Так, в частности, были замечены неточности в табл. VI
(стр. 44), II (стр. 380), VI (стр. 383), VII (стр. 384). Например, в
табл. II на стр. 380 оказались переставленными столбцы 7 и 8, 11
и 13, 12 и 14, и на основе этого был ошибочно вычислен ряд
коэффициентов. Обнаруженные погрешности исправлены редакторами
перевода в тексте, а там, где это было необходимо, поправки
вынесены в сноски.
Книга Джини представляет интерес и будет полезной для
статистиков, экономистов, математиков, социологов, а также для всех, кто
имеет дело со статистическими исследованиями в области общественных
наук.
г. пирогов, с. горшенин

ВВЕДЕНИЕ.
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ
§ 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОПОРЦИИ И ИХ ОТНОШЕНИЕ К СРЕДНИМ
При изучении эволюции понятия средних от самых отдаленных
времен до наших дней исходным пунктом должно являться
исследование пропорций, поскольку на первых порах не проводилось строгого
различия между понятиями средней величины и пропорции.
Первые ростки теории пропорций, по общему мнению, восходят
к школе Пифагора, и весьма вероятно, что свойства пропорций были
обнаружены пифагорейцами на основе исследования музыкальных
аккордов, поскольку музыка являлась одним из «важнейших
элементов» изучения в пифагорейской школе. По свидетельству
греческих авторов первых веков нашей эры1, Пифагору (VI в. до н. э.) и
его ближайшим ученикам были известны три следующих типа
пропорций (написанных в современной алгебраической форме):
Арифметическая ^— = —;
Геометрическая °—— =~ ;
Ь—с Ь
Подпротивная = —.
Ь—о с
Эти выражения имеют смысл для любых действительных чисел
а, б, с, но, по всей вероятности, пифагорейцы ограничивались
изучением их при целых положительных а, в, с.
В дальнейшем пифагорейцы Гиппас из Метапонта (V в. до н. э.)
и Архит из Тарента (V—IV в. до н.э.)2 дали другое название пропор-
1 Ямблих Халкидский (III в. н. э.). De vita pitagorica liber, издание
Академии наук, Петербург, 1884; Никомах Герасский (I—II в. н. э.). Introductio
arithmetica, изд. под редакцией R. Hoche, Лейпциг, 1866.
2 О том, что третья пропорция была названа «подпротивной» (urcevavuia),
свидетельствует Ямблих (в книге, приведенной в прим. 1), и это свидетельство
было принято современными учеными (Лориа, Таннери, см. прим. 6), которые
считают именно Архита и Гиппаса авторами нового наименования пропорции —
гармонической. Ямблих не объясняет, откуда возникло название «подпротивная»;
по всей вероятности, значение этого слова изменилось с течением времени, потому
что у последующих авторов (Никомах, Папп, Теон) подпротивной именуется
не пропорция какого-то определенного вида, а просто пропорция, получаемая
изданной путем перемены членов в одном из отношений.
13

ции третьего типа, назвав ее гармонической, и это наименование было
сохранено всеми последующими авторами. Три указанные выше
пропорции с тех пор обычно именуются классическими.
Значительно больший толчок развитию теории пропорций с
арифметической точки зрения (которая именно и интересует нас) был дан
в дальнейшем греческими математиками первых веков нашей эры и
прежде всего Никомахом Герасским (жившим в конце I или в начале
II в. н. э.), который развил теорию пропорций во второй книге своей
известной работы «Введение в арифметику»1. В этом труде автор
определяет пропорцию как зависимость между тремя или четырьмя
величинами, между которыми существуют отношения равенства. Он проводит
различие между отдельными пропорциями, если отношения
зависимости связывают четыре величины, и непрерывными пропорциями, если
они устанавливают зависимость между тремя величинами. Это
различие между отдельными и непрерывными пропорциями принято также
и в настоящее время, с единственной разницей, что вместо термина
отдельная применяется термин дискретная2.
Далее Никомах дает перечень и определения отдельных видов
пропорций, начиная с трех уже рассмотренных Пифагором, а также
исследует семь других пропорций (см. табл. 1, первая колонка, № 4—10;
численные примеры взяты у Никомаха). Из этих пропорций лишь
первая (№ 4) имеет собственное наименование —подпротивная3 или
антигармоническая пропорция. Оба названия объясняются тем, что
эту пропорцию можно получить из гармонической, меняя местами
члены первого отношения. Остальные шесть пропорций носят
соответствующие порядковые номера.
Создание новых видов пропорций приписывается, как правило,
хотя и без полной уверенности, Архиту Тарентскому и Гиппасу Мета-
1 О работе Никомаха, помимо уже цитированного (см. сноску на стр. 13)
комментария под редакцией R. Hoche , см. также перевод М. L. d'Ooge (New
York, 1926). Из древних авторов Никомаха комментировали Ямблих, (Jamb-
lichia in Nicomachi Arithmeticam introduction liber под ред. Пистелли, Лейпциг,
1894), Иоанн Филопон и Сотенцио (см. комм. R. Hoche).
2 Отметим по поводу пропорций с тремя или четырьмя величинами, что, если
дана дискретная пропорция а : р = -у : б, из нее при замене каждого из средних
членов квадратным корнем из их произведения выводятся две непрерывные
пропорции:
a: —Vpv = —Ур^:б.
С другой стороны, если взята любая непрерывная пропорция:
a:|3 = p:V,
из нее можно вывести бесчисленное множество дискретных пропорций, а именно
все те пропорции, которые можно получить при принятии за средние члены
пропорции любых пар чисел, произведение которых равно Р2 (за исключением,
разумеется, пары рР).
3 Как мы уже говорили в сноске на стр. 13, название «подпротивная» не имеет
определенного значения. Точное наименование этой пропорции «подпротивная
гармонической».
И

Таблица I
По Никомаху
Вид пропорции

Численный
пример
По Паппу
Вид пропорции
3
a — b
b—c
а — b
b—c
а—b
~b=c
a — b
T^T
a—b
~b=c~
a—b
b—c
a—с
a—b
a—с
a — b
a—с
a — b
a — с
a
~~ a
a
- ь
a
~~ с
с
~~ a
с
= ~V
b
~~ a
b
~ с
a
- ь
a
~ с
b

Численный
пример
1. Арифметическая
2. Геометрическая
3. Гармоническая
4. Подпротивная
или антигармо
ническая
5. Пятая . .
6. Шестая
7. Седьмая .
8. Восьмая .
9. Девятая .
10. Десятая .
а— b
b—c
a—b
b—c
a—b
T=c~
b—c
a—b
b-c
a—b
b—c
a—b
a—с
b—c
a—с
a — b
а—с
b—c
a—с
a
~~ a
b
~ с
a
~ с
a
~~ с
b
~ с
a
= ~b
a
~ с
a
~~ с
b
~~ с
b
a—b
3 2 1
4 2 1
6 4 3
6 5 3
5 4 2
6 4 1
9 8 6
9 7 6
7 6 4
8 5 3
b—c
6 4 2
4 2 1
6 3 2
6 5 2
5 4 2
6 4 1
3 2 1
6 4 3
4 3 2
3 2 1
понтскому (антигармонической, пятой и шестой), а последних
четырех1 — Темнониду и Эвфранору.
Папп Александрийский^ живший, по-видимому, в III в. и. э.,
в своей работе «SuvaYoyr)» (Математический сборник)2, которая, к
счастью, дошла до нас почти полностью (не хватает всего лишь первых
двух книг из восьми) и которая является одним из фундаментальных
трудов по истории греческой математики, говоря (во втором разделе
III книги) о теории пропорций, также перечисляет десять типов
пропорций (см. табл. 1, кол. 3, где приведены также численные
примеры, впервые использованные Паппом).
1 G. Loria, [155] приписывает именно Архиту Тарентскому и Гиппасу
Метапонтскому введение подпротивной, пятой и шестой пропорций и
утверждает, что они были в дальнейшем широко распространены Эвдоксом Книдским.
Относительно авторов четырех последних пропорций имеются разночтения
имени Темнонида. Поль Таннери [208, р. 80—105] предпочитает имя Темнонид.
Пистелли же (см. прим. 1 на стр. 14) интерпретирует его как Мионид.
2 Из ряда изданий работы Паппа наиболее известным является издание
под ред. Hultsch'a (Weidmann, Берлин, 1876) «Pappi Alexandrini collectionis
quae supersunt». О пропорциях речь идет в т. I этого издания, стр. 71 —105.
15

При рассмотрении таблицы видно, что десять пропорций,
приводимых Падшом, не совпадают ни по порядку, ни по существу с
пропорциями, перечисляемыми Никомахом. Полное совпадение имеет место
лишь в отношении первых шести пропорций.
Седьмая, девятая и десятая пропорции Паппа совпадают
соответственно с десятой, восьмой и девятой пропорциями Никомаха.
Наконец, восьмая пропорция Паппа не имеет соответствующей среди
пропорций Никомаха и, с другой стороны, седьмая пропорция Никомаха
не соответствует ни одной из тех, которые рассматривает Папп.
Однако Никомах и Папп при рассмотрении первых трех
классических пропорций не ограничились только исследованием случая целых
положительных чисел (как это, согласно сказанному выше, сделали,
по-видимому, пифагорейцы), но исследовали также пропорции с
действительными положительными числами. В дальнейшем мы всегда, за
исключением специально оговоренных случаев, будем исследовать
как эти, так и все прочие пропорции для случая любых
действительных чисел, лишь бы они отличались друг от друга.
Кроме того, из изложенных выше соображений видно, что если мы,
отвлекаясь от порядковой нумерации, объединим оба перечня, то
получим в общей сложности не десять, а одиннадцать пропорций.
Указанные несовпадения между перечнями пропорций у Никомаха
и Паппа свидетельствуют о том, что действительно часто
применявшимися пропорциями, определения которых были хорошо известны и
строго сформулированы, являлись только первые шесть пропорций
(арифметическая, геометрическая, гармоническая, антигармоническая,
пятая и шестая). Остальные четыре типа пропорций были добавлены
отдельными авторами на основе неточных определений или просто
в качестве численных примеров.
Упоминавшиеся выше греческие математики занимались не только
изучением непрерывных пропорций, т. е. пропорций из трех членов.
И действительно, согласно преданию, Пифагору помимо трех
классических пропорций была известна также другая четырехчленная
пропорция, впоследствии обычно именовавшаяся музыкальной и
выражавшаяся следующей формулой:
a + b 2аЬ ,
а : —!— = :о.
2 а+Ь
Эта пропорция приводится также Никомахом1, который именует
ее полной пропорцией ((хеа6тг]£ теЯеютатг]).
Тут же отметим, что эта пропорция справедлива для любых
значений айв, поскольку из ее алгебраического выражения, — имея
в виду то свойство, что в любой пропорции произведение средних
членов равно произведению крайних, — мы легко получаем тождество:
r a-\-b 2ab
(\\ ab=— ,
1 См. примечания на стр. J3 ц )4.
!В

Упомянем, наконец, еще об одной пропорции, которой придавалось
большое значение в греческой математике и которая была впервые
изучена Эвклидом1. Эта пропорция соответствует геометрической задаче
деления отрезка в среднем и крайнем отношении, т. е. деления его на
две части, из которых большая (именуемая золотым сечением отрезка)
должна являться средней пропорциональной между меньшей и всем
отрезком. Таким образом, обозначив через а и Ъ соответственно
меньшую и большую части, получим соотношение (2) а : Ъ = Ь : (а + Ь).
Мы сразу замечаем, что эта пропорция в отличие от музыкальной,
представляет собой не тождество, а равенство. И действительно, если
принять а, например, за данное, то, согласно уравнению (2), Ъ
выражается следующим соотношением:
у а ± а л/ 5
& = 2 •
Отсюда вытекает, что золотое сечение имеет место не для любой пары
чисел. К тому же, поскольку "/"5—иррациональное число, можно сделать
вывод, что среди рациональных чисел нельзя найти такую пару чисел
а и Ь, которая удовлетворяла бы равенству (2). Это соответствует
также геометрическому принципу несоизмеримости отрезка и его
золотого сечения2.
Вернемся теперь к пропорциям Никомаха и Паппа, приведенным
в табл. 1. Они предполагают наличие трех различных действительных
чисел, которые располагаются в убывающем или возрастающем
порядке и обозначаются буквами а, Ь и с. Пропорции получаются путем
приравнивания отношения двух из трех чисел (второй член
пропорции) к отношению между двумя разностями, которые можно
образовать из этих трех чисел (первый ее член).
Однако нетрудно заметить, что число равенств, которые можно
образовать на основе этих критериев, значительно превосходит 11.
Действительно, из трех различных чисел можно образовать 9
различных отношений между каждыми двумя из них:
a a a b b b с се
а о с b а с с a b
и 6 различных разностей между каждой парой их:
а — by а — с, Ь — с, Ь — а, с — а, с — Ь.
1 Изд. Heiberg L. VI, Def. Ill, Prop. XXX.
2 Однако не следует рассматривать тот факт, что музыкальная пропорция
является тождеством, а золотое сечение равенством, как следствие того, что
первая представляет собой дискретную, а вторая — непрерывную пропорцию,
для того чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть непрерывные пропорции
( Ь2\
I например, а : b = b : —I, являющиеся тождествами, и дискретные пропорции,
являющиеся просто равенствами (например, а : (а + Ь) = (а — b : b),
справедливыми лишь для. тех значений Ьу которые удовлетворяют выражению 6 =
_ —а ± аУЪ
= 2
2 Зак. 401
17

Таким образом, второй член может иметь 9 различных форм.
Что касается первого члена, то как числитель, так и знаменатель
его могут иметь 6 различных форм, и это делает возможным 36
различных комбинаций. Итак, первый член может иметь 36 различных
форм.
В результате равенство может иметь 9-36 = 324 различные формы.
Однако следует отметить, что - = г- = — = 1. Таким образом,
три формы второго члена эквивалентны, и достаточно рассмотреть лишь
одну из них, положим —. В результате число возможных форм второго
члена сокращается с 9 до 7.
Значительно более широкие сокращения можно произвести среди
форм первого члена. В приводимой ниже табл. II показаны 36
комбинаций, которые можно составить из 6 возможных форм знаменателя и
числителя.
Таблица II
Возможные формы первого члена
^ч^ Числитель
^\
Знаменатель ^ч.
а — Ь
а—с
1 Ь—с
1 Ь — а
с—а
| с— Ь
а-Ь
1
7
12
16
19
21
а —с
22
2
8
13
17
20
Ь — с
27
23
3
9
14
18
Ь — а
31
28
24
4
10
15
с —а
34
32
29
25
5
11
с-Ь
36
35
33
30
26
6 1
Теперь сразу же видно, что комбинация 10 ( _ ) совпадает
с комбинацией 7 (^~-)> поскольку числители и знаменатели обеих
дробей отличаются лишь знаками. Аналогично комбинация 11
f^y) совпадает с комбинацией 8 ||^J, а 15 (-^у)—с 12 (т^—) •
Таким образом, мы можем исключить комбинации 10, 11, 15.
С другой стороны, пятнадцать комбинаций — от 22 до 36 —
представляют собой соответственно обратные дроби по отношению к
комбинациям от7 до 21. Но во втором члене пропорции каждому отношению
соответствует обратное ему отношение (так, например, имеется
отношение -и обратное ему отношение-). Следовательно, для любой
пропорции получаемой путем приравнивания одной из форм первого
члена к одной из форм второго члена, имеется равная ей пропорция,
получаемая путем приравнивания величины, обратной данной форме
первого члена, к обратной величине данной формы второго члена.
18

Например, пропорция ^—г = -г равна пропорции —— = -. Таким
образом, мы можем отбросить все 15 комбинаций от 22 до 36. По тем же
соображениям мы можем отбросить комбинации 16, 17, 18, которые
являются противоположными комбинациям 1, 2, 3, а также
комбинацию 9, обратную 21-й, 13-ю — обратную 19-й, и 14-ю —
обратную 20-й.
Наконец, шесть комбинаций — от 1 до 6 — соответствуют
величинам, равным единице, вследствие чего два числа, которые стоят
соответственно в числителе и в знаменателе второго члена, должны быть
равны между собой. Например, пропорция -—т = т-, которая
получается при приравнивании формы 1 первого члена к форме 2 второго
члена, соответствует равенству а = Ь. Но это равенство
противоречит исходному условию, согласно которому каждая пропорция
должна состоять из трех различных чисел. Поэтому мы можем
отбросить еще 6 комбинаций,— от 1 до 6.
Таким образом, нам предстоит рассмотреть всего 6 комбинаций
первого члена: 12-ю [—-)> 7-ю (—— Ь 8-ю (—-], 21-ю
а—Ь
, 19-ю
а—b
И 20-Ю
Все эти комбинации напе-
с—Ь) \с—а) \с—b
чатаны в таблице жирным шрифтом. Из них три последние
отличаются от первых трех лишь знаком.
В таблице III указаны 42 возможные комбинации из этих 6 форм
первого члена и 7 возможных форм второго члена. Каждая комбинация
Таблица III
Возможные комбинации форм первого и второго члена
Первый
член
Второй
член
а
а
а
Ь
а
с
b
а
а—b
а—b
а—с
1. 1
II, 1
Ш. 1
I, 2
11. 2
III, 2
I. 3
II, 3
III, 3
1,4
Н, 4
III, 4
I, 5
II, 5
III, 5
I, 6
II, 6
III, 6
I» 7
H, 7
III, 7
a — b
—т (№ 21)
c-
a—b
a—с
^ (№20)
IV, I
V, I
VI, I
IV, 2
V, 2
VI, 2
IV, 3
v, з
VI, 3
IV, 4
V, 4
VI, 4
!V,-5
V, 5
VI, 5
IV, 6
V, 6
VI, 6
IV, 7
V, 7
VI, 7
2*
19

помечена римской цифрой, соответствующей строке, и арабской
цифрой, соответствующей столбцу. Например, числами 1, 2 отмечается
а—Ъ а лт п а — b с
пропорция -^zrc = ~ь> числами V, 6 — пропорция ^—^ = -*
Но и среди этих 42 комбинаций можно провести значительные
сокращения. В частности, нетрудно убедиться в следующем:
\ т г fa — Ь Ь\ т Л /а — b a
а) пропорция I, 5 = — совпадает с 1,
Ъ — с с 1 \Ь—с b
пропорция V, 4 ( = — )—с V, 3 ( = — ) , а пропорция VI,
\ с—а а ) \ с — а с )
7 (2=£. = £Л_С VI, 3 la~c a
с—b b J \c — b с
*\ т т 1 /'а— b а \ т т с /а— b b \
б) пропорции II, 1 = — и II, 5 = — приводят к
\ а —с а ) \ а — с с )
равенству Ь = с и, следовательно, подлежат исключению, так как
не отвечают условию о том, что все три числа должны быть
различными;
в) по тем же соображениям должны быть отброшены пропорции
III, 1 [°^- =—) , III, 2 (^-^ = — )у которые приводят к равенст-
\Ь—с a J \b—c b J
ву b = a;
г) должны быть исключены также пропорции IV, 1 ~~
— b a
IV, 3 [°^—=— ], которые приводят к равенству а = с\
\ с — b с )
д) следует еще отметить, что пропорции V, 1 (^—— =— ), и VI
V с—а а )
j/a--£__\ не удОВлетворЯЮТ условию возрастания или убыва-
\с—Ь a J
ния чисел а, Ь и с.
Действительно, пропорции V, 1 соответствует уравнение 2а — Ь —
— с = 0. Но в случае возрастающих значений а, Ь и с пропорция
должна давать неравенство 2а — Ь — с < 0, а в случае убывающих
значений — неравенство 2а — Ь — с > 0. Аналогично пропорции VI,
1 соответствует уравнение 2с — а — Ъ = 0, в то время как при
убывающих значениях а, Ъ, с она должна давать неравенство 2с — а —
— Ъ > 0, а в случае возрастающих 2с — а — Ь <; 0.
Таким образом, число рассматриваемых пропорций сокращается
до 31. В таблице все они помечены жирным шрифтом.
Отметим, что, если было бы поставлено условие о том, что три числа
пропорции, расположенные в возрастающем или убывающем порядке,
должны не только быть различными, но и иметь один и тот же знак
(или же более узкое условие — что все они должны быть
положительными), второй член равенства всегда оставался бы положительным,
в то время как выражения первого члена, представленные формами
21"й W~b)^ 19"й и=а) и 2^'й (^М' имели ^ы отрицательный знак.
20

В этом случае должны отпасть все 17 равенств, на основе
которых первый член приобретает одну из трех форм — 21, 19 и 20-ю,
и мы должны рассматривать только те равенства, в которых первый
член дается выражениями
12-м
а — b
7-м
a — b \
И
а—с I
8-м
Ь—с
Число равенств сократилось бы в этом случае до 16. Однако
условие о том, что все три числа должны иметь одинаковый знак, носит
произвольный характер и не соответствует даже обычному
применению средних, ибо средняя арифметическая часто выводится из
частично положительных и частично отрицательных чисел.
Таким образом, мы рассмотрим все представленные выше
равенства— 31. Но поскольку первые 16 из них, соответствующие 12, 7 и 8-й
формам выражения первого члена, и последние 15, соответствующие
21, 19 и 20-й формам выражения первого члена, как мы увидим в
дальнейшем, значительно отличаются друг от друга по своим свойствам,
то мы рассмотрим обе эти категории пропорций по отдельности.
Поскольку непрерывная пропорция означает равенство отношений
между тремя числами, то нетрудно выразить любое из этих чисел через
два других. Нетрудно также сделать вывод относительно того, будет
ли полученная функция однозначной или она даст два значения —
в зависимости от того, будет ли связь между a, b и с, выведенная из
пропорции, выражаться уравнением первой или второй степени по
отношению к числу, .которое рассматривается как неизвестное.
Наконец, в одной и той же пропорции однозначными могут быть одно,
два или все три числа.
В табл. II.А рассмотрены 16 пропорций 1-го вида, а в табл. II.В —
15 пропорций 2-го вида.
Рассмотрев, какие из пропорций этих таблиц однозначны и какие
именно члены этих пропорций однозначны, получаем следующие
результаты:
Однозначные члены пропорций
а, Ь, с
Только а, Ь
» а, с
» Ь, с
» а
» b . .•
| » с
Порядковый но
Табл. И. А
1, 3
12, 16
2
8, 9
6, 11, 14
5, 10, 15
4, 7, 13
мер пропорций
Табл. II. В
24, 27
28 |
17, 19
23
21, 26, 30
20, 25, 31
18, 22, 29
21

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ЧЛЕНА НЕПРЕРЫВНЫХ
ПРОПОРЦИЙ
Понятие пропорции у древних греков не обязательно было
связано с современным понятием средней.
Об этом свидетельствует тот факт, что в числе пропорций
рассматривалась, наряду с классическими и другими непрерывными
пропорциями, также музыкальная пропорция, которая, будучи тождеством,
делает невозможным определение средней величины.
Это не означает, что понятия средней тогда еще не существовало,
ибо иногда оно даже связывалось с понятием пропорции. По существу,
оно подразумевалось в понятии «центра тяжести», данном Архимедом
(III в. до н. э.). Аристотель (IV в. до н. э.), формулируя свою теорию
«истинной середины» и проводя различие между объективной (вещи в
себе) и субъективной (по отношению к нам) истинной серединой, писал
по поводу первой: если, например, 10 слишком много, а два — мало,
то мы скажем с точки зрения вещи в себе, что серединой является 6,
поскольку оно на столько же больше 2, на сколько меньше 10;
следовательно, это и является серединой с точки зрения арифметической
пропорции1.
Но, по-видимому, систематическая разработка определения
центрального члена в непрерывной пропорции с двумя заранее заданными
членами была начата лишь позже. Мы находим такого рода
исследование в учебнике Теона Смирнского (I—II в. н. э.), где говорится, что
для того, чтобы подсчитать центральный член в арифметической
пропорции с двумя другими числами, достаточно найти полусумму этих
чисел. Для того же, чтобы определить центральный член в
геометрической пропорции с двумя данными числами, нужно извлечь
квадратный корень из их произведения. Аналогичным образом Теон Смирн-
ский учит методам подсчета для гармонической и антигармонической
пропорций. Но именно эти формулы определения центрального члена
арифметической, геометрической, гармонической и
антигармонической пропорций и являются формулами одноименных средних в
случае двух чисел, как можно видеть из 5-й колонки табл. II. А для
пропорций 1, 2, 3 и 6.
Таким образом, можно утверждать, что, хотя древние греки
никогда не употребляли термина «средняя величина» и никогда
определенно не формулировали современного понятия средней, они в своих
исследованиях определением центрального члена трех классических
пропорций и антигармонической пропорции положили начало
логическому процессу, который в дальнейшем привел к такому понятию.
Первым этапом развития понятия средней можно считать именно
тот этап, когда средняя является центральным членом непрерывной
пропорции. Однако следует отметить, что в то время, как
центральный член арифметической пропорции является промежуточным между
крайними членами, каковы бы ни были их знак и величина, это не
1 Etica a Nicomaco, II, 4, 1105, b, 19 е segg.
22

имеет силы для геометрической, гармонической и антигармонической
пропорций. Теперь зададимся вопросом: как ведут себя
центральные члены остальных 27 пропорций? Всегда ли они представляют
собой величины, средние между крайними членами, и если нет, то в
каких случаях они обладают этим свойством?
К такому исследованию мы сейчас и перейдем.
В этих целях в табл. II.А, II.В, III.А, III.В рассматривается 31
непрерывная пропорция, приведенная в предыдущем параграфе. В
5-й колонке табл. II.А и II.В содержатся алгебраические выражения
центральных членов каждой пропорции, как функций двух крайних
членов, а в табл. III.А и III.В приведены для каждой пропорции
соотношения между центральным членом Ъ и двумя крайними членами а
и с в восьми различных возможных случаях значиости крайних
членов и соотношений неравенства между ними. В тех частых случаях,
когда Ь как корень уравнения второй степени имеет два возможных
значения, они обозначаются Ьх и Ьг.
Остановимся прежде всего на рассмотрении табл. III.А в
сопоставлении ее с табл. II.А. Отметим, что при составлении первой мы
пользовались следующим наблюдением: рассматривая приведенные в 5-й
колонке табл. II.А выражения центрального члена арифметической,
геометрической, гармонической и антигармонической пропорций, мы
сразу же замечаем, что эти выражения не меняются при перемене мест
крайних членов а и с, т. е. что эти выражения являются симметричными
относительно а и с. Во всех прочих пропорциях выражения
центрального члена не обладают этим свойством, но зато они могут быть
сгруппированы в пары, каждая из которых отличается той особенностью,
что при замене в одном из выражений а пас и с на а оно превращается
в другое выражение той же пары. Именно такие пары образуют
выражения центрального члена пропорций 4-й и 6-й, 7-й и 14-й, 8-й и 12-й,
9-й и 16-й, 10-й и 15-й, 11-й и 13-й. Эти формулы можно считать
обладающими внешней симметрией (экзосимметричными) относительно
а и с. В табл. II.А для них введены обозначения 5%,с S'7,14 и т. д.
Далее, при рассмотрении табл. III.А мы сразу же замечаем, что
в некоторых случаях Ъ больше или меньше обоих крайних членов.
Такие значения Ъ мы сразу же отбрасываем, так как исходим из
предположения, что три члена пропорции — а, Ъ и с — представляют собой
возрастающий или убывающий ряд чисел. Ведь.только при таком
предположении центральный член может быть отнесен к понятию средней
величины в том смысле, в каком оно обычно применяется в статистике.
В других случаях Ъ имеет два значения. Либо это пара
сопряженных мнимых чисел, и тогда мы должны сразу же их отбросить, так как
с самого начала условились рассматривать только действительные
величины, либо Ъ имеет два различных действительных значения, но
лишь одно из них находится между крайними членами, другое же не
удовлетворяет этому требованию. Поэтому мы будем называть средними
те действительные значения Ь, которые будут находиться между а и с
(такие значения в табл. III.А напечатаны жирным шрифтом), и им мы
присвоим наименования соответствующих пропорций.
23

Пропорция
Соответствующее
уравнение
Выражение а через остальные два
члена
1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
П.
12.
13.
14.
15.
16.
Ь — с
а— b
b — c
а—b
b — c
а—b
b — c
a — b
b—c
a—b
b — c
a— b
а —с
a— b
a — с
a—b
a — с
a — b
a—с
a — b
a—с
a — с
b—c
a — с
b—c
a—с
b — c
a — с
b — c
a—с
:=
a
a
~~ b
a
с
b
a
с
a
с
~~ b
a
b
a
с
b
a
с
a
с
b
a
с
b
a
b
с
с
a
с
b—c
a—26 + c = 0
ac — b2 = 0
2ac—be—ab = 0
a2—ab + bc — b2 = 0
a2—ab + c2—bc = 0
ab — b2 + c2—bc = 0
a2—a(b + c) + b2 = 0
a2 — 2ac + bc = 0
a2—2ab + bc = 0
a2—a(b + c) + c2 = 0
a(b — c) — (b2—c2) = 0
a(2c — b) — c2 = 0
(a2—b2)—c(a — b) = 0
ac + bc—b2—c2 = 0
a2 — ac + c2—bc = 0
ab—2bc + c2 = 0
a = 2b — c
b2
a—-
c
be
2c — b
_ b±]/bb2—Abe
i_b±/b2 + 4bc—4c2
2
bc-\-b2—c2
a=-
n_b + c±Vc2—3b2 + 2bc
a _
a = c±\/c2— be
а = Ь±Уь2 — Ьс
,_ Ь + с±Уь2—Зс2 + 2Ьс
2
a = b-\-c
2c—b
n \c — b
a=\b
b^—bc+c2
q_ c±~\/lbc—3c2
2
2cb— c2
* N-Никомах; P. Папп.
** Теон также называл среднюю b=Yac «геометрической», но он считал, что она выво
24

Т а б лиц а II.А
Выражение с через
остальные два члена
Выражение b через остальные
два члена
Симметрия
члена b

собственная (S)
и внешняя
<S')
Наименование
пропорции и
члена b как
средней от
членов а и с
с = 2Ь — а
ъ*_
а
ab
2а— Ь
Ъ2-\-аЬ—а2
С = 1
b±~]/b2—4a2 + 4ab
2
b±\/bb2—4ab
с = -
аъ + Ъ2—аЬ
а
а2
с =
2а—b
2ab—a2
а±]/4аЬ—За2
fa — b
с = а ±~\/а2—ab
с = а-\-Ь
_а+Ь±Уа2 + 2аЬ—ЗЬ2
° 2
щ_а+Ь±Уь* + 2аЬ — За2
с = Ь±Уь2 — аЬ
Ь =
а-\-с
2
Ь=~\/ас
2ас 2
ь =
}-°-
— CL-
ь-
а * с
-а±]/с2+5а2 —
2
а2 + с2
Ь =
а-\-с
-с±\/а2 + Ъс2—
2
_ а±~\/4ас—3а2
2
2ас—а2
Ь =
с
2а—с
а2-\-с2 — ас
о =
2ас
2ас
b=ja-c
2ас—с2
Ь = -
а
\с—а
b=c±Vr4ac—3c2
Ь =
b
2
а2-{-с2—ас
с
с2
2с—а
S
S
S
S4,6
S
54,6
S7,14
^8,12
S9,16
* 1 0,15
Mi,13
^8,12
Ml,13
S7,14
MO,15
^9,16
дится из пропорции
a — b
b — c
= — , которую мы включили в группу р.

Арифметическая
(N.P.)*

Геометрическая
(N.P.)**

Гармоническая (N.P.)
Шестая
(N.P.)

Антигармоническая
(N.P.)
Пятая
(N.P.)
Восьмая (Р.)
Девятая (Р.)
Восьмая (N.)
Седьмая (Р.)
Десятая (N.)
Седьмая (N.)
Десятая (Р.)
Девятая (N.)
25

Пропорция
Соответствующее
уравнение
Выражение а через остальные
два члена
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27
28.
29.
30.
01
а—b
c — b
а—b
c—b
а—b
c—b
a—b
c — b
a—b
c — b
a — b
с—a
a—b
с — a
a — b
c—a
a — b
с—a
a—b
с—a
a—с
c — b
a—с
c—b
a—с
c — b
a — с
c — b
a—с
a
= ~b
b
a
b
с
с
a
с
= ~b
a
b
a
с
b
с
с
a
с
b
a
b
a
с
b
a
b
с
с
c—b a
b*—2ab + ac = 0
b2—ab — bc + a2 = 0
b2 — 2bc+ac = 0
b(c—a) — (c2 — a*) = 0
b2—ab — bc+c2 = 0
b2—ab + ac—a2 = 0
a2 — bc = 0
ac—2bc-\-ab = 0
a2 — a(b — c) — c2 = 0
b2—ab + c2—ac = 0
ac—2ab~\-bc = 0
ab = c2
b2—bc + a2—ac = 0
b2—bc+ac—c2 = 0
a2 — ac+cb—c2 = 0
b2
2b—с
b±y4.bc—3b2
2
2bc — b2
a = -
n lb—с
a = \c
b2—bc+c2
a = c — b±\/(c—b)2 + 4b2
2
a=^\/bc
2bc
a = 'b + c
1_Ь-с±У(Ь — с)2 + 4с2
2
b2 + c2
b + c
be
2b—с
с2
п -
с±Ус2 + 4Ьс—4Ь2
2
c* + bc — b2
CL —
C
n_ с±У5с2 — 4Ьс
86

Таблица II.В
Выражение с через остальные
два члена
Выражение Ь через остальные
два члена
Симмет-
Iрия члена
Ь — собст-
|венная (S) I
и внешняя
<5')
2ab — b2
с =
b2—ab + a2
b
b2
2b—a
:={b — a
_b ± Y$ab — 3b2
a2-\-ab — b2
c = -
b
ab
L 2b —a
а±У 5a2—4ab
C 2
a± }/a2 + 4ab — 4b2
2
2ab
c = —
a + b
c=~\/ab
a2 + b2
~~ a + b
r_ a — b±Ya2 — 2ab + Sb2
c =
b—a±Y{b — a)2 + 4a2
b = a±Ya2—c
b_a + c±Y{a + c)2-4a2
2
b = c±Yc2 — ac
b = a-\-c
,_a + c±Y(a + c)2 — 4c2
b =
_ a±]/ba2 — 4ac
b = -
b =
с
ас
2c —a
a2—c2-\-ac
_a±Ya2—4c2 + 4ac
b =
2
ac
b = -
2a —с
с2
a
b =
:±Y<<2—4a2 + 4ac
_ c±Y$c2 — 4ac
b =
c2 — a2-\-ac
47,19
'18,21
'17,19
'18,21
'22,30
523,28
'24,27
^25,31
J26,29
524,27
^23,28
J2G,29
'22,30
525,31

Пропорция
Наименование
пропорции и члена
b как средней от
а и с
а > О
(1)
I I I
Оса
1
с > О
а < с
I I I
О а с
2
1.
а—b a
b—c a
Арифметическая
(N.P.)
aybyc
а<Ь<с
2.
а — b
~b — c
Геометрическая f
(N.P.) \
a>bx>c
b2<c
a<bx<c
b2<c
3.
a—b
b — c
Гармоническая
(N.P.)
a>b>c
a<b<c
a—b
b — c

Антигармоническая (N.P.)
aybyc
a<b<c
4.
a — b b
b — с а
Шестая (N.P.
c<bx<a
b2<c
a<b1<c
b2<a
6.
a — b
b—c
Пятая (N.P.) |
c<bx<a
b2<c
a<bx<c
b2<a
7.
для су-
A
bj_<c
b2<c
3 (bx
для c<—a{ мнимая
4 [bo
a<bi<c
b2<a
a— b a
с
a — с
b<c
a<b<c
9.
a — b b
a—с а
Восьмая (Р.)
aybyc
для a> —» by с
для а < —, b < a

Таблица III.А
1 а < 0 (2) с < 0
\а\>\с\
1 1 1
а с 0
3
а<Ь<с
Ь±>с
a<b2<c
a<b<c
a<b<c
bx>c
a<b2<c
bx>c
a<b2<c
i , n \a\ ( h>c
для M>3—L , ^
nTI„ i „1 ^ ^ „1^1 МНИ-
ДЛяИ<7аи2мая
&>c
a<b<c
\a\<\c\
1 1 1
с а О
4
a>6>c
a>62>£
a>&>c
a>b>c
bx>a
a>b2>c
bx>a
a>b2>c
b±>a
c<b2<a
c<b<a
\c\
для \а\>-—, b>a
\c\
для |a|< —, b<c
a > 0 (3) с < 0
Ifll > И
1 1 1
с 0 a
5
a>b>c
°\ ) МНИ-
62 J мая
6<c
6>a
c<b1<a
b2<c
bx>a
c<b2<a
1 МНИ-
| мая
b2)
b>a
c<b<a
\a] < \c\
1 1 1
с 0 a
6
a>b>c
bi\ мни-
b2) мая
6>a
b<c
a>bx>c
b2<c
bx>a
a>b2>c
1 МНИ-
[ мая
b2)
b>a
c<b<a
a<0 (4) c> 0 1
|a|> |*|
1 1 1
a 0 с
7
a<b<c
bi\ мни-
b2 J мая
6>c
b<a
bx>c
a<b2<c
c>bx>a
b2<a
Ьг)
1 МНИ-
| мая
b<a
a<b<c
\a\ <\c\ 1
III
a 0 с
8
a<b<c
^ll МНИ-
62}мая
b<a
b>c
bx>c
a<b2<c\
(KbxKcl
b2>a
1 МНИ-
| мая
b2)
b<a
a<b<c

Пропорция
Наименование
пропорции и члена b
как средней от
awe
а > О
(1)
с>0
I I I
Оса
1
О а с
10.
а—b
Девятая (Р.)
с<Ь<а
Ь>с
11.
а — b
Седьмая (Р.)
Десятая (N.)
для —>с,с<Ь<а
для ~^-<с> Ь<с
Ь<а
12.
а — с а
Ь — с
Седьмая (N.)
с<Ь<а
Ь<а
14.
Ь — с
Десятая (Р.)
Девятая (N.)
с<Ьх<а
Ь2<с
3 (Ьх<а
для а>— с\
4 [Ь2<а
. „^ 3 (&1МНИ-
ДЛЯ й<Ги2мая
13.
а — с о
b — с а
Ь<с
Для-— >г, а<Ь<с
для —- <с, Ь<а
15.
Ь — с
Ь>а
а<Ь<с
16.
Ь — с b
для с>—, 6>а
для с<—, 6<с
с>Ь>а
30

Продолжение
а<0 (2) с<0 1
1а|>М
III
а с 0
3
а<Ь<с
\а\
для —7Г>С> а<Ь<с
Для —£-<\ с \> Ь>с
а<Ь<с
Ь\>с
а<Ь2<с
Ь>с
Ь<а
\а\
для \с\>-£-> ь>с
\а\
для \с\<—, Ь<а
\а\<[с\
III
с а 0
4
6>а
6>а
&>Я
ДЛЯ ]al>Hb2>a
для|а|<^и{^-ия
\а\
для —>И,с<&<а
для у<|с|, 6>а
i c<b<a
с<Ь<а
а>0 (3) с<0 1
|а|>|с| 1
III
с 0 а \
5
/>>а
&>а
&<с
1 мни-
( мая
Ь2)
b<c
b<c
c<b<a
\a\ <\c\
1 1 1
с 0 a
6
6>a
&<a
b<c
bl\
1
мнимая
b2)
b<c
b<c
c<b<a
a< 0 (4) c>0
|a|>|c|
1 1 1
a 0 с
7
b<a
b<a
b>c
bl)
| мни-
f мая
b2 )
b>c
b>c
a<b<c
\a\<\c\
III
a 0 с \
8
b<a
b<a
b>c
1 МНИ-
[ мая
b2 J
b>c
b>c
a<b<c
31

Пропорция
а> О (1) с> О
I I I
О с а
1
I I I
О а с
а < О (2) с < О
\а\ > \с\
I I I
а с О
3
\а\ < \с\
I I I
с а О
4
1.
2.
3.
4.
5
6.
а — b a
с—a b
а—b a
с—а с
a—b b
с—а с
а—b с
с—а а
а — b с
с—a b
а—b a
c—b ~ b
а — b b
с—b a
а — b b
с — b с
c—b
10.
a—b
b1<0<c<a
c<a<b2
b1<a<c
b2<a<c
(*)
0(b1<a<c
o{a<c<0<b2
\c<a<bi<0
1 (**
lc<a<b2<0\
c<a<b
b<a<c
b<a<c
c<a<b
b<0<c<a(+)
c<a<b (++)
c<a<b
b±<0<c<a
c<a<b2
b<a<c
b<a<c (+)
a<c<0<b(++)
c<a<b
a<c<b
b<a<c
b<c<a
' 0<bx<a<c
(§)
0<b2<a<c
b1<a<c
a<c<0<b2
'c<a<&!<0
(§)
c<a<b2<0
)(bi<c<a (
\c<a<b2 \
bx<a<c
a<c<b2<0
bi
0<bx<a<c
a<c<b2
bi
мнимая
,c<a<b2<0
bx<a<c
a<c<b2
c<a<b
:c<b
A
мнимая
(bt<c<a
,c<a<&2<0|
b<a<c
b<c<a
b1<c<a
c<a<b2
A
мнимая
b1<a<c
a<c<b2<0
мнимая
32

Таблица III.В
а> О
\а\ >\с\
1 J '
с О а
5
(3)
с <0
\а\ < \с\
I I I
с О а
а<0
\а\ > \с\
I I I
а О с
(4)
с>0
\а\< с\
1 1 I
а 0 с
Ь1<с<а
с<а<Ь2
c<bt<0<a
, c<a<b2
b1<a<c
a<c<b2
bt<a<c
a<0<b2<c
b<c<a
c<b<a
a<c<b
a<b<c
c<0<b<a
c<0<b<a
a<b<0<c
a<b<0<c
c<0<b<a (!)
c<b<0<a (!!)
b<c<a
a<0<b<c (!!)
a<b<0<c (!)
a<c<b
c<0<bi<a
c<0<b2<a
(§)
*i
мнимая (•)
a<bt<0<c
a<b2<0<c
(§)
*i
мнимая
r c<bt<0<a
[c<a<b2
c<bt<0<a
c<a<b2
Ьг<а<с
a<0<b2<c
bx<a<c
a<0<b2<c
мнимая
bit b2 мнимая (•)
аЛ-с
c<bt<0<a
c<b2<0<a
(...)
bi
мнимая
bit b2 мнимая (• • •)
а А-с
bl = b2 = ^—(..)
a<0<bt<c
a<0<b2<c
(•)
b1<c<a
c<0<b2<a
bt<c<a
c<0<b2<a
a<bt<0<c
a<c<b2
С a<bt<0<c
\a<c<b2
c<0<b<a
c<b<0<a
a<b<0<c
a<b<c<0
b1} b2 мнимая (>)
a-\-c
\ь1 = ь2 = ——{*)
c<0<b1<a
c<0<b2<a
(»*)
bu b2 мнимая (>»)
a-\-c
bi = b2 = ——(y>)
a<bi<0<c
a<b2<0<c
(»)
мнимая

Пропорция
а > О
(1)
с > О
I I
О с
А !
а < О
(2)
с < О
|а|> |с|
I I I
а с О
3
П.-
12.
а—с а
с—Ь с
13.
а—с b
c-b
14.
а—с _ 6
с— b с
15.
а — с
с — Ь
Ь<с<а
' а<с<Ь (о)
6 = оо (00)
Ь<с<а
а<с<Ь
а<с<Ь
а<с<Ь<0
bly Ь2 мни- (=)
мая
bt=b2<c (==)
bx<c<a
b2<c<a
(™)
&i<0<a<c
а<с<&2
6Ь 62
мнимая (=:=;=:)
&!=&2>с(=г=)
f bx<c<a
c<a<0<b2
И
c<a<b (°)
6 = oo~ (oo)
b<c<a (00°)
b<c<a
[ bx<c<a
{c<a<0<b2
b1} b2 мни- (—)
мая
61 = 62<г(—)
б!<С<0!
b2<c<a
( )
6х<0<а<с
a<c<b2
bu b2 мни- (-)
мая
bt=b2>c(—)
а<с<Ьг<0
a<c<62<0
' b1<c<a
kc<a<0<6.
b<c< a
a<c<b
a<c<b
b<c<a
(X) Если c> — 4,82 ... a. (XX) Если с = — 4,82 ... a. (XXX) Если с < — 4,82 ... a.
(.) Если с-|-За > 0. (..) Если c + 3a=0. (...) Если с -|- За < 0. (—) Если с заключено
между 0 и 4/5а. ( ) Если с = 4/5а. ( ) Если с > 4/5а. (++Ц-) Если с< А/Ъа.
(0) 2а —с> 0. (0°) 2а — с=0. (00°) 2а — с<0. ( = ) Если с<0,82...а. (= =) Если
с =0,82... а. (= = =) Если с > 0,82... а. Жирным шрифтом. Средняя величина
&—-собственная в том смысле, что она попадает между значениями а и с.
34

Продолжение
а > 0 (3) с < 0
\а \>\с\
1 1 1
с 0 а
5
с<&<0<а
с<0<&<а
{ , мнимая
1Ьа
Г bt<c<0<a
\c<0<b2<a
c<a<b
Примечание: b on]
действительности а >
(+) Если 2с—а < 0, -
+ c) > c2. (11) Если а
-f 4tfc— 4c« > 0 (>) Ec
| a h< 1 cl
1 I 1
с а 0
6
c<b<0<a
c<a<b
&i, 62 мнимая (х)
c<6i=&2<0<«(xx)
fc<&i<0<a/
1 - (XXX)
U<&2<0<a
|6х<с<0<а
\ c<a<b2
c<b<a
эеделяется как средня
4/5c. (**) Если имее-
г. е. с< а/2. (++) Е
(а-1-е) < с2. (§) Если
пи а -\- 2>с < 0. (») а -|-
а < 0 (4) о 0
|а| >1 *1
1 1 1
а 0 с
7
а<0<Ь<с
а<Ь<0<с
{ , мнимая
1Ь2
( а<Ьг<0<с
\а<с<Ь2
Ь<а<с
я между а и с. (*) Ее л
г место условие дейст
ели 2с — а > 0, т. е. с
имеет место условие
Зс= 0. (>») Если а-\-
\а\< \с\ |
III
а 0 с
8
a<0<fc<c
Ь<а<с
6Ь 62 мнимая (ххх)
a<0<b1=b2<c (xx)
fa<0<6i<c , 1
{ , (х)
la<0<62<£
|6х<а<0<с
1 а<с<Ь2
а<Ь<с
и имеет место условие
вителыюсти а < 4/5с.
> а/2. (1) Если а \a-\-
действительности а2 +
Ъс >*0.
35

Оказывается, что только в арифметической пропорции при всех
восьми вариантах знака крайних членов и соотношения их величин
Ь является средней величиной. Этим объясняется широкое
применение, которое средняя арифметическая имеет в статистической
практике, и тот факт, что для ее обозначения зачастую употребляется просто
термин «средняя», без соответствующего определения. Одно из двух
значений центрального члена 4-й и 6-й пропорций также всегда
является средней величиной, но эти центральные члены не имеют такого
всеобщего характера, каким обладает средняя арифметическая, так как
здесь в каждом отдельном случае для нахождения средней необходимо
произвести выбор между Ьх и Ъг. Центральный член гармонической
и антигармонической пропорций является средней величиной в тех
случаях, когда оба крайних члена пропорций имеют один и тот же
знак. В этом случае средней величиной геометрической пропорции
является также то значение ее центрального члена (Ьг или Ь2),
которое имеет тот же знак, что и ее крайние члены. В 7-й и 14-й
пропорциях лишь в двух случаях из восьми одно из двух значений
центрального члена является средней величиной. Точно так же лишь в двух
случаях средней величиной являются центральные члены 10-й и 12-й
пропорций, равно как пропорций 8-й и 15-й. Центральный член 11-й
и 13-й пропорций является средней величиной также в двух случаях,
но лишь при наличии определенных соотношений между а и с.
Центральный член 9-й пропорции является средней величиной при
положительных крайних членах а и с, если а > с, а при отрицательных
а и су если а < с. Если же а и с имеют различные знаки, то он всегда
является средней величиной. Наоборот, центральный член 16-й
пропорции является средней величиной при положительных а и с, если
а < с, при отрицательных а и с, если а > с. При различных знаках
а и с он всегда является средней величиной.
Перейдем теперь к рассмотрению табл. II.Б и III.Б. Как показано
в предпоследней колонке табл. II.Б, значение Ь является
симметричным в точном смысле слова в отношении крайних членов а и с только
в 20-й пропорции. Остальные же 14 пропорций этой таблицы
распределяются на 7 пар, отличающихся тем, что значения Ь в пропорциях
каждой пары являются зкзосимметричными в отношении а и с, т. е.
в каждой паре одно из значений Ъ превращается в другое при замене
каждого из крайних членов другим. Такие пары образуют 1-я и 14-я
пропорции, 2-я и 12-я, 3-я и 11-я, 4-я и 15-я, 5-я и 13-я, 6-я и 8-я, 7-я
и 10-я.
Что касается табл. III.Б, то, как уже сказано, она содержит одно
или несколько значений Ьу получаемых из каждой пропорции и
расположенных в порядке возрастания по отношению капе. В этой
таблице, так же как и в табл. III.А, выделены жирным шрифтом те
случаи, когда центральный член Ь действительно заключен между
крайними членами а и с, образуя таким образом «среднюю величину»
между а и с в указанном выше смысле. Ни в одной из 15 пропорций,
вошедших в табл. II.Б и III.Б, нет таких значений Ьу которые могли бы
рассматриваться в указанном смысле как средние величины между а
36

и с в том случае, если эти последние имеют один и тот же знак, т. е.
если они оба положительны или оба отрицательны. Если же они имеют
разные знаки, то в каждой пропорции, по крайней мере в двух
вариантах знаков и соотношения величин а и с, имеются приемлемые в
качестве средних величин значения Ь. А именно, в двух вариантах
(выделенных жирным шрифтом) это имеет место в 1, 2, 12, 14, 15-й
пропорциях и в четырех вариантах в 3, 6, 8, 9 и 11-й пропорциях.
§ 3. СТЕПЕННЫЕ ПРОПОРЦИИ
Рассмотренные выше примеры непрерывных пропорций не трудно
значительно расширить, если добавить к ним пропорции, по форме
аналогичные приведенным в табл. II.А, но отличающиеся от последних
тем, что их членами являются степени чисел а, Ь и с. Такие
пропорции мы будем называть степенными. В самом общем возможном
случае мы можем предположить, что показатели степени неодинаковы
для обоих членов пропорции. Такие пропорции мы будем называть
неоднородными, тогда как при; одинаковых показателях степени обоих
членов пропорции мы будем называть их однородными.
Нетрудно понять, что анализ неоднородных пропорций
наталкивается на значительные трудности, поскольку в этом случаи
необходимо учитывать не только различные сочетания положительных и
отрицательных значений а и с, но также различные'случаи
положительных и отрицательных значений показателей степени г и s обоих членов
пропорции, их четности или нечетности. Поэтому мы ограничимся
рассмотрением значений центральных членов неоднородных
пропорций, выводимых из однозначных пропорций табл. II, в тех случаях,
когда оба крайних члена а и с имеют положительный знак.
Интересно отметить, что выражения центральных членов
арифметической, гармонической и антигармонической пропорций
представляют собой частные случаи введенной Джини в статистическую
методологию общей формулы средней двуплоскостной степенной1.
Кроме того, следует отметить, что в зависимости от соотношений
неравенства между крайними членами а и с центральные члены
пропорций 8, 10, 12 и 15 могут принимать значения большие или меньшие
обоих крайних членов, тогда как в пропорциях 2, 9 и 16 центральные
члены могут быть явно выражены в функции а и с лишь в отдельных
случаях, когда поддаются решению соответствующие уравнения.
1 [10,3]. Формула средней двуплоскостной степенной имеет следующий вид:
Эта формула при q = 0, р = г совпадает с формулой центрального члена
пропорций № 1 табл. IV; при р = г — s, q = —5 — с пропорцией № 3 и при р = г +
+ s и q = s — с пропорцией № 5,
37

Таблица IV
Пропорция
ar — br as
' br — cr ~ as
ar — br as
2. =
br—cr bs
ar—br as
' br— cr ~~ cs
ar—br cs
br—cr = as
ar—bT as
ar—cT cs
ar — ¥ bs
9. = —
ar—cr as
io. ^^:=fi
ar—cT as
jo aT—°r aS
"* br—cr cs
ar — cr cs
' br — cr =~a*
лс aT — °T °S
lb. —
br — cr bs
0 2) ,r
Нумерация пропор
Выражение центрального члена пропорции 1
г / аг \сг
Ь= \/ —Т.— (степенная арифметическая про-
у 2 порция)
b находится как корень соответствующего
уравнения
. г / ar s + cr s , 1
и = -- / * (степенная гармоническая
I/ * , * пропорция)
Г as ^ cs
6 = 1/ — (степенная антигармоническая
у as-\-cs пропорция)
и ^/arcs + ascr-ar+s
v.
Значения Ь даются корнями соответствующего
уравнения
Ь-\ /ar+s+cr+s-arcs
У as
h-\/ aV + CV-Cs+r
V
h \ / ar+s + cr+s-ascr \
У
b дается корнями соответствующего уравнения
ций та же, что и в табл. II.А.
38

В частном случае, когда показатели степени в обеих частях
пропорции одинаковы, т. е. в случае однородных пропорций, анализ
значительно упрощается. Такой анализ выполнен доктором Гатти в его
обстоятельном исследовании1. В однородных пропорциях формулы
центральных членов получаются без труда из формул центральных
членов неоднородных пропорций, полагая г = s. Любопытно отметить,
что в случае однородности геометрическая пропорция, которой, как
не трудно видеть, может быть придан более общий вид лишь при
определенных значениях г и s, когда г =£s, дает для центрального члена то
же самое значение Ь = ]Azc, что и простая геометрическая пропорция.
§ 4. ОБРАТНЫЕ И ДОПОЛНЯЮЩИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Широкое обобщение упомянутой выше формулы музыкальной
пропорции
1 а + с 2ас
приводит к важной концепции обратных величин. Две величины J'
и J" являются обратными по отношению к третьей величине М, если
между ними существует соотношение:
(4) 1 :Г = Г:М*,
т. е. если М является центральным членом геометрической
пропорции, крайними членами которой являются /' и /".
Если же вместо (4) мы имеем соотношение (4'), то величины /' и
Г именуются взаимообратными величинами
(4') 1 :/' =/" : 1.
В случае положительных чисел для обратных величин справедливы
следующие положения, доказательство которых не составляет труда:
а) если /' и /" являются средними величинами по отношению к
а я с и обратными величинами по отношению к М, то и М является
средней величиной в отношении а и с;
б) если М' и /' (/") являются средними в отношении а и с, то
необходимым и достаточным условием для того, чтобы и /"(/') было
средней по отношению к а и с, является следующее:
]Ас'Г<УИ< УаЛ' (или аналогично для I").
Другой категорией взаимно связанных величин, выводимой путем
обобщения средней арифметической, являются дополняющие величины,
которые мы можем определить следующим образом:
Две величины С и С" называются дополняющими в отношении
третьей величины М, если
(5) С' + С = 2М,
1 [84] . К этому исследованию мц отсылаем тех, кто интересуется свойствами
однородных пропорций,
39

Таблица V
Исходное значение
(/'=С')
Значение обратное
(IG) средней
геометрической
Значение
дополнительное (Сд) по
отношению к средней
арифметической
Примечания
а-\-с
(Л)(\а)
2ас
а-\-с
(Н)
а-\-с
(Л)
I , /G и СА
— средние
Уас (G) (2а)
У ас (G)
а-\-с— Y ас
2ас
а-\-с
(Н) (3«)
а-\-с
(А)
а* + с2
а-\-с
(Т)
(Г) (5«)
ас (а-\-с)
а2 + с2
2ас
а-\-с
(Я)
2а — с
(9е)
2ас — с2
(12е)
а* + ас—с2
2а— с
d2-\-C2 ас
(10*
а*с
а2-{-с2—ас
2ас-
■(12е)
2ас—с2
(12*)
2а —с
(9«)
а2 + с2— ас
(10*)
2ас — а2
(8«)
2с —а
(16е)
а2_^с2_ас
(15е)
/ < с, /G>fl,
а2 + с2 — ас
(15*)
2ас—а2
а2 + с2—ас
(8*
I >a, lG"<cy
СА"<с
2с —а
(16*)
2ас —а2
Фа)
ас-\-с2—а2
2с—а
1'<с, 1в">а,
СА">а
V1
+ с2
/2аЧ2
а2 + с2
а + С~]/Г'а-
2+с2
2
— средние
/аг+У Г / 2дУ
2 |/ а' + с'
а-\-с —
у
fаг+с
40

т. е. если М является средней арифметической С и С". Дополняющие
величины характеризуются свойствами, аналогичными обратным
величинам.
В приведенной ниже табл. V мы даем (полагая, что крайние члены
а и с положительны) обратные величины по отношению к средней
геометрической и дополняющие величины по отношению к средней
арифметической для однозначных величин табл. II.А и для центрального
члена степенной арифметической пропорции. К числу наиболее
интересных примеров обратных средних величин, наряду с теми, которые
находят свое выражение в музыкальной пропорции (средняя
арифметическая и средняя гармоническая являются обратными по отношению
к средней геометрической), относится также следующий: средняя
арифметическая и средняя антигармоническая являются величинами
обратными по отношению к средней квадратической.
§ 5. ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОПОРЦИЙ К ПРОГРЕССИЯМ
Уже с давних времен было известно, что три классические
пропорции, у которых центральный член являлся средней величиной, могут
быть продолжены в обе стороны — направо и налево. Таким образом,
были получены прогрессии — арифметическая, геометрическая и
гармоническая, — в которых каждый член заключен между
непосредственно предшествующим ему и непосредственно следующим за ним
членами. Посмотрим теперь, можно ли проделать такую операцию с
остальными непрерывными пропорциями. Разумеется, всегда
возможно из любой пропорции вывести ряд чисел, каждое из которых было
бы формально получено из двух предшествующих чисел на основе того
же отношения, какое связывает между собой три исходных члена
пропорции.-Однако полученный таким образом ряд не представляет для
нас никакого интереса, если одновременно не выполнено также другое
условие, а именно, что каждый член ряда лежит между
предшествующим и последующим членами.
Посмотрим теперь, в каких случаях имеет место это последнее
условие.
Чтобы представить указанную проблему в самом общем ее виде,
предположим, что действительные числа а, Ъ и с образуют любую
из рассмотренных выше непрерывных пропорций, в которой Ъ
заключено между крайними членами а и с. В этом случае, если с может быть
однозначно выражено через а и Ь, т. е. если с = ф(а, Ь), можно будет
определить величины сх = <р(&, с), с2 = Ф (с, с±) и т. д. Равным образом,
если а может быть однозначно выражено через Ь и с, т. е. если а =
= ф(6, с)у можно будет определить величины аг = ф(а, 6), а2 =
= tp(al9 а) и т. д., так что формально получится бесконечная
прогрессия, распространенная направо и налево:
...а<ь аг а^аЪ с с х сг съ...
41

Если бы далее с не могло быть выражено однозначно через а и ft, a
могло принимать два разных значения, формальное продолжение ряда
направо происходило бы по принципу дихотомии:
Од
222
Точно такую же картину дало бы и продолжение ряда налево:
а
222
Таким образом, необходимо в каждом отдельном случае установить,
при каких условиях формальное продолжение ряда является также и
фактическим. Другими словами, необходимо установить (мы вновь
рассматриваем случай, когда с и а имеют по одному значению):
1) являются ли действительными величинами съ съ.., равно как
и аъ а2,...;
2) заключено ли с между Ь и clt cx между с и с2 и т. д. и,
аналогичным образом, заключено ли а между а1 и 6, а1 между а и а2 и т. д.
42

При отсутствии хотя бы одного из этих условий фактическое
продолжение ряда становится невозможным.
Что касается наших 31 пропорции, то здесь задача облегчается
существованием одного общего положения, которое мы сейчас
докажем.
Свойство: ни одна из 15 пропорций табл. II.В не может быть
фактически бесконечно продлена ни в одном из двух возможных
направлений.
Справедливость этого положения непосредственно вытекает из
сделанного выше замечания о том, что ни одна из пропорций табл. П.В
не может иметь средних в собственном смысле, если члены а и с имеют
один и тот же знак. В самом деле, предположим, что мы продолжили
в обоих направлениях одну из этих пропорций, в которой, например,
а ;> 0 и с <0, и пришли к следующему формальному ряду значений:
...с2, Cf, с<;0<а, аъ а2,...
Для того чтобы этот ряд представлял собой действительную
прогрессию, его члены должны были бы удовлетворять следующий
неравенствам:
... с2 < сг < с < 0 < а < аг < а2,...,
но это невозможно, так как в этом случае % являлось бы центральным
членом пропорции с положительными крайними членами, равно как
и с1 было бы центральным членом пропорции с отрицательными
крайними членами. Другими словами, аг и с1 оказались бы настоящими
средними величинами по отношению к крайним членам, имеющим один
и тот же знак, что противоречит условию. Итак, продлить данную
пропорцию можно только на один член в каждом направлении.
Но если мы вспомним, что три классические пропорции, равно как
антигармоническая пропорция, являются симметричными в отношении
а и с, то увидим, что если для одной из этих пропорций один из
крайних членов выражается формулой а = ф(6, с), то и для другого ее
крайнего члена будет справедлива формула с = ф(а, Ь). Что же
касается остальных 12 пропорций табл. II.А, которые являются
попарно экзосимметричными, то, если для одной из этих пропорций мы
имеем а = ф(6, с) и с = г|з(а, 6), тогда для соответствующей экзосим-
метричной пропорции будем иметь с = ф(а, Ь) и а = ijp(b, с). Поэтому
наш анализ 16 прогрессий, получаемых из пропорций табл. II. А путем
продления в обе стороны ее членов, мы можем ограничить
рассмотрением выражения одного из крайних членов пропорций (одного и
того же для всех пропорций) в функции двух других ее членов.
Сначала предположим, что члены пропорции Ъ и с положительны
и что Ь < с (см. табл. VI).
При таком предположении сразу же оказывается, что формулы
(3) и (4) не годятся, так как не дают действительных величин,
поскольку подкоренное выражение уравнения является
отрицательным в случае, если Х1+\>х{, точно так же не имеют смысла
формулы (5s) и (6s), так как они приводят к значениям Xi+2, меньшим
43

Таблица VI
Таблица прогрессий, выводимых из пропорций табл. II.Л

Порядковый
номер
Ids
2
2S
3
3s
4
4s.
5
5s
6
6s
7
7s
\
геоме
Прогрессия
xi+2 2
_xt+i±V5x?+l — 4xl+1xl
xi+2 2
xi+lxi~^xi+l~xi
\ Ч + 2 *l+l
*/+2 2
i
xi+2 = xi±r xi~XiXL+\
A
^+2-2x.-xi+l
л;/Н-2 = л:/Н-1± У xi+\ XiXi+\
%XiXi+\—xi
*'+2~ */+! |
xt+l+xt±V x?+i-Zxf + 2x.xiJhl
xi+2 ~ §
x.±V Ьх.х^-Ъх]
xi+2 2
xlJr2 = xi + xi+\
xi+2 = Xi-~Xi+\
1з табл. исключены три классические пропо
трическая и гармоническая.
Пропорции
а — Ъ с
b — c a
| а — b с
Ь — с ~ Ъ
а — Ъ Ъ
b — c a
а — с b
b—c~ c
a —b a
а— с b
а— с а
b—с с
а — b a
а —с с
а — с с
b — c ~~ b
а —b b
а — с а
а — с с
b — с а
а — b с
а—с а
i
а — с b \
b — с а
а — b с
а — с b
)ции: арифм
Примечания

Антигармоническая
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Обобщенный
ряд
Фибоначчи |
етическая,
44

Х[+\. Непригодна также и формула (7s),« поскольку в случае л^<*ж
она дает отрицательные значения для дг/_|_2-
Из пропорции (4), которая лежит в основе прогрессии (2s), можно
сделать вывод, что разность между п-м и (п—1)-м членами прогрессии,
первым членом которой является xit удовлетворяет следующему
соотношению1:
Xi+n—\ (Xi+n — Хц-П-\) = Xt (Xi+\ —Xt),
что возможно (предполагая, что члены прогрессии положительны и
расположены в порядке возрастающих величин) лишь в том случае,
если разность хИп — хип_г может быть сделана меньше любой
наперед заданной величины. Следовательно, члены прогрессии
стремятся к одной и той же величине и сама прогрессия таким образом
теряет всякий смысл, превращаясь в простой ряд одинаковых величин.
Рассуждая аналогичным образом, можно убедиться, что также и
члены прогрессии (2) и антигармонической прогрессии (1) стремятся
практически к постоянным величинам.
Из формулы прогрессии (3s) мы сразу же получаем:
— xi+l—xixl+l + xl xi+l {Xi+\—Xj) . v
Xi+2 — = + Xi.
лъ лг
Путем деления на Xi+\ мы приходим к следующей формуле
отношения между двумя соседними членами прогрессии:
xl-\-2 Xi
xi+\
.нимание,
хц-\ х
Ч-1~
*i
что
i =
*i
I
х2
xi
xL-\-\
-A
Ki-\~l xixi-\-\
1 Рассуждение, проведенное автором, а также вывод, касающийся свойств
членов прогрессии (25), нуждаются в уточнении. Начнем со второго. Нетрудно
заметить, что, вообще говоря, члены прогрессии не будут обращаться в ряд
одинаковых величин. Однако действительно, как будет показано ниже,
разность между ними стремится к нулю и практически их можно считать
одинаковыми. Покажем теперь, что разность (х^п—х._|_/г_1 )->0. Действительно, по-
х.(х1+1—х.) Л
лагая х£±п—Х;_1 п_ { = — = =£п> гДе А — константа, пред-
xi+n-\ xi+n~\
положим, что 8П —> 8 > 0. Тогда найдется такой номер /г, что гп = е + &i> Где &г
А А А
весьма мало. Для ел+1 имеем вп= ^ ; Xl+n_l=i—^—; Х/+д= __ +
A A1 ^(£ + £i)
+ (£ + £i); ея4. 1 = — = л = а , / I ^7 < £> что пРотиво-
хп
(е + б1) Л+(е + е^
(£+£i)
речит предположению неравенства s нулю. Подобного типа рассуждения
применимы для доказательства соответствующих результатов для (3s) и (4s). —
Прим. ред.
45

Мы получаем
Отсюда следует, что
2 2
Ki+\ __ Xi | xL+\ ~~Xi
xt ~ xi+\ xtxl+l
2 2 2 2
Xi+\~Xi ^ H ■ xi+\— Xi ^^/+1
xi+l xl+l XiXi+l+x? */+i ' xixi+\ xt
Итак, вообще '+/z + 1 <^—i±^_ f т. е. отношение между двумя
xi-\-n xi-\-n— 1
соседними членами прогрессии уменьшается с увеличением п.
Но из только что полученных формул вытекает также, что:
X:
/+2 Л/+1 . *
Н—= _~^Н L > откуда следует, что
*/-f-l xi xi+\
X
i+2 */-{-l .*i+\
<
*/_|_l <4 Xf._j_2
Таким образом, разность между отношениями двух соседних пар
членов прогрессии удовлетворяет неравенству:
xi+\ X/+2.>i l
xi xi+\ xi+2/xi+\
т. е. эта разность всегда превышает некоторую конечную величину
х.
(за исключением случая, когда -^ =1), и поэтому члены прогрессии
xi\i
(3s) при увеличении п стремятся к неким постоянным величинам.
Формула (7) приводит к чрезвычайно простой и в то же время
важной прогрессии, в которой каждый член равен сумме двух
предшествующих членов. Наиболее важным вариантом этой прогрессии является
такой ряд, первые два члена которого равны 1 и 2. В этом случае
весь ряд принимает следующий вид:
(6) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
Эта прогрессия уже давно известна под наименованием «ряда
Фибоначчи» или «ряда Брауна». Она играет важную роль в статистике,
поскольку оказалось, что вторичные средние величины некоторых явлений
растительного мира (число лепестков, колосьев, тычинок в соцветиях)
совпадают в основном с Числами такого ряда.
Из числа наиболее известных арифметических свойств ряда
Фибоначчи отметим следующие:
а) члены ряда могут быть получены путем суммирования
элементов вторичных диагоналей треугольника Тартальи;
46

б) начиная со второго члена ряда, квадрат любого его члена
отличается по абсолютной величине на единицу от произведения обоих
соседних с ним членов.
Таким образом, прогрессия (7) является обобщением ряда
Фибоначчи. Ее главные свойства изложены в другом месте [176]. Некоторые
из этих свойств являются обобщением свойств, присущих ряду
Фибоначчи. Пока ограничимся доказательством следующего положения.
Характеристическое свойство прогрессии типа (7). Если
даны два последовательных члена: xi+n+\ и Xi+n прогрессии типа (7),
двумя первыми членами которой являются xt и xt+\, выражение
jc/4-m+i—лг/4-л—Xi+nXi+n+\ является постоянной величиной и
равняется по абсолютной величине выражению х*+\—х*—#/#/4-ь
В самом деле мы имеем:
2 2 / \ 2
Х[+п+\—#/-f-/2—Xi+n Xi+n+ 1 =#/4-/14-1 yXi+n+l —Xi+n) — Xi+n =
2 / \ 2
= #/4-«-|-i '#/4-/2-1 —#/4-/2 = (#/4-/i + #/4-n—1 J #/4-/1-1 —#/4-/2 =
__ 1 2 2 / 2 ■ 2 \
— Xi+nmXi+n—\ "r #/4-/1-1—#/4-и = —v#/+/2—#/4-/1-1—#/4-/1-#/4-/1—1 ;>
что и требовалось доказать.
Если далее принять во внимание, что
2 2 2
#/4- п 4- 1—#/4-п—#/-И Х#/+/И-1—^H-i-f 1 '#/4-/2—1 —#/4-/г>
то станет еще более очевидным, что только что доказанное нами
свойство данной прогрессии является не чем иным, как обобщением
рассмотренного нами выше свойства б, присущего ряду Фибоначчи.
Из указанного свойства можно сразу же вывести, обозначая
через d постоянную величину |#?4-i—#/—#г#/-и1>
следующую формулу:
|#/4-/г—#/4-И-1 -*/+/г-1 I =d
и, деля обе части равенства на xi+n-#/4-/2-1 :
xi+n xi+n+\
xi+n— l xl+n
xi+n' xi+n— 1
откуда, принимая во внимание, что при достаточно большом п
выражением ^—— можно пренебречь, мы приходим к
следующему выводу: отношение между двумя последовательными
членами прогрессии типа (7) стремится к некоторой постоянной
величине.
Учтя это и обозначив через хНп п-н член прогрессии (7), а через q
неизвестный знаменатель геометрической прогрессии, к которой
стремится ряд (7), мы будем иметь:
#/-И 4-1 = х1+п • q и #/4-/2 -f-2 = Xi+nCJ2
47

и, подставляя q в пропорцию, из которой выводится прогрессия (7),
получаем:
Q2-Q 1
?2-i я
откуда следует (поскольку q Ф 1), что q2 — q — 1 =0, т. е. q =
= 1,618035. Такой результат приводит нас к выводу, что, хотя бы
в приближении прогрессия (7) также не является полностью новой,
поскольку она принадлежит к более широкому классу геометрических
прогрессий.
~ о d
Быстрота, с которой выражение становится настолько
-1
малым, что им можно пренебречь, зависит не только от степени
желаемого приближения, но также и от значения исходной постоянной
величины d\ так, например, для ряда (6) d = 1 и отношение его
последовательных членов становится постоянным, начиная с десятого. Для
иллюстрации сопоставим приближенные значения членов ряда (6),
полученные из геометрической прогрессии, с соответствующими
значениями, полученными путем непосредственного вычисления.
15-й член ряда:
987 (действительное значение)
20-й член ряда.
10946 (действительное значение)
25-й член ряда:
121393 (действительное значение)
987,02869 (из геометрической
прогрессии)
10946,352 (из геометрической
прогрессии)
121397,169446 (из геометрической
прогрессии)
Мы видим, что полученное приближение может считаться в
основном удовлетворительным.
С рядом (7) тесно связан ряд (5). Поскольку последнему можно
придать вид
Xi+n — Xi+n-\ = У Xi+n-\ (Xi+n-\ —Xt+n~-2),
то очевидно, что члены ряда не могут приобрести постоянное значение,
•когда, как этого следует ожидать, разность между двумя начальными
членами прогрессии: хт и xiy не равняется нулю. Но из прогрессии
(5) мы имеем также1:
xi+n-\ V xi+n—l
1 Доказательство, проведенное Джини для прогрессии (5), неверно. Сле-
* l/i Xl+n-2
дует проводить доказательство так: обозначим И/ 1 — через еп, т. е.
Г хН-п~\
рассматриваемое соотношение запишется как — = 1 + гп. Аналогично
хЦ-п—\
xi+n—\
= 1 +s/I_._1 . Мы сталкиваемся с двумя случаями:
48

и далее, возводя в квадрат и упрощая полученное выражение:
V' х- . 1 = х- ,
или, что то же:
(8) */+„-! =2_Xl±n-3i
xi+n—2 xi-\-n—\
Вычитая (8) из (7), получаем:
xi+n Х i-\-n— 1 _ */+/г—3 xi-\-n— 2 . xi+n—3 xi+n—2
xL+n—\ xi+n—2 xL+n—\ xi+n xi+n
откуда делаем вывод, что
/Q\ *'+" ^ Xi+n- I
xi+n— 1 xi+n—2
Однако, если мы применим тот же метод доказательства, каким
мы пользовались при анализе прогрессии (3s), мы убедимся, что
знак неравенства в формуле прогрессии (5) неизбежно привел бы .к
выводу о постоянстве членов прогрессии, а это противоречит
доказанному нами ранее. Поэтому в формуле прогрессии (5) возможен только
знак равенства. Таким образом, обозначая через q постоянное
значение отношения между двумя смежными членами прогрессии и
используя формулу пропорции, из которой была выведена прогрессия (5),
мы будем иметь:
92—9 = ± т е 9(9—*) = 1
?2-1 ?2 ' (д+\)(д-\) д '
Я _ 1
9+1 9
-\q* = q+U 92 —^7—1 =0,
а) 0 < гп_\ < е, где е — положительный корень уравнения 82+е—1 =0,
Доказываем следующее неравенство:
—/
'-rrtzr^"-
После несложных преобразований имеем:
e^_! +гп_{ — 1 < 0, и так как 0< гп_{< е, то неравенство верно. Далее дока-
V 1+8п-1
жем, что J/ | _^_ р < е. После простых преобразований имеем (записав
соотношение е.7_, = е — е1): ——■ -< е2; е — е' < е2 + е3 — е2е'; е'>е2е'
111 1 + е — е' '
е2 < 1 — неравенство справедливо. Итак, мы показали, что е/2_1 < гп < е.
Аналогично доказывается случай:
б) при условии е < 8П_! имеет место неравенство е < гп < ея_1 . Но
как раз эти неравенства и требовались автору. — Прим. ред.
3 Зак. 401 49

откуда следует, что
do) q=i±jg±L=i±/i.
Но такое же значение для q мы получили и при анализе прогрессии
(7). Таким образом, прогрессия (5) приводит к значениям, практически
совпадающим со значениями членов прогрессии (7).
Переходя теперь к анализу прогрессии (6) и применяя метод
анализа, использованный нами в двух предыдущих случаях, мы убедимся,
что, хотя члены прогрессии (6) и принимают иные значения, они
отличаются тем же свойством — отношение между двумя смежными
членами практически является постоянной величиной. Таким образом,
и прогрессия (6) подобно двум, рассмотренным выше, в свою очередь
приближается к геометрической прогрессии. Чтобы определить
знаменатель этой прогрессии, необходимо решить следующее уравнение:
Из соотношения коэффициентов уравнения мы, основываясь на
известных алгебраических формулах, находим, что уравнение (11)
имеет два мнимых сопряженных корня и только один действительный
корень, равный 1,3247.
Таким образом, мы приходим к выводу, что члены прогрессии,
определяемой формулой (6), стремятся к значениям членов
геометрической прогрессии со знаменателем, равным 1,3247.
Последняя формула, которую нам остается исследовать, это
формула (4s):
А
Исходя из нашего прежнего предположения, что члены
прогрессии имеют положительный знак, мы получаем, что 2хг—лгц^Х),
откуда следует, что xi+\ должен быть меньше 2xt. Однако это
ограничение еще не достаточно, чтобы обеспечить положительный
знак для лг/+з и всех последующих членов прогрессии. Итак,
следует найти такую величину k, чтобы при xijr\<^kxi мы имели не
только 2xt—#/+i >0, но также и 2xi+\—#/+2>0.
Предположим для начала, что Xi+\*=kxt и что */+2 = &*:/+ь
В таком случае мы будем иметь */+2 = kxi+\ =k2xt) откуда
следует, что
*2 х 1
2xt-kxt = *2*«"2=}T==*,**'2=F =&2*
Таким образом, k определяется кубическим уравнением:
(12) k*—2£2H-1=0.
50

Единственный действительный корень этого уравнения к —
= 1,618035. Таким образом, необходимым и достаточным для
сохранения членами прогрессии (4s) положительного знака является
условие, чтобы отношение между двумя любыми смежными членами
прогрессии, начиная с двух первых: х% и xivli было меньшим или равным
1,618035; если это отношение равняется именно 1,618035, то, как
сказано выше, прогрессия (4s) совпадает с геометрической прогрессией,
знаменатель которой совпадает со знаменателем обобщенной
прогрессии Фибоначчи. Если же отношение между двумя смежными членами
прогрессии меньше 1,618035, то она обязательно должна быть
убывающей. Чтобы в этом убедиться, предположим, например, что
/+1 = q, В этом случае имеем:
*'+2 = X? ^ J_ _ х\ 1 _ 1
*/+i ~~ 2*£ — */+1 ' */+1 ~~ 2xz—qxi **/+, ~c/(2—q)y
а если q<^ 1,618035, то из формулы (12) мы получаем
4 Я (2-?) '
Рассуждая таким же образом, как при анализе прогрессии (3s), мы
приходим к выводу, что члены прогрессии стремятся к необходимой
постоянной величине. Следовательно, в конечном счете формула (4s) не
приводит ни к какой новой прогрессии, так как единственная
прогрессия в области положительных чисел, не переходящая практически в
последовательность постоянных чисел, это геометрическая прогрессия
со знаменателем, равным 1,618035.
Таким образом, исчерпав все возможные прогрессии, мы в
результате нашего анализа приходим к выводу, что различные виды рядов,
которые можно получить путем обобщения 16 пропорций 1-й
категории, сводятся к следующим:
а) арифметическая прогрессия,
б) гармоническая прогрессия,
в) геометрическая или приводимая к геометрической прогрессии
(формулы (5), (6), (7)),
г) ряды чисел, которые, начиная с определенного члена,
практически принимают одно и то же постоянное значение (формулы (1), (2), (2s),
(3s), (4s)),
д) ряды чисел, в которых начиная с определенного члена, числа
выходят из сферы, подлежащей нашему рассмотрению (формулы (3),
(4), (5s), (6s), (7s)).
Нетрудно убедиться в том, что к аналогичным результатам мы
приходим и в том случае, если имеем дело с отрицательными членами
прогрессии.
Далее, в том случае, если члены исходной пропорции имеют
различные знаки, продолжение пропорции в обе стороны приводит к чле-
3*
51

нам прогрессии, имеющим тот же знак, т. е. мы приходим к одному из
двух рассмотренных ранее случаев.
Таким образом, мы можем утверждать, что путем обобщения
пропорций, состоящих из трех членов, мы не можем получить какой-либо
действительно новой прогрессии, или такой, которая не приближалась
бы к уже известным типам прогрессий.
С другой стороны, мы уже упомянули о том, что из всех 16
пропорций, которые можно вывести из пропорций табл. II.А,
арифметическая прогрессия является единственной, сохраняющей свое
значение при любых сботношениях величин членов пропорции и их знака.
Это свойство арифметической прогрессии обеспечивает ей бесспорное
преимущество над остальными прогрессиями.
§ 6. ПРОГРЕССИИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Из полученных нами прогрессий можно вывести так называемые
прогрессии высших порядков. В отличие от последних, рассмотренные
ранее нами прогрессии называются обыкновенными или прогрессиями
первого порядка.
Вывести из последних прогрессии высших порядков можно
различными способами.
Мы будем называть прогрессией второго порядка такую, которая
выведена из обыкновенной прогрессии (т. е. прогрессии первого
порядка) таким же образом, как эта последняя выведена из ряда одинаковых
чисел,, начиная по крайней мере со второго члена. Прогрессией
третьего порядка мы будем называть такую, которая выведена из
прогрессии второго порядка таким же способом, как эта последняя выведена
из прогрессии первого порядка, и т. д.
Вообще мы будем называть прогрессией порядка q такую, которая
получена из прогрессии порядка q — 1 таким же способом, каким
обыкновенная прогрессия выводится из ряда одинаковых чисел.
Это определение имеет то преимущество, что оно в равной степени
справедливо в отношении прогрессий арифметической, геометрической
и гармонической.
Арифметические прогрессии высших порядков были известны уже
в античном мире и, по-видимому, также ведут начало от Пифагора.
В арифметической прогрессии первого порядка разности между
последовательными членами являются постоянной величиной; в
арифметической прогрессии второго порядка постоянными являются
разности между разностями последовательных членов прогрессии или,
как их называют, разности второго порядка; вообще в прогрессии /г-го
порядка постоянными являются разности п-топорядка, и обычно
именно так определяются арифметические прогрессии высших порядков.
Аналогичным образом в геометрической прогрессии первого
порядка постоянными являются отношения последовательных членов; в
геометрической прогрессии второго порядка постоянными являются
отношения между отношениями последовательных членов, или, как
принято говорить, отношения второго порядка; вообще в геометри-
62

ческой прогрессии п-го порядка постоянными являются отношения
п-го порядка.
Наконец, в гармонической прогрессии первого порядка
постоянными являются разности между числами, являющимися обратными по
отношению к последовательным членам гармонической прогрессии;
в гармонической прогрессии второго порядка постоянными являются
разности между числами, обратными по отношению к разностям,
обратным по отношению к членам прогрессии, или, как принято говорить,
разности между обратными числами второго порядка—вообще, в
гармонической прогрессии п-го порядка постоянными являются
разности между обратными числами п-го порядка.
Из такого определения вытекает, что геометрическая прогрессия
п-го порядка является такой прогрессией, логарифмы членов которой
образуют арифметическую прогрессию того же порядка. Такое именно
определение геометрических прогрессий высших порядков дается в
математических трактатах.
Наоборот, гармоническая прогрессия п-го порядка, как мы ее
определили выше, не равняется прогрессии, обратные члены которой
образуют арифметическую прогрессию соответствующего порядка. Ведь
в такой прогрессии постоянной величиной являются не разности между
обратными числами п-го порядка, а разности п-го порядка между
числами, обратными по отношению к последовательным членам
прогрессии. Следует отметить, что именно эту последнюю прогрессию Лейбниц
назвал гармонической, когда он пришел к построению своего
гармонического треугольника, который он противопоставлял
арифметическому треугольнику Тартальи. Вслед за Лейбницем такого же
понимания гармонической прогрессии придерживался и Месседалья [164,
р. 289—290].
Мы уже упомянули о том, что прогрессии могут выводиться
различными способами. Примененный нами способ их выведения
отличается от того, какой был применен Лейбницем при выводе
гармонических прогрессий. Мы считаем наш метод лучшим не только потому,
что он пригоден также и для вывода арифметической и геометрической
прогрессий, но также и потому, что он может быть применен и к
другим прогрессиям.
Чтобы лучше уяснить процесс выведения прогрессий высших
порядков, заимствуем из обширного исследования Соннино [201]
перечень важнейших свойств арифметической и геометрической
прогрессий.
Арифметические прогрессии высших порядков. Пусть мы имеем ряд
одинаковых чисел, равных ах:
(13) аъ av aly av av аг.
Возьмем какое-либо иное произвольное число а2 и построим ряд,
в котором каждый член получается путем прибавления к предыдущему
члену ряда числа аъ взятого из ряда (13):
(14) аа, a2 + av a2 + 2av az + 3av a2 + 4ax.
53

>
>-(
►-Н
О
о У
/
/ с
ю
Q
Q
со
Q
Q
Q
,—i
41
Q
* * *~4
^ '
+
а
о
НН >—<
^ -^
+
Q
а
:г~^
+
со
Q
а
^—-v
КН 1—1
+
CJ
а
в
CN
со
CN CN
+
а
CN |—•
а
CM CN
+
Q
*" -V
CN *-*
+
а
а
CN CN
+
в
CN нн
+
со
!Ч
а
,-—--
CN •—i
+
(М
а
о
со
со со
Ж"
со
Q
СО CN
^ ■"
+
СО ьн
t
_,
а
со со
+
CJ
О
СО CN
" ---'
+
со
в
СО >-<
+
_,
Q
СО CN
v- "
+
Q
СО »-н
" '
+
а
Q
СО •—»
^ У
+
а
Q
^
^
в
^ ^
+
О
тР СО
+
Q
^ CN
+
in
_
«3
■*f СО
+
CJ
а
rf СМ
^ '
+
а
^ •-<
41
«
Tf CN
^ ■"'
+
а
т^ ^_
^ --^
+
СО
а
У -ч
т^ _
+
CJ
«
в
ю
r-t
а
ю ^
+
ю со
+
со
а
ю см*
+
ю —•
а5
т-\
а
ю со
+
N
Q
Ю CN
^ '
+
со
а
Ю I—i
+
4"
а
Ю CN
'
+
<з
Ю •—1
+
со
а
**—^
ю •—•
+
<N
а
тЧ
а
CD
тЧ
а
CD ^
+
CD СО
+
в
CD CN
41
а
CD м
,_,
в
CD СО
' +
(N
<3
CD CN
^ '
+
со
а
CD >—*
+
41
Q
CD CN
'
CI
а
CD hi
-^
+
CO
а
^—^
CD —'
+
CJ
а
Q
t^
54

Таким образом, мы получаем обыкновенную арифметическую
прогрессию. Взяв третье произвольное число яа, мы таким же образом
из прогрессии (14) выведем арифметическую прогрессию второго
порядка и т. д.
Обозначим арифметические прогрессии порядка q символом М.
Из определения вытекает, что эти прогрессии зависят от q + 1
параметров (взятые произвольно первые члены М, М, 3Л, ..., М плшс
число, при помощи которого построен ряд (13), который мы обозначим
через °Л). Мы сможем построить таблицу с двойным вводом тем же
методом, при помощи которого строятся арифметические треугольники
или треугольники Тартальи. Обозначения колонок указывают на
порядок q прогрессии, а обозначения строк — на порядковый номер
члена прогрессии.
Табл. VII ясно показывает закон образования членов прогрессии
Л, п-й член которой определяется формулой:
(15) ап, , = а,+, + ("Г1) a, + (V)o?_i + ... + (V)fl1 = il GmM+i-
Можно было бы рассмотреть различные особые случаи, когда
некоторые из параметров равняются нулю; мы рассмотрим из них только
один, наиболее интересный случай, когда лишь первые два параметра
отличны от нуля; мы обозначим их соответственно буквами г и а.
Построим таблицу, аналогичную той, которая нам дана для общего
случая (табл. VII).
Таблица VIII
|\ я
р \
1
2
3
4
5
6
0
СУ
СУ
0'
СУ
ю-
СУ
I
0-
(iKV
СХУ
(JKV
СЮ-
СХУ
II
0-
СХУ
СХУ
GKV
СХУ
III
1 СУ
СХУ
СХУ
СХУ
IV
СУ
СХУ
СХУ
1
...
55

Обозначим эти прогрессии символом ?Л'. Они были подробно
изучены математиками древности, которые дали им особые имена. Вот
некоторые из них.
Колонка II при а = 1 и г = 0 дает натуральный ряд чисел, а
при г > 0 дает так называемые многоугольные числа:
г = 0 1 23456 натуральные числа
/'=1136 10 1521 треугольные »
г = 2 1 4 9 16 25 36 квадратные »
г = 3 1 5 12 22 35 51 пятиугольные »
г = 4 1 6 15 28 45 66 шестиугольные »
Наименование этих рядов чисел объясняется тем их свойством, что
число точек, равное каждому из членов ряда, может быть
расположено симметрично в многоугольнике того же наименования.
Колонка III при а = 1 и г = 0 дает треугольные числа, а при
г > 0 дает многогранные числа:
г = 0 1 3 6 10 15 21 треугольные числа
г = 1 1 4 10 20 35 56 четырехгранные »
г = 2 1 5 14 30 55 91 пятигранные »
г = 3 1 6 18 40 75 126 шестигранные »
Эти ряды чисел также получили свои названия в связи с тем, что
число точек, равное каждому их члену, может быть симметрично
расположено в многограннике соответствующего наименования.
Если же мы приравняем а единице в последовательных колонках,
то получим в каждой из них ряды чисел, которые не имеют специальных
обозначений, но по аналогии с предшествующими колонками мы могли
бы дать им наименования по соответствующим фигурам четырех и
более измерений. Так, например, для колонки IV мы должны были
бы исходить из фигур четырех измерений (S4) и т. д.
Числа, получаемые в последовательных вертикальных колонках
при а = 1 и г = 1 (числа треугольные, четырехгранные и т. д.),
соответствуют фигурным числам, которые были хорошо известны
древним, и представляют собой не что иное, как колонки треугольника Тар-
тальи.
Общая формула для М' имеет следующий вид:
(16) ap,q = {pqZ\)a + {>-l)r,
где р — обозначает строку, на которой находится член прогрессии,
но не его место в ней.
Что касается свойств qA' и qAy то мы отсылаем читателя к
цитированному выше труду Соннино.
Геометрические прогрессии высших порядков. Обозначим
геометрические прогрессии порядка q символом <*G. Мы уже дали
определение ?G одновременно с определением чА.
56

Из самого определения вытекает, что если ряд чисел
представляет собой геометрическую прогрессию ?G, то ряд
log-^i» log*2> log
^заявляется арифметической прогрессией М, и наоборот, если ряд
У1> У2> Уз--
представляет собой арифметическую прогрессию М,1 то ряд
numlogyi, numlogy2, numlogy3> •-
является геометрической прогрессией ?G.
Отсюда, равно как из того, что нам известно о М, следует, что
/г-ый член <*G определяется формулой:
an,q = a
(V ) SU) JZD То1)_Па('Я)
... а
<7+1
"/=о i-и
Аналогично из найденных уже ранее отношений между членами М
мы можем получить соответствующие значения для ?G.
Таким образом, мы можем построить таблицу, аналогичную
табл. VII.
Таблица IX
1
2
3
4
5
6
0
ах
а±
ах
at
ах
ах
I
а2
(!)
а2а{
(?)
а2ах
(?)
а2а{
с2а,
(?)
а2а1
II
а3
(!)
ага2
(?) (!)
аъа2 а,
(?) (S)
а3а2 ах
(.4) й)
а3а2 aj
(?) G5)
аЗа2 а1
III
а4
1 <!)
| а4а3
(?) (D
а4а3 а2
(?) G3) (S)
а4а3 а2 ^
(J) (1) (з)
а4а3 а2 а\
(?) G) (з)
а4а3 а2 а1
IV
«5
1 Ю
1 а5а4
(?) (1)
а5а4 а3
(?) (1) (!)
а5а4 а3 а2
(f) (1) Ф (1)
а5а4 а3 а2 а,
(?) (S) (5) (5)
а5а4 а3 а2 ^
. ..|
1 numlog у — число, логарифм которого равен у.
57

Точно так же мы можем построить таблицу, аналогичную табл. VIII,
принимая а3 = а4 = ... = 1.
Таблица X
1
2
3
4
5
6
0
аг
ах
ах
ах
<*i
ах
I
а<>
(!)
а2ах
(?)
а2а\
(?)
а2а\
(?)
а2ах
(?)
а2а\
II
(1)
а2
(?) ©
а2 flj
(?) (S)
а2 а,
(?) G)
а2 fl!
(?) (D
а2 ах
ш
(I)
а2
(S) (S)
а2 а2
(1) (з)
а2 ах
(S) (S)
а2 aj
IV
(5)
а2
(J) 0)
а2 ах
(S) (!)
а2 а,
Обозначим прогрессии табл. X символом qG'. Как ?G, так и ?G'
обладают свойствами, аналогичными тем, какими обладают qA и ?Л'.
Для рассмотренных выше арифметических и геометрических
прогрессий Соннино определил значения центрального члена как в
случае нечетного числа членов (что было уже ранее известно в отношении
арифметических прогрессий высших порядков), так и в случае четного
их числа. Точно так же Соннино вычислил формулы медианы и
полусуммы крайних членов прогрессии. Значительные трудности
алгебраических вычислений и сложность окончательных формул лишают нас
возможности привести здесь результаты этих исследований.
Интересующихся ими отсылаем к неоднократно уже цитированной статье.
С другой стороны, сложная алгебраическая формула средних членов
затрудняет использование ее на практике.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ЧЛЕНА ПРОГРЕССИИ
ПРИ ВЫРАВНИВАНИИ
Подобно тому, как прогрессии первого порядка представляют собой
обобщение пропорций из трех членов, ^можно принять, что
центральный член прогрессии первого порядка из нечетного числа членов
представляет собой обобщение средней, каковой является центральный
член соответствующей пропорции из трех члецор,
58

Однако в действительности мы не получаем никаких преимуществ,
если находим среднюю по центральному члену прогрессии первого
порядка из п = 2k + 1 членов вместо прогрессии из трех членов.
В самом деле, в прогрессии из п = 2k + 1 членов центральный член,
занимающий (k + l)-e место по порядку, является средней двух
смежных членов — k-то и k + 2-го, равно как и двух следующих смежных
членов — соответственно слева и справа, — занимающих порядковые
номера (k — 1), (k — 3), и т. д. Продолжая дальше это рассуждение,
мы в конце концов придем к выводу, что центральный член является
средней крайних членов — первого и (2k + 1)-го.
Однако использование прогрессии с большим числом членов
оказывается выгодным в тех случаях, когда члены прогрессии
подвержены случайным ошибкам. В самом деле, поскольку случайные
ошибки с ростом числа наблюдений перекрывают друг друга, средняя,
полученная из прогрессии, насчитывающей п = 2k + 1 членов, будет
тем меньше подвержена случайным ошибкам, чем больше п.
С другой стороны, в этом случае возникает не только проблема
нахождения неизвестного центрального члена прогрессии,
насчитывающей нечетное число членов, но и замены известного центрального
члена этой прогрессии, подверженного случайным ошибкам, его
вероятным значением, с учетом всех членов прогрессии.
Будем рассматривать члены прогрессии как значения функции
натуральных чисел, соответствующие их порядковым номерам. В этом
случае задача может быть распространена на случай прогрессии с
четным числом членов, в которой требуется определить, какое значение
приняла бы функция в зависимости от двух натуральных чисел,
соответствующих двум центральным членам прогрессии.
Разумеется, такого рода вопросы могут быть поставлены в отноше-
нии прогрессий не только первого порядка, но и высших порядков-
Формулы, позволяющие определить вероятное центральное
значение арифметической прогрессии высшего порядка в случаях четного
и нечетного числа членов, подтвержденных случайным ошибкам, были
даны Скьяпарелли [190].
Предложенные Скьяпарелли формулы зависят от кривой,
представляющей члены ряда, и основываются на следующем рассуждении.
Пусть у0 будет средней ординатой (в случае нечетного числа
членов, равного 2/2+1, остальные ординаты будут у_п, у_/г_1,...,
у_ь уъ ..., уп, а в случае четного числа членов (2п) ординаты
будут иметь вид у 1 ,...,у 1, у 1 у 1\и& — порядок кривой,
V~) ~2 "2 П~~2)
изображающей последовательность чисел; тогда можно доказать, что
сочетанием 2/г + 1 (мы берем для простоты случай с нечетным числом
членов) ординат, дающим среднее значение кривой, является
следующее линейное сочетание, в котором коэффициенты членов, равно
отстоящих от у0, равны друг другу:
17) У = ао У о + ai (У-1 + Ух) + • • • + % (У-п + уп) >
59

**=2iarA>(t=l,2,...,/i); P=[S~
r=0 [ S,
где at определяются следующими уравнениями:
а0 = Я0;
s + 1, если k — 2s + 1;
если £ = 2s,
где коэффициенты Я0, >а,..., А,,, в свою очередь определяются
уравнениями:
п + у ] ^о + S2 ^i + S4 К + sc ^з + • • • + S2P-2 \ = V;
S2X0 + S4^ + SeX8 + ... + S2/lXp = 0;
S4 А,0 + S6 Ax + S8 X2 + ... + S2p+2 \ = 0;
в которых
^2р-2 ^о + $2р К + $2р+2 К + ••• + S4p-4 ^р = 0|
S,= 2W'[*=2,4,6,...,4p-4].
Таким образом, если предполагается, что дуга кривой,
заключенной между (2/2+1) рассматриваемыми ординатами, может быть
уподоблена отрезку прямой, то К = о 4-1 и' слеД°вательыо> ао —
= а1=... = а7г, откуда следует, что формула (17) преобразуется
следующим образом:
(18) У=~Г1{Уо + (У^ + Уг)+- + (У-п + Уп)}-
В этом случае, при четном числе ординат, мы будем иметь:
Если же мы имеем дело с действием, которое Скьяпарелли назвал
выравниванием 2-го порядка и которое заключается в сопоставлении
дуги параболы, заключенной между рассматриваемыми ординатами,
с дугой любой из парабол, удовлетворяющих уравнению у = а +
+ Ьх + сх2 + dx3, то необходимо определить только два
коэффициента: Х0 и Хг, и для нахождения по общим формулам значений достаточно
использовать S2 и S4.
Приведем примеры таких формул выравнивания 2-го порядка:
при п = 2 и при нечетном числе членов (2/г+1 = 5) мы будем иметь1:
1 Эта формула была использована также при выравнивании годичных
средних чисел умерших по отдельным возрастным группам от двух до девяти лет в
таблицах смертности итальянского населения, основывающихся на
наблюдениях за числом умерших в течение двухлетия (1921-1922 гг.) Эта формула была
в то время найдена непосредственно при помощи метода наименьших
квадратов. См. [122, р. 70].
60

y = ^{17y0+12(yi + y-i)-3(y2 + y_2)};
при п = 3 и при четном числе ординат:
y=i{ 12(^_i+M+7p_i+^)-3(^+^)
при /2 = 3 и при нечетном числе ординат:
У = ^-[7Уо+6(у1 + у-1) + 3(уа + у_2)-2(у8 + у_з)].
Приведем теперь также некоторые из простейших формул
выравнивания 3-го порядка, т. е. такого выравнивания, которое основывается
на предположении, что дуга кривой, заключенной между данными
ординатами, может быть сопоставлена с одной из парабол,
удовлетворяющих уравнению:
у = а + Ъх + сх2 + dx3 + ex* + fxb.
При 6 ординатах мы будем иметь:
y = w{150(y_L+yL)~25(y_± + b)+3(y_L + y-|)}:
при 7 ординатах:
у = 21г[131у0 + 75(у^1 + у1)-30(у_2 + У,) + б(у-3 + Уз)]-
§ 8. ФОРМАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ СРЕДНИХ
Рассмотренное в предыдущих параграфах понятие средней как
центрального значения прогрессии не дает возможности вывести понятие
средней по отношению к последовательности /г членов, независимо
от того, в каком порядке они следуют друг за другом. Для этой цели
необходимо поэтому прибегнуть к формальному обобщению средних,
полученных из непрерывных пропорций. Другими словами,
отправляясь от формул средних двух чисел, цужно присоединить к ним
в этих же формулах другие числа, что, очевидно, можно сделать
различными способами. Посмотрим, какие формулы можно получить
путем формального обобщения для главных типов средних,
рассмотренных в предыдущих параграфах.
1. Формула средней арифметической А=^1_^2± может быть
обобщена при помощи следующих формул:
4'= fli+a2 + ..-+a7i .
2
r = / д?-1+дГ1 + .-+аГ1У^
61

пп— 1 Л- пп— * _L A-nn—l
2. Формула средней геометрической G= У^-а^ может быть
обобщена следующим образом:
G, = Va1-a2...an;
/J''__ 1 /fll-«2 + Ol
аз+... + ai ап + а2 а3+... + а2 ап+... + ая_, ап
G
(5)
.п /«1 «п + «2 а„_ 1 + «з «rt_2 + • • • +ап «1
'"=}/
3. Формула средней гармонической, которая при двух членах
может быть выражена двояким образом:
2 2ал а»
или *
J_ I J_ ^ + «2 '
можно обобщить при помощи следующих формул1:
п
Н' =
11 1 >
1
^ _ / паха2... ап \~^ц ,
Ul + 02+...+Ял/
1 Следует отметить, что Месседалья в неоднократно упоминавшейся работе
о средних величинах приводит в числе обобщающих формул средней гармоничес-
- h(a1a2...an)2'n
кои также следующее выражение: Ц — ~—гт~Г П7~-
а1~Га2~Г ••• ~ГаП
Однако эта формула может привести к значениям, не заключающимся в
интервале между крайними членами совокупности. Месседалья, кроме того,
утверждает буквально, что выражение Н якобы «все же соответствует среднему
значению в точном смысле слова» (стр. 287), что, как на это уже раньше указывал
Джини в статье, упомянутой,в сноске на стр. 37, вызывает у читателя удивление,
так как принадлежит автору, обычно столь точному в формулировках, каким
является Месседалья. Это удивляет тем более, что в первом издании своего
труда, опубликованного в «Статистическом Архиве» в 1883 г. (год V, вып. II-IV),
он высказывал противоположное мнение. «Если мы имеем дело, — писал он, —
с последовательностью, состоящей более чем из двух членов, мы можем получить
значение, которому вовсе не присущ характер средней величины» (стр. 14
резюме). Следует указать далее на то, что, как это отмечено в примечании редакции
«Библиотеки Экономиста», Месседалья перед смертью оставил неопубликованную
рукопись о средних величинах, содержавшую разделы, отнюдь не являвшиеся
необходимыми, а также повторения и рассуждения, не носившие, в сущности,
статистического характера. Эта рукопись была подготовлена к печати проф.
Р. Бенини, который отобрал для опубликования отдельные ее части и
отредактировал их.
62

4. Формула средней антигармонической & = -Ц—- обобщается при
помощи формул:
\а1 + а2+...+ап)
Легко видеть, что таким же путем могут быть получены формулы
для обобщения средних, а также и других типов прогрессий, в
частности степенных прогрессий. Однако даже после исключения формул,
являющихся, по существу, неправильными, как, например, формулы Я,
упомянутой в примечании на стр. 62, остается значительное число
формально возможных обобщений. Необходимо поэтому найти какой-
то разумный критерий, чтобы устранить элемент произвола при отборе
нужных нам формул.
В качестве критерия выбора можно воспользоваться совпадением
средней, получаемой из формального обобщения формулы,
действительной для трехчленной пропорции с центральным членом прогрессии
полученной путем продолжения указанной пропорции.
Такой критерий приводит к выбору средних' арифметической,
геометрической, гармонической и антигармонической на основе формул
соответственно А', G', Я' и К'- Следует иметь в виду, что если какая-
либо средняя двух членов является дополняющей или обратной по
отношению к какой-либо другой из средней (о чем шла речь в § 4),
то эти соотношения не всегда сохраняются при большем числе членов
прогрессии. Так, например, средние арифметическая и
антигармоническая остаются обратными по отношению к средней квадратической
при любом числе членов прогрессии; наоборот, средние
арифметическая и гармоническая являются обратными по отношению к средней
геометрической лишь при условии, что число членов ограничивается
двумя. Таково же условие, при котором средние гармоническая и
антигармоническая являются дополняющими по отношению к средней
арифметической,
§ 9. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДНИХ
Рассматривая средние, мы пришли, таким образом, к формулам*
имеющим силу для любого — четного или нечетного — числа членов,
расположенных в любом порядке. Единственным ограничением являет-
63

ся условие, что полученная на основе этих формул величина должна
заключаться в промежутке между крайними членами. Это условие на
данной стадии нашего анализа выступает как необходимое. Однако
оно рассматривается также и как достаточное на дальнейшей стадии
анализа, отражением чего является известное определение Коши:
«Средней нескольких величин является новая величина,
заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых
величин».
Однако по поводу этого определения следует отметить, что в
действительности средняя может совпадать с одной из рассматриваемых
величин, занимающей среди них промежуточное положение, как это
мы имеем, например, в случае средней арифметической трех величин:
1, 2 и 3. Кроме того, нельзя считать невозможным случай, когда
средняя совпадает с наибольшей или наименьшей из данных величин.
Примерами могут служить мода так называемых зеромодальных
распределений или медиана группы величин, больше половины которых
равняется наибольшей или наименьшей величине.
Ихак, предложенное Коши определение нуждается в уточнении, и
это можно сделать, не удаляясь существенно от мысли автора, если
сказать, что средней нескольких величин является любая из данных
величин, кроме самой большой и самой малой (действительная или
эффективная средняя), или новая величина, заключающаяся в
интервале между самой большой и самой малой из данных величин
(счетная средняя).
Недавно было высказано также соображение, что данное Коши
определение, в сущности, ничего не говорит. И действительно, нельзя
не признать, что оно говорит меньше, чем то, что мы обычно понимаем
под словом «средняя». Фактически, когда мы говорим о средней, мы
имеем в виду не только то, что она представляет собой величину,
промежуточную между членами последовательности, или не выходит
за пределы последней, но также то, что эта величина получается из
членов последовательности при помощи некой процедуры, которая
как раз и определяет специфический вид средней.
Мы можем поэтому дать следующее определение: средняя
нескольких величин является результатом действий, выполненных по
определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо
одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех
остальных (средняя действительная, или эффективная), либо какую-нибудь
новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из
данных величин (счетная средняя)1. Установление упомянутого-
правила ведет к определению того или иного типа средней:
арифметической, геометрической, гармонической и т. д. В этой связи следует
отметить, что такое правило иногда может быть выражено при помощи
аналитической формулы, что приводит к общепринятому
разграничению между аналитическими и позиционными средними.
Аналитическими средними являются все те, которые были рассмотрены выше, равно
1 См. также гл, I,
64

как и все прочие, выражающиеся при помощи формул.
Позиционными являются все остальные средние, между которыми есть немало
очень важных, как, например, медиана, разделительное значение,
мода, высшее значение.
В действительности, однако, это различие не является очень
четким. Так, например, медиана является в основном позиционной
средней, но при четном числе членов п = 2k она может быть выражена
а -\-а
формулой М = п 2 п *, а при нечетном числе членов п = 2k + 1 —
формулой М = аЛ+1.
Более четким является различие между твердыми средними,
зависящими от всех членов совокупности, так что при изменении любого
из них меняется и средняя, и подвижными средними, не зависящими от
всех членов совокупности, так что средняя может не меняться при
изменении некоторых из них. Твердые средние по большей части
соответствуют аналитическим средним, а подвижные — позиционным. Однако
это наблюдается не всегда: так, например, полусумма крайних членов,
определяемая формулой й1}~а,1у является аналитической подвижной
средней, тогда как разделительное значение является твердой
позиционной средней.
Из определения средней как одной из величии, которая не больше
и не меньше всех остальных, или как новой величины,
промежуточной между наибольшей и наименьшей из данных величин, вытекает,
что средняя нескольких одинаковых величии равна каждой из них.
Если поэтому, имея группу п величин, мы найдем среднюю данного
типа, например гармоническую или квадратическую, и получим для нее
значение М, а затем подставим это значение вместо каждой из п
величин группы, то получим новую группу величии, которые все будут
равны М. Любая средняя этих величин (и не только средняя того же
типа, например соответственно гармоническая или квадратическая,
но и любая иная, как, например, геометрическая или арифметическая)
будет иметь значение М.
Однако обратный вывод был бы неправилен. А именно, было бы
неправильно утверждать, что если, беря какую-либо функцию f
некоторой группы величин, мы получим значение М и вместо каждой
величины группы подставим это значение, получив таким образом
новую группу величины, которые все равны М, а затем найдем
функцию /, воспроизводящую значение М, то можно сказать, что значение М
функции / является средней исходных величин группы; на самом деле
значение М может представлять величину, внешнюю по отношению
к исходным величинам группы, т. е. большую или меньшую, чем все
эти величины. Поэтому нельзя согласиться с проф. Оскаром Кизини
[38, р. 106—116], который, правильно указав на недостаточную
полноту определения, данного Коши, предложил заменить его
следующим определением.
Если дана функция:
y = f(xvx29...9xn)
65

некоторого числа п величин xl9 х2, ...., хп, средней хъ х2у ..., хп по
отношению к функции f называется такое число М, которое, будучи
подставлено вместо х19 х2, ..., хп, дает такое же значение для функции
f, какое дают сами величины хъ х2> ..., хп, т. е. такое число М, что
f(M,M,...,M = f(x1,x2,...,xJ1.
В этом определении отсутствует условие, что средняя должна
находиться внутри крайних членов совокупности, на что, впрочем, указал
сам Кизини. Однако это не только противоречит самому названию
средней, но и лишает ее основного значения. В самом деле, главной
целью применения понятия средней, как заявляют статистики,
является необходимость дать обобщающую оценку интенсивности
рассматриваемого коллективного явления или, как выражается Кизини,
синтезировать группу величин, не меняя общего представления о
рассматриваемом явлении.
Однако легко убедиться в том, что средняя, как ее определяет
Киаини, не отвечает этой цели. Пусть мы имеем, например, две группы
величин: первую, состоящую из двух величии: аг = +12, аг = +8,
и вторую — из величин: аг = +4, а2 = —3.
Функция М = -=—.—, согласно общепринятому пониманию
Q>\ -f- #2
средней и в соответствии с ее определением, данным нами, приводит
к средней (антигармонической) лишь в том случае, если все числа
имеют один и тот же знак, т. е. в применении к первой группе величии,
а не ко второй. Согласно же Кизини, эта функция приводит к средней
и в применении ко второй группе величии, поскольку и в этом
случае также f(M, M) = f(alf a2). Однако для первой группы имеем
М = 10,4, а для второй М = 25. Ясно, что нельзя утверждать, будто
оба значения (10,4 и 25) правильно синтезируют'обе группы величин:
1 В других работах [39, 40] Кизини развивает приведенное в тексте
положение, приходя к некоторым выводам математического характера, полученным из
следующего разложения:
, _ч , _ч df . -v df
f(xl9 х2У ..., xn) = f(x, х, ..., х) + (х1 — х) — +U2— х>~^~+ '"
г -л д1
... -\-{хп—х) -— + ...,
дхп
где предполагается, что f(xl9 x2i •••> хп) может быть разложена в ряд Тейлора»
а значения Х( расположены в достаточно малой окрестности х> так что квадраты
разностей (xi —х) являются бесконечно малыми высшего порядка и отбрасыва-
df
югся, a Q— исчисляются, исходя из предположения, что х-г = х.
Однако, полагая, как это делает Кизини, f(xlt х2, ..., хп) = f(x, xy ..., х),
- ZpjXj df
мы получаем, что х = у т , где pi = ч—, т. е. средняя арифметическая xi
с весами р(. Этот результат показывает, при каких условиях (в действительности
весьма ограничительных) из вышесказанного общего положения вытекает
средняя арифметическая.
66

(+12, +8) и (+4, —3), не искажая общего представления о явлениях.
Поскольку любое количество первой группы больше любого количества
второй группы, ясно, что обобщающая формула первой группы
величин должна превосходить формулу второй группы и что любая
процедура, не удовлетворяющая этому условию, дает превратное
представление о явлении.
Данное Кизини определение средней, принятое также некоторыми
итальянскими и зарубежными математиками, представляет собой
неоправданное обобщение понятия средней, поскольку получаемый
на основе этого определения результат не отвечает признанному всеми,
в том числе и самим Кизини, назначению средней. Если хотят
сохранить предложенную Кизини процедуру, следует, во избежание
путаницы, дать получаемому результату другое наименование. Так,
например, этот результат можно было бы назвать численным
соответствием. В таком понимании численное соответствие является
одновременно средней лишь тогда, когда оно находится внутри интервала
между крайними членами.
§ 10. НЕКОТОРЫЕ РАСШИРЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕЙ
За последнее время теория средних получила дальнейшее развитие
в результате многочисленных расширений и обобщений понятия
средней. Важнейшими из них являются следующие.
а. Распространение понятия средней на качественные признаки.
Такое распространение стало возможным в результате работ Джини
[96] и Джини и Гальвани [121]. Эти авторы, предложив
классификацию качественных признаков на прямолинейные, циклические и
несвязанные, дали определение главных средних этих призцаков, исходя
из того, что характерные свойства средних, установленные для
количественных признаков, сохраняют свою силу также и для
качественных признаков, и используя далее эти свойства для нахождения
соответствующих средних. Этот вопрос подвергнут подробному
рассмотрению во второй главе.
б. Средние распределений нескольких измерений. Нахождение
средних в случае явлений, классифицируемых по вариантам двух или
более признаков, привело к интересным выводам и практическому
применению, из которых в первую очередь заслуживает упоминания
нахождение средних и медианных центров населения1. Этим
вопросам посвящена гл. III.
в. Средние распределений с бесконечными отклонениями. Мысль
о том, что для определения некоторых типов средних можно
основываться на их свойстве давать минимальные значения для средней
степенной отклонений и что поэтому для их нахождения достаточно иметь
возможность измерить разницу, или расстояние, между двумя
вариантами явления или признака, была высказана Джини уже в 1926 г.
1 [96 и 121]. О прочих применениях средних к распределениям
нескольких измерений см. [123].
67

Позже, в 1929 г. , Джини в сотрудничестве с Гальвани развил дальше
эту мысль в упомянутых исследованиях, посвященных специально
качественным признакам и распределениям нескольких измерений.
Много лет спустя (в 1944 г.) проф. Фреше продолжил работу в этом
направлении, не ссылаясь, однако, на упомянутые работы. Фреше
поставил себе задачу дать еще более обобщенное определение средней
с тем, чтобы сделать возможным ее применение к распределениям,
средняя отклонений которых оказывается бесконечной1.
Следует предупредить, что есть такие типы средних (мода, медиана,
высшее значение), которые, даже если исходить из обычных
определений средней, могут быть непосредственно применены также и к
любому распределению с бесконечными отклонениями. Однако такое
применение этих средних (за исключением моды, обычное определение
которой годится для любых признаков) ограничивается только
количественными признаками, для которых обычные определения средних
сохраняют свою силу.
Предложенное Фреше обобщенное определение может быть
применено также к распределениям с бесконечными средними
отклонениями, для которых обычное определение средней теряет смысл, но
сохраняет силу определение, основанное на минимальном значении
средней степенной отклонений, т. е. для всех признаков, между
вариантами которых можно установить различие или расстояние.
Едва ли есть необходимость добавлять, что обобщение определения
средней, дающее возможность применять ее к распределениям с
бесконечными средними отклонениями, не имеет какого бы то ни было
практического значения, поскольку в действительности подобного рода
распределения не встречаются.
1 См., в частности, [75]. Другие чисто теоретические попытки расширения
понятия средней приводятся в недавней статье того же автора, см. [76]> В этой
статье определяются средние значения случайных элементов, связанных с
«абстрактными пространствами» (пространство Банаха — Винера — Гана и т. д.).

