Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ и Ю. П. РАИЗЕР
ФИЗИКА УДАРНЫХ ВОЛН
И ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ЯВЛЕНИЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

530.1
3 SO
УДК 541-12
АННОТАЦИЯ
В книге систематически рассматривается обширный
круг вопросов из различных областей физики, физической
химии, астрофизики, с которыми имеет дело современная
газо- и гидродинамика. В ней излагаются основы газовой
динамики и теория ударных волн, теория переноса излу-
излучения. Изучаются термодинамические и оптические свойства
вещества при высоких температурах и давлениях, кине-
кинетика диссоциации, ионизации и других неравновесных
процессов, явления, связанные с излучением света и
лучистым теплообменом в ударных волнах и при взрывах,
вопросы распространения ударных волн в твердых телах
и т. д. Авторам монографии принадлежит большое число
оригинальных работ в рассматриваемой области науки,
которые нашли свое отражение в книге.
Книга послужит ценным практическим пособием для
широких кругов физиков, механиков и инженеров, зани-
занимающихся прикладной физикой и новой техникой. Она
будет полезна студентам и аспирантам соответствующих
специальностей, а также всем физикам и механикам, же-
желающим познакомиться с современным состоянием науки
об ударных волнах.
2-3-2
129-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию	 9
Предисловие к первому изданию	 11
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОДИНАМИКИ И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
УДАРНЫХ ВОЛН
1.	Непрерывное течение невязкого и нетеплопроводного газа	 13
'¦• § 1. Уравнения газовой динамики A3). § 2. Лагранжевы координаты
A6). § 3. Звуковые волны A8). ^4. Сферические звуковые волны B3).
§ 5. Характеристики B4). § 6. Плоское изэнтропическое течение. Инва-
Инварианты Римана B7). § 7. Плоское изэнтропическое течение газа в ограни-
ограниченном пространстве C1). § 8. Простые волны C3). § 9. Искажение
профилей в бегущей волне конечной амплитуды. Некоторые свойства про-
простых волн C5). § 10. Волна разрежения C7). § И. Центрированная
волна разрежения как пример автомодельного движения газа D1). § 12.
О невозможности существования центрированной волны сжатия D5).
2.	Ударные волны 	 46
§ 13. Введение в газодинамику понятия об ударной волне D6). § 14. Удар-
Ударная адиабата E0). § 15. Ударные волны в идеальном газе с постоянной
теплоемкостью E1). § 16. Геометрическая интерпретация закономерностей
ударного сжатия E4). § 17. Невозможность существования ударной волны
разрежения в веществе с нормальными свойствами E8). § 18. Ударные
волны слабой интенсивности F1). § 19. Ударные волны в веществе с ано-
аномальными термодинамическими свойствами F4).
3.	Вязкость и теплопроводность в газодинамике	 66
§ 20. Уравнения одномерного движения газа F6). § 21. Замечания о второй
вязкости F9)..§ 22. Замечания о поглощении звука G0). § 23. Структура
и ширина фронта ударнор волны слабой интенсивности G0).
• V |
4.	Некоторые зад\чи; ...<..-.	х. . . . _.__.	 77
§ 24. Распространение произвольного разрыва G7). § 25.'Сильный взрыв
в однородной атмосфере (84). § 26. Приближенное рассмотрение сильного
взрыва (87). §_27-. Замечания о точечном взрыве с учетом противодавле-
противодавления (89). § 28, Адиабатический разлет в пустоту газового шара (91).
§ 29. Автомодельные фершмы разлета шара в пустоту (93).
Г Л А В А II
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН
* -.	В СРЕДЕ
§ 1. Введение и основные понятия (96). § 2. Механизмы испускания,
поглощения и рассеяния света в газах (99). § 3. Равновесное излучение
и абсолютно черное тело A03). § 4. Вынужденное испускание A05).
§ 4а. Вынужденное излучение в классической и квантовой теориях и ла-
лазерный эффект A08). § 5. Уравнение переноса излучения (ИЗ). § 6. Интег-
Интегральное выражение для интенсивности излучения A15). § 7. Излучение
плоского слоя A17). § 8. Эффективная или яркостная температура по-
поверхности неравномерно нагретого тела A21). § 9. Движение вещества с
учетом лучистого теплообмена A24). § 10. Диффузионное приближение A27).
§ 11. Приближение «вперед — назад» A31). § 12. Локальное равновесие
и приближение лучистой теплопроводности A32). § 13. Взаимоотношение

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
диффузионного приближения и приближения лучистой теплопроводно-
теплопроводности A34). § 14. Лучистое равновесие в звездных фотосферах A37).
§ 15. Решение задачи о плоской фотосфере A40). § 16. Потери энергии на-
нагретого тела на излучение A43). § 17. Уравнения гидродинамики с учетом
энергии и давления излучения и лучистого теплообмена A46). § 18. Число
квантов как инвариант классического электромагнитного поля A49).
чг л а в a in
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ ПРИ ВЫСОКИХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
1.	Газ из невзаимодействующих частиц	 152
§ 1. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью и неизменным числом частиц
A52). § 2. Расчеты термодинамических функций методом статистических
сумм A55). § 3. Диссоциация двухатомных молекул A58). § 4. Химические
реакции A63). § 5. Ионизация и электронное возбуждение A66). § 6. Элек-
Электронная статистическая сумма и роль энергии возбуждения атомов A71).
§ 7. Приближенный метод расчета в области многократной ионизации
A74). § 8. Интерполяционные формулы и эффективный показатель адиабаты
A79). § 9. Ударная адиабата в условиях диссоциации и ионизации A81).
§ 10. Ударная адиабата с учетом равновесного излучения A84).
2.	Газ из частиц с кулоновским взаимодействием	 186
§ 11. Разреженный ионизованный газ A86). § 12. Плотный газ. Элементы
квантовой статистики Ферми — Дирака для электронного газа A89).
§ 13. Модель атома по Томасу — Ферми и сильное сжатие холодного веще-
вещества A92). § 14. Вычисление термодинамических функций высоконагрето-
высоконагретого плотного газа методом Томаса — Ферми A98).
г л а в а IV
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
§ 1. Использование ударной трубы для изучения физико-химической кине-
кинетики B01Х- § 2. Принцип действия B02). § 3. Элементарная теория ударной
трубы B03). § 4. Электромагнитные ударные трубки B06). § 5. Методы
измерений различных величин B09).
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 1. Введение. Типы электронных переходов B12).
1.	Непрерывный спектр 	 , 214
§ 2. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле иона B14). § 2а.
Тормозное излучение электрона при рассеянии нейтральным атомом B19).
§ 3. Свободно-свободные переходы в нагретом ионизованном газе B22).
§ 4. Эффективное сечение захвата электрона ионом с испусканием кванта
B25). § 5. Эффективное сечение связанно-свободного поглощения света
атомами и ионами B27). § 6. Коэффициент непрерывного поглощения
в газе из водородоподобных атомов B31). § 7. Непрерывное поглощение
света в одноатомном газе в области первой ионизации B34). § 8. Средние
пробеги излучения при многократной ионизации атомов газа B38). § 8а.
Поглощение света в слабоионизованном газе B42).
2.	Линейчатый спектр атомов		.... 244
§ 9. Классическая теория спектральных линий B44). § 10. Квантовая
теория спектральных линий. Силы осцилляторов B18). § 11. Спектр погло-
поглощения водородоподобных атомов. Замечания о влиянии линий на рос-
селандов пробег B52). § 12. Силы осцилляторов для континуума. Теорема
сумм B56). § 13. Излучение спектральных линий B58).
3.	Полосатый спектр молекул	 260
§ 14. Энергетические уровни двухатомных молекул B60). § 15. Структура
молекулярных спектров B54). § 16. Принцип Франка — Кондона B68).

ОГЛАВЛЕНИЕ	О
§ 17. Вероятности молекулярных переходов с испусканием света B70).
§ 18. Коэффициент поглощения света в линиях B75). § 19. Молекулярное
поглощение при высоких температурах B76). § 20. Уточненный расчет коэф-
коэффициента молекулярного поглощения при высоких температурах B79).
4.	Воздух .	 281
§ 21. Оптические свойства нагретого воздуха B81).
5.	Пробой и нагревание газа под действием сфокусированного лазерного луча 289
§ 22. Пробой B89). § 23. Поглощение лазерного луча и нагревание газа
после первичного пробоя B93).
ГЛАВА VI
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
1.	Молекулярные газы	 .	 . 298
§ 1. Установление термодинамического равновесия B98). § 2. Возбуждение
вращений молекул C00). § 3. Уравнение кинетики для релаксации коле-
колебательной энергии молекул C02). § 4. Вероятность возбуждения колеба-
колебаний и время релаксации C04). § 5. Уравнение кинетики диссоциации двух-
двухатомных молекул и время релаксации C09). § 6. Скорости рекомбинации
атомов и диссоциации двухатомных молекул C10). § 7. Химические реакции
и метод активированного комплекса C14). § 8. Реакция окисления
азота C19). §9. Скорость образования двуокиси азота при высоких темпе-
температурах C22).
2.	Ионизация и рекомбинация. Электронное возбуждение и дезактивация . . 325
§ 10. Основные механизмы C25). § 11. Ионизация нёвозбужденных атомов
электронным ударом C29). § 12. Возбуждение атомов из основного состоя-
состояния электронным ударом. Дезактивация C32). § 13. Ионизация возбуж-
возбужденных атомов электронным ударом C33). § 14. Ударные переходы между
возбужденными состояниями атомов C37). § 15. Ионизация и возбуждение '
ударами тяжелых частиц C39). § 16. Фотоионизация и фоторекомбинация
C41). § 17. Электрон-ионная рекомбинация при тройных столкновениях
(элементарная теория) C45). § 18. Более строгая теория рекомбинации при
тройных столкновениях C47). § 19. Ионизация и рекомбинация в воздухе
C51).
3.	Плазма 	 .	 353
§ 20. Релаксация в плазме C53).
ГЛАВА VII ~\
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
§ 1. Введение C59).
1. Скачок уплотнения	 362
§ 2. Вязкий скачок уплотнения C62). § 3. Роли вязкости и теплопровод-
теплопроводности в образовании скачка уплотнения C68). § 4. Диффузия в бинарной
смеси газов C71). § 5. Диффузия в ударной волне, распространяющейся
-- по бинарной смеси C74).
-?. Релаксационный слой	 ... .	_ 377
v § 6. Ударные волны в газе с замедленным возбуждением некоторых степеней
свободы C77). § 7. Возбуждение молекулярных колебаний C81). § 8. Диссо-
Диссоциация двухатомных молекул C85). ,§ 9> Ударные волны в воздухе C88).
§ 10. Ионизация в одноатомном газе C90). § 11. Ионизация в воздухе C96).
§ 12. Ударные волны в плазме C98). § 13. Поляризация плазмы и возник-
возникновение электрического поля в ударной волне D04).
3. Лучистый теплообмен во фронте ударной волны	 407
§ 14. Качественная картина D07). § 15. Приближенная формулировка
задачи о структуре фронта D10). § 16. Ударная волна докритической ампли-
амплитуды D14). § 17. Ударная волна сверхкритической амплитуды D17). § 18.
Ударная волна при больших плотности энергии и давлении излуче-
излучения D20).

ОГЛАВЛЕНИЕ
,' ГЛАВА VIII '-.
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
1.	Динамика неравновесного газа .	 423
§ 1. Уравнения газовой динамики при отсутствии термодинамического рав-
равновесия D23). § 2. Возрастание энтропии D26). § 3. Аномальные диспе'рсия
и поглощение ультразвука D28). § 4. Закон дисперсии и коэффициент
поглощения ультразвука D32).
2.	Химические реакции	 437
§ 5. Окисление азота при сильном взрыве в воздухе D37).
3.	Нарушение термодинамического равновесия при разлете газа в пустоту . . 442
§ 6. Разлет газового облака D42). § 7. Эффект «закалки» D44). § 8. Нару-
Нарушение ионизационного равновесия D46). §,9, Кинетика рекомбинации и
охлаждение газа после нарушения ионизационного равновесия D48).
4.	Конденсация паров при адиабатическом расширении	 454
§ 10. Насыщение паров и возникновение центров конденсации D54). § 11.
Термодинамика и кинетика процесса конденсации D56). § 12. Конденсация
в облаке испаренного вещества, разлетающегося в пустоту D58). § 13.
К вопросу о механизме образования космической пыли. Замечания о лабо-
лабораторном исследовании конденсации D62).
Г Л А В А IX
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
И ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ
1.	Яркость фронта ударных волн большой амплитуды в газах .	 464
§ 1. Качественная зависимость яркостной температуры от истинной темпе-
температуры за фронтом D64). § 2. Поглощение световых квантов в холодном
воздухе D68). § 3. Максимальная яркостная температура для воздуха D70).
§ 4. Предельная яркость очень сильной волны в воздухе D72).
2.	Оптические явления, наблюдаемые при сильном взрыве, и охлаждение воз-
воздуха излучением 	"	 474
§ 5. Общее описание световых явлений D74). § 6. Отрыв фронта ударней вол-
волны от границы огненного шара D79). § 7. Эффект минимума яркости огнен-
огненного шара D82). § 8. Охлаждение воздуха излучением D85). § 9. Возник-
Возникновение температурного уступа — волны охлаждения D87). § 10. Энерге-
Энергетический баланс и скорость распространения волны охлаждения D89).
§ 11. Стягивание волны охлаждения к центру D91). § 12. Искровой разряд
в воздухе D93).
3.	Струкхура фронта волны охлаждения	-	 495
§ 13. Постановка задачи D95). § 14. Поток излучения с поверхности фронта
волны D98). § 15. Распределение температуры во фронте сильной волны
E01). § 16. Учет адиабатического охлаждения E03).
главах4;
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Теплопроводность вещества E06). § 2. Нелинейная (лучистая) теплопро-
теплопроводность E07). § 3. Особенности распространения тепла при линейной и не-
нелинейной теплопроводностях E10). § 4. Закон распространения тепловой
волны от мгновенного плоского источника E15). § 5. Автомодельная тепло-
тепловая волна от мгновенного плоского источника E16). § 6. Распространение
тепла от мгновенного точечного источника E19). § 7. Некоторые автомодель-
автомодельные плоские задачи E23). § 8. Замечания о проникновении тепла в среду
при учете движения E26). § 9. Автомодельное решение как предельное
решение неавтомодельной задачи E28). § 10. О переносе тепла неравно-
неравновесным излучением E30).

ОГЛАВЛЕНИЕ
(ГЛ ABA XT[^
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ
§ 1. Введение E33).
1.	Термодинамические свойства твердых тел при высоких давлениях и темпе-
температурах 	 536
§ 2. Сжатие холодного вещества E36). § 3. Тепловое движение атомов E40).
§ 4. Уравнение состояния тела, атомы которого совершают малые коле-
колебания E42). § 5. Тепловое возбуждение электронов E46). § 6. Трехчленное
уравнение состояния E49).
2.	Ударная адиабата 	 549
§ 7. Ударная адиабата конденсированного вещества E49). § 8. Аналитические
представления ударной адиабаты E52). § 9. Ударные волны слабой интен-
интенсивности E54). § 10. Ударное сжатие пористого вещества E55). § 11. Выход
не очень сильной ударной волны на свободную поверхность тела E58).
§ 12. Экспериментальные методы отыскания ударной адиабаты твердых тел
E62). § 13. Извлечение кривой холодного сжатия из результатов опытов
по ударному сжатию E68).
3.	Акустические волны и расщепление волн	 570
§ 14. Статическая деформация твердого тела E70). § 15. Переход твердого
тела в текучее состояние E74). § 16. Скорость распространения акусти-
акустических волн E77). § 17. Расщепление волн сжатия и разгрузки E79). § 18.
Измерение скорости звука в веществе, сжатом ударной волной E81).
§ 19. Фазовые превращения и расщепление ударных волн E84). § 20. Удар-
Ударная волна разрежения в среде, испытывающей фазовый переход E89).
4.	Явления при выходе мощной ударной волны на свободную поверхность
тела	 592
§ 21. Предельные случаи твердого и газообразного состояний разгруженно-
разгруженного вещества E92). § 22. Критерий полного испарения вещества при разгруз-
разгрузке E95). § 23. Опытное определение температуры и энтропии в мощной
ударной волне при помощи исследования разгруженного вещества в газовой
фазе E99). § 24. Свечение паров металла при разгрузке F01). § 25. Заме-
Замечания о принципиальной возможности измерения энтропии в ударной
волне по свечению при разгрузке F05).
5.	Некоторые другие явления	 605
§ 26. Электропроводность неметаллических тел в ударных волнах F05).
§ 27. Измерение показателя преломления вещества, сжатого 'в ударной
волне F08).
ГЛАВА XII
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
1.	Введение	¦	 	 610
§ 1. Группы преобразований, допускаемые уравнениями газовой динамики
F10). § 2. Автомодельные движения F12). § 3. Условия автомодельности
движения F15). § 4. Два типа автомодельных решений F16).
2.	Схождение к центру сферической ударной волны и захлопывание пузырьков
в жидкости .			 618
§ 5. Постановка задачи о сходящейся ударной волне F18). § 6. Основные
уравнения F19). § 7. Исследование уравнений F21). § 8. Результаты реше-
решения F25). § 9. Захлопывание пузырьков. Задача Рэлея F28). § 10. Захло-
Захлопывание пузырьков. Учет сжимаемости и вязкости F30).
3.	Выход ударной волны на поверхность звезды . . .	 632
§ 11. Распространение ударной волны при степенном законе уменьшения
плотности F32). § 12. К вопросу о вспышках сверхновых звезд и проис-
происхождении космических лучей F36).

О	ОГЛАВЛЕНИЕ
4.	Движение газа под действием кратковременного удара . . 	 639
§ 13. Постановка задачи и общий характер движения F39). § 14. Автомо-
Автомодельное решение и закон сохранения энергии и импульса F41). § 15. Ре-
Решение уравнений F44). § 16. Ограничение показателя автомодельности за-
законами сохранения импульса и энергии F48). § 17. Выход неавтомодельно-
неавтомодельного движения на предельный режим и «бесконечность» энергии в автомо-
автомодельном решении F49). § 18. Сосредоточенный удар по поверхности газа
(взрыв на поверхности) F53). § 19. Результаты упрощенного рассмотрения
автомодельного движения при сосредоточенном и нитевом ударах F55).
§ 20. Удар при падении очень быстрого метеорита на поверхность планеты
F57). § 21. Сильный взрыв в неограниченной пористой среде F59).
5.	Распространение ударных волн в неоднородной атмосфере с экспоненциаль-
экспоненциальным распределением плотности	 661
§ 22. Сильный точечный взрыв F61). § 23. Автомодельное движение ударной
волны в сторону возрастания плотности F63). § 24. Приложение автомо-
автомодельного решения к взрыву F67). § 25. Автомодельное движение ударной
волны в сторону уменьшения плотности. Приложение к взрыву F68).
Приложение	 672
Литература			 675

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Общая структура книги и большая часть текста во втором издании
оставлены без изменений. Вместе с тем некоторые разделы подверглись
существенной переработке и добавлено значительное количество нового
материала. В гл. V включен раздел, посвященный процессам пробоя
(бурной ионизации) и нагревания газов под действием сфокусированного
лазерного луча. Это — одно из интереснейших явлений в сфере взаимо-
взаимодействия интенсивного светового потока с веществом. Оно было обнару-
обнаружено на опыте несколько лет назад, вскоре после создания лазеров,
дающих огромные импульсные мощности в десятки мегаватт и выше,
и сразу же привлекло к себе внимание многих физиков (в том числе и авто-
авторов книги, которые опубликовали работы по теории явления).
В связи с вопросами ионизации газа под действием лазерного излу-
излучения в гл. V добавлены параграфы, в которых рассматриваются излуче-
излучение и поглощение света свободными электронами при столкновениях
с нейтральными атомами. Живейший интерес, который сейчас проявляется
к лазерам, побудил нас написать специальный параграф (в гл. II),
посвященный полуклассической трактовке индуцированного испускания
и лазерного эффекта.
Большим изменениям подвергся раздел 3 гл. VI, в котором рассма-
рассматриваются вопросы ионизации, рекомбинации, электронного возбуждения.
Этот раздел по существу написан заново и сильно расширен с учетом
современных взглядов, согласно которым в этих процессах большую
роль играют ступенчатая ионизация атомов (сначала возбуждение, потом
ионизация) и захват электрона при тройных столкновениях на верхние
уровни атомов с последующей дезактивацией возбужденных атомов за счет
электронных ударов и радиационных переходов. Подробнее рассмотрена
ионизация воздуха. Изменилось и изложение близких вопросов иониза-
ионизации газа в ударной волне (в гл. VII).
Заново написаны параграфы гл. VIII, касающиеся кинетики изме-
изменения степени ионизации и «закалки» при разлете ионизованного газа
в пустоту. Этот вопрос был недавно пересмотрен с учетом вышеиз-
вышеизложенного.
В гл. XII на основе материала первого издания и новых результатов
выделен специальный раздел о распространении удар'ных волн в неод-
неоднородной атмосфере с экспоненциальным распределением плотности.
Добавлено Приложение, где собраны некоторые константы, соотношения
между атомными постоянными, соотношения между единицами и формулы,
часто встречающиеся при практической работе по тематике книги.
Библиография пополнена ссылками на работы последних лет.

10	ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Здесь упомянуты лишь основные, но далеко не все изменения и допол-
дополнения; разумеется, были также исправлены ошибки и опечатки, заме-
замеченные в первом издании.
Разделы физики и механики, затронутые в книге, развиваются исклю-
исключительно быстро, причем открываются все новые и новые объекты их
приложений (пример тому — явление пробоя и нагревания газов в фокусе
лазерного луча).
Одним из свидетельств интереса, который проявляется к этим обла-
областям науки, служит то, что сразу же после выхода книги (в первом изда-
издании) ее начало переводить на английский язык американское издатель-
издательство. Мы надеемся, что второе, переработанное и дополненное издание
окажется полезным как специалистам, работающим в областях науки
и техники, близких к профилю книги, так и тем, кто вступает в эти
области. Мы благодарны нашим коллегам, указавшим на неточности
и опечатки в первом издании книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Проблемы современной техники потребовали от науки проникнове-
проникновения в область «высоких параметров» состояния вещества: больших кон-
концентраций энергии, высоких температур и давлений, больших скоростей.
На практике такие условия осуществляются в сильных ударных волнах,
при взрывах, при очень быстрых сверхзвуковых движениях тел в атмо-
атмосфере, в мощных электрических разрядах и т. д.
При высоких температурах в газах протекают разнообразные физи-
физические и физико-химические процессы: возбуждение молекулярных коле-
колебаний, диссоциация, химические реакции, ионизация, излучение света.
Эти процессы влияют на термодинамические свойства газов, а при доста-
достаточно быстрых движениях и достаточно быстрых изменениях состояния
вещества на движение оказывает влияние и кинетика указанных про-
процессов. Особенно важную роль при очень высоких температурах играют
процессы, связанные с испусканием и поглощением излучения, и лучистый
теплообмен. Перечисленные выше процессы часто представляют интерес
и не только с точки зрения их энергетического влияния на движение
газа: они вызывают изменения состава газа, его электрических свойств,
приводят к свечению газа и возникновению многих оптических эффектов
и т. д. Изучению всех этих вопросов, всему тому, что составляет содержа-
содержание вновь возникшей ветви науки —«физической газодинамики», и посвя-
посвящена значительная часть книги.
Большой научный и практический интерес представляет изучение
сильных ударных волн в твердых телах. Недавние достижения, позволив-
позволившие при помощи ударных волн сжать твердые тела до миллионов атмосфер,
открыли новые пути исследования состояния твердого вещества при сверх-
сверхвысоких давлениях. Этим вопросам также уделено в книге большое
внимание.
В описываемой области тесно переплетаются многие разделы науки:
газовая динамика, теория ударных волн, термодинамика и статистиче-
статистическая физика, молекулярная физика, физическая и химическая кине-
кинетики, физическая химия, спектроскопия, теория излучения, элементы
астрофизики, физика твердого тела и др. Многие из рассматриваемых
здесь физических явлений и процессов имеют различный характер и никак
не связаны между собой. Следствием такой разнородности материала
явилось отсутствие цельности в содержании книги. Некоторые главы
имеют самостоятельный характер, относятся к совершенно различным
областям физики или механики, и не все главы связаны между собой.
Поэтому читателю, интересующемуся тем или иным вопросом, доста-
достаточно познакомиться только с соответствующими главами.
При рассмотрении самых различных вопросов, даже математиче-
математического характера, мы стремились прежде всего разъяснить физическую
сущность явлений при помощи простейших математических средств,

12	ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
широко : пользуясь оценками и полукачественным анализом. Вместе
с тем мы стремились помочь тем физикам, механикам и инженерам, кото-
которые работают в соответствующих областях прикладной физики и техники,
и дать им практические средства для самостоятельного анализа сложных
и многообразных физических явлений.
С этой целью рассмотрение большинства явлений доведено до числен-
численных результатов, формулы для расчета и оценок различных величин запи-
записаны в удобной для практической работы форме, приводится много полез-
полезных экспериментальных данных и сведений справочного характера и т. д.
Книга имеет теоретический характер, и описание экспериментальных
установок и методов сведено к минимуму. Однако изложению результатов
эксперимента и сопоставлению их с результатами теоретических расчетов
и оценок уделяется должное внимание.
Периодическая литература по «физической газодинамике» огромна.
Однако, насколько нам известно, ни в нашей, ни в зарубежной лите-
литературе еще не делалось попыток систематизировать, обобщить и изложить
с единой точки зрения в одной книге материал, относящийся к этой новой
области науки. По-видимому, книга представляет собой первый опыт
в этом направлении.
Книга была написана в течение 1960—1961 гг., чем определяется
основной уровень использованной литературы. Однако в разделы, касаю-
касающиеся вопросов, представления по которым совершенствуются особенно
быстрыми темпами, позднее были внесены краткие дополнения и ссыл-
ссылки на новейшую литературу. Это относится в основном к главам V,
VI, VII.
Многообразие явлений и обширность материала заставили нас огра-
ограничиться рассмотрением далеко не всех вопросов, которые имеют отноше-
отношение к изучаемой области. Мы не рассматриваем математической стороны
гидродинамики, такой проблемы, как обтекание тел сверхзвуковым пото-
потоком, почти не затрагиваем электромагнитных явлений, совершенно не
касаемся вопросов термоядерного синтеза, поведения плазмы в магнитном
поле, всего, что относится к магнитной гидро- и газодинамике, вопросов го-
горения и детонации и т. п. По всем этим разделам уже имеется немало книг.
Выбор материала книги в известной степени субъективен. Значитель-
Значительное место уделяется рассмотрению явлений, которые авторы исследовали
в своих собственных работах. Так, на оригинальных работах почти пол-
полностью основаны гл. VIII и IX, в большой степени — VII, X, XII, частич-
частично — гл. XI. Гл. I представляет собой результат коренной переработки
ранней книги одного из авторов «Теория ударных волн и введение
в газодинамику», которая была издана в 1946 г. в Издательстве АН СССР.
Нам хотелось бы выразить особую признательность А. С. Компанейцу,
которому принадлежит разработка ряда вопросов, затрагиваемых в книге,
за многие полезные обсуждения и замечания, сделанные при чтении
рукописи. Мы благодарны Л. В. Альтшулеру и С. Б. Кормеру, на работах
которых в значительной степени основана гл. XI книги, за замечания,
сделанные при чтении рукописи этой главы. Мы благодарны также
М. А. Ельяшевичу, который внимательно прочел рукопись и сделал
ценные замечания.

Г Л А В А I
ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОДИНАМИКИ И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
УДАРНЫХ ВОЛН
1. НЕПРЕРЫВНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕВЯЗКОГО
И НЕТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА
§ 1. Уравнения газовой динамики
Для значительного сжатия жидкостей (и твердых тел) нужны давле-
давления в сотни тысяч атмосфер и выше. Поэтому в обычных условиях жидкость
можно рассматривать как несжимаемую среду. Скорости течения жидкости
при малых изменениях плотности гораздо меньше скорости звука, кото-
которая является масштабом скорости, характеризующим сплошную среду.
При небольших изменениях плотности и движениях, медленных по срав-
сравнению со скоростью звука, газ также можно считать несжимаемым и опи-
описывать его движение при помощи гидродинамики несжимаемой жидкости.
Однако заметные изменения плотности и скорости течения, сравни-
сравнимые со скоростью звука, в газах, в отличие от жидкостей, достигаются
сравнительно легко: при перепадах давления порядка величины самого
давления, т. е. при Ар ~ 1 атм, если начальное давление газа атмос-
атмосферное. В таких условиях необходимо учитывать сжимаемость вещества.
Уравнения газовой динамики тем и отличаются от уравнений гидродина-
гидродинамики несжимаемой жидкости, что в них учтена возможность больших
изменений плотности веществ.
Состояние движущегося газа с известными термодинамическими свой-
свойствами определяется заданием скорости, плотности и давления, как функ-
функций координат и времени. Для нахождения этих функций служит система
уравнений газодинамики, которая представляет собой выраженные в диф-
дифференциальной форме общие законы сохранения массы, импульса и энергии
вещества.
Выпишем эти уравнения без вывода, который можно найти, напри-
например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]. Будем пренебрегать дей-
действием массовых сил (силы тяжести), а также вязкостью и теплопроводно-
теплопроводностью вещества *). Обозначим через dldt частную производную по времени,
относящуюся к данной точке пространства, локальную производную,
а через dldt — субстанциональную производную, характеризующую изме-
изменение во времени какой-либо величины, связанной с данной движущейся
частицей вещества. Если и — вектор скорости частицы с компонентами
*) Уравнения газодинамики с учетом вязкости и теплопроводности будут рас-
рассмотрены ниже, в § 20.

14	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
их, иу, uz или uh где i = 1, 2, 3, то	¦>
Первое уравнение •— уравнение непрерывности — свидетельствуе\г
о сохранении массы вещества, т. е. о том, что изменение плотности Q.
в данном элементе объема происходит за счет втекания (или вытекания)
вещества в этот элемент:
-g + divQt*=O.	A.2)
С помощью определения A.1) уравнение непрерывности можно запи-
записать в форме
^	0.	A.3)
В частном случае несжимаемой жидкости, когда q = const, уравнение
непрерывности упрощается:
divw = 0.	A.4)
Второе уравнение выражает закон Ньютона и не отличается от урав-
уравнения движения несжимаемой жидкости (/)•—давление):
el=-vp	. A.5)
или, в форме уравнения Эйлера,
ди . , ,
A.6)
Как легко проверить путем непосредственного вычисления, уравне-
уравнение движения вместе с уравнением непрерывности эквивалентно закону
сохранения импульса, записанному в форме, аналогичной уравнению A.2),
где IIik — тензор плотности потока импульса
.	A.8)
Уравнение A.7) выражает тот факт, что изменение 1-й компоненты
импульса в данной точке пространства связано с вытеканием (втеканием)
импульса вместе с веществом (первое слагаемое в A.8)) и работой сил
давления (второе слагаемое) *).
Третье уравнение является существенно новым по сравнению с гид-
гидродинамикой несжимаемой жидкости и эквивалентно первому закону
термодинамики—¦ закону сохранения энергии. Его можно прочитать так:
изменение удельной внутренней энергии 8 данной частицы вещества
происходит за счет работы сжатия, которую производит над нею окру-
окружающая среда, а также вследствие выделения энергии от посторонних
источников:
*) В правой части формулы A.7) производится суммирование по дважды встре-
встречающемуся индексу к (&=1, 2, 3); 6^ = 1 при i = ft и 6;ft=0 при i Ф к.

§ 1J	УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ j	15
Здесь V = 1/q — удельный объем, a Q — энерговыделение в 1 сек на 1 г
вещества от внешних источников (Q может быть и отрицательным, если
имеются немеханические потери энергии, например на излучение).
С помощью уравнений непрерывности и движения уравнение энер-
энергии также можно привести к форме, подобной A.2), A.7):
' (МО)
Физический смысл этого уравнения состоит в том, что изменение
полной энергии единицы объема в данной точке пространства происходит
за счет вытекания (втекания) энергии при движении вещества, работы
сил давления и энерговыделения от внешних источников.
Уравнения непрерывности, движения и энергии образуют систему
пяти уравнений (уравнение движения векторное и эквивалентно трем
координатным) относительно пяти неизвестных функций координат и вре-
времени: q, ux, uv, uz, p. Внешние источники энергии Q считаются заданными,
а внутреннюю энергию е можно выразить через плотность и давление,
поскольку термодинамические свойства вещества предполагаются извест-
известными: е = е (р, q).
Если энергия, как это часто бывает, известна не как функция давле-
давления и плотности, а как функция температуры Т и плотности или темпе-
температуры и давления, то к системе следует присоединить уравнение состоя-
состояния вещества р — f (T, q). Уравнение состояния идеального газа имеет вид
PV=AT, P = AqT,	A.11)
где А — газовая постоянная, рассчитанная на 1 г *).
Уравнение энергии A.9) имеет общее значение и справедливо даже
тогда, когда вещество не находится в термодинамическом равновесии.
В том частном и практически важнейшем случае, когда вещество термоди-
термодинамически равновесно, его можно записать в иной форме с помощью
второго закона термодинамики
TdS = ds + pdV,	A.12)
где S — удельная энтропия. В отсутствие внешних источников тепла
третье уравнение газодинамики эквивалентно уравнению постоянства
энтропии частицы, т. е. условию адиабатичности движения
4г = °-	AЛЗ)
В идеальном газе с постоянной теплоемкостью энтропия особенно
просто выражается через давление и плотность (удельный объем)
S = су In рУУ + const,	A.14)
где у — показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемко-
стей при постоянном давлении и постоянном объеме, у = cp/cv = 1 +
+ Alcv. В этом случае уравнение адиабатичности A.13) (или энергии)
можно непосредственно записать в форме дифференциального уравнения,
связывающего давление и плотность (давление и объем),
К системе дифференциальных уравнений газодинамики добавляются
соответствующие начальные и граничные условия.
*) А = Л/ц, где R — универсальная газовая постоянная, а [г — молекуляр-
молекулярный вес.

16	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
§ 2. Лагранжевы координаты
Уравнения, в которых газодинамические величины рассматриваются
как функции пространственных координат и времени, называют уравне-
уравнениями в эйлеровой форме или уравнениями в эйлеровых координатах.
В случае одномерных движений, т. е. плоских, цилиндрически и сфе-
сферически-симметричных, часто пользуются другими, лагранжевыми коор-
координатами. В отличие от эйлеровой, лагранжева координата связана
не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей веще-
вещества. Газодинамические величины, выраженные как функции лагранжевых
координат, характеризуют изменения плотности, давления, скорости каж-
каждой частицы вещества с течением времени. Лагранжевы координаты осо-
особенно удобны при рассмотрении внутренних процессов, протекающих
в веществе (не выходящих за рамки данной частицы) скажем, химиче-
химической реакции, ход которой с течением времени зависит от изменения тем-
температуры и плотности частицы. Введение лагранжевых координат в ряде
случаев позволяет также более коротким и легким путем находить точные
решения уравнений газодинамики или делает более удобным численное
интегрирование последних.
Производная по времени в лагранжевых координатах эквивалентна
просто субстанциональной производной d/dt. Частицу можно характеризо-
характеризовать массой вещества, которое отделяет ее от какой-то другой, фиксиро-
фиксированной частицы, или ее координатой в начальный момент времени.
Особенно просто введение лагранжевых координат в плоском случае,
когда движение зависит только от одной декартовой координаты х. Обо-
Обозначим текущую эйлерову координату рассматриваемой частицы через х,
а координату какой-то фиксированной частицы — через х{ (в качестве
фиксированной может быть, например, выбрана частица около твердой
стенки или около границы газа с пустотой, если таковые имеются в задаче).
Тогда масса столба единичного сечения между рассматриваемой частицей
и фиксированной равна
m=\Qdx,	A.16)
а приращение массы при переходе от частицы к соседней
dm = Qdx.	A.17)
Величину т можно выбрать в качестве лагранжевой координаты.
Если в начальный момент, как это часто бывает, газ покоится и плот-
плотность его постоянна, q (х, 0) = q0, to в качестве лагранжевой удобно
взять начальную координату частицы, отсчитываемую от точки Х\\ обо-
обозначим ее через а. Тогда
X
A.18)
x, da	.
Qo	Qo
X!
Уравнения плоского движения газа в лагранжевых координатах
приобретают простую форму. Уравнение непрерывности, записанное
относительно удельного объема V = 1/q и единственной, х-ik, компоненты
скорости и, есть
dV ди	1 dV ди	.. ,„.
1Г-=-з— или Т7^-7ГГ=1Г~-	A.19)
dt dm	Vo dt да	v '

§ 2]	ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ	17
Здесь, как и в последующих уравнениях, производная по времени пред-
представляет собой субстанциональную производную dldt, но ее лучше запи-
записать в виде частной производной dldt, чтобы подчеркнуть, что она берется
при т и а = const, т. е. для заданной частицы с определенной лагранже-
лагранжевои координатой т или а. Уравнение движения в лагранжевых коорди-
координатах имеет вид
ди	др	ди	т7 др	,, „л,
1г--ш ИЛИ ж-~у°-?-	A-2°)
Что же касается уравнения энергии, записанного в форме A.9) или в форме
условия адиабатичности A.13) (при отсутствии внешних источников тепла
и диссипативных процессов — вязкости и теплопроводности), то они
сохраняют свою форму; следует лишь заменить обозначение dldt на dldt.
В идеальном газе с постоянной теплоемкостью условие адиабатичности
A.13) дает
pVy = f[S{m)\,	A.21)
где функция / зависит только от энтропии данной частицы т. В так назы-
называемом изэнтропическом движении, когда энтропии всех частиц одинаковы
и не меняются со временем, / = const, причем уравнение pVy = const спра-
справедливо как в лагранжевых, так и в эйлеровых координатах.
Существенно, что в плоском случае в уравнение не входит в явном
виде эйлерова координата х. После того как лагранжевы уравнения
решены и найдена функция V (т, t), к зависимости газодинамических
величин от эйлеровой координаты можно перейти с помощью квадратуры,
интегрируя уравнение A.17),
dx = V(m,t)dm, x (m, t)= [v (m, t)dm + Xi(t).	A.22)
о
В цилиндрическом и сферическом случаях уравнения газодинамики
в лагранжевых координатах несколько более сложны, чем в плоском,
так как теперь в уравнения в явном виде входит эйлерова координата
и в систему уравнений включается дополнительное уравнение, связываю-
связывающее лагранжеву и эйлерову координаты. Например, в сферическом случае
лагранжеву координату можно определить как массу, заключенную
внутри сферического объема около центра симметрии:
dm = 4яг2@йг.	A.23)
Если в начальный момент плотность газа была постоянной, можно
в качестве лагранжевои координаты взять начальный радиус г0 «частицы»,
рассматриваемой как элементарный сферический слой:
г
= \ 4ят-2ойг, dro = A- — dr.	A-24)
Уравнение непрерывности в сферических лагранжевых координатах есть
dV д . ,	1 SV 1 д 2	,, „,.
dt dm	Vo dt r% dr0 '	\ • )
2 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

18	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[.ГЛ. I
Уравнение движения
ди	, „ др	ди	1 г2 др	,. Па\
-тгг— — 4я7-2-г^- или -jn-—	--i-tr-•	A-26)
dt	*дт	dt	q0 rl дг0	ч '
Уравнения энергии или адиабатичности остаются такими же, как
и в плоском случае.
В качестве дополнительного уравнения в систему включается диффе-
дифференциальное (или интегральное) соотношение A.23) или A.24), связываю-
связывающее т и г или г0 и г.
Уравнения для цилиндрического случая составляются вполне анало-
аналогично сферическому.
Следует отметить, что в двумерных и трехмерных течениях переход
к лагранжевым координатам, как правило, невыгоден, так как уравнения
при этом сильно усложняются.
§ 3. Звуковые волны
Скорость звука входит в уравнения газовой динамики, как скорость
распространения малых возмущений. В предельном случае, когда изме-
изменения плотности Aq и давления Ар при движении вещества очень малы
по сравнению со средними значениями плотности и давления q0 и р0,
а скорости движения малы по сравнению со скоростью звука с, уравнения
газовой динамики превращаются в уравнения акустики и описывают
распространение звуковых волн.
Запишем плотность и давление в виде Q = Qo + Л(?> Р — Ро + Ар
и будем рассматривать величины Aq, Ар, а также скорость и как малые.
Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем эйле-
эйлеровы уравнения непрерывности и движения для плоского случая. Урав-
Уравнение непрерывности дает
ди	,. 97
Уравнение движения приобретает вид
ди	dp	f dp \ dAQ	.. 9„
При последнем преобразовании принято во внимание, что движение
в звуковой волне является адиабатическим. Поэтому малое изменение
давления связано с малым изменением плотности через адиабатическую
производную: Ар = (dp/dQ)s Aq. Эта производная представляет собой,
как мы сейчас увидим, квадрат скорости звука
и соответствует невозмущенному состоянию вещества.
Дифференцируя первое из написанных уравнений по времени, а вто-
второе по координате, исключим смешанную производную d^uldt дх. Полу-
Получим волновое уравнение для изменения плотности
Такому же уравнению удовлетворяет и пропорциональная Aq величина
изменения давления Ар = c2Aq, а также скорость движения и и все

5 3]	ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ	19
другие параметры вещества, например, температура *). Волновое уравнение
типа A.30) допускает две группы решений:
: — ct), Ap = Ap(x — ct), u = u(x — ct)	A.31)
)	A.32)
(под с подразумеваем положительный корень с— -\-	)
Первая группа описывает возмущение, распространяющееся в сто-
сторону положительной оси х, а вторая — в противоположную сторону.
Действительно, в первом случае, например, заданное значение плотности
соответствует определенному значению аргумента х — ct, т. е. с течением
времени бежит в сторону положительных х со скоростью с. Таким обра-
образом, с есть скорость распространения звуковых волн.
Замечая, что ди(х Ч~ ct)/dx = :р A/с) ди (х :р ct)/dt, и принимая во
внимание, что в невозмущенном газе перед волной и = 0, Aq = O (cm.
сноску), найдем с помощью уравнения A.27) связь между массовой ско-
скоростью газа и и изменениями плотности или давления:
и= ±—Ао=±-^-, Aq=c2Aq= ±qocu.	A.33)
Qo	Qoc	Г
Верхний знак относится к волне, бегущей в сторону положитель-
положительных х, а нижний —в сторону отрицательных.
В обоих случаях массовая скорость направлена в сторону распро-
распространения волны там, где вещество сжато, и в противоположную сторону
там, где оно разрежено.
Общее решение волновых уравнений для Aq и и складывается из
двух частных, соответствующих волнам, бегущим в положительном
и отрицательном направлениях оси х. Согласно A.31), A.32), A.33)
решения для плотности и скорости можно записать в следующем виде:
A.34)
A.35)
где /j и /2 — произвольные функции своих аргументов, которые опреде-
определяются начальными распределениями плотности и скорости:
u(x, 0)],
BHiAe(*' 0)-м(х, 0)]-
Например, если в начальный момент имеется прямоугольное возму-
возмущение плотности, а газ везде неподвижен, то вправо и влево побегут
прямоугольные возмущения, как показано на рис. 1.1.
*) Чтобы получить волновое уравнение для скорости, продифференцируем
уравнение A.30) по времени и воспользуемся уравнениями A.27), A.28):
откуда 92м/аг2 = с292м/Зх2-(-/(<). Замечая, что перед волной в невозмущенном веще-
веществе м = 0, найдем, что /(«)=0.

20
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
Если в начальный момент распределения плотности и скорости имели
вид, изображенный на рис. 1.2, причем и = —Aq, так что /г = 0, то
прямоугольные импульсы побегут только в одну сторону. (Такое воз-
возмущение может быть создано поршнем, который в начальный момент
начал вдвигаться в покоящийся газ с постоянной скоростью и, а через
некоторое время «мгновенно» остановился. Если длина прямоугольного
импульса равна L, то, очевидно, время действия поршня tt = Ыс.)
Особую важность для акустики представляют монохроматические
звуковые волны, в которых все величины являются периодическими
функциями времени типа
f	I	1	{—л (ш	^
	 .	/_ cos(^y;r — aj,
t=0 или, в комплексной форме,
t,
v = o)/2jx есть частота звука, а X =
= c/v — длина волны. Всякое воз-
возмущение можно разложить в интег-
рал Фурье, т. е. представить в виде
совокупности монохроматических
волн с различными частотами.
X
¦ х
Рис. 1.1. Р аспр остр анение
прямоугольного импульса
плотности и скорости по од-
одной координате в линейной
акустике.
Рис. 1.2.
Воспринимаемые человеческим ухом звуки имеют частоты v от 20 до
20 000 гц (колебаний в 1 сек) и длины волн, соответствующие скорости
звука в атмосферном воздухе с = 330 м/сек *), от 15 м до 1,5 см.
Для характеристики численных значений различных величин в зву-
звуковой волне укажем, что для сильнейшего звука, в 105 раз более интен-
интенсивного **), чем оркестр фортиссимо, амплитуда изменения плотности
*) Показатель адиабаты воздуха при нормальных условиях
Y = 1,4; с = (ЭР/дЯ)У*=(YPo/eoI/2 = (
(так как при S = const p ~ Qy).
**) Как будет показано ниже, энергия или интенсивность звука пропорциональна
квадрату амплитуды изменений давления или плотности. Громкость звука измеряется
в децибеллах, в логарифмической шкале. За нуль принимается средний порог чувстви-
чувствительности человеческого уха. Увеличение громкости на п децибел означает увеличение
энергии звука в 10п^10 раз. Увеличение громкости от шелеста листьев или шепота
(~ 10 дб) до оркестра фортиссимо (~ 80 дб) соответствует увеличению энергии звука
в 107 раз.

§ 3]	ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ	21
воздуха в волне составляет 0,4% от нормальной плотности; амплитуда
изменения давления — 0,56% от атмосферного; амплитуда скорости —
0,4%, от скорости звука, т. е. 1,3 м/сек. Амплитуда смещения частиц
воздуха порядка Ах « u/2nv = (и/с) (Д,/2я) я*6-10~4Я, (Ах г» 0,036 см
для v = 500 гц).
Найдем энергию, связанную с малым возмущением, которое распро-
распространяется по покоящемуся газу. Приращение удельной внутренней
энергии возмущенного вещества с точно-
точностью до членов второго порядка малости
относительно Aq (или Ар, или и) есть:
/
р
О
В силу адиабатичности движения про- Рис. 1.3. Распределение плотно-
изводные берутся при постоянной энтро-	сти в волновом пакете.
пии. Их можно вычислить с помощью
термодинамического соотношения: йг — Т dS —p dV = (/>/q2) dq. Получим
Приращение внутренней энергии в 1 см3 с той же точностью равно
бе — Q0e0 = (q0 + Aq) (е —
где w = е -\-plQ — удельная энтальпия.
Плотность внутренней энергии, связанной с возмущением, в пер-
первом приближении пропорциональна Aq. Плотность кинетической энер-
энергии qu2/2 « q0u2/2 есть величина второго порядка малости. Из соотно-
соотношения A.33), справедливого для бегущей плоской волны, видно, что член
второго порядка в плотности внутренней энергии и кинетическая энер-
энергия в точности равны друг другу, так что полная плотность энергии возму-
возмущения есть
Е = w0Aq + -^ (AqJ + *? = w;0Aq + Qou*.	A.36)
Член первого порядка малости в энергии связан с изменением объема
всего газа, которое произошло в результате возмущения. Если возмуще-
возмущение было создано таким образом," что объем газа в целом не изменился,
то энергия возмущения всего газа есть величина второго порядка по Aq,
так как при интегрировании по объему член, пропорциональный Aq,
исчезает.
Таково, например, положение в волновом пакете, который распро-
распространяется по газу, занимающему бесконечное пространство, причем
на бесконечности газ не возмущен (рис. 1.3). Изменения плотности в обла-
областях сжатия с точностью до членов второго порядка компенсируются
изменениями в областях разрежения.
Таким образом, энергия звука есть величина второго порядка малости,
пропорциональная квадрату амплитуды *):
_________	?3B = QoK2.	A.37)
*) Выражение A.37) следует усреднить по времени или по пространству:
E3B = Q0u?{u~^Q~~Ap=0, тогда как Р

22
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
и=0
t=0
Если возмущение было создано таким образом, что объем газа при этом
изменился, то в энергии возмущения остается член, пропорциональный
первой степени Aq. Однако эта, основная, доля энергии, пропорциональная
Aq, может быть «возвращена газом об-
обратно», если источник возмущения воз-
возвращается в свое исходное положение.
Энергия, оставшаяся при этом в возму-
возмущенном газе, составит только величину
второго порядка малости. Поясним это
положение на простом примере.
Пусть в начальный момент в поко-
покоящийся газ начал вдвигаться поршень
с постоянной скоростью и (гораздо
меньшей скорости звука и < с). В момент
ti поршень «мгновенно» останавливает-
останавливается. По газу побежит импульс сжатия
длиной (с — и) ti~ ctt, энергия которо-
которого равна работе, затраченной внешней
силой, вдвигающей поршень, puti =
= (р0 -f- Ар) uti « pouti (этот случай
был рассмотрен выше и иллюстрируется
рис. 1.4). Энергия в первом приближении пропорциональна «амплитуде»
волны и, Aq, Ар и времени сжатия (т. е. длине возмущения). Предоставим
теперь газу возможность вернуть поршень
на место, причем таким образом, что в мо- |	Р±_
мент ti скорость поршня и «мгновенно» ме-
меняется на противоположную, (—и), а в
момент t2 = 2ti 'поршень, возвратившись
в исходное положение, «мгновенно» оста-
останавливается. Возмущение будет теперь
иметь вид, изображенный на рис. 1.5, где
показаны состояния в моменты t = 0, tlt t2
и t > t2. Легко проверить непосредствен-
непосредственным вычислением, что за второй период
до t2 газ совершает над поршнем ра-
О
Рис. 1.4. Распространение импульса
сжатия от поршня, который вдви-
вдвинулся в газ.
и-0
t=0
Р°
~^~и	1 Р"
Ро-лР Г
от
боту, в первом приближении в точности
равную работе, которую совершил пор-
поршень над газом за первый период от нуля
до ti. Длины положительной и отрица-
отрицательной областей импульса в первом при-
приближении также одинаковы и равны
ct± = c (t2 — ti).
Таким образом, если просуммиро-
просуммировать энергии в сжатой и разреженной об-
областях импульса, то члены первого по-
порядка сократятся. Если производить все
вычисления с учетом членов следующего
порядка*), то в энергии останется член второго. порядка, причем
плотность энергии возмущения выразится общей формулой A.37).
Рис. 1.5. Распространение им-
импульсов сжатия и разрежения от
поршня, который сначала вдви-
вдвинулся в газ, а затем вернулся на
место.
*) В частности, длины импульсов сжатия и разрежения будут отличаться на
величину 2utj (при t2 — tt = t^}.

§ 4]	СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВУКОВЫЕ	23
§ 4. Сферические звуковые волны
В отсутствие поглощения (т. е. без учета вязкости и теплопровод-
теплопроводности; см. § 22) амплитуда и плотность энергии плоских волн не уменьша-
уменьшаются с течением времени. Например, импульсы, изображенные на рис. 1.4
и 1.5, уходят на «бесконечность», не именяя своей формы и амплитуды.
В сферической волне это уже не так. Линеаризируя уравнение непре-
непрерывности в сферически-симметричном случае, получим
ИГ -	Г2 дГГи-
Линеаризованное уравнение движения не отличается от A.28):
. аи __ с2 д^Q
Отсюда, как и в плоском случае, получим волновое уравнение для Aq,
решение которого, описывающее волну, расходящуюся от центра, есть
Д6 = ^=^.	A.38)
Если рассматривать короткие импульсы, длиной гораздо меньше г,
то можно сказать, что форма импульса, задаваемая функцией / (г — ct),
не меняется, а амплитуда волны падает пропорционально Иг. Это вполне
естественно. Предположим, что из центра бежит импульс конечной ши-
ширины Аг. По мере распространения импульса масса вещества, вовлечен-
вовлеченного в движение, равная примерно до4яг2Дг, растет пропорционально г2.
Звуковая энергия единицы объема пропорциональна (AqJ. Поскольку
энергия не меняется, т. е. (AqJ/ = const, то амплитуда должна убывать
как Aq ~ Иг.
Сферическая волна отличается от плоской еще в одном отношении.
Подставим решение A.38) в уравнение движения:
ди_	с2_ Г /' (r—ct) _ f(r — ct) 1
I" 8,[ г	г2 J '
и проинтегрируем полученное выражение по времени. Получим решение
для скорости:
r-ct
A.39)
которое отличается от формулы для плоского случая A.33) наличием
дополнительного члена. В плоской волне в области возмущения вещество
может быть только сжато, как это имеет место в случае, изображенном
на рис. 1.4. В сферической волне это невозможно: за областью сжатия
обязательно следует область разрежения.
В самом деле, за областью возмущения Aq и и обращаются в нуль.
В плоском случае в силу пропорциональности и ~ Aq это условие выпол-
выполняется автоматически, независимо от формы импульса. В сферической же
волне для этого необходимо, чтобы за областью возмущения ф (г — ct) = О,
т. е. чтобы был равен нулю интеграл по всей области возмущения
ф(г — с*) =
Отсюда видно, что Aq в сферической волне меняет знак, т. е. за
областью сжатия следует область разрежения.

24
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
Дополнительное количество вещества, заключенного в волне, равно
\ Ад-4яг2 dr. Но Aq ~ 1/г, поэтому дополнительная масса в волне сжатия
возрастает при расхождении волны от центра. Растущее в процессе распро-
распространения количество сжатого вещества и вызывает появление следую-
следующей за волной повышенной плотности волны пониженной плотности.
Изменение давления в сферической волне пропорционально изменению
плотности, как и в плоской. Скорость же, как видно из формулы A.39),
не пропорциональна Aq или Ар. В частно-
частности, скорость и изменение плотности ме-
меняют знак в разных точках, так что в
волне, бегущей от центра, профили плот-
плотности и скорости имеют вид, изображен-
изображенный на рис. 1.6.
§ 5. Характеристики
В § 3 было показано, что если в на-
начальный момент /0 в какой-либо точке х0
^о/
Рис. 1.6. Распределение плотно- неподвижного газа, плотность и давление
сти и скорости в сферической которого везде одинаковы, создать произ-
звуковой волне.	вольные малые возмущения скорости и
давления (или плотности *)), то от этой
точки в обе стороны со скоростью звука побегут две волны, несущие
возмущения. В волне, распространяющейся в сторону положительных
х, направо, малые изменения всех величин связаны между собою
соотношениями:
В волне, распространяющейся налево:
Произвольные возмущения Aw и Ар, возникшие в начальный момент,
всегда можно разложить на две составляющие: Aw = Atw + Дг", &р =
= Аф -f- A2p, подчиненные указанным соотношениям, так что в общем
случае начальное возмущение распространяется в разные стороны в виде
двух волн.
Если начальные возмущения Aw, Ар не произвольны, а уже связаны
между собой одним из соотношений, то возмущение бежит в одну из
сторон (это соответствует обращению в нуль одной из функций, fr или /2).
Если газ не покоится, а движется как целое с постоянной скоростью и,
то картина не меняется, за тем лишь исключением, что теперь волны
сносятся потоком, так что скорости их распространения относительно
неподвижного наблюдателя становятся равными и -\- с (направо) и и — с
(«налево» ***)). В этом легко убедиться, если перейти в уравнениях
газодинамики к новой системе координат, движущейся вместе с газом
со скоростью и.
*) В силу изэнтропичности течения изменения плотности и давления не незави-
независимы, а всегда связаны между собой термодинамическим соотношением Ар = c2Aq.
**) Мы пишем здесь Ди вместо и в целях единства обозначений.
***) Мы заключаем слово «налево» в кавычки: если и > с, то волна также бежит
направо, но, разумеется, медленнее, чем первая.

§ 5]
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Предположим теперь, что в произвольном плоском изэнтропическом
течении газа, описываемом функциями и (х, t), p (х, t), (или q(x, t), см.
первую сноску на стр. 24), в момент t0 в точке х0 возникли произвольные-
малые возмущения скорости и давления. Рассматривая небольшую область
около точки х0 и малые промежутки времени (небольшую окрестность
точки х0, t0 на плоскости х, t), можно в первом приближении пренебречь,
изменениями невозмущенных функций и (х, t),
р (х, t), а следовательно, q (x, t) и с (х, t) в этой
окрестности, и считать их постоянными, рав-
равными значениям в точке х0, t0. Вся описанная
выше картина распространения возмущений
переносится и на этот случай. Если возмуще-
возмущения Дм (х0, t0), Ар (х0, t0) произвольны, то они
также распадаются на две составляющие,
одна из которых начнет распространяться
вправо со скоростью щ -fс0, а другая «налево»
со скоростью щ — с0, причем под и0 и с0 здесь
следует понимать локальные значения этих
величин в точке х0, t0.
Поскольку и и с меняются от точки к
точке, то на протяжении длительного проме-
промежутка времени пути распространения возмущений на плоскости х, t,.
описываемые уравнениями dxldt = u -)- с и dxldt = u — с, будут искрив-
искривляться. Эти линии на плоскости х, t, вдоль которых распростра-
распространяются малые возмущения, называются характеристиками. При плоском
изэнтропическом течении газа, как видим, суще-
существуют два семейства характеристик, которые-
описываются уравнениями
Рис. 1.7. Сетка двух семейст»
характеристик в изэнтропиче-
изэнтропическом случае.
dx
~dt
dx
--U — C,
Рис. 1.8. Сетка трех се-
семейств характеристик в не-
изэятропическом случае.
и называются соответственно С+- и ^-харак-
^-характеристиками.
Через каждую точку на плоскости х, t мож-
можно провести две характеристики, принадлежа-
"х щие С+- и С1--семействам. В общем случае
характеристики криволинейны, как показано на
рис. 1.7. В области постоянного течения, где
и, р, с, q постоянны в пространстве и во времени,
характеристики обоих семейств —прямые линии.
Если течение не изэнтропично, а только адиабатично, т. е. энтропии
различных частиц газа не меняются во времени, но отличаются друг
от друга, возможны и возмущения энтропии. В силу адиабатичности движе-
ния -J— = 0, т. е. всякое возмущение энтропии, не сопровождающееся
возмущениями других величин (р, Q, и), остается локализованным в
частице и перемещается вместе с частицей вдоль линии тока. Линии
тока, следовательно, в случае неизэнтропического течения также являются
характеристиками. Они описываются уравнением dxldt = и и назы-
называются Со-характеристиками.
В неизэнтропическом течении через каждую точку х, t проходят три
характеристики и плоскость х, t покрывается сеткой трех семейств харак-
характеристик С+, С-, С0 (рис. 1.8).

26	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. 1
До сих пор мы говорили о характеристиках как о линиях на пло-
плоскости х, t, вдоль которых распространяются малые возмущения. Однако
этим не исчерпывается значение характеристик.
Уравнения газовой динамики можно преобразовать к такому виду,
чтобы они содержали производные от газодинамических величин только
вдоль характеристик. Как будет показано в следующем параграфе,
в изэнтропическом течении вдоль характеристик переносятся не только
малые возмущения, но и определенные комбинации газодинамических
величин.
Как известно, функцию двух переменных f(x, t) можно дифферен-
дифференцировать по времени вдоль определенной кривой х = ф (?) на плоскости
х, t. Производная по времени от функции / (х, t) вдоль произвольной
кривой х = ф (t) определяется наклоном касательной к кривой в данной
точке dx/dl = ф' и равна
/ df \ __ df df dx _ df df ,
\ dt Jф dt dx dt dt dx
•С двумя частными случаями дифференцирования вдоль кривой мы уже
д ,
знакомы: это — частная производная по времени -^т (вдоль кривой х —
— const, ф' = 0) и субстанциональная производная ~тг = -gr + и -j-
(вдоль пути движения частицы или вдоль линии тока: dxjdt = q>' — и).
Преобразуем уравнения плоского адиабатического движения к такому
виду, чтобы они содержали производные от газодинамических величин
только вдоль характеристик. Для этого исключим из уравнения непре-
непрерывности
dt " дх
производную от плотности, заменив ее на производную от давления.
Поскольку плотность термодинамически связана с давлением и энтро-
энтропией q = q(p, S), a dS/dt = O, имеем
~dt~ \~др )s~di ^ \1)Ж Jp~dt ~ ~c* ~di "
Подставляя это выражение в уравнение непрерывности и умножая урав-
уравнение на c/q, найдем
qc dt Qc дх	дх ~~
¦Сложим это уравнение с уравнением движения
dt	дх Q дх
Получим
Вычитая одно уравнение из другого, найдем аналогично
ди . .	. а«1 1 Г др . ,	. d
Первое из этих уравнений содержит производные только вдоль (^-ха-
(^-характеристик, а второе — только вдоль С_-характеристик. Замечая, что

§ Cj	ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ. ИНВАРИАНТЫ РИМАНА	27
уравнение адиабатичности — = О можно рассматривать как уравнение
вдоль Co-характеристик, запишем уравнения газодинамики в виде
du	dp — (
QC
dS = <
3 вдоль
3 вдоль
3 вдоль
C+:
С:
Co:
dx
~dt
~dt
= u — c,
= M.
A
A
A
.40)
.41;
Л2)
В лагранжевых координатах уравнения характеристик приобретают
вид (см. A.18))
„da	о „ da	о /-. da n
Уравнения вдоль характеристик не отличаются от уравнений A.40) — A.42).
В сферически-симметричном течении уравнения характеристик
в эйлеровых координатах таковы же, как и в плоском случае (только
координату х следует заменить на радиус г). Уравнения же вдоль
характеристик С± содержат дополнительные члены, зависящие от самих
¦функций, но не от их производных
аи ± — ар = -р — at вдоль С±: -r- = u ± с.
ос	т	ctz
В ряде случаев уравнения газодинамики, записанные в характеристиче-
характеристической форме, для численного интегрирования удобнее, чем обычные.
§ 6. Плоское изэнтропическое течение. Инварианты Римана
В изэнтропическом течении энтропия, будучи постоянной в про-
пространстве и во времени, вообще выпадает из уравнений. Все течение
описывается двумя функциями: скоростью и (х, t) и какой-нибудь одной
из термодинамических переменных: q(x, t), p (x, t) или с (х, t). Послед-
Последние однозначно связаны между собою в каждой точке чисто термоди-
термодинамическими соотношениями: Q = q(p), с = с(^) или p = p(q), c = c(q);
•с2 = dp/dq.
Дифференциальные выражения du-\-dplqc и du — dp/QC теперь пред-
представляют собой полные дифференциалы величин
Q
которые называются инвариантами Римана *). С помощью термодинами-
термодинамических соотношений интегральные величины \ dpfqc = \ с dqfq в прин-
принципе можно выразить через одну из термодинамических переменных,
скажем, скорость звука с. Например, в идеальном газе с постоянной
теплоемкостью
р = const qv, с2 = y const qv- i
*) При неизэнтропическом течении q и с зависят от двух переменных: р и S,
и выражения du i dp/Qc уже не являются полными дифференциалами. Комбина-
Комбинации A.43) в этом случае не имеют определенного смысла.

28	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
И
Инварианты Римана определяются с точностью до произвольной
постоянной, которую в тех случаях, когда это удобно, можно вообще-
опустить, как это сделано в формуле A.44).
Уравнения A.40), A.41) свидетельствуют о том, что в изэнтропиче-
ском течении инварианты Римана постоянны вдоль характеристик
dx	\
dJ+ = O, /+ = const вдоль С+: -ч-=и + с; I
dl	\	<
dJ- = 0, /_ = const вдоль С_: -тт — и — с- j
Это положение можно рассматривать как обобщение соотношений, спра-
справедливых для случая распространения акустических волн по газу
с постоянными скоростью, плотностью и давлением. Последние полу-
получаются из общих уравнений в качестве первого приближения. Если
положить м = ио + Ам, р = ро-[-Др, то в первом приближении
Aa±
Qoco	Qoco
Уравнения характеристик в первом приближении записываются в виде-
-^ = %±co. х = (и0 ± с0) t + const.
Таким образом, вдоль пути х = (и0 + с0) t + const сохраняется вели-
величина Аи -|- Ap/Q0c0, откуда видно, что она может быть представлена
в виде функции от константы в уравнении х= (мо + со) < +const:
Вдоль пути х = (и0—с0) t +const сохраняется величина
Аи —^ - - 2/2 [х - (во - со) t].
Изменения скорости и давления представляются в виде суперпози-
суперпозиции двух волн /j и /2, бегущих в противоположных направлениях: Аи =
= /i — fz, Ар = доСо(/1 + /г)> причем в каждой из них величины связаны
между собой уже известными нам соотношениями:
Инварианты Римана /+ и 7_ можно рассматривать как новые функ-
функции, описывающие движение газа, взамен старых переменных: скорости
газа и и одной из термодинамических величин, например, скорости
звука с. Они однозначно связаны с переменными и и с уравнениями A.43).
Разрешая эти уравнения относительно и и с, можно вернуться от функ-
функций J+, J- к функциям и и с, например, для идеального газа с посто-
постоянной теплоемкостью по формулам A.44)

:§ 6]
ПЛОСКОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ. ИНВАРИАНТЫ РИМАНА
29
Рассматривая инварианты как функции независимых переменных
л и t, уравнения характеристик можно записать в форме
р . dx	 „ , j j . г, _ ах F (Т Г \	(i 47)
где F+ и F^ — известные функции, вид которых определяется только
термодинамическими свойствами вещества.
В идеальном газе с постоянной теплоемкостью
/_.
Как видно из уравнений A.45), характеристики обладают свойством
переносить постоянные значения одного из инвариантов. Поскольку
вдоль определенной С+-характеристики
J+ = const, изменение наклона характе-
характеристики определяется изменением только
одной величины — инварианта /_. Точно
так же вдоль С_-характеристики посто-
постоянно /_ и изменение наклона при пере-
переходе от одной точки плоскости х, t к дру-
другой определяется изменением инвари-
инварианта /+.
Уравнения, записанные в характери-
характеристической форме, делают весьма наглядной
причинную связь явлений в газовой дина-
динамике. Рассмотрим какое-нибудь плоское
изэнтропическое течение газа в бесконеч-
ном пространстве. Пусть в начальный мо-
мент t = 0 заданы распределения газоди-
газодинамических величин по координате х: и (х, 0), с (х, 0), или же, что
эквивалентно, заданы распределения инвариантов /+ (х, 0), /_ (х, 0).
На плоскости х, t (рис. 1.9) существует сетка С+- и С_-характеристик,
выходящих из различных точек оси х *). Значения газодинамических
величин в какой-нибудь точке D (x, t) (в координатной точке х в момент
времени t) определяются только значениями величин в начальных точ-
точках А (хи 0) и Я (х2, 0):
б
Рис- i>9- т' ^-диаграмма, иллю-
стРиРУ*>Щая область зависимости.
J+(x, 0 =
0); J-{x, *) = /_(ж2, 0).
Например, для идеального газа с постоянной теплоемкостью, разрешив
эти уравнения относительно и и с, можно записать физические переменные
в точке D в явном виде:
A.48)
где щ, ci — значения в точке А (хь 0), а и2, с2 — значения в точке В (х2) 0).
Нельзя, конечно, утверждать, что состояние газа в точке D зависит
от задания начальных условий только в двух начальных точках А и В,
так как само положение точки D, как места, где пересекаются
" ! *) Поетроить эту сетку можно после того как найдено решение задачи.

30
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. 1
Рис. 1.10. х, «-диаграмма,
иллюстрирующая область
влияния.
С+- и ^..-характеристики, выходящие из точек А ж В, зависит от пути
этих характеристик. Эти пути определяются заданием начальных условий
на всем отрезке АВ оси х. Например, наклон С+-характеристики AD
в промежуточной точке N (см. рис. 1.9) определяется не только инвариан-
инвариантом J+ (А), но и значением инварианта
/_ (М), перенесенного в TV из промежуточной
точки М отрезка АВ.
Но состояние газа в D полностью опре-
определяется заданием начальных условий на
отрезке АВ оси х и совершенно не зависит от
начальных значений величин вне этого отрез-
отрезка. Если, скажем, немного изменить началь-
начальные значения в точке Q, то это никак не ска-
скажется на состоянии газа в D просто потому,
что возмущение от этого изменения не
успеет добежать в координатную точку х
к моменту t. Оно придет в эту координат-
координатную точку позднее (в точку Р вдоль С+-хара-
С+-характеристики QP).
Аналогично, начальное состояние газа на отрезке АВ оси х влияет
на состояние газа в последующие моменты времени только в тех точках,,
которые расположены внутри области, ограниченной С_-характеристикой
АР и С+-характеристикой BQ (рис. 1.10). Оно не влияет на состояние
в М, так как «сигналы» от начальных условий на отрезке АВ не успеют
добежать до координатной точки хм к моменту tM.
Подчеркнем, что изложенные соображения о причинной связи
явлений имеют силу лишь при условии, что характеристики одного семей-
семейства не пересекаются друг с другом. Например, если бы С+-характеристи-
ка из Q (см. рис. 1.9) пошла по пунктирному
пути QE, то состояние газа в Q повлияло бы
на состояние в D. Но в области непрерыв-
непрерывного течения характеристики, принадлежа-
принадлежащие одному семейству, действительно никог-
никогда не пересекаются. Пересечение привело бы
к неоднозначности газодинамических вели-
величин. В самом деле, в точке х, t пересечения
двух С+-характеристик инварианты /+ имели
бы два различных значения, соответствующих
той и другой характеристике. Между тем
каждой точке плоскости х, t принадлежит
только по одному значению /+ и /_, которые связаны с единственными-
значениями скорости газа и скорости звука в этой точке. Как мы увидим
ниже, пересечение характеристик одного семейства приводит к нару-
нарушению непрерывности течения и возникновению разрывов газодинами-
газодинамических величин, т. е. ударных волн.
Провести линии характеристик на всей плоскости х, t можно, только-
зная решение газодинамической задачи. Если решение неизвестно, то
нельзя указать точно положение точки D на рис. 1.9, в которой пере-
пересекаются характеристики, выходящие из А и В.
Однако приближенно найти место пересечения можно, заменяя истин-
истинные криволинейные пути AD и BD прямыми линиями, наклоны которых
отвечают начальным значениям щ, c^vl Иг, с% в точках А и В (или /+ (А)т
J- (В)) (рис. 1.11). Выбрав точки А ж В достаточно близко друг от друга
Jffict)
А(х,0) Б(хг0) . х
Рис. 1.11. Выпрямление ха-
характеристик на малых участ-
участках.

§ 7]
ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
31
так, чтобы ошибка от замены истинных путей характеристик прямыми
линиями была небольшой, находим положение точки пересечения из
уравнений
х—xi = (ui-\-ci)t, х—x2 = {u2 — c2)t.
Значения и и с в месте пересечения определяются формулами A.48).
Такая операция, в сущности, представляет собой простейшую схему
численного интегрирования уравнений A.45). Покрывая плоскость х, t
сеткой треугольников, аналогичных ADB, можно последовательно, шаг
за шагом, продвигать решение уравнений вперед по времени, исходя
из начальных условий и (х, 0), с (х, 0) или /+ (х, 0), /_ (х, 0).
§ 7. Плоское изэнтропическое течение газа
в ограниченном пространстве
Рассмотрим какое-нибудь плоское изэнтропическое течение газа
в ограниченном пространстве. Пусть газ занимает пространство между
двумя плоскими поверхностями — поршнями, которые движутся по
заданным законам xt = i|)i (t), x2 =
— ^2 @i причем в начальный момент
t = 0 координаты поршней равны х10
и х20. В начальный момент задаются
распределения скорости и и термоди-
термодинамической переменной с по коорди-
координате х на отрезке xio<Cx<Cx20: и (х, 0),
с (х, 0) или же, что эквивалентно, за-
задаются распределения инвариантов
/+ (х, 0), /_ (х, 0).
Проведем на плоскости х, t сетку
характеристик и линии поршней
(рис. 1.12). Точки типа^, через кото-
которые проходят С+- и С_-характери-
стики, выходящие из точек, лежащих
внутри отрезка О\О2 оси х, ничем
не отличаются от точек при движении газа в неограниченном простран-
пространстве. Как и там, в эти точки переносятся начальные значения инвариан-
инвариантов /+ и /_.
Рассмотрим точку, лежащую на линии поршня, для определенности,-
точку D у левого поршня.
В точку D из «прошлого» переносится только один инвариант /_;
он переносится вдоль С_-характеристики, выходящей из точки А началь-
начального отрезка OtO2 так, что /_ (D) = /_ (А). Второй инвариант /+ не-
неприносится в D, так как в D не приходит С+-характеристика (из «прош-
«прошлого»). С+-характеристика только выходит из D (в «будущее»), унося
с собою «образовавшееся» в этой точке значение инварианта /+. Состоя-
Состояние газа в точке/) определяется значением привнесенного инварианта /_
и второй величиной — скоростью ц, которая в силу граничного условия
совпадает с известной скоростью поршня в точке D: и,\ (D). Эта нара
величин /_ (D) = /_ (А) и и = и\ (D) и заменяет теперь пару величин
/+, J-, приходящих в точки газа, не соприкасающиеся с поршнями.
Второй инвариант J+ составляется в D из величин /_ (D) и и4 (D):
7+ {D) = 2«i (D) — /_ (D) и уносится ^-характеристикой. Напри-
Например, в точку Е приходит ^--характеристика, выходящая из точки В
Рис. 1.12. Схема характеристик для
плоского изэнтроппческого течения газа
между двумя поршнями.

32	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
начального отрезка оси х и несущая инвариант /_ (В): /_ (Е) = J_(B).
€+-характеристика приходит с линии поршня, из Z>, и приносит инва-
инвариант /+, равный /+ (D): J+ (Е) = J + (D). Состояние газа в Е зависит
от /_ (В), их (D) и /_ (А), т. е. от условий в точках А, В, D. Положение
точки Е зависит от условий на отрезках OtD, OJ5.
Таким образом, при течении в ограниченном пространстве состояние
газа в какой-то точке может зависеть не только от начальных, но и от
граничных условий.
Вообще состояние в произвольной точке плоскости х, t определяется
заданием значений и и с или /+, /_ на отрезке произвольной кривой,
отсекаемом С+ и ^-характеристиками, проходящими через рассматри-
рассматриваемую точку. Например, состояние в Q определяется состоянием на
отрезке MN кривой SS (см. рис. 1.12).
Аналогично предыдущему, на правый поршень из «прошлого» вдоль
С+-характеристик переносятся инварианты /+, а С_-характеристики
сами начинаются из точек линии поршня и уносят в «будущее» инварианты
/_, которые составляются из привнесенных инвариантов /+ и значений
скорости поршня и2, с которыми совпадают скорости прилегающего
к поршню слоя газа.
Давление на поршне однозначно определяется привнесенным одним
инвариантом и скоростью поршня. Рассмотрим для примера точку D на
левом поршне. Пусть газ — идеальный с постоянной теплоемкостью.
Обозначим через иА, сА начальные скорости газа и звука в точке А, а через
uiD — скорость поршня в точке D. Имеем для скоростей газа и звука в D
откуда
cD = сА + (uw — иА)
или через инвариант
Давление на поршне pD связано со скоростью звука cD чисто термо-
термодинамически, pD = const -cD2^<v-i).
Изложенные соображения позволяют придать наглядный физический
смысл инвариантам Римана.
Поставим такой эксперимент. Внесем в определенный момент t в точку
х параллельную поверхности поршня плоскую пластинку. Пусть на
одной, левой, стороне пластинки имеется индикатор давления, реагирую-
реагирующий на давление газа слева от пластинки.
К моменту t в х слева на индикатор приносится инвариант /+ =
= и -}- \ dp/qc — и -\- w (р), где и и р — скорость и давление невозму-
невозмущенного пластинкой газа (w (р) — функция давления, зависящая только
от термодинамических свойств газа и его энтропии). В момент t газ тор-
тормозится около пластинки и останавливается, поскольку пластинка покоит-
покоится. Новое давление слева от пластинки, соответствующее остановившемуся
газу (и = 0), обозначим через pt. Тогда /+ — и-{-ш (р) — w (pi). Инди-
Индикатор зарегистрирует давление отражения —pi. Поскольку функция w
известна, шкалу индикатора можно проградуировать так, чтобы пока-
показание индикатора давало непосредственно величину инварианта /+

5 8]	ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ	33
Аналогично, индикатор давления, помещенный на правой стороне пла-
пластинки, измерит инвариант /_, приходящий справа.
Если расположить очень тонкую пластинку перпендикулярно к по-
поверхностям поршней, параллельно скорости течения так, чтобы газ сво-
свободно обтекал пластинку, не меняя своей скорости, индикатор зарегистри-
зарегистрирует давление невозмущенного потока р. Будучи проградуированным
так, чтобы давать непосредственно величину w (р), индикатор измерит
комбинацию инвариантов
§ 8. Простые волны
Из формулы A.46) для инвариантов Римана, относящейся к случаю
распространения по газу малых возмущений — акустических волн, видно,
что если волна распространяется только в одну сторону, то один из
инвариантов постоянен в пространстве и во времени. Так, если волна
бежит направо и Аи (х, t) = Ар (х, t)/QQc0 = /( [х — (uQ -f- c0) t], то
постоянен инвариант /_:
/_ = Аи	— + const = const.
Goco
Если же волна бежит налево, то постоянен инвариант /+.
Покажем, что возможность существования волн, бегущих в одну
сторону, не ограничивается предположением о малости амплитуды,
причем и в общем случае бегущей волны остается постоянным один из
инвариантов Римана. Прежде всего укажем, как можно практически
осуществить постоянство одного из инвариантов, например /_. Если газ
занимает безграничное пространство, то для этого достаточно задать
начальные распределения и (х, 0), с (х, 0) таким образом, чтобы в началь-
начальный момент было /_ (х, 0) = const. Поскольку это постоянное значе-
значение /_ переносится вдоль (^..-характеристик, выходящих из всех точек
оси х, то и в последующие моменты времени инвариант /_ останется
постоянным: /_ (х, t) = const.
Пусть газ занимает полупространство, ограниченное слева поршнем,
движущимся по закону Xi = tyi (t). Если в начальный момент /_ (х, 0) =
= const во всей области, занимаемой газом, х > xi0 (z10 — начальная
координата поршня), то в последующие моменты /_ также останется
постоянным во всем пространстве, ограниченном поршнем х > х± =
= i|3! (t). Действительно, левый поршень, как было показано в предыду-
предыдущем параграфе, «возбуждает» только С+-характеристики; (^-характери-
(^-характеристики приходят к линии поршня из «прошлого» и на этом «заканчивают
свое существование», так что поршень посылает в «будущее» только /+-
инварианты, но не /_.
Значения /--инвариантов во всей той части плоскости х, t, которая
соответствует газу (эта часть ограничивается линией поршня Xi = г)^ (?)),
определяются начальными значениями /_ на оси х, т. е. постоянны.
Наоборот, если газ занимает полупространство, ограниченное справа
движущимся поршнем (линия поршня х2 = г|J (^)> ^го = фг @)), и в на-
начальный момент /+ (х, 0) = const при х < а;2о, то во всей физической
части плоскости х, t {х<Сх2 = я|?2 @) постоянен инвариант /+.
Итак, вернемся к поставленной задаче и предположим для определен-
определенности, что /_ (х, t) — const.
3 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

34	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
Из уравнения характеристик, записанного в форме A.47), следует,
что при этом С .(.-характеристики представляют собой семейство прямых
линий (F+ = const, так как /+ = const вдоль характеристики, а /_ =
= const вообще). Интегрируя уоавнения для С+-характеристик, можем
записать
x = F+(J+, /_)* + Ф(/+),	A.49)
где ф (/+) — постоянная интегрирования, которую можно рассматри-
рассматривать как функцию того значения J+, которое переносится вдоль характе-
характеристики. Она определяется начальными и граничными условиями задачи.
Например, если данная характеристика выходит из начального отрезка
оси х, то ф есть координата той точки оси х, из которой выходит характе-
характеристика и на которой задано значение /+, стоящее в качестве аргу-
аргумента в ф.
Формула A.49) совместно с условием, наложенным на одну из иско-
искомых функций,
/_(ж, *) = const,	A.50)
представляет собой общее решение уравнений газодинамики для рассма-
рассматриваемого случая. Она определяет в неявном виде другую искомую
функцию /+ (х, t). (Напоминаем, что функция F-+ известна, поскольку
известны термодинамические свойства вещества.)
Решение A.49), A.50) можно записать в виде формул для обычных
газодинамических переменных: скорости газа и скорости звука. Из урав-
уравнения A.50)
/_ = и — \ — = const
следует, что скорость звука или какая-нибудь иная термодинамическая
переменная, скажем, давление, являются функциями скорости и, не
содержащими в явном виде независимых переменных х и t: с = с (и),
Р = Р (")•
Уравнение A.49) эквивалентно уравнению
з = [в + с(и)]« + ф(и),	A.51)
где постоянная интегрирования ф выражена как функция и. Это уравне-
уравнение определяет в неявном виде и в зависимости от х и t.
Из формулы A.51) видно, что данные значения и и с (и) переносятся
по газу вдоль оси х с постоянной скоростью и + с (и). Другими словами,
решение представляет собой волну, бегущую направо:
и = / [х - [и + с (и)] t}, с = g {х- [и + с (и)] t},
причем вид функций / и g определяется начальными и граничными усло-
условиями задачи.
Однако, в отличие от бегущей волны малой амплитуды, различные
значения скорости газа и термодинамических переменных переносятся
с разными скоростями, так что начальные профили и (х, 0), с (х, 0) иска-
искажаются с течением времени. Это является следствием нелинейности урав-
уравнений газодинамики.
Полученное решение в виде бегущей волны называется простой
волной.
Аналогичным путем можно получить простую волну, бегущую в дру-
другую сторону. В ней постоянен инвариант /+ и прямыми являются

§ 93 ИСКАЖЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ В БЕГУЩЕЙ ВОЛНЕ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 35
С_-характеристики. Общее решение в этом случае имеет вид
/+ = const, x = F- (/+,/_) t-\-(f{(J_)
или
и = /i {х + [с (и) — и] t}, с = gt {х + [с (и)—и] t].
Заметим, что решение для простой волны является особым интегра-
интегралом уравнений одномерного изэнтропического течения. Можно найти
и общий интеграл этих уравнений для
произвольного течения (см. |1)). Особое
решение не содержится непосредственно
в общем.
§ 9. Искажение профилей
в бегущей волне конечной амплитуды.
Некоторые свойства простых волн
Воспользуемся полученным решением
для простой волны и выясним, что проис-
происходит с волной типа акустической, если
не ограничиваться первым приближением,
как это было сделано в § 3, а исходить из
точных уравнений газодинамики. Мы не
будем приводить здесь аналитического
решения, а выясним качественный харак-
характер явлений при помощи графического
построения. Газ будем считать идеальным
с постоянной теплоемкостью.
Пусть начальные профили скорости
и (х-, 0) и скорости звука с (х, 0) имеют
вид, изображенный на рис. 1.13, причем
эти функции связаны между собою таким
образом, что /_ (х, 0) = const (рассматри-
(рассматриваем волну, бегущую направо). По форму-
формуле A.44) имеем с = ^Z- и -\-с0, где посто-
постоянное значение инварианта /_ выбрано
в соответствии с условием, что в невоз-
невозмущенном газе и — 0, с = с0. Поскольку
р ~ C2Y/(V-D, g ~CY/(Y-O (ПрИ с = Со< p==pot
Q — Qo), профили давления и плотности
в качественном отношении вполне анало-
аналогичны профилю скорости звука.
Будучи постоянным в начальный мо-
момент, инвариант /_ (х, t) постоянен и во
все последующие моменты времени, так
что движение представляет собой простую
волну, бегущую направо. Характеристики
собой прямые линии dxldt = и -f с = (у -j_
на рис. 1.13. Из точек Ао, Во mD0, где и =
ДРУГ другу: dxldt = с0 (и параллельно С+
и(х.О)
Рис. 1.13. Распространение впра-
вправо бегущей волны.
Построение, позволяющее определить
искажение профилей в волне. На-
Наверху — профили скорости и скоро-
скорости звука в начальный момент.
Внизу — искаженные профили в мо-
момент tt. в середине — схема (^-ха-
(^-характеристик.
С+-семейства представляют
1) и/2 -f c0. Они изображены
= 0, они выходят параллельно
-характеристикам, выходящим
3*

36
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
из точек оси х, соответствующих невозмущенной области газа). Для
того чтобы не усложнять рис. 1.13, проведем, кроме того, еще только
две С+ -характеристики, из точек Ео и Fo, соответствующих минимумам
и максимумам начальных распределений и (х, 0) и с (х, 0).
Построим профили и я с в момент tf. и (х, ti), с (х, ?4). Поскольку
вдоль С+-характеристик переносятся постоянные значения и и с, вели-
величины и и с в точках Аи Ех и т. д. равны
соответствующим величинам в точках Ао,
Ео и т. д.
Выполняя построение, как показано
на рис. 1.13, найдем профили и и с в момент
tt. Мы видим, что «голова» (D) и «хвост»
(А) волны, соприкасающиеся с областями
постоянного течения, где и = 0, а с = с0,
сместились вдоль оси а: на отрезки, равные
coti (распространялись по характеристикам
D0Di, A0Ai на плоскости х, t). Высоты
максимумов и минимумов и и с не изме-
изменились, но относительные положения ма-
максимумов и минимумов стали иными: про-
профили исказились.
В акустической теории, где уравнения
газодинамики линеаризуются, такого иска-
искажения не происходит: профили сдвигаются
в виде застывшей картины. Искажение про-
профилей есть следствие нелинейности урав-
уравнений газовой динамики. Физическая при-
причина искажения состоит в том, что гребни
волны бегут относительно скорее как за
X~CBt
x-cut
Рис. 1.14. Схема, иллюстрирую-
иллюстрирующая нарастание крутизны и «пере-	*
хлест» водны конечной амплитуды счет большей скорости распространения
в нелинейной теории.
следовательные моменты времени.
Чтобы совместить волны в различные
моменты времени, по оси абсцисс от-
отложена комбинация х — с0*. Профиль
их по веществу (большей скорости звука),
показаны профили скорости в по- так и за счет более быстрого сноса вперед
вместе с веществом (большей скорости
газа). Наоборот, впадины бегут относи-
г) отвечает физически нереальному ТелЬНО медленнее, ТЭК Как обе СКОрОСТИ
СОСТОЯНИЮ. На Самом делв В МОМеНТ	¦anv л»отгг. а
t3 профиль имеет вид 9) с разрывами. " НИХ меньше.
С течением времени профили иска-
искажаются все сильнее и сильнее, как по-
показано на рис. 1.14. Если формально продолжить аналитическое реше-
решение на достаточно большие времена, то произойдет «перехлестывание»
волны, показанное на рис. 1.14, г. Эта, последняя, картина физически
бессмысленна, так как в ней решение неоднозначно. Например, в точке
х = х' в один и тот же момент времени имеются три значения скоро-
скорости и: и — 0, ui и и2. Возникновение такой неоднозначности математиче-
математически связано с пересечением характеристик одного семейства (С+), тенден-
тенденцию к которому можно усмотреть на рис. 1.13. На самом деле «перехлесты-
«перехлестывания», конечно, не происходит, а когда передняя и задняя части
профилей становятся очень крутыми, образуются разрывы — ударные
волны, как показано на рис. 1.14, д (об этом речь пойдет ниже).
Таким образом, решение в виде простой волны в данном случае спра-
справедливо лишь в течение ограниченного времени, до момента образования
разрывов. Решение никогда не теряет силы только в том случае, когда
волна повсюду имеет характер волны разрежения, т. е. не содержит участ-

§ 10]
ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ
37
Рис. 1.15. К вопросу о слабом
разрыве.
ков, где скорость газа, давление и плотность уменьшаются в направлении
распространения волны. Такие участки (АЕ и FD) на рис. 1.13 представ-
представляют собой волны сжатия.
Простая волна разрежения будет рассмотрена в следующем параграфе.
Отметим одно важное свойство простой волны, которое иллюстри-
иллюстрируется рассмотренным примером. Голова простой волны всегда распро-
распространяется по характеристике (в нашем примере по характеристике DDDi).
На переднем краю простой волны, в точке/?,
сами величины и и с непрерывны, но их про-
производные по координате х терпят разрыв
(это видно из рис. 1.13, где профили и и с
испытывают излом). Такой разрыв, в кото-
котором величины непрерывны, но разрывны
их производные, называется слабым. Слабый
разрыв можно представить себе как малое
возмущение по отношению к непрерывному
ходу газодинамических величин. Это пока-
показано на рис. 1.15, на котором изображены два
профиля, один сглаженный, а другой — с раз-
разрывом производной. Заштрихованный участок можно рассматривать как
малое возмущение.
Но мы знаем, что малые возмущения распространяются по веществу
со скоростью звука. Поэтому слабые разрывы всегда распространяются
по характеристикам.
Если нзэнтропическое течение граничит с областью постоянного тече-
течения, то это течение обязательно является простой волной, и обратно,
с областью постоянного течения
может граничить только простая
волна. Действительно, в области
постоянного течения С+- и С_-ха-
рактеристики представляют собой
семейства параллельных прямых
и инварианты /+ (х, t) и /_ (х, t)
постоянны. Границей соприкосно-
соприкосновения области какого-то изэнтропп-
ческого течения / с областью
постоянного течения // (рис. 1.16)
служит одна из характеристик,
скажем, С+ -характеристика. Тогда
С_-характеристики, продолжаясь
из области 77 в область /, пере-
переносят постоянное значение /_,так
что и в области / /_ (х, i)=const.
простая волна, бегущая направо.
Рис. 1.16. Схема двух семейств характери-
характеристик для волны, изображенной на рис. 1.13.
Следовательно, эта область есть
На рис. 1.16 проведены характеристики для случая импульса протяжен-
протяженностью в одну «длину волны», рассмотренного выше в качестве примера.
§ 10. Волна разрежения
Рассмотрим движение газа под действием выдвигающегося поршня.
Пусть вначале покоящийся газ с постоянными плотностью, давлением
и скоростью звука q0, р0, с0 занимает полупространство х > 0, слева
ограниченное неподвижным поршнем, начальная координата которого

38
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
есть х = 0. В момент t = 0 поршень начинает двигаться влево, посте-
постепенно ускоряясь от нулевой скорости до некоторой постоянной, которую
обозначим через —U. Закон движения поршня есть х = X (t). Когда
скорость поршня становится постоянной, линия X (t) превращается
в прямую X (t) = — Ut 4- const.
Как было показано в предыдущем параграфе, движение газа при
t > 0 представляет собой простую волну, бегущую направо. Голова
волны, т. е. начальное возмущение от поршня, распространяется вправо
со скоростью звука вдоль С+-характеристики ОА; х = cot (рис. 1.17).
Проведем на этом рисунке ли-
линию движения поршня X (t) и
характеристики С+- и С_-се-
мейств. В области / между
осью х и ^-характеристикой О А
газ невозмущен: характеристики
в этой области представляют
собой прямые линии с накло-
наклонами (dxldt)+ = с0; (dx/dt)- =
= — с0. Пересекая прямую О А,
С_-характеристики продолжа-
продолжаются до линии поршня и на
ней заканчивают ?свое сущест-
существование. Для наглядности рас-
рассуждений будем считать газ
Рис. 1.17. ж,г-диаграмма со схемой характери-
характеристик для волны разрежения, возникающей под
действием поршня, который выдвигается из
газа, сначала ускоряясь, а потом с постоян
ной скоростью.
идеальным с постоянной тепло-
теплоемкостью, однако подчеркнем,
что в качественном отношении
вся картина движения остается
в силе и для газа с другими термодинамическими свойствами, /..-инва-
/..-инвариант постоянен во всей физической части плоскости х, t и равен
Отсюда
/ 	 т/	/»
Y-1
с0.
м= ——-^(с0 —с), с=
и.
На границе с поршнем скорость газа совпадает со скоростью поршня
w (t), которая отрицательна. Поэтому скорость звука, а также давление
и плотность газа у поршня меньше начальных, притом тем меньше, чем
скорее движется поршень. С+-характеристики, которые являются пря-
прямыми линиями, выходят с линии поршня, имея наклоны
dx\ __ , _ y + 1 _ y+1 .
Т)+-и + с-со+ 2 и~с° 2~\w\-
Поскольку поршень только ускоряется, но не замедляется, С+-харак-
теристики, начинающиеся на линии поршня, только расходятся, но нигде
не сходятся, как показано на рис. 1.17. С+-характеристики, выходящие
с того участка линии поршня, на котором скорость поршня уже постоянна,
имеют одинаковые наклоны {dxldt)+ — с0 — ^Т" U и идут параллельно
друг другу. Пусть, например, скорость поршня становится строго постоян-
постоянной и равной w = — U (U > 0), начиная с момента ti (точка В на линии
поршня). В области /// на плоскости х, t, заключенной между линией

10]
ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ
39
поршня и С+-характеристикоы BD, все газодинамические величины
постоянны: и = — U, с = с0 — -Ц>— U = ct *). В самом деле, в этой
области /_ = const в силу общего постоянства, а /+ = const, поскольку
скорость газа на линии поршня, с которой выходят все С+-характери-
С+-характеристики, одинакова:
=и
~iс=
¦2U.
L
-и
В области //, заключенной между С+-характеристиками О А и BD и уча-
участком ОВ линии поршня, газодинамические величины зависят от х и t
в соответствии с решением для простой
волны. С+-характеристики, выходящие с
участка ОВ линии поршня, во все более
поздние моменты времени несут все мень-
меньшие значения скоростей звука и газа (все
большие по абсолютной величине скоро-
скорости газа). Поэтому распределение и я с
по газу в какой-то определенный момент
времени t' <C t\, соответствующий гори-
горизонтальной прямой t = const = t' на пло-
плоскости х, t, имеет вид, изображенный
на рис. 1.18, а.
Распределения плотности и давле-
давления в качественном отношении подоб-
подобны распределению скорости звука.
Распределения газодинамических ве-
величин в более поздний момент t" > t±
(прямая t = const = t" на плоскости х, t)
показаны на рис. 1.18, б. В этом случае
к поршню прилегает область постоянно-
постоянного течения и~ — U, с = с4. Координата
точки разделяющей области постоянного
и переменного течений /// и //, ХЕ, соответствует точке Е характе-
характеристики BD.
Задаваясь конкретным законом движения поршня, можно найти
решение задачи в аналитическом виде. Положим для примера, что скорость
поршня с течением времени меняется плавно по закону:
_ L
-е М, т>0
оо.
Рис. 1.18. Профили скорости зву-
звука и скорости в волне разреже-
разрежения, возникающей под действием
поршня (см. рис. 1.17):
а)	до момента, когда скорость пор-
поршня стала постоянной, *' < (,;
б)	после момента, когда скорость
поршня стала постоянной, i" > t,.
и стремится к постоянной величине — U асимптотически при !
Линия движения поршня описывается уравнением
о
Она асимптотически переходит в прямую X = — U (t — т).
*) Для справедливости этих формул необходимо, чтобы q было положительной
величиной, что накладывает ограничение на конечную скорость поршня: U <
— 1I с0. Случай, когда V > ——j c0, будет рассмотрен в § 11.

40
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Для нахождения искомого решения подчиним общее решение A.51)
граничному условию: и = w (t) при х = X (t). Это условие определяет
произвольную функцию ф (и):
причем
с {го) = с0 + ^—о~ w
= w(t).
Подставляя сюда X (t) и выражая время через w с помощью закона
движения поршня t = — т In ( 1 +~тгЬ найдем вид функции <р:
Ч	L У
Распределения скорости по координате в разные моменты времени
даются неявной функцией:
х =
2
2
ч
справедливой в интервале J (() < х < со?.
Предположим снова, что скорость поршня становится строго постоян-
постоянной в определенный момент t\. Зададимся постоянным значением конечной
скорости поршня — U и предполо-
предположим, что начальные ускорения пор-
поршня становятся все больше и больше
и постоянная скорость достигается
все быстрее и быстрее (^ —>- 0).
Участок ОБ линии поршня, где
скорость поршня переменна, стано-
становится все меньше и меньше (см.
рис. 1.17). Точки В ж О, откуда
выходят С+-характеристики BD и
О А, между которыми заключена об-
область переменного течения //, при
этом сближаются. В пределе tx = 0,
когда точки В я О совпадают, что
соответствует мгновенному дости-
достижению поршнем постоянной скоро-
скорости w — — U, обе характеристики
BD и О А выходят из одной точки: из начала координат х = 0, t = 0 на
плоскости х, t. Все С+-характеристики, заполняющие область пере-
переменного течения //, также выходят из начала О в виде веера. Таким
образом, в предельном случае, когда поршень в момент t = 0 начинает
двигаться с постоянной скоростью w = — U, картина на плоскости х, t
приобретает вид, изображенный на рис. 1.19.
Все характерные линии: линия «головы» волны разрежения О А, линия
«хвоста» волны OD, за которым параметры газа принимают постоянные
конечные значения, и линия поршня выходят из «центра» О. Из этого же
«центра» выходят и все С+-характеристики, расположенные между
(^-характеристиками О А и OD.
Такая волна называется центрированной простой волной. Поскольку
все С+ -характеристики в центрированной простой волне, т. е. в области
переменного течения 77, выходят из точки х = 0, t = 0, функция ср (и}
Рис. 1.19. х, «-диаграмма со схемой ха-
характеристик для центрированной волны
разрежения.

§ 11]
ЦЕНТРИРОВАННАЯ ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ
41
в решении A.51), представляющем собой в то же время и уравнение этих
характеристик, обращается в нуль. Решение для центрированной волны
имеет вид
x = [u-\-c{u)]t.	A-52)
Формально это решение можно получить и путем предельного пере-
перехода т -> 0 в примере, рассмотренном выше. Функция ф пропорциональ-
пропорциональна т, так что при т -> 0 ф (м) -v 0.
Выпишем в явном виде решение для центрированной волны разреже-
разрежения в случае идеального газа с постоянной теплоемкостью. Связь термо-
термодинамических переменных со скоростью газа и дается уже известной
формулой, следующей из условия постоян-
постоянства инварианта /_:
Y-1,
м<0. A.53) Р±
Поскольку р = Ро (Q/Qo)y,
l
Q-Qo[l
A.54)
Рис. 1.20. Профили плотности и
скорости в центрированной волне
разрешения.
Чтобы долучить зависимость этих вели-
величин от х и t, надо подставить сюда и , найденное из решения A.52) и A.53):

.	V— 1 \и\ П'У"'1 /л сел
2 . с0 J " У1-00)
в =
Y+1
A.56)
Скорость газа в центрированной волне разрежения зависит от коор-
координаты х по линейному закону. Голова волны, где и = 0, движется вдоль
линии х = cot, хвост волны, где и — w = — U, движется вдоль линии
х = {с, - U) t = (со-
t.
Профили плотности и скорости показаны на рис. 1.20.
§ 11. Центрированная волна разрежения как пример
автомодельного движения газа
Рассмотренное в предыдущем параграфе одномерное плоское движе-
движение газа, возникающее при выдвижении поршня с постоянной скоростью,
обладает одной характерной особенностью. Все газодинамические вели-
величины, описывающие движение и (х, t), с (х, t), p (x, t), p (x, t), зависят
от координаты и времени не порознь, а только в комбинации xlt. Для
области //, где величины переменны, это видно непосредственно из фор-
формул A.53) — A.56). Что же касается областей постоянного течения /
и III, то они ограничены в плоскости х, t прямыми линиями xlt = с0 =
= const (область/) и xlt = w = const, xlt = w -f- Cj = const (область///),
которые также описываются уравнениями, содержащими х и t только
в комбинации xlt. Иными словами, с течением времени распределения
всех величин по координате х, изображенные на рис. 1.20, лишь растяги-
растягиваются в пространстве, не меняя своей формы, т. е. оставаясь подобными
самим себе. Если нарисовать распределения и, с, о, р, отложив по оси

42	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
абсцисс не х, а отношение xlt (или одну из безразмерных величин xlcot,
xlwt), то мы получим застывшую картину, неизменную во времени. Такое
движение, в котором профили газодинамических величин с течением време-
времени остаются подобными самим себе, меняясь только за счет изменения мас-
масштабов величин (в данном случае масштаба длины cot или wt), называется
самоподобным или автомодельным. В § 25 мы познакомимся с более слож-
сложным примером автомодельного движения, в котором меняются не только
масштабы длины, но и масштабы самих газодинамических величин, причем
автомодельная переменная | имеет более общий вид | = xta, где а =
= const. Рассмотренная выше центрированная волна разрежения пред-
представляет собой простейший случай автомодельного движения, в котором
а = — 1, | = xlt, и масштабы газодинамических величин остаются
неизменными: с течением времени профили их и (х, t), с (х, t) самоподобно
растягиваются только по оси абсцисс, но не изменяются по оси ординат
{масштабы и, с, q, p остаются неизменными).
Физическую причину автомодельного характера центрированной
волны разрежения можно пояснить, воспользовавшись размерностными
соображениями.
Если отвлечься от диссипативных процессов вязкости и теплопровод-
теплопроводности, то уравнения газовой динамики, так же как и формулы, описываю-
описывающие термодинамические свойства вещества, не содержат никаких харак-
характерных длин и времен. Единственные масштабы длины и времени у газа —
это длина и время свободного пробега молекул, с которыми связаны коэф-
коэффициенты вязкости и теплопроводности. Однако этими масштабами могут
характеризоваться лишь микропроцессы, протекающие на расстояниях
и за времена свободного пробега молекул, но не макроскопические дви-
движения. Вещество обладает размерным параметром — скоростью звука,
которая входит наряду со скоростью вещества в описание газодинамиче-
газодинамических течений. Таким образом, если начальные и граничные условия
задачи не содержат характерных длин и времен, движение может зависеть
от координаты и времени, взятых только в комбинации xlt, имеющей раз-
размерность скорости. Именно такова рассматриваемая задача о волне разре-
разрежения, возникающей под действием поршня, выдвигающегося из газа
с постоянной скоростью w. Начальные и граничные условия вносят
только масштабы скорости: с0 и w (и, конечно, масштабы плотности q0
и давления р0, но не масштабы длины или времени *)).
Автомодельные движения имеют большое значение для газовой
динамики. Поскольку в этом случае газодинамические величины не зависят
от координат и времени в отдельности, но зависят только от их определен-
определенных комбинаций,— это уменьшает на единицу число независимых пере-
переменных в системе уравнений. В частности, при одномерных движениях
вместо двух переменных х и t (или г и t в случае сферической или
цилиндрической симметрии) появляется одна независимая переменная
%, — xlt в нашей задаче). Течение описывается уравнениями не в частных
*) Если скорость поршня не постоянна, а зависит от времени, то сразу появ-
появляются масштабы времени или длины. При этом задача о волне разрежения перестает
быть автомодельной: математически это следует из формулы A.51): если ф (и) Ф О,
то и зависит от х и t в отдельности. Однако если скорость поршня с течением времени
становится постоянной, как в примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, то
истинное решение асимптотически стремится к автомодельному. При t > т (г/т —>¦ со)
-функцию ф (и) — т в решении можно опустить. Физически это соответствует тому,
что при t ^> т параметр т становится малым по сравнению с характерным временем
.задачи t и роль его становится все менее и менее существенной. Подробнее об асимпто-
асимптотическом стремлении истинных решений к автомодельным см. в гл. X и XII.

§ 11]	ЦЕНТРИРОВАННАЯ ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ	43
производных, а обыкновенными дифференциальными уравнениями, что
в огромной степени упрощает задачу с математической точки зрения.
Ввиду принципиальной важности автомодельного течения, пред-
представляющего собой центрированную простую волну, мы еще раз найдем
решение задачи о поршне, исходя из общих уравнений газодинамики
и воспользовавшись изложенными соображениями об уменьшении числа
независимых переменных. Преобразуем эйлеровы уравнения газодинамики
к новой независимой переменной %, — xlt. Если f (x, t) — некоторая функ-
функция х и t, зависящая только от комбинации этих величин ?, — x/t, то
путем непосредственного вычисления получим
df _ I df
дх ~" г d\ '
dt	*2 dl	t d% *
dl^lt,,, V u—l df
dt dt ~*~ dx ' t dl'
Преобразуем с помощью этих формул уравнения непрерывности,
движения и адиабатичности, записанные для плоского случая:
dQ	ди , g, dq 		du
Как и следовало ожидать, сами величины х и t исключались из
уравнений. Написанные уравнения допускают прежде всего тривиальное
решение и = const, p = const, q = const, S = const, соответствующее движе-
движению однородного газа как целого. Для получения нетривиального решения
исключим из первой пары уравнений du/db,, и заметим, что третье урав-
уравнение дает S — const*), т. е. что автомодельное движение изэнтропично.
Заменяя во втором из уравнений A.57) производную от давления
на производную от плотности, dpldb, = (dp/dq) (dQ/dl) = с2 dq/dh, (поскольку
движение изэнтропично dp/dQ = (dp/dQ)s — c2), получим
откуда
„ ?	I- r i _ E. — 77 ГЦ /.	/1 c:R\
Подставляя это соотношение в уравнения A.57), найдем
или
/+ = ц± \ —^- = const.	A.59)
Мы пришли, таким образом, к уже найденному в предыдущем пара-
параграфе решению задачи о центрированной волне разрежения. Для волны,
*) Предположение о том, что не dS/dl = 0, а ц — I = 0, противоречит первому
из уравнений A.57).

44
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I.
бегущей вправо, следует взять нижний знак в формулах A.58), A.59)г
для волны, бегущей влево — верхний.
Как и раньше, всю картину течения можно сконструировать с по-
помощью решений A.58), A.59) и тривиальных решений и = const, с = const,
также удовлетворяющих автомодельным уравнениям. При этом комбини-
комбинировать эти решения следует так, чтобы удовлетворялось граничное условие
и = w у поршня.
Остановимся на некоторых особенностях волны разрежения. Характер
решения свидетельствует о том, что для его справедливости не обяза-
обязательно, чтобы газ простирался от поршня до бесконечности. До тех пор,
пока голова волны разрежения, которая бежит по невозмущенному газу
вправо со скоростью звука с0, не доходит
до правой границы газа, х = х^ >• 0, т. е.
до момента t± = х±/с0, наличие границы
никак не сказывается на движении *). По-
Поэтому полученное решение всегда описы-
описывает начальную стадию движения газа при
выдвижении поршня, даже если газ зани-
занимает конечную область.
Проследим за судьбой определенной
частицы газа, начальная координата кото-
которой была х0. До момента t = t0 — хо/с0,
пока к ней не подойдет голова волны
разрежения, частица покоится. Затем она
начинает двигаться влево, с ускорением,
О
х
Рис. 1.21. Пути частиц на х, г-ди-
аграмме для центрированной вол-
волны разрежения; ОА —голова вол- и при этом расширяется. Когда плотность
ны, OD — хвост волны.	в ней упадет до конечного значения рд,
а скорость станет равной скорости поршня
w, дальнейшее ускорение и расширение прекратятся, а частица начнет
двигаться с постоянной скоростью w. Пути нескольких частиц на
плоскости х, t изображены на рис. 1.21. Уравнения этих линий в области
разрежения // легко получить, интегрируя уравнение для линии тока
dx	2 /¦	х \	. . х0
Хо при t = t0 =—- .
с начальным условием х
Посмотрим теперь, что происходит, если переходить к движениям
со все большими и большими абсолютными скоростями поршня | w |.
Из формул A.53) — (.1.56) видно, что чем больше \w\, тем ниже скорость
звука, ллотность, давление и температура (Г ~ ]/ с) газа в конечном
состоянии (с± = с (w), рд = q (w) и т. д.). Наконец, при некоторой ско-
2
рости поршня
w
, /7± обращаются
= -^—т с0, конечные значения си
в нуль. Если поршень выдвигается еще быстрее, то формально решения
A.53) — A.56) становятся бессмысленными, так как при \u\>\w\m
Cj, отрицательно, а рд и р^ комплексны.
Фактически это означает, что при | w | > [ w \m между поршнем и левой
границей газа образуется область вакуума. Течение происходит таким
образом, как будто поршень в начальный момент t = 0 вообще «убирает-
«убирается», и газ вытекает в пустоту. При этом газ расширяется до нулевых
плотности, давления и температуры (скорости звука), и граница его дви-
движется влево со скоростью
2	^
11 = — yHfc0> |ц1шах = -уЛ1 с0-	A.60)
*) Вспомним рассуждения в § 6 об области влияния.

¦§ 12] О НЕВОЗМОЖНОСТИ СУЩЕСТВОВ. ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ СЖАТИЯ 45
Профили скорости и плотности при нестационарном истечении
в вакуум изображены на рис. 1.22. Например, для воздуха при обычных
7/5 |	5 Э	б
р
температурах у = 7/5 и
рр	у р
= 5с0. Эта величина более чем в два раза
|
превышает скорость стационарного истечения в вакуум из большого
резервуара, когда справедливо уравнение
Бернулли h 4- и?/2 = h0 = с\1{у — 1) и
"max =
Рис. 1.22. Профили плотности и
скорости при плоском нестацио-
нарном истечении газа в вакуум.
с0 при y=1 Л (здесь
через h мы обозначили удельную энталь-
энтальпию h = e -,'-р/<э)- При стационарном
истечении частица приобретает кинетиче-
кинетическую энергию ц^ах /2 на грамм только за
счет ее начального теплосодержания h0.
При нестационарном истечении в пустоту
кинетическая энергия больше ее началь-
начального теплосодержания h0 (в пять раз при
У = 1,4).
Дополнительная кинетическая энер-
энергия приобретается за счет отбора тепла от соседних частиц: полная
энергия, равная сумме кинетической и внутренней энергий в области,
охваченной волной разрежения, естественно, сохраняется и равна исход-
исходной внутренней энергии этой области.
Аналогично плоскому случаю можно рассматривать сферически или
цилиндрически симметричные волны разрежения, которые образуются,
если «сферический» или «цилиндрический» поршни в начальный момент
t = 0 начинают выдвигаться из газа, занимающего пространство г > г0
или г •< /•(,. При этом также образуется волна разрежения, голова которой
бежит по невозмущенному газу со скоростью звука с0. Однако в этих
случаях не существует областей постоянного течения между поршнем
и хвостом волны разрежения. Заметим, что сферическая и цилинд-
цилиндрическая волны разрежения, в отличие от плоской, не автомодельны:
в задаче имеется характерный масштаб длины — начальный радиус
поршня г0.
§ 12. О невозможности существования центрированной
волны сжатия
Казалось бы, решение задачи о поршне, движущемся с постоянной
скоростью, в равной степени применимо независимо от того, выдвигается
ли поршень из газа или вдвигается в газ, производит ли он разрежение или
сжатие. И то и другое движение автомодельно, т. е. решения для них
можно конструировать из тривиальных, соответствующих областям
постоянного течения, и нетривиального, соответствующего простой центри-
центрированной волне. Попытаемся формально построить непрерывное решение
для автомодельной волны сжатия, образующейся, если в начальный
момент поршень начинает вдвигаться в газ с постоянной скоростью w > О
(газ находится справа от поршня). «Голова» волны бежит по газу со ско-
скоростью звука с0 вдоль линии х = cot на плоскости х, t. К поршню примы-
примыкает область постоянного течения, где и = w, а с = си причем обе эти
области постоянного течения (/ и ///, согласно терминологии, принятой
в предыдущих параграфах) разделены областью простой центрированной
волны //, где /_ = и — -—-лс = const = — -—; с0. Отсюда следует,
¦у-1

46
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
ЧТО
= С0
w, так что «хвост» волны бежит вдоль линии х —
= (w -j- с,) t = (
w
-f- с0 jt. Распределение скорости
V
по
!
1
р
и=ги
»/
/
D
X
те x в области II описывается решением,
аналогичным A.56):
и =
Y-1.
Рис. 1.23. Профили скорости и
плотности, отвечающие непрерыв-
непрерывному решению для автомодельной
(центрированной) волны сжатия.
А — голова волны, D — хвост волны.
Решение неоднозначно и физически
бессмысленно.
Получается, что «хвост» волны распростра-
няется быстрее, чем «голова»: х-~ ц>-}-со>>
Ld
> с0, и профили скорости и плотности
имеют вид, изображенный на рис. 1.23.
Картина физически бессмысленна, ре-
решение неоднозначно в области //. Но полу-
полученное решение есть единственное непре-
непрерывное решение, которое следует из урав-
уравнений газодинамики. Следовательно, в
данном случае непрерывного решения не
существует. Эта трудность исторически
явилась одним из исходных пунктов для
построения разрывных решений уравнений газодинамики, т. е. для
построения теории ударных волн. •
Отметим, что если поршень начинает вдвигаться в газ не с постоянной
скоростью, а постепенно, ускоряясь от состояния покоя, то можно найти,
непрерывное решение для простой (но уже не
центрированной) волны сжатия, которое опи-
описывает начальную стадию движения. Положение
в этом случае вполне аналогично тому, которое
имеет место в звуковой волне не малой ампли-
амплитуды (см. § 7). Характеристики С+-семейства
(если поршень находится слева от газа) сбли-
сближаются и стремятся пересечься, крутизна про-
профиля волны сжатия нарастает с течением вре-
времени (как показано на рис. 1.24) и в некоторый
момент происходит «перехлестывание», возни-
возникает неоднозначность решения, аналогичная
описанным в § 7 и в этом параграфе. На самом
деле это означает, что образуется разрыв —
ударная волна.
в)
1
.	 X
1
	 X
\
2. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
§ 13. Введение в газодинамику понятия
об ударной волне
Рис. 1.24. Постепенное За-
Зарастание крутизны профиля
скорости в волне сжатия,
которая распространяется1
под действием ускоряюще-
ускоряющегося поршня.
г) Отвечает физически бессмыс-
бессмысленному непрерывному реше-
решению с «перехлестом» волны;
9) показывает фактический про-
профиль с разрывом после момента
«перехлеста».
Рассмотрим покоящийся газ с постоянными
плотностью и давлением q0, p0, слева ограничен-
ограниченный плоским поршнем, и предположим, что в
начальный момент поршень начал сжимать
газ с постоянной скоростью, которую будем теперь обозначать через и..
Как было показано в предыдущем параграфе, попытка найти непре-
непрерывное решение для этой задачи приводит к физически бессмысленному

§ 13]
ВВЕДЕНИЕ Б ГАЗОДИНАМИКУ ПОНЯТИЯ ОБ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
47
результату. Поскольку задача автомодельна (не содержит никаких харак-
характерных масштабов длины и времени), единственные решения, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям газовой динамики,— это тривиальное решение, в кото-
котором все величины и, q, p постоянны, и решение типа центрированной
простой волны. Таким образом, остается одна-единственная возможность
построить решение, удовлетворяющее граничным условиям задачи —
в невозмущенном газе и = 0, р = р0, q = q0; в области газа, прилегающей
к поршню, скорость газа равна скорости поршня,— это выбросить физи-
физически бессмысленную область // и непосредственно сомкнуть области
постоянного течения / и ///, предположив, что
в точке смыкания газодинамические величины
терпят разрыв, как показано на рис. 1.25.
Вообще говоря, законы сохранения массы,
импульса и энергии, которые положены в осно-
основу уравнений динамики невязкого и нетепло-
нетеплопроводного газа, не предусматривают обязатель-
обязательную непрерывность газодинамических величин.
Эти законы были сформулированы ранее в
форме дифференциальных уравнений просто
потому, что с самого начала предполагалась
непрерывность течения. Но эти же законы мож-
можно применить и к областям, в которых газоди-
газодинамические величины испытывают разрыв. С
математической точки зрения разрыв можно
рассматривать как предельный случай очень
больших градиентов газодинамических величин,
когда толщина слоя, в котором происходит
конечное изменение этих величин, стремится
к нулю. Поскольку в динамике невязкого и не-
нетеплопроводного газа, т. е. при условии, что
мы отвлекаемся от молекулярной структуры
вещества, нет никаких характерных длин,
постольку не ограничены возможности существования сколь угодно тонких
переходных слоев, в пределе сводящихся к разрыву. Эти разрывы и пред-
представляют собой ударные волны.
Найдем неизвестные величины: плотность и давление газа в сжатой
области Qi, pi, а также скорость распространения разрыва по невозму-
невозмущенному веществу/), исходя из общих законов сохранения массы, импуль-
импульса и энергии, выполнение которых не подлежит сомнению. Параметры
невозмущенного газа q0, p0 и скорость поршня и, с которой совпадает
скорость газа, будем считать известными. К моменту t в столбе с сечением
в 1 смг движение охватывает массу газа, равную Q0Dt. Эта масса занимает
объем (D — и) t, т. е. плотность сжатого газа Qi удовлетворяет
условию:
1
0
1
0
1
А
и
|

fit
t Dt
X
х
Рис. 1.25. Профили плотно-
плотности и скорости в ударной
волне.
Волна возникает под действием
поршня, который в начальный
момент начал вдвигаться в
газ с постоянной скоростью.
На верхнем рисунке — исходное-
состояние.
Масса Q0Dt приобретает количество движения Q0Dt-u, которое п&
закону Ньютона равно импульсу сил давления. Результирующая сила,
действующая на сжатый газ, равна разности давлений со стороны поршня
и со стороны невозмущенного вещества, т. е.
Q0Dut = (pt — р0) t.

48	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ.. I
Наконец, приращение суммы внутренней и кинетической энергий
сжатого газа равно работе внешней силы, толкающей поршень pxut:
Сокращая в этих равенствах время t, получим систему трех алгебраиче-
алгебраических уравнений для определения трех неизвестных величин pi, Qb D через
известные и, q0, p0 (термодинамическая связь 8 (р, q), конечно, пред-
предполагается известной).
Преобразуем эти уравнения таким образом, чтобы с правой стороны
равенств стояли только величины, относящиеся к области перед разры-
разрывом, а с левой — параметры газа за разрывом. Для этого заметим, что
если D — скорость распространения разрыва по неподвижному газу,
то и0 = — D — скорость, с которой невозмущенный газ втекает в разрыв,
a D — и — скорость распространения разрыва относительно движущегося
за ним газа, т. е. м4 = — (D — и) — это скорость, с которой газ вытекает
из разрыва. Вводя эти обозначения в уравнения, запишем закон сохра-
сохранения массы:
v<Qiui = QoWo-	A.61)
Закон сохранения импульса при помощи A.61) приобретает вид
J Pi + Qiul = Po + Qoul	A.62)
Закон сохранения энергии при помощи уравнений A.61) и A.62)
преобразуется к виду
Вводя удельную энтальпию w = г -\-plq, можно переписать его иначе:
Полученные уравнения представляют собой записанные в наиболее
общей форме соотношения между газодинамическими величинами на
поверхности разрыва, в который газ втекает по направлению, нормально-
нормальному к самой поверхности.
Замечательно, что они не содержат никаких предположений о свой-
свойствах вещества и являются выражением лишь общих законов сохранения
массы импульса и энергии.
Уравнения A.61) — A.63) можно вывести и непосредственно, рас-
рассматривая разрыв в системе координат, в которой он покоится. Посколь-
Поскольку разрыв является бесконечно тонким, внутри него не происходит
накопления массы, импульса и энергии. Следовательно, потоки этих
величин со стороны невозмущенного газа равны потокам по другую сто-
сторону разрыва. Если на разрыв нормально к поверхности набегает газ
с плотностью @0 и скоростью ц0, то поток массы есть QpUoj он равен массе,
вытекающей через 1 см2 в 1 сек с другой стороны разрыва, т. е. QiU^. Таким
образом, получаем уравнение A.61). Втекающая через 1 см2 в 1 сек масса
qouo обладает количеством движения qou0-u0. Приращение количества дви-
движения при переходе через разрыв Qiu\ — Qou2n равно импульсу сил давле-
давления за 1 сек р0 — pi или, что то же самое, потоки импульса р -\- qu2 по обе
стороны разрыва равны друг другу (то, что величина/? -f- Q представляет
собой плотность потока импульса при плоском движении, видно из фор-
формул A.7), A.8)). Так получается уравнение A.62).

§ 13]
ВВЕДЕНИЕ В ГАЗОДИНАМИКУ ПОНЯТИЯ ОБ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
49
Приращение полной (внутренней и кинетической) энергии газа, про-
протекающего в 1 сек через 1 см? поверхности разрыва qouo ( ei + y J —
— f e0 4- у j | , равно работе сил давления, совершаемой в 1 сек из
расчета на 1 см2 поверхности. Эта работа равна роио — piUi. Для того
чтобы пояснить происхождение этой величины, представим себе трубу,
по которой течет газ справа налево, про-
протекая через разрыв, находящийся где-то
посередине (рис. 1.26). Справа и слева
в трубе помещены поршни, которые дви-
движутся со скоростями и0 и iii таким обра-
образом, чтобы поверхность разрыва поко-
илась. Правый поршень, к которому при-
ложено давление ро, гонит газ через
трубу, совершая работу роио в 1 сек
1 2 Н
"oPo
^6pa5K°Z'
руу	р	ру роо
на 1 см2. Над левым поршнем газ совершает работу рги^ (поршень «совер-
«совершает» над газом отрицательную работу —p\U\). Таким образом, полная
работа, совершенная над газом, равна PqUq — PiUi. Приравнивая ее при-
приращению энергии газа, получим уравнение A.63). Его можно истолковать
и иначе: полные потоки энергии по обе стороны разрыва qu ( е + -у + -
выражение для которых следует из уравнения энергии, записанного
в форме A.10), равны друг другу.
Формально соотношения A.61) — A.63), свидетельствующие о равен-
равенстве потоков массы, импульса и энергии через поверхность разрыва, можно
получить и из дифференциальных уравнений A-2), A.7), A.10), которые
являются выражением тех же законов. Запишем эти уравнения для
плоского случая:
at
Q8
2
A.65)
Будем сначала формально рассматривать разрыв как некий тонкий
слой с большими градиентами всех величин и проинтегрируем уравнения
по этому слою от х0 до х±. Например,
a , . ,	с 9
»2) dx.
Теперь произведем предельный переход, устремив толщину слоя хг — х0
к нулю. Интегралы в левых частях, пропорциональные хг — х0 -*• 0,
исчезают (что и соответствует отсутствию накопления массы, импульса
и энергии в разрыве). Интегралы же в правых частях дают разности
потоков соответствующих величин по обе стороны разрыва, т. е. мы при-
приходим к уравнениям A.61) — A.63).
Следует подчеркнуть формальный характер последнего вывода соот-
соотношений на ударном разрыве A.61) — A.63). Он свидетельствует только
о том, что выражения для потоков массы, импульса и энергии, стоящие
4 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

50	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	?ГЛ. I
под знаками дивергенции в дифференциальных уравнениях, являются
совершенно общими, независимо от того, непрерывно течение или нет.
Если считать разрыв не математической поверхностью, а неким тонким
слоем конечной толщины, где газодинамические величины меняются
очень резко, но непрерывным образом, то применять к этому слою урав-
уравнения A.65), в которых не учтены вязкость и теплопроводность, нельзя.
Ниже мы увидим, что энтропии газа по обе стороны разрыва различны,
тогда как в дифференциальных уравнениях A.65) заложено условие
постоянства энтропии (адиабатичности движения). Отметим внешнее
сходство энергетического соотношения на ударном разрыве A.64) с инте-
интегралом Бернулли для стационарного потока
гу + ~2~ — const,
справедливого вдоль линии тока.
§ 14. Ударная адиабата
Уравнения A.61) — A.63), связывающие между собой параметры газа
по обе стороны разрыва, представляют собой систему трех алгебраиче-
алгебраических уравнений относительно шести величин: и0, Qo, р0, "i, Qi, Pi (термо-
(термодинамические свойства вещества, т. е. функции е (р, q) или w (p, q) пред-
предполагаются известными). Зная термодинамические параметры газа перед
разрывом Qo, Po и задаваясь какой-нибудь из величин, характеризующих
амплитуду ударной волны, например, давлением за фронтом волны р4
или скоростью «поршня», создающего волну \и\ = и0 — ut1 можно
вычислить все остальные неизвестные величины. Выпишем некоторые
общие соотношения, следующие из законов сохранения A.61) г- A.63).
Введем вместо плотностей удельные объемы Vo = 1/q0, Vi = 1/qi.
Из уравнения A.61) получим
Исключая из первых двух уравнений A.61) — A.62) сначала одну, а потом
другую скорость, найдем
<	= Vl^^,	A.67)
<	= V\f=^.	A.68)
Если ударная волна создается в покоящемся газе движением поршня,
для скорости движения сжатого газа относительно невозмущенного,
равной скорости «поршня», получим формулу
Vi).	A.69)
Отметим полезную формулу для разности кинетических энергий
газа по обе стороны разрыва в системе координат, bJ которой разрыв
покоится:
4-(u;-ttj) = 4- (Pi-Po)(yo+vl).

§ 15]	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ	51
Подставляя выражения для квадратов скоростей A.67), A.68) в уравнение
энергии A.63), получим соотношение, связывающее давления с удель-
удельными объемами по обе стороны разрыва:
ei(piVi)-BO(PoVo) = ±(Pi + Po){Vo-Vt).	A.71)
Заменяя удельные внутренние энергии на удельные энтальпии по
формуле w = &-\-pV, перепишем эту формулу в другом виде:
wi-w0 = ±(p1-p0)(V0 + V1).	A.72)
По аналогии с соотношением, связывающим начальные и конечные дав-
давления и объемы при адиабатическом сжатии вещества, выражения A.71)
или A.72) носят название ударной адиабаты или адиабаты Гюгонио.
Ударная адиабата представляется функцией
ро,^о),	A.73)
которая в ряде конкретных случаев, когда термодинамические связи
е = е(р, V) выражаются простыми формулами, может быть найдена
в явной форме.
Ударная адиабата имеет существенное отличие от обычной адиабаты
(адиабаты Пуассона в идеальном газе с постоянной теплоемкостью).
В то время как последняя представляет собой однопараметрическое семей-
семейство кривых p = P(V,S), где параметром служит только значение
энтропии S, адиабата Гюгонио зависит от двух параметров: давления
и объема в начальном состоянии ро, Vo. Чтобы исчерпать все кривые
р = Р (V, S), достаточно пройти одномерный ряд значений энтропии S.
Чтобы исчерпать все кривые p — H(V, р0, Vo), надо построить «бесконеч-
«бесконечность в квадрате» кривых, отвечающих всем возможным р0 и Fo.
§ 15. Ударные волны в идеальном газе с постоянной
теплоемкостью
Особенно простой вид преобретают формулы для ударной волны
в случае идеального газа с постоянной теплоемкостью. На этом примере
удобно выяснить все основные закономерности изменения величин
в ударной волне. Подставим в уравнения ударной адиабаты A.71) или A.72)
соотношения
e = cvT = ^-rpV; w^CpT^^L-pV.	A.74)
Это дает возможность найти в явном виде уравнение ударной адиабаты:
Ро
Для отношения объемов получим формулу:
J^pI-	^
Отношение температур равно
A.77)
4*

52
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
С помощью A.76) скорости по формулам A-67) и A.68) можно представить
через давления и начальный объем:
i> + l)Pi].	A-78)
A.79)
Выясним на примере идеального газа с постоянной теплоемкостью
некоторые закономерности для ударных волн. Ударная адиабата пред-
представляет собой кривую на плоскости р, V, которая проходит через точку
начального состояния р0, Vo.
Эта кривая изображена на рис. 1.27. В принципе формулу A.75)
можно распространить и на давления, меньшие начального Pi<^po-
Как мы увидим ниже, в § 17, эта часть кривой
Pi !	соответствует физически неосуществимым со-
состояниям. Поэтому она проведена на рис. 1.27
пунктиром. Из формулы A.76) видно, что в слу-
случае ударной волны очень высокой амплитуды,
когда давление за фронтом гораздо больше
начального, плотность газа при возрастании
амплитуды увеличивается не беспредельно,
а стремится к определенному значению. Это
предельное сжатие в ударной волне зависит
только от показателя адиабаты и равно
во
A.80)
V,
Рис. 1.27. Ударная адиа-
адиабата.
Для одноатомного газа с у = 5/3 предель-
предельное сжатие равно 4. Для двухатомного газа
в предположении, что колебания не возбу-
возбуждены, y = 7/5, и предельное сжатие равно 6;
если считать,''что колебания возбуждены, у = 9/7 и сжатие равно 8.
В действительности, при высоких давлениях и температурах теплоем-
теплоемкость и показатель адиабаты в газах уже не являются постоянными,
так как в газе происходят диссоциация молекул и ионизация атомов.
Ударная адиабата с учетом этих процессов будет рассмотрена в гл. III.
Однако и в этом случае величина сжатия всегда остается ограниченной
и чаще всего не превышает 11—13. Сжатие газа в ударной волне при
данном большом отношении давлений тем сильнее, чем выше теплоемкость
и меньше показатель адиабаты.
Поскольку при больших давлениях р^ плотность возрастает очень
медленно с ростом давления, температура сжатого газа растет пропор-
пропорционально давлению (см. формулу A.77) при Vt ж const). В пределе
сильной волны, когда pi/p0 > 1 и VJV0 « (у — 1)/(y + 1),
A.81)
То Y + 1 Ро '
Скорости в пределе при Pi/p0 -*• °° растут пропорционально корню
из давления. Как видно из формул A.67) и A.68), при pi > р0
ио = V -Нг
A.82)

§ 15]	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ	53
Очень важные следствия можно получить, сопоставляя скорости газа
по обе стороны разрыва с соответствующими скоростями звука. В идеаль-
идеальном газе с постоянной теплоемкостью
Р
— Л?		 д? ту 1/
'S	Q
Составим отношения скоростей газа относительно разрыва к скоростям
звука:
^-,	A.83)
2Y
В предельном случае ударной волны малой амплитуды, когда давле-
давления по обе стороны разрыва близки друг к другу, Pi та р0, (pt —РоIро < 1,
согласно формуле A.76), также мало и сжатие газа: Fj та Vo; близки
друг к другу и скорости звука Су та с0. Из формул A.83) и A.84) видно,
что в этом случае м0 я? с0 та с4 та и\. Но м0 есть скорость распространения
разрыва по невозмущенному газу. Таким образом, слабая ударная волна
бежит по газу со скоростью, очень близкой к скорости звука, т. е. практи-
практически не отличается от акустической волны сжатия. Это не удивительно,
ибо при малом отличии pi от р0 мы имеем дело с малым возмущением.
Далее, из формул A.83) и A.84) видно, что в ударной волне, в которой
происходит сжатие газа (F4 < Vo, pi > р0), газ втекает в разрыв со сверх-
сверхзвуковой скоростью и0 > с0, а вытекает из него с дозвуковой и^ < с±
(то, что Vi < Fo, Qi > g0 при pt > p0, следует и из общих формул A.67),
A.68)). Можно сказать иначе: ударная волна распространяется по невозму-
невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью, а по сжатому газу, находя-
находящемуся за нею, с дозвуковой. Чем выше амплитуда ударной волны, т. е.
чем больше отношение pi/p0, тем больше скорость фронта волны и0 по
сравнению со скоростью звука в невозмущенном газе с0. Отношение же
щ/ci в пределе сильной волны р± > р0 стремится к постоянной величине
A.85)
Ро	"¦	'
Рассмотрим, что происходит с энтропией газа при сжатии его удар-
ударной волной. Энтропия идеального газа с постоянной теплоемкостью с точ-
точностью до константы равна S = cv\npVy. Разность энтропии по обе
стороны фронта ударной волны с помощью формулы A.76) можно пред-
представить в виде
(¦у	1) Pi _[.-(у +1) 'у
= Су 1П
Ро (Y + D
L	Ро
В предельном случае слабой волны (р4 та р0) выражение в фигурных
скобках близко к единице и Si та So. При возрастании амплитуды волны,
т. е. при увеличении отношения pi/po, начиная от единицы, выражение
в фигурных скобках, как легко проверить, монотонно растет, стремясь
к бесконечности приpt/p0 ->¦ оо. Таким образом, энтропия газа, испытываю-
испытывающего ударное сжатие, возрастает, причем тем сильнее, чем выше амплитуда
ударной волны. Возрастание энтропии свидетельствует о том, что в удар-
ударной волне происходят необратимые, диссипативные процессы, связанные с
существованием вязкости и теплопроводности вещества. Теория, в которой

54	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
эти процессы не учитываются, естественно, не может описать сам
механизм ударного сжатия, не может описать структуру того тонкого,
но в действительности конечного слоя, в котором происходит переход
газа из начального состояния в конечное. Именно поэтому в теории, где
вязкость и теплопроводность не приняты во внимание, ударный разрыв
представляется математической поверхностью с нулевой толщиной. Как
было отмечено выше, в такой теории нет характерной длины, которая
могла бы послужить масштабом для толщины разрыва. При учете моле-
молекулярной структуры газа, т. е. процессов вязкости и теплопроводности,
такой масштаб появляется. Это — длина свободного пробега молекул,
которой пропорциональны коэффициенты вязкости и теплопроводности
и которая, в действительности, служит мерой реальной ширины разрыва.
Существенно, однако, что сама величина возрастания энтропии при
ударном сжатии совершенно не зависит от механизма диссипации и опре-
определяется исключительно законами сохранения массы, импульса и энергии.
От механизма диссипации зависит только ширина разрыва, т. е. скорость,
с которой происходит необратимое нагревание газа, испытывающего удар-
ударное сжатие. Так, стакан горячей воды непременно остывает до вполне
определенной, комнатной температуры, совершенно независимо от меха-
механизма теплообмена с окружающей средой, которым определяется лишь
скорость остывания.
От механизма диссипации зависят величины градиентов газодинами-
газодинамических величин в переходном слое, но не скачки этих величин между
конечным и начальным состояниями, которые определяются только
законами сохранения. Например, если Ар = pi — р0 есть скачок давления
в ударной волне, а Да; — ширина переходного слоя, то при изменении
коэффициентов вязкости и теплопроводности меняются Ах и dp/dx ~
~ Ар/Ах, но произведение Ах -j^- ж Ар остается неизменным. В пределе,
когда коэффициенты вязкости и теплопроводности устремляются к нулю,
Ах -*¦ 0, а —~- ~ -г—>¦ оо, градиенты становятся бесконечными, что
их	/\х
и соответствует разрыву.
Дифференциальные уравнения газовой динамики без учета вязкости
и теплопроводности лишь допускают возможность существования раз-
разрывов, но не могут описать непрерывным образом переход из начального
в конечное состояние, ибо в уравнениях автоматически заложено условие
адиабатичности процесса, dS/dt = 0, эквивалентное уравнению энергии.
Дифференциальные уравнения содержат четыре закона сохранения:
массы, импульса, энергии и энтропии, тогда как в разрыве выполняются
только три из них, все, кроме закона сохранения энтропии.
К вопросу о толщине фронта ударной волны, который может быть
решен лишь при учете молекулярной структуры вещества, т. е. при
«микроскопическом» рассмотрении процесса ударного сжатия, мы вернем-
вернемся ниже, в § 23. Теперь же продолжим «макроскопическое» описание
явления ударного сжатия, исходя только из законов сохранения массы,
импульса и энергии.
§ 16. Геометрическая интерпретация закономерностей ударного сжатия
Для лучшего уяснения различных закономерностей в теории ударной
волны и свойств ударной адиабаты очень полезны графические построения
на диаграмме р, V. Проведем на плоскости р, V через точку А начального
состояния вещества р0, VQ ударную адиабату НН (рис. 1.28). Будем

§ 16]
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ УДАРНОГО СЖАТИЯ
55
Р
считать, что характер этой кривой аналогичен ударной адиабате идеаль-
идеального газа с постоянной теплоемкостью, т. е. что кривая везде обращена
выпуклостью вниз: вторая производная d2pldV2 в каждой точке положи-
положительна. В целях наглядности мы будем иллюстрировать некоторые поло-
положения конкретными вычислениями на примере идеального газа с постоян-
постоянной теплоемкостью, однако можно показать, что закономерности являются
общими и справедливы для веществ
с другими термодинамическими свой-
свойствами. Единственное условие, кото-
которое накладывается на эти свойства,—
это чтобы ударная адиабата во всех
точках была обращена выпуклостью
вниз. Пусть вещество после удар-
ударного сжатия из состояния А (р0, Vo)
переходит в состояние В (pi, Vi),
изображаемое точкой В, лежащей
на ударной адиабате.
По формуле A.67) скорость рас-
распространения ударной волны по не-
невозмущенному веществу дается вы-
выражением
D2 = ul = Vl yY	у .	Рис. 1.28. р,У-диаграмма.
'	НН — адиабата Гюгонио, РР — адиабата
Пуассона, К К — касательная к обеим адиа-
1рафИЧеСКИ эта СКОРОСТЬ Определяет- батам в точке начального состояния А(Уо.Ро).
ся наклоном прямой АВ, проведенной
из начального состояния в конечное ((pt — Po)/(Vo — l^i) равно тангенсу
угла наклона прямой). Из рис. 1.28 видно, что чем выше конечное давле-
давление (чем мощнее ударная волна), тем больше наклон прямой и тем больше
скорость волны. (Для иллюстрации на рис. 1.28 проведены две прямые,
АВ и АС.)
Посмотрим, чем определяется начальный наклон ударной адиабаты
в точке А. Вычислим производную dpi/dVi с помощью формулы A.75)
для идеального газа с постоянной теплоемкостью:
dpi _ 	 (Y—1)Рр
Л —
Взяв производную в точке А, т. е. положив Ft = Vo, получим
(dpi/dV~iH = — \Pq/V0. Но эта величина есть не что иное, как наклон
адиабаты. Пуассона р ~ V~v, проходящей через точку A: (dp/dV)s —
= — yp/V. Таким образом, в точке А ударная адиабата касается адиабаты
Пуассона, проходящей через эту точку. Обычная адиабата РР, соответ-
соответствующая начальной энтропии газа So = S (Po,Vo), также проведена на
рис. 1.28. Касание адиабат в начальной точке иллюстрируется и общей
формулой A.67) для скорости ударной волны. В пределе слабой волны,
когда (pi —ро)/ро-+ 0, ударная волна не отличается от звуковой, изме-
изменение энтропии стремится к нулю, и скорость волны D совпадает со ско-
скоростью звука:
П2 т/2 Pi — Ро .	т/а ( Ар Л	а
0 V0 — Vi	к« V. AV Js °"
Вообще же наклон прямой АВ всегда больше наклона касательной
к адиабате в точке А, так что всегда D = и0 > с0.

56
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Начальный наклон ударной адиабаты определяется скоростью звука
в исходном состоянии. Строго это будет доказано для общего случая про-
произвольного вещества в § 18. Непосредственным вычисленрюм по формулам
для идеального газа с постоянной теплоемкостью можно убедиться в том,
что в точке А совпадают не только первые, но и вторые производные от
адиабат Гюгонио и Пуассона, т. е. в точке А имеет место касание второго
порядка. Это положение также является
общим (см. § 18).
Адиабата Гюгонио везде проходит
выше обычной адиабаты, проведенной
из начальной точки, как показано на
рис. 1.28. В самом деле, при
ударном сжатии от объема Vq до объема
Vi < Vo энтропия повышается, а при адиа-
адиабатическом — остается неизменной. Но при
одинаковом объеме давление тем выше,
чем больше энтропия.
Приращение удельной внутренней
энергии при ударном сжатии е4 — е0
от состояния А до состояния В, как видно
из выражения A.71) для ударной адиа-
адиабаты, численно равно площади трапеции
MABN, покрытой на рис. 1.29 горизон-
горизонтальной штриховкой.
Если газ сжать адиабатически из
состояния А до того же самого ебъема
Уг (до состояния Q), то для этого нужно совершить работу, численно
равную площади фигуры MAQN, ограниченной сверху обычной адиа-
адиабатой Р и заштрихованной вертикально. Эта площадь дает и прира-
приращение внутренней энергии газа
V
Р Н\
р
а
„
к
Т
L ±
С
А
N
М
Рис. 1.29. К геометрической ин-
интерпретации приращения энергии
в ударной волне.
Н — ударная адиабата, Р — адиа-
адиабата Пуассона.
Vo
(интегрирование ведется при S = So). Для того чтобы привести газ
в конечное состояние В, необходимо его еще нагреть при постоянном
объеме Vi, сообщив ему количество тепла, численно равное разности
площадей, заштрихованных горизонтально и вертикально, т. е. равное
площади фигуры ABQ. Эта площадь и определяет возрастание энтропии
газа при ударном сжатии. Она равна
So
где Т — некоторая средняя температура на отрезке прямой QB (при
V = Vi = const).
В системе координат, в которой исходный газ покоится, он после
сжатия приобретает кинетическую энергию (на 1 г), равную, согласно
общей формуле A.69),

§ 16]
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ УДАРНОГО СЖАТИЯ
57
Эта энергия численно равна площади треугольника ABC на рис. 1.29, допол-
дополняющего трапецию MABN, площадь которой соответствует 8i — е0, до
прямоугольника MCBN.
Площадь этого прямоугольника pi (Vo — Fi) представляет собой пол-
полную энергию, сообщенную «поршнем» 1 г первоначально покоящегося
газа. В сильной ударной волне, когда
Pi > J»o> она поровну делится между
приращениями внутренней и кине-
кинетической энергий: площ. MABN да
даплощ. ABC:
Разберем на диаграмме p,V со-
соотношение между скоростями газа и
звука в конечном состоянии (рис. 1.30).
Проведем через точку В на адиабате
НА, соответствующей начальному со-
состоянию А, новую адиабату Нв, для
которой точка В является начальной.	'
Из симметрии уравнения адиабаты отно- Рис. 1.30. р,У-диаграмма, поясняю-
сительно перестановки индексов «О» и щая соотношение между скоростями
«1» следует, что если рх = Н (Vt, р0, Vo), газа и звУка в УДаРн0Й волне-
то р0 = Н (Fo, pu Vx). Другими сло-
словами, адиабата Нв, формально продолженная в сторону давлений,
меньших начального, пересекает адиабату НА в точке А. Взаимное рас-
расположение адиабат НА и Нв таково, как это показано на рис. 1.30, в чем
легко убедиться на примере идеального газа с постоянной теплоемко-
теплоемкостью *). Скорость распространения волны относительно сжатого газа
определяется формулой A.68)
,,2 _ т/2 Pi — РО
ui-yi vo-Vl ¦
Квадрат скорости звука в сжатом газе в точке В равен
3V
Первая величина пропорциональна тангенсу угла наклона пря-
прямой В А, а вторая — тангенсу угла наклона касательной к ударной адиа-
адиабате Нв в точке В (ударная адиабата Нв и адиабата Пуассона, проходящая
через В, касаются друг друга). Взаимное расположение прямой В А
и адиабаты Нв соответствует тому, что at < сх.
В конце § Щ было отмечено, что, в отличие от адиабаты Пуассона,
адиабата Гюгонио зависит от двух параметров. Благодаря этому нельзя
путем сжатия газа несколькими ударными волнами, исходя из данного
*) То, что адиабата Нц проходит левее НА при давлениях более высоких, чем рв,
можно пояснить следующим образом. Если точка В соответствует сжатию газа из
состояния А очень сильной ударной волной, то адиабата НА проходит при р > рв
почти вертикально, отвечая предельному сжатию до объема, равного [(у —l)/(v + I)] VA.
В то же время, пропуская вторую ударную волну по газу из состояния В, мы
можем его сжимать вплоть до объема

58
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Pi
начального состояния, прийти к тому же самому конечному состоянию,
что и путем сжатия одной волной.
Так, например, если пропустить по одноатомному газу сильную удар-
ударную волну, газ сожмется в четыре раза, а если пропустить одну за другой
две сильные волны, оставляя неизмен-
неизменным конечное давление, получим сжа-
сжатие в 16 раз.
В то же время, разбивая адиабати-
адиабатический процесс на сколько угодно
этапов, придем к одной и той же плотно-
плотности, если задано конечное давление.
Это положение иллюстрируется
диаграммой р, V рис. 1.31, где изобра-
изображены адиабата Пуассона и несколько
адиабат Гюгонио, отвечающих сжатию
газа последовательными ударными
	«к волнами.
я- Ж17. Невозможность существования
тическом сжатиях газа до одинако- /ударной волны разрежения в веществе
вого давления pt.	у	с нормальными свойствами
НА> Нв, Hq— ударные адиабаты, для
которых точки А, В, С являются началь-	В § 15 быЛИ ВЫПИСЭНЫ формулы
ными; Р — адиабата Пуассона.	"	^ ^ J
для вычисления различных величин,
связанных с ударной волной, для
случая идеального газа с постоянной теплоемкостью. Из этих формул
непосредственно следовало, что в ударной волне, в которой происходит
сжатие вещества, выполняются следующие
неравенства:
Р\
Qo. Vi < Vo, Щ
S1>S0.
c0) щ < ct,
A.86)
ut>c,
ft,p>,s>
Одновременно со сжатием вещества и по-
повышением его давления растет и энтропия;
волна распространяется по невозмущенному
газу со сверхзвуковой скоростью, а по
сжатому газу за нею — с дозвуковой. Этот
режим схематически изображен на рис. 1.32, а.
Распространим теперь выражения A.75) для
ударной адиабаты на давления, меньшие на-
начального, и допустим, что существуют такие
разрывы, в которых происходит не сжатие,
а разрежение газа: Vt > Vo, py <. р0-
Законы сохранения массы, импульса и энер-
энергии, с помощью которых были получены формулы, связывающие скорости,
плотности и давления по обе стороны разрыва, никак не ограничивают
возможности существования таких разрывов. Из формул A.83) — A.84)
видно, что в этом случае и0 <с0, a Ui^Cj. Формула A.85) для скачка
энтропии в разрыве свидетельствует о том, что энтропия газа при
этом уменьшается (выражение в фигурных скобках меньше единицы при
Pi<Po)-
Рис. 1.32.Схематические изо-
изображения ударных волн сжа-
сжатия (а) и разрежения (б).
Газ втекает в разрыв справа
налево.

§ 17] НЕВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 59
Мы приходим, таким образом, к режиму ударной волны разрежения,
в котором одновременно выполняются следующие неравенства:
Pi<Po, Qi<Qo.
щ<с0,
Si<S0, A.87)
и который схематически изображен на рис. 1.32, б.
Геометрическая интерпретация этих неравенств, подобная изложен-
изложенной в § 16, представлена на рис. 1.33. Наклон прямой АВ меньше наклона
касательной к ударной адиабате НА в точке начального состояния А
(и0 •< с0) и больше наклона касательной ко второй ударной адиабате Нв,
проведенной через точку конечного со-
состояния В (ui > q).
Адиабата Пуассона Р, проходящая
через точку А в области pi <Lpo, стелется
выше ударной адиабаты НА. Этим и объ-
объясняется уменьшение энтропии при ударном
разрежении. При адиабатическом разреже-
разрежении до того же объема Fj давление р'
выше конечного pt. Для того чтобы прийти
из Q в В, надо охладить газ при постоян-
постоянном объеме, т. е. уменьшить его энтропию.
Но до второму закону термодинамики,
за счет одних только внутренних процессов,
без отбора тепла наружу, энтропия вещест-
вещества не может уменьшаться. Отсюда следу-
следует невозможность распространения волны
разрежения в виде разрыва, и из двух
режимов, существование которых допуска-
допускается законами сохранения массы, импульса
и энергии, требование возрастания энтро-
энтропии выбирает только один — ударную вол-
волну сжатия. Это положение'носит совершен-
совершенно общий характер и известно под назва-
названием теоремы Цемплена. В следующем параграфе будет показано, что
в волнах слабой интенсивности при условии положительности второй про-
производной (d2p/dV2)s > 0 совокупности неравенств A.86) или A.87) выпол-
выполняются одновременно, совершенно независимо от конкретных термодина-
термодинамических свойств вещества. Это положение можно доказать и для волн
не малой амплитуды и произвольного вещества. Единственное условие,
которое накладывается на свойства вещества,— это чтобы ударная адиа-
адиабата во всех точках была обращена выпуклостью вниз: (<Э2р/<9^)н > О,
подобно тому как это имеет место для идеального газа с постоянной тепло-
теплоемкостью. Подавляющее большинство реальных веществ обладает именно
такими свойствами, так что утверждение о невозможности существования
ударных волн разрежения имеет весьма общий характер (о некоторых
исключениях речь пойдет ниже).
Невозможность существования ударной волны разрежения можно
пояснить следующим образом. Такая волна распространялась бы по
невозмущенному газу с дозвуковой скоростью и0 < с0. Значит, если
в какой-то момент времени и возникнет состояние, подобное изображенно-
изображенному на рис. 1.32, б, то возмущение от скачка плотности и давления побежит
вправо со скоростью звука с0, обгоняя «ударную волну»; через некоторое
время разрежение охватит газ перед «разрывом», и разрыв попросту
Рис. 1.33. К геометрической ин-
интерпретации неравенств в «удар-
«ударной волне разрежения».
Яд— ударная адиабата; Р—адиабата
Пуассона, проходящая через точку
А начального состояния; ifg— удар-
ударная адиабата, проведенная из точки
конечного состояния В.

60
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
размоется. Иными словами, ударная волна разрежения механически не-
неустойчива. Наоборот, ударная волна сжатия распространяется по невоз-
невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью ио > с0; состояние за фронтом
этой волны никак не может повлиять на состояние газа перед волною
и разрыв остается устойчивым. Относительно сжатого газа ударная волна
сжатия распространяется с дозвуковой скоростью ut ¦< el7 поэтому газо-
газодинамический режим за фронтом ударной волны влияет на амплитуду
волны.
Если, скажем, подогревать или сжимать газ за фронтом, то ударная
волна будет усиливаться, и наоборот, если за фронтом ударной волны
происходит охлаждение газа или его разрежение, то возмущения, несущие
разрежение, догоняют ударную волну и ослабляют ее.
В ударной волне разрежения положение было бы обратное: поскольку
она распространялась бы по разреженному газу со сверхзвуковой ско-
скоростью, она не была бы подвержена воздействию каких-либо процессов,
происходящих за нею — была бы «неуправляемой».
Весьма существенно, что условие механической устойчивости ударной
волны совпадает с термодинамическим условием возрастания энтропии.
Механическая устойчивость может иметь место только тогда, когда волна
распространяется по невозмущенному веществу со сверхзвуковой ско-
скоростью, иначе возмущение, вызываемое ударной волной, проникло бы
в исходный газ со скоростью звука, опередило бы ударную волну, размы-
размывая тем самым резкий фронт волны. В то же время с условием возрастания
энтропии совпадает и условие, позволяющее представить себе причинную
связь явлений. Именно при возрастании энтропии ударная волна сжатия
распространяется по испытавшему превращение газу с дозвуковой ско-
скоростью, т. е. внешние факторы, такие, например, как поршень, вдвигающий-
вдвигающийся в газ, могут вызывать появление ударной волны и в дальнейшем воз-
воздействовать на ее распространение.
Таким образом, в веществе с нормальными термодинамическими
свойствами, когда (d2p/dV2)s > 0, ударные волны сжатия, соответствую-
соответствующие возрастанию энтропии, оказываются механически устойчивыми и под-
подверженными воздействию внешних причин. Возникновение ударной
волны разрежения невозможно как с термодинамической точки зрения,
так и с точки зрения устойчивости: возникший однажды крутой фронт
разрежения размылся бы с течением времени.
Приведем в заключение этого параграфа таблицу, иллюстрирующую
возможности осуществления различных режимов:
Разрыв
Плавное рас-
распределение
Волна сжатия
Возможна; энтропия
растет; механиче-
механическая устойчивость
Невозможна; неогра-
неограниченное нараста-
нарастание крутизны фрон-
фронта, переходящее в
« перехлестывание»
Волна разрежения
Невозможна; энтро-
энтропия уменьшается;
механическая не-
неустойчивость
Возможна; распреде-
распределения становятся с
течением времени
все более плавными

§ 18]	, УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ	61
§ 18. Ударные волны слабой интенсивности
Рассмотрим ударную волну слабой интенсивности, в которой скачки
всех газодинамических параметров можно рассматривать как малые вели-
величины. При этом пока не будем делать никаких предположений о термоди-
термодинамических свойствах вещества, исходя только из законов сохранения.
Рассматривая внутреннюю энергию как функцию энтропии и удель-
удельного объема, запишем приращение энергии в ударной волне в виде разло-
разложения по малым приращениям независимых переменных около точки
начального состояния:
^ i 0) + 6
Все производные в этом разложении берутся в точке начального
состояния V0S0- Как мы сейчас увидим, приращение энтропии в волне
Si — So есть величина третьего порядка малости, если рассматривать
приращение V± — Fo как малую первого порядка. Поэтому, ограничиваясь
разложением внутренней энергии до величин третьего порядка, можно
опустить члены, пропорциональные (Л\ — <S"o) (Fi —Fo), (Si— SoJ и т. д.
Согласно термодинамическому тождеству de =¦ Т dS — р dV,
Поэтому
8l - e0 = Го {Si - So) - po (V, - Vo) -
Подставим это выражение в уравнение адиабаты Гюгонио A.71)
и разложим в правой части ее давление pt. Поскольку левую часть равен-
равенства можно разложить до величин третьего порядка, в разложении давле-
давления достаточно ограничиться членами второго порядка по разности Vt — Vo
и опустить член, содержащий приращение энтропии, так как он даст
в правой части слагаемое, пропорциональное (S± — So) (V4 — Fo), которое
есть величина более высокого порядка малости, чем (Vl—F0K:
Производя сокращения в уравнении адиабаты Гюгонио с подставлен-
подставленными разложениями, получим связь приращения энтропии с приращением
объема:
= ^ (-^-)s (Fo - FtK.	A.88)
Если исходить из уравнения адиабаты Гюгонио, записанного в форме
A.72), где вместо внутренней энергии стоит энтальпия, получим анало-
аналогичным путем
То (Si - So) = -A- D^-)s (Pi - PoK.	A.89)

62	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
В тождественности обеих формул легко убедиться, подставляя раз-
разложение (/?!—р0) = (dpldV)s (Yi ~ Fo) в формулу A.89) и замечая, что
^V___d_&V_	д_ г 1 \ а / 1 N
dp* ~ dp др~ dp \ dp/dV ) ~ dV \ dp/dV )
др/dV
-8
Формулы A.88) и A.89) показывают, что приращение энтропии в удар-
ударной волне слабой интенсивности есть величина третьего порядка малости
относительно приращений Pi — p0 или Fo— Vu которыми характери-
характеризуется амплитуда волны.
Из формул A.88) и A.89) видно, что знак приращения энтропии в удар-
ударной волне определяется знаками вторых производных (d2p/dV2)s или
(d%VIdp2)s- Если адиабатическая сжимаемость вещества — (dV/dp)s умень-
уменьшается с увеличением давления, т. е. (d2V/dp2)s >0 и (d2pldV2)s > О,
обычная адиабата на плоскости р, V изображается кривой, обращенной
выпуклостью вниз (как в идеальном газе с постоянной теплоемкостью).
В этом случае энтропия растет (Si > So) B ударной волне сжатия, когда
Pi > Ро> Vi <C Vo, и уменьшается в ударной волне разрежения. Если же
(d2V/dp2)s < 0, (d2p/dF2)s < 0, положение обратное: энтропия растет
в ударной волне разрежения, когда pt < р0, Vi > Fo, и уменьшается
в ударной волне сжатия. Поскольку для подавляющего большинства
реальных веществ (d2V/dp2)s > 0, то из условия невозможности уменьше-
уменьшения энтропии и следует невозможность существования ударных волн раз-
разрежения. Это положение уже было сформулировано выше и продемон-
продемонстрировано на конкретном примере идеального газа с постоянной тепло-
теплоемкостью.
Запишем разложение давления р = р (S, V) около начальной точки
So, Vo вплоть до членов третьего порядка по Vi — Fo и первого порядка
по Si — iS0:
Опишем этим разложением начальные участки ударной и обычной
адиабат, проведенных через точку So, Fo. Члены первого и второго
порядков малости относительно Ft — Fo у обеих адиабат совпадают, т. е.
ударная и обычная адиабаты имеют в начальной точке общие касатель-
касательные и общие центры кривизны (имеет место касание второго порядка).
Члены третьего порядка малости у адиабат отличаются. Третий член
в правой части разложения у обеих адиабат общий. Последний же, четвер-
четвертый, у обычной адиабаты исчезает, так как Si — So = О (S = const),
а у ударной адиабаты, согласно A.88), равен
s\	*_Л?рЛ
°'~ 12Г0 V dSjv
У всех нормальных веществ давление с ростом энтропии при постоян-
постоянном объеме (во время нагревания при постоянном объеме) увеличивается,
т. е. (dpldS)v > 0; (d2p/dV2)s также положительна. Следовательно, при
Vt > Fo последний член отрицателен, а при Vt < Fo положителен: при
Vi > Fo ударная адиабата проходит ниже обычной, а при Vi <C.V0 —
выше обычной. Таким образом, в начальной точке для обеих адиабат имеет
место касание второго порядка с пересечением.

18]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ СЛАБОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
63
Взаимное расположение ударной адиабаты Н и обычной Р показано
на рис. 1.34. Для ясности отметим, что отрезок CD — величина первого
порядка малости относительно Vo — Vit DE — второго, a EF — третьего.
Вернемся к геометрической интерпретации приращения энтропии
в ударной волне (рис. 1.35). Как было показано в § 16, величина Т AS
изображается площадью фигуры AFBCEA. Разобьем ее прямой АС на
две части: сегмент АСЕ А и треугольник ABC. Площадь треугольника ABC
Н
Ро
в
К
Рис. 1.34. Взаимное расположение удар-
ударной Н и обычной Р адиабат.
DK — касательная к адиабатам в точке на-
начального состояния А. В ударной волне сла-
слабой интенсивности отрезок CD — величина
первого порядка малости, DE — второго,
EF — третьего.
•К.
Рис. 1.35. К геометрической интерп-
интерпретации приращения энтропии в
ударной волне.
равна половине произведения основания ВС на высоту Fo — F4. Отрезок
ВС при небольших изменениях всех величин, т. е. в волне слабой интен-
интен( af ) r
Т AS =
т- е-
сивности, равен
где FcerM — площадь сегмента АСЕ А. Отсюда
FP
• 	 * сегм
~ Г —а
где а = -^
dS Jv'
При малых изменениях объема а -»- 0 и Т AS -> ^Сегм, т. е. поправка
на площадь треугольника мала. И действительно, она более высокого
порядка малости, чем площадь сегмента, которая имеет порядок Т AS.
Составляя выражение для площади сегмента
TAS =
-Vd-\ (PdV)s=So
и подставляя разложения для слабых волн, придем, как и следовало ожи-
ожидать, к формуле A.88).
Таким образом, и из геометрического построения видно, что знак AS
зависит от знака площади сегмента, т. е. от того, проходит ли секущая АС

64	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
выше или ниже обычной адиабаты или, что то же самое, обращена ли
адиабата выпуклостью вниз или вверх.
Сопоставим скорости и0, ut со скоростями звука с0, ct. Как мы знаем,
отношение ио/со определяется соотношением наклонов прямой АВ (см.
рис. 1.28) и касательной к адиабате Пуассона в точке А. Отношение Mj/cj
определяется соотношением наклонов прямой АВ и касательной к адиа-
адиабате Пуассона, проведенной через точку В. Запишем выражения для
наклонов всех трех прямых:
др Л	/' dp \	_	.
-?T i = -/.T i —касательная к адиабате в точке Л,
й^ у вА V <ЭК ys0
( -^f- ! =1 ^ ! -ы д^2 ) (V1 — v0) — касательная к адиабате в точке/?.
V о* у Sb V ov у So \ or * у So
Последняя формула следует из того факта, что адиабата St = const
вплоть до членов третьего порядка относительно Vl — Vo параллельна
адиабате So = const. Замечая, что
видим, что прямая АВ проходит более круто, чем касательная в точке А,
но менее круто, чем касательная в точке В, откуда и0 > с0, ut <c q.
Это непосредственно видно и из рис. 1.30.
Существенна внутренняя связь условий возрастания энтропии и усло-
условия механической устойчивости разрыва и0 > с0. Оба условия непосред-
непосредственно вытекают из того факта, что адиабаты при уменьшении объема,
начиная от А, идут все круче и круче.
Итак, из рассмотрения ударных волн слабой интенсивности в веще-
веществе с произвольными термодинамическими свойствами мы получили все
те следствия из законов сохранения, которые были выше продемонстри-
продемонстрированы на частном примере идеального газа с постоянной теплоемко-
теплоемкостью. Единственное условие, которое нам при этом потребовалось,—
это положительность второй производной (д2р/дУ2)8.
§ 19. Ударные волны в веществе с аномальными
термодинамическими свойствами
Представим себе теперь вещество с аномальными термодинамическими
свойствами, такими, что вторая производная (d2p/dV2)s хотя бы в некото-
некоторой части адиабаты отрицательна. Обычная адиабата для такого вещества
в соответствующей области давлений и объемов обращена выпуклостью
вверх, как показано на рис. 1.36.
Из рассмотрения предыдущего параграфа следует, что при небольших
изменениях давления адиабата Гюгонио почти совпадает с адиабатой
Пуассона (с точностью до малых третьего порядка по F4 — Vo или р4 — р0).
В этом случае площадь фигуры APBMNA, ограниченной сверху
адиабатой Пуассона, больше площади трапеции AEBMNA, ограниченной
сверху секущей АЕВ, т. е. энтропия в ударной волне сжатия убывает
(это видно и из формулы A.88)). В то же время благодаря тому, что наклон
секущей меньше наклона касательной в точке А, скорость распростране-
распространения ударной волны по невозмущенному газу меньше скорости звука,
а поскольку наклон секущей АЕВ больше наклона касательной в точке В,
скорость за разрывом сверхзвуковая.

§ 19]
ВЕЩЕСТВО С АНОМАЛЬНЫМИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
65
м
N
Рис. 1.36. Адиабата Пуассона
вещества с аномальными свой-
свойствами и геометрическая ин-
интерпретация соотношений для
ударных волн сжатия и раз-
разрежения.
Наоборот, в ударной волне разрежения энтропия растет (см. форму-
формулу A.88)). Как видно из сопоставления наклонов секущей АС и касатель-
касательных в точках А и С, скорость перед разры-
разрывом сверхзвуковая, а за разрывом — дозву-
дозвуковая.
Таким образом, и в веществе с аномаль-
аномальными свойствами условие возрастания энтро-
энтропии совпадает с условием механической устой-
устойчивости и0 >• с0 и условием, допускающим
причинную связь между внешними факторами
и распространением волны: щ<С.С1. В аномаль-
аномальном веществе невозможны ударные волны
сжатия, но возможны ударные волны раз-
разрежения. Вызванное движением поршня сжа-
сжатие в таком веществе будет распространяться
в виде волны, постепенно расширяющейся
наподобие волн разрежения в обычном газе.
Ударный разрыв вообще не возникнет и дви-
движение будет адиабатическим. Волна же раз-
разрежения будет распространяться в виде
крутого фронта, который не будет расши-
расширяться с течением времени и толщина кото-
которого^ будет определяться значениями вязкости и теплопроводности.
В обычных условиях все вещества—газообразные, твердые и жидкие —
обладают нормальными свойствами: адиабатическая сжимаемость их
уменьшается с возрастанием давления. Ано-
Аномального поведения вещества можно ожидать
вблизи критической точки жидкость — газ.
Действительно, еще задолго до критической
точки изотермы газа имеют перегиб (в крити-
критической точке перегиб становится горизонталь-
горизонтальным). Для вещества с достаточно большой
молекулярной теплоемкостью, у которого по-
показатель адиабаты близок к единице, адиаба-
адиабаты и изотермы отличаются мало, и можно
ожидать, что вне области двухфазных состо-
состояний адиабаты также будут иметь перегиб,
т. е. обладать областью с аномальным знаком
второй производной, как это показано на
рис. 1.37, взятом из книги Я. Б. Зельдо-
Зельдовича [2].
Кривая / на этом рисунке ограничивает
область двухфазной системы, а кривая // есть
геометрическое место точек перегиба адиабат
(д2р/дF2)s=0. Она отделяет область, в которой
(d2p/dV2)s<c0. На рис. 1.37 проведена также
одна адиабата, обладающая аномальностью.
Кривые рассчитаны с помощью модельного
уравнения состояния Ван-дер-Ваальса для
случая теплоемкости cv=40 кал/град-моль.
Связь знака приращения энтропии и неравенств, касающихся скоростей
газа и звука, отвечающая обязательному совпадению условия возрастания
энтропии с условием механической устойчивости, может нарушиться
5 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
0,7
Ц8 1,0
Рис. 1.37. Адиабата с аномаль-
аномальной выпуклостью в ван-дер-
ваальсовом газе с теплоемко-
теплоемкостью су = 40 кал I град-моль.
Заштрихована область двухфазных
систем. Кривая II ограничивает
область состояний с аномальной
выпуклостью адиабат. Под кривой
II (d2p/dV')S < 0.

66
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
только в том случае, если в рассматриваемом интервале изменения
давления осуществляются оба знака d2p/dV2, так что адиабата Пуассона
имеет больше двух точек пересечения с секущей. При этом могут возни-
возникать сложные режимы с одновременным существованием и разрывов и при-
примыкающих к ним размытых волн.
Еще один случай аномального поведения вещества будет рассмотрен
в гл. XI; аномалии в этом случае связаны с полиморфными превращениями
(фазовыми переходами) твердых тел при тех высоких давлениях, которые
достигаются в ударных волнах. Там же будут рассмотрены и указанные
сложные режимы.
3. ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ГАЗОДИНАМИКЕ
§ 20. Уравнения одномерного движения газа
Диссипативные процессы — вязкость (внутреннее трение) и тепло-
теплопроводность — связаны с существованием молекулярной структуры
вещества. Они создают дополнительный, негидродинамический перенос
импульса и энергии и приводят к неадиабагичности движения, к термоди-
термодинамически необратимому превращению механической энергии в тепло.
Вязкость и теплопроводность проявляются толь-
только при наличии больших градиентов гидроди-
гидродинамических величин, которые имеют место,
например, в пограничном слое при обтекании
тел или внутри фронта ударной волны. В этой
книге вязкость и теплопроводность нас будут
интересовать в основном с точки зрения их
влияния на внутреннюю структуру фронта удар-
ударных волн в газах. При изучении этой структуры
течение можно считать зависящим от одной ко-
координаты х (плоским), так как толщина фронта
ударной волны всегда намного меньше радиуса
кривизны его поверхности. Поэтому мы не будем
останавливаться на выводе общего уравнения
движения вязкой жидкости (газа), который
можно найти, например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1], и
поясним только, как можно получить уравнения для одномерного, пло-
плоского случая.
Запишем уравнение сохранения импульса для невязкого газа A.7)
в плоском случае, когда все величины зависят только от одной координа-
координаты х и скорость имеет только одну ж-вую компоненту и
Рис. 1.38. Схема, поясняю-
поясняющая вывод формулы для мо-
молекулярного переноса им-
импульса.
иг (е°) = -
дпх
Примем во внимание теперь, что газ состоит из сталкивающихся
друг с другом молекул. Представим себе площадку единичного сечения,
перпендикулярную к оси х. Эту площадку с обеих сторон пронизывают
молекулы, летящие в определенных направлениях после того, как они
испытали последнее столкновение. Молекулы выходят после последнего
столкновения из слоев толщиной порядка среднего свободного пробега
молекул I, граничащих с площадкой с обеих сторон (рис. 1.38). Если
п — число молекул в 1 см3, а г; — их средняя тепловая скорость, то
в 1 сек площадку пересекает слева направо порядка nv молекул. Каждая

§ 20]	УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ГАЗА	67
из них переносит через площадку гидродинамический импульс ти, где т —
масса молекулы, т. е. плотность потока гидродинамического импульса
слева направо по порядку величины равна nv-mu. Аналогично, поток
гидродинамического импульса справа налево равен примерно nvrn X
X (и + Д")> где Ли — приращение гидродинамической скорости при
переходе от левого слоя к правому: Аи т —I. Связанная с молекулярным
переносом плотность потока х-ж компоненты импульса в аг-направлении
— > ди
равна разности потоков слева направо и справа налево, т. е.— nvml — .
Эта величина и соответствует дополнительному переносу импульса за счет
внутреннего трения; она должна быть добавлена к плотности потока
импульса Пхх = р + qu2.
Более строгое рассмотрение, основанное на изучении трехмерного дви-
движения, показывает, что в написанное выражение следует ввести числен-
численный коэффициент порядка единицы. А именно, уравнение сохранения
импульса с учетом вязкости в плоском случае имеет вид
-А(он) = _-^, n« = p + QB«-o', o'=-*-T,-g., A.90)
где \\ — коэффициент вязкости, который для газов (при отсутствии релак-
релаксационных процессов; см. ниже) по порядку величины равен
у\ — nvmi=Qvl.
Величина о' представляет собой яя-компоненту тензора вязких
напряжений. Появление ее в формуле для потока импульса эквивалентно
возникновению добавочного «давления», обязанного силам внутреннего
трения. От уравнения A.90) с помощью уравнения непрерывности легко
перейти к уравнению движения
^-S¦=-й-O»-«т').	A.91)
-?- есть сила внутреннего трения, рассчитанная на 1 см3 газа.
ох
При наличии диссипативных процессов дополнительные члены появ-
появляются и в уравнении энергии. С добавочным, «вязким» давлением связан
дополнительный поток энергии. К выражению плотности потока энергии,
которое стоит под знаком дивергенции в формуле A.10), надо прибавить
величину — о'и, аналогичную ри. Кроме того, в это выражение следует
ввести еще и поток энергии, переносимой механизмом теплопроводности:
где х — коэффициент теплопроводности. Выражение A.92) легко получить
таким же путем, каким был найден вязкий поток импульса. При этом ока-
оказывается, что в газах коэффициент теплопроводности по порядку величины
равен х Qp
С учетом обоих диссипативных членов уравнение энергии A.10),
записанное для плоского случая, приобретает вид
(г+-!?-}+ ра-о'а+У\. A.93)
Преобразуя это уравнение с помощью уравнений непрерывности,
движения и термодинамического тождества Т dS = <ie + p dV, получим
5*

68	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
уравнение для скорости изменения энтропии частицы вещества:
„ dS	, ди dJ 4 Г ди \2 д ( дТ \	,, п/ч
qT —г- = а -т.	^— = —¦ т) ( -=— ) -f -^- ( v. -^— ) .	A.94)
^	tit	г) т.	Яг	Л ' \ Я-r I J Нт \	Яг /	v	'
dt " дх дх 3 Ч дх J ' дх \" дх .
Первый член в правой части этого уравнения представляет собой
механическую энергию, диссипируемую в 1 см3 в 1 сек за счет вязкости.
Он всегда положителен, так как ц > 0 и (duldxJ > 0; следовательно,
силы внутреннего трения приводят к локальному повышению энтропии
вещества. Второй член соответствует нагреванию или охлаждению веще-
вещества вследствие теплопроводности. Он может быть как положительным,
так и отрицательным, так как теплопроводность приводит к перекачиванию
тепла из более нагретых областей в менее нагретые. Однако энтропия
всего вещества в целом вследствие теплопроводности только возрастает.
В этом можно убедиться, если поделить уравнение A.94) на Т и проинте-
проинтегрировать по всему объему. Изменение энтропии вещества, занимающего
объем, ограниченный поверхностями х, и хг, вследствие теплопроводно-
теплопроводности равно
дТ \ ,	1 дТ
-W^-дГ ] dx-
Если вещество теплоизолировано на границах х^ и х2, то потоки тепла
на границах исчезают и остается только второй член в правой части, кото-
который всегда положителен (х > 0).
Уравнения газодинамики, записанные с учетом вязкости и теплопро-
теплопроводности, позволяют судить о том, при каких условиях роль этих дисси-
пативных процессов может оказаться существенной.
Сравним инерционные силы в уравнении движения с силами вязкост-
вязкостными. Если U — масштаб скорости движения, a, d — характерные раз-
размеры области, охваченной движением, то масштаб времени порядка d/U
и инерционный член q duldt порядка QU2/d. Член вязкости в уравнении
д f 4 ди \	тг г -it
7Г ( "V Л т ' П0РяДка ци /d и отношение его к инерционному порядка
Ud сГ1Г '
Обратная величина этого отношения носит название числа Рейнольдса
(v = t|/q ~- lv ~ lc — кинематическая вязкость, с ~ v — скорость зву-
звука). Аналогичным путем, сравнивая перенос тепла путем теплопровод-
теплопроводности с механическим переносом энергии, найдем, что отношение их
порядка
1 __ у.	% _1_ с
~Г ~^T Ud ~H IT '
где Ре — число Пекле, близкое в газах к числу Рейнольдса, так как коэф-
коэффициент молекулярной температуропроводности % = x/qcp близок к коэф-
коэффициенту кинематической вязкости v. (Например, в воздухе при нормаль-
нормальных условиях v ж х ^ 0Д5 см2/сек).	ь*
Таким образом, вязкостью и теплопроводностью можно пренебречь
при Re « Ре > 1. Если рассматривать движение со скоростями, мень-
меньшими или сравнимыми со скоростью звука, размеры системы для этого
должны быть гораздо больше длины пробега молекул d/l > 1. Это уело-

§ 21]	ЗАМЕЧАНИЯ О ВТОРОЙ ВЯЗКОСТИ	69
вие, как мы увидим, не выполняется, в частности, в области фронта удар-
ударной волны, толщина которой сравнима с длиной пробега молекул. Поэтому
внутри фронта ударной волны диссипативные процессы оказываются суще-
существенными. Именно они и приводят к возрастанию энтропии в удар-
ударной волне.
§ 21. Замечания о второй вязкости
При написании уравнений газодинамики и использовании термодина-
термодинамической связи между давлением и другими термодинамическими харак-
характеристиками вещества молчаливо предполагалось, что давление р, опре-
определяющее силы в движущемся газе, не отличается от статического давле-
давления рст, измеренного в покоящемся газе в тех же условиях (т. е. при
таких же составе газа, его плотности, внутренней энергии, температуре).
Давление есть величина скалярная, не зависящая от выбора системы
координат, от направлений скорости движения и градиента скорости.
Требование скалярности давления, инвариантности его по отношению
к преобразованиям координат, допускает предположение более общее,
чем предположение о зависимости только от термодинамического состоя-
состояния вещества. Давление, вообще говоря, может зависеть от скаляра —
дивергенции скорости. При небольших градиентах, ограничиваясь первы-
первыми членами разложения, как и при выводе вязких сил, можно записать
общее выражение
р = Рст —idiv-M,	A.95)
где коэффициент | характеризует зависимость сил, действующих в веще-
веществе, от скаляра div и. Коэффициент ? называется второй вязкостью.
В отличие от нее, коэффициент т], первая вязкость, характеризует силы,
зависящие от направлений скорости и ее градиента. Коэффициент пер-
первой вязкости в газе связан с поступательным тепловым движением моле-
молекул. Если время установления статического давления порядка времени
свободного пробега молекул 1/с, то ? имеет такой же порядок, как и ц.
В плоском случае оба члена с первой и второй вязкостью при этом объеди-
объединяются вместе. В некоторых случаях, однако, ? имеет аномально большое
значение. Согласно уравнению непрерывности div и =	™ , т. е. коэф-
коэффициент | характеризует зависимость давления от скорости изменения
плотности.
При наличии- внутренних, медленно возбуждающихся степеней сво-
свободы в веществе (например, колебаний в молекулах) и быстрых изменений
состояния вещества, давление не успевает «следить» за изменением плотно-
плотности и отличается от термодинамически равновесной величины. Влияние
этого эффекта может быть описано с помощью коэффициента второй вяз-
вязкости (см. [1]), причем чем труднее возбуждаются внутренние степени сво-
свободы, тем больше «несогласованность» изменений давления и изменений
плотности и внутреннего состояния вещества, тем больше вторая вязкость.
В очень быстрых процессах, когда эта «несогласованность» (отклонение
от термодинамического равновесия) особенно велика, линейная зависи-
зависимость A.95) может оказаться недостаточной и в уравнения газодинамики
приходится вводить в явном виде описание релаксационных процессов —
кинетики возбуждения внутренних степеней свободы. Мы познакомимся
с этим явлением в главах VI, VII, VIII при рассмотрении релаксационных
процессов, их влияния на структуру фронта ударных воли и поглощение
ультразвука.

70	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
§ 22. Замечания о поглощении звука
В качестве примера влияния вязкости и теплопроводности на гидро-
гидродинамическое движение рассмотрим процесс распространения звуковых
волн с учетом этих явлений.
Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энер-
энергии звуковых волн, необратимому превращению ее в тепло, т. е. поглоще-
поглощению звука и уменьшению его интенсивности. Формально коэффициент
поглощения звука можно получить, если искать решение одномерных
линеаризованных уравнений газодинамики с учетом вязкости и теплопро-
теплопроводности в виде плоской гармонической волны типа exp [i (кх — tat)],
где к — волновой вектор. При этом для к получается комплексное значе-
значение, действительная часть которого дает длину волны, а мнимая — коэф-
коэффициент поглощения: к = к^ + ik2', exp [i (кх — со/)] = е-М^Сиж-юО.
Коэффициент поглощения можно оценить и из физических соображений.
Согласно формуле A.94), энергия, диссипируемая в 1 см3 в 1 сек, склады-
складывается из двух частей, отвечающих вязкости и теплопроводности. В звуко-
звуковой волне с длиной волны X эти величины — порядка Т)М2А2 и хАТ/Х2.
Здесь и — амплитуда скорости, а АТ — амплитуда изменения темпера-
температуры в волне (последняя пропорциональна и). Энергия звука в 1 см3 есть
QoU2. Доля энергии, которая поглощается в 1 сек, состоит из двух слагаемых.
Член, связанный с вязкостью, порядка (ци?/Х2)/д0и2 ~ т^/рдД2 ~ t)<b2/c2q0-
Но в 1 сек звук проходит расстояние с, так что коэффициент поглощения
на единице длины порядка yi ~ t]<o2/c3q0. Коэффициент поглощения на
Y. (О2
единице длины, связанный с теплопроводностью, порядка у2 ~ —~—
ср с 60
(в случае газов это легко понять, если учесть, что к/ср да ц в силу прибли-
приближенного равенства кинематической вязкости v = t|/q и температуропро-
температуропроводности % = x/qcp; в газах yi ~ Уг)- Эти выражения справедливы при
малом поглощении звука, когда мало убывание амплитуды на расстоя-
расстояниях порядка длины волны, т. е. уХ < 1 (у = Yi + Тг)- В газах это усло-
условие означает, что
. ПшЧ	v X lv	I
т. е. выражение для коэффициента поглощения справедливо для длин
волн, значительно больших пробега молекул, что фактически всегда имеет
место.
В веществе с замедленным возбуждением внутренних степеней свобо-
свободы (при большой второй вязкости) возникают дополнительное, аномально
большое поглощение, а также дисперсия звука (зависимость скорости
звука от частоты). Этот вопрос будет рассмотрен в гл. VIII.
§ 23. Структура и ширина фронта ударной волны
слабой интенсивности
Рассмотрим, каковы внутренняя структура и толщина того тонкого
слоя в ударной волне, в котором происходит переход газа из начального
состояния в конечное и который называется фронтом ударной волны.
В этом слое происходят резкое сжатие вещества, изменения его давления,
скорости и, как показали вычисления, основанные только на применении
законов сохранения массы, импульса и энергии,— возрастание энтро-

§ 23]	СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ	71
пии. Последнее свидетельствует о том, что в переходном слое имеет место
диссипация механической энергии, необратимое превращение ее в тепло.
Поэтому, чтобы понять, как происходит ударное сжатие, необходимо
привлечь к рассмотрению диссипативные процессы — вязкость и тепло-
теплопроводность.
Рассмотрим плоское одномерное течение вязкого и теплопроводного
газа в системе координат, в которой фронт ударной волны покоится.
Ширина фронта очень мала по сравнению с характерными масштабами
длины для всего газодинамического про-
процесса в целом, например, по сравнению
с расстоянием от фронта ударной волны
до поршня, толкающего газ и создаю-
создающего волну.
Даже если поршень движется с пе-
переменной скоростью и амплитуда удар-
ударной волны меняется со временем, за то	J	*?
малое время At, в течение которого
фронт проходит расстояние порядка сво- Рис. о9. Схема, иллюстрирующая
ей ширины Ах, амплитуда волны остает- постановку задачи о структуре фрон-
ся практически неизменной. Поэтому на	та ударной волны,
протяжении некоторого времени, малого
по сравнению с общим временным масштабом газодинамического процес-
процесса, но большого по сравнению с At, вся картина распределения газо-
газодинамических величин во фронте волны распространяется по газу в
«застывшем» виде как целое. Другими словами, в системе координат, в
которой фронт покоится, течение газа можно в каждый данный момент
считать стационарным.
Запишем уравнения непрерывности, импульса и энтропийное с учетом
вязкости и теплопроводности для плоского стационарного случая.
Поскольку процесс стационарен, частную производную по времени dldt
можно опустить, а частную производную по координате д/дх заменить
полной d/dx:
dx
, 4 du
3 ' dx
dS 4 S du
= 0,
С помощью второго закона термодинамики Т dS = dw — V dp и урав-
уравнений непрерывности и импульса энтропийное уравнение можно записать
в форме уравнения энергии:
d г f . и2 \ 4 им <?Г ~|	Л	,. q7.
Подчиним решение этих^уравнений граничным условиям, согласно
которым градиенты всех величин перед фронтом, при х = — оо, и за
фронтом, при х = + оо, исчезают, а сами величины принимают свои
начальные и конечные значения, которым мы по-прежнему приписываем
индексы «О» и «1» (рис. 1.39).

72
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
Первые интегралы системы уравнений массы, импульса и энергии
получаются сразу же:
A.98)
A.99)
QM = Q0M0,
4 du
A.100)
Постоянные интегрирования здесь выражены через начальные зна-
значения величин, р, о, Г, и рассматриваются как функции текущей коор-
координаты х *).
Из уравнения A.99) видно, что благодаря наличию вязкости, т. е. чле-
члена, содержащего duldx, распределение величин по х во фронте волны
должно быть непрерывным (в противном случае градиент duldx обращался
бы в бесконечность, что несовместимо с
конечностью самих величин).
В целях лучшего понимания ролей
каждого из процессов, вязкости и тепло-
теплопроводности, мы рассмотрим прежде два
частных случая структуры фронта: 1) ког-
когда нет вязкости и существует одна тепло-
теплопроводность; 2) когда существует одна
лишь вязкость, но нет теплопроводности.
Мы не будем здесь искать точные решения
уравнений (этот вопрос будет рассмот-
рассмотрен в гл. VII, специально посвященной
изучению структуры фронта ударных
волн). Ограничимся лишь выяснением
качественной картины явления и оцен-
оценками ширины фронта.
1) Есть теплопроводность, а вязкости
нет: т| = 0.
Этот случай замечателен тем, что урав-
уравнение импульса A.99) приобретает форму
Рис. 1.40. Диаграмма p,V приме-
применительно к задаче о структуре
фронта ударной волны без учета
вязкости.
Состояние в волне меняется вдоль
прямой АВ. Отрезки Д», Д2, А3 —
первого, второго и третьего порядков
малости относительно амплитуды
волны.
аналогичную той, которая связывает конечные и начальные значения вели-
величин. Однако теперь это уравнение описывает и все промежуточные состоя-
состояния во фронте волны. С помощью уравнения непрерывности A.98) получим
A.101)
Таким образом, точка, описывающая состояние газа внутри фронта
ударной волны, пробегает на плоскости р, V из начальной точки А в конеч-
конечную точку В вдоль прямой АВ, о которой уже много говорилось при иссле-
исследовании ударной адиабаты.
Проведем через точки начального и конечного состояний на плоско-
плоскости р, V адиабаты Пуассона (рис. 1.40; адиабата Гюгонио на нем не пока-
*) При х = + оо du/dx = 0, dT/dx = 0, р = рь о = q4, и — щ, и мы при-
приходим к законам сохранения массы, импульса и энергии на разрыве A.61), A.62),
A.64).

§ 23)	СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ	73
зана). Если нанести на плоскость целый ряд адиабат Пуассона с разными
значениями энтропии, то мы увидим, что одна из них коснется прямой АВ
в некоторой точке М, как показано на рис. 1.40. В этой точке энтропия
вдоль прямой АВ максимальна (So < St < SM). Из уравнений A.98)
и A.101) следует, что скорость газа и в точке касания М в точности равна
местной скорости звука {и = с в точке М; напоминаем, что в точке А
ио > с0, а в точке В и^ < сх).
Найдем величину максимума энтропии Smayi из условия касания
адиабаты Пуассона с S = 5тах и прямой АВ. Как мы сейчас увидим,
величина ?тах — So пропорциональна (Ft — F0J или (pi — р0J, поэтому
уравнения семейства адиабат р (F, S) и прямой запишем в виде разложе-
разложения около точки А, опуская члены третьего порядка малости (в таком
приближении адиабаты So и iS^ совпадают; см. § 18). Уравнение адиабаты
имеет вид:
Уравнение прямой:
yi_yQ
Р Ро — yi_yQ \v vо) —
Условие касания выражается равенством ( -=? ) = (-JL I ,
v	у	ЧЭГуадиаб V 37упрям
б	V	М
Ч	р
которое дает уравнение для определения объема VM в точке касания М.
Вычисление показывает, что точка М находится как раз посередине
между точками А и В: VM — Vo = -у (Ft — Vo). Подставляя это выра-
выражение в уравнение прямой, найдем давление в точке М, а подставляя
затем найденное значение давления рм и объем VM в уравнение адиабаты
и разрешая его относительно энтропии, получим энтропию в точке М:
Таким образом, максимальное изменение энтропии внутри фронта
ударной волны при учете одной лишь теплопроводности есть величина
второго порядка малости относительно амплитуды Fo — F4 или pt — р0,
в отличие от полного скачка энтропии Si — So, который третьего порядка
малости относительно амплитуды. Это ясно и из геометрических сообра-
соображений: наибольшее удаление прямой АВ от адиабаты Пуассона S — So
на плоскости р, V пропорционально (Ft — F0J или (pt—р0J. Так,
разность между давлениями в точке М и на адиабате SA (или SB) при
том же самом объеме VM равна
Рм(VM)-PsA (VM) = ^ ("St
(разность давлений между точками на адиабатах SB и SA при одинаковом
объеме VM есть величина третьего порядка малости).

74
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Наличие максимума энтропии внутри фронта свидетельствует о том,
что профиль температуры Т (х) в точке, где энтропия максимальна, имеет
перегиб, так что распределения температуры и энтропии в слабой удар-
ударной волне с одной лишь теплопроводностью изображаются кривыми,
показанными на рис. 1.41. Это следует из энтропийного уравнения A.97),
которое в отсутствие вязкости принимает
вид
d dT
	Чх—'
dx
dx
A.103)
(в слабой волне температура меняется мало,
так что коэффициент теплопроводности
можно считать постоянным). Существова-
Существование максимума энтропии связано с тем,
что теплопроводность перекачивает тепло
из области с более высокой температурой
в область с более низкой. Поэтому газ, вте-
втекающий в волну, сначала нагревается за счет
теплопроводности (с возрастанием энтропии),
а затем охлаждается (с убыванием энтропии).
В конечном счете по сравнению с начальным
значением энтропия, конечно, возрастает.
Это иллюстрируется рис. 1.41: продвижение вдоль оси х со скоростью
и (х) соответствует тому, что мы следим за изменением состояния заданной
частицы газа во времени.
Оценим теперь ширину фронта волны. Для этого разделим уравне-
уравнение A.103) на Г и проинтегрируем его по х от начального состояния
А (х = — оо), где dT/dx = 0, до какой-либо точки х в волне (при этом
воспользуемся тем, что qu = Qouo = const):
х	Т
1 ^Г,	Г 1 dT , Г" dT 1 ,т\	,, ,л/х
о
Рис. 1.41. Распределения тем-
температуры и энтропии во фронте
слабой ударной волны без
учета вязкости.
Ах—эффективная ширина фронта.
Применим это уравнение к точке конечного состояния В (х = 4- оо),
где dT/dx = 0.
При этом первый член в фигурных скобках исчезает и
dT-
q0u0 (^i — -50) = K\ ~fT'__
To
Определим эффективную ширину фронта ударной волны Ах при
наличии одной лишь теплопроводности равенством
dT
Ах
геометрический смысл которого ясен из рис. 1.41.
Полагая для оценки интеграла dT/dx ~ G\ — Т0)/Ах, найдем
51!—?о)~*-у2 1~~J
Ах
Выражая скачок температуры через скачок давления, получим:

§ 23]
СТРУКТУРА И ШИРИНА ФРОНТА СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
75
где ср — теплоемкость при постоянном давлении; воспользовавшись фор-
формулой A.89) для скачка энтропии и имея в виду приближенные равенства
для газов ( ^~2 ) ~ -»°) х ~ QoCplc
из A.104) оценку ширины фронта:
а также то, что и0 да с0, получим
Ах ~ I
Ро
A.105)
Pi—Ро	v '
Ширина фронта обратно пропорциональна амплитуде волны, причем мас-
масштабом ее служит длина пробега молекул I.
Из уравнения A.104) можно оценить и величину максимального
приращения энтропии. В точке максимума энтропии dSldx = 0 градиент
dTldx максимален. При этом основную
роль в фигурной скобке A.104) играет
первый член, который пропорционален
AT' I Ax ~ Ар/Ах <~ (АрJ, тогда как второй
член пропорционален (ATJ/Ax ~ (АрK.
Отсюда видно, что Smax~ S0~(ApJ, тогда
как Si - So ~ (АрK.
Рассматривая внутреннюю структуру
фронта ударной волны с учетом одной
лишь теплопроводности, можно утверждать
только то, что температура в волне меня-
меняется непрерывным образом. Что касается
других величин: плотности, скорости,
давления, то они, вообще говоря, могут
испытывать разрыв. И действительно,
рассмотрение структуры ударных волн
без учета вязкости показывает, что при
достаточно большой амплитуде построить
непрерывное распределение для всех
величин в волне невозможно. Эта труд-
трудность была отмечена еще Рэлеем (подробно
об этом см. § 3, гл. VII). Она указывает на принципиальную роль вязко-
вязкости в осуществлении необратимого ударного сжатия вещества в волне.
Рассмотрим теперь второй частный случай.
2) Есть вязкость, а теплопроводности нет: к = 0.
При этом следует сохранить общее уравнение импульса A.99). На пло-
плоскости р, V точка, описывающая состояние в волне, пробегает путь от точки
А до точки В уже не вдоль прямой АВ, а вдоль некоторой кривой линии,
изображенной на рис. 1.42 пунктиром.
Из энтропийного уравнения без члена теплопроводности
dS	Г du V	AЛ06)
V
Рис. 1.42. Диаграмма p,V приме-
применительно к задаче о структуре
фронта ударной волны без учета
теплопроводности.
Состояние в волне меняется вдоль
пунктирной кривой АВ.
dx
dx
следует, что энтропия в волне монотонно возрастает от начального зна-
значения So = SA до конечного S± = SB, так что пунктирная линия цели-
целиком заключена между адиабатами Пуассона So и Si (см. рис. 1.42).
Поскольку адиабаты обращены выпуклостью вниз ((d2p/dV2)s > 0),
пунктирная линия лежит целиком ниже прямой АВ *).
*) В самом деле, вертикальное расстояние между адиабатами 5t и So пропор-
пропорционально jSt — So ~ (pi — />оK> тогда как вертикальное расстояние между точка-
точками Л и В есть р4 — р0. Поэтому участок прямой AN, на котором пунктирная линия
в принципе могла бы пройти выше прямой, есть величина малая по сравнению с основ-
основной частью прямой NA.

76
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Уравнение кривой, вдоль которой происходит переход от точки А
в точку В, есть
А
Поскольку кривая целиком лежит ниже прямой, во всех точках
внутри волны duldx < 0. Если ось х направлена в сторону движения газа,
то и > 0, т. е. газ в волне только тормозится, а следовательно, моно-
монотонно сжимается. Таким образом, и рассмо-
рассмотрение структуры фронта ударной волны
с учетом вязкости приводит к тому, что
при (d2p/dV2)s > 0 возможно только сжатие
газа в ударной волне. Профили скорости
и плотности в волне имеют вид, изобра-
изображенный на рис. 1.43.
Определим эффективную ширину фрон-
фронта Ах равенством
А
х
Ах
Рис. 1.43. Проф]
и скорости во ф\
волны; Ах — эффективная ши-
ширина волны
"о—"
Ах
du
dx
*)
A.108)
аналогично предыдущему. Геометрический
смысл его ясен.
Максимальная абсолютная величина
градиента | duldx Jmax определяется соглас-
согласно A.107) максимальным вертикальным отклонением прямой АВ от пунк-
пунктирной линии, т. е. от адиабат Пуассона So или Si. Это отклонение, как
мы уже знаем, соответствует середине отрезка АВ и дается форму-
формулой A.102). Таким образом,
du
Подставляя это выражение для \du/dx\mSiX в A.108), ьамечая, что
= 6oV ^- Qolv ~ Qolco (v — кинематическая вязкость), а также, что
щ — щ = Y(Pl —ро) (Уо - Vi)
dV
<Э2р Л
Pi —Ро
Ро
Ро
П
dV* Js
придем к формуле A.105) для ширины фронта:
Ах~1
¦I
Ро
Pi—Ро
Ширину фронта можно оценить и с помощью энтропийного уравне-
уравнения A.106) аналогично тому, как это было сделано в первом случае:
Ах	'
Подставляя сюда выражение A.89) для скачка энтропии и проделы-
проделывая простые преобразования, придем к прежней формуле для Ах. При
построении непрерывного решения с одной только вязкостью никаких
*) Дг называют иногда шириной фронта по Прандтлю.

S 24]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА	77
трудностей, подобных тем, которые появляются при учете одной лишь
теплопроводности, не возникает. Это обстоятельство, как уже отмечалось,
имеет глубокое физическое основание и свидетельствует о принципиаль-
принципиальной роли вязкости в осуществлении ударного сжатия. Именно вязкость
является тем механизмом, благодаря которому происходит необратимое
превращение в тепло части кинетической энергии набегающего на раз-
разрыв потока, т. е. трансформация энергии направленного движения моле-
молекул газа в энергию хаотического движения за счет рассеяния их импульса.
Теплопроводность в этом отношении играет косвенную роль, так как
она приводит лишь к переносу энергии хаотического движения молекул
из одного места в другое, но не влияет непосредственно на направленное
движение.
Если рассматривать ударные волны не слишком большой амплитуды
в обычном газе, в котором транспортные коэффициенты — кинематическая
вязкость v и температуропроводность % — примерно одинаковы и опре-
определяются одной и той же длиной пробега молекул I (v л; % ~ 1с), то мы
по-прежнему получим формулу A.105) для ширины фронта. В этом легко
убедиться, рассматривая общее энтропийное уравнение A.98) с учетом
как вязкости, так и теплопроводности.
Формула A.105) показывает, что при скачке давления в волне поряд-
порядка величины самого давления перед фронтом ширина фронта порядка
длины пробега молекул. При дальнейшем увеличении амплитуды волны,
если пользоваться той же формулой, ширина становится меньше пробега.
Этот результат, конечно, не имеет физического смысла. Если газодинами-
газодинамические величины сильно меняются на расстояниях порядка пробега моле-
молекул, то теряет силу гидродинамическое рассмотрение вязкости и тепло-
теплопроводности, в основе которого лежит предположение о малости градиен-
градиентов. Ширина сколь угодно сильной ударной волны, конечно, не может
стать меньше пробега молекул, о чем свидетельствует рассмотрение, осно-
основанное на использовании кинетического уравнения для газа (см. гл. VII).
В некоторых условиях возможно значительное уширение фронта
сильных ударных волн до расстояний, измеряемых многими пробегами,
и разделение его на области плавного и резкого изменения величин.
В частности, это происходит в газе с замедленным возбуждением некото-
некоторых степеней свободы молекул или при протекании обратимой химической
реакции в волне. Эти вопросы, так же как и целый ряд других, возникаю-
возникающих при более детальном изучении внутреннего строения фронта ударных
волн, будут рассмотрены подробно в гл. VII.
4. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
§ 24. Распространение произвольного разрыва
Газодинамические величины по обе стороны фронта ударной волны
не независимы. Они связаны определенными соотношениями, выражаю-
выражающими законы сохранения массы, импульса и энергии. При этом разрыв,
ударная волна сжатия в веществах с нормальными термодинамическими
свойствами, распространяется по веществу как некое устойчивое образо-
образование, не расплываясь.
Между тем возможна такая постановка задачи, когда в начальный
момент в газе имеется поверхность разрыва, по обе стороны которой газо-
газодинамические величины никак не связаны между собою, совершенно про-
произвольны. Такие разрывы называют произвольными.

78	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
Приведем несколько практических примеров, показывающих, как
возникают произвольные разрывы. Представим себе трубу, разделенную
тонкой перегородкой (заслонкой). Труба наполнена газом, причем плот-
плотность и давление, а вообще говоря, и сорт газа по правую сторону заслон-
заслонки, — одни, а по левую — другие. Пусть в некоторый момент заслонка
быстро удаляется. В этот момент в месте, где была заслонка, соприка-
соприкасаются две области, два покоящихся газа с совершенно произвольно
задаваемыми плотностями и давлениями. Если давления в обоих газах
различны, то после удаления заслонки газы
под действием перепада давления придут
в движение. Второй пример. Предположим,
что по трубе, наполненной газом, с обоих
г'
концов запущены ударные волны с произ-
произвольно задаваемыми амплитудами. В момент
столкновения обеих волн где-то посередине
.	^_ трубы возникает поверхность, разделяющая
х газы с произвольными давлениями, скоро-
„ . ,, „ х	стями и температурами (возможные раз-
Рис. 1.44. Профиль давления	v э*	\	v
в системе следующих друг за	личия в плотностях в этом примере нес кол ь-
другом двух небольших скач-	ко ограничены; скажем, если обе волны очень
ков сжатия.	сильные, то плотности в них одинаковы
дя^мус1перТне5,0соГскУоростью; и Равны предельным). После столкновения
большей скорости звука с' в этом волн движение газа как-то изменится. Третий
дящемусяНаа^еюТс1до1з0вуаовойсм- Пример. К теории ударных ВОЛН МЫ ПОДОШЛИ,
?™ТЬГ'»М11!^11Й»С'=™2ЭТ™^.=2^ рассматривая движение газа под действием
"О К х\. В КОНЦв КОНЦОВ /^OvOxifi^T
скачок в.	поршня, начавшего вдвигаться в газ с посто-
постоянной скоростью. В этом случае ударная
волна образуется непосредственно у поршня, в начальный момент, и рас-
распространяется по газу с постоянной скоростью. В действительности,
конечно, поршень, обладая конечной массой, не может мгновенно при-
приобрести конечную скорость и набирает ее, постепенно ускоряясь под дей-
действием приложенной к нему силы. При этом ударная волна образуется
не сразу и вдали от поршня.
Можно заменить плавный закон изменения скорости поршня со вре-
временем U (t) некой ступенчатой кривой, разбивая время на мельчайшие
промежутки и полагая, что в каждом таком промежутке времени скорость
поршня постоянна, а по истечении его меняется скачком на небольшую
величину. При этом линия движения поршня на плоскости х, t изобра-
изобразится ломаной кривой, состоящей из маленьких прямолинейных отрезков.
В течение каждого небольшого отрезка времени, на протяжении кото-
которого скорость поршня постоянна, поршень посылает вперед возмущение —
волну сжатия, т. е. слабую ударную волну. Эта волна бежит по газу
со скоростью, чуть превышающей скорость звука, тогда как предыдущая
слабая ударная волна, возникшая от предыдущего скачка скорости
поршня, распространяется относительно движущегося за рею газа со ско-
скоростью чуть меньше звуковой, как показано на рис. 1.44. Поэтому каждая
последующая ударная волна нагоняет предыдущую и несомые ими сжатия
накапливаются. Если провести на плоскости х, t характеристики, выхо-
выходящие с линии движения поршня, то они будут пересекаться (рис. 1.45).
Можно задать такой закон ускорения поршня, чтобы все эти слабые удар-
ударные волны нагоняли друг друга в один момент и в одной точке. При этом
все многочисленные маленькие импульсы сжатия кумулируются в один
большой скачок. (Все характеристики пересекаются в одной точке.)

§ 24]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА	79
Состояние газа в этом скачке-разрыве меняется от невозмущенного
до конечного почти адиабатически. В самом деле, если все сжатие исход-
исходного газа до давления р мы разбили на п этапов — п слабых ударных волн
со скачком давления Ар = (р — ро)/п, то в каждом из них прирост энтро-
энтропии AS пропорционален (АрK ~ 1/га3 и полное приращение энтропии
при кумуляции п волн пропорционально
nAS ~ 1/и2->-0 при п—>-оо. Таким образом,
состояния газа по обе стороны возникшего
в результате кумуляции разрыва связаны
адиабатой Пуассона. Между тем в ударной
волне состояния по обе стороны разрыва свя-
связаны между собою не адиабатой Пуассона,
а адиабатой Гюгонио. Следовательно, вели-
величины по обе стороны разрыва не удовлетво-
удовлетворяют законам сохранения и разрыв является
произвольным.
Обобщая случаи, представленные приве-	х
денными примерами, поставим идеализиро- pHCi 1.45. Пересечение харак-
ванную задачу об отыскании движения газа, теристик при сжатии газа
в котором возник произвольный разрыв, ускоряющимся поршнем. Я —
Пусть в начальный момент « = 0в плоско-	лшшя ПОРШНЯ-
сти х = О терпят разрыв все величины: дав-
давление, плотность, скорость, температура. По обе стороны разрыва все
эти величины постоянны. Сорта газов по обе стороны также могут раз-
различаться. Чем больше то расстояние от поверхности разрыва, на котором
параметры газа можно еще считать постоянными, тем дольше в времени
будет справедливо решение, к которому мы придем (эта задача была
впервые решена Н. Е. Кочиным [3]).
Поскольку в условиях задачи не содержится характерных длин и вре-
времен, следует искать движение, зависящее только от отношения xlt.
В § 11 было показано, что автомодельное плоское течение газа может опи-
описываться решениями только двух типов: возможны центрированные про-
простые волны разрежения и движения, в которых все газодинамические
величины постоянны. Кроме того, могут возникать разрывы — ударные
волны.
Таким образом, искомое движение следует конструировать из трех
элементов: волн разрежения, областей постоянного течения и ударных
разрывов. Совокупность возможных движений ограничивается тем, что
в одну сторону не может двигаться более одной волны (все равно какой —
разрежения или ударной).
В самом деле, ударная волна распространяется по невозмущенному
газу со сверхзвуковой скоростью, а по сжатому в ней — с дозвуковой.
Волна разрежения бежит по газу со скоростью звука. Если, например,
по газу вправо идет ударная волна, то следующая за нею в том же направ-
направлении волна разрежения, а тем более ударная волна, непременно догонит
ее через некоторое время. Но в силу автомодельности обе волны выходят
из одной точки х = 0 в один и тот же момент t = 0. Поэтому одна волна
как бы уже догнала другую в самый начальный момент и обе они распро-
распространяются в виде одной. Точно так же невозможно следование второй
волны за волной разрежения. Ударная волна догнала бы волну разреже-
разрежения, а вторая волна разрежения двигалась бы за первой на фиксирован-
фиксированном расстоянии, которое в силу автомодельности равно нулю, так что
различие между обеими волнами исчезает.

80
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
Ра
Рь
Pi
Ра
Рг
Итак, искомое решение может быть построено только в виде какой-
либо комбинации из двух волн, ударных и разрежения, распространяю-
распространяющихся в противоположные стороны от начального разрыва и разделенных
областями постоянного течения. Этих областей, вообще говоря, две. Они
разграничены плоскостью, разделяющей те газы, которые в начальный
момент располагались по обе стороны произвольного разрыва. Поскольку
в гидродинамике идеальной жидкости диффузия молекул не принимается
во внимание, взаимного проникновения газов друг в друга нет, и гра-
граница между ними будет сохраняться, как-то передвигаясь в пространстве
вместе с газами. Случай, когда газы одного сорта, очевидно, не представ-
представляет принципиального отличия (представим себе мысленно, что молекулы
газа по одну сторону начального разрыва
«окрашены»). Эта плоская граница между
двумя газами, которая может быть названа
контактной границей или контактным раз-
разрывом, обладает особыми свойствами. Оче-
Очевидно, давления и скорости газов по обе
стороны контактного разрыва совпадают
друг с другом. В противном случае около
него возникло бы движение и области
газа по обе стороны перестали бы быть
областями постоянного течения. Плотно-
Плотности же, температуры и энтропии газов по
обе стороны контактного разрыва могут
оставаться произвольными в соответствии
с произволом в начальных значениях. Раз-
Различие этих величин при равенстве давле-
давлений и скоростей никак не может привести
газы в относительное движение (разу-
(разумеется, в предположении об отсутствии
диффузии и теплопроводности, к влиянию
которых мы вернемся несколько ниже).
Контактный разрыв покоится относительно газов и не посылает воз-
возмущений, которые могли бы повлиять на бегущие в обе стороны от него
волны (ударные и разрежения).
Перечислим возможные движения газа после возникновения произ-
произвольного разрыва, как говорят, случаи распада разрыва, составляя раз-
различные комбинации из волн разрежения и ударных. Именно, может пред-
представиться три типичных случая: 1) в обе стороны от разрыва распростра-
распространяются ударные волны, 2) в одну сторону бежит ударная волна, а в дру-
другую — волна разрежения, и 3) в обе стороны бегут волны разрежения.
Разберем эти случаи более подробно. Для этого удобно воспользо-
воспользоваться диаграммой р, V (рис. 1.46). Прежде всего зафиксируем на диа-
диаграмме начальные состояния газов. Точка А представляет газ слева от
разрыва, точка В — справа. Пусть для определенности давление в точке
А (ра) меньше, чем рь. Проведем из этих точек вверх адиабаты Гюгонио,
описывающие сжатие газов в ударных волнах, а вниз — адиабаты Пуас-
Пуассона, вдоль которых происходит расширение газов в волнах разрежения.
После распада разрыва давления в обоих газах в областях, подвергшихся
воздействию волн, выравниваются.
1. Пусть это новое давление ро больше начальных ра и ръ-
В этом (первом) случае и вправо и влево от произвольного разрыва
(или от контактной поверхности) идут ударные волны сжатия (рис. 1.47, а).
Рис. 1.46. р,7-диаграмма, иллю-
иллюстрирующая различные случаи
распада произвольного разрыва.
Точки А и В описывают начальные
состояния газов А а В; НдА и ЯВВ—
ударные адиабаты; -АРД, ВРВ— адиа-
адиабаты Пуассона газов А и В.

§ 24]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
81
А>
а)
б)
в
Газы за ними находятся в состояниях а0 и Ьо с одинаковыми давлениями
Ро и скоростями. Газ в состоянии а0 движется относительно исходного
газа в состоянии А влево, а газ Ьо относительно газа В — вправо. Посколь-
Поскольку газы а0 и Ьо движутся с одинаковой скоростью, необходимо, чтобы
газы А и В в начальный момент двигались навстречу друг другу. Две удар-
ударные волны образуются при столкновении двух газов, движзтцихся
навстречу друг другу с большой скоростью (вспомним второй пример). Чем
меньше скорость столкновения, тем ниже по-
получается давление р0 в ударных волнах.
2. При некоторой малой скорости столк-
столкновения возникает новый режим, в котором
давление р4 еще больше давления ра, но
меньше, чем рь. В этом (втором) случае по
газу А после распада разрыва распростра-
распространяется ударная волна, а по газу В — волна
разрежения (рис. 1.47, б). В частности,
такой режим осуществляется, когда началь-
начальные скорости обоих газов, А а В, одина-
одинаковы и равны нулю, т. е. когда в началь-
начальный момент в покоящихся газах имеется
разрыв давления, как в примере с заслон-
заслонкой. Вещество начинает двигаться в сторону
падения давления. Этот случай имеет важные
практические применения. На этом принципе
основано устройство ударной трубы, в кото-
которой получают в лаборатории сильные удар-
ударные волны, нагревающие исследуемый газ А
до высокой температуры. Ударная труба раз-
разделена тонкой перегородкой (диафрагмой).
По одну сторону диафрагмы в трубе содер-
содержится исследуемый газ А при низком давле-
давлении, по другую — в так называемую камеру
высокого давления нагнетается рабочий газ
В. После разрыва диафрагмы газ В расши-
расширяется в сторону камеры низкого давле-
давления, посылая в газ А сильную ударную
волну. Возникающий режим, изображенный
на рис. 1.47, б, будет более подробно рас-
рассмотрен в гл. IV при изучении работы удар-
ударной трубы. Соответствующим выбором газов 4и5и перепада давлений до-
добиваются получения возможно более сильной ударной волны и нагревания
исследуемого газа до весьма высоких температур. Одним из способов
получения еще более высоких температур служит осуществление первого
режима — столкновения двух ударных волн. Частным случаем первого
режима является отражение ударной волны от торца ударной трубы,
которое также используется для достижения в лаборатории высоких тем-
температур. Отражение ударной волны от твердой стенки действительно
представляет собой частный случай столкновения двух газовых потоков.
Если друг на друга налетают два совершенно одинаковых потока, то после
столкновения контактный разрыв покоится, т. е. положение такое же,
как будто вместо контактного разрыва имеется неподвижная твердая
стенка. Вопросы столкновения ударных волн и отражения их от стенки
также будут рассмотрены в гл. IV.
6 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
Рис. 1.47. Профили давления
в различных случаях распада
разрыва.
Большими стрелками о буквами
А и В указаны начальные скоро-
скорости газов Л и В до распада разрыва.
Маленькие стрелки показывают на-
направления распространения |Волн
по массе газа (направление рас-
Р
иным).

82
РА30ДИНАМИКА1И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
3. Если после распада давление р2 меньше ра и рь, получим две волны
разрежения, разбегающиеся вправо и влево по обоим газам. Этот режим,
изображенный на рис. 1.47, в, осуществляется, если в начальный момент
газы А и В двигались в противоположные стороны от разрыва с доста-
достаточно большой скоростью.
Если относительная скорость, с которой в начальный момент двига-
двигались друг от друга газы А и В, очень велика, а именно, больше суммы
максимальных скоростей истечения газов А и В
2са , 2с
в вакуум,
где са и
начальные
Рис. 1.48. р,и-диаграммы
для различных случаев рас-
распада разрыва, изображен-
изображенных на рис. 1.47.
Кривые Я— ударные адиабаты
в переменных р, и; кривые
S — адиабаты Пуассона в пе-
переменных р, и; У.В. означает
ударную волну; В. Р. — волну
разрежения.
Y«-l ' Yb-11
скорости звука, ауоиуь—показатели адиабаты
газов А и В (см. § 11, формулу A.60)), то между
газами образуется пустота, р = 0. Этот режим,
который можно рассматривать как предел треть-
третьего случая, изображен на рис. 1.47, г.
При конкретных расчетах, связанных с
распадами произвольных разрывов, наряду с
р, У-диаграммами очень удобны так называемые
р, и-диаграммы, на которых по осям отложены
давления р и скорости газов и в лабораторной
системе координат. Ударную адиабату газаpH(V)
можно представить в виде зависимости давле-
давления за фронтом волны от скачка скорости газа,
т. е. от скорости движения сжатого га,за от-
относительно невозмущенного. Аналогичным об-
образом, в волне разрежения давление однозначно
связано со скоростью условием постоянства
инварианта Римана (см. § 10, 11). Удобство
р, и-диаграмм в задаче о распаде разрыва связа-
связано с тем, что в конечном состоянии давление и
скорость обоих газов одинаковы, т. е. конечные
состояния изображаются одной и той же точ-
точкой на р, м-диаграммах.
р, м-диаграммы для случаев распада, изо-
изображенных на рис. 1.47, а — г, показаны на
рис. 1.48, а — г соответственно.
Выяснив характер движений, возникающих
при распаде произвольного разрыва, можно
проверить исходное допущение о том, что дви-
движение зависит только от комбинации x/t. При
рассмотрении волны разрежения в § 11 это
допущение обосновывалось тем, что с течением
времени ширина волны разрежения, которая
является масштабом длины в задаче без учета
диссипативных процессов, растет как х ~ ct.
Роль вязкости и теплопроводности, пропорциональная Их, с течением
времени уменьшается и в макроскопических течениях, когда х > I, нич-
ничтожно мала. Следовательно, исчезает и единственный постоянный масштаб
размерности длины в газе — длина пробега молекул.
При течениях с ударными волнами вязкость и теплопроводность,
вносящие в уравнение масштаб длины I, действуют фактически только
в тонком слое фронта волны, ширина которого порядка I. Мала также
и ширина контактного разрыва. Размытие его происходит вследствие

i 24]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
83
Л°С
1000
500
о
В
р
\
т
1
1
J
1
А
50
25
о
3 4 5 6
процессов диффузии молекул и теплопроводности. Оба процесса приво-
приводят к ширине разрыва порядка Ах ~ Yft ~ Y~Dt, где D — коэффициент
диффузии, который близок к коэффициенту температуропроводности
D ~ t~ 1с
Расстояние, пробегаемое ударными волнами и волнами разрежения
за время t, порядка х *~ ct, так что Ах ~ У~1х. Таким образом, отноше-
отношение размеров области, в которой действуют диссипативные силы,
к размерам всей области, охваченной движением для ударной волны,
порядка Их, а для контактного разрыва ~ ]/Их. Обе величины малы
в макроскопическом течении с
х > I. Вернемся к третьему при-
примеру, приведенному в начале этого
параграфа, и посмотрим, какой ре-
режим возникает при распаде разры-
разрыва, который образуется в результа-
результате кумуляции волн сжатия, посы-
посылаемых ускоряющимся поршнем.
В момент соединения отдельных
волн с одной стороны разрыва
будем иметь невозмущенный газ
А, с другой — газ в состоянии В,
подвергшийся практически адиаба-
адиабатическому сжатию. Можно пока-
показать, что скорость движения, ко-
которую приобретает газ при последо-
последовательном сжатии большим числом
ударных волн, меньше скорости,
приобретаемой при однократном
ударном сжатии до того же давле-
давления. Отсюда следует, что разрыв
распадается как в случае 2). По
сжатому газу к поршню пойдет волна разрежения, а по невозмущен-
невозмущенному — ударная волна. Давление р окажется ниже, чем созданное на
поршне давление рь- Однако вследствие роста энтропии в ударной волне
это более низкое давление отвечает более высокой температуре, так что
газ в ударной волне нагреется по сравнению с почти адиабатическим
нагреванием от кумуляции слабых волн. На рис. 1.49 представлены рас-
распределения р и Т после распада разрыва, образовавшегося в результате
кумуляции волн при сжатии воздуха поршнем, скорость которого посте-
постепенно достигла 4,44 с0 = 1500 м/сек, так что давление на поршне достигло
Рь == 50 ра = 50 атм. Координата и время на рисунке отсчитываются
от точки и момента кумуляции.
Рассмотренный случай представляет значительный интерес для тео-
теории возникновения детонации, ибо полученный результат объясняет, каким
образом пламя, действуя на газ подобно поршню, может постепенным
сжатием вызвать появление ударной волны на большом расстоянии от пла-
пламени (поршня). Постепенно сжимая газ до невысокой температуры
F30° С на рисунке), можно осуществить резкое нагревание до 1450° С
на значительном расстоянии в момент кумуляции, осуществить «дистан-
«дистанционное зажигание».
По-видимому, таков механизм возникновения детонации в газах в
ряде случаев.
Рис. 1.49. Распространение разрыва, воз-
возникшего после столкновения совокупности
последовательных волн сжатия.
Температура в возникающей ударной волне"зна-
волне"значительно выше максимальной температуры, до-
достигнутой при наложении мелких волн сжатия,
а давления ниже, так как навстречу волнам
сжатия идет волна разрежения. Профиль дав-
давления показан сплошной линией, профиль
температуры — пунктиром.