ГЛАВА I
СРЕДНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Средняя совокупности действительных чисел
\1) Х±, Х2, .. •> Хп
является результатом действия, проделанного над рассматриваемыми
величинами в соответствии с заданными правилами, причем этот
результат представляет собой одну из рассматриваемых величии, не
большую и не меньшую, чем все прочие величины совокупности
(подлинная, или действительная, средняя), либо же новую величину,
лежащую между самой малой и самой большой из рассматриваемых
величин (счетная средняя). Уточнение правил нахождения средних
величин приводит к определению конкретных видов средней.
а. Устойчивые или подвижные средние. Если средняя зависит
от величины всех членов совокупности, так что с изменением любого
из них меняется и величина средней, то она называется устойчивой.
В противном случае средняя называется подвижной. Так, например,
устойчивой средней является средняя арифметическая — результат
следующей операции:
/Г)\ Xl ~Г %2 Т • • » Т ХП
п
Напротив, подвижной средней является полусумма крайних
членов—результат следующего действия:
/3) х,п "I" хм
где хт и хм представляют собой соответственно самый малый и самый
большой из заданных членов совокупности.
И действительно, средняя арифметическая изменяется при
изменении любого из членов данной совокупности, в то время как полусумма
крайних членов совокупности остается неизменной при изменении
любого ее члена, кроме хт и хм-
б. Аналитические или неаналитические средние. В первом случае
средняя может быть выражена посредством математической формулы,
69

которая показывает, какие операции должны быть проделаны над
членами данной совокупности, а именно:
(4) M = f(xvx2,...,xn)
(где / — символ математической формулы), если речь идет об
устойчивой средней, тогда как / зависит от & переменных, при k < /г, если
это подвижная средняя. Следует отметить, что функция / может дать,
помимо средних значений, также значения, лежащие вне интервала,
определяемого членами совокупности.
Неаналитические средние не могут быть выражены посредством
математических формул, оперирующих с величинами членов, и их
называют также позиционными средними или средними положения,
потому что они зависят от порядкового места, занимаемого членами
в монотонной последовательности, получаемой из данной
совокупности1.
Так, например, средняя арифметическая, о которой говорилось
выше, является аналитической, и напротив, медиана, выражающаяся
величиной М, которая делит надвое полагаемую монотонной
последовательность (1), является неаналитической.
Аналитические средние делятся на базовые, экспоненциальные и
базо-зкспоненциальные в зависимости от того, фигурируют ли члены
совокупности в математических формулах, которые их выражают,
в качестве основания или показателя степени, или одновременно
основания и показателя степени. Так, например, базовыми средними
являются арифметическая средняя — результат действия (2) — и
геометрическая средняя — результат следующей операции:
(5) Vx1-x2...xn-
Средней экспоненциальной является средняя экспоненциальная
в подлинном смысле слова, т. е. величина Е, данная следующим
выражением:
(6) СЕ=С*> + С*'+---+С*"
п '
где с — любое действительное число, большее 0 и отличное от 1.
Средняя базо-экспоненциальная определяется величиной у,
задающейся следующим выражением:
(7) Уу= ' ^ 2 \ ^ » ■
Базовые средние могут быть далее одноплоскостными или двуплос-
костными, в зависимости от того, входят ли члены совокупности
только в числитель или в знаменатель или одновременно и в числитель
и в знаменатель выражающих их математических формул. Например,
средняя арифметическая и средняя геометрическая — это одноплос-
1 Однако это различие не является точным. См. по этому поводу стр. 65.
70

костные средние, в то время как двуплоскостной является средняя
антигармоническая, выражающаяся формулой:
,дч *i+*2 + -" + *n
в. Однозначные или многозначные средние. Средняя называется
однозначной, если, каковы бы ни были члены совокупности по их
количеству и величине, средняя рассматриваемого типа имеет лишь одно
значение. В противном случае средняя называется многозначной.
Например, средняя арифметическая однозначна, а средняя
геометрическая многозначна, так как при четном п и при определенных
значениях членов она может иметь два значения. Например, средняя
геометрическая распределения —9, —4, +4, +9 равна:
± т^(-9)-(-4).( + 4)( + 9) = ±V 1~296 = ±6.
г. Единичные или собирательные средние. Если согласно
определению получается средняя лишь одного-единственного типа, эта
средняя называется единичной. Если же по определению получается
несколько вариантов, то эта средняя именуется собирательной.
Единичными средними являются, например, средняя арифметическая и средняя
геометрическая. Напротив, средняя степенная, заданная формулой:
(9)
V
*+*«+...+*«
является собирательной, потому что при варьировании т из нее
получается бесчисленное множество типов средних.
д. Средняя с полной или неполной областью применения. Если
средняя всегда может быть определена, какова бы ни была
совокупность рассматриваемых действительных чисел, то в этом случае
считается, что область применения средней полная; в противном
случае говорят, что область применения средней не полна.
Например, средняя арифметическая относится к средним первого
типа, а средняя антигармоиическая, напротив, — к числу средних
второго типа. Действительно, значение средней антигармонической,
даваемое формулой (8) для последовательности — 2, 3, равно:
_(-2)!±3! = 13
— 2+3
и не является, таким образом, средней величиной, так как оно больше
самого большого из рассматриваемых членов.
Возвращаясь к совокупности (1), мы видим, что xt может в ней
фигурировать либо один-единственный раз, либо несколько раз. В
случае, когда х$ является при каждом значении i всего один раз, средняя
7!

называется простой. Если же х повторяется pt раз, то совокупность
1) приобретает следующий вид:
(*i)i> (*i)2> •••. (хг)Р1, (х2)19 (*а)а, ..., (х2)Р2, ..., (xh)v (xk)2y..., (xh)Pk
k
при ^Pt = n.
i=\
Тогда можно связать xt с числом pt и написать:
х1 рг
(10)
Х2 Р2
Ч Ph
Выражение (10) носит наименование совокупности с повторениями,
и если xt упорядоченна (частотный ряд), a pt является весами при
Xt, то средняя, подсчитанная для такой совокупности, называется
средней взвешенной.
В этом случае, если речь идет об аналитической средней, М будет
функцией не только самих членов совокупности, но также некоторого
числа весов, и можно будет написать:
Af = /(*i,*a,... ,*Л, Pi,p2, ...,pj.
При этом нужно постоянно учитывать в отношении функции / те
замечания, которые были сделаны ранее по поводу различия между
устойчивыми и подвижными средними. Таким образом, мы приходим к
важному понятию средней взвешенной, которое будет более детально
разъяснено ниже на основе ряда примеров.
§ 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ
А. Простые аналитические средние
а. Средняя арифметическая (А). Если дана совокупность чисел:
то средней арифметической членов этой совокупности называется
отношение их алгебраической суммы к общему числу членов:
п
11 П
Члены совокупности могут быть как положительными, так и
отрицательными. Один из членов может быть даже нулевым, но он также
должен входить в число п членов совокупности. Средняя
арифметическая может приобретать положительные, отрицательные и нулевые
значения.
72

Средняя арифметическая — это устойчивая, базовая, одноплос-
костная, однозначная, единичная средняя, имеющая полную область
применения.
Пример. Имущество каждой из семи семей равно
соответственно (в тысячах долларов):
(2) 1, 12, 54, 130, 2 600, 5 800, 10 000.
Их средняя арифметическая равна:
д _ 1 + 12-1-54+130 + 2600 + 5800+10 000 _ 18 597 _ _
~~ 7 ~~ 7 ~~ ' *
б. Средняя геометрическая (G). Средняя геометрическая
совокупности/г членов определяется как корень /г-й степени из произведения
этих членов. Таким образом, она равна:
(3) g = Vh
Если некоторые из членов совокупности положительны, а другие
отрицательны, то может иметь место одна-две геометрические средние,
а также может не быть ни одной. Если имеются два значения, то
обычно принимают в качестве геометрической средней то из них, знак
которого совпадает со знаком средней арифметической.
Если все члены совокупности положительны или отрицательны, то
для них имеется всего лишь одна-единственная средняя
геометрическая, так как при четном показателе корня из двух получаемых при
извлечении корня действительных значений в первом случае средней
величиной может быть лишь положительное, а во втором — только
отрицательное.
Помимо того необходимо, чтобы в рассматриваемой
последовательности чисел не было ни одного нулевого члена, ибо в этом случае
средняя геометрическая обращается в нуль и не отвечает более своему
назначению.
Подсчет величины G облегчается применением логарифмов. И
действительно, из формулы (3) получаем:
п
(4) 2 l0&Xi
lozG= log*i + log*2 + •>- + l°g^/i _ t=\
О n n
Средняя геометрическая — устойчивая, базовая, одноплоскостная,
многозначная, единичная средняя, имеющая неполную область
применения.
Пример 1. Подсчитать среднюю геометрическую чисел из
примера, приведенного выше.
j G _ log l+log 12+log 54 + log 130 + log 2 600 + log 5 800+ log 10 000 _
7 _
= 0+1,07918+1,73239 + 2,11394 + 3,41497 + 3,76343 + 4 _ 16,10391 __ 2 30o56.
G = 199,78.
73

Пример 2. В качестве второго примера приведем спор,
возникший около 1627 г. между Галилеем и Ноццолино по следующему
вопросу: настоящая цена лошади — 100 скудо; один оценил ее в 1000
скудо, а другой — в 10 скудо. Спрашивается, кто оценил лучше и кто
допустил большую погрешность в оценке.
Ноццолино утверждал, что первый оценщик допустил большую
ошибку, потому что его оценка отличается от правильной на 900,
тогда как оценка второго отличалась от нее всего на 90.
Галилей же возразил, что превышение в оценке первого равнялось
преуменьшению в оценке второго, так как первый оценил лошадь в
десять раз выше ее действительной стоимости, а второй в одну десятую
ее цены.
Мы не будем вдаваться в дальнейшие подробности этого спора,
изложенного Галилеем в его письмах, так как это заставило бы нас выйти
за рамки данного исследования. Достаточно отметить, что эту задачу
легко изложить в иной форме: если лошадь оценена двумя оценщиками
в 10 и 1000 единиц, то какую среднюю следует предпочесть в качестве
величины, представляющей ее действительную цену? Среднюю
арифметическую, как считал Ноццолино, или среднюю геометрическую,
которую предпочитал Галилей?
Авторитетные астрономы и математики — Зайдель [198], Зелигер
[197], Уиттэкер и Робинзон [216] — разделяют точку зрения Галилея.
Согласно психофизическому закону Вебера — Фехнера, наша
оценка lt некоторой величины /, от которой мы получаем прямое и
непосредственное ощущение Еи связана с этой последней величиной
следующим соотношением:
Ei = klogli.
Зайдель в 1863 г. показал на основе этого закона, что в случае,
если оценка основывается исключительно на наших восприятиях,
правильно применять среднюю геометрическую, а не среднюю
арифметическую.
Пусть ll9 /2, /з, ..., 1п, —оценки некоторой величины/.
По упомянутому выше закону Вебера—Фехнера получим:
E = k\ogl;
Е±= klogli,
E2 = k log /2;
En = k\ogln,
где, Е, El9 Е2, ..., Еп — впечатления, которые величина /
непосредственно производит на наши органы чувств. Если наше
непосредственное восприятие равно Ей то оценка , которую мы бессознательно
даем величине /, равна lt при i = l, 2, ..., п\ если речь идет о £,
оценка, согласно предположению, совпадает с действительной величиной.
74

Из приведенных выше уравнений получаем:
E1-E = k\og^1 E2-E = k\og±, ...tEn—E = klog^.
Но поскольку Af = Et — Е (i = 1, 2, ..., п), это действительные
погрешности наблюдения, а не ошибки в оценке. Поэтому можно
предположить, что они подчиняются закону нормального распределения:
y=jKe-"2(A?+Af+-+A«)i
при котором у достигает максимума, когда
т. е. когда
Д? + Д2+... + Д« = ПШ1,
или
ад, ад, + ш+кдЬп
1 dl 2 dl п dl
log-^ + log^ + ... + log^- = 0,
откуда
l\'l2 •• • ':
^=1,
ln
и, наконец, / = /"/1./2... 1ПУ
что и требовалось доказать. Дж. Тальякарне попробовал путем не"
большого эксперимента проверить, является ли средняя геометрическая
оценок предпочтительной по сравнению со средней арифметической.
Он положил на стол две кучки свежих каштанов — одну поменьше,
другую побольше — и предложил 106 человекам оценить вес и
количество каштанов каждой из кучек. Он обнаружил, что ни средняя
геометрическая, ни средняя арифметическая оценок числа каштанов
не приближалась к подлинному значению и обе оказались значительно
выше него. Что же касается оценок веса, то их средняя
арифметическая оказалась ближе к действительному значению, чем средняя
геометрическая. Подводя итог этому эксперименту, Тальякарне сделал
следующий вывод: «В тех случаях, когда оценки даются опытными
людьми и когда суждение выносится о вещах, с оценкой которых
мы привыкли иметь дело, например о времени дня, о
температуре на улице, о росте и весе людей, о высоте зданий, скорости
движения пешехода, о небольших расстояниях, — по всей вероятности,
расхождение между оценками не должно быть очень велико и их
распределение довольно близко к нормальному типу. В этом случае
нас будет больше удовлетворять средняя арифметическая как наиболее
приближающаяся к истинному значению.
Этого нельзя сказать об оценках таких величин, как количество
каштанов в кучке или численность толпы людей на площади, или
очень большие расстояния, и т. д. Такие оценки дать труднее, так как
они менее привычны для наших наблюдений и нашего опыта и поэтому
подвержены более широкому разбросу и рассеянию. То же можно
75

сказать о случаях, когда имеются большие возможности или большая
склонность допустить ошибку в сторону больших, а не меньших
величин. (Однако остается в силе общий принцип, согласно которому можно
рассматривать средние величины лишь в том случае, когда отдельные
оценки не слишком разнятся между собой, так что средняя между
оценкой в 10 и 1000 единиц не имеет никакого статистического
смысла.)
При нынешнем уровне знаний в приведенных выше случаях
невозможно установить, какой тип средней или какая величина может
наилучшим образом представить данное множество оценок. И,
по-видимому, невозможно найти такое рациональное решение этого вопроса,
которое имело бы всеобщую значимость. Возможно, такое решение
может-быть найдено эмпирическим путем, в каждом конкретном случае,
при изучении характера явления и условий, в которых выносятся
оценки. Таким образом, возникает необходимость сбора большого
числа оценок в различных областях и в различных условиях и
положениях. Их рассмотрение может дать нам представление о том,
являются ли те или иные из выдвинутых здесь гипотез обоснованными или
нет, и может привести нас к раскрытию свойств и норм статистического
поведения оценок вообще и в отдельных частных случаях» [207].
в. Средняя гармоническая (Я). Средняя гармоническая —это
величина, обратная средней арифметической чисел, обратных членам
совокупности.
и п п
— + — — " п
хх х2 хп ^
i~~l
При применении этой формулы необходимо, чтобы среди членов
совокупности не было нулевых значений, потому что присутствие
нуля лишило бы смысла выражение Я. Помимо того важно отметить,
что Я всегда имеет значение, если совокупность состоит из одних
положительных или одних отрицательных членов. Если же в ней имеются
как положительные, так и отрицательные члены, то необходимо
убедиться в том, что выражение 2 — Ф 0.
Средняя гармоническая — устойчивая базовая, однозначная, одно-
плоскостная, единичная средняя, имеющая неполную область
применения.
Пример 1. Средняя гармоническая чисел примера,
приведенного на стр. 73, равна:
Я =
1,111 1 1 1
— + ~4- — 4- 4- +
1 12 ' 54 ' 130 ' 2 600 ' 5 800 ' 10 000
7
1+0,08334-0,0185 + 0,0077 + 0,00044-0,00024-0,0001 1,1102
= 6,31.
76

Пример 2.. В годы а, Ь, с стоимость жизни была равна
соответственно 100, 115 и 121.
Средняя арифметическая равна:
д = 100+ 115+ 121 = 112
3
Покупательная способность денег в эти годы была пропорциональна
1/100, 1/115 и 1/121. Для простоты примем величины покупательной
способности равными этим дробям.
Если мы хотим подсчитать среднюю покупательную способность
лиры за рассматриваемое трехлетие, то для этого достаточно найти
среднюю гармоническую для последовательности, состоящей из
величин покупательной способности за каждый год.
я= 3- =А=_1.
ЮО+115+121 336 112
Таким образом, если средняя стоимость жизни равняется средней
арифметической величин стоимости жизни за каждый год, то
соответствующая средняя покупательная способность лиры равна средней
гармонической ряда покупательных способностей за каждый год. Об этом
мы подробнее поговорим далее.
г. Средняя квадратическая (VI). Средняя квадрэтическая равна
корню квадратному из средней арифметической квадратов членов
совокупности:
*?+*!+... +х*
Если все члены совокупности не отрицательны или не положительны,
то 2А имеет одно-единственное значение. Если же в совокупности
имеются и положительные и отрицательные члены, то средняя
квадратическая может иметь либо одно, либо два значения. Во втором
случае обычно принимают за среднюю квадратическую 2А абсолютное
значение корня со знаком, соответствующим знаку арифметической
средней.
Средняя квадратическая М — устойчивая, многозначная, базовая,
одиоплоскостная, единичная средняя, имеющая полную область
применения.
Пример 1. Средняя квадратическая величин, приведенных на
стр. 73, равна:
(6)
м =
77

М = '(/
12+122 + 542+1302 + 26002 + 58002 + 100002
-У
1 4-144 + 2 916+ 16 900 + 6 760 000 + 33 640 000+ 100 000 000
-/
140 41QQ61 г
4 =1/20 059 994,42857 =4 478,838.
7
Пример 2. В качестве второго примера подсчитаем среднее
квадратическое отклонение от средней арифметической, которое
широко применяется в статистике,- т. е. среднюю квадратическую разностей
(отклонений) между каждым членом совокупности и ее средней
арифметической.
Вновь возьмем пример, приведенный на стр. 73, и, подсчитав
отклонения каждого члена от Л, получим следующую
последовательность:
— 2655,7; —2644,7; —2602,7; —2526,7; —56,7;+ 3143,3;+ 7343,3,
следовательно,
2 - = / 7052742,49 + 6994438,09 + 6774047,29 ,
6384212,89 + 3214,89 + 9880334,89 + 53924054,89\1/2_
= j/9Ф1304МЗ ^ у^ 13001863,63 - 3605,835.
Пример 3. Средняя геометрическая величин, приведенных
на стр. 73, равна 199, 78.
Последовательность отклонений этих величин от указанной
средней геометрической выглядит следующим образом:
— 198,78; —187,78;—145,78; — 69,78; + 2400,22; +
+ 5600,22;+9800,22.
Таким образом, среднеквадратическое отклонение
последовательности от G равняется:
2/1 _ /39513,4884 + 35261,3284 + 21251,8084 + 4869,2484 ,
А-[ 7 +
5761056,0484+3,1362464,0484 + 92164224,0484 х 1/2
= -[/'29388640,0188 = у 18484092,43216 ^ 4363,31 ■
Среднее квадратическое отклонение от G оказалось больше среднего
квадратического отклонения от Л, подсчитанного в предыдущем
примере. В дальнейшем мы увидим, что среднее квадратическое
отклонение от средней арифметической всегда меньше средних квадратичес-
ких отклонений от любой другой средней.
78

д. Средняя кубическая (М). Средняя кубическая представляет
собой кубический корень из средней арифметической кубов членов
совокупности:
(7) ^=у—-—-V—.
Средняя кубическая 3А всегда дает действительное, и притом лишь
одно значение, независимо от того, каковы члены данной
совокупности. Таким образом, средняя кубическая 3А — это устойчивая,
однозначная, базовая, единичная, одноплоскостная средняя, имеющая
полную область применения.
Пример. Средняя кубическая совокупности, приведенной на
стр. 73, равна:
эй / 13 + 123 + 543 + 1304-f26003 + 5S0(P + 10 000* \1/3_
1 + 1728+ 157 460 + 2 197 000+ 17 576 000 000
+
7
195112000000+100 000 000 0000 \1/3 3 / 1212690356193
'-V-
-1^173241479456 = 5574,60.
е. Средняя биквадратическая (М). Средняя биквадратическая
представляет собой корень четвертой степени из средней
арифметической четвертых степеней членов совокупности.
(8) tA=tfx4l+X*2 + xi + ... + X<
Средняя биквадратическая совокупности, образованной из одних
неположительных или одних неотрицательных членов, имеет лишь
одно значение. Если же в совокупности имеются как положительные,
так и отрицательные члены, то средняя биквадратическая может
иметь либо одно значение, либо два. Во втором случае надлежит
считать средней биквадратической абсолютное значение радикала со
знаком средней арифметической совокупности.
Средняя биквадратическая — устойчивая, многозначная, базовая,
единичная, одноплоскостная, средняя , с полной областью применения.
Пример. Средняя биквадратическая членов совокупности,
приведенной на стр. 73, равна;
79

a/~ \4 i 12-1-L544 i 1304 + 2600*-|-5800* + 10 0004
M = l/ — ——
7
1 + 20736 + 8503056-b 285610000 + 45697600000000
7
1,131649600000 -1- 10000000000000000 \ 1 /4
+ 7
4/"l 1177347494133 793 4 .
= 1/ = 7/1596763927733399=6321,35.
ж. Средняя степенная (тА). Средняя степенная является
результатом обобщения средних, рассмотренных в пунктах г, д и е. Она
получается путем извлечения корня степени т из средней арифметической
т-х степеней членов последовательности
т/~ vw_i vm_i_ j_ vm m/ 1 n
(9) mA = y iL+fi + ^l+f2_ = ]/ 1 £*?.
При m = — 1 получается гармоническая средняя:
-l
1 n
-^VK-Л-ж-')
1 n 1 ~~ n 1
/г 2j x 2j Xi
H.
При m->0 получается средняя геометрическая [71]. И
действительно:
log"M = i
/=1
log!
lim logm A = lim
m_>0 m_>0
и, применяя правило Лопиталя,
log (24'J-log л
n
lim log»M = limi^ *=L =1 J 1о§* = 1о§^;
m_>0 m-*0 i=l
и, следовательно,
' %n>
\\mmA = yrx1x2 ...xn = G, что и требовалось доказать.
При т = 1 получается средняя арифметическая,
при т = 2 получается средняя квадратическая,
при m = 3 — средняя кубическая, а при m = 4 — средняя би-
квадратическая.
80

Все средние, которые получаются из формулы (9) при нечетных т,
имеют одно-единственное значение, а те, что получаются при четном т,
могут иметь либо одно, либо два значения. В этом последнем случае
принято брать то из этих двух значений, которое имеет тот же знак, что
и средняя арифметическая членов совокупности.
Средняя степенная включает, таким образом, все средние,
рассмотренные в пунктах а—е, а также все те средние, которые можно
получить, придавая т значения >4 и <С—1. Средняя степенная — это
устойчивая, базовая средняя, одноплоскостная, многозначная,
собирательная и имеющая полную область применения.
з. Средняя антигармоническая (2Г). Средняя антигармоническая
равна сумме квадратов членов совокупности, деленной на сумму самих
членов. Ее формула такова:
(10) 2Т =
х*+х*+...+х*
2^2
п
S*i
г = 1
Для того чтобы эта формула не утрачивала своего аналитичес-
п
кого значения, необходимо, чтобы ^ xt^0.
/=i
Формула (10) всегда безусловно применима к совокупностям,
состоящим из одних положительных членов; если же в совокупности
имеются и отрицательные члены, то прежде, чем применить эту формулу,
необходимо удостовериться в том, что она дает величину, лежащую
в пределах данной последовательности.
Антигармоническая средняя — это устойчивая, однозначная,
единичная, базовая, двуплоскостная средняя, имеющая неполную область
применения.
Пример 1. Средняя антигармоническая членов
последовательности, приведенной на стр. 73, равна:
ят _ l2 + 122 + 542+1302 + 2 6002 + 5 8002+10 0002 _
~~ 1 + 12 + 54+ 130 + 2 600 + 5 800+ 10 000 ~~
_ i_|_ H4 + 2 916 + 16 900 + 6 760 000 + 33 640 000+100 000 000
18 597
140 419 961
18 597
= 7550,68.
Пример 2. Рассмотрим три семьи, в которых насчитывается
соответственно один, двое и четверо детей. Средняя плодовитость этих
семей равна средней арифметической количества детей.
Предположим теперь, что плодовитость имеет идеально
наследственный характер, т. е., что если количество детей в данной семье равно,
скажем, /г, то количество внуков в этой же семье равно /г2. В этом случае
средняя плодовитость будет равна средней антигармонической 27\
4 Зак. 401
81

Следовательно, средняя плодовитость первого поколений указанных
семей равна:
2Т = 1+9+16
1 + 3 + 4
и. Средняя степенных сумм (тТ). Обобщая формулу средней
антигармонической, мы получаем среднюю степенных сумм:
п
п
vm—\
2*Г
Если в этой формуле m = 1, получаем среднюю арифметическую,
при m = О и m = 2 получаются соответственно средняя
гармоническая и средняя антигармоническая.
Необходимым условием существования средней степенных сумм
является условие
Средняя степенных сумм — устойчивая, однозначная, базовая
средняя, дву плоскостная, собирательная и имеет неполную область
применения.
к. Средняя комбинаторная (Мс). Средняя комбинаторная равна
корню степени с из средней арифметической всех Q) возможных
произведений с членов, которые можно образовать из п членов:
где Pci(xi) означает произведение с членов последовательности.
Средняя комбинаторная—это устойчивая, многозначная, базовая
средняя, одноплоскостная, собирательная, имеющая неполную
область применения.
Пример. Если дана последовательность чисел 2, 4, 5, 10, то
средняя комбинаторная третьего порядка равна:
л„ з/~ 2.4.5+2.4.IO+2.5.IO+4.5.IO
м V — —бг^—=4718-
л. Средняя экспоненциальная (£). Средней экспоненциальной
основания с называется величина Е, получаемая из уравнения
2
(12) сЕ= c*1+c*2 + •••+?*" =*=i
82
с i

Если дана определенная совокупность членов, то имеется столько
значений Е, сколько значений может иметь с. Однако необходимо,
чтобы с > 0 и с Ф 1.
Действительно, если с = О, то
/г '
и, следовательно, Е остается неопределенной; если же с = 1, мы
получаем:
и опять-таки Е оказывается неопределенной.
Для подсчета величины Е следует прибегнуть к логарифмам,
используя формулу:
F _ log (cx* + сх*+ ... +схп) — log п
log с
из которой видно, что при с <С 0 определение величины Е невозможно.
Средняя экспоненциальная, полученная из формулы (12), является,
в сущности, средней экспоненциальной арифметической, в узком смысле
слова.
Это устойчивая, одноплоскостная, однозначная, собирательная
средняя, имеющая полную область применения.
Нетрудно видеть, что можно получить столько средних
экспоненциальных, сколько существует базовых средних (средняя
экспоненциальная геометрическая, гармоническая и т. д.).
м. Средняя базо-экспоненциальная (у). Средней базо-экспоненци-
альной, в узком смысле слова, называется такая величина у, которая
удовлетворяет следующему уравнению1:
п
(13) уУ = 1=±
п
Это устойчивая, одноплоскостная, однозначная, единичная средняя
с неполной областью применения.
Базо-экспоненциальная средняя, получаемая из формулы (13),
является по сути дела средней базо-экспоненциальной
арифметической. В широком смысле к числу базо-экспоненциальных средних
относятся также геометрические, гармонические и т. д. базо-экспонен-
циальные средние.
1 [173]. Об указанном выше определении средней базо-экспоненциальной в
широком смысле см. [103J.
4*
8

н. Средняя радикальная (р). Так называется, в узком смысле слова,
величина |3, удовлетворяющая следующему соотношению:
1
п —
(14) с£=^±
п
Аналогично тому, как это было сделано в отношении средней
экспоненциальной, можно показать, что средняя радикальная не имеет
значения при с = Ои при с = 1 и не может быть определена при с < 0.
Это устойчивая, одноплоскостная, однозначная, собирательная
средняя с полной областью применения.
о. Средняя базо-радикальная (а). В узком смысле, так называется
величина а, которая удовлетворяет следующему соотношению [173]:
п —
(15) аа=-^
п
Выражения «средняя радикальная» и «средняя базо-радикальная».
также можно применять в широком смысле слова, включая в эти
понятия, помимо арифметических радикальных средних и
арифметических базо-радикальных средних, также соответствующие средние
геометрические, гармонические и т. д.
Средняя базо-радикальная устойчивая, одноплоскостная,
единичная, однозначная средняя с неполной областью применения.
п. Полусумма крайних членов (С). Полусумма крайних членов
представляет собой среднюю арифметическую наибольшего и
наименьшего членов. Таким образом, если хг — наименьший из членов
совокупности, а хп — наибольший, она определяется формулой:
"" 2
Полусумма крайних членов называется центральным значением
или средним (медианным) значением, когда члены совокупности
представляют собой арифметическую прогрессию (или когда
предполагается, что они представляют арифметическую прогрессию, как
это бывает на практике, когда члены, расположенные между
крайними членами, распределены по классам частот), потому что в этом
случае она совпадает с членом, занимающим центральное место в
нарастающей или убывающей последовательности.
Полусумма крайних членов — это подвижная, однозначная,
единичная, базовая, одноплоскостная средняя, имеющая полную область
применения.
Примеры. Полусумма крайних членов величин, которые были
введены на стр. 73, равна:
с= *+ Ц «я д 6000,5.
84

Полусумма крайних членов, или центральное значение, следующего
ряда чисел, составляющих арифметическую прогрессию 1, 4, 7, 10, 13,
равна:
2
р. Средние арифметические £-го порядка [Ahi (i = l, 2, 3,..., k)].
Дана совокупность:
■*1> -^2» "^3> •••» "^д*
Образуем все возможные сочетания из данных k ее членов (k <^ /г).
Таким образом, мы получим © частичных совокупностей по k
элементов в каждой:
Хц х12 ... #1А
•^21 ^22 ••• "^2Л
Образуем теперь разности между переменной х и каждым членом
этих частичных совокупностей. Полученные таким образом разности
в каждой частичной совокупности перемножим между собой:
(х х1г) • (х х12) ... (х—xlk)
(х х21) • (х х22) ... (х x2h)
(*-*co>)'[*~*co2)- (*~*Ы
Суммируя полученные произведения и приравнивая сумму нулю,
получаем:
00
(17) 2 (*_*).(*_*) - (x—xik) = 0.
Все корни этого уравнения (их число равно k) называются
средними арифметическими k-то порядка [79].
Если k=n, выражение (17) приобретает вид:
(х—хг)-(х —х2) ... (х—хп) = 0
и средние /г-ro порядка совпадают, таким образом, с членами заданной
совокупности.
Выражение (17) можно также записать следующим образом:
(18) (l)xk-tiz\)2xixk-l + (nkzl)%xixjxk-2+ ... +
+ (-l)*2*a*i....*» = 0.
Средние арифметические k-то порядка — устойчивые,
однозначные, собирательные и имеют неполную область применения.
85

Пример. Если дан ряд: 1, 3, 4, то средние арифметические ft-ro
порядка при k = 2 получаются путем решения следующего уравнения:
(х—1).(х—3) + (х — 1).(х—4) + (х—3).(х—4) = 0,
или
Зх2 — 16х+19 = 0.
Решая это уравнение, получаем: Л2}1 = 3,55; Л2,2=1,78.
Средними третьего порядка являются корни следующего уравнения:
(*_1)(*_3)(*—4) = О,
т. е., как было сказано выше, они совпадают с членами данного ряда
1,3 и 4.
Наконец, средняя арифметическая первого порядка является
корнем уравнения:
(19) (х— 1) + (^—3) + (^—4) = 0;
* = 4lfl = i±?+!=2,67.
ы 3
Таким образом, средняя арифметическая первого порядка является
средней арифметической в узком смысле слова, о которой мы уже
говорили ранее.
И действительно, выражение (19), как мы увидим, когда будем
говорить о свойствах средних, характеризует среднюю
арифметическую, и именно в связи с этим только что рассмотренные нами средние
получили наименование средних арифметических &-го порядка.
с. Средние восходящие передние нисходящие [174]. Пусть дана
монотонная последовательность положительных членов, больших
или равных единице:
х0 < хх ^ х2 S х3 S ... S хп.
Пусть
5<2) = S(o" + 5(11) + S<21>+... +SV»
$(k) = S(k-\)_^_s(k-\),_S(k-\)_, , s(k-\)
Видно, что сумма S(nfJ) содержит члены исходного ряда в
линейной форме в количестве ("!"*), а r-й член — с коэффициентом
(-it?-1).
Установив это, мы назовем средней арифметической восходящей
порядка k (средние Сезаро в собственном смысле [35]), число
с(Л)
/o(/Q_ *п
п " т•
86

>(*)
или же, выражая Sn ' в функции членов х0, xlt x2, ..., хп,
(20) С<*>=^-
№)
Пример. Если имеется следующая последовательность: 1, 2, 4,
5, 8, 10, 20, то средняя арифметическая восходящая первого порядка
будет равна:
б
Ci» = ^°( ° )Xl =A = 1 + 2+4+5+8+10+20 = 7,1429;
(0 7
средняя восходящая второго порядка будет равна:
i(e-i+,)*i
Сб (I) =
_ (0-l + (?)-24-(f)-4 + (f).5+(?)-8 + (?) -10 + (})-20 i>302S
(2)
и средняя третьего порядка равна:
£(в-$+2)*|
^(3)_ i = 0
(з9)
(2) i+G)-2+(SH+(!)-6+G)-8+(2) -ю+Ш-20
= 3,3095.
(з9)
Методом, аналогичным тому, который применялся в отношении Cnk\
строятся восходящие средние геометрические. Если дана обычная
последовательность х0 < xlt <^ х2 < ... < яЛ, составляются
произведения последовательных порядков:
Рп = %о' %1 ••• Хп
Р/г =р0 'Pi ... Prt
n(*)_n*-l n(k-\) n(*-0
Prt =Po 'Pi ... Prt
Поскольку в произведении рп содержится (ntk) членов
последовательности (xt) и 1-й член повторяется сомножителем (""jfei?"1) раз,
средняя геометрическая восходящая &-го порядка определяется
формулой:
Gnk) = K *«= 1/ П *( *-i )•
(21)
Г f = О *
87

Пример. Рассмотрим вновь уже приводившуюся выше
последовательность: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20.
Средняя геометрическая первого порядка совпадает со средней
геометрической в собственном смысле и равна 4,8595. Средние
геометрические второго и третьего порядков равны соответственно:
г I = о '
= /i(D.2(?).4(>).5(«)-8(')-10(»)-2()(') =3,0655;
(§)
У t=o l
(9\
= у l(2).2^?).4(2).5^).8(2).10^).20^) = 2,4052.
Аналогичным образом определяются восходящие средние
гармонические:
1п —
/(2)
in —
1
Xq
■lll:
-*1
>+/i1]
+ ..
'+..
.. + 4"
lp=ti-»+l\k-»+...+l<ak-»
Средняя восходящая гармоническая k-го порядка определяется
следующей формулой:
(n~\-k\ (n + k\
(22) Hnk) = [ k } ~ [ k }
** ч
1=0
Пример. Рассмотрим опять-таки последовательность,
приведенную на стр. 87. Средняя гармоническая первого порядка совпадает
со средней гармонической в собственном смысле и равна 3,1460.
Восходящие средние гармонические второго и третьего порядков равны
соответственно:

В конечном счете, как это нетрудно увидеть, восходящие средние
арифметические, геометрические, гармонические порядка k представляют
собой не что иное, как средние арифметические, геометрические и
гармонические чисел х0, хъ ..., хп в которых каждый член порядкового
номера i взят с весом (n~k~\~l).
Аналогичным образом можно определить восходящую среднюю
порядка k для любого другого типа средних (квадратической, кубической,
антигармонической и т. д.) как среднюю того же типа
последовательности членов xt с соответствующими весами (n~k~tki~l).
Этой категории средних восходящих противостоит другая категория
средних, симметричных предшествующим и именуемых нисходяш^ими
средними.
Дана монотонная последовательность положительных чисел,
больших или равных 1:
■^0 — %1 — %2 • • • — %пл
Построим следующую последовательность сумм первого, второго
и т. д. порядков:
^S1 = xn + xn_i
<'>S;- = xre+ *„_,+ ... +xn-t
{ (l)Sn = Xn+Xn-l+ - + X0
WS1 = <1>S0 + <1>S1
<2>Sn = <»)S0 + (')S1+... + <«)SJ,
(*)S0 = (*-nso
(*)S1 = (*-I>s0 + (*-os1
(*)S, = (*-1)S0 + <*-»s1 + ... + (*-»)sJ
(*)Sn = <*.-,)S0 + (*-|>S1 + ... + (*-»> sn
Нисходящая средняя арифметическая порядка & выражается тогда
следующей формулой:
(23)
(й)с„
(А)
S»
SC-i+f-'K-i S Ct*T')*i
/ = о / = о
№)'
(nt*)
(nt*)
89

Пример. Рассмотрим все ту же последовательность чисел:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20.
Нисходящая средняя арифметическая первого порядка равна
средней арифметической в собственном смысле слова. Нисходящая
средняя арифметическая второго порядка равна:
(2) Г — 1=0 _
= (,1)-l + (?)-2+a)-4+(f)-8S+(f)-8 + (?)-10+(I)-20 = 98928
(2)
Нисходящая средняя арифметическая третьего порядка равна:
2 Ct2)*i
>(6):
(!)
= Ш'1 + Ш-2+(1)-4+(25)-5+Ш-8+(|).10+(«)-20 = 11 5б%
(з)
Аналогичным образом нисходящая средняя геометрическая порядка
k выражается формулой:
(n+k\ г (n+k\r
(24) (Х= V П Л *-' )= V П *И-* ).
г * = 0 п~1 * i = 0 i
Пример. Нисходящая средняя геометрическая второго
порядка нашей обычной последовательности чисел:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20,
равна:
»<,=!/ft/+■>=
V t = o l
(8\
= Tl(i).2(?).4(?).5(0.8(>).lo(?).20(0 = 7,7020.
Нисходящая средняя геометрическая третьего порядка равна:
(1)Г
<3)G6=V П /**) =
г i = 0 *
а
= У 1(2).2(2).4(2).5(2)^(2). юШ-10^) =9,5760.
90

Нисходящая средняя гармоническая порядка k равна:
(пГ) (nik)
(25) WHn = -
П
„ /,l — l-\-k— 1\ /j-_J_fe_fl\
у V k-\ ) у { k-\ )
Г*п Xn-i Г*л Xi
i=0 i=0
Пример. Нисходящая средняя гармоническая первого
порядка обычной нашей последовательности:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20,
равйа средней гармонической в собственном смысле. Средняя
гармоническая второго порядка равна:
<2># _ (з) = G) = 5 4630
^ ~7~ l"t"2"r458"ri0 20
i =0 *
Средняя гармоническая третьего порядка равна:
<3>Яб = —J9 = _ ffl - = 7,3850.
Ct8) Шл-Ш.Ш, Ш, Ш,0),(|)
1245^810 20
/ = о "*
Обобщая изложенные выше положения, мы можем назвать
нисходящей средней порядка k данного типа членов х0 < хх < х2 < ... < хп
среднюю взвешенную такого же типа этой последовательности, в
которой каждый член xt взят с весом ('t-11). [Например, член хп_г весом
ri±kr%
Метод, использованный для выведения формул (20), (21), (22),
(23), (24) и (25) средних восходящих и средних нисходящих,
естественным образом подразумевает, что величина k есть целое
неотрицательное число, однако это ограничение легко снимается, если мы вспомним,
что выражение (п~{^~1) не теряет значения ни при каких
положительных значениях k целых или дробных.
Средние восходящие и нисходящие являются, как уже было сказано,
средними взвешенными, и имеют свойства того типа средней, к
которому относятся.
т. Средние тригонометрические. Если дана следующая
упорядоченная последовательность членов, заключенных между 0 и ^-:
то можно определить следующие средние тригонометрические [181].
91

/. Средняя синуса. Средняя синуса — величина х, лежащая между
О и 2" и соответствующая следующему выражению:
п
2 sin.*^
(26) sin*=-^
2 sin Xt
x = arc sin -^
Таким образом, средняя синуса — это дуга, синус которой равен
средней арифметической синусов дуг xt.
2. Средняя косинуса. Средняя косинуса—это величина х,
лежащая между 0 и-^, которая удовлетворяет следующему уравнению:
п
2 C0S xi
(27) Cos*=-^ .
или же
п
2 cos*£
# = arc cos -^
Таким образом, средняя косинуса — это дуга, косинус которой
является средней арифметической косинусов дуг xt.
Аналогичным образом можно определить средние, которые
получаются из других тригонометрических функций.
Тригонометрические средние —это устойчивые, однозначные, одно-
плоскостные средние, имеющие неполную область применения.
Понятие средней тригонометрической можно, разумеется, обобщить,
распространив его на средние любого типа (например, геометрические,
гармонические и т. д.), причем в них члены рассматриваемой
последовательности заменяются их тригонометрическими функциями.
Пример. Если дана последовательность:
п я я я
и, —» —> —»
6 3 2
то средняя синуса равна
_ sinO + sin-тр + sin-o-+sin-<j"
х = arc sin ;
4
0+ ^ -f — +1
х = arc sin 2 . 2 = arcsin^i-3 = arcsin0,59151=36°16'.
92

В свою очередь, средняя косинуса равна:
Я Я 71
_ cos 0° +cos -^-+cos -Q-+COS -n~
X = arc COS -: =
4
i+i + ^+o
= arc cos -A = arc cos 0,59151 = 53°44'.
Б. Средние аналитические взвешенные
Вернемся к понятию средней взвешенной, введенному на стр. 72.
Допустим, что из п членов рассматриваемой совокупности лишь s <C n
отличаются друг от друга; если мы обозначим через рt число раз,
которое повторяется величина хи общее число величин п оказывается свя-
s
занным с s и с pt уравнением п = 2/?j.
Величины рь и величины /. =—, причем последние имеют то
s
свойство, что 2 /г = 1, называются частотами членов.
/ = i
Когда возникает необходимость провести различие между
величинами pi и fi, первые именуются абсолютными частотами, а вторые —
относительными частотами.
Средние, подсчитанные для последовательностей такого типа, т. е.
для частотных рядов, называются взвешенными.
Ясно, что поскольку переход от простой средней к взвешенной
происходит путем преобразования данной совокупности в частотный ряд
(если данная последовательность состоит из одних неравных членов,
то можно представить ее в виде частотного ряда путем придания
единицы каждому члену, в качестве его веса), то возможен также переход
от средней взвешенной к простой средней путем преобразования
частотного ряда в простую последовательность.
а. Средняя арифметическая (А). Формула средней
арифметической взвешенной следующая:
S
А_Р1*1 + Р2Х2+ ... + pSXs_ l=i
P1+P2+... +ps 4i
2d Pi
Из нее можно вывести в случае относительных весов:
A = f1x1 + f2x2+ ... +fsXs = 2ifixf
П р и м е р 1. Подсчитаем среднюю арифметическую ряда: 3, 5, 10,,
14, 17, 21 с соответственными частотами 4, 7, 3, 11, 9, 2.
93

Представим расчеты в виде следующей таблицы:
xi
3
5
1 10
14
17
21
1 Итого
Н
4
7
3
И
9
2
36
Н pi
12
35
30
154
153
42
426
Пример 2. Отметки, полученные учеником по различным
предметам в течение учебного года, дают следующий частотный ряд:
Отметки
(*t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Всего
Частоты
0
0
5
12
25
13
9
6
1
1
72
(**)•('/)
0
0
15
48
125
78
63
48
9
10
396
ПримерЗ. Имеющиеся статистические данные о росте (в
сантиметрах) призывников 1918 г. в Венеции Джулии дают следующий
частотный ряд:
Группы по росту
145—150
150—155
155—160
160—-165
165—170
170—175
175—180
180^185
185—190
190-. 195
195—200
Всего
Число призывников
з
17
85
403
810
926
490
148
36
6
3
2927 |

В пределах каждого класса призывники имели различный рост.
Для удобства подсчетов мы можем предположить, что показатели
роста распределены равномерно внутри каждого класса; это
равносильно тому, что каждый призывник имеет средний рост класса, к
которому он принадлежит. Таким образом получаем следующий частотный
ряд.
Рост (*.)
147,5
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
. 182,5
187,5
192,5
197,5
Всего
Число (рЛ
3
17
85
403
810
926
490
148
36
6
3
2927
(xi) (Pi)
442,5
2592,5
13387,5
65487,5
135675,0
159735,0
86975,0
27010,0
6750,0
1155,0
592,5
499802,5
Следовательно, А = 2927* = 170,76.
б. Средняя геометрическая (G). Формула средней геометрической
взвешенной такова:
0=pl+p,+-+",|/-jep,.xp. ^i^/A
1
2 pt
/ = 1
В случае относительных весов она приобретает вид:
s
G = x[l-xfS...xfs= П xU.
t=\
Подсчет подобных средних осуществляется при помощи
логарифмов по общим формулам:
logG =
Pilogx1+p2logx2+ ... + pslogxs £xPi °gXi
Pl + p2+~.+Ps
2*
i=i
logG = f1\ogx1 + f2\ogx2 + ... + fslogxs = 2 /, log*,.
/ = 1
Пример. Подсчитаем среднюю геометрическую частотного
распределения, уже приводившегося на стр. 94,
95

Запишем наши расчеты в следующей таблице:
xi
3
5
10
14
17
21
Pi
4
7
3
11
9
2
36
log xt
0,47712
0,69897
1,00000
1,14613
1,23045
1,32222
Pt tog*.
1,90818
4,89279
3,00000
2,60743
11,07405
2,64444
36,12719
36,12719
logG= 13g— =1,00353; G = 10,081.
в. Средняя гармоническая (Я). Формула средней гармонической
взвешенной такова:
Н = -
Р1 + Р2+ ••• +Ps
2 Pi
i i i
2 Pitt
При введении относительных весов эта формула приобретает такой
вид:
Н-
1
1
/l r + /2 Гп + • • • Н" fs у Zj fi ~Z~
xl x2 XS ,~, Xi
Пример. Подсчитаем среднюю гармоническую
последовательности, приведенной на стр. 94.
xi
3
10
14
17
21
Pi
4
7
3
11
9
2
36
1
xi
0,333
0,200
0,100
0,071
0,059
0,048
1 ^Pi
1,332
1,400
0,300
0,781
0,531
0,096
4,441
н=
36
4,441
= 8,106.
96

г. Средняя квадратическая (М). Формула средней квадратическои
взвешенной:
М
-]/ы
?+Р8*2 + -+PS*? _
Pi + Pz+--+Ps
и при относительных весах:
2А = У f1xi + f2xt+ ... + fsx2s =
1=1
/= i
2 /,*?
Пример. Подсчитаем М последовательности, приведенной
на стр. 94.
xi
3
5
10
14
17
21
Н
4
7
3
11
9
2
36
*?
9
25
100
196
289
441
*?'! 1
36
175
300
2 156
2 601
882
6 150
М= ]/6150 =/170,8333 = 13,0.
г 36
д. Средняя кубическая (3Л). Формула средней кубической
взвешенной такова:
3Л= {/Pi*l+P2*2+-
К Р1 + Р2+..."
-+*,<
+ А*
/=1
при относительных весах она приобретает вид:
'A=j/"f1x*l + ftxl+ ... + fsx! =
7=1
97

Пример. Подсчитаем 3А для последовательности из
приведенного выше примера.
xi
3
5
10
14
17
21
Pi
4
7
3
11
9
2
36
А
27
125
1000
2 744
4913
9 261
*/ pi I
108
875
3 000
30 184
44 217
18 522
96 906
м
-v
У 96 906
36
/2 691,8333=13,91.
е. Средняя биквадратическая (М). Формула средней биквадрати-
ческой выглядит так:
К Pl+/>2 + ••• + Ps
t=I
или с относительными весами:
М= yf1xi+faxt+...+fsxi=]/ 2>ftx}.
w / = l
Пример. Подсчитаем среднюю биквадратическую для
последовательности из предыдущего примера.
xi
3
5
10
14
17
21
Pi
4
7
3
11
9
2
36
xi
81
625
10 000
38 416
83 521
194 481
A pi
324
4 375
30 000
422 576
751 689
388 962
1 597 926
м=1/:
1 597 926
36
= /44 386,8333=14,51.
96

ж. Средняя степенная ('М). Средняя степенная равна корню/п-й
степени средней арифметической взвешенной, подсчитанной для т-х
степеней членов частотного ряда:
тД
•V
Pi<+p24"+-+p,^
Р1+Р2+ ■■■ +Ps
2 р,*Г
/ = 1
J/1 _.
и при относительных весах:
з. Средняя антигармоническая (27). Формула средней
антигармонической взвешенной такова:
%Т =
Р1Х1 + Р2Х2+ ... +Ps*s
Pi*i
i=\
Вводя относительные веса, получаем:
' /i^i+ /2*2 + ... +fs*s JL
Пример. Средняя антигармоническая приводившегося ранее
частотного ряда подсчитывается следующим образом:
X.
1
3
5
10
14
17
21
Pi
4
7
3
11
9
2
*i*>i
12
35
30
154
153
42
426
х1 pi
36
175
300
3 156
2 601
882
6150
6150
2Г=-^26=14'437'
99

и. Средняя степенных сумм (пгТ).
s
р1*Г+р,*»"'+-+Р,«Г ,?,
Pl*l + P2*2 +~-+Psxs V n v^-l
2 P,*?1
( = i
и при относительных весах:
т=-
flXr+f2^+...+fsXs
/1*7,~' + Л*?-| + ...+/,*Г~1
,W — 1
2 /,*?
/ = 1
к. Средняя экспоненциальная (£). Формула средней экспонен
циальнои взвешенной выглядит следующим образом:
s
Е_ PlCX> + P2C» + ... + PsCXs _ £ХР*С*1
Р1 + Р2 + ••• + Ps JL
i = 1
л. Средняя базо-экспоненциальная (у).
У
>у =
Pl*l + Р2*2 + '•• + P,V _„ /=1 '
Pl + P2 + ... + Ps ^
2j р*
м. Средняя радикальная (Р)
1 *i , *2 , , л- Zj Pi C
op ft С +P2g + ♦♦♦ +P^g s __ t'=l
Pl + P2+...+P^ 4n
ZlPi
н. Средняя базо-радикальная (а).
1 *1 1 *2 , , *P 2j Pi XL
P1 + P2+---+P5 4l
Zj Pi
* = 1
100

о. Средние тригонометрические.
S
_ 2 Pis[nxi
х = arc sin l=l s ;
i=\
s
HI Pi cos *i
x = arc cos ^Ц
/ = 1
и т. д.
§ 3. СРЕДНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ИЛИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИЕ
Как мы уже говорили, средние неаналитические, или средние
положения, — это такие средние, которые не могут быть выражены в
качестве аналитических функций членов совокупности, но находятся
в зависимости от положения членов в последовательности, которую
можно образовать из этих членов, и могут быть определены на основе
того, как они расположены по отношению к некоторым или всем
рассматриваемым членам.
Следует отметить, что обычно1 указанные средние являются
подвижными.
А. Простые неаналитические средние
а. Медиана (М). Для любой монотонной последовательности
медианой, или центральной величиной, называется число М, которое
разделяет ее надвое в том смысле, что число членов,
предшествующих М, оказывается равным числу следующих за ним членов.
Если число членов п нечетное, то медиана будет равна величине
члена хп+\ ; она делит последовательность пополам, поскольку число
членов, предшествующих ей, равно числу членов, следующих за ней.
Если число членов четное, то любая величина, заключенная между
значениями двух центральных членов, т. е. между членами хп и хп+и
2 ~~2~
делит последовательность пополам и может быть, таким образом,
принята за медиану. Для того чтобы устранить такую неопределенность,
обычно принимают за медиану среднюю арифметическую двух
центральных членов.
1 Обычно, но не всегда. См. по этому поводу то, что сказано на стр. 65 и
на стр. 107 и 109.
101

Пример. Обращаясь к последовательности, приведенной на
стр. 73:
1, 12, 45, 130, 2600, 5800, 10000,
мы сразу же получаем, что М — 130.
Если же добавим к приведенному ряду еще один член, то получим
ряд:
1, 12, 45, 65, 130, 2 600, 5800, 10 000,
в котором имеются два центральных члена — 65 и 130.
В этом случае медиана М будет равна 97,50.
Для случая, когда число членов ряда четное, Джексон [134; р. 160]
предложил считать медианой значение х, определяемое уравнением
(х—х^)(х—х2)...(х—xk) = (xk+\— x)(xk+2 — *)••• (хп—х)> в котором
центральными членами являются xh и Xk+\. Таким образом, если
д = 2, мы будем иметь:
__ х1-{- х2
~~ 2
Если же п = 4, то
(х^ + х3)—(х1+х2)
Если п > 4, то нахождение х требует решения алгебраического
уравнения степени выше второй, что лишает практического значения
предложенный Джексоном способ исчисления медианы, что, кстати
сказать, он сам признал. Впрочем, как мы увидим ниже (см. раздел
о свойствах медианы, стр. 166), корни этих уравнений молшо найти
с хорошим приближением.
Пример. Чтобы наглядно показать различие расчетов,
получаемых при исчислении медианы в случае четного числа членов ряда
методом Джексона и путем нахождения средней арифметической обоих
центральных членов, найдем, применяя оба метода, медиану ряда:
2, 4, 15, 18.
Согласно первому методу, значение медианы х должно
удовлетворять уравнению:
(л:—2) (л;—4) = (15—л:) (18—*),
откуда
М = х = 9,7.
Наоборот, применяя второй метод, мы имеем:
М =1+^=9,5.
2
102

Анализируя средние величины арифметических прогрессий высших
порядков, Соннино1 замечает, что предложение считать медианой
(в случае четного числа членов ряда) среднюю арифметическую обоих
центральных членов оправдано в отношении арифметических
прогрессий первого порядка, но не оправдано для прогрессий высших
порядков, поскольку геометрически последние представляют собой параболы,
тогда как такая медиана находилась бы не на параболе, а на ее хорде.
Развивая дальше эти соображения, он приходит к следующей формуле
медианы п членов арифметической прогрессии (п может быть четным
или нечетным) порядка q и тем самым любой последовательности
чисел, так как любая такая последовательность представляет собой
арифметическую прогрессию какого-либо порядка:
i = 0
*/ + ! - - -.'-1
rzr+fo-0 2 (*-/+r2r+1).
у-1 ~0 ' 2^+2(г+1>-/(г+1)|
Однако практическое применение формулы Соннино наталкивается
на трудности и, кроме того, как он сам признает, не всегда дает для
медианы значение, содержащееся в пределах между значениями обоих
центральных членов. Чтобы избежать этого неудобства, Соннино
рекомендует снижать степень параболы, пожертвовав двумя крайними
членами ряда.
Медиана — подвижная, многозначная, единичная средняя с полной
областью применения.
б. Квартили [Qi(i = 1, 2, 3)]. Если мы имеем монотонный ряд:
и два целых положительных числа р и q, сумма которых равна 4,
то квартилями называются конкретные, или счетные, величины,
удовлетворяющие условию, что число членов ряда, предшествующих им,
равно — ] числа членов, следующих за ними. Таким образом, мы будем
иметь:
1-я квартиль Qly если plq = 1/3;
2-я квартиль Q2, если plq = 2/2;
3-я квартиль Q3, если plq = 3/1.
Вторая квартиль совпадает с медианой.
Квартили определяются следующим образом:
Если выражение -т- (i = 1, 2, 3) не является целым числом, то i'-я
квартиль является членом xt ряда, где t — самое меньшее из целых
чисел, превышающих это выражение. Если же отношение -^ — целое
число, то t-я квартиль может быть представлена каждым числом,
содержащимся в интервале между xt и xt+l9 и, в частности, может быть
равна средней арифметической этих двух членов ряда.
1 G. S о п n i п о, Sulle progression! aritmetiche e geometriche di ordine
superiore e i loro valori medi, «Atti della VIII Riunione Scientifica della Soc.
Ital. di Statistica». Roma, giugno 1949.
1Q3

Пример 1. Если дан ряд:
2, 5, 8, 16, 24,
то при i = 1 (первая квартиль) величина -j- = -т- не является целым
числом. Самое меньшее из целых чисел, превышающих это отношение,—
2. Итак, первая квартиль равна второму члену ряда, т. е. 5.
Аналогичным образом найдем, что вторая квартиль равна 8,
а третья — 16.
Пример 2. Если дан ряд чисел:
2, 5, 8, 16, 24, 28, 30, 32,
то при i = 1, 2 и 3, мы получим для отношения -j- следующие значения:
— = 2; — = 4; — = 6.
4 4 4
Таким образом, все три значения — целые. В этом случае первая
квартиль будет найдена как средняя арифметическая второго и
третьего членов ряда, вторая квартиль — как средняя арифметическая
четвертого и пятого членов и третья квартиль—как средняя
арифметическая шестого и седьмого членов. Таким образом будем иметь:
Qi=^. = 6,5;
Q3=28±30=29>
Следует отметить, что в этом случае первая квартиль является
медианой членов, предшествующих медиане всего ряда, а третья квартиль
является медианой следующих за ней членов.
Пример 3. Если дан ряд:
2, 5, 8, 16, 24, 28, 30,
то для отношения -г при i = 1, 2, 3 получим следующие значения:
— = 1,75; — = 3,50; — = 5,25.
4 4 4
Таким образом, все три значения — нецелые. Наименьшие целые
числа, превосходящие соответственно эти три значения, будут: 2, 4, 6.
Итак, квартили будут равны 2-му, 4-му и 6-му членам ряда, т. е.
Qi= 5;
<Э2 = 16;
Q3 = 28.
104

Однако этот последний случай значительно отличается от
предыдущих. В них число членов ряда, предшествовавших первой квартили,
составляло ровно одну треть числа членов, следовавших за ней, чего
нет в данном случае. В то же время мы не видим иного способа точно
определить первую квартиль. То же самое можно сказать и о третьей
квартили. Однако, хотя найденные нами значения и не являются теми
величинами, которые мы искали, исходя из данного нами
определения квартилей, практическая необходимость заставляет нас принимать
их как таковые. Впрочем, эти расхождения теряют свое значение,
когда число членов ряда велико.
Как и во втором примере, в данном случае найденная нами первая
квартиль является медианой членов, предшествующих медиане всего
ряда, а третья квартиль — медианой следующих за ней членов.
в. Децили [Dt (i = 1, 2, 3, ...,9)]. Если дан монотонный ряд:
•* 1 > %2» 3 > * * *» *п
и два целых положительных числа р и q, сумма которых равна 10,
децилями называются такие конкретные или счетные величины,
которые удовлетворяют условию, что число членов ряда, предшествующих
децилям, равно (—)' числа членов, следующих за ними.
Таким образом мы будем иметь:
1-я
2-я
3-я
4-я
5-я
6-я
7-я
8-я
9-я
дециль Dlt если p/q= 1/9;
»
»
»
»
»
»
»
»
Dv )
D3,
D<, >
Ds, >
De, >
D„ >
Da, >
Dt, >
> p/q = 2/8;
> p/<? = 3/7;
> P/<7 = 4/6;
> p/q = 5/5;
> p/q = 6/4;
> p/q = 7/3;
P/q = 8/2;
> p/<7 = 9/l.
Все децили являются членами ряда, если п— 1 кратно 10.
Определяются децили таким же методом, как и квартили.
Децили — подвижные, многозначные, единичные средние с полной
областью применения.
г. Цемтили [Ci(i= 1, 2, ..., 99)]. Если дан монотонный ряд:
•^1» •*2> ^3' •*•> *п
и два целых положительных числа р и q, причем р + q = 100, то цен-
тилями называются величины, удовлетворяющие условию, что число
предшествующих им членов ряда равно (—) числа членов, следующих
ч
за ними.
Таким образом, для первой центили Сх мы имеем —=99"» Для
р 2
второй центили— ~ш и т- Д«
105

Центили находятся таким же способом, как квартили и децили.
Центили — подвижные, многозначные, единичные средние с
полной областью применения.
д. Квантили lQhi(i = l, 2,...,&—1)]. Квантили получаются путем
обобщения того, что сказано в разделах б, в, г.
Если мы имеем монотонный ряд:
%1> %2> *••» **7l
и два целых положительных числа р и q, причем р + q = k, то
квантилями называются реальные или счетные величины, удовлетворяющие
условию, что число предшествующих членов ряда равняется - числа
ч
последующих членов. При k = 4 мы имеем квартили, при k = 10 —
децили и при k = 100 — центили.
Квантили находятся таким же способом, какой применяется для
нахождения квартилей, децилеи и центилеи. Если -т не является
целым числом r-й квартилью (г = 1, 2,...,&— 1), будет член ряда хи
где t — наименьшее целое число, превышающее данное отношение.
Если -г является целым числом, то в качестве i-ii квантили следует
рассматривать любое значение, содержащееся в интервале xt — xt+1,
где t = -p или же, по аналогии с медианой, значение - 2 •
Так, например, для ряда
•^1» %%) ^3> ^4> ^5> *^6> -*7> *^8>
в котором п = 8, при k = 6, мы будем иметь:
для г= 1
k 6
первая секстиль = х2;
для г = 2
вторая секстиль = х3;
для г=-3
третья секстиль = *4^"*5
11 = J* =2,6,
£6
m _ 24 _ ,
для г = 4
четвертая секстиль = #с;
106
^ = ^=5,3,
Л б

для г = 5
— = — = 6,6,
k 6
пятая секстиль = #7.
Квантили — подвижные, многозначные, собирательные средние,
имеющие полную область применения.
е. Разделительное значение (D). Разделительным значением
монотонного ряда
Х±у л2> Х%, •••> Хк
называется такое среднее значение хк9 которое можно разделить на
две части, удовлетворяющие условию, что сумма первой части с
предшествующими членами ряда будет равна сумме второй части с
последующими его членами. Таким образом, xk будет разделительным
значением, если окажется, что
хг + *2 + *3+ ... + Ьхк = (1 — Q)xh + xk+i + ... + xn,
где 0 < 9 < 1.
Другими словами, хк является разделительным значением, если
*1 + *2+ ••• +**-1<*Л + *А+1+ ••• +Хп\
Хг + Х2 + ... +АГЛ>^+1+^/г + 2+ ... + Хп.
Легко видеть, что при 0 = -к- мы будем иметь:
Хг + Х2+ ... +Xk-\ =Xk+l+ Xk+2 ... +Хп-
Однако это равенство может встретиться лишь в виде исключения.
Наоборот, если существует равенство:
Х± + Х2+ ... +Xk = Xk+\+Xk + 2+ -. +ХпУ
то существует бесконечное множество разделительных значений,
содержащихся в интервале между хк и хк+1; в этом случае следует по
примеру того, как мы это делали в отношении медианы и квантилей,
принять за разделительное значение среднюю арифметическую хк и
xk+i-
Разделительное значение — устойчивая, многозначная, единичная
средняя с полной областью применения.
Пример 1. Рассмотрим следующий ряд:
2, 4, 5, 6, 8, 10, 12.
Мы имеем:
2 + 4 + 5 + 6 < 8 + 10 + 12;
2 + 4 + 5 + 6 + 8>10+12,
откуда следует, что
D = 8.
107

Пример 2. Если дан ряд:
3, 4, 5, 7, 8, 9, 10,
то мы будем иметь:
3+4+5 + 7<8 + 9+10;
3 + 4+5 + 7 + 8>9+10.
Таким образом, разделительное значение совпадет с членом ряда
8. В этом примере сумма членов ряда, предшествующих
разделительному значению, равна сумме членов, следующих за ним (в этом случае
0 = 1/2), т. е.
3+4 + 5 + 7 = 9+ 10.
Пример 3. Рассмотрим ряд чисел:
3, 4, 5, 7, 9, 10.
Мы имеем:
3 + 4 + 5 + 7 = 9+ 10.
Таким образом, за разделительное значение можно принять любую
величину, содержащуюся в открытом интервале между 7 и 9.
Однако, как мы условились, мы будем принимать за разделительное
значение среднюю арифметическую чисел, ограничивающих этот
интервал:
2
ж. Тантили (т). Обобщая то, что было сказано в пункте е, мы
приходим к понятию тантилей. Тантиль — это такая позиционная
средняя хь которую можно разделить на две части, удовлетворяющие
условию, что сумма первой ее части с предшествующими ей членами
ряда (не убывающего) в k раз больше, чем сумма второй части со
следующими за ней членами ряда.
Таким образом, член ряда xt является тантилью, если
хг + х2+ ... +xt-i<k(xt + xt+i+ ... +хп)
и
х± + х2+ ... +xt-i+xt>k(xt+i+ ... +*„).
Для нахождения этих средних в том случае, если они не совпадают
с каким-либо из членов ряда, поступают так же, как при определении
разделительного значения.
Как очевидно из самого определения тантилей, разделительное
значение представляет собой особый случай тантилей при k = 1.
Тантили — устойчивые, многозначные, собирательные средние с
полной областью применения.
108

Пример. Предположим, что требуется найти тантили при k =
= 1/4; 1; 2 для ряда чисел, данного в примере на стр. 107:
2, 4, 5, 6, 8, 10, 12.
При k = 1/4 мы имеем:
2 + 4< 1(5 + 6 + 8+ Ю+ 12);
2 + 4 + 5>1(6 + 8+ 10+ 12),
откуда следует, что тантиль имеет значение, равное 5.
При k = 1 мы получаем разделительное значение 8, вычисление
которого нами показано на стр. 108. При k = 2 мы имеем:
2 + 4 + 5 + 6 + 8<2(10+ 12);
2 + 4+5 + 6 + 8+ 10 >2-12,
откуда следует, что тантиль имеет значение, равное 10.
Б. Средние неаналитические взвешенные
Напомним, что средние неаналитические называются взвешенными,
если они подсчитываются по группам частот.
Некоторые из неаналитических средних являются производными
от простых средних, другие же встречаются только при наличии
частотных групп, и поэтому у них нет соответствующих простых
неаналитических средних.
Мы рассмотрим сперва средние второго типа с тем, чтобы в
дальнейшем (см. стр. 108 и след.) вернуться к средним первого типа.
а. Мода, норма, или преобладающее значение. Так называется то
значение, которое повторяется больше всего раз. Это определение не
исключает того практически возможного случая, когда несколько
значений имеют одну и ту же максимальную частоту. Однако в большинстве
случаев одно какое-либо преобладающее значение притягивает к себе
особенно большое число членов ряда. Такое тяготение членов ряда
к этому значению объясняет происхождение термина мода, пущенного
в ход английскими авторами, равно как и термина норма, которым
пользуются некоторые итальянские авторы. Есть и другие термины
для обозначения того же понятия: модальное значение, нормальное
значение, преобладающее значение, господствующее значение, наиболее
часто повторяющееся значение, главное значение. Если изобразить
графически ряд чисел, откладывая значения его членов на оси абсцисс
и соответствующие частоты — на оси ординат, то на полученной таким
образом кривой частот мода будет представлена абсциссой, которой
будет соответствовать наибольшая ордината.
Преобладающее значение некоторые авторы именуют типичным
значением, поскольку если х% представляет различные меры какого-
либо признака (например, человеческого роста), то та мера, которая
повторяется чаще всего, является типичной для целого коллектива
109

(например, для определенной группы людей). Однако другие авторы
придают термину «типичное значение» более ограниченное толкование1.
Рассмотрим теперь некоторые особые случаи.
Первая возможность, о которой мы уже упоминали, — это
наличие нескольких членов ряда, имеющих одну и ту же максимальную
частоту. В этом случае имеется несколько мод.
Вторая возможность, которую можно рассматривать как
исключительный случай, имеет место, если все члены ряда имеют одну и ту
же частоту. В этом случае можно сказать, что число мод совпадает
с числом членов ряда.
Третья возможность соответствует тому случаю, когда наибольшей
частотой обладает член ряда, имеющий наименьшее значение. В этом
случае ряд называется зеромодальным.
Наконец, имеется и четвертая возможность. Это тот случай, когда
некоторые члены ряда, хотя и не обладают максимальными частотами,
все же превосходят по своим частотам члены ряда, непосредственно
предшествующие им и следующие за ними. Такие частоты, являющиеся
максимальными лишь по сравнению с соседними членами ряда,
называются относительными максимальными частотами и, если только
речь не идет просто о случайных колебаниях, связанных с
ограниченным числом наблюдений, соответствующие члены ряда представляют
собой так называемые второстепенные моды, тогда как моды в случае
наличия нескольких членов с одинаковыми максимальными частотами,
или моды, которым соответствуют абсолютные максимальные частоты,
т. е. максимальные по сравнению со всеми прочими членами, следует
называть в отличие от второстепенных мод главными модами.
Иногда бывает нелегко решить, являются ли некоторые
второстепенные моды действительно таковыми или же мы имеем дело просто со
случайными колебаниями. Этот вопрос может быть разрешен путем
увеличения числа наблюдений.
1 «Понятие типичной средней не одинаково у разных авторов, так как они
по-разному понимают значение термина «тип». Одни из них считают, что о
типичной средней можно говорить лишь, если речь идет о явлениях,
развивающихся согласно кривой случайных„ошибок, которая, как мы знаем, является
симметричной кривой и в которой поэтому арифметическая средняя совпадает с
медианой и с нормальным значением. Кетле, который первым ввел это обозначение,
называет типичной среднюю, относящуюся к признакам, распределение которых
следует более или менее приблизительно кривой Гаусса (как, например, рост, вес,
индекс черепа, охват груди и вообще все антропометрические показатели),
противопоставляя ей нетипичную среднюю под названием
«арифметическая.средняя». Другие, наоборот, рассматривают типичную среднюю как нормальное
значение, однако лишь при условии, что явление развивается согласно кривой
биноминального типа, хотя бы и асимметрической кривой. Есть и такие,
которые, хотя и рассматривают типичную среднюю как нормальное значение, ставят
более широкое условие, чтобвг частоты явления, по обе стороны от нормального
значения, систематически уменьшались с обеих сторон без заметных скачков,
причем не исключается даже крайняя возможность зеромодальной кривой.
Наконец, некоторые авторы, отказываясь далее и от этого условия, называют
типичной средней нормальное значение в том случае, если частота явления по обе
стороны от нормального значения не уменьшается постепенно, но развивается
скачками и с нарушением непрерывности» [118, стр. 166—168].
ПО

Разделению мод на главные и второстепенные соответствует
классификация кривых частоты и частотных рядов, которые называются
унимодальными или мононормальными, если имеют одну-единственную
моду, и плюримодальными или плюринормальными если имеют
несколько главных или второстепенных мод.
В частности, бимодальным или бинормальным, или, наконец,
двухвершинным называется ряд, имеющий две главные моды или же одну
главную и одну второстепенную. Среди бимодальных рядов особого
упоминания заслуживают ряды, в которых одно значение максималь-
/6V У^.
L i i j I i i 1 i i i i i T^"t " ,т1—i
О I 2 3 Л 5 6 7 8 9 Ю II 12 13 М 15 16
Рис. 1
ной частоты находится на одном краю ряда, тогда как другое такое
значение, которое может быть и неравным первому, находится на
другом краю ряда.
Мода является подвижной, многозначной, единичной средней,
имеющей полную область применения.
Пример Цунимодальный ряд). Рассмотрим
процентный состав различных категорий семейств Эмилии по числу их членов.
Данные взяты из переписи населения, произведенной 1 декабря 1921 г.
На основе этих данных мы получаем следующий частотный ряд:
xi
Pi
1
7,5
2
14,0
3
15,9
4
15,1
5
13,2
6
10,5
7
7,6
8
5,3
9
3,6
10
2,3
ll
1,5
12
1,0
13
0,7
14
0,5
15
0,3
16 и
больше
0,10
Модой является член № 3, так как ему соответствует наибольший
процент семейств Эмилии. Это видно также с еще большей наглядностью
из кривой частот (см. рис. 1).
111

Пример 2(плюримодальный ряд). Рассмотрим
следующее распределение умерших обоего пола по их возрасту (из
таблицы смертности населения Италии в 1930—1932 гг.);
Возраст
0- 4
5— 9
10—14
15—19
20—24
25—29
30—34
35—39
40—44
45—49
50—54
Число умерших
16 539
1099
796
1293
1 668
1720
1774
1984
2 253
2 735
3 548
Возраст
55—59
60—64
65—69
70—74
75—79
80—84
85—89
90—94
95—99
100 и свыше
Число умерших
4813
6 694
9 259
12 023
13213
10 694
5 794
1814
305
27
100 000
Главная мода представлена классом 0—4, так как ему соответствует
наибольшее значение частот. Кроме того, следует отметить
относительный максимум класса 75—79 (13 213), который таким образом
является второстепенной модой (см. рис. 2).
Пример 3. Найдем моду следующей классификации:
Наличное население в Италии на 31 декабря 1949 г.
Распределение по возрастным классам
Классы
0- 5
5—10
10—15
15—20
Численность
(тыс.)
4 230
3 845
4 143
4 066
Классы
20—40
40—60
60—65
65 и свыше
Численность
(тыс.)
14 077
10 281
1799
3 680
Наибольшая частота (14 077 тыс.) относится к классу, гораздо
более крупному, чем многие другие, что не позволяет рассматривать
этот класс как модальный класс. Прежде чем находить моду,
необходимо разделить крупные возрастные классы на более мелкие, с тем
чтобы все они были одной и той же величины (например, 5 лет), а
это можно осуществить с приблизительной точностью, предполагая,
что внутри каждого класса плотность распределения однородна.
Таким образом, первые четыре возрастных класса це нуждаются
в изменении, пятый же класс должен быть разделен на 4 класса с одной
„ 14077 ОС1П ос
и той же частотой: —г— = 3519, 25 и т. д.
112

Произведя такую операцию, нетрудно убедиться, что модальное
значение падает не на 5-й, а на 1-й класс.
б. Антимода. По аналогии с модой под антимодой подразумевается
то значение, которое в ряду чисел выступает с наименьшей частотой.
Значения ряда, представляющие относительно наименьшую
частоту, называются второстепенными антимодами.
16
15
/4
13
1?
II
10
9
8
7
6
5
4
3
2
i
—-
-
-
-
-
-
-
-
-
п-л
О 5 Ю 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Рис. 2
Антимода — подвижная, многозначная, единичная средняя с
полной областью применения.
в. Высшее значение (Р). Этот термин применяется к тем членам
ряда, которые, будучи помножены на свою частоту, дают наибольшую
величину. Совершенно аналогично тому, что мы говорили о моде, в
каждом ряде может быть одно или несколько высших значений, и эти
значения могут быть главными или второстепенными.
К последним относятся такие члены ряда, которые, будучи
помножены на свои частоты, дают произведения, являющиеся наибольшими
лишь по сравнению с произведениями непосредственно предшествую-
5 Зак. 401
113

щего и последующего членов ряда на их частоты. Другими словами,
из всех произведений каждого члена ряда на соответствующую
частоту они являются относительно, а не абсолютно' наибольшими.
П р и м е р. В качестве примера высшего значения можно
использовать ряд, приведенный в примере 1 на стр. 111. Нетрудно видеть,
что среди всех произведений каждого члена ряда на соответствующую
частоту наибольшее число дает 5-й член. Число пять является, таким
образом, высшим значением и практически означает, что семьи,
насчитывающие пять членов, составляют наиболее многочисленную
категорию рассматриваемого населения.
г. Низшее значение. Таково наименование члена ряда, который,
будучи помножен на свою частоту, дает наименьшее произведение.
Второстепенными низшими значениями называются те члены ряда,
которые, будучи помножены на свою частоту, дают наименьшее
произведение по сравнению с произведениями каждого из соседних членов
на соответствующую частоту.
Пример. Низшее значение ряда, приведенного на стр. 111, есть
15. Это число показывает, что семьи, насчитывающие 15 членов,
составляют наименее многочисленную категорию рассматриваемого
населения.
Высшее и низшее значения являются подвижными, многозначными,
единичными средними, обладающими полной областью применения.
д. Центральный член. Если дана следующая последовательность
частот:
хг рг
Х2 Ръ
Xs Ps
то центральным членом ряда называется медиана невзвешенного ряда
xt. Она совпадает с медианой ряда xt, взвешенного весами pt лишь при
определенном их распределении.
В заключение зтого параграфа применим для взвешенных рядов
метод исчисления средних, изложенный нами на стр. 101—109, в
применении к невзвешенным рядам.
е. Медиана. Если дан следующий частотный ряд:
хг рх
*2 Р2
*s Ps
s
где 2 Pt — n> медианой является в случае нечетного числа чле-
fn+l\
нов п ряда тот его член, который занимает —!—)-е место по по-
114

рядку. Поэтому значение xk медианы будет определяться
следующими неравенствами:
i 1 i ^п +!
Pi+p2+ - +p*-i<-^-;
, , . п+1
Pi + p2+ ... +Ра^^~-
Таким образом, медианой будет служить член ряда,
соответствующий частоте, которая в сумме со всеми предыдущими частотами дает
AZ+1
наименьшую величину, равную или превышающую —^—.
Наоборот, при четном п условились принимать за медиану
среднюю арифметическую члена xh, занимающего ^--е место в ряду, и
следующего за ним члена.
В этом случае, как и в предыдущем, нужно складывать частоты до
тех пор, пока не получим самое меньшее число, равное или
превышающее у. В первом случае медианой можно считать любое число,
заключенное в интервале xh — xk+lf где xk является членом ряда,
соответствующим последней из суммированных частот, a xk+x — следующим
за ним членом. Условились принимать за медиану среднюю арифме-
тическую крайних членов в этом интервале: о ' во ВТ0Р0М
случае, поскольку член ряда, занимающий в нем место непосредственно
за о--м членом, является по-прежнему xh9 медиана определяется
значением xk.
Пример 1. Предположим, что нам дан следующий ряд:
Распределение семейств, проживающих
постоянно в Италии, по числу их членов
(Перепись 1936 г.)
Число членов семьи
*%
1
2
3
4
5
6
8 и свыше
Число семей (тыс.)
Pi
895
3 137
5 336
6 782
6 728
4 462
9 080
Итого 36 420
Итак п = 36 420, откуда J = 18 210.
895 + 3 137 + 5336 + 6 782 = 16 150 < 18210;
895 + 3 137 + 5 336 + 6 782 + 6 728 = 22 878 > 18 210.
5*
115

Отсюда следует, что медианой является член ряда xit
соответствующий частоте 6 728, т. е. класс семей с 5 членами.
Пример 2. Пусть дана следующая классификация:
Рост призывников (область Марке, 1918 г.)
Классы роста
<145
145—150
150—155
155—160
160—165
165—170
1 170—175
175—180
180—185
>185
Число призывников
6
31
232
802
1867
1979
1024
334
61
4
Итого 6 340
Класс, в который попадает медиана, определяется, как и в
предыдущем случае, путем последовательного сложения частот и
нахождения наименьшего числа, равного или превосходящего -| (= 3 170).
Легко видеть, что медиана окажется в классе 165—170. Однако она
остается все еще недостаточно точно определенной. Чтобы найти ее
эначение с большим приближением, прибегают к предположению, что
внутри класса медианы числа распределены равномерно. В этом
случае из 1979 номеров, принадлежащих классу 165—170, 1747 окажутся
большими, а 232 меньшими, чем медиана. Чтобы определить медиану,
нужно прибавить к значению 165 величину х или отнять от значения
170 величину у. Величины хну получаются путем деления интервала
класса медианы, равняющегося 5, на части, пропорциональные числам
232 и 1 747. Таким образом, будем иметь:
х + у = 5, х = -^-232 = 0,5862;
232 1747
1979
У = — - 7147 = 4,4138;
7 1979
М= 165 + х= 170—у= 165,59.
Пример 3. Аналогичный изложенному метод применяется,
когда величины распределяются не по классам, а по отдельным
дискретным числам, если только последние можно рассматривать как
центральные значения того или иного класса. В этом случае медиана xk
заменяется соответствующим классом, и затем поступают так, как
указано в предыдущем примере.
116

Рассмотрим, например, ряд в таблице, показывающей число
лепестков, обнаруженных при просмотре значительного числа
экземпляров некоего цветка [119, р. 160].
Число случаев
а б
30 100
125 730
1440 500
80 300
25 70
в
100
130
700
600
170
Ясно, что медиана соответствует числу 4. Однако, поскольку в эту
группу попадает множество случаев, принимая число 4 за медиану,
мы не получим правильного представления об интенсивности
рассматриваемого явления, так как этому же значению медианы могут
соответствовать самые различные ряды, как, например, ряды бив.
Поэтому мы делаем предположение, что дискретные числа
(количества лепестков) являются центральными значениями
соответствующих классов. Таким образом, приведенная выше таблица заменяется
нижеследующей, в которой нахождение медианы происходит по
методу, описанному при разборе предыдущего примера.
1,5—2,5
2,5—3,5
3,5—4,5
4,5-5,5
5,5—6,5
а
30
125
1440
80
25
1700
б
100
730
500
300
70
1700
в
100
130
700
600
170
1700
Следовательно, при предположении, что внутри каждого класса
распределение случаев носит равномерный характер, значение
медианы ряда а окажется равным 3,50 + 695/1440, или 4,50 — 745/1440,
т. е. 3,98.
Применяя тот же метод, получим, что для ряда б значение медианы
будет равно 3,54, а для ряда в — 4,39.
ж. Квантили. Квантили находятся таким же образом, как и
медиана.
Так, например, чтобы найти значения квартилей для ряда,
приведенного на стр. 115, поступаем следующим образом.
Чтобы определить первую квартиль, находим сумму всех частот,
начиная с первой, и отыщем член ряда, соответствующий частоте,
которая в сумме со всеми предшествующими частотами дает число,
равное или превышающее /г/4. Вторая квартиль совпадает с уже
вычисленной нами медианой. Чтобы определить третью квартиль, найдем сумму
частот, начиная с последней, и отыщем член ряда, частота которого
в сумме со всеми предшествующими частотами дает число, равное
или превышающее я/4. Итак будем иметь:
я = 36 420; — = 9105.
117

Для первой квартили получим:
895 + 3137 = 4032<9105;
895 + 3137 +5336 = 9,368 > 9105,
Qx = семейство с тремя членами.
Для медианы будем иметь — см. стр. 115.
Q2 = семейство с 5 членами.
Для третьей квартили получим:
9080 < 9105;
9080 + 4462 = 13542 > 9105,
Q3 = семейство с 6 членами.
з. Разделительное значение. Разделительным значением
следующего частотного ряда:
*i Pi
*2 Р2
*s Ps
является такое значение xk, которое удовлетворяет следующим
неравенствам:
XiPi + x2p2+ .-• + xk-\ pk-\ <xkpk+ ... +xsps;
Х1Р1 + Х2Р2+ — +Xkpk>Xk+l pk+l+ — +XSPS.
Если мы имеем равенство:
XiPi + x2p2+ ... +xkpk = Xk+\pk+\+ ... +xsp8,
то разделительным значением будет любое число, заключающееся в
пределах между xk и xk+1, или же, как мы условились, средняя
арифметическая этих двух чисел.
Если мы возьмем ;ряд, приведенный на стр. 93 (пример 1), то
подсчеты можно расположить следующим образом:
xi
3
10
14
17
21
Н
4
7
3
11
9
2
Итого
xiH 1
12
35
30
154
153
42
426
113

2*1 ft =426;
2
12 + 35 + 30 = 77<213;
12 + 35 + 30+ 154 = 231 > 213.
Разделительным значением является член ряда хи соответствующий
частоте 154, т. е. 14.
и. Тантили. Тантили определяются таким же образом, как и
разделительное значение.
§ 4. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ СРЕДНИХ
А. Обобщение понятия веса
Рассматривая совокупность действительных величин
\\) ^1> ^2> **3> •••> *п>
мы видели (ср. стр. 72), что, если xi при любом значении i повторяется
pi раз, совокупность превращается в так называемую совокупность с
повторениями, в которой каждому значению члена совокупности х%
соответствует количество pi9 называемое весом. В этом случае
выражение (1) можно изобразить следующим образом:
(2)
[ *i Pi
h Pi
i xR
Это понятие совокупности с повторениями привело к более общему
понятию взвешенной совокупности, т. е. такой, в которой каждому члену
xt соответствует любая действительная величина, которую мы опять-
таки будем называть весом и обозначать через pt.
Приведем теперь несколько примеров статистических задач, в
которых фигурируют взвешенные совокупности.
Пример 1. Средний уровень прироста населения на
определенной территории получаем, находя среднюю арифметическую
соответствующих уровней малых территориальных единиц, взвешенных
положительным или отрицательным приростом населения на каждой такой
единице за определенный период времени [123].
Пример 2. Предположим, что цены на некоторые товары в
момент времени (или в месте) t0, которое мы принимаем за основу,
равняются poi, а соответствующие цены в момент времени (или в месте) t±
равняются pif. В этом случае совокупность
/Q\ Pll e Pl2_ Pin
POI P02 РОП
119

представляет собой совокупность индексов цен на отдельные товару
в момент времени (или в месте) tlf причем за базу принимаются цены
на товары в момент времени (или в месте) t0. Эти индексы дают
представление об изменении цен на эти товары за период времени от t0 до
t± (или в месте t0 по сравнению с местом 4)-
Чтобы измерить изменение общего уровня цен от момента времени
t0 до момента tl9 прибегают к синтетическому индексу, называемому
общим индексом цен, который определяют путем нахождения средней
арифметической следующей взвешенной совокупности:
хг
Рп
Poi
Pl2
Р02
Рт
1 Роп
Pi
Poi Я hi
Р02 Яы
Роп Якп
где xt представлены членами совокупности (3), тогда как веса pt
являются значениями, получаемыми путем перемножения цены на товар в
момент времени, или в месте принимаемых за базу, на его постоянное
количество qM.
Отсюда следует:
/ =
2 -тг'Ро1Як1 2 PUVki
i = \ Poi _!^J
n n
2 Poi ЯН1 2 Poi ЯЫ
i=\ i=\
Пример З. Предположим, что при распределении на классы
некоего числа случаев были допущены ошибки, в результате чего
частота некоторых классов оказалась завышенной, а других —
заниженной.
Применяемая для устранения таких ошибок процедура именуется
выравниванием и заключается в том, что ошибочная частота
fu.относящаяся к классу Xt,заменяется средней арифметической совокупности.
Для нахождения последней берется ft и частоты смежных членов
совокупности (в равном числе предшествующие и следующие за ней),
причем членам совокупности, более удаленным от fif придаются
меньшие веса, чем членам, более близким к fi9 равно как и ей самой.
Мотивы такого различия в подходе к весам членов в зависимости от их
удаленности от ft нетрудно понять, если принять во внимание, что
случай, отнесенный к классу xiy с большей степенью вероятности
принадлежит именно к этому классу, чем к классам xi+1 или xi-1. Равным
120

образом, вероятность принадлежности этого случая к классам хи1
и хг_л более велика, чем принадлежность к классам хН2 и х^л,
и т. д.
Пример 4. Пусть мы имеем п различных имуществ, которые
подлежат перемещению. Обозначим их стоимости через vlf t;2,-..,^> a
интервалы времени между двумя последовательными операциями
по их перемещению —
Ну *2> •••> *л#
В этом случае ежегодно перемещаемая часть t-й стоимости будет
равна ^, а сумма величин всех перемещаемых за год п стоимостей вы-
разится формулой 2 ~. Это будет так называемая годовая перемещаемая
величина.
Время, необходимое для полного перемещения всех 2иь будет,
очевидно, представлено значением х, удовлетворяющим следующему
уравнению:
откуда следует:
Х= ^ 1 -
п
Этот интервал времени, называемый переводным интервалом,
является не чем иным, как средней гармонической п интервалов iif
взвешенных соответствующими значениями vt [91].
Б. Формулы средних собирательных
Если в общих формулах средних, приведенных в § 2, заменить
каждый из членов ряда xt произведением с(Кп) членов и распространить
сумму членов на все (—) комбинации произведений с членов ряда, то
мы получим формулы средних комбинаторных.
Общей формулой таких средних является формула двуплоскост-
ной комбинаторной степенной средней [103].
ср
(4) В*я*=
pc-qd / (с)
СО 2/Н*?)
С1) 2^(4)
1=1
в которой p°i (xPi) обозначает произведение с членов ряда в
степени р, причем сумма охватывает все (") возможные сочетания этих
членов по с элементов. Аналогичное значение имеет также и pf (a:?).
121

Если в равенстве (4) с = 1, a q = О, то мы получим среднюю
степенную. При с = 1, р = m, d = 1 и 7 = тп — 1мы получим среднюю
степенных сумм. При с = d = 1 мы получим двуплоскостные
степенные средние, определяемые формулой:
р1
(5) В*»:
При q = 0 и р = 1 мы получаем одноплоскостные комбинаторные
средние, удовлетворяющие формуле:
(6) в*1о=мс=1/ ^уед.
У (")£
При ? = 0 мы получаем одноплоскостные комбинаторные
степенные средние, удовлетворяющие формуле:
ср
(?)
(7) В"° = Мср =
Наконец, при р = q = 1 мы имеем двуплоскостную
комбинаторную среднюю:
(8)
i = \
Комбинаторные средние имеют одно-единственное значение, если
все члены ряда положительны, в противном случае они могут иметь
одно или два значения или же не иметь ни одного.
Пример. Рассмотрим двуплоскостную комбинаторную среднюю
ряда:
2, 4, 5, 10,
при с = 3, d = 2, р = 2, q = 1.
Мы будем иметь:
рт _ 1У 6 . (2-4.5)2 + (2.4. Ю)2 + (2.5.10)2 + (4-5*Ю)2~
^ ~~ У 4*' 2.4+2.5+2.10+4.5+4-10 + 5.10
__ У 6 ,1600+6 400+10000 + 40 000_
~~ У 4 8+10 + 20+20 + 40+50 ~"
= ]/^^ = ;/-58Ш78 = 4,92,
122