84	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
§ 25. Сильный взрыв в однородной атмосфере
Идеализированная задача о сильном взрыве в однородной атмосфере
представляет собой типичный пример класса движений газа, называемых
автомодельными, когда газодинамические величины меняются с течением
времени таким образом, что распределения их по координате остаются
всегда подобными самим себе.
Автомодельная задача о сильном взрыве была сформулирована
и решена Л. И. Седовым. Остроумным способом, путем использования
интеграла энергии, Л. И. Седову удалось найти точное аналитическое
решение уравнений автомодельного движения [4, 5]. Задачу рассматри-
рассматривали также К. П. Станюкович (в диссертации; см. [15]) и Тэйлор [6],
которые сформулировали и исследовали уравнения, но не получили их
аналитического решения.
Мы остановимся на постановке и результатах решения этой задачи,
так как они понадобятся нам в дальнейшем, ув гл. VIII и IX, при изуче-
изучении некоторых физико-химических и оптических явлений, сопровождаю-
сопровождающих сильный взрыв в воздухе.
Пусть в газе плотности q0, который будем считать идеальным, с по-
постоянной теплоемкостью, в небольшом объеме в течение короткого про-
промежутка времени выделяется большая энергия Е. От места энерговыде-
энерговыделения по газу распространяется ударная волна. Будем рассматривать ту
стадию процесса, когда ударная волна уходит на расстояния, очень боль-
большие по сравнению с размерами области, где произошло энерговыделение,
и движение охватывает массу газа, большую по сравнению с массой
продуктов взрыва. При этом энерговыделение с большой точностью можно
считать точечным и мгновенным.
В то же время будем считать, что стадия процесса и не слишком позд-
поздняя, так что ударная волна уходит от источника не слишком далеко и ее
амплитуда еще столь высока, что можно пренебречь начальным давлением
газа р0 по сравнению с давлением в ударной волне. Это эквивалентно
тому, что можно пренебречь начальной внутренней энергией газа, охва-
охваченного движением, по сравнению с энергией взрыва Е, и пренебречь
начальной скоростью звука с0 по сравнению со скоростями газа и фронта
волны.
Движение газа определяется двумя размерными параметрами: энер-
энергией взрыва Е и начальной плотностью q0. Из этих параметров нельзя
«оставить масштабов с размерностями длины или времени. Следовательно,
движение будет автомодельным, т. е. будет зависеть только от определен-
определенной комбинации координаты г (расстояния от центра взрыва) и времени t.
В отличие от автомодельного движения, рассмотренного в § 11, в задаче
нет характерной скорости. Начальная скорость звука с0 не может харак-
характеризовать процесс: в том же приближении, в котором начальное давле-
давление р0 полагается равным нулю, равна нулю и скорость звука с0 *). По-
Поэтому автомодельная переменная не есть величина г It, как в автомодель-
автомодельной волне разрежения (см. § 11).
*) Это условие фактически определяет границы применимости решения задачи.
Предъявляя определенные требования к точности решения, мы сравниваем полученные
давления во фронте волны joj и скорость распространения волны D с реальными значе-
значениями р0, с0 и находим момент, когда приближение р1 ^> р0 становится слишком грубым.
Следует отметить, что на самом деле условие справедливости пренебрежения началь-
начальным давлением несколько более жесткое, а именно: рг > [(у + 1)/(у — 1)]Ро- Это
видно из формулы A.76): при этом условии сжатие в ударной волне равно предельной
величине (у + 1)/(у — 1).

§ 25]	СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В ОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ	85
Единственная размерная комбинация, содержащая длину и время,
в данном случае есть E/q0: [E/q0] — см5сек~2. Поэтому автомодельной
переменной служит безразмерная величина:
1
Фронту ударной волны соответствует определенное значение неза-
независимой переменной ?0; закон движения фронта волны R (t) описывается
формулой
Скорость распространения ударной волны равна:
1 3	5	I
п dR 2 R s 2 / ? \5 -52e
dt =УТ-5° 5 K^J Ъ - 5
Параметры фронта выражаются через скорость фронта с помощью
предельных формул для сильной ударной волны:
^0.	A.111)
Плотность на фронте остается неизменной и равной своему предель-
предельному значению. Давление уменьшается с течением времени по закону
Легко понять физический смысл закономерностей распространения
сильной взрывной волны. К* моменту t волна достигает радиуса R, охва-
охватывает объем газа 4яЙ3/3 и массу М = ро-4яД3/3. Давление пропор-
пропорционально средней энергии единицы объема, т. е. р ~ E/R3. Скорости
фронта и газа пропорциональны D ~ и ~ ]/plq ~ }^E/q0R3. Интегри-
Интегрируя уравнение dR/dt = D, найдем зависимость радиуса фронта от вре-
1?
мени, R ~ (E/Q0Mtb (с точностью до численного коэффициента |0)-
Формула A.112) демонстрирует закон подобия для перехода от одних
энергий взрыва к другим. Давление на фронте имеет заданную величину
i_
на расстояниях, пропорциональных Es, или же в моменты времени, про-
i
порциональные Е3.
Распределения давления, плотности и скорости газа по радиусу опре-
определяются зависимостью от одной безразмерной переменной |, которую(
можно представить в виде ? = \<jrlR. Форма распределений в силу авто-*
модельности не меняется с течением времени, масштабы же величин
р, q, и зависят от времени точно так же, как и значения этих величин
на фронте ударной волны. Другими словами, решение можно представить
в форме
p = pi{t)'p(i), и = щA)иA), Q = QiQ(|),
где Pi (t), щ (t), Qj — давление, скорость и плотность на фронте ударной

86
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	{ГЛ. I
волны, которые зависят от времени по законам, описываемым формулами
A.111) и A.112), ар (|), Ъ (I), е (I) — новые, безразмерные функции.
Подставляя эти выражения в уравнения газодинамики, записанные
для сферически-симметричного случая, и переходя от дифференцирова-
дифференцирования по г и it к дифференцированию по ? с помощью соотношения A.109),
подобно тому как это было сделано в § 11, получим систему трех обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех
неизвестных функций р, и, д. Решение этой системы должно удовлетво-
удовлетворять условиям на фронте волны: при % = %о, р ~ и = Q = 1.
Мы не будем здесь излагать ход решения и выписывать окончатель-
окончательные формулы, это можно найти в книгах Л. И. Седова [5] и Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица [1]. Отметим только, что
единственный безразмерный параметр, во-
вошедший в решение ?,0, определяется из усло-
условия сохранения энергии:
-^), A.113)
Рис. 1.50. Профили давления,
плотности, скорости и темпера-
температуры для сильного точечного
взрыва в газе су = 1,23.
если в него подставить найденное решение.
Он зависит, так же, как и все решение, от
показателя адиабаты у.
В реальном воздухе показатель адиабаты
не является постоянной величиной, он зави-
зависит от температуры и плотности вследствие
протекающих при высокой температуре про-
процессов диссоциации и ионизации (см. об
этом гл. III). Однако приближенно всегда
можно выбрать некоторое эффективное зна-
значение показателя, считая его постоянным,
с тем, чтобы описать решением идеализиро-
идеализированной задачи о сильном взрыве реальный
процесс. Для воздуха можно принять зна-
значения у равными примерно 1,2—1,3. На
рис. 1.50 изображены распределения относи-
относительных величинp/Pi, q/Qi, u/ult Т/Т± по отно-
относительной координате r/R для у = 1,23; (фактически на графике отложе-
отложено не Т1Ти а 0,1 Т1Т^); параметр g0 при этом равен go=O,93O.
Характерно, что при сильном взрыве плотность газа чрезвычайно
резко падает от фронта ударной волны к центру. Практически вся масса
газа, ранее равномерно заполнявшая сферу радиуса R, теперь собрана
в тонкий слой около поверхности фронта. Давление вблизи фронта умень-
уменьшается при удалении от фронта к центру в два-три раза, а затем почти
во всей сфере остается постоянным. Температура возрастает от фронта
к центру, сначала менее резко, пока давление уменьшается, а затем в обла-
области постоянного давления — очень быстро. Возрастание температуры
к центру связано с тем, что вблизи центра находятся частицы, которые
были нагреты очень сильной ударной волной и обладают большой энтро-
энтропией. При адиабатическом расширении до одинакового давления темпе-
температура тем выше, чем больше энтропия частиц, т. е. чем ближе к центру
они находятся. Резкое уменьшение плотности при приближении к центру
связано с возрастанием температуры (давление постоянно).

§ 26]	ПРИБЛИЖЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ СИЛЬНОГО ВЗРЫВА	87
Воспользовавшись условием постоянства давления по радиусу в обла-
области, не слишком близкой к фронту, можно найти асимптотическое распре-
распределение газодинамических величин при г -». 0. Из уравнения движения
с р (г) — const, -Jj- = 0, следует, что ~ + и -? — 0, т. е. и = у.
Чтобы найти асимптотический закон для плотности, перейдем к ла-
гранжевой координате (см. § 2). Будем характеризовать данную частицу
газа ее начальным радиусом г0 (под «частицей» подразумеваем элементар-
элементарный сферический слой объемом 4я^й!г0). В момент прохождения фронта
ударной волны давление в ней пропорционально pi ~ R-3 = г'3. Начи-
Начиная с этого момента, частица г0 расширяется адиабатически, так что в мо-
момент t ее плотность равна:
1
Но в данный момент t давления во всех частицах, находящихся в «поло-
«полости» вблизи центра, одинаковы и пропорциональны рс (t) ~ г~6/5. Поэтому
асимптотический закон для плотности в лагранжевых координатах есть
Q ~ rVy t~6ylb- Перейдем к эйлеровой координате при помощи опреде-
определения A.24) : Qr2 dr — Q0rl<2r0. Подставляя сюда функцию для плотности
и интегрируя, получим зависимость эйлерова радиуса данной частицы
от времени: rf~ r?v-i)/v$2/5Y. Исключая из этого выражения г0 при
помощи функции q (ro,t), получим искомый асимптотический закон:
Q~ry~4 9iv-w при r—>V.
Асимцтотический закон для температуры:
3 6 B-у)
Т~——г" v-i tb <v-O при г—>0.
Q
§ 26. Приближенное рассмотрение сильного взрыва
Основные закономерности процесса сильного взрыва можно уста-
установить с помощью простого приближенного метода, предложенного
Г. Г. Черным [7].
Предположим, что вся масса газа, охваченного взрывной волной,
собрана в тонкий слой у поверхности фронта, плотность в котором посто-
постоянна и равна плотности на фронте q4 = ^-^ q0. Толщина слоя Аг опре-
определяется из условия сохранения массы:
Например, при у = 1,3 Ar/R — 0,0435.
Поскольку слой очень тонкий, скорость в нем почти не меняется
и совпадает со скоростью газа на фронте щ. Положим приближенно, что
плотность в слое бесконечно велика, а толщина соответственно бесконечно
мала; масса же конечна и равна массе М, первоначально находившейся
в сфере радиуса R:M = Q0AnRs/3. Обозначим давление на внутренней
стороне слоя через ре. Пусть оно составляет долю а от давления на фронте
волны рс = api.

88	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
Запишем второй закон Ньютона для массы М:
-^ Мщ =
Масса М = 4я7?3д0/3 сама зависит от времени, так что по времени диф-
дифференцируется не скорость, а количество движения Ми±. На массу изну-
изнутри действует сила АпЮрс, так как р0 есть сила, действующая на 1 см2
поверхности; сила, действующая извне, равна нулю, так как начальным
давлением газа пренебрегаем. Выражая и^ и р4 через скорость фронта
D = dRIdt по формулам A.111), получим
Замечая, что
Л	J	J ТУ
= D
1 с
3 d
d
d7~
Lr
d
dR
w =
dR
dt
dR
и интегрируя уравнение, найдем
где а — постоянная интегрирования. Для определения величин а и а
воспользуемся законом сохранения энергии. Кинетическая энергия газа
равна Екаа = Ми\12. Внутренняя энергия сосредоточена в «полости», огра-
ограниченной нашим бесконечно тонким слоем, давление в которой равно
давлению рс (фактически это означает, что не строго вся масса заклю-
заключена в слое, а в «полости» также имеется небольшое количество веще-
вещества). Внутренняя энергия равна Ет =	 —^— рс. Таким образом,
Е=у-1 3 Ре + М-±.
Снова выразив рс = ар^ и щ через D и подставляя D, получим
Поскольку энергия взрыва Е есть константа, показатель степени у пере-
переменной величины R должен обратиться в нуль. Это дает а = 1/2. Полу-
Получающееся уравнение определяет постоянную а,
гЗ (у-1)(у-НJ -12/- Е
а~1 4л CY-1) J "ч ео
Из формулы D ~ д-3A-о) с а = 1/2 и формул A.111) следуют уже
известные нам законы:
_ з	_з	2
Р~ R 2, рх _ Д-3, щ ~ R 2, R~t*.
С помощью выражения для а найдем коэффициент пропорциональ-
пропорциональности в законе R 2/5
2 2	¦	i	i 2	12
^ Г 75 (Y-1)(Y + D2 IV Е у s F M
t =[1^Г Cy_d J [^) * =4^

§ 27]	О ТОЧЕЧНОМ ВЗРЫВЕ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ	89>
Сопоставим полученное приближенное решение с точным. В при-
приближенном решении давление в центре равно половине давления на фрон-
фронте, независимо от показателя адиабаты. В точном — рс = 0,35р4 при
Y = 1,4; Ре = 0,41^! при у = 1,2. Численные коэффициенты ?0 в законе
распространения ударной волны A.110) в приближенном решении равны:
5о = 1,014 при у = 1,4 и ?о = 0,89 при у — 1,2. В точном решении при
тех же значениях у, ?0 = 1,033 и 0,89 соответственно.
Как видим, приближенное решение дает неплохие результаты.
Соображения, по духу близкие приведенным выше, были исполь-
использованы А. С. Компанейцем [13] для приближенного рассмотрения силь-
сильного взрыва в неоднородной атмосфере. См. об этом раздел 5 гл. XII.
§ 27. Замечания о точечном взрыве с учетом противодавления
На поздней стадии распространения взрывной волны, когда давле-
давление во фронте ударной волны становится сравнимым с начальным давле-
давлением газа (точнее, когда pt становится порядка [(у + 1)/(y — 1)]^о!
см. сноску на стр. 84), автомодельное решение задачи о сильном взрыве
теряет силу.
Процесс на этой стадии уже не автомоделей, так как в задаче имеются
характерные масштабы длины и времени, которые можно составить из
величины полной энергии взрыва Е и начальных параметров газа. Мас-
Масштабом длины служит радиус сферы, начальная энергия которой сравнима
с энергией взрыва г0 = (Е/р0I/3. Масштабом времени — время, за кото-
которое звук пробегает это расстояние t0 = го/со, где с0 = (ypo/Qo)i/2- Так,
например, при взрыве в воздухе нормальной плотности (q0 = 1,25 X
X Ю-3 г/см3, р0 = 1 атм, с0 = 330 м/сек) для энергии Е = 102г эрг, соот-
соответствующей примерно энергии, выделяющейся при взрыве 20 000 тонв
тротила, масштабы равны г0 = 1 км, t0 = 3 сек.
Решение задачи о распространении ударной волны точечного взрыва
с учетом противодавления было получено в ряде работ [8—10] путем
численного интегрирования уравнений газодинамики в частных произ-
производных. Все результаты расчетов, подробные таблицы и графики распре-
распределений газодинамических величин на разные моменты времени можно-
найти в указанных работах, а также в четвертом издании книги Л. И. Се-
Седова [5].
Мы ограничимся здесь лишь некоторыми замечаниями по поводу
качественного характера процесса.
С течением времени амплитуда ударной волны становится все меньше
и меньше, давление на фронте асимптотически приближается к началь-
начальному давлению газа — атмосферному. Соответственно уменьшаются сжа-
сжатие газа во фронте волны и скорость ее распространения, которая асимп-
асимптотически приближается к скорости звука с0. Закон распространения
i? ~ t2/5 постепенно переходит в закон R = cot. Когда давление в цен-
центральной области взрывной волны становится близким к атмосферному,
расширение газа в этой области прекращается и газ останавливается.
Область движения газа выносится вперед, ближе к фронту ударной волны,
которая постепенно превращается в сферическую волну типа акусти-
акустической. За областью сжатия в такой волне следует область разрежения,
после чего воздух приходит к своему конечному состоянию. Конечное
состояние слоев, далеких от центра, по которым ударная волна про-
прошла, будучи слабой, мало отличается от начального. Распределения
давления, скорости и плотности по радиусу в какой-то поздний момент f

90
ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. I
имеют вид, изображенный на рис. 1.51. Если проследить за изменением
во времени давления на определенном расстоянии от центра взрыва, то
получится картина, показанная на рис. 1.52. В момент tit когда к дан-
данному месту подходит фронт ударной волны, давление скачком возрас-
возрастает, затем уменьшается, причем
падает до величины ниже атмосфер-
атмосферного (положительная и отрицатель-
отрицательная фазы давления), а затем возвра-
возвращается к начальной величине.
Как уже было сказано, конечное
состояние газа на больших расстоя-
расстояниях от центра взрыва почти не
Л
Рис. 1.51. Профили давления,
плотности и скорости на поздней
стадии} взрыва, когда ударная
волна становится слабой.
Рис. 1.52. Зависимость давления
от времени в определенной точке
на большом расстоянии от центра
взрыва.
отличается от начального. На малых же расстояниях газ в конечном состо-
состоянии оказывается сильно разреженным и высоконагретым. Это связано
с тем, что через частицы, находящиеся вблизи центра, ударная волна
прошла будучи очень сильной, и энтропия
этих частиц гораздо выше начальной.
Асимптотические распределения ко-
конечных плотности и температуры по ради-
радиусу вблизи центра можно найти из условия
адиабатического расширения до атмосфер-
атмосферного давления частиц, нагретых во фронте
сильной ударной волны. Повторяя вычи-
вычисления, сделанные в конце § 25, но теперь
уже без зависимости рс от t, а полагая
рс = р0 = const, найдем те же самые рас-
распределения по радиусу при г -*¦ 0, что и
в задаче о сильном взрыве q ~( r^v-O,
Т ~ r-Wv-O.
Конечные распределения о (г) и Т (г)
показаны на рис. 1.53. В нагретой области
сосредоточена довольно значительная доля
энергии взрываДпорядка нескольких десят-
десятков процентов (она зависит от у). Это—та
энергия, которая пошла на необратимое нагревание газа, связанное
с необратимостью процесса ударного сжатия. Остальная энергия уно-
уносится вперед вместе с ударной волной и рассеивается в пространстве.
О судьбе энергии, «застрявшей» в области центра, речь пойдет в гл. IX
(воздух в этой области остывает за счет светового излучения).
Поздняя стадия распространения . взрывной волны изучалась тео-
теоретически и экспериментально многими авторами. Предельные законы
Рис. 1.53. Конечные распределе-
распределения плотности и температуры
{t ->¦ со) при сильном взрыве (в
предположении адиабатичности
процесса).

5 28]	АДИАБАТИЧЕСКИЙ РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ ГАЗОВОГО ШАРА	91
распространения волны на больших расстояниях были найдены Л. Д. Лан-
Ландау [11]. Большое практическое значение имеет эмпирическая формула
М. А. Садовского [12] для давления на фронте в зависимости от рас-
расстояния от центра взрыва. Заметим, что закон подобия Pi = f (El'3/R)
справедлив и на поздней стадии распространения ударной волны, когда
Pi — Ро < Ро-
§ 28. Адиабатический разлет в пустоту газового шара
Познакомимся еще с одной газодинамической задачей, с которой
нам придется иметь дело в дальнейшем (в гл. VIII), задачей о разлете
газа в пустоту.
Представим себе газовый шар, занимающий в начальный момент
сферический объем радиуса Ro. Пусть, для определенности, в начальный
момент газ покоится и заполняет объем равномерно с плотностью о0
(полная масса газа М = о04яД„/3). Начальное давление газа также счи-
считаем постоянным и равным р0, так что полная энергия газа есть Е =
=	гРо—о-5 (газ предполагается идеальным с постоянной теплоемко-
Y— 1 о
стью). В момент t = О убирается заслонка, сдерживающая газ, и послед-
последний начинает беспрепятственно расширяться в пустоту.
После удаления заслонки происходит распад разрыва и по газу
к центру распространяется волна разрежения. Передние слои газа рас-
2
ширяются в пустоту с максимальной скоростью истечения umax = ~^Г\ со-
Когда волна разрежения доходит до центра, движение — разлет —
охватывает все вещество. В процессе адиабатического разлета благо-
благодаря совершаемой газом работе расширения вещество разгоняется и его
начальная внутренняя энергия Е постепенно переходит в кинетическую
энергию радиального движения. Можно показать (см. [15]), что при
изэнтропическом разлете (а наша задача изэнтропична, так как в на-
начальный момент в силу постоянства давления и плотности по радиусу
энтропии всех частиц одинаковы), возмущения из внутренних областей
шара не достигают передней границы, так что она движется с постоянной
скоростью «max = ~zz\ со- Закон движения границы газового шара есть
о
R = —^rC0t + Ro. Найти точное аналитическое решение поставленной
задачи не удается, так как задача не автомодельна и необходимо решать
систему дифференциальных уравнений в частных производных, что
удается сделать аналитически лишь в очень редких случаях. В том, что
задача не автомодельна, легко убедиться, замечая, что имеется харак-
характерный масштаб длины — начальный радиус шара Ro.
Однако эта задача обладает той особенностью, что с течением вре-
времени движение асимптотически переходит в автомодельное. В самом
деле, в стадии большого расширения при R > Ro роль начального пара-
параметра длины Ro становится все менее и менее существенной, так как
масштаб длины Ro становится очень малым по сравнению с характер-
характерным масштабом течения — фактическим радиусом шара R. Движение
газа с течением времени как бы «забывает» о начальном радиусе Ro. Все
же движение не полностью «забывает» о начальных условиях, и в этом
проявляется существенная неавтомодельность, заложенная в рассмат-
рассматриваемом процессе.

92	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ. I
Рассмотрим асимптотическое поведение решения при t -> оо.
Сила, действующая на единицу массы газа, при этом стремится к ну-
нулю. В самом деле, эта сила	?- по порядку величины равна -—^ ,.
Q ОТ	QM
где р и q — некоторые средние по массе давление и плотность в момент t.
Но среднее давление р пропорционально отношению тепловой энергии
всего газа к его объему р ~ ETen/R3 и во всяком случае меньше, чем
E/R3. Средняя плотность q ~ l/Rs, поэтому сила стремится к нулю
во всяком случае не медленнее, чем 1/R. На самом деле сила убывает
при R -*- оо быстрее, чем 1/R, так как тепловая часть энергии умень-
уменьшается при адиабатическом расширении: Егеп ~ Мг ~ М — ~ p/v-' ~
~ Д-з(?-1>. Отсюда р ~ ETen/Rs ~ i?-3v, и сила убывает как i?-3v+2 =
= д-i-3(y—о. Уравнение движения в пределе t—>-oo, R —>- оо приобре-
приобретает асимптотический вид:
*=Г + и~ = —	~	) ~>0'	A-114)
т. е. скорости всех частиц стремятся к постоянным значениям, причем
и = г It.
При ? —>¦ оо разлет приобретает инерционный характер.
Это следует и непосредственно из условия сохранения полной энер-
энергии газа Е. Полная энергия складывается из тепловой и кинетической,
но тепловая часть энергии при расширении асимптотически стремится
к нулю, следовательно, кинетическая энергия стремится к Е, и сред-
средняя скорость газовой массы асимптотически стремится к постоянному
предельному значению и» = ]/г2Е/М, которое находится в определен-
определенном отношении со скоростью границы:
2	2 ,/ ро	2
— |/ у —1 М ~~
Y-l
(например, в одноатомном газе у = 5/3 и итах = 2,9 их). Подставляя
асимптотическое решение для скорости и = r/t в уравнение непрерыв-
непрерывности, мы убеждаемся в том, что ему удовлетворяет следующая функция
плотности:
где / — совершенно произвольная функция r/t. Поскольку радиус гра-
границы шара равен R — umaxt, эту формулу можно переписать в виде
Р. =
Асимптотическое распределение плотности по радиусу не меняется
с течением времени; оно лишь растягивается в соответствие с возраста-
возрастанием R, оставаясь подобным самому себе^ автомодельным. Действи-
Действительно, если в газе не действуют никакие силы и каждая частица летит
с постоянной скоростью по инерции, то никакого перераспределения
массы не происходит, и профиль плотности остается неизменным.
Однако внутренняя неавтомодельность задачи сказывается в том,
что это асимптотическое распределение плотности не может быть найдено

5 29]	АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ РАЗЛЕТА ШАРА В ПУСТОТУ	93
из уравнений асимптотического движения, которые допускают любое
распределение.
Распределение плотности складывается в ранней стадии, когда
в газе действуют силы давления. Ко времени, когда газ сильно расши-
расширяется, оно как бы «застывает». Распределение плотности зависит от
начальных условий и может быть найдено лишь на основе полного реше-
решения задачи.
Как уже отмечалось, точное решение задачи с начальными усло-
условиями Qo (г) = const, р0 (г) = const, и = О нельзя найти в аналитиче-
аналитическом виде. Приближенное решение можно сконструировать, исходя
из рассмотрения аналогичной плоской задачи о разлете в пустоту газо-
газового слоя конечной массы с постоянными начальными распределениями,
которую можно решить. Это приближенное решение приведено в книге
К. П. Станюковича [15]; оно имеет вид:
е = A	а=	В==и1
причем решение справедливо только для целочисленных значений а =
= 0, 1, 2, 3, . . ., которые соответствуют следующему ряду значений
показателя адиабаты у = 3, 5/3, 7/5, 9/7 ...
Константу А можно определить из условия сохранения массы, если
проинтегрировать функцию плотности по всему объему шара. Соответ-
Соответствующая формула приведена в [15].
§ 29. Автомодельные режимы разлета шара в пустоту
Существует класс решений задачи о разлете газового шара в пустоту,
в котором распределения всех газодинамических величин строго авто-
модельны, т. е. с самого начала зависят от радиуса г в виде отношения г
к радиусу границы шара R и не содержат какой-либо иной зависимости
от г. К этим решениям "приводят не любые начальные распределения
величин по радиусу, а только такие, которые удовлетворяют определен-
определенному соотношению.
Указанный класс решений характеризуется линейным распределе-
распределением скорости по радиусу (такие решения были исследованы Л. И. Седо-
Седовым [5]):
u = rF(t)=R^-,	A.116)
где функция времени F (t) выражена через скорость границы шара
R = dRIdt. Подставляя эту формулу в уравнение движения, получим
соотношение
^-=-Qr(F + F*),	A.117)
которому должны удовлетворять распределения р и q по радиусу в течение
всего процесса, в том числе и в начальный момент времени. Только при
этом условии решение будет принадлежать к рассматриваемому классу.
Рассмотрим два конкретных примера таких решений.
1. Пусть плотность q постоянна по всему объему и не зависит от
радиуса
м
^	A.118)

94	ГАЗОДИНАМИКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН	[ГЛ.1
Легко проверить, что задание функций плотности и скорости в виде A.118),
A.116) автоматически удовлетворяет уравнению непрерывности при про-
произвольной зависимости R{t). Подставляя A.118) в A.117) и интегрируя,
получим параболическое распределение давления по радиусу
которое должно быть задано с самого начала для того, чтобы выполнялось
условие A.117). Как видим, задача не изэнтропична, так как плотности
у всех частиц одинаковые, а давления разные. Подстановка р и q в энтро-
энтропийное уравнение дает связь между неизвестными функциями: давлением
в центре po{t) и радиусом шара R{t):
^y^	A.120)
где А—'Константа, зависящая от начальной энтропии в центре шара.
Подставляя, наконец, A.118), A.119), A.120) в уравнение движения
A.117), получим дифференциальное уравнение' второго порядка для
закона движения границы шара R(t). Решая его с начальным условием
г = 0, R=R0, R = R0, найдем и полное решение задачи. В частности,
можно считать, что в начальный момент газ покоится: R0 = 0.
Если интересоваться асимптотикой t—>co, можно сразу положить
й = const = иi, где щ ¦— предельная скорость границы шара (решение
дифференциального уравнения, естественно, дает Д—>const при t—><x>).
Величину щ можно с помощью радиальных распределений qvlu вычислить
из условия сохранения энергии, имея в виду, что при ?—> со вся энер-
энергия превращается в кинетическую. Получим таким образом:
/
!«-.	<1Л21>
где и» по-прежнему определяется как корень из среднего по массе квад-
квадрата скорости «оо = у и2 = У2Е/М.
2. Пусть энтропии всех частиц одинаковы (изэнтропическое движе-
движение), т. е. S (r, t) — const, plqy = А = const (A — энтропийная кон-
константа). Подстановка р = Aq4 в соотношение A.117) приводит к сле-
следующим профилям давления и плотности:
\	A.123)
которые, естественно, должны быть заданы с самого начала.
Плотность в центре qc можно определить, интегрируя плотность no-
объему и приравнивая интеграл массе: это дает, как обычно, qc ~ M/R3,
с численным коэффициентом пропорциональности, зависящим от у. Соот-
Соотношение A.117) приводит после подстановки A.122), A.123) к уравнению
второго порядка для R (t). Предельное значение скорости границы щ

§ 29]	АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ РАЗЛЕТА ШАРА В ПУСТОТУ	95
можно получить из условия сохранения энергии:
7/2
если подставить в интеграл q по формуле A.122) и и =
Это дает связь цл с Uco = У2Е/М, причем коэффициент пропорцио-
пропорциональности также зависит от у. Оба коэффициента выражаются определен-
определенными интегралами, которые вычисляются при помощи гамма-функций.
Приведем численные результаты. При у = Б/3 qc = 3,4q, и± = 1,64 и«>;
при у = 4/з Qc = 6,6q, Ui = 1,92 их, где q = Af/Dni?3/3) — плотность,
средняя по объему. В пределе при t ->¦ оо R m u^t *).
Отметим работу В. С. Имшенника [16], в которой рассматривается
задача об изотермическом разлете газа в пустоту, и работы И. В. Нем-
Немчинова [18], исследовавшего разлет в пустоту газа, в котором проис-
происходит постепенное выделение энергии. Отметим также работу И. В. Нем-
Немчинова [19], в которой рассматривается разлет в пустоту трехосного ра-
разового эллипсоида.
*) В работе [17] сообщаются некоторые результаты численного решения уравне-
уравнений газодинамики для задачи об изэнтропическом разлете шара в пустоту при однород-
однородных начальных условиях и у = -=- (при t = 0 газ в сфере покоится, плотность и давле-
о
ние его постоянны по радиусу). К сожалению, в работе не приводится асимптотический
профиль плотности, но дается график qc (?). Видно, что с течением времени зависимость
стремится к qc ~ 1/43, причем коэффициент в этом предельном законе оказывается
всего в 1,22 раза больше, чем в описанном здесь автомодельном решении.

ГЛАВА II
, ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
§ 1. Введение и основные понятия
До недавнего времени высокими температурами порядка десятков
и сотен тысяч или миллионов градусов интересовались главным образом
астрофизики. Теория переноса излучения и лучистого теплообмена созда-
создавалась и развивалась как необходимый элемент для понимания процессов,
протекающих в звездах, и объяснения наблюдаемого свечения звезд.
В значительной мере эта теория переносится и на другие высокотемпера-
высокотемпературные объекты, с которыми имеет дело физика и техника сегодняшнего
дня. В этой главе мы познакомимся с основами теорий теплового излу-
излучения, лучистого переноса энергии, теории свечения нагретых тел и сфор-
сформулируем уравнения, описывающие гидродинамическое движение веще-
вещества в условиях интенсивного излучения. В изложении этих вопросов
мы будем ориентироваться на «земные» приложения, останавливаясь
на некоторых моментах, не столь важных для астрофизики и даже не воз-
возникающих в этой области *).
Напомним основные положения и определения теории теплового
излучения. Излучение характеризуется частотой колебаний электромаг-
электромагнитного поля v или длиной волны X, связанной с частотой через ско-
скорость света с: X = civ. В дальнейшем мы всегда будем иметь дело со
средами, в которых показатель преломления очень близок к единице, так
что под с будем подразумевать скорость света в вакууме, равную с =
= 3-Ю10 см/сек. С квантовой точки зрения излучение рассматривается
как совокупность неких частиц, фотонов или световых квантов, энер-
энергия которых связана с частотой эквивалентного поля посредством постоян-
постоянной Планка h = 6,62- 1С)-?7 эрг-сек. Обычно энергию кванта hv **) изме-
измеряют в электрон-вольтах. Один электрон-вольт — это энергия, которую
приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 вольт;
1 электрон-вольт A эв) равен 1,6-10~12 эрг. Часто в электрон-вольтах
измеряют и температуру. Температуре 7 в 1 электрон-вольт соответ-
соответствует энергия кТ = 1,6-К)-12 эрг, где Л: = 1,38-10~16 эрг/град есть
*) Более подробно с вопросами теории переноса излучения и ее приложениями
к астрофизике можно познакомиться в книгах В. А. Амбарцумяна и др. [1], Унзоль-
да [2], Э. Р. Мустеля [3].
**) В квантовой теории принято пользоваться вместо частоты v «круговой»
частотой <а = 2п\ и, соответственно, постоянной Планка Ъ = А/2я. В этой книге
мы будем употреблять величины v и А, как это принято в теории переноса излучения
и астрофизике.

§ 1]	ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ	97
постоянная Больцмана:
т - кТ°	т°
¦*¦ RR ~~" л п 4 г\
IO~12 11600'
т. е. температура в 1 эв равна 11 600° К.
В электромагнитной, шкале частот (длин волн) или, как говорят,
в спектре излучения, обычно выделяют несколько весьма нечетко огра-
ограниченных интервалов, которые носят определенные названия: радио-
радиоволны, инфракрасное, видимое, ультрафиолетовое, рентгеновское излу-
излучения, у-кванты. Это деление сложилось исторически и не имеет какого-то
строгого физического обоснования. Некоторые промежуточные между
интервалами частоты даже трудно отнести к той или иной рубрике. Исклю-
Исключение составляет только оболее или менее определенная, видимая часть
спектра: А,.—¦ 7500—4000 A, hv ~ 1,7—3,13 эв. В теории теплового излу-
излучения доказывается, что в состоянии термодинамического равновесия
излучения с веществом максимум энергии спектра по частоте приходится
на частоту v, связанную с температурой формулой hv = 2,82 кТ. Можно
сказать, что частота у наиболее характерна для тела с температурой
Т — hv/2,82 к, поэтому сопоставление частотных и температурных диапа-
диапазонов сразу дает представление о том, каким температурам свойственна
данная область спектра. Видимое излучение характерно для тел с тем-
температурами порядка 7000—13 000° К.
Электромагнитное поле или световые кванты обладают не только
энергией, но и импульсом. Импульс кванта hv по абсолютной величине
равен hv/c. Направление движения кванта совпадает с вектором потока
энергии поля — вектором Пойнтинга.
Поле излучения, заполняющего пространство, описывается распре-
распределением интенсивности излучения по частотам, в пространстве и по
направлениям переноса лучистой энергии. Если говорить об излучении
как о совокупности частиц —¦ световых квантов, то поле можно охаракте-
охарактеризовать функцией распределения квантов, которая вполне аналогична
функции распределения любых частиц. Пусть / (v, r, Q, t) dvdr dQ
есть число световых квантов в спектральном интервале от v до v + dv,
находящихся в момент t в элементе объема dr *) около точки г и имею-
имеющих направление движения в элементе телесного угла dQ около единич-
единичного вектора Q. Функция / называется функцией распределения.
Каждый квант обладает энергией hv и движется со скоростью с,
поэтому величина
Iv (г, Q, t)]dvdQ = hvcf (v, r, Q, t) dv dQ
есть количество лучистой энергии в спектральном интервале dv, проте-
протекающей в 1 сек через площадку в 1 см2, помещенную в точке г перпенди-
перпендикулярно к направлениям распространения энергии, которые лежат в эле-
элементе телесного угла dQ около вектора Q. /v называют спектральной
интенсивностью излучения. Задание функций /v или / полностью опреде-
определяет поле излучения. Количество лучистой энергии частоты v, заклю-
заключенной в единичном интервале частот и находящейся в 1 см3 простран-
пространства в точке т в момент t, или спектральная плотность излучения, равно:
Uy(r,t) = hv \ /dO = y [ IydQ.	B.1)
(in)	Dя)
*) Линейные размеры элементарного объема dr предполагаются гораздо боль-
большими, чем длина волны X.
7 Я. Б. Зельдович, 10. П. Райзер

98
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Представим себе единичную площадку с направлением нормали п.
Кванты пересекают ее слева направо и справа налево. Количество лучи-
лучистой энергии в интервале dv, протекающей в 1 сек через площадку слева
направо, равно hvc \ / cos Ф dQ, где Ф — уго;и между направлением дви-
Bя)
жения квантов Q и нормалью п; интеграл берется по правой полусфере,
основанием которой служит площадка (рис. 2.1). Интеграл по левой
полусфере равен количеству энергии, протекающей справа налево. Раз-
Разность односторонних потоков слева направо и справа налево дает полный
спектральный поток энергии через указанную площадку. Поскольку
cos Ф имеет различные знаки в правой и левой по-
полусферах, спектральный поток энергии через пло-
площадку с нормалью п равен
Dл)	Dя)
где интеграл берется по всему телесному углу.
Поток есть величина векторная. Выписанное
выражение B.2) представляет собой проекцию век-
вектора потока на направление п. Сам же вектор спект-
спектрального потока равен
Рис. 2.1. К выводу где й — единичный вектор направления движения
формулы для потока квантов.
энергии излучения.	ДрИ изотропном распределении излучения,
когда функция распределения / и интенсивность
/v не зависят от направления й, плотность излучения равна
Uv = inhvf = — /v,
B.4)
а потока нет: S, = Ои проекции на все направления также равны нулю
(так как в каждом направлении энергии переносится ровно столько,
сколько и в противоположном).
Полные интенсивность, плотность и поток излучения получаются
из спектральных интегрированием их по всему спектру частот:
B.5)
Введем теперь понятие об оптических характеристиках вещества *).
Количество энергии частоты v самопроизвольно (спонтанно) излу-
излучаемой в 1 см3 вещества в 1 сек в единичном интервале частот называют
спектральной лучеиспускательной способностью или коэффициен-
коэффициентом излучения /v. Обычно газы излучают свет во всех направ-
направлениях одинаково, изотропно, так как атомы, молекулы и т. д. ориен-
ориентированы и движутся в пространстве хаотическим образом. Поэтому
количество энергии, излучаемой в телесный угол dii в каком-либо на-
*) Здесь и в дальнейшем, употребляя термины «свет», «световые кванты», «опти-
«оптические» свойства, мы не будем ограничиваться, как это принято в обиходе, только
видимой частью спектра, но будем относить эти термины к любым частотам.

§ 2]	МЕХАНИЗМЫ ИСПУСКАНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ В ГАЗАХ	99
правлении, равно просто ;v dQ — Jv dii/An (jv рассчитано на единицу
телесного угла).
Иногда лучеиспускательную способность относят не к единице объема,
а к единице массы. Чтобы получить соответствующие величины, сле-
следует, очевидно, поделить Jv или /v на плотность вещества Q.
Если через вещество проходит пучок света, он ослабляется на своем
пути. Ослабление происходит как вследствие поглощения квантов, так
и вследствие их рассеяния, т. е. отклонения от первоначального направ-
направления. Относительное ослабление параллельного пучка на элементе
пути dx пропорционально этому элементу, т. е.
dlv=—\ivlvdx.	B.6)
Интенсивность пучка уменьшается после прохождения расстояния х
от точки х = О до точки х по экспоненциальному закону
х
— \ iivdx .	B.7)
о
Коэффициент ослабления \iv складывается из коэффициента погло-
поглощения xva *) и коэффициента рассеяния xvs. Обратные величины есть
длины пробега света: полная lv = l/(xv, по отношению к поглощению
Ко. = l/xv« и по отношению к рассеянию lvs = l/xvs (lv = (lya + ^vs))-
Длины пробега характеризуют ослабление пучка света по отношению
к соответствующему процессу на единице пути. О коэффициентах, отне-
отнесенных не к единице пути, а к единице массы, говорят как о массовых
коэффициентах. Массовые коэффициенты равны соответственно fiv/Q>
Q vsQ
Длина пробега представляет собой среднее расстояние, которое
проходит квант прежде, чем он поглотится, рассеется и т. д. Но квант
летит со скоростью с, и поэтому среднее время «жизни» кванта по отно-
отношению к данному акту равно длине пробега, поделенной на скорость
света Не. Например, если на элементе пути dx поглощается доля dx/lva
квантов, то за время dt поглощается доля с dt/lva.
Ослабление пучка света характеризуется произведением коэффи-
коэффициента ослабления на длину пути. Безразмерная величина
X
tv= \ \ivdx, dxv = \ivdx	B.8)
о
называется оптической толщиной слоя х по отношению к свету частоты v.
Пучок света ослабляется в е раз на оптической толщине, равной единице.
В случае, когда рассеянием можно пренебречь, оптическая толщина есть
X
tv = \ Kvadx, dtv = Xy,adx.	B.9)
о
§ 2. Механизмы испускания, поглощения и рассеяния света в газах
Световые кванты излучаются и поглощаются при переходах эле-
электронов в атомных системах: атомах, молекулах, ионах, электронно-ион-
электронно-ионной плазме, из одного энергетического состояния в другое. При погло-
поглощении кванта происходит возбуждение атома, молекулы и т. д. Для того
*) Мы сейчас отвлекаемся от процессов вынужденного испускания, о которых
речь пойдет ниже, и подразумеваем под xva коэффициент истинного поглощения.
7*

100
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
чтобы произошло испускание кванта, необходимо предварительно воз-
возбудить атом; атом теряет энергию возбуждения, передавая ее испускае-
испускаемому кванту. Лучеиспускательная способность тем выше, чем больше
число возбужденных атомов, т. е. чем выше температура.
На рис. 2.2 изображена схема энергетических уровней простейшей
атомной системы, состоящей из протона и электрона, которые в свя-
связанном состоянии образуют атом водорода.
За нуль энергии принята, как обычно,
граница между свободным и связанным
состояниями электрона, так что в связан-
связанном состоянии энергия отрицательна.
В связанном состоянии электрон может
находиться только на определенных, дис-
дискретных энергетических уровнях. Основ-
Основное состояние системы протон — электрон
имеет энергию Ег — —13,5 эв, равную
по абсолютной величине потенциалу иони-
ионизации атома водорода. В свободном со-
состоянии с положительной энергией (иони-
(ионизованный атом водорода) электрон может
обладать любой энергией, так что энер-
энергетический спектр непрерывен.
В качественном отношении энергети-
энергетический спектр сложных атомных систем
не отличается от спектра простейшей.
Все электронные переходы можно,
как это принято в астрофизике, подра-
подразделить на три группы по признаку не-
непрерывности или дискретности энергети-
энергетического спектра начального и конечного
состояний атомной системы: на связанно-
связанные, связанно-свободные и сво-
свободно-свободные (все возможные переходы
показаны на рис. 2.2 стрелками).
К связанно-связанным относятся пере-
переходы электронов в атомах, молекулах
и ионах с одного дискретного уровня на
другой. В силу дискретности энергетиче-
энергетических уровней связанного состояния
электронов при таких переходах испускаются и поглощаются линейча-
линейчатые спектры. В молекулах, когда одновременно с электронным пере-
переходом происходит изменение состояния колебательного и вращатель-
вращательного движений, получаются полосатые спектры *).
''*"' "При связанно-свободных переходах электрон в результате погло-
поглощения кванта приобретает энергию, превышающую энергию связи его
в атоме, молекуле, ионе и становится свободным — происходит фото-
фотоионизация. Избыточная по сравнению с энергией связи энергия кванта
превращается в кинетическую энергию свободного электрона. Обратные
*) В молекулах иногда происходят переходы, сопровождающиеся изменением
только колебательного и вращательного состояний без изменения электронного состоя-
состояния. При этом испускаются или поглощаются кванты очень малой энергии, лежащие
в инфракрасной области спектра, которые при температурах порядка нескольких
тысяч градусов и выше играют незначительную роль.
Рис. 2.2. Схема энергетических
уровней системы протон-электрон.
Et = —13,5 ав — основное состояние
атома водорода; Ег, Е, — уровни с
главными квантовыми числами п=2,3.
Е = 0 соответствует границе между
дискретным и непрерывным спектра-
спектрами. Стрелками показаны возможные
типы переходов: I — связанно-связан-
связанно-связанный, II — эахват электрона протоном,
III,— ионизация атома, IV — сво-
свободно-свободный.

§ 2]	МЕХАНИЗМЫ ИСПУСКАНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ В ГАЗАХ	101
переходы — захват свободных электронов ионами в ионизованном газе
(фоторекомбинация) — приводят к испусканию квантов. Поскольку сво-
свободный электрон может обладать произвольной (положительной) энер-
энергией, связанно-свободные переходы дают непрерывный спектр поглоще-
поглощения и излучения.
Следует отметить, что не любой квант может вызвать фотоэффект
в атоме, находящемся в определенном состоянии. Энергия кванта должна
превышать энергию связи электрона в этом состоянии. Однако любой,
даже самый маленький квант может вырвать электрон из достаточно
сильно возбужденного атома, так как с возрастанием возбуждения элек-
электрон становится связанным все слабее и слабее.
В ионизованном газе (плазме) свободный электрон, пролетая в эле-
электрическом поле иона, может испустить квант, не потеряв при этом всей
своей кинетической энергии и оставаясь свободным, либо же поглотить
квант, приобретая дополнительную кинетическую энергию. Эти сво-
свободно-свободные переходы часто называют тормозными, так как при
испускании электрон как бы тормозится в поле иона, теряя часть своей
энергии на излучение. Тормозные процессы дают также непрерывный
спектр излучения и поглощения.
Тормозные процессы могут происходить и при пролете электрона
в поле нейтрального атома. В отличие от поля иона, поле нейтрального
атома очень быстро спадает с расстоянием, поэтому для процесса испус-
испускания или поглощения света необходимо тесное сближение электрона
и атома. Вероятность тормозного процесса с участием нейтрального
атома гораздо меньше, чем с участием иона.
Коэффициенты связанно-связанного и связанно-свободного поглоще-
поглощения пропорциональны числу поглощающих атомов, находящихся в 1 см3
газа N. Величина коэффициента, отнесенная к одному поглощающему
атому, зависит только от свойств атома, степени его возбуждения, час-
частоты кванта, т. е. является характеристикой самого атома. Эта величина
nva/N = av имеет размерность см2 (размерность xvo — i/см, размерность
N — 1 /см3) и носит название эффективного сечения по-
поглощения. Ее физический смысл легко понять путем следующего рас-
рассуждения. Пусть параллельный пучок света частоты v с сечением в 1 смг
проходит через поглощающий газ. Поглощение можно представить себе
таким образом, будто каждый атом заменен неким маленьким непрозрач-
непрозрачным диском, перпендикулярным к направлению пучка, попадая в кото-
который квант застревает (поглощается).
Если площадь каждого диска равна crv, а число дисков — атомов
в см3 есть N, то полная площадь всех дисков, расположенных в слое газа
с площадью 1 см2 и толщиною dx, равна 1 см2 Nav dx. Выберем dx настоль-
настолько малым, чтобы находящиеся в слое диски не перекрывались. Тогда,
очевидно, при прохождении света через такой слой «застрянет» доля
квантов, равная отношению непрозрачной площади^ Nav dx см2 к пол-
полной —1 см2, т. е.
dlv = —/V7V0V dx.
Вспоминая определение коэффициента поглощения (см. форму-
формулу B.6)), получаем, что и„ = Nov, т. е. эффективное сечение ov есть
как бы площадь «непрозрачного» (для частоты v) диска, соответствую-
соответствующего одному поглощающему атому. Точно так же можно говорить и об
эффективном сечении атома или какой-либо другой частицы для рассея-
рассеяния квантов.

102	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Связанно-связанные переходы вызываются квантами строго опре-
определенной энергии hv, лежащей в чрезвычайно узких пределах. Эта энер-
энергия должна соответствовать разности энергий двух уровней в атоме.
Поэтому о таком поглощении говорят о как селективном. Эффективные
сечения поглощения «изолированных» атомов для этих «избранных»
квантов чрезвычайно велики. Для квантов видимого света они порядка
Ю-9 см2 в центре линии (в середине узкого интервала селективного погло-
поглощения) *). Такие сечения отвечают очень малым длинам пробега квантов.
Например, при плотности N ~ 1019 см~3 (порядка плотности атмосфер-
атмосферного воздуха) длина пробега была бы порядка I = 1/х = 1/No ~ 10~10 см.
Эффективные сечения для связанно-свободного поглощения, т. е.
для фотоэффекта, гораздо меньше, порядка Ю-17 —Ю-20 еле2 (I -~ 10~2—
10 см при N ~ 1019 ел*-3). Эти величины относятся, конечно, только
к таким квантам, которые вообще в состоянии вырвать электрон из атома,
т. е. энергия которых больше энергии связи электрона.
Что касается свободно-свободных переходов, то для поглощения
кванта необходимо, чтобы электрон пролетел в момент поглощения очень
близко от иона —«столкнулся» с ионом (свободный электрон не в состоя-
состоянии поглотить квант, он может только рассеять его). Поэтому коэффи-
коэффициент тормозного поглощения пропорционален как числу ионов, так
и числу свободных электронов в 1 см3 : хтор ~ N+Ne. Говорить об эффек-
эффективном сечении иона атор = nTOp/N+ ~ Ne можно только в условном
смысле, так как это ceqemie пропорционально плотности свободных
электронов. Оказывается, однако, что в случае неполной ионизации
коэффициент тормозного поглощения пропорционален только первой сте-
степени плотности газа, так как плотности пропорционально само произ-
произведение N+Ne. Для квантов, наиболее распространенных при данной
температуре, коэффициент тормозного поглощения примерно на поря-
порядок меньше коэффициента связанно-свободного поглощения.
В случае же полной ионизации, когда в газе присутствуют только
ядра и электроны (и связанно-свободного поглощения вообще нет), коэф-
коэффициент тормозного поглощения пропорционален квадрату плотности
газа.
*• Рассеивают кванты главным образом свободные электроны **) (если
энергия кванта велика по сравнению с энергией связи электрона в атоме,
то такой электрон тоже может рассматриваться как «свободный»).
Кванты не слишком -больших энергий, гораздо меньших, чем соб-
собственная энергия электрона: тес2 = 500сэв, с которыми только и прихо-
приходится иметь дело при обозримых температурах, рассеиваются без изме-
изменения энергии. Эффективное сечение рассеяния определяется классиче-
классическим радиусом электрона г0 и равно
as = -|ят* = 6,65-Ю-25 см*
(это — так называемое томсоновское сечение рассеяния).
*) Эффективное сечение поглощения в центре линии, обладающей естественной
шириной, порядка К2, где К — длина волны кванта. В шкале длин волн естественная
ширина линий в видимой части спектра порядка 1СГ4 А = 1СГ12 см A ангстрем (А)
равен 10~8 см). Обычно в газах ширина линий больше естественной, а сечение в центре
линии соответственно меньше, чем %2. Подробнее см. об этом в § 9 гл. V.
**) Отметим существование эффекта .резонансного рассеяния, в котором свя-
связанный электрон поглощает квант с переходом в связанное же возбужденное состояние,
а затем испускает его в произвольном направлении. Эффективное сечение резонанс-
резонансного рассеяния в центре линии, как и сечение поглощения, порядка К2.

5 3]	РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И АБСОЛЮТНО ЧЕРНОЕ ТЕЛО	103
Это сечение очень маленькое, оно соответствует длине пробега для
рассеяния ls ~ 105 см при плотности электронов Ne ~ 1019 см-3. При
оценке длины рассеяния больших квантов, для которых все электроны
атомов и молекул могут рассматриваться как свободные, под Ne следует
понимать полное число электронов, имеющихся в атомах. Например,
в воздухе нормальной плотности NMoneK = 2,67-1019 см-3, а полное
число электронов в 14,4 раза больше. Длина пробега для рассеяния
равна 37 м. Следует отметить, что эффективное сечение очень больших,
мегаэлектрон-вольтных квантов отличается от томсоновского.
В неполностью ионизованном газе длина пробега для рассеяния
квантов в непрерывном спектре всегда гораздо больше длины пробега
для поглощения. Только в полностью ионизованном и очень сильно
разреженном газе, когда тормозное поглощение, пропорциональное N2,
становится малым, рассеяние существенно.
В «земных» условиях рассеянием света практически всегда можно
пренебречь по сравнению с поглощением *). Поэтому в дальнейшем мы
будем опускать индекс «а» у величин xv, lv, подразумевая под ними коэф-
коэффициент поглощения и длину пробега для поглощения.
На этом мы закончим общий обзор механизмов взаимодействия излу-
излучения с веществом. Подробному изложению этих вопросов будет посвя-
посвящена гл. V. Здесь же нам нигде не понадобятся конкретные выражения
для коэффициентов поглощения.
§ 3. Равновесное излучение и абсолютно черное тело
Представим себе неограниченную среду, находящуюся в состоянии
термодинамического равновесия при постоянной температуре Т. В ста-
стационарных условиях поле излучения также равновесно. Термодинамиче-
Термодинамическое равновесие излучения характеризуется тем, что число квантов или
количество лучистой энергии, испускаемых веществом в 1 сек в 1 см3
я данном интервале частот Лив данном интервале направлений dQ,
в точности равно числу поглощаемых квантов или количеству погло-
поглощаемой веществом лучистой энергии в тех же интервалах dv, dQ. Поле
равновесного излучения изотропно, т. е. не зависит от направления
и не зависит от конкретных свойств среды, являясь универсальной функ-
функцией частоты и температуры.
Спектральная функция плотности равновесного излучения f/vp была
выведена Планком на заре развития квантовой теории. Наиболее естест-
естественным путем ее можно получить с помощью квантовой статистики, кото-
которой подчиняется «фотонный газ» (см., например, [4]). Количество энер-
энергии равновесного излучения частоты v в 1 см3, приходящееся на еди-
единичный интервал частот, равно
ekT-l
В силу изотропии спектральная интенсивность равновесного излу-
излучения равна
/ _^P_2*v« J	")	Bil)
*) В астрофизических условиях рассеяние иногда даже больше поглощения.
**) В астрофизической литературе вместо /vp обычно употребляют обозна-
обозначение Bv.

104
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Распределение энергии равновесного излучения по частотам, давае-
даваемое функцией Планка B.10), изображено на рис. 2.3. Максимум этого
распределения лежит при энергии квантов hvmax = 2,822 кТ. При повы-
повышении температуры максимум смещается в сторону больших частот.
В области малых частот hv < кТ формула Планка сводится к классиче-
классической формуле Рэлея — Джинса:
Z7vp = -^LV2, hv^kT. ,	.	B.12)
В области больших частот hv > кТ получаем формулу Вина:
hv
Uvp^^^-e"*?, hvykT.	I B.13)
Полная плотность равновесного излучения получается интегрирова-
интегрированием по частотам от нуля до оо спектральной плотности B.10). Вычисление-
дает известное выражение:
1,0
0,6
D/t
0,2
е*Ч
/
/
1
1
\
\
\,
\
= f
0
Рис.
1 2 3
2.3.
4 5 6
Функция
1; где х =
7 8 х
Планка
B.14)
где	а = 2яБА4/15А3с2 = 5,67 • 10^
эрг/см2 ¦ сек ¦ град4 — постоянная Стефана —
Больцмана (Up = 7,57-Ю-15 TOi эрг/смя).
Пропорциональность полной плотно-
плотности равновесного излучения четвертой
степени температуры следует непосред-
непосредственно из второго начала термодинамики
и известного из классической электро-
электродинамики положения о том, что давление
изотропного поля излучения равно одной
трети от плотности энергии: pv = Up/3.
Подставляя это выражение в общее термо-
термодинамическое соотношение Т dS = de + p dV *), где под удельной
энергией подразумевается произведение плотности излучения на объем
е = f/pF, и замечая, что dS есть полный дифференциал, получим Up =
= const Ti. Кстати сказать, соотношение pv = Z7p/3 свидетельствует
о том, что равновесное излучение можно рассматривать с термодинами-
термодинамической точки зрения как идеальный газ с показателем адиабаты у — 4/3.
Поскольку поле равновесного излучения изотропно, поток излучения
в любой точке тела равен нулю. Это значит, что если мысленно провести
в теле плоскую поверхность, то односторонние потоки излучения через
поверхность справа налево и слева направо будут в точности равны друг
другу по абсолютной величине и противоположны по направлению. Саму
величину одностороннего потока, т. е. количество лучистой энергии, про-
протекающей, скажем, слева направо в 1 сек через единичную площадку,
получим, подставляя в формулу B.2) выражение B.11) для равновесной
интенсивности и интегрируя не по всему телесному углу, а только по
полусфере. Односторонний спектральный поток равен
_ с?/ур _ 2яМ>3 1
^vp— 4 — c2--jiiv •	B.15>
*) Здесь S — энтропия излучения.

§ 4]	ВЫНУЖДЕННОЕ ИСПУСКАНИЕ	105
Интегральный по спектру односторонний поток есть
vptfv = -^- = aJ4.	B.16)
Представим себе тело постоянной температуры Т, в котором имеется
полость, заполненная равновесным излучением. На 1 см2 поверхности
вещества в 1 сек из полости падает поток излучения Svp. Этот поток,
вообще говоря, частично отражается от стенки полости, а частично про-
проходит внутрь и поглощается веществом (предположим, что насквозь
через тело он не проходит — тело не ограничено). Обозначим коэффи-
коэффициент отражения через Rv, а поглощательную способность вещества через
Av; Av = 1— Rv. Количество излучения, проходящего из полости внутрь
тела и поглощающегося в веществе, равно Svv-Av. В силу равновесия
такое же количество излучения J'v испускается в 1 сек с 1 см2 поверхности
тела в сторону полости, т. е. J'v = Svp-Av. Поглощательная способность,
коэффициент отражения, величина испускания с поверхности являются
характеристиками тела и состояния вещества, однако отношение:
не зависит от конкретных свойств тела и является универсальной функ-
функцией частоты и температуры. Это положение называется законом Кирхгофа.
Тело, которое полностью поглощает все падающее на него излучение,
называется абсолютно черным. Для абсолютно черного тела, по опреде-
определению, Rv = 0, Av = 1. Из формулы B.17) следует, что с поверхности
его выходит спектральный поток, равный Svp; интегральный по спектру
поток равен Sp = oTi.
Рассмотрим неограниченную сплошную среду с постоянной темпера-
температурой Т, в которой излучение находится в равновесии с веществом, и сно-
снова разделим ее воображаемой плоской поверхностью. Односторонние
потоки через поверхность равны Svp. Кванты, пересекающие поверх-
поверхность слева направо, «рождаются» слева от поверхности, а идущие справа
налево — справа от поверхности. Уберем мысленно вещество с одной
стороны от поверхности, скажем, справа, предположив при этом, что
температура вещества слева не изменилась. Кроме того, предположим, что
среда обладает показателем преломления, равным единице, как и пустота,
которая образуется справа, т. е. граница раздела не отражает света.
Тогда, после «изъятия» вещества справа, со стороны пустоты кванты
не приходят вообще, поток же квантов слева направо со стороны веще-
вещества, очевидно, не изменится и будет по-прежнему равным Svp. Таким
образом, плоское полупространство, заполненное веществом с показа-
показателем преломления, равным единице, и постоянной температурой Т,
посылает с поверхности поток излучения Svp, т. е. излучает как абсо-
абсолютно черное тело температуры Т.
§ 4. Вынужденное испускание
Рассмотрим баланс поглощения и испускания света в веществе,
находящемся в поле излучения /v. Количество лучистой энергии в интер-
интервале частот dv и интервале направлений dQ, поглощаемой в 1 см3 в 1 сек,
равно
/v dv diiKv = поглощение в 1 сек в 1 см3.	B.18)

10E	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Количество энергии, самопроизвольно (спонтанно) испускаемой веще-
веществом в 1 см3 в 1 сек в том же интервале dv dQ, равно
/v dv dQ = самопроизвольное испускание в 1 сек в 1 см3,
Величина самопроизвольного испускания (коэффициент излучения jv)
определяется только свойствами вещества и его состоянием: родом
атомов, температурой, от которой зависит степень возбуждения атомов
и т. д., и совершенно не зависит от того, имеется ли в пространстве излу-
излучение или нет. Этим, однако, не исчерпывается полное количество излу-
излучения, цспускаемого веществом.
Существует так называемое вынужденное, или индуцированное,
испускание. Вероятность вынужденного испускания кванта данной час-
частоты и данного направления пропорциональна имеющейся в данной
точке пространства интенсивности излучения той же частоты и того же
направления. Присутствующие кванты как бы способствуют переходам
возбужденных атомных систем, сопровождающимся испусканием таких же
самых квантов. В квантовой теории показывается, что полная вероят-
вероятность испускания данных квантов пропорциональна величине 1 + га,
где п — число фотонов с определенным направлением поляризации, нахо-
находящихся в той же фазовой ячейке, в которую попадает испущенный
квант. Это число равно п = c2/v/2fev3 *). Таким образом, полное коли-
количество излучения, испускаемого в 1 сек в 1 см3 в интервале <2v dQ, равно
(с2	Л
1 -\- 3 /v J == полное испускание в 1 сек в 1 см3. B.19)
Первое слагаемое в скобках соответствует спонтанному испусканию,
а второе — вынужденному.
В состоянии термодинамического равновесия испускание и поглоще-
поглощение квантов данных частоты и направления в точности компенсируют
друг друга, так что выражения B.18) и B.19) следует приравнять, причем
интенсивность излучения 1Ч заменить при этом равновесной величиной /vp.
Принимая во внимание формулу B.11) для равновесной интенсивно-
интенсивности, найдем, что отношение лучеиспускательной способности любого
вещества к его коэффициенту поглощения есть универсальная функция
частоты и температуры:
г	hv
Ь. =	vi	= Щ?-е"*г.	B.20)
*v , , с2	с2	v	;
Это соотношение представляет собой одну из форм закона Кирхгофа.
Формулу B.20) удобно переписать в виде
_ _^L
/v = /vpxv(l.~e hT).	B.21)
Испускательная способность во всех направлениях равна
_ JH-
— e" *т).	B.22)
*) Фазовый объем, соответствующий элементу dv dQ dr, в котором находится
/ dv dQ dr квантов, есть dp dr, где dp — элемент объема в пространстве импульсов.
Поскольку импульс кванта равен р = hvQ/c, dp = рг dp dQ = h3v2 dv dQ/c3. Число
фазовых ячеек в элементе фазового пространства dp dr равно dp dr/h3 и, следователь-
следовательно, число фотонов в одной ячейке равно / dv dQ drh3/dp dr = c2f/v2 = c2lv/hv3.
Число фотонов с определенным направлением поляризации равно половине этого
числа, т. е. c2lv/2hv3.

§ 4]	ВЫНУЖДЕННОЕ ИСПУСКАНИЕ	107
Закон Кирхгофа представляет собой выражение общего принципа
детального равновесия применительно к процессам испускания и погло-
поглощения света. Он позволяет вычислять лучеиспускательную способность
вещества, если известен его коэффициент поглощения (и наоборот).
Существование процессов вынужденного испускания, т. е. таких
переходов возбужденного атома, вероятность которых зависит от числа
«частиц»— фотонов, уже имеющихся в конечном состоянии системы
атом плюс фотон, характерно для процессов с участием фотонов —«час-
—«частиц», подчиняющихся квантовой статистике Бозе. Именно благодаря
существованию таких процессов функция распределения фотонного газа
отличается от функции распределения газа, подчиняющегося классиче-
классической статистике Больцмана, где число частиц с энергией е пропорцио-
пропорционально e~e/hT, а не (e8/feT — I)-1, как для фотонов (е = hv).
Чтобы пояснить это положение, рассмотрим простейший случай,
когда атом обладает двумя энергетическими уровнями, е4 и е2 (е2 > е^,
и переход из верхнего энергетического состояния в нижнее сопровож-
сопровождается испусканием кванта hv = е2 — ей, а переход из нижнего в верх-
верхнее — поглощением кванта hv. Вероятность поглощения, т. е. xv, про-
пропорциональна числу атомов в нижнем энергетическом состоянии, которое
по закону Больцмана пропорционально e~8l/feT. Вероятность самопро-
самопроизвольного испускания jv пропорциональна числу атомов в верхнем
энергетическом состоянии, т. е. e~e^hT.
Предположим, что вынужденного испускания не существует. Тогда
в равновесии число актов самопроизвольного испускания квантов hv
было бы равно числу актов поглощения, т. е. вместо формул B.20) или
B.21) имели бы место равенства
?=/vp, /v = /vpXv,	B.23)
-XHJ у у '^"шГ С	у «V ^^	9 Лм\ T.JLU
_	_
J^- = /vp=const »e kT — const -e hT .
xv
Иначе говоря, для интенсивности равновесного излучения, или, что
то же самое, для функции распределения квантов мы получили бы закон
Больцмана, как и для «обычных» частиц. На самом деле, закон Больц-
Больцмана справедлив только для больших квантов hv > кТ в виновской
области.
Только с учетом процессов вынужденного испускания рассмотрение
баланса испускания и поглощения квантов приводит к формуле Планка
для функции распределения фотонов. В нашем примере атома с двумя
энергетическими уровнями мы получим при этом
т	_ 82—ei	_ hv
* 	^— = const-e w =const-e kT ,
c4
откуда и следует формула Планка для интенсивности /vp Гири const =
)
Из проведенного рассуждения следует, что роль вынужденного
испускания по сравнению с самопроизвольным в условиях равновесия
стремится к нулю при hvlkT —>¦ оо, т. е. в виновской области спектра.

108	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Это видно и непосредственно из формулы B.19), если учесть, что при
равновесии в пределе hvlkT —>¦ оо.
hv
Наоборот, в рэлей-джинсовской области спектра, где hv < кТ,
относительная роль вынужденного испускания велика: в формуле B.19)
л , & т	, ,	1	__л , кТ
'vp-.it—hv	 •¦-r'hT
так что отношение вероятностей вынужденного и спонтанного испуска-
испусканий равно kT/hv > 1.
Следует отметить, что в случае, когда поле излучения неравновесно,
изложенные соображения о сравнительной роли самопроизвольного
и вынужденного испусканий, вообще говоря, несправедливы, так как
вынужденное испускание пропорционально фактической интенсивности
излучения, которая в отсутствие равновесия может быть произвольной.
§ 4а. Вынужденное излучение в классической
и квантовой теориях и лазерный эффект
Явление вынужденного излучения в последние годы привлекает
большое внимание потому, что оно лежит в основе действия мазеров
и лазеров. Для того чтобы пояснить физический смысл этого явления,
остановимся кратко на его классической трактовке. Как известно, в клас-
классике излучающий атом представляется упруго связанным электроном —
гармоническим осциллятором. Пусть на осциллятор действует вынуж-
вынуждающая сила — электрическое поле световой волны, причем частота
волны совпадает с собственной частотой осциллятора. Если в началь-
начальный момент осциллятор покоился, то под действием поля осциллятор
начнет резонансно раскачиваться, амплитуда колебаний будет возра-
возрастать ~t, а энергия ~ ?2. Однако если в начальный момент осциллятор
обладал определенной энергией, то сила, действующая с резонансной
частотой, может раскачивать осциллятор еще сильнее, а может и, наобо-
наоборот, гасить его колебания, так что осциллятор будет терять энергию.
Это зависит от соотношения фаз колебания и переменной силы. Под-
Подчеркнем при этом, что для отбора энергии от осциллятора резонансный
характер силы также необходим, как и для раскачки осциллятора.
В этом, классическом по существу явлении резонансного отбора
энергии от осциллятора и лежит основа для понимания индуцирован-
индуцированного излучения.
Осциллятор, обладающий энергией и помещенный в поле световой
волны в соответствующей фазе, будет отдавать свою энергию, которая
пойдет именно на усиление проходящей световой волны; такой осцил-
осциллятор будет увеличивать энергию когерентной волны. На классическом
языке можно сказать, что электрическое поле осциллятора Es скла-
складывается с полем волны Ео. Поле осциллятора соответствующим обра-
образом распределено по углам. Но поток энергии пропорционален квад-
квадрату поля. Поэтому поток энергии осциллятора в направлении прохо-
проходящей волны пропорционален Е3 Ео и тем больше, чем больше Ео: этот
результат соответствует тому, что интенсивность индуцированного излу-
излучения растет с увеличением интенсивности вызывающей его волны.

§ 4а] ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КЛАССИЧ. И КВАНТОВОЙ ТЕОРИЯХ 109
Однако в этой классической картине есть изъян, который и приво-
приводит к неправильному виду формул. В классической теории совокуп-
совокупность осцилляторов с произвольными фазами в среднем всегда больше
поглощает энергии, чем индуцировано испускает ее.
Правильные результаты дает только квантовомеханическое рас-
рассмотрение вопроса. Обратимся к квантовой трактовке воздействия на гар-
гармонический осциллятор. Чрезвычайно важен тот факт, что энергетиче-
энергетические уровни гармонического осциллятора находятся друг от друга на оди-
одинаковом расстоянии (равном hv, где v — собственная частота).
Осциллятор, находящийся на га-м уровне, под действием резонанс-
резонансной силы может перейти и на (л + 1)-й и на (и — 1)-й уровни.
При этом переход в верхнее (га -f- l)-e состояние с поглощением
энергии более вероятен, чем переход в нижнее (п — 1)-е состояние с отда-
отдачей энергии. Как известно из квантовой механики, отношение вероятно-
вероятностей этих переходов равно (п + 1)/га. Это и означает, что совокупность
гармонических осцилляторов в среднем поглощает свет.
Для лазерного действия, т. е. для преобладания индуцированного
излучения, решающую роль играет ангармоничность осциллятора, т. е.
нарушение эквидистантности уровней, когда энергетические расстояния
между соседними уровнями становятся неодинаковыми. Если расстоя-
расстояния между уровнями разные, то существует такая частота, которая
является резонансной для перехода п ->• га— 1, но не резонансна для
перехода га->-га + 1. Тогда ясно, что осциллятор в га-м состоянии под
действием света частоты v будет только отдавать энергию.
Это и есть та ситуация, когда при инверсной заселенности уровней
(заполнен га-й уровень, но не заполнен (га — 1)-й) возникает отдача энер-
энергии, или отрицательное поглощение волны, т. е. возникают условия для
генерации лазера *).
Совокупность N атомов с двумя уровнями каждый (и не взаимо-
взаимодействующих между собой, например атомов хрома в решетке рубина)
тоже можно рассматривать как единую систему с эквидистантными уров-
уровнями: энергия Еп = rerav, где п — число возбужденных атомов.
В отличие от осциллятора, у которого спектр энергетических состоя-
состояний не ограничен сверху (и статистический вес всех состояний одинаков),
здесь спектр ограничен не только снизу (га = 0, Еп = 0), но и сверху:
E	Nh
Статистический вес различных га различен, максимум статистиче-
статистического веса достигается посередине, при n = NI2.
Этим и объясняется тот факт, что у такой системы поглощение пре-
преобладает при га<Лг/2, а индуцированное излучение преобладает при
n>N/2**).
*) Любопытно, что с вопросом о роли ангармоничности мы встречаемся при рас-
рассмотрении излучения электронов в магнитном поле. В нерелятивистском приближении
электрон вращается с постоянной частотой. Этому соответствует тот факт, что кванто-
квантовые уровни энергии поперечного движения электрона в магнитном поле эквиди-
эквидистантны.
Ни при каком распределении по энергии в магнитном поле в этом приближении
не могут возникнуть отрицательный коэффициент поглощения и генерация когерент-
когерентного света.	*
Учет релятивистских поправок создает отклонения от эквидистантности и одно-
одновременно появляется возможность таких энергетических распределений электронов,
которые дают генерацию.
**) Укажем работу [9], в которой лазерный эффект рассматривается на основе
иолуклассических представлений и [10], где сопоставляются квантовая и полукласси-
полуклассическая точки зрения.

110	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Как говорилось в начале этого параграфа, само понятие индуциро-
индуцированного излучения имеет вполне наглядный классический смысл. Как
и следовало ожидать, индуцированное излучение может быть полно-
полностью описано уравнениями Ньютона и Максвелла: недаром формула
Рэлея — Джинса B.12) для спектральной плотности в области низких
частот не содержит постоянной Планка, а ведь для квантового вывода
формулы Рэлея — Джинса учет индуцированного излучения необ-
необходим.
После открытия лазеров, приковавших внимание физиков к явле-
явлению индуцированного излучения, оказалось, что в терминах поглощения
и индуцированного излучения удобно описывать ряд процессов.
Замечательный пример представляет собой рассеяние электронов
на стоячей световой волне. Это явление было предсказано П. Л. Капи-
Капицей и П. А. М. Дираком [11] более 30 лет назад. Монохроматическая
световая волна, отражаясь от зеркала, создает в пространстве периоди-
периодически расположенные области, в которых электрическое поле мало (узлы)
и в которых оно велико (пучности). Электроны должны рассеиваться
под определенными «брэгговскими» углами так же, как электроны рас-
рассеиваются периодическим полем кристаллической решетки. Этот эффект
удалось наблюдать [12] лишь в самое последнее время благодаря исполь-
использованию мощного монохроматического светового импульса от лазера.
Рассеяние электрона полем стоячей волны можно описать количественно
в новых терминах как «индуцированный комптон-эффект».
В самом деле, комптон-эффект есть процесс взаимодействия кванта у
с электроном е:
При заданных значениях энергии и импульса кванта и электрона до рас-
рассеяния законы сохранения допускают любое направление (в системе-
центра инерции) кванта у' и электрона е' после рассеяния. Таким обра-
образом, в обычных условиях комптон-эффекта получается статистическое
распределение электронов по направлениям. Вернемся к рассеянию
электрона на стоячей волне. Стоячая волна представляет собой супер-
суперпозицию падающей у± и отраженной у2 волн. Значит, комптоновское
рассеяние может происходить:
Но при большой мощности светового потока в соответствии с законом
индуцированного излучения появляется вероятность излучить квант,
совпадающий с уже имеющимися квантами, т. е. возможны процессы
которые естественно назвать индуцированным комптон-эффектом.
Поскольку заданы направление и частота обоих квантов, т. е. их энергия
и импульс (и до и после рассеяния), то полностью определено изменение
направления электрона. Энергия электрона, очевидно, не изменяется.
Более того, из законов сохранения следует, что процесс возможен лишь
при определенном импульсе падающего электрона. Таким образом, все
закономерности дифракционного рассеяния необычайно- наглядно полу-
получаются из представления об индуцированном комптон-эффекте.

§ 4а] ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КЛАССИЧ. И КВАНТОВОЙ ТЕОРИЯХ	111
В этом примере реализуется важный общий принцип: всякое воздей-
воздействие на систему внешней периодической силы в терминах квантовой
механики обязательно нужно рассматривать как совокупность про-
процессов поглощения и индуцированного испускания системой соответствую-
соответствующих квантов энергии. Это относится и к задачам, в которых внешнюю
силу можно рассматривать как классическую: мы можем в этом случае
игнорировать обратное воздействие системы на силу (в приведенном
выше примере — воздействие электрона на поле стоячей волны). Однако
и при классическом понимании силы ее действие на квантовую систему
надо — или можно — рассматривать как поглощение и испускание
квантов *). Классичность силы означает, что индуцированное излучение
квантов с частотой, заданной внешней силой, гораздо больше спонтан-
спонтанного излучения любых других квантов, отличающихся по частоте, направ-
направлению или поляризации.
При периодическом внешнем воздействии гамильтониан системы уже
нельзя считать не зависящим от времени, однако он обладает свойством
периодичности Н (t) = H (t + nT), а значит, должны существовать
и такие решения, которые по истечении каждого периода действующей
силы снова превращаются в такие же решения, умноженные на фазо-
фазовый множитель
Vk{t + T) = aky(t), \ak\ = l, ah^eiaK
Введем понятие квазиэнергии ък:
ak = 2ashT/h,
Это понятие находится в таком же соотношении с энергией, как квази-
квазиимпульс электрона в пространственно-периодической решетке и импульс
электрона в собственном смысле.
Таким образом, можно развить стройную теорию систем, находя-
находящихся под воздействием периодических внешних сил. Согласно сказан-
сказанному выше это одновременно будет теорией явлений поглощения и инду-
индуцированного испускания.
Второй пример применения понятия об индуцированном излучении
представляет собой теория гармонического осциллятора.
Хорошо известно, что ширина спектральной линии, излучаемой при
переходе из состояния А в состояние Б, есть сумма ширин ГА и Гв общих
этих состояний. Применительно к осциллятору, у которого матричный
элемент перехода из re-го в (га — 1)-е состояние пропорционален \/~п,
найдем Г„ = кп, Гп_! = к (п — 1). Отсюда следует вывод, что ширина
линии, испускаемой при переходе из га-го в (га — 1)-е состояние, про-
пропорциональна Bга — 1). Между тем в классической теории ширина линии,
испускаемой гармоническим осциллятором, не зависит от его ампли-
амплитуды. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды **),
следовательно, энергия осциллятора убывает экспоненциально: Е ~ e~V,
*) Отметим работу Л. В. Келдыша [13], в которой используются точные волновые
функции электрона в поле классической световой волны.
**) Следовательно, время, нужное для излучения одного кванта энергии, обратно
пропорционально энергии самого осциллятора; вывод из величины матричного эле-
элемента, относящийся к вероятности излучения, не подвергается сомнению.

112	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
амплитуда его колебаний также убывает экспоненциально: ar = aoi?~v'/2 X
X cos 2nvt. Разложение этого выражения в интеграл Фурье дает лорен-
цовскую форму линии (см. гл. V)
lb(V)|2
с шириной, не зависящей от амплитуды. Парадокс, заключающийся
в кажущемся несогласии выводов классической и квантовой теорий для
больших квантовых чисел, был замечен еще Вайсскопфом и Вигнером,
а также Паули на рубеже 30-х годов (см. [14]). В работе [14] показано,
что парадокс связан со специфическим свойством гармонического осцил-
осциллятора — с эквидистантностью его уровней, т. е. со строгим совпадением
частот, излучаемых при переходах между любой парой соседних уров-
уровней. В [14] рассматриваются три состояния А, В, С, каскадно испускаю-
испускающие два кванта А ^ В ^ С. Если эквидистантности нет: ЕА — Ев Ф
Ф Ев — Ее, то vt Ф v2 и для линии vt получается обычный ответ: ее
ширина пропорциональна ГА + Гв.
Однако в случае эквидистантности (например, если С есть нижний
нулевой, В — первый и Л — второй уровни гармонического осцилля-
осциллятора) положение осложняется, испускание двух квантов, не отличаю-
отличающихся по частоте, может пойти и по второму каналу:
Для вычисления вероятности всего процесса испускания двух квантов
нужно сложить амплитуды по обоим каналам; при этом меняются ширина
и?форма линии. По современной терминологии можно сказать, не раз-
различая номера A-й, 2-й) квантов, что квант, испущенный при переходе
А —>- В, вызывает индуцированное излучение при переходе В —>- С *).
Гармонический осциллятор в состоянии с большими квантовыми числами
излучает каскад квантов; при этом роль индуцированного излучения
по сравнению со спонтанным тем больше, чем больше средний номер
состояния п. Здесь речь идет об излучении, индуцированном не внешним
излучением, а собственным излучением осциллятора.
Только такое рассмотрение всего каскада с учетом индуцированного
излучения приведет к результатам, согласующимся с классической тео-
теорией.
В каждый данный момент состояние осциллятора представляется
суперпозицией многих возбужденных уровней. Существенно также, что
при индуцированных переходах получаются определенные фазовые соот-
соотношения между последовательными уровнями, состояние системы нельзя
задать одними вероятностями разных уровней. Это и естественно: в клас-
классической картине электрон локализован. Очевидно, что для описания
локализованного электрона нужно взять суперпозицию некоторого числа
собственных функций (притом тем большего числа, чем точнее локализа-
локализация) и обязательно в определенных фазовых соотношениях. Является ли
эта ситуация только логически-математическим курьезом, относящимся
к идеализированному случаю строго гармонического осциллятора? Каков
критерий применения привычных представлений о дискретных кванто-
квантовых скачках? Сами дискретные уровни можно рассматривать постольку,
поскольку ширина уровня Г„, связанная со спонтанным излучением,
*) Эту точку зрения подтверждает и тот факт, что согласно [14] спектр меняется,
когда оба кванта испущены в одном направлении.

5]
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ
ИЗ
меньше расстояния между уровнями, т. е. меньше частоты перехода
Критерий применимости обычных представлений о ширине без учета
индуцированного излучения имеет иной вид — ширина должна быть
меньше разности частот:
Г
n, п-1
v	—
vn-i, п-2 —
Было бы весьма интересно экспериментально наблюдать эффекты
«внутреннего» индуцированного излучения на высоких колебательных
уровнях молекул.
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что понятие инду-
индуцированного излучения помогает по-новому интерпретировать многие
факты и парадоксы; это понятие является неотъемлемой частью интер-
интерпретации квантовой механики.
§ 5. Уравнение переноса излучения
Составим кинетическое уравнение для функции распределения кван-
квантов данной частоты. Поскольку эта функция с точностью до постоянного
множителя hvc совпадает с интенсивностью излучения, можно писать
уравнение прямо для интенсивности. В такой
форме кинетическое уравнение обычно назы-
называют уравнением переноса излучения.
Будем интересоваться излучением ча-
частоты v в единичном интервале частот, рас-
распространяющимся внутри единичного телес-
телесного угла в определенном направлении Q.
Рассмотрим баланс излучения в элементарном
цилиндре с площадью основания da и высо-
высотой ds, расположенном в данной точке про-
пространства таким образом, что направление Q
совпадает с образующей цилиндра и перпен-
перпендикулярно к его основаниям (рис. 2.4). За
время dt в левое основание втекает количество излучения, равное
Iv (Я, r,t) da dt. Из правого основания за тот же промежуток времени
dt вытекает количество излучения (/v + dlv) da dt.
Интенсивность Iv есть функция координат и времени. Приращение
интенсивности пучка света при переходе от левого основания к правому
складывается из локального приращения за время прохождения светом
пути ds и из приращения при переходе от координаты s к координате
s + ds в данный момент времени,
s+ds
Рис. 2.4. К выводу уравнения
переноса излучения.
dI ^, + hdSt
dt с ds
Изменение интенсивности пучка происходит вследствие испускания
и поглощения света с рассматриваемыми характеристиками в нашем
цилиндре. (В соответствии с замечанием, сделанным в конце § 2, рас-
рассеянием света мы пренебрегаем.) Количество излучения, испущенного
в цилиндре за время dt, согласно формуле B.19) равно
8 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

114	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Поглощается в нем за то же время количество излучения xv/v da ds dt.
Составляя баланс и поделив полученное выражение на произведение
дифференциалов da ds dt, получим уравнение
v)-xv/v.	B.24)
Мы здесь заменили в левой части частную производную вдоль направ-
направления dlvlds эквивалентным векторным выражением QV/V.
Комбинация в скобках в левой части представляет собой просто
«субстанциональную» производную от интенсивности по времени, т. е.
производную по времени от интенсивности данного пакета квантов (ср.
с уравнением движения в гидродинамике A.6)).
Преобразуем правую часть уравнения B.24), объединив вместе члены,
отвечающие поглощению и вынужденному испусканию, поскольку они
оба пропорциональны неизвестной функции координат и времени —
интенсивности излучения. Введем при этом в множитель перед /v в члене
вынужденного испускания вместо коэффициента излучения /v его выра-
выражение через коэффициент поглощения B.21), в которое подставим фор-
формулу B.11) для равновесной интенсивности. Правая часть уравнения
примет вид
¦_ Jm.
jv — xv(l— е hT)lv.	B.25)
Отсюда видно, что вынужденное испускание можно трактовать как некое
уменьшение поглощения: часть квантов как бы поглощается и тут же
испускается снова с той же частотой и в том же направлении, причем
вероятность этого «переизлучения» равна e-hvIhT. Физически такие акты
«переизлучения» никак себя не проявляют и их можно вообще исклю-
исключить из рассмотрения, если считать, что коэффициент поглощения имеет
несколько меньшую величину:
v' 	 v (А _ р Ш \	/О Ofi\
Взаимодействие излучения с веществом можно представлять так, как
будто существуют только спонтанное испускание и эффективное погло-
поглощение, описываемое коэффициентом я^, исправленным на вынужденное
испускание.
В новой трактовке закон Кирхгофа B.21) приобретает форму
,• 	«/' Т	v' 	v (А 	р ЬТ)	О 97\
Вводя это выражение в правую часть уравнения переноса B.24),
запишем уравнение в следующей, окончательной форме:
I QV/ = х (/ 	/ )	B 28)
Проинтегрируем уравнение B.28) по всем направлениям Q (по телес-
телесному углу). Вспоминая определения плотности и потока излучения B.1),
B.2), получим
^ + div8v = cx'v(Uvp-Uv).r	' ,' , . B.29) ¦
Это уравнение можно рассматривать как уравнение непрерывности
для излучения данной частоты. Оно выражает закон сохранения энергии

§ 6] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ 115
излучения и вполне аналогично уравнению энергии в гидродинамике,
записанному в «дивергентной» форме A.10).
Уравнение переноса излучения B.28) представляет собой дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных относительно интенсивности,
как функции координат, времени и направления Iv (r, t, fit) и описывает
поле неравновесного излучения. Обычно термодинамическое равновесие
в самом веществе устанавливается весьма быстро, так что вещество можно
считать термодинамически равновесным в каждой точке пространства
и в каждый момент времени. Состояние вещества при этом характери-
характеризуется двумя параметрами, например температурой и плотностью. Урав-
Уравнение переноса излучения включает в себя величины, зависящие от рода
и состояния вещества: коэффициент поглощения k'v, который зависит
от свойств вещества, его температуры и плотности, и равновесную интен-
интенсивность /vp, которая есть функция только температуры.
Уравнение B.28) описывает, в частности, и процесс установления
равновесия излучения с веществом во времени.
Представим себе неограниченную среду с постоянной плотностью,
первоначально холодную, так что излучения нет. Пусть в начальный
момент t = 0 вещество «мгновенно» было нагрето до постоянной темпе-
температуры Т, которая затем поддерживается неизменной во времени. Посмот-
Посмотрим, как меняется со временем интенсивность излучения. Очевидно,
пространственные градиенты в этом случае равны нулю, х^ = const,
/vp = const. Решение уравнения B.28) в этом случае имеет вид
/vW = A-P(l-e-CK^),	B.30)
т. е. интенсивность излучения асимптотически стремится к равновесной,
причем время релаксации для установления равновесия излучения с веще-
веществом равно tp = l/cxv = li/c — lv/(l — e~hv/hr) с. Например, при Zv =
= 1 см в максимуме планковского спектра hv = 2,8 кТ, tp = 3-10-11 сек.
§ 6. Интегральные выражения для интенсивности излучения
Найдем формальное решение уравнения переноса излучения, рас-
рассматривая величины, зависящие только от состояния вещества /vp (T),
Xv (T, о), как известные функции координат и времени. Рассмотрим
сначала для простоты стационарный слу-
случай, когда распределения температуры
и плотности, а также поле излучения
не зависят от времени. Будем интере-
интересоваться излучением в точке г тела с на-
направлением распространения Q (рис. 2.5).
Проведем луч через данную точку в дан-
ном направлении и обозначим координату рис 2 5 с поясняющая пре.
вдоль луча через s. Замечая, что диффе- делы интегрирования в формуле
ренциальное выражение в левой части	B.32).
уравнения переноса B.28) представляет
собой полную производную от интенсивности данного пакета кван-
квантов вдоль луча их распространения, перепишем уравнение в виде
^ + x;/v = x;/vp.	B.31)
8*

116	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	?ГЛ. II
Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное линейное урав-
уравнение относительно интенсивности вдоль луча. Решение его есть:
/v()
«О
v(s)= I' x'vIvpexp \ — \ x'vds"'] ds' + /Voexp Г — { Kvds"l . B.32)
Здесь /v (s) — интенсивность /v (г, Я), которая рассматривается как
функция координаты s вдоль луча. Интегрирование по лучу ведется,
вообще говоря, от «—оо», а фактически от границы тела s0 (как пока-
показано на рис. 2.5). Через Iv0 обозначена константа интегрирования.
Выясним физический смысл полученного решения.
Излучение, протекающее в единицу времени через площадку еди-
единичного сечения в точке s луча (на единицу телесного угла), склады-
складывается из всех квантов, рожденных в трубке единичного сечения вдоль
луча. В точке s' на отрезке луча ds' рождается количество излучения
jv ds' — x'vIvp ds', которое распространяется вдоль луча Я в единице телес-
ного угла. От точки s' до точки s доходит только доля ехр — \ n^ds" |
s'
этого излучения; остальное поглощается по пути. Полная интенсивность
складывается из квантов, рожденных на всех элементарных отрезках
ds', т. е. равна интегралу по лучу. Если излучающее тело имеет ограни-
ограниченные размеры, то интегрировать следует фактически от границы тела
s0 до точки s. Таким образом, получается первое слагаемое в B.32). Вто-
Второе слагаемое представляет собой излучение, вошедшее в тело на гра-
границе s0 извне, от каких-то внешних, посторонних источников. Постоян-
Постоянная интегрирования /v0 есть интенсивность этого входящего в тело излу-
чения. Множитель ехр — \ Xyds" учитывает ослабление его по пути
«о
от So до s вследствие поглощения. Коэффициент поглощения x,'v и рав-
равновесная интенсивность /vp зависят от точки вдоль луча благодаря зави-
зависимости от температуры и плотности вещества, которые каким-то образом
распределены вдоль луча. Если эти функции известны, то нахожде-
нахождение интенсивности в любой точке тела сводится, как видно из форму-
формулы B.32), просто к квадратуре — интегрированию вдоль луча.
Обобщим решение B.32) на нестационарный случай, когда темпе-
температура и плотность, а следовательно, /vp, к{, и искомая интенсивность /v
зависят от времени. Очевидно, к моменту t в точку s приходят из точки
s	s'
s' кванты, рожденные в более ранний момент времени t	. Точно
С
так же на своем пути они поглощаются веществом в точке s" в соответ-
соответствие со значением коэффициента поглощения в момент прохождения
этой точки t	. Поэтому нестационарное решение уравнения пере-
С
носа можно записать в виде
S	S
Iv (s, t) = jj (x;/vp)s, t_ «-V exp [ — jj (и;)^ f_ s^ ds" ] ds' +
(/Vo) s-soexp Г - \ (xy. -rds'l , B.33)

§ 7]	ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО СЛОЯ	117
причем само значение граничной координаты so берется в момент t —
— s—?р jjerK0 проверить непосредственной подстановкой, что выра-
жение B.33) действительно удовлетворяет нестационарному уравнению
переноса. Из формул B.32) или B.33) видно, что вклад далеких источ-
источников в сильно поглощающей среде в интенсивность в данной точке
экспоненциально падает с возрастанием расстояния. До точки s доходят
кванты, рожденные только в ближайшей окрестности точки на расстоя-
расстояниях не более нескольких пробегов излучения или, точнее, на оптиче-
оптических расстояниях не более нескольких единиц. Это утверждение делается
особенно наглядным, если коэффициент поглощения постоянен вдоль
луча. Тогда экспоненциальные множители приобретают вид
8
ехр — \ x'v ds" = exp [—k'v(s — s')]=exp| —s ,s j ; /^ = -—.
L J	J	L It; -J	^v
8'
Исключение, в принципе, может составить лишь случай чрезвычайно
резкого хода температуры, когда возрастание лучеиспускательной спо-
способности /v = x^/vp при удалении от точки сказывается сильнее, чем
поглощение по пути при увеличении пройденного расстояния. Однако
практически это почти никогда не случается, и основной вклад в инте-
интегралы B.32), B.33) дает отрезок луча около рассматриваемой точки вели-
величиной порядка нескольких (двух-трех) пробегов излучения. Но свет про-
проходит такое расстояние за весьма малое время l^/с, которое, как пра-
правило, намного меньше характерных времен, в течение которых происхо-
происходит заметное изменение состояния вещества (температуры и плотности);
например, при длине пробега l'v = 3 см время l'v/c — Ю-10 сек. Оно
гораздо меньше характерных времен, с которыми приходится иметь дело
в обычных гидродинамических течениях. Это связано с тем, что обычно
скорости вещества гораздо меньше, чем скорость света.
Отмеченное обстоятельство является весьма существенным. Оно озна-
означает, что практически во всех случаях поле излучения в каждый момент
времени можно рассматривать как квазистационарное, соответствующее
мгновенному распределению источников испускания и поглощения, т. е.
распределению температуры и плотности вещества.
В уравнении переноса излучения, следовательно, можно опустить
производную от интенсивности по времени и рассматривать время как
параметр, от которого зависят температура и плотность вещества, т. е.
/vp и Xv. В дальнейшем мы всегда будем исходить из такого упрощенного
уравнения переноса
= J«;(/vp-/v)	B.34)
или его решения в форме B.32).
§ 7. Излучение плоского слоя
Вообще говоря, перенос излучения и лучистый теплообмен влияют
на состояние вещества, на его движение или на распределение темпера-
температуры в стационарном состоянии. Это влияние связано с тем, что, испуская
и поглощая свет, вещество теряет или приобретает энергию, охлаждается
или нагревается. В общем случае состояние вещества описывается урав-
уравнениями гидродинамики, которые при наличии лучистого теплообмена
следует обобщить, учитывая взаимодействие излучения с веществом.

118	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Поскольку перенос излучения сам зависит от состояния вещества, его
температуры и плотности, то в общем случае система уравнений, описы-
описывающих вещество и излучение, состоит из соответствующим образом
обобщенных уравнений гидродинамики и уравнения переноса излучения.
Во многих случаях, однако, «обратное» влияние излучения на состоя-
состояние вещества невелико, либо же может быть учтено каким-нибудь при-
приближенным способом. Например, при достаточно низких температурах
лучистый теплообмен или потери энергии тела на излучение несущест-
несущественны. При этом состояние вещества практически не зависит от излуче-
излучения, задачи нахождения поля излучения и описание состояния вещества
разделяются. Состояние вещества описываются, например, уравнениями
гидродинамики, а поле излучения можно найти в каждый момент на осно-
основании известных распределений температуры и плотности и известных
коэффициентов поглощения.
Как правило, практический интерес в этом случае представляет опре-
определение не всего поля излучения в среде (поскольку оно все равно не влияет
на состояние среды), а нахождение излучения, выходящего с поверхно-
поверхности тела, т. е. вопрос о свечении нагретого тела, о яркости его поверх-
поверхности, спектре излучения, распределении потока по углам и т. д.
Если известны оптические свойства вещества, т. е. коэффициент
поглощения xv *) как функция частоты, температуры и плотности и рас-
распределения температуры и плотности в теле, то ответ на все эти вопросы
содержится в интегральной формуле для интенсивности B.32).
Интересуясь излучением, выходящим с поверхности тела, можно',
не нарушая общности, отсчитывать координату вдоль луча s от поверх-
поверхности в глубь тела и распространить интегрирование по лучу до бес-
бесконечности:
/v (О) = J /VP [T (s)]e ° x; (*) ds.	B.35)
b
Если тело ограничено, то вне его пределов коэффициент поглощения
равен нулю и соответствующий отрезок интегрирования выпадает. Если
тело ограничено, но извне с «задней» стороны в него проникает поток
излучения, то, распространяя интегрирование по лучу до бесконечности,
мы тем самым включаем в интеграл эти «посторонние» источники света.
Рассмотрим несколько простых примеров, представляющих прак-
практический интерес. Пусть тело занимает бесконечное полупространство
х > 0 и ограничено плоской поверхностью. Температура тела постоянна,
коэффициент же поглощения может меняться произвольным образом
со
от тоинь. к точке (но так, чтобы оптическая толщина тела \ v^dx была
о
бесконечной).
В этом случае интенсивность излучения у поверхности тела равна
просто /vp (Г), так как
ОО	S
/v (ft) = \ Ivve~:dz = /vp; dz — x'vds, z= \ x'v d^s.
*) Напоминаем, что мы рассматриваем здесь только среды с показателем пре-
преломления, равным единице, каковыми являются газы.

3 7]
ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО СЛОЯ
119
Тело излучает как абсолютно черное температуры Т.
Интенсивность Iv есть количество лучистой энергии, проходящей
в 1 сек в единице телесного угла через единичную площадку, помещенную
перпендикулярно к направлению движения квантов *). Для черного
излучателя она не зависит от угла. Количе-
Количество лучистой энергии, выходящей в 1 сек
через 1 см2 поверхности под углом ft к нор-
нормали, на единицу телесного угла (назовем
эту величину испускательной способностью
тела iv **)) равно
B.36)
Для черного излучателя
B.37)
X
-Ад
X
d
!
Рис. 2.6. Схема к задаче об
излучении плоского слоя.
Рассмотрим излучение плоского слоя
конечной толщины d с постоянными темпе-
температурой Т и коэффициентом поглощения х^-
Интенсивность излучения у поверхности в направлении, образую-
образующем угол Ф с нормалью (рис. 2.6), равна
d/cos8	n'v
-)—,	Г*
\ dxv
COS '
y..,d
= /
vp
B.38)
где tv = \ Kvdx — оптическая толщина слоя в направлении нормали
oJ
к поверхности.
Из формулы B.38) видно, что интенсивность излучения слоя конеч-
конечной толщины всегда меньше равновесной. Спектр отличается от планков-
ского /vp (Т) множителем 1 — e~xv'cos®. Этот множитель зависит от час-
частоты благодаря частотной зависимости коэффициента поглощения. Он
«тремится к 1 лишь при d -> оо. Наиболее резко выражено отличие интен-
•сивности от планковской в направлении нормали к поверхности, в кото-
котором отрезок луча с источниками минимален (равен d). Спектр стремится
к планковскому при больших углах к нормали, когда $ —*- я/2, cos ft —>- 0.
В зависимости от толщины слоя d наибольшее отличие спектра от план-
ковского должно наблюдаться в пределе оптически тонкого слоя, т. е.
под такими углами, что x'vdlcos Ь < 1.
Разлагая в этом случае экспоненту, найдем с точностью до членов
второго порядка малости:
Интенсивность у поверхности пропорциональна 1/cos ¦&, а испуска-
тельная способность слоя при этом не зависит от угла
iv = /vcosrfli =
при
B.40)
*) Размерность /v есть энергия/см2- сек- стерад-частота = эр г /см2 • стер ад.
**) Не следует путать ее с испускательной способностью среды jv или /v.

120	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. П
Следует отметить, что понятие «оптической тонкости» слоя зависит
от угла: всегда найдутся столь большие углы ¦& да я/2, cos Ф < 1, что
слой для этих направлений будет «оптически толстым», так что слой
с Tv С 1 под большими углами # да я/2 все равно излучает как черное
тело. Под небольшими углами, когда tv/cos Ф < 1 и слой оптически тонок,
он испускает как объемный излучатель; кванты, рожденные в любой
точке, выходят из слоя практически без поглощения по пути. В слое нет
«самопоглощения» и каждый элемент объема вносит одинаковый вклад
в излучение, выходящее с поверхности. Это и служит основанием для
термина «объемный излучатель». Оптически толстое тело излучает «с по-
поверхности», так как кванты, рожденные в глубине, не выходят из тела,
поглощаясь по пути.
Во многих случаях интерес представляет не интенсивность излуче-
излучения под данным углом, а поток излучения с поверхности тела, т. е. коли-
количество энергии, выходящей в 1 сек с 1 см2 поверхности тела во всех направ-
направлениях. Эту величину называют яркостью поверхности (спектральной
или интегральной).
Спектральная яркость поверхности, очевидно, равна
\	B.41)
по полусфере
где /v (Я) дается формулой B.35), ¦¦& — угол между направлением рас-
распространения излучения и нормалью к поверхности.
Найдем яркость поверхности плоского слоя; при этом будем считать
температуру и коэффициент поглощения переменными, но зависящими
только от координаты х (см. рис. 2.6). Заменим в формуле B.35) ds на
dx/cos ¦& и введем оптическую толщину:
х
dx'v = K'vdx, Tv = \ x'vdx.	B.42)
о
Тогда
vPe~ c~^> ^V , ~ > Ф > 0.	B.43)
Подставим это выражение в B.41) и проинтегрируем по углам (dQ —
= 2я sin в- ft)
Я/2
J	j
0	0
Вводя переменную w = 1/cos •& и принимая во внимание опреде-
определение табулированных функций — интегральных экспонент,
= 1, 2,
B.44)
а также заменяя равновесную интенсивность равновесной плотностью
излучения по формуле /vp = cUvp/4n, получим

§ 8]	ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕТОГО ТЕЛА	121
d
или, для слоя конечной оптической толщины xv — \ %'v dx,
о
о
Sv = \ J UvpEz (x'v) dx'y.	B.46)
о
Воспользовавшись известным свойством интегральных экспонент
о
получим для полубесконечного тела постоянной температуры
cU
S ^ S
^ Svp.	B.47)
Как и следовало ожидать, спектральная яркость равна яркости абсо-
абсолютно черного тела.
Яркость слоя конечной толщины и постоянной температуры равна
cU fv	cU
Sv = -^ \E2 (x'v) dx'v = -j& [1 - 2E3 (tv)] = ^VP [1 - 2E3 (Tv)]. B.48)
о
Она всегда меньше яркости абсолютно черного тела той же температуры
и стремится к последней при хч—> оо.
Для оптически тонкого слоя
TV«1, Я2(т;)«Я2@) = 1, 2S3(tv)«1— 2tv	B.49)
и
5v = ^)Tv = 6'Vp-2Tv, 2т?<1.	B.50)
§ 8. Эффективная или яркостная температура поверхности
неравномерно нагретого тела
Спектральную яркость поверхности неравномерно нагретого тела
очень удобно характеризовать эффективной или яркостной температурой
Tv Эф. Под последней понимается температура абсолютно черного тела,
посылающего с поверхности в данном участке спектра точно такой нее
поток излучения, как и рассматриваемое реальное тело.
Сопоставляя формулы B.46) и B.47), получим выражение, опреде-
определяющее эффективную температуру в плоском случае:
Uvv G-v эФ) = 2 \ C/vp [Г «,)] ?2 (r'v) dxi,	B.51)
о
или, подставляя функцию Планка для C/vp,
—_j	= 2 J -j^— E2 (fv) dx'v.	B.52)
ehT-i

122
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
Эффективная температура зависит от частоты. Лишь в случае абсо-
абсолютно черного тела она одинакова для всех частот и равна темпера-
температуре вещества.
Можно ввести и эффективную температуру интегрального по спектру
излучения тела, согласно определению
' эф>
B.53)
т
i i
i i
i i
i i
i ' i
i i
< i. i
i
i
i
i
i
i
i
t
\
To
X
Рис. 2.7. К вопросу об излучении
тела с температурой, спадающей
к поверхности.
где S — интегральный поток, выходящий с поверхности тела. Очевидно,
эффективная температура интегрального излучения является некоторой
средней величиной по отношению к спек-
спектральным эффективным температурам.
Посмотрим, какова связь спектра
излучения тела с частотной зависи-
зависимостью коэффициента поглощения.
Рассмотрим оптически толстое тело;
радиус кривизны поверхности пусть
будет большим по сравнению с длинами
пробега излучения, так что тело можно
рассматривать как плоское. Пусть тем-
температура спадает к поверхности, как
изображено на рис. 2.7.
Поток излучения частоты v, выхо-
выходящий с поверхности, определяется ин-
интегралом по источникам B.45). Вслед-
Вследствие самопоглощения, учитываемого быстро спадающей с t'v интеграль-
интегральной экспонентой, основной вклад в интеграл дает слой порядка пробега
l'v около поверхности (с оптической толщиной Tv порядка единицы).
Иными словами, кванты, выходящие с поверхности тела, рождаются
в основном в слое около поверхности с оптической толщиной порядка
единицы (точнее, двух-трех единиц). Этот слой может быть назван излу-
излучающим. Кванты, рожденные в более глубоких слоях, практически пол-
полностью поглощаются до выхода из тела. Эффективная температура, как
это следует из формулы B.52), равна некоторой средней температуре
излучающего слоя.
Выходящие с поверхности кванты тех частот, для которых погло-
поглощение сильнее, а длина пробега меньше, излучаются в слоях, более близ-
близких к поверхности и менее нагретых. Наоборот, слабее поглощаемые
частоты выходят из более глубоких и более нагретых слоев. Таким обра-
образом, если температура вещества спадает к поверхности (как это обычно
и бывает), эффективная температура сильнее поглощаемых частот меньше,
чем у слабее поглощаемых. Это схематически изображено на рис. 2.7,
на котором стрелками указаны «места», из которых излучаются кванты
различных частот. «Места» ориентировочно отнесены от поверхности
на расстояния, равные пробегу квантов.
Спектр излучения неравномерно нагретого тела отличается от план-
ковского и притом тем больше, чем сильнее частотная и температурная
зависимости коэффициента поглощения и чем круче ход температуры
около поверхности на расстояниях порядка пробегов квантов.
На рис. 2.8 схематически изображен спектр излучения тела со спа-
спадающей к поверхности температурой и обратной зависимостью коэффи-
коэффициента поглощения от частоты, при которой малые частоты поглощаются
сильнее, чем большие.

8]
ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕТОГО ТЕЛА
123
На непрерывный спектр нанесены дискретные линии, соответствую-
соответствующие связанно-связанным переходам в атомах или ионах. Коэффициенты
поглощения в линиях всегда очень велики, намного больше, чем в непре-
непрерывном спектре. Поэтому эффективная температура в линиях практиче-
практически точно совпадает с температурой у самой поверхности тела (линии
«вырезаны» в спектре излучения тела).
Для сопоставления на рис. 2.8 пунктиром показан планковский
спектр, соответствующий интегральной эффективной температуре, кото-
которая является средней по отношению
к спектральным. В силу самого опреде-
определения интегральной эффективной темпера-
температуры площади, ограниченные сплошной
и пунктирной кривыми, в точности равны.
В главе V мы увидим, что коэффици-
коэффициенты непрерывного поглощения при высоких
температурах не являются гладкими функ-
функциями частоты, а испытывают скачки.
Соответственно возникают скачки и в
спектре излучения тела. (Это не показано
на рис. 2.8, который относится к гладкой
зависимости x'v от v.)
Часто при оптических измерениях све-
свечения нагретых тел употребляют понятие
цветовой температуры. Цветовой темпера-
температурой называют температуру абсолютно
черного тела, которое дало бы отношение
яркостей в двух различных спектральных
участках (например, в красной и синей
областях спектра), равное измеренному на опыте. Пользуясь опреде-
определениями эффективных и цветовой температур, легко записать соот-
соотношение между ними. Пусть яркостные температуры в частотах v4
и v2 есть Ti и Тг, а цветовая температура — Т'12- Полагая для простоты,
что обе линии, Vi и v2, лежат в виновской области спектра, т. е.
> 1, hv2/kT2 > 1, получим
Рис. 2.8. Схематическое изобра-
изображение спектра излучения тела
с температурой, уменьшающейся
к поверхности.
Малые частоты поглощаются силь-
сильнее, чем большие. Пунктиром пока-
показан планковский спектр, отвечаю-
отвечающий средней эффективной темпера-
температуре излучения. В спектре вырезаны
линии селективного поглощения.
Поток в центрах линий практиче-
практически равен планковскому потоку,
отвечающему температуре поверх-
поверхности тела.
Svl
/IV2
vie
'vi
/IV2
•i /hvi —7iV2\
откуда
Vi—V2
B.54)
Если температура тела более или менее постоянна в излучающих
слоях для всего основного спектра вблизи поверхности, цветовая темпе-
температура часто бывает ближе к истинной температуре тела, чем яркостные;
это обстоятельство и используется в пирометрии при оптических измере-
измерениях температуры тел.
Заметим, что в случае неравномерно нагретого- «серого» тела, у кото-
которого коэффициент поглощения %'v не зависит от частоты, к[, = к',

124	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ [ГЛ. II
эффективная температура различных частот все равно зависит от часто-
частоты. Лишь для очень маленьких квантов, лежащих в рэлей-джинсовской
области спектра hvlkT < 1, частота выпадает из формулы B.52) и эффек-
эффективная температура оказывается для всех этих частот одинаковой.
§ 9. Движение вещества с учетом лучистого теплообмена
Выше было показано, как можно найти поле излучения в теле или
излучение, выходящее с поверхности тела, если состояние вещества, т. е.
распределение температуры и плотности в среде, известны. Рассмотрим,
как формулируется задача совместного определения состояния и дви-
движения вещества и поля излучения в случае, когда перенос излучения
и взаимодействие излучения с веществом оказывают существенное влия-
влияние на состояние и движение среды (газа). При этом движение вещества
всегда будем предполагать нерелятивистским, т. е. считать, что ско-
скорости гораздо меньше скорости света.
Если температура не слишком высока, а плотность газа не слишком
низка, плотность энергии и давление излучения пренебрежимо малы
по сравнению с энергией и давлением вещества. Сравним для оценки
плотность равновесного излучения t/p =	 с тепловой энергией еди-
с.
3
ницы объема одноатомного газа Е = -^- пкТ (п — число частиц в 1 ел*3).
Например, при п = 2,67-1019 l/см3, что соответствует числу молекул
в воздухе нормальной плотности, обе энергии совпадают при температуре
900 000° К. В действительности энергия излучения становится сравни-
сравнимой с энергией вещества при еще более высоких температурах, так как
при нагревании атомы ионизуются, что, во-первых, приводит к возра-
возрастанию числа частиц в 1 cms и, во-вторых, добавляет к тепловой энергии
энергию, затраченную на ионизацию *). Так, в реальном воздухе нор-
нормальной плотности энергия излучения сравнивается с внутренней энер-
энергией вещества только при температуре около 2 700 000° К. В сильно
разреженном газе энергия равновесного излучения становится сравни-
сравнимой с энергией вещества при более низких температурах (грубо говоря,
температура, при которой обе энергии равны, пропорциональна п1^).
Однако в этом случае при сопоставлении энергии следует проявлять
осторожность, так как в очень разреженном газе велика длина пробега
излучения и если размеры газового тела недостаточно велики, плотность
излучения может оказаться гораздо меньше равновесной (см. об
этом ниже).
Давления излучения и вещества находятся примерно в таком же
соотношении, что и энергии. В самом деле, давление излучения (при
изотропии поля излучения) pv = ?/73, а давление вещества/? = (y — 1) Е,
причем при высоких температурах показатель адиабаты у имеет обычно
значение в интервале от 5/3 до ~1,15 в зависимости от элементного состава
газа, температуры и плотности.
Таким образом, при не слишком высоких температурах и не слишком
малых плотностях вещества плотность энергии и давление излучения
практически не сказываются на энергетическом балансе и газодинами-
газодинамическом движении вещества. Влияние излучения на энергетический
баланс и движение газа проявляется в ином: существенными могут ока-
*) О термодинамических функциях газов при высоких температурах см. гл. III,

§ 9]	ДВИЖЕНИЕ ВЕЩЕСТВА С УЧЕТОМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛООБМЕНА	125
заться потери энергии нагретым телом за счет излучения и вообще лучи-
лучистый теплообмен в среде. Эти эффекты часто играют роль при гораздо
более низких температурах, когда энергия и давление излучения заве-
заведомо очень малы.
Причина указанного явления состоит в резком различии скоростей
движения вещества и в обычных условиях и скорости света с; и < с.
Вследствие различия скоростей потоки энергии вещества и излучения
могут оказаться сравнимыми между собою, даже если плотность энергии
излучения много меньше плотности энергии вещества. Например, в край-
крайнем случае, когда все кванты движутся в одну сторону, поток энергии
излучения равен S = Uc; поток же энергии вещества порядка Ей, т. е.
Uc может быть порядка и больше Ей даже при U < Е за счет того, что
с У и. Потоки энергии излучения и вещества часто бывают сравнимыми
и в более реальном случае, когда поле излучения относительно изотроп-
изотропно и результирующий поток излучения S, равный разности односторон-
односторонних потоков, значительно меньше своей предельной величины С/с, соот-
соответствующей резко выраженной анизотропии поля излучения.
Как будет сейчас показано, величина потерь энергии или, наоборот,
энерговыделение в веществе за счет взаимодействия с излучением опре-
определяются дивергенцией потока излучения, так что сопоставление пото-
потоков энергии излучения и вещества может характеризовать и роль лучи-
лучистого теплообмена в среде.
Найдем количество энергии q, теряемой единицей объема вещества
в 1 сек на излучение. Оно представляет собой разность между энергией,
испускаемой веществом, и энергией излучения, поглощаемой веществом.
Разность между испусканием и поглощением излучения частоты v
(на единичный интервал частот) и направления ft (на единицу телес-
телесного угла) в 1 сек в 1 см3 стоит в правой части уравнения переноса излу-
излучения B.28). Чтобы получить полную результирующую потерю энергии
веществом в 1 см3 в 1 сек q, надо проинтегрировать эту величину по всему
телесному углу и по всему спектру, т. е.
оо
= \
dv \ diiK'v (Ivp—Iv) = с [ dvxv (Uvp — U).	B.55)
о
Первый член в скобках соответствует спонтанному испусканию,
а второй — поглощению за вычетом «переизлучения».
С помощью уравнения непрерывности для излучения B.29), в кото-
котором согласно ранее сделанному замечанию о квазистационарности пере-
переноса излучения можно опустить производную по времени, найдем, что
результирующая потеря энергии равна дивергенции интегрального потока
излучения:
q = jj div Sv dv = div S.	B.56)
о
Если вещество испускает больше, чем поглощает, оно теряет энер-
энергию на излучение (охлаждается излучением), и q > 0; если поглощается
энергии больше, чем испускается, вещество нагревается излучением
и «потеря энергии» отрицательна, q < 0 (т. е. энерговыделение, равное
— q, положительно).
Составим уравнения газодинамики с учетом лучистого теплообмена,
но пренебрегая энергией и давлением излучения.

126	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. U
Первое уравнение — уравнение непрерывности — остается неизмен-
неизменным. Не меняется и уравнение движения, поскольку давлением излуче-
излучения мы пренебрегаем. Лишь в уравнение энергии следует ввести член
потерь энергии на излучение (плотностью энергии излучения и работой
сил лучевого давления пренебрегаем). Уравнение энергии A.10) запи-
запишется в виде *)
д Г . ом2 \	г Г , V , 
^Qe + VjdlvLcl4e++
или, заменяя q на дивергенцию потока 8,
+ | + ^) + s]. B.58)
Таким образом, к полному гидродинамическому потоку энергии добав-
добавляется поток энергии излучения. Если преобразовать газодинамическое
уравнение энергии к энтропийному виду (см. § 1 гл. I), получим
QT^-=--q=-uiv8,	B.59)
где 2 — удельная энтропия вещества.
Нахождение поля излучения и распределения температуры в среде
в условиях, когда лучистый теплообмен существенным образом сказы-
сказывается на энергетическом балансе вещества, связано с большими мате-
математическими трудностями. Дифференциальное по координатам уравне-
уравнение переноса B.34), описывающее поле излучения, формулируется для
спектральной интенсивности излучения, распространяющегося в опре-
определенном направлении. В уравнение же энергетического баланса B.57)
входят величины q или 8, интегральные как по спектру, так и по направ-
направлениям.
Таким образом, система уравнений переноса и энергии имеет инте-
гродифференциальный характер, причем включает в себя двукратное
интегрирование: по спектру и по углам.
Математические упрощения интегродифференциальной системы идут
по пути приближенного описания спектрального и углового распреде-
распределений, с тем чтобы избавиться от ее «интегральности». Влияние спек-
спектрального распределения на энергетический баланс возникает в связи
с зависимостью от частоты коэффициента поглощения. Исключить из рас-
рассмотрения спектральные характеристики удается, только если коэффи-
коэффициент поглощения %'v не зависит от частоты: x'v = к'. В этом случае «серой
материи» уравнение переноса B.34) после интегрирования по частотам
записывается непосредственно для интегральной по спектру интенсив-
ности / = \ Ivdv:
fiV/ = x'(/p-7),	B.60)
а в формуле B.55) для потерь энергии веществом также можно произ-
произвести интегрирование по спектру:
^Ij, — I)dQ = c7i'(Uv — U).	B.61)
*) Предполагается, что, кроме лучистого теплообмена, никаких источников
энергии, а также никаких иных необратимых процессов нет.

§ 10]	ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ	127
Вообще говоря, коэффициенты поглощения в газах при высоких
температурах весьма сильно зависят от частоты, и понятие «серой мате-
материи» представляет собой значительную идеализацию. Она очень полезна
в том отношении, что позволяет выяснить закономерности явлений,
не связанные со спектральным распределением излучения. Однако в неко-
некоторых важных предельных случаях, о которых речь пойдет ниже, введение
соответствующим образом усредненного по частотам коэффициента погло-
поглощения %', позволяющее исключить из рассмотрения спектральные харак-
характеристики излучения и перейти к формулам B.60), B.61), отвечает и суще-
существу дела.
Вопросу о приближенном описании углового распределения поля
излучения будут посвящены два следующих параграфа.
§ 10. Диффузионное приближение
Потери энергии вещества на излучение q, как видно из формул
B.55), B.56), в явной форме не зависят от углового распределения излу-
излучения и определяются только интегральными по направлениям величи-
величинами: плотностью излучения или потоком. Если бы удалось вместо урав-
уравнения переноса для интенсивности излучения, зависящей от направле-
направления, составить какие-то другие уравнения, которым непосредственно
подчинялись бы интегральные по направлениям величины, плотность
и поток излучения, то вопрос об угловом распределении излучения при
рассмотрении влияния излучения на состояние и движение вещества
вообще бы не возникал. Одно такое уравнение уже есть: это — точное
уравнение непрерывности B.29), которое в квазистационарном случае
гласит:
div^v = cx;(f/vp — Uv).	B.62)
Второе соотношение, связывающее поток и плотность излучения
и замыкающее систему уравнений, можно получить только приближенно.
Уравнение B.62) было найдено путем интегрирования уравнения пере-
переноса по углам. Умножим теперь уравнение переноса B.34) на единич-
единичный вектор направления ii и снова проинтегрируем по углам. Замечая, что
интеграл от члена x'vIvp, не зависящего от направления, обращается
в нуль, и принимая во внимание определение потока B.3), получим
\
B.63)
В изотропном поле излучения поток Sv = \ Q/v dQ обращается
в нуль. Интеграл в левой части равенства при не зависящей от угла интен-
интенсивности /v легко вычислить *):
~VUv.	B.64)
*) Найдем i-ю компоненту векторного интеграла, заменяя векторный оператор QV
координатным выражением Qk d/dxk и имея в виду суммирование по дважды встре-
встречающимся индексам:
Э/у	dlv ?	dU_ 4л __ 4я dlv _ с_ 5f/v
OX f^	О'ЗСъ J	ОХ Ь	О	tj OCC j	о OX i
так как \ /v dil = 4k/v = cC/v; отсюда и следует B.64).

128	ТКПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Равенство нулю этого выражения свидетельствует о том, что изотро-
изотропия поля излучения связана с постоянством плотности в пространстве.
Если поле излучения анизотропно, поток и интеграл B.63) отличны
от нуля. Однако в случае слабой анизотропии в первом приближении
интеграл можно, по-прежнему, представить в форме B.64), полагая слабо
зависящую от углов интенсивность постоянной. Это дает приближенную
связь потока с плотностью излучения
tfv==_i5* Vtfv,	B.65)
где /у = 1/Xv — длина пробега для поглощения излучения (исправлен-
(исправленная на вынужденное испускание).
Если разделить обе части равенства B.65) на энергию кванта hv,
получим связь потока квантов Jv данной частоты с их плотностью Nv,
обычную для процесса диффузии частиц,
Коэффициент «диффузии» квантов Dv аналогичен коэффициенту диф-
диффузии атомов или молекул; с — скорость «движения» квантов, l'v — их
длина пробега.
Однако между диффузией атомов и «диффузией» квантов имеется
существенное различие. Атом при столкновении не исчезает, а лишь
меняет направление своего движения (произвольным образом, в случае
изотропного рассеяния); длина пробега, входящая в коэффициент диффу-
диффузии, есть длина пробега по отношению к столкновениям. Квант же, пройдя
в среднем расстояние l'v, поглощается веществом, и в условиях термо-
термодинамического равновесия вещества его энергия вследствие столкновений
атомов, электронов и т. д. распределяется в веществе в соответствии
с законами статистического равновесия. В месте поглощения испускаются
новые кванты разных частот и в произвольных направлениях. Рассма-
Рассматривая процесс «диффузии» квантов данной частоты, мы выделяем среди
вновь рожденных только кванты той же самой частоты. Процесс идет
так, как будто бы квант летел, поглотился, а затем снова «родился»,
причем после «рождения» с равной вероятностью может лететь в любом
направлении, что и соответствует процессу изотропного рассеяния ато-
атомов при столкновениях *).
Так же как и при диффузии атомов, условием применимости диффу-
диффузионного приближения является малость градиента плотности излуче-
излучения. Последняя должна мало меняться на расстоянии порядка пробега
излучения l'v. При небольших градиентах поле излучения почти изо-
изотропно, а это условие и было положено в основу вывода диффузионного
уравнения B.65). В самом деле, в данную точку кванты приходят в основ-
основном из области с размерами порядка пробега. Если плотность излучения
в этой области почти постоянна, то кванты приходят в данную точку
*) Если рассматривать перенос излучения с учетом рассеяния квантов, то при
слабой анизотропии по-прежнему получается диффузионное соотношение типа B.65),
в котором стоит длина пробега, соответствующая полному коэффициенту ослабления,
равному сумме коэффициентов поглощения и рассеяния. Если рассеяние анизотропно,
то так же, как и при диффузии атомов, вместо коэффициента рассеяния появляется
транспортный коэффициент xs A — cos6), где cos 8 —средний косинус угла рас-
рассеяния.

§ 10]
ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
129
со всех сторон одинаково, что и приводит к изотропии поля излуче-
излучения в ней.
Вблизи же границы среды с пустотой плотность меняется сильно
на расстоянии порядка пробега и анизотропия углового распределения
квантов велика — кванты преимущественно летят из тела в сторону
пустоты, так как из пустоты они не поступают. Поэтому вблизи границы
с пустотой диффузионное приближение может
приводить к заметным ошибкам.
Градиенты плотности малы и диффузионное
приближение справедливо в случае оптически тол-
толстых тел. Если х — характерный масштаб, на ко-
котором заметно меняется плотность излучения (х —
порядка размеров тела), то диффузионный поток
по порядку величины равен
Cf 	 	 АУЬ i
Чем больше оптическая толщина тела x/l'v, тем
меньше меняется плотность излучения на длине
Рис. 2.9. Полярные диа-
диаграммы для распределе-
распределения интенсивности излу-
излучения по углу при разных
степенях анизотропии.
Величина интенсивности
под данным углом О харак-
характеризуется длиной радиуса-
вектора, проведенного из
центра. Длина стрелки ха-
характеризует величину по-
потока. Равенство плотностей
излучения во всех случаях
схематически описывается
равенством площадей ,всех
фигур.
пробега (это изменение порядка
тем меньше поток Sv, по сравнению с величиной
Uvc, и тем точнее диффузионное приближение.
Если оптическая толщина тела порядка еди-
единицы, Yylx ~ 1 и Sv ~ cUv. В случае оптически
тонкого тела l'vlx > 1, и поток, оцененный по
диффузионной формуле, должен был бы стать боль-
больше, чем cUy. В действительности это невозможно
и свидетельствует просто о неприменимости диф-
диффузионной формулы к оптически тонким телам.
Поток Sv никогда не может быть больше,
чем cUy. Равенство S4=cUv соответствует случаю,
когда все кванты летят строго в одном на-
направлении, т. е. соответствует наиболее резко выраженной анизотро-
анизотропии. Величину cUv иногда называют кинетическим потоком. Отношение
потока к кинетическому SvfcUv, которое в рамках диффузионного при-
приближения порядка обратной оптической толщины тела lv/x, является
мерой анизотропии поля излучения: при полной изотропии Sv/cUv = О,
если все кванты летят в одном направлении Sv/cU4 = 1. Отношение
о
Sy/clly всегда заключено в пределах 0<-~<1. Зависимость потока
С U ^
от степени анизотропии углового распределения излучения при данной
плотности его схематически иллюстрируется полярной диаграммой для
интенсивности (рис. 2.9).
Площади всех фигур одинаковы и соответствуют плотности излуче-
излучения, а длины стрелок соответствуют потокам. К одному и тому же потоку
могут приводить и поля излучения разной плотности. Чем больше плот-
плотность при данном потоке, тем меньше S4/cUv, тем изотропнее должно быть
поле излучения.
Уравнения диффузионного приближения B.62), B.65) представляют
собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух
неизвестных функций координат: плотности и потока излучения. К ним
нужно присоединить граничные условия на границах сред с различными
9 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер	\

130
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ [ГЛ. Ц
оптическими свойствами (с различными «коэффициентами диффузии»).
Из условия непрерывности интенсивности излучения следует непрерыв-
непрерывность плотности и потока на границах раздела. Разрыв в плотности в диф-
диффузионном приближении B.65) повлек бы за собой бесконечность потока,
а разрыв в потоке свидетельствовал бы о накоплении излучения, т. е.
о нестационарности (см. уравнение B.29)).
Особого рассмотрения требует случай границы раздела среды с пусто-
пустотой. Поскольку из пустоты кванты не поступают, поле излучения на границе
с пустотой сильно анизотропно (все кванты летят
только в сторону пустоты) и, строго говоря, диф-
диффузионное приближение здесь неприменимо. При-
Приближенное условие на границе можно написать,
исходя из следующего соображения. Предположим
(и это для оптически толстых тел не очень далеко
от истины), что излучение, выходящее с поверх-
поверхности тела в полусфере, направленной в сторону
пустоты, распределено по углам изотропно; в дру-
другой полусфере интенсивность равна нулю: из пусто-
пустоты кванты не приходят (соответствующая полярная
диаграмма показана на рис. 2.10). Получим тогда,
что на границе с пустотой
Sv = ^,	B.66)
Рис. 2.10. Полярная диа-
диаграмма для распределе-
распределения интенсивности на
границе х = 0 тела с
пустотой.
Пустота — справа, среда —
причем поток направлен по внешней нормали к
поверхности. Множитель 1/2 появляется как средний косинус угла на-
направлений движения квантов при их изотропном распределении в по-
полусфере *).
*) В самом деле,
я/2
„= \ Q/ve?Q; Sv= \ cos &IV (¦&) 2я sin <Ш=2я7г<у =
но
полусфера
cUv
= [
полусфера
Iv
0
du
Я/2
b
откуда и следует формула B.66).
Формула B.66) формально вытекает и из соотношений диффузионного приближе-
приближения. Легко проверить, что к диффузионным уравнениям B.62), B.65) приводит сле-
следующее выражение для интенсивности:
где & —угол между направлением Q и направлением потока Sv. Располагая ось х
в направлении потока, вычислим односторонние потоки в положительном и отрица-
отрицательном направлениях оси х. Получим
cUv
cUv
(видно, что Sv = Sv± -f- 5V_, как и должно быть). Применяя эти формулы к границе
тела с вакуумом (ось х направлена в сторону вакуума) и полагая, что односторонний
ell
поток из вакуума Sv_ = 0, получим Sv = S4+ = -~ , т. е. формулу B.66). Форму-
С*

§ 11]
ПРИБЛИЖЕНИЕ «ВПЕРЕД — НАЗАД»
131
§ 11. Приближение «вперед — назад»
Рассмотрим еще один способ приближенного рассмотрения углового
распределения излучения, который иногда применяется в плоских зада-
задачах переноса излучения. Этот способ известен как приближение Шварц-
шильда или приближение «вперед — назад». Объединим все кванты,
движущиеся в сторону положительного направления оси х, под углами
Ф от 0 до я/2 («вперед») в одну группу, а движущиеся в противополож-
противоположную сторону («назад») под углами § от у до я — в другую (рис. 2.11).
Будем приближенно считать угловые распределения в каждой из двух
полусфер изотропными и обозначим интенсивности в направлениях «впе-
«вперед» и «назад» через 1± и 12 (индекс частоты v для краткости опустим).
Плотность и поток излучения при этом
равны
л/2
B.68)
Я/2
я/2
*¦-%
9=0
л
= 2я , 	 ,
J	Рис. 2.11. Полярная диаграмма
0	для распределения интенсивности
? ¦	излучения в приближении «впе-
+ 2jt \ 72cos'9ism'&d'& = tt(/1 — /2). B.69) ред — назад». В данном случае
i!	поток направлен влево.
Отсюда, кстати сказать, наглядно представляется степень анизотропии:
На границе среды с пустотой, если ось х направлена по внешней
S 1
нормали к поверхности, имеем /2 = 0 и -гт = -~ , т. е. условие B.66).
Чтобы составить уравнение для средних «односторонних» интенсив-
ностей /i и /2, усредним уравнение переноса для плоского случая:
cos«|? = x'(/p-/)	B.70)
по одной и по другой полусферам. Получим при этом ( средний косинус
т-ж-
лы B.67) имеют большую силу, чем выражение для интенсивности. В этом легко убе-
убедиться, если распространить формулу для интенсивности на точку у границы.
В направлении отрицательной оси х, например, cos я= — 1 и Jv=—5~~^< 0,
что физически бессмысленно. Все дело в том, что диффузионная формула для интен-
интенсивности годится только при слабой анизотропии, когда второй член в скобках много
меньше единицы.
9*

132	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ [ГЛ. II
Эта пара уравнений и служит для определения средних интенсивно-
стей в обеих полусферах. Складывая и вычитая их, легко перейти к урав-
уравнениям для плотности и потока (/р = с?/р/4я):
? = «'c{U,-U).t 5=--?§-.	B.72)
Первое из уравнений есть точное уравнение непрерывности B.62),
а второе почти совпадает с приближенным уравнением диффузионного
приближения B.65), с той лишь разницей, что здесь «коэффициент диф-
диффузии» равен Ге/4 вместо Гс/3.
Рассматривая уравнения B.71) как линейные дифференциальные
уравнения относительно функций /j и /2, можно записать их решение
в интегральной форме:
/1== jj /Рехр[ — 2(т — т')] 2dx'; /2 = [ /рехр [ — 2 (т' — т)] 2dx'.
о	х
Здесь координата х заменена оптической толщиной по формулам:
х
dx = к' dx, х = \ %' dx.
о
Складывая и вычитая выражения для /i и /2 и подставляя /р =
= clip /An, получим приближенные интегральные формулы для плот-
плотности и потока^_в приближении «вперед •— назад»:
т
— ?
2 ,1
О
5= --1
B.73)
Вообще говоря, диффузионное приближение в случае слабой анизо-
анизотропии является более обоснованным, чем мало отличающееся от него
приближение «вперед — назад».
§ 12. Локальное*равновесие и приближение лучистой теплопроводности
В бесконечной среде с постоянной температурой в установившемся
состоянии излучение термодинамически равновесно. Интенсивность его
не зависит от направления и определяется формулой Планка. В какую-
нибудь точку пространства приходят кванты, рожденные в окрестности
этой точки на расстояниях не более нескольких пробегов; кванты, рожден-
рожденные вдали, не доходят, поглощаясь по пути. Следовательно, в создании
равновесной интенсивности в данной точке участвует только непосред-
непосредственная ее окрестность. Даже если температура вдали и отлична от тем-
температуры этой окрестности, это практически не сказывается на интен-
интенсивности излучения в рассматриваемой точке. Значит, если в достаточно
протяженной, оптически толстой среде температура не постоянна, но
меняется достаточно медленно с расстоянием так, что изменения ее малы
на расстояниях порядка пробега излучения, интенсивность в какой-либо
точке пространства будет очень близка к равновесной, соответствующей
температуре данной точки. При этом интенсивность будет тем ближе

§ 12] РАВНОВЕСИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛУЧИСТОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 133
к равновесной, чем меньше меняется температура на расстояниях порядка
пробега. В частности, излучение будет ближе к равновесному в тех час-
частотах, которые поглощаются сильнее и для которых длина пробега /у
меньше. Если градиент температуры настолько мал, что изменения тем-
температуры малы на расстояниях порядка наибольшего из пробегов l'v для
всех частот, играющих значительную роль в равновесном излучении
данной температуры, то излучение будет равновесным практически во
всем спектральном интервале, характерном для температуры данной
точки. Интенсивность излучения в зависимости от частоты будет описывать-
описываться при этом функцией Планка с температурой этой точки.
О таком состоянии, когда излучение в каждой точке среды с пере-
переменной температурой весьма близко к равновесному, соответствующему
температуре точки, говорят как о локальном термодинамическом равно-
равновесии излучения с веществом.
Условие существования локального равновесия — малость градиентов
в протяженной, оптически толстой среде — служит в то же время и оправ-
оправданием диффузионного приближения при рассмотрении переноса излуче-
излучения. В диффузионном приближении поток излучения пропорционален
градиенту плотности излучения. Но если плотность излучения близка
к равновесной, то приближенно можно заменить истинную плотность
в формуле для потока равновесной плотностью в данной точке. Таким
образом, в условиях локального равновесия спектральный поток при-
приближенно равен
Sv=—^VtV	B.74)
Полный поток есть
оо	со
vdv=.-j J l'vVUvpd\.	B.75)
о
Вынесем из-под знака интеграла некоторое среднее значение длины про-
просо
г»
бега, которое обозначим через /. Если учесть, что \ Uvpdv = Uv = iaTA/c,
о
то формула B.75) дает
S=-^UV=-^VT.	B.76)
Поток энергии излучения в условиях локального равновесия пропорцио-
пропорционален градиенту температуры, т. е. перенос излучения носит характер
теплопроводности или, как говорят, лучистой теплопроводности, причем
»,	/	Ш1Т3
коэффициент теплопроводности равен —5— и зависит от температуры.
У
Потеря энергии вещества на излучение q по формуле B.56) равна
дивергенции потока лучистой теплопроводности точно так же, как и в слу-
случае обычной молекулярной теплопроводности, и определяется только
температурой вещества в данной точке, средней длиной пробега, которая
для данного вещества есть функция температуры и плотности, и их про-
производными по координатам.	^«w
Сопоставление формул B.75) и B.76) дает закон усреднения длины
пробега по спектру, приводящий к правильному значению потока лучис-
лучистой энергии в условиях, когда лучистый теплообмен имеет характер
теплопроводности. Замечая, что Uvp и ?/р зависят от координат только

134	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ [ГЛ. II
через зависимость от температуры, получим
dT
dT
О
Дифференцируя по температуре равновесную плотность излучения,
взятую по формуле Планка, и переходя в интеграле к безразмерной пере-
hv	„	,»
меннои интегрирования и = ~nf > найдем закон усреднения пробега:
СО
l=\rvG(u)du,	B.78)
о
где весовой множитель G (и) равен
Величина I, полученная путем усреднения пробега Гч с весовым
множителем G (и), называется росселандовым средним длины пробега
или просто росселандовым пробегом. Если выразить длину пробега l'v,
исправленную на вынужденное испускание, через коэффициент истин-
истинного поглощения l'v = 11щ = 1/х A — е~и), то формулы_B.78), B.79)
можно переписать в виде
±G>(u)du, G'(W) = ^A^p.	B.80)
Росселандов весовой множитель имеет максимум при hv » AkT,
т. е. основную роль в переносе энергии играют большие кванты с энер-
энергией, в несколько раз большей, чем кТ.
Согласно формуле B.76), поток излучения тем больше, чем больше
коэффициент теплопроводности, т. е. чем длиннее пробег. Не следует
забывать, что эта зависимость справедлива только до тех пор, пока длина
пробега не слишком велика, чтобы не нарушалось условие локального
равновесия и формула B.76) имела смысл. Как мы увидим в дальней-
дальнейшем, в противоположном предельном случае, когда длина пробега излу-
излучения больше характерных размеров тела, поток излучения, наоборот,
уменьшается с увеличением длины пробега.
§ 13. Взаимоотношение диффузионного приближения и приближения
лучистой теплопроводности
Обычно в астрофизике принято отождествлять понятия диффузион-
диффузионного приближения и лучистой теплопроводности. Это связано с тем, что
в оптически толстых телах с малыми градиентами, каковыми и являются
звезды и звездные фотосферы, всегда одновременно выполняются усло-
условия, приводящие к слабой анизотропии поля излучения, т. е. к диффу-
диффузионной связи потока с градиентом плотности излучения, и к существо-
существованию локального равновесия, т. е. возможности замены Uv на Uvp.

§ 13]	ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ	135
Оценка показывает, что вообще при малых градиентах в оптически тол-
толстых телах отклонение от локального равновесия даже меньше, чем
степень анизотропии, т. е. если справедливо диффузионное приближение,
то локальное равновесие тем более существует. В самом деле, пусть тело
имеет размеры порядка х, являющиеся характерным масштабом для
градиентов температуры, плотности и потока излучения. Из уравнений
диффузионного приближения B.62), B.65) следует, что по порядку вели-
величины
откуда
— rTT
x ) ¦
Если степень анизотропии, которая характеризуется отношением
диффузионного потока к кинетическому, Sv/cUv ж l'v/x, мала и l'v/x < 1,
то относительное отклонение плотности
¦Ta
излучения от равновесной есть величина	г,
второго порядка малости.
Однако имея в виду задачи с более
сложными условиями, чем в звездных фо-
фотосферах, удобно все же провести четкую	^_
грань между приближениями диффузион-	х
ным и лучистой теплопроводности, под- Рис. 2.12. Схематический профиль
разумевая под диффузионным приближе- температуры в ударной волне,
нием только способ приближенного опи-
описания углового распределения излучения, в котором поток излучения
предполагается пропорциональным градиенту истинной плотности, даже
если она сильно отличается от равновесной. Это можно рассматривать
как прием, позволяющий выяснять особенности явлений переноса сильно
неравновесного излучения, не связанные с характером углового распре-
распределения квантов, так как строгий учет последнего связан с большими
математическими трудностями. Диффузионное приближение, приводя
в некоторых случаях к значительным ошибкам, как правило, все же
не искажает качественной картины явлений переноса излучения, даже
когда распределение по углам сильно анизотропно. Это и позволяет
пользоваться им для приближенного решения различных;задач, в которых
излучение существенно неравновесно и использование приближения
лучистой теплопроводности, которое подчиняет соответствующим урав-
уравнениям температуру вещества, часто противоречит физическому смыслу.
Приведем пример. Предположим, что мы интересуемся полем излу-
излучения в теле с резким скачком температуры на поверхности, разделяющей
высоконагретую и холодную области, как показано на рис. 2.12 (случай,
типичный для ударной волны). В области с высокой температурой плот-
плотность излучения ?7i.велика и порядка равновесной С/р1 = AaT'Jc. В обла-
области низкой температуры кванты практически не испускаются и плотность
излучения в ней определяется потоком, выходящим с'поверхности нагре-
нагретой области, т. е. плотность излучения также пропорциональна Ui и гораздо
больше равновесной Up0 = 40Г*/с, так как Т\ > То. Случай, как мы
видим, чрезвычайно далекий от локального равновесия и лучистой тепло-
теплопроводности. Между тем диффузионное приближение для описания угло-
углового распределения приводит к качественно правильному результату,

136	ТКПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
который состоит в том, что если холодная среда поглощает свет, то плот-
плотность и поток излучения падают по мере удаления от нагретой поверхности
в глубь холодной среды, причем масштабом расстояния для заметного
ослабления этих величин является длина пробега для поглощения квантов
в холодной среде. Так, в данном случае диффузионные уравнения в холод-
холодной среде, не испускающей квантов, принимают вид
dSvcUv „	l'vc dUv
dx	lv	3 dx
или, в терминах оптической толщины, отсчитываемой от скачка темпе-
х
ратуры tv = \ %'vdx,
о
dSv	jj rt	с dlly
-^-= — c<yv, zv= — y^-.
Эти уравнения дают решения для плотности и потока:
/3
качественно правильно отражающие спадание этих величин.
Точный учет углового распределения, возможный в данном простей-
простейшем случае, приводит к несколько иному закону спадания потока и плот-
плотности излучения в холодной области, содержащему не обычные, а инте-
интегральные экспоненты (см. работу [5]):
Sv ~ Е3 (tv) , Uv ~ Е2 (tv). .
На оптических расстояниях от скачка температуры порядка одной
или нескольких единиц точные формулы дают величины того же порядка,
что и диффузионные. Если бы мы в рассматриваемой задаче воспользова-
воспользовались приближением лучистой теплопроводности, то у нас, в частности,
размазался бы скачок температуры вещества, так как при скачке темпе-
температуры поток S ~ dT/dx оказывается бесконечным.
Вообще диффузионное приближение всегда дает качественно разум-
разумные результаты. Например, в таком крайне «недиффузионном» случае,
когда имеется предельно выраженная анизотропия углового распределе-
распределения квантов, и все кванты движутся в холодной среде в одном направле-
направлении, поток равен #v = cllv. Из точного уравнения непрерывности B.62)
получается при этом, что поток, как и при диффузии, пропорционален
градиенту плотности Sv = — l'vc -~- (ось х направлена вдоль светового
луча) с коэффициентом пропорциональности, втрое большим обычного
коэффициента диффузии. Этот случай чистого поглощения параллельного
пучка света в неизлучающей среде имеет точное решение:
X
Sv = cllv r— e~Tv, tv = \ у.'м dx,
о
отличающееся от решения в диффузионном приближении только числен-
численным коэффициентом У^З в показателе экспоненты и коэффициентом l/J-^3
в связи потока с плотностью.
Конечно, количественное различие при больших tv > 1 огромно,
но качественно диффузионное приближение дает правильный физический
результат, а при tv ~ 1 и численная ошибка не столь велика.

14]	ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДНЫХ ФОТОСФЕРАХ	137
§ 14. Лучистое равновесие в звездных фотосферах
Изучение распределений температуры и поля излучения в перифе-
периферийных слоях (фотосферах) стационарных звезд с целью вычисления
светимости звезд явилось классической задачей, на основе которой была
построена теория переноса излучения и разработаны методы решения
уравнения переноса *).
Для нас эта задача интересна не только как классический объект
применения теории переноса излучения, но и как модель, к которой,
как это будет показано в гл. IX, в какой-то мере сводится задача об охла-
охлаждении большого объема нагретого воздуха путем излучения. Стационар-
Стационарные звезды представляют собой огромные газовые массы, нагретые до
высоких температур, изменяющихся от десятка тысяч градусов на поверх-
поверхности до миллионов и десятков миллионов градусов в центральных облас-
областях. Механическое равновесие газа достигается благодаря уравновеши-
уравновешиванию сил давления, стремящихся привести к разлету газового шара,
гравитационными силами, препятствующими разлету.
Нагретый газовый шар — звезда — излучает с поверхности. Потеря
энергии восполняется энерговыделением за счет ядерных реакций, кото-
которые протекают в центральных областях звезды. Вещество в стационарных
звездах неподвижно, никакого гидродинамического движения нет. Выде-
Выделяющаяся в центре энергия переносится к периферии звезды только
излучением и уходит в пространство в виде излучения. Поскольку в пери-
периферийных слоях ядерных реакций и энерговыделения нет, стационарность
в них достигается благодаря полной компенсации испускания и погло-
поглощения света в каждом элементе объема: потеря энергии вещества на излу-
излучение q равна нулю и температура в каждой точке неизменна во вре-
времени **).
О равенстве испускания и поглощения света и отсутствии потерь
на излучение говорят как о лучистом равновесии звезды. Из условия
лучистого равновесия q = О следует, что дивергенция потока излучения
div S также равна нулю. Полный поток излучения через сферическую
поверхность любого радиуса г, 4nr2S, постоянен и равен количеству
энергии, выделяющейся в центре в единицу времени (S ~ Иг2). Распре-
Распределение температуры и плотности газа по радиусу звезды определяется
путем совместного рассмотрения механического равновесия и переноса
излучения. Однако при рассмотрении распределений в фотосфере задача
в какой-то степени разделяется на два этапа. Распределение темпера-
температуры по оптической координате можно найти только из рассмотрения
переноса излучения, не зная распределения плотности по радиусу.
Затем в случае необходимости можно перейти к распределению темпера-
температуры по радиусу, привлекая условия механического равновесия и коэф-
коэффициент поглощения света как функцию температуры и плотности.
*) Подробное изложение этих вопросов и ссылки на литературу см. в книгах
В. А. Амбарцумяна [1] и Унзольда [2].
**) Стационарность звезды и неизменность во времени распределений темпера-
температуры и других величин по радиусу не означает, что звезды не эволюционируют. Когда
говорят о стационарности применительно к задаче о переносе излучения, то имеют
в виду неизменность состояния за время порядка времени теплопередачи от центра
звезды к поверхности.
Заметим, что условие лучистого равновесия q = О заменяет в данной конкретной
задаче энергетическое уравнение гидродинамики B.57).

138	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
Сформулируем задачу о распределении температуры и переносе
излучения в фотосфере звезды. Интересуясь поверхностными слоями,
толщина которых много меньше радиуса звезды, можно пренебречь их
кривизной и считать фотосферу плоской. Направим ось х по внешней
нормали к поверхности звезды (рис. 2.13) и запишем уравнение переноса
излучения для плоского случая:
cosfl-^- = *;,(/vp — /v),	B.81)
где ¦& — угол между направлением распространения излучения и осью х.
К этому уравнению добавляется условие лучистого равновесия:
q = ^ dv ^ dux'v (/vp — /v) = с ^ dvK'v (Uvp — Uv) = 0,	B.82)
о	о
а также граничное условие на поверхности, при х — 0, которое заклю-
заключается в том, что из пустоты кванты не поступают:
/v(х = О, ft) = 0 при -J<ft<jT.	B.83)
Если коэффициент поглощения разных частот xv (T, q) зависит
от плотности газа одинаковым образом, т. е. может быть представлен
в виде
XV (Т, Q) = ф (V, Т) f (Q),
что обычно и имеет место в действи-
действительности, то путем введения вместо
х новой координаты, дифференциал
а которой есть dy = dx f (q) и которая
соответствует оптической координа-
1
-с-*-
те, можно исключить из задачи
вопрос о распределении плотности
„ .„ т.	газа по х и искать распределения тем-
Рис. 2.13. К задаче о переносе излуче-	* r M
ния в звездных фотосферах.	пературы и интенсивности излучения
по этой, новой, оптической коорди-
координате у. Система B.81) — B.83) пол-
полностью описывает эти распределения. Задача обладает одним произ-
произвольным параметром — потоком излучения^, который в плоском случае
постоянен f q = div S = -5— = 0 J . Поток S равен потоку энергии, пода-
подаваемому из бесконечности х = — оо, изнутри звезды, и фактически
определяется энерговыделением в центре звезды. В то же время поток S
представляет собой поток энергии излучения, выходящий с поверхности
звезды, т. е. интегральную яркость поверхности.
Сформулированная задача в общем случае представляет очень боль-
большие математические трудности. Основная из!них состоит в том, что урав-
уравнение переноса записывается для спектральной интенсивности /v, тогда
как условие лучистого'равновесия имеет интегральный по спектру харак-
характер. Для упрощения задачи введем в рассмотрение некоторый средний
по спектру коэффициент поглощения х' (что эквивалентно предположе-
предположению «о серости» среды) и проинтегрируем по спектру уравнение переноса

§ 14]	ЛУЧИСТОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЗВЕЗДНЫХ ФОТОСФЕРАХ	139
оо
B.81). Получим для интегральной интенсивности / = \ 7V dv уравнение
о
ОО
Переходя к оптической координате, отсчитываемой от поверхности
в глубь фотосферы:
х
dx = — %' dx, т = — \ vfdx,
о
получим
^	B.85)
Граничное условие B.83) теперь принимает вид
7(т = 0, fl) = 0 при ^<#<я,	B.86)
а условие лучистого равновесия B.82)
IdQ= J IvdQ, U = UV = ^-	B.87)
(постоянный поток S равен S = \ cos d I dQ).
Несмотря на анизотропию излучения-, интеграл от интенсивности
по углам, т. е. плотность излучения в каждой точке, равен равновесной
величине Up. Вернее, температура вещества в каждой точке, регулируе-
регулируемая переносом излучения, устанавливается в соответствии с плотностью
излучения в данной точке U = С/р. Даже в упрощенной постановке задача
решения системы B.85) — B.87) (так называемая проблема Милна)
с математической точки зрения весьма сложна. Приближенное решение
ее будет изложено в следующем параграфе. Сейчас же мы выведем экви-
эквивалентное этой системе интегральное уравнение, которое послужило
основой для нахождения точного решения.
Воспользуемся интегральным выражением для интенсивности типа
B.32), которое в плоском случае можно записать в виде, непосредственно
следующем из уравнения B.85), если рассматривать его как линейное
дифференциальное уравнение относительно /:
оо	Х'—Х
7(О,т)=$ Ip[T(x')]e~^^ f>fl>0.	B.88)
т
т	х'—х
^	?/	B.89)
Первая формула дает интенсивность излучения, распространяюще-
распространяющегося в сторону поверхности. Интегрирование ведется от т = оо, поскольку
фотосфера предполагается полубесконечной. Вторая формула соответ-
соответствует излучению, идущему вглубь; при этом учтено, что из пустоты
кванты не приходят.
Вычислим плотность излучения U = — \ I dii, воспользовавшись
при интегрировании' по й от 0 до я/2 первой формулой, а в

140	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ [ГЛ. II
интервале -^ <С&<я—второй:
л/2	от	т'—т	я	х	х'—х
1 '	"	~	dx'
COS О
P	COS ft	J	.) P	COS ft
я/2	О
Переставляя порядок интегрирования, вводя в первом интеграле
новую переменную w = l/cos$, а во втором w=— l/costf1, принимая
во внимание определение интегральных экспонент B.44) и заменяя
/р = с?/р/4я, получим
U
оо	X
= i- J г/pEt (т' — т) dt' + у J ^7! (t—т') йт'.	B.90)
о
Принимая во внимание условие лучистого равновесия U — Uv — Т4,
получаем окончательно интегральное уравнение для равновесной плот-
плотности С/р или, что то же самое, для Г4:
Z7p(t')JM|t'—t|)dr'.	B.91)
о
Выпишем для справочных целей интегральное выражение для
потока в плоском случае, который вычисляется аналогично плотности*):
оо	X
S=4r\ UPE2(т'-т)dx'—4 [ ВД.(т—V)dx'.	B.92)
т	о
Из уравнения B.91) видно, что решение Uv{x) определяется с точ-
точностью до постоянного множителя. Этот множитель и соответствует
произвольной величине потока S.
§ 15. Решение задачи о плоской фотосфере
Найдем решение сформулированной в предыдущем параграфе задачи
в диффузионном приближении. Усредняя уравнение диффузионного
приближения по спектру и вводя средние коэффициент поглощения и'
и длину пробега /' = 1/и', запишем эти уравнения в виде
~ = cx'(Up—U),	B.93)
S= —v±^-	B 94)
или, заменяя координату х оптической толщиной т: dx — —x'dx,
§ = c(U-Up),	B.95)
5 = 44?-	B-96)
*) Для точки т = 0 эта формула уже была получена выше, в § 7 B.45).
Любопытно сравнить точные формулы для плотности и потока в плоском случае
B.90), B.92) с полученными в приближении «вперед — назад» B.73). Последние отли-
отличаются от первых заменой интегральных экспонент на обычные и численными коэф-
коэффициентами.

§ 15]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОЙ ФОТОСФЕРЕ	141
Уравнение B.95) демонстрирует эквивалентность условий лучистого
равновесия U = Up и постоянства потока S = const. В данном случае
условие лучистого равновесия приводит и к строгой эквивалентности
диффузионного приближения и приближения лучистой теплопровод-
теплопроводности, так как благодаря равенству U = Uv:
Решая это уравнение и воспользовавшись граничным условием B.66)
для того, чтобы выразить поток S через температуру поверхности То:
S = 2оГ0,	B.98)
получим распределение температуры и плотности излучения по оптиче-
оптической толщине
U = U p = ^^ = ^-"fl+-itV	B.99)
р с	с V ^ 2 J	v >
Эффективная температура поверхности по определению S = оТдф равна
Т — i*/^9 Т ~ 1 9 71
1 эф — у A-l о ^^ -1,"л О"
Эффективная температура несколько выше истинной температуры
поверхности То. Это и понятно: кванты, выходящие с поверхности, рож-
рождаются в излучающем слое около поверх-
поверхности толщиной порядка пробега (оптиче- T(*)=T0(/+§i:)'A
ской толщиной порядка единицы). Темпе- "
ратура излучающего слоя несколько выше,
чем температура поверхности (рис. 2.14),
поэтому и «температура» выходящего из-
излучения также несколько выше. Темпе-
Температура среды совпадает с эффективной
температурой излучения на оптической
глубине т = 2/3. Можно сказать, что эта рис ^ р	ение темпе.
глубина соответствует примерно середине ратуры п0 оптической координате
излучающего слоя.	в плоской фотосфере в диффузи-
Для задачи о лучистом равновесии	онном приближении,
фотосферы, рассматриваемой как «серая
материя», которая сводится к интегральному уравнению B.91),
было найдено точное аналитическое решение. Задача также решалась
различными приближенными методами, более точными, чем диффузион-
диффузионное приближение. (Эта задача, одна из немногих задач теории переноса
излучения, которые удается решить точно, служит обычно эталоном для
проверки различных приближенных методов.)
В точном решении температура поверхности То при том же самом
потоке S, т. е. при той же эффективной температуре ТЭф, оказывается
несколько меньше, чем в диффузионном приближении. А именно, в точном
решении Т\ = -¦— Т*э$, То = 0,811 ТЭф, тогда как в диффузионном при-
приближении Т\ = у Гэф, *Т0 = 0,841 Гэф. Распределения температуры
по оптической толщине в точном и диффузионном решениях весьма близки
друг к другу (они изображены на рис. 2.15), что свидетельствует о хоро-
хорошей точности диффузионного приближения. Ошибка, даваемая диффу-
диффузионным приближением, тем меньше, чем больше оптическая толщина,
т. е. чем дальше от границы, что вполне естественно. При т —*- оо точное

142
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ
[ГЛ. II
решение Up (т) асимптотически переходит в диффузионное B.99). В этом
можно убедиться и непосредственно на основе интегральных выражений
для плотности и потока B.91), B.92). Этот вывод полезен тем, что пока-
показывает, как диффузионное приближение и приближение лучистой тепло-
теплопроводности асимптотически заложены в
точном уравнении.
Как следует из диффузионного ре-
решения B.99), относительное изменение
равновесной плотности Uv на длине про-
пробега уменьшается при удалении от по-
поверхности:
К 000
11000
8000
АППП
J,
-
-
к
1\S
\
л
1
л ^^- *
i i
Г dUp
1
1
dx
dx
¦ 2 ,
при т -*- oo.
Интегральные экспоненты Et и Ег
быстро убывают с возрастанием аргумента,
так что практически в интегралах B.91),
B.92) играет роль лишь область \ %' — т | —
~ 1 около точки т.
Поэтому интегрирование по т' от
нуля до т во вторых интегралах в фор-
формулах B.90), B.92) при т > 1 можно рас-
распространить до — оо или, что то же
самое, интегрирование по т — т' от нуля
до т > 1 распространить на интервал от 0 до оо. Ошибка от этого
будет тем меньше, чем больше т.
Разложим Up (т') около точки т:
Рис. 2.15. Сопоставление распре-
распределений температуры в плоской
фотосфере, вычисленных в диф-
диффузионном приближении (/) и
точно (//).
Для определенности эффективная тем-
температура выбрана равной Тдф =
=10 500° 1С (график взят из книги [I]).
Поскольку Up {%) — медленная функция при т —>• оо, высшие про-
производные ее становятся все меньше и меньше. Подставляя это разложение
в B.90), B.91) и вычисляя интегралы, получим из B.92) с точностью
до членов, пропорциональных высшим производным от Up до х: S =
с dUp
= -<г-з—> а из B.91) :
= 0, т. е. уравнения диффузионного прибли-
приближения и лучистой теплопроводности.
Тот факт, что интегральная плотность излучения в каждой точке
равна равновесной, соответствующей температуре вещества, вовсе не озна-
означает, что то же самое относится и к спектральным плотностям *). Однако
чем дальше от поверхности в глубь фотосферы, тем меньше относительные
изменения температуры на расстояниях порядка среднего пробега, а сле-
следовательно, и пробегов разных частот. Поэтому вдали от поверхности
имеет место локальное равновесие и в каждой частоте и под средним
пробегом Г = 1/х'следует понимать росселандово среднее. Практически
росселандов способ усреднения можно распространить на всю фотосферу
вплоть до самой поверхности. Зная распределение температуры по сред-
*) Точно так же из того, что S = const, не следует, что Sv = const;

§ 16]	ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НАГРЕТОГО ТЕЛА НА ИЗЛУЧЕНИЕ	143
ней оптической толщине и задаваясь зависящими от частоты коэффи-
коэффициентами поглощения, точнее, их отношениями к среднему х^/х', можно
по формулам § 8 найти спектр излучения звезды (см. [1—3]). Спектр,
вообще говоря, не совпадает с планковским, соответствующим Тдф, но
в ряде случаев близок к нему.
§ 16. Потери энергии нагретого тела на излучение
Рассмотрим потери энергии на излучение всего тела в целом. При
этом мы будем иметь в виду обычные тела конечных размеров, нагретые
в общем случае неравномерным образом. Полная потеря энергии всем
телом в 1 сек, Q, равна, очевидно, интегралу по объему от потери энергии
1 см3 в 1 сек, q. Замечая, что q = div S, можно записать *):
Q= \
B.100)
где dV — элемент объема тела, a d2 — элемент поверхности; So — нор-
нормальная составляющая потока излучения на поверхности тела. Ее можно
представить в виде So = оТдф, где Т^ — эффективная температура
поверхности тела.
Совсем не обязательно, чтобы эффективная температура была близка
к средней температуре неравномерно нагретого тела Т. В случае опти-
оптически толстого тела, размеры которого х гораздо больше средней длины
пробега I (скажем, соответствующей средней температуре), поток по
порядку величины равен:
i
При (ИхI!* <g l7 тъ$ < Т. Эффективная температура скорее близка к тем-
температуре на поверхности. Лишь в случае не слишком толстых (оптически)
тел эффективная температура может быть, близка к средней температуре
тела (температуры ТЭф и Т могут быть близки и в том случае, когда в теле
каким-то специальным образом поддерживается постоянная темпе-
температура).
Рассмотрим теперь оптически тонкое тело, размеры которого малы
по сравнению с некоторым средним пробегом квантов **).
Если оптическая толщина тела xll мала, кванты, рожденные в любой
точке тела, почти беспрепятственно выходят наружу. По пути погло-
поглощается только доля квантов порядка xll < 1. Плотность излучения в теле
составляет долю порядка xll от равновесной, т. е. значительно меньше
равновесной (излучение существенно неравновесно). В самом деле, интен-
интенсивность излучения в какой-то точке равна согласно формуле B.32) инте-
интегралу по лучу в пределах тела от плотности источников. Поскольку тело
S
оптически тонкое, \ n'v ds ~ x"llv < 1, и экспоненциальный множитель
*) q может менять знак на протяжении тела, т. е. отдельные объемы могут
охлаждаться, а другие — нагреваться излучением.
**) Мы обозначаем средний Пробег в случае оптически тонкого тела через 1± для
того, чтобы не путать его с росселандовым средним пробегом I, характерным для опти-
оптически толстого тела. Как Мы увидим ниже, закон усреднения поглощения по спектру
в случае оптически тонкого тела отличается от росселандова.

144	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМКН В СРЕДЕ [ГЛ. II
в формуле, учитывающий поглощение квантов, близок к единице. Тогда
интенсивность /v ~ -r-Ivp, а плотность излучения после интегрирования
«V
по углам Uv <~ у- Uvv>. Если проинтегрировать Uv по спектру, введя
некоторый средний пробег /1; получим, что U ~ (x/li) Uv < Uv. Коли-
Количество энергии, поглощаемой в 1 см3 в 1 сек, также составляет долю поряд-
порядка х11х от энергии, испускаемой в 1 см3 в 1 сек, так как обе величины
относятся как U/Up, что видно из формулы для q B.61).
Таким образом, в случае оптически тонкого тела потеря энергии
веществом в 1 см3 в 1 сек сводится с точностью до малой величины порядка
x/li к испускаемой энергии, т. е. к интегральной лучеиспускательной
способности:
со	со
/ = j Jv dv = с J Jt;?/vp dv.	B.101)
b	b
Если вынести за знак интеграла среднее значение коэффициента погло-
поглощения, которое обозначим через Xj, равное по определению обратной
величине среднего пробега /1; получим для интегрального испускания:
j = KlUpc = ~.	B.102)
Сопоставление формул B.102) и B.101) дает закон усреднения длины
пробега для случая оптически тонкого тела:
= 5 KG, (и) du.	B.103)
5
Uvp dv - о
15 и3	hv
I vp
о
или через коэффициент истинного поглощения:
со
щ = 1 = J XvG; (и) du,	B.105)
о
G; (и) = (l-e-u) G, (н) = %е-и\	B.106)
Этот способ усреднения, как видим, отличается от росселандова:
при росселандовом усреднении по формуле B.77) усредняется пробег,
т. е. обратная величина коэффициента поглощения, причем весовая
функция пропорциональна производной от функции Планка по темпе-
температуре. Интегральная лучеиспускательная способность характеризуется
пробегом, который получается путем усреднения самого коэффициента
поглощения с весом, пропорциональным функции Планка.
Полная потеря энергии нагретым оптически тонким телом опреде-
определяется интегралом от лучеиспускательной способности по объему тела:
Q= \ gdV= \jdV.	B.107)
В отличие от оптически толстого тела, которое охлаждается излуче-
излучением «с поверхности», охлаждение оптически тонкого тела имеет суще-

§ 16]	ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НАГРЕТОГО ТЕЛА НА ИЗЛУЧЕНИЕ	145
ственно объемный характер. Можно, конечно, и в этом случае ввести
понятие потока излучения с поверхности и записать уравнение B.107)
в форме интеграла по поверхности, так как формула q = div 8 сохраняет
силу всегда. Однако в случае объемного охлаждения такая интерпретация
потерь имеет чисто формальный характер, тогда как в случае оптически
толстого тела вылетающие кванты на самом деле рождаются в поверх-
поверхностном слое. В соответствии с этим и спектр излучения оптически тол-
толстого тела в какой-то степени близок к планковскому спектру, соответ-
соответствующему эффективной температуре ТЭф или температуре у поверх-
поверхности. Спектр излучения оптически тонкого тела может существенным
образом отличаться от планковского, соответствующего температуре
тела, если коэффициент поглощения вещества сильно зависит от частоты.
Спектр в этом случае характеризуется частотной функцией x^Uvp.
Сопоставим лучистые потери энергии, отнесенные к единице объема
тела (скорость охлаждения единицы объема), и отнесенные к единице
поверхности (поток с поверхности) для случаев оптически толстого и опти-
оптически тонкого тела. Если размеры тела порядка х, поверхность его порядка
х2, а объем — порядка х3. Для оптически толстого тела скорость охла-
охлаждения, отнесенная к поверхности, порядка
^ 1<1,	B.108)
а скорость охлаждения, отнесенная к объему,
S~4~f>~(fHU?.	B..09)
В случае же оптически тонкого тела
S-^-f аТ*<аТ* при ^-«1,	B.110)
при тг*1-	<2-ш>
Сравним относительные лучистые потери двух тел примерно одина-
одинаковой средней температуры, одно из которых имеет большие размеры
(оптически толстое), а другое — малые (оптически тонкое). Плотности
вещества, так же как и температуры, будем считать близкими, так что
средние пробеги / и /4, которые есть функции только температуры и плот-
плотности вещества,— одного порядка (различие в способах усреднения по
спектру, как правило, не вносит очень больших численных различий
в величины пробегов; / и Z4 обычно различаются не более, чем в несколь-
несколько раз).
Из соотношений B.108) и B.110) видно, что в обоих случаях потери,
отнесенные к поверхности, т. е. потоки с поверхности, меньше аТ4. Лишь
тело, размеры которого порядка пробега (оптическая толщина порядка
единицы) х ~ / ~ /4, испускает с поверхности поток излучения, соот-
соответствующий абсолютно черному телу с температурой порядка средней
температуры тела.
Что же касается потерь, отнесенных к объему, или, что то же самое,
к массе, то в случае оптически толстого тела массовая скорость охлажде-
охлаждения гораздо меньше, чем в случае оптически тонкого, для которого она
10 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

146	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ [ГЛ. II
порядка средней по объему интегральной лучеиспускательной способ-
способности / ~ oT4//i и не зависит от размеров (в силу объемного характера
излучения).
Физическая причина этого ясна: кванты, испущенные внутри опти-
оптически толстого тела, «заперты» в теле и не в состоянии выйти наружу,
поглощаясь по пути внутри тела.
§ 17. Уравнения гидродинамика с учетом энергии и давления
излучения и лучистого теплообмена
В § 9 было показано, как следует учитывать взаимодействие излуче-
излучения с веществом, которое сводится к испусканию и поглощению света.
При этом предполагалось, что энергия и давление излучения малы по
сравнению с энергией и давлением вещества.
При очень высоких температурах или в сильно разреженном газе
(но при больших размерах газового тела, больших длины пробега излу-
излучения) пренебрегать энергией и давлением излучения нельзя. Довольно
очевидно, что в случае локального равновесия излучения с веществом,
4аТ* Uv 4 оТ*
когда U — Up —	, а давление излучения pv — -=- = -к-	, в урав-
С	О	О С
нениях гидродинамики следует везде к внутренней энергии и давле-
давлению вещества добавить энергию и давление излучения, а также ввести
член лучистой теплопроводности. Покажем, как этот вывод следует из
общих уравнений, описывающих систему: вещество плюс излучение.
Для того чтобы записать в полной форме уравнения, выражающие
законы сохранения импульса и энергии системы, состоящей из вещества
и излучения (в общем случае неравновесного), удобно исходить из дивер-
дивергентной формы уравнений, эквивалентных уравнениям «непрерывности»
для соответствующих величин. Для движения идеального газа без учета
излучения эти уравнения были сформулированы в гл. I (см. формулы A.7),
A.10)). Уравнения для системы вещество полюс излучение легко записать
путем непосредственного обобщения уравнений A.7), A.10) (заметим, что
мы рассматриваем только нерелятивистские движения). Именно, к плот-
плотности импульса вещества добавим плотность импульса излучения G,
а к тензору плотности потока импульса вещества Hik — тензор плотности
потока импульса излучения Тц,. Как известно, последняя величина
эквивалентна тензору максвелловских напряжений электромагнитного
поля. Точно так же к плотности энергии вещества добавим плотность
энергии излучения U, а к плотности потока энергии — поток энергии
излучения S, представляющий собой вектор Пойнтинга (импульс
излучения связан с вектором Пойнтинга соотношением G- = Sic1).
Получим таким образом уравнения импульса и энергии системы
^	^	B.112)
0- BЛ13)
Уравнение непрерывности остается, очевидно, неизменным, так как
излучение «не обладает» массой *),
*) Если U ~ e

§ 17]	УЧЕТ ЭНЕРГИИ И ДАВЛЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ	147
Уравнения B.112) и B.113), сформулированные выше путем простого
обобщения уравнений гидродинамики и имеющие ясный физический
смысл, можно получить и строгим формальным путем, исходя из урав-
уравнения сохранения, записанного для четырехмерного тензора энергии —
импульса системы вещество полюс излучение, если в слагаемом тензора,
относящемся к веществу, перейти к нерелятивистскому приближению
(мы не будем здесь проделывать этот весьма элементарный вывод).
Величины, характеризующие излучение и входящие в уравнения
B.112), B.113), можно расшифровать двояким образом. В электромаг-
электромагнитной, полевой трактовке они выражаются через напряженности элек-
электрического и магнитного полей JE и Н, а именно:
" ~ 8л '
S = ^[EH] = c*G,	J	B.114)
If	I	ч
ih — 4л |	' А	гА~1~2 гА ^	J ' '
Следует только иметь в виду, что излучение представляет собою
быстропеременное электромагнитное поле; период электромагнитных
колебаний ничтожно мал по сравнению с макроскопическими временами
процесса, поэтому подразумевается, что в приведенных выше формулах
произведено усреднение по времени за период, большой по сравнению
с периодом колебаний поля.
В квантовой трактовке макроскопические величины U, S, Т^ выра-
выражаются через функцию распределения квантов. Если / (v, Я, г, t) —
функция распределения в точке т в момент t в зависимости от частоты v
и направления движения квантов Q, то, как мы уже знаем (см. § 1 этой
главы),
U=\ hvfdQdv,
S=*\hvcQfdQdv,	\	B.115)
Tih-= \ QiQhkvfdQdv*). J
Путем разложения быстропеременных электромагнитных полей в инте-
интегралы Фурье поля можно представить в виде суперпозиции гармониче-
гармонических колебаний различных частот. При усреднении по времени членов,
квадратичных по составляющим полей, которые содержатся в формулах
для U, Si, Ttk, произведения величин, относящихся к различным часто-
частотам, исчезают, и остаются только квадратичные члены с произведениями
компонент Фурьё, отвечающих одной и той же частоте. Поэтому энергия,
импульс, потоки энергии и импульса излучения представляются в виде
линейной суперпозиции членов, соответствующих разным частотам. Это
позволяет ввести понятие интенсивности излучения данной частоты
Iv (Я, г, t) и выразить макроскопические величины через интегралы
1
*) Энергия кванта есть hv, импульс Qhv/c, поток г-й составляющей импульса
в А-м направлении Q^Q^ — с, откуда и получается формула для тензора потока
С
импульса fjft.
10*

148	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. И
от интенсивности по спектру и направления распространения излучения:
IvdQdv,
8 = J Q/v dQ dv,
= 7 $
B.116)
а также перейти к квантовой трактовке интенсивности как произведения
энергии кванта на функцию распределения /v = hvcf.
Известно, что электромагнитные поля, частоты и направления рас-
распространения электромагнитных волн, а следовательно, и интегральные
величины U, S, Т^ зависят от того, в какой системе координат они изме-
измеряются.
Интегральные величины, фигурирующие в уравнениях B.112)
и B-113), относятся к покоящейся, «лабораторной» системе координат,
в которой данная частица вещества движется со скоростью и. Между тем
существу дела скорее отвечают параметры излучения, измеренные в «соб-
«собственной» системе координат, в которой частица покоится. В самом деле,
в состоянии полного термодинамического равновесия именно плотность
энергии излучения в покоящемся веществе равна равновесной вели-
величине f/p = АаТ*/с; диффузионный характер имеет поток излучения отно-
относительно неподвижного вещества, так как излучение «сносится» вместе
с движущимся веществом и полный поток включает в себя этот «снос».
Перейдем в уравнениях B.112) и B.113) от величин U, S, Tih к штри-
штрихованным величинам U', S', Т\ъ, связанным с движущимися частицами
среды. При движении среды с нерелятивистскими скоростями и/с < 1»
когда можно пренебречь членами, пропорциональными и/с, соответствую-
соответствующее преобразование к движущейся системе координат дает (см. [6]):
B.И7)
Введем преобразованные величины в уравнения B.112) и B.113). При
этом заметим, что импульс излучения Gi чрезвычайно мал по сравнению
с импульсом вещества gut, и им можно пренебречь *). Записывая в явном
виде тензор потока импульса вещества Hik = Qutuk -f pbih, получим
^) + ^(Q^ft)+g + g = O,	B.118)
(эти уравнения были получены С. 3. Беленьким [7]).
*) В самом деле, если энергия излучения сравнима с энергией вещества, т. е.
U	 Qua, то импульс излучения, который порядка G~ U/c, в — раз меньше импульса
вещества qu:
„ U и
Q /-^/ — ^ — о«.
с с ч

§ 18]	ЧИСЛО КВАНТОВ КАК ИНВАРИАНТ КЛАССИЧЕСКОГО ПОЛЯ	149
Рассмотрим случай локального термодинамического равновесия
излучения с веществом. Плотность излучения равна при этом равно-
равновесной величине U' = 4оТ*/с. Поток энергии излучения относительно
вещества S'k приближенно пропорционален градиенту равновесной плот-
плотности излучения. По формуле B.76) для лучистой теплопроводности
h~ 3 dxk V с ) ~	3 dxk ¦
Тензор потока импульса проще всего получить из формулы B.116),
если заметить, что в условиях локального равновесия поле излучения
почти изотропно и интенсивность очень слабо зависит от угла. Найдем
T'ih = -g- Sjft = Pv$ih,
u'p 4 a74
где pv = -~ = -~-	давление излучения.
о о с
Подставляя все эти величины в уравнения B.118), найдем для
случая локального равновесия:
где C7p = 3pv	f f ^
Уравнения импульса и энергии системы принимают замкнутую форму,
так как все величины, характеризующие излучение, выражаются через
температуру (и оптические свойства вещества).
Если излучение не находится в локальном термодинамическом
равновесии с веществом, то к уравнениям B.118) нужно добавить урав-
уравнение переноса излучения. Об уравнении переноса излучения в движу-
движущейся среде с учетом членов порядка и/с см. [8].
§ 18. Число квантов как инвариант классического
электромагнитного поля
Поле излучения характеризуется плотностью и потоком энергии
(последней пропорциональна плотнссть импульса); эти величины опре-
определяются формулами B.114).
Замечательно, что в классической теории можно ввести еще одну
характерную величину, которая (с точностью до произвольного множите-
множителя) совпадает с числом квантов в поле [15]. На первый взгляд число кван-
квантов по определению есть квантовое понятие и не играет роли, не может
быть определено в классической теории. Напомним, однако, что в клас-
классической механике номер квантового состояния осциллятора является
адиабатическим инвариантом. Подобно этому число квантов в заданном
электромагнитном поле должно быть адиабатическим инвариантом. Вдоба-
Вдобавок к этому оно должно быть величиной, сохраняющейся во времени,
и релятивистским инвариантом.
Величина, пропорциональная числу квантов, дается выражением

150	ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН В СРЕДЕ	[ГЛ. II
где интегрирование производится по пространствам т и г' (dv, dv' обо-
обозначают элементы объемов). Структуру этого выражения легко понять,
если перейти к переменным интегрирования г и q = г' — г. Фиксируем
точку г и выпишем интеграл по объему dQ в полярных координатах с цен-
центром в точке г:
где dQp — элемент телесного угла около точки т.
Выписанное выражение по порядку величины равно Е2 (г) к, где к —
то среднее расстояние, на котором сохраняется корреляция между полем
в данной точке Е (г) и полем в окрестности этой точки. Составляя анало-
аналогичное выражение с Н, получим, что по порядку величины
U (r) I dr.
Выведем теперь выражение B.121) для числа квантов *). Рассмотрим
поле в отсутствие зарядов, как свободных, так и связанных. При этом
div E = 0; div H = 0. Число квантов в данном интервале частот dv
равно энергии поля, которая заключена в этом интервале, поделенной
на hv. Чтобы определить спектральную энергию, разложим поле в инте-
интеграл Фурье по пространству
Е(г) =
причем в силу уравнений поля при указанных условиях компоненты
Фурье Ek зависят от времени как е—{ыкг, где <oft == ск (a>h = 2nvft). Введем
для каждого направления волнового вектора к направления поляризации
света Пи **2, перпендикулярные к к. Компоненты Фурье поля с данной
поляризацией равны
Ehi = [ (Е и,) e~ihr dr.
Аналогично определяются Eh2, H%v Hh2.
Энергия волн (с данной поляризацией), распространяющихся в на-
направлении к, пропорциональна
eki~\Ehi
Соответствующее число квантов данной частоты пропорционально
Полное число квантов в поле пропорционально величине
Подставляя выражения для Ehl и т. д. и производя несложные преобра-
преобразования, найдем
) в** dr\ [{E (г') щ) е-***" dr'\ * + •••;
*) Мы благодарны А. С. Компанейцу за обсуждение этого вопроса.

§ 18]	ЧИСЛО КВАНТОВ КАК ИНВАРИАНТ КЛАССИЧЕСКОГО ПОЛЯ	151
к этому интегралу добавляются аналогичные члены с (Еп2), (Нщ),
(Нщ). Это выражение можно записать как один интеграл:
с И. B.122)
Из условий div_E = 0, diviT=0 следует, что волны поперечные,
т. е. величины
Ek3 = ^ (Еп3) e~ihr dr
и Hk3 равны нулю (п3 — к/к—единичный вектор в направлении к).
Значит, формула B.122) не изменится, если добавить к ней равную
нулю величину
(Е (г) п3) (Е {г') щ) eih (•—¦') dr dr' ~ .
Но после добавления такой величины выражение в квадратных скоб-
скобках B.122) примет вид скалярного произведения
(Е (г) щ) (Е (г') щ) + ...=Е(г)Е (г1),
так как п\, п2, п3 образуют три перпендикулярных направления. В резуль-
результате получим
j j J	«
eik(r—r') получим формулу B.121), что и дока-
доказывает сделанное выше утверждение о том, что выражение B.121) про-
пропорционально числу квантов в поле.
Наиболее интересен тот факт, что N написано как двойной инте-
интеграл по объему при данном t = const. При лоренц-преобразовании Е
и Ж меняются; кроме того, нужно перейти к другому объему t' = const
(к другой гиперповерхности в четырехмерном пространстве Минков-
ского). Непосредственное доказательство того, что выражение N является
инвариантом, весьма затруднительно. Поскольку f и С не совпадают,
нужно использовать уравнения Максвелла для того, чтобы перейти
от Е и Н в объеме t = const к Е' и Н' в объеме f =const. Однако реля-
релятивистская инвариантность B.121) в действительности следует именно
из того факта, что полное число квантов — число частиц во всем объеме,
очевидно, является релятивистским инвариантом. Существенно при этом,
что рассматривается свободное поле без зарядов, в котором кванты не
рождаются и не поглощаются.

ГЛАВА HI
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ ПРИ ВЫСОКИХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
1. ГАЗ ИЗ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
§ 1. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью
и неизменным числом частиц
Во многих реальных процессах макроскопические параметры, харак-
характеризующие состояние газа, скажем, плотность q, и удельная внутренняя
энергия е или температура Т меняются достаточно медленно по сравнению
со скоростями релаксационных процессов, приводящих к установлению
термодинамического равновесия. В таких условиях частица газа в каждый
момент времени пребывает в состоянии, очень близком к термодинами-
термодинамически равновесному, соответствующему мгновенным значениям макро-
макроскопических параметров. Исключение составляют лишь очень быстрые
процессы, такие, например, как прохождение газа через фронт ударной
волны. В этой главе будут рассматриваться только термодинамически
равновесные состояния газа.
Для описания гидродинамического движения вещества в адиабати-
адиабатическом случае необходимо задать энтропию или удельную внутреннюю
энергию как функции плотности и давления: S (q, p), e (q, р). В неадиа-
неадиабатическом случае обычно в уравнение энергии в явном виде входит еще
и температура (например, при учете теплопроводности или излучения),
которую необходимо связать с плотностью и давлением посредством
уравнения состояния р = р (q, T).
Как известно, все термодинамические функции вещества могут быть
получены с помощью одного из обобщенных термодинамических потен-
потенциалов, заданных в виде функций соответствующих переменных, а именно:
е (S, q); w (S, p); F (T, q); Ф (Т, р), где F — свободная энергия, w —
энтальпия, а Ф — термодинамический потенциал (в узком смысле).
При конкретных расчетах термодинамических свойств газов обычно
непосредственно вычисляют внутреннюю энергию в зависимости от тем-
температуры и плотности или температуры и давления е (Т, q) или е (Т, р).
При этом приходится независимо вводить уравнение состояния, которое
можно вывести из функции е (S, q), но нельзя найти из функций е (Т, о)
ИЛИ Е G\ р).
Везде, где это не будет оговорено особо, мы будем рассматривать
идеальные газы, в которых, по определению, можно пренебречь взаимо-
взаимодействием между частицами. Во многих практически важных случаях
приближение идеальности выполняется с большой точностью (неидеаль-

§ 1]	ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ С ПОСТОЯННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ	153
ность проявляется лишь при достаточно больших плотностях; см. об этом
§ 11-14).
Уравнение состояния идеального газа можно записать в одной из
эквивалентных форм:
^ ^	C.1)
где п — число частиц в 1 см3, N — число частиц в 1 г, R — универсаль-
универсальная газовая постоянная *), А — газовая постоянная, рассчитанная на
1 г, \а — средний молекулярный вес, V — удельный объем. При этом
число частиц в 1 г N или средний молекулярный вес ц могут сами зави-
зависеть от температуры и плотности вследствие диссоциации, химических
реакций или ионизации.
Внутренняя энергия газа, а вместе с нею и теплоемкость при постоян-
постоянном объеме в общем случае складываются из ряда компонент, соответ-
соответствующих различным степеням свободы газа: поступательному движению,
вращениям и колебаниям молекул, электронному возбуждению атомов
и молекул, а также из компонент, соответствующих диссоциации моле-
молекул, протеканию химических реакций, ионизации. В дальнейшем для
краткости мы будем эти последние факторы также включать в общее поня-
понятие «степеней свободы». Как и энергия, по степеням свободы суммируются
все остальные термодинамические потенциалы, а также энтропия. Раз-
Различные степени свободы, за исключением поступательного движения
частиц, включаются в термодинамические функции лишь начиная с более
или менее определенных значений температур. Для степеней свободы,
связанных с изменением числа частиц (диссоциации, химических реакций,
ионизации) эти температуры зависят от плотности газа.
При очень низких температурах атомы и молекулы не ионизованы
и не возбуждены; химический состав соответствует энергетически наи-
наивыгоднейшему состоянию; тепловое движение ограничивается только
поступательными перемещениями частиц. Удельная внутренняя энергия,
о
отсчитываемая от нуля температуры, равна при этом en0CT = -к-NkT;
Lt
удельная теплоемкость при постоянном объеме — Супост = -y
В одноатомном газе область температур, в которой термодинамиче-
термодинамические функции определяются чисто поступательным движением атомов,
простирается до весьма высоких значений порядка нескольких тысяч
или даже десятка тысяч градусов, пока не начинаются ионизация и воз-
возбуждение электронов в атомах.
В молекулярном газе при наиболее низких температурах возбуждают-
возбуждаются вращения молекул. Это происходит обычно при нескольких или десятке
градусов Кельвина. Энергии вращательных квантов, выраженные в гра-
градусах (т. е. поделенные на постоянную Больцмана к), весьма малы:
например, у кислорода 2,1° К, у азота 2,9° К, у окиси азота 2,4° К.
Исключение составляет лишь молекула водорода, для которой эта вели-
величина равна 85,4,° К. Даже при комнатной температуре 300° К (а тем
более при высоких) квантовые эффекты не играют никакой роли. Вра-
Вращательная часть теплоемкости равна своему классическому значению.
Теплоемкость с^вращ = Nk для двухатомных и линейных много-
3
атомных молекул и Сувращ = -jNk для нелинейных многоатомных
*) R = 8,31-107 эрг/град-моль = 1,99 кал/град-моль, к = 1,38-Ю» эрг/град =
= 8,31 дж/град-молъ.

154	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
молекул. Соответствующие составляющие внутренней энергии равны
евращ = NkT или ^-NkT.
Колебания в молекулах возбуждаются при гораздо более высоких
температурах порядка нескольких сотен или тысячи градусов, поэтому
существует диапазон температур, в котором тепловое движение моле-
молекулярного газа складывается только из поступательного и вращатель-
вращательного. Теплоемкость в этом диапазоне постоянна, и для двухатомного газа
(например, воздуха) равна cv = супост + СуВращ = "о"-^- Соответствую-
Соответствующая внутренняя энергия е = -z-NkT.
Энергии колебательных квантов, выраженные в градусах, в двух-
двухатомных молекулах обычно порядка нескольких тысяч градусов. Напри-
Например, у О2 hv/k = 2230° К, у N2 — 3340° К, у N0 — 2690° К; у трех-
трехатомных молекул самая низкая частота колебаний обычно меньше, напри-
например, у NO2 ^ = 916°, 1960°, 2310° К. При температурах, меньших
и порядка hv/k, колебательная часть теплоемкости должна вычисляться
по квантовым формулам и сама зависит от температуры. Однако при
температурах, больших hvlk, колебательная теплоемкость постоянна
и равна своему классическому значению к на одну колебательную степень
свободы. Двухатомная молекула имеет одну колебательную степень сво-
свободы, нелинейная /re-атомная молекула Зт — 6, а линейная Зт — 5
колебательных степеней свободы.
Таким образом, при температурах более высоких, чем наибольшее
из значений hv/k, полная классическая теплоемкость из расчета на
3
одну молекулу су — сУпост + сУВращ + СуКоя равна cv = -j N к + Nk +
+ (Зт — 5) Nk = (Зт	к-) Nk для линейных тп-атомных молекул
и Су = -тг Nk + -jNk + Cm — 6) Nk — (Зт —М) Nk — для нелинейных
п
молекул. Для двухатомных молекул cv = -irNk. Уравнение адиабаты для
идеального газа с постоянной теплоемкостью и неизменным числом частиц;
определяется из общего термодинамического соотношения:
Т dS = ds + p dV = cv dT + NkT?f = 0.
Отсюда получается после интегрирования
Tr^V-to-V-Q1-1; p~V-y~Qy,	C.2)
причем коэффициенты пропорциональности зависят только от энтропии.
Здесь у — Ср/су — показатель адиабаты; ср — cv + Nk — удельная теп-
теплоемкость при постоянном давлении. Например, для одноатомного газа
Y = -о-, для двухатомного с невозбужденными колебаниями — у = -щ;
с полностью возбужденными колебаниями — у ~ -j .
Следует, однако, отметить, что не существует* широкого диапазона
температур, в котором колебания в молекулах были бы полностью воз-
возбуждены, а теплоемкость и показатель адиабаты были бы постоянными,
так как диссоциация молекул и химические реакции часто начинаются
еще при таких температурах, когда колебательная часть теплоемкости
только достигает своего предельного классического значения.

§ 2]	РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ СУММ	155
§ 2. Расчеты термодинамических функций методом
статистических сумм
Наиболее строгим и последовательным образом все термодинамиче-
термодинамические функции можно найти с помощью так называемого метода стати-
статистических сумм. Изложим кратко основы этого метода *) с тем, чтобы
получить выражение для энтропии, квантовую формулу для колебатель-
колебательной энергии молекулы, а также чтобы применить его в последующих
параграфах к газу с переменным числом частиц.
Согласно статистической механике вероятность re-го состояния
системы, состоящей из N частиц, энергия которого равна Еп, пропор-
пропорциональна величине ехр(—Еп/кТ). Сумма этих вероятностей по всем
возможным состояниям системы, определенная с точностью до постоян-
постоянного множителя
_*»
<? = 2е hT,	'	C.3)
п
и называется статистической суммой системы.
Для идеального больцмановского газа, состоящего из молекул
нескольких сортов, числа которых равны iVA, NB, ..., статистическая
сумма распадается на произведение сомножителей, соответствующих
каждому сорту частиц:
V ~ NA\ NB\ ¦ • •	¦	(О-*>
Здесь ZA, ZB. . . —статистические суммы одной молекулы каждого сорта,
которые выражаются формулами, по виду сходными с C.3):
_Ч_
Z = 2e hT,	C.5)
h
где eft —энергия молекулы в к-ш состоянии, суммирование производится
по всем возможным состояниям одной молекулы.
Общая формула для свободной энергии системы имеет вид
F=—kTlnQ.	C.6)
Если заменить факториалы в выражении C.4) по формуле Стир-
линга ЛМ да (N/e)N и подставить полученное выражение в C.6), получим
^^...	C.7)
Поскольку свободная энергия является термодинамическим потен-
потенциалом по отношению к переменным: температура и плотность (объем),
все термодинамические функции можно вывести из формулы C.7), если
известны статистические суммы молекул в зависимости от температуры Т
и объема V. По общим формулам термодинамики энтропия, внутренняя
*) Подробные выводы можно найти в курсах статистической физики, например,
в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифпгаца [1].

156	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
энергия и давление равны
ул.*),	C.9)
Р=—(тР) ¦	C.10)
Если пренебрегать взаимодействием между электронными состояния-
состояниями, колебаниями и вращениями, рассматривать молекулу как жесткий
ротатор, а колебания считать гармоническими, энергию молекулы можно
представить в виде суммы энергий, соответствующих различным степе-
степеням свободы. При этом, как видно из формулы C.5), статистическая
сумма одной молекулы также распадается на произведение:
Мы приведем здесь формулы для статистических сумм без вывода.
Поступательная статистическая сумма любой частицы равна:
( —р
где М—масса частицы, a F—объем, занимаемый газом (если под ./V
понимать число частиц в 1 г, то V—удельный объем).
Вращательная* сумма при температурах, гораздо больших энергии
вращательного кванта, поделенной на к, равна
7 _ 8л*1кТ 1	,о Пч
¦^вращ — р '—	\о.ю)
для двухатомной или линейной многоатомной молекулы **) и
для нелинейной многоатомной молекулы.
Здесь / в первой из формул—момент инерции линейной молекулы,
а во второй—среднее геометрическое из трех моментов инерции нелиней-
нелинейной многоатомной молекулы / = (/^/з)^3; °—-так называемый фактор
симметрии, который равен увеличенному на единицу числу перестановок
одинаковых атомов в молекуле, эквивалентных вращению молекулы
как целого ***).
Квантовое выражение для статистической суммы гармонического
осциллятора частоты v есть:
_hy_
ZKoa=(l-e Myi.	C.15)
В этой формуле энергия колебаний отсчитывается от наиболее низ-
низкого квантового колебательного уровня. Предполагается, что энергия
*) Как легко проверить путем непосредственной подстановки C.6), C.3) в C.9)
8 = 2Еп ехр (—- Еп/кТ)/2, ехр (— Еп/кТ), внутренняя энергия есть просто энергия
системы, усредненная по всем возможным состояниям.
**) Энергия вращательного кванта М>вра1Ц = й2/8я2/, так что ZBpaI4 =
= ?7/М>вращ-0.
***) Например, в двухатомной молекуле, состоящей из одинаковых атомов,
о = 2, а из разных — а = 1.

§ 2]	РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ СУММ	157
нулевых колебаний kv/2 включена в энергию основного состояния моле-
молекулы.
Если молекула обладает несколькими колебательными степенями
свободы, то ее полная колебательная сумма представляется в виделро-
изведения сомножителей, соответствующих всем нормальным колебаниям.
Наконец, электронная статистическая сумма сохраняет свой перво-
первоначальный вид:
где еп — энергия ге-го электронного квантового состояния атома или моле-
молекулы. Если уровни вырождены, то каждая компонента все равно входит
в сумму в виде самостоятельного слагаемого, так что числа одинаковых
слагаемых равны статистическим весам уровней.
Различные атомные и молекулярные константы, необходимые для
расчета термодинамических функций газов, известны обычно из спектро-
спектроскопических данных. Энергии вращательных и колебательных квантов
для ряда молекул уже были приведены в предыдущем параграфе. Энер-
Энергии первых возбужденных электронных состояний атомов и молекул et
обычно порядка нескольких эв, т. е. gj/ft порядка нескольких десятков
тысяч градусов; например, у атомов О Ш-терм et = 1,96 эв, &^1к =
= 22 800° К; у N 2?>°-терм, е4 = 2,37 эв, ejk = 27 500° К; у молекул:
N2 Л32?-терм, ei = 6,l эв, е^й: =J71_000°K; у N0 Л22+-терм, е4 =
= 5,29 эв, &ilk =Д1_400° К. Бывают и исключения. Так, у молекулы О2
первые возбужденные уровни лежат низко — xA^-TepM, ei = 0,98 эв,
В!Iк = Ц300° К; ^-терм, е2 = 1,62 эв, в2/к = _i§_8QQLK.
При не слишком высоких температурах, когда Т < Bilk, электронная
сумма сводится, по существу, к слагаемым, соответствующим основному
электронному состоянию. Если интервалы между уровнями тонкой струк-
структуры основного состояния (когда таковая существует) меньше кТ *),
то соответствующие слагаемые в ZajI можно приближенно считать одина-
одинаковыми. Отсчитывая энергию е„ от основного состояния (е0 = 0), можно
положить Z3JI равным статистическому весу основного состояния g0
(например, у атомов: О 3Р-терм g0 = 9; у N D?) go = 4; у молекул:
О2 C2) go = 3; N2 (i2) g0 = 1; NO BП) g0 = 4).
О вычислении Z3Jl при высоких температурах речь будет идти в § 6.
Поскольку статистическая сумма молекулы Z равна произведению
отдельных сомножителей, отвечающих различным степеням свободы,
свободная энергия газа, а вместе с нею и другие термодинамические функ-
функции представляются в виде суммы соответствующих слагаемых. Подстав-
Подставляя выражения для сомножителей Z в формулу C.7), получим явное
выражение свободной энергии через температуру и плотность; последняя
входит благодаря тому, что поступательные суммы Zn0CT содержат
объем V. Величины NAIV, NBIV, . . ., которые появляются под знаком
логарифма в формуле C.7), представляют собой числа частиц в единице
объема пА, пв, . . ., выражаемые через плотность газа и процентные
содержания частиц разных сортов, которые в данном случае постоянны.
Статистическая сумма одноатомного газа состоит только из поступа-
поступательного и электронного сомножителей; подставляя ее в C.7), найдем
*) Например, у атома О интервалы для компонент основного триплетного состоя-
состояния SDZ равны Аг/к = 230° и 320° К; у NO расщепление дуплета 2П равно Ае/к =
= 178° К. О спектроскопической символике и расшифровке обозначений термов
см. § 14 гл. V.

158	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
свободную энергию N одинаковых атомов (полагаем 2ЬЛ = g0):
F = -NkT\n(^-fe^.	C.17)
Удельная энтропия одноатомного газа в отсутствие ионизации и воз-
возбуждения электронов по формуле C.8) равна
'.	C.18)
Для энергии и давления получим уже известные выражения:
3
6 == ~п~ 1\fCx j p == JttCl ,
Li
Аналогичным путем легко получить вращательные и колебательные
составляющие термодинамических функций. Внутренняя энергия враще-
вращений, естественно, совпадает с формулами, выписанными в § 1, а внутрен-
внутренняя энергия колебаний выражается функцией Планка. Энергия N одина-
одинаковых осцилляторов (двухатомных молекул) равна:
екол = ЛГ-^-.	C.19)
g , A
В пределе кТ > hv она стремится к своему классическому значению
Екол — NkT, а теплоемкость Сукол = —Ш^ -*~ Nk. Фактически энергия
и теплоемкость близки к своим предельным значениям уже при кТ да hv.
Например, при kTlhv = 0,5 cv!Nk = 0,724, при kTlhv = 1 cvINk =
= 0,928, при kTlhv = 2 cv/Nk = 0,979.
В давление вращения и колебания молекул никакого вклада не дают;
формально это связано с тем, что соответствующие статистические суммы,
а также внутренние энергии и теплоемкости не зависят от объема. Давле-
Давление идеального газа связано исключительно с поступательным движе-
движением частиц.
При высоких температурах порядка нескольких тысяч градусов,
когда амплитуды колебаний молекул становятся заметными по сравнению
с межатомными расстояниями, проявляются ангармоничность коле-
колебаний и взаимодействие колебаний с вращениями. Ангармоничность
несколько уменьшает колебательную часть теплоемкости. Соответствую-
Соответствующие поправки в первом приближении пропорциональны температуре.
Обычно эти поправки невелики (диссоциация молекул начинается раньше,
чем поправки становятся существенными). О вычислении поправок см.,
например, [2].
\	§ 3. Диссоциация двухатомных молекул
При температурах порядка нескольких тысяч градусов двухатомные
молекулы обычно диссоциируют на атомы. Многоатомные молекулы,
в которых связь слабее, начинают распадаться и при более низких тем-
температурах. Разрыв молекулы требует весьма большой затраты энергии,
поэтому диссоциация существенным образом сказывается на термодина-
термодинамических функциях газа.
Рассмотрим простейший и вместе с тем практически важный случай
двухатомного газа из молекул одного сорта А2, состоящих из одинаковых

§ 3]	ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ	159
атомов А. Пусть при температуре Т и плотности газа Q на атомы диссо-
диссоциирована доля а исходных молекул (согласно схеме А2 1^1 2А). Если N —
число исходных молекул в 1 г, то при степени диссоциации а в 1 г содер-
содержится N -2а атомов и N A — а) молекул; полное число частиц равно
N (I + а), так что давление газа
р = N A + a) QkT. ?'с*о. С >'%.')':	C.20)
При полной диссоциации (а = 1) оно вдвое больше давления при тех же Т
и Q, но в отсутствие диссоциации.
При малой диссоциации а < 1 изменение давления невелико, но изме-
изменение энергии и теплоемкости газа все равно может оказаться значи-
значительным. Пусть ба2 — энергия одной молекулы при температуре Т, а еА —
энергия одного атома. Обозначим энергию, необходимую для разрыва
невозбужденной молекулы (т. е. в отсутствие вращений и колебаний или
при Т = 0) через U. U представляет собой энергию связи или энергию
диссоциации молекулы: например, для Q2: U = 5,11 эв -*¦ 118 ккал/моль *),
TTIk =59 400°K; N: U =С&74 э^г225 ккал/моль Ulk = 113 000° К;
дцц	у	рер, д Q2	,	),
TTIk =_59 400°K; N2: U =С&74 э^г225 ккал/моль, Ulk = 113 000° К;
NO: U = 6,5 эв-у 150 ккалТмоль, Ulk = 75 500° К.
Удельная внутренняя энергия газа, отсчитываемая от молекулярного
состояния при нуле температуры, равна
e = /VeA2(l — a) + N-eA-2a + NUa.	C.21)
Обычно диссоциация начинается при температурах гораздо меньших,
чем U/k, тем меньших, чем разреженнее газ. При плотности атмосферного
воздуха (гс = 2,67-1019 молекула/см3) диссоциация заметна уже при
kT/U ~ 1/20. Это. связано с ^большим статистическим весом состояния,
в котором молекула разбита ва атомы. Фактически при кТ < U моле-
молекулы разбиваются ударами очень энергичных частиц, относящихся к дале-
далекому хвосту больцмановского распределения по энергиям. В отсутствие
о
ионизации и электронного возбуждения еА = -п кТ. Если кТ больше
энергии колебательных квантов hv, колебательная энергия молекулы, как
следует из формулы C.19), равна примерно кТ и еА2 ^ тт кТ. Энергия
диссоциированного газа C.21) заметно превышает энергию в отсутствие
диссоциации е = Nza2 даже при малых степенях диссоциации (а ~ 0,1
и меньше) за счет последнего члена, отвечающего энергии, затраченной
на разрыв молекул. Точно так же заметным образом возрастает и тепло-
емкость cv = { дт ) диссоциирующего газа.
Следует отметить, что формулы C.20), C.21) справедливы и в усло-
условиях неравновесной диссоциации, когда степень диссоциации отличается
от своего термодинамически равновесного значения, соответствующего
«температуре» и плотности газа. Под «температурой» при этом подразу-
подразумевается температура поступательных и вращательных степеней свободы
частиц, которые всегда термодинамически равновесны **).
Термодинамически равновесная степень диссоциации однозначно
определяется температурой и плотностью (или давлением) газа. Зависи-
Зависимость степени диссоциации от температуры и плотности можно вывести
*) 1 aejмолекула соответствует 23,05 ккал/моль.
**) Равновесие в колебательных степенях свободы устанавливается медленнее, чем
во вращательных и поступательных, но обычно быстрее, чем устанавливается равно-
равновесная диссоциация. Подробно см. об этом гл. VI.
\

160	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
из общего выражения для свободной энергии газа, представляющего
собой смесь частиц разных сортов C.7), если учесть, что равновесному
составу смеси, претерпевающей химические превращения, частным слу-
случаем которых является диссоциация, должен соответствовать минимум
свободной энергии.
Рассмотрим свободную энергию F как функцию числа частиц 7Va2
и Nа при заданных температуре, объеме и исходном числе молекул №А2:
ivA2
Составим вариацию 6F:
Вариации &NA2 и &NA связаны между собой условием сохранения числа
атомов
Na* + ^ = N°m = const; bNM=-±8NA.
Приравнивая 5F нулю (минимум свободной энергии) при условии
сохранения числа атомов, получим
А	А	С\ 99\
Поскольку статистические суммы ZA и ZAa пропорциональны объему V,
который входит в поступательные суммы, а в остальном зависят только
от температуры, вместо C.22) можно записать
v	C.23)
или, для парциальных давлений рг = щкТ:
P±	T = Kv(T).	C.24)
Выражения C.22) или C.23), C.24) представляют собой частный
случай так называемого закона действующих масс для химического
равновесия, а величина Кр (Т) называется константой равновесия для
реакции диссоциации. Она зависит только от температуры и молекуляр-
молекулярных (и атомных) постоянных. Подставляя в C.22) выражения для ста-
статистических сумм молекул А2 и атомов А и полагая для простоты, что
колебания в молекулах возбуждены плотностью, т. е. ZKon m kT/hv
(см. формулу C.15)), а в электронных статистических суммах участвуют
только члены, соответствующие основным состояниям молекулы и атома,
*) Величины в скобках представляют собой химические потенциалы молекул
и атомов, взятые с обратным знаком:
OF	dF

§ 3]	ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ	161
получим
л^ЕЛ-^	C.25)
Последние два множителя в C.25) появились от частного электронных
статистических сумм:
,2	- 0A-?qA2>
	e *i
так как разность нулевых энергий 2е0Д — 8од2, по определению, равна
энергии диссоциации U.
Переходя в C.25) от парциальных давлений к степени диссоциации,
	 А 2	А.%	 ™ А.
получим
з
2	U
1—а 4п°ч
C.26)
где nA2 = q/MA2 — число исходных молекул в 1 см3 газа.
При малых степенях диссоциации а < 1 (когда U 1кТ > 1), как видно
из формулы C.26), а ~ q~ 1>*е~~и/ыт^ т_ е# а резко возрастает с повыше-
повышением температуры и медленно увеличивается при разрежении газа. Быстрое
увеличение степени диссоциации при повышении температуры влечет
за собой и резкое возрастание теплоемкости. При высоких температурах,
когда диссоциация почти полная, aal, концентрация молекул 1 — a ~
~ Qeu/hT пропорциональна плотности и медленнее изменяется с темпе-
температурой, так как U 1кТ теперь не очень большое число.
Казалось бы, что при высоких температурах после окончания дис-
диссоциации теплоемкость газа (который превратился в одноатомный) должна
уменьшиться и стать равной -=- к на один атом или 3 к на одну исходную
Li
молекулу, т. е. даже меньше, чем до диссоциации ( -^ к на молекулу ) .
В действительности же этого обычно не происходит, так как вслед за
окончанием диссоциации при повышении температуры (а иногда даже
еще до окончания) начинается ионизация атомов (и молекул), которая
вносит свой, и притом значительный, вкладов теплоемкость.
Зависимость степени диссоциации от температуры и плотности газа,
а также влияние диссоциации на термодинамические функции иллюстри-
иллюстрируются табл. 3.1 и 3.2, составленными по таблицам [3], в которых при-
приведены соответствующие величины для воздуха G9% N2 + 21% О2)
в области диссоциации *). Реакция окисления азота N2 + О2 ~Zp. 2NO,
протекающая в воздухе (см. следующий параграф), не сильно влияет на
*) В таблице 3.2 данные [3] относятся только к температурам ниже 20 000° К.
Более высокие температуры рассчитаны в работе [4].
11 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

162
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. Ш
Таблица 3.1
Равновесный состав воздуха в области диссоциации и начала ионизации
Нормальная плотность qo = 1,29-1O~3 г/см?
Т, °К
2 000
4 000
6 000
8 000
10000
12 000
15 000
N2
0,788
0,749
0,744
0,571
0,222
0,050
0,006
N
0,0004
0,044
0,416
1,124
1,458
о2
0,205
0,100
0,006
0,007
о
0,015
0,134
0,356
0,393
0,407
0,411
NO
0,007
0,084
0,050
0,024
0,009
0,003
N+
0,0034
0,020
0,096
0+
0,0034
0,015
NO+
0,0015
0,001
Плотность q = 10~2
т, °к
2000
4 000
6000
8 000
10 000
12 000
15 000
0,788
0,777
0,592
0,068
0,004
0,
0,
1,
1,
1,
0,
N
004
394
440
528
380
858
О2
0,248
0,008
О
0,002
0,378
0,413
0,416
0,410
0,384
0,282
NO
0,007
0,024
0,005
0,001
0
0
0
0
N+
,004
,046
,202
,724
0
0
0
0
о+
,001
,008
,034
,136
NO+
0,0001
0,0002
Концентрации всех частиц ct здесь определены как отношение числа частиц
данного сорта к исходному числу молекул. При комнатной температуре cN =0,791,
сО2=0,209. Данные для аргона не приводим, так как его роль очень мала.
Таблица 3.2
Термодинамические функции воздуха
Нормальная плотность qo =
2 000
4 000
8 000
12 000
20 000
50 000
100 000
250 000
500 000
Эв
' молекула
0,515
1,52
5,38
12,7
24
95
276
922
1450
Р,атм
7,42
¦15,8
' 41,7
88
183
870
2690
10870
23150
= 1,29.Ю-3 г/'см?
Y
эв/молекула
1,335 0,604
1,240
1,180
1,160
1,175
1,215
1,225
1,275
1,370
1,21
2,42
3,92
6,04
15,1
30,2
75,4
151
т °к
2 000
4 000
8 000
12 000
20 000
50 000
100 000
250000
500 000
Плотность q=10~
с эв
' молекула
0,520
2,09
10,6
16,6
45,3
158
499
1080
3310
Р, A7YIM
0,074
0,177
0,575
0,994
2,8
11,6
37,3
125
412
У
1,330
1,195
1,125
1,140
1,145
1,170
1.175
1,270
1.290
Внутренние энергии даны в электронвольтах на исходную молекулу; для воз-
воздуха 1 эв/молекула~0,8 ккал/г. Эффективный показатель адиабаты у определен как
у = 1 + —7. В последнем столбце для сравнения приведена энергия е = т; кТ	 ,
\JC/	ci	МОЛвК у ЛA
которой обладал бы воздух в отсутствие процессов диссоциации и ионизации, но
при классических колебаниях молекул.

§ 4]	ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ	163
диссоциацию молекул N2 и О2 и термодинамические функции воздуха.
Последние в основном определяются диссоциацией N2, O2, так что эффекты
диссоциации и все зависимости видны из табл. 3.2. Для сравнения в таб-
таблице указаны значения энергии, соответствующие данным температу-
температурам, в предположении, что диссоциации нет (от плотности удельная энер-
энергия в этом случае не зависит). Поскольку ионизация начинается раньше,
чем заканчивается диссоциация азота, в таблице указаны и концентрации
ионов (об ионизации см. § 5). Следует заметить, что при точных расчетах
диссоциации и термодинамических функций пользуются не простыми
формулами типа C.26), а более точными, с учетом возбуждения высших
электронных состояний, ангармоничности колебаний и т. д.
При этом исходят из точных выражений C.22), вычисляя статисти-
статистические суммы на основе спектроскопических данных об атомах и
молекулах. Описание методики подобных расчетов можно найти в
работе [5].
§ 4. Химические реакции
Химический состав смеси газов в обычных условиях, т. е. при ком-
комнатной температуре, очень часто отличается от термодинамически равно-
равновесного. Это связано с тем, что для протекания химической реакции, если
даже при этом выделяется тепло и газ переходит в энергетически более
выгодное состояние, обычно требуется энергия активации Е. Скорость
химической реакции, пропорциональная больцмановскому фактору е~Е/кт,
при низких температурах и больших энергиях активации, когда Е/кТ > 1,
очень мала и реакция практически не идет. Таким образом, система
смесь газов находится в равновесии, но это не есть термодинамическое
равновесие. Такое равновесие может быть названо условным. Типичным
примером может служить смесь водорода и кислорода в составе Н2 + -2 О2,
которая в условиях термодинамического равновесия при низких темпе-
температурах должна была бы полностью превратиться в воду Н2О (тепловой
эффект реакций 57,1 ккал/моль). Однако при обычных температурах
и без воздействия внешних факторов эта необратимая реакция не идет
и смесь находится в состоянии условного равновесия.
При высоких температурах порядка нескольких тысяч градусов
(для некоторых реакций и при более низких) скорости химических пре-
превращений велики и в смеси газов устанавливается химическое равновесие.
Протекание обратимых реакций (т. е. таких реакций, которые могут
идти и в ту и в другую сторону в соответствии с условием химического
равновесия при данных температуре и плотности) влияет на химический
состав и термодинамические функции газов. Примером является воздух,
в котором при высоких температурах порядка нескольких тысяч граду-
градусов происходит окисление части азота по схеме:
| 4	NO.	C.27)
Реакция окисления азота требует большой энергии активации, так
что при температурах ниже ~ 1500° К она практически не идет (для
достижения равновесия необходимы очень большие времена), однако
при температурах <~ 3000° К и выше равновесие устанавливается очень
быстро (при нормальной плотности воздуха за 10-4 сек и меньше) и можно
И*

164	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
говорить о равновесном составе воздуха с учетом образования окиси
азота*).
Рассмотрим химическое равновесие и влияние его на термодинами-
термодинамические свойства смеси газов на примере реакции типа реакции окисления
азота, т. е. типа
C.28)
Предположим для простоты, что диссоциация молекул мала. Это
предположение оправдывается при не слишком высоких температурах;
например, в воздухе при Т ~ 2000—3000° К диссоциация молекул N2, O2
очень мала, а равновесная концентрация окиси азота заметна.
Пусть в одном грамме исходной смеси содержится №Аг и N%2 моле-
молекул А2 и В2; концентрации их — mnM = NAJN и /nB2 = jVb.2/iV, где
N = N\2 -\- Агв2 — полное число молекул в 1 г исходного газа. Пусть
при температуре Т и плотности газа q равновесные числа молекул в 1 г
равны NAv N-b2, NAb, а концентрации mt = N-JN равны mM, mD2, «гАВ.
Числа молекул и концентрации связаны между собою условиями сохра-
сохранения числа атомов:
NA -(---Л^дв — №А ЛГВ„ -j- -f- iVAB = Лгв >	C.29)
TtlАс} j—рг 771 Ав := 7ИА91 В? ~1—<Т ^АВ == W^Bo.	{o.o\JJ
Обозначим через еАз, ев.2, еАВ энергии одной молекулы, а через 2U' —
тепловой эффект реакции, т. е. энергию, которая выделяется при пре-
превращении двух молекул, А2 и В2, в две молекулы АВ (если реакция идет
с поглощением тепла U' ¦< 0).
Тогда, если по-прежнему принять за нуль энергию исходной смеси
А2 + В2 при Т = 0, получим, что удельная внутренняя энергия газа
равна
е = /VrmA2eA2 + Лгтв28в2 ~г Лгт ABsAB — NmAuU'.	C.31)
Полное число частиц в газе при рассматриваемой реакции не меняется,
так что на давление при тех же Т и q реакция не влияет **).
Числа частиц, участвующих в реакции, связаны между собой в усло-
условиях равновесия законом действующих масс, который можно вывести
из общего выражения для свободной энергии вполне аналогично тому,
как это было сделано в случае диссоциации молекул. Для этого ищем
минимум свободной энергии при постоянных 7\ q и числах исходных
молекул N\2, N%2, но переменных NA2, Nb2, NAb-
В результате получим
д? дг — 7 У
•/VA2yVB2 ZA2 ZB2
в полной аналогии с формулой C.22) для диссоциации.
*¦) Подробно о скоростях реакции окисления азота см. в гл. VI, § 8, а о кине-
кинетике реакции в ударной волне — гл. VIII, § 5.
**) Так же, как и при диссоциации, формула C.31) справедлива и в случае, если
химического равновесия нет и концентрации неравновесны.