Фигурирующая в равенстве (4) величина рс — qd называется
ступенью средней. Таким образом, как вытекает из сказанного, ступенью
средней степенной является показатель степени р, в какую возводятся
члены ряда; ступенью средней степенных сумм является единица;
ступенью одноплоскостной комбинаторной степенной средней является
величина ср и т. д.
Две одноплоскостные комбинаторные степенные средние, ступени
которых соответственно равны рс и р ' с', называются:
а) равноступенными, если рс = р'с'\
б) дважды равносту пенными, если р = р' и с = с'.
Две двуплоскостные комбинаторные степенные средние, ступени
которых соответственно равны рс — qd и р'с'—q'd', называются:
а) равносту пенными, если рс — qd = р'с' — q d'\
б) дважды равносту пенными, если рс = р' с' nqd = q'd'\
в) трижды равносту пенными (а), если рс = рV; d = d'\ q = q'\
г) трижды равноступенными (б), если р = р'\ с = с'\ qd = q d'\
д) четырежды равноступенными, если р = р'\ с = с'\ q = q'\ d =
= d'.
Средние комбинаторные (за исключением одноплоскостной,
нестепенной) являются собирательными средними, которые, в отличие
от рассмотренных в § 2, охватывающих только единичные средние,
содержат формулы как единичных, так и собирательных средних
и представляют собой поэтому особый тип собирательных средних,
отличный от рассмотренного выше. Отметив это, мы можем сказать,
что:
а) любая единичная средняя представляет определенный тип
средней и поэтому две единичные средние называются принадлежащими
к одному и тому же типу, или однотипными, если определяющая их
формула одна и та же, и принадлежащими к различным типам, т. е.
разнотипными,— в противном случае. Так, например, если даны две
совокупности действительных величин:
(Ю) yi, у2, ..., уп,
то средняя арифметическая совокупности (9) однотипна со среденй
арифметической совокупности [10), но не с ее средней геометрической;
б) формулы средних, охватывающие различные их типы,
определяют категорию средних. Таким образом, средние одного и того же
типа, входящие в одну и ту же собирательную формулу, считаются
принадлежащими к одной и той же категории. Так, например,
средняя арифметическая и средняя геометрическая принадлежат к одной
и той же категории, поскольку и та, и другая охватываются формулой
степенной средней, тогда как средняя геометрическая и средняя
антигармоническая относятся к разным категориям. Собирательные
средние этого рода называются собирателями первого порядка. К ним
относятся степенная средняя, комбинаторная средняя и средняя
степенных сумм;
123

в) комбинаторные степенные средние называются собирателями
высшего порядка, поскольку они охватывают различные категории
средних.
Мы говорим о собирателях 2-го, 3-го, ..., я-го порядка в
зависимости от того, каково число свободных параметров, фигурирующих в
их формуле. Так, например, одноплоскостная комбинаторная
степенная средняя является собирателем 2-го порядка; комбинаторная дву-
плоскостная степенная средняя является собирателем 4-го порядка
и т. д.
Комбинаторные средние являются аналитическими базовыми,
устойчивыми, многозначными, собирательными средними с неполной
областью применения.
Приводим еще одну обобщающую формулу средних [160]:
х-*-■{№.
V АР а
(П)
где
Г пр пр пр~\
+ а2 [(*! х2у + (хг х3)2 + ... + (хп-\ хпу J +
Г пр пр пр
+ а3 [(*х*2х3)Т + (ххх2хйу +... + (х„_2хп-1 хп)Т\ +
+ ... + ап(х1хг...х,У;
Pq = bM4jrxf+... + x7) +
Г nq_ nq_ пцЛ
+ b2 [(Xl хг)2 + (х,хзу +... + (*„_, хп) 2 J +
Г П£ nq_ nq
+ Ь3 [ (Хх Х2 Х3) 3 + (Хг Х2 Х4) 3 + ... + (Хп-2 Хп-1 Хп)ТJ +
+ ... + Ья(х1х2...хгУ;
В этих выражениях а-г и Ъ% являются произвольными
коэффициентами.
Предшествующую среднюю можно изобразить также следующим
образом:
У , „ \ „ [ (?) (41-
\/=1 / с=\ { 1=1
(12)
Х =
124

Эта формула дает возможность найти для любых значений р и q,
равно как коэффициентов а% и bif все степенные средние, средние
степенных сумм, а также комбинаторные, одноплоскостные, двуплоскост-
ные степенные средние.
Так, например, при а1=\; при at = 0, если i=f=l; при bn=l,
bt = 0, если i=f=n; при q — 0\ при р=— эта формула принимает
следующий вид:
х{ + Х2~Т~ •' • \хп
П '
т. е. превращается в формулу средней степенной.
Если же, наоборот, a±=l\ at = 0 при i=j=\\ b±=lt bt = 0 при
i=f=l\ q=^^- ; p=—, формула (12) принимает вид:
т. е. превращается в формулу средней степенных сумм.
Если, наконец, все а% равны нулю, кроме занимающей порядковое
место г, которая равна 1, и если все bt также равны нулю, кроме
занимающего порядковое место s, который равен единице, и если имеем
равенства р = -k и q = -й, то формула (12) превращается в
нижеследующую:
rk — sh I yl)
/ (?)2^(*?)
(?)
1=1
Эта формула, при изменении г и s от 1 до п дает все формулы
комбинаторных двуплоскостных средних степенных.
Средняя, определяемая формулой (12), дает, кроме того, средние
типа, отличного от тех, которые мы рассматривали до сих пор, а
именно средние средних. Так, например, при ах = 1; ап = п\ а% = 0,
если i ф\\ Ъп = 1; 6* = 0, если i Ф п\ q = 0; р = - получаем
следующую среднюю:
являющуюся средней арифметической между арифметической и
геометрической средними членов ряда х%.
125
V
-

Другой пример средней средних, которую мы можем получить из
формулы (12), мы будем иметь, если положим, что:
а1 = 17'> а2 = —г'> я* = 0 при i = 3, 4, ..., п; Ьп=\\ Ь~0
(2)
при 1фп) q = 0; р=--
Подставив в формулу эти значения, мы получим следующую
среднюю:
V
х\ + *2~Ь •*• ~^хп , Х\ х2~^~х\ *3~Ь •*• ~^~Хп — 1 Хп
(2)
или иначе:
Таким образом, формула (12) преобразуется в среднюю квадрати-
ческую между средней квадратической и средней комбинаторной одно-
плоскостной второго порядка.
Другая обобщающая формула средних, данная Доддом [67] и позже
вновь предложенная Дже клином [141, ср. 144], основана на введении
квазиарифметических средних. Если А является средней
арифметической ряда х19 л;2,..., хп, средней квазиарифметической называется
величина т9 удовлетворяющая следующему равенству:
/ ^ f(xi)
■» 2
\i= 1 /
где f(x) является частотной функцией xt и у(х) — обратной
функцией f(x).
К средним квазиарифметическим, в зависимости от типа
рассматриваемой функции/(а:), относятся главные аналитические средние: так,
при f(x) = х мы будем иметь среднюю арифметическую, а при f(x) =
= хт — среднюю степенную порядка т.
Другая обобщающая формула средних дана К. Джини [114]. Это-
формула двуплоскостной комбинаторной степенной средней двуплос-
костных комбинаторных степенных средних всех возможных сочетаний
по k элементов, которые можно получить из совокупности п элементов.
Символическое обозначение этой средней таково:
cd ( с' d'
B = Bpg \Bp'q
Ясно, что, если k = п или же k = 1, мы будем иметь формулу
двуплоскостной комбинаторной степенной средней. Если k отлично от п
и от единицы, мы получим бесконечное число других средние,
126

В. Численные соответствия
В § 1 мы провели различие между средними аналитическими и
неаналитическими, относя к первым такие средние, которые могут быть
выражены при помощи математических операций, осуществляемых над
всеми членами данной совокупности или над частью их.
Математические формулы, определяющие такие средние, как уже
отмечалось при анализе отдельных типов средних, могут привести к
значениям, выходящим за пределы, в которых содержатся члены данной
совокупности. Это обстоятельство натолкнуло на мысль обобщить
понятие средней аналитической путем включения в нее также и такого
рода внешних значений. При этом было признано целесообразным не
сохранять за ними наименования средних, но называть их численными
соответствиями1.
Если дана совокупность действительных величин
■*1> -^2» "^3» *••» %п>
то численным соответствием называется величина М, удовлетворяющая
равенству:
f(M,M, ..., М) = /(*lf *а, ...,*„)>
в котором / является символом математической формулы.
Понятие численного соответствия, не охватывающее средних
положения, непригодно для обобщения понятия средней; но оно, во всяком
случае, помогло осветить проблему требований, которым должны
удовлетворять члены ряда и их веса, чтобы можно было выделить среднюю
в этом ряду.
Рассмотрим вопрос в случае известных уже нам средних.
а. Средняя арифметическая. Если дана совокупность
действительных величин
x1^x2SZx3^...^xn
с положительными весами pt (t'=l, 2, ..., я), то выражение
п
2 xiPi
А = —п
п
всегда дает среднее значение (средняя арифметическая), т. е. всегда
справедливо соотношение:
xi ^ А ^ хп.
В самом деле:
i=\ i—\ i=\
1 См. цо этому вопросу то, что сказано на стр. 66—67.
127

откуда, деля на положительную величину 2Р*> мы имеем:
ЪР1 ~~ 2 Pi "" 2 Pi
т. е.
*i S Л S хп.
При этом знак равенства имеет силу лишь в том случае, если все члены
ряда равны друг другу.
Если имеются отрицательные веса, выражение ^ l Pl может
дать значение, выходящее за пределы данных величин.
Это бывает, например, в тех случаях, когда хотят найти среднюю
величину естественного прироста населения на определенной
территории, взвешивая величину — положительную или отрицательную —
естественного прироста населения малых территориальных единиц.
Достаточным условием для того, чтобы величина % , в которой
2j Pi
pi имеет знак плюс или минус, была средним значением, является то,
чтобы для каждого г было справедливо соотношение:
где г < /г, т. е. чтобы сумма любого числа г первых весов не была
отрицательной и не превышала сумму всех п весов.
б. Средняя геометрическая. Если дан ряд положительных чисел:
и положительные веса p. (t = l, 2, ..., п), выражение
всегда дает некое среднее значение (средняя геометрическая), или
же в алгебраической форме:
И действительно,
1 12 п п '
откуда, извлекая корень степени 2р*> получаем:
*i ^ G < хп,
причем равенство имеет место лишь в том случае, если все члены равны
между собой.
в. Средняя гармоническая. Если дана совокупность
положительных величин:
хг^х2^х9%...^хп
№

и положительные веса pt(i = 1, 2,...,/г), выражение
я= s-^
i
всегда дает среднюю величину (среднюю гармоническую), или же, в
алгебраическом выражении:
И действительно,
откуда получаем:
_L V 'V 1 _L "V
хх Ad Ami 1 х\ хп Ad
1 _
Pi
Перемножив все члены неравенства на положительную величину 2Р*>
получим:
причем знак равенства имеет силу лишь в том случае, если все члены
совокупности равны между собой.
г. Средняя степенная. Если дана совокупность действительных
положительных чисел:
и положительные веса pt{i= 1, 2, ..., п), выражение
т
тД = 1 / S*/ Pi
при действительном тфО всегда дает некую среднюю величину
(среднюю степенную) , т. е. лежащую между хг и хп.
И действительно, в зависимости от т-0 получаем1:
i=\ i=\ i=\
и, следовательно,
2>, > 2>* > 2>*
1 Знак равенства сохраняется также и при т ^ 0, если члены
последовательности равны друг другу.
129

откуда
^ n vm
т < ZPiXi < уп
Извлекая корень степени т, получаем:
-<V4
Pl <x„
2, Pi
для действительного т Ф 0. Если мы условимся, что °А = G
(геометрическая средняя), то, переходя к пределу логарифма тА, как было
указано на стр. 80, можем снять также и это ограничение.
Аналогичным методом можно показать, что если все веса
положительны, то формула средней степенной при т Ф 0 всегда дает
величину, заключенную между наименьшим и наибольшим членами,
каковы бы ни были члены совокупности xt. Если же веса отрицательны
то достаточным условием для того, чтобы средняя степенная
заключалась внутри интервала, является условие, чтобы при любом г
удовлетворялось уравнение:
i=\ 1=1
д. Средняя степенных сумм. Если дана последовательность
действительных положительных чисел
%i ^ #2 "^ • • • ^ %п
и положительные веса pt(i = 1, 2,...,/г), то значение
2*Г*
представляет собой среднюю величину (среднюю степенных сумм),
т. е.
х <C-^i <Cjc
х1 — п = хп<
2*74
i=\
причем знак равенства имеет силу лишь при равенстве всех членов
совокупности.
130

И действительно, можно написать:
Таким образом, среднюю степенных сумм можно рассматривать
как среднюю арифметическую положительных величин xt,
взвешенную пололштельными весами xmipi7n7 следовательно (см. раздел о
средней арифметической на стр. 127), она оказывается заключенной
между наибольшим и наименьшим членами совокупности.
е. Средняя экспоненциальная. Если xt — любые числа и pt поло-
жительны (с>0, сф\), то величина Е, заданная уравнением
(13) сЕ = —п
ЦРг
представляет собой среднюю величину.
И действительно, из уравнения (13) мы видим, что сЕ является
средней арифметической величин cxt с положительными весами pt
и, следовательно, с*1 <!ся<[cX откуда получаем л^ <;£<>„.
ж. Средняя равнокомбинаторная степенная [29]. Выражение
^•"ys'.W)
V 2М*0
при xt положительных всегда дает среднюю величину (среднюю рав-
нокомбинаторную степенную).
И действительно, выражение В можно написать в таком виде:
с (р—д)
в%_ п7 2.М*Г0-М«?)
2М*7)
Таким образом, Bccpq можно представить как среднюю степенную
положительных членов, взвешенных пололштельными весами, и,
следовательно,
ср
з. Средняя комбинаторная равностепенная. Выражение
У (с
)2M*f)
131

при xi положительных всегда дает среднюю величину (среднюю
комбинаторную равностепенную). Иначе говоря, всегда существует
неравенство
(14) x,SBJJ<^
И действительно, выражение В$ можно представить как среднюю
степенную положительных членов, взвешенных положительными
весами. Для того, чтобы показать это, напишем для удобства выражение
Bcfp в иной форме:
где вместо Рс(х?) и Pd{xP) введены обозначения РР и Ppdy по-
ср dp
скольку нетрудно заметить, что Bd? =Bcp, достаточно доказать, что
неравенство (14) справедливо для c>d, откуда легко получается
его справедливость на основе написанного нами при c<id уравнения.
Теперь отметим следующее:
1) сумма произведений каждой комбинации класса с — d на все
комбинации класса d, которые можно образовать из п — с + d
членов, не принадлежащих к рассматриваемой комбинации, включает все
комбинации класса С, причем каждая из них повторяется — раз.
т. е. 2[рср_Л2^)] = а)2^;
2) сумма сумм величин Р§, указанных в пункте 1, включает все
комбинации класса d, которые можно составить из всех п членов
данной совокупности, причем каждая из них будет повторяться
(?Zrf) раз, т. е. в алгебраической форме:
2(2^) = ("^)2^;
3) существует равенство:
(?)(5) = Шс"=3).
Из него вытекает
в "7/шж ТУ GW^!-^p^
Р (c—d)
(?)(s)S(s^) У (zm^scs'S)
132

Это и есть формула средней степенной взвешенной положительными
весами.
ср ср
Следовательно, величина Bdp такова, что ^bB^S^.
и. Средняя комбинаторная степенная двуплоскостная. Если дана
последовательность положительных чисел ^S^S.-.S^, то
выражение
(15) z = Bd*--=
pc-qd / (Пс)
ср ва / (3) 2. pCi\xPi)
1= 1
(2)
(") 21И)
/=1
является средней величиной, что имеет место при варьировании р и
q на всей плоскости pq с абсциссой р и ординатой q, за исключением двух
противолежащих углов при вершине, образуемых осью q с биссектрисой
I и III квадрантов [30].
ср dq
Поскольку, как это нетрудно видеть, Bd(* = Вср, остается показать,
что указанное выше справедливо при с > d, потому что в этом случае
оно справедливо также для c<Cd, в силу только что приведенного
уравнения.
ср
Теперь отмеаим, что величину Bdq можно выразить следующим
образом:
ср
[Mcp)cp~dq • (Mdq)cp
-dq~]
-dqj ,
(Я) dCI / (d)
^±г,ш «"-у (jy2p?W)-
dp
Помножим и разделим уравнение (16) на (Mdp)cd-d(i. Получим:
ср _J_ 1
Bdv = [(Мср)ср • (Mdp)-dp]cp~d(I • [(Mdp)dp • (Mdq)~dci]cp-dc!.
Но
ср
gdp = [(Мср)ср . (Mdp)—dp](c~d) p\
dp
fidq _ [(Mdp)dp • (Md(?)-d(l]d (p~4
и, следовательно,
ср ( cd\ (c-d) P ( dn\ d (P-q)
(17) Bdcl = \Bdp) cp~d(] \Bd(l) cp~dq
133

Если оба показателя степени двух сомножителей правой части по-
ср
ложительны, то их сумма оказывается равной единице, Bd(t равно
ср dp
средней геометрической взвешенной величин Bdp и Bdt* и, следователь-
ср dp
но, лежит между величинами Bd? и Bd?. Поскольку эти величины
предел
ставляют собой внутренние средние чисел xiy то и величина Вм, при
положительных показателях степени в равенстве (17), оказывается
лежащей внутри интервала значений х%.
Рассмотрим теперь знаки двух показателей степени:
(с—d) р dip— а)
\ ±^_ TT _v^—ч±_ ПрИ варьировании р.
ср — dq ср — dq
Для того чтобы они оказались положительными, нужно, чтобы их
числители и знаменатели имели один и тот же знак.
Если q < 0, при варьировании р получим:
знак знаменателя ср — dq:
- I + I +
U О
с
р>
р;
знак числителя первого показателя степени (с—d)p:
—=—н^*
знак числителя второго показателя степени d(p —q):
-^- + i+ "■■
q О
знак первого показателя степени:
+ I- + I - I +
я ±я о
с
знак второго показателя степени:
+ 1-1 +1 +
я ±я о
С
Итак, при q <C 0 оба показателя степени имеют, таким образом,
одновременно положительный знак при р <С q и при р >> 0.
Если q > 0, то при варьировании р получим:
знак знаменателя ср — dq:
-^-J —i ±—*
0 ±д
с
134

знак числителя первого показателя степени (с—d) p:
-^ч ± «
знак числителя второго показателя степени:
- I - I - I +
О U
— д д
с
знак первого показателя степени:
+ I - I + I +
о
с
р;
знак второго показателя степени:
+ I + I - I +
О JLq
с
d
—£— - - у
/
/
/
/
/
/
/
/
/
'
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
у
( б Рис. 3
J 35

Если q > О, оба показателя степени будут, следовательно, иметь
положительный знак при р<0и при р > q.
Таким образом, в конечном счете Bpdcq безусловно является
средней для всех точек на плоскости pq, за исключением двух
противолежащих углов при вершине, помеченных штриховкой на рис. 3,
образованных осью q с биссектрисой первого и третьего квадрантов.
Г. Средние предельные
Если даны два действительных числа: ах и bl9 для них можно
подсчитать среднюю арифметическую аг и среднюю геометрическую Ьг\
в свою очередь для этих двух чисел получим среднюю арифметическую
аз и среднюю геометрическую Ьз и так далее до бесконечности. Можно
показать, что ряды alt а2, аз, ... и Ьъ Ь2, Ьз,... сходятся к общему
пределу, который называется средней арифметико-геометрической
данных величин а± и Ь±. Аналогичным образом определяется средняя
гармонико-геометрическая и средняя ар ифметико-гармоническая.
Между этими средними существуют следующие соотношения:
1) средняя арифметико-гармоническая двух чисел равна их
средней геометрической;
2) средняя геометрическая величина средней
арифметико-геометрической и средней гармонико-геометрической двух чисел равна их
средней геометрической [213].
Д. Переход к непрерывности
Данные выше определения средних величин п дискретных чисел
xt легко распространяются на тот случай, когда эти числа представляют
собой всю совокупность действительных чисел, заключенных между
пределами а и Ь.
а. Средние аналитические. Средние аналитические взвешенные,
о которых говорилось в разделе В 2-го параграфа, в случае
непрерывности выражаются следующими формулами, в которых р(х) является
функцией частот:
Средняя арифметическая:
ь
j xp (x) dx
А=±
ь
J p (x) dx
а
Средняя геометрическая:-
ь
j log xp (x) dx
a
b
G = e \p(x)dx
°<
J 36

Средняя гармоническая'
ь
j p (х) dx
Н--
ь
к)
а
Средняя квадратическая:
Ы =
У
Средняя кубическая:
з
М =
Средняя биквадратическая:
4
Ъ
х2 р (х) dx
а
J р (х) dx
b
j x3 p (x) dx
а
b
j p (x) dx
f p (x) dx
а
Средняя степенная:
(тфО) тА— ш/ b
р (х) dx
'а
Средняя антигармоническая:
ь
j x2 p (x) dx
27" = —
Ь
Г хр (х) dx
а
Средняя степенных сумм:
ь
j xm p (x) dx
]xm~lp(x)dx
а
137

Средняя экспоненциальная:
J сх р (х) dx
„F а
j p (л:) d#
Полусумма крайних членов: формула полусуммы крайних членов,
поскольку она является функцией только лишь крайних членов, в
случае непрерывности совпадает с формулой, приведенной для случая,
когда членами ряда являются дискретные величины, независимо от
величины р{х).
Средние тригонометрические:
Средняя синуса:
ь
J sin xp (х) dx
= х = arc sin .
J p (x) dx
a
Средняя косинуса:
b
I cos xp (x) dx
= # = arccos a
ь
j p (x) dx
a
и т. д., где
0<a<6S-.
2
Следует отметить, что в приведенных здесь формулах средних
взвешенных содержится функция весов р(х). Если она равна единице, из
этих формул получаются простые средние, формулы которых
соответственно выглядят так:
Средняя арифметическая:
ь
§ xdx
А = ± =i(a + 6).
а
Средняя геометрическая:
ь
j* \ogxdx
Ь
[dx
1 Ь—а,
G = e а =- ybb-a-a
138

Средняя гармоническая*.
ь
тт _ а Ь — а
ъ log 6 — log a
\ — dx
J х
Средняя квадратическая:
Г х2 dx
ь
[dx
а
Средняя кубическая:
л/ Ь'-а* ,
V 3(6- а) У
2Д= ■/ а —л/ v—"- _i/ b2 + ab + a2
з ' 6
[ х3 dx
а
Средняя биквадратическая:
V 4 (6-й) ^
3^4 = И/ о _i/ "—"■ _W 63 + а62 + а26 + а^
1
Средняя степенная:
м=
f*OTd* a—п г-г / У\агЬ
J ml umA-i „т-\-1 Ti / ^ " и
mf bm+l— am+l l/
~V (m+\)(b-a)= \
/ V „r um—r
r=0
\dx Y (rn+l)(b-a) f H+1)
Средняя антигармоническая:
ь
[ x2dx
2T=i = 2(fe3—дз) ^ 2 fr2 + a6 + a2
^ 3(62 —я2) 3 a+6
J x dx
a
Средняя степенных сумм:'
b m
\xmdx ■ , , ■ 2 ^m~r«r
& m+l bm—am m+\ m-i
$xm~ldx 2 bm~l~rar
a r=0
139

b — a
Средняя экспоненциальная:
ь
j cx dx
cE = -
b logc(b-a)
\dx
a
Полусумма крайних членов: формула полусуммы крайних членов,
поскольку она является функцией одних только крайних членов, в
случае непрерывности совпадает с формулой, выведенной для случая,
когда члены совокупности представляют собой дискретные числа.
Средние тригонометрические: в случае, когда ряд х-ь представлен
всеми точками интервала (ab), где 0 < а <. Ь < ^-, формулы средней
синуса и средней косинуса приобретают следующий вид:
ь
Г sin х dx
г> л ~~ • а • cos a — cos b
Средняя синуса = х = arc sin = arc sin
]dx
a
b -
j cos xd x
r> ^ ~ a sin b — sina
Средняя косинуса = х = arc cos = arc cos •
b b — a
a
б. Средние неаналитические. Для средних взвешенных
неаналитических получаются следующие выражения:
Медиана, Медиана равна величине х (#<#<&), для которой
имеет место равенство1:
х b
^ р (х) dx = ^ р (х) Ьх.
а х
Квартили. Если даны два целых положительных числа р и q,
такие, чтобы р + q = 4, то квартилями являются те значения х,
заключенные между а и Ьу для которых при варьировании р и q имеет силу
следующее равенство:
ь
j p(x)dx = j^p(x)dx.
1 Если же речь не о всех точках интервала а\ — \Ь, а об определении
значений медиан некоей функции f(x), определенной на интервале а\ — \Ь, то
Ч. Э. Бонферрони показывает, как осуществляется требуемое определение. [19,
20]. Действительно, Бонферрони, используя понятие меры совокупности по
Лебегу, дает определение пермутации (или, как называют ее, ^-коммутации)
данной непрерывной функции на определенном интервале, и полученная
возрастающая пермутация дает возможность определить величины простых и
взвешенных медиан.
140

Поскольку дробь — может иметь лишь значения — , — и — ♦
д 3 2 1
первая квартиль равна тому значению х, которое он имеет при
х Ь
\ р (х) dx = — \р (х) dx.
а х
Вторая квартиль равна тому значению х, которое получается при
х Ь
\ р (х) dx = — \ р (х) dx.
а х
Наконец, третья квартиль получается при решении уравнения
х Ъ
\ р (х) dx = — \ р (х) dx.
а х
Квантили. Если даны два числа: р и q, причем р + q = k,
величины квантилей выражаются теми значениями х, которые при
варьировании р и q задаются уравнением:
х b
J p(x)dx = j^p(x)dx.
а х
Разделительное значение. Разделительное значение равно
значению х, удовлетворяющему уравнению:
х b
\ хр (х) dx=\^xp (x) dx.
а х
Тантили. Тантили — это те значения х\ которые при
варьировании k удовлетворяют уравнению:
х Ь
^ хр (х) dx = k^xp (x) dx.
а х
Мода. Мода — это значение х, при котором функция р(х)
максимальна.
Антимода. Величина антимоды равна значению х, при котором
функция р(х) минимальна.
Высшее значение. Это значение х, при котором функция х-р(х) имеет
максимальное значение.
Низшее значение. Это значение х, при котором функция х-р(х)
минимальна.
Как это очевидно, приведенные выше средние зависят от функции
веса р(х).
141

Для неаналитических простых средних величин имеем:
Медиана. Значение медианы делит надвое монотонный ряд,
образованный всеми действительными числами, заключенными между а и
Ьу следовательно, задается выражением:
М = ^±±.
2
Таким образом, в случае непрерывности значение медианы
выражается простой средней арифметической крайних членов а и Ь.
Квартили. Для того чтобы получить значения квартилей, нужно
разделить интервал b — а на четыре равные части и прибавить к а одну,
две и три такие части, чтобы получить соответственно первую, вторую
и третью квартиль. Таким образом, получим:
Q2 = a+2 b~a - a+b ■
4 2
Ь—a a-\-3b
Q3 = a+3
Следовательно, квартили представляют собой средние
арифметические взвешенные крайних членов а и Ь.
Квантили. Аналогичным образом и квантили образуются путем
разделения интервала b — а на к равных частей и прибавления к а
i таких частей (1 <; /<&). Таким образом, получаем i-ю квантиль:
fe| = fl + i-*=*=*<*-'> + '».
1 к к
Таким образом, квантили сводятся к средним арифметическим
взвешенным крайних членов.
Разделительное значение. Разделительное значение можно
получить, разрешив относительно х следующее уравнение:
х Ь
S^xdx — ^ xdx.
а х
Из этого уравнения без труда получаем:
D = x=\/
2
Итак, разделительное значение совокупности действительных чисел,
заключенных между а и 6, равно простой средней квадратической
крайних членов.
Тантили. Значение тантилей получаем путем решения следующего
уравнения:
х Ь
\^xdx = k\>xdx.
а х
142

Следовательно, величины тантилей дают те значения х, которые
при варьировании k задаются выражением:
*=j/
kb2 + a*
Таким образом, величины тантилей совокупности действительных
чисел, заключенных между а и Ьу являются средними квадратическими
взвешенными крайних членов.
Е. Средние средних
а. Однотипные средние взаимоисключающих частичных
однотипных средних. Дана совокупность действительных чисел:
(lo) Х±9 Х%, Х$, ..., Хп,
которая может быть взвешенной. Рассмотрим k групп членов
совокупности (18), причем каждая группа может содержать любое число
членов, но каждый член совокупности может содержаться в каждой группе
лишь один-единственный раз. Обозначим t-ю группу индексом {x}t.
Затем будем находить средние такого же типа (однотипные) для
полученного ряда групп.
Тогда получим следующий ряд:
(19) пг{х)ъ т{х}2, ..., m{x}h k<.n.
Этот ряд называется совокупностью взаимоисключающих частичных
однотипных средних.
Теперь исчислим среднюю этой совокупности (19) того же типа, что
и предшествовавшие:
m(m{x}ly m{x}2i ..., т {x}h).
Эта средняя называется однотипной средней взаимоисключающих
частичных однотипных средних.
Пример. Имеется, например, следующая последовательность
чисел:
(20) 1, 2, 4, 5, 6, 8.
Рассмотрим следующие три группы членов этой совокупности
1 4
(21)
2, 5, 8
6
Рассмотрим далее средние арифметические этих трех групп. Они
равны:
Л<*,} = 2,5;
A{xt} = 5\
A{xt} = 6.
143

Наконец, рассмотрим среднюю арифметическую ряда средних:
(22) 2,5; 5; 6.
Она равна: А = 4, 5, и представляет собой однотипную (в нашем
случае арифметическую) среднюю взаимоисключающих частичных
однотипных (арифметических) средних.
б. Разнотипные средние взаимоисключающих частичных
однотипных средних. Если имеется ряд (19) взаимоисключающих частичных
однотипных средних совокупности действительных чисел, то любая
подсчитанная для этого ряда средняя иного типа, чем предыдущие,
называется средней разнотипной этой совокупности.
Пример. Рассмотрим вновь совокупность (20), группы членов
(21) и последовательность (22):
2, 5; 5; 6
средних арифметических этих групп. Средняя гармоническая этого
последнего распределения, равная 3, 91, будет средней разнотипной
(гармонической) взаимоисключающих частичных однотипных
(арифметических) средних.
в. Разнотипные средние взаимоисключающих частичных
разнотипных средних. Рассматривая взаимоисключающие частичные
группы совокупности чисел (18), подсчитаем средние различных типов
(разнотипные) этих групп. Получаем ряд:
(23) Щ{х}ъ Щ{х}2> •••> Щг{Ак-
Средняя любого типа ряда (23) называется средней разнотипной
взаимоисключающих частичных разнотипных средних.
П р и м е р. Рассмотрим совокупность чисел (20) и группы ее
членов (21). В первой группе найдем среднюю геометрическую, во второй
и в третьей — среднюю арифметическую. Получаем следующий ряд
средних:
2, 5, 6.
Средняя гармоническая этого ряда, равная 3, 46, представляет
собой среднюю разнотипную (в нашем случае гармоническую)
взаимоисключающих частичных разнотипных (арифметических и
геометрических) средних.
г. Средние однотипные однотипных средних частичных
комбинаторных групп. Если группы {xt} получены путем перебора всех
возможных сочетаний членов совокупности (18) из п чисел по s, то ряд
однотипных средних, подсчитанных для этих групп, называется рядом
однотипных средних частичных комбинаторных групп, а средняя того
же типа, что и предыдущие, подсчитанная для членов этого ряда,
называется средней однотипной средних однотипных частичных
комбинаторных групп.
Пример. Рассмотрим следующую совокупность чисел:
(24) 1, 2, 4, 5,
144

а также группы {x}iy полученные путем всех возможных сочетаний
членов этой совокупности по 3:
1, 2, 4;
2, 4, 5.
Средние арифметические этих групп представляют следующий ряд:
(26) 2,33; 2,67; 3,33; 3,67.
Средняя арифметическая этого ряда, равная 3, представляет собой
среднюю однотипную однотипных средних частичных комбинаторных
групп.
д. Средние разнотипные однотипных средних частичных
комбинаторных групп. Если мы рассматриваем совокупность однотипных
средних частичных комбинаторных групп, то средней разнотипной этих
средних является любая средняя отличного от предыдущих типа,
подсчитанная для этой совокупности.
П р и м е р. Рассмотрим совокупность (24), набор групп (25) и ряд
средних арифметических (26).
Средняя квадратическая этой последней совокупности равна 3,046
и представляет собой разнотипную среднюю однотипных средних
частичных комбинаторных групп.
е. Разнотипные средние средних разнотипных частичных
комбинаторных групп. Это средние, подсчитанные для совокупности
различного типа средних частичных комбинаторных групп.
П р и м е р. Имеется совокупность (24) и набор групп (25).
Рассмотрим среднюю арифметическую первой группы, среднюю геометричесг
кую второй и гармоническую третьей и четвертой групп. Получим
следующий ряд:
2,33; 2; 2,07; 3,16.
Средняя квадратическая этой совокупности равна 2,434 и
представляет собой среднюю разнотипную разнотипных средних
частичных комбинаторных групп.
ж. Средние средних полных групп. Для данной совокупности (18)
действительных чисел подсчитываются различные типы средних.
Любая средняя для совокупности, составленной из этих средних,
называется средней средних полных групп.
Значительный интерес представляет вопрос, для каких средних
справедливо, что средняя полной совокупности совпадает со средней
средних. Но об этом мы поговорим в дальнейшем (см. свойство
ассоциативности, стр. 150—152). Здесь мы только покажем на примере, что
средняя арифметическая совокупности действительных чисел
совпадает со средней однотипной средних арифметических частичных
комбинаторных групп.
6 Зак. 401
145

Рассмотрим совокупность
(27) 1, 4, 5, 10, 80
и все сочетания по 4 элемента, которые можно из нее составить:
1, 4, 5, 10;
1, 4, 5, 80;
(28) 1, 4, 10, 80;
1, 5, 10, 80;
4, 5, 10, 80.
Средняя арифметическая совокупности (27) равна:
л^ 1 + 4 + 5 + 10 + 80 _20
5
Средние арифметические групп (28) составляют следующую
совокупность:
5; 22,5; 23,75; 24; 24,75,
а средняя арифметическая этой совокупности равна:
л _ 5 + 22,5 + 23,75 + 24 + 24,75 __ 2Q
"~ 5 ~~
§ 5. СВОЙСТВА СРЕДНИХ
Напомним, что средние делятся на:
а) устойчивые или подвижные—в зависимости от того, зависит или
не зависит значение средней от величины всех членов совокупности,
так, что если меняется одна из них, то меняется также и значение
средней;
б) аналитические или неаналитические — в зависимости от того,
может ли средняя быть выражена посредством аналитической
функции членов данной совокупности;
в) однозначные или многозначные — в зависимости от того, имеется
лишь одно значение или несколько значений средней рассматриваемого
типа для любого набора членов совокупности по их числу и значению;
г) единичные или собирательные — в зависимости от того,
выделяет ли определение один тип средней или охватывает несколько их
типов;
д) средние с полной или неполной областью определения — в
зависимости от того, может или не может быть определена средняя при
любой рассматриваемой совокупности действительных чисел.
Перейдем теперь к рассмотрению свойств средних.
Рассмотрим прежде всего общие свойства, присущие некоторым
группам средних, а затем свойства отдельных средних. Распределим
146

эти последние свойства на три категории, в зависимости от того, к
каким средним относятся эти свойства:
1) собирателям нулевого порядка;
2) собирателям порядка тф 0;
3) средним непрерывных переменных.
А. Свойства общие для групп средних
а. Непрерывность. Функции, через которые выражаются средние,
могут быть непрерывными или прерывными. В любом случае мы
называем непрерывными те средние, которые можно выразить посредством
непрерывных функций членов совокупности, от которых они в
действительности зависят.
Напомним, что если М—функция п переменных хъ х2,..., хп, то
условие непрерывности выражается соотношением:
lim M(x1 + h1, x2 + h2, ,..., xn+hn) = M(xl9 x2, ..., хп).
hx ->0
h2 -*0
Из теорем о непрерывных функциях вытекает, что все
рассматривавшиеся до сих пор аналитические средние являются непрерывными
функциями членов совокупности (для подвижных средних
аналитических, которые, как мы знаем, являются функциями части членов
последовательности, имеет смысл говорить о непрерывности только
по отношению к этим членам).
Покажем, в качестве примера, непрерывность средней
экспоненциальной. Пусть х% — любой член рассматриваемой совокупности,
S — сумма степеней с, которые имеют показатели степени, отличные
от xt. Средняя экспоненциальная в этом случае получит следующее
выражение:
р= log (cA* + s) —log я ^
log с
Дадим хх произвольное приращение /г^О и получим:
п, \og(cXi+hi + s)-\ogn _log(/* .chi+s) — \ogn
t = - ♦
log с log с
Перейдя к пределу, получим:
lim Е = /eg^+sl-iog* .
/i.->0 log С
Нетрудно показать справедливость этого утверждения и в том
случае, когда в качестве переменных рассматривается несколько членов
совокупности. Итак, непрерывность средней экспоненциальной
доказана.
6*
147

Для неаналитических средних нет смысла говорить о
непрерывности.
б. Свойства возрастания или убывания, или невозрастания, или
неубывания (монотонность). Говорят, что та или иная
средняя—возрастающая или убывающая, если при изменении одного из членов в
определенном направлении и при постоянных остальных членах
средняя изменяется в том же или в противоположном направлении. Из
определения следует, что, если данная средняя — возрастающая или
убывающая, она возрастает или убывает таюке, когда все члены данной
группы возрастают или убывают.
Говорят, что данная средняя — неубывающая или невозрастающая,
если ее величина не убывает или не возрастает при увеличении
значения одного или нескольких любых членов, причем остальные
остаются постоянными.
Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие
средние называются монотонными.
Рассмотрим степенные средние:
i
1=[-
+*?+...+*г+...+<
Взяв производную по любому- члену xit получим:
„А,= ±\Х? + Х%+-+Х? + :-+Х2
т
Xi
т
xm + xm+_+xm+a+xm
X
*'I« + *- + ... + *';i + - + *n
— = mA
x
l
CM)-
m nx.
Если m — нечетное число, то тА и (тА)т имеют одинаковый знак и,
следовательно, их отношение положительно. То же можно сказать
и о xi и хТ- Таким образом, функция Рт имеет всегда
положительную производную и, таким образом, является возрастающей.
При т четном, если хг имеет тот же знак, что и А (поскольку
мы договорились придавать тА именно этот знак), тА' такл<е
положительна; но 'М'<;0, если xt имеет знак, противополол<ный
знаку А.
При т-^0 тА дает нам среднюю геометрическую:
G = (x1x2...xn)n =kxt\
где
k = (xx
... х
i—\
Xi-\-\
...**)"■
148

Взяв производную по хь мы имеем:
i П i ИХ. П X.
i i
откуда следует, что Од-.С^О в зависимости от того, одинаковые
или разные знаки имеют G и xt.
Если мы условимся придавать G и А один и тот же знак, то
вернемся к только что разобранному случаю.
В заключение мы можем сказать, что средние, полученные при
помощи формулы
2*?*+*\5Щ
при любом целом k всегда будут возрастающими.
Прочие средние степенные, т. е. те, которые получаются при т
нечетном или стремящемся к нулю, будут возрастающими лишь в том
случае, если все члены совокупности имеют один и тот же знак, и лишь
до тех пор, пока эта одинаковость знаков не нарушена.
Применяя тот же метод к анализу средней степенных сумм, мы
легко убедимся, что она не является монотонной. И в самом деле, она
возрастает или убывает в зависимости от того, какое значение имеет
изменяемый член совокупности.
Наоборот, возрастающей является экспоненциальная средняя.
В самом деле, взяв производную по хь функции
£ = log (/* + $) —log я ^
log с
где
S = (?i + cx*+... + cxt-l + cx*+2 + ... + cKn,
мы получаем:
с?
cX*+S
Кроме того, к категории монотонных относятся средние базо-экспо-
ненциальные, радикальные и полусумма крайних членов. Что
касается неаналитических средних, то тут нужно отдельно рассматривать
средние простых и взвешенных рядов. Нетрудно убедиться в том, что
медиана, квантили, разделительная величина и тантили принадлежат
к категории неубывающих средних, каков бы ни был характер
совокупности, тогда как мода и антимода принадлежат к ней лишь в
случае взвешенных совокупностей, причем, разумеется, предполагается,
что меняется только какой-либо член совокупности, но не его вес.
2к+\Д =
149

в. Свойство симметрии. Мы называем среднюю симметричной,
если она не меняется при перемене мест любых двух членов
совокупности.
Центральная величина —симметричная средняя. Остальные
аналитические средние — симметричны, если они простые, и
несимметричны, если они взвешенные1.
Рассмотрим, например, простую и взвешенную арифметические
средние. В первом случае мы имеем:
х± + х2+ .., + хг+ ... + xs+ ... + хп =
= x1 + x2+... + xs+... + xr+... + xn,
каковы бы ни были значения г и s; наоборот, во втором случае мы
имеем:
p1x1 + p2x2+... + prxr+... + psxs+...+pnxn^
¥sPiX1 + p2x2 + ... + prxs+... + psxr+... + pnxn9
если только рг не равняется ps, что не может иметь место в каждой
паре весов г и s.
Аналогичный метод доказательства применяется и в отношении
других аналитических средних.
Что касается позиционных средних невзвешенных, то ясно, что
меняя местами два любых члена совокупности, мы не изменяем
порядка чисел, на основе которой исчисляется средняя величина, и
последняя таким образом сохраняет свое значение. Наоборот, средняя
меняет свое значение, если меняются местами два члена какой-либо
взвешенной последовательности.
г. Свойство ассоциативности. Среднюю называют ассоциативной,
если она не меняется при подстановке в данную совокупность вместо
любого числа ее членов их средней величины2. В этом случае, если
средняя является функцией п переменных, мы имеем для любого т < ft
следующее соотношение:
fn\XV XV •••> Хт> Xm+V *"> Хп) = ?п\Х> Х> ""> Х> Xm+V "> Хп)>
когда
fm\x> Х> ••*> х) = ?т\х1> Х2> *••> хт)'
Из этого определения следует, что ассоциативные средние
сохраняют свое значение, если при изменении одной части данной совокуп-
1 Разумеется, можно рассматривать также случай, когда происходит
простая перестановка членов данной совокупности, будь то взвешенных или
невзвешенных, причем они сохраняют при перемене занимаемых ими мест свои веса.
В этом случае очевидно, что все рассмотренные нами аналитические средние
должны быть отнесены к категории симметричных. Это свойство симметричности
сохраняется, как показал Бонферрони в двух работах, цитированных нами в
примечании на стр. 140, при переходе к непрерывности, если только средние
выражены при помощи интеграла Лебега.
2 Некоторые авторы называют это свойство транзитивностью (см.,
например, [114]).
150

ности значение средней величины этой части остается неизменным.
Таким образом, для любого т < п мы имеем:
f,i(X\> Х2> *••' Хт> Xm+V •'•' Xn)^fn{X\> XV "•' Хт> Xm+V •> Х'л)>
если
fm(X\> *2> '"•> Хт)~ fm\XV Х2> '"> Хт)-
И. Нагуно [165] и А. Колмогоров [151] одновременно дали формулу
любой монотонной аналитической ассоциативной средней. Эта
формула в случае п дискретных переменных хъ #2,..., хп имеет следующий
вид:
(1) f(Xl x2, ..., хп) = Ц-1 ^^)+^+--- + ^Ы1 .
В этом выражении г|э является возрастающей функцией, а г|)-1
обратной к ней.
Де Фииетти [49] показал впоследствии, что любая ассоциативная
средняя является монотонной, чем устранил введенное Колмогоровым
ограничение для формулы (1), которая, таким образом, превратилась
в общее выражение любой ассоциативной средней.
Де Финетти, предполагая, что средняя f(x, у) двух переменных
является симметрической функцией, имеющей производную, нашел, что
необходимым и достаточным условием для того, чтобы f(x, у) была
ассоциативной средней, является то, чтобы отношение двух частных
производных / было отношением функции одного х к функции одного
у. В этом случае г|) определяется следующим отношением:
дх ду
Пример 1. Пусть f(x, y) = Yху (средняя геометрическая).
Мы имеем:
J_
д ,/-— д ,/-— у х
Следовательно,
Уху : — Y ух = — = •
дх V У ду V У х 1
i|>'(*)=i- ; ^(x) = \gx.
Итак, средняя геометрическая является ассоциативной средне;'1,
с ip(x) = logx.
Пример 2. Пусть f(x, y) = —^— (средняя антигармони-
х ~\-у
ческая).
Мы имеем:
JL / (х V) • JL / (х у)= х2—У2 + 2*У . у2 — х2 + 2ху ___ х2—у2 + 2ху
дх К ' /;' ду К ' У) (х + у)2 ' (х + у)2 " у* — х* + 2Ху
151

Итак, средняя антигармоническая не является ассоциативной
средней.
Из равенства (1) легко увидеть, что все степенные средние, равно
как средняя экспоненциальная, средняя радикальная и
тригонометрические средние, являются средними ассоциативными. Наоборот,
позиционные средние не ассоциативны. Фурлан доказал, что медиана
преобразованной совокупности всегда больше 1-й квартили и меньше
3-й квартили исходной совокупности (см. соотношения между
средними, стр. 244).
д. Комбинаторное свойство. С ассоциативным свойством связано
другое свойство, которое Узаи назвал комбинаторным [214 и 215]. Если
даны положительные числа хъ хг,..., хп, рассмотрим сочетания их по
k элементов (&</г) и вычислим среднюю каждого сочетания. Для
каких типов средних справедливо предположение, что средняя средних
всех сочетаний равна средней данных п чисел? Узаи доказывает, что
это справедливо в отношении средних арифметической,
геометрической, гармонической и квадратической, но зато не справедливо в
отношении антигармоиической средней.
Докажем, что это справедливо в отношении геометрической
средней (аналогичное доказательство может быть приведено также и для
остальных трех средних). Пусть хц, xi2,..., xik будут k чисел одного из
(1) сочетаний из п данных чисел по &*. Средняя геометрическая чисел
этого сочетания будет:
Ц/г), I — У Хц-> Xi2i . . ., Xik,
а средняя геометрическая ( , 1 всех G(k)y t\
У 11 у xnxi2 ... xih
В то же время мы имеем:
^Vxnxi2 ... xih =VU(xnxi2 ... xlk).
В этом выражении каждое из чисел хъ х2, ..., хп будет фигуриро-
(п \ k
вать L — раз. Поэтому мы будем иметь:
n(xilxi2,...,xik) = (x1x2...xn)\k> ",
* Здесь и в дальнейшем ;ч обозначает число сочетаний из п элементов
по к. — Прим. перев.
152

откуда следует:
(»л-
®У т^т п
= У (хгх2... хпр>п = п/(хг х2...хп),
что и доказывает наличие упомянутого свойства.
Следует отметить, что упомянутые свойства средних сохраняются
и в том случае, когда вместо сочетаний мы имеем дело с размещениями
п данных чисел по k.
е. Свойство обратимости. Говорят, чтосредняя обладает свойством
обратимости, если она равна обратной к средней обратных членов
данной совокупности.
Таким образом, средняя обладает свойством обратимости, если:
т(хъ х2, ..., хп) = -
>(-,-, ...,-У
\ Х± *2 ХПJ
Из аналитических средних только средняя геометрическая обла-
Aaet свойством обратимости. В самом деле:
П
у Х1 Х2 ... Хп — \Xi Х2 ... X) п —
1
J 1_
1
1
\— • — ...— ]Т л/—-— —
L Х\ Л^2 Xfi J f Xi Х2 Хп
Из позиционных средних обратимы медиана, когда число членов
совокупности нечетно, и мода. Если число членов совокупности
четное, медиана все еще обладает свойством обратимости, но лишь при
условии, если за нее не принимается полусумма центральных членов.
ж. Однородность. Говорят, что средняя или численное
соответствие однородны, если их значение увеличивается в k раз, когда все
члены совокупности умножаются на k.
Таким образом, средняя считается однородной, если:
m(kxx, kx2, ..., kxn) = km(x1, x2, ..., хп).
Легко убедиться в том, что средняя степенная однородна. В самом
деле, мы имеем:
1 -,i
t2w
/=1
п
i=\
= kmA.
Поэтому однородными являются средние гармоническая,
арифметическая, квадратическая и т. д.
153

Также и средняя степенных сумм однородна, поскольку
kmx?+kmx?+ .... +е*$ = k Ц< =hmT
km-\ xm-\+km-\ %т-\ + _ + km-\ xm-\ ^Г"*
Аналогичным образом доказывается однородность полусуммы
крайних членов.
Средние экспоненциальные, радикальные, базо-радикальные, базо-
экспоненциальные и тригонометрические не однородны.
Неаналитические средние все однородны.
з. Свойство переносимости. Среднюю называют переносимой, если
ее значение возрастает на &, когда все члены совокупности
увеличиваются на k.
Таким образом, средняя считается переносимой, если:
m(x1 + k, x2 + k, ..., xn + k) = m(xli x2, ..., xn) + k.
Из аналитических средних свойством переносимости обладают
средние арифметическая, экспоненциальная и полусумма крайних
членов. В самом деле:
Pl(x1 + k) + pi(x2 + k)+ ... +ps(xs+k) Pi Xi + p2X2+ ... +PSXsi
2 Pi ЪРг ~r
^ +c T + ... +c n-T _gfc с l + C ' + ... +C n_ck cE_cE+K
(x1 + k) + (x2 + k) _ xt + x2 , u
2 - 2 VR'
Из позиционных средних переносимыми являются мода, антимода,
медиана и квантили, между тем как высшее значение, низшее
значение, разделительное значение и тантили не обладают свойством
переносимости.
и. Свойство потенциальности. Говорят, что средняя обладает
свойством потенциальности, если ее значение оказывается возведенным
в степень /г, когда все члены данной совокупности возводятся в ту же
степень k. Таким образом, средняя считается обладающей этим
свойством, если
т[хиХ2, ...,хкп)=тк{хъ х2У ..., хп).
Среди аналитических средних свойством потенциальности обладает
средняя геометрическая. В самом деле:
У х\ х\ ... Хп = У (*! х2 ... х)к = [У*х х2 ...х.п].
Из позиционных средних этим свойством обладают мода, антимода
и медиана, если число членов совокупности нечетно.
154

к. Свойство функциональности. Обобщая сказанное в пунктах
ж, з и и, можно сказать, что средняя обладает свойством
функциональности, если
mlf(xi), /(4 —, f(xn)] = flm(xi> *2> —» */i)].
Из числа позиционных средних свойством функциональности
обладают медиана, если число членов совокупности нечетно, и мода, каков
бы ни был характер /, если только она является монотонной. Что
касается других позиционных средних и всех аналитических средних,
то о них нельзя ничего сказать, пока неизвестен характер f.
Б. Специфические особенности отдельных средних
Помимо рассмотренных выше свойств, общих для целых групп
средних, отдельные средние обладают своими собственными
специфическими особенностями, характеризующими каждую из них в
отдельности, причем этими особенностями обладает лишь одна-единственная
величина, а именно рассматриваемая нами средняя.
Такого рода особенности называются характеристическими,
а. Средняя арифметическая. Средняя арифметическая обладает
следующими особенностями.
1. Алгебраическая сумма отклонений отдельных членов ряда от
средней арифметической равна нулю.
Это значит, что
(2) 2 (xt-A) = 0.
i= l
И в самом деле:
п \ п
Lzl 1= у. Xi—nJzl = 0.
п J i=i л
Эта особенность характерна для средней арифметической.
Последняя является единственным корнем уравнения
2 (*,-*)=о.
/= 1
В самом деле, мы имеем:
п
2 *t—пх = 0.
1= 1
Откуда следует:
2И*1-Л)=2
;= 1
/= 1
х =

2. Сумма квадратов отклонений отдельных членов ряда от
средней арифметической меньше суммы квадратов их отклонений от любой
другой величины.
Пусть В является величиной, отличной от средней арифметической.
При любом i справедливо соотношение:
xi-B = (xi-A) + (A-B).
Возводя обе части равенства в квадрат, получаем:
(xi-Bf = {xi-Af + {A-By + 2{A-B){xi-A)y
и, суммируя все равенства, получаемые из предшествующего равенства
при изменении i, мы получаем:
2 (хг-В)*= 2 (xt-Af + n(A-Br + 2(A- В) £ (х,-А),
/ = 1 /= 1 i= l
но, поскольку
2(xt-A) = 0,
мы в конечном результате получаем:
^{xi-Bf = ^{xi-Af + n{A-Bf.
Из этого равенства видно, что сумма квадратов отклонений
отдельных членов ряда от любой величины, отличной от средней
арифметической, равняется сумме квадратов отклонений от средней
арифметической плюс некая положительная величина. Таким образом,
характерной особенностью средней арифметической является то, что сумма
квадратов отклонений от нее отдельных членов ряда меньше, чем сумма
квадратов их отклонений от любой другой величины.
3. Сумма произведений отклонений от средней арифметической
отдельных членов ряда, равноотстоящих от его начала и конца, меньше
суммы произведений их отклонений от любой другой величины.
Предположим, что мы имеем некую совокупность действительных
чисел. Составим из них два ряда так, чтобы в одном из них члены ряда
были расположены в порядке возрастающих величин, а в другом —
в порядке убывающих:
(3) *" *'","'*\ <*« <*<+!)•
Лл> лп— Ь ••• > л1
Равноотстоящими называются величины, которые занимают
одинаковое положение в обоих рядах. Равноотстоящими отклонениями
от какой-либо средней называются отклонения от нее равноотстоящих
величин.
Сумма произведений равноотстоящих отклонений членов данного
ряда от некоторой величины х дается следующим выражением:
4) Нх = (хх—х) (хп—х) + (х2—х) (x„_i —*)+... + (хп—х) (х1—х) =
хххп-\-хгхп-\ -\- ... + хпхг—2пхА + пх2,
J 56

Если принять К = х1хп + хгхп^г + ... + xnxlf то это выражение
примет следующий вид:
(5) Нх = К—2пхА + пх2 = К—пА2 + п (Л—х)2,
из которого видно, что Нх принимает минимальное значение лишь при
х = А. В самом деле, если х = А, то мы имеем:
откуда следует, что
НА = К-пА2;
Нх = НА+п(А-х)2.
Таким образом, при х Ф Л, Нх оказывается всегда большим, чем НА,
поскольку величина п(А — х)2 > 0.
Отсюда следует, что та особенность средней арифметической, в
силу которой она дает минимальное значение для суммы произведений
равноотстоящих отклонений, является характеристической
особенностью этой средней.
4. Сумма произведений равноотстоящих отклонений от средней
арифметической меньше нуля, если члены данного ряда не равны все
между собой.
Пусть Нм будет суммой произведений равноотстоящих отклонений
от медианы.
Поскольку медиана является той средней, которая разделяет
надвое монотонный ряд, получаемый из данной совокупности чисел,
любое произведение (хь — М) (xn—i + i —М) равноотстоящих отклонений
от медианы является отрицательной величиной или равно нулю.
Таким образом, Нм < 0, причем знак равенства относится лишь к тому
случаю, когда все числа данной совокупности равны между собой*.
Из равенства (5), заменяя х сперва величиной М, а затем
величиной Л, получаем следующие соотношения:
(Нм = К-пА2 + п(А-М)2;
{} \нА = К-пА\
откуда мы выводим:
(7) НА = Нм-п(А-М)2.
Из этого равенства мы видим, что, если все члены ряда не равны
друг другу, НА < 0.
Эта особенность не является характеристической для средней
арифметической. В самом деле, как мы видели выше, медиана также
обладает этой особенностью.
* Это слишком строгое требование. Достаточно потребовать для выполнения
равенства Нм = 0 следующее:
а) если число членов последовательности нечетное, то должны быть равны все
члены до медианы включительно, или все члены после медианы, включая ее;
б) если число членов четное, например 2/е, то должны быть равны первые
(k-\- 1) членов или последние (k -\- 1) членов,— Прим- ред,
157

5. Квадрат средней арифметической больше средней
арифметической произведений равноотстоящих отклонений, если только все
члены ряда не равны между собой.
На основании предыдущей теоремы мы имеем:
НА = К—пА2<0,
откуда получаем:
п
что и требовалось доказать.
Поскольку этой особенностью обладает любая величина,
превышающая среднюю арифметическую, она не является характеристической
для последней.
6. Сумма средних арифметических нескольких рядов,
насчитывающих одинаковое число членов, равна средней арифметической такого
ряда, члены которого можем получить, суммируя каоюдый член
первого ряда с каждым членом всех остальных рядов с тем, чтобы в каждую
из полученных таким образом сумм вошли члены, принадлежащие всем
данным рядам, и чтобы каждый из этих членов фигурировал лишь в
одной из этих сумм.
Пусть мы имеем:
(8)
Х1\у -^12> *•• > Х.
ХпЛ , Ляп, , . . , Xi
т
21> Л22> >•• » ^2n
г совокупностей действительных величин и пусть их средними
арифметическими будут соответственно А19 Аъ..., Аг
Рассмотрим совокупность:
Средняя арифметическая А этой совокупности является суммой
предшествующих средних арифметических:
> + Аг.
В самом деле,
откуда
Аг =
следует.
А
мы имеем:
п
/= 1
п
У
+ Л + А
п
Л2" Г
,+
x2i
1
Аг =
n
Л1 + Л, + ... + Лг = -^ ^— i=J ^*°1<°l =A

Меняя местами различные члены совокупностей (8) и поступая, как
указано выше, можно полностью доказать, что средняя
арифметическая обладает указанной характеристической особенностью.
7. Средняя арифметическая ряда хъ хг,..., хп с весами ръ р%, •••> рп
является абсциссой центра тяжести системы сил тяжести, величины
которых, равные ри приложены к точкам с абсциссами xt
горизонтальной оси.
В самом деле, центром тяжести вышеупомянутой системы будет
точка горизонтальной оси с абсциссой х, для которой будет
справедливо равенство:
(9) £ (xt-x)pt = 0,
i = 1
откуда получаем:
п
х = Ч =А.
2 pi
Так как средняя арифметическая является единственным корнем
уравнения (9), указанное выше свойство является характеристической
особенностью средней арифметической.
8. Если мы подвесим в центре тяжести системы горизонтальную
ось, к которой приложены силы тяжести, она останется в
горизонтальном положении. Поэтому можно сказать, что средняя арифметическая
обладает также следующей характеристической особенностью:
Средняя арифметическая является центром равновесия
горизонтальной оси, к которой в точках с абсциссами xt приложены силы тяжести,
величины которых равны pt.
Кроме того, средняя арифметическая обладает следующими
характеристическими особенностями, о которых мы говорили в предыдущем
параграфе (§5, А):
1) непрерывностью;
2) монотонностью;
3) ассоциативностью;
4) однородностью;
5) переносимостью.
б. Средняя геометрическая. Средняя геометрическая обладает
следующими характерными особенностями:
1. Логарифм средней геометрической является средней
арифметической логарифмов членов данного ряда.
В самом деле, мы имеем:
G = (x1x2...xny/n,
откуда следует:
(Ю) jogQ=_Iog*i + log*2+-- + log*n
п
159

2. Произведение средних геометрических нескольких рядов с одним
и тем же числом членов является средней геометрической такого ряда,
члены которого получаются из членов данных рядов путем
перемножения каждого члена первого ряда на каждый член остальных рядов,
причем в каждом произведении должны фигурировать члены,
принадлежащие всем данным рядам, и каоюдый из этих членов долоюен фигурировать
в каком-либо одном, но не больше чем в одном, из указанных
произведений.
Пусть мы имеем:
#n» #12» ••• у хы
/1 1 \ #21» "^22» •*• у #2п
#rl> ^Г2> ••• > #гд
г совокупностей и пусть Glf G2, ..., Gr будут их соответственными
средними геометрическими.
Рассмотрим теперь совокупность:
(#11*#21 •*• #rl/> (#12'#22 •*• #/-2>)» ••* у (#1тГ#271 •** #m/'
Средняя геометрическая G этой совокупности равна:
п/ г г г п/~ п г
G=y п Хп.и Xi2... п Xtn=y п п Xih=
J_ nf~h r
1 = 1 У k=\ i=\
Меняя местами члены всех совокупностей (И), чтобы получить
все возможные их перестановки и повторяя все указанные выше
операции, можно полностью доказать искомую характеристическую
особенность.
3. Поскольку логарифм средней геометрической равен средней
арифметической логарифмов отдельных членов данного ряда (сравни
характеристическую особенность 1), мы видим, что средняя
геометрическая обладает следующими особенностями:
а) сумма отклонений логарифмов отдельных членов от логарифма
средней геометрической равна нулю (характеристическая особенность);
б) сумма квадратов отклонений логарифмов отдельных членов от
логарифма средней геометрической меньше суммы квадратов
отклонений логарифмов отдельных членов от любой другой величины
(характеристическая особенность);
в) сумма произведений равноотстоящих отклонений отдельных
членов от логарифма средней геометрической меньше суммы
произведений равноотстояьцих отклонений их от любой другой величины
(характеристическая особенность);
160

г) сумма произведений равноотстоящих отклонений логарифмов
отдельных членов от логарифма средней геометрической меньше нуля
или равна ему:
д) квадрат логарифма средней геометрической больше или равен
средней арифметической произведений логарифмов равноотстоящих
членов данного ряда;
е) логарифм средней геометрической представляет собой центр
тяжести системы сил тяжести, равных по величине весам членов
данного ряда и приложенных к точкам, абсциссы которых равны
логарифмам данных членов (характеристическая особенность);
ж) логарифм средней геометрической представляет собой центр
равновесия оси, к которой в точках с абсциссами, равными логарифмам
данных членов, приложены силы тяжести, величины которых равны
весам членов данного ряда (характеристическая особенность).
Кроме того, средняя геометрическая обладает следующими
свойствами:
1) непрерывностью;
2) монотонностью;
з) ассоциативностью;
4) обратимостью;
5) однородностью;
6) потенциальностью.
в. Средняя гармоническая. Поскольку величина, обратная средней
гармонической, равна средней арифметической величин, обратных
членам данного ряда, мы видим, что средняя гармоническая обладает
следующими свойствами:
а) сумма отклонений величин, обратных членам данного ряда, от
величины обратной средней гармонической, равна нулю
(характеристическая особенность);
б) сумма квадратов отклонений величин, обратных членам ряда,
от величины, обратной средней гармонической, меньше суммы
квадратов их отклонений от любой другой величины (характеристическая
особенность);
в) сумма произведений отклонений величин, обратных
равноотстоящим членам, от величины, обратной средней гармонической,
меньше суммы произведений отклонений этих величин от любой другой
величины (характеристическое свойство);
г) сумма произведений отклонений величин, обратных
равноотстоящим членам, от величины, обратной средней гармонической, меньше
или равна нулю;
д) квадрат величины, обратной средней гармонической, больше или
равен средней арифметической произведений величин, обратных
противостоящим членам данной совокупности;
е) величина, обратная средней гармонической, представляет собой
центр тяжести системы сил тяжести, величины которых равны весам
данной совокупности и которые приложены к точкам с абсциссами, рае-
ными величинам, обратным данным членам (характеристическое
свойство);
16!

ж) величина, обратная средней гармонической, представляет собой
центр равновесия оси, к которой в точках с абсциссами, равными
величинам, обратным данным членам, приложены силы тяжести,
величины которых равны весам данной совокупности (характеристическое
свойство).
Кроме того, средняя гармоническая обладает следующими
свойствами (ср. §5, А):
1) непрерывностью;
2) монотонностью;
з) ассоциативностью;
4) однородностью.
г. Полусумма крайних членов. Полусумма крайних членов дает
наименьшее значение максимального абсолютного отклонения.
В самом деле, из всех возможных абсолютных отклонений членов
распределения х1 < х2 < ... < хп от полусуммы крайних членов С
самое большое значение имеют
С—хг и хп—С.
В то же время из всех возможных абсолютных отклонений членов
этого распределения от любой величины х, отличной от С,
наибольшее значение имеют:
х—хъ если #>C;
хп—х, если х<^С.
Ясно, что последние отклонения больше, чем предыдущие. Это
свойство является характеристическим для полусуммы крайних
членов.
Полусумма крайних членов обладает, кроме того, следующими
свойствами (ср. § 5, А):
1) непрерывностью;
2) монотонностью;
3) симметричностью;
4) однородностью;
5) переносимостью.
д. Медиана. 1. Число положительных отклонений от медианы
равно числу отрицательных отклонений от нее. Это свойство медианы
является прямым следствием ее определения (характеристическое
свойство).
2. Сумма абсолютных значений отклонений от медианы является
наименьшей (характеристическое свойство).
Сумма абсолютных значений отклонений членов данной
последовательности от величины xh той же последовательности определяется
формулой:
k п
А(*л)= 2 (xk—xt)+ 2 (**—**)•
i=\ i=k+\
Если х0 является величиной, удовлетворяющей условию
Хц^.Х0^Х^\у
162

то сумма абсолютных значений отклонений от х0 определяется
формулой:
k п
А(*о)=2 (*о —**)+ 2 (xt—x0).
Это соотношение получается из предыдущего путем увеличения
каждой из k разностей первой суммы на величину (х0 — xk) и
уменьшения каждой из (п— k) разностей второй суммы на ту же величину.
Поэтому:
А (х0) = A (xh) + (2k —n) (x0—xk).
Как видно из этого соотношения, сумма абсолютных значений
отклонений от х0 равняется сумме абсолютных значений отклонений от
xk, если 2k=n, превышает последнюю, если 2k^>n, и меньше
последней, если 2k <C я.
Сопоставим теперь с х0 последовательно все величины от хг до хп.
Если п нечетно, сумма абсолютных значений отклонений от х0
постепенно уменьшается, пока х0 не совпадет со средним членом
последовательности, а затем, миновав его, начинает возрастать. При четном
п сумма абсолютных значений отклонений от х0 уменьшается
постепенно, пока х0 не совпадет с первым из двух центральных членов,
затем остается на том же уровне при х0, не меньшем, чем этот член,
и не большем, чем следующий член, и, далее миновав этот последний,
начинает постепенно возрастать.
Отсюда можно сделать вывод, что сумма абсолютных значений
отклонений от медианы является минимальной.
Это свойство можно доказать также следующим образом.
Возьмем горизонтальную ось и на ней точки абсциссы, равные членам
последовательности, которые мы обозначим х%\
| | I М I I I
Хг Х2 Х3 | хП—2 Хп—\ Хп
Значение М, при котором сумма абсолютных значений отклонений
является минимальной, будет абсциссой точки, расстояния от которой
фиксированных точек будут наименьшими.
Ясно далее, что точка М, расстояния от которой точек хх и хп
являются наименьшими, должна находиться внутри границ интервала
хххп\ если она должна давать минимальное значение для суммы
предшествующих расстояний и расстояний от М точек х2 и хп^х, она
должна находиться внутри интервала х2 хп^г и/г. д.
Итак, эта точка М должна находиться внутри каждой пары точек,
взятых указанным способом; поэтому ее абсцисса должна делить
пополам данную последовательность значений и совпасть таким образом
с медиарой,
163

3. Предел (при г, стремящемся к единице) величины хг, удовлет-
п
воряющей соотношению^ \х—xt\r pi = min, является медианой еле-
1
дующего частотного ряда:
Xif Х2, ..., Хп)
Pi. Р2> •••> Рп»
которая в случае неопределенности совпадает с решением
уравнения Джексона [41].
Пусть
п
S,.{x)=^\x-xi\rpi.
/=1
Здесь Sr(x) — непрерывная функция с производной Sr(x), также
непрерывной и возрастающей с ростом х, в интервале дсг-<><;*:/+ь
где эта производная выражается формулой:
(i2) ±s;w = 2(*-*rr4<-.2 (*/--*)'" V-
Наименьшее значение S,.(*) будет при значении дсг, при котором
Sr (x) обращается в нуль.
Заметим теперь, что из предшествующей формулы вытекает*:
k— 1
(13) Hm-!-S;(^=2Pi- 2 Pi]
(14) lim-Ls;(^ + e)= 2 Pi- У p<;
1 / = 1 i=k+\
ft—1 n
(15) lim — s; (xk—e) = У p,— V p„
где б является произвольно взятым достаточно малым положительным
числом.
* Эти рассуждения автора неточны, так как для функции типа Sr(x)
производной в точках xt не существует. Однако легко можно получить желаемый
результат, если принять во внимание, что условием экстремума для функции
Sr(x) в точке х,( является следующее: Sr (хц + е) > 0, a Sr (хх — е) < 0.—*
Прим. ред.
164

Предположим, что существует величина xki для которой
справедливо соотношение:
k — 1 п
2*= 2 "«•
/=1 /=/е + 1
Тогда из формулы (13) будем иметь:
HmS;(^) = 0.
Таким образом, #ft является искомой медианой, и мы можем без
труда получить:
\imxr = x =Хм.
/•-►1
В противном случае должно существовать либо значение х
(назовем его для удобства написания по-прежнему xh), для которого
одновременно справедливы два неравенства:
^33 .4ШШ ^В2э /Ш
или же (в случае неопределенной медианы):
В первом случае мы имеем из формул (14) и (15):
\\mS'r{xk + *)>0\ UmS'r(xk—e)<0,
откуда следует, поскольку 8 является произвольно малой
величиной:
JimSr (xh) = 0.
Кроме того, нетрудно видеть, что:
\\тхг-=хк = хм.
Итак, предел хг при г, стремящемся к 1, совпадает со значением
хм во всех случаях, когда медиана определена однозначно.
Рассмотрим теперь второй случай. Из формулы (14) получаем:
limS;(*A + e) = 0.
г->1
Здесь налицо неопределенность: каждое значение х в интервале
(xk, #ft+1) превращает в нуль предел производной Sr (x) при г,
стремящемся к единице. В этом случае прибегают к уже использованному
165

Джексоном искусственному приему, основанному на развертывании
в степенной ряд и имеющему силу при г > О, f(x) > 0:
[f(x))r = erioelf(x» = l+rlog[f(x)] + ^\og4f(x)] + ...
При xh^x<^Xk-\-\ , легко видеть, что
(18) ' S'r (х) = УРг log (x-xr) -У.РГ \og(xr-x) +
+ (г- 1)Ф(ж, у, г) = log (*-**>Pl--- (*-*k)p!^_ + (г_ 1} (х> у> г))
где ф является функцией, которая остается конечной при любых
заданных х и у.
Если хг является значением, которое превращает в нуль правую
часть формулы (18) при определенном значении г, и если X—
однозначно-определенная величина, превращающая в нуль логарифм,
фигурирующий в этой правой части, то, очевидно:
limx,. = X.
Итак, X можно принять за медиану в том случае, если последняя
не определена. Ее значение можно найти из уравнения:
j (х-Хг)р1 ... (x—xh)pk = 0
т. е.
f(x) = (x-Xl)Pl ... (x-xh)Ph~(xk+l-x)PW ... (хд-х)Р" = 0.
Это уравнение превращается в уравнение, данное Джексоном,
когда все веса одинаковы.
Приближенная формула определения медианы
Пусть мы имеем следующий частотный ряд:
*i Pi
Х2 Ръ
*п Рп
и предположим, что медиана попадает в интервал (xk, xh+1). Как мы
уже сказали, в этом случае за среднее значение можно принять
корень уравнения Джексона:
(х-хг)р* (х-х/*... (х- хн)рь = (хш-х)рь+\ ... (xv-x)pn,
166

Однако решение этого уравнения связано с трудностями и поэтому
целесообразно принять за медиану приближенное значение корня
этого уравнения. Итак, перепишем уравнение следующим образом:
(19) ^Pt\og(x-xt)= J Pjlog(xj-x).
Положим:
_ xk + xk+\
xo— 2
и разложим в ряд Тейлора логарифмы, фигурирующие в уравнении
(19). Будем иметь:
log (x — xt) = log [(x0—xt) + (x—x0)] = log
X XQ
1
X — Xq I
xo xl\
+
+ log (x0 —x,) = log (*„—*,)
где /= 1, 2; ..., k;
(x — x0f
2(x0-Xl)*
\og(xJ-x) = log[(xJ-x0) + (x-x0)] = log\l—^—^-'] +
L xj ^o J
+ log (xj—x0) = log (xj—x0)-
(x — x0)
Xj Xq & \Xj — Xq)
где / = ft+ 1, ..., n,
и, ограничившись двумя членами ряда и произведя подстановку в
уравнение (19), мы приходим к следующему уравнению второй степени
относительно (х — х0):
Т(х-х0)2
+ (х—х0)
Р)
Lft+i
(Xj— Х0)
■1
Pi
1 (*о — xt)2
k
+
+
Если положить:
(20)
у pJ , у Pi
Ь+i Xi—H ~ x0 — xi
2 ft log (^0—xt) — 2 pj\og(xj—x0)
+
= 0.
k+
Si = Xi—x0 (/= 1, 2, 3, ..., n);
Z — X Xqj
то предыдущее уравнение принимает вид:
(21)
Pi [Sgn • 6;]
Pi
led
— ^ Pf [sgn B/] log j e, I = 0.
167

Пусть z0 будет корнем этого уравнения. Тогда из второго уравнения
(20) будем иметь:
X = Xq + Zq.
Это и будет первое приближенное значение искомой медианы.
Однако это приближение не очень точно, так как при разложении
в ряд логарифма (1 ± х) он оказывается медленно сходящимся при
значении х, не очень близких к нулю.
Лучшее приближение можно получить, применяя такую же
процедуру, следующим образом:
Предположим, что мы имеем:
log(* — ^) = log|"l+ ^^1 +log (*' — *,);
log (*,-*) = log [l- -^—^1 +log (*,-*')•
L *j — x J
В этих выражениях величины — и имеют абсолютную
величину, меньшую единицы [41], и достаточно близки к нулю,
так что выведенный из них ряд оказывается быстро сходящимся.
Разлагая в ряд и ограничиваясь первым его членом, мы получаем
уравнение той же формы, что и (21), а именно:
(22) ±-&\p'['g;,l"1+»i7£LT-i;p/[sgniijioghii=o.
ч
В этом уравнении:
(23)
w = x—х'
x\i = xl—x'
Таким образом, как видно из первого равенства (23), приближенное
значение медианы равняется сумме корня w0 уравнения (22) их', т. е.
х" = х' + w0.
П р и м е р. [41]. Пусть дана следующая частотная
последовательность:
Числа . . .
Частоты . .
1
120
2
15
2,25
18
4
30
8
100
12
83
Легко понять, что медианой этой последовательности будет любое
значение, содержащееся в интервале между 4 и 8,
168

Согласно Джексону, оно однозначно определяется следующим
уравнением:
(24) f (х) = (х— I)120 (х—2)16 (х—2,25)18 (х—4)30 —
— (8—х)100 (12—*)83=--0.
Если принять, что
гг= 1 —6= —5;
е2 = 2 — 6= — 4;
е3 = 2,25 —6=—3,75;
е4 = 4-6=-2;
е6 = 8 —6= +2;
8G = 12 — 6=+6,
то приближенное значение медианы находится при помощи уравнения
(21), которое в данном случае принимает вид:
_L 2 / 12Q 15 18 30 . 100 . 83 \ .
2 Z [ 52 42 _ 3,752 22 22 б2 J
. / 120 . 15 . 18 , 30 , 100 , 83 \
— (—120 log 5—15 log 4—18 log 3,75—30 log 2 +
+ 1001og2 + 831og6) = 0,
откуда следует:
6,394 z2+l 11,633 z + 40,363 = 0.
Единственный корень этого уравнения, содержащийся в интервале
(—2, + 2), который соответствует интервалу (4,8) для х, это
г0= —0,369.
Таким образом, приближенное значение медианы равно:
х' =x0 + z0 = 5,631.
Лучшее приближение дает формула (22), которая в нашем случае
приводит к уравнению:
0,1397ш2+ 109,0047 ш—0,0902 = 0,
которое удовлетворяется значением w0 = 0,0082.
Таким образом, второе приближенное значение медианы находится
по формуле:
x" = x' + Wo = 5,631 +0,0082 = 5,6392.
169

Подставляя найденное значение в первый член уравнения (24),
мы находим:
/(5,6392)<0.
В то же время:
/(5,6393) >0.
Таким образом х" является приближением к действительному
значению медианы с точностью до 1/10000 по недостатку.
Кроме указанных, медиана обладает еще следующими свойствами
(ср. §5,А):
1) неубываемость;
2) симметричность (в невзвешенных совокупностях);
3) обратимость;
4) однородность;
5) переносимость;
6) потенциальность (если число членов нечетно);
7) функциональность (если число членов нечетно).
е. Мода. Число отклонений, равных нулю, максимально
(характеристическое свойство).
Это свойство является прямым следствием, определения моды.
Помимо того, мода обладает следующими свойствами (ср. §5, А):
1) неубываемость;
2) обратимость;
3) переносимость;
4) однородность;
5) потенциальность;
6) функциональность:
ж. Разделительное значение. Если разделительное значение не
является членом последовательности, сумма абсолютных отклонений
от него равна произведению разделительного значения на 2k — п, где
k является порядковым номером наибольшего из членов
последовательности, не превышающего разделительного значения, an— число членов
данной совокупности. Если же разделительным значением является
ее член xh, эта сумма определяется формулой:
[2k—п + 2(в— l)]xk.
Предположим, что члены данной последовательности удовлетворяют
следующему равенству:
(25) хг + х2+ ... +xk = xk+\ + Xk+2+ ... +хп.
В этом случае разделительным значением будет любое из значений
х0, заключающееся в интервале между xh и хк+г.
Сумма абсолютных значений отклонений членов данной
последовательности от каждого х0 определяется формулой:
I *1— *о1 + I *2 —*0 I + .- + I Ч~Хо\ + I **+1 —*0 I + ••• + I *7i —*0 I >
170

которая при xk<Zx0<iXk+i принимает вид:
(х0—х1) + (х0—х2)+... + (x0—xk) + (хк+1 —х0) +... + (хп—х0),
или, иначе:
kx0—(n — k)x0—(x1 + x2+... + xk) + (Xk+i + ... + xn).
Отсюда, принимая во внимание также равенство (25), делаем вывод,
что сумма абсолютных значений отклонений от разделительного
значения дается как
(26) kxQ — (п—k)x0 = (2k—п) х0,
что и требовалось доказать.
Если разделительное значение является членом последовательности,
оно равняется тому значению x1v которое удовлетворяет следующему
соотношению:
(27) хх+х2+ ... +е*д = (1-е)*Л+ ... +*д(о<е<1).
В этом случае сумма абсолютных значений отклонений от
разделительного значения определяется формулой:
(28) 4\Xt-Xk\ = y>(xk-Xt) + V(Xt-xd = (k-l)xk-
jam Jasa &вя
/ = 1 i=\ k+1
-(п-к)хк + 2х1-2 х} = (2к-1-п)хк+ 2 *1~2*«-
/e-fl i=\ i=k-\-\ i = \
Из равенства (27) следует:
2 *—2*i=(0-n-0)*ft=(20-i)*ft.
i = k-\-\ i=l
Это равенство, будучи подставлено в уравнение (28), дает:
2 I ■*«-*»! =(2k-l-n)xh+(2Q-l)xk.
И в конечном результате получаем:
(29) ^\xt-xk\ = [2k-n + 2(Q-l)]xk.
i = l
Помимо этого, разделительное значение обладает еще следующими
свойствами:
1) неубываемостью;
2) симметричностью (в невзвешенных совокупностях);
3) однородностью.
з. Центральный член.
/. Центральный член нечетного числа членов последовательности
171

представляющей собой геометрическую прогрессию порядка qy равен:
«*=Р<СГ j -PV ' •
/=1 /=1
где Р является символом произведения1.
2. Если члены последовательности представляют собой
арифметическую прогрессию порядка q> центральный член равен1:
h (k—\\ h (k+i—q\
В. Специфические свойства собирательных средних
а. Средние степенные. Средняя степенная
т Г
следующего ряда:
«^2
*71
i
Pi
P2
Pn
в котором для каждого / справедливы неравенства:
<)<*,<;
Л^О,
обладает следующими свойствами:
~'Xi+\\
1. Рассмотрим следующую последовательность положительных
чисел:
^1 — ^2 ^ * * * — Хп>
и две системы относительных весов:
fi, /2, •••> f* (S^ = 1)-
Ф1>ф2>--> Ф» (S^ = 1)
1 G. S о п n i n o, «Sulle progressioni aritmetiche с geometriche di ordine
superiore e i loro valori medi», «Atti della VIII riunione scientifica della Soc. It. di
Stat.», 1949.
172

Если оказывается, что до определенного значения i все ft
меньше или равняются ф^, между тем как последующие значения ft
больше или равны ф^, то средняя степенная с показателем т при
хх с весами ft больше, чем средняя степенная с тем же
показателем, но с весами фг, каково бы ни было значение т [29]. Это
можно выразить в виде математической формулы:
'М(/,>'М(Ф,).
Доказательство. Обозначив буквами h и k соответственно
два класса значений порожденных индексом I, будем иметь:
/л^Фл /а^Фа-
Если далее положить, что
Фа — //к = ел^°;
/а—ФА = еА^0,
то будем иметь:
(30)
jLa 8а — 2j Фа—2л /а*'
A A A
А А А
Вычитая почленно, получаем:
2еЛ— 2ва = 2фа+2фа—fU/fc+U/ftWSTi— 2W„
/i А А А ^ А А у / i
а отсюда, принимая во внимание, что
2ф« = 2/, = 1.
мы получаем:
или, иначе:
(31)
Положим
(32)
U пот.л„о
далее,
что
2«
А
А
2eA-Seft = 0,
li , A
2j8a = ^j8a-
А А
А ХА Zj eA *А
иг. А
А
^ ^,пл, „„ ~,>П „лл
Д^л ■
В зависимости от того, будет ли т-0, все значения х/г будут
большими, равными или меньшими значений х™, и так как х£
является средней арифметической величин х™ и поэтому находится
173

в интервале между их минимальным и максимальным значениями, а
хТь является средней арифметической величин х™ и поэтому
находится в интервале между минимальным и максимальным
значениями х™, то при т^О мы будем иметь:
(33) ЗПЗГ.
Рассмотрим теперь следующую сумму:
i
Используя равенства (30), мы получаем, что эта сумма равна:
2М+2/**Р = (2>п *Г-2вд*{П+ (5Х4Ч 2Фй *?
/г k \h h J у k k
= S<p^r+28ft4,-Seftx/?>
/ к h
или, учитывая, что 28А = 28/г> будем иметь:
и отсюда, учитывая равенства (32), получаем:
J,f,xT =IltpixT+{xV-l^)'2tek,
I i k
откуда, привлекая формулу (33), мы находим, что в зависимости
от того, будет ли т^О:
2/,*Г|2ф,*?.
Из этого соотношения следует, наконец, что
mA(ft)>mA(<pt),
каково бы ни было т (т Ф 0).
Из сформулированного выше свойства вытекают следующие
свойства:
2. Если произвести все возможные перестановки относительных
весов какой-либо совокупности чисел х и сосчитать средние взвешенные
степенные полученных таким образом распределений, мы найдем, что
наибольшая средняя соответствует той перестановке, которая
располагает веса в том же порядке (по их величине), в каком расположены
члены совокупности хх [29, р. 188].
3. Всякое изменение порядковой последовательности весов,
связанное с увеличением весов более крупных членов совокупности за счет менее
крупных, ведет к увеличению средней степенной [29, р. 188].
174

4. Средняя степенная является возрастающей функцией т.
Доказательство, Мы докажем это свойство сперва для
целого и положительного /и, затем для целого отрицательного и,
наконец, для любого т [29, р. 188].
Кроме того, для нижеследующего доказательства мы используем
также то свойство средней степенных сумм:
2*'"+'
2*7*
в силу которого она является возрастающей функцией т (об этом
свойстве речь будет идти ниже).
В самом деле, из указанного свойства вытекает, что
24 2*е
2*«
и, следовательно,
2*? /2*1'
Отсюда мы получаем:
/и^
или, в символической форме, М>А
Таким образом, свойство доказано для т = 2.
Предположим теперь, что оно справедливо для т = s — 1, и
докажем его справедливость для т = s.
Из соотношения
24 _2*Г'
2*Г! ^ 1>Г2
следует:
2^-2*Г2М2*Г')2-
откуда, разделив на я2
24 2 «Г2 _/2^-'
/г /г
и извлекая корень степени 2(s—1),
a<,~l}/2*i.2*rs-=/";/2;
v ~п——^ v
175

получаем:
(34) 2{s-]y(sA)s-(s-2A)s^>s-lA.
Итак, s_ А оказывается меньшим, чем средняя геометрическая
взвешенная SA и S~2A,
Поскольку далее мы приняли, что
(35) s~lA>°-2A,
объединяя неравенства (34) и (35), мы имеем:
s-2A^s-lA^2{s-^(sA)sis-2Ay-2 .
Но средняя геометрическая, будучи внутренней средней, должна
находиться в интервале между S_M и SA: поэтому ясно, что она должна
быть меньше SA. Таким образом, мы можем написать:
s-2A^s-lA ^2(*-1>
т. е.
:л<5-^<2(57(5л)Ч5"2лгч5л
s~lA^:sA.
Итак, указанное свойство справедливо при т = s> где т — целое
положительное число.
Подставляя вместо хьуТ{, можно эту же теорему доказать для
того случая, когда т — целое число, меньшее минус единицы.
Поскольку далее М и ~ХА можно получить из формулы средней
степенных сумм, придавая т соответственно значения 1 и —1, и
поскольку эта средняя является возрастающей функцией показателя
степени т, делаем вывод, что справедливо также неравенство:
Итак, указанное свойство доказано для всех целых значений т (т Ф 0)
Отправляясь далее от неравенства s_*Л<;М, где s — целое
число (=^=0, —1), и положив s = mt и z=\/t, где s>0, мы
получим:
или, иначе:
176

Это соотношение, если в нем положить х\ равным уи позволяет
распространить наше неравенство на случай, когда г является любым
действительным числом, отличным от нуля.
Наконец, исходя из того, что °А = G (средняя геометрическая),
и используя предел логарифма тАу мы освобождаемся и от этого
последнего ограничения.
5. Пределами средней степенной тА прит, стремящемся к + оо,
являются соответственно наибольший член распределения хп и его
наименьший член xv
В самом деле, если дана неубывающая последовательность:
среднюю степенную тА можно представить следующим образом:
пА = хп
+ ...+
откуда легко видеть, что
lim mA = xn
m-v + oo
Но "гА можно представить и иначе
1А = хг
*Г+ (*)"■ +
Xj \Xi)
■+
откуда легко видеть, что
lim mA = x1.
т -► + °°
6. Средняя степенная тАп порядка т п членов последовательности
х1У х2, ..., хп равна средней степенной того о/се порядка п + k членов
последовательности, в которой п членов равны членам данной
последовательности, а остальные k членов равны средней тАп [133].
Пусть мы имеем среднюю степенную порядка т ф 0:
п л __ "1 / *1 +Х2 +
+ ...+<
Рассмотрим последовательность:
Х-^Х^у •••> ХПу А?г, ..
в которой член тАп повторяется /г раз.
7 Зак. 401
177

Средняя степенная порядка т этой последовательности,
обозначаемая mAn + k> определяется следующим выражением:
■Г/ <+*?+ - + *?+ (Vz + ... + w
nAn+k=y
n + k
-л/ *Г+*?+ .••+*!? Ь(тАп)
-V
/г -[- k ' n-\-k
+
J/ /г +& n + k
При m->0 это свойство доказывается следующим образом.
Вспоминая, что
lim тАп = ух1 x2...xk = Gn,
m-vO
мы имеем:
/г + /е
Gn + k= V XiXz---XnGnGn---Gn>
где G„ повторяется k раз.
Предыдущее выражение можно написать иначе:
/г -f- /г n-\-k . -г-
Gn + k= yrx1x2...x1l- Y Gn =
= (1/rx1x2...xn)z+b.G*+*= G;H^.G""+^=Gn.
\ ' / /г /г /г
Отсюда следует, что, отняв от какой-либо последовательности
группу членов, равных средней степенной порядка т этих самых членов,
мы получим совокупность, в которой средняя степенная порядка т
совпадает со средней степенной того же порядка данной совокупности.
Другое свойство, сформулированное Жако [133] и непосредственно
вытекающее из ассоциативного свойства, о котором мы говорили на
стр. 150 и ел., рассматривая свойства, общие для отдельных групп
средних1, заключается в следующем:
7. Если дана совокупность п членов х1у хъ ..., хп, в которой п = pq,
причем р и q являются целыми числами, большими единицы, то
средняя степенная порядка т данных членов равна любой средней степенной
того же порядка р членов, которые молено получить, объединяя данные
т членов в группы по q произвольно (но без пропусков и повторений)
избранных членов и подставляя вместо этих групп их средние
степенные порядка т.
8. Поскольку га-я степень средней степенной является средней
арифметической т-х степеней отдельных членов данной совокупности,
находим, что средняя степенная обладает следующими свойствами:
1 О свойстве ассоциативности см. также [114].
178

а) сумма отклонений т-х степеней членов данной совокупности от
m-й степени средней степенной равна нулю (характеристическое
свойство);
б) сумма квадратов отклонений т-х степеней членов совокупности
от m-й степени средней степенной меньше суммы квадратов их
отклонений от любой другой величины (характеристическое свойство);
в) сумма произведений равноотстоящих отклонений т-х степеней
членов совокупности от m-й степени средней степенной меньше суммы
произведений их равноотстоящих отклонений от любой другой
величины (характеристическое свойство):
г) сумма произведений равноотстоящих отклонений т-х степеней
членов совокупности от m-й степени средней степенной меньше нуля;
д) квадрат m-й степени средней степенной больше, чем средняя
арифметическая произведений т-х степеней равноотстоящих членов
данной совокупности;
е) т-я степень средней степенной является центром тяжести
системы сил тяоюести, равных по величине весам членов данной
совокупности и приложенных к точкам с абсциссами, равными т-ш степеням
членов данной совокупности (характеристическое свойство);
ж) т-я степень средней степенной является центром равновесия
оси, к которой приложены в точках абсцисс, равных т-ш степеням
членов данной совокупности, силы, равные по величине весам членов данной
совокупности (характеристическое свойство).
Кроме, того, средняя степенная обладает следующими свойствами
(ср. § 5,А):
1) непрерывностью;
2) монотонностью;
з) ассоциативностью;
4) однородностью.
Приближенные формулы
Средняя степенная может быть выражена как функция средней
арифметической и отклонений членов совокупности от нее при
помощи приближенных формул [194] и [184].
Пусть А будет средняя арифметическая совокупности п членов
xt, a st — отклонение xt от А. Член xt может быть выражен следующим
образом:
(36) xt = A + st.
Возводя в степень т, получаем:
(67) xt = А +(\)А si + {2)A Si+... + si.
Суммируя п уравнений, получаемых из (37) при изменении /,
мы имеем:
7*
179

Разделив на п, полагая -^—-=вт и помня, что 2 s; = 0, мы
п / = i
имеем:
п
i^- = r+('2")^-2ak('3')/lm-3^+...+C
откуда, деля на Ат, мы получаем:
(38) (^)"г=1 + (?)(^)Ч(?)(^)3+... + (^
Докажем теперь, что члены совокупности (38), начиная с третьего,
настолько незначительны, что ими можно пренебречь.
Положим:
ШЧ1
m
= <?„
Мы знаем, что от при любом значении т, содержащемся между
+ оо и — оо, всегда является средней величин | st\. Если | sm |
является самым большим из абсолютных значений отклонений, то
любая от не будет превышать | sm |. При четном т мы будем иметь:
Если же т нечетно, то
откуда
Vm<\Sm\-
Таким образом, чем меньше \sm\ по сравнению с Л, тем меньше
величины ^<C-ip-> и их степенями можно пренебречь при
увеличении показателя степени.
Равенство (38) можно поэтому переписать так:
А
! + (?)(^
Возведем в степень —. Поскольку второй член бинома
достаточно мал, мы можем остановиться на нем. Таким образом, будем
иметь:
т. е.
(39) тА ~ А
т—1 °2
2 Л
180

Этой формулой можко пользоваться только для значений т, не
слишком больших.
В самом деле, помня, что максимальным значением тА является
дгп, мы должны иметь:
*п>А-
т— 1а2
2 А
откуда получаем:
m<1 + 2s^4
Из соотношения (39) мы получаем при т = —1,0, 2
приближенные формулы средних гармонической, геометрической и квадратичес-
кой:
А 2 А
2А~А + ±-2,
2 А
Пример 1. Рассмотрим последовательность:
16, 18, 21, 22, 23.
Действительные и приближенные значения средних степенных,
порядков от —1 до 8, членов этой последовательности представлены
в следующей таблице:
~1А = Н
°A = G
М = Л
М
М
м
5Л
м
м
м
Действительное
значение (а)
19,64
19,82
20
20,17
20,33
20,48
20,61
20,74
20,82
20,91
Приближенное
значение (Ь)
19,66
19,83
20
20,17
20,34
20,51
20,68
20,85
21,02
21,19
Разность
(Ь-а)
0,02
0,01
0
0
0,01
0,03
0,07
0,11
0,20
0,28
(Ь-а)
(а)
0,00102
0,00050
0
0
0,00049
0,00098
0,00340
0,00530
0,00961
0,01339
Пример 2. Рассмотрим следующую классификацию
английских округов по числу бедных, получающих пособие (1821 г.)
[218, р. 111]:
181

бедных, полу-
ющих пособие
0,75—1,25
1,25—1,75
1,75—2,25
2,25—2,75
2,75—3,25
3,25—3,75
3,75-4,25
4,25—4,75
Число
округов
18
48
72
89
100
90
75
60
% бедных,
получающих пособие
4,75—5,25
5,25—5,75
5,75—6,25
6,25—6,75
6,75—7,25
7,25-7,75
7,75—8,25
8,25—8,75
Число
округов
40
21
11
5
1
1
1
0
В следующей таблице приведены действительные и приближенные
значений средних степенных порядка от —1 до 7:
Средние
' #
G
А
М
м
м
м
м
м
Действительное
значение (а)
2,78
3,04
3,29
3,51
3,72
3,92
4,10
4,27
4,44
Приближенное
значение (Ь)
2,82
3,05
3,29
3,53
3,76
4,01
4,23
4,49
4,70
Разность
(Ь-а)
0,04
0,01
0
0,02
0,04
0,09
0,13
0,22
0,26
(Ь-а)
(я)
0,01439
0,00329
—
0,00570
0,01075
0,02296
0,03171
0,05152
0,05856
Пример 3. Классификация женщин — вдов, разошедшихся
или разведшихся с мужьями, — по числу детей (Италия, 1931 г.)
выглядит следующим образом:
э детей
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Число женщин
153 582
194 761
204 548
205 349
191 352
175 708
156 601
134 291
102 249
77 291
45 626
35 145
1/502
11542
5 193
3 220
1647
1521
566
Действительные и приближенные значения средних степенных
порядка от —1 до 6 показаны в следующей таблице:
182

Средние
н
G
А
М
м
м
м
м
Действительное
значение (а)
3,39
4,43
5,45
6,32
7,05
7,68
8,26
8,78
Приближенное
значение (Ь)
3,55
4,50
5,45
6,40
7,35
8,30
9,25
10,20
Разность
(Ъ-а)
0,16
0,07
0
0,08
0,30
0,62
0,99
1,42
(а-Ь)
(а)
0,04720
0,01580
—
0,01266
0,04255
0,08073
0,11985
0,16173
б. Средняя степенных сумм. Средняя степенных сумм
последовательности положительных чисел обладает следующими свойствами:
/. Средняя степенных сумм:
Вп
/71+1
2*Г
является возрастающей функцией.
Доказательство. Приводим следующее доказательство
заимствованное у В. Кастеллано [29, р. 188].
р
Для удобства написания будем обозначать через В« каждое
рс pi
Bqd = Bql.
Введем теперь некоторую величину 8>0 и рассмотрим
следующие средние степенных сумм:
т-\-\ т-\-\— о
Каждое из этих выражений можно рассматривать как среднюю
арифметическую взвешенную чисел xt, обладающих соответственно
следующими весами:
vm vm—b
Л: Л:
%*i %х?
И в самом деле:
вт = "
в"
2*Г 2*Г
i i
х,\
2*Г
2*Гб
2*7
т—Ь
-2
183

Заметим теперь, что между двумя системами весов существует
следующее соотношение:
(40)
т
где хг = Вт-\
В самом деле:
(iV.
\хг )
л1
2*Г
*'ГЬ
2*Г-8
х",—1—
1х. у х'Г
\хг) s*r
А
i 2*?
I 2*Г*
-6 Ym—b
л1
-0
-5
)
>
Ym-b
2*Г5 ~
Л1
1 2*Г 24 2*/
Следует отметить, что величина ( -=- ] , входящая в
соотношение (40), остается меньше единицы до тех пор, пока xt меньше
средней хг, но как только xt превысит хг, эта величина становится
большей единицы.
х? х'?~ь
Таким образом, веса —- меньше весов -—г- вплоть до неко-
^ 2*Г 2*Г
его определенного значения индекса i и больше для
последующих его значений.
Из того, что было сказано по поводу средних степенных (стр.
174, свойство 2), учитывая, что средние степенных сумм
т-\-\ m-J-1— о
Вт и Вт~° являются средними степенными порядка 1, которые
взвешены относительными весами —1— и —L—-г, мы можем сделать
вывод, что
т+1 т+1 —5
Вт >BW~5 ,
каково бы ни было т.
т+1
Таким образом, доказано, что Вт является возрастающей
функцией т.
2. Пределы средних степенных сумм при М> стремящемся к +оо
и —оо, равны соответственно наибольшему и наименьшему члену
совокупности Xi. Это свойство выражается следующей формулой:
т+1
WmBm =xn\
/п-»■-)-оо
/п+1
limBm = хх.
т-+—оо
184

Доказательство [29, p. 188]. Как указано выше, средняя
степенных сумм может быть выражена как средняя арифметическая
взвешенная чисел xt с относительными весами —1—
/72
Если числители и знаменатели весов мы разделим на хп, то
получим:
Xj \m
хп
Xi_V
п-\
Ш 2 i +'
При т, стремящемся к оо, знаменатель стремится к единице, между
тем как числитель стремится к нулю, если хь фхп, и равен 1, если xt =
= хп. Таким образом, мы будем иметь:
lim \хп) [О, если хгфхп,
п->°о ^/_*^\w U, если xt — xn.
Итак, при m, стремящемся к +оо, веса всех членов совокупности
превращаются в нуль, за исключением веса хп, который стремится
к единице.
х?
Отсюда следует, что средняя арифметическая хь с весами —-
Ъхь
будет иметь предел:
х1 • 0 + х2 • ОН \-хп • \=хп.
Таким образом, средняя степенных сумм при т -> оо равна
наибольшему члену данного распределения.
Разделим теперь числитель и знаменатель весов на х±:
2(f)" 2№-
t=1 *i/ /5Л*1
найдем пр едел при т, стремящемся к —оо.
Знаменатель будет стремиться к единице, между тем как числитель
будет стремиться к нулю, если xt Ф хъ и будет равен 1, если х% = xv
Другими словами, все веса будут стремиться к 0, за исключением
первого, который будет стремиться к 1.
Итак, средняя степенных сумм, в качестве средней арифметической
взвешенной чисел xiy при т, стремящемся к —оо, стремится к
*i • 1+*2 -ОН \-хп-0 = хг.
3. Поскольку средняя степенных сумм является, кроме того,
средой арифметической эзвешенноц совокупности, образуемой данными
185

числами с весами, равными (т — 1)-м их степеням, мы приходим к
выводу, что средняя степенных сумм обладает следующими свойствами:
а) сумма отклонений членов данной совокупности от средней
степенных сумм, помноженных на соответствующие члены со степенями,
равными т — 1, равна нулю (характеристическое свойство);
б) сумма квадратов отклонений членов данной совокупности от
средней степенных сумм, помнооюенных на соответствующие члены со
степенями, равными т — 1, имеет наименьшее значение
(характеристическое свойство);
в) сумма произведений отклонений равноотстоящих членов
совокупности от средней степенных сумм имеет наименьшее значение, если
каждое отклонение помнооюается на (т — \)-ю степень
соответствующих членов (характеристическое свойство);
г) сумма произведений отклонений равноотстоящих членов данной
совокупности от средней степенных сумм, если каоюдое из этих
отклонений помножается на (т—1)-ю степень отдельных членов, меньше
нуля;
д) квадрат средней степенных сумм больше средней
арифметической произведений равноотстоящих членов данной совокупности, если
учесть их веса, указанные выше;
е) средняя степенных сумм является центром тяжести системы сил
тяжести, равных по величине (т — 1)-м степеням членов данной
совокупности и приложенных к точкам с абсциссами, равными членам данной
совокупности (характеристическое свойство);
ж) средняя степенных сумм является центром равновесия оси,
к которой приложены в точках абциссы, равных членам данной
совокупности, силы, равные по величине (т — 1)-м степеням членов данной
совокупности (характеристическое свойство).
Средняя степенных сумм обладает, кроме того, следующими
свойствами (ср. §J>, A):
1) непрерывностью;
2) однородностью.
Приближенные формулы. Перейдем теперь к
выражению средних степенных сумм при помощи приближенных формул.
Легко видеть, что:
(т+\Л \т+\ / тд \т 2*Г+1
:А.
\ л J • V А ) 2*7
Применяя формулу (38), можно затем написать:
Произведя деление и отбросив члены, имеющие в знаменателе А в
третьей и в более высоких степенях, находим:
— :Л~1 + т —,
Sxf A*

и, наконец:
(42)
т+\
2*Г
:Л + т-
Из этой формулы при т=\ и т = —1 мы находим приближенные
значения соответственно средней антигармонической и средней
гармонической:
Л Л
Принимая в формуле (41) т = 1, мы находим, что действительное
значение средней антигармонической равно значению, получаемому
из формулы (42). Приближенное значение средней гармонической
совпадает, далее, со значением, вычисленным нами ранее (см. стр. 181).
Сопоставляя формулы (39) и (42), мы находим, что приближенные
значения средней степенной и средней степенных сумм связаны
следующим соотношением:
приближенное значение
2*7
- = приближенное значение
2m-fl
А.
Пример. В приведенных ниже таблицах даны действительные
и приближенные значения средних степенных сумм при различных
значениях т:
•=вп
2<г
исчисленные для членов последовательностей, приведенных в трех
примерах на стр. 181, 182, 183.
Средние
0
вх = н
1
В° = А
2
В1=Т
з
в2
4
в3
5
в4
6
в5
7
в6
8
в7
Действительное
значение (а)
19,64
20
20,34
20,65
20,93
21,12
21,38
21,56
21,71
Приближенное
значение (Ь)
19,66
20
20,34
20,68
21,02
21,36
21,70
22 ,'04
22,38
Разница
(Ь-а)
0,02
0
0
0,03
0,09
0,24
0,32
0,48
0,67
{Ь-а)
(а)
0,00102
—
—
0,00145
0,00430
0,01136
0,01497
0,02226
0,03086
187