§ 4] ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ	165
Выделяя объемы из поступательных статистических	сумм, получим
для чисел частиц в 1 см3 или парциальных давлений:
= Ap(i),	F.66)
где К'р (Т) — константа равновесия для реакции C.28). Подставляя выра-
выражения для статистических сумм, как и в случае диссоциации, получим
3
2 р v V	2	2СЛ
AJj	А2-Ь*2	ьоА.15	ЪТ %\	/О Q / \
7—7	г	'~	е )•	{6-6ч)
Например, для реакции окисления азота, с хорошей точностью:
2	р, 43000
где R = 2 кал/моль-град.
Здесь приближенно считается, что массы, частоты и моменты инерции
всех трех молекул одинаковы; V = — 21,4 ккал/моль, отношение ста-
статистических весов равно 16/3 (см. § 2).
Если газ.представляет собой смесь, в которой протекает целый ряд
реакций, то для каждой из реакций можно аналогичным путем вывести
: закон действующих масс, связывающий подобно формуле C.32) числа
частиц, участвующих в реакции, и их статистические суммы. Подстановка
выражений для статистических сумм дает константы равновесия. Числа
частиц, участвующих во многих реакциях, связаны между собою усло-
условиями сохранения числа атомов каждого сорта, подобных C.29).
Совокупность законов действующих масс для каждой из реакций
и условий сохранения числа атомов образует систему нелинейных алге-
/ браических уравнений, определяющих химический состав, т. е. числа
i разных частиц Nt в зависимости от температуры и плотности газа (или
/ давления) и исходного атомного состава смеси. Как было показано одним
| из авторов [6], эта система имеет единственное решение, т. е. равновес-
i ный химический состав смеси определяется однозначно. Составляя выра-
! жение типа C.31) для энергии, можно вычислить внутреннюю энергию
j смеси. На основе общей формулы для свободной энергии F (Т, V, Nt)
| и термодинамических формул C.9), C.10) также можно получить выра-
; жение для энергии и давления, а с помощью формулы C.8) — выраже-
\ ние для энтропии смеси.
._» Примером таких расчетов может служить вычисление состава и термо-
термодинамических функций воздуха с учетом диссоциации молекул N2, O2
и реакции окисления азота [3,5]. Другие реакции, приводящие к обра-
образованию NO2, O3 и т. д., практически не влияют на расчеты, так как кон-
концентрации этих компонент оказываются чрезвычайно малыми.
Химический состав и термодинамические функции воздуха иллю-
иллюстрируются табл. 3.1 и 3.2.
*) Множитель 4 возник от отношения факторов симметрии сгА2сВ2/а^в; аАВ = 1,
= о"р„=2; см. третью сноску на стр. 156. Как и при диссоциации, здесь положено
7 -Ш. 7 -

166	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. Ill
§ 5. Ионизация и электронное возбуждение
Так же как и диссоциация молекул, ионизация атомов (и молекул)
начинается при значениях кТ намного меньших, чем потенциал иониза-
ионизации I. Причина этого та же, что и в случае диссоциации: статистический
вес свободного состояния электрона очень велик.
Потенциалы первой ионизации большинства атомов и молекул
меняются от 7 до 15 эв {Ilk ~ 80 000 — 170 000° К) *). Исключение сос-
составляют главным образом атомы щелочных металлов с очень низкими
потенциалами ионизации. Ионизация начинается обычно при темпе-
температурах порядка нескольких или десятка тысяч градусов тем раньше,
чем ниже потенциал ионизации и чем разреженнее газ.
По мере повышения температуры степень ионизации возрастает
и когда температура становится порядка нескольких десятков тысяч
градусов, практически все атомы оказываются однократно ионизован-
Тшми. В водороде процесс ионизации на этом и заканчивается, при даль-
дальнейшем нагревании газ остается полностью ионизованным и состоящим
из протонов и электронов; каждая частица совершает только поступатель-
ное движение, и теплоемкость равна -к- к на частицу.
В газе из более тяжелых атомов после первой ионизации начинается
вторая, затем третья и т. д. Обычно следующая ионизация начинается
еще до полного окончания предыдущей, так что при температурах выше
нескольких десятков тысяч градусов в газе присутствуют ионы несколь-
нескольких зарядов, а если газ состоит из смеси нескольких элементов, то при-
присутствуют ионы нескольких зарядов каждого элемента.
Как и при диссоциации молекул, внутренняя энергия ионизованного
газа складывается из энергии теплового движения частиц (атомов, ионов,
электронов) и потенциальной энергии, равной затратам на отрыв элек-
электронов от атомов и ионов. Кроме того, в области ионизации некоторую
роль может играть энергия электронного возбуждения атомов и ионов.
Рассмотрим для простоты газ, состоящий из атомов одного элемента,
и предположим, как это чаще всего бывает, что все молекулы, если газ
не одноатомный, в области заметной ионизации полностью диссоцииро-
диссоциированы на атомы. Пусть 1г газа содержит N атомов. Обозначим через Im
потенциалы последовательных ионизации: i\ — энергия, необходимая
для отрыва первого электрона от нейтрального атома, /2 — энергия отрыва
электрона от однократно ионизованного атома и т. д. Для того чтобы
оторвать от атома m электронов, необходимо затратить энергию:
Qm = Il + Iu+...+Im(h = 0).	C.35)
Пусть при данных температуре Т и плотности q или удельном объеме V
в \г газа имеется No нейтральных атомов, Ni — однократно ионизован-
ионизованных и т. д. Для краткости будем называть ион с зарядом, равным тп,
m-ионом; число то-ионов в 1г обозначаем через Nm (нейтральные атомы
являются частным случаем m-ионов). Число свободных электронов обо-
обозначим через Ne. Полагая, что газ достаточно разреженный и электроны
подчиняются статистике Больцмана **), мы должны приписать каждой
частице газа тепловую энергию поступательного движения 3/2 кТ. Кроме
того, то-ион обладает энергией электронного возбуждения Wm.
*) Например, /0 = 13,6 эв, /^=14,6 эв, 102 = 12,1 эв, 1щ = 15,6 эв, /N0 =
= 9,3 эв.
**) Вырожденный электронный газ будет рассмотрен в § 12.

§ 5]	ИОНИЗАЦИЯ И ЭЛЕКТРОННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ	167
Если отсчитывать внутреннюю энергию от неионизованного состоя-
состояния газа при нуле температуры, то удельную внутреннюю энергию, при-
приходящуюся на один грамм, можно записать в виде*)
е = A JV A + ае) кТ + N 2 Qmam + N 2 W^o»,	C-36)
где cte—степень ионизации газа, т. е. число свободных электронов, при-
приходящихся на один исходный атом (ae = NJN); ant = 7VTO/iV—концент-
7VTO/iV—концентрации m-ионов. Концентрации ат связаны между собой условиями сохра-
сохранения числа атомов
C.37)
и сохранения числа зарядов
yZmNm = Ne,-?^1mam = ae.	C.38)
Давление ионизованного газа **) -
p = NQ(l + ae)kT.	C.39)
Равновесные концентрации ионов удовлетворяют уравнениям, ана-
аналогичным закону действующих масс для диссоциации. Это и понятно,
ибо процесс ионизации можно трактовать как химическую реакцию
«диссоциации» атома или иона; например, процесс отрыва m-f-l-ro
электрона от m-иона можно записать в символической форме:
Am^Am+i + e, m = 0, I, 2, ...	C.40)
«Закон действующих масс» для этой .реакции легко вывести из общего
выражения для свободной энергии так же, как,это делается для реакции
диссоциации. Запишем свободную энергию 1 г ионизованного газа
^^f,	C.41)
где Zm и Ze—статистические суммы m-иона и электрона.
В термодинамическом равновесии при постоянных Т и V свободная
энергия минимальна по отношению к числам частиц. Составляя вариацию
8F по отношению к изменению числа m-ионов за счет их ионизации по
схеме C.40), учитывая, что при этом $Nm=—8Nm+i= —8Ne, а числа
•всех остальных частиц не меняются, и приравнивая вариацию 8F нулю,
получим
Nm
Поступательные суммы обоих ионов сокращаются, так как массы ионов
практически не отличаются друг от друга. В электронной же части ста-
статистической суммы иона (атома) выделим множитель, соответствующий
нулевой энергии (основному состоянию):
0	Ер
=e kT a.
*) Если газ при низких температурах многоатомный, к 8 следует добавить
энергию диссоциации.
**) Заметим, что, как и при диссоциации, формулы C.36) для энергии и C.39)
для давления справедливы и в случае неравновесной ионизации, если под Т понимать
«поступательную» температуру частиц.

168	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
Обозначая разность энергий ей—е0, которая представляет собой
просто энергию возбуждения иона в к-ш состоянии, через и>^, запишем
преобразованную электронную сумму и в виде
u = Zie hT=goJrg^ ftr+#2e hT + ---,	C.43)
где g0, gt ...—статистические веса 0, 1, ...—энергетических уровней
иона; если последние не вырождены, g = \.
Что касается статистической суммы свободного электрона, то она
состоит из произведения поступательной суммы на статистический вес
свободного электрона, равный двум, в соответствии с двумя возможными
ориентациями спина. Замечая, что разность нулевых энергий яг-{-1-го
и тп-го ионов равна потенциалу ионизации m-иона еот+1 — еот = /т+1,
а также поделив выражение C.42) на объем (nt = NtIV), получим
3 _W
s hT =KmH(T)	C.44)
(те—масса электрона).
Эта формула известна под названием формулы Саха. Умножив ее на
кТ, можно получить соотношение для парциальных давлений pi = ntkT..
Для численных расчетов формулу Саха удобно переписать в виде урав-
уравнения, связывающего концентрации частиц at=Ni/N = ntV/N = nt/NQr
^^ = -^Zra+1G1), m = 0, 1, 2...	C.45)
Уравнения C.45), C^57), C.38) образуют замкнутую систему нелиней-
нелинейных алгебраических уравнений для определения концентраций ионов
и электронов в зависимости от температуры и плотности газа.
Обычно существует некоторый диапазон температур в районе 8000 —
30000° К, в котором существенна только первая ионизация, а вторая
еще не начинается (потенциал второй ионизации примерно вдвое больше
потенциала первой). В этом диапазоне уравнения упрощаются, так как
из всех уравнений C.45) остается только одно с пг = 0. Замечая, что-
в области первой ионизации a1 = ae = l-—a0 и опуская индексы у at
и потенциала ионизации, получим формулу для степени ионизации
a = at = ae:
T=tr = 2^w^—h?—) е '	{3-46>
которая весьма сходна с формулой для „степени диссоциации C.26).
При 7/А;21>1, а<1 степень ионизации а~ Q-y^-i/ihT ^ т е очень
быстро возрастает с повышением температуры и медленно растет при
уменьшении плотности газа. Для газа из атомов водорода формула C.46)
справедлива всегда.
Энергии возбужденных уровней атомов и ионов обычно довольно
велики и сравнимы с потенциалом ионизации. В ряде случаев имеются
низко лежащие уровни (и они, разумеется, должны быть учтены при рас-
расчете), но число их весьма ограничено. Более подробно о вычислении пре-
преобразованных электронных сумм и будет сказано в следующем параграфе.
Здесь же отметим, что, как правило, достаточно учесть только первые

§ 5]	ИОНИЗАЦИЯ И ЭЛЕКТРОННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ	169*
несколько членов в этих суммах, причем в большинстве случаев подавляю-
подавляющую роль играет первый член и сумма сводится просто к статистическому
весу основного состояния и да g0- Дм° в том, что в не слишком плотном
?азе электрон в атоме или ионе «предпочитает» оторваться, чем занять-
*высокии энергетический уровень. В области однократной ионизации
f ~10 000 — 20 000° К величина IJkT обычно порядка 5—10. Если
перейти к более высокой температуре, то It/kT станет малой величиной,
но одновременно и однократно ионизованные атомы исчезают, так как
начинается вторая ионизация, и для наиболее распространенных ионов-
величина Im+i/kT все равно будет порядка 5—10. Поскольку энергии
возбужденных уровней в атомах имеют такой же порядок, что и потен-
потенциал ионизации, то даже второй член в сумме и будет, скажем, порядка
е, т. е. весьма мал. Благодаря этому и оказывается, что в электронных
суммах и для наиболее распространенных ионов основную роль играет"
первый член g0.
При точных расчетах обычно принимают во внимание первые 5—
10 уровней в ионах и атомах, причем энергии и статистические веса их
берут из соответствующих таблиц [7]. Имеются также таблицы потен-
потенциалов последовательных ионизации различных атомов [8].
Внутреннюю энергию газа можно вычислить по формуле C.36),
которая следует и из общего выражения для свободной энергии C.41)
в соответствии с термодинамической формулой C.9). Энергия электрон-
электронного возбуждения W при этом равна (индекс заряда иона т опускаем):
"' —	1^А^~	~~&Г ¦	C-47)
Энтропия согласно C.8) получается путем дифференцирования свободной
энергии по температуре:	"""
2. C.48),
Если возбуждением можно пренебречь, второй член исчезает и ит = gom-
Наиболее просты расчеты в области первой ионизации, где степень
ионизации можно вычислять просто по формуле C.46). Начинающаяся
ионизация дает значительный вклад в теплоемкость и энергию газа и учет
ее совершенно необходим при вычислении термодинамических функций.
Широкий диапазон температур и плотностей, в котором атомы много-
многократно ионизованы, был охвачен в работе В. В. Селиванова и И. Я. Шля-
пинтоха [4]. Авторы рассчитали ионизационный состав *), термодина-
термодинамические функции и ударную адиабату воздуха при температурах от
20 000 до 500 000° К и плотностях of 10 q0 до 10~3 q0 (q0 — нормальная
*) Обобщение выписанных выше уравнений на случай, когда газ представляег
собой смесь элементов, не представляет труда.

170
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. III
плотность воздуха). Как меняется ионизационный состав и степень иони-
ионизации с изменением температуры, а также как влияет ионизация на термо-
термодинамические функции, можно видеть из таблиц 3.2 и 3.3 для воздуха,
основанных на расчетах В. В. Селиванова и И. Я. Шляпинтоха *).
Только что вышли из печати подробнейшие таблицы термодинами-
термодинамических функций воздуха, составленные Н. М. Кузнецовым в диапазоне
температур до 3.106° и плотностей от 30 до 10~6 q0 [35]. Там же приве-
приведены таблицы ионизационного состава.
Таблица 3.3
Состав ионизованного воздуха нормальной плотности
6о —1>29-10—3 г/см3 при высоких температурах*)
т, «к
20 000
50 000
100 000
.250 000
500 000
Атом
N
О
N
О
N
0
N
О
N
О
0
0,589
0,172
0,018
0,0065
1+
0,201
0,033
0,451
0,303
0,012
0,005
* 2+
0,321
0,048
0,275
0,09
3+
0,001
0,463
0,113
0,005
0,005
4+
0,04
0,005
0,183
0,020
0,017
5 +
0,603
0,114
0,75
0,010
6+
0,074
0,025
0,200
е
0,24
1,50
2,65
5,0
5,2
*) Концентрации определены как отношения чисел частиц данного сорта
к числу исходных атомов.
0—нейтральные атомы, 1+—однократно ионизованные и т. д.
е—электроны; N и 0—ионы азота и кислорода.
При очень высоких температурах **) (или очень низких плотностях)
энергия и давление теплового излучения могут оказаться сравнимыми
с энергией и давлением вещества. В условиях, когда излучение находится
в термодинамическом равновесии с веществом (выполняется ли это усло-
условие или нет, необходимо специально проверять в каждом конкретном
случае; см. гл. II), энергию и давление излучения следует просто доба-
добавить к энергии и давлению газа.
«Удельная» энергия равновесного излучения равна плотности энер-
энергии излучения, поделенной на плотность вещества:
U-о
ev = —«- —
Q
CQ
C.49)
*) В таблице 3.2 данные [4] относятся только к температурам 20 000е К и выше.
**) Для воздуха нормальной плотности — это температуры выше миллиона
градусов.

<S 6] СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА И РОЛЬ ЭНЕРГИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ АТОМОВ 171
.а давление излучения
Р^ = ~-	C.50)
Энтропию излучения можно найти с помощью общих термодинами-
термодинамических соотношений:
откуда
*,-!%..	C.51)
В работе [4] термодинамические функции воздуха рассчитывались
с учетом равновесного излучения.
§ 6. Электронная статистическая сумма и роль
энергии возбуждения атомов
Изолированный атом (ион, молекула), находящийся в бесконечном
пространстве, обладает бесконечным числом энергетических уровней,
которые сходятся к континууму, соответствующему состояниям с отор-
оторванным электроном (ионизованным состояниям). Формально электронная
статистическая сумма и содержит бесконечное число слагаемых и рас-
расходится. Средняя энергия возбуждения атомов W, вычисленная по фор-
формуле C.47) с бесконечным числом членов, равна потенциалу ионизации,
так как энергии возбуждения высших состояний асимптотически прибли-
приближаются к потенциалу ионизации.
Эта трудность, возникающая при чисто формальном вычислении и
и W, имеет лишь кажущийся характер. На самом деле атом никогда
не является изолированным, а находится в газе конечной плотности.
Размеры электронной орбиты быстро возрастают при переходе к все
более высоким возбужденным состояниям электрона в атоме и в конце
концов становятся сравнимыми со средним расстоянием между части-
частицами газа, которое равно примерно г ж N^ (здесь через N мы обо-
обозначили число частиц в 1 смг). Траектории электронов, движущихся
по таким большим орбитам, искажаются благодаря наличию соседних
частиц, и электрон, который удален от атомного остатка на расстояние,
сравнимое со средним расстоянием между частицами газа, по существу,
не отличается от свободного, а столь высоко возбужденный атом не отли-
отличается от ионизованного. Таким образом, конечность плотности газа
налагает ограничение на число возможных возбужденных состояний
атома и число слагаемых в электронной статистической сумме, а также
ограничивает среднюю энергию возбуждения атома.
"" Рассмотрим газ, состоящий из атомов водорода. Результаты рассмо-
рассмотрения водородных атомов имеют большую общность, так как высоко-
высоковозбужденные состояния любых сложных атомных систем весьма сходны
с возбужденными состояниями атома водорода. Если электрон в сложном
атоме (ионе, молекуле) движется по очень большой орбите, то поле, в кото-
котором он находится, весьма близко к кулоновскому полю точечного заряда
(атомного остатка) и потому структура высоковозбужденных состояний
любых атомов и ионов близка к водородной. Чтобы можно было распро-
распространить результаты рассмотрения и на многозарядные ионы, будем
во все формулы вводить заряд «ядра», т. е. рассматривать не водород

172	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. ИГ
в буквальном смысле, а водородоподобные атомы, представляющие собой
систему из положительного «ядра» с зарядом Z и электрона.
Уровни энергии водородоподобного атома характеризуются глав-
главным квантовым числом п (схему уровней см. на рис. 2.2 в § 2 гл. II).
Энергия п-то уровня, отсчитанная от границы непрерывного спектра,
равна, как известно, еп = — I-^Z^In2, где /н = 13,5 эв — потенциал
ионизации водорода. Абсолютная величина ее Еп = | гп | = I^Z2/n2
представляет собой энергию связи электрона, находящегося на ге-м уров-
уровне. Энергия связи основного состояния п = 1 *) равна потенциалу иони-
ионизации: Ех = InZ2 = /. Энергия возбуждения п-то состояния равна wn =
еп — 84 = Et — Еп = Ih.Z2 (i	g ) • Преобразованная электронная
статистическая сумма водородоподобного атома имеет вид
и =
, 1 ,
где Sn = 2п2 — статистический вес п-то уровня.
Энергия связи электрона на п-ш уровне равна его кулоновской энер-
энергии в поле ядра на расстоянии порядка размеров орбиты, а именно,
Еп = Ze2l2a, где а >— большая полуось эллиптической орбиты; а =
= Ze2/2En = e2n2/2ZIH = aQn2/Z (a0 = 0,53-10~8 см — боровский радиус)..
Статистическую сумму и во всяком случае следует оборвать на том зна-
значении и*, при котором полуось орбиты становится сравнимой со сред-
средним расстоянием между частицами газа, т. е. при а = a0n*2/Z = г,
п* = (Zr/ao)Va ~ N'1^ (n* тем меньше, чем плотнее газ). В качестве
численного примера рассмотрим молекулярный водород, который при
комнатной температуре находился под атмосферным давлением и затем
был нагрет сильной ударной волной до температуры порядка десятка.
тысяч градусов. Сжатие в ударной волне равно примерно 10, так что
в условиях полной диссоциации молекул число атомов в 1 смъ будет
N « 5-1020/си3. Среднее расстояние между атомами г « 7V-V3 = 1,3 X
X 10~7 см и предельное значение п* = 5 (Z — 1). При температуре Т =
= 11 600° К = 1 эв статистическая сумма, содержащая пять членов,.
равна и = 2,00053, т. е. практически не отличается от статистического
веса основного состояния g4 = 2. Средняя энергия возбуждения атома,
вычисленная по формуле C.47) с учетом пяти членов в сумме, равна
W = 0,003 эв. При указанных значениях N и Т степень ионизации водо-
водорода составляет а = 3-Ю, т. е. энергия ионизации, приходящаяся
на атом, 1^а = 0,04 эв. Энергия возбуждения W мала по сравнению с энер-
энергией ионизации (W/1-ца = 0,075). При более высокой температуре Т —
= 23 200° К = 2 эв и той же плотности и — 2,212 (тоже не намного
больше gi = 2), W = 1,16 эв. Степень ионизации теперь а = 0,22; энергия
ионизации из расчета на один исходный атом равна 1^а = 3 эв, а энергия
возбуждения, также приходящаяся на один исходный атом, W A — а) —
= 0,9 эв.
В этом случае энергия возбуждения играет заметную роль, но все
же она меньше энергии ионизации. Следует заметить, что срезание верх-
верхних возбужденных уровней в газе конечной плотности одновременно
понижает и потенциал ионизации как раз на величину энергии связи
*) В отличие от предыдущего, здесь мы приписываем основному состоянию
индекс «1», а не «0», в соответствии с равенством единице главного квантового числа п.

¦5 6] СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА И РОЛЬ ЭНЕРГИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ АТОМОВ 173
электрона на границе срезания, т. е. на величину А/ = Еп* = Ze2/2r =
= ZIHa0/r = Z I-IO-W-V* эв (N в Нем3).
В нашем примере это уменьшение равно А/ = 0,55 эв, так что вычи-
вычисленные степени ионизации несколько занижены.
При очень высоких температурах, ~50 000° К и выше, энергия воз-
возбуждения оставшихся атомов водорода становится большой, сравнимой
с потенциалом ионизации, но зато и степень ионизации при этом сильно
возрастает и само число нейтральных атомов становится малым, так что
вклад энергии возбуждения в энергию газа все равно меньше, чем вклад
¦энергии ионизации. Это и соответствует тому положению, что электрону
чшыгоднее» совсем оторваться от атома, чем занять высокий возбужден-
возбужденный уровень *).
Приведенная ранее оценка числа членов в электронной сумме скорее
всего завышает фактическое число уровней. На срезание высших возбу-
возбужденных уровней в атомах и ионах существенное влияние оказывает
и непосредственное воздействие электростатического поля ближайшей
-соседней заряженной частицы — штарк-эффект.
Кроме того, в достаточно разреженном газе энергия связи электрона,
.движущегося по предельной орбите с размером а ~ г, Еп* — А/ =
= 7-10~7 ДГ-Vs эв оказывается меньше, чем кТ (в нашем примере А/ =
= 0,55 эв, а температуры были 1 и 2 эв). Кинетическая энергия электрона
в водородоподобном атоме равна его энергии связи на данном уровне.
Вряд ли имеет особый смысл считать связанным электрон, энергия связи
и кинетическая энергия которого меньше кТ. Практически каждое «соуда-
«соударение» со свободным электроном будет выбивать столь слабо связанный
электрон из атома. Некоторые авторы поэтому обрывают электронные
суммы еще сильнее, на том уровне, где энергия связи электрона равна кТ.
Вопросам, связанным со снижением потенциалов ионизации в иони-
ионизованном газе и задачей вычисления электронных статистических сумм,
посвящен целый ряд работ [9—13, 34]. Надо сказать, что здесь не суще-
существует единого мнения и разные авторы предлагают различные рецепты
для обрывания электронных сумм. К счастью, расчеты показывают,
что вариация в числе членов, учитываемых в электронных суммах, как
правило, мало сказывается на термодинамических функциях газов.
Но снижение потенциалов ионизации вследствие срезания верхних уров-
уровней иногда заметно влияет на ионизационный состав газа (см. работу [14]).
В заключение этого параграфа отметим, что явление срезания верх-
верхних возбужденных уровней в атомах, ионах, молекулах имеет экспери-
экспериментальное подтверждение. В спектрах дуговых разрядов низкого давле-
*) Это положение можно пояснить путем следующего полукачественного рас-
рассуждения, особенно наглядного в предельном случае газа очень низкой плотности.
Отношение вероятности свободного и связанного состояний электрона пропорциональ-
пропорционально отношению поступательной и электронной статистических сумм (Zn0CT ~ V ~~ 1/q).
Электронную сумму в пределе малых плотностей, когда в ней участвует очень большое
'число членов, грубо можно представить так:
вп	^Н	п*
Но п*~ г1'*, так что 2ЭЛ ~ V^-q-1'*. Отсюда ZnQCT/Zas ~ F1/a ~ о.-1/2. Таким
образом, при уменьшении плотности в пределе малых плотностей, несмотря на возра-
возрастание числа возможных связанных состояний, вероятность отрыва электрона от атома
все равно растет быстрее.

174	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. lib
ния обычно не наблюдается больше 5—10 спектральных линий водородной
серии Бальмера, связанной с переходами электрона с верхнего возбу-
возбужденного уровня на уровень п = 2. Даже в спектрах газовых туманностей,
плотность которых исключительно низка (порядка десятков частиц,
в 1 см3), не наблюдается больше 50—60 бальмеровских линий.
§ 7. Приближенный метод расчета в области
многократной ионизации
расчеты ионизационного равновесия, являющиеся основой для нахо-
ждения~"тёрмодинамических функций газа при высоких температурах,.
требуют весьма большой и трудоемкой вычислительной работы. Для
каждой пары значений^ температуры и плотности приходится решать
нелинейную систему алгебраических уравне-
ний дая определения концентраций ионов раз-
ных~зарядовГ которая еще более усложняется,
если газ содержит атомы нескольких элемен-
элементов^ Л о .существу, в широком диапазоне тем-
температур и плотностей таблицы составлены толь-
5?J55?. ,5.°MXxa^ Конечно, при современном
уровне машинной техники проблема больших
численных расчетов в значительной степени
утрачивает свою остроту, но все же для прак-
практических целей полезно иметь простой прибли-
приближенный метод, который позволил бы быстро
О f 2 3 4' 5 т ис минимальными затратами труда вычислять.
степени ионизации и термодинамические функ-
Рис. 3.1. Переход к непре- ции любог- газа в широкий диапазоне темпе-
рывной кривой 1{т). ратур и плотностей в области высоких темпе-
температур, когда атомы многократно ионизованы.
В этом параграфе будет описан такой способ, предложенный одним из;
авторов [15], который при своей крайней простоте обладает точностью,
вполне достаточной для решения большинства практических задач.
Рассмотрим газ, состоящий из атомов одного элемента.
В основу приближенного метода положены два основных допущения.
Будем, во-первых, рассматривать числа ионов в 1 см3 пт и потенциалы
ионизации Iтлл как непрерывные функции заряда иона т, соединив дис-
дискретные значения пт и /m+i непрерывными кривыми. Функция / (т)
строится путем соединения точек Im на диаграмме /, пг (рис. 3.1) непре-
непрерывной кривой, скажем, путем соединения соседних точек прямыми
отрезками. Систему рекуррентных формул Саха C.44) при этом можно-
превратить в дифференциальное уравнение относительно функции п (тп),
введя вместо конечных разностей дифференцирование:
Отношение электронных статистических сумм ионов um+1/um обычно-
весьма нерегулярным образом меняется при переходах от одного заря-
заряда пг к другому для данного элемента или при переходе к другим эле-
элементам; однако это отношение всегда порядка единицы. Положим его-
приближенно равным единице. После этого систему формул Саха можно-

§ 7] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДЛЯ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ 175>
записать в виде дифференциального уравнения:
3 Цтп+1)
hT ,	(:
см'3 ¦ град-3/* = 6-1021 см'3 ¦ эв~3^.
Одновременно условия сохранения числа частиц и числа зарядов
C.37), C.38) перепишем в интегральной форме:
\ п (m) dm = n,	C.53)
\ тп (т) dm = пе.	C.54)
Рассмотрение результатов точных расчетов, так же как и рассмо-
рассмотрение системы уравнений Саха, проведенное ниже, показывает, что-
в газе всегда присутствуют в значительном количестве ионы двух, макси- >
мум трех зарядов. Следовательно, функция распределения п (т) имеет-,
вид весьма узкого и острого пика около некоторого значения mmax, кото-
которое, конечно, зависит от температуры и плотности газа.
Отсюда вытекает второе допущение. Доложим приближенно, чтси
среднее значение заряда ионов, которое совпадает со средним числом.,
свободных электронов, приходящихся на один исходный атом
[mn(m)dm Пд
J п (т) dm	n
в точности равно тому.значению 7?гщах, при котором функция_р_аспреде-
ления ионов п (т) проходит через максимум. Очевидно, что допущение
тем более справедливо, чем острее и уже пик распределения п (т).
Обозначая через / потенциал ионизации ионов со «средним» заря-
зарядом т и замечая, что в точке максимума пика производная dnldm = О,
получим из C.52) с помощью C.55) следующее выражение, связываю-
связывающее т и /:
т^^—е кТ .	C.56)
Для того чтобы превратить это выражение в уравнение для нахожде-
нахождения среднего заряда (или степени ионизации) в зависимости от темпе-
температуры Т и плотности (числа п исходных атомов в 1 см3), необходимо
определить связь между /им. Здесь имеется некоторый произвол, свя-
связанный с чисто символическим в точной теории вопросом о приписывании
индексов потенциалам ионизации.
Если обозначать потенциал ионизации пг-иона через /m+j (потен-
(потенциал ионизации нейтрального атома /j), то формально следовало бы
положить / = / (т +; 1). Иногда потенциал ионизации /п-иона обозна-
обозначают через 1т (потенциал ионизации нейтрального атома /0). В этом слу-
случае в формуле Саха C.44) вместо /m+i надо писать Im и формально при-
пришлось бы положить 1 = 1 (т).
Конечно, если рассматривать тяжелые элементы и очень высокие
температуры, когда степень ионизации настолько высока, что т имеет

176	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ : СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
"порядок нескольких десятков, такой произвол численно не приводит
и существенной вариации в числе т (так как при этом /т+1 — Im < /т)-
Однако в области небольшой ионизации, когда средний заряд ионов
порядка нескольких единиц, такой произвол заметным образом сказы-
сказывается на результатах вычислений т и термодинамических функций,
что связано с приближенным характером замены дискретных величин
непрерывными функциями.
Сопоставление результатов приближенных и точных расчетов пока-
показывает, что наилучшее согласие получается, если, как и раньше, обо-
обозначать потенциал ионизации пг-иона через Im+i = I (т + 1), полагая
/0 = / @) = 0, но относить «среднее» значение потенциала / к точке
т + -„•¦, т. е. считать I = I (т -{- -к- ) . Это представляется довольно есте-
естественным, если учесть, что в действительности ряд дискретных значе-
значений т разделен конечными интервалами Am = 1.
Логарифмируя C.56), получим простое трансцендентное уравнение
для определения т (Т, п):
з
^-.	C.57)
тп
Благодаря логарифмической зависимости правой части от тп доста-
достаточно сделать два-три последовательных приближения, чтобы весьма
точно найти корень m с помощью графика функции / (пг).
Убедимся в том, что распределение ионов по зарядам всегда имеет
характер узкого пика, и найдем закон спадания краев пика функции
распределения п (тп).
Комбинируя последовательно выписанные формулы Саха для разных
лг = 0, 1, 2, . . ., положив в них предварительно отношение электрон-
электронных статистических сумм равным единице и воспользовавшись опреде-
определением «среднего» потенциала C.56), получим:
i	_
-^— - exp L - 2j —кТ—~ J '
t=i
I
nm-l „ „„„ Г XI I —Im-t "I
i=0
где I = 1, 2, 3. . .
Выберем m равным тому значению, при котором nm максимально.
/ примерно соответствует потенциалу ионизации таких ионов, так что
все слагаемые в суммах положительны и концентрации ионов спадают
по обе стороны от максимума. Чтобы оценить закон спадания и ширину
пика, перейдем в этих формулах к непрерывным функциям п (тп), I (тп).
Разлагая приближенно
/(т) «/ + (-?-) (m-m),
получим гауссову кривую распределения
^J]	C.53)

§ 7] ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДЛЯ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ 177
с полушириной пика
д = ]/_=^=-.	C.59)
' (dl/dm)
Если учесть, что в среднем для разных элементов и разных иони-
ионизации потенциалы ионизации растут с зарядом иона быстрее, чем сам
заряд, т. е. что dl/dm>I/то, найдем, что
_, х^ш.	C.60)
Подставляя в эту формулу численные значения х, и то, найденные,
например, с помощью табл. 3.3 для воздуха, увидим, что А<1, т. е.
что пик, действительно, узкий*).
Приближенные формулы для термодинамических функций полу-
получаются из точных, если в соответствии со сделанными выше приближе-
приближениями считать, что распределение ионов /г (то) представляет собой очень
узкий пик — почти б-функцию около значения то, т. е. считать, что все
ионы в газе обладают одним нецелочисленным «средним» зарядом т.
Удельная внутренняя энергия C.36) при этом принимает вид
е = I- N A + то) кТ + NQ (m)	C.61)
(энергией электронного возбуждения пренебрегаем). Здесь непрерывная
функция Q (то) аналогично / (то) строится графически путем соединения
непрерывной кривой дискретных значений Qm, определенных фор-
формулой C.35). Заметим, что наилучшее совпадение с точными расчетами
получается, если в формуле C.61) положить Q = Q(m), в отличие
от / = / ( m-fy ) • Давление равно
р = пA+1п)кТ.	C.62)
Удельная энтропия C.48) (если пренебречь электронным возбуждением
и положить статистический вес всех ионов одинаковым и равным g)
получается равной
з к	з -
о ,г, , /2пМкТ Л2 e2g , ДГ7—, f2nmekT\2 ezg	,o no\
S=:NIcln( —т^— ) ——~{-Nkm\n( —т%— ) —1^.	C.63)
V я2 У п	V h2 У п-т
Полагая S = const и воспользовавшись формулой C.57), получим урав-
уравнение адиабаты в параметрической форме:
ехР1щ[^^ =const-	C-64)
Параметром служит то; const в правой части определяется значениями
То, и0, через которые проходит адиабата.
Изложенный выше метод вычисления степени ионизации и термо-
термодинамических функций легко обобщается на случай смеси газов.
*) Тот факт, что пик распределения пт узкий, порядка самой «конечной» разно-
разности Аго = 1, вообще говоря, лишает смысла переход к дифференцированию по т.
Однако фактически метод оказался лучше его обоснования.
12 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

178
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
[ГЛ. II)
Например, в смеси двух элементов средние заряды ионов каждого из
элементов wzt, пг2 находятся из системы двух трансцендентных уравнений,
з
1 ЛГ> 1	-/1/
i
1 \	г
Y )=/2
п (cirrii + с2т2)
C.65)
где си с2—^атомные концентрации . обоих элементов, /t, /2 — кривые
их потенциалов ионизации, а п — лолное число исходных атомов.в 1 см3.
Удельная внутренняя энергия равна
е =-у N A
+ с2т2) кТ + Nc
%) + Nc2Q2 (m)
C.66)
и т. д. Во многих случаях, однако, не имеет большого смысла усложнять
таким образом расчеты. Если потенциалы последовательных ионизации
атомов разных элементов не сильно отличаются друг от друга, целесо-
целесообразно ввести «среднюю» кривую потенциалов / (тга), рассматривая все
атомы как одинаковые и усреднив значения последовательных потен-
потенциалов по всем элементам в соответствии с их процентным содержанием
в смеси.
Таблица 3.4
Сравнение приближенных расчетов степени ионизации и внутренней
энергии воздуха с точными *)
т, °к
30 000
50 000
100 000
1 +W
' атом
Ро= 1,29-10-3 г/смЗ
р= 10-2 Ро
1,68
1,77
2,4
2,42
3,72
3,75
16,6
23
40,5
47,8
126
140
2,30
2,21
3,35
3,26
5,10
5,16
33
33
83
80
243
252
*) Верхние цифры в каждой клетке получены приближенным ие-
тодом [15], нижние взяты из работы В. В. Селиванова и И. Я. Шля-
пинтоха [4].
В табл. 3.4 сопоставлены результаты приближенных расчетов степени
ионизации и внутренней энергии воздуха с точными данными В. В. Сели-
Селиванова и И. Я. Шляпинтоха [4]. Видно, что даже при малых степенях
ионизации, где ошибка должна быть особенно велика, приближенный
метод дает неплохую точность. При высоких же степенях ионизации
ошибка не превышает нескольких процентов.
Метод верно передает нерегулярности изменения m и е с темпера-
температурой и плотностью, соответствующие резким скачкам в потенциалах
ионизации, которые возникают при переходах от ионов с заполненными
электронными оболочками к ионам с незаполненными. Расчеты показали,

§ 8]	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ И ПОКАЗАТЕЛЬ АДИАБАТЫ	179
что метод дает хорошую точность и для ксенона. Поскольку кривые потен-
потенциалов ионизации у всех элементов похожи друг на друга, можно надеять-
надеяться на то, что приближенный метод обеспечит достаточную точность и в слу-
случае любого другого газа.
§ 8. Интерполяционные формулы и эффективный показатель адиабаты
Непосредственным результатом расчетов термодинамических функ-
функций являются таблицы, составленные в виде сетки по температуре и плот-
плотности (или температуре и давлению). Использование таблиц при решении
газодинамических задач связано с большими неудобствами. Гораздо при-
приятнее иметь дело с простыми интерполяционными формулами, более или
менее точно аппроксимирующими табличные данные. Исключительный
интерес представляет такая аппроксимация действительных функций,
при которой показатель адиабаты, определяющий ход гидродинамиче-
гидродинамического процесса, приближенно оказывается постоянным. Введение пос-
постоянного эффективного показателя адиабаты позволяет воспользоваться
автомодельными и точными решениями уравнений газодинамики, кото-
которые, как правило, удается получить только для газа с постоянной тепло-
теплоемкостью.
Адиабатические связи между двумя какими-либо термодинамиче-
термодинамическими параметрами, например, Т и q или р и q при учете неполного воз-
возбуждения колебаний, диссоциации, ионизации уже не описываются урав-
уравнениями типа адиабаты Пуассона. Можно формально определить в каждой
точке показатель у таким образом, чтобы в окрестности этой точки истин-
истинная адиабата приближенно совпадала с уравнением адиабаты Пуассона.
Для этого следует, очевидно, положить:
/ д In Т \	, .	Г д\пр \
( -7Г-.	 = V — 1 ИЛИ (	. и ¦ ) = V .
\ д In Q Js '	\ d\nq Js '
Однако при этом показатели, соответствующие различным парам
термодинамических параметров, отличаются друг от друга. Поэтому при
введении эффективного показателя адиабаты у в интересующем диапа-
диапазоне Т и q или р и q необходимо определить его так, чтобы он наилучшим
образом отвечал природе газодинамического процесса.
Третье уравнение газодинамики в общем случае представляет собой
уравнение сохранения энергии, и для того, чтобы замкнуть систему урав-
уравнений в гидродинамике идеальной жидкости *), достаточно ввести связь
удельной внутренней энергии с давлением и плотностью е (р, q). Обычна
эта связь описывается формулой
е =
Y—1 Q
Поэтому для определения эффективного показателя адиабаты в инте-
интересующем диапазоне р и q следует составить таблицу для комбинации
?-!=¦?	C-67)
и выбрать некоторое постоянное значение у — 1, наилучшим образом
аппроксимирующее фактически не одинаковые значения указанной
*) В гидродинамике идеальной жидкости не учитываются вязкость й тепло-
теплопроводность
12*

180	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
комбинации. В результате уравнение адиабаты de + p dV = 0 (V = 1/q)
примет вид адиабаты Пуассона р ~ qv, e ~ qy—1 с эффективным постоян-
постоянным значением у.
Удельную внутреннюю энергию в зависимости от температуры и плот-
плотности удобнее всего аппроксимировать формулой степенного типа
е = aTaVp	C.68)
с постоянными, а, аи р.
В области возбуждения колебаний теплоемкость не зависит от плот-
плотности и р = 0. В области диссоциации и ионизации теплоемкость всегда
растет при уменьшении плотности газа, так как при этом увеличивается
степень диссоциации или ионизации и возрастают соответствующие зат-
затраты энергии. Поэтому показатель f> всегда положителен. Показатель а
обычно больше 1, так как теплоемкость растет с повышением темпера-
температуры как в области неполного возбуждения колебаний, так и в областях
диссоциации и ионизации.
При аппроксимации функции s (T, V) формулой C.68) с постоян-
постоянными показателями ос и Р и аппроксимации функции р (е, q) или р (е, V)
уравнением C.67) с постоянным показателем у три константы а, р и у
нельзя выбирать независимым образом.
Функции р (е, V) и е (Т, V) должны удовлетворять общему термо-
термодинамическому соотношению:
Легко проверить путем непосредственной подстановки, что три пока-
показателя а, р, y связаны между собой условием
Y-l=a4l>	C-69)
справедливым, конечно, только в том случае, если они считаются постоян-
постоянными. При описанной интерполяции, что легко проверить с помощью
уравнения адиабаты de + p dV = 0, адиабатические связи Т и q и е и q
также характеризуются единым показателем адиабаты у, как и в случае
адиабаты Пуассона:
Это получается несмотря на зависимость теплоемкости от температуры
и объема.
Для иллюстрации численных значений показателя адиабаты в табл. 3.2
представлена комбинация 1 + p/qe = у в области многократной иони-
ионизации воздуха. Мы видим, что показатель у уменьшается с уменьшением
плотности.
В диапазонах температур 10 000—250 000° К и плотностей 10q0 —
— 10~3 q0 (q0 — нормальная плотность) внутреннюю энергию воздуха
в грубом приближении можно описать интерполяционной формулой C.68)
со следующими значениями констант:
01а эв/молекула.	C.70)
По формуле C.69) эффективный показатель адиабаты равен[^= 1,24. j
?-/ Существенно, что показатель у, определяемый формулой E1OO
изменяется гораздо меньше, чем показатели а и р в формуле C;68). Это

§ 9]	УДАРНАЯ АДИАБАТА ПРИ ДИССОЦИАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ	181
положение крайне благоприятно, так как для расчета адиабатических
процессов связь е (Т, V) фактически не нужна, достаточно связи 8 (р, V)
или р (е, V), которая дается уравнением C.67).
Следует отметить, что эффективный показатель адиабаты и пока-
показатели степени а и fi в интерполяционной формуле C.68) довольно слабо
меняются при переходе от одного газа к другому, если пытаться аппро-
аппроксимировать широкий диапазон температур и плотностей. Это и понятно,
так как кривые потенциалов ионизации в общем всегда похожи друг на
друга, различаясь в деталях, влияющих на ход энергии и давление
в небольших областях изменения температуры и плотности газа.
§ 9. Ударная адиабата в условиях диссоциации и ионизации
Параметры фронта ударной волны в газе с постоянной теплоемкостью
были вычислены в гл. I. В случае сильной волны, когда давление за фрон-
фронтом много больше начального pi > ро, сжатие во фронте стремится к пре-
предельному значению h = (у + 1)/(y — 1)- Так, в одноатомном газе (инерт-
(инертные газы, пары металлов) cv = -~Nk, у = -^ ж h = 4, в двухатомном
5	7
газе с невозбужденными колебаниями cv = -^NkT, v = -=- и A = 6 *).
Уже из формулы для h в случае газа с постоянной теплоемкостью видно,
что сжатие во фронте тем больше, чем больше теплоемкость и чем ближе
к единице показатель адиабаты. Тенденция к увеличению сжатия при воз-
возрастании теплоемкости сохраняется и в общем случае, когда теплоемкость
зависит от температуры и плотности. Если двухатомный газ настолько
плотный, что колебания возбуждаются еще до начала диссоциации) то при
переходе к более сильным ударным волнам теплоемкость за фронтом воз-
возрастает, стремясь к значению cv = -j NkT, показатель адиабаты стре-
9	.	/ о
мится к у = у и сжатие за фронтом увеличивается до п = 8.
Диссоциация и ионизация приводят к дальнейшему увеличению
сжатия. Важно отметить, что на величине сжатия сказывается только
та часть теплоемкости, которая связана с потенциальной и внутренней
энергией частиц: энергией диссоциации и ионизации, вращательной
и колебательной энергией молекул, энергией электронного возбуждения
атомов и ионов. Возрастание удельной теплоемкости за счет увеличения
числа частиц в газе не влияет на сжатие, так как одновременно с возра-
возрастанием энергии поступательного движения частиц растет и давление
газа. Непосредственно изменение числа частиц не отражается на пока-
показателе адиабаты у, которым определяется сжатие. В этом легко убедиться»
если представить внутреннюю энергию в виде суммы е = еПОСт + Qr
где в Q включена потенциальная энергия и энергия внутренних степеней
свободы частиц. Замечая, что давление р = -„ q епост, подставим эти
О
выражения в формулу для ударной адиабаты A.71). Пренебрегая началь-
начальными энергией и давлением, т. е. считая ударную волну сильной, получим
*) Практически предельное сжатие, равное 6, достигается в двухатомном газе
с невозбужденными колебаниями только при очень низких начальных температу-
температурах То. В противном случае при тех температурах за фронтом, при которых колебания
еще не возбуждаются, отношение давлений р^/р0 недостаточно велико для того, чтобы>
ударная волна была «сильной».	^

182	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. XII
после элементарного вычисления, что величина предельного сжатия равна
А = 4 + -^-*).	C.71)
fcn0CT
Эта величина отличается от 4, величины, соответствующей одноатом-
одноатомному газу, тем больше, чем больше относительная роль потенциальной
и внутренней энергии.
В области диссоциации и ионизации потенциальная энергия обычно
оказывается больше поступательной энергии частиц и сжатие во фронте
велико, порядка 10—12; особенно велико сжатие при малой начальной
плотности, когда степени диссоциации и ионизации очень высоки при
данной температуре **).
Сжатие в области ионизации у тяжелых газов не остается постоянным
при увеличении амплитуды волны. Относительный вклад потенциальной
энергии после прохождения максимума сжатия в период диссоциации или
первой ионизации постепенно падает, так как поступательная энергия
растет быстрее, чем потенциальная вследствие увеличения числа частиц.
Постепенно падает при этом и сжатие. Так происходит до тех пор, пока
не оторвутся все электроны с какой-либо оболочки атомов. Между потен-
потенциалами ионизации последнего из электронов этой оболочки и первого
из электронов следующей, замкнутой оболочки всегда имеется большой
разрыв. Особенно велик этот разрыв между L- и .ЙГ-оболочками. Так,
например, в азоте это 97 эв и 550 эв, в кислороде 137 эв и 735 эв. Поэтому
в воздухе существует довольно широкий интервал амплитуд волн, при-
примерно в диапазоне температур от 500 000 до 700 000° К, когда все элек-
электроны в атомах кислорода и азота, заполнявшие L-оболочки, уже отор-
оторваны, а ионизация с .ЙГ-оболочек еще не началась: в газе присутствуют
только гелиеподобные ионы. Когда при дальнейшем повышении ампли-
амплитуды волны начинается отрыв /^-электронов, затраты энергии на иониза-
ионизацию снова резко возрастают, относительный вклад потенциальной энер-
энергии, так же как и в начале первой ионизации, повышается, и сжатие про-
проходит через второй, явно выраженный максимум.
Давление за фронтом сильной ударной волны, как следует из урав-
уравнений сохранения импульса и массы A.61), A.62), мало чувствительно
к величине сжатия, особенно при больших сжатиях, и приближенно
пропорционально квадрату скорости распространения волны D:
-¦?*)	C.72)
(например, при h ~ 10 с точностью до ^10%).
С еще большей точностью, порядка 1%, пропорциональна квадрату
скорости удельная энтальпия за фронтом:
Ш1— 2
1это выражение следует из формул A.61), A.62), A.64)].
*) В статье авторов [16] вместо формулы C.71) было приведено ошибочное
соотношение h = 4/A — 3(?/епост) (формула B.5)).
**) Так, например, когда по воздуху с начальным давлением р0 = 10~4 атм
распространяются ударные волны со скоростями D — 6,5—12 км/сек (числа Маха
М ~ 20—35), сжатие за фронтом равно примерно 17.

§ 9]
УДАРНАЯ АДИАБАТА ПРИ ДИССОЦИАЦИИ И ИОНИЗАЦИИ
183
Температура же, которая в газе с постоянной теплоемкостью также
пропорциональна квадрату скорости, в условиях диссоциации и иониза-
ионизации растет с увеличением амплитуды волны гораздо медленнее.
В области первой ионизации это происходит за счет относительного
возрастания затрат энергии на ионизацию, т. е. величины <2/епост ~
~ QIT, в дальнейшем же, когда доля потенциальной энергии во внут-
внутренней уменьшается по сравнению с поступательной энергией, замед-
замедленный рост температуры объясняется увеличением числа частиц, кото-
которому пропорциональны еПОСт ир:
Заметим, что после наступления полной ионизации, когда с повы-
повышением амплитуды ударной волны и температуры за фронтом еПОст рас-
растет, a Q остается неизменным, сжатие при росте амплитуды стремится
к 4 (если не учитывать тепловое излучение). Это видно из формулы C.71).
Например, в водороде, в области полных диссоциации и ионизации потен-
потенциальная энергия на атом равна 15,74 эв (энергия диссоциации Н2 2,24 эв
на атом, энергия ионизации 13,5 эв), поступательная энергия на атом
(энергия протона и электрона) равна 3 кТ = 37'se, т. е.
15,74
• 4 при Т —> со
{полная ионизация в водороде при атмосферной плотности перед волной
наступает уже при Т ~ 100 000° К — 10 эв).
Для иллюстрации изложенных соображений о влиянии диссоциации
и ионизации на параметры за фронтом ударной волны мы приводим
табл. 3.5, содержащую результаты расчета этих параметров для воздуха
Таблица 3.5
Параметры за фронтом волны в воздухе при нормальных условиях перед
фронтом Ро = 1 атм, 21о=293° К
т, °к
293
482
705*
2 260
4000
6 000
8 000
10 000
D, км/сек
0,33
0,70
0,98
2,15
3,35
4,54
5,64
6,97
Р1, атм
1
5
10
50
127
236
366
561
Pl/PO
1
2,84
3,88
6,04
8,58
9,75
10,30
11,00
т, °к
14 000
20 000
30 000
50 000
юо оое
250 000
500 000
D, км/сеп
9,31
11,8
15,9
23,3
40,1
81,6
114,0
Pi, атм
1000
1650
2 980
6 380
19 200
76 500
143 900
Pl/PO
11,10
10,10
9,75
8,97
8,62
7,80
6,27
ори нормальной начальной плотности. Данные для низких температур
в области возбуждения колебаний взяты из книги Я. Б. Зельдовича [17);
расчеты в области диссоциации и начала первой ионизации были про-
проделаны Дэвисом [18]. В широком интервале температур от 20 000° до
500 000° К параметры фронта были рассчитаны В. В. Селивановым
и И. Я. Шляпинтохом в уже цитированной выше работе [4].

184	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. Ш
Расчеты параметров за фронтом ударной волны в воздухе в широком
интервале начальных давлений от нормального до р0 ~ Ю~"° атм были
сделаны И. Б. Рождественским [19] и Н. Ф. Горбанем [20] (для темпе-
температур за фронтом, не превышающих 12 000° К). Параметры ударной вол-
волны в воздухе при температурах до 3-106° и плотностях до 10~6 q0 (до
высоты 100 км) приведены в новых таблицах Н. М. Кузнецова [35].
В ряде работ рассчитывались параметры фронта ударной волны
и в других газах: в аргоне и водороде (В. А. Прокофьев [21]), в аргоне
(Реслер и др. [22], в ксеноне (Сэйбол [23]), в водороде и ксеноне (С. Р. Хо-
лев [24]). Качественно явления во всех газах не отличаются друг от
друга и ударные адиабаты весьма сходны между собой.
Расчетные адиабаты в аргоне и ксеноне хорошо согласуются с экспе-
экспериментальными, полученными на основе изучения ударных волн в удар-
ударных трубах. Что касается воздуха, то и здесь имеется удовлетворительное
совпадение расчетов с экспериментом. .Следует отметить, что ход удар-
ударной адиабаты в области диссоциации сильно зависит от того, какое из двух
ранее спорных значений приписать энергии диссоциации азота: 7,38 эв
или_9г74 эвv Опыты Христиана и др. 125 J, изучавших ударные волны
в воздухе^ помощью ударной трубы, подтвердили, что опытная ударная
адиабата ближе к расчетной, соответствующей энергии диссоциации
азо~та~9,74 эв. В пользу этого значения свидетельствуют и опыты Моде-
ля [26], измерявшего скорость фронта и (оптическим методом) темпера-
температуру за фронтом.
§ 10. Ударная адиабата с учетом равновесного излучения
При очень высоких температурах (или очень низких плотностях
газа), когда энергия и давление равновесного излучения сравнимы с энер-
энергией и давлением вещества, излучение следует учитывать при расчете
ударной адиабаты (разумеется, предварительно следует проверить, уста-
устанавливается ли равновесие излучения с веществом в конкретных условиях
задачи).
Рассмотрим очень сильную ударную волну, распространяющуюся
по холодному газу, и предположим, что потоки излучения по обе сто-
стороны фронта равны нулю. Предположим также, что за фронтом ударной
волны излучение равновесно (не интересуясь здесь вопросом о процессе
установления равновесия). Таким образом, мы рассматриваем задачу
с чисто термодинамической точки зрения, как это обычно делается при
выводе ударной адиабаты *). Подчеркнем, что мы рассматриваем нере-
нерелятивистский случай, когда скорости ударной волны и вещества гораздо
меньше скорости света, и энергии вещества и излучения гораздо меньше
энергии покоя вещества. Введем в уравнения сохранения потоков импуль-
импульса и энергии на фронте ударной волны энергию и давление излучения
за фронтом evl, pvl (см. § 13 гл. I и § 17 гл. II). Законы сохранения
на фронте запишутся в виде
C.74)
а ¦¦ о 4Й! Pvl _L j4_ _ №_
*) Эта задача рассматривалась Саксом [27].

§ 10]	УДАРНАЯ АДИАБАТА С УЧЕТОМ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ	185
Чтобы упростить задачу с целью выяснения роли излучения, будем
считать, что газ обладает постоянными теплоемкостью и показателем
адиабаты у и подчиняется обычному уравнению состояния:
P = AqT, A = const; e = — -у AT = i
j
Y—1 6
Подставляя в C.74) evl и pvi по формулам C.49), C.50), выражая
давление pi и энергию ei через температуру Т± и исключая и^ с помощью
первого из уравнений C.74), получим соотношения, соответствующие
формулам C.72), C.73), в которых излучение не учтено:
где /г = Qi/Qo — сжатие во фронте ударной волны. Исключим далее из
этих уравнений D и разрешим полученное выражение относительно Г4:
_h(h-h0)	(зл6)
3AcQ0 " A-h) '	*"•¦"'
где h0 = (у + 1)/(y — 1) — предельное сжатие в сильной ударной волне
без учета излучения. Это соотношение можно рассматривать как уравне-
уравнение, определяющее сжатие h в зависимости от амплитуды ударной вол-
волны, которую можно характеризовать температурой за фронтом Т\.
Величина в левой части уравнения C.76), пропорциональная Т\,
представляет собой помноженное на h отношение давления излучения
к давлению вещества за фронтом ударной волны hpvllp^. Из C.76) следу-
следует, что если давление излучения относительно мало, так что hpvi/pi <с 1, то
h ~ п0, т. е. сжатие равно обычной величине h0 = (у + 1)/(у — 1). В пределе
очень сильной волны, когда hpvi/pi ~ Т\-*- оо, сжатие h стремится к hoc =
= 7. Этого результата следовало ожидать, так как равновесное излучение
с термодинамической точки зрения ведет себя как идеальный газ с пока-
показателем адиабаты y = 4/3 (см. § 3 гл. II), соответствующим предельному
сжатию в ударной волне, равному 7.
В интервале между двумя предельными случаями -^—>-0 и ~^ —v оо
сжатие h по мере увеличения амплитуды волны монотонно меняется
от h0 = (y + 1)/(Y — 1) До hx = 7, независимо от того, /г0 > 7 или
h0 < 7, т. е. независимо от того, меньше или больше 4/3 показатель адиа-
адиабаты газа без учета излучения.
В предельном случае, когда энергия и давление излучения много
больше энергии и давления вещества, т. е. когда вторые члены в левых
частях уравнений C.75) гораздо больше первых, температура за фрон-
фронтом Т\ ~ ZI/2, в отличие от обычного случая Т± ~ D2, без учета излуче-
излучения (в газе с постоянной теплоемкостью).
Напоминаем, что относительная роль энергии и давления равновес-
равновесного излучения тем больше, чем меньше плотность вещества: pv/p ~ 1/q
(в газе с неизменным числом частиц). Например, в полностью ионизо-
ионизованном водороде давление излучения равно давлению газа при Т =
== 10е °К, если число частиц (протонов и электронов) п = 1019 \1смь;
если же п = 1016 1/см3, давления сравниваются при Т = 105 °К.

186	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
2. ГАЗ ИЗ ЧАСТИЦ С КУЛОНОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
§ 11. Разреженный ионизованный газ
Рассмотрим отклонения ионизованного газа от идеальности, обусло-
обусловленные кулоновским взаимодействием заряженных частиц. Мы огра-
ограничимся в этом параграфе случаем слабой неидеальности, когда члены
кулоновского взаимодействия в термодинамических функциях можно
рассматривать как малые поправки к членам, соответствующим идеаль-
идеальному газу.
Для того чтобы ионизованный газ можно было считать идеальным,
необходимо чтобы энергия кулоновского взаимодействия соседних час-
частиц была мала по сравнению с их энергией теплового движения, т. е. чтобы
выполнялось условие (ZeJlr0 < кТ, где Z — средний заряд частиц
(ионов, электронов), а г0 « п'1^ — среднее расстояние между ними;
п — число частиц в 1 см3 газа. Это условие можно переписать в форме
Нем3.	C.77)
Например, при степени ионизации порядка единицы (Z ~ 1) и Т ~
~ 30 000° К для идеальности нужно, чтобы п < 6,2-1021 \1см3 (для
сравнения напомним, что число молекул в воздухе нормальной плотности
равно 2,67-1019 1/см3).
Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой
неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая —
Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]
(см. также работу Б. Л. Тимана [11]). Вокруг каждого из ионов или
электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних
частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке опреде-
определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потен-
потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и обла-
облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического
потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом Zte в первом
приближении приводит к формуле
фг = Zte exp	— ,
где d — так называемый дебаевский радиус, характеризующий размеры
облака,
(^O~t(S)~см	C-78)
(«; — число ионов с зарядом Zte в 1 см3, электроны также включаются
здесь в понятие «ионов»; для них Z = —1).
Статистическое рассмотрение методом Дебая — Хюккеля справед-
справедливо, если в облаке содержится много частиц, т. е. если дебаевский
радиус d гораздо больше среднего расстояния между частицами г0 « гг1/*.
Условие d > г0 приводит к условию п < ( 	=- J = 1,1 -105 l — ) —з>
еще более жесткому, чем условие идеальности газа C.77). Таким образом,
дебаевское рассмотрение предполагает очень слабую не идеальность газа.

§ 11]	РАЗРЕЖЕННЫЙ ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ	187
Вблизи центра при г < d срг = ——~-. Первый член есть потен-
потенциал, создаваемый самим центральным ионом, а второй ц>\ = — Zte/d
представляет собой потенциал, создаваемый окружающими зарядами
в месте, где находится данный ион. Кулоновская энергия газа в объеме V,
¦согласно общей электростатической формуле, равна
з
«»»q>i= -Ves ]/^г B niZ^f •	C-79)
Поправку к свободной энергии можно найти путем интегрирования тер-
термодинамического соотношения Е/Т* = — д/дТ (FIT):
		з
/--кул = 4 Якул = -| «3 ]/ W ( 2 NtZ\J ,	C.80)
где Nt = ntV — полное число частиц г-го сорта в объеме V. Поправка
к давлению:
В среднем между частицами действуют силы притяжения, так как
каждый ион окружает себя преимущественно зарядами противополож-
противоположного знака. Поэтому кулоновские энергия и давление отрицательны.
Кулоновское взаимодействие влияет на состояние газа двояким
•образом. Во-первых, оно уменьшает энергию и давление Га также энтро-
ОГкул Х?кул \
пию: окуп =	5г~ == ~av • Во-вторых, и этот эффект наиболее суще-
ствен, оно сдвигает ионизационное равновесие в сторону более высокой
-степени ионизации.
В самом деле, свободный электрон во взаимодействующем газе обла-
обладает отрицательной потенциальной энергией, т. е. как бы тоже немного
связан с ионами, поэтому для отрыва электрона от атома или иона необхо-
необходимо теперь затратить несколько меньшую работу, что соответствует
эффективному уменьшению потенциалов ионизации. Уменьшение потен-
потенциала ионизации определяется изменением не полной, а только свобод-
свободной кулоновской энергии, так как вследствие зависимости кулоновской
энергии от температуры «включение» кулоновских сил взаимодействия
меняет энтропию системы.
Чтобы вывести формулу для ионизационного равновесия с учетом
кулоновского взаимодействия, поступим так же, как и в § 5. Запишем
полную свободную энергию системы в виде
F = ^
д выражается формулой C.41), а /"кул^—формулой C.80), и составим
вариацию 6F по отношению к вариации числа яг-ионов в результате
их ионизации.
Воспользовавшись условием bNm = — SiVm+1 = — 6iVe и прирав-
приравнивая вариацию б^ нулю, получим вместо C.42) исправленное выражение
для «закона действующих масс». Чтобы здесь не путать статистическую
сумму с зарядом, отметим статистические суммы «тильдой» (Z):
hT
C.82)

188	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
где величину А/т+1, равную изменению кулоновских частей химических
потенциалов
"-'m+l — Иш, кул Мто+i, кул Нч?, кул> Щ,кул —
можно трактовать как уменьшение потенциала ионизации яг-ионов (напо-
(напоминаем, что Zm+iZe/Zm ~ exp (— Im+i/kT)).
Вычисление дает для поправки к потенциалу ионизации величину
Д/т+1 = 2 (Zm +1) в» /^ ( 2 *iZ|)*,	C.83>
где Zm — заряд лг-иона; по существу, Zm = т.
Принимая во внимание определение дебаевского радиуса C.78)t
можно переписать C.83) в виде
Уменьшение потенциала ионизации иг-иона в точности равно энергии
кулоновского взаимодействия т + 1-иона, получающегося в результате
ионизации пг-иона, с оторванным электроном, если последний находится
на расстоянии, равном дебаевскому радиусу.
В соответствии с условиями справедливости метода Дебая — Хюккеля
и условием слабой неидеальности формула C.84) справедлива, если
d » г0, т. е. А/ С кТ.
В области первой ионизации формула C.84) принимает вид (г = 0, 1, е;
ZQ = О, Z, = 1, Ze = - 1):
А/, = 2ез (^fj ,	C.85)
где а = пе1п = щ/п — степень ионизации.
В области многократной ионизации, заменяя, как это мы делали
в § 7, все ионы ионами с одним «средним» зарядом m = — (п — число
исходных атомов в 1 см3) и полагая Z\ = m , получим для изменения
«среднего» потенциала ионизации:
7Щр^]*.	C.86)
В качестве примера рассмотрим воздух при температуре Т =
= 100 000° К и нормальной плотности п = 5,34-1019 \/см3. Без учета
кулоновского взаимодействия имеем при этих условиях степень иониза-
ионизации пг = 2,72 и «средний» потенциал ионизации / = 60эв A/кТ = 6,9).
Поправка к «среднему» потенциалу ионизации с этим значением m равна
А/ = 5,4 эв (AIJkT = 0,63), т. е. кулоновское взаимодействие умень-
уменьшает «средний» потенциал ионизации почти на 10%, что соответствует
в следующем приближении возрастанию степени ионизации примерно
на 14% *).
*) Формально при рассматриваемых условиях мы находимся на кределе при-
применимости метода, так как Л/ = 5,4 эв лишь немногим меньше кТ — 8,6 эв.

3 12] КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 189
Влияние кулоновских поправок на сдвиг ионизационного равновесия
в аргоне при Т = 45 000° К и р ~ 10 — 102 атм рассмотрено в рабо-
работе [14]. Это влияние оказалось довольно заметным, в то время как поправ-
поправки к термодинамическим функциям не превышали 1%.
§ 12. Плотный газ. Элементы квантовой статистики Ферми — Дирака
для электронного газа
Выше при рассмотрении ионизованного газа всегда предполагалось,
что свободные электроны подчиняются классической статистике Больц-
мана. Строго говоря, электронный газ описывается квантовой статисти-
статистикой Ферми — Дирака, которая лишь в случае достаточно высоких тем-
температур или достаточно малых плотностей переходит в статистику Больц-
мана. Это превращение происходит, если температура электронного газа
гораздо больше так называемой температуры вырождения То, которая
определяется числом электронов в 1 см3 п:
град.	C.87)
При обычных газовых плотностях и температурах, при которых
вследствие ионизации появляются свободные электроны, условие Т > То
выполняется с большим запасом. Например, при плотности атмосфер-
атмосферного воздуха и примерно однократной ионизации атомов п = 5,34 X
X 1019 1/см3, температура вырождения Го = 610° К, температура газа
при этом Т ~ 35 000° К, так что Т/То ~ 60. Условие применимости ста-
статистики Больцмана может нарушаться либо при очень низких темпера-
температурах, либо при высоких плотностях электронного газа. Первый случай
при рассмотрении газов обычно не возникает, так как при низких тем-
температурах газы не ионизуются.
Что же касается второго, то в ряде процессов образуется очень плот-
плотный, высоконагретый газ, в котором присутствуют электроны. Обычно
такое положение возникает, когда первоначально твердое тело быстро
нагревается до очень высоких температур порядка десятков или сотен
тысяч градусов *) и, по существу, превращается в плотный газ, так как
при таких температурах энергия теплового движения часто превышает
энергию связи атомов в твердом или жидком веществе.
При плотности порядка плотности твердого тела и числе свободных
электронов на атом порядка единицы температура вырождения равна
нескольким десяткам тысяч градусов (например, при w = 5-1022 1/см3
То = 59 000° К), т. е. даже при температуре в сто тысяч градусов никак
нельзя описывать электроны статистикой Больцмана.
Следует отметить, что при плотностях порядка плотности твердого
тела и температурах в десятки или сотни тысяч градусов энергия куло-
нбвского взаимодействия заряженных частиц, электронов и ионов, срав-
*) Например, при ударах метеоритов, летящих с большими скоростями порядка
нескольких десятков километров в секунду, о поверхность планет, при взрывах про-
проволочек электрическим током, при нагревании анодных игл в импульсных рентгенов-
рентгеновских трубках электронным ударом (см. работу В. А. Цукермана и М. А. Манако-
вой [28]), при нагревании твердого тела мощной ударной волной и др. Мы не оста-
останавливаемся здесь на таком классическом объекте применения квантовой статистики,
как свободные электроны в металлах при обычных условиях.

190	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	?ГЛ. Ill
нима _с_ их кинетической энергией и электронно-ионный газ является
'существенно"неидеальным *).
Задача определения термодинамических свойств газа при таких
условиях приближенно решается методом, который представляет собой
обобщение метода Томаса — Ферми для статистического описания атома
на случай отличной от нуля температуры. Для того чтобы изложить
существо этого метода, нам придется напомнить основные положения
квантовой статистики Ферми — Дирака (подробнее см., например, [1]).
Рассмотрим свободный **) электронный газ при нуле температуры
(так называемый полностью вырожденный газ). Число квантовых состоя-
состояний в элементе объема dV и интервале абсолютных значений импульсов
электрона от р до р + dp (число клеток в фазовом пространстве коорди-
координат и импульсов) равно 4np2dp dV/hs. В каждой клетке может находиться
по два электрона с противоположно направленными спинами, так что
полное число квантовых состояний в данном интервале dpdV есть
8np2dpdV/h3. По принципу Паули в каждом квантовом состоянии с дан-
данным направлением спина может находиться не более одного электрона.
N электронов, находящихся в объеме V (п — NIV — число элек-
электронов в 1 см3), заполняют все самые низкие энергетические состояния
с импульсами от 0 до р0, так что
Ро
jy _у ? 8лр*с1р __ &лр% у
о
Отсюда следует выражение для максимальной кинетической энергии
электронов е0 = рЦ2те — так называемой граничной энергии Ферми:
2	2	2	2
~п\	C.88)
Температура вырождения C.87) определяется как То = ео/к. Кине-
Кинетическая энергия N электронов в объеме V равна:
C.89).
о
Г	3
средняя кинетическая энергия одного электрона равна -=- е0
Поскольку электроны предполагаются свободными, то кинетическая
энергия в то же время равна и полной энергии 2?Кин = ?,ив силу термо-
термодинамического соотношения TdS — dE + PdV, отнесенного к нулю тем-
температуры, давление свободного вырожденного электронного газа равно
р	dE __ 2 ЕКИ„ _ 2 	\
Давление пропорционально плотности в степени 5/3.
*) Например, при п = 5-Ю22 ел* и Z = 1 кулоновская энергия e2/r m е2п1/з-
сравнивается с кТ при Т = 60 000° К. Кинетическая энергия свободных электронов,
которая определяется не просто температурой, но и температурой, вырождения То,
также сравнима с кулоновской, поскольку То при этом равна 59 000° К.
**) Свободный в том смысле, что на электроны не действуют силы. В то же времят
предполагается, что электронный газ не растекается. Реально это можно себе пред-
представить как электроиейтральную смесь ионов и электронов, в которой среднее само-
самосогласованное поле считается равным нулю (везде, кроме границ тела).

§ 12] КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 191
Соотношение давления и кинетической энергией Р = 2/3¦EitlmJV
такое же, как и в одноатомном больцмановском газе. Это и понятно, так
как «кинетическое» давление определяется переносом импульса части-
частицами, и связь бго с кинетической энергией частиц чисто механическая,
не зависящая от типа статистики, которой подчиняются частицы.
При повышении температуры электроны, ранее заполнявшие самые
низкие энергетические уровни, переходят в более высокие квантовые
состояния. В квантовой статистике Ферми — Дирака доказывается, что
функция распределения частиц по квантовым состояниям, т. е. среднее
число электронов в квантовом состоянии
с энергией 8, есть
nf
f = .
М.+в
кТ
C.91)
+ 1
где \л — константа, зависящая от темпе-
температуры и плотности электронов, пред-
представляющая собою химический потенциал
электронного хаза. В свободном электрон-
электронном газе энергия е равна кинетической
энергии е = р2/2тпе. При нуле темпера-
температуры функция распределения равна 1, если
Рис. 3.2. Функция распределения
для электронного газа по стати-
статистике Ферми—Дирака.
= — oo 1 , и равна 0, если 8 > fx f —?~—¦ =
получаем уже найденное выше распределение, причем, как видно из этого
рассуждения, химический потенциал свободного газа совпадает с гра-
граничной энергией Ферми е0. При отличной от нуля температуре распре-
распределение «размывается», как показано на рис. 3.2.
Число электронов в 1 см3 с импульсами в интервале от р до р + dp есть
C.92)
а полное число электронов в единице объема равно
C.93)
0 е кТ +1
Эта формула определяет в неявном виде химический потенциал ц. как
функцию температуры и плотности.
Кинетическая энергия электронов в единице объема равна
со
б
со
C.94)
кТ
+ 1
Статистику можно применять и к электронному газу, находящемуся
в потенциальном поле. Разумеется, поле должно меняться в пространстве
достаточно медленно для того, чтобы в элементарном объеме dV, на про-
протяжении которого поле может считаться постоянным, находилось доста-
достаточно много частиц. В противном случае применение статистики к час-

192	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
тицам теряет смысл *). Если обозначить электростатический потенциал
поля в точке г через ф (г), то энергию электрона е можно записать в виде
е = ^	«р(г).	C.95)
В статистической механике доказывается, что если газ находится
в поле, то в состоянии равновесия его химический потенциал fi должен
быть одинаковым в разных точках. В противном случае частицы будут
перетекать из одного места в другое.
Если рассматривать электронный газ, находящийся в поле при нуле
температуры, то согласно формулам C.91), C.95) функция распределе-
распределения / по-прежнему равна 1, если е = р2/2те — еср (г) <; (х и равна О,
если е = р2/2те — еф (г) > (л. Таким образом, максимальная кинетиче-
кинетическая энергия электрона в данной точке г равна е0 (г)' = u. -f- еф~ (г). Она
теперь зависит от координаты, но максимальная полная энергия элек-
электрона р\12те — еф (г) = eft — еф (г) = \l, равная химическому потен-
потенциалу, от точки не зависит (если бы она зависела от координаты, элек-
электроны перетекали бы из места с более высокой в место с более низкой
максимальной энергией).
Формулы C.92) — C.94) справедливы и для газа, находящегося
в поле, если под е понимать величину C.95)_._ Формула C.93) теперь дает
неявную связь плотности газа в точке г, п (г) с величиной е0 (г) = ц +
+ еф (г), т. е. с потенциалом в данной точке и температурой Т. При 71 = О
эта связь по-прежнему выражается формулой C.88).
§ 13. Модель атома по Томасу — Ферми и сильное сжатие
холодного вещества
При описании плотного газа по методу Томаса — Ферми не делается
различия между «свободными» и «связанными» электронами, и газ счи-
считается состоящим не из ионов и электронов, как при малых плотностях,
а из ядер и электронов. Jiflpa подчиняются статистике Больцмана и
вносят свой вклад в полные давление и удельную тепловую энергию.
При высоких температурах этот вклад соответствует обычному одноатом-
одноатомному газу:
(па — число ядер в 1 см3, q — плотность вещества). Вся энергия взаимо-
взаимодействия частиц приписывается электронам. Для вычисления электрон-
электронных частей энергии и давления газ разбивается на атомные ячейки, каждая
из которых содержит ядро с зарядом Ze и Z электронов. Для простоты
ячейка считается сферической. Объем ее V принимается равным среднему
объему в веществе, приходящемуся на одно ядро: V — 1/па, а радиус
7-0 = C7/4я)х/з = C/4ЯИ»I/».
Между атомными ячейками в модели Томаса — Ферми не действуют
силы сцепления, так что эта модель не описывает связи атомов в твердом
теле. Ячейки оказывают друг на друга положительное давление, сов-
совпадающее с давлением электронного газа, т. е. модель описывает только
силы отталкивания и «тепловое» давление. Поэтому модель дает разум-
разумные результаты либо при больших плотностях, для сильно сжатого твер-
*) Поле должно мало меняться и на расстоянии порядка длины волны электрона.

§ 13]	МОДЕЛЬ АТОМА ПО ТОМАСУ — ФЕРМИ	193
дого тела, когда силы отталкивания резко преобладают над силами при-
притяжения атомов, либо при высоких температурах, когда силами сцепле-
сцепления можно пренебречь. Из сказанного следует, что в модели Томаса —
Ферми энергии «ионизации», «возбуждения» и «теплового движения»
электронов уже не вычисляются отдельно, как при рассмотрении разре-
разреженных газов. Они автоматически входят в полную электронную энергию
атомной ячейки. Для того чтобы выделить из нее «тепловую» часть энер-
энергии, специально связанную с существованием температуры, из полной
энергии следует исключить энергию ячейки того же самого объема, но
соответствующую нулю температуры. То же относится и к давлению.
Рассмотрим сначала атомную ячейку при нуле температуры, т. е.
статистическую модель атома по Томасу — Ферми*). В основе этой
модели лежит предположение о том, что в сложных атомах с большим
числом электронов большинство электронов обладает высокими глав-
главными квантовыми числами и их движение квазиклассично.
Электроны в атоме рассматриваются как газ, находящийся в доста-
достаточно медленно меняющемся по радиусу самосогласованном электро-
электростатическом поле **) ф (г), обусловленном зарядами ядра и самих элек-
электронов. Тем самым учитывается неидеальность электронного газа. К этому
газу применяется статистика Ферми — Дирака.
Максимальная кинетическая энергия электрона на данном расстоя-
расстоянии г от ядра е0 (г) — М- ~f~ еФ (г) связана с плотностью электронов в этой
точке формулой C.88), так что плотность выражается через потенциал
формулой
3 I
^2^	.	C.96)
Электростатический потенциал ср (г) удовлетворяет уравнению Пуассона:
?),	C.97)
которое после подстановки C.96) и введения нового «потенциала» г|> =
= ср + ц/е (потенциал определяется с точностью до аддитивной постоян-
постоянной) принимает вид:
2	5 3 3
1 tf2 , ,.
т -ж И) =
32-23я2
т
К уравнению C.98) присоединяются граничные условия. В центре,
при г —*¦ 0, поле переходит в кулоновское поле ядра, т. е.
Ф(г) = -^ при г->0.	C.99)
Поскольку ячейка электронейтральна, на границе ее поле равно
нулю (вне ячейки потенциал постоянен):
| = 0 при г = г0.	C.100)
*) Подробному изложению этого вопроса посвящена книга Гамбоша [29].
Короткое и ясное изложение можно найти в книге Л Д Ландау и Е М. Лифшица [30].
**) О возможностях статистического описания электронного газа в поле было
сказано в предыдущем параграфе.
13 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

194	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ
Это условие эквивалентно очевидному соотношению
Го
Z = J п (г) 4яг2 dr.
о
Введением безразмерных переменных
1
[ГЛ. III
_ г —А
!~ о ' п~ 4 V 2
jJq	0,885а0
1 " 1
где а0 = /г2/4я2таее2 = 0,529-10 8 еж — боровский радиус, и
уравнение C.98) приводится к универсальному виду
Граничные условия C.99), C.100) принимают форму:
C.102)
C.103)
C.104)
Безразмерная форма уравнений демонстрирует характер подобия по
отношению к числу электронов Z. А именно, распределение плотности
по радиусу согласно C.96), C.102), C.103) можно
записать в виде
C.105)
где функция / пропорциональна (%/-?K/2.
Решение уравнения C.104) с соответствую-
соответствующими граничными условиями (это делается путем
численного интегрирования) дает распределение
потенциала и плотности электронов по радиусу,
после чего можно вычислить все интересующие
нас величины.
Электронная плотность в свободном нейтраль-
нейтральном атоме, не сжатом внешними силами, как
показывает решение, простирается до бесконеч-
бесконечности: % -> 0, п -> 0 при х -> оо *) (рис. 3.3). Если за нуль потенциаль-
потенциальной энергии принять состояние, в котором все заряды разведены на бес-
бесконечность, следует положить потенциал ф равным нулю на бесконеч-
бесконечности. Химический потенциал при этом обращается в нуль. Давление
на границе свободного атома, не сжатого внешними силами, а следова-
следовательно, и давление **) во всем пространстве равны нулю. По теореме
Рис. 3.3. Схематическое
распределение электрон-
электронной плотности в свобод-
свободном атоме.
*) Поскольку поле электронейтрального атома должно убывать на бесконечности
быстрее, чем г'2, «потенциал» гр убывает быстрее, чем г'1; граничное условие в этом
случае принимает вид rip ~ % —>- 0 при г —*¦ оо.
**) Давление в системе из взаимодействующих частиц складывается из двух
частей: «кинетического», связанного с движением частиц и их кинетической энергией
обычным соотношением РКян==2геекин/3, где п — число частиц в 1 см3, а екин —
их средняя кинетическая энергия, и «потенциального», эквивалентного силам, дей-

§ 13]
МОДЕЛЬ АТОМА ПО ТОМАСУ — ФЕРМИ
195
вириала для неограниченного кулоновского поля полные кинетическая
и потенциальная энергии частиц связаны соотношением 2Е^яп = — ¦S'S'ot-
1 оэ
Полная энергия атома 2?°° = Ё^т + ^™от = — ^ш = Т^пот" Теорема
вириала в данном случае, в сущности, выражает тот факт, что кине-
кинетическое расталкивание электронов в точности уравновешивается куло-
кулоновским стягиванием их к ядру, благодаря чему полное давление, равное
сумме «кинетического» и «потенциального», в каждой точке равно нулю.
Хотя электронная плотность, в принципе,
простирается до бесконечности, основной
заряд сосредоточен в конечном объеме У3ф.
Согласно C.105), линейным масштабом этой
области служит боровский радиус а0, причем
^эф ~ Z'1 (см. рис. 3.3). Это следует и из
теоремы вириала. Потенциальная энергия
атома по порядку величины равна Е^от ~
/~ — e2Z2l\nJ*. Кинетическая энергия, соглас-
согласно C.88), C.89), порядка
2
УвфУ '
Из условия механического равновесия или
теоремы вириала найдем Уэф ^
, 2
РиС- 3.4. Схематическое рас-
распределение электронной плот-
плотности в «сжатом» атоме — в
атомной ячейке радиуса г0.
X 7гх ~*> a\Z~x. Полная энергия атома порядка
Е°° = ^пот/2 - — e2Z'/3/a0	1^^. Точ-'
ное значение Ет = — 20,8 Z7/" эв; это есть, по абсолютной величине,
энергия, которую надо затратить, чтобы развести все заряды атома на
бесконечность (энергия полной ионизации атома).
Рассмотрим теперь «сжатый» атом, т. е. атомную ячейку конечного
объема V. Теперь давление (равное «внешней» силе, действующей на
1 см2 поверхности ячейки) отлично от нуля и положительно. Следова-
Следовательно, и электронная плотность на границе ячейки конечна (рис. 3.4),
В самом деле, поля на границе ячейки нет. Электроны у границы ведут
себя как свободные и все давление у границы «кинетического» происхо-
происхождения. «Кинетическое» давление, по определению, равно передаче
нормальной составляющей импульса 1 см2 поверхности ячейки в 1 сек.
Поскольку электроны распределены по направлениям движения изо-
изотропно,
=<\ Q(P,
C.106)
где q (р, г0) — функция распределения по импульсам у границы ячейки
r0, a v — р/те — скорость электронов. Давление, как и следует ожидать,
равно
= 1гп (г0) еКИн (го) =' -г п (г0) е0 (г0),
C.107)
ствующим на частицы (в данном случае кулоновским). Формально это разделение сле-
следует из соотношения (при нуле температуры) Р = — dE/dV = — (dEKmi/dV) —
— (dETlor/dV) = РКин + -Рпот- Кинетическое давление всегда положительно, потенци-
потенциальное Рпот > 0, если частицы отталкиваются, и РПот <С 0, если они притягиваются.
13*

196	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. III
3
где еКШ1 (г0) — у е0 (г0) — средняя кинетическая энергия электрона
у границы ячейки. Давления во всех точках одинаковы: Р1ШН +
+ -Рпот = const, хотя «кинетическая» и «потенциальная» составляющие
меняются от точки к точке. «Кинетическое» давление Рнии в любой точке
выражается через кинетическую энергию формулой типа C.107).
Выражая полные кинетическую и потенциальную энергии всей ячейки
Екан и -Епот через интегралы по объему ячейки от плотностей энергий,
которые пропорциональны электронной плотности, можно путем непо-
непосредственного вычисления убедиться в том, что *)
J-?KIra + l?noT.	(8.108)
Уравнение C.108) может быть выведено из теоремы вириала приме-
применительно к системе частиц, находящихся в кулоновском поле и зани-
занимающих конечный объем **). В частности, для свободного атома Р = 0
и 2??ин = — ^пот как уже говорилось выше.
При сжатии атома давление и плотность на границе растут. Растет
и энергия ячейки в силу соотношения dE = — Р dV (P > 0). Физически
это очевидно, если учесть, что не сдерживаемое внешними силами элек-
электронное облако, стремясь свести к минимуму энергию системы, расте-
растекается до бесконечности. Если интересоваться энергией сжатия ячейки,
*) При вычислении потенциальной энергии следует разбить потенциал на два
слагаемых, соответствующих потенциалу ядра и потенциалу электронов ф = ф„ + <ре,
где фа = Ze/r,
• го	г0
ЕпОТ = Епоте + Епота = — -у 4яе \ г* dr п (г) ц>е (г) — 4яе ^ г* dm (г) фа (г) =
О	О
1С	Г	Ze ~\
= — -тг 4яе ^ r2 dr п (г) ^ Ф (г) + -у J .	C.109)
О
Множитель 1/2 в Еаоте введен потому, что энергия взаимодействия каждого электрона
с каждым другим в интеграле учтена дважды. Чтобы потенциальная энергия отсчиты-
валась от значения, соответствующего разведению всех электронов на бесконечность,,
следует положить потенциал на границе нейтральной ячейки ф (г0) равным нулю.
Поскольку плотность на границе сжатого атома отлична от нуля (ей пропорционально
давление), химический потенциал в силу определения ф (г0) = 0 согласно C.96) не
равен нулю и положителен.
**) Теорема вириала для движения системы частиц в кулоновском поле гласит:
2ЕКИВ — I = — 2 riFi> гДе ri — Радиус вектор j-ro электрона, а Ft — действующая
i
на него сила. Усреднение производится по всем положениям электронов (или по вре-
времени). Разбивая вириал / на три составляющие, соответствующие силам, действующим
на электрон со стороны других электронов 1ее, ядра 1еа и границы /0, и производя
несложные преобразования (см. [31]), получим:
2JI ^граница! =4яг»Р=ЗР7,
г
г _
1еа—
¦
i j	i j
Лодставляя все эти слагаемые в теорему вириала, получим C.108).

§ 13]
МОДЕЛЬ АТОМА ПО ТОМАСУ — ФЕРМИ
197
то ее следует отсчитывать от энергии свободного атома, т. е. из полной
энергии ячейки Е (V) следует вычесть энергию атома Е°°. Поскольку давле-
давление в свободном атоме равно нулю, то из давления ничего вычитать не надо.
Здесь следует подчеркнуть, что модель Томаса — Ферми по своему
существу описывает только силы отталкивания, действующие между
атомами (атомными ячейками), эквивалентные положительному давле-
давлению, и не описывает сил притяжения, которые появляются только при
учете обменной энергии. Поэтому
модель не может обеспечить связыва-
связывание атомов в твердое тело. Чтобы
сжать атомную ячейку до размеров
ее в твердом теле в модели Томаса —
Ферми, необходимо затратить работу
против сил давления, и энергия та-
такой ячейки больше, чем энергия сво-
свободного атома, в то время как в
действительности давление в твердом
теле при нуле температуры равно
нулю, и энергия связанного состоя-
состояния атома меньше энергии свобод-
свободного атома.
При небольших сжатиях свобод-
свободного атома в рассматриваемой модели,
когда объем V > УЭф, электронная
плотность перераспределяется только
вблизи границы (рис. 3.5), давление
и энергия АЕ = Е — Ет невелики.
Приближенную зависимость давления от объема ячейки можно получить,
полагая, что плотность на границе г0 в первом приближении такая же,
как и плотность в точке г = г0 в свободном атоме. Как легко проверить,
асимптотическое решение уравнения C.104) для свободного атома при
х ->• оо имеет вид % = 144 аГ3.
Согласно C.105) и C.102) плотность на границе
Рис. 3.5. Перераспределение электрон-
электронной плотности при сжатии атома.
п\ п", п'", п"" — схематические распреде-
распределения в ячейках радиусов r<J, rjj, rj", r'o'";
Поо — распределение в свободном атоме
(г„ = сю).
o)
¦v-\
а давление по формуле C.107) Р ~ пг0 ~ гс5/з ~ V'10/s и не зависит от Z.
Существенное возрастание давления и энергии начинается при боль-
больших сжатиях, когда объем атомной ячейки становится порядка и меньше
эффективного объема F8(j), занимаемого основной частью электронов
в атоме. Электроны теперь занимают весь объем ячейки (см. рис. 3.5)
и среднее расстояние между частицами г порядка V1^, а средняя плот-
плотность ~п ~ ZIV. При этом ЕКИН ~ Zh*'» — Z^V'^^ а ЕВОТ ~ — 7?[г ~
Как видно из этих соотношений, при сжатии кинетическая энергия
растет скорее, чем потенциальная, и в пределе малых объемов, т. е. боль-
больших плотностей вещества -Екни > Епот, Е ~ Екша, Р ~ Emm/V. Все
давление становится «кинетическим» и предельный закон имеет вид
5 5	,5
~гсЧ	C.110)
Давление сильно сжатого холодного вещества пропорционально
плотности вещества q (которой пропорциональна средняя плотность

198	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. Ш
электронов п) в степени 5/3, как для свободного вырожденного электрон-
электронного газа. Удельная энергия соответственно пропорциональна е ~ Qa/s.
Надо сказать, что фактически эти предельные законы становятся
справедливыми лишь при очень больших плотностях^ раз в десять пре-
превышающих плотности обычных твердых тел. О реальных зависимостях
давления и энергия холодного сжатия твердых тел от плотности речь
будет идти в гл. XI.
§ 14. Вычисление термодинамических функций высоконагретого
плотного газа методом Томаса — Ферми
Общая схема термодинамического описания плотного газа при высо-
высоких температурах в рамках модели Томаса — Ферми была изложена
в начале предыдущего параграфа. Обобщение уравнений модели холод-
холодной атомной ячейки на случай отличной от нуля температуры произво-
производится элементарно. В основе лежит уравнение Пуассона C.97) для элек-
электростатического потенциала в ячейке ф (г) *), который по-прежнему
удовлетворяет граничным условиям C.99) и C.100), а также полагается
равным нулю на границе ячейки для целесообразного отсчета потен-
потенциальной энергии. Однако вместо простого соотношения C.96), связы-
связывающего электронную плотность п (г) с потенциалом, теперь появляется
интегральное соотношение C.93) с функцией распределения / (/>), зави-
зависящей от температуры по формуле C.91), где энергия электрона выра-
выражается, как и раньше, формулой C.95).
По-прежнему справедливо нормировочное условие C.101). Полная
кинетическая энергия ячейки вычисляется путем интегрирования плот-
плотности кинетической энергии C.94) по объему ячейки, а потенциальная
энергия выражается через электронную плотность и потенциал форму-
формулой C.109).
Для давления справедлива формула C.106), если под q (р, г0) пони-
понимать теперь функцию распределения по импульсам, зависящую от тем-
температуры по формуле C.92). По-прежнему справедлива и теорема вириала,
приводящая к соотношению C.108), которое следует и непосредственно
из выражений для Р, Екаа и Еат.
Известные затруднения представляет вычисление энтропии ячейки S.
Непосредственное вычисление ее с помощью термодинамических соотно-
соотношений и'выражений для энергии Е и давления Р ячейки было проделано
Брахманом [32]. Менее строго, путем приближенного вычисления ста-
статистической суммы энтропию нашел Латтер [31]. Энтропия ячейки равна
S = ~f- I у -Екин + 2?Поте + ^пото— Z\l J ,	C.111)
где Евот е и ^пот а — потенциальные энергии взаимодействия электронов
друг с другом и с ядром (см. формулу C.109)). Для определения химиче-
химического потенциала \i как функции Т и V служит нормировочное усло-
условие C.101).
*) Заметим, что уравнение Пуассона лежит и в основе вычисления кулоновского
взаимодействия данного иона с образующимся вокруг него электронно-ионным обла-
облаком в методе Дебая — Хюккеля. Однако, в отличие от этого метода, здесь кулоновская
энергия не предполагается малой по сравнению с кинетической и для плотности зарядов
выписывается точное выражение, а кроме того, для описания электронов используются
функции распределения не Больпмана, а Ферми — Дирака.

$ 14]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОКОНАГРЕТОГО ПЛОТНОГО ГАЗА	199
Можно показать, что при Т -*¦ 0 выражение в скобке стремится
к нулю быстрее, чем Т, так что S —>- 0 в соответствии с теоремой Нернста.
Систему уравнений для определения функций ф (г) и п (г), а также
выражения для энергии, давления и энтропии можно преобразовать
к безразмерным переменным (в качестве масштаба длины вводится радиус
ячейки г0), причем, как и при нуле температуры, модель допускает пре-
преобразование подобия относительно Z. При нуле температуры распреде-
распределение плотности выражалось формулой C.105), откуда следует, что плот-
плотность на границе ячейки можно представить в виде п (г0) = Z^F (V-Z)
¦(rQZ1h-+V-Z), давление согласно C.107) — в виде Р = Z10/3/^ {V-Z),
а энергию согласно C.108) — в виде Е = Z7^F2 (V-Z).
При отличной от нуля температуре эти соотношения подобия обоб-
обобщаются таким образом, что температура всегда входит в виде комбина-
комбинации TZ'^l*, так что
_jjj	_4	_7	_4
PZ~~*=f(VZ, TZ *), EZ~* = 1Y(VZ, TZ s).
Энтропия и химический потенциал всегда фигурируют в виде комбина-
комбинаций SZ-1, ц.2/з.
Уравнения модели Томаса — Ферми были решены численно с помо-
помощью электронной машины, и результаты вычисления термодинамических
функций в широком диапазоне переменных VZ и TZ~i!^ (плотностей и тем-
температур) приведены в виде графиков в статье Латтера [31] *).
Из энергии Е вычиталась энергия холодного свободного атома Е™
{соответственно из 2?Кин и i?n0T вычитались Е^ян и Е™от).
Рассмотрение результатов расчетов показывает, что при повышении
температуры в ячейке заданного объема кинетическая и полная энергии
и давление монотонно возрастают.
Потенциальная энергия меняется мало, только за счет перераспре-
перераспределения электронной плотности, которая при повышении температуры
выравнивается по объему ячейки. В пределе очень высоких температур,
то
когда снимается вырождение электронного газа (при кТ > — (ZIVJ^;
см. формулу C.87)), энергия и давление стремятся к естественным значе-
значениям:
ЕжЕКинж~гкТ; Рж~кТ = пкТ.
Если изотермически сжимать атомную ячейку, давление в ней монотонно
возрастает, правда, медленнее, чем в случае нуля температуры, что видно
хотя бы из того, что в пределе высоких температур Р ~ 1/V,. тогда как
при Г = 0 и F->-0P~ l/F5/a. Энергия при не слишком высоких тем-
температурах имеет пологий минимум в зависимости от объема: увеличение
энергии при разрежении связано с тем, что при больших размерах ячейки
электроны из-за наличия температуры и «теплового» давления стремятся
занять несколько больший объем, чем в случае холодной ячейки, что при-
приводит к некоторому возрастанию потенциальной энергии.
*) Еще до работы Латтера ряд авторов [33] пытались рассмотреть методй теории
возмущений температурную поправку к решениям для нуля температуры. Однако
такая процедура сопряжена с численными расчетами, не на много менее сложны-
сложными, чем решение точных уравнений, а охватывает температурный диапазон гораздо
¦более узкий.

200	ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ	[ГЛ. ИГ
В качестве примера температурной зависимости энергии укажем, что
энергию ячейки, приходящуюся на один атом железа при нормальной
плотности твердого железа, можно аппроксимировать в интервале тем-
температур от 20 000 до 30 000° К интерполяционной формулой
? = 0,865Тэв'8 эв/атом
(из энергии ячейки исключена энергия Ет\ температура измеряется в эв).
При плотностях, меньших плотности, соответствующей твердому
состоянию, энергия слабо зависит от объема, грубо говоря, как Е ~ F0'15.
Чтобы получить полные энергию и давление вещества, к электронным
составляющим, соответствующим атомной ячейке Е и Р, следует при-
прибавить ядерные составляющие (см. начало § 13), т. е. положить
кТ + Ре (V, Т), Рв== Р,
kT + E(VT) на атом;
При плотности, равной плотности твердого тела, можно несколько
улучшить эти результаты, исключив из давления и энергии величины,.
соответствующие холодной ячейке того же объема (так как в действи-
действительности давление в реальном твердом теле при нуле температуры равно
нулю), и добавив к энергии энергию связи атомов твердого тела (теплоту
испарения U)
= пакТ + Pe{V,T)-Pe(V,0),
на атом.
При этом энергия отсчитывается от нормального состояния твердого тела.

ГЛАВА IV
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
§ 1. Использование ударной трубы для изучения
физико-химической кинетики
В предыдущей главе говорилось о различных физико-химических
процессах, которые протекают в газах при температурах порядка тысячи
или нескольких тысяч градусов и выше, таких, как возбуждение моле-
молекулярных колебаний, диссоциация молекул, химические реакции, иони-
ионизация, испускание света. При этом мы рассматривали влияние этих про-
процессов на термодинамические свойства газов, совершенно не интересуясь
их кинетикой, скоростями реакций, временами установления термодина-
термодинамического равновесия.
Между тем вопросы кинетики имеют большое, часто решающее зна-
значение, если общий газодинамический процесс протекает настолько
быстро, что термодинамическое равновесие не успевает устанавли-
устанавливаться, и состояние газовых частиц является существенно неравно-
неравновесным.
Особенно большую актуальность приобрели эти вопросы в связи
с проблемами входа ракет и искусственных спутников в атмосферу, сверх-
сверхзвуковых течений в мощных реактивных двигателях, сильных взрывов,
мощных электрических разрядов и т. д.
В отличие от термодинамических свойств газов, которые сравни-
сравнительно легко рассчитываются теоретическими методами, наши сведения
об эффективных сечениях элементарных процессов и скоростях разно-
разнообразных физико-химических превращений черпаются главным образом
из эксперимента. Наиболее удобным и широко применяемым в настоящее
время инструментом для получения в лаборатории высоких температур
и исследования физико-химических процессов в газах является ударная
труба. Ударная труба служит для создания в газе ударной волны, кото-
которая и нагревает газ до нужной температуры *).
Как мы знаем, в скачке уплотнения первоначально холодный газ
практически мгновенно нагревается до высокой температуры **), кото-
которую можно регулировать, меняя интенсивность ударной волны. Затем
в нагретой газовой частице начинаются различные процессы: возбужде-
*) Существуют и другие способы получения ударных волн: при помощи взры-
взрывов, мощных электрических разрядов и т. д.
**) Под «температурой» здесь понимается температура поступательных степеней
свободы атомов и молекул.

202	УДАРНЫЕ ТРУБЫ	[ГЛ. IV
ние молекулярных колебаний, диссоциация, ионизация и т. д., роль
и скорость которых зависят от температуры (и плотности). Постепенно
эти релаксационные процессы приводят к установлению термодинами-
термодинамического равновесия, соответствующего амплитуде ударной волны. Таким
образом, за скачком уплотнения существует неравновесный слой (который
можно включить в понятие фронта ударной волны), где разыгрываются
релаксационные процессы; этот слой и подвергается исследованию на
опыте. Теория позволяет связать распределения плотности и темпера-
температуры в релаксационном слое со скоростями реакций, поэтому измерение
распределений на опыте дает возможность определять скорости релак-
релаксационных процессов. (В некоторых случаях возможна и непосредствен-
непосредственная регистрация кинетики реакции.)
Подробно о структуре релаксационного слоя во фронте ударной волны
речь пойдет в гл. VII. В гл. VI будут рассмотрены различные фи-
физико-химические процессы, протекающие в нагретых газах, и оце-
оценены их скорости. Поскольку многие фактические данные о скоростях
получены при помощи ударной трубы, представляется целесообразным
предварительно познакомиться с тем, как работает это важное уст-
устройство.
Подчеркнем, что наше изложение преследующее чисто вспомога-
вспомогательную цель, будет чрезвычайно кратким. Оно ни в какой мере не отра-
отражает действительного объема экспериментальных работ, который поистине
огромен. Для более подробного ознакомления с вопросами конструкции
и работы ударных труб, а также с экспериментальными методами иссле-
исследований и измерений различных величин можно рекомендовать обзорные
статьи [1, 2] и книги [3, 4, 18, 19]. Там же читатель найдет и ссылки
на оригинальные работы. Здесь эти ссылки немногочисленны и имеют
более или менее случайный характер.
Мы не будем останавливаться на других методах получения высоких
температур (см. [16]). Отметим только очень интересные работы Ю. Н. Ряби-
нина [17 ] по адиабатическому сжатию газов. Газ в трубе сжимался летя-
летящим поршнем в сотни раз, до давлений в 10 000 атм, и адиабатически
нагревался вплоть до температур ~9000° К. С помощью созданной им
установки Рябинин изучал термодинамические и оптические свойства
и электропроводность высоконагретых газов.
§ 2. Принцип действия
Ударная труба представляет собой длинную трубу, обычно круглого
или прямоугольного сечения, которая разделяется тонкой диафрагмой
на две части. Одна из них, камера низкого давления, наполняется иссле-
исследуемым газом. Во вторую часть, камеру высокого давления, нагнетается
рабочий газ. Габариты трубы бывают различными. Обычно длина ее
составляет несколько метров, а внутренний диаметр — порядка несколь-
нескольких сантиметров. Длина камеры низкого давления в несколько раз больше
длины камеры высокого давления. Давление исследуемого газа, как
правило, не превышает атмосферного, а чаще всего ниже, порядка несколь-
нескольких сантиметров ртутного столба. В камере высокого давления стараются
создать возможно большее давление, порядка нескольких десятков или
•сотни атмосфер.
В нужный момент диафрагма с помощью специального устройства
^быстро разрывается и сильно сжатый рабочий газ устремляется в камеру

3]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ
203
низкого давления. По исследуемому газу распространяется ударная
волна, а по рабочему газу бежит волна разрежения. Профили давления
до и после разрыва диафрагмы, а
также профиль температуры после
разрыва диафрагмы, схематически
изображены на рис. 4.1.
На рисунке не показаны детали
распределения величин во фронте
ударной волны, который представ-
представлен в виде «классического» скачка.
После того как ударная волна дости-
достигает конца трубы, обычно закрытого
неподвижной крышкой, она отра-
отражается и бежит навстречу рабочему
газу. Давление и температура в от-
отраженной ударной волне резко под-
Диафрагма
а) | Рабочий газ | Исследуемый газ \
I)
Рз
p
	p_
>- —
Исходное
состояние
n
T
h
T,
Тг\
Л
X
Рис. 4.2. х, г-диаграмма для движе-
движения в ударной трубе, показанного
на рис. 4.1
ОА — ударная волна, ОС — контактный
разрыв, веер между ОЕ и OD — волна
разрежения в рабочем газе, АВ — отра-
отраженная ударная волна.
Рис. 4.1. Действие ударной трубы.
а) Схема трубы перед работой; б) про-
профиль давления перед разрывом диафраг-
диафрагмы; в) г) профили давления и температуры
в некоторый момент ii после разрыва ди-
диафрагмы; в) е) профили давления и тем-
температуры в момент tt после отражения
ударной волны от закрытого конца тру-
трубы. Все профили даны схематически.
Стрелки у скачков показывают направ-
направления распространения ударной волны.
Другие стрелки показывают направления
движения газа.
«какивают по сравнению со значениями в падающей волне. Газ в отра-
отраженной ударной волне неподвижен относительно стенок трубы, ж, i-диа-
грамма процесса изображена на рис. 4.2.
§ 3. Элементарная теория ударной трубы
Параметры падающей ударной волны легко оценить, рассматривая
распад произвольного начального разрыва (см. § 24, гл. I). Будем счи-
считать для простоты, что исследуемый и рабочий газы обладают постоян-
постоянными показателями адиабаты у и у' соответственно, и будем рассматри-
рассматривать только сильные ударные волны *). Припишем величинам в невозму-
невозмущенном исследуемом газе индекс «0», величинам за фронтом ударной
волны — индекс «1», величинам в рабочем газе, прошедшем через волну
*) Предполагается также, что массой диафрагмы можно пренебречь, т. е. рас-
рассматриваются времена, когда ударная волна охватывает достаточно большую массу
исследуемого газа.

204	УДАРНЫЕ ТРУБЫ	[ГЛ. IV
разрежения, индекс «2» и величинам в невозмущенном волной разреже-
разрежения рабочем газе — индекс «3».
По формулам A.111) для сильной ударной волны имеем
Й1 = 7~Ге°' P^^T^oD2, u^j—j-D, P=^QT D.1)
((д. — молекулярный вес исследуемого газа).
На контактной границе между двумя газами давление и скорость
непрерывны, так что рг = pt = р, и2 = и^ = и (плотность и темпера-
температура на контакте испытывают разрыв). Контактная граница, которая
движется со скоростью и, служит «поршнем», толкающим ударную волну.
По известной формуле (см. § 10 гл. I) скорость рабочего газа, прошед-
прошедшего через волну разрежения, равна
причем скорости звука с2 и с3 связаны между собой условием адиабатич-
аости расширения:
?2 = f P \ 2Y'
(
Выражая р = р± через и = Ui по формулам D.1), получим уравнение,,
из которого можно найти скорость «поршня» при известных начальных
значениях параметров:
JL — 2 /1 ГY'
с3 ""Y' —1 I L
q3
Скорость звука с3 = (у' —г Т3 J 2, где \i' — молекулярный вес рабочего-
газа. Интенсивность ударной волны полностью определяется скоростью
«поршня» и. В частности, температура за фронтом равна Tt = -^— № -^ •
Наиболее мощная ударная волна при прочих равных условиях обра-
образуется, если отношение начальных плотностей qo/q3 исчезающе мало,
так что рабочий гад после разрыва диафрагмы вытекает практически
в вакуум, с максимальной скоростью истечения
1
2	2 f , R rp \2	// ,-,'
W	C(j	T)	(*4>
Соответствующий верхний предел температуры за фронтом ударной
волны равен
т __ 2у'(У —1) V- т	(аъ
-flmax— ^yi	^2 „/ ¦» з-	V^-"-1/
Из последней формулы видно, что для создания высоких температур
нужно применять легкий рабочий газ, причем наиболее высокие темпе-
температуры возникают в тяжелых одноатомных газах (чем меньше тепло-
теплоемкость, тем больше величина у — 1 = R/[ilcv, которая стоит в числителе
формулы D.5)).
Выгоднее всего применять в качестве рабочего газа водород (fi' = 2,
у' = 7/5, Т± шах = 8,75 (у — 1) [iT3); работают также и с гелием (|я' = 4,
у' = 5/3, Т, шах = 1,87 (у - 1) цТг).

3 3]	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ТРУБЫ	205
Достижение максимально возможной скорости D.4) требует исклю-
исключительно малого отношения начальных плотностей газов Q0/Q3 (чрезвы-
(чрезвычайно большого перепада давлений р3/ро)- При реальных значениях
перепада давлений исследуемый газ оказывает существенное «сопротив-
«сопротивление» истечению рабочего газа и скорость и, вычисленная по уравне-
уравнению D.3), оказывается в несколько раз меньше скорости истечения в пус-
пустоту. Еще резче снижается температура в ударной волне.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть рабочим газом служит водо-
водород, а исследуется аргон (ja = 40, у = ь/3). Начальные температуры
обоих газов одинаковы и равны комнатной: То = Т3 = 300° К. Отно-
Отношение начальных давлений р3/р0 = 7600, скажем, р0 = 5 мм рт. ст.,
р2 = 50 атпм. Получим: и = 2,78 км/сек, D = 3,7 км/сек, число Маха
М= — = 11,5, Tt = 41Г3 = 12 300° К, pi = 164р0 = 2,1 атпм. Верх-
со
ний предел скорости umax = 6,65 км/сек *).
На самом деле температура в ударной волне будет немного ниже
12 300° К, так как при такой температуре уже играют некоторую роль
затраты энергии на ионизацию аргона, что несколько снижает эффектив-
эффективный показатель адиабаты аргона у. Для более точных расчетов нужно
пользоваться фактической ударной адиабатой газа с учетом ионизации.
Значения скорости газа и, вычисленные по уравнению D.3), а также зна-
значения скорости фронта, давления, внутренней энергии в ударной волне
мало чувствительны к предположениям относительно термодинамиче-
термодинамических свойств исследуемого газа. Вычисление же температуры без учета
затрат энергии на ионизацию, диссоциацию и т. д. может дать сильно
завышенные цифры.
При исследовании воздуха в ударной трубе с водородом в качестве
рабочего газа получают скорости фронта до 4 км/сек (числа Маха поряд-
порядка 12) и температуры за фронтом ударной волны порядка 4000° К. Суще-
Существуют различные способы увеличения эффективности ударной трубы,
позволяющие несколько повысить параметры ударной волны. В част-
частности, выгодно увеличивать начальную температуру рабочего газа Т3
(см. формулу D.5)). Для этого в качестве рабочего газа часто используют
взрывчатую смесь водорода с кислородом (смесь обычно разбавляют
легким нейтральным газом — гелием). В нужный момент смесь поджи-
поджигается и в результате реакции рабочий газ оказывается нагретым. Таким
путем получают в воздухе скорости D порядка 5 км/сек (числа Маха
порядка 15) и температуры порядка 6000° К. Разработаны конструкции
ударных труб с переменным сечением и др. (см. [4]).
Вычислим теперь параметры отраженной ударной волны, по-преж-
по-прежнему считая, что теплоемкость и показатель адиабаты постоянны. Пара-
Параметрам отраженной волны припишем индекс «4», параметрам падающей —
ч<1», как и раньше. Воспользуемся формулой A.69), связывающей раз-
разности давлений, удельных объемов и скоростей по обе стороны фронта
ударной волны. Разность скоростей, которая представляет собой скорость
движения газа за фронтом относительно газа перед фронтом, в падающей
л отраженной волнах одинакова. Полагая, что падающая волна сильная,
получим отсюда уравнение
и2 = (Pi - Pi) (Vi - F4) = Pl (Fo - F4).
*) Вычисление Tlmax по формуле D.5), которая для показателя адиабаты у =
= 5/3 дает 70 000° К, не имеет смысла, так как при столь высоких температурах суще-
существенную роль играет ионизация и фактическая температура гораздо ниже.

206	УДАРНЫЕ ТРУБЫ	[ГЛ. IV
Уравнение ударной адиабаты A.76) для отраженной волны (которая
не является сильной) имеет вид
Замечая, что V0/Vi = (у + 1)/(у — 1) и исключая из этих двух
уравнений VJV\, найдем отношение давлений на фронте отраженной
волны pjpu после чего вычислим отношения плотностей и температур.
Получим
_р4 _Зу-1 _04___У_ Г4 _Зу-1	,
рГ Y-l ' Qi Y-1' Тх	у ¦	^-°>
При численной оценке нужно проявлять известную осторожность.
Дело в том, что в отраженной волне температуры обычно столь высоки,
что теплоемкость газа вследствие диссоциации, ионизации и т. д. не
постоянна. Строго говоря, параметры отраженной волны следовало бы
рассчитывать, пользуясь реальными термодинамическими функциями
газа. Однако для грубой оценки можно воспользоваться формулами D.6),
выбрав для показателя адиабаты некоторое эффективное значение. В раз-
разреженном газе в области диссоциации или ионизации можно принять,
для оценки, например, у — 1,20. Это дает: pjp^ » 13, Q4/Q1 ~ 6, TJT^ да
да 2,17. В тяжелых одноатомных газах можно получить в отраженной
ударной волне десятки тысяч градусов. В воздухе при начальном давле-
давлении р0 = 10 мм рт. ст. и скорости падающей волны D да 5 км/сек, когда
Ti да 5800° К, рд/р,о да 10, в отраженной волне Г4да 8600° К, qJ^ да 7
(эти данные получены с учетом реальных термодинамических свойств).
Реальный процесс в ударной трубе протекает гораздо сложнее, чем это
рисуется идеализированной схемой, изложенной выше. Ударная волна
становится стационарной не сразу после разрыва диафрагмы, а лишь
спустя некоторое время. Играют роль трение о стенки, взаимодействие-
с пограничным слоем, особенно в отраженной ударной волне, неравно-
неравномерность нагрева по сечению трубы, потери энергии через стенки и на
излучение (при очень высоких температурах), перемешивание газов,
у контактного разрыва и многие другие эффекты (см. об этом [2, 4, 5, 19];
там же имеются ссылки на многие оригинальные работы).
§ 4. Электромагнитные ударные трубки
Ударные трубы, в которых ударная волна в исследуемом газе полу-
получается при внезапном расширении первоначально сжатого рабочего газа,
широко применяются для исследования различных высокотемператур-
высокотемпературных процессов. Однако максимальные скорости ударной волны (числа
Маха), а следовательно, и температуры, которые достигаются даже в усо-
усовершенствованных конструкциях, основанных на указанном принципе,
весьма ограничены.
В последнее время были предложены новые типы ударных труб,
в основе которых лежат иные принципы. В этих устройствах, которые'
часто называют электромагнитными или магнитными ударными труб-
трубками, для создания интенсивных ударных волн используются эффекты
нагревания газа при электрическом разряде и ускорения его под дей-
действием магнитных сил. Ранняя конструкция, предложенная Фаулером
с сотрудниками 16], представляет собой Т-образную трубку, изображен-
изображенную на рис. 4.3. Трубка наполняется исследуемым газом под низким

§ 4]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УДАРНЫЕ ТРУБЫ
207
Рис. 4.3. Схема Т-образной
трубки Ф аул ер а.
давлением, порядка миллиметра ртутного столба. В перекладину «бук-
«буквы Т» введены электроды и через газ разряжается конденсаторная бата-
батарея. Газ в разряде быстро нагревается до высокой температуры и под,
действием высокого давления с большой скоростью выплескивается
в «вертикальную» трубку, толкая перед собой ударную волну.
В отличие от трубки Фаулера, где электрический разряд исполь-
используется как средство быстрого нагревания газа, в Т-образной трубке,
построенной Колбом [7] для ускорения газа —
плазмы, используется явление электромагнит-
электромагнитного взаимодействия токов. Шина, по которой
течет возвратный ток в электрической цепи
разряда, максимально приближена к разрядной
части трубки, как показано на рис. 4.4. Как
известно, параллельные проводники с противо-
противоположно направленными токами отталкиваются
друг от друга. Это можно рассматривать как
результат воздействия магнитного поля одного
тока на проводник с другим током. Сила,
действующая на единицу объема проводника с
током, определяется векторным произведением
плотности тока j и напряженности магнитного
поля Н: f = — lj H] (магнитная проницаемость плазмы очень близка
к единице). Эта сила перпендикулярна к направлениям тока и магнитного-
поля. В данном случае магнитное поле возвратного тока, текущего по
шине, отталкивает плазму с текущим по ней разрядным током в сторону
вертикальной трубки, дополнительно уско-
ускоряя ее. Как говорят, на плазму действует
«магнитный поршень». Плазма выплескивает-
выплескивается в вертикальную трубку с еще большей
скоростью, создавая в последней еще более
мощную ударную волну, чем в отсутствие
магнитного поля. Размеры магнитной удар-
ударной трубки невелики: радиус примерно 1,5еж,
длина вертикальной части — 12 см. В одном
из типичных опытов Колба трубка наполня-
наполнялась дейтерием с начальным давлением
0,7 мм рт. ст. Емкость конденсаторной ба-
батареи составляла С = 0,52 мкф; она заряжа-
заряжалась до V = 50 кв. Как показала осцилло-
осциллограмма разрядного тока, частота разряда
равнялась v = 700 кгц. При этих параметрах была достигнута макси-
максимальная скорость ударной волны, D = 90 км/сек (на расстоянии
3,5 см от разрядной части трубки). Волна ослабляется по мере распро-
распространения, например, на расстоянии 9 см скорость ее падает до 75 км/сек.
Температура за фронтом ударной волны при D = 90 км/сек равна при-
примерно 120 000° К *).
Убедимся при помощи простой оценки в том, что магнитная сила
при указанных параметрах действительно может разогнать плазму до-
Рис. 4.4. Схема электромаг-
электромагнитной трубки Колба.
*) Эта температура вычислена по скорости фронта при помощи ударной адиабаты
с учетом эффектов диссоциации и ионизации, но без учета потока излучения с фронта,,
так как он мал вследствие прозрачности газа.

208
УДАРНЫЕ ТРУБЫ
[ГЛ. IV
такой высокой скорости. Без учета затухания (которое невелико) раз-
разрядный ток с момента пробоя изменяется по синусоидальному закону
I = Лпах sin tot, гДе ш — 2nv, a /max = V (CILI^ = VCa (L — само-
само01	) М
где q —
В каче-
качеL-ii-J
индукция контура, в данном случае равная 0,1 мкгн). Максимальный ток
равен /шах = 115 000 а = 1,15-Ю5 с/10 единиц СГСЭ. Ток /, текущий
по шине, создает на расстоянии г от нее магнитное поле Н = 21 /сг. В каче-
качестве среднего расстояния между шиной и плазмой можно принять радиус
трубки. Магнитное поле действует на плазму как поршень с давлением
Н2/8я. Скорость и, которую приобретает плазма под действием такого
давления, определяется очевидным соотношением /Р/8я да qu2
плотность; отсюда и = Н/}/^8щ = Ihr
стве / возьмем средний ток I = (I2I/* =
Подставляя в формулу для скорости г = 1,5 см,
q = 0,74-10-' г/см3 (это — плотность дейтерия при дав-
давлении ро = 0,7 мм рт. ст. и комнатной температуре)
и величину тока, получим и= 80 км/сек. Таким образом,
магнитный поршень разгоняет плазму до скорости
порядка наблюдаемой (Dmax да 90 км/сек). Заметим, что
время действия магнитного поршня, которое порядка
t да г/и да 1,9-10~7 сек, меньше четверти периода раз-
разряда 774 да l/4v = 3,6-10-7 сек. Весь процесс уско-
ускорения плазмы происходит в первую четверть периода
разряда, пока ток не вырастает до максимального значе-
значения. В сделанном расчете мы пренебрегали ускорением
за счет чисто теплового расширения плазмы, нагретой
разрядным током. Оценки показывают, что действитель-
действительно основную роль в ускорении играет магнитное
давление, а не тепловое. Для увеличения магнитного
давления, действующего на плазму, в некоторых опы-
опытах к магнитному полю возвратного тока (которое
при / = "I* = 80 000 а и г = 1,5 см равно примерно 11 000 э) добав-
добавлялось еще и внешнее магнитное поле того же направления (~ 15 000 э).
В Т-образной трубке Колба очень важно получить большую скорость
нарастания тока и большую амплитуду тока (высокую частоту разряда),
т. е. нужно принимать специальные меры для максимального уменьшения
самоиндукции контура *).
По принципу «магнитного поршня» действует и другая трубка,
построенная С. Р. Холевым и Д. С. Полтавченко [9], схема которой пока-
показана на рис. 4.5. Разрядный ток течет в радиальном направлении между
электродами, одним из которых служит стержень, расположенный на оси
трубки, а другим — цилиндр вблизи поверхности трубки. Радиальный
ток разряда взаимодействует с концентрическим магнитным полем тока,
текущего по центральному электроду. Пондеромоторная сила направлена
вдоль оси трубки и ускоряет плазму в этом направлении. Вдоль трубки
распространяется ударная волна. Характерным является выбрасывание
плазмы из межэлектродной области, отрыв ее от «дна» трубки под влия-
влиянием магнитного поля, которое действует подобно поршню.
Рис. 4.5. Схема
трубки Холева и
Полтавченко. Эле-
Электроды заштрихо-
заштрихованы.
*) Укажем на работу [81, авторы которой получали интенсивные ударные волны
в Т-образной трубке, наполняемой водородом и гелием, и исследовали свечение нагре-
нагретого газа в спектральных линиях.

5]
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
209
Рис. 4.6. Схема
трубки с кони-
коническим насад-
насадком. Электроды
заштрихованы.
Эксперименты ставились с воздухом. Наиболее интенсивная ударная
волна с числом Маха М да 250, Д«80 км/сек, 7\ = 130 000° К была
получена при следующих параметрах: С = 2400 мкф, V = 5 кв, I да
да 560 000 а (трубки делались из плексигласа и имели
диаметр от 2 до 5 см и длину от 50 до 90 см). Волна до-
довольно быстро затухает при распространении по трубе.
Слабо затухающие ударные волны, но зато меньшей ам-
амплитуды (D <10 км/сек), получены на установке С. Р. Хо-
лева и Л. И. Крестниковой [10].
Принцип действия описанной выше трубки С. Р. Хо-
лева и Д. С. Полтавченко имеет много общего с принци-
принципом действия кольцевой трубки, построенной Патри-
Патриком [11].
Иозефсоном [12] описана трубка с коническим насад-
насадком. К цилиндрической трубе присоединяется конический
насадок (рис. 4.6). На конце его расположен центральный
электрод. Вторым электродом служит кольцо на стыке
цилиндрической и конической частей трубки. По обра-
образующим конуса идут шины возвратного тока. При разряде
происходит магнитное сжатие плазмы к оси — «пинч-
эффект», причем радиальное сжатие начинается у цент-
центрального электрода и постепенно охватывает слои, более
близкие к центральному. Затем нагретая сжатая плазма
выбрасывается в цилиндрическую трубку, образуя в ней
ударную волну. В работе [13] такая трубка применялась для разгона
сильно разреженного воздуха до скоростей порядка 12 км/сек (М да 40,
7\ да 12 000° К) и исследования обтекания моделей, имитирующих го-
головки ракет.
Более подробно с вопросами конструкции электромагнитных удар-
ударных трубок и работы с ними можно познакомиться в сборнике перево-
переводов [14].
§ 5. Методы измерений различных величии
К настоящему времени разработаны и широко применяются разно-
разнообразные методы наблюдения быстропротекающих процессов в ударных
трубках и измерения различных величин: скорости фронта ударной волны,
плотности, температуры и др. Описанию этих методов и изложению полу-
полученных с их помощью результатов посвящена обширная литература. Со
многими вопросами можно познакомиться в книгах [3, 4, 18, 19] и обзо-
обзорах [1, 2]; там же имеются многочисленные ссылки на журнальные статьи.
Мы здесь не будем останавливаться на детальном рассмотрении
методов эксперимента и только коротко перечислим основные из них.
При этом мы придерживаемся в основном классификации методов, при-
принятой в обзоре [2].
1. Высокоскоростная фотографическая съемка. Газодинамический
процесс можно фотографировать либо благодаря собственному свечению
газа, нагретого до высокой температуры, либо в свете постороннего источ-
источника. Разработаны и применяются камеры, которые позволяют произ-
производить киносъемку быстропротекающих процессов с частотой вплоть до
миллионов кадров в секунду *). Широко применяется также метод
*) Ссылки на работы советских ученых и конструкторов — создателей уникаль-
уникальных высокоскоростных камер в гл. XI.
14 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер.

210	УДАРНЫЕ ТРУБЫ	ГГЛ. IV
фоторазвертки, при котором пучок света, отражаясь от вращающегося
зеркала, непрерывно бежит по пленке, так что движущийся светящийся
объект (скажем, фронт ударной волны) описывает на пленке непрерывную
наклонную линию. По наклону линии можно определить скорость дви-
движения объекта.
2.	Измерение плотности. Измерение распределения плотности газа
в неравновесном слое за скачком уплотнения имеет особо важное значе-
значение, так как распределение плотности связано со скоростями релакса-
релаксационных процессов (см. гл. VII). Именно таким способом были в основ-
основном определены скорости возбуждения колебаний и диссоциации моле-
молекул при высоких температурах.
Для измерения распределения плотности применяется главным обра-
образом интерференционный метод, в основе которого лежит тот факт, что
коэффициент преломления газа изменяется при изменении его плотности.
На изменении коэффициентов преломления при движении сжимаемого
газа основаны и другие важные оптические методы наблюдения поля
течения: шлирен-метод и теневой. Однако наиболее точные количествен-
количественные данные по распределению плотности дает интерференционный
метод *).
В работах Хорнига и др. [3] распределение плотности во фронте
слабых ударных волн определялось по отражению света от поверхности
фронта. Начальная плотность газа подбиралась так, чтобы толщина
фронта ударной волны была сравнима с длиной волны света. При этом
условии коэффициент отражения зависит от толщины переходного слоя
и распределения плотности (т. е. коэффициента преломления) в нем.
Таким образом были измерены толщины фронта и скорости возбуждения
вращений молекул в слабых ударных волнах.
Распределение плотности газа измерялось также по рассеянию элек-
электронного пучка, по поглощению рентгеновских лучей.
3.	Измерение концентрации компонент газа. В ряде случаев, когда
в неравновесном слое за скачком уплотнения протекает диссоциация
молекул или химическая реакция, можно непосредственно следить за
изменением концентрации определенных частиц. Это обычно возможно,
если какие-нибудь частицы обладают резко выраженным по сравнению
с другими частицами поглощением света. Так, например, изучалась дис-
диссоциация молекул брома и йода в ударной волне, диссоциация молекул
кислорода и т. д. Молекулы брома и йода сильно поглощают видимый
свет, тогда как их атомы не поглощают его; молекулы кислорода обладают
характерной системой полос поглощения в ультрафиолетовой области
(см. гл. V).
4.	Измерение испускания и поглощения свети. Во многих работах
производились спектральные измерения интенсивности испускания света
газом, нагретым ударной волной. Зная плотность газа и температуру,
можно таким образом определить лучеиспускательную способность при
разных температурах и в разных участках спектра. Свет обычно реги-
регистрируют фотографическими методами или при помощи фотоумножите-
фотоумножителей. По лучеиспускательной способности с помощью закона Кирхгофа
(см. гл. V) можно найти и коэффициент поглощения света в нагретом
газе. Коэффициенты поглощения иногда измеряют и непосредственно,
*) Указанные оптические методы, в которых используется свет от постороннего
источника, обычно применяются при не слишком высоких температурах, когда соб-
собственное свечение нагретого газа мало.

§ 5]	МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН	,	211
по ослаблению пучка света от постороннего источника при прохождении
через газ.
5.	Измерение температуры. Для измерения высоких температур
чаще всего применяют оптические методы. Литература по методам опти-
оптической пирометрии огромна. Рекомендуем, в частности, сборник пере-
переводов [15]; см. также обзор [16].
6.	Измерение концентрации электронов и электропроводности. Для
измерения степени ионизации газа и концентрации электронов в удар-
ударной волне часто пользуются методом зондов Лэнгмюра, который обычно
применяется при изучении газовых разрядов. Применяется также метод
поглощения и отражения микрорадиоволн. Измеряется концентрация
электронов и по свечению газа (например, интенсивность рекомбина-
ционного свечения пропорциональна квадрату концентрации электронов).
Применяются магнитные методы, в частности, основанные на эффекте
вытеснения движущейся плазмой внешнего магнитного поля; вытеснение
зависит от электропроводности. Определив электропроводность, можно
вычислить концентрацию электронов.
7.	Измерение давления. Давление чаще всего измеряют при помощи
пьезоэлектрических датчиков с чувствительным элементом из титаната
бария.
8.	Измерение скорости фронта ударной волны. Проще всего измерять
скорость, регистрируя тем или иным методом моменты прохождения
ударной волной определенных сечений в трубе, отстоящих друг от друга
на известных расстояниях. Для регистрации пользуются пьезодатчиками
давления, ионизационными датчиками, различными электроконтактными
датчиками и др.
Очень большие скорости, которые получаются в электромагнитных
ударных трубках, обычно измеряют при помощи фоторазвертки (см. п. 1).
14*

ГЛАВА V
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 1. Введение. Типы электронных переходов
В главе II было показано, что основной оптической характеристикой
газа, которая определяет степень черноты нагретого тела, интенсивность
и спектр свечения, энергетический баланс вещества в условиях лучистого
теплообмена, является коэффициент поглощения света *). Зная коэффи-
коэффициент поглощения, с помощью закона Кирхгофа, который служит выра-
выражением общего принципа детального равновесия, можно найти и луче-
лучеиспускательную способность вещества.
В § 2 гл. II были даны краткий обзор и классификация различных
механизмов поглощения и излучения.
В соответствии с общей схемой возможных энергетических состояний
атомной системы, простейшей из которых является система из одного
протона и одного электрона, в связанном состоянии образующая атом
водорода, все возможные электронные переходы, сопровождающие про-
процессы поглощения и излучения света, подразделялись на три типа. Это:
1)	свободно-свободные переходы (тормозное излучение и поглоще-
поглощение света);
2)	связанно-свободные переходы (фотоэлектрическое поглощение);
3)	связанно-связанные (дискретные) переходы.
Свободно-свободные и связанно-свободные переходы приводят к
образованию непрерывного (сплошного) спектра поглощения и излу-
излучения света.
Связанно-связанные переходы в атомах дают линейчатые спектры.
В результате связанно-связанных переходов в молекулах образуются
полосатые спектры. Полосатые спектры состоят из множества близко
расположенных друг к другу по частоте спектральных линий. В некото-
некоторых условиях отдельные линии настолько тесно соприкасаются, что
даже частично перекрываются и спектр получается почти непрерывным
(квазинепрерывным).
С точки зрения энергетической основной интерес представляют непре-
непрерывные (квазинепрерывные) спектры.
Представим себе, например, тело, нагретое до постоянной темпера-
температуры Т. Если тело абсолютно черное, то с его поверхности выходит поток
излучения с планковским распределением по спектру. Спектральный
*) Напоминаем, что говоря о «свете», «световых квантах», «оптических» свой-
свойствах, мы имеем в виду излучение любых частот, а не только принадлежащих видимой
части спектра.

§1]
ВВЕДЕНИЕ. ТИПЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ПЕРЕХОДОВ
213
/
1
/
1
1
1
1
1
1
1
1
\
\
\
\
s
I
поток 5V как функция частоты v изображен на рис. 5.1 пунктирной кри-
кривой. Площадь, ограниченная этой кривой, дает полное количество лучи-
лучистой энергии, испускаемой с 1 см2 поверхности тела в 1 сек и равное оГ4.
Предположим теперь, что вещество, совершенно прозрачное в непрерывном
спектре, поглощает и излучает только линейчатый спектр, причем в час-
частотных линиях излучение находится в термодинамическом равновесии
с веществом. Спектральный поток излучения с поверхности тела изо-
изображается теперь системой отдельных узких линий, высота которых
соответствует функции Планка, как показано на рис. 5.1 сплошными
кривыми. Полное количество лучистой энергии, выходящей с 1 см2
поверхности тела в 1 сек, численно равно
заштрихованной площади этих линий, ко-
которая вследствие малой ширины линий
гораздо меньше полного планковского по-
потока стГ4. Потери энергии тела на излуче-
излучение, а также яркость свечения поверхности
в рассматриваемом случае гораздо меньше,
чем если бы спектр был непрерывным.
Точно так же во многих случаях ли-
линейчатые спектры играют небольшую роль
по сравнению с непрерывными и в пере-
переносе лучистой энергии внутри тела. По-
Поэтому основное внимание в этой главе
будет уделяться не линейчатым, а неп-
непрерывным и квазинепрерывным молеку-
молекулярным спектрам.
При высоких температурах, когда
молекулы диссоциированы и газ состоит
из атомов, а при еще более высоких ¦— из ионов и электронов,
сплошной спектр поглощения и испускания возникает в результате свя-
связанно-свободных и свободно-свободных переходов. Вычисление вероят-
вероятностей электронных переходов, с помощью которых можно найти коэф-
коэффициенты поглощения (и испускания) света в случае многоэлектронных
атомов (сложных атомных систем), представляет собой весьма трудную
квантовомеханическую задачу. Она требует специального рассмотрения
в каждом конкретном случае, для каждого атома или иона и даже для
каждого квантового состояния системы. Такие расчеты проделаны лишь
для немногих частных случаев.
Сравнительно просто и до конца вычисление удается провести лишь
для простейшей, водородоподобной системы, т. е. для переходов един-
единственного электрона в кулоновском поле положительного заряда Ze.
Практически, даже при рассмотрении поглощения и испускания света
в газах, состоящих из сложных атомов или ионов, часто приходится
пользоваться формулами, выведенными для водородоподобных систем.
Атом или ион при этом представляется в виде некоего «атомного
остатка» с положительным точечным зарядом Ze, в поле которого дви-
движется «оптический» электрон, переходящий при поглощении или испуска-
испускании светового кванта из одного энергетического состояния в другое.
Как будет показано ниже, в ряде практически важных случаев такое
приближение оказывается до некоторой степени оправданным.
При вычислении коэффициентов молекулярного поглощения обычно
удается определить коэффициент как функцию частоты и температуры
с точностью до некоторого множителя — силы осциллятора для данного
Рис. 5.1. Спектр испускания на-
нагретого тела, совершенно прозрач-
прозрачного в непрерывном спектре, но
непрозрачного в линиях.
Пунктирная кривая соответствует
планковскому спектру при данной
температуре.

214	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
электронного перехода, которую, как правило, находят из эксперимента.
В последующих параграфах этой главы будут подробно рассмотрены
различные механизмы поглощения и испускания света в газах при высо-
высоких температурах и вычислены соответствующие коэффициенты погло-
поглощения. При этом мы будем интересоваться в основном физической сто-
стороной дела, не останавливаясь подробно на различных приближенных
способах усовершенствования расчетных формул для коэффициентов
поглощения.
Очень часто в поглощении и испускании света в газе при каждых
данных условиях участвует целый ряд механизмов. Все они действуют
независимо друг от друга. Полные коэффициенты поглощения и луче-
лучеиспускательные способности в каждом спектральном участке склады-
складываются из величин, отвечающих различным механизмам. Поэтому после-
последовательное и независимое рассмотрение отдельных механизмов пред-
представляется вполне естественным. В конце главы, в качестве наиболее
важного с практической точки зрения примера такого совокупного дей-
действия многих механизмов, будут рассмотрены оптические свойства нагре-
нагретого воздуха.
1. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР
§ 2. Тормозное излучение электрона в кулоновском поле иона
Как известно из классической электродинамики, свободный элек-
электрон, двигаясь во внешнем электрическом поле, скажем, в кулоновском
поле иона с положительным зарядом Ze, излучает свет. При этом он теряет
часть своей кинетической энергии, «тормозится», почему такое излучение
и называется тормозным.
Количество лучистой энергии S, испускаемой электроном в 1 сек,
определяется его ускорением w.
Полное излучение за все время пролета электрона мимо иона равно
интегралу по времени от этого выражения:
со	со
АЕ= J Sdt = \^ J w*dt.	E.2)
Спектральный состав излучения можно найти, разлагая вектор уско-
ускорения w в интеграл Фурье и подставляя разложение в формулу E.2).
Получим при этом
АЕ = i^i JL J w^dv = 5 5V rfv,	E.3)
b	b
где
оо
w (t) e~i2ltvt dt
— компонента Фурье вектора ускорения го (t).
Величина
E.4)

ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ИОНА
215
представляет собой количество лучистой энергии частоты v, испускаемой
при пролете электрона мимо иона и приходящейся на единичный интер-
интервал частот *).
По классической механике, в отсутствие потерь энергии на излуче-
излучение свободный электрон (сумма кинетической и потенциальной энергий
которого положительна) пролетает мимо иона по оп-
определенной гиперболической орбите, характеризуемой
прицельным расстоянием q, смысл которого ясен
из рис. 5.2.
Полное количество излученной энергии и спект-
спектральный состав излучения можно приближенно вы-
вычислить по формулам E.2) — E.4), взяв в качестве
ускорения w (t) величину, соответствующую движению
электрона без излучения **).
Пусть на ион из бесконечности падает параллель-
параллельный пучок электронов, начальная скорость которых
на бесконечности равна v и плотность Ne постоянна
(поток [электронов равен Nev). Через элементарное
кольцо площадью 2яр dq около иона в 1 сек проходит
Nev-2nQdg электронов. Каждый из них излучает энер-
Т?**тАЕчРг- ИзлУче,ние э™х электронов в 1 сек равно
AENev-2nq aq эрг /сек. Излучение в 1 сек электро- пролете мимо поло
нов, проходящих мимо иона по всевозможным орби- жительного иона.
там, получится, если проинтегрировать это выражение
по q от 0 до оо. Полное количество энергии излучения, рассчитанное на
один ион и единичный поток электронов Nev = 1 см~2 сек-1, есть
5.2. Траекто-
электрона при
пролете мимо поло-
= \
о
эрг-см2.
E.5)
Можно говорить и о количестве энергии, излученной в интервале
частот от v до v + dv, о так называемом эффективном излучении
v=co
dqv С \ dqv = qv\ В соответствии с определением E.3) эффективное
излучение, т. е. количество энергии, излученной в интервале частот dv
из расчета на один ион и единичный поток электронов, равно
dqv =
эрг-см1
E.6)
Эффективным излучением определяется спектральная лучеиспуска-
лучеиспускательная способность вещества, обязанная тормозному излучению.
Если в 1 см3 имеется N+ ионов определенного сорта и dNe электро-
электронов со скоростями от v до v + dv, то количество энергии в интервале
частот от v до v .+ dv, испускаемой в 1 сек в 1 см8 в результате тормо-
торможения этих электронов в поле ионов, равно N+dNev-dqv эрг/см3 сек.
Оценим эффективное излучение электронов в кулоновском поле
иона. Если электрон находится на расстоянии г от иона (радиус-век-
*) В соответствии с астрофизическими традициями мы будем всегда пользо-
пользоваться не круговой частотой ш = 2яу, а обычной, v.
**) Это соответствует предположению о том, что излучение мало.

216	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
тор г), то на него со стороны иона действует сила — Ze2rlr3. Вызываемое
этой силой ускорение равно w = — Ze2r/r3m, где т — масса электрона.
Пусть электрон обладает начальной скоростью v и пролетает мимо иона
на прицельном расстоянии q. Время действия силы t ~ q/v, а ускорение
в течение этого времени w ~ Ze2/Q2m. В разложении вектора ускорения
в интеграл Фурье основную роль играют частоты v порядка l/2nt -~
~ г>/2я(э *). Можно сказать, что частота v в основном излучается теми
электронами, которые пролетают мимо иона на прицельном расстоянии
q ~ v/2nv, а частоты в интервале от v до v + dv испускаются главным
образом электронами с прицельными параметрами, заключенными в интер-
интервале dQ ~ 2^3 dv ~ 2л V dv-
Энергия, испускаемая каждым из таких электронов,
АЕ ~ -|~ w4 ~ 4
3 с3	3
Эффективное излучение частоты v соответствует излучению электро-
электронов с прицельными параметрами от q до q + dQ, связанными с частотами
указанным выше образом, так что
8я2 Z2e6 1v.	E.7)
Последовательное вычисление эффективного излучения по форму-
формулам E.6), E.4) с вектором ускорения, найденным из решения механи-
механической задачи о движении электрона по гиперболической орбите около
иона, проведено в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]. Оно дает:
dv	при v»^^-,	E.8)
32я
Как видим, при больших частотах точный результат отличается
от простой оценки E.7) только численным множителем 4/|/3 = 2,3. При
малых частотах точная формула отличается от простой, помимо числен-
численного, еще и логарифмическим множителем, зависящим от частоты. Дело
в том, что малые частоты излучаются при далеких столкновениях с боль-
большими прицельными параметрами q, причем при v -»- 0, q ->- оо столкно-
столкновения с параметрами q > ^— дают относительно все больший и больший
вклад в излучение частоты v по сравнению со столкновениями с пара-
параметрами q ~ 7^—, которые только и учитываются при выводе простой
формулы E.7).
Расходимость эффективного излучения со стороны малых частот
характерна для медленно спадающего с расстоянием кулоновского поля,
благодаря чему и приобретают столь существенную роль далекие столк-
столкновения. Эта расходимость устраняется при учете экранировки, всегда
существующей в реальном ионизованном газе. Фактически по q в фор-
формуле E.6) следует интегрировать не до бесконечности, а, скажем, до
*) Для большей точности мы сохраним численный коэффициент 2я. (Основную
роль в разложении играют «круговые» частоты, такие, что at ~ 1.)

§ 2]	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ИОНА	217
дебаевского радиуса d, что ограничит излучение со стороны малых частот
на частоте vmin ~- v/2nd.
Следует, однако, заметить, что интегральное по спектру излучение
q = \ dqv сходится со стороны малых частот, так как расходимость
dqv только логарифмическая и вклад пика dqv при V-+0 в интеграл
по v невелик. Поэтому если интересоваться интегральным излучением,
вопрос об обрезании прицельных параметров q сверху, а частот — снизу
не является столь существенным.
Излучение больших частот в классической теории не зависит от час-
частоты и эффективное излучение на единичный интервал частот dqv/dv
остается конечным даже при v -> оо *). Формально, полное излучение
q = \ dqv расходится со стороны больших частот.
Это противоречие теории связано с несовершенством классических
представлений о движении электрона и устраняется в квантовой теории.
Большие частоты, как мы видели, излучаются при пролете электрона
мимо иона на малых прицельных расстояниях. Но согласно квантомеха-
ническим представлениям электрон, обладающий начальным импульсом
р = mv, не может быть локализован точнее, чем это диктуется принципом
неопределенности ArAp ~ h/2n. Поскольку неопределенность в импуль-
импульсе не может превышать самого импульса, нет смысла говорить о при-
прицельных расстояниях меньших, чем Qmm ~ h/2nmv. Максимальная
частота, излучаемая при таких минимальных прицельных параметрах
по порядку величины, равна vmin ~ v/2nQmin ~ mv2/h. Это ограниче-
ограничение излучаемой частоты сверху имеет весьма наглядный физический
смысл. В квантовой теории тормозное излучение представляется следую-
следующим образом. Свободный электрон, обладающий начальной энергией
Е = mv2/2, пролетая мимо иона, может испустить световой квант hv.
Если после испускания кванта он остается свободным, т. е. удалившись
от иона, обладает положительной энергией ?", то, очевидно, электрон
не может испустить квант, превышающий начальную энергию Е. Таким
образом, vmax = -г- = ~^г-, что с точностью до несущественного мно-
it	?tlb
жителя 1/2 совпадает с ограничением частоты, диктуемым принципом
неопределенности.
В квантовой механике свободный электрон представляется плоской
волной и понятие прицельного расстояния не имеет строго определен-
определенного смысла. Можно говорить о вероятности испускания кванта той или
иной частоты, вернее, об эффективном сечении испускания квантов с энер-
энергиями от hv до hv + d (hv). Количество энергии, излученной в интер-
интервале частот dv единичным потоком электронов, взаимодействующих
с одним ионом, равно произведению энергии кванта hv на эффективное
сечение испускания dov. Эта величина и соответствует эффективному
излучению классической теории:
dqv = hv-dav эрг-см2.	E.10)
В свете принципа соответствия эффективное излучение частоты v
связано с переходом электрона с одной «стационарной гиперболической
орбиты», отвечающей энергии электрона Е, на другую, отвечающую
*) Это справедливо только при условии, что сталкивающиеся частицы обладают
разноименными зарядами (электрон — положительный ион). При взаимодействии
частиц с зарядами одного знака dqvldv —*- 0 при v —*¦ оо.

218	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
энергии Е' = Е — hv. Эффективное сечение dov, а следовательно, и эффек-
эффективное излучение dqv вычисляются в квантовой механике обычными
методами, через матричные элементы энергии взаимодействия электрона
с ионом.
Однако прежде чем приводить результат квантовомеханического
расчета тормозного излучения, посмотрим, каковы пределы примени-
применимости классических формул E.8), E.9) и когда, собственно, их нужно
заменять квантовомеханическими.
Согласно классическому выводу, формула E.8) для больших частот
справедлива при условии v > mv3/2nZe2. При этом, конечно, нет смысла
распространять ее на частоты, превышающие верхний предел, диктуемый
квантовыми энергетическими представлениями, vmax = Elh = mv2/2h.
Перепишем эти ограничения, накладываемые на частоту в формуле E.8),
в виде
л _ hvmax hv h туз _ hv	(C. . .
Но неравенство hv/nZe2 «1 с точностью до двойки представляет собой
не что иное, как условие квазиклассичности движения электрона в куло-
новском поле (см., например, [2])
hv «1.	E.12)
Поэтому классической формулой E.8) для эффективного излучения
частоты v, ограниченной сверху и снизу неравенствами E.11), прибли-
приближенно можно пользоваться при всех тех скоростях электронов, которые
удовлетворяют неравенству E.12). Если выполнено условие квазиклас-
квазиклассичности E.12), то область применимости формулы E.8) простирается
вплоть до очень малых частот, таких, что hv/E ~ hv/nZe2 < 1. Поскольку
обычно интерес представляют кванты, не очень малые по сравнению
с кТ, т. е. с энергиями электронов, и вклад пика при v->Ob интеграль-
интегральное излучение невелик, формулу E.8) с успехом можно распространить
вплоть до v = 0, заменив ею формулу E.9) и тем самым устранив фор-
формально расходимость dqy при v -*¦ 0.
Преобразуем условие квазиклассичности E.12), которое является
условием применимости формулы E.8), так, чтобы получить условие,
накладываемое на энергию электрона,
эв, E.13)
где а0 = А2/4я2те2 — боровский радиус, а /н = 13,5 эв — потенциал
ионизации атома водорода *).
Например, в случае водородной плазмы формула E.8) справедлива
вплоть до температур порядка 10 эв ~ 100 000° К; в газе из более тяже-
тяжелых элементов она справедлива до еще более высоких температур, так
как вследствие многократной ионизации возрастают заряды ионов Z.
Так, в воздухе нормальной плотности при Т = 106 °К Z ж 6 и средняя
энергия электронов еще в четыре раза меньше «квазиклассического»
предела.
При очень высоких температурах, когда выполняются неравенства,
противоположные условиям квазиклассичности E.12), E.13), справед-
*) Условие квазиклассичности для движения электрона в кулоновском поле
эквивалентно условию малости энергии электрона по сравнению с его энергией на
первой боровской орбите.

§ 2а] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ РАССЕЯНИИ НЕЙТРАЛЬНЫМ АТОМОМ 219
ливо борновское приближение в квантовой механике *). Для нереля-
тивистких энергий (Е < тс2 = 500 кэв) вычисление эффективного излу-
излучения в борновском приближении дает выражение (см. [3]):
, , , 32л ZV , {Ye + Ye — hvJ
dgv = hv • dav = -3- -^^ In ^;v	'-
dqv автоматически обращается в нуль при hv = Е и слабо, логарифми-
логарифмически, зависит от частоты во всем интервале частот от 0 до vmax.
Замечательно, что квантовая формула приводит к значениям эффек-
эффективного излучения, весьма близким к тем, которые дает классическая
формула E.8) (за исключением, конечно, частот очень малых и очень
близких к максимальной). Это видно из табл. 5.1, в которой представлены
значения отношения
dv У квант / К dv Укласо я	hv
п
в зависимости от безразмерной величины х = -ег =
vmax
Таблица 5.1
X
el
0
оо
0
2
,1
,01
0
1
,2
,61
0,
1,
3
34
0,
1,
4
13
0,
о,
5
97
0,
0,
6
81
0,
0,
7
68
0
0
,8
,53
0,
0,
9
36
1
0
Величину gi, которая отличает квантовое выражение для тормоз-
тормозного излучения от классического, иногда называют множителем Гаунта.
Интегральное излучение, вычисленное по квантовой формуле, запи-
записывается в следующем виде:
?квант= [ f-Jir)	dv=(lb)	Vmax ^ gi Же = 1,05д
J \ dv у квант	V dv / класс	J
класс	J
О	0
Таким образом, классической формулой E.8) с хорошим приближе-
приближением можно пользоваться практически при любых нерелятивистских
температурах.
§ 2а. Тормозное излучение электрона при рассеянии
нейтральным атомом
Найдем эффективное тормозное излучение электрона нри столкнове-
столкновении с рассеивающим центром, не конкретизируя пока закона взаимодей-
взаимодействия электрона с рассеивателем. Последним может служить нейтраль-
нейтральный атом, молекула, ион. Допустим, что длительность взаимодействия тв
*) Для борновского приближения надо, чтобы не только при начальной, но и при
конечной скорости электрона выполнялись условия E.12), E.13); в противном случае
следует пользоваться точными волновыми функциями электрона в кулоновском поле,
что вносит известный кулоновский множитель в результирующие формулы [2, 3].

220	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
мала по сравнению с периодом излучаемых электромагнитных колеба-
колебаний, точнее, что выполняется неравенство ютв < 1, где со = 2nv. Для
частот видимого света, энергий электрона порядка нескольких элек-
тронвольт и рассеяния нейтральным атомом такое предположение можно
считать оправданным *).
При условии а>тв < 1 рассеяние происходит «мгновенно» и, есте-
естественно, положить вектор ускорения равным w (t) = Av8 (t), где Ad —
изменение вектора скорости электрона при рассеянии.
Компонента Фурье вектора ускорения тогда равна wv = Av/2jt.
Подставляя это выражение в формулу E.4), получим, что при данном
акте рассеяния электрона в интервале частот от v до v + dv излучается
энергия
Это выражение следует усреднить по углам рассеяния д. Полагая
приближенно, что абсолютная величина скорости электрона v при рас-
рассеянии изменяется мало, что соответствует излучению квантов hv, не-
небольших по сравнению с энергией электрона mv2/2, получим (AvJ =
—2v2 (I — cos #), где cos $ — средний косинус угла рассеяния.
Для того чтобы найти эффективное излучение, нужно умножить
усредненную по углам рассеяния величину Svdv на эффективное сечение
рассеяния а (ср. с формулой E.6)). Это дает
v,	E.13')
где atr = а A — cos Ф) — так называемое транспортное сечение рас-
рассеяния. Эта формула описывает, в частности, тормозное излучение элек-
электронов при столкновениях с нейтральными атомами; сечения упругих
столкновений электрона с атомом а обычно порядка или несколько меньше
газокинетических сечений **). С помощью формул E.10) и E.13') найдем
связь между дифференциальным сечением испускания кванта hv и сече-
сечением упругого рассеяния электрона:
1?Г ~" ~г ~сШ "••	{0.16)
Проделанный вывод еще раз наглядно демонстрирует физическую
природу процесса излучения света в классической электродинамике.
Электрон испытывает ускорение при столкновении с рассеивающим цен-
центром, а на рассеяние как бы «накладывается» излучение, причем вероят-
вероятность (сечение) излучения определяется чисто механической вероятно-
вероятностью (сечением) рассеяния. Эта связь фотопроцеосов с процессами соот-
соответствующих электронных соударений существует и в квантовой меха-
механике ***)'.
Применим формулу E.13') к рассеянию электрона кулоновским
центром, т. е. ионом. Кулоновские силы — дальнодействующие. Рассея-
Рассеяние при столкновении заряженных частиц, т. е. заметное изменение век-
*) Например, для красного света К = 7000 A, hv = 1,8 эв, <в = 2,7- 1Q15 сек*1.
Если радиус атома 10~8 см и скорость электрона 108 см/сек (энергия 3 ее), то твя&
я» 10~1в сек и штв = 0,27.
**) Много экспериментальных данных по сечениям а собрано в книге [60].
***) В частности, существует связь между сечениями ионизации атома электронным
ударом и фотоионизации [53].

§ 2а] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ РАССЕЯНИИ НЕЙТРАЛЬНЫМ АТОМОМ 221
тора импульса электрона, происходит, если частицы сближаются на рас-
расстояние r0 = 2Ze2/mv2, при котором кинетическая энергия электрона
mv2/2 оказывается сравнимой с потенциальной Ze2/r0. Эффективное
сечение при кулоновских «столкновениях» порядка яг„ = 4я2?е4/(тг;2J
(подробнее см. об этом в разделе 3 гл. VI). Если подставить это сечение
в формулу E.13а), получим величину dqy, которая лишь в n/]/~S раз
меньше точной величины E.8). Таким образом, эффективные сечения
тормозного излучения при рассеянии электрона ионом и нейтральным
атомом относятся друг к другу как соответствующие сечения упругого
рассеяния:
(^у)ион = я/jj ^ nZV = nal /- 2/н у Z2
Ofr " GtrE% OtT V E )
Обычно atr/nal ~- 1 -j- 10 и при энергии Е порядка нескольких элек-
тронвольт эффективность нейтральных атомов в отношении тормозного
излучения (и поглощения) на один-два порядка меньше, чем эффектив-
эффективность ионов. Таким образом, столкновения электронов с нейтральными
атомами играют роль только при очень слабой ионизации газа.
Выше было вычислено тормозное излучение электрона при рассея-
рассеянии его изолированным атомом. Если столкновения электрона с атомами
происходят достаточно редко (по сравнению с частотой излучаемой элек-
электромагнитной волны), то последовательные столкновения можно считать
независимыми и энергия, излучаемая при многих столкновениях, является
просто суммой энергий, излучаемых при отдельных столкновениях.
В этом случае согласно E.13а) электрон в 1 сек в интервал частот
dv излучает энергию
dQv = Sv dv Nva = -^ -^- v3<j> dv эрг/сек,
где v8(j, = Nvotr — эффективная частота столкновений (N — число ато-
атомов в 1 см3). Если же частота столкновений сравнима с частотой излучаемо-
излучаемого света, то столкновения уже нельзя считать независимыми. Между изме-
изменениями вектора скорости электрона при последовательных столкновени-
столкновениях существует корреляция, результатом которой является интерференция
парциальных волн, излученных при отдельных столкновениях. Амплиту-
Амплитуды двух последовательных электромагнитных волн в среднем оказываются
направленными в противоположные стороны, что приводит к уменьшению
суммарной излученной энергии.
Для того чтобы рассчитать тормозное излучение электрона, испыты-
испытывающего большое число столкновений п (п —*- оо), можно представить
ускорение его w (t) в виде
где tk ¦— момент /с-го столкновения; Ai^ — соответствующее изменение
вектора скорости. Квадрат модуля компоненты Фурье ускорения равен
Это выражение следует усреднить по направлениям скоростей электро-
электрона и по временам столкновений. Подставив полученное выражение в E.4)

222	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
и разделив на время, в течение которого электрон испытывает п столкно-
столкновений, nINva, найдем величину dQv, исправленную на эффект корреля-
корреляции. Вычисление, проделанное в работе одного из авторов [61 ], дает
8 6^2	V2	V2
V	V (cK?)
В предельном случае гЭф/2я < v дополнительный множитель обращается
в единицу в соответствии с исчезновением эффекта корреляции.
Практически эффект корреляции сказывается только при излучении
очень низких частот (в радиодиапазоне). Например, при N = 1019 1 /см3,
v = 108 см/сек, otr — 105 см2 уЭф = Ю12 1/сек, тогда как для красного
света со = 2nv = 2,7-1015 1/сек.
§ 3. Свободно-свободные переходы в нагретом ионизованном газе
Найдем лучеиспускательную способность ионизованного газа, свя-
связанную с тормозным излучением.
Пусть в 1 см3 газа имеется N+ положительных ионов с зарядом Ze
и Nе электронов с максвелловским распределением по скоростям
"
оо
С \ f (v) dv = 1 J . Температуру электронного газа обозначим через Т.
о
Энергия, которая излучается электронами, обладающими скоростями
от г?' до г/ + dv', в 1 еж3 в 1 сек в интервале частот от v до v + dv равна
N+Nef(v')dv'v' dqv(v')*).	E.14)
Количество энергии, спонтанно излучаемой в результате свободно-
свободных переходов в интервале dv в 1 см3 в 1 сек, получится, если про-
проинтегрировать выражение E.14) по скоростям электронов от vmia до оо,
причем i>min—это минимальная скорость электронов, способных излу-
излучить квант hv: 	—5- = /iv. Воспользовавшись формулой E.8) для
эффективного излучения и интегрируя, найдем спектральную луче-
лучеиспускательную способность, связанную с тормозным механизмом:
Испускание квантов hv > kT экспоненциально мало. Это связано
с тем, что большие кванты излучаются электронами с большими энер-
энергиями, сосредоточенными в хвосте максвелловского распределения по ско-
скоростям.
*) Предполагается, что скорости ионов очень малы по сравнению со скоростями
электронов.

§ 3] СВОБОДНО-СВОБОДНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В НАГРЕТОМ ИОНИЗОВ. ГАЗЕ	223
Интегральная лучеиспускательная способность для тормозного излу-
излучения равна
?	1
J	3
J_
= 1,42.10'Z2r 2 N+Ne эрг/см3 сек	E.16)
(Т° — температура в градусах Кельвина).
Интегральное тормозное испускание довольно слабо зависит от тем-
температуры (оно пропорционально УТ).
Если в газе имеются ионы разных зарядов Z, то формулы E.15),
E.16) следует просуммировать по всем сортам ионов.
Теперь найдем коэффициент тормозного поглощения света. Для
этого воспользуемся принципом детального равновесия. Если C/vp —
равновесная спектральная плотность излучения, определяемая формулой
Планка B.10),
тт	8я/п>3	1	/г л т\
Ш
~l
a av — спектральный коэффициент истинного тормозного поглощения,
рассчитанный на один ион и один электрон, движущийся со скоростью
v, то количество излучения в интервале частот от v до \-\-dv, погло-
поглощаемое при термодинамическом равновесии в 1 сек в 1 см3 электронами
со скоростями от v до v-\-dv, равно
' fry
N+NeU4Vdv-cf(v)dv-av(l—e kT).	E.18)
_ hv
Множитель A-е kT) учитывает эффективное уменьшение погло-
поглощения за счет вынужденного испускания (переизлучения; см. § 4 гл. II).
В условиях термодинамического равновесия поглощение и испускание
в точности компенсируют друг друга, т. е. выражения E.18) и E.14)
равны. При этом скорости электронов, испускающих кванты uv и погло-
поглощающих эти кванты, связаны между собой законом сохранения энергии
Замечая, что vdv = v'dv', а dqv = hvdav, найдем общую связь единич-
единичного коэффициента поглощения av с сечением излучения dav\
Пользуясь формулой E.8) для dqv, получим
3^3 fcVvS	ws	'
Эта формула была выведена Крамерсом в 1923 г. Умножая av на N+Ne
и с помощью функции максвелловского распределения усредняя по ско-
скоростям электронов, получим спектральный коэффициент истинного

224	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
тормозного поглощения в газе при температуре электронов Т:
4 ( 2я T
2
± "+" e CM ~
2 V3
E.21)
В более строгой теории в формулах для коэффициента поглощения
E.20) и E.21) (и соответственно всех других) фигурирует множитель Гаун-
та g, учитывающий отклонения от теории Крамерса: xv = (xv)
Для небольших по сравнению с кТ квантов
р =
Вспоминая определение среднего коэффициента поглощения, харак-
характеризующего лучеиспускательную способность B.102), вычислим эту
величину для тормозного механизма:
)О6 J.U Ij 	s— CJ*v .	M.u^l
p
СоЬтветствующая средняя длина пробега равна
-«..	E.23)
Вычислим еще и средний росселандов пробег B.80) для случая, когда
газ полностью ионизован и тормозной механизм поглощения является
единственным (а все ионы обладают одинаковым зарядом Z)
E-24)
Росселандов пробег / для тормозного механизма равен спектраль-
спектральному пробегу при энергии квантов hv = 5,8 кТ. Как видно, в переносе
лучистой энергии путем теплопроводности при тормозном механизме
поглощения основную роль играют весьма большие кванты, находящиеся
в виновской области спектра. Наоборот, при объемном излучении основ-
основную роль играют маленькие кванты. Средний коэффициент х4 равен
исправленному на вынужденное испускание спектральному коэффициенту
xv A — e-ftv/ftT), соответствующему hv = 1,73 кТ.
Для того чтобы представить себе порядки величин оптических харак-
характеристик плазмы, соответствующих тормозному механизму, приведем
конкретный пример.
Рассмотрим водород при плотности q = 1,17 10 г/см3 (такая плот-
плотность соответствует давлению 10 мм рт. ст. при комнатной температуре)
и температуре Т = 100 000° К. В этих условиях водород полностью
диссоциирован и полностью ионизован, так что N+ = Ne = 7-1017 см~3.
Коэффициент поглощения красного света Я, = 6500 А при этом равен
xv — 5,7-10 ел*, а длина пробега /v = l/xv = 175 см.

§ 4] СЕЧЕНИЕ ЗАХВАТА ЭЛЕКТРОНА ИОНОМ С ИСПУСКАНИЕМ КВАНТА
225
Росселандов пробег I = 3,1-10е см. Средний пробег, характеризую-
характеризующий лучеиспускательную способность, /t = 0,98-106 см.
Если размеры тела гораздо меньше, чем длина /lt то тело испускает
как объемный излучатель (см. § 16 гл. II) и скорость потерь энергии на
излучение равна
d(QZ)
dt
= -/,
где е — удельная внутренняя энергия. В нашем примере / = 2,2 х
X 1011 эрг /см3 сек. С учетом энергии диссоциации и ионизации е =
= 41,6 эв/атом, ое = 4,66-107 эрг/см3. Начальный масштаб времени
лучистого охлаждения т = qe/J = 2,12-10~4 сек.
§ 4. Эффективное сечение захвата электрона ионом
с испусканием кванта
Рассмотрим захват свободного электрона водородоподобным «ионом»
с излучением кванта и образованием водородоподобного «атома». Будем,
как и в § 2, исходить из полуклассических представлений. В классиче-
классической механике без учета излучения переход от свободных состояний
электрона к связанным явля-
является непрерывным. Состояние
или орбита электрона харак-
характеризуются величиной пол-
полной энергии Е системы элек-
электрон — ион и (в общем слу-
случае) вместо «прицельного
расстояния» q — моментом
количества движения, также
определяющим геометриче-
геометрические параметры траектории.
При уменьшении энергии
и неизменном моменте гипер-
гиперболические орбиты, соответствующие положительной энергии Е > О,
непрерывным образом переходят в параболическую (Е = 0) и далее,
в связанном состоянии системы, характеризуемом отрицательной энер-
энергией, Е <С 0, в эллиптические (рис. 5.3). В свете принципа соответствия
захват свободного электрона и излучение кванта, энергия которого пре-
превышает начальную кинетическую энергию электрона Е, связаны с пере-
переходом электрона с гиперболической траектории на эллиптическую.
В классической механике энергия системы электрон — ион может
быть произвольной. В квантовой механике энергетический спектр систе-
системы непрерывен только, если электрон свободен и Е > 0. В связанном
состоянии, при Е < 0, энергия может принимать только дискретные зна-
значения. Энергетические уровни водородоподобного атома Еп характери-
характеризуются главным квантовым числом п, пробегающим значения от 1 до сю,
Рис. 5.3. Гиперболическая, параболическая
и эллиптическая орбиты электрона.
J_
rfi
Н 2а0 ~
Р
E.25)
н	\Е^\ — абсолютная величина энергии основного состояния,
т. е. потенциал ионизации. Энергия связи электрона в n-м квантовом
состоянии равна — Еп = \Еп\ =1 In2. Схема уровней атома водорода изо-
изображена на рис. 2.2 в § 2 гл. II. Как известно, при движении связанного
15 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

226	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
электрона в кулоновском поле иона его кинетическая энергия в сред-
среднем по времени равна половине потенциальной, взятой с обратным знаком,
и равна полной, также взятой с обратным знаком: Етш — —Епот/2 =
=—Е (Е = Екин-{-Епот). Следовательно, в среднем по времени
_	тР I
Из этой формулы с учетом неравенства E.13) видно, что движение элек-
электрона в сильно возбужденных квантовых состояниях с большим кванто-
квантовым числом п квазиклассично.
При рассмотрении тормозного излучения в § 2 мы применяли клас-
классическую формулу E.8) для эффективного излучения, описывая ею «пе-
«переходы» электрона с одной гиперболической орбиты на другую, отвечаю-
отвечающую меньшей энергии, причем распространяли формулу вплоть до пере-
переходов на орбиту с бесконечно малой положительной энергией, почти пара-
параболическую, что соответствовало излучению почти максимальной частоты
vmax — Elh. При этом начальная энергия Е предполагалась достаточ-
достаточно малой, Е < /н-Z2» v < 2nZezlh, чтобы движение в начальном состоя-
состоянии было квазиклассичным. Движение в конечном состоянии тем более
квазиклассично, так как электрон при переходе теряет кинетическую
энергию и тормозится. Поскольку малые отрицательные энергии, как мы
только что видели, также соответствуют малым скоростям и отвечающие
им эллиптические орбиты также близки к параболической (но только со
стороны отрицательных энергий), естественно распространить формулу
E.8) и на случай излучения частот, несколько превышающих vmax, т. е.
на случай захвата электрона на высокие уровни. При этом следует учесть,
что конечное состояние электрона попадает в дискретный спектр. Эффек-
Эффективное излучение в некотором малом, но конечном интервале частот Av,
Agv = (dqv/dv) Av, равно согласно квантовой трактовке hvAav, где
Aav — эффективное сечение для процессов испускания квантов в малом
интервале Av. Но теперь испускание квантов от hv до hv -f- A (hv) соот-
соответствует захвату на определенное конечное число уровней А/г и эффек-
эффективное сечение захвата на них Aav можно представить в виде произведе-
произведения аспАп, где асп — среднее сечение захвата на какой-нибудь из уров-
уровней в этом интервале. Это сечение зависит от среднего номера п в малом
интервале An. Таким образом,
а _ Agv _ 1 А<?у _ 1 / dgv \ Av ^	E 26^
сп An hv An hv \ dv J Are *	\ ¦ /
Воспользовавшись формулой E.25) для определения энергетического
dEn
dn
kAv
An
расстояния между уровнями при больших п:
и формулой E.8) для эффективного излучения, получим эффективное
сечение захвата на уровень п свободного электрона, обладающего началь-
начальной энергией Е = mv2/2:
__ ШЯ* ZM0	1 _ 2,1-1022 /HZ2 /hZ2
3/3 mc-ih^v Пз - «з	е hv CM '	^'>
Энергия кванта, испускаемого при захвате электрона на уровень п,
равна
Ь> = Я + |?»| = ~+^Р •	E-28)
Как показывают квантовомеханические расчеты (см. следующий па-
параграф), полуклассическая формула E.27) дает хорошие результаты

§ 5]
СЕЧЕНИЕ СВЯЗАННО-СВОБОДНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ИОНАМИ
227
и применительно к захвату на глубокие уровни, в том числе и на основ-
основной (п = 1), несмотря на то, что движение электрона в основном состоя-
нии уже не квазиклассично (ЕК1Ш = —^- = JnZ*) *).
Вычислим с помощью формулы E.27) полное эффективное сечение
фотозахвата электрона с данной энергией Е = mv2/2 на все уровни водо-
водородоподобного иона. Для этого следует просуммировать сечение асп по
формуле E.27) по всем п от 1 до оо с учетом того, что испускаются кванты
различных энергий, которые даются форму-
формулой E.28):
?
О
E.29)
Здесь через ф обозначена сумма но п.
В грубом приближении при малых энергиях
электронов Е < /HZ2,
s
п=1
Торможение
ш
ш.
Захват
i
1
f,
1
1
п* « (IHZ2/EY\ Для небольших (но и не
очень малых) энергии электронов, когда Е
меныпе IhZ2, но сравнимо с этой величиной,
сумма ср порядка 1 и сечение захвата
Рис. 5.4. Схема, поясняющая
соотношение между энергетиче-
энергетическими интервалами конечных
состояний электрона при тор-
торможении и захвате ионом,
равно примерно о"с та 10~21 ¦?— см2.
Интересно сравнить интегральное эффективное излучение свободного
электрона с данной энергией Е при торможении в поле водородоподобного
иона с интегральным излучением при фотозахвате, т. е. величины qTopu ==
= \ dqv= \ hvde^
e70I>u и q3ax = ^ h\acn. Первая величина согласно E.8)
п
равна <7торм= (dqvldv) Elh, а вторая, в силу самого вывода сечения осп
(см. формулу E.26)), дзах = ^ . *Щ- , где постоянная dqv/dv, опреде-
определяется формулой E.8). Обе величины, дторм и q3aXi пропорциональны
энергетическим интервалам возможных конечных состояний электрона
(рис. 5.4) и относятся друг к другу как эти интервалы:
9торм	-^
§ 5. Эффективное сечение связанно-свободного
поглощения света атомами и ионами
Рассмотрим процесс, обратный фотозахвату,— фотоионизацию водо-
водородоподобного атома, т. е. поглощение кванта с переходом электрона
в непрерывный спектр.
Как и при вычислении тормозного поглощения, воспользуемся
принципом детального равновесия.
*) Начальное же движение свободного электрона предполагается квазикласси-
квазиклассическим, т. е. начальная энергия Е С /j^Z2-
15*

228	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
В 1 см3 в 1 сек происходит
N+Nef(v)dv'V-om	E.30)
актов фотозахвата электронов со скоростями от у до v + dv на п-й уро-
уровень ионов. При этом испускаются кванты с частотами от v до v-\-dv,
которые связаны со скоростью электрона соотношением E.28).
Число обратных процессов: актов фотоионизации «атомов», пребы-
пребывающих в п-ш квантовом состоянии, квантами с частотами от v до v-j-
-\-dv, равно
U	~ hv
Nnl?-dv.c.om{l-e hT),	E.31)
где crvn—эффективное сечение поглощения кванта hv атомом в га-м
состоянии, Nn — число таких атомов в 1 см3; множитель A—e~hv^kT), как
и раньше, учитывает процессы вынужденного испускания. В условиях
полного термодинамического равновесия / (и) — функция максвеллов-
ского распределения электронов, Z7vp—функция Планка; число воз-
возбужденных атомов Nn выражается формулой Больцмана:
^e	Ni
,	1_ч
 К	E.32)
где gn = 2ге2 — статистический вес n-го уровня водородоподобного атома,
a Ni—-число атомов в 1 см3, пребывающих в основном состоянии; gi = 2;
( 1	г ) = I ( ^	2)~"энеРгия возбуждения n-го со-
состояния.
Числа свободных электронов, ионов и «нейтральных» атомов (если
Z>1, то «нейтральный» водородоподобный атом представляет собой
ион с зарядом Z — 1) связаны между собой уравнением Саха (см. фор-
формулу C.44) в § 5 гл. III):
3	I
2nmkT \~y »+ ~кт	E 33)
N	\ h2
причем в данном случае электронная статистическая сумма иона и+ = \.
Число «нейтральных» атомов в 1 см3 N = uNJgi, где и—электронная
статистическая сумма атома.
Приравнивая друг другу числа прямых и обратных процессов E.30),
E.31) с учетом всех сделанных замечаний о входящих в формулы вели-
величинах, найдем связь сечений фотоионизации и фотозахвата
,2
и+
Подставляя сюда асп по формуле E.27), получим эффективное сече-
сечение поглощения кванта hv водородоподобным атомом, заряд «атомного»
остатка которого равен Z и который находится в п-ш квантовом состоя-
состоянии:
64 elOmZi _7 9-Ю-18 п ( Vn У*см*	(^ 44)
Здесь через vn обозначена минимальная частота кванта, который спо-
способен вырвать электрон с п-то уровня: h\n = 1нг2/п2 (см. форму-
формулу E.28)).

§ 5]	СЕЧЕНИЕ СВЯЗАННО-СВОБОДНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ИОНАМИ	229
Характерной особенностью сечения является обратная кубическая
зависимость от частоты ат — (vn/vK. Сечение максимально у порога
поглощения при v = vn. Формула E.34) известна в литературе под назва-
названием формулы Крамерса.
Несколько более строгое, квантовомеханическое, рассмотрение фото-
фотоионизации водородоподобных атомов с высоких уровней приводит к фор-
формуле, отличающейся от E.34) поправочным множителем [4]:
V
В большинстве практически интересных случаев этот множитель весьма
близок к единице, так что его, как правило, можно не учитывать.
Полуклассическая формула E.34), по самому своему выводу спра-
справедливая лишь для высоковозбужденных состояний п > 1, тем не менее
дает хорошие результаты даже при применении ее к фотоионизации с основ-
основного уровня п = 1.
Квантовомеханические расчеты эффективного сечения фотоэффекта
с АГ-оболочки атомов, т. е. для основного состояния водородоподобного ато-
атома, выполненные с точными волновыми функциями свободного электрона,
в кулоновском поле дают [5] (из расчета на один электрон, как и E.33)):
.6,34-10-18^^	.. .. _..	E35)
o-vx^8'32;!0 18(-^Г, v-Vi-Vt;	E.36)
5,42-10-17 f Vl V>5
Первая из формул соответствует области вблизи границы поглощения,
последняя — когда энергия освобождающегося электрона значительно
больше энергии связи hvt = /н22, что соответствует переходу к борновскому
приближению.
Сопоставление формулы E.34), в которой положим п = 1, с формулами
E.35),,E.36) показывает, что на границе поглощения, при v = vt, «полу-
«полуклассическое сечение» E.34) равно 7,9-10~18/Z2 см2 и всего на 25% больше
квантового E.35). При v — vt ~ vb т. е. когда энергия освобождающегося
электрона порядка энергии связи его в основном состоянии атома, формулы
E.34), E.35) совпадают с точностью 5% и даже дают одинаковую зависи-
зависимость от частоты. Сильное расхождение наступает только при hv > /н^2,
когда энергия освобождающегося электрона Е > InZ2, т. е. в борновской
области, где положение противоположно квазиклассическому.
Как будет видно из дальнейшего, столь большие кванты всегда нахо-
находятся в далекой виновской области спектра и в условиях, близких к тепло-
тепловому равновесию, практически не играют роли. Таким образом, полу-
полуклассическую формулу E.34) приближенно можно распространить на
фотоионизацию со всех уровней водородоподобных атомов. Точно так
же формула для фотозахвата E.27) применима для захвата электрона на
все уровни, вплоть до основного, что и было использовано в предыдущем
параграфе при вычислении полного сечения захвата.
Рассмотрим коротко, чего можно ожидать от применения к сложным
атомным системам формул, выведенных для водородоподобных атомов.

230	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
Маленькие кванты, значительно меньшие потенциала ионизации атома
или иона I, поглощаются (с выбиванием электрона) только высоковоз-
высоковозбужденными атомами (ионами), энергия возбуждения которых не меньше
чем / — hv. Но в сильно возбужденных состояниях оптический электрон
движется по большой орбите, в области которой поле «атомного остатка»
весьма близко к кулоновскому, создаваемому зарядом, равным заряду
«остатка». Поэтому можно надеяться, что в этом случае приближение
«водородоподобности» является оправданным, К сожалению, нет точных
квантовомеханических расчетов поглощения высоковозбужденными ато-
атомами и ионами, которые могли бы подтвердить это довольно вероятное
предположение.
Имеющиеся немногочисленные расчеты относятся главным образом
к фотоэффекту из основного состояния атомов (для ионов данные еще более
скудны).
В этом случае поле, в котором движется поглощающий электрон, соз-
создается сложной системой зарядов ядра и остальных электронов, размеры
которой таковы же, что и «орбита» электрона, и, конечно, поле сильно
отличается'от кулоновского. Точно так же волновая функция электрона
сильно отличается от волновой функции ^-состояния водородоподобного
атома. Для ряда атомов эффективные сечения фотоионизации с основного
состояния очень сильно отличаются от соответствующего сечения для
атома водорода, равного согласно E.34) aVl = 7,9¦ 10-ls (vj/vK см2 (на гра-
границе поглощения а* = 7,9-10~18 см2), для других же они весьма близки
на границе поглощения, но имеют другую зависимость от частоты. Так,
например, у кислорода и фтора на границе поглощения сечения равны
примерно 2,5-108 см2, а затем почти не зависят от частоты вплоть до
v ж 2vj. У азота на границе а* = 7,5-108 см2, а углерода а* = 10 х
X 10~18 см2, но сечения спадают с увеличением v медленнее, чем пропорци-
пропорционально v~3, как у водородоподобных атомов*); у лития а* = 3,7-10~18,
у кальция а* = 25-Ю"8 см2. Особенно велико отличие от «водородоподоб-
«водородоподобности» у щелочных металлов. У натрия а* = 0,31 • 10~18 см2.
Экспериментальные значения для рубидия о* = 0,1-10'18 см2, для
цезия а* = 0,6-10~18 см2. Более подробный обзор имеющихся данных
можно найти в статье Бейтса [7]. К счастью, как мы увидим ниже, в до-
достаточно разреженных газах в состояниях, близких к термодинамическому
равновесию, роль больших квантов, превышающих потенциалы иониза-
ионизации атомов и ионов, сравнительно мала, так что сильные расхождения
в этом случае не делают бессмысленным использование приближения
«водородоподобности».
Недавно А. В. Ивановой (84, 85) были проведены строгие квантово-
механические расчеты эффективных сечений фотоионизации с основных
и многих возбужденных уровней литиеподобных атомных систем: атомов
лития, четырехкратных ионов азота, пятикратных ионов кислорода.
Волновые функции вычислялись методом Хартри — Фока. На основе
найденных сечений рассчитаны коэффициенты поглощения ионов N+4,
О+5 с 20 уровней для широкого интервала частот и температур.
В некоторых случаях имеют большое значение фотозахват электронов
нейтральными атомами с образованием отрицательных ионов и, соответ-
соответственно, фотоэлектрическое поглощение квантов отрицательными ионами.
Это относится к отрицательным ионам водорода, играющим важнейшую
*) Графики для сечений фотоионизации из основных состояний О, N, F, С при-
приведены в книге [6].

3 6]
НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫМИ АТОМАМИ
231
роль в поглощении света в звездных атмосферах, и отрицательным ионам
кислорода, существенным для поглощения света в воздухе в некоторых
условиях. Энергии связи или потенциалы ионизации отрицательных ионов,
определяющие нижнюю границу поглощения hvmin, равны 0,75 эв для
9-
8
7
В
3
г
1
-
-
-
1 i I
1 1 1
-
-
\ :
i i i 1
OJ 0J 0,4 0,5 0,6 0,7
0,8
0,9
Рис. 5.5. Эффективное сечение поглощения света отрицатель-
отрицательными ионами кислорода О~.
водорода, 1,45 эв для атомарных ионов кислорода О~ порядка нескольких
десятых электронвольт для молекулярных ионов О~. Зависимость сечения
от частоты не имеет ничего общего с законом v~3. На рис. 5.5 представлены
результаты квантовомеханических расчетов эффективного сечения фото-
фотоионизации О". График взят из работы [8]. Около теоретически рассчитан-
рассчитанной кривой указаны экспериментальные точки по измерениям [9].. Дан-
Данные по поглощению ионами Н~ можно найти в книге [6].
§ 6. Коэффициент непрерывного поглощения в газе
из водородоподобных атомов
Вычислим коэффициент связанно-свободного поглощения квантов hv
водородоподобными атомами, заряд «ядра» которых равен Z. При данной
температуре в газе присутствуют атомы, возбужденные до всевозможных
энергий. Если Nn — число атомов в 1 см3, находящихся в га-м квантовом
состоянии, a avn — эффективное сечение поглощения кванта hv этими
атомами, то коэффициент поглощения равен *)
п*
E.38)
Нижний предел в этой сумме определяется из условия, что энергия
кванта больше энергии связи электрона в атоме, hv > | Еп | . В про-
противном случае квант не сможет вырвать электрон и, следовательно, атомы,
возбужденные до состояний с п < п*, для которых Еп > hv, не
*) Отметим здесь коэффициент связанно-свободного поглощения штрихом, чтобы
отличать его от коэффициента свободно-свободного поглощения, который будем отме-
отмечать двумя штрихами.

232
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
участвуют в поглощении квантов hv. В частности, если энергия кванта
превышает энергию связи электрона в основном состоянии атома, т. е. по-
потенциал ионизации / = /н-Z2, то в поглощении участвуют все атомы
(и* = 1). В поглощении очень маленьких квантов hv < Is.Zz участвуют
только высоковозбужденные атомы (га* > 1).
Кривая поглощения в зависимости от частоты имеет характер «часто-
«частокола», как это изображено на рис. 5.6. Как только энергия hv, возрастая,
достигает энергии связи электрона в каком-нибудь состоянии | Еп | ,
амтомы, возбужденные до этого уровня, включаются в поглощение и коэф-
коэффициент поглощения вырастает скачком. Затем, вплоть до включения сле-
следующего уровня, Xv уменьшается ~v~3r
в соответствии с законом avn~v~3. Каждый
уровень вносит свой «зубец» в частокол Nnovn
(пунктирные линии на рис. 5.6), а полный
коэффициент поглощения v.'v получается
путем суммирования всех «зубцов» (сплош-
(сплошная линия на рис. 5.6).
Если газ находится в состоянии тер-
термодинамического равновесия, число атомов
в га-м состоянии Nn определяется формулой
Больцмана E.32). При больших га, когда пока-
показатель в экспоненте практически не зависит
от га, число атомов Nn просто пропорцио-
пропорционально га2 (gn = 2га2).
Поскольку эффективное сечение avn ~
Ху
\
\
N.
Рис. 5.6. «Частокол» погло-
поглощения.
Пунктирные кривые соответству-
соответствуют поглощению атомами в данном
квантовом состоянии. Сплошная
кривая — суммарный коэффициент
поглощения. Рисунок схематиче-
схематический.
~ га"8, слагаемые в сумме E.38) при га -*- оо
уменьшаются пропорционально 1/га3, так что вклад в поглощение света
данной частоты все более высоких уровней весьма быстро уменьшается,
а сама бесконечная сумма сходится *).
Будем интересоваться температурами, при которых степень иониза-
ионизации невелика. Как было показано в § 5 гл. III, заметная ионизация в не
слишком плотном газе начинается, когда кТ еще гораздо меньше потенци-
потенциала ионизации /. Число возбужденных атомов при этом весьма мало, так
как для возбуждения даже самого низкого состояния га = 2 необходима
энергия, близкая к потенциалу ионизации и равная -т-1.
Таким образом, при кТ «С / число атомов в основном состоянии Nt
весьма близко к полному числу атомов N = ~?Nn и в формуле Больцмана
E.32) можно положить приближенно N^ « N. Подставляя при этом усло-
условии Nn и avn по формулам E.32), E.34) в выражение E.38) и вводя обозна-
обозначения:
хп =
х =
\Еп
кТ
кТ
1 Ei
кТ
IHZ*
~ кТ
1
~ кТ
xi
кТ
E.39)
*) В реальном ионизованном газе из-за взаимодействия атомов и ионов верхние
возбужденные уровни срезают (см. §6 гл. III), так что на самом деле число членов
в сумме E.38) конечно. В данном случае в обрезании суммы по п нет необходимости,
так как сумма быстро сходится.

§ 6]	НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫМИ АТОМАМИ	233
получим коэффициент связанно-свободного поглощения в виде
оо
и'	z^l	е mZ N у _J_ р—(хх-хп)	(ь. Ш\
Чтобы получить полный коэффициент непрерывного поглощения, к x'v
следует присоединить коэффициент тормозного поглощения свободными
электронами в поле ионизованных атомов —«водородоподобных ионов»,
который дается формулой E.21). Выражая в этой формуле произведение-
N+Ne через число «нейтральных» атомов по формуле Саха E.33) и имея
в виду, что и ж gt = 2, N ж Nu перепишем коэффициент тормозного-
поглощения в виде
Суммарный коэффициент xv = Xv + Xv равен
CO
64Я*
x
E.42V
n*
Эта формула значительно упрощается, если энергия кванта мала
по сравнению с потенциалом ионизации, так что квант поглощается только-
высоковозбужденными атомами (п* велико). Поскольку уровни с возра-
возрастанием п быстро сгущаются, суммирование при больших п можно заменить
интегрированием («дифференциал» соответствует Аи = 1). Интегрирование
по п эквивалентно интегрированию по спектру энергетических состояний
с заменой дискретного спектра непрерывным в соответствии с равенством
dn __	1 dxn
й3" ~~ ~~ ~2~х[ '
В качестве нижнего предела интеграла по хп следует, очевидно, взять
безразмерную энергию кванта х = hv/kT. Таким образом,
со	О
2 -i e-(*i-^~ _ ij j e**dxn = ^L (** -1).	E.43)
n*	x
Если формально распространить суммирование или интегрирование-
на «отрицательные энергии связи» или, что то же самое, на энергии «воз-
«возбуждения» Xi — хп, превышающие потенциал ионизации, то интеграл
по хп от 0 до —оо дает величину e~Xl/2xi, в точности соответствующую сво-
свободно-свободным переходам. Этого и следовало ожидать, так как состояния
атома с «возбуждением», превышающим потенциал ионизации, представ-
представляют собой состояния с оторванным электроном, а непрерывный переход
от связанных состояний электрона к свободным был с самого начала поло-
положен в основу вывода эффективного сечения связанно-свободного погло-
поглощения.
Подставляя выражение E.43) в формулу E.42), выделяя в коэффи-
коэффициенте, стоящем перед фигурными скобками, множитель I/kT = I^Z2/kT
и сокращая его с величиной хи содержащейся в знаменателе E.43), полу-
получим окончательную формулу для коэффициента поглощения малых кван-
квантов hv < / *):
=0,96-10 7-^г	ч	см1. E.44)
*) Ее часто называют формулой Крамерса — Унзольда.

234	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
Коэффициент поглощения xv пропорционален не Z4, как это может
показаться при взгляде на формулу E.40), а только Z2. Чтобы пояснить
это, вспомним, каково происхождение множителя Z4 в формуле E.40).
Один множитель Z2 входит в коэффициент в связи с пропорциональностью
эффективного сечения поглощения квадрату «ускорения» электрона
в кулоновском поле (по классической трактовке) или квадрату матрич-
матричного элемента энергии взаимодействия с «ядром» (по квантовой). Другой
же множитель Z2 появился вследствие пропорциональности сечения погло-
поглощения ovn расстоянию-между уровнями, которое в свою очередь пропор-
пропорционально полному энергетическому интервалу связанных состояний,
/ = IhZ2.
Сечение ачп, действительно, пропорционально энергетическому рас-
расстоянию между уровнями, так как этому расстоянию пропорционально
сечение фотозахвата (см. формулу E.21)), которое связано с сечением
поглощения принципом детального равновесия. При суммировании пар-
парциального коэффициента к'т = Nnavn по уровням или, что то же самое,
при интегрировании по энергетическому интервалу связанных состояний,
участвующих в поглощении данного кванта, последняя зависимость от Z2
исчезает. Сделанное замечание о зависимости xv от Z существенно для пере-
перехода к многозарядным ионам (см. ниже).
Как видно из формул E.42), E.43), связанно-свободные переходы
и свободно-свободные переходы вносят в суммарный коэффициент непре-
непрерывного поглощения xv доли, которые относятся друг к другу как
ftv
(ех — l):l = (eftT —1):1.
Отсюда следует, что в поглощении больших квантов hv > кТ основ-
основную роль играют связанно-свободные переходы, а в поглощении малень-
маленьких квантов hv < кТ — свободно-свободные.
§ 7. Непрерывное поглощение света в одноатомном газе
в области первой ионизации
Рассмотрим непрерывное поглощение света в одноатомных газах,
таких, как инертные (аргон, ксенон и др.) или пары металлов, в области
первой ионизации. Газ будем предполагать одноатомным для того, чтобы
исключить из рассмотрения квазинепрерывные молекулярные спектры
{если диссоциация молекул почти полная, то, очевидно, любой газ являет-
является одноатомным).
Область первой ионизации лежит в диапазоне температур порядка
6000—30 000° К (в зависимости от потенциала ионизации атомов и плот-
плотности газа) и представляет большой интерес в связи с многочисленными
лабораторными исследованиями и практическими приложениями. При
более высоких температурах начинаются вторая и последующие иониза-
ионизации, которые необходимо учитывать при рассмотрении поглощения, что
будет сделано в следующем параграфе.
Рассмотрим сильно возбужденный атом как водородоподобную систе-
систему: «оптический» электрон (которым является один из внешних валент-
валентных электронов) движется по большой орбите в поле ядра и остальных
электронов. Если размеры этой системы зарядов, образующих «атомный
остаток», невелики по сравнению с размерами орбиты «оптического»
электрона, что как раз и имеет место в случае больших возбуждений

$ 7]	НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ОБЛАСТИ ПЕРВОЙ ИОНИЗАЦИИ	235
атома, то ее можно представить как точечный заряд Z = 1, создающий
кулоновское поле (если имеем дело не с нейтральным атомом, а с ионом,
то Z на единицу больше заряда иона; см. следующий параграф).
Распространяя результаты, полученные для водородоподобных ато-
атомов, на сложные атомы, естественно под потенциалом ионизации в форму-
формулах понимать истинный потенциал данного атома.
В самом деле, основным фактором, определяющим температурную
зависимость коэффициента поглощения квантов, значительно меньших
потенциала ионизации, является больцмановский множитель
ехр [ — (/ — hv)lkT],
которому, пропорционально число атомов, возбужденных настолько,
чтобы квант был в состоянии вырвать из них электрон. Этот множи-
множитель, безусловно, присутствует совершенно независимо от того, водоро-
доподобный атом или сложный. Один из сомножителей больцмановского
¦фактора, ехр (— IIkT), описывает степень ионизации, точнее, произведе-
произведение N+Ne, которому пропорционален коэффициент тормозного поглощения,
опять-таки независимо от типа атома.
В сложных атомах каждый из «водородоподобных» уровней с данным
главным квантовым числом п расщепляется на несколько уровней в соот-
соответствии со своим статистическим весом. Это связано с тем, что в сложных
атомах вследствие отклонений поля от кулоновского отсутствует /-вырожде-
/-вырождение, и энергии уровней с данным главным квантовым числом п, но раз-
различными орбитальными числами I не совпадают (в отличие от водородо-
водородоподобных атомов).
Если принять во внимание такое «размножение» уровней в сложных
атомах, которое приводит к появлению большего числа более тесно рас-
расположенных «зубцов» в «частоколе» кривой % (v), то замена суммирования
по уровням интегрированием или замена «частокола», усредненной гладкой
кривой представляется даже более естественной, чем в случае водородо-
водородоподобных атомов (Унзольд [10]).
Поглощение квантов, значительно меньших потенциала ионизации,
по-видимому, должно неплохо описываться формулой E.44), выведенной
для водородоподобных атомов, причем для нейтральных атомов следует
считать Z равным единице. В самом деле, высокие уровни, с которых только
и вырываются электроны маленькими квантами, в сложных атомах весьма
близки к «водородоподобным», так как поле на больших расстояниях от
атомного остатка весьма близко к кулоновскому.
Что касается больших квантов, которые поглощаются атомами, нахо-
находящимися в основном или низких возбужденных состояниях, то здесь
использованием формулы E.44) может, конечно, привести к значительным
ошибкам *).
Формула E.44) становится вообще бессмысленной при энергиях кван-
квантов, превышающих потенциал ионизации hv > /, х > х±. В этом случае
в сумме по п участвуют все уровни от п = 1 до оо и формула E.43) с пере-
переменным нижним пределом интегрирования теряет смысл. Сумма по уровням
в этом случае просто постоянна и не зависит от v (от х). Подавляющую роль
в поглощении квантов hv > I играют атомы, находящиеся в основном
состоянии, и приближенно сумму можно считать равной первому члену,
*) См. § 5, стр. 230, где приведены результаты вычисления сечения поглощения
квантов некоторыми атомами, находящимися в основном состоянии.

236
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
т. е. единице. Это дает приближенную формулу
N72 9-v
_
3/3
E.45)
при х > Zj, /iv > /,
которой следует заменить формулу E.44) при hv > /.
Найдем средний росселандов пробег одноатомного газа в области
первой ионизации. Росселандов пробег определяется обратной величиной
коэффициента поглощения, т. е. пропусканием.
Спектральная длина пробега /v = l/xv, характеризующая пропуска-
пропускание, схематически изображена на рис. 5.7. Частотные области пропуска-
пропускания противоположны областям поглощения и находятся вблизи скачков
со стороны меньших частот. В области энергий квантов hv, превышающих
потенциал ионизации, практически никакого пропускания нет, так как
эти кванты очень сильно поглощаются
атомами, пребывающими в основном состо-
состоянии.
Основной вклад в перенос лучистой
энергии дают кванты, соответствующие
максимуму весовой функции в росселандо-
вом интеграле B.80) x = hv/kT » 4. Если
температура значительно меньше потен-
потенциала ионизации, как это обычно и бывает
в области первой ионизации не слишком
плотного газа, поглощение таких кван-
квантов можно приближенно описывать
формулой E.44), которая тем точнее,
чем меньше hv, и которую можно исполь-
использовать для вычисления среднего пробега («частокол» пропускания п»
этой формуле заменяется гладкой кривой х3е~х, изображенной на
рис. 5.7 пунктиром).
Поскольку большие частоты х > xt не вносят практически никакого-
вклада в росселандов интеграл B.80), вычислять этот интеграл можно,,
распространяя формулу E.44), имеющую смысл только при х < xY,
и на х > Xi. Действительно, формула E.44) формально обеспечивает
очень быстрое затухание пропускания при х > xit ж->-оо. Подставляя
выражение E.44) в росселандов интеграл B.80), получим росселандов
пробег *)
Рис. 5.7. «Частокол»пропускания.
Сплошная кривая — длина пробега
как функция частоты. Пунктирная
кривая — пробег, оглашенный по зуб-
зубцам. Рисунок схематический.
см.
E.46)
Следует отметить, что если вычислять росселандов пробег с коэф-
коэффициентом поглощения, взятым не по формуле E.44), а по «точной» фор-
формуле для водородоподобных атомов E.42), т. е. без замены «частокола»
пропускания гладкой кривой, получаются значения пробега раз в пять
большие, чем это дает формула E.46) ( при xt = ¦=-=, ~ 10
*) Появляющийся при этом интеграл \ x3e~xGf (x) dx = 0,87.

§ 7]	НЕПРЕРЫВНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ОБЛАСТИ ПЕРВОЙ ИОНИЗАЦИИ	237
Приведем пример вычисления росселандова пробега по формуле E.46).
Для водорода при Т = 11 600° К = 1 эв, N = 1019 см~3 получим / =
= 100 см (степень ионизации при этих условиях равна 0,02).
Если формально вычислить по формуле B.105) с помощью формул
E.44), E.45) средний коэффициент поглощения, характеризующий интег-
интегральную лучеиспускательную способность газа хи то для соответствующей
длины пробега получим
А 2,10]Це^с*.	E.47)
Следует, однако, заметить, что эта формула может содержать боль-
большую ошибку, так как в интеграле B.105) основную роль играет область
больших частот х > хи для которой приближение водородоподобности
выполняется хуже всего (испускаются в основном большие кванты при
захвате электронов на основные уровни атомов).
Коэффициент непрерывного поглощения небольших квантов, гораздо
меньших потенциала ионизации кТ < /, в области первой ионизации при
кТ < / зависит от температуры в основном по закону kv ~ ехр ( — IIkT),
т. е. очень резко. Соответственно средний пробег I пропорционален
ехр (I/кТ). Больцмановская температурная зависимость поглощения
характерна как для связанно-свободных переходов, так и для тормоз-
тормозного поглощения в поле ионов, т. е. для обоих слагаемых k'v и и'у в xv
{так как н"ч ~ N+Ne ~ el^hT).
В ряде работ предлагаются способы усовершенствования формул
Крамерса и Крамерса — Унзольда, выведенных для водородоподобных
атомов, при применении их к сложным атомам. Унзольд [11 ] вводит вместо
заряда «атомного остатка» Z эффективный заряд Z*, который опреде-
определяется таким образом, чтобы величина En<i = — I-rZ* /n2 отвечала фак-
фактической энергии уровня сложного атома с данными главным и орбиталь-
орбитальным квантовыми числами п и I. Кроме того, формула Крамерса умно-
умножается на у/20, где y равно отношению числа подуровней сложного
атома при данных п и I к аналогичной величине у водорода, а 20 —• ста-
статистическая сумма атома. Унзольд [11] и др. [12] рекомендуют брать
для всех уровней Z* га 4—7, отвечающее энергии основного состоя-
состояния атома.
Берджесс и Ситон [13], используя одноэлектронные полуэмпириче-
полуэмпирические волновые функции, найденные с помощью метода квантового дефек-
дефекта *), получили общее выражение для сечения фотоионизации произволь-
произвольного атома или иона.
Л. М. Биберман и Г. Э. Норман [14], взяв за основу формулу Берд-
жесса и Ситона, развили приближенный метод вычисления коэффициента
непрерывного поглощения для неводородоподобных атомов. Коэффициент
поглощения представляется ими в виде формулы типа Крамерса — Ун-
Унзольда, в которой множитель Z2 заменяется некой функцией частоты
и, вообще говоря, температуры | (v, T). Эта функция была вычислена
ими для атомов О, N, С (приближенно она не зависит от температуры).
*) Квантовым дефектом называют величину Ди (Еп, i) = п — nf, где п— глав-
главное квантовое число для уровня Еп, i атома, a nf — эффективное число, такое, что
Еп< i = — InZ*/ri][2. Квантовый дефект характеризует отклонение энергии уровня
сложного атома или иона от энергии соответствующего уровня водородоподобного
атома.

238	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
Очень высокие уровни атомов всегда «водородоподобны», поэтому очень
маленькие кванты поглощаются так же, как и в водороде: при hv -v О
I -> 1 (при Z = 1).
При увеличении энергии кванта от нуля до hv ~ 4 эв коэффициент g,
монотонно уменьшается для этих атомов до величины <~V5. В работе [15].
функции вычислены для ряда других атомов (Li, Al, Hg, Kr, Xe, Аг).
Например, для аргона в видимой области спектра hv х 2—3 эв, | « 1,5—2.
Величина | меняется нерегулярным образом от атома к атому.
Результаты, полученные методом квантового дефекта, неплохо согла-
согласуются с экспериментом. Обзор этих результатов дан в работе [55].
Имеются экспериментальные данные о том, что теория Крамерса —
Унзольда дает неплохие результаты в применении к инертным газам.
Так, в работе А. П. Дронова, А. Г. Свиридова и Н. Н. Соболева [421
изучался сплошной спектр свечения криптона и ксенона в ударной трубе.
Измеренные интенсивности удовлетворительно согласуются с рассчитан-
рассчитанными по теории Крамерса — Унзольда.
§ 8. Средние пробеги излучения при многократной ионизации
атомов газа
При высоких температурах, порядка нескольких десятков тысяч
градусов и выше, атомы газа многократно ионизованы. Молекулы при
таких температурах полностью диссоциированы, так что все газы являют-
являются «одноатомными» и ведут себя в отношении поглощения света одина-
одинаковым образом. Найдем средние пробеги излучения в многократно иони-
ионизованном газе. (Излагаемые ниже результаты были получены в работе
одного из авторов [18].) Для простоты рассмотрим газ, состоящий из ато-
атомов одного элемента.
Расчеты ионизационного равновесия показывают, что при каждой
паре значений температуры и плотности в газе присутствуют в значитель-
значительном количестве ионы только двух-трех зарядов (см. § 7 гл. III). Каж-
Каждый из этих ионов вносит свой вклад в непрерывное поглощение, участ-
участвуя как в связанно-свободных, так и в свободно-свободных переходах.
Те же расчеты свидетельствуют о том, что в газе не слишком большой
плотности потенциалы ионизации ионов, присутствующих в большом
количестве, всегда гораздо больше, чем кТ. Например, в воздухе с плот-
плотностью в 100 раз меньшей, чем нормальная, «средний» потенциал иониза-
ионизации ионов / (соответствующий ионам со «средним» при данных температуре
и плотности зарядом) примерно в 11 раз больше, чем кТ. Следовательно,
кванты с энергиями hv, в 3—5 раз превышающими кТ, которые играют
главную роль в переносе лучистой энергии, поглощаются не с основного,
а с возбужденных уровней ионов. Как и в случае нейтральных атомов,
это может служить основанием для перенесения на многозарядные ионы
формул, выведенных для водородоподобных атомов. Более того, для
многозарядных ионов приближение водородоподобности является даже
более оправданным, чем для нейтральных атомов, так как поле «атомного
остатка» многозарядного иона тем ближе к кулоновскому, чем больше
заряд «остатка».
Будем рассматривать непрерывное поглощение многозарядными
ионами как поглощение водородоподобными атомами с соответствующим
зарядом.
Пусть в газе, содержащем N ядер в 1 см3 при температуре Т,
в 1 см3 имеется Nm атомов ионизованных тп раз (будем их называть для

§ 8]	СРЕДНИЕ ПРОБЕГИ ПРИ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ	239'
краткости ш.-ионами). Суммарный коэффициент связанно-свободного пог-
поглощения пг-ионами и свободно-свободного поглощения в поле т + 1-ионов
будем описывать формулами E.44), E.45), в которых положим заряд Z
равным заряду «атомного остатка» /n-ионов, Z = т + 1, и в качестве
потенциала ионизации возьмем истинный потенциал m-иона Im+i. Объ-
Объединение связанно-свободного и свободно-свободного коэффициентов для
многозарядных ионов вполне соответствует такому же объединению
в области первой ионизации. В самом деле, коэффициент свободно-свобод-
свободно-свободного поглощения в поле т + 1-ионов пропорционален произведению
Nm+iNe, которое, как и раньше, по формуле Саха C.44) выражается
через число m-ионов Nт. Запишем суммарный коэффициент поглощения
в виде
Р-е-^шРт(х),	E.48)
где
-^ГТ = 0,96-Ю см2 град2,
hck '	ft
x = hv/kT,
(х) заключена частотная зависимость
Fm{x)=~ при х<.хш.	E.49)
Для квантов, превышающих потенциал ионизации, положим в соот-
соответствии с E.45)
Fm (х) = 2хт-^^- при x>xim.	E.50)
Чтобы получить полный коэффициент поглощения частоты v, сле-
следует просуммировать парциальный коэффициент xvm по всем сортам
ионов, т. е. по заряду то:
xv=2>W	E 51)
т
Найдем прежде средний коэффициент поглощения xl7 характеризую-
характеризующий интегральную лучеиспускательную способность.
Подставляя спектральный коэффициент xv в формулу B.105) и вычи-
вычисляя интеграл по спектру, получим
Чт.	E.52)
Теперь найдем средний росселандов пробег, для чего подставим xv
в формулу B.80):
со
\qlM^r-	•	E-53)
Здесь G' (х) — росселандов весовой множитель. В этом выражении уже
нельзя как при вычислении х1; без привлечения дополнительных сообра-

240	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
жений избавиться от интегрирования по спектру, так как здесь усредняет-
усредняется не коэффициент поглощения, который аддитивен, а его обратная вели-
величина. Однако приближенно интегрирование все же можно провести.
Согласно формуле E.49) все ионы в своей полосе пропускания, т. е. при
ж<а;,т (fev</m+i), с изменением частоты поглощают свет одинаково.
Фактически верхней границей интеграла E.53) является наименьшая
из границ пропускания, которой обладают ионы, присутствующие
в газе в столь значительном количестве, что дают заметный вклад в по-
поглощение.
Как отмечалось выше, при каждой паре значений температуры
и плотности газа в значительном количестве присутствуют ионы только
двух-трех зарядов. Поскольку средний потенциал ионизации / намного
больше кТ, границы пропускания этих ионов xim лежат за пределами
той области спектра, которая дает существенный вклад в интеграл E.53).
Поэтому приближенно можно пренебречь зависимостью функции Fm (х)
от m и вынести ее за знак суммы по т, а кроме того, распространить выра-
выражение E.49) для Fm (х) и на значения х > xim, подобно тому как это было
сделано в предыдущем параграфе. При этих упрощениях интеграл пре-
превращается в точно такой же, как и в случае нейтральных атомов (см. сно-
сноску на стр. 236). Получим
^1E.54)
Для приближенного вычисления сумм по зарядам ионов в формулах
E.52), E.54) воспользуемся способом, примененным в § 7 гл. III при
вычислении термодинамических функций газов в области многократной
ионизации. Будем рассматгшвать распределение ионов Nm как 6-функцию
около некоего «среднего» заряда т, определяемого уравнением C.57).
Как было показано в § 7 гл. III, функция распределения ионов Nm
имеет характер острого пика, описываемого гауссовой кривой Nт ~
~ ехр [ — (т — тJ/А2] (см. формулу C.58)).
Если произвести разложение множителя e~Xim, входящего в сумму
E.52), E.54), около среднего значения xim, получим, что этот множитель
зависит от т — т по закону е~ж1т ^ e-*lm-const (m-m)^ т е сла5ее)
чем Nm. Поэтому применение указанного приближенного способа вычи-
вычисления суммы по т в данном случае, так же как и в § 7 гл. III, возможно.
Вынося средние значения коэффициентов при Nm в слагаемых сумм
за знак суммирования и принимая во внимание, что 27Vm = N, получим
где хх == xim = I/kT.
Воспользовавшись формулой C.56) для замены экспоненты и под-
подставляя численное значение а, получим окончательно:
I = ' - _	 см,	E.55)

8]
СРЕДНИЕ ПРОБЕГИ ПРИ МНОГОКРАТНОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ
241
I, =
_
N*m
— см.
E.56)
Средний заряд т и средний относительный потенциал ионизации
х± = IIkT, в зависимости от температуры и плотности, определяются
путем решения уравнения C.57) *).
Как показывает проверка, ошибка, связанная с приближенным
вычислением сумм по т, весьма мала, во всяком случае заведомо меньше
возможных ошибок, связанных с использованием приближения водородо-
подобности при рассмотрении сложных ионов. Можно, однако, надеяться,
что полученные формулы E.55), E.56) дают правильный порядок вели-
величины средних пробегов и верно описывают зависимость их от темпера-
температуры и плотности газа.
Для иллюстрации численных значений средних пробегов в табл. 5.2
приведены результаты расчета для воздуха **). К сожалению, зависи-
зависимости I (T, N) и li (T, N) в широком диапазоне изменения переменных
не удается более или менее точно описать интерполяционной формулой
степенного типа, очень удобной для практических целей. В грубом при-
приближении показатели степени в законе l~ TaN~® таковы: а ~ 1,5 -н 3;
р ~ 1,6 ч-1,9.
Если проследить за зависимостью среднего пробега от температуры,
начиная с низких температур, то окажется, что функция I (T) имеет
минимум.
Таблица 5.2
Средние пробеги излучения в воздухе в области многократной
ионизации
50 000
100 000
250 000
500 000
т
1,
т
1,
h,
т
1,
к,
т
1,
к,
см
см
см
ель
см
см
см
см
1
1,4
0,053
0,02
2,72
0,13
0,05
4,85
0,72
0,24
5,2
6,8
2,0
«,р«=М*.1
10-1
1,85
2,8
0,8
3,47
2
5,15
61,5 ,
15,6
5,4
610
140
10-2
2,35
170
39
4,1
470
110
5,2
6000
1200
5,85
50 000
9 500
*) Заметим, что формулу E.55) нельзя применять к случаю полной ионизации
газа, когда связанно-свободного поглощения нет (ср. с формулой E.24)).
**) В таблице, приведенной в работе [18], была допущена ошибка. Все значения
пробегов I и ij были занижены ровно в 10 раз.
16 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

242	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
•1ь
В области однократной ионизации, при кТ < Iu I ~ ehT (см. фор-
формулу E.46)), т. е. очень быстро уменьшается с увеличением темпера-
температуры. Пробег становится минимальным в области, где начинается вторая
ионизация (в воздухе при Т ~ 20 000—40 000° К). После этого он возра-
возрастает при росте температуры, сначала медленнее, чем Т7^, а потом, при
полной ионизации, когда остается только тормозной механизм, пропор-
пропорционально Г7/* (см. формулы E.24)). Следует отметить, что возрастание
росселандова пробега не беспредельно: при очень малых поглощениях
становится существенным рассеяние света (см. § 2 гл. II), которое не учи-
учитывалось в расчетах. Длина пробега для комптоновского рассеяния кван-
квантов hv < me2 — 500 кэв в воздухе нормальной плотности равна 37 м. Это
и есть верхний предел росселандова пробега при нормальной плотности
воздуха. Подчеркнем, что характер зависимостей I (T, N), lt (T, N) и по-
порядок величины пробегов в области многократной ионизации для всех
газов примерно одинаковы, так как потенциалы последовательных иониза-
ионизации у всех элементов более или менее похожи друг на друга.
Оценим для примера лучеиспускательную способность и скорость
лучистого охлаждения прозрачной частицы воздуха с размерами R < 1и
При Т = 50 000° К и N = 10-Whopm h = 39 см, J = AaT4h = 3,6 х
X Ю13 эрг/см3сек. Внутренняя энергия воздуха в этих условиях е =
= 83 эв/апгом. Начальный масштаб времени охлаждения т = Ne/J
есть т = 1,9-Ю-6 сек AИ9
Изложенный в этом параграфе метод вычисления средних пробегов
излучения был несколько усовершенствован в работе [50].
В недавно опубликованных таблицах Н. М. Кузнецова [87] пробе-
пробеги I и 1± вычислены для воздуха по формулам E.52), E.53) на основе
рассчитанного ионизационного состава.
§ 8а. Поглощение света в слабоионизованном газе
При небольших степенях ионизации коэффициент поглощения, соот-
соответствующий свободно-свободным переходам в поле ионов и связанно-
свободным переходам, пропорционален квадрату электронной плот-
_
ности xv = Xv + Xv ~ Ne hT ~ Nj. Поэтому при невысоких темпе-
температурах и очень малых степенях ионизации на первый план выступают
свободно-свободные переходы в поле нейтральных атомов, коэффициент
поглощения для которых пропорционален первой степени электронной
плотности xVH ~ NNe ~ e . Найдем приближенно этот коэффи-
коэффициент. Для этого воспользуемся формулой E.13") для сечения излучения
и принципом детального равновесия E.19). Получающийся в результате
такого вычисления коэффициент истинного поглощения, рассчитанный
на один электрон и один атом, можно представить в следующей форме:
n Г 2
= avh | j
r (E) K
т см'
где E — mvzl2 — энергия электрона перед поглощением кванта. Эта
формула была выведена в работе авторов [62] с целью изучения пробоя
газов под действием лазерного луча Сем. § 22 и 23]. Выделенный в формуле

§ 8а]	ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В СЛАВ0И0НИ30ВАНН0М ГАЗЕ	243
множитель aVft представляет собою эффективный коэффициент поглощения
электромагнитных волн в слабоионизованном газе, который следует из
чисто классической теории [63]. В этой теории в уравнения Максвелла
для поля подставляется решение в виде бегущей волны с комплексным
значением волнового вектора. Мнимая часть вектора, которая описывает
поглощение волны, выражается при этом через электропроводность среды.
Затем с помощью кинетического уравнения Больцмана для электронов
в поле определяется электропроводность слабоионизованного газа и таким
образом появляется коэффициент поглощения энергии волны avh.
Очевидно, в пределе hv/E -*- О квантовая теория должна приводить
к классическим результатам. При таком переходе, однако, следует принять
во внимание, что в классике не существует понятия «истинного» поглоще-
поглощения, которое является квантовым. В классической теории существует
«эффективное» поглощение, которое определяется усредненной по столкно-
столкновениям разностью между набором и отдачей энергии электрона под дейст-
действием электромагнитной волны *).
Эффективному поглощению в квантовой теории соответствует раз-
разность между истинным поглощением и вынужденным испусканием и именно
этой величиной и следует оперировать при переходе к классическому
пределу.
Согласно соотношению Эйнштейна для непрерывного спектра коэф-
коэффициент переизлучения (вынужденного испускания) электрона с энергией
Е' = Е + hv равен
bVH (?') = ¦? aVH (E) = Ущ^«vh (E).	E.57')
Эффективный коэффициент поглощения малых квантов hv «С Е
есть **)
^-^~aVH(E—hv).
Подставляя сюда aVH по формуле E.57) и переходил пределу hv/E -> О,
получим
n avkE)/d In E].
Отсюда видно, что предельная величина с точностью до численного мно-
множителя порядка единицы совпадает с классическим значением avh, а при
aVu (Е) = const (votr (E) = const) совпадение полное.
Расчеты показывают, что величина a'VB (E) довольно близка к клас-
классической величине avh и тогда, когда hv не очень мало по сравнению с Е.
Таким образом, при приближенных расчетах в качестве исправленного
на вынужденное испускание коэффициента поглощения в газе можно
принять классическую величину
-.2ДГ
^v3$,	E.57")
*) Происходит ли при каждом данном столкновении набор или отдача энергии,
зависит от соотношения направлений скоростей электрона до и после рассеяния и век-
вектора электрического поля волны в момент рассеяния.
**) Если усреднить эту величину по максвелловскому распределению электронов,
получим обычный коэффициент поглощения, исправленный на вынужденное испуска-
испускание а;н = aVH (I - e-hv/hT).
16*

244	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
где \>эф = NavOtr — эффективная частота столкновений электрона с ато-
атомами *).
До недавнего времени формулой E.57") для коэффициента поглоще-
поглощения электромагнитных волн в слабоионизованном газе пользовались,
в основном, применительно к радиодиапазону и микроволнам (сантимет-
(сантиметровым волнам) [63]. Фактически же область применимости ее, и в особен-
особенности формул E.57) и E.57') для коэффициентов истинного поглощения
и вынужденного испускания, шире. При энергиях электронов порядка
нескольких электронвольт формулами можно пользоваться для оценки
поглощения оптических частот, т. е. квантов с энергией порядка элект-
электронвольт. В частности, с помощью этих формул можно рассматривать
поглощение в газах лазерного излучения в стадии развития пробоя
(см. § 22 и 23). Значения коэффициента поглощения, которые дает полу-
полуклассическая формула E.57), неплохо согласуются с результатами
квантовомеханических расчетов для водорода, выполненных Чандрасека-
ром и Брином [16], а также Омура и Омура [88]**).
Сопоставим коэффициенты поглощения света при рассеянии электро-
электрона ионом и нейтральным атомом. По формулам E.20) и E.57)
УЗ atr(E') V Е' J
Например, для водорода при Е = 1 эв, hv = 2 эв агг « 15 яа* [53]
а п	In	/-v 4О***1
11 "vhoh'"унейтр /^ iv ^
2. ЛИНЕЙЧАТЫЙ СПЕКТР АТОМОВ
§ 9. Классическая теория спектральных линий
Линейчатые спектры испускаются и поглощаются в результате свя-
связанно-связанных переходов в атомах (ионах), т. е. при переходах атома
из одного энергетического состояния в другое.
В классической теории моделью излучающего атома является упруго
связанный электрон, который совершает колебания около некоторого
положения равновесия. В нулевом приближении, без учета потерь энер-
энергии на излучение, такая система представляет собой гармонический осцил-
осциллятор. Поскольку колеблющийся электрон движется ускоренно, он излу-
излучает свет. Если потеря энергии за период одного колебания очень мала
по сравнению с самой энергией колебаний W, то скорость излучения можно
вычислить по общей формуле E.1), подставив в нее ускорение гармони-
гармонического осциллятора. Обозначим через v0 собственную частоту осцилля-
осциллятора. Если г — координата электрона, отсчитываемая от положения рав-
равновесия, то ускорение есть w = 4n2v2,r. Средняя по времени скорость
потери энергии электрона на излучение согласно E.1) равна
%{<&),	E.58)
*) Заметим, что если частота столкновений не мала по сравнению с круговой
частотой света в коэффициентах av}i, kvh появляется дополнительный множитель
v2/[v2 _j_ (гЭф/2лJ]. Об этом уже шла речь в § 2а.
**) Квантовомеханический подход имеется также в работе [17].
***) Заметим, что по [16] для тех же примерно условий X = 5965 A, hv — 2,08 эв,
Т = 7200° К, oVH = 2,5- 1(Г39 см5 и aVHOH/aVH = 12; avn0H = З-КГ38 смК

9]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
245
где d = ег — дипольный момент. Символ < ) означает усреднение по вре-
времени. Выражая средний квадрат отклонения электрона (г2) через энергию
осциллятора W, получим энергию, излучаемую в 1 сек:
dt
Комбинация
l
E.59)
E.60)
представляет собой обратную величину времени, в течение которого энер-
энергия осциллятора уменьшается в е раз (если начальная энергия осцил-
осциллятора равна Wo, то W = Woe -?').
Величина у называется постоянной
затухания.
. Условие слабого затухания у < vo>
лежащее в основе вывода формулы E.58),
всегда выполняется с большой точно-
точностью *). Так, например, для фиолето-
фиолетового света А.=4000А, v=7,5-1014 сек-1
(hv = 3,1 эв), а у = 1,4-108 сек-1;
х = 1/Y = 0,7-Ю-8 сек.
Если учесть потери энергии на из-
излучение, то в следующем приближении
осциллятор совершает уже не гармони-
гармонические, а затухающие колебания, ам-
амплитуда которых пропорциональна
_ V*
2. Следовательно, и из-
изРис. 5.8. Форма линии поглощения.
лучается теперь не собственная частота v0, а целый спектр частот. Чтобы
найти спектральный состав излучения, нужно разложить в интеграл
Фурье ускорение осциллятора (предполагается, что при t < 0 движения
нет и г = 0, го = 0). Энергия, излученная за все время в спектральном
интервале dv, Svdv, определится через Фурье-компоненту ускорения по
формуле E.4). Вычисление, которое можно найти в книге [19], дает при
v — v0 < v0:
Svdv —
W°
Згос3
E.61)
Легко проверить, интегрируя это выражение по всему спектру от
v = 0 до v = оо, что полная излученная энергия равна начальной энер-
энергии осциллятора:
оэ	со	со
\ Svdv = { S dt = S, yWoe-y*dt = Wo.
0	0	0
Можно говорить об энергии, излучаемой осциллятором в частотном
интервале dv в 1 сек. Эта величина равна ySvdv, причем в выражении
E.61) вместо Wo следует в этом случае писать W — энергию осциллятора
в данный момент времени.
*) Привлекая квантовые понятия, это условие можно переписать в виде
3 hmcs 3 he ,3
- «v0;
hv0
4я
«137» тс2 = 163 Мэв.