Средние
н
А
Т
з
в2
4
в3
5
в4
6
в5
7
в6
Действительное
значение (а)
2,78
3,29
3,76
4,17
4,56
4,91
5,26
5,61
Приближенное
значение (Ь)
2,82
3,29
3,76
4,23
4,70
5,17
5,64
6,11
Разница
(Ь-а)
0,04
0
0
0,06
0,14
0,26
0,38
0,50
(Ь-а)
(а)
0,01439
0,01439
0,03070
0,05295
0,07224
0,08913
Средние
н
А
Т
з
в2
4
в3
1 В4
в5
Действительное
значение (а)
3,39
5,45
7,35
8,77
9,96
11,01
11,95
Приближенное
значение (Ь)
3,55
5,45
7,35
9,25
11,15
13,05
14,95
Разность
(Ь-а)
0,16
0
0
0,48
1,19
2,04
3,00
(Ь-а)
(а)
0,04720
0,05473
0,11948
0,18529
0,25105
в. Средняя экспоненциальная. Средняя экспоненциальная является
возрастающей функцией основания с, и при с, стремящемся к 0 ,1 и-\-оо,
она стремится соответственно к наименьшему из членов
последовательности , к их средней арифметической и к наибольшему члену [11].
Пусть дан частотный ряд:
Ч h
%2 /2
Xji In
где fi являются относительными весами (2/. = 1).
Средняя экспоненциальная определяется формулой:
(43) Е= l°z(ficXl + f2cX2+---+fncXn) ^
log с
188

Обозначим Е' производную от Е по с, и, взяв производную, будем
иметь:
сЕ' log с = flXl°Xl + ^х^2+''' +fn*nCXn log (hcXl + h<**+' ••+/,/")
h<% + hc**+...+fncxn log с
Оба члена последней дроби при с = 1 превращаются в нуль, так
что мы можем, основываясь на теореме исчисления бесконечно малых
(Коши), заменить их соответствующими производными, взятыми по с
и исчисленными для точки у, находящейся между с и 1. Таким образом,
мы получим:
сЕ' log с = h*10*1 + f***0*2 Н ^ Ыхпсх,г
(44) /lC*1 + ^2 + "'+K"
/1*17** +/2*2/*-! \-fnxnyXn
fiyXl+f2yX2+---+fnyXn
Положим теперь:
fiXiCXl + f2x2cX2-\ \-fnxncXn
Ф(с) = «
fiC*1 + fa*2 + -••+/»<>
Легко убедиться, что q> возрастает с увеличением с. В самом
деле, взяв производную и умножая ее на положительную величину
с (fiCXl + f2cx4 +'/nc*n)2, мы получаем:
-ifi*iCXl +hx*cx>+ ■ ■ ■ +fnxncxn)\
Применяя тождество 2as22&2—(Lasbsf='L(asbt—apsf и
полагая
ai = XiVfiC1. «2 = x2 Vf2cx*...;
bl = VhcXi, b2 = Vf2c*>...,
мы из предыдущего выражения получим:
(Xl-X2)4j2CXl+X°+(X1-X3rfjsCX*+X° + ...+(X1-X^fJnCXl+Xn +
+ (х2-х3ГМ3сх*+х° + ...
Это величина положительная, не равная нулю, так как числа xlf
х2, ..., хп отличаются друг от друга. Следовательно, ф(с) возрастает с
увеличением с. Замечая, что с ^ у в зависимости от того, больше или
меньше с единицы, из соотношения (44) делаем вывод, что Е' всегда
больше нуля, т. е. что средняя экспоненциальная является
возрастающей функцией основания,
189

Применяя к формуле (43) правило Лопиталя, вычислим теперь
пределы, к которым стремится средняя экспоненциальная при с,
стремящемся к 0, 1 и +оо. Мы будем иметь:
lim Е = lim fa^*1" +*2/:2с*2~ Н h/n*n£*n~ )c =
с->о с->о hcXl + f2cx*+>..+fncx»
i:m /1*1 + 12Х2сХ2~**-H hfnXnCXn~Xl _ „ .
111U AT — Y * — JL' Л1>
lim E = lim Х1^~^~Х2^2С ~\~'"~\~!пхпс п __ ^Xjfi ^_ *
lim E = lim fa^*1 ^Ь^2 Н h/n*nc*" )c =
c^oo c->oo fiC^ + ^c^H b/V^/n
__ i :т xlflc n-\-X2f2c П ~\~ • ' •-\~ fnxn __ у
" C->oo /lC*l"^+/2C^"^+ • • • +fn
Итак, мы приходим к выводу, что средняя экспоненциальная при
изменении с от 0 до + оо увеличивается от наименьшего до
наибольшего из членов совокупности, совпадая со значением средней
арифметической, в момент, когда основание с проходит через значение единицы.
Кроме того, средняя экспоненциальная обладает следующими
свойствами (ср. § 5.А):
1) непрерывностью:
2) свойством возрастания;
3) симметричностью (в невзвешенных совокупностях);
4) ассоциативностью;
5) переносимостью.
г. Средние арифметические порядка k [79].
1. Средние арифметические порядка k являются симметрическими
функциями данных чисел (непосредственное следствие определения).
2. Средние арифметические порядка k совпадают с корнями
производных (п — &J-ro порядка функции:
(45) /(*)-П(*-*|).
И в самом деле, левая часть уравнения, из которого мы выводим
средние порядка /г:
(Z)^ + (2=!)2*iJf*-|+(J=i)S*f^*-2+--- +
+ (-1)*2ад.-*» = о,
совпадает, за исключением множителя (п. — k)\, с
£>"-*/(*),
190

где f(x) дано уравнением (45), a DTl~k является символом производной
порядка (п — k).
Это свойство позволяет путем последовательных операций по
дифференцированию найти средние арифметические любого порядка.
3. Средние арифметические порядка k данной последовательности
чисел являются также средними арифметическими того же порядка
средних порядка h(n>h>k) тех же чисел.
В самом деле, из предшествующего свойства вытекает, что средние
порядка k и h являются соответственно корнями производных
порядка (п — k) и (п — К) от f(x). Но, поскольку производная порядка (п —
— k) является также производной порядка {(/г — k) — (п — К)} =
= (h — k) от производной порядка (/г — /?), следует, что она приводит
к уравнению средних порядка k h величин, являющихся средними
порядка h.
Пример. Если дана последовательность:
1, 3, 4,
то средними второго порядка (ср. стр. 86) являются величины:
1,78 и 3,55.
В то же время средняя арифметическая первого порядка-этих
последних составляет 2,67, т. е. равняется средней арифметической
первого порядка членов данной последовательности.
д. Средние восходящие и нисходящие [174]. Средние восходящие
и нисходящие неубывающей последовательности х0, xlt..., xt..., xn
чисел, больших единицы или равных единице, обладают следующими
свойствами:
1. Последовательность средних арифметических восходящих Сп
при п изменяющемся от нуля до бесконечности, является возрастающей
последовательностью, т. е.
Доказательство. Напомним, что выражения равняются
соответственно:
(n+k—\\ (n-\-k—2\ (n-\-k—i—\\ //е— 1Ч
из чего нетрудно сделать следующие выводы:
если n<^k, коэффициент х0 в С,(/г) меньше, чем коэффициент х0
в С/г_ь тогда как коэффициенты всех других членов
последовательности, наоборот, больше в С,(/г), чем в С%1\\
191

если £<п<2/е, коэффициенты при х0 и хх в C{nk) меньше, чем
соответствующие коэффициенты в С{п1и тогда как коэффициенты
при всех других членах последовательности, наоборот, больше в
С<*\ чем в С<*>,;
если (/ — \)k<Cn<^ik, коэффициенты при х0, xv..., х._г в С„А)
меньше, чем соответствующие коэффициенты в С«—i» тогда как
коэффициенты при всех других членах последовательности,
наоборот, больше в С{п\ чем в Сп-\.
Таким образом, оказывается, что C{nk) и С^ равны средним
арифметическим одних и тех же чисел х0, xv..., дс/_ь взвешенных
различными относительным весами, но такими, что, каково бы ни
было отношение п и k9 большие по величине члены
последовательности имеют большие относительные веса в С^/г), чем в С£1\, и
поэтому (см. свойство 1 средней степенной) С„г) возрастает с
возрастанием /г.
2. Последовательность средних арифметических восходящих С\1г)
при k, изменяющемся от единицы до бесконечности, является
убывающей последовательностью, пределом которой является первый член х0
последовательности.
Доказательство. Напомним, прежде всего, что (ср. стр. 86)
(46) cw s" ^-"+e-1i)+...+sri)
т т
и поэтому, подставляя вместо Sj*_1) их значения, получаемые из
соотношения
sk-\
Q(b-\) = *l
будем иметь:
tn\k— \\ /n-\-k—2\
Q(k) = \ k-\ ) Q(k-l) , I fe-1 ) Q{k-\) _j_
" m n m n~l
I (k-\) Q{k-\) ■ \k-\) Q(k-\)
m ' w °
Подставляя теперь вместо C^!) C{nS2l)... и C{0k~l)
соответственно значения С,(/г-1),..., C{nk~~l\ мы можем на основании свойства 1
написать неравенство:
(tV)cJ,*-,)+№r2)cr,, + ...+
i / /г \Г(/г-1) , //г-1\Г(/г-1)
I * )
192

Таким образом, мы доказали, что последовательность С„ ) при
изменении k является монотонной убывающей последовательностью.
Вычислим теперь предел, к которому стремится С^ при /е->оо.
Мы имеем:
п
2j\ k— 1 )xi n /n—i-\-k—\\
Hm С</г) = lim ^ = У Hm { /г~1 '- *, =
= y jim & • я ' ft(ft —0 •-• (/г —/ + 1) ^ =
^/e^oo (/г + /г)(/г + /г— 1) ... (/г + /г — /) *
,. /г . .. /г/г
= lim Xfi + lim
/г—>-оо Я + /г "°"'/е"^оо (/г + /г)(п + /г-1)
••• + llm / , м / хп = хо-
/г->оо (п + /г).../г
Таким образом, мы полностью доказали сформулированное выше
свойство.
Что касается нисходящих арифметических средних, то их свойства
во всех отношениях симметричны только что показанным нами
свойствам средних арифметических восходящих, а именно:
3. Последовательность средних арифметических нисходящих {k)Cn
при /г, изменяющемся от нуля до бесконечности, представляет собой
убывающую последовательность, между тем как та же
последовательность при k, изменяющемся от единицы до бесконечности, является
возрастающей последовательностью, пределом которой является
последний член последовательности хп.
Доказательство. Следует прежде всего отметить, что в то
время как C{nkl \ являлась средней в отношении первых п членов
рассматриваемой последовательности, а именно х0, хх, ..., хп_ъ (k)Cn-\,
наоборот, является средней в отношении последних п членов
последовательности хп, хп_г, ..., хх.
Рассуждая так же, как это делали выше, мы сразу же приходим
к выводу, что (k)Cn <С (^k)Cn_1, поскольку большие по величине члены
последовательности имеют больший относительный вес в (Л)СП_.1, чем
в {k)Cn, тогда как меньшие по величине члены имеют меньшие
относительные веса в <Л)СП_1, чем в {k)Cn.
Кроме того, поскольку между средними {k)Cn и (/г_1)Сп_ь
^_1)Crt_2, .-• , {k~l)C0 существует соотношение такого же типа, как
приведенное в формуле (46), мы сразу же получаем:
/Я+Л-1\(Л-1)С , //г+/г-2\(/г-1)г , , (k\(k-\) г
ik) Г ^' k~x) ^ /г~1 } Ln-\-\-+(k) С°_,/г_пГ
w^^^ (n+k\ "" ^п-
193

Наконец, пределом {к)Сп при k, стремящемся к бесконечности,
будет:
lim {k) cn = 2lim tnZL *n-i=
k^oo /=0 /г_>оо ( Л )
= lim _*_* + + lim *<yl! *Л = *
Таким образом, мы полностью доказали это свойство в отношении
нисходящих средних арифметических.
4. Средняя арифметическая (восходящая или нисходящая) первого
порядка равна полусумме средних восходящих и нисходящих второго
порядка, т. е.
Г(2)-М2)Г
Г^)_(1)Г — п ^ п
Доказательство. Применяя формулы для С^2) и (2)СП, мы
получаем:
(n+l)x0 + nx1+...+xn + (n+l)xn+nxn_l + ...+x0
с<2) + (2)^
(д + 2)(п+1)
2
_ (п + 2)х0 + (п+2)х1-\-...+(п + 2)хп _0/о(1)_о(1)/о
- (п + 2)(Л+1) ~^" -^ С*'
5. Разность средней нисходящей и средней восходящей, второго
порядка равна:
(2)_ П
(2)Г Г^> — " Л
где А означает простую среднюю разность1 (п + 1) величинх0, хъ ...,хп.
Доказательство. Разность между средней нисходящей
и средней восходящей второго порядка равна:
2 (n-i+\)(xn_i-xl)
1 Под простой средней разностью последовательности из /г + 1 членов
подразумевается средняя арифметическая абсолютных величин всех разностей,
которые можно получить из членов последовательности, что в математических
символах выражается формулой:
21*<—*/|
194

или, иначе:
я/2
2 (n-2i)(xn_l-xi)
(2)Cri_C^2)=^^
(я + 2)(я+1)
С другой стороны, средняя разность определяется
формулой [119]:
2 («-20 (*„_,-*,)
Д = 1^
л(я+1)
которая, будучи сопоставлена с предшествующей формулой, дает нам
искомое соотношение:
(2)Сп_С<2) = 7Гф1А.
6. Разность между средней нисходящей и средней восходящей
третьего порядка равна:
(З)р _г(3)-А. п д
Доказательство этого свойства совершенно аналогично
доказательству свойства 5. Из него следует, что средняя разность равна
{3)Сп—С{пг) при п=[4 и что при п>4, наоборот, всегда имеем,
Д^3^—С^3); поэтому, поскольку из свойства 5 мы, в свою
очередь, имеем при любом значении п: А>(2)СП—С^2), можем сказать,
что при п>4 средняя разность содержится между величинами
<3>СЛ-С<3) и WCn- С<2).
7. Логарифм средней геометрической восходящей (нисходящей)
порядка k членов последовательности х0, хъ...> хп равняется средней
арифметической восходящей (нисходящей) порядка k логарифмов этих же
членов.
Доказательство нетрудно получить сразу же, если вспомнить
определения средних арифметических и геометрических восходящих (или
нисходящих). Из этого свойства вытекают далее нижеследующие.
8. Произведение средних геометрических — восходящей и
нисходящей — второго порядка равно квадрату средней геометрической
восходящей первого порядка, т. е.
Gi2)-^Gn = (G^r
J 95

9. Логарифм отношения средней геометрической нисходящей
второго порядка и средней геометрической восходящей того же порядка-
равен:
.(2)0п_ п л
log
G(2) п+2'
Далее легко убедиться в том, что
10. Последовательность средних геометрических восходящих
убывает, а последовательность средних геометрических нисходящих
возрастает при изменении п.
11. Последовательность средних гармонических восходящих Н^
убывает, тогда как последовательность средних гармонических
нисходящих возрастает при изменении п.
12. Средняя арифметическая восходящая C{nk) порядка k
последовательности членов х0 < хг <; х2 < ... < хпУ представляющей собой
арифметическую прогрессию с разностью h, определяется формулой:
r(k) _ , nh
k+l
Доказательство. Предположим, что последовательность
чисел х0, #!,..., хп представляет собой арифметическую прогрессию
с разностью Л, т. е.
/£q •"— *^П' 1 "— О I ' 2 — О I * * * 71 — О Г" ivii'j
и рассмотрим суммы 5„*' (разумеется, при целых значениях k),
которые в этом случае будут равняться:
Slni) = (n+\)x(l+(\ + 2+...+n)h = (n+l)[x0 + ^]
S^ = [l + 2+... + (n+l)]x0+[(l) + (l)+...+ (np)]h =
1=0 1=0
Любопытно отметить, что суммы S„:) являются членами
арифметической прогрессии второго порядка, суммы S„2) — членами
арифметической прогрессии третьего порядка, и вообще суммы S{nk) — членами
арифметической погрессии порядка (k + 1).
Помня о том, что средняя возрастающая порядка k равна;
а т'
196

и вводя только что найденные значения для S{nk\ мы будем иметь:
Г(1> — у 4- ПН
W —Ло ~i 2
г(2) _ , /гЯ
'-'/г —•*() i 3"
(5.-1)
С я = Xq -\~ Zrl
L*n — %о ~i
/г/г
/г + 1
Cfl = Xq "J- Д
Г(2я-1)_ , Л_
W — л0 I 2
что и требовалось доказать.
Из этих же соотношений можно, кроме того, вывести еще следующее
свойство.
13. При четном п средняя восходящая первого порядка Сп
последовательности членов арифметической прогрессии совпадает не только
со средней арифметической, но и с медианой', средняя арифметическая
восходящая третьего порядка С„ совпадает с первой квартилью,
средняя восходящая девятого порядка — с первой децилью и т. д.
14. Средняя арифметическая нисходящая {k)Cn порядка k
последовательности членов xQ < хг < х2 < ... < хп, представляющих собой
арифметическую прогрессию с разностью h, определяется формулой:
Доказательство. В этом случае (k)Sn может быть
выражена следующим образом:
^sMntk)x0+nk)nh-{t$\)h=mXo+&x\)kh,
откуда, имея в виду, что
(Л)с
п т>
197

мы получаем следующие выражения для средних арифметических
нисходящих:
(,)с„=*„+-у
{2)Сп = х0+-^-пк
<3>Сп = *0 + -|лЛ
lk)Cn = x0 + j^nh
Из этих выражений далее следует:
15. При четном п средняя нисходящая третьего порядка (3)СП
последовательности членов арифметической прогрессии совпадает с
третьей квартилью, средняя арифметическая нисходящая 9-го
порядка <9)СД совпадает с девятой децилью и т. д.
16. Средняя арифметическая восходящей и нисходящей средних
порядка k последовательности членов арифметической прогрессии
равна средней восходящей (или нисходящей) первого порядка той же
последовательности, т. е.
Доказательство не представляет никаких трудностей.
В самом деле, используя формулы для С^) и wCn, приведенные
на стр. 192—193, мы получаем:
т
= 2x0 + nh = 2C{n).
17. Средняя геометрическая восходящая Glt\
последовательности х0<Сх1^х2... <„, представляющей собой геометрическую
прогрессию со знаменателем q, определяется формулой:
Доказательство. Пусть будет
Xq =f ^0> -^Х = ^0 ^> X%z=XqQ »" Хп = XqCJ .
198

Сосчитаем произведения разных порядков р}^):
п (п+\)
/я+2\ /п+2\
р,',!,=42%( з)
,*•>-«.<*»,№>
Используя формулу средней геометрической восходящей
/л+л\
сразу же получаем выражения для средних геометрических
восходящих последовательности членов геометрической прогрессии:
G{al)=x0q*
G(n2)=x0q*
П
0Г
18. Средняя геометрическая нисходящая ^k)Gn
последовательности х0 <*1<;л;2?< ... < хп членов геометрической прогрессии со
знаменателем q определяется формулой:
{k)Gn = x0qkTT.
Доказательство. Пусть будет
х0 = х0, х± = х0 q1 х2 = х0 q , ... хп = х0 q .
В этом случае произведения {k)pn разных порядков будут:
Л(/1+1)
Рп — х0 Ч
/п+2\ 2Л*+2\
(v=42 VU)
Рп — х0 Ч
Используя формулу средней геометрической нисходящей:
(А)
G*= у Л-
199

сразу же получаем:
{2)Gn = xJ
kn
{k)Gn=xog^
е. Средние равнокомбинаторные степенные. Средние равнокомби-
наторные степенные могут быть выражены как средние степенные
взвешенные [29].
В самом деле:
Bcfq= с (У/ Г^рс (*f) __с (р-\\/Г ърс (хГ9) рс (*?)
V 2М*?) V ЪРМ)
(где Pc(xpi) обозначает произведение с членов последовательности,
возведенных в степень /?, и сумма охватывает все (-) возможные
сочетания по с этих членов; аналогичное значение имеет Рс(хяд-
При с = 1 мы получаем формулу средней степенной взвешенной
простой, а при с Ф 1 — средней степенной взвешенной комбинаторной.
Пример. Пусть дана последовательность:
1, 2, 3.
23
Вычислим В22. Будем иметь:
д22 _ 2(3~2/~13- 23+I3- 33 + 23. 33 _
~" У I2 . 22+12 • 32 + 22 . 32_
/*(1 . 2)(12 . 22) + (1 . 3)(12 . 32) + (2 . 3)(22 . З2) _
~" \/ 12 . 22+12 . 32+22 . З2 ""
"/
2.4 + 3.9 + 6»36 = 22
4 + 9 + 36
ж. Средние комбинаторные равностепенные. Средние комбинатор-
ные равностепенные могут быть выражены как средние степенные
взвешенные [29, р. 219].
Средняя комбинаторная равностепенная выражается следующей
формулой:
jP cp-f/"(a)sM*f)
У (e")2M*f)'
200

в которой Рс(хР) обозначает произведение с членов
последовательности, возведенных в степень р, и сумма охватывает все (£)
возможных сочетаний по с этих членов. Аналогичное значение имеет
Pd(xf). Для удобства написания впредь вместо Рс(хР) и Pd(xP) мы
будем пользоваться соответственно символами Ррс и Pd.
Таким образом, формула средней комбинаторной равностепенной
будет иметь следующий вид:
(47) в
Ср р{С—с1)/~(11\ у рр
dp
-и, /
V
ср
Чтобы убедиться в том, что Bdp может быть выражена как средняя
степенная взвешенная, нужно иметь в виду следующее:
а) сумма произведений каждого сочетания класса с — d на все
сочетания класса d, которые можно образовать из д — с + d членов,
не принадлежащих к рассматриваемому сочетанию, охватывает все
сочетания класса с, причем каждое из последних повторяется \d) раз,
т. е.
(48) 2И-Д2^)] = (*)2/>Р;
Р
б) сумма сумм Pd, указанных в пункте а, охватывает все
сочетания класса d, которые молшо образовать из всех п членов данной
совокупности, причем каждое из них повторяется ("-<*) раз, т. е. в
алгебраической форме:
(49) 2 (2^) = (£2)2^;
в) существует равенство:
(50) Ш = (3)(?3),
из него следует:
ср
idp
{1)-^-,ъ{ърра)
\c-d)
р( V^(S) (""') 2 [Ррс-а (2 Р$)] «е-\У® (S) 2 [Ррс-а (2Pg)]
V (?)($) 2 (2*5) К С)(5)2(2Р5)
р(У/2^(2рЩ
К 2(2^)
Это и есть формула средней степенной взвешенной.
201

Пример. Пусть дана последовательность:
1, 2, 3.
22
Рассмотрим среднюю В12. Она будет равна:
22
в12 =
-V
2(2-1) Г (
1/ ^
V
12(22 + 3<
('22 + ;
])(12 . 22 Н- 12 . 32+22-
(3)(12 + 22 + 33)
32)
2)_[_22(l2_f-32) + 32 (12 + 22)
32) + (12 + 32) + (12 + 22)
I2 . 13 + 22 . 10+32 . 5 « 87
13+10 + 5 ~~ '
з.Средние двуплоскостные степенные. Предположим, как обычно,
что мы имеем последовательность положительных чисел xt (xt < xt^.
ср
Рассмотрим все средние, которые можно получить из В**, придавая
end значение 1. Это будут средние типа:
(51) BXq = Bq= Л/
1 р р p-q / ^ р
BXq = Bq= 1/ ±^-.
24
Они обладают следующими свойствами:
р
1. Вч можно представить себе как среднюю степенную взвешенную
простую с показателем степени р — q членов xt, обладающих весами
*?. То есть, мы можем изобразить ее следующей формулой [29, р. 219]:
р р-я Гъ ур-я . уя
(52) &=у ^-\^-
Р
2. Вч является возрастающей -функцией р — q (и поэтому также
возрастающей функцией р при постоянном q), а также возрастающей
функцией q при постоянному — q [29, р. 219].
Используя свойство 1 и помня, что средняя степенная является
возрастающей функцией показателя степени,' мы сразу приходим к
р
выводу, что Вч является возрастающей функцией р — q и,
следовательно, такой же функцией р при постоянном q.
р'
Рассмотрим теперь В<*\ где р' и q' удовлетворяют условию:
р —q = р-
Буд'ем иметь:
(53)
202
-я-
р'
В4'
V ъ4

р р'
Таким образом, оказывается, что В? и В^' являются средними
степенными одних и тех же членов последовательности xt, взвешенных
относительными весами, равными соответственно х\№х\ и х\ /2л;? •
Если q' > q, то легко видеть, что большие члены в формуле (53)
оказываются взвешенными большими относительными весами, чем
соответствующие члены в формуле (52), тогда как меньшие — меньшими.
р' р
Поэтому в силу свойства 1 средних степенных Вч' >> B<i\ таким
образом, средняя двуплоскостная степенная является возрастающей
функцией q при постоянном р — q.
р
3. Пределы, к которым стремится В«, когда переменные р и q
стремятся (каждая из них в отдельности, поскольку q и р—q остаются
постоянными) к ± оо, равны соответственно хп и хх [29, р. 219].
р
Это свойство также является следствием того, что Вч можно
выразить как среднюю степенную xt Поскольку средняя степенная
стремится к хп и хг, когда показатель степени стремится к ±оо, то следует,
D
что Вч будет стремиться к хп и%, когда р — q стремится
соответственно к -f-°° и —оо, т. е. когда q постоянно, а р стремится
соответственно K-foo и —оо.
Разделив теперь числители и знаменатели относительных весов,
фигурирующих в формуле (52), сначала на хчп и затем на х\, мы легко
убедимся в том, что, если q стремится к ±оо при постоянном р—q,
р
Вч стремится соответственно к хп и хх.
Р ' <7
4. Средняя Bq равняется Вр [29, р. 219].
В самом деле:
-1 , .1
V 24 V154/ \2*? /
5. Средняя двуплоскостная степенная с показателями р и нуль
равна средней степенной с показателем степени р.
Таким образом, В0 = М [29, р. 219].
И в самом деле:
* р/^хР
= /1.
р
В°= 1/ ±^ = "Л.
-у-:
6, При q, стремящемся к р, предел, к которому стремится Вч,
определяется следующей формулой:
р р 1Г р
Bp=limBq= У PxXi,
q^p
203

(где Р символ произведения) и является возрастающей функцией р, а
при q, стремящемся к нулю, стремится к средней геометрической [29,
р. 219].
И в самом деле, применяя правило Лопиталя к пределу логарифма,
мы получаем:
lim
q^p
log 2
2*?-
ХР -
log
-iogs*f\
-q I "
*/ 2 log
= lim -
q^p
1 _
-2*?loe**
24
— l
log Pa:/
2*? 2*? 2*?
и, наконец:
p xxp
lim logЯ*= log КРД
q-+p
откуда, переходя от логарифмов к числам, мы получаем:
р xif р
lim Bq = V PxXi.
q-+p
P
И это значение принимается за Вр.
р
Функция Вр является возрастающей функцией р, поскольку
таковой является ее логарифм. В самом деле:
logB£= 2,f.og,,.
24 '
откуда, беря производную, получаем:
d(\ogBPp) 2*?(log*i)«- 2*f-(2*?log*i)*
dp (S4)
2*JP(l0g*i)2 + 2*f*? (log *j)» —2*i"(l0g*j)«—2*f*? lOg^j bg *,
(24):
p\2
>0.
Производная логарифма Вр остается положительной при любом
р
значении р; таким образом, Вр является возрастающей функцией р.
Кроме того, мы имеем:
lim£p = G.
,9->0
204

В самом деле:
р
limBp = lim
р-»0 р->0
1 У Рх? =VPxt=G.
Таким образом, из приведенных свойств вытекает, что Вч не
выходит за рамки интервала между наименьшим и наибольшим членами
последовательности xt и в пределе стремится к этим последним, когда
Р-г
Рис. 4
р — q стремится соответственно к —оо и к +оо, а также, когда р — q
сохраняет постоянное значение, между тем как q стремится
соответственно к —оо и к +оо; что оно является возрастающей функцией
р — q, и поэтому также функцией р при постоянном q и функцией q
р
при постоянном р — q\ что при (р — q) -> 0 и при р -*- О В? равно
средней геометрической.
Если отложить на оси абсцисс переменную величину р — q и на
р
оси ординат В?, мы получим пучок кривых, размещающихся между
асимптомами хх и хп; при изменении параметра q от —оо до +оо
кривые смещаются по направлению к верхней асимптоте, описывая всю
полосу, органиченную обоими асимптотами. Кривая, получаемая
при нулевом значении q, пересекает ось ординат в точке, равной G
(средней геометрической, см. рис. 4).
205

и. Средние двуплоскостные равнокомбинаторные степенные.
Напомним формулу средних двуплоскостных равнокомбинаторных сте
пенных:
^J^/ZPcW)
2^(4)
Р
Их можно рассматривать как средние типа Вч (средние
двуплоскостные степенные), члены которых представляют собой все произведения,
какие можно образовать из п данных членов, беря для каждого
произведения по с членов. Поэтому свойства этих средних при постоянном
р
с те же, что и у В?, с той лишь разницей, что вместо значений хг и хп
берутся соответствующие экстремальные значения Рс [20, р. 219]:
т\пРс = хгх2...9хс и тахРс = хпхп-\ ...xn-c+i-
к. Средние одиоплоскостные комбинаторные степенные. Если q =
= 0, средняя равнокомбинаторная степенная сводится к средней
степенной комбинаторной. Таким образом:
вСсо Су ЪРС (*f) ср
Эта средняя обладает следующими свойствами:
1. При постоянном с средняя Мс? является возрастающей
функцией р, а при р, стремящемся к ±оо, она стремится
соответственно к -)/ хпхп-\ ...xn-c+i и к у хгх2... хс [20, р. 219].
В самом деле, Мср можно представить в виде:
(54) уи- = (у^|^]\
При постоянном с она равняется корню степени с из средней
степенной с показателем степени р, члены которой представляют собой
все произведения, которые можно образовать из п членов данной
последовательности, беря для каждого произведения по с членов.
Основываясь на свойствах 4 и 5 средних степенных, мы сразу же
убеждаемся в том, что при постоянном с средняя Мср является
возрастающей функцией р, а при р,, стремящемся к ±оо, она стремится к
корню степени с соответственно из наибольшего и наименьшего из этих
произведений,
т. е. к -/хпхп-\ ...Xn-c+i и к ухЛх2
t2... *с.
2. Если р > 0, Мср является возрастающей функцией с; если
р <Z 0, Мср является убывающей функцией с.
206

Чтобы доказать это свойство, заметим прежде всего, что
с—d d
[ср л —
Bdp\ с .[Mdp]c.
ср
В самом деле, используя формулы для Bdp и Mdp9 имеем:
^c-d _ , d
(c-d\p/ (2) sp?
L У 0)^pPd.
\P/W^ T/
V (№5 V
с
С) "
У со J
"К (?)
ср
м
где, как и всегда, мы полагаем Ppd-=Pd(xp) и Ррс= Рс{хр).
Далее, вспоминая, что в силу свойства 1 средних
комбинаторных равностепенных (ср. стр. 201)
Я#=[Л*<*-'Ь'(2р5)],
мы будем иметь выражение:
c-d d,
McP=[M<c-d)-p(2JP!a)] с -(Md>P)c ,
из которого, при четном с(с = 2k) и d = -|, мы выводим, что (Мср)ср
является средней геометрической взвешенной двух средних
равностепенных одного и того же класса, из которых одна невзвешенная, а
другая взвешенная системой относительных весов, расположенных в
порядке возрастания (или убывания), противоположном тому, в каком
расположены члены данной последовательности. В силу свойства 2
средних степенных средняя взвешенная будет меньше, чем средняя
невзвешенная. Таким образом, (Мср)ср, которая, будучи средней
геометрической двух величин, должна заключаться в промежутке между
ними, окажется меньшей, чем средняя степенная невзвешенная.
Извлекая затем корень степени ср, приходим к выводу, что М2кр ^ Мкр,
в зависимости от того, будет ли р ^ 0.
В частности, будем иметь:
М*р^М1р,
в зависимости от того, будет ли р^О. Чтобы доказать далее, что
вообще MkPf^Mk~l>p при pSgO, достаточно предположить, что
теорема справедлива при k = c, и доказать, что она справедлива
при k = c+ 1.
С этой целью докажем прежде всего, что
(Мср)2ср> (Мс~1'р){с~1) р. (McJ['uрУс+{>р.
207

(МсРу-ср =
Мы знаем, что
L (?).
гДе (2-Р?)2 является совокупностью членов типа:
х2р . х2р х2р . хр ур
при &, изменяющемся от 0 до с.
Рассмотрим (с+1) групп членов, которые можно получить,
придавая k значения от 0 до с. Члены первой группы будут типа:
\И = У)) Ха1 ' %а2 • • • Ха .
Члены второй группы будут типа:
(л ~ V ^а\ ' ^а2 '" ^ас—\ ' Хас ' Хас4-\'
Члены третьей группы будут типа:
(к — Ъ х2р • х2р х2р . гр • ур . гр . гр
\К — ^) ла1 ла2 • •• Ла Лас—\ Лас ас-\-\ ас-\-2'
Члены группы порядка с будут типа:
\fi = С Ч %а^ • Ха2 • Ха^ ... Xci2C—\ >
и, наконец, члены группы порядка (с+1) будут типа:
(k = С) Ха± • Ха2 ... ха2с-
Все члены каждой группы можно объединить в пары, причем
средняя каждой пары членов, принадлежащих к любой группе, будет
больше, чем соответствующий член, принадлежащий к следующей группе,
между тем как любой член, принадлежащий к определенной группе,
будет меньше, чем средняя двух соответствующих членов,
принадлежащих предшествующей группе. Отсюда следует, что, обозначив
М(с—ky 2k) среднюю группы порядка &, будем иметь, что эта средняя
является убывающей функцией k.
Кроме того, поскольку по свойству ассоциативности (ср. стр. 150—
151) сумма п членов не изменяется, если вместо каждого из них
подставим их среднюю арифметическую, Рр может быть выражено также
следующим образом:
(55) (Ж)2 = *S (**) (dk) (n-2?k)M(c-k, 2k),
где (Д/е) (n~~2itk) означает число различных членов группы
порядка ky а (2£) показывает, сколько раз повторяется каждый из них.
208

Аналогичным образом находим:
(56) (2PS-.) (SP^.) = *2 (ДМ (Д/Л Г2Г?г)М(С-^ 2/г).
& = 0
Отсюда вытекает, что
(мср)2ср-(мс~ир){с~:)р' (мс+ир){с+1)р
в зависимости от
(с) J (c-l) (c+l)
или же (используя соотношения (55) и (56)) от
Д(**)(Л)-(п1ПЛ1(с-*.2*)<
(57) " Шя ^
2в(Д*1)(Л)("-Й-*)А«(с-А.2А)
\Л\) (с+\)
Оба члена соотношения (57) являются средними арифметическими
одних и тех же величин М(с — kf 2 k) с относительными весами:
(2П(Л)Г2Г) (ДМ (Л) Г#Ч
58) pk- —■ и 7* =
Ссг)2 (Л)Ц.)
Мы замечаем далее, что
в зависимости от
(2Л < (ДМ
(г)2>(д.)(4.)
или, иначе, от
Г2&\ < / 2/г
т. е. в зависимости от
c(n-c)(\k)^(k2^)(c+l)(n-c+l),
, > с (п — с) ^
Итак, в конечном счете при й, возрастающем от 0 до ° (п"~с' ,
л+1
веса ph больше, чем веса qh\ при k> возрастающем от с ^п^с' до с,
веса рЛ не превышают веса qh,
8 Зек. 401 209

Помня, далее, что значения М(с — k, 2k) убывают при возрастании
k, мы, в силу свойства 3 средних степенных, можем сделать вывод,
что соотношение между двумя средними взвешенными, каковыми
являются оба члена формулы (57), определяется следующим
неравенством:
2аА)(л)е-2^)м(С-^2й)
(59) -^ >
НУ
S(*")(A)№*)M(C-A,2*)
^ /г = 0
\с-\) (4-1)
откуда следует:
(р^°ру ср (]^~\р\{с-\) р . (д4<Н-Ьр\И-1)р#
Извлекая корень степени 2ср, получаем:
2ср/
2ср / ~
мср^ у (мс~и р){с~1) р (мс+и p){c+l) p
в зависимости от р ^ 0.
Следовательно, Мср больше или меньше средней геометрической
взвешенной величин Мс^1'р и Мс~^ир в зависимости от р^О.
Таким образом, поскольку по предположению Мср^Мс~1'р в
зависимости от р^О, приходим к выводу, что МсрМс+Х'р при р>0 и
Мср<Мс+ир при р<0.
3. Предел Мср при р, стремящемся к 0, равен средней
геометрической.
Или, в виде математической формулы [29, р. 219]:
Y\mMcP = G.
В самом деле, взяв предел логарифма, получаем:
lim log M<p = lim log Л/Щ^- = lim log^P" ~ log(")
p-+o p-*o V (") p->o pc
и, применяя правило Лопиталя, имеем:
lim log № = lira ЪП = Щ^ = log (Лр/®,
p->0 p-*0 c C\c)
210

Затем, переходя от логарифмов к числам:
с (")
lim № = уПРс = У Pn = G.
4. MnP = G [29, р. 219].
В самом деле:
М"Р =
Доказанные свойства позволяют сделать вывод о том, что функция
Мср, определенная для всей области вещественных значений /?,
определяет для значений 1, 2, 3,.., п параметра с, п монотонных возрастаю-
кМсР
\1хПхП-1 3 I
Сг.п
\х,*г*з
J — у 5Г, Х2
Рис. 5
щих кривых, имеющих одну общую точку (р = О, у = G), а также
направление прямой у = 0, к которой асимптотически стремятся все
кривые при р -> ±оо.
Огибающими пучка являются кривые у = Мпр и у = G,
При р <С 0, по мере возрастания с, кривые постепенно
перемещаются снизу вверх; при р >> 0 — сверху вниз.
При возрастающем с кривые находятся внутри полос,
параллельных оси абсцисс и все более суживающихся вокруг прямой у = G (см.
рис. 5).
л. Средние двуплоскостные комбинаторные степенные. Средняя
двуплоскостная комбинаторная степенная определяется формулой:
cp — dq
с, р
V (?)
(2)
8*
211

где Рр и Pqd являются произведениями типа xpbi хръ ... xl и
с
xqblxqb2...xqbd и суммы охватывают все сочетания из п вещественных
положительных значений х% класса с и класса d.
Величины р и q могут принимать все действительные значения,
содержащиеся между —оо и +оо, величины же с и d могут принимать
только целые значения, содержащиеся между 1 и д.
Функция
(60) г = В*'«9
таким образом, в пространстве (zpq), при любом значении пары с, d,
изображается поверхностью. При изменении значения пары с, d мы
получаем п2 поверхностей, которые ортогонально проектируются на
всю плоскость pq.
Легко видеть, что
ср dq
(61) Bd4=BcP.
В самом деле:
v (?) ' (3) I \<5) ' (2) I
\ (3) ' (?) / ~ '
я(л — 1) поверхностей, для которых сф d, можно получить, заменяя
сочетания из п по с сочетаниями из п по d, и, наоборот, меняя местами
Для простоты будем рассматривать только поверхности, для
которых с > d, считая равными симметрические поверхности, о которых
говорилось выше.
Итак, число различных поверхностей будет п (при c = d) и
i&j^. при (с=М).
Таким образом, число п2 поверхностей г сводится к числу
пН—* - ~ п (—5—) поверхностей, отличающихся друг от
друга [30].
ср
Отсюда вытекают следующие свойства величины z = Bd<*\
ср
1. Поверхности z = Bd(*(c'>d) пересекаются координатной
плоскостью р = 0 вдоль z = Mdq и координатной плоскостью q =0
вдоль г = Мср [30].
Доказательство. Помня, что
У (?) '
gig

и используя аналогичную формулу для Mdq, мы имеем:
ср *
z = Bdq = [(Мср)ср (Mqd)~dq]cp~ dgt
откуда получаем:
z = [(Mcp)cp~dq- {Mcp)dq- [Mdq)~dq\cp~dq,
и, наконец:
(62) z = Mcp\ """
Md£f
Аналогичным образом получаем:
ср — dq
(63) z = Mdq
СР
Mdq
ср — dq
Положив для простоты ср—dq = e, мы можем переписать
предшествующие соотношения следующим образом:
СР
Из этих двух выражений сразу выводим;
если д = 0(рфО), г^Мср\
если p = Q(q=£0), z^Mdq-
ср
Итак, пересечения поверхностей z = Bdq с плоскостями zp и zq
являются уже известными нам кривыми (ср. стр. 210—211)
уравнений z = Mcp и z = Mdq-
2. Если с > d поверхность z = B^ состоит из двух слоев, первый
из которых, соответствующий полуплоскости ср — dq <.0,
пересекается с вертикальной плоскостью, проходящей через прямую,
определяемую уравнением ср — dq=0, в бесконечности, тогда как слой,
относящийся к полуплоскости ср — dq > 0, пересекается с этой
вертикальной плоскостью по прямой ср — dq = 0. Кроме того, оба слоя имеют на
вертикальной плоскости общую начальную точку z = G. Если с = d,
прямая ср — dq = 0 сводится к р = q, а упомянутая вертикальная
плоскость проходит через биссектрису 1-го и 3-го квадрантов и пере-
ср
секает z = Bd<* no кривой
ср с*рРс°Г —
в*- У пр?
и поверхность в этом случае не имеет точек разрыва [30, р. 233].
213

Доказательство. Как видно из формул (64) и (65), z
непрерывна на всей плоскости pq, кроме прямой, дающейся уравнением
8 = 0. Точки этой прямой, которые мы назовем р0 и q0, будут связаны
следующим соотношением:
d
Ро^ — Чо-
с
Угловым коэффициентом этой прямой является —, и, поскольку
d и с суть целые числа, содержащиеся в интервале между 1 и /г, и,
кроме того, по предположению d < с, этот коэффициент будет дискретно
изменяться между экстремальными значениями 1/д и 1.
Что касается графического изображения прямой е = 0, то легко
заметить, что она делит плоскость pq на две полуплоскости,
расположенные одна справа, а другая слева, если двигаться по прямой снизу
вверх. На левой полуплоскости е < 0, а на правой — е > 0.
Вдоль прямой 8 = 0 значения функции z не существует. Однако
возможно определить предел, к которому она стремится, когда точка
Р с координатами р и q, принадлежащая к поверхности z, стремится
к точке Р0 с координатами р0 и q0 вдоль направления РР0.
Если положить
то будем иметь, согласно формуле (64):
(66) lim z (P) = Мс> ро %±° = мс> ро х± °°^о = к,
где следует брать знак + или — в зависимости от того,
принадлежит ли точка Р правой или левой полуплоскости по отношению
к прямой е = о.
Поскольку q0=f=0, мы рассмотрим два случая: q0 < 0 и q0^>0.
В первом случае, так как c^>d и ср0 — dq0 = 0, мы имеем д^Ро^О
и поэтому, как видно из рис. 6, в котором графики функций
Мср и Mdp наложены один на другой, Х0>1 и, следовательно,
К = МсР°-'к:осо = сю в зависимости от е^0.
Если <7о>0, то 0<Ро<<7о и Л0<1, откуда следует:
K = Mcp°X0±°° = oo
в зависимости от 8^0.
Таким образом, для всех точек прямой е = 0, за исключением ее
начальной точки и случая, когда с = d, пределом z является 0 для
всех полупрямых правой полуплоскости и оо — для всех полупрямых
левой полуплоскости.
214

Если р0 = 0, формула (66) принимает вид К = G-(1)°, но, положив
в формуле (62) р = pq, будем иметь:
.£>-•
и, следовательно,
K=Q.(l)d
■ Р-1
1
с
л -
1
1
Ят
ма°°
1
1
1
1
1
1
о Ям
я
р
Рис. 6
т. е. при рф — K = G. Если d = c, то p0 = q0-f в этом случае
следует прибегнуть к логарифмам:
log г = —-L- [log S PPc-\og 2 PI]
c(p—q)
и приблизить Р к Р0 вдоль отрезка РР0. С этой целью положим
q = e + Po, р = ре + Ро и заставим е стремиться к нулю.
Будем иметь:
limlogz^-jr .
е-0 U
215

Применяя правило Лопиталя, получим:
1
lim 1 п п* 7 —
= lim —. п
im |- [log S PP£+Po-log 2 Pe+H
ai<P-1)8C
'S p^?0+ep log pc s ^?e+t los p^ "j
рРо рРо
С С
= 2 log Я, c = log ПРС c
Отсюда следует, что
- V-
рРо
lim z= |/ ЯР/
P"*Po
cp
Из сказанного вытекает: если С> dy поверхность г = £<*?
состоит из двух слоев, из которых один, соответствующий полуплоскости
ср — dq < 0, пересекается с вертикальной плоскостью, проходящей
через прямую, определяемую уравнением ср— dq = 0, в бесконечности,
тогда как слой, относящийся к полуплоскости ср — dq > О,
пересекается с этой вертикальной плоскостью по прямой ср —dq = 0. Кро*
ме того, оба слоя имеют на вертикальной плоскости общую начальную
точку z = G. Если с — d, то р — q, и упомянутая вертикальная
плоскость проходе через биссектрису 1-го и 3-го квадрантов* пересекая
ср
z = Bd<* по кривой
сЯрРо
В°р
= Упрр/
и поверхность в этом случае не имеет точек разрыва.
м. Квантили. Пусть дана следующая неубывающая
последовательность:
(67) xx^x2<Z...^xn.
Возьмем ось абсцисс и на ней точки Xit соответствующие абсциссам xt
(i = /, 2, ...,n).
Возьмем далее точку X с абсциссой х, изменяющейся на данной оси,
и рассмотрим ее расстояния от предшествующих ей точек Xt (пред-
шествующие расстояния) и от следующих за ней точек Xt
(последующие расстояния)*
216

Обозначим через 6г и At соответственно расстояния первого и
второго типа и рассмотрим следующую функцию:
(68) F(x) = (k—r)^i6i + r^Ai (0<r<k^n)
Если rn не кратно k, функция F принимает наименьшее значение,
tXT 1
когда х получает значение хи где t — ближайшее к ~г-\- ~ целое число.
Если пг кратно k, F(x) принимает наименьшее значение во всех
точках промежутка Xt, Xt+1 где t = nrlk.
Таким образом, в обоих случаях F(x) имеет наименьшее значение,
когда х совпадает с квантилью порядка г [66].
Доказательство.
1-й случай. Предположим, что пг не кратно k. Пусть t — целое
число, определяемое неравенством:
(69) t-K-^-<t,
k
т. е. t—целое число, ближайшее к 1— •
k 2
При x = xt, учитывая, что xt—xt — 0, будем иметь:
F (xt) = (k — r){ (xt—x±) + (xt—x2) + ... + (xt—xt_1)} +
+ r{(xf—xf) + (xt+1—Xt) + ... + (xn—xt)}.
Взяв некое число с ;> 0, рассмотрим функцию F(xt — с). Лишь
только точка X, двигаясь из точки Хь пройдет налево от последней
отрезок длиной в с, не менее (п — t + 1) последующих расстояний
увеличится каждое на величину с и в то же время не более (t — 1)
предшествующих расстояний уменьшится каждое на ту же величину с. Итак,
будем иметь:
F(xt-c)^F(xt) + r(n-t+l)c-(k-r)(t-l)c =
= F (xf) + (rn—kt + k) с,
или, поскольку с>0 и поскольку из формулы (69) следует, что
rn—kt-\-k>Q, приходим к выводу, что
F{xt-c)>F(xt).
Аналогичным образом находим:
F (xt+ с) > F (х() + (k—r) tc—r (n — t)c = F (xt) +
+ (kt—rn)c>F(xt).
Итак, наименьшее значение F (х) будет при x = xt.
2-й случай. Пусть т кратно k и t= —-. Рассмотрим два
значения х и х\ удовлетворяющие неравенству x^x^x'^xt+i.
217

Положив d = x'—х, будем иметь:
F(x') = F(x + d) = F(x) + (k—r)td—r(n—t)d =
= F(x) + (kt—rn)d,
или, поскольку мы предположили, что М = гп:
F(x') = F(x).
Таким образом, F (х) имеет постоянное значение во всех
точках, принадлежащих к интервалу
*J—\xt+v
Далее мы имеем при с>0:
F(xt—c)>;F(xt) + r(n—t+l)c—(k—r)(t — l)c =
= F(xt) + kc>F(xt)
F(xt+l + c)^F(xt+l) + (k-r)(t+l)c-r(n-t-l)c =
Следовательно, F (x) принимает свое наименьшее значение во
всех точках (и только в них одних), принадлежащих к интервалу
Xt\—\Xt+\.
В частности, если т кратно k и xt+l=xt, где t = ^-, интервал
Xt\ — \xt+\ сводится к точке Xt = Xt+\. Следует отметить, что в этом
случае оба значения t и t-\-\ являются целыми числами, ближай-
пг , 1 , , 1
шими к ~г~г~2=^^~ ~2 '
Далее мы находим, что
если r = k, то nr/k = nk/k = nu, следовательно, xt = xn. Это
значит, что F (х) приобретает наименьшее значение при х^хп]
если г = 0, то nr/k = 0, т. е. F (х) получает наименьшее
значение при jt^*!*,
если
= |(2в,+2Д.)=|-21*—*, I-
Таким образом, значения х, дающие наименьшие значения для
F(x)y те же, что и дающие наименьшее значение для
что, как мы уже видели, является также свойством медианы.
218

Однозначное определение квантилей. В том случае, когда квантили
представлены не каким-либо одним членом данной последовательности,
а промежутком между двумя членами, тогда для того, чтобы определить
квантили однозначным образом, можно прибегнуть к искусственному
приему [66], сходному с тем, какой был предложен Джексоном для
медианы.
Предположив, что квантиль порядка г представлена
интервалом (xt, xt>{}, повторим (k — г) раз члены данной
последовательности x1x2...xt и г раз члены xt_,{xt_.2...xn. Мы получим новую
последовательность, медиана которой будет представлена
интервалом xt\—\xt,v В самом деле, число членов последовательности до
xt будет равно (k—r)t = kt—rt\ число же членов от xt,x до хп
будет равно г(п—t) = rn—rt\ но так как nr/k = t, то nr = kt, т. е.
число членов, расположенных справа от интервала (xv xt, j),
оказывается равным числу членов, находящихся налево от него.
Поэтому можно принять за единственное значение квантили
порядка г медиану нового распределения, являющуюся корнем
следующего уравнения:
[(Х-Х{) (Х-Х2) ... (*-*,)]*-'= [{Xt+i—X){Xt+2 — X) -К-*)]''
Это значение, как показано при рассмотрении свойств медианы,
равняется следующему выражению:
Hm[(u-r)2e?+rSA?].
Квантили обладают помимо указанных еще следующими
свойствами (ср. § 5,А):
1) неубываемостыо;
2) симметричностью (в невзвешенных распределениях);
3) однородностью;
4) переносимостью.
н. Средние квазиарифметические. Средние квазиарифметические
Додда-Джеклина обладают следующими свойствами:
1. Средняя квазиарифметическая остается неизменной при линей-
ном преобразовании f(x). Таким образом, если в формуле
т = ф
/(*«)
или в соответствующей формуле средней квазиарифметической
взвешенной
219

заменить f(x) функцией af(x) + b (a, b — постоянные величины),
значение средней не изменится.
Это свойство непосредственно вытекает из соотношения
[/(/n)a+6]Sp* = S{Pi[/Wfl+6]}.
2. Если в средней квазиарифметической заменить первые А членов
их частичной средней квазиарифметической, результат останется
неизменным.
Пусть дано
Тогда
хх S х2... S xh S ... S хп (А < /г).
%Ptf(*i) \ Ifi^Pi+^Pifixt)
т = Ф1-Ц = cpf ' ™
п
где
2и / \ 2w
1 / \ 1
/г
2р*
Г. Свойства средних непрерывных переменных
Покажем теперь, что некоторыми свойствами средней
(70) пгА = ( Х1 +*2 + ■•■+*„ \т
обладает также средняя, которую можно получить, если вместо
дискретных величин хь будем брать всю совокупность действительных
чисел содержащихся в интервале между а и b(b > а >> 0) [79].
Представим себе, что интервал (а|—\Ь) разделен на п равных частей,
каждая из которых равна А. В этом случае мы можем по аналогии с
формулой (70) написать формулу для функции:
у (m) = ("т + (a +fi)m + ••■ + (а + (* -1) ^)wp. =
_ ^ygmh+(a + h)mh+... + (a + (ii— l)/Qm/i
■f§
6 — а
откуда, переходя к пределу при п->оо, мы получим при любом
тфО:
т/
(71) у = У Ц
1/ _ - при m=h — \
b — а
—~ ; при т=—1,
log Ъ — log a v '
220

тогда как при т = 0 мы условно примем:
Докажем прежде всего, что у, будучи определена таким образом,
является непрерывной функцией, т. е. что выражение
от + 1 __ J/i+1
(«) г-у <ч..,(.-„-
которое имеет при любом т Ф (—1, 0) конечное и определенное
значение, стремится соответственно к пределам
Ь-а \_ b7af~^_
log b — log a e \/ aa
при m, стремящемся к —1 и к нулю. В самом деле, взяв натуральный
логарифм у и применяя правило Лопиталя, мы сразу же получаем:
hm log у = lim - log = log lim \ JT , / =
i ~ i- 6 —а « w b— a
= l0§ llm 77^17-7 „,„+, ,__ = l°g
,-l bm+l log b—am+l loga ь log b —log a '
lim log у = lim logC^-^^-log^ + ^-lcg^-a)
w -► о m -► о т
= lim
m-»-0
b"H-llog6_am-hl loga
У"-И _ am + l
1
m+ 1
6 log 6 —
' b
^->Mi7$)-
Кроме того, аналогично результатам, которые мы получили для
функции (70), имеем:
lim logy= lim log]/ —-—-
!-►—oo /71-»-—oo V (—m—\)(b—a)
= Hm log (am+1 - frm + I) - log (- m - 1) - log (b - a)
1- i (m+ 1) loga
lim -—^—t-—-—
m
log
m-*—oo
lpg (-"-») _ lQg<6-a> 1 = log a;
221

lim iogy= lim (ffl + 1)logb +
m-±oo m->oo >> /И
Jog
log(m+ 1) log (6 —a)
МтГ]
■log 6.
Итак, при /n, стремящемся к —oo и к +оо, у стремится
соответственно к пределам а и Ъ, которые являются наименьшим и наибольшим
из значений, принимаемых непрерывной переменной t.
Наконец, при любом действительном значении т значение функции
(71) находится в интервале между а и Ь. Таким образом, формулы (71)
и (72) определяют в этом интервале функцию, которая, обладая теми
же свойствами, что и функция (70), может рассматриваться как
изображающая «непрерывную среднюю» всей совокупности действительных
чисел, содержащихся в интервале между а и Ь: в этом смысле средние
гармоническая, геометрическая, арифметическая и квадратическая
этих чисел будут соответствовать значениям—1, 0, 1,2 и/пи будут
равны:
Ь — а ±(Ь^\ь=71 Ь + а -*/-& +ba~+~a2
log Ъ — log а ' е \ аа ) ' 2 ' У 3
§ 6. ПРЕДЕЛЫ СРЕДНИХ
/. Если последовательность хъ х2,..., хп... имеет конечный и опре-
сс/снный предел X, то и средняя арифметическая первых п ее членов
1 fun, стремящемся к бесконечности, стремится к тому же пределу X.
Для доказательства этого свойства необходимо предварительно
доказать следующую теорему.
Если при неограниченно возрастающем п переменная Ьп, постоянно
возрастая, превосходит любой предел, мы будем иметь:
(1)
lim — = lim -=
п—\
/1-1
если только существует правая часть [36].
Пусть X будет значением правой части. Если дано какое-либо е, то
можно .определить такое число v, что при любом п > v удовлетворяется
неравенство:
лп—\
— X
Jn—\
Это означает, что дроби
v+l
V+2"
4 1
*v+l~*v
bv+2-6v+1
ип-\
ь„ - ь„
222

все содержатся в промежутке между X — х8 и X + ^е, и, так как
знаменатели дробей положительны, в пределах этого интервала находится
также и такая дробь, числитель которой равен сумме числителей
данных дробей, а знаменатель равен сумме их знаменателей, т. е.
Ь„-Ь
— X
<
Отметим также, что
ап
—-Х--
Ьп
а, — Kb,
bA
I -
ъ„ — к
Определим теперь значение о таким образом, чтобы
удовлетворялось последнее неравенство и чтобы в то же время значения fev, &v+i,
fev+2, ••• были положительными, что возможно, поскольку Ьп
возрастает неограниченно вместе с п.
Тогда будем иметь
On
flv — ХЬ,\ 8
Ьп + 2
было больше
Далее определим п таким образом, чтобы ~ <
| av—Xb^ | и оставалось постоянно больше этой величины при
возрастании /г.
Тогда будем иметь:
^—Х
<е, т. е. lim^- = A,.
Ьп
(2)
Теперь доказательство свойства 1 уже не представит трудностей.
В самом деле, имеем:
(*i + *2 + -.. + хп) _
lim ■
п-+оо
■■ lim
л->оо
(x1 + х,2 + ... + хп) - (%! +х2 + ... + *„_!)
л — (п — 1)
:lim хп — Х.
П-+СО
2. Если последовательность полооюительных чисел имеет
конечный и определенный предел X, то средняя геометрическая первых п
членов-последовательности стремится, при неограниченном возрастании
п, к тому же пределу [36].
Как известно, предел логарифма переменной не отличается от
логарифма предела той же переменной.
Поэтому, подставляя в формуле (2) вместо хп logx,2, будем
иметь
(3) lim log j/ хг хг... хп = lim log xn,
/г -> ос п—>оо
т. е. lim yr xLx2... хп =lim xn = X.
223

3. Если последовательность положительных чисел:
стремится к пределу X, то и средняя степенная
(4) 'М,2 = | / 1 ^ 2 ^'" + *я (т действительное)
(если брать только единственное действительное положительное
значение корня) стремится к тому же пределу X, при любом значении т,
при котором выражение (4) не теряет смысла, т. е. при любом т Ф
ФО [79].
В самом деле, если НтА:л=Я, то \\тх'п=Хт и поэтому также
(свойство 1)
*? + *£ + ... +х"г л
lim ' 2 —JL^L = ),m9
п-*эо
чем и доказывается наше утверждение, поскольку мы условились в
формуле средней степенной (4) брать только действительное
положительное значение корня.
При т = 0 формула (4), рассматриваемая как действительная
функция /л, не имеет определенного значения, и здесь имеет место
разрыв непрерывности первого рода, тогда как при всех других
значениях т эта функция является конечной и непрерывной. Однако этот
разрыв непрерывности можно устранить, приняв условно, что при
т = О значением функции (4) является lim mAn.
Но, как мы видели на стр. 80, можно доказать, что
x\ -J- x2 i •" "Г xn \ n,r~
lim **An = lim -± l- n- = у хг х2... xn
tn->0 т-*0 \ П I
и, так как [при сохранении исходного предположения \\тхп = %\
нам известно (свойство 2), что
lim у хгх2...хп =\imxn='ky
П-УОО П -*■ ОО
то сформулированную нами теорему можно дополнить следующим
положением: если ^>0и \\тхп=к, функция уп{т), определяемая
следующим соотношением:
(5) уп(т)-.
при т--^=0
У х1 х2... хп при т = 0,
при неограниченно возрастающем п и при любом действительном
значении т стремится к тому же пределу X.
224

4. Если какая-либо последовательность имеет конечный и
определенный предел Я, средняя степенных сумм первых п ее членов при
неограниченно возрастающем п стремится к тому же самому пределу.
В самом деле:
Х\ -\- Х2 -\- ... -\- X
lim
п'Х» х'?-* + х1?-1 + ... + <""'
lim n
n*U.« <-' +4'-' + ... +<г-'
1
Я.'"
"я,т-1
5. £а/ш последовательность положительных чисел
Х±, Х^, •••> ^г #"
имеет конечный и определенный предел К, то и средняя одноплоскост-
ная комбинаторная степенная
У/ sw)
(6) м<?--= I/ '='
(?)
первых п членов последовательности, при безгранично возрастающем
п, стремится к тому oice пределу К, при условии, что ср Ф 0, и что из
всех значений выраоюения (6) берется только единственное
действительное и положительное значение [85].
Докажем прежде всего это свойство для того случая, когда с = 2,
а р — любое число Ф 0, т. е. для средней
(3) '
Из формулы (1) следует:
Хх Х2 + х\ х?> + ••• + х\ хп + х2 ХЪ "I" ••• Н~ хп—\ Хп
п-кх> (2)
= lim i'№2+ *?*§ + - + 44+44+- + *£_, <)
п-»оо
(5)-(V)
(^4 + 44+ - + *?*£_, +44+ • • + 4-. 4-2) 1
(SMI1) " I
= Ит 44 + 44+-+ 4-4 =lim Л.4 + 4+- + 4-,
Л 1 71 -► ЭО \ ^ 1
- hm хгп lim ■— = а2^,
/;->-эо п-+оо fl — 1
225

откуда следует, что
lira M2p = X.
д->оо
Предположим теперь, что это условие выполняется для Мср(р ФО),
и докажем, что в этом случае оно выполняется также и для Шс+1>>р.
В самом деле, исходя из теоремы на стр. 222 и рассуждая так же, как
и в предыдущем случае, мы будем иметь:
V ур уР ур у? V уР уР уР
л. ^ха1хаг'" хас\Х хп Zjxatxa2 •- хас
G-fl) п^°° (c + l)— (c + l)
\ П П * * * /Т
= lim xpnA\m ^^—- = lim xpn* lim (Mcp)cp = №+1)p,
n->oo n->oo
и, следовательно,
lim M^)p = X.
Таким образом, данное свойство доказано для любого Мср.
6. Если последовательность положительных чисел
Х\у Х%у . ••> Хп, ...
имеет конечный и определенный предел к ф 0, то и средняя двуплоскост-
пая комбинаторная степенная
п (?)
(7) В4 =
о РТ/ (3) 2 1W)
(3)
(?) 2 р*М)
1=1
первых п ее членов, при неограниченном возрастании я, стремится к
тому же пределу >*, при условии, что (рс — ц&)Ф0, и если условились при-
ср
нимать для Bdi только его единственное действительное и полооюитель-
ное значение [85].
В самом деле, мы имеем:
(?) (?)
2W) 2W)
-!=! lim-^
«" » (3) (2) **
2JP?(x?) S^W)
i=! lim J=i
(2) »-*» (3)
и, следовательно, lim Bd(* =K.
223

7. Средние арифметические порядка k последовательности,
стремящейся к конечному и определенному пределу А,, при неограниченном
возрастании п стремятся к тому же пределу [79].
Для доказательства примем во внимание, что если положить
i=\
t=l
то уравнение
(8) 2Wp. - sPk = 2 (x—Xpi) (X—XP2) ••• (x—Xpk) = 0.
корни которого дают средние порядка k, можно переписать в
следующем виде:
(9) %splsp2...st
(- 1)/г
ki
1
Si
о
2
0—Sx
0—S2
т. е.
(10)
{—\)knk
Ы
1_
п
[*-Т
_2
п
0
0
51 — Sb
0— (х-
= 0,
2**
/г
— S.
эА-1
5&—2 5/г—3
(*-^)
= 0.
Переходя к пределу при /г, стремящемся к бесконечности, и
замечая, что в этом случае члены главной диагонали (кроме последнего)
стремятся к нулю, что члены вида х — — стремятся к х — X *и что
(согласно пункту 1) члены, имеющие форму
стремятся к хг—гхг~х Я ... ± ^г> получаем уравнение
которое означает, что, если lim xt = А,,- средние арифметические
любого порядка стремятся к тому же пределу % (т. е. совпадают со средней
арифметической 1-го порядка).
227

Наконец, если данные числа принимают значения непрерывной
переменной t в интервале а\ — | Ь (Ь > а > 0), то мы прежде всего
получаем из уравнения (9):
(Н)
At 0 ... О ^(x—^At
2(x—t)At 2At ... 0 ^(x—tfAt
^{x—tf-KAt
^(x-tfAt
= 0
и, переходя к пределу, получаем;
\{x—t)dt\ = 0,
т. е. средние "арифметические любого порядка также и в этом случае
совпадают с одним-единственным значением:
ь
\tdt
п
X-
а + Ь
ь
2 '
каковое и является средней арифметической этого непрерывного ряда.
8. Если х19 хг,...,хпне стремится к пределу, но может быть
разделена на г последовательностей (г — конечное число), каждая из которых
стремится к пределу Xlt А,2,..., Krf и еслип^ л 2,• • • > пг означают
вероятность того, что произвольно взятый член данной последовательности
принадлежит соответственно первой, второй... r-й частичной
последовательности, то последовательность средних арифметических и
последовательность средних геометрических (здесь, разумеется, следует
предполагать xt > 0) стремятся соответственно к
\пх + \п2+ ..> + Kritr и Х^Х^^.Л/ [36].
Пусть А1У Аг,..., АГ будут г систем чисел, на которые можно
разделить последовательность хх, х2,..., хп, и пусть Х1У А,2,..., Хг будут
пределы, к которым они стремятся. Пусть далее пt будет число элементов At,
не превосходящее п, и Sin — сумма соответствующих членов данной
последовательности.
На основании свойства 1 мы имеем:
(12)
Шп-?!п_ = А,,.
так как nt возрастает неограниченно вместе с п.
Далее мы можем написать:
. ^171 #1
Srn
±(Xl + xt+... + xJ = ^---^ + ^- ■?*-+...+ "-&-
п
228

Предел отношения — представляет, когда он существует,
вероятность того, что произвольно взятый член последовательности
принадлежит к системе Аъ. Обозначим эту вероятность я t. При бесконечно
возрастающем п мы получим, предполагая г конечным и используя
формулу (12):
1 г
\\т-{х1 + х2-\-... + хп) = УМ#-
п i=\
Пример. Пусть дана последовательность:
1, 0, 1, 0, 1, О,...,
в которой имеются две системы чисел: одна, состоящая из чисел с
четным порядковым номером, а вторая — с нечетным. Очевидно, что
_ _ 1 #
ях — я2 — — ;
Х1 = 0;
Таким образом, предел, к которому стремится средняя
арифметическая при п, стремящемся к бесконечности, равен:
0-1+1.1=1.
2 2 2
Если теперь мы рассмотрим последовательность положительных
чисел х1у хг,..., хп, то, рассуждая так же, как и в предыдущих случаях,
и обозначив через Р1п произведение nt членов А%, мы получим на
основании свойства 2:
Но так как
то при п, стремящемся к бесконечности, и г конечном мы будем иметь:
lim ухгх2 ... хп =Я]1-А,22 ... Я/.
9. Если xlt x2y..., хп не стремится к пределу, но может быть
разделена на г последовательностей (г — конечное число), каоюдая из
которых стремится к пределу Х1у А,2,..., %п и если пъ я2,..-, яг означает
вероятность того, что какой-либо член данной последовательности
принадлежит соответственно первой, второй, ..., r-й частичной
последовательности, то средняя степенная при любом действительном
значении показателя степени т Ф 0 стремится к пределу:
Я-1 ~Ь ^2 ^2 4~ ••♦ ~Ь V 3t/- 1
229

а при т = 0 стремится к пределу [79].
Это положение является прямым следствием свойства 8.
10. Если хг, хг,..., хп не стремится к пределу, яо может быть
разделена на г последовательностей (г — конечное число), каоюдая из
которых стремится к пределу Xlt А,2,..., Яг, и если nlt jx2,..., пг означают
вероятность того, что какой-либо член данной последовательности при-
надлеоюит соответственно первой, второй, ..., r-й частичной
последовательности, то средняя степенных сумм при бесконечно возрастающем
п стремится к средней взвешенной степенных сумм пределов, к которым
стремятся частичные последовательности, причем вероятность того,
что произвольно взятый член исходной последовательности принадлежит
к данной частичной последовательности, служит весом каждого такого
предела.
В самом деле:
lim -
П-+оо
*?+*»+...+*»
т . т 1 1 т
пг— 1 _|_ щ— 1 _|_ _|_ т— 1 л->оо vm —! _l_ vm~! _L _L vm~ 1
я
lim
/г^>оо /1
vm —1 _|_ vm —1 | _|_ Ym — \
,. *1 i *2 i * * * • *д
lim
Л-»-0О Л
Л,?я1+*2,я2+...+А?яГ 2 Я? я,
х'г1 я, + х»'-1 я2 ч-... + ^Г1 "г 2 *Г-1«/
//. £с/ш последовательность xt не стремится к пределу, но может
быть разделена на конечное число последовательностей, стремящихся
к конечным пределам, средние арифметические порядка k стремятся
к тому же пределу, к какому стремится средняя арифметическая
последовательности xt [79].
Доказательство аналогично тому, которое дано для того случая,
когда предел xt = К, с той лишь разницей, что вместо X берется предел,
к которому стремится в указанных выше условиях средняя
арифметическая.
12. Предел, к которому стремится средняя арифметическая
последовательности п членов при бесконечном возрастании п, не меняется,
если к этой последовательности добавляется или от нее отнимается
любое число начальных членов [16 ].
230

Доказательство. Введем следующие обозначения для
последовательности из п членов:
Ап — средняя арифметическая п членов последовательности;
А1г — средняя арифметическая первых h < п ее членов;
hAn_h — средняя арифметическая п — h членов, заключающихся
в промежутке между членами с порядковыми номерами кип.
Основываясь на свойстве ассоциативности, которым обладает
средняя арифметическая, мы можем написать:
hAh+(n-h)hAn_h
А„ =
или, иначе:
Ап =— (Ah—/Д,-л) + /Дх-л.
П
При бесконечном возрастании п мы будем иметь:
h
lim An = lim — (Ah— hAn^h)+ lim hAn-h.
Из этого равенства следует, что, если существует конечный, третий
предел, он равен первому, т. е. если средняя последовательности,
начинающейся с члена данной последовательности, имеющего
порядковый номер к, является сходящейся, то также и средняя данной
последовательности стремится к тому же пределу, который, таким образом,
оказывается независимым от начальных членов.
13. Если разность между средней арифметической первых п членов
последовательности и средней арифметической любого числа членов,
следующих за п-м членом, стремится к нулю при неограниченно
возрастающем п, то первая из этих средних является сходящейся [161].
Доказательство. Введем следующие обозначения:
An±h — средняя арифметическая п + h членов;
Ап — средняя арифметическая первых п членов;
nAh — средняя арифметическая h членов, заключающихся в
промежутке между членами с порядковыми номерами п + кип.
В силу свойства ассоциативности мы имеем:
л nA/i-\~h n^h
откуда следует:
n-\-h
An+h—An— (nAh An).
Поскольку необходимым и достаточным условием для того, чтобы
Ап при п, стремящемся к бесконечности, была сходящейся, является
возможность определить для любого положительного числа 8 целое
число п, такое, что при любом целом положительном h удовлетворяется
неравенство:
\An + h — Лг|<е>
231

то неравенство
Л1<в
iv^h
является (если п и h удовлетворяют указанным требованиям)
достаточным (но не необходимым) условием сходимости Ап, что и
требовалось доказать.
14. Средняя арифметическая последовательности, члены которой
можно соединить в определенное и достаточно большое число групп,
с тем чтобы средние арифметические любого числа этих групп
отличались друг от друга по абсолютной величине меньше, чем на любое
заранее взятое положительное число е, является сходящейся [161].
Доказательство. Начиная с первого члена
последовательности, соединим ее члены в последовательные группы по п членов
в каждой, причем п должно быть достаточно большим, чтобы средние
членов, содержащихся в каждой группе, отличались друг от друга
по абсолютной величине меньше, чем на заранее определенное
положительное ^исло е, каково бы ни было число групп.
Исходя из этих предположений, мы можем написать следующие
неравенства:
14,
А„ л
хп тИп I <8
" 27lAl I
I Ai 3nAi I
<6
<8
Ai /mAi I < 8
где h — любое число.
Суммируя почленно, получаем:
откуда следует:
Но, поскольку
НА
2 л
i = \
<he,
2 inAn
A.--^
e.
i=\
h
- Л
последнее написанное нами неравенство принимает вид:
I Ai rAhn\ <Сгу
что и является достаточным условием сходимости средней
арифметической, как показано в предыдущем параграфе.
232

Другие теоремы, касающиеся пределов средних, доказаны Э. Л. Дод-
дом. Приведем наиболее важные из них.
/. Теорема, доказывающая, что средняя сходится к ее истинному
значению [55].
Пусть даны положительные меры xt. Предположим, что нижний
положительный экстремум Ь частотной функции Ф(а:) находится в
некотором интервале (а — k, a + k), заключающем истинное значение
а, и, кроме того, что для всякого положительного числа г
оо
(1) тг = [хгФ (х) dx имеет конечное значение и т0=\.
о
В этом случае существует непрерывная возрастающая функция
f(x), а также обратная ей функция f^1 — такая, что при 8>0,т]>0и
(2) М = /-1 — средняя арифметическая f(xt) (i = 1, 2,..., п) при
любом п, превышающем некое определенное п!, существует вероятность
>> / — V) того, что окажется справедливым неравенство
(3) \\М-а\<г.
Доказательство. Как следует из формулы (3),
достаточным условием является следующее:
(4) f(a) = lf(x)0(x)dx.
о
Если f(x) — xr, равенство (4) требует, чтобы af — tnr. Это может
осуществиться, если mr<Zar при любом г; тогда тг является непре*
рывной функцией г и если г достаточно велико, то
a+k
т
Ъ \ x2dx>ar.
Однако в любом случае равенство (4) может быть удовлетворено,
если
f(x) = cxr + z\ z = 2x , х^а\ z = a, x>a,
а
так как может быть найдено такое положительное число с, которое
удовлетворяло бы соотношению саг + а = cmr + g, где g <C а, так
что z < а попадает в интервал (а — k, а), где Ф(х) > b. M,
удовлетворяющая неравенству (3), сводится к средней арифметической только
в том случае, если тх = а.
II. Теоремы о средних и о частотных, функциях [56]. Додд
рассматривает следующую общую формулу средней:
(Б) М«0
ОМ) 2 ft(mt)
t*\
т

где каждая ft (и) является непрерывной функцией и, монотонной в
интервале существования пги и, кроме того, у=1/я2 f.(u) = F (и) и
u = G(v).
Полагая в этой формуле ft(u) равным соответственно и, log и, Ни,
и и2, мы приходим к формулам, средней арифметической, средней
геометрической, средней гармонической и средней квадратической.
Додд ставил задачей установить при помощи трех теорем,
формулировки которых мы даем ниже, условия, связывающие произвольные
частотные функции с общей формулой средней (5) относительно
сходимости М к некоторой величине а, принимаемой за истинную
величину.
Теорема 1. Пусть Ф(и) с Ф(а) =0и Фф) = 1 — вероятность
того, что некая случайная величина mt принимает значение, меньшее,
чем и. Предположим, что в ограниченном или неограниченном
интервале (а, Р) Ф(и) является возрастающей функцией и (за исключением
самое большее некоторого конечного числа значений и в каждом
ограниченном интервале) обладает-положительной производной Ф'(и).
Пусть г|э(и) будет второй произвольной частотной функцией,
определенной на интервале (а', Р') и обладающей теми же свойствами, что
и Ф(и), притом такой, что
я|>(а) = Ф(а),
[ игр' (v) dv = а> {vrty'(v)dv<^k (конечное).
ос' а'
В этом случае непрерывная возрастающая функция v = f(u), обратная
которой и = G(v) построена, исходя из предположения, что \р(о) —
= Ф(и), такова, что если для /г независимых случайных величин т{
A4 = G[(l/n2fi(mi))
и если е и г\ являются положительными, как угодно малыми числами,
тогда если я достаточно велико существует вероятность, превышающая
1 — т], что \ М — а | <С е.
Теорема 2. Пусть Ф^и) (причем каждое Ф^и) удовлетворяет
предположениям, сделанным в теореме 1) будет означать вероятность
того, что случайная величина mt получит значение, меньшее, чем и,
где at < и < р*.
Предположим, кроме того, что случайные величины независимы
и что существуют постоянные величины а, б и k, такие, что если а —
б < и < а + б, то Ф\{и) > £ >0 (i = 1, 2, ..., я).
В этом случае существуют непрерывные возрастающие функции
ft(u)9 определенные в (ah pf), — такие, что если положить
я^(иН(1/л)2Ш и = G(i>)
M = G[(l/n)2/,-K-)j
234

и взять два положительных как угодно малых числа е и т], то при
достаточно большом п имеется вероятность, превышающая 1 —г), что
\М — а|<8.
Теорема 3. Пусть Ф^гг), соответствующая предположениям
теоремы 2, означает вероятность того, что случайная величина ть
получит значения, меньшие, чем и. Кроме того, предположим, что
%(а) = \ </ = 1> 2> -'")•
Допустим, что
да = 0(у) = (1/я|/2) I е~''<и; у = в_|(о);
—оо
Ш = а + в~1 [Ф,(и)]; t» = f (и) = (1/я) 2/«(");
1
u = G(v); M = G[(l/n)2/J(m<)].
Тогда вероятность того, что
если
а — б < иг ^ и2 ^а + б,
определяется соотношением
Р{иъ u2) = 0{nl/2[f(u2)-a]}-6(nl/2[f(ui)-a]),
независимо от того, велико или мало п. Кроме того, если 8 и т] суть
положительные, как угодно малые, числа, то при достаточно большом
п существует вероятность, превышающая 1 — т), что \М — а|<е.
Для доказательства этих теорем отсылаем читателя к
оригинальной работе Додда. Следует, однако, подчеркнуть, что теорема 3,
содержащая дополнительное предположение, что вероятность
негативной ошибки равна 1/2, позволяет построить среднюю для функции
частот, находящихся в простой зависимости от интеграла вероятности.
§ 7. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБИРАТЕЛЬНЫМИ СРЕДНИМИ
А. Соотношения между собирательными средними нулевого
порядка
а. Соотношения, имеющие силу для любых последовательностей.
/. Средняя квадратическая является средней геометрической
между средней арифметической и средней антигармонической.
2А= УТРТ .
235

И в самом деле:
/7
У\хй
А =
i=\
П
2
2W
2у _ 1=1
п
/=1
\
/ .S*i 2>?
]/Л-2Г=|/ -^ •-Ц = 2А
/=1
2. Квадрат средней квадратической равен квадрату средней
арифметической, плюс средняя арифметическая квадратов отклонений чле-
нов последовательности от этой же средней арифметической
п
Пусть дана совокупность действительных чисел!
Л]_, Л^» •••> лп,
и пусть А будет их средней арифметической. Средняя арифметическая
квадратов отклонений от А определяется формулой:
S(*t-A)2 2*/ "Л2 2АЪх, й ЛЛ ал
/I П П П
Таким образом, мы имеем:
М2 = Л2 +
п
что и требовалось доказать.
3. Средняя антигармоническая равна средней арифметической плюс
отношение между средней арифметической квадратов отклонений от
средней арифметической и ею самой:
2 (**-л)2
пА
236

И в самом деле:
л-
лЛ яЛ
2*-
пА* +^х2+пА2_ 2А% X, _ S *f + 2"Л2 - 2Лга —^
2^ " S*i
Л
п
2*? + 2^2-2л^_2*?_27,1
/ = 1
/«1
2 А -п
/-1
__ (М)2
"~ А
~А А '
2** - 2*.
4. Средняя антигармоническая больше средней квадратической или.
равна ей [133].
В самом деле:
2f .
поскольку 2Л^Л и, следовательно, 2Л/Л^1, получаем:
27^2Л.
5* Между средней 6азо«экспоненциальной у последовательности
хх, #2,...., #n, не 6С£ члены которой равны, и средней экспоненциальной
Е с основанием, равным средней арифметической А той же
последовательности членов, существует следующее соотношение [173].
УУ>АЕ.
Доказательство* Основываясь на формулах средних ба-
зо-экспоненциальных и экспоненциальных, мы находим, что
указанное неравенство будет справедливо, если
i = 1 / = 1
Предполагая, что члены расположены в неубывающем порядке,
находим:
Чтобы доказать неравенство, достаточно поэтому проверить, что
/■«1 г«И-1
23^

Отметим, прежде всего, что для любого хг < А справедливо следующее
соотношение:
xx/(x'h~'r-1) < А*' {А**-*'-1),
откуда получаем:
xrh—x*r<AXh-AXr
или
AXr—xx/<AXk—xxrht
откуда находим, что сумма первых k членов:
(2) i^-^)<i^-^A)-
Кроме того, мы имеем:
(3) 2иж*-***);< 2 (*'к-АХкУ.-
г = \ r=k+\
В самом деле, из этого неравенства следует:
2Л'*<2 ***•
г = 1 г=1
Деля на я и возводя в степень l/xk, получаем:
что справедливо, так как средняя арифметическая меньше любой
средней степенной порядка, большего единицы.
Наконец, мы имеем:
(4) i (х';-а'*)< 2 (*х;-ах').
r = k+\ r=k+l
В самом деле, при любом r^>k справедливо следующее
неравенство:
лж*(ля'-**-1)<*;*(/'-**-1),
из которого получаем:
AXr—AXk<xx/—xxrh
или
xxr k— AXfc<xxrr — Ax\
откуда, суммируя, приходим к неравенству (4).
238

Если теперь сопоставим формулы (2), (3) и (4), получим:
1К'-^)<1к*-^)<
п
< 2 [х';-ах*)< 2 {х-г-а'*).
r = k+\ ч г = /еИ- 1
т. е. неравенство (1).
6. Между средней базо-экспоненциальной у последовательности хг
*2,-..., хп> не все чмны которой равны друг другу, и средней степенной
w с показателем степени, равным средней арифметической А той же
последовательности членов, существует следующее соотношение [173]:
yy>wA.
Доказательство. Помня, что
уУ = ^1
2*?
Г'
w = I/ izJ
мы убеждаемся в том, что вышеприведенное неравенство справедливо
при
п п
2 х? > 2 xf.
/= 1 *=1
Предположив, что члены последовательности расположены в
неубывающем порядке, мы будем иметь:
ХХ^Х2^ ... <%</!<%! S ... ^Хп,
откуда приходим к очевидному следствию:
(5) *?<*?; *2<х2\...х?<4'>
\vj xk+l ^>xk+l, xk+2 ^>xk+2, ... xn ^>xn.
Поэтому нам нужно доказать, что
(7) №-*?)+(*?-*?)+... +(**-*;*)<
<teti-<1)+-+u;--^).
239

В самом деле, так как
А Хл A log Хл „xt log хл /л \ 1 _ |
х\—Х\=е ё 1 — е1 ё 1 = (А—x1)\ogx1 +
21
log2*^
Л xJ-log*xh...
2!
Мажорируя все члены этих рядов logxft, мы получим, что левая часть
неравенства (7) меньше, чем
(8)
J J) (A- x,)\ log*,+ j 2 (A*-x2r)\ log* xk+ ...
Аналогичным образом, развернув в ряд члены х/—хг при
r^.k+1 и уменьшая затем все члены ряда путем замены log#r
на log**+i, мы убеждаемся, что второй член неравенства (7)
больше, чем
(9)
( 2 (*г-Л)) log**+! + ( 2 (x2r~A*))\og*xk+1+ ...
Сопоставляя теперь ряд (8) с (9), нетрудно видеть, что члены
первого ряда меньше соответствующих членов второго. В самом деле,
прежде всего logx7i < logXA+Г» кроме того,
r=\ r=k+l
так как сумма положительных отклонений от средней арифметической
равна по абсолютной величине сумме отрицательных отклонений.
Наконец, при i = 2, 3... мы имеем:
2(а'-4)< i (4-А1).
r=\ r=k-\-\
В самом деле, из этого соотношения мы получаем:
п
пАь < 2 4,
откуда, деля на п и извлекая корень степени i, получаем:
(Ю) ^<i/"t2^-
240

Это неравенство справедливо, так как средняя арифметическая всегда
меньше средней степенной с показателем, превышающим 1.
Таким образом, мы исчерпывающим образом доказали неравенство:
(П) Ъхх11>Ъ4-
7. Меоюду средней базо-радикальной а и средней радикальной р с
основанием , равным средней арифметической, существует следующее
соотношение [173]:
j_ j_
(12) аа<Лр,
или, иначе,
j_ j_
/= 1 i = 1
Можно сразу же проверить это неравенство, применяя тот же метод,
который был использован при доказательстве свойства (5); следует
лишь помнить, что все рассмотренные тогда неравенства меняют знак
и что средняя арифметическая должна сопоставляться уже не со
средними степенными порядков, больших единицы, а со средними
степенными порядков, меньших единицы, меньшими, чем средняя
арифметическая.
8. Отношения между средними тригонометрическими и средними
гармонической у геометрической, арифметической и квадратической.
Джеклин1 установил взаимоотношения, существующие между
средними тригонометрическими и четырьмя главными аналитическими
средними —Л, G, Я, 2Л.
Приводимые Джеклином доказательства основываются главным
образом на свойствах вогнутых и выпуклых функций. Как известно,
функция называется вогнутой в каком-либо интервале, если при xt Ф
Ф xk имеет место неравенство:
(13) f(=^¥=) ^-TU(*t) + f(*k)Y,
наоборот, функция называется выпуклой, если имеет место
противоположное неравенство. Далее, легко доказать [141], что если f(x) —
вогнутая возрастающая функция (или выпуклая убывающая), то
квазиарифметическая средняя М = ср(1//г2/(л;г)) больше, чем средняя
арифметическая А, и, наоборот, М<.А, если f(x) — вогнутая
убывающая или выпуклая возрастающая.
На основе этих свойств и имея в виду, что к средним
тригонометрическим применима формула средних квазиарифметических, если в
качестве f(x) рассматриваются функции sin я, cos я, tg# и ctg;t, Джек-
1 Доказательства см. в [143]. В этой статье автор исправил некоторые выводы
о неравенствах между средними тригонометрическими и некоторыми
аналитическими средними, сформулированные Прателли в его записке, упомянутой на
стр. 29.
9 Зак. 401
241

лин определил частичные интервалы в интервале (О, Я/2), в которых
действительны соотношения между средними тригонометрическими
и Л, G, #, 2Л.
Обозначая через xS9 хс> xt, xct соответственно средние синуса,
косинуса, тангенса и котангенса, Джеклин доказал следующие
неравенства:
Интервал действительности Неравенства
От 0° до 35°15'51,8" #<**<(?<*в<Л<*,<*,<М.
От 35°15'51,8" до 37°25'46', 8* Н <xct<G<xs<A<~xc<:xt<2A.
От 37°25'46,8" до 49°17'36,5" H<~xct< G<'xs<A<lcc<2A<xi.
От 49°17'36,5" до 54044,8,2,, H<lcct<:lc8<G<A<xc<*A<xt.
От 54°44'8,2" до 61°43'1,2" //<*,<*„< G<A <хс<2А < xt.
От 61е43'1,2" до 66°46'54,3" x8<H<xct<G<A<хс<2А< xt.
От 66°46'54,3" до я/2 xs<H <G<^ct<A<xc<2A<xt.
9. Медиана совокупности, образуемой путем замены некоторых
членов их медианой, всегда больше первой и меньше третьей
квартили [77].
Пусть дана возрастающая последовательность положительных
чисел:
V* V %Ъ -^2> *^3> •••> %п'
Ее медиана равняется ап+\ при нечетном /г и средней арифметической
между ал и ап — при четном /г, так как в этом случае условились
~~2 2+1
принимать за медиану полусумму центральных членов.
Предположим, что п = 3k(k — целое число). Тогда из членов
последовательности (14) мы можем образовать k последовательностей
по 3 члена в каждой. Эти k последовательностей можно подобрать
так, чтобы последовательность их медиан имела медианой наименьшую
величину.
242

Такой последовательностью будет следующая:
Xi Х2 X$ji
Х3 ЛГ4 Xzk—l
Хг0 Х6 Xzk—2
X>2k—\ X2k X2k+\
Заменяя члены последовательности (14) медианами частичных рядов,
получим такое распределение, в котором медиана равна хкА.1у если
k нечетно, и 1/2 (xk + xh+2)> если оно четно.
Если п = 3k + 1 или ok -f- 2, частичные распределения будут
соответственно следующими:
Хх Х2 Xzk-\-\ Хг Х2 Xzk+2
х3 *4 xzk хз х\ x3k+\
x2k-\ x2k *2&+2 X2k-\ X2k X2k~\-Z
X2k+\ X2k+\
X2k+2
Медианы распределений, полученных из первоначального путем
замены каждого его члена медианой частичной группы, к которой он
принадлежит, будут соответственно следующими:
[ял+ь если k нечетно;
\xk+2, если k четно;
iXk+\, если k нечетко;
(х/е+2, если k четно.
Сопоставляя эти результаты с теми, которые были получены ранее,
при предположении, что п = 3/е, мы видим, что, если частичные
распределения имеют по три члена, минимальное значение для медианы
распределения, полученного путем замены каждого члена
первоначального распределения медианой частичной группы, к которой он
принадлежит, не может быть меньше дгл/3.
Предположим теперь, что п = 5k, и образуем k следующих
частичных распределений по 5 членов в каждом, подобрав их так, чтобы рас-
9*
243

пределение их медиан имело своей медианой как можно меньшую
величину:
Хл
Х6 хЬк-Ъ Xbk-2
Хп
Xzk^2 Xzk—\ X3k Xzk+i #3/4-2
Медианы частичных распределений будут соответственно:
X§i Xq, Xq, ... , #зА*
Подставляя, как и раньше, эти медианы вместо членов
первоначального распределения, мы получаем для медианы нового
распределения значения *за+з , если k нечетное, и 1/2 л*зл + *зл+б\,
~~2~ \ ~2 ~~2~)
если k— четное число.
Если мы рассмотрим случаи, когда п = 5k + 1 и 6&+ 2,
аналогично тому, как мы это сделали для п = 3k + 1 и 3k + 2, то мы
получим, что медиана ряда (14), в котором все члены заменены медианами
частичных распределений по пяти членов, к которым они принадлежат,
не может быть меньше azn.
Го
Продолжая дальше таким же образом, мы найдем, что при п =
= 7k, п = 9k, n =11&, ... медиаца рядов, полученных путем
подстановки вместо каждого члена начального распределения медиан
частичных распределений, имеющих соответственно по 7, 9, И и т. д. членов
в каждом, не могут превосходить соответственно следующих величин:
Х\п , Xsn » Хбп •
П Г8 22
Общим членом этого распределения является хп г , и так как
2~ *2г—1
л. п г п
можно утверждать, что медиана преобразованного ряда всегда будет
оставаться большей, чем хп и тем самым больше первой квартили.
4
Если предположить, что последовательность xt является не
возрастающей, а убывающей, то, рассуждая таким же образом, мы найдем,
что медиана преобразованного ряда будет всегда оставаться меньше
третьей квартили.
Следует отметить, что к такому же выводу мы пришли бы, разделив
всю группу на частичные группы, содержащие одно и то же или
различное число членов.
244

б. Соотношения, действительные дли особых распределений.
1. Средняя арифметическая (А) двух чисел равна средней
арифметической двух средних — гармонической (Н) и антигармонической
(2Т) — тех оюе чисел:
А (х19 х2) = А[Н (х19 х2); 2Т (х19 х2)].
В самом деле:
тт ** ^х1 Х2
Х\ Х2
2J_ Х\~\~Х2
Х\ Т" х2
а средняя арифметическая Я и 2Т равна:
2 | 2
2хгХ2 _|_ Х\~ГХ2_ (*1 + *2)2
Xi~\~X2 Хх-\-Х2 (Xi~\-X2) Xi-\-X2 д
2. Средняя геометрическая двух чисел равна средней
геометрической двух средних — арифметической и гармонической—тех же чисел:
G (х19 х2) = G [А (х19 х2)\ Я (х19 х2)].
В самом деле:
л __ Xi~\-X2 .
/1— 2 '
Я:
1 1 I
—+ —
Х\ Х2
а средняя геометрическая Л и Я равна:
/
^ -rA-r=^+^-asr=^^=G-
Х\ Х2
3. Квадрат средней арифметической двух чисел хг и хг больше, чем
квадрат средней геометрической тех же чисел, на величину \(хх — а:2)/2]2.
В самом деле:
1 ( *1 — Х2 \2 __ q2 . / Хг —Х2 \2
4. Средние гармоническая, арифметическая и антигармоническая
двух чисел образуют арифметическую прогрессию.
В самом деле:
л i ~2
Н = 2*1*2 . Д = *1 + *2 . 2f = *1+*2
хг + х2 ' 2 ' хх + х2 '
245

и далее:
Л J.J Х\Л~Х2 ^Х1 х2 (Х1 Х%) .
~~ 2 хх + х2 ~~ 2(х1 + х2) '
2Т Л = ** + Х* Х1 + Х* = (*1-*2)2
хг + х2 2 2(*1 + *2)
Итак, поскольку разности между каждым членом и предыдущим
равны, отсюда следует, что Н, А и 2Т образуют арифметическую
прогрессию.
5. Средняя геометрическая членов геометрической прогрессии
является средней геометрической между средними арифметической и
гармонической тех же членов.
Рассмотрим совокупность
(15) xl9 xxq_, x±q2, ..., x1qn~l
членов геометрической прогрессии со знаменателем q. Средняя
геометрическая такой совокупности будет равна:
= V^qn{n-X)l<1 = xxq{n-X)l\
С другой стороны, средняя геометрическая между средними
арифметической и гармонической этой последовательности (15) равна:
V ±(l+±+±+ , i ) V кгчгч... +y+D
1
*1
■('
+■
1
<7
-+
1
<?2
•+ ■
1
■ V*??'
0
1—1
= xx
1
wi-
-l)/2
что совпадает с ранее выведенной формулой средней геометрической.
6. Средняя арифметическая совокупности, членами которой
являются отношения, взвешенные весами, равными знаменателям, равна
средней гармонической тех же членов с весами, равными числителям
данных отношений.
Пусть дана совокупность, составленная из отношений:
/|С\ Х1 Х2 ХП
1 ' Уг ' У2 "•, Уп '
Средняя арифметическая взвешенная такой совокупности с весами,
равными yt, определяется формулой:
л
/л. —
1
У1 + У2+ ■
*1 + *2 + •
Х1 , Х2 , , ХП
-УХ+-У2+ ~+ТпУп
У1+У2+ ... + Уп
1
•> +Уп У}_х , У2_ д
• • ~Г *л ^1 *2
1 У*
*1+*2 + ••• + ХП
246

Но это и есть формула средней гармонической взвешенной
совокупности (16) с весами, равными xt.
7. Средняя базо-экспоненциальная у последовательности чисел,
больших единицы, больше средней арифметической этих же чисел [173].
У>А.
В самом деле, в силу свойства, показанного на стр. 237, мы имеем:
УУ>АЕ,
и так как средняя экспоненциальная с основанием, превышающим
единицу, больше средней арифметической (Е >> Л, ср. свойство 1
средней экспоненциальной), то мы имеем:
уу>АЕ>АА
или
УУ>АА,
откуда получаем:
У>А.
8. Для умеренно асимметричных и имеющих только одну моду
распределений существует следующее приближенное соотношение меою-
ду модой (N), средней арифметической (А) и медианой (М)\
(17) N = A—3(A—M).
Пример. Из распределения, приведенного на стр. 181, можно
получить для средней арифметической, медианы и моды соответственно
следующие значения:
А = 3,289; М]= 3,195; N = 2,99.
Исчислив приближенное значение моды при помощи формулы (17),
мы получим:
N = 3,289 — 3(3,289 — 3,195) = 3,007.
Найденное приближенное значение почти совпадает с истинным [218,
р. 121).
Б. Соотношения между собирательными средними 1-го
и нулевого порядка
/. Средняя степенная с показателем т двух чисел равна средней
степенной с показателем 2т меоюду средней геометрической и средней
степенной с показателем 2т двух данных чисел [1331:
тА (xl9 х2) = *М {G (xl9 х2), *М (х19 х2)}.
В самом деле:
2'М (G, *тА)
1 1 / v2m_j_v2m
1 /,/ \2m . х / х1 ~Т~Х2
■(Уъь)*я+±(:
Чт
(<)2+(*?)2+2*™*5'' ' ' "" "■ч
|2m / x'f + X^
2
tm =mA.
247

2. Средняя геометрическая последовательности из двух чисел равна
средней геометрической между средней степенной с показателем т и
средней степенной с показателем — т данных чисел [133]:
G (хг, х2) = G СМ (х19 х2), ~тА (хи х2)}.
В самом деле:
с,.а, -4,_i/(5+ij^+Ej^_
3. Средняя экспоненциальная Е больше или меньше средней
арифметической А в зависимости от того, больше или меньше единицы
основание степени [11].
Как мы уже видели (стр. 188—190), средняя экспоненциальная
является возрастающей функцией с и при с, стремящемся к 0, 1 и оо,
стремится соответственно к наименьшему члену, к средней
арифметической и к наибольшему члену. Отсюда с очевидностью следует, что
£^Лв зависимости от с ^ 1.
4. Между средней базо-экспоненциальной у и средней
экспоненциальной Е с основанием степени, равным средней степенной ГА с
показателем г ряда чисел х1у х2,..., хп> существует следующее соотношение [173]:
(18) уУ>гАЕ,
если только r<Cxk, где xk означает йаиболыний член ряда,
меньший, чем ГА.
Пусть дано:
х±^х2^ ... <^SMS^+i < ... <хг
Чтобы доказать неравенство (18), достаточно убедиться, что:
i= 1 /= 1
ИЛИ
£К'-*?)< ii К'-'**')'
/= i t=k+\
248

а такое неравенство надежно подтверждается следующей цепочкой
неравенств:
2 [гАх*—х*1) < 2 [гА*к—х*к) < 2 (*?*—ГЛ*Л) <
< s (***-м*0.
Доказательство этих неравенств не представляет труда.
В самом деле:
(a) rA*t_x*t<rA*k_x*k9
выводим из
A1 ixih~Xi- 0 <гА** (rAXk~Xi-1),
что справедливо при любом ^<М, т. е. при i^k.
Но тогда будет справедливо также неравенство:
2(mx'-*;')<sK*-*;*).
(б) 2К*-*Г*)< i (*;*-гл**)
i=\ i=k+l
ВЫВОДИМ ИЗ
гАхь <С хьАхь.
Это неравенство справедливо, так как по предположению xk>r.
(в) Наконец,
х*к—гА*к<х**—гАх*
ВЫВОДИМ ИЗ
гАЯг-'АХк<х*1-х'\
или, иначе, из
rA*k (rAXi~Xk_ \)<x*h (х*1~Хк- l) ,
что справедливо при xt>rA, т.е. при />fe. Но тогда будет
справедливо также неравенство:
5. Между средней базо-жспоненциальной у и средней степенной
w с показателем ГА существует следующее соотношение [173]:
уУ > шМэ
249

если имеет место неравенство:
ГА/
(19) xh.xk+l<}/ xxkk-xxk!$
где xk и Xk+\ означают соответственно члены ряда,
непосредственно предшествующий ГА и непосредственно следующий за ним.
Пусть нам, как обычно, дано:
Чтобы доказать указанное свойство, необходимо,
следовательно, проверить неравенство:
(20) 2(#-*Я< 2 (<*-*?)•
Но поскольку:
*?-<' = <^*?~*'-О
р р р \ р )
x?-x:*=x'.*(xy*-i),
неравенство (20) будет^ доказано, если для любого р и любого s
будем иметь:
(2D x;p{xp^p-\)<x\A{xyA-\).
Однако, поскольку
ххр<х[а,
Р ^* S '
для того, чтобы неравенство (21) было верным, достаточно, чтобы
хпА~~Хр < x*s~~ A
р ^ s
или же
(22) хр-х,< уГх**.х*/,
что верно по сделанному нами предположению. В самом деле,
неравенство (19) наиболее сильное из неравенств (22), и, если оно
справедливо, с тем большим основанием справедливы прочие неравенства.
В. Соотношения между собирательными средними 1-го порядка
а. Соотношения между средними степенными и средними степенных
сумм. Средняя степенных сумм SmISm^1 равна отношению между
степенью т средней степенной порядка т и степенью т — 1 средней
степенной порядка т — 1, т. е.
S/тд \т
250

Из этого соотношения вытекает, что при целом га, большем нуля,
Sm/Sw-i>OTA В самом деле, мы имеем:
Sm _/ "А У-'.мд
о j m—\
откуда, поскольку /М>Ш_1Л, имеем
S
Sm- 1
>тА.
При целом га, меньшем нуля, наоборот, Sm/S,n-\ <, тА.
В самом деле, из равенства (23) получаем:
5/л-1
/ тА у
\ т~хА )
п~{А.
Поскольку га<;0, величина (пгА/т-1А)т будет < 1 и поэтому
S„
Sm-l
■<m-lA<mA.
Принимая, далее, во внимание, что
Sq = -*A<limmA,
S—i m->0
можно сделать вывод, что при целом га, меньшем единицы, средняя
степенных сумм меньше средней степенной степени га, при га = 1 обе
средние совпадают со средней арифметической и при целом га,
большем единицы, средняя степенных сумм больше средней степенной.
Наконец, из соотношения (23) мы получаем при га > 0:
т
(24) тАт = ^-.^-.^-...~ -.
Sq Si S2 ^m— l
Таким образом, средняя степенная степени га равна средней
геометрической степенных сумм, которые можно получить, придавая га
последовательно значения 1, 2,..., га.
б. Соотношение между средними степенными и средними
комбинаторными [171].
Пусть дана совокупность величин:
(25) xlf x2y ..., xiv
251

и пусть:
(26)
| Si = X1-f- Х2~т ... ~\~Хп
$3 = Xi • Х2 • Х3 -\- Xi • Х2 • #4 -J- ... -f- АГП—2 ,#А1— 1 «^л
о„ ^ л 1 • Лп ... Х„
Sm = x7 + x'?+ ... +х%.
Средняя степенная и средняя комбинаторная совокупности (25)
могут быть выражены соответственно следующим образом:
(27)
"А =
-(*■):
ML =
В то же время из первого и последнего равенств (26) видно, что
(28) Sx = sl9
откуда следует, что первая средняя комбинаторная одноплоскостная
базовая совпадает со средней арифметической.
Далее из второго равенства (26) мы получаем:
2s2 = x1(x2 + x3 + ... +хп) +
+ х2(хг + х3 + ... +хп) +
+ +
или, принимая во внимание первое равенство (26):
: — 2 ^2d Xi(Sl Х"у
/=1
откуда, принимая во внимание последнее равенство (26), имеем:
(29) s2= 1/2 (s?-S2).
Поскольку, как было отмечено, s1 = S1, соотношение (29) может быть
преобразовано следующим образом:
(30)
s, = 1/2 (S?-S8).
Это выражение, подставленное в формулу (27) средней комбинаторной,
дает нам:
пА2 — (М)ау/2
(31)
М2
_/ «Л2 — (М)ау
Формула (31) выражает среднюю комбинаторную второй степени
как функцию средних степенных первой и второй степени.
252

Продолжая применять процедуру, использованную при
нахождении S2, мы находим:
п
s3 = 1/3 2 xt ls2 — xt (si—**)] = 1/3 (si s2—s1 S2 + S3),
/= i
и, подставляя вместо sx и s2 их соответствующие значения из формул
(28) и (30), мы находим:
s3 = ^r(S\-3S1S2 + 2S3).
2-3
Это выражение, введенное в формулу (27) средней комбинаторной,
дает нам:
М3= (п2лз—ЗпЛ2Л2 + 2Мзу/з
(32)
(33)
v (л-1)(л-2)
Аналогично будем иметь:
1
(34) 54 =
и отсюда:
(35) М4
S4 — -j- (ох S3— о2 S2~r £з51 ^4)»
:то sx, s2, s3 их значения, ]
4-2^4 (S'-6S?S2 + 851S3 + 3S^-6S4),
или, подставляя вместо sl9 s2, s3 их значения, наиденные ранее:
[1
/г3Л*—6/гМ22А2 + 8/гЛ М3 + Зд2А4— 6М*>
(л—1)(л —2)(п—3)
Таким образом, обобщая формулу (33), мы получим формулу
sr как функции sl9 s2, ..., sr_i и Sl9 Sa, ..., Sr_i:
(36)
r=-p-2<_1)'+is's^
sr =
/=i
в которой подразумевается, что s0 = 1. Чтобы получить значение sr
как функции степенных сумм, вместо того, чтобы, как мы это делали
раньше в отношении трех первых значений — s2, s3, s4, элиминировать
последовательно из формулы (36) значения slf s2,..., sr^lf мы можем
непосредственно найти это значение, решив при помощи правила
Крамера систему г линейных уравнений с г неизвестными, которую можно
получить из формулы (36), придавая г значения 1, 2, 3, ..., г.
Мы будем иметь:
1 0 0 0 0 ... 0 Si
—Si 2 0 0 0 ... 0 — S2
sr = -
r\
3 0 0...0
S2 —S1 4 0 ... 0 —54
± Sr-l T Sr-2
=FSx ±5,
253

В этой таблице двойные знаки в последней строке означают, что
нужно брать тот или иной из них в зависимости от того, четно или
нечетно г — 1. После того как мы нашли sr как функцию степенных
сумм, легко перейти к выражению Мг как функции средних степенных,
принимая во внимание соотношения (27).
Мардесич [156] рассматривает случай, когда х% являются
степенями, и в результате приходит к формуле, выражающей среднюю
комбинаторную степенную как функцию суммы степеней х%.
в. Соотношение между средней экспоненциальной и средними
степенными [173]. Средняя экспоненциальная Е с основанием с
определяется, как известно, следующей формулой:
п
которую можно переписать следующим образом:
хх log с , х2 log с , , хп log с
0Е log с _.
e**™** + e**™**+uem+e*n-
п
Развернем теперь все члены правой части в степенные ряды:
оо
1 + хх log с+2^^-^ +l+x2\ogc+
e£logc = г~2 rl -|_
+
+ 2 ^^ +... +i+*„iogC+2 fr"10*^
r=2 ' r=2 rl
откуда выводим:
cE=i+Alogc + ^-2A2log2c+ ... +±-rAr\ogrc+ ...
Эта формула выявляет связь между средней экспоненциальной и
средними степенными.
§ 8. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СРЕДНИМИ ДВУХ СОВОКУПНОСТЕЙ
А. Преобразованные совокупности и соотношения между
их средними
Пусть даны две совокупности:
Л/Л < Лп) • ••* sCm
(о : 2: п:
-^Ь *^2> •••> %п*
254

Говорят, что вторая совокупность является преобразованием первой
при помощи функции f, если при любом i имеем:
(2) *; = /(*,).
Обозначая буквами Л, G, #, Е, М, N соответственно среднюю
арифметическую, геометрическую, гармоническую, экспоненциальную,
медиану и норму (или моду), переходим к следующим соотношениям:
а) Если преобразование относится к типу:
(3) х' = К + х,
средние одной из совокупностей, обладающие свойством
переносимости, преобразуются в средние того же типа другой совокупности:
А(х') = К + А(х);
Е(х') = К + Е(х);
М(х') = К+М(х);
N(x') = K + N(x).
б) Если преобразование относится к типу:
(4) х1 = kx,
средним одной из совокупностей, обладающим свойством
однородности, соответствуют средние того же типа в другой совокупности:
A(x') = kA(x)\
G(x') = kG(x)\
H(x') = kH(x)\
M(x') = kM(x)\
N(x') = kN(x).
в) Если преобразование относится к типу:
(5) x' = kx + h,
средним одной из совокупностей, обладающим свойствами
переносимости и однородности, соответствуют средние того же типа в другой
совокупности:
A{x') = kA(x) + h\
M{x') = kM(x)-\-h;
N(x') = kN(x) + h.
г) В преобразованиях типа:
(6) х' = 1/х,
средние одной из совокупностей, обладающие свойством обратимости,
преобразуются в средние того же типа в другой совокупности:
G(*')=l/G(*);
М(х')=1/М(х)\
N(x')=l/N(x).
255

Если, наоборот, преобразуется средняя арифметическая одной из
совокупностей при помощи соотношения (6), получаем среднюю
гармоническую другой совокупности. В самом деле:
l/A(x) = l/(%xi/n) = n/%xi,
или, вводя формулу (6), получаем:
1
1/А(х) = п1фМ=Н(х').
д) При преобразованиях типа:
(7) х' = хк,
в средние того же типа преобразуются средние, обладающие свойством
потенциальности:
G(*') = (g (*))*;
M(x') = (M(x))k;
N(x') = {N(x))k.
е) При преобразованиях типа:
(8) x' = k\
средними совокупности, соответствующими средним того же типа
в преобразуемой совокупности, являются только те, которые обладают
свойством функциональности. Поэтому мы имеем:
M{x') = kM^\
Применяя преобразование (8) к средней арифметической первой
совокупности, получают среднюю геометрическую второй
совокупности. В самом деле:
п п / п
2 Xt/tl 1/ S */ r
kA{x)==ki=i =y ki=\ =yk**kx*...k\
или, используя соотношение (8),
= У х\ х2 ... x'n = G(x').
ж) Если совокупность у является преобразованием совокупности х
при помощи вогнутой возрастающей функции /, средняя
арифметическая у является преобразованием величины, большей, чем средняя
арифметическая х.
256

Енсен [145] доказывает для вогнутых функций, определенных в
каком-либо интервале, следующие формулы:
(9)
'4-2* Ы-2'<*«>•■
/= 1
/= 1
2 at*l \ Hlaif (**)
п
2 я*
п
/= 1
в крторых хг суть значения, расположенные в интервале определения
функции /(л;), а аи — любые положительные числа; первое соотноше-
нение действительно для любой вогнутой функции, а второе — для
непрерывных вогнутых функций.
Обращаясь к системе декартовых координат (см. рис. 7),
рассмотрим точки абсциссы х% и ординаты f(xt) = yt. Пусть ВС будет
интервал определения у = }{х) и у — вогнутая возрастающая кривая
уравнения у = f(x). Пусть А будет точкой абсциссы, равной средней
арифметической Xi. Обозначим D точку ординаты, равную f(A).
Поскольку кривая является вогнутой (см. рис. 7), мы можем написать на
основании формул (9):
A(y) = A{f(x)}>f{A(x)}.
Точка £, обозначающая среднюю арифметическую уи будет
находиться, поскольку кривая является возрастающей, справа от
точки D s f{A(x)}. Опуская из Е перпендикуляр к ВС> находим точку
М абсциссы, преобразующуюся в А(у), которая, очевидно, окажется
справа от точки А.
257

з) Если совокупность у состоит из членов совокупности х,
преобразованных при помощи вогнутой убывающей функции, средняя
арифметическая у является преобразованием величины, меньшей, чем. средняя
арифметическая х.
Так как f(x) — вогнутая кривая, то из формулы (9) следует:
A(y) = A{f(x)}>f{A(x)}.
Но, так как f{x) является убывающей, точка Е =s A(y) оказывается
слева от точки D ==f{A(x)}. Перпендикуляр, опущенный из точки
Е на ось абсцисс, встретит эту ось в точке М, которая преобразуется
в А (у) и которая, очевидно, окажется слева от точки Л.
Р
v
Рис. 10
и) Если совокупность у преобразована из совокупности х при помощи
выпуклой возрастающей функции f, средняя арифметическая у является
преобразованием величины меньшей, чем средняя арифметическая х.
В упоминавшейся докладной записке Енсена доказаны для
выпуклых функций следующие формулы:
' т2*. >т!>л
(10)
откуда следует:
п
i=i
п
2««
>
t=i
п
2<ч
A(y) = A{f(x)}<f{A(x)}.
Далее, поскольку f(x) является возрастающей функцией, точка
Е ^ A{f(x)} (ср. рис. 9) окажется слева от точки D s f{A(x)}.
Перпендикуляр, опущенных из Е на ось абсцисс, пересечет эту ось в точке
Mf преобразующейся в А(у), которая окажется слева от Л.
258

к) Если совокупность у преобразована из совокупности х при помощи
выпуклой убывающей функции, средняя арифметическая у является
преобразованием величины, большей, чем средняя арифметическая х (рис. 10).
Из формулы (10) следует:
A(y) = A{f(x)}<f{A(x)}.
Поскольку функция f(x) является убывающей, точка Е окажется
налево от точки D и, очевидно, точка М — направо от Л.
Б. Коррелированные ряды и соотношения между
их средними
Рассмотрим следующие частотные ряды:
(П)
\
Ч Pi
Ух Рп
Уг Р2
1*п Рп [Уп Рп
где pt есть частота х{, pi—частота yt и
/=i
Связь между двумя рядами выразим при помощи следующей
таблицы с двойным входом:
*1
#2
*£
*п
Общие суммы
Ух
Рп
р21
Рп
Pni
Р\
Уг
Pl2
?2.2
Pi2
РП2
Р2
У г
Plr
Pir
Pir
Pnr
Pr
hi
Pin
Pm
Pin
Pnn
■■ Pn
Общие суммы
Pi
P2
Pi
Pn
N
где pir обозначает частоту, с которой величина xt появляется вместе
с уТ.
Обозначим через, т% среднюю т следующего ряда:
Ух Ра
У* Pit
Уп Pin
и рассмотрим две совокупности:
(12)
и
тгт2,..., тп,
259

обе с одинаковыми весами:
Pi> р2>--->Рп-
Ряды (11) называются коррелированными по функции Д если для
каждого i имеем:
(13) /и, = /(*,),
т. е. если совокупность величин т* является преобразованной
совокупностью %i при помощи функции /.
Из сказанного выше о преобразованных совокупностях следует:
а) Если преобразование относится к типу:
(14) т. = хг + ку
то мы будем иметь:
Ap(m) = k + Ap(x);
Ep(m) = k+Ep(x);
Mp(m) = k+Mp(x);
N(m) = k + N(x),.
где Ар, Еру Мр и N обозначают соответственно средние
взвешенные— арифметическую, экспоненциальную, медиану и моду.
Теперь, нужно установить, являются ли Ар{т), Ер(т), Мр(т) и
N(m) одноименными средними совокупности уи частичными средними
которой являются ть. Из того, что было сказано по поводу свойства
ассоциативности, вытекает, что если mj являются средними
арифметическими, то мы имеем следующее соотношение:
Ар(т) = Ар(у);
если rtti являются средними экспоненциальными, имеем:
Ер(т) = Ер(у),
между тем как при mt являющихся медианами или модами, медиана
медиан и мода мод не могут быть соответственно медианой и модой
всей совокупности.
В конечном счете мы приходим к следующим выводам: 1) если
налицо преобразование типа (14) и mt суть средние арифметические,
средней арифметической ряда х соответствует средняя арифметическая
ряда у; 2) если жетг — средние экспоненциальные, друг другу
соответствуют средние экспоненциальные обоих совокупностей.
Пример 1. Пусть мы имеем следующую таблицу:
^""^-^ у
X ^^"^^^^
2
3
4
6
Общие суммы
4
1
1
5
1
1
6
1
1
1
3
7
1
1
8
1
1
2
9
2
2
10
1
1
Общие суммы
2
з
2
4
11
260

Последовательность частичных средних арифметических состоит
из чисел 5 — 6 — 7 — 9.
Эту последовательность можно получить из последовательности
xt (2 — 3 — 4 — 6), прибавляя к каждому члену последней число 3.
Средняя арифметическая взвешенная xt равняется:
2.2+3.3+4.2 + 6.4 = 4 09
2 + 3 + 2 + 4
Средняя арифметическая взвешенная тг равняется:
5. 2 + 6 . 3 + 7. 2 + 9- 4
= 7,09.
2+3+2+4
Средняя арифметическая взвешенная yt равняется:
- = 7,09.
4.1+5-1+6. 3 + 7. 1+8 . 2 + 9- 2 + 10. 1
1+1+3+1+2+2+1
Эту величину можно было получить, прибавляя к 4,09, т. е. к
средней арифметической хи число 3.
Пример 2. Рассмотрим следующую таблицу:
X ^^^
2
3
Общие
суммы
2
1
1
3
1
2
3
4
2
2
Общие
суммы
2
4
6
Последовательность средних экспоненциальных т% с основанием
2 последовательности у состоит из чисел:
2,58496263 и 3,58496263.
Эту последовательность можно получить из последовательности
xt(2 — 3), прибавляя к каждому ее члену 0,58496263.
Средняя экспоненциальная с основанием 2 последовательности xt
равна:
Е _ 2. 22 + 4 . 23 _ 8 + 32 _ 20^
~~ 6 ~~ Т'
2 + 4
откуда получаем:
Е =
log 20— log 3 1,30103 — 0,4771213
: 2,73696541.
log 2 0,30103
Средняя экспоненциальная с основанием 2 последовательности
yt определяется формулой:
Е 22 + 3-23 + 2.24 4 + 24 + 32
1+3 + 2
Ю,
261

откуда следует:
Е = log 10/log 2 = 3,32192804.
Эту величину можно получить также, присоединяя к средней
экспоненциальной последовательности х% число 0,58496263.
б) Если преобразование относится к типу:
mt = kxu
мы имеем:
Ap(m) = kAp(x);
Gp(m) = kGp(x);
Hp(m) = kHp(x);
Mp(m) = kMp(x);
N(m) = kN(x)y
и, поскольку в силу свойства ассоциативности Ар(т) = Ар(у), если
rrii—средние арифметические; Gp(m) = Gp(y), если mt—средние
геометрические; Нр(т) = Нр(у), если mi—средние гармонические, мы
приходим к выводу, что:
1) средней арифметической последовательности xt соответствует
средняя арифметическая уи если ть — средние арифметические;
2) средней геометрической последовательности xt соответствует
средняя геометрическая yit если ть — средние геометрические;
3) средней гармонической xt соответствует средняя гармоническая
уи если mt — средние гармонические.
Пример 1. Рассмотрим следующую таблицу:
^^\ 1 4
2,5
3
3,5
4,5
Общие
суммы
1
1
5
1
1
6
1
1
1
3
7
1
1
8
1
1
2
9
2
2
10
1
1
Общие
суммы
2
3
2
4
11
Последовательность средних арифметических ть состоит из чисел:
5 — 6 — 7 — 9.
Эту последовательность можно получить из последовательности
xt (2,5 — 3 — 3,5 — 4,5), помножая эти числа на 2.
Теперь мы можем написать:
= 2,5.2 + 3.3 + 3,5-2+4,5.4 =
р 2 —|— 3 —i— 2 —i— 4
Ар (т) = 5'2+,6'!+7:!+9'4 = 7,09;
А,(У) =
2+3+2+4
4.1 + 5.1 + 6» 3 + 7» 1+8 . 2 + 9 . 2+10. 1
1 + 1+3+1 + 2 + 2+1
7,09.
262

Таким образом, средняя арифметическая уг равна средней
арифметической хи помноженной на 2.
Пример 2. Пусть нам дана следующая таблица:
^^\#
* ^ч^^^
2
4
Общие
суммы
4
1
1
9
1
1
2
16
1
1
Общие
суммы
2
2
4
Последовательность средних геометрических тг будет следующей
6—12.
Эти числа можно получить, помножая на 3 члены
последовательности xt.
Мы будем иметь:
Gp (х) = \/~2^Т2 = 1/8" = 2,84;
Gp(m) = \Г&Л2* = УЖ2~* = 3 ]/8 = 8,52;
Gp (у) = ^4.92-16 = V~3M^ = 31/8 = 8,52.
Таким образом,
Gp(y) = 3.Gp(x).
Пример 3. Рассмотрим следующую таблицу:
х \^
4,5
4,8
Общие
суммы
2
2
1
3
3
1
1
2
Общие
суммы
з
2
5
Последовательность средних т, (гармонических) будет следующей:
2,25; 2,40. Ее можно получить, умножая на 0,5 последовательность:
4,50; 4,80.
Теперь мы будем иметь:
# до = 3 + 2 = J_ = 4,62;
_3_ _2_ 780
4~5 + 4~8 720
263

Him) = ^—= _5_ = 2,31;
рУ ' 3 __2_ 7800
2^25 + <М0 3600
HJy) = 2+3 =2,31,
~3~ + Т
Из этих формул видно, что среднюю гармоническую yt можно
получить из средней гармонической последовательности xiy умножая ее
на 0,5.
в) Если преобразование относится к типу:
mt = kxt + h,
то мы имеем:
Ap(m) = kAp(x) + h;
Mp(m) = kMp(x) + h;
N(m) = kN(x) + h,
откуда, помня, что если т* — средние арифметические, то Ар(т) =
= Av(y), делаем следующий вывод: средней арифметической х%
соответствует средняя арифметическая уи если т% суть средние
арифметические.
г) Если преобразование принадлежит к типу:
mi=l/xii
то будем иметь:
Gp(m)=l/Gp(x);
Мр(т)=1/Мр(х);
N(m) = l/N(x);
Нр(т)=1/Ар(х),
откуда, помня, что если тг — средние геометрические, Gp(m) = Gp(y) и
что если mt — средние гармонические, Нр (т) = Нр(у), приходим
к следующим выводам:
1) средней геометрической последовательности xt соответствует
средняя геометрическая уи если mf — средние геометрические;
2) средней арифметической xt соответствует средняя
гармоническая yif если mt — средние гармонические.
Пример!. Рассмотрим следующую таблицу:
х \.
1/ 6
1/12
Общие
суммы
4
1
1
9
1
1
2
16
1
1
Общие
суммы
to to
4
264

Средние геометрические ть образуют следующую
последовательность: 6 — 12, т. е. последовательность, образуемую числами,
обратными xt.
Мы получим:
рУ ' у \ 6 ) \\2) |/ 3« • 2« 31/8 8,52 '
Gp(m) = y/WT& = \/3^¥ = 3 ]/8 = 8,52;
G.p(y)=y 4-93-16=y34.2<5 = 3/8 = 8,52,
т. е.
G,(y)=l/G„(*).
Пример 2. В качестве второго примера мы приводим важный
результат, полученный Джини [91]. Ранее считалось бесспорным, что,
умножая часть- богатства, ежегодно переходящего бесплатно
(годичная сумма передач), на среднюю арифметическую средних интервалов,
перехода собственности на имущество (средних интервалов между
двумя безвозмездными переходами имущества из рук в руки), мы должны
.получить все богатство страны, принадлежащее частным лицам.
Джини, заметив, что среднее число лет, проходящее между двумя
бесплатными передачами имущества, и вероятное число передач в единицу
времени являются взаимно обратными числами, сделал из этого вывод,
что для исчисления частной собственности следует исходить не из
средней арифметической, а из средней гармонической средних
интервалов передачи отдельных состояний. В самом деле, пусть п будет число
состояний, из которых состоит частное богатство страны; vlf u2,..., vn
и в общем виде vt — их величины; ilt i2, ..., in и в общем виде it —
среднее число лет, между каждыми двумя бесплатными передачами
отдельных состояний (т. е. средние интервалы передачи имущества);
tilit будет обозначать вероятное число передач состояния с
порядковым номером i в течение tt лет (в частном случае \ИЬ означает
вероятное число передач этого состояния за 1 год).
Отметим теперь, что vjii обозначает ту часть состояния с
порядковым номером i, которая передается в течение года, a ^vjii
представляет поэтому общую стоимость всех п состояний, передающихся в
течение одного года, т. е. так называемое «годичное перемещение».
Время, необходимое для того, чтобы сумма стоимостей всех
состояний I,Vi оказалась полностью перемещенной, будет, очевидно, равно
величине х, удовлетворяющей следующему соотношению:
V.
' ' * = У vi9
2'*
откуда получаем:
х =
V.
г_
I).
265

Итак, бтйошекие 2^/2^/^ будет обозначать величину, на
которую нужно умножать «годичное перемещение», чтобы получить
частное богатство страны, если интервалам it придавать один и тот же вес.
Эта величина равняется средней гармонической взвешенной величин
средних интервалов перемещения отдельных состояний и называется
«интервалом перемещения».
д) Если преобразование относится к типу:
мы получаем:
Gp(m) = (Gp(x))k\
Mp(m) = (Mp{x))k\
N(m) = (N(x))\
и, поскольку на основе свойства ассоциативности Gp(m) = Gp(y), если
trti — средние геометрические, приходим, к выводу, что средней
геометрической совокупности х соответствует средняя геометрическая
совокупности у, если mt суть средние геометрические.
ё) Если преобразование относится к типу:
мы будем иметь:
АЛх)
Gp{m) = kp ;
N(x) = kN{x\
откуда, помня, что средняя геометрическая обладает свойством
ассоциативности, приходим к следующему выводу: средней
арифметической совокупности х соответствует средняя геометрическая
совокупности у, если 1щ являются средними геометрическими.
То, что сказано выше о коррелированных средних, приобретает
большое значение в связи с «теорией среднего человека», выдвинутой
Кетле [183, 182]. Эта теория долгое время считалась ошибочной
[44], но затем ее справедливость была доказана Джини [93, 89, 90].
В основе теории лежит утверждение о том, что человек с
антропометрическими показателями, являющимися средними
арифметическими всех антропометрических показателей населения страны, будет
так называемым средним человеком, представителем типа всего
населения.
Однако Кетле, исследуя в другой своей работе соотношение между
весом и ростом, доказывал, что вес растет пропорционально не
соответствующим значениям роста, а их квадратам.
Было справедливо указано, что такое соотношение несовместимо
с концепцией среднего человека, поскольку, если верно, что веса рас-
266

тут пропорционально квадратам соответствующих значений роста,
средний человек по весу не может быть средним также и по росту, он
должен иметь рост выше среднего.
Из несовместимости этих результатов вытекало, что либо была
ошибочна теория среднего человека, либо ошибочным было указанное
соотношение между весом и ростом. Сначала выбор был сделан в
пользу первого предположения. Этому, несомненно, способствовало
наблюдение, что кривые веса и роста отнюдь не были одинаковы. В самом деле,
кривая роста почти симметрична, тогда как кривая весов в
значительной степени асимметрична, удлиняясь в сторону более высоких
значений.
Критики Кетле рассуждали следующим образом: если допустить,
что изменениям роста соответствуют не пропорциональные, но более
чем пропорциональные изменения веса, отсюда следует, что, если
крива.я роста симметрична, кривая веса должна оказаться ассиметрич-
ной, будучи удлиненной в сторону более высоких значений.
И наоборот, если кривая роста симметрична, а кривая веса ассим-
метрична, удлиняясь в сторону более высоких значений, следует
сделать вывод, что изменениям роста соответствуют более чем
пропорциональные изменения веса.
Джини указал, что в этом рассуждении смешиваются величины
равностепенные с величинами соответствующими. В самом деле, если
кривая роста симметрична, а кривая веса ассиметрична в указанном
выше смысле, то из этого можно сделать вывод, что изменениям
величин роста неизбежно соответствуют более чем пропорциональные
изменения в равностепенных значениях веса, но вовсе не обязательно
более чем пропорциональные изменения в соответствующих его
значениях.
Джини обнаружил, что, откладывая на оси абсцисс величины роста,
а на оси ординат — соответствующие средние значения веса, получаем
кривую, которая, если число наблюдений достаточно велико, лишь
незначительно отклоняется от прямой линии, причем эти колебания
могут рассматриваться как случайные.
Были исследованы данные, относящиеся к 299355 итальянским
солдатам призывных групп 1859—1863 гг., опубликованные в журнале
«Antropometria militare» под редакцией Ливи; данные о 16391 белом,
2321 негре и 507 индейцах, явившихся для прохождения медицинского
осмотра при наборе в армию во время войн за независимость,
приведенные в работе Гуда; данные об англичанах, приведенные Гатчин-
соном, а затем Бекстером; данные о поступающих на службу в
телеграфное ведомство, по семи возрастным категориям (от 13 до19 лет),
и, наконец, данные о новорожденных по каждому полу,
опубликованные английским Антропологическим комитетом. Кроме того,
Джини изучил данные о среднем росте по отдельным весовым категориям,
положив в основу составленные Бекстером ряды, в которых
новобранцы войны за независимость были распределены по месту рождения.
Джини обнаружил, что во всех этих случаях кривые достаточно
близко подходили к типу прямой, и сделал отсюда вывод, что посколь-
2G7

ку оба соотносительных ряда — вес и рост — связаны друг с другом
отношением линейного характера, человек средний по росту является
также средним и по весу.
И в самом деле, в данном случае мы имеем дело с преобразованием
типа:
ml^KxiJ\-h,
рассмотренным в пункте в.
В. Ряды, антиряды и соотношения между их средними
Рассмотрим следующие взвешенные совокупности:
( *i Pi
Ч Р2
( 1/*! Хгрг
I / Х% Х% Р*2
Рп
1 1/*п *пР*
Они называются соответственно ряды и антиряды [99].
В нижеследующей таблице указаны отношения, существующие
между средними обоих совокупностей.
Ряды
Антиряды
А
G =
pj-
2р.х.
' г г
2рг
■К1]
Щ
1
А'
1
2"«
1
Т =
Хр.х.
Н'
пА =
Zp.x'fl1/"1
Щ
A' =
1
2— p. x.
x. ri г
2P,
1
2рЛ 2p.*. Л
l
G' =
#' = -
2p.x.
="***
Zp.xf
T' = .
nA' =
Sp .AC.
ГЕ>_ЪР.Х^1Ч
XPiXi
If
\/m

Пример 1. Антирядом по отношению к ряду коэффициентов
смертности (отношение числа умерших к числу жителей) определенных
территориальных делений, в котором каждому коэффициенту
смертности придается вес, пропорциональны числу жителей этого деления,
является ряд, образуемый отношениями числа жителей к числу
умерших по тем же территориальным делениям, причем каждому отношению
придается вес, пропорциональный числу умерших в данном делении.
П р и м е р 2. Антирядом по отношению к ряду, члены которого
означают число наследников, оставленных каждым отдельным
владельцем, и в котором каждому числу придается частота (вес),
соответствующая числу наследств, где это число повторяется, является
ряд чисел, означающих величину доли, на которые делится каждое
наследство, причем каждое такое число фигурирует с частотой, равной
числу наследств, умноженному на соответствующее число наследников.
§ 9. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СРЕДНИХ
Средние непрерывных распределений могут быть представлены
графически путем построения следующих двух кривых:
1) кривой частоты, определенной в промежутке аЪ, в котором
изменяется переменная х, и определяемой уравнением у = р(х), в
котором р(х) — вес переменной х (рис. 11);
п(х)
J p(x) ах
a
Рис. И
2) кривой градуации, которую образует совокупность точек, абсцис.
х
са которых равна J p(x)dx, а ордината — переменной х(а < х <; Ь)
(рис. 2).
А. Графическое изображение средних при помощи кривой
частоты
а. Медиана. Медиана представлена в системе координат такой
точкой оси абсцисс, что перпендикуляр, восстановленный из нее,
рассекает поверхность, заключенную между кривой частоты, осью абсцисс
269

м
Рис. 14
и ординатами двух крайних точек, на две равные части (рис. 13). Она
равняется величине х9 удовлетворяющей равенству:
§ р (х) dx = \ р (х) dx.
б. Мода. Мода представлена той точкой оси абсцисс, которой
соответствует наибольшая ордината (рис. 14).
Б. Графическое изображение средних при помощи кривой
градуации
а. Средняя арифметическая. Средняя арифметическая
представлена точкой Л, лежащей на оси ординат в вершине прямоугольника
Рис. 15
АВСО (рис. 15), площадь которого равна площади поверхности S,
ограниченной кривой градуации, осью абсцисс и ординатами крайних
точек.
В самом деле, средняя арифметическая равна:
ъ
[х р (х) dx
А = ^
ь
I p (x) dx
270

0'1гкуда получаем'
ь ъ
А [ р (х) dx = ^ хр (х) dx.
а а
Ъ
\p(x)dx, абсцисса крайней точки кривой градуации, представляет
а
Ь
собой меру отрезка ОС; ^xp(x)dx равняется площади поверхно-
а
сти S.
б. Средняя степенная. Средняя степенная с показателем степени
т(т Ф 0) изображается на графике так же, как и средняя
арифметическая. Достаточно построить на плоскости ху две кривых: кривую
лр(х)ах i р(х)йх
д д
Рис. 16
т-х степеней хг и кривую градуации этих же степеней (рис. 16).
Построив точку А, представляющую среднюю арифметическую т-х
степеней на основе кривой градуации, восстановим из нее перпендикуляр
к оси ординат до пересечения с кривой степеней и из точки
пересечения опустим перпендикуляр на ось абсцисс. Точка Р пересечения
этого перпендикуляра с осью абсцисс будет представлять собой —-ю
степень ординаты, которая равна средней арифметической Ат-х
степеней членов последовательности х%\ таким образом, Р будет
представлять среднюю степенную данного распределения.
271

При т = О средняя степенная сводится к средней геометрической.
Вспоминая, что последняя определяется формулой:
ь
J log xp (х) dx
logG = ^
Г р (х) dx
а
сразу же находим, что графическое изображение G аналогично
изображению прочих средних степенных. Достаточно заменить кривую
т-х степеней членов последовательности кривой у = log х, построить
§p(x)dx fpfx)ax
a a
Рис. 17
кривую градуации логарифмов и произвести те же действия какие были
указаны для нахождения средних степенных с показателем степени
тфО.
в. Средняя экспоненциальная. Средняя экспоненциальная с
основанием с — это величина Еу удовлетворяющая следующему
соотношению:
ъ
\схр (х) dx
ъ
j p (x) dx
а
272

Построим экспоненциальную кривую у = с и кривую градуации
сх. Обозначив точкой А построенную на основе кривой градуации
среднюю арифметическую последовательности сху из этой точки
восстановим перпендикуляр к оси ординат до пересечения с экспоненциальной
кривой. Из точки пересечения опустим перпендикуляр до пересечения
с осью абсцисс. Абсцисса х определяемой таким образом точки Е
такова, что сх равно средней арифметической чисел сх и поэтому может
представлять среднюю экспоненциальную Е (рис. 17).
г. Медиана. Медианой является то значение х9 при котором имеем
х Ь
\ р (х) dx = ^ р (х) dx.
Поэтому его графическое изображение не представляет труда. В самом
деле, достаточно найти точку R, делящую пополам отрезок ОС =
ъ
= Jp(x)dx, восстановить из нее перпендикуляр к оси асбцисс до пере«
Рис. 19
сечения, с кривой градуации в точке s и опустить, наконец, из точки
перпендикуляр на ось ординат. Найденная таким образом точка
пересечения М представляет медиану распределения (рис. 18).
д. Квантили. Графическое определение квантилей такое же, как
и медианы. Достаточно лишь разделить отрезок ОС на k равных частей.
В соответствии с точками деления, действуя так же, как при
определении медианы, находят 1-ю, 2-ю, ..., (k — 1) квантиль (рис. 19).
е. Разделительное значение. Разделительное значение — это то
значение х, которое удовлетворяет равенству:
х Ь
^ х р {х) dx — \ хр (х) dx.
Чтобы определить его графически, необходимо найти на оси абсцисс
такую точку R, чтобы перпендикуляр, восстановленный из нее к оси
абсцисс, делил поверхность S (рис. 20) на две части одинаковой пло-
10 Зак. 401
273

щади. Затем из точки s, в которой этот перпендикуляр пересекает
кривую градуации, нужно опустить перпендикуляр на ось ординат.
Этот второй перпендикуляр пересечет указанную ось в точке D,
которая и будет представлять собой разделительное значение.
Рис. 21
ж. Тантили. Так как тантили представляют собой те значения х,
которые удовлетворяют равенству:
^хр(х) dx = k^xp(x)dx,
то ясно, что их можно графически представить совершенно таким же
образом, как и разделительное значение, являющееся частным случаем
тантили, где k = 1 (рис. 21).
з. Мода. Мода представлена
такой точкой N на оси ординат,
что восстановленный из нее
перпендикуляр к этой оси
пересекает кривую градуации в точке
перегиба (рис. 22).
В случае дискретных
распределений указанные способы
графического определения
средних не всегда могут быть
применены. Ими можно
пользоваться лишь после замены при
помощи интерполяции дискретного
распределения непрерывным.
Лишь позиционные средние (мода, медиана, квантили,
разделительное значение, и тантили) могут быть изображены графически даже
без помощи интерполяции путем применения одних гистограмм
частоты или градуации, совершенно таким же образом, как это было
показано для непрерывных распределений. Но об этом мы кратко
расскажем в следующей главе.
Рис. 22
274

§ 10. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНИХ
а. Средняя арифметическая простая. Рассмотрим упорядоченную
совокупность величин:
«*1> %2> *••' *^у>
среднюю арифметическую которой требуется найти графическим путем.
Для этого рассмотрим в системе декартовых координат точки А1У Л2,
..., As, расположенные на оси абсцисс таким образом, что расстояние
каждой из точек от предшествующей, как и расстояние первой точки
от начала координат, равно одной и той же величине d. Восстановим
*s
| X,-
в,
>
К2
в2
<3
в3
__—-—~
£
Bs
F
С
О А, А2 А3 А5 D
Рис. 23
затем из всех этих точек перпендикуляры к оси абсцисс и на них
отложим отрезки АгХъ А2Х2, ..., ASXS с длинами,
пропорциональными членам данной совокупности.
Далее проведем из конечной точки Хъ первого из этих отрезков,
прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 23). Эта прямая пересечет
ось ординат в точке В, а отрезки АЬХЬ пересекут ее в точках Bt (i =
= 1,2, ..., s).
Отложим далее на прямой BBS, начиная с В и двигаясь вправо,
последовательно отрезки, равные сумме BtXi. Пусть С будет
крайняя правая точка этого отрезка. Проведем CD перпендикулярно к оси
абсцисс. Определим на ASXS точку Е, находящуюся над точкой Bs,
таким образом, чтобы BSE = d. Через Е и В проведем прямую линию,
которая пересечет CD в точке F. Проведем, наконец, из F прямую,
параллельную оси абсцисс, которая пересечет ось ординат в точке G.
Отрезок OG представляет искомую среднюю арифметическую.
В самом деле:
CF _ ВС
BSE~ BBS '
откуда
лр BC-BS E
~ BBS
10*
275

т. е.
CF = ^ = -^i ,
sd s
и, следовательно,
00=1^:+^=^+-^ = ——.
s s
б. Средняя арифметическая последовательности взвешенных
чисел, промежутки между которыми являются различными величинами.
Первый метод [50]. Пусть даны числа xl9 х2, ..., xs, промежутки
между которыми являются переменной величиной, и пусть plf р2, ...,
Ps будут соответствующими весами. Отложим на оси ординат (рис. 24)
Рис. 24
от начала координат О отрезки 0At (i — 1, 2, ..., s) длиной,
пропорциональной членам данной последовательности. Отложим вправо
от произвольной точки В0 на оси абсцисс последовательно отрезки
Bt^Bi (i = 1, 2, ..., s) с длиной, пропорциональной рь. Через точки Bt
проведем перпендикуляры rt к оси абсцисс. Взяв затем любую точку С
в отрицательной части оси абсцисс, соединим ее с точками Аг. Затем
проведем из точки В0 прямую, параллельную САЪ до пересечения
с прямой гх в точке Dx; из последней проведем прямую, параллельную
СА2у которая пересечет г2 в D2; из£2 — прямую, параллельную САз,
и т. д. вплоть до прямой, параллельной CAS, которая пересечет rs
в точке Ds. Соединим прямой точку Ds с точкой В0 и проведем из С
параллельную B0DS до пересечения ее с осью ординат в точке Е.
276

Мера ОЕ будет представлять собой среднюю арифметическую
взвешенную данной численной последовательности.
В самом деле, из подобия треугольников СОАх и BQB1D1 следует-
в D OAvBoBlm9
1 * СО
откуда, полагая ОА1 = х1, В0В1 = ир1, СО = т, имеем:
B1Dx = -^p1x1.
Рис. 25
Аналогичным образом получаем при любом г.
FiDi=l^ PiXb
откуда имеем:
Кроме того, из подобия треугольников СОЕ и B0BSDS выводим:
ОЕ--
_CO-BsDs
Во Bs
откуда на основании равенства B0Bs = u'2lpi получаем:
ОЕ = -
u'LPt
2>*
Второй метод [210]. Отложим (рис. 25) на оси абсцисс точки Xt
(i = 1, 2, ..., s) с абсциссами xt (i = 1, 2, ..., s) и перпендикулярно
к этой оси отрезки XtFt длиной пропорциональной весам pt.
277

Среднее арифметическое значение определяется следующим
образом:
а) уменьшив в целях упрощения до \/1г истинного значения (на
рис. 25 — до 1/5) отрезки XiFif построим, начиная от Хх,
перпендикулярно к оси абсцисс, отрезок ХгСъ представляющий собой
сумму этих уменьшенных отрезков;
б) из точки Сх проведем прямую, параллельную горизонтальной
оси, и точки ее пересечения С2, Сз, ... с отрезками XtFi или с их
продолжениями соединим с точкой Хг\
в) проведя из точек Ft прямые, параллельные ХлС1у мы
определим точки пересечения их с горизонтальной осью Dt;
г) отложим последовательно на положительной части этой оси,
начиная отточки Хъ отрезки DiXi(D1X1 будет, очевидно, равен нулю).
В результате мы получим отрезок, равный их сумме. Будучи уменьшен
до \lh своей величины (на рис. 25 — до 1/5), он окажется равным ХгН.
Абсцисса точки Н есть средняя арифметическая распределения.
В самом деле из подобия треугольников Х1Х2С2 и D2X2F2 мы имеем:
D2X2 Х^Х^ Aj Л2
Л2 Г 2 Х% ^2 Xi Gi
Поскольку, кроме того, отрезок Х1Х2 равен х2—хх. X2F2
равен р2 и Х1С1 равен &(2р*)> D2X2 будет равен:
(Х2 — Хх) р2
и X1H = k(D2X2 + D3X3+...) будет равен:
%(xi-xi)Pj
откуда следует:
ОИ = ОХ1 + Х1Н = х1+ ^х^х^рг = JS^l.
в. Средняя арифметическая последовательности взвешенных
чисел, промежутки между которыми равны одной и той же
постоянной величине. Пусть дана следующая взвешенная последовательность:
•^1> -^2' •••» %s>
Ръ Р2> ..-Р^
и пусть d будет постоянной разностью между любым членом
последовательности и предыдущим членом. Положив Xq — Хх — d, мы можем
также переписать эту последовательность следующим образом:
х0 + d x0-\-2d x0 + 3d ... х0 + s d
Pi Ръ Рз -Ps
278

Поэтому формулу средней арифметической можно написать так:
2"»
2p*
Отложим, далее, на оси абсцисс точки At с абсциссами х% и
проведем перпендикулярно к этой оси отрезки АгВг длиной pt (рис. 26).
о
г
с
А
\
о *■
\
\
\
\D,
в,
н
■£,
1
/
в2
я? ^
с2
L
2 '
h /
*>Э Г
Сз
h >
К
/
s
Рис. 26
Уменьшив отрезки АгВг до \lh их величины, мы получим отрезки
AiCf. Идя справа налево, будем откладывать на АьВг или на их
продолжениях суммы отрезков AtCi. В результате получим новые отрезки
AtDiy причем AXD1 будет представлять собой сумму всех отрезков
AtCi. Затем на A1D1 построим отрезок А±Е19 равный сумме всех А£>г.
Проведем прямую г, параллельную оси абсцисс на расстоянии d
от нее. Она пересечет FA0, проведенную параллельно оси ординат
через точку А0 с абсциссой х0, в точке G.
Отложим на прямой г направо от точки G отрезок, равный A^DX.
Получим таким образом отрезок GH. Отложим затем на оси абсцисс
направо от точки А0 отрезок AiE±; получим А01. Проведем А0Н и
продолжим ее до пересечения с перпендикуляром, восстановленным
к оси абсцисс из точки /, в точке /О Отложим отрезок, равный IK,
на оси абсцисс справа от точки Л0. Получим таким образом точку L,
абсцисса которой и будет равна средней арифметической данного
распределения.
279

Ё самом деле, из подобия треугольников HGA0 и А01К имеем:
IK = A0G'A0I
GH
И далее:
A0G = d\
откуда следует:
2"*
OL = OA0 + A0L = OA0 + IK = x0 + d
г. Средняя геометрическая. Поскольку средняя геометрическая
G удовлетворяет соотношению
log
G=%}ogxl>
графическое исчисление можно выполнить, применяя те же самые
приемы, которые были использованы при нахождении средней
арифметической, с той лишь разницей, что для ординат или для абсцисс, в
зависимости от применяемого метода, следует использовать
логарифмическую шкалу.
д. Средняя гармоническая последовательности невзвешенных
чисел. Рассмотрим на оси абсцисс точки Аь Л2, ..., AS9 расстояния
каждой из которых от предшествующей точки, равно как расстояние
первого члена последовательности от начала координат, —
постоянная величина (рис. 27).
Перпендикулярно к оси абсцисс проведем отрезки АгВь длиной
в xt.
Проведем прямую г, параллельную горизонтальной оси и на
произвольном расстоянии h от нее. Эта прямая пересечет AtBi в точках
С i.
Проведем прямые 5*Л/_1, которые пересекут г в точках Dt.
Отложим сумму отрезков Q_i Dt на ASBS, от точки As. Получим
точку Е.
Соединим точку Е с началом координат. Полученный отрезок
пересечет г в точке F. Отрезок C0F будет равен средней гармонической
последовательности xt.
В самом деле, из подобия треугольников A0C0D1 и Лой^ следует:
С П = ^о Ср'Лр ^1
280

откуда, полагая А0С0 = А, А0Аг = и (постоянный промежуток между
точками At), А1Б1 = х19 получаем:
Аналогичным образом находим для всех I:
hu
Q-iD, = -
откуда следует:
х.
i
AsE = SlCl-iDl = hu(— + —+...+—)
\ xi хг xs I
0=Аг
Ас;
Рис. 27
Из подобия треугольников A0C0F0 и. A0EAS далее имеем:
C0F =
и, следовательно,
C0F:
hsu
/1 1 1 \ ^i 1
е. Средняя гармоническая последовательности взвешенных чисел.
Пусть последовательность, среднюю гармоническую которой мы хотим
определить графическим путем, будет следующей:
■^1» ^Ъ •••> %s">
Pi, Pt, •••> Ps-
281

Пусть Xt будут точки оси абсцисс с абсциссами х% и пусть XiFt
будут отрезки, перпендикулярные к этой оси с длинами pt.
Из произвольной точки А0 проведем прямую, параллельную оси
ординат (рис. 28).
Соединим прямолинейными отрезками точки Ft с началом
координат. Эти отрезки или их продолжения пересекут произвольно взятую
параллельную в точках Аь.
Рис. 28
Уменьшив отрезки A0At до 1//г их величины, отложим их сумму
на оси абсцисс, начиная с точки О. Получим отрезок ОВ.
Параллельно оси ординат проведем, начиная с точки Б, отрезок BE,
являющийся суммой отрезков AtFu уменьшенных до 1/А.
Соединим точки О и Е отрезком, который пересечет произвольно
взятую параллельную в точке Я. Отрезок Л0Я, измеренный по шкале
абсцисс, соответствует средней гармонической данного распределения.
В самом деле, из подобия треугольников ОА0АХ и OX-^F-^ следует:
А0А1 =X1F1
ОЛо 0ХХ '
газ

Так как отрезки X1F1 и 0ХХ измеряются соответственно
величинами /?! и хъ то, полагая ОА0 = га, из предшествующего равенства
получаем, что А0А1 измеряется mpjx^ Из этого следует, что по
построению ОВ измеряется выражением:
!IL (-BL4- £*--L | Ps \
С другой стороны, из подобия треугольников ОА0Н и ОБЕ
следует:
Л0Н _ BE
ОЛ0 ~ ОВ *
Подставляя в эти отношения предыдущие выражения и помня,
что отрезок BE соответствует \/h (рг + р2 + ... + ps), делаем вывод,
что отрезок А0Н измеряется выражением:
P1+P2 + ..-+PS
PL , Р2 , , PS '
т. е. средней гармонической значений хи взятых с весами р-ь.
ж. Средняя антигармоническая ряда невзвешенных чисел. Средняя
антигармоническая может рассматриваться в данном случае как
средняя арифметическая чисел хи взвешенных весами х-ъ. Поэтому
графическое исчисление этой средней повторяет процедуру нахождения
средней арифметической взвешенной.
з. Средняя антигармоническая ряда взвешенных чисел. Эта
средняя может рассматриваться как средняя арифметическая чисел хи
взвешенных весами Ххр%. Графическое исчисление может поэтому быть
произведено при помощи тех же приемов, какие были применены для
нахождения средней арифметической взвешенной.
и. Медиана. Рассмотрим последовательность:
•*1> ^2' •*•> %s
с соответствующими частотами:
Ръ Ръ •••> Ps-
Процедура графического определения медианы такова (рис. 29):
а) наносим на ось ординат точки Xt с ординатами xt и на ось абс
цисс — точки Pt с абсциссами 2/?г;
г=\
б) строим прямоугольники с основанием PtPt^ и высотой, равной
0Xt (гистограмма градуации);
в) определяем точку Р, делящую пополам отрезок 0PS. Если
точка Р не совпадает ни с одной из точек Pt (рис. 29, а),
восстанавливаем из нее перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения в точке С
верхней стороны прямоугольника, к которому принадлежит Р\ из С
проводим далее прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую
ось ординат в точке Я, ордината которой и будет представлять собой
медиану данной совокупности,
283

Если же точка Р совпадает с одной из точек Pt (рис. 29, б),
перпендикуляр, восстановленный из нее к оси абсцисс, пересечет крайние
точки верхних сторон двух последовательных прямоугольников. Тогда
следует определить среднюю точку отрезка, соединяющего эти
крайние точки, и из нее провести прямую, параллельную оси абсцисс до
*5
н=х2
с
- © —I
*5
*3
Н'
Р,
РР2Р3
РиР5
.— \С
чнз
Рис. 29
ее пересечения с осью ординат. Таким образом будет найдена точка
#', ордината которой будет равна медиане данной совокупности.
Точнее говоря, в этом случае медиана будет представлена ординатой лю-
п—г
"71
ш
Ж
п г
Рис. 30
бой точки, находящейся между точками пересечения с осью ординат
прямых, параллельных оси абсцисс и проведенных через крайние
точки высот двух вышеупомянутых прямоугольников.
В самом деле, мера высоты и основания прямоугольника с
порядковым номером i равна соответственно х% и ри поэтому каждый из них
может рассматриваться как разделенный на pt частичных
прямоугольников с одинаковым основанием и с высотой, равной ОХь так что в
целом фигура будет представлять все множество точек х, расположенных
284

в неубывающем порядке и в повторяющихся каждая столько раз,
сколько указано в соответствующей частоте.
Если число членов последовательности нечетное, значение х,
представляющее медиану, очевидно, определяется мерой высоты
частичного прямоугольника, занимающего центральное место, на основании
которого лежит точка Р (рис. 30).
Если же число членов четное, центральных частичных
прямоугольников будет два и точка Р будет общей для двух смежных оснований.
В этом случае (рис. 31, слева), если два частичных прямоугольника
Рис. 31
принадлежат одному и тому же прямоугольнику, они будут иметь
одинаковую высоту, мера которой и явится искомой медианой
(средней арифметической двух равных величин); если же они принадлежат
разным прямоугольникам, их высоты будут неодинаковы и медиана
будет представлена любой точкой отрезка, соединяющего высшие точки
их высот. В частности, если условимся принять за медиану среднюю
арифметическую двух центральных величин, она будет представлена
ординатой средней точки упомянутого отрезка (рис. 31, справа).
Указанное построение может быть выполнено и в том случае, если
величины pi не являются абсолютными частотами.
к. Квантили. Квантили строятся так же, как и медианы.
§ И. УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ ИСЧИСЛЕНИЯ СРЕДНИХ
А. Средняя арифметическая
а. Любое распределение. Нахождение средней арифметической
любого распределения облегчается применением следующей формулы:
о)
A = Z-
S (xi-Z)Pi
i=i
п
2 pi
285

где Z — число, произвольно выбранное среди центральных членов
распределения хи а ри как обычно, обозначает частоту или вес члена
распределения с- порядковым номером i.
Доказательство формулы (1) не составляет никакого труда.
В самом деле, мы имеем:
■■А.
z ] 2(xj — Z)Pi = z j sxtpi Z2>Pi_ I^ij4_
2Рг ЪР1 ЪРг ZPi
Пусть, например, дано следующее частотное распределение:
1150
1151
1153
1158
1160
1162
1163
1164
450
250
150
130
120
40
20
20
Примем в качестве величины Z число 1158 и построим следующую
таблицу:
*/— 1158
—8
—7
-5
0
+2
+4
+5
+6
Pi
450
250
150
130
120
40
20
20
1180
(дг4- — 1158) р/
—3600
—1750
— 750
0
+ 240
+ 160
+ юо
+ I20
—5480
Таким образом, средняя арифметическая равна:
5480
Л= 1158-
1180
= 1153,36.
Из приведенного примера ясно видно, что формула (1) упрощает
вычисление средней арифметической лишь в том случае, если
отклонения от произвольно выбранного числа значительно меньше чисел
данного распределения; в случае же распределений, приведенных на
стр. 94, в которых сами члены распределения очень малы, применение
формулы (1) бесполезно.
286

б. Симметричное распределение. Если распределение почти
симметрично:
ч
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
Pi
5
25
40
100
200
400
235
80
50
10
2
1147
молшо еще больше упростить вычисление средней арифметической.
Примем за величину Z центральное число с наибольшей частотой
(в нашем случае 160) и построим следующую таблицу:
*i
<160
(1)
160
159
158
157
156
155
—
> 160
(2)
161
162
163
164
165
—
Абсолютное
отклонение
от 160
(3)
0
1
2
3
4
5
:
Частоты чисел x-t
<160
(4)
400
200
100
40
25
5
770
>160
(5)
235
80
50
10
2
377
Разность
частот
(5)-(4)
(6)
—400
+ 35
— 20
+ 10
— 15
— 3
—
Произведение
частот на
абсолютное
отклонение
(3) X (6)
(7)
0
+35
—40
+30
—60
-15
-50
Применяя затем формулу (1), мы получаем следующее значение
для средней арифметической:
А = 160 55-= 159,96.
1147
Получаемое при таком методе исчисления преимущество может
быть больше или меньше в зависимости от характера распределения.
Оно тем больше, чем больше симметрия распределения.
287

в. Распределение чисел в порядке арифметической прогрессии.
Пусть дано следующее распределение.
xi
1 a+d
a+2d
a+3d
a-\-id
a-j-nd
Pi
Pi
Pi
Pz
Pi
Pn 1
Средняя арифметическая выразится формулой:
(2)
2 (а + id) pi Д] api + £ idpt 2 ipt
= = = -„ = a+d
2 pi
i=l
2>*
n
/=1
Чтобы найти величину 2 to» достаточно построить рядом со
столбцом pi другой столбец, полученный путем суммирования pif начиная
снизу, и затем сложить полученные таким образом числа:
*1
*2
ч
хп-1
*п
—
Р1 + Р2 +
Р2 +
Pi + 2p2 + ..
..+Р1+.
..+Pi+.
Pt+.
+ ipi + • •
..+Рл-1+ '•
..+p„_l + ••
..+Ря-1+"
Ря-1 + •
.-Ь(л-1)РЯ_
• +Рп
• + Рп
• + Рп
• • + Р/г
Рп
1 + прп = 2 *'р*
Пример. Вернемся к распределению на стр. 287. Числа xt
образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Образуем
следующую таблицу:
288

*i
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
—
Частоты р.
5
25
40
100
200
400
235
80
50
10
2
1147
Частоты,
суммированные,
начиная снизу
1147
1142
1117
1077
977
777
377
142
62
12
2
6832
Применяя формулу (2) и помня, что в нашем примере а — 154
и d = 1, находим, что средняя арифметическая равна:
154-
6832
= 159,96.
1147
К этой же формуле можно прибегнуть и в тех случаях, когда данная
последовательность хь не является арифметической прогрессией,
при условии, что ее можно преобразовать в таковую, добавляя к ней
нужное число членов с нулевой частотой.
Формуле (2) можно придать иной вид, если в таблице, приведенной
на стр. 288, изменить обозначение xt указанным ниже образом:
ч
b — nd
b — (n—\)d
b — (n — i + \)
b — 2d
b — d
Pi
Pi
Рг
P.1
Pn-\
Pn \
В этом случае формула средней арифметической примет следующий
вид:
А =
2 [b-(n-i + \)d]Pi 26w-dS(n-/ + 1)«
i=\ i=\ i = \
n
Sp«
289

или, что то же:
(3)
A = b—d^
Величина 2( п — i-\- \)рь равняется сумме членов столбца,
который можно получить, складывая последовательно частоты pit
начиная сверху и до низу. В самом деле, мы будем иметь:
Pi
Р2
Рз
Pi
Рп-\
Рп
Итого
Pi
Pi + Р2
Pi + Р2 + Рз
Pi + Р2 + РЗ + • • • + Pi
Pi + Рг + Рз + • • • + Pi Л- • • • + Рп- 1
Pi + Р2 + РЗ + • • • + Pi + • • • + Pn-\ + РП
npi + (п — 1) р2 + • •. + (п — i + 1) Pi + .. . + 2рп_
l+Pn =
Вернемся теперь к распределению на стр. 287. Мы имеем:
155
156
157
158
159 |
160
161
162
163
164
165
—
Частоты
5
25
40
100
200
400
235
80
50
10
2
1147
Суммированные
частоты
5
30
70
170
370
770
1005
1085
1135
1145
1147
6932
1 1
Применяя формулу (3) и замечая, что Ь = 166, d = 1, мы
получаем:
6932
Л = 166-
1147
= 159,96.
г. Распределения, разбитые иа классы. Если распределение задано
совокупностью классов одного и того же объема, подставляя вместо
каждого класса его центральное значение, получаем арифметическую
290

прогрессию, с разностью, равной объему класса; нахождение средней
арифметической в этом случае облегчается применением одной из двух
формул, приведенных в пункте в.
Другой метод упрощенного исчисления средних арифметических
распределений, разбитых на классы, заключается в том, что
последовательность классов заменяется рядом натуральных чисел и находится
средняя арифметическая полученного таким образом нового
распределения. Затем целая часть найденного значения средней
арифметической заменяется центральным значением класса, которому
соответствует найденное целое чцсло, и к нему прибавляется произведение
дробной части найденной средней на объем класса.
Так, например, вместо следующего распределения, разбитого на
классы постоянного объема в 100 единиц:
100—200 60
200—300 50
300—400 20
400—500 10,
мы берем следующий ряд:
1 60
2 50
3 20
4 10
140,
средняя арифметическая которого равна 1,8571. Целой части 1 этой
средней соответствует класс 100—200, центральное значение которого
равно 150. Средняя арифметическая данного распределения равна
поэтому:
Л-150 + 0,8571 • 100 = 235,71.
Б. Средняя геометрическая
Для нахождения средней геометрической используют следующую
формулу:
(4) lor* G = Pl log Xl + Pz log *2 + "' + Pn log Xn
и если распределение логарифмов xt обладает одной из черт,
отмеченных в разделе Л, для вычисления логарифма G применяются те же
приемы, которые в этом разделе описаны. Так, например, если
последовательность xt представляет собой геометрическую прогрессию со
знаменателем q, последовательность логарифмов log x% будет арифмети-
291

ческой прогрессией с разностью log q. Поэтому мы сможем применить
одну из формул (2) или (3), которые примут следующий вид:
2 iPi.
\ogG = (logx1—logq) + \ogq .
Ер*
а(я—f + Qpt
(5)
(6) logG = (log*„ + log<7) — log 7
Так, если дано распределение:
Я Pi
Xi
10
50
250
1250
Pi
2
4
10
12
в котором xt образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
5, действия можно расположить, как указано в таблице:
ч
10
50
250
1250
—
Частоты
2
4
10
12
28
Частоты,
суммированные, начиная
с конца
28
26
22
12
88
Частоты,
суммированные, начиная
с начала
2
6
16
28
52 1
и, применяя формулу (5), получим:
log G = (log 10 -log 5) + log 5 ^ = 2,49779,
откуда находим:
(7) G = 314,62.
Применяя же формулу (6), будем иметь:
log G = (log 1250 + log 5) — log 5 — = 2,49779,
28
откуда опять получаем то же значение для средней геометрической,
что и в формуле (7).
В. Средние степенные
Так как т-я степень средней степенной с показателем т равна
средней арифметической т-х степеней отдельных членов
распределения, то для ее вычисления можно применить (там, где это
целесообразно) сокращения, рекомендованные для нахождения средней
арифметической.

ГЛАВА II
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ
НА КАЧЕСТВЕННЫЕ ВАРИАНТЫ [121]
§ 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Когда в какой-либо совокупности явлений рассматриваются
одновременно два из ее признаков —X и Y — и учитываются варианты,
которые признак Y принимает в соответствии с вариантами X,
то мы получаем «систему соответствующих друг другу элементов»,
или проще — «соответствие». Эти два признака могут быть:
1) оба количественными; так, например, налицо два количественных
признака, когда мы классифицируем некую совокупность получателей
ренты по величине последней (признак X) и в каждом классе
определяется число получателей ренты (признак Y);
2) оба качественными; пример соответствия такого рода мы имеем,
когда население страны классифицируется по признаку религиозного
вероисповедания (признак X) и внутри каждого класса учитывается
преобладающий цвет глаз (признак Y);
3) один количественным и другой качественным; так, например,
если браки, заключенные за какой-либо период времени,
классифицируются по дню недели, когда состоялась церемония бракосочетания
(признак X), ив каждом классе рассматривается число браков, мы
приходим к соответствию между качественным признаком(Х) и
количественным (Y). Если же, наоборот, рассматривается группа рекрутов
и они классифицируются по росту (X) и одновременно определяется
область, из которой происходит большинство рекрутов в каждом
классе, то соответствие устанавливается между количественным признаком
(X) и признаком качественным (Y).
Во всех трех случаях соответствие может быть обозначено
следующим образом:
(1) Y = S(X),
и это означает, по аналогии с символами, применяемыми для указания
функциональной зависимости, что признак Y молшо рассматривать
как зависимую переменную, меняющуюся при изменении признака X,
который может рассматриваться как независимая переменная.
293

Признак X называется «переменным», если он является
количественным, и «изменчивым», если он является качественным.
Соотношение (1), как уже сказано в гл. I, представляет собой порядок в случае,
когда оба признака носят количественный характер, а в случае, если
признак X является качественным, получает наименование ряда.
Ряды или порядки, в которых признак Y представляет число членов
в каждом классе, получаемое путем распределения всего количества
рассматриваемых случаев на классы в зависимости от количественных
или качественных вариант признака X, называются частотными.
Статистические ряды делятся на упорядоченные и неупорядоченные
в зависимости от того, представляют собой варианты признака X
естественную последовательность или нет.
Упорядоченные ряды разделяются на прямолинейные и циклические
в зависимости от того, является ли признак, от которого они зависят,
прямолинейным, т. е. выделяются ли в нем естественно две крайних
варианты (например, иерархия должностей или цвет глаз), либо же он
является циклическим, т. е. не допускает выделения двух крайних
вариант, или же, самое большее, допускает их лишь на основе
произвольного допущения (например, дни недели, роза ветров).
Что же касается неупорядоченных рядов, то тут возможны различные
градации, поскольку большее или меньшее количество вариант может
представить определенный порядок последовательности (например,
в классификации по вероисповеданию — различные христианские
протестантские церкви); однако типичным считается крайний случай,
когда любые две варианты данного признака считаются всегда
имеющими одинаковую степень несходства между собой, так что порядок их
расположения постоянно остается произвольным. Ряды этого типа
называются несвязанными. Однако на практике трудно найти ряды,
которые в точности удовлетворяли бы этим условиям, хотя есть
немало примеров большего или меньшего приближения к этому типу.
Примером такого ряда может служить распределение мирового
населения по родному языку.
Переходим теперь к вопросу о средних величинах рядов. Ясно,
что определение средних, данное выше для порядков, годится не для
всех рядов. В самом деле, они (средние) должны заключаться в
интервале между начальной и конечной вариантами, тогда как для рядов,
за исключением прямолинейных, невозможно установить, какая
варианта является начальной, а какая конечной. Далее для определения
аналитических средних необходимо иметь возможность применить
к разным вариантам понятие меры, между тем как за исключением
прямолинейных рядов, это почти никогда не бывает возможным.
В таком случае для определения некоторых средних используют то
обстоятельство, что понятие меры может быть отнесено к критерию
«различия», существующего между различными вариантами какого-
либо качественного признака.
Важность этого факта вытекает из того обстоятельства, что
некоторые средние обладают свойствами переносимости и однородности.
В самом деле, если нужно определить одну из таких средних системы
294

вариант количественного характера, нет необходимости знать меры
различных вариант, но достаточно установить взаимооднозначное
соответствие этих вариант и чисел, при том лишь единственном условии,
чтобы одинаково отличающимся друг от друга парам вариант
соответствовали одинаково отличающиеся пары чисел.
Предположим теперь, что различные варианты качественного
признака X не могут быть измерены, но что, с другой стороны, возможно
каким-либо образом измерить различия между ними. Отсюда вытекает
возможность сопоставить с этими вариантами числа, при условии, что
парам равноразличных вариант будут соответствовать пары равнораз-
личных чисел. Разумеется, этого недостаточно, чтобы сразу сделать
вывод о возможности применения для определения средней ряда того
же метода исчисления, что и для нахождения средней порядка.
Однако, поскольку при нахождении некоторых средних порядков достаточно
измерить разности вариант признака, играющего роль независимого
переменного, мы имеем серьезное основание для того, чтобы применять
тот же метод исчисления также и для статистических рядов с тем, чтобы
в дальнейшем определить специфические особенности такого
применения в случае прямолинейных, циклических и несвязанных рядов.
§ 2. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ РЯДЫ
К различным вариантам прямолинейных рядов можно применить
понятие меры. Так, например, отдельным ступеням должностной
иерархии можно сопоставить размеры жалованья или число подчиненных
служащих. Таким образом, отыскание некоторых средних сводится
к нахождению средних количественных признаков. Однако при этом
нужно иметь в виду следующее.
Пусть X будет прямолинейный признак, варианты будут следовать
одна за другой в обоих направлениях, или в натуральных порядках,
противоположных друг другу; одно направление называется
положительным, другое — отрицательным.
Поэтому между Л и В можно рассматривать два различия: от А к В
и от В к Л, обозначаемые соответственно (АВ) и (ВА). Из этих двух
различий положительным считается то, в котором варианты следуют
друг за другом в порядке, заранее принятом за положительный, а
другое различие считается отрицательным. Эти различия называются
противоположными и их можно записать следующим образом:
(1) (АВ)=-(ВА)\ (ВА)=-(АВ).
Абсолютная же величина различия между А и В обозначается | АВ
или \ВА |.
Далее, если имеются три варианты X — А , В и С, различие от А
к С есть сумма различий от А к В и от В к С. Таким образом, можно
написать:
(2) (AQ = (AB) + (BQ\
(3) (AB) = (AQ-(BQ;
(АВ) = (СВ)-(СА)Ч.
295

Если (AC) = (АВ) + (ВС) и (ВС) положительная величина,
говорят, что различие от Л к С больше, чем от Л к 5, т. е.
(АС) > (АВ). Различие от первой к последней варианте признака,
если варианты расположены в каком-либо определенном порядке,
называется широтой интервала изменчивости X.
Указанные положения станут очевидными, если варианты признака
X представить точками на прямой, а различия между двумя
вариантами рассматривать как расстояния между соответствующими точками.
Если теперь сопоставить качественный признак X с
количественным признаком X'у варианты которого А', В', С, D', ...
соответствуют вариантам Л, Ву С, D, ... и если В' — А'= D'—С, то это
будет означать, что различие от Л к В равно различию от С кй.
Так, например, если Л, В, С, D, ... означают ступени служебной
иерархии, и Л', В', С, D', ... означают соответствующие размеры
жалованья, то, полагая В' —A' =D' —С, считают, что различие от
Л к В равно различию от С к D.
Трудность возникает в том случае, если с X сопоставляются
различные количественные признаки X'X"..., варианты которых Л', В', С,
D' и Л", В", С", D"', ... соответствуют вариантам Л, В, С, D, ...
В самом деле, полагая В' — А' = D' — С, мы не всегда будем иметь
В" — А" = D" — С"', и тогда вообще будет отсутствовать критерий
для решения, каким из этих признаков следует отдать предпочтение
как орудию сравнения различий между вариантами признака X.
Так, например, в последовательности цветов спектра можно принять
в качестве критерия равенства различия от цвета Л к цвету В и от
цвета С к цвету D, тот факт, что на одном и том же спектре линейное
расстояние от Л к В равно расстоянию от С kD\ но критерием может
служить и другой факт, а именно то, что различия в числе колебаний,
соответствующих Л и В и соответствующих С и D, равны между
собой. Пары вариант, равноразличные согласно оценке по одному
критерию, могут не быть таковыми согласно другому критерию.
В сходных с этим случаях может в результате критического
изучения вопроса выясниться, что какой-либо из различных
количественных признаков, связанных с X, обладает перед другими
признаками преимуществом в качестве орудия сравнения различий между
вариантами* X. Чтобы устранить всякую двусмысленность, нужно,
разумеется, указать, какому из количественных признаков отдано
предпочтение.
Так, если качественному признаку X требуется сопоставить какой-
либо количественный признак X', ясно, что числами, которые будут
сопоставлены вариантам X, будут являться меры соответствующих
вариантов X', выраженные в произвольных единицах. В других
случаях поступают следующим образом:
а) Если в последовательности вариант X каждая из них отличается
от предшествующей на постоянную величину Н (т. е. если ряд
является равнопромежуточным), тогда, сопоставив какрй-либо варианте М
признака X действительное число т, а постоянному различию Н —
действительное число А, вариантам, следующим за М, будут соответ-
296

ствовать числа т + А, т + 2h, ..., а предшествующим ему — числа
т — А, т — 2h, ...
Варианта М может быть названа начальной. Для простоты можно
принять А = 1 и сопоставить первой варианте А целое число а.
Так или иначе, члены обеих прогрессий:
..., т—2А, т—A, m, m-\-h, ...
и
а, а+ 1, а + 2, ...
не будут служить мерой вариант X, но, как увидим ниже, они могут
заменить последовательности этих вариантов при численном
исследовании некоторых признаков ряда, являющегося функцией X.
В противоположность этому числа О, А, 2А, ЗА, ... и —А, —2А, ...
рассматриваются действительно как меры различий между этими
вариантами и эти меры могут быть названы отклонениями вариант
друг от друга.
б) Если, наоборот, рядом стоящие варианты X не имеют между
собби постоянного различия, мы можем вставить, по крайней мере
мысленно, между действительными вариантами воображаемые
варианты, с тем, чтобы получить последовательность равнопромежуточных
вариант.
Далее этим новым вариантам можно сопоставить, как это мы делали
раньше, последовательные члены арифметической прогрессии, так что
после удаления, если это будет нужно, воображаемых элементов,
действительным вариантам X будут, как правило, соответствовать члены
этой прогрессии, не являющиеся последовательными, и они-то в
дальнейшем могут явиться основой для численного исследования данного
ряда.
в) Если, наконец, признак X является непрерывным, следует
разбить сплошной цикл на совокупность дискретных частичных классов
или классов — вариант с тем, чтобы эти различные варианты могли
рассматриваться как равнопромежуточные.
Условившись об этом по аналогии с тем, что мы установили в
отношении порядков, примем следующий общий принцип:
Пусть дан прямолинейный ряд, являющийся функцией качественного
признака Ху и вариантам Хь этого признака сопоставлены числа.xt
так, как мы это указали выше. Произведем над этими числами те же
самые операции, которые, будучи применены к мерам количественных
признаков (или к линейным преобразованиям этих последних), давали
в результате среднюю арифметическую, медиану и моду порядков,
основанных на этих признаках. Если результаты этих действий
сохраняют смысл в отношении данного ряда, принимают, что эти
результаты являются средней арифметической, медианой или соответственно
модой данного ряда.
297

В частности:
Средняя арифметическая является вариантой А признака X,
соответствующей действительному числу
а = -
2^
Поскольку, кроме того, средняя арифметическая порядка может
быть также определена как варианта, при которой алгебраическая
сумма отклонений превращается в нуль, или как варианта, при которой
сумма квадратов отклонений является наименьшей, или как центр
тяжести точек, представляющих соответственно взвешенные варианты,
поэтому и для прямолинейных рядов можно отнести к средней
арифметической любое из этих определений.
Медиану образует та варианта Хг признака X, при которой
суммы значений F, соответствующих вариантам X, предшествующим
Xj, равны полусумме всех значений Y или меньше ее, но с
добавлением значения Y соответствующего Хи будут больше этой полусуммы.
Мода — это та варианта, которой соответствует наибольшее
значение Y.
Пример. Рассмотрим следующий прямолинейный ряд, в
котором варианты признака X представлены рангами А, В; С, D
служебной иерархии, а значения признака Y — числом людей, обладающих
такими рангами:
варианты X: А В С D,
значения Y: 7 4 2 1.
Рангам можно сопоставить соответствующие размеры жалованья,
в результате чего ряд преобразуется следующим образом:
X': 10000 15000 20000 25000
Y': 7 4 2 1
Средняя арифметическая ряда будет поэтому определяться
вариантой, которой соответствует значение:
_ 10000-7 + 15000-4 + 20000-2 + 2500-1 - onOQ -
7+4+2+1
г. е. счетной вариантой, заключающейся в промежутке между рангом А
и рангом В. Эту варианту можно рассматривать как ранг А с
соответствующим служебным стажем.
Медианой является варианта, занимающая среднее место в
возрастающей последовательности вариант. Так как членов
последовательности насчитывается 14, медиана равняется средней арифметической
двух вариант, занимающих седьмое и восьмое место, т. е. средней
арифметической вариант А и В. Ее можно рассматривать как ранг А со
служебным стажем, равным половине стажа, необходимого для
перехода из ранга А в ранг В.
Наконец, мода равна варианте, которой соответствует наибольшее
значение Y, т. е. рангу Л.
298

§ 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Пусть дан циклический ряд X. Его варианты следуют друг за
другом в двух противоположных натуральных порядках, из которых один
называется положительным, а другой — отрицательным. Однако
в противоположность тому, что мы наблюдаем в прямолинейных
признаках, варианта В следует за вариантой Л как в положительном, так
и в отрицательном направлении. Поэтому и различие между Л и В
можно определять двояким образом: обозначения (АВ) и (АВ)
употребляются для указания различия от Л к В, определяемого
соответственно в положительном и отрицательном направлениях.
Различия от Л к В в одном направлении и от В к Л в обратном направлении
называются «противоположными».
Приняв эти условия, нетрудно истолковать следующие формулы:
(АВ)=—(ВА); (АВ)=—(ВА);
(ВА) = -(АВ); (ВА)=-{АВ);
\Щ= \ВА\; \АВ\ = \ВА\;
(АС)= (АВ) + (ВС);
{АС)= (ЛВ) + (ВС).
«Широтой цикла изменения X» называется сумма различий от Л к В
и от В к Л, рассматриваемых в одном и том же направлении.
Написанные выше равенства становятся наглядными, если
уподобить варианты циклического признака точкам окружности, а два
возможных различия от Л к В — двум дополнительным дугам, крайние
точки которых изображают варианты Л и В.
Чтобы устранить двусмысленность выражения «различие от Л к В»,
следует принять за различие ту из двух дуг, которая меньше по
абсолютной величине, т. е. меньше полукруга по абсолютной величине,
если только различия от Л к В не одинаковы в обоих направлениях,
когда безразлично, из какого направления мы будем исходить.
Определенное таким образом различие называется «базовым»,
и впредь мы будем понимать под выражением «различие от Л к В»
базовое различие, обозначая его (АВ).
Кроме того, следует условиться о том, что положительным
направлением в круге является направление против часовой стрелки.
Договорившись об этом, переходим к доказательству того, что
рассмотрение базовых различий циклического качественного признака
приводит к тому, что каждой его варианте сопоставляется
действительное число.
Предположим сначала, что различие между последовательными
вариантами постоянно и равно Н. Получаемые таким образом ряды
называются «равнопромежуточными с разностью Я». Сопоставив затем
299

постоянному различию Н некое действительное число h, мы увидим,
что широта цикла будет равна sh, где s означает число вариант;
если же примем h = 1, то получим для широты цикла более простое
выражение — целого числа s.
Если число вариант цикла четное, каждой из них соответствует
противоположная варианта; если оно нечетное, рассматриваются как
противоположные любой варианте две такие варианты, которые имеют
наибольшее по абсолютной величине отличие от нее.
Если число s нечетное, т. е. s = 2k + 1, в качестве единицы
различия примем различие между двумя последовательными вариантами
и в качестве начальной варианты — любую из них, и сопоставим ей
действительное число т\ к последовательным вариантам в
положительном направлении сопоставим числа т+1, т + 2, ..., т + k
и к предшествующим вариантам—числа т—1, т—2, ..., т — k.
Если s четное, т. е. если s = 2k, можно повторить сказанное выше,
с той только разницей, что варианте, которая противоположна
начальной варианте, соответствуют одновременно два числа: т±й.
Если варианты цикла не равнопромежуточные, допускают, что с
практической точки зрения можно вставить между действительными
вариантами другие, фиктивные варианты, которые называются
сопутствующими, с тем чтобы получить циклический равнопромежуточныи
ряд. Этим вариантам придают нулевые значения признака Y,
связанного с признаком X.
Если, наконец, признак X является непрерывным, надлежит
разбить непрерывный цикл на дискретную совокупность частичных
классов или классов вариант с тем, чтобы эти последние могли
рассматриваться как равнопромежуточные.
Итак, мы показали соответствие, которое можно установить между
действительными числами и вариантами циклического признака,
однако ясно, что при исчислении средних в случае циклических
признаков нельзя поступать так, как мы это делали в отношении
прямолинейных признаков, поскольку в этом случае уже теряет смысл данное
для количественных признаков определение средней как величины,
содержащейся между первой и последней вариантой.
Однако исчисление средней можно осуществить, принимая за опре*
деление «средней варианты» одно ее характерное свойство,
независимое от наличия первой и последней варианты, исходя из следующего
сформулированного Гаикелем принципа сохранения формальных
законов.
Для класса величин (А) определим при помощи (D) некую
операцию (О), обладающую определенными характерными особенностями
(Р), в силу которых в классе (А) можно при определении (О) заменить
(D) совокупностью свойств (Р). Если класс (А) расширить,
преобразовав его в новый класс (А ), в котором определение (D) утрачивает
смысл, но в то лее время возможно определить операцию, которая
в (А') обладает характерным свойством (Р) и превращается в (О),
будучи применена к элементам (А), этой операции придается то же
наименование, какое дается (О).
300

А. Средняя арифметическая
а. Расширение понятия средней на основе свойства 2(**—А) = 0.
Средняя арифметическая циклического ряда может быть определена
как та варианта Xit при которой алгебраическая сумма отклонений
(мер различия) от нее других вариант, соответственно умноженных
на соответствующие значения Y, равна нулю.
Таким образом, Xt является средней, если:
S-1
2 kYl+lt = Yi+i + 2Yi+2 + ...+
--^
(при нечетном s)
или, если:
2 kYt+k = Yt+i+2Yt+2 + ...+
(при четном s),
при условии, что варианта, противоположная Хи т. е. Хц±8/2),
распадается на две варианты, причем первой из них, отодвинутой
от Xt на s/2, соответствует значение Y, равное l/2VVfs/2, тогда
как второй, отодвинутой на — s/2, соответствует значение Y, равное
также 1/2 Yi+S/2.
Сумма отклонений от средней арифметической называется первым
моментом, и обозначается ^(Х).
Таким образом, средней арифметической можно дать следующее
определение:
Варианта Xt представляет собой среднюю арифметическую, если
по отношению к ней первый момент \*>\(Х) данного ряда превращается
в нуль.
Пример 1. Предположим, что на два дня недели приходится
пять событий: три на среду и два — на пятницу. Введем остальные
5 дней недели (сопутствующие варианты) с весами, равными нулю,
чтобы получить равнопромежуточный циклический ряд (рис. 32).
301

Взаимные отклонения вариант ряда видны из следующей таблицы:
'^\До
От ^^ч
Я
Вт
Ср
Ч
Пт
с
В
п
0
— 1
—2
—3
3
2
1
Вт
1
0
— 1
—2
—3
3
2
Ср
(У = 3)
2
1
0
— 1
—2
—3
3
Ч
3
2
1
0
—1
—2
—3
Пт
-3
3
2
1
0
—1
—2
С
—2
—3
3
2
1
0
— 1
в
— 1
—2
—3
3
2
1
0
Обозначая при помощи ^(П), ^(Вт), и т. д. первые моменты по
отношению к понедельнику, вторнику, ..., будем иметь:
МЛ) = 0-0+1-0 + 2-3 + 3-0 —3-2—2-0—1-0 = 0;
МВт) = —1-0 + 0-0+1-3 + 2-0 +3-2 —3-0—2-0 = 9.
Аналогичным образом получаем для прочих дней недели:
МСр) = 4; М*У)=-1; МЛт)=-6;МС)=-11; M*) = 5.
Следовательно, определение средней оправдывается для
сопутствующей варианты — понедельника.
Or
Рис. 32
Пример. 2. Пусть даны четыре события, из которых три
произошли в понедельник и одно — во вторник. Мы находим:
М/7) = 2; М?) = -Ю;
МВт) =—2; МЯт) = 7;
МСр) =-6; MQ = 3;
l*i (В) = 6.

Таким образом, определение средней не оправдывается ни для одной
из вариант, будь то действительная или сопутствующая.
Этот пример показывает, что если рассматривать только варианты
признака X с целыми отклонениями, то определение средней
арифметической может утратить смысл.
Поэтому всесторонний анализ проблемы требует, чтобы, кроме
вариант с целыми отклонениями, подверглись рассмотрению также
варианты с дробными отклонениями. Такие варианты называются
«счетными».
Введя такие варианты, мы увидим, что определение средней
оправдывается, например, для счетной варианты Р, имеющей отклонение
4/5 от среды, в первом примере, и для варианты Q, имеющей
отклонение 1/2 от понедельника, — во втором примере.
Взаимные отклонения показаны в следующей таблице:
В первом примере мы имеем:
(х1(Р)=—14/5-0 —9/5-0 —4/5-3+1/5-0 + 6/5.2 +
+ 11/5.0 + 16/5-0 = 0,
во втором примере:
|x1(Q)=—1/2-3+1/2-0 + 3/2-1 + 5/2-0 ±
±7/2-0—5/2.0—3/2-0 = 0.
Поэтому определение средней арифметической на основе
превращения в нуль первого момента должно быть видоизменено, причем этот
момент должен рассматриваться как функция непрерывной переменной
X, способной охватить все варианты, представленные всеми точками
круга.
В соответствии с принятым нами определением могут представиться
три вида средних арифметических:
1) средняя арифметическая обычная: если функция \i±(X) в ней
равна нулю и непрерывна;
2) средняя арифметическая особого рода: если jli^X) в ней равна
нулю и прерывна справа и слева;
3) средняя арифметическая, являющаяся пределом справа или слева:
если [^(Х) в ней отлична от нуля, но стремится к нулю, соответственно,
справа или слева.
Рассмотрим теперь метод, при помощи которого можно определить
такие средние. Для этого достаточно изучить, как ведет себя функция
[1г(Х) при изменении, положения на окружности точки, изображающей
варианту, которую принимает признак X, предполагая, что это изме-
303

нение происходит непрерывно, тогда как s действительных и
сопутствующих вариант X образуют дискретную равнопромежуточную
совокупность.
Назовем затем сумму ^Yt моментом нулевого порядка,
обозначив его через fx0. Пусть даны упорядоченные в положительном
направлении точки Х19 Х2, ..., Xt, Xt+i, ..., Хр, изображающие те
p<^s вариант X, которым соответствуют не равные нулю
значения У, и пусть эти значения будут Ylt Y2, ..., Yt, Yt+\, ..., Yp\
обозначим далее через Хи Х\, ..., Х'и Х/+ь ..., Хр точки круга,
соответственно противоположные первым. Разумеется, варианты
Хъ Х2, ..., Хр, как правило, не будут равнопромежуточными.
x,(Zl)
Предположим вначале, что s нечетно, так что точки Х\, Хг, ...,ХР
будут находиться в середине дуг, определяемых
последовательными парами точек, изображающих s вариант цикла (рис. 33).
Пусть 0 будет какая-нибудь начальная точка, находящаяся внутри
дуги (X'.X't+i), X — какая-либо точка внутри этой же дуги, ахи
Xt — отклонения X и Xt от 0, причем Xt — любая из вариант
признака X, для которых соответствующее значение Y не равно нулю.
Поскольку все три точки —О, X и Хг—находятся в одном
полукруге, который определяется диаметром Xt+\ X't+\ или
диаметром Xt X\, мы будем иметь:
(XXi) = (0Xi)-(0X) = xi-x.
Поэтому функция fii(X), поведение которой мы хотим рассмотреть,
будет иметь в точке X значение:
(1) г(х =МХ) =Il{XXi)Yi= txiYt-xJlYt^
= |x1(0)—\i0x.
304

Если х таково, что мы имеем
(2) z(x)=2txiYi-x%Yt = 0,
т. е.
(3) х= S^y<=KLW-.
то точка, а следовательно, и варианта X, соответствующая х, будет
средней арифметической в широком смысле слова.
Посмотрим теперь, в каких случаях она будет средней обычной,
средней особого рода или средней-пределом. Для этого примем во
внимание, что функция г(х) в формуле (1) изображается в системе
декартовых координат прямой линией, начальной ординатой которой
является %XiYi, а угловой коэффициент равен —2Fj.
Если мы представим себе теперь систему декартовых координат,
в которой на оси абсцисс откладываются варианты Xl9 Хг, ..., Хр и
противоположные варианты Х\,Х\, ..., X' , мы увидим, что внутри
каждого из интервалов, аналогичных X't X't+i, функция ^(Х)
является линейной и поэтому и непрерывной и что, кроме того, она
изображается отрезком прямой с угловым коэффициентом
отрицательным и равным —[х0 = —2Yif каков бы ни был интервал.
Остается выяснить, как ведет себя функция (lx1(X), когда она
пересекает крайние точки указанных интервалов, и тогда мы будем иметь
полную картину.
Очевидно, что когда X находится в одной из указанных крайних
точек, например в X' t+ly значение функции ^(Х) можно получить,
суммируя отклонения различных вариант от XVi-i> помноженные на
соответствующие значения Y, пропуская, однако, варианту X^+i,
диаметрально противоположную X' t+lf которая по сделанному нами
предположению должна рассматриваться как распавшаяся на две
варианты, отклонения которых относятся соответственно к
положительному и отрицательному полукругам и которым соответствуют два
значения Y, равные 1/2 Yt+i- Поэтому имеем:
(4) \ll(X't+l) = XiYi + ... + XtYt + Xt+2Yt+2+...+
р
+ XpYp—x't+i 2 У и
подразумевая, что отклонения по-прежнему измеряются от начальной
точки 0.
Если, наоборот, X стремится к Х/+1 с левой стороны, функция
|ы1(Х) стремится к тому значению, которое можно получить,
прибавляя к \L\(Xt+\) значение варианты Х/_|_ь отклонение которой
от Xt+\ равняется пределу отрицательного полукруга, т. е. —s/2,
и которой соответствует значение Y, равное Yt+\.
И Зак. 401
305

Поэтому:
(5)
lim s[ii(X) = Hi (X't+\)— s/2Yt+i.
x->x
/+i
Аналогичным образом получаем:
(6) lim d\ii(X) = iLl(X't+i) + s/2Yi+l.
x^xt+l
Итак, мы можем сделать вывод, что функция fx^X), проходя через
точку X't+lf перескакивает от значения (5) к значению (6),
причем разрыв функции измеряется выражением:
(7) lim d\i\(X)— lim s\ii(X) = sYt+u
x->xfJr{ x->x/+1
между тем как значение ^(XJbX'^ равно полусумме двух пределов
(5) и (6) слева и справа, т. е.
Mx;+i)==l/2f lim sjlii (X)+ lim d\ix(X)\.
\x-*xt+l x-+x't+\ j
Из этого соотношения следует, что
[i,(x;+,)=o
только в том случае, если
(8) lim s\i1(X)=— lim d\i1(X).
x-+xt-\-\ x^xt+\
Все вышесказанное может быть отнесено и к тому случаю, когда
число вариант четно, с той лишь разницей, что точки Х\, Х'2, ..., Х'р,
диаметрально противоположные точкам, изображающим
варианты, при которых соответствующее значение Y не равно нулю,
совпадают с точками, изображающими прочие варианты.
Рис. 34
Рис. 35
Таким образом, можно в заключение сказать, что в различных
интервалах, как, например, (Х%Х%+1), [i^X) изображается отрезками
прямой, имеющими одно и то же направление, определяемое угловым
коэффициентом —2Fj = —|i0. Разрыв в каждой конечной точке между
306

двумя смежными отрезками равен произведению sYt+ly т. е. числа s
вариант на значение Y, соответствующее варианте,
противоположной этой крайней точке; и значение, которое здесь принимает функция
МаМ» равняется полусумме пределов справа и слева.
Поэтому мы имеем:
1) если отрезки пересекают ось абсцисс в точке, находящейся
внутри рассматриваемого интервала (рис. 34), она изображает обычную;
среднюю, поскольку в таких точках функция (хх(Х) превращается
в нуль и является непрерывной;
\хс+г
Рис. 36
2) отрезки, которые не пересекают ось абсцисс, но имеют с ней одну
общую крайнюю точку, изображают в этой точке среднюю,
являющуюся пределом справа или слева. В этой точке, являющейся точкой
разрыва, pti(X), равная полусумме двух пределов справа и слева, будет,
очевидно, отличной от нуля (рис. 35);
3) если крайняя правая точка отрезка и крайняя левая точка
последующего отрезка одинаково отстоят от оси абсцисс, то мы имеем здесь
изображение средней особого рода. Величина [ii(X) в данном случае
равна нулю, так как она
представляет собой
полусумму двух величин,
одинаковых по абсолютной
величине и
противоположных по знаку (рис. 36);
4) если, наконец,
отрезок не пересекает оси
абсцисс, его продолжение
пересекает ее в точке, изобра- ^ ^
Рожающей величину,
которую принято называть
«воображаемой средней»
(рис. 37).
Средние обычные и особого рода называются приемлемыми
средними, так как в них первый момент равен нулю, хотя в первом
случае он является непрерывным, а во втором — разрывным. Наоборот,
средние пределы и воображаемые средние называются неприемлемыми,
так как в них первый момент не равен нулю.
'*♦/
Рис. 37
И* 307

Значение функции (ii(X) внутри интервала, отличного от
интервала (X't X'f-j-x), можно определить, принимая точку О внутри
этого интервала за начальную точку и выполняя далее те же операции,
что и в предшествующем случае. Однако если учесть, что функция (ii(X)
является линейной и что в точке, разделяющей два последовательных
интервала (X'ft_xX^) и (Xk X/4-1), наблюдается разрыв функций,
равный sYh, причем она сохраняет постоянное направление, то ясно,
что ее значение можно определить внутри интервала с порядковым
номером k, сохраняя прежнюю начальную точку 0 и прибавляя к
значению, полученному для предшествующего интервала, величину sYt+k.
Таким образом, будем иметь:
г = [г1(0)—х\л0 У для 1-го интервала
z = \i1(0)—x\i0-\-sYt+\ для 2-го интервала
г = |ы1(0)—x\i0-\-sYt+i +sYt+2 Для 3-го интервала
z=\i1(0)—x\i0 + s(Yt+]-\-Yt+2+.-.+Yt-i) для (s—1)-го интервала
z = [хх (О) —x\i0 + s 2 Y = \i± (О)—x[i0 для последнего интервала,
совпадающего с первым.
Таким образом, значение х, превращающее в нуль
предшествующие соотношения, будет соответственно равно:
х = ^ ' для 1-го интервала
х= ^ +S ^+1 ,ДЛЯ 2-го интервала
а: = _ljl_l_l _] i±l_| i±£ для 3-го интервала
М-о Цо Н'О
для предпоследнего интервала
х— ^ ' И (F^+i + ^4-2 ...) для последнего интервала,
совпало |Х0
дающего с первым
Этот метод облегчает нахождение средних — обычных,
воображаемых и средних-пределов. Однако он не может быть использован для
нахождения средних особого рода.
Пример 1. Рассмотрим следующий циклический ряд:
Варианты X: П Вт Ср Ч Пт С В
Значения У: 5 3 1 6 3 0 5.
Нам надлежит рассмотреть 6 интервалов, определяемых точками:
П', Вт', Ср', Ч', Пт', В', (Л)'.
308

Внутри каждого из этих интервалов мы можем для простоты
принять за начало, учитывая, что s нечетно, точку соответствующей
варианты, т. е. по порядку:
Пт, С, 5, Я, Вт, Ч.
Рассматривая таблицу отклонений:
("^\Д°
1 °т ^^^>J
Пт
С
В
П
Вт
Ч
п
3
2
1
0
— 1
—3
Вт
—3
3
2
1
0
—2
Ср
—2
—3
3
2
1
— 1
ч
—1
—2
—3
3
2
0
Пт
0
—1
—2
—3
3
1
в
2
1
0
— 1
—2
3
сразу же получаем
от Пт: X
15 — 6 — 2 — 6+10 И
lj — 29 —=~22"' что С00тветствУет среднеи-
пределу слева, так как эта средняя приходится на крайнюю
правую точку интервала П' Вт'',
10+6 — 3—12—3 + 5 3
от С:ХТ
22
22
это отклонение обычной средней Г, так как оно находится внутри
рассматриваемого интервала Вт! Ср';
12
от В:ХШ = — «о ' эта сРеДняя неприемлема, так как
отклонение 12/22 лежит на точке, находящейся вне интервала Ср'Ч'
(воображаемая средняя);
о
от Я: Xiv = -92"—отклонение обычной средней Р;
от Вт: Ху = -у)—отклонение обычной средней Q;
2
от Ч: Xvi = ~22—отклонение обычной средней R.
Итак, данный ряд допускает четыре обычных средних
арифметических и одну среднюю-предел слева
Далее мы находим:
м>1 (Я') - 4,5, ^ (Вт') = 7, ^ (Ср') = — 4,5,
|x1(V')=-2> |i! (Я/л') = 7,5, MS') =-8,5.
Так как ни одно из этих значений не равно нулю, данный ряд не
допускает ни одной средней арифметической особого рода.
309

Пример 2. Рассмотрим следующий циклический ряд:
Варианты X: П Вт Ср Ч Пт С В
Значения Г: 52 07 000
Рассмотрев далее интервалы, определяемые точками /7', Вт!, Ч',
(Л'), находим среднюю, соответствующую одному из них, например
П', Вт', принимая за начало точку Пт.
2
Отклонение этой средней будет тогда от Пт: х = rj (обычная
средняя на отрезке П' Вт!).
Идя дальше в положительном направлении, мы увидим, что
последующие средние будут иметь одно и то же начало и для их отыскания
нужно к найденному значению отклонения х = 2/14 последовательно
sY-
прибавлять значения =~, пропорциональные последовательным при-
s 7
ростам (^(Х). Поэтому, поскольку в нашем примере =р^ = ^, все
средние данного циклического ряда можно найти при помощи
следующей таблицы:
Интервал
Ш'...Вт'
\Вт'...Ч'
\Ч'...П'
1
Про- |
верка
П' ...Вт'\
Варианта,

противоположная той,
через
которую
проходит точка
Вт
Ч
П
Значение
Y,

ветствующее этой
варианте
2
7
5
sYi
7
и
7
7
~14~
14
= 14
14
.5=-*-
14
Отклонение соответствующей
средней от Пт
2
2 14 16 2
Хи= 14 + 74 = 14 =1+14
16 49 65 9
Л'ш = 71+77 = 7Т = 4+14
65 35 2
Х'=ТГ + 14- = 7 + 14-
Найденные отклонения определяют 3 обычные средние Q, R, Р.
Отклонение (7 + 2/14) определяет исходную среднюю Q. Найдя
полусуммы последовательных пар значений:
9
равные
2 2
— 1+ —
14 ' 1П^ 14
— 2 +
14
4 +
14
7 + -М
1 ^ ну
12,5
14
12,5
14
310

мы убеждаемся, что ни одно из этих значений не изображает отклонения
от Пт ни одной из точек П', Вт' и У, поэтому данный ряд не
допускает средних арифметических особого рода.
В заключение даем графическое изображение ^(Х):
пт #N
Рис. 38
б. Расширение понятия средней на основе свойства
2(*г — Л)2 = тт.
Среднюю арифметическую циклического ряда можно определить
также следующим образом.
Варианта X называется средней арифметической, если сумма
квадратов отклонений других вариант от нее, помноженных на
соответствующие значения У, является минимальной, т. е. если:
S—1
2
(9)
2 kWi+k = (Yi+, + Yi-,) + 22 (К,+2 + Г <_2) + ... +
+ (-^—) /У. s-i + V. s_i\ = Min (при нечетном s) и
(Ю) 2 й2 ^+* = (^/+1 + Yt-i) + 22 (У,+2 + Y,-2) + ... +
k=~T
+ Y. s-2\ +
~^[~5~) (^Yi+-L + ~2~Yi+±-\==1^in (ПрИ четном s)-
311

Условимся, как обычно, что в этом последнем случае варианта,
противоположная Хи т. е. X s, распадается на две варианты, из которых
iJr2
одна с отклонением ^-, и другая — с отклонением — ^ по отношению
к Хи причем им обоим соответствует одно и то же значение У, а именно
Сумма квадратов отклонений называется вторым моментом и
обозначается (ы2(Х). Данное нами определение средней арифметической
может поэтому быть преобразовано следующим образом:
Варианта Xt циклического ряда называется средней
арифметической, если по отношению к ней момент |i2 W данного ряда является
наименьшим.
В отличие от предыдущего случая это определение никогда не теряет
смысла, так как всегда имеется по крайней мере одна варианта,
действительная или сопутствующая, по отношению к которой упомянутая
сумма оказывается абсолютным минимумом.
Пример. Рассмотрим циклический частотный ряд, образуемый
п = 22 событиями, следующим образом определяющимися по дням
недели:
Варианты X: П Вт Ср Ч Пт С В (s = 7)
Значения Г: 5 2 16 3 0 5
Образовав, как обычно, таблицу взаимных отклонений различных
вариант, нетрудно исчислить 2&2Уг+/г в отношении каждой варианты.
В результате получим:
з
2 £2Уя+/е = (2 + 5) + 22(1+0) + 32(6 + 3) = 92;
/г=—3
2£27ср+* = 85;
2fcaKv+*=102;
2£2^r+/e = 93;
2£2Гс+* = 79;
2£2Гв+/г=88.
Поскольку наименьшая из этих сумм (77) получена при условии,
что за начало отклонений принята варианта Вт, мы видим, что по
смыслу данного определения эта варианта является средней
арифметической ряда.
Однако данное определение может получить более общее значение,
если его отнести не только к действительным и сопутствующим
вариантам цикла, но также и к его счетным вариантам.
Сделаем те же самые предположения и замечания, которые были
использованы в предыдущем параграфе, но на этот раз уже не будем
проводить различия между случаями с четным и с нечетным s.
312

Если О и X являются соответственно произвольно взятой точкой
отсчета и любой вариантой, лежащей внутри интервала (Xt Х'^),
мы получим следующее значение функции ^(Х) в точке (X):
(И) l(x) = li2(X)^±(XXifYi =
= x^Yi-2x^xiYi + ^xfYr-^
^^x2—г^о^+МО)-
Если мы отнесем это выражение к обычной системе декартовых
координат, мы сразу увидим, что оно обозначает внутри интервала
(X' t X' /+1) дугу параболы, расположенную над осью абсцисс и
обращенную к ней своей выпуклостью.
Для того чтобы для данного X соотношение (11) имело наименьшее
значение, необходимо и достаточно следующее условие:
П*) = 2|х0х—2М0) = 0; П*) = 2|л0>0,
т. е. чтобы
(12) * = JV^' »*о>0,
причем неравенство справедливо по предположению, и, кроме того,
чтобы
(13) ** < * < **'-и •
Условия (12) и (13) —те же самые, которые определяют среднюю
арифметическую обычную, в смысле первого определения, внутри
интервала (X't X' t+i)- Из этого мы делаем вывод, что средние,
соответствующие относительным минимумам, в широком смысле второго
определения являются обычными средними арифметическими, в смысле
первого определения.
Если
(14) x = Xt или jc = л;/_|_ 1,
то упомянутая дуга параболы имеет наименьшее значение в той или
иной из двух крайних точек интервала (X' t X' t+-d в зависимости от
того, является ли средняя, согласно первому определению, средней-
пределом справа или слева.
Наконец, если ни соотношение (13), ни соотношение (14) не имеют
места, эта дуга параболы, т. е. (ы2(Х), не имеет минимума,
находящегося внутри интервала (X't X't+i).
Предположим теперь, что мы миновали точку X' t+\- Выражение
второго момента (формула 11) окажется видоизмененным. В самом
деле, в то время как X приближается к точке X'' t+i, пересекает и
мцнует ее (на достаточно коротком протяжении), отклонение Xt-\-x
313

от X будет сначала расти по абсолютной величине, сохраняя отрица-
с S S
тельные значения вплоть до — j, затем сделает скачок от -. к ~- и
далее будет убывать, так что квадрат этого отклонения, входящий в
формулу fx2(X), будет сохранять непрерывность; точно так же [х2(Х), будет
сохранять непрерывность в той своей части, которая зависит от всех
прочих вариант Хь Х2, ..., Хи X*+2, •••, Хр. Отсюда мы делаем вывод,
что момент прохождения через X't+lf т. е. точку, противоположную
какой-либо варианте, второй момент |и2(Х) сохраняет непрерывность
даже в том случае, если в этой варианте соответствующее значение Y
отлично от нуля. Таким образом, не существует средних особого рода.
Кроме того, замечая, что отклонение Xt+ior X равно:
(XXt+i) = Xt+i—x,
пока X находится в полукруге, предшествующем точке Xt+\ в
положительном направлении, между тем как оно превращается в
(XXt+)) = Xt+i—x + sy
когда X переходят в полукруг, следующий за Х/+1, мы делаем
вывод, что, подставляя в выражение |а2(Х), действительное в
интервале Xt, ..., Х/_|-ь вместо величины
(xt+\ —х)2 Yt+\ = (х*+\ —2xxt+i + х2) У/+1
величину
(xt+i —x + s)2 Yt+\ = (дс?+1 — 2xxt+\ + x2 + 2sxt+i — 2sx + s2) Yt+U
мы сразу же получаем выражение для |ы2(Х), действительное в
интервале, Xt+i, ..., X' t+2, следующем за первым, если начальной точкой
по-прежнему остается 0.
Таким образом, это выражение для |я2(Х) примет вид:
(15) l(x) = ii2(X) = ii0x2-2(ii1(0) + sYt^)x +
+ (\x2(0) + s2Y^i + 2sxt^Yt+i).
Это уравнение также является уравнением дуги параболы,
смыкающейся с первой дугой в точке Х'^.
Равным образом из формулы (15) можно найти выражение |я2(Х),
действительное в интервале Х%+2, ..., Х%+з, путем прибавления
величин:
—2sYt+2 и s2Yi+2 + 2sxt+2Yt+2
соответственно к коэффициенту х и к свободному члену; и так
далее вплоть до получения выражения для fx2(X) в интервале
X/'_i, ..., Xt, которое получается из предыдущего выражения
в интервале Х^_2, ..., Xt-\ при помощи соответствующих
добавлений величин:
—2sYt-\ и s2Yt-i + 2sxt-i Yt-\
о14

ко второму и последнему коэффициентам. Таким способом можно найти
выражение для |ы2(Х) любой варианты X цикла.
Выполняя еще раз указанную операцию, т. е. прибавляя к
коэффициенту х и к свободному члену |ш2(Х) соответственно
— 2sYt и s2Yt + 2sxtYt,
мы получим
^о-^2 — 2 (M^i (0) + s\i0) x + (\i2 (0) + s2 \x0 + 2s(ii (0)) =
= ^0 (* —S)« —2|A! (0) (X — S) + [ia (0).
Это и есть выражение fx2(X), которое мы уже раньше
получили для начального интервала X'и ..., X't+l9 так как ясно, что,
поскольку мы сохранили исходную точку 0, отклонение X возросло после
одного оборота на s.
Итак, функция fx2(X) геометрически изображается в системе
прямоугольных декартовых координат совокупностью параболических дуг,
лежащих над осью абсцисс и расположенных в соответствии с
последовательными интервалами, как, например, X'и ..., Х'^. Каждые две
смежные дуги примыкают друг к другу в крайних точках этих
интервалов, однако они не связаны друг с другом, т. е. не имеют в крайних
точках общих касательных.
В самом деле, взяв производную по х функций £(х) в формулах
(11) и (15), мы получаем соответственно:
П*) = 2|*о*-2МО);
П*) = 2|х0*—2М0)—2s1Vm,
откуда видно, что в момент прохождения через точку X' t+i в
положительном направлении в функции \i2(x) происходит разрыв величиной
в—2sYt^-1. Это значит, что точка, общая двум смежным дугам параболы,
не может быть точкой наименьшей ординаты одновременно для обеих
дуг.
Итак, средние арифметические в широком смысле слова, как
совпадающие, так и не совпадающие с какой-либо действительной вариантой,
могут соответствовать как относительным, так и абсолютному
минимумам величины |л2(Х).
Первые из таких средних — те, которые соответствуют возможным
минимумам рассматриваемых параболических дуг и совпадают с
обычными средними в смысле первого определения. Если мы хотим, далее,
выбрать из этих средних ту или те, которые соответствуют наименьшей
из минимальных точек, достаточно взять из этих средних те, которые
являются абсолютным минимумом.
Средним, которые согласно первому определению являются
предельными слева или справа, соответствуют общие для двух смежных дуг
параболы точки, в которых одна из дуг имеет касательную,
параллельную оси абсцисс.
Не существует средних особого рода. Такие средние по первому
определению соответствуют точкам, в которых смыкаются две смежные
315