246	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
Спектральное распределение излучения затухающего осциллятора,
которое выражается формулой E.61), изображено на рис. 5.8. Полуширина
пика, так называемая естественная ширина, смысл которой ясен из
рис. 5.8, равна Av = у/2п.
В шкале длин волн естественная ширина не зависит от длины волны
. л сДv 4я е2 4л.	л п л л-4 л f	е2 о о л л-i ч
и равна АХ — ^г = -л	» = -s- Л>= 1,2-10 4 А ( го= —а = 2,8-10г13 см—
«радиус электрона» j .
Выше было рассмотрено самопроизвольное испускание света однажды
возбужденным осциллятором. Пусть теперь на осциллятор извне падает
монохроматическая световая волна частоты v с неизменной во времени
амплитудой. Под действием электрического поля волны упруго связан-
связанный электрон совершает вынужденные колебания. Если бы затухания
не было, световая волна в течение непродолжительного времени после
момента ее «включения» возбудила бы осциллятор, сообщив ему опреде-
определенную энергию, и после этого (в среднем по времени) больше не произ-
производила бы работы. Если же имеется затухание, вынужденные колебания
сопровождаются непрерывным излучением энергии осциллятором. Эта
энергия черпается за счет работы, производимой внешним полем.
Найдем работу, совершаемую периодическим полем световой волны
над осциллятором. Решим для этого уравнение движения осциллятора:
mr + m Bnv0J г + туг = eE0ei2nvt.
Здесь JE7o — амплитуда напряженности электрического поля. Член туг
учитывает «силу трения», связанную с затуханием. Решение этого урав-
уравнения имеет вид
г = **««*, П = ± -? Ео	^—- .	E.62)
Работа, совершаемая внешней силой в 1 сек, равна произведению
силы на скорость г. Умножая уравнение движения на т и производя усред-
усреднение по времени, в результате чего члены (rv) и {тт) исчезают, получим,
что работа в 1 сек равна
гЦ.	E.63)
Она определяется модулем комплексной величины г2.
Работа равна энергии, которая отбирается осциллятором от световой
волны в 1 сек, т. е. поглощается осциллятором.
Оставляя пока в стороне вопрос о дальнейшей судьбе поглощенной
энергии, вычислим эффективное сечение поглощения. Оно, по определению,
равно энергии, поглощаемой в 1 сек, деленной на средний по времени поток
энергии световой волны. Средний поток равен ^-2^. Таким образом,
получим эффективное сечение поглощения света частоты v. При частотах
v, не слишком далеких от резонансной | v — v0 | < v0, оно равно
a ?kW-	E>64)
Если затухание колебаний осциллятора связано исключительно с из-
излучением, то вся поглошенная энергия тратится на испускание света.

$ 9]	КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ	247
В этом случае мы имеем дело, по существу, не с поглощением света, а с его
рассеянием (в классической теории). Постоянная затухания при этом выра-
выражается формулой E.60) *).
Для эффективного сечения ослабления падающей световой волны
осциллятором получим в этом случае по формуле E.64):
_4,23-Ю2» 1	2_ 7,2-10-э; 1	2
*-	V|	l + p**- {hVgBJ 'l + l% CM>
_ (V —Vq)
S
В центре линии эффективное сечение равно avmax = -~— А,2 или orvmax =
= 7,2-10""9/(/jvmJcw2 (X = c/v — длина волны света). Это сечение очень
велико. Для видимого света hv ~ 2—3 эв avmax ~ 10~9 см2, что соответ-
соответствует длине пробега света I ~ 10~10 см при плотности атомов N ~
~ 10» 1/см3.
Возбужденный осциллятор может терять свою энергию и за счет
столкновений атомов друг с другом. В этом случае поглощенная энергия
световой волны частично переходит в тепло. Можно показать (см. [19]),
что и в этом случае колебания осциллятора описываются формулой E.62),
но только под у следует теперь понимать не естественную ширину линии
E.60), а сумму естественной ширины и величины 2/тст, где тот — среднее
время между столкновениями, приводящими к «дезактивации» осциллято-
осциллятора. Точно так же сохраняет свой вид и формула E.64) для эффективного
сечения поглощения, если под у понимать полную ширину линии, уши-
уширенной за счет столкновений.
Судьба поглощенной энергии света определяется соотношением между
¦естественной шириной у и обратным временем между столкновениями 2/тст.
Если у ^ 2/тот, что имеет место в очень разреженном газе, то поглощае-
поглощаемая энергия высвечивается (свет рассеивается); если же у < 2/тст —
энергия переходит в основном в тепло (поглощение в буквальном смысле
слова). Существуют и другие механизмы уширения спектральных линий
в газе (см. об этом [10, 53, 54]).
Пусть в «атоме» имеется fh осцилляторов с частотой vOs, а число ато-
атомов в 1 см3 равно N. Полный коэффициент поглощения света частоты v
тогда равен
2	E.66)
Обычно отдельные линии vOfc находятся друг от друга на расстоянии
гораздо большем, чем ширина линии. Подавляющую роль в поглощении
света данной частоты играют осцилляторы с собственной частотой v0,
самой близкой к поглощаемой, и в сумме E.66) остается фактически
только один член. Поскольку линии чрезвычайно узкие, поглощаются,
по существу, только частоты, очень близкие к собственным частотам осцил-
осцилляторов: поглощение имеет селективный характер. Предположим, что
на атомы падает сплошной спектр излучения с плотностью энергии Uv,
которая, как это обычно бывает, мало меняется в интервале частот порядка
ширины линии. Полное количество энергии, поглощаемой в 1 сек в 1 см3
2 е2	I Г2 I
*) Подставляя в E.58) решение E.62), получим 5 = -^--=-Bяг)*Ц?-! . При-
о	2i
(равнивая это выражение E.63), получим формулу E.60) для постоянной затухания.

248	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
осцилляторами с частотой v0, равно \ Uv dv cNovf — UvcNf \ avdv
о	о
(индекс к опущен). Поглощение на один атом характеризуется величиной,,
получаемой путем интегрирования сечения E.64). Для одной линии интег-
интеграл от сечения по частоте, т. е. площадь линии, равен
оэ
^ Mv = ^-/ = 2,64.1(r2/ см2-сект1.	E.67)
Это есть константа, зависящая только от числа осцилляторов / и не зави-
зависящая от ширины линии. Поэтому, если линия уширена, например, за счет
столкновений, то эффективное сечение теперь будет меньше, чем у линии
с естественной шириной.
Поглощение света осциллятором зависит от частоты точно так же,
как и излучение (ср. формулы E.61) и E.64)). Это находится в соответствии
с принципом детального равновесия, выполнение которого легко проверить
путем непосредственного вычисления *).
§ 10. Квантовая теория спектральных линий. Силы осцилляторов
Рассмотрим излучение и поглощение света с квантовомеханической
точки зрения.
Между результатами квантовой и классической теорий имеется глу-
глубокий параллелизм. В нулевом приближении квантовой теории атома,
соответствующем стационарным состояниям, возможны только строго
определенные уровни энергии атома (аналогично постоянству энергии
незатухающих колебаний классического осциллятора). В следующем приб-
приближении появляется возможность переходов между энергетическими
состояниями атома. В силу нестационарности состояний, по принципу
неопределенности уровни энергии (кроме основного) оказываются раз-
размытыми на величину АЕ ~ h/At, где At —«время жизни» атома в рас-
рассматриваемом состоянии, равное обратной величине вероятности спон-
спонтанных переходов на более низкие уровни. Но размытие уровней приводит
и к размытию линий на величину порядка Av ~ AEIh ~ 1/At, т. е.
порядка постоянной «затухания» IIAt, как и в классической теории.
Ширина тг-го энергетического уровня равна, в соответствии со сказанным,,
сумме вероятностей переходов на все более низкие уровни,
rn = 5Unn,,	E.68).
п'
где Апп' сек-1 — вероятность спонтанного перехода п ->- п'', так назы-
называемый коэффициент Эйнштейна для испускания.
Квантовая механика дает для скорости излучения величину
S = hvnn>Ann> =-^	-3-|^1»	E.69>
где \Л\ — матричный элемент дипрльного момента. Выражение E.69)
очень похоже на классическое выражение E.58); разница состоит лишь
*) ySv dv = Uvc d\av; это соотношение удовлетворяется, если подставить в каче-
качестве W и Uv термодинамически равновесные значения энергии осциллятора (трех-
(трехмерного) и плотности излучения, либо по классической теории: W = 3kT, Uv ==¦
= 8я\2кТ/с3, либо по квантовой.

§ 10] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ. СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ 249
в замене среднего квадрата дипольного момента удвоенным квадратом
матричного элемента того жо момента. Численные значения вероятности
излучения Апп- имеют такой же порядок, что и классическая «вероятность»,
т. е. постоянная затухания у.
Матричный элемент | d \ вычисляется для перехода между двумя
вполне определенными квантовыми состояниями. В случае вырождения
энергетических уровней можно интересоваться
средней вероятностью перехода с одного уровня на п=ю
другой. Для этого [ d j2 следует просуммировать " ''
по конечным и усреднить по начальным состояни-
состояниям. Если а, а' — квантовые числа (или наборы
чисел), соответствующих уровням п, п', то в об-
общем случае вероятность перехода между уровня-
уровнями есть
64я vln
л-3
п=2
3s Зр 3d
2s 2р
Is
? 2 <»'.«'i
а, а'
E.69')
гДе ёп — статистический вес и-го уровня. Можно
интересоваться переходами между определенными
группами состояний, принадлежащих данным
уровням; например, в случае атома водорода —
вероятностями переходов п, I —> й', V (I — орби-
орбитальное квантовое число). В этом случае суммировать в E.69') следует
только по магнитным числам т, т' (соответственно ngn заменяется nagni).
Таблица 5.3
Вероятности переходов в атоме водорода в единицах 108 сек-1
Рис. 5.9. Схема уровней
атома водорода.
Исходное
состояние
2s
2р
2
3<?
Зр
3d
3
Конечное
состояние
пр
ns
Среднее
пр
ns
пр
Среднее
п = 1
6,25
4,69
—
1,64
—
0,55
v = 2
0,063
0,22
0,64
0,43
Сумма
0
6,25
4,69
0,063
1,86
0,64
0,98
Время жиз-
жизни, Ю-8 сек
0,16
0,21
16
0,54
1,56
1,02
В таблице 5.3 приведены вероятности некоторых переходов в атоме
водорода *) (схему уровней см. на рис. 2.2 и 5.9). Зная коэффициенты
вероятности Апп', легко подсчитать интенсивности соответствующих
линий испускания. Именно, если Nn — число атомов в 1 см3, пребываю-
пребывающих в и-м возбужденном состоянии, которое можно вычислять по формуле
Больцмана, то энергия, излучаемая в линии vnn> в 1 см3 в 1 сек, равна
NnAnn' hvnn-.
Принцип детального равновесия устанавливает связь между вероят-
вероятностями поглощения и испускания света для данного перехода п ^ п .
Энергия, поглощаемая в 1 сек в 1 cms атомами, находящимися в состоянии
*) Эти данные взяты из книги Бете и Солпитера [5].

250	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
п' с переходом их в п-е состояние, равна
\ Uvc dv avn-nNn' = Nn'Uvc \ avn-ndv = Nn-Uvch\nn Bn-n,
где avn'n — эффективное сечение поглощения частоты v в пределах дан-
данного перехода п' —*- га, а Вп-п — коэффициент, характеризующий полное
поглощение в данной линии (так называемый коэффициент Эйнштейна
для поглощения). Он пропорционален «площади» линии
-vn,ndv.	E.70)
Умножая скорость поглощения на A — e-fcv/fcT) для TorOj чтобы учесть
вынужденное испускание (см. § 4 гл. II), приравнивая полученное выра-
выражение скорости испускания и подставляя плотность излучения Uv по фор-
формуле Планка, а число атомов Nn — по формуле Больцмана, получим
связь коэффициентов Эйнштейна:
Обычно принято характеризовать поглощательную способность атома
в данной линии упп>, определяемую площадью линии \ ovn'ndv, числом
классических осцилляторов с собственной частотой vnn<, которые дали
бы такой же эффект, что и рассматриваемый атом. Это число /поглп'п
называется силой осциллятора для поглощения и теперь уже не является
целым. Сравнивая площади линии по формулам E.70) и E.67) и имея
в виду E.60), найдем связь между силой осциллятора и коэффициен-
коэффициентом Эйнштейна, которая, в сущности, является определением понятия
силы осциллятора:
2 "¦'Vnn'Un'n-	("• I")
/погл п'п
Наряду с /поглп'п вводится отрицательная сила осциллятора для
излучения (переход п -*- п') по формуле
,	_ Sn- ,	_ Апп, *)
J изл nn' — " "~—/поглп'п—	3^~~	\о.Ю)
{последнее равенство получено из E.72) с помощью E.71)). Силы осцил-
осциллятора можно выразить непосредственно через матричные элементы ди-
польного момента. При помощи E.73), E.69') и E.60) найдем
?п'/поглп'п= — gn/излпп- = —ЪеЧ™' 2 (ге'> а' | й | га, аJ. E.73')
а,а'
Как видим, величины gnfnn', где первый индекс у / соответствует на-
начальному уровню, для излучения и поглощения одинаковы и, следователь-
следовательно, симметричны относительно перестановки чисел, характеризующих
начальный и конечный уровни.
*) Заметим, что число / представляет собой среднюю силу осциллятора, рассчи-
рассчитанную на одну степень свободы электрона. Полная сила осциллятора втрое больше
в соответствии с тем, что электрон в атоме обладает тремя степенями свободы. Полная
сила осциллятора для излучения | 3/иал [ = Апп,/у представляет собою отношение
квантовой «постоянной затухания» (т. е. вероятности перехода Аппг) - к классической у.

$ 10] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ. СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ 251
В дальнейшем мы всегда будем пользоваться положительными силами
осциллятора для поглощения, опуская при этом знак «погл» и обозначая
первым индексом начальное состояние.
Что касается распределения поглощения по частоте в пределах линии,
то квантовая теория приводит к такой же зависимости вероятности погло-
поглощения кванта от частоты, что и классическая формула для сечения av.
Нормируя соответствующим образом эту вероятность, можно записать
квантовую формулу для сечения поглощения в виде, аналогичном клас-
классической формуле E.64) (переставим индексы п и п', т. е. будем обозначать
нижнее состояние, из которого совершается переход с поглощением кванта,
через п : fnn>, п ->¦ п , Еп> > Еп):
-	•""-'	'	•	E.74)
Если подставить сюда значение fnn- по формуле E.73), воспользовав-
воспользовавшись выражением для у, и учесть, что c/v = X, сечение можно записать
щ виде
„	bL_li^A , Г""' 	1	_
¦где сечение в центре линии:
Я2 gn
O*
vnn' max :
п- Г«п' ¦
Ширина линии (естественная) в квантовой теории складывается из
суммарных вероятностей переходов E.68): Тпп' = Гп + Гге' *). В соот-
соответствии с определениями силы осциллятора и коэффициента Эйнштейна
Впп' E.72), E.70), площадь линии равна
csVnn-dv = -^- /„„. = 2,65 • 10-а/пп- см2 ¦ сект1.
'Она совершенно не зависит от ширины линии Тпп-, в которую при наличии
столкновений включается и член 2/тст. Это представляется весьма естест-
естественным, так как площадь линии принципом детального равновесия одно-
однозначно связывается с вероятностью спонтанного испускания, которая,
разумеется, не может зависеть от таких внешних причин, как столкновения
атомов, и определяется только строением самого атома.
Обычно в реальном газе существует ряд причин, по которым спек-
спектральные линии расширяются: столкновения частиц, доплеровский
эффект, штарк-эффект. Так, уширение за счет столкновений добавляет
к естественной ширине линии у величину, равную удвоенной вероятности
столкновений Yct = 2/тст. Доплеровское уширение равно примерно
Av = v We, где v — скорость теплового движения. Мы здесь на этом вопро-
вопросе останавливаться не будем; см. [10, 53, 54].
*) В ширины уровней Гп, Тп, включаются также вероятности, соответствующие
вынужденному испусканию. Эти члены пропорциональны плотности излучения и суще-
существенны только при достаточно больших плотностях.

252
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
§ 11. Спектр поглощения водородоподобных атомов.
Замечания о влиянии линий на росселандов пробег
Пусть на газ из водородоподобных атомов (в частности, на атомарный
водород) падает извне свет с непрерывным спектром, в котором представле-
представлены все частоты. Рассмотрим, какие из этих частот будут поглощаться ато-
атомами, пребывающими в определенном, га-м, состоянии, и какова интенсив-
интенсивность поглощения.
Атомы селективно поглощают частоты vnn<, соответствующие перехо-
переходам электрона с «-го уровня на более высокие возбужденные уровни
п' > п. Имея в виду формулу E.25) для энергии уровня, найдем связь-
этих частот с квантовыми чис-
числами и и и', так называемую
сериальную формулу Бальмера^
п4
п=3
¦n=t
= /hZVJ	1_Л_
h \ «2	n>2 J —
= v-
E.75>
v/v,.
«, is
Рис. 5.10. Спектр поглощения света атомом
водорода, находящимся в основном состоянии.
Слева — схема переходов.
где vj = IHZ2/k = vRZ2. Частота
vH = Inlh = 3,29-1015 сек-1 со-
соответствует потенциалу иониза-
ионизации атома водорода. Ее часто-
применяют в качестве единицы
частоты, называя «ридбергом».
При возрастании п' уровни и
соответственно линии упп' быст-
быстро сгущаются и в пределе п' -*- оо переходят в континуум (непрерывный
спектр), так как при поглощении частот, превышающих верхнюю границу
серии vn -= vnfOO = vjn2, происходит ионизация, и конечное соетояние
электрона попадает в непрерывный спектр энергий. Спектр поглощения
с данного уровня атома п изображен на рис. 5.10 (там же для сопостав-
сопоставления приведена схема уровней). Для определенности положено п — 1,
т. е. рисунок изображает спектр поглощения холодного газа из водоро-
водородоподобных атомов, в котором все атомы находятся в основном состоянии.
В нагретом газе имеются возбужденные уровни и спектр поглощения
представляет собой совокупность серий, соответствующих поглощению
атомами, находящимися в различных состояниях.
Вблизи верхней границы серии, где линии сильно сгущаются, начи-
начинается перекрывание отдельных линий. Это происходит, когда частотное
расстояние между линиями, которое быстро уменьшается при п' -> оо,
становится сравнимым с шириной линий. Перекрыванию линий способ-
способствует их уширение за счет столкновений, доплеровского эффекта и т. д.
Обычно перекрывание атомных линий начинается при столь больших
квантовых числах п' и настолько близко от верхней границы серии vn —
— ^„,<х>, что вся эта частотная область перекрывающихся уровней очень
узка и практически не играет никакой роли. В реальном атомарном газе
ее и не существует из-за срезания верхних уровней за счет взаимодействия
атомов и эффективного снижения потенциала ионизации.
Фактически перекрывание отдельных линий может возникать только
при поглощении света молекулами, где число линий гораздо больше, чем
в атомах, и они расположены гораздо ближе друг к другу (см. об этом
ниже).

Jil]	СПЕКТР ПОГЛОЩЕНИЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ	253
Рассмотрим переходы п -*- п' с поглощением света между высокими
уровнями с большими квантовыми числами. Движение электрона на
таких уровнях квазиклассично, и поглощение света, сопровождающееся
переходами п -> п' с п, п' > 1, можно изучать, пользуясь полукласси-
полуклассическими представлениями.
В спектральной области, соответствующей переходам с п, п' > 1,
где линии расположены очень часто и почти перекрываются, представляет-
представляется естественным сгладить зависимость эффективного сечения поглощения
от частоты путем введения усредненного сечения. Усреднение должно
производиться таким образом, чтобы суммарная площадь линий, которая
характеризует ослабление потока внешнего излучения с непрерывным
•спектром, оставалась неизменной.
Рассмотрим небольшой спектральный интервал от v до v -f Av такой,
что в нем содержится много линий, но эти линии мало отличаются друг
от друга. Кроме того, предположим, что интервал Av гораздо больше
ширины отдельной линии. Эффективное сечение поглощения частоты v
атомами, находящимися в п-м состоянии, равно ovn = 2o"vnn'-
Произведем усреднение сечения в интервале Av:
V+Av
avndv = avnAv = 2 \ °vnn'dv =
Усредним также и силы осцилляторов, определив среднее для данного
интервала Av значение fnn, = fn^. — /„ (v). Если в интервале частот от
v до v + Av содержатся линии, соответствующие конечным состояниям
от п' до п'-\-An', число которых равно А/г', то среднее сечение можно
записать в виде
—	не2 , , , Аи'	/с пп<
crvn =	fn{v)—A—•	E.76)
vn тс ln v ' Av	v '
Число линий, приходящихся на единичный спектральный интервал,
можно вычислить путем дифференцирования формулы Бальмера E.75):
В § 4 мы нашли эффективное сечение для связанно-свободных пере-
переходов, распространяя классическое выражение для эффективного излу-
излучения при свободно-свободных переходах на случай, когда одно из состо-
состояний попадает в дискретный спектр. Оправданием для такой операции
послужили те соображения, что в состояниях с большими квантовыми
числами п движение электрона квазиклассично и что движение по «эллип-
«эллиптической» орбите, соответствующей большому п и малой отрицательной
энергии, весьма близко к движению по «гиперболической» орбите с малой
положительной энергией. Сделаем еще один шаг и рассмотрим в том же
приближении случай, когда оба состояния находятся в дискретном спек-
спектре с большими квантовыми числами.
Рассмотрим переходы с и-го уровня при поглощении кванта в рам-
рамках тех же полуклассических представлений. При увеличении частоты
электрон в конечном состоянии попадает на «эллиптические» орбиты, все
более приближающиеся к параболической, при v = vn попадает на пара-
параболическую, а при частоте v, лишь немного превышающей vn,— на «гипер-
«гиперболические», близкие к параболической. Поскольку движение электрона

254
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
в конечном состоянии меняется непрерывным образом, следует ожидать,.
что и среднее эффективное сечение поглощения света атомами в га-м состо-
состоянии, 0vn, также будет непрерывно при переходе от дискретного спектра
к континууму (рис. 5.11).
Распространим выражение E.34) для сечения фотоионизации с п-го>
уровня на поглощение частот, несколько меньших границы фотоиониза-
фотоионизации — уп *), и приравняем сечение E.34) выражению для среднего сечения
в случае связанно-связанных переходов E.76).
Вспоминая определение потенциала ионизации атома водорода /н
по формуле E.25) и выражение для частотной границы серии \п = yv1/raa
(см. E.75)), найдем среднюю силу осциллятора /n (v) для перехода с «-го
уровня на один из га'-уровней, заключенных
в узком интервале An', Av. Обозначая ее через
inn', а частоту v через vnn-, получим
Inn' —
16
Зя/3
1 / Vi
V
Av
vnn'
Are'
Подставляя сюда среднее расстояние между
уровнями Av/Ara', вычисленное по формуле
E.77), и заменяя частоту перехода vnn' по фор-
формуле Бальмера E.75), получим окончательно^
силу осциллятора /„„- для перехода га-»- га':
/то' ="
32
1 1
Рис. 5.11. Эффективное се-
сечение поглощения света
атомом водорода из основ-
основного состояния. Переход
дискретного спектра в кон-
континуум.
Пунктиром показано усреднен-
усредненное по линиям сечение в обла-
области дискретного спектра. Ри-
Рисунок схематический.
±	LY '
rfl п'* )
E.78)
Для переходов на уровни га' > га найдем асимп-
асимптотическую формулу:
Inn' —
32
1,96я
Зл/3
п' » п.
E.79>
По самому своему выводу величина /пп-
представляет собою среднюю силу осцилля-
осциллятора для перехода с какого-нибудь состояния /, т при данном п
в любое из состояний /', т' уровня га'.
При этом правила отбора для дипольных переходов здесь автомати-
автоматически учтены (разумеется, приближенно) благодаря тому, что мы исходим
из классической формулы для дипольного излучения. Как видим, величи-
величина gnfnn' = 2и2/„п' симметрична относительно перестановки га и га' в со-
соответствии со сказанным в § 10.
В табл. 5.4 представлены силы осцилляторов для некоторых переходов
в атоме водорода, рассчитанные квантовомеханическим путем [5].
Замечательно, что полуклассические формулы E.78), E.79), выведен-
выведенные для случая га, п' > 1, дают неплохую оценку даже для переходов
между уровнями с небольшими квантовыми числами, в том числе и для
переходов с основного уровня. Например, полуклассические значения
/12 = 0,585, /13 = 0,104, асимптотическое fin> = 1,96 п'~ъ, а по таблице
*) Подобно тому как мы распространили в § 4 выражение для эффективного
тормозного излучения на частоты, несколько превышающие максимально возможную
при свободно-свободном переходе и, таким образом, описали фотозахват.

§ 11]
СПЕКТР ПОГЛОЩЕНИЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ
255
I
fi2 = 0,416, /13 = 0,079, асимптотическое fin> = 1,6-/г'. Мы здесь
сталкиваемся с таким же положением, как и при сопоставлении полуклас-
полуклассического и квантового сечений фотоиони-
фотоионизации с основного уровня водородоподобно-
го атома.
При некоторых условиях линии по-
поглощения атомов могут оказывать замет-
заметное влияние на средний росселандов
пробег. Основной вклад в пробег вносят
спектральные участки с малым коэффи-
коэффициентом непрерывного поглощения, нахо-
находящиеся в области максимума весовой
функции (см. § 7, рис. 5.7). Это — участки,
предшествующие границам серий, т. е. на-
началам соответствующих континуумов. На
них накладываются спектральные линии.
Поскольку поглощение в центрах линий
обычно очень велико, из интеграла по спектру практически вырезаются
соответствующие частотные участки, как показано на рис. 5.12. Если
линии узкие, ширина вырезаемых участков очень мала. Однако в газе до-
достаточно большой плотности, где линии сильно уширены, вырезаемые
участки и снижение росселандова пробега могут оказаться весьма зна-
значительными.
Таблица 5.4
Силы осцилляторов для атома водорода *)
Рис. 5.12. К вопросу о влиянии
линий на величину пробега.
Исходное состояние
Конечное состояние
я = 1
2
3
4
5
6
7
8
Сумма от п=9 до со
Асимптотическая формула
Линейчатый спектр
Непрерывный спектр
Сумма
Is
пр
0,4162
0,0791
0,0290
0,0139
0,0078
0,0048
0,0032
0,0101
1,6-я-з
0,5641
0,4359
1,000
2s
пр
0,425
0,102
0,042
0,022
0,013
0,008
0,026
3,7-п-э
0,638
0,362
1,000
2Р
ns
—0,139
0,014
0,0031
0,0012
0,0006
0,0003
0,0002
0,0007
0,1-л-з
-0,119
0,008
—0,111
nd
0,694
0,122
0,044
0,022
0,012
0,008
0,053
3,3-и--3
0,923
0,188
1,111
*) Отрицательные силы осцилляторов соответствуют переходам с испусканием
кванта.

256	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	СГЛ. V
Согласно вычислениям Л. М. Бибермана и А. Н. Лагарькова
[51] в водороде при плотностях 1017—1019 атом/см3 и температурах
12 000—20 000° поглощение в линиях может снижать росселандов про-
пробег в два — четыре раза по сравнению с пробегом, рассчитанным без
учета линий.
§ 12. Силы осцилляторов для континуума. Теорема сумм
В предыдущих параграфах мы видели, что вероятности переходов
между дискретными уровнями атома с поглощением световых квантов
характеризуются силами осцилляторов. Силой осциллятора определяется
площадь линии поглощения, т. е. интеграл по частотам от эффективного
сечения поглощения света частоты v в данной линии.
По аналогии можно ввести понятие силы осциллятора и для связанно-
свободных переходов, характеризуя величиной /„ интеграл по частотам
от эффективного сечения поглощения света с переходом электрона с и-го
уровня атома в непрерывный спектр. Если ovn — эффективное сечение
связанно-свободного поглощения частоты v при таком переходе, то
vndv = -^fn,	..E.80)
причем интегрирование по частотам ведется от наинизшей частоты vn,
при которой возможен переход в непрерывный спектр.
Вычислим силу осциллятора /„ для связанно-свободного поглощения
водородоподобными атомами.
Воспользовавшись полуклассической формулой E.34) для avn и за-
замечая, что vn = InZ2/lm2, получим после интегрирования
LJ = ML.	E.81)
' ЗлуЗ п	п
Результаты квантовомеханического расчета для атома водорода пред-
представлены в табл. 5.4. Например, для п = 1 точное значение /i = 0,436,
а по формуле E.81) /t — 0,49.
В классической теории каждый электрон, участвующий в излучении
и поглощении света, заменяется осциллятором. Сумма чисел осциллято-
осцилляторов, следовательно, равна просто числу электронов в атоме. Квантовым
аналогом этого положения является теорема о сумме сил осцилляторов,
согласно которой сумма 2 Inn' по всем возможным переходам в атоме
71'
из данного состояния п равна числу электронов. Если ограничиваться
только переходами с участием внешних, оптических электронов, то сумма
равна числу последних. В частности, в случае водородоподобного атома
сумма равна единице. В сумму по конечным состояниям включаются и пере-
переходы в непрерывный спектр, т. е. член /„, который, как мы увидим ниже,
можно представить в виде интеграла по конечным состояниям непрерывно-
непрерывного спектра. Кроме того, в сумму включаются и отрицательные члены,
соответствующие переходам на более низкие уровни п' ¦< п, т. е. переходам
с испусканием света (см. об этом [5]). Данные табл. 5.4, разумеется, удов-
удовлетворяют правилу сумм, что можно проверить путем непосредственного
вычисления.
При описании связанно-свободных переходов (континуума), а также
связанно-связанных переходов между густо расположенными уровнями

§ 12]
СИЛЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ДЛЯ КОНТИНУУМА. ТЕОРЕМА СУММ
257
в полосатых спектрах молекул (квазиконтинуума) часто пользуются
понятием дифференциальной силы осциллятора или силы осциллятора,
рассчитанной на единичный интервал частот. Формально дифференциаль-
дифференциальная сила осциллятора —- определяется следующим образом. Если crv —
сечение поглощения частоты v при переходе с и-го уровня, то
//
=2N4.«НГ-|П ^ = 8-10-» Г// .1
n	\ dv /n	L^(v/Vr) Jn
ем*
- это частота, измеренная в ридбергах). Отсюда полная
осциллятора для всего континуума определяется как
\ °^^\(
df_
dv
n	me Jn
E.82)
сила
E.83)
в соответствии с формулой E.80).
Вычислим дифференциальную силу осциллятора для связанно-сво-
связанно-свободного поглощения с ?г-го уровня водородоподобного атома. Сравнивая
формулу E.34) с определением E.82), найдем
dv
16
1 Vn
0,98
V8
-ML
E.84)
Интегрируя это выражение по v от vn до сх5, придем к формуле E.81).
Если спектр поглощения представляет собой совокупность многих
линий, то под сечением ovn следует понимать среднее сечение avn (см. фор-
формулу E.76)), и дифференциальная сила осциллятора равна средней силе
осциллятора одного перехода, помноженной на число линий в единичном
интервале частот:
/" df
Дга'
dn'
¦ = Jnn'
dn'
dV
E.85)
В таблице 5.5, взятой из книги Унзольда [10], приведены силы осцил-
осцилляторов атомов водорода и щелочных металлов для непрерывного спектра,
соответствующего поглощению с основного уровня. Там же стоят и значе-
значения дифференциальной силы осцилляторов у границы поглощения
(dfldv)n при v = vn (v измеряется в ридбергах).
Таблица 5.5
Силы осцилляторов для непрерывного спектра / и
дифференциальная сила —— у границ главной серии
dv
Атом
Н
Li
Na
К
^тран> i^
912
2281
2442
2857
/
0,436
0,24
0,0021
df
dv
0,78
0,46
0,038
0,0024
I <9«)
13,5
5,4
5,05
4,32
Эти данные получены путем квантовомеханических расчетов. Они
показывают степень «неводородоподобности» атомов щелочных металлов.
17 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

258	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
§ 13. Излучение спектральных линий
Рассмотрим спонтанные радиационные переходы в атоме водорода
и вычислим приближенно средние вероятности переходов с уровня га
на лежащий ниже уровень га'. Будем исходить из общего выражения E.73)
вероятности через силу осциллятора для поглощения га' -*- га:
л —ч 1* t — 8jt2g2 г n'z i
Ann' — Oy ^ /„'„ — mc3 Vnn- n2 /„'„.
Подставим сюда /„<„ по формуле E.78), предварительно поменяв в ней
номера га и га' в соответствии с тем, что теперь числом п обозначается
верхний уровень.
Подставляя также частоту перехода vnn- = Vi ( —^	г ) > гДе vi =
V re' n у
= Iftlh, получим
32	1	1,6-ЮЮ
C6K
	.
Зя/3"
It ТЬ
Эта формула с хорошей точностью описывает переходы не только при
больших п, п', но и между сравнительно низкими уровнями и даже переход
в основное состояние. В этом можно убедиться, если сравнить результаты
вычислений с точными квантовомеханическими значениями [5], приведен-
приведенными частично в таблице 5.3 (Апп' надо сравнивать с представленными
в таблице средними вероятностями). Например, -451ПРиб = 5,3-10е сек'1,
а ^51точн = 4-Ю6 сек-1, А21Приб = 6,7-108 сек'1, ^421точн = 4,7-108 сек'1.
Рассмотрим зависимость вероятности перехода с данного высокого
уровня п > 1 от числа га' конечного уровня. Для переходов на нижние
уровни га' < п приближенно
л	^ 1,6-lQio „_!
An, n'«n ж ^р сев .
В частности, вероятность прямого перехода в основное состояние
.	1,6-ЮЮ	ф
лп, 1 ~ пь	/*
*) Этот результат весьма близок к тому, что дают точные квантовомеханичес-
кие расчеты. В основное состояние Is могут переходить атомы, находящиеся только
в р-состояниях. Для больших п вероятность перехода Л„р, js равна [5]
__ 8-109-2% (ге —1J"-г _
лпр и —	сек •
Легко видеть, что в пределе га>1 эта величина приближенно равна Anr) ls =
8-109-28 _
= —- 3 4— . Средняя вероятность перехода п ->¦ 1 равна произведению вероятности
перехода пр —>¦ Is на вероятность того, что, обладая энергией Еп, атом находится
именно в р-состоянии (Z=:l), т. е.
Л	2l + i А	— 3 А
АП\ —	П2 Лпр> Is — ^2 ЛР> ls-
Это дает
что весьма близко к квазиклассичвскому значению.

13]	ИЗЛУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ	259
Для переходов на близкие уровни с п' = п—An, Ап^п
.	0,8.10Ю ,
Ап, п-д« « -^г сек \
В зависимости от п'	АПП' проходит через минимум при п' — п
равный
л	-л _4,15-Ю1о _!
^i	A СвК
Итак, для атома, находящегося на п-ш уровне (п > 1), в среднем
наиболее вероятен переход прямо в основное состояние п' = 1 с полной
дезактивацией. Вероятны также переходы в первое возбужденное (п' = 2)
и ближайшее (п' = п — 1) состояния:
An, 2 = Ап, п-1 = -? Ап, 1-
Переходы в промежуточные между нижними и соседним состояния менее
вероятны. Разумеется, близкие по вероятности переходы в нижние и сосед-
соседнее состояния совершенно не равноценны по своему эффекту. При переходе
на соседний уровень излучается очень малый квант и энергия атома
изменяется совсем мало, тогда как при переходе в основное состояние
излучается большой квант и энергия атома изменяется сильно.
Казалось бы, превращение энергии атома в излучение при очень
высокой степени возбуждения, когда движение оптического электрона
квазиклассично, можно описывать на основе классической электродинами-
электродинамики. Если вычислить по формуле E.1) скорость излучения электрона,
вращающегося по круговой орбите вокруг иона, получим
dE \	32 Е*
dt J класс 3
где Е — энергия связи электрона в атоме (изменение энергии связи равно
изменению полной энергии электрона).
Эта величина -г- оказывается в ^~— = 1,35 раза больше квантовой
скорости изменения энергии электрона, соответствующей радиационному
fdE\	,	.
переходу только на соседний уровень; ( -,-	= «vn n-iAn,n-t, где
_____	V"'yn,n —1
п = I^Ih/E. Между тем основной вклад в действительную скорость из-
d	d
dE	fdE\	, <
лучения -уг дает переход в основное состояние ( -г- j n_ i = nvnlAn, lt
который классическая электродинамика описать не может *).
*) Тем не менее, классическая электродинамика дает разумную оценку для^вре-
мени жизни атома по отношению к полной радиационной дезактивации, под которой
в рамках классической теории следует понимать «радиационное падение электрона
на центр», а именно:
Г	dE	С /н Л3
!с=}шл5^=1'6-1О~Чго-;сек'
где Ео — энергия связи в «начальном» состоянии. Квантовое время жизни по отно-
отношению к дезактивации (без учета каскадных переходов)
Тквант^ -Г~ =6,2-10-"л8 = 6,2-10-" (~-У'Ь сек.
п> 1	V 0 •
Обычно Ео не меньше кТ, а 1^/кТ—не чрезмерно большая величина, так что оба
времени оказываются одного порядка.
17*

260	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. \
Зная вероятности переходов (и распределение атомов по состояниям
возбуждения), можно вычислить лучеиспускательную способность газа,
связанную с излучением в линиях:
n=l	n'<n
где Nn — число атомов в 1 см3 в п-ш состоянии; п* — квантовое число
наивысшего из реализующихся состояний, которое определяется среза-
срезанием верхних уровней атомов в газе.
Излучение в линиях играет важную роль в потерях энергии оптически
тонкого тела. Об этом свидетельствует хотя бы тот факт, что площадь линий
поглощения сравнима с площадью поглощения в непрерывном спектре.
Например, для поглощения с основного уровня атома водорода примерно
половина сил осцилляторов принадлежит непрерывному спектру, а поло-
половина — дискретному (см. табл. 5.4).
Если тело в линиях непрозрачно, относительная роль потерь энергии
на излучение в дискретном спектре уменьшается из-за самопоглощения.
Однако в газе достаточно большой плотности, где линии сильно уширены,
потери энергии за счет дискретного спектра все равно могут быть значи-
значительными и даже превышать потери в непрерывном спектре (если излучение
в непрерывном спектре не планковское). В разреженном, но оптически
толстом для линий, газе энергетическая роль линий, определяемая их
малой суммарной шириной, обычно невелика и основную роль играет
непрерывный спектр.
Расчеты, показывающие сравнительную роль излучения в линиях
и в непрерывном спектре при разных плотностях, температурах и опти-
оптических толщинах, проделаны в работах [49] (для водорода) и [52]
(для азота).
3. ПОЛОСАТЫЙ СПЕКТР МОЛЕКУЛ
§ 14. Энергетические уровни двухатомных молекул
Поглощение света молекулами имеет смысл рассматривать при тем-
температурах ниже 12 000—8000° К, так как при более высоких температу-
температурах молекулы полностью диссоциируют на атомы.
Энергия атома определяется только его электронным состоянием.
Энергия молекулы, помимо электронного состояния, зависит еще и от
интенсивности колебательного и вращательного движений. Поэтому число
энергетических уровней и число возможных переходов между ними у мо-
молекул гораздо больше, чем у атомов; молекулярные спектры значительно
сложнее, чем атомные. Иногда отдельные линии в спектре расположены
настолько близко друг к другу и число их столь велико, что в некоторых
участках они образуют почти непрерывный спектр. При высоких темпе-
температурах или плотностях газа линии из-за сильного уяшрения могут
даже перекрываться. Поэтому полосатые молекулярные спектры излуче-
излучения и поглощения в некоторых условиях оказывают существенное энерге-
энергетическое влияние, аналогично непрерывным спектрам. Большое значение
имеют молекулярные спектры для поглощения и испускания света в возду-
воздухе при температурах порядка нескольких тысяч и десятка тысяч градусов.
Мы рассмотрим простейший и вместе с тем практически важный
случай двухатомных молекул. В первом приближении электронное, коле-

§ 14]	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ	261
бательное и вращательное движения в молекуле происходят независимо
друг от друга и полную энергию молекулы можно представить в виде
суммы соответствующих слагаемых. При не слишком интенсивных коле-
колебаниях последние близки к гармоническим и энергия их равна
E.86)
где сое = vKon/c — волновое число, измеряемое в см'1 (обычно в спектро-
спектроскопии принято пользоваться вместо частот v сек'1 волновыми числа-
числами y = у1° см~1 *)); f = 0, 1, 2, ... — колебательное квантовое число.
Энергия вращательного движения характеризуется вращательным кван-
квантовым числом / = 0, 1, 2, ... и моментом инерции молекулы /:
^^hcBJiJ + l)	E.87)
где Ве = h/8n2cl — константа вращения, измеряемая в см'1.
Таким образом, если Uе — электронная энергия в данном состоянии,
то в первом приближении полная энергия молекулы равна **)
E.88)
В следующих приближениях к выражению E.88) добавляются члены,
учитывающие ангармоничность колебаний, взаимодействие колебаний
с вращением и т. д. (см. [20, 41 ]); на этом мы останавливаться не будем.
Волновые числа испускаемого или поглощаемого излучения 1/Х =
= vie (в спектроскопии о них иногда говорят как о «частоте», измеряя
«частоту» в см'1) определяются разностью энергий начального и конечного
состояний. В дальнейшем верхнее состояние всегда будет обозначаться
одним штрихом, а нижнее — двумя:
1	Е'—Е"
+ [B'eJ'(J' + l)-BU"(J" + l)]. E.89)
Между разностями электронных, колебательных и вращательных энер-
энергий (масштабом последних двух являются величины hcae и hcBe) всегда
существует соотношение
ДЯ8Л > АЯкол » ДЯвР; т-» юв » Яв,	E.90)'
л00
где 1 /Л,Оо = (U'e + сое/2 — и"е — (n"el2)lhc — волновое число, соответст-
соответствующее электронному переходу в отсутствие колебаний и вращений.
В справедливости неравенств E.90) можно убедиться, рассматривая
*) Волновому числу 1 см'1 соответствуют: длина волны %= 108А, частота
V = 3-Ю1» сек'1, энергия кванта hv — 1/8067 эв, hv/k = 1,44° К.
**) Вращательная энергия в формулах E.87), E.88) определена с точностью
до постоянной, зависящей от типа связи между вращательным и электронным состоя-
состояниями; от типа связи зависит и точный смысл вращательного квантового числа. Постоян-
Постоянная имеет порядок hcBe и ее можно включить в Ue, записав энергию в форме E.88);
см. об этом в книгах [20].

262
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
табл. 5.6, в которой представлены спектроскопические константы важ-
важнейших состояний и переходов в молекулах О2, N2, Щ, N0 *)•
Таблица 5.6
Спектроскопические константы важнейших молекул
Моле-
Молекула
о2
N2
N0
Щ
Состоя-
Состояние
Хз2-
сти
BWg
АЗК
Х12+
вт
А*2+
ХЩ
x^g
Электронная
энергия U ,
эе
6,11
0
11,1
7,4
6,17
5,63
5,48
/1С
9в
6,11
3,69
1,18
6,17
5,63
5,47
3,16
Переход
1
^00'
см-1
49 363
0
29 670
9 557
49 757
0
45 440
44138
0
25 566
(А , СМ-1
700,4
1580
2035
1734
1460
2360
1038
2371
1904
2420
2207
Ве, cjn-l
0,819
1,446
1,826
1,638
1,440
2,010
1,127
1,995
1,705
2,083
1,932
Переход и на-
название системы
полос
в-*х
Шуман — Рун-
ге
С -+ В
2-я положи-
положительная
В-+ А
1-я положи-
положительная
А-^-Х
Запрещенная
полоса
Вергарда —
Каплана
В ^ X
Р-полосы
А -+ X
у-полосы
В^ X
1-я отрица-
отрицательная
Схема уровней молекулы имеет вид, изображенный на рис. 5.13.
Пунктиром указаны электронные энергии уровней А и В. Первые факти-
фактические уровни молекулы, соответствующие отсутствию колебаний (v = 0),
лежат несколько выше из-за нулевой энергии колебаний. Каждому элек-
электронному состоянию соответствует множество колебательных уровней,
а каждому из колебательных в свою очередь множество вращательных.
Колебательные уровни при росте возбуждения несколько сгущаются
вследствие ангармоничности и в пределе v —v oo переходят в континуум,
соответствующий диссоциации. Вращательные уровни, наоборот, раздви-
*) Различные электронные состояния молекулы отличаются формами потен-
потенциальных кривых, описывающих взаимодействие атомов в зависимости от между-
междуядерного расстояния, а также средними междуядерными расстояниями (т. е. при
переходе от одного электронного состояния к другому меняются частота колебаний,
момент инерции и константа вращения). Таблица взята из работы [8].

§ 14]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
263
гаются при росте / (при не слишком больших числах /, когда справедливо
приближение E.87) *)).
Схема уровней молекулы азота с указанием термов и их энергий,
а также колебательных состояний, представлена на рис. 5.14. Для молекул
О2 и N0 мы приводим схемы потенциальных кривых, на которых также
указаны термы и энергии. В дальнейшем нам часто придется пользовать-
пользоваться обозначениями различных электронных состояний молекул, поэтому
мы напомним коротко основные положения спектроскопической символики.
Электронное состояние характеризуется проекцией орбитального
момента электронов на ось молекулы или квантовым числом Л, суммарным
спином электронов S и свойствами симметрии. Состояния с Л = О, 1, 2, . . .
обозначаются греческими буквами 2, П,
А, ... Проекция спина на ось может при-
принимать 25 + 1 значений, в соответствии
с чем расщепляется каждый терм. Муль-
типлетность терма 25 + 1 указывается
слева вверху, например, 32, 2ПE = 1,
S = 1/2 соответственно).
При отражении в плоскости, проходя- 	[-\—|—\--В
щей через ось молекулы, проекция элект-
электронного орбитального момента меняет
знак; соответственно этому термы с отлич-
отличным от нуля орбитальным моментом дву-
двукратно вырождены, точнее, расщепляются
на два вследствие существования взаи-
взаимодействия между вращением молекулы и
движением электронов. Это явление назы- </	I I ' I	/
вается Л-удвоением («лямбда»-удвоением).
Если же Л = 0, отражение вообще	' 	'	О
не меняет электронной энергии; волновая
функция умножается на +1 или —1. Это
свойство симметрии 2 термов указывается
справа сверху: 2+, 2~.
Если молекула состоит из одинако-
одинаковых атомов, появляется еще одно свойство
симметрии, а именно, энергия инвариантна относительно одновремен-
одновременного изменения знака координат всех электронов и ядер. Волновая
функция умножается при этом на +1 или —1, что обозначается индексами
gnu справа внизу, например 2g, Пи.
Как правило, основное состояние двухатомных молекул обладает пол-
полной симметрией и основной терм есть х2g. Исключение составляют моле-
молекула 02 — основной терм 32g, и молекула N0 — основной терм 2П.
Последовательные электронные состояния обозначают буквами: X
(основное состояние), А, В, С, . . . или а, Ъ, с, ... В случае ионизован-
ионизованных молекул к буквам добавляют штрих: А', V, . . . Так, например,
первое возбужденное (метастабильное) состояние N2 есть Л32?.
Допустимые переходы между различными электронными состояниями
(дипольные переходы с испусканием или поглощением света) подчинены
Рис. 5.13. Схема энергетических
уровней и переходов в двухатом-
двухатомной молекуле.
Вертикальными линиями показаны
различные полосы.
*) При очень сильных вращениях (чрезвычайно больших /) становится суще-
существенным изменение потенциальной кривой молекулы за счет центробежных сил.
В пределе / —>- оо вращательные уровни, так же как и колебательные, начинают сгу-
сгущаться и переходят в континуум.

264
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
некоторым правилам отбора. Эти правила зависят от типа связи между
орбитальным движением электронов, их спином и вращением молекулы.
120000 -
Ю0000 -
80000--'
SO000 - -¦
40000 - -
20000 -	—
Рис. 5.14. Схема уровней молекулы азота.
1;
Во многих важных случаях правила отбора следующие: f АЛ = 0
мультиплетность 25 + 1 не меняется; запрещены переходы 2+ ^ 2~
и переходы g ->- g,u -*- и (последние два правила не зависят от типа связи).
§ 15. Структура молекулярных спектров
Совокупность переходов между двумя электронными состояниями
В — А образует ряд полос, соответствующих переходам между двумя
данными колебательными состояниями v' — v".
Частоты квантов, излучаемых или поглощаемых при электронных
переходах молекул, лежат обычно в ультрафиолетовой или видимой частях

§ 15]
СТРУКТУРА МОЛЕКУЛЯРНЫХ СПЕКТРОВ
265
о
¦в
спектра. Переходы без изменения электронного состояния соответствуют
частотам, относящимся к инфракрасной области спектра; ими мы инте-
интересоваться не будем. Каждая из полос состоит из многих близко распо-
расположенных друг к другу линий, отвечающих переходам между разными
вращательными состояниями. Вращательные переходы подчиняются пра-
правилам отбора, которые в значительной степени упрощают спектр. А именно,
возможны переходы со следующими изменениями вращательного кванто-
квантового числа: А/ = /' — /" = О, ± 1» причем запрещен переход 0 — 0;
в случае 2 —v 2-переходов отсутствуют так-	,г
же переходы А/ = 0. На рис. 5.13 верти-
вертикальными линиями показаны переходы между
различными колебательными состояниями
двух электронных уровней (полосы г/ —¦
— v" : 0 — 0, 1 — 0 и т. д.). На рис. 5.15
специально выделена одна полоса г/ — v"
и указана ее вращательная структура. При
этом предположено, что по крайней мере в
одном из состояний В или 4А^0, так что
переходы А/ = 0 существуют. Серии линий
с А/ = 0, +1, —1 называются Q-, R-, Р-вет-
вями соответственно.
Если бы колебательные уровни в различ-
различных электронных состояниях располагались
в точности одинаково, т. е. совпадали бы
частоты (й'е и а>"е, и идентичным образом про-
происходило бы сгущение вследствие ангармо-
ангармоничности, то полосы с одинаковым значением
разности Av = v' — v", как видно из рис. 5.13,
строго накладывались бы друг на друга. На
самом же деле расположения уровней в раз-
разных электронных состояниях несколько отли-
отличаются друг от друга, причем разность частот
колебаний а'е — а'ё обычно значительно мень-
меньше самих частот. Поэтому полосы с одинако-
одинаковой разностью Av располагаются близко друг от друга, образуя так назы-
называемую последовательность полос, тогда как полосы с различными А г;
отстоят на больших частотных расстояниях. Это положение иллюстрируется
фотографией спектра испускания так называемой второй положительной
системы азота *) (переход С3Пи -*- B3Hg; см. схему уровней, рис. 5.14);
на этой фотографии (рис. 5.16) отложена шкала длин волн и указаны номе-
номера колебательных переходов (первая цифра соответствует верхнему элек-
электронному состоянию). Как видно из фотографии, расстояния между
соседними полосами последовательности А г; = — 2, например, равны
примерно 50 А; расстояние между ближайшими полосами соседних после-
последовательностей больше, для А г; = —2 и Дв = —1 оно равно примерно
230 А. При увеличении частоты полосы сгущаются в соответствии со сгу-
сгущением колебательных уровней при 5-+оо ив конце концов переходят
в континуум, связанный с диссоциацией молекулы.
Расположение линий во вращательной структуре полосы легко уста-
установить, пользуясь E.89) и правилами отбора: /' — /" = 0,+1, —1.
¦2
•1
а
АГ=0
R О
Рис. 5.15. Вращательная
структура полос
Схема переходов, отвечающих Q-,
Р- и Д-ветвям.
*) Системы полос, соответствующие различным электронным переходам, носят
обычно какое-нибудь название. Наиболее важные системы указаны на схемах уровней.

266	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ Б ГАЗАХ
Получим для трех ветвей следующие закономерности:
[ГЛ. V
Q:
-(B'e + B"e)J", J">\; E.90')
+ (B-e-Bl)J", J">1; E.91)
-B'e)J" + 2B'e, J">0. E.92)
Здесь lAj/j,» — константа, представляющая собой волновое число,
которое соответствует электронно-колебательному переходу в отсут-
отсутствие вращательной структуры (без третьего члена в формуле E.89)).
Рис. 5.16. Спектр испускания второй положительной системы азота.
Фотография взята из [20а].
Вращательная структура зависит от того, какая из двух вращательных
постоянных больше: В'е или В"с. Зависимости волновых чисел 1/А. от
Рис. 5.17. Зависимость волнового числа в Р-, Q- и
Л-ветвях полосы от вращательного квантового числа
J" для случая В'е^>В'ё (красный кант).
квантового числа / " и спектр схематически изображены для обоих случаев
на рис. 5.17 и 5.18 (так называемые диаграммы Фортра). Из рис. 5.17
видно, что при В'е > В"е спектр имеет низкочастотную границу, где линии

15]
СТРУКТУРА МОЛЕКУЛЯРНЫХ СПЕКТРОВ
267
сгущаются («красный» кант); линии простираются в сторону высоких
частот и расстояния между ними возрастают. При В'е <С В"е, наоборот,
кант «фиолетовый» и линии простираются в сторону низких частот. В об-
области канта «частотные» расстояния между линиями порядка В'е — В"е
(«0,2 см-1 для 2-й положительной системы N2, что. соответствует
в шкале длин волн АХ ~ 0,2 А).
В области разрежения линий при
J " > 1 все ветви ведут себя пример-
примерно по закону
~^Ti~ + (B'e-Bl)J E.93)
и расстояния между линиями А A IX)
растут пропорционально /".
Для иллюстрации вращательной
структуры приводим фотографию
(рис. 5.19), на которой разрешена по-
полоса 0—2 второй положительной си-
системы N2. Для перехода C3Ylu-*-BsHg
азота В'е >В"е (см. табл. 5.6) и полоса
оттенена в «красную» сторону («крас-
(«красный» кант).
Каждая из линий вращательной
структуры на этой фотографии со-
состоит из трех, в соответствии с муль-
типлетным расщеплением уровней. Л-удвоение на фотографии не разре-
разрешено (оно обычно меньше 1 см-1, что соответствует в шкале длин волн
при X « 3800 А АХ<1 А).
Как уже было отмечено выше, электронные переходы в молекулах,
как и в атомах, соответствуют ультрафиолетовой или видимой областям
Рис. 5.18. Зависимость волнового числа
в Р-, Q- и Л-ветвях полосы от враща-
вращательного квантового числа J" для слу-
случая В'е < В'е (фиолетовый кант).
3755,* А
Рис. 5.19. Спектр в полосе 0—2 второй положительной системы азота.
Фотография взята из [20а].
спектра. Если ближайший незапрещенный переход из основного состоя-
состояния в возбужденное сооответствует ультрафиолетовым квантам, газ про-
прозрачен и бесцветен, как, например, N2, O2) NO. В некоторых молекулах,
таких, как Br2, J2, ближайший электронный уровень с разрешенным пере-
переходом из основного состояния расположен довольно низко, и молекула
поглощает видимый свет. Такие газы сильно окрашены. В сторону больших
частот полосы поглощевия молекул простираются обычно в далекую уль-
ультрафиолетовую область спектра и переходят затем в континуум.

268
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
§ 16. Принцип Франка — Кондона
Электронные переходы в молекуле связаны с одновременным изме-
изменением сразу трех характеристик ее состояния. Огромное множество все-
всевозможных комбинаций начальных и конечных состояний ограничивается
правилами отбора. Однако правила отбора распространяются только на
изменение электронных и вращательных параметров молекулы и ничего
не говорят о возможном изменении состояния колебаний. Чтобы уста-
установить, какие из комбинаций колебательных квантовых чисел при пере-
переходах наиболее вероятны, обратимся к диаграмме кривых потенциальной
энергии молекулы, пренебрегая вращением.
?,см-
60000
40000
20000
Вольты
2	3 гШ 'см
Рис. 5.20. Потенциальные кривые молекулы О2.
Потенциальная энергия молекулы зависит от междуядерного расстоя-
расстояния. При сближении ядер преобладают силы отталкивания, при удале-
удалении — силы притяжения. На некотором расстоянии ге силы отталкивания
и притяжения уравновешивают друг друга и потенциальная энергия
в этой точке минимальна. Абсолютная величина минимума потенциальной
энергии соответствует энергии электронного состояния Ue. Разность
между энергией при бесконечном удалении ядер и этой величиной дает
энергию диссоциации (с точностью до энергии нулевых колебаний). Форма
и положение потенциальной кривой зависят от электронного состояния,
так что каждой молекуле принадлежит несколько кривых. На рис. 5.20
и 5.21 изображены потенциальные кривые молекул О2 и N0, построенные
на основе спектроскопических данных *). На рисунках проведены гори-
горизонтальные линии, соответствующие уровням колебательной энергии
в каждом из электронных состояний.
С классической точки зрения междуядерное расстояние при данной
энергии колебаний периодически изменяется около положения равно-
*) Рисунки взяты из работ [20, 21].

§ 16]
ПРИНЦИП ФРАНКА —КОНДОНА
269
весия ге. Изменение происходит в интервале между точками, в которых
горизонтальная прямая, отвечающая энергии колебаний, пересекает
потенциальную кривую. В точках пересечения скорость относительного
движения ядер обращается в нуль, так как меняется направление движе-
движения и в этих положениях (точках возврата) молекула пребывает дольше
всего. Наоборот, положение равновесия она проскакивает очень быстро,
так как скорость здесь максимальна.
см 00
80000\10
60000- ¦
40000 - ¦
Z0000-:
0--
Диссоциационныв
пределы
N+0
1,0	2,0	А
Межъядерное расстояние
Рис. 5.21. Потенциальные кривые молекулы N0.
Поэтому спонтанный переход из верхнего электронного состояния
в нижнее чаще всего происходит в то время, когда ядра занимают край-
крайние положения. Перестройка электронной оболочки при переходе с испу-
испусканием кванта происходит настолько быстро, что за это время ни поло-
положения ядер, ни их кинетические энергии не успевают измениться. В самом
деле, длительность перестройки измеряется временем, в течение которого
-Ю-1
сек
электрон пробегает расстояние порядка размеров молекулы, т. е.
(при скорости электрона -~108 см/сек и размерах молекулы ~1О8 см).
Расстояние же между ядрами заметно меняется за время порядка периода
колебаний, т. е. за время ~1/к>ее ~ Ю-14 сек (при ае ~ 1000 см-1, что

270
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
относится к легким молекулам; в тяжелых (ое еще меньше, а период ко-
колебаний больше) *).
Электронный переход в нижнее состояние совершается при неизмен-
неизменном междуядерном расстоянии, т. е. главным образом по вертикалям,
проведенным из точек возврата на
диаграмме потенциальных кривых
(рис. 5.22).
В конечное состояние молекула
приходит с нулевой скоростью, т. е.
начинает колебательное движение с но-
новой колебательной энергией также из
точек возврата.
Таким образом, легче всего совер-
совершаются переходы в такие нижние
колебательные состояния, для кото-
которых одна из точек возврата располо-
расположена на таком же междуядерном рас-
расстоянии, что и одна из точек возврата
в верхнем состоянии. Это положение,
известное под названием принципа
Франка — Кондона, иллюстрируется
рис. 5.22, на котором проведены вер-
вертикали наиболее вероятных переходов
из верхнего состояния v' = 4 в ниж-
нижние v" = 0 и v" = 6.
• Наоборот, переходы, для кото-
которых вертикали из верхних точек воз-
возврата попадают в середину отрезка нижнего уровня или вообще выходят
за пределы отрезка, ограниченного потенциальной кривой (как, напри,
мер, переход 2—6, показанный на рис. 5.22 пунктиром), маловероятны-
§ 17. Вероятности молекулярных переходов с испусканием света
Рассмотрим переход молекулы из верхнего состояния в нижнее
с квантовомеханической точки зрения.
Вероятность спонтанного дипольного перехода с испусканием све-
светового кванта пропорциональна квадрату матричного элемента диполь-
дипольного момента системы d и описывается общей формулой E.69). Рассмотрим
переход из верхнего состояния Вv'J'M' в нижнее состояние Av"J'M".
Буквы В и А обозначают электронные состояния молекулы; г/, v" —
колебательные, а /', /" — вращательные квантовые числа. М есть «маг-
«магнитное» квантовое число, определяющее величину проекции вращатель-
вращательного момента на ось молекулы. Оно может принимать 2/ + 1 значений:
М = /, / — 1, . . . , — /. Вращательная энергия от него не зависит,
а волновая функция системы Ч? — зависит. Матричный элемент равен
Рис. 5.22. Схема потенциальных кри-
кривых и переходов, иллюстрирующая
принцип Франка — Кондона.
= \ VBVJ'M'
Av"J"M'
dx,
E.94)
*) Вероятности незапрещенных электронных переходов из верхнего состояния
в нижнее в атомах и молекулах порядка 108 сект1. Таким образом, возбужденная моле-
молекула в течение времени порядка 10"8 сек (за которое атомы совершают много,—106 коле-
колебаний) находится в верхнем состоянии, а затем за время ~ 10~16 сек переходит в нижнее,
испуская световой квант.

§ 17] ВЕРОЯТНОСТИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПЕРЕХОДОВ С ИСПУСКАНИЕМ СВЕТА 271
где интегрирование производится по всем координатам, от которых зави-
зависит волновая функция системы.
Будем по-прежнему исходить из упрощенной модели молекулы,
в которой движение электронов, колебания и вращения предполагаются
не зависящими друг от друга. Полную волновую функцию при этом можно
представить в виде произведения трех волновых функций %л, \1рКОл, ^вр*
описывающих электроны, колебательное движение и вращательное. Они
зависят от соответствующих координат: г)>эл — от координат электронов,
¦фкол — от междуядерного расстояния, i|)Bp — от углов поворота молекулы,
а также от соответствующих квантовых чисел. Например, для верхнего
состояния:
E.95)
л v, в^вр J-, м>-
¦фкол зависит от электронного состояния, так как от последнего зависят
частоты колебаний.
Представим дипольный момент системы d = 2е;Г; (сумма распростра-
распространяется на все частицы) в виде суммы электронного и ядерного моментов
<J = de + da. Электронные волновые функции, по определению, ортого-
ортогональны в различных электронных состояниях (ядерные координаты вхо-
входят в них только в качестве параметров). При подстановке d и W в интеграл
E.94) в члене с ядерным моментом выделяется множитель \ г^элв^эл A<ixe,
который обращается в нуль при ВФ-А, так что матричный элемент от
ядерного момента исчезает. Поскольку 1|5КОЛ и г|)вр не зависят от координат
электронов, оставшийся матричный элемент от электронного момента
можно представить в виде произведения:
D = De = ^ г|)|л \de | 1|>эл- ^ ^ол^кол • jj ^в>И>вр = А,л • Окол ¦ DBp, E.96)
где во вращательный матричный элемент вошло только направление
усредненного электронного дипольного момента — единичный вектор п,
который затем усредняется по «поворотам» молекулы. (Мы здесь опустили
для краткости индексы — квантовые числа у волновых функций и диф-
дифференциалы.) Условие того, чтобы /)вр было отлично от нуля, и дает
правила отбора для изменения вращательных квантовых чисел при
переходе.
Энергия молекулы в нашем, приближении не зависит от направления
вращательного момента, поэтому, чтобы получить вероятность перехода
из одного энергетического состояния, Bv'J', в другое, Av"J", вероятность
следует усреднить по всем возможным направлениям вращательного мо-
момента в начальном состоянии и просуммировать по направлениям — в ко-
конечном. Таким образом, вероятность перехода в единицах сек'1 согласно
E.69) равна *):
B'J'	64я* о	712	/г г\н\
yBv'J', Av'J'Lfw BAgv'v'Pj'J",	(О.У /j
*) Строго говоря, электронный матричный элемент ?>эл зависит от междуядер-
междуядерного расстояния г (он вычисляется в определенный момент времени, при фиксирован-
фиксированном междуядерном расстоянии, которое входит в электронные волновые функции).
Под величиной ?>эл, которая входит в формулу для вероятности перехода E.97), сле-
следует подразумевать некоторое среднее по г значение D%n, скажем, соответствующее
положению равновесия ге в верхнем электронном состоянии.

272	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
где
q*v = -Окол vv" = ^ ^кол »- (г) 'фкол г" (г) dr ,	E.98)
PJ'J"=ZTTT S 05pJ'*'.J"M-.	E-99)
T
АРМ"
Интенсивность соответствующей линии в спектре в эрг/см3-сек рав-
равна произведению вероятности перехода А A/сек), энергии кванта hv (эрг)
и числа молекул N A/см3), пребывающих в верхнем квантовом состоянии:
/ = hvNA (индексы для краткости опущены).
Безразмерная вероятность pj>j» определяет распределение интен-
интенсивности в линиях вращательной структуры внутри данной полосы
Bv'—*-Av". В квантовой механике молекулы доказывается, что pj-j-
подчиняется правилу сумм:
2pj'J»=S 2 ~2jhp[D»vrM',r>M''=U	E.100)
J"	J" M'M"
смысл которого заключается в том, что при совершившемся переходе из
верхнего электронно-колебательного состояния в нижнее молекула обя-
обязательно попадет на один из возможных вращательных уровней /" (со-
(соответствующая вероятность равна единице).
Вероятность перехода Bv' ->¦ Av" на какой-нибудь из вращатель-
вращательных уровней получается путем суммирования выражения E.97) по /".
В соответствии с условием E.100), она равна
AZ" = Щ- vf,,,., Av.Dh, BAqvs;	E.101)
где Vjgo», Av"—некоторая средняя частота для данной полосы (в силу малости
вращательных энергий по сравнению с колебательными разброс частот
внутри полосы невелик и введение средней частоты для полосы оправдано).
Относительная вероятность колебательного превращения г/ ->• v"
при электронном переходе В —*¦ А характеризуется безразмерным мно-
множителем qV'V«, определяемым формулой E.98).
Рассмотрим интеграл E.98). Волновые функции принадлежат раз-
различным электронным состояниям, т. е. отличаются частотой колебаний
и положением равновесия ге. Благодаря этому интеграл отличен от нуля
для различных комбинаций г/ v", и для колебаний не существует правил
отбора (если бы электронное состояние не менялось и колебания были бы
строго гармоническими, интеграл E.98) в силу условия ортогональности
был бы равен нулю при всех v' Ф v").
Волновые функции различных колебательных состояний схематически
изображены на рис. 5.23. Для того чтобы интеграл E.98) от произведения
осциллирующих множителей (не осциллирует только г|зК0Л] „=0) имел
значительную величину, необходимо, чтобы, во-первых, множители не
находились в «противофазе» и, во-вторых, чтобы высокие максимумы обоих
множителей перекрывались. Но самые большие максимумы колебатель-
колебательных волновых функций лежат вблизи «точек возврата», что и свиде-
свидетельствует о наибольшей вероятности этих положений. Поэтому наиболее
вероятны те переходы, у которых хотя бы одна точка возврата в верхнем
состоянии находится на том же междуядерном расстоянии, что и точка
возврата в нижнем. Приведенное рассуждение обосновывает принцип
Франка — Кондона с квантовомеханической точки зрения. Величина qv-v»,

I 17] ВЕРОЯТНОСТИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПЕРЕХОДОВ С ИСПУСКАНИЕМ СВЕТА 273
называемая часто фактором Франка — Кондона, есть вероятность данного
колебательного перехода »'-*-»" при совершившемся электронном пере-
переходе, так как по правилу сумм для матричных элементов суммарная веро-
вероятность перехода из данного г/ в лю-
любое v" равна единице:
S 9»'»-= 3^ол «'«•=!• E-102)
V"	V"
Для иллюстрации изложенной
квантовомеханической интерпрета-
интерпретации принципа Франка — Кондона
приводим рассчитанную в работе
[21 ] таблицу интегралов \
квадрат которых равен qv-v» для |3-си-
стемы N0 E2П->Х2П). Табл. 5.7 по-
полезно рассматривать вместе со схемой
потенциальных кривых рис. 5.21,
проверяя, таким образом, выполне-
выполнение принципа Франка — Кон-
Кондона.
Знание факторов Франка — Кон-
Кондона необходимо для вычисления от-
относительных вероятностей различных
переходов v' -> v", т. е. относитель-
относительных интенсивностей различных полос
в рамках данного электронного пере-
перехода. Они рассчитаны для ряда си-
систем важнейших молекул: N0, О2,
N2, N+ (см. работы [8, 21-24]).
б	б
5000
А
Рис. 5.23. Потенциальные кривые и вол-
волновые функции ряда колебательных
состояний для молекулы RbH.
(График взят из [206].) Число нулей (узлов)
у каждой волновой функции равно колеба-
колебательному квантовому числу о.
Чтобы найти абсолютные значе-
значения вероятностей переходов и интен-
сивностей линий или полос, нужно
знать значение электронного матрич-
матричного элемента D9Sl. Теоретическое
вычисление электронного матричного элемента Вал представляет большие
трудности. Обычно его находят из эксперимента (см. § 18 и 21).
По аналогии с теорией атомных переходов, вместо электронного мат-
матричного элемента пользуются обычно понятием силы осциллятора.
Просуммируем вероятность перехода ABv'-+av» по формуле E.101)
по конечным колебательным состояниям г?" и усредним по начальным v'.
Получим вероятность электронного перехода В —*¦ А при произвольных
колебательных и вращательных превращениях:
E.103)
где vBA — некоторая средняя частота для электронного перехода (так
же как и раньше, оправданием для введения средней частоты служит то,
что разности колебательных энергий малы по сравнению с разностью
электронных). Воспользовавшись формулами E.69), E.73), E.60), опре-
определим силу осциллятора для электронного перехода В -*¦ А:
1вА = ~3Aj2~ VBaDbh ВА.	E.104)
18 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

274
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Таблица 5.7
Корень квадратный из фактора Франка—Кондона Y 2v'ir Для Р-системы полос
молекулы NO (v' относится к верхнему состоянию, v" —к нижнему)*)
V"
4
1
6
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0
0,0000
0,0003
0,0021
0,0086
0,0250
0,0554
0,0972
0,1380
0,1603
0,1522
0,1276
| 0,0964
' 0^0657'
0,0405 i
Колебательное квантовое число
1
0,0002
0,0024
0,0119
0,0364
0,0750
0,1069
0,1020
0,0556
0,0075
0,0101
0,0452
0,0849
0,1100
0,1123
0,0226 i 0,0956 j
0,0113
0,0051
0,0021
0,0007
0,0002
0,0001
0,0698 |
0,0442
0,0246
0,0120
0,0051
0,0019
0,0006
0,0002
2
0,0010
0,0087
0,0336
0,0735
0,0967
0,0693
0,0153
0,0041
0,0497
0,0756
0,0391
0,0059
0,0033
0,0318
0,0704
0,0962
0,0985
0,0816 j
0,0565
0,0334
0,0169
0,0074
0,0028
0,0009
3
0,0032
0,0219
0,0619
0,0896
0,0607
0,0077
0,0121
0,0573
0,0489
0,0046
0,0395
0,0686
0,0599
0,0252
0,0010
0,0102
0,0449
0,0793
0,0932
0,0838 |
0,0610
0,0369
0,0188
0,0801
0,0030
0,0009
4
0,0079
0,0414
0,0819
j 0,0680
0,0115
0,0100
0,0530
0,0363
0,0000
0,0629
0,0286
0,0006
0,0158
0,0515
0,0619
0,0363
0,0057
0,0036
0,0329
0,0693
0,0881
0,0821
0,0603
0,0361
0,0179
0,0074
0,0026
0,0007
верхнего
5
0,0161
0,062;
0,0803
0,027с
0.002J
0,0447
0,0371
0,0001
0,0317
0,0004
0,0301
0,0572
0,0382
0,0047
0,0070
0,0404
0,0587
0,0394
0,0080
0,0022
0,0297
0,0663
0,0852
0,0784
0,0559
0,0331
0,0150
0,0057
0,0018
состоянш
6
0.028С
0,078?
0,056?
o,ooie
0,0286
0,0448
0,0027
0,0231
0,0389
0,0567
0,0299
0,0003
0,0198
0,0506
0,0399
0,0070
0,0046
0,0361
0,0557
0,0374
0,0068
0,0031
0,0326
0,0685
0,0865
0,0727
0,0486
0,0258
0,0110
0,0038
I v'
7
) 0,0429
| 0,0811
0,0257
0,0065
0,0471
0,0146
0,0097
0,0401
0,0055
S
0,0587
0,0707
0,0040
0,0286
0,0362
0,0001
0,0341
0,0170
0,0066
v' =9	10	11	12
v"=0; 0,0731 0,0837 0,0892 0,
13	14	15
0,0841 0,0744 0,0601
16	17
0,0445 0,0303
V = 18 19 20 21 22	23 24	25 26
у"=0; 0,0190 0,0110 0,0059 0,0029 0,0013	0,0006 0,0002	0,0001	0,0000
*) Прямоугольники — наиболее вероятные	переходы из	каждого	верхнего
состояния.

§ 18]	КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА В ЛИНИЯХ	275
Отношение статистических весов верхнего и нижнего электронных
состояний здесь принято равным единице в предположении, что мульти-
плетности обоих термов одинаковы. Следует ожидать, что силы осцилля-
осцилляторов для молекулярных переходов имеют такой же порядок, как и для
атомных. Численные значения сил осцилляторов для важнейших систем
будут приведены ниже.
§ 18. Коэффициент поглощения света в линиях
Для вычисления коэффициента поглощения в линии, соответствующей
переходу Av"J"->Bv'J', который является обратным по отношению
к переходу с испусканием света, рассмотренному в предыдущем параграфе,
воспользуемся принципом детального равновесия. Последний устанавли-
устанавливает связь между коэффициентами Эйнштейна для прямых и обратных
переходов E.71) *). Подставляя в это соотношение вероятность испускания
по формуле E.97), принимая во внимание определение E.70) и заменяя
в выражении E.97) В\л на силу осциллятора по формуле E.104), получим
коэффициент поглощения в виде
п
v-Av"j", Bvr = -^ fBAqvv'Pj"j>NAvj»F (v),	E.105)
где Nav'J" — число молекул в 1 см3, находящихся в нижнем состоянии
Av"J", a F (v) — функция, описывающая распределение поглощения
внутри линии; она нормирована на единицу \ F (v) dv — 1.
Проинтегрируем коэффициент поглощения, связанный с электрон-
электронным переходом А -*- В, по всему спектру. Очевидно, тот же результат
получится, если мы проинтегрируем по частоте коэффициент поглощения
каждой линии E.105) и просуммируем по всем линиям спектра **). Сум-
Суммирование по линиям эквивалентно суммированию по всем начальным
и конечным состояниям v"J", v'J'. Суммирование по конечным состояниям
осуществляется с помощью правил сумм E.100), E.102); суммирование
по начальным состояниям сводится к суммированию по числам молекул:
NA = 2 Navj", где NA — число молекул в 1 см3, находящихся в электрон-
v"J"
ном состоянии А. Если А есть основное состояние, то NA практически
равно полному числу молекул в 1 см3 N.
Для интеграла по спектру от эффективного сечения поглощения моле-
молекулы в состоянии А при переходе ее в состояние В av = xv/NA, получим
W = J^T/ba-	E.106)
о
Это соотношение находится в полном соответствии с таким же соотноше-
соотношением для атомных переходов. Таким образом, как и в случае атомов, «пло-
«площадь» поглощения, соответствующего данному электронному переходу,
определяется только силой осциллятора. Различие состоит в том, что в,мо-
лекулах эта «площадь» распределена по очень многим линиям, благо-
благодаря чему на каждую из линий приходится лишь небольшая ее часть.
*) Отношение статистических весов в этой формуле, как и раньше, считаем
равным единице. См. E.104).
**) Сюда следует включить и континуум, который начинается с той частоты,
при которой полосы сходятся к пределу диссоциации.
18*

276	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
Соответственно этому «высота» молекулярных линий гораздо меньше
«высоты» атомных линий. Мультиплетное расщепление линий и А-удво-
ение еще снижают «высоту» линий в несколько раз, не изменяя пол-
полной «площади».
Путем экспериментального исследования спектра поглощения моле-
молекул можно определить силу осциллятора для данной системы полос. С этой
целью измеряется ослабление света оптически тонким слоем газа, проз-
прозрачным в вершинах линий. Это позволяет найти «площадь» спектра погло-
поглощения и по формуле E.106) вычислить силу осциллятора. Если известен
из расчета фактор Франка — Кондона, то для оценки силы осциллятора
можно непосредственно пользоваться кривой поглощения в отдельной ли-
линии или полосе (для вероятностей вращательных переходов pj"j> сущест-
существуют несложные формулы).
Таким путем, например, в работе [25] были измерены силы осцилля-
осцилляторов для у- и Р-полос молекулы N0 (у: Х2П ->¦ Л22+; Р: Х2Т1 ->- ВЩ).
Оказалось, что /т « 0,0025, /р » 0,008. В работе [26] была найдена
сила осцилляторов для системы полос Шумана — Рунге молекулы кисло-
кислорода (переход X32g -> В31*п)'- / = 0,259, причем из полной «площади»
поглощения долю А/ = 0,044 занимают полосы, а долю А/ = 0,215 —
континуум, соответствующий диссоциации молекул О2 на атомы О CР) +
+ О (*О). Континуум начинается при X = 1760 А (нижняя граница полос
Я = 2030 А). Эффективное сечение в континууме имеет максимум при X =
= 1450 А, равный av = 1,81 -Ю-17 см2, и падает наполовину к % = 1567 А
и 1= 1370 А. Следует отметить, что значение силы осцилляторов для
полос Шумана — Рунге, извлеченное из данных по излучению света при
высоких температурах, оказывается гораздо меньше (см. § 20; в работе
[26] измерялось поглощение света холодным кислородом). По поводу
возможных причин такого различия см. [27].
Вообще следует отметить, что, в отличие от атомных переходов, сила
осциллятора для молекулярного перехода не есть строго постоянная
величина (в частности, она зависит от степени колебательного возбужде-
возбуждения и способа усреднения по междуядерному расстоянию). Литературные
данные о силах осцилляторов для одних и тех же переходов часто сильно
расходятся. Сводку известных результатов по силам осцилляторов для
молекулярных переходов и ссылки на литературу можно найти в обзоре
В. Н. Сошникова [27а].
§ 19. Молекулярное поглощение при высоких температурах
При комнатной температуре практически все молекулы находятся
в основном электронном и колебательном состояниях. Так, например,
в доле ~10-5 молекул азота возбужден только один колебательный квант.
Длинноволновая граница поглощения двухатомных молекул лежит всегда
в ультрафиолетовой или видимой областях спектра: например, у молекул
О2, NO, N2 — в далекой ультрафиолетовой области *), у молекул Вг2,
J2, CN — в видимой. При повышении температуры в газе появляются
возбужденные молекулы, находящиеся в верхних колебательных состо-
состояниях, из которых переход в то же самое верхнее электронное состояние
требует меньшей энергии. Таким образом, при повышении температуры
*) Переходы на низколежащие уровни ХДЙ и X2g в молекуле О2 запрещены.
Также запрещен и переход на уровень 32ц. Соответствующие последнему полосы Герц-
берга чрезвычайно слабы. Запрещен и переход Х1^ ->¦ А32и в N2 (полосы Вергарда —
Каплана очень слабые).

§ 19]	МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ	277
длинноволновая граница поглощения сдвигается в «красную» сторону.
При температурах порядка 10 000° появляются и молекулы в верхних
электронных состояниях, из которых возможны новые переходы в еще
более высокие электронные состояния; так возникает поглощение в первой
и второй положительных системах азота (переходы AS2U—>-B3TLg и
B3Hg -> С3Па; см. табл. 5.6 и рис. 5.14.
Рассмотрим молекулярное поглощение света при высоких температу-
температурах на примере молекул N0. Окись азота образуется в воздухе при тем-
температурах порядка 2000—10 000° К в довольно значительной концентра-
концентрации порядка нескольких процентов (см. § 4 гл. III). Поглощение света
молекулами NO, как будет видно из дальнейшего, в некоторых условиях
играет существенную роль для оптических свойств нагретого воздуха.
Расчеты поглощения молекулами NO были сделаны в работе [21], которой
мы в основном и будем следовать.
Имеются три важные системы полос поглощения NO из основного
электронного состояния: у (переход — Х2П ->¦ А2Ъ+), р (Х2П ->¦ В2П)
и б (Х2П->-С32). Длинноволновые границы первых двух систем соответст-
соответствуют ~45 000 см'1, третьей ~52 000 см-1 (см. табл. 5.6). В поглощении
света при температурах Т ~ 3000—10 000° К основную роль играет Р-сис-
тема, так как по принципу Франка — Кондона вероятные переходы
в у- и б-системах происходят без большого изменения колебательного
числа, т. е. в основном поглощаются высокие частоты порядка 45 000—
52 000 см~х, которые лежат в далекой ультрафиолетовой области и не столь
существенны при таких температурах. Наоборот, в р-системе вероятны
переходы из высоких нижних колебательных состояний с v " ~ 12 в основ-
основное верхнее v' ~ 0, которые дают поглощение в близкой ультрафиолетовой
и видимой областях спектра ~25 000 см-1.
При больших плотностях газа и высоких температурах молекуляр-
молекулярные линии сильно расширяются и даже могут перекрываться. Спектр
при этом становится почти непрерывным.
Сравним ширину линий и среднее расстояние между ними для Р-сис-
темы NO. Для оценки примем, что температура Т = 8000° К и плотность
газа равна нормальной плотности воздуха.
При температуре 8000° К доплеровская ширина линий с частотами
~25 000 см-1 имеет порядок 0,3 см-1. Если предположить, что каждое
газокинетическое соударение меняет состояние колебательного или
вращательного движений, то уширение вследствие столкновений оказы-
оказывается больше, порядка
Av Noras» _ 3-10»-5-10-Ц.1,5-10« . «, х
Оценим среднее расстояние между линиями р системы NO в частотном
интервале от 15 000 см-1 до 45 000 см-1. Для поглощения наименьшего
кванта 15 000 см-1 молекула должна быть возбуждена до энергии 45 000—
15 000 = 30 000 см,-1, т. е. до колебательного уровня v" та 20. Рассматри-
Рассматривая схему потенциальных кривых и имея в виду принцип Франка — Кон-
Кондона, можно заключить, что из каждого нижнего колебательного уровня
вероятны переходы примерно в пять верхних состояний, т. е. рассматрива-
рассматриваемый интервал содержит в себе примерно 20-5 = 100 полос. При темпе-
температуре Т = 8000° К существенно вращательное возбуждение до 2—3 кТ,
что соответствует 7500 см'1, т. е. в переходах участвует примерно /" та
| кТlhcBe ж 80 вращательных уровней нижнего состояния. Каж-
Каждый из них дает две линии: /' = /" + 1 и /' = /" — 1 (@-ветвь /' = /"

278	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
обычно очень слаба при /" > 10), т. е. имеется всего 160 вращательных
линий в полосе. Каждая из них удваивается вследствие мультиплетного
расщепления и еще раз расщепляется на две из-за Л-удвоения. Таким обра-
образом, в рассматриваемом частотном интервале 30 000 см-1 имеется примерно
100-160-2-2 — 64 000 линий. Среднее расстояние между ними порядка
0,5 см-1; поскольку ширина линий ~1 см~1, линии сильно перекрываются
и спектр действительно почти непрерывный.
Оценим коэффициент поглощения в грубом приближении. При сред-
среднем колебательном возбуждении молекулы порядка кТ, т. е. порядка
5000 см-1 при Т — 8000° К, наиболее вероятны переходы на низкие коле-
колебательные уровни верхнего состояния. Положим для оценки, что свет
поглощается в основном при переходах на уровень v' ~ 0 верхнего элек-
электронного состояния. Тогда кванты hv поглощаются только молекулами,
возбужденными до энергии Ео — hv, где Ео — энергия верхнего элек-
электронного состояния. Число таких молекул по закону Больцмана пропорци-
пропорционально ехр (	°~ ) . Представим коэффициент поглощения в форме
E.82), выражая сечение поглощения через дифференциальную силу осцил-
осциллятора
me dv
где N — число молекул NO в 1 см3. Принимая во внимание, что по прин-
принципу Франка — Кондона вероятность поглощения квантов, превышающих
GO
Ео, очень мала, можно считать, что вся «площадь» поглощения \ (df/dv)dv
о
сосредоточена в основном в интервале частот от 0 до EQ/h и вклад в интеграл
области v от -? до оо очень мал. Зная, что %v ~ ~- ~ ехр (	°~ v ) ,
найдем коэффициент пропорциональности из условия E.106) или, что то
E0/h
же самое, из условия равенства интеграла \ (dfldv)dv силе осциллятора /.
Получим, таким образом, что
и
kT
Введем вместо N — числа молекул NO в 1 см3 — концентрацию их
в воздухе cN0 = Nqo/N0q, где NQ — число молекул в 1 см3 воздуха при
нормальных условиях, a q/q0 — отношение плотности воздуха к нормаль-
нормальной (q0 = 1,27-Ю-3 г/см3). Перейдем от частот света к волновым числам
1/Х = v/c. Получим:
ilK = 3-2±WLf.CNOJLe--T^\bo-o-T) СМ-К	E.108)
Здесь 1 Аоо = Eo/hc (для C-системы NO эта величина равна 45 440 см-1).
В формуле E.108) 1 Доо и 1А выражены в 1 см-1. Зная силу осциллятора,
можно, следовательно, оценить коэффициент поглощения. Полагая
для р-системы NO /p «s 0,006 (см. § 20), найдем для красного света

§ 20]	УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ МОЛЕКУЛЯРНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ	279
Я = 6500 А при q/q0 = 1, Т = 8000° К (cNO =± 0,036), xNO » 4,1 • Ю-3 см-1
(эффективное сечение на молекулу CTno — kno/A'no = 4,3-10~21 см*).
В отношении расположения потенциальных кривых и выполнения
принципа Франка — Кондона переходы в основной системе поглощения
кислорода О 2 (системе Шумана — Рунге) вполне аналогичны р*-системе
NO, так что для оценки коэффициента поглощения О2 при высоких тем-
температурах также можно пользоваться формулами E.107), E.108), в кото-
которые следует, конечно, подставлять константы для Ог-
§ 20. Уточненный расчет коэффициента молекулярного поглощения
при высоких температурах
Для более точных расчетов (см. работы [8, 21, 28]) нужно исходить
из строгой формулы для коэффициента поглощения в линии и учесть фак-
фактические вероятности колебательных переходов. Будем по-прежнему счи-
считать, что линии расширены настолько, что почти (или заметно) перекры-
перекрываются.
Введем в рассмотрение средний коэффициент поглощения частоты v
для данного электронного перехода А ->• В, усреднив истинный коэффи-
коэффициент в небольшом спектральном интервале от v до v + Av, как это дела-
делалось в § 12. Для этого надо проинтегрировать коэффициент поглощения
для отдельной линии E.105) по частоте (при этом получим «площадь»
одной линии) и просуммировать интеграл по всем линиям, содержащимся
в интервале частот от v до v + Av. Полученный результат будет равен
xvAv. Проделывая эту операцию так же, как и при выводе формулы
E.106), найдем усредненный коэффициент поглощения частоты v для дан-
данного электронного перехода,
- _ яе2 _/вА >г,	Vv	/с 1Опч
лв me Av ^J ' ^—I	v	'
полосы	J"
Суммы по J" и по полосам распространяются на те начальные вра-
вращательные уровни и те полосы, которые дают линии, попадающие в рас-
рассматриваемый спектральный участок Av. Число молекул в состоянии
AV»J" при температуре Т можно вычислить по формуле Больцмана,
подставляя в нее энергию молекулы в данных колебательном и враща-
вращательном состояниях (см. [29]):
hc<aAv"	hcBAJ"(J"+l)
NAv~j» = NAe 7kT <2/' + 1>%		.	E.110)
Здесь NA — число молекул в электронном состоянии А;
he®.
— колебательная и вращательная статистические суммы в нижнем элек-
электронном состоянии.
В основном полосу заполняют линии с большими вращательными
числами J" > 1, для которых, согласно формулам E.90), E.91), можно
приближенно положить волновые числа равными
{ ^	BA)J"\	E.111)
Интервал частот Av заполняют линии полосы v"v', соответствую-
соответствующие вращательным числам от /" до /" + А/", где А/" определяется

280
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
дифференцированием E.111):
Av
E.112)
Полагая, что /" > 1, AJ" <C J" (интервал Av достаточно мал), можно
считать все А/" членов в сумме по /" в формуле E.109) одинаковыми.
Пренебрегая единицей по сравнению с /", подставим в показатель экспо-
экспоненты формулы E.110) Г2 по формуле E.111) и заменим Av в формуле
жо
2600
Рис. 5.24. Коэффициент спектрального поглоще-
поглощения в у-системе N0 в относительных единицах.
Т — 8000° К. Скачок поглощения при X = 2480 А соот-
соответствует включению колебательного перехода О — 2.
E.109) выражением E.112). Выделяя в формуле E.109) экспоненциаль-
экспоненциальный множитель, чтобы привести окончательное выражение в соответствие
с приближенной формулой E.107), получим
VAB
N
h -
TbaNa
wr
E.113)
где безразмерный множитель ср равен
кт
1	. ЬТ \ TL	5 пп
kT V %
he | ВВ—ВА | ZvAZrA
x
E.114)
Здесь Д- = it (Ев — еа) — по-прежнему волновое число, соответствую-
соответствующею "°	-	" it? 17
щее электронному переходу в отсутствие колебании и вращении (Ев и йА —
энергии электронных состояний с учетом нулевой энергии колебаний
Е = Ue + kc(u/2), 1/Яо-о' — волновое число, соответствующее переходу
Аи" ->- Bv' в отсутствие вращений. Если Вв> ВА, полосы имеют кант
с «красной» стороны и простираются в «фиолетовую»; если же Вв < ВА,
то наоборот (см. формулу E.111)). Поэтому сумма по полосам в E.114)
распространяется на полосы с KV"v'>h ПРИ Вв> ВА (как в случае
Y-системы NO) и на полосы с %*¦»- < X при Вв < ВА (как в случае 0-систе-
мы NO или в системе Шумана — Рунге О2). Это положение прекрасно

§ 21]	ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТОГО ВОЗДУХА	281
иллюстрируется рис. 5.24 и 5.25, на которых приведены рассчитанные
в работе [21 ] значения сумм в множителе ф в зависимости от длины волны
света для у- и р-систем N0. Кривые имеют характер «частоколов», причем
каждый новый зубец появляется при включении в поглощение новой
полосы. В случае у~системы поглощение скачкообразно возрастает при
уменьшении Я, а в случае р-системы — при увеличении X.
Более точная формула E.114) превращается в приближенную E.107),
если положить множитель ф, учитывающий вероятности различных
колебательных переходов, равным
единице (поскольку формула
E.107) относится к переходу из
основного состояния, то при этом
ЕА = 0, NA = N). Расчеты пока-
показывают, что коэффициент ф не
очень сильно отличается от 1, так
что формулой E.107) можно поль-
пользоваться для грубой оценки.	0%щ-
Мы видим, что коэффициенты
молекулярного поглощения^ можно
теоретически рассчитать при помо- Рис- 5-25- Коэффициент спектрального
щи спектроскопических данных о ^ТТ^™ ""™"
молекулах, схемах уровней, коле-
колебательных и вращательных кон-
констант, потенциальных кривых, с точностью до постоянного множителя —
силы осциллятора /, которая должна определяться из эксперимента. На
рисунках 5.26—5.28 приведены результаты расчетов множителей фа,
при нескольких температурах для важнейших систем поглощения *),
определяющих поглощательные свойства нагретого воздуха: у- и р-си-
р-систем N0, системы Шумана — Рунге О2, 1+-, 2+-систем N2 и ^'-системы
NJ (ионизованной молекулы азота); значения 1/А,оо Для этих систем
представлены в табл. 5.6. Таблица сил осцилляторов для этих си-
систем приводится в следующем параграфе. Рисунки 5.26—5.28 взяты
из работы [8].
4. ВОЗДУХ
§ 21. Оптические свойства нагретого воздуха
Вопрос о поглощении и излучении света нагретым воздухом имеет
первостепенное значение для таких практически важных задач, как изуче-
изучение явлений, происходящих в огненном шаре сильного взрыва (см.
гл. IX), расчет радиационного нагревания баллистических ракет и искус-
искусственных спутников при входе в атмосферу и др. Для первой задачи
существен широкий диапазон температур от обычных и до сотен .тысяч
и даже миллиона градусов. Для второй задачи наибольший интерес
представляют температуры ~ 5000—20 000° К, которые развиваются
в ударной волне перед телами, движущимися в атмосфере со ско-
скоростями порядка нескольких или 10 км/сек. Широк и диапазон плот-
плотностей, с которыми приходится иметь дело, от ~ 10q0 (в ударной волне,
*) фд, сглажены путем усреднения в небольших интервалах АХ, что необходимо
для сравнения с экспериментальными данными, где ДА, определяется аппаратурой
(монохроматором).

1,0
0,6
0,4
X
0,1
щ
0,06
0,04
пп?
/
У
1
*
J
yl
'а
—•'
V
и
'=
о-
7-
-5
<8
i
V
Ч
V
Л*
у
к
1
<:
/оото
5Ш
5000
4000
"¦5
К
г—
SS
V
-
1,0
0J8
0,6
0,4
OJ
0,1
u,us
/7/7/7
l\04
no?,
III
Щ
?
T
\
1
ft
У
ч.
-АХ
1
¦2
---
fUUUU'К
^000
6000
4000
is
e=
5-1
/ I/
——,
--«
СО
*
<•
Ц20 0J2 0,24 0,26 0,28 OJ0 0,2 Q3	0,4
Длина Волны, мк
W
0,8
0,6
0,4
0,2
IX
«/
0,05
0,04
Щ
Рис. 5.26. Множитель ф для у- и р-систем N0.
*	1о	б)
	1
ог(ш-р]-
1
1 Ш
\ш
ш
1
f-
ш
т
m
\
—
1
юомгь
¦лш
snnn
0
с/ -и /и -
м"-о-зо
к
1—,
*^-
Vi
s
-
\
\
0,6
0,8
0,6
fl't
0,2
0,1
0,06
0,04
ПП9
m
V
f
#
ш\
к
//
2
/
—
V
S
- и"=0-12
\
ч
ч^
ч
\
1С
п
in
8000
6000
5000
"К
птт
Sr -
-л
¦0,2 0,3
0,4	0,5	0,6'0,26 0/30 0,34 0,38 0,42 0,46
Длина Волны, мк
Рис. 5.27. Множитель ф для системы Шумана — Рунге 02 и 2+-Системы N2.
1Р
0,8В
не
0,4
0,2
0,06
0,04
0,02
Hut
и
N
1 il
—Мрл
V
#
#
//я
\ ////IWIM/K
ш
-Щ11IW1
Ш ?
ш
ш
1
L-50
1
101
ш
0L
ОС
7"
7
1
1
н
д
7j
Ч,
-«
s
\
г
\\
V
\
8
\
ч
\
\
-V
J
¦j-
-A-
Ц
¦I
41-
in
I
\1
11
_
-
f
/
f
7
1
7
/J
\
\
/Ду
/k\|//| .
I
"/ttit
В
IFF
/I/I
1
- <
7tf
:o
?0
0
70
70
00
у
A
V
1t
%
Г
N
Ir
/1
/1
/1
f
7
- V-0-12A
-u'4-12-
/
/
4
(Щ 0$ 0,40 0,44 0,48 0J52 ' 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Длина Волны, мп
Рис. 5.28. Множитель ф для 1~-системы N? и 1+-системы N2.

§ 21]	ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТОГО ВОЗДУХА	283
распространяющейся по воздуху нормальной плотности q0) и до очень
малых ~ 10~3—10~4 Qo и даже меньше, имеющихся в центральных об-
областях огненного шара и на больших высотах.
Холодный воздух, как известно, прозрачен для видимого света.
Поглощение начинается в ультрафиолетовой области спектра и связано
с системой полос Шумана — Рунге молекул кислорода. Фактически
заметной величины поглощение достигает при К т 1860 А. Эксперимен-
Экспериментальная кривая коэффициента поглощения холодного воздуха нормальной
плотности в зависимости от длины волны показана на рис. 9.3 в § 2
гл. IX.
При температурах выше 15 000—20 000° К, когда молекулы почти
полностью диссоциированы на атомы и последние заметно ионизованы,
поглощение света в непрерывном спектре складывается из фотоэлектри-
фотоэлектрического поглощения атомами и ионами и тормозного поглощения в поле
ионов. Эти механизмы были подробно рассмотрены в разделе 1 настоящей
главы, где были даны оценочные формулы для вычисления коэффициентов
поглощения и средних пробегов излучения, основанные на приближении
водородоподобности. В табл. 5.2 § 8 были приведены результаты расче-
расчетов средних пробегов в воздухе в области многократной ионизации, т. е.
при температурах выше примерно 50 000° К. При температурах ниже
~ 15 000° К в поглощении участвуют все рассматривавшиеся выше меха-
механизмы, причем сравнительная роль различных составляющих очень
сильно зависит от частоты света и от термодинамических условий: темпе-
температуры и плотности. К составляющим непрерывного и квазинепрерывного
поглощения относятся: молекулярные переходы в молекулах, присут-
присутствующих в нагретом воздухе, N2, О2, N*, NO, NO2, фотоэлектрическое
поглощение частицами О2, N2, NO, О, N, О~, свободно-свободные переходы
в поле ионов О+, N+, NO+, О+, N+, а также, возможно, в поле нейтральных
атомов и молекул.
Для конкретных расчетов коэффициентов поглощения необходимо,
конечно, знание концентраций всех указанных компонент воздуха, а также
концентрации свободных электронов (см. гл. III).
Оптические свойства нагретого воздуха экспериментально исследо-
исследовались при помощи ударной трубы в лаборатории AVGO в США. Экспери-
Экспериментальные и расчетные данные изложены в работах [8, 31, 32, 32а,
43—46] и обзорах [28, 30, 47] (см. также работы [33, 48]).
Расчетам коэффициентов поглощения и излучательной способности
нагретого воздуха посвящен цикл работ Л. М. Бибермана и его сотруд-
сотрудников. Обзор этих работ имеется в статье [56], в которой рассматриваются
вопросы радиационного нагрева тела, движущегося в атмосфере с гипер-
гиперзвуковой скоростью. В статье дана обширная библиография. Вопросам
поглощения света в воздухе посвящен также номер журнала [64].
Основным результатом экспериментального изучения оптических
свойств воздуха в ударной трубе является определение сил осцилляторов
для важнейших молекулярных переходов.
На опыте измеряется спектральная интенсивность излучения столба
нагретого газа при различных температурах и плотностях. В прямой удар-
ударной волне изучаются температуры порядка 3000—5000° К, в отражен-
отраженной — порядка 8000° К. Пересчет измеренных интенсивностей на коэф-
коэффициент поглощения можно сделать с помощью известной формулы для
потока излучения от нагретого слоя данной толщины d (см. § 7, гл. II,
формула B.38)). Именно, количество лучистой энергии в интервале длин
волн dX, выходящей в 1 сек с 1 см2 поверхности слоя в единицу телесного

284	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
угла нормально к поверхности, равно
[ГЛ. V
где /яР — соответствующая величина для абсолютно черного тела
/*р = -
he
а к'% = %х A — e-hc/feT^) — коэффициент поглощения, исправленный на
вынужденное испускание. Если слой оптически тонкий, самопоглощением
в нем можно пренебречь (даже в центрах линий): %'\ d < 1. Интенсивность
излучения в этом случае определяется лучеиспускательной способностью:
Отношение измеренной интенсивности излучения из расчета на слой
единичной толщины к интенсивности абсолютно черного тела дает непо-
непосредственно исправленный коэффициент поглощения y.%. Сила осцил-
осцилляторов для системы полос Шумана — Рунге была определена путем
исследования интенсивности излучения в чистом кислороде при срав-
сравнительно низких температурах ~ 3000—4000° К, получающихся в пря-
прямой волне.
При таких температурах степень ионизации очень мала, отрицатель-
отрицательных ионов кислорода мало и практически все поглощение связано с моле-
молекулярными переходами. Из этих данных по формулам E.113), E.114)
с использованием расчетных коэффициентов <р^ была выведена сила осцил-
осциллятора /щ-р = 0,028 ± 0,008. В интервале длин волн от 3300 до 4700 А
она оказалась не зависящей от X, Т, Q.
Данные по силам осцилляторов NO и N2 были получены путем обра-
обработки спектров излучения в воздухе при разных температурах и плот-
плотностях.
Эти величины извлекались последовательно при изучении тех участков
спектра, температур и плотностей, при которых еще неизвестные меха-
механизмы играют небольшую роль, за исключением одного; поглощение за
счет уже известных механизмов из измеренных величин исключалось.
Таким образом, были найдены силы осцилляторов для всех важных
систем *); они собраны в табл. 5.8.
Таблица 5.8
Силы осцилляторов для важнейших систем полос
Система
Погреш-
Погрешность
Интервал %,
А
°2(Ш - Р)
0,028
±0,008
3300—4700
NOp
0,006
±0,002
3500—5000
NOV
0,001
±0,0005
2500—2700
N2B+)
0,09
±0,03
2900—3300
NJ(l-)
0,18
±0,07
3300—4500
N2(l + )
0,025
±0,008
10460
На рис. 5.29 изображены экспериментальные и теоретически рассчи-
рассчитанные интенсивности излучения при Т = 8000° К q = 0,83q0.
*) Для N2 A+)-системы / сильно зависит от X вследствие резкого изменения
междуядерного расстояния с изменением Я.

2000
1000
500
I zoo
% too
* 50
20
10
L '
: /
/О
Л
: щЛ
—i	1—i—i—i—i—г ¦ i i i i
А /\
+/ |°Л'А\ 1/Ю черного тела
)>N \\ ,полная
+) / N\\/ \\/
Т^ 1 1
X
-
;
1 1 1
0,2
0,3
0,4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 /ft
Рис. 5.29. Спектральная интенсивность излучения Ii emI'см3-стерад-мк
слоя воздуха толщиной d як 1 см.
Т = 8000° К, Q = 0,83qo (q0 — нормальная плотность). Показаны эксперимен-
экспериментальные точки и рассчитанные кривые, отвечающие различным механизмам
испускания. Пунктиром дана величина 0,1 J\p A/10 интенсивности излучения
черного тела). Отношение Jj/J^p дает непосредственно к' см-1, поскольку
d zn 1 см. Рисунок взят из работы [8].
15000
10000
5000
0,1 0,2 0,3 Ofi 0,5 Ofi 0,7 0,8
Длина волны, мк
Рис. 5.30. Интенсивность испускания воздуха при Т =
— 12 000° К, q = Qo (нормальная плотность).
Показаны вклады различных механизмов. цре—свободно-свя-
цре—свободно-связанные переходы; А — суммарное излучение; В — 1/10 интен-
интенсивности излучения черного тела.
О
а
1-3
н
о
я
а
н
п
и
о
В
о
¦л
о
>s
о
W
о
to

286
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
Для удобства вычисления коэффициентов поглощения воздуха при-
приводим численные формулы для расчета отдельных составляющих в обла-
областях молекулярного поглощения и первой ионизации, т. е. при
Т ^20 000° К.
71 000
9,5фш-ре т система Шумана — Рунге О2
65 300
2,04фре т	^-система NO,
63 500
у-система NO,
^-ekT X
0,34фуе т
127 500
30,6ф2+е т
_ 84 900
8,5ф1+е т
36 800
2+-система N2,
1+-система N2,
1~-система №,
^г(Крамерс) —	Т°2х3
Qo
Qo
_ 140 000
е т О2,
181 000
е т N2,
158 000
Xl e~ T О,
	 hv 1,44 Л
т
169 000
Т
108 000
N,
NO,
Qo
(Т в °К, X в см, к в см'1).
Концентрации С; всех частиц определены в этих формулах как отно-
отношения чисел частиц к числу исходных молекул в холодном воздухе.
В формулы для коэффициентов молекулярного поглощения подставлены
силы осцилляторов из табл. 5.8. Эффективный заряд в формулах для
крамерсовского поглощения принят равным 1 *).
Концентрации отрицательных ионов кислорода можно вычислить
по формуле Саха, зная концентрации атомов кислорода и свободных
электронов. Эффективные сечения поглощения отрицательными ионами О~
даются на рис. 5.5 в § 5.
Имеются экспериментальные данные, свидетельствующие о существо-
существовании отрицательного иона азота N~ [57]. Поглощение света этими ионами
рассматривалось в работе [58]. Зная все составляющие коэффициентов
поглощения, можно вычислить суммарные коэффициенты и испускатель-
ные способности для любых температур и плотностей. На рисунках 5.30
*) Поправочный множитель Бибермана и Нормана (см. § 7) не учитывается.

§ 21]
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАГРЕТОГО ВОЗДУХА
287
и 5.31 показана полученная таким образом реконструкция радиации при
нескольких значениях температуры и плотности (эти данные заимство-
заимствованы из работы [28]). На графиках указаны вклады отдельных состав-
составляющих поглощения.
В работе [32] исследовался вопрос о свободно-свободном поглоще-
поглощении электронами в поле нейтральных атомов. Для этого измерялась
лучеиспускательная способность при Т = 8000° К q/q0 = 0,85 в инфра-
инфракрасной области спектра с К ~ 20 000—40 000 А, где по расчетам все
* Qf5
1
J-
I 0,05
I
0,01
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Длина волны, мк
Рис. 5.31. Интенсивность испускания воздуха при
Т = 8000° К, q = Ю'3 Qo-
А — 10~5 интенсивности излучения черного тела, В — сум-
сумб
марное излучение,
у	р	,	у
свободно-связанные переходы.
другие механизмы должны играть малую роль. Оказалось, что прибли-
приближенно коэффициент поглощения можно описать обычной формулой для
тормозного поглощения с квадратом эффективного заряда Z2 = 0,04
для атомов О и Z2 = 0,02 для N. В видимой и ультрафиолетовой областях
спектра, судя по этим данным, свободно-свободное поглощение в поле
нейтральных атомов не должно играть существенной роли.
Коэффициенты поглощения красного света А, == 6500 А а воздухе в
ударной волне для двух значений температур были измерены И. Ш. Мо-
делем [34]. В опытах Моделя детонационная волна выходила из взрыв-
взрывчатого вещества на границу с воздухом. Фотографическим путем измеря-
измерялось изменение во времени интенсивности свечения поверхности фронта
ударной волны в направлении, нормальном к поверхности. Если d —
толщина слоя воздуха, охваченного ударной волной к моменту t, то
интенсивность свечения поверхности фронта определяется форму-
формулой E.115). Когда слой нагретого воздуха становится оптически толстым

288
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
> 1, фронт светится как черное тело и Iv ж /vP. Снимая кривую
нарастания свечения Iv (d), можно было измерить коэффициент поглоще-
поглощения. Независимо определялась температура за фронтом по яркости фронта
в стадии, когда x%d > 1 и фронт светится как черное тело. И. Ш. Моделей
были получены значения коэффициента поглощения для двух температур,
Т = 10 900° К, %х = 3,7 ем-1; Т = 7480° К, кх = 1,66 слг1 (X = 6500 А,
q/qo «a 10). Первое значение удовлет-
удовлетворительно согласуется со значени-
значением, рассчитанным по приведенным фор-
формулам.
Основную роль играет поглощение
в 1+-системе N2 и крамерсовский меха-
механизм. Что же касается второй точки, то
экспериментальное значение гораздо
выше, чем то, которое дает теория *).
Характерной особенностью всех
рассмотренных выше составляющих
поглощения (см. сводку формул,
стр. 286) является резкая, больцма-
новская зависимость от температуры с
весьма значительными энергиями акти-
активации. При не очень высоких темпера-
температурах порядка 3000—4000° К все коэф-
коэффициенты в видимой области спектра становятся очень малыми, на-
например, при Т = 4000° К и q/q0 =1 и ~ Ю-6 см-1.
При столь низких температурах основную роль в поглощении играет
молекулярное поглощение двуокисью азота, которая присутствует в воз-
воздухе в незначительных количествах (см. табл. 5.9) **), но сильно погло-
поглощает свет в видимой и ультрафиолетовой областях спектра. Молекулярные
Таблица 5.9
Равновесные концентрации двуокиси азота в нагретом
воздухе, cNO2-10*
то то к,к
Рис. 5.32. Усредненное эффектив-
эффективное сечение поглощения света не-
невозбужденными молекулами NO2.
ЧЧ. Р/Ро
т,°к \.
2000
2Ю0
3000
1
2
2
10
,11
,02
,24
0
1
1
5
,79
,42
,58
0
0
0
1
,35
,63
,69
\. Р/Ро
^\
7\°К \.
3500
4000
5000
2
2
2
10
,91
,86
,11
1
1
1
5
,92
,90
,29
0
0
0
1
,79
,67
,25
П римечание.
число молекул NO2
число исходных молекул в воздухе
полосы NO2 образуют очень сложную систему с практически перекрываю-
перекрывающимися линиями. На рис. 5.32 приведена зависимость эффективного
сечения поглощения холодных молекул NO2 по данным работы [35].
100 см2 в интерва-
Сечение монотонно падает от а = 6,5-10 19 см2 до а
*) О причинах этого расхождения нельзя высказать определенного суждения.
**) Концентрации NO2 были рассчитаны в работе [39].

§ 22]	ПРОБОЙ	289
ле длин волн от Я. = 4000 А до X = 7000 А. Согласно измерениям [36] се-
сечение поглощения в инфракрасной области очень мало: при X = 10 000—
20 000 А а < 4,5-103 см2.
В близкой ультрафиолетовой области при X = 3020 А сечение прохо-
проходит через минимум [37]; это вместе с кривой рис. 5.32 свидетельствует
о том, что максимум поглощения лежит в синей части спектра X ~ 4000 А.
Следует ожидать, что при температурах порядка 2000—4000° К спектр
поглощения сильно смещается в красную сторону и эффективное сечение
NO2 во всей видимой области спектра становится порядка нескольких
единиц на 10~19 см2 (подробнее см. об этом в статье [38]; см. также § 7
гл. IX).
Например, при концентрации молекул NO2 в воздухе порядка 10~4
это дает коэффициент поглощения при нормальной плотности порядка
Ю-3 см'1.
В работе [59 ] изучалась интенсивность излучения двуокиси азота
при температурах 1400—2100° К (двуокись в смеси с аргоном нагревалась
в ударной трубе). Получены абсолютные значения интенсивности в види-
видимой части спектра.
В заключение отметим, что вопрос об оптических свойствах нагре-
нагретого воздуха еще не является решенным и исследования в этой области
продолжаются.
5. ПРОБОЙ И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СФОКУСИРОВАННОГО ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА
§ 22. Пробой
Изобретение лазеров и совершенствование лазерной техники открыли
широкие возможности для изучения различных явлений, происходящих
при взаимодействии мощных потоков излучения с веществом. В частности,
несколько лет назад было открыто явление пробоя газов и образования
«искры» под действием лазерного луча.
Опыты [65—72] показывают, что под действием светового потока
достаточно большой интенсивности в газах, обычно прозрачных для соот-
соответствующего излучения, происходит пробой, т. е. образуются свободные
электроны *). Для пробоя нужны очень большие потоки лучистой энергии,
и при мощностях современных оптических генераторов (с модулированной
добротностью) такие потоки удается получить только путем фокусировки
лазерного луча линзой (рис. 5.33). Порог для пробоя, обычно исключи-
исключительно резкий, принято характеризовать напряженностью электрического
поля световой волны. На рис. 5.34 в качестве примера показаны измерен-
измеренные в работе [65] пороговые поля для пробоя в аргоне и гелии при разных
давлениях.
В этих опытах рубиновый лазер с модулированной добротностью
давал импульсы с длительностью 3-Ю""8 сек и максимальной (пиковой)
мощностью до ~ 30 Мет (энергия в импульсе до 1 дж). Луч фокусировался
линзой в кружок с радиусом примерно г0 = 10~2 см. Радиус фокусировки
оценивался, во-первых, по угловой расходимости несфокусированного
лазерного луча и, во-вторых, по размеру отверстия в золотой фольге,
помещенной в фокусе, которое прожигал луч. Зная мощность лазера
*) Хорошо известно и изучено явление высокочастотного пробоя под действием
излучения в микроволновом диапазоне частот [60].
19 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

290
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ
[ГЛ. V
и площадь кружка в фокусе, можно вычислить средние по площадке
поток лучистой энергии и электрическое поле в световой волне *). Гак,
были получены значения поля, фигурирующие на рис. 5.34.
Рис. 5.33. Схема опыта по пробою. 1 — рубин, 2 — ксе-
ноновые лампы накачки, 3 — поляризатор, 4 — ячейка Кер-
ра, 5 — зеркало, б — линза, 7 — сосуд с газом, 8 — выход-
выходное отверстие; 9 — фокус, 10 — собирающие электроды.
О возникновении пробоя обычно свидетельствует световая вспышка,
подобная вспышке в искре. Иногда факт пробоя устанавливается путем
вытягивания зарядов из области пробоя при помощи пары электродов,
к которым прикладывается небольшое напряжение. Помимо аргона
to7
8
6
6
4
больт
ч
N
>
(
1
i
ч
ч
ч
S
Ч
4l Аг
)
Ч
>
Ч
с
ч
ч
Ъ
го3
В 8 10*
« 6 8 10*
р,ммрт.ст.
Рис. 5.34. Пробивающие поля в аргоне и гелии
в зависимости от давления.
и гелия исследовался и пробой в воздухе при нормальных условиях.
Пороговые поля также имеют порядок 107 в/см.
Надо полагать, что при достаточно больших интенсивностях потока
лучистой энергии или электрических полях в световой волне возможно
прямое вырывание электронов из атомов под действием излучения. Соответ-
Соответствующая квантовомеханическая задача была решена Л. В. Келдышем
*) Например, при мощности30 Мет и радиусе кружка 1СГ2 см поток энергии
составляет примерно 1018 эрг/см2- сек и поле 0,6-107 в/см.

22]	ПРОБОЙ	291
173], который нашел общее выражение для вероятности вырывания.
В пределе низких частот оно переходит в известную формулу для вероят-
вероятности туннельного эффекта под действием статического поля, а в случае
достаточно высоких (и, в частности, оптических) частот описывает много-
многоквантовый фотоэффект, когда ионизация происходит в результате одно-
одновременного поглощения п квантов, энергия которых nhv превышает
потенциал ионизации /. Вероятность многоквантового фотоэффекта про-
пропорциональна я-й степени потока лучистой энергии или g2n, где Ш —
напряженность электрического поля. Для атомов и молекул с высокими
потенциалами ионизации, таких, как Ar, He, N2, O2, требуется большое
число квантов: у рубинового лазера hv = 1,8 эв и, например, для аргона
/ = 15,8 эв, п = 9, а для гелия / = 24,6 эв и п = 14. Поэтому вероятность
вырывания исключительно резко зависит от поля. Оценки показывают, что
для прямого вырывания электронов из атомов за время лазерного импульса
нужны очень большие поля (~ 108 в 1см). Эти электрические поля почти
на порядок больше тех средних полей, которые в настоящее время дости-
достигаются на опыте, поэтому при сравнительно малых полях (~ 10е —
107 в/см) пробой происходит не за счет прямого вырывания электронов
из атомов, а в результате развития электронной лавины.
Для начала развития лавины необходимо, чтобы в начале лазерного
импульса в газе появились начальные «затравочные» электроны. По-види-
По-видимому, многоквантовое поглощение света, скорее всего на примесных
атомах с низкими потенциалами ионизации, и является источником обра-
образования затравочных электронов. Надо сказать, что распределение поля
по площади кружка фокусировки не является равномерным. Существуют
очень малые области с локальными полями, которые значительно превы-
превышают поле, среднее по площадке. В этих областях и зарождаются первые
электроны, которые кладут начало лавине.
(Неравномерность распределения поля в фокусе связана с неодно-
неоднородностью и расходимостью несфокусированного лазерного луча, а также
является результатом аберрации линзы. Последний эффект детально
исследован в работе Б. Я. Зельдовича и Н. Ф. Пилипецкого [83].)
Рассмотрим, как развивается электронная лавина.
Электроны поглощают световые кванты при столкновениях с ней-
нейтральными атомами (см. § 8а) и таким путем набирают энергию, доста-
достаточную для ионизации. В результате акта ионизации вместо одного
«быстрого» электрона появляется два «медленных», которые снова наби-
набирают энергию под действием излучения, ионизуют атомы и т. д.
Наряду с поглощением под действием интенсивного светового потока
происходит и вынужденное испускание квантов таких же величины
и направления, однако результирующий эффект является положитель-
положительным — электрон в среднем приобретает энергию от излучения и уско-
ускоряется.
Скорость нарастания энергии электрона можно оценить с помощью
формулы E.57") для эффективного поглощения, которая как раз и описы-
описывает результирующий эффект истинного поглощения и вынужденного
испускания квантов. Обозначим поток лучистой энергии
G = -^ (g2 + Н*) = -~ эрг/см*-сек,
где %% — средний квадрат электрического поля в световой волне.
В единицу времени в единице объема поглощается энергия излу-
излучения GxVH> а на один электрон GxVH/Ne. Эта величина и представляет
19*

292	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
собою среднюю скорость нарастания энергии электрона:
Чтобы приобрести энергию, равную одному кванту hv, электрон должен
испытать в среднем hvnmcv2le2G столкновений с атомами. Например,
при потоке G = 1018 эрг /см2 -сек, поле У Ш2 = 0,6-107 в/см и hv = 1,8 эв
это число равно 200. Чтобы набрать энергию, равную энергии иониза-
ионизации / при отсутствии потерь энергии, нужно в I /hv раз больше столкно-
столкновений, например в гелии —2700. При атмосферном давлении частота столк-
столкновений электрона с энергией Е « 10 эв в гелии составляет va$ л*
л? 2-Ю12 1/сек, так что необходимое время равно примерно 2700/v8(j, •=
= 1,3-10"' сек. За время действия лазерного импульса 3-Ю"8 сек народи-
народилось бы 3-10"8/1,3-10~9 = 23 поколения электронов, т. е. на каждый
«затравочный» электрон пришлось бы в среднем 223 « 107 электронов **).
Развитие лавины чрезвычайно чувствительно к интенсивности светового
потока и плотности газа. Например, при увеличении потока или давления
в два раза (поля — в 1,4 раза) скорость набора энергии и число поколений
в лавине возросли бы вдвое, т. е. к концу импульса той же длительности
на каждый «затравочный» электрон родилось бы не 107, а 1014 новых
электронов. Этой исключительной чувствительностью и объясняется
обнаруженное на опыте существование резкого порога для пробоя газа
как по мощности лазерного импульса, так и по давлению.
Изложенные простые соображения о наборе энергии электрона под
действием световой волны намечают лишь схему основного процесса.
На самом деле развитие электронной лавины протекает значительно
сложнее. Существенную роль играет возбуждение атомов электронами,
энергия которых еще недостаточна для ионизации, но достаточна для
возбуждения. При не очень больших полях возбуждение тормозит развитие
лавины, так как в акте возбуждения электрон сбрасывает накопленную
энергию и должен начать набор энергии сначала. При больших полях
(больших 107 или нескольких единиц 107 в/см) возбуждение атомов,
напротив, способствует развитию лавины, так как возбужденные атомы
быстро ионизуются под действием излучения (в результате либо одновре-
одновременного, либо последовательного поглощения небольшого числа квантов).
В легких газах, таких, как гелий, значительную роль играют и потери
энергии электронов за счет упругих соударений с атомами***). В некото-
*) Ее можно интерпретировать следующим образом. Под действием перемен-
переменного электрического поля световой волны на прямолинейное движение электрона
накладываются осцилляции. Импульс осцилляции р = е'ё/со, средняя энергия
р2/2т = е2$2/2та>2. При столкновении с атомом направление скорости электрона
резко меняется и величина, равная по порядку энергии осцилляции, присоединяется к
энергии хаотического движения. За 1 сек электрон испытывает л>3ф столкновений,
следовательно, и прирост энергии хаотического движения оказывается равным E.116).
**) Число электронов в лавине нарастает с течением времени по закону Ne =
= TVeo exp (t/в), где 6 In 2 — время удвоения числа электронов.
***) При каждом соударении электрон в среднем теряет долю 2т] М своей энергии
(где М — масса атома). Поэтому с учетом упругих потерь формула E.116) приобре-
М е2(§2
Электрон в среднем не может приобрести энергию, превышающую Ет ¦= -к	g •
Например, для гелия при поле 6- 10s в/см Ет=53 эв. В действительности в правой части
выражения для упругих потерь вместо Е должна стоять разность средних энергий
электронов и атомов (ионов), однако в данном случае атомный газ — холодный.

§ 23] ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ ПРОБОЯ 293
рых случаях (при малом объеме фокусировки или при низкой плотности
газа) возможен диффузионный уход электронов из объема фокуса.
В условиях, когда развитие лавины тормозится за счет потерь энер-
энергии электронов на возбуждение атомов, простая формула для набора
энергии электрона типа E.116), даже с учетом отрицательного члена
потерь энергии, не в состоянии описать сложный процесс и приходится
рассматривать кинетическое уравнение для функции распределения
электронов по энергии. Это было сделано в работе авторов [62], где при
некоторых допущениях вычислялись пороговые для пробоя поля и было
получено удовлетворительное согласие с результатами опытов [65] с арго-
аргоном и гелием. Вопросам пробоя газа в фокусе лазерного луча посвящены
также теоретические работы [73—76] и обзор [86].
§ 23. Поглощение лазерного луча и нагревание газа после
первичного пробоя
Если поток лучистой энергии в фокусе заметно превышает пороговую
для пробоя величину, газ ионизуется очень сильно и образующаяся
плазма практически полностью поглощает луч, теперь уже за счет сво-
свободно-свободных переходов электронов в поле ионов; при этом газ нагре-
нагревается до высоких температур. Так, например, измерения интенсивности
рентгеновского излучения из обла-
области фокуса, проделанные в опытах
[71], показали, что яркостная и
цветовая температуры излучения, _
которые характеризуют темпера-
туру электронов, составляют при-
примерно 600 000°. В этих опытах
изучался пробой в атмосферном Рис. 5.35. Схема светового канала в обла-
воздухе при энергии импульса ру-	сти Ф°кУ°а-
бинового лазера 2,5 дж, длитель-
длительности 4-Ю"8 сек и радиусе кружка фокусировки г0 = 10~2 см (порогупро-
(порогупробоя при тех же длительности и радиусе соответствует энергия около 1 дж).
Рассмотрим, как протекает процесс поглощения луча, и оценим
температуру, до которой нагревается газ (это было сделано в работе
одного из авторов [77]). Предположим, что в фокусе, в самом узком месте
светового канала (рис. 5.35), где поток лучистой энергии максимален,
произошел пробой и уже достигнуты высокие степень ионизации и темпе-
температура. Свет поглощается в слое порядка длины пробега квантов /v и на-
нагревает газ. Длину поглощения квантов можно оценить с помощью форму-
формулы E.21), предварительно умножив коэффициент xv на величину
1 — e-hv/kT ^ hv/kT (hv = 1,8 эе < kT), учитывающую вынужденное
испускание. В воздухе нормальной плотности при температурах 106 -т- 10*°
длины пробега оказываются равными B -=- 7)-10~3 см (степень ионизации
или заряд ионов Z = 2,7 -f- 6,6).
Одна из наиболее примечательных особенностей процесса, довольно
очевидная физический обнаруженная экспериментально [69, 71], состоит
в перемещении зоны поглощения луча навстречу световому потоку.
Измеренные в этих опытах скорости были равны примерно
100 км/сек *). Легко понять причину перемещения зоны поглощения.
*) Скорость измерялась при помощи фоторазвертки процесса, а также по допле-
ровскому смещению спектральных линий.

294	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
'Световые кванты сильно поглощаются в высокоионизованной среде.
Как только степень ионизации перед поглощающим в данный момент
¦слоем газа по той или иной причине достигает достаточно большой вели-
величины, новый слой становится непрозрачным и начинает интенсивно погло-
поглощать луч. Таким образом, по световому каналу навстречу лучу распро-
распространяется «волна поглощения и нагревания». Этот эффект препятствует
выделению всей энергии импульса в очень малом объеме фокуса, где
раньше всего происходит пробой, и ограничивает нагревание газа.
Можно указать три различных и независимых механизма, которые
приводят к возникновению волны поглощения.
1)	Если поток лучистой энергии в фокусе заметно превышает порог
для пробоя, то он является надпороговым и на некотором протяжении
расширяющегося по направлению к линзе светового канала. Пробой
происходит и в этих частях канала, но с запаздыванием по отношению
к самому узкому месту, тем большим, чем больше сечение канала, т. е. мень-
меньше поток. Таким образом, навстречу лучу движется «волна пробоя».
2)	Нагретый газ в поглощающем слое расширяется и посылает во всех
направлениях ударную волну, в том числе и вдоль светового канала
навстречу лучу. В ударной волне газ нагревается и ионизуется, так что
зона поглощения света и энерговыделения в газе перемещается вслед
за фронтом ударной волны. Этот гидродинамический механизм во многом
сходен с детонацией взрывчатых веществ.
Детонационный механизм был отмечен в статье Ремсдена и Савича
[78], однако в этой работе содержатся в корне неверные суждения о
температуре нагревания. Критику этой работы см. в [77].
3)	Газ перед поглощающим слоем ионизуется и приобретает способ-
способность поглощать свет за счет поглощения теплового излучения, выходя-
выходящего из высоконагретой области газа (из-за фронта волны поглощения).
Этот механизм назовем «радиационным».
Эффективность каждого из этих механизмов характеризуется той ско-
скоростью перемещения волны поглощения, которую он дает, причем реаль-
реальная волна движется с самой большей из возможных скоростей *).
Волну поглощения в некотором смысле можно рассматривать как
гидродинамический разрыв (см. гл. I). В системе координат, связанной
с волной, процесс является квазистационарным. Действительно, за вре-
время At, в течение которого волна проходит расстояние порядка своей шири-
ширины Ах, поток света и скорость волны D = AxlAt не успевают сильно
измениться. (Ах » lv *?Г 10~2 см; D « 100 км/сек; At ^ 10~9 сек.)
Составим баланс энергии, отвлекаясь пока от того обстоятельства,
что при нагревании газ приходит в движение. На 1 см2 поверхность волны
за время dt падает энергия G dt, где G — поток лучистой энергии. Она
расходуется на нагревание массы Q0D dt, которая захватывается волной
за это время (q0 — начальная плотность газа). Следовательно, удельная
внутренняя энергия е (Т), которую приобретает газ после полного погло-
поглощения светового потока определяется уравнением
QoDs(T) = G.	E.117)
Это соотношение выражает просто закон сохранения энергии и не зависит
от конкретного механизма распространения волны.
*) Оценки показывают, что нагрев и ионизация перед поглощающим слоем,
связанные с электронной теплопроводностью и диффузией электронов, играют
малую роль.

23] ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ ПРОБОЯ 295
При более детальном рассмотрении следует исходить из общих зако-
законов сохранения массы, импульса и энергии]при переходе газа через волну,
точно так же, как это делается при выводе соотношений на фронте ударной
волны (см. гл. I). В результате получается уравнение «ударной адиабаты»
волны поглощения, которая связывает давление и плотность газа за
фронтом волны с начальной плотностью и падающим на волну потоком
энергии G *). Ударная адиабата
волны поглощения схематически
изображена на рис. 5.36.
Уравнение баланса энергии
типа E.117) при учете работы
сжатия и изменения кинетиче-
кинетической энергии газа изменяется не-
немного. Изменение сводится к то-
тому, что в уравнении вместо G
появляется несколько отличная
величина Gp, причем значения ко-
коэффициента р заключены в весьма
узком интервале 1 < р <
—j^
Ж
jr-l у_
Рис. 5.36. Ударная адиабата волны погло-
поглощения.
где у — показатель адиабаты газа.
Для воздуха при температурах
106—10GO у « 1,33 иКр< 1,14,
т. е. элементарное уравнение
энергии E.117) оказывается всег-
всегда справедливым с достаточной
точностью. Это уравнение связы-
связывает скорость волны поглощения и температуру нагревания и позволяет
по измеренной на опыте скорости оценить температуру, даже если не
известен механизм распространения волны поглощения.
Как и для ударной волны, скорость волны D определяется наклоном
прямой, проведенной на диаграмме р, V I V=— J рис. 5.36 из точки
начального состояния О в точку конечного состояния газа за волной.
Из рис. 5.36 видно, что при данном потоке лучистой энергии G существует
минимально возможная скорость распространения волны, соответствую-
соответствующая точке конечного состояния Ж. Это — так называемая точка Жуге,
в которой скорость волны относительно нагретого вещества за нею в точ-
точности совпадает с местной скоростью звука. Физический смысл точки
Жуге и причины, по которым соответствующий режим осуществляется при
детонации взрывчатого вещества, были разъяснены одним из авторов [81],
а также независимо фон Нейманом и Дерингом. С вопросами теории дето-
детонации подробно можно ознакомиться в книге [82].
При меньшей эффективности других механизмов ионизации (поджи-
(поджигания) по сравнению с ионизацией ударной волной осуществляется именно
этот гидродинамический (детонационный) режим. Газ при этом сжимается
и нагревается ударной волной до состояния А, а затем, получая допол-
дополнительно энергию за счет поглощения света, расширяется вдоль пря-
прямой АЖ, достигая точки Жуге к моменту окончания энерговыделения.
*) Несмотря на общие черты, оно отличается от ударной адиабаты взрывчатого
вещества, в котором также происходит энерговыделение, так как в ВВ энерговыделение
на грамм есть величина постоянная, а при поглощении света энерговыделение на грамм
GD зависит от скорости волны.

296	ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ	[ГЛ. V
Минимальная скорость волны поглощения равна
3.	E.118)
Энергия нагревания при этом режиме имеет максимально возможную
величину, равную
-_ V Д2_ 22^Y ^Gy/.
Если какой-нибудь из механизмов ионизации, например механизм
пробоя при данном потоке G, дает скорость распространения волны,
которая превышает скорость «нормальной детонации» E.118), то ударная
волна в световом канале не образуется. Газ, поглощая световой поток,
переходит из начального состояния О в конечное С путем непрерывного
нагревания и сжатия вдоль прямой ОС, причем повышение давления
и плотности в данном случае являются не причинами, а следствиями воз-
возникновения волны. Волна при этом распространяется по остающемуся
за ней газу со сверхзвуковой скоростью *). Приведем численный пример.
При значениях G= 2-1018 эрг1смй-сек, q0 = 1,3-10~3 г/см3, у — 1,33,
соответствующих опыту [71], по формулам E.118) и E.119) получается
D = 133 км/сек, е = 1,35-1014 эрг/г, чему в равновесии соответствует
температура Т = 910 000° К (опытные значения D = 110 км/сек, Т =
= 600 000° К). Если учесть потери энергии на боковое расширение
газа, вследствие которых «действующий» поток G уменьшается примерно
вдвое, то получаются значения D = 105 км Iсек, е = 8,5-1013 эрг/г, Т =
= 720 000° К, которые совсем близки к опытным.
Как показано в [77], скорость волны «пробоя» можно оценить по
формуле
«ft tg a '
где г0 — минимальный радиус светового канала в фокусе, а — угол
раствора светового канала (см. рис. 5.35), a tk — момент первичного
пробоя в фокусе, отсчитываемый от некоторого эффективного начала
лазерного импульса. Например, для опытов [77] г0 — 10~2 см, tg a = 0,1,
th ?к 10~8 сек, скорость волны «пробоя» D ж 100 км/сек близка к скорости
детонации.
В опытах [69] использовалась короткофокусная линза, которая
давала г0 = 4-Ю см, tg а, = 1; th было равно 7-10"9 сек, при этом ско-
скорость пробоя составляла 6 км/сек, тогда как скорость детонации более-
100 км/сек, т. е. в этих опытах механизм пробоя заведомо не играл роли.
Механизм пробоя является ведущим и определяет движение волны погло-
поглощения при очень мощных, коротких лазерных импульсах и длинно-
длиннофокусных линзах (малых углах а). Этот механизм играл главную роль
в опытах [72].
Значительные трудности представляет сколько-нибудь точное рае-
смотрение радиационного режима. Приближенное вычисление скорости
этого режима [77] приводит к довольно громоздким формулам, которые
мы здесь не будем выписывать. Укажем лишь, что скорость радиационного-
*) Гидродинамические режимы с ионизацией ударной волной, но скоростью,,
превышающей детонационную (О —>-А' —>¦ Б), не осуществляются. Движение за вол-
волной при этом было бы дозвуковым, и расширение нагретого газа за волной тотчас осла-
ослабило бы волну, переведя ее в режим «нормальной детонации».

I 23] ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛУЧА И НАГРЕВАНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ ПРОБОЯ 297
режима оказывается весьма близкой к скорости детонации, причем обе
скорости примерно одинаково зависят от мощности лазера, так что в рам-
рамках точности теории не представляется возможным отдать предпочтение
одному из этих двух механизмов. Практически это означает, что в тех
случаях, когда эффективность механизма пробоя мала, реальная волна
движется со скоростью, примерно совпадающей со скоростями, соответ-
соответствующими остальным двум режимам.
После окончания лазерного импульса в газе остается высоко нагретый
канал (при скорости волны 100 км/сек и длительности импульса 3-Ю"8 сек
длина его составляет 3 мм). Газ расширяется, и последующий процесс
подобен процессу сильного взрыва.
Отметим работы Н. Г. Басова и О. Н. Крохина [79], а также [80],
в которых даны предварительные оценки мощностей лазеров, необходи-
необходимых для нагревания водорода до термоядерных температур.
Более подробно вопросы пробоя и нагревания газов под действием
лазерного луча рассмотрены в обзорной статье одного из авторов [86];.
там же приводится полный список литературы.

ГЛАВА VI
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
1. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ГАЗЫ
§ 1. Установление термодинамического равновесия
Состояние газа зависит от концентраций различных компонент:
атомов, молекул, ионов, электронов и распределения внутренней энергии
по степеням свободы. В общем случае внутренняя энергия газа склады-
складывается из энергии поступательного движения частиц, вращательной
и колебательной энергии молекул, химической энергии, энергии иониза-
ионизации и электронного возбуждения атомов, молекул, ионов. В условиях
полного термодинамического равновесия состояние полностью опреде-
определяется элементным составом газовой смеси и значениями двух каких-
нибудь макроскопических параметров, например, плотности и удельной
внутренней энергии.
Возбуждение каждой из степеней свободы *) и установление термоди-
термодинамического равновесия требуют некоторого времени, масштабом кото-
которого служит так называемое время релаксации. Времена релаксации для
возбуждения различных степеней свободы часто очень сильно различают-
различаются, поэтому возможны такие условия, когда термодинамическое равно-
равновесие устанавливается не во всех, а только в части степеней свободы.
Скорее всего равновесие устанавливается в поступательных степенях сво-
свободы частиц. Если в начальный момент существовало какое-то произ-
произвольное распределение атомов или молекул по скоростям, то уже после
немногих упругих соударений частиц с близкими массами распределение
по скоростям в этих частицах становится максвелловским. Установление
максвелловского распределения происходит в результате обмена импуль-
импульсом и кинетической энергией частиц, причем при столкновениях частиц
с не сильно различающимися массами они обмениваются импульсом
и энергией, которые в среднем такого же порядка, что и сами импульсы
и энергии соударяющихся частиц. Поэтому время релаксации для уста-
установления максвелловского распределения в частицах данного сорта или
в частицах разных сортов, но с близкими массами, имеет порядок среднего
времени между газокинетическими столкновениями:
Т'ПОСТ ^^ '''СТ = ~= == = "	»	(^'*/
v nvaCT
где / — средняя газокинетическая длина пробега, v — средняя скорость
частиц, п — число частиц в 1 см3, а аст — газокинетическое эффективное
*) Для краткости мы будем говорить о диссоциации, химических превращениях,
ионизации как о «степенях свободы».

$ 1]	УСТАНОВЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ	299
¦сечение. Например, в воздухе при нормальных условиях I л; 6-Ю см,
Тпост ~ Ю0 сек.
Обычно газокинетические времена очень малы по сравнению с вре-
временами, в течение которых заметным образом меняются макроскопические
параметры газа, скажем, плотность и энергия. Поэтому, как правило,
можно в каждый момент приписывать газу «поступательную» температу-
температуру — величину, характеризующую среднюю кинетическую энергию
поступательного движения частиц *). В состоянии неполного термодинами-
термодинамического равновесия, когда говорят о термодинамически равновесных сте-
степенях свободы, имеют в виду, что распределение энергии (и концентраций
соответствующих компонент газовой смеси) в этих степенях свободы нахо-
находится в равновесии с «поступательной» температурой газа.
Величины же, соответствующие неравновесным степеням свободы,
могут быть произвольными; они зависят от многих факторов, в том числе
и от предыдущей «истории» процесса, в котором участвует газ.
Такие условия встречаются в быстропротекающих газодинамических
процессах или в областях резкого изменения макроскопических парамет-
параметров, например, в ультразвуковой волне или во фронте ударной волны,
когда временнь'ю масштабы явления **) оказываются сравнимыми или
даже гораздо меньшими соответствующих времен релаксации. В этом
случае распределения энергии и концентраций соответствующих частиц
определяются не просто температурой, плотностью и элементным соста-
составом газа, как при термодинамическом равновесии, но еще и кинетикой
физико-химических процессов, приводящих к установлению равновесия
в данных степенях свободы.
В некоторых случаях времена релаксации для установления термо-
термодинамического равновесия в определенной степени свободы бывают
настолько большими, что неравновесное состояние системы оказывается
весьма устойчивым, стационарным. Обычно такое положение возникает
в смеси газов, способной к химическому превращению, которое фактически
не происходит из-за большой энергии активации, необходимой для про-
протекания реакции. Типичным примером может служить гремучая смесь
2Н2 + О2, которая в состоянии строгого термодинамического равновесия
при низких температурах должна была полностью превратиться в воду.
О таких случаях говорят как о «ложных» равновесиях.
Как уже было отмечено выше, времена релаксации для установления
равновесия в различных степенях свободы часто очень сильно разли-
различаются. Если при данных температуре и плотности переходить от быстрых
к более медленным релаксационным процессам, то обычно можно уста-
установить такую последовательность: поступательные степени свободы, вра-
вращения молекул, колебания молекул, диссоциация и химические реакции,
ионизация и электронное возбуждение.
Благодаря весьма резкому различию во временах релаксации каждый
из релаксационных процессов можно изучать в отдельности, выделяя его
из остальных и предполагая, что в легко возбуждаемых степенях свободы
равновесие существует в каждый момент, а более медленные релаксацион-
релаксационные процессы вообще не идут на протяжении рассматриваемых времен.
*) Следует отметить, что при изотропном распределении частиц по направле-
направлениям скоростей поступательного движения давление газа определяется энергией
поступательного движения частиц, находящихся в 1 см3: р = 2?кив/3, совершенно
независимо от того, каково распределение частиц по абсолютным значениям скоростей,
т. е. существуют ли максвелловское распределение и «температура» или нет.
**) В ударной волне это — время резкого сжатия газа.

300	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
Все релаксационные процессы обладают некоторыми общими чертами,
независимо от их природы. А именно, приближение к состоянию термо-
термодинамического равновесия в данной степени свободы происходит асимпто-
асимптотически, по экспоненциальному закону. Если характеризовать «состоя-
«состояние» данной степени свободы каким-либо параметром, скажем, числом
частиц N (например, числом молекул, колебания которых возбуждены,
или числом молекул данного сорта в случае химических превращений),
то при данных температуре и плотности (и элементном составе) газа можно-
записать
где iVp — равновесное число частиц, а х — некоторая величина размер-
размерности времени, которая характеризует скорость приближения к равно-
равновесию. Из решения уравнения F.2)
_ L	—L
N = NHa4e Т + Лгр(!_ «Г*)	F.3)
видно, что т является временем релаксации для данного процесса. Вообще-
говоря, кинетика физико-химических процессов далеко не всегда описы-
описывается линейным уравнением типа F.2). Однако в стадии приближения
к равновесию, когда |7VP — iV| < Np, уравнение F.2) справедливо как
первое приближение, если в общем уравнении кинетики типа
^L = f(N,T,Q,...)	F.4>
представить функцию в правой части в виде разложения по малому откло-
отклонению от равновесия (iVp — N)/Np.
Надо сказать, что время т, определенное уравнением F.2), как пра-
правило, характеризует масштаб времени установления равновесия и в слу-
случае общего уравнения кинетики F.4) (в этом мы убедимся на ряде кон-
конкретных примеров в последующих параграфах).
Рассмотрение кинетики физико-химических релаксационных процес-
процессов имеет два аспекта. Это, во-первых, вопрос о скоростях элементарных
процессов, приводящих к возбуждению той или иной степени свободы,
т. е. вопрос об эффективных сечениях соответствующих неупругих соуда-
соударений частиц, в результате которых происходит процесс возбуждения..
Обычно этими сечениями определяется и характерное время релаксации т.
Во-вторых, это — вопрос о самой кинетике релаксационного процесса
в данных конкретных условиях с учетом меняющихся во времени макро-
макроскопических параметров системы и обратного влияния процесса на изме-
изменение макроскопических параметров. В этой главе мы остановимся только-
на первом из указанных аспектов. (Второй будет рассмотрен в гл. VII,
VIII.) При этом будем всегда предполагать, что в газе поддерживаются
постоянные температура, плотность и концентрации тех частиц, которые
не имеют отношения к рассматриваемому процессу.
§ 2. Возбуждение вращений молекул
Энергии вращательных квантов молекул обычно очень малы. Будучи
разделенными на постоянную Больцмана, они имеют порядок нескольких
градусов, например, у кислорода 2,1° К, у азота — 2,9° К. Поэтому даже
при комнатной температуре Т « 300° К, а тем более при высоких темпе-

2]
ВОЗБУЖДЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ МОЛЕКУЛ
301
ратурах, квантовые эффекты вращений молекул не проявляются. Некото-
Некоторое исключение составляют лишь молекулы водорода и дейтерия, обла-
обладающие очень маленькими моментами инерции и сравнительно большими
вращательными квантами,— 85,4 и 43° К.
Вследствие «классичности» вращений молекулы при столкновениях
весьма интенсивно обмениваются поступательной и вращательной энер-
энергиями. В самом деле, время соударения, т. е. время, в течение которого
взаимодействуют сталкивающиеся молекулы, порядка a/v, где а — размер
молекулы, a v ¦— средняя тепловая скорость. Если энергия вращений
порядка кТ, то время соударения сравнимо с периодом вращательного
движения *). Следовательно, столкновение молекул можно представить
как столкновение двух медленно поворачивающихся «гантелей» и доста-
достаточно небольшой асимметрии при сближении частиц, чтобы они получили
заметный вращательный момент.
Экспериментальные данные подтверждают тот факт, что вращения
возбуждаются легко. За исключением Нг и D2, вращательная энергия
молекул достигает своего равновесного классического значения кТ
(у двухатомных молекул) после десятка газокинетических соударений.
Времена вращательной релаксации на опыте измерялись главным образом
путем изучения дисперсии и поглощения ультразвука (об этом методе
см. § 3, 4 гл. VIII). Они находятся в качественном согласии с измерениями
Хорнига и Грина [1—3] толщины фронта слабых ударных волн по отраже-
отражению света (об этом методе см. § 5 гл. IV). Некоторые данные о временах
вращательной релаксации и числе столкновений, необходимых для уста-
установления термодинамического равновесия во вращательных степенях
свободы молекул, приведены в табл. 6.1. Более подробные данные с много-
многочисленными ссылками на оригинальные работы можно найти в обзорах
Таблица 6.1
Вращательная релаксация молекул
Молекула
н2
н2
D2
N2
N2
О2
°2
NH3
со2
Температура,
°К
300
300
288
300
300
314
300
293
305
Время релак-
релаксации при
атмосферном
давлении,
сек
2,1-10-8
2,1-10-8
1,5-10-8
1,2-10-9
2,2-10-9
8,1-10-ю
2,3-10-9
Число
столкнове-
столкновений
300
300
160
9
20
12
20
10
16
Метод
Ультразвук
Ударная волна
Ультразвук
»
Ударная волна
Ультразвук
Ударная волна
Ультразвук
»
Литература
[6]
[1]
[7]
[8]
[2, 3]
[9]
[3]
[10]
[И]
*) Энергия вращений кТ ~ Ма2а2, где со — круговая частота вращений, М
¦масса молекулы. Период вращений
со
кТ

302	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. "VI
Л. В. Лескова и Ф. А. Савина [4], С. А. Лосева и А. И. Осипова [5}
и в книге Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова [77].
За исключением водорода при не слишком высоких температурах,
практически всегда можно считать, что равновесие во вращательных сте-
степенях свободы устанавливается столь же быстро, как и в поступательных у
т. е. что вращения всегда имеют «поступательную» температуру.
§ 3. Уравнение кинетики для релаксации колебательной
энергии молекул
Энергии колебательных квантов важнейших двухатомных молекул,
деленные на постоянную Больцмана, имеют порядок тысячи или
нескольких тысяч градусов, например, у кислорода hvlk = 2230°Кг
у азота — 3340° К. По формуле C.19) для колебательной энергии газа
колебательные степени свободы дают заметный вклад в теплоемкость
газа, начиная с температур, при которых кТ в несколько раз меньше hv.
Так, при hv/kT = 4 энергия на одно колебание составляет 7,25% от
своего классического значения кТ, при hv/kT = 3 — 15%; для воздуха
это температуры около 1000° К. Таким образом, в отличие от враще-
вращений молекул вопрос о колебательной релаксации практически возникает
тогда, когда колебания имеют существенно квантовый характер. Наобо-
Наоборот, в «далекой» классической области кТ > hv, скажем, при темпера-
температурах порядка 10 000—20 000° К, вопрос в значительной степени теряет
свою актуальность, так как при этом молекулы в основном диссоцииро-
диссоциированы на атомы. В «далекой» классической области при кТ > hv для
возбуждения колебаний, как и вращений молекул, не требуется много*
столкновений. Однако при тех температурах порядка тысячи или несколь-
нескольких тысяч градусов, когда вопрос о колебательной релаксации представ-
представляет практический интерес, времена релаксации весьма велики: для воз-
возбуждения колебаний, как показывают теория и опыт, нужны тысячи
и сотни тысяч столкновений.
Сформулируем уравнение кинетики для возбуждения колебаний.
Рассмотрим для простоты газ из двухатомных молекул одного сорта.
Пусть Т <С hvlk, так что существенно возбуждение только первого коле-
колебательного уровня молекул *) (для воздуха — это температуры 1000—
2000° К). Если п0, щ, п = п0 + ret — числа невозбужденных, возбужден-
возбужденных и всех молекул в 1 см3, тст — среднее время между газокинетически-
газокинетическими столкновениями, определенное формулой F.1), а р01 и pi0 — вероятно-
вероятности возбуждения колебаний и дезактивации возбужденной молекулы при.
столкновении, то уравнение кинетики можно записать в виде
= if- (Р01Щ — Pio«i).	F.5)
По принципу детального равновесия, в соответствии с законом
Больцмана,
„	hv
m = a^.==e'~hT	F.6)
Р10 "op
(индексом р всегда отмечаем равновесные значения).
*) Если молекулы многоатомные, то ограничиваемся случаем возбуждения
только самых низкочастотных колебаний.

§ 3]	УРАВНЕНИЕ РЕЛАКСАЦИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ МОЛЕКУЛ	30S
Поскольку при кТ < hv nip < nOv та п, получим приближенног
чг = П-^'	F-7>
где время релаксации
т = -^	F.8>
Рю	'
пропорционально числу столкновений, необходимых для дезактивации
молекулы 1/рю- Умножая уравнение F.7) на hv, получим уравнение
для релаксации колебательной энергии единицы объема Е = hvn^ (Ep (T) --=
= hvniv (T)):
Как видим, для процесса возбуждения колебаний уравнения кинетики
F.7), F.9) имеют форму F.2) при любых отклонениях от равновесия.
Рассмотрим теперь не малые температуры кТ > hv, когда в газе при-
присутствуют молекулы, находящиеся в' самых различных колебательных
состояниях. В этом общем случае следует писать систему уравнений кине-
кинетики для чисел молекул щ, обладающих I колебательными квантами
(/ = 0, 1, 2 . . .). Однако уравнение типа F.9) для релаксации полной
колебательной энергии все равно остается в силе, причем время релакса-
релаксации определяется формулой, лишь несколько видоизмененной по срав-
сравнению с F.8).
Из квантовой механики известно*), что если колебания гармонические,
то осциллятор может менять свою энергию только на величину одного
колебательного кванта, причем вероятности перехода из состояния
с / — 1 квантами в состояние с I квантами Pi-i,i и переходас /-уровня
на(/ —1)-й уровень/? i,i-\ пропорциональны /. Таким образом, если рассмат-
рассматривать молекулу как гармонический осциллятор, что справедливо для
не слишком высоких колебательных состояний, т. е. при температурах,,
не слишком больших по сравнению с hvlk, то можно записать
Pi-i,i = lpoi.\ Pi,i-i = lPio\ 1 = 1, 2, 3, ...	(
Уравнение кинетики для числа молекул, обладающих / квантами
с учетом переходов в 1-е состояние как из (/ — 1)-го, так и из (/ + 1)-го,
имеет вид
J	(Pn + P	p^l-ini — p^ 1-цЩ).	F.11)
J7 ^	^	+^	p^
По принципу детального равновесия, аналогично F.6),
hv
EL=hl = _^lP_ = е" Ж .	F.12)
Pi, i-i «z-i,p	'
Умножим уравнение F.11) на hvl. Подставляя F.10) в F.11), сумми-
суммируя по / и замечая, что Е = I>hvlnt — полная энергия колебаний в 1 смг,
получим
dE 1
-yr = — [Poihvn — (plo — pOi)E],	F.13)
где п = Hnt — полное число молекул в 1 см3. Имея в виду F.6) и то,
что величина Ер = hvn (ehv/hT — I) представляет собой энергию колеба-
*) См., например, книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [12].

304	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
ний в 1 см3 в условиях термодинамического равновесия (см. формулу C.19)),
придем к уравнению кинетики F.9) со временем релаксации
Среднее число столкновений, необходимых для установления равно-
равновесия в колебательных степенях свободы, равно
2 =	1ПГ==^^1Г'	FЛ5>
е ЬТ) 1-е hT
где Zt = 1/рю — число столкновений, необходимых для дезактивации
молекулы, обладающей одним колебательным квантом. При hv > кТ
Z = Zt и формула F.14) превращается в F.8). При высоких температу-
температурах, когда среднее число колебательных квантов в молекулах велико,
1 = kTlhv > 1,
у	Jy т _ TeTt __ Т'ст^
11	P	P*
В кинетическом уравнении F.11) для изменения числа молекул
в /-м квантовом состоянии приняты во внимание только переходы, сопро-
сопровождающиеся обменом энергией между поступательными и колебательны-
колебательными степенями свободы молекул. На самом деле при столкновениях моле-
молекул может происходить и обмен колебательными квантами, причем оказы-
оказывается, что вероятность такого обмена гораздо больше, чем вероятность
обмена между поступательной и колебательной энергиями [13]. Поэтому
больцмано'вское распределение молекул по колебательным уровням в соот-
соответствии с общим запасом колебательной энергии газа устанавливается
быстро. Можно сказать, что в неравновесной системе сначала устанавли-
устанавливается «колебательная» температура, а затем уже происходит выравни-
выравнивание «колебательной» и «поступательной» температур [14].
§ 4. Вероятность возбуждения колебаний и время релаксации
Рассмотрим простейший случай, когда на двухатомную молекулу ВС
налетает атом А вдоль направления оси молекулы, как показано на
рис. 6.1. Если между сталкивающимися частицами А и ВС нет химического
сродства, то при сближении между ними
А возникают силы отталкивания, сначала
	&\ тормозящие атом А, а затем отталкивающие
его от молекулы ВС.
Рис. 6.1. К вопросу о возбужде-	На атом С действует вынуждающая
нии колебаний в молекуле при сила, которая сначала стремится вывести
ударе атома.	его из положения равновесия и сместить
в сторону атома В. Если сближение про-
происходит очень медленно, атом С медленно сдвинется с места и затем,
когда атом А и молекула ВС оттолкнутся и начнут удаляться друг
от друга, также медленно вернется в исходное положение: удар, как
говорят, будет «адиабатическим», и колебание не возникнет. Условие
адиабатичности состоит, очевидно, в том, чтобы время взаимодействия
атома с молекулой, которое имеет порядок afv, где а — радиус действия
сил, a v — относительная скорость частиц при бесконечном удалении,

§ 4]	ВЕРОЯТНОСТЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ 305
было велико по сравнению с периодом колебаний: avlv > 1. Иначе это
условие можно себе представить так: для интенсивной «раскачки» моле-
молекулы необходимо, чтобы при разложении вынуждающей силы в интеграл
Фурье были велики резонансные компоненты с частотами, близкими
к собственной частоте v, но для этого нужно, чтобы время соударения
a/ v было порядка 1/v, вернее, чтобы выполнялось условие aa>/v ~ 1,
где со = 2kv.
Л. Д. Ландау и Е. Теллер [15] оценили зависимость вероятности
возбуждения колебаний от скорости столкновения и, в конечном счете,
от температуры, воспользовавшись принципом соответствия. Для спра-
справедливости квазиклассического приближения необходимо, чтобы длина
волны частиц была мала по сравнению с масштабом поля: aMvlh > 1,
где М — приведенная масса сталкивающихся частиц. Легко проверить,
что это условие заведомо выполняется, если, наряду с условием адиаба-
тичности avlv > 1, кинетическая энергия относительного движения
гораздо больше энергии кванта Mv2 > hv. Таким образом, квазикласси-
квазиклассический случай соответствует адиабатическим столкновениям, т. е. очень
малым вероятностям возбуждения колебаний.
Вероятность возбуждения колебания при столкновении пропорцио-
пропорциональна квадрату матричного элемента энергии взаимодействия частиц А
и ВС как функции расстояния между ними U (х). В квазиклассическом
приближении матричный элемент превращается в Фурье-компоненту
энергии взаимодействия:
со
\ U[x(t)]eiatdt.	F.16)
Примем закон отталкивания в виде U = const e~xla и положим для
простоты, что const = % = Мт?12, т. е. что атом может «вплотную» при-
приблизиться к мблекуле. Интегрируя уравнение движения
dx
"dF
найдем функции t (х), x (t) и отсюда зависимость U (t):
vt
(t = 0 соответствует моменту наибольшего сближения частиц, ? = 0).
Интеграл F.16) можно вычислить, если перейти к интегрированию
в комплексной плоскости t по замкнутому контуру. Контур включает
действительную ось и прямую Im t = 2na/v, отстоящую от нее на удвоен-
удвоенном расстоянии ближайшего к действительной оси полюса функции
U (t): tx — inalv. По теореме вычетов интеграл оказывается равным
\ UelU)t dt = . .- „—-г я» 8n2ikfa2v ехр (	¦	¦ ) ,
J	sh Bя2 avlv)	* V	v J
— СО
причем экспоненциальный закон справедлив при выполнении условия адиа-
батичности. Физический смысл вывода Ландау и Теллера становится особен-
особенно наглядным, если решить задачу о возбуждении осциллятора ударом
20 Я. Б. Зсльдорич, Ю. П. Райзер

306	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
частицы на основе классической механики. Такой вывод проделан в книге
Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова [77]. Мы здесь рассмотрим
один частный случай, который оказывается особенно простым. Предполо-
Предположим, что атом В гораздо тяжелее атома С (тв > тс) и что налетающий
атом А взаимодействует только с атомом С, так что в системе центра масс
частиц ВС и А раскачивается только легкий атом С.
Обозначим через у смещение атома С около положения равновесия
(вдоль линии столкновения х) и запишем уравнение движения осцил-
осциллятора
Сила в данном случае равна просто F = — dU/dx, т. е. при U =
= %е~х'а F = U 1а.
Вычислим энергию осциллятора е (t) = -у- {у2 + со2?/2). Для этого
умножим уравнение движения на еш и проинтегрируем по t от — оо
до t. Производя в левой части интегрирование по частям и принимая во
внимание начальное условие у (— оо) = 0, у (— оо) = 0, получим
t
ыг= Г F(t)eiatdt.
Квадрат модуля этой величины, деленный на 2/гас, и дает энергию е (t).
Имея в виду, что F — U 1а, найдем энергию, которую осциллятор при-
приобретает в результате удара:
Если теперь перейти к квантовым представлениям, то следует положить
e = hvpOfl(v), где pOi — вероятность возбуждения осциллятора при
столкновении. Подставляя указанное выше значение интеграла, получим
вероятность
*¦*<*>= mGh в	¦
Она экспоненциально убывает при увеличении фактора адиабатично-
сти av I v.
При произвольном отношении масс атомов в молекуле задача несколь-
несколько усложняется, однако в результате всех вычислений в формуле для
Poi iv) появляется только множитель тъ1(тпъ + пгс) (см. [77]).
Вероятность, как функцию относительной скорости частиц г>, следует
усреднить с помощью максвелловского распределения по относительным
скоростям, т. е. с помощью функции, пропорциональной ехр(— Mv2/2kT).
При этом возникает интеграл по скоростям, содержащий в подынтеграль-
подынтегральной функции экспоненциальный множитель ехр (— An2av/v — Mv2l2kT).
Основную роль в интеграле играют скорости v* = Dn2avkT/MI^, при
которых показатель экспоненты имеет наименьшую абсолютную величину.
Столкновения с такими скоростями главным образом и вызывают возбуж-
возбуждение и дезактивацию колебаний. Интеграл и вероятности переходов />01

§ 4] ВЕРОЯТНОСТЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ 307
и pi0 пропорциональны максимальному значению экспоненциального
множителя *):
Mv*2
Подстановка численных значений констант в показатель экспоненты
F.17) и опыт показывают, что при не слишком высоких температурах
показатель гораздо больше единицы **). Это означает, что для столкнове-
столкновений, вносящих основной вклад в возбуждение и дезактивацию колебаний,
выполняется условие адиабатичности и кинетическая энергия сталки-
сталкивающихся частиц гораздо больше кТ.
Последовательные квантовомеханические расчеты вероятности дезак-
дезактивации pi0, определяющей время релаксации (Ценер [17], Шварц и Герц-
фельд [18]), также приводят в адиабатическом пределе к формуле, содержа-
содержащей экспоненциальный фактор F.17). В работе [18] рассмотрен весьма
общий случай столкновений и для числа столкновений перед дезактива-
дезактивацией получена формула:
1	3 / во \^/з
где е0 = 1(зл4а2у2М. Последний экспоненциальный множитель в точ-
точности соответствует экспоненте в F.17) и при не слишком высоких темпе-
температурах благодаря большой величине показателя описывает основную
температурную зависимость числа столкновений. Множитель ехр (— E^lkT)
учитывает некоторое облегчение переходов из-за ускорения частиц при
их сближении за счет дальнодействующих сил притяжения, которые опи-
описываются «потенциальной ямой» с энергией е^ Ej обычно порядка несколь-
нескольких десятых долей электрон-вольта. Формула F.18) несколько уточнена
в более поздней работе Герцфельда [18а].
Как следует из изложенной выше теории, время колебательной
релаксации зависит от температуры по закону
i
т = Ztct = хстА ехр (ЬТ 3),	F.19)
где b = const, а А —- медленно меняющаяся функция температуры.
Таким образом, график In т в зависимости от y-Ve должен давать почти
прямую линию.
На опыте времена колебательной релаксации измеряются при ком-
комнатной температуре и небольших нагреваниях методом поглощения и дис-
дисперсии ультразвука, а в широком диапазоне температур с помощью удар-
ударных труб, путем исследования установления равновесия во фронте удар-
ударной волны. Тщательное исследование релаксации в кислороде и азоте
*) Любопытно отметить, что аналогичным образом, по закону ехр (— const T~1^3),
зависит от температуры скорость термоядерных реакций. Это происходит по той при-
причине, что вероятность сближения ядер, отталкивающихся кулоновскими силами, тоже
зависит от относительной скорости сближения по закону ехр (— const- v), который
затем усредняется с помощью максвелловского распределения по скоростям ядер.
**) Например, в кислороде при Т = 1000° К показатель равен примерно 10
{по данным [16]; см. ниже).
20*

308
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
с помощью ударной трубы было проведено Блэкманом [16]. Его резуль-
результаты представлены в табл. 6.2. Там же приведены теоретические значения
для кислорода, вычисленные в работе Шварца и Герцфельда [18]. Как
видно, согласие между теорией и экспериментом неплохое.
Таблица 6.2
Колебательная релаксация в кислороде и азоте по измерениям Блэкмана [16].
Теоретические значения Шварца и Герцфельда [18]
т, °к
Рю (экспери-
(эксперимент) *)
(теория)
Число столкнове-
столкновений Z (экспери-
(эксперимент)
т в сек приведено
к плотности
п= 2,67-101» J_
288
900
1200
1800
2400
3000
600
3000
4000
5000
4.Ю-8**)
1,1-10-5
2,4-10-б
9,8-10-5
¦ 3,7-10-4
1,2-Ю-з
3-10-8 ,
3,1-10-5
9,7-10-5
2,5-10-4
Кислород
1-10-8
3-10-6
1,3-10-5
8,6-10-5
5,5-10-4
1,5-10-з
Азот
3,3-10'***)
4,6-104
1,8-104
0,8-104
2,
1,
4,
1,
5
1
5
4
5
6
•10'
•105
•104
•104
•103
• 103
96-10-'
41-10-'
9,5-10-'
2,7-10-'
0,83-10-'
2,1 -10-6
0,67.10-6
0,27-10-6
*) При вычислении рю из экспериментальных времен т использованы газо-
газокинетические сечения О"о2=3,6-10—15 см2, o"n2 = 4,1-10—15 сл*2.
**) Эта точка получена ультразвуковым методом [19].
***) Эта точка получена Кантровицем [20] путем исследования истечения из
сопла.
Экспериментальные значения, измеренные для самых различных
газов, более или менее удовлетворительно ложатся на теоретические
прямые In т или In Z от T~lf*. Это видно из рис. 6.2, заимствованного
из работы [5]. Отклонения от прямых частично объясняются темпера-
температурной зависимостью предэкспоненциального множителя А в фор-
формуле F.19).
Время колебательной релаксации в кислороде при той же темпера-
температуре меньше, чем в азоте, так как собственная частота в азоте в полтора
раза больше, чем в кислороде, что затрудняет возбуждение колебаний
в азоте. Поэтому колебательная релаксация в воздухе имеет два периода:
сначала приходит в равновесие кислород, а затем азот. Следует отметить,
что столкновения молекул N2 с О2 в 2,5 раза менее эффективны в отноше-
отношении возбуждения колебаний в О2, чем столкновения О2 — О2. Вообще,
некоторые молекулы очень активно возбуждают колебания; например,
молекулы Н2О в 50—100 раз быстрее возбуждают колебания в О2, чем
сами молекулы Ог- Поэтому при измерениях колебательной релаксации
существенна высокая степень очистки газа от примесей.
^Подробные сводки литературных данных по временам колебательной
релаксации в различных газах, так же как и ссылки на многочисленные
экспериментальные и теоретические работы, можно найти в обзорах [4, 5].

ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
309
Укажем несколько работ по изучению возбуждения колебаний в О2 [58,
59], N0 [60], СО [61], СОа [62, 63]. Отметим также обзор [64] и рабо-
работы [65, 66] по колебательной релаксации в смесях.
юг'т
ю~г
Ю~3
w~s
10~7
Pit-
¦
п.
Ч.
8»
о
X \
% м
Л
•
•
•
0,06
0 "
э 0
хХ^ох
•
•
•
0,08 0,10
о-0г
•-N,
х -СО
*ь д л - МО
О
о
О
о
о
о
I.I ft
0,12 O,ft 0,16 Т /3
Рис. 6.2. Экспериментальные данные по вероятностям
дезактивации молекул, в которых возбуждены колебания.
Теория колебательной релаксации детально изложена в книге [77];
там же имеется подробнейшая библиография, включая ссылки на теорети-
теоретические и экспериментальные работы последних лет.
§ 5. Уравнение кинетики диссоциации двухатомных молекул
и время релаксации
Диссоциация двухатомных молекул происходит обычно при соуда-
соударениях достаточно энергичных частиц по схеме:
A2 + M=s=tA + A + M,	F.20)
где М — какая-либо частица *). В однородном двухатомном газе части-
частицей М могут служить либо молекула А2, либо атом А. Обратный процесс
ведет к рекомбинации атомов в тройных соударениях, причем третья
частица М берет на себя часть выделяющейся при этом энергии связи.
Уравнение кинетики для процесса F.20) с учетом того, что частицей
М может быть как молекула, так и атом, имеет вид
dt
_ к
F.21)
*) Непосредственный распад достаточно сильно возбужденной молекулы на
атомы А2 5^ А + А имеет чрезвычайно малую вероятность, так же как и обратный
процесс объединения атомов в молекулу без участия третьей частицы, которой могла
бы быть передана часть выделяющейся при объединении энергии. Также малы вероят-
вероятности фотодиссоциации и рекомбинации с испусканием светового кванта.

310	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. Л1
Здесь для краткости числа частиц в 1 см3 обозначены их символами.
Константы скоростей реакций зависят только от температуры и связаны
между собой принципом детального равновесия:
^^	F-22)
где в скобки заключены равновесные при данных температуре и плотности
газа значения чисел частиц; К (Т) — константа равновесия, отличающая-
отличающаяся от константы равновесия для давлений Кр (Т) множителем (кТ)'1:
К (Т) = Кр (Т)/кТ. Константа равновесия определяет равновесную при
данных температуре и плотности степень диссоциации а. По формуле C.26)
К(Т) _ 1 MAv
1—а
,/ЛГа ?а --щг	{С „о.
где N — число исходных молекул в 1 см3, М& — масса атома (остальные
обозначения см. в § 3 гл. III).
В отличие от колебательной релаксации, уравнение кинетики для
диссоциации молекул в общем случае нелинейно. Однако при небольшом
отклонении от равновесия его можно в соответствии с общим указанием
в § 1 привести к линеаризованной форме F.2) для чисел частиц А или А2,
причем время релаксации т определяется выражением
F.24)
Как показывают расчеты, временем т характеризуется не только
конечная стадия асимптотического приближения к равновесию, но и вооб-
вообще вся кинетика диссоциации, даже в той стадии, когда она описывается
нелинейным уравнением F.21), так что т по порядку величины равно вре-
времени установления равновесной диссоциации и в общем случае произ-
произвольных начальных условий. В предельных случаях малой и сильной
равновесной диссоциации формула F.24) упрощается. При а < 1 атомов
мало, основную роль играет диссоциация молекул ударами молекул
и с учетом F.22), F.23)
^ = 8a/V2A:r = |-iVA:d.	F.25)
ri При 1 — а < 1, если даже в начальный момент атомов нет, основ-
основное время занимает поздняя стадия, когда молекул мало и оставшиеся
молекулы разбиваются ударами атомов. В этом случае
Т
F.26)
Таким образом, вопрос о времени установления равновесия сводится
к вопросу о скоростях реакций диссоциации или рекомбинации. Посколь-
Поскольку обе скорости связаны между собой принципом детального равнове-
равновесия F.22), достаточно знать из теории или эксперимента одну из них.
§ 6. Скорости рекомбинации атомов и диссоциации
двухатомных молекул
Грубую оценку скорости рекомбинации атомов в двухатомную моле-
молекулу можно получить из самых элементарных соображений, полагая, что
каждое газокинетическое столкновение атомов в присутствии третьей
частицы ведет к рекомбинации. Число столкновений атомов А друг с дру-

§ 6] РЕКОМБИНАЦИЯ АТОМОВ И ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ 311
гом в 1 см3 в 1 сек равно A-v-a-A, где v — (8kT /МАлУ^— средняя
тепловая скорость, а а — газокинетическое сечение. Вероятность того,
что в момент столкновения «по соседству», т. е. на расстоянии порядка
молекулярных размеров г, окажется третья частица, приближенно равна
среднему числу частиц в объеме, равном объему одной молекулы: Dnr3/3)N,
где N — число частиц в 1 см3. Таким образом, число тройных столкнове-
столкновений в 1 см9 в 1 сек равно А-г;-о-А Dяг3/3) N. Вводя для общности еще
численный коэффициент р, равный вероятности рекомбинации при условии,
что произошло тройное столкновение, получим для константы скорости
рекомбинации выражение:
kr = fta~.	F.27)
Для атомов азота v = 3,9-Ю3]/ГТ° см/сек, а я^ 10~15 см2. Полагая
г = 3/i-10~s см и р = 1, получим kr = 2,2Л0иУТ° смЧмоль2 -сек
(в одном моле содержится 6-Ю23 атомов). При Т = 300° К кт =
= 3,8-1015 см*/моль2-сек.
Рекомбинацию атомов азота на опыте обычно изучают, измеряя изме-
изменение во времени числа молекул азота по послесвечению *). Таким образом
была найдена константа скорости рекомбинации с молекулами азота
в качестве третьей частицы. В интервале температур от 297 до 442° К
она оказалась почти не зависящей от температуры и равной kr = 5,8 X
X 1013 см61'моль2¦ сек [21], в хорошем согласии с приведенной оценкой.
Близкие результаты получали и другие авторы [22, 23].
В работе [70] путем измерения неравновесного излучения изучалась
диссоциация и рекомбинация азота в ударной трубе. Было найдено, что
при Т = 6400° К константа скорости рекомбинации равна ArN = 6,5 X
X 1015 смв/моль2-сек, если третьей частицей служит атом азота, и в 13 раз
меньше, если роль третьей частицы играет молекула азота.
Вообще при не слишком высоких температурах (Т ~ 300—1000° К)
константы скорости рекомбинации обычно имеют порядок 1014—1016
см6/моль2-сек, что свидетельствует о довольно больших вероятно-
вероятностях рекомбинации р при тройном соударении. Скорость рекомбинации
сравнительно слабо зависит от температуры, обычно проявляя некоторую
тенденцию к уменьшению с возрастанием температуры. Это можно понять,
если учесть, что вероятность рекомбинации при тройном столкновении
тем больше, чем больше время взаимодействия сталкивающихся частиц,
т. е. чем меньше их скорости или чем меньше температура, так что вероят-
вероятность Р обратным образом зависит от температуры. Например, если
Р ~ 1/Т, то kr ~ vf> ~ 1/Гх/2 в соответствии с теоретическими расчетами
Вигнера [24].
Скорость рекомбинации атомов зависит от сорта третьей частицы;
например, при рекомбинации атомов азота атомы азота в качестве треть-
третьих частиц в 13 раз эффективнее, чем молекулы (при Т = 6400° К).
В работе [25] изучение кинетики диссоциации йода в ударной трубе
*) Явление послесвечения азота состоит в следующем. При рекомбинации атомов
азота молекулы N2 оказываются в возбужденном состоянии 52g. Последующие
столкновения с другими молекулами или атомами частично дезактивируют
молекулы так, что они переходят в более низкое состояние B3Hg, после чего испуска-
испускаются кванты первой положительной системы N2 {B3Ilg —*- А32,и), которые и реги-
регистрируются на опыте. По изменению интенсивности свечения судят о кинетике реком-
рекомбинации.

312	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
(концентрацию молекул J2 измеряли по поглощению света) показало,
что при Т = 1300° К молекулы йода в 35 раз эффективнее в качестве
третьих частиц при рекомбинации атомов йода, чем атомы аргона.
Скорость рекомбинации йода в тройных соударениях с аргоном при
Т = 1300° К /с,. = 4,5-1014 смв/молъ*-сек [25]; при Т = 298° К
kr = 2,9-1015 смв/моль2 ¦ сек [26].
Диссоциация молекулы при столкновении с другой частицей может
произойти только в том случае, если энергия сталкивающихся частиц
превышает энергию диссоциации. Полное число столкновений в 1 сек
данной молекулы с другими частицами, число которых в 1 см3 равно N,
есть v = Nv'a, где v = (8kT/яцI-^ — средняя скорость относительного
движения частиц; (л — приведенная масса *). При максвелловском рас-
распределении по скоростям число столкновений молекул с кинетической
энергией относительного движения, превышающей энергию диссоциации U,
составляет долю ( т™ + 1 ) е-и'кТ от полного числа соударений (обыч-
(обычно U/kT > 1, так что (U/kT) + 1 да U/kT). Полагают, что в отношении
диссоциации эффективна только та составляющая кинетической энергии
частиц, которая соответствует компоненте относительной скорости, направ-
направленной вдоль линии центров сталкивающихся частиц (если последние
рассматривать как твердые шарики). В этом предположении доля «доста-
«достаточно энергичных» столкновений вместо (U/kT) ехр (— U/kT) равна
просто ехр (— U 1кТ).
Естественно думать, что на разрыв связи в молекуле может затрачи-
затрачиваться не только кинетическая энергия поступательного движения стал-
сталкивающихся частиц, но и энергия их внутренних степеней свободы: коле-
колебательная, вращательная. Можно показать (см. [27]), что доля столкно-
столкновений, в которых суммарная энергия сталкивающихся частиц с учетом
энергии внутренних степеней свободы превышает энергию диссоциации,,
равна **)
где каждая колебательная степень свободы вносит единицу в показатель sf
а каждая вращательная степень свободы вносит 1/2 (в случае полуцелого s
факториал s! заменяется на гамма-функцию: Г (s + 1)).
В настоящее время теория диссоциации молекул ударами частиц
весьма далека от своего завершения, поэтому при сравнении с экспери-
экспериментом для константы скорости диссоциации часто пользуются формулой
указанного типа:
"ттуе-*г.	F.28)
Число s, характеризующее степень участия в диссоциации внутрен-
внутренних степеней свободы, и фактор Р, который представляет собой вероят-
вероятность того, что при столкновении частиц с достаточным для диссоциации
запасом энергии действительно произойдет диссоциация, рассматривают
как параметры, которые следует определять из опыта.
*) При оценке скорости рекомбинации для простоты и' заменялось v, т. е..
ц—массой атома МА.
**) При выводе этой формулы считается, что распределение молекул по энергети-
энергетическим состояниям во всех внутренних степенях свободы — больцмановское, соответ-
соответствующее поступательной температуре Т.

§ 6] РЕКОМБИНАЦИЯ АТОМОВ И ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ 313
Согласно современным представлениям основную роль в процессе
диссоциации играет колебательная энергия молекулы. Е. В. Ступоченко
и А. И. Осипов [28] показали, что вероятность диссоциации невозбужден-
невозбужденной молекулы чрезвычайно мала, даже если поступательная энергия
соударяющихся частиц превышает энергию связи U. Диссоциируют
главным образом молекулы, находящиеся на очень высоких колебательных
уровнях, энергия которых близка к энергии диссоциации. При этом
энергия поступательного движения частиц может и не сильно отличаться
от средней тепловой энергии.
Если предполагать, что распределение молекул по колебательным
состояниям больцмановское, то для скорости диссоциации остается в силе
формула типа F.28) с соответствующим значением показателя s.
Е. В. Ступоченко и А. И. Осипов [29] показали, что это предположе-
предположение не всегда оправдывается. «Отвод» молекул с высших колебательных
уровней вследствие диссоциации может иногда сильно нарушать больцма-
больцмановское распределение молекул по высшим колебательным состояниям.
В этом случае кинетика диссоциации должна рассматриваться совместно
с кинетикой возбуждения высших колебательных уровней. Процесс идет
таким образом, что благодаря столкновениям молекулы «подаются»
на верхние уровни, откуда переходят в диссоциированное состояние. При
рекомбинации атомов в присутствии третьей частицы энергия диссоциа-
диссоциации превращается главным образом в колебательную энергию обра-
образующейся молекулы. Теория этих процессов изложена в обзоре [76]
и книге [77].
На опыте изучалась в основном диссоциация кислорода за фронтом
ударной волны в ударной трубе (работы Мэттьюза [30], Байрона [31],
Н. А. Генералова и С. А. Лосева [32], Камака [67], Ринка и др. [68];
обзор литературных данных и ссылки на другие работы см. в [4, 5, 77]).
Тщательное исследование было проведено Мэттьюзом. Интерферо-
' метрическим методом определялся ход плотности в неравновесной зоне
за скачком уплотнения, который сопоставлялся с теоретическими рас-
расчетами, выполненными на основе формулы для скорости диссоциации
типа F.28) (см. гл. IV, VII). Равновесие в колебательных степенях сво-
свободы устанавливается по крайней мере на порядок скорее, чем проис-
происходит диссоциация *), так что эффект релаксации колебаний не мешал
изучению скорости диссоциации. Изучалась область температур 2000—
4000° К. Степень диссоциации в опытах Мэттьюза была невелика, а ~
~ 0,05—0,1, так что основную роль в диссоциации играли столкнове-
столкновения Ог — О2 **). В расчетах принималось s = 3, при этом эффективность
столкновений оказалась равной Ро~-о2== 0,073, а константа скорости
диссоциации:
1	eg 380
*е"~5!ь~ см3/моль-сек. F.29)
*) Имеются в виду не слишком высокие колебательные состояния, в которых
находится подавляющее большинство молекул.
**) С реакцией О2 + О2 = 20 + О2 конкурирует двухступенчатая реакция
диссоциации О2 с промежуточным образованием озона О2 + О2 = О + О3; О3 + М=
= О + О2 + М (соответственно может идти и обратный процесс рекомбинации).
При высоких температурах этот процесс играет небольшую роль (в частности, в опытах
Мэттьюза). Однако рекомбинация кислорода при низких температурах и малой степени
диссоциации идет главным образом через образование озона, так как столкновения
О + О + М происходят гораздо реже, чем столкновения О + О2+М—»-О3 + М.
Константы скоростей реакций с участием озона см. в [33].

314	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
Расчеты, проведенные с s = 0, дали неправдоподобно большое зна-
значение Р (большее единицы). Это свидетельствует о том, что в диссоциа-
диссоциации существенную роль играет энергия внутренних степеней свободы
молекул. Зная константу равновесия для диссоциации О2:
_ А _ 59 380
К(Т) = 1,85-103Т° 2е т° моль/см3,	F.30)
можно найти скорость рекомбинации с молекулами О2 в качестве третьих
частиц:
^ = 6Д.10яГг см6/моль2 сек*).	F.31)
Время релаксации при Т = 3500° К и нормальной плотности т =
= 0,95 -10 сек, (а = 0,084). Этот результат весьма близок к данным
Глика и Варстера [34], измерявшим время релаксации для диссоциации
кислорода в ударной трубе. Их времена, приведенные к нормальной
плотности, равны
Т, °К 3100 3300 3400 3850
т-10в сек 2 0,8 0,5 0,06
В работах [35, 36, 25] изучалась скорость диссоциации брома и йода
(также в ударной трубе; концентрация молекул Вг2, J2 измерялась по
поглощению света от постороннего источника). В работе [35] в интервале
температур до 2000° К получено для скорости диссоциации молекул
брома ударами атомов аргона: s = 2, Р вг2-аг = 0,12. Удовлетвори-
Удовлетворительное согласие с этим результатом получено в теоретической работе
Е. Е. Никитина [37]. Обзор работ по диссоциации молекул см. в [5].
Отметим работу [69], в которой изучалась диссоциация водорода в удар-
ударной трубе. О скоростях диссоциации О2 и N2 и других релаксационных
процессов в воздухе см. также [53]. Более подробно теория диссоциации
молекул и вопросы кинетики этого процесса изложены в неоднократно
цитированной выше книге [77]. Там же приводятся экспериментальные
данные и ссылки на новейшие работы.
§ 7. Химические реакции и метод активированного комплекса
С точки зрения энергетического эффекта химические превращения
подразделяются на два типа: эндотермические, требующие определенного
количества энергии, и экзотермические, сопровождающиеся выделением
тепла. Примерами реакций обоих типов являются диссоциация молекул
и рекомбинация атомов в молекулу, рассмотренные выше. Ясно, что для
протекания эндотермической реакции необходимо, чтобы сталкивающиеся
молекулы обладали некоторым минимальным запасом энергии, так назы-
называемой энергией активации Е, поэтому скорость такой реакции пропор-
пропорциональна больцмановскому фактору e~E/kT и быстро возрастает с повы-
повышением температуры. В процессе диссоциации энергией активации служит
энергия связи молекулы U. Опыт, однако, показывает, что и для боль-
большинства экзотермических превращений также требуется энергия акти-
активации и скорости соответствующих реакций возрастают с температурой
*) Эта формула справедлива только в исследованном интервале температур
Т яв 2000—4000° К. Экстраполяция ее к комнатным температурам дает завышенное
значение скорости рекомбинации.

§ 7] ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ И МЕТОД АКТИВИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА 315
XYW2
ло экспоненциальному закону e-E/ftT, называемому законом Аррениуса.
Рекомбинация атомов в молекулу является в этом отношении нетипичной,
так как она происходит без активации и потому с легкостью протекает
при низких температурах, как и многие другие реакции с участием сво-
свободных атомов.
Для того чтобы произошел элементарный акт химического превра-
превращения, скажем, обмен атомами при столкновении молекулы XY с моле-
молекулой WZ:
XY + WZ—>XW + YZ,	F.32)
необходимо, чтобы произошло тесное сближение молекул реагентов. Неза-
Независимо от того, является ли этот процесс энергетически выгодным или
нет, т. е. выделяется или поглощается
энергия в результате обмена, при тесном
сближении частиц между ними, как пра-
правило, возникают силы отталкивания, для
преодоления которых требуется определен-
определенная энергия. Можно сказать, что для пре-
превращения должен быть преодолен потен-
потенциальный барьер. Это положение поясняет-
поясняется схематическим рис. 6.3, на котором
отложена потенциальная энергия системы
четырех атомов XYWZ в зависимости от
«координаты разложения», характеризую-
характеризующей взаимную пространственную кон-
конфигурацию атомов. Для определенности
предполагается, что прямой процесс F.32)
экзотермичен. Разность энергий между
начальным и конечным состояниями системы равна энергетическому
выходу реакции Q. Из рис. 6.3 видно, что энергия активации обрат-
обратного процесса Е2 превышает энергию активации прямого процесса Et
на величину энергии реакции Q. Соответственно скорость обратной, эндо-
эндотермической, реакции гораздо резче зависит от температуры, чем ско-
скорость прямой, экзотермической реакции.
Уравнение кинетики для процесса F.32) с учетом как прямой, так
и обратной; реакций может быть записано в виде
Координата разложения
Рис. 6.3. К вопросу о потенциаль-
потенциальном барьере при химических
реакциях.
dXY
dt
= /c1XY-WZ-&2XW-YZ*).
F.33)
Константы скоростей реакций, зависящие только от температуры,
связаны, как обычно, принципом детального равновесия:
к2 (XY) (WZ) „. 1Т.
(XW)(YZ)
F.34)
Пользуясь представлениями теории столкновений, для констант
скорости реакций можно написать выражения, сходные с выражением
для скорости диссоциации. Так, если считать для простоты, что при
преодолении потенциального барьера Е эффективна только составляющая
поступательной энергии сталкивающихся частиц вдоль линии их центров,
*) Реакции, в элементарном акте которых участвуют две молекулы (атома),
называются бимолекулярными, в отличие от мономолекулярных реакций, в которых
происходит разложение одной сложной молекулы на более простые или на атомы,
например, XY ->¦ X + Y.

316	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
а другие составляющие, так же как и внутренние степени свободы моле-
молекул, в этом отношении неэффективны, получим
	Е_
ky = Pov'e kT,	F.35),
где Р, как и раньше, вероятность того, что в результате достаточно энер-
энергичного соударения действительно произойдет химическое превращение
(Р иногда называют стерическим фактором).
Опыт показывает, что многие реакции, особенно те, в которых участ-
участвуют сложные молекулы, протекают гораздо медленнее, чем этого можно-
было бы ожидать, исходя из числа достаточно энергичных столкновений:
вероятность Р часто оказывается очень малой, даже порядка 10~8.
Более определенную оценку скорости реакции в ряде случаев удается
получить с помощью так называемого метода активированного или пере-
переходного комплекса *), который состоит в следующем. Потенциальная энер-
энергия системы атомов, участвующих в элементарном акте реакции, зависит
от их взаимной конфигурации. Если изменение координат атомов проис-
происходит достаточно медленно (а это практически всегда так), электронное
состояние системы меняется непрерывным образом, и потенциальная
энергия зависит только от ядерных координат (это соответствует адиаба-
адиабатическому приближению в теории молекул). Потенциальная энергия
представляет собой непрерывную поверхность в конфигурационном про-
пространстве ядерных координат. При начальной и конечной конфигура-
конфигурациях атомов потенциальная энергия минимальна. Например, для реакции
F.32) энергия минимальна, когда атомы объединены в молекулы XY +
+ WZ и XW + YZ, причем молекулы разведены на большие расстояния
друг от друга.
Для того чтобы произошла реакция, точка, описывающая движение
системы в конфигурационном пространстве, должна пройти через макси-
максимум, разделяющий минимумы на поверхности, преодолеть потенциальный
барьер. Существуют, вообще говоря, различные пути из начального состоя-
состояния в конечное. Фактически осуществляется наиболее выгодный путь
реакции, соответствующий наименьшему значению максимума энергии;
поверхность энергии около этого пути имеет характер «ложбины». Рис. 6Л
схематически изображает сечение поверхности энергии вдоль «дна ложби-
ложбины», причем путь реакции и соответствует координате разложения.
Вершина потенциального барьера отвечает весьма тесному сближе-
сближению реагирующих частиц. В окрестности ее, в области с линейными разме-
размерами б порядка молекулярных, атомы образуют нечто вроде молекулы.
Такое состояние называется активированным комплексом. Однако принци-
принципиальное отличие активированного комплекса от молекулы состоит в томт
что молекула находится в устойчивом состоянии с минимумом потенциаль-
потенциальной энергии; комплекс же находится в состоянии неустойчивого равно-
равновесия с максимумом потенциальной энергии как функции координаты раз-
разложения. Точка, описывающая состояние системы, движется вдоль пути-
реакции со скоростью порядка скоростей относительного движения ато-
атомов, т. е. со средней скоростью v порядка тепловой. Время пребывания ее
в окрестности вершины, т. е. время жизни активированного комплекса
порядка т = б/г;. При б « 10~8 см и v да 104 см/сек т я? 1СГ12 сек. Время
жизни комплекса очень мало по сравнению с характерным временем реак-
*) Подробное изложение этого метода и его применений к вычислению скоростей
ряда реакций можно найти в книге [38]; см. также [27].

J 7] ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ И МЕТОД АКТИВИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА 317
ции (временем достижения химического равновесия в смеси газов). Это
служит основанием для основного допущения теории, которая предпола-
предполагает, что комплексы, рассматриваемые как некие молекулы, которые обла-
обладают в основном обычными термодинамическими свойствами, находятся
в химическом равновесии с реагентами, и концентрация комплексов
«следит» за изменением концентраций реагентов *).
Если считать, что каждый образующийся комплекс распадается
в сторону продуктов реакции, то число актов реакции в 1 см3 в 1 сек
равно числу распадов комплексов, т. е. числу комплексов в 1 см3, поде-
поделенному на время их жизни. Обозначая химическими символами А, В, М
числа реагентов А и В и комплексов М в 1 см3 (например, для реакции
F.32) А и В есть XY и WZ, а М = XYWZ), получим, что число актов
прямой реакции в 1 см3 в 1 сек равно А^-А-В = М/т, откуда константа
скорости прямой реакции есть kt = (М/АВ) A/т).
По закону действующих масс (см. § 3 гл. III) отношение чисел час-
частиц, участвующих в реакции A -f- В —>- М, в состоянии равновесия равно
отношению статистических сумм частиц. (Поскольку под А, В, М подра-
подразумеваются числа частиц в 1 см3, объемы V, входящие в поступательные
суммы, следует положить равными 1 смг). Выделяя из статистических
сумм множители типа ехр (—г/kT), соответствующие нулевой энергии
частиц, и замечая, что ем — (еА + ев) = Е равно энергии активации,
получим
АВ ~Л ZaW P *Ч kT
Статистические суммы Z&, Z-% рассчитываются обычными методами,
что же касается статистической суммы комплекса, то здесь необходимо
отметить следующее. Комплекс устойчив, как и обычная молекула, по
отношению ко всем изменениям конфигурации атомов, за исключением
направления вдоль пути реакции. Поэтому если рассматривать нормаль-
нормальные колебания комплекса, частота нормального колебания, соответствую-
соответствующая координате разложения, имеет мнимое значение. Если предполагать,
что вершина потенциального барьера достаточно плоская, то движение
вдоль координаты разложения можно рассматривать как поступательное
со средней скоростью vx = (kT/2nm*I/'i, где m* — эффективная масса
комплекса. Статистическая сумма одномерного поступательного движе-
движения частицы с массой тп* на отрезке б, эквивалентном «объему», занимае-
занимаемому комплексами вдоль координаты разложения, равна ZUOCT_ одн. =
= Bnm*kT/h2)l/*b. (Ср. с формулой C.12).) При вычислении статистиче-
статистической суммы комплекса Zm следует заменить статистическую сумму одного
из нормальных колебаний этой поступательной суммой. Таким образом,
константа скорости реакции равна
, _ М 1 _ Zm -j&vx_ ZU --jfT f 2лт* tfy./ kT \2 1
1~ABx~ZAZb	6~€
ABx~ZAZb	6~ZaZb€ \ h* J \2nm*J 6
где через ZM обозначена статистическая сумма комплекса, из которой
исключен множитель, соответствующий одному нормальному колеба-
колебанию**). Из этой формулы видно, что неопределенные величины о и тп*
*) В самом деле, время релаксации для установления подобного равновесия —
ворядка времени жизни комплексов, т. е. очень мало.
**) Ее можно рассчитывать обычными методами, если задаться «молекулярными»
константами комплекса.

318	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
сокращаются. Вводя еще так называемый трансмиссионный коэффи-
коэффициент к, характеризующий вероятность распада комплекса в сторону
продуктов реакции (а не в сторону исходных частиц; х обычно порядка
единицы), получим окончательно константу скорости реакции
^г-	<6-36>
Происхождение универсального для всех реакций множителя раз-
размерности частоты кТ Ih в F.36) можно себе представить еще и так. Будем
рассматривать степень свободы комплекса вдоль пути реакции как нор-
нормальное колебание с частотой v. Статистическая сумма для него равна
kTlhv (при hv <z kT), так что Zu = Z^kT/hv. Но каждое колебание фак-
фактически ведет к распаду комплекса, так что время жизни т равно периоду
колебаний т = 1/v, откуда и получается (kTlhv) A/т) = кТ'Ih, т. е. фор-
формула F.36).
Подставив в F.36) конкретные выражения для статистических сумм
и сравнивая полученную формулу с формулой F.35), можно получить
в явном виде значение стерического фактора Р.
Рассмотрим прежде всего чисто формально воображаемую реакцию
объединения двух атомов в молекулу без участия третьей частицы. Тогда
ZA и Zb — чисто поступательные суммы, a ZM состоит из поступательной
и вращательной (колебание двухатомного комплекса исключено). Под-
ставляя в F.36) ZA,в = ( 	р^— ) , ZM = [2я (mA + mB) kT/h2]*/* X
J2
X (8n2IkT/h2), и замечая, что момент инерции комплекса / = 12"^Атв t
fib J\ p* iiir fy
где d12 — средний диаметр атомов dl2 — (dA + ds)!2, получим в точ-
точности формулу F.35) теории столкновений, если отождествить стерический
фактор Р с трансмиссионным коэффициентом к (эффективное сечение
столкновений а = я^2).
В общем случае для оценки удобно записать статистические суммы
реагентов и комплекса в виде произведений сумм, каждая из которых
соответствует одной степени свободы, и не различать суммы, относящиеся
к одинаковым степеням свободы, но разным частицам. Например, в случае,
если А и В — двухатомные молекулы, ZA ~ ZB ~ Zn0CT ZlvamZKOJI.
Полагая, что комплекс нелинейный, запишем ZM~ Z^0CT Z|pai4 Z^0Jl
(в комплексе 4 атома, 6 колебательных степеней свободы, причем одна
исключена). Таким образом, по порядку величины
Аналогично реакции объединения двух атомов в молекулу, множитель
kT ZnocT 2вращ ^ кТ 2вращ /^, п^2 ~'
h	7^ -т,	h
дает примерно число столкновений, входящее в F.35), так что стерический
фактор по порядку величины равен
Р
При комнатных температурах ZK(M имеет порядок единицы. ZBpain
порядка 10—100, тем меньше, чем легче молекула. Отсюда видно, что
стерический фактор может быть очень малой величиной, Ю-3—Ю-6.

§ 8]	РЕАКЦИЯ ОКИСЛЕНИЯ АЗОТА	319
В § 10 мы воспользуемся методом активированного комплекса для
оценки скорости образования двуокиси азота в нагретом воздухе, что
важно для выяснения некоторых оптических явлений, наблюдаемых при
сильном взрыве.
§ 8. Реакция окисления азота
При нагревании воздуха до температуры в несколько тысяч градусов
в нем протекает химическая реакция:
у N2 + ~ О2 + 21,4 ккал/моль = N0,	F.37)
в результате которой образуется довольно значительное количество окиси
азота N0. Равновесные концентрации окиси при температурах 3000—
10 000° К и плотностях воздуха порядка нормальной достигают несколь-
нескольких процентов (см. табл. 3.1 в гл. III). Некоторое количество окиси
окисляется до двуокиси NO2, равновесные концентрации которой в ука-
указанных условиях имеют порядок 10~4 = 10~2%. Окислы азота играют
важную роль в излучении и поглощении света нагретым воздухом. Осо-
Особенно велика в этом отношении роль двуокиси азота в области температур
порядка 2000—4000° К, когда оптические свойства воздуха в видимой
части спектра практически целиком определяются молекулами NO2. При
нагревании воздуха в сильных ударных волнах, например при взрыве,
температура и плотность воздуха претерпевают очень быстрые изменения,
поэтому при оценке концентраций окислов азота существенное значение
приобретает вопрос о кинетике их образования и разложения.
Как будет показано в гл. VIII, IX, особенностями кинетики опреде-
определяются некоторые характерные оптические эффекты, наблюдаемые при
сильном взрыве. В этом параграфе будет рассмотрена кинетика окисления
азота, а в следующем — кинетика окисления окиси до двуокиси.
Реакция окисления азота имеет большую энергию активации, поэтому
практически она протекает только при достаточно высоких температурах
порядка 2000° К и выше. Реакция была детально изучена как эксперимен-
экспериментально, так и теоретически в работе Я. Б. Зельдовича, П. Я. Садовникова
и Д. А. Франк-Каменецкого [39].
На опыте реакции образования и разложения окиси азота изучались
с помощью взрывных бомб, в которых сжигалась смесь водорода и кисло-
кислорода. Таким путем получались высокие температуры порядка 2000° К.
К смеси Н2 и О2 добавлялись азот и в различных концентрациях окись
азота. При малых добавках окись образовывалась в результате соедине-
соединения кислорода и азота, при больших добавках — первоначально введен-
введенная окись разлагалась. После взрыва определялись остаточные количества
окиси и путем сопоставления теории с опытом находились скорости реак-
реакций образования и разложения. Сам процесс соединения кислорода
с водородом почти не влиял на образование и распад окиси и служил
только средством получения высокой температуры.
Если предположить, что реакция протекает по бимолекулярному
механизму, т. е. при столкновении двух молекул N2 и О2 образуются две
молекулы NO, то для константы скорости реакции можно написать простое
выражение, следующее из теории столкновений (см. формулу F.35)): к' =
= Pvae—E!hT. На опыте было найдено значение предэкспоненциального
фактора, равное 1,1 - 103O2~1/2t где через О2 обозначено число молекул
кислорода в 1 см3. Если подставить, например, О2 = 1018 молекула/см3,

320	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
получим предэкспоненциальный фактор равным 1,1-Ю-6 см3/сек. При
Т = 2500° К, »« 2-Ю5 см/сек, а « Ю-15 см2, для вероятности превра-
превращения Р получается неправдоподобно большое значение Р « 5000.
Таким образом, предположение о бимолекулярном механизме реакции
приводит к физически бессмысленному результату; опыт показывает, что
на самом деле реакция протекает гораздо скорее. Н. Н. Семеновым было
высказано предположение о том, что реакция окисления азота идет по цеп-
цепному механизму, в котором активную роль играют свободные атомы О и N:
fti
O + N2 ~^L NO + N — 75,5 икал/моль,	F.38)
из
N + O2 ^± N0 + 0 + 32,5 ккал/моль.	F.39)
Теплоты реакций здесь соответствуют энергиям диссоциации молекул
N2 и NO, равным 9,74 эв = 225 ккал/моль и 6,5 эв = 150 ккал/моль *).
Скорость всего процесса в целом определяется первой, эндотерми-
эндотермической реакцией, требующей энергии активации не менее 75,5 ккал/моль.
Как только в результате обмена О + N2 -»- NO + N освободится атом N,
он сразу же реагирует с кислородом О2, восстанавливая исчезнувший
атом О. Поэтому концентрация атомов О в процессе реакции остается ста-
стационарной и соответствует равновесию с молекулами О2, которое уста-
устанавливается быстрее, чем протекает реакция окисления азота **).
Обозначая константы скоростей так, как это сделано в формулах
F.38), F.39), запишем общие уравнения кинетики:
^	—Ai-0-NO,	F.40)
~= -= —Ai-O-Na + Aa-N-Oa + Ag-N-NO —AvO-NO. F.41)
В силу стационарности концентрации О приравняем правую часть
F.41) нулю, выразим концентрацию N через О и подставим найденное
выражение в F.40). Получим
^° = 2fc2.O2 + fc3-N6^-^-^-°2-^-^-NO^.	F.42)
Произведем некоторые преобразования. Константы къ и к2 опреде-
определяют скорости экзотермических реакций атома с молекулой и, вероятно,
одного порядка. Поскольку концентрация NO С О2, членом /c3-NO
в знаменателе F.42) можно пренебречь. Концентрацию атомов О выра-
выразим с помощью константы равновесия О2 1^1 20, которую обозначим Со:
		_6j^ooo _
О = С0/О2 = 6,6-1012е ~Ът~У~Ог.	F.43)
Здесь, как и в дальнейшем, все численные значения констант равновесия
и констант скоростей реакций соответствуют измерению концентраций
в единицах молекула/см3. Энергии выражены в кал/моль. Газовая постоян-
*) В работе [39] были приняты старые значения энергий диссоциации N2 и NO:
7,38 эв и 5,3 эв, однако, как показывают приводимые ниже расчеты (а также новейшие
опыты [40]), новые значения энергий диссоциации не противоречат предположению
о цепном механизме. Все численные значения констант в последующем изложении
соответствуют новым энергиям диссоциации.
**) Поскольку атомы кислорода находятся в равновесии с молекулами О2, меха-
механизм диссоциации О2 не влияет на ход реакции окисления азота.	:

§ 8]	РЕАКЦИЯ ОКИСЛЕНИЯ АЗОТА	321
ная R = 2 кал/моль-град. Константы скоростей связаны между собою
принципом детального равновесия, а именно *):
325°°
1 ~~ (N2) (О) - fc3 - 9 *	'	2~(O2)(N)-A:4
Отсюда следует тождество:
(N0J - С2 - 64 с"
_ ^2. _ с
С J°2 - fc3fc4 - (N2) (О2)
Вынося из скобок F.42) ksk^ и пользуясь F.44), получим окончательно
уравнение кинетики окисления азота:
где константы скоростей равны
А'=—^У, к = -^= 2 °г±. .	F.46)
|^О2	С2 С2у О2
Здесь (N0) соответствует равновесию N0 с данными концентрациями N2 и 02.
Уравнение F.45) отличается от обычного уравнения бимолекулярной
реакции зависимостью констант скорости от концентрации одного из реа-
реагентов — кислорода.
Физический смысл выражения для скорости образования окиси
/c'-N2-O2 = 2C0^iN2-"|/rO2 очень простой: С0\гО2 есть концентрация
атомного кислорода, k1C0\/'O2-N2 — скорость первой реакции цепи; но
в силу экзотермичности вторая реакция следует «мгновенно» за первой,
так что каждый акт первой реакции, которая «ведет» процесс, приводит
к образованию двух молекул N0.
Выделяя в константе скорости ki множитель е KilRT и замечая, что
согласно F.43) Со ~ g—вюоо/вт^ МОжно видеть, что энергия активации
для реакции образования окиси азота Е' (к' ~ e-E'/RT) складывается
из энергии, необходимой на образование одного атома кислорода —
61 ккал/моль **), и энергии активации для реакции атома кислорода
с молекулой азота — Е1ш
В опытах, описанных в работе [39], окись азота получалась в резуль-
результате взрывов горючей смеси, содержащей в своем составе кислород и азот.
Количество образующейся окиси измерялось после охлаждения продук-
продуктов взрыва. На основе теоретического рассмотрения кинетики реакции
в процессе охлаждения были выведены энергия активации образования
окиси Е' = 125 ± 10 ккал/моль и абсолютное значение константы скоро-
скорости в исследуемом интервале температур 2000—3000° К, причем отмечено,
что более вероятным является верхнее значение энергии активации
Е' = 125 + 10 = 135 ккал/моль. Отсюда для энергии активации первой
реакции цепи О + N2 -*¦ NO + N получается значение Et = 135 — 61 =
= 74 ккал/молъ, совпадающее с теплотой эндотермической реакции. Это
*) Предъэкспоненциальные множители в константах равновесия Cj, C2, С
вычислены в приближении равенства масс N и О, моментов инерции и частот N?, O2,
NO при учете различной симметрии и мультиплетности термов. Это приближение
достаточно точное.
**) Эта величина — эффективная для температур порядка 2000—5000°; она
несколько отличается от энергии образования при абсолютном нуле — 58,5 ккал/моль.
21 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

322	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
означает, что обратная реакция N + N0 -»- О + N2 идет практически без
активации (или с очень малой энергией активации), что является типич-
типичным для экзотермической реакции свободного атома с молекулой. Абсо-
Абсолютные значения констант скорости, которые следуют из опытных дан-
данных, равны
л л ,пз 135000	_92000
*'='*_ е RT , k = ^=e RT ем'/сек (О2 в 1/см3). F.47)
у о2	V о2
Константа скорости для первой реакции цепи kt = 8,3-10-11е~74000/ЙТ.
Сопоставление этой величины с формулой F.35) теории столкновений дает
стерический фактор Р = 0,086 (если принять эффективный диаметр
d12 = 3,75-Ю-8 см равным диаметру молекулы N2, определенному из дан-
данных по вязкости). Такое значение Р представляется вполне разумным.
Позднее исследование кинетики образования окиси азота было пред-
предпринято Гликом и др. [40] с помощью ударной трубы, в которой газовая
смесь, содержащая азот и кислород, нагревалась ударной волной до
температур 2000—3000° К. Эти авторы нашли энергию активации Е' =
= 135 ±; 5 ккал/молъ (Et = 74 ±- 5 ккал/молъ), что хорошо согласуется
с данными работы [39] и подтверждает совпадение энергии активации
первой реакции цепи Ег с теплотой реакции. Абсолютные значения кон-
константы скорости также оказались близкими к данным первой работы.
Из формулы F.47) видно, что энергия активации для разложения
окиси азота также весьма велика, Е = Е' — 43 = 92 ккал/молъ, поэтому
при низких температурах окись разлагается очень медленно. Благодаря
этому при быстром охлаждении первоначально нагретого воздуха обра-
образовавшаяся в нем при высоких температурах окись азота сохраняется
после охлаждения в течение долгого времени, так что концентрация ее
значительно превышает равновесные значения, которые очень малы при
низких температурах (этот эффект носит название эффекта закалки; мы
еще вернемся к нему в § 5 гл. VIII). Как видно из уравнения кинетики
F.45) и формул F.44), F.47), время релаксации для установления равно-
равновесной концентрации окиси равно *):
у щ	v /
Оно быстро уменьшается с увеличением температуры. Приведем несколько
значений для воздуха нормальной плотности (N = 2,1 • 1019 молекулаIсм3):
Т, °К 1000 1700 2000 2300 2600	3000 4000
Г, сек 2,2-1012 140 1 5,3-10-3 l,4-10~s 7,8-10-5 7,2-10-»
§ 9. Скорость образования двуокиси азота при высоких
температурах
Реакция образования двуокиси азота из окиси
2NO + O2 = 2NO2 + 25,6 ккал1молъ	F.49)
экзотермическая, поэтому чем ниже температура, тем более сдвинуто рав-
равновесие в сторону окисления окиси. Реакция эта широко используется
*) Согласно определению времени релаксации F.2), при небольшом отличии]]МО
от (NO), {(NOJ — NO2} «= 2(NO)-{(NO) — NO}, откуда и получается F.48). Время|т
характеризует не только приближение к равновесию, но и вообще процесс установле-
установления равновесия, даже если в начальный момент окиси не было.