дуги параболы, симметричные по отношению к оси, проходящей через
эту точку перпендикулярно к оси абсцисс.
Вернемся к примеру, приведенному на стр. 312, где единственной
действительной вариантой, удовлетворяющей соотношению |л2(Х) =
= min, является Вт.
Согласно этому же определению, средние в широком смысле слова,
соответствующие относительным минимумам |л2(Х), — это четыре
обычных средних в смысле первого определения, как указано в примере
на стр. 308 —309.
Поэтому перейдем теперь к средним в широком смысле слова,
соответствующим абсолютному минимуму |ы2(^); мы сможем с этой целью
найти вторые моменты, относящиеся к этим четырем средним, и выбрать
из них ту или те, для которых этот момент является наименьшим. Но мы
предпочитаем вместо этого рассмотреть уравнения последовательных
дуг параболы и выбрать ту варианту или те варианты, которым
соответствует абсолютный минимум ординат, что позволит нам также дать
геометрическое изображение |х2(Х).
Если мы примем в интервале Ч'Пт' точку Я как начальную,
уравнение расположенной над ней дуги параболы будет £(#) = \lqx —
— 2[11(П)х + |12(Я), коэффициенты этого уравнения можно
подсчитать на основании следующей таблицы:
Таким образом, следуя процедуре перехода от уравнения одной дуги
параболы к уравнению дуги следующей параболы, можно построить
таблицу (см. табл. на стр. 317).
Рассматривая последнюю графу этой таблицы, мы видим, что
средняя арифметическая в широком смысле второго определения,
соответствующая абсолютному минимуму второго момента, является
единственной и совпадает со средней арифметической в смысле первого
определения, отклонение которой от Я равняется 29/22.
В заключение даем графическое изображение величины |х2(Х).
_1—i_!}53_4_J-4-^—МЧ—I—J-<H—'-Ч—L~
ПтВт'С Ср' в £//7 Пт'Вт С Ср В' Ч П'Пт ВТ'
Рис. 39
316

Интервал
Ч' ..Mm'
Пт' ...В'
В'...П'
П' ...Вт'
Вт' ...Ср'
Ср'...Ч'
Варианта,

противоположная той,
в которой
происходит
пересечение
Пт
В
П
Вт
Ср

Соответствующее
значение У
3
5
5
2
1
Величина
прибавляемая
к 2-му
коэффициенту
— 14-3 =
= —42
—70
—70
—28
— 14
Величина
s*Y.+
+ 25ЛГ.У.,
прибавляемая
к 3-му
коэффициенту
49-3 +
+14(—3)3=
= 21
49-5+
+ 14(—1)5=
= 175
49-5+
+ 14.0-5 =
= 245
49-2 +
+ 14.1-2 =
= 126
49-1 +
+ 14.2-1 =
= 77
Уравнение дуги
параболы
С = 22 *2— 16х+92
С = 22*2 — 58х +
+ 113
С = 22*2 — 128* +
+ 288
С = 22*2 — 198* +
+ 533
С = 22*2 — 226*+
+ 659
С = 22*2 — 240* +
+ 736
Отклонения обычных
средних
арифметических от П
(см. прим.)
8
х1~22
7 29
х1\ — 1+22 = 22
2 64
*Ш = 3 — 22 = "22
3 113
*v —5 + 22= 22
Второй момент этих
средних
/ 8\ 1960
С \22)~ 22
/29\ 1645
С [22J - 22
/ 64\ 2240
С 1^22/ = 22~~
/113\ 1729
С \ч 22J ~ 22

в. Расширение понятия средней арифметической на основе ее
механического значения. Основываясь на механическом толковании
частотного порядка, циклический ряд можно представить двояким образом:
при помощи точек на окружности, на которой обозначены варианту
Xt переменной величины Ху подразумевая, что каждая точка Xt
обладает массой Yj;
или же при помощи векторов, выходящих из центра С этой
окружности в направлениях СХЪ СХ2у ..., СХ8и с соответствующими
модулями Yb Y2, ..., Ys.
В соответствии с первым из этих методов можно сказать, исходя из
принципа сохранения формальных законов, что любой центр
равновесия окружности представляет варианту X, являющуюся средней
арифметической данного ряда.
Если же мы применим второй метод изображения средней, то после
нахождения равнодействующей этой системы векторов получим
следующие ее характеристики: она будет иметь определенное
направление, пересекая окружность в некоторой точке G, и определенный
модуль. Точка G явится изображением средней арифметической данного
ряда. Такой метод определения средней имеет очевидное
преимущество по сравнению с предшествующим, поскольку, за исключением
случая, когда сумма векторов равна нулю, т. е. когда они
представляют систему сил, находящуюся в равновесии, точка и варианта G
определяются однозначным образом.
Определим в первую очередь центры равновесия окружности
(лежащей в вертикальной плоскости), некоторые точки которой Xlt Х2у ...,
Xs, находящиеся друг от друга на равных расстояниях, обладают
массами Ylt Y2y ..., Ys. Предположим, что при движении по окружности
в положительном направлении от точки Хг мы последовательно
проходим через точки Х1у Х2у ..., Xs. В этом случае хг = х будет
обозначать наименьшую длину дуги, заключенной между точками Р и Х1У
где Р обозначает произвольную точку окружности. Длины дуг,
заключенных между Р и всеми точками Х1уХ2, ..., Xs, можно найти в
приводимой таблице:
Точки
окружности
xt
Хг
Хг
Xs
Длина дуг от точки Р (в
положительном направлении)
X i =I X
2я
х2 = х-\- —
2я
xt = x+(i — 1) —
2я
xs = x + (s— 1) —
Значения У
Yi
Уг
Yi
Ys
318

Для того чтобы Р был центром равновесия окружности, необходимо
и достаточно, чтобы направление силы тяжести было параллельно
диаметру, проведенному через точку Я, и чтобы алгебраическая сумма
моментов, в отношении этого диаметра, весов Yl9 Y2, ..., Ys была
равна нулю, т. е. чтобы
или, иначе, чтобы
5J yf (sin л: cos (i — 1) — + cosx sin (i—1) — j =0,
или, короче:
(16) A sin x + В cos x = 0,
где
Л = К1СО80 + У2СО8^-+ ... +У.(/_1)^+ ... +
о S
+ FSC0S(S— l)-?p;
B = riSinO + K2sin^+ ... + Ytsin(i — l)^+ ... +
+ Fssin(S-l)^.
Из формулы (16) непосредственно следует:
tg*=-4,
откуда получаем для длины дуги х значения, соответствующие двум
диаметрально противоположным точкам окружности. Эти точки
являются центрами равновесия данной окружности и поэтому изображают
средние арифметические данного ряда в указанном выше смысле.
Следует отметить, что если А = 0, это означает, что сумма
проекций векторов, имеющих направления GXf и модули Yif на диаметр,
проведенный через точку Х19 равна нулю. Если А = 0 и В = 0, то
сумма этих проекций как на диаметр Х1у так и на диаметр,
перпендикулярный к нему, равна нулю (откуда следует, что нулю равна
аналогичная сумма проекций на любой диаметр). В этом последнем случае
значение tg x оказывается неопределенным, т. е. любая точка
окружности является центром равновесия. Это, в частности, имеет место,
если У\ = Y2 = ... = Ys, так как точки Xt предполагаются
равноотстоящими друг от друга.
Разумеется, центры равновесия данной окружности можно легко
определить и в том случае, если точки Xlt X2y ..., Xs не являются
равноотстоящими. Поэтому средние арифметические,
соответствующие этим центрам, могут быть определены также и в случае неравно-
промежуточных циклических рядов.
319

Перейдем теперь к следующей форме изображения средних,
заключающейся в том, что варианты X1,X2l, ..., Xs и соответствующие
значения Ylt Y2, ...,^s уподобляются векторам, лежащим в одной
плоскости и выходящим из центра С некоей окружности, на которой
размещаются точки Xlt X2t ..., Xs. На окружности нужно определить точку
Q, через которую проходит равнодействующая векторов, имеющих
направления CXlf CX2, ..., CXS и модули Ylt Y2, •••» Уs-
Применяя те же обозначения, что и раньше, с той лишь разницей,
что точку Р заменяем точкой Q, мы находим, что необходимо и
достаточно, для прохождения равнодействующей через Q, чтобы сумма
проекций векторов на прямую, перпендикулярную к CQ, равнялась
нулю, т. е. чтобы
2KjCos(-=—д^ЕУ^пд^О,
и чтобы сумма проекций векторов на диаметр CQ не была
отрицательной величиной, т. е. чтобы
%Ytcosxt^0.
Сохраняя за А и В те же значения, которые мы придали им
раньше, мы можем написать следующие формулы, выражающие эти два
условия:
(17) A sin # +В cos л; = О,
(18) A cos х—В sin х > 0.
Формула [17] совпадает с ранее выведенной формулой [16].
Следует отметить, что, если А и В равны нулю, формулы (17) и (18)
справедливы при любом значении х и векторы образуют систему,
находящуюся в равновесии.
Пример 1. Типичным примером, который особенно ясно
показывает удобство уподоблять варианты X, вместе с соответствующими
значениями Y векторам, лежащим в одной плоскости, обобщая эту
систему при помощи равнодействующей этих векторов (причем средняя
арифметическая этого ряда будет изображена точкой, в которой
равнодействующая пересечет нашу окружность), является циклический ряд,
образуемый направлениями X ветра, дующего в определенной точке
в определенные промежутки времени, и частотами Y, относящимися
к отдельным направлениям.
Каждое из бесчисленных направлений ветра в рассматриваемой
точке определяется азимутальным углом, который оно образует с
основным направлением, например с линией запад-восток; однако на
практике горизонтальную плоскость, проходящую через эту точку, делят
на 8 или 16 равных углов, один из которых имеет биссектрисой
основное направление запад-восток, после чего все направления, попадающие
в каждый из этих углов, приравниваются направлению биссектрисы
этого угла, в результате чего получаются 8 или 16 циклических
равноотстоящих вариант, образующих направления розы ветров. Если
в определенный промежуток времени, например на протяжении одного
320

года, регулярно (обычно в 9.00, 15.00, 21.00) производились ветро-
измерительные наблюдения, причем каждый раз отмечалось
направление ветра, то каждому из направлений (Xlf Хг, ., Xs) розы ветров
будет соответствовать в совокупности наблюдений за этот год некоторая
частота (Ylf Y2, ..., Ys), и задача будет заключаться в том, чтобы найти
равнодействующую векторов, имеющих направления Xt и модули Yt.
Для разложения векторов мы примем в качестве направлений для
точки С, в которой расположен ветроизмерительный наблюдательный
пункт, направление С—Восток (ось абсцисс) и направление С—Север
(ось ординат), так что откладываемые на этих осях составляющие
вектора, имеющие направление CXt и модуль Yit будут равны:
Yt cos (Восток Xt) и Yt sin (Восток Xt).
Равнодействующая, или сумма векторов, будет иметь на этих
осях следующие составляющие:
2 Yt cos (Восток Xt) и 2 Yt sm (Восток Xt)
i= 1 i= 1
и поэтому ее модуль R будет равен:
Я2 = (2 У г cos (ВостшГх,.)}2 + (2 Yt sin (Восток Xt))\
так что отклонение этой равнодействующей от направления
С—Восток будет полностью определяться формулами:
2 7; cos (Восток Xt) . Seisin (Восток Xi)
cos a = =— Ч^ — sin а = ^ ' ^ — .
Варианта, или направление, определяемое углом а, является
средней арифметической циклического ряда, рассматриваемого согласно
изложенной механической схеме', можно также сказать, что
изображением такой варианты является точка, в которой наша окружность
пересекается найденной равнодействующей.
Пример 2. Рассмотрим цифры пропорциональные числам
браков, заключенных в каждый из дней недели в Риме в 1877—1886 гг.
Из каждых 10000 браков приходилось в среднем на
Понедельник 609
Вторник 47
Среду 943
Четверг 2593
Пятницу 30
Субботу 2549
Воскресенье 3229
Если рассматривать данные частоты браков как модули векторов,
выходящих из центра и проходящих через точки некоей окружности,
обозначающие варианты циклического признака «день недели», средняя
321

арифметическая в механическом смысле будет изображаться
отклонением равнодействующей этих векторов. Составляющие этих векторов,
если их отнести к системе прямоугольных осей g, rj, проведенных через
центр той же окружности, причем ось I проходит через точку —
варианту Я, показаны в следующей таблице:
Варианты
П
Вт
Ср
Ч
Пт
С
В
Отклонение от £
0
2я
Т
4я
Т
6я
т
8к
~Т
10я
7
12я
7
Частоты
609
47
943
2 593
30
2 549
3 229
10 000
Составляющие
на оси i
609
29,30
— 209,84
—2 336,20
— 27,02
— 567,21
2013,25
— 488,73
Составляющие
на оси -г]
0
36,75
919,36
1 125,06
— 13,02
—2 485,09
—2 524,54
—2 941,48
Итак, модулем равнодействующей этих векторов будет:
R = |/488,732 + 2941,482 = 2981,80,
и поэтому ее отклонение от £, учитывая знаки составляющих, будет
равно:
Ф = arc cos ~зУ =260°34'.
Следовательно, средняя арифметическая будет находиться
несколько дальше субботы.
Б. Мода
Обычное определение моды или нормы может быть непосредственно
применено к циклическим рядам. Если Y =5(Х) является частотным
циклическим рядом, модой будет любая из вариант X, которой
соответствует относительный максимум частоты У; однако в более широком
смысле то же самое определение моды можно применить и к тому
случаю, когда Y не является частотой X, но представляет собой какой-либо
количественный признак, с неотрицательными значениями, так или
иначе связанный с X.
322

Е. Медиана
Определение медианы, данное для порядков и прямолинейных
рядов, не может быть распространено на циклические ряды, так как
оно предполагает возможность расположить члены совокупности в
возрастающей или убывающей последовательности, что невозможно
осуществить в отношении циклических рядов, поскольку не
существует первой и последней варианты.
Поэтому определение медианы можно дать, используя принцип
сохранения формальных свойств. В самом деле, мы знаем, что в случае
порядков и прямолинейных рядов функция
(19) &(X)=2i\XXi\Yi,
1= 1
т. е. сумма абсолютных отклонений от X различных вариант цикла, —
отклонений, взвешенных при помощи соответствующих значений Y, —
приобретает наименьшее значение тогда, и только тогда, когда X
является медианой порядка или прямолинейного ряда; и, поскольку
функцию (19) можно, очевидно, построить и для циклического ряда, его
медианой может быть также названа варианта X, удовлетворяющая
условию, чтобы в(Х) была наименьшей величиной.
Поэтому задача заключается в том, чтобы изучить изменения в(х)
в случае циклического ряда и определить ее минимальные точки.
К этому мы сейчас и приступим, рассматривая отдельно случаи, когда
s является четным и нечетным числом.
Форма S(X) при четном s (s = 2k). Пусть Xt, Xt+lf Xt+2 будут три
варианты цикла, следующие одна за другой в положительном
направлении. Определим форму О(Х) в интервале (Xt, Xt-\-i), принимая
за начало Xt. Каково бы ни было положение X внутри Xt f...fXt+lf
диаметр, проходящий через X, делит s вариант на две системы по k
вариант в каждой:
Xt+\ XtA-2 ... Xt+k с отклонениями 1, 2, ..., k )
^ ^ ^ от начальной
и XtXt-\ ... Xt-k+\ = {Xt+k+\) с отклонения- точки х
ми 0, —1, ..., —6+1 I '"
Поэтому
e(X) = {\XXt+i\Yt+l + \XXt+2\Yt+2+ ... +]XXt+k\Yt+k} +
+ {|XX,+ft+i|r,+*+1+ ... +\XXt-i\Yt_l + \XXt\Yt},
или, обозначая х алгебраическое отклонение X от начальной
варианты Xt, будем иметь:
Q{X) = {(\-x)Yt+x + {2-x)Yt+2+ ... +(k-x)Yt+k} +
+ {(x + k-l)Yt+k+l+ ... +(x+l)Yi-l + (x + 0)Yt},
323

т. е.
(20)Q(X) = x{-Yi+l-Yt+2^...-Yt+k + Yt+k+i + ... + Yt^+Yt} +
+ {1У<+1 + 2У<+2+ ... +kYi+k + (k-l)Yt+k+i+ ... + 1-У,_,+
+ 0-Y,},
и, наконец:
(21) e(X) = Plx + qlt
где значение рг и <7i является очевидным. Итак, 0 (X) является
линейной функцией X в интервале Xt, ..., X/+i.
Аналогичным образом можно доказать, что 0(Х) является
линейной функцией х в интервале (X/+i Х/+2), так как л;
представляет собой отклонение X от новой начальной варианты X/+i; мы
будем иметь:
(22) в(Х) = ^{-К/+2-К/+з- ... -Yt+k+i+Yt+k+2+ ...+
+ К/ + Г/+1} + {1.Г/+2 + 2-К/+з+ ... + k-Yt+k+1 +
+ (ft-l)K*+*+2 + ... +l-F,+ 0.r,+1},
или
(23) S(X) = p2x + q2.
Сопоставляя формулы (20) и (22), мы сразу же видим, что
(24) p2 = Pl + 2Yt+l-2Yt+k+u
т. е., что в момент, когда X принимает значение Х^, функция в(Х)
сохраняет свой линейный и непрерывный характер, но коэффициент
X увеличивается на удвоенное значение Y, соответствующее этой
варианте, и уменьшается на удвоенное значение У, соответствующее
противоположной варианте.
Сопоставляя формулы (20) и (22), мы можем найти также
соотношение между <7i и q2\ однако наиболее простой способ определения q2
заключается в следующем. Поскольку функция 0(Х) сохраняет в точке
Xt+i непрерывность и в интервале X*,...,Х*+1 имеет начальной точкой
Xt, а в интервале Х<+1,..., Xt+2 соответственно Хм_ь мы должны иметь:
(Pl*+4l)x=l = (Р2*+?2)*=2,
или, иначе:
(25) q2 = Pi + Qi-
Это значит, что, проходя через Xt+lt свободный член уравнения
функции 0(Х) возрастает на величину, равную коэффициенту при х.
Формулы (24) и (25) дают рекуррентный метод для определения
выражения 0(Х) во всем цикле.
Геометрическим изображением 0(Х) в системе декартовых
координат, в которой на оси абсцисс откладываются варианты X, является
ломаная линия, состоящая из s отрезков. Проекции последних на
ось абсцисс представляют собой последовательные отрезки, как,
например, Хи...} Xt+X (рис. 40),
324

Интервалы
Ю...ЮВ
ЮВ...В
в...ев
ев...с
С...СЗ
СЗ...З
З...ЮЗ
ЮЗ...Ю
Проверка
1 Ю...ЮВ
1
Исходная
варианта
fO
ЮВ
в
ев
с
сз
3
юз
ю
Форма 0 (X)
(1)
8 х+58
4 * + 66
— 2 * + 70
— 6 * + 68
— 8 * + 62
— 4 *+54
2 *+50
6 лг + 52
8 х + Б8
Пересекаемые
варианты и
соответствующие
значения У
(2)
ЮВ, 5
B, 0
СВ, 4
C, 2
СЗ, 7
3, 3
ЮЗ, 6
/О, 3

Противоположные варианты
и
соответствующие значения У
(3)
СЗ', 7
3', 3
Ю'З', 6
/О', 3
Ю'Я', 5
В', 0
С'В', 4
С, 2
Вид последовательных
коэффициентов при х
функции © (X)
(4)
(8+Ю-14) х + д2
(4 + 0-6) х + д3
(-2 + 8-12) х + д,
(-6 + 4-6) х + дъ
(_ 8+14-Ю)^ + ^б
(_4 + 6-0)х + <77
(2+12-8) х + д8
(6 + 6-4) х + дг
q. = (\)x=\
(5)
д2 = 8 + 58
<7з = 4+66
?4= — 2 + 70
?5 = -6 + 68
<7б=-8 + 62
<7?=-4 + 54
^8 = 2 + 50
^ = 6 + 52

Наименьшая ордината такой ломаной, обязательно совпадающая
с ее нижней вершиной, т. е, с наименьшим значением функции в(Х),
будет соответствовать поэтому варианте X, которую можно
рассматривать как медиану циклического ряда. В этом смысле не исключена
возможность существования нескольких медиан одного и того же
циклического ряда: в частности, если в двух последовательных вариантах
цикла, например в Хги Xi+1, функция ®(Х) достигает своего
наименьшего значения, отрезок ломаной, находящейся над Xt ... Xt+lf будет
параллелен оси абсцисс, и любую варианту (счетную), находящуюся
между Xt и Xt+lf можно будет рассматривать как медиану данного
ряда.
Пример. Рассмотрим следующий циклический ряд:
Варианты X: Ю ЮВ В СВ С СЗ 3 ЮЗ
Значения Y: 3 5 0 4 2 7 3 6
В графе (1) приводимой ниже таблицы указаны выражения @(Х)
в последовательных интервалах. В первом из них, Ю—ЮВ, 9(Х) =
= 8л: + 58 вычислена непосредственно при помощи формулы (20).
В графе (2) указаны варианты, пересекаемые при переходе от каждого
интервала к следующему. Значения У этих вариант совмещены со
значениями Y противолежащих вариант, как это видно из графы (3).
В графе (4) показано образование последовательных коэффициентов
х и графа (5) дает значения члена q, независимого от х.
Функция @(Х) принимает наименьшее значение, равное 50, в
точке 3. Поэтому 3 следует рассматривать как медиану предложенного
циклического ряда.
Приводим график функции в(Х).
с с-з з ю-з ю /о-в в с-в с
Рис. 40
326
60\
50\
ьо\
30

Форма функции в(Х) при нечетном s (s = 2k + /). Пусть
по-прежнему Xt, X1+1, Xt+2 три последовательные варианты,
расположенные по порядку в положительном направлении. Поскольку
s предполагается нечетным, счетная варианта Xt+k+i,
противоположная варианте Xt+k+i, попадет в интервал между Xt и Xt+i,
тогда как счетная варианта Xt+k+2> противоположная Xt+k+2,
попадает в интервал между Xt+\ и Xt+2.
Мы сразу видим, что функция 0 (X) будет оставаться линейной
в каждом из интервалов Xt ... Xt+k+u Xt+k+i ... Xt+u Xt+\...
Xt-\-k-\-2, Xt+k+2 ... Xt+2 и в аналогичных последующих интервалах
так как она является суммой линейных функций в одних и тех же
интервалах. Поэтому достаточно будет непосредственно вычислить
в(Х), лежащую в первом (Xt ... Xt+k+i) из этих интервалов, и
посмотреть, как изменяется форма G (X):
а) в момент прохождения через счетную варианту Xt+k+\\
б) в момент прохождения через варианту Xt+\.
Возьмем за начало для измерения отклонений X в общем виде:
до X't+k+i— варианту Xt\ от Xt+k+\ до Xt+k+2 — варианту Xt+\ и
т. д.
а. При X, лежащем в интервале Xt ... Xt+k+\, обозначая через
х отклонение X и имея в виду, что отклонения других вариант от
Xt суть:
при Xt+\ Xt+2 . .. Xt+k
И При Xt-\ Xt-2 • • • Xt-k
мы имеем:
S(X) = {\XXt+i\Yt+l + ... +\XXt+k\Yt+k} +
+ {\XXt-k\Yt-k+ ... +\XXt-i\Yt-i + [XXt\Yt},
т. е.
S(X) = x{-Yt+i-Yt+2 ... -Yt+k + Yt-k+ ... +Yt} +
+ {l.Yt+i + 2.Yt+2... +kYt+i + kYt-k+ ... +l-Yt-i + 0-Yt}
и, наконец, в краткой формуле:
(26) S(X) = U1x + V1.
Если затем мы перейдем к интервалу Xt+k+i ... Xt+\ и
повторим аналогичное исчисление 6(Х), принимая за начало Xt+u мы
найдем:
(27) S(X) = U2x + V2,
где
U^-Yt+i-Yt+2- ... ~Yt+k-Yt-k + Yt-k+i+ ... +Yt.
327
соответственно
1, Z, ..., К
-1, -2,..., -k,

Отсюда мы получаем:
(28) U2 = U1-2Yi-k = U1-2Yt+k+l,
{поскольку t—k = t+ k+l mod (2&+1)}.
Что касается V2, то его можно легко вычислить, так как
©(X) является функцией, непрерывной повсюду, и, в частности,
в Xt+k+u поэтому, учитывая изменение начальной точки отсчета
при прохождении через Xt+k+\, мы должны будем получить:
(U1x + V1)x=l/2 = (U2x + V2)x=_l/2,
т. е.
(29) V^V^Ub-Yt+k+x.
Формулы [28] и [29] означают, что в момент прохождения
через счетную варианту X/+ft+i> противоположную Х/+/е+ь функция
©(X) остается линейной и непрерывной и коэффициент х уменьшается
на двойную величину У, соответствующего Х/д-л+ь тогда как
свободный счет уменьшается на ту же величину, взятую один раз, и возрастает
на величину, равную коэффициенту при х.
б. Сохраняя теперь начальную точку отсчета X/+i и вычисляя
значение в (X) в интервале X/_j_i ... Х/^+2, мы аналогичным
способом найдем:
Q(X) = U3x+Va,
где Ua=+Yt+l—Yi+i — ...—Yt+k—Y,-k + Yt-k+1 + ... + Yt, т. е.
(30) U3 = U2 + 2Yt+l.
Кроме того, мы сразу же найдем:
(U2x+V2)x=o = (U3x + V3)x^,
откуда
(31) V3 = V2.
Поэтому, как видно из формул (30) и (31), при прохождении функции
0(Х) через варианту Xt+l9 коэффициента увеличивается на двойное
значение Y, соответствующего этой варианте, тогда как член,
независимый от х, остается без изменения.
Поэтому , также и в этом случае, начиная с выражения в(Х) в
интервале Xt... X't k+v мы можем при помощи простых рекуррентных
и альтернативных операций получить выражения для в(Х) во всех
последующих интервалах цикла; в системе декартовых координат
Э(Х) будет по-прежнему выражаться ломаной линией, но на этот раз
число ее сторон будет не s, a 2s.
Пример. Рассмотрим следующий циклический ряд:
Варианты X: П Вт Ср Ч Пт С В (s = 7)
Значения У: 5 2 16 3 0 5
328

Мы непосредственно вычисляем форму в(Х) в интервале (Я— Пт')
и находим, что в(Х)=4х+ 36. Выражения Q(X) в 13 следующих
интервалах определяются при помощи описанных выше простых
рекуррентных операций, как это видно из таблицы на стр. 330.
&(Х) достигает своего наименьшего значения (36) как при
варианте В, так и при варианте Я, каждая из которых, таким образом,
может рассматриваться как медиана данного цикла.
Ниже приводим графическое изображение &(Х).
60г
30
20
10
П1
_i
Вт'
-*-
Ср'
-• f-
г
Пт С В П
X - относительные минимумь/ 6(х)
Ф - абсолютные минимумы 6(х)
Рис. 41
</' Пт' С1 В' /7'
1 ' *—J
-X—
Вт
СР
Однозначное определение медианы. При определении медианы мы
видели, что ее отыскание может повести к неопределенности в том
смысле, что все значения интервала между двумя величинами могут
оказаться медианами рассматриваемых величин.
Мы рассматривали, кроме того, разработанный Джексоном
теоретический прием, имеющий целью устранить эту неопределенность
в случае количественных распределений. Чисбани распространил
этот прием на циклические ряды, применив излагаемую ниже
процедуру [41 и 42].
Приняв за начало произвольную величину Xt, рассмотрим функцию:
ep(X) = -2\xxt\"Yt.
Эта функция непрерывна, и ее форма в последовательных
интервалах оси X будет следующей:
для X, изменяющегося от Xt—\ до Xt\
(-х)р Yt+ (1 —ху Yi+l + ... (k-x—iy У/+Л-1 +
+ (k + xy>Yt+k + ... + (x+l)PYt-i;
329

Интервалы
П Пт'
Пт' Вт
Вт С
С Ср
Ср В'
В' Ч
Ч П'
П' Пт
Пт Вт'
Вт' С
С Ср'
Ср' В
В Чг
Ч' П
Проверка
П Пт'
Исходная
варианта
п
Вт
Вт
Ср
Ср
Ч
Ч
Пт
Пт
С
С
В
В
П
П
©(*) =
0)
4 л: + 36
— 2**+ 37
2 * + 37
2 * + 39
4 х + 39
— 6 У+38
6 * + 38
— 4*'+39
2 * + 39
— 2х + 39
— 2*'+39
4 х + 36
6 х + 36
— 6** +36
4* + 36 1
Пересекаемые
варианты и
соответствующие
значения У
(2)
Вт] 2
Ср\'\
ч','ь
Пт, 3
с'/о
В'/5
п\'ъ

Противоположные варианты
и
соответствующие значения
(3)
Пт'\ 3
с''",'о
В'\'5
/7V,' 5
Вт'] 2
Ср'\ 1
Ч'\*Ь
Вид последовательных
коэффициентов при х
функции 0(Х)
(4)
(4_6)i + Va
(—2+ 4)'*+ 37
(2-6) x+V,
(2 + 2)х + 39
(4-10)'х-Уб
(—6+12)х + 38
(6-10)*+V8
(-4 + 6) х + 39
(2_4)*-У10
(—2 + 6)'* +39
(—2 —2)* + V12
(— 4+i6j* + 36
(6-l2")'i+714
(— 6+16) х+зб
VrVj_x+Uj_x -(3)
(5)
l/2 = 4 + 36 —3 = 37
1/4 = 2 + 37 — 0 = 39
1/б==4 + 39 — 5 = 38
l/8==9 + 38 — 5 = 39
y10 = 2 + 39 — 2 = 39
1/12 = — 2 +39—1 = 36
y14 = 6 + 36 —6 = 36

для X, изменяющегося от Xt до Xt+\\
(l-x)PYi+l + ... + (k-x)PYt+k + (k + x--iyYt-k+l + ... + xvYt;
для X, изменяющегося от Xt+i до Х/_|_2-
(2—x)rYt+2+... + (k—x+l)PYt-k+i + (k + x — 2)PYt-k+2^
+ (x-l)PYt+u
где л: означает отклонение X от Х$.
Таким образом, форма производной от в/7(Х), которую мы будем
обозначать вр(Х), будет в последовательных интервалах цикла иметь
следующий вид:
при X, изменяющемся от Xt—k до Xt—k+i'-
р {-(-£-*+1)р-'^-*-н-•••-(-*)"-% +
+ (2k-l+x)P-iYt_l + ... + (k + xy-iYt+ky,
при X, изменяющемся от Xt-\ до X,:
Р {-(-*)"-' Yt-...-(k-\-x)»-* У,+*_, _(* + *)/>"' У,+* +
+ ... + (*+l)»-'}^,};
при X, изменяющемся от X, до X/+it
p{-(\-x)P->Yi+l-...-(k-x)P-*Yt+k +
+ {k + x_\)P-i Yt-k+i + ... + xr-1 Yt);
при Х, изменяющемся от X^+i до Xt+2'-
р{-(2-х)"-' Yt+2-...-(k-x+ 1)"-1 У,_*+, +
+ (Х + k-2)P-* Yt-k+2 + ... + (х-1)"-1 Кж};
при X, изменяющемся от X^-i до Х/+*:
p{_(/J_A;)P-ir,+A-...-(2fe-l-x)''-1F,+1 + ^-i^ +
... + (*-£+1)Р->У,+*_,}.
Представим себе, что мы движемся по окружности
в.направлении против движения часовой стрелки. Из сказанного выше
понятно, что в моменты прохождения через варианты Xt-k+i,.-. Xt-i,
Xt, X/-1-1,..., Xt+k-\, Xt+k значение &Р(Х) уменьшится
соответственно на
2pk»-*Yt+l,..., 2pkP-1Yt+k_u 2pkP-*Yt+k, 2pk>>-> Yt-k+u ...,
2pkP-lYt_u 2pkP~lYt.
331

Это значит, что алгебраическая интенсивность последовательных
скачков является весом варианты, противоположной пересекаемой,
помноженным на коэффициент 2р№-х. В каждом из
последовательных интервалов XjXj^ производная ©р (X) является, кроме того,
постоянно возрастающей функцией; в самом деле, ее производная,
вычисленная, например, в интервале (ХгХ^г) определяется формулой:
te'p(X)=p(p-l){(l-x)P-zYt+l-\~... + (k-x)P-*Yt+k +
ах
+ (k + x-l)'*-*Yt-b+l + ... + xP-*Yt}
и сохраняет поэтому постоянно положительное значение.
Из сказанного следует, таким образом, что функция ®Р(Х) имеет
самое большее один относительный минимум внутри каждого из
рассматриваемых интервалов и что этот минимум, если он существует,
равняется величине Хр, которая обращает в нуль 9^ (X).
Предположим теперь, что при исчислении медианы при помощи
функции 0(Х) возникла неопределенность и что интервалом
неопределенности является, скажем, (XtXt+1). Требуется доказать, что в этом,
случае в данном интервале, каково бы ни было/?, функция Qp (X) имеет
минимум: для этого достаточно доказать, что уравнение, которое можно
получить, приравнивая нулю ©р (X) в соответствующем интервале
изменения х (О, 1), имеет всегда один и только один вещественный корень,
находящийся в границах этого интервала.
Это утверждение легко доказать при целых значениях степени р—1,
путем применения следующей теоремы Штурма [36].
Рядом Штурма целой функции f(x) называется последовательность,
образованная функцией f(x), ее первой производной f'(x), функцией /2(*),
равной остатку с обратным знаком от деления f(x) на f'(x), функцией
fs(x), полученной аналогичным путем из f и /2> и т. д.
Из этих условий получаем следующие выводы:
/) когда х возрастает от а до Ь, ряд Штурма, относящийся к
функции f, теряет столько перемен знаков, сколько есть корней /,
находящихся внутри интервала (а, Ь);
2) если одна из функций ряда не меняет знака в рассматриваемом
интервале, ею можно ограничить ряд Штурма.
Образуем теперь ряд Штурма, относящийся к уравнению @р (х) =
= 0; мы получим р — 2 рациональных целых функций:
/(х)=в;(*); fx (х)=в;(х),..., /р_2.
Поскольку вторая из них, /х(л:), как мы уже видели выше, имеет
постоянный знак в интервале (0, 1), ряд Штурма можно ею ограничить.
Кроме того, мы имеем:
/(0)<0; /1(0)>0
И
Д1)>0; М1)>0.
332

Таким образом, ряд Штурма в интервале (0,1) теряет только одну
перемену знака, и поэтому предложенное уравнение имеет на основе
первого вывода один и только один вещественный корень хр в интервале
(0,1). Наличие, и притом в единственном числе, корня
последовательных уравнений 0^ (х) = 0 при р — /г... 3, 2 указывает на то, что он
должен при р -»- 1 стремиться к определенному пределу.
Итак, нас интересуют теперь значения /?, близкие к 1 и
превышающие ее. Чтобы прийти к нужному результату, мы применяем
следующий метод: развернув в экспоненциальный ряд члены @р(х), мы
получим последовательно:
(1 _х)р-1 = 1 + (р— 1) log (1 —х)Ч- (р— I)2Ф1 (л:, р)
(k-x)P-* = l + (p-l)log(k-x) + (p-l)*<fh(x, р)
xP-i = lH-(p_l)logx+(p-l)2cp7l(*, Р)
и, следовательно,
(32) -J4e;W = iog"+'-";'-'+'■„;',+
Р(Р—1) (1-х) '+1 ...(к — х)Ч+к
+ (p_l)q>(*, р, У),
гдеф(х, /?, У) остается конечной при любых фиксированных значениях
х, Y.
При любом фиксированном значении р дробь в правой части
уравнения возрастает, когда х изменяется от 0 до 1: в интервале (0,1) должно
существовать однозначно определенное значение х, при котором эта
дробь равна 1 и, следовательно, ее логарифм равен 0.
Если р достаточно близко к 1, мы будем иметь:
©p(* + e)>0; в;(х-е)<0.
В этом случае должно существовать значение хр, превращающее
вр (х) в нуль, и оно конечно находится при р, достаточно близком к
единице, между х + е и х — е, что и требовалось доказать. Но отсюда
следует, что lim x = х.
__ p-*i
Итак, х есть однозначно определенное значение, к которому
стремится при р ->• 1 последовательность величин, дающих минимальное
значение для вр (х) в интервале неопределенности. Пусть X будет
варианта, имеющая отклонение х от начальной варианты. Можем
ли мы рассматривать варианту X как медиану данного ряда?
Требуется доказать:
а) что последовательность вариант Хр, дающих наименьшие
значения для Qp(x), стремится при р ->- 1 к варианте X, дающей
наименьшее значение для @(Х) в том случае, если отсутствует неопределенность
333

указанного выше типа. Другими словами, нужно доказать, что lim хр=
= р-+\
= х при любом значении последнего (а мы знаем, что этих значений
может быть больше одного, но, во всяком случае, число их конечно),
дающем минимум функции ®(х)\
б) что значения хр, в случае неопределенности, дают, по крайней
мере при /?, достаточно близком к 1, абсолютный минимум функции
в(х).
Предположим сперва, что одна из вариант, обязательно
действительная, например Xt+lt дает абсолютный минимум в(Х).
В этом случае разность Q(Xj) — Q(Xt+x) положительна при / =j=
Ф t -\- 1 и нижним ее пределом при изменении / служит
положительное число б.
Итак, мы имеем:
Qp(X})-ep(Xi+i)>Q(Xj)-®p(Xl+i),
каково бы ни было /, что легко вывести из формы обеих функций G JX),
в(Х).
Отсюда следует:
% (Xj)-ep (xt+i) ;> [в (^)-в (xt+l)]-iep (xt+i) -е (xt+1)\ >
>8-|6f(X(+1)-e№+,)].
Но
ep(Xt+l)-e(Xt+1) = 2(2P-*-l)(Yi+3 + Yt-i)+...+
+ kYt_k+l(kP^-l)
и поэтому мы всегда можем найти значение рх > 1 такое, чтобы
при любом р, при котором 1 <^ р ^Рх, мы имели:
ep(Xt+i)-e(Xt+l)^^.
При таких значениях р имеем:
е,(х,)-ер(хж)>8-|>о,
т. е.
вр(^)>вр(Х/+1) (/^i+1).
Это доказывает, что Xt+X является минимумом также и для @Р(Х)
относительно действительных вариант цикла.
Следует далее отметить, что, поскольку в данном случае нет
неопределенности при минимуме в(Х), графическое изображение этой
функции должно состоять, слева и справа от Xt+lf из двух отрезков с
соответственно отрицательным и положительным угловыми
коэффициентами, которые мы обозначим —со, + со'.
Однако ®0(Х) во всех точках цикла сходится к в(Х), как это
видно при рассмотрении разностей ®Р(Х) — @(Х). То же самое
можно сказать и о 6р(Х), если рассматривать отдельно каждый из
334

отрезков (XjXj+\), в каждой точке которых она сходится к 6' (X).
В частности, в двух отрезках, прилегающих к X/+i, (X^X^i),
(Xt+\ Х/+2), ©р (X) сходится к двум отрезкам, параллельным оси х
и имеющим постоянные ординаты —со и + со'.
Затем можно определить значение р = p2<Z ръ достаточно близкое
к 1, такое, чтобы при р2 > р > 1 все величины ©Р(Х) находились внутри
прямоугольных полос, параллельных оси х, и с экстремальными
значениями ординат соответственно (—хю±г <0) и (+а/ ±е>>0) и
абсцисс (—1, 0) и (0, 1). Тогда, если р удовлетворяет ограничениям р2 >
> р >> 1, ©Р(Х) всегда в любой точке отрезков (X^Xf+i), (X/+iXf_j-2)
соответственно убывает или возрастает, и поэтому ни в одной из
счетных вариант обоих отрезков (X;X/+i), (X^+iX/_]_2) не может принимать
значений, меньших, чем в общей крайней точке обоих отрезков.
Если бы теперь в цикле существовала варианта X" (она должна
была бы, как показано выше, обязательно быть счетной),
принадлежащая отрезку (XjXj+i), в котором 0Р(Х) имела бы значение, меньшее,
чем в Хг+i, она должна была бы превращать 6Р(Х) в нуль.
Однако всегда можно определить значение рз<р2, настолько
близкое к 1, чтобы при рз > р > 1 мы всегда имели в отрезке (Х7- Х7-+1),
вр (Х)=^=0, при условии, что в этом же отрезке 6(Х) = k =/= 0; а это
исключает возможность того, чтобы вр(Х) имел в точке X"
относительный, следовательно, и абсолютный, минимум.
Если же, наоборот, в том же отрезке 0(Х) = 0и если обозначим
Д разность между постоянным значением Т функции в (X) в отрезке
(Xj Xj-ц) и значением в (Xj+i), можно всегда найти еще такое значение
рз <с р2, чтобы при рз > р > 1 мы имели ©Р(Х) > Т — А во всем
отрезке (X7-X7-+i); это опять-таки приводит к выводу о том, что в/7(Х//)
не может быть меньше, чем @p(Xt+i).
Отсюда следует, что при /?, достаточно близком к 7, в (X) имеет
свой абсолютный минимум в той же самой действительной варианте,
в которой достигает своего минимума Э(Х), а это означает, что,
используя введенные ранее обозначения, мы будем иметь следующее:
lim xp = x.
В случае, если абсолютный минимум 6(Х) соответствует
нескольким вариантам, мы будем иметь несколько последовательностей,
сходящихся к минимизирующим значениям, причем для каждой из них
будет справедливо соотношение:
\\тхр = Ху \\тхр = х',...,
р+\ p->i
где х х'...— суть значения, которые дают минимумы величины в(л;).
Таким образом, полностью доказан пункт а.
Аналогичные рассуждения приводят также к выводу, что в случае
неопределенности функция Ор(Х) достигает своего абсолютного ми-
335

нимума (или одного из абсолютных минимумов) в значении хр, при
котором @р(х) = 0 при достаточно малых значениях р.
Достаточно вспомнить, что в данном случае в(х) выражается внутри
интервала (XtXt+1) отрезком, параллельным оси абсцисс, на который
попадает медиана, тогда как два смежных отрезка должны
обязательно иметь постоянные угловые коэффициенты с различными знаками.
Поэтому можно в случае неопределенности принимать за медиану
значение х корня уравнения:
(33) (k + x — l)Yt-fc+l...xYt = (l—x)Yt...(k—x)Yi+k,
который превращает в единицу дробь правой части формулы (32).
Следует отметить, что корень уравнения (33) не зависит от выбора
начала отсчета Xt. В самом деле, предположим, что начало цикла
переместилось, например, из Xt в Xt+ly и пусть отклонение в
интервале (ХХг+г) будет х'. Повторив прежнее рассуждение в новой
системе отсчета, мы приходим к уравнению:
( — *')Y/+1(1— x')Yt+2...(k—x' — l)Y'+*= (fc + ;0Y/~*-1...(*'+l)y'-
Отметим теперь, что х' связан с х соотношением:
х = (XXt) = (XXt+i)+ 1=*' + 1.
Заменяя в уравнении (33) х величиной х' + 1, мы получаем
уравнение относительно х', найденное выше. Таким образом, мы доказали
справедливость сделанного утверждения о независимости найденного
значения х от выбора точки отсчета.
Пример 1. Пусть дан ряд:
С СВ В ЮВ Ю ЮЗ 3 СЗ
11 0 0 0 0 0 0
Примем за начало цикла варианту С.
В этом случае отклонение варианты медианы от С равно 1/2, поэтому
она является счетной вариантой из интервала С, СВ.
К такому же результату мы можем прийти при помощи уравнения
(33); оно приводится в данном случае к
х= 1 —х,
откуда х — 1/2, что совпадает.с найденным ранее результатом.
Пример 2. Рассмотрим ряд:
С СВ В ЮВ Ю ЮЗ 3 СЗ
2 2 110 0 11
Легко заметить, что имеется неопределенность в интервале (С, СВ),
все точки вариант которого являются медианами данного ряда.
Следует решить следующее уравнение:
(2 + *)(1+*)*з— (1— *)2(2—*)(3—*) = 0,
336

которое приводится к следующему нормальному виду:
Юх3— 15х2 + 17* —6 = 0.
Единственным действительным корнем этого уравнения в
интервале (0,1) является значение х = 1/2.
Г. Средние циклических рядов как средние прямолинейных
рядов
Проф. Кастеллано в двух работах [31, 32] приводит нахождение
средних и медиан циклического ряда к исчислению средних и медиан
прямолинейных рядов. Как теоретическому обоснованию отыскания
этих постоянных величин, так и соответствующим вычислительным
операциям ему удалось придать характер единства и достаточной
простоты, несмотря на трудности, с которыми связано изучение
циклических рядов.
Резюмируем вкратце некоторые существенные пункты упомянутых
методов, начиная со средних арифметических циклических рядов.
Пусть дано циклическое частотное распределение с s вариантами,
которые представлены первыми s последовательными натуральными
числами, включая нуль. Если избрана какая-либо единица измерения
и начальная точка отсчета и на какой-либо прямой отложены точки с
абсциссами rs + i(i = 0, 1, 2,..., s — 1), где г — целое число, равное
нулю или большее нуля, варианты цикла повторяются бесконечное
число раз с промежутками s. Таким образом, циклическое частотное
распределение может быть преобразовано при помощи декартовых
координат в периодическое распределение с периодом s.
Й вот, рассматривая в этом, выпрямленном таким образом, ряду
прямолинейные ряды С0, Съ С2,..., каждый из которых охватывает
s последовательных вариант, получаемых, если за начальную варианту
принят соответственно 0 для С0, 1 —для Съ 2 — для С2 и т. д., мы
получаем бесконечные прямолинейные ряды, в которых имеется
только s различных членов, так как Ck+S = Ck, пока не происходит
смещения на величину, отличную от кратной s.
Каждый из этих s рядов — С0, Clf C2,..., Cs_i — имеет среднюю
А и удовлетворяющую в пределах Ct обычным свойствам средней
арифметической и называемую «приемлемой», если она находится (за
исключением крайних точек) в так называемом «интервале приемлемости
относительно Cj». В тех случаях, когда At совпадает с одной из крайних
точек или находится вне упомянутого интервала, Кастеллано сохраняет
для них соответственно названия средней предельной и мнимой
средней.
Интервал приемлемости определяется следующим образом:
обозначая s-число равноразличных вариант цикла, индексом i — варианту,
занимающую порядковое место £, начиная с условно принятого начала
ряда, выпрямленного указанным выше образом, ft — частоту этой
12 Зак. 401
337

варианты, мы убеждаемся, что средняя Ak ряда Ck удовлетворяет
следующему соотношению:
s—1 /г—1
П ^ П П
k
s— 1 /г—1
где я= 2 A; ^-i =2 /i и> как сказано выше, //+8 = /{.
о о
Мы видим, что ЛА приемлемо, если
Н}-КА<Н|.
Это двойное ограничение определяет интервал приемлемости.
Кастеллано доказывает, кроме того, что среди прямолинейных
рядов, получаемых из циклического ряда С есть по крайней мере одна
приемлемая средняя.
Однако случай, когда имеется только одна приемлемая средняя,
является скорее исключением; поэтому, при наличии нескольких
приемлемых средних, следует взять из них ту, в отношении которой
дисперсия соответствующего прямолинейного ряда является наименьшей.
С этой целью автор определяет некоторые условия, которым
должны удовлетворять ряды Ch с приемлемыми средними, для того, чтобы
Ак дали наименьшую дисперсию, эти условия являются только
необходимыми, но на практике они часто оказываются и достаточными,
чтобы найти, не тратя времени на вычисления, искомый ряд.
Приведем теперь из упомянутых работ пример применения
метода нахождения средней циклического ряда, разобранный Джини и
Гальвани в их известной работе, посвященной этому вопросу («Metron»),
vol. VIII, п. 1—2, Roma, 1929).
i
fi
ifi
sfi
nAt
Ai

Интервал


лемости
с
0
2
—
16
96
, 6
3+3~0
3-4

Обычная
сз
1
7
7
56
112
22
3+30
4-5
Мнимая
3
2
3
6
24
168
18
5+30
5-6

Обычная
юз
3
6
18
48
192
12
6+3~0
6-7

Обычная
ю
4
3
12
24
240
8
7—8

Предельная
(мним.)
ю в
5
5
25
40
264
24
8+30
8-9

Обычная
в
6
0
—
—
ев
7
4
28
32
304
4
10 + ЗТ)
9—11 или
1—3
Обычная
30
96
—
336
6
П+30
11—12
или 3—4
—
338

Минимальная дисперсия получается в ряду С5 по отношению к
Аъ = 8 + 24/30, которая соответствует варианте ЮВ и является,
таким образом, средней циклического ряда.
Д. Переход к непрерывности
Отыскание средних циклических рядов можно осуществлять также,
исходя из предположения, что цикл образован непрерывной
совокупностью вариант [157].
Пусть дан следующий циклический ряд:
Варианты: Xl9 X2, ..., Хп
Частоты: Yl9 Y29 ..., Yn
Чтобы изобразить его графически на окружности, следует
разделить ее на п равных частей, приняв за начало точку 0, диаметрально
противоположную варианте, произвольно принятой за начальную,
при помощи точек криволинейной абсциссы:
х19 х29 ..., хп9 где хг=—л + 2 — п
п
и сопоставляя варианте, место которой по порядку равно i9 дугу */_i
хг.
Каждой бесконечно малой дужке х\ — | х + dx следует сопоставить
плотность f(x). Функция f(x) должна, очевидно, быть периодической
функцией с периодом 2я и удовлетворять при любом i следующему
условию:
\ f(x)dx = Yt.
xt - i
Рассмотрим теперь функцию распределения f(x)9 определяемую
уравнением:
X
F(x)= ^ f(y)dy (-я<;к§я).
— тс
Мы сразу же находим:
Учитывая периодичность f(x)f следует, кроме того, заметить, что
F(x) можно записать следующим образом:
(34) F(x) = ax+b+<p(x),
где
Ф (х) = 2 (% cos kx + bh sin kx)\
12* 339

1 }
ak=—~j^, J f (x) sin kx dx;
1 f
bb = ~kn J f (x) cos kx dx;
2n
6=В»_ф(я);
ф(") = 2 (-!)*%•
Если положить—ф(л) = ~2- а0, то будем иметь ^ = -у"~Ь"2~ ао> и
поэтому формулу (34) можно переписать следующим образом:
^=^(т+1)+тао+ф(-)-
Теперь мы можем перейти к отысканию средних на основе их
характерных свойств, полагая f(x) сперва произвольной функцией, а
затем — ступенчатой.
а. /(л:), взятая произвольно. /. Средняя арифметическая. Прежде
всего будем отыскивать среднюю арифметическую, как ту варианту,
которая удовлетворяет требованию приведения к минимуму значения
второго момента:
М*)= I {XY)4(y)dy,
где под (X Y) подразумевается различие между двумя вариантами,
представленными на окружности точками X и Y, криволинейные
абсциссы которых равны соответственно х и у. Предположив вначале,
что х > 0, мы получаем фигуру (рис. 42), из рассмотрения которой
видно, что, если у находится между — я и —я + х, точки Л', У и О
оказываются в различных полуокружностях; если же, наоборот, у
находится между —я + х и я, все эти три точки оказываются в одной
и той же полуокружности. В первом случае будем поэтому иметь:
(XY) = 2n + y—xt
во втором случае:
(XY) = y—x.
Итак, мы можем написать:
М*)= S (2л +y-x)*f(y)dy+ I (y-x)4(y)dy,
340

откуда при помоши простых преобразований получаем:
(35) [Х2(х) = 1х2(0)_4я \ <p(y)dy9
— тс
где
М0)= $ y4(y)dy.
К тому же результату приходим, если х<0.
Итак, функция \х2(х) является функцией, непрерывной во всех
точках, однозначной и периодической с периодом, равным 2я. Ее
производная
p'Jfx) = -^9. = _4я.ф( —jc + Jt)
также непрерывна, однозначна и периодична с периодом 2я.
За исключением случая равномерного распределения, в котором
все варианты являются средними, варианту, являющуюся средней
арифметической, следует искать среди тех точек, которые обращают
Рис. 42
в нуль производную (л'гМ» и так как вторая производная [х2"(#) не
является непрерывной функцией, мы начнем с отыскания таких точек
х, которые обращают в нуль \i2(x) и в окрестности которых она
переходит от отрицательных к положительным значениям. Точка х
удовлетворяет этому условию, если при Ах^>0:
—4яф(—л + х)--= — 4я JF( — л + х) —J^- х — а0| = 0;
—4яф (— я + х—Ад:) =
— 4«{F(-« + *- &х)-(%).х+£&х-±*,}<0;
—4яф(—я + я + Дл:) =
341

Вычитая почленно первое уравнение из второго и третьего,
получаем:
^4nlF(—n + x—Ax)—F( — n + x)+^-Ax\<:0;
— 4л { F (— я + * + A*) —F(—n + x)—^- Ax\ > О,
т. е.
F (— ji + *) — F (— я + л: — Ал:) ^ ji0 #
Ал: 2я '
Т7 (—л + х + Ах) — F( — n-\-x) ;jio
Ал: 2я '
Но за исключением бесконечно малых порядка выше первого,
F (— я + л:) — F ( — я + я — Ал:) .. ,г// . ч
— ]—L - ! ^-= lim dF (—и-\-х)\
Ал: д*->о
F ( — тг + х — Ая) — #( — я + л:) л. п, , , ч
—- ! -—— l—L= lim sF (—я+х),
Ал: д*->о
где под lim dF' и lim sF' подразумеваются производные соответственно
справа и слева от F(—я + х). Поэтому искомыми точками х будут
корни неравенств:
(36) lim dF(—л-М)<-^;
Л*-* о 2я
lim sF'(—ri + x)<-^.
Дл--*0 2я
Разумеется, если точка —я + х не является точкой разрыва
функции /(а:), предыдущее условие является единственным. К условиям (36)
следует присоединить еще одно: х должен быть корнем уравнения
ф(—я + х) = О, а также уравнения
F(-n + x) = !±x+La0.
Если положить у = —я + х, точка х будет диаметрально
противоположна на окружности точке у, удовлетворяющей уравнению:
'W-1(i+') + !«■•
которое определяет точку пересечения двух кривых:
В системе декартовых координат первая является кривой
распределения, а вторая — прямой, которая параллельна равнораспредели-
342

тельной прямой. Так как направляющий коэффициент этой прямой
равен ^ и направляющие коэффициенты касательных к кривой
распределения являются как раз вышеупомянутыми производными —
левыми и правыми, — из условий формулы (36) следует, что
относительные минимумы для |i2(x) дают те точки у пересечения прямой и
кривой распределения, в< окрестности которых прямая переходит из
положения под кривой в положение над нею. При помощи вышеуказанной
процедуры можно всегда получить по крайней мере одну точку
минимума для \i2(x), так как эта функция является непрерывной и
периодической с периодом 2я.
Определив значения, между которыми следует искать значение
абсолютного минимума для |i2(;c), нетрудно найти его аналитическим
путем. После этого, если мы хотим, чтобы точка хл абсолютного
минимума всегда находилась между —я и я, достаточно, определив значение
уА, рассмотреть значение ха, удовлетворяющее равенствам:
ха =п+ у а , если у а < О,
хА =—тс + уАу если Ул>0;
т. е. в любом случае это значение диаметрально противоположно 7/л•
Таким путем легко определить, при помощи графического анализа,
среднюю арифметическую ха, как только обеспечены все условия,
делающие возможным определение функции f(x).
Второй метод нахождения средней арифметической заключается
в отыскании величины, которая обращает первый момент в нуль:
М*)= I (XY)f(y)dy.
—-к
Взяв интеграл в правой части точно таким же образом, как в
отношении (ш2(л:), мы получаем:
[л1(л:) = 2яф( — я + х).
Это соотношение показывает, что первый момент равняется, если
не считать коэффициентов, ц^'М и что поэтому значение Ха, дающее
минимальное значение для ^2(*)> обращает ^(х) в нуль.
В случае, когда хотят определить среднюю арифметическую на
основе ее механического значения, т. е. рассматривая ее, как центр
равновесия окружности, к которой приложены массы, рассуждают
следующим образом.
Если мы назовем х криволинейную абсциссу центра X равновесия
и у — абсциссу произвольной точки Y окружности, то квадрат
расстояния XY (рис. 43), будет равен:
d*(XY) = 2{\— cos (а:—у)};
343

поэтому сумма квадратов, которой X должен придать наименьшее
значение, будет равна:
S(*) = 2 \ [I—cos (х—у)] f (у) dy;
Рис. 43
Отсюда мы сразу получаем:
*^l=S'(x) = 2 J sin (x-y)f (у) dy~
f Г f 1
= 2\ sin ж у (у) cos у dy—cos ж ^ / (у) sin у dy f;
it
£JlW = s*(*)=2 J /(y)Cos(*-y)dy =
= 2
sin x § f (y) sin у dy + cos x \ f (y) cos у dy
Поэтому искомая точка X должна удовлетворять следующим
условиям:
sin* J /(y)cosydy —cos* j / (y)sinydy = 0;
— 7t —%
П %
sin* j /(y) sin у dy + cos# j f (y) cos у dy >0,
3 44

или также:
§ / (у) sin у dy
(37)
tg* =
0i
^ / (у) cos у dy
—u
It ТС
sin* ^ /(у) sinydy + cos х \ f (у) cos у dy = &х cos х—a1sinx>0.
—те —те
Если #! = &! = О, любая точка окружности является центром
равновесия и поэтому равна средней арифметической. Это имеет место.
например, в случае одинакового распределения частот во всем цикле,
Если bt = 0, то tg х = оо и поэтому я = ±-д, но так как ах sin* < О,
то окончательно имеем: х = —т^\\-
Если Ьг Ф 0, то обязательно —г— >0 и поэтому, обозначив а
наименьшую дугу (-я < а <; я), удовлетворяющую уравнению (37), будем
иметь:
лс = сь,
если
х = а— —г- я, если
/а '
&!>0; — ^<а<у>
61<0; —я<а< , — <а<;я;
&i>0; —я <а< —|, ^<а<я,
6г<0; -?<а<т.
Следует отметить, что полученная нами сейчас средняя
арифметическая механическая не совпадает со средней арифметической,
найденной нами раньше. В самом деле, эта последняя дает наименьшее
значение суммы квадратов криволинейных расстояний между точками
вариант, тогда как первая дает наименьшее значение суммы квадратов
прямолинейных расстояний. Обе средние совпадают, если:
f(x) = ——at sin x + bx cos x.
2я
Проф. Кастеллано, преобразовывая, подобно тому, как он это делал
для дискретных циклических рядов, непрерывные циклические ряды
в непрерывные прямолинейные ряды, без труда вновь приходит к
формулам Марсегуэрра и сразу же распространяет на непрерывные
ряды условия, найденные при анализе дискретных рядов.
345

2. Медиана. В случае непрерывности медиана отыскивается
следующим образом, если использовать ее свойство делать минимальной
сумму квадратов абсолютных отклонений.
Если дано:
в(х)= 5 \XY\f(y)dy,
то легко получить:
х х
Q(x) = 2 J F (y)dy—x\i0—ла0--=^-ц0 + 2 $ q>(y)dy,
—п-\-Х —к-\-Х
откуда, взяв производную, находим:
e'(x) = 2\F(x) — F( — n + x)—V±\ = 2[<?(x) — Ф(-л + *)Ь
Таким образом, точки минимума для @(х) следует искать
между точками, удовлетворяющими следующему соотношению:
F(x) = F(-n + x)+^.
Изобразив графические кривые у = F(x) и у = F(—л + х) + Щ
(вторая кривая получается из первой путем двойного переноса на
величину л в направлении оси абсцисс и на величину ^~ в направлении оси
ординат), мы найдем, что значениями минимума для в(л:) будут
значения тех точек пересечения обоих кривых, в окрестности которых
первая кривая переходит из положения под второй кривой в положение
над ней. После нахождения относительных минимумов аналитическое
выражение &(х) позволяет найти абсолютный минимум.
б. f(x) ступенчатая. Приведенные выше соображения совершенно
не зависят от формы функции f(x), и единственным ограничением
является то, что она должна быть квазинепрерывной и периодической
с периодом, равным 2я. Рассмотрим теперь один тип функции, часто
встречающийся на практике, а именно — функцию f(x), ступенчатую,
т. е. такую, которая имеет одно и то же значение во всей зоне Xi-\ |—| xt.
Обозначим через Yt частоту варианты, имеющей порядковый
номер i, и через сг постоянное значение f(x) в зоне xt-\ \ — \xt. Тогда
условие
xi
j f{x)dx = Yt
xi-\
сводится к следующему:
4 1
ct J dx = Yt, т. е. сг2 -я = У^,
xi-\
346

откуда будем иметь:
:^Г,.
2я
Итак, функцию f(x) можно графически представить следующим
образом:
а) в полярных координатах — при помощи последовательности
дуг окружности с радиусом ]/HYt\
б) в декартовых координатах — при помощи последовательности
отрезков, параллельных оси абсцисс и удаленных от нее на расстоя-
ние 2-Г,;
Функция распределения изображается графически:
а) в полярных координатах — спиралью Архимеда;
б) в декартовых координатах — ломаной, получаемой путем
соединения точек плоскости с координатами (XiFi), где:
Ft~Ft(xt)= \ f(x)dx=%Yh.
J /2=1
/. Средняя арифметическая. Средняя арифметическая в этом
случае определяется следующим образом.
Пересечем упомянутую ломаную прямой, параллельной равнорас-
пределителыюй прямой:
»-*£+') + 7«"
где
Поскольку
(38)
в зоне
F(x)
1
2 CLQ —
Xh-\ | -
_ П у
1 "
y\F
п t±{ l
-1 xh мы
(i+1-
2n
имеем:
-2 й—1
f*o
■V
достаточно посмотреть на графике, в какую зону попадают
пересечения: абсцисса точки пересечения h-то отрезка ломаной с прямой
будет, очевидно, равна:
/39) _ {n-2h + 2) Fh-{n-2h) Fh_x-yo-a0
~ \io—nYh
Точки, диаметрально противоположные тем точкам пересечения
прямой с ломаной, в окрестности которых прямая переходит в
положение над ломаной, являются относительными минимумами второго
момента fx2(x). Найдя эти относительные минимумы, определяют
абсолютный минимум [л2(я), вычисляя аналитические значения \ъ%{х) в этих
точках при помощи формулы, выводимой из уравнения (35) при
f(x) = ^ Yh и при я + xh-i < х < п -f xh:
347

(40) \^ = i[,0-nYh)(±Y + d±a0 + (h-\)F,-hFh_l)l +
+Iir-J2j1^-T{*-J),f»-*,U.
где
«3 /г2
(Применяя эту формулу, следует помнить, что она действительна при
х 5> = 0. При х < 0, поскольку (ш2(л:) = |л2(2я + х), ее следует
применять в точке х = 2я + х).
Решение уравнения (40) позволяет найти среднюю арифметическую
ряда.
Пример. Пусть дан следующий циклический ряд:
Варианты: П Вт Ср Ч Пт С В
Частоты: 5 2 16 3 0 5
Примем в качестве первой варианты П (понедельник) и в качестве
начальной точки 0 на окружности варианту, диаметрально
противоположную П (понедельнику), каковой является Ч (полдень четверга).
Мы сразу же получим:
F1 = 5;F2 = 7; Fs = 8; F, = 14; Fb = 17; F6 = 17; F, = 22 = fx0.
В полярных координатах функция f(x) может быть представлена
следующим графиком:
Рис. 44
Для отыскания средней арифметической проводим (рис. 45)
ломаную, которая бы проходила через точки (—я, 0), (хъ 5), (х2, 7), (хз, 8),
(лг4, 14), (хб, 17), (хв9 17), (я, 22), и прямую через точки (—я, 0), (я, 22);
первая будет представлять в декартовых координатах F(x), вторая —
равнораспределительную прямую, т. е. такую прямую, которая
348

изображала бы F(x), если бы частоты были равномерно распределены
по всему циклу. Поскольку, далее, -^а0 = -= (90—88) = 0,28571,
проводим прямую, параллельную только что упомянутой прямой и
отстоящую от последней (оставаясь по-прежнему над ней) на расстояние
тн20: получим прямую, проходящую над ломаной в 3-й и 6-й зонах.
•Л
Х2 Уз х3 о х$
Рис. 45
х5 У6 Х6
Поэтому необходимо на основе формулы (38) определить у3 и у6;
мы имеем:
5,57143
- _ 3-8— Ь7—22— 0,57143 __
Уз - 22-7-1 П~~ '
— 3.17 + 5.17—22 — 0,571 43
я =
15
11,42857
я = —0,371 43 я;
я = 0,51948я.
/6 — 22—7-0 22
Итак, точки относительного минимума [х2 (х) равны:
х3 = я + уд = 0,62857я;
х6 = — п+ у6 = — 0,48052 я.
Чтобы определить абсолютный минимум, прибегают к формуле
(40). Получаем:
М*з) =15-(0,62857)2 + 4{;0,28571+2-8— 3-7J}-0,62857 +
.^(0) _8
i(5 + 7) —у (4-8—9-7) = ^ -1,92655.
349

При вычислении \х2(х<д следует помнить, что, поскольку xQ <C О,
следует брать [х2(2я + хв), так как х5 < п + х6 < х6, мы имеем
я + хъ < 2я + х6 < я + *в', поэтому в данном случае h в
уравнении (40) равняется 6. Этот вывод имеет общий характер: значения й,
при которых следует исчислять (ш2(л:) , во всех случаях совпадают со
значениями yh.
Итак, мы имеем:
^2 (^)=й1^=^ = 22- (1,51948)2 + 4 {0,28571 + 5-17-6-17} X
Х1,51948 + -^- — -(5 + 7 + 8+14+17) -1(25.17 — 36.17) =
л2 7 7
-М°)_2,22266.
Итак, поскольку, как видим, ^2(л:б) <С |х2(*з), средняя
арифметическая будет равна:
*л = —0,48052я.
2. Медиана. Переходя к медиане, напомним, что ее следует искать
среди тех значений xh, которые дают наименьшее значение для 6(я), и
что эти точки, принадлежащие ломаным у = F(x) и у = /7(—я + х),
являются точками пересечения, в окрестности которых первая
ломаная переходит в положение над второй. Построив ломаные,
предположим, что на графике одна из этих точек находится в зоне Л, т. е. что
xh-i ^ xh ^ xh> B этом случае нетрудно доказать, что аналитическим
выражением xh будет:
Ч= ЧЦУ,-Ун-п12) П'
если п является четным, и
Yh~yh- »±L ) {h~^T ~ 1 ) + Т Yk + Fh-^l - 1 ~Fk-l +!f
4= jt ; я.
если п является нечетным и точка пересечений ломаных окажется
в первой половине зоны А:
xh= ; ч — л.
М*.-".---*-.)
Кроме того, следует помнить, что:
350

Определив относительные минимумы @(х), переходим к определению
абсолютного минимума хм. Для этого необходимо получить
аналитическое выражение для ®(х) в каждой зоне. Легко видеть, что если
Xh-\ < X < Xh\ Xi—\ < Я + X < Xt,
то будем иметь:
— - 2 Fi " TZi { Fh-i {xh—xf—
&)л-ё-ЪЦ+')+±*
i=h
— Fh(x—xh-\f—Fi-\ (Xt—n—xf + F^n + x—Xi-xY}.
Что касается значения / как функции h, то легко видеть,
что / = h + я/2, если п четно;
/ = h + (п — 1)/2, если п нечетно и х попадает в первую половину
/i-й зоны;
/ = h + (п + 1)/2, если д нечетно и л: попадает во вторую
половину /г-й зоны.
Пример. Вернемся к циклическому ряду, приведенному на
стр. 348.
Варианты: П Вт Ср Ч Пт С В
Частоты: 5 2 16 3 0 5
и изобразим две ломаные (рис. 46).
Рис 46
Мы видим, что точки пересечения требуемого типа (за исключением
точек перегиба функции в(х), так как они не могут являться
абсолютным минимумом), попадают в 1-ю и 7-ю зоны, и, кроме того, точкой
такого типа является, по-видимому, начальная точка 0. Точка хх
попадает во вторую половину первой зоны и поэтому
(5-3).(-3)-2,5-8+11 5,5
хг = з~572 я= —~Т я== —0,78571 я .
351

Точка х7 попадает в первую половину 7-й зоны и поэтому
_ 4.2 + 2,5 + 7—17+11 11,5
х7 =: ^-у4 я = —jj- я = 0,82143 я.
Что касается пересечения в окрестности начальной точки, то из
формулы (38) имеем:
f(0)=(f6.|) + 8 = ll= Ь;
откуда следует, что пересечение совпадает с самой начальной точкой и
что поэтому тремя относительными минимумами, которые могут быть
абсолютными минимумами, являются:
*!=—0,78571л х4 = 0 х7 = 0,821 43я.
Теперь остается найти значения в(х) в этих точках. Эти значения
получаются из формулы (41) при
A=l, h = 4, h = 7,
/ = 5, / = 7,8, /=10.
Мы имеем:
^р-= 11-1,21429 + 0,28571 — у (5 + 7 + 8+14) —
\ { — 5(0,21429)2я2— 14(0,21428)2.л2+ 17 (0,07143)2 л;2} =,5,30666;
4я2
в (*4)
2я
= 22 + 0,28571 —13,71429—1,75.1,67341 = 5,64295;
е^?) =31,03575 + 0,28571—22,28571 — 1,75.2,12756= 5,31250,
2я
и, следовательно,
*м = х1 = —0,78571 я.
Изложим теперь предложенную Кастеллано [31] процедуру
нахождения медианы циклического ряда путем преобразования этого
ряда в прямолинейный.
Пусть дан обычный преобразованный прямолинейный
дискретный ряд с периодом, равным s. Полагая:
о
автор приходит к выводу, что медианы данного циклического ряда
попадают в точки вариант с индексами k + -ъ, если при четном s имеет
место следующая система неравенств:
i|>(ft —1)<0; Ч>(*)>0;
352

и они попадают в точки вариант с индексом k + (s — 1)/2, если при
нечетном s имеет место система:
1>(Л_1)<0; i|>(ft) + /fc>0.
При четном s медианой может быть также и точка k + (s — l)/2,
если имеет место система:
•ф (k — 2)< 0; гр (Л—1) = 0; -ф (k) > 0.
Наконец, если указанным условиям удовлетворяют несколько
значений k, медианой считается то из них, которое дает наименьшее
простое среднее отклонение от него вариант циклического ряда.
К аналогичным соотношениям мы приходим и в случае
непрерывности. Применяя вышеизложенный метод к нахождению медианы
циклического ряда, для которого уже ранее найдены средние методом
прямолинейного преобразования, мы находим, что медианой является
варианта, соответствующая i = 2, так как, поскольку s = 8, система
г|)(/е — 1) <С 0; ty(k) >> 0 достигается только при k = 6, если учесть, что
*(*-l) = /fc + f*+i+f*+2 + /*+3-15
'Ф (fy = fk+\ + fk+2 + /ЛЧ-З + /*+4— 15.
Ме = k + s/2 = 6 + 4 = 10==2->W\
которое, таким образом, и является искомой медианой.
§ 4. НЕСВЯЗАННЫЕ РЯДЫ
Несвязанные ряды характеризуются невозможностью установить
какое-либо соответствие между числами и вариантами качественного
признака X, причем это объясняется не только тем, что эти варианты
не представляют собой какую-либо естественную последовательность
чисел, но также тем, что нет никаких определенных оснований считать
различие между двумя любыми вариантами большим или меньшим, чем
различие между двумя другими вариантами.
По этой причине следует считать, что различие между двумя
какими-либо вариантами является постоянной величиной, т. е. ряд является
равнопромежуточным. Постоянное различие между любыми двумя
вариантами можно приравнять какому-либо постоянному
положительному числу, как, например, положительной единице, носящей
название промежутка между этими вариантами.
Геометрически варианты несвязанного ряда могут быть изображены
при помощи вершин правильного многоугольника с числом сторон,
равным s в пространстве s — 1 измерений, если s является числом
вариант циклического ряда. В частности, при s = 2 получаются
крайние точки произвольно взятого отрезка, при s = 3 получаются 3
вершины равностороннего треугольника, наконец, при s = 4 — вершины
правильного тетраэдра.
и
Поэтому
353

Геометрическое изображение несвязанного рода может, далее, быть
расширено, если мы уподобим варианты количественного признака F,
связанного с X, векторам, приложенным к вершинам, изображающим
варианты X.
На практике s вариант X и соответствующие варианты Y
обозначаются следующим образом:
Xi Х2, Х3, ..., Xs]
*i> * 2> *з> ..., Ys.
Однако при таком способе обозначения последовательность индексов
1, 2, ..., s отнюдь не должца означать, что данный ряд имеет какую-то
определенную конфигурацию.
А. Средняя арифметическая
Если мы ограничимся рассмотрением действительных вариант
ряда, то средней арифметической несвязанного ряда называется та
варианта или те варианты Xiy сумма квадратов отклонений от которых
является наименьшей величиной, т. е.
(42) j?(Xi-Xj)*Yj = mm.
/ = i
Поскольку мы имеем:
(43) Xi — Xj=\ (если i=£j) и (Xt — Xj) = 0 (если i = j),
указанное условие можно записать так:
(44) 2^+ 2 ^ = min,
или, что то же:
(45) Yt = max,
откуда вытекает, что данное выше определение справедливо для любой
из вариант X, которым соответствует наибольшее значение Y.
В этом смысле несвязанный ряд всегда имеет по крайней мере одну
среднюю арифметическую.
Среднюю арифметическую несвязанного ряда нельзя определить
как такую варианту, алгебраическая сумма отклонений от которой
равна нулю.
В самом деле, невозможно найти действительную варианту,
алгебраическая сумма отклонений от которой была бы равна нулю,
так как все отклонения положительны.
Точно так же нельзя определить среднюю арифметическую
действительных вариант на основании ее механического значения. В самом
деле, центр тяжести системы точек, совпадающих с вершинами s —
354

угольника в пространстве s — 1 измерений и изображающих варианты
X, если каждая из этих точек имеет вес, равный соответствующему
значению У, не может совпадать ни с одной из данных вариант.
Если же мы вводим мнимые варианты, расстояние которых от всех
прочих вариант не равно расстоянию между двумя любыми
действительными вариантами, понятие средней арифметической может быть
распространено на несвязанные ряды не только путем сохранения
свойства «наименьшей суммы квадратов отклонений», но также путем
сохранения свойств «алгебраической суммы отклонений, равной нулю»
и «средней арифметической, равняющейся центру тяжести весов
отдельных вариант» [42].
Предположим, как обычно, что s вариант данного несвязанного
ряда изображены вершинами правильного s-гранника в пространстве
s измерений.
Для изображения данного ряда при помощи системы осей
прямоугольных координат (xlfx2, ...,*s) берется s-гранник, имеющий вершины
в точках пересечения гиперплоскости, уравнение которой: 2#г = 1,
с осями координат. Произвольно взятая вершина Pt этого s-гранника
будет иметь следующие координаты:
#! = (), х2 = 0, ..., x/-i =0, хь=\, хц-\ =0, ..., xs = 0.
Далее, вершинам s-гранника, изображающим варианты ряда, дадим
в качестве весов, вместо абсолютных частот вариант ряда,
соответствующие относительные частоты, которые будем обозначать ft.
Представим далее отклонение произвольно взятой варианты х,
изображением которой является точка Р, от произвольно взятой
варианты z, действительной или счетной, изображением которой является
точка Q, вектором, имеющим модуль, равный расстоянию между Р
и Q, расположенным на прямой PQ и направленным от Р к Q.
Приняв эти условия, мы убедимся, что свойство средней
арифметической превращать в нуль алгебраическую сумму отклонений может
быть распространено на несвязанные ряды следующим образом:
Векторная сумма отклонений от средней арифметической, равна
нулю] поэтому средняя арифметическая несвязанного ряда будет
изображена той точкой рассматриваемого гиперпространства, в отношении
которой векторная сумма отклонений оказывается равной нулю. Эта
точка, которую мы назовем Р, должна будет удовлетворять
векторному уравнению:
h (Pi -Р) +fAPi-P)-+ - +fs(Ps-P) = <>>
распадающемуся на s следующих скалярных уравнений, которым
должны удовлетворять координаты хъ х2, ..., xs, точки Р:
/i0_— %) — /2*1 — /2*1— ••• — /Л = °
/1*2 ~Г / 2 \ 1 Хг) /3*2 •" lsX2 = V
(46) ••_•••_•••_ _: • •
— fi.xs — f2xs— f3xs— ...— fs(l— xs) = Q
355

т. е.
i = \
X22jfi = l2
(47)
XsHfi=fs
Так как 2/г = 1, приходим к выводу, что координаты точки,
представляющей среднюю арифметическую, суть:
Xi = h
(48) x2 = f2
XS = IS'
Определим теперь точку, удовлетворяющую условию: «сумма
квадратов отклонений равна минимуму», где в качестве квадрата вектора,
изображающего отклонение, берется квадрат его модуля, т. е.
скалярная величина.
Координаты xl9 х2>..., xs этой точки должны удовлетворять
соотношению:
F(xl9 х2, ..., xs)= f1(x1— lY + fixl + ... +fi*s +
+ f2^ + f2(^2-l)2+...+^s +
+ fsx2i + fA+- + fs(xs-l)2 = min.
Поскольку функция F является непрерывной и всегда
положительной, всегда существует точка, которая дает ей наименьшее значение.
Она должна удовлетворять уравнениям, получаемым путем
приравнивания к нулю частных производных F, а именно:
M*i-0+f2*i+»-+/.*i = o
fl^2 + f2(^2—0+... +/Л = 0
Эти уравнения совпадают с уравнениями (46) и поэтому
координаты точки минимума совпадают с координатами точки,
превращающей в нуль векторную сумму отклонений.
Поскольку, наконец, центр тяжести точек Pt с весами ft
определяется на основе присущего центру тяжести свойства давать
наименьшее значение для суммы квадратов отклонений, ясно, что также и
в этом случае средняя арифметическая изображается точкой с
координатами fl9 /2, ..., fs-
356

Б. Мода
Мода несвязанного ряда определяется как варианта или варианты,
которым соответствует наибольшее значение Y.
В. Медиана
Медианой несвязанного ряда является та варианта или любая из
вариант Xiy которая удовлетворяет соотношению:
(49) ^\XiXj\Yj = min.
/ = i
Таким образом у на основе формулы (43) медианой несвязанного ряда
является та варианта или те варианты X, для которых
соответствующее значение Y является наибольшим.
В заключение можно сказать, что в случае несвязанного ряда, если
мы ограничимся одними действительными вариантами, средняя
арифметическая, мода и медиана совпадают с той вариантой или теми
вариантами, которым соответствует наибольшее значение Y.
Пример. Рассмотрим несвязанный ряд, определяемый
следующей таблицей, в которой население Италии в 1900 г. распределялось
по признаку национальности (данные, приводимые Сундбергом):
Национальность Тыс. человек
Германское
Латинское
Славянское
Кельтское
Еврейское
население . .
» . .
» . .
» . .
» . .
Прочие национальности
Всего
. . 60
. . 32 298
. . 38
. . 0
. . 45
. . 34
~ 32 475
Средняя арифметическая, медиана и мода совпадают с вариантой
«латинское население».

ГЛАВА III
РЯДЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ НЕСКОЛЬКИХ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ИЛИ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ [121]
Возьмем несколько признаков: X, Y, ..., Z, Т и будем
рассматривать варианты одного из них, например Т, в соответствии с каждой
системой вариант остальных признаков. Таким образом
устанавливается некое «соответствие», при которомX, У, ...,Z ведут себя
аналогично независимым переменным, тогда как Г можно уподобить некоторой
функции от X, Y, ..., Z. Тогда ее можно выразить, по аналогии с
обычными функциями, следующим образом:
Т= (X, Y, ...,Z).
При определении средних образующихся при этом рядов и порядков,
дабы ограничиться практически наиболее часто встречающимися и
наиболее интересными фактическими условиями, мы будем
рассматривать только ряды и порядки с двумя переменными X и Y и, за
исключением случаев, которые будут оговорены особо, будем
предполагать, что признак Т всегда неотрицателен.
Тогда могут представиться следующие случаи:
1) порядки с двумя переменными, если признаки X и Y оба
количественные;
2) ряды с двумя качественными переменными, если оба признака
качественные;
3) ряды с одной количественной переменной и одной качественной
переменной, если один из признаков количественный, а другой —
качественный.
Последние два класса можно в свою очередь подразделить на два
подкласса, в зависимости от различных видов качественных
переменных, выступающих здесь в каждом отдельном случае (прямолинейные,
циклические, несвязанные).
А. Порядки с двумя переменными
Порядок с двумя переменными геометрически изображается при
помощи точек плоскости, координаты которых определяются
величинами Xiyi} соответствующими вариантам XiYt. Так называемое
358

расхождение между двумя парами вариант (XtYt) и (XjYj) может
рассматриваться только в его абсолютном значении, выражаясь
формулой:
Y(xj-xP + (yj-ytr.
а. Средняя арифметическая. Средней арифметической порядка
с двумя переменными называется пара вариант X и Y, изображаемая
точкой (х, у) плоскости, координатами которой являются средние
арифметические взвешенные координат точек, представляющих пары (X^Y^,
когда весами являются соответствующие значения Ти таким образом:
(!) х = ^ > У =
2^ 2^ •
Средняя арифметическая порядка с двумя переменными не обладает
свойством превращать в нуль алгебраическую сумму отклонений
(первый момент), характерным для средней арифметической порядков с
одной переменной. Это вытекает из данного нами определения отклонения.
Зато она обладает свойством давать наименьшую величину для
суммы квадратов отклонений точек, представляющих данные пары
вариант (второй момент). В самом деле, из соотношения:
s
(2) ^ (х, у) = V [(*, -xf + (у, - yf] Tt = min
/=1
вытекает:
fy:
(3) ^=-2 ^(xi-x)Ti = 0;
откуда получаем:
У i = \
Другое свойство средней арифметической порядка с двумя
переменными заключается в том, что она является центром тяжести
(барицентром) системы точес (xif y%) с весами Т%.
Центром тяжести, или барицентром, системы S точек Рг с весами
Tt считается точка приложения G равнодействующей системы векторов,
параллельных, имеющих одинаковое направление и представляющих
веса Tt отдельных точек системы.
Если система предполагается дискретной, G определяется
векторным уравнением:
(4) G-0=^Ti{Pi-0) ,
2 г.
где О является произвольной точкой отсчета.
359

Если все массы лежат в одной и той же плоскости, то, проектируя
(4) на оси произвольно взятой системы координат с началом в точке О
и лежащей в той же плоскости, мы получим, что координаты х, у
точки G выразятся следующей системой:
X = -=. ; У = ■
2 Г! 2 г*
Средняя арифметическая порядка с двумя переменными
изображается, наконец, координатами центра равновесия горизонтальной
плоскости, которая предполагается жесткой и невесомой и к которой
приложены в точках с координатами хгуь силы тяжести,
изображаемые векторами, длина которых пропорциональна Т%.
б. Медиана. Обычное определение медианы, предполагающее
наличие первой и последней варианты признака, в зависимости от
которого построен ряд, не может в данном случае иметь смысл,
так как пары вариант (XtYi), на основе которых построен наш
порядок, не следуют друг за другом в определенной последовательности.
Поэтому медиана определяется как пара вариант X и Y,
изображаемая точкой с координатами (х, у), удовлетворяющими соотношению:
(5) в(х, у) = 2 f(xl-x)* + (yl'=WTt = min,
i = \
где берутся только положительные значения корней.
Решение уравнения (5) приводит к системе:
^ = _у _ Ы-х)Тг _^_у у, cos а, = 0;
(6)
-*! = -? — О* "У» у* =—yrfsinaf = 0,
где at обозначает угол, который прямая, соединяющая точки (ху) и
(хьУд> образует с положительным направлением оси х.
в. Мода. Мода изображается той парой вариант (XtYi), которой
Соответствует наибольшее или одно из наибольших значений Т.
Пример. Определение средней арифметической и медианы
порядков с двумя переменными применялось к исследованию
различных демографических явлений, и в частности к распределению
населения.
Взяв плоскостное изображение территории, занятой населением,
центр тяжести или медианный центр которого хотят определить, и
разделив эту территорию на достаточно малые единицы, делают
предположение, что население, проживающее в границах каждой из этих
единиц, сосредоточено в ее центре. Таким образом получают часть
плоской поверхности, на которой расположена дискретная совокупность
360

точек с весами, образуемая центрами территориальных единиц,
причем вес каждой точки определяется числом людей, проживающих
в границах соответствующей единицы.
Если изобразить эту территорию при помощи так называемой
«цилиндрической равнопромежуточной проекции с квадратными
клетками», то меридианы и параллели образуют две системы прямых линий,
перпендикулярных друг к другу. Следовательно, географические
координаты любого пункта могут быть приняты за его прямоугольные
декартовы координаты.
Таким образом, мы вернулись к случаю порядка двух измерений:
координаты центра тяжести или медианного центра территории
являются простыми средними арифметическими или простыми
медианами координат центров территориальных единиц; координаты центра
тяжести или медианного центра населения — это средние
арифметические или медианы координат центров территориальных единиц,
взвешенных весами, пропорциональными числу людей, проживающих
в соответствующих единицах.
Центр тяжести и медианный центр населения представляют, в
различных аспектах, среднюю долготу и широту места жительства
населения. Если сделать теоретическое предположение, что население
равномерно распределено по всей территории, то эти центры совпали бы
с центром территории (центром фигуры).
Поэтому сравнение центров тяжести населения с центром
территории показывает распределение плотности населения, тогда как
сопоставление центров населения в различные периоды выявляет
изменения, происходящие в нем.
Изложим теперь метод определения центра тяжести населения,
примененный в Италии Джини, Болдрини, Гальвани и Венере [123].
Изобразив территорию Италии при помощи цилиндрической
проекции с квадратными клетками и приняв за нулевую долготу меридиан
Рима (Монте Марио), мы приняли последний за ось ординат,
причем, как обычно, условились западную долготу обозначать знаком —,
а восточную знаком +. Проделав эту предварительную работу, мы
применили формулу (1) последовательно к все более крупным
совокупностям и в результате получили средние центры населения
провинций, областей и крупных географических подразделений (Северная,
Средняя и Южная Италия), равно как всего Итальянского
Королевства в старых границах.
В приводимой ниже таблице обозначены географические
координаты центра населения по переписи 10 июня 1911 года в областях,
географических подразделениях и в Королевстве в целом.
Медианный центр для Италии был определен Л. Гальвани как в
отношении наличного населения по переписи 1921 г., так и для
территории Италии в старых и новых границах»
Была применена карта, уже ранее использованная для определения
центра тяжести. Она изображала Италию и распределение населения,
а именно количество населения, содержащегося в каждой клетке,
площадью четверть градуса по долготе и четверть градуса по широте.
361

Области
Пьемонт
Лигурия
Ломбардия
Be нею
Эмилия
Тоскана
Марке
Умбрия
Лацио
Абруцци
Кампания
Апулия
Базиликата
Калабрия
Сицилия
Сардиния
Северная Италия
Средняя Италия
Южная Италия
Итальянское
Королевство (в
старых границах)
Географические координаты
широта
45д 6'
44°17'
45°30'
45°37'
44°34'
43°38'
43°23'
42°50'
41°55'
42° 8'
40°56'
40°54'
40°32'
38°55'
37°40'
39°59'
45°1Г
42°55'
40°ЗГ
42с48'
долгота
—4°27'
_3°36'
_2°53'
+0°25'
—1°21'
—1°27'
+0°47'
+0° 6'
+0°12'
+ 1°37'
+2° 2'
+4°24'
+3°33'
+3°46'
+ Г44'
—3Q32'
—2°26'
—0° 3'
+3° 9'
1 —0°22'
Коммуны, в которые попадают центры
тяжести населения (в скобках
провинции)
Араменго (Александрия)
В море
Казирате д'Адда (Бергамо)
Пьомбино Дезе (Падуя)
Пыомаццо (Болонья)
Кастель Фьорентино (Флоренция)
Чинголи (Мачерата)
Монтекастелло ди Вибио
Рим
С. Эуфемия э Майелла (Кьети)
С. Виталиано (Казерта)
Аквавива делле Фонти (Бари)
Тривиньо
Самбиазе (Катандзаро)
Виллароза (Кальтаниссетта)
Самугео (Кальяри)
Тредосси (Кремона)
Колларцоне (Перуджа) i
Сатриано ди Лукания (Потенца)!
Фикулле (Перуджа)
При этом предполагалось, что население сосредоточено в центре
каждого квадрата.
Для удобства исчисления была приготовлена калька, на которой
была нанесена та же система квадратных клеток. Затем был избран
центр одной из клеток в качестве начальной точки отсчета и найдены
расстояния от него до центров всех прочих клеток, в каждую из
которых были вписаны соответствующие расстояния от начала отсчета.
После этого, наметив на глаз область, в которой, по нашему
предположению, должен был находиться медианный центр, мы клали кальку на
основную карту с таким расчетом, чтобы квадрат, в котором находилась
начальная точка, совпал с одной из клеток данной области.
Такой метод облегчил исчисление суммы произведений расстояний
между центрами квадратов на соответствующие численности
населения; на кальке были нанесены расстояния, а сквозь нее можно было
прочесть на карте численность населения данной клетки.
После повторения такой операции последовательно для прочих
квадратиков избранной области полученные результаты сравнивались
между собой. Медцанный центр приходился на тот квадрат, которому
соответствовала наименьшая сумма.
Для определения медианного центра итальянского населения
(1921 г.) в старых границах было необходимо произвести 17 проб.
Для нахождения медианного центра населения (1921 г.) в новых
границах необходимо было произвести 16 проб.
362

В приводимой ниже таблице даны результаты определения
медианных центров и центров тяжести территории и населения Италии в1911
и 1921 гг.
Центр тяжести населения
Годы
1911
1921
1911
1921
Широта
Старые границы
42р48'
42Q46'
Новые границы
42°56'
42°54'
Долгота |
—0°22'
—0°19'
—0°19'
—0°18'
Фикулле (Перуджа)
Баньи (Терни)
Пьегаро (Перуджа)
Кастель Дей Фьори (Терни)
Центр тяжести территории
Годы
Широта
Долгота
1921
Старые границы
42°24' I — 04 Г
Малердзоле (Терни)
1921
Новые границы
42°40' I —0° 9'
Сориано нель Чимино
(Витербо)
Медианный центр населения
Годы
1921
1921
Широта
Долгота
Старые границы
43°22' 1 —0°37'
Новые границы
43°37' I —0°37'
Пуличано (Ареццо)
Салютио (Ареццо)
Медианный центр территории
Годы
1921
1921
Широта | Долгота
1
Старые границы
42°52' 1 ~0°22'
Новые границы
43° 7' 1 — 0°22'
Олеволе (Терни)
Кастильоне дель Лаго (Перуджа)
363

Происшедшее за период 1911—1921 гг. перемещение к северу
широты и сокращение — долготы (по отношению к Риму) центра тяжести
населения в новых границах правильно отражает изменение
распределения населения в стране, происшедшее в результате присоединения
к Королевству новых областей. Происшедшее за тот же период
приближение центра тяжести населения к Риму, как по широте, так и по
долготе, явилось следствием роста населения Рима в это десятилетие.
Б. Ряды с одной количественной переменной и одной
прямолинейной качественной переменной или с двумя
прямолинейными качественными переменными
Поскольку прямолинейные ряды могут исчисляться таким же
образом, как и порядки, ясно, что ряды, о которых идет речь, во всем
сходны с порядками, зависящими от двух количественных признаков,
и поэтому об этих рядах можно повторить все то, что мы сказали о
такого рода порядках.
Пример. Рассмотрим следующую таблицу, в которой приведены
данные о распределении новобранцев 1859—1963 гг. по признаку
черепного индекса и цвета волос (Р. Ливи, Военная антропометрия):
|^v. Черепной индекс
Цвет волос ^*>.
Светловолосые . . .
Рыжеволосые ....
Черноволосые . . .
Всего . . .
-75
554
47
6 030
4317
10 948
75-80
4 159
349
37 491
23 297
65 296
80—85
9 492
649
70 684
35 844
116 689
85-90
7 983
537
51028
23 067
82 615
90+
1922
113
11573
4 841
18 449
Всего
24 110
1695
176 806
91386
293 997
Вместо четырех вариант прямолинейной качественной
переменной «цвет волос» подставляем числа 1, 2, 3 и 4, а вместо вариант —
классов переменной «черепной индекс» — их центральные значения.
Средняя арифметическая распределения исчисляется затем
следующим образом:
__ 73 * 10948+77,5 * 65296+82,5 • 116689+87,5 . 82615+92 . 18449 = go no.
"~ 10948 + 65296 + 116689 + 82615 + 18449 ~~ ' '
= 1 * 24110 + 2 . 1695 + 3 . 176806 + 4 • 91386 = „ 14
У~~ 24110+1695+176806 + 91386
364

Таким образом, средняя арифметическая определяется
следующими данными:
черепной индекс1 — 83, 03;
цвет волос — темноватый шатен.
В. Ряды, зависящие от одной количественной переменной
(или от одной качественной прямолинейной переменной)
и от одной циклической качественной переменной
Предположим, что циклическая качественная переменная X
является равнопромежуточной, и изобразим s ее вариант при помощи s
точек окружности, каждая из которых удалена на одно и то же
расстояние от последующей точки, а последняя — от первой. В соответствии
с каждой точкой-вариантой Р изобразим соответствующие значения
количественной переменной Y (или числа, которые ставятся в
соответствие вариантам прямолинейной качественной переменной) при
помощи тех точек прямой (проходящей через Р и перпендикулярной
к плоскости окружности), которые являются абсциссами этих значений.
Далее следует принять за начальную точку на этой прямой точку Р
и в качестве единицы измерения — выпрямленную дугу,
обозначающую абсолютное расхождение между двумя последовательными
точками-вариантами X.
Данные пары вариант (XtYi) изображены, таким образом, s
точками, лежащими на цилиндре, имеющем в прямом сечении указанную
окружность. За «расхождение» между двумя парами вариант (XtYi)
и (XjYj) принимается наименьший отрезок линии (геодезической),
соответствующий наименьшему расстоянию между точками,
обозначающими данные пары вариант. Поскольку геодезические линии
цилиндра суть его образующие, нормальные сечения и винтовые линии,
значение расхождения, определение которого было дано выше, легко
можно найти при помощи формулы:
(7) VPlf + iyj-yJ* >
где pi,j является выраженной в градусах мерой абсолютного
расхождения между вариантами Xt и Xj признака X.
Формула (7) при одинаковых значениях у дает отрезок
нормального сечения, при различных значениях у — отрезок спирали, и
при pitj = 0 — отрезок образующей.
Геометрическое изображение расхождения можно получить
следующим образом: развернем на плоскости три раза подряд
рассмотренную выше цилиндрическую поверхность (рис. 47) с тем, чтобы в каждой
из них были представлены s пар вариант.
1 Значение средней черепного индекса отличается от того, которое дает Ливи
в «Военной антропометрии», так как он разбивает распределение на классы
широтой в 1 единицу.
3S5

Назовем Qi(l=\,2, ..., s) точку, изображающую пару (XtY^
лежащую в средней полосе, a Qifi, QUti (i = l, 2, ..., s)— точки,
изображающие ту же пару, лежащую в боковых полосах.
Расхождение между двумя парами (XtYi) и (XjYj) может быть
представлено графически наименьшим из отрезков, получаемых путем
соединения прямой точки Qt с точками QJf Q//, Q//7«, лежащими на
соответствующих образующих.
Установив это, переходим к определению средней
арифметической, медианы и моды.
а. Средняя арифметическая. Ею является та пара вариант, для
которой взвешенная сумма квадратов расхождений является наименьшей.
I
Ф
4i
0/J 01 Qj
Рис. 47
0//.Z
0/U
Ясно, что средняя арифметическая не может быть определена иным
образом.
б. Медиана. Ею является та пара вариант, для которых взвешенная
сумма абсолютных расхождений оказывается наименьшей.
Медиана также не может быть определена иным образом.
в. Мода. Ею является та пара вариант, которой соответствует
наибольшее или одно из наибольших значений Т.
Пример. Примером статистического ряда, зависящего от одной
количественной переменной и одной циклической качественной
переменной, может служить приведенная ниже таблица, в которой жители
Рима, умершие в период 1925—1927 гг., распределены по признакам их
возраста и месяца, в течение которого произошла смерть.
В этом случае, как сказано, средней арифметической является та
пара вариант, которой соответствует наименьшее значение второго
момента. Это определение сохраняет значение не только в том случае,
если мы ограничиваемся одними действительными вариантами ряда, но
и в случае, если мы прибегаем к использованию фиктивных вариант.
Мы покажем здесь способ нахождения средней арифметической,
ограничиваясь рассмотрением одних только действительных вариант ряда.
Чтобы определить расхождения между различными парами
вариант «возраст — месяц», и в частности между двумя возрастными
классами, было бы необходимо подставить вместо каждого класса
соответствующий средний возраст; однако, предполагая, в первом
приближении, что внутри каждого из этих классов распределение по возрасту
366

носит равномерный характер, мы подставим вместо каждого класса
соответствующий центральный возраст; что касается класса «80 лет
и более», то мы вместо него подставим возраст 85 лет. Кроме того,
чтобы расхождения между вариантами признака «возраст» были такого
порядка величины, который допускал бы сравнение с вариантами
признака «месяц», мы возьмем в качестве единицы времени десятилетие
вместо года, так что максимальное расхождение между возрастами
будет 8,5— 0,05 = 8,45, тогда как максимальное расхождение между
месяцами будет равно 6 единицам. Значения возраста, использованные
для отыскания расхождений, указаны во втором столбце приведенной
ниже таблицы. Применив такого рода упрощения, можно сказать,
что расхождения, между классами 0 и 5—9 равно 0,75 — 0,05 =0,70
единиц, расхождение между классами 10—14 и 65—69 равно 6,75 —
1,25 = 5,50 и т. д.
Установив это и обозначив d(C,w> <$,,•), d(e, ^, d(m, у> расхождения
между парой вариант (возраст е, месяц т) и парой (возраст /,
месяц /), между возрастом е и возрастом i, между месяцем т и
месяцем /, будем иметь:
d(e,m)(l,f) —d(e, i)-\-d(mt j)
и поэтому второй момент ряда в отношении пары вариант (е, т)
будет равен:
/ / / /
где Ttj означает число умерших в возрасте i и в месяце /.
Таким образом:
^ {е,«)=^ 4. о 2 тн+^ 4«, «2 та=2 ^ <•> L>+2^ /А
i j / i i /
где Lt и С j означают соответственно суммарные числа умерших в
строках (возраст t) и в столбцах (месяц /).
Наконец, полагая
Ае = 2 d{e'l) ^*; Bm = 2 d{m'i} ^ji
i i
мы получаем:
1х2(еут) = Ае + ВтУ
где Ае является вторым моментом системы значений Lt в отношении
возраста е и Вт — вторым моментом системы С,- в отношении месяца т.
Далее мы имеем:
^«24./)^s=2(i"e),L|==6l2L'~2e2/L<+
it it
+2I,2L<sa*a~2p*+v'
367

се
яг
о;
о
а>
S
ccj
U О)
я ^
а. |
w I
о из
ЙЭ СМ
о2
s s
gcu
(У
cd
а.
II
^
«
S
Нояб.
О
н
X
О)
О
ЮЛЬ
S
юнь
«S
Я
£
л
С!
<
н
р,
g
а
а>
0
РЗ
t*
н
а>
ЬНЫЙ
= 10 л
Централ
возраст 1=
0>
2
£3
СО Л
О *
CQ
Ю
00
ю
^
ю
о
rf
CD
t^
CSJ
CD
О
CO
CD
CD
CM
CM
У—I
■^
CD
CO
Ю
CO
ел
ю
Ю
^h
CO
ел
CO
CM
CD
CO
CM
rf
CO
CO
CM
^t*
Ю
о
о
о
_
Tf
t^
CSJ
^
ел
CO
00
CSJ
ел
о
00
t^
t^
CM
CO
Ю
CO
о
t^
CM
CD
00
l^.
CO
CM
l .,
CO
CM
СЛ
CM
CM
CM
00
Ю
о
,__,
Ю
4j«
о
1—1
,_
oo
CM
CD
^
Ю
,_
CD
CD
t^
СЛ
00
О
О
oo
ел
CM
CM
о
~
CO
1-4
CM
ел
Ю
CM
о
CM
t^
4f
Ю
^
Ю
Ю
CO
CO
CM
CO
CO
CD
CO
4f
"<*•
Ю
Ю
CM
Ю
ел
Ю
Ю
t^
00
"^
CD
CO
Ю
CO
о
ГО
CM
CD
CO
Tf
CO
о
CM
Ю
CM
t^
i-ч
СЛ
CM
^
CO
CD
CO
<T>
CM
,. ,
CO
CO
CO
T^
CO
l^
CO
Ю
Tj<
о
Tt*
00
CD
CD
CM
Ю
CM
CD
CD
^
Ю
-Ф
ел
^
l^
Ю
Ю
Ю
00
CD
CM
t^
Ю
Ю
^
Ю
CO
Ю
Ю
t^
о
o^
1
io
^f
Ю
Ю
CO
TH
CD
^f
00
CO
О
^f
Ю
^F
l^
4f
CD
ч*
(^
-^
^
Ю
^
Ю
о
Ю
Tf
Tf
Ю
CM
^
rt*
1
о
^f
о
CM
CM
Ю
о
^f
о
CO
oo
ел
00
Ю
1-^
Ю
о
CO
о
о
oo
00
^f
ел
CD
ел
Ю
t^
^
СЛ
1
Ю
f-H
CD
CD
О
CO
^f
CM
CO
CO
. ,
CO
CD
CO
00
CO
^H
4f
Ю
CM
^
CO
-^
^^
^
CD
CO
О
CO
Ю
CM
CM
Tt<
CM
1
О
CM
о
Ю
CO
CD
CM
1-^
^_
о
CO
О
00
1-^
r^
о
CO
oo
a>
05
CM
CO
CM
00
i—<
CM
Ю
t^
CM
ГГ)
CM
1
Ю
CM
C-J
CD
CM
^
CJ>
,_
t^
00
r^
t^
,_
a>
CD
oo
00
<J>
a>
-00
CO
00
о
CD
a>
Ю
CM
CO
4f
CO
1
о
CO
о
CM
CM
l^
о
en
00
00
о
a>
00
о
о
см
СП
ю
a>
^
С75
00
о
ю
см
^
о
С7^
о
ю
t^
со
ел
со
1
ю
со
^
со
см
ю
со
_
00
ю
m
^н
00
Q5
00
00
00
г^
о
со
ел
,_
о
о
со
00
см
о
со
ю
см
^
4f
TJ<
1
о
"^
<ъ
см
со
_
оо
о
1^
о
о
00
^
см
со
со
о
ГГ)
CJ)
ю
1-^
СО
см
^
см
со
1-^
ю
t^
■^т1
ел
^
1
ю
^
^
см
со
_
00
со
см
^
со
см
со
см
^
1-^
"^f
о
со
ю
со
оо
^
ел
СО
см
^
00
■^
ю
см
ю
^
ю
1
о
ю
1^
о
см
1^-
см
^
CD
1^-
ю
1^
^
ю
,—1
^
,_
со
о
"^
г^
ю
1—1
со
^.
■^
05
1Л
о
см
г^
00
ю
t^
ю
ел
ю
1
ю
ю
о
00
ю
см
со
а)
см
см
ел
ю
гл
со
со
со
00
ю
00
оо
г^
со
00
^
^^
ел
Г-»
со
см
со
(^
см
,_
оо
см
ю
см
со
^
со
1
о
со
г^
со
00
см
со
со
,
со
см
CD
00
ю
со
CD
00
со
о
см
ю
СЛ
ел
со
см
о
1-^
см
00
со
,_
о
со
о
см
со
ю
t^
CD
ел
со
1
ю
со
"^f
CD
CM
ю
f^.
со
со
со
ел
со
1^
ю
со
CD
а^
см
о
см
со
1^
со
со
со
ю
со
ел
ю
со
ю
о
^
ю
Tt*
ю
00
о
со
^
ю
СО
о
ю
t^
ел
1>
1
о
г^
см
ю
^f
см
со
CD
со
ю
ел
"
см
00
,_
со
t^
см
00
"^f
со
•^
t^
ю
t^
ел
см
t^
см
1Л
ел
см
см
о
со
о
ю
00
О)
а)
о
\о
S
о
00
ю
^f
со
со
t^
Tf
CD
со
ю
ел
со
см
CD
^
со
см
t^
ел
см
см
см
о
см
ю
^f
о
со
со
см
о
со
00
со
см
со
00
ел
см
rt»
ел
со
со
о
ю
со
00
^t4
ю
со
6"
|_
368