§ 9]	СКОРОСТЬ ОБРАЗОВАНИЯ ДВУОКИСИ АЗОТА	323
в промышленности и хорошо изучена экспериментально при температурах
ниже 1000° К. Она имеет очень малую, практически незаметную, энергию
активации и поэтому легко протекает при обычных температурах. Урав-
Уравнение кинетики реакции имеет вид
^ = 2 {ft;NO2 • О2 - к-2№1) = 2А; {(NO2J - NO*}.	F.50)
Константы скоростей реакций описывают число актов реакций; мно-
множитель 2 учитывает тот факт, что в каждом акте образуются или исче-
исчезают две молекулы NO2. Время релаксации для установления химического
равновесия двуокиси азота с окисью и кислородом равно
1	С%
(NO2) = A
где С2 = (NO2J/NO2-O2 — константа равновесия двуокиси с фактиче-
фактическими количествами окиси и кислорода, которые могут быть и неравно-
неравновесными *). Константу равновесия можно рассчитать статистическим
методом. После подстановки значений всех параметров она оказывается
равной **)
A-е
174
Т ) A-
2740
916
-е т)A
2270 1
-е т f
1960
— е т '
6460
е т
) (i-e
2310
г _ (NO2) _ 1,25-10-11	A-е 1 ) A-е J )* е т	„
° ~	1 ~~	3	174	916	1960	2310 ' Vu-0^
NO Юг2	Г4
где температура везде выражена в градусах, а размерность С соответ-
соответствует измерению концентраций в числах частиц в 1 см3.
Константа скорости к[ рассчитывалась в работе [38] методом активи-
активированного комплекса, причем было получено хорошее согласие с экспери-
экспериментальными данными Боденштейна [44], исследовавшего скорость реак-
реакции в интервале температур от 353 до 845° К. Сопоставление свидетель-
свидетельствует об отсутствии энергии активации для реакции. Формулой для
константы скорости к[, выведенной в [38], можно воспользоваться для
оценки скорости и времени релаксации и при высоких температурах, кото-
которые на опыте не изучались. Результаты расчета времени релаксации
образования двуокиси азота в нагретом воздухе при нескольких значе-
значениях температуры и плотности представлены в табл. 6.3 (при этом равно-
равновесные концентрации (NO2) рассчитывались на основе равновесных зна-
значений концентраций окиси (NO) и кислорода (О2)).
При высоких температурах и особенно при малых плотностях газа
с тримолекулярной реакцией F.49) конкурирует другой механизм образо-
образования двуокиси
NO-j-O2-J-45 ккал/молъ = NO2-)- О.	F.53)
Несмотря на то, что эта реакция эндотермическая, она обладает по
сравнению с реакцией F.49) тем преимуществом, что осуществляется
путем не тройных, а парных столкновений молекул. Это преимущество
*) Заметим, что время т' характеризует релаксацию только при условии, что
(NO2) -С NO, т. е. при достаточно высоких температурах. В противном случае необхо-
необходимо одновременно рассматривать и изменение концентрации NO.
**) Как было отмечено одним из авторов [41], константа равновесия, приведен-
приведенная в широко распространенном справочнике [42], взята из ошибочной работы [43]
и завышена в 2,42 раза.
21*

324
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
Таблица 6.3
Времена релаксации для установления равновесной концентрации двуокиси азота
в воздухе, в сек
(т'—тримолекулярная реакция, т" — бимолекулярная)
г, °к
1600
1800
2000
2300
2600
3000
4000
Р/Р норм= 10
т'
6,75-10-4
1,42-10-4
4,75-10-5
1,75-10-5
2,5-10-8
т"
3,1-Ю-з
2,7-10-4
4,4-10-5
6,6-10-6
2,8-10-7
Р/Р норм = 5
т'
8-Ю-з
3,5-10-з
1,95-Ю-з
4-10-4
1,35-10-4
4,75-10-5
7,5-10-8
0,35
3,9-10-2
4,5-Ю-з
4,0-10-4
6,3-10-5
9,4-10-6
4,0-10-7
Р/Р норм = *
т'
0,09
0-04
2,2-10-2
4,5-10-з
1,5-Ю-з
5,5-10-4
1,05-10-6
т"
0,69
0,09
0,01
0,9-10-з
1,4-10-4
2,1-10-5
1,0-10-6
должно проявляться при высоких температурах, когда условия для
активации благоприятны. Реакция F.53) не изучалась на опыте; теоре-
теоретическая оценка ее скорости была дана в работе одного из авторов [41].
Уравнение кинетики для реакции F.53) можно записать в виде
= k[. no • о2 - *;no2 . о = а; • о {(no2) - no2}.
Время релаксации:
-О
F.54)
F.55)
Оценим константу скорости методом активированного комплекса,
сущность которого была изложена в § 7. В частности, эта оценка может
послужить иллюстрацией конкретного применения метода. Для удобства
будем рассматривать обратную реакцию NO2 + О ->- NO* -*- NO + О2,
где звездочкой отмечен комплекс. По общей формуле F.36) константа
скорости к"% равна:
,. кТ Zfio3
2~ h ZN02-Zo-
Вычисление статистических сумм атомов О и молекул NO2 не пред-
представляет трудностей, так как спектроскопические константы молекулы
NO2 известны. Что же касается комплекса, то здесь имеется целый ряд
неизвестных величин, которые для оценки придется выбрать разумным
образом.
Масса комплекса NO* в 1,39 раза больше массы молекулы NO2-
Полагая, что размеры его несколько превышают размеры молекулы NO2,
будем считать, что средний момент инерции комплекса в 1,5 раза больше
среднего момента инерции молекулы NO2- Собственные частоты молекулы
NO3, по которым можно было бы судить о частотах комплекса, неизвестны.
Можно надеяться, что три высшие частоты меньше частот молекулы NO2:
hv^0Jk = 960, 1960, 2310° К, так как связь в комплексе слабее. Легко
проверить, что при температурах 2000—4000° константа скорости не очень
чувствительна к выбору частот комплекса в пределах разумного интер-
интервала. Зададимся для расчета следующими пятью частотами hv*/k =

§ 10]	ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ	325
= 600, 800, 900, 1500, 2000° К (шестая исключена из Z*). Комплекс
несимметричен, так что фактор симметрии а = 1. Статистический вес
электронного состояния g* > 2, так как комплекс содержит один неспа-
ренный электрон. Положим g* = 2. Энергия активации экзотермической
реакции NO2 + О ->¦ NO + О2, по-видимому, весьма мала, как это
обычно бывает, когда одним из реагентов является свободный атом.
Положим для оценки Е = 10 ккал/моль; это в худшем случае может
занизить скорость реакции в 2—3 раза при температурах 2000—4000°.
Подставляя эти, а также другие известные константы в выражения
статистических сумм и принимая трансмиссионный коэффициент х равным
единице, получим константу скорости
5
1| 2кол г	5030
см3/сек,	F.56)
1А G АГ\ —19
'	i	р 1 гиА
\1 ZKtwiNO2i
где колебательные статистические суммы равны ZK03l = A — ehv/ftT).
Чтобы получить с помощью теории столкновений (см. формулу F.35))
константу скорости такого же порядка, что и по формуле F.56), следо-
следовало бы считать стерический фактор Р величиной порядка 2-10~4. Выбрать
столь малое значение без каких-либо видимых к тому оснований было бы
довольно трудно, так что теория столкновений в данном случае оказы-
оказывается практически бесполезной и оценить скорость реакции можно
только, воспользовавшись методом активированного комплекса.
Времена релаксации, вычисленные для воздуха по формулам F.55),
F.56), также представлены в табл. 6.3.
Сравнение этих времен показывает, что при плотностях воздуха
порядка и меньше нормальной и температурах ~ 2000—3000° К вторая
реакция идет скорее и является основной.
2. ИОНИЗАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ. ЭЛЕКТРОННОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
И ДЕЗАКТИВАЦИЯ
§ 10. Основные механизмы
Возбуждение высших электронных состояний атомов (молекул, ионов)
и ионизация имеют между собой много общего. В сущности, ионизация
представляет собой предельный случай электронного возбуждения, когда
электрон, связанный в атоме, приобретает энергию, достаточную для
отрыва от атома и перехода в непрерывный спектр. Каждый из элемен-
элементарных процессов, в результате которых происходит возбуждение элект-
электронов в атомах, может привести и к ионизации, если для этого хватает
энергии.
Все элементарные процессы возбуждения и ионизации можно подраз-
подразделить на две категории: возбуждение и ионизацию атомов (молекул,
ионов) ударами частиц и фотопроцессы, в которых роль одной из «частиц»
играет световой квант. В первом круге процессов следует различать иони-
ионизацию и возбуждение электронным ударом и неупругие столкновения
тяжелых частиц, так как вероятности тех и других неупругих столкнове-
столкновений резко отличаются друг от друга. Согласно такой классификации основ-
основные реакции ионизации можно записать в следующей символической

326	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
форме (А, В — тяжелые частицы, е — электроны, hv — световые кванты):
F.57)
F.58)
F.59)
Обратные процессы, идущие справа налево, приводят к рекомбина-
рекомбинации электронов с ионами: первые два представляют собой рекомбинации
в тройных столкновениях с участием электрона или тяжелой частицы
в качестве третьей, последняя реакция — фоторекомбинация или фото-
фотозахват электронов.
Каждому из процессов F.57) — F.59) соответствует процесс возбуж-
возбуждения (возбужденный атом отмечается звездочкой):
F.60)
F.61)
F.62)
Первые два обратных процесса представляют собой дезактивацию
возбужденных атомов так называемыми ударами второго рода, третий —
высвечивание возбужденного атома.
Ионизоваться могут не только атомы, пребывающие в основном
состоянии, но и возбужденные, так что к списку реакций F.57) — F.59)
следует добавить и реакции типа
F.63)
F.64)
F.65)
То же относится и к процессам возбуждения; к списку реакций F.60) —
F.62) следует добавить реакции повышения степени возбуждения
А* + е = А** + е,	F.66)
F.67)
F.68)
Несмотря на то, что число возбужденных атомов обычно значительно
меньше числа атомов, пребывающих в основном состоянии, роль иони-
ионизации возбужденных атомов в освобождении электронов не мала, так
как соответственно в их ионизации участвуют частицы с меньшими энер-
энергиями. В самом деле, число частиц, способных ионизовать невозбужденный
атом, пропорционально ехр (—I/кТ), где / — потенциал ионизации. Ио
число актов ионизации атомов, возбужденных до уровня Е*, также про-
пропорционально e~E*ihT e~(i—E*)/kT __ e-r/fcT^ так как первому множителю
пропорционально число возбужденных атомов, а второму — число час-
частиц, способных ионизовать возбужденный атом. (Обычно в не слишком
плотном газе ионизация происходит при кТ < /, так что 1/кТ > 1
и больцмановский фактор e~J/ftT весьма существен). Сравнительная
роль ионизации возбужденных и невозбужденных атомов в условиях рав-
равновесного возбуждения определяется, главным образом, эффективными
сечениями ионизации тех и других при ударах частицами с надпороговой
энергией.
Вообще говоря, процессы всех трех типов протекают в газе одновре-
одновременно. Однако часто один из процессов оказывается преобладающим. При

§ 10]	ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ	327
энергиях порядка потенциалов возбуждения или ионизации атомов, т. е.
порядка нескольких или десятка электронвольт, эффективные сечения
неупругих соударений тяжелых частиц на несколько порядков меньше
эффективных сечений неупругих электронных ударов. Кроме того, ско-
скорости тяжелых частиц при сравнимых энергиях примерно в сотню раз
меньше скоростей электронов (в отношении корня квадратного из масс).
Поэтому процессы типа F.58), F.61) в нагретом газе имеют значение
только тогда, когда свободных электронов практически нет. При степенях
ионизации порядка Ю-5—10~4 и выше скорости процессов первого типа
F.57), F.60) больше скоростей процессов с участием тяжелых частиц
и роль последних пренебрежимо мала. По существу, ионизация ударами
атомов или молекул важна только для образования небольшого началь-
начального количества «затравочных» электронов, когда газ «мгновенно» нагре-
нагревается, как это иногда имеет место, например, при прохождении сильной
ударной волны. В некоторых случаях начальная ионизация в «мгновенно»
нагретом газе создается достаточно интенсивным потоком излучения или же
быстрыми электронами, приходящими извне, из ранее нагретых обла-
областей, и тем самым низводится к нулю даже эта «затравочная» роль второго
процесса.
Сравнительная роль первого и третьего процессов более сложным
образом зависит от макроскопических условий. Число актов ионизации
электронным ударом в 1 сек в 1 см3 пропорционально плотности электро-
электронов, тогда как число актов фотоионизации пропорционально плотности
излучения.
Если размеры области, занимаемой нагретым газом, достаточно
велики по сравнению с пробегами квантов, так что плотность излучения
значительна и порядка равновесной, она не зависит от плотности газа
и определяется только температурой. Поэтому в достаточно разреженном
газе скорость ионизации электронным ударом оказывается малой и основ-
основную роль играет фотоионизация. То же относится и к процессам возбуж-
возбуждения, а также и к обратным процессам рекомбинации и дезактивации:
фоторекомбинация преобладает над рекомбинацией в тройных соударе-
соударениях, и высвечивание возбужденных атомов преобладает над снятием
возбуждения ударами второго рода. Именно такое положение наблюдается,
например, в звездных фотосферах.
Если область, занимаемая нагретым газом, ограничена и прозрачна
(«оптически тонка»), излучаемые в газе кванты, не задерживаясь, поки-
покидают нагретый объем, и плотность излучения в газе меньше равновесной.
В этих условиях даже при малой плотности электронов скорость иони-
ионизации электронным ударом может оказаться выше скорости фотоиониза-
фотоионизации, тогда как соотношение скоростей обратных процессов рекомбинации
может остаться прежним, т. е. фоторекомбинация может преобладать.
В достаточно плотном ионизованном газе фотоионизация и фоторе-
фоторекомбинация играют второстепенную роль по сравнению с процессами
F.57) и F.63).
В реальных условиях процессы ионизации и рекомбинации чаще
всего протекают более сложными путями, чем это рисуется простыми
схемами F.57) — F.59). Происходит так называемая ступеньчатая иони-
ионизация, при которой атом сначала возбуждается, скажем, электронным
ударом, а затем либо сразу ионизуется при последующих электронных
ударах, либо предварительно проходит через несколько ступеней повы-
повышения степени возбуждения. Сложным образом часто протекает и обратный
процесс рекомбинации в тройных столкновениях: электрон захватывается

328	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
ионом на возбужденный уровень атома, а затем происходит ступень-
чатая дезактивация атома, причем здесь действуют конкурирующие ме-
механизмы дезактивации: электронные удары второго рода и спонтанные
радиационные переходы между уровнями.
В молекулярном газе, молекулы и атомы которого обладают потен-
потенциалами ионизации, не намного превышающими энергии диссоциации,
ионизация начинается задолго до конца диссоциации, так что существует
область температур, в которой одновременно значительны и концентрация
электронов, и концентрация молекул. Примером может служить воздух
при температурах порядка 7000—15 000° К, очень важных с точки зре-
зрения практических приложений. В этом случае, наряду с указанными
процессами ионизации выше существуют и более сложные, главный
из которых — рекомбинация атомов в молекулу с одновременной иони-
ионизацией (ассоциативная ионизация).
Этот процесс с энергетической точки зрения выгодно отличается
от остальных тем, что требует затраты энергии, меньшей потенциала иони-
ионизации на величину выделяющейся энергии диссоциации. При сравнительно
низких температурах и малой степени ионизации важнейшую роль для
ионизации воздуха играет реакция:
2,8 90 = NO+ + e,	F.69)
которая протекает на несколько порядков быстрее, чем простая иониза-
ионизация NO ударами атомов и молекул *). В процессе рекомбинации электро-
электронов с ионами в молекулярных газах важную роль играет так называемая
диссоциативная рекомбинация. В частности, в воздухе протекают про-
процессы
+ 0?0* + 0* + 69 ее,
эв,	F.70)
эв.
В результате диссоциативной рекомбинации образуются возбужденные
атомы. Выделяющаяся энергия связи электрона тратится на диссоциацию
молекулы, а избыток ее идет на возбуждение атомов и частично переходит
в кинетическую энергию.
Если в газе имеются атомы или молекулы, обладающие электронным
сродством (например, Н, О, Ог, Cl, Br, J и др.), при сравнительно низ-
низких температурах образуются отрицательные ионы, что оказывает суще-
существенное влияние на кинетику образования и исчезновения свободных
электронов. Помимо реакций типа F.57) — F.59), в которых А и А+
заменяются соответственно на А" и А, могут протекать и более сложные
энергетически выгодные реакции типа F.69); например в воздухе ¦— это
экзотермические реакции:
+ O NO + + 4 эв,
эв.
Список реакций, протекающих в нагретом воздухе и приводящих
к образованию и исчезновению свободных электронов, а также к обмену
зарядом, с указанием их энергетического выхода, имеется в работе [73].
*) При сравнительно низких температурах основным поставщиком свободных
электронов в воздухе являются молекулы NO, потенциал ионизации которых /no =
= 9,25 эв ниже, чем у всех других компонент воздуха (/о2 = 12,15 эв, 7^2 = 15,56 эв,
/о = 13,57 эв, /N = 14,6 эв, 1Ат = 15,8 эв).

§ 11]	ИОНИЗАЦИЯ ЭЛККТРОННЫМ УДАРОМ	329
§ 11. Ионизация невозбужденных атомов электронным ударом
Рассмотрим процесс первой ионизации газа из одинаковых атомов
в предположении, что все атомы ионизуются из основного состояния,
а при рекомбинации электрон захватывается на основной уровень (реак-
(реакция F.57)). Эффективное сечение ионизации при столкновениях зависит
от относительной скорости сталкивающихся частиц. Поскольку скорость
атомов при сравнимых температурах атомов и электронов всегда значитель-
значительно меньше скорости электронов, относительная скорость совпадает с пос-
последней; приведенная масса, характеризующая кинетическую энергию
относительного движения, совпадает с массой электрона.
Если Na и Ne — числа атомов и электронов в 1 см3, fe (v) dv — функ-
функция максвелловского распределения электронов по скоростям, соответ-
оо
ствующая электронной температуре Те*), С \fe (v) dv = 1] и ое (v) —
о
эффективное сечение ионизации электронным ударом, то число актов
ионизации в 1 см3 в 1 сек равно
со
ZeUOn = NaNe ^ ae (v) vfe (v) dv = NaNeae,	F.71)
где интегрирование распространяется по скоростям электронов, энер-
энергия которых превышает потенциал ионизации: mev%/2 = I.
Обозначая константу скорости рекомбинации через ре, запишем урав-
уравнение кинетики реакции F.57):
^	l,	F.72)
причем число ионов N+ равно числу электронов Ne. Константы скоростей
ае и ре связаны между собою принципом детального равновесия:
где константа равновесия определяется формулой Саха C.44):
з			3
К (Тв) = {Ne){^Nf = fa 2 Bя™|*ГеJ е"м-« = 4,85 • 10» *± Т°* е"^г 1/см3. F.73')
Число рекомбинаций в 1 см3 в 1 сек иногда записывают в форме
^рек = bJV+Ne. Величина Ье = $eNe называется коэффициентом реком-
рекомбинации. Ъе имеет размерность см31сек, такую же, что и константа ско-
скорости ионизации ае.
Если концентрация электронов (и ионов) гораздо меньше равновес-
равновесной, рекомбинация не играет роли и развитие ионизации электронным
ударом носит характер электронной лавины: если считать, что электрон-
электронная температура не зависит от времени, концентрация электронов экспо-
экспоненциально растет со временем Ne = N\ exp (t/xe); здесь N% —«началь-
*) Вследствие большого различия масс электронов и атомов обмен энергиями
между электронами и тяжелыми частицами при упругих столкновениях происходит
довольно медленно. Поэтому электронная температура, вообще говоря, может отли-
отличаться от поступательной температуры тяжелых частиц (см. раздел 3 этой главы).

330	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
ное» число электронов, а масштаб времени нарастания лавины прибли-
приближенно (при Na я* const) равен:
"- =— *) .	F.74)
Легко убедиться в том, что величина те характеризует и время релак-
релаксации для приближения к ионизационному равновесию путем первого
механизма F.57). Точнее, при | (Ne) — iVe | <C (Ne), время релаксации,
согласно общему определению F.2), вдвое
меньше хе.
Типичная кривая зависимости эффектив-
эффективного сечения ионизации ое от скорости или
энергии электронов изображена на рис. 6.4.
Сечение возрастает за порогом иониза-
ионизации ее = /, достигает максимума при энергии
электронов, в несколько раз превышающей
порог, и затем медленно падает. В макси-
максимуме сечение, как правило, порядка 10~16 см2.
Рис. 6.4. Зависимость эффек- В не слишком плотном газе ионизация на-
тивного сечения ионизации ступает обычно при температурах, гораздо
электронным ударом от энер- меньпшх потенциала ионизации: 11кТе » 1.
I ИИ аЛсКТрОНЭ..	г,,
1ак, например, в атомарном водороде при
Na = Ю1' 1/см3 (что соответствует давлению
недиссощшрованного молекулярного водорода при комнатной темпера-
температуре, равному 135 мм рт. ст.) и Т = 10 000° К равновесная степень
ионизации равна. 6,25-Ю-3; при этом 1/кТ = 15,7.
Достаточной для ионизации энергией обладают лишь электроны, со-
соответствующие хвосту максвелловского распределения по скоростям, чис-
число которых экспоненциально мало (пропорционально ехр (—mev2/2kTe) <
-С 1). Поэтому в интеграле F.71) основную роль играют электроны, энер-
энергия которых лишь немного, на величину порядка кТе (кТе < /), пре-
превышает потенциал ионизации. Теория и опыт показывают, что вблизи
порога эффективное сечение линейно зависит от энергии электронов ее:
ae(v) «С(ее — /), С = const.	F.75)
Подставляя эту величину в выражение F.69) и интегрируя, найдем
константу скорости ионизации с основного уровня атомов:
Г	~ С 1 \ -~Т
где
ve = (*MjlJ = 6,21 ¦ 105 VT, - 6,7 • 10' \fT7e ем/сек
*) Следует подчеркнуть, что простой экспоненциальный закон нарастания
электронной лавины с масштабом времени те справедлив только при условии, что
Те = const. В реальных условиях электронная температура может сама зависеть
от времени. Дело в том, что при кТе С 1 на ионизацию затрачивается очень большая
доля тепловой энергии электронов: грубо говоря, на рождение одного нового электрона
тратится тепловая энергия 1/кТе электронов. Если нет источника, за счет которого
восполнялись бы потери энергии электронного газа на ионизацию, электронная темпе-
температура падает с течением времени, ае ~ ехр (— 1/кТе) резко уменьшается, развитие
лавины затухает. Во фронте ударной волны потери энергии электронов восполняются
за счет притока энергии от атомов (ионов) к электронам. Подробнее см. об этом § 10
гл. VII.

§ 11]
ИОНИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ
331
— средняя тепловая скорость электронов, а ое — некоторое среднее
значение эффективного сечения ае (v), которое в точности соответствует
энергии электронов ее = / -f- кТе\ ае = СкТе.
Константа скорости рекомбинации с захватом электрона на основ-
основной уровень атома, согласно F.73), F.76) равна
ig-f—+ 2^ смУсек. F.77)
В не слишком плотном газе, когда 1/кТе > 1, ре ~ Те1, характерное
время хе в области малых степеней ионизации зависит от температуры
по закону хе ~ ехр A/кТе).
Таблица 6.4
Ионизация электронным ударом
Атом,
молекула
н2
Не
N
N2
О
о2
N0
Аг
Ne
Hg
Hg
I, эв
15,4
24,5
14,6
15,6
13,6
12,1
9,3
15,8
21,5
10,4
C-1Q1' смуэв
0,59
0,13
0,59
0,85
0,6
0,68
0,82
2,0
1,7
0,16-
7,9
2,7
Область
примени-
применимости, 98
16—25
24,5—35
15—30
16—30
14—25
13—40
10—20
15—25
15—18
21,5—40
10,5—13
10,5—28
етах, 9в
70
100
— 100
110
~80
110
-100
100
-160
42
^тах-1»19- см*
1,1
0,34
-2,1
3,1
-1,5
3,25
3,7
0,85
5,4
Литература
[46]
[46]
[47]
[46]
[48]
[46]
[49]
[46]
[46]
[46]
В таблице 6.4 собраны экспериментальные данные по сечениям иони-
ионизации некоторых атомов и молекул электронным ударом (обозначения
см. на рис. 6.4) *). Численное значение константы С совпадает с эффек-
эффективным сечением (в см2) при энергии электронов, превышающей потен-
потенциал ионизации на 1 эв, т. е. со средним сечением ае при температуре
Те = 1 эв = 11 600° К, как раз характерной для области первой иони-
ионизации. Как видно из таблицы, сечение ое имеет порядок 10~17 см2.
Для того чтобы получить представление о порядках величин, рас-
рассмотрим конкретный пример: аргон при Те = 13 000° К и 7Va = 1,7 X
X 1018 см~3 (такая плотность соответствует давлению 50 мм рт. ст. при
нормальной температуре). Равновесная степень ионизации в таких усло-
условиях равна 0,14; ое = 2,24-Ю7 см2; г;е = 7,1-107 см/сек; константы
скоростей: ае = 2-10~14 смв/сек; р\, = 5,9-10~31 см6/сек, характерное
время хе = 2,9• 10~б сек. При температуре Те = 16 000° К и той же плот-
плотности время те примерно в 15 раз меньше: хе = 2 -10~в сек.
*) Подробный обзор и анализ литературных данных имеется в книге Месси
и Бархопа [45]. Рекомендуем также книгу В. Л. Грановского [46] и С. Брауна [78].

332	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
§ 12. Возбуждение атомов из основного состояния
электронным ударом. Дезактивация
Аналогично предыдущему будем для простоты считать, что атом
обладает только одним возбужденным уровнем Е*, так что атом возбуж-
возбуждается только в результате перехода из основного состояния. Запишем
уравнение кинетики возбуждения:	\
^ = a*eNaNe - &N*Ne;	F.78)
а* — константа скорости возбуждения, а р* — константа скорости деза-
дезактивации, равная р"| = ve-ae2, где ое2—усредненное по максвеллов-
скому распределению эффективное сечение для электронных ударов
второго рода. Константа скорости возбуждения выражается через эффек-
эффективное сечение возбуждения a* (v) точно таким же интегралом, что и ае
(см. F.76)), с той лишь разницей, что нижним пределом служит теперь
скорость г>*, соответствующая порогу возбуждения mev*2/2 = Е*. Зави-
Зависимость сечения а* (г>) от скорости или от энергии (так называемая функ-
функция возбуждения) имеет такой же характер, что и кривая ионизации,
изображенная на рис. 6.4. Точно так же вблизи порога ее можно при-
приближенно аппроксимировать прямой: a* (v) — С* (е — Е*) *). Поэтому
оо	К«
а? = J а? (v) vfe (v) dv = a*eve(J~ + 2^ e~~ kTe,	F.79)
«'*
где о* соответствует энергии электронов Е* + кТе.
По принципу детального равновесия, принимая во внимание, что
(g* и ga — статистические веса возбужденного и основного состояний),
можно связать константы скоростей а*, р* или эффективные сечения
возбуждения и дезактивации:
) № = veoe2.	F.81)
Характерное время, соответствующее возбуждению электронным уда-
ударом, которое совпадает со временем релаксации для установления больц-
мановского распределения F.80) при условии, что Те — const (см.
сноску на стр. 330), есть
^ i.	F.82)
Литературные данные по сечениям возбуждения собраны в книгах
[45, 46, 78]. Некоторые результаты представлены в табл. 6.5. Средние
сечения возбуждения сг* имеют порядок 10~17 см2. Таков же и порядок
сечений ударов второго рода сте2 (множитель в скобках в формуле F.81)
порядка 10, но отношение статистических весов ga/g* обычно ~1—10).
*) Это возможно для многих, но не всех атомов; в любом случае аппроксимация
дает небольшую ошибку. Заметим, что сечение возбуждения положительных ионов
вблизи порога, при е -> Е*, отлично от нуля [83].

13]	ИОНИЗАЦИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ АТОМОВ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ	333
Таблица 6.5
Возбуждение электронным ударом
Атом
н
Не
Ne
Ar
Hg
н2
Уровни
2р*Р
3s»P2
17р\
Потенциал
Е *, эв
10,1
19,7
20,6
16,6
18,5
11,5
4,87
8,7
Интерполяция суммарного сечения а*,
см.*
25-10-18(е—10) см*
} 4,6-10-18 (еэв_20) сл»2
} 1,5-10-18 (гэв—16) см*
7-10-18 (вэв—11,5) см*
Максим, сечение при 8 = 6,5 эв
7,6-10-i8 (е_8,7) см*
Источник *)
[83]
[46]
[46]
[50]
[46]
[78]
*) Данные со ссылкой [46] взяты из таблиц, приведенных в книге В. Л. Гра-
Грановского. Ссылки на оригинальные работы можно найти в этой же книге.
Для примера оценим время релаксации в аргоне при Те = 13 000° К,
Na = 1,71-1018 см'3. Сечения at = 107 см2, ае2 — 10~17 см2. Если
взять равновесную концентрацию электронов (Ne) = 2,4-1017 см~3, полу-
получим т* « 6-10~а сек. Это время значительно меньше времени ионизации
те. Интересно сравнить характерные времена для ионизации и возбуж-
возбуждения электронным ударом. По формулам F.74), F.82)
i
при р^~10.
VgOezN^e'
-hr + 1
10 Na
В условиях, близких к равновесию и при небольших степенях ионизации
NeINa х F-1021/7Va)V2 F? exp (—I/2kTe); при обычных плотностях
газа больцмановское распределение по возбуждениям устанавливается
всегда быстрее, чем ионизационное равновесие. В рассмотренном примере
с аргоном при А'о = 1,7-1018 см'3, Те = 13 000° К, те/т? ж 5000. Вре-
Времена могут оказаться сравнимыми только в начале процесса ионизации,
когда число электронов гораздо меньше равновесного.
§ 13. Ионизация возбужденных атомов электронным ударом
Рассмотрим ионизацию атома на основе классической механики,
предполагая, что столкновение свободного электрона с атомом, вернее,
«столкновение» с оптическим электроном атома, происходит быстро по срав-
сравнению со скоростью вращения связанного электрона по орбите, так что
последний воспринимает энергию удара как свободный. Это было впервые
сделано Томсоном в 1912 г. (Классические формулы для сечения иониза-
ионизации применялись для рассмотрения элементарных процессов ионизации
и рекомбинации в водородной плазме в работах [79, 80]; в работе [81]
использовалось борновское приближение.)
Как известно из курса механики [82], если электрон с кинетической
энергией е пролетает мимо другого электрона, то дифференциальное

334	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
сечение передачи энергии электрону — «мишени» от Ае до Де
7	пе* dA
равно do = —
r	e
e ()
Сечение передачи энергии, превышающей Е (Е <; Де<!е), равно
Положим, что ионизация происходит всякий раз, когда связанному
электрону при ударе сообщается энергия, превышающая энергию связи.
Тогда, если Е — энергия связи электрона в атоме, то а представляет
собою сечение ионизации. Замечая, что е2 = 2/нво, где /н — потенциал
ионизации атома водорода, а а0 — боровский радиус, запишем сечение
ионизации в виде
Эта формула в качественном отношении правильно описывает зави-
зависимость сечения ионизации невозбужденного атома от энергии а (е),
изображенную на рис. 6.4, и дает верные по порядку величины значе-
значения сечений (в данном случае Е = /). Вблизи порога, при е « Е~1,
формула F.83) приводит к линейной зависимости F.75) о « С (е — /),
причем постоянная наклона оказывается равной
С = *рAмУ = 2,6-10-"(!?У смУэв.
Для большинства атомов и молекул вычисленные по классическим фор-
формулам постоянные С и сечения вблизи порога в несколько раз превышают
опытные значения (см. табл. 6.4; для аргона получаются правильные
величины).
Формула F.83) приводит к соотношению подобия по п для ионизации
с га-го уровня атома водорода. Для атома водорода Еп = /н 1пг и
ап (е) =	5^
Любопытно, что квантовомеханические формулы, основанные на борнов-
ском приближении, в случае ионизации возбужденных атомов водорода
приводят к похожему, но несколько отличающемуся соотношению подо-
подобия ап (е) = п2аг (и2е) [81]. (Впрочем, ионизацию возбужденных атомов
представляется более оправданным рассматривать на основе классиче-
классической теории.)
Вычислим скорость ионизации возбужденных атомов. Если iVn —
число атомов в 1 см3, пребывающих в га-м квантовом состоянии, а / (е) de —
нормированная на единицу функция максвелловского распределения элек-
электронов, то число актов ионизации таких атомов в 1 см3 за 1 сек равно
со
2„0Н „ = NnNe jj а (е) v, f (e) de, =* anNnNe.	F.84)
Подставляя сечение F.83), найдем константу скорости ионизации
,(§)V:	F.85)

§ 13] ИОНИЗАЦИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ АТОМОВ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ	335
(Заметим, что число п в этой формуле является пока что лишь индек-
индексом, так что формулу F.85) можно применять к любому атому в любом
состоянии.)
При условии хп > 1 имеем приближенно
„-хп
т. е. при Еп > кТ
в(^) е hf = 2,2-lQ-10VT° ( ^ ) е ftT сд*3/сек F.86)
(если Еп — 1, приходим к формуле F.76), в которой опущена двойка
по сравнению с 1/кТ > 1).
Для того чтобы сравнить скорости ионизации возбужденных и невоз-
невозбужденных атомов, нужно сделать какие-то предположения относительно
числа возбужденных атомов. Предположим, что состояние газа близко
к термодинамически равновесному и распределение по возбужденным
состояниям—больцмановское. Кроме того, будем рассматривать атомы
водорода. Тогда
и
Величину Xi всегда можно "считать большой: хх^> I. Если хп также
велико (низкие уровни, низкие температуры), то
Y « и6 > 1.
Для верхних уровней с энергиями связи Z?n ~ АГ, ж„ — 1 приближенно
можно положить ibn « -=-	 [80]. При этом
| ^^ ""^ 14^4д2 е~И смв/сеК (Еп ~ кТ). F.86')
Отношение скоростей ионизации
Таким образом, при больцмановском распределении по уровням
атомы ионизуются электронным ударом преимущественно с верхних
уровней, причем роль возбужденных состояний тем больше, чем выше
степень возбуждения. Делая заключения о сравнительной роли ионизации
невозбужденных и возбужденных атомов при сильно неравновесных
условиях, нужно проявлять известную осторожность, так как верхние
уровни могут оказаться сильно обедненными по сравнению с равновес-
равновесной заселенностью. (К вопросу об ионизации электронным ударом мы
еще вернемся в гл. VII при рассмотрении ионизации газа в ударной
волне.)
Найдем скорость захвата электронов ионами на возбужденные уровни
атома при тройных столкновениях с участием электрона в качестве
третьей частицы.

336	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
Число актов захвата на п-й уровень в 1 см3 за 1 сек есть Zvevn —
= finN'lN+. По принципу детального равновесия при термодинамическом
равновесии ZpeK п = Zn0H n, так что
В -а (Nn)
2nmkTу/. -f?
Формула Саха вместе с законом Больцмана дает
We) (N+) _ Ъ± (
(fin) ~ gn\	/
Воспользовавшись формулой F.85) для а„, получим константу скорости
захвата. Для водоподобного атома (g+ = l, gn = 2n2)
R — -A fj2~^—~ flM^S2 n2,h ^xn _n QI .If)5 — /'^HVih />*n ru*lrPK i(\ RR\
Если жп > 1 (захват на низкие уровни, низкие температуры),
Rn^0,91-10-25 —смЧсек.
Для захватов на высокие уровни с Еп — кТ
и
„ 0,36.10-28ra*/H_5,65-10-2in4 6/
Рп ^	jo—— дГу —	уог	 см 1сек.
Из этих формул видно, что захваты на верхние уровни происходят
гораздо чаще, чем на нижние: вероятность захвата очень быстро возрас-
возрастает при увеличении квантового числа п. Физически это связано просто
с увеличением радиуса и площади орбиты связанного электрона при
возрастании п (площадь орбиты пропорциональна и4). Мы здесь наме-
намеренно употребляем термин «захват», а не «рекомбинация», так как захват
на высокий уровень, вообще говоря, не всегда эквивалентен рекомби-
рекомбинации: с верхних уровней электрон легко оторвать. К вопросу о реком-
рекомбинации в тройных столкновениях мы еще вернемся ниже, в § 17.
Остановимся кратко на вопросе об ионизации ионов. Применительно
к ионизации водородоподобных ионов с основного уровня формула для
сечения F.83) приводит к соотношению подобия по Z (Е == Iz = /н Z2)
Anally (Z-2e-/H)_ I f г_
zK '	Z4	(Z-%J	Z* l\Z*
Борновское приближение в этом случае приводит к некоторому откло-
отклонению от подобия [83]. Оценим зависимость скорости ионизации ионов
от их заряда (Z = 1 соответствует нейтральному атому). Очевидно, про-
производить такое сравнение при одинаковых температурах не имеет смысла,
так как вторая ионизация протекает при более высоких температурах, чем
первая, третья — при еще более высоких температурах, и т. д. Как было
выяснено в гл. III, атомы и ионы обычно ионизуются при температурах,
удовлетворяющих условию Iz/kT ~ 5—10.
Поэтому скорости ионизации имеют смысл сравнивать при постоян-
постоянном отношении IzlkT = const. Имея в виду, что при этом ve ~ {/"Г ~ Z,

% 14] УДАРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ВОЗБУЖДЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ АТОМА 337
получим по формуле F.86) (Еп -> Iz — 1п%2) константу скорости Z-й
ионизации с основного уровня: az = ai/Z3. Таким образом, ионизация
ионов протекает относительно медленнее, чем ионизация нейтральных
атомов. Физически это связано в первую очередь с малостью геометри-
геометрических размеров ионов.
§ 14. Ударные переходы между возбужденными
состояниями атома
Экспериментальные данные по сечениям возбуждения электронным
ударом относятся к переходам из основного состояния (см. § 12). При
изучении нагретой плазмы иногда возникает необходимость в оценках
вероятностей ударных переходов между более высокими уровнями. Для
оценки сечений переходов можно использовать результаты, которые дает
квантовомеханический метод искаженных волн [83]. Упрощенная фор-
формула для сечения возбуждения атома электронным ударом при разре-
разрешенных переходах приводится в [86]. Ее удобно представить в форме,
сходной с классическим выражением для сечения ионизации:
(W = 4ла0	р	-2	if ПП'.	(Ь.89)
Здесь Епп' — энергия перехода п -> га' (п' > га); /„„- — соответствующая
сила осциллятора для поглощения. Квантовомеханическая формула для
сечения перехода содержит произведение матричных элементов, один
из которых описывает тормозное излучение кванта hv = Епп> при рас-
рассеянии электрона в поле атома, а другой — поглощение этого кванта
атомом. Этот последний матричный элемент и выражается через силу
осциллятора. Таким образом, возбуждение атома электронным ударом
можно интерпретировать так, будто электрон сначала испускает тор-
тормозной квант, а поглощение этого кванта уже приводит к возбуждению.
Если применить формулу F.89) для описания возбуждения атомов
из основного состояния ударами электронов с небольшими надпорого-
выми энергиями, то оказывается, что формула дает некоторое завышение
по сравнению с экспериментальными сечениями. Для водорода она завы-
завышает сечение примерно в 3—3,5 раза, для некоторых других атомов
(гелия, натрия) завышение меньше. Надо сказать, что в работе [84] пере-
переходы связанного электрона в атоме под действием электронных ударов
рассматривались на основе классической механики (было учтено орби-
орбитальное движение связанного электрона), причем получились результаты
по порядку величины, совпадающие с тем, что дают квантовомеханиче-
ские расчеты *).
Оценим с помощью формулы F.89) вероятности переходов в водо-
водородной плазме (это было сделано в работе [79]).
Число актов возбуждения электронным ударом п -> га' в 1 см3 за
1 сек равно
сю
J enn.(z)vef(e)de = ann.NnNe.	F.90)
*) Столкновения свободных электронов со связанными по классической теории
рассматривались также в работе [85].
22 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

338	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
i
Для константы скорости получается выражение, вполне аналогичное F.85):
ann' = /tnalvef^,j гр„„'3/„П',	F.91)
кт '
Число обратных процессов дезактивации л'->-л в 1 см3 в 1 сек
. По принципу детального равновесия
n'n — unn' /2	—*3iaof e i t^ i o/nn> —7s жпп'грпп'.	^о.у^
Если подставить в эти формулы силу осциллятора по формуле E.78),
энергию перехода Епп- = /н A/я2 — iln'%), а также значения констант,
получим формулы
а__		_ Г д	ЯН' ___ /у>	Р ^/у>	\1 /• 1*3/ллъ»	/f\ Q^ '\
ПП ""^	-			^	~~^ Г Г 1С	"~~~ U/ Tin *-> 1 I w*»*»* / I С«/№ / CCft.	IL'.C/X I
F.92')
УТ пзп>ь( ±—L
Легко видеть, что вероятности дезактивационных переходов из состоя-
состояния п' в п' — 1, и' — 2 и т. д. убывают скорее, чем последовательность
1, 2~4, З. Отношение суммарной вероятности переходов на все нижние
уровни к вероятности перехода на ближайший заключено между еди-
единицей и 1 + 2~4 + 3~4 + . . . = я4/90 = 1,08. То же относится и к вероят-
вероятностям возбуждения »-> л + 1, га-»-?г + 2, ... Таким образом, при
дискретных переходах в атомах под действием электронных ударов наи-
наиболее вероятными являются переходы между соседними уровнями, при-
причем «перескоки» через уровни имеют очень малую вероятность.
Рассмотрим переходы между соседними уровнями в области верхних
состояний с п > 1. Если расстояния между уровнями АЕ меньше кТ
ОТ	О FT
(АЕ да —5 = —?, так что это имеет место при условии Еп <С пкТ/2),
то выражения в квадратных скобках в формулах F.91'), F.92') не сильно
отличаются от единицы. В пределе хпп- -> 0 они строго обращаются
в единицу.
Отсюда следует, что в этой области состояний вероятности переходов
между соседними уровнями как с возбуждением, так и с дезактивацией
атома («вверх» и «вниз») весьма близки друг к другу и приближенно равны
Nean,n+i « ЛГ.Рп.п-1 » щ NeVealn* -kf =		Ne сек г F.93)
(среднее сечение перехода примерно в I-^lkT > 1 раз больше площади
круговой орбиты, соответствующей п-му уровню, яа„и4).
Сопоставим вероятности возбуждения и ионизации атома при элек-
электронных ударах. Если атом находится в основном состоянии и темпера-
температура не очень велика, так что IlkT > 1, то ясно, что акты ионизации
происходят реже, чем акты возбуждения просто потому, что необходи-
необходимой для ионизации энергией обладает меньшее число электронов.
Однако даже в тех случаях, когда большинство электронов обладает
энергией, достаточной для ионизации, а именно, при столкновениях с ато-
атомами, энергия связи в которых Еп ~ кТ, ионизация происходит реже,

§ 15]	ИОНИЗАЦИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЕ УДАРАМИ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ	339
чем дискретные переходы, причем вероятность дискретных переходов
в соседние состояния относительно тем больше, чем меньше энергия
связи (больше п). Это видно из сравнения выражений F.86) и F.93).
Разумеется, абсолютная величина вероятности ионизации возрастает
с ростом п (но медленнее, чем вероятность дискретных переходов).
§ 15. Ионизация и возбуждение ударами тяжелых частиц
Формальное описание этих процессов вполне аналогично рассмот-
рассмотренному в предыдущих параграфах случаю ионизации и возбуждения
электронным ударом. Так, уравнение кинетики ионизации невозбужден-
невозбужденных атомов имеет вид
причем по принципу детального равновесия |За = аа1К (Т). Характер-
Характерное время
We) _ 1
т„ = -
V0 (Ne
Константа скорости ионизации аа выражается такой же формулой,
что и ае. Следует только иметь в виду, что эффективное сечение иони-
ионизации аа (»') зависит от относительной скорости сталкивающихся атомов
и в функцию максвелловского распределения по относительным скоростям
входит приведенная масса ц, равная в случае одинаковых атомов ц = ^?.
Если по-прежнему аппроксимировать сечение вблизи порога линейной
зависимостью от кинетической энергии относительного движения е' =
= |д,г/а/2, получим для аа формулу, аналогичную F.75). Если же просто
вынести за знак интеграла некоторое среднее значение сечения аа, вместо
множителя j-ji + 2 появится близкая к нему величина v= + 1. Таким
образом, в случае линейной аппроксимации
1_
л ¦
причем аа соответствует энергии е' « / + кТ. Подобным же образом
можно описать и кинетику возбуждения.
К сожалению, в отличие от случая электронного удара, сделать
какие-либо количественные оценки скоростей процессов весьма трудно.
Сравнение констант скоростей ионизации электронами и атомами пока-
зывает, что ае/аа = (ve/v'a) (ae/aa). При сравнимых температурах velv ж
w У~та/тпв ~ 100. Что касается сечений аа, то они на несколько поряд-
порядков меньше, чем ае. Экспериментальных данных о сечениях ионизации
или возбуждения атомами с энергиями порядка десятка электронвольт
нет; по-видимому, они порядка 100 — 10~22 см2.
Для того чтобы столкновение было неупругим, необходимо, чтобы
удар был достаточно резким, иными словами, скорость сближения частиц
¦) Коэффициент рекомбинации равен, по определению, Ъа = Pa-^a.
22*

340	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
должна быть порядка скоростей движения внешних электронов в атоме.
В случае электронного удара с энергией порядка потенциала ионизации
или энергии возбуждения, т. е. порядка нескольких или десятка эв, это
условие выполняется и неупругое сечение велико. При соударениях
тяжелых частиц скорости сравнимы лишь при энергиях примерно
в \^та/те ~ 100 раз больших указанных величин, т. е. при энергиях
порядка кэв. И действительно, при этом эффективное сечение ионизации
или возбуждения сравнимо с аналогичными сечениями для электрон-
электронного удара. При энергиях же порядка 10 эв скорость сближения частиц
очень мала и удар «адиабатичен». Положение вполне аналогично случаю
возбуждения колебаний в молекулах, рассмотренному в § 4. Точно так
же, чтобы при столкновении неупругая передача энергии произошла
со значительной вероятностью, нужно, чтобы фактор адиабатичности
avlv был не слишком велик, порядка единицы. Здесь под v следует пони-
понимать теперь не частоту колебаний молекул, а частоту обращения элек-
электрона по своей орбите (av порядка скорости электрона в атоме, так как а
порядка размеров атома). Наиболее низкие энергии относительного дви-
движения *) е', при которых на опыте еще измерялась ионизация, были
порядка 30—40 эв. Было найдено, что сечение ионизации аргона ато-
атомами и ионами аргона при е' = 35 эв аа ~ 3-Ю8 см* [51]; гелия ато-
атомами гелия — при е' — 35 эв оа ~ 2-10~19 см2 [52]; аргона ионами
калия — при е' ~ 45 эв аа ~ 2-Ю9 см2 **).
Квантовомеханическим аналогом условия адиабатичности av/v > 1
av ahv аАЕ А	, п
служит условие — —> -^ = ~^~ > 1, где АЕ — неупругое превра-
превращение энергии при столкновении. Происхождение этого условия таково.
Вероятность процесса определяется матричным элементом взаимодей-
взаимодействия, в который входит произведение волновых функций начального
и конечного состояний частиц. Волновые функции поступательного дви-
движения описываются плоскими волнами е1"г^1***); произведение плоских
волн начального и конечного состояний дает в подынтегральном выра-
выражении матричного элемента осциллирующий множитель eib-»rin, где
Ар — изменение импульса налетающей частицы при столкновении. Инте-
Интеграл имеет заметную величину, если этот множитель не осциллирует
в области, где велика энергия взаимодействия, т. е. на расстоянии г поряд-
порядка атомных размеров а. Таким образом, условие большой вероятности
процесса состоит в том, чтобы Ap-a/h =С 1. Изменение импульса Ар
порядка AE/v, где АЕ — изменение кинетической энергии частиц, т. е.
неупругая передача энергии. Отсюда и получается условие значительной
вероятности aAEIhv =С 1; условие малой вероятности — aAE/hv > 1.
Из этого условия, в частности, следует, что должны быть велики сече-
сечения процессов, в которых неупругое превращение энергии АЕ очень
мало (так называемый случай резонанса). И действительно, велики сече-
сечения ионизации атомов возбужденными атомами или молекулами, когда
*) На опыте обычно пучок быстрых частиц пронизывает газ из «неподвиж-
«неподвижных» атомов. Порог ионизации по энергии налетающих частиц при этом вдвое выше
потенциала ионизации. Это соответствует тому, что приведенная масса вдвое меньше
массы атома и при данной относительной скорости е' = е/2; епг = 2епг = 21.
**) В работах [54] теоретически вычисляются эффективные сечения неупругих
столкновений Аг — Аг и Не — Не и проводится сопоставление с экспериментальными
данными [51, 52]. Данные по сечениям ионизации при соударениях ионов и атомов
с энергиями порядка нескольких сотен эв и выше имеются в обзоре [75].
***) h= h/2n.

§ 16]	ФОТОИОНИЗАЦИЯ И ФОТОРЕКОМБИНАЦИЯ	341
на отрыв электрона затрачивается не кинетическая энергия поступа-
поступательного движения, а энергия внутренних степеней свободы. Так, сече-
сечение процессов типа
где энергия возбуждения Е* частицы В близка к потенциалу ионизации
частицы А, по порядку величины близки к газокинетическим. Поэтому
процесс ионизации тяжелыми частицами, особенно молекулами, скорее
всего двух- или многоступенчатый: сначала происходит возбуждение
одной из частиц, а затем ионизация ударом возбужденной частицы (так
называемая ионизация ударом второго рода) или, наоборот, отрыв элек-
электрона от возбужденной частицы. Некоторые данные об этих процессах
можно найти в книгах [45, 46].
Вопрос об оценке скоростей процессов ионизации и возбуждения
тяжелыми частицами может возникнуть только при рассмотрении самой
ранней стадии ионизации «мгновенно» нагретого газа, пока концентра-
концентрация электронов очень мала, меньше 10~4 — 10~5, т. е. пока не образуется
электронная лавина.
Чтобы оценить нижний предел времени, необходимого для образо-
образования «затравочных» электронов и возникновения электронной лавины,
рассмотрим следующий воображаемый процесс. Пусть газ «мгновенно»
нагревается до высокой температуры Т и освобождающиеся электроны
мгновенно приобретают ту же температуру Т, что и атомы. В начале
процесса, пока ионизация значительно меньше равновесной, рекомби-
рекомбинацией можно пренебречь. Сначала dNeldt = aaN% и Ne = aaN2at. Число
электронов растет линейно со временем до тех пор, пока скорость иони-
ионизации электронным ударом не сравняется со скоростью ионизации ударами
атомов и не возникнет лавина. Этот момент tx определяется из условия
aeNaNe = a.aN\. Подставляя сюда Ne = aaNlti и замечая, что по фор-
формуле F.74) aeNa = хе, получим ?4 = хе. Иными словами, минимальное
необходимое время ti равно характерному времени развития лавины.
Реальное время «индукции» для развития лавины может быть значи-
значительно большим. Оно определяется не условием возникновения доста-
достаточного количества свободных электронов, а условием нагревания элек-
электронного газа до температуры, достаточно высокой, чтобы производить
заметную ионизацию. Это время лимитируется замедленностью обмена
энергией между атомами (ионами) и электронами, которые много энер-
энергии теряют на неупругие столкновения: ионизацию и возбуждение. Об
обмене энергией между ионами и электронами см. § 20.
Условия, при которых атомы «мгновенно» нагреваются до высокой
температуры, после чего начинается ионизация, осуществляются в удар-
ударной волне. Кинетике ионизации во фронте ударной волны и установлению-
ионизационного равновесия за фронтом будут посвящены § 10, 11 гл. VII.
§ 16. Фотоионизация и фоторекомбинация
Процессы фотоионизации и фоторекомбинации уже рассматривались
в гл. V при вычислении коэффициентов поглощения и излучения света,
поэтому нам неизбежно придется повторять здесь некоторые рассужде-
рассуждения и выводы этой главы.
Предположим для простоты, что все атомы пребывают в основном
состоянии и при рекомбинации электроны захватываются на основной
уровень. Если Na — число атомов в 1 см3, Uvdv — количество энергии
излучения в спектральном интервале от v до v + dv в 1 см3, a avi (v) —

342	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
эффективное сечение фотоионизации с основного уровня атомов, то число
актов фотоионизации в 1 см3 в 1 сек равно
^v-oo-vl(v) = aviVa,	F.94)
причем в поглощении участвуют только кванты hv > hvt = I; av —
константа скорости фотоионизации.
Обозначим через acl (v) — эффективное сечение фотозахвата элек-
электронов, обладающих скоростью г;, на основной уровень атома. Тогда
число актов фоторекомбинации в 1 см3 в 1 сек есть
ZvpeK = bvN+Ne = N+Ne J U (v) dv ¦ v ¦ acl (v) [ 1 + ^ ] . F.95)
Слагаемое c3Uv/8ahvs в множителе под знаком интеграла учитывает
процессы вынужденной рекомбинации, соответствующие вынужденному
испусканию квантов. Энергия испускаемого кванта связана со скоростью
электрона уравнением фотоэффекта:
Av = -•- + /.
Интеграл в F.95) представляет собою коэффициент фоторекомбинации bv~
По принципу детального равновесия в условиях полного термо-
термодинамического равновесия дифференциалы в интегральных выражениях
для ZpeK и Zboh равны друг другу.
Подставляя в качестве /е (и) функцию максвелловского распределе-
распределения электронов, а в качестве Uv — функцию Планка, воспользовавшись
уравнением Саха F.73') и уравнением фотоэффекта получим связь
эффективных сечений фотоионизации и фоторекомбинации:
Аналогичным образом связаны между собою и сечения фотоионизации
с гс-го возбужденного уровня атома и фотозахвата на п-й уровень:
Здесь gn—статистический вес и-го состояния атома. Частота v
и скорость электрона v также связаны между собою уравнением фото-
фотоэффекта:
^	^	^.	F.95")
где е„ — энергия связи электрона в га-м состоянии, a wn — энергия воз-
возбуждения га-го уровня атома.
Уравнение кинетики для фотопроцессов имеет вид
^г = 2ион — ZpeK = avNa — bvN+Ne.
Время релаксации для фотопроцессов:
1	We)
avNa ¦

16]
ФОТОИОНИЗАЦИЯ И ФОТОРЕКОМБИНАЦИЯ
343
Оценим константу скорости фотоионизации, предполагая, что плот-
плотность излучения близка к равновесной. В отличие от сечений ударной
ионизации, которые равны нулю у порога ионизации, сечение фото-
фотоионизации отлично от нуля у порога и во многих случаях, наоборот,
максимально при hv = I = hvl. Так, у водородоподобных атомов avl =
= 0°i(v1/vK, где а = 7,9-108 см?, если заряд «ядра» равен единице
(см. формулу E.34)). Если, как это обычно бывает, 1/кТ > 1, ионизую-
ионизующие кванты находятся в виновской части спектра, где Uv — ехр (—hv/kT).
Вынося из-под знака интеграла F.94) среднее значение сечения, которое
с большой точностью можно положить равным сечению у порога иони-
ионизации, получим после интегрирования
_Sni*kT 0 -
кт
8/La^e ftr сек-1.	F.96)
Коэффициент рекомбинации &v можно найти либо по принципу деталь-
детального равновесия: bv = av (Na)/(N+) (Ne), либо непосредственно, вычисляя
интеграл F.95). Следует отметить, что при / > кТ роль вынужденных
рекомбинаций очень мала: множитель в скобках в интеграле F.95) при-
приближенно равен 1 + e~hv>hT « 1, так как Av > / > кТ. Для коэффи-
коэффициента рекомбинации получим (при 1/кТ > 1):
= ve(jci(v)=veocl,
F.97)
где ос1 — среднее сечение фотозахвата на основной уровень (ve — сред-
средняя тепловая скорость электронов).
Среднее сечение фотозахвата обратно пропорционально электронной
температуре. Эффективные сечения фотоионизации и фотозахвата при
температуре, соответствующей 1 эв (а°ь o"ci = Oci/T9e), для некоторых
атомов представлены в табл. 6.6. Что касается сечений ионов, то если
Таблица 6.6
Атом
н
Li
С
N
О
F
Na
Са
Эффективные сечения фотоионизации
I, вв
13,54
5,37
11,24
14,6
13,57
17,46
5,09
6,25
и фотозахвата электронов на
gi
2
2
9
4
9
6
2
1
g
1
1
6
9
4
9
1
2
0
7,9
3,7
10
7,5
3
2
0,31
25
с основных уровней
основной уровень
Ход сечения о,„
за порогом
Падает — v~3
Падает вдвое при
hv = I-\-10 эв
Медленно падает
Почти постоянно
до hv ~ 7+15 эв
Почти постоянно
до hv ~ 7+15 эв
Падает быстрее,
чем v~3
Падает ~ v~3
атомов
0^1 • 1021 смг яв
2,9
0,21
1,9
0,7
1,24
0,41
0,016
0,51
Эффективные сечения 0°1 и данные о ходе сечения за порогом взяты из книги
[55]. Величины а^ вычислены по формуле F.97).

344	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
рассматривать их как водородоподобные системы, то ст°1 ~ Z~2, a o°ci ~
<~ I\Z~2. Обычно потенциалы ионизации ионов растут с зарядом, как
Iz ~ Z ~ Z2, откуда ac°t ~ Z° ~ Z2.
Выясним роль рекомбинаций с захватом электрона на возбужден-
возбужденные уровни. Коэффициент рекомбинации в общем случае равен (ср. с фор-
формулой F.97))
bv = ^vacn(v),	F.98)
п
где суммирование производится по всем уровням п, а усреднение —
по максвелловскому распределению электронов. осп (v) выражается фор-
формулой F.95'). Для водородоподобных атомов avn ~ 1/n5, gn = 2п2, так
что Осп ~ 1/и3» причем v и v связаны формулой F.95"), в которой гп =
= I In2. Вообще говоря, при суммировании по п возникает вопрос о числе
фактических уровней в атоме, которое следует учитывать (см. § 6 гл. III),
однако в данном случае сумма по п быстро сходится и суммирование
можно приближенно распространить до п = оо.
Вычисление коэффициента рекомбинации по формуле F.98) пока-
показывает, что для водородоподобного атома его можно представить в виде
/2 см3/сек,	F.99)
где bVl — коэффициент, соответствующий захвату на основной уровень
при IIkT > 1 (он определяется формулой F.97)); <р (IIkT) — очень мед-
медленно меняющаяся функция, которая получается в результате суммиро-
суммирования по п. Эта функция табулирована в книге Спитцера [56]. Например,
при IlkT = 5 ф = 1,69, при IlkT = 10 q> = 2,02, при IlkT = 100
ф = 3,2. Приближенно [86]
К « 2,7 • 10-13Z277e3/4 см3/сек.	F.100).
Таким образом, при обычных условиях, встречающихся в области первой
ионизации, когда I IkT ~ 10, захват на все возбужденные уровни дает
примерно такой же вклад в рекомбинацию, как и захват на основной
уровень.
В силу принципа детального равновесия, при условии, что распре-
распределение атомов по возбужденным состояниям — больцмановское и излу-
излучение равновесно, то же относится и к фотоионизации. Таким образом,
при фотоионизации роль ионизации возбужденных атомов сравнима
с ролью ионизации невозбужденных, так что наши оценки скоростей
фотоионизации и фоторекомбинации занижены примерно раза в два.
Сравним скорость ионизации невозбужденных атомов электронным
ударом и квантами (в предположении, что плотность излучения равно-
равновесна). По формулам F.94), F.96), F.71), F.76) найдем
Очевидно, в таком же отношении находятся и скорости обратных
процессов. Численные значения С и o%i одного порядка (~ 5-108, см.
табл. 6.4, 6.6), потенциалы ионизации / ж 10 эв, типичная для первой

§ 17] ЭЛЕКТРОН-ИОННАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ ПРИ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ 345
ионизации температура Т яз 1 эв = 11 600° К. Это дает
ув	ув
ион 	 рек л Г)-17 /V
yV	yV "~~"	e'
ион	рек
т. е. при Ne > 1017 см~3 преобладают электронные процессы, а при Ne <
< Ю17 &w~3 — фотопроцессы (подчеркнем, что это относится только
к ионизации атомов из основного состояния и захвату электрона на основ-
основной уровень атома).
Несколько слов по поводу возбуждения и дезактивации первых
возбужденных состояний излучением. Времена жизни атомов, пребы-
пребывающих в первых возбужденных состояниях, по отношению к спонтан-
спонтанному высвечиванию имеют порядок т* ~ 10~8 сек. Время жизни атома
на этих уровнях по отношению к дезактивации электронными ударами,
согласно сказанному в § 12, при электронной температуре Те — 1 эв
порядка т* ~ 109/Ne сек, т. е. «тушение» излучения электронными уда-
ударами происходит при электронных плотностях Nе > 1017 см~3 и, наоборот,
при Ne < 1017 см'3 преобладают фотопроцессы (так же, как и для иони-
ионизации атомов с основного уровня и захвата электрона на основной
уровень).
В условиях, близких к термодинамическому равновесию, таково же
соотношение скоростей возбуждения ближайших к основному уровней
атомов электронами и квантами. Заметим, что сечения поглощения резо-
резонансного излучения, способного возбуждать атомы, очень велики и резо-
резонансное излучение чаще всего равновесно (среда непрозрачна для резо-
резонансного излучения). Поэтому время т* ~ 10"8 сек характеризует время
¦релаксации для установления больцмановской заселенности первых воз-
возбужденных уровней атомов за счет фотопроцессов. О вероятности спон-
спонтанных радиационных переходов с верхних возбужденных состояний
см. § 13 гл. V.
§ 17. Электрон-ионная рекомбинация при тройных столкновениях
(элементарная теория)
В сильно разреженной плазме рекомбинация электронов и ионов
происходит главным образом при парных столкновениях с излучением
светового кванта. В плотной плазме преобладает рекомбинация при
тройных столкновениях с участием электрона в качестве третьей частицы
(третьей частицей может служить и нейтральный атом, но этот процесс
играет роль только при чрезвычайно малых степенях ионизации, меньше
10 — 10~10). Простейшую оценку скорости рекомбинации с участием
электрона в качестве третьей частицы можно сделать, если обобщить
на этот случай старую теорию Томсона [45], которая относится к реком-
рекомбинации с участием нейтрального атома. Рассуждения здесь вполне
аналогичны тем, с помощью которых в § 6 этой главы была оценена ско-
скорость рекомбинации атомов в молекулу при тройных столкновениях.
Цредположим, что электрон может захватиться ионом (с заря-
зарядом Z) на замкнутую орбиту и рекомбинировать, если он пролетает
мимо иона на таком прицельном расстоянии г, что потенциальная энергия
кулоновского притяжения к иону Ze^lr больше средней кинетической
о
энергии электрона — кТ. Прицельное расстояние, следовательно, не

346	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
должно превышать Zr0, где гц = е2/-^-кТ — эффективный радиус куло-
О
-^-
новского взаимодействия частиц с зарядами Z = 1.
Число таких столкновений в 1 см3 в 1 сек равно Nevenr\Z?N +. Но для
того чтобы произошел захват, необходимо, чтобы, пролетая мимо иона,
т. е. на пути порядка Zr0, электрон провзаимодействовал с другим элек-
электроном, которому могла бы быть передана выделяющаяся при захвате
потенциальная энергия. Вероятность такого события равна примерно
Zronr*Ne. Таким образом, число актов рекомбинации в 1 см3 в 1 сек есть
ZpeK = N^enrlZ*N+ZrQnrlNe = $N2eN+ = bNeN+.	F.101)
Отсюда для коэффициента рекомбинации получаем
Ne-	F.102)
Радиус кулоновского взаимодействия электрона и протона г0 = ^ттг
2
(будем рассматривать водород) весьма близок к радиусу круговой орбиты
электрона с энергией связи Еп* я* кТ: гп* = аоп* = ао1я /кТ = е*/2кТ.
Поэтому ясно, что тот же коэффициент рекомбинации должен получиться,
если просуммировать коэффициенты захвата электрона §nNe, выведенные
в § 14, по всем п от 1 и до п* = \^1ц/Еп* = |/"/н7Мг(при 1н/кТ > 1,
п* > 1 суммирование можно заменить интегрированием). И действительно,
при этом получается формула, которая практически точно совпадает
с выражением F.102). Такое вычисление коэффициента рекомбинации
через вероятности захвата на дискретные уровни было проделано в работе
Хиннова и Хиршберга [80]. Оно также обладает большой наглядностью,
хотя и не отличается строгостью.
Замечательно, что строгая в рамках известных предположений
теория, развитая в работах Л. П. Питаевского [88] и А. В. Гуревича
и Л. П. Питаевского [89] (о ней речь пойдет в следующем параграфе),
приводит к формуле
AelnAi,	F.103)
которая отличается от элементарной F.102) только численным коэффи-
27
циентом 77г In Aj порядка единицы. Здесь In Л4 — некий особого вида
кулоновский логарифм, который приближенно можно положить равным
единице. Численно по формуле F.103) с In А4 = 1 коэффициент реком-
рекомбинации равен
, 8,75-10-272з	5,2-10-2323 лг
Ъ = -:—-щ	Ne = -^	Ne смУсек.	F.104)
эв	тыс. град
Область применимости этой формулы (для водорода, Z = 1) ограничи-
ограничивается довольно низкими температурами kT < I-r, при которых захват
происходит на очень высокие уровни п* = I/ ~ > 1. По-видимому,
это температуры ниже 3000° (п* > 7).
Сопоставим коэффициенты рекомбинации в тройных столкнове-
столкновениях Ъ по формуле F.104) и фоторекомбинации с захватом на все уров-

$ 18] СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РЕКОМБИНАЦИИ ПРИ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ 347
яи bv по формуле F.100). Последняя преобладает при условии
;Ve< ' /эв =	71С- град о*"».	F.105)
Как видим, при низких температурах и не чрезмерно малых плотностях
всегда главную роль играет рекомбинация в тройных столкновениях.
В работе [80] построены приближенные формулы для оценки коэф-
коэффициентов рекомбинации в тройных столкновениях при более высоких
температурах (от 3000 до 10 000°), когда захват происходит на низкие
уровни. (Надо сказать, что формула F.104) в этой области дает завы-
завышенные значения коэффициента рекомбинации, но это завышение не пре-
превышает 5—10 раз даже при Т = 10 000е.)
Приводится также удобный для пользования график суммарного
коэффициента рекомбинации Ъ + bv в зависимости от Ne и Т. Там же
описаны результаты экспериментального изучения рекомбинации в гелии,
причем получается удовлетворительное согласие теории и эксперимента.
§ 18. Более строгая теория рекомбинации при тройных
столкновениях
Рассмотрим детальнее, как протекает процесс рекомбинации при
тройных столкновениях в низкотемпературной водородной плазме. Пред-
Предположим, что условия в газе существенно неравновесны: степень иони-
ионизации выше равновесной или, что то же самое, температура ниже той,
которая соответствует данной степени ионизации, так что в цлазме про-
протекает преимущественная рекомбинация. Выше отмечалось, что вероят-
вероятность захвата электрона при тройном столкновении быстро возрастает
при увеличении радиуса орбиты и уменьшении энергии связи уровня,
так что электроны захватываются в основном на верхние уровни. Как
было показано в § 13 гл. V, вероятности спонтанных радиационных пе-
переходов с верхних уровней резко уменьшаются при увеличении кванто-
квантового числа п и уменьшении энергии связи Еп (как 1/ге5 ~ Еъп^).
Предположим, что плотность электронов достаточно велика для того,
¦чтобы вероятности радиационных переходов с верхних уровней были
гораздо меньше вероятностей ударных переходов. Обратное положение
при низких температурах практически не реализуется: если плотности
столь малы, что радиационные переходы с верхних уровней происходят
быстрее, чем ударные, то вообще преобладает фоторекомбинация и элек-
электроны преимущественно захватываются не на верхние, а на нижние
уровни.
Итак, состояние образовавшегося в результате захвата высоковоз-
высоковозбужденного атома изменяется под действием электронных ударов. При
этом наиболее вероятны переходы в ближайшие соседние состояния, при-
причем в области, где расстояния между уровнями АЕп меньше кТ, переходы
с возбуждением и дезактивацией («вверх» и «вниз») по принципу деталь-
детального равновесия почти равновероятны (Л2?„ <С кТ в области Энергий
связи ?„<у пкТ или Еп < /н (&772/нJ/з, это следует из соотношений
АЕп « | dEJdn | = 2/н/га3 = 2Еп/п = 21ъ(Еп11п)Щ. Таким образом,
в этой области уровней энергия атома при каждом ударе меняется малыми
порциями, причем «шаги» в ту и другую сторону примерно равновероятны.
Это — типичная картина «диффузии». Можно сказать, что происходит
¦«диффузия связанного электрона в атоме вдоль энергетической оси».

348	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
Соотношение вероятностей переходов «вверх» и «вниз» изменяется
в области низких уровней Еп > кТ, АЕ > кТ, где вероятность дезакти-
дезактивации больше, чем вероятность возбуждения. Кроме того, в области
низких уровней весьма вероятны и радиационные переходы, которые
также способствуют дезактивации. В рамках «диффузионной» модели это-
означает, что в области низких уровней имеется «сток» и, следовательно,
«диффузионный» поток направлен «вниз» — образовавшийся высоковоз-
высоковозбужденный атом стремится прийти к основному состоянию, в чем, соб-
собственно, и заключается рекомбинация. Подчеркнем, что направление-
диффузионного потока определяется состоянием газа. Если бы условия
были таковы, что ионизация была бы ниже равновесной, то преобладали
бы акты возбуждения и поток был бы направлен «вверх». Существенно,
что вероятность ионизации атома при ударе на не слишком высоких
уровнях невелика и меньше вероятности дискретных переходов, так что
ионизацией в этой области можно пренебречь.
Вероятность ионизации, возрастающая с номером уровня п, велика
в области очень больших п, где одновременно велика и вероятность-
захватов. Это приводит к тому, что в области очень малых энергий связи
(порядка и меньше кТ) устанавливается равновесие Саха — Больцмана
F.87) между заселенностью уровней и плотностью свободных электронов.
В рамках «диффузионной» модели это означает, что «источник» частиц.
в области малых энергий связи таков, что в этой области «автомати-
«автоматически» поддерживается данная плотность частиц. Поток вдоль энерге-
энергетической оси, который при этом возникает из-за наличия «стока» в об-
области больших энергий, очевидно, и определяет скорость отвода возбуж-
возбужденных атомов «вниз» и скорость образования атомов в основном со-
состоянии, т. е., по существу, скорость рекомбинации.
Описанная картина процесса рекомбинации была облечена в мате-
математическую форму в работе Л. П. Питаевского [88], где диффузия вдоль
энергетической оси рассматривалась на основе чисто классического урав-
уравнения Фоккера — Планка в предположении, что основную роль играют
верхние состояния, где дискретность энергетических уровней проявляется
слабо.
Для большей наглядности и для того, чтобы яснее продемонстри-
продемонстрировать физический смысл совершаемых приближений и «коэффициента
диффузии», мы здесь перейдем к классике, исходя из системы квантовых
кинетических уравнений. Пусть Nn — числа атомов в 1 см3, находящихся
на п-х уровнях (числа заполнения или заселенности уровней). Составим
для них кинетические уравнения с учетом только дискретных переходов-
между ближайшими соседними уровнями, причем для удобства сгруппи-
сгруппируем попарно прямые и обратные процессы:
^JT = Ne OfWi, nNn+l - а„, n+iNn] - [р„, п^п—а»-,, nNn^}}. F.106).
Рассмотрим область больших квантовых чисел п > 1 (предполагается,
что 1п/кТ > 1). В этой области с дискретными числами п ж Nn можно
обращаться как с непрерывными и дифференцировать функции номера п
(имея в виду, что «дифференциал» dn — l). Производя в F.106) разложе-
разложение с учетом членов второго порядка малости, получим
te-0^] • FЛ07>
Преобразуем отношение вероятностей с помощью принципа детального»
равновесия и ограничимся рассмотрением области уровней, где расстоя-

§ 18] СТРОГАЯ ТЕОРИЯ РЕКОМБИНАЦИИ ПРИ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ 349
ние между уровнями меньше кТ:
(„	1J =tL	2 АЕ
Теперь
дп
Это уравнение имеет типичную форму уравнения диффузии при наличии
•объемной силы. Величина Dn — (an^l7nNe) играет роль коэффициента
диффузии, ее размерность рек (поскольку «координата» п безразмерна).
От функции распределения возбужденных атомов по п, Nn, легко перейти
к функции распределения по энергии связи ф (Е). Очевидно, Nn =
dE
д
Преобразуя уравнение F.108) и опуская члены высших порядков,
получим
¦г|-)ф,	F.109)
?> = <хЛ'е (Д?J, а s an_ti n.
Коэффициент диффузии по энергетической оси D имеет размерность
эрг21сек (АЕ соответствует «длине пробега», x[2aNe — среднее время
между столкновениями, которые сопровождаются переходами «вверх»
и «вниз»). Если сделать еще один шаг и перейти в уравнении F.109) от
функции распределения атомов по энергиям связи ф (Е) к функции рас-
распределения связанных электронов в фазовом пространстве координат
и импульсов, получим уравнение Фоккера — Планка в той форме, кото-
которая послужила отправным пунктом в работах [88, 89].
Коэффициент диффузии D в работе [89] вычислен на основе чисто
классической теории как средний квадрат изменения энергии связан-
связанного электрона в единицу времени при столкновениях со свободными
электронами:
$?-.	F.110)
Примечательно, что коэффициент диффузии, выраженный через квантово-
механическую вероятность перехода an_t, n Ne, D = aNe (АЕJ, где
<*„_!, „ дается формулами § 14, при условии АЕ < кТ приводит к точно
такому же буквенному выражению, что и классическая теория, и превы-
превышает DКЛасс в 81^3/я In Ai л; 4,4 раза (при In Aj = 1). Надо полагать,
что классическое значение в области тесно расположенных уровней более
правильно, чем приближенное квантовомеханическое *).
Допустим, что высоковозбужденный атом, образующийся в резуль-
результате захвата электрона ионом, дезактивируется и приходит к основному
состоянию быстро по сравнению со скоростью изменения плотности элек-
электронов и температуры, т. е. по существу, по сравнению со скоростью
рекомбинации. Тогда среди возбужденных атомов устанавливается квази-
стационарное распределение по энергиям, которое «следит» за медленным
изменением плотности электронов и температуры. Иначе говоря, рас-
•сматривая рекомбинацию при данных Ne и Т, мы можем искать стацио-
*) Здесь уместно напомнить, что квантовомеханические вероятности переходов
для нижних уровней давали завышение по сравнению с опытом.^

350	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
нарное решение уравнений F.108) или F.109), когда поток постоянен.
В этом случае даже нет необходимости в отыскании явного вида функции
распределения. Достаточно определить поток, ибо величина /'„ Нем3-сек
представляет собою скорость образования атомов в основном состоянии,,
т. е. число актов рекомбинации в 1 см3 в 1 сек ZpeK = bNJV'+.
Полагая в F.108) /„ = const и интегрируя получающееся линейное
уравнение для функции N (п) ~ Nn с учетом того, что АЕ = 2/н/га91
и Еп = /н In2, получим
м п— xr n e
Ne
«о
здесь п0 — постоянная интегрирования. Как отмечалось выше, в области
низких уровней имеется «сток», так что заселенности уровней там малы
и Nn ж 0. Следовательно, в качестве п0 можно выбрать небольшое число —
порядка единицы. Как показывают расчеты, интеграл в области неболь-
небольших п быстро сходится и практически не зависит от конкретного выбора п0.
Теперь воспользуемся вторым граничным условием в области боль-
больших га, которое заключается в том, что в этой области устанавливаете»
равновесие Саха — Больцмана F.87). Следовательно,
Еп
2nmkT J iveiv+-
Отсюда получаем выражение для потока
и коэффициента рекомбинации Ь.
Если перейти от an_i, n к коэффициенту диффузии D по формуле
ап-1, п = DJ(AEJ, подставить АЕ = 2/н/«3 и вычислить интеграл F.112)
с классическим значением D F.110), получим для коэффициента ре-
рекомбинации формулу F.103) *).
В работе Бейтса, Кингстона и Мак-Уиртера [90], опубликованной
почти одновременно с первой статьей Л. П. Питаевского [88], реком-
рекомбинация рассматривалась в весьма общих предположениях. В работе [90]
заложены фактически те же идеи о ходе процесса рекомбинации, что
и в работе [88], но авторы исходили из системы кинетических уравнений
для чисел заполнения дискретных состояний (типа F.106)) с учетом всех
процессов: захвата электронов и ионизации электронным ударом, дис-
дискретных переходов на удаленные уровни, а также фотозахвата и спон-
спонтанных радиационных переходов. Для ограничения числа уравнений
использовалось условие равновесности заселенности верхних состояний.
Система уравнений, также для стационарного случая (dNnldt = 0 при
п Ф 1), решалась численно, в широком диапазоне плотностей и темпе-
температур, в том числе и при высоких температурах, когда захват происходит
*) Именно это и было сделано в работах [88, 89], но только там с самого начала
авторы оперировали энергией атома Е = — ?„, а не квантовыми числами п. Отме-
Отметим, что в работе [88] описанным способом был вычислен коэффициент рекомбинации
с участием нейтрального атома в качестве третьей частицы. При этом получилась
величина, примерно в 6 раз превышающая результат теории Томсона [45]. _

§ 19]	ИОНИЗАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ В ВОЗДУХЕ	351
на низкие уровни. Скорость рекомбинации определялась как—dN+ldt =
= dNi/dt. Результаты расчетов коэффициентов рекомбинации представ-
представлены в таблицах *).
Авторы предлагают называть общий сложный процесс «ударно-радиа-
«ударно-радиационной рекомбинацией». В пределе малых плотностей он превращается
в фоторекомбинацию, при больших плотностях — в то, что мы назы-
называли выше рекомбинацией при тройных столкновениях. Результаты
численных расчетов для этого предельного случая неплохо согласуются
с тем, что дает формула F.104).
В работе [90] и книге [83] выясняются условия, при которых допустимо
использование приближения квазистационарности распределения воз-
возбужденных атомов по энергии. Фактически для этого нужно, чтобы числа
возбужденных атомов были гораздо меньше чисел невозбужденных атомов
и свободных электронов. О коэффициенте рекомбинации см. также [94].
В некоторых случаях необходимо знание не только скорости реком-
рекомбинации, но и дальнейшей судьбы выделяющейся при рекомбинации
потенциальной энергии. Как следует из сказанного выше, часть этой
энергии передается электронному газу при ударной дезактивации воз-
возбужденных атомов, образующихся при рекомбинации, и, следовательно,
превращается в тепло. Другая часть высвечивается в результате спон-
спонтанных радиационных переходов и в случае, если газ прозрачен для излу-
излучения, по существу, теряется газом. Если же газ не вполне прозрачен, эта
часть энергии участвует в дальнейших, весьма сложных превращениях,
связанных с поглощением и излучением света (в частности, с диффузией
резонансного излучения), и, в конечном счете, вследствие ударной дезак-
дезактивации атомов частично также переходит в тепло, а частично уходит
за пределы газового объема в виде излучения. Вопрос о скорости дезак-
дезактивации высоковозбужденных атомов, образующихся при рекомбинации,
и о превращениях потенциальной энергии рассматривался в работе
Н. М. Кузнецова и одного из авторов [91 ] в связи с изучением кинетики
рекомбинации в газе, расширяющемся в пустоту. О кинетике рекомби-
рекомбинации при разлете в пустоту речь пойдет в § 9 гл. VIII. Там же будут
приведены некоторые результаты указанного рассмотрения.
§ 19. Ионизация и рекомбинация в воздухе
При очень высоких температурах, когда молекулярные газы диссо-
диссоциированы, ионизация и рекомбинация в них протекают примерно так же,
как и в атомарных газах. При более низких температурах, когда значи-
значительна концентрация молекул, положение существенным образом меняется
и на первый план выступают процессы, связанные с участием молекул.
Так, в воздухе при температурах ниже примерно 10 000° основным меха-
механизмом ионизации служит реакция F.69) N + О + 2,8 эв = NO+ + e,
требующая минимальной энергии активации. В реакциях такого типа
на отрыв электрона затрачивается энергия связи, которая выделяется
при объединении атомов в молекулу, поэтому для них и нужна небольшая
дополнительная энергия из запаса тепловой. Реакция типа А 4- В ~^~
7*" АВ+ + е может протекать, если пересекаются потенциальные кривые
систем, обозначенных в правой и левой частях уравнения, как схематически
показано на рис. 6.5. Пусть атомы обладают запасом энергии (скажем,
кинетической энергии относительного движения), равным АЕ = Е2 — Et,
*) Они приведены также в книге [83].

352
СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
[ГЛ. VI
т. е. их полная энергия соответствует горизонтальной линии Е%- В соот-
соответствии с принципом Франка — Кондона (см. § 16 гл. V) в момент сбли-
сближения на расстояние rt, на котором происходит пересечение потенциаль-
потенциальных кривых, система А + В может без изменения полной энергии перейти
в другое состояние, отвечающее второй потенциальной кривой: АВ+ + е.
Эффективное сечение такого процесса (при наличии необходимой энергии,
превышающей энергию активации),
можно представить в весьма нагляд-
наглядной форме [83]:
?
АВ++е
— е vx
),
Рис. 6.5. Схема потенциальных кривых,
поясняющая реакции ассоциативной
ионизации и диссоциативной реком-
рекомбинации.
стояния к сумме статистических
где т — время жизни молекулярного
комплекса, образующегося в момент
сближения атомов на расстояние ri, по
отношению к переходу в состояние с
оторванным электроном; v — ско-
скорость сближения атомов, т. е. rjv —
характерное время взаимодействия
атомов или существования комплекса,
и отношение rjvx характеризует ве-
вероятность перехода за это время;
Y — вероятность того, что система
атомов А + В находится именно в
том состоянии, которое соответству-
соответствует пересекающейся потенциальной
кривой; она определяется как отно-
отношение статистического веса этого со-
весов всех возможных состояний.
Если rjvx > 1, то сечение а да укг\; если, наоборот, вероятность пре-
превращения мала rjvx < 1, то а = улг\ ( —)'¦ Эти соображения были
использованы Л ином и Тиром [73] для того, чтобы оценить сечение и ско-
скорость реакции F.69), при этом они привлекли экспериментальные дан-
данные [72], полученные на основе измерений скорости ионизации воздуха
в ударной трубе для того, чтобы определить неизвестную величину т.
Как следует из схемы потенциальных кривых молекулы NO, rt да 10~8 см;
величина у оценивается как 0,1. Время т оказалось равным т да 6-10~13 сек.
Этому соответствует сечение процесса о да 1,5-10~1в см2 (при скорости
v = 3-Ю5 см/сек, Т = 5000°). В результате для константы скорости
реакции F.69) получилась величина
5 10-11 32500
&иопк,о~ ' -^ е т° см3/сек.	F.113)
С помощью константы равновесия реакции, которая в широком диапа-
диапазоне температур аппроксимируется формулой
32500
можно оценить константу скорости обратной реакции — диссоциативной
рекомбинации *). Для низких температур
к
Ьаис. pckNo+ ^ —"°^N' ° ^ 3-10~3Г°~ 1г см3/сек.	F.114)
*) О теории этого процесса см. [83].

§ 20]	РЕЛАКСАЦИЯ В ПЛАЗМЕ	353
Эта величина согласуется с экспериментальными данными по дис-
диссоциативной рекомбинации NO+ при комнатной температуре и при 2000°.
При высоких температурах, наряду с реакцией F.69), протекают
аналогичные реакции:
N + N + 5,8 ee->N+ + e, 0 + 0 + 6,5 эв->О+ + е.
Для них в работе [73] также выводятся константы скоростей, но
не прямым путем, как для реакции F.69), а с помощью констант равно-
равновесия через скорости соответствующих реакций диссоциативной реком-
рекомбинации. Последние определяются выражениями, близкими к b^o+.
Работа Лина и Тира [73] представляет собою фундаментальное
исследование и в ней можно найти много сведений о скоростях иониза-
ионизационных процессов в воздухе, а также обзор эксперимента и библио-
библиографию. Подробный перечень реакций в воздухе с участием заряженных
частиц и константы их скоростей, подобранные по разным литературным
данным, имеются в работе [93].
Процессы диссоциативной рекомбинации играют важнейшую, роль
в Е- и Т^-слоях ионосферы (на высотах больше 100 км над уровнем моря).
Подробная сводка экспериментальных данных по коэффициентам диссо-
диссоциативной рекомбинации 5ДИС. рек. имеется в обзоре Г. С. Иванова-Холод-
Иванова-Холодного [71]. &дис. рек. уменьшается с повышением температуры примерно
как \/Т1/2-~ 1/Т3'2 (по разным данным). Для ионов N+ при Т = 300° К
^дис. peK.Nj ^ Ю~6 см3/сек, что соответствует очень большому эффектив-
эффективному сечению а ?» 10~13 см3. Для ионов О* и NO+ &дис. рек. несколько
меньше.
При рекомбинации в холодном воздухе (в ионосфере) существенную
роль играют реакции перезарядки типа
2	2 + 1,6 эв.
Атомарные ионы О+, которые образуются в верхних слоях атмосферы
под действием ультрафиолетового излучения Солнца, рекомбинируют
медленно, перезарядка же с последующей диссоциативной рекомбина-
рекомбинацией О+ является гораздо более быстрым процессом. Константы скоростей
реакций перезарядки, идущих с выделением энергии, оцениваются [93] как
?перез^1,3-Ю-12Г°1/2 СМ3/сек.
Рекомбинация в холодном воздухе при сравнительно больших плот-
плотностях (в D-слое ионосферы ниже ~80 км) идет в основном через обра-
образование отрицательных ионов кислорода. Электроны прилипают к моле-
молекулам кислорода преимущественно в тройных столкновениях О2 + е +
+ М -v О~ + М, а затем ионы О~ нейтрализуются с ионами Щ или OJ
в парных или тройных столкновениях. Новейшие данные по рекомбина-
рекомбинации в холодном воздухе, а также по многим другим неупругим процес-
процессам, протекающим в ионосфере, имеются в обзорах Дальгарно [74] и
А. Д. Данилова и Г. С. Иванова-Холодного [92].
3. ПЛАЗМА
§ 20. Релаксация в плазме
В атомарном или молекулярном газе время релаксации для уста-
установления максвелловского распределения по скоростям характеризуется
временем между столкновениями частиц, т. е. газокинетическими сече-
сечениями, которые имеют порядок 10-1В,сго2. Газокинетические сечения равны
23 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

354	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ [ГЛ. VI
примерно а « па2, где радиус а порядка радиуса действия междуатом-
междуатомных и междумолекулярных сил взаимодействия, т. е. порядка размеров
частиц. Иной характер имеют силы, действующие между заряженными
частицами плазмы: электронами, ионами. Кулоновские силы спадают
с расстоянием очень медленно, как 1/г2, и не имеют характерного мас-
масштаба длины. Поэтому вопрос о «столкновениях» между заряженными
частицами и вопрос о соответствующих временах релаксации должен быть
рассмотрен особо.
Плазму можно представить себе как смесь двух газов, электронного
и ионного, с резко различными массами частиц те и т. Благодаря
резкому различию масс между электро-
электронами и ионами затруднен обмен энер-
энергией, так как при «столкновениях» эле-
электрон и ион обмениваются энергией,
которая составляет только долю порядка
те/т < 1 от их кинетической энергии.
r~r*	г»гл I	Таким образом, средние кинетические
энергии электронов и ионов, т. е. эле-
электронная и ионная температуры, могут
в течение сравнительно продолжитель-
продолжительного времени сильно отличаться друг
от друга. Отмеченные два фактора:
дальнодействующий характер кулонов-
Рис. 6.6. Траектория иона при про- ских сил и резкое различие масс элек-
лете мимо иона такого же знака: тронов и ионов, и определяют специ-
а) г — г„ — сильное взаимодействие; Лстггп^итто r»f «flonnnpTw тттгачми
б) г » ?•„ — слабое взаимодействие.	фИЧеСКИв ОСООвННОСТИ ПЛаЗМЫ.
Рассмотрим сначала взаимодейст-
взаимодействие заряженных частиц с массами
одного порядка. При столкновениях они могут обмениваться энергией,
сравнимой с начальными энергиями частиц, поэтому установление макс-
велловского распределения по скоростям, т. е. температуры, требует
всего лишь нескольких столкновений. Если под «столкновением» пони-
понимать такое взаимодействие частиц, при котором происходит значитель-
значительное изменение скорости и энергии, т. е. отклонение на значительный
угол (порядка 90°), то в случае заряженных частиц «столкновения» про-
происходят при сближении их на такое расстояние, при котором кинетиче-
кинетическая и потенциальная (кулоновская) энергии оказываются сравнимыми.
Это характерное расстояние г0 определяется, очевидно, из условия —— =s
3	Г°
яз-^-кТ, где ,Z — заряд1 частиц. Таким образом, мерой эффективного
сечения «столкновений» может служить величина
anrt'"n	F.115)
В действительности дело обстоит несколько сложнее, так как в изме-
изменении скоростей частиц при кулоновском законе взаимодействия боль-
большую роль играют «далекие» столкновения, соответствующие большим
прицельным расстояниям (рис. 6.6).
«Далекие» столкновения происходят чаще, чем «близкие». При мед-
медленном, кулоновском законе спадания сил суммарный эффект «далеких»
столкновений велик, несмотря на то, что изменение скорости в каждом
таком столкновении мало.

§ 20]	РЕЛАКСАЦИЯ В ПЛАЗМЕ	355
Оценим этот эффект. При пролете одной частицы мимо-другой на при-
прицельном расстоянии г, сила, действующая на нее, по порядку величины
Z2e2
равна F -~ —~-. Время действия силы t ~ r/v, где v — скорость час-
г
тицы. Изменение скорости при пролете порядка А г; ~ FtIm ~ Z2e2lmvr.
Поскольку изменение скорости А г; может быть как положительным, так
и отрицательным, естественно характеризовать взаимодействие квадратом
изменения скорости (А г;J ~ Ziei/m2v2r2.
Вероятность такого изменения пропорциональна площади кольца
2nrdr. Таким образом, скорость изменения величины (Аг;J для потока
частиц Nv порядка
s.2nrdr~—"""*""'" Г dr
dt —„
где N — число частиц в 1 см3. Нижним пределом интеграла служит
минимальное расстояние, на которое могут приблизиться частицы г0 яв
я» 2Z2e2/mv2 я*-^—= . На верхнем ' пределе, при r-^-оо, интеграл
логарифмически расходится. Однако очень далекие взаимодействия
в электронейтральном газе экранируются совместным действием поло-
положительных и отрицательных зарядов. Радиусом экранировки, который
можно принять в качестве верхнего предела, является, очевидно, дебаев-
ский радиус d (см. § 11 гл. III). Принимая во внимание формулу C.78)
для этой величины, найдем:
d
? dr ? dr , d \ . .
\— *> \ — = 1пт^ = 1пЛ' Л==
Ъ(кТ)
Если определить время релаксации т как время, в течение которого
(А г;J меняется на величину порядка v2, и заменить приближенно v на
v, a mv2 на ЪкТ, получим
Более строгое рассмотрение [56] приводит к появлению в этой формуле
дополнительного численного множителя, а именно, если v — (8/сГ/ятI^2—
средняя тепловая скорость, то
lnAceK\	F.11/)
где А — атомный вес частиц. В частности, для столкновений электронов
друг с другом
f-^S^'ce**.	F.118)
С помощью обычной связи между частотой столкновений и газокинети-
1 ~
ческим сечением — = Nva можно ввести условное понятие эффективного
23*

356	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ
сечения и для «кулоновских столкновений» частиц
[ГЛ. VI
F.119)
Как видим, оно отличается от элементарной формулы F.115), в которой
не учтены «далекие столкновения» множителем, примерно равным In Л.
Как следует из табл. 6.7*), In Л имеет порядок 10.
Таблица 6.7
In Л при Z—t
^\^^ JV, см-3
^"\^
Г, "К \.
104
105
108
1012
5,97
9,43
12,8
15,9
1015
5,97
9,43
12,4
1018
5,97
8,96
1021
5,97
Эффективное сечение очень слабо, логарифмически зависит от плот-
плотности и обратно пропорционально квадрату температуры. Оно сравни-
сравнивается с обычными газокинетическими сечениями о ~ 10~15 см1 при тем-
температуре Т ~ 250 000° К **).
Эффективное сечение а и длина свободного пробега I = l/Na заря-
заряженных частиц не зависят от массы, т. е. для электронов и ионов с рав-
равными температурами одинаковы (при Z = 1). Время релаксации, благо-
благодаря зависимости от скорости, пропорционально корню из массы т ~
~ 1/v ~ тп1/*, т. е. для электронов раз в 100 меньше, чем для ионов (при
равных температурах).
Например, в электронном газе при Т = 20 000° К, Ne = 1018 Нем3,
а «* 6-10~14 см% и х = 2-Ю-13 сек. В газе из ядер водорода (протонов)
при тех же температуре и плотности время в 43 раза больше, т ¦х 8.6 X
X 10~12 сек. Из этих оценок видно, что температура в каждом из га-
газов устанавливается очень быстро, так что практически вопрос о релак-
релаксации установления поступательной температуры почти никогда не воз-
возникает.
Другое дело установление термодинамического равновесия между
электронным и ионными газами, т. е. выравнивание электронной и ионной
температур. В ряде физических процессов возникает различие в темпе-
температурах ионного и электронного газов, которое при стремлении системы
к термодинамическому равновесию должно с течением времени исчезать.
Так, например, в ударной волне, распространяющейся по плазме, в скачке
уплотнения нагреваются только ионы, электроны же остаются холодными
и постепенная передача энергии от ионов электронам и выравнивание
их температур происходят за скачком уплотнения в течение сравнитель-
*) Данные таблицы взяты из книги [56]. Они несколько уточнены по сравнению
с формулой F.116).
**) Необходимо отметить, что при столь больших температурах и энергиях,
при которых радиус г0 меньше радиуса ионов (сложных) и сечение F.119) меньше
«газокинетического», частота столкновений и длина пробега «ионов» определяются
этим последним, а не «кулоновским». При этом следует иметь в виду, что радиусы
ионов тем меньше, чем больше их заряд.

§ 20]	РЕЛАКСАЦИЯ В ПЛАЗМЕ	357
но большого времени (см. § 12 гл. VII). Оценим время релаксации для
обмена энергией между ионами и электронами и выравнивания их тем-
температур.
«Эффективное сечение» не зависит от массы заряженных частиц
и характеризует фактически вероятность сильного отклонения частиц
от первоначального направления их движения при взаимодействии.
Эффект обмена энергией является, так сказать, следствием отклонения.
При сравнимых массах частиц сильное отклонение одновременно связано
и с большой передачей энергии, вследствие чего сечение а и определяло
скорость обмена энергией при столкновении одинаковых частиц. При
взаимодействии же частиц с резко различающимися массами (электронов
и ионов) обмен энергией при столкновении, согласно законам сохране-
сохранения импульса и энергии, не может превышать доли порядка те/т. По-
Поэтому чтобы произошла значительная передача энергии, необходимо,
чтобы частицы испытали примерно т/те, т. е. очень много «соуда-
«соударений».
Повторяя вывод «эффективного сечения» для «столкновения» элек-
электронов и ионов, заметим, что под кинетической энергией сталкиваю-
сталкивающихся частиц следует понимать кинетическую энергию их относительного
движения. Если электронная температура не намного меньше ионной,
то относительная скорость всегда совпадает со скоростью электрона.
Приведенная масса также совпадает с массой электрона, так что средняя
энергия относительного движения характеризуется электронной тем-
температурой. Кроме того, в выражении для эффективного сечения один
из множителей Z2 относился к одной из частиц, а второй •— к другой.
Поскольку у электрона Z = 1, то теперь вместо Z* в сечение войдет мно-
множитель Z2. Таким образом, «эффективное сечение» «столкновений» элек-
электронов с ионами порядка о' ~ л22е41пЛ/(/е71еJ, время между «соударе-
«соударениями» %' -~ 1/Nveo', а характерное время обмена:
т , т 1 *).
в1 ~ те ~ те Nvea'
Более строгое рассмотрение [56] приводит к появлению в этой фор-
формуле численного коэффициента порядка единицы. После подстановки
значений констант выражение для времени обмена приобретает вид
25ОА-Т12 3,15-108ЛГ.^	,„ .от
A— CeK>	FЛ20)
где А — атомный вес ионов, а N — их число в 1 см3. Например, при
N = 1018 см-3, Ге = 20 000°К, Z = 1, А = 16 (атомы кислорода),
те; ж2,8-10~9 сек. При небольшой разности температур электронов
и ионов 'скорость изменения температуры одного из газов естественно
представить в форме обычного уравнения релаксации типа F.2):
dTe _Т—Те
dt ~ rei *	t
Оказывается, однако, что уравнение кинетики для выравнивания
температур F.121) справедливо и при большой разности температур.
*) В случае взаимодействия электронов и многократных ионов при достаточно
больших энергиях сохраняет силу замечание, сделанное во второй сноске на стр. 356.

358	СКОРОСТИ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ	[ГЛ. VI
Уравнение F.121) со временем обмена F.120) (отличающимся только
несущественным численным коэффициентом порядка единицы) было впер-
впервые выведено Л. Д. Ландау в 1936 г. [57] путем строгого рассмотрения
кинетического уравнения для газа из заряженных частиц, взаимодей-
взаимодействующих по кулоновскому закону.
Заметим, что в случае слабо ионизованного газа уравнение обмена
F.121) остается в силе, если учесть обмен с нейтральными атомами, поло-
положив 1/тй = 1/теИон + 1/Тенейтр- теион выражается прежней формулой
F.120). Что касается тенейтр. то из элементарных соображений можно
написать
^ав упР-2^- ,	F.122)
1е нейтр
где ае упр — среднее сечение упругих столкновений электрона с атомами.
Строгое вычисление [50] приводит к близким результатам. Обычно при
Те ~ 1 эв обмен с нейтральными атомами играет главную роль только
при степенях ионизации меньше, чем ~10-3.

ГЛАВА VII
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
§ 1. Введение
Основные представления об ударных волнах были даны в гл. I.
Показано, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости допускают
существование разрывных решений, которые описывают ударные волны.
Гидродинамические величины: плотность, давление, скорость по обе
стороны поверхности разрыва связаны между собою разностными урав-
уравнениями, соответствующими дифференциальным уравнениям, которыми
описываются области непрерывного течения. И те и другие уравнения
являются выражением общих законов сохранения массы, импульса
и энергии. Из законов сохранения следует, что на поверхности разрыва
испытывает скачок (возрастает) и энтропия вещества. Величина возра-
возрастания энтропии в ударной волне определяется только условиями сохра-
сохранения массы, импульса и энергии и термодинамическими свойствами
вещества и совершенно не зависит от механизма диссипации, приводя-
приводящего к росту энтропии.
В некотором смысле парадоксален тот факт, что уравнения адиаба-
адиабатического движения вещества допускают существование таких поверхно-
поверхностей, на которых энтропия испытывает скачок. Необратимость ударного
сжатия свидетельствует о том, что в нем участвуют диссипативные про-
процессы: вязкость и теплопроводность, которые и приводят к росту энтропии.
Именно благодаря вязкости осуществляется необратимое превраще-
превращение в тепло значительной части кинетической энергии газодинамического
потока, набегающего на разрыв в системе координат, где разрыв покоится.
Таким образом, если интересоваться механизмом ударного сжатия,
внутренней структурой и толщиной того переходного слоя, в котором
происходит превращение вещества из начального состояния в конечное
и который в рамках гидродинамики идеальной жидкости заменяется
математической поверхностью, необходимо обратиться к теории, вклю-
включающей в себя описание диссипативных процессов. В гл. I этот вопрос
был рассмотрен применительно к ударным волнам слабой интенсивности.
В этой главе не будет накладываться ограничений на амплитуду удар-
ударной волны.
Обычно в гидродинамических процессах изменения макроскопических
параметров в областях непрерывного течения происходят весьма мед-
медленно по сравнению со скоростями релаксационных процессов, приводя-
приводящих к установлению термодинамического равновесия. Каждая частица
газа в каждый момент времени находится в состоянии термодинамиче-
термодинамического равновесия, соответствующего медленно изменяющимся макро-

360	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
скопическим параметрам, как бы «следит» за изменением этих параметров.
Поэтому при рассмотрении ударных разрывов в рамках гидродинамики
идеальной жидкости состояния газа по обе стороны разрыва с полным
основанием предполагаются термодинамически равновесными.
В тонком переходном слое, где происходит превращение газа из
начального, термодинамически равновесного состояния в конечное, также
термодинамически равновесное, плотность, давление и т. д. меняются
очень быстро. Термодинамическое равновесие в этой области, называе-
называемой фронтом ударной волны, может существенно нарушаться. Поэтому
при изучении внутренней структуры фронта ударной волны необходимо
принимать во внимание и кинетику релаксационных процессов, детально
рассматривать механизм установления конечного, термодинамически
равновесного состояния вещества, которое достигается за фронтом волны.
Изучение внутренней структуры фронта ударных волн представляет
интерес со многих точек зрения. Поначалу вопрос о структуре привле-
привлекал к себе внимание как чисто теоретическая задача, решение которой
помогает понять физический механизм ударного сжатия, одного из заме-
замечательнейших явлений в газодинамике. Позднее ударные волны стали
применять в лаборатории с целью получения высоких температур и иссле-
исследования разнообразных процессов, которые протекают в газах при высо-
высоких температурах: возбуждения колебаний в молекулах, диссоциации
молекул, химических реакций, ионизации, излучения света (см. гл. IV).
С помощью теоретического рассмотрения структуры фронта ударной
волны удается извлечь из опыта ряд ценных сведений о скоростях этих
процессов.
Наконец, изучение структуры фронта очень сильных ударных волн,
в которых существенную роль играет излучение, проливает свет на вопрос
о такой важной характеристике, как яркость поверхности фронта волны
и позволяет объяснить некоторые интересные оптические эффекты, наблю-
наблюдаемые на опыте и при сильных взрывах в воздухе (см. гл. IX).
В основе математической теории структуры фронта ударной волны
лежит предположение о стационарности структуры. Время превращения
вещества в ударной волне из начального состояния в конечное очень мало,
гораздо меньше характерных времен, в течение которых заметно меняются
параметры газа в области непрерывного течения за фронтом волны. Точно
так же ширина фронта гораздо меньше характерных масштабов длины,
на которых заметно меняется состояние газа за фронтом, скажем, рас-
расстояния от фронта ударной волны до поршня, «толкающего» волну (пор-
(поршень двигается с переменной скоростью).
За то малое время, в течение которого ударная волна проходит рас-
расстояние порядка ширины фронта, скорость ее распространения, давле-
давление и другие параметры газа за фронтом практически не меняются. Но
кинетика внутренних процессов, протекающих во фронте ударной волны,
распространяющейся по газу с заданными начальными параметрами,
зависит только от амплитуды волны.
Поэтому на протяжении некоторого сравнительно большого про-
промежутка времени каждая из частиц газа, втекающих в ударный разрыв,
проходит через ту же последовательность состояний, что и предыдущие.
Иначе говоря, распределение различных параметров во фронте ударной
волны образует как бы застывшую картину, которая в течение этого
времени как целое передвигается вместе с фронтом (рис. 7.1).
Если скорость фронта обозначить через D (D = | D | > 0), а коор-
координату, нормальную к поверхности фронта в данном месте поверхности,

ВВЕДЕНИЕ
361
¦Pi
D-u,,
fio
1
	X
Pi
x
Рис. 7.1. Профиль давления в удар-
ударной волне:
а) распространение ударной волны в
лабораторной системе координат; б) ска-
скачок в системе координат, связанной с
фронтом.
через х, то можно сказать, что все параметры состояния газа внутри
волны зависят от координаты и времени только в комбинации х ~\- Dt.
В системе координат, связанной с фронтом, процесс стационарен и не
зависит от времени. Это обстоятельство (которое, кстати сказать, уже
было использовано при выводе соотношений на разрыве) чрезвычайно
облегчает задачу с математической точки зрения, так как в системе коор-
координат, движущейся вместе с волной, все параметры состояния газа являют-
являются функциями не двух переменных х и t, а только одной координаты,
и процессы описываются обыкновенны-
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
В § 23 гл. I при рассмотрении ши-
ширины фронта ударных волн слабой ин-
интенсивности было показано, что ширина
скачка уплотнения имеет своим мас-
масштабом длину пробега молекул. При
увеличении амплитуды волны ширина
уменьшается, и когда превышение да-
давления за фронтом над начальным
становится сравнимым с самим началь-
начальным давлением, ширина фронта стано-
становится порядка пробега.
Физически ясно, что в сильных
ударных волнах ширина скачка уплот-
уплотнения, в котором под действием сил «вяз-
«вязкости» происходит ударное сжатие, все-
всегда порядка пробега молекул *). Проще всего это уяснить, если
рассмотреть ударную волну в системе координат, в которой газ за фрон-
фронтом покоится (в системе координат, связанной с поршнем) или, что то же
самое, рассмотреть торможение высокоскоростного газового потока,
набегающего на неподвижную стенку. Кинетическая энергия направлен-
направленного движения молекул (кинетическая энергия гидродинамического дви-
движения) при торможении превращается в кинетическую энергию хаоти-
хаотического движения, т. е. в тепло. Для «торможения» быстрых молекул,
направленные скорости которых гораздо больше начальных тепловых
(что и соответствует высокой амплитуде волны: высокой сверхзвуковой
скорости волны), достаточно нескольких газокинетических соударений,
так как в каждом ударе молекула в среднем меняет направление своего
движения на большой угол. Поэтому после нескольких соударений направ-
направленный импульс молекул почти полностью рассеивается и скорости ста-
становятся хаотическими.
Для распределения энергии по различным внутренним степеням
свободы — возбуждения колебаний в молекулах, диссоциации, иониза-
ионизации — требуется обычно много соударений. Ширина релаксационного
слоя, в котором происходит установление конечного, термодинамически
*) Следует подчеркнуть условность понятия «вязкости» в данном случае. Когда
говорят о вязкости, подразумевают, что градиенты скорости малы и скорости заметно
меняются на расстояниях, гораздо больших длины пробега молекул. Иными словами,
вязкость, которая вводится в гидродинамику, есть понятие «макроскопическое». Если
резкое изменение скорости и плотности газа происходит на расстоянии длины пробега
молекул, то это явление «микроскопического» масштаба следует рассматривать не
гидродинамически, а на основе молекулярно-кинетической теории газов. Примени-
Применительно к случаю очень больших градиентов, во фронте ударной волны под «вязкостью»
следует понимать механизм превращения направленной скорости молекул в хаотиче-
хаотическую, обусловленный молекулярными столкновениями.

362	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
|равновесного состояния, гораздо больше ширины первоначального скачка
'уплотнения. Весь переходный слой фронта ударной волны можно, следо-
следовательно, разделить на две зоны, существенно различающиеся по своей
ширине: очень тонкий, «вязкий» скачок уплотнения и протяженный релак-
релаксационный слой.
В достаточно сильной ударной волне, в которой газ нагревается
до высоких температур, существенную роль играют излучение и лучи-
лучистый теплообмен. Строение фронта при этом еще более усложняется.
Ширина фронта определяется наиболее крупным масштабом, характе-
характеризующим переходный процесс, связанный с лучистым теплообменом:
длиной пробега излучения, которая обычно во много раз больше газо-
газокинетических пробегов частиц.
В последующих параграфах будут подробно рассмотрены особен-
особенности строения фронта ударных волн. При этом мы начнем с рассмотре-
рассмотрения ударных волн сравнительно небольшой интенсивности и будем пере-
переходить ко все более и более мощным волнам.
1. СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 2. Вязкий скачок уплотнения
Поскольку процесс ударного сжатия в скачке уплотнения разыгры-
разыгрывается на расстояниях, соизмеримых с газокинетическим пробегом моле-
молекул, при изучении структуры скачка следовало бы, строго говоря, исхо-
исходить из представлений молекулярно-кинетической теории газов. Однако
в качестве первого шага в этом направлении естественно рассмотреть
задачу в рамках гидродинамики реальной жидкости, принимающей во
внимание диссипативные процессы: вязкость и теплопроводность. При
этом, в отличие от вычислений § 23 гл. I, не будем накладывать ограни-
ограничений на амплитуду ударной волны. В целях связности изложения мы
повторим здесь некоторые выводы и выкладки § 23 гл. I. Чтобы не услож-
усложнять рассмотрение несущественными в данном случае деталями, связан-
связанными с замедленным возбуждением непоступательных степеней свободы
газа, будем считать газ одноатомным и пренебрегать ионизацией.
Запишем уравнения одномерного течения вязкого и теплопровод-
теплопроводного газа, стационарного в системе координат, связанной с фронтом
волны:
du dp d 4 du _ _
d2 __ 4 ^ d« \2_ dS
dx 3 "^ V ^ / dx ' J
Здесь 2 — удельная энтропия, ц — коэффициент вязкости *), S — негид-
негидродинамический поток энергии, равный, в случае обычной теплопровод-
теплопроводности,
где х — коэффициент теплопроводности.
*) В данном случае понятия первой и второй вязкости неразличимы. ч

§ 2]	ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ	363
К системе уравнений G.1) следует присоединить граничные условия,
выражающие отсутствие градиентов «перед» и «за» фронтом волны, и стрем-
стремление гидродинамических величин к начальным (при х = — оо) и конеч-
конечным (при х = + оо) значениям. Преобразуя третье уравнение G.1) с помо-
помощью второго закона термодинамики:
TdZ = de + p dV = dw — — dp
и интегрируя все уравнения G.1), получим первые интегралы системы:
QU = Q0D,
. „ 4 du
Р + Q«- — у И -^- = Ро
du\	, Д2
G.3)
Константы интегрирования здесь выражены через параметры началь-
начального состояния газа, которым приписан индекс «О» и скорость фронта
D = и0.
Если отнести уравнения G.3) к конечному состоянию (параметрам
его припишем индекс «1»), получим уже известные соотношения на раз-
разрыве, которые для удобства выпишем еще раз:
w A-^ — w 4- —
2	2
Из этих соотношений следует, что скачок энтропии в ударной волне
24 — 2о = 2 (pt, Qj) — 2 (р0, Qo) совершенно не зависит ни от меха-
механизма диссипации, ни от величины коэффициентов вязкости и тепло-
теплопроводности |д, и х. Последние определяют лишь внутреннюю структуру
фронта волны и его толщину б. Толщина вязкого скачка уплотнения б
пропорциональна коэффициентам |1их, которые в свою очередь пропор-
пропорциональны длине пробега молекул I. В пределе I-у О гидродинамика
реальной жидкости превращается в областях непрерывного течения
в гидродинамику идеальной жидкости. Что же касается фронта ударной
волны, то в пределе I -у О он превращается в математическую поверх-
поверхность, так как б ~ I -у 0. При этом градиенты всех гидродинамических
величин во фронте стремятся к бесконечности как 111, а скачки величин
остаются конечными.
Задаваясь коэффициентами вязкости и теплопроводности, а также
термодинамической связью w (р, д) (в одноатомном газе w = срТ =
—-ir — ), можно численно интегрировать уравнения G.3), G.2) с указан-
ными граничными условиями. Гораздо удобнее, однако, иметь дело с ана-
аналитическим решением, так как оно нагляднее демонстрирует все законо-
закономерности явления. К сожалению, в общем случае найти аналитическое
решение системы не удается. Проинтегрировать уравнения аналитически
можно, если ограничиться волнами слабой интенсивности и разложить
решение в ряд по малым изменениям одной из газодинамических величин.
Этот метод был использован в § 23 гл. I для оценки ширины фронта
(полное решение имеется в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1]).

364	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
Точное аналитическое решение для волны произвольной амплитуды
можно найти в одном специальном случае. Это решение, полученное
впервые Беккером [2], а впоследствии исследованное Мордуховым и Либ-
би [3], описывает все физические закономерности структуры скачка уплот-
уплотнения, обладая простотой и наглядностью. Остановимся на нем подробнее.
Обычно в газах транспортные коэффициенты — кинематическая
вязкость v = fi/Q и температуропроводность % = х/сро — близки друг
к другу и к коэффициенту диффузии Ivl2>.
Положим комбинацию Pr=j-icp/x = v/%, называемую числом Прандтля,
равной 3/4. В этом случае выражение в скобках в третьем из уравне-
уравнений G.3) превращается в полный дифференциал величины w-\-~~-
и уравнение принимает вид
Написав интеграл этого линейного уравнения, мы увидим, что условию
конечности величины w-\—тг- при х = -+- со можно удовлетворить только,
считая ее не зависящей от х:
и2	О2 *\
^	^2- )•	G.5)
Таким образом, при числе Прандтля Рг = 3/4 соотношение G.5) выпол-
выполняется не только за фронтом волны (см. G.4)), но и в любой промежу-
промежуточной точке х.
Уравнение G.5) даёт кривую на плоскости р, V, вдоль которой про-
происходит превращение газа из начального состояния в конечное. Замечая,
что в одноатомном газе, который мы будем рассматривать здесь, w =
— "о" pV, и переходя к безразмерным скорости или удельному объему
11 - D - Vo - Q •
найдем уравнение этой кривой:
р _1+-з-A-т>2> _ 4ТЦ-Т12	,7fiv
Здесь г\1 относится к конечному состоянию за фронтом ударной волны:
M = D/c0—число Маха, с0 — скорость звука в начальном состоянии
(соа = -^-poVo)- При выводе формул G.6), G.7) были использованы соот-
о
ношения, связывающие величины по обе стороны фронта волны. Удар-
Ударная адиабата в переменных Pi/po, % имеет вид
Pi = 4 —Т
На рис. 7.2 изображены ударная адиабата и кривая, вдоль которой
меняется состояние частицы в волне (а также характерная прямая, свя-
связывающая начальное и конечное состояния).
течения.
*) Это уравнение аналогично интегралу Бернулли в теории стационарного

2]
ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
365
С помощью формулы G.6) и первых двух уравнений G.3) запишем
дифференциальное уравнение, определяющее профили скорости и объема
во фронте волны т] (х):
5 |х di\
3 QoD dx
G.8)
Будем для простоты считать коэффициент вязкости не зависящим
от температуры и равным [А = QqIoVo/3 (от плотности коэффициент вяз-
вязкости не зависит, так как ц ~ qI, a I ~ 1/q)- Интеграл уравнения G.8)
содержит аддитивную постоянную в соответствии с произволом в выборе
начала координат. Помещая начало координат в точку перегиба профиля
скорости (в «центр» волны) и принимая во вни-
внимание формулу G.7), найдем для ц (х) выра-
выражение:
М2-1Ж
_ р М /о	/П О\
U в	G-9)
1—Л
1 —
27, /5я . .
a = ioK Т = 1'
Зная профиль скорости и = Dt\; уже легко
определить профили и всех остальных величин.
Так, для температуры по формуле G.5) имеем
Т . . М2 ,,	2Ч
=- = 1 + -s- A — Л ); давление выражается
J О	^
через т] формулой G.6); энтропия равна:
V	V	/. 1-п ^ . _ d In Р С Л — Р \
Рис. 7.2. Ударный переход
А -> В на р,К-диаграмме.
Н— ударная адиабата. Точ-
Точка, описывающая состояние
внутри фронта волны, про-
пробегает из А в В по пунк-
Из формулы G.9) видно, что при х ->- — оо	тарной кривой,
т) ->- 1, а при ж->+оо т) -v т],, причем
приближение к начальному и конечному значениям происходит асимпто-
асимптотически, по экспоненциальному закону. Все гидродинамические величины
в волне: скорость, плотность, давление, а также температура, монотонно
изменяются от своих начальных до конечных значений и асимптотически
приближаются к ним при х-*- ^оо *).
Энтропия же меняется немонотонно и внутри волны достигает мак-
максимума (что уже было показано в § 23 гл. 1). В этом легко убедиться,
если преобразовать третье, энтропийное, уравнение G.1) с помощью вто-
второго закона термодинамики, «интеграла Бернулли» G.5) и второго из
уравнений G.1)
dS /" dw тт dp \ / du „ d 4 du . у du
dx \ dx dx J ч dx dx 3 dx dx
-	d 4 du 	 4 d2u
Отсюда видно, что энтропия экстремальна в точке перегиба скорости,
т. е. в «центре» волны. Возникновение максимума энтропии в волне свя-
связано с существованием теплопроводности. Один из диссипативных про-
процессов, вязкость, приводит только к возрастанию энтропии, пропорцио-
пропорциональному (du/dxJ. Благодаря же теплопроводности тепло необратимым
¦ •) Точки, где различные величины во фронте волны испытывают перегиб, не
совпадают.

366	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
образом перекачивается из более нагретых слоев газа в менее нагретые.
При этом приращение энтропии частиц за счет теплопроводности в менее
dS	d2T „
нагретых слоях, где -j— ~ ——-^ < О, положительно, а в более нагретых
dS	d2T <-,
слоях, где -р ~ — ТТ^* О'~ отрицательно.
Убывание энтропии в более нагретых слоях газа ни в коей мере не
противоречит второму закону термодинамики. Энтропия всего газа в целом
или же отдельной частицы в результате всего процесса ударного сжатия
повышается при переходе через ударный разрыв. Отдельный же слой
газа, проходящего через волну, уже не представляет собой изолированной
системы. Энтропия его вначале растет, когда к нему поступает тепло
благодаря теплопроводности и работе сил вязкости, а затем уменьшается,
когда уход тепла за счет теплопроводности в сторону слоев газа, сле-
следующих за рассматриваемым, превышает приток за счет работы сил
вязкости.
Определим ширину фронта, как и в § 23 гл. I, условием
6 =
dxjmax
Из формулы G.9) видно, что ширина фронта по порядку величины равна
, , М
0 ~ 1о М2_! •
В ударной волне малой амплитуды, когда М — 1 < 1, 6 ~ 10/(М — 1)
в соответствии с результатами § 23 гл. I. Ширина волны при этом может
равняться многим пробегам молекул. В случае М = 2, изображенном на
рис. 7.3, ширина фронта равна примерно трем пробегам 10. При М->оо
б ~ Zo/M —> О, однако, если учесть переменность коэффициента вязкости
во фронте волны (ц ~- I v — v/q; при М —» оо за фронтом ц, — v — D —> со),
то в пределе М —> оо ширина фронта оказывается конечной и порядка
пробега. Когда ширина фронта становится порядка пробега, гидродина-
гидродинамическая теория теряет смысл, так как в основе ее лежит предположение
о малости длины пробега по сравнению с расстояниями, на которых
происходят значительные изменения гидродинамических параметров. По-
Поэтому к достаточно сильным волнам теория не применима. Физически
ясно, что толщина скачка уплотнения в волне любой амплитуды не может
стать меньше пробега, так как молекулам газа, набегающего на разрыв,
необходимо сделать по крайней мере несколько соударений, чтобы рас-
рассеялся направленный импульс и кинетическая энергия направленного
движения превратилась в кинетическую энергию хаотического движения
(в тепло). В то же время толщина скачка уплотнения в случае сильной
волны не может составлять много пробегов, так как в каждом соударении
молекулы набегающего потока теряют в среднем значительную долю
своего импульса.
Задача о строении сильных скачков уплотнения должна рассматри-
рассматриваться на основе молекулярно-кинетическои теории газов, поэтому много-
многочисленные исследования, направленные на уточнение изложенной выше
простой теории, учет зависимости транспортных коэффициентов от тем-
температуры, выяснение влияния на структуру фронта числа Прандтля
и т. д. [4—13] не вносят ничего принципиально нового по сравнению

§ 2]
ВЯЗКИЙ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
367
с рассмотренным частным случаем, и в лучшем случае представляют
интерес для волн слабой интенсивности *).
И. Е. Тамм [100] и, независимо, Мотт-Смит [16] применили кинетиче-
кинетическое уравнение Больцмана к задаче о структуре скачка уплотнения. При-
Приближенное решение уравнения Больцмана в области скачка строится в
виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих
температурам и макроскопическим скоростям в начальном и конечном
i
V
\
а)
-8-4048/2
JL
Ре
J
У
\
-4-2024
4-202
А г„
Рис. 7.3. Распределения: а) скорости; б) давления; в) энтропии в вязком скачке уплот-
уплотнения с числом Маха М = 2 в газе с показателем адиабаты 7 = 7/5 и коэффициентом
вязкости, не зависящим от температуры.
По оси абсцисс отложена координата, измеренная в длинах пробега молекул в невозмущенном
газе (графики взяты из [3]).
состояниях. Относительный вес обеих функций меняется на протяжении
волны от 0 до 1. Толщина фронта при неограниченном возрастании ампли-
амплитуды ударной волны стремится к конечному пределу. По расчетам Сакураи
[17], который несколько усовершенствовал методику Мотт-Смита, в модели
твердых шаров для взаимодействия молекул ширины скачков уплотне-
уплотнения**), измеренные в длинах свободного пробега при начальных условиях,
*) Попытка уточнения гидродинамического приближения путем учета вторых
производных в выражениях для членов переноса (так называемое приближение Бар-
нетта), предпринятая Цоллером [14], несколько уточняет результаты для слабых волн
и, по существу, лишь указывает пределы применимости гидродинамической теории.
При амплитуде волны Pi/p0 = 1,5 толщина волны, по Цоллеру, равна 17 пробегам,
а при Pi/po = 4 — 6 пробегам. Ширины фронта слабых ударных волн в одноатомных
газах измерялись методом отражения света в работах Хорнига и др. [15] (см. § 5
гл. IV). Ширина оказалась равной 30, 19, 13 пробегам для чисел Маха М = 1,1; 1,5;
2,5 соответственно. Расчеты Цоллера дают неплохое согласие с этими результатами.
См. также [56].
**) Ширина фронта б определяется следующим образом. Если fa и /р — функции
распределения молекул в начальном и конечном состояниях, то для функции рас-
распределения в промежуточной точке волны х теория дает f = v (— х) fa -j- v (x) fa,
причем

368	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. ЛИ
равны: д/10 = 2,11; 1,68; 1,46; 1,42 при числах Маха, равных М = 2,5;
4; 10; со соответственно.
Отметим еще несколько работ, в которых развивается метод Мотт-
Смита и скачок уплотнения рассматривается на основе уравнения Больц-
мана [52—55].
§ 3. Роли вязкости и теплопроводности в образовании
скачка уплотнения
Несмотря на то, что транспортные коэффициенты — кинематическая
вязкость и температуропроводность, так же как и соответствующие дисси-
пативные члены в уравнении энергии, сравнимы между собой, роли обоих
диссипативных процессов в образовании скач-
скачка уплотнения далеко не равноценны. Физи-
В	чески ясно, что принципиальную роль в ме-
механизме ударного сжатия играет вязкость, а не
теплопроводность, так как именно механизм
вязкости приводит к рассеянию направленного
импульса набегающего газового потока и пре-
превращению кинетической энергии направлен-
7/	' y=V/>Q ного движения молекул в кинетическую энер-
энергию хаотического движения, т. е. превращению
Рис. 7.4. Прямая ударного механической энергии в тепло. Теплопровод-
перехода для невязкого газа. ность же лишь перекачивает тепловую энер-
энергию из одних слоев газа в другие и воз-
воздействует на превращения механической энергии косвенным образом
благодаря перераспределению давления.
Чтобы убедиться в этом, полезно рассмотреть задачу об одномерном
стационарном движении газа с граничными условиями, соответствую-
соответствующими ударному сжатию невозмущенного потока в предположении, что
вязкости вообще нет, и диссипация обязана исключительно теплопровод-
теплопроводности. Исследование этого вопроса, впервые проведенное Рэлеем [18],
имеет принципиальное значение, так как выявляет особенности струк-
структуры фронта ударной волны в присутствии иных механизмов теплообмена:
лучистого переноса энергии или электронной теплопроводности (в плазме).
Если не учитывать вязкости, то первые интегралы уравнений гидро-
гидродинамики одномерного стационарного течения G.3) принимают вид:
QU = Q0D,
г> Л2
G.10)
Из первых двух уравнений G.10) следует, что в процессе ударного
сжатия в отсутствие Вязкости состояние частицы газа должно непрерыв-
непрерывным образом меняться вдоль прямой на диаграмме давление — удельный
объем
Это важное свойство течения невязкого газа иллюстрируется рис. 7.4,
на котором изображена ударная адиабата и прямая, связывающая началь-
начальное и конечное состояния газа. Попытаемся решить систему уравнений

¦S 3]
ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ОБРАЗОВАНИИ СКАЧКА
369
{7.10), для чего, как и раньше, исключим все переменные, кроме без-
безразмерной скорости или относительного удельного объема т]. Для общности,
не будем ограничиваться случаем одноатомного газа и сохраним произ-
произвольную величину показателя адиабаты y, который считаем постоянным.
Имея в виду уравнение состояния
G.12)
. V Р
(\х,0 — молекулярный вес) и термодинамическую связь w= ~~{'^ » выРа"
зим из третьего уравнения G.10) и уравнения G.11) негидродинамиче-
негидродинамический поток энергии и температуру через г):
G.13)	T/T-S
'о 	\ у»1" у
G.14)	'
Здесь, как и раньше, величина
Y-1 , _ 2	1_
М2
I
~ »i_l.< M2
есть безразмерная скорость в конечном со-
состоянии, а М = D/c0 — число Маха.
Функция Т (у\) проходит через макси-
максимум, находящийся в точке
1 , 1
1\
1' 1
Рис. 7.5. Т, г)- и S, т)-диаграм-
мы для случая, когда возмо-
возможен непрерывный ударный
переход с одной теплопровод-
теплопроводностью без учета вязкости.
При рассмотрении ударных волн различной амплитуды могут предста-
представиться два случая. Если амплитуда достаточно мала, то г\± > Т)тах.
В самом деле, при числе Маха, близком к единице (М — 1 < 1), т]! ж
	Yf «1	j-— (M — 1), т. е. также близко к еди-
единице, тогда как r)max « (y + 1)/2y <С 1. В этом
случае при монотонном сжатии газа от на-
начального объема до конечного (от ц = 1 до
	"rj. т] = rit) температура монотонно возрастает
от начального значения То до конечного Ти
	у равного (при всех условиях)
Рис. 7.6. Профили температу-
температуры и энтропии в ударной волне
с одной теплопроводностью без
учета вязкости в случае, когда
возможен непрерывный пере-
переход.
Графики Т (г\) и S (г|) в этом случае имеют
вид, изображенный на рис. 7.5.
Если исключить г| из уравнений G.13),
G.14) и подставить выражение G.2) для по-
потока S, получим дифференциальное уравне-
уравнение типа dT/dx = / (Г), которое имеет не-
непрерывное решение. Профили температуры
и энтропии в такой волне схематически изображены на рис. 7.6; они
сходны с профилями, найденными в предыдущем параграфе.
Как видно из энтропийного уравнения G.1) с ^ = 0, энтропия мак-
/7 /771
симальна в точке, где -р у.-г- = 0, или, в случае х = const, в точке,
где температура в волне Т (х) имеет перегиб: d2T/dx2 = 0.
24 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

370
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
t/to,s
в
В
Рис. 7.7. Т, т|- и S, т|-диаграммы для
случая изотермического скачка при
учете одной теплопроводности, но без
. учета вязкости.
Таким образом, возможно существование слабой ударной вол-
волны с непрерывным распределением гидродинамических величин во
фронте и в отсутствие вязкости, когда имеется одна лишь теплопровод-
теплопроводность.
Рассмотрим теперь достаточно сильную ударную волну.
В этом случае объем, при котором температура максимальна, заклю-
заключен между начальным и конечным значениями: т^ <С r\max < 1. Дей-
Действительно, при М > 1 т) Шах «1/2,
a Tji = (у — 1)/(y + 1) < 1/4, так как
показатель, адиабаты газа не может пре-
превышать 5/3.
Таким образом, при монотонном не-
непрерывном сжатии газа от начального
объема до конечного температура во
фронте волны неминуемо должна была
бы пройти через максимум. Графики
функций Т (т]) и S (г\) для этого случая
изображены на рис. 7.7. Посмотрим,
возможно ли существование непрерыв-
непрерывного решения уравнений G.13), G.14) в
этом случае. Из формулы G.14) и рис. 7.7
видно, что поток тепла S, обусловлен-
обусловленный теплопроводностью, во всем интер-
интервале изменения относительного объема
от т| = 1 до т) = tij не меняет знака и на-
направлен навстречу потоку газа: S < 0.
В соответствии с определением потока
S = —xdT/dx, температура при изменении объема от начального до ко-
конечного может только возрастать: dT/dx > 0.
Следовательно, область за максимумом температуры, где dTldx\ >> 0,
не реализуется. В этой области объем еще не достиг конечного значения
и должен уменьшаться dx\ldx < 0, темпе-
температура же падает с уменьшением объема,	/	Т,
т. e.j
dT/dx = (dT/di\) {dx\ldx)]< 0,
и поток был бы направлен в другую сторону
(S > 0), что противоречит формуле G.14).
Таким образом, в случае сильной волны
при учете лишь теплопроводности непрерыв-
непрерывное распределение температуры и плотности
по координате невозможно. Прийти из началь-
начального состояния в конечное, минуя область
падения температуры при увеличении сжа-
сжатия, можно только, включив в решение
разрыв: именно, состояние меняется непре-
непрерывным образом от начального (точка А на
рис. 7.7) до точки В, а затем скачком по-
попадает в конечную точку С. Возникновение скачка плотности и свиде-
свидетельствует о том, что в нем должны проявляться силы вязкости, т. е.
сильный разрыв может быть размазан только благодаря вязкости, но не
теплопроводности. Температура в скачке остается постоянной, меняется
лишь ее производная, т. е. поток. Профили температуры и плотности
х
О	х
Рис. 7.8. Профили темпе-
температуры и плотности в удар-
ударной волне с изотермическим
скачком.

§ 4]
ДИФФУЗИЯ В БИНАРНОЙ СМЕСИ ГАЗОВ
371
в такой волне, называемой «изотермическим» скачком, изображены на
рис. 7.8 *).
Легко найти наибольшую амплитуду, при которой еще возможно
непрерывное решение в отсутствие вязкости. Она соответствует случаю,
когда максимум функции Т (г\) совпадает
с конечным состоянием, т. е. T)max = t)i-
Число Маха и отношение давлений по
обе стороны фронта при этом равны:
М'
._ ,/ Зу-1
~~ V VC—v)'
Pi Y + l .
YC-v)f Po 3-у'
например, при у = 5/3 M' = 1,35, р[/ро = 2;
при v = 7/5 М' = 1,2, p'Jpo = 1,5.
Если рассмотреть другой крайний слу-
случай, когда есть одна лишь вязкость и нет
теплопроводности, получим непрерывное ре-
решение для гидродинамических величин в
скачке уплотнения, в принципе не отличаю-
отличающееся от решения предыдущего параграфа,
с тем лишь исключением, что энтропия в
этом случае возрастает также монотонно (см.
третье уравнение G.1) без члена dSldx).
Ход энтропии в обоих крайних случаях
можно уяснить путем рассмотрения диаграм-
диаграммы р, V или р, т] (рис. 7.9). В отсутствие вязкости состояние в волне
меняется вдоль прямой А В и энтропия, как видно из сопоставления
ударной адиабаты и адиабат Пуассона, вначале растет, достигает макси-
максимума в точке касания прямой с адиабатой Пуассона 2', а затем умень-
уменьшается. В отсутствие теплопроводности состояние меняется вдоль пунк-
пунктирной кривой, проходящей ниже прямой АВ (уравнение этой кривой есть
Р = Ро + 6о#2 (I—1»]) + ур^ ' пРичем ^ <0), и она нигде не
касается адиабат Пуассона. Положение здесь вполне аналогично тому,
которое имеет место в волнах слабой интенсивности, рассмотренных
в § 23 гл. I.
Рис. 7.9. р,У-диаграмма для
ударной волны с учетом вяз-
вязкости.
Н — ударная адиабата; 20, 2i»
2' — адиабаты Пуассона; вдоль
пунктирной кривой происходит пе-
переход из начального состояния в
конечное.
§ 4. Диффузия в бинарной смеси газов
Если в смеси газов имеются градиенты термодинамических величин,
то возникает диффузионный поток компонентов смеси, благодаря чему
происходит перераспределение их концентраций. Вообще говоря, диф-
диффузия стремится выравнять концентрации компонентов в пространстве.
Однако при существовании градиентов давления, температуры или в поле
внешних сил: силы тяжести, центробежной силы во вращающейся смеси,
и вообще при наличии ускорений, происходит разделение первоначально
равномерной смеси.
В частности, такое положение возникает в ударной волне, распро-
распространяющейся по смеси газов. Перед и за фронтом волны концентрации
*) Заметим, что «изотермичность» скачка, т. е. непрерывность температуры
в скачке уплотнения, обусловлена тем, что тепловой поток предполагается пропор-
пропорциональным градиенту температуры. В третьем разделе этой главы при рассмотрении
лучистого теплообмена во фронте ударной волны мы увидим, что если не делать такого
предположения, то значения температуры также будут иметь разрыв.
24*

372	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
компонентов одинаковы и постоянны в пространстве. В области фронта,
где имеются градиенты, концентрации изменяются. Подобно вязкости
и теплопроводности, диффузия представляет собой необратимый молеку-
молекулярный перенос массы определенного компонента (вязкость переносит
импульс, а теплопроводность — внутреннюю энергию) и является одним
из источников диссипации механической энергии.
Диффузионный поток определяется следующим образом. Пусть
в бинарной смеси газов массовая концентрация одного из компонентов,
скажем, легкого, с массой молекул rrii, равна а. Концентрация второго,
тяжелого, компонента с массой молекул т2 (т2 > т^ есть 1 — а *).
Благодаря диффузии одного газа относительно другого газы обладают
различными макроскопическими скоростями. Обозначим их через ui и и2.
Если q — плотность смеси, то полный поток первой компоненты есть
{уащ, а поток второй q A — а) и2. Макроскопическая или гидродинами-
гидродинамическая скорость смеси и определяется так, чтобы полный поток массы
газа был равен qu (и — импульс единицы массы). Таким образом, qu =
= qolui + Q A — а) г*2 или и = aut + A — а) иг. В рамках гидродина-
гидродинамики идеальной жидкости скорости обоих компонентов смеси совпадают
и равны и. Потоки компонентов равны qo.ii и q A — а) г*.
В следующем приближении в гидродинамической теории появляются
вязкость, теплопроводность и диффузия (в смеси). Диффузионным пото-
потоком г называется разность между полным и гидродинамическим пото-
потоками одного, скажем, первого компонента, г — qaut — дай = got (и± — и).
Полный поток первого компонента равен сумме гидродинамического
и диффузионного qolu + г. Полный поток второго компонента, очевидно,
равен q A — а) и2 = Q A — а) и + Q A — а) (и2 — и) = q A — а) и — г.
Диффузионные потоки обоих компонентов в бинарной смеси равны
по величине и противоположны по направлению.
Как уже отмечалось выше, диффузия возникает, когда в газе имеются
градиенты концентрации, давления и температуры **).
В одномерном случае градиенты величин равны производным по х,
а вектор г имеет одну, х-ю компоненту, которую будем обозначать просто
через i. Диффузионный поток равен (см. [1])
<--•»(?+??+?-§-)¦	<7Л5>
Здесь D — коэффициент диффузии, kpD — коэффициент бародиффузии,
krD — коэффициент термодиффузии. Безразмерная величина кр опреде-
определяется чисто термодинамическими свойствами смеси и равна [1]***)
G.16)
*) Массовая концентрация а равна массе первого, легкого компонента в одном
грамме смеси. Если числа молекул в одном грамме смеси есть Л*! и N% (Ni-\-N% = N),
то a = N^i, 1 — a = N2m2. Молярные концентрации равны
JVt 	 a	N2 __ 1—a
**) Состояние бинарной смеси характеризуется тремя термодинамическими
величинами: концентрацией и какими-либо двумя из трех величин: температурой,
давлением и плотностью. При изучении диффузии в качестве независимых переменных
удобно выбрать давление и температуру.
***) В отсутствие вязкого переноса импульса (см. ниже).
****) Величину Ар проще всего вывести, рассматривая равновесие бинарной смеси
в поле силы тяжести при постоянной температуре. В равновесном состоянии числа

§ 4]	ДИФФУЗИЯ В БИНАРНОЙ СМЕСИ ГАЗОВ	373
При т2 > тх кр > 0 и бародиффузионный поток легкого компонента
направлен в сторону понижения давления. Поток, связанный с градиентом
концентрации также направлен в сторону понижения концентрации.
Термодиффузионный поток легкого компонента для большинства смесей
направлен в сторону повышения температуры (при т2 > т^ кТ < 0).
В отличие от величины кр, величина кт, называемая термодиффу-
термодиффузионным отношением, зависит не только от концентраций компонентов
(при а = 0 или 1 кт= 0) и масс молекул, но и от закона взаимодействия
молекул. Величина кр определяется чисто термодинамическими свой-
свойствами газа, так как в поле внешних сил термодинамическое равновесие
возможно и при наличии градиента давления. Если существует градиент
температуры, то состояние уже является неравновесным.
Если между молекулами действуют только силы отталкивания,
меняющиеся по закону 1/гп, то при п > 5, что обычно и имеет место,
кт < 0: легкий газ стремится в сторону повышения температуры. При
п <С 5, что встречается редко, легкий газ стремится в сторону понижения
температуры (к случаю п << 5 относится кулоновский закон взаимодей-
взаимодействия заряженных частиц, п = 2). При п = 5 термодиффузии нет: кт = 0.
Обычно при сравнимых относительных градиентах Vp/p, VT/T роль
термодиффузии невелика по сравнению с ролью бародиффузии. Подробнее
о термодиффузии см. [19 J.
С диффузионным потоком связан дополнительный необратимый поток
энергии q, который пропорционален диффузионному потоку г (см. [1]).
Работа В. Жданова, Ю. Кагана и А. Сазыкина [19а], вносит суще-
существенные коррективы в изложенные выше классические представления
о диффузии.
В этой работе выражение для диффузионного потока выводится из
кинетического уравнения при помощи так называемого приближения
«13 моментов» Грэда. Это приближение обладает рядом преимуществ по
сравнению с методом Чэпмена ¦— Энскога, на основе которого получается
выражение G.15), всякий раз, когда приходится принимать во внимание
высшие приближения в разложении функции распределения. Оказы-
Оказывается, что выражение G.15) для диффузионного потока справедливо
только в отсутствие вязкого переноса импульса в газе. В условиях, когда
существует вязкий перенос импульса (т. е. градиент скорости), выражение
G.15) следует дополнить членами, пропорциональными силам вязкости.
Несмотря на то, что эти силы определяются производными второго порядка
от макроскопических величин (от скорости), они могут иметь тот же
порядок малости, что и члены, пропорциональные первым производным,
скажем, член с градиентом давления. Например, в случае чисто вязкого
установившегося течения, когда ускорений нет, градиент давления просто
уравновешивается силами вязкости. При неустановившемся течении
учет сил вязкости в выражении для диффузионного потока фактически
вносит в это выражение члены, пропорциональные ускорениям газа.
В случае чисто вязкого течения замена силы вязкости уравновеши-
уравновешивающим ее градиентом давления приводит к изменению постоянной баро-
бародиффузии кр по сравнению с чисто термодинамическим значением G.16).
Постоянная бародиффузии в вязком потоке уже не является величиной
молекул в 1 см3 щ и п2 по форму ле'Больцмана пропорциональны щ — ехр (— migx/kT),
п2 ~ ехр (— m.2gxlkT), где g — ускорение силы тяжести, х — высота. Поскольку
диффузионный поток в равновесии равен нулю, da/dx + (kp/p) (dp/dx) = 0. Восполь-
Воспользовавшись связью между концентрацией а и числами частиц nt, и2 и замечая, что
Р — (ni + nz) кТ, найдем отсюда приведенную формулу для кр.

374	структура фронта ударных волн в газах	[гл. vii
термодинамической; она зависит от характера взаимодействия молекул
между собою. Постоянная бародиффузии даже может стать при некоторых
условиях отрицательной (в случае, если молекулярные веса компонентов
отличаются друг от друга очень мало, а эффективные сечения молекул
различаются сильно). При учете вязкого переноса импульса меняется
и термодиффузионное отношение к?.
§ 5. Диффузия в ударной волне, распространяющейся
по бинарной смеси
Посмотрим, что происходит, когда по бинарной смеси газов распро-
распространяется ударная волна. Во фронте ударной волны имеются большие
градиенты термодинамических величин и, следовательно, возникают
благоприятные условия для диффузии. Физически ясно, что во фронте
	„ ударной волны происходит концентрирова-
I	ние легкого компонента. В самом деле,
рй	I Р	в нагретом газе за фронтом ударной волны
		молекулы легкого компонента обладают
"'ж	большей тепловой скоростью, чем молеку-
рго \ ~рг	лы тяжелого (v ~ yY/m).
	—'	Поэтому молекулы легкого газа «вы-
	*5	рываются вперед» и несколько опережают
		молекулы тяжелого (в лабораторной си-
ft '"	стеме координат, где исходная смесь по-
	,_	коится).
Пусть в тяжелом газе имеется неболь-
небольшая примесь легкого газа. Тогда распре-
	^	деление плотностей основного, тяжелого
*Э	и легкого газов (q2 и Qt) в сильной ударной
Рис. 7.10. Профили давления	*олне имеет*иД, показанный на рис. 7.10.
плотностей тяжелого (р^) и лег-	1ам же изображен профиль концентрации
кого (qj) компонентов и концент-	легкого компонента: а = Pj/(q2 + Qi).
рации легкого компонента (а) в	Ширина зоны, в которой имеется по-
ЖОИпоГнаерноР|СГсСиРгааНзГв; ВЫШеННаЯ концентрация легкого компонен-
та, по порядку величины равна Ах ~ D /и0,
где/) — коэффициент диффузии, а через и0
обозначена здесь_скорость ударной волны*). Коэффициент диффузии D
порядка lvu где г^ — тепловая скорость нагретого в ударной волне лег-
легкого газа, а I — длина пробега молекул. Скорость фронта и0 порядка
тепловой скорости нагретого тяжелого газа и0 — v2. Но ~vjv2
А y/ l
0 2 Но vjv2 ж Ym,2lmu
так что Ах да ymz/m,. l. Ширина вязкого скачка уплотнения порядка I.
Следовательно, ширина зоны концентрирования легкой компоненты в
У пгг/т.! раз больше ширины скачка уплотнения. Наиболее резко разде-
разделяются компоненты при сильном различии масс частиц (m2lm,i > 1).
Этот эффект должен бы быть особенно ярко выраженным в случае
плазмы ввиду огромного различия масс электронов и ионов. Однако
в плазме существенную роль играет электростатическое взаимодействие
*) Это следует из условия стационарности полного потока легкого компонента
в системе координат, связанной с фронтом. Приближенно Qlu0 = Ddo./dz, откуда
Ci — Qii exp (— «0 | x | ID). Здесь использовано приближенное граничное условие
согласно которому можно считать, что в точке х = 0, где имеется вязкий скачок уплот-
уплотнения, плотность легкого компонента равна своему конечному значению qu

S 5]	ДИФФУЗИЯ В УДАРНОЙ ВОЛНЕ	375
электронов и ионов, которое чрезвычайно сильно ограничивает диффу-
диффузионный процесс (см. об этом в § 13).
Наряду с вязкостью и теплопроводностью диффузия влияет на струк-
структуру фронта ударной волны. Чтобы описать эту структуру, следует соста-
составить уравнения плоского стационарного режима, подобно тому как это
было сделано в § 2, при рассмотрении вязкого скачка уплотнения. Урав-
Уравнения сохранения массы и импульса, первое и второе из уравнений G.3),
остаются, очевидно, без изменений (под ц теперь следует понимать коэф-
коэффициент вязкости смеси). В уравнение сохранения энергии (третье из
уравнений G.3)) нужно добавить молекулярный поток тепла, связан-
связанный с диффузией, и вместо молекулярного потока, обусловленного тепло-
теплопроводностью S, писать сумму S -\- q. В систему уравнений теперь войдет
диффузионный поток i, которому пропорционален поток тепла q, т. е.
войдет новая неизвестная функция, концентрация а. Поэтому к системе
должно быть добавлено еще одно уравнение. Это — уравнение непрерыв-
непрерывности (сохранения массы) одного из компонентов (при наличии уравне-
уравнения непрерывности для всей массы газа сохранение второго компонента
обеспечивается автоматически).
Условие постоянства потока массы легкого компонента в плоском
стационарном случае имеет вид *)
*	Qau + i = const =
(перед волной диффузионный поток исчезает). Отсюда, кстати сказать,
видно, что за волной, где диффузионный поток также исчезает, концен-
концентрация равна исходной СЦ = а0 (так как QiUt = Qouo).
Систему уравнений одномерного стационарного течения в бинарной
смеси в принципе можно решать так же, как и для однокомпонентного
газа (см. § 2). Решение даст распределение всех величин во фронте волны.
Такая задача рассматривалась С. П. Дьяковым [20] для случая ударной
волны слабой интенсивности, когда можно произвести разложение всех
величин (см. § 23 гл. I) **).
Как было показано в § 18, 23 гл. I, если рассматривать изменение
давления в слабой ударной волне Ар = р± — р0 как величину первого
порядка малости, то изменения объема и температуры также представляют
собой малые первого порядка. Полное изменение энтропии при переходе
газа из начального состояния в конечное 2t — 20 есть величина третьего
порядка малости, а изменение энтропии внутри фронта волны, скажем,
Smax — 2 о — величина второго порядка малости. Ширина фронта удар-
ударной волны по порядку величины равна Ах я* 1ро/Ар, где I — длина
пробега молекул. Из уравнения сохранения потока одного компонента,
которое можно переписать в форме
а — а0 =	,
Qo"o
и выражения для диффузионного потока видно, что изменение концентра-
концентрации в волне Да и поток i есть величины второго порядка малости (дей-
(действительно,
а — а0 ~ i ~ dpldx ~ ApjAx ~ {АрJ).
*) Общее уравнение непрерывности для одного из компонентов имеет вид [1]
-J^ +div(QaM-H)=0.
•*) См. также работу Шермана [21].

376	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
Следовательно, членом, содержащим градиент концентрации в выра-
выражении для диффузионного потока, можно пренебречь (da/dx ~ Аа/Ах <~
~ (АрK, тогда как dp/dx ~ (АрJ).
В работе С. П. Дьякова [20] получено аналитическое решение для
распределения концентрации во фронте ударной волны слабой интенсив-
интенсивности. Мы не будем здесь приводить его (рас-
S*	~р пределение имеет вид, показанный на рис.
S	7.11), а оценим изменение концентрации
по порядку величины. Если пренебречь
	-? термодиффузией, которая обычно играет мень-
меньшую роль, чем бародиффузия (так как вели-
ж чина кт обычно меньше, чем кр), то можно
	 записать
л	|i| D кр Ар
Да = а — а0 • ' -
ромп и0 р Ах
Рис. 7.11. Профили плотности
и концентрации в ударной вол-	Коэффициент диффузии D ~ fv, при-
не слабой интенсивности, рас-	^^ ^	" **J	_ ' у
пространяющейся по бинарной чем тепловая скорость молекул v порядка
смеси газов.	скорости звука, т. е. порядка и0. Замечая, что
Да; ~ (р/Ар) I, найдем Да ~ кр (Ар/рJ.
Избыточное количество легкого компонента, собранного ударной
волной (на 1 смг поверхности фронта), порядка
со
M = q \ (а — а0) dx~ дДа-Дж — Qkp—l.
—оо
В достаточно сильной ударной волне, где Ар ~ р, Да -~ кр, М ~
~ Qkpl. Если разность масс молекул сравнительно велика (кр ~
~ (mz — mi)), то изменение концентрации в сильной волне порядка самой
концентрации и избыточная масса компонента порядка самой массы
компонента в слое толщиной в длину пробега молекул.
Выше отмечалось, что диффузия подобно вязкости и теплопровод-
теплопроводности приводит к диссипации механической энергии и повышению энтро-
энтропии газа (см. об этом в [1 ]) *). Мы знаем, что если исключить из рассмотре-
рассмотрения диссипативные процессы, то в рамках гидродинамики идеальной,
жидкости ударная волна представляет собой математический разрыв. Раз-
Разрыв размывается и превращается в слой конечной толщины с непрерыв-
непрерывным распределением величин только при учете диссипативных процессов.
При этом одна теплопроводность может обеспечить непрерывный переход
в ударной волне только в том случае, если амплитуда волны не слишком
велика (см. § 3).
Интересно посмотреть, может ли диссипация диффузионного проис-
происхождения без учета вязкости и теплопроводности обеспечить непрерывный
переход в ударной волне, распространяющейся по бинарной смеси. Этот
вопрос исследовался Каулингом [22] (Каулинг пренебрегал термодиффу-
термодиффузией). Оказывается, что, как и в случае действия одной лишь теплопро-
теплопроводности, непрерывное решение возможно только при амплитудах удар-
*) Подобно теплопроводности диффузия может приводить и к локальному умень-
уменьшению энтропии (см. § 2). Благодаря диффузии повышается энтропия всей системы
в целом, либо же энтропия частицы за все время процесса, скажем, при переходе из
начального состояния в конечное в ударной волне. В отличие от теплопроводности
и диффузии, вязкость приводит к локальному повышению энтропии, т. е. за счет1
вязкости энтропия частицы может только возрастать.

§ 6]	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ЗАМЕДЛЕННЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ	377
ной волны, не превышающих определенного предела, который зависит
от разности масс молекул и концентрации компонентов. В предельных
случаях, когда концентрация одного из компонентов стремится к нулю
(а —*¦ 0 или а —*• 1), т. е. когда газ превращается в однокомпонентный,
или же когда относительная разность масс стремится к нулю, верхнее
значение возможной амплитуды ударной волны также стремится к нулю.
При большом различии масс молекул и сравнимых числах молекул обо-
обоих сортов диффузия обеспечивает непрерывность перехода вплоть до
довольно больших амплитуд ударных волн, будучи в этом отношении
более эффективной, чем теплопроводность. Так, например, в смеси водо-
водорода и кислорода (mi/m2 = 1/8) при молярной концентрации кислорода,
(N2/N), равной 10%, возможно непрерывное сжатие смеси в ударной
волне до 4,78 раза (предельное сжатие при значении y — 7/5, которое
было принято в расчете, равно 6). Одна теплопроводность может обеспе-
«¦	3Y—I 4
чить непрерывное сжатие не более, чем в ', = -^ раза.
2. РЕЛАКСАЦИОННЫЙ СЛОЙ
§ 6. Ударные волны в газе с замедленным возбуждением
некоторых степеней свободы
Для возбуждения некоторых степеней свободы газа *) часто требуется
много соударений молекул, причем необходимые числа соударений,
т. е. времена релаксации, для разных степеней свободы могут сильно
различаться.
Время установления полного термодинамического равновесия во
фронте ударной волны, а следовательно, и ширина фронта определяются
наиболее медленным из релаксационных процессов. При этом, конечно,
следует принимать во внимание только те процессы, которые приводят
к возбуждению степеней свободы, дающих заметный вклад в теплоемкость
при конечных параметрах газа. Если тшах — наибольшее время релакса-
релаксации, а щ — скорость движения газа за фронтом относительно самого
фронта, то ширина фронта порядка Ах ~ щхт&1 = D (qo/Qi) fmax **)¦
Быстрее всего в газе «возбуждаются» поступательные степени свободы
частиц. Поэтому механическая энергия потока газа, набегающего на
разрыв, прежде всего превращается в энергию поступательного тепло-
теплового движения атомов и молекул газа. Как было показано в § 2, ширина
вязкого скачка уплотнения в сильных ударных волнах порядка одного
или нескольких газокинетических пробегов.
При комнатных температурах вращения в молекулах возбуждаются
также быстро, в результате небольшого числа соударений; колебания же
при этих температурах обычно не играют роли. Следовательно, ширина
фронта слабых ударных волн, распространяющихся по молекулярному
газу, нагретому до комнатной температуры, порядка нескольких газо-
газокинетических пробегов
***\
*) Напоминаем, что для краткости терминологии к «степеням свободы» мы
относим также и потенциальную энергию диссоциации, химических превращений,
ионизации.
**) В дальнейшем мы снова будем обозначать скорость фронта ударной волны
через D.
***) Исключение составляют молекулярные водород и дейтерий, в которых для
возбуждения вращений требуется порядка сотни газокинетических соударений
см. § 2 гл. VI).

378	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
При температурах порядка 1000° К, когда величина кТ сравнима
с энергией колебательных квантов молекул hvKOn, возбуждение колебаний
требует многих тысяч, а иногда десятков и сотен тысяч соударений.
Ширина фронта ударной волны соответствующей амплитуды опреде-
определяется временем релаксации для колебательных степеней свободы.
Скорости релаксационных процессов всегда быстро возрастают
с повышением температуры; так, например, при температурах порядка
8000° К, когда кТ > hvK0Jl, для возбуждения колебаний достаточно
уже нескольких соударений. Те процессы, которые при какой-то ам-
амплитуде волны были медленными и определяли ширину фронта, в волне
большей интенсивности становятся быстрыми и им на смену приходят
другие.
Например, при температуре порядка 4000—8000° К в двухатомном
газе достижение термодинамического равновесия в основном затягивается
из-за медленной диссоциации молекул (колебания возбуждаются сравни-
сравнительно быстро, а ионизация еще незначительна).
При температуре порядка 20 000° К для диссоциации молекул доста-
достаточно небольшого числа соударений, и ширина определяется скоростью
первой ионизации (вторая ионизация несущественна). При Т ~ 50 000° К
на смену первой ионизации приходит вторая и т. д.
Конечно, граница температурной области, в которой тот или иной
релаксационный процесс является медленным, не четкая. Точно так же
при данной температуре не всегда только один из процессов определяет
толщину фронта. Но в каком-то приближении всегда можно для ударной
волны данной амплитуды подразделить процессы возбуждения различных
степеней свободы, вносящих заметный вклад в теплоемкость, на быстрые
и медленные. При этом под быстрыми следует понимать такие процессы,
для которых времена, релаксации трвл сравнимы с газокинетическими
и для которых характерные масштабы Ах = и^Трел порядка немногих
газокинетических пробегов, т. е. сравнимы с толщиной вязкого скачка
уплотнения. К медленным же следует отнести процессы, требующие очень
большого числа газокинетических столкновений.
Вопрос о структуре фронта ударной волны в газе с замедленным
возбуждением части теплоемкости был впервые проанализирован одним
из авторов в 1946 г. [23, 24] на примерах обратимой химической реакции
и возбуждения колебаний в молекулах.
Рассмотрим качественно процесс ударного сжатия в газе с замедлен-
замедленным возбуждением некоторых степеней свободы. При этом не будем пока
конкретизировать виды степеней свободы и лишь разделим их на две
категории: те, которые возбуждаются быстро, и те, которые требуют
многих газокинетических столкновений.
Диссипативные процессы — вязкость и теплопроводность — играют
роль только в области больших градиентов гидродинамических величин,
т. е. в зоне, где возбуждаются быстро релаксирующие степени свободы.
Эта зона в какой-то мере совпадает с областью вязкого скачка уплотне-
уплотнения. В зоне медленной релаксации, растянутой на расстояния многих
газокинетических пробегов, градиенты малы и диссипацией можно пре-
пренебречь.
Не будем интересоваться структурой узкой зоны быстрых процессов.
Она в принципе не отличается от структуры вязкого скачка уплотнения,
рассмотренного в § 2. Увеличение теплоемкости за счет быстрого возбу-
возбуждения непоступательных степеней свободы вносит лишь некоторые коли-
количественные изменения в структуру вязкого скачка, не меняя основных

6]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗЕ С ЗАМЕДЛЕННЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
379
качественных закономерностей. Поскольку толщина этой зоны невелика,
порядка нескольких пробегов, можно приближенно рассматривать ее как
бесконечно тонкую и величины по обе стороны ее связать уравнениями
-сохранения, вполне аналогичными уравнениям G.4). В дальнейшем для
определенности терминологии мы будем называть зону быстрой релакса-
релаксации «скачком уплотнения», в отличие от понятия «фронта ударной волны»,
который включает в себя всю переходную область от начального до конеч-
конечного термодинамически равновесного состояния. Отмечая гидродинами-
гидродинамические величины непосредственно за скачком уплотнения штрихом,
запишем уравнения для определения этих
величин	Р
Pi
w
Энтальпия w' = w' (p', p/) = w' G", q')
включает в себя только быстро возбуждае-
возбуждаемые степени свободы газа.
Растянутая зона медленной релакса-
релаксации описывается интегралами уравнений
¦одномерного стационарного течения типа
G.3), в которых можно пренебречь дис-
сипативными членами.
Рассматривая Q, р, е, го, и как функ-
функции текущей координаты х, запишем ин-
интегралы уравнений в этой зоне:
Ро
	L	1___23
vB v
Л2
G.17)
Рис. 7.12. р,7-диаграмма для
ударной волны, распространяю-
распространяющейся по газу с замедленным
возбуждением части степеней
свободы.
Начало координат х = 0 удобно поместить в точку, соответствующую
¦скачку уплотнения, который считается «бесконечно тонким». Точно так
же, если следить за изменением во времени состояния конкретной частицы
газа, проходящей через фронт ударной волны, то за начальный момент
t = О удобно принять момент резкого сжатия в скачке уплотнения.
Начальные или граничные условия для газодинамических параметров
q (х), и (х) и т. д. имеют вид q @) = р/, и @) = и' и т. д.
При х-»- + оо, как и раньше,
Q (ОО) = Од, U (<Х>) = Щ И Т. Д.
Изобразим на диаграмме р, V две адиабаты Гюгонио, выходящих
из точки А начального состояния газа (рис. 7.12). Одна из них (//) соответ-
соответствует достижению полного термодинамического равновесия, т. е. соответ-
соответствует конечным состояниям газа за фронтом ударной волны. Другая G)
соответствует возбуждению только быстро релаксирующих степеней
свободы и «замороженности» медленно релаксирующих (при расчете адиа-
адиабаты / считается, что удельная внутренняя энергия в медленно возбу-
возбуждаемых степенях свободы такая же, как и в начальном состоянии,
несмотря на то, что плотность и давление газа меняются).
Адиабата / проходит круче, чем II, как показано на рис. 7.12. Дей-
Действительно, при одинаковой плотности температура и давление газа при
условии замороженности некоторых степеней свободы выше, так как,

380
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
грубо говоря, одинаковая энергия сжатия распределяется по меньшему
числу степеней свободы *).
Проведем прямую АС, связывающую начальное и конечное состоя-
состояния газа. Как известно, наклон этой прямой определяется скоростью
распространения ударной волны по невоз-
Р	мущенному газу D.
Из первых двух уравнений G.17)
следует, что состояние частицы газа в ре-
релаксационной зоне меняется вдоль этой
прямой:
V
Рис. 7.13. р,7-диаграмма для
слабой ударной волны, распрост-
распространяющейся по газу с замедлен-
замедленным возбуждением части степеней
свободы. А К — касательная к
ударной адиабате / в точке А.
Таким образом, точка, описывающая пос-
последовательные состояния частицы газа при
данной скорости фронта, скачком перехо-
переходит из начального состояния А (р0, Vo)
в промежуточное состояние В (р', V)
за скачком уплотнения, а затем движется
до конечного состояния С (pt, V%) вдоль,
прямой G.18). При этом давление и сжа-
сжатие возрастают по мере приближения к конечному состоянию, а ско-
скорость газа относительно фронта уменьшается.
В случае, если волна настолько слаба, что скорость ее меньше ско-
скорости звука, соответствующей замороженности части степеней свободы,
прямая АС проходит ниже касательной к адиабате / в точке А (рис. 7.13).
При этом состояние непрерывным образом, меняется вдоль прямой АС
от точки А до точки С, и в газе с самого начала происходит постепенное
возбуждение замедленной части теплоемкости.
Из формулы G.18) видно, что давление в релаксационной зоне в силь-
сильной ударной волне возрастает немного. В самом деле, даже если в зоне
быстрого сжатия возбуждаются только поступательные степени свободы,
VIV0 = l/i, то давление в релаксационном слое может возрасти не более,
чем на 25%, так как величина 1 — V/Vo, которой пропорционально
изменение давления р — р0, заключена в интервале 1 > 1 — V1/Vo >
>1 — F'/Fo> 3/4. Если же быстро возбуждаются и другие степени
свободы, F'/F0<l/4, изменение давления в релаксационной зоне еще-
меньше. Совсем незначительно увеличение энтальпии в релаксационной
области.
Из третьего и первого уравнений G.17) следует, что
F2
G.19)
Величина (V/V0J < 1/16, так что увеличение энтальпии в релак-
релаксационной зоне в любом случае не превышает 5—6%.
*) При этом, как показывают расчеты, увеличение числа частиц при диссоциации
или ионизации не в состоянии скомпенсировать уменьшение температуры за счет-
затрат энергии на диссоциацию и ионизацию при неизменном объеме, так что давление-
в случае // все равно меньше, чем в случае /.

7]
ВОЗБУЖДЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
381
Р>
Поскольку в релаксационной зоне удельная энтальпия почти неиз-
неизменна, а теплоемкость по мере возбуждения ранее замороженных сте-
степеней свободы возрастает, температура в ней уменьшается. Уменьшение
температуры может быть довольно значительным, если запаздывающая
часть теплоемкости велика и вносит большой вклад в конечную тепло-
«мкость газа. Конечная температура Т± может быть в два-три раза меньше
температуры Т' за скачком уплотнения. Точно так же значительно может
возрастать и плотность газа (грубо говоря, р ~ qT; р меняется мало,
а Т сильно). Профили р, q, и, Т во фронте ударной волны, распростра-
распространяющейся по газу с замедленным воз-
возбуждением части теплоемкости, изобра-
изображены схематически на рис. 7.14.
Для конкретных расчетов профилей
¦следует воспользоваться уравнениями ки-
кинетики для соответствующих релаксацион-
релаксационных процессов, что будет сделано для не-
нескольких случаев в следующих параграфах.
Заметим, что если ударная волна со-
создается поршнем, движущимся с постоян-
постоянной скоростью и, то скорость движения
газа за скачком уплотнения относительно
невозмущенного газа D — и' не совпадает
-со скоростью поршня (она меньше послед-
последней); со скоростью поршня совпадает
только относительная скорость газа в ко-
конечном состоянии за фронтом волны:
D — щ.
О
О
т'
о
§ 7. Возбуждение молекулярных
колебаний
&х
Ах
х
Т,
О
Ах
Рис. 7.14. Профили давления,
плотности, скорости и] температу-
температуры во фронте ударной волны,
распространяющейся по газу с
замедленным возбуждением части
степеней свободы; Дж ^ и Трелак —
ширина фронта.
При температурах за фронтом ударной
волны порядка 1000—3000° К (в зависимо-
зависимости от типа молекул) диссоциация молекул
очень мала, и вкладом химической энергии
во внутреннюю энергию газа можно пре-
пренебречь. Уширение фронта при этом про-
происходит в основном за счет замедленного
возбуждения молекулярных колебаний.
Вращения молекул при таких температурах возбуждаются очень быстро,
в результате нескольких столкновений, так что вращательная энергия в
каждой точке фронта волны равновесна и соответствует «поступатель-
«поступательной» температуре газа в этой точке.
Будем рассматривать двухатомный газ из молекул одного сорта,
в начальном состоянии нагретый до нормальной температуры порядка
То ж 300° К. При такой температуре энергия колебаний чрезвычайно
мала и показатель адиабаты равен 7/5. Параметры газа за скачком уплот-
уплотнения можно вычислить с помощью обычных формул для идеального
газа с постоянной теплоемкостью, соответствующей участию только посту-
поступательных и вращательных степеней свободы молекул и показателем
адиабаты у' = 7/5. Выпишем эти формулы, характеризуя амплитуду
Маха
ударной волны числом
(М = — ; с\ = —poVo), как это принято

382	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VI»
при проведении лабораторных исследований:
6'	6
Ро
'36'
Параметры конечного состояния за фронтом ударной волны можно вычис-
вычислить с помощью общих соотношений на фронте, задаваясь функциями
wt (Ti) или е± (Т±) с учетом колебательной энергии.
В общем случае конечные параметры газа не выражаются простыми-
формулами, так как колебательная энергия в квантовой области сложным'
образом зависит от температуры (см. формулу C.19)). Если рассматри-
рассматривать достаточно сильные ударные волны, в которых температура за фрон-
фронтом больше энергии колебательных квантов, поделенной на постоянную
Больцмана, Тх > hv/k, то колебательная энергия равна своему класси-
классическому значению к Т на молекулу и ? = -—[~> где показатель адиа-
адиабаты у = 9/7. В' этом предельном случае 8j = у р\У±, ударная адиа-
адиабата имеет простой вид *):
Pi
Ро
С помощью общего соотношения A.67), из которого следует, что
1 м2 —
можно легко выразить pjpo, так же как VJV0 и TJTU = PiVi/p0V0,
через число Маха М.
Надо сказать, что область применимости указанной простой фор-
формулы для ударной адиабаты двухатомного газа весьма ограничена. Если
Т± < hv/k, то колебательная энергия не равна кТ; при температурах
же, заметно превышающих hvlk, становится существенной диссоциация
молекул. Рассмотрим для примера ударную волну в кислороде с числом
М = 7. Пусть начальная температура равна Т = 300° К. Если начальное-
давление — атмосферное, скорость звука равна с0 = 350 м/сек, а ско-
скорость ударной волны D = 2,45 км/сек. Параметры газа за скачком уплот-
уплотнения равны q'/qo = 5,45, р'/р0 = 57, Т'/То = 10,5, Г = 3150° К.
Параметры в конечном состоянии за фронтом волны: q1/qo = 7,3,
pjpo = 60, TJT0 = 8,2, Tt = 2460° К. У кислорода hv/k = 2230° К;
Tt немного больше этой величины, так что простой формулой для вычис-
вычисления Ti пользоваться можно (диссоциация кислорода при такой тем-
температуре и не слишком малой плотности столь мала, что ее можно не-
учитывать).
Найдем распределение параметров газа в релаксационной зоне и оце-
оценим ее ширину. Удельная внутренняя энергия газа в какой-нибудь точ-
точке х складывается из энергии поступательных и вращательных степеней
свободы, равной -^ AT, где Т — «поступательная» температура в точке х,
*) Подчеркнем, что эти формулы не совпадают с формулами для газа с постоян-
постоянным показателем у = 9/7, так как в начальном состоянии у = 7/5 и е0 = 5/2р070.

§ 7]	ВОЗБУЖДЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ	383
а А — газовая постоянная, рассчитанная на грамм, и неравновесной
энергии колебаний, которую обозначим через 8К: 8 = -tj- A Т + ек. Как
уже отмечалось выше, удельная энтальпия практически не меняется
в релаксационной зоне (в приведенном численном примере изменение
ее составляет всего 1%), поэтому
w = -~- AT -\- eK sis const ^ Wi =ь w'.
Эта формула связывает неравновесную энергию колебаний с темпе-
температурой в точке х. Непосредственно за скачком уплотнения колебания
еще не возбуждены (в начальном состоянии при Т = То да 300° К коле-
колебательная энергия очень мала), так что в точке х — 0 за скачком уплот-
уплотнения ек = 0. Затем начинается постепенное возбуждение колебаний,
ек растет, а температура падает от Т' до конечной величины Tt, при кото-
которой колебательная энергия достигает равновесного значения, соответ-
соответствующего этой температуре. Чтобы найти распределение температуры
по х, воспользуемся уравнением кинетики возбуждения колебаний F.9):
<feK _ ек(Г)—ек1
dt	xK '
Здесь ек (Т) — равновесная энергия колебаний, соответствующая посту-
поступательной температуре Т, а тк — время релаксации.
Будем для простоты рассматривать только достаточно сильные удар-
ударные волны, в которых температура высока и равновесная колебательная
энергия выражается классической формулой: ек (Т) = AT. При этом
П	Q	п
ек = wi — -к- AT = -к- ATt ¦	к- AT. Подставляя эти выражения в урав-
Li	Zi	?i
нение кинетики и переходя от субстанциональной производной по вре-
времени к дифференцированию по координате с учетом стационарности про-
d д . д	d
цесса: — = -^--{-и-—=и—- , получим уравнение:
dT __ 9 Tj—T
dx 7 итк *
Время релаксации тк зависит от температуры и плотности (или давле-
давления) газа. Приближенно эту зависимость можно описать формулой F.17),
выведенной в § 4, гл. VI:
^ const eConst/ri/8
к	Q
С целью выяснения физической стороны дела будем приближенно счи-
считать величину ихк в релаксационной зоне постоянной и соответствующей
некоторым средним между Т' и Ti, р/ и Qj значениям температуры и плот-
плотности (и = Dqo/q). Такое приближение имеет смысл, так как темпера-
температура и плотность меняются не сильно. Так, в нашем численном примере
температура меняется в 1,28 раза, Г1/з — в 1,08 раза, а плотность и ско-
скорость меняются в 1,34 раза.
Интегрируя уравнение для температуры с начальным условием
Т = Т' при х=0и принимая во внимание, что в силу условия w' — wi}
Q
Т' =у Г], получим профиль температуры:
9х	9х

384
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Имея в виду, что давление почти постоянно (р ~ qT да const), а темпера-
температура меняется также не сильно, найдем приближенно распределение
плотности:	t
9х	9х
= Qi —(Qi — Q')e
G.22)
Таким образом, температура и плотность при х ->- оо асимптотически
приближаются к своим конечным значениям Ти Q4, причем эффективная
ширина релаксационной зоны и фронта ударной волны равна примерно
Ах = у нт„.
G.23)
Формулы G.22), G.23) могут служить для экспериментального опре-
определения времени колебательной релаксации. Для этой цели обычно интер-
ферометрическим методом измеряют распределение плотности за скачком
уплотнения и ширину фронта ударной волны (см. гл. IV). Для извлечения
из опыта более точных данных изложенную простую теорию можно уточ-
уточнить, учитывая квантовую зависимость колебательной энергии от темпе-
температуры, переменность скорости и = и (х) и т. д. Качественной картины
распределений и порядка ширины фронта все эти уточнения, конечно,
не изменяют.
Изложенная теория распространяется и на колебательную релакса-
релаксацию в многоатомных молекулах, если амплитуда ударной волны такова,
что возбуждаются только самые низкочастотные колебания *). Расчеты
и измерения для газов СО2 и N2O имеются в работе [25]. В табл. 7.1
5
8
7
9
м
,95
,0
,42
,97
KM
' сек
2,08
2,8
2,43
3,26
Кисло
2000
3300
Л з о
3000
5000
Pi
Ро
род
6,3
7,1
т
6,55
7,14
Таб
сек
5
0,8
30
5 ¦
лица 7.1
Аж, си
0,165
0,031
1,11
0,23
дается несколько значений ширин фронта ударных волн в кислороде
и азоте, определяемых колебательной релаксацией (по данным измере-
измерений Блэкмана [26]).
Они приведены к давлению за фронтом pi = 1 атм (Ах ~ т ~ 1/pi),
начальная температура То = 296°.
Подробнейший обзор всех теоретических работ, посвященных расчету
структуры зоны колебательной релаксации во фронте ударной волны
содержится в статье Блайта [57]. Там рассматриваются самые разно-
разнообразные приближенные решения, а также приводятся результаты точных
*) В случае нелинейных многоатомных молекул численный коэффициент 9/7
в формулах G.21), G.22) нужно заменить на 11/9 в соответствии с иной вращательной
теплоемкостью C/2fc на молекулу вместо Ik).

% 8]	ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ	385
решений уравнений, полученных при помощи вычислительных машин
(см. также [58]).
Отметим несколько экспериментальных работ, в которых изучается
колебательная релаксация во фронте ударной волны и определяются
соответствующие времена релаксации и скорости возбуждения колеба-
колебаний. Кислород изучался в работах [59, 60], окись азота [61], окись угле-
углерода [62], двуокись углерода [63, 64].
Подробный обзор экспериментальных данных с многочисленными
ссылками имеется в книге Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Оси-
пова [90].
§ 8. Диссоциация двухатомных молекул
При температурах за фронтом ударной волны в двухатомном газе
порядка 3000—7000° К ионизации еще нет, колебания молекул возбуж-
возбуждаются сравнительно быстро и уширение фронта волны связано с наиболее
медленным релаксационным процессом — диссоциацией молекул. Оценки
показывают, что время колебательной релаксации при указанных темпе-
температурах примерно на порядок меньше времени установления равновесной
диссоциации. Поэтому приближенно можно считать колебательную энер-
энергию в каждой точке релаксационной зоны, так же как и вращательную,
равновесной. Параметры газа за скачком уплотнения соответствуют про-
промежуточному значению показателя адиабаты у' = 9/7 (колебания при
столь высоких температурах вполне «классичны»). Их можно вычислить
по формулам G.20), G.21).
Заметная диссоциация появляется только в достаточно сильных
ударных волнах, так что сжатие за скачком уплотнения близко к пре-
предельному соответствующему показателю у = 9/7 и равному 8 (предпола-
(предполагаем, что ударная волна распространяется по газу, нагретому до нор-
нормальной температуры Т » 300° К). При этом формулы G.20), G.21) упро-
упрощаются и дают приближенно
бо	Ро~4ОШ ' То ~3201U '
где М — число Маха.
Параметры газа за фронтом ударной волны с учетом диссоциации
не выражаются простыми формулами (см. § 9 гл. III); они вычисляются
на основе общих соотношений на фронте.
Найдем распределение параметров газа в релаксационной зоне.
Удельная внутренняя энергия газа с учетом диссоциации молекул равна
(см. формулу C.21)):
где U — энергия диссоциации 1 г газа, а а — степень диссоциации (кото-
(которая может быть и неравновесной).
Поскольку уже непосредственно за скачком уплотнения сжатие газа
весьма велико (близко к восьмикратному), изменение давления в релак-
релаксационной зоне мало, а изменение энтальпии — ничтожно мало. Отсюда
следует, что
р == А A + a) qT ъ const = p' = Aq'T',	G.24)
w = (I" + !) АТ + aU ~ const = w> = Т АТ-	G-25>
25 Я Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

386	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ.УИ
Эти формулы позволяют выразить степень диссоциации и плотность
в точке х волны через температуру, либо же температуру и плотность
через степень диссоциации. Так, например, пренебрегая а (а < 1) по
сравнению с 9, найдем из формулы G.25):
где Гдио = VIA (например, для кислорода Ттс = 59 400° К).
За скачком уплотнения в точке х = 0 диссоциации еще нет: а = О
и Г = Г.
Затем начинается диссоциация; степень диссоциации растет, а тем-
температура вследствие затрат энергии на диссоциацию падает. Так проис-
происходит до тех пор, пока диссоциация не достигает равновесного значения,
соответствующего температуре газа.
Для нахождения распределений параметров по х воспользуемся
уравнением кинетики диссоциации (см. § 5 гл. VI).
Рассмотрим здесь ударные волны не очень большой амплитуды, в ко-
которых степень диссоциации, достигаемая за фронтом, невелика: о^ < 1.
В этом случае можно пренебречь диссоциацией молекул ударами атомов
и оставить в уравнении кинетики F.21) только члены, соответствующие
диссоциации ударами молекул и рекомбинации атомов, в тройных столк-
столкновениях с участием молекул в качестве третьих частиц. При переходе
в уравнении кинетики F.21) от чисел атомов в см3 к степени диссоциации
по формуле iVA = 2aiV0 (No — число исходных молекул в см9) следует
дифференцировать по времени только степень диссоциации, но не плот-
плотность газа (т. е. No), так как в уравнении F.21) нет члена, описывающего
изменение плотности. (Если к уравнению F.21) добавить такой член, то
он сократится со слагаемым 2а -~ , получающимся при дифференциро-
дифференцировании No в выражении
NA = 2N0a.)
Пренебрегая во всех членах величиной а по сравнению с единицей,
имея в виду определение времени релаксации т F.25) и переходя от суб-
субстанциональной производной по времени к производной по координате,
запишем уравнение кинетики в виде
dx
—Mfi	— 
~ 2мт L (aJ J '
где (а) — равновесная степень диссоциации, соответствующая темпера-
температуре и плотности газа в точке х (см. формулу F.23)).
Как и в предыдущем параграфе, будем считать время релаксации
т (Т, о) и скорость газа относительно скачка уплотнения и = Dq0Iq
постоянными и соответствующими некоторым средним значениям темпера-
температуры и плотности в релаксационной зоне. Если конечная степень диссо-
диссоциации очень мала, изменение температуры и плотности не очень велико,
и с целью грубой оценки такое приближение сделать можно. Равновесную
степень диссоциации (а), которая зависит от Т и q, также будем считать
постоянной и равной степени диссоциации в конечном состоянии сц.
Интегрируя с этими допущениями уравнение кинетики и подчиняя реше-
решение начальному условию a = 0 при х = 0, получим

S]
ДИССОЦИАЦИЯ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
387
Если подставить степень диссоциации а, вычисленную по этой фор-
формуле, в выражение G.26), найдем профиль температуры Т (х) (при а = аь
Т = Ti), a затем по формуле G.24) найдем профиль плотности q (х).
Не будем выписывать формул для распределений Т (х) и q (x). Ясно,
что они, так же как и формула G.27), свидетельствуют об асимптотиче-
асимптотическом стремлении этих величин к конечным значениям за фронтом волны
Т\ и Qj. Эффективная ширина релаксационной зоны и фронта, как и сле-
следовало ожидать, равна примерно
Ах ъ* их,
где х — некоторое среднее время релаксации в неравновесной зоне.
Неравновесная диссоциация во фронте ударной волны на опыте
изучалась многими авторами. Целый ряд работ посвящен кислороду.
Рис. 7.15. Распределение плотности за скачком уплотнения в кислороде по
данным [27].
Начальное давление Р« = 19,6 мм рт. ст., начальная температура Т„ = 300° К.
Мэттьюз [27] интерференционным методом измерял распределение плот-
плотности в неравновесной зоне за скачком уплотнения в ударной трубе.
Опытные данные сопоставлялись с теоретическими расчетами, выполнен-
выполненными на основе решения уравнения кинетики диссоциации. Вычислялся
ряд профилей с различными значениями констант, входящих в выраже-
выражение для скорости реакции, и константы выбирались так, чтобы получи-
получилось наилучшее согласие с опытом. (Расчеты профилей делались более
точно, чем это было изложено выше.)	г""' ч
Полученная из опыта скорость диссоциации кислорода была приве-
приведена в § 6 гл. VI. На рис. 7.15 изображен профиль плотности в неравно-
неравновесной зоне ударной волны в кислороде по данным' Мэттыоза. Из рис. 7.15
видно, что ширина фронта ударной волны в условиях опыта порядка
Ах fa 1 см. С. А. Лосев [28] и Н. А. Генералов и С. А. Лосев [29] изме-
измеряли распределение температуры за скачком уплотнения в зоне неравно-
неравновесной диссоциации кислорода по поглощению ультрафиолетового излу-
излучения в полосах Шумана — Рунге молекул О2, которое зависит от
25*

388	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
температуры. По поглощению света изучалась скорость диссоциации
брома и йода в ударной волне [30]. В работах Камака [65], Ринка и др.
[66], Врая и Фримена [91 ] изучалась диссоциация кислорода в ударной
волне; в работе [67] — диссоциация водорода; в работе [68] — дис-
диссоциация и рекомбинация азота. Обзор работ и подробная библиография
даны в книге [90].
§ 9. Ударные волны в воздухе
Воздух представляет собой смесь двух двухатомных газов: азота
и кислорода G9 и 21 % по числу молекул). В ударных волнах, амплитуды
которых соответствуют конечным температурам Тг ~ 3000—8000° К,
наблюдается значительное расширение фронта ударной волны вследствие
диссоциации молекул азота и кислорода. Помимо реакций диссоциации,
в нагретом воздухе протекает реакция окисления азота. Определение
профилей газодинамических величин во фронте волны и ширины фронта
требует совместного решения уравнений кинетики всех этих реакций.
Такие расчеты были проделаны Даффом и Дэвидсоном [32], а также
рядом других авторов. Ряд работ посвящен экспериментальному изуче-
изучению неравновесной зоны в воздухе с помощью ударных труб. Ссылки
на эти работы можно найти в обзоре [31] и в книге [90].
Приведем для иллюстрации результаты расчетов [32] (расчеты были
выполнены с помощью электронной машины). В расчетах принимались
во внимание следующие основные химические реакции:
Во всех этих реакциях М соответствует любому атому или молекуле.
Для трех реакций диссоциации были приняты следующие постоянные
значения скоростей рекомбинации: 3-Ю14, 3-Ю14 и 6-Ю14 моль-2• смв¦ сек-1.
Скорости прямых четвертой и пятой реакций были взяты в форме
/с4==5-1013ехр (	rt~J молъ~1-см3-сек~1,
6200 Л	_t ,,	.
-—5^г- моль 1-см3-сек 1
ял у
(ср. с данными § 8 гл. VI).
Расчеты проводились в двух предположениях: 1) колебательные сте-
степени свободы в каждой точке неравновесной зоны равновесны, 2) кинетика
возбуждения колебаний рассчитывалась одновременно с кинетикой хими-
химических реакций. Распределения температуры и плотности за скачком
уплотнения в ударной волне с числом Маха М = 14,2, распространяю-
распространяющейся по воздуху с ро = 1 мм рт. ст., То = 300° К, показаны на рис. 7.16.
Температура за скачком уплотнения Т' равняется 9772° К, если считать,
что в скачке возбуждаются равновесные колебания, и 12 000° К — без
учета колебаний.
Кривые первого расчета проведены сплошными линиями, второго —
пунктирными. Расхождение кривых не очень велико, но все же заметно,
так как скорости химических реакций не очень сильно превышают ско-

§ 9]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ
389
рости возбуждения колебаний. Ширина фронта волны в указанных усло-
условиях, как видно из рис. 7.16, порядка 5 мм.
Ширину релаксационного слоя в воздухе в области диссоциации
измеряли Н. А. Генералов и С. А. Лосев [33]. Изменение температуры
в релаксационном слое регистрировалось по изменению поглощения света
от постороннего источника в полосах Шумана — Рунге молекул кисло-
кислорода. Давление за фронтом ударной волны было близко к атмосферному.
12
Температура
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Расстояние от скачка уплотнениями
Рис. 7.16. Профили температуры и плотности во фрон-
фронте ударной волны в воздухе счислом Маха М = 14,2.
По оси ординат отложены температура и отношение плот-
плотностей о/оо. Начальное давление Рц = 1 мм рт. ст., темпера-
температура Та = 300° К. Сплошные кривые соответствуют мгно-
мгновенному возбуждению, а пунктирные — конечной скорости
возбуждения колебаний.
При D = 3,7 км/сек Ах г» 0,5 см (средняя температура в слое Т «
« 4500° К); при D = 2,8 км/сек Ах = 1,3 см (Т « 3200° К). Сопоставле-
Сопоставление с расчетами Даффа и Дэвидсона [32] свидетельствует о правильности
выбора основных констант скоростей реакций в этих расчетах.
В одной из последних работ (Рэй, Тир, Хаммерлинг, Кивель [69]) при-
приводится перечень констант скоростей химических реакций, протекающих
в нагретом воздухе. Константы выбраны авторами на основе анализа
имеющегося экспериментального материала и рекомендуются ими для
расчетов неравновесных процессов в ударных волнах. Расчеты струк-
структуры фронта для воздуха, выполненные авторами, согласуются с изме-
измерениями Лина [70] в ударной трубе.
Приводим этот перечень. В последних двух строчках приведены кон-
константы скорости реакций ионизации и рекомбинации электронов, которые
играют важнейшую роль в установлении равновесной ионизации в воз-
воздухе при сравнительно низких температурах.
Реакция
Константа скорости
рекомбинации, смв/моль% - сек
2,2-1020Г-3/2
Третья частица
N2,
о2,
0
о2
N, N0,
N
0, N0,
А
А

390	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
Реакция	Константа скорости	Третья частица
рекомбинации, смв/мольг • сек
N + 0+M^NO + M	2.0.10-Ч-*.	NO.O.N
1ОЮ2Ог3/2	О2, N,, А
Константа скорости,
смз/моль • сек
NO-)-N->-O-fN2	1.3-
>-N + O2	1,0-1012 yV2g-
l,8-10217'-3/a
Константы скоростей обратных процессов для химических реакций
можно выразить через константы скоростей прямых процессов и соответ-
соответствующие константы равновесия.
Подробнейший перечень скоростей различных реакций, протекаю-
протекающих в воздухе, в том числе и с участием заряженных частиц, дан в гл. 11
сборника [92].
Отметим работы [71—75], в которых изучаются релаксационный слой
ударной волне в воздухе и смежные вопросы.
Более подробный обзор работ по ударным волнам в воздухе имеется
в книге [90].
§ 10. Ионизация в одноатомном газе
При температурах за фронтом ударной волны порядка 15 000—
20 000° К газ заметно ионизован. Установление ионизационного равно-
равновесия при таких температурах является наиболее медленным из релак-
релаксационных процессов, и именно оно определяет ширину фронта волны *).
С точки зрения экспериментального изучения ионизации в ударной
трубе особенно привлекательны одноатомные газы. Благодаря отсут-
отсутствию ряда степеней свободы, которыми обладают молекулярные газы,
в одноатомных газах легче достигаются высокие температуры: ~15 000—
20 000° К. Одноатомные газы благоприятны и для проверки теории явле-
явления, так как ионизация (первая) является единственным релаксацион-
релаксационным процессом, расширяющим фронт ударной волны.
Первое подробное исследование такого рода было проведено Петше-
ком и Байроном [35] для аргона.
Рассмотрим ударную волну в одноатомном газе. Заметная ионизация
получается только при весьма большой амплитуде волны, поэтому в скач-
скачке уплотнения достигается предельное сжатие, равное четырем, в соот-
соответствии с показателем адиабаты у' = 5/3. Параметры за скачком уплот-
уплотнения выражаются через число Маха простыми формулами:
-^1-4 ^1--М2 Л-Ам*
Например, при числе Маха М = 18 и начальной температуре То —
= 300° К, что соответствует скорости ударной волны в аргоне D =
= 5,75 км/сек, температура за скачком уплотнения Т' = 30 000° К.
В равновесии, за фронтом ударной волны в аргоне, при начальном
*) Диссоциация молекул при таких температурах происходит очень быстро,
в результате небольшого числа соударений.

§ 10]	ИОНИЗАЦИЯ В ОДНОАТОМНОМ ГАЗЕ	391
давлении р0 = 10 мм рт. ст. газ оказывается ионизованным примерно
на 25%, а температура Tt = 14 000° К.
Толщина скачка уплотнения равна примерно двум-трем газокинети-
газокинетическим пробегам атомов. Перед фронтом ударной волны, а следовательно,
и непосредственно за скачком уплотнения газ если и ионизован, то очень
слабо. После ударного сжатия в высоконагретой частице газа начинается
ионизация. Основным механизмом является ионизация электронным уда-
ударом (см. гл. VI). Однако для того чтобы ионизация развивалась путем
электронных ударов с образованием электронной лавины, необходимо,
чтобы в газе имелось некоторое начальное «затравочное» количество
электронов. Одним из механизмов, которые могут привести к этой началь-
начальной ионизации, является ионизация при соударениях атомов друг с дру-
другом. Как отмечалось в гл. VI, эффективное сечение такого процесса чрез-
чрезвычайно мало. Поэтому для образования «затравочных» электронов
за счет атом-атомных столкновений требуется довольно значительное
время. Соответственно зона за скачком уплотнения, где параметры газа
отвечают ничтожно малой степени ионизации, т. е. равны р/, р', 7", рас-
растягивается на весьма большое расстояние.
Лавинообразная ионизация начинается, когда скорость ионизации
электронным ударом становится больше скорости ионизации ударами
атомов *). Поскольку последняя чрезвычайно мала, лавинообразная
ионизация начинается уже при очень малой «затравке», при степени иони-
ионизации а —¦ 10~5—10~3. Оставим пока в стороне вопрос об образовании
«затравочных» электронов и рассмотрим основной процесс ионизации
электронным ударом, в результате которого степень ионизации выра-
вырастает от очень малых до равновесных значений (сц = 0,25 в приведен-
приведенном выше примере).
При постоянной электронной температуре Те лавина нарастает по
экспоненциальному закону типа пе ~ а ~ е'/т (см. § 11 гл. VI) до тех
пор, пока рекомбинация не начинает заметно компенсировать иониза-
ионизацию. После этого степень ионизации постепенно приближается к равно-
равновесной, при которой рекомбинация в точности компенсирует ионизацию.
В действительности развитие лавины происходит более сложным
образом. Дело в том, что в каждом акте ионизации электронный газ
теряет энергию, равную потенциалу ионизации / (который в аргоне
равен 15,8 эв). Температура же электронного газа порядка 10 000° К, т. е.
тепловая энергия одного электрона порядка 1,5 эв. Таким образом, на об-
образование одного нового электрона затрачивается энергия, равная тепло-
тепловой энергии примерно десятка электронов. Если бы тепловая энергия
электронов не восполнялась, электронная температура быстро упала бы.
Вместе с нею упала бы и скорость ионизации, которая чрезвычайно резко,
по больцмановскому закону типа e-1lWIe, зависит от электронной темпе-
температуры (см. § 11 гл. VI).
Потери энергии электронов на ионизацию восполняются благодаря
передаче электронам энергии от нагретого в скачке уплотнения атомного
таза. Однако обмен энергией между тяжелыми частицами и электронами
вследствие большого различия их масс протекает крайне медленно,
ж именно этот процесс обмена ограничивает скорость развития элек-
электронной лавины и определяет время достижения равновесной ионизации.
При очень малой степени ионизации ионов мало, и электроны приоб-
приобретают энергию при соударениях с нейтральными атомами. Но эффектив-
*) Либо ионизации за счет других процессов. О возможных механизмах образо-
образования затравочных электронов речь пойдет ниже.

392	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VI!
ность таких соударений при электронной температуре Те ~ 1 - эв «
ж 104° К примерно в 103 раз меньше эффективности соударений элек-
электронов с ионами. Поэтому передача энергии от атомов электронам суще-
существенна только в самом начале процесса и уже при небольшой иониза-
ионизации а ~ 10 основную роль приобретает обмен энергией между нонами
и электронами. Ионы имеют температуру, совпадающую с температурой
атомов, так как вследствие одинаковости масс обмен энергией между
атомами и ионами осуществляется очень быстро. Таким образом, неболь-
небольшое количество ионов в данном случае служит как бы посредником при
передаче энергии от атомов к электронам, В самом электронном газе энер-
энергия распределяется быстро, так что можно говорить об электронной тем-
температуре Те, которая, естественно, отличается от температуры тяжелых
частиц — атомов и ионов Т.
Электроны не только ионизуют, но и возбуждают атомы. Энергия
первого возбужденного уровня атома аргона равна Е* = 11,5 эв.
При значительных электронных концентрациях возбужденные атомы
дезактивируются электронными ударами второго рода. Энергия возбуж-
возбуждения при этом вновь возвращается к электронному газу. Однако при
электронных температурах порядка и, в особенности, больше 1 эв иони-
ионизация возбужденного атома при электронных ударах становится более
вероятной, чем дезактивация (для ионизации требуется не слишком боль-
большая энергия: / — Е* = 4,3 эв). Ионизация при этом протекает в две сту-
ступени: сначала атом возбуждается, потом ионизуется. Затрата энергии
на ионизацию при таком двухступенчатом процессе все равно остается
равной потенциалу ионизации: Е* + (/ — Е*) = /. Возможны и много-
многоступенчатые процессы, когда при столкновениях электронов с возбуж-
возбужденным атомом он ионизуется не сразу, а претерпевает один или несколько
актов повышения степени возбуждения (см. гл. VI).
Если ионизация возбужденных атомов происходит быстро по срав-
сравнению с дезактивацией и возбуждением невозбужденных атомов, то ско-
скорость ионизации по существу определяется только скоростью возбуж-
возбуждения (по формуле F.79)). Именно такое предположение делали Петшек
и Байрон [35], считая, что каждый атом «мгновенно» ионизуется вслед
за актом возбуждения. Возбужденные атомы частично высвечивают свою-
энергию. Возникающий в результате высвечивания квант поглощается
по соседству другим, невозбужденным, атомом (эффективное сечение
поглощения резонансных квантов очень велико), который в свою очередь
высвечивается и т. д. *).
Составим систему уравнений, которая приближенно описывает про-
процесс ионизации и распределения газодинамических величин в ударной
волне. Для простоты ограничимся случаем малой ионизации: а < 1.
Будем для удобства относить энергию и другие термодинамические вели-
величины не к 1 г, а к одному исходному атому газа.	-
*) Резонансные кванты, рожденные в нагретой зоне за фронтом ударной волны,
диффундируя по газу и проникая через поверхность фронта, выходят и за пределы
нагретой области. После этого они диффундируют в невозмущенном газе, опережая
распространение ударной волны. Благодаря диффузии резонансного излучения перед
фронтом на больших расстояниях возникает заметная концентрация возбужденных
атомов. Этот процесс был рассмотрен Л. М. Биберманом и Б. А. Векленко [34]. Они
показали, что на расстоянии 1 м от фронта волны в аргоне с р0 = Юлгжрт. ст., М = 18,
Т% = 14 000° К концентрация возбужденных атомов достигает 5-1013 см'3, что соответ-
соответствует «температуре» возбуждения ~ 13 500° К, лишь немного меньшей температуры
резонансного излучения, выходящего с поверхности фронта и равной Т±.

§ 10]	ИОНИЗАЦИЯ В ОДНОАТОМНОМ ГАЗЕ	393
Энтальпия на исходный атом равна
iv = ~kT + ~akTe + aI.
Из приближенного условия постоянства энтальпии в релаксационной
зоне и условия а < 1 следует связь степени ионизации с атомной темпе-
температурой, аналогичная G.26):
а = 4^=^,	G.28)
z 1 ион
где Т1Юп = Ик (в аргоне Тиов = 1,83-105°К).
Давление газа равно р = пкТ + пакТе » пкТ, где п = геа + щ =
= па + ие — суммарное число атомов и ионов в 1 ел*3. Его можно выра-
выразить через температуру атомов и степень ионизации из уравнения прямой
G.18). С меньшей точностью его можно определить из приближенного
условия постоянства давления в релаксационной зоне р « пкТ ж п'кТ'.
Это дает
ra = 4rao(l—1^)~\	G.28')
где п0 — число атомов в 1 см3 перед фронтом.
Уравнение кинетики для степени ионизации а = пе/п есть
dt	dx
G.29)
Здесь q представляет собою алгебраическую сумму всех членов,
описывающих возникновение и исчезновение свободных электронов
в 1 см3 в 1 сек. В основной области q определяется ионизацией атомов
электронным ударом. В рамках предположения Петшека и Байрона,
например, q представляет собою в этой области скорость возбуждения
атомов q = а%пепа, где константа скорости а* дается формулой F.79).
В самом начале процесса, сразу за скачком уплотнения, q определяется
процессами, приводящими к образованию «затравочных» электронов
(атом-атомными столкновениями и т. д.; см. ниже). На последней стадии,
в области приближения к равновесию, в q следует учитывать реком-
рекомбинацию.
Скорость ионизации электронным ударом зависит от температуры
электронного газа, которая подчиняется уравнению баланса электрон-
электронной энергии. Обозначим 2е, we = — akTe энтропию и энтальпию элек-
тронов, приходящиеся на один исходный атом; ре = пакТе — элек-
электронное давление. Имея в виду, что dldt = udldx, запишем уравнение
баланса
m dXa	/" dw~ 1 dp- \ 1 ,	ч	m oa\
uTe-—— = и ( —	-p- ) = — (wea — соЛ,	G.30)
e dx	\ dx	n dx J n v ea '¦"	v >
где coeo — приток тепла в 1 см3 в 1 сек за счет передачи энергии от ионов
и атомов электронам, а оо; — потери энергии электронов на ионизацию
(в 1 см3 в 1 сек)*). Согласно F.121)
&	)	П	Ы	е	G.31)
I \ at /обм	I	тобм
*) Уравнение G.30) можно вывести и из уравнений типа A.10), A.6), записанных
для электронного газа. При этом, однако, следует учесть, что при наличии градиентов
макроскопических величин в ионизованном газе обязательно происходит небольшая
поляризация, в результате которой возникают электрические поля, препятствующие

394	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
где l/xO6M = l/xei-\-l/xea; xei — характерное время для обмена энергией
между ионами и электронами (формула F.120)), хеа — между нейтраль-
нейтральными атомами и электронами (формула F.122)). Потери энергии на иони-
ионизацию равны
щ = 1д = 1пи~.	G.32)
Система дифференциальных уравнений G.29) и G.30) относительно
а (х), Те (х) и алгебраических уравнений G.28) и G.28'), которые дают
Т (а), п (а) с соответствующим образом определенной скоростью иониза-
ионизации q, дает возможность найти распределения всех величин в зоне релак-
релаксации. Фактически скорости обмена и неупругих потерь wea и <вг в зна-
значительной степени компенсируют друг друга: аеа — сог < соеа, сог, так
что в подавляющей части зоны релаксации уравнение баланса G.30)
сводится к алгебраическому соотношению соеа да со,-, которое позволяет
выразить а в виде функции Те. Именно так поступали Петшек и Байрон
при расчете ширины зоны релаксации.
Основную трудность при рассмотрении ионизации в релаксационной
воне представляет вопрос об образовании затравочных электронов.
Эффективные сечения ионизации ударами атомов фактически неизвестны
(см. § 15 гл. VI). Имеющиеся в литературе экспериментальные данные
для аргона [37, 38] относятся к энергиям в несколько десятков элек-
тронвольт. Поэтому при расчетах приходится задаваться какими-то более
или менее разумными значениями сечений. Расчеты структуры зоны
релаксации в аргоне были сделаны Бондом [36], Л. М. Биберманом
и И. Т. Якубовым [93] *). Для иллюстрации приведем рассчитанные
в последней работе распределения атомной и электронной температуры
и степени ионизации для числа Маха М = 16, D = 5,1 км/сек и началь-
начального давления р0 = 10 мм рт. ст. (рис. 7.17). Эти кривые рассчитаны
в предположении, что атомы ионизуются электронным ударом прямо
с основного уровня, а сечение ионизации ударами атомов вблизи порога
заметному разделению зарядов (подробнее см. § 13). Поле поляризации Е обеспечи-
обеспечивает «жесткую» связь электронного и атомно-ионного газов. При учете действия поля
в уравнениях движения и энергии электронов появляются дополнительные члены
тепд —-- = —Vpe — епеЕ,
— Г С— кТ 4- тем« ^1 1 л.А- Г	С 5 кТ 4- "^ ^ 1 —	Т?
dt L е Ч 2 е 2yJ	Lee\2 e 2 yj ea ' в е'
Вследствие крайней малости массы электронов инерционный член в уравнении движе-
движения электронного газа очень мал и градиент электронного явления уравновешивается
действием электрического поля поляризации: — епеЕ = Vpe. Подставим эту величину
в уравнение энергии, пренебрежем малой кинетической энергией электронного газа
и перейдем к одномерному стационарному случаю. Замечая еще, что скорость электрон-
электронного газам,, практически не отличается от скорости атомно-ионного газа и, имея в виду
интеграл уравнения непрерывности пи = const и определение пе = an, получим
уравнение G.30). Выпишем также уравнения движения и энергии для атомно-ионно-
атомно-ионного газа:
du
*) В работе [35] приводятся только значения полной ширины зоны.

10]
ИОНИЗАЦИЯ В ОДНОАТОМНОМ ГАЗЕ
395
Т.О
в зависимости от энергии столкновения е аппроксимируется прямой линией
с наклоном С = 1,2-Ю-20 см2/эв, так что при е = / + 1 эв сечение а =
= 1,2-Ю-20 см2 (см. гл. VI). Из рис. 7.17 видно, что вначале ионизация
чрезвычайно мала и развивается очень медленно. Электронная темпе-
температура довольно быстро поднимается до некоторого значения Те я* 1,3 эв
и затем остается почти постоянной.
В этой области поступление энергии
от ионов компенсируется потерями на
ионизацию. Надо сказать, что время на-
накопления затравочных электронов за счет
атом-атомных столкновений должно слабо
зависеть от выбора сечения. В случае Тв=
= const оно вообще не зависит от сечения
атом-атомной ионизации и определяется
временем последующего развития элек-
электронной лавины (это было показано в кон-
конце § 13 гл. VI). Как показывают расчеты
[93], учет ступенчатого характера иони-
ионизации электронным ударом с предвари-
предварительным возбуждением атомов значи-
значительно сокращает время ионизации и
ширину зоны релаксации только при
числах Маха ударной волны меньше 13—
12; при М > 13 это уменьшение незначи-
незначительно.
Опыты по изучению ионизационной
релаксации в аргоне были проведены
Петшеком и Байроном [35] на ударной
трубе. Чтобы расширить неравновесную
область и увеличить времена релакса-
релаксации, сделав их доступными для измере-
измерений, работа велась при весьма низких на-
начальных давлениях аргона. Наиболее
надежные измерения были сделаны при
се
0J0
0,05
х,см 4 3 2 1
Рис. 7.17. Распределение элек-
ной волне в аргоне в предположе-
предположении, что начальные электроны об-
образуются за счет атом-атомных
столкновений. Число Маха 16,
давление перед фронтом 10 мм
рт. ст., начальная температура
293° К.
, л	г,	- тронной и атомной температур Те,
ро=2 мм рт. ст. Распределение электрон- /и степени ионизации ? вЗУДар-
нои плотности в ударной волне определя-
определялось путем регистрации сплошного спек-
спектра свечения, которое возникает при элек-
электрон-ионной рекомбинации и интенсив-
интенсивность которого в данном сечении х ударной
волны пропорциональна квадрату плот-
плотности электронов (газ прозрачен для из-
излучения). Кроме того, проводились зондовыеизмерения градиентов элек-
электронной плотности, которые согласовывались с измерениями свечения.
Опыты показали, что ширина зоны релаксации, которая в значительной
мере определяется скоростью начальной ионизации, сильно зависит от
степени очистки аргона, т. е. в образовании затравочных электронов
существенную роль играют примеси (с низкими потенциалами иони-
ионизации).
Приведем некоторые результаты измерения времени ионизационной
релаксации в аргоне.
Времена релаксации и примерные ширины фронта пересчитаны
к начальному давлению р0 = 10 мм рт. ст. (они обратно пропорцио-

10,3
11,5
13,4
16,4
20,3
10 000
12 500
16 700
25 000
40 000
108
100
17
3
0,
0,
сек
5
1
Ах, см
~6,5
	1
-0,2
~ 0,032
~ 0,006
396	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII.
нальны плотности газа). Значения относятся к весьма чистому газу, с со-
содержанием примесей ~5-10-3.
М	Т'°, К	D, км/сек
3,3
3,7
4,3
5,25
6,5
Опыт показывает, что In т, грубо говоря, линейно зависит от 1/1",
т. е. что т ~ exp (const/71'). Константа в этом законе соответствует
энергии активации примерно 11,5 эв.
Сопоставление опытных данных о распределении электронной плот-
плотности с расчетами лавинной ионизации показало, что лавина развивается
только после того, как начальная ионизация достигает величины порядка
0,1 от равновесной, или абсолютной величины а ~ К)-2. Вопрос о при-
природе начальной ионизации в работе [35] так и остался невыясненным.
Оценки показали, что ионизация в результате атом-атомных соударений
или фотоионизация квантами, рождающимися в равновесной зоне, не мо-
может обеспечить быстрое образование большого количества начальных элек-
электронов, которое нужно для объяснения опытных данных. Свидетельством
недостаточности механизма атом-атомных соударений может служить.
тот факт, что расчеты с учетом только этого механизма приводят к време-
временам релаксации, которые в десятки раз больше экспериментальных [93].
В ряде работ высказывались различные предположения о механизме
начальной ионизации, в частности предположение о том, что играет роль
диффузия электронов, проникновение их из области с большой сте-
степенью ионизации в зону, где ионизация мала, и даже в газ перед фронтом
ударной волны. (Изучению диффузии электронов в ударной волне посвя-
посвящены работы [39, 76, 77].)
Отмечалась роль возбуждения атомов перед фронтом резонансным
излучением, выходящим из равновесной области [94].
Анализ различных механизмов ионизации в ударной волне в аргоне
(и вообще одноатомных газов) содержится в уже цитированной выше-
работе Л. М. Бибермана и И. Т. Якубова [93]. Авторы исследовали влия-
влияние вариаций в выборе эффективных сечений ионизации ударами элек-
электронов и атомов, роль ступенчатых и радиационных процессов. Они
пришли к выводу о том, что в ускорении образования начальных элек-
электронов решающую роль должно играть возбуждение атомов резонансным
излучением, выходящим из равновесной зоны. Благодаря этому эффекту
сильно повышается концентрация возбужденных атомов, которые легко-
ионизуются электронным ударом. Учет этого позволил авторам значи-
значительно сократить расхождения между расчетными и экспериментальными
значениями времени релаксации и добиться удовлетворительного согла-
согласия тех и других. Надо сказать, что в вопросе об ионизационной релак-
релаксации, в особенности о механизме начальной ионизации, полной ясности;
еще нет. Отметим работу [95], в которой изучалась релаксация в ксеноне,
и работу [96] о влиянии излучения.
§ 11. Ионизация в воздухе
Ионизация в ударных волнах в воздухе изучалась в ранних работах
[40, 41, 70, 78, 79, 80] и особенно тщательно в опытах [87]. В последних
опытах в ударной трубе исследовались волны со скоростями 4,5—7 км/сек-
(числа Маха 14—20) при начальных давлениях 0,02—0,2 мм рт. ст. Изме-

$ 11]	ИОНИЗАЦИЯ В ВОЗДУХЕ	397
рения показали, что ионизация развивается очень быстро и достигает
величины порядка равновесной на расстояниях от скачка уплотнения,
равных 40 -е- 10 газокинетическим пробегам в невозмущенном воздухе.
Степени ионизации при этом имеют порядок Ю-4—Ю-3, причем в зоне
релаксации степень ионизации проходит через максимум, который может
в несколько раз превышать равновесное значение.
В разделе 2 гл. VI уже отмечалось, что механизм ионизации в таком
молекулярном газе, как воздух, при не слишком больших амплитудах
ударной волны существенным образом отличается от механизма иони-
ионизации в одноатомных газах. Свободные электроны в воздухе образуются
преимущественно в результате ассоциативной ионизации, при которой
два атома объединяются в молекулу с одновременным отрывом электрона
и образованием молекулярного иона. Основным процессом, требующим
наименьшей энергии активации, является реакция
N + О + 2,8 эв ->- N0+ + е.
Поскольку потенциалы ионизации всех компонент воздуха гораздо
больше затраты энергии при такой реакции, последняя (при не слиш-
слишком высоких температурах) протекает гораздо скорее, чем непосредст-
непосредственная ионизация атомов и молекул ударами частиц. Константа скорости
указанной главной реакции ионизации приведена в таблице §9. Поскольку
в ионизации воздуха существенную роль играют атомы, расчеты кине-
кинетики ионизации в воздухе основаны на расчетах диссоциации моле-
молекул (вообще химических превращений). Такие расчеты выполнены
в работе Лина и Тира [86], причем они хорошо согласуются с измерени-
измерениями [87].
Расчеты (для скоростей ударных волн не выше 9 км/сек) показали,
что ионизация происходит быстро, даже быстрее, чем химические пре-
превращения, так что в зоне релаксации степень ионизации в какой-то мере
приходит в равновесие с химическим составом газа и «следит» за изме-
изменением степени диссоциации молекул.
Ионизация в воздухе при скоростях ударной волны несколько больше
10 км/сек (9—15 км/сек) рассматривалась в работе Л. М. Бибермана
и И. Т. Якубова [97]. При этом были учтены химический состав воздуха
в зоне релаксации и возбуждение атомов и молекул. В отличие от слу-
случая малых скоростей диссоциация происходит быстро по сравнению
¦с ионизацией и ионизация в основном развивается в атомарном газе.
Реакции ассоциативной ионизации играют определяющую роль в созда-
создании начальных электронов; по мере возрастания электронной плотности
все большее значение приобретает ступенчатая ионизация электронными
ударами, причем энергия электронов, как и в одноатомном газе, воспол-
восполняется за счет передачи энергии от ионов.
При вычислении скорости ионизации атомов и молекул электронным
ударом в работе [97] использован метод объединения возбужденных
и ионизованного состояний в одну группу. Этот метод, предложенный
в работе Л. М. Бибермана и К. Н. Ульянова [99], может оказаться полез-
полезным и при рассмотрении других вопросов, связанных с нарушением
ионизационного равновесия. Он состоит в следующем.
Предположим, что ударное возбуждение и ионизация атомов, пре-
пребывающих в основном состоянии, а также обратные процессы: дезакти-
дезактивация с переходом атома на основной уровень и рекомбинация в тройном
столкновении с захватом электрона на основной уровень происходят
сравнительно медленно. В то же время допустим, что повышение степени

398	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. "VIJ
возбуждения электронным ударом и ионизация возбужденных атомов,
так же как и соответствующие обратные процессы, происходят относи-
относительно быстро.
Скорости реальных процессов в какой-то мере находятся имени»
в таком соотношении, так что указанное допущение имеет смысл. Но при
таком положении можно приближенно считать, что среди различных воз-
возбужденных состояний устанавливается больцмановское распределение,
а между возбужденными и ионизованным состояниями атома устанавли-
устанавливается равновесие Саха. Другими словами, все возбужденные и иони-
ионизованное состояния можно объединить в одну группу, приписав этой
группе состояний определенную температуру, равную температуре элек-
электронного газа. Плотность же электронов, так же как и соотношение
между плотностями электронов (или возбужденных атомов) и атомов
в основном состоянии, уже не описываются формулой Саха, т. е. не явля-
являются равновесными. Они определяются из уравнения кинетики, кото-
которое описывает переходы атомов между основным состоянием и состоя-
состояниями, принадлежащими к группе возбужденных и ионизованного состоя-
состояний. При желании этот метод можно уточнять, выделяя самые низшие
возбужденные уровни из группы и записывая для концентрации атомов
в этих состояниях отдельные уравнения кинетики. В работе [99] опи-
описанным способом рассмотрено влияние выхода излучения из ограничен-
ограниченного газового объема на отклонение состояния газа от термодинамическо-
термодинамического равновесия.
Ионизацию в воздухе при больших скоростях ударной волны, в де-
десятки! километров в секунду (применительно к проблеме движения
в атмосфере метеоритных тел), рассматривал В. А. Бронштэн [98].
12. Ударные волны в плазме
Интересными особенностями обладает структура фронта ударных
волн, распространяющихся по ионизованному газу. Эти особенности былв
отмечены одним из авторов [42]; количественные расчеты структуры
фронта были сделаны В. Д. Шафрановым [43]; см. также работы
В. С. Имшенника [51], Джакса [44], Тайдмена [44а], С. Б. Пикель-
нера [85]. Основные черты структуры связаны с замедленным характером
обмена энергией между ионами и электронами и большой подвижностью-
электронов, благодаря которой электронная теплопроводность во много-
раз превышает теплопроводность ионов.
Максвелловские распределения в электронном и ионном газах уста-
устанавливаются весьма быстро, за время порядка времени между «соударе-
«соударениями» частиц *). Выравнивание же температур обоих газов вследствие
огромного различия масс электронов и ионов происходит гораздо медлен-
медленнее. Этот релаксационный процесс и определяет ширину фронта ударной
волны в плазме.
Выясним качественно, к чему приводит малая скорость обмена энер-
энергиями электронов и ионов, для чего предположим сначала, что электрон-
электронная теплопроводность не отличается от ионной. Кроме того, будем счи-
считать, что ионизация происходит не в самой ударной волне, а волна рас-
распространяется по уже ионизованному газу.
В системе координат, связанной с волной, значительная часть кине-
кинетической энергии газа, набегающего на скачок уплотнения под дейст-
*) О понятии «соударения» заряженных частиц, взаимодействующих по куло-
новскому закону, см. в § 20 гл. VI.

§ 12]	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ	399
вием сил ионной вязкости, необратимо переходит в тепло. Повышение
ионной температуры в скачке уплотнения по порядку величины равно
АТг ~ niiD'/k, где mt — масса иона, &D — скорость набегающего потока,
равная скорости фронта ударной волны. Толщина вязкого скачка опре-
определяется временем между ионными столкновениями xt; она — порядка
длины пробега ионов Zj ~ vx,, где v — D — тепловая скорость ионов
в скачке уплотнения (определение т; дано в § 20 гл. VI). За время уплот-
уплотнения %i ионный газ не успевает передать электронному газу сколько-
нибудь заметную тепловую энергию, так как характерное время обмена
Tej ~]/ milme-Xi, очень велико. Для ионов со средними массами xei
в сотни раз больше времени тг; для протонов — в 43 раза больше, чем т(.
Приращение температуры электронов в скачке уплотнения за счет
превращения кинетической энергии набегающего потока электронного
газа в тепло под действием сил электронной вязкости ничтожно мало.
Оно порядка АТе ~ meD2/k, т. е. в milme раз меньше A7V Нагревание
электронного газа в скачке уплотнения происходит по другой причине.
Электроны и ионы связаны между собой электрическими силами вза-
взаимодействия, причем связь эта очень сильна. Малейшее разделение элект-
электронного и ионного газов приводит к возникновению мощных электриче-
электрических полей, которые препятствуют дальнейшему разделению. Поэтому
каждая частица плазмы остается электрически нейтральной. Плотность
электронов пе всегда совпадает с плотностью положительных зарядов Znt
(Z — заряд ионов, пе и щ — числа электронов и ионов в 1 см3). В скачке
уплотнения электронный газ ведет себя не независимо, а сжимается
точно так же, как ионный. Можно сказать, что электроны «жестко при-
привязаны» к ионам электрическими силами. Эти силы являются «внешними»
по отношению к электронному газу и не производят диссипации. Посколь-
Поскольку диссипация энергии за счет действия сил электронной вязкости
ничтожно мала, в скачке уплотнения происходит адиабатическое сжатие
и нагревание электронного газа.
Так, например, при сжатии водородной плазмы сильной ударной
волной плотность ее повышается в скачке уплотнения в четыре раза,
в соответствии с показателем адиабаты у = 5/3. Температура ионов
может возрастать очень сильно, если амплитуда волны высока, темпера-
температура же электронов в скачке уплотнения возрастает только в 4V-1 =
= 42/з = 2,5 раза.
Поэтому в сильной ударной волне, распространяющейся по плазме
с одинаковыми температурами электронов и ионов, за скачком уплотне-
уплотнения возникает резкое различие температур обоих газов; затем в частице,
испытавшей ударное сжатие, начинается процесс передачи тепловой
энергии от ионов к электронам, который приводит к выравниванию темпе-
температур через время порядка времени обмена xei (см. § 20 гл. VI).
Ширина релаксационной зоны за скачком уплотнения, где происхо-
происходит приближение к равновесному состоянию плазмы с равными темпера-
температурами Те = Tt = Ти имеет порядок Да; ~ uxxei (щ = — /)). Конечная
температура Ту определяется общими уравнениями сохранения для
фронта ударной волны. Таким образом, в отсутствие эффектов, связанных
с существованием повышенной электронной теплопроводности, распреде-
распределение температур во фронте волны должно иметь вид, изображенный
на рис. 7.18.
Если возбуждения каких-либо иных степеней свободы, кроме ранее
«замороженных» поступательных степеней свободы электронов, нет (как

400
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Т,
это имеет место в полностью ионизованном газе), то плотность газа и дав-
давление в релаксационной зоне остаются строго неизменными. Действи-
Действительно, показатели адиабаты газа с «замороженными» и равновесными
степенями свободы совпадают и равны у = 5/3, так что сжатие в скачке
уплотнения происходит по ударной адиабате, совпадающей с ударной
адиабатой конечного состояния. Физическая причина, очевидно, состоит
в том, что давление определяется только средней поступательной энер-
энергией частиц, которая при обмене остается неизменной и не зависит от рас-
распределения ее между частицами.
Рассмотрим теперь, какое влияние оказывает на структуру фронта
электронная теплопроводность. До сих пор всегда считалось (и для этого
имелись все основания), что диссипа-
тивные процессы, вязкость и тепло-
теплопроводность, играют роль только в
области больших градиентов, в скачке
уплотнения, где макроскопические ве-
величины сильно меняются на расстоя-
расстояниях порядка газокинетического про-
пробега. В релаксационной же зоне,
простирающейся на расстояния, исчис-
исчисляемые многими пробегами, градиенты
малы и диссипативными процессами
можно пренебречь. В самом деле, ха-
характерным масштабом, служащим кри-
критерием малости градиентов, является
масштаб длины, составленный из
транспортных коэффициентов и скорости фронта. Транспортные коэффи-
коэффициенты, например, температуропроводность атомов, порядка % ~ lv/З и
масштаб длины X~x/D ~ lv/D ~ I порядка газокинетического пробега,
так как тепловая скорость атомов во фронте v порядка скорости фронта/).
Коэффициент электронной температуропроводности %е равен примерно
о
Рис. 7.18. Профили ионной и элект-
электронной (пунктир) температур во фрон-
фронте ударной волны в плазме без учета
электронной теплопроводности.
где 1е —• длина пробега электронов, ve — их тепловая скорость, а те —
время между «столкновениями» электронов друг с другом.
Как было показано в §20гл. VI, длина пробега заряженных частиц не
зависит от их массы, а зависит только от заряда и температуры I ~ T^IZ*.
При сравнимых температурах и в легких газах, например в водо-
водороде (Z = 1), длины пробега электронов и ионов одного порядка. Ско-
Скорость же электронов в Ymt/me раз больше скорости ионов. Поэтому
коэффициент электронной теплопроводности в \^mt/me раз больше коэф-
коэффициента ионной теплопроводности, и характерный масштаб, на котором
разыгрывается процесс электронной теплопроводности,
к.-^-
l
D
щ
Этот масштаб такого же порядка, что и ширина релаксационной зоны
выравнивания температур электронного и ионного газов:
Ах ~ Dxei~D l/^T, ~ S л/^

;§ 12]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
401
Поэтому по отношению к электронной теплопроводности градиенты
в релаксационной зоне не малы и теплопроводностный теплообмен в этой
зоне сравним с теплообменом между ионами и электронами. Электронная
теплопроводность способствует скорейшему выравниванию температур
за вязким скачком, так как она перекачивает тепло из более удаленных
от скачка уплотнения слоев газа в передние, где электронная темпера-
температура меньше. Кроме того, и этот эффект чрезвычайно существен, элек-
электронная теплопроводность приводит к прогреванию газа перед вязким
скачком уплотнения. Если «горячие» ионы не могут далеко вырваться
из-за скачка уплотнения в область
перед скачком (их тепловая ско-
скорость сравнима со скоростью рас-
распространения скачка по невозму-
невозмущенному газу), то «горячие» элект-
электроны с успехом проникают вперед
и опережают скачок уплотнения,
так как их скорость примерно в
Т,
Рис. 7.19. Профили ионной и электронной
(пунктир) температур во фронте ударной
волны, распространяющейся по холодной
плазме.
раз больше скорости фрон-
фронта. Перед скачком уплотнения об-
образуется прогревный слой. В этом
слое электронная температура вы-
выше, чем ионная, ибо прежде всего
нагревается электронный газ и
только потом тепло частично передается ионам. В скачке уплотнения
происходит резкое возрастание ионной температуры. Электронная темпе-
температура не меняется, так как ее скачкообразному повышению препят-
препятствует сглаживание за счет большой теплопроводности. Скачок уплотнения
имеет «изоэлектронно-термический» характер. Распределение температур
во фронтев олны с учетом электронной теплопроводности показано на
рис. 7.19.
Оценим ширину прогревного слоя перед скачком уплотнения. Будем
считать для простоты, что передачи энергии от прогревающегося элек-
электронного газа к ионному нет, а также, что газ перед скачком уплотнения
не сжимается и не тормозится (в системе координат, где фронт покоится).
Точные расчеты оправдывают эти упрощающие предположения. Поток
электронной теплопроводности равен
= — кй
dTe
dx
dTe
dx
G.33)
где %е = Xece — коэффициент теплопроводности, се — теплоемкость 1 см3
электронного газа при постоянном объеме.
Эффективный коэффициент электронной теплопроводности равен
эрг/сек-см-град,
где In Л — кулоновский логарифм (см. § 20 гл. VI), а |—число, слабо
зависящее от Z: 1A) = 0,95; 1B) = 1,5; 1D) =2,1*).
*) Приведем для справочных целей формулу для электропроводности плазмы:
Y(l)=0,58; yB)=0,68; YD)=0,78.
26 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

402	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
В силу стационарности процесса поток теплопроводности в прогрев-
ном слое равен гидродинамическому потоку электронной энергии*):
-S = DceTe = Xece^	G.34)
(начальная температура электронов перед фронтом предполагается рав-
равной нулю; далеко перед волною поток S исчезает).
Замечая, что %е ~ vje ~ Ть/* или %е = аТ&/2, где а = const и инте-
интегрируя уравнение G.34), найдем
2	- 5
ИЛИ
2
G.35)
где х0 — координата переднего края зоны прогрева, где температура
обращается в нуль. Профиль температуры, описываемый этой формулой,
изображен схематически на рис. 7.19. Если поместить начало координат
х = 0 в точку, где расположен скачок уплотнения, и обозначить темпе-
температуру в этой точке через Те0 (электронная температура на скачке не
меняется), то ширину прогревного слоя можно записать в виде
5
,2а гр2 	 2 Хе (ТеО)	/7 Qfi\
При учете электронной теплопроводности температура электронов на
скачке имеет такой же порядок, что и за фронтом волны, так что
ширина прогревного слоя имеет такой же порядок, что и ширина релак-
релаксационной зоны за скачком:
Ширина прогревного слоя перед скачком уплотнения довольно
быстро возрастает с повышением амплитуды волны. Если принять во вни-
внимание, что %е ~ Т'^ь ~ Т^ъ, a D ~ Т\1г, то из формулы G.36) найдем
зависимость \хо\ о* Т\~ D*.
Полученный профиль температуры характерен для нелинейной теп-
теплопроводности, когда коэффициент теплопроводности уменьшается с пони-
понижением температуры **). При обычной теплопроводности с постоянным
коэффициентом х = const, % = const, мы получили бы из уравнения энер-
энергии, что прогревание экспоненциально простирается до бесконечности:
Т = Т,е~^, Т1 = Т(х = 0),
где характерный масштаб ж4 = %ID. При обычной теплопроводности
эффективная ширина зоны прогрева xlt в отличие от нелинейной, умень-
уменьшается с возрастанием амплитуды волны: х^ ~ D~x ~ Т1^.
*) Это есть первый интеграл уравнения энергии для данного случая:
атг _ as .	дте_ as . DcT__s
**) Подробнее о нелинейной теплопроводности см. в гл. X.

$12]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
403
При учете электронной теплопроводности в очень сильной ударной
волне неионизованный газ сильно прогревается и ионизуется еще перед
скачком уплотнения, так что качественные особенности структуры волны,
распространяющейся по ионизованному газу, остаются в сило и в том
случае, если волна бежит по неионизованному газу.
-2,16
Рис. 7.20. Профили температур' и плотности для сильной
ударной волны в плазме (рисунок взят из работы [43]).
Электронпая температура на скачке равна X* = 0,93 Гц ионные
температуры перед и за скачком Т{х = 0,16 Гь Т1г = 1,24 Т\. Плот-
Плотности перед и за скачком: Qoi/Qo = 1,13, Q02/Q0 = 3,53.
Для строгого расчета структуры фронта ударной волны в полностью
ионизованном газе к общим гидродинамическим уравнениям с учетом
потока электронной теплопроводности типа G.10) следует добавить энтро-
энтропийное уравнение для электронного газа, сходное с G.30):
dS"	dS '	G.37)
dx
dx
где aei — энергия, передаваемая в 1 см3 в 1 сек от ионного газа к элект-
электронному; она дается формулой G.31).
Скорости и сжатия обоих газов в каждой точке предполагаются оди-
одинаковыми (пе = Znt). Энтальпия плазмы, приходящаяся на один ион,
и давление равны
w = щ + we = у kTt + Z у кТе,
nekTe.
Энтропия электронного газа, рассчитанная на один ион, равна
з	з
2е = Zk In —- + const = Zk In — -
ne	Q
-const.
G.38)
Найдем условие, определяющее электронную температуру в скачке
уплотнения.
Проинтегрируем уравнение G.37) по области скачка уплотнения,
устремляя ширину ее к нулю и принимая во внимание, что электронная
температура на скачке непрерывна (она равна Те0). Отмечая индексами
01 и 02 величины перед и за скачком уплотнения, запишем результат
интегрирования:
ео^вО1п-- = ЛО2 — Д01.	G.39)
26*

404	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
Поток на разрыве испытывает скачок; разность потоков по обе сто-
стороны разрыва соответствует работе изотермического сжатия электронного
газа «внешними» силами, действующими со стороны ионов.
Систему уравнений, описывающих структуру фронта, можно решить
только путем численного интегрирования. Это было сделано В. Д. Шаф-
Шафрановым [43] для предельного случая сильной волны (Pi/роУ 1) в водо-
водородной плазме (Z = 1) с нулевой начальной температурой. Профили
температуры и плотности приведены на рис. 7.20. Температура 7\ здесь
произвольна (она пропорциональна квадрату скорости волны D). За еди-
единицу длины принята величина 0,019 Отец, где тец — характерное время
обмена в конечном состоянии за фронтом ударной волны; например, при
начальной плотности п10 = пе0 = 1017 см'3 и температуре за фронтом
Т\ = 105° K,Teil = 3,3-1СИ9 сек, D = 94 км/сек и единица длины равна
5,9-Ю-4 см.
§ 13. Поляризация плазмы и возникновение электрического поля
в ударной волне
В предыдущем параграфе предполагалось, что электроны и ионы
жестко связаны друг с другом электрическими силами, и плазма в каждой
точке ударной волны электронейтральна: плотность электронов меняется
от точки к точке в точности пропорционально плотности ионов. В дей-
действительности, это положение выполняется не вполне строго. Благодаря
существованию больших градиентов электронной плотности в скачке
уплотнения и высокой подвижности электронов, связанной с исключи-
исключительной малостью их массы, создаются благоприятные условия для диф-
диффузии электронного газа относительно ионного, изменения концентрации
электронов и возникновения объемных зарядов.
Эффекты диффузии при распространении ударной волны в бинарной
смеси газов рассматривались в § 5. Однако диффузия в плазме существен-
существенным образом отличается от диффузии в смеси нейтральных газов. Дело
в том, что малейшее изменение относительной концентрации электронов
и ионов, которое приводит к образованию объемных зарядов, поляриза-
поляризации плазмы, сопровождается возникновением мощного электрического
поля. Поле препятствует дальнейшей поляризации и сдерживает диффу-
диффузионный ток электронов.
Оценим по порядку величины, как поляризуется плазма при наличии
градиентов макроскопических величин, т. е. насколько выполняется
в среднем условие электронейтральности.
Для простоты рассмотрим водородную плазму (Z = 1). Пусть тем-
температура электронов порядка Т, числа электронов и ионов в 1 см3 пе =
= щ = п. Пусть, далее, имеются градиенты макроскопических величин,
скажем, плотности, давления и т. д., такие, что характерный размер
области, в которой происходит заметное изменение величин, порядка х.
Вследствие диффузии электронов в области порядка х получается
некоторая разница в плотностях электронов и ионов, Ьп = щ — пе,
и появляется объемный заряд еЬп. Возникают электрическое поле Е ~
~ Аяе-Ьп-х *) и разность потенциалов на границах области бф ~ Ex ~
— АпеЬп-х2. Но в отсутствие внешних полей разделение электронов
*) Напоминаем, что уравнения электростатики для напряженности поля Е
и потенциала ф гласят:
div 23 = 4ле-6ге, JB=—grad <p.

§ 13]	ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПЛАЗМЫ И ПОЯВЛЕНИЕ ПОЛЯ В УДАРНОЙ ВОЛНЕ	405
и ионов и разность потенциалов поддерживаются только за счет тепло-
теплового движения электронов, следовательно, потенциальная энергия элек-
электронов ебф не может превысить величины порядка кТ; ебф ~ Але2- Ьп-х1 ~
~ кТ. Отсюда степень поляризации, т. е. степень отклонения от электро-
электронейтральности в рассматриваемой области имеет порядок
бд	кТ
Сильное разделение электронов и ионов, при котором bnln ~ 1, может
возникнуть только в тонком слое, толщина которого d определяется
условием bnln « 1 ?» kTlAne2nd2. Отсюда ¦
см.
Длина d есть не что иное, как дебаевский радиус (см. § 11 гл. III) *).
Дебаевский радиус характеризует расстояние, на котором плазма экра-
экранирует электрическое поле любого заряженного тела, т. е. толщину так
называемого двойного слоя, образующегося около заряженного тела.
В частности, «заряженным телом» может служить отдельный ион (именно
так и было введено понятие дебаевского радиуса в § 11 гл. III).
С помощью определения d величину отклонения от электронейтраль-
бге / d Л2
ности можно записать в виде — ~ ( — J .
Наибольшие градиенты в плазме возникают в вязком скачке уплот-
уплотнения при распространении сильной ударной волны, когда макроскопиче-
макроскопические величины сильно меняются на расстоянии порядка длины пробега
заряженных частиц:
гае4 In Л '	п	'
Среднее отклонение от электронейтральности в зоне скачка уплот-
уплотнения (х — xmin ~ I):
Эта величина очень мала при всех разумных значениях плотностей и тем-
температур; например, при Т = 105° К п = 1018 см~3, d»0,8-10-6 см,
I «3,5-10-* см, bnln - 4-Ю-5, бф - кТ/е = 8,6 в ***), Е ~ бф/Z ~
— 2,5-104 в 1см.
Заметим, что сжатие электронного газа в сильном скачке уплотнения,
ширина которого порядка длины пробега I, происходит только за счет
электрических сил, действующих со стороны ионов (ионный газ сжимается,
как обычно, за счет действия вязкости). Следовательно, разность потен-
потенциалов на скачке уплотнения определяется работой сжатия электронного
газа, приходящейся на один электрон,
*) Точнее, дебаевский радиус, помноженный Ha|^2, так как п в C.78) — сум-
суммарное число ионов и электронов.
**) Логарифмический множитель в длине пробега (см. § 20 гл. VI) имеет обычно
порядок In Л ~ 10.
***) Величина бф численно порядка температуры, выраженной в электрон-
вольтах.

406
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
-?
При сжатии в несколько раз логарифм порядка единицы и, следова-
следовательно, ебф ~ кТ, как и утверждалось выше.
Распределения заряда, электрического поля и потенциала во фронте
ударной волны в плазме схематически показаны на рис. 7.21.
Существенное отличие распределения концентраций компонентов
в плазме от распределения концентраций в смеси нейтральных газов
состоит в том, что наряду с- областью повышенной концентрации элек-
электронов в передней части фронта ударной волны возникает область пони-
пониженной концентрации в задней части волны. В смеси нейтральных газов
во фронте ударной волны происходит
/// только концентрирование легкого компо-
компонента (избыточная масса легкого ком-
компонента натекает из «бесконечности»).
		В случае плазмы такое положение
невозможно. Концентрирование электро-
электронов без одновременного концентрирова-
концентрирования положительных ионов в соседней
области привело бы к появлению электри-
электрического поля на «бесконечности», т. е.
потребовало бы затраты бесконечной
энергии.
В работе [45] рассматривалась струк-
структура фронта слабой ударной волны в
плазме с учетом только диффузии элект-
электронов, сдерживаемой электрическими си-
силами, но без учета вязкости и теплопро-
теплопроводности, подобно тому как это делал
Каулинг [22] для смеси электрически
нейтральных газов (см. § 5) *). Как и
там, диффузия обеспечивает размазыва-
Рис. 7.21. Распределения массовой ние ударного разрыва не слишком боль-
большой интенсивности. Благодаря сдержи-
сдерживающей роли электрического поля ширина
переходного слоя получается меньшей,
чем в смеси нейтральных газов.
В работе Жафрена и Пробстейна
[89] структура ударной волны в пол-
полностью ионизованной плазме рассматривалась в общем виде с одно-
одновременным учетом вязкости, теплопроводности и поляризации плазмы.
Авторы исходили из системы уравнений гидродинамики для смеси
электронного и ионного газов и уравнения Пуассона для электриче-
электрического поля.
Полученные в этой работе профили массовой плотности и электронной
и ионной температур согласуются с распределениями, описанными в пре-
предыдущем параграфе. В качественном отношении подтверждаются и пред-
представления о возникновении в области вязкого скачка уплотнения двой-
двойного электрического слоя, схематически показанного на рис. 7.21. Однако
в сильной ударной волне появляется еще один электрический двойной
слой такого же типа, расположенный на переднем краю зоны прогревания
электронной теплопроводностью, там, где происходит резкий подъем
электронной температуры. Физическая природа этого второго слоя такова
т
Т
До
плотности, плотности объемного
заряда, напряженности электриче-
электрического поля и электростатического
потенциала во фронте ударной вол-
волны, распространяющейся по плаз-
плазме, при учете диффузии электронов.
*) См. также работы [44,46].

g 14]	КАЧЕСТВЕННАЯ КАРТИНА	407
же, что и у основного: подъем температуры на краю прогревного слоя
сопровождается очень небольшим по сравнению со скачком уплотнения,
но весьма резким сжатием, а в области сжатия газа электроны диффун-
диффундируют относительно ионов, что и приводит к возникновению поляризации.
3« ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН ВО ФРОНТЕ УДАРНО! ВОЛНЫ
§ 14. Качественная картина
Когда ударная волна распространяется по газу, занимающему боль-
большой объем, и размеры нагретой области очень велики по сравнению с дли-
длиной пробега света, так что температура газа мало меняется на расстоя-
расстояниях порядка длины пробега, тепловое излучение в объеме приходит
в локальное термодинамическое равновесие с веществом. Излучение рав-
равновесно и непосредственно за фронтом ударной волны.
Плотность энергии и давление излучения становятся сравнимыми
с плотностью энергии и давлением вещества только при чрезвычайно
высоких температурах или чрезвычайно низких плотностях газа. Напри-
Например, в воздухе нормальной плотности это происходит при температуре
ж2,7-106° К. В ударных волнах не столь большой амплитуды лучистые
давление и энергия гораздо меньше давления и энергии вещества и потому
почти не влияют на параметры за фронтом. Иной порядок имеет соотноше-
соотношение потоков энергии излучения и вещества, так как скорости ударных волн,
с которыми реально приходится иметь дело, на много порядков меньше
скорости света. Отношение потоков энергии o^/Dqb ~ (?/Изл/(?е) (c/D),
грубо говоря, в c/D раз больше отношения плотностей энергии.
Так, при D = 100 км/сек c/D = 3-10\ В воздухе нормальной плотности,
например, оба потока становятся одинаковыми уже при температуре
~ 300 000° К, при которой плотность излучения еще очень мала.
Казалось бы, отвод энергии излучением от фронта ударной волны
большой амплитуды должен играть важную роль, и в третье из ударных
соотношений G.4) следовало бы наряду с потоком энергии вещества
включить и поток энергии, уносимой с поверхности фронта излучением
S = аТ\. Это существенным образом повлияло бы на конечное состояние
за фронтом ударной волны, приводя к большему сжатию за фронтом,
подобно тому как к большему сжатию ведет увеличение теплоемкости
газа. На самом же деле потери энергии на излучение с поверхности фронта
волны весьма ограничены и их эффект обычно незначителен. Дело в том,
что в непрерывном спектре газы прозрачны лишь для сравнительно малых
квантов. Атомы и молекулы сильно поглощают кванты, энергия которых
превышает потенциал ионизации и которые вызывают фотоэффект, а моле-
молекулы, как правило, поглощают даже меньшие кванты; например, гра-
граница прозрачности холодного воздуха лежит при X ~ 2000 A hv ~ 6 эв.
При высокой температуре за фронтом энергия, заключенная в области
малых частот, составляет лишь небольшую долю от полной энергии спек-
спектра. Так, при температуре за фронтом Т = 50 000° К в области прозрач-
прозрачности воздуха hv < 6 эв сосредоточено только 4,5% энергии планков-
ского спектра. При этом малые кванты находятся в рэлей-джинсовской
части спектра и их поток, т. е. возможные потери энергии, во всяком случае
пропорциональны не четвертой, а только первой степени температуры.
Излучение с фронта ударной волны, действительно, уходит в основ-
основной своей части на «бесконечность» лишь при таких амплитудах, при кото-
которых максимум планковского спектра лежит в спектральной области

408	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
прозрачности газа, т. е. при температурах за фронтом порядка 1—2эв.
Но при такой температуре абсолютная величина потока излучения аТ\
весьма мала и дополнительное сжатие за счет потерь на излучение в воз-
воздухе нормальной плотности не превышает процента.
Таким образом, существование теплового излучения мало сказывается
на параметрах газа за фронтом ударной волны не слишком большой
амплитуды. Другое дело — влияние излучения на внутреннюю структуру
переходного слоя между начальным и конечным термодинамически равно-
равновесным состояниями газа, т. е. на строение самого фронта ударной волны.
Здесь роль излучения в волнах больших (но представляющих реальный
интерес) амплитуд оказывается чрезвычайно существенной и, более того,,
именно лучистым теплообменом определяется структура фронта. Задача
о структуре фронта ударной волны с учетом лучистого теплообмена,
которой посвящены § 14—17 этой главы, была рассмотрена авторами
в работах [42, 47—49]. Хотя поток излучения, уходящий с фронта волны
на «бесконечность», весьма мал и не оказывает никакого энергетического
влияния на параметры ударной волны, тот факт, что он существует,
имеет огромное значение, так как позволяет наблюдать волну оптиче-
оптическими методами. Вопрос о свечении ударной волны и яркости поверх-
поверхности фронта тесно переплетается с вопросом о структуре фронта. Он
будет рассмотрен в гл. IX.
Вследствие непрозрачности холодного газа, излучение, выходящее
с поверхности ударного разрыва, в волнах большой амплитуды почти
полностью поглощается перед разрывом, нагревая слои газа, втекающие
в разрыв. Эта энергия, идущая на нагревание, черпается за счет высвечи-
высвечивания слоев газа, уже испытавших ударное сжатие, которые, следова-
следовательно, охлаждаются излучением. Эффект сводится, таким образом,
к перекачиванию энергии из одних слоев газа в другие посредством излу-
излучения. Лучистый теплообмен разыгрывается на расстояниях, измеряемых
длиной пробега квантов для поглощения. Обычно длина пробега квантов
на несколько порядков больше газокинетического пробега частиц
(см. гл. V) и больше ширины релаксационного слоя, где устанавливается
термодинамическое равновесие в самом веществе.
Так, в воздухе нормальной плотности длины пробега квантов с энер-
энергиями hv ~ 10—100 эв, соответствующих температурам за фронтом
Тх ~ 104—105° К, имеют порядок 10~2—10 см, тогда как газокинети-
газокинетический пробег порядка 10~Б см.
Ширина фронта ударной волны, в которой лучистый теплообмен
играет существенную энергетическую роль, определяется длиной пробега
света — самым большим масштабом длины. В каком-то смысле можно
говорить о релаксации излучения во фронте ударной волны, об уста-
установлении равновесия излучения с веществом за фронтом.
Проследим качественно, как меняется строение фронта при переходе
от волн малой амплитуды к волнам большой амплитуды. При этом будем
рассматривать явление в «крупном масштабе», не интересуясь «мелко-
«мелкомасштабными» деталями, связанными с релаксацией в различных степе-
степенях свободы газа, т. е. полагая, что в каждой точке волны вещество нахо-
находится в состоянии термодинамического равновесия. Вязкий скачок уплот-
уплотнения вместе с релаксационной зоной за ним будем рассматривать как
математический разрыв.
В предельном случае достаточно слабой волны, когда энергетическая
роль излучения мала, профили всех величин в ударной волне имеют
характер «классических» ступенек (рис. 7.22). При возрастании ампли-

14]
КАЧЕСТВЕННАЯ КАРТИНА
409
Т,
х
X
Рис. 7.22. Профили темпе-
температуры, плотности и давле-
давления в «классической» удар-
ударной волне.
туды быстро растет поток излучения с поверхности фронта аТ\. Излу-
Излучение поглощается перед разрывом на расстоянии порядка пробега кван-
квантов и нагревает газ, причем нагревание спадает по мере удаления от раз-
разрыва вследствие поглощения потока излучения. Скачок уплотнения рас-
распространяется теперь не по холодному, а по
нагретому газу и температура за скачком Т+
выше, чем в отсутствие нагревания, т. е. выше,
чем в конечном состоянии. За скачком уплотне-
уплотнения температура уменьшается от Т+ до Ту. Дру-
Другими словами, частица газа, протекающая через
ударную волну, сначала нагревается излуче-
излучением, а испытав ударное сжатие, охлаждается,
высвечивая часть энергии, которая и идет на
создание потока излучения. Нагревание газа
перед разрывом приводит к повышению его
давления и некоторому сжатию (а также тормо-
торможению в системе координат, где фронт покоит-
покоится). В скачке уплотнения газ сжимается до плотности несколько меньшей
конечной. Охлаждение газа за скачком уплотнения способствует его даль-
дальнейшему сжатию до конечной плотности (как и в случае понижения
температуры вследствие возбуждения допол-
дополнительных степеней свободы). Давление при
этом возрастает.
Профили температуры, плотности и
давления в волне, отвечающие описанной
картине, изображены схематически на
рис. 7.23.
Температура прогревания перед разрывом
71- пропорциональна потоку излучения, вы-
выходящего с поверхности разрыва — So да оТ\,
и потому быстро увеличивается с возраста-
возрастанием амплитуды волны. Так, в воздухе
нормальной плотности Г_ да 1400° К при
Ti=25 000° К; Г_=4000° К при Ту=50 000° К ;
Г_ = 60 000° К при Tt = 150 000° К. Соот-
Соответственно увеличивается превышение темпе-
температуры за скачком Т+ над конечной Ti
(грубо говоря, Т+ — Ti да TJ).
При некоторой температуре за фронтом
Ti — Ткр температура прогревания Г_ до-
достигает величины Ту и профиль температуры
приобретает вид, показанный на рис. 7.24.
Эта температура ГКр, равная примерно
300 000° К для воздуха, может быть названа
разделяет два существенно различных случая
D
-—Р
Р-
Рис. 7.23. Профили темпера-
температуры, плотности и давления
во фронте ударной волны не
слишком большой амплитуды
при учете лучистого тепло-
теплообмена.
критической, так как
структуры фронта ударной волны.
Рассмотрим волну большой, сверхкритической амплитуды с темпе-
температурой за фронтом Ti > TKV. Потока энергии квантов, излучаемых
газом за скачком уплотнения и выходящих с поверхности разрыва в сто-
сторону холодного газа, хватило бы на то, чтобы нагреть слой порядка длины
пробега, в котором поглощаются кванты, до очень высокой температуры,
большей, чем Ту. Может ли на самом деле осуществиться столь высокое
нагревание? Очевидно, нет, так как при этом прогретый слой сам стал бы

410
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
Рис. 7.24. Профиль температуры в
ударной волне «критической» ампли-
амплитуды.
Г,
интенсивно излучать и быстро охладился бы до температуры 7V Возник-
Возникновение состояния с Т- > Tt означало бы, что в замкнутой системе тепло
самопроизвольно перекачивается от менее нагретых слоев газа к более
нагретым, в противоречие со вторым за-
законом термодинамики *). На самом деле
энергия, отбираемая излучением от га-
газа, нагретого в скачке уплотнения,
просто затрачивается на прогревание
более толстых слоев перед разрывом.
Кванты, выходящие из-за поверхности
разрыва, поглощаются перед разрывом
в слое порядка длины пробега, а нагре-
нагретое при этом до температуры, близкой
к Т±, вещество само излучает, нагревая
соседние слои, и т. д. Мы имеем дело
с типичным случаем прогревания газа путем лучистой теплопроводности.
Перед разрывом распространяется теплопроводностная волна, захваты-
захватывающая тем более толстый слой газа, чем больше амплитуда ударной
волны. Явление вполне аналогично ударной волне с электронной тепло-
теплопроводностью, которая рассматрива-
рассматривалась в § 12 (лучистая теплопровод-
теплопроводность тоже нелинейна).
Профили температуры и плотно-
плотности в ударной волне сверхкритиче-
сверхкритической амплитуды изображены на рис.
7.25. За скачком уплотнения по-преж-
по-прежнему имеется пик температуры, появ-
появляющийся в результате ударного сжа-
сжатия. Как и раньше, частицы газа,
испытавшие ударное сжатие, ох-
охлаждаются, высвечивая часть своей
энергии, и отдают ее на создание
тепловой волны перед разрывом.
Однако, в отличие от докритиче-
ского случая, толщина пика теперь
меньше пробега излучения и умень-
уменьшается с возрастанием амплитуды
волны (см. об этом § 17).
В приближении лучистой тепло-
теплопроводности, когда из рассмотрения
выпадают детали явлений, происходящих на расстояниях меньше пробега,
пик «срезается», как показано пунктиром на рис. 7.25, и ударная волна
приобретает характер «изотермического» скачка (см. § 3 этой главы).
В последующих параграфах набросанная здесь в общих чертах физи-
физическая картина будет обоснована математически.
§ 15. Приближенная формулировка задачи о структуре фронта
Рассмотрим, как обычно, одномерный стационарный режим в системе
координат, где фронт покоится. Для выяснения особенностей строения
фронта, связанных с лучистым теплообменом, введем ряд упрощений.
*) Подробнее о невозможности состояния с Г_ > f( будет сказано в § 17 Строгое
доказательство этого положения дано в работе [42 \.
х
О	х
Рис. 7.25. Профили температуры и плот-
плотности во фронте ударной волны очень
большой амплитуды при учете лучистого
теплообмена. Пунктир соответствует
приближению лучистой теплопроводно-
теплопроводности (изотермическому скачку).

§ 15] ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О СТРУКТУРЕ ФРОНТА 411
Газ будем считать идеальным, обладающим постоянной теплоемкостью,
так что давление и удельная внутренняя энергия его выражаются про-
простыми формулами:
Вязкий скачок уплотнения вместе с релаксационным слоем, где
происходит установление термодинамического равновесия в веществе,
заменим математическим разрывом. В зоне лучистого теплообмена пре-
пренебрегаем релаксационными явлениями, вязкостью и теплопроводностью
вещества, а также электронной теплопроводностью *). Ударную волну
считаем сильной (начальные давление и энергия вещества малы по срав-
сравнению с конечными). Не будем рассматривать волны чрезвычайно боль-
большой амплитуды; в этом случае можно пренебречь энергией и давлением
(но не потоком!) излучения.
Небольшой поток малых квантов, уходящих с фронта волны на «бес-
«бесконечность», во внимание не принимаем, полагая, что перед фронтом
поток излучения равен нулю.
При сделанных предположениях система интегралов уравнений гид-
гидродинамики G.10) принимает следующий вид:
s -	G'40)
1 Q ' 2
Здесь S — поток энергии излучения. Заметим, что он направлен навстре-
навстречу потоку газа, который движется в положительную сторону оси х, так
что S < 0 (D, ц> 0).
Перед фронтом, при х = — оо, и за фронтом ударной волны, при
х = +оо, поток S = 0, а все величины принимают свои начальные и ко-
конечные значения, которым, как всегда, приписываем индексы «0» и «1».
Координату х будем отсчитывать от точки, где расположен скачок
уплотнения.
Для определения потока излучения к уравнениям гидродинамики
G.40) необходимо присоединить уравнение переноса излучения. Будем
рассматривать угловое распределение квантов в диффузионном при-
приближении, заменяя строгое кинетическое уравнение для интенсивности
двумя уравнениями для плотности и потока излучения (см. § 10 гл. II).
Подчеркнем, что в диффузионном приближении формально не содер-
содержится никаких предположений о близости плотности излучения к равно-
равновесной и диффузионное приближение отнюдь не эквивалентно приближе-
приближению лучистой теплопроводности. С его помощью мы описываем и суще-
существенно неравновесное излучение, лишь приближенным образом учиты-
учитывая угловое распределение квантов (см. об этом § 13 гл. II).
Будем оперировать только интегральными по спектру величинами
плотности и потока излучения U и S для чего введем некоторую сред-
среднюю по спектру длину пробега света I. Как отмечалось в гл. II, такое
*) Оценки показывают, что в ряде реальных случаев, в том числе в таком практи-
практически важном процессе, как ударная волна в воздухе нормальной плотности, элек-
электронная теплопроводность играет меньшую роль, чем перенос энергии излучением
(см. [481).

412	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
приближение, строго говоря, возможно лишь в определенных предельных
случаях. Однако оно не искажает качественных закономерностей лучи-
лучистого переноса и для наших целей является достаточным.
Перепишем уравнения для излучения в указанных приближениях
(см. формулы B.62), B.65)):
dS c(Uv-V)
dx	I	'
<,	Ic dU
3 dx '
Здесь Uv = AaTiJc — плотность энергии равновесного излучения, соот-
соответствующего температуре вещества в данной точке х.
Уравнения гидродинамики и переноса излучения не содержат в явном
виде координату х, поэтому в них можно перейти к новой координате —
оптической толщине х, которую будем отсчитывать от точки х = 0 в поло-
положительном направлении оси х:
X
dx = ~, т=Л^.	G.41)
Если длина пробега / известна как функция температуры и плотности
газа, в окончательном решении легко с помощью уравнений G.41)
перейти от распределений различных величин по оптической координате
к распределениям по х (при 1 = const оба типа профилей, очевидно,
совпадают). В терминах оптической толщины уравнения переноса приобре-
приобретают такой вид:
-^ = с(Е7р-С7),	G.42)
Уравнения гидродинамики G.40) и переноса излучения G.42), G.43)
вместе с естественными граничными условиями, выражающими отсут-
отсутствие излучения в холодном газе перед волной и термодинамически рав-
равновесный характер излучения за фронтом волны*),
т=-оо, 5 = 0, ?7 = 0,	Г = 0,	G.44)
полностью описывают структуру фронта ударной волны в изложенной
постановке. Система дифференциальных уравнений имеет второй поря-
порядок. Порядок можно понизить, если исключить из системы координату хт
поделив уравнения G.42) и G.43) одно на другое:
dS — —	р	П 4fi\
~Ш~ 3 S ¦	К'' }
Для пояснения физического смысла закономерностей структуры
фронта очень удобны диаграммы р, V; Т, V; S, V, рассмотренные в § 3.
Вводя, как и там, относительный удельный объем ц — V/Vo, равный
*) Из этих условий независимы только два, остальные есть следствия уравнений.

3 15]	ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О СТРУКТУРЕ ФРОНТА	413
¦обратной величине сжатия и безразмерной скорости
У о — о — D '
найдем из первых двух уравнений G.40), что в областях, где газодина-
газодинамические величины непрерывны, давление меняется вдоль прямой
p = Q0ZJ(l — т]).	G.47)
Температура и поток зависят от сжатия по формулам, аналогичным
G.13) и G.14). Эти формулы получаются из уравнений G.40) в случае
Рис. 7.26. Т, т)- и S, т]-диаграммы
для ударной волны с учетом лу-
лучистого теплообмена.
Рис. 7.27. р, Tj-диаграмма для ударной
волны с учетом лучистого теплообмена.
газа с постоянной теплоемкостью. Введем в формулы G.13) и G.14) вместо
числа Маха температуру за фронтом ударной волны Т±. Получим
т .
о _ QQDATi(l — -л) (л — Л1)
2тйA-ти)
G.48)
G.49)
где tij = (у — 1)/(y + 1). Излучение в ударной волне играет сущест-
существенную роль только при высоких температурах, когда газ сильно ионизо-
ионизован. Эффективный показатель адиабаты в области ионизации для числен-
численных оценок можно принять равным у = 1,25. Соответствующее сжатие
за фронтом волны 1/% = 9, т|± = 0,111.
Функции Т (т)), S (tj), p (т)) изображены на рис. 7.26, 7.27. Функция
Т (S), которую можно получить из уравнений G.48), G.49), как это видно
из-рис. 7.26, имеет две ветви: одна из них, которая в пределе S —*• 0 дает
Т-*-0 (г\ -*¦ 1), соответствует состояниям, близким к начальным, т. е.
зоне прогревания перед разрывом, другая — с пределом 5->-0, Т -*¦ Ти
(ц —*- Tji), соответствует состояниям, близким к конечным, т. е. области
за разрывом.
В последующих двух параграфах мы найдем приближенные решения
уравнений режима для двух крайних случаев, описанных в § 14: для
ударных волн докритической и сверхкритической амплитуд. Следует
отметить, что переход от одного случая к другому является непрерывным.
Просто для промежуточных значений амплитуд, близких к критическим,

414	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
не удается найти решения в аналитическом виде. Численное интегриро-
интегрирование для промежуточных амплитуд не составляет труда. Однако в нем
нет особой необходимости, так как найденные предельные аналитически©
решения справедливы вплоть до амплитуд, весьма близких к критиче-
критической с той и с другой стороны.
§ 16. Ударная волна докритической амплитуды
Рассмотрим ударную волну небольшой амплитуды, в которой все
эффекты, связанные с излучением, невелики. Температура за скачком
уплотнения при этом близка к конечной температуре и с поверхности
разрыва выходит поток излучения, равный по абсолютной величине
| So | да оТ\. Проследим за состоянием частицы газа, втекающей в волну.
Текущая точка на диаграммах Т, ц; S, г\; р, т) движется от начального
положения А в сторону сжатия вплоть до положения В, в котором поток
равен SQ. Плотность газа, температура, давление и поток излучения
в частице монотонно растут при приближении к разрыву. Из формул
G.48), G.49) следует, и это видно из рис. 7.26, что на тех ветвях кривых,
которые выходят из начальной точки А, т. е. в зоне прогревания, сжатие
очень мало. Даже при Т = Ti на этой ветви сжатие составляет только
1/A — т^) = 1,13 (если у = 1,25, т}! = 0,111), а при температурах перед
разрывом Т- меньших, чем Tit сжатие в зоне прогревания еще меньше.
Если приближенно исключить г\ из уравнений G.48), G.49) и выразить
S через Т с точностью до малых второго порядка относительно тL, получим
Это уравнение, которое получается из интеграла энергии G.40), если
опустить в нем члены p/Q, D2/2, u2/2, имеет простой физический смысл.
Оно означает, что энергия поглощающегося излучения в зоне прогрева-
прогревания тратится только на повышение температуры газа. И действительно,
легко показать, что работа сжатия p/Q и изменение кинетической энергии
D2/2 — и212, которые в основном пропорциональны t)j с точностью до
малых второго порядка, пропорциональных \\\, компенсируют друг друга.
Уравнение сохранения энергии в отсутствие торможения и сжатия
газа, записанное в форме
T, oo)	G.51)
справедливо и в общем случае, когда теплоемкость зависит от температуры.
Если отнести его к точке х = 0 непосредственно перед разрывом, найдем
максимальную температуру прогревания Г_:
|?0|даоТ* = ?>о.0е(Г_).	G.52)
В газе с постоянной теплоемкостью D ~ Y^i и Т- ~ Г*'5, т. е. про-
прогрев быстро растет с возрастанием амплитуды волны. По уравнению G.52)
можно приближенно оценить и ту температуру за фронтом, при которой
температура перед скачком уплотнения Т- достигает величины Т^ (мы
назвали такую волну критической). Приближение заключается в том,
что поток с поверхности разрыва, по-прежнему, предполагается равным
оТ\, тогда как в действительности он несколько больше, ибо температура
за разрывом несколько выше, чем Тх. Приближенное уравнение для опре-

§ 16]
УДАРНАЯ ВОЛНА ДОКРИТИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДЫ
415
деления критической амплитуды Т\ = Гкр есть
аПр = Я(ГкР)Оов(:Гкр).	G.53)
В таблице 7.2 приведены рассчитанные по формуле G.52) значения
температуры перед скачком уплотнения в воздухе нормальной плотности
при учете реальной зависимости е (Т). Из таблицы видно, что критиче-
критическая температура в воздухе равна примерно 300 000° К B85 000° К по
уравнению G.53)). Как следует из определения G.53), критическая тем-
температура есть такая температура, при которой становятся примерно
одинаковыми потоки энергии вещества и излучения (вспомним замеча-
замечание в начале § 14).
Таблица 7.2
D КМ
' сек
23,3
28,5
32,1
40,6
Ti,°K
50000
65 000
75 000
100000
эв
' молекула
3,7
8,4
13,1
32,7
Т. ,°К
4 000
9 000
12 000
25 000
км
сек
56,5
81,6
86,2
88,1
Ti,°K
150 000
250 000
275 000
285 000
с 8в
' молекула
122
635
910
1020
Т ,'К
60 000
175 000
240 000
285 000
Возвращаясь к исходным уравнениям для газа с постоянной тепло-
теплоемкостью, найдем приближенное решение в зоне прогревания докрити-
ческой волны. Если температура в зоне прогревания мала по сравнению
с температурой за фронтом (Г_ ¦< Тг), то равновесная плотность излу-
излучения, пропорциональная четвертой степени температуры газа (Up ~ Г4),
гораздо меньше фактической плотности U, которая определяется прони-
пронизывающим газ излучением, выходящим из-за поверхности разрыва и имею-
имею| S | Г*)
щим температуру
(U
S = ^L=Soe
/3
Т = Т.е~ ^1*1
— eo = Q-—QQ е-
Qo
Qo
So I ~ TJ).
Излучение, рожденное в самой зоне прогревания, при этом дает
малый вклад в полные поток и плотность. Плотность излучения, таким
образом, существенно неравновесна в зоне прогревания. Пренебрегая
в уравнениях G.42), G.46) Up по сравнению с U, найдем решение перед
разрывом при х < 0:
G.54)
G.55)
G.56)
G.57)
Все величины экспоненциально падают по оптической толщине при
удалении от разрыва (рис. 7.28). Значения Г_, q_, />_ легко вычислить
с помощью формул G.52), G.48) и уравнения состояния.
В точке ударного разрыва плотность и поток излучения остаются
непрерывными. В самом деле, разрыв в плотности излучения соответ-
соответствовал бы по формуле G.43) бесконечному потоку, который в действи-
действительности ограничен законами сохранения энергии, а разрыв в потоке
приводил бы к нестационарному накоплению или убыли энергии излуче-
излучения в точке разрыва. Следовательно, текущая точка на диаграммах Т, г\ и
S, ц при прохождении вязкого скачка перескакивает из положения В
на одной ветви кривых на другую ветвь в положение С, соответствующее

416
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
тому же самому потоку So. (Производная потока при этом, конечно, тер-
терпит разрыв.) То же происходит и с точкой на диаграмме р, г\: газ сжи-
сжимается в скачке уплотнения в соответствии с ударной адиабатой СВ, про-
проходящей через точку В. После ударного сжатия состояние частицы моно-
монотонно приближается к конечному, к точке D. Температура и поток излу-
излучения при этом уменьшаются, а плотность газа и давление — возрастают.
В волне небольшой амплитуды превышение температуры за разрывом
Т + над температурой за фронтом Т±, как видно из диаграммы Т, ц, так же
как и изменение объема за разрывом,
невелики. Исключая, как и раньше,
г) из уравнений G.48), G.49), для
второй ветви найдем с точностью до
малых второго порядка относительно
*х "П± связь потока и температуры за
разрывом:
— S = ^^-Dq0A(T — Ti). G.58)
Чтобы приближенно решить
уравнение переноса излучения в обла-
области за разрывом, заметим, что темпе-
температура здесь меняется мало и можно
положить Up «г Uр± = АаТ^/с = const.
Получим при т > 0:
Рис. 7.28. Профили потока и плотности
излучения и температуры в ударной
волне докритической амплитуды.
G.59)
где Т+-Т±= [C-
« 0,78 Г_ при y = 1,25.
Значение плотности излучения в точке разрыва найдем, сшивая
в точке т = 0 две ветви кривых U (S), которые даются формулами G.54),
G.59). Получим *)
U0 = ~Un = 2aT\.	G.61)
Профили плотности и потока излучения в докритической волне изо-
изображены на рис. 7.28, где для сопоставления приведен также профиль
температуры.
Посмотрим, каковы пределы применимости приближенного решения
уравнений в зоне прогревания. Формула G.50) имеет большую точность
даже в волне критической амплитуды, так как при y = 1,25 сжатие перед
разрывом мало: q_/qo<1,13.
Что же касается решения уравнения переноса излучения G.54),
то оно получено в приближении Uv <C U и теряет силу, когда плотность
излучения U становится сравнимой с равновесной. Из формул G.54),
G.50) следует, что это происходит при температуре Тк, удовлетворяющей
*) Заметим, что при этом появляется новое значение потока — So = B/1^3) oTj,
немного отличающееся от прежнего: — SQ = aT\. Эта небольшая несогласованность
является следствием несовершенства диффузионного приближения и исчезает при
использовании точного уравнения переноса излучения; см. об этом в работе [47].

§ 17]	УДАРНАЯ ВОЛНА СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДЫ	417
уравнению
Dq0ATk	.„ 62,
Сравнивая это уравнение с выражением G.53), в котором полагаем
теплоемкость постоянной ( е = —— AT \ и замечая, что D слабо зави-
зависит от температуры (D ~ V^T± при у = const), мы видим, что температура
Тк весьма близка к критической температуре Ткр. Отсюда следует, что
плотность излучения в зоне прогревания всегда неравновесна при тем-
температурах ниже критической и наше приближенное решение справед-
справедливо для волн с амплитудами вплоть до критической.
Существенно, что плотность излучения становится порядка равно-
равновесной, когда сравниваются потоки энергии излучения и гидродинамиче-
гидродинамический. Как видно из формул G.54) — G.57), оптическая толщина зоны
прогревания в волне докритической амплитуды имеет порядок единицы.
Геометрическая ширина зоны, следовательно, порядка среднего по спект-
спектру пробега излучения. В воздухе нормальной плотности эта ширина
порядка 10~2—10 см. Она тем больше, чем выше температура за фрон-
фронтом, так как пробег растет с увеличением энергии квантов. Такой же при-
примерно порядок имеет и ширина зоны за скачком уплотнения, где проис-
происходит приближение к конечным состояниям газа и излучения.
§ 17. Ударная волна сверхкритической амплитуды
Рассмотрим ударную волну большой, сверхкритической амплитуды,
когда температура за фронтом I\ > Ткр. Температура в зоне прогрева-
прогревания возрастает от нуля до величины Т-, которая равна конечной Т\
и, следовательно, тоже больше, чем Ткр. Поскольку температура Тк,
определенная формулой G.62), близка к критической Гкр, ZL больше,
чем Тк- Сжатие в зоне прогревания невелико и уравнение G.50) остается
в силе.
На переднем краю зоны, где температура ниже Тк, излучение
по-прежнему неравновесно и справедливо решение типа G.54), G,55),
в котором Т, S и U экспоненциально спадают с оптической толщиной.
В точке, где температура достигает величины Тк, плотность излучения
становится порядка равновесной и потек S порядка стефан-больцма-
новского потока оТ4. При дальнейшем продвижении по направлению
к разрыву поток излучения растет в силу закона сохранения G.50) про-
пропорционально температуре (S ~ Т), т. е. становится меньше стефан-
больцмановского потока аГ4. Это означает, что в области температур, где
Т > Тк, односторонние потоки противоположного направления (которые
порядка аТ*) в значительной степени компенсируют друг друга, генера-
генерация излучения в каждой точке сравнима с поглощением и, следовательно,
плотность излучения близка к термодинамически равновесной. Другими
словами, в указанной области зоны прогревания излучение находится
в локальном равновесии с веществом и перенос излучения имеет характер
лучистой теплопроводности. Поток S теперь определяется градиентом
температуры и малость его по сравнению со стефан-больцмановским
соответствует тому, что температура мало меняется на расстоянии порядка
длины пробега света. Чтобы получить решение в зоне лучистой тепло-
теплопроводности, следует заменить в уравнении диффузии G.43) плотность
27 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

418	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. YII
излучения U равновесной величиной Uv да U:
с dUp	1бстсГЗ dT	._ й„
й
°~ ~ 3 dt ~ ~ з ~dT '	('-06)
Решая это уравнение совместно с алгебраическим уравнением G.50),
найдем профили температуры, потока и плотности излучения в равно-
равновесной области зоны прогревания. Они должны быть сшиты с решением
на переднем краю в неравновесной области в точке с температурой Т = Тк,
эффективно разграничивающей обе области. Оптическую координату этой
точки обозначим через тк. После элементарного вычисления получим
решение в неравновесной области, при т < тк, | т | > | т |
к
Т.. AciTtt 4(т7'к
в равновесной области, при тк < т < 0, 0 < [ т | < | тк | ,
причем тк выражается через температуру перед разрывом
Поскольку температура в неравновесной зоне падает экспоненциаль-
экспоненциально, уменьшаясь в несколько раз на оптическом расстоянии, равном еди-
единице, величина |тк| в случае очень сильной волны, когда Т3_ > Т1,
представляет собой оптическую толщину зоны прогрева.
Следует отметить, что в равновесной области длина пробега света
усредняется по Росселанду (см. § 12 гл. II). Температура перед разрывом
в сверхкритической волне Г_ почти совпадает с температурой за фрон-
фронтом 7V
Температура перед разрывом Г_ никогда не может стать выше, чем
конечная температура за фронтом Т±. В самом деле, если Г_ > Tt, то
плотность излучения в зоне прогревания перед разрывом, которая равна
4аГ4
примерно Z7_ да	=, становится больше плотности излучения за фрон-
С
том C/pi= —-. Следовательно, в зоне между разрывом и областью конеч-
конечного состояния @<т< + оо) плотность излучения уменьшается при уда-
лении от разрыва. Поток о ~—-т—, положителен и направлен в сторону
движения газа. Но это противоречит формулам G.48), G.49), которые
являются следствием законов сохранения и которые свидетельствуют
о том, что поток в ударной волне везде отрицателен и направлен проти-
противоположно движению газа.
Таким образом, температура Г_ ограничена сверху величиной 7\.
Принципиальная невозможность нагревания газа перед скачком
уплотнения до температуры, превышающей температуру за фронтом Tt,
одновременно свидетельствует и о необходимости возникновения разрыва
в решении (текущая точка на диаграммах Т, т) и S, т), чтобы достичь
конечного положения D, обязательно должна «перепрыгнуть» из поло-
положения В' на другую ветвь кривых). Изложенные физические соображения
о невозможности превышения температуры Г_ над 7\ и необходимости

§ 17]	УДАРНАЯ ВОЛНА СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДЫ	419
возникновения разрыва находят свое подтверждение в строгом исследова-
исследовании уравнений режима (см. работу [42]).
Поскольку в сверхкритической волне Т- ж Т\, а плотность излуче-
излучения перед разрывом близка к равновесной, она еще перед разрывом почти
достигает своего конечного значения. Таким образом,
ио = и-&—гъ—г!>=*ир1,	(/.6/)
и в области за разрывом, плотность излучения остается практически
постоянной:
U (т) да Upi = ^i при т > 0.	G.68)
Из формулы G.65) следует, что поток в точке разрыва равен
На диаграммах Т, г\ и S, т) текущая точка в сверхкритической волне дви-
движется вдоль кривых от точки А до точки В', а затем перескакивает в точ-
точку С, где поток тот же самый. Температуру за разрывом Т+ можно вычис-
вычислить по формулам G.48), G.49). Она равна
T+ = C-yOV	G-70)
Если пользоваться приближением лучистой теплопроводности в обла-
области за разрывом, то, в соответствии с полученным условием постоянства
плотности излучения в этой области, постоянной оказывается и темпера-
температура газа. Температура на скачке уплотнения непрерывна и равна конеч-
конечной Т±. Текущая точка на диаграммах Т, т] и S, т] из положения В' непо-
непосредственно перед разрывом попадает прямо в конечное положение D.
Поток при этом, конечно, испытывает разрыв, так как перед скачком
уплотнения он отличен от нуля и равен So, а в конечном состоянии (точка
D) он равен нулю.
Таким образом, мы имеем дело с типичным случаем «изотермического
скачка», с которым мы уже сталкивались в § 3 и 12.
Возникновение «изотермического скачка» есть следствие математиче-
математического приближения, в котором поток считается пропорциональным гра-
градиенту температуры. Это исключает возможность существования скачка
температуры, так как при разрыве температуры поток становится бес-
бесконечным.
На самом же деле в силу стационарности процесса в скачке уплотне-
уплотнения непрерывен поток, а температура испытывает разрыв.
Противоречия здесь никакого нет: просто в области за разрывом
излучение неравновесно (плотность ниже равновесной, так как плотность
соответствует температуре Т_ « Т±, а температура газа Т+ > Tj) и поток,
который определяется градиентом истинной плотности излучения, не
выражается через градиент температуры. За ударным разрывом по-преж-
по-прежнему имеется пик температуры и профиль температуры в сверхкритиче-
сверхкритической волне имеет вид, изображенный на рис. 7.25.
Оценим оптическую толщину пика температуры за разрывом из про-
простых физических соображений. Геометрическая толщина пика Ах такова,
что рожденное в этой зоне излучение дает поток So, выходящий с поверх-
поверхности разрыва и идущий на прогревание втекающего в волну газа.
27*

420	СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ	[ГЛ. VII
Энергия, излучаемая в 1 сек в слое Ах (на 1 см2 поверхности разрыва),
порядка
Эта величина приближенно равна потоку So, который по формуле G.69)
порядка oT^Ti. Отсюда получается толщина пика температуры:
G-71)
Она быстро уменьшается с увеличением амплитуды волны и в очень силь-
сильной волне пик гораздо тоньше пробега излучения. Поэтому он и «срезает-
«срезается» в приближении лучистой теплопроводности, из которого выпадают
детали, связанные с расстояниями, меньшими пробега излучения.
В заключение приведем значение ширины зоны прогревания в удар-
ударной волне сверхкритической амплитуды, распространяющейся по воздуху
нормальной плотности. Эти значения оценены с помощью формулы G.66)
и рассчитанных по методу § 8 гл. V росселандовых пробегов излучения
в реальном воздухе. При Т\ = 500 000° К, тк = 3,4, а ширина порядка
40 см. При Тх = 750 000° К тк = 14, а ширина порядка 2 м. Поскольку
пик температуры очень узкий, эти ширины в то же время представляют
собою и ширины всего фронта ударной волны.
§ 18. Ударная волна при больших плотности энергии
и давлении излучения
В § 3 было показано, что в не слишком слабой ударной волне в слу-
случае, когда имеется теплопроводность, но отсутствует вязкость, непре-
непрерывный переход газа из начального состояния в конечное невозможен.
Неминуемо возникает разрыв, который соответствует вязкому скачку
уплотнения, и в рамках данного приближения является бесконечно тон-
тонким (так как с самого начала была исключена из рассмотрения вязкость
вещества). Если теплопроводностный поток пропорционален градиенту
температуры, то на разрыве испытывают скачок все величины, за исклю-
исключением температуры: имеет место «изотермический» скачок. В § 12 и 17
были рассмотрены конкретные примеры «изотермических» скачков, к ко-
которым приводят электронная и лучистая теплопроводности.
Однако при чрезвычайно больших амплитудах ударной волны, когда
плотность энергии и давление излучения становятся достаточно боль-
большими по сравнению с энергией и давлением вещества, положение меняется.
Разрыв исчезает и газ в ударной волне переходит непрерывным образом
из начального состояния в конечное только за счет лучистой теплопро-
теплопроводности, даже если вязкость вещества не принимается во внимание. Этот
вопрос рассматривали С. 3. Беленький и- (позднее) В. А. Белоконь [50].
Для описания внутренней структуры фронта ударной волны исходим
из общих гидродинамических уравнений G.40), где S — поток лучистой
теплопроводности. Полные давление и энергия складываются из величин,
относящихся к веществу и к излучению, причем излучение считаем термо-
термодинамически равновесным. Точка, описывающая состояние в волне
на диаграмме р, V, движется вдоль прямой
l-4), Л=-^-,	G-72)

18]
УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ БОЛЬШОЙ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ
421
причем
G.73)
Температура и относительный объем за фронтом волны Т\, г\± связаны
между собой уравнением ударной адиабаты (в переменных температура —
объем), которое при учете давления и энергии излучения было выведено
в § 10 гл. III (формула C.76)). Перепишем его здесь в виде
deoTi/'Jli—1>\ = ^}A_7tii),	G.74)
где тI0 = (у — 1)/(y + 1)— конечный объем без учета плотности и давле-
давления излучения. Из этой формулы видно, что при ризл > ртаз т^ = 1/7;
при ризл <С Ргаз Ц1 = "Пю-
Рассмотрим зависимость температуры от объема при сжатии газа
во фронте волны, для чего подставим выражение G.73) в уравнение пря-
прямой G.72):
и
Эту формулу удобнее переписать иначе, заменить в ней Q0D2 через
Aqo	\-~ъ	~ ( ^Qo — *-+-s	) j	 •	G.75)
TJ	ОС	\	ТЦ	о Су 1	ТЦ
Функция Г (ц) в интервале 0 < ц <С 1 имеет максимум (обозначим
координаты максимума через Гтах, т]тах).
Поток излучения в волне S, как и в случае, когда плотность и давле-
давление излучения малы, направлен всегда в одну сторону, навстречу потоку
газа, и обращается в нуль только при
х = —оо и ж=4-°°, перед и за фрон-
фронтом волны. Поэтому температура в вол-
волне обязана монотонно возрастать от на-
начальной Т = 0 до конечной Tit в про-
противном случае поток S~ — dTldx ме-
менял бы знак внутри волны.
Если давление излучения мало,
Ризл С .Ргаз, то, как следует из форму-
формулы G.75), Т]Шах = Ш> 111 « Т)ю =
= (у — 1)/(y+1)- При этом точка на
диаграмме Т, т) перескакивает с одной
ветви кривой Т (г\) на другую, минуя
максимум, и возникает изотермический
скачок (см. § 3, 17).
Если же давление излучения вели-
велико, ризл > ргзз, то точка т]тах, где
функция Т (г]) проходит через макси-
максимум, лежит за интервалом реально
осуществляющихся объемов 1/7 « rji < т] < 1: т]тах близко к нулю (это
видно из уравнения G.75)). Таким образом, в этом случае плотность
газа в волне меняется непрерывным образом вместе с температурой и раз-
разрыва в волне нет. Этот случай показан на диаграмме Ti, т) (рис. 7.29).
Профили температуры, плотности газа и потока излучения в такой волне
изображены схематически на рис. 7.30.
Найдем амплитуду волны, при которой исчезает разрыв. Она, оче-
очевидно, соответствует такому случаю, когда точка максимума температуры
Рис. 7.29. Г4,т)-диаграмма для удар-
ударной волны с излучением в отсутст-
отсутствие разрыва.

422
СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ
[ГЛ. VII
совпадает с конечной точкой Г, т^ (точно так же как и в § 3).
В самом деле, при % < т]тах («малые» амплитуды) разрыв существует,
при T]max <C tj! («большие» амплитуды) разрыва нет. Обозначим пара-
параметры фронта, соответствующие переходной амплитуде, разграничиваю-
разграничивающие области непрерывного решения и изотермического скачка через
Г*, т|*.
Дифференцируя уравнение G.75) для функции Т (ц) и полагая
dT/dr] = О, Т = Т*, ц = т)*, а также полагая в этом уравнении и в урав-
нении ударной адиабаты G.74) Tt = Г*,
и =
Ti tji = т]*, получим систему двух уравнений
для неизвестных Т*, т)*:
n T* 4
Исключая из этой системы Т*, полу-
получим квадратное уравнение для г\*, один
из корней которого, отвечающий реаль-
реальному состоянию, равен
*?	*	1
'П -тг
-S
Рис. 7.30. Профили температуры,
плотности газа и потока излуче-
ния в ударной волне с учетом
энергии и давления излучения в
случае, когда скачок отсутствует.
G.76)
Так, например, при у = 5/3, Т}10 =
= 1/4, т]* = 1/6,45 (это значение несколь-
ко больше предельного объема при
Риал > Ргяз, равного 1/7). Переходная амп-
литуда согласно G.74) соответствует отно-
шению давлений излучения и вещества, в
конечном состоянии равному (ризл//?газ) * =
4Т*4 АТ*
Заметим, что при этой амплитуде скорость газа за фронтом относи-
относительно фронта в точности равна изотермической скорости звука в конеч-
конечном состоянии (а при амплитудах больших, чем переходная, когда раз-
разрыва нет, скорость газа за фронтом больше изотермической скорости
звука: фронт движется со сверхзвуковой скоростью относительно газа
за ним).
Профиль температуры в ударной волне без разрыва можно найти,
воспользовавшись, как обычно, уравнениями гидродинамики G.40) и урав-
уравнением для потока энергии, переносимой лучистой теплопроводностью,
с	cl d 4аГ4 ,,	-
о =	д--=	. Мы здесь на этом останавливаться не будем.
В работе В. С. Имшенника [51 ] рассматривается ударная волна
в двухтемпературной плазме с учетом излучения (температуры электро-
электронов и ионов не предполагаются одинаковыми). В работе [88] исследуется
структура фронта ударной волны с учетом переноса энергии и импульса
излучением на основе уравнений радиационной гидродинамики (в нере-
нерелятивистском приближении).

Г Л А В А VIII
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССАХ
1. ДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНОГО ГАЗА
§ 1. Уравнения газовой динамики при отсутствии
термодинамического равновесия
В предыдущей главе, при изучении структуры фронта ударной волны
в газе с замедленным возбуждением некоторых степеней свободы, мы
уже имели возможность познакомиться с одной из простейших задач
динамики неравновесного газа. Параметры за фронтом ударной волны
в области, где устанавливается полное термодинамическое равновесие,
не зависят от механизма и скоростей неравновесных процессов, однако
кинетика этих процессов существенным образом сказывается на распреде-
распределении гидродинамических величин в неравновесной области и ее ширине.
Искажения газодинамических потоков, вносимые неравновесными про-
процессами, связаны главным образом с изменениями теплоемкости и эффек-
эффективного показателя адиабаты неравновесного газа, от которых зависит
ход газодинамического процесса. Влияние показателя адиабаты на газо-
газодинамические решения можно видеть на примерах тех задач, которые
были рассмотрены в гл. I. Так, при нестационарном истечении газа из
трубы в пустоту скорость истечения ранее покоившегося газа равна
и = —^г, где с0 — скорость звука в исходном состоянии, с0 = (Yi'o/QoI''2-
Предположим, что первоначально равновесный двухатомный газ, нагре-
нагретый до такой температуры, что в нем колебания возбуждены «классически»,
с открытием заслонки трубы настолько быстро расширяется, что колеба-
колебания остаются замороженными, и энергия колебаний при расширении
не успевает превращаться в кинетическую энергию истечения *).
Это означало бы, что скорость истечения соответствует не равновес-
равновесному показателю адиабаты у = 9/7, а показателю у' = 7/5, т. е. будет,
грубо говоря, в 7/5 = 1,4 раза меньше.
Уже из этого простейшего рассуждения видно, какое значительное
влияние может оказать неравновесность газа на динамику процесса.
Необходимость учета кинетики установления равновесия возникает вся-
всякий раз, когда мы имеем дело с быстропеременными процессами или
*) При расширении плотность газа уменьшается, кинетические процессы замед-
замедляются, и переход колебательной энергии в энергию поступательного теплового дви-
движения молекул, который необходим для последующего превращения последней в энер-
энергию направленного, гидродинамического движения, затягивается надолго.

424	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
с процессами, характерные масштабы которых сравнимы с «длинами»
релаксации.
Одной из важнейших практических задач такого типа является задача
обтекания тела сильно разреженным газом, в котором времена релаксации
сравнимы с временем обтекания тела, т. е. «длина» релаксации сравнима
с характерными размерами тела. При входе в атмосферу баллистических
ракет с большой сверхзвуковой скоростью перед телом образуется так
называемая головная ударная волна, как показано на рис. 8.1. Расстоя-
Расстояние отхода ударной волны от передней точки тела обычно в несколько
или раз в десять меньше радиуса кривизны передней части тела. Если газ
настолько разрежен, что на расстоянии отхода укладывается не очень
большое число газокинетических пробегов, то в ча-
частицах газа за фронтом ударной волны не успевают
возбуждаться медленно релаксирующие степени сво-
свободы, например, не успевает устанавливаться хими-
химическое равновесие. Благодаря этому температуры в
сжатом ударной волной газе оказываются более вы-
высокими, чем при условии термодинамического равно-
равновесия, что меняет режим нагревания тела. По су-
существу, мы имеем дело здесь со случаем, когда
8 ,	важен характер газодинамических распределений в
ударная волна°Впри неравновесной зоне ударной волны, возникающей
сверхзвуковом обте- за скачком уплотнения.
кании тела.	В ряде задач оказывается возможным прибли-
приближенное описание динамики неравновесного газа пу-
путем использования некоторого эффективного значения показателя адиа-
адиабаты, соответствующего той или иной степени замороженности части
теплоемкости, например, когда изменением энергии в тех или иных степе-
степенях свободы за характерные гидродинамические времена вообще можно
пренебречь.
В общем же случае приходится рассматривать газодинамический про-
процесс одновременно с кинетикой неравновесных процессов, что вносит
усложнение в систему уравнений, описывающих явление.
Динамика невязкого и нетеплопроводного термодинамически равно-
равновесного газа описывается уравнениями непрерывности, движения и адиа-
батичности:
^-+Qdivw = 0,	(8.1)
- du • "p = 0,	(8.2)
dt
к которым присоединяется термодинамическая связь энтропии с давлением
и плотностью: S (p, q) (например, в газе с постоянной теплоемкостью
S = су In (pQ~y) + const).
Будем интересоваться движением газа, состояние которого откло-
отклоняется от термодинамического равновесия. При этом мы по-прежнему,
не будем учитывать вязкость и теплопроводность, считая, что неравно-
неравновесность связана исключительно с замедленным протеканием внутренних
процессов, не выходящих за рамки данной частицы вещества, скажем,
замедленным возбуждением молекулярных колебаний.

§ 1]	УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПРИ ОТСУТСТВИИ РАВНОВЕСИЯ	425
В неравновесном случае вместо уравнения адиабатичности (8.3),
которое теперь несправедливо, следует пользоваться более общим урав-
уравнением, выражающим закон сохранения энергии; оно справедливо всегда.
Полагая, что внешние источники энергии отсутствуют *), запишем
вместо (8.3)
4fcitoj3 состоянии термодинамического равновесия уравнения (8.4) и (8.3)
в силу термодинамического тождества ^ Jf-f-c^''^с-^-г л с-<„., <,,. f ^ • ;
TdS = de + pdV	(8.5)
эквивалентны. Если в равновесном случае внутренняя энергия е опре-
определяется только давлением и плотностью, е = е (р, q), to в отсутствие
равновесия она зависит еще и от других параметров, характеризующих
состояние системы, которые не являются равновесными (например, от
степени диссоциации). Не конкретизируя эти параметры, назовем их X.
Чтобы замкнуть систему уравнений газодинамики, к уравнениям (8.1),
(8.2), (8.4) следует присоединить соотношение, связывающее внутреннюю
энергию с давлением, плотностью и параметрами состояния X:
е = е(р, q, X),
а также уравнения кинетики, которыми описываются изменения пара-
параметров X в газовой частице с течением времени:
-§- = /(*. P. Q)-
Обычно функции е (р, q, X) и / (X, р, q) выражаются не непосред-
непосредственно через плотность и давление, а при помощи температуры
e = e (q, T, X), -^ = /(Я, Q, T).
При этом дополнительно вводится уравнение состояния
р = р(Т, Q, X).
Под температурой Т везде, где это не оговаривается особо, подразу-
подразумевается температура, соответствующая поступательным степеням сво-
свободы молекул (атомов, ионов), которые обычно равновесны даже в самых
быстрых газодинамических процессах, так как максвелловское распреде-
распределение молекул по скоростям устанавливается чрезвычайно быстро.
Рассмотрим в качестве примера неравновесной системы двухатомный
газ без диссоциации, но с замедленным возбуждением молекулярных
колебаний (будем интересоваться не слишком высокими температурами,
при которых степень диссоциации еще ничтожно мала). Роль параметра X
при этом играет неравновесная энергия колебаний ек (на 1 г газа). Упо-
Упомянутые выше соотношения, которые следует добавить к системе урав-
уравнений (8.1), (8.2), (8.4), в данном случае можно записать в виде
P = AqT,	(8.7)
	 -dT= x(T, о) •	<8'8)
*) Тепловой эффект обратимой химической реакции не является внешним источ-
источником энергии; он учитывается путем введения соответствующего слагаемого в выраже-
выражение для внутренней энергии газа.

426	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
Здесь гх — сумма энергий поступательных и вращательных степеней
свободы молекул (вращательная энергия предполагается равновесной,
т. е. соответствующей поступательной температуре Т); ек (Т) — энергия
колебаний, находящихся в термодинамическом равновесии с поступа-
поступательными степенями свободы молекул; т (Т, q) — время релаксации для
установления колебательного равновесия.
Аналогичные, но по форме более сложные уравнения можно выпи-
выписать и для всех других случаев, когда имеются неравновесные диссоциа-
диссоциация, химические реакции, ионизация или когда отличаются поступа-
поступательные температуры электронного и атомного (ионного) газов. Все эти
случаи были разобраны в предыдущей главе при рассмотрении струк-
структуры неравновесного слоя во фронте ударной волны.
§ 2. Возрастание энтропии
Чрезвычайно важной особенностью газодинамических процессов,
в которых газ неравновесен, является возрастание энтропии газа и дисси-
диссипация механической энергии. Как и внутренняя энергия е, энтропия
неравновесного газа уже не определяется только двумя величинами:
давлением и плотностью или температурой и плотностью, но зависит
от других параметров, характеризующих неравновесное состояние: S =
= S (р, q, X) или S (Т, q, X). Приращение энтропии dS теперь не равняется
притоку тепла от внешних источников, поделенному на температуру,
как в равновесном случае (dS Ф dQIT). Энтропия растет с течением вре-
времени даже в отсутствие притока тепла (когда dQ = 0), только за счет
неравновесных внутренних процессов.
Поясним это на том же примере неравновесных колебаний. Полная
удельная энтропия газа S складывается из энтропии, соответствующих
поступательным и вращательным степеням свободы, которые в силу рав-
равновесности можно объединить вместе, и энтропии колебаний *). Обозна-
Обозначим эти две части энтропии через St и SR:
S = St + SK.	(8.9)
Для энтропии поступательных и вращательных степеней свободы можно
записать термодинамическое тождество:
TdSi = det + pdV.	(8.10)
^бычно обмен колебательной энергией у молекул происходит гораздо
быстрее, чем обмен между колебательной и поступательной энергиями.
Поэтому больцмановское распределение по колебательным возбужде-
возбуждениям у молекул устанавливается довольно быстро, и колебаниям можно
"приписать определенную температуру Т?. Эта температура отвечает
"фактическому запасу колебательной энергии молекул 8К =..ек (Тк); если
обозначить колебательную теплоемкость ск, то deK = cKdTK. При этом,
конечноt колебательная температура Tf< может сильно отличаться от по-
поступательной температуры молекул Т, в чем и заключается неравновес-
неравновесность газа **). Если колебаниям можно приписать определенную темпера-
*) При неравновесных диссоциации или ионизации следует записывать выра-
выражение для энтропии через числа частиц разных сортов (молекул и атомов, напри-
например), которые не предполагаются равновесными.
**) G подобным положением мы уже встречались при рассмотрении плазмы.
Максвелловские распределения и температуры в электронном и ионном газах уста-
устанавливаются очень быстро. Однако электронная и ионная температуры отличаются
друг от друга вследствие замедленности обмена энергией между электронным и ионным
газами.

§ 2]	ВОЗРАСТАНИЕ ЭНТРОПИИ	427
ТУРУ Тк, то для колебательной части энтропии также можно записать
термодинамическое тождество:
TKdSK = deK.	(8.11)
(Энергия и энтропия колебаний не зависят от объема газа.)
Легко видеть, что энтропия неравновесной системы только растет
с течением времени, независимо от того, какие превращения претерпевает
газ. В самом деле, в силу уравнений (879), (8.10), (8.11), (8.4), (8.6) имеем:
dS _ dSi dSK _ 1 f <2et ,n dV \ 1 dsK _ deK f 1 I
~~dt~ ~dF + ~dT-T^'~df'i'p~dTj+^\;~dT-^r\l^~Y
Принимая во внимание уравнение кинетики (8.8), в котором
ек= J cK(T')dT', а ек (Г) = J cAT')dT',
о	о
видим, что при Тк <i T колебания отбирают энергию от поступательных
и вращательных степеней свободы, -4т >0 и -тГ>0. При Тк> Т коле-
dt	dt
бания отдают свою энергию -Цр < 0, но по-прежнему -^— > 0. Рассмот-
Рассмотренный пример иллюстрирует второй закон термодинамики, согласно
которому без участия внешних воздействий тепло всегда передается
от более нагретого объекта к менее нагретому, в результате чего энтро-
энтропия всей системы повышается. В данном случае «объектами» являются
не соприкасающиеся тела, а различные степени свободы одного и того
же тела. =С>
->> Если в какой-то момент газ был термодинамически равновесным,
затем участвовал в быстропротекающем процессе, в течение которого
в нем было нарушено равновесие, а потом вступил в область медленных
изменений состояния, чтобы снова прийти в равновесие, то в газе повы-
повышается энтропия.
Повышение энтропии газа сопровождается диссипацией механической
энергии, необратимым превращением ее в тепло. Если процесс идет без
"участия внешних источников энергии/¦'подчиняясь уравнению энергии
(8.4), то диссипируемая энергия уже никогда и ни при каких условиях
не сможет снова превратиться в механическую.
С явлением диссипации мы познакомимся более подробно в следующем
параграфе при рассмотрении поглощения звука в релаксирующей среде.
Поглощение звуковых волн представляет собой характерный пример дис-
диссипации механической энергии. Примером неполного использования
энергии вследствие «необратимости» может служить рассмотренный выше
идеализированный случай истечения газа в пустоту с полностью заморо-
замороженными колебаниями. В кинетическую энергию разлета идет только
«обратимая» часть внутренней энергии: энергия поступательных и враща-
вращательных степеней свободы, а энергия колебаний так и остается в молеку-
молекулах, благодаря чему скорость истечения оказывается меньшей. Подобные
эффекты необратимости при наличии неравновесных процессов могут
привести к дополнительным потерям в высокоскоростных турбинах при
высоких температурах, в соплах ракетных двигателей и т. д. На исполь-
использовании эффекта повышения энтропии с течением времени основан неза-
независимый метод измерения времени колебательной релаксации т, при-
примененный Кантровицем [1] для исследования релаксации в СО2.

428	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
Газодинамическим расчетам с учетом неравновесных процессов, отно-
относящихся главным образом к проблеме обтекания" и аэродинамического
нагрева тел, входящих в атмосферу (спутников, баллистических ракет),
посвящена обширная литература (см., например, [2, 2а]; там же имеются
ссылки на многие другие работы). Мы здесь не будем останавливаться
на вопросах обратного влияния физико-химической кинетики на газоди-
газодинамику процессов.
Нас будет интересовать в этой главе другой вопрос: кинетика неравно-
неравновесных процессов не с точки зрения влияния ее на движение газа, а с точки
зрения определения концентраций различных компонентов в условиях
существенно неравновесного протекания химических реакций, ионизации,
конденсации паров в различных гидродинамических явлениях. При этом
гидродинамика, как правило, будет рассматриваться приближенным обра-
образом, путем использования некоторых эффективных значений показателя
адиабаты, и на уже известное гидродинамическое решение будет «накла-
«накладываться» кинетика интересующих процессов.
Исключение составят только следующие два параграфа, в которых
будут рассмотрены явления поглощения и дисперсии звука в релаксирую-
щей среде (т. е. будет учтено влияние неравновесных процессов на газо-
газодинамический — распространение звуковых волн).
§ 3. Аномальные дисперсия и поглощение ультразвука
Обычно заметные дисперсия и поглощение звука в газах, связанные
с вязкостью и теплопроводностью, возникают только при очень малых
длинах звуковых волн, сравнимых с длиною пробега частиц в газе, и часто-
частотах, сравнимых с частотой газокинетических столкновений (см. § 22 гл. I).
Однако при распространении ультразвуковых волн в молекулярных
газах иногда наблюдаются аномально высокие дисперсия и поглощение
в области гораздо больших длин волн и меньших частот. Эти явления
связаны с релаксационными процессами установления равновесия в мед-
медленно возбуждающихся степенях свободы газа. В предельном случае
низких частот времена релаксации для установления равновесия в тех
степенях свободы, которые дают заметный вклад в теплоемкость, малы
по сравнению с периодом звуковых колебаний. В этих условиях состоя-
состояние частицы газа в каждый момент является термодинамически равно-
равновесным и «следит» за изменениями давления и плотности в звуковой волне.
Скорость звука, равная корню,квадратному из адиабатической про-
производной от давления по плотности, соответствует своему термодинами-
термодинамически равновесному значению:
^ + — *) .	(8.13)
г Со	r cv	cv
Наоборот, в предельном случае очень высоких частот медленно релак-
сирующие степени свободы не успевают возбуждаться в звуковой волне,
их энергия попросту соответствует температуре невозмущенного состоя-
состояния То. Эти степени свободы не участвуют в периодическом изменении
состояния газа, «заморожены», и не влияют на адиабатическую связь
изменений давления и плотности. Активная часть теплоемкости теперь
*) Мы пользуемся всегда удельными теплоемкостями: Л — газовая постоянная,
рассчитанная на 1 г. Во избежание путаницы скорость звука здесь будем обозначать
буквой а вместо с.

§ 3]	АНОМАЛЬНЫЕ ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА	429
меньше равновесной, показатель адиабаты и скорость звука больше, чем
при низких частотах.
В промежуточной области частот происходит постепенное изменение
скорости звука от равновесного значения а0 до значения а,*,, соответствую-
соответствующего «замороженной» части теплоемкости, т. е. возникает дисперсия. Так,
например, измерения Кнезера [3, 4] показали, что скорость звука в угле-
углекислом газе при комнатной температуре меняется от а0 = 260 м/сек при
частоте v порядка 104 сек A0 пгц) до а«> = 270 м/сек при v -~ 10е сек'1
A Мгц). Низкая скорость звука соответствует равновесному значению
теплоемкости:
Су = Споет + Свращ + СКОл =у4 + А + 0,84 = 3,ЗА
(молекула СО2 линейна, так что свращ = А; при комнатной температуре
возбуждаются только низкочастотные колебания молекулы c.hv/k =
— 954° К, причем колебательная теплоемкость еще меньше своего клас-
классического значения .4). Высокая скорость звука соответствует заморо-
замороженным колебаниям, т. е. теплоемкости су = спост + свращ = 2,5 А.
Из этих измерений следует, что время релаксации для возбуждения коле-
колебаний в молекуле СО2 (при атмосферном давлении) соответствует некоторой
промежуточной частоте звука, а именно ткол ~ 1/v ~ 10~8 сек. Враще-
Вращения в молекулах при комнатной температуре возбуждаются очень быстро
и дисперсия, связанная с замедленным возбуждением вращений, могла бы
наблюдаться при атмосферном давлении только при чрезвычайно боль-
л
ших частотах v ~ 	 ~ 109—1010 сек (исключение составляет только
твращ
водород, см. § 2 гл. VI).
Дисперсия звука наблюдается и в газах, в которых происходят
медленные химические превращения при изменениях температуры (и плот-
плотности) в звуковой волне. Примером может служить реакция полимери-
полимеризации двуокиси азота 2NO2 ±5 N2O4, которая легко протекает при ком-
комнатной температуре, так как теплота активации ее в обеих направлениях
мала. Именно применительно к такого рода системам теория дисперсии
звука была впервые развита А. Эйнштейном в 1920 г. [5]. По-видимому,
аналогичные явления происходят и при распространении ультразвука
в некоторых жидкостях.
Измерения дисперсии и поглощения ультразвука служат одним из
важнейших методов изучения релаксационных процессов и эксперимен-
экспериментального определения времен релаксации. Этому вопросу посвящена
большая литература *), и мы не будем здесь подробно его обсуждать.
Остановимся только на основных физических особенностях и закономер-
закономерностях явления.
Дисперсия звука в релаксирующем веществе всегда сопровождается
повышенным поглощением, которое значительно превышает «ее лзствен-
ное» поглощение за счет обычной вязкости и теплопроводности. В зву-
звуковой волне частица вещества совершает последовательные циктпеские
превращения, возвращаясь по окончании каждого цикла к исходному
состоянию. Если в частице протекают внутренние неравновесные про-
процессы, то они неизбежно приводят к повышению энтропии, диссипации
механической энергии, т. е. к поглощению звука. Следует подчеркнуть,
что при наличии диссипации состояние частицы по окончании цикла
несколько отличается от начального (так как энтропия ее повышается).
*) Обзор ее и ссылки можно найти, например, в [6J.

430
КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
[ГЛ. VIII
Однако это отличие, скажем, приращение температуры, пропорцио-
пропорциональное приращению энтропии, есть величина второго порядка малости
по отношению к малой амплитуде звуковой волны Ар или AT, поскольку
приращение энтропии AS пропорционально
звуковой энергии, которая в свою очередь
пропорциональна (Л^J (см. § 3 гл. I). По-
Поэтому в первом приближении движение в зву-
звуковой волне даже при наличии поглощения
является адиабатическим и циклы можно
рассматривать как замкнутые.
Механизм диссипации механической
энергии и поглощения звука легко себе
уяснить, рассматривая цикл в газе на диа-
диаграмме р, V. На рис. 8.2 проведено два
семейства адиабат, одно из которых (/) от-
отвечает равновесным изменениям состояния,
а другое (//) — замороженной части тепло-
р
/-¦
\
/'-
Л
в
1
I
i
1
В
—- —
A
ч
—-—
— —
\*'
М AV N
Ряс. 8.2. р,К-диаграмма для емкости. Адиабаты проведены вблизи не-
нецикла в звуковой волне с пря- возмущенного состояния газа, обозначенного
моугольным профилем.	точкой О. При очень медленных звуковых ко-
колебаниях точка, описывающая состояние
газа р, V, колеблется около центра О вдоль одной (равновесной) адиа-
адиабаты, обозначенной на рис. 8.2 как /'. В предельном случае очень
высокой частоты точка колеблется око-
около центра вдоль одной «замороженной» i
адиабаты, обозначенной через //'. И- в
том и в другом случаях неравновесные
процессы не протекают, энтропия газа не />о
меняется и поглощения звука нет. Работа, а)
совершенная над газом за цикл, численно
равная площади фигуры, описываемой
точкой на диаграмме р, V, равна нулю,
что и свидетельствует об отсутствии по- '>Р,, в
глощения. В том, что во втором случае
энтропия газа, как и в первом, термоди- &J
намически равновесном, не меняется, легко
убедиться на примере колебательной ре- Т0>р0
лаксации. Как видно из формулы (8.12),
скорость изменения энтропии в неравно-
неравновесном процессе пропорциональна ско-
скорости изменения энергии колебаний. Но
при строго замороженных колебаниях их
энергия вообще не меняется, ек = const
и dSldt = 0.
р
1
А
3 С i
В /
? (
п
t
X
D
в
Рис. 8.3. Акустическая волна в
релаксирующем газе со ступенча-
ступенчатым профилем плотности:
РаССМОТрИМ Теперь ЗВуКОВЫе ВОЛНЫ а) профиль плотности; б) профиль
температуры.
промежуточных частот, при которых су-
существенно протекание релаксационных
процессов (для определенности снова рассматриваем колебательную ре-
релаксацию). Для простоты представим себе, что звуковая волна имеет свое-
своеобразный, ступенчатый профиль плотности, изображенный на рис. 8.3, а*).
*) Этот весьма наглядный пример рассматривался и ранее, например в книге
Г. С. Горелика [7].

§ 3]	АНОМАЛЬНЫЕ ДИСПЕРСИЯ И ПОГЛОЩЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА	431
Этот график можно рассматривать как распределение плотности по
координате в данный момент времени или же как закон изменения плот-
плотности в данной частице газа во времени. То же относится и к рис. 8.3, б,
на котором показан соответствующий профиль температуры (или давле-
давления; профили температуры и давления в данном случае подобны друг
другу).
Будем следить за изменением состояния газовой частицы в волне
как на диаграмме р, V рис. 8.2, так и на рис. 8.3, я и б. При очень быстром
сжатии газа от точки А до точки В состояние его меняется вдоль
«замороженной» адиабаты //. При этом энтропия не меняется, над газом
совершается положительная работа, численно равная площади NABM.
Температура и давление газа резко возрастают, а колебательная энер-
энергия остается неизменной, соответствующей старой, низкой температуре.
Затем в течение некоторого времени плотность газа остается неизменной
(переход В -*¦ С). Происходит возбуждение колебаний, часть энергии
отбирается от поступательных и вращательных степеней свободы, темпе-
температура и давление понижаются, энтропия возрастает (см. формулу (8.12):
Тк < Т, dejdt > 0, dSldt > 0).
Поскольку объем газа не меняется, работа в период перехода В -*- С
не совершается.
Далее, газ очень быстро расширяется (переход С -> D) вдоль «замо-
«замороженной» адиабаты //. Температура и давление падают, энтропия
не меняется, колебательная энергия также не меняется, сохраняя свое
значение, приобретенное к моменту С. Газ совершает работу, численно
равную площади MCDN (над газом совершается отрицательная работа).
И, наконец, при медленном переходе D -*- А при постоянном объеме
колебания частично дезактивируются, так как их энергия превышает
значение, соответствующее упавшей температуре, колебательная энергия
частично переходит в поступательную и вращательную, температура
и давление возрастают, энтропия также возрастает (Тк > Т, dsK/dt < 0,
dS Idt > 0). Работа при этом не совершается.
Таким образом, в стадии расширения С -*¦ D газовая частица совер-
совершает над окружающим газом меньшую работу, чем была совершена
окружающим газом над нею в стадии сжатия А -*- В; частица «возвра-
«возвращает назад» работу не полностью. Часть затраченной в период сжатия
энергии «навсегда» остается в ней.
Эта энергия, численно равная разности работ, т. е. площади фигуры
ABCD, и представляет собой механическую энергию, необратимо пере-
перешедшую в тепло. В соответствии с диссипацией механической энергии
ослабляется (поглощается) и звуковая волна, причем поглощение энергии
звука за период (или на длине волны) как раз равно площади
ABCD.
С другой стороны, необратимое выделение тепла связано с приростом
энтропии за цикл: оно равно T0AS. Эта величина, как видно из рис. 8.2,
пропорциональна AV-Ap — (АрJ. Отсюда следует, что смещение точки
конечного состояния А' относительно точки начального состояния А
6р = (dpldS)v-AS ~ (АрJ есть величина второго порядка малости отно-
относительно амплитуды Ар. Поскольку (dp/dS)v > 0, dp > 0, т. е. давле-
давление после окончания цикла чуть выше начального. Точно так же чуть
у
выше и температура: ЬТ = I ^ ) AS = —— та —— . Приращение темпе-
температуры равно энергии, которая диссипируется за цикл, поделенной
на теплоемкость при постоянном объеме.

432
КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
[ГЛ. VIII
Рис. 8.4. p,V-диаграмма для циклов
в гармонических звуковых волнах
различной частоты.
В синусоидальной (гармонической) звуковой волне точка на диаграм-
диаграмме р, V описывает сглаженную кривую. Все параметры состояния: плот-
плотность, давление, температура меняются с течением времени по гармо-
гармоническому закону. Однако вследствие замедленных возбуждения и дезак-
дезактивации колебаний в молекулах изменения температуры или давления
не успевают следовать за изменениями плотности, и синусоида давления
сдвинута по фазе по отношению к синусоиде плотности (объема). Можно
показать, что точка на диаграмме р, V
описывает при этом эллиптическую тра-
траекторию, причем оси эллипса наклонены
по отношению к осям координат р, V.
При малых частотах v (или «кру-
«круговых» частотах со = 2irv) эллипс вы-
вытянут вдоль равновесной адиабаты (см.
фигуру 1 на рис. 8.4). Толщина его в
пределе малых частот пропорциональна
частоте (первому члену разложения по
малой величине со). Энергия звука, по-
поглощаемая за период, пропорциональна
со, а за единицу времени —еще и числу
циклов, т. е. со2. При больших частотах
эллипс вытянут около «замороженной»
адиабаты (фигура 2). Толщина его про-
пропорциональна 1/со (первому члену раз-
разложения по малой величине 1/со), а поглощение в единицу времени
пропорционально со-1/@, т. е. не зависит от частоты. Наибольшее погло-
поглощение за период происходит в промежуточном случае, когда частота—
порядка обратного времени релаксации. Эллипс при этом имеет наиболь-
наибольшую толщину (фигура 3); эта толщина порядка вертикального расстояния
между равновесной и «замороженной» адиабатами при максимальном
изменении давления, равном амплитуде волны (расстояние между точ-
точками Q и Q' на рис. 8.4).
Если относительная разность равновесного и «замороженного» пока-
показателей адиабаты велика (именно ею характеризуется угол между адиа-
адиабатами / и II, т. е. расстояние QQ'), то толщина эллипса может даже
стать порядка его длины.
Этому соответствует большой сдвиг, порядка я/2, по фазе между
давлением и плотностью (если бы эллипс превратился в круг, сдвиг по
фазе стал бы точно равным л/2).
§ 4. Закон дисперсии и коэффициент поглощения ультразвука
Изложенные в предыдущем параграфе качественные соображения
относительно дисперсии и поглощения звука при наличии релаксацион-
релаксационных процессов в веществе облекаются в изящную математическую форму.
В общем виде это было сделано Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонто-
вичем [8] *); формулы для дисперсии и поглощения, включающие в себя
время релаксации т, служат обычно для экспериментального определения
этого времени по измеренным на опыте кривым дисперсии или поглоще-
поглощения в зависимости от частоты ультразвука.
*) Изложение этой теории можно найти в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шипа [9].

§ 4]	ЗАКОН ДИСПЕРСИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА 433
Покажем, как можно вывести закон дисперсии и коэффициент погло-
поглощения звука в релаксирующей среде. При этом для простоты и нагляд-
наглядности все вычисления проделаем на конкретном примере газа с неравно-
неравновесными колебаниями, для которого в § 1 была сформулирована полная
система уравнений газодинамики (8.1), (8.2), (8.4), (8.6), (8.7), (8.8).
Запишем все переменные величины в звуковой волне: давление, плот-
плотность и т. д. в виде / = /о + f, где /0 ¦— среднее значение, соответствую-
соответствующее невозмущенному газу, а /' — переменная часть, которую будем счи-
считать малой величиной (скорость и = и0 + и' = и', так как невозмущен-
невозмущенный газ покоится: и0 = 0). Фактическую энергию колебаний также можно
представить в форме ек = ек0 + е'к, где 8Ко — колебательная энергия
в невозмущенном газе, которая, естественно, равновесна. Переменную
часть равновесной колебательной энергии запишем в виде г'к (Т) = скТ',
где ск — колебательная теплоемкость, соответствующая средней темпе-
температуре То (если при температуре То колебания классические, ск = А,
в противном случае ск выражается квантовой формулой (см. § 2 гл. III)).
Подставим в уравнения все величины в указанной форме и пренебре-
пренебрежем членами второго порядка малости, т. е. линеаризируем уравнения,
как это делается в акустике (см. § 3 гл. I). Получим в одномерном плос-
плоском случае систему уравнений для переменных частей величин:
дг' __ Ро_ 3q'_ _ q	д^к ___ скТ' — Вк	|
dt qI at ~~ '	at ~~ x	)
Здесь в уравнении энергии (8.4) вместо удельного объема введена
плотность, а обе части уравнения состояния разделены на р0 = Aq0T0.
Время релаксации т считается постоянным и равным t = X (То, q0).
Будем искать решение системы (8.14) в виде, гармонической плоской
волны, записывая все штрихованные величины в форме
f=f*e-4«*-b*)m	(8.15)
Волновое число к в общем случае является комплексным: к = к± +
+ ik2. Действительная часть /с4 пропорциональна обратной длине волны,
&i = 2п1%, и определяет фактическую скорость звука — фазовую ско-
скорость распространения волны а^ = co/fcjj мнимая часть к2 дает коэффи-
коэффициент поглощения звука:
Величину а = м/й можно назвать комплексной скоростью звука.
Амплитуды /'* в общем случае также комплексны: /'* = | /'* | eiq>.
Комплексный характер амплитуд свидетельствует о сдвиге по фазе одних
величин относительно других (на разности углов ср).
Подставляя в уравнения (8.14) все величины в форме (8.15) и замечая
что -~=—ico/', ~-=ikf, получим систему алгебраических уравне-
eft	ох
ний для штрихованных величин (или же амплитуд, если сократить на
28 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

434
КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
[ГЛ. VIII
экспоненциальный множитель):
— icoq' + Qoiku' = О,
J- ikp' = 0,
Qo
Ро
Qo
woq'=0, — 1©8к =
То ~*~ Qo '
(8.17)
Последнее уравнение, будучи разрешенным относительно ей, дает
1—JCOT
(8.18)
Именно благодаря этой комплексной связи переменных частей факти-
фактической колебательной энергии и температуры и возникают дисперсия
и поглощение. Уже отсюда видно, что в предельных случаях сот—> О,
и сот—> оо, когда ей = скТ' и е^ —0, мнимая единица полностью выпа-
выпадает из системы уравнений (8.17), все величины действительны (если под
р', р/ и т. д. понимать амплитуды р'*, р/* и т. д.). Никаких погло-
поглощений и сдвигов по фазе при этом нет.
Первые два уравнения системы (8.17), которые получились из урав-
уравнений непрерывности и движения после исключения скорости, дают
обычную связь:
p' = -g-e'=aV,	(8-19)
где а—комплексная скорость звука. Исключая из остальных четырех
уравнений е', s'K, T', найдем еще одну связь р' и р/:
_ А I	K
2 + 1 —icor
(8-20)
Величину у можно назвать комплексным показателем адиабаты.
5	7
4 + с
5
Вводя обозначения: cVo = у
7
сРо = у.4 + ск — равновесные тепло-
теплоемкости при постоянных объеме и давлении и
= -у-4, срсо = -^А —
теплоемкости при полностью замороженных колебаниях, запишем ком-
комплексный показатель адиабаты и выражение для комплексной скорости
звука, которое следует из уравнений (8.19), (8.20), в виде
eV0
*) В книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [9] выводится несколько-отличная
формула (гл. VIII, § 78, формула G8.3)), которая дает
1 г ср0
=~.	:	" •	ШХ
1—ШТ L Cvn
bVoo
Это расхождение связано с различием в определениях времени релаксации т, которое
фигурирует в уравнении кинетики. Величина ек (Т) в нашем уравнении (8.8) предста-
представляет собой равновесную энергию колебаний, которая соответствует поступательной
температуре Т. Отметим время релаксации в нашем уравнении кинетики индек-
индексом «Т». Если объем газа постоянен и поступательная температура также поддержи-

§ 4] ЗАКОН ДИСПЕРСИИ И КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА	435
В предельном случае малых частот (от < 1, Y = ~^~ = Yo> °? = Yo т~ =
= а", получаем равновесные показатель адиабаты и скорость звука.
В пределе высоких частот ют > 1,
получаем показатель адиабаты и скорость звука, соответствующие заморо-
замороженным колебаниям. В обоих предельных случаях скорость звука и, сле-
следовательно, волновое число к = а/а— действительны, т. е. поглоще-
поглощения нет.
В промежуточной области частот скорость звука а и волновое число
к = а/а комплексны. Если составить выражение для к = а>/а с помощью
формулы (8.21) и отделить в нем действительную и мнимую части,
получим закон дисперсии ai (со) = . и коэффициент поглощения
^2 И*).
вается постоянной: Т = const, то уравнение (8.8) дает экспоненциальный закон прибли-
приближения к равновесию с характерным временем Xj\
Энергия газа е = cVoo T -\- ек при этом не постоянна.
Если же считать постоянной энергию е (и, конечно, объем) и пользоваться урав-
уравнением (8.8), то мы получим вместо простого экспоненциального более сложный закон
приближения к равновесию.
В книге [91 уравнение кинетики типа (8.8) записывается таким образом, что под
равновесной следует понимать энергию колебаний, которая соответствует равновесной
температуре Тр, общей для поступательных и колебательных степеней свободы и отве-
отвечающей данным объему V и энергии е газа.
Обозначим время релаксации, которое фигурирует в уравнении кинетики (по [9])
через т.д. Уравнение дает экспоненциальный закон приближения к равновесию:
ек = ек {Тр) + [(е„)<=о-б„ {Тр)] ехр ( -~
если постоянны объем, энергия газа, т. е. равновесная температура Тр, и время xs
(фактически х$ зависит от поступательной температуры, но предполагается, что откло-
отклонение от равновесия мало, так что при Тр = const поступательная температура Т
меняется мало. При малом отклонении от равновесия условие V = const, e = const
можно рассматривать как условие приближенного постоянства энтропии S я$ const).
Будем рассматривать малые изменения всех величин в звуковой волне около
средних значений. Воспользовавшись определением
можно перейти от одного уравнения кинетики к другому. При этом получается, что
Ts = (cvJcVo) хт.
В формуле для у, приведенной в начале сноски, под т следует понимать х$,
в нашей формуле (8.21) — хт- Легко проверить с помощью связи tg и Хт, что обе фор-
формулы в точности совпадают.
Метод «Tg», принятый Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем [8], позволяет
получить общую формулу для у, приведенную выше, независимо от конкретного
релаксационного механизма. При рассмотрении же частного случая колебательной
релаксации представляется более наглядным использование метода «Ту», что и было
сделано в тексте. Заметим, что именно так и рассматривалась колебательная релакса-
релаксация в ультразвуке в старых работах (Кнезер [3], Ландау и Теллер [10]).
*) Заметим, что между функциями fcj (<o) и к2 (©) существует совершенно общая
связь, независимо от механизма дисперсии и поглощения. Эта связь была выведена
В. Л. Гинзбургом [11].
28*

436
КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
?ГЛ. VIII
В общем случае эта операция приводит к весьма громоздким выражениям.
В пределе малых частот ют < 1 приближенно получим:
; 7 1-?	ы
к = kl + ik2 =
1Т 2 а0
1 -.
2о0
Yo
(8.22)
Коэффициент поглощения к2 ~ со2; поглощение на расстоянии, рав-
равном длине волны, к2% ~ (о.
В пределе больших частот сот > 1 имеем
ik9 =	• -f- i ^
"pots
Yo
(8.23)
cot
Коэффициент поглощения kz % const не зависит от частоты, погло-
поглощение на длине волны к2К — 1 /со.
Кривая дисперсии at (to) и частотная зависимость поглощения на дли-
длине волны к^К = k2ai2it/(o = 2%k2lki схематически изображены на рис. 8.5.
Нетрудно показать, что величина k2/k± име-
имеет максимум приют = ]/~cY0Cp0/cY<s>cpoo~l.
При близком, но отличном значении и>х
кривая дисперсии имеет перегиб.
Из формулы (8.19) следует, что давле-
давление в звуковой волне сдвинуто по фазе
относительно плотности. В самом деле,
если скорость звука — комплексная ве-
величина, то р' = a2Qr = | a2 |ei(PQ'. В пре-
предельных случаях от< 1 и ют>1, ко-
когда мнимая часть скорости звука стре-
стремится к нулю, сдвиг по фазе ср исчезает.
При ют ~ 1, когда действительная и
мнимая части сравнимы, сдвиг по фазе ср
значителен.
Если в веществе протекает несколько
неравновесных процессов с сильно раз-
различающимися временами релаксации, силь-
сильные поглощение и дисперсия возникают
каждый раз, когда ют ~ 1, и эти частотные области четко разделены. В
случае же близких времен релаксации области сливаются и эксперимен-
экспериментально разделить их, т. е. извлечь из опытных данных времена релак-
релаксации, весьма трудно.
Дисперсия и поглощение звука, связанные с неравновесными процес-
процессами, определяются колебаниями плотности вещества, т. е. в силу урав-
уравнения непрерывности dq/dt + Qdivw = 0 связаны с дивергенцией ско-
скорости. Формально их можно описать коэффициентом второй вязкости ?,
который характеризует диссипативный член в уравнении движения, про-
пропорциональный дивергенции скорости (см. § 20, 21 гл. I). Коэффициент
второй вязкости можно формально связать с величиной ют и предельными
скоростями звука а0 и ах (см., например, [9]).
Однако описать аномальное поглощение путем введения коэффициента
второй вязкости можно только при не слишком больших частотах. Коэф-
Коэффициент поглощения за счет вязкости растет пропорционально k2 ~ со2
(см. § 22 гл. I). Поэтому при со ->- оо поглощение, связанное с вязкостью,
неограниченно возрастает, тогда как в действительности коэффициент
Рис. 8.5. Зависимости скорости
распространения а4 и коэффи-
коэффициента поглощения на длине вол-
волны к%к, ультразвука в области ре-
релаксации.

§ 5]	ОКИСЛЕНИЕ АЗОТА ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ	437
аномального поглощения при со -*- оо стремится к постоянной величине:
к2 = const (см. формулу (8.23)).
Некоторые экспериментальные данные по временам релаксации для
возбуждения колебаний и вращений в молекулах, полученные путем изу-
изучения дисперсии и поглощения ультразвука, уже приводились нами
в § 2 и 4 гл. VI.
2. ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ
§ 5. Окисление азота при сильном взрыве в воздухе
Атмосферный воздух состоит из молекул азота и кислорода; химически
он равновесен и очень устойчив. Для диссоциации молекул на атомы или
частичного превращения их в молекулы окиси азота N0 необходимо
нагреть воздух до нескольких тысяч градусов. Реакция окисления азота
требует большой энергии активации. Несколько меньше, но тоже велика
энергия активации, необходимая для распада молекул окиси на кисло-
кислород и азот. Поэтому, несмотря на энергетическую выгодность превраще-
превращения окиси азота в кислород и азот при низких температурах, молекулы
окиси N0 чрезвычайно устойчивы по отношению к распаду.
В § 8 гл. VI было показано, что если при температуре 4000° К время
установления равновесной концентрации окиси азота в воздухе нормаль-
нормальной плотности составляет ~ 10~6 сек, то при 2000° К оно равно примерно
1 сек, а при 1000° К имеет колоссальную величину порядка 1012 сек, т. е.
примерно 30 тысяч лет! Однажды образовавшаяся и охлажденная до нор-
нормальной температуры окись азота пребывает в воздухе неопределенно
долгое время. В действительности, окисленный азот продолжает свое дли-
длительное существование в виде двуокиси NO2 (или даже комплексов N2O4,
в которые предпочитают объединяться молекулы N02), так как окись
азота весьма быстро реагирует с кислородом воздуха и окисляется до
двуокиси. Эта экзотермическая реакция требует очень небольшой энер-
энергии активации и легко протекает даже при комнатной температуре (см.
§ 9 гл. VI).
Таким образом, химический процесс в нагретом, а потом охлажден-
охлажденном воздухе приводит к существенно неравновесным состояниям, нахо-
находящимся в резком противоречии с законами химического равновесия,
согласно которым окислы азота при низких температурах должны были
бы полностью превратиться в азот и кислород. Этот эффект, хорошо
известный из лабораторной практики, носит название эффекта «закалки»
окислов азота.
Большое количество окислов азота образуется при сильном взрыве
в воздухе. Атмосферный азот окисляется в той стадии процесса, когда
воздух во взрывной волне нагрет до температуры в несколько тысяч гра-
градусов, причем окисляется несколько процентов азота. При распростра-
распространении взрывной волны первоначально нагретый во фронте ударной волны
воздух быстро охлаждается. Образовавшаяся в нем окись азота не успе-
успевает распадаться при охлаждении и остается в воздухе «навсегда». Всего
при взрыве с энергией 1021 эрг, эквивалентной примерно 20 000 тонн
тротила, в воздухе образуется около 100 тонн окислов азота. Через
несколько десятков секунд или минуту после окончания взрыва вся окись
превращается в двуокись.
В обычном состоянии двуокись азота представляет собой резко окра-
окрашенный газ буровато-красного цвета, что связано с преимущественным

438
КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
[ГЛ. VIII
*
поглощением молекулами NO2 зеленых и синих лучей. Она придает крас-
красноватый оттенок облаку, которое поднимается вверх после окончания
взрыва *), что было отмечено на опыте и описано в книге [12]; см. также
§ 5 гл. IX.
Присутствие окислов, в особенности небольшого количества дву-
двуокиси азота, в нагретом воздухе, охваченном взрывной волной, сильно
влияет на оптические свойства воздуха в волне, так как, в отличие от
молекул кислорода и азота, молекулы двуокиси интенсивно поглощают
и излучают свет в видимой части спектра (молекулы N0 также не погло-
поглощают видимого света).
Специфические особенности кинетики химических реакций образова-
образования и распада окислов азота в взрывной волне приводят к возникновению
интересных оптических явлений, на-
наблюдаемых при сильном взрыве, ко-
торые также описаны в книге [12].
Эти явления: свечение ударной вол-
волны при сравнительно низких температу-
температурах за фронтом порядка 4000—2000° К,
когда газ, состоящий только из молекул
и атомов кислорода и азота, не должен
был бы светиться, довольно резкое пре-
прекращение свечения ударной волны при
температуре около 2000°К и отрыв фрон-
фронта волны от границы светящегося тела,
так называемого «огненного шара», свое-
своеобразный эффект минимума яркости
огненного шара в момент отрыва, когда
свечение сначала затухает, а потом
шар как бы снова разгорается, — будут
рассмотрены в § 5—7 гл. IX. Здесь
же мы остановимся несколько подробнее
на рассмотрении кинетики реакций окисления азота во взрывной волне,
что является необходимой основой для объяснения указанных оптиче-
оптических явлений. Эта задача рассматривалась одним из авторов [13]. Следует
отметить, что изучение кинетики представляет и самостоятельный инте-
интерес, как характерный пример существенно неравновесного химического
процесса в газодинамическом явлении сильного взрыва.
Газодинамика сильного взрыва была описана в § 25 гл. I. Процесс
является автомодельным, фронт ударной волны распространяется от цент-
центра взрыва по закону R$ ~ t2^. Распределения всех газодинамических
величин по радиусу представлены на рис. 1.50. Эти распределения неиз-
неизменны во времени в силу автомодельности; с течением времени меняются
только масштабы.
Нас интересует здесь протекание химической реакции в определенных
частицах воздуха. Для этого прежде всего нужно знать, как меняется
с течением времени термодинамическое состояние данной частицы.
На диаграмме г, t рис. 8.6 схематически изображены линии фронта
ударной волны и нескольких частиц за фронтом, обозначенных цифрами
1, 2, 3. Нагретые и сжатые в моменты прохождения фронта волны toi,
^о2> ^оз частицы увлекаются взрывной волной, разлетаясь от центра, и при
*) Молекулярные комплексы N2O4 не поглощают видимого света, т. е. газ N2O4
бесцветен. Однако двуокись исчезает уже после рассеяния облака взрыва в атмосфере,
так как реакция 2NO2 —>- N2O4 идет не слишком быстро.
Рис. 8.6. г, «-диаграмма для сильного
взрыва в воздухе.
Ф — линия фронта ударной волны; 1,
г, з — линии трех частиц, через кото-
рые фронт проходит в моменты <01, iO2,<O3.

§5]
ОКИСЛЕНИЕ АЗОТА ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ
439
этом адиабатически расширяются и охлаждаются до тех пор, пока дав-
давление в них не упадет до атмосферного и частицы не остановятся.
Кривые охлаждения и расширения частиц воздуха с течением вре-
времени схематически показаны на рис. 8.7 и 8.8.
Вычисления по формулам § 25 гл. I показывают, что при взрыве
с энергией Е — 1021 эрг, к которому будут относиться все наши численные
примеры, температура на фронте ударной волны падает до величины Тф =
= 2000° К за время порядка 10 сек от момента энерговыделения. Такой
же порядок имеют времена охлаждения частиц воздуха от температуры,
скажем, 5000° К до 2000°—1500° К. Время t~ 10 сек—временной масштаб
К
"А
t.
03
t
Рис. 8.7. Схематическая зависимость
температуры от времени в трех ча-
частицах, нагретых взрывной волной.
t
Рис. 8.8. Схематическая зависимость
плотности от времени в трех части-
частицах, сжатых взрывной волной.
газодинамического процесса при взрыве с энергией Е = 1021 эрг, с кото-
которым следует сравнивать времена, характерные для протекания химиче-
химических реакций.
Проследим сначала за кинетикой реакций в какой-нибудь определен-
определенной частице воздуха. Пусть, например, частица 1 была нагрета во фронте
ударной волны до температуры Гфх = 3000° К. Скорость окисления
азота при такой температуре очень высока и равновесная концентрация
достигается за время порядка 10~в сек. В частице воздуха «мгновенно»
окисляется примерно 5% азота и в дальнейшем концентрация окиси
«медленно» изменяется (уменьшается) в соответствии с законами химиче-
химического равновесия, «следя» за охлаждением и расширением. Распад молекул
окиси начинает отставать от охлаждения только тогда, когда частица
остынет до температуры порядка 2300° К, при которой время релаксации
т возрастает от начальной малой величины ~ 10~6 сек до величины, срав-
сравнимой с газодинамическим масштабом времени охлаждения, 10~2 сек.
При дальнейшем охлаждении распад быстро прекращается, так как ско-
скорость распада чрезвычайно резко снижается при уменьшении температуры.
Так, уже при 2000° К скорость распада характеризуется временем релак-
релаксации т. -~ 1 сек. Остаточное «закаленное» количество окиси в данной
частице соответствует примерно той концентрации, которая была в ней
в момент, когда время релаксации т было сравнимо с характерным временем
охлаждения t ~ 10~2 сек, т. е., когда температура в частице была поряд-
порядка 2300° К. Но чуть раньше концентрация была равновесной, а равновес-
равновесная концентрация довольно слабо меняется при понижении температуры
на несколько сотен градусов, которые очень существенно меняют скорость
распада (см. § 4 гл. III и § 8 гл. VI). Поэтому остаточная концентрация
окиси в частицах воздуха просто равна равновесной концентрации при
температуре около 2300° К, а это — величина порядка 1%. Зависимость

440	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
от времени концентрации окиси в частице схематически показана на
рис. 8.9. Конечно, точное значение остаточной концентрации зависит от кон-
конкретной частицы, т. е. от плотности, с которой она пришла к переломной
для реакции температуре да 2300° К, при которой т ~ t, от времени охла-
охлаждения, однако эти детали не влияют на порядок величины остаточной кон-
концентрации. Реакция окисления окиси до двуокиси при температурах
~ 2000° К идет довольно быстро (см. § 9 гл. VI). Поэтому концентрация
двуокиси все еще остается равновесной, но двуокись находится при этом
в равновесии не с равновесным, а с фактическим, «закаленным» количест-
количеством окиси. При температурах порядка 2000° К концентрация двуокиси
составляет примерно 10~2% (см. табл. 5.9, § 21 гл. V). В дальнейшем
вся окись постепенно окисляется до двуокиси, причем вначале этот про-
процесс «следит» за охлаждением, а потом,
при температуре ~1500° К и ниже, от-
отстает от охлаждения. Полное окисление
окиси происходит уже в совсем холод-
холодно	ной частице, через десятки секунд после
-~		взрыва.
(cm) """"	В частицах воздуха, которые фронт
ударной волны нагрел до температуры
ниже ~2200—2000° К, окись азота во-
"? обще не образуется, так как скорость
окисления при такой температуре весь-
Ряс. 8.9. Схематическая зависимость ма мала, и частица быстро проскакивает
от времени равновесной (CN0) и фак- ту область температур около 2000° К,
тической (CN0) концентраций окиси в которой СКОрость реакции составляет
азота в^пределенной^частице возду- еще заметную величину. Таким образом,
сферический слой воздуха, нагретый во
фронте ударной волны до температуры
~2200—2000° К, ограничивает массу воздуха, в которой вообще появи-
появились окись, а затем и двуокись (закон движения этого слоя изображается
на диаграмме г, t рис. 8.6, скажем, линией 3). Отсюда следует и оценка
полного количества окислов азота, которое образуется при сильном
взрыве. Оно определяется массой воздуха, нагретого во фронте ударной
волны до температуры выше ~2200—2000° К, и равновесной концентрацией
окиси при такой температуре (при чуть более высокой: 2300° К), так как
именно при таких температурах происходит закалка *). При взрыве с
энергией 1021 эрг радиус фронта ударной волны при температуре фронта
Гф = 2000° К равен примерно 100 м. Масса воздуха в сферическом объеме
такого радиуса составляет примерно 5000 т и при концентрации ~1%
масса окиси получается равной ~50 т. Масса двуокиси после присоеди-
присоединения к каждой молекуле NO еще одного атома кислорода составит —75 т,
т. е. около 100 т, как было сказано выше.
Рассмотрим теперь, каково распределение концентрации окислов
по радиусу в данный момент времени. Здесь возможны два типичных
случая. Если в рассматриваемый момент ? (рис. 8.10) температура на фрон-
фронте волны выше ~2300° К, практически во всех частицах за фронтом кон-
концентрации окиси и двуокиси равновесны и распределения концентраций
определяются просто распределениями температуры и плотности за фрон-
фронтом. Исключение составляет только очень тонкий слой воздуха непосред-
*) Напоминаем, что равновесная концентрация окиси азота в воздухе зависит
только от температуры, но не от плотности (см. § 4 гл. III и § 8 гл. VI).

5]
ОКИСЛЕНИЕ АЗОТА ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ
441
ственно за фронтом, в котором еще не успели к данному моменту обра-
образоваться окислы (рис. 8.10).
Если же мы интересуемся моментом t", в который температура за фрон-
фронтом меньше ~2000° К, например 1600° К, то около фронта находятся
частицы, нагретые фронтом до температуры ниже 2000° К и в них окиси
вообще нет; далеко за фронтом при температуре выше ~2500° К концентра-
концентрация равновесна, а в промежуточном слое окись есть, но концентрация ее
от-Ю*
Ю
j>/po-2j5 р/ро=4,5
х,м
a
Рис. 8.10. Распределение концентра-
концентрации окиси азота за фронтом удар-
ударной волны при взрыве с энергией
Е = 1021 эрг.
Температура на фронте Гф = 3000° К.
Концентрация практически везде равно-
равновесна. Указаны значения температур и
плотностей в нескольких точках.
Рис. 8.11. Распределение концентра-
концентрации окиси азота за фронтом ударной
волны при взрыве с Е = 1021 эрг.
Температура на фронте тф— 1600° К.
Сплошная кривая — фактическая концен-
концентрация, пунктирная — равновесная концен-
концентрация. При ж > 4 м cjg-Q ж (с^о)- Указаны
значения температур и плотностей в не-
нескольких точках.
неравновесна. Ближе к фронту она меньше равновесной, а несколько даль-
дальше, в тех частицах, в которых уже началась закалка, выше равновесной
(рис. 8.11).
Для расчета концентрации окиси в неравновесной области, а также
для более точного определения количества «закаленной» окиси необходимо
решить уравнение кинетики реакции окисления азота F.45) в данной
частице воздуха с учетом законов ее охлаждения и расширения во взрыв-
взрывной волне. Законы расширения и охлаждения воздуха, которые следуют
из решения задачи о сильном взрыве (§ 25 гл. I), можно неплохо аппрок-
аппроксимировать следующими формулами, удобными для расчета кинетики:
Q — 6о { —
1	1 . а . t
	 		. [ ,	. I rj
Т I т	1 *
¦<0 •'0 '0
где То и Qo — температура и плотность в частице в начальный момент t0,
когда через нее прошел фронт ударной волны; а и Ъ — численные постоян-
постоянные, зависящие только от эффективного показателя адиабаты в газодинами-
газодинамическом решении. При у = 1,30 а = 0,44, Ъ = 0,75.
Оказывается (см. [13 ]), что путем соответствующего выбора новых пере-
переменных в уравнении кинетики F.45) это уравнение вместе с указанными
законами охлаждения и расширения можно привести к универсальному

442	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
безразмерному виду:
JJL^aS-efos^i),	(8.24)
где величина х связана с переменной — временем, а у пропорциональна
концентрации окиси; 6 — численная константа меньше единицы. Началь-
Начальное условие, соответствующее отсутствию окиси в начальный момент
t = t0, сводится к условию у = О, когда х равняется некоторой величине
х0, зависящей только от момента t0, параметров начального состояния
и констант, входящих в уравнение кинетики F.45).
Я. Б. Зельдович, П. Я. Садовников и Д. А. Франк-Каменецкий [14]
изучали кинетику реакции окисления азота в лабораторных условиях
при законе охлаждения типа -=-==- + -=- t и постоянной плотности.
1 1 о ¦* о
При этом уравнение кинетики F.45) с помощью введения новых
переменных также приводится к уравнению типа (8.24) с начальным усло-
условием у. = 0 при х = х0. В книге [14] табулировано решение уравнения
у = у (х, х0) *).
Зная из газодинамического решения задачи о сильном взрыве пара-
параметры начального состояния частицы воздуха, можно таким образом полу-
получить полное решение, т. е. зависимость концентрации окиси cno от вре-
времени. Оно вполне соответствует качественным соображениям, изложенным
выше. Так была рассчитана кривая, изображенная на рис. 8.11.
3. НАРУШЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
ПРИ РАЗЛЕТЕ ГАЗА В ПУСТОТУ
§ 6. Разлет газового облака
Явление разлета в пустоту газового облака встречается в самых разно-
разнообразных естественных, лабораторных и технических процессах. При
ударах метеоритов о поверхность планет происходит резкое торможение
метеорита и превращение кинетической энергии в тепло. Если скорость
удара велика, порядка нескольких десятков км/сек, развиваются очень
высокие температуры в десятки и сотни тысяч градусов. Тело метеорита
и часть грунта планеты при этом испаряются. Явление напоминает силь-
сильный взрыв на поверхности планеты **). Если планета лишена атмосферы,
например, как Луна, образующееся облако паров, обладая большими ско-
скоростями разлета, преодолевает силы тяготения и беспрепятственно расши-
расширяется в пустоту. Существует предположение, что в результате таких
«взрывов» при ударах огромных метеоритов образовались лунные кратеры.
Аналогичные явления происходят и при гораздо более частых столкно-
столкновениях малых тел в солнечной системе — астероидов. Разлет в пустоту
колоссальных газовых облаков наблюдается при вспышках новых звезд,
когда в результате нарушения энергетического баланса звезды происходит
выделение большой энергии, и от центральных слоев к периферии распро-
распространяется ударная волна, отрывающая от звезды и выбрасывающая в ми-
мировое пространство газовое облако.
До некоторой степени подобные явления, но, разумеется, в несоиз-
несоизмеримо меньших масштабах, встречаются и в лабораторных условиях,
*) Как отметил А. С. Компанеец, уравнение (8.24) с б = 0 решается точно,
в функциях Бесселя.
**) Гидродинамика этого процесса будет рассмотрена ниже, в гл. XII.

§ 6]	РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ОБЛАКА	443
например, при испарении анодных игл в импульсных рентгеновских
трубках под действием мощного электронного импульса (В. А. Цукерман
и М. А. Манакова [15]), при взрыве проволочек электрическим током
в откачанных установках и т. д. Конечно, в лабораторных условиях рас-
расширение не является беспредельным, так как оно ограничивается стенками
откачанного сосуда; однако в той стадии, когда газ еще не достиг стенок,
разлет в пустоту происходит так же, как будто пустота «беспредельна».
Опыты, в которых получается газовое облако, разлетающееся в пу-
пустоту, ставились и при ракетных исследованиях верхних слоев атмосферы,
когда в пространство выпускались пары натрия и окись азота. То же явле-
явление имело место и при создании искусственной кометы при полете на Луну
советской космической ракеты.
Динамика разлета газового облака в пустоту довольно проста; идеа-
идеализированная задача об адиабатическом разлете в пустоту газового шара,
когда газ обладает постоянной теплоемкостью, рассматривалась в § 28,
29 гл. I. Здесь нас будут интересовать более тонкие вопросы состояния
газа в стадии большого расширения, так сказать, при разлете на бесконеч-
бесконечность, которые можно рассматривать на основе самой простой схемы раз-
разлета. В этой схеме принимается во внимание поведение только средних
по массе параметров газа. Ясно, что параметры какой-либо конкретной
частицы газа меняются во времени точно так же, как и средние величины,
и отличаются от средних значений только численными множителями по-
порядка единицы, которые для нас несущественны.
Рассмотрим газовый шар массы М, обладающей энергией Е *). В ста-
стадии сильного расширения почти вся начальная энергия уже превратилась
в кинетическую энергию разлета, вещество разлетается инерционно со
средней скоростью и = У~2Е/М. Радиус шара порядка R = ut; плотность
газа падает с течением времени по закону:
1У.	(8-25)
где масштаб времени приближенно выражается через начальные радиус
шара /?0 и плотность вещества q0:
^.	(8.26)
Если интересоваться температурой газа в стадии большого расши-
расширения, то нужно рассматривать ту малую внутреннюю энергию, которая
еще осталась в газе и которой мы пренебрегали при вычислении скорости
разлета. Примем во внимание, что при адиабатическом разлете остается
постоянной удельная энтропия газа S. Полагая для простоты, что веще-
вещество ведет себя как газ с некоторым постоянным эффективным значением
показателя адиабаты, получим закон охлаждения газа:
2' = 4E)QY-i^.f-3(Y-i)>	(8.27)
где A (S) — энтропийная константа, вычисляемая по известным форму-
формулам статистической механики. Если рассматриваются сравнительно высо-
высокие температуры, то с учетом процессов ионизации, диссоциации и т. д.
можно принять ориентировочные значения показателя адиабаты у да 1,2 —
1,3. Во всяком случае показатель не больше 5/3 = 1,66, что соответ-
соответствует полному замораживанию всех внутренних степеней свободы газа.
*) Мы для удобства напомним здесь некоторые выводы § 28 гл. I.

444	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIIГ
§ 7. Эффект «закалки»
Посмотрим, как протекают физико-химические процессы в газе, рас-
расширяющемся по кубическому закону q ~ t~a и охлаждающемся по закону
Т ~ f-3(v-i).
Предположим, что вначале температура была высока, так что моле-
молекулы были диссоциированы и атомы сильно ионизованы. Предположим
также, что велика была и начальная плотность газа, как это бывает, если
газовое облако образовалось в результате быстрого выделения энергии
в первоначально твердом веществе. Тогда на ранней стадии разлета при
больших плотности и температуре все релаксационные процессы протекают
очень быстро и газ находится в термодинамическом равновесии, причем
характеристики его состояния, например степени ионизации или диссоциа-
диссоциации, «следят» за охлаждением и расширением. Если бы газ в течение всего
разлета продолжал оставаться термодинамически равновесным, то по мере
расширения и охлаждения все электроны довольно скоро должны были бы
объединиться с ионами в нейтральные атомы, а все атомы, обладающие
химическим сродством, объединились бы в молекулы.
В самом деле, равновесные степени ионизации и диссоциации а зави-
зависят от температуры по экспоненциальному закону, а от плотности только
по степенному: а ~ q^1^ ехр (—I/2кТ), где / — потенциал ионизации
или энергия диссоциации. При расширении и охлаждении до низких
температур равновесные степени ионизации и диссоциации очень быстро
стремятся к нулю, так как при Т ~ q/y-1 ->- 0 экспоненциальный член
уменьшается чрезвычайно быстро, гораздо быстрее, чем возрастает предъ-
экспоненциальный множитель.
Легко видеть, однако, что как бы ни была велика вначале скорость
установления термодинамического равновесия по сравнению со скоростями
охлаждения и расширения, обязательно наступит момент, когда соотно-
соотношение скоростей этих процессов станет обратным, термодинамиче-
термодинамическое равновесие перестанет устанавливаться, а степени ионизации и дис-
диссоциации начнут отклоняться от равновесных значений все больше и
больше.
Действительно, равновесные степени ионизации и диссоциации уста-
устанавливаются в результате компенсации прямых и обратных процессов.
Но при низких температурах ионизация и диссоциация, требующие боль-
большой затраты энергии, резко замедляются. Скорости этих процессов зависят
от температуры по экспоненциальным законам ехр (—IIkT) и при кТ < /
чрезвычайно сильно зависят от температуры, а следовательно, и от времени.
Между тем скорости обратных процессов — рекомбинации, зависят от
плотности, температуры, а значит, и от времени лишь по степенным зако-
законам. Таким образом, в некоторый момент процессы ионизации и диссоциа-
диссоциации прекратятся, после чего степени ионизации и диссоциации будут
уменьшаться с течением времени по степенным законам, тогда как равно-
равновесные величины падают по экспоненциальным.
Скорости рекомбинационных процессов вследствие расширения
уменьшаются, и эти процессы могут вообще прекратиться. Убедимся в
в этом на примере рекомбинации атомов в молекулы (рекомбинация
электронов с ионами будет рассмотрена в следующих параграфах).
При больших плотностях рекомбинация идет в тройных столкновени-
столкновениях, при малых — в парных, так что, интересуясь стадией сильного рас-
расширения, достаточно рассмотреть последнюю. Пусть N — число атомов
в 1 см3, v — У Т — тепловая скорость, а — сечение рекомбинации, кото-

$ 7]	ЭФФЕКТ «ЗАКАЛКИ»	445
рое не больше газокинетического. Скорость рекомбинации dNIdt = —Nvo
и характерное время, в течение которого происходит заметное изменение
степени диссоциации, т « l/Nva. Даже если не учитывать уменьшения
числа атомов за счет рекомбинации, число атомов в 1 см3 N будет умень-
уменьшаться пропорционально lit3 вследствие расширения газа: v ~ YT -~
|	J
-|(Y-D	3+| (Y-D J(Y+O
<~ t 2 , так что т ~ t г	= tl , т. е. характерное время т
растет быстрее, чем t, и, следовательно, в какой-то момент станет больше t.
Между тем, масштабом времени, характеризующим изменение плотности
и температуры, является само время t от начала разлета, так как dTIdt ~
~ —Tit, dQldt ~ —g/t. Таким образом, с какого-то момента рекомбина-
рекомбинация начинает все сильнее «отставать» от охлаждения. Более того, при
мерно с этого момента вероятность рекомбинации данного атома со всеми
другими в течение всего последующего процесса разлета, вплоть до
бесконечности, оказывается меньше единицы, т. е. рекомбинация вообще
не идет до конца. Действительно, эта вероятность равна
со	оо	сю	Ё(у_|_1)
w = J Nvo dt = J -|- ^ -A- J Q~y Л « ^- = const. (8.28)
Начиная с момента tit при котором Tj > ^, вероятность рекомбинации
данного атома w < 1. Таким образом, газ разлетается на бесконечность
диссоциированным. Этот эффект можно назвать «закалкой» или «заморажи-
«замораживанием» диссоциации.
Начиная с некоторого момента, в газе почти прекращаются и газоки-
газокинетические столкновения. Прекращается дезактивация колебательного
и вращательного возбуждения молекул ударами частиц. Это следует из
сходимости того же интеграла столкновений (8.28). Однако закалки моле-
молекулярных колебаний и вращений не происходит: колебательная и вра-
вращательная энергии молекул уносятся вследствие спонтанного испускания
световых квантов. Колебательные переходы дают излучение в инфракрас-
инфракрасной области спектра, а вращательные — в радиодиапазоне.
Ввиду сходимости интеграла столкновений с подставленным в него
газокинетичоским сечением (нейтральных атомов) при сферическом раз-
разлете с течением времени прекращается и обмен энергией хаотического посту-
поступательного движения атомов. Дальнейший разлет продолжается вообще
без столкновений *).
Все частицы летят по инерции со скоростями, которые они приобрели
в результате последнего столкновения. При этом частицы, вообще говоря,
обладают нерадиальной («хаотической») составляющей скорости. Казалось
бы, должна происходить «закалка» хаотической скорости, т. е. «температу-
«температуры». В действительности, как заметил В. А. Белоконь [16], этого нет по
причинам чисто геометрического характера. Вопрос состоит в определении
понятий «гидродинамической» и «внутренней» энергий в условиях отсут-
отсутствия столкновений частиц. Внутренняя энергия единицы объема газа
равна разности между полной кинетической энергией N~^-(N — число
частиц в 1 см3, т — их масса, a v2 — средний квадрат скорости) и
*) Любопытно отметить, что формально при разлете с у=;5/3 частота «куло-
новских столкновений» заряженных частиц не уменьшается, так как а ~Т~2 и
T~3>* 5/2-3Y/2 _ const-

446
КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
[ГЛ. VIII
кинетической энергией «гидродинамического» движения: N'^~
(vJ —квадрат средней скорости:
где
Е
внутр — '
'—'Л
гидрод =
в
Пусть столкновения прекращаются в момент tu когда газ занимает
сферу радиуса гг (рис. 8.12). В точки А и В частицы приходят из этой сфе-
сферы в моменты f и t", обладая ско-
скоростями, направления которых за-
заключены в конусах, показанных
на рис. 8.12.
Ясно, что чем больше расстоя-
расстояние от центра, тем меньше раствор
конуса и тем ближе и2 к (vJ, т.е.
тем меньше разность v* — (v)z.
В пределе t —** °о, г -> оо все ча-
частицы летят в строго радиальном
направлении и v2 = (vJ, т. е. вся
кинетическая энергия превращает-
превращается в «гидродинамическую».
Что касается цилиндрического
и плоского случаев разлета, то тер-
термодинамическое равновесие здесь
также обязательно нарушается, но,
конечно, степени диссоциации и
ионизации изменяются с течением
времени по другим законам. Надо
сказать, что если масса газа конечна, то при достаточно большом рас-
расширении «плоский» и «цилиндрический» случаи обязательно превратятся
в «сферический».
Отметим ряд работ [15а, 24—26], посвященных различным вопросам
свободномолекулярного разлета газа в пустоту, при котором нет столк-
столкновений (в этих статьях можно найти ссылки и на некоторые другие
работы). В работе [27] рассматривался разлет ионизованного газа в пустое
пространство, в котором имеется магнитное поле.
Рис. 8.12. К вопросу о разлете газа в пу-
пустоту без столкновений.
§ 8. Нарушение ионизационного равновесия
Остановимся подробнее на вопросе о нарушении ионизационного рав-
равновесия при расширении газа и покажем, как можно приближенно уста-
установить момент нарушения равновесия (излагаемый ниже метод был пред-
предложен одним из авторов [17]).
Предположим, что в начале температура газа была высока и атомы
были многократно ионизованы. При охлаждении расширяющегося газа
электроны «садятся на свои места» в атомы и степень ионизации умень-
уменьшается. Пусть ионизационное равновесие нарушается только в стадии
достаточно сильного расширения и охлаждения, когда «садятся на свои
места» последние электроны, т. е. когда идет процесс, обратный первой
ионизации атомов. Газ к этому моменту разлетается уже практически инер-
инерционно, с постоянной скоростью, т. е. плотность изменяется как l/t3.
Механизмы рекомбинации электронов и ионов подробно обсуждались

§ 8]	НАРУШЕНИЕ ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ	447
в гл. VI. Электроны захватываются ионами при тройных столкновениях
с участием электрона в качестве третьей частицы; при не очень высоких
температурах электроны, как правило, захватываются на верхние уровни
атомов. Возможны захваты при парных столкновениях с излучением
светового кванта (в этом случае электроны захватываются преимуществен-
преимущественно на основной уровень). Фоторекомбинация существенна лишь при
очень малых плотностях электронов Ne 1/см3, тем меньших, чем ниже
температура. По формуле F.107) она преобладает только при условии
./Ve<3,l-1013 Tfe7i = 3,2-109 Г?&.град. Между тем в большинстве
интересных случаев разлета в стадии нарушения равновесия при тем-
температурах в несколько тысяч градусов плотность электронов гораздо
больше и фоторекомбинация роли не играет ни в момент нарушения
равновесия, ни позднее.
Если в стадии, еще близкой к равновесию, основную роль играет
рекомбинация при тройных столкновениях, то ионизация происходит
в результате обратного процесса — отрыва электронов преимущественно
от возбужденных атомов при ударах свободных электронов. Скорость
ионизации по принципу детального равновесия выражается через коэф-
коэффициент рекомбинации и константу равновесия или равновесную степень
ионизации.
При этом уравнение кинетики для степени ионизации х = NeIN
{N — число ядер, т. е. атомов и ионов в 1 см3) приобретает вид
^г = ЪЫ{х\-х*);	(8.29)
здесь Ъ — коэффициент рекомбинации, который при не слишком высоких
температурах, не выше нескольких тысяч градусов выражается формулой
F.106):
, ANx
b = "р
А = 8,75-Ю7 см6•эбв/2/Сек = 5,2-Ю3 сме-(тысяч гpadf'Nсек; (8.30)
хр — равновесная степень ионизации, которая определяется формулой
Саха. При хр, небольших по сравнению с единицей приближенно:
Х/2
	—
e aw.	(8.31)
При известных законах расширения и охлаждения N (t), T (t), кото-
которые даются формулами (8.25) и (8.27), выражение (8.29) представляет
собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно искомой
функции х (t). Поскольку нас интересует главным образом качественная
сторона дела, будем решать это уравнение приближенно.
Сначала скорости ионизации и рекомбинации, пропорциональные
слагаемым в правой части уравнения (8.29), велики по сравнению со ско-
скоростями расширения и охлаждения. (Для сопоставления скоростей раз-
различных процессов рассматриваем относительные скорости, измеренные
,	1 dT I dN \ т.	'	,
в обратных секундах, например, -^т-п , дг ~тг ¦ ) Ионизация и рекомбина-
рекомбинация почти полностью компенсируют друг друга; степень ионизации «сле-
«следит» за расширением и охлаждением, оставаясь близкой к равновесной.
Приближенно х (t) « хр (t) = хр [Т (t), N (t)] и разность \хр — х2 \ <С хр.
Малое отклонение степени ионизации от равновесной, которое неиз-
неизбежно существует, поскольку температура и плотность меняются во

448	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
времени, можно оценить приближенно, полагая в левой части уравнения
(8.29) dxldt » dxvldt, заменяя х в выражении для коэффициента реком-
рекомбинации (8.31) на а;р, а также полагая xl — х2 « 2xv (xv — х). Легко
проверить, что относительное отклонение | агр — х\ lxv растет с течением
времени (так как скорость релаксационного процесса становится все
меньше и меньше по сравнению со скоростью изменения макроскопических
параметров — температуры и плотности).
Ионизационное равновесие заметно нарушается, когда разность
скоростей ионизации и рекомбинации возрастает до величины порядка
самих скоростей, т. е. когда величина \х\ — х21 становится порядка яр.
Оценить момент нарушения равновесия t1 и величины Т%, Nu xt
в этот момент можно, полагая, как и раньше, dxldt ж dxvldt, хж лр
в коэффициенте рекомбинации и приравнивая разность х2 — х"р величине Хр.
Дифференцируя по времени равновесную степень ионизации по фор-
формуле (8.31) с учетом того, что быстрее всего меняется экспоненциальный
больцмановский фактор, и воспользовавшись законом охлаждения (8.27),
dT	T
который дает -—- = —3 (y — 1) -г , найдем уравнение, определяющее
момент нарушения равновесия:
MWi = t(y-1)**7-	(8-32)
Здесь bi = Ъ (TiNiXyi). Это уравнение совместно с выражениями для
законов расширения и охлаждения (8.25), (8.27) и формулой Саха (8.31),
отнесенными к моменту t\, сводится к трансцендентному уравнению для
температуры 7Y Найдя 7\, легко вычислить и остальные величины tl:
N\ и жр1. (В данном приближении фактическую степень ионизации хг
можно считать равной равновесной а;р1.)
§ 9. Кинетика рекомбинации и охлаждение газа после нарушения
ионизационного равновесия *)
После нарушения равновесия скорость ионизации, пропорциональ-
пропорциональная хр, продолжает быстро уменьшаться с течением времени по экспо-
экспоненциальному закону е hTW. Скорость рекомбинации, пропорциональ-
пропорциональная квадрату фактической степени ионизации, падает гораздо медленнее
и вскоре становится значительно больше скорости ионизации: х (t) >
> Хр (t). В этих условиях актами ионизации можно пренебречь, полагая,
что идет только рекомбинация. Уравнение кинетики (8.29) тогда при-
приближенно запишется в виде
^L-^-bNx2 при «>*,.	(8.33)
Если бы коэффициент рекомбинации Ъ вообще не зависел или слабо
зависел от температуры, то вследствие быстрого уменьшения плотности
скорость рекомбинации быстро бы упала и рекомбинация вскоре бы совсем
прекратилась. Именно таково положение при рекомбинации атомов
в молекулу (см. § 7). В данном случае коэффициент рекомбинации (8.30),
напротив, очень чувствителен к температуре (b ~ Т~9^) и уменьшение
*) В основу этого параграфа положена работа Н. М. Кузнецова и одного из
авторов [28].

§9] ОХЛАЖДЕНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ НАРУШЕНИЯ ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ 449
скорости рекомбинации, связанное с падением плотности расширяю-
расширяющегося газа, в значительной мере компенсируется повышением коэффи-
коэффициента рекомбинации за счет охлаждения. Поэтому особую важность
приобретает вопрос о законе понижения температуры с течением времени.
В самом деле, запишем формальное решение дифференциального урав-
уравнения (8.33) с коэффициентом рекомбинации (8.30):
Ц->	(8-34)
dt№
здесь значения t[, х'г определяются начальными условиями (в порядке
приближения можно потребовать, чтобы интегральная кривая х (t)
проходила через точку нарушения равновесия; тогда t[ = tit x[ = xt).
Будем, как и раньше, характеризовать падение температуры с течением
времени степенной функцией Т ~ t~m.
По формуле (8.34) асимптотическое поведение степени ионизации
существенным образом зависит от скорости охлаждения, т. е. от показателя
т. Если газ охлаждается «медленно» и т ¦< -ц- (чему соответствует
показатель адиабаты y = 1 + -ir < 1>37 ) , интеграл в (8.34) при t ->- оо
сходится и степень ионизации стремится к постоянному, отличному от
нуля значению: рекомбинация не идет до конца.
Если же газ охлаждается «быстро» и т>-^, интеграл расходится
9 /	10\
	 	 I /yyi 	 	 1
и степень ионизации при t —*¦ оо стремится к нулю как х ~ t 4	9 .
При т = -_- она также стремится к нулю, только по логарифмическому
10
закону х ~ (In t)~1/2. Таким образом, при та>^- электроны и ионы
должны в конце концов полностью рекомбинировать.
Но скорость охлаждения газа сама зависит от хода рекомбинации,
так как при рекомбинации выделяется потенциальная энергия свободных
электронов, ранее оторванных от атомов, которая частично переходит
в тепло. Следовательно, решение вопроса о поведении степени ионизации
во времени требует совместного рассмотрения кинетики рекомбинации
и баланса тепловой энергии газа.
При рекомбинации электрона в тройном соударении электрон сначала
захватывается ионом на один из высоких уровней атома с энергией связи
Е порядка кТ (см. гл. VI). Затем под действием электронных ударов вто-
второго рода, а впоследствии и за счет спонтанных радиационных переходов
связанный электрон спускается по энергетическим уровням атома на ос-
основной уровень. Процесс дезактивации возбужденного атома обычно
происходит быстро по сравнению со скоростями захватов электронов
ионами и изменения температуры газа. Поэтому приближенно можно
считать, что образовавшийся возбужденный атом дезактивируется
немедленно вслед за захватом и потенциальная энергия / при рекомби-
рекомбинации немедленно трансформируется в другие виды энергии. Часть ее Е*
непосредственно передается свободным электронам при электронных
ударах второго рода (а затем распределяется и по всему газу в результате
обмена энергией между электронами и ионами). Другая часть энергии
29 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

450	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
связи/ — Е*, выделяющаяся при радиационных переходах, первоначаль-
первоначально переходит в излучение в линейчатом спектре. Это излучение частично
покидает газовый объем, а частично поглощается атомами, причем погло-
поглощается главным образом резонансное излучение, соответствующее пере-
переходу возбужденного атома прямо в основное состояние.
При поглощении резонансного кванта атом возбуждается, затем
излучает, новый квант поглощается другим атомом и т. д. до тех пор,
пока квант не выйдет из газового объема наружу. Происходит так назы-
называемая диффузия резонансного излучения. В течение времени диффузии
кванта возбужденный атом может испытать удар второго рода и отдать
энергию возбуждения в тепло. Таким образом, некоторая часть энергии
связи / — Е*, первоначально превращающейся в излучение, со време-
временем также перейдет в тепло. Эта часть тем меньше, чем прозрачнее газ,
т. е. чем меньше длится диффузия резонансного излучения.
Положим для простоты, что энергия / — Е* полностью теряется
газом (что соответствует прозрачности газового объема). Это предполо-
предположение занижает тепловыделение в газе и приводит к занижению темпе-
температуры, т. е. расчет кинетики рекомбинации при таком условии приводит
к занижению степени ионизации газа, дает ее нижний предел. Указанное
допущение тем более справедливо, чем прозрачнее газ, т. е. чем более
позднюю стадию разлета мы рассматриваем, так что асимптотически оно
верно.
Составляя здесь уравнение баланса энергии газа, будем для простоты
считать, что температуры электронов и ионов (атомов) одинаковы. Оценки
показывают, что во многих случаях в течение еще довольно продолжи-
продолжительного времени после нарушения ионизационного равновесия обмен
энергией между электронным и ионным газами происходит быстро и тем-
температуры этих газов близки друг к другу *). Запишем уравнение энер-
энергии газа из расчета на одну тяжелую частицу (на один исходный атом).
Тепловая энергия равна е = -у A -+- х) кТ, удельный объем V = UN,
давление газа р = N A + х) кТ. Тогда
dt ' r dt
Отсюда с учетом закона расширения N ~ t~3 получаем уравнение для
температуры
dx ^	(8.36)
Для вычисления тепловыделения на один акт рекомбинации Е*
рассмотрим процесс дезактивации возбужденного атома, образовавшегося
при захвате электрона ионом. Как отмечалось выше, электрон при трой-
тройном столкновении, как правило, захватывается на один из очень высоких
уровней атома с энергией связи Е ~ кТ. Расстояния между уровнями
в этой области состояний гораздо меньше кТ. При столкновениях со сво-
свободными электронами связанный электрон в возбужденном атоме пере-
переходит на соседние уровни, причем переходы «вверх» и «вниз» почти рав-
*) В работе [28] уравнения составлены с учетом различия электронной и ионной
температур.

§ 9] ОХЛАЖДЕНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ НАРУШЕНИЯ ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ 451
новероятны, так что изменение энергии возбужденного атома под дей-
действием электронных ударов имеет характер диффузии по энергетической
оси; при рекомбинации диффузионный поток направлен вниз, в сторону
основного состояния атома (см.1 § 18 гл. VI). Скорость дезактивации,
т. е. скорость нарастания энергии связи связанного электрона dEldt,
можно вычислить, если умножить нестационарное уравнение диффузии
F.109) на энергию Е и проинтегрировать по всему спектру. Поскольку
мы рассматриваем нестационарный случай движения электрона по оси
энергии Е от источника, расположенного в области малых энергий,
в области больших энергий следует поставить граничное условие: функ-
функция распределения и диффузионный поток равны нулю. Указанная опера-
операция дает приближенное выражение для скорости изменения энергии связи
электрона
dE D
dt	kT '
где D — коэффициент диффузии, выписанный в § 18 гл. VI. Эта формула
теряет силу в области, где расстояния между уровнями больше кТ, так
как в этой области переходы на нижние уровни значительно более вероят-
вероятны, чем переходы на верхние уровни, и движение имеет односторонний
характер. В этой области
где Pn.n-i-'Ve — вероятность перехода с уровня п на уровень п — 1
(в 1 сек); AEn>n^i — энергетическое расстояние между уровнями. (Выра-
(Выражение для константы скорости дезактивационного перехода Р„,п-1 при-
приведено в § 15 гл. VI.)
Переход от диффузионного к одностороннему движению связанного
электрона по энергетической оси происходит при энергии связи Е', при
которой расстояние между уровнями AEnin-i равно кТ. Эта энергия равна
Е' = ~к'.
(для атома водорода). Как известно (см. § 13 гл. V), скорость радиационной
дезактивации, очень малая при малых энергиях связи, быстро возрастает
по мере уменьшения степени возбуждения. После дезактивации атома
ударами до некоторого уровня на первый план выступают радиационные
переходы. Скорость излучения, соответствующая радиационным перехо-
переходам на ближайшие уровни, которая определяет скорость радиационной
дезактивации (dE/dt)pan, приведена в § 13 гл. V.
Переход от ударной к радиационной дезактивации происходит при
такой энергии связи, при которой сравниваются скорости (dE/dt)yAap
и (dE/dt)paR. Эта энергия связи, очевидно, и представляет собою искомое
тепловыделение Е*. Надо сказать, что радиационной дезактивации спо-
способствуют также и радиационные переходы в атоме с высоких уровней
прямо в основное состояние, при которых атом выходит из игры (см.
§ 13 гл. V). Расчеты [28] показывают, что вклад этого процесса сравним
с вкладом постепенного излучения, происходящего при переходах на
соседние уровни.
29*

452	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
Вычисление тепловыделения Е*, сделанное в [28 ], дает приближенно *)
1/
°/2, если кТ<Е*<Е',	(О7)
3,1-10-4Л'е/вГв1/1", если Е*>Е'.
Теперь, после того как определено тепловыделение Е*, можно инте-
интегрировать систему уравнений (8.33) — (8.36). Как показано в [28], систе-
система допускает понижение порядка и сводится к одному нелинейному диф-
дифференциальному уравнению первого порядка. Качественный анализ урав-
уравнения и численное решение показывают, что в зависимости от условий
в момент нарушения ионизационного равновесия осуществляется тот или
иной режим изменения степени ионизации.
Если газовое облако расширяется быстро (малая масса облака, боль-
большая скорость разлета) и ионизационное равновесие нарушается рано,
при высокой степени ионизации, когда запас потенциальной энергии
ионизации в газе больше тепловой энергии, в процессе рекомбинации
выделяется много тепла. Это препятствует быстрому охлаждению газа
и затормаживает рекомбинацию. Рекомбинация в этих условиях быстро
прекращается, и степень ионизации стремится к постоянной, отличной
от нуля величине. Происходит закалка электронов и ионов. Практически
это случается, если в момент нарушения ионизационного равновесия все
атомы газа, по крайней мере, однократно ионизованы (х4 5= 1)-
Если же газовое облако расширяется сравнительно медленно (боль-
(большая масса, малая скорость разлета) и ионизационное равновесие нару-
нарушается поздно, при малой степени ионизации, когда запас потенциальной
¦энергии меньше, чем тепловая энергия, выделение небольшого количества
тепла при рекомбинации не в состоянии задержать быстрое охлаждение
таза, связанное с его расширением, и скорость рекомбинации оказывается
достаточно большой. Рекомбинация при этом продолжается все время,
и степень ионизации непрерывно уменьшается, стремясь к нулю. Так
продолжается до тех пор, пока не нарушается обмен энергией между
электронным и ионным газами. Последнее происходит, когда характерное
время обмена хе1 (см. § 21 гл. VI) становится больше времени t от начала
разлета, которое характеризует относительные скорости расширения
1 av \ ат
и охлаждения у ж, ^ -^.
После нарушения обмена тепло, выделяющееся при рекомбинации,
уже не распределяется равномерно между всеми частицами газа, а остается
только в электронном газе. (Ионы и атомы охлаждаются быстрее, чем
электроны, и их температура уменьшается по сравнению с температурой
электронов.) В этих условиях тепловыделение в электронном газе отно-
относительно повышается, так как энергия рекомбинации теперь передается
лишь небольшому количеству электронов. Благодаря этому падение
электронной температуры замедляется, затормаживается и рекомбина-
рекомбинация. В этих новых условиях теплообмена стремление степени ионизации
*) Если при каких-либо значениях Т и Ne окажется, что Е* < кТ, это означает,
что радиационная дезактивация должна идти с самого начала захвата электрона.
Такое положение обычно не реализуется, так как в этом случае фоторекомбинация
преобладает над рекомбинацией в тройных столкновениях, а при фоторекомбинации
электрон захватывается обычно не на верхние, а на нижние уровни атомов. Если
Е*, вычисленное по формуле (8.37), оказывается по порядку больше потенциала иони-
ионизации /, это означает, что вся энергия связи / переходит в тепло, формула (8.37)
неприменима и Е* = I.

§ 9] ОХЛАЖДЕНИЕ ГАЗА ПОСЛЕ НА РУШЕНИЯ ИОНИЗАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ 453
к нулю прекращается и в газе сохраняется остаточная ионизация (про-
(происходит закалка). Однако, в отличие от предыдущего случая, остаточная
ионизация теперь очень мала, так как до момента нарушения обмена
энергией между электронами и ионами значительная часть свободных
электронов успевает прорекомбинировать.
На рис. 8.13 приведены рассчитанные в [28] кривые х (t) для двух
типичных случаев разлета газового облака.
При расчетах потенциал ионизации атомов был принят равным
13,5 эв, атомный вес 14. Верхняя кривая относится к случаю, когда сте-
степень ионизации в момент нарушения ионизационного равновесия равна
#! = (),58, а температура и плотность газа Т^ = 12 000° К, JV^ = 1,7 • 10м 1/см3.
4 В в 10
Рис. 8.13. Изменение степени ионизации при расширении газа в пустоту
(пояснения см. в тексте).
Сам момент нарушения равновесия ^ = 2-10 сек. Радиус газового
облака в этот момент Rt = 4,9 см, скорость разлета и = 24 км/сек. Дан-
Данные параметры газа в момент нарушения равновесия могут получиться
при различных начальных условиях. В частности, им соответствуют
начальные температура, плотность и радиус шара То = 50 000° К,
No = 2-Ю18 1/см, Ro = 1 см. Как видно из рисунка, при указанных
условиях степень ионизации газа стремится к довольно значительному
постоянному значению 0,2, т. е. происходит заметная закалка.
Нижняя кривая относится к следующим значениям параметров в мо-
момент нарушения равновесия: tt = 2,1 -10"в сек, 7\ = 11 700° К, Nt =
— 4-Ю16 1/см3, Xi = 0,34, Ri = 5 см, и~2А км/сек. Этому случаю соответ-
соответствуют, например, также начальные условия: То = 50 000° К, No =
—-5-Ю18 1/см3, Ro = 1 см. При этом степень ионизации стремится
к нулю, т. е. закалки, казалось бы, не происходит. Как отмечалось выше,
в действительности рекомбинация в какой-то стадии также прекратится
(когда затормозится передача энергии от электронов тяжелым частицам),
однако степень ионизации при этом будет очень малой.
В заключение этого параграфа подчеркнем еще раз, что не учтенная
здесь диффузия резонансного излучения способствует повышению тепло-
тепловыделения в газе, уменьшению скорости рекомбинации и увеличению

454	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
остаточной ионизации. Этот процесс следует рассматривать применительно
к конкретным условиям задачи, так как диффузия резонансного излуче-
излучения зависит от размеров и степени прозрачности газового облака, харак-
характера уширения спектральных линий, состава газа и т. д.
4. КОНДЕНСАЦИЯ ПАРОВ ПРИ АДИАБАТИЧЕСКОМ РАСШИРЕНИИ
§ 10. Насыщение паров и возникновение центров конденсации
Если пар любого вещества адиабатически расширяется и охлаждается,
то он в некоторый момент становится насыщенным, а затем пересыщенным,
после чего начинается конденсация. Известно, что конденсация сильно
облегчается в присутствии ионов, пылинок, инородных частиц, которые
становятся центрами конденсации и вокруг которых образуются капель-
капельки жидкости. Ионы и пылинки создают лишь более благоприятные усло-
условия для скорейшего образования центров конденсации, но их присутствие
совсем не обязательно. В чистом пересыщенном паре центры конденса-
конденсации появляются в результате слипания молекул в молекулярные комплек-
комплексы. По достижении так называемых критических размеров комплексы
делаются устойчивыми, не распадаются и обнаруживают тенденцию
к дальнейшему росту и превращению в капельки жидкости.
Явление конденсации паров при адиабатическом расширении встре-
встречается в технике, в лаборатории, в природе. Оно лежит в основе работы
камеры Вильсона, широко используемой в ядерной физике для регистра-
регистрации быстрых заряженных частиц. Камера Вильсона представляет собою
сосуд, наполненный парами воды, спирта или других жидкостей. Нужное
пересыщение создается, благодаря адиабатическому расширению паров
при быстром выдвижении поршня. Пары конденсируются на ионах, кото-
которые образуются вдоль траектории быстрой частицы, и капельки жидкости
регистрируются оптическими методами. Конденсация паров воды, содер-
содержащихся в воздухе, часто наблюдается при расширении воздуха в аэро-
аэродинамических трубах.
То, что при адиабатическом расширении пара в некоторый момент
обязательно должна начаться конденсация, легко пояснить с помощью
диаграммы температура — удельный объем. Как известно из термодина-
термодинамики давление насыщенного пара, находящегося в равновесии с жидко-
жидкостью, подчиняется уравнению Клапейрона — Клаузиуса (см., например,
[18]). Если пар можно рассматривать как идеальный газ, то это уравнение
приводит к следующей связи между удельным объемом насыщенного
пара Fnap и температурой *):
J(^)~\	(8.38)
где U — теплота испарения, R — газовая постоянная, а В — коэффи-
коэффициент, который приближенно можно считать постоянным.
Из этой формулы видно, что температура насыщения зависит от
объема пара очень слабо, по логарифмическому закону. С другой стороны,
адиабата Пуассона для паров представляет собой кривую степенного
типа Т ~ F'Cv-i), которая обязательно пересекает кривую насыщения
	и_
*) Это следует из формул р = const е вт, pV=RT, где р—давление насы-
насыщенного пара.

10] НАСЫЩЕНИЕ ПАРОВ И ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЦЕНТРОВ КОНДЕНСАЦИИ 455
{рис. 8.14). В точке пересечения О ранее ненасыщенный расширяющийся
пар становится насыщенным.
Проследим за ходом процесса во времени. Если пар все время расши-
расширяется, то удельный объем монотонно растет с течением времени. Вместо
того чтобы рассматривать изменение температуры во времени Т (t), можно
рассматривать изменение температуры при увеличении объема Т (V) =
= Т [V (<)], воспользовавшись диаграммой Т, V (рис. 8.14).
Перейдя состояние насыщения, пар продолжает расширяться, сле-
следуя адиабате Пуассона, и становится пересыщенным (переохлажденным).
Скорость образования центров конден-
конденсации чрезвычайно резко зависит от
степени пересыщения. Поэтому при
дальнейшем увеличении степени пере-
пересыщения число зародышей жидкой фа-
фазы быстро возрастает. Уже вскоре
после прохождения состояния насыще-
насыщения скорость конденсации достигает
такой величины, что выделение скры-
скрытой теплоты останавливает рост пере-
пересыщения (если, конечно, расширение
происходит не слишком быстро).
Конденсация ускоряется даже при
постоянном числе центров вследствие
увеличения поверхности капелек, к ко-
которым прилипают молекулы пара.
Ускоряющаяся конденсация не только
останавливает рост пересыщения, но
приводит даже к уменьшению степени
пересыщения. Образование новых за-
зародышей, которое в высшей степени
чувствительно к величине пересыще-
пересыщения, сразу же прекращается и в даль-
дальнейшем конденсация идет путем при-
прилипания молекул к уже имеющимся каплям. Таким образом, все центры
конденсации, как правило, зарождаются в самом начале процесса конден-
конденсации, как только достигается достаточно большое пересыщение.
При работе с камерой Вильсона пар быстро расширяют до определен-
определенного объема, так что в нем создается известное начальное пересыщение.
Это пересыщение выбирается столь большим, чтобы все ионы стали центра-
центрами конденсации и по числу капелек можно было сосчитать число ионов *).
Таким образом, вопрос о числе центров конденсации здесь не возникает.
Другое дело — в газодинамических процессах, таких, как расширение
таза в аэродинамических трубах, истечение из сопла или разлет газового
облака, образующегося в результате нагревания и испарения первона-
первоначально твердого вещества, например металла. Здесь скорость расширения
определяется общей динамикой процесса и число центров конденсации,
т. е. в конечном счете число капелек конденсата, неизвестно и зависит
от скорости расширения. Даже если в газе имеются ионы (что бывает,
конечно, не всегда), при достаточно медленном расширении они далеко
не все становятся центрами конденсации. В силу изложенных выше при-
причин пересыщение в системе вследствие интенсивно протекающей конден-
Рис. 8.14. Г,7-диаграмма для процес-
процесса конденсации при адиабатическом
расширении пара.
Р — адиабата Пуассона для пара, Н. П. —
кривая насыщенного пара, О — точка на-
насыщения, Д. Р. — адиабата равновесной
двухфазной системы пар — жидкость,
Ф. А. — фактическая адиабата системы
пар — жидкие капли с учетом кинетики
конденсации.
*) В то же время зародыши, не содержащие ионов, практически не образуются.

456	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
сации может упасть после того, как только часть ионов превратится в цент-
центры конденсации. Тем более неизвестно число центров в чистом паре в от-
отсутствие посторонних частиц. Число центров конденсации зависит от
максимально достижимого пересыщения (переохлаждения) и определяется
игрой противоположных влияний: охлаждения пара за счет совершения
работы расширения и нагревания его вследствие выделения скрытой
теплоты при конденсации.
В § 12 будет показано, как можно вычислить число центров конден-
конденсации, зная скорость расширения и охлаждения пара.
§ 11. Термодинамика и кинетика процесса конденсации
' Рассмотрим процесс конденсации в адиабатически расширяющемся
веществе с чисто термодинамической точки зрения, т. е. полагая, что
в каждый момент времени имеется термодинамическое равновесие. До мо-
момента насыщения пар расширялся, следуя адиабате Пуассона. После дости-
достижения состояния насыщения и начала конденсации вещество представляет
собой уже двухфазную систему пар — жидкость, и уравнение адиабаты
усложняется как вследствие превращения части газовой фазы в жидкую-
с иными термодинамическими свойствами, так и за счет выделения скры-
скрытой теплоты. Уравнение адиабаты двухфазно*! системы можно записать
в следующем виде:
x)^~-[U-(c2-ci)T\dx = 0. (8.39)
Здесь Су — теплоемкость пара при постоянном объеме; с2 — теплоем-
теплоемкость жидкости; х — степень конденсации, определенная как отношение
числа молекул в жидкой фазе к общему числу молекул в заданной массе
вещества; V — удельный объем вещества, который меньше удельного
объема пара в отношении 1 — х: V = Fnap A — х) *). В этом уравнении
мы пренебрегли поверхностной энергией капеле^к жидкости, которая
очень мала по сравнению со скрытой теплотой, е^ли капельки содержат
много молекул. Уравнение адиабаты (8.39) справедливо и в отсутствие
термодинамического равновесия. Если состояние неравновесно, сте-
степень конденсации х определяется кинетикой конденсации. В условиях
термодинамического равновесия, т. е. при «бесконечно» медленном рас-
расширении пар в каждый момент находится в равновесии с жидкостью,
т. е. является насыщенным. Состояние вещества меняется при этом вдоль
кривой насыщения (8.38), которая, если заменить удельный объем пара
на удельный объем вещества, приобретает вид
_Z_. = ВТе1™.	(8.40)
Если исключить из двух уравнений (8.39) и (8.40) степень конден-
конденсации х, получим дифференциальное уравнение, которое описывает адиа-
адиабатический процесс в двухфазной системе в переменных Т, V. Решение
этого уравнения дает адиабату Т (V), Константа интегрирования в общем
решении определяется энтропией вещества. Ее можно выразить через
*) Удельный объем двухфазной системы V = Vm х ~\- Fnap A — х), где VAS —
удельный объем жидкой фазы. Поскольку плотность жидкости гораздо больше плот-
плотности пара, при степени конденсации, не слишком близкой к единице, первым членом
можно пренебречь: V ^и Fnap A-х). Теплоемкости жидкости и пара с2, q в форму-
формуле (8.39) предполагаются постоянными.

§ 11]	ТЕРМОДИНАМИКА И КИНЕТИКА ПРОЦЕССА КОНДЕНСАЦИИ	457
температуру и объем в точке насыщения О, так как адиабата, очевидно,
проходит через эту точку. Мы не будем здесь выписывать решения, а изо-
изобразим адиабату на рис. 8.14. Она стелется несколько ниже кривой насы-
насыщения, что видно из сопоставления формул (8.38) и (8.40), если учесть,
что х > 0, 1— х < 1. При небольшой степени конденсации, когда х < 1,
адиабата двухфазной системы почти совпадает с кривой насыщения.
Расхождение обеих кривых определяет степень конденсации х:
Степень конденсации монотонно возрастает вдоль адиабаты при уве-
увеличении объема.
Любопытно отметить, что при адиабатическом расширении вещества
до бесконечности, V ->¦ оо (и охлаждении до нуля температуры, Т -*¦ 0),
степень конденсации вдоль термодинамически равновесной адиабаты
стремится к единице: х-^-1.
Иными словами, при неограниченном расширении вещества согласно
законам термодинамики пар должен был бы полностью сконденсиро-
сконденсироваться. При адиабатическом расширении до определенного объема кон-
конденсируется только определенная часть пара.
В действительности, конечно, состояние вещества в процессе кон-
конденсации никогда не может точно следовать равновесной адиабате, оно
только больше или меньше приближается к равновесному, причем тем
ближе к равновесному, чем медленнее меняются внешние условия, т. е.
чем медленнее происходит расширение.
Выше было уже отмечено, что центры конденсации зарождаются
в основном сразу же после прохождения состояния насыщения, в момент
достижения максимального пересыщения. После этого, если только
расширение происходит не слишком быстро, ускоряющаяся конденсация
снимает рост пересыщения и новые зародыши не появляются. Состояние
вещества, пройдя через максимальное отклонение от равновесной адиа-
адиабаты Д. Р. (рис. 8.14, максимальное переохлаждение), приближается
к равновесному.
Однако степень переохлаждения не падает до нуля и фактическая
адиабата Ф. А. никогда не достигает термодинамически равновесной
Д. Р., проходя все время ниже последней. Конденсация теперь идет
за счет роста капель. Одновременно протекают два процесса: прямой —
прилипание молекул пара к каплям — и обратный — испарение капель.
Скорость роста капель (т. е. скорость конденсации) определяется раз-
разностью скоростей прямого и обратного процессов, причем она тем больше,
чем выше степень пересыщения. В насыщенном паре, т. е. на равновес-
равновесной адиабате, прилипание и испарение в точности компенсируют друг
друга и роста капель нет *).
В ходе конденсации степень пересыщения, регулируя баланс между
прилипанием и испарением, автоматически подстраивается к процессу
таким образом, чтобы существовал избыток прилипания над испарением
и чтобы скорость конденсации «следила» за расширением вещества.
В системе поддерживается состояние, близкое к равновесному, т. е. к на-
насыщению.
*) Термодинамически равновесная адиабата, строго говоря, соответствует состоя-
состоянию насыщения по отношению к плоской поверхности жидкости, т. е. по отношению-
к каплям «бесконечно большого» радиуса.

458	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
Значительное отклонение от термодинамического равновесия может
произойти лишь при очень сильном расширении, когда акты прилипания
•становятся слишком редкими.
Так, при разлете паров в пустоту скорость прилипания, которая про-
пропорциональна плотности пара, т. е. t~3, с некоторого момента уже не
в состоянии следить за расширением; конденсация прекращается, и оста-
остаток паров разлетается на бесконечность, вновь следуя адиабате Пуассона
газа (рис. 8.14). Происходит закалка, т. е. на бесконечность разлетается
вещество, не полностью сконденсировавшееся, как требуют законы термо-
термодинамики, а частично в виде газа, частично в виде капель конденсата
(подробнее об этом см. в следующем параграфе).
При быстром расширении вещества конденсация не успевает «сле-
«следить» за расширением и с самого начала состояние значительно откло-
отклоняется от термодинамически равновесного. При очень быстром расшире-
расширении до определенного объема, как это имеет место в камере Вильсона,
конденсация не успевает произойти за время расширения и начинается
только после того, как расширение прекратилось. При очень быстром
расширении в пустоту конденсация вообще не происходит и вещество
разлетается на бесконечность в газовой фазе. Это соответствует наиболь-
наибольшему отклонению от термодинамического равновесия и максимальной
закалке.
§ 12. Конденсация в облаке испаренного вещества,
разлетающегося в пустоту
В этом параграфе более подробно рассматривается процесс конден-
конденсации при расширении пара, намечаются основные пути количественного
расчета и приводятся численные результаты. Посмотрим, как протекает
конденсация в облаке испаренного вещества, расширяющегося в пу-
пустоту. При этом будем иметь в виду явление «взрыва» больших метеоритов
при ударе о поверхность планет (лишенных атмосферы) или при столкно-
столкновениях с астероидами, о котором упоминалось в начале § 6. Нас инте-
интересует вопрос о том, в каком виде разлетается в межпланетное простран-
пространство испаренное вещество грунта планеты и тела метеорита: в виде чистого
газа или же в виде мельчайших частиц и каковы размеры последних.
Решение этой задачи было получено в работе одного из авторов [19] *).
Все численные результаты будут относиться к конденсации паров
железа, применительно к случаю испарения тела железных метеоритов.
Посмотрим, когда достигается состояние насыщения при расширении
паров железа. Ниже, в таблице представлены рассчитанные температура Т\
и плотность (число атомов в 1 см3 тг4) паров в момент насыщения для не-
нескольких значений энтропии паров S. Предполагая, что процесс расши-
расширения протекает адиабатически, можно сказать, что той же самой энтро-
энтропией обладало и «твердое» железо в момент нагревания. В таблице пред-
представлены величины начального нагревания е0 и температуры 7" о железа
при нормальной плотности твердого металла, соответствующие этим
значениям энтропии. Эти величины были рассчитаны с помощью метода,
изложенного в § 14 гл. III (учтены как ядерная, так и электронная части
теплоемкости). В последнем столбце стоят средние скорости разлета газо-
газового шара из атомов железа, оцененные по формуле и = ]/^2е0 (см. § 6),
"V *) Некоторые качественные замечания о явлении конденсации испаренного
вещества были сделаны в работе авторов [20].

§ 12]
КОНДЕНСАЦИЯ В ВЕЩЕСТВЕ, РАЗЛЕТАЮЩЕМСЯ В ПУСТОТУ
459
т. е. в предположении, что к моменту конденсации пары уже сильно
остыли и вся начальная энергия нагревания превратилась в кинетиче-
кинетическую энергию разлета.
Перейдем к оценке числа центров конденсации, т. е. числа частиц
конденсата в конечном состоянии. Теория образования зародышей жидкой
фазы в чистом пересыщенном паре была развита рядом авторов: Фольме-
ром, Берингом и Дерингом, Фаркашем, Я. Б. Зельдовичем, Я. И. Френ-
Френкелем. Подробное изложение ее со ссылками на оригинальные работы
можно найти в книге Я. И. Френкеля [21] (см. также [22]). Мы напом-
напомним здесь лишь основные положения этой теории.
эв
атом
25,6
71,9
138
222
То, эв
5
10
15
20
кал
* моль • град
48,3
60,8
71,5
81,3
т,.к
3100
2130
1700
1430
8,01-
7,15-
2,86-
1,43-
1
:яЗ
1019
1016
Ю14
1012
пм
и,
сек
9,2
15,5
21,4
27,2
В паровой фазе время от времени происходят флуктуации, при кото-
которых молекулы пара слипаются, образуя молекулярные комплексы —
зародыши жидкой фазы. В ненасыщенном паре, когда устойчива газовая
¦фаза, комплексы неустойчивы и вскоре распадаются (испаряются). В пере-
пересыщенном паре неустойчивы лишь комплексы очень малых размеров.
Увеличение мельчайших комплексов за счет прилипания новых молекул
энергетически невыгодно из-за возрастания поверхностной энергии на
границе раздела между жидкой и газовой фазами. Рост комплексов
достаточно больших размеров энергетически выгоден, так как благоприят-
благоприятный объемный энергетический эффект (выделение скрытой теплоты) при
достаточно больших размерах становится больше неблагоприятного
поверхностного. При каждой степени пересыщения существуют опреде-
определенные, критические размеры комплексов. Сверхкритические зародыши
{с радиусом больше критического) устойчивы, «жизнеспособны» и обна-
обнаруживают тенденцию к дальнейшему росту и превращению в капельки
жидкости. Скорость образования жизнеспособных зародышей центров
конденсации пропорциональна вероятности появления комплексов кри-
критических размеров. Для образования таких комплексов должна быть
затрачена некая энергия ЛФтах> нужно преодолеть потенциальный барьер,
поэтому вероятность таких флуктуации по закону Больцмана пропор-
пропорциональна ехр (—АФтах/кТ).
Величина потенциального барьера АФщах или энергия активации
зависит от критического радиуса комплекса и однозначно связана со сте-
степенью пересыщения, которую можно характеризовать, например, вели-
величиной переохлаждения,
Здесь Гр — температура пара, насыщенного при данной плотности,
а Г — фактическая температура пара.
Скорость образования жизнеспособных зародышей, т. е. число центров
конденсации из расчета на одну молекулу пара, появляющихся в 1 сек
в стационарных условиях, когда в системе поддерживается постоянное

460	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
пересыщение (переохлаждение), а сверхкритические зародыши уда-
удаляются из системы с заменой эквивалентным количеством пара, равна
1 = Сё~~&,	(8.41)
где
С =
Здесь п — число молекул пара в 1 см3, v — их тепловая скорость,
а — поверхностное натяжение, ш — объем в жидкости, приходящийся на
одну молекулу, q = U/R — выраженная в градусах теплота испарения.
Критический радиус г* зародыша связан со степенью переохлаждения
формулой
2сгы
а _
kqr*
Теорию можно обобщить и на случай электрически заряженных
зародышей, внутри которых сидит ион (см. [19]). Скорость образования
зародышей при этом по-прежнему описывается формулой (8.41), только
константа Ъ уменьшается.
Составим уравнения кинетики конденсации. Сделаем основное пред-
предположение о том, что процесс расширения паров происходит настолько
медленно, что процесс образования зародышей можно считать квазиста-
квазистационарным. Скорость образования при этом в каждый момент времени
совпадает со стационарной скоростью (8.41), соответствующей фактиче-
фактическому переохлаждению 6, которое существует в системе в данный момент.
Если / (?) — число нфнтров конденсации, возникающих в 1 рек
в момент ? (из расчета на одну молекулу пара), a g (if) — число молекул
к моменту t в капле жидкости, которая выросла из зародыша, появивше-
появившегося в момент ?, то степень конденсации к моменту t x (t) можно записать
в виде
^(?)g(tt')dt'.	(8.42)
Интегрирование по времени здесь ведется от момента насыщения,
т. е. от момента, когда начали появляться зародыши.
Скорость роста капли сверхкритических размеров равна разности
скоростей прилипания молекул пара к поверхности капли и испарения
капли. Ее можно приближенно записать в виде (см. [19,21])
-Ц = 4яг2ш;A—е T),	(8.43)
где 4яг2 — величина поверхности капли, nv — поток молекул пара.
Множитель в скобках пропорционален разности скоростей прилипания
и испарения. В состоянии насыщения, когда 6 = 0, прилипание и испа-
испарение компенсируют друг друга и скорось роста равна нулю *). В пере-
пересыщенном паре 0 > 0 и капля в среднем растет, dgidt > 0, в ненасыщен-
ненасыщенном - 9<0 i капля в среднем испаряется, dgldt < 0.
*) Здесь пренебрегается влиянием кривизны капли.

•§ 12]	КОНДЕНСАЦИЯ В ВЕЩЕСТВЕ, РАЗЛЕТАЮЩЕМСЯ В ПУСТОТУ	461
Уравнения (8.42), (8.43), (8.41) вместе с уравнением адиабаты двух-
двухфазной системы (8.39), формулой насыщенного пара (8.38) и законом рас-
расширения вещества, который в случае разлета в пустоту дается выраже-
выражением (8.25), образуют полную систему уравнений для расчета кинетики
конденсации.
В соответствии с качественной картиной, изложенной в предыдущих
параграфах, решение этой системы можно разбить на два независимых
этапа. Первый этап — рассмотрение небольшого интервала времени
сразу же после достижения состояния насыщения, кеда переохлаждение
сначала растет, а затем, пройдя через максимум, падает вследствие
начавшейся конденсации. На этой короткой стадии появляются заро-
зародыши. Вычисление их количества, равного
h
дает полное число частиц конденсата (из расчета на одну исходную моле-
молекулу). Фактически интегрирование по времени здесь распространяется
не до t = оо, а на весьма короткий промежуток времени, так как в силу
формулы (8.41) скорость / очень резко падает, как только переохлаждение,
пройдя через максимум, начинает убывать.	«
Второй этап — это рассмотрение роста уже известного числа капель
в течение всей последующей стадии, вплоть до t-*- оо.
Строгое решение системы уравнений представляет, конечно, большие
трудности. В работе [19] находится приближенное решение. Приближен-
Приближенное рассмотрение первого этапа основано на чрезвычайно резкой зависи-
зависимости / (8), в силу которой можно полагать, что практически все заро-
зародыши образуются в течение очень короткого времени вблизи момента,
когда переохлаждение максимально (решение действительно приводит
к экстремальному виду зависимости G (t)).
Отсылая за подробностями решения к работе [19], приведем резуль-
результаты расчета для конкретного примера.
Рассмотрим шар из атомов железа с массой 33 000 т, который нагрелся
ж превратился в плотный газ, скажем, при ударе огромного железного
метеорита о поверхность Луны. Пусть скорость удара была такой,
что начальное нагревание железа при нормальной плотности составляло
е0 = 72 эв/атом. Начальная температура при этом была То = 10 эв =
= 116 000° К. В стадии сильного охлаждения к моменту насыщения пары
разлетаются практически инерционно, со средней скоростью и =
= 15,5 км/сек. Пары становятся насыщенными в момент времени tt =
= 6,8-10~2 сек от начала разлета, при расширении до радиуса 1050 м.
При этом Ti = 2130° К, щ = 7,15-Ю16 см~3.
При разлете первоначально высокоионизованного газа в пустоту
в нем даже в стадии сильного охлаждения сохраняется остаточная иони-
ионизация, которая гораздо выше термодинамически равновесной. Центры
конденсации при этом будут содержать ионы. Как показывают расчеты,
число центров конденсации очень слабо зависит от того, заряжены они
или нет, так что предположение о том, что конденсация идет на ионах,
не является существенным.
Максимально достижимое переохлаждение в нашем примере оказы-
оказывается равным Этах = 0,0765 (&/Этах = 43,1). Зародыш критических раз-
размеров при таком переохлаждении содержит 46 атомов. Число центров
конденсации v = 4-Ю1 на атом, что гораздо меньше, чем число ионов

462	КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ	[ГЛ. VIII
на атом в отличие от процесса в камере Вильсона, где все ионы стано-
становятся центрами конденсации.
Рассмотрение второй стадии, роста капель, показывает, что в течение
продолжительного времени конденсация «следит» за расширением веще-
вещества и в системе поддерживается состояние, близкое к насыщению. Лишь
к моменту t2 ~ 2,5 сек, при разлете шара на 40 км, плотность вещества
становится столь малой, что дальнейший рост капель прекращается
и наступает закалка. К этому моменту, а значит, и всего, конденсируется
примерно половина паров железа. Зная степень конденсации хт и число
частиц конденсата, можно найти и их размеры (число атомов в частичке
равно ХаУ1). В нашем примере на бесконечность разлетаются железные-
частички радиусом 3,1-10 см; всего их ~ 3-Ю21. Примерно половина
вещества уходит на бесконечность в виде газа.
Теория позволяет установить приближенные законы подобия для
перехода к другим начальным условиям. Оказывается, что при условии
достаточной медленности расширения, когда справедливы исходные пред-
предположения, степень конденсации данного вещества при разлете на беско-
бесконечность не зависит от начальных условий, а размеры частиц конденсата
пропорциональны начальным линейным размерам испаренного тела (кор-
(корню кубическому из массы) и быстро убывают с возрастанием начального
нагревания.
§ 13. К вопросу о механизме образования космической пыли.
Замечания о лабораторном исследовании конденсации
Надо думать, что рассмотренный в предыдущем параграфе процесс
конденсации испаренного вещества при разлете в пустоту является одним
из механизмов образования космической пыли в солнечной системе (это
предположение было высказано в работе [19]). В межпланетном простран-
пространстве присутствуют маленькие частицы разнообразных размеров, которые
называют космической пылью. Иногда эти частицы выпадают на Землю
в виде метеорных дождей. При своем обращении вокруг Солнца частицы
испытывают некоторое торможение под действием аберрационной состав-
составляющей светового давления *). Самые мельчайшие частицы с размерами
порядка"!Ю~6—10 см при этом выпадают на Солнце и исчезают (см.
об этом в [23]). Следовательно, в солнечной системе должен существовать
источник восполнения запасов мельчайших частиц космической пыли.
Отмечалось (в частности, К. П. Станюковичем), что таким источником
может служить механическое раздробление вещества при столкновениях
малых тел солнечной системы — астероидов или при ударах метеоритов
о поверхность планет, лишенных атмосферы, когда частицы, приобретаю-
приобретающие значительную скорость, вырываются из поля притяжения и, не тор-
тормозясь в атмосфере, уходят в пространство.
Можно думать, что описанное выше явление конденсации испарен-
испаренного вещества грунта планеты, метеорита или астероидов также является
поставщиком мельчайших частиц.
*) Само световое давление в основном действует в радиальном направлении.
Сила давления обратно пропорциональна квадрату расстояния частицы до Солнца,
и ее действие эквивалентно лишь небольшому уменьшению силы тяготения, т. е.
радиальная составляющая светового давления влияет только на радпус орбиты. Тормо-
Торможение же вызывает только касательная к орбите составляющая светового давления,
возникающая вследствие аберрации света. Подробнее об этом см. в книге В. Г. Фесеп-
кова [23].

§ 13]	О МЕХАНИЗМЕ ОБРАЗОВАНИЯ КОСМИЧЕСКОЙ ПЫЛИ	463»
При энергичных столкновениях астероидов, когда кинетическая
энергия удара достаточна для полного испарения обоих сталкивающихся
тел, механический эффект раздробления твердого вещества вообще отсут-
отсутствует, так как вся масса полностью испаряется. В этом случае для обра-
образования мельчайших частиц механизм конденсации является един-
единственным.
Жидкие капельки, выросшие в процессе конденсации, постепенно
остывают благодаря потерям энергии на тепловое излучение и затверде-
затвердевают. Можно показать, что процесс охлаждения излучением протекает
гораздо скорее, чем испарение нагретых частиц, которое чрезвычайно резка
замедляется по мере остывания. Таким образом, однажды родившиеся
частицы конденсата будут продолжать свое существование в виде твердых
пылинок. Поскольку в космосе происходят столкновения тел самых раз-
различных размеров и скоростей, рождаются частицы конденсата также
самых разнообразных размеров.
Явление конденсации испаренного вещества при газодинамическом
расширении можно использовать и для лабораторного изучения конден-
конденсации паров металлов или других твердых (и жидких) веществ и изучения
оптических свойств мельчайших частиц.
Размеры частиц конденсата зависят от начальных условий, поэтому
путем соответствующего выбора этих условий можно добиться получения
в лаборатории частиц желаемых размеров. Приведем результаты грубой
оценки для условий, близких к лабораторным. Если быстро испарить
1 г железа, сообщив ему тем или иным путем начальную энергию е0 =
= 13 эв/атом, соответствующую начальной температуре (при плотности
твердого металла) То = 35 000° К, то конденсация паров при разлете
в пустоту (в откачанном сосуде) заканчивается к моменту t = 5-10 сек
при разлете облачка на 30 см. Частицы конденсата имеют при этом разме-
размеры порядка 10~4 см.
Расчеты кинетики конденсации легко переносятся и на другие воз-
возможные законы расширения вещества, которые имеют место, скажем,
в аэродинамической трубе или при истечении из сопла. Эти расчеты
не содержат ничего принципиально нового по сравнению со случаем
разлета в пустоту, и мы на них останавливаться не будем. Заметим, что
если степень конденсации паров невелика или же полная энергия паров
гораздо больше теплоты испарения, конденсация мало сказывается
на газодинамике процесса. Кинетику конденсации можно при этом рас-
рассчитывать на основе известного газодинамического решения, найденного-
в первом приближении без учета конденсации. Именно так мы и посту-
поступали в предыдущем параграфе.

ГЛАВА IX
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ И ПРИ СИЛЬНОМ
ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ
1. ЯРКОСТЬ ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ В ГАЗАХ
§ 1. Качественная зависимость яркостной температуры
от истинной температуры за фронтом
Оптические измерения имеют большое значение для определения тем-
температуры высоко нагретых тел и вообще для исследования высокотемпе-
высокотемпературных процессов. Обычная методика состоит в измерении тем или
иным способом яркости поверхности светящегося тела (фотографическим
путем, с помощью фотоэлементов, электронно-оптических умножителей).
Затем по яркости находят эффективную температуру излучения, кото-
которая, по определению, совпадает с температурой абсолютно черного излу-
излучателя, посылающего с поверхности точно такой же световой поток, как
и исследуемый объект (см. § 8 гл. II). Особенно распространены фотогра-
фотографические методы определения яркости и эффективной температуры,
основанные на сравнении степеней почернения, которые производят
на фотопленке свет, исходящий от тела, и свет от эталонного источника
с известными температурой и спектром, скажем, от Солнца. Для большей
точности фотографируют обычно в узком спектральном участке, так как
изучаемый объект и эталонный источник, обладая разными температурами,
посылают различные спектры излучения, а кроме того, от длины волны
света зависит чувствительность фотоматериалов, что создает трудности
при пересчете степени почернения на температуру.
|Ь;" Оптические (в частности, фотографические) методы широко приме-
применяют и при изучении ударных волн. Газ, нагретый в сильной ударной
волне до высокой температуры, излучает, и поверхность фронта волны
светится. Яркость свечения зависит от амплитуды ударной волны и раз-
размеров нагретой области за фронтом. Чтобы по измеренной на опыте эффек-
эффективной или, что то же самое, яркостной температуре можно было судить
об истинной температуре вещества за фронтом волны, необходима уверен-
уверенность в том, что светящийся объект излучает как абсолютно черное тело.
Если фронт ударной волны представляет собой «классический» скачок
и за ним простирается достаточно протяженная, оптически толстая область
-с более или менее постоянной температурой, равной температуре за фрон-
фронтом, то нагретое вещество, ограниченное поверхностью фронта, излучает
с поверхности как абсолютно черное тело *). Измеряя яркость поверх-
*) Если область нагретого газа за «классическим» скачком оптически тонка
(например, ударная волна отошла еще на малое расстояние от создающего ее поршня,

§ 1]	ЯРКОСТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА И ТЕМПЕРАТУРА ЗА ФРОНТОМ	465
ности фронта, можно в таком случае непосредственно определить темпе-
температуру за фронтом ударной волны, т. е. амплитуду волны, что важно
не только для экспериментальных исследований, но и имеет большое
практическое значение. Опыт показывает, что в некотором интервале
амплитуд (и, конечно, при достаточно большой толщине нагретой области
за фронтом) фронт ударной волны, действительно, излучает как черное
тело. Это подтверждается тем, что яркостная температура совпадает
с температурой за фронтом, вычисленной на основе ударных соотношений
и уравнения состояния по одному из дру-
других экспериментально определяемых па-
параметров фронта, скажем, по скорости
распространения ударной волны.
Однако опыт и теоретическое рас-
рассмотрение показывают, что такое совпа-
совпадение не может наблюдаться при любых
амплитудах. Яркостная температура до-
статочно сильной ударной волны стано-
стано-г,
вится меньше истинной температуры за
фронтом, причем, начиная с некоторой Рис- 9Л- Зависимость яркостной
^	ct	температуры поверхности фронта
амплитуды, она очень быстро падает при ударной волны в воздухе от истин-
возрастаний амплитуды, достигает пре- ной температуры за фронтом (для
дельного, сравнительно низкого значения	красного света).
и в дальнейшем почти не меняется при
сколь угодно большом увеличении амплитуды. Типичная зависимость
яркостной температуры фронта ударной волны от истинной температуры
за фронтом изображена на рис. 9.1, где представлена полученная на
основе теоретических оценок (сделанных в следующих параграфах) кри-
кривая эффективной температуры красного света для ударной волны в воз-
воздухе нормальной плотности. Рис. 9.1 свидетельствует о существовании
эффекта «насыщения» яркости. Сколь сильно ни нагревался бы газ ударной
волной, даже до миллионов градусов, все равно невозможно «увидеть»
температуры выше сотни тысяч градусов; существует верхний предел
температуры за фронтом ударной волны, которую еще можно «увидеть».
Этот эффект можно легко объяснить на основе представлений о струк-
структуре фронта ударной волны с учетом излучения, изложенных в разделе
3 гл. VII. Вопрос о яркости фронта ударных волн большой амплитуды
был рассмотрен в работах авторов [2—4].
Будем полагать, что за фронтом плоской ударной волны простирается
достаточно протяженная, оптически толстая область с постоянной высокой
температурой, и посмотрим, каков поток видимого излучения, который
выходит с поверхности фронта волны и регистрируется прибором, распо-
расположенным далеко от фронта, на «бесконечности».
Рассмотрим сначала ударную волну не слишком большой амплитуды,
в которой роль излучения ничтожна и никакого прогревания газа перед
вдвигаемого в газ), газ испускает свет как объемный излучатель. Световой поток,
выходящий с поверхности оптически тонкого слоя в направлении нормали к поверхно-
поверхности, равен, как показано в § 7 гл. II: 5V = Svp [I — exp (— x'vrf)], где SvV — поток,
соответствующий абсолютно черному телу той же температуры, Xv — коэффициент
поглощения, ad — толщина нагретого ударной волной слоя. При малой оптической
толщине y.vd < 1, <SV = Svv%vd < 5vp. В пределе Xvd > 1 поток стремится к план-
ковскому Sv = 5\.р. Как отмечалось в § 21 гл. V, изучая нарастание яркости Sv со
временем t = d/D (D — скорость волны), И. Ш. Модель измерил коэффициенты погло-
поглощения красного света в ударной волне [1].
30 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

466	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
скачком уплотнения нет. Если отвлечься от изменения температуры
во фронте, связанного с релаксационными процессами в газе, то распре-
распределение температуры в ударной волне представляет собой «классический»
скачок, показанный на рис. 9.2, а. Толщина скачка вместе с релаксацион-
релаксационным слоем обычно гораздо меньше длины пробега излучения, поэтому
мы имеем типичный пример абсолютно черного излучателя: оптически
толстый слой нагретого до постоянной температуры Т\ вещества ограни-
ограничен поверхностью с очень резким скачком температуры. Если холодный газ
перед фронтом, как это обычно бывает, прозрачен в видимой части спектра
(бесцветен), прибор зарегистрирует све-
/>у |	Tt товой поток, соответствующий план-
а' " * ¦		ковскому излучению температуры Ту,
"~ х эффективная температура излучения бу-
Т, дет равна истинной температуре газа
,	I	за фронтом.
v г0 	у	Рассмотрим теперь ударную волну
х большой амплитуды, скажем, с темпера-
температурой за фронтом Т± = 65 000° К. С по-
поверхности ударного разрыва в основном
излучаются кванты с энергиями поряд-
я)	h /	ка десяти или нескольких десятков эв.
' —^ *	(Максимум планковского спектра при
х температуре Т = 65 000° К приходится
на кванты hv — 2,8 кТ — 16 эв.) Такие
Рис. 9.2. К вопросу о свечении удар- кванть1 превышают потенциалы иониза-
нои волны.	ции атомов и молекул, очень сильно по-
поглощаются в холодном газе перед удар-
ударным разрывом и прогревают его. Перед ударным разрывом образуется
нагретый слой, а профиль температуры в ударной волне приобретает
вид, изображенный на рис. 9.2, б (в воздухе, например, при Tt = 65 000° К
максимальная температура прогревания перед самым разрывом Т_ =
= 9000° К).
В отличие от холодного, нагретый газ всегда поглощает маленькие
кванты видимого света (hv ~ 2—3 эв). В одноатомных газах кванты,
меньшие потенциала ионизации атомов /, поглощаются возбужденными
атомами, энергия возбуждения которых превышает I — hv; в соответ-
соответствии с законом Больцмана, концентрация возбужденных атомов про-
пропорциональна ехр Г	^г^ |, так что и коэффициент поглощения очень
резко, по больцмановскому закону, возрастает с повышением темпера-
температуры xv ~ ехр С	Tf~J- В молекулярных газах, таких как воздух,
Tf~J-
имеется еще ряд других механизмов поглощения видимого света; во вся-
всяком случае коэффициент поглощения видимого света всегда весьма чув-
чувствителен к температуре и быстро растет при нагревании.
Теперь кванты видимого света, которые излучаются с поверхности
ударного разрыва и поток которых у самого разрыва соответствует, грубо
говоря, температуре Tf), прежде чем попасть в регистрирующий прибор,
расположенный на «бесконечности», должны проникнуть через прогрев-
ный слой. Они частично поглощаются в этом слое. Поэтому эффективная
температура видимого излучения фронта ударной волны будет меньше
*) В действительности поток квантов несколько больше, так как непосредствен-
непосредственно за разрывом температура выше, чем температура за фронтом (см. рис. 9.2, б).

§ 1]	ЯРКОСТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА И ТЕМПЕРАТУРА ЗА ФРОНТОМ	467
истинной температуры за фронтом: прогревный слой как бы экранирует
высоконагретый газ за фронтом ударной волны. Экранировка и, следова-
следовательно, отклонение Т3ф от Т\ тем сильнее, чем больше оптическая тол-
толщина прогревного слоя для видимого света tv *), т. е. чем выше темпера-
температура прогревания, тем выше амплитуда волны.
Пока оптическая толщина xv < 1, экранировка ничтожна, и откло-
отклонение ТЭф от 21! очень мало; фронт светится как черное тело температуры
7V В силу резкой зависимости поглощения видимого света от темпера-
температуры и в свою очередь довольно резкой зависимости температуры прогре-
прогревания от амплитуды волны (см. § 16 гл. VII), начало сильной экрани-
экранировки, соответствующее достижению оптической толщиной tv величины
порядка единицы, выступает при возрастании амплитуды волны весьма
явственно. В воздухе сильная экранировка начинается при температуре
за фронтом около 7\ = 90 000° К (см. § 3).
В ударной волне еще большей амплитуды оптическая толщина про-
прогревного слоя для видимого света больше единицы и слой почти совершен-
совершенно непрозрачен для видимых квантов, излучаемых высоконагретым газом
за фронтом волны: экранировка этой области почти полная. Таким обра-
образом, при повышении амплитуды волны эффективная температура види-
видимого света вначале совпадает с температурой за фронтом, затем начинает
отставать от нее, проходит через четко выраженный максимум («насы-
(«насыщение» яркости) и быстро падает.
Возникновение сильного экранирования прогревным слоем не озна-
означает, однако, что яркость фронта ударной волны очень большой ампли-
амплитуды падает до нуля и волна перестает светиться. Нагретый газ перед
ударным разрывом не только поглощает, но и сам излучает видимый свет.
Пока температура прогревания не очень высока и слой прозрачен, собствен-
собственное излучение его теряется на фоне проходящего видимого излу-
излучения, испускаемого гораздо более сильно нагретым газом за фронтом.
Когда же прогревный слой совершенно перестает пропускать проходя-
проходящий высокотемпературный свет, на первый план выступает его собствен-
собственное свечение.
Чтобы получить представление о яркости этого собственного свече-
свечения прогревного слоя, заметим, что температура в нем монотонно возра-
возрастает, начиная от «нуля», точнее, от температуры холодного газа перед
фронтом. Вследствие резкой температурной зависимости поглощения
видимого света в самых передних слоях зоны прогрева, где температура
низка, свет не поглощается и не излучается. В более глубоких слоях при
высокой температуре видимые кванты интенсивно испускаются, но тут же
снова поглощаются, будучи не в состоянии выйти наружу в силу непро-
непрозрачности газа. На «бесконечность» с поверхности фронта выходят кванты,
рожденные в некотором промежуточном, излучающем слое зоны про-
прогрева, отстоящем от «бесконечности» на оптическом расстоянии (соответ-
(соответствующем частотам видимого света) порядка единицы. На рис. 9.2, в
излучающий слой заштрихован. Очевидно, эффективная температура излу-
излучения совпадает со средней температурой излучающего слоя. Положе-
Положение слоя определяется только профилем температуры газа Т (х) и темпе-
*) Подчеркиваем, что оптическая толщина прогревного слоя для видимого
излучения tv не имеет ничего общего с усредненной по спектру оптической толщиной
слоя, соответствующей большим квантам, «ведущим» прогрев. Как показано в § 16
гл. VII, температура в прогревном слое спадает примерно экспоненциально по усред-
усредненной оптической толщине Т—Т_ ехр (— ]^3|т|) (при Г_ < TJ, так что усред-
усредненная толщина слоя порядка единицы.
30*-

468	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
ратурной зависимостью поглощения xv (T) из условия, что слой отстоит
от холодного газа на оптическом расстоянии порядка единицы. Как
показано в § 17 гл. VII, профиль температуры на переднем краю зоны
прогрева в ударных волнах большой амплитуды почти не зависит от ампли-
амплитуды волны. Следовательно, не зависит от амплитуды и собственное све-
свечение прогревного слоя, т. е. эффективная температура очень сильной
ударной волны. В воздухе нормальной плотности эта предельная яркост-
яркостная температура в красном свете равна примерно 20 000° К (см. § 4).
Эффект экранировки и резкого занижения яркостной температуры
фронта ударной волны по сравнению с истинной температурой за фрон-
фронтом наблюдался экспериментально И. Ш. Моделей [1]. В его опытах
фотографическим путем измерялась яркостная температура фронта удар-
ударных волн в тяжелых инертных газах: ксеноне, криптоне и аргоне, в кото-
которых удается получить высокие температуры в ударной волне. Скорость
фронта в этих опытах была равна 17 км/сек. Оптическая толщина нагре-
нагретой области за фронтом ударной волны была заведомо большой, так что
в отсутствие экранировки фронт должен был бы излучать как черное
тело. Однако на опыте наблюдалась яркостная температура 30 000 —
35 000° К, которая в несколько раз ниже температур за фронтом Tt, рас-
рассчитанных по скорости фронта и ударным соотношениям (в Хе 1\ «*
« 110 000° К, в Кг Tt « 90 000° К, в Ar Ti « 60 000° К). Если учесть,
что точность экспериментального определения эффективной температуры
видимого (красного) света была не менее ±20%, то указанное расхож-
расхождение следует отнести именно за счет экранировки прогревным слоем.
К сожалению, в опытах И. III. Моделя регистрировалась только одна
точка по амплитуде волны, что не дает возможности проследить характер
всей кривой зависимости яркостной температуры от истинной темпера-
температуры за фронтом.
Следует отметить, что явление «насыщения» яркости при высоких
температурах наблюдалось многими авторами в искровых разрядах *).
Известно, что увеличение скорости поступления энергии в канал искро-
искрового разряда, начиная с некоторой скорости, не приводит к увеличению
яркостной температуры выше ~ 45 000° К в воздухе. Также ограничена
температура свечения и при разрядах в аргоне, ксеноне (при разрядах
в капиллярах наблюдается более высокая температура — около 90 000° К
в воздухе).
Эффект насыщения, быть может, связан с экранировкой высоких
температур в канале, в какой-то мере подобной экранировке в ударной
волне, однако возможно ограничена истинная температура в канале
за счет потерь на излучение и т. д.
§ 2. Поглощение световых квантов в холодном воздухе
Особенно большой практический интерес представляет вопрос о ярко-
яркости сильных ударных волн в воздухе нормальной плотности, который
мы рассмотрим более подробно. Необходимо определить верхнюю гра-
границу амплитудного интервала, в котором фронт ударной волны излучает
видимый свет как абсолютно черное тело, оценить максимальную и пре-
предельную яркостные температуры. Задача сводится, очевидно, к оценке
оптической толщины прогревного слоя для видимого излучения, которой
*) Литературные данные можно найти в обзоре М. П. Ванюкова и А. А. Мака [5]
об импульсных источниках света высокой яркости, а также в статье [1].

§ 2]
ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТОВЫХ КВАНТОВ В ХОЛОДНОМ ВОЗДУХЕ
469
/20
V00
80
ВО-
40
20
определяется степень экранирования высоконагретой области за фронтом,
и к нахождению собственного свечения прогревного слоя.
Для этого следует прежде всего уточнить, каковы геометрическая
толщина прогревного слоя и распределение температуры в нем по геомет-
геометрической координате, что в свою очередь зависит от того, как погло-
поглощаются в воздухе сравнительно большие кванты с энергиями порядка
десятка — сотни электронвольт, ответственные за прогревание газа перед
ударным разрывом. Подытожим извест-
известные из литературы данные о поглощении
таких квантов в холодном воздухе.
Выше уже неоднократно отмечался
тот общеизвестный факт, что холодный
воздух совершенно прозрачен для ви-
видимого света. Заметное поглощение на-
начинается в ультрафиолетовой области
спектра при длине волны X = 1860 А
(kv = 6,7 эв) *). За поглощение от-
ответственна система полос Шумана —
Рунге молекулы кислорода, которая при
К = 1760 A (h\ = 7,05 эв) переходит в
континуум, связанный с диссоциацией
молекулы при поглощении света. По-
Поглощение быстро возрастает с увеличе-
увеличением энергии квантов (при X = 1860 А
xv = 0,0044 см'1), а при hv « 8 эв
достигает величины порядка xv «
яг; 100 см'1. Экспериментальная кривая
зависимости коэффициента поглощения
от длины волны в этой области спе-
спектра приведена на рис. 9.3 **). Кванты,
превышающие потенциалы ионизации
молекул кислорода и азота/Ог = 12,1 эв,
/n2 = 15,6 эв, испытывают сильное фотоэлектрическое поглощение. Эффек-
Эффективные сечения поглощения с основного уровня молекул слабо зависят от
частоты в интервале энергий от hv=I и hv~25 эв и равны примерно а0 =
= 3,10~18 см2, o"n = 5,10~18 см2, что дает коэффициент поглощения xv да
да 120 см'1. При дальнейшем увеличении частоты коэффициент погло-
поглощения должен испытывать скачки, связанные с последовательным вклю-
включением в поглощение различных электронов, заполняющих L-оболочки
атомов азота и кислорода. Уровни в L-оболочках, по-видимому, не слиш-
слишком далеко отстоят друг от друга, так что скачки,, вероятно, лежат в обла-
области энергий hv от 13 до 30—40 эв (экспериментальных данных о скачках,
насколько нам известно, нет).
После этого коэффициент поглощения монотонно падает с увеличе-*.
нием частоты вплоть до энергии квантов hvK = 410 эв, равной энергии ;*
связи .йГ-электрона в атоме азота (у кислорода граница ^Г-поглощения f
hv'K = 530 эв). При энергии hvK = 410 эв коэффициент поглощения
\
\
\i\
1
1\
\
\
ч
N
1200
то то
Длина болны Х,А
1800, 2000
Рис. 9.3. Коэффициент поглощения
ультрафиолетового излучения в хо-
холодном воздухе.
*) Сильное поглощение близкого ультрафиолетового излучения Солнца в обла-
области X ~ 2000—3000 А связано с существованием озонного слоя на высоте — 25 км.
Кислород и азот не поглощают в этой части спектра, поэтому, говоря об ударных вол-
волнах в воздухе вблизи поверхности^Земли, следует установить верхнюю границу про-
прозрачности воздуха для \ ~ 1860 А.
**) Кривая взята из работы Шнайдера [6].

470
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
резко возрастает, так как кванты, большие hvK, способны выбивать
.йТ-электроны из атомов азота, а затем монотонно падает вплоть до hvjc =
= 530 эв, когда в поглощение включаются if-электроны кислорода.
Коэффициенты поглощения квантов Jivk — 410 эв перед и за скачком
.йТ-поглощения в азоте, рассчитанные по данным [7, 8], равны 1,6 см'1
и 35 см'1. Экспериментальный
материал по поглощению воз-
воздуха в промежуточной облас-
области частот от десятков до сотен
электронвольт чрезвычайно
скуден: измерения, насколь-
насколько нам известно, были сдела-
сделаны только для двух линий,
hv = 182 эв [9] и hv =
= 280 эв [10].
На основании всех этих
отрывочных сведений состав-
составлена таблица 9.1, которая
дает более или менее нагляд-
наглядное представление о коэффициентах поглощения и пробегах квантов
в десятки и сотни электронвольт в холодном воздухе нормальной плотности.
hv, эв
8
13—25
182
280
410
(до скачка)
410
(после скачка)
Таб
Kv, см-1
100
-120
12
5,3
1,6
35
лица 9.1
lv, см
0,01
0,0083
0,083
0,19
0,63
0,029
§ 3. Максимальная яркостная температура для воздуха
В § 16 гл. VII было показано, что если амплитуда ударной волны
меньше критической (а в воздухе нормальной плотности критической
амплитуде соответствует температура за фронтом Tt « 285 000° К), то
перенос излучения из высоконагретой области за фронтом в слои, распо-
расположенные перед ударным разрывом, не имеет диффузионного характера.
Воздух в них нагревается до температур гораздо меньших температуры
за фронтом, и испускание излучения в зоне прогревания не вносит прак-
практически никакого вклада в проходящий поток излучения, рожденного
за разрывом. Воздух нагревается просто в силу поглощения проходящих
квантов на расстояниях порядка длин пробегов для поглощения и тол-
толщина зоны прогревания Ах по порядку величины равна длине пробега /
тех квантов, которые несут основную энергию спектра. Математически
это выражается формулой G.55), определяющей экспоненциальное
спадание прогревания по усредненной оптической толщине т, соответ-
соответствующей некоторому среднему по спектру коэффициенту поглоще-
поглощения % = 1/1:
е = е_е
т= \xdx*).
о
(9.1)
Эта формула показывает, что эффективная оптическая толщина про-
гревного слоя порядка единицы, т. е. геометрическая толщина порядка
Ах ~ 1/х = /.
Из таблицы 9.1 следует, что длины пробегов квантов с энергиями
порядка 10—100 эв в холодном воздухе меняются от 10~2 до 10 см.
*) Формула G.55) записана не для удельной внутренней энергии, а для темпера-
температуры. Формула (9.1) является более общей, она справедлива и в тех случаях, когда
теплоемкость зависит от температуры, как это имеет место в воздухе.

3]
МАКСИМАЛЬНАЯ ЯРКОСТНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ДЛЯ ВОЗДУХА
471
Легко видеть, что таковы же примерно пробеги этих квантов и в не
слишком сильно нагретом воздухе в зоне прогревания.
Рассмотрим, например, ударную волну с температурой за фронтом
Ti = 65 000° К. Максимум планковского спектра приходится на кванты
hv = 16 эв, т. е. значительная часть энергии спектра сосредоточена в обла-
области энергий от квантов, превосходящих потенциалы ионизации атомов
и молекул hv > / « 13 эв.
Наибольшая температура прогревания, как показывает табл. 7.2,
Т- = 9000° К. При такой температуре степень ионизации и возбуждения
атомов мала, т. е. кванты hv > / поглощаются практически так же, как
и в холодном воздухе. Если взять более мощную ударную волну, скажем,
с температурой за фронтом Т% = 100 000° К, то максимуму спектра соот-
соответствуют кванты hv = 24 эв и основная энергия спектра сосредоточена
в области более высоких энергий квантов, порядка нескольких десятков эв.
При температуре прогревания Г_ = 25 000° К первая ионизация
атомов заметна, но второй практически нет. Кванты с энергиями в несколь-
несколько десятков электронвольт выбивают из атомов главным образом не внеш-
внешние, оптические, а более глубоко лежащие электроны, которые при тем-
температуре ~ 25 000° К еще не затрагиваются термической ионизацией
и возбуждением. Таким образом, и в этом случае кванты, осуществляю-
осуществляющие прогревание, поглощают-
поглощаются примерно так же, как ив	Таблица 9.2
холодном воздухе.
Отсюда можно сделать
вывод, что толщина зоны про-
прогревания перед ударным раз-
разрывом в волнах докритиче-
ской амплитуды G\ <
< 285 000° К) имеет порядок
длин пробега десяти — ста
электрон-вольтовых квантов
в холодном воздухе, т. е.
Ах ~ Ю-2 - 10-1 СМш При
этом Ах увеличивается в ука-
указанных пределах, если переходить к волнам все большей амплитуды в
интервале температур за фронтом от десятков тысяч градусов до Tt ~
— 200 000°К, чему соответствует сдвиг по характерным энергиям кван-
квантов от hv ~ 10—30 эв до hv ~ 30—100 эв.
Рассмотрим теперь, насколько экранирует видимый свет зона прогре-
прогревания. В табл. 9.2 приведены коэффициенты поглощения и длины про-
пробега красного света % = 6500 А в воздухе нормальной плотности при
различных температурах.
Заметная экранировка наступает, когда длина пробега /v, быстро
уменьшающаяся с ростом температуры, становится сравнимой с толщиной
зоны прогревания, т. е. с длиной пробега прогревающего излучения I
(средней по спектру). Введем для удобства понятие «температуры про-
прозрачности» Т*, которую определим условием
МИ = *-	(9-2)
Смысл этого понятия очевиден: температура прозрачности разграни-
разграничивает две температурные области в ударной волне. При Т < Т* lv > Ах
и воздух в зоне прогревания прозрачен для видимого света. При Т > Т*
lv < Ах и воздух непрозрачен.
Т-10-3, "К
15
17
20
30
50
100
kv, сл-1
4,1
13,5
60
290
350
2000
lv, см
0,25
7,4-10-2
1,66-10-2
3,45-10-3
2,85-Ю-з
5-Ю-*

472	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
Поскольку поглощение видимого света очень резко зависит от темпе-
температуры, а усредненная длина пробега меняется сравнительно мало (всего
на порядок), определенная равенством (9.2) температура прозрачности
заключена в довольно узких пределах, а именно: Т* да 17 000—20 000° К.
Оценить оптическую толщину зоны прогревания для видимого света
можно, задавшись для простоты больцмановской температурной зависимо-
зависимостью коэффициента поглощения видимого света xv= const • exp ' ~~
и считая средний коэффициент поглощения х постоянным. Имея в виду,
что внутренняя энергия воздуха при нормальной плотности и температу-
температурах порядка десятков тысяч градусов, грубо говоря, е -^-Г14, с помо-
помощью формулы (9.1) найдем приближенно оптическую толщину в прогрев-
ной зоне от «бесконечности» (т. е. от области холодного воздуха) до точки
с температурой Т: xv (T) (полная оптическая толщина зоны прогрева-
прогревания есть tv (T-))
-у=ге -у-да
0	0
kT
х j/з I—hv	j/3 T—hv к	v '
В ударной волне с Тг = 90 000° К, в которой температура перед
разрывом равна температуре прозрачности Т- = Т* = 20 000° К, опти-
оптическая толщина зоны, прогревания равна в соответствии с определением
kT*
температуры прозрачности (9.2) Tv = 0,81	да 0,12 (/«14эв, Ауда2эе).
Следовательно, если смотреть на поверхность фронта ударной волны
в направлении, нормальном к поверхности, поток видимого излучения,
выходящий с поверхности ударного разрыва, будет ослаблен прогревным
слоем примерно на 12%, а эффективная температура вместо 90 000° К
будет равна примерно 80 000° К (при таких температурах маленькие
видимые кванты лежат в рэлей —_джинсовской части спектра и их интен-
интенсивность пропорциональна первой степени температуры; поэтому эффек-
эффективная температура просто пропорциональна яркости).
При дальнейшем увеличении амплитуды волны оптическая толщина
слоя растет и яркость падает; например, при повышении температуры
за фронтом всего на 10 000° К при Т^ = 100 000° К, Г_ = 25 000° К,
tv (Г_) « 0,37, Тэф « Tie-°>37 « 67 000° К, т.е. эффективная темпе-
температура уже меньше 80 000° К.
Максимум яркости соответствует температуре за фронтом около
Ti = 90 000° К, а максимальная эффективная температура равна при-
примерно ГЭф тах = 80 000° К *). При температуре за фронтом Ti =
= 140 000° К Т - да 50 000° К, tv (Г_) да 1,5 и экранировка почти полная.
§ 4. Предельная яркость очень сильной волны в воздухе
Щ Оценим собственное свечение прогревного слоя в волне большой
амплитуды, определяющее предельную яркость фронта ударной волны.
Рассмотрим ударную волну сверхкритической амплитуды с температурой
*) Мы подчеркиваем, что все эти значения представляются оценочными, так
как коэффициент поглощения видимого света в нагретом воздухе, вычисленные по
формуле Крамерса, не могут быть признаны вполне достоверными.

§ 4]	ПРЕДЕЛЬНАЯ ЯРКОСТЬ ОЧЕНЬ СИЛЬНОЙ ВОЛНЫ В ВОЗДУХЕ	473
за фронтом гораздо больше критической, равной 285 000° К. В § 17
гл. VII было показано, что распределение температуры во фронте волны
по усредненной оптической толщине т имеет вид, изображенный на рис. 9.4.
Температура прогревания перед самым ударным разрывом совпадает
с температурой за фронтом Т^. Температура в прогревном слое монотонно
падает до температуры холодного воздуха, причем усредненная оптиче-
оптическая толщина всей зоны прогрева может быть очень большой; она тем
больше, чем выше амплитуда волны. Основную часть зоны прогрева
составляет область с температурами от Г_ = Tt и до температуры порядка
критической Тк « 300 000° К. Эта часть
зоны, собственно, и расширяется при
увеличении амплитуды (рис. 9.4).
На переднем краю зоны, где темпе-	|\ jf
ратуры ниже 300 000° К, распределение
температуры, так же как и в докритиче-
ской волне, имеет экспоненциальный ха-
характер и почти не зависит от амплитуды:
,q ,, Рис. 9.4. Положение излучающего
(У.4} слоя (заштрихован) в ударной
(см. § 17 гл. VII, формулу G.64), а также волне очень большой [амплитуды,
рис. 9.4; оптическая координата тк отно-
относится к точке, где температура равна примерно Т « Тк « 300 000° К).
В конце § 1 уже было отмечено, как излучает видимый свет тело
с подобным распределением температуры. При низких температурах
воздух прозрачен и не излучает; при высоких — совершенно непрозра-
непрозрачен и «не выпускает» наружу видимые кванты. Излучающий слой, который
посылает в основном поток видимого света на «бесконечность», в холод-
холодный воздух, лежит где-то между прозрачной и непрозрачной областями
(он заштрихован на рис. 9.4). Температура в излучающем слое, очевидно,
близка к температуре прозрачности воздуха, определенной равенством
(9.2), где / — средняя по спектру длина пробега в области, где лежит
излучающий слой. Яркостная температура видимого излучения также
приближенно совпадает с температурой прозрачности. Если средняя
длина пробега по-прежнему заключена в интервале 10~2—10 см, то
предельная яркостная температура должна быть равной 17 000—20 000° К
(см. табл. 9.2).
Убедимся в том, что эта оценка действительно справедлива, иначе
говоря, в том, что прогрев на переднем краю зоны прогревания в очень
сильной ударной волне ведут кванты, которые имеют именно такую длину
пробега. Для этого заметим, что при температурах выше критической
в зоне прогревания имеет место локальное равновесие, а при более низких
температурах излучение неравновесно, так же как в прогревном слое
докритической ударной волны.
Приближенно можно считать, что с поверхности, где температура
равна Тк л* 300 000° К, влево (см. рис. 9.4) выходит планковский спектр
излучения такой температуры, независимо от того, как высоко подни-
поднимается температура за этой поверхностью.
Общая тенденция поглощения больших квантов, соответствующих
спектру с температурой 300 000° К (максимум спектра приходится
на кванты hv яг 70 эв), такова, что коэффициент поглощения %v падает
с ростом частоты. Как видно из табл. 9.1, в области энергий квантов

474
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
Т "К
50 000
20000
15 000
10 000
ftv, эв
140
200
212
225
0,
1,
1,
1,
95
02
16
см
•10-1
• 10-1
¦ ю-1
•л, см-1
10,5
9,8
8,6
в сотни электрон-вольт xv монотонно уменьшается при увеличении час-
частоты. Поэтому при продвижении в сторону падения температуры от поверх-
поверхности, где Т = 300 000° К, вначале поглощаются небольшие кванты,
потом более высоко энерге-
Таблица 9.3 тичные. По мере продвиже-
продвижения в область низких темпе-
температур спектр становится все
жестче и жестче. Вычисление,
проделанное в работе [4],
показывает, что в область
температур порядка темпе-
температуры прозрачности, где,
как мы ожидаем, лежит из-
излучающий слой, проникают
только весьма жесткие кванты с энергиями hv m 200 эв. В табл. 9.3 пред-
представлены энергии квантов, «ведущих» прогрев в области низких темпе-
температур на переднем краю зоны прогревания. Там же указаны и соот-
соответствующие этим квантам длины пробега, как раз равные приближенно
усредненным по спектру пробегам.
Мы видим, что в области температур Т ~20 000° К средняя длина
пробега / ^lO см, т. е. температура прозрачности скорее ближе
к 17 000° К.
Таким образом, предельная яркостная температура очень сильной
ударной волны равна примерно 17 000° К, независимо от амплитуды.
Общая зависимость яркостной температуры (в красном свете) от темпе-
температуры за фронтом показана на рис. 9.1. Следует отметить, что коэффи-
коэффициенты поглощения в видимой области спектра довольно слабо зависят
от частоты, поэтому оцененные значения яркостных температур прибли-
приближенно относятся не только к красной, но и вообще ко всей видимой области
спектра.
2. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, НАБЛЮДАЕМЫЕ ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ,
И ОХЛАЖДЕНИЕ ВОЗДУХА ИЗЛУЧЕНИЕМ
§ 5. Общее описание световых явлений
При атомном взрыве в воздухе получаются мощная ударная волна
и очень высокие температуры. Температура за фронтом волны пробегает
непрерывный ряд значений в широком диапазоне от сотен тысяч гра-
градусов вплоть до нормальной. При взрыве наблюдается ряд интересных
и весьма своеобразных оптических явлений. Ниже приводится общее
описание физического процесса развития взрыва в воздухе, вблизи поверх-
поверхности Земли (т. е. в воздухе нормальной плотности). Это описание пол-
полностью заимствовано из американской книги «The Effects of Atomic
Weapons» 111], изданной в 1950 г. *).
*) Мы цитируем пункты 2.1; 2.6—2.16; 2.22; 6.2; 6.19, 6.20 второй и шестой глав
книги, а также приводим фотографию 2 и рис. 6.6; 6.18; 6.20. В 1957 г. в США появи-
появилось второе издание этой книги, которое было переведено на русский язык [12]. Второе
издание переработано по сравнению с первым. В нем значительно расширены разделы,
касающиеся поражающего действия взрыва, но сокращены разделы, посвященные
описанию физических явлений в огненном шаре. Поскольку нас здесь интересуют
именно эти, последние вопросы, мы заимствуем описание физики взрыва из первого
издания. Все длины, измеренные в футах, ярдах, милях, мы перевели в метры.