так что, найдя коэффициенты a, |3,y, мы сразу же определим значения Ае
как ординаты параболы. В нашем примере нахождение моментов Ае
вытекает из двух нижеследующих таблиц, причем из второй таблицы
можно сразу же увидеть, что наименьшее значение Ае, равняющееся
323638, 1350, соответствует возрасту 42,5 лет.
Вычисление коэффициентов параболы а е2 — 2 $е-\- у
Возраст
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
5,75
6,25
6,75
7,50
8,50
Li
4 585
2 741
1045
547
362
668
554
1204
1616
1350
1 162
1220
1264
1329
1624
2017
2 580
2 837
5 294
2 452
а = 36 451
/L.
229,25
411,15
261,25
191,45
162,90
501,00
692,50
2 107,00
6 636,00
3712,50
3 776,50
4 575,00
5 372,00
6312,75
8 526,00
11597,75
16 125,00
19 149,75
39 705,00
20 842,00
(3= 147 886,75
i2Li
11,4625
61,6725
65,3125
67,0075
73,3050
375,7500
865,6250
3 687,2500
8 181,0000
10 209,3750
12 273,6250
17 156,2500
22 831,000
29 958,5625
44 761,5000
66 687,0625
100 781,2500
129 260,8125
297 787,5000
177 157,0000
7 = 922 279,3225
Что касается вторых моментов Вт, достаточно указать, что
расхождения d(m> j) между месяцами принимают в циклическом порядке и
в отношении любой варианты всегда имеем одни и те же значения:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1,
так что не представит труда, как это видно из следующей таблицы,
вывести значения Вт из значений С, и из квадратов указанных
расхождений.
Отметим также, что наименьшее значение ВтУ равняющееся 400012,
соответствует марту.
Итак, сумма обоих вторых моментов Ае и Вт, т. е. [х2(е, т),
принимает наименьшее значение 723650,14 при этой паре вариант
(возраст в десятилетиях — 4,25; месяц — март).
Эта пара является, следовательно, средней арифметической ряда
в вышеупомянутом смысле, т. е. при условии, что мы ограничиваемся
рассмотрением только действительных вариант ряда.
13 Зак. 401 369

Вычисление моментов второго порядка Ае
Возраст е
(1)
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
5,75
6,25
6,75
7,50
8,50
ег
(2)
0,0025
0,0225
0,0625
0,1225
0,2025
0,5625
1,5625
3,0625
5,0625
7,5625
10,5625
14,0625
18,0625
22,5625
27,5625
33,0625
39,0625
45,5625
56,2500
72,2500
ае2
(3)
91,1275
820,1475
2 278,1875
4 465,2475
7 381,3275
20 503,6875
56 954,6875
111631,1875
184 533,1875
275 660,6875
385 013,6875
512 592,1875
658 396,1875
822 425,6875
1004 680,6875
1205 161,1875
1423 867,1875
1660 798,6875
2 050 368,7500
2 633 584,7500
-2/Зв + Т
(4)
907 490,6475
877 913,2975
848 335,9475
818 758,5975
789 181,2475
700 449,1975
552 562,4475
404 675,6975
256 788,1875
108 902,1975
— 38 984,5525
— 186 871,3025
— 334 758,0525
— 482 644,8025
— 630 531,5525
— 778 418,3025
— 926 305,0525
—1074 191,8025
— 1296 021,9275
— 1591795,4275
ле
(3) + (4)
907 581,7750
878 733,4450
850 614,1350
823 223,8450
796 562,5750
720 952,8850
609 517,1350
516 306,8850
441322,1350
384 562,8850
346 029,1350
325 720,8850
323 638,1350
339 780,8850
374 149,1350
426 742,8850
497 562,1360
586 606,8850
754 346,8225
1041789,3225
Г. Ряды, зависящие от двух циклических признаков
Геометрическое изображение ряда, зависящего от двух
циклических признаков, получается следующим образом.
Развернем на плоскости тремя последовательными приемами
цилиндрическую поверхность, на которой равноотстоящие образующие будут
представлять равнопромежуточные варианты циклического признака
X. На этой же плоскости развернем тремя последовательными приемами
в направлении, перпендикулярном первому, цилиндрическую
поверхность того же радиуса, на которой система равноотстоящих образующих
будет изображать равнопромежуточные варианты Y (рис. 48).
Поверхность, общая для этих разверток, будет представлять собой
квадрат, разделенный на девять квадратов, стороны которых равны
окружности С цилиндров.
В каждом из этих квадратов точка пересечения образующей,
представляющей варианту Хь с образующей, представляющей
соответствующую варианту Yu является изображением пары (X^Fj).
Обозначим Qt точку, изображающую пару (Х^), которая
попадает в центральный квадрат, и Qn, Qin, ..., Qvnn —точки,
изображающие ту же пару, но попадающие в квадраты, которые окружают
центральный квадрат.
Пусть нам даны две пары (ХЬУ{) и (XjYj). Рассмотрим изображение
первой пары, попадающее в центральный квадрат, и четыре
изображения второй пары, попадающие в вершины квадрата со стороной С, на
370

IZ8 *8I
1 о
*<
2
s
D3
to
3
00
CD
4^
СП
4^
>—k
CD
^1
СП
to
4^
О
^
00
СП
СП
4^
°
О
о
to
4^
*~k
00
4^
4^
1 00
4^
OO
CD
to
"^
to
4^
CD
*vj
00
to
00
►U
00
00
^1
4^
00
4^
00
-»1
to
CO
00
4^
00
О
CO
to
00
4s*
CD
О
СП
*^
CO
4^
4s*
"—'
СП
4^
О
^
to
00
CO-
~v)
fa
n>
w
ПЭ
o\
>73
cr
00
CD
4s*
~v)
00
CD
4^
^1
>—^
4^
СП
~v)
^1
00
to
00
to
00
СП
1 00
00
СП
to
CO
1—i
*^
СП
IZI-
00
*""'
to
CO
to
CO
1—1
1—1
^1
СП
СП
00
00
СП
to
00
to
00
to
00
4^
СП
OO
00
00
CD
4^
^1
X
о
tt
o\
>73
tr
to
CD
CO
СП
>—i
О
^J
00
о
to
4^
to
СП
СП
4^
00
,—L
to
о
CD
~v)
00
^1
СП
CO
~v)
о
to
о
CD
~v)
00
^1
СП
4^
00
i—i
to
О
to
4^
to
СП
СП
О
*vj
00
О
to
CD
CO
СП
to
CD
CO
СП
О
«
H
to
o\
T3
cr
to
CD
4^
CD
to
00
00
4^
4s*
to
00
00
CD
CD
CD
,_i
СП
О
CO
СП
to
СП
CD
CD
CD
i—i
СП
О
4^
to
00
00
CD
to
00
00
4>»
>—i
О
СП
00
4^
to
CD
4^
CD
to
CD
4s*
CD
О
СП
00
4^
n
fl>
3
H
tQ
ov
ПЗ
cr
to
to
CO
^1
00
CD
^1
СП
to
СП
^1
4^
to
СП
00
to
CD
CO
to
СП
^1
4s*
to
СП
00
CD
~v)
СП
to
to
О
CD
~v)
00
CO
i—i
00
00
to
to
CO
^1
to
to
CO
"vl
CO
1—i
00
00
to
О
CD
~v)
00
>
w
"I
^
о
H
to
~v)
о
to
CD
~v)
СП
СП
О
CO
~v)
to
~v)
to
CD
~v)
СП
СП
О
4s*
00
to
00
to
to
4^
00
00
»—'
О
00
О
00
to
^1
О
to
to
~v)
о
to
о
00
о
00
tsD
4s*
00
00
4s*
00
to
00
to
s
5
«з
cr
00
О
4s*
СП
, .
О
CO
CD
to
о
^J
CD
i—i
to
СП
4^
00
^J
to
о
to
^1
4s*
О
СП
>—^
to
>—I
00
О
00
О
4^
СП
00
О
4s*
СП
»—'
to
(—1
00
О
to
~v)
4s*
О
СП
4^
00
~v)
to
О
^1
CD
>—^
to
СП
S
s
я
cr
00
О
to
00
•<!
СП
СП
~v)
СП
4s*
00
00
CD
00
to
^1
to
О
^J
>—1
to
о
CO
to
00
О
to
00
00
О
to
00
>—i
to
о
CO
to
to
~v)
to
о
^1
4s*
00
00
CD
00
•<!
СП
СП
~v)
СП
О
00
00
to
00
£
ПЭ
s«
to
^1
CD
00
4s*
4>-
to
00
00
to
4^
CO
to
>—1
>—1
о
^1
to
to
^1
CD
00
to
^1
CD
00
»—'
•—'
О
~v)
to
to
4^
CO
to
4^
4^
to
00
00
CD
CO
to
о
о
CO
CO
CD
4s*
00
CD
CO
to
О
о
>
я
ъ
а>
и
сг
to
со
00
00
to
CD
00
4^
^1
>—i
>—'
СО
00
to
to
СО
00
00
to
со
00
00
(—к
(—к
СО
со
to
to
CD
00
4^
^1
4^
^J
^J
to
00
^J
4i-
СП
^J
СП
, ■
о
^J
00
00
00
^J
4^
СП
^J
СП
4^
-0
^1
to
00
s
ПЭ
T3
H
CO
СП
CO
4^
i—i
*44^
00
^1
CD
OO
СП
CO
4^
00
Ol
CO
4^
i—i
4^
00
^J
CD
00
to
00
4^
CD
СП
^1
СП
О
4^
00
CO
00
СП
О
to
СО
00
00
4^
00
СО
00
СП
О
00
СО
00
СП
О
СО
to
00
4^
CD
е
п>
W
>7Э
ПЭ
fcl
cr
СО
СП
о
00
00
СП
о
00
00
СП
О
00
1—1
4^
О
to
00
i—'
СП
to
^J
СП
CD
О
4^
00
00
^1
СП
^J
СП
^
to
CD
i—i
О
00
00
^1
СП
^J
СП
СП
CD
О
4^
00
00
»—'
СП
to
^1
4^
О
to
>Q
Я
со
ПЭ
>7Э
сг
00
СП
4^
00
00
СП
4^
00
(—1
4^
1—1
СО
to
00
>—1
СО
00
to
СП
CD
^1
CD
00
00
00
^1
О
о
to
^J
^J
to
00
00
00
^1
О
о
CD
СП
^J
CD
00
00
00
CO
00
to
>—i
4^
i—i
CO
to
00
СП
4^
00 1
^
CD
О
Число
умерших
С
J
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
00
л
s
о
я
о
•а
to
3

Рис. 48
которой лежит Qt. Соединим эти вершины с Qt. Наименьший из
полученных таким образом отрезков принимается за «расхождение»
между парами (XtYt) и (XjYj).
Условившись об этом, дадим определение средней
арифметической, медианы и моды.
а. Средняя арифметическая. Ею является та пара вариант, в
отношении которой взвешенная сумма квадратов расхождений прочих
пар вариант оказывается наименьшей.
Дать определение средней арифметической на основе каких-либо
других свойств невозможно.
б. Медиана. Эта та пара вариант, в отношении которой взвешенная
сумма абсолютных расхождений оказывается наименьшей.
Какое-либо иное определение медианы невозможно.
в. Мода. Ею является та пара вариант, которой соответствует
наибольшее или одно из наибольших значений переменной Т.
Пример, В следующей таблице приведены данные анемомет-
рических наблюдений (направление и скорость ветра),
производившихся ежечасно в течение двух лет (1925—1926) в Де Бильте.
В каждой клетке вписана сумма зарегистрированных в течение
этого периода скоростей ветра, соответствовавших направлению,
указанному в начале строки в течение месяца, обозначенного вверху
столбца. Нетрудно понять, что данная таблица представляет пример
статистического ряда, зависящего от двух циклических качественных
372

CQ
со
О)
о
К
о.
S
S
н
о
ч
X
>>
s
>>
J3
есяц
П
.*.
-J
qdpBHatf
4CI9KOH
qdpBXMO
qdpKiHaD
хо^ляв
ЧН01И
1Д1Ш
qiradiiT?
qirBdaa({>
qdBaHK

Направления
ветра
CO
00
CM
tJ«
CM
t^
^f
t^
CM
CD
t^
CO
^h
0
ю
CM
Ю
00
00
00
to
t>.
CO
^
0
0
CM
CM
^
C7>
CM
CD
CM
О
CD
00
CO
t^
О
CD
CM
—'
^H
ТИ
CO
CQ
CD
^f
Ю
00
CM
О
Ю
CM
CO
0
00
^F
10
0
t^
00
CM
^f
CO
00
^
^
CO
CO
CM
<7>
CD
О
00
^H
CM
Ю
CO
Ю
^f
CD
CM
^f
C7>
Ю
CM
CM
О
CM
C7>
CM
BCB
10
CD
CO
t^
^f
00
^H
О
t^
^f
<л
0
CO
*ф
CO
a)
ю
ю
CM
0
CD
00
CD
Ю
^H
CM
Ю
OO
<T>
CM
CD
(7>
Ю
t^
00
CD
CO
^F
C7>
<7>
t^
CM
Ю
CT>
C7>
CM
^
CQ
CM
^H
Ю
CO
CO
00
^
—
^H
Ю
^f
r^
C7>
CO
CO
r^
CM
CO
Ю
(M
C7>
0
"^
CD
О
О
CO
CD
О
CO
^f
t>
Ю
CTi
^f
CD
Ю
CM
CD
Ю
OO
CO
Ю
0
CO
CCB
^f
00
О
00
CM
00
0
1—1
CO
CD
00
Ю
t^
00
CO
C7>
CM
C7>
CTi
CM
CM
C7>
CD
00
CM
_1
r^
C7>
^f
CO
C7>
00
CO
CO
CO
00
C7>
Ю
О
Ю
C7>
t^
t^
CM
^
CM
a
CO
CD
О
*=F
CO
0
10
00
CM
C7>
t^
CO
CD
CM
CM
CM
0
00
r^-
<M
10
(T>
0
CO
~
^H
00
Tj«
00
Ю
C7>
CD
to
^f
00
CM
00
^
10
CM
CD
^H
Tj«
CO
О
^H
t^
to
Tj«
^F
CC3
a>
^H
CO
CM
to
00
ю
a>
^f
^f
CD
CD
~
00
N-
CM
00
^H
Tt«
-rf
CM
CD
CM
Ю
00
^H
00
^f
Q5
CO
00
О
^H
0
10
Th
to
CO
^H
О
CM
t^
CO
Tf
CD
CM
^f
CO
0
CO
^f
*—•
CO
a
CD
to
r^
Ю
CD
O)
00
1—1
CD
CD
CTi
rf
~
CM
CD
Tf
Ю
CO
^
CD
C7>
^f
00
CD
t^
Ю
Ю
CD
CD
00
О
to
О
О
CO
CO
00
C75
1—1
^f
00
^f
t^
CM
05
^f
^
^f
00
CM
G-5
CM
3C3
CD
Ю
Ю
t^
t^
О
t^
CO
CM
CO
00
CM
CM
Ю
0
[^
CD
О
CD
CM
00
05
^H
CM
CD
05
CO
CM
^f
CD
t^
CO
^f
00
o>
t^
CM
0
CTi
CD
^f
CO
t^
CO
CD
CM
CD
t^
^H
l^
lij
CO
-H
0
0
CD
Ю
CD
CO
CM
О
r^
CO
1^
^
CD
CO
CM
10
10
10
CO
^f
4*
^f
(M
10
CM
^f
0
CO
t^
О
CO
w
CM
a>
00
0
ю
^f
to
•*f
^f
CD
t^
CM
CD
CO
05
CD
t^
ЗЮЗ
CO
CM
CO
00
0
^
CD
C75
CM
1^
0
t^
t^
CD
05
00
t^
-H
^H
CM
05
0
05
Ю
t^
CM
t^
CM
1^
1—1
CO
CO
^
CM
05
G-5
00
00
^
1—1
t^
CO
CM
CM
t^
^
0
0
to
00
05
CD
^^
CO
CD
ГМ
CO
t^
0
0
^H
CM
CD
CM
10
0
0
CD
CO
[^
-
00
CD
Ю
00
^
CD
CD
t^
^f
Ю
^f
Ю
CM
0
CM
^
a>
^f
CD
О
^
05
^f
00
1^
0
0
CO
CO
05
t^
155
CD.
CD
CM
CD
^H
00
о
r^.
10
CD
CM
\n
^H
CO
05
CO
<D
CO
Ю
^H
05
Th
05
Ю
CM
10
10
00
l^
CM
00
^H
W
CM
0
(M
CO
05
CM
CO
CD
^
t^
Ю
Ю
Ю
CM
CD
О
Ю
CD
00
TJ^
1^
00
CTi
h-
05
CO
О
^t<
CM
10
05
0
00
CD
00
^
CM
05
00
^f
CM
10
00
^H
Ю
CO
0
CD
[^
CM
1—1
^
t^
CO
Ю
t^
О
CO
05
CM
00
t^
t^
00
CD
CM
[^
10
CO CQ
gas
Q Я
05
N.
r^
1^
^
1^
Ю
CO
CM
1^
00
^f
1^
^f
Ю
t^
^f
4f
C75
Ю
CO
00
C75
CO
00
CM
t^
CM
10
CO
CM
l^
CD
Ю
to
CM
CO
00
Th
CM
00
О
CD
CD
Ю
CM
CD
CO
Ю
CQ
2
00
CM
со
10
(M
CM
t^
0
05
^f
CM
CM
CM
CM
00
05
^f
00
Tf
■*f
00
05
0
CO
CM
05
^^
^
0
CM
CD
CM
Ю
t^
rf<
CO
^
^f
CM
00
05
CD
CM
1^
CM
t^
CO
ВЮВ
^ 1
^
10
05
00
CO I
CO
CD
CM
00
Ю
^
05
CM
CM
CM
CM
05
CD
10
CD
, CM
CD
CM
О
05
CD
Ю
1^
t^
to
CD
1—1
CxT
00
00
to
CD
О
05
CO
t^
CD
^
CM
CD
CD
1^
CD
00
Ю
^H
CD
00
Oi
t^
1—1
1—1
00
6"
373

переменных: X — направление ветра и У — месяц года;
количественным признаком, являющимся функцией этих качественных переменных,
будет переменная Т — сумма скоростей ветра.
Наша задача — найти среднюю арифметическую этого ряда на
основе единственного ее определения, применимого в данном случае,
т. е. того определения, согласно которому за среднюю арифметическую
принимается пара вариант X, У, в отношении которой сумма
квадратов расхождений прочих пар вариант окажется наименьшей, причем
предполагается, что эти квадраты взвешены значениями 7\
соответствующими этим парам. Мы ограничимся рассмотрением только пар
действительных вариант и нахождением той или тех из этих пар,
которые удовлетворяют принятому нами определению средней
арифметической.
Построенная нами таблица, помимо того, дает возможность
геометрического изображения ряда. В самом деле, центры 16x12 клеток
представляют пары действительных вариант нашего примера.
Обозначим [х2(/, с) второй момент ряда в отношении пары вариант,
которая в нашей таблице представлена клеткой, занимающей строку /
в столбце с. Далее, обозначим d (itC)(i,f) расхождение этой пары от
другой произвольно взятой пары, соответствующей строке i и столбцу/, и,
наконец, обозначим d(i,t) и d(C,/) отклонение строки / от i и столбца с
от /. Очевидно, будем иметь:
^(/, с) (/, л = d(it i) + d(C, j)
и поэтому:
^2 (*>с)=22d*1'с) {i> п Ти = 22^ *+d2{c' ^ Ttj=
i j j i
или, обозначая соответственно Lt и С, суммы значений Т (в нашем
примере—скорость ветра) в строке i и в столбце /:
М/, с)= ^db,^ Li+yddli)Cj = Al + Bc,
i j
где At и Bt имеют, очевидно, значение частичных вторых моментов.
Разумеется, при этом следует помнить, что расхождение между
постоянной строкой / и переменной строкой t, равно как и между
столбцами с и /, суть не что иное, как расхождения вариант двух
циклических признаков; поэтому в нашем примере, поскольку признак
«направление ветра», представленный в различных строках, имеет 16
вариант, а признак «месяц года», представленный в различных столбцах,
12 вариант, расхождение d(Ui) будет иметь в круговой
последовательности значения:
012345678765432 1,
а расхождение d(c,/> — значения:
01234565432 1.
374

Учитывая это, мы построили две отдельные таблицы — одну для
вычисления частичных моментов Ае, другую для нахождения моментов
Вс. Так, например, в первой таблице первая колонка образована
следующим образом:
О • Lx = 0; 1 • L2 = 2854,6; 4 • L8 = 18 946,0;
9-L4 = 31 600,8. ..9-L14 = 35818,24; 4-L16 = 19 111,6; 1 -Lu = 2 532,8.
Наконец, получив все возможные суммы, образуемые по формуле
Ai + Вс, можно получить для каждой пары действительных вариант
второй момент данного ряда. Ясно, далее, что этот момент будет иметь
наименьшее значение при паре вариант, образуемой наименьшим
значением Аь и наименьшим значением Вс, т. е. в нашем примере парой
вариант «февраль-ЗЮЗ». Эта пара является таким образом, средней
арифметической в указанном выше смысле данного ряда (см. таблицы
на стр. 376—378).
Д. Ряды, зависящие от двух несвязанных переменных
Обозначим при помощи t, (i = 1, 2,..,m) одну из т вариант
несвязанного признака Л, при помощи /(/ = 1,2,..,п) — одну из п вариант
несвязанного признака В и при помощи С,,/ — пару вариант А я В.
Пусть s =/= i и t =f= /, тогда Csj будет означать пару, отличающуюся
от пары С и вариантой Л, и Сп — пару вариант, отличающуюся от
пары Ctj вариантой В.
Если условимся, что а означает разницу между двумя вариантами
Л, а |3 — разницу между двумя вариантами Б, то естественно будет
обозначить через а также разницу между двумя парами С и и Csj,
отличающимися только вариантой А; через р — разницу между двумя
парами Ctj и Ciu отличающимися только вариантой В, и через
]Лх2 + р2 — разницу между двумя парами Сц и Cst,
отличающимися обеими вариантами.
Пусть ftj = частоте (относительной) пары Ctf.
fsJ= » » » С^'
fu= » » » Си
fst= » » » Cst
а. Средняя арифметическая. Дисперсия ряда по отношению к
варианте Ci;- будет:
*S2A = ftJ 0 + fsJ a* + fu P + fst {о? + р*).
Если принять а2(а<Р) за единицу, то это выражение
принимает вид:
■S$ =/,, + /„ Y» + MHrYa)
и при равенстве
fa+fsj + fu + fu-l
дает
2S^=l-^ + /«(Y2-l) + ^Y2-
375

о.
н
s
«J
a.
a>
3
о ^
S CD
H CM
О CD
•E CD
О
H
rt
Q.
eL
03
*
Я
S
>>
о
a>
*C3
Г)
о
a>
>
^
7*~|
ca
a>
Q
2
CQ
ОТ
и
со
со
и
00
и
и
и
CQ
и
и
0Q
и
0Q
^
СО
QQ
t^
CD
ОО
a>
00
«—•
00
00
Tf
t^
00
Ю
t^
О
t^
о
CD
00
CN
Ю
00
00
CO
t^
"^
Ю
00
_1
CM
CN
CO
t^
CD
CO
00
CN
•Ф
CN
CQ
CD
Ю
CD
t^
CN
О
О
ю
CD
CO
_i
t^-
CO
CO
1^
CD
Ю
^
^f
^H
CD
CD
Ю
<N
^
00
^
_H
.—i
CD
^
Ю
00
CN
CD
Tf
Ю
00
(N
BCB
Ю
CN
^f
00
»—i
~"
О
^
00
t^
Ю
1^
IO
00
CN
CD
CN
Tf
О
CD
^
CD
00
Ю
CD
CO
t^
^
Ю
CD
CO
t^
^
О
CO
^
CD
00
CQ
О
CN
CD
r^
'—i
CD
Ю
00
О
О
CD
_i
CO
00
^
^H
о
Tf
CN
^H
Ю
CO
CN
_
Ю
CO
00
^
-*
О
^
00
О
О
CD
^н
CO
CCB
CD
LO
a;
о
CD
CM
CD
CO
CD
Ю
_i
^
CO
CD
00
CN
^
00
CD
00
CN
CD
CO
CD
Ю
^н
CD
Ю
00
О
CD
CN
Tf
^
1^
CO
CD
^
О
CN
Ю
CN
CD
CO
.—i
CO
CD
О
"tf«
CO
CO
CD
О
Tf
CO
<N
Ю
CN
CD
CO
.—i
t^
CD
Ю
CD
О
CO
00
О
О
ю
4f
ю
00
О
О
ю
^
ю
ссз
CD
^н
СО
CN
Ю
CD
^н
СО
CN
Ю
CD
Г^
CN
CD
О
CN
^н
1^
00
О
1^
rh
^
О
1>-
со
00
Ю
1^
CD
t^
О
СО
^
00
^f
СО
00
00
00
О
CD
Ю
1^
ю
CD
^
CN
О
СО
CD
CN
Tf
О
00
^н
CD
Ю
CD
CD
О
CN
Ю
О
О
О
CD
СО
^
CD
CD
_
CN
l^
CD
CO
CN
^
^
О
CN
CN
CN
CO
3C3
CD
Ю
Ю
r^
1^
TF
CN
CN-
O
_i
CO
^
о
о
00
CD
CD
<& .
CD
00
О
^
CN
О
О
CD
00
CO
CD
CD
^H
О
CN
CD
CN
•^
^
CN
О
О
ОО
CO
^
00
ю
СО
CD
CD
00
^
о
о
^*
^
CN
CD
О
О
CD
^
Ю
CD
^н
О
CD
1^
CD
Ю
CN
О
ю
CN
ю
CD
СО
О
С^-
CD
»—i
CN
CD
^
О
CD
00
CD
<N
Tf
CD
О
^
О
CD
CO
CD
^
О
CD
00
CD
CN
ЗЮЗ
t^
о
о
*р
i^
о
00
CD
СО
СО
t^
ю
1^
о
00
О
(N
00
CN
CD
CD
CD
00
CO
t^
CN
00
t^
О
CO
Ю
CN
1^
CD
CN
CO
CD
CD
t^
CN
OO
t^
О
CO
Ю
00
CN
CD
О
CD
00
CO
oo
2
CD
^H
О
CN
CN
t^
^
О
Ю
CD
О
CD
CD
CN
CD
CO
Ю
Tf
1^
00
CO
^
t^
CD
CO
1^
CN
Ю
^
CD
О
00
00
00
CD
■*<
1^
CD
CO
1^
CN
Ю
CD
CO
Ю
-^
r^
00
CO
О
Ю
CO
О
CD
CD
CN
ЮЮЗ
о
о
r^
CN
^H
CD
^
00
00
^
Ю
CO
CO
CN
cn'
CD
CD
CD
^H
CN
CO
CN
^H
CO
Ю
о
CN
<N
CD
CD
CD
^H
CN
CO
00
00
^
Ю
CD
CO
CN
О
О
t^-
CN
-^f
CD
00
CN
CO
«—•
Ю
О
2
00
CN
1^
CN
CO
Tf
CN
О
О
ю
CD
CN
1^
О
t^
^
Ю
CN
CN
О
О
Ю
CD
00
CN
1^
CN
CO
^f
о
Ю
CD
"^
CD
CD
00
CD
1^
CD
CO
CD
CN
00
00
Ю
CO
ЮЮВ
,
1^
•—I
^
CO
CN
CD
Ю
00
t^
Ю
О
CO
^H
1^
•—"
^
CO
CN
^
^
О
о
CN
t-^
Ю
1^
^
^
CD
Tf
CD
^
"^
CD
t^
^н
^H
О
О
CO
^
CD
^H
'—•
CD
CQ
2
CN
CD
CD
О
CN
CD
CN
t^
О
^
CN
00
О
00
•—"
^H
CD
О
О
CN
CO
CO
CD
00
Tf
CN
Ю
О
^
CN
Ю
CD
t^
CN
CN
<N
^-4
CO
«—•
о
00
<N
CO
Ю
CM
ВЮВ
t 1
-^
CD
00
CD
^
"^
О
, ,
о
ю
1^
167
ю
^
CN
Ю
192
00
СО
о
ОО
ю
CN
CN
CD
CD
CN
Ю
CD
CN
CM
CD
Ю
^
о
Ю
CN
CO
^H
CD
О
CD
143
CD
CN
t^
CO
<N
231
II
376

CQ
Я
CQ
CQ
Я
PQ
я
я
я
Я
я
со
9
со
я \
СО
со
1
со
°о
£2
^
см
см
СО
N-
СЛ
N.
4f
LO
00
,—н
CM
00
CM
ю
со
00
со
ю
N.
о
N.
о
со
об
00
■*«
N.
00
N.
CD
00
СЛ
00
CM
^ч
"*•
ю
ю
CQ
^н
00
^f
^н
^
^н
ел
CD
ю
см
со
со
N.
со
ю
^
о
ю
со
со
,—<
N.
to
со
N.
см
о
"*•
ю
N.
00
ел
СО
rt«
Tf
ел
со
см
00
"*•
ю
N.
оо
ел
со
всв
ю
00
см
со
см
"ф
о
^
ОО
N.
ю
N.
ю
см
^f
00
1—1
о
^
ю
о
N.
ю
00
00
о
см
°Р
ем
о
со
со
со
о
со
ю
оо
00
о
см
со
см
о
"*•
ю
о
N.
CQ
см
ел
N.
,—|
со
Ю
о
о
СХ>
N.
N.
00
см
СО
о
^и
со
см
00
00
"*•
о
см
N.
оо
со
IS-
-^
см
см
см
00
^
о
см
N.
см
со
о
^
со
см
о
о
00
N.
N.
00
сев
о
о
со
^
см
N.
^
см
^f
СО
^
о
со
^н
см
о
см
^
со
N.
ел
■^
ю
00
со
см
о
см
Tt<
■^
см
^
со
"*•
о
о
о
со
rf
см
N.
Tfr»
"*•
N.
со
со
ч*1
и
00
СО
см
со
см
см
N.
00
о
ел
со
СО
см
со
о
о
00
1—1
см
N.
00
о
ел
со
со
00
СО
см
со
а
но
N.
ю
1—1
ю
оо
оо
о
о
ю
Tt<
ю
N.
со
ю
со
о
со
ссз
^н
со
со
со
СО
см
СО
^н
^
00
^f
со
со
_
со
со
СО
со
ю
см
"*•
оо
"^
со
00
00
ю
N.
ел
N.
о
со
"*•
о
N.
со
оо
^н
N.
00
о
N.
"*•
со
N.
см
ел
о
ем
0
-ф
00
со
00
о
см
^
Th
о
см
см
см
со
со
^н
см
N.
со
со
см
сЪ
о
ел
со
^
со
со
rt<
^
СМ
о
о
00
со
СО
^н
о
см
гл
N.
см
о
о
ел
00
со
ел
со
ел
00
о
•^
см
^
S 8
см
ю
о
^
S
*—•
ел
ю
"*•
см
о
со
со
см
со
ю
N.
ю
со
зсз
00
ел
СО
^
см
см
о
^н
со
СО
ю
ю
N.
N.
го
со
со
о
со
CD
см
ю
см
о
ю
см
ю
со
^н
о
со
n
СЛ
ел
о
о
ел
-^
ю
•^
о
о
^
т*
см
_-,
о
о
у—*
со
»
_
о
о
со
зюз
ю
1^
о
СО
о
см
00
со
со
со
t^
t^
о
ел
^
N.
ел
см
ел
см
со
со
^
со
см
СО
00
о
СО
см
СО
00
о
см
гл
см
СО
со
"*■
со
Q
СО
_
о
см
см
1>-
^
со
СО
00
со
ел
тн
о
ю
о
со
^h
со
см
со
N-
о
со
см
СО
N
о
rf
о
ю
о
со
^
"^
со
со
00
со
ел
ююз
см
N.
со
у—>
ел
ю
см
со
00
см
со
см
00
о
N
ю
со
00
S
ю
<п
см
со
00
см
со
см
см
N.
со
^^
ел
ю
00
см
со
ю
о
&&
см
гл
ел
ю
оо
ел
N.
ел
со
00
ел
N-
ел
со
см
ел
о
ю
см
00
00
ю
CJ
00
со
N.
со
со
со
о
ю
гл
^
ел
ел
ююв
ел
N^
N^
N
^f
ел
N-
N-
N.
т^
СО
^н
у—•
ел
^
о
о
со
^
^
со
^
rf
СО
N-
\Л
N.
ТИ
Th
ел
тр
^
о
о
см
N.
CQ
2ч
00
СМ
S
СМ
см
,_
со
у—>
о
см
ю
ел
N.
СМ
СМ
00
ю
о
rj"
о
о
см
со
со
СО
00
■00
оо
»—■
У—1
ел
см
^
о
1—1
^
см
СО 1
§
1
-^
^
N-
О
СМ
ОО
Ю
^J"
ел
^_,
со
00
„
со
со
СЛ
00
СО
см
*^f
ел
00
со
со
<4<
СЛ
см"
оо
ел
^«ц
СО
СО
со
см"
см
со
^
00
см
-N»
со
о
со
1Л
ю
см
о
^
"*
1—1
ю
о
со
II
377

Вычисление величин Вс, т. е. сумм квадратов расхождений в отношении месяцев
(De Bilt Velocitd del vento, 1925 — 1926)
Январь
Февраль .
Март . .
Апрель
Май . .
Июнь . .
Июль . .
Август
Сентябрь
Октябрь .
Ноябрь
Декабрь
Вс =
Январь
Февраль
Март . .
Апрель
Май . .
Июнь . .
Июль . .
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь .
Вс =
Январь
786i,5
32670,4
59621,4
118249,6
147202,5
234637,2
142255,0
99464,0
62299,8
29178,0
8263,3
941702,7
Июль
292244,4
196537,5
130681,6
59621,4
29562,4
5888,1
5690,2
24866,0
62299,8
116712,0
206582,9
1130685,9
Февраль
8117,9
8167,6
26498,4
66515,4
94209,6
162942,5
204847,2
155412,5
110755,2
65650,5
33053,2
936170,0
Август
20947,5
283014,0
204190,0
105993,6
66515,4
23552,4
6517,7
62Ш,5
27688,8
1 65650,5
132212,8
942499,2
Март
32471,6
7861,5
6624,6
29562,4
52992,9
104283,2
142255,0
223794,0
173055,0
116712,0
74369,7
963981,9
Сентябрь
129886,4
196537,5
294033,6
165615,0
118249,6
52992,9
26070,8
5690,2
6922,2
29178,0
74369,7
1099545,9
Апрель
73061,1
31446,0
8167,6
7390,6
23552,4
58659,3
91043,2
155412,5
249199,2
182362,5
132212,8
Май
129886,4
70753,5
32670,4
6624,6
5888,1
26070,8
51211,8
99464,0
173055,0
262602,0
206582,5
Июнь
202947,5
125784,0
73508,4
26198,4
7390,6
6Ы7,7
22760,8
55948,5
110755,2
182362,5
297478,8
1012507,2 1064809,11111952,4
Продолжение
Октябрь
73061,1
125784,0
204190,0
238485,6
184765,0
94209,6
58659,3
22760,8
6216,5
7294,5
33053,2
1048479,6
Ноябрь
32471,6
70753,5
130681,6
165615,0
266061,6
147202,5
104283,2
51211,8
24866,0
6922,2
8263,3
1008322,2
Декабрь
8117,9
31446,01
73508,4
105993,6
184765,0
211971,6
162942,5
91043,2
55948,5
27688,8
7294,5
960720,0
За среднюю арифметическую ряда принимают пару вариант,
дающую наименьшее значение для дисперсии 2Sa> или, что то же,
наибольшее значение для
(1) r = fu-fit(f-\)-fsty\
Если А и В суть два ряда, относящиеся к одному и тому же
признаку (например, национальность мужа и жены), или если так или
иначе можно положить а = р, следовательно, у2 = 1, то условие (1)
принимает вид:
(2) * = fu-fst.
378

В противоположность тому, что наблюдается в несвязанных рядах
одного измерения, не обязательно, чтобы наибольшему значению ftj
соответствовало наибольшее значение т, т. е. чтобы средняя
арифметическая соответствовала паре вариант с наибольшей частотой,
являющейся модой.
Так, например, в рядах, которые представлены в следующих ниже
таблицах, мы имеем (табл. 1):
= 0,
2
45~
ДЛЯ
пары
тогда как
для
^11 /11
пары
^12 /12 =
= -
11
~45~
10
45
т.. —
lll
_ 11
10—10
45
- 13 _
45
^"^^\ Л
^ ^""^^
1
2
3
! 4
Всего
1
10
11
2
3
26
2
4
2
1
1
8
3
5
4
1
1
11
Та
4
0
0
0
0
0
блица 1
Всего
19
17
4
5
45
Для других пар значение т гораздо меньше, как это видно из
табл. П.
Индекс коградуации равен:
132-29 =080
1б2/2
б. Медиана. За медиану ряда принимается та пара вариант, которой
соответствует минимальное значение простого среднего расхождения,
определяемого формулой:
Ч, = fa 0 + fsJ* + fitV + 1st V<# + Р2 -
которая, если принять а за единицу, приводится к
'S^fsJ + fuy + fstVT+f,
или, иначе:
Таким образом, медианой является пара вариант, которой
соответствует наибольшее значение:
(и
*=ftf-MY.-i)-Mfi+f-i).
379

Таблица II
Пары
1
Си
с12
Схз
Cl4
£-21
С22
С2з
С24
С31
С32
С3з
С34
^41
С42
С4з
С44
Значения
hi
2
10
11
2
з
4
2
1
1
5
4
1
1
0
0
0
0
fst
3
10
13
17
17
22
22
34
33
20
21
31
30
26
28
41
40
71
т
4 | 5
5,9
5,6
— 5,0
— 4,0
— 5,1
— 7,1
-13,1
— 12,7
— 3,3
— 4,7
— 11,8
— 11,4
— 10,8
— 11,6
— 17,0
— 16,6
0
— 2
—15
— 14
— 18
—20
—33
—32
-15
— 17
—30
—29
—26
—28
—41
—40
Убывающая
градация
'о4
6
2
1
7,5
6
4,5
7,5
10,5
10,5
3
4,5
10,5
10,5
15,5
15,5
15,5
15,5
-0
7
1
2
6
4
7
8
14
13
3
5
12
11
9
11
16
15
'G4
8
1
2
4,5
3
7
8
14
13
4,5
6
12
10
9
10
16
15

Возрастающая
градация
и
9
16
15
12,5
14
10
9
3
4
12,5
11
5
6
8
7
1
2
и
10
16
15
11
13
10
9
3
4
14
12
5
7
8
6
1
2
Разности
a — b
п
1
1
1,5
2
2,5
0,5
3,5
2,5
0
0,5
1,5
0,5
6,5
4,5
1,5
0,5
35,0
а — р
12
14
14
3,5
7
5,5
1,5
7,5
6,5
11
7,5
5,5
3,5
7,5
9,5
14,5
13,5
132,0
а—с
13
1
1
3
3
2,5
0,5
3,5
2,5
1,5
1,5
1,5
0,5
6,5
5,5
0,5
0,5
29,0
а-?
14
14
14
5
5,5
1,5
7,5
6,5
9,5
6,5
5,5
4,5
7,5
8,5
14,5
13,5
132,0
Если же а можно положить равным р, то эта формула принимает вид:
(2) « = /„-0,4142/,,.
В нашем примере медианой является пара Си, для которой мы имеем:
яи = 1/45(10 — 4,14) = 5,9/45,
тогда как для С12 имеем:
я12 = 1/45(11—5,38) = 5,6/45.
Все прочие значения я оказываются гораздо меньшими, что видно
из табл. II, графа 4. Однако градуатории значений я не согласуются
с градуаториями значений т, как это видно из колонок 7 и 11 этой
таблицы.
Коэффициент коградуации между значениями fa и т, как мы видели,
равен 0,80,, тогда как коэффициент коградуации между значениями
fu и я равен: {~/2 = 0,76.
в. Соотношение между средней арифметической, медианой и модой»
В приведенном выше примере средняя арифметическая совпадает с
медианой. Однако это бывает не всегда, в отличие от того, что
наблюдается в несвязанных рядах одного измерения, в которых средняя
арифметическая и медиана совпадают всегда.
380

Так, например, в следующей таблице:
В ^^\^
1
2
3
Всего
1
100
120
80
300
2
50
20
5
75
3
5
5
30
40
Всего
155
145
115
415
средняя арифметическая представлена парой Сп, тогда как медиана —
парой С12. В самом деле,
100 — 60 40
больше, чем
*11 =
Т12 ==
100
415
120 — 90
415
— 0,4142
415
415
_ 30
~" 415
X 60
120 + 0,4142X90
75
415
83
тогда как
наоборот, меньше, чем
415 415
Если мы применим формулу (2) к данным о числе браков в Буэнос-
Айресе (в 1887—1891 и 1905 —1908 гг.), подразделенных по
национальности супругов, (табл. IV и V)1, мы получим для различных пар
вариант по обоим периодам значения, указанные в таблицах.VI и VII.
Таблица IV
Буэнос-Айрес (город), 1887—1891гг.
Мужья
Аргентинцы . . .
Итальянцы . . .
Испанцы ....
Французы ....
Прочие
Всего ...
Жены

аргентинки
3894
2191
839
262
677
7863
итальянки
335
6947
142
65
J 49
7638
испанки
203
265
2814
105
127
3514

француженки
99
172
190
i 1093
98
1652
прочие
281
263
122
80
1 1224
1970
всего
4812
9838
4107
1605
2275
22637
1 Данные взяты из монографии F. S a v о г g п a n, «La scelta matrimoniale
Studi statistic!», Biblioteca del «Metron», Roma.
38 i

Таблица V
Буэнос-Айрес (город), 1905—1908 гг.
Мужья
Аргентинцы . . .
Итальянцы . . .
Испанцы ....
Французы ....
Прочие
Всего ...
Жены

аргентинки
4101
2120
815
178
679
7893
итальянки
530
3270
162
46
163
4144
испанки
401
302
2773
62
149
3687

француженки
116
94
87
234
55
586
прочие
372
245
137
34
986
1774
всего
5520
6031
3974
554
2005
18084
Индексы коградуации между значениями ftj и значениями т в
период 1887—1891 гг. составляли:
252-128 = 0,43,
242/2
а в период 1905—1908 гг.:
290—92
24V2
= 0,69.
Индексы коградуации между значениями ftJ и значениями я в
первый период равнялись:
260 — 118
а во втором периоде:
242/2
292—70
242/2
= 0,49,
= 0,77.
В обоих периодах медиана соответствует паре наибольшей частоты
(С22 в первом периоде и Сп — во втором). Этой паре соответствуют
значения я, резко отличающиеся от всех остальных.
Средняя арифметическая отличается от медианы, в обоих случаях
соответствуя паре С12, занимающей четвертое место в убывающей
градации частот.
Следует, однако, отметить, что, хотя в некоторых случаях, как
например, в вышеприведенных примерах, средняя арифметическая
или медиана, или обе они не соответствуют паре наибольшей частоты,
они обязательно соответствуют одной из наиболее часто повторяющихся
пар. Таким образом, на практике для нахождения средней
арифметической или медианы ряда, зависящего от двух несвязанных
признаков, достаточно вычислить значения т или я для некоторых пар с
наибольшей частотой,
382

к
VO
Н
«J
1
«
со.
1
а
СО
CS
9" к
Й*
н д.
са со
а а
СО U
о
Я"
ее
3
СМ^^О^^СМОСОСОСО^СО^т^(^^(Х>СО^ОГ--СМОО^
CM CM ^ ^ СМ ^ ^ ^ ^ ^ ^ CM ,-ч СМ
ОСОС^ОСОСООО^Ю^Ь^^С^Ю^^Ь^УЭЮС^^Ю
о
CD
СМ
0^<Х)^С»СМСООСМСМСМСМС»СОСМСО^СЛЮООГ--СМСМ^
СМ СМ ^ ^ СМ ^ ^ ^ ^ ^ СМ ^ СМ
СМ<Х)^^СМ^^ОСМЮОСХ>СМООЮ^ЮСЛОСОЮСМОГ--
^Ю^СОЮО<Х>СХ>СМ^^СМСО^Ю05^^СОСМОа>ОО^СО
СМ СМ СМ ^н ,—. СМ СМ 1—1 1—1 ^н ,—i СМ 1—1 1—1 ^^
СМЮО^СО^^С»СОЮСМСО^ЮГ--С^Г--СО^СООСЛСЗОСМ'^
СМ СМ СМ ^н ^ СМ СМ ^н ,—i ^н ^н СМ 1—1 ^н ^н ^н
^^ ^^^ ^н CM СМ *-* ^н СМ СМ ^н -* СМ СМ
^^сос^оюсм<х>со^^сою^с^1>.а50»лсосо^сзо^'см
_ ^н ^^^ ^н СМ ^н ^н CM CM CM ^н <—(CMCM
СМ^С^СОООСЛ^СЮЮ^^^СО^СПС^СОЮСОСООСМО^Ю
—< ^ см ^ ^ ^ см ^ см ^ ^ см ^н ^н см см
liO^t^^OCOCMC^OCOO^^^^^OCDOt^CMCO^OOCT)^
Tt'CDCMOC30CMC0CM--'CX)OC^t>--C^O^t,^CX)CX)C^OC0C30^t,O
С»1^СЛСО^ОСЛ^Ю'гнсХ)ЮЮ^^а5С^ЮСХ)СОЮ^,С01^.СЗОС7)
^ ОЭЮ^^^гРЮЮЮОО^^СОСО^СО^^СО^СОС^-СО
I I
СМСО^СЛСЛ^^СМ^^^ЮСОСХ)СХ)СО^СЗОООЮСЛОСМСМ
CDO0CDCDCT>C©CDCT>C^CM^(X>^^^t^^t,t^-00^«-nCMCDCDC7>
О^СЛЮ^^^^^^^СХ)СОГ^СОСМОЮСХ)^^^^СХ)С01^.СХ)СХ)ЮОСО
СЛг^ОСОСМОЮОСОСМ^С7)1Л1^.СОСО^^СОС7)С30100СОС7)СЗО
I I I I I I I I I I I I I I [
CDt^CD^COCM(X>^CT>CO^OOCO^CMC^CX>COCX>CDCMCMCMCD
lO(NOCON(NOCOinN^lOCO<NNN^CDNOC00500^^
СЮ^^Ю^^^Ю^^О^СЗОЮЮСЗОСОСЛСМСОО^СЗО^^ОСО^^СО
COt^^COCOOcN^COCM^Ot^t^CDCD^t^OOOCD^CDC7>C7>
0>СЛООСОГ^СО^^сХ)^ОЮ-нОСМСЛГ^СЛСЛа500СОСМсХ)СМ
ОО -^00 CM CDCO О) ^н ^СМСМОО—<-« ^^нО СМ СМ ^н СМ
СО CM CD СМ «-< ^н
N Ч 1* Л i
и N П ' и рч сч сэ ^i иэ —ч сч ^э т из ^« in v. .> -ч- -* I—■ с-» »■* -м- —»
«Hr-ii-4iHi>te4cMeiM м^И(ч»п^<*^ч<«ФЛ1П1вк!Л
ооооооооооооооооооооооооо

а VII
а б л и ц
н
Разности
Возрастающая
градация
Убывающая градация
Значения 22637 X
>-
1
1
со.
1
<3
а— Ь
liS
Р§
ы5
а
и
V5
«♦«»
Пары
-*
СО
OJ
~
О
о
00
N
(D
ю
«*
ее
<N
-
^OCDWCO^H^ONNX'NOOOOOOO^OO(D(NOCOWOOCO^
см см ^н ^н ^н см ^н ^н .— ^ ^ см ci
OW(N^^rHPH^inCOOCO(NO(NCOCDO(NOCOCO^lO
СО ^н t^- CO rf *—• О ^н t^ t^- О) CD ^ t^- 00 CD 00 Ю СМ О СО СО 00 СО ^
СО СМ —1 ^^СМ ^н ^н —« ^н ^н CM СМ
^СОСОЮСМ^СМЮЮСО^ЮО^^СМСОСО^СМОСО^О^-'С^.
Ю^СМСООСПсОЮ^^^ОО^^ОООСМЮ^СОСО^СПСМСО
CM CM СМ ^н СМ ^н СМ —< ^н ^—t ^н СМ —. ^н ,—. ^
^ЮCOt^^а>CMCOt^^CЮO^ЮCOOCMCO^COCOЮCПCM^t,
CM CM СМ ^н СМ ^ч СМ ^н ^н ^н СМ ^ч ^н^н ^н^н
п^СМ^Осхэ^СО^СЭЮСЯаЭЮСМООСО^^ЮСОСОСМГ^^О
,-, гн ri i-s OI *-н —< »-н СМ CM СМ —• ^н f-i OJ CSJ
СМ^с*ЭО>ЮГ^^©СЛЮООС£с>31^оОСО^©ЮСОс^^^^с>3
^н,-,« ,_см^<^ ^-«СМСМ СМ ~ «-ч^н СМСМ
с^^С^^^ООСМЮ^СЮФ^СОСМСОСПО^СОС^ОсМ^ЮЮ
^ гч(М^, ^н CM »-i ^н CN СМ ^н CN ,-н •-! «-1 СМ
ОО^ООГ-СОГ-ОСООО^СМООСО^ЮСОЮ^СМЮ'—< ^f СП СО СО
(Г)С»СПС»СТ>^СОСО'^СО^ООСГ>а^^СГ)СГ)1ЛООООЬО'—«CMOrt1
^^ОООСО^СООЮОО^МЮСООООСОЮООСОМг-.ОЮСО
СМСОСМСО^^Ю^СОСОСМЮЮ^^ЮСОСО^^ЮСОЮ
1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1
^Ot^t^CDOCntOCOlOt^tDCOOOCMOOt^'^'^COOCncOcOlO
t^CD^COCOCMOCOWCOt^CDCMr^Crtt^COCMTt'aiCnt^-COlOO
СО^СМСО^нгНСПСПСОСПООСО^оОСОа) ^10 05^N(NCONCD
г^^соСЛОООО^СЛСО^ОООООСОСМ^^СОСОЮООСМЮ'^
i i i i i I i m i 17777777777777
СМОСМЮ1ЛОСПООСМ —• 00 00 CO Ю —"фгнгн 00 00 CM rf CO О ^ч
г^-сюсо^союс^сммс^с^соспо^спсо^с^т^сосмс^спсп
MM0000005^^^0(NtD^05lOOin<OrHiOrHiOTt<NW
OO^t^CnoOOO^^OOOcMOJOOCOCOCMCM^HcOt^-LO ^нОСМЮЮ
^OlOOOOiOO(NtO(OrH(NCO(N05CO^N^lO(NlfiN^(D
OCMrHfsNCONO^COOONCD^^cnoOCOWN^cOWOO
гн^оо^ЮЮМм ^rt«COt^ -н -ч CM PJNh 5
"^ CM CO CM
ы и и. i* н е* м м м м е* 55 е* м » <* ч* «* «* «З S ie м л «
CJ О Cj CJ О О О О О О О О. О О О О О CJ О О CJ CJ (J О О
292
290 70
см
СП
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
884

Е. Ряды, зависящие от трех количественных признаков
Методы, изложенные и примененные в предшествующих
параграфах к рядам, зависящим от двух признаков, могут быть обобщены и
распространены на ряды, зависящие от трех и более признаков.
Как было указано в начале главы (стр. 358), мы остановились на
рядах, зависящих от двух признаков, поскольку они встречаются чаще
и представляют наибольший практический интерес.
Однако мы считаем уместным напомнить, что, поскольку речь идет
о пространственных координатах, средние арифметические
исчислялись не только по долготе и широте, но и по высоте. Эта последняя
координата приобретает большое значение для суждения о температуре,
в условиях которой протекает жизнь населений и которая оказывает
влияние на многие физиологические и демографические явления. В
Италии средняя высота территориальных делений была впервые
определена в период первой мировой войны в связи с дискуссией о потребности
различных наций в продовольствии, происходившей внутри
межсоюзной комиссии по продовольственному снабжению [94].
Позже эти данные были широко использованы в упомянутой выше
монографии «О центрах населения» [121], откуда мы
заимствовали приводимую ниже таблицу.
С теоретической точки зрения эта проблема не представляет
трудности.
В трехмерном пространстве центр тяжести по широте, долготе и
высоте изображается точкой, определяемой тремя пространственными
координатами, соответствующими средней арифметической высоты,
широты и долготы.
Области
Средняя высота
Пьемонт
Лигурия
Ломбардия
Венето
Эмилия
Тоскана
Марке .
Умбрия
Лацио
Абруцци и Молизе
Кампания
Апулия
Базиликата
Калабрия
Сицилия
Сардиния'
Северная Италия
Центральная Италия (включ
Южная Италия
Островная Италия
Итальянское королевство (в
ая
Абруцц
Молизе)
старых границах)
338,0
105,9
198,4
122,6
129,4
190,4
279,8
395,0
237,7
536,3
192,2
163,4
619,8
368,6
311,9
262,8
193,0
300,7
245,7
302,65
240,8
385

В нижеследующей таблице мы приводим данные о средней высоте
над уровнем моря областей, крупных географических подразделений
Итальянского Королевства согласно переписи населения от 10 июня
1911 г. Сопоставляя эту таблицу со средними арифметическими
широты и долготы, содержащимися в таблице на стр. 363, мы определяем
положение соответствующих пространственных центров тяжести.
Пространственный центр тяжести Италии в 1911 г. находился в
общине Фикулле, относившейся в то время к провинции Перуджа
(ныне она относится к провинции Терни) на высоте 241 метр над
уровнем моря.

ГЛАВА IV
О ПРИМЕНЕНИИ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН В ОБЛАСТИ
СТАТИСТИКИ
§ 1. СРЕДНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ ФИКТИВНЫЕ
Как уже было указано на стр. 64, средние делятся на:
1) средние реальные, или действительные;
2) средние счетные, или фиктивные.
К первым относятся те, которые соответствуют одному из членов
данного распределения, тогда как вторыми являются те, значения
которых не встречаются в этом последнем. Фиктивные средние
делятся в свою очередь на:
1) средние фиктивные возможные;
2) средние фиктивные невозможные,
в зависимости от того, могут или не могут значения этих средних
служить вариантой рассматриваемого признака в соответствии с
природой последнего. Так, например, средняя арифметическая следующего
распределения имуществ (тыс долл.) семи семейств (см. стр. 73):
1, 12, 54, 130, 2600, 5800, 10000,
равняется 2656,7 и является фиктивной возможной средней; она
фиктивна, поскольку не представлена ни одним членом распределения,
возможна, — поскольку имущество стоимостью в 2656,7 долл. может
фактически быть собственностью какой-либо семьи.
Наоборот, средняя арифметическая нижеследующего
распределения числа членов 7 семей:
2, 3, 3, 4, 5, 5, 7,
равняется 4,14 и является фиктивной невозможной средней, поскольку
абсолютно невозможно, чтобы какая-либо семья состояла из 4,14
членов.
Разъяснив эти термины, перейдем к рассмотрению средних в
распределениях признаков количественного и качественного характера,
чтобы установить, в каких случаях они являются действительными,
фиктивными возможными и фиктивными невозможными.
367

А. Распределения количественных вариант
а. Распределения вариант непрерывного признака. Если имеются
распределения какого-либо непрерывного признака (рост, вес,
температура и т. д.), любая средняя является действительной или
фиктивной возможной. Это является следствием непрерывности данного
признака. В самом деле очевидно, что любое значение средней роста,
веса, температуры и т. д. всегда может стать вариантой данного
признака; никакое среднее значение не может быть фиктивным
невозможным значением непрерывного.
Из определений различных средних непосредственно вытекает:
всегда являются действительными средними:
1) мода,
2) антимода;
3) высшее значение;
4) низшее значение;
5) медиана нечетного числа членов или четного числа членов, если
центральные члены одинаковы;
6) квантили порядка k = -, если п — 1 кратно р -\- q (где п есть
число членов, а р и q суть целые числа), или, в противном случае, если
два члена, между которыми лежит квантиль, одинаковы, ибо в этом
случае квантиль совпадает с ними;
7) разделительное значение, за исключением случая, когда:
(где х% суть члены распределения, а рх — веса);
8) тантили, за исключением случая, когда:
х^+х2р2 + ...+xtpt = k(xt+ipt+i + ... + хпрп).
Всегда являются средними фиктивными возможными:
1) медиана четного числа членов, если два центральных члена не
одинаковы;
2) квантиль, если п — 1 не кратно р -\- q, и два члена, между
которыми лежит квантиль, не одинаковы;
3) разделительное значение, если х1р1 + ... + xkPk = xk^l Руч-i ~^~
+ •••+*«?*(**=£ **+i);
4) тантиль, если ххрх +... + xtpt = k (*/+1p,+1 + ... + x„Pn)(xH=xt+i);
это является прямым следствием определений этих средних.
Для всех прочих средних невозможно формулировать общее
правило для определения того, является ли данная средняя
действительной или фиктивной. В самом деле, в различных распределениях
средние могут быть либо действительными, либо фиктивными.
388

б. Распределения вариант дискретного признака. В случае
распределений вариант какого-либо дискретного признака (число членов
семьи, число комнат в квартире и т. д.) средние могут оказаться либо
действительными, либо фиктивными возможными, либо фиктивными
невозможными. Они будут фиктивными возможными, если, хотя и не
совпадая ни с одной из вариант распределения, они имеют такое
значение, какое может принять данный признак. Наоборот, они являются
фиктивными невозможными, если данный признак не может принять
такое значение.
Так, например, средняя арифметическая приведенного на стр. 387
распределения, состоящего из числа членов 7 семейств, равная 4,14,
является фиктивной невозможной средней, ибо, как уже было
сказано, никакая семья не может состоять из 4,14 членов. Если же мы
рассмотрим следующее распределение числа членов 7 семейств:
Z, о, о, о, о, /,
то получим для средней арифметической значение 4, которое, хотя и
не равняется ни одной из вариант данного распределения, является
одним из возможных значений данного признака. Средняя
арифметическая поэтому является в данном случае фиктивной возможной.
Б. Распределения качественных вариант
а. Прямолинейные ряды. Поскольку средние прямолинейных рядов
могут вычисляться таким же образом, как средние порядков, к ним
можно отнести все то, что сказано о распределениях количественных
вариант.
Пусть, например, нам дан следующий ряд вариант цвета глаз
(непрерывный признак) 37 лиц.
Цвет глаз, измеряемый по
шкале Мартина-Шульца
1 а
2 а
4 Ъ
8
Число лиц
5
9
13
10
37
Введя отсутствующие в нашем распределении варианты шкалы,
которым приписываются нулевые частоты, и сопоставив
последовательным действительным или фиктивным вариантам последовательные
члены ряда натуральных чисел, мы получаем следующее качественное
распределение:
389

Цвет глаз
1 а
1 b
1 с
2 а
2 b
3
4 а
4 6
5
6
7
8
Соответствующие
количественные варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Число лиц
5
0
о
9
0
0
0
13
0
0
0
10
37
Для моды, средней арифметической и медианы получаем следующие
значения:
Мода = 8, что соответствует 46 по шкале Мартина-Шульца.
Средняя арифметическая = 7,1, что соответствует цвету,
занимающему промежуточное положение между цветами 4 а и 4 b по шкале
Мартина-Шульца.
Медиана = 8, соответствует цвету 4 b по шкале Мартина-Шульца.
Таким образом, мода и медиана являются действительными средт
ними, поскольку варианта 4 b действительно фигурирует в нашем
распределении, тогда как средняя арифметическая является фиктивной
возможной (в связи с непрерывностью признака).
В качестве второго примера приведем следующее распределение
дискретного признака «награды за воинскую доблесть»:
Награды за воинскую доблесть
Благодарность в приказе
Серебряная медаль
Золотая медаль
Число лиц
13
15
2
30
Введем фиктивную возможную варианту «бронзовая медаль» и
предположим, что интервалы между различными наградами
неодинаковы, так что полное распределение имеет следующий вцд;
390

Варианты
Благодарность в приказе
Бронзовая медаль
—
—
Серебряная медаль
—
—
—
—
—
—
—
—
Золотая медаль
Частоты
13
0
0
0
15
0
0
0
0
0
0
0
0
2
30
Подставим вместо действительных и введенных нами фиктивных
вариант первые 14 чисел натурального ряда. Получим следующее
количественное распределение:
Качественные варианты
Благодарность в приказе
Бронзовая медаль
Серебряная медаль
Золотая медаль

Количественные варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
11
12
13
14
Частоты
13
0
0
0
15
0
0
0
0
0
0
0
о
2
30
Для средних — моды, средней арифметической и медианы — мы
получим следующие результаты.
Мода = 5, что соответствует варианте «серебряная медаль» —
действительная средняя.
Средняя арифметическая^ 3,8 — средняя фиктивная невозможная.
391

Медиана = 5, что соответствует варианте «серебряная медаль» —
действительная средняя.
б. Циклические ряды. Напомним, что средним циклических рядов
дается определение на основе характерных свойств, которыми
обладают одноименные средние количественных распределений.
Если они определяются без введения счетных вариант, мы всегда
получаем действительные средние. Так, например, если в приведенном
на стр. 311 распределении:
Варианты X: П Вт Ср Ч Пт С В
Значения У: 00 30 200
средней арифметической дадим-определение как той варианте цикла,
при которой 2(xj — А) = 0; медиане — как той варианте цикла,
которой соответствует наименьшее значение 2|х^ — М |, и моде — как
варианте с наибольшей частотой, то будем иметь:
Средняя арифметическая — понедельник;
Медиана — среда;
Мода — среда.
Медиана и мода суть действительные средние; средняя
арифметическая — фиктивная возможная.
Если же вводятся счетные варианты, то мы будем иметь средние
действительные, фиктивные возможные или фиктивные невозможные
в зависимости от характера распределения. В частности, всегда
остается действительной медиана нечетного числа членов и мода.
в. Несвязанные ряды. Помня, что в несвязанных рядах, если
только не вводятся счетные варианты, медиана, мода и средняя арифметит
ческая совпадают с вариантой, имеющей наибольшую частоту,
приходим к выводу, что названные средние всегда являются
действительными.
§ 2. СРЕДНИЕ ОБЪЕКТИВНЫЕ И СРЕДНИЕ СУБЪЕКТИВНЫЕ
Нахождение средней может иметь целью определение единственной
и действительной интенсивности изучаемого явления. Это имеет место,
очевидно, тогда, когда интенсивность явления имеет одно-единственное
значение, т. е. имеется одна-единственная объективная величина, к
которой относятся различные меры. Таким образом, когда
многократно или различными лицами производятся измерения высоты какой-
либо башни, горы или звезды, различия в результатах бывают
следствием как случайных причин (состояние атмосферы, дрожание руки,
ошибка в считывании показаний прибора), так и систематических
(несовершенство измерительных инструментов и личные качества
наблюдателя). Предположив, что действуют только случайные
причины или что только одни они имеют значение, мы можем исчислить
среднюю величину значений полученных данных, чтобы элиминировать
влияние случайных ошибок и определить вероятное значение
действительной величины. Таким образом, в этом случае средняя дает нам,
392

или по крайней мере мы хотим, чтобы она нам давала, объективное
значение величины и поэтому она называется объективной средней.
Если, наоборот, существуют различные объективные величины, то
перед средней, очевидно, не будет ставиться такая цель и она не будет
иметь такого результата. Если, например, мы имеем данные о размерах
арендной платы или доходов, или имуществ, в пределах определенной
территории, либо о числе семейств, разбитых на классы по числу детей,
средняя этих данных не будет объективной. В самом деле, может
случиться, что найдется человек, действительно обладающий доходом или
имуществом, равным среднему доходу или имуществу, но это
совпадение будет чисто случайным, а может и вообще не произойти. Если,
например, в каком-либо году зарегистрировано 1010 рождений, в
следующем году — 950 и в третьем — 1028, то средняя арифметическая,
равная 996, не будет объективной, так как она не указывает, да и не
имеет целью указать, число рождений, фактически происшедших в
течение года, а указывает лишь, в какой мере это явление
осуществилось бы в том случае, если бы его распределение в этом периоде было
равномерным. Назначение этих средних заключается в том, чтобы дать
представление об интенсивности явления, не одинаковой в разных
случаях. Мы будем называть эти средние субъективными.
Существует, однако, промежуточный тип между этими двумя
видами средних, так, например, средний рост в некотором отношении
является субъективной средней, а в другом — объективной. Если
рассматриваем рост по отношению к отдельным людям, средний рост будет,
очевидно, субъективной средней, поскольку он не соответствует или,
по крайней мере, не должен обязательно соответствовать какому-
либо индивидуальному росту; если же рассматривать, наоборот,
индивидуальный рост как отклонение от некоего единого роста, а именно
— типичного роста расы или определенного населения, то средний
рост будет объективной средней, так как он будет как раз определять
этот типичный рост, который мы будем рассматривать как реально
существующий, если будем брать расу или население как единое целое.
То же самое можно сказать о всех типичных средних, которые
являются одновременно объективными, поскольку они представляют тип
рассматриваемого коллективного явления, и субъективными, если их
рассматривать в связи с индивидуальными явлениями, образующими
коллективное явление [119].
§ 3. СРЕДНИЕ ДАННЫХ, КОТОРЫЕ НЕ МОГУТ БЫТЬ
НЕПОСРЕДСТВЕННО ИСПОЛЬЗОВАНЫ
Данные, полученные при помощи статистического обследования,
могут быть в отношении подлежащего изучению явления совершенно
точными, полными и ясными; в этом случае мы можем сразу приступить
к измерению статистических явлений в интересующих нас аспектах.
В других случаях, наоборот, эти данные не могут быть непосредственно
использованы либо потому, что в них имеютс'я пробелы или ошибки,
либо потому, что методы обследования, при помощи которых были по-
393

лучены эти данные, были слишком грубы для достижения
поставленных целей, или обследование охватывало слишком узкое поле
наблюдения. В этом случае необходимо, прежде чем приступить к измерению
явления, устранить при помощи соответствующих процедур и
операций дефекты и недочеты имеющихся данных. Однако исключить эти
недостатки не всегда возможно. Они обычно вызывают расхождение
между статистическими показателями, исчисленными на основе
данных обследования, и соответствующими показателями, которые были
бы получены, если бы эти данные были полными и точными.
Ниже мы рассмотрим отклонения, возникающие в средних в том
случае, если статистические данные:
полные, но недостаточно подробные;
недостаточно подробные и вдобавок несопоставимые;
содержащие пробелы или систематические ошибки;
содержащие случайные ошибки.
А. Полные, но недостаточно подробные данные
Данные, относящиеся ко всей совокупности случаев какого-либо
массового явления, могут быть недостаточно подробны по одной из
следующих причин:
1) известно число случаев и общее количество какого-либо
признака, но не известна его интенсивность в каждом отдельном случае;
2) амплитуда различий (разность между максимальной и
минимальной интенсивностью признака) разделена на частичные интервалы
или же случаи данного явления разбиты ца классы, и для каждого из
этих интервалов или этих данных известна общая величина свойства
и число соответствующих случаев;
3) амплитуда поля изменений свойства разделена на частичные
интервалы (классы) и известно только число случаев,
соответствующих интенсивности отдельных классов.
1. Так, например, мы имеем дело с первым из указанных случаев,
когда нам известна общая сумма заработной платы, выплаченной
рабочим предприятия, и число рабочих; количество пшеницы,
потребленной всем населением какой-либо страны и его численность; число
жилых комнат в какой-либо зоне и численность ее населения;
национальный доход и число семейств страны; количество произведенного
вина и число виноградников и т. д. Очевидно, что в таких случаях
можно определить среднюю арифметическую, получаемую путем деления
общего количества данного признака на число случаев, тогда как для
нахождения всех других средних необходимых данных нет.
В этих примерах статистика дает два числа: общую сумму и число
случаев. В других случаях она дает только первое число, тогда как
второе мы узнаем иными путями.
Примером может служить нахождение среднего числа жителей,
приходящегося, на единицу поверхности, или среднего количества
атмосферных осадков, выпадающих в определенный промежуток
времени, или же средней арифметической прироста населения или нацио-
394

нального богатства в единицу времени. Вообще, когда знаменатель
показывает величину пространства или времени, доступную для
непосредственного измерения, мы не берем ее из статистических
обследований, тогда как, если речь идет о величине, находимой путем
подсчета, мы прибегаем к статистическим данным. Впрочем, из этого общего
правила есть исключения: иногда даже пространственные данные имеют
статистический характер и берутся из статистических обследований,
прямых или косвенных, как, например, при определении средней
урожайности культуры (например, табака или пшеницы) на единицу
обрабатываемой площади.
В отдельных случаях нас интересует и может быть найдена
косвенным путем не только средняя арифметическая, но и средняя
геометрическая. Это бывает тогда, когда с течением времени являние
обнаруживает тенденцию к росту не в арифметической, а в геометрической
прогрессии, что имеет место, например, тогда, когда капитал вложен по
сложным процентам, или в случае, когда мы имеем дело с
воспроизводством населения. Вообще в таких случаях знаменатель представляет
собой экстенсивную величину (промежуток времени), но может быть
представлен также интенсивной величиной, например, когда
отыскивается средний геометрический прирост населения по поколениям.
Имеются и другие особые случаи, когда полные, но не подробные
данные позволяют найти среднюю гармоническую интересующего нас
явления, например они позволяют определить среднюю
арифметическую явления, обратного по отношению к интересующему нас явлению.
Так, чтобы определить уровень цен, обычно находят отношение между
стоимостью товаров, реализованных по текущим ценам за данный
промежуток времени или в данной местности и их стоимостью по
ценам периода времени (или в местности), принятым за базу. Таким
образом получают среднюю арифметическую цен различных товаров,
соответствующую средней гармонической покупательной способности
денег в отношении этих товаров.
Таким же образом, возвращаясь к приведенным нами примерам,
возможно будет найти средний заработок каждого рабочего
предприятия; количество пшеницы, потребляемое в среднем; среднее число
комнат, находящееся в распоряжении одного жителя.
2. Мы имеем дело со вторым из указанных случаев, тогда,
например, когда известны отдельно общая сумма заработной платы,
выплаченной рабочим и работницам какого-либо предприятия, а также число
тех и других; или же когда известно число получателей дохода по
отдельным его классам, равно как общая сумма доходов по каждому
классу. В этих-.случаях точно вычислить можно только среднюю
арифметическую. Разделив общую сумму выплаченной рабочим
заработной платы на их число, мы получим среднюю заработную плату одного
рабочего. Разделив общую сумму заработной платы, выплаченной
работницам, на их число, мы получим среднюю заработную плату
одной работницы. Разделив сумму обеих этих сумм на общее число
рабочих (мужчин и женщин), мы получим среднюю заработную плату
одного рабочего (мужчины или женцины).
395

Аналогичным образом можно найти среднюю арифметическую
дохода по каждому классу получателей дохода, равно как и средний
доход всех получателей дохода.
Однако на практике можно определить и все прочие средние
(геометрическую, гармоническую и т. д.), подставляя в распределение
классов, если они не слишком велики, вместо каждого класса его
среднюю арифметическую взвешенную и находя затем различные
средние в полученном таким образом распределении средних.
Найденные средние, за исключением особых случаев, могут иметь
лишь приближенное значение. Когда мы имеем дело с типом средней,
обладающей свойством ассоциативности (см. стр. 150), точное
значение общей средней данной совокупности может быть получено при
условии, что частичные средние отдельных классов должны быть
того же типа, что и средняя всей совокупности.
Как для всей совокупности единиц данного явления, так и для
отдельных средних можно в особых случаях определить среднюю
геометрическую или среднюю гармоническую и затем, исходя из
частичных средних отдельных классов, прийти к общей средней всей
совокупности. Такой путь возможен, например, если мы находим средний
геометрический прирост за год по отдельным видам капиталов или по
разным группам населения и затем, рассчитав среднюю геометрическую
полученных таким образом результатов, определяем средний
геометрический прирост всей совокупности капиталов или населения.
Аналогичным образом, определив средние гармонические покупательной
способности денег для отдельных групп товаров, мы можем, найдя
среднюю гармоническую этих частичных средних, получить значение
средней гармонической покупательной способности денег для всей
совокупности проданных товаров.
3. Мы имеем дело с третьим случаем, если известно, например,
число людей, относящихся по своему росту, возрасту и т. д. к
определенным более или менее крупным классам, как это показано в следующих
таблицах.
Рост призывников (область Венеция —
Джулия 1918 г.)
Классы
145—150
150-155
155—160
160—165
165—170
170—175
175—180
180—185
185—190
190—195
195—200
Число (чел.)
3
17
85
403
810
926
490
148
36
6
3
396
Население Италии по переписи 1936
по возрастным группам
Классы
0— 5
5— 10
10— 15
15— 20
20— 30
30— 40
40— 50
50— 60
60— 70
70— 80
80— 90
90—100
г.
Число (тыс. чел.)
4 361
4 367
4 436
3113
7 628
5910
4 682
3 784
2 743
1571
378
17

В этих случаях невозможно точно определить какую бы то ни было
среднюю. Однако на практике определяются все средние, либо
предполагая, что в каждом классе признак распределяется согласно
арифметической прогрессии (в гл. I, § 1 мы уже приводили, говоря об
отдельных средних, примеры нахождения средних в случае
распределений, разбитых на классы), либо подставляя вместо распределения
каждого класса его центральное значение и вычисляя затем
различные средние полученного таким образом распределения. Разумеется,
полученные результаты будут тем более надежны, чем меньшими будут
классы. Шеппард предложил применять при исчислении моментов
(степеней с показателями k средних степенных порядка k)
распределения, разделенного на классы, некоторые поправки, чтобы получить
моменты непрерывного рлспределения. Однако эти поправки годятся
лишь при наличии, хотя бы приблизительно, следующих условий
(ф(л:) обозначает функцию плотности непрерывного распределения, в
котором v — ширина класса, k — число классов и хх л:2,..., xk — центры
указанных интервалов):
1) непрерывное распределение определено в конечном интервале
а\—\Ь длиной в kv\
2) все производные q/(#), ф"(л;),...,ф(5)(л;),..* функции плотности
равны нулю в крайних точках интервала;
3) в каждом интервале х% — ^и \ — | х% + -& функция может быть
разложена в ряд Тейлора в окрестности точки хь\
4) удовлетворяются с наилучшим приближением формулы:
2 k
^xr^){x)dx = v 2^Ф(8)(^)(^=1.2,...; 5=0,2,4,...),
a i=l
где
ф(°)(лс) = ф(дг).
Отправляясь от этих предположений, носящих весьма
ограничительный характер, Шеппард получил формулы, позволяющие перейти
от значений моментов: А'\ М'2, 3Л'3,.., найденных из
распределения, разбитого на классы, к значениям моментов Л, М2, 3Л3,...
непрерывного распределения. Для первых четырех моментов эти
формулы имеют следующий вид:
А = А'\
2/12 _. 2Л'2 и__ •
А ~ Л 12 '
М8 = М'8—— Л';
4
4Л4 - 4Л'4— — 2Л'2 + — v*.
2 240
Мы заимствуем у Сальвемини [187, 188] следующий пример
применения поправки Шеппарда к квадрату среднего квадратичного откло-
397

нения 252 (второй момент отклонений средней арифметической)
распределения возраста супругов в браках, заключенных в Италии между
вдовцами и вдовами в трехлетие 1926—1928 гг. Эти данные были
впоследствии сгруппированы в классы по 5, 10, 15, 20 и 30 лет.
Приводим полученные Сальвемини результаты:
Возраст супруги'
широта
классов
б годах
5
10
15
20
30
средняя
арифмст.
в годах
45,850
45,821
45,875
45,677
44,449
2,52
исходное
значение
3,265528
3,347841
3,476279
3,917487
4,765126
исправлен,
значение
3,221347
3,171116
3,078648
3,210587
3,174601
Возраст супруги 1
ж w X
s я*
х ^ (-
а к и
5
10
15
20
30
средняя
арифмет.
в годах
53,171
52,999
52,959
52,774
52,202
2$2
исходное
значение
3,189583
3,188223
3,223830
3,058586
3,257961
исправлен,
значение
3,145402
3,011508
3,826199
2,351686 |
1,667438
Как видно из этих данных, на первые моменты (средняя
арифметическая) группировка в классы не оказывает большого влияния, но она
сильно сказывается на вторых моментах. Однако поправка Шеппарда
ухудшает исходные данные для супруга. Поэтому в конкретных
распределениях применение поправки Шеппарда дает весьма ненадежные
результаты. Данные им формулы поправок не содержат рубрики
«прочие», что является весьма серьезным недостатком. Формулы,
включающие «прочих», даны Сальвемини [187], [188].
Джини [88], [92] дал следующую формулу поправки для 2S2 (второй
момент отклонений от средней арифметической), исходя из предполо-'
жения, что внутри отдельных классов признаки распределены
равномерно:
где индекс (2S')2 относится к распределению, разделенному на
интервалы, тогда как индекс 2S2 — к непрерывному распределению, vt
означает ширину интервала с порядковым номером i, a pt — частоту,
соответствующую этому интервалу. Из приведенной формулы сразу видно,
что для классов одинаковой ширины v поправка Джини для 2S2
отличается от поправки Шеппарда на постоянную величину 1/6а2.
Тот же Джини и многие другие авторы изучали влияние,
оказываемое группировкой данных, образующих ряд, на значение прочих
статистических индексов (средняя разница, простое среднее отклонение,
индексы корреляции, гомофилии, несходства, тесноты связи,
трансвариации)1.
1 О средней разнице и простом среднем отклонении ср. цитированное в
предыдущей сноске место из работы Джини [92]. Об индексах корреляции и
гомофилии см. статью Сальвемини, цитированную на предыдущей странице.
398

Что касается качественных рядов, Джини доказал, что
группировка отдельных вариант несвязанных рядов в 50% случаев приводит
к снижению значения средней разницы, которая в рядах этого типа
совпадает с простым средним отклонением1. Он также изучил влияние,
оказываемое такой группировкой на индексы несходства и сходства
несвязанных рядов [101], тогда как Сальвемини изучил ее влияние
на коэффициент корреляции циклических рядов.
Мы не останавливаемся на этих результатах, не имеющих прямого
отношения к группе средних. Достаточно того, что было сказано по
поводу среднего квадратического отклонения, понятие которого
необходимо для уяснения свойств средних.
Б. Данные, недостаточно подробные и к тому же несопоставимые
Бывают случаи, когда мы знаем общую величину данного явления
и также число случаев, к которым эта величина относится, но не за
тот же период.
Так, например, во многих странах мы знаем число детей от
каждого брака, но за каждый год известно лишь общее число заключенных
браков и число детей, которые, однако, происходят от браков,
заключенных в разные годы. В этом случае, чтобы получить среднее число
детей на один брак, можно идти различными путями:
а) разделить число детей, родившихся за определенный период
времени, на число браков, заключенных в этом же периоде. Частное
от деления в точности соответствовало бы числу детей, приходящихся
на один брак, если бы число браков и число рождений детей оставались
постоянными на протяжении всего периода. Если бы они менялись, но
лишь незначительно, ошибка была бы невелика. В том случае, когда
данные как о рождениях детей, так и о браках имеются только за
один какой-либо период (а это обычное явление в отсталых странах,
в которых переписи населения начали проводиться лишь в последнее
время), это единственно возможный путь;
б) разделить число детей, от зарегистрированных браков,
родившихся в период а, на число браков, заключенных в период б, если есть
наибольшие основания предполагать, что браки, заключенные в этот
период, приведут к рождению детей в период а\
в) в случае, если данные о числе родившихся и о числе
заключенных браков публикуются ежегодно, целесообразно делить число детей,
родившихся за год, на число браков, заключенных в период,
отделенный от этого года промежутком времени, соответствующим среднему
промежутку времени между заключением брака и рождением первого
ребенка (например, 4, 6 или 8 лет, в зависимости от плодовитости
населения и интервалов между последовательными рождениями детей).
Разумеется, этот промежуток времени можно определить лишь
приблизительно, но это приближение может оказаться достаточным, чтобы
оправдать применение этого метода.
1 См. сноску на предыдущей странице.
399

Методы бив могут дать удовлетворительные результаты, если
изменение числа заключенных браков и числа родившихся детей
происходит равномерно, например возрастая в арифметической прогрессии.
Если же происходят резкие сдвиги, например в результате начала
войны или демобилизации, результаты могут оказаться даже еще менее
достоверными, чем те, какие могут быть получены путем применения
метода а;
г) разделить число детей, родившихся за год х, на вероятное число
браков, от которых они произошли. Чтобы найти это
предположительное число, следует определить вероятность того, что ребенок,
родившийся в год х, происходит от брака, заключенного в этом же году или
в предшествующем году, или в один из предшествующих годов, и затем
эти вероятности отнести к числу браков, заключенных в
соответствующие года.
Этот метод, предложенный Джини, дал результаты, которые, как
показали произведенные проверки, обеспечивают хорошее
приближение даже для таких периодов, как годы последней войны и
послевоенного периода, когда колебания числа браков и рождений были очень
значительными;
д) родившиеся в каком-либо году дети от зарегистрированных
браков происходят, очевидно, и от тех браков, которые были
заключены ранее или в том же году, или в одном из предыдущих лет, но
которые затем расторгаются —в том же году, или в одном из последующих
лет. Когда число заключаемых браков с течением времени возрастает
или убывает, деление числа родившихся в какой-либо год детей от
зарегистрированных браков на число заключенных в том же году
браков привело бы, по сравнению с более точным методом, описанным
в пункте г, к завышенному среднему числу детей, родившихся от
зарегистрированных браков, приходящемуся на один брак. И обратно,
деля число детей, родившихся за год, на число распавшихся в том же
году браков, мы получили бы заниженную среднюю. Поэтому обе
ошибки, по крайней мере частично, перекрывают друг друга, и в
случае отсутствия данных, которые бы позволили применить методы б, в
и г, можно подумать о том, чтобы разделить число детей от
зарегистрированных браков, родившихся в течение года, на полусумму
браков, заключенных и расторгнутых в том же году. Однако, за
исключением особых случаев, обе ошибки недостаточно перекрывают друг
друга и, кроме того, не установлена величина ошибки, которая может
явиться результатом применения на практике этого метода.
Средние арифметические, получаемые при помощи методов а, б,
в, г и 3, получилгг наименование повторяющихся отношений.
Аналогичным образом вычисляются так называемые отношения
длительности, выражающие среднюю длительность существования
определенных элементов в данной ситуации.
Предположим, например, что требуется определить средний срок
банковских вкладов. Сроки отдельных вкладов нам не известны; мы
знаем лишь общую сумму вкладов на определенную дату, например
на середину каждого года, а также сумму взносов или выплат, про-
400

изведенных в течение года. Если общая сумма вкладов остается
неизменной, это значит, что взносы и выплаты взаимно
уравновешиваются. Но даже если сумма взносов или выплат остается неизменной,
отношение общей суммы вкладов к той или другой сумме будет означать
число лет, необходимых для того, чтобы при таком темпе взносов была
получена данная сумма вкладов, или же чтобы при таком темпе
выплат последняя оказалась исчерпанной. Таким образом, отношение
общей суммы вкладов к сумме взносов или платежей будет означать
среднюю арифметическую длительности хранения вкладов. Поскольку
вышеизложенные предположения, как правило, не наблюдаются в
действительности даже приблизительно, обычно прибегают к приему,
сходному с тем, который был описан в пункте д, чтобы установить
отношения повторяемости, деля общую сумму вкладов в середине года
на полусумму годичных взносов и выплат. Можно было бы также
использовать прием, описанный в в, взяв общую сумму вкладов на
какую-либо дату и деля ее на сумму взносов, имевшихся ранее
указанной даты на промежуток времени, равный половине среднего срока
длительности вкладов.
Обратная величина по отношению к полученному таким образом
отношению длительности принимается за меру средней скорости
обращения вкладов, являющейся важным статистическим показателоа,
поскольку необычное ее повышение может служить показателем ем-
пряженности денежного рынка, сигнализирующим о приближении
кризиса.
Однако следует предупредить, что полученная таким образом
средняя скорость обращения вкладов соответствует не средней
арифметической, а средней гармонической скорости обращения отдельных
вкладов [97, см. также «Metron», vol. X, п. 1—2, 1932; 100, 24, 112, 119, 225
и след.].
В. Данные, содержащие пробелы или систематические ошибки
Бывают случаи, когда данные статистического обследования не
могут быть непосредственно использованы, так как они содержат
пробелы или ошибки.
Существуют различные методы восполнения пробелов и
исправления систематических ошибок. Когда это невозможно, ясно, что
полученные средние таких распределений будут, как правило, отличаться
от тех средних, какие были бы получены, если бы эти распределения
были свободны от пробелов и систематических ошибок.
Средние положения, однако, могут быть определены точно, если
пробелы и ошибки не затрагивают того члена распределения или того
интервала, который соответствует искомой средней.
В частности, медиана и квантили могут быть точно определены,
если только определенно известно число случаев, что дает возможность
установить порядковое место медианы или квантили в
последовательности, и если в то же время пробелы и ошибки не затрагивают того
члена распределения или интервала, которому соответствует искомая
14 Зак. 401
401

средняя. Точно так же всегда можно определить модальное значение,
если точно известны частоты и если член распределения с наибольшей
частотой не содержит ошибки.
Что касается аналитических средних, то центральное значение
можно всегда определить, если точно известны наименьшее и
наибольшее значения, тогда как об остальных средних мы ничего сказать не
можем. Единственное соображение, впрочем само собой разумеющееся,
заключается в том, что пробелы, затрагивающие меньшие значения
данного признака, влияют на средние аналитические меньше, чем
пробелы, затрагивающие более крупные члены распределения, отвлекаясь
от того влияния, которое на средние оказывают частоты, попадающие
в пробел.
Г, Данные, содержащие случайные ошибки
Среди случайных ошибок, которые могут оказаться в
статистических рядах, следует различать ошибки частоты, зависящие от
ограниченного числа наблюдений, и ошибки измерения, зависящие от
неточностей измерения, оценки и исчисления данных [107, р. 184—
185].
а. Ошибки частот. Когда нужно изучить какое-либо массовое
явление и нет возможности учесть все его случаи, прибегают к так
называемому «случайному отбору», т. е. учитывают более или менее
значительное число случаев, из всей совокупности случаев, образующих
данное массовое явление, не применяя какого-либо особого правила
их отбора.
Полученная таким образом группа элементов называется выборкой
(выборочной совокупностью); совокупность элементов, образующих
массовое явление, называется массой или генеральной совокупностью.
Термином же универсальная совокупность обозначается предельное
значение массы с бесконечным числом случаев.
Существуют различные типы отбора [119]. Среди них наиболее
известна и наиболее широко применяется так называемая схема Бер-
нулли, согласно которой каждый отобранный элемент сразу же
возвращается обратно в генеральную совокупность, так что вероятность
извлечения из генеральной совокупности того или иного элемента
остается постоянной*.
Обычно пользуются методом отбора по схеме>Бернулли, поскольку
основанные на нем формулы проще, чем формулы, базирующиеся на
других схемах.
Если отбор элементов выборочной совокупности произведен
правильно по методу случайного отбора, так что никакой постоянный
фактор не может вызвать расхождения между выборочной и
генеральной совокупностями, то выборка все же может оказаться
непредставительной вследствие случайных причин.
* В советской статистической литературе этот тип отбора принято
называть повторным в отличие от бесповторного отбора, когда отобранные зле
менты обратно в массу не возвращаются. — Прим. ред.
402

Влияние фактора случайности, сказывающееся в большей или
меньшей степени на любой выборочной совокупности, особенно
велико в случае малых совокупностей, когда оно может существенно
исказить полученные результаты.
Влияние ограниченного числа рассмотренных случаев на вероятное
значение средних. Влияние случайности вызывает систематические
расхождения между вероятными значениями некоторых средних,
исчисленных на основе выборочной совокупности, и соответствующими
значениями средних, исчисленных по всей генеральной совокупности,
из которой сделан отбор, или из соответствующей универсальной
совокупности.
Если вероятность осуществления любого случая не зависит от
вероятности осуществления любого иного случая, как, например, это
имеет место в схеме Бернулли, вероятное значение средней
арифметической выборочной совокупности (средней арифметической средних
арифметических всех выборочных совокупностей) совпадает со средней
арифметической генеральной (или универсальной) совокупности.
Существенные расхождения в ту или другую сторону встречаются,
наоборот, в других, более обычных типах средних. Говоря точнее,
вероятные значения средней геометрической и средней гармонической
выборочной совокупности превышают соответственно значения
средней геометрической и средней гармонической генеральной (или
универсальной) совокупности. Наоборот, вероятное значение средней
квадратической, кубической, биквадратической выборочной
совокупности всегда меньше соответствующих значений средней
квадратической, кубической и биквадратической генеральной (или
универсальной) совокупности. Таким образом, мы имеем здесь дело с
систематически повторяющимися расхождениями, которые возникают всегда
и притом всегда в одном и том же направлении.
Более далеко идущие результаты были получены К. Джини в его
исследовании, посвященном средним комбинаторным степенным
выборочных совокупностей, полученных методом случайного бесповторного
отбора [114]. Резюмируем вкратце выводы Джини.
Напомним, прежде всего, что:
1) средняя комбинаторная степенная с показателями с и р
определяется формулой:
МСР=У i)2*№>
где Р/(*?) обозначает общий вид произведения с членов х? и сумма
охватывает все (£) возможные сочетания из п по с данных членов;
2) две средние комбинаторные степенные называются равноступен-
ными, если произведения их показателей одинаковы; они называются
дважды равноступенными, или однородными, если они имеют
одинаковые показатели.
14*
403

Запомнив это, рассмотрим выборочную совокупность из т
элементов, полученных из генеральной совокупности методом
бесповторного отбора. Связи между средними комбинаторными степенными
полученных таким образом выборочных совокупностей и средней массы
определяются следующей теоремой.
Теорема I. Средняя комбинаторная степенная генеральной
совокупности равна равноступенной средней степенной таких о/се
средних комбинаторных степенных, однородных между собой, всех
выборочных совокупностей, которые можно получить из данной массы.
В самом деле, число выборочных совокупностей по т элементов,
которые можно получить из генеральной совокупности п элементов
путем бесповторного отбора, равняется (т), и таково же,
следовательно, будет число средних комбинаторных степенных этих совокупное
тей. Средняя степенная степени ср этих совокупностей будет равна
(п)
С)
1
\ср
Но, поскольку любое сочетание хп, ..., xic фигурирует в средних
(т-с) выборочных совокупностей, предыдущему выражению можно
придать следующий вид:
откуда, учитывая, что:
получаем:
(п\
О (Г) Т1
(пт-сс) _ 1
О О (?) '
\ср
(с)
\ср
(?)
а это выражение совпадает с формулой средней Мс? генеральной
совокупности1.
Из этой теоремы вытекает, что средняя степенная с показателем т
средних степенных с показателем т всех возможных выборочных
совокупностей равняется средней степенной с показателем т
генеральной совокупности. Рассматривая еще более частные случаи, мы
приходим к выводу, что средняя арифметическая средних арифметических
выборочных совокупностей равна средней арифметической генераль-
1 Эта теорема позже была доказана Помпилем в отношении совокупностей,
полученных методом повторного отбора [180].
404

ной совокупности; средняя геометрическая средних геометрических
выборочных совокупностей равна средней геометрической
генеральной совокупности; средняя гармоническая средних гармонических
выборочных совокупностей равна средней гармонической генеральной
совокупности и т. д.
Мы видели, кроме того (стр. 175), что средняя степенная с
показателем т ряда неотрицательных членов является возрастающей
функцией т, и что при т = 1 она совпадает со средней арифметической.
Отсюда следует, что средняя степенная с показателем ср средних
степенных Мср выборочных совокупностей больше, равна или меньше,
чем средняя арифметическая тех же величин, в зависимости от того,
является ли ср величиной большей, равной или меньшей, чем единица.
Но по теореме I средняя степенная с показателем ср средних Мср всех
выборочных совокупностей совпадает со средней Мср генеральной
совокупности.
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема II. Вероятное значение (средняя арифметическая)
средних комбинаторных степенных Мср выборочных совокупностей
больше, равна или меньше средней однородной Мср генеральной
совокупности, в зависимости от того, является ли ср величиной меньшей,
равной или большей, чем единица.
Из этой теоремы, в частности, следует, что вероятное значение
средних гармонических или геометрических больше соответственно
средней гармонической или геометрической генеральной совокупности,
тогда как вероятное значение средней квадратической, кубической
и т. д. меньше соответственно средней квадратической, кубической
и т. д. генеральной совокупности.
Вероятная ошибка. Наряду с вероятным значением средних
выборочных совокупностей следует рассмотреть вероятную ошибку
средних [149, р. 176; 218, р. 210]. Ею является такая величина, при
которой вероятность того, что отклонение средней выборочной
совокупности от средней генеральной совокупности заключается в интервале
между — г и +г, равна 1/2.
Даже если вероятное значение средней выборочной- совокупности
совпадает со значением средней генеральной совокупности (например,
в случае средней арифметической), найденное из наблюдений значение
средней выборочной совокупности может ввиду случайной ошибки
отличаться от значения средней генеральной совокупности. Ясно, что
погрешность, которую следует ожидать с определенной степенью
вероятности, будет тем больше, чем более ограниченным будет число
элементов, составляющих эту совокупность. В случае средней
арифметической, если генеральная совокупность распределена равномерно
и отбор произведен по схеме Бернулли, вероятная ошибка будет равна:
0,674.-^,
у п
где ом означает среднее квадратическое отклонение генеральной
совокупности (корень квадратный из частного от деления суммы квад-
405

ратов отклонений отдельных членов от их средней на число случаев),
а /г — число членов, из которых состоит выборочная совокупность.
Если мы определили какую-либо среднюю выборочной
совокупности, вероятная ошибка этой средней будет равняться, предполагая
равновероятность причин (т. е. тот случай, когда можно принять а
priori, что все значение какой-либо определенной величины
одинаково возможны), отклонению, направленному в обе стороны, от такой
постоянной величины выборочной совокупности, при которой
вероятность того, что соответствующая средняя генеральной совокупности
попадает в этот интервал, будет равняться 1/2.
На практике, если получена выборочная совокупность, обычно
берут какую-либо ее среднюю, обозначая рядом с ней ее вероятную
ошибку, взятую со знаками +и — [218, р. 311]. Таким образом, для
средней арифметической мы будем иметь:
(I) А±г = А ±0,674-5^.
Чем меньше будет вероятная ошибка, тем более точной будет
средняя, полученная из данных выборочной совокупности.
Следует, однако, заметить, что соотношение (1) имеет смысл лишь
при предположении равновероятности факторов, хотя оно
неправомерно применяется даже при отсутствии этого условия [119].
При применении соотношения (1) следует далее иметь в виду, что
необходимо знать отклонение ам генеральной совокупности, которого
мы обычно не знаем.
Что касается выборочных совокупностей, полученных по схеме
Бернулли, то известно, что вероятное значение дисперсии (квадрат
среднего квадратического отклонения) равен дисперсии генеральной
совокупности (или универсальной совокупности), помноженной на
-=-, где п означает число случаев выборочной совокупности.
Переход от основанного на наблюдении значения дисперсии
выборочной совокупности к неизвестному значению дисперсии генеральной
совокупности может быть осуществлен путем обращения указанного
соотношения, если имеют место две следующие гипотезы:
а) равнораспределение априорных вероятностей различных
значений величины в генеральной совокупности;
б) неизменяемость распределения значений величины в
выборочной совокупности при изменении значений величины в генеральной
совокупности или же две другие гипотезы:
а) равнораспределение априорных вероятностей логарифмов
различных значений величины в генеральной совокупности;
б) неизменяемость распределения логарифмов значений величины
в выборочной совокупности при изменении значений величины в
генеральной совокупности [109 и 116].
406

Однако на практике обращение неправильно применяется даже
тогда, когда указанные гипотезы не имеют места, в результате чего
соотношение (1) принимает вид:
(2) Л±0,674 '-Аг7± = А ± 0,674 -т=,
у п \/п—1
где ос обозначает среднее квадратическое отклонение выборочной
совокупности.
Такому применению этого метода пытались дать иное оправдание,
суть которого заключается в следующем: если отношение (п — \)1п
является коэффициентом, при помощи которого можно перейти от
дисперсии генеральной совокупности к вероятному значению
дисперсии выборочной совокупности, оно должно также позволить перейти
обратно от совокупности значений дисперсии выборочной
совокупности к значению дисперсии генеральной совокупности. Однако
это оправдывает применение данного коэффициента к совокупности
значений или к среднему значению дисперсии выборочных
совокупностей, но не к значению дисперсии, наблюдающейся в каждом
отдельном случае. Следует отличать эту особую форму обращения (которую
Джини назвал субинверсией), при которой обращенное соотношение
может быть применено лишь к совокупности случаев или к их средней,
от обращения в собственном смысле слова, при котором обращенное
соотношение, подобно прямому соотношению, относится также и к
отдельным случаям1.
До сих пор мы рассматривали схему Бернулли, согласно которой
вероятность извлечения из урны какого-либо определенного шара
остается постоянной в отдельных пробах.
Теорема Бернулли не только позволяет оценить, при каком
значении ошибки средней вероятность того, что она не окажется
превзойденной, будет равна 1/2 (вероятная ошибка), но и вообще показывает,
что вероятность того, что любая погрешность, как бы мала она ни была,
не будет превзойдена, возрастает с ростом числа наблюдений. Таким
образом, если это число стремится к бесконечности, вероятность
совершить ошибку, меньшую любой определенной величины, будет
стремиться к единице.
Однако Пуассон доказал, что это справедливо и в том случае, если
вероятность извлечения шара из урны не остается постоянной в ходе
наблюдений, как это предполагается в схеме Бернулли, а
беспорядочно, т. е. случайно, меняется. Этой теореме он дал наименование
закона больших чисел — неудачное название, породившее недоразумения
и явившееся источником бесконечных споров.
В самом деле, теорема это всегда теорема, т. е. теоретическое
положение, основывающееся на некоторой гипотезе. Закон же означает
1 См. по этому вопросу сообщение «Statistical Relations and their Inversions»,
in «Review of the Int. Stat. Institute», 1947, n.l— 4, p. 30—31 и [120, p. 366—
339].
407

постоянное, т. е. подтвержденное опытом, отношение. Это совершенно
различные понятия. Есть ученые (например, профессор Марбо),
которые утверждают, основываясь на широких наблюдениях, что даже
в азартных играх предсказания теории вероятности на практике не
подтверждаются. И это вопрос, который может быть разрешен лишь
на основе фактов.
С другой стороны, как установить с необходимой строгостью закон,
для проверки которого было бы необходимо провести бесконечное
количество наблюдений? Это невозможно сделать даже один раз, тогда
как для того, чтобы принять этот закон, было бы необходимо проверить
его много раз. Поэтому мы неизбежно приходим к выводу о
теоретической и практической невозможности доказать закон больших чисел.
Несмотря на это, несомненно, что все в него верят. Как объяснить
этот парадокс? Джини приводит в его объяснение то соображение, что
на практике мы всегда, или почти всегда интересуемся конечной
совокупностью событий, а не всеобъемлющими величинами, которые
выражаются бесконечными рядами чисел. Вероятность какого-либо
события в определенной совокупности — это всего лишь его тотальная
частота, т. е. его частота во всех интересующих нас случаях, число
которых может быть очень велико и даже может быть неопределенным
в том смысле, что нам оно неизвестно, но оно все же всегда остается
конечным. Однако очевидно, что с увеличением числа рассматриваемых
случаев наблюдаемая частота стремится к вероятности, понимаемой
в таком смысле, и в конечном счете совпадает с ней, когда мы
рассмотрим всю совокупность случаев, образующих генеральную
совокупность. Именно в таком смысле доверие к закону больших чисел
представляется оправданным [107, р. 222—231 и 120, р. 268—272].
Во всяком случае, если есть разумные мотивы считать, что
гипотезы, лежащие в основе теоремы Пуассона, имеют место в карточных
играх, равно как в определенных экспериментах, в которых остаются
неизменными все условия, за исключением того, влияние которого
мы хотим исследовать, мы имеем все основания сомневаться в том, что
эти гипотезы имеют место при наблюдении фактов в том виде, как они
выступают в действительности.
Мы можем вынимать многократно из урны один и тот же шар или
несколько шаров, равнозначных с точки зрения результатов, в
условиях, которые не меняются регулярно от одного случая к другому,
но мы не можем заставить человека дважды родиться или дважды
умереть или быть уверенными в том, что условия, в которых родился
или умер другой человек, отличаются от условий первого человека
только случайными обстоятельствами.
Когда мы считаем, что имеющееся в нашем распоряжении число
случаев исследуемого нами явления является ограниченным, и
поэтому намереваемся его увеличить, мы должны прежде всего учесть,
что условия будущих наблюдений, вероятно, а практически даже
наверное, окажутся более или менее отличными — и притом
систематически отличными — от условий предшествующих наблюдений.
Поэтому результат, полученный на основе увеличенного числа наблю-
408