§ 5]	ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ СВЕТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ	475
«При делении ядер урана или плутония в атомной бомбе происходит
выделение огромного количества энергии в весьма малом исходном объеме
в течение очень короткого промежутка времени. В дальнейшем будем
считать, что энергия, освобождающаяся при взрыве бомбы, примерно
эквивалентна энергии, выделяющейся при взрыве 20 G00 тонн тротила,
что составляет около 1021 эрг (точнее, 8,4-1020 эрг). Такую бомбу назы-
называют номинальной атомной бомбой. В результате чрезвычайно высокой
концентрации энергии температура делящегося вещества достигает мил-
миллиона градусов. Поскольку взрыв происходит в ограниченном объеме,
занимаемом бомбой, давление резко возрастает и достигает нескольких
сотен тысяч атмосфер.
При разогреве вещества до чрезвычайно высокой температуры про-
происходит выделение энергии в виде электромагнитного излучения, спектр
которого охватывает широкий диапазон длин волн, простирающийся от
инфракрасных (тепловых) лучей через видимую область спектра к обла-
области ультрафиолетовых лучей и выходит за ее пределы. Большая часть
излучения поглощается в слоях воздуха, непосредственно примыкающих
к бомбе, в результате чего воздух нагревается до свечения. Таким обра-
образом, через несколько микросекунд после взрыва взорвавшаяся бомба
приобретает вид светящегося шара, называемого огненным шаром.
По мере распространения лучистая энергия нагревает окружающий
воздух; в результате огненный шар увеличивается в размере, а темпера-
температура, давление и яркость соответственно уменьшаются. По истечении
0,1 мсек A0~3 сек) радиус огненного шара становится равным примерно
14 м, а температура его поверхности — примерно равной 300 000° К.
В это мгновение освещенность, наблюдаемая на расстоянии 10 000 л*,
примерно в 100 раз больше, чем освещенность поверхности Земли Солнцем.
При описанных выше условиях во всем объеме огненного шара сохра-
сохраняется почти одинаковая температура; поскольку лучистая энергия
может быстро распространяться между любыми двумя точками внутри
сферы, то там не создается значительных температурных градиентов. Так
как температура внутри огненного шара всюду одинакова, то его можно
отождествить с изотермическим шаром, который на данной стадии иден-
идентичен с огненным шаром.
По мере расширения огненного шара в воздухе появляется ударная
волна; вначале фронт ударной волны совпадает с поверхностью изотер-
изотермического шара. После снижения температуры примерно до 300 000° К
скорость ударной волны становится больше скорости расширения изотер-
изотермического шара. Другими словами, перенос энергии ударной волной
начинает происходить быстрее, чем путем излучения. Тем не менее, святя-
святящийся шар продолжает увеличиваться в размере, поскольку сильное сжа-
сжатие воздуха, обусловленное прохождением ударной волны, вызывает
повышение температуры, достаточное, чтобы довести шар до свечения.
На этой стадии изотермический шар является зоной высокой темпе-
температуры внутри большего по размерам огненного шара, образованного
резко очерченным фронтом ударной волны. Поверхность раздела между
сердцевиной этого шара, обладающей очень высокой температурой, и не-
несколько более «холодным» воздухом, нагретым ударной волной, назы-
называется фронтом излучения.
Описанные выше явления схематически представлены на серии фото-
фотографий огненного шара (рис. 9.5), соответствующих различным моментам
времени после взрыва атомной бомбы; качественные температурные гра-
градиенты показаны слева, градиенты давления — справа. Вначале темпера-

476
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
тура одинакова в пределах всего огненного шара, который в это время
является также изотермическим шаром; затем появляются две различ-
различные температурные зоны; в этот момент огненный шар становится больше
остающегося внутри изотермического шара. Изотермический шар пере-
перестает быть видимым, так как его закрывает ярко светящийся фронт удар-
ударной волны. К этому моменту давление повы-
повышается до максимума, а затем уже на по-
поверхности огненного шара резко снижается,
что свидетельствует об идентичности огнен-
огненного шара с фронтом ударной волны.
Огненный шар продолжает быстро уве-
увеличиваться в размерах в течение примерно
15 мсек; за это время его радиус достигает
приблизительно 90 м, а температура поверх-
поверхности снижается приблизительно до 5000° К,
хотя внутри огненного шара она значительно
выше. При этом температура и давление
ударной волны снижаются настолько, что
воздух, через который проходит ударная
волна, перестает светиться. Слабо видимый
фронт ударной волны продолжает двигаться
впереди огненного шара; это явление назы-
называют отрывом ударной волны от светяще-
светящегося шара. Скорость распространения удар-
ударной волны в этот период равна примерно
4500 м/сек.
Несмотря на постепенное уменьшение со
временем скорости распространения фронта
ударной волны, она все время остается боль-
больше скорости расширения огненного шара.
Через 1 сек огненный шар достигает своего
максимального радиуса 140 м, а фронт удар-
ударной волны к этому времени уходит вперед
примерно на 180 м. Через 10 сек, когда огнен-
огненный шар поднимается приблизительно на
450 м, ударная волна удаляется от места
взрыва примерно на 3700 м и выходит за
пределы зоны своего максимального разру-
разрушающего действия.
Существенной особенностью атомного
взрыва в воздухе является особый эффект,
который наблюдается в момент отрыва фрон-
фронта ударной волны от светящегося шара.
Температура поверхности светящейся обла-
области понижается приблизительно до 2000° К
и затем начинает вновь повышаться, достигая
второго максимума около 7000° К. Минимальная температура дости-
достигается примерно через 15 мсек после взрыва, а приблизительно
через 0,3 сек вновь повышается до максимума. В дальнейшем про-
происходит непрерывное снижение температуры огненного шара вследствие
его расширения и происходящей потери энергии.
Интересно отметить, что излучение большей части лучистой энергии
атомного взрыва происходит после того, как яркость огненного шара
Рис. 9.5. Качественная кар-
картина изменения температу-
температуры и давления в огненном
шаре.
Энергия	взрыва — около
1021 эрг=ь16 кг урана яг 20 000.т
тротила.

§ 5]	ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ СВЕТОВЫХ ЯВЛЕНИЙ '	477
становится минимальной. До этого времени излучается только около 1 %
общей энергии, несмотря на то, что температура поверхности в этот период
очень высока. Это объясняется тем, что длительность указанного периода
15 мсек чрезвычайно мала по сравнению с временем, в течение которого
происходит излучение после достижения минимума яркости.
Как было упомянуто выше, огненный шар чрезвычайно быстро, менее
чем за 1 сек после взрыва, достигает максимального ра-диуса 140 м. Сле-
Следовательно, если бомба взорвется на высоте менее 140 м, то огненный шар
должен коснуться поверхности земли; это наблюдалось при испытании
«Тринити» у Аламогордо (штат Нью-Мексико).
Ввиду своей малой плотности огненный шар всплывает вверх подобно
воздушному шару. Через несколько секунд после начала движения ско-
скорость шара достигает максимальной величины, равной 90 м/сек.
Непосредственные эффекты атомного взрыва могут считаться закон-
закончившимися примерно через 10 сек, когда огненный шар почти перестает
светиться и избыточное давление ударной волны уменьшается до прак-
практически безопасных значений.
Как было указано ранее, плотность веществ внутри огненного шара
очень мала, так как они обладают высокой температурой, поэтому шар
поднимается выше места взрыва бомбы; по мере подъема огненный шар
охлаждается. Охлаждение примерно до 1800° К происходит главным обра-
образом за счет потери энергии вследствие светового излучения;, затем сниже-
снижение температуры происходит в результате адиабатического расширения
газов и смешивания их с окружающим воздухом за счет турбулентной
конвекции. После прекращения свечения огненный шар можно рассма-
рассматривать как большой пузырь раскаленных газов, температура которого
падает по мере подъема.
Весьма важное различие между атомным и обычным взрывом состоит
в том, что в первом случае количество освобождаемой энергии на единицу
массы неизмеримо больше. В результате создается более высокая темпе-
температура, а следовательно, большая часть энергии, освобождаемая в момент
взрыва, испускается в виде светового излучения. Например, около 1/3
всей освобождаемой при атомном взрыве энергии испускается в форме
светового излучения. Для номинальной атомной бомбы это составляет
примерно 6,7¦ 1012 кал, что эквивалентно 2,8-1020 эрг.
Количество энергии, проходящей через всю сферическую поверх-
поверхность огненного шара, т. е. через пространственный угол An, равно
. о7-4яй2, где R — радиус шара, а Г — температура поверхности (зависи-
(зависимости R и Т от времени показаны на рис. 9.6). Поскольку в воздух про-
проникает только часть энергии /0 *), количество лучистой энергии, дости-
достигающей всех точек на сферической поверхности, расположенной на уме-
умеренном расстоянии от точки взрыва, будет равно f0aTi-4nRt. Отсюда
поток лучистой энергии ф на единицу площади на расстоянии D полу-
получается путем деления этого выражения на площадь поверхности шара
4я/J, т.е. Ф = /0оТ*(^у.
Из этой формулы можно вычислить поток лучистой энергии в данной
точке на расстоянии D для различных моментов времени после атомного
*) Считается, что воздух пропускает только длины волн, превышающие Хо =
= 1860 А, так что /0 — это доля энергии планковского спектра температуры Т, заклю-
заключенная в интервале длин волн от Яо = 1860 А до К = оо. Функция /0 (Т) показана
на рис. 9.7.

478
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
взрыва, используя при этом значения R и Т из рис. 9.6, а /0 — из рис. 9.7.
Чтобы не строить кривую для различных расстояний, величина ф/J,
равная /0o"jT4.ff2, дана на рис. 9.8 как функция времени; поток энергии
измеряется в кал/см2-сек, а расстояние — в м. По кривой можно легко
определить поток энергии на любом дан-
ном расстоянии в любой момент.
Чтобы получить некоторое пред-
представление о величине освещенности,
целесообразно ввести единицу сан,
to1
*/0*
V
\
V
—\-
Ю
I
9,№м
Ю'
10'
Врвмя, сен
Рис. 9.6. Зависимость радиуса огнен-
огненного шара (кривая 1) и температуры
(кривая 2) от времени, начиная с
момента взрыва.
Г К
Рис. 9.7. Доля равновесного излуче-
излучения, заключенная в интервале длин
волн от К = 1860 А до % = оо в
зависимости от температуры.
которая определяется как поток энергии, равный 0,032 кал/см2сек, и при-
принимается равной солнечной энергии, падающей на верхнюю границу
атмосферы. Правая ордината на рис. 9.8 дает значение ф.02, где ф вы-
выражено в санах, & D — в метрах.
з,но"
у-ю*
ю'
N
ч,
\
?
/
?
/
N
\
3,110*
Врет, сек
Рис. 9.8. Зависимость потока энергии, испускаемого огнен-
огненным шаром, от времени, прошедшего после взрыва.
При минимальной яркости величина q>D2 равна примерно 6,8 х
X 106 саН'М2, так что в этот момент огненный шар, наблюдаемый на рас-
расстоянии 2600 м, должен казаться примерно таким же ярким, как Солнце.
В действительности он будет несколько менее ярким в зависимости от
чистоты воздуха, а также вследствие поглощения излучения в атмосфере».

§ 6] ОТРЫВ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ГРАНИЦЫ ОГНЕННОГО ШАРА 479
На этом мы закончим описание, заимствованное из книги [11].
До тех пор пока не произошел отрыв фронта ударной волны от гра-
границы светящегося тела и последняя просто совпадает с фронтом ударной
волны, закон распространения огненного шара очень хорошо описывает-
описывается формулой R ~ f/ь, которая следует из решения задачи о сильном
взрыве, рассмотренной в § 25 гл. I. К моменту отрыва температура
на фронте ударной волны равна примерно 2000° К, что соответствует
давлению р$ ж 50 атм. Это давление намного выше атмосферного, т. е.
исходные предположения, лежащие в основе решения (рф > р0), выпол-
выполняются.
Сравнение теоретического закона R ~ t2^ с экспериментальными дан-
данными сделано в книге Л. И. Седова [13].
В книге построен график прямой 5/2 lg R в зависимости от lg t,
на который нанесены экспериментальные точки, относящиеся к взрыву
атомной бомбы в Нью-Мексико в 1945 г. Экспериментальные точки очень
хорошо ложатся на теоретическую прямую. По формуле A.110) наклон
прямой связан с энергией взрыва Е:
Здесь а = Ц, где |0 — коэффициент в формуле A.110).
При плотности воздуха q0 = 1,25-10~3 г/см3 величина аЕ получается
равной 8,45-1020 эрг. Зависимость коэффициента а от показателя адиа-
адиабаты Y приводится в книге Л. И. Седова [13].
Если положить у = 1Д, как это сделал Л. И. Седов, получается
а = 1,175 и Е = 7,19-1020 эрг. В действительности эффективный показа-
показатель адиабаты несколько меньше, так как при высоких температурах
воздух сильно диссоциирован и ионизован; коэффициент а при этом
меньше и энергия взрыва оказывается большей. Так, например, если
взять у — 1>32, получается а = 0,88 и Е = 9,6-1020 эрг.
§ 6. Отрыв фронта ударной волны от границы огненного шара
Посмотрим, какова природа свечения огненного шара при темпера-
температурах за фронтом ударной волны порядка нескольких тысяч градусов,
и выясним причины явлений отрыва фронта ударной волны от грани-
границы светящегося тела и минимума яркости огненного шара. Эти вопросы
были рассмотрены в работах одного из авторов [14, 15].
В поглощении (и испускании) видимого света в нагретом воздухе
участвует целый ряд механизмов: фотоионизация высоковозбужденных
атомов и молекул кислорода и азота и молекул окиси азота, выбивание
дополнительных, слабо связанных электронов из отрицательных ионов
кислорода, молекулярное поглощение (без отрыва электрона) молекулами
,О2, N2, NO, пребывающими в возбужденных состояниях, наконец, моле-
молекулярное поглощение молекулами NO2, присутствующими в небольшом
количестве в нагретом воздухе. Коэффициенты поглощения, связанные
со всеми этими механизмами, были оценены в гл. V. Сравнительная роль
различных механизмов поглощения и абсолютные величины коэффициентов
сильно меняются в зависимости от температуры и плотности воздуха.
При температурах выше 12 000—15 000° К в основном происходит фото-
фотоионизация молекул и атомов кислорода и азота. При плотности воздуха
примерно в 10 раз больше нормальной, которая имеет место за фронтом

480	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
ударной волны, и температурах 12 000—15 000° К длина пробега кван-
квантов света оказывается порядка миллиметров. Длина пробега резко умень-
уменьшается при возрастании температуры.
В области более низких температур, 8000—6000° К, на первый план
выступают фотоионизация молекул NO, поглощение отрицательными
ионами кислорода и молекулярное поглощение молекулами О2, N2 и NO.
Длины пробега видимого света в этом интервале температур также сильно
зависят от температуры и имеют порядок 10—100 см (при десятикратном
сжатии в ударной волне). При еще более низких температурах, ниже
~5000° К, все перечисленные механизмы приводят к чрезвычайно сла-
слабому и притом быстро уменьшающемуся с понижением температуры
поглощению. Практически единственным механизмом поглощения види-
видимого света в воздухе при Т < 5000° К является поглощение молекулами
двуокиси азота NO2. Несмотря на малую концентрацию, двуокись азота
довольно сильно поглощает видимый свет, обеспечивая длины пробега,
измеряемые метрами. Так, при температуре Т = 3000° К и плотности
в пять раз больше нормальной, концентрация двуокиси равна cno2 =
= 1,610-**), а длинапробега красного света, вычисленная с сечением
поглощения o"no2 = 2,15 X 10~19 еж2, есть lv = 220 см.
Известно, что за фронтом ударной волны сильного взрыва темпера-
температура возрастает от фронта к центру (см. § 25 гл. I). Если рассматривать
ту стадию взрыва, когда температура на фронте равна нескольким тыся-
тысячам градусов, то при номинальной энергии взрыва Е = 1021 эрг (соот-
(соответствующей примерно 20 000 m тротила) взрывная волна охватывает
шар радиусом порядка сотни метров, и температура за фронтом заметно
возрастает при удалении от фронта к центру на расстояние порядка
метров.
В этой стадии лучистое прогревание воздуха перед ударным разры-
разрывом и экранировка поверхности фронта, рассмотренные в § 1 и 3, пре-
пренебрежимо малы. Поскольку толщина релаксационного слоя во фронте
ударной волны, где устанавливаются равновесные значения диссоциации
и ионизации, гораздо меньше пробега квантов, можно утверждать, что
до тех пор, пока длина пробега квантов меньше величины порядка метра,
за фронтом ударной волны простирается оптически толстая область
с почти постоянной температурой, и фронт излучает как абсолютно чер-
черное тело.
Яркостная температура огненного шара, измеренная по видимому
излучению, не отличается при этом от температуры фронта ударной
волны. Положение меняется, когда амплитуда ударной волны падает на-
настолько, что поглощение за фронтом становится слабым и длина про-
пробега света сравнивается с характерным масштабом, на котором замет-
заметно меняется температура за фронтом, т. е. становится порядка и больше
метра.
Однако прежде чем рассматривать отклонение яркостной темпера-
температуры от температуры фронта, что будет сделано в следующем параграфе,
выясним, когда воздух, захватываемый ударной волной, перестает
светиться.
Выше было отмечено, что при температурах ниже ~ 5000° К за
поглощение и испускание видимого света ответственны молекулы дву-
двуокиси азота. Но в силу особенностей кинетики окисления азота во взрыв-
*) Концентрация с; определяется как отношение числа г-х частиц к исходному
числу молекул в холодном воздухе.

ОТРЫВ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ГРАНИЦЫ ОГНЕННОГО ШАРА 481
В
\
В
рыва.
Внутренний круг: О.Ш. —
граница светящегося тела,
огненного шара; внешний:
Ф.У.В.— фронт ударной вол-
волны.
ной волне (см. § 5 гл. VIII) молекулы окиси азота, из которых затем
получаются молекулы двуокиси, практически не образуются в частицах
воздуха, нагретых ударной волной ниже ~ 2000° К. Это связано с боль-
большой энергией активации реакции окисления азота и вытекающей отсюда
крайне резкой температурной зависимостью скорости реакции. При тем-
температурах ниже ~ 2000° К время, необходимое
для образования сколько-нибудь заметного коли-
количества окиси, оказывается чрезвычайно большим
по сравнению с временем существования нагре-
нагретых частиц в ударной волне, и реакция не успе-
успевает протекать.
Таким образом, в слоях воздуха, нагретых
фронтом ударной волны до температуры ниже
~- 2000° К, двуокись азота, единственный погло-
поглощающий агент, уже никогда не образуется; эти
слои совершенно прозрачны для видимого света
и сами не светятся.
В момент времени, когда температура на
фронте Тф меньше 2000° К, скажем, когда
Гф = 1000° К, издалека будет виден светящийся
диск, радиус которого меньше радиуса фронта
ударной волны. Горизонтальное сечение взрыв- «Д Рис. 9.9. Схема свечения
ной волны изображено на рис. 9.9. Лучи типа В огненного шара после от-
пересекают слои воздуха, нагретые ударной вол-
волной до температуры, меньшей ~ 2000° К, и по-
потому несветящиеся.
Огненный шар ограничен лучами А, отстоя-
отстоящими от центра О как раз на расстоянии i?0.m>
соответствующем радиусу тех слоев воздуха в данный момент, которые
ранее были нагреты фронтом до темпе-
температуры ~ 2000° К и в которых еще
имеется необходимое для заметного све-
свечения количество двуокиси азота. По-
Поскольку частицы воздуха во взрывной
волне разлетаются от центра (правда,
медленнее, чем бежит сам фронт ударной
волны), радиус огненного шара Я0.ш уве-
увеличивается. Огненный шар расширяется
до тех пор, пока давление во взрывной
волне не падает до атмосферного и дви-
движение не прекращается *). Несветящий-
ся фронт ударной волны, оторвавшись
от огненного шара в момент, когда тем-
температура на нем была ~ 2000° К, ухо-
уходит при этом далеко вперед. (Траектории фронта и огненного шара
схематически изображены на рис. 9.10.)
*) При адиабатическом расширении до атмосферного давления частиц воздуха
с начальной температурой Тф я& 2000° К, соответствующей давлению на фронте
Рф ?& 50 атм, частицы остывают до Т ~ 800° К. Вероятно, с течением времени граница
. светящейся области несколько сдвигается вглубь, в слои с температурами, более
близкими к 2000° К, так как лучеиспускательная способность, пропорциональная
ехр (— hv/kT), быстро уменьшается с понижением температуры даже при неизменном
коэффициенте поглощения (hv > кТ при hv я& 2 эв, Т ~ 2000—1000° К). Точнее,
граница огненного шара определяется чувствительностью регистрирующего прибора.
31 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер
Рис. 9.10. Линии фронта ударной
волны Ф.У.В. и границы огнен-
огненного шара О. Ш. на диаграмме R, t.

482
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
§ 7. Эффект минимума яркости огненного шара
Посмотрим, как меняются с течением времени яркость и эффективная
температура поверхности огненного шара в стадии отрыва ударной волны
от границы светящегося тела. Когда температура фронта падает ниже
~ 5000° К, длина пробега видимого света вырастает до величины порядка
метра и огненный шар перестает излучать как абсолютно черное тело.
Эффективную температуру в этих условиях следует вычислять по общей
формуле B.52) в соответствии с распределениями температуры и коэф-
коэффициента поглощения по радиусу за фрон-
том волны *).
Рассмотрим для примера момент вре-
времени t = 1,5-Ю-2 сек, когда радиус фронта
R = 107 м и температура на фронте Гф —
= 3000° К (все расчеты относятся к взрыву
с энергией Е = 1021 эрг). На рис. 9.11 пока-
показано распределение коэффициента поглоще-
поглощения красного света X = 6500 А по радиусу
за фронтом ударной волны (координата х
отсчитывается от фронта в глубь шара). Там
же указаны температуры и относительные
плотности воздуха (сжатия r\ = q/q0) в не-
нескольких точках. Распределения температу-
температуры и плотности за фронтом взяты из решения
задачи о сильном взрыве; концентрации дву-
двуокиси азота вычислялись, как это было из-
изложено в § 5 гл. VIII. Поскольку точные
значения эффективных сечений поглощения
красного света возбужденными молекулами
NO2 неизвестны, для ориентировочных расчетов были приняты сле-
следующие, видимо, правдоподобные значения сечений (см. § 21 гл. V):
Г,°К 4000 3000 2600 2000
o-No21°19> смг 3,0 2,15 1,8 0,84
Из рис. 9.11 видно, что при температурах выше 6000—7000° К погло-
поглощение, связанное с многими механизмами, перечисленными выше, весьма
велико и быстро растет при удалении от фронта, когда температура повы-
повышается. В районе Т ~ 6000° К поглощение ослабевает и проходит через
минимум, так как при такой температуре все эти механизмы дают очень
малый коэффициент, а концентрация двуокиси еще мала (равновесие
реакции NO + -~- О2 ^ NO2 при столь высоких температурах сдвинуто
в сторону распада двуокиси). Концентрация двуокиси возрастает при
более низких температурах, ~ 4000—3000° К, что и приводит к повыше-
повышению поглощательной способности вблизи фронта волны.
х,м 5
Рис. 9.11. Распределение по-
поглощения красного света за
фронтом ударной волны при
температуре Тф = 3000° К для
взрыва с Е = 1021 эрг.
Указаны значения температур и
плотностей в нескольких точках.
Показатель адиабаты у = 1,23.
*) Излучающий слой имеет толщину порядка десятка метров, что значительно
меньше радиуса шара i?0. ш ~ 100 м. Поэтому кривизной слоя можно пренебречь
и считать его плоским, т. е. пользоваться формулой B.52). Заметим, что формула B.52),
в которую входит интегральная экспонента, появившаяся в результате учета косых
лучей, дает среднюю по диску яркостную температуру. Если интересоваться яркостью
в центре диска, то вместо интегральной экспоненты Е2 (fv) следует писать обычную
ехр (— tv), где tv — оптическая толщина, отсчитываемая по радиусу от поверхности
фронта в глубь шара. В дальнейшем вычисляется средняя яркостная температура.

§7]
ЭФФЕКТ МИНИМУМА ЯРКОСТИ ОГНЕННОГО ШАРА
483
По существу, слои воздуха с температурами выше ~ 6000—7000° К
оказываются совершенно непрозрачными и из внутреннего «горячего»
шара с такой температурой на поверхности выходит наружу поток план-
ковского излучения. Наружный слой воздуха, содержащий двуокись,
играет двоякую роль. С одной стороны, он поглощает это высокотемпера-
высокотемпературное излучение, выходящее с поверхности «горячего» шара, а с другой —
сам излучает свет. Формально это положение можно описать, разбивая
интеграл по tv в формуле B.51) на две части: один — по наружному слою
двуокиси с оптической толщиной т*, а другой — по внутренней «горя-
«горячей» области т* < tv < оо:
= 2 jj SVVE2 (tv) drv = 2 J SvpE2 (tv) dxv + 2
(tv) drv.
В отличие от формулы B.51) мы здесь вместо плотности излучения
пишем поток, что все равно.
Во втором интеграле можно вынести некоторое среднее значение S*p,
соответствующее эффективной температуре «горячего» шара Т* (Т* <~
~ 7000° К), и, воспользовавшись свойствами интегральных экспонент,
записать:
(ГВф) = 2 J SvpE2 (tv) dxv + Svp (T*) E3 (т*).
Первый член дает собственное излучение слоя двуокиси, а во втором —
множитель Е3 (т*) учитывает
экранировку этим слоем «вы-
«высокотемпературного» излучения
«горячего» шара. Расчеты пока-
показывают, что с течением времени
относительная роль второго чле-
члена возрастает, а собственное
свечение двуокиси становится
малым, т. е. роль двуокиси сво-
сводится в основном к экранировке
высокотемпературного излуче-
излучения. В рассмотренном примере
Тф = 3000° К оптическая тол-
толщина слоя двуокиси т* =^= 2,42,
а эффективная температура ог-
огненного шара получается рав-
х,м 15
Рис. 9.12. Распределение поглощения крас-
красного света за фронтом ударной волны при
температуре на фронте Тф = 1600° К для
взрыва с Е = 10н эрг.
Указаны значения температур и плотностей в не-
нескольких точках. Показатель адиабаты V = 1,30.
ной /Эф = 4110° К.
Другая типичная картина
распределения коэффициента по-
поглощения по радиусу возникает, когда температура на фронте ударной
волны падает ниже 2000° К. При этом поглощение начинается не сразу
за фронтом, а несколько глубже, так как в слоях, близких к фронту
и 'нагретых при прохождении фронта до температуры ниже 2000° К, дву-
двуокиси нет, и эти слои не поглощают света. Такая картина изображена
на рис. 9.12 (t = 2,64-Ю-2 сек, R = 138 м, Тф = 1600° К).
Проследим за тем, как меняется эффективная температура излучения
с течением времени. Пока температура на фронте ударной волны больше
31*

484	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
— 2000° К, во вновь захватываемых фронтом слоях воздуха образуется
двуокись, полная оптическая толщина слоя двуокиси возрастает и яркость
падает. Яркостная температура при Тф ^ 5000° К превышает темпера-
температуру фронта, ибо слой двуокиси не полностью экранирует высокотемпера-
высокотемпературное излучение (с Г* ~ 7000° К), идущее из глубины. Когда темпера-
температура фронта становится ниже 2000° К, во вновь захватываемых слоях
воздуха двуокись уже не образуется. Даже если бы полное количество
молекул NO2, имеющихся к этому моменту в воздухе, оставалось неизмен-
неизменным., оптическая толщина экранирующего слоя двуокиси все равно умень-
уменьшалась бы с течением времени, так как вследствие разлета воздуха одно
и то же число молекул NO2 распределялось бы по сферическому слою все
большего и большего радиуса. Легко видеть, что оптическая толщина
слоя двуокиси
я
т* = \ nN02°"N02 dr,
о
где Пцо2 — число 'молекул NO2 в 1 см3, уменьшается при неизменном
полном числе
я	r
dr ж 4яДа \ nN02 dr,
грубо говоря, пропорционально R ~ Г4/з.
^f .-. В действительности же полное количество двуокиси, после того как
прекращается ее образование, даже несколько падает вследствие распада
молекул NO2 (см. § 5, гл. VIII), что приводит к еще более быстрому
падению оптической толщины т*.
Таким образом, начиная с момента, когда температура на фронте ста-
становится меньше ~ 2000° К, экранировка слоем двуокиси уменьшается
и постепенно «обнажается» внутренняя горячая область. Эффективная
температура огненного шара, пройдя через минимум, повышается; шар как
бы снова разгорается, что и наблюдается на опыте.
Изложенные соображения о природе минимума яркости иллюстри-
иллюстрируются табл. 9.4, в которой представлены результаты расчета эффектив-
эффективных температур для взрыва с энергией Е = 1021 эрг. Тзф проходит через
минимум, равный 3600° К, а т* — через максимум при температуре фронта
Тф = 2600° К, близкой к температуре отрыва Тф = 2000° К.
Интересно проследить за тем, что происходит с минимумом яркости
при переходе от одной энергии взрыва к другой. Все времена и размеры
в сильной взрывной волне изменяются подобным образом, пропорцио-
пропорционально Е1^ (благодаря приближенной справедливости автомодельного
решения задачи о сильном взрыве). Грубо говоря, оптические толщины
в соответствующие моменты времени (при одинаковой температуре фрон-
фронта), также меняются, как Е1/з (так как концентрация двуокиси в основной
области равновесна и зависит главным образом от температуры и плот-
плотности частицы, но не от времени существования ее в нагретом состоя-
состоянии). Отсюда следует, что экранировка слоем двуокиси уменьшается
с уменьшением энергии взрыва, а превышение ГЭф над Тф возрастает:
минимум становится менее глубоким. В качестве примера в табл. 9.4
приведены результаты расчета Таф (Тф) для энергии взрыва Е = 1020 эрг.
Положение минимума не изменилось, а минимальная яркость стала выше:
Твф min « 4800° К.

18]
ОХЛАЖДЕНИЕ ВОЗДУХА ИЗЛУЧЕНИЕМ
485-
В пределе очень малых энергий взрыва минимум должен вообще
исчезать. Наоборот, в пределе очень больших энергий взрыва все размеры
и оптические толщины становятся большими, излучение огненного шара
все более и более приближается к излучению черного тела и ТЭф при-
приближается к Тф вплоть до момента, когда Тф становится равной примерно
Таблица 9.4
Рассчитанные в работе [15] значения яркостной
температуры огненного шара в красном свете
Х,=6500 А в стадии минимума яркости
0,75
1,05
1,50
1,81
1,95
2,25
2,39
2,64
2,94
?=1021 эрг
82
93
107
109
112
128
132
138
143
5000
4000
3000
2600
2300
2000
1800
1600
1400
?=102» эрг
5930
4810
4110
3600
4150
4520
4810
5400
5600
1,06
1,96
2,42
3,23
2,16
1,80
1,61
1,15
1,11
0,43
0,61
0,72
0,82
0,95
1,01
1,16
1,38
1,41
49
53
58
60
65
66
70
73
75
5000
4000
3000
2600
2300
2000
1800
1600
1400
6380
5560
5060
4800
5380
5850
6050
6510
6980
0,61
1,16
1,42
1,77
1,18
0,96
0,88
0,71
0,54
2000° К, т. е. минимум становится глубже Тэф min ж 2000° К. Ниже
2000° К яркостная температура упасть не может, так как даже при очень
больших энергиях взрыва и больших временах процесса двуокись все
равно не образуется при Т <С 2000° К и воздух, нагретый в ударной волне
до температуры Тф << 2000° К, прозрачен и не излучает.
§ 8. Охлаждение воздуха излучением
Представим себе, что газодинамический процесс при сильном взрыве
в воздухе с энергией Е ~ 1021 эрг протекает адиабатически, как описано
в § 25 гл. I. Разлет воздуха, охваченного взрывной волной, сильно замед-
замедляется к моменту, когда давление в нем падает до величины порядка
атмосферного. В дальнейшем ударная волна постепенно ослабевает,
превращается в акустическую и уносит с собой далеко вперед большую
долю полной энергии взрыва. В центральных же областях после достиже-
достижения атмосферного давления и прекращения движения остается большая
масса воздуха, необратимо нагретого ударной волной. В ней сосредото-
сосредоточена «остаточная» энергия взрыва, которая также составляет весьма

486	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
значительную (порядка десятков процентов) долю от полной энергии
взрыва. Воздух оказывается нагретым до весьма высоких температур.
Так, например, слои воздуха, через которые фронт ударной волны про-
прошел с амплитудой рф = 750 атм, нагрев их до температуры Т$ =
= 11 000° К, после расширения до атмосферного давления остаются
нагретыми до температуры порядка 2000° К *).
Более близкие к центру слои, первоначально нагретые фронтом удар-
ударной волны до нескольких сотен тысяч градусов (давления на фронте
порядка сотни тысяч атмосфер), остаются нагретыми до десятка тысяч
градусов и т. д.
Таким образом, после взрыва образуется огромный объем воздуха
с радиусом порядка сотен метров, нагретый до высоких температур.
В центральных областях температура достигает сотни тысяч градусов,
к периферии она постепенно спадает до тысячи градусов и ниже, вплоть
до нормальной атмосферной температуры.
Зададимся вопросом: какова дальнейшая судьба остаточной энергии
воздуха, необратимо нагретого взрывной волной, и как остывает этот
воздух? Этот вопрос был рассмотрен в работах А. С. Компанейца и авто-
авторов [16, 17].
Ясно, что рассасывание энергии путем молекулярной теплопровод-
теплопроводности не играет никакой роли. При коэффициенте диффузии тепла (темпе-
(температуропроводности) воздуха порядка 1 см2/сек объем с радиусом ~10* см
остывал бы год. Конвективный подъем нагретого шара за счет различия
плотностей холодного и горячего воздуха при одинаковом атмосферном
давлении и связанное с подъемом перемешивание горячего газа с окру-
окружающими массами холодного более существенны. Однако в первые 2—
3 сек после взрыва подъем невелик. Подъем не может превышать вели-
величины gt2/2, где g — ускорение силы тяжести, что составляет 5 м за 1 сек,
20 м за 2 сек, 45 м за 3 сек. Поэтому, интересуясь первыми несколькими
секундами после момента взрыва, можно не учитывать и конвекцию.
Основным процессом, приводящим к охлаждению воздуха и рассея-
рассеянию энергии необратимого нагревания в пространстве, является световое
излучение. Сама возможность лучистого охлаждения является следствием
того, что холодный воздух прозрачен в некотором спектральном «окне»:
в видимой части спектра и прилегающих по соседству областях ультра-
ультрафиолетового и инфракрасного излучения. Именно благодаря существо-
существованию такого «окна» прозрачности соответствующие кванты, излучаемые
нагретым газом, могут беспрепятственно уходить на большие расстояния,
унося за собою энергию из нагретого объема.
Характерной особенностью процесса высвечивания энергии из нагре-
нагретого воздуха является его нестационарность. В этом отношении имеется
принципиальное отличие от похожего, с первого взгляда, процесса излу-
излучения звезд (в частности Солнца, питающего высвечиваемой энергией
нашу планету). В звездах потеря энергии за счет излучения с поверхности
компенсируется притоком энергии изнутри, выделяемой вследствие про-
протекающих в центральных частях ядерных реакций (см. гл. II, § 14).
В результате устанавливается режим, в котором каждый элемент объема
получает столько же лучистой энергии, сколько испускает, и распре-
распределение температуры по радиусу звезды имеет установившийся, стацио-
стационарный (на протяжении обозримых времен) характер.
*) Остаточная температура, грубо говоря, равна Тост ^ Тф A атм/рф )
Для оценки можно взять эффективное значение показателя адиабаты у ^ 1,3.

§ 9].	ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО УСТУПА	487
В рассматриваемом случае никаких источников энергии нет; началь-
начальное распределение температуры определяется предыдущей историей
явления, газодинамикой процесса распространения взрывной волны,
и воздух постепенно остывает за счет того, что энергия уносится излу-
излучением.
Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как протекает процесс
охлаждения, как меняется температура в различных местах нагретого
объема и, наконец, что самое существенное, каковы скорость лучистого
охлаждения и поток излучения с поверхности нагретого тела.
§ 9. Возникновение температурного уступа — волны охлаждения
Основным фактором, определяющим своеобразие процесса, является
крайне резкая температурная зависимость прозрачности воздуха, о кото-
которой уже неоднократно говорилось выше. Если рассматривать температур-
температурную зависимость длины пробега некоторого среднего по спектру излучения,
характерного для данной температуры, скажем, длины пробега квантов
hv, в 3—5 раз превышающих кТ *), и иметь в виду, что при постоянном
давлении, близком к атмосферному, плотность воздуха уменьшается
с возрастанием его температуры, то мы придем к следующим выводам.
Длина пробега квантов меняется от километров при температурах порядка
6000е К до сотни метров при Т ~ 8000° К, десятков метров при Т -~
~ 10 000° К и десятка сантиметров при Т ~ 15 000° К.
Очевидно, поток излучения, выходящего наружу из нагретого объема
с плавным распределением температуры, определяется температурой
того слоя (излучающего), в котором длина пробега имеет порядок харак-
характерных размеров задачи, порядка десятка метров. Наружные, менее
нагретые слои прозрачны и сами- практически не излучают света. Более
глубокие — непрозрачны и рожденные в них кванты не в состоянии уйти
на значительное расстояние. С подобным положением мы уже сталкива-
сталкивались при рассмотрении излучения прогревной зоны воздуха перед разры-
разрывом в очень сильной ударной волне. По аналогии можно и в настоящей
задаче ввести понятие температуры прозрачности Т2, как такой темпе-
температуры, при которой длина пробега света имеет порядок характерного
расстояния, где заметно меняется температура. В отличие от задачи о све-
свечении прогревного слоя, где размеры были Ю-2—Ю-1 см и температура
прозрачности ~ 20 000° К, здесь масштаб порядка 10 метров и темпера-
температура прозрачности Т2 ~ 10 000° К.
Представим себе теперь сферический объем неподвижного воздуха
с плавным в начальный момент распределением температуры, меняющейся
по радиусу от ~ 100 000° К в центре до нескольких тысяч градусов на пе-
периферии, и посмотрим, как меняется это распределение с течением вре-
времени (при этом будем пренебрегать движением воздуха, которое могло бы
возникнуть за счет градиентов давления).
В соответствии со сказанным выше, можно ожидать, что излучать
и охлаждаться начнет слой с температурой порядка температуры про-
прозрачности (Т2 ~ 10 000° К); в следующий момент в плавном вначале
распределении температуры образуется «выемка», как показано ! на
рис. 9.13. В дальнейшем эта «выемка» приобретает вид температурного
уступа, который распространяется в глубь нагретого шара, к центру.
*) Напоминаем, что максимум планковского11 спектра по частоте приходится
на кванты hv = 2,8kT; максимум весовой функции при росселандовом способе усред-
усреднения длины пробега лежит в районе hv я» АкТ.

488
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
\4000004
Рис. 9.13. Возникновение уступа
(волны охлаждения) из непрерыв-
непрерывного распределения температуры и
его распространение в покоящемся
воздухе; t0 < t' < f"< Г.
Один за другим слои воздуха охлаждаются от начальной температуры
до температуры порядка 10 000° К, после чего становятся прозрачными
и практически перестают излучать. Внутренние слои почти не меняют
при этом своей температуры до тех пор, пока к ним не подойдет уступ,
так как в этих слоях длина пробега
света очень мала, и испущенные кванты
тут же поглощаются обратно.
Таким образом, воздух охлаждается
в результате распространения по нему
некоего узкого температурного уступа,
который можно назвать «волной охлаж-
охлаждения». Температура в волне охлаждения
резко (по сравнению с начальным плав-
плавным распределением) падает от началь-
начального значения Ти равного температуре
в том месте, к которому в данный момент
подошла верхняя граница волны, до
нижнего значения — температуры про-
прозрачности Т2, при которой воздух прак-
практически перестает излучать.
Изображая последовательные изме-
изменения распределения температуры на
рис. 9.13, мы отвлеклись от изменения
температуры за счет газодинамического движения, считая воздух непо-
неподвижным. В действительности уступ образуется еще до того, как давление
воздуха падает до атмосферного и движение прекращается, а именно,
когда скорость охлаждения из-
излучением слоя с температурой
~ 10 000° К становится сравни-
сравнимой со скоростью адиабатиче-
адиабатического охлаждения, связанного
с разлетом и расширением воз-
воздуха во взрывной волне. На
более ранней стадии взрыва ско-
скорость адиабатического охлаж-
охлаждения велика и воздух не успе-
успевает высвечивать своей энергии,
так как область температур
~ 10 000° К, при которых мог
бы образоваться уступ, очень
быстро «проскакивается», и воз-
воздух становится прозрачным, так
и не успев потерять заметного
количества энергии на излуче-
излучение. В дальнейшем же, когда
Лагранжева координата
Рис. 9.14. Возникновение и распространение
волны охлаждения в разлетающемся и адиаба-
адиабатически охлаждающемся воздухе; г0 <l'' <
адиабатическое охлаждение по	< t" < t'".
мере падения давления и замед-
замедления разлета уменьшается, на первый план выступает охлаждение излу-
излучением. Оценки показывают, что при взрыве с энергией Е = 1021 эрг уступ
за фронтом ударной волны начинает выявляться в слое с Т ~ 10 000° К
в момент ?~10-2 сек, когда температура на фронте порядка 2000° К,
а давление порядка 50 атм (давление во взрывной волне мало меняется
от фронта к центру, см. § 25 гл. I).

§ 10]	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС И СКОРОСТЬ ВОЛНЫ ОХЛАЖДЕНИЯ	489
С учетом адиабатического охлаждения картина распределений тем-
температуры в воздухе, по которому распространяется волна охлаждения,
изображена на рис. 9.14. По оси абсцисс отложена не эйлерова, а лагран-
жева координата, т. е. рис. 9.14 показывает, как меняется температура
данных частиц воздуха и как распространяется волна охлаждения не по
пространству, а по «массе» газа.
§ 10. Энергетический баланс и скорость распространения
волны охлаждения
Волна охлаждения бежит по воздуху, практически не возмущенному
излучением. Температура газа к моменту подхода верхней границы уступа
определяется только предыдущей историей процесса и гидродинамическим
движением (если таковое существует). Это объясняется тем, что при тем-
температурах порядка десятков тысяч градусов и градиентах температуры
порядка тысячи градусов на метр, которые имеют место в начальном
распределении, лучистая теплопроводность слишком мала для того, чтобы
создать сколько-нибудь заметный поток энергии в непрозрачной области,
к которой еще не подошла волна охлаждения. Лучистая теплопроводность,
коэффициент которой пропорционален росселандовой длине пробега
I (T) и кубу температуры *), быстро возрастает с увеличением темпера-
температуры и становится существенной лишь в области температур порядка
сотен тысяч градусов, вблизи центра взрыва. Она ограничивает подъем
температуры в центре величиной такого порядка и выравнивает темпера-
температуру вблизи центра.
Коэффициент теплопроводности становится снова большим в области
температур ниже 10 000° К, где длина пробега, резко возрастая с умень-
уменьшением температуры, становится очень большой **). Однако это не озна-
означает, что при низких температурах лучистая теплопроводность также
выравнивает температуру, так как в этой области нагретый воздух стано-
становится прозрачным и понятие теплопроводности вообще теряет смысл —
перенос излучения приобретает существенно иной характер, в частности,
приводящий к образованию волны охлаждения.
Итак, благодаря малой теплопроводности на верхнем краю волны
охлаждения поток энергии излучения, поступающий в волну изнутри,
близок к нулю и не может повлиять на свойства волны. Весь поток излу-
излучения, отводящий энергию частиц воздуха, которые охлаждаются в волне,
генерируется внутри самой волны. Определение этого потока, который
мы обозначим через S2, и составляет основную задачу теории (решению
ее будет посвящен 3-й раздел этой главы). Эта задача представляется
нетривиальной, так как внутри волны имеется весьма резкое распреде-
распределение температуры. Ясно только, что поток заключен в пределах оТ\ >
> S2 > gT^, так как излучающий слой в волне лежит при температурах
ниже верхней Ти при которой воздух совершенно непрозрачен, но выше
нижней Т2, ниже которой воздух прозрачен, не излучает и не охлаж-
охлаждается за счет высвечивания энергии.
Если известен поток S2, то скорость и распространения волны охлаж-
охлаждения по массе, от которой в конечном счете зависит и время охлаждения
*) Напоминаем, что поток энергии, переносимой путем лучистой теплопровод-
теплопроводности, S = — и дТ/дг, где коэффициент лучистой теплопроводности к = 16о* I (Т) Т3/3
(см. § 12 гл. II).
**) I (Т) проходит через минимум при Т ~ 50 000° К, а коэффициент лучистой
теплопроводности, пропорциональный / (Т) Т3, при Т ~ 10 000° К.

490	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
нагретого объема, можно найти из условия энергетического баланса.
Дело в том, что по оценкам волна охлаждения распространяется по невоз-
невозмущенному излучением воздуху со скоростью, меньшей скорости звука.
При этом давление на протяжении тонкого слоя —«фронта» волны —
успевает выравниваться и оказывается
~	¦ч	практически постоянным. Плотность га-
газа автоматически «подстраивается» к из-
изменению температуры так, что, проходя
через волну и охлаждаясь, частица воз-
//	"*	—	—	духа сжимается пропорционально 1/Т
(если считать, что давление р ~ qT).
**¦* Это иллюстрируется рис. 9.15.
	Процесс охлаждения воздуха в вол-
и *- (	Рг	не протекает при постоянном давлении.
I	Если Qi — начальная плотность воздуха
—''	s	в момент подхода волны, то количество
		воздуха, протекающего через 1 см2 по-
*""* верхности фронта в 1 сек, равно Qtu.
Рис. 9.15. Схематическое изображе- Изменение энергии его при охлаждении
ние профилей температуры и плот-	температуры Т, до Т2 есть (при по-
ности газа во фронте волны охлаж-	торш,^ м м« * 2 cljl" ^и^ы ""
дения.	стояннои теплоемкости) Qiucp (Tt — Т2)-
стрелка и показывает направление ско- Это изменение равно, очевидно, энергии,
роста воздуха, втекающего в волну.	ОТВОДИМОЙ ОТ ПОВврХНОСТИ фронта ВОЛНЫ
излучением, т. е. равно потоку 52.
Таким образом, получаем основное уравнение энергетического балан-
баланса на волне охлаждения, которую мы рассматриваем здесь как разрыв:
ri~T2).	(9.5)
Если учесть, что теплоемкость ср не постоянна, то получим более
общее выражение:
S2 = Qiu{wi — w2),	(9.6)
где w — удельная энтальпия воздуха.
адиабаты, то w = r
Если у — эффективный показатель адиабаты, то w = -^—r — и ско-
скорость волны равна
*=±!Г^У	(9.7)
В третьем разделе главы будет показано, что излучение, выходящее
с поверхности волны охлаждения, всегда генерируется на нижнем краю
уступа, независимо от «амплитуды» волны, которую можно характеризо-
характеризовать отношением TJT% или wjw-i, т. е. при сколь угодно высоких темпе-
температурах исходного газа Т^ температура уходящего излучения близка к Т2.
Величина потока Sz определяется в основном температурой прозрач-
прозрачности и приближенно равна
S2 = 2aT\.	(9.8)
Сама температура прозрачности не есть величина строго определен-
определенная. Как уже было сказано выше, она ориентировочно разграничивает
прозрачную и непрозрачную температурные области и находится из усло-
условия, что средняя по спектру длина пробега излучения при температуре,
равной температуре прозрачности, порядка характерного масштаба зада-

§ 111
СТЯГИВАНИЕ ВОЛНЫ ОХЛАЖДЕНИЯ К ЦЕНТРУ
491
чи d, например расстояния, на котором температура воздуха падает от Т2
до достаточно малой величины, скажем, 2000° К.
Когда волна распространяется по расширяющемуся воздуху, этот
масштаб определяется гидродинамикой процесса в целом; он тем меньше,
чем больше скорость адиабатического охлаждения. Если приближенно
описать коэффициент поглощения воздуха больцмановской зависимостью
у. ~ ехр (—I/кТ) с некоторым эффективным значением «потенциала иони-
ионизации» *), то температура прозрачности оказывается только слабо, лога-
логарифмически зависящей от мас-
масштаба d, так же как и от	Таблица 9 5
плотности воздуха, которая и, им/сек при р = 1 атм
входит только в предъэкспо-
ненциальный множитель:
i
I (Т2) = const ehT* = d;
d
, = 4- in
const
1. (9.9)
^\ Tl, °K
Ts, »k\
20 000
50 000
100 000
10 700
2,7
1,8
1,6
9700
2,1
1,4
1,2
9300
1,7
1,1
1,0
Выше уже было сказа-
сказано, что Т2 ~ 10 000° К при
d ~10 м и атмосферном дав-
давлении (при d~ 100 м Т2 ~
¦~ 8000° К; при d~l м Т2 ~ 12 000° К). Таким образом, величина
потока 5*2 = 20^2 меняется в довольно узких пределах и, если рассматри-
рассматривать сильные волны охлаждения с большим перепадом температуры
(Tt > T2, w± > w2), то окажется, что скорость распространения волны
по исходному газу зависит в основном только от давления газа р, неза-
независимо от верхней температуры 7V	¦ • ¦
UfaSn—	при w. > w2.
2 у р	V	1 -*- 2
Для иллюстрации в табл. 9.5 приведены скорости и для атмосфер-
атмосферного давления и нескольких значений Т^ и Т2. Из таблицы видно, что
скорости волны охлаждения порядка 1 км/сек.
§ 11. Стягивание волны охлаждения к центру
Характер охлаждения и зависимость времени охлаждения от разме-
размеров нагретого объема в рассматриваемом случае существенно отличны
от тех, которые имели бы место при растекании тепла механизмом обыч-
обычной теплопроводности. При обычной теплопроводности постепенно про-
происходит подобное понижение температуры всей массы тела, и время
охлаждения тела с радиусом R пропорционально квадрату радиуса
t ~ R2cpq/x, где х — коэффициент теплопроводности. При охлаждении
же излучением по телу бежит волна и время пропорционально первой
степени радиуса t ~ R/u.
Если размеры нагретого тела имеют порядок R — 100 м и давление
порядка атмосферного, то при скорости волны охлаждения и ~ 1 км/сек
*) В действительности, к есть сумма членов типа e~I^kT, где / — потенциалы
ионизации для компонентов, соответствующих фотоэлектрическому поглощению,
и энергии возбуждения для компонентов молекулярного поглощения. Все значения
/ порядка 5—10 эв; если рассматривать не очень большой температурный интервал,
то всегда можно проинтерполировать х (Т) зависимостью типа ехр (— 1/кТ).

492
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
она стягивается от периферии к центру за время t ~ 0,1 сек. За это время
воздух охлаждается от высоких температур порядка десятков и ста тысяч
градусов до температуры прозрачности 7'2 ~ 10 000° К.
Линии распространения волны охлаждения вместе с линиями фронта
ударной волны и границы огненного шара на диаграмме радиус — время
изображены схематически на рис. 9.16.
Волна возникает в момент времени, когда температура на фронте
порядка 2000° К*). Уступ образуется в слое с Т ~ 10 000° К, который
отстоит примерно на 10 м от поверхности фронта. Вначале, пока давле-
давление еще высоко (р ~ 50 атпм в момент зарождения уступа), скорость
распространения волны по массе невелика и несмотря на то, что по массе
волна бежит вглубь, к центру, в пространстве она движется вперед, увле-
увлекаясь быстро разлетающимся воздухом. Постепенно волна замедляется
(в пространстве), затем поворачивает
назад и «схлопывается» в центре.
Точка поворота, определяющая
максимальный радиус поверхности
фронта волны охлаждения, соответ-
соответствует нулевой скорости волны в про-
пространстве, т. е. равенству противо-
противоположно направленных скорости га-
газодинамического разлета частиц воз-
воздуха и скорости распространения
волны по массе.
После прохождения по воздуху,
нагретому взрывом, волны охлажде-
охлаждения его температура повсюду оказы-
оказывается ниже ~ 10 000° К, и весь объем
становится более или менее прозрач-
прозрачным. В дальнейшем охлаждение из-
излучением идет значительно медлен-
медленнее и имеет объемный характер,
т. е. каждая частица испускает свет в соответствии со своей лучеиспуска-
лучеиспускательной способностью, и этот свет почти без поглощения уходит от места
взрыва на большие расстояния. Конечно, объем не полностью прозрачен
и какая-то доля излучения застревает по пути в наружных слоях, т. е.
происходит некоторое перекачивание энергии из центральных областей
в периферийные. В частности, этому способствует двуокись азота, содер-
содержащаяся в наружных слоях с температурами 3000—1000° К (которые
ранее в ударной волне были нагреты до температуры выше 2000° К).
Подобное же перекачивание энергии происходит и во время про-
прохождения волны охлаждения, так как поток излучения, выходящий
с поверхности волны, частично поглощается в «прозрачных» (а в действи-
действительности не вполне прозрачных) периферийных слоях. В ультрафиоле-
ультрафиолетовой области спектра вообще поглощение сильно и ультрафиолетовые
кванты поглощаются вблизи фронта волны. Это, однако, не вносит суще-
существенных изменений во всю описанную выше качественную картину
охлаждения воздуха волной, основанную на предположении о высокой
степени прозрачности при температурах ниже Tz, так как в области
Рис. 9.16. Линии фронта ударной волны
Ф.У.В., границы огненного шара
О.Ш. и фронта волны охлаждения
В.О. на диаграмме ?• t.
Примерные масштабы относятся к энергии
взрыва ?« ю" зрг.
*) Несмотря на приближенное совпадение моментов возникновения волны
охлаждения и отрыва фронта ударной волны от границы огненного шара, непосред-
непосредственной физической связи между этими двумя совершенно различными явлениями нет.

§ 12]	ИСКРОВОЙ РАЗРЯД В ВОЗДУХЕ	493
сильного поглощения с длинами волн К < 2000 А содержится меньше
4% энергии спектра, соответствующего температуре 10 000° К.
Не следует думать, что после момента «схлопывания» волны охлаж-
охлаждения в центре охлажденный воздух перестает светиться и что поверх-
поверхность волны охлаждения на той стадии, когда она еще существует, и яв-
является границей огненного шара. Воздух, прошедший через волну охлаж-
охлаждения, излучает вполне достаточно для того, чтобы ярко светиться даже
тогда, когда энергетический эффект испускания становится малым и даль-
дальнейшее охлаждение прекращается.
Волна находится внутри огненного шара и схлопывается к центру,
оставляя за собой еще достаточно сильно нагретый и ярко светящийся
воздух. Границей огненного шара (т. е. границей свечения) служат на
поздней стадии взрыва слои с температурами порядка 2000—3000° К,
которые охлаждаются излучением чрезвычайно медленно. После того
как давление становится равным атмосферному и движение практически
прекращается, эти слои оказываются практически неподвижными. Гра-
Граница огненного шара сначала движется вперед от центра вместе с разле-
разлетающимся воздухом, а затем тормозится и останавливается, как пока-
показано на рис. 9.13.
Приближение волны охлаждения к центру сопровождается некото-
некоторым оттоком массы воздуха от периферии к центру, так как волна остав-
оставляет за собой резко охлажденные частицы, а охлаждение при постоянном
давлении сопровождается сжатием. Например, если вначале в центре
температура была 100 000° К, а после «схлопывания» волны стала 10 000° К,
причем давление в момент схлопывания не изменилось (осталось равным
атмосферному), то плотность воздуха в центре повышается при этом
в несколько десятков раз, что происходит за счет оттока масс к центру.
Этот отток, однако, не сказывается на далеких от центра слоях со срав-
сравнительно низкими температурами порядка 2000—3000° К, так что поло-
положение границы огненного шара остается неизменным.
На этом мы закончим рассмотрение процесса охлаждения воздуха
в целом, закономерностей распространения волны охлаждения и свече-
свечения огненного шара, т. .е. рассмотрение «макроскопической» картины *).
В следующем разделе мы займемся изучением внутренней структуры
волны охлаждения, подобно тому как в газодинамике, наряду с изуче-
изучением общих течений газа с ударными волнами, занимаются исследова-
исследованием «микроскопической» картины — внутренней структуры фронта
ударной волны. Именно рассмотрение внутреннего строения волны охла-
охлаждения позволяет найти важнейшую характеристику волны — поток
излучения с поверхности волны.
§ 12. Искровой разряд в воздухе
Гидродинамические явления взрывного характера возникают в воз-
воздухе и при искровых разрядах. Эти явления исследовали С. Л. Мандель-
Мандельштам и его сотрудники [19—24]. Общая картина процесса такова. В воз-
воздушном разрядном промежутке между электродами сразу после про-
пробоя образуется тонкий токопроводящий канал. В этом канале за счет
*) Заметим, что волна охлаждения образуется и в оболочках сверхновых звезд
после выхода ударной волны на поверхность. Это было показано В. С. Имшенником
и Д. К. Надежиным [18], которые численно решали задачу о разлете массивной звезды
в результате выделения большой энергии в центре звезды.

494
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
выделения джоулева тепла воздух нагревается до температур порядка не-
нескольких десятков тысяч градусов и сильно ионизуется (не менее чем
однократно). Благодаря повышению давления канал расширяется и дей-
действует на окружающий воздух как поршень, посылая в него цилиндри-
цилиндрическую ударную волну *).
На ранней стадии распределения плотности воздуха по радиусу имеют
характер, свойственный цилиндрическому взрыву. В работе [22] распреде-
распределение плотности в последовательные моменты времени измерялось интер-
ферометрическим методом. Типичная эволюция показана на рис. 9.17
(в этом опыте электрические пара-
параметры контура имели следующие
значения: С = 0,2Ъмкф, L = 2мкгн,
V = 10 кв; длина разрядного про-
промежутка 5 мм). Как видно из
рисунка, вначале ударная волна
еще довольно сильна (скорость око-
около 2 км/сек) и распределение плот-
плотности соответствует течению при
сильном взрыве. На более поздней
стадии волна ослабевает и начи-
начинает сказываться противодавление
воздуха перед ударной волной (см.
§ 27 гл. I). При этом в перифе-
периферийной части взрывной волны
плотность не сильно отличается
от нормальной, а в центральных
областях плотность очень мала.
Поскольку давление во взрывной
волне выравнено по пространству,
в центральных областях очень вы-
высока температура. Эта централь-
центральная, сильно разреженная и высоко-
высокотемпературная область и является
токопроводящим каналом. Средняя
плотность воздуха в канале составляет примерно 10~3 от плотности не-
невозмущенного воздуха, а средняя температура-—примерно 40 000° К.
Такой же результат дают и спектроскопические измерения. (Термо-
(Термодинамическое равновесие в канале устанавливается довольно быстро
[23, 24], так что спектроскопические методы позволяют определить дей-
действительную температуру газа.)
Теория взрывной волны, возникающей при искровом разряде, была
развита С. И. Драбкиной [20]. Надо сказать, что течение несколько
отличается от того, которое имеет место при мгновенном выделении энер-
энергии, так как в данном случае время выделения джоулева тепла в канале,
которое определяется полупериодом разряда, сравнимо с временем,
в течение которого наблюдается ударная волна. Это было учтено в работе
[20]. Скорость энерговыделения, входящая в найденный закон движения
ударной волны, при этом бралась из эксперимента. В работе С. И. Бра-
Брагинского [25] рассматривается теоретически не только движение воздуха,
но и механизм разряда с учетом проводимости и расширения искрового
/ 23456789
г, мм
Рис. 9.17. Распределение плотности возду-
воздуха по радиусу искры. Кривые 1—5 отно-
относятся к следующим моментам времени:
1,0; 1,7; 2,9; 5,6; 9,8 мксек.
*) После того как ударная волна проходит расстояние, превышающее длину
канала, ее форма постепенно приобретает черты сферичности.

§ 13]	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ	495
канала. Это дает возможность связать параметры ударной волны непо-
непосредственно с законом нарастания разрядного тока.
Явления, подобные исследованным в лаборатории, но в значительно
больших масштабах, происходят при грозе. Молния представляет собою
тот же искровой разряд, а гром производится образующейся при этом
ударной волной, которая на больших расстояниях вырождается в аку-
акустическую. Ю. Н. Живлюк и С. Л. Мандельштам [26] спектроскопиче-
спектроскопическими методами измерили среднюю температуру в канале молнии, кото-
которая оказалась равной примерно 20 000°К. Это значение согласуется с вы-
вычислениями, основанными на формулах [25], если в качестве типичных
значений тока и времени принять 30 ка и 100—1000 мксек (радиус канала
молнии ~ 10 см). Оцененные давления на фронте ударной волны ока-
оказались такими, что на расстояниях порядка нескольких метров «гром»
может производить значительные разрушения.
3. СТРУКТУРА ФРОНТА ВОЛНЫ ОХЛАЖДЕНИЯ
§ 13. Постановка задачи
До сих пор, говоря о волне охлаждения, мы рассматривали ее как
некий разрыв, в котором температура газа претерпевает резкий скачок.
При этом указывалось условие энергетического баланса, эквивалентное
соотношению, описывающему сохранение полного потока энергии при
протекании газа через разрыв, подобно тому как это делается при рас-
рассмотрении ударных волн. В отличие от ударных волн, здесь достаточно
было сформулировать только одно энергетическое соотношение, так как
движение в волне охлаждения дозвуковое и изменением давления при
переходе через фронт волны можно пренебречь (в этом отношении волна
охлаждения подобна фронту медленного горения). Такое «макроскопи-
«макроскопическое» рассмотрение не позволяет сделать никаких заключений отно-
относительно важнейшей величины, определяющей скорость волны, потока
излучения S2, который уходит с фронта волны на «бесконечность». Для
нахождения потока S2 необходимо исследовать внутреннюю структуру
переходного слоя фронта волны, т. е. найти непрерывное решение урав-
уравнений, описывающих перенос излучения в волне. Это было сделано
в уже цитированных работах [16, 17].
Отвлекаясь от конкретных размеров и формы охлаждающейся массы
газа, будем искать решение нестационарных уравнений лучистого тепло-
теплообмена в виде Т (х — ut), соответствующем плоской волне, которая рас-
распространяется с постоянной скоростью и по газу с заданными значе-
значениями температуры и плотности Т±, gt.
Скорость и сама должна быть найдена из уравнений, наподобие опре-
определения скорости пламени в горючей смеси.
На самом деле уравнения не имеют точного решения вида Т (х — ut).
По мере распространения волны увеличивается толщина слоя охлажден-
охлажденного газа, в котором поглощение света хотя и мало, но все же отлично
от нуля, и температура прозрачности, определенная соотношением
I (T2) = d, где под d можно подразумевать толщину охлажденного слоя,
уменьшается с течением времени.
В неограниченной среде при обратной зависимости длины пробега
от температуры температура прозрачности вообще оказывается равной
нулю, так как слой газа, охлажденный до сколь угодно низких темпера-
температур, из-за своей бесконечной протяженности оказывается совершенно

496	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
непрозрачным даже при огромной длине пробега излучения; поток излу-
излучения с фронта волны при этом равен нулю и режима волны охлаждения,
в строгом смысле слова, вообще не существует. До некоторой степени
аналогичная ситуация имеет место в теории стационарного распростра-
распространения пламени. Если не предполагать, что скорость химической реак-
реакции в несгоревшей смеси тождественно равна нулю, несмотря на то, что
в действительности скорость конечна, хотя и исчезающе мала, смесь сго-
сгорит раньше, чем к ней подойдет фронт пламени.
Этот момент, принципиальный в случае неограниченной среды, соз-
создает лишь кажущуюся трудность в реальных условиях. Ведь на самом
деле нагретая и, следовательно, охлажденная волной область всегда
ограничена, температура прозрачности только логарифмически зависит
от размеров охлажденной области, т. е. слабо меняется с увеличением
пройденного волной расстояния, будучи заключенной для реальных тел
в весьма узких пределах. Дополнительная, очень медленная зависимость
решения от времени Т (х — ut, t) возникает лишь на самом нижнем,
сильно растянутом краю волны, в области уже охлажденного, почти про-
прозрачного газа. Существование адиабатического охлаждения в случае,
когда волна распространяется по расширяющемуся газу, делает эту
дополнительную зависимость еще менее существенной, так как воздух,
прошедший через волну, охлаждается за счет расширения до низких
температур и быстро «проскакивает» температурную область, в которой
он еще не вполне прозрачен.
Дополнительная, медленная зависимость от времени Т (х — ut, t)
будет существовать лишь в области чисто адиабатического охлаждения
и почти не будет влиять на профиль температуры в самой волне.
Чтобы найти распределение температуры внутри фронта волны охлаж-
охлаждения, которым в свою очередь определяется и поток S2, следует, как
это обычно делается в теории режимов, проиллюстрированной в гл. VII
на примере ударной волны, рассмотреть плоский стационарный процесс
в системе координат, связанной с фронтом.
Чтобы избавиться от указанной выше трудности и сделать задачу
стационарной, т. е. перейти от истинного решения Т (х — ut, t) к идеа-
идеализированному Т (х — ut) (в лабораторной системе координат), можно
воспользоваться одним из двух формально искусственных, но в силу
сказанного физически совершенно оправданных приемов, отвечающих
реальному положению вещей.
Можно, во-первых, ввести в энергетическое уравнение дополнитель-
дополнительный постоянный член А, играющий роль адиабатического охлаждения.
Величина А задает постоянный масштаб d, определяющий температуру
прозрачности Т2, и ограничивает поглощение в охлажденной излучением
области, делая оптическую толщину этой области конечной.
Можно, во-вторых, не учитывать адиабатического охлаждения, но
зато с самого начала ввести температуру прозрачности Т2, на основе
оценки типа (9.9), и положить формально, что при Т < Т2 среда абсо-
абсолютно прозрачна (длина пробега I = сю). Тогда газ будет охлаждаться
только до температуры Т2, после чего испускание, пропорциональное
и = ill, и дальнейшее охлаждение прекратятся.
Поскольку движение газа в волне охлаждения дозвуковое (об этом
свидетельствуют оценки), кинетической энергией потока газа можно
пренебречь по сравнению с тепловой. При этом уравнение энергии
в текущей точке х внутри волны записывается в общем случае с учетом
дополнительного члена, описывающего адиабатическое охлаждение,

§ 13]	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ	497
в виде
Если не предполагать теплоемкость постоянной, это уравнение удобно
записать через удельную энтальпию газа:
dw dS	.	/п л л\
u^lte+-dV=-A-	(9Л1>
Здесь S — поток энергии излучения в точке х волны (в силу сохранения
потока массы qu (х) = рди, где и — скорость волны, равная скорости
втекания газа в волну, Qj — исходная плотность газа, a q и и (х) — вели-
величины в текущей точке х.
Направления потока, оси х и скорости показаны на рис. 9.15, где
схематически изображен перепад температуры во фронте волны. Газ
втекает в волну слева направо, волна же распространяется по невозму-
невозмущенному газу справа налево. Перед волною, при х = — оо, темпера-
температура имеет заданную величину Т = Ту, а поток S = 0, в соответствии
со сделанным в § 10 замечанием о том, что лучистая теплопроводность
в высоко нагретом газе несущественна и поток в этой области мал. Поток
излучения S меняется при возрастании а; от — оо до + оо от нуля до
величины Szi равной потоку, уходящему с фронта волны на «бесконеч-
«бесконечность».
Если не учитывать адиабатическое охлаждение, а предполагать
температуру прозрачности Т2 заданной (второй прием), то уравнение
энергии (9.11) дает интеграл
S = uQi'(wi — w).	(9.12)
Здесь постоянная интегрирования выражена через энтальпию исходного
газа Wj = w {Ti), в соответствии с граничным условием х = — оо, Т = Ti,
S = 0. Будучи примененным к нижней точке волны, где Т = Т2, а поток
равен потоку, уходящему на бесконечность S = S2, интеграл энергии
(9.12) приводит, как и следовало ожидать, к уравнению энергетического
баланса (9.6), связывающему значения величин по обе стороны фронта
волны, если последний рассматривать как разрыв.
К уравнению энергии необходимо присоединить уравнение переноса
излучения, которым определяется поток S. Будем, как и при рассмотре-
рассмотрении структуры фронта ударной волны с учетом излучения (см. гл. VII,
раздел 3), описывать перенос излучения в диффузионном приближении.
Кроме того, введем, как и раньше, некоторую среднюю по спектру
длину пробега квантов I. Уравнения диффузионного приближения записы-
записываются тогда в виде
где U — истинная плотность излучения, a Up — равновесная, соответ-
ствующая температуре вещества в точке х: Uv =	 .
Как будет показано ниже, плотность излучения в значительной
части волны близка к равновесной. В этих условиях, как известно (см.
§ 12 гл. II), спектральная длина пробега 1Ч усредняется по Росселанду.
В области сильно охлажденного воздуха локального равновесия уже нет
32 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

498	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
и росселандов способ усреднения не годится. Способ усреднения, однако,
не может внести качественных изменений в результаты рассмотрения,
так как экспоненциальный больцмановский множитель типа е1^7,
эффективным образом описывающий основную температурную зависи-
зависимость длины пробега, сохраняется при любом усреднении, а от предъэкспо-
ненциального множителя, который, конечно, меняется при перемене
способа усреднения, все эффекты в волне зависят очень слабо, логариф-
логарифмически, как и температура прозрачности Т2. Поэтому для простоты
мы будем подразумевать всегда под I (T) росселандов пробег.
В уравнениях (9.13), (9.14) удобно перейти к оптической координате т,
которую будем отсчитывать от точки х = + оо, где газ прозрачен и I = оо
(ось т направлена противоположно оси х):
, _ dx_		? dx Г dx
ах — —, т —
При этом уравнения (9.13), (9.14) принимают форму
i^=_c(C/p—C7),	(9.15)
К уравнениям переноса излучения нужно присоединить граничные
условия. На верхнем краю волны при т = оо, как уже было сказано выше,
т = оо, S = 0, T = TV	(9.17)
На нижнем краю волны, который является границей между погло-
поглощающей и абсолютно прозрачной средами (вакуумом), следует подчинить
поток и плотность излучения известному диффузионному условию на
границе среды с вакуумом (см. формулу B.66)):
т = 0, S2 = ^.	(9.18)
Уравнения переноса излучения вместе с уравнением энергии и гра-
граничными условиями полностью определяют структуру фронта волны,
поток Sz и скорость и.
§ 14. Поток излучения с поверхности фронта волны
Практический интерес представляют главным образом сильные
волны охлаждения, в которых газ, охлаждаясь от исходной температуры
Тх до температуры прозрачности Т2, высвечивает значительную долю
своей энергии: Тх > Т2. Слабые волны, где различие между Tt и 7\
мало *), интересны в основном с методической точки зрения, постольку,
поскольку в этом случае удается получить точное аналитическое решение
уравнений. Ясно, что в слабой волне поток излучения с фронта ?2,
заключенный в интервале аТ\ > S2 > вТ%, определен довольно точно
*) При этом, однако, несмотря на близость Тц и Т2, предполагается, что темпе-
температурная зависимость длины пробега I (Т) настолько резкая, что I (Tt) <С I (Т2).
Последнее является условием самого существования волны охлаждения.

§ 141	ПОТОК ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОВЕРХНОСТИ ФРОНТА ВОЛНЫ	499
в силу близости крайних значений, поэтому вопрос о потоке, являющийся
главным, фактически не возникает: S2 f& oT\ « оТ\. Аналитическое
решение для слабой волны можно найти в работе [16]; здесь мы на нем
останавливаться не будем и перейдем прямо к рассмотрению сильной
волны охлаждения.
В предыдущем параграфе было указано, что для нахождения стацио-
стационарного режима необходимо воспользоваться одним из двух приемов:
либо ввести в энергетическое уравнение постоянный член адиабатиче-
адиабатического охлаждения, либо с самого начала определить температуру прозрач-
прозрачности Т2, и считать, что при Т < Т2 газ абсолютно прозрачен (I = оо),
тем самым исключив из рассмотрения уже охлажденную излучением
область, которая поглощает свет очень слабо. Первый прием дает более
полную картину распределения температуры, так как позволяет иссле-
исследовать ход температуры в охлажденном воздухе и учесть слабое погло-
поглощение в нем. Однако он приводит к излишним математическим усло-
усложнениям при рассмотрении профиля температуры внутри самой волны
(при температурах выше температуры прозрачности) и определении
потока, уходящего с фронта волны на бесконечность. Между тем внутри
волны адиабатическое охлаждение мало по сравнению с охлаждением
за счет излучения, поэтому предпочтительнее исследовать внутреннюю
структуру волны, воспользовавшись вторым приемом. В § 16 будут
отмечены некоторые особенности режима1, связанные с существованием
адиабатического охлаждения.
В отсутствие адиабатического охлаждения интеграл энергетического
уравнения дается формулой (9.12), которую мы перепишем, полагая для
простоты теплоемкость постоянной:
S^uQppiTt-T).	(9.19)
Задача состоит в решении системы уравнений (9.15), (9.16), (9.19)
вместе с граничными условиями (9.17), (9.18).
Прежде чем исследовать эту систему, попытаемся оценить поток
излучения S2, уходящий с фронта, исходя из самых общих физических
соображений. Это рассмотрение подскажет нам и то приближение, которое
можно сделать при решении системы уравнений и нахождении профиля
температуры в волне.
В силу самой постановки задачи температура ни в одной точке волны
не может быть ниже температуры прозрачности Т2, так как, охладившись
до температуры Т2, газ перестает поглощать и испускать излучение,
и дальнейшее охлаждение прекращается. Следовательно, Т2 есть наи-
наименьшая температура в волне и вблизи нижнего края волны температура
растет по мере удаления от границы с «вакуумом»— с абсолютно про-
прозрачной областью, где Т = Т2 и I = оо. Таким образом, на нижнем
краю при т = 0 -зг> 0. Из энергетического уравнения (9.19) следует,
что поток при удалении от нижнего края в глубь волны уменьшается,
т. е. при т = 0 dSIdx ^ 0. Уравнение «непрерывности» излучения (9.15)
свидетельствует о том, что при этом плотность излучения на нижнем
краю волны не выше равновесной U2 <; UvZ = -^—2 (дивергенция потока
dS/dx не отрицательна; вещество не нагревается излучением). В диффу-
диффузионном приближении поток на границе среды с вакуумом связан с плот-
плотностью излучения условием (9.18) : S2 = cU2/2. Замечая, что U2 < UpZ>
32*

500	СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ	[ГЛ. IX
получим, что поток S2 ограничен сверху величиной 2стГ*. Действительно,
_ cU2
2— ~
С другой стороны, эффективная температура излучения Т3ф, опре-
определяемая равенством ?2 = оТ^ф, совпадает с некоторой средней темпера-
температурой излучающего слоя и, следовательно, не может быть ниже Т2, так
как температура вещества в излучающем слое, как и в любой другой
точке волны, всегда выше, чем Т2. Отсюда следует, что S2 > oT\, и поток
Sz, уходящий с фронта волны на бесконечность, оказывается заключенным
в весьма узких пределах:
(9.20)
2.	(9.21)
Таким образом, независимо от амплитуды волны, при сколь угодно
высоких начальных температурах Tt излучает всегда самый нижний
край волны, и поток излучения с поверхности фронта волны соответствует
температуре, близкой к Тг. Ни в коем случае не следует думать, что здесь
сыграло какую-то роль принятое нами для описания переноса излучения
диффузионное приближение, приводящее к граничному условию (9.18).
В самом деле, диффузионное условие (9.18) соответствует предположению
о том, что кванты, выходящие из среды в вакуум, распределены по углам
изотропно, а :из вакуума в среду кванты не поступают (в вакууме нет
источников света).
Даже если бы мы приняли другое крайнее предположение о том, что
имеется резко выраженная анизотропия излучения на границе с вакуу-
вакуумом и все кванты выходят из среды нормально к ее поверхности, диф-
диффузионное условие (9.18) сменилось бы условием S2 = cU2, что привело бы
к неравенствам аТ\ <. S2 < 4а71*, Т2 < Тъ$ < \f^kT2, отличающимся
от (9.20), (9.21) несущественным численным множителем.
В действительности ограничение потока S2 < 2аТ\ связано со ста-
стационарностью режима охлаждения, в силу которой профиль температуры,
полностью определяющий поток, не может быть произвольным и уста-
устанавливается вполне определенным образом в соответствии с уравне-
уравнениями режима.
Из неравенства (9.21) вытекает важное следствие, которое позволяет
решить всю задачу о структуре фронта, описываемую нелинейными урав-
уравнениями, простейшим способом. Излучение нагретого тела, граничащего
с прозрачной средой (или вакуумом), генерируется в основном в слое
около поверхности тела, имеющем оптическую толщину порядка единицы
или нескольких единиц (кванты, рожденные в более глубоких слоях,
не в состоянии выйти наружу, почти полностью поглощаясь по пути).
Эффективная температура излучения совпадает с некоторой средней
температурой этого излучающего слоя. Но в силу неравенства (9.21)
эффективная температура очень близка к температуре нижнего края
волны Тг. Значит, температура вещества за точкой х = 0, где Т — Т2,
меняется очень мало на оптическом расстоянии порядка нескольких еди-
единиц в глубь волны. Это позволяет сделать следующие заключения.
В сильной волне охлаждения, в которой 2\ > Т2, поток излучения
на нижнем краю волны, в излучающем слое, мало меняется и почти
постоянен. В самом деле, при изменении температуры на ДГ ^ Г2 поток
меняется на величину

§ 15] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ВО ФРОНТЕ СИЛЬНОЙ ВОЛНЫ	501
а при Tt > Тг сам поток в точке т = 0, Т — Т2 равен приближенно S2 &
(см. (9.19)). Следовательно,
Поскольку поток на нижнем краю сильной волны почти постоянен,
ситуация вполне аналогична положению в фотосферах стационарных
звезд, где поток излучения есть строго постоянная величина. Таким
образом, задача определения связи потока S2 с температурой прозрач-
прозрачности Т2 (температурой на границе среды с вакуумом) в пределе сильной
волны эквивалентна известной проблеме Милна (см. § 15 гл. II). Она
имеет точное решение при строгом учете углового распределения излу-
излучения
^arv	(9.22)
лишь немного отличающееся от решения в диффузионном приближении:
S2 = 2вТ\.	(9.23)
Отсюда, кстати сказать, видно, что в рамках диффузионного при-
приближения величина потока Sz в пределе сильной волны совпадает с верх-
верхней границей неравенства (9.20).
§ 15. Распределение температуры во фронте сильной волны
Тот факт, что температура мало меняется на протяжении излучаю-
излучающего слоя с оптической толщиной порядка нескольких единиц, свиде-
свидетельствует о существовании локального равновесия излучения с веще-
веществом. Относительное отклонение плотности излучения на нижнем краю
волны от равновесной тем меньше, чем сильнее волна, т. е. чем больше
отношение TJT2. Действительно, из уравнения (9.15) следует, что
P—и
Но в силу сказанного выше
dS 	 \&S\ „ Т2
так как | AS \ ~ S2T2ITi есть изменение потока на протяжении оптиче-
оптического расстояния Ат—'1. Следовательно, относительное отклонение плот-
плотности излучения от равновесной в сильной волне
Р2	—г— 2	2	¦* 2 /<- \
Можно показать, что при удалении в глубь волны от ее нижнего
края относительное отклонение, т. е. степень неравновесности излучения,
только уменьшается, так что если волна достаточно сильная и отклоне-
отклонение на нижнем краю мало, то условие локального равновесия выпол-
выполняется на всем протяжении волны*). Таким образом, уравнения, опи-
описывающие структуру фронта сильной волны охлаждения, можно решать
*) Это доказывает, между прочим, что в случае сильной волны в качестве длины
пробега излучения можно пользоваться росселандовым средним.

502
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
в приближении лучистой теплопроводности, полагая
с dUv ^ 1боГ3 dT
^ ~1х~~"~~3~~1х~ '
Комбинируя это уравнение с выражением (9.19), получим уравнение
для функции Т (т), которое интегрируется в квадратурах.
На нижнем краю волны получаем приближенную форму решения,
которая, естественно, совпадает с диффузионным решением проблемы
Милна, так как поток б1?» const (см. § 15 гл. И):
i '
(9.24)
Асимптотический профиль температуры на верхнем краю сильной
волны имеет вид
X
Г = Г1A-е~ти), т»тк,	(9.25)
где величина тк, которая может рассматриваться как эффективная опти-
оптическая толщина волны, зависит только от амплитуды волны:
8
Оптическая толщина волны резко возрастает с увеличением отношения
TJT2. Мы не будем приводить здесь общего выражения для профиля
ТХ
3
0,6
0,4
0,2
2
1
0
2/0*
0,4 0,3
0,1
Рис. 9.18. Распределение температу-
температуры по оптической координате в волне
охлаждения с Т2/Т± = 5; тк = 1670.
Рис. 9.19. Распределение тем-
температуры по геометрической
координате на нижнем краю
волны охлаждения; Т2 =
= 10 000° К.
Т (т), которое на нижнем и верхнем краях упрощается, приобретая формы
(9.24) и (9.25) (см. [17]), а изобразим профиль температуры на графике.
Рис. 9.18 относится к случаю TJT2 = 5, тк = 1670.
Зная профиль Т (х) и длину пробега в зависимости от температуры,
легко найти распределение температуры по геометрической координате
X
с помощью определения — х = \ I (T) dx *).
*) Поскольку на самом деле I (Т2) фсо, температура на нижнем краю стремится
к величине Т2 не асимптотически, а с отличным от нуля наклоном. Поэтому начало
координат х = 0 можно поместить в точку, где т = 0, Т = Т2.

§ 16]	УЧЕТ АДИАБАТИЧЕСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ	503
На рис. 9.19 представлено распределение температуры Т (х) на ниж-
нижнем краю волны для случая больцмановской зависимости I (Т) =
= const exp (IIkT). В качестве масштаба длины принята величина
1г = I (Т2); температура прозрачности взята равной Т2 = 10 000° К.
Рис. 9.19 показывает, что волна имеет вид уступа. На самом деле больц-
мановская зависимость I (T), обеспечивающая резкий уступ температуры
в волне, имеет место только до температур 30 000—40 000° К, пока не
начинается многократная ионизация газа. При более высоких темпера-
температурах длина пробега проходит через минимум и начинает расти с воз-
возрастанием температуры. Поэтому верхний
край достаточно сильной волны с Т± ~ —у
— 50 000—100 000° К сильно растягивается '
(при I = const профиль Т (х) на верхнем
краю совпадал бы с профилем Т (т)) по фор-
формуле (9.25). Примерное распределение тем-
температуры в волне с Ti = 40 000° К показа-
но на рис. 9.20.
Если отвлечься от растянутости верхнего Рис> 9-20> ПР°ФИЛЬ темпера-
r	J	r	туры в волне охлаждения,
края волны, которая несущественно сказы-	г
вается на режиме охлаждения воздуха (так
как поток и дивергенция потока, определяющая охлаждение на верхнем
краю, очень малы), то геометрическая ширина уступа составит, как видно
из рис. 9.19, несколько десятых долей длины пробега 1{Т2). При Т2 ~
~ 10 000° К и l2 ~ 10 м ширина волны оказывается порядка нескольких
метров, т. е. волна охлаждения, распространяющаяся по большому
объему воздуха радиусом в сотню метров, действительно узкая и может
рассматриваться как разрыв температуры и плотности вещества (но не
давления, которое меняется мало на протяжении волны).
§ 16. Учет адиабатического охлаждения
В предыдущих параграфах путем искусственного обрезания погло-
поглощения при температуре прозрачности Т2 (I = оо при Т < Т2) была исклю-
исключена из рассмотрения область охлажденного воздуха с температурами
ниже температуры прозрачности. В действительности в этой области
поглощение хотя и мало, но все же конечно, поэтому естественно поинте-
поинтересоваться тем, как ведет себя температура в зоне охлажденного газа
и что происходит с потоком излучения, выходящим с фронта волны. Про-
Процесс в этой области является существенно нестационарным, он зависит
от конкретных условий: размеров, гидродинамического движения, меха-
механизмов поглощения света. Мы рассмотрим здесь тот практически важный
случай, когда волна охлаждения распространяется не по неподвижному,
а по расширяющемуся воздуху, и воздух, охлажденный излучением,
продолжает охлаждаться адиабатически. Адиабатическое охлаждение
быстро выводит воздух в температурную зону полной прозрачности, кото-
которая уже не оказывает никакого влияния на режим волны охлаждения.
На протяжении сравнительно небольшого времени, пока адиабатически
охлаждающийся воздух еще сколько-нибудь заметно поглощает свет, ско-
скорость адиабатического охлаждения меняется мало. Поэтому процесс
с адиабатическим охлаждением приближенно можно считать стационар-
стационарным и описывать его энергетическим уравнением (9.10) с постоянным
членом А. Интеграл этого уравнения:
= — Ах + const.	(9.26

504
СВЕТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УДАРНЫХ ВОЛНАХ
[ГЛ. IX
Константа интегрирования здесь произвольна, так как она определяется
просто выбором начала отсчета координаты х; ее можно положить равной
нулю.
На верхнем краю волны при х-*- — оо поток S -*¦ 0. Может пока-
показаться, что это искусственно налагаемое условие противоречит факту
существования градиента температуры, связанного с наличием адиаба-
адиабатического охлаждения. Однако предполагается, что длина пробега I (T)
столь быстро убывает с ростом тем-
dT
пературы, что S ~ — I (T) Ts — стре-
стремится к нулю при Т -*- оо, что физически
оправдано, так как поток лучистой те-
теплопроводности изнутри, из зоны го-
горячего воздуха, очень мал. На нижнем
краю волны при х -у- + оо поток стре-
стремится к постоянной величине So — по-
потоку, уходящему на бесконечность *).
Поэтому температура в волне при х —у-
-^ -J- оо асимптотически стремится к
двум прямым:
= —Ах
Рис. 9.21. Профиль температуры в
волне охлаждения при учете адиаба-
адиабатического охлаждения.
при
при
¦-(-00.
Эти прямые сдвинуты по ординате на величину So (на рис. 9.21 сдви-
сдвинуты на отрезок So/uQiCp). Задача заключается в определении этой вели-
величины So. Мы не будем излагать здесь математического решения (см. [17]),
ограничимся качественным рассмотрением
хода процесса.
Проследим за последовательным изме-
изменением состояния частицы газа, вступаю-
вступающей в волну охлаждения, т. е. будем
продвигаться из — оо в положительном
направлении оси х (рис. 9.21). Сначала,
при очень больших температурах, лучи-
лучистая теплопроводность ничтожна, и части-
частица охлаждается чисто адиабатически, тем-
температура ее понижается вдоль верхней
прямой. Затем частица начинает все боль-
больше и больше охлаждаться излучением
и температура ее спускается ниже верхней
прямой. Плотность излучения в частице при этом меньше равновесной
(частица испускает света больше, чем поглощает), и поток излучения
в ней растет.
В этой стадии скорость лучистого охлаждения значительно больше-
скорости адиабатического, и температура круто падает (частица про-
проходит через волну охлаждения). Так продолжается до тех пор, пока
частица не охладится до столь низкой температуры, что скорость лучи-
лучистого теплообмена не станет меньше скорости адиабатического охлаждения.
Вследствие чрезвычайно резкого падения поглощения (и испускания)
с понижением температуры уже небольшое адиабатическое охлаждение
*) Этот поток, как мы увидим ниже, несколько отличен от потока S2, уходящего
с эффективным образом определенной поверхности фронта волны.
х2	л
Рис. 9.22. Распределение потока
излучения в волне охлаждения
при учете адиабатического охла-
охлаждения.

§ 16]	УЧЕТ АДИАБАТИЧЕСКОГО ОХЛАЖДЕНИЯ	505
после этого момента делает частицу совсем прозрачной и лучистый тепло-
теплообмен вовсе прекращается.
При этом плотность излучения, которая определяется потоком, рож-
рождающимся в более нагретых слоях и проходящим через частицы, остается
почти неизменной. Равновесная же плотность излучения, пропорцио-
пропорциональная Т*, быстро уменьшается. Поэтому в «прозрачной» области, в отли-
отличие от «непрозрачной», плотность излучения больше равновесной,
поглощение превышает испускание, и частица нагревается излучением;
поток излучения ослабляется, как показано на рис. 9.22*).
Следовательно, на оси х существует такая точка х = х2 (соответ-
(соответствующие ей температуру и поток обозначим через Т2, S2), которая разде-
разделяет области «непрозрачного» воздуха, интенсивно охлаждающегося
излучением, и почти прозрачного воздуха, слабо нагревающегося излу-
излучением. В этой точке плотность излучения в точности равна равновесной
Uг — ир2, дивергенция потока равна нулю и поток максимален Smax = iSV
Естественно эту точку, в которой прекращается охлаждение воздуха
излучением, считать нижней границей волны охлаждения, температуру
в ней Т2 — температурой прозрачности, а поток S2 — потоком, выходя-
выходящим с поверхности фронта волны. Поглощение этого потока в «прозрачной»
зоне невелико, так что на бесконечность уходит поток So, лишь немного
меньший, чем S2-
Профили температуры и потока Т (х), S (х), отвечающие описанной
картине, изображены на рис. 9.21, 9.22. При низких температурах кри-
кривая Т (х) стелется ниже нижней асимптотической прямой, приближаясь-
к ней снизу, так как газ нагревается излучением: максимум потока лежит
в точке, где температура сильнее всего отклоняется от прямой вниз (это
следует из уравнения (9.26)).
Можно показать, что поток S2 связан с температурой прозрачно-
прозрачности тем же соотношением, что и в волне без адиабатического охлаждения
52 = 20Т|. Что касается самой температуры прозрачности, то ее можно'
оценить из условия, что при температуре, близкой к Т2, скорость лучистого
охлаждения сравнивается со скоростью адиабатического охлаждения А,
чем приближенно и определяется нижний край волны.
Температура Т2 зависит от произвольно задаваемой величины А
только логарифмически в силу экспоненциальной зависимости I (T),
подобно тому как раньше она логарифмически зависела от произвольно
задаваемого характерного масштаба длины d (согласно условию I (T2) = d).
В данном случае характерным масштабом служит расстояние, на котором
температура падает вследствие адиабатического охлаждения от величины
Т2 до нуля, что, кстати, и определяет положение нижнего края волны,
т. е. координату х2. Фактически для определения температуры прозрач-
прозрачности остается условие I (Т2) ж d, только теперь задается не сама вели-
величина d, а величина А, с которой связан масштаб d.
*) Эта ситуация несколько напоминает положение во фронте ударной волны
с излучением: за ударным разрывом плотность излучения меньше равновесной, газ-
охлаждается излучением и посылает поток в область перед разрывом, где поток погло-
поглощается, плотность излучения выше равновесной, и газ нагревается.

ГЛАВА X
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 1. Теплопроводность вещества
Если тело нагрето неравномерно или же в нем происходит выделение
энергии, появляется поток тепла, переносимый путем теплопроводности.
Теплопроводность способствует распространению энергии и выравни-
выравниванию температуры. Наряду с градиентами температуры, вообще говоря,
возникают и градиенты давления, благодаря чему вещество приходит
в движение. Во многих случаях гидродинамический перенос энергии пре-
преобладает над теплопроводностным. Однако часто движение и гидродина-
гидродинамический перенос энергии несущественны и тепло от источников распро-
распространяется только путем теплопроводности. При невысоких температурах
механизмом переноса тепла является обычная теплопроводность вещества.
При обычной теплопроводности тепловые возмущения распростра-
распространяются в среде сравнительно медленно (в дальнейшем это будет показано
на примере газа). Небольшие возмущения давления распространяются
со звуковой скоростью, за счет некоторого перераспределения плотности,
и давление выравнивается гораздо скорее, чем температура. Если изме-
изменения температуры в среде невелики, скорости движения вещества гораздо
меньше скорости звука и при изучении распространения тепла путем
теплопроводности движением вещества часто можно пренебречь, считая,
что процесс происходит при постоянном давлении.
Уравнение баланса энергии при этом имеет вид
divS + W	A0.1)
где q — плотность, которую приближенно можно считать постоянной,
<ф — удельная теплоемкость при постоянном давлении, 8 — вектор
потока тепла, W — энерговыделение в 1 cms в 1 сек за счет посторонних
источников.
Теплопроводностный поток тепла в первом приближении пропорцио-
пропорционален градиенту температуры:
8 = — xgradT1,	A0.2)
где к — коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества.
Подставляя выражение A0.2) в уравнение баланса энергии A0.1), полу-
получим общее уравнение теплопроводности, которое описывает температуру
среды в зависимости от координат и времени:
iiv(xgSdT)+W	A0.3)

3 2]	НЕЛИНЕЙНАЯ (ЛУЧИСТАЯ) ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ	507
В не слишком большом диапазоне температур коэффициент теплопровод-
теплопроводности и теплоемкость вещества меняются мало и практически постоянны.
Уравнение теплопроводности A0.3) при этом является линейным (за исклю-
исключением случаев, когда энерговыделение W зависит от температуры нели-
нелинейным образом).
При к = const имеем
qcp^^kAT + W.	A0.4)
Если разделить уравнение теплопроводности A0.4) на qcp, оно при-
принимает форму, в которой свойства вещества характеризуются только
одним параметром—коэффициентом температуропроводности % = x/qcp:
%	JL	A0.5)
В газах коэффициент температуропроводности приближенно равен
коэффициенту диффузии молекул:
где 1а — длина пробега молекул, а г; — их средняя тепловая скорость;
например, в воздухе при нормальных условиях % = 0,205 см2/сек. В жид-
жидкостях и твердых телах механизмы теплопроводности более сложны.
На этом вопросе мы здесь останавливаться не будем. Укажем, что в воде
при комнатной температуре % = 1,5-10~3 см2/сек.
К уравнению теплопроводности следует добавить начальные и гра-
граничные условия. В начальный момент задается распределение темпера-
температуры в среде:
Т(х, у, z, 0) = Т0(х, у, z).	A0.6)
На границах двух сред 1 и 2 с разными свойствами непрерывен поток
тепла
(xgrad71I = (xgrad27J.	A0.7)
На границах рассматриваемого тела задаются как функции времени
температура или поток тепла или, в общем случае, связь между ними.
Математическая теория линейной теплопроводности, которая зани-
занимается решением уравнения A0.5) применительно к различным конкрет-
конкретным задачам, хорошо разработана и широко применяется в самых раз-
различных областях физики и техники.
§ 2. Нелинейная (лучистая) теплопроводность
При высоких температурах порядка десятков и сотен тысяч градусов
появляется совершенно иной механизм переноса тепла — лучистая тепло-
теплопроводность. С процессом лучистой теплопроводности мы подробно озна-
ознакомились в гл. II, а также в гл. VII и IX, где рассматривались задачи
о структуре фронта очень сильной ударной волны и об охлаждении воз-
воздуха излучением.
Существенное отличие лучистой теплопроводности от обычной заклю-
заключается в том, что коэффициент лучистой теплопроводности сильно зависит
от температуры,- благодаря чему уравнение теплопроводности является
нелинейным.

508	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
Поток тепла, переносимый механизмом лучистой теплопроводности,
равен (см. формулу B.76)):
S = — TgradC/p=—g-grad-^,	A0.8)
где Up = 4аГ4/с — плотность энергии равновесного излучения, а / —
росселандов пробег света *). Поток энергии A0.8) можно записать череа
градиент температуры в виде A0.2), если определить коэффициент лучи-
лучистой теплопроводности формулой
Ic dUv maTBi
%-T~dT~ 3 *	A • '
Коэффициент лучистой теплопроводности зависит от температуры
как за счет пропорциональности теплоемкости излучения сизл = dUp ldT~
~ Г3, так и вследствие зависимости от температуры пробега излучения /,
При лучистом механизме теплопроводности энергия может распро-
распространяться со скоростью гораздо большей, чем скорость звука в веществе.
Это связано с тем, что скорость света при нерелятивистских температурах
во много раз больше скорости звука. Если в теле произошло выделение
энергии и вещество нагревается до достаточно высокой температуры,
то эта энергия вначале быстро растекается путем лучистой теплопровод-
теплопроводности. Пока скорость распространения тепла гораздо больше скорости
звука, вещество не успевает прийти в движение, давление в нем не успе-
успевает выравняться и тепло растекается по неподвижному веществу. В даль-
дальнейшем будет дана оценка условий, при которых возникает движение.
Мы будем рассматривать здесь распространение тепла путем лучистой
теплопроводности только в неподвижной среде, плотность которой не
меняется с течением времени.
Баланс энергии по-прежнему описывается уравнением A0.1) или
A0.3) (но не A0.4), так как х Ф const), с той лишь разницей, что вместо
теплоемкости при постоянном давлении ср в уравнение следует подстав-
подставлять теплоемкость при постоянном объеме су При этом предполагается,
что плотностью энергии излучения Z7P можно пренебречь по сравнению
с плотностью энергии вещества qe (T).
Если приближенно рассматривать теплоемкость cv как величину,
не зависящую от температуры, и разделить уравнение теплопроводности
на QCy, получим уравнение
соответствующее уравнению A0.5).	Коэффициент лучистой температуро-
температуропроводности % равен
х	1с сизл 1ЛГ. j ,ч
x	A0Л1)
Имеется глубокая параллель между этой величиной и коэффициентом
обычной температуропроводности газа % = lav/3. Последний совпадает
с коэффициентом диффузии молекул, являющихся переносчиками тепла.
*) Напоминаем, что перенос излучения имеет характер теплопроводности, если
плотность энергии излучения в каждой точке среды близка к равновесной. Для этого-
нужно, чтобы размеры нагретой области значительно превышали длину пробега
излучения.

§ 2]	НЕЛИНЕЙНАЯ (ЛУЧИСТАЯ) ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ	509
При лучистой теплопроводности нагревается и охлаждается веще-
вещество, а переносчиком энергии служит излучение, которое играет роль
«посредника». Поэтому коэффициент лучистой температуропроводности
не просто равен коэффициенту диффузии излучения /с/3, но пропорцио-
пропорционален еще и отношению теплоемкостей излучения и вещества»
Во многих случаях длину пробега квантов I приближенно можно
¦считать степенной функцией температуры (плотность среды считаем
постоянной):
1 = АТт, т>0.	A0.12)
В полностью ионизованном газе, где механизм излучения и погло-
поглощения света чисто тормозной, т = 7/2. В области многократной иониза-
ионизации газов т — 1,5 — 2,5.
При степенном законе A0.12) коэффициент лучистой теплопровод-
теплопроводности также представляется степенной функцией:
к=^-Тп = ВТп, n = m + 3,	A0.13)
причем показатель и~ 4,5 — 5,5 в области многократной ионизации.
В том приближении, в котором теплоемкость газа считается постоянной,
приходим к уравнению A0.10) с коэффициентом лучистой температуро-
температуропроводности, равным
'.% = — = — Тп = аТп.	A0.14)
Уравнение нелинейной теплопроводности имеет вид
^	A0.15)
Обычно при высоких температурах в области многократной иониза-
ионизации удельные теплоемкость и внутреннюю энергию газа можно аппро-
аппроксимировать степенными функциями температуры:
где а — константа, а к—величина, равная примерно 0,5 (см. § 8 гл. III).
При степенном законе теплоемкости уравнение теплопроводности также
можно привести к виду A0.15). Введем вместо температуры в качестве
неизвестной функции внутреннюю энергию единицы объема
1
Получим
dt
где
• = a' div(Sn'grad E) + q',	A0.16)
а' =	^±Г' q'=w-
Уравнение A0.16) не отличается от уравнения A0.15), совпадают
и их решения. Чтобы перейти от решения уравнения A0.15) Т =
= Т (х, у, z, t) для какой-нибудь конкретной задачи к решению уравне-
уравнения A0.16) Е = Е(х, у, z, t) для той же задачи, следует только

510	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
заменить константы а и п на а' и и', а также заменить функцию источ-
источника q на q' =W = qQCY. Заметим, что при п = 5 ж А = 0,5 п' = 3.
В дальнейшем для удобства сопоставления выводов теорий нелиней-
нелинейной и линейной теплопроводностей мы будем исходить из уравнения
A0.15) для температуры. При этом будем иметь в виду, что найденное
решение любой конкретной задачи можно сразу же записать и для слу-
случая степенной зависимости теплоемкости от температуры.
Помимо лучистой теплопроводности, которая представляет наиболь-
наибольший интерес, существует еще один пример нелинейной теплопроводности.
Это — электронная теплопроводность в плазме, о которой шла речь
в § 12 гл. VII. (Ионная теплопроводность плазмы также сильно зависит
от температуры, но она играет значительно меньшую роль, чем электрон-
электронная.) Коэффициент электронной температуропроводности %е ~ Т\1г.
Интересно, что нелинейным уравнением теплопроводности типа
A0.15) описывается совершенно иной процесс, а именно движение поли-
политропического газа (давление и плотность которого связаны уравнением
р = const Qn) в пористой среде. Плотность газа q удовлетворяет урав-
уравнению:
где п — показатель политропы, a b — константа, которая определяется
пористостью и проницаемостью среды и свойствами фильтрующего-
фильтрующегося газа.
Конкретным задачам нелинейной теплопроводности соответствуют
такие же задачи теории фильтрации.
Процессы нелинейной теплопроводности впервые рассматривались
Я. Б. Зельдовичем и А. С. Компанейцем [1], которые, в частности, нашли
точное решение задачи о распространении тепла от мгновенного плоского
источника. Соответствующие вопросы теории фильтрации независимо
исследовал Г. И. Баренблатт [2]. Он получил то же самое решение для
случая мгновенного сосредоточенного источника, а также решил ряд
других конкретных задач.
§ 3. Особенности распространения тепла при линейной
и нелинейной теплопроводнсстях
Основные черты процесса нелинейной теплопроводности и особен-
особенности, отличающие его от процесса линейной теплопроводности, лучше
всего выяснить на примере задачи о распространении в неограниченной
первоначально холодной среде тепла от мгновенного плоского источника
энергии. Пусть в начальный момент t — 0 в плоскости х = 0 выделилась
энергия % на 1 см2 поверхности (Щ в эрг /см2). В последующие моменты
тепло растекается в обе' стороны от плоскости х = 0.
Уравнение теплопроводности A0.10) для рассматриваемой задачи
имеет вид
причем распределение температуры в пространстве подчиняется условию
сохранения энергии
оо
" Tdx = Q.	A0.19)

§ 3] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЯХ 511
Величина Q равна Ш/QCp, если процесс происходит при постоянном
давлении, и %1§су — если постоянен удельный объем.
В данном случае два уравнения, A0.18) и A0.19), эквивалентны
одному уравнению теплопроводности A0.10) с дельтообразным источником
(как по времени, так и по координате):
q (x, t) = Q8(xN(t).
В начальный момент t = 0 температуру среды считаем тождественно
равной нулю везде, кроме точки, где произошло энерговыделение:
Т(х, 0) = Q6(x).
Решение поставленной задачи в случае линейной теплопроводности
% = const хорошо известно. Оно дается выражением
e"W,	A0.20)
Рис. 10.1. Распространение тепла or
мгновенного плоского источника'при
линейной теплопроводности.
Характерное свойство линейной теплопроводности состоит bJtom, что
тепло сосредоточено в точке энерговыделения только в начальный момент
t = 0 (при х = 0 Т ->- оо как Г1/*).
В последующие моменты времени тепло
мгновенно распространяется на все
пространство и температура стремит-
стремится к нулю на бесконечности, при
х-*- ± оо, лишь асимптотически. Основ-
Основное количество энергии сосредоточено
в области с размерами порядка х ~
~ V^x^f которая растет с течением
времени пропорционально ]/"?. Соот-
Соответственно, как llY t падает и темпера-
температура, так что полное количество тепла,
пропорциональное \ Т dx ~ Tx ~
~ —^ Y~t ~1, остается постоянным. Рас-
Распределение температуры в последовательные моменты времени показа-
показаны на рис. 10.1.
Асимптотический характер убывания температуры на бесконечности
и мгновенность распространения тепла на*' неограниченное расстояние
в рамках теплопроводностной теории связано с конечностью коэффициента
теплопроводности при нулевой температуре.
Практически, конечно, на большое расстояние к дайному моменту
времени проникает лишь ничтожно малое количество тепла; закон спада-
спадания температуры на бесконечности крайне резкий, гауссов; однако в прин-
принципе на любом, сколь угодно большом, но конечном расстоянии от источ-
источника повышение температуры сразу же после момента энерговыделения
отлично от нуля. Следует заметить, что гауссов закон спадания темпера-
температуры на бесконечности связан с приближенным описанием распростра-
распространения тепла в рамках теплопроводностной теории. В действительности
на больших расстояниях температура определяется не диффузией «горя-
«горячих» молекул из нагретой области (в газе), а прямыми, «прострельными»
молекулами, попадающими из нагретой области на большие расстояния,
не испытав при этом ни одного соударения. Поэтому на самом деле на
бесконечности закон спадания температуры не гауссов A0.20), а только

512
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. X
{
( \
1
т
-\
t
"Y
1 ч ,
Яф	Хф л-
Рис. 10.2. Распространение тепло-
тепловой волны от мгновенного плоского
источника.
экспоненциальный, Т ~ е~х^1а, где 1а — длина пробега молекулы.
Ясно, что при любом предъэкспоненциальном множителе на данный
момент времени простая экспонента ехр (— х/1а) в конце концов станет
больше, чем гауссова экспонента ехр (— x2/A%t) (% = Zoy/3). Однако
в этой области на больших расстояниях заключается столь ничтожное
количество тепла, что рассмотрение ее не представляет никакого интереса.
Проверим предположение о возможности пренебречь движением
вещества.
Если среда газовая, от места энерговыделения (в данном случае
от плоскости х = 0) распространяется волна сжатия (или ударная волна).
Скорость ее распространения по невозмущенному веществу порядка
скорости звука в нагретой области, т. е.
порядка тепловой .скорости нагретых мо-
молекул v. Скорость распространения теп-
тепла путем теплопроводности
dt dt'"~Vt^'x'~~'x '
т. е. как только тепло распространится
на расстояние, большее среднего про-
пробега молекул, скорость теплопровод-
ностная станет меньше скорости гид-
гидродинамической. Поскольку вообще
* нет смысла рассматривать расстояния,
меньшие пробега молекул, постольку можно считать, что тепло распро-
распространяется всегда с дозвуковой скоростью. Если количество выделившей-
выделившейся энергии невелико, волна сжатия слабая, скорость вещества мала
по сравнению со скоростью звука. Можно считать, как это и было
отмечено с самого начала, что роль гидродинамики сводится просто к вырав-
выравниванию давления, и процесс распространения тепла идет при постоян-
постоянном давлении.
Если же энерговыделение велико и волна сжатия, уйдя на значи-
значительное расстояние от места энерговыделения, является ударной, то мы
имеем дело с чисто гидродинамическим процессом сильного взрыва,
который рассматривался в § 25 гл. I; роль теплопроводности вещества
в распространении энергии оказывается несущественной.
Пусть теперь коэффициент теплопроводности зависит от температуры,
причем он уменьшается с падением температуры и обращается в нуль
при нулевой температуре, как это имеет место при лучистой теплопровод-
теплопроводности. В этом случае тепло не может мгновенно проникнуть на сколь
угодно большие расстояния, а распространяется от источника с конеч-
конечной скоростью таким образом, что существует четкая граница, отделяю-
отделяющая нагретую область от холодной, до которой еще не дошло тепловое
возмущение. Тепло распространяется от источника в виде волны, фрон-
фронтом которой является указанная граничная поверхность. Такую волну
называют тепловой. Распределение температуры в тепловой волне в по-
последовательные моменты времени схематически показано на рис. 10.2.
В холодной невозмущенной среде температура и поток тепла равны
нулю, поскольку обращается в нуль коэффициент теплопроводности.
В силу непрерывности поток на фронте волны также обращается в нуль.
При линейной теплопроводности, когда х = const, обращение в нуль
потока тепла может быть связано только с исчезновением градиента
температуры. При нелинейной теплопроводности с коэффициентом, убы-

§ 3] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЯХ 513
вающим до нуля при Т —>¦ 0, поток может исчезать и при отличном от нуля
градиенте температуры, только за счет обращения в нуль коэффициента
теплопроводности. С этим обстоятельством, в частности, и связано воз-
возникновение резкого фронта тепловой волны.
Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим слой вблизи фронта волны.
Если ограничиться небольшими временами, в течение которых волна
распространяется на расстояния, малые по сравнению с размером области,
охваченной волной, т. е. с координатой фронта хф (см. рис. 10.2), то в те-
течение такого времени скорость фронта можно приближенно считать по-
постоянной.
Распределение температуры вблизи фронта можно искать в виде
стационарной волны Т — Т (х — vt), где v — скорость фронта. Профиль
температуры вблизи фронта квазистационарен в системе координат,
связанной с фронтом.
Подставляя в уравнение A0.18) решение в виде Т — Т (х — vt),
получим для профиля температуры вблизи фронта уравнение
-VL±VL	но 21}
V дх - дх * дх •	(IV.Zi)
Полагая % = аТп (п > 0) и интегрируя дважды это уравнение с гранич-
граничным условием Т = 0 при х = х$, получим профиль температуры:
[]".	(Ю.22)
Он и показан схематически на рис. 10.2.
Координата фронта Хф и скорость фронта v = ~^- в этой формуле
представляют собой неопределенные функции времени. Они находятся
путем решения полной задачи для всего пространства.
То, что температура обращается в нуль по закону A0.22), подтвер-
подтверждает и справедливость утверждения о существовании резкой границы
прогретой области — фронта тепловой волны. Если показатель га < О,
коэффициент температуропроводности % не обращается в нуль при Т = О
и уравнение A0.21) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном
расстоянии, что и соответствует мгновенному характеру распространения
тепла на сколь угодно большие расстояния.
Из формулы A0.22) следует, что градиент температуры вблизи фронта
тепловой волны dT/dx ~ \ х$ — х\п
Если и>1, градиент температуры на фронте (при х = Хф) обра-
обращается в бесконечность — фронт крутой. Если п<1, (dT/dx)x = 0.
Поток же всегда равен нулю при х = Хф: S ~ TndTldx ~ \хф — х\п—*-0
при п > 0.
В § 12 и 17 гл. VII при рассмотрении структуры фронта ударной
волны с учетом электронной и лучистой теплопроводностей было показано,
как перед скачком уплотнения, который распространяется по газу, выры-
вырывается «язык» прогрева за счет теплопроводности.
Профиль температуры перед скачком описывается формулой A0.22)
(если движением газа перед скачком можно пренебречь), причем скорость v
представляет собой скорость движения фронта ударной волны. Профиль
имеет вид, показанный на рис. 10.3, а. «Язык» вырывается на вполне
определенное, конечное расстояние Ах = Хф — xt (рис. 10.3, а), которое
33 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

514
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. X
зависит от температуры на скачке уплотнения
В случае линейной теплопроводности % = const, «язык» прогрева
простирается до бесконечности, хотя эффективная ширина его конечна
и постоянна (при постоянной скорости движения ударной волны). Решение
уравнения A0.21) при % = const имеет в этом случае вид
Ж — XI
1	V
Профиль температуры в прогревном слое показан на рис. 10.8, б. Как уже
отмечалось, температура обращается в нуль только на бесконечности.
При молекулярной теплопроводности закон спадания температуры
на бесконечности за счет «прострельных» молекул отличается от того,
который диктуется теплопроводностной теорией, не принимающей во
внимание движение отдельных молекул.
Подобно этому и при переносе тепла
излучением профиль тепловой волны
вблизи границы имеет вид A0.22) толь-
только в рамках приближения лучистой
теплопроводности. Если учесть суще-
существование «прострельных» квантов, т. е.
неравновесность излучения на перед-
переднем краю волны, мы придем к экспо-
экспоненциальному закону спадания темпе-
температуры на переднем краю тепловой вол-
волны: Т ~ егх11, где I — длина пробега
излучения. Этот эффект был подробно
изучен в разделе 3 . гл. VII при
рассмотрении структуры фронта удар-
ударной волны с учетом переноса излучения.
До сих пор мы рассматривали распространение тепла в среде с нуле-
нулевой начальной температурой. Если То Ф 0, то коэффициент нелинейной
теплопроводности в невозмущенном веществе конечен и закон спадания
температуры отличен от A0.22); однако практически при небольших началь-
начальных температурах коэффициент лучистой теплопроводности при Т = То
столь мал, что этим эффектом можно пренебречь. Гораздо существеннее
отмеченная выше неравновесность излучения на переднем краю тепловой
волны, которая приводит к экспоненциальному спаду температуры
Т ~ е~х11 вместо степенного закона A0.22).
Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопровод-
теплопроводности от линейной. В линейном случае имеет место принцип суперпозиции.
Если имеется совокупность источников энергии, тепло от каждого из них
растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения тепло-
теплопроводности при наличии протяженных источников можно представить
в виде интеграла «по источникам» от решений, соответствующих сосредо-
сосредоточенным источникам. При нелинейной теплопроводности принцип супер-
суперпозиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника
зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового
возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяжен-
протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источ-
источникам.
х,
Рис. 10.3. Теплопроводностный про-
прогрев перед скачком уплотнения:
а) при нелинейной теплопроводности;
б) при линейной теплопроводности.

§ 4]	ТЕПЛОВАЯ ВОЛНА ОТ МГНОВЕННОГО ПЛОСКОГО ИСТОЧНИКА	515
§ 4. Закон распространения тепловой волны от мгновенного
плоского источника
Закон распространения тепла от источника легко получить и без
точного решения уравнения путем оценки порядка величины характер-
характерного размера нагретой области, либо же из размерностных соображений.
Задачи о распространении тепла от мгновенного сосредоточенного источ-
источника (плоского, точечного, нитевого) решаются точно (см. ниже). Однако
подобные полукачественные оценки делают весьма наглядным физический
смысл закономерностей и, кроме того, часто бывают полезными при рас-
рассмотрении более сложных задач, для которых точные решения найти не
удается.
Рассмотрим распространение тепла от плоского мгновенного источни-
источника. Результаты для случая линейной теплопроводности были уже изло-
изложены в предыдущем параграфе, где приводилось точное решение задачи.
Для того чтобы продемонстрировать общий ход полукачественных рас-
рассуждений, мы повторим эти результаты снова. Пусть коэффициент тепло-
теплопроводности постоянен.
В уравнение A0.18) входит один-единственный параметр — коэффи-
коэффициент температуропроводности % см2/сек. Другим размерным параметром
является энергия на 1 см2 : Щ эрг /см2 поверхности или же величина
Q град-см. Если х — ширина области, в которой сосредоточено основ-
основное количество тепла к моменту t, то из соображений размерности
ясно, что х2 ~ %t, х ~ Yft. Скорость распространения тепла ^— ~-
v
"L ~ Ъ. ~ ~ • Средняя температура в нагретой области порядка
Т ~ — ~ —4^ . Эти простые результаты, которые совпадают по порядку
величины с тем, что дает точное решение задачи A0.20), можно получить
и непосредственно из уравнения A0.18). Заменяя в нем производные
дТ дТ	Т Т	д дТ
¦д— , -?-- равными им по порядку величины отношениями — , — , а — % —
заменяя на ^ > немедленно придем к тем же самым закономерностям.
Обратимся теперь к случаю распространения нелинейной тепловой
волны. Для коэффициента температуропроводности примем степенную
зависимость % = аТп, при которой уравнение теплопроводности имеет
вид
^А^	A0.23)
В уравнение входит единственный параметр а см2/сек-градп. Другой
размерный параметр — это Q град-см. Из них можно составить единст-
единственную (независимую) размерную комбинацию, содержащую только
длину и время: aQnCMn+2 сек-1. Отсюда следует закон движения фронта
тепловой волны:
дх
хф ~ {aQnt)n+2 = (aQn)n+2 tn+2 .
Скорость распространения тепловой волны порядка
,	11
* (aQnf+* e^~ Хф aQn
dt '~ V"Sf I	-	t — хП+1 ¦
33*

516	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
Видно, что при большом показателе п тепловая волна очень быстро
замедляется по мере распространения. Это связано с тем, что при рас-
распространении тепла температура падает и очень резко уменьшается коэф-
коэффициент температуропроводности. Имея в виду, что средняя температура
в тепловой волне порядка Т~(?/Хф, а средний коэффициент температуро-
температуропроводности х = аТп ~ aQn/x$, можно записать закон распространения
тепловой волны в форме, соответствующей линейной теории: Хф —
— Ylt- При этом следует иметь в виду, что средний коэффициент тем-
температуропроводности в этой формуле сам зависит от времени по закону
2	п
Y _ 391	а(?"	= (аПп)п+г t n+2
Ф (а<?«)"+2*"+2
Закон распространения тепловой волны можно получить и из урав-
уравнения теплопроводности, заменяя приближенно производные отношениями
величин: ——*¦ —; -*—*• Т/хл,; ^- 2 -~	*- —j—. Получим таким образом
at	t ах	v ox ox	xl	x
Хф ~- aTn t ~ %t; воспользовавшись соотношением Т ~ Q/хф, придем
к уже найденным законам.
§ 5. Автомодельная тепловая волна от мгновенного
плоского источника
Найдем точное решение плоской задачи о распространении тепловой
волны в неограниченной среде при мгновенном выделении энергии в момент
t = 0 в плоскости х = 0. Процесс описывается нелинейным уравнением
теплопроводности A0.23), причем решение удовлетворяет закону сохра-
сохранения энергии A0.19).
Из размерностных соображений, изложенных в предыдущем пара-
параграфе, ясно, что решение поставленной задачи — автомодельное *). В са-
самом деле, единственная безразмерная комбинация, которую можно соста-
составить из координаты х, времени t и параметров задачи а и Q, есть
&=—^зг-	A0-24)
(aQnt)n+2
i	_i
Величина размерности температуры есть Q/(aQn t) n+2 = (Q2/at)n+z .
Поэтому решение Т (х, t) следует искать в виде:
(?)	A0.25)
где / (?) — новая неизвестная функция.
Подставляя выражение A0.25) в уравнение A0.23) и переходя
к дифференцированию по автомодельной переменной, с помощью формул
_<У_	!__#_Х	д} _	i	df
dt ~~ n + 2 d% t • дх ~~	_J_ d\
(aQnt)n+2
.получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции /:
°-	A0-26>
*) О понятии автомодельности см. § 11, 25 гл. I. См. также гл. XII.

§ 5] АВТОМОДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОВАЯ ВОЛНА ОТ ПЛОСКОГО ИСТОЧНИКА	517
Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям, которые
следуют из физических условий задачи: 7' = 0 при х = ± со или Т = 0
при a;=-j-co и_— = 0 при х — 0 (в силу симметрии относительно пло-
О ОС
скости х = 0). Отсюда
/(g) = 0 при ? = оо; -^- = 0 при | = 0.	A0.27)
Решение уравнения A0.26), удовлетворяющее условиям A0.27),
было найдено в работах [1, 2]. Оно имеет вид
при
Ш = 0	при
A0.28)
где |о—постоянная интегрирования. Постоянная |0 находится из урав-
уравнения сохранения энергии A0.19), которое принимает вид
= 1.	A0.29)
Вычисление дает
rj^^^_Hj+r)_	A030)
-W2	г« (-L
(Г — гамма-функция). Закон движения фронта тепловой волны | = |0 есть
1
(Ю-31)
Он, как и следовало ожидать, с точностью до численного коэффи-
коэффициента ?0 совпадает с законом, найденным в предыдущем параграфе
из полукачественных соображений.
Температуру в плоской тепловой волне удобно представить в форме
^у	A0.32)
где Хф {I) — координата фронта, определяемая в зависимости от времени
формулами A0.31), A0.30), а Тс — температура в плоскости х = 0. Ее
можно выразить через среднюю температуру в волне (среднюю по нагре-
нагретому объему):
Тс = ~,	A0.33)
где
T— v • /=
о
г_
Например, при п = Ъ, g0 = 0,77 и 77С = 1,12Г.

518
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. X
При учете переменности теплоемкости профиль температуры отли-
отличается от A0.32) лишь очень немного. Действительно, профиль энергии
есть	\
Но Е—jT1+'\ п' = (п — кI(к-\-1), откуда
Поскольку п ~ 5, &~0,5, это выражение мало отличается от A0.32)
( в первом случае показатель — = -=-; во втором 	т- = -т-= J . Также
мало отличается и новая константа |0 (п1) в законе распространения
тепловой волны. Сам же закон распространения меняется сильнее.
При п = 5 А; = 0 (постоянная теплоемкость)
Т/То	.Гф~г1/7; при п = 5 к = 0,5 (т. е. су~Г0>5),
		1
а)
Г
•t
Vs
Охлаждение
Нагребание-
Х/Хщ
Рис. 10.4. Профили темпе-
температуры, потока и диверген-
дивергенции потока в тепловой
волне.
Профиль температуры Т/Тс в зависимо-
зависимости от х/хф изображен на рис. 10.4, а для слу-
случая п = 5. Для тепловой волны с сильно за-
зависящим от температуры коэффициентом теп-
теплопроводности характерно существование «пла-
«плато» температуры: температура почти постоянна,
выравнена теплопроводностью во всей нагретой
области, за исключением сравнительно тонкого
слоя вблизи фронта, где она быстро спадает
до нуля. Такая тенденция выражается тем
резче, чем больше показатель нелинейности
п. Распределение потока по координате дается
выражением
1
дт
С	 	 '
дх
[-"кУх-
Поток почти линейно растет от начала х = 0 до самого края волны
и быстро спадает до нуля лишь вблизи края, как показано на рис. 10.4, б.
Дивергенция потока dS/dx почти постоянна во всей области плато.
Основная область нагретого газа охлаждается почти равномерно и лишь
около края волны газ нагревается за счет тепла, отнятого от основной
массы газа (см. рис. 10.4, в).
Процесс распространения тепла идет таким образом, что объем нагре-
нагретого газа почти равномерно охлаждается и потерянная им энергия
поглощается около фронта волны, за счет чего волна и захватывает
все новые и новые слои холодного газа.
Вблизи фронта распределение, температуры приближенно можно
представить в виде
i	11
2 ,
что было уже найдено раньше (см. формулу A0.22)).

§ 6]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА	519
Устремим в решении A0.25), A0.28), A0.30) показатель п к пре-
пределу п—> 0, что соответствует переходу к линейной теплопроводности
(постоянная а в уравнении A0.23) в пределе п = 0 играет роль постоян-
постоянного коэффициента температуропроводности % = const).
При п-+0 lQ~-
Q и A\\ п- Q -J—lYl
= @ е iat	tt = Y
т. е. приходим к известному решению линейного уравнения теплопро-
теплопроводности A0.20).
В заключение этого параграфа отметим, что нелинейное уравнение
второго порядка A0.26) допускает группу преобразований, оставляющих
уравнение инвариантным. Действительно, легко проверить непосред-
непосредственной подстановкой, что если ввести вместо | и / новую независимую
переменную ?' и функцию /' по формулам
l' = Cnl, f' = C2f, С = const,
то в переменных ?', /' новое уравнение будет иметь такой же вид, как
и A0.26). Согласно теореме Ли, порядок обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения, допускающего однопараметрическую группу преобразо-
преобразований, можно понизить на единицу. Для понижения порядка удобно
ввести новые переменные:
2
В этих переменных новое уравнение содержит z только под знаком
дифференциала, так что можно ввести новую переменную p = dy/dz
и исключить z, получив уравнение первого порядка в переменных р, у\
Следовательно, задача решения уравнения второго порядка A0.26)
сводится к решению уравнения первого порядка и квадратуре. Такое
положение характерно для многих автомодельных задач теории нели-
нелинейной теплопроводности*).
§ 6. Распространение тепла от мгновенного точечного источника
Рассмотрим сферически-симметричную задачу. Пусть в момент t = 0
в точке г=0 выделилась энергия Щ эрг. Уравнение теплопроводности
в этом случае имеет вид
дТ	1 д
Закон сохранения энергии дает
r^--^- = Q г рад-см3
*) А также и для автомодельных задач газовой динамики. См. об этом подробно
л гл. XII.

520	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
Решение задачи для линейной теплопроводности %== const известно:
Г = —Ц-е^.	A0.35)
Тепло растекается так, что основная энергия сосредоточена в сфере,
радиус которой r~ Y~^%t, аналогично плоскому случаю, когда х~ Y^V-
Температура в центре падает как Т ~ Q/r3 ~Q/(%tK/2.
Эти закономерности следуют непосредственно из соображений раз-
размерности, их можно получить и путем оценки из уравнений A0.34),
A0.35), если заменить производные отношениями величин (см. § 4).
Рассмотрим теперь случай нелинейной теплопроводности с % = пТп,
п > 0. Уравнение принимает вид
Найдем закон движения фронта тепловой волны, так же как и в пло-
плоском случае. Имеем
где % — коэффициент температуропроводности, соответствующий средней
температуре нагретой области в момент t. Но
т. Q
'ф
так что r%~aTnt — aQnr^Znt, откуда
A0.37)
A0.38)
Скорость фронта тепловой волны пропорциональна
	i_
¦)n\3n+2
	3^+1	~ ..Яп-и' '	(Ю.ЗУ)
dt	t	2n+l	rSn+l
Она чрезвычайно резко уменьшается по мере распространения волны.
Например, при п = 5 dr$ldt ~l/r16. Точное решение уравнения тепло-
теплопроводности ищем в автомодельной форме
2 3
Зп+2
ф (I),	A0.40)
где автомодельная переменная | определяется как
1 =	V.	A0.41).
(aQntKn+2
Подставляя A0.40) в уравнение A0.36), получим обыкновенное
уравнение для функции <р(|), несколько отличающееся от уравнения.
A0.26) для плоского случая. Это уравнение было решено С. 3. Беленьким
и независимо Г. И. Баренблаттом [2]*).
*) Распространение тепловой волны, близкой к сферической, рассматривали
Э. И. Андрианкин и О. С. Рыжов [3]. В работе Э. И. Андрианкина [4] рассматриваете»
сферическая тепловая волна с учетом энергии излучения.

§ 6]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА	521
Окончательное решение можно записать в виде, аналогичном A0.32),
T = Tc(i	?-Y,	A0.42)
где радиус фронта
r<j> = Ii(a<?n03n+2-	A0.43)
Постоянная |4 равна
El —
Зге + 2	V. 2 ' n
Температура в центре Тс равна
1
т _ 4я ез Г 1 1"^	A0.44)
3 Sl L 2Cn + 2)'J J'
где
- -v/ з 'Ф
— средняя по объему температура в момент, когда радиус фронта волны
равен Гф.
Например, при п = 5 ^ = 0,79 и ГС = 1,28Г. При переменной тепло-
теплоемкости cv~T°'b (к = 0,5)
1	1
как и в плоском случае. В законе распространения тепловой волны
вместо гф~г1/Cп+2) получаем гф~ tl/<-3n'+zl При п = Ъ к = 0, т-ф — г1/^
~di~ ~ГФ16' ПРП и = 5 А = 0,5, ге' = 4,5 и Гф~ ?1/l5'5, —jf~ r%14'5-
Распределение температуры по радиусу в сферическом случае точно
такое же, как и в плоском. Поток почти во всей области от центра и до
фронта линейно растет по радиусу и лишь около самого фронта падает
до нуля:
1
дг V гф J
Дивергенция потока почти постоянна во всей сфере за исключением
тонкого слоя вблизи фронта: объем газа охлаждается сравнительно равно-
равномерно, посылая энергию, которая поглощается вблизи фронта, прогревая
все новые и новые слои вещества.
Представим себе, что в маленьком объеме газа произошло очень
быстрое выделение большого количества энергии, в результате чего
вещество нагрелось до очень высокой температуры. От места энерговы-
энерговыделения по окружающему газу распространяется тепловая волна.
Скорость распространения тепловой волны, согласно формуле A0.39),
уменьшается по мере распространения и падения температуры нагретой

522	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
сферы по закону: dr^ldt ~ aQn/r^n+1. Но гф ~ (Q/TI/s, так что dr^ldt ~
~ аТп+ /з Q /з. При лучистой теплопроводности п = 5 и dr^/dt ~ Г5'3.
Скорость звука в нагретом газе, грубо говоря, пропорциональна У"Т.
Следовательно, если вначале температура очень высока («бесконечна»),
то скорость распространения тепловой волны обязательно больше скоро-
скорости звука. При распространении волны по неподвижному холодному
газу постоянной плотности в нем повышается давление. Грубо говоря,
давление за фронтом тепловой волны пропорционально температуре
р ~ дТ, так что профиль давления примерно совпадает с профилем тем-
температуры. Существование градиента давления в волне приводит к тому,
что газ разгоняется, разлетаясь от центра, масса его перераспределяется,
стремясь сосредоточиться около периферии, у фронта тепловой волны.
Возмущения распространяются по газу со скоростью звука. Поэтому
вначале, пока тепловая волна движется гораздо быстрее звука, вещество
за нею не успевает прийти в заметное движение. Как мы видели, тепло-
тепловая волна по мере распространения чрезвычайно быстро замедляется.
Через некоторое время скорость ее падает до величины порядка скорости
звука и потом становится меньше последней. С этого момента теплопро-
водностная волна уже не обгоняет звуковые возмущения, вещество при-
приходит в движение и образуется ударная волна, которая вырывается вперед,
распространяясь перед тепловой со скоростью, по порядку величины
совпадающей со скоростью звука в нагретом газе за нею. Постепенно
процесс выходит на режим, описываемый решением задачи о сильном
взрыве (см. § 25 гл. I). Таким образом, момент образования ударной
волны и вырывания ее перед тепловой приближенно совпадает с моментом,
когда скорость тепловой волны падает до скорости звука в нагре-
нагретом газе.
Оценка показывает, что в воздухе нормальной плотности это проис-
происходит, когда температура в нагретой сфере падает до величины порядка
300 000° К. Если начальная температура воздуха в момент энерговыде-
энерговыделения гораздо больше этой величины, то существует четко выраженная
стадия, на которой энергия распространяется по неподвижному воздуху
путем лучистой теплопроводности, в виде тепловой волны. Когда темпера-
температура в расширяющейся нагретой сфере падает до ~ 300 000° К, обра-
образуется и вырывается вперед ударная волна, а роль лучистой теплопровод-
теплопроводности сводится исключительно к выравниванию температуры в центральной
области.
Если же концентрация энергии вначале такова, что температура
воздуха ниже 300 000° К, то тепловая волна вообще не возникает, а энер-
энергия с самого начала распространяется гидродинамическим путем за счет
ударной волны.
В конце § 3 отмечалось, что профиль температуры на нижнем краю
тепловой волны совпадает с профилем температуры в прогревной зоне
очень сильной ударной волны (в очень сильной ударной волне впереди
скачка уплотнения вырывается «язык» прогрева лучистой теплопровод-
теплопроводностью). В частности, на самом переднем краю тепловой волны излучение
неравновесно за счет «прострельных квантов» и температура спадает до
нуля по экспоненциальному закону в зависимости от оптической коор-
координаты. Это означает, что видимая яркость поверхности фронта тепловой
волны совпадает с яркостью поверхности фронта очень сильной ударной
волны. В § 4 гл. IX было показано, что эта предельная яркость в воздухе
нормальной плотности соответствует эффективной температуре в видимой
части спектра, примерно 17 000° К. Такова же эффективная температура

§ 7]
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ
523
и поверхности фронта тепловой волны. Таким образом, наблюдая изда-
издалека тепловую волну, распространяющуюся по воздуху, мы будем «видеть»
температуру порядка 17 000° , несмотря на то, что в центральных обла-
областях волны температура может достигать многих сотен тысяч градусов.
§ 7. Некоторые автомодельные плоские задачи
Рассмотрим несколько автомодельных задач. Две из них исследуем
полукачественным методом, изложенным в § 4. Для одной получим точное
решение.
Постоянная температура на границе. Пусть на
границе плоского полупространства х = 0 с нулевой начальной темпера-
температурой поддерживается постоянная температура То. От границы внутрь
среды распространяется тепловая вол-
волна, как показано на рис. 10.5. По-
Поскольку имеется масштаб температуры
То, коэффициент температуропровод-
температуропроводности по порядку величины равен
Х~аГ™, и фронт тепловой волны рас-
распространяется по закону
1
Хф^-'Y~yt ~-> (aTntJ.	Рис- Ю.5. Распространение тепловой
"	волны при заданной температуре на
Значение численного коэффициен-	границе,
та в этой формуле, так же как и
профиль температуры, который, очевидно, автомоделей, можно найти
путем численного интегрирования обыкновенного дифференциального
уравнения для безразмерной функции / (?):
T = Tof®, ?= -?—.
при граничных условиях / @) = 1, / (оо) = 0.
Поток тепла через границу уменьшается с течением времени по закону:
Л ~ аТ„
ЭТ
аТ1
Как меняется со временем количество энергии в тепловой волне, можно
оценить любым из двух способов:
Tdx.
¦t\
t	t
Sdt~\ —¦
о
о
Постоянный поток на границе. Предположим, что на гра-
границе задан постоянный поток тепла So, поступающий в тело извне:
So= — х
дх
= — СуОаТп( —^— ) = const при х = 0.
о	V. дх у о	г
Закон распространения тепловой волны и изменения температуры
в волне во времени найдем, заменяя производные отношениями величин.

524
ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. X
Поток в зоне тепловой волны меняется от So до нуля. Средняя тем-
температура в волне по порядку величины дается соотношением:
аТп+1
Но из уравнения теплопроводности следует, что по порядку величины
Т Sa
Из этих двух приближенных уравнений найдем закон распространения
тепловой волны и закон изменения температуры во времени:
t°
¦t
1/7
п+1
¦4°,
SI
n-j-2 n+2
<}хф
~dT
-1/7
X
При га = 5 а
Скорость тепловой волны уменьшается очень медленно, средняя
температура медленно растет. Возрастание температуры объясняется тем,
что по мере распространения волны градиент
температуры уменьшается, и для того чтобы
поддержать постоянство потока, должен расти
коэффициент теплопроводности. Распростране-
Распространение волны показано на рис. 10.6.
Решение типа диполя. Пусть
вблизи плоской границы полупространства в
каком-то слое произошло энерговыделение.
Предположим, что тепло растекается в теле
настолько быстро, что температура очень скоро
падает до малой величины, практически до
нуля. Несмотря на то, что температура на гра-
границе очень мала, поток тепла через границу
остается конечным (соответственно очень ве-
велик градиент температуры), так что энергия вытекает аз тела. В задаче
не существует интеграла энергии.
Идеализируем поставленную задачу с тем, чтобы исключить из нее
размерные параметры длины (например, толщину слоя, где произошло
энерговыделение, или расстояние его от границы). Будем считать, что
энерговыделение произошло мгновенно в бесконечно тонком слое на
поверхности тела х = 0, причем в пределе, когда толщину слоя энерго-
энерговыделения устремляем к нулю и сам слой приближаем к поверхности
х = 0, остается конечным «момент» температуры.
хТ (х, 0) dx < оо при Т (х, 0) -> б (х).
Рис. 10.6. Распространение
тепловой волны при заданном
потоке на границе.
Легко показать, что в этом случае при условии, что температура
на границе равна нулю, вместо интеграла энергии, как в задаче о пло-
плоском мгновенном источнике, имеется интеграл «момента»: сохраняется
во времени момент температуры. Это положение было установлено
Г. И. Баренблаттом [5].
Умножим на х уравнение теплопроводности A0.23) и проинтегри-
проинтегрируем от 0 до оо, принимая во внимание, что поток на бесконечности

§ 7]	НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ
отсутствует. Интегрируя по частям, найдем
525
Если на границе Т @, t) = 0, то момент сохраняется во времени, сохра-
сохраняется «дипольный момент» температуры:
\ хТ (х, t) dx — P = const.
A0.45)
Задача при этом автомодельна, так как имеются только два размер-
размерных параметра, Р град'см2 и а смг ceTi~xzpad~n. Она была решена
Рис. 10.7. Решение типа диполя.
в работе Г. И. Баренблатта и Я. Б. |3ельдовича [6] применительно
к процессу фильтрации газа. Фронт тепловой волны распространяется
по закону:
1
Температуру можно представить в виде
и+2 1
at J
численные константы |0 и М равны
I	_ п	1		1_
ХФ-
A0.46)
м
± 2
(здесь B(p,q) — так называемая бета-функция, значения которой можно
найти в таблицах).
При п—Ъ функция температуры имеет вид
7 1

526	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
а фронт распространяется по закону
I11,
dt	ii
г12
Распространение тепловой волны показано на рис. 10.7.
Легко видеть, что поток через границу х=0 отличен от нуля, т. е.
энергия вытекает из среды. Действительно, при х/хф < 1
дх	дх
f Г—V0-	A0-47)
В своей работе [2] Г. И. Баренблатт исследовал целый класс авто-
автомодельных решений плоских задач с весьма общими условиями на гра-
границе полупространства:
Т = const tq, <7>0
или
S = const tq, <7>°
(температура или поток на границе растут со временем по степенному
закону). Он рассмотрел также задачи с цилиндрической и сферической
симметриями.
§ 8. Замечания о проникновении тепла в среду
при учете движения
Выше отмечалось, что возможность пренебрежения движением среды
при рассмотрении тепловых волн связана с тем, что на ранней стадии
распространения тепловой волны от источника, при очень высокой тем-
температуре, скорость распространения гораздо больше скорости звука
и вещество просто не успевает «сдвинуться с места».
В некоторых случаях, однако, движение среды оказывается суще-
существенным с самого начала.
Предположим, что температура на границе среды растет с течением
времени по степенному закону То = const tq (q>0).
Расстояние, на которое тепло проникает в среду механизмом
лучистой теплопроводности,
п 1	^9+1
жф — |/"х^ — Т~2 «2 .— г~2~ Eс~Гп).	A0.48)
Скорость распространения тепловой волны
ЯХф	Хф
dt ' t
t 2
Ударная волна от энергетического источника на границе среды рас-
распространяется в глубь среды со скоростью порядка скорости звука

§ 8]	О ПРОНИКНОВЕНИИ ТКПЛА В СРЕДУ ПРИ УЧЕТЕ ДВИЖЕНИЯ	527
в нагретом веществе:
Сопоставим скорости распространения тепловой и ударной волн,
~^- и D. Если "g~~ •< -|-, q < ^зГ' то в начале процесса, при t-*-0,
скорость тепловой волны всегда больше, чем скорость ударной, тепло-
тепловая волна обгоняет ударную. В этой стадии движением среды можно
пренебречь, как это и делалось выше. Лишь начиная с некоторого момента
t', когда скорость D станет больше —т?-, ударная волна вырвется вперед,
обгонит тепловую, и вещество в области тепловой волны придет в дви-
движение (разумеется, четкой временной границы V не существует, и процесс
«разгона» вещества происходит постепенно; t' представляет собой эффек-
эффективную границу между двумя стадиями).
Если ^— >-?-, q>——г, положение обратное: при t -*- О, D > ~rf
ударная волна обгоняет тепловую, и тепловая волна с самого
начала процесса распространяется по движущемуся веществу. Начиная
с некоторого «эффективного» момента t", тепловая волна вырывается перед
ударной и распространяется по неподвижной среде. Масса вещества.
J-.{_i
охваченного движением, которая пропорциональна Dt ~ t% (на 1 еж2
поверхности), составляет при этом все меньшую и меньшую долю от
nq+J_
массы, прогретой тепловой волной, которая пропорциональна Хф ~- I 2 .
В промежуточном случае nq — —¦, q — ——у скорости распро-
распространения тепловой и ударной волн нарастают с течением времени по
одинаковому закону. При этом, вообще говоря, не существует четко
выраженных стадий, когда энергия проникает в среду только одним
способом (либо гидродинамическим путем, либо путем теплопроводности),
как в крайних случаях q~	-.. Вещество прогревается теплопровод-
ностью и приходит в движение почти одновременно.
Замечательно, что в частном случае п = 6 (когда длина пробега
излучения I ~ Т3) уравнения гидродинамики с учетом лучистой тепло-
теплопроводности (но без учета энергии и давления излучения) допускают
автомодельное решение. Это решение соответствует закону нарастания
температуры на границе среды То ~ t1'* (существование такого автомо-
автомодельного решения указано в работе Маршака [7]). Масштаб плотности
при этом постоянен и равен начальной плотности среды q0, давление
р ~ qT ~ t1^, скорость вещества и ~ YplQ ~ t1/w ¦
Координата j границы возмущенной области (фронта тепловой или
ударной волны) растет с течением времени по закону
			 и
x~ut~Y%t~VT4~tTu.	A0.49)
Автомодельной переменной служит комбинация % = const г
так что решение уравнений представляется в виде
i	_i_
Г = const ^/i (g), w = consU10/2(I;) и т. д.

528	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
Существенно, что автомодельное решение возможно при произвольном
законе зависимости теплопроводности (длины пробега излучения) от
плотности: % = f (q) Ть (так как масштаб плотности не зависит от времени).
В том, что уравнения газодинамики с учетом лучистой теплопровод-
теплопроводности действительно допускают указанное автомодельное решение, легко
убедиться путем непосредственного рассмотрения этих уравнений *).
Характер автомодельного режима зависит от того, что больше: ско-
скорость звука с ~ Y Т или скорость распространения возмущений путем
теплопроводности xjt~ \ffjt. Обе величины нарастают со временем по
одинаковому закону t1^, и соотношение их определяется коэффициентами
пропорциональности. Поэтому характер процесса зависит от численного
значения коэффициента в законе нарастания температуры на границе
среды с течением времени То ~ t1/*. Возможен такой режим, в котором
впереди по невозмущенному веществу бежит ударная волна, а за нею
по нагретому и сжатому веществу следует тепловая. Возможен режим,
когда границей между невозмущенной и возмущенной областями является
фронт тепловой волны, за которым вещество приходит в движение.
Отметим работу И. В. Немчинова [8], в которой рассматриваются
некоторые задачи переноса тепла излучением с учетом движения среды.
§ 9. Автомодельное решение как предельное решение
неавтомодельной задачи
Автомодельные решения интересны не столько как частные решения
отдельных узких классов задач, но главным образом как пределы, к кото-
которым асимптотически стремятся решения более общих задач, не автомо-
автомодельных в своей постановке. Этот вопрос исследовался в работе Я. Б. Зель-
Зельдовича и Г. И. Баренблатта [9] применительно к задаче Коши для нели-
нелинейного уравнения теплопроводности в одномерном плоском случае
A0.23).
Основные физические особенности асимптотического поведения
решения удобнее всего выяснить на примере линейной теплопроводности,
когда решение особенно просто. Пусть в начальный момент t = 0 задано
распределение температуры по оси х: Т (х, 0) = То (х), причем темпера-
температура отлична от нуля только на конечном отрезке оси х **).
Как известно, решение уравнения теплопроводности A0.18) в этом
случае имеет вид (% = const):
Т (х, t) = у±=г \ Го (У) е~ ^~ dy.	A0.50)
Оно представляет собой обобщение решения A0.20) на случай рас-
распределенного источника.
Рассмотрим поведение температуры при t -*- оо на больших расстоя-
расстояниях от места, где было сосредоточено тепло в начальный момент, т. е.
при х > у. Разлагая ядро подынтегрального выражения в ряд по степе-
*) Напоминаем, что уравнения непрерывности и движения при учете лучистой
теплопроводности не меняются, а в уравнение энергии вводится дополнительный
поток энергии A0.8) (см. § 9 гл. II).
**) Такое начальное условие ставится применительно к задаче о нелинейной
теплопроводности. В линейном случае допустимо более общее условие достаточно
быстрого убывания температуры на бесконечности.

§ 9]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ КАК ПРЕДЕЛЬНОЕ	529
ням малой величины у/х, получим
оо	со
-^T \T0(y)ydy +
1 %t _^
ОО
Щ^~ \T0(y)y*dy+...], A0.51)
где
Уч*
Решение представляется в виде суммы автомодельных слагаемых,
в которых степени времени каждый раз возрастают на 1/2, а коэффициенты
выражаются через последовательные моменты функции начального рас-
распределения температуры. В пределе t -*- оо остается первый член в ква-
квадратной скобке, соответствующий решению A0.18) для сосредоточенного
источника, причем следующий член разложения, который характеризует
отличие истинного решения от предельного, порядка 1/t1/* по отношению
к главному члену
A0.51')
Благодаря тому, что уравнение A0.18) допускает произвол в выборе
начал отсчета координаты и времени и масштаба температуры (допускает
группы преобразований х = х — х0, t' = t + т, 7" = кТ), уравнению
A0.18) удовлетворяет более общее, чем A0.20), автомодельное решение вида
Тавт(*-Жо, t + r, 0)я7=^_в-*«™.	A0.52)
Это решение соответствует мгновенному выделению определенного коли-
количества тепла Е = cvqQ в точке х = х0 в момент t — — т.
Легко убедиться в том, что путем соответствующего выбора парамет-
параметров Хо, х и Q можно добиться того, чтобы автомодельное решение типа
A0.52) лучше описывало точное решение A0.51), чем автомодельное
решение A0.20), в котором х0 = 0, т = 0.
Действительно, разложим функцию A0.52) по степеням малых вели-
величин XqIx и xlt (в пределе t —*- со, х -> оо). Путем сравнения разложения
с точным решением A0.51) увидим, что если выбрать значения Q, х0 и х
равными
оо
Q= 5 T0(y)dy,
— СО
оо
\T0(y)ydy
\ То (у),
— GO
X I То (V) dy
— СО
34 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

530	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
то члены порядка t~lfi и F1 в разложении исчезают, так что
3
Т(х, t) = TaBT(x-x0, t + x, 0[1 + г|)Г2+ ...].	(Ю.54)
Второй член в квадратных скобках более высокого порядка малости
при t-^-oo, чем в выражении A0.51').
Физическая причина лучшего совпадения автомодельного решения
A0.52) с точным состоит в том, что автомодельное решение A0.52) отве-
отвечает мгновенному выделению того же самого количества тепла в точке х§,
являющейся «центром тяжести» х начального распределения температуры
То (х). Момент выделения как раз соответствует времени, которое необ-
необходимо, чтобы тепло путем теплопроводности растеклось от точки х = О
до «центра тяжести» х = х0. «Эффективное» количество тепла Е = cyQQ
в улучшенном автомодельном решении A0.52) оказалось в точности рав-
оэ
ным фактическому количеству тепла cvq \ То (х) dx.
—оз
Аналогично можно найти автомодельное решение, которое наилуч-
наилучшим образом приближается к точному решению с распределенными источ-
источниками тепла и в случае нелинейной теплопроводности.
Автомодельное решение уравнения A0.23), соответствующее мгно-
мгновенному выделению тепла в точке х = 0в момент t = 0, было описано
в § 5 (формулы A0.32), A0.33), A0.31), A0.30)). В работе [9], в которой
можно познакомиться с математической стороной исследования, пока-
показано, что путем соответствующего сдвига по координате и времени, т. е.
выбора х0 и т, можно добиться того, чтобы автомодельное решение
Т (х — х0, t + т, Q) отличалось от точного Т (х, t, Q) членами более высокого
2п+3
порядка, чем t n+2 .
§ 10. О переносе тепла неравновесным излучением
Представим себе, что в разреженном воздухе образовалась сфери-
сферическая область радиуса Ro с очень высокой температурой Т, столь
высокой, что нагретая сфера совершенно прозрачна для собственного
теплового излучения и излучает как объемный излучатель. Если сред-
средний пробег излучения, характеризующий лучеиспускательную способ-
способность воздуха — h{T), то условие прозрачности есть lt (Т) > Ro. (Напо-
(Напоминаем, что пробег излучения, как правило, быстро возрастает при
повышении температуры.)
Световые кванты, рождающиеся в высоконагретой области, почти
беспрепятственно выходят из нее и поглощаются в окружающих слоях
холодного воздуха. Таким образом, воздух в центральной сфере охла-
охлаждается за счет испускания света, а периферийные слои нагреваются
за счет поглощения света. Нагретая область расширяется, а темпера-
температура в ней падает. Процесс весьма сходен с процессом распространения
тепловой волны с той, однако, разницей, что излучение, которое пере-
переносит энергию, теперь существенно неравновесно. Описанный процесс
переноса тепла неравновесным излучением рассматривался А. С. Компа-
нейцем и Е. Я. Ланцбургом [10, 11].
Излучение, поглощаясь в непрозрачных сначала периферийных
слоях сферы, нагревает их до такой температуры Т*, при которой

§ 10]	О ПЕРЕНОСЕ ТЕПЛА НЕРАВНОВЕСНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ	531
воздух становится прозрачным. Пусть пробег квантов, несущих основ-
основную долю энергии спектра излучения центральной сферы с темпера-
температурой Т, в периферийной области есть 1Т, Он зависит как от характер-
характерных частот, т. е. от Т, так и от температуры воздуха, где происходит
поглощение. Очевидно, приближенное условие, которое определяет
температуру прозрачности Т*, есть
lT(T*) = R,	A0.55):
где R— радиус нагретой сферы, который через некоторое время выра-
вырастает по сравнению с начальным радиусом Ro.
Если вначале температура Т в центральной сфере очень высока
и воздух в ней сильно прозрачен для излучения, то температура про-
прозрачности Т* оказывается заметно более низкой, чем Г, и собственным
излучением периферийных слоев с температурами порядка Т*' можно
пренебречь.
В этом случае скорость расширения нагретой области определяется
просто уравнением баланса энергии. За время dt в момент t высоко-
высоконагретая центральная область излучает энергию порядка
где t/p =	. ота энергия поглощается в периферийном слое толщины
dR и радиуса R, и воздух в этом слое нагревается до температуры
порядка температуры прозрачности Т*.
Следовательно,
где q —плотность, а е—удельная внутренняя энергия воздуха. Отсюда
получаем скорость расширения сферы
dR Uv (Т) До
V—-—rr = C
причем сама температура Т в излучающей центральной области падает
в соответствии с уравнением охлаждения
Q~dr~~ ~ h(T) '
При взгляде на формулу A0.56) может показаться, что v, скорость
границы сферы, может быть сколь угодно большой и даже больше
скорости света (если плотность энергии излучения U, порядок величины
которой UpR/lt, больше, чем плотность энергии вещества qb). На самом
деле это, конечно, не так. Просто формула A0.56) годится только для
случая, когда v < с. Если скорость расширения сферы оказывается срав-
сравнимой со скоростью света, то это означает, что излученная энергия
затрачивается не только на нагревание вещества, но и на «заполнение»
расширяющейся сферы излучением. Математически это выражается тем,
U	U
что скорость v оказывается пропорциональной не — , а уп— ; это авто-
матически ставит верхний предел для скорости v <C с.
По мере расширения нагретой сферы и охлаждения воздуха в цен-
центральной области, последняя становится все менее и менее прозрачной,
34*

532	ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ	[ГЛ. X
а температуры Г и Г* сближаются. Когда они оказываются сравнимыми,
наступает непрозрачность. Одновременно становится существенным
и собственное излучение периферийных слоев, которые посылают кванты
не только наружу, как центральная часть, но и внутрь сферы.
Плотность излучения в сфере приближается к равновесной для
данной температуры величине, и постепенно процесс приобретает
характер тепловой волны, которая рассматривалась в предыдущих
параграфах.
Для того чтобы лучше представить себе, как происходит переход
от одного режима к другому при условии «прозрачности» всей сферы,
Т да Т*, 1Х да R, оценим скорость распространения границы нагретой сферы
в переходном случае по формулам и неравновесной и тепловой волн.
В неравновесном режиме при стремлении R к lt (со стороны R < 1Х)
и Т к Т* излучающей становится не только центральная сфера, но вся
нагретая область, так что в уравнении баланса энергии и формуле A0.56)
следует вместо Ro писать R. Тогда по порядку величины при Т~Т*,
R~h:
ее it q&	v '
С другой стороны, в равновесном режиме скорость тепловой волны равна
примерно (см. § 6)
где коэффициент лучистой температуропроводности % согласно определе-
определению A0.11) можно представить в виде %~/сЕ/р/ое. Следовательно, ско-
скорость тепловой волны по порядку величины равна
uP i
Q6 R '
причем в равновесном случае R > /. Если теперь устремить R к Z,
получим при условии прозрачности, JF? -— Z -—' Z±, ту же величину A0.58):

ГЛАВА XI
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
§ 1. Введение
Изучение законов распространения ударных волн в конденсирован-
конденсированном веществе: в металлах, воде, и т. д. имеет большое теоретическое
и практическое значение. В частности, оно необходимо для понимания
и расчета взрывных явлений. Теоретическая обработка материалов этих
ксследований дает нам сведения об уравнении состояния твердых и жид-
жидких тел в области высоких давлений, что весьма важно для решения
целого ряда проблем геофизики, астрофизики и других разделов науки.
Для описания гидродинамических процессов нужно знать термо-
термодинамические свойства вещества.
Если для газов расчеты термодинамических функций не вызывают
больших затруднений, то теоретическое описание термодинамических
свойств.твердых и жидких тел при тех высоких давлениях, которые раз-
развиваются в мощных ударных волнах, представляет собой очень сложную
задачу, в настоящее время весьма далекую от своего окончательного
решения. Поэтому особую роль приобретают экспериментальные методы
исследования конденсированного вещества в сжатом состоянии.
До недавнего времени физика высоких давлений ограничивалась
изучением вещества, сжатого в статических условиях в пьезометрах
различной конструкции. Таким путем, однако, невозможно без строи-
строительства огромных установок сжать вещество до давлений выше ста
тысяч атмосфер и, главное, обеспечить условия для надежных измерений,
так как при более высоких давлениях начинает сказываться деформация
пьезометрических бомб, мешающая проведению точных измерений физи-
физических параметров. Между тем для современной науки и техники пред-
представляют интерес давления в сотни тысяч и миллионы атмосфер.
В послевоенные годы в СССР и за рубежом были предложены совер-
совершенно иные, динамические методы осуществления высоких давлений
и сжатий, основанные на использогании мощных ударных волн. Были
получены и исследованы ударные волны в металлах и других конденси-
конденсированных телах с давлениями в сотни тысяч и миллионы атмосфер.
В СССР новые методы были развиты в работах Л. В. Альтшулера,
С. Б. Кормера, К. К. Крупникова, Б. Н. Леденева, А. А. Банановой,
М. В. Синицына, А. И. Фунтикова, В. И. Жучихинаидр. [1—5], в США —-
в работах Уолша, Христиана, Меллорй, Горансона, Банкрофта, Мак-
Куина, Марша и др. [22—26].
Особенно больших успехов в этом направлении добились советские
ученые, которые достигли рекордных давлений в пять миллионов атмосфер

534	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
(американские авторы изучали ударные волны меньшей интенсивности;
работы по самым высоким достигнутым ими давлениям, до двух миллио-
миллионов атмосфер, были опубликованы позднее работ советских авторов) *).
Впервые в человеческой практике твердое тело было сжато в два
и большее число раз; до сих пор со столь плотным веществом можно было
«встретиться» только в центральных областях земного шара и других
космических тел. Эти выдающиеся достижения в области получения
высоких давлений и плотностей твердых тел позволили сделать целый
ряд интереснейших выводов, касающихся термодинамического поведения
вещества в столь необычных условиях, и полуэмпирическим путем опре-
определить важные термодинамические характеристики сильно сжатых ме-
металлов.
Чрезвычайно малая длительность ударных нагрузок потребовала
изыскания новых методов измерений, позволяющих определять физиче-
физические параметры в условиях высокоскоростного процесса, и создания
соответствующих приборов. Большой вклад в этом направлении был
сделан советскими исследователями В. А. Цукерманом, Г. Л. Шнир-
маном, А. С. Дубовиком, П. В. Кевлишвили, Е. К. Завойским и др.
[6-12].
Основной характерной чертой, отличающей конденсированное состоя-
состояние от газообразного и определяющей поведение твердых и жидких тел
при сжатии их ударными волнами, является сильное взаимодействие
атомов (или молекул) тела друг с другом. Радиус действия междуатом-
междуатомных сил весьма ограничен. Он порядка размеров самих атомов и молекул,
т. е. порядка 10~8 см. В достаточно разреженном газе, где средние рас-
расстояния между частицами много больше размеров частиц, взаимодействие
проявляется в основном только при столкновениях, в момент тесного
сближения атомов или молекул.
Давление в газе имеет тепловое происхождение; оно связано с пере-
переносом импульса частицами, участвующими в тепловом движении и всегда
пропорционально температуре: р = пкТ.
Для того чтобы сильно сжать газ, требуются сравнительно неболь-
небольшие давления. Предельное сжатие атмосферного газа в ударной волне,
диктуемое законами сохранения, достигается при давлениях за фронтом
в несколько десятков или сотню атмосфер, так что ударная волна такой
амплитуды уже может рассматриваться как сильная.
Иначе ведет себя по отношению к сжатию конденсированное вещество.
В твердом и жидком телах атомы или молекулы находятся на близких
расстояниях друг от друга и сильно взаимодействуют. Это взаимодей-
взаимодействие, в частности, и удерживает атомы в теле. Силы взаимодействия
имеют двоякий характер. С одной стороны, частицы, разделенные доста-
достаточно большим расстоянием, притягиваются друг к другу; с другой
стороны, при более тесном сближении в результате проникновения друг
в друга электронных оболочек атомы отталкиваются. Равновесные рас-
расстояния, на которых находятся атомы твердого тела в отсутствие внеш-
внешнего давления, соответствуют взаимной компенсации сил притяжения
и отталкивания, т. е. минимуму потенциальной энергии взаимодействия.
Для того чтобы развести атомы на большие расстояния, необходимо пре-
преодолеть силы сцепления и затратить энергию, равную энергии связи,
*) Это относится к первым публикациям (отечественным и американским).
В последующие годы появились работы с описанием исследований и при еще более
высоких давлениях. См. обзор [55].

§ 1]	ВВЕДЕНИЕ	535
которая для металлов имеет порядок нескольких десятков или сотен
ккал/моль (порядка нескольких эв/атом) *). Чтобы сжать вещество,
необходимо преодолеть силы отталкивания, которые чрезвычайно быстро
возрастают при сближении атомов. Сжимаемость металлов, равная, по
1 SV
определению, к0 = —|Г " я~» имеет при нормальных условиях порядок
10~12 см2/дин « 10~6 атм'1. Для того чтобы сжать холодный металл на
10%, необходимо приложить к нему внешнее давление порядка 105 атм;
сжимаемость обычно уменьшается при повышении давления; для сжа-
сжатия металлов вдвое требуются давления порядка нескольких миллионов
атмосфер.
Таким образом, при сильном сжатии конденсированного вещества
в нем развивается колоссальное внутреннее давление, даже в отсутствие
всякого нагревания, только за счет отталкивания атомов друг от друга.
Существование этого давления нетеплового происхождения, совершенно
не свойственного газам, и определяет основные особенности поведения
твердых и жидких тел при сжатии их ударными волнами. В ударных
волнах очень большой амплитуды, как мы увидим ниже, происходит
и сильное нагревание вещества, приводящее к появлению давления,
связанного с тепловым движением атомов (и электронов), которое назы-
называют «тепловым», в отличие от упругого, или «холодного» давления,
обусловленного силами отталкивания. В принципе, если амплитуду
ударной волны устремить к бесконечности, относительная роль тепло-
теплового давления возрастает и в пределе упругое давление становится малым
по сравнению с тепловым; в волнах чрезвычайно большой амплитуды
первоначально твердое вещество ведет себя как газ. Однако в ударных
волнах с давлениями в миллионы атмосфер, полученными в лаборатор-
лабораторных условиях, давления обоих типов сравнимы друг с другом. В менее
сильных волнах, с давлением порядка сотен тысяч атмосфер и ниже,
упругое давление преобладает. Мала в этом случае и тепловая энергия
вещества, сжатого ударной волной. Вся внутренняя энергия, приобре-
приобретаемая веществом в волне, затрачивается на преодоление сил отталки-
отталкивания при сжатии тела и сосредоточена в форме потенциальной, упругой
энергии. Скорость распространения малых возмущений в конденсиро-
конденсированном веществе, в отличие от газов, никак не связана с температурой.
Она определяется упругой сжимаемостью вещества.
Меняется и численная характеристика «силы» ударной волны. В газах
мерой «силы» волны служит отношение давлений по обе стороны фронта.
Предельное сжатие в несколько или десяток раз достигается, когда это
отношение равно нескольким десяткам или сотне. При этом скорость
распространения ударной волны значительно превышает скорость звука
в исходном газе и газе за фронтом разгоняется до скоростей, близких
к скорости ударной волны. Если газ вначале находился при атмосферном
давлении, то ударная волна с амплитудой в сотню атмосфер является
уже «сильной».
*) Силы сцепления в твердых телах бывают различного происхождения. В соот-
соответствии с их природой твердые тела обычно подразделяют на пять групп: 1) ионные
кристаллы, например NaCl, энергия связи U = 180 ккал/моль; 2) кристаллы с кова-
лентной связью, например алмаз, U = 170 ккал/моль; 3) металлы, U ~ 30—
200 ккал/моль; 4) молекулярные кристаллы, связанные ван-дер-ваальсовыми силами,
связь слабая, например у СН4 U = 2,4 ккал/моль; 5) кристаллы с водородными связя-
связями, например лед, ?/ = 12 ккал/моль. Мы будем здесь в основном интересоваться
металлами.

536	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
В твердом или жидком веществе ударная волна с амплитудой даже
в сто тысяч атмосфер является «слабой». Такая волна мало отличается
от акустической: она распространяется со скоростью, близкой к ско-
скорости звука, сжимает вещество всего на несколько или десяток процентов
и сообщает ему скорость за фронтом, в десятки раз меньшую скорости
распространения самой волны.
Если характеризовать «силу» ударной волны отношением ее скорости
к скорости звука в невозмущенном веществе или близостью сжатия к пре-
предельному, то для конденсированных тел «сильными» являются волны
с давлениями не менее десятков или сотен миллионов атмосфер.
В этой главе мы подробно рассмотрим физические особенности пове-
поведения твердых тел при высоких давлениях и плотностях, познакомимся
со свойствами ударного сжатия, опишем экспериментальные методы изу-
изучения ударных волн, распространяющихся в твердых телах, и расскажем
о полученных этими методами результатах. Будут рассмотрены некото-
некоторые физические явления, наблюдаемые при распространении ударных
волн в металлах и других телах, а также при разгрузке вещества после
выхода ударной волны на свободную поверхность.
Много ценных сведений по этим вопросам можно найти в недавно
опубликованном обзоре Л. В. Альтшулера [55], где собран и проанали-
проанализирован большой экспериментальный материал.
1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ	f |
ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ И ТЕМПЕРАТУРАХ
§ 2. Сжатие холодного вещества
, ., Давление р и удельную внутреннюю энергию е твердого вещества
можно разделить на две части. Одни из них, упругие составляющие рхт
вх, связаны исключительно с силами взаимодействия, действующими
между атомами тела *), и совершенно не зависят от температуры. Дру-
Другие, тепловые составляющие, связаны с нагреванием тела, т. е. с темпе-
температурой. Упругие составляющие рх, ех зависят только от плотности
вещества q или удельного объема V = 1/q и равны полным давлению
и удельной внутренней энергии при абсолютном нуле температуры, по-
почему их иногда называют «холодными» давлением и энергией.
В этом параграфе будут рассмотрены только упругие члены давления
и энергии. Поэтому будем предполагать, что тело находится при абсо-
абсолютном нуле температуры.
Механически равновесное состояние твердого тела при нуле темпе-
температуры и нулевом давлении **) характеризуется взаимной компенсацией
междуатомных сил притяжения и отталкивания и минимумом потенциаль-
потенциальной упругой энергии, который можно принять за начало ее отсчета
ех = 0 ***).
*) Мы будем здесь в основном заниматься металлами, которые состоят не
из молекул, а из атомов.
**) Атмосферное давление ничтожно мало по сравнению с давлениями, возни-
возникающими даже при чрезвычайно малых изменениях объема тела. Поэтому совершенна
безразлично, находится ли тело в вакууме (рх = 0) или при атмосферном давлении
(рх = 1 атм).
***) При абсолютном нуле температуры атомы совершают так называемые
нулевые колебания, с которыми связана энергия fev/2 на одно нормальное колебание
частоты V. Эту энергию можно включить в потенциальную энергию ех (V), так что ех
отсчитывается от уровня нулевых колебаний в равновесном состоянии тела при рх = 0.

2]
СЖАТИЕ ХОЛОДНОГО ВЕЩЕСТВА
537
Обозначим удельный объем тела в этом состоянии (р = О, Т = 0)
через V0K. Этот объем немного меньше объема тела Vo при нормальных
условиях (р = 0 или 1 атм, что все равно, и Го ~ 300° К), так как при
нагревании вещества от абсолютного нуля до комнатной температуры То
происходит тепловое расширение, о котором мы скажем в следующем
параграфе. Нормальный объем металлов Vo обычно больше объема V0Kf
который мы будем называть нулевым, на 1—2%. Во многих случаях
этим небольшим различием объемов Fo и V0K можно пренебречь.
Рассматривая здесь поведение твердого вещества при изменении
объема, мы будем иметь в виду всестороннее сжатие (и расширение) тела,
отвлекаясь от эффектов, связанных с анизотропией упругих свойств,,
деформацией сдвига, прочностью и т. д., ко-
которые проявляются при сравнительно неболь-
небольших давлениях и сжатиях.
Кривая потенциальной энергии тела в за-
зависимости от его удельного объема V каче-
качественно имеет такой же характер, как и кривая
потенциальной энергии взаимодействия двух
атомов в молекуле в зависимости от расстоя-
расстояния между ядрами. Эта кривая схематически
изображена на рис. 11.1. Если объем V боль-
больше нулевого F0K, преобладают силы притяже-
притяжения. Силы взаимодействия быстро убывают
при удалении атомов друг от друга, поэтому
при увеличении объема, т. е. при разведении
атомов, потенциальная энергия, возрастая аси-
асимптотически, стремится к постоянному значе-
значению U, равному энергии связи атомов в теле.
U — это энергия, которую нужно затратить, чтобы развести все-
атомы одного грамма вещества на «бесконечность»; она равна примерно
теплоте испарения тела (строго говоря, равна теплоте испарения при
абсолютном нуле температуры). Теплоты испарения металлов обычно-
имеют порядок нескольких десятков или сотен ккал/моль, т. е. несколь-
нескольких электронвольт на атом *). Силы сцепления ослабевают на расстоя-
расстояниях порядка размеров атомной ячейки, так что кривая ех (V) прибли-
приближается к своей асимптоте ех (V) = U при расширении тела на порядок
(при увеличении междуатомного расстояния вдвое).
При сжатии тела преобладающую роль играют силы отталкивания,
которые резко возрастают по мере сближения атомов, поэтому при объе-
объемах, меньших нулевого, потенциальная энергия ех (V) быстро увели-
увеличивается. Чтобы представить себе скорость возрастания и порядки вели-
величин энергии, укажем, что по данным работы [1 ] энергия холодного сжа-
сжатия железа на 7% есть ех = 5,25-108 эрг/г = 0,03 эв/атом, а при сжатии
в полтора раза ех = 2,42-1010 эрг/г = 1,4 эв/атом (давления при этом
равны рх = 1,31-105 атм и />х = 1,36-106 атм соответственно).
Упругое давление связано с потенциальной энергией соотношением
/>х=-^Ь	(ИЛ)
Рис. 11.1. Кривые потен-
потенциальной энергии и упругого-
давления тела в зависимости
от удельного объема.
которое имеет естественный механический смысл (приращение энергии
равно работе сжатия) и может рассматриваться как уравнение изотермы
*) Например, у железа — 94 ккал/молъ = 4,1 эв/атом = 6,96-1010 эрг/г, у алю-
алюминия — 55 ккал/моль = 2,4 эв/атом = 8j45-1010 эрг/г.

:538
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
или адиабаты холодного сжатия. В самом деле, формула A1.1) следует из
общего термодинамического соотношения TdS = de +pdV, если учесть,
что температура Т равна нулю. Но при Т — 0 энтропия S по теореме
Нернста также равна нулю, т. е. остается постоянной. Поэтому изотерма
Т — 0 является одновременно и адиабатой ? = 0.
Кривая давления рх (V) также схематически изображена на рис. 11.1.
В точке V = V0K упругое давление равно нулю; при сжатии давление
быстро возрастает, а при расширении формально становится отрица-
отрицательным.
Отрицательный знак давления описывает тот физический факт, что
для расширения тела от нулевого объема, отвечающего механическому
равновесию при Т = О, р = 0, к телу не-
необходимо приложить растягивающее уси-
усилие. Это усилие должно преодолеть силы
сцепления, стремящиеся вернуть тело к
равновесному объему VOk.
На опыте нельзя непосредственно
исследовать ход кривой холодного расши-
расширения рх (V) при V > VOk, так как невоз-
невозможно практически осуществить сильное
всестороннее растяжение металла. О вели-
величине отрицательных давлений можно су-
судить по теплоте испарения вещества. По
определению, площадь кривой холодного
расширения тела от нулевого объема до
бесконечности равна
Ю'"эрг/а
Px(V)dV=-U.
A1.2)
Рис. 11.2. Упругое давление р5
я энергия ех железа (по дан-
данным [1]).
Если силы сцепления заметно ослабе-
ослабевают при расширении тела примерно в
10 раз (увеличении междуатомного рас-
расстояния вдвое), то максимальная величина
отрицательного давления имеет порядок pmax ~ #V1OFOk, что для железа,
например, составляет ртах ~ 6-Ю10 бар = 6-10* атм *).
Наклон кривой-упругого давления в точке, где давление равно нулю,
соответствует определяемой в обычных условиях сжимаемости вещества
(адиабатическая сжимаемость очень мало отличается от изотермической;
при Т = 0 они строго совпадают). Сжимаемость железа
¦откуда
1,7 -1012 бар.
Наклон кривой холодного сжатия определяет скорость распростра-
распространения упругих волн в теле — скорость «звука». В дальнейшем будет
*) Эта величина гораздо больше предела прочности железа на разрыв, который
обычно порядка 10' бар^^ 103 атм. Малая величина прочности на разрыв связана
с односторонним характером растяжения, с существованием трещин в реальном метал-
металле, поликристаллической структурой и т. д. Заметим, что пределы прочности некоторых
сортов ста'ли достигают A -г- 2)-10* атм.

5 2]
СЖАТИЕ ХОЛОДНОГО ВЕЩЕСТВА
539
показано, что у твердого тела существует несколько скоростей «звука».
Пока что отметим, что скорость звука, определенная обычным образом
через сжимаемость с0 = V
др
dV
1/2
, равна в железе при нормальных усло-
условиях 5,85 км /сек.
Теоретические расчеты кривых холодного сжатия рх (V) или ех (V)
в практически достижимом диапазоне сжатий и давлений основываются
на квантовомеханическом рассмотрении междуатомного взаимодействия.
В ряде случаев при этом удается получить удовлетворительное согласие
с опытными данными по сжи-
,/*
10 бар
400
А
>
j
маемости, в частности для ще-
щелочных и щелочноземельных
металлов при небольших дав-
давлениях. Подробное изложение
этих расчетов и сравнение с
экспериментальными данными
Бриджмена по статическому
сжатию веществ до нескольких
десятков тысяч атмосфер можно
найти в книге Гомбаша [13];
там же приведены ссылки на
литературу.
Подробные данные о кри-
кривых холодного сжатия ряда
металлов (а также хлористого
натрия) вплоть до давлений в
несколько миллионов атмосфер
и плотностей, примерно в два
раза больших нормальной, были
получены в работах Л. В. Альт-
шулера, К. К. Крупникова,
С. Б. Кормера, А. А. Банановой, Р. Ф. Трунина, М. Н. Павловского,
Л. В. Кулешовой, В. Д. Урлина [1—5, 14, 15], на основе теоретической
обработки результатов опытов по ударному сжатию (см. обзор [55]).
Речь об этих опытах еще пойдет впереди; здесь же для иллюстрации
приведем кривые рх (V) и ех (V) для железа (рис. 11.2).
Теоретически можно установить предельный закон для холодного
сжатия вещества при очень больших давлениях и плотностях. В усло-
условиях очень сильного сжатия электронные оболочки атомов в какой-то
мере теряют свою индивидуальную структуру. Состояние вещества при
этом можно приближенно описать с помощью статистической модели
атома Томаса — Ферми, или, чуть точнее, с помощью модели Томаса —
Ферми — Дирака (в последней учитывается обменная энергия) *). Об
уравнении состояния вещества в модели Томаса — Ферми речь шла
в § 13 гл. III. В пределе очень больших давлений и плотностей давление
холодного сжатия
5	5
100
40
10
4
	й.
Q 1,5 2 3 6 ft v
Рис. 11.3. Упругое давление рх железа.
рх — экспериментальная кривая; Т. Ф. — расчетная
кривая по Томасу — Ферми; Т. Ф. Д. — по Тома-
Томасу — Ферми —Дираку. Пунктир — экстраполяция
¦р . По оси абсцисс отложено сжатие ValV.
¦V
A1.3)
*) Вычисления по методу Томаса — Ферми — Дирака имеют реальный смысл
только в тех случаях, когда обмевная поправка мала. Они, по существу, указывают
пределы применимости метода Томаса — Ферми. Если обменная поправка оказы-
оказывается большой, то это означает, что метод Томаса — Ферми — Дирака уже не
имеет силы.

540	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕПАХ	[ГЛ. ХЖ
Этот закон является предельным и для самой статистической модели
атома, так как при не слишком больших сжатиях модель приводит к иной
зависимости рх (V). Для того чтобы сравнить фактические кривые упру-
упругого давления с кривыми, получающимися в статистической модели, мы
приводим заимствованный из работы [1 ] график, на котором изображены
в логарифмическом масштабе опытная кривая для железа и кривые, рас-
рассчитанные по методам Томаса — Ферми и Томаса — Ферми — Дирака
(рис. 11.3).
Из рисунка видно, что при сжатиях в 1,2—1,8 раза, осуществленных
на опыте, статистические модели дают сильно завышенные значения давле-
давления. Квантовомеханические расчеты кривой холодного сжатия железа
в широком диапазоне давлений были проведены Г. М. Гандельманом [37].
§ 3. Тепловое движение атомов
При нагревании атомы вещества приходят в движение. С тепловым
движением атомов связаны определенные энергия и давление. При тем-
температурах порядка десяти тысяч градусов и выше существенную роль
играет тепловое возбуждение электронов.
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, полные энергию и дав-
давление можно представить в виде суммы упругих и тепловых составляю-
составляющих. В свою очередь тепловые члены разобьем на две части: слагаемые,
соответствующие тепловому движению атомов (ядер) — вт, рт, и слагае-
слагаемые, отвечающие тепловому возбуждению электронов — ве, ре. Удель-
Удельная внутренняя энергия и давление твердого тела запишутся при этом.
в виде
б = ех + ет4-ее,	A1.4)
+ Ре-	A1-5)
Электронными членами мы займемся в дальнейшем. При температу-
температурах ниже примерно десяти тысяч градусов электронные члены малы
и в выражениях A1.4), A1.5) можно ограничиться только первыми двумя
слагаемыми.
Рассмотрим тепловое движение атомов. При этом не будем делать-
различия между твердым телом и жидкостью и не будем останавливаться
на эффекте плавления. Тепловое движение в жидкости мало чем отли-
отличается от теплового движения атомов в твердом теле. Энергетически
плавление мало сказывается на термодинамических функциях вещества
при высоких температурах порядка десяти тысяч градусов и выше, так
как теплота плавления сравнительно невелика. Например, у свинца
при нормальном давлении температура плавления Тпл = 600° К, а теп-
теплота плавления Una = 1,3 ккал/молъ, что соответствует 650° К, если
разделить эту величину на газовую постоянную R = 2 кал/моль-град;.
у железа Тпл = 1808° К, 1/пл = 3,86 ккал/молъ, UnJR = 1940° К.
Если температура не слишком высока, атомы твердого тела (и жидко-
жидкости) совершают малые колебания около положений равновесия (узлов
кристаллической решетки в твердом теле). Колебания являются гармо-
гармоническими до тех пор, пока амплитуда их гораздо меньше междуатомного
расстояния, иначе говоря, пока энергия колебаний, которая порядка кТ
на атом, значительно меньше высоты потенциального барьера для пере-
перескоков атомов из узлов решетки в междоузлия или в другие свободные
узлы. При нормальной плотности твердого тела высота барьеров имеет

S 3]	ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ АТОМОВ	541
порядок одного или нескольких электронвольт *), т. е. величина кТ
сравнивается с высотой потенциального барьера при температурах по-
порядка десятка или нескольких десятков тысяч градусов. При более высо-
высоких температурах атомы могут почти свободно перемещаться по телу.
Тепловое движение при этом теряет характер колебаний и приближается
скорее к хаотическому, наподобие газового: вещество превращается
в плотный газ из сильно взаимодействующих атомов.
Положение, однако, меняется, если одновременно с нагреванием
вещество сжимается. При сжатии очень резко возрастают силы отталки-
отталкивания между соседними атомами, благодаря чему резко возрастает высота
потенциального барьера, который нужно пре-
преодолеть атому, чтобы уйти из своей ячейки (из /\ /\ /"\ /"Ч
«воего узла кристаллической решетки). Свобод- \ / \ I \ I \ I
ные перемещения атомов в теле при этом сильно	^ ^ ^
затрудняются и движение атома остается огра-
ограниченным пространством своей ячейки. Это
поясняется рис. 11.4.
В каком-то грубом приближении тепловое
движение атомов в сжатом веществе можно
рассматривать как малые колебания около по-
положений равновесия даже при тех максималь- рис ц 4 Схема поясняю-
ных температурах в 20 000—30 000° К, которые щая изменение высоты по-
достигаются в наиболее мощных ударных вол- тенциалышх барьеров для
нах, исследованных на опыте.	атомов в твеРД°м теле ПРИ
Vr	сжатии.
При температурах выше нескольких сотен
градусов Кельвина квантовые эффекты в коле-
колебаниях не играют никакой роли, и теплоемкость тела, атомы которого
совершают гармонические колебания, равна своему классическому значе-
значению 3 к на 1 атом или cv = 3Nk на 1 г, где N — число атомов в грамме.
Принимая во внимание отличие теплоемкости от этого значения при
жизких температурах в квантовой области, запишем выражение для тепло-
тепловой энергии, связанной с колебаниями атомов, в виде
= 3Nk,	A1.6)
?
где е0 = \ cv (T) dT — тепловая энергия при комнатной температуре То,
о
которую можно взять из соответствующих таблиц.
При температурах Т, значительно превышающих То, можно прене-
пренебречь отличием cvT0 от е0, так как обе эти величины малы по сравнению
с су Т. При этом
A1.7)
Теплоемкость равна 3 А; на атом лишь в том случае, если тепловое
движение атомов имеет колебательный характер. При достаточно высо-
высоких температурах атомы свободно перемещаются по телу; теплоемкость
соответствует только поступательным степеням свободы атомов и равна
о
-у к на атом, как в одноатомном газе. Переход от колебательного движения
атомов к поступательному и связанное с ним уменьшение теплоемкости
*) Это есть величина, равная примерно энергии активации для самодиффузии
атомов в теле AU. Она обычно несколько меньше энергии связи, но такого же порядка,
что и последняя, Д{7 ^ @,5 -г- 0,7) U.

542
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
происходит постепенно в области таких температур, при которых кине-
о
тическая энергия атома -j кТ порядка высоты потенциального барьера
для перемещений атомов в теле AU/N*
Эффективной границей, разделяющей
области с предельными значениями теп-
лоемкости 3 к и у к, может служить
температура:
i
Alf
AU"
AU'
I
/i
1
f/,
i/
A .
1
1
1
ъ^
.1" :
д^ ¦*'
т — АА^
h ~ 3 UN *
A1.8)
При высоких температурах Г > Гл
тепловую энергию одного атома можно
представить в виде суммы кинетической
3
энергии поступательного движения у кТ
Рис 115 Зависимость тепловой и сРеДнего значения потенциальной, ко-
энер'гии от температуры при разных торая в случае малых колебаний также
плотностях (объемах).
равнялась -^ кТ, а теперь порядка ,-^г .
Это находится в соответствии с
емкости разрывной формулой:
при Г<ГА; c
Если T~>Th, энергия равна при этом
Активным определением тепло-
при Т > Th.
= J cvdT= J 3NkdT+ J ~
A1.9)
Для примера укажем, что в железе нормальной плотности
At/'
2,5 эв и
000°К.
При сжатии тела высота потенциального барьера возрастает, растет
и граничная температура Th, так что кривые зависимости тепловой энергии
от температуры при разных плотностях (объемах) имеют вид, схемати-
схематически изображенный на рис. 11.5.
В предельном случае Т > Th, когда тепловое движение атомов
(точнее, ядер) не отличается, от газового, тепловое давление, связанное
с этим движением, равно, как обычно,
-nkT-
NkT
§ 4. Уравнение состояния тела, атомы которого совершают
малые колебания
Будем считать, что атомы тела совершают малые колебания около-
положений равновесия, и найдем отвечающую этим колебаниям величину
теплового давления рт (V, Т). Если температура не слишком высока
и электронным возбуждением можно пренебречь, уравнение состояния

§ 4]
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТЕЛА С КОЛЕБЛЮЩИМИСЯ АТОМАМИ
543:
и внутреннюю энергию тела при этом можно записать в виде
T),	A1.10).
A1.11)
Температурную зависимость теплового давления можно сразу же
установить при помощи общего термодинамического тождества:
де
3V
A1.12).
Упругие члены, в соответствии с уравнением A1.1), удовлетворяют
этому соотношению автоматически. За1*ечая, что теплоемкость Cy = 3./VA:
не зависит от объема, получим из формулы (Tx>12j, что тепловое давление
пропорционально температуре: pT~(${V)T, где <р (V) — некоторая функ-
функция объема.
Перепишем эту формулу в виде
п 	р /ТА СУ 	 Г (у\ ST	(А Л \Ъ\
- —	г^Т "— А V' / ' т/~~ 	 ¦*¦ \ / т/~ •	у± X . 1 иг
Величина Г, характеризующая отношение теплового давления к теп-
тепловой энергии решетки, называется коэффициентом Грюнайзена. Коэф-
Коэффициент Грюнайзена при нормальном объеме тела.1 Го = Г (Fo) связан
с другими параметрами вещества известным термодинамическим соотно-
соотношением (см., например, [16]):
дТ
dV
dp
-1.
A1.14)-
Поскольку - A (g)r = х0
есть изотермическая сжимаемость-
/вещества при нормальных удловиях, а у- (
^(ббъемного теплового расширения, получим
)
су
— а — коэффициент
A1.15)
(с0 — скорость звука, определяемая сжимаемостью).
Параметры нескольких металлов при нормальных условиях приве-
приведены в табл. 11.1, взятой из работы [3] *).
Таблица 11.1
Некоторые характеристики металлов при нормальных
условиях
Qo, г /см3
Су 10~6, эрг/г- град
йо-1012, см2/дин
а-105, град~1'
Го
с0, км/сек
ео-1О~8, эрг/г
Ро, эрг/г-град^
А1
2,71
8,96
1,37
2,31
2,09
5,2
16,1
500
Си
8,93
3,82
0,73
1,65
1,98
3,95
7,71
110
РЬ
11,34
1,29
2,42
2,9
2,46
1,91
3,23
144
*) О том, что такое [30, будет сказано в следующем параграфе.

544	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
Коэффициент Грюнайзена Г соответствует уменьшенному на единицу
показателю адиабаты в случае идеального газа с постоянной теплоем-
костью { вспомним уравнение состояния газа р = (у — 1) ^ J.
В силу принятого при выводе формулы A1.13) условия, что тепло-
теплоемкость су не зависит от объема, коэффициент Грюнайзена оказался не
зависящим от температуры. В действительности 'же, в пределе очень высо-
высоких температур, когда тепловое движение атомов (ядер) становится хао-
хаотическим, уравнение A1.13) должно превращаться в уравнение состояния
2
одноатомного газа, т. е. Г—*--~- при Т —*- оо. Если представить себе, что
о
атомы тела разъединяются и разводятся на большие расстояния внеш-
внешней силой (объем растет), вещество превращается в газ даже при низкой
2
температуре, так что формально при V-+¦ оо, Г ->-s-. Как видно из таб-
о
лицы, в нормальных условиях коэффициенты Грюнайзена металлов
близки к двум.
Для того чтобы выяснить физический смысл произвольной функции —
коэффициента Грюнайзена T(V), которая появилась формально в резуль-
результате интегрирования термодинамического тождества A1.12), следует обра-
обратиться к известному из статистической физики выражению для свободной
энергии тела, атомы которого совершают гармонические колебания.
При высоких температурах, когда кТ много больше энергии колебатель-
колебательных квантов hv, удельная свободная энергия равна (см. [16])
-?г .	(И.16)
где v —некоторая средняя частота колебаний, которая связана с дебаев-
¦ской температурой 9 соотношением М> — е~1/зА;Э — 0,715 кв (например,
у железа 9 = 420° К). Первый член в A1.16) представляет собой потен-
потенциальную энергию взаимодействия атомов, совпадающую с энергией
холодного тела. Второй член описывает тепловую часть свободной энер-
энергии. Из формулы A1.16) с помощью общих термодинамических соотно-
соотношений легко найти удельную внутреннюю энергию и давление тела:
е = F—Т -|?- - ех (V) + ШкТ = ех + ет
(мы, естественно, пришли к формуле A1.11)) и
P
dv
Первое слагаемое дает уже известное нам упругое давление, а вто-
второе—тепловое. Принимая во внимание определение коэффициента Грю-
Грюнайзена A1.13), найдем
Коэффициент Грюнайзена можно связать с функцией холодного
сжатия путем следующего простого рассуждения. Средняя частота спектра
упругих колебаний решетки v, очевидно, близка к максимальной частоте.
Максимальная частота по порядку величины равна отношению скорости
распространения упругих волн объемного сжатия с0 ^минимальной длине
волны, которая в свою очередь порядка межатомного расстояния г0, так

I 4]	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТЕЛА С КОЛЕБЛЮЩИМИСЯ АТОМАМИ	545
что v <~ со/го. Но скорость звука с0 = ( — V2 ~~~ j 2, a r0 ~ V /s, откуда
2	А
v~v\—w-J ¦
Взяв логарифмическую производную от этого выражения, получим
	2 V Г rf2Px n / s dpx n
~ з 2A^2/W^
Эта формула была получена Слэтером [17] и Л. Д. Ландау
и К. П. Станюковичем [18].
Опыт показывает, что коэффициенты Грюнайзена несколько умень-
уменьшаются при сжатии (при уменьшении удельного объема V).
Чтобы представить себе порядок величины теплового давления A1.13),
укажем, что если, например, нагреть алюминий при постоянном объеме,
равном нормальному, до температуры 1000° К, то давление в нем под-
поднимется до величины рт = 51 000 атм.
При нагревании твердого тела в обычных условиях, т. е. при по-
постоянном атмосферном давлении, тело расширяется. Причина теплового
расширения тел совершенно ясна, стоит только взглянуть на формулу
для давления A1.10). При нагревании положительное тепловое давление
рТ возрастает. Для того чтобы полное давление осталось неизменным,
упругое давление рх должно стать отрицательным, т. е. тело должно рас-
расшириться до тех пор, пока силы сцепления, удерживающие атомы в решет-
решетке, или отрицательное давление не уравновесят расталкивающее действие
положительного теплового давления. Отсюда становится ясной связь
между коэффициентами Грюнайзена, теплового расширения и сжимае-
сжимаемости, которая выражается формулой A1.15). В самом деле, небольшое
расширение при постоянном давлении связано с небольшим нагреванием
условием
откуда и следуют соотношения A1.14) и A1.15) *).
Оценим для примера, насколько расширяется алюминий, если на-
нагреть его при постоянном давлении (нулевом или атмосферном, что прак-
практически все равно) от абсолютного нуля до комнатной температуры
Т = 300° К. Пользуясь константами, приведенными в табл. 11.1, найдем
^ « Го °f х0АТ « 2% (ДГ = 300° К).
При этом в состоянии с То = 300° К тепловое давление так же, как
и абсолютная величина упругого, равно рт0 = 17 000 атм. Отсюда
и видно, что атмосферное давление всегда можно считать равным нулю,
так как оно ничтожно мало по сравнению с обеими составляющими давле-
давления даже при комнатной температуре.
Если известна функция Г (V), легко найти и энтропию вещества.
Рассматривая состояния, мало отличающиеся по плотности от нормаль-
нормального, можно считать Г постоянным и равным своему нормальному значе-
значению Го. При этом для энтропии получим уравнение
de + pdV _ dZy + pydV	dT v dV
*) Мы рассматриваем только вещества с нормальными свойствами, расширяю-
расширяющиеся при нагревании.
35 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

546	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
откуда удельная энтропия равна
(y	A1.19)
где <S0 — энтропия при нормальных условиях То, Vo, которую обычно
можно найти в таблицах. Адиабатическая связь температуры и объема
дается уравнением
Выражая температуру через давление с помощью уравнения состояния
,	A1.21)
(Н.22)
найдем адиабатическую связь давления и объема:
Р-Рх(У) _.
Рт0
где рт0 = Г0суГ0/^о — тепловая составляющая давления при нормаль-
нормальных условиях**). При небольших сжатиях, которые тем не менее сопро-
сопровождаются резким повышением давления (по сравнению с атмосферным,
но не с рт0), адиабата р (V) стелется на почти постоянном расстоянии
от кривой холодного сжатия рх (V).
При относительно больших сжатиях (в 1,5—2 раза) р > рте
и относительное отклонение адиабаты от кривой холодного сжатия
[р — рх (V)]/px (V) становится малым.
§ 5. Тепловое возбуждение электронов
В простейшей модели металлических тел внешние, валентные элек-
электроны атомов металла сорваны со своих мест в атомах и все вместе обра-
образуют свободный электронный газ, целиком заполняющий кристаллическое
тело, в узлах которого располагаются ионы или атомные остатки ***).
Электронный газ подчиняется квантовой статистике Ферми — Дирака,
элементы которой были изложены в § 12 гл. III.
При абсолютном нуле температуры электронный газ полностью вы-
вырожден; в соответствии с принципом Паули электроны занимают наиболее
низкие энергетические состояния и обладают кинетической энергией, не
превышающей граничной энергии Ферми C.88):
(пе — число свободных электронов в 1 см3, тв — масса электрона).
Энергия Ео в металлах имеет обычно порядок нескольких электрон-
вольт, а соответствующая ей температура вырождения Т* — Е0/к — по-
порядка нескольких десятков тысяч градусов ****).
*) Сравните с адиабатической связью Т и V в газе с постоянной теплоемкостью
Т ~ у~<?-1); Г соответствует у — 1.
**) Изотерма есть [р —рх (V)]/pT(j = Vo/V. При малых изменениях объема
изотерма почти совпадает с адиабатой (изменение давления при этом большое).
***) Мы ограничимся здесь элементарными представлениями, не касаясь совре-
современной электронной теории металлов.
****) Например, Т* = 37 000° К у Na; 24 000° К у К; 64 000° К у Ag; 82 000° К
у Си.

S 5]	ТЕПЛОВОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	547
Кинетическая энергия полностью вырожденного электронного газа,
которая порядка Ео на один электрон, включается в упругую энергию тела
и не имеет отношения к тепловой энергии. Точно так же соответствующее
ей «кинетическое» давление включается в упругое давление наряду с «по-
«потенциальным» давлением, обусловленным электростатическим взаимо-
взаимодействием электронов и ионов. В сумме это полное давление нетеплового
происхождения равно нулю, если тело находится в вакууме при абсолют-
абсолютном нуле температуры.
При повышении температуры электроны частично переходят в более
высокие энергетические состояния, превышающие граничную энергию
Ферми, и энергия электронного газа повышается.
Если температура Т гораздо меньше температуры Ферми Т*, то,
грубо говоря, из первоначальной сферы Ферми в пространстве импуль-
импульсов вырываются электроны, отстоящие от границы Ферми на энергети-
энергетическом расстоянии порядка кТ. Число возбужденных электронов состав-
составляет долю порядка кТ/Е0 от полного числа электронов. Каждый из них
приобретает дополнительную энергию порядка кТ. Таким образом, теп-
тепловая энергия на один электрон по порядку величины равна (кТ/Е0) кТ
и пропорциональна V2/*Т2 (так как Ео ~ п%3 ~ F/s). С учетом числен-
численного коэффициента тепловая энергия электронов, рассчитанная на 1 а
металла при Т < Т*, оказывается равной (см., например, [16])
ее = -|-рГ2,	A1.23)
где коэффициент р зависит от плотности вещества и равен
' Ро = -^-^;У	A1.24)
(Зя*K
(Ne — число свободных электронов в 1 г металла; Fo — нормальный
удельный объем металла). Удельная теплоемкость при постоянном объеме
пропорциональна температуре и равна
су. = РГ.	A1.25)
Зная число свободных электронов, приходящихся на атом металла,
можно по формуле A1.24) вычислить коэффициент р0 и найти электрон-
электронную теплоемкость при данной температуре. На опыте электронную теп-
теплоемкость измеряют при очень низких температурах, при которых тепло-
теплоемкость решетки подчиняется квантовым законам и пропорциональна Т3.
При достаточно низких температурах преобладает электронная тепло-
теплоемкость, пропорциональная только первой степени Г, и ее можно изме-
измерить. При комнатной же температуре электронная теплоемкость обычно
в десятки и даже в сто раз меньше теплоемкости решетки, которая в этих
условиях постоянна и равна своей классической величине cv = 3Nk.
Экспериментальные значения коэффициентов электронной теплоем-
теплоемкости Ро для нескольких металлов приведены в табл. 11.1 *).
Если сопоставить значения теплоемкостей электронов и решетки
при различных температурах, то можно видеть, что уже при температуре
порядка 10 000° К электронная теплоемкость становится весьма заметной,
а, скажем, при 50 000° К даже больше, чем теплоемкость решетки. Сле-
Следует, однако, иметь в виду, что зависимость A1.25) справедлива только
до тех пор, пока температура меньше температуры Ферми.
•) Они совпадают по порядку величины с вычисленными по формуле A1.24).
35*

548	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
При Т > Т* свободный электронный газ с постоянным числом элек-
электронов не вырожден, и его теплоемкость равна классическому значению
о
cVe — -it Nek- В действительности же при высоких температурах возра-
возрастает само число «свободных» электронов, и электронная теплоемкость
вещества не описывается простыми формулами. Вопрос об электронной
теплоемкости плотного газа при высоких температурах подробно обсуж-
обсуждался в § 14 гл. III.
При температурах порядка 10 000—20 000° К, которые были достиг-
достигнуты в опытах по ударному сжатию металлов, до такого положения еще
далеко, и теплоемкость электронов можно приближенно считать про-
пропорциональной температуре, как это следует из формулы A1.25). Надо
сказать, что температура вырождения Т* возрастает при сжатии металла
G1* ~ V~2/»), так что температурная область, в которой справедливо
приближение ге ~ Т2, cVe ~ T, в сжатом веществе больше, чем при
нормальной плотности.
Согласно уравнению состояния для свободного электронного газа
(как вырожденного, так и невырожденного), тепловая часть давления
электронов равна
ре = |Ц?- = |р^-~^Г>.	A1.26)
Если определить «коэффициент Грюнайзена» для электронов Ге
соотношением, аналогичным A1.13),
Рв = Ге-^-,	A1.27)
то для свободного электронного газа он окажется равным 2/3.
С. Б. Кормером [3] был проведен детальный анализ температурного
поведения электронов на основе статистических моделей атомной ячейки
по Томасу — Ферми и Томасу*- Ферми — Дираку (см. § 12—14 гл. III).
Были привлечены приближенные расчеты Гильвари [19], который рас-
рассматривал температурные члены как поправку по отношению к модели
холодного атома Томаса — Ферми, расчеты Латтера [20], о которых
шла речь в § 14 гл. III, и экспериментальные данные. Этот анализ пока-
показал, что до температур порядка 30 000—50 000° К теплоемкость элек-
электронов, как и в модели свободных электронов пропорциональна темпера-
температуре: суе ~!Г, ее ~ Т2, причем с ростом плотности такая закономер-
закономерность сохраняется до все более высоких температур.
Что же касается теплового давления, то коэффициент Ге оказывается
равным 2/3 только в предельных случаях очень высоких температур или
очень больших плотностей, когда кинетическая энергия электронов гораз-
гораздо больше кулоновской. В реализованной на опытах по ударному сжа-
сжатию области температур и плотностей величина Ге несколько меньше;
она равна примерно 0,5—0,6. В результате оказалось, что можно с дос-
достаточной степенью точности принять Гв = const — 1/2.
Для того чтобы не вступить при этом в противоречие с термодинами-
термодинамическим тождеством A1.12), вместе с изменением коэффициента Ге необ-
необходимо одновременно изменить связанный с ним показатель степени
в зависимости энергии от объема, а именно, следует вместо ге ~ V2^T2
принять зависимость е„ ~ V-^T2 *).
*) Легко проверить, что при зависимости ее — v^T2 и уравнении состояния
р = rese/F с Ге = const термодинамическое тождество удовлетворяется только при

§ 7]
УДАРНАЯ АДИАБАТА КОНДЕНСИРОВАННОГО ВЕЩЕСТВА
549
Полагая коэффициент электронной теплоемкости при нормальном
объеме равным своему экспериментальному значению, можно согласно
С. Б. Кормеру записать приближенно, при Т < 30 000—50 000° К:
Ре 2 V '
§ 6. Трехчленное уравнение состояния
A1.28)
A1.29)
Резюмируем коротко результаты § 2—5. Удельную внутреннюю
энергию и давление твердого или жидкого вещества можно представить
в виде сумм трех составляющих, которые описывают упругие свойства
холодного тела, тепловое движение атомов (ядер) и тепловое возбуждение
электронов. Рассматривая не слишком высокие температуры, не выше
нескольких десятков тысяч градусов (и большие сжатия), можно в порядке
приближения считать, что атомы совершают малые колебания и что теп-
теплоемкость их равна cv = 3Nk. Электронные члены при таких темпера-
температурах описываются приближенными формулами A1.28), A1.29)>-Таким
образом, энергия и давление равны:
e, р = рх (V) + рт + ре,
где
У о ) '
Вт
Ре- г у
A1.30)
Го — комнатная температура; е0 — тепловая энергия атомной решетки
при комнатной температуре, которая берется из таблиц. Коэффициент
электронной теплоемкости при нормальном объеме р0 берется из опытов
по измерению теплоемкости при очень низких температурах.
Коэффициент Грюнайзена Г (V) связан с функцией рх (V) дифферен-
дифференциальным соотношением A1.18). Остается только одна неизвестная вели-
величина — упругое давление как функция объема рх (V), которая должна
находиться экспериментальным путем.
2. УДАРНАЯ АДИАБАТА
§ 7. Ударная адиабата конденсированного вещества
Законы сохранения потоков массы^ импульса и энергии на фронте
ударной волны A.61)—A.63) имеют совершенно общее значение, безотно-
безотносительно к агрегатному состоянию вещества, по которому распростра-
распространяется волна. Поскольку даже в очень слабых ударных волнах давления
измеряются тысячами атмосфер, начальным атмосферным давлением

-J 550
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
?ГЛ. ХЬ
всегда можно пренебречь, считая его равным нулю. Обозначим, как
обычно, через D — скорость распространения ударной волны по невоз-
невозмущенному веществу, а через и — скачок массовой скорости во фронте,
равный скорости вещества за фронтом (в лабораторной системе коорди-
координат), если перед фронтом вещество покоится. Опуская индекс у величин
за фронтом, запишем законы сохранения массы и импульса в виде
D
A1.31)
A1.32)
A1.33)
В качестве третьего, энергетического соотношения возьмем уравнение
ударной адиабаты A.71) с р0 = 0:
V (D — u) '
_ Du
P т/ •
Исключая из этих уравнений скорость и, получим
—е0 = -?- p(V0 —
A1.34)
Полная энергия, приобретаемая 1 г вещества в результате ударного
сжатия р (Vo — V), распределяется поровну между кинетической и2/2
и внутренней е — е0 энергиями (в системе
координат, где невозмущенное вещество по-
покоится). Изменение внутренней энергии в
свою очередь складывается из изменений
упругой энергии и тепловой.
Рассмотрим сначала ударную волну,
распространяющуюся по телу с нулевой тем-
температурой: То = 0, 80 = 0, Vo = F0K. Про-
Проведем на диаграмме р, V (рис. 11.6) адиа-
адиабату холодного сжатия рх (V) и ударную
адиабату рн (V), которая, естественно, про-
проходит выше, так как полное давление за фрон-
фронтом складывается из упругого и теплового.
Упругая энергия ех, приобретаемая вещест-
веществом, численно равна площади криволинейного
треугольника ОВС, заштрихованного гори-
\Рп
1 А
с —
V
1 .
'ок
v0K	•
зонтально ( ех = \ pxdV j . Полная внут-
Рис. 11.6. ?,Р-диаграмма для
ударного сжатия холодного
вещества.
РН — ударная адиабата, рх —
кривая холодного сжатия.
ренняя энергия s, согласно A1.34), равняется
площади треугольника ОАС; разность площадей, заштрихованная верти-
вертикально, и составляет тепловую энергию вещества, которое подверглось
ударному сжатию. Как видно из рис. 11.6, площадь ОАС обязательно
больше площади ОВС, если только кривая холодного сжатия выпуклая
по отношению к оси объемов ( -~ > 0 J, что обычно всегда и бывает.
Поэтому в ударной волне вещество всегда нагревается, и энтропия его
повышается. Это совершенно общее положение, наглядно продемонстри-
продемонстрированное в гл. I на конкретном примере идеального газа с постоянной
теплоемкостью, с не меньшей наглядностью вытекает в случае твердого
тела из упругих свойств вещества.

i V]
УДАРНАЯ АДИАБАТА КОНДЕНСИРОВАННОГО ВЕЩЕСТВА
551
Р
Рис. 11.7. р,К-диаграмма для
ударного сжатия твердого тела,
нагретого до комнатной темпера-
температуры.
Vh — ударная адиабата, pg —ивэнт-
ропа, р„ — кривая холодного сжатия.
Рассмотрим теперь ударное сжатие тела, первоначально находивше-
находившегося при нормальных условиях Vo, To. При этом начальное упругое
давление отрицательно, и кривая рх (V) располагается так, как это изо-
изображено на рис. 11.7. Обычная адиабата
или изэнтропа ps (V, So), проходящая че-
через начальное состояние, при уменьшении
объема несколько отклоняется вверх от
кривой холодного сжатия.
При небольших сжатиях электронное
давление ничтожно мало; коэффициент
Грюнайзена можно считать постоянным и
адиабата ps (V, So) описывается уравне-
уравнением A1.22).
Как известно (гл. I, § 18), ударная
адиабата рн (V) имеет в начальной точке
касание второго порядка с обычной адиа-
адиабатой ps (У), так что ударная адиабата
проходит, как это показано на рис. 11.7.
Рис. 11.7 выполнен в таких масштабах,
чтобы сделать наглядным взаимное распо-
расположение всех трех кривых рх, р$ и рн в
диапазоне сравнительно небольших дав-
давлений до величины порядка сотни тысяч атмосфер. Если рассматривать
широкий диапазон давлений до миллионов атмосфер, то различие между
Vo и F0K, так же как и отклонение обыч-
обычной адиабаты от кривой холодного сжа-
сжатия, почти не сказывается, а отклонение
ударной адиабаты от изэнтропы ps
или от кривой рх становится значи-
значительным вследствие усиления роли теп-
тепловых составляющих энергии и давле-.
ния, или, что то же самое, вследствие
заметного возрастания энтропии. Кар-
Картина при этом такая же, как и на рис.
11.6, где можно считать VOK=Vo и адиа-
адиабату pSo совпадающей с кривой холод-
холодного сжатия.
В ударных волнах с давлениями
порядка миллиона атмосфер тепловая
энергия, связанная с увеличением энт-
энтропии вещества, сравнима с полной
энергией. Точно так же тепловое дав-
давление сравнимо с полным давлением.
Это иллюстрируется рис. 11.8, взятым
из работы [3 ], на котором представлены
экспериментальные ударные адиабаты
меди и свинца до давлений порядка 4¦ 10й атм и полученные на основе опы-
опытов расчетным путем кривые холодного сжатия ( по оси абсцисс отло-
отложен не объем, а величина сжатия, — = -ф ) *).
Qo ' у
*) Об этих опытах и о методике получения экспериментальной кривой холодной
сжимаемости см. § 12, 13.
Pi
Рис. 11.8. Ударные адиабаты и кри-
вые холодного сжатия меди и свинца.

552
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
Рассматривая табл. 11.2, можно получить представление об относи-
относительной роли всех составляющих давления и энергии при разных давле-
давлениях ударного сжатия *).
Таблица 11.2
Параметры за фронтом ударной волны в свинце
р
Ро
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,2
V
ре
в 1010 9ии/с:и2=104 атм
25,0
65,5
133,0
225,5
335,5
401,0
21,6
51,0
95,3
156,0
233,0
277,0
3,35
13,9
34,0
56,0
73,0
93,0
0,051
0,63
3,8
12,7
29,0
41,5
Е—So
25,4
96,3
242,0
471,0
775,0
965,0
8х
су(Т-То)
в 108 эрг/г
15,3
46,7
95,8
163,2
248,0
297,0
9,6
42,3
107,0
191,0
284,0
337,0
ее
0,69
7,4
39,4
118,0
243,0
332,0
Г
1,9
1,77
1,60
1,35
1,07
0,98
т,°к
1045
3 580
8 600
15100
22 300
26 400
Из таблицы следует, что при ударном сжатии свинца в 2,2 раза вещест-
вещество за фронтом нагревается до температуры 26 400°К; при этом тепловое
давление составляет 32% от полного, а тепловая энергия — 69% от пол-
полной, причем половина тепловой энергии принадлежит электронам, а по-
половина — колебаниям атомов. Тепловое давление электронов состав-
составляет 34% от суммарного теплового давления.
В качественном отношении поведение всех других исследованных
металлов при увеличении амплитуды волны одинаково. Количественные
данные можно найти в работе [3] и обзоре Л. В. Альтшулера [55]; мы
их здесь приводить не будем.
Чем больше амплитуда ударной волны, тем большую роль играют
тепловые составляющие давления и энергии. При очень высоких давле-
давлениях порядка сотен миллионов атмосфер и выше, роль «упругих» состав-
составляющих становится малой, и вещество ведет себя практически как иде-
идеальный газ (идеальный в смысле отсутствия взаимодействия между части-
частицами). Соответственно и ударная адиабата в этих условиях в принципе
не отличается от ударной адиабаты идеального газа (с учетом процессов
«ионизации»; см. гл. III), т. е. и для твердого тела существует предель-
предельное сжатие в ударной волне. В пределе р -*- оо температура также стре-
стремится к бесконечности, атомы полностью ионизуются, и вещество пре-
превращается в идеальный, классический электронно-ядерный газ с показа-
показателем адиабаты у = 5/3, которому соответствует предельное сжатие,
равное 4 (если отвлечься от эффектов, связанных с излучением; см. гл. III).
§ 8. Аналитические представления ударной адиабаты
С помощью термодинамических функций р (V, Т), в (Т, V) в прин-
принципе можно найти в явной форме уравнение ударной адиабаты рн (V, Vo).
Фактически же это сделать нельзя, так как неизвестна теоретическая
зависимость упругого давления от объема — функция рх (V). Полезно,
однако, записать уравнение ударной адиабаты, оставляя в нем неизвест-
неизвестную функцию рх (V). Будем рассматривать ударные волны не слишком
большой амплитуды, в которых можно пренебречь электронными
составляющими давления и энергии и считать коэффициент Грюнайзена Г
*) Таблица взята из работы [3]. Для полноты картины в нее добавлены неко-
некоторые величины. Эти величины вычислены с помощью приведенных в [3] констант^

§¦ 8]	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ	553
постоянным и равным своему значению при нормальных условиях Го.
В то же время будем считать, что7 волна и не слишком слабая, так что
можно пренебречь начальной энергией невозмущенного вещества е0.
Фактически это соответствует тому, что мы считаем начальную температуру
равной нулю и не делаем различия между нормальным объемом Vo и нуле-
нулевым объемом FOk-
Подставим в уравнение ударной адиабаты A1.34) энергию е = ех + ет,
выразив тепловую часть ее ет через давление по формуле A1.21):
-п Ет	, V (р—Ру)
Р — Р* = Рт = Г01г-; е = ех + -~"^—•
у	i о
Разрешая полученное уравнение относительно р, найдем уравнение
ударной адиабаты в форме
W *J\PAV)dV,	A1.35)
v
где через h обозначена величина h = 2/Г0 + 1.
Если формально распространить формулу A1.35) на ударные волны
очень большой амплитуды, то получим, что в пределе рн ->¦ оо, Vo/V — h,
т. е. формально h представляет собой «предельное сжатие» в ударной
волне. Положение здесь вполне аналогично тому, которое имеет место
в идеальном газе с постоянной теплоемкостью. Вспомним, что показатель
Грюнайзена Г соответствует уменьшенному на единицу показателю адиа-
адиабаты у- Отсюда «предельное сжатие» h соответствует величине
(у + 1)/(у — 1) — предельному сжатию для газов.
Формальная аналогия с газами связана с тем, что в пределе рц -*¦ оо
тепловое давление играет основную роль (р-с = рн — Рх ->¦ °°> тогда как
Рх (У) -*¦ const), и уравнение состояния в этом случае не отличается от
газового.
Иногда бывает удобно представить ударную адиабату в аналитиче-
аналитическом виде, воспользовавшись какой-либо интерполяционной формулой.
Опыт показывает, что в широком диапазоне амплитуд ударных волн
зависимость между скоростью фронта и скоростью вещества за фронтом
(относительно невозмущенного) является линейной:
D = A + Bu.	A1.36)
Так, например, для железа А = 3,8 км/сек, В — 1,58 *). С помощью
соотношения A1.36) по формуле A1.34), A1.32) легко найти уравнение
ударной адиабаты:
Ударную адиабату рн (V, Vo) можно интерполировать полиномами
типа
т
определяя постоянные коэффициенты частично из результатов опытов
по ударному сжатию, а частично через параметры вещества в нормаль-
нормальном состоянии.
*) Формулу A1.36) нельзя экстраполировать к малым амплитудам р —>- 0, и —»- О,
так что константа А не есть скорость звука в нормальном состоянии.