дений, фактически будет относиться к совокупности, систематически
отличной от той, которая являлась предметом наших наблюдений.
Мы находимся, таким образом, перед альтернативой: или
удовлетвориться полученными результатами, содержащими случайные
ошибки частоты в связи со слишком незначительным числом
рассмотренных случаев, или же устранить этот недостаток, впадая в другую
ошибку, а именно включив в наши наблюдения случаи, систематически
отличающиеся от случаев, относящихся к интересующему нас явлению.
Какова вероятность того, что госпожа X произведет на свет
мальчика? Ранее она имела двух мальчиков и одну девочку. Три ребенка —
явно недостаточное число для того, чтобы служить разумной основой
предвидения. Однако, если в целях увеличения числа наблюдений мы
примем во внимание потомство других женщин, мы должны будем
считаться с фактом, что вероятность рождения мальчика или девочки
может лишь случайно у них совпасть с соответствующей вероятностью
у госпожи X. Итак, приходится делать выбор между двумя
неудобствами.
Все это совершенно очевидно. Однако, чтобы отдать себе отчет в
важности изложенных соображений, нужно понять, что в
действительности условия меняются даже тогда, когда мы этого не замечаем.
Поучительны в этом отношении результаты проведенных Джини
экспериментальных исследований об интерполяции и экстраполяции,
которыми он занимался в течение более тридцати лет, сперва в Падуаыс-
ком, а затем в Римском университетах. Небесполезно вспомнить об
этих результатах.
Если мы хотим интерполировать или экстраполировать какой-либо
неизвестный член статистического ряда, мы можем, разумеется,
сделать это, основываясь на некотором числе известных членов. Наиболее
простой способ заключался бы в том, чтобы интерполировать прямую
линию по двум соседним членам в случае интерполяции, или по двум
предшествующим членам в случае экстраполяции. Но кому могла бы
прийти в голову мысль исходить из столь малого числа членов? Но
если вместо прямой вы интерполируете параболу второго порядка по
трем членам, или параболу третьего порядка по четырем членам, или
параболу одного из высших порядков по большему числу членов,
вы вместо того, чтобы получить более точные предсказания, рискуете
получить еще более серьезные погрешности, которые обнаруживают
тенденцию к дальнейшему росту по мере увеличения числа
рассматриваемых членов. Многочисленные применения к разнообразным
явлениям в области демографии и экономики делались различными
исследователями, и всегда с одним и тем же результатом. Объясняется это
тем, что с течением времени условия, в которых развиваются явления,
систематически изменяются, хотя мы этого и не замечаем, и эти
вносящие путаницу систематические воздействия оказываются более
значительными, чем случайные помехи, вызываемые малочисленностью
рассматриваемых членов. Что такое объяснение справедливо,
подтверждается контрольными обследованиями. Предположим, например, что
мы имеем ряд членов и хотим интерполировать центральный, а имен-
409

но четвертый член, который предполагается неизвестным. Если, как мы
говорили, мы интерполируем прямую линию по 3-му и 5-му членам,
мы, как правило, получим лучшее приближение, чем интерполируя
параболу третьего порядка по членам 2, 3, 5 и 6-му. Как мы уже
указывали, это объясняется тем, что условия, в которых развивается
явление, должны были- измениться между 3—5-м членами меньше, чем
между 2 и 6-м. Но если мы интерполируем прямую линию по 2 и 6-му
членам и параболу третьего порядка по 1, 2, 5 и-7-му членам, то
полученное приближение будет, как правило, лучшим не при интерполяции
прямой, а скорее при интерполяции параболы. Это становится
понятным, если учесть, что нельзя ожидать, чтобы условия изменились от
2 до 6-го члена меньше, чем от 1 до 5-го и от 3 до 7-го [177, 178].
Подобно тому, как мы это сделали в отношении группировки
статистических, данных на классы, рассмотрим, возвращаясь к изучению
свойств средних, влияние, оказываемое случайными погрешностями
частоты на среднее квадратическое отклонение от средней
арифметической.
Мы уже указывали (стр. 406), что вероятное значение дисперсии
выборочной совокупности, полученной при условии возвращения
обратно в урну каждого извлекаемого из нее шара, соответствует
значению дисперсии генеральной совокупности, помноженному на (п — \)1п.
Если же, наоборот, шар не возвращается в урну, а число шаров в
урне составляет /п, корректирующим множителем будет произведение
(п—l)//i X т/(т — 1), второй сомножитель которого представляет
собой величину, которой можно пренебречь, когда число т
элементов генеральной совокупности очень велико.
И в том, и в другом случае вероятное значение дисперсии
возрастает по мере увеличения числа наблюдений, стремясь в пределе к
значению генеральной совокупности.
Следует в этой связи привлечь внимание к одной особой категории
коллективов, которой было дано наименование коллективов второго
порядка. Их можно рассматривать, как состоящие из совокупности
коллективов первого порядка или статистических данных, на которые
они опираются. Коллективы второго порядка часто встречаются в
антропологии, демографии и экономике. Предположим, например, что
нам известно соотношение полов в каждом семействе рассматриваемой
группы семейств. Дети, имеющиеся в каждом семействе, образуют
коллектив, который мы можем назвать коллективом первого порядка.
Он характеризуется определенным соотношением числа детей
мужского и женского пола. Совокупность соотношений полов всех
рассматриваемых семейств образует коллектив второго порядка. Половой
состав в каждой семье представляет собой величину, отличающуюся
в силу влияния случайных ошибок частоты от того полового состава,
который бы имел место, если бы способность супругов к производству
потомства достигла максимального развития. По мере увеличения числа
детей эти ошибки стали бы меньше, половой состав отдельных семейств
сделался бы более однородным и дисперсия коллектива второго
порядка соответственно уменьшилась бы. С другой стороны, если мы пред-
410

положим, что число детей в отдельных семьях остается неизменным
и возрастает число рассматриваемых семейств, множитель п — 1,
связывающий дисперсию генеральной совокупности с дисперсией
выборочной совокупности, увеличивается.
Когда говорят об «увеличении числа наблюдений» в отношении
коллективов второго порядка, необходимо точно определить значение
этого выражения, а именно, имеется ли в виду увеличение числа
наблюдений коллективов первого порядка, на которых базируются
отдельные средние арифметические, или, наоборот, увеличение числа
средних арифметических, образующих коллектив второго порядка. Оба
эти увеличения оказывают, как мы видели, противоположное влияние
на дисперсию коллектива второго порядка [118, р. 723—724; 120,
р. 275—278].
б. Ошибки измерения. Ошибками измерения называются такие,
которые возникают при измерении, оценке или исчислении массовых
явлений.
Мы будем говорить здесь о случайных ошибках измерения.
Под случайными ошибками подразумеваются такие, которые
вызваны случайными причинами, действующими то в одном, то в другом
направлении. Отсюда следует, что эти причины взаимно перекрываются:
однако это не значит, что перекрываются также и их следствия, т. е.
самые ошибки. Это происходит в действительности лишь при особых
условиях, наличие которых в каждом отдельном случае необходимо
точно установить. К числу таких условий относятся, например,
следующие:
1) следствия должны быть пропорциональны случайным причинам,
или, в более общем виде, соотношение между причинами и следствиями
должно быть линейным;
2) кривая частоты причин должна быть симметричной, и
соотношение между причинами и следствиями, даже и не будучи линейным,
должно быть одинаковым для симметричных значений причин;
3) соотношение между причинами и следствиями должно быть
монотонным, и медиана должна совпадать со средней арифметической
как причин, так и следствий;
4) средняя арифметическая следствий должна совпадать с их
модальным значением и интенсивность следствий находиться в обратном
отношении к их частоте.
Нет никаких оснований считать, что какая-либо из этих гипотез
должна обязательно иметь место. Отсюда нужно сделать вывод, что
принцип компенсации, или, точнее, принцип тенденции к
компенсации случайных ошибок, не может быть принят так всеобщий. В
каждом отдельном случае необходимо установить, имеют ли место — хотя
бы с каким-то приближением — условия, достаточные для того, чтобы
принять этот принцип.
Если верно, что случайные обстоятельства обнаруживают
тенденцию уравновешивать друг друга, неверно, что только они обладают
этим свойством. Речь идет о свойстве более широкого характера,
которым обладают отклонения от средней арифметической. Принцип
411

уравновешения случайных ошибок измерения является, таким образом,
лишь частным случаем принципа соответствия средней
арифметической независимой переменной и средней арифметической функции.
Гипотеза более общего характера привела бы к принятию моды:
для этого было бы достаточно допустить, что ошибки тем более редки,
чем они значительнее.
Если, несмотря на это, на практике оказывают предпочтение
средней арифметической, то это объясняется тем, что, когда число
рассматриваемых случаев не очень велико, определение моды не всегда
легко. Кроме того, средняя арифметическая — устойчивая средняя,
зависящая от значений всех членов совокупности, тогда как мода —
подвижная средняя, зависящая только от значения наибольшей
частоты. Наконец, во всех случаях нам известна вероятная ошибка
средней арифметической, тогда как вероятная ошибка моды известна лишь
в распределениях особого рода и притом известно, что ее значение
всегда превышает значение средней арифметической [107].
Следует остановиться на вопросе о косвенных ошибках.
Может случиться, что экспериментатор получил непосредственно
не значения xt величины X, являющейся объектом исследования, а
значения tji другой величины Y, связанной с X соотношение,*:
(3) X = f(Y).
Если мы получаем от экспериментатора значения yit то, чтобы
элиминировать влияние случайных ошибок, нужно вычислить среднюю
арифметическую уи а затем при помощи формулы (3) перейти к
истинному значению величины Х\ если же экспериментатор, применяя к
у{ формулу (3), дает значения хи необходимо помнить, что истинное
значение величины X соответствует не средней арифметической xif a
той средней xt, которая, на основе соотношения (3), соответствует
средней арифметической yt. В гл. 1, § 8, рассматривая различные типы
отношений двух преобразованных совокупностей, мы видели, какие
средние соответствуют друг другу в обоих распределениях.
Предположим, например, что мы хотим найти удельный объем X какого-либо
вещества; экспериментатор же, учитывая, какими инструментами он
обладает, производит многочисленные прямые измерения yt удельного
веса Y вещества, вычисляя затем соответствующие значения его
удельного объема на основании формулы:
1
** = — >
У1
связывающей между собой удельные объемы и веса. Чтобы устранить
ошибки, допущенные при наблюдениях, потребуется найти среднюю
гармоническую значений xif которая, учитывая характер отношения,
связывающего удельный вес с удельным объемом, соответствует
средней арифметической значений yt [15].
Бывают случаи, когда интенсивность величины, являющейся
объектом исследования, зависит от значений нескольких наблюдаемых
величин; так, например, значение черепного индекса зависит от значений
412

ширины и длины черепа, а коэффициент смертности зависит как от
числа умерших, так и от численности живых.
Иногда отношение осложняется тем, что закон распределения
изучаемой величины зависит не только от ошибок измерения величин,
но и от отношений между последними.
Следующий вопрос, требующий разъяснения, касается
распределения ошибок, связанных с оценками, зависящими исключительно от
наших чувственных восприятий.
По мнению таких авторитетных астрономов и математиков, как
Зейдель [198], Зеелигер [197], Уиттейкер и Робинсон [216], в этом
случае, чтобы получить правильное представление о величине
объекта, следует прибегнуть к средней геометрической оценок, поскольку
распределение следовало бы гауссовской кривой случайных ошибок,
если бы на оси абсцисс были нанесены вместо значений самих ошибок
соответствующие логарифмы. Эти ученые базируются на психо-физи-
ческом законе Вебера-Фехнера, согласно которому оценка lt
некоторой величины /, производимая нами после того, как мы получили от
нее прямое и непосредственное ощущение Еи связана с последним
следующим соотношением:
£. = &log/..
Пусть в таком случае 1Ъ /2, ..., 1п будут п оценок, основывающихся
исключительно на нашем чувственном восприятии, какой-то
величины /. Согласно закону Вебера-Фехнера, мы будем иметь:
Е = k log /
Ег = k log lx
(4) E2 = klogl2
En = klogln,
где Е, Elf Ег,..., En суть ощущения, которые / вызывает у нас путем
непосредственного воздействия на наши органы чувств. Если
непосредственное ошущение есть Et, отсюда следует, что оценка, которую мы
бессознательно даем /, есть lt (i = 1, 2,...,п). Если речь идет о Е,
оценка, по предположению, точна.
' Из соотношений (4) мы имеем:
Е±-Е = klog±; E2
En-E = k\og±f.
Далее, поскольку At = Et — E(i = 1, 2,..., п) суть подлинные
ошибки наблюдения, можно предположить, что именно они, а не
ошибки оценки повинуются нормальному закону:
-Л2(д?+А22+...+Д^)
у = Ке
-E = k\og^- ...
413

где у имеет наибольшее значение, когда:
Д? + Д! + ... + д2==1Шп,
или же когда:
1 dl 2 dl п dl
или также: log — + log—-}-... + log — = О,
откуда следует: *' 2'" п- = 1,
и, наконец: / = у 1х-12..Лп,
т. е. истинное значение величины / есть средняя геометрическая его
оценок.
Г. Тальякарне [207] пытался экспериментальным путем установить,
следует ли в случае оценок, зависящих от наших ощущений,
предпочесть среднюю геометрическую всем прочим средним.
Оценивая число и вес двух кучек каштанов, он обнаружил, что
ни средняя геометрическая, ни средняя арифметическая не
соответствуют истинному значению величины. По его мнению, в тех случаях,
когда речь идет о величинах, которым мы привыкли давать оценку
(время, температура и т. д.), следует предпочесть среднюю
арифметическую, в других же, случаях, к которым он относит также
упомянутый выше его опыт с каштанами, нет возможности установить
оптимальный тип средней.
Все сказанное относится к влиянию ошибок измерения на среднюю
наблюдений. Разумеется, чем меньше число наблюдений, тем больше
влияние, оказываемое на среднюю случайными ошибками
наблюдения. Если известна кривая распределения случайных ошибок, или
даже только их дисперсия, и если есть основание считать, что на
отдельные наблюдения, независимые одно от другого, оказали влияние
случайные причины, искажающие их результаты, можно подсчитать,
в какой степени искажающее влияние ошибок наблюдения
уменьшается с увеличением числа наблюдений. Однако это отнюдь не
означает, что в действительности, даже если ошибки измерения случайны,
они оказывают влияние на отдельные наблюдения независимо одно
от другого; в самом деле, с одной стороны, их влияние
распространяется на несколько наблюдений, ас другой стороны, влияние одного
случайного искажения, даже если оно сказывается на одном
наблюдении, вызывает реакцию в последующем наблюдении или ряде
наблюдений. Так, например, случайные климатические пертурбации могут
растянуться на ряд лет и оказать серьезное влияние на цифры урожая
или смертности населения, относящиеся к этим годам. Случайные
пробелы в указании числа родившихся какого-либо пола в данный день
неизбежно вызывают увеличение в последующие дни соответствующих
данных в целях восполнения пробела. Ошибка в измерении какой-
414

либо части человеческого тела, источником которой является
неточность в установлении границы между ней и соседним органом,
вызывает ошибку противоположного направления в измерении этого
последнего. Эти примеры можно было бы продолжить. Некоторые
авторы утверждают, что волнообразное колебание экономической
конъюнктуры зависит от воздействия случайных факторов, которые через
механизм действий и противодействий вызывают своеобразный подъем
и падение.
Остается еще сказать несколько слов о влиянии ошибок измерения
на дисперсию средних.
Очевидно, что эти ошибки имеют следствием увеличение дисперсии.
В самом деле, дисперсия Va' наблюдаемой величины а' равна сумме
дисперсии Va этой величины и дисперсии Vе ошибок е измерения.
Но дисперсия Ve ошибок измерения относительно их средней растет
с ростом числа наблюдений. Следовательно, с их ростом растет
дисперсия V^ наблюдаемой величины, удаляясь от значения Va дисперсии
реальной величины.
Как мы видели, дисперсия случайных ошибок частоты также растет
с ростом числа наблюдений, но в этом случае, возрастая, она
приближается к значению дисперсии средней. Другими словами, в то время
как влияние случайных ошибок частоты с ростом числа наблюдений
стремится к нулю, влияние случайных ошибок измерения не только
не обнаруживает тенденции к исчезновению, но, наоборот, растет.
Таким образом, увеличение числа наблюдений приводит к
противоположным результатам в зависимости от того, имеем ли мы дело с
ошибками частоты или с ошибками измерения.
Ясно, что ошибки частоты и ошибки измерения не исключают друг
друга, но могут сочетаться. Так, например, измерения, производимые
в антропологических исследованиях, обычно базирующихся на
ограниченном числе обследуемых индивидуумов, подвержены влиянию
ошибок частоты, зависящих от ограниченности этого числа, и эти
ошибки могут сочетаться с ошибками измерения, возникающими в ходе
отдельных антропометрических измерений.
Аналогичным образом, в коллективах второго порядка ошибки
частоты, зависящие от ограниченного числа наблюдений, на которых
базируются отдельные частные средние, наравне с ошибками частоты,
которым подвержена совокупность этих частных средних, число
которых также ограничено, могут сочетаться с ошибками измерения как
частных средних, так и к общей средней. Таким образом, если
антрополог для определения мышечной силы индивидуума подвергает его
трем испытаниям на динамометре, и из трех результатов берет
среднюю, совокупность средних, полученных при обследовании ряда лиц,
составляет коллектив второго порядка. Но отдельные средние каждых
трех измерений подвержены ошибкам частоты ввиду ограниченного
числа испытаний на динамометре, тогда как совокупность этих
средних также подвержена ошибкам частоты ввиду более или менее
ограниченного числа обследованных лиц. Но испытания на динамометре
415

также могут быть подвержены ошибкам измерения в связи с неточным
считыванием показаний, равно как возможны ошибки измерения в
отдельных средних в результате ошибочных подсчетов.
§ 4. ПРАВИЛЬНОЕ И НЕПРАВИЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНИХ
А. Общие соображения
Первое соображение, которое надлежит иметь в виду, говоря о
правильном и неправильном использовании средних, это то, что средняя
является показателем, пригодным для измерения какого-либо особого
аспекта массового явления, а именно его интенсивности, независимо
от влияния числа составляющих его элементов.
От средней нельзя требовать, чтобы она одновременно измеряла
другие аспекты коллектива (совокупности), например его изменчивость.
На этой двусмысленности основывается острота Трилуссы,
которую он вкладывает в уста одного из персонажей своего знаменитого
сонета. На вопрос собеседника, как это статистика может утверждать,
что каждый итальянец имеет на обед курицу, когда он не видит даже
и следа ее, этот персонаж отвечает: «Если ее у тебя и нет, то все же она
входит в подсчет, так как какой-то другой итальянец имеет на обед
две курицы».
Другим источником недоразумений служит непонимание того, что
средняя, как, впрочем, и любой другой статистический показатель,
является результатом абстракции, которой вовсе не обязательно
должен соответствовать какой-либо действительный случай. На этом
недоразумении основывается утверждение, будто не имеет смысла средняя
(в данном случае имеется в виду именно средняя арифметическая)
нескольких очень различных величин, когда этой средней не
соответствует не только величина с наибольшей частотой, ной вообще какая-
либо реальная величина.
На самом деле средняя может относиться не только к величине,
не существующей в действительности, но даже к такой, которая
является абсурдом. Такой случай мы имеем, когда говорим, что среднее
число детей, приходящееся на одно семейство в данной стране, равно
3,25, тогда как нелепо было бы думать об одной четверти ребенка; или
когда говорят, что территориальный центр Лигурии лежит не на ее
территории, а в море. Дело в том, что такие средние вполне отвечают
своему назначению. В первом примере целью является измерение
плодовитости населения, а для этого необходимо иметь возможность
провести различие, скажем, между населением, в котором 999 детей
приходится на 333 семьи, и населениями, в которых то же самое число детей
приходится на 335, 334, 332 или 331 и т. д. семейств. Во втором
примере ставится цель найти точку, сумма квадратов расстояний которой
по прямой линии от места жительства каждого человека,
проживающего на этой территории, является наименьшей величиной, причем
не обязательно, чтобы эта точка находилась на этой же территории.
Когда территория имеет форму круга или ограничена его дугой, как
416

это имеет место в примере с Лигурией, искомая точка лежит вне
территории.
Следует также учесть следующую важную особенность средней:
она является показателем интенсивности массового явления,
независимо от влияния числа составляющих ее членов. Поэтому нельзя
рассматривать как среднюю численное соответствие, которое не
является внутренним показателем, в том смысле, что оно может
превосходить наибольшую величину или не достигать наименьшей величины.
Понятие численного соответствия, как мы его определили выше
(стр. 65—67), имеет свои преимущества, но имеет иное назначение, а
именно — выявить процедуру выравнивания, которой зачастую
подвергается совокупность данных. Однако эта цель не совпадает с
вышеуказанной основной целью средней, не только потому, что не все
средние пригодны для такого рода выравнивания (средние положения
не имеют численных соответствий), но также и потому, что, как мы
указывали, не все численные соответствия являются средними, т. е.
промежуточными величинами.
Устранив эти двусмысленности, искажающие правильное
представление о средней, и переходя к рассмотрению правильного
применения средних, следует прежде всего дать ответ на вопрос, каким
критерием нужно пользоваться, чтобы из бесконечного множества
средних, которые можно определить для любого коллектива, отобрать
среднюю, наилучшим образом отвечающую требованиям.
Основным принципом принимается то, что средняя должна быть
выбрана в соответствии с целью исследования и с учетом как свойств
средних, так и характера исследуемого явления, равно как количества
и качества данных, имеющихся в распоряжении исследователя [119].
И в самом деле, для любого исследования существует всегда
какая-либо одна средняя, которая лучше, чем все другие, соответствуют
его целям. Для выбора такой средней можно наметить лишь общие
нормы; решающую же роль здесь играет интуиция и искусство
исследователя.
Необходимо различать и рассматривать отдельно случаи, когда
средняя имеет объективное значение и когда она имеет субъективное
значение.
Если средняя имеет объективное значение, т. е. если она должна
определить вероятное значение фактически существующей величины,
на измеренные значения которой оказывают влияние ошибки
наблюдения (они представляют собой отклонения различных членов
совокупности наблюдений от средней), то средняя должна быть выбрана
в соответствии с законом, которому следуют отклонения.
Если отклонения носят случайный характер, обычно предполагают,
что они уравновешивают друг друга, и, принимая такую гипотезу, мы
должны будем отдать предпочтение такой средней, которая
аннулировала бы положительные и отрицательные отклонения. В этом
случае следует остановить выбор на средней арифметической, которая,
как мы знаем, обладает этим свойством.
417

Если же ошибки, наоборот, не имеют случайного характера,
среднюю следует выбирать в соответствии с закономерностью их
распределения.
С другой стороны, однако, закономерность распределения ошибок
зачастую нам неизвестна, и, поскольку для многих явлений эта
закономерность изображается кривой Гаусса, часто безоговорочно
исходят из предположения, что эта закономерность имеет всеобщее
значение. В этом заключается одна из причин широкого применения средней
арифметической.
Однако принцип взаимного погашения случайных ошибок сам по
себе не является законом. Как мы объяснили выше (стр. 411), ошибки
называются случайными, когда нет основания полагать, что они
действуют, в одном каком-то направлении, а не в другом. Это дает основание
считать, что причины случайных ошибок взаимно аннулируются, но
отсюда вовсе не следует, что аннулируются также и их следствия.
Мы уже изложили ряд условий, которые достаточны для того,
чтобы могло осуществиться такое взаимное погашение ошибок. Иногда
такие условия имеются, но не всегда. В других случаях, когда
интенсивность причин выше или ниже средней, они вызывают
отрицательные последствия, примером чему могут служить колебания
температуры в умеренных климатических зонах. Средней интенсивности
температуры соответствуют ее оптимальные последствия, отклонения же
в ту и другую сторону, в особенности когда они велики, не
уравновешиваются взаимно, но вызывают, как те, так и другие,
неблагоприятные последствия—физиологические, демографические и экономические.
Когда оценки какого-либо явления зависят исключительно от
наших субъективных ощущений, спорным вопросом, как мы видели,
является вопрос о том, как распределяются ошибки — симметрично,
образуя кривую Гаусса, или же асимметрично, так что кривой Гаусса
соответствует не кривая ошибок, а кривая их логарифмов. В этом
последнем случае более пригодной средней для получения истинного
значения будет не арифметическая, а геометрическая средняя,
наблюдаемых величин.
Бывают, наконец, случаи, когда уравновешиваются случайные
ошибки в отношении одной или нескольких величин, отличных от
наблюдаемой величины, причем не всегда эти ошибки могут быть
уравновешены путем правильного выбора соответствующей средней, хотя
иногда это и оказывается возможным. Если, например, величина,
подверженная случайным, взаимно уравновешивающимся ошибкам,
представляет собой обращение значений наблюдаемой величины, влияние
этих ошибок может быть элиминировано применением средней
гармонической этой последней.
При определении средних никогда нельзя элиминировать влияние
систематических ошибок, которым подвержены отдельные
наблюдения. Однако есть такие ошибки, которые на некоторые значения
влияют, а на другие не влияют, и подвижная средняя, учитывающая только
эти последние, не испытает влияния этих ошибок. Так, например,
медиана и, как правило, мода не подвержены влиянию ошибок измерения,
418

касающихся крайних членов, тогда как, например, центральное
значение особенно сильно зависит от этих ошибок.
Но даже если систематические ошибки влияют на все наблюдения,
это еще не означает, что устойчивая средняя обязательно должна
испытать искажающее воздействие этих ошибок. Так, например, средняя
арифметическая возрастов, указанных в анкетах, может не испытать
влияния тенденции к указанию возраста в круглых цифрах.
Важно проводить различие между так называемыми кумулятивными
ошибками, искажающими число наблюдаемых случаев, и состоящими
из пробелов и повторений, и так называемыми дистрибутивными
ошибками, которые не меняют этого числа и заключаются в том, что
результаты некоторых наблюдений не приписываются той варианте, к какой
они относятся.
Это различие аналогично тому, которое мы проводили в отношении
случайных ошибок между ошибками частоты и ошибками измерения.
Однако полной аналогии здесь нет, поскольку может случиться, что
одновременно имеют место пробелы и повторения, которые ведут к
систематическим ошибкам частоты, но, взаимно уравновешиваясь,
оставляют неизменным общее число наблюдаемых случаев.
Некоторые средние особенно чувствительны к кумулятивным
ошибкам, как, например, медиана и вообще квантили. Другие же средние,
как, например, мода и высшее значение, особенно чувствительны к
дистрибутивным ошибкам; наконец, третьи, к числу которых
относится средняя арифметическая, могут быть или не быть подвержены
ошибкам того и другого рода, в зависимости от того, как ошибки
распределяются между различными наблюдаемыми величинами.
Если средняя имеет субъективное значение, нет возможности
установить постоянный критерий для выбора средней, наилучшим
образом удовлетворяющей требованиям. В каждом отдельном случае
в зависимости от целей, которые ставит себе исследователь, он
выбирает ту или иную среднюю, учитывая свойства, какими обладает
каждая из них.
Поскольку субъективная средняя имеет целью дать синтетическую
меру отдельных величин, входящих в изучаемое массовое явление, и
поскольку известно, что, какое бы среднее значение ни было выбрано,
оно всегда будет больше или меньше отличаться от действительных
значений явления, следует выбрать такое среднее значение, которое
меньше всего отличается от действительных значений.
Однако в зависимости от целей исследования следует установить,
как и в каких пределах избранное среднее значение должно
отличаться от действительных значений явления. Так, например, может
случиться, что для нас важно, чтобы сумма квадратов отклонений была
минимальной или чтобы сумма отклонений была равна нулю. В таких
случаях целесообразно выбрать среднюю арифметическую, -которая
как раз и обладает такими свойствами. Может, наоборот, случиться,
что мы хотим, чтобы минимальной была сумма абсолютных значений
отклонений, и тогда предпочтение следует отдать медиане, которая как
419

раз удовлетворяет этому условию. Так, например, лица, из которых
состоит население какой-либо страны, отличаются одно от другого
различной продолжительностью жизни. Чтобы определить среднюю
продолжительность жизни населения, представляется целесообразным
избрать такую среднюю, чтобы различия в абсолютной величине между
нею и зарегистрированными величинами были наименьшими. Этому
условию удовлетворяет медиана.
Если в каком-либо населенном пункте хотят рационально избрать
один из дней недели в качестве рыночного дня или дня проведения
заседаний судебных органов, то следует произвести выбор так, чтобы
людям нужно было как можно меньше менять дни, когда они обычно
приезжают в этот пункт, а для этого нужно избрать медиану дней
недели, поскольку она обладает свойством давать наименьшее значение
для суммы абсолютных значений отклонений.
К моде прибегают, когда отыскивают такое значение
распределения, которое является для него наиболее характерным, так,
например, когда хотят дать характеристику населения страны в отношении
роста, черепного коэффициента, цвета глаз, волос и т. д.
В других случаях может оказаться целесообразным прибегнуть
к высшему значению, так, например, когда требуется найти среди
различных категорий семейств, отличающихся количеством детей,
такую, которая больше всего содействует формированию будущего
поколения. Таковой будет категория семей с наибольшим числом
детей, а этому условию как раз и удовлетворяет высшее значение.
Средняя степенных сумм тТ особенно важна для определения
плодовитости последовательных поколений. Исходя из предположения,
что плодовитость передается точно по наследству, т. е. что каждый
человек имеет столько детей, сколько их насчитывала семья, из
которой он происходит, средняя плодовитость т-го поколения будет
равна средней степенных сумм.
Средняя арифметическая разрешает проблему равномерного
распределения для «аддитивных» величин, тогда как средняя
геометрическая разрешает эту же проблему для «мультипликативных»
величин [15]. В самом деле, пусть х% показывает, какой мерой того или
иного признака (вес, богатство и т. д.) обладает обследуемый субъект,
а Их; — какой мерой этого же признака обладает вся совокупность
обследуемых субъектов. Это значит, что мы имеем дело с «аддитивным»
признаком. Если бы весь этот признак был распределен «равномерно»
между п обследуемыми субъектами, доля х, причитающаяся каждому,
должна была бы удовлетворять условию пх = 2хь из которого видно,
что х является средней арифметической xt. Итак, средняя
арифметическая разрешает вопрос о равномерном распределении в случае, если
рассмотрение признака приводит к суммам комплексного характера.
Если же это условие отпадает, средняя арифметическая с этой точки
зрения теряет всякий смысл.
Предположим, например, что население, насчитывающее /0
индивидуумов в момент t0, сокращается только в результате их смерти.
420

Если обозначим llf /2,..., ln количества оставшихся в живых в
моменты tlt t2,.-.,tn, отношения
y —h. v — A. v — ^п
h h ln—\
будут представлять собой п коэффициентов доли оставшихся в лшвых
в п периодах:
Н I I *i> *i I I Н> •••' *п—\ I | ы-
Сумма хх + х2 + ... + л:Л коэффициентов не имеет никакого
важного демографического значения, тогда как произведение хг-х2 ... хп,
выражающее коэффициент доли оставшихся в лшвых в совокупный
период/01 — | tn, имеет важное значение. В этом случае величина
именуется «мультипликативной».
Если бы сокращение числа оставшихся в живых происходило
равномерно в каждом из п частных периодов, коэффициент доли
оставшихся в живых в каждом из них представлял бы собою постоянную
величину М0, удовлетворяющую следующему соотношению:
Мо = хг'Х2 ...хп,
откуда следует:
М0 = у'х1-х2... хп.
Для мультипликативных величин проблема равномерного
распределения разрешается, таким образом, не арифметической, а
геометрической средней.
Специфические проблемы возникают при истолковании значения
субъективных средних и при их сравнении.
Многие явления как единичные, так и массовые могут быть
измерены не прямо, а лишь через посредство их проявлений,
интенсивность которых не пропорциональна интенсивности самих явлений,
хотя она и возрастает или убывает одновременно с последней.
Обычно в таких случаях говорят о «показателе» интенсивности
явления, ограничиваясь этим ввиду невозможности прямого
измерения интенсивности явления.
Следует помнить, что если показатель относится к массовому
явлению и определяется поэтому субъективной средней показателей,
относящихся к индивидуальным явлениям, из которых образуется
коллектив (совокупность), это не значит, что равным средним
показателям обязательно соответствуют массовые явления с равными средними,
и может дал<е оказаться, что массовое явление с меньшей средней мол<ет
привести к более высокому среднему показателю.
Пусть, например, 1, 2 и 3 будут недоступные непосредственному
измерению интенсивности, характеризующие какое-либо явление в
совокупности из трех случаев; 0, 2 и 4 — его интенсивности в других
трех случаях, и, наконец, 0, 0 и 5 — его интенсивности в третьей
совокупности случаев. Средняя арифметическая интенсивности явления
421

для первых двух совокупностей случаев будет равна 2, а для третьей
совокупности — 1,66.
Предположим теперь, что если сам объект изучения, как сказано,
недоступен для прямого измерения, он доступен для косвенного
измерения через посредство его проявления, интенсивность которого
пропорциональна квадрату интенсивности данного объекта изучения.
Полученные таким образом показатели интенсивности изучаемого
явления для отдельных случаев трех совокупностей будут равны:
1 4 9
О 4 16
О 0 25
а соответствующие средние арифметические будут равны 4,66; 6,66;
8,33; таким образом, средний показатель массового явления окажется
для второй совокупности большим, чем средний показатель для первой
совокупности, а для третьей совокупности — не меньшим, а большим,
чем для первых двух.
Легко понять, что, когда известно, как в нашем примере,
соотношение между объектом изучения и его проявлением, нетрудно от второго
перейти к первому, но обычно это соотношение не известно, и
единственное, что мы знаем,— это то, что между ними нет постоянного
отношения. Это имеет место, например, когда мы хотим измерить доброту,
ум, благосостояние или социальное положение индивидуумов,
составляющих население какой-либо страны.
В аналогичных случаях рекомендуется прибегать к разнообразным
показателям и удовлетворяться полученными результатами лишь в том
случае, если они совпадают при всех показателях или при
значительной их части.
Другой вопрос, который следует постоянно иметь в виду, касается
соотношений между интенсивностью массовых явлений.
Если интенсивность индивидуального явления А соответствует
интенсивности второго индивидуального явления 5, мы можем
утверждать, что интенсивность В второго явления соответствует
интенсивности А первого явления. Но, если интенсивности А коллективного
явления соответствует средняя интенсивность В второго
коллективного явления, это отнюдь не значит, что интенсивности В второго
коллективного явления соответствует средняя интенсивность А
первого явления. Так, например, возрасту 42,5 лет супруги соответствует
средний возраст 37,7 супруга, но возрасту 37,7 года супруга
соответствует средний возраст супруги вовсе не 42,5 года, а 31,5 года, т. е. на
11 лет меньше. Росту 174 см соответствует средний периметр грудной
клетки 86 см, но периметру грудной клетки 86 см соответствует
средний рост не 174 см, а всего лишь 168 см.
Средние значения какого-либо признака, зависящего от второго
признака, будучи изображены графически в системе декартовых
координат, образуют линию регрессии второго признака на первый. Ука-
422

занные выше расхождения показывают, что эта линия значительно
отличается от линии регрессии первого признака на второй.
Статистическим кругооборотом называется операция замены
отношения постоянного значения А одной переменной к соответствующему
среднему значению В другой отношением постоянного значения В
второй переменной к среднему значению А первой. Недооценка значения
этой операции была, как мы покажем, источником важных
теоретических и практических ошибок.
Говоря об объективных средних, мы объяснили, почему случайные
ошибки, т. е. такие ошибки, которые вызваны случайными причинами,
имеющими тенденцию уравновешивать друг друга, отнюдь не
обязательно сами проявляют такую же тенденцию к взаимной компенсации,
вследствие чего средняя арифметическая полученных путем
наблюдения значений не обязательно соответствует реальной величине.
Такой же вывод можно сделать и в отношении субъективных
средних.
Если интенсивность явления подвержена воздействию
искажающих причин и эти последние имеют различную интенсивность в
разных местах или в разное время, ясно, что различия средней
интенсивности наблюдаемого явления в этих местах или в эти
периоды не могут точно отражать влияния территории или времени,
которое (влияние) подвержено воздействию упомянутых искажающих
причин. Так, например, если две этнические группы отличаются
друг от друга возрастной структурой или распределением
богатства, установленные наблюдением различия между их общими
коэффициентами смертности могут зависеть не только и не столько от
этнической группы, сколько от различной возрастной структуры и
в особенности от неодинакового распределения богатства.
Я думаю, что никто не станет оспаривать это положение. Однако,
многие игнорируют, а некоторые даже прямо отрицают тот факт, что,
когда средняя искажающих факторов (например, средний возраст или
среднее богатство) оказывается одинаковой в двух местностях или
в два различных периода, возможно, что различия в полученных путем
наблюдения значениях интенсивности двух явлений окажутся
отличными от тех различий, какие имели бы место при отсутствии
упомянутых искажающих причин. Так, в частности, могло бы быть и в нашем
примере, если бы все жители имели один и тот же возраст или
одинаковое богатство, либо же если бы в обеих группах было одинаковым
распределение на классы по возрасту или по богатству.
Есть люди, отвергающие это положение в том случае, когда
отдельные интенсивности явления в двух местностях или в два различные
периода времени распределяются согласно кривой Гаусса. Они
приходят к выводу, что, когда какое-либо явление следует этой кривой,
средняя арифметическая полученных из наблюдений значений
интенсивности соответствует значению, которое приняло бы рассматриваемое
явление при отсутствии действия искажающих причин. Что касается,
в частности, распределения антропометрических признаков, есть лю-
423

ди, которые, разделяя взгляды Кетле, считают, что средняя
арифметическая отражает расовую интенсивность, независимо от влияния
искажающих факторов, климата, питания, расходования физической
энергии, богатства и т. д.
Однако эта точка зрения не имеет под собой почвы и логически
не обоснована. Не говоря уже о том, что распределение
антропометрических признаков является в действительности не нормальным, а
гипернормальным распределением [ИЗ], следствия искажающих
факторов могут легко распределиться таким образом, что среднее значение
интенсивностей, полученных из наблюдения, окажется смещенным,
хотя они и будут по-прежнему следовать кривой Гаусса [105, 107, 179].
Есть один хороший прием для того, чтобы элиминировать
искажающее влияние, оказываемое определенными условиями на другие
условия, интенсивность которых в разных местах или в разное время
мы хотим измерить. Этот прием заключается в том, чтобы определить,
какова была бы интенсивность рассматриваемого явления в
сравниваемых местах или периодах времени, если бы искажающие условия
обладали не только одинаковой средней интенсивностью, но и одним
и тем же распределением. Для этого прибегают к так называемому
методу типичного населения. Так, например, если мы хотим сравнить
среднюю смертность двух этнических групп, мы рассматриваем
смертность, которая имела бы место, если бы обе эти народности имели
одинаковую возрастную структуру, но в то же время каждому возрасту
соответствовал бы особый коэффициент смертности, характерный для
группы.
Этот метод основывается на том предположении, что влияние
условий, рассматриваемых как искажающие, хотя и зависит от их
интенсивности, не зависит от частоты, с которой они повторяются. В нашем
примере мы исходим из предположения, что более высокий
коэффициент смертности хотя и зависит от возраста, но не зависит от
большей или меньшей частоты, с которой данный возраст представлен в
населении. Это предположение спорно по крайней мере для некоторых
возрастных групп, а именно для тех, относительно которых можно
думать, что обилие представителей этих групп объясняется вниманием,
которое им уделяется.
Неясность порождается тем обстоятельством, что результаты
сравнения оказываются различными в зависимости от того, какое
распределение искажающих обстоятельств берется за основу стандартизации.
Есть немало авторов, которые усматривают в этом серьезный
недостаток метода. Однако, по-моему, это неверно, так как неясность
зависит не от метода, а от самой сути дела, поскольку различные
выводы соответствуют различным предположениям. Таким образом,
выявление этого обстоятельства является не недостатком, а, наоборот,
достоинством метода [95, 118].
Средние не только измеряют интенсивность явления, но
применяются также для построения показателей, характеризующих иные
признаки явления.
424

Так, например, средние арифметические и квадратические
используются для построения показателей переменности и изменчивости,
арифметическая и геометрическая — для построения индекса цен.
Индексы концентрации, несходства, симметрии и асимметрии,
нормальности и анормальности, дисперсии, взаимосвязи, гомофилии,
корреляции, коградуации, аттракции, сходства являются средними
различных значений ряда сопоставляемых распределений.
Каждый из этих индексов имеет целью измерить тот или иной
аспект статистических явлений, и все они связаны друг с другом и
включаются в разработанную итальянской школой органичную систему,
обеспечившую статистической методологии полную научную
ценность.
Разумеется, для каждого из этих индексов, как и для любой
совокупности данных, имеется бесконечное число средних, которые могут
быть применены; и время от времени появляется какой-либо статистик,
не слишком хорошо уяснивший себе задачу статистической
методологии, который считает, что он внес вклад в науку, если ввел новый
индекс, основывающийся на какой-нибудь новой средней, не задаваясь
вопросом, позволяет ли этот индекс измерить какой-либо новый аспект
статистических явлений или лучше, чем уже применяемые индексы,
измерить уже исследованные их аспекты. Не следует забывать, что
к числу достоинств статистического метода относится прежде всего
соответствие поставленной цели и наряду с этим простота
вычисления и возможность выявить взаимоотношения между различными
аспектами массовых явлений.
Соответствие цели и обычно также быстрота вычисления лучше
всего достигаются при помощи простых индексов, основывающихся
на средней арифметической, в которой все данные представлены с их
значениями. Возможность выявить соотношения между различными
индексами лучше всего обеспечивается при помощи средних квадра-
тических. Поэтому при построении статистических индексов обычно
ограничиваются — и следует ограничиваться — средними
арифметическими и квадратическими. Что касается средних геометрической и
гармонической, то к ним прибегают в особых случаях, когда эти средние
отвечают специфическому характеру исследования.
Б. Важные проблемы, при решении которых средними следует
пользоваться с осторожностью
Укажем теперь некоторые важные проблемы, для решения которых
средними следует пользоваться с осторожностью: 1) определение
интервала перехода собственности на имущество, т. е. промежутка
времени, необходимого для того, чтобы совокупность всех видов
имущества, подлежащих переходу в рукц новых владельцев, была им
передана полностью; 2) построение индексов цен или вообще
стандартизованных индексов', 3) теория среднего человека] 4) определение
нормальных пропорций между различными органами тела; 5) инверсия
статистических соотношений.
425

1. Интервал перехода собственности на имущество. Пусть мы имеем
п имуществ, подлежащих переходу в другие руки; vi9v2, ..., vn будут
соответствующие их значения и il9 i2> ..., in — соответствующие
промежутки времени между двумя последовательными безвозмездными
переходами имущества (по наследству или в порядке пожертвования).
Пусть -г будет ежегодно переходящая часть имущества, занимаю-
Н
щего место i по порядку и2г — сумма величин всех п имуществ, пере-
н
ходящих в течение одного года, т. е. так называемая годичная сумма
перехода.
Время, необходимое для того, чтобы сумма всех имуществ Hvt
полностью перешла в руки новых владельцев, будет, очевидно, равна
величине х, удовлетворяющей следующему соотношению:
(2тг)'=2»-.
откуда
* = -££L.
н
Этот промежуток времени, называемый интервалом перехода
собственности на имущество, есть не что иное, как средняя
гармоническая п интервалов i-L отдельных имуществ, взвешенных
соответствующими значениями vt последних.
Когда отсутствовали данные, необходимые для непосредственного
подсчета национального богатства методом инвентаризации или путем
косвенных оценок, основанных на доходах различных категорий
капиталов, прибегали к косвенному методу, умножая годичную сумму
перехода на интервал перехода собственности на имущество, с тем чтобы
получить общую сумму частного имущества.
Вместо средней гармонической обычно исчисляли среднюю
арифметическую, что дриводило к завышенным оценкам. В то же время
этот метод был связан и с другими неудобствами, на которых здесь не
место останавливаться [91].
2. Индексы цен и прочие стандартизованные индексы. Общий индекс
цен является синтетическим индексом, который служит для измерения
изменений общего уровня цен, при предположении, что пропорции
отдельных рассматриваемых товаров остаются неизменными.
Он равен средней арифметической взвешенной индексов
отдельных товаров.
Пусть pai(i = 1, 2,...,п) будут цены в базисный период времени или
в базисном месте а, и пусть pbi (i = 1, 2, ..., п) будут цены в базисное
время или в базисном месте Ь. Общий индекс цен будет равен средней
арифметической простых индексов ^ (i — 1, 2, ..., п)> взвешенных
Pat
значениями (цена X количество) отдельных товаров. Обозначая через
qhi(i = 1, 2, ..., п) количества отдельных товаров, которые предпола-
426

гаются одинаковыми в оба сравниваемых момента времени или в обоих
сравниваемых местах, мы найдем, что искомый индекс равен:
Zi р„, Раг Чг Ъ Pbi ?ft|
(5) /te=-'-1""* -'",М
П
Если не существует системы величин qnu имеющей особое значение,
как это, например, мы имеем в случае расчета стоимости питания, то
систем величин, к которым можно прибегнуть, много, их столько,
сколько значений времени и места, представляющих интерес с точки
зрения изучаемой экономической проблемы [98]. Если их число равно /г,
общий индекс цен можно принять, например, за среднюю
геометрическую индексов, получающихся из соотношения (5) при изменении
k от 1 до h. Таким образом будем иметь:
' п п п
h / 1]РмУц ЪРыЧи JjPuIhi
t=i i=i »=i
(6) /fta=l/ ~" '"" "'""" '
f 2Pat*lt liPaifii 2p«»?M
/=1 i~\ i=l
Среднюю геометрическую величин (5) следует предпочесть любой
иной средней, так как в этом случае индекс обладает некоторыми очень
важными свойствами, в том числе круговым свойством:
1 Ьа 1 ас l be
Формула (6) была получена Джини как обобщение идеальной
формулы, согласно которой сопоставление цен времени или места Ь и цен
времени или места а выражается средней геометрической двух величин,
получаемых из формулы (5) путем подстановки вместо qki их
соответствующих значений, относящихся к временам и местам Ь и а. Однако,
в этом случае круговое свойство уже не имеет места, что может повести
к серьезным неудобствам. В самом деле, как доказал К. Бенедетти
[7], если применять не круговые формулы определенного типа (к
которым принадлежит идеальная формула и практически все известные
общие формулы индексов), можно прийти к противоречиям типа:
ha>u 4c>i; /*<i.
Построение индексов цен является лишь особым случаем — хотя
и очень важным — построения стандартизованных индексов. Это
название они получили от того, что в них предполагается постоянным,
согласно некоему стандарту или заранее избранному типу,
распределение обстоятельств, рассматриваемых как искажающие в отношении
того явления, интенсивность которого хотят измерить при помощи
индекса.
427

Стандартизация широко распространена и имеет важное значение
не только для построения индексов цен, но в неменьшей степени
и для измерения многих демографических явлений, и в частности,
общей смертности населения, возрастная структура которого
предполагается постоянной. В этом случае такой метод, как уже
указывалось, известен под именем метода типичного населения, и именно
в этой области были сделаны первые опыты построения
стандартизованных индексов.
Вместо того, чтобы стандартизовать возрастную структуру
населения, чтобы выявить изменения общей смертности, связанные со
специфическими коэффициентами смертности, можно эти
коэффициенты стандартизовать. Точно так же, вместо того чтобы стандартизовать
структуру по категориям товарообмена с целью выявить изменения
количества обмениваемых товаров, вызванные их ценами, можно
стандартизовать количества обмениваемых товаров различных категорий
с целью выявить изменения их стоимости, связанные с изменениями
качества. В таких случаях говорят о методе типичных коэффициентов
или о количественных индексах.
Как было указано выше, в зависимости от приемов
стандартизации получаются неодинаковые результаты. Иногда мы хотим выявить
различие результатов, чтобы показать, к каким следствиям ведут
различные гипотезы, взятые за основу стандартизации; в других
случаях, наоборот, нас интересует применение среднего индекса, который
явился бы синтезом результатов, полученных на основе различных
гипотез [95].
3. «Средний человек». Теория среднего человека основывается на
предположении, что если человеку приписываются в качестве
антропометрических признаков средние арифметические всех признаков
населения, то получается так называемый средний человек,
отражающий тип этого последнего.
Эта теория, которую защищал Кетле [183, 182], в течение долгого
времени считалась необоснованной [44], но в дальнейшем Джини
доказал ее правильность [93, 89, 90].
В самом деле, исследуя в своем другом труде соотношение между
весом и ростом человека, Кетле пришел к выводу, что вес растет
пропорционально не соответствующему росту, а его квадрату. Этим он
сам подал повод к тому, чтобы поставить под сомнение правильность
теории среднего человека. Было справедливо указано, что выведенное
Кетле соотношение веса и роста несовместимо с теорией среднего
человека, поскольку, если верно, что вес растет пропорционально
квадрату роста, средний по весу человек не может оказаться средним также
и по росту, но должен обладать ростом, превышающим средний.
Из нелепости такого вывода вытекало, что либо теория среднего
человека была ошибочной, либо выведенное Кетле соотношение между
весом и ростом не отвечало действительности.
Критики Кетле отвергли теорию среднего человека, чему немало
содействовал тот факт, что кривая роста почти симметрична, тогда как
кривая веса заметно асимметрична, удлиняясь в направлении более
428

высоких значений. Они рассуждали следующим образом: если
допустить, что изменениям роста соответствуют более, чем пропорциональные
изменения веса, то отсюда следует, что если кривая роста симметрична,
то кривая веса должна быть асимметричной, удлиняясь в направлении
более высоких значений. И обратно, если оказывается, что кривая
роста симметрична, тогда как кривая веса, наоборот, асимметрична,
удлиняясь в направлении более высоких значений, следует сделать
вывод, что изменениям роста соответствуют более чем
пропорциональные изменения веса.
Джини указал, что в этом рассуждении смешиваются
интенсивности, одинаковые по порядку, с интенсивностями соответствующими.
В самом деле, если кривая роста симметрична, а кривая веса
асимметрична, отсюда следует, что изменениям роста необходимо
соответствуют более чем пропорциональные изменения одинаковых по
порядку значений веса, а не их соответствующих значений.
Джини показал, что, откладывая на оси абсцисс значения роста,
а на оси ординат — соответствующие средние значения веса, мы
получаем кривую, отличающуюся, при достаточно большом числе
наблюдений, от прямой лишь очень незначительными колебаниями, которые
могут являться делом случая. Отсюда он сделал вывод, что поскольку
соотношение между двумя связанными корреляционной зависимостью
рядами — веса и роста — является линейным, средний человек по
росту является также средним и по весу.
Этот вывод можно отнести и ко всем прочим антропометрическим
признакам, поскольку между ними существуют отношения линейного
типа. Проверки на основе многочисленных статистических данных
подтвердили правильность этого вывода. На основе измерений
американских солдат в первой мировой войне была отлита бронзовая
статуя, изображающая среднего американца, ее пропорции оказались
отличными.
4. Нормальные пропорции человеческого тела. Еще в глубовой
древности пропорции между различными частями человеческого тела
привлекали к себе внимание ученых. Пропорции нормального человека
были предметом изучения в Индии, начиная с IX века до н. э. Знание
этих пропорций служило основой иконописи, скульптуры, живописи,
танца, астрологии и считалось необходимым в медицинской практике
для предсказания продолжительности жизни больного.
В новые времена учение о конституции человека стало одной из
важных отраслей медицины и антропологии. В Италии, Франции,
Германии прославленные клинические школы приняли на вооружение
и развили дальше тезис, который, как сказано, пользовался
распространением уже в древней Индии, и точную формулировку которого
в новейшее время дал Кетле: он утверждал, что средний человек
представляет собой здорового человека, и что нарушение его пропорций
свидетельствует о функциональных расстройствах организма и о
наличии болезни.
Позже, с тех пор как обязательная воинская повинность получила
широкое распространение, при освидетельствовании новобранцев были
429

приняты нормы, основывающиеся на пропорциях человеческого тела,
признанных нормальными. В частности, отношение периметра
грудной клетки к росту, так называемый грудной индекс, был во многих
странах принят как основной критерий для отбора на военную
службу. Для определения этого индекса мужчины делятся на классы по
росту, обычно выраженному в сантиметрах, и в каждом классе
исчисляется средняя величина периметра грудной клетки в ее отношении
к соответствующему росту; это соотношение и принимается за
критерий пригодности к военной службе. Новобранцы, грудной индекс
которых равен исчисленному таким образом индексу или больше него,
считаются людьми крепкого сложения; если же их грудной индекс
меньше нормального, их считают физически неполноценными, причем, если
отклонение от нормы превышает определенную границу, им дают
отсрочку до следующего набора или даже вовсе освобождают от
воинской повинности.
И вот Джини указал, что нет никаких оснований определять
грудной индекс по отношению среднего периметра грудной клетки к росту,
вместо того, чтобы брать отношение средней арифметической значений
роста к периметру грудной клетки. Однако обе эти процедуры дают
весьма неодинаковые результаты. Основываясь на данных
обследования 47832 бельгийских новобранцей класса 1926 г., он подсчитал, что
почти для 40% этих новобранцев результаты обследования были бы
различны в зависимости от применения первой или второй
процедуры. На основе первого критерия, принятого ныне при вербовке
новобранцев, считаются пригодными к несению военной службы юноши
высокого роста, которые на основе второго критерия были бы
признаны физически неполноценными, и наоборот, неполноценными
считаются низкорослые люди, которые, согласно второму критерию, были бы
признаны пригодными к военной службе.
Оба метода неудовлетворительны и допускают ошибки в
противоположных направлениях. Этим объясняется факт, что в современных
армиях, в которых при рекрутском наборе применяется первый
критерий, наиболее выносливы и наименее подвержены болезням
низкорослые солдаты, а не солдаты высокого роста, которые из-за своей
выгодной физической внешности зачисляются в отборные части (как,
например, гренадеры в Италии).
Рациональные методы, дающие в основном совпадающие
результаты, могут быть разработаны на основе различных критериев,
которые предложил Джини и которые летом 1939 г. были им изложены на
заседании Медицинского факультета в Брюсселе. Его предложения
встретили одобрение, но из-за вспыхнувшей вскоре второй мировой
войны не были проведены в жизнь [102, 104].
5. Обращение статистических соотношений. Противоречие между
двумя методами, изложенными в предыдущем.разделе, зависит от того,
что один из них базируется на средних значениях переменной В,
зависящей от данных значений другой переменной Л, или, как говорят,
на линии регрессии В на Л; второй же базируется на средних значениях
переменной Л, зависящей от данных значений переменной В, т. е. на
430

линии регрессии А на В. Однако можно доказать, что обе линии
регрессии на практике могут совпасть лишь в исключительных случаях
в их промежуточной части [120]'. Отсюда следует, что статистические
соотношения практически не являются обратимыми. Как мы видели,
отношение грудного периметра к росту не может быть получено путем
инверсии соотношения между ростом и средним грудным индексом,
и точно также соотношение между возрастом супруги и супруга
нельзя получить, обратив отношение между возрастом супруга и супруги.
Равным образом отношение между значением какой-либо постоянной,
полученной из выборочной совокупности, и ее вероятным значением
в генеральной совокупности, из которой эта выборка получена, не
может быть найдено путем инверсии отношения между значением этой
постоянной в генеральной совокупности и ее вероятным значением
в выборочной совокупности.
Лишь тогда, когда имеют место определенные условия, инверсия
может быть применена к соотношению между значением постоянной
в генеральной совокупности и средней арифметической ее значений
во всех выборочных совокупностях. В этом случае правильнее было
бы говорить о субинверсии (см. стр. 407—408).
Однако те теории индексов значимости, интервалов надежности,
оценок, какие ныне широко пропагандируются и применяются
англосаксонскими авторами и их подражателями и последователями,
предполагают наличие обратимости между постоянной генеральной
совокупности и постоянной выборочной совокупности, каковой не
существует. Поэтому они могут привести к ошибочным предсказаниям.
В заключение этого параграфа мы можем поэтому сказать, что
невозможно установить единый критерий для выбора и применения
средних. В' каждом отдельном случае необходимо посмотреть, какая
из них наилучшим образом соответствует цели исследования, и это
нужно сделать, учитывая ее свойства, равно как и характер явления,
количество и качество имеющихся данных.

БИБЛИОГРАФИЯ
1. AumannG,, Ausbau von Mittelwerten mehrerer Argumente, «Math. Ann.»,
109, 1933.
2. В a i d a f f B. I., Cinco valores interesantes de una media general,
«Boletin Matematics», vol. VII, 1934.
3. Baidaff B. J. Estudio de la derivada de una media general, in «Boletin
Matematies», vol. VIII, 1935.
За. В a r b e n s i G., Cenno di una trattazione monografica delle medie stati-
stiche, in «Atti della XXVII Riunione della Societa Italiana per il progresso delle
Scienze», Bologna, 1938.
4. Beetle R. D., On the complete independence of Schimmack's postulates
for the arithmetic mean, «Math. Ann.», 76, 1915.
5. BemporadG.,5«/ principio della media aritmetica , «Atti della Reale
Ace. Naz. deiH Lincei». Serie VI, vol. Ill, 1926.
6. Bemporad G., // significato del principio della media aritmetica,
«Atti della R. Accad. dei Lincei». Serie VI, vol. XI, 1930.
7. В e n e d e t t i C., Di un confrontofra poteri di acquisto di salari e consi-
derazioni meiodologiche relative agli indici circolari e поп circolari, «Metron», vol.
XVII, n. 1-2, 1953.
8. Bernstein S., DoetschG., Zur Theorie der konvexen Funktionen,
«Mathem. Annalen.». Bd. LXXVI, 1915.
9. В e r t i 1 1 о n. La theorie des moyennes, «Journal de la Societe de Paris»,
1876, n. 10 et 11.
10. В i g n a r d i F., Medie condizionate e funzioni di appagamento, «Stati-
stica» 1950.
11. Bonferroni С. Е., La media esponenziale in matematica finanziaria,
«Annuario pel R. 1st.,Sup. di Sc. Econ. e Comm. di Ban», 1923—1924.
12. Bonferroni С. Е., Della vita matematica come media esponenziale,
«Annuario del R. 1st. Sup. di Sc. Econ. e Comm. di Bari.», 1924—1925.
13. Bonferroni C. E., Sulle medie di potenze, «Giornale degli economiqi e
Rivista di Statistica», Anno XLI, maggio, 1926.
14. В о n f e г г о n i С. Е., Medie dedotte da funzioni concave, «Giornale
di matematica finanziaria», 1927.
15. Bonferroni С. Е., Elementi di statistica generate, a. a. 1932—1933
Bari, R. Istituto di Scienze Economiche. Torino, Litografia Gili, 1933.
16. Bonferroni С. Е., A proposito di espressioni generali per le
medie, «Giornale degli economisti e Rivista di Statistica», Anno XLI, maggio,
1937.
17. Bonferroni С. Е., Sulle condizioni necessarie e sufficienti affinche un
centro ponderato sia un valor medio, (con una nota del prof. Gini), «Supplemento
statistico ai nuovi problemi di politica, storiaed economia», Anno VI, n. 1, Fer-
rara, 1940.
18. Bonferroni С. Е., Ancora sulle condizioni necessarie e sufficienti
affinche un centro ponderato sia un valor medio (risposta al prof. Gini con una
replica del prof. Gini), «Statistica», Anno I, n. I, gennaio-marzo, 1941.
19. Bonferroni C. E. / valor i mediani di una distribuzione continua,
«Studi in onore di G. Pietra», Bologna, 1956.
432

20. В о n e f е г г о n i С. Е., La mediana ponderata in una distribuzione con-
tinuaf «Scritti matematici in onore di F. Subirani», Zuffi, Bologna, 1957.
21. Bohr H,, The arithmetic and geometric means, «Journ. London Math.
Soc», 10, 1935.
22. Br ogg i U., Sur le principe de la moyenne arithmetique, «L'enseigne-
ment», 11, 1909.
23. В о w 1 e у A. L., Elements of statistics, London, P. S. King & Son, 1926.
24. С а г a n t i E., Su un procedimento approssimato per la determinazione
del numero dei figli per matrimonio, «Metron», vol. XLVIII, n. 1-2, 30 aprile, 1956.
25. С a s s i n i s G., Calcoli numerici, grafici e meccanici, Pisa, Mariotti-
Pacini, 1928.
26. С a s t e 1 1 a n о V, , Osservazioni su alcune medie continue, «Statistica»,
Anno VIII, n. 1, gennaio-marzo 1948.
27. С a s t e 1 1 a n о V., Sul valore divisorio, «Rivista Italiana di Demogra-
fia e Statistica», Anno II, n. 1—2, Roma, 1948.
28. Castellano V., II principio della media aritmetica e gli errori acci-
dentali, «Rivista Italiana di Demografia e Statistica», Anno II, n. 1-2, Roma, 1948.
29. Castellano V., Sulla teoria for male di aclune ferme medie basali,
«Atti della IX Riunione della Soc. Ital. di Statistica», Roma, gennaio, 1950.
30. С a s t e 1 1 a n о V., Studio delle medie ferme basali espresse dalla formula
comprensiva del Gini, «Atti della X Riunione della Soc. Ital. di Statistica», Roma,
1950.
31. Castellano V., Applicazioni del metodo delle serie rettilinee perio-
diche alia determinazione della mediana di una serie ciclicaf «Atii della XV e XVI
Riunione scientifica alPIstituto Italiano di Statistica», Roma, 1955-1956.
32. Castellano V., Contributo alio studio delle serie cicliche,
«Statistica», gennaio-marzo, 1956.
33. С a u с h у A., Cours d'analyse de VEcole Royale Polytechnique —
Premiere partie: Analyse algebrique, Paris, 1821.
34. С a u с h у A., Oevres completes, II Serie. T. III. Paris, Gauthier, Villars
et fils, 1897.
35. С e s a r о E., Sur la multiplication des series, «Bulletin des Scienses
Mathematiques», 1890.
36. Cesar о Е., Corso di analisi algebrica, Bocca, Torino, 1894.
37. Chimenti A., Disuguaglianza tra medie associative, «Statistica»,
Anno, VII, n. 1-2, genn.-giugno 1947.
38. С h i s i n i O., Sul concettto di media, «reriodico di Matematiche», 1929.
39. С h i s i n i O., Numeros indice et Media, «Schola et Vita», 1930.
40. С h i s i n i O., Alcuni teoremi sulle medie, «Scritti matematici in onore
di Filippo Sibirani», Zuffi, Bologna, 1957.
41. С i s b a n i R., Contributi alia teoria delle medie, «Metron», vol. XIII
n. 2, 1938.
42. С i s b a n i R., Contributi alia teoria delle medie. II, «Metron», vol. XIII
n. 2, 1938.
43. Comission Scientifique Interalliee du Ravitaillement, De Г influence de
quelques facterus sur Valimentation necessaire a Vhomme moyen, in «Les ressources
et besoins alimentaires des Pays allies», Troisieme Rapport, Rome, decembre
1918, Ediz. It., «II nuovo patto», Anno II, n. 7—10, luglio-ottobre, 1919.
44. С о u r n о t A. A., Exposition de la theorie des chances et des probabilites
Paris, 1843.
45. CzuberE,, Die statistischen Forschungs-methoden, Wien, L. W. Siedel
& Sohn, 1927.
46. D a r m о i s G., Statistique mathematique, Paris, 1928.
47. David L., Zur Theorie der Schapiraschen Iteration, «Journ. f. die
reine u. angew. Mathem.», Bd. 135, 1909.
48. D e F i n e t t i В., Sur la notion de la moyenne, «Atti R. Ace. Lincei».
Ser. VI, 12, 1930.
49. D e F i n e t t i В., Sul concetto di media, «Giomale delPIstituto
Ital. degli Attuari», Anno II, n. 3, luglio, 1931.
50. D'Ocagne M., Calcul graphique et Normographie, Paris, 1908.
15 Зак. 401
433

51. D о d d E. L., The probabitily of the arithmetic mean compared with that
of certain other functions of the measurements, «Annals of, Mathematics», Second
Series, vol. 14, 1913.
52. D о d d E. L., The error-risk of the median compared with that of the
arithmetic mean, «Bulletin*'of the University of Texas», n. 323, 1914.
53. D о d d E. LM The arithmetic mean as approximately the most probable
value a posteriori under the Gaussian probability law, «Bulletin of the University
of Texas», n. 4, 1915.
54. D о d d E. L., On certain averages in periodogram analysis, «Tokoku
Mathematical Journal», vol. 27, 1926.
55. D о d d E. L., The convergence of a general mean of measurements to
the true value, «Bulletin of the American Mathematical Society», vol. 32, 1926.
56. D о d d E. L., The Convergense of General Means and the Invariance of
Form of Certain Frequency Functions, «American Journal of Mathematics», vol.
XLIX, n. 2, April, 1927.
57. D о d d E. L., Frequency lawsK showing stability with reference to the
geometric mean and other means, «Bulletin of the American Mathematical
Society», June 1932.
58. D о d d E. L. 3The complete independence of certain properties of means,
«Annals of Mathematics», vol. 35, n. 4, October, 1934.
59. Dodd E. L, Means or averages and their uses, «The University of Texas
Bulletin», n. 3607, February, 8, 1936.
60. Dodd E. L.* The chief characteristic of statistical means, Cowles
Commission for Research in Economics-Abstracts — Colorado College Publication,
General Series, n. 208, 1936.
61. Dodd E. L, Internal and external means arising'from the scaling of
frequency functions, «The Annals of Mathematical Statistics», vol. VIII, n. 1, March,
1937.
62. Dodd E. L., Regression coefficients as Means of certain ratios, «American
Mathematical Monthly», vol. XLIV, n. 6, May, 1937.
63. Dodd E. L., Necessary and Sufficient Conditions for Means Arising
from the Location and Scaling of Frequence Functions, «Report of Third Annual
Research Conference on Economics and Statistics», June 28 to July 23, 1937, Cowles
ommission for Research in Economics, Colorado Springs, U. S. A., 1937.
64. Dodd E. L., Index Numbers and Regression Coefficients as Means,
Internal and External, «Report of Third Annual Research Conference on Economics
and Statistics», June 28 to July 23, 1937, Cowles Commission for Research in
Economics, Colorado Springs, U. S. A., 1937.
65. D о d d E. L., Interior and exterior means obtained by the method of
moments, «The Annals of Mathematical Statistics», vol. IX, n. 3, September, 1938.
66. Dodd E. L, The median, quartiles and other positional means, «American
Mathematical Monthly», vol. 45, 1938.
67. Dodd E. L., The substitutive mean and certain subclasses of this general
mean, «The Annals of Mathematical Statistics», vol. XI, n. 2, June, 1940.
68. Dodd E. L., Some generalisations of the logarithmic mean and of
similar means of two varietes which became indeterminate when the two variates are equal
«The Annals of Mathematical Statistics», vol. 12, 1941.
69. Dodd E. L., Lectures on probability and statistics, Austin, The
University of Texas Press., 1945.
70. D о о d s о n А. Т., Relation of the Mode, Median and Mean in Frequency
Curves, «Biometrika», vol. IX, 1916—1917.
71. D u n к e 1 O., Generalized geometric means and algebraic equations,
«Annals of Mathematics», 1909—1910.
72. Durand A., Sur un theorbme re/atif a des moyennes, «Bull, des Sc.
Math.», vol. 26, 1902.
73. Fechner С. Т., Kollektivmasslehre, Leipzig, 1897.
74. F i 1 о n L. N. and Pearson K.» On the probable Errors of Frequency
Constants and of the Influence of Random Selection on Variation and Correction,
«Phil. Trans. A.», vol. 191, 1898.
4 34

75. F г е с h e t M., Nouvelles definitions de la vateur tnoyenne et des valeurs
equipoprobables d'un nombre aleatoire, «Annales de l'Universite de Lyon», Section
A, IX, 1946.
76. F г е с h e t M., Sur dlverses definitions de la moyenne d'un element aleatolre
de nature quelconque, «Giorn. degli Attuari», H 1956.
77. F u r 1 a n V., Sur une for mule generale de la moyenne, «Metron», vol. VIL
n. 2, 1933.
78. G a 1 v a n i L., Sulle fiinzlonl convesse di una о pin varlablli definite In
un aggregato qualunque, «Rend, del Circ. Mat. di Palermo», vol. XII, 1916.
79. G a 1 v a n i L., Del llmltl a cul tendono alcune medie, «Boll. Un. Mat.
Italiana», 1927.
80. Gal vaniL, Sulla deter mi nazlone del centro dl gravita e del centro
mediano di una popolazionej con applicationi alle popolazioni censite il 1Q dicembre
1921, in «Atti del Congresso Inter, per lo studio dei problem! della popokzione»,
Roma, 1934, u «Metron», vol. XI, n. 1, 1933.
81. G a 1 v a n i L., I centrl del terrltorlo e della popolazlone Italiana (1931) e
quelli della popolazlone Industrial e commerciale (1927), «Compendio Statistico
Italiano», Istituto Centrale di Statistica, vol. VII, Roma, 1933.
82. G a 1 v a n i L., Del centro mediano dl alcunl partlcolarl slsteml dl puntl,
«Atti della VIII Riunione scientifica della Societa Italiana di Statistica», 1949.
83. G a 1 t о n, Report of the Anthropometric Committee of the British
Association, 1881.
84. G a t t i S., Dalle proporzlonl potenzlate alle progression^ «Atti della
IX Riunione della Soc. Ital. di Statistica», 7—8 gennaio, 1950.
85. G a t t i S., Su un llmlte a cul tendono alcune medle, «Metron», vol.
XVIII, n. 1/2, 1956.
86. G a t t i S., Sul llmltl dl alcune medle nel caso dl successlonl a plu llmltl,
«Metron», vol. XVII, n. 3-4, 1957.
87. Giamblico de Calcide, De vita pltagorlca liber, Ak. Nauck,
Pietroburgo, 1884; Jamblichl In Nlcomachl Arlthmetlcam Introductlonem liber a
cura di P e s t e 1 1 i, Lipsia, 1894.
88. G i n i C, Variablllta e mutablllta: contrlbuto alle studio delle distrlbu-
zioni e delle relazioni statlstlche, Bologna, Cuppini, 1912, riprodotto in «Memorie
di Metodologia Statistica», la ediz. Giuffre, Milano, 1939; 2a ediz. aggiornata a
cura di E. PizzettieT. Salvemini, Veschi, Roma, 1955.
89. Gini C, Vuomo medio, «Giornale degli economisti e Rivista di
Statistica», Serie 3a, Anno XXV, n. 1, 1914.
90. G i n i C, SulVutlllta delle rappresentazlonl grafiche. «Giornale degli
Economisti», Serie 3a, Anno XXV, n. 2, 1914.
91. G i n i C, Vammontare e la composlzlone della rlcchezza delle nazlonl,
Torino, Bocca, 1914.
92. G i n i C, II concetto di transvariazione e le sue prime appllcazloni, in
«Studi di Economia, Finanza e Statistica» editi dal Giornale degli economisti e
Rivista di Statistica, vol. LII, n. 1, genn. 1916; riprodotto in «Memorie di
Metodologia Statistica», la ediz. Giuffre, Milano, 1939.
93. Gini C, Delle relazioni fra le Intensltd cograduate dl due caratterl, in
«Atti del R. 1st. Veneto di Scienze, Lettere ed Arti», Anno ace. 1916—1917,
Tomo LXXVI, parte II.
94. Gini C, Sulla Influenza di alcunl fattorl sopra 11 fabblsogno allmentare
delVuomo medio, «II Nuovo Patto», Rassegna Italiana di Pensiero e di Azione —
Roma, 1919; «Problemi Sociologici della guerra», Zanichelli, Bologna, 1921.
95. Gini C, Quelques considerations au sujet de la construction des nombres
indices des prix et des questions analogues, «Metron», vol. IV, n. 1, 1924.
96. Gini C, The contributions of Italy to modern statistical methods,
«Journal of the Royal Stat. Society», London, vol. LXXXIX, _prt. IV, 1926.
97.4G i пЧТС, Di un procedlmento per la deter mi nazlone del numero medio del
ftglt per matrlmonio, «Atti del Comitato Italiano per lo studio dei problemi della
popolazione», Roma, 1931.
98. Gini C, On the circular test of index numbers, «Metron», vol. IX, 1931 —
1932
15*
435

99. G i n i C, Intorno alle curve di concentrazione, «Bull, de Г Inst. Int. de
Stat.», XX Session, Madrid, 1931. Ediz. ampliata in «Metron», vol. X, n. 1—2, 1932.
100. G i n i C, Sur une methode pour determiner le nombre moyen des enfants
legitimes par mariage «Revue Inst. Int. Stat.», n. 1, 1933.
101. G i n i C, Della influenza che il raggruppamento in classi delle singole
modalita esercita sul valore di alcuni indici statistici net caso di serie sconnesse,
«Metron», vol. XII, n. 4, 30 novembre 1936.
102. G i n i F., Une question importante pour la science des constitutions.
Comment juger si les proportions d'un individu sont normales, «Revue de Г Inst. Int.de
Stat.», 1937, 5eme annee, livr. 2-3.
103. G i n i C, Di una formula comprensiva delle medie, «Metron», vol. XIII,
n. 2, 1938.
104. G i n i C, Principes a reviser. Les bases de la Biotypologie et les criterums-
du recrutement militaire, «Revue Anthropologique», 1939, n. 7-9, Juillet — Sep-
tembre.
105. G i n i C, Sur la theorie de la dispersion et sur la verification des schemas
theoriques, in «Metron», vol. XIV, n. 1, 1940.
106. G i n i C, Sulle condizioni necessarie e sufficienti affinche un centro
ponder ato si a un valore medio, «Suppl. Statistico ai Nuovi Problemi», Anno VI, fasc. I,
1940.
107. G i n i C, Alle basi del metodo statistico. II principio della compensazione
degli errori accidentali e la legge dei grandi numeri, «Metron», vol. XIV, n. 2—4,
1941.
108. G i n i C, Replica al prof. Bonferroni, «Statistica», anno I, n. 1, gen-
naio-marzo, 1941.
109. G i n i C, Sulla probablita inversa nel caso di grandezze a distribuzione
costantet «Atti della VII Riunione scientifica della Soc. It. di Stat.», 27-30 giugno,
1943.
110. G i n i C, The means of samples, «Atti XXV sess. 1st. Int. Statistica»,
1947.
111. Gin i C, Statistical Relations and their Inversions, «Review of Int.
Stat. Institute», n. 1-4, 1947.
112. G i n i C, Metodologia statistica, Misura dei fenomeni collettivi, «En-
ciclopedia delle Mat. Elem.», vol. Ill, parte 2a, Hoepli, 1948.
113. G i n i C, La distribuzione delle stature e ipernormale, «Atti della VII
Riunione scientifica della Societa Italiana di Statistica», 2 gennaio 1949.
114. G i n i C, Le medie dei campioni, «Metron», vol. XV, n. 1-2-3-4, 1949.
115. G in i C, Caracteres des plus recents developpements de la methodologie
statistique, «Statistica», Anno XI, fasc. I, 1951.
116. G i n i C, Del passaggio dalVindice di variabilitd di un campione alVin-
dice di variabilitd della massa, «Metron», vol. XVI, n. 1-2, 1951.
117. G i n i C, Vevoluzione del concetto di media, «Metron», 1952.
118. Gini C, Sui fondamenti della Statistica, in «Problemi del Servizio
Sociale», Anno VIII, n. 6, nov.-dic. 1953, pagg. 734-73)
119. Gini C, Corso di Statistica (Nuova edizione aggiornata), Anno ace.
1954-1955, a cura di G a t t i, С. В e n e d e t t i, Ed. Vescht, Roma, 1955.
120. Gini C, Sur quelques questions fondamentales de statistique, «Annales
de Tlnstitut Henri Poincare», tome XIV, fasc. IV, 1955.
120a. Gini C, Sui limiti della invertibilita delle relazioni statistiche,
«Metron», vol. XVIII, n. 3-4, 1957.
1206. Gini C, Medie di serie dipendenti da due caratteri sconnessi, «Metron»,
vol. XIX, n. 1-2, 1958.
121. G i n i C„ Galvani L., Di talune estensioni del concetti di media
ai caratteri qualitativi, «Metron», vol. VIII, n. 1-2, 1929.
122. G i n i C, Galvani L., Tavole di morlalitd della popolazione
italiana, «Annali di statistica», S. VI, vol. VIII, 1934.
123. Gini C.,Boldrini M.,Galvani L.,Venere A., Sui centri
della popolazione e sulle loro applicazioni, «Metron», vol. XI, n. 2, 1933.
124. Gini C, Zappa G., Sulle proprieta delle medie pofenziate e combi-
natorie, «Metron», vol. XIII, n. 3, 1938.
436

125. Grebe, Ueber die Vergleichung zuischen dem arithmetischen, dem geome-
trischen und dem hartnonischen Mittel, «Zeitsch f. Math. u. Phys.», 1858.
126. G r i f f i n F. L., The center of Population for various continuous
distributions of Population over areas of various shapes «Metron», vol. XI, n. 1, 1933.
127. G u 1 d b e r g A., Sur les valeurs moyennes, Comptes Rendus, 175, 1922.
128. Holder O., Uber enen Mittelwertsatz, Nachr. v. d. k. Geselsch. d. W.
zu Gottingen», 1889.
129. H u 1 t s с h, Pappi Alexandrini collections quae supersunt, Wedmann,
Berlin, 1876.
130. Huntington E. V., Sets oj indipendent postulates for the arithmetic
mean, the geometric mean, the harmonic mean and the root-meansquare, «Trans-Amer
Math. Soc», vol. XXVIII, gennaio, 1927.
131. Irwin J. O., On the frequency distribution of the means of samples from
populations of certain Pearson's types, «Metron», vol. VIII, n. 4, 1930.
132. Jacob M., Theorie synthetique des moyennes, proportions et progressions,
«Bulletin du Cercle Pedagogique», Universite de Louvain, avril, 1947.
133. J а с о b M., La moyenne dHndice m. — Theorie generate des moyennes,
proportions et progressions, «Bulletin de Statistique», n. 4, avril, 1950.
134. J а с к s о n D., Note on the median of a Set of Numbers, «Bull, of the
Amer. Math. Soc», 1921.
135. Jackson D., Note on quartiles and allied measures, «Bull. Amer.
Math. Soc», vol. 29, 1923.
136. J e с к 1 i n H., Zur Systematik der statistischen Mittelwerte, «Zeitsch-
rift fur schweizerische Statistik und Volkswirtschaft», 83. Jahrgang, Helf 4,
Zurich, 1947.
137. J e с к 1 i n H., Uber mathematische Mittelwerte, «Elemente der Mathe-
matik», Band 111/1, Zurich, 1948.
138. J e с к 1 i n H., Der Begriff des mathematischen Mittelwertes und die Mit-
telwertformeln «Viertelj. schv. Zurch. Naturforsch. Ges.», 93, 1, Zurich, 1948.
139. J eckl in H., Versuch einer Systematik des mathematischen Mittelwertbe-
griffs «Commentarii mathematici helvetici», vol. 22, fasc 4, Zurich, 1949.
140. J e с к 1 i п Н., Eine geometrische Anwendung der grundlegenden alge-
brischen Mittelwerten, «Elemente der Mathematik», Band III, 3, 1949.
141. J eckl in H., Quasiarithmetische Mittelwerte, «Elemente der
Mathematik», Band. IV/5 und 6, 1949.
142. J e с к 1 i n H., La notion de moyenne, «Metron», vol. XV, n. 1-2-3-4,
1949.
143. J e с к 1 i n H., Trigonometrische Mittelwerte, «Elemente der
Mathematik», Band. VIII/3, Verlag Birkhauser, Basel, 1953.
144. Jecklin H., Eisenring M., Die elemerJaren Mittelwerte,
«Bulletin de Г Association des Actuaires suisses», vol. 47, fasc 1, 30 avril, 1947.
145. J e n s e n J. L. W. V., Sur les fonctions convexes et les inegalites entre
les valeurs moyennes, «Acta Math.», 30, 1906.
146. J e s s e n В., Bemerkungen uber konvexe Funktionen und Ungleichungen
zwischen Mittelwerte I., «Mat. Tidsskr». В. Н. 2, 1931.
147. J e s s e n В., Ueber die Verallgemeinerugen des arithmetischen Mittels,
«Acta litter, ac. scient. regiae univ. hungaricae, Sect. Sc math.», 5, 1931.
148. J e s s e n В., Ueber eine allgemeine Ungleichung zwischen. Mittelwerten,
«Acta litter, ac. scient.», vol. 6, fasc. 11-111.
149. К e n n e у J. F., Mathematics of statistics, Van Nostrand, New York,
19.9.
150. King W. I., The elements of Statistical Method, New York, 1912.
151. Kolmogoroff A., Sur la notion de la moyenne, «Atti della R. Ace.
Lincei», Ser. 6, vol. 12, 1930.
152. Lexis W., Sur les moyennes nor males appliquees aux mouvements de la
population etsur la vie normale, «Annales de demographie internationale», t. V, 1880.
153. L i о u v i 11 e J., Sur la moyenne arithmetique et la moyenne geometrique de
plusieurs quantiles positives, «Journ. de Math.», I, 4, 1939.
154. Lohnstein Т., Ueber das harmonisch-geometrische Mittel, «Zts. f.
Math. u. Phys.», Bd. XXX, 1888.
437

155. L о г i a G., Le scienze esatte nelVantica Grecia, Hoepli, 1914.
156. Mardessich В., Sulle relazioni fra medie combinatorie e medie poten-
ziate, «Statistica», n. 1, Anno XIII, gennaio-marzo, 1953.
157. Marseguerra E., Su alcuni valori caratteristici delle serie cicliche trat-
tate con metodo continuo, «Metron», vol. XV, n. 1-2-3-4, 1949.
158. M a r t i n о t t i P., Le medie relative, «Giornale degli economisti e
Rivista di Statistica», anno XLVI, n. 4, Roma, aprile, 1931.
159. Mart inotti«P., Medie relative di grandezze finanziarie. «Rivista Inter,
di Scienze sociali e discipline ausiliarie», Anno XXXIX, serie III, vol. II, fasc. VI,
Milano, novembre, 1931.
160. M a r t i n о t t i P., Estensioni del concetto di media, «Giornale degli
economisti e Annali di Economia », luglio-agosto, 1939.
161. Martinotti P., Note varie di matematica con applicazioni. Unione
tipografica, Milano, 1939.
162. Martinotti P. Di alcune recenti medie, «Acta della Pontificia Ace.
delle Scienze», vol. V, 1941.
163. MatsumuraS., Ueber die Axioma tik von Mittelbildungen, «The To-
hoku Math. Journ.», vol. XXXVI, 1933.
164. M e s s e d a g 1 i a A., // calcolo dei valori medi e le sue applicazioni statis-
tiche, Prima edizione in «Archivio di Statistica», Anno V, fasc. II—IV. Seconda
edizione postuma, curata da R. Benini, «Biblioteca dell' Economista», Serie
V, vol. XIX, 1908.
165. N a g u n о N., Ueber eine Klasse der Mittelwerte, «Japanese Journ. of
Math.», vol. 7, 1930.
166. N а к a n a r a J., Axioms for the wieghted means, «The Tohoku Math.
Journ.», vol. XLI, 1936.
167. N a r u m i S., Note on the loa of the arithmetic mean, «Tohoku Math.
Journ.», vol. XXX. 1929.
168. Nicomaco di Gerasa, Introductio arithmetic^ Leipzig, 1866e
Papiri Alexandrini collectionis quae supersimt a cura di H u 1 t s с h Berlin, 1876.
169. Pearson K., On the modal value of an organ or character, «Biomet-
rika», vol. I, 1902.
170. Pearson K., On the probable Errors of Frequency Constants, «Biome-
trika», vol. II, 1903.
171. Pietra G., Intorno alle medie combinatorie, «Atti della XXVII Riu-
nione Societa It. Progresso Scienze», Bologna, 1938.
172. Pietra G., Note in margine, «Supplemento Statistico», anno IV,
n. 1, Ferrara, 1938.
173. P i z z e t t i E., Osservazioni sulle medie esponenziali e baso-esponenziali,
«Metron», vol. XIII, n. 4, 1939.
174. P i z z e t t i E., Medie ascendenti e medie discendenti, «Atti della prima
riunione della Soc. Ital. di Statistica», «Metron», vol. XIV, n. 1, 1940.
175. P i z z e t t i E., Consider azioni in margine al concetto di media,
«Statistica», Anno X, n. 4, ottobre-dicembre, 1950.
176. P i z z e t t i E., Dalle proporzioni continue alle progressioni, «Metron»,
vol. XVI, n. 3/4, 1952.
177. P i z z e t t i E., Verifiche sperimentali sulVinterpolazione (communica-
zione presentata alia IX Riunione scientifica della Soc. Ital. di Statistica e pubbli-
cata negli atti di detta Societa, Roma, 1952).
178. P i z z e t t i E., Indagini sperimentali sulV inter polazione (communica-
zione presentata alia XXVIII Sessione dell'Istituto Intern, di Statistica, Roma,
1954.
179. P о m p i 1 j G., Sulle medie di una distribuzione nor male, «Statistica»,
Anno VII, n. 1—2, genn.-giugno 1947.
180. P о m p i 1 j G., Sulle medie combinatorie potenziate dei campioni, «Rend.
Seminario Matem.», Padova, 1949.
181. P r a t e 1 1 i A., Sulle medie trigonometriche, «Atti della Prima Riunione
Scientifica della Soc. Ital. di Statistica», Pisa, 1939.
182. Q u e t e 1 e t A., Physique Sociale, vol. JI, Paris, Bruxelles, 1869.
438

183. Quetelet A., Anthropometric ou mesure des differentes jacultes de
Vhomme, Bruxelles, 1879.
184. R i с с i U., Confronti tra medie, — «Giornale degli economisti e Rivista
di Statistical, Serie III, anno XXXVI, vol. XI, 2a Sess., 1915.
185. R i e t z -B a u r, Handbuch der mathematischen Statistik, Leipzig,
Berlin, B. G. Teubner, 1930.
186. R о m a n о w s к i V., On the moments of means of functions of one and
more random variables, «Metron», vol. VIII, n. 1—2, 1929.
187. S a 1 v e m i n i Т., Sulla correzione dei momenti empirici di una distri-
buzione statistica, «G. degli Attuari», 1939.
188. S a 1 v e m i n i Т., La correzione dei momenti di una distribuzione in due
variabili e influenza del raggruppamento in classi sugli indici di concordanza, «Atti
della XII, Riunione scientifica della Soc. It. di Statistical 1951.
189. S a v u r S. R., The use of the median in tests of significance, «Proceedings
of the Indian Academy of Sciences», vol. V, n. 6, 1937.
190. Schiaparelli G. V., Sul modo di ricavare la vera espessione delle
leggi della natura dalle curve empiriche, in appendice alle«Effemeridi astronomiche
di Milano per Гаппо 1867».
191. Schiaparelli G., Come si possa giustificare Vuso della media arit-
metica nelcalcolo dei risultati d'osservazione, «Rend. R. 1st. Lombardo di Sc. e Lett.»,
vol. XL, 1907.
192. Schimmack R., Der Satz vom arithmetischen Mittel in axiomatischer
Begrilndung. «Math. Annalen», vol. 68, 1910.
193. Schloemilch, Ueber Mittelgrossen verschiedener Ordnung. «Zeitsch.
f. Math. u. Phys.», 18i8.
194. Schreibner, Ueber Mittelwerte, «Berichte der kon sachs. Gesell-
schaft der Wissenschaften-Math. Phys. Classe», Sitztmg am 12 Dez. 1873.
195. Schwerdt H., Die Anwendung der Normographie in der Mathematik,
Berlin, Verlag von T. Springer, 931.
196. Schoenbaum E., Aktuarske Vedy, Rocnik V., 1935.
197. S e e 1 i g e r «Ast. Nach», 132, 1893.
198. S e i d e 1, «Munchen Abh.», 9, 1863.
199. S i b i г a n i F., Intorno alle funzioni convesse, «Atti del R. 1st. Lomb.
di Scienze e Lettere», serie 2a, vol. LX, 1907.
200. S h e p p a r d W. F., On the application of the Theory of Errors to Cases of
N or mal Distribution and Normal Correlation, «PhiL Trans. A.», vol. 192, 101, 1898.
201. S о n n i n о G., Sulle proporzioni aritmctiche e geometriche di ordine supe-
riore e i loro valori medi, «Atti della VII Riunione scientifica della Soc. Hal. di Sta-
tistica», Roma, 1951.
202. Steffensen J. F., On certain inequalities between mean values and
their application to actuarial problems, «Skandinavisk Aktuarietidiskrift», 1, 1918.
203. Steffensen J. F., On certain inequalities and methods of
approximation, «Journ. of the Inst, of Actuaries», vol. XLI, 1919.
204. Sterberg W., Einige Satze uber Mittelwerte, «Leipziger Ges. d.
Wiss. Berichte» 71, 1919.
205. S u t о О., Low of the arithmetical mean. «Tohoku Math. Juorn.», vol. 6,
1914.
206. Sviatlovski E. E. (with the collaboration of W. Crosby Eells),
The centrographical method and regional analysis, «Geographical Review»,
207. Tagliacarne G., Delle stime e del tipo di media da preferirsi, «Anna-
li delPUniversita di Macerata», vol. XVII, Anno 1948.
208. Tannery P., Varithmetique des Grecs dans Pappus, «Memoires de la
Societe de Bordeaux», 2 Serie, T. Ill, 1880.
209. T e a t i n i U., Contributo alle teorie delle medie di serie cicliche, «Statis-
tica», Anni V e. VI, volume unico, 1945—1946.
210. T e n d e ri n i D., Calcoli grafici, «Rivista italiani di statistica», gen-
naio, 1930.
211. Teodoriu L., Sur la definition axiomatique de la moyenne, «Mathe-
matica», vol. V, 1931.
439

212. T h е о п d e Smyrne, Exposition des connaissances mathematiques
pour la lecture de Platon a cura di J. D up u is , Hachette, Paris, 1892.
213. T о n e 1 1 i L., Sulla iterazione, «Giornale di matematica», vol. XLVIII,
1910.
214. U s a i G., Proprieta combinatoria in eerie medie, «Esercitazioni mate-
matiche», pubblicazione del Circolo matematico di Catania, serie Seconda, vol.
XII, fasc, 9—10, 1939.
215. U s a i G., Alcuhe considerazioni sulle medie, «Bollettino delle sedute
della Accademia Gioenia di Scienze Naturali in Catania», Serie III, fasc. XIV, 1940,
215a. V а с с a G., Sul concetto di probability presso i Greci, «Giornale dell1
Istituto Italiano degli Attuari», luglio 1936.
216. Whittaker and Robinson, The calculus of observations,
London, 1926.
217. WisniewskiJ., Remarks on the definition of an average, «Statistica»,
Nr. VI, Warszawa, 1938.
218. Y u 1 e G. U., An introduction to the theory of Statistics, С Griffin,
London, 1929.
219. Zappa G., Osservazioni sopra le medie combinatorie, «Metron», vol.
XIV, n. 1, 1940, «Atti della Ia Riunione scientifica della Societa Italiana di
Statistica», 1939.
220. Z i z e к I., Die statistischen Mittelwerae. Leipzig. Duncker & Humblot,
1908.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 5
Введение. Развитие понятия средней величины 13
§ 1. Непрерывные пропорции и их отношение к средним 13
§ 2. Определение центрального члена непрерывных пропорций, . . 22
§ 3. Степенные пропорции 37
§ 4. Обратные и дополняющие величины 39
§ 5. От непрерывных пропорций к прогрессиям 41
§ 6. Прогрессии высших порядков 52
§ 7. Применение центрального члена прогрессии при выравнивании 58
§ 8. Формальное обобщение средних 61
§ 9. Общие определения средних 63
§ 10. Некоторые расширения и обобщения понятия средней ... 67
ГЛАВА I. Средние количественных признаков . 69
§ 1. Общие положения 69
§ 2. Аналитические средние 72
А. Простые аналитические средние 72
а. Средняя арифметическая 72
б. Средняя геометрическая 73
в. Средняя гармоническая 76
г. Средняя квадратическая 77
д. Средняя кубическая 79
е. Средняя биквадратическая 79
ж. Средняя степенная 80
з. Средняя антигармоническая 81
и. Средняя степенных сумм 82
к. Средняя комбинаторная 82
л. Средняя экспоненциальная 82
м. Средняя базо-экспоненциальная 83
н. Средняя радикальная 84
о. Средняя базо-радикальная 84
п. Полусумма крайних членов 84
р. Средние арифметические £-го порядка 85
441

Стр.
с. Средние восходящие и средние нисходящие .... 86
т. Средние тригонометрические 91
Б. Средние аналитические взвешенные 93
а. Средняя арифметическая 93
б. Средняя геометрическая 95
в. Средняя гармоническая 96
г. Средняя квадратическая 97
д. Средняя кубическая 97
е. Средняя биквадратическая 98
ж. Средняя степенная 99
з. Средняя антигармоническая 99
и. Средняя степенных сумм 100
к. Средняя экспоненциальная 100
л. Средняя базо-экспоненциальная 100
м. Средняя радикальная 100
н. Средняя базо-радикальная 100
о. Средние тригонометрические 101
§ 3. Средние положения, или иеаналитические 101
А. Простые неаналитические средние 101
а. Медиана 101
б. Квартили 103
в. Децили 105
г. Центили . . . 105
д. Квантили 106
е. Разделительное значение 107
ж. Тантили . . . 108
Б. Средние неаналитические взвешенные 109
а. Мода, норма, или преобладающее значение .... 109
б. Антимода 113
в. Высшее значение 113
г. Низшее значение 114
д. Центральный член 114
е. Медиана • И4
ж. Квантили 117
з. Разделительное значение 118
и. Тантили 119
§ 4. Обобщение понятия аналитических средних 119
A. Обобщение понятия веса 119
Б. Формулы средних собирательных 121
B. Численные соответствия 127
Условия, при которых численное соответствие является
средней:
а. Средняя арифметическая 127
б. Средняя геометрическая 128
в. Средняя гармоническая 128
442

Стр.
г. Средняя степенная 129
д. Средняя степенных сумм 130
е. Средняя экспоненциальная 131
ж. Средняя равнокомбинаторная степенная 131
з. Средняя комбинаторная равностепенная 131
и. Средняя комбинаторная степенная двухплоскостная . 133
Г. Средние предельные 136
Д. Переход к непрерывности 136
а. Средние аналитические 136
б. Средние неаналитические 140
Е. Средние средних 143
а. Однотипные средние взаимоисключающих частичных
однотипных средних 143
б. Разнотипные средние взаимоисключающих частичных
однотипных средних 144
в. Разнотипные средние взаимоисключающих частичных
разнотипных средних 144
г. Средние однотипные однотипных средних частичных
комбинаторных групп 144
д. Средние разнотипные однотипных средних частичных
комбинаторных групп 145
е. Разнотипные средние средних разнотипных частичных
комбинаторных групп 145
ж. Средние средних полных групп 145
§ 5. Свойства средних 146
А. Свойства, общие для групп средних 147
а. Непрерывность 147
б. Свойства возрастания или убывания, или
невозрастания или неубывания (монотонность) 148
в. Свойство симметрии 150
г. Свойство ассоциативности 150
д. Комбинаторное свойство 152
е. Свойство обратимости 153
ж. Однородность 153
з. Свойство переносимости 154
и. Свойство потенциальности 154
к. Свойство функциональности 155
Б. Специфические особенности отдельных средних .... 155
а. Средняя арифметическая 155
б. Средняя геометрическая 159
в. Средняя гармоническая 161
г. Полусумма крайних членов 162
д. Медиана 162
Приближенная формула определения медианы . . . 166
е. Мода 170
ж. Разделительное значение 170
з. Центральный член 171
443

Стр.
В. Специфические свойства собирательных средних .... 172
а. Средние степенные 172
б. Средняя степенных сумм 183
в. Средняя экспоненциальная 188
г. Средние арифметические порядка k 190
д. Средние восходящие и нисходящие 191
е. Средние равнокомбинаторные степенные 200
ж. Средние комбинаторные равностепенные 200
з. Средние двуплоскостные степенные 202
и. Средние двуплоскостные равнокомбинаторные
степенные 206
к. Средние одноплоскостные комбинаторные степенные 206
л. Средние двуплоскостные комбинаторные степенные 211
м. Квантили 216
Однозначное определение квантилей 219
н. Средние квазиарифметические 219
Г. Свойства средних непрерывных переменных 220
§ 6. Пределы средних 222
§ 7. Соотношения между собирательными средними 235
A. Соотношения между собирательными средними нулевого
порядка 235
а. Соотношения, имеющие силу для любых
последовательностей 235
б. Соотношения действительные для особых
распределений 245
Б. Соотношения между собирательными средними первого
и нулевого порядка . * 247
B. Соотношения между собирательными средними первого
порядка 250
а. Соотношения между средними степенными и средними
степенных сумм 250
б. Соотношение между средними степенными и средними
комбинаторными 251
в. Соотношение между средней экспоненциальной и
средними степенными 254
8. Соотношения между средними двух совокупностей .... 254
A. Преобразованные совокупности и соотношения между их
средними 254
Б. Коррелированные ряды и соотношения между их средними 259
B. Ряды, антиряды и соотношения между их средними . . . 268
9. Графическое изображение средних 269
А. Графическое изображение средних при помощи кривой
частоты 269
а. Медиана 269
б. Мода . . . 270
Б. Графическое изображение средних при помощи кривой
градуации 270

Стр.
а. Средняя арифметическая 270
б. Средняя степенная 271
в. Средняя экспоненциальная 272
г. Медиана 273
д. Квантили 273
е. Разделительное значение 273
ж. Тантили 274
з. Мода 274
§ 10. Графическое определение средних 275
а. Средняя арифметическая простая 275
б. Средняя арифметическая последовательности
взвешенных чисел, промежутки между которыми являются
различными величинами 276
в. Средняя арифметическая последовательности
взвешенных чисел, промежутки между которыми равны
одной'и той же постоянной величине 278
г. Средняя геометрическая 280
д. Средняя гармоническая последовательности
невзвешенных чисел 280
е. Средняя гармоническая последовательности
взвешенных чисел 281
ж. Средняя антигармоническая ряда невзвешенных чисел 283
з. Средняя антигармоническая ряда взвешенных чисел . 283
и. Медиана 283
к. Квантили 285
§11. Упрощенные способы исчисления средних 285
A. Средняя арифметическая 285
а. Любое распределение 285
б. Симметричное распределение 287
в. Распределение чисел в порядке арифметической
прогрессии 288
г. Распределения, разбитые на классы 290
Б. Средняя геометрическая 291
B. Средние степенные 292
Глава II. Распространения понятия средней величины на
качественные варианты 293
§ 1. Статистические ряды 293
§ 2. Прямолинейные ряды 295
§ 3. Циклические ряды 299
А. Средняя арифметическая 301
а. Расширение понятия средней на основе свойства
2(*j — Л) = 0 301
б. Расширение понятия средней на основе свойства
2(xt — Л)2 = min 311
в. Расширение понятия средней арифметической на
основе ее механического значения 318
Б. Мода 322
445

Стр.
В. Медиана 323
Г. Средние циклических рядов как средние прямолинейных
рядов 337
Д. Переход к непрерывности 339
а. f(x), взятая произвольно 340
1. Средняя арифметическая 340
2. Медиана 346
б. f(x) ступенчатая 346
1. Средняя арифметическая 347
2. Медиана 350
§ 4. Несвязанные ряды 353
A. Средняя арифметическая 354
Б. Мода 357
B. Медиана 357
Глава III. Ряды, зависящие от нескольких количественных или
качественных признаков 358
A. Порядки с двумя переменными 358
а. Средняя арифметическая 359
б. Медиана . 360
в. Мода 360
Б. Ряды с одной количественной переменной и одной
прямолинейной качественной переменной или с двумя
прямолинейными качественными переменными 364
B. Ряды, зависящие от одной количественной переменной
(или от одной качественной прямолинейной переменной)
и от одной циклической качественной переменной . . . 365
а. Средняя арифметическая 366
б. Медиана 366
в. Мода 366
Г. Ряды, зависящие от двух циклических признаков . . . 370
а. Средняя арифметическая 372
б. Медиана . . .' 372
в. Мода 372
Д. Ряды, зависящие от двух несвязанных переменных . . . 375
а. Средняя арифметическая 375
б. Медиана 379
в. Соотношение между средней арифметической,
медианой и модой 380
Е. Ряды, зависящие от трех количественных признаков . 385
Глава IV. О применении средних величин в области статистики 387
§ 1. Средние действительные и средние фиктивные 387
А. Распределения количественных вариант 388
а. Распределения вариант непрерывного признака . . . 388
б. Распределения вариант дискретного признака . . . 389
Б. Распределения качественных вариант 389
416

Стр.
а. Прямолинейные ряды , . 389
б. Циклические ряды 392
в. Несвязанные ряды 392
§ 2. Средние объективные и средние субъективные 392
§ 3. Средние данных, которые не могут быть непосредственно
использованы 393
A. Полные, но недостаточно подробные данные 394
Б, Данные недостаточно подробные и к тому же
несопоставимые 399
B. Данные, содержащие пробелы или систематические
ошибки 401
Г. Данные, содержащие случайные ошибки 402
а. Ошибки частот 402
б. Ошибки измерения 411
§ 4. Правильное и неправильное использование средних .... 416
А. Общие соображения 416
Б. Важные проблемы, при решении которых средними
следует пользоваться с осторожностью 425
1. Интервал перехода собственности на имущество . . 426
2. Индексы цен и прочие стандартизованные индексы . 426
3. «Средний человек» 428
4. Нормальные пропорции человеческого тела .... 429
5. Обращение статистических соотношений 430
Библиография 432

КОРРАДО ДЖИНИ
Средние величины
Редактор К. М. Чижевская
Технический редактор Р. Я. Феоктистова
Корректор Л. Ф. Финогенова
Сдано в набор 20/V 1969 г.
Подписано к печати 2/ХП 1969 г.
Формат бумаги 60X90/16. Бумага № 2
Объем 28 печ. л. Уч.-изд. л. 26,39
Тираж 5300экз. (Тематический план 1969 г. №54)
Издательство «Статистика», Москва, ул. Кирова,39
Заказ № 401. Цена 2 р. 53 к.
Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46