554	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	ГГЛ. XI
§ 9. Ударные волны слабой интенсивности
Область давлений порядка нескольких десятков и сотни тысяч атмо-
атмосфер имеет большое значение для практики. Это — типичные давления,
которые развиваются при детонации взрывчатых веществ, при взрывах
в воде, при ударе продуктов детонации о металлические преграды и т. д.
В области изэнтропического течения часто используют эмпирическое
уравнение состояния конденсированного вещества типа
A1.38)
в котором показатель п считается постоянным, а коэффициент А — зави-
зависящим от энтропии; фактически его тоже всегда считают константой.
Постоянные Ann связаны между собой соотношением, в которое входит
сжимаемость вещества при нормальных условиях (скорость звука)
Ф. А. Баум, К. П. Станюкович и Б. И. Шехтер [21] в соответствии
с данными Иенсена принимали для металлов показатель п равным 4
и вычисляли по формуле A1.39) постоянные А для ряда металлов через
опытные значения сжимаемости.
При этом в ряде случаев получалось хорошее совпадение со значе-
значениями А, которые определялись теми же авторами на опыте. Так, напри-
например, для железа Ava04 = 5-Ю5 атм, что на 11% больше эксперимен-
экспериментального. Для меди -<4расч = 2,5-105 атм, что на 6% больше эксперимен-
экспериментального; для дюралюминия ^4раСч = 2,03-105 атм и практически совпа-
совпадает с опытным значением. Для воды обычно принимают п да 7—8
ii « 3000 атм.
При расчетах течений с ударными волнами в области указанных давле-
давлений можно в первом приближении пренебрегать изменением энтропии
в ударной волне и пользоваться адиабатическим уравнением состояния
A1.38) с А =.const для связи давления и сжатия во фронте волны. При
этом скорости D и и находятся из первых двух соотношений на фронте
ударной волны A1.31), A1.32) или A1.31), A1.33). Энергетическое урав-
уравнение A1.34) можно при этом использовать для того, чтобы в следующем
приближении оценить приращение внутренней энергии, связанное с не-
необратимостью ударного сжатия. В самом деле, если рассматривать A1.38)
как уравнение изэнтропы, то внутреннюю энергию в зависимости от V
можно найти, воспользовавшись уравнением TdS = de + р dV = 0:
Уравнение энергии A1.34) на фронте ударной волны с этим значе-
значением энергии и значением давления по A1.38), естественно, не удовле-
удовлетворяется. Разность
Vo
Де = ±.р (Vo-V) - J (p dF)s=const,
у
по определению, равняется приращению внутренней энергии, связанному

¦3 10]	УДАРНОЕ СЖАТИЕ ПОРИСТОГО ВЕЩЕСТВА	555
с возрастанием энтропии в ударной волне. Малость этой величины по
•сравнению с полным приращением энергии в ударной волне е — ео и яв-
является условием справедливости приближения «адиабатичности» ударного
сжатия.
Вычисление отношения Ле/(е — е0) при га = 4^ показывает, что
при V0IV = 1,1 это отношение равно 4,5%, а при V0IV = 1,2 равно
17,5% (отношение не зависит от А). Сжатие в 1,1 раза соответствует
давлениям порядка 100 000 атм (у алюминия — 90 000 атм, у железа —
210 000 атм).
Таким образом, при давлениях ~105 атм приближение «адиабатич-
«адиабатичности» ударного сжатия дает ошибку не более 5 % по энергии (по давлению
«ще меньше), что и позволяет рассматривать ударную волну как акусти-
акустическую во многих практических расчетах.
§ 10. Ударное сжатие пористого вещества
Своеобразными особенностями обладает процесс ударного сжатия
пористых тел. Экспериментальное изучение ударного сжатия одного
и того же вещества при различных на-
начальных плотностях позволяет получить
значительно более полную информацию
о термодинамических свойствах вещества
при высоких давлениях и температурах.
Пористые тела могут иметь самую различ-
различную природу и структуру (порошки, тела
с внутренними пустотами, волокнистые
тела и т. д.). Все они характеризуются
наличием более или менее крупных частиц
или участков сплошного вещества с нор-
нормальной плотностью Qo = 1/FO и пустых
участков, благодаря чему средний удель-	°	°°
иый объем Foo больше нормального Fo Рис. 11.9. Изэнтропа сжатия по-
(а средняя плотность q00 меньше нормаль-	ристого вещества,
ной Qo). Представим себе, что пористое
тело подвергается медленному, всестороннему сжатию. Сначала ра-
работа сил внешнего давления затрачивается только на «закрытие» пустот,
на уплотнение вещества и приведение его к нормальному объему. Эта
работа связана с преодолением сил трения между частицами, с раздроб-
раздроблением частиц, со смятием волокон и т. д.
Для совершения этой работы требуются сравнительно небольшие
давления, масштабом которых служат пределы прочности материалов,
т. е. для металлов давления порядка тысячи атмосфер, а для многих
веществ гораздо меньшие. Если рассматривать сжатия в диапазоне дав-
давлений, измеряемых сотней тысяч атмосфер, то практически на том участке
адиабаты, где происходит уплотнение вещества до нормального объема,
давление можно считать равным нулю, а адиабату, выходящую из точки
Foo, представить в виде отрезка оси абсцисс от V0o до Fo (p = 0), а затем
при сжатии выше нормальной плотности — в виде изэнтропы сплошного
вещества (рис. 11.9).
Рассмотрим теперь ударное сжатие пористого тела. Для простоты
будем рассматривать ударное сжатие до высоких давлений, измеряемых
сотнями тысяч и миллионами атмосфер, так что обычную адиабату сплош-
сплошного вещества можно считать совпадающей с кривой холодного сжатия.

556
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. X*
\Pncpucm.
При этом пренебрегаем эффектами, связанными с прочностью, и отли-
отличием начальной температуры То да 300° от нуля.
Будем считать, что в конечном состоянии за фронтом ударной волны
вещество является сплошным и однородным. Из законов сохранения на-
фронте ударной волны и уравнения состояния вещества следует, что-
ударная адиабата имеет вид, изображенный на рис. 11.10 (это будет
пояснено ниже). Точка, соответствующая нормальному объему Vo и нуле-
нулевому давлению р = 0, лежит на ударной адиабате. Внутренняя энергия,
приобретаемая веществом в ударной волне е = 1/2р (Voo — V), равна
площади треугольника, заштрихованного'
горизонтально. Упругая часть ее равна
площади криволинейного треугольника,
ограниченного кривой рх (V) и покрытого-
на рис. 11.10 густой штриховкой. Чем боль-
больше начальный объем Foo, т. е. чем выше
пористость вещества, тем больше разность-
площадей, отвечающая тепловой части
энергии при сжатии пористого вещества'
до одного и того же конечного объема-
(упругая энергия при заданном объеме
остается неизменной, а полная — растет).
Но чем больше тепловая энергия, тем
выше и тепловое давление. Поэтому чем
выше пористость, тем круче проходит
ударная адиабата. В частности, ударная
адиабата пористого вещества проходит вы-
выше, чем ударная адиабата сплошного, как
это показано на рис. 11.10.
Чтобы сжать пористое вещество до того-
же самого объема, что и сплошное, нужны
более высокие давления, при том тем
более высокие, чем выше степень пори-
пористости.
Картина не меняется в качественном отношении, если считать началь-
начальную температуру (и энтропию) отличными от нуля.
Для того чт|обы получить представление о том, насколько резко
возрастают тепловые составляющие давления и энергии при ударном
сжатии пористого тела по сравнению со сжатием сплошного, приведем
экспериментальные кривые ударных адиабат железа с нормальной плот-
плотностью и пористого железа с плотностью, пониженной в 1,4 раза (Foo =
= 1,412 Vo). Эти кривые (рис. 11.11) взяты из работы [1] (по оси абсцисс
отложен не объем, а сжатие по отношению к нормальной плотности Vo/V).
Например, при сжатии по отношению к нормальному объему Vo/V = 1,22,
что соответствует уменьшению объема пористого железа в 1,74 раза
(VqoIV = 1,74), давление в случае пористого железа оказывается в
2,63 раза больше, чем давление для сплошного, а энергия — в 8,64 раза
больше.
Большое нагревание при ударном сжатии пористых тел может при-
приводить к резким аномалиям в ходе ударной адиабаты. Именно, при сжа-
сжатии до данного давления вещества с высокой пористостью относительная
роль теплового давления оказывается столь большой, что плотность.
в конечном состоянии при высоком давлении оказывается меньше нор-
нормальной (V > Vo). При этом объем с возрастанием давления не умень-
Рис. 11.10. р,7-диаграмма для
ударного сжатия пористого ве-
вещества.
рпорист ~ Ударная адиабата пори-
пористого тела, Рсплоп, — ударная адиа-
адиабата сплошного тела, рх — кривая
холодного сжатия сплошного тела.

10]
УДАРНОЕ СЖАТИЕ ПОРИСТОГО ВЕЩЕСТВА
557
шается, как обычно, а увеличивается, и ударная адиабата имеет ано-
аномальный ход, изображенный на рис. 11.12.
Чтобы пояснить происхождение этого любопытного эффекта, вос-
воспользуемся уравнением ударной адиабаты, выведенным в предположе-
предположениях, что электронные давление и энергия
малы, коэффициент Грюнайзена постоянен, и р-Юебар
начальной энергией вещества можно пренебречь.
-Это есть уравнение A1.35), в котором под началь-
начальным объемом Fo следует понимать начальный
объем пористого вещества Voo (при выводе урав-
нения A1.35) нигде не оговаривалось, что веще-
•ство в начальном состоянии — сплошное):
Ph(V, Foo)=-
{h-l)Px(V)~'
h-.
/
i
1
|
/
I
/Px
1
/J
/,6 1,8 v
A1.40)
Уравнение A1.40) описывает семейство
ударных адиабат, соответствующих различным
начальным объемам Foo, т. е. различным степе-
степеням пористости, которые можно характери-
характеризовать коэффициентом к — VOo/Vo > 1. При
к = 1, Foo = Fo имеем ударную адиабату спло-
сплошного вещества. Точка V = Fo, рн — 0 удо-
удовлетворяет уравнению A1.40) при любом на-
начальном объеме FOo (так как рх (Fo) = 0, ех (Fo) = 0), так что семей-
семейство адиабат представляет собой пучок кривых, выходящих из этой
точки. По формуле A1.40) при Fo0/F->- h рц-*- °°, т. е. предельный
Рис. 11.11. Ударные адиа-
адиабаты сплошного (р4) и по-
пористого (р2) железа. рх —
кривая холодного сжатия.
I /Шеллов.
Рис. 11.12. Аномальный ход
ударной адиабаты при высо-
высокой пористости вещества.
"о
"оаг "ооз '<щ '
Рис. 11.13. Ударные адиабаты при раз-
различных степенях пористости: ft4> kh
h > &2 > ki > 1.
объем равен Fnp = VQ0/h. Если эта величина меньше Fo, что имеет место
при небольшой пористости к < h, ударные адиабаты имеют нормальный
ход, причем проходят тем выше, чем больше начальный объем. Если же
^пр > У о (что бывает при высокой пористости, когда к^> h), то ход
кривых аномален: при возрастании давления конечный объем увеличи-
увеличивается. Семейство ударных адиабат, соответствующих различным коэф-
коэффициентам пористости, показано на рис. 11.13.

558	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
Подчеркнем еще раз, что уравнение A1.40) описывает только началь-
начальный ход ударных адиабат, в области небольших давлений. В действитель-
действительности при больших давлениях существенна роль электронных членов,
и коэффициент Грюнайзена не постоянен. Но это не нарушает справед-
справедливости качественного вывода о возможности аномального хода ударной
адиабаты сильно пористого вещества.
В работе С. Б. Кормера, А. И. Фунтикова, В. Д. Урлина и А. Н. Ко-
Колесниковой [56] описаны результаты исследования ударного сжатия
пористых металлов при давлениях от 0,7 до 9 миллионов атмосфер. Там же-
сделан ряд теоретических выводов об уравнении состояния пористых
веществ и на основе экспериментальных данных определены параметры,
входящие в уравнение состояния.
§ 11. Выход не очень сильной ударной волны на свободную
поверхность тела
При опытном определении ударной адиабаты твердого тела, которое-
будет рассмотрено в следующем параграфе, широко используется так
называемое правило удвоения скоростей в волне разгрузки.
Когда ударная волна, распространяющаяся по твердому телу, выхо-
выходит на свободную поверхность, сжатое вещество расширяется, или, как
говорят, разгружается практически до нулевого давления. Волна раз-
разгрузки (разрежения) бежит назад по веществу со скоростью звука, соот-
соответствующей состоянию за фронтом ударной волны, а само разгружаю-
разгружающееся вещество приобретает дополнительную скорость в направлении
первоначального движения ударной волны *).
В этом параграфе мы будем рассматривать только не очень сильные-
ударные волны, которые сообщают твердому веществу энергию, недоста-
недостаточную для его плавления, а тем более испарения**), так что конечное
состояние вещества после разгрузки будем предполагать твердым. При
этом конечный объем разгруженного вещества Vx мало отличается от
нормального объема твердого тела Vo.
В то же время будем считать ударную волну и не слишком слабой,
так, чтобы можно было пренебречь эффектами, связанными с прочностью»
твердого тела. Давление в теле, сжатом ударной волной, предполагаем
изотропным, как в газе или жидкости. Это справедливо, когда давление-
велико по сравнению с пределом прочности, критическим напряжением
сдвига и т. д. Скорость звука при этом определяется сжимаемостью
вещества, модулем всестороннего сжатия, точно так же как в газе и жид-
жидкости. В противном случае разгрузка описывается формулами теории'
упругости, о чем будет сказано в дальнейшем.
Пусть по твердому телу распространяется плоская ударная волна
постоянной амплитуды (давление р, массовая скорость и, объем V, кото-
*) Если тело граничит не с вакуумом, а с воздухом, то движущаяся граница
разгруженного вещества играет по отношению к воздуху роль поршня и «толкает»
впереди себя воздушную ударную волну. Поэтому, строго говоря, вещество разгру-
разгружается не до нулевого давления, а до давления в воздушной ударной волне. Однако'
это давление, которое по сравнению с атмосферным может быть большим, столь мало
по сравнению с начальным давлением в твердом теле, сжатом ударной волной, что-
им всегда можно пренебречь и считать, что разгрузка в воздух не отличается от раз-
разгрузки в вакуум. Амплитуда ударной волны в воздухе определяется при этом ско-
скоростью «поршня», т. е. скоростью разгруженного твердого вещества.
**) Об испарении твердого тела, первоначально сжатого мощной ударной волной,
речь пойдет в § 21, 22.

§ 11]
ВЫХОД УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
559
рый лишь немного меньше нормального объема Vo). В определенный
момент времени волна выходит на свободную поверхность, которую
считаем параллельной поверхности фронта ударной волны. Не слишком
сильная ударная волна, в которой сжатие мало, Vo — V ¦€ Vo, не отли-
отличается от акустической волны сжатия и описывается формулами акус-
акустики. Она распространяется по те-
телу со скоростью звука с0. Давление
в ней связано с массовой скоростью
соотношением р — qoc0u (q0 = i/V0).
Начиная с момента t = О выхода
ударной волны на свободную поверх-
поверхность, по телу назад распространяет-
распространяется волна разгрузки, которая также
является акустической. Она бежит
по веществу со скоростью звука (ма-
(мало отличающейся от скорости звука
в нормальных условиях с0). Давление
в волне падает от начального р до
нуля, а вещество приобретает ско-
скорость и', связанную с изменением
давления Ар = — р акустической
формулой и'=	—=-~-(рис. 11.14;
в)
р
р
с0
Jo
р
1
р
п
и
¦Г
X
о
плотность уменьшается немного: ко-
конечная плотность CTj мало отличает-
отличается от нормальной плотности твер-
твердого тела: Ft — Vo < Vo). Из со-
сопоставления формул р — Qocou и ы' =
— p/Qt>Co видно, что дополнительная
скорость, приобретаемая веществом
при разгрузке и', равна массовой
скорости в ударной волне и, т. е. при
выходе не слишком сильной ударной
волны на свободную поверхность
скорость вещества удваивается; и^ =
р
и —»-
Со
L
0.
«к
Р
а
и'
X
X
Рис. 11.14. Профили плотности, давле-
давления и скорости при выходе не сильной
ударной волны на свободную поверх-
поверхность.
а) до момента выхода t < 0; б) после момента
выхода t > 0.
Правило удвоения скоростей мо-
можно получить и из общих уравнений
для ударной волны и волны разреже-
разрежения, если перейти в них к предель-
предельному случаю малых амплитуд волн.
Из газодинамики известно (см. § 10, гл. I), что дополнительная ско-
ность, приобретаемая веществом при разгрузке от начального давле-
рия р до конечного р^ = 0, равна:
где производные в силу адиабатичности процесса разгрузки берутся при
постоянной энтропии, равной энтропии во фронте ударной волны. Началь-
Начальная массовая скорость вещества в ударной волне в силу законов сохра-
сохранения A1.31), A1.32) равна:

560	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
В ударной волне небольшой амплитуды, где изменение энтропии мало,
сжатие также невелико; в первом приближении приращение объема
можно представить в виде
подразумевая под S энтропию исходного состояния вещества до сжатия
ударной волной. Тогда массовая скорость в ударной волне равна
(-
dV \1
В том же приближении можно пренебречь изменением адиабатиче-
адиабатической сжимаемости в диапазоне давлений от 0 до р и в формуле для и'
считать производную постоянной. Получим
р	I
= \ ( —т~- ) dp да(
0
1
dV \2	P
) р да ^ да и.
dp
Уолш и Христиан [22] из весьма общих соображений установили
верхний и нижний пределы для возможных вариаций величины допол-
дополнительной скорости и' и нашли, что при давлениях р ~ 4-Ю5 атм для
целого ряда металлов правило удвоения скоростей справедливо с точ-
точностью до 2%. Как показала экспериментальная проверка, проведенная
авторами работы [3], правило удвоения скоростей для железа выпол-
выполняется приближенно вплоть до весьма высоких давлений ~1,5-106 атм.
Вообще говоря, отклонение от правила удвоения скоростей тем больше,
чем выше амплитуда ударной волны.
Примем теперь во внимание, что ударная волна, даже слабая, не
является акустической, и энтропия в ней повышается. При этом в первом
приближении по-прежнему считаем, что дополнительная скорость после
разгрузки и' равна и, а плотность и температуру в конечном состоянии
рассматриваем в следующем приближении.
При адиабатической разгрузке тела до начального, нулевого давле-
давления, оно оказывается нагретым и расширенным по сравнению с исходным
состоянием, до сжатия ударной волной. Легко найти энергию необра-
необратимого нагревания и конечную температуру разгруженного вещества Ti,
если известны термодинамические функции и начальное состояние в удар-
ударной волне. Для этого следует воспользоваться уравнением адиабаты раз-
разгрузки de + pdV — 0, согласно которому конечная энергия е4 равна:
A1.41)
v
Поскольку энергия в ударной волне есть е = е0 + ур (Vo — V),
необратимое приращение энергии после разгрузки равно:
e1-e0==^p(F0-F)-J (pdV)s.	A1.42)
v
Величина этой энергии изображается разностью площадей криволи-
криволинейного треугольника DBCS и треугольника ABC на рис. 11.15, на кото-
котором кривая Н представляет собой ударную адиабату, а кривая S —

§ 11]
ВЫХОД УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
561
адиабату разгрузки. Численно эта энергия равна разности площадей
верхней и нижней заштрихованных фигур.
Предположим, что амплитуда ударной волны невелика, так что все
три объема V, Vo, Vi мало отличаются друг от друга и коэффициент Грю-
найзена можно считать постоянным и равным своему нормальному зна-
значению Го. В этом случае адиабатическая связь температуры и объема
дается формулой A1.20), так что конечная температура Т± связана
с температурой в ударной волне Т соот-
соотношением
С другой стороны, рассматривая про-
процесс теплового расширения тела при по-
постоянном, нулевом давлении от исходного
объема Уо до объема Vu можно записать
Vi—V0 = Vtia(Tl-T0), A1-44)
где a — коэффициент объемного теплового
расширения. Необратимое приращение
энергии A1.42) выражается через прира-'
щение температуры формулой
V
vn v,
Рис. 11.15. р,У-диаграмма для
6l	g0 = ср (Ti — Tq),	ударного сжатия и разгрузки
твердого тела.
где Ср —¦ теплоемкость тела при постоян-
постоянном давлении *).
Если известны объем и температура в ударной волне, то из системы
двух уравнений A1.43), A1.44) можно вычислить объем и температуру
в конечном состоянии.
В качестве примера приведем результаты для алюминия, полученные
в работе [23]. При ударном сжатии алюминия до давления р =
= 2,5-105 атм объем уменьшался до величины
У\р	V = 0,82 Fo, а температура повышалась на
уг Т — То ~ 331° (исходная температура То была
	^—	1	»~ равна 300° К). После разгрузки остаточное нагре-
нагревание составляло 7\ — То = 134° **).
Прир = 3,5-109а»ш, F = 0,78F0, Т — То =
= 522°, a Tt- To =216°.
Рис. 11.16. Импульс сжа-
сжатия треугольной формы.
Естественно, чем сильнее ударная волна, тем большую энтропию
она сообщает веществу и тем выше остаточное нагревание.
Если по плоской пластине распространяется ударная волна, за"фрон-
за"фронтом которой давление и скорость не постоянны, а падают, например,
импульс сжатия треугольной формы (рис. 11.16), то после выхода такой
волны на свободную поверхность тела может произойти откол. Явление
откола заключается в следующем. После отражения волны сжатия от сво-
свободной поверхности профиль давления в теле образуется в результате
сложения двух волн: падающей — волны сжатия и отраженной — волны
разгрузки. В акустическом приближении (см. § 3 гл. I)
Р = Qc [Л (х — ct) + /2 (х + ct)\,
*) В твердых телах в небольшом диапазоне изменений температуры она прак-
практически не отличается от теплоемкости при постоянном объеме cv.
**) Остаточная температура в работе [23] вычислялась точнее, чем это дает
формула A1.43), с учетом небольшого изменения коэффициента Грюнайзена при
изменении объема; для этого интегрировалось «точное» уравнение адиабаты с пере-
переменным Г (F).
36 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

562
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
X,
-с
'2 /
X
-с
где функция fi описывает падающую волну, которая распространяется
со скоростью звука вправо, а /2 — отраженную волну, распространяю-
распространяющуюся влево. В данном случае функция/4 отвечает треугольному профилю
давления, показанному на рис. 11.16.
Функцию /2 можно установить, исходя
из граничного условия — равенства
нулю давления на свободной поверх-
поверхности.
Функции ft и /2, а также составлен-
составленные из них распределения давления
в теле в момент выхода ударной волны
на свободную поверхность и в два по-
последующих момента времени изобра-
изображены на рис. 11.17. Если коорди-
координата свободной поверхности есть xt
(рис. 11.17), то область х > xt соот-
соответствует пустоте и определение функ-
функций /j и /2 в области х > xt является
чисто формальным. Физически реаль-
реальными являются лишь значения /ь /2
и давления при х < хи т. е. в теле.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
функции /j и /2 при х>гс1 на рис. 11.17
показаны пунктиром.
Из рис. 11.17 видно, что после от-
отражения волны сжатия от свободной
поверхности в теле возникают отрица-
отрицательные давления, т. е. на тело дей-
действует растягивающее усилие. Если
растягивающее напряжение превышает
предел прочности вещества на разрыв,
то в соответствующем месте тела про-
происходит разрыв, «откол»: от поверхности
тела откалывается пластинка материала
и отделяется от остального тела, отлетая
от поверхности с определенной скоро-
скоростью. Так, например, сталь при импуль-
импульсивных нагрузках разрушается при
усилиях порядка 30 000 кГ 1см2.
§ 12. Экспериментальные методы
отыскания ударной адиабаты
твердых тел
у*>
t-t.
I
A, f> Г
- с
x,
t-t.
3
Рис. 11.17. Отражение акустической
волны сжатия треугольного профиля
от свободной поверхности.
о) t = t\ относится к моменту выхода
переднего фронта волны на свободную
поверхность; б) I = (j и «) t = t3 отно-
относятся к последующим моментам.
Законы сохранения массы и им-
импульса A1.31), A1.32) связывают между
собой четыре параметра фронта ударной
волны: скорость распространения удар-
ударной волны по невозмущенному веществу
D, скачок массовой скорости и, равный
скорости движения сжатого вещества относительно невозмущенного,
давление р и удельный объем V (или плотность q = 1/F). Если измерить
на опыте скорости D и и, то по формулам A1.31), A1,32) можно найти

§ 12]
МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
563
вв
Металл
V
давление и объем, а затем, воспользовавшись уравнением энергии A1.34),
вычислить удельную внутреннюю энергию е.
Таким образом, задача отыскания всех механических параметров
фронта ударной волны сводится к экспериментальному определению
каких-либо двух из них, в частности наиболее доступных для измерения
кинематических параметров: скоростей D и и.
Скорость фронта D можно измерить на опыте сравнительно просто,
регистрируя моменты прохождения фронта ударной волны через изве-
известные координатные точки, отстоящие друг от друга на заданном рас-
расстоянии. Измерить столь же непосредственным
образом скачок массовой скорости и экспери-
экспериментально гораздо труднее, поэтому для оты-
отыскания второго параметра прибегают к различ-
различным косвенным методам, привлекая для этой
цели те или иные механические соображения.
Излагаемые ниже экспериментальные мето-
методы исследования сжимаемости твердых тел
с помощью мощных ударных^олн и измерения
параметров фронта были предложены и раз-
разработаны Л. В. Альтшулером, К. К. Крупни-
ковым, Б. Н. Леденевым и А. А. Бакано-
вой [1—5], а [также американскими авторами
Уолшем и Христианом и др. [22—26] (послед-
(последними — за исключением метода «торможения»;
см. ниже). Однако советскими учеными был
исследован "гораздо более широкий диапазон
давлений, до 4 миллионов атмосфер.
Мысль об использовании измерения кине-
кинематических параметров с целью изучения удар-
ударной адиабаты независимо от предыдущих иссле-
исследователей развивалась в работах Ф. А. Баума,
К. П. Станюковича и Б. И. Шехтера [21], которые проводили изме-
измерения со сравнительно слабыми ударными волнами.
В работах [1—3] описаны три метода измерения параметров ударной
волны, сущность которых мы сейчас изложим (см. также [55]).
1. Метод «откола» основан на измерении скорости движения сво-
свободной поверхности тела, разгружающегося после выхода на поверх-
поверхность ударной волны, и применении правила удвоения скоростей, согласно
которому массовая скорость и приближенно равна половине скорости
движения свободной поверхности щ. Этот метод имеет ограниченную
применимость, так как при очень больших давлениях начинаются замет-
заметные отклонения от правила удвоения, что приводит к эксперименталь-
экспериментальным ошибкам в определении и. Принципиальная схема опыта состоит
в следующем.
С зарядом взрывчатого вещества соприкасается плоская пластина
исследуемого материала, как показано на рис. 11.18 (соответствующая
диаграмма движения на плоскости х, t изображена на рис. 11.19). Когда
детонационная волна выходит из ВВ на границу с металлом, происходит
распад разрыва; по металлу со скоростью D идет ударная волна (линия
АВ), скорость движения .контактной границы между ВВ и металлом
(линия АЕ) равна массовой скорости металла и (по ВВ распространяется
отраженная волна АС). После выхода ударной волны на свободную
поверхность (точка В) снова происходит распад разрыва, по образцу
36*
Рис. 11.18. Схема опыта
в методе «откола».

564
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
назад бежит волна разгрузки BF, а граница металла приобретает удвоен-
удвоенную скорость Ui Ai 2и (линия ВН). Для измерения скорости фронта D
в работах [1—5] на определенных расстояниях внутри образца, как
показано на рис. 11.18, устанавливались электроконтактные датчики,
которые замыкались в моменты прохождения фронта волны и посылали
импульс, регистрируемый с помощью специальной электрической схемы
и осциллографа.
Разделив расстояние d на время, можно было найти среднюю ско-
скорость фронта на «базе» измерения d (базы d были порядка 5—8 мм, ско-
скорости D ~ 5—10 км/сек, время ~10~6 сек.
Это потребовало разработки специальных
методов регистрации столь малых времен).
Аналогичным образом с помощью электро-
электроконтактных датчиков измерялись и моменты
прохождения через заданные координатные
точки границы разгружающегося вещест-
вещества*) (см. рис. 11.18). Электроконтактный
метод измерения скоростей был предложен
В. А. Цукерманом и К. К. Крупниковым.
Таким путем была промерена ударная адиа-
адиабата железа до давлений р ~ 1,5-10е атм
(D ~ 7,5 км/сек, и ~ 2,4 км/сек).
Метод «откола» не годится для иссле-
исследования пористых материалов, так как в этом
скорость и' при разгрузке оказывается значи-
не имеет силы.
Рис. 11.19. х, f-диаграмма для
«откольного» опыта.
SB
Рис. 11.20. Схема опыта в ме-
методе торможения.
случае дополнительная
тельно меньше скорости и и правило удвоения
2. Метод «торможения». Для изучения более мощных ударных волн,
для которых правило удвоения скоростей вносит заметную ошибку,
авторами работы [1 ] был использован другой
метод, названный ими методом «торможения».
Данный метод в принципе является абсо-
абсолютно точным и пригодным для изучения
любых материалов, в том числе и пористых.
В этом методе с помощью заряда ВВ раз-
разгоняется до скорости w пластина, сделанная
из исследуемого материала. Пластина (удар-
(ударник У) ударает по другой, покоящейся пластине (мишени М), сделанной из
того же самого материала. Схема опыта показана на рис. 11.20, а диаграм-
диаграмма ж, t — на рис. 11.21. В момент удара возникают две ударные волны,
распространяющиеся по обоим телам (АВ и АС на диаграмме х, t). Дав-
Давления р и массовые скорости и по обе стороны контактной границы между
телами одинаковы и равны тем же величинам на фронте обеих ударных
волн до тех пор, пока последние не достигают других границ образцов **).
Той же скоростью и обладает и сама контактная граница (линия АЕ).
Профили давлений и скоростей после удара изображены на рис. 11.22.
В силу идентичности материалов идентичны и обе ударные волны,
т. е. равны скачки массовых скоростей в обеих волнах. Для мишени
скачок скорости совпадает со скоростью движения сжатого вещества и,
поскольку мишень первоначально покоилась. Что же касается ударника,
то перед ударной волной вещество движется со скоростью полета удар-
*) Для предохранения от замыкания Сдатчиков воздушной ударной волной,
которую «гонит» граница металла, на датчики надевались защитные колпачки.
**) См. § 24 гл. I.	,

§ 12]
МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
565
ника w, а за волной — со скоростью и, так что скачок скорости по абсо-
абсолютной величине равен w — и. Следовательно, w — и = и ж и = w/2.
Таким образом, задача сводится к измерению скорости фронта D в мишени
и скорости полета ударника w. Эта задача экспериментально решается
так же, как и в методе «откола», с помощью системы электроконтактных
датчиков.
Методом торможения в работе [1] была снята ударная адиабата желе-
железа вплоть до давлений р ~ 5-10е атм (D ~ 12 км/сек, и ~ 5 км/сек,
Vo/V ~ 1,75). Было исследовано также
пористое железо с плотностью в 1,4 раза
меньшей нормальной.
Метод торможения можно перенести
и на тот случай, когда исследуемая мишень
и ударник сделаны из разных материалов,
однако при этом в качестве ударника не-
необходимо брать вещество с известной
ударной адиабатой. В ряде случаев это
оказывается более целесообразным, чем
делать ударник из исследуемого материа-
материала, так как путем соответствующего вы-
выбора вещества ударника можно от одного
и того же заряда ВВ получить в исследуемом веществе более мощную
ударную волну.
Если материалы ударника и мишени различны, то, несмотря на равен-
равенство давлений в обеих ударных волнах, скачки скоростей уже не одина-
одинаковы, так что w — и Ф и.
Однако если ударная адиабата ударника известна, то изве-
известна зависимость давления от скачка массовой скорости, т. е. функ-
функция p = f(w — и). С другой стороны, давление р
связано со скачком массовой скорости в мишени,
равным скорости контактной границы и, фор-
формулой A1.32): р = DulV0.
Измеряя, как и раньше, скорость ударной
волны в мишени и скорость ударника w, можно
найти скорость и из уравнения
Рис. 11.21. х, «-диаграмма для
опыта с торможением.
М
X
w \
f(w-u) =
Du
Vn
A1.45)
х
Рис. 11.22. Профили давле-
Для этой цели очень удобен графический
метод, основанный на использовании диаграммы
ния и скорости после удара давление — скорость (см. § 24, гл. I). Эти
в методе торможения. диаграммы широко применяют при рассмотре-
рассмотрении различных процессов с ударными волнами,
в которых участвуют две соприкасающиеся среды, так как на кон-
контактной границе между средами давления и скорости одинаковы.
Рассмотрим столкновение ударника и мишени с помощью диаграм-
диаграммы р, и, где и — массовая скорость веществ'а в лабораторной системе
координат, в данном случае в системе, в которой мишень вначале покоится.
На рис. 11.23 начальные состояния мишени (р = 0, и = 0) и летящего
ударника р = 0, и — w изображаются точками О и А. Если измеренная
скорость ударной волны на мишени есть D, то геометрическим местом
состояний вещества мишени в ударной волне служит прямая р = ~
'0

566
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
с известным наклоном DIV0. Изобразим ударную адиабату вещества
ударника, имея в виду зависимость давления не от объема, а от
скачка скорости, равного в данном случае
w — и: р = / (w — и). Точка пересечения
В обеих линий согласно уравнению A1.45)
и определяет состояние (давление и мас-
массовую скорость) в обеих ударных волнах.
Если ударник и мишень сделаны из одного
материала, то, как мы уже знаем, точка
пересечения лежит как раз посередине
между абсциссами точек О и А (и = w/2).
3. Метод «отражения». В этом методе
используются закономерности, которым
подчиняется процесс распада произволь-
произвольного разрыва, возникающего при отраже-
отражении ударной волны от границы двух сред
(см. § 24 гл. I). Он обладает тем преиму-
преимуществом по сравнению с предыдущими, что
не нуждается в измерении массовых ско-
скоростей, которое в экспериментальном отношении гораздо сложнее, чем
измерение скорости фронта ударной волны. Однако для этого метода
О
Рис. 11.23. р,м-диаграмма для
опыта с торможением: ДВА —
ударная адиабата ударника;
ОВМ — геометрическое место
состояний мишени после удара.
и
'' А
и'
А
Р
В
В
X
и
А
В
«' А
В
и
X
м
К
В
Рис. 11.24. Профили давления и скорости и х, f-диаграмма для опыта
с отражением.
а) Случай, когда отраженная волна — ударная. ОС — ударная волна в А;
СМ — ударная волна в J3; CN —отраженная ударная волна в А; КСК—линия
контакта А и В. б) Случай, когда отраженная волна — волна разрежения. ОС —
ударная волна в А; СМ—ударная волна в В; CN—голова волны разрешения; СТ —
хвост волны разрежения; КСК — линия контакта А и В.
необходимо иметь эталонное вещество с известным уравнением со-
состояния. Метод был разработан авторами работы [2] совместно с
Г. М. Гандельманом.

§ 12]
МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
567
Ра
Рассмотрим переход сильной ударной волны из среды А в среду В.
По веществу В при этом всегда идет ударная волна, отраженная же волна
в А может быть либо ударной, если вещество В «жестче», чем А, либо
волной разрежения, если В «мягче», чем А (это проще всего себе предста-
представить, если рассмотреть такие предельные случаи: А — газ, В — твердое
тело и А — твердое тело, В — газ).
Профили скоростей и давлений в обоих случаях изображены на
рис. 11.24. Там же даны соответствующие диаграммы х, t.
Рассмотрим этот процесс с помощью диаграммы давление — скорость
(в исходном состоянии оба вещества, А и В, покоятся в лабораторной
системе координат).
Предположим, что уравнение состояния вещества А известно. Изо-
Изобразим на р, и-диаграмме (рис. 11.25) ударную адиабату вещества А
Ра (и) Для первой ударной волны, распро-
распространяющейся по невозмущенному мате-
материалу. Если измерить на опыте скорость
фронта начальной ударной волны Di,
то состояние в ней изобразится точкой
я (Ра, иа) — точкой пересечения прямой
р = Diu/V0A с ударной адиабатой рл (и).
После отражения этой ударной волны
от границы между средами А ж В в веще-
веществе А возникает новое состояние. Если
отраженная волна ударная, то состояние
лежит на ударной адиабате вторичного
сжатия, для которой исходным является
состояние а (ра, Va, ua); эта ударная
адиабата изображается кривой рн, выхо-
выходящей вверх из точки а.
Если же отраженная волна — адиаба-
адиабатическая волна разрежения, то новое
состояние лежит на изэнтропе разрежения,
идущей из точки а вниз (кривая ps)- Поскольку уравнение состояния
вещества А предполагается известным, то как ударную адиабату вто-
вторичного сжатия рн (V, Va, ра), так и изэнтропу разрежения с энтропией,
равной Sa = S (pa, Va), можно преобразовать так, чтобы вместо объема
в качестве аргумента вошла скорость. В йервом случае это делается
путем использования соотношений на фронте ударной волны, во втором
с помощью соотношений, справедливых для волны разрежения (см. § 10
гл. I).
Если измерить на опыте и скорость ударной волны!) в среде В, то гео-
геометрическим местом состояний в этой волне служит прямая р = Du/V0B.
Точка пересечения Ъ этой прямой с кривой pHaps — геометрическим
местом возможных состояний в веществе А после отражения ударной
волны — и определяет давление и скорость в ударной волне в В, равные
давлению и скорости контактной границы А ж В (см. рис. 11.24).
На диаграмме р, и рис. 11.25 изображен второй случай, когда при
отражении возникает волна разрежения. В первом случае прямая р =
= Du/V0B проходит выше прямой р — Diu/V0A и точка пересечения
b лежит выше точки а на ударной адиабате вторичного сжатия вещества
А, которая описывается кривой арн*).
*) Отсюда, между прочим, видно, какой величиной характеризуется «жесткость»
вещества. Предположим, что ударные волны не очень сильные и их скорости близки
Рис.
11.25. р,м-диаграмма для
опыта с отражением.

568	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
Итак, методика «отражения» состоит в следующем. В пластине из
материала А с известным уравнением состояния создается ударная волна
либо непосредственно от заряда ВВ, либо путем удара другой пластины,
предварительно разогнанной ВВ до большой скорости. Эта волна выхо-
выходит в образцы исследуемых материалов В, среди которых в том числе
имеется и образец из материала А (схема опыта показана на рис. 11.26).
Регистрируя моменты замыкания электроконтактных датчиков, располо-
расположенных в местах, указанных на рис. 11.26 стрелками, определяют скорости
фронта Dt и D. Построив ударную адиабату рА (и) на р, ц-диаграмме
и проведя прямую р = D^uIVoa, находят точку а —состояние в ударной
волне в А. Затем проводят через точку а вверх ударную адиабату вторич-
вторичного сжатия, а вниз — обычную адиабату и наносят прямую р = DulV0B,
тем самым определяя искомое состояние Ъ (р, и) в ударной волне в иссле-
исследуемом образце.
Фактически (на опыте) изменения давления между состояниями а
и Ъ всегда были небольшими. В этих условиях, как показали расчеты,
кривая pHaps с большой точностью может
быть представлена как зеркальное ото-
бражение ударной адиабаты первичного
ТА 1 А I к 1 В 1	сжатия в точке а. Заметим, что наклон
|	i	кривой pHaps в точке а определяется
I I I I	скоростью звука за фронтом первичной
Рис. 11.26. Схема опыта с отра- Ударной волны в А. В самом деле, в волне
жением.	разрежения, так же как и в слабой волне
сжатия dp = ± qc du (см. формулу A.59)),
т. е. наклон кривой pHaps в точке а есть
dp
du
с
= qc = -у-, где с и V—ско-
V—скорость звука и объем в веществе А, сжатом первой ударной волной. Методы
экспериментального определения скорости звука за фронтом ударной
волны будут рассмотрены ниже.
Методом отражения в работе Л. В. Альтшулера, К. К. Крупникова
и М. И. Бражник [2] были сняты ударные адиабаты целого ряда метал-
металлов (Gu, Zn, Pb и др.). Метод был использован для изучения сжимаемости
хлористого натрия в работе [5], а также применялся в большинстве работ
зарубежных ученых. Чаще всего в качестве материалов экрана А исполь-
использовались железо, алюминий или латунь.
§ 13. Извлечение кривой холодного сжатия из результатов
опытов по ударному сжатию
Одним из наиболее ценных результатов опытов по ударному сжатию
твердых тел является определение кривых холодного сжатия вещества
Рх (V), которые характеризуют силы отталкивания, действующие между
атомами тела. Функции рх (V) и ех (V) находят путем теоретической
обработки экспериментальных данных по ударной адиабате вещества.
Для отыскания кривой холодного сжатия в широком диапазоне сжатий
и давлений в работе [3] были использованы трехчленные представления
термодинамических функций р (V, Т), е (V, Т) A1.30). Электронные
к скоростям звука: D ъ* eg, Dj m сд. Вещество В жестче, чем А, и отраженная вол-
волна — ударная, если cBIVB > cAIVA или qbcb > Qaca-
Величину qc называют иногда акустическим импедансом. Она определяет связь
давления и скорости в акустической или слабой ударной волне: р = qcu.

§ 13] КРИВАЯ ХОЛОДНОГО СЖАТИЯ ПО ДАННЫМ УДАРНОГО СЖАТИЯ	569
члены ре и ее записывались на основе чисто теоретических соображений
(см. § 5, 6), причем для коэффициентов электронной теплоемкости ро
брались известные экспериментальные значения.
Принимая экспериментальные зависимости р (V), г (V) вдоль удар-
ударной адиабаты, соотношение A1.30) можно рассматривать как два урав-
уравнения относительно трех неизвестных функций рх (V), Г (F) и Т (V),
где Т (V) — зависимость- температуры от объема вдоль ударной
адиабаты.
В качестве третьего, недостающего уравнения можно использовать
связь между коэффициентом Грюнайзена Г (V) и кривой холодной сжи-
сжимаемости px(V), которая дается формулой Слэтера — Ландау A1.18) *).
Численное решение этой системы уравнений дает кривую холодного
сжатия рх (V), функцию Г (F) и температуры в ударной волне Т. Таким
путем и были получены данные, содержащиеся в табл. 11.2 и на графи-
графиках рис. 11.8 (§ 7).
Конкретные результаты для других исследованных металлов можно
найти в таблицах работы [3].
Если известны из опыта ударные адиабаты для пористого и сплош-
сплошного веществ, то можно обойтись и без привлечения связи между функ-
функциями Г (V) и p-s.{V). А именно, рассматривая не слишком высокие тем-
температуры и пренебрегая электронными членами ре, ге, можно записать:
1	Ает	1 Епориот (') есшгош (')
Г ~ VApT ~ V Рпорист(^)— РсплошОО '
где величины в правой части — опытные значения на ударных адиа-
адиабатах сплошного и пористого вещества при сжатии их до одного и того же
объема. Упругие составляющие давления и энергии при этом в обоих
случаях одинаковы, так что разности е и р равны превышениям чисто
тепловых энергии и давления в сжатом пористом веществе по сравнению
со сжатым сплошным веществом.
Таким способом в работе [1 ] была получена кривая холодной сжи-
сжимаемости железа (она изображена на рис. 11.2 в § 2).
В работе [5] была найдена кривая холодного сжатия хлористого
натрия. Сопоставление с выражениями для сил отталкивания в ионных
кристаллах позволило определить входящие в эти формулы параметры,
характеризующие силы взаимодействия.
Метод вычисления температуры на ударной адиабате в волнах срав-
сравнительно низкой амплитуды, когда тепловые члены малы по сравнению
с упругими, а ударная адиабата близко совпадает с кривой холодного
сжатия, описан в работе [22] (электронные члены при этом, естественно,
не учитываются).
Для аналитического описания ударной адиабаты и кривой холодного
сжатия вещества рх (V) часто пользуются интерполяционными формулами
различного типа. Для этого задаются функциями определенного вида,
содержащими несколько параметров, которые определяют с помощью
тех или иных опытных данных. Примером может служить широко рас-
распространенная формула рх = A [(V0/V)n — 1 ], содержащая два параметра,
А и п. В работе [5] при исследовании хлористого натрия кривая рх (V)
получалась в аналитической форме путем использования степенного или
экспоненциального представления для сил отталкивания в ионных кри-
*) В ряде случаев была использована несколько иная связь между 'функциями
Г (V) и рх (V), которая дается формулой Дугдала — Макдональда [27].

570	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
сталлах. Входящие в выражение константы определялись путем сравне-
сравнения с данными по динамической сжимаемости.
С. Б. Кормер и В. Д. Урлин [14] построили интерполяционную
формулу для кривой холодного сжатия в виде
n=l
Коэффициенты ап определялись без привлечения опытных данных
по ударному сжатию только из условий связи коэффициентов с извест-
известными параметрами нормального состояния (сжимаемостью, коэффициен-
коэффициентом Грюнайзена и др.) и условия, чтобы при больших давлениях кривая
смыкалась с зависимостью, следующей из модели Томаса — Ферми —
Дирака. При этом получилось хорошее совпадение с кривыми рх (V),
извлеченными из опыта*).
3. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И РАСЩЕПЛЕНИЕ ВОЛН
§ 14. Статическая деформация твердого тела
Выше, при изучении ударного сжатия твердых тел, всегда предпо-
предполагалось, что давление в сжатом веществе изотропно, имеет гидростатиче-
гидростатический характер, как в жидкости или газе. Увеличение плотности рассма-
рассматривалось при этом как результат всестороннего сжатия вещества. Соот-
Соответственно, упругие свойства вещества характеризовались одной-един-
ственной величиной, сжимаемостью х = — Y \~d~J ' К0Т0Рая опре-
определяла скорость распространения акустических волн сжатия (и разре-
разрежения) — скорость «звука»:
dV
Так можно поступать только в том случае, когда давления достаточно
велики, и эффекты, связанные с прочностью твердых тел и существованием
сдвиговых деформаций и напряжений, не играют роли. Если нагрузки
малы, необходимо принимать во внимание упругостные свойства твердого
тела, отличающие его от жидкости. Это существенным образом влияет
на характер динамических процессов и, в частности, на распространение
упругих волн сжатия и разрежения. Так, оказывается, что в твердом
теле акустические волны могут распространяться с различными о'коро-
стями, в зависимости от конкретных условий. Прежде чем рассматривать
эти динамические явления, посмотрим, как ведет себя твердое тело при
статических нагрузках. При этом считаем, что деформации и нагрузки
малы, так что справедлива линейная теория упругости.
Состояние деформированного тела описывается двумя тензорами:
тензором деформаций и тензором напряжений. В дальнейшем мы оста-
остановимся только на нескольких простейших случаях однородных дефор-
деформаций (когда каждый элемент тела деформирован одинаковым образом),
*) В дальнейшем С. Б. Кормер, В. Д. Урлин и Л. Т. Попова [15] усовершен-
усовершенствовали этот метод, добавив к ряду еще один член с использованием одной экспери-
экспериментальной точки на ударной адиабате. Получилось очень хорошее совпадение с экс-
экспериментальными кривыми.

§ 14]
СТАТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
571
которые характеризуются простыми и наглядными величинами. Поэтому
не будем вводить тензор деформации в общем виде *).
Компонента тензора напряжений ст^, где индексы i и к обозначают
координатные направления х, у, z, представляет собой проекцию на г-ю
ось силы, которая действует на единичную площадку в теле с направле-
направлением нормали вдоль оси к. Компоненты
<*хх, ®уу< o"zz представляют собой нормаль-
нормальные напряжения, аху, oxz, ayz — каса-
касательные или сдвиговые (рис. 11.27). Тен-
Тензор aik симметричен, т. е. oxz = azx,
Рассмотрим несколько примеров де-
деформаций.
1. Представим себе цилиндрический
стержень длины L и диаметра d, к торцам
которого приложено сжимающее усилие —
давление р. Ось z направим вдоль оси
стержня, как показано на рис. 11.28. Боко-
Боковую поверхность стержня предполагаем
свободной. Под действием нагрузки стер-
стержень укорачивается на длину AL и утол-
утолщается (диаметр увеличивается на Ad).
В данном случае отлично от нуля
только нормальное напряжение в осевом
направлении azz, которое равно внешнему давлению ozz = р. Нормаль-
Нормальные напряжения в поперечных направлениях ахх, оуу отсутствуют,
так как боковая поверхность стержня свободна и ничто не препятствует
стержню расширяться в этом направлении. Касатель-
Касательные или сдвиговые напряжения аху, axz, oyz в выб-
выбранной системе координат также равны нулю, что
очевидно.
По закону Гука при малых деформациях относи-
относительное укорочение стержня пропорционально прило-
приложенному усилию:
AL __ р
L ~~ Е
Рис. 11.27. Схема, иллюстрирую-
иллюстрирующая смысл компонент тензора на-
напряжений.
тт
V////////////77///
Рис. 11.28. Схема
сжатия стержня.
ЁГ
A1.46)
где Е — модуль Юнга (это есть определение модуля
Юнга).
Относительное утолщение стержня пропорционально относитель-
относительному укорочению:
^U-o--^-,	A1-47)
где о — коэффициент Пуассона.
Коэффициент Пуассона всегда положителен и меньше 1/2. Это сле-
следует из того, что при сжатии стержня последний становится толще, при-
причем объем его может при этом только сократиться, но не увеличиться
(при неизменном объеме d2L = const, -j- = —у -j-, <т =-к-).
2. Пусть боковая поверхность стержня зажата таким образом, что
при осевом сжатии стержень не может деформироваться в поперечном
*) См. об этом, например, в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [28].

572	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
направлении (стержень помещен в гильзу с жесткими стенками). При
этом возникают нормальные напряжения в поперечном направлении
о"жж = Оуу, которые как раз уравновешивают внешнее боковое усилие,
действующее со стороны стенок гильзы.
Нормальное осевое напряжение azz по-прежнему равно внешнему
сжимающему давлению р. В теории упругости доказывается, что относи-
относительное укорочение стержня при односторонней, осевой деформации
связано с внешним давлением соотношением, аналогичным (П.46):
L ~ E' ~~ E'
где
Величина Е' всегда больше, чем модуль Юнга Е: чтобы укоротить
стержень, зажатый сбоку так же, как и свободный, необходимо прило-
приложить к нему большее сжимающее усилие. Нор-
Нормальные напряжения в поперечных направлениях
равны
га	о	и
охх = <УуУ = -j—^- azz = -j-^- p. A1.50)
Касательные напряжения в выбранной системе
*- координат отсутствуют. Все соотношения в рассмот-
х ренных двух примерах справедливы и в случае
Рис. 11.29. Деформа- растяжения стержня.
ция чистого сдвига	3. При всестороннем сжатии (и расширении)
в одном направлении. т6ло меняет объем, сохраняя свою форму, т. е.
остается подобным самому себе. Чтобы осуществить
всестороннее сжатие, к поверхности тела нужно приложить постоян-
постоянное давление. Тензор напряжения при всестороннем сжатии диаго-
диагоналей (оху = axz = ayz = 0); все три нормальные компоненты одина-
одинаковы и равны давлению. Это имеет место при любом выборе системы
координат. «Давление» в теле в этом случае «изотропно» и имеет гидро-
гидростатический характер, как в жидкости.
При малых деформациях относительное изменение объема *) про-
пропорционально давлению:
-AL=_Xp =_-?-,	A1.51)
где к — сжимаемость, а обратная величина К = 1/х — модуль всесто-
всестороннего сжатия.
4. Рассмотрим еще деформацию чистого сдвига в одном направлении,
как показано на рис. 11.29. При чистом сдвиге тело только меняет свою
форму, но не меняет объема. В примере, показанном на рис. 11.29, отлично
от нуля только одно касательное напряжение oxz. Все остальные ком-
компоненты тензора напряжений равны нулю. По закону Гука угол сдвига
пропорционален ^скалывающему усилию т (на единицу площади),
*) Сумма диагональных компонент тензора деформации равна ихх + иуу
+ uzz = AV/V. При всестороннем сжатии иху = uyz = uxz = 0.

14]
СТАТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
573
которое равно напряжению oxz:
0«tg0 = ^- = -^,	A1.52)
где G — модуль сдвига.
Как известно (см. [28]), произвольную деформацию можно предста-
представить в виде суммы сдвиговых деформаций и всестороннего сжатия (рас-
(расширения). Благодаря такой внутренней связи деформаций одностороннего
сжатия стержня и элементарных деформаций всестороннего сжатия
и сдвига четыре характеристики материала Е, а,
К, G не независимы, а связаны между собою двумя
соотношениями.
Можно показать (см., например [28]), что
9KG	_ 1 3K—2G
°~ 2 3K + G '
Е =
ж обратно,
3K + G
Е
A1.53)
к=-.
A1.54)
в
/¦
Рис. 11.30. К вопро-
вопросу о недиагонально-
сти тензора напря-
напряжения.
A—2а) '¦
Так, закон Гука для односторонней деформации
стержня, зажатого с боков A1.48), можно записать
через модули К и G в виде
Для ориентации в численных значениях параметров материала ука-
укажем, что для железа (обработанного с 1% углерода)
Е « 2,1 ¦ 10е кГ/см\ G « 0,82 • 106 кГ/см2,
Я «1,61-10е кГ/см*, а«0,28.
При всестороннем сжатии или растяжении тела в любой системе
координат тензор напряжения диагоналей, и все три компоненты его
одинаковы. При прочих деформациях тензор напряжения диагоналей
и касательные напряжения отсутствуют лишь в некоторых специально
выбранных системах координат. Примером тому служат рассмотренные
выше деформации сжатия стержня: свободного и зажатого сбоку. Нера-
Неравенство диагональных элементов тензора напряжений связано с тем, что
в действительности деформация не является всесторонним сжатием (рас-
(растяжением) и содержит в себе элемент сдвига. Это проявляется в явной
форме, если перейти к другой системе координат или, что то же самое,
рассмотреть силы, действующие на наклонные к оси стержня площадки.
При этом сразу же становится ясным, что на наклонные площадки дей-
действуют касательные напряжения, что и свидетельствует о существова-
существовании сдвиговых деформаций.
Вычислим касательное напряжение, действующее на площадку,
наклоненную к направлению действия внешнего давления под углом 45°
(рис. 11.30). Для простоты рассмотрим не цилиндрический стержень, а
плоский слой, бесконечный в направлении у и зажатый сбоку так, что в на-
направлении х смещений нет. В системе координат х, у, z имеются напряже-
напряжения 0ZZ и охх = Оуу. Чтобы найти касательное напряжение, действующее
на плоскость АВ, введем новую систему координат x'y'z', повернутую
*) Из формулы видно, что а ¦< 1/2, так как К > 0.

574	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
относительно старой вокруг оси у (оси у и у' совпадают). По правилу
преобразования тензоров при повороте системы координат найдем
ov2- = Gzz cos2 45°—ахх cos2 45° = -^ (а„ — ахх).
Это есть касательное напряжение, действующее в направлении оси х'
на площадку АВ, нормаль к которой направлена вдоль оси z'.
§ 15. Переход твердого тела в текучее состояние
Одним из характерных свойств твердого тела, отличающим его от
жидкости, является устойчивость формы твердого тела, сопротивляемость
по отношению к сдвигу. В жидкости отсутствует сопротивление по отно-
отношению к сдвигу, жидкость с легкостью принимает любую форму, лишь
бы при этом не менялся ее объем (плотность). Касательные, сдвиговые
напряжения в жидкости отсутствуют в статическом состоянии *).
Жидкость характеризуется нулевым модулем сдвига G = 0. Фор-
Формально при G = 0 коэффициент Пуассона по формуле A1.53) равен а = Х1г.
Тензор напряжений при этом в любой системе координат диагоналей,
причем все три нормальные компоненты его одинаковы и равны «гидро-
«гидростатическому» давлению, которое «изотропно». Упругие свойства жидкости
характеризуются только ее сжимаемостью или модулем всестороннего
сжатия.
Известно, что при достаточно больших нагрузках, не сводящихся
к всестороннему сжатию, твердое тело меняет свои упругие свойства
и становится пластичным, текучим, в некотором отношении подобным
жидкости.
Текучее состояние твердого тела характеризуется не полным отсут-
отсутствием касательных напряжений, как в жидкости, но отсутствием воз-
возрастания касательных напряжений при возрастании сдвиговых дефор-
деформаций. Начиная с некоторых критических сдвиговых деформаций и напря-
напряжений, твердое тело перестает сопротивляться дальнейшему увеличению
сдвига.
Выше модуль сдвига G был определен как коэффициент пропорцио-
пропорциональности между касательным напряжением при чистом сдвиге и сдвиго-
сдвиговой деформацией (см. формулу A1.52)). В силу линейности зависимости
напряжения и деформации при этом одновременно пропорциональны
и приращения деформации и напряжения:
(при чистом сдвиге на угол 0, как показано на рис. 11.29).
В текучем состоянии твердого тела, после того как сдвиг Э и напря-
напряжение axz станут больше критических Экр, акр, дальнейший рост напря-
напряжения при увеличении деформации прекращается (или резко замед-
замедляется). Это иллюстрируется диаграммой oxz @) рис. 11.31. Если фор-
формально определить модуль сдвига в этом состоянии как коэффициент
пропорциональности между приращениями daxz и dQ, но не между самими
величинами oxz и 0, то его следует положить равным нулю.
Рассмотрим одностороннее сжатие нетекучего и текучего тел. Пусть
тело цилиндрической формы заключено в цилиндрический сосуд с жест-
*) Они возникают только в момент изменения формы и зависят не от самих
деформаций, а от скорости их изменения.

§ 15]
ПЕРЕХОД ТВЕРДОГО ТЕЛА В ТЕКУЧЕЕ СОСТОЯНИЕ
575
81
I
вк	в
Рис. 11.31. Диаграмма ка-
касательное " напряжение —
угол сдвига.
кими стенками и сжимается поршнем вдоль оси (рис. 11.32). Изо-
Изобразим схематически, как меняется при этом расположение атомов
тела (рис. 11.33). Решетку считаем для простоты кубической. Если тело
нетекучее, то межатомные расстояния в направ-
направлении оси сокращаются, а в поперечных на-
направлениях остаются неизменными; при этом
атомы остаются на «своих местах». Это пока-
показано на рис. 11.33, б.
Если же тело текучее, то сокращаются все
межатомные расстояния, происходит перестрой-
перестройка решетки, такое перераспределение атомов,
что решетка и в сжатом состоянии остается
кубической (рис. 11.33, в). Для наглядности
«атомы» на рис. 11.33 перенумерованы *).
Первый случай (рис. 11.33, 6) содержит
в себе элемент сдвига. Действительно, в неде-
формированном состоянии (рис. 11.33, а) про-
проекция атома 2 на наклонную плоскость АВ,
проходящую через атомы 1—6 двух соседних
горизонтальных рядов, ложится в точку С,
находящуюся на середине отрезка АВ. При
деформации нетекучего тела (рис. 11.33, б)
точка С сдвигается ближе к точке В. Наклон-
Наклонные ряды атомов сдвигаются по отношению
друг к другу: верхний ряд 2—7—12 сдвигается по отношению к ниж-
нижнему ряду 1—6—11 вправо и вниз.
При деформации же текучего тела решетка по-прежнему кубическая,
проекция атома 5 на наклонную плоскость АВ, проходящую через атомы
1—13, точка С, как и в недеформированном состоя-
состоянии, лежит посередине отрезка АВ. Наклонные
ряды атомов 5—10 и 1—13 не сдвинуты по отноше-
отношению друг к другу, как и в недеформированном
состоянии.
При деформации тело приобретает упругую
энергию за счет работы внешних сил, производя-
производящих деформацию. Если тело нетекучее, эта энергия
связана как с изменением объема, так и со сдви-
сдвигом. При данном объеме упругая энергия мини-
минимальна, если сжатие всестороннее и сдвиговых
деформаций нет. Поэтому при одностороннем сжа-
сжатии нетекучего тела до данного объема тело нахо-
находится в неравновесном состоянии. Равновесное со-
состояние при данном объеме соответствовало бы все-
всестороннему сжатию, т. е. перестроенной кристал-
кристаллической решетке.
Для перестройки решетки нужна «энергия активации», атомам нужно
преодолеть потенциальные барьеры **). При небольших нагрузках пере-
перестройки не происходит, твердое тело ведет себя по отношению к дефор-
деформации как нетекучее.
Рис. 11.32. Схема од-
одностороннего сжатия
стержня.
*.) Не следует, конечно, думать, что перемещение определенных атомов про-
происходит именно так, как показано на рис. 11.33.
**) Возможно, перестройка связана с макроскопическим раздроблением час-
частиц тела.

576
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
Однако при достаточно больших нагрузках твердое тело утрачивает
свою «жесткость», нетекучесть и уподобляется жидкости, т. е. приобре-
приобретает способность перестраиваться таким образом, чтобы энергия его при
данном объеме была минимальной.
В частности, при одностороннем сжатии тела это случается, когда
касательное напряжение в плоскости, наклоненной под углом 45° к направ-
направлению сжимающего усилия aX'Z' (см. ко-
конец предыдущего параграфа), превышает
предел — критическое напряжение сдви-
сдвига 0кр.
Замечая, что
А\
г
А
\7
\
8
10
13
15
1
2
\OZZ <
1
1—2а
1
2
1 —
1-
•2а
-а
А •?
Г"
9
13
•
.3
.4
8
найдем критическую сжимающую нагрузку
ркр, выше которой происходит переход тела
в текучее состояние:
ркр = ~^2оир.	A1.56)
В отличие от термодинамических кон-
констант вещества (модуля Юнга или сжи-
сжимаемости), критическое напряжение сдвига,
как величина, характеризующая прочность,
сильно зависит от обработки металла, при-
примесей и т. д. Для железа примерно акр =
= 600 кГ/см2, ркр = 1900 кПсм1.
Рассмотрим одностороннее сжатие тела
в направлении z под действием сжимающе-
сжимающего усилия р. В поперечных направлениях
х, у деформаций нет (стержень зажат сбоку).
Будем формально описывать переход из не-
нетекучего в текучее состояние, полагая в за-
законе пропорциональности между прираще-
приращениями напряжения и деформации модуль
сдвига равным нулю при нагрузках, превышающих критическую. По
формулам A1.48), A1.55) или р = ozz < ркр
А<(
>
Г
п
А '
\« \/
\
15 чч^
Z .6
0 7
S
/ \2
J
4
i
Рис. 11.33. Схема, иллюстри-
иллюстрирующая деформацию нетеку-
нетекучего (б) и текучего (в) тел;
а — недеформированное со-
состояние.
Ozz =
~ "Г" 3
По формулам A1.50), A1.53) при этом
= Оуу = ( К ¦	g- G
do
L ' d{MIL)
xx _ „	2_-,_
L) ~	3 '
Ox-z' - ~y {Gzz — Oxx) - Ь -J- , d {AL/?)
= G.
После того как нагрузка достигла критической величины, положим
в формулах для производных от напряжений (но не в формулах для самих

16]
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
577
напряжений) G = 0. Получим при р > рКр*
dazz	daxx 	 rr	""ax'z'
d(M/L) = d{AL/L) ~ ' d(AL/L)
= 0.
A1.57)
Рис. 11.34. Диаграмма 'напряже-
'напряжение — деформация для односто-
одностороннего сжатия тела.
Нормальные напряжения azz, oxx, ayy растут теперь одинаково
в соответствии с модулем всестороннего сжатия (при одностороннем
сжатии AL/L = AVIV). Касательное на-
напряжение в наклонной плоскости остается
неизменным и равным ovZ' = сгКр ( кри-
критическая реформация равна ( ~г ) =
.— ??? Л . Диаграмма напряжение — де-
деформация изображена на рис. 11.34.
При нагрузках меньших критической
и порядка критической ozz Ф охх «давле-
«давление» имеет существенно негидростати-
негидростатический характер. В пределе, когда на-
нагрузки достаточно велики, р > ркр, от-
относительная разность (azz — oxx)/<yzz —
--= 2o"KP/crzz —>¦ 0, т. е. все три нормаль-
нормальных напряжения становятся почти оди-
одинаковыми. Касательное напряжение
<jX'Z> = 0кр становится малым по сравнению с нормальным. Оно остается
постоянным или же медленно возрастает, гораздо медленнее, чем раньше.
л
§ 16. Скорость распространения акустических волн
Перенесем результаты предыдущих параграфов на случай динами-
динамических нагрузок и найдем скорости распространения акустических волн
объемного сжатия (и разрежения)
в различных условиях.
Пусть к торцу тонкого стержня
со свободной боковой поверхностью
в начальный момент приложено по-
постоянное сжимающее усилие—-дав-
усилие—-давление р *).
По телу побежит волна сжатия.
Обозначим скорость ее распростра-
распространения через с4. Вещество между фрон-
фронтом волны и торцом деформируется,
как в примере 1 § 14, и приобретает в направлении действия силы, вдоль
оси постоянную скорость и. Как видно из рис. 11.35, относительное уко-
укорочение стержня в сжатой области равно [cj — (сх — и) t]/ctt = u/ct.
Если рассматривать небольшие нагрузки и деформации, то по закону
Гука A1.46)
р
-*	c,t	»-
ut -«— (с,-и) t —*-
Рис. 11.35. Схема, иллюстрирующая
распространение акустической волны
сжатия.
и
Е
A1.58)
*) Такая постановка задачи аналогична задаче о поршне, рассматриваемой
в газодинамике (см. гл. I).
**) В динамическом процессе, который протекает адиабатически, модуль Юнга
несколько отличается от употребляемого в статике и соответствующего изотермиче-
37 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

578	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
За время t масса вещества, охваченного волной Qctt (на единицу
поперечного сечения стержня), приобретает импульс qc^tu, который
по закону Ньютона равен pt, так что
A1.59)
Эта формула вполне аналогична соответствующей формуле в газодина-
газодинамике. Из соотношений A1.58), A1.59) следует выражение для скорости
распространения волн сжатия по стержню (скорости «звука»):
С такой же скоростью распространяется и волна растяжения или
волна разгрузки, если снять со сжатого стержня сжимающую нагрузку.
Представим себе теперь, что стержень зажат с боковой стороны,
как в примере 2 § 14, т. е. в волне сжатия вещество не деформирует-
деформируется в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения
волны *).
Повторяя предыдущие рассуждения и воспользовавшись формулой
A1.55), найдем скорость «звука» для этого случая:
-f-=
Скорость с,- есть не что иное, как «продольная» скорость звука —
скорость распространения продольных волн в неограниченной упругой
среде **).
Действительно, когда волна сжатия распространяется по неограни-
неограниченной среде, никаких смещений в плоскости, перпендикулярной к направ-
направлению распространения, не происходит, явление протекает так же, как
и в случае стержня, зажатого сбоку.
Скорость сг всегда больше скорости волны в свободном стержне,
так как Е' > Е (см. § 14).
Со скоростью ci распространяются лишь достаточно слабые волны
сжатия (и разрежения), в которых «давление», точнее, нормальное напря-
напряжение, действующее на плоскость, перпендикулярную к направлению
распространения, достаточно мало, меньше критического, определяемого
формулой A1.56). Если волна распространяется по уже напряженному
веществу (скажем, волна разгрузки), то меньше критического должна
быть абсолютная величина перепада напряжения (см. об этом подробнее
в § 17). Если же динамическая нагрузка велика, больше критической,
ским условиям. Это отличие обычно ничтожно мало (см. [28]). То же относится и к коэф-
коэффициенту Пуассона и модулю всестороннего сжатия. Адиабатический и изотермиче-
изотермический модули сдвига не отличаются друг от друга, так как сдвиг не сопровождается
изменением объема тела.
*) Стержень можно считать свободным, но рассматривать времена, за которые
волна сжатия проходит расстояния, значительно меньшие диаметра. Волна разгрузки
с боковой поверхности распространяется к оси с конечной скоростью, так что к рас-
рассматриваемому времени она охватывает только периферийный слой. В центральных
же областях, близких к оси, никаких поперечных смещений при этом еще не происхо-
происходит, и деформация этих слоев — односторонняя.
**) Скорость распространения поперечных волн, в которых смещения частиц
перпендикулярны к направлению распространения волны и в которых происходит
только деформация сдвига, без сжатия и разрежения, равна: ct = У G/q;

§ 17]	РАСЩЕПЛЕНИЕ ВОЛН СЖАТИЯ И РАЗГРУЗКИ	579
то сжатое твердое вещество, как было указано в предыдущем параграфе,
переходит в текучее состояние, подобное жидкости.
Скорость распространения волн, как мы знаем, определяется произ-
производной от «давления» по объему, в данном случае от нормального напря-
напряжения по объему. В текучем состоянии эта производная пропорциональна
модулю всестороннего сжатия так, как если бы модуль сдвига был равен
нулю. Поэтому скорость распространения достаточно сильных акустиче-
акустических волн сжатия и разрежения определяется только сжимаемостью
материала:
Скорость Ci иногда называют скоростью упругих волн, а скорость
с0 — скоростью пластических волн; с0 всегда меньше, чем ci\ например,
у железа сг = 6,8 км/сек, с0 = 5,7 км/сек. Скорость распространения
сильных волн сжатия (ударных волн) зависит от амплитуды волны. Она
всегда больше с0 или близка к этой величине. Скорость распространения
слабых возмущений всегда равна с;, независимо от амплитуды, поскольку
возмущения распространяются с такой скоростью только в том случае,
когда они малы.
Вопросы распространения волн разрежения и сжатия в упруго-пла-
упруго-пластической среде с нелинейной зависимостью между напряжением и дефор-
деформацией, подобной зависимости azz (AL/L), которая показана на рис. 11.34,
подробно исследовал X. А. Рахматулин. Ссылки на оригинальные работы
в этой области можно найти в обзоре X. А. Рахматулина и Г. С. Шапи-
Шапиро [29].
В следующем параграфе будет рассмотрен простейший случай рас-
распространения волн при указанных свойствах вещества.
§ 17. Расщепление волн сжатия и разгрузки
Посмотрим, что реально происходит, если к поверхности плоского
тела в начальный момент приложить постоянное давление р. Будем счи-
считать давление достаточно малым для того, чтобы деформация линейно
зависела от давления, т. е. подчинялась закону Гука. Нарисуем диаграмму
р, V для состояния сжатого вещества за фронтом волны. Учитывая
«неизотропность» давления в случае слабых деформаций, будем вместо
давления оперировать нормальной составляющей напряжения, действую-
действующей на площадку, параллельную поверхности фронта волны, ozz, если
волна распространяется вдоль оси z. По оси абсцисс будем откладывать
удельный объем тела. При малых деформациях и давлениях состояние
описывается законом Гука в форме A1.55), который, согласно опреде-
определению A1.61), можно переписать в виде
Ozz = -у~ QCl, Ctzz < Ркр-
Когда давление превышает критическое ркр, а изменение объема
превышает AVKV/V = pKV/Qcf, тело становится текучим и наклон пря-
прямой ozz (AV) меняется. По формулам A1.57), A1.62) имеем в этой области
~^Г QCl + const> Ozz > Ркр-
37*

580
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕПАХ
[ГЛ. XI
Диаграмма ozz, V изображена на рис. 11.36.
Если внешнее давление р '< ркр, по телу побежит одна «упругая»
волна сжатия со скоростью сг (рис. 11.37, а; состояние 1 на диаграмме
ozz, V рис. 11.36). Если же приложенное давление р > ркр, то в теле
окончательно достигается состояние 2 на диаграмме ozz, V. Однако
в этом случае по телу бежит уже не одна, а две волны: «упругая» с ампли-
амплитудой ркр и состоянием за фронтом Т, а вслед за нею «пластическая» с
состоянием за фронтом 2 (см. рис. 11.37,6).
Поскольку с0 <С Q, пластическая волна
не догоняет упругую, так что комбинация
двух волн устойчива *). Пластическая
волна бежит по чуть сжатому веществу,
которое движется со скоростью икр =^Е .
Эта скорость весьма мала, например,
в железе сжатие в упругой волне равно
AV
—Ш — 5-10"*, а скорость ыкр = 3,6 м/сек.
Массовая скорость в пластической волне
Ркр
Рис. 11.36. Диаграмма напряже- равна и
ние (давление) — объем.
Qco
относительно вещества,
движущегося в упругой волне, и и' + икр
относительно невозмущенного вещества.
Если рассматривать волны сжатия большой амплитуды, а тем более
ударные волны с давлениями в сотни тысяч атмосфер и выше, то эффектами
предварительного сжатия вещества упругой волной до одной-двух тысяч
атмосфер и разгона его до скорости порядка нескольких метров в секунду
пренебречь, считая, что пластическая волна распространяется
Ре
а) /><РкР
х
б)
Ро~Р
б)
и+и
кр
Ш-
Рис. 11.37. Два случая распростра-
распространения акустической волны сжатия:
а) одна упругая волна; б) система пла-
пластической и упругой волн.
X
Рис. 11.38. Два случая распростра-
распространения акустической волны раз-
разгрузки:
а) одна упругая волна; б) система пла-
пластической и упругой волн.
по неподвижному невозмущенному веществу со скоростью, соответствую-
соответствующей сжимаемости с0.
Ударные волны достаточно большой амплитуды распространяются
со скоростью, заметно превышающей с0. Если скорость ударной волны
D > сг, то расщепления волн вообще не происходит: ударная волна как бы
с самого начала бежит скорее упругой и слита с нею в одну волну.
*) Эффект существования комбинации упругой и пластической волн сжатия
отмечался в работе Банкрофта [30] и др., посвященной фазовому переходу в железе
{см. об этом § 19).

§ 18]	СКОРОСТЬ ЗВУКА В ВЕЩЕСТВЕ, СЖАТОМ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ	581
Расщепление волн на упругую и пластическую происходит и в случав
достаточно сильной разгрузки предварительно сжатого вещества. Пусть
вещество разгружается от давления р0 до давления р (например, сначала
по телу путем сжатия его поршнем была запущена волна сжатия с дав-
давлением р0, а затем через какое-то время давление на поршне падает до
величины р). Если р0 — р < pKV, по сжатому веществу бежит одна упру-
упругая волна разгрузки со скоростью сг. Если же р0 — р > j?Kp» T<> впереди
бежит упругая волна разгрузки, в которой давление падает от р0 до
Ро — Ркр> а вслед за нею с меньшей скоростью распространяется пласти-
пластическая волна разгрузки, в которой давление падает до величины р, рав-
равной давлению на «поршне» (в частности, если поршень вообще «убирается»,
р может быть равным нулю). Эти два случая показаны на рис. 11.38.
Явление расщепления волны разгрузки на две наблюдалось экспе-
экспериментально в работе [4], которая будет описана в следующем параграфе.
Авторы этой работы дали наблюдаемым явлениям приведенное выше
объяснение.
§ 18. Измерение скорости звука в веществе,
сжатом ударной волной
Большой интерес представляет экспериментальное определение ско-
скорости звука за фронтом ударной волны. С этой скоростью распростра-
распространяются возмущения, догоняющие ударную волну и воздействующие
на ее амплитуду *). Скоростью звука (или
адиабатической сжимаемостью) определяется
наклон обычной адиабаты на диаграмме р, V,
которая проходит через точку, описывающую
состояние за фронтом ударной волны, т. е. ею
определяется начальное поведение сжатого
вещества при разгрузке и поведение его в сла-
слабой вторичной ударной волне. Знание скорости Dt
звука важно для установления уравнения со-
состояния вещества, для правильной постановки
опытов по ударному сжатию. Наконец, значения
скорости звука и в твердом веществе при вы-	F	'
соких давлениях интересны и для ряда про- Рис. 11.39. Геометрическое
блем геофизики.	построение в опыте с боко-
Методика измерения скорости звука за	вой РазгРУЗК0Й-
фронтом ударной волны была разработана
Л. В. Альтшулером, С. В. Кормером совместно с М. П. Сперанской,
Л. А. Владимировым, А. И. Фунтиковым и М. И. Бражник [4]. Один
из методов (метод боковой разгрузки) состоит в следующем. Удар-
Ударному сжатию подвергается цилиндрический образец ступенчатой формы
(рис. 11.39). После прохождения фронтом волны угла О начинается боко-
боковая разгрузка. Возмущения от разгрузки догоняют фронт и ослабляют
ударную волну. На ослабленном периферийном участке поверхности
фронта скорость фронта уменьшается и поверхность искривляется, как
показано на рис. 11.39, центральный же участок поверхности, до кото-
которого возмущения к данному моменту времени еще не успели добежать,
остается плоским, а скорость ударной волны на нем — прежней. Точку,
*) Напоминаем, что ударная волна распространяется по веществу за ее фронтом
с дозвуковой скоростью.

582
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
где начинается ослабление ударной волны, легко найти из простых гео-
геометрических соображений. За время t от момента прохождения фронтом
угла О фронт уходит на расстояние Dt. Вещество, ранее находившееся
около угла, сносится вперед на расстояние ut, а самые ранние возмуще-
возмущения, которые родились в момент прохождения угла и которые распро-
распространяются по веществу со скоростью звука с, к этому моменту дости-
достигают сферы радиуса ct, описанной из точки А, так что ослабление
	 ударной волны начинается в точке В
(см. рис. 11.39). Рассматривая треуголь-
треугольники OBF и ABF, можно связать скорость
звука со скоростями D, и и тангенсом
«угла разгрузки» а:
-л/<*•>•+
в
Рис. 11.40. Схема опыта с боко-
боковой разгрузкой.
Задача сводится к определению ско-
скорости фронта D и угла а (ударная адиабата
вещества предполагается известной, так
что массовую скорость и можно вычис-
вычислить). Экспериментально она разрешается
таким образом. При выходе ударной волны
на свободную поверхность последняя ле-
летит вперед с определенной скоростью. На
центральном (неослабленном) участке по-
поф
(
верхности фронта эта скорость везде одинакова, а на периферийном
(ослабленном) — меньше, как показано стрелками на рис. 11.40.
На опыте регистрируют моменты прихода свободной поверхности
к плексигласовой пластинке П (это делается фотографическим путем
с^разверткой во времени). На пленке по-
получается картина, изображенная на
рис. 11.40 (в момент удара вещества
о плексиглас возникает свечение, которое
и дает кривую на пленке). По пленке
определяют точку В и, зная геометрию
опыта, — угол разгрузки а. (Заметим, что
В — не угловая точка.)
Оказалось, что у воды граница ослаб-
ослабленной и невозмущенной областей поверх-
поверхности фронта довольно резкая и вычис-
вычисленный по скорости звука с модуль сжатия
q0c2 меньше наклона ударной адиабаты
Qo-f (в переменных р, q/qo) в точке, соот-
соответствующей состоянию за фронтом, что
находится в полном согласии с взаимным
расположением ударной адиабаты и изэнт-
ропы, показанных на рис. 11.41.
У металлов же (железа, меди) кривые на пленке имеют закруглен-
закругленную форму без четко выраженной границы, так, как будто периферийные
участки поверхности фронта разгружены сильно, а более близкие к центру
(к оси образца) — очень слабо.
Модуль сжатия Q0c2, вычисленный по точке начала слабого искривле-
искривления поверхности фронта, оказался больше соответствующего наклона
Рис. 11.41. Диаграмма давле-
давление — плотность.
Н — ударная адиабата, S — изэнтро-
па разгрузки; КК — касательная
к изэнтропе в точке, соответствующей
состоянию в ударной волне.

S 18]
СКОРОСТЬ ЗВУКА В ВЕЩЕСТВЕ, СЖАТОМ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
583
ударной адиабаты q0 dp/dq примерно в 1,5 раза. Экспериментальные
данные приведены в табл. 11.3, взятой из работы [4].
Таблица 11.3
Вещество
Вода .
Медь .
Железо
а, граЭ
47,5
41,0
46,5
D, км/сек
4,42
5,24
5,34
и, км/сек
1,52
0,87
0,98
Упругая
с,, пм/сек
5,6
6,33
7,15
Упругая
Pocf ,
10W бар
31,4
357,8
401,3
dp
po-dV'
1010 бар
34,2
288,8
298,2
Пласти-
Пластическая
Р0<=2,
1010 бор
240
240
Это явление было объяснено авторами на основе представлений
о существовании двух скоростей звука в твердом теле, о которых было
рассказано в § 15, 16. Слабые возмущения разрежения распространяются
по сжатому веществу со скоростью упругих волн сг (в сжатом сильной
ударной волной веществе давление «изотропно»). Эта повышенная «упру-
«упругая» скорость звука и соответствует началу слабого искривления поверх-
поверхности фронта; отвечающий ей модуль сжимаемости Qotf оказывается
слишком большим, больше наклона
ударной адиабаты (?оз^> так как
скорость ударной волны соответствует
меньшей, «пластической» скорости
звука. По несколько разгруженному
веществу бежит «пластическая» волна
с уменьшенной, «пластической» ско-
скоростью звука. С этой скоростью рас-
распространяются значительные возму-
возмущения, оказывающие существенное
ослабляющее влияние на фронт удар-
ударной волны. Скорость пластической
волны определяется только сжимае-
сжимаемостью и именно с ней должен срав-
сравниваться наклон ударной адиабаты. Модуль сжатия QoCq, вычисленный
с «пластической» скоростью звука с0, оказывается у металлов, как и у воды,
меньше, чем наклон Qo;r-> в полном соответствии с теорией ударной
адиабаты (вода, как жидкость, обладает только одной, пластической,
скоростью звука с0). Существование двух скоростей звука сильно затруд-
затрудняет точное определение границы «пластической» разгрузки, которая
и представляет основной интерес, так как именно ею определяется сжи-
сжимаемость вещества. Для того чтобы освободиться от влияния этого эффек-
эффекта, авторами работы [4] был разработан другой метод (метод догоняющей
разгрузки, который в своей первоначальной форме был предложен
Е. И. Забабахиным). В этом методе рассматривается соударение разо-
разогнанной пластинки и образца, сделанных из одного и того же исследуе-
исследуемого материала с известной ударной адиабатой, х, ^-диаграмма процесса
показана на рис. 11.42.
От точки соударения О по обеим телам распространяются ударные
волны ОА и ОВ. После того как ударная волна в ударнике доходит до сво-
свободной границы В, там начинается разгрузка, и волна разрежения бежит
Рис. 11.42Д"Гж,нщаграмма для опыта
с догоняющей разгрузкой.

584
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
по веществу, догоняя фронт ударной волны в образце в точке А. С этого
момента амплитуда ударной волны ослабляется и траектория фронта
загибается, как показано на рис. 11.42.
Определяя на опыте траекторию фронта ударной волны в стадии
заметного ослабления АЕ и рассматривая процесс распространения возму-
возмущений разрежения, можно найти скорость звука в сжатом веществе
за фронтом. Поскольку рассматривается стадия сильного ослабления
ударной волны, к которому приводит только пластическая волна, но н&
упругая, несущая слабые возмущения, определяемая на опыте скорость
звука есть «пластическая» скорость, связанная со сжимаемостью вещества
(подробности этого метода см. в [4]).
Для иллюстрации в табл. 11.4 приводим некоторые результаты
измерений. Для сравнения там же указаны скорости звука (пластиче-
(пластические) с0 при нормальных условиях.
Таблица 11.4
Измеренные на опыте скорости звука при высоких давлениях
Металл
А1
Си
Fe
р, 1010 бар
195,5
160,0
379,6
311,7
347,8
284,9
Vo/V
1,76
1,701
1,694
1,638
1,650
1,600
с0, км/сек
11,74
11,23
9,48
8,93
9,48
9,53
со, км/сек
(при нормаль-
нормальных условиях)
5,2
3,9
5,7
§ 19. Фазовые превращения и расщепление ударных волн
Многие твердые вещества могут при разных условиях пребывать
в различных кристаллических модификациях. При некоторых значениях
температур и давлений, связанных определенной зависимостью, возможны
переходы из одной модификации в другую. Эти переходы сопровождаются
изменением объема и выделением (или поглощением) скрытой теплоты,
являясь фазовыми переходами первого рода. Подобные переходы часта
называют полиморфными превращениями вещества *).
Примером вещества, способного испытывать полиморфное превра-
превращение, может служить железо. При атмосферном давлении и температуре
910° С железо превращается из а-фазы в у-фазу; переход сопровождается
уменьшением объема на 2,5% и поглощением скрытой теплоты 203кал/молъ.
Полиморфные превращения часто происходят при высоких давлениях.
В частности, указанный переход в железе при температуре, немного
превышающей нормальную, протекает при давлении 130 000 атм.
Своеобразные явления возникают при ударном сжатии вещества,
способного испытывать полиморфные превращения при высоких дав-
давлениях. Эти явления рассматривались теоретически (главным образом
*) В волнах достаточно большой амплитуды происходит плавление твердого
вещества, которое также является фазовым переходом первого рода. Вопросы плавле-
плавления в ударных волнах в настоящее время не изучены ни экспериментально, ни тео-
теоретически.

§ 19]
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ И РАСЩЕПЛЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН
585
а)
б)
В
качественно) в работах Банкрофта, Петерсона и Миншэлла [30], Даффа
и Миншэлла [31], Драммонда [32]. Экспериментально ударные волны
при наличии полиморфных превращений изучались в первых двух рабо-
работах (в первой — в железе, во второй — в висмуте); в работах А. Н. Дре-
мина и Г. А. Ададурова [33] (мрамор), А. Н. Дремина [34] (парафин).
В некотором диапазоне давлений по телу, способному испытывать
полиморфные превращения, распространяются не одна, а две ударные
волны, следующие одна за другой. Такое расщепление ударной волны
связано с аномальным ходом ударной адиа-
адиабаты вещества в области фазового перехода.
При не слишком больших давлениях в удар-
ударной волне происходит незначительное уве-
увеличение энтропии, поэтому ударная адиабата
близка к изэнтропе и при рассмотрении ука-
указанного явления можно исходить из обычной
адиабаты.
Адиабата вещества, испытывающего
полиморфное превращение, схематически изо-
изображена на рис. 11.43.
При сжатии от нормального объема по
достижении некоторого состояния А начи-
начинается переход из фазы / в фазу //. Кри-
Кристаллическая решетка перестраивается таким
образом, что новые равновесные положения
атомов соответствуют меньшим межатомным
расстояниям, поэтому сокращение объема
в области перехода требует гораздо меньшего
увеличения давления, чем в начальной фазе /
(при абсолютном нуле температуры фазовый
переход I — II происходит при постоянном
давлении и участок А В адиабаты S = 0 — это
прямая горизонтальная линия, как показано
на рис. 11.43, б). Если бы перестройки не было, кривая давления про-
продолжалась бы от точки А вверх так, как это показано на рис. 11.43
пунктиром. В области АВ вещество находится в двухфазном состоянии.
Полная перестройка решетки и полное превращение вещества из фазы /
в фазу // заканчивается к моменту В, после чего адиабата второй фазы
снова круто идет вверх. Сжимаемости вещества в разных фазах различны,
так что наклоны кривых, соответствующих однофазному состоянию
в точках А ж В, вообще говоря, различны.
Представим себе теперь тело, ударная адиабата которого принадлежит
описанному типу, и предположим, что в начальный момент к его поверх-
поверхности приложено постоянное давление р (рассматриваем одномерный
плоский случай). Будем считать, что это давление достаточно велико
для того, чтобы можно было пренебречь эффектами прочности и считать
давление гидростатическим, т. е. отвлечемся от возможного существования
«упругой» волны (см. § 17), считая, что ударная волна —«пластиче-
—«пластическая».
Если давление р ниже давления рА, при котором начинается фазовый
переход, по телу бежит обычная ударная волна, состояние вещества
в которой соответствует точке, лежащей на ударной адиабате (точке С на
рис. 11.44); скорость распространения ударной волны D определяется,
как известно, наклоном прямой, проведенной из точки начального
Рис. 11.43. Изэнтропа (обыч-
(обычная адиабата) вещества, испы-
испытывающего полиморфное^ пре-
превращение:
а) при отличнойАот н_ля темпера-
температуре Т > 0; б) при абсолютном
нуле Т = 0.

586	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. X I
состояния О в точку конечного состояния на ударной адиабате,
В
Если давление р больше величины рЕ, которая соответствует прямой
ОЕ, касающейся ударной адиабаты в промежуточной точке А, например,
равно pF, то по телу также бежит одна ударная волна, за фронтом которой
достигается состояние F. Однако в этом
случае вещество за фронтом находится
в другой фазе — //. Переход из фазы /
в фазу // происходит во фронте ударной
волны. Обычно полиморфное превра-
превращение требует времени гораздо боль-
большего, чем время, необходимое для
установления термодинамического рав-
равновесия в обычном однофазном веще-
веществе. Положение в этом случае во мно-
многом аналогично тому, которое имеет
место в ударной волне, распространяю-
распространяющейся по газу с замедленным возбу-
возбуждением некоторых степеней свободы
(например, по диссоциирующему газу).
Непосредственное ударное сжатие при-
приводит к промежуточному состоянию М,
которое лежит на экстраполированной
ударной адиабате фазы /, отвечающей
отсутствию фазового перехода (это со-
соответствует вязкому скачку уплотнения
в газе). Затем начинается фазовый пере-
переход, ширина фронта определяется вре-
временем релаксации перехода, подобно
тому как ширина фронта ударной волны в газе определяется временем
диссоциации. Профиль давления в ударной волне имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 11.45, вполне аналогично профилю давления в диссоции-
диссоциирующем газе. Точка, описывающая состояние в расширенной зоне фронта
волны, пробегает при этом по отрезку
прямой MF на рис. 11.44.
Рассмотрим теперь промежуточ-
промежуточный случай, когда приложенное
к телу давление заключено между рА
и рЕ, скажем, равно pN (точка N на
ударной адиабате рис. 11.44).
Скорость ударной волны, опре-
определяемая наклоном прямой ON, те-
теперь меньше, чем скорость ударной
волны меньшего давления рА, соответ-
соответствующего точке А, которая опреде-
определяется наклоном более круто идущей
прямой О А. Поэтому волна с давлением рА обгоняет ударную волну
с давлением pN. (Заметим, что прямая ON трижды пересекает ударную
адиабату, т. е. одной и той же скорости волны соответствуют три значе-
значения давления и объема. Ясно, что такая неоднозначность физически
нереальна.)
О V
Рис. 11.44. Диаграмма р, V, иллюст-
иллюстрирующая различные случаи распро-
распространения ударной волны при поли-
морфном превращении вещества (по-
(пояснения в тексте).
Ах
Рп
х
Рис. 11.45. Профиль давления в удар-
ударной волне с «релаксацией» фазового
перехода.

19]
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ И РАСЩЕПЛЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН
587
При промежуточном значении давления рЕ> Р > Ра происходит
расщепление ударной волны на две независимые волны, которые следуют
одна за другой (этот случай специально показан на рис. 11.46). В пер-
первой ударной волне вещество сжимается от исходного состояния О до со-
состояния А, соответствующего началу фазового перехода, причем скорость
распространения первой ударной волны по невозмущенному веществу
определяется наклоном прямой ОА в соответствии с формулой:
Ра—Ро
Т
; За первой волной следует вторая ударная волна, в которой вещество
сжимается от состояния А до конечного состояния N. Скорость распро-
распространения этой второй волны по сжатому
и движущемуся веществу, пребывающему
в состоянии А, определяется наклоном пря-
прямой AN и равна
-VaV VA-
Скорость распространения второй удар-
ударной волны относительно неподвижного ис-
исходного вещества равна сумме скорости D2
и массовой скорости вещества в первой удар-
ударной волне иА:
Легко видеть, что вторая волна не дого-
догоняет первую, т. е. комбинация двух ударных
волн является устойчивой. В самом деле,
первой волны относительно вещества за нею равна
д»_т/ ./ Ра—
Рис. 11.46. Диаграмма p,V,
иллюстрирующая расщепление
ударной волны.
скорость распространения
-Ро
¦У л
Поскольку наклон прямой ОА по определению (pN <C рЕ) больше
наклона прямой AN, шмеем (рА —pg)/(V0—VA) > (pN —pA)/(VA—VN),
Z)j>ZJ, т. е. первая волна бежит по веществу быстрее, чем вторая
по тому же самому веществу.
Во фронте второй ударной волны происходит фазовый переход:
в начальном состоянии А вещество находится в первой фазе, а в конеч-
конечном N либо во второй, если pN > pB, либо в двухфазном состоянии,
если pN < pB (переход в этом последнем случае происходит неполно-
неполностью). В силу замедленности фазового превращения фронт второй удар-
ударной волны оказывается сильно размытым, в отличие от тонкого фронта
первой волны. Профиль давления в случае системы двух волн схемати-
схематически изображен на рис. 11.47. С течением времени расстояние между
фронтами обеих волн увеличивается, поскольку скорости их различны;
распределение же давления во второй волне является стационарным,
и профиль во второй волне распространяется как целое.
Комбинация двух ударных волн при наличии фазового перехода
во многом аналогична комбинации двух волн сжатия: «упругой» и «пла-
«пластической», которая рассматривалась в § 17. Причиной возникновения
двух волн в обоих случаях является аномальный ход адиабаты и

588
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
Рис. 11.47. Профиль давления в случав
расщепления ударной волны в две.
ударной адиабаты, при котором существует область на адиабате, где-
последняя обращена выпуклостью вверх.
В гл. I было показано, что от знака второй производной d2p/dV*
зависит, возрастает или уменьшается энтропия в ударной волне, т. е. знак
обусловливает чисто термодинамические выводы. Здесь мы убеждаемся
в том, что аномальный ход ударной адиабаты приводит к аномальным
кинематическим следствиям — расщеплению ударной волны на две.
Предельные условие р > рЕ для объединения двух волн в одну соответ-
соответствует тому положению в случае комбинации упругой и пластической
волн, когда скорость пластической
волны вследствие отклонения адиаба-
адиабаты от закона Гука становится больше-
скорости упругой, так что вторая
волна догоняет первую и сливается
с нею.
Как уже было сказано выше,
явление расщепления ударной волны
в веществах, испытывающих поли-
полиморфные превращения, наблюдалось
экспериментально. Для иллюстрации
на рис. 11.48 приводим ударную адиабату железа в области фазового пере-
перехода, найденную экспериментально в работе [30]. Заметим, что в висмуте
фазовый переход происходит при давлении ~28 500 атм, причем время
релаксации для перехода при 42° С оказалось меньшим 1 мсек.
Альдер и Христиан [35] обнаружили фазовый переход первого рода
в йоде J2 (кристаллы йода являются молекулярными) при давлении.
р ж 7- 10s атм и относительном объеме
VIV0 ж 0,53. Переход был зафиксиро-
зафиксирован по изменению наклона в линейной
зависимости скорости фронта ударной
волны от массовой скорости. Расчеты
показывают, что температура в волне
в точке фазового перехода Г«1 эв.
Она сравнима с энергией диссоциации
молекул йода 1,53 эв. Предполагается,
что фазовый переход связан с превра-
превращением молекулярного двухатомного
кристалла в одноатомное металлическое
состояние.
Интересно, что аномалии в кривой
холодного сжатия металлов, а следо-
следовательно, и в ударной адиабате, подоб-
0,3
0,2
0,1
р-Юа6ар
\
t
0,8	0,9
Рис. 11.48. Ударная адиабата желез*
в области фазового перехода.
А—по данным [24], о—по данным [30].
ные тем, которые появляются при наличии полиморфных превращений,
могут возникать и в отсутствии перестройки атомной решетки вследствие
изменения структуры электронных зон, перекрытия отдельных зон при
сжатии. Возможность изменения свойств металлов при изменении зон-
зонной структуры отмечена в работе И. М. Лифшица [36]. Влияние этих
изменений на кривую холодного сжатия металлов и появление участ-
участков аномального хода кривой, где d2p/dV2 < 0, изучал Г. М. Гандель-
ман [37].
При достаточной амплитуде в ударной волне происходит плавление-
твердого вещества, что приводит к излому в ходе ударной адиабаты. Во-
Вопросы плавления в ударной волне рассматривались в работах [44,57— 59].

§ 20] УДАРНАЯ ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ В СРЕДЕ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ 589
§ 20. Ударная волна разрежения в среде, испытывающей
фазовый переход
Согласно общей теории, изложенной в § 17, 18, 19 гл. I, при аномаль-
аномальном ходе адиабаты, когда имеются участки, где адиабата обращена выпук-
выпуклостью кверху (d^p/dV2 < 0), возможно возникновение скачков разре-
разрежения. Адиабата твердого тела, испытывающего фазовый переход, как
раз предоставляет такую возможность. Это было отмечено в работе [32 ].
Режимы с ударными волнами разрежения
в металле при наличии фазовых превраще-
превращений изучали А. Г. Иванов, С. А. Новиков
и Ю. П. Тарасов [38], которые впервые
дали четкое экспериментальное доказатель-
доказательство существования скачков разрежения
в железе (стали).
На адиабате вещества, испытывающего
полиморфное превращение, в районе точки
излома А (рис. 11.43) ход адиабаты анома-
аномален. Хотя во всех точках, где адиабата не
имеет особенностей, вторая производная	^
d2p/dV2 положительна, тем не менее имеется Рис п 49 Аномальный участок
участок в районе точки А, где хорда, соеди-	адиабаты.
няющая какие-нибудь две точки 1 и 2,
целиком лежит ниже адиабаты (рис. 11.49). Это является следствием того,
что среднее значение второй производной на участке 1—2 отрицательно:
Как известно из общей теории, именно такое положение и приводит
к аномалиям в гидродинамических закономерностях.
Распространение ударных волн сжатия в подобном веществе рас-
рассматривалось в предыдущем параграфе.
Будем теперь интересоваться разгрузкой вещества, предварительно
сжатого ударной волной. Предположим, что в момент t = 0 в теле, ранее
сжатом ударной волной до состояния 1 {ри Fj), имеется область разре-
разрежения, в которой давление и объем плавно меняются до значений р2, V2
(состояние 2; р2 < Pi, V2> Vt). Начальное распределение давления по
координате показано на рис. 11.50. Предполагаем, что точки начального
и конечного состояний 1 и 2, а также и все промежуточные точки в плав-
плавном распределении лежат на изэнтропе и процесс адиабатичен**). Неко-
Некоторые из соответствующих точек обозначены на рис. 11.50 и адиабате
рис. 11.51 одинаковыми буквами и цифрами.
Будем считать волну разрежения простой (см. § 8 гл. I), распро-
распространяющейся вправо по сжатому веществу. Для того чтобы волна была
простой, нужно, чтобы начальные распределения давления и скорости
по координате р (х, 0), и (х, 0) удовлетворяли условию постоянства
*) Во всех точках участка 1—2, кроме точки излома A, d2p/dV2^>0, но в самой
точке A dvp/dV2 = — со, так что среднее значение на участке 1—2 все равно отри-
отрицательно.
**) Рассматриваем только небольшие давления, при которых тепловые эффекты
малы и ударная адиабата практически совпадает с изэнтропой. Кроме того, считаем,
что фазовые превращения происходят достаточно быстро, «мгновенно», так что состоя-
состояния вещества никогда не отклоняются от термодинамически равновесной адиабаты.

590
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
инварианта Римана /_ (х, O)=const. Тогда и в последующие моменты вре-
времени /_ (х, t) = const.
Предположим, что это условие выполнено. Как известно (см. § 8
гл. I), в простой волне, распространяющейся вправо, С+-характеристики
представляют собой прямые линии на плоскости х, t; вдоль них пере-
переносятся постоянные значения давления и других величин.
Рассмотрим, что произойдет с нашим начальным профилем давления
в последующие моменты времени. Для этого проведем на плоскости х, t
рис. 11.52 С+-характеристшш:
dx	,
прямые с наклонами -тг = и -j- с.
Скорости распространения воз-
возмущений («скорости звука»)
в различных точках начального
распределения определяются
наклонами касательных к адиа-
адиабате в соответствующих точках.
В двух точках излома А и В
скорость звука испытывает ска-
скачок (зависимость скорости звука
от объема показана на рис. 11.53). Скорость вещества, равная в силу
условия /_ = const, и = — \ с— + const, непрерывна в точках А и В, так
Рис. 11.50. К вопросу об эволюции области
разрежения: начальный профиль давления.
2 F А
В /
х
Рис. 11.51. К вопросу об эволюции
области разрежения: состояния 4на
диаграмме р, V соответствуют про-
филю, изображенному на (рис. 11.50.
Рис. 11.52. Диаграмма х, t, иллюст-
иллюстрирующая эволюцию начального
разрежения в веществе с аномальной
адиабатой.
что наклоны характеристик скачкообразно меняются вместе со скачками
скорости звука.
Из «нормальной» точки излома В выходят две С+-характеристикв
с разными наклонами, несущие одинаковые значения давления, но раз-
разные значения скорости звука. Эти скорости звука соответствуют зна-
значениям по обе стороны излома на адиабате, причем чуть большее зна-
значение давления рв + е (е — бесконечно малая) распространяется скорее,,
чем чуть меньшее рв — е.
Иное положение в «аномальной» точке излома А. Здесь из точки А
также выходят сразу две характеристики, но большее давление рА + е
распространяется медленнее, чем меньшее рА — е. Характеристики/про-
веденные из точек, соседних с А, стремятся пересечься (см. рис. 11.52),

§ 20] УДАРНАЯ ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ В СРЕДЕ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ 591
а предельные характеристики, выходящие из самой точки А, как бы пере-
пересеклись уже с самого начала. Это означает, что в начальном распреде-
распределении давления в точке А с самого начала образуется маленький разрыв
(в пределе t -*- 0 бесконечно малый), который растет с течением времени *).
Распространение волны разрежения и профили давления в после-
последовательные моменты времени изображены схематически на рис. 11.54.
«Плато» давления рв «ограничено» харак-
характеристиками, выходящими из точки В на
рис. 11.52.
Скачок — ударная волна разрежения,
возникшая в точке А, растет в соответ-
соответствии с пересечением характеристик. Ска-
Скачок растет, т. е. верхнее, начальное, дав-
давление повышается, а нижнее, конечное,—
понижается до тех пор, пока верхняя точка
скачка бежит по веществу перед скачком
со сверхзвуковой скоростью, а нижняя —
бежит по веществу за скачком с дозву-
дозвуковой скоростью. При этом верхняя гра-
граница скачка как бы «съедает» участки
плавного возрастающего распределения
давления, а возмущения разрежения снизу за скачком догоняют скачок,
усиливая разрыв. Процесс роста скачка прекратится, когда верхнее
давление достигнет давления в плато, а скорость распространения нижней
границы по веществу за скачком становится звуковой.
Установившееся положение разрыва (точки Г—2' на адиабате
рис. 11.51) и профиль давления в волне разрежения показаны на рис. 11.55.
Рис. 11.53. Зависимость скорости
звука от объема, соответствую-
соответствующая адиабате, изображенной на
рис. 11.51.
J
/V
х
Рис. 11.54. Эволюция профиля 'давления
в волне разрежения; образование ударной
волны разрежения t = 0, t', t", t'" — после-
последовательные моменты времени.
Рис. 11.55. Характер окончательного
распределения давления в волне раз-
разрежения. Распределение растягивает-
растягивается с течением времени, не меняя
своей формы.
Как известно (см. § 14 гл. I), скорости распространения разрыва Г—2'
по веществу перед ним щ и по веществу за ним и2 определяются наклоном
прямой 1'—2':
2 _
-Pv **)
*) Положение в плавной вначале волне сжатия в веществе с нормальными свой-
свойствами несколько иное. Характеристики в этом случае пересекаются не сразу (см. § 9,
12 гл. I), крутизна профиля давления нарастает постепенно и разрыв — ударная
волна сжатия — образуется не сразу. Здесь же разрыв — ударная волна разрежения —
возникает с самого начала, и амплитуда его растет пропорционально времени.
**) Эти формулы следуют из законов сохранения массы и импульса на разрыве
и одинаково справедливы как для скачков сжатия, так и для скачков разрежения.

592
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
Из рис. 11.51 видно, что точка 2' определяется условием касания
прямой 1'—2' с адиабатой, так как при этом и2 = с2'- Скорость распро-
распространения разрыва по веществу перед ним щ меньше верхней скорости
звука в точке излома В, но больше нижней: прямая 1'—2' идет более
полого и круче, чем соответствующие касательные к адиабате в точке В.
На практике волна разрежения обычно возникает, когда ударная
волна выходит на свободную поверхность тела. При этом режим авто-
автомоделей, все С+-характеристики на плоскости х, t выходят из одной
точки и весь «установившийся» профиль давления, изображенный на
рис. 11.55, образуется с самого начала, как в обычной автомодельной
волне разрежения (см. § 11 гл. I). Таким образом, волна разрежения
имеет сложный профиль, состоящий из
двух участков плавного понижения дав-
давления, плато давления (все эти три участка
растягиваются с течением времени в соот-
соответствии с автомодельностью режима) и
скачка ударной волны разрежения (если
поверхность тела свободная, точка 2 конеч-
конечного состояния отвечает нулевому давле-
давлению), х, ^-диаграмма для центрированной
волны разрежения показана на рис. 11.56.
В опытах, описанных в работе [38],
были обнаружены необычные откольные
явления при подрыве зарядов взрывчатого
вещества на поверхности железных и
стальных образцов. Поверхность откола
была чрезвычайно гладкой. Это явление
было истолковано как результат столк-
столкновения двух ударных волн разрежения,
когда на некоторой поверхности возникает
скачкообразное изменение давления от по-
положительного до отрицательного Значений. Обычно при плавной разгруз-
разгрузке зона растягивающих напряжений, вызывающих откол, размазанная, и
поверхность откола — шероховатая, что связано с микронеоднородностью
материала в протяженной зоне растягивающих напряжений. Анализ слож-
сложной картины движения в условиях опыта позволил авторам работы [38]
заключить, что наблюдаемые явления связаны с существованием ударных
волн разрежения. Подтверждением служит и то обстоятельство, что
в других материалах, кроме железа и стали, в которых нет фазовых
превращений в исследованной области давлений, никаких необычных
отколов не было.
* 1
\
С4\
ОД
i
1
/
( \у
чу
у г
ш
/
/
V
О
Рис. 11.56. х, i-диаграмма для
автомодельной волны разреже-
разрежения, образующейся при выходе
ударной волны на поверхность.
I	— линия свободной поверхности,
II	— хвост волны разрежения, III —
линия скачка разрежения, IV — на-
начало плато давления, V — голова
волны разрежения.
4. ЯВЛЕНИЯ ПРИ ВЫХОДЕ МОЩНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
НА СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА
§ 21. Предельные случаи твердого и газообразного
состояний разгруженного вещества
В § 11 рассматривался процесс разгрузки твердого тела, перво-
первоначально сжатого ударной волной, после того как волна выходит на сво-
свободную поверхность. При этом считалось, что ударная волна не очень
сильная, температура за фронтом сравнительно невелика и разгруженное

§ 21] ТВЕРДОЕ И ГАЗООБРАЗНОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗГРУЖЕННОГО ВЕЩЕСТВА 593
до нулевого давления вещество остается твердым. Ясно, что если удар-
ударная волна очень мощная и внутренняя энергия нагретого вещества et
во много раз превосходит энергию связи атомов U (равную теплоте испа-
испарения при нуле температуры), то при
расширении вещества до низкого (нуле-
(нулевого) давления после выхода ударной
волны на свободную поверхность веще-
вещество полностью испаряется и ведет себя
при разгрузке как газ *). В частности,
при разгрузке в вакуум, т. е. до стро-
строго нулевого давления, плотность и тем-
температура на переднем краю вещества
также равны нулю.
Распределения плотности, скорости и
давления в волне разгрузки имеют при
этом качественно такой же характер, как
и в волне разрежения в газе (см. § 10
11 I) О	б
X
р>
о
X
; -	-	Рис. 11.57. Профили плотности,
и 11 гл. 1). Они изображены на рис. 11.57. скорости и давления после выхо-
Гидродинамическое решение для ав- да очень сильной ударной волны
томодельной волны разгрузки можно	на свободную поверхность,
записать в общем виде, независимо от
термодинамических свойств вещества. Оно выражается формулами
- = и-—с,
и 4- \ -2— =
const
A1.63)
A1.64)
для волны, бегущей налево, как показано на рис. 11.57.
Интегрирование ведется при постоянной энтропии S, так как процесс
разгрузки адиабатичен. В данном случае энтропия равна энтропии веще-
вещества за фронтом ударной волны. Константу можно выразить через пара-
параметры вещества во фронте ударной волны (которые отмечаем индексом
«2»). При этом формула A1.64) приобретает вид
и =
С dp
A1.65)
Скорость переднего края разгруженного вещества (скорость сво-
свободной поверхности) равна
dp
QC
A1.66)
*) Иногда говорят об «испарении» вещества в самой ударной волне. Такое утверж-
утверждение является неправильным, если под «испарением» понимать фазовый переход
в обычном термодинамическом смысле. Называть плотное вещество «жидкостью»
или «газом» можно лишь в условном смысле, в зависимости от соотношения между
кинетической энергией теплового движения атомов и потенциальной энергией их
взаимодействия. Переход от «жидкости» к «газу», если нагревать вещество при постоян-
постоянном объеме, осуществляется непрерывно. Вообще, нужно напомнить, что при давле-
давлениях и температурах выше критических все вещество однородно и разделения фаз
не происходит. Следует заметить, что утверждение о том, что в достаточно сильной
ударной волне вещество перестает быть твердым, имеет вполне реальный физический
смысл (твердое вещество плавится).
38 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

594
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
Формулой A1.66) мы уже пользовались в §11, чтобы получить
закон удвоения скоростей. Распределение гидродинамических величин
в волне разгрузки можно найти, если известны термодинамические функ-
функции вещества (т. е. известны функции q (р, S), с (р, S), с помощью кото-
которых можно вычислить интеграл A1.65)). Соответствующие формулы для
газа с постоянной теплоемкостью были выписаны в § 10 гл. I.
В интересующем нас случае разгрузки твердых тел это сделать пока
не удается, так как для описания термодинамических функций вещества
в области плотностей, несколько
меньших нормальной плотности
твердого тела, пока нет удовле-
удовлетворительной теории (имеются в
виду промежуточные температуры,
при которых вещество нельзя счи-
считать ни твердым, ни идеальным
газом). Поэтому мы здесь огра-
ограничимся описанием качественной
картины и грубыми оценками.
Для простоты будем предпо-
предполагать, что до сжатия ударной
волной твердое тело находилось
при нуле температуры, и нулевом
объеме F0K, а также, что разгруз-
разгрузка происходит в вакуум (до нуле-
нулевого давления). Кроме того, не
будем делать различия между
твердым и жидким состояниями.
Теплота плавления обычно гораздо
меньше теплоты испарения *) (ма-
(мало и изменение объема при плав-
плавлении), поэтому, рассматривая
явления таких энергетических
масштабов, при которых вещество
полностью испаряется, эффектом
плавления можно пренебречь.
Проследим за процессом раз-
разгрузки данной частицы вещества
на р, F-диаграмме. На рис. 11.58
проведены кривая упругого давления рх, продолженная и в область
отрицательных давлений, ударная адиабата рн, кривая ОКА, разделяю-
разделяющая области однофазного и двухфазного состояний. Ветвь ОК до крити-
критической точки К представляет собой кривую кипения (начала парообразо-
парообразования), а ветвь К А — кривую насыщенного пара (начала конденсации).
Кроме того, проведено несколько адиабат S, проходящих через различ-
различные состояния в ударной волне.
Рассмотрим наиболее простые предельные случаи. Пусть ударная
волна слабая (состояние 1 на ударной адиабате). Сжатое вещество раз-
разгружается вдоль адиабаты Si, давление падает до точки Bif где адиабата
пересекается с кривой кипения, после чего твердое тело (или жидкость)
в принципе должны были бы вскипеть. Однако для образования заро-
зародышей новой фазы, т. е. пузырьков пара, требуется довольно значитель-
Рис. 11.58. Адиабаты разгрузки на р,F-диа-
р,F-диаграмме.
*) Например, у свинца в 46 раз меньше, у алюминия — в 22 раза меньше.

S 22]	КРИТЕРИЙ ПОЛНОГО ИСПАРЕНИЯ ВЕЩЕСТВА ПРИ РАЗГРУЗКЕ	595
ная энергия активации, необходимая для разрыва сплошности вещества
и образования поверхности пузырьков; скорость этого процесса столь
ничтожна при низких температурах порядка сотен и даже тысяч гра-
градусов (для металлов), что практически твердое тело продолжает расши-
расширяться и охлаждаться до нулевого давления по адиабате «перегретой
жидкости», проведенной на рис. 11.58 пунктиром от точки Bt. В конечном
состоянии вещество имеет объем Vi *), немного превышающий нулевой
F0K, и оказывается нагретым до температуры Т2, связанной с разностью
объемов F2 — F0K законом теплового расширения (см. § 11). Даже если
отвлечься от вопросов кинетики объемного парообразования, доля испа-
испаренного вещества не могла бы превысить величины порядка CyTmIU,
которая очень мала при температурах ТВ1 порядка сотен градусов (для
металлов U/cv ~ 104 °К). С этим случаем разгрузки мы имели дело
в§ И.
В другом предельном случае, когда ударная волна очень мощная
(состояние 4), адиабата разгрузки 54 проходит гораздо выше критиче-
критической точки К, в чисто газовой области, и вещество расширяется как газ
до бесконечного объема. Вообще говоря, адиабата в какой-то момент пере-
пересечет кривую насыщенного пара (точка Bt), после чего должна начаться
конденсация **). Однако если время разлета паров ограничено, как это
обычно бывает в лабораторных условиях, конденсация практически не
успевает происходить, и вещество продолжает расширяться по адиабате
переохлажденного пара (пунктир от точки Z?4 на рис. 11.58).
§ 22. Критерий полного испарения вещества при разгрузке
Установим количественный критерий полного испарения вещества
при разгрузке, более определенный, чем не вызывающее сомнений усло-
условие очень большого превышения энергии в ударной волне над теплотой
испарения е4 > U.
Мы будем говорить о полном испарении, если разгружающееся
вещество, следуя законам термодинамики, проходит через стадию чисто
газообразного состояния (мы не утверждаем, что конечное состояние при
этом также является чисто газообразным, так как в принципе при рас-
расширении до бесконечного объема обязательно должна начаться кон-
конденсация).
Рассмотрим диапазон амплитуд ударных волн, промежуточный между
двумя предельными случаями, когда волна слабая и разгруженное веще-
вещество — заведомо твердое, и когда волна очень мощная, и вещество при
разгрузке заведомо ведет себя как газ.
Внутренняя энергия сжатого вещества в ударной волне состоит из
упругой Бц и тепловой ет1 (в последней не будем различать атомной
и электронной). При расширении сжатого вещества до нулевого объе-
объема F0K, упругая энергия, ранее приобретенная при сжатии, полностью
«возвращается назад», она переходит в кинетическую энергию ускоряю-
ускоряющегося при разгрузке вещества ***).
*) В отличие от обозначений § 11 здесь все величины в конечном, разгружен-
разгруженном состоянии отмечаются индексом «2», индекс «1» приписываем величинам во фронте
ударной волны.
**) Процесс конденсации при расширении паров в вакуум подробно рассматри-
рассматривался в гл. VIII.
***) Но не остается при этом сосредоточенной в той же самой частице, как это
бывает при стационарном истечении, когда справедлив закон Бернулли; см. § 11 гл. I.
38*

596	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
Часть начальной тепловой энергии ет, затраченная на совершение
работы расширения и равная \ рт dV, также переходит в кинетическую.
Обозначим тепловую энергию, оставшуюся в веществе к моменту расши-
расширения его до нулевого объема VoK через е^. Она совпадает с полной внут-
внутренней энергией в этот момент. Совершенно ясно, что для полного испа-
испарения в процессе последующего расширения необходимо, чтобы эта энер-
энергия 8т превышала энергию связи U:
ei > U.
Весь вопрос состоит в том, каково должно быть это превышение.
При расширении до объемов, больших нулевого, запас энергии е^ расхо-
расходуется частично на совершение работы расширения (эта часть энергии
переходит в кинетическую энергию гидродинамического движения),
а частично на преодоление сил сцепления, описываемых отрицательным
давлением рх (эта часть энергии переходит в потенциальную).
Предположим, что энергии е'т хватает на то, чтобы полностью испа-
испарить вещество, т. е. на то, чтобы давление р = рт + рх = рт — | рх |
не упало до нуля раньше, чем вещество расширится до бесконечного
объема. Из уравнения адиабаты de + p dV = 0 в силу определения
dex + px dV = 0 следует, что deT + pT dV — 0. Интегрируя это урав-
уравнение от нулевого объема V0K до бесконечного, при котором тепловая
энергия обращается в нуль, получим
оо
е;= J pdV+
У0к	V0K	V0K
Первый член представляет собой ту часть запаса энергии, которая
идет на совершение работы расширения, второй — энергию, затрачивае-
затрачиваемую на разрыв связей атомов.
Изобразим на диаграмме р, V давления р, рт, рх (рис. 11.59). Там
же показаны энергии, численно равные соответствующим площа-
площадям.
На пределе полного испарения давление в той стадии расширения,
когда силы сцепления ослабевают (V > Fmax), близко к нулю (теплового
давления хватает ровно на столько, чтобы преодолевать силы сцепления:
рт«|/)х|). Однако на более ранней стадии, когда VOk < V < Fmax,
давление р велико, тепловое давление заметно больше, чем упругое
Рт > | Рх I • Это ясно из того, что в состоянии с V = F0K, р' = р'т —
е'	тт
= Г{т^->Гт7—, где Г — «эффективный коэффициент Грюнайзена», кото-
OK	OK
рый порядка единицы (|рх|тах^— U/VOk). Тепловое давление при рас-
расширении падает более или менее монотонно (энергия ет уменьшается,
объем V растет). Поэтому кривая рт (V) имеет именно такой вид,
как это изображено на рис. 11.59. Из рис. 11.59 видно, что заштри-
заштрихованная вертикальной штриховкой площадь, равная работе расши-
со
рения \ р dV, такого же порядка, как и площадь, соответствующая
уок
потенциальной энергии и, т. е. на пределе полного испарения запас
энергии г'т должен раза в два превышать энергию связи U.

S 22]
КРИТЕРИЙ ПОЛНОГО ИСПАРЕНИЯ ВЕЩЕСТВА ПРИ РАЗГРУЗКЕ
597
¦ Р Р=Рт~\Рх
Для того чтобы облечь эти сугубо качественные соображения в коли-
количественную форму, необходимо знать термодинамические свойства веще-
вещества в области объемов, больших нормального объема конденсированного
состояния, когда существенны силы сцепления. К сожалению, этот диа-
диапазон объемов F0K < V ^С 5FflK исследован хуже всего как теоретически,
так и экспериментально. Можно подойти к оценке интенсивности удар-
ударной волны, разделяющей области полного и неполного испарения при
разгрузке, несколько иначе, охарактеризовав границу полного испаре-
испарения не величиной энергии г'т, а значением энтропии.
Из рис. 11.58 видно, что эффективной границей между полным и непол-
неполным испарением при адиабатической разгрузке является такое состояние
в ударной волне Кн, в котором энтропия
равна энтропии критической точки SKp,
т. е. когда расширяющееся вещество по-
попадает в критическую точку К. Тот факт,
что при энтропии большей, нежели SKV>,
вещество в какой-то момент начинает кон-
конденсироваться (состояние 3, адиабата Sa,
точка конденсации В3), и означает, что еще
до этого были разорваны все межатомные
связи, т. е. вещество стало газом. Наобо-
Наоборот, если энтропия меньше SKp (состоя-
(состояние 2, адиабата S2, точка кипения В2),
тепловой энергии не хватает на то, чтобы
довести парообразование до конца. При
энтропиях, близких к критической и с той
и с другой стороны, вещество в разгрузке
V
Рис. 11.59. К вопросу об испа-
испарении конденсированного вещест-
находится в двухфазном состоянии, т. е. ва при расширении (пояснения
в виде пара и жидких капель. Здесь су-	см. в тексте).
щественную роль играет кинетика фазовых
превращений. Эти очень интересные вопросы еще не рассматривались
теоретически и не изучались экспериментально.
Энтропийный критерий, несмотря на всю его условность, обладает
тем преимуществом по сравнению с энергетическим, что позволяет подойти
к оценке граничной, критической энтропии iSKP с «газовой стороны»,
минуя плохо исследованную область объемов, в два-три раза превышаю-
превышающих нормальный объем твердого тела *).
Для того чтобы проиллюстрировать изложенные качественные сооб-
соображения, проделаем оценки для свинца. Вычислим энтропию свинца
в критической точке, воспользовавшись общей формулой для энтропии од-
одноатомного идеального газа D.16), каковыми являются пары свинца. При-
Примем для оценки критическую температуру равной Ткр = 4200° К, а объем
FKp = 3F0K **) (обычно критический объем раза в три больше нормаль-
нормального объема жидкости). Статистический вес атомов свинца равен g0 = 9.
Вычисление с этими параметрами дает SKP = 42,8 калIмолъ¦ град ***).
*) Здесь, конечно, тоже существует неопределенность, связанная с тем,
что критические параметры металлических жидкостей, как правило, неизвестны.
**) Величина Гкр была оценена в работе [39]; по формуле Ван-дер-Ваальса
критическое давление: ркр==3/8-гакр kTvv я» 2400 атм.
***) Использование уравнения Ван-дер-Ваальса для учета неидеальности газа
приводит к очень малой поправке на энтропию А5гнеид=Д In 2/3= — 0,8 кал/молъ-град
(при том же объеме, при котором вычисляется S идеальное). Эта поправка введена
в значение <SKp.

598	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
Энтропию в ударной волне можно вычислить, воспользовавшись
термодинамическими функциями е (Т, V), р (Т, V), описанными в § 6.
Проще всего найти энтропию в состоянии Т, V, проинтегрировав термо-
термодинамическое уравнение
, с de-\-pdV deT-{- pr dV
dS=—f	=	f
сначала при постоянной температуре, равной нормальной То, от нормаль-
нормального объема Vo до V, а затем при V = const,— по температуре от То
до Т. В первом интеграле при этом можно пренебречь электронными
членами, которые ничтожно малы при То да 300° К. Полагая для оценки
коэффициент Грюнайзена равным Г (V) да Го ( у- ) , где показатель тп
для свинца по данным табл. 11.2 приближенно равен тп да 1, получим
в результате интегрирования
S(T, V) =	f	(^y^
A1.67)
Здесь Sо — энтропия металлического свинца при нормальных усло-
условиях То, Vo, е0, которая по литературным данным [40] равна So =
= 15,5 кал /моль -град. Подставляя в формулу A1.67) параметры ударной
волны из табл. 11.2, найдем энтропию в волне. Энтропия, близкая к кри-
критической SKP, достигается при следующих параметрах ударной
волны: V0/Vi = 1,9, pY = 2,25-10" атпм, Tt = 15 000° К, et = 4,71 X
X 1010 эрг/г **) (точнее, при этих параметрах Sx = 44,5 кал/моль-град).
Энергия бт при адиабатическом расширении до нулевого объема V0R
оказывается равной 1,9 • 1010 эрг/г, т. е. вдвое больше энергии связи U =
= 0,94-1010 эрг/г, что вполне соответствует ожидаемой величине, как
это было сказано выше (Т" = 9500° К, р'т = р' да 5-Ю5 атм).
Таким образом, следует ожидать, что в более мощных ударных вол-
волнах при разгрузке будет происходить полное испарение свинца. Приве-
Приведем еще для примера некоторые результаты расчета для самой мощной
из исследованных на опыте ударных волн в свинце. Именно, при pi =
= 4-Ю12 атм, Fq/Fj = 2,2 энтропия iSV= 51,7 кал/моль-град, а энергия
к моменту расширения до нормального объема 8т = 3,57-1010 эрг/г,
т. е. в 3,6 раза больше энергии связи U (Т' = 15 000° К). В этом случае,
по-видимому, уже происходило полное испарение при разгрузке.
В заключение подчеркнем, что в волне разгрузки, распространяю-
распространяющейся по телу после выхода ударной волны на свободную поверхность,
с самого начала имеются частицы вещества в самых различных состояниях,
начиная от давления pt (в голове волны разрежения) и до нуля (на сво-
свободной поверхности). В волне представлены все состояния, через кото-
которые проходит данная частица в процессе эволюции от давления р^ до нуля.
¦Отметим также, что давление в частицах, близких к свободной поверх-
поверхности, настолько быстро падает до нуля, что в случае полного испаре-
испарения пар в этой области является сильно пересыщенным, хотя по усло-
условиям термодинамического равновесия вещество должно было бы нахо-
находиться в двухфазном состоянии.
*) Последний член, зависящий от Г, играет малую" роль, так что ошибка,
связанная с приближенной интерполяцией Г (V) степенной формулой, несущественна.
**) Любопытно отметить, что энергия в ударной волне, при которой только
начинается полное испарение, в пять раз больше энергии связи.

§ 23]	ОПЫТНОК ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И ЭНТРОПИИ	599
§ 23. Опытное определение температуры и энтропии в мощной
ударной волне при помощи исследования разгруженного
вещества в газовой фазе
Ряд параграфов этой главы был посвящен изучению термодинамиче-
термодинамических свойств твердых тел при высоких давлениях и температурах и опи-
описанию методов экспериментального исследования этих свойств при помощи
измерений параметров ударного сжатия вещества. Общая особенность
этих методов состоит в том, что таким путем можно найти только меха-
механические параметры вещества: давление, плотность и полную внутрен-
внутреннюю энергию. Измерение кинематических параметров ударной волны —
скорости распространения фронта и массовой скорости вместе с исполь-
использованием соотношений на фронте ударной волны — не дает возможности
непосредственно определить такие важные термодинамические характе-
характеристики, как температуру и энтропию. Для нахождения температуры
и энтропии по данным механических измерений необходимо задаваться
теми или иными теоретическими схемами для описания термодинамиче-
термодинамических функций. Выше было использовано трехчленное представление
давления и энергии, причем некоторые параметры, такие, как тепло-
теплоемкость атомной решетки, коэффициенты электронной теплоемкости
и электронного давления приходилось определять теоретическим путем.
Между тем было бы весьма интересным и важным изыскать какие-то
пути непосредственного опытного установления температуры или энтро-
энтропии в ударной волне, по возможности сократив число теоретических
параметров. К сожалению, на этом пути приходится сталкиваться с боль-
большими трудностями, как экспериментальными, так и принципиального
характера. Один из важнейших способов измерения высоких температур,
оптический, может быть использован только в том случае, если тело
прозрачно, в то время как подавляющее большинство твердых тел и, в част-
частности, металлы, представляющие наибольший интерес,— непрозрачны.
Температура за фронтом ударной волны была измерена оптическим
путем в плексигласе (Я. Б. Зельдович, С. Б. Кормер, М. В. Сини-
цын и А. И. Куряпин [41]). В этих опытах измерялась яркость поверх-
поверхности фронта мощной ударной волны, распространяющейся в прозрачном
веществе — плексигласе. Затем яркость пересчитывалась на температуру
в предположении, что нагретая область, ограниченная поверхностью
фронта, излучает как абсолютно черное тело. Яркость измерялась в крас-
красной и синей частях спектра, причем находились не только яркостная,
но и цветовая температура (см. § 8 гл. II). В ударной волне с давлением
р я* 2-Ю6 атм и сжатием — ж 2,7 температура оказалась равной Т ж
УО
« 10 000 — 11 000° К. Оценка температуры по известной из механиче-
механических измерений внутренней энергии в разумных предположениях о балан-
балансе энергии (здесь существенна диссоциация молекул плексигласа) свиде-
свидетельствует о правдоподобности измеренного значения температуры.
Можно было бы попытаться измерить оптическим путем температуру
в момент выхода ударной волны на свободную поверхность. Однако для
того чтобы измеренная при этом температура совпадала с действительной
температурой в ударной волне, нужно предъявить к эксперименту совер-
совершенно невероятные требования. В самом деле, металлы непрозрачны
для видимого света в очень тонких слоях —10~5см. При скорости ударной
волны порядка 10 км/сек волна пробегает слой такой толщины за время
~10-п сек. Даже если бы удалось построить регистрирующий свет прибор

600	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
с колоссальной разрешающей способностью во времени ~10~12 — 10~13 сек,
чтобы успеть уловить момент выхода волны на поверхность, когда от
поверхности вещества волну отделяет уже прозрачный слой ~10~e —
— Ю-7 см, все равно невозможно было бы обеспечить одновременность
выхода ударной волны на свободную поверхность в различных точках
с требуемой точностью. Иначе говоря, невозможно обеспечить параллель-
параллельность поверхности фронта и свободной поверхности с точностью ~10~6 см.
Если же измерять свечение поверхности через практически приемле-
приемлемое время ~10~8 сек после момента выхода ударной волны, то зарегистри-
зарегистрировано будет свечение вещества не во фронте волны, а в волне разгрузки,
так как за время ~10~8 сек волна разгрузки охватывает оптически очень
толстый слой порядка 106 см/сек X 10~8 сек = 10~2 см; этот слой совер-
совершенно непрозрачен для света, рожденного в неразгруженной области,
температура которой нас интересует. (Вопрос о свечении поверхности
волны разгрузки будет подробно рассмотрен в следующем параграфе.)
Принципиальные возможности опытного определения темпера-
температуры (и энтропии) в ударной волне были указаны в работе одного
из авторов [42]. Пусть ударная волна настолько сильна, что после выхода
волны на свободную поверхность вещество при разгрузке полностью
испаряется. Тогда на переднем краю расширяющегося вещества послед-
последнее находится в газовой фазе. Если каким-либо методом измерить в газо-
газовой фазе механические величины: плотность и давление или же темпе-
температуру, то энтропию можно рассчитать теоретически, так как термо-
термодинамические функции газов рассчитываются сравнительно просто
(см. гл. III). Но в силу адиабатичности процесса разгрузки энтропия
вещества в ударной волне в точности равна энтропии в газовой фазе при
разгрузке. Таким образом, зная энтропию в газовой фазе, мы тем самым
знаем ее и в ударной волне.
В работе [42] показано, как можно вычислить температуру вдоль всей
адиабаты разгрузки, если известна удельная внутренняя энергия е как
функция давления и плотности вдоль адиабаты и одно значение темпе-
температуры в какой-нибудь точке адиабаты. В самом деле, из термодинами-
термодинамического тождества
и условия, что энтропия есть функция состояния, a dS — полный диф-
дифференциал, следует, что
dV
fe
Производя дифференцирование, получим после сокращений диффе-
дифференциальное уравнение в частных производных для функции Т (р, V):
Характеристиками этого уравнения являются линии, дифференциаль-
дифференциальное уравнение которых имеет вид:
Г дг
dp	\ dV
Hv"^ 7~д&

§ 24]	СВЕЧЕНИЕ ПАРОВ МЕТАЛЛА ПРИ РАЗГРУЗКЕ	601
Но это есть уравнение адиабаты. Вдоль характеристик, т. е. вдоль
адиабаты, согласно A1.68)
dT \	T
dV Js	f дг
откуда
где интегралы берутся вдоль адиабаты. Эта формула и доказывает сделан-
сделанное утверждение.
Заметим, что, зная значение энтропии в двух ударных волнах, близких
по амплитуде (даже не абсолютные значения энтропии, а только их раз-
разность), легко вычислить и температуру в ударной волне, воспользовав-
воспользовавшись термодинамическим соотношением
т Ae + pAV
1 -~ AS '
поскольку Де, р и AV известны из механических измерений. Точно так
же, зная значения температуры вдоль ударной адиабаты, можно найти
и абсолютные значения энтропии, проинтегрировав термодинамическое
соотношение
ds==
вдоль ударной адиабаты и привязав константу интегрирования к таблич-
табличному значению энтропии вещества при нормальных условиях.
§ 24. Свечение паров металла при разгрузке
В предыдущем параграфе было отмечено, что попытка «увидеть»
высокотемпературное свечение фронта мощной ударной волны, распро-
распространяющейся по твердому телу в момент выхода ее на свободную поверх-
поверхность, обречена на неудачу. Рассмотрим подробнее, что должно при
этом наблюдаться, какое свечение зарегистрирует прибор, направленный
на свободную поверхность, и как будет зависеть яркость поверхности
от времени. Соответствующие опыты были поставлены С. Б. Кормером,
М. В. Синицыным и А. И. Куряпиным, а теория явления была дана в рабо-
работе авторов [43].
Пусть мощная ударная волна с температурой во фронте Tt порядка
нескольких десятков тысяч градусов в момент t = 0 выходит на плоскую
свободную поверхность металла, граничащую с вакуумом (поверхность
фронта волны предполагается строго параллельной свободной поверх-
поверхности тела). Тело должно быть помещено в вакууме; в противном случае
разгружающееся вещество будет толкать впереди себя ударную волну
в воздухе, причем температура воздуха будет очень высока и мы вместо
интересующего нас свечения металла увидим свечение высоконагретого
воздуха. Ударную волну будем считать столь мощной, что при разгрузке
металл полностью испаряется и расширяется в газовой фазе. Профили
температуры в начальный момент t = 0 и в какой-то последующий момент
времени изображены на рис. 11.60. К моменту t волна разрежения охва-
охватывает слой вещества толщины c^t, где с4 — скорость звука в сжатом
веществе за фронтом ударной волны.

602
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
ш:
[Z
t(uo-CoH лизл U,t
Поскольку само вещество движется в лабораторной системе коор-
координат со скоростью щ, координата головы волны разрежения в момент
t есть х = (ut — q) t (начальному положению свободной поверхности
приписывается координата х = 0). Передний край расширяющихся паров
металла летит вперед со скоростью и2, которая дается формулой A1.66).
Поскольку вещество в волне разгрузки находится в газовой фазе, тем-
температура на границе с вакуумом равна нулю, так же как плотность и дав-
давление.
В предыдущем параграфе было сказано, что металлы непрозрачны
в очень тонких слоях ~10~6 см. Это значит, что уже к моменту времени
t ~ Ю-11 сек (при скорости с4 ~ D ~ 10е см/сек) слой разгруженного
металла почти полностью экранирует'1 высокотемпературное излучение
температуры Т\, и металл, первоначально
I/-	нагретый ударной волной, становится
невидимым.
Посмотрим, как светится поверхность
вещества в непрерывном спектре и какое
излучение попадает в регистрирующий
прибор, направленный на плоскую свобод-
свободную поверхность. Пары металла представ-
представляют собой одноатомный газ, оптические
свойства которого в непрерывном спектре
были подробно изучены в гл. V. Коэф-
Коэффициент поглощения видимого света чрез-
чрезвычайно резко зависит от температуры,
быстро возрастая с повышением темпера-
температуры, причем холодные пары совершенно
прозрачны в непрерывном спектре. Свече-
Свечение слоя с распределением температуры,
подобным изображенному на рис. 11.60,
уже было рассмотрено в гл. IX. Явление
совершенно аналогично свечению воздуха
в прогревном слое, образующемся перед скачком уплотнения в силь-
сильной (сверхкритической) ударной волне. При низких температурах у гра-
границы с вакуумом пары прозрачны и излучают очень слабо. Наобо-
Наоборот, в более глубоких слоях, где температура высока, пары совершенно
непрозрачны для видимого света и «не выпускают» рожденные в этих
слоях кванты. На «бесконечность» с поверхности'вещества уходят кванты,
рожденные в некотором промежуточном, излучающем слое, отстоящем
от.Jграницы с вакуумом на оптическом расстоянии tv порядка единицы
(излучающий слой заштрихован на рис. 11.60).
Зная распределения температуры и плотности по координате и коэф-
коэффициент xv поглощения света данной частоты v как функцию темпера-
температуры и плотности, можно вычислить эффективную температуру излуче-
излучения этой частоты по общей формуле B.52).
Можно, однако, поступить проще, заметив, что эффективная темпе-
температура совпадает с температурой излучающего слоя (геометрическая
толщина излучающего слоя невелика, температура в нем меняется мало),
т. е. составить выражение для оптической толщины, отсчитываемой от гра-
границы с вакуумом, и приравнять его единице:
Рис. 11.60. Распределения темпе-
температуры в момент выхода ударной
волны на, свободную поверхность
t = 0 и через некоторое время,
при t > 0.
Излучающий слой заштрихован.
П — прибор, регистрирующий свет.
— \ xv(x)dx = l.
«2*
A1.69)

§ 24]	СВЕЧЕНИЕ ПАРОВ МЕТАЛЛА ПРИ РАЗГРУЗКЕ	603
Переходя к переменной интегрирования — температуре, запишем
)-^rdT = l.	,	A1.70)
Это и есть уравнение для определения эффективной температуры.
Для вычисления производной от распределения температуры восполь-
воспользуемся общим решением для волны разрежения A1.63), A1.64).
Поскольку вещество на переднем краю, вблизи границы с вакуумом,
т. е. как раз в той области, где лежит излучающий слой, находится в газо-
газовой фазе, то, задаваясь эффективным показателем адиабаты газа у, можно
найти приближенное распределение всех величин в этой области в явном
виде. Для этого следует проинтегрировать уравнение A1.64) не со сто-
стороны сжатого вещества, как это было сделано при выводе формулы A1.65),
а со стороны границы с вакуумом
и воспользоваться адиабатической связью с (q, S).
В решение войдет в качестве параметров скорость движения гра-
границы и2 и энтропия S. Мы не будем выписывать это решение, а найдем
производную непосредственно из уравнения A1.63) и дифференциаль-
дифференциального соотношения du = — с cIq/q:
1 dxdJL (J?!LS\fd\nq \ f dc
C	J
t dT ~ dT V dT Js'
ИЛИ
dx	ct f/dlnQ \ / д In с ~\  ^	y+_*	_?f_
Здесь мы воспользовались соотношением с ~ Y Т, а также адиаба-
адиабатической связью Т ~ qV—1.
Уравнение A1.70) теперь принимает форму:
эф
о
Отсюда видно, что с течением времени интеграл, а следовательно,
и эффективная температура излучения убывают.
Физическая причина этого состоит в том, что с течением времени,
когда волна разгрузки охватывает все большую и большую массу веще-
вещества, геометрическая и оптическая толщины слоя между границей с ваку-
вакуумом и точкой с данной температурой непрерывно возрастают. Поэтому
излучающий слой, отстоящий от границы на заданном оптическом рас-
расстоянии порядка единицы, сдвигается в область все более и более низких
температур (рис. 11.61).
Замечательно, что из уравнения A1.72) для зависимости ТЭф (t)
выпала скорость границы и2 *), которая нам неизвестна, так как она
определяется термодинамическими функциями вещества вдоль всей адиа-
*) Так как в выражение A1.70) не "входит в явном виде координата х, а входит
только производная -г=,.
а!

604
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
баты разгрузки, в том числе и в неисследованной области, где плотность
немного меньше нормальной плотности твердого тела. В качестве пара-
		метра в уравнение A1.72) входит
только энтропия S благодаря за-
зависимости коэффициента поглоще-
поглощения xv от плотности (числа атомов
в 1 см? п), которая связана
с температурой адиабатическим
Т„
То
То
\
tz
'л
—*-hv
X
уравнением:
n = B(S) Ty
-1
A1.73)
Рис. 11.61. Сдвиг излучающего слоя (за-
(заштрихован) в волне разгрузки с течением
времени.
где В (S) — энтропийная кон-
константа.
Если основным механизмом
поглощения видимого света в па-
парах металлов является фотоэлект-
фотоэлектрическое поглощение высоковоз-
высоковозбужденными атомами (а также
тормозное поглощение в поле ионов), то коэффициент поглощения xv
можно приближенно вычислять по формуле E.44):
I-hv
xv = ^e hT ,	A1.74)
где av — постоянная, зависящая от частоты (av ~ v-3); / — потенциал
ионизации.
При очень слабой ионизации в плотных парах существенную роль
может играть тормозное поглощение в поле нейтральных атомов (см. гл. V).
В этом случае коэффициент поглощения xv пропорционален числу сво-
свободных электронов пе, т. е. степени иони-
ионизации, и основная температурная зависи-
зависимость коэффициента поглощения также
имеет больцмановский характер, но с
иным показателем экспоненты
13
A1.75)
¦ ппе — Ъуе п ,
Рис. 11.62. Зависимость эффектив-
эффективной (яркостной) температуры по-
поверхности волны разгрузки от
времени.
где bv слабо зависит от температуры.
Общий характер температурной зависи-
зависимости kv в обоих случаях одинаков:
kv ~ e-E>hT, где Е = / — hv в первом
случае и Е = 1/2 — во втором. Кстати
сказать, и численно оба значения Е
различаются для металлов не сильно
(при / да 6 — 8 эв, hv да 2 — 3 эв).
Вычислим приближенно интеграл в формуле A1.72) с учетом того,
что основная зависимость подынтегрального выражения от температуры
заключена в экспоненциальном множителе. Считая все медленно меняю-
меняющиеся степенные температурные множители постоянными, получим
fe-E/krЭф __ Const, т. е. получим логарифмический спад эффективной
температуры излучения со временем (рис. 11.62):
m _ const
1 э* ~ In t + const' '

§ 26]	ЭДЕКТРОПРОВОДНОСТЬ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКАХ ТЕЛ	605
Конкретные расчеты показывают, что для металлов, независимо
от предположения о том или другом из перечисленных механизмов погло-
поглощения, эффективная температура порядка 7000—4000° К в моменты
t ~ Ю-7 — 10~6 сек *) (за эти времена свободная поверхность уходит
примерно на 10 — 1 см при скоростях ~10 км/сек),
§ 25. Замечания о принципиальной возможности измерения
энтропии в ударной волне по свечению при разгрузке
В уравнение A1.72) входит только один параметр, характеризующий
ударную волну — энтропия S. Если известны оптические свойства веще-
вещества, т. е. функция xv (Г, о), то, снимая экспериментально кривую свече-
свечения 7\,ф (t), можно найти абсолютное значение энтропии в ударной волне.
Наоборот, задаваясь значениями энтропии из других соображений (вычис-
(вычисляя ее с помощью термодинамических функций сжатого твердого веще-
вещества и измеренных параметров ударной волны), можно из эксперимента
по.свечению поверхности разгрузки извлечь данные об оптических свой-
свойствах паров металлов, а именно, определить предъэкспоненциальный
множитель в выражении для коэффициента поглощения. Любопытно
отметить, что в предположении, что существует только один механизм
поглощения и xv выражается либо формулой A1.74), либо A1.75), в окон-
окончательное уравнение для функции Таф (t), которое получается при инте-
интегрировании A1.72), входит только произведение неизвестных параметров
avB (S) в случае A1.74) и bvB3^ (S) в случае A1.75) (так как в A1.74)
xv ~ avn ~ avB, а в A1.75) xv ~ bvn3^ ~ bvB3^). Энтропийная кон-
константа В в адиабатическом уравнении A1.73) зависит от абсолютного
значения энтропии S как В ~ e-s/R (ft — газовая постоянная).
Значит, снимая кривые свечения в двух опытах с несколько разли-
различающимися амплитудами ударных волн и определяя параметры, скажем,
произведение avB, мы тем самым находим разность энтропии в ударных
волнах, даже не зная оптической константы av: "* „„ = ехр	й— ,
avts	L	ti J
где один штрих и два штриха относятся к первому и второму опытам.
По разности энтропии, как было отмечено в предыдущем параграфе,
можно найти и температуру в ударной волне.
Описанный опыт может служить конкретным воплощением высказан-
высказанных в предыдущем параграфе соображений об использовании измерений
в газовой фазе в волне разгрузки для экспериментального определения
энтропии и температуры в ударной волне.
5. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 26. Электропроводность неметаллических тел в ударных волнах
При обычных условиях газы являются хорошими изоляторами.
В достаточно сильных ударных волнах они становятся проводниками.
Нечто подобное происходит и с твердыми диэлектриками, которые в силь-
сильных ударных волнах проводят электрический ток.
Однако если в газах наступление проводимости связано просто с тер-
термической ионизацией, которая имеет место при высоких температурах
*) Тогда как в ударной волне температура Ту может достигать десятков тысяч
градусов.

606
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
[ГЛ. XI
Ударная Полна
Носциллографу
«системе
включения
порядка десятка тысяч градусов и выше, достигаемых в ударной волне,
то физическая причина превращения твердых диэлектриков в провод-
проводники в ударных волнах значительно сложнее, связана скорее со сжа-
сжатием, чем с повышением температуры, и во многом еще не ясна.
Электропроводность конденсированных веществ в ударной волне
изучалась несколькими авторами. А. А. Бриш, М. С. Тарасов
и В. А. Цукерман разработали методику и измеряли проводимость про-
продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ [45], а также
воды, органического стекла, парафина [46] *), в сильных ударных волнах
с давлениями до миллиона атмосфер.
Проводимость ионного кристалла хло-
хлористого натрия при давлениях до мил-
миллиона атмосфер изучалась в цитирован-
цитированной выше работе [5]. С более слабыми
ударными волнами (до 250 000 атм)
работали Альдер и Христиан, которые
измеряли электропроводность ионных
и молекулярных кристаллов CsJ, J2,
CsBr, LiAlH4H др. [47].
Сущность основного, электрокон-
электроконтактного метода, описанного в статье
[45], с помощью которого были изме-
измерены проводимости в работах [45, 46,
5], состоит в следующем. В тело, по
которому распространяется ударная
волна, вводятся электроды (контакты)
Рис. 11.63. Схема опыта по измере- К, соединенные шунтирующим сопро-
нию электропроводности в ударной тивлением Rm (рис. 11.63). Пока удар-
волне-	ная волна не подошла к контактам,
сопротивление вещества — диэлектрика
практически бесконечно. После достижения ударной волной контактов
диэлектрик становится проводником, и искомое сопротивление Rx ока-
оказывается включенным параллельно сопротивлению Rm.
Незадолго до подхода ударной волны к контактам через высоко-
высоковольтное сопротивление RB и контакты разряжается конденсатор С,
предварительно заряженный до высокого напряжения в несколько кило-
киловольт (это делается с помощью пускового тиратрона). Сопротивление
•йв > Rm, так что ток в сети определяется только сопротивлением RB.
Разность потенциалов на контактах пропорциональна сопротивлению
между контактами. Последнее равно /?ш до подхода ударной волны
и R = RmRx/(Rm + Rx) после достижения ударной волной контактов
(сопротивление Rm выбирается так, чтобы оно было порядка Rx). Если
Um и Ux соответствуют разности потенциалов на контактах, то UmIUx —
= Rm/R = (i?m + RX)IRX. Напряжения Um и Ux измеряются осцилло-
осциллографом; Rm— известно; искомое сопротивление Rx вычисляется с помо-
помощью этой формулы. Для перехода от измеренного сопротивления Rx к удель-
удельной электропроводности вещества применяется электролитическое модели-
моделирование. Для этого электроды при точном соблюдении геометрии опыта
погружаются в электролитическую ванну. Изменяя плотность электролита,
добиваются получения сопротивления, равного измеренному на опыте.
При этом искомая проводимость равна известной проводимости элек-
*) В этой работе изучалась также проводимость воздуха.

§ 26]	ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕЛ	607
тролита (о других примененных методах измерения проводимости веществ
в ударной волне см. [45,5]). Опыты [46] показали, что электропровод-
электропроводность диэлектриков в ударной волне повышается на много порядков.
Если начальная проводимость дистиллированной воды составляла а ~
~ К)-6 ом^см-1, то при давлении р = 105 атм было получено 0 =
= 0,2 ом~гсм~х. При этом проводимость в ударной волне совершенно
не зависела от начальной проводимости воды, связанной с примесями.
То же самое значение а в ударной волне было получено и для обычной
воды с проводимостью а ~ 10~3 ом^см-1.
Такие совершенные диэлектрики, как парафин (ст ~ 10~18 ом^см-1)
и органическое стекло (с ~ Ю-15 ом^см-1) при давлениях порядка 106 атм
превращались в неплохие проводники с проводимостью а ~ 1 -~ 2 х
X 102 ом-Чм-1 *). В парафине заметное повышение проводимости на-
наблюдается при давлениях ~6 — 7-Ю5 атм и при дальнейшем увеличе-
увеличении давления о быстро растет. В органическом стекле происходит чрез-
чрезвычайно резкое возрастание проводимости при давлении 8-Ю5 атм.
Изменение электропроводности органического стекла и парафина в
ударной волне на 15—20 порядков свидетельствует о «металлизации» этих
диэлектриков при сжатии до давлений порядка миллиона атмосфер **).
Это явление нельзя объяснить термической ионизацией. Оно связано
с изменением структуры электронных зон твердого тела при сжатии.
При сжатии зоны сближаются, расстояния между ними уменьшаются
и тем самым облегчаются электронные переходы, приводящие к появле-
появлению свободных электронов и металлической проводимости в веществе,
ранее бывшем диэлектриком ***). Качественные соображения о метал-
металлизации любого вещества при достаточно сильном сжатии высказыва-
высказывались в работе Я. Б. Зельдовича и Л. Д. Ландау [48], где рассматри-
рассматривался переход металлов из твердого в газообразное состояние (металли-
(металлизацию водорода при больших плотностях изучал А. А. Абрикосов [49]).
Надо сказать, что детали механизма металлизации диэлектриков
в ударной волне еще не вполне ясны, и это явление требует дальнейшего
изучения как теоретического, так и экспериментального. В частности,
интересно установить раздельно роли температуры и сжатия в повыше-
повышении проводимости.
Опыты [5Jc хлористым натрием, который при нормальных условиях
обладает небольшой ионной проводимостью, позволяют считать, что
основную роль в повышении электропроводности при увеличении ампли-
амплитуды ударной волны, в отличие от предыдущего, играет температура.
Кривая зависимости а (Т) имеет больцмановский характер а ~ e-E/hT
с энергией активации Е *» 1,2 эв, что и свидетельствует, по-видимому,
об ионной природе проводимости NaCl в ударной волне.
Численно, на границах исследованного интервала амплитуд при
р = 105 атм Т = 440° К, Vo/V = 1,26, а = 2-Ю ом-1 см-1; при р =
= 7,9-105 атм Т = 6150° К, Vo/V = 1,85, а = 3,26 ом-Чм-г.
*) Для сравнений с металлической проводимостью укажем, что у меди а ~
~ 106 ом'1 см-1, у железа а ~ 105 ом~гсмгх, у ртути а ~ 101 ом-1 см'1.
**) В опытах Альдера и Христиана [47] были измерены значительно меньшие
электропроводности. Явление «металлизации» в тех сравнительно слабых волнах,
с которыми работали эти авторы, было выражено гораздо слабее.
***) Влияние давления на электропроводность диэлектриков изучалось и раньше
(в области сравнительно небольших давлений). Так, Бриджмен [50] установил, что
желтый фосфор, являющийся диэлектриком, при давлениях 1,2—1,3-104 атм и темпе-
температуре 200° С переходит в новую модификацию — черный фосфор, обладающий метал-
металлической проводимостью. Плотность черного фосфора в 1,4 раза болыпе,чем у желтого.

608	УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ	[ГЛ. XI
§ 27. Измерение показателя преломления вещества, сжатого
в ударной волне
Ширина фронта ударной волны в твердых и жидких телах сравнима
с межатомными расстояниями и гораздо меньше длин волн видимого света
К — 4000—7300 А. Поэтому свет, проходящий через прозрачное невоз-
невозмущенное вещество и падающий на поверхность фронта ударной волны,
которая отделяет невозмущенное вещество от сжатого, отражается также,
как от обычной границы двух разных сред. Отражение света от поверх-
поверхности фронта ударной волны в прозрачных телах, воде и плексигласе
исследовалось в опытах, поставленных Я. Б. Зельдовичем, С. Б. Кор-
мером, М. В. Синицыным и К. Б. Юшко [51].
Зная показатель преломления невозмущенного вещества и угол паде-
падения и измеряя коэффициент отражения, можно затем по известным форму-
формулам Френеля (см., например [52]) вычислить показатель преломления п
вещества, сжатого ударной волной *).
Такой способ, вообще говоря, применим и в тех случаях, когда сжатое
ударной волной вещество непрозрачно. Если длина пробега для погло-
поглощения сравнима с длиной волны света, то в принципе можно измерить
и действительную и мнимую части показателя преломления. Для этого
надо определить зависимость коэффициента отражения от угла падения
и поляризацию отраженного света [54].
В достаточно сильной ударной волне прозрачное в невозмущенном
состоянии вещество становится непрозрачным. Нарушение прозрачности
при высоких давлениях может происходить по разным причинам: из-за
растрескивания вещества, из-за фазовых переходов, вследствие пере-
перестройки электронных уровней, в частности, при «металлизации» диэлек-
диэлектриков, о которой упоминалось в предыдущем параграфе.
Принципиальная схема опытов [51] по изучению отражения света
от фронта ударной волны в воде показана на рис. 11.64.
С плоской поверхностью торца заряда взрывчатого вещества сопри-
соприкасается плексигласовая пластина, на которую нанесен слой воды. Поверх
воды помещена плексигласовая призма. Ход лучей до взрыва показан
на рис. 11.64, а. На призму падает луч I от источника света и из нее вы-
выходят лучи, отраженные от двух поверхностей воды — 77 и ///.
Ход лучей после взрыва и выхода ударной волны в воду показан
на рис. 11.64, б. Отражение от поверхности фронта ударной волны дает
луч IV, отражение от движущейся границы между плексигласовой под-
подложкой и сжатой водой — луч V. Луч V теперь заменяет луч III. Отра-
Отраженные лучи регистрируются фотографическим путем с разверткой во
времени. Схема фотографии показана на рис. 11.65. До подрыва лучи II
и III дают прямые светлые полоски на движущейся пленке. В момент tt
выхода ударной волны в воду возникают две полоски, от лучей IV и V,
причем полоска V теперь заменяет закончившуюся полоску 777. Поло-
Полоска/7 продолжается, оставаясь неизменной вплоть до выхода удар-
ударной волны на верхнюю поверхность воды (момент t2). Как видно из
*) В газах ширина фронта ударной волны, т. е. толщина переходного слоя между
невозмущенным и сжатым веществами порядка длины волны света, поэтому формулы
Френеля здесь неприменимы. Однако в газах показатель преломления при разных
плотностях известен. Изучение отражения света позволяет в этих условиях определить
ширину фронта ударной волны. Такие измерения были сделаны Хорнигом и Кова-
Кованом [53] для ударных волн слабой интенсивности (см. гл. IV).

Неожатая
Сжатая
- Soda
§ 27] ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВА, СЖАТОГО В УДАРНОЙ ВОЛНЕ 609
рис. 11.64, б, по мере приближения фронта волны к верхней границе
воды расстояние между лучами IV и // уменьшается. В момент выхода
t2 лучи IV и // совпадают; полоска IV на рис. 11.65 достигает полоски //.
Расстояние между лучами 77 и III в натуре составляло примерно 20мм,
а разность времен t2 — tt ~ 410~6 сек.
Скорость фронта ударной волны
в воде измерялась по наклону полоски
IV. Зная ударную адиабату воды, мож-
можно определить плотность и другие па-
параметры за фронтом. Коэффициент отра-
отражения вычислялся по отношению интен- а)
сивностей падающего и отраженных
лучей; интенсивности определялись
фотометрическим путем.
Показатель преломления сжатой
воды определялся двумя способами:
геометрическим (по расстояниям менаду
отраженными лучами) и по коэффици- б)
енту отражения. Средние по нескольким
опытам значения, вычисленные тем и
другим способом, оказались близкими
друг к другу.
В пределах изменения плотности
воды от q/qo= 1Д7 до q/q0 = 1,81, Рис 11.64. Схема опыта по изме-
что соответствует давлениям от 50 до Реншо 0ТРажения света от фронта
150 тыс. атмосфер, показатель преломле-
преломления почти не меняется и равен п =
= 1,49 ± 0,03 (по геометрическому спо-
способу) и п = 1,46 ± 0,03 (по отражению). В воде нормальной плотно-
плотности п =п0 = 1,333. Экспериментальные результаты других авторов по
измерению показателя преломления воды при небольших давлениях
довольно хорошо описываются
линейной зависимостью п =
= 1 + 0,334q *), где q — плот-
ноть в г/см3. С этой формулой
согласуются и данные для паров
воды, а также показатель прелом-
преломления льда при 0° С и q = 0,92,
равный 1,311.
Значение показателей, которые
получены для воды, сжатой в удар-
Рис. 11.65. Схема фотохронограммы. ной волне, заметно ниже значений,
диктуемых приведенной формулой.
По всей вероятности, расхождение следует отнести за счет влияния
температуры (при сжатии ударной волной до плотности q = 1,8 q0 вода
нагревалась до 1100° CJ. Механизм влияния температуры (чем выше тем-
температура, тем ниже показатель преломления) остается еще не выясненным.
Исследования отражения света от фронта ударной волны показали,
что поверхность фронта гладкая (в, противном случае отражение было бы
диффузным, а не зеркальным).
ударной волны:
а) до взрыва; б) в процессе распростра-
распространения ударной волны по воде.
*) Формула Лоренц — Лорентца дает гораздо худшее согласие с опытом.
39 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

Г Л А В А XII
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ
ДИНАМИКЕ
1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Группы преобразований, допускаемые уравнениями
газовой динамики
В гл. I мы уже познакомились с несколькими примерами автомодель-
автомодельных движений (с автомодельной волной разрежения, с задачей о сильном
взрыве) *). В этой главе будут подробно изучены автомодельные движе-
движения одного из двух основных типов. Во вводном разделе главы будет
показано, как в уравнениях газовой динамики заложена возможность
существования автомодельных решений, и будет дана общая характери-
характеристика автомодельных движений. Представляется целесообразным пред-
предварительно познакомиться с общими групповыми свойствами уравнений
газовой динамики.
Будем рассматривать одномерные адиабатические движения идеаль-
идеального газа с постоянной теплоемкостью, т. е. движения, обладающие
плоской, цилиндрической или сферической симметрией. Выпишем
систему уравнений для этого типа движений. В уравнении непрерывности
A.2) раскроем знак дивергенции и представим уравнение в единой форме,
общей для всех трех видов симметрии; кроме того, поделим все уравнение
на плотность о. В уравнение адиабатичности A.13) подставим выражение
для энтропии A.14) (заменив удельный объем на плотность). Уравнение
движения A.6) оставим без изменений. Получим следующую систему
уравнений для плотности, давления и скорости как функций координаты
и времени:
+ ^+^0 >	A2Л)
lnpQ~y = O. J
-fr- In pQ~V + » —
Число v в уравнении непрерывности равно v = 1, 2, 3 для плоского,
цилиндрического и сферического случаев соответственно. Переменная г
играет роль координаты х в плоском случае и радиуса в цилиндрическом
и сферическом.
*) В гл. X были рассмотрены автомодельные задачи теории распространения
тепла механизмом теплопроводности в неподвижном веществе.

§ 1]	ДОПУСТИМЫЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	611
Уравнения A2.1) допускают несколько групп преобразований, кото-
которые мы сейчас перечислим. При этом предполагается, что одновременно'
с преобразованиями в уравнениях аналогичные преобразования делаются
и в начальных и граничных условиях задачи.
1)	Время t входит в уравнения только под знаком дифференциала,
следовательно, сдвиг по времени, совершаемый путем введения новой
переменной t' = t + t0, не меняет уравнений. Возможность сдвига по
времени связана с произволом в выборе начала отсчета времени.
2)	В плоском случае (v = 1) координата также входит в уравнения
только под знаком дифференциала. Поэтому в плоском случае возможен
сдвиг и по координате, связанный с произволом в выборе начала отсчета
координаты. Введение переменной х = х + х0 не меняет уравнений.
В сферическом и цилиндрическом случаях это невозможно, так как
радиус входит в уравнение непрерывности не только под знаком диффе-
дифференциала.
Уравнения газовой динамики содержат пять размерных величин:
о, р, и, г, t, из которых три обладают независимой размерностью. Напри-
Например, если выбрать в качестве основных размерных величин плотность,
координату и время, то размерности скорости и давления представляются
в виде [и] = [г]/[t]; [p] = [q] [r2]/It2]. В соответствии с существованием
трех независимых размерных величин уравнения допускают три незави-
независимые группы преобразований подобия, которые связаны с произволом
в выборе единиц измерения основных размерных величин.
1)	Пусть функции q = fi (г, t), р = /2 (г, t) и и = /3 (г, t) представ-
представляют собой решение уравнений для некоторого определенного движения.
Изменим масштаб плотности, не меняя масштабы координаты и времени,
без чего введем новые переменные р/ = /со, р' = кр, оставив остальные
без изменения. При этом уравнения не изменятся. Если одновременно
изменить таким же образом начальные и граничные условия, увеличив
плотность и давление в к раз, то новое движение будет описываться функ-
функциями
e'=&/!(r, t), p' = kf2{r, t), и = /з(г, t).
Новое движение подобно старому, отличаясь лишь масштабами плотности
и давления.
2)	Изменим масштаб длины, не меняя масштабы плотности и времени.
Уравнения не меняются, если перейти в них к новым переменным: г' = тг,
и' = ти, р' = т2р, оставив остальные, q и t, без изменения: о' = q,
t' = t. Это значит, что если какое-то движение описывается функциями
q = fi (г, t), р = /2 (г, t), и = /3 (г, t), то путем простого изменения
масштабов можно описать и новое движение, в котором расстояния и ско-
скорости увеличены в m раз, а давление увеличено в тп2 раз (плотность
остается неизменной). Решением для нового движения являются функции:
Q' = fi(r', t), р' = пг2/2(г', t), u' = mf3(r', t).
3)	Наконец, изменим масштаб времени, не меняя масштабы длины
и плотности. Уравнения допускают преобразование:
Это значит, что если в начальных и граничных условиях уменьшить
скорости в п раз, а давление в п% раз, оставив плотность неизменной, то
39*

612 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
новый процесс будет подобен старому, но только будет протекать в п раз
медленнее.
Путем последовательного применения трех групп преобразований
подобия можно получить решения для бесчисленного множества новых
движений с измененными масштабами плотности, длины и времени. В част-
частности, если одновременно растянуть длину и время в одинаковое число
раз г' = lr, t' = It, то решение останется неизменным.
Такое преобразование эквивалентно последовательному применению
преобразований 2) и 3) с т = п = I. В символической форме это можно
записать так:
u(r, t) —*¦ lu(lr, t) -» -^--'lu{lr, lt) = u(lr, It)
и аналогично для других функий, q и р.
§ 2. Автомодельные движения
В предыдущем параграфе было показано, что уравнения газовой
динамики допускают преобразования подобия, т. е. возможны различные
движения, которые подобны друг другу и могут быть получены друг из
друга путем изменения основных масштабов длины, времени и плотности.
Что же касается данного движения, то оно может описываться самыми
различными функциями двух переменных г и t: о (г, t), р (г, t), и (г, t),
включающими в себя также параметры, которые входят в начальные
и граничные условия задачи (и показатель адиабаты у).
Существуют, однако, такие движения, отличительным свойством
которых является подобие, сохраняющееся в самом движении. Такие
движения называются автомодельными. Распределение любой из газодина-
газодинамических величин по координате, скажем, давления р, в автомодельном
движении эволюционирует со временем таким образом, что изменяются
только масштаб давления П(?) и координатный масштаб области, охвачен-
охваченной движением R (t), но остается неизменной форма профиля давления.
Путем растяжения и сокращения масштабов П и R можно добиться точ-
точного совпадения кривых р (г), отвечающих различным моментам времени t.
Функцию р (г, 0 можно представить в виде р (г, t) — П (t) я (r/R),
где размерные масштабы ПиЛ как-то зависят от времени, а безразмерное
отношение р/П = я (r/R) является «универсальной» (в смысле незави-
независимости от времени) функцией новой, безразмерной, координаты | = r/R.
Растягивая и сокращая масштабы П и R в соответствии с их зависи-
зависимостью от времени, можно из «универсальной» функции я (|) получить
истинную кривую распределения давления по координате р (г) для любого
момента времени t. Аналогичным образом выражаются и другие газоди-
газодинамические величины: плотность и скорость.
Для автомодельных движений система уравнений газовой динамики
в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений относительно новых неизвестных функций автомодельной
переменной ? = r/R.
Выведем эти уравнения. Для этого представим решение уравнений
в частных производных A2.1) в виде произведений масштабных функций
на новые неизвестные функции новой, автомодельной, переменной ?:
? = -?, R = R(t).	A2.2)
Масштабы давления, плотности, скорости, длины не все независимы
между собою. Если выбрать в качестве основных масштабы длины R

§ 2]	АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ	613
и плотности Qo, то в качестве масштаба скорости можно взять величину
-у- = R, а в качестве масштаба давления QqR2. Это не нарушает общности,
масштаб определяется с точностью до численного коэффициента, кото-
который всегда можно включить в новую неизвестную функцию. Будем
искать решение в виде
р = еой2я.(|), Q = Qog(l), u = Rv(l),	A2.3)
где я, g, v — новые, безразмерные функции автомодельной переменной
?, для которых и следует составить дифференциальные уравнения. Эти
функции иногда называют представителями давления, плотности и ско-
скорости соответственно. Масштабы R, q0, R как-то зависят от времени,
пока неизвестным образом.
Подставим выражения A2.3) в уравнения A2.1), примем во внима-
внимание определение автомодельной переменной A2.2) и воспользуемся пра-
правилами дифференцирования типа:
dQ
dt ~~
dQ
дг ~~
dQ0
dt
Qog'
В
(дифференцирование масштабов по времени будем обозначать точкой,
а дифференцирование представителей по автомодельной переменной —
штрихом).
В результате после простых преобразований получим уравнения:
A2.4)
Для того чтобы представление A2.3) имело смысл и можно было напи-
написать дифференциальные уравнения для новых неизвестных функций л (?),
g (?), v (!), необходимо, чтобы переменные t яЪ, ъ уравнениях A2.4) раз-
• • •
делились. Для этого во втором из уравнений следует положить RR/R2 —
= const, откуда (при const Ф1)
A2.5)
Здесь А и а — некоторые постоянные (Л— размерная, а —число).
Qo
В первом уравнении A2.4) надо положить -§5- = const-5-, что дает
Qo	"¦
A2.6)
где В и р — также постоянные. Первый член в третьем уравнении A2.4)
при этом превращается в константу автоматически.

614 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ1ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Таким образом, все масштабы в автомодельном движении зависят от
времени по степенным законам, а автомодельная переменная имеет вид *)
Уравнения A2.4) превращаются теперь в систему трех обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций
л (?), g (?), v (|). В систему входят показатели степеней: постоянные
числа а и р. Аналогичным путем преобразуются к безразмерной форме
и начальные и граничные условия задачи, которые превращаются в усло-
условия для функций я, g, v.
Не будем здесь выписывать систему уравнений в общем виде. Уравне-
Уравнения будут записаны в дальнейшем применительно к конкретным задачам.
Во многих движениях масштаб плотности q0 является постоянным (пока-
(показатель р = 0). Это имеет место, например, во всех случаях, когда удар-
ударная волна (или волна разрежения) распространяется по исходному газу
постоянной плотности.
Показатель р обычно отличается от нуля в тех задачах, в которых
плотность исходного газа распределена в пространстве по степенному
закону типа q00 = const re. В этих случаях показатель р* определяется
через известный показатель б и а (при 6 = 0 р = 0). Таким образом,
в систему уравнений для функций я, g, c(zb граничные условия) входит
только один новый параметр: показатель автомодельности а.
Показатели степеней в масштабных функциях однозначным образом
связаны с показателями а и C (т. е. а и б). Например, в случае, когда
масштаб плотности —¦ постоянный (Р = 0, q0 = const), R ~ ta, R ~
~ t0-1, П = Q0R2 ~ *2(a-l).
Поскольку масштаб длины R однозначным образом связан со време-
временем, масштабы скорости, плотности и давления можно считать функциями
не времени, а масштаба длины R; с помощью соотношения R ~ ta
найдем:
a-l	P
Э+2(а-1)
^~Л а .
Из выражений для масштаба плотности q0 ~ $ ~ i?P/a и закона
распределения начальной плотности в пространстве q00 = const r6 видно,
что Qo = Qoo (R)', например, масштабом плотности q0 служит начальная
плотность газа в точке, где находится ударная волна в момент t (R —
координата фронта ударной волны). Отсюда следует упоминавшаяся выше
связь показателей р и б: р = аб.
*) Как заметил К. П. Станюкович [1], кроме степенной, возможна еще и экс-
экспоненциальная автомодельность, при которой R =A'emi, q0 = B'ent, % = re~mt/A',
где А', В', т, п — константы. Экспоненциальное решение удовлетворяет уравнению
RR/R2 = const при const = 1. В большинстве практически интересных задач авто-
автомоде льность имеет степенной характер.

§ 3]	УСЛОВИЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ ДВИЖЕНИЯ	615
При р = 0, Qo = const функции р, q и и по формулам A2.3) можно
записать в любой из эквивалентных форм:
2(а-1)	Л
р = const f2(»-Djt (g) = const R " Jt(g),
°=L	A2.8)
и = const Z"-^ (|) = const R " y(?),
q = const g(?).	J
§ 3. Условия автомодельности движения
Естественно поставить вопрос: каким требованиям должны удовле-
удовлетворять условия задачи, чтобы движение было автомодельным? Для
ответа на этот вопрос следует привлечь соображения размерности.
Уравнения газовой динамики A2.1) помимо переменных функций р,
Q, и и независимых переменных г, t не содержат никаких размерных
параметров (единственный параметр у — безразмерный). Размерные пара-
параметры входят в начальные и граничные условия задачи. Это и дает воз-
возможность построить функции р (г, t), q (r, t), ибо все пять переменных,
p. q, и, г, t, имеют различные размерности, причем три из них — незави-
независимые. Поскольку в размерности давления и плотности входит символ
массы, по крайней мере в одном из параметров задачи также должен
содержаться символ массы.
Во многих случаях это —• постоянная начальная плотность газа Qo
в г-см'3. В ряде задач начальная плотность распределена в пространстве
по степенному закону q00 = br6. Тогда это — параметр Ь, с размерно-
размерностью [Ь] = г-см~г~ь. Обозначим параметр, содержащий символ массы,
через а. В самом общем случае его размерность есть [а] = z-cMhcens.
Имея в виду размерности функций: [р] = г• см-сек-2, [q] = г-см~3,
[и] = см-сек*1, можно , не нарушая общности, представить их в форме,
предложенной Л. И. Седовым [2]:
^	^G, « = -fF,	A2.9)
где Р, G, V — безразмерные функции независимых переменных, которые
зависят от безразмерных комбинаций, содержащих г, t и параметры
задачи.
В общем случае безразмерных переменных — две: г/г0 и t/tOy где
г0 и ?0 — параметры с размерностями длины и времени, которые либо
непосредственно входят в условия задачи, либо могут быть составлены
путем комбинации параметров других размерностей. Функции Р, G, V
при этом зависят от г и t раздельно и задача не является автомодельной.
Можно привести множество примеров подобных движений. Сошлемся
на один: задачу о волне разрежения, которая возникает, когда из газа
выдвигается поршень с переменной скоростью ut = U A — е~*/т) (см. § 10
гл. I). В этом примере роль параметра а играет постоянная начальная
плотность газа q0. Кроме того, в задачу входят размерные параметры
[т] = сек; [U] = см-сек-1 и начальная скорость звука [с0] = см-сек-1
( или начальное давление р0; с20 = у — ) . Безразмерными переменными
V	Qo '
могут служить, например, tlx и г/сох или rlUx (г0 = сох или Ux).
Если из параметров задачи нельзя составить масштабов длины и вре-
времени, то переменные г и t не могут входить в функции Р, G, V раздельно;

616 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
функции могут зависеть только от безразмерной комбинации, составлен-
составленной из г и t, | = r/Ata, где А — некий параметр размерности [А] —
= см-сек~а. Выражения A2.9) приобретают вид
); u = JLv(l)	A2.10)
2 v ' v rh+3ts 4e<" . t *•''"
В этом случае задача автомодельна и выражения A2.10) эквивалентны
выражениям A2.3), отличаясь от последних только формой функций —
представителей.
Продемонстрируем это на примере автомодельных движений с по-
постоянным масштабом плотности. При этом а = q0, k = —3, s — 0, так
что выражения A2.10) принимают такой вид:
P = Q0?P(Z), Q = QoG(g), B=-fF(g),	A2.11)
Подставляя сюда г = |i? и замечая, что В = aR/t, найдем, что
формулы A2.11) и A2.3) эквивалентны, если
P(t) = a*^f>-; G(l) = g(Q; V® = a?f-.	A2.12)
Изучение автомодельных движений представляет большой интерес.
Возможность сведения системы уравнений в частных производных к систе-
системе обыкновенных дифференциальных уравнений для новых функций —
представителей, чрезвычайно упрощает задачу с математической точки
зрения и в ряде случаев позволяет находить точные аналитические
решения.
Кроме того, часто автомодельные решения представляют собой те
пределы, к которым асимптотически стремятся решения неавтомодельных
задач. В дальнейшем это положение будет пояснено при рассмотрении
конкретных задач.
§ 4. Два типа автомодельных решений
Существует два резко отличных типа автомодельных решений. Реше-
Решения первого типа обладают тем свойством, что показатель автомодельно-
сти а, а вместе с ним показатели степеней при t или R во всех масштабах,
определяются из соображений размерности или из законов сохранения.
Показатели степеней при этом являются дробями с целочисленными чис-
числителями и знаменателями. В задачах этого типа всегда имеется два пара-
параметра с независимой размерностью. Из этих параметров составляется
параметр, размерность которого содержит символ массы, а (см. формулу
A2.10)), и другой параметр А, который содержит только символы длины
и времени. С помощью второго параметра А и можно построить безраз-
безразмерную комбинацию — автомодельную переменную -| = r/Ata. Размер-
Размерность параметра А — см-сек~а определяет показатель автомодельности а.
Два движения такого типа рассматривались в гл. I: задача об автомо-
автомодельной волне разрежения (§ 11) и задача о сильном взрыве (§ 25).
В первом случае двумя независимыми размерными параметрами являются
начальные плотность и давление газа q0 и р0. Из них можно составить
размерный параметр, не содержащий символа массы: начальную еко-
рость звука с0 = (yPo/QoI/2-
Роль параметра А играет скорость звука с0. Соответственно

§ 4]	ДВА ТИПА АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ	617
В задаче о сильном взрыве параметрами служат начальная плот-
плотность газа Qo г-см~3 и энергия взрыва Е г-см2-сек~2, которой всегда равна
полная энергия газа, охваченного движением, благодаря чему в задаче
появляется интеграл энергии. (Напоминаем, что в задаче о сильном
взрыве начальные давление и скорость звука р0, с0 предполагаются рав-
равными нулю, т. е. эти величины не являются параметрами задачи.) Из
параметров Qo и Е составляется параметр, не содержащий массы
А = (?7qoI/5 см-сек-2^, так что автомодельная переменная есть
I = r/(?/Q0)Ve*V6; а =~.
При сильном взрыве в среде с переменной начальной плотностью
Qoo = br6 параметрами служат энергия взрыва Е г-см2-сек~2 и коэф-
коэффициент b г-см~3~ь.
Из них можно составить параметр А, не содержащий массы,
л г а \ 5+6	5+6
А = ( -г- ) ' см-сек ^
о
Автомодельная переменная имеет вид
1	2
г V+e
(Автомодельная задача о взрыве в среде с переменной плотностью рас-
рассматривалась Л. И. Седовым [2].) К этому же типу принадлежит и авто-
автомодельная задача о распространении тепловой волны от места, где выде-
выделилось определенное количество энергии (см. гл. X).
Как было показано в § 2, показатель автомодельности входит в систему
дифференциальных уравнений для представителей в качестве параметра.
Поскольку в автомодельных задачах рассматриваемого типа число а
находится сразу же из соображений размерности (или законов сохра-
сохранения ), дело сводится к интегрированию системы уравнений с известными
граничными условиями.
В автомодельных задачах второго типа показатель степени а нельзя
найти из соображений размерности или законов сохранения без решения
уравнений. В этом случае само определение показателя автомодельности
требует интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений для
функций — представителей. Оказывается, что показатель находится из
условия, чтобы интегральная кривая проходила через особую точку, без
чего не удается удовлетворить граничным условиям.
Примерами автомодельных движений второго типа могут служить
известные задачи о схождении ударной волны к центру или о кратковре-
кратковременном ударе, о которых речь пойдет ниже.
Рассмотрение решений конкретных задач, принадлежащих ко вто-
второму типу, показывает, что во всех этих случаях в исходных условиях
задачи имеется только один размерный параметр, содержащий символ
массы, и отсутствует второй, с помощью которого можно было бы обра-
образовать параметр А. Это и лишает нас возможности установить число а
по размерности параметра А. На самом деле задаче, конечно, свойствен
некий размерный параметр А см-сек~а; в противном случае невозможно
было бы составить безразмерную комбинацию ? = r/Ata. Однако раз-
размерность этого параметра (т. е. число а) не диктуется исходными усло-
условиями задачи, а сама находится из решения уравнения. Численное значе-
значение параметра А нельзя найти из уравнений автомодельного движения.

618 некоторые автомодельные: процессы в газовой динамике [гл. хи
Его можно определить только зная, как возникло данное движение. Так,
например, если автомодельное движение возникло в результате какого-то
неавтомодельного течения, которое асимптотически вышло на автомодель-
вый режим, то величину А можно найти только путем численного решения
полной, неавтомодельной задачи, когда прослеживается сам процесс
перехода неавтомодельного движения в автомодельное. Подробнее эти
положения будут разъяснены при рассмотрении конкретных задач.
Автомодельные движения первого типа, в которых показатель авто-
модельности определяется из соображений размерности, подробно иссле-
исследовал Л. И. Седов. Поскольку уже имеется книга Л. И. Седова [2],
в которой дано исчерпывающее описание этих движений и решение ряда
конкретных задач, мы в этой главе не будем останавливаться на автомо-
автомодельных движениях первого типа и займемся изучением движений только
второго типа.
2. СХОЖДЕНИЕ К ЦЕНТРУ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
И ЗАХЛОПЫВАНИЕ ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОСТИ
§ 5. Постановка задачи о сходящейся ударной волне
Представим себе сферически-симметричное движение, в котором по
газу постоянной начальной плотности q0 и нулевого давления к центру
симметрии идет сильная ударная волна. Не будем заниматься причинами
возникновения ударной волны. Волна могла быть создана, например,
«сферическим поршнем», который толкнул газ внутрь, сообщив ему
некоторое количество энергии. По мере схождения ударной волны к центру
происходит концентрирование энергии на фронте (кумуляция), и волна
усиливается. Будем интересоваться движением газа на малых расстоя-
расстояниях от центра (скажем, малых по сравнению с начальным радиусом
«поршня»). В моменты, близкие к моменту фокусировки, и на малых
радиусах движение, надо полагать, в значительной мере (в какой, будет
сказано ниже) «забывает» о начальных условиях и выходит на некий
предельный режим, который и надлежит найти.
В задаче нет характерных параметров длины или времени. Началь-
Начальный радиус «поршня» не может служить масштабом для предельного
движения в области, размеры которой очень малы по сравнению с ним.
Единственным масштабом длины является сам переменный во времени
радиус фронта ударной волны R. Масштабом скорости является меняю-
dH	*
щаяся во времени скорость фронта -т- = R = D. Поэтому естественно пред-
предположить, что предельное движение будет автомодельным. При этом зара-
заранее нет никаких оснований для определения показателя автомодельности
а. Помимо начальной плотности q0, нет больше никаких видимых пара-
параметров, с помощью которых можно было бы построить автомодельную
переменную. Конечно, энергия всего газа, равная энергии, сообщенной
газу поршнем, имеет вполне определенное значение. Однако в автомо-
автомодельной области, размеры которой малы (порядка R) и уменьшаются
с течением времени по мере схождения волны к центру, сосредоточена
лишь небольшая, и притом уменьшающаяся со временем доля полной
энергии *). Как будет показано ниже, энергия в автомодельной области,
*) Предположение о равенстве нулю начального давления, т. е. о том, что волна
сильная, исключает из задачи и параметр скорости — начальную скорость звука с0,
которая вместе с начальным давлением равна нулю.

¦§ 6]	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ	619
радиус которой порядка R, а масса порядка QoR3, уменьшается с тече-
течением времени по степенному закону. Однако она уменьшается при R -> О
медленнее, чем Л3, вследствие усиления ударной волны и возрастания
плотности энергии (давления). Из сказанного ясно, что автомодельное
движение должно принадлежать ко второму типу. В решение войдет некий
параметр А, неизвестной заранее размерности, связанной с показателем
автомодельности а ([А] = см-сек~а; см. § 2). Если показатель автомо-
дельности, т. е. размерность А, найдется из самого предельного реше-
решения, то численное значение параметра А останется неопределенным. Оно
зависит от начальных условий задачи, от движения всего газа в целом.
Как уже было сказано, предельное, автомодельное решение спра-
справедливо только в области малых размеров порядка радиуса фронта и при-
притом вблизи момента фокусировки ударной волны, когда этот радиус мал.
Если численно решать задачу о движении всего газа в целом при
каких-то начальных условиях, обеспечивающих возникновение сходя-
сходящейся ударной волны (задачу со «сферическим поршнем», совершающим
толчок внутрь), то истинное решение в области с радиусом, который
уменьшается пропорционально радиусу фронта, будет все более и более
приближаться к предельному автомодельному решению.
Вид предельного решения не зависит от начальных условий и харак-
характера движения газа на далеких расстояниях, в частности, от закона дви-
движения поршня.
Однако предельное решение не полностью «забывает» о начальных
условиях. Оно «забывает» о форме начального движения, но выбирает
из всей многообразной информации, предоставляемой начальными усло-
условиями, единственное число А, которое характеризует «интенсивность»
начального толчка (более «сильному» толчку отвечает большее значение А).
Если сам вид предельного решения не зависит от начальных условий
и движения газа на далеких расстояниях от центра, то характер прибли-
приближения истинного решения к предельному, конечно, зависит от началь-
начальных условий. Чем ближе начальное движение к предельному, тем раньше
выйдет истинное движение вблизи фронта на автомодельный режим. Однако
этот выход рано или поздно обязательно произойдет, какими бы ни были
начальные условия и движение на далеких расстояниях.
Итак, будем искать автомодельное решение задачи о схождении
к центру ударной волны. Эта интересная и важная задача была решена
независимо Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем [1] и Гудерлеем [3].
§ 6. Основные уравнения
За начало отсчета времени t = 0 примем момент фокусировки, когда
Л = 0. Тогда время до момента фокусировки оказывается отрицательным.
В связи с этим определение автомодельной переменной следует несколько
изменить, положив
Формально решение, которое мы ищем, охватывает все пространство,
вплоть до бесконечности, так что интервалы изменения переменных таковы:
— oo<f<0; Л<г<оо; l<g<oo
(фактически автомодельное решение справедливо лишь в области с радиу-
радиусом порядка Л, а на больших расстояниях как-то смыкается с решением
лолной, неавтомодельной задачи).

620 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
На фронте ударной волны ? = 1. Скорость распространения фронт»
направлена к центру, т. е. отрицательна, D = R = aR/t = — off/111 << 0.
Подставим в уравнения газовой динамики A2.1) решение в автомодель-
автомодельной форме A2.3).
Система сводится к уравнениям A2.4), в которых v = 3, в соответ-
соответствии со сферической симметрией движения. Масштаб плотности в задаче-
постоянный, Qo = const (в этом довольно очевидном утверждении мы
убедимся при рассмотрении граничных условий на фронте ударной волны).
Поэтому член qo/Qo в первом из уравнений A2.4) исчезает и квадратная
скобка обращается в нуль. Множители, зависящие от масштабов, в урав-
уравнениях A2.4) сводятся к следующим константам:
R2	R
Получим систему уравнений для представителей:
A2.14)
(v-I) (lnng-v)' + 2 (а-1) а-1 = 0.
В целях упрощения системы проделаем ряд преобразований. Перейдем
к новым функциям — представителям Р, G, V, связанным со старыми
я, g, v формулами A2.12) (можно, конечно, и с самого начала искать*
решение размерных уравнений A2.1) в виде A2.11). Далее, введем вместо
давления новую неизвестную функцию — квадрат скорости звука *) и соот-
соответственно перейдем к представителю квадрата скорости звука.
В размерных переменных c2t = yplq. В представлении A2.3) с2 =
= yWnlg = R2z, где представитель ъ = уя/g.
В представлении A2.11), к которому мы перешли, с2= у -р^-тг =¦-#¦ Z,
где представитель Z = yP/G. Формулы A2.12) дают связь между пред-
представителями z и Z:
п Z
После введения новых переменных система A2.14) приобретает вид
dV
'*) Систему уравнений газовой динамики A2.1) можно записать и относительно-
функций Q, и, с2 вместо Q, и, р:
ди
at
ди .	и	~\
1 *Р' I
111 C2Q '=0. ]

§ 7]	ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ	621
Это есть система трех обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка относительно трех неизвестных функций V, G, Z от неза-
независимой переменной ?.
Рассмотрим граничные условия. На фронте ударной волны
выполняются законы сохранения, которые в предельном случае силь-
сильной ударной волны дают известные соотношения между газодинами-
газодинамическими величинами за фронтом и скоростью фронта (см. формулы A.111)):
D». A2.16)
Подставляя сюда выражения размерных величин через представители
{12.11) и имея в виду, что на фронте ударной волны г = R, \ = 1, а также
принимая во внимание, что D = R = aR/t, получим граничные условия
для представителей: при Е = 1
J±f^?U«.	A2.17)
Отсюда, кстати сказать, непосредственно видно, что масштаб плот-
плотности не зависит от времени или радиуса фронта. В противном случае
невозможно было бы удовлетворить условию Qt = ^t- q0 = const на
¦фронте ударной волны.
Представители подчиняются также условиям на бесконечности.
В момент фокусировки t = 0 скорость, давление, скорость звука на любом
конечном радиусе г ограничены. Но при 1 = 0 е конечном г | = оо.
Чтобы при t = 0 и конечном г величины и = у V, с2 = ~ Z были ограни-
ограниченными, необходимо, чтобы V и Z обращались в нуль. Таким образом,
получаем еще условие, которому должно удовлетворять решение: при
1 = оо
F(co) = 0; Z(oo) = 0.	A2.18)
Вообще говоря, граничных условий A2.17) достаточно для того,
чтобы начать интегрирование уравнений A2.15) от точки | = 1 в сторону
\ > 1, задавшись каким-то значением числа а.
Однако исследование уравнений, о котором речь пойдет в следующем
параграфе, показывает, что получить однозначное решение и прийти
в точку A2.18) нельзя при произвольном значении а. Это оказывается
возможным только при некотором избранном значении а, что и определяет
выбор показателя автомодельности.
§ 7. Исследование уравнений
Покажем, как находится показатель автомодельиости при решении
уравнений A2.15). Для этой цели следует прежде всего произвести иссле-
исследование уравнений. Мы не будем здесь стремиться к математической
строгости обоснований и приводить подробные выкладки.
Остановимся только на наиболее важных принципиальных моментах,
а также наметим основные пути решения задачи. При этом мы постараемся
подчеркнуть некоторые особенности задачи, общие либо для всех автомо-
автомодельных решений, либо для решений второго типа. Ниже мы следуем
системе изложения, предложенной Н. А. Поповым, которому мы благо-
благодарны за ценные советы.

622 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
При взгляде на систему уравнений A2.15) сразу же бросается в глаза,
что переменная In |, которую можно рассматривать как новую независи-
независимую переменную вместо ?, входит в систему только в виде дифференциала
d In |. Точно так же только в виде дифференциала d In G входит и одна
из искомых функций — G. Это свойство уравнений A2.15), характерное для
любых автомодельных движений, позволяет свести систему трех дифферен-
дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению относитель-
относительно переменных V и Z и двум квадратурам *). В самом деле, разре-
разрешим систему A2.15) относительно производных dV/dln ?, d In G/d\n ?,.
dZ/d In %. Вместо того чтобы выписывать получающиеся весьма громозд-
громоздкие выражения, запишем результат решения алгебраической системы
в символической форме, через детерминанты
А2 . ' dZ Д3	M9 1QY
А ' d In I ~ A
где определитель системы А равен
V — а О
V — a —
Y	Y
= — Z + (V — aJ.	A2.20)
0 (Y-l)Z —1
Детерминанты Аь А2, А3 получаются после замены соответствующих
столбцов в детерминанте A2.20) правыми частями уравнений A2.15).
Коэффициенты при производных и правые части в уравнениях A2.15)
зависят только от V и Z, но не зависят от Си |, так что все величины
А, Аь А2, Аз являются функциями только V и Z. Разделив третье
из уравнений A2.19) на первое, получим обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение первого порядка:
dZ ^ A3(Z, V) _	A2 21)
После того как найдено решение этого уравнения Z (V), его можно-
подставить в первое уравнение A2.19) и путем квадратуры определить
функцию V (|), а затем, подставляя V (|) и Z [V (?)] во второе уравнение,
путем квадратуры найти функцию G (|).
На самом деле достаточно одной квадратуры, так как система уравне-
уравнений A2.15) обладает одним интегралом, представляющим собой алгебраи-
алгебраическое соотношение между всеми переменными. Существование этого
интеграла, интеграла адиабатичности, связано с выполнением закона
*) Отмеченное свойство не случайно и является следствием размерностной
структуры уравнений газовой динамики, которые не содержат никаких размерных
величин, кроме самих переменных. То, что какая-то величина входит под знаком диф-
дифференциала логарифма, свидетельствует о произволе в выборе единиц для измерения
этой величины. Что касается плотности q = Q0G, то это непосредственно видно из
уравнений A2.1'), записанных для функций Q, и, с2 (см. сноску на стр. 620). Если
в общих, пеавтомодельных уравнениях перейти к новым независимым переменным:
| = r/Ata и т| = г/г0, где А и г0 — какие-то внесенные извне размерные параметры,
то, поскольку выбор этих параметров ничем не ограничен, они должны выпадать из
уравнений. И действительно, преобразование показывает, что новые переменныа
входят в уравнения только в виде d In |, d In ц (в случае автомодельных движений
все функции зависят только от | и не зависят от ц, так что члены rf In tj исчезают).
Безразмерные величины V и Z составляются из самих размерных переменных:
V = t/ru; Z = t2/r2c2 = Qt2/r2yp, бея участия каких-либо посторонних параметров,,
поэтому и в уравнения они входят в свободном виде, не под знаком d In.

§ 7]
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
623
сохранения энтропии в газовой частице *). Вообще, выполнение законов
сохранения всегда сопровождается существованием соответствующих
интегралов автомодельных уравнений. Так, в задаче о сильном взрыве (см.
§ 25 гл. I) уравнения обладают интегралом энергии.
Итак, основная задача сводится к решению уравнения A2.21) с гра-
граничными условиями B.17), B.18).
Рассмотрим, как проходит искомая интегральная кривая на плоско-
плоскости V, Z. На фронте ударной волны при % = 1 V — V A), Z = Z A) (см.
формулы B.17)). Нанесем эту точку на плоскость и обозначим ее буквой Ф.
На бесконечности, при | = оо V (оо) — О, Z (оо) = 0, т. е. интегральная
кривая Z (V) идет из точки Ф в начало координат О (рис. 12.1).
Чтобы решение уравнений газовой динамики имело физический
смысл, оно должно быть однозначным. Каждому значению независимой
переменной \ должны соответствовать
единственные значения V и Z. Это зна-
значит, что функции | от V и | от Z или, что
все равно, In ? от V и In | от Z, не
должны иметь экстремумов. Производные
dlnl/dV = A/At и dlng/dZ A/A
в области изменения переменной 1 <
0<1п?<оов истинном решении нигде
не должны обращаться в нуль.
Но детерминант А = — Z -|- (V — аJ
равен нулю на параболе Z = (V — аJ,
проведенной на плоскости V, Z (рис. 12.1).
Легко проверить путем непосредственного
вычисления, что точка Ф лежит выше
параболы, т. е. искомая интегральная
кривая вдоль своего пути от точки Ф до
точки О непременно должна пересечь
параболу. Чтобы при этом производные
d In %,ldV и d In \]dZ не обратились в нуль, необходимо, чтобы в точке
пересечения обращались в нуль определители Д4 и А3 (можно проверить,
что при А = 0 Aj и А3 обращаются в нуль одновременно). Таким образом,
точка пересечения истинной интегральной кривой Z (V) и параболы есть
особая точка уравнения A2.21) (Д4 = О, А3 = 0, dZ/dV = 0/0).
Если задаться каким-то произвольным значением показателя авто-
модельности а и начать интегрировать уравнение A2.21) от точки Ф,
то интегральная кривая либо вообще не пересечет параболу, либо пере-
пересечет ее в какой-то обыкновенной точке, и эта кривая не будет отвечать
истинному решению.
Рис. 12.1. Ход интегральной кри-
кривой на плоскости^, Z.
*) Чтобы вывести интеграл адиабатичности, воспользуемся первым и третьим
уравнениями A2.15). Первое (уравнение непрерывности) разделим на V — а и пред-
представим в виде
За d In I
d In G-\-d In (V—a)= — 3d In ',
V—a
Третье (энтропийное) уравнение разделим на Z и представим в виде
Исключая из этих двух равенств d In ?/(F — а) и собирая все члены в одну сторону,
получим уравнение вида d In {g, G, V, Z\ = 0, которое дает интеграл i%, G, V, Z} =
= const. Константа определяется с помощью граничного условия A2.17).

624 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Только при специальном, избранном значении а интегральная кривая
пересечет параболу, пройдя через нужную особую точку уравнения A2.21),
и устремится к своей конечной точке О. Это условие обязательного про-
прохождения истинной интегральной кривой через определенную особую
точку уравнения A2.21) и определяет пока-
показатель а. Особая точка В и схематический
ход истинной интегральной кривой показаны
на рис. 12.1 (можно показать, что точка В
лежит на левой ветви параболы).
В особой точке В, через которую про-
проходит истинная интегральная кривая Z (V),
величины Z и V принимают определенные
значения, связанные, кроме того, уравне-
уравнением параболы Z — (V — а)а. Поскольку V
и Z являются функциями Е, особой точке
соответствует определенное значение Е = Ео.
В свою очередь значению ? = Ео соответ-
соответствует некоторая линия на плоскости г, t,
«Ео-линия». Уравнение этой линии есть г —
= R (i) Ео — А (— t)a Ео, а дифференциальное
Рис. 12.2. г, г-диаграмма для
процесса схождения ударной
волны к центру
1 = 1 —линия фронта ударной
стик с+- и с-семейств.	уравнение для нее имеет вид dr/dt = R%0.
Линия фронта ударной волны есть: ? = 1, г = R (t), -f=R. Обе
линии показаны на рис. 12.2 (заметим, что ось г есть линия 5 = оо).
?о-линия обладает важным свойством; она является одной из|С_-харак-
теристик. Чтобы убедиться в этом, перейдем в размерном уравнении для
^..-характеристик dr/dt = и — с к автомодельным переменным. При этом
следует принять во внимание, что скорость звука с есть величина сущест-
существенно положительная. Принятый масштаб ее R или г It отрицателен.
Следовательно, при извлечении корня из выражения с2 = -^Z следует
положить с = —-
Таким образом,
dt ~ "' " ~ t ' ^'
Будем интересоваться теми ^-характеристиками, которые проходят
через Е0-линию на плоскости г, t. Для этого положим в уравнении харак-
характеристик ? = Ео. Но при Е = ?0
2
(так как V < а; действительно, при Е = 1 V A) = а < а; при Е = оо
V = 0; функция F(E) — монотонная). Поэтому рассматриваемые С_-харак-
теристики в каждой точке ?0-линии имеют наклон -т- = —— [V (Ео) -Ь
+ | yz (Ео) | I = RЕо, совпадающий с наклоном самой Е0-линии. Значит,
|о-линия либо огибает семейство С_-характеристик, либо просто совпадает
с одной из них. Оказывается, что справедливо второе утверждение:
?0-линия совпадает с С_-характеристикой, т. е. сама является С_-харак-
теристикой.

<S 8]	РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ	625
Отсюда вытекает важное следствие, касающееся причинной связи
явлений. Как известно, в области непрерывного течения характеристики
одного семейства никогда не пересекаются. Значит, все те С_-характе-
ристики, которые проходят выше ?0-линии (см. рис. 12.2), не догоняют
фронт ударной волны до момента фокусировки. (С_-характеристики,
проходящие ниже ?0-линии, догоняют фронт; ^-характеристики сами
выходят с линии фронт и)
Таким образом, |0-линия ограничивает область влияния. Состояние
движения в данный момент времени в тех точках, которые лежат правее
1о-линии, т. е. на расстояниях г, больших чем r0 = R (t) ?0, уже никак
не повлияет на движение ударной волны.
Отмеченные выше свойства решения: прохождение истинной инте-
интегральной кривой через особую точку, возможное только при избранном
значении показателя автомодельности а (откуда и определяется это зна-
значение), и существование |0-линии на плоскости г, t, которая соответствует
особой точке, является характеристикой и ограничивает область влия-
влияния,— свойственны всем автомодельным режимам второго типа.
§ 8. Результаты решения
Практически решение и показатель автомодельности находят методом
попыток. Задаваясь каким-то значением а, численно интегрируют урав-
уравнение A2.21) от начальной точки Ф (| = 1) и проверяют, как идет инте-
интегральная кривая. Исправляя значение а, путем последовательных прибли-
приближений добиваются того, чтобы интегральная кривая пересекла параболу
в нужной особой точке и устремилась к конечной точке О. Л. Д. Ландау
и К. П. Станюкович [1 ] указали приближенный метод, с помощью которого
можно найти значение а, весьма близкое к фактическому. Это значение
"было использовано для первой попытки и затем уточнено. После того как
найдены показатель а и функция Z (V), отыскание функций V (?), Z (?),
G (|) не составляет труда.
Таким путем в работах [1,3] было найдено значение показателя авто-
автомодельности а = 0,717 для показателя адиабаты у = 7/5. Кроме того,
в работе [1] было найдено, что а = 0,638 для у = 3, а также установлено,
что в пределе у ->1 a-vl. Законы изменения радиуса и скорости фронта
ударной волны, а также давления за фронтом при у = 7/5 таковы:
а-1
|a-l~i? <* ~|f (-0,283
2 (а-1)
о-1> —_Д а ^|
Распределения скорости и и давления р по радиусу в разные моменты
времени при у = 7/5 показаны на рис. 12.3, взятом из книги К. П. Станю-
Станюковича [1]. Скорость за фронтом монотонно спадает, давление сначала
немного увеличивается, а затем тоже падает *). Плотность за фронтом
монотонно возрастает.
Ударная волна непрерывно ускоряется и усиливается при схождении
к центру. При t -*- 0, R -*- 0 давление и температура на фронте стремятся
*) Такой ход давления не является общим; например, при у = 3 давление,
как и скорость, монотонно уменьшается за фронтом ударной волны.
40 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

626 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
к бесконечности; плотность газа остается конечной; на фронте волны
она постоянна и равна [(у + 1)/(y —|1)J Qo-
При схождении ударной волны происходит концентрирование энергии
вблизи фронта ударной волны: температура и давление неограниченно
растут. Однако вследствие того, что сами размеры автомодельной области
уменьшаются с течением времени, полная энергия, сосредоточенная в ней,
также уменьшается. Автомодельное решение справедливо только в неко-
некоторой сфере, радиус которой уменьшается вместе с радиусом фронта,
пропорционально R, т. е. эффектив-
эффективной границей автомодельной области
является некоторое постоянное зна-
значение r/R = g = g1# Количество энер-
энергии, заключенной в автомодельной
области, т. е. в сфере переменного
радиуса г4 = gji?, равно:
п
-t=l-10~scen
[
г, см
Рис. 12.3. Распределения давления в
произвольных единицах (а) и скоро-
скорости (б) в разные моменты времени при
схождении ударной волны центру;
Y-7/5.
Графики взяты из книги [1].
Интеграл по | от 1 до ?4 есть по-
постоянное число, так что энергия
Еавт ~ R3RZ ~Д<И2/«>.
Для всех реальных значений
показателя адиабаты у степень у R
положительна. Например, при
у= 7/5, а = 0,717
Яавт — -R2'21 -» 0 при R -> 0.
Если распространить интегриро-
интегрирование по I до бесконечности (?4 =оо),
то интеграл расходится. (Это поясне-
пояснено в сноске на стр. 627.) Таким обра-
образом, энергия во всем пространстве в рамках автомодельного решения
бесконечна. Это и свидетельствует, в частности, о неприменимости
автомодельного решения к большим радиусам г (при данном радиусе
фронта R).
Количество энергии, заключенной в сфере постоянного радиуса г,
может возрастать (но не беспредельно), однако движение во всей области
от R до г = const ;> R не описывается автомодельным решением. Авто-
Автомодельное решение относится только ко все уменьшающейся сфере, т. е.
к области конечных ?, тогда как ? = -^ -*¦ оо при г = const, R -*- 0.
Вид предельных распределений газодинамических величин по радиусу
в момент фокусировки t = 0 можно установить на основе соображений
размерности. В нашем распоряжении имеется один-единственный пара-
параметр А см-сек~а, с помощью которого можно связать скорость и и скорость
звука с с радиусом г.

8]	РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ	627
Это дает предельный закон в момент t = 0:
Поскольку моменту t = 0 и г Ф 0 соответствует значение | = оо,
предельная плотность q = Q0G (оо) постоянна по радиусу. Предельное
распределение давления, следовательно, есть
г г A-о)
Предельные законы и (г), с (г), р (г), естественно, совпадают с законами
на фронте в ходе процесса ut (R), cd (R), pt (R) (с точностью до численных
коэффициентов) *).	•
Численные коэффициенты в предельных законах для и (г), с (г),
р (г), так же как и предельное значение плотности оПред = Q0G (оо),
можно найти только в результате решения уравнений автомодельного
движения. При у = 775 предельная плотность равна рПред = 21,6 Qq
(плотность на фронте ударной волны рд = 6q0). Такое же значение q =
=21,6 go имеет плотность на больших расстояниях от фронта г-*-оо
и до момента фокусировки (так как при R Ф 0 и г -> оо \ = r/R -> оо)
и ^ = G (I) -> G (оо).
Количество энергии, сосредоточенной в сфере радиуса г в момент
фокусировки, пропорционально
ь--'
(так же как и Еавт ~ R а; см. выше).
Энергия, сосредоточенная в сфере конечного радиуса, конечна и при
г -*¦ 0 также стремится к нулю. Чем больше сфера, тем больше заключено
в ней энергии (в рамках автомодельного режима).
После момента фокусировки, при t > 0, отраженная от центра удар-
ударная волна распространяется по газу, движущемуся навстречу к ней,
к центру. Движение в этой стадии также автомодельно, показатель авто-
модельности не меняется. Закон распространения фронта отраженной
ударной волны при t > 0 есть R ~ ta.
Расчеты показывают, при что у = 7/5 плотность газа за фронтом
отраженной ударной волны равна q1Otp = 137,5 q0, она в 23 раза больше,
*) Предельные законы можно установить и аналитически, исходя из уравнений
для представителей, если найти асимптотическое решение в окрестности точки | = оо,
V = О, Z = 0. Получим: V ~ ?~1//а, Z ~ Ъ,~2/а, что при переходе к размерным вели-
величинам и даст выписанные в тексте предельные законы. Величины и8 и z = ynjg при
согласно определению A2.12) пропорциональны t>2 ~ г ~ |272 —| "'
g (со) = G (оо) = const. Отсюда видно, что интеграл энергии расходится при lt —>со
5i . 2	. 2
1	1
и энергия во всем пространстве в рамках автомодельного решения бесконечна в любой
момент времени.
40*

628 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
чем плотность за фронтом падающей волны, Qj = 6q0. Скорость за фронтом
положительна, т. е. газ разлетается от центра, причем скорость разлета
уменьшается с течением времени, начиная от бесконечности, в соответст-
соответствии с законами R ~ ta, R ~ t~('—°> *).
§ 9. Захлопывание пузырьков. Задача Рэлея
С процессом схождения ударной волны к центру имеет целый ряд
общих черт процесс захлопывания пузырьков в жидкости (в воде). В реаль-
реальной жидкости часто образуются маленькие пузырьки, заполненные паром
жидкости и нерастворенными газами. Явление образования пузырьков
носит название кавитации. В стационарных условиях пузырек устой-
устойчив, газовое давление изнутри уравновешивает давление в жидкости.
Когда жидкость участвует в движении и попадает из области низкого дав-
давления в область более высокого, внутреннее давление в пузырьке, который
образовался раньше, при низком давлении, становится меньше нового,
высокого давления в жидкости. Жидкость при этом устремляется к центру,
захлопывая пузырек. При захлопывании пузырька, как и при фокусировке
ударной волны, происходит концентрирование энергии. Скорость захлопы-
захлопывания и давление нарастают по мере уменьшения радиуса пузырька и в
стадии фокусировки достигают весьма больших значений. После схлопы-
вания в центральной области образуется пик давления и от центра распро-
распространяется ударная волна.
Когда подобный процесс протекает вблизи твердых поверхностей,
ударная волна может привести к повреждениям материала поверхностей.
Считается, что в этом состоит одна из причин быстрого износа гребных
винтов и турбин.
Задачу о движении жидкости при захлопывании пузырька в идеализи-
идеализированной постановке решал Рэлей [4]. Жидкость считалась идеальной
(невязкой) и несжимаемой. Сферически симметричная полость считалась
пустой, т. е. давление внутри и на поверхности полости полагалось рав-
равным нулю **).
Пусть в начальный момент в жидкости имеется сферическая полость
радиуса i?o- Давление в окружающей жидкости равно ро, и жидкость
покоится. Распределение скорости по радиусу г после начала движения
найдем из уравнения непрерывности при q = const:
в = Д^. = л4,Е = -^,	[A2.22)
*) В работе одного из авторов [26] построено семейство автомодельных решений
для цилиндрического движения в акустическом приближении. Оно получается путем
суперпозиции плоских волн. Показатель автомодельности является произвольным
я выбирается но начальным условиям. Для сходящейся цилиндрической ударной волны
(в акустическом приближении) давление на фронте/> ~ \t\ ~1/2, причем радиус фрон-
фронта R = с | 11.
Интересно, что в отраженной ударной волне давление на фронте бесконечно при
R Ф 0. Результаты для ударной волны были получены ранее Е. И. Забабахиным
и М. Н. Нечаевым [27]. Давление на фронте обращается в бесконечность только в рам-
рамках акустического приближения, что разъяснено в [26, 27].
**) По-видимому, в реальном процессе на последней стадии захлопывания давле-
давление паров внутри настолько возрастает, что сдерживает напор жидкости и заставляет
ее отступить обратно. Благодаря очень быстрому сжатию, пар не успевает конденси-
конденсироваться и сжатие его в конце происходит по адиабате Пуассона. Однако рассматривая
захлопывание до не слишком малых радиусов, давлением пара можно пренебречь.
Также можно пренебречь и поверхностным натяжением на границе жидкости.

§ 9]	ЗАХЛОПЫВАНИЕ ПУЗЫРЬКОВ. ЗАДАЧА РЭЛЕЯ	629
где R(t)— радиус полости, a R — скорость границы. Подставляя выра-
выражение для скорости в уравнение движения и интегрируя его по г от г
до оо, получим распределение давления:
P = Po + Q—-jr——е2|*-	A2.23)
Если отнести это уравнение к границе полости | = 1, где р = 0,
получим уравнение для функции R(t):
^)	A2.24)
Интегрируя уравнение один раз с начальным условием Д = 0 при
= R0, получим закон нарастания скорости при захлопывании:
Это уравнение можно получить и непосредственно из энергетических
соображений. Примем за нуль энергию жидкости без пузырька. Потен-
Потенциальная энергия жидкости, в которой имеется пузырек радиуса R, равна
работе, потраченной на преодоление сил внешнего давления при образо-
образовании полости объемом 4яй3/3. Эта работа равна p0inR3/3, независимо
от распределения давления в районе пузырька**).
Кинетическая энергия жидкости равна
5	dr = \ 4nr*Q -^- dr =
R	R
Полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной,
сохраняется:
2oqR4P + &^- = E = ¦*&$-.	A2.26)
О	О
Отсюда и получается выражение A2.25).
С помощью соотношения A2.24) профиль давления A2.23) можно
представить в форме
(Профили скорости и давления схематически изображены на рис. 12.4.)
Из формулы для давления видно, что задача неавтомодельна (несмо-
(несмотря на, казалось бы, «автомодельный» вид скорости A2.22)). Это и понят-
понятно: в задаче имеются характерные масштабы длины Ro и скорости |/ро/д.
*) Интегрирование уравнения A2.25) дает время захлопывания пузырька т =
= 0,915Д0 УQ/Po- Например, в воде при q = 1 г/см3 р0 = 1 атм, Ro = 1 мм, т =
= 0,915- 1(Г4 сек.
**) Пояснить это положение можно следующим образом. Представим себе сосуд
с жидкостью, находящейся под давлением р0, закрытый подвижным поршнем с пло-
площадью поверхности S. Если внутри образуется полость объемом Q, жидкость в силу
своей несжимаемости выдавливает поршень на расстояние I, такое, что IS = Q. При
этом она совершает над поршнем работу p0Sl = p0Q, которая определяется только
давлением р0 вдали от пузырька и не зависит от распределения давления вблизи
пузырька.

630 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Однако в пределе, когда радиус полости стремится к нулю, R -*¦ 0,
а скорость и давление растут, стремясь к бесконечности, решение асимпто-
асимптотически принимает автомодельный характер:
fr	1	t
Масштаб длины, начальный радиус, становится слишком большим,
а масштаб давления ^0 становится слишком малым, чтобы характеризовать
истинный процесс, для которого теперь масштабами служат переменные
во времени радиус полости R и скорость границы /?(/?< Rq, R > у — ',
р ~ qR2 > ро)- Движение как бы «забывает» о начальных условиях.
Это, в частности, проявляется в том, что
параметры р0 и Ro входят теперь в уравнение
движения границы не в отдельности, как;
раньше (см. формулу A2.25)), а только в
комбинации, пропорциональной полной энер-
энергии жидкости Е — 4ni?jpo/3 (см. формулу
A2.27)).
Как видим, автомодельность принадле-
принадлежит к первому типу — сохраняется энергия.
Размерные параметры в автомодельном тече-
течении такие же, как и в задаче о сильном
взрыве — энергия и плотность. Закон дви-
движения границы дается уравнением A2.27)
^i R2 ~ — —g, а давление р ~ E/R3. Отсюда
Рис. 12.4. Профили скорости сауе ПОЛучим R ~ (Я/оI'» (— t)V*;
и давления в задаче Рэлея. Ч»«*<*У	иилучши д v^'v; \ > >
R ~ (E/qI'* (— 0/б> как в задаче о силь-
сильном взрыве (за нуль времени принят момент фокусировки). Показатель
автомодельности а = 2/5.
В пределе R -*- О, из формул A2.22) и A2.27) получаем
?=f
__
R
Скорость границы стремится к бесконечности, R ~ R~3I*, но скорость
на конечном радиусе г Ф 0 стремится к нулю. В пределе Л-vO потен-
потенциальная энергия pQiaRs/3 стремится к нулю, и вся энергия Е, которая
теперь является кинетической, концентрируется в точке начала коорди-
координат. Плотность энергии в ней бесконечна. В отличие от скорости, давление
в момент фокусировки бесконечно и на любом конечном радиусе г Ф 0
(с давлением в модели несжимаемой жидкости не связана энергия). Это
свидетельствует о несовершенстве модели несжимаемой жидкости. Как
будет показано в следующем параграфе, при учете сжимаемости давление
на конечных расстояниях от центра ограничено.
§ 10. Захлопывание пузырьков. Учет сжимаемости и вязкости
Захлопывание пустой полости в воде с учетом сжимаемости (но без
учета вязкости) рассматривал Хантер [5]. Уравнение состояния было
принято в форме

§ 10]	УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ И ВЯЗКОСТИ	631
с у = 7. Однако фактически в пределе больших давлений единица опуска-
опускалась, так что уравнение состояния имело форму, аналогичную газовому,
р = В (q/qo)v- Величина В предполагалась постоянной, не зависящей
от энтропии (течение считалось изэнтропическим). Было принято В =
= 3000 атм.
Численное решение уравнений гидродинамики (в переменных и, с)
с надлежащим образом выбранными начальным и граничными условиями
показало, что в пределе, когда радиус полости становится очень малень-
маленьким, а скорость границы очень большой, решение становится автомо-
автомодельным.
В соответствии с этим искалось решение уравнений в автомодельной
•	¦
форме и = Rv (r/R), с2 = R2z (r/R), где радиус полости R = А ( — t)a *).
Уравнения в автомодельных переменных, их общие свойства и ход иссле-
исследования во многом аналогичны тому, что имеет место в задаче о схождении
ударной волны к центру. В результате численного интегрирования пока-
показатель автомодельности а получился равным а = 0,555 (для у = 7).
Энергия всего течения бесконечна, как и в задаче о фокусировке
ударной волны. (Энергия, заключенная в сфере радиуса г в момент фокуси-
фокусировки t = 0, R = 0, пропорциональна г1-13). Отсутствие интеграла энер-
энергии и относит автомодельную задачу ко второму типу. Распределения
скорости, квадрата скорости звука и плотности по радиусу в момент схло-
пывания полости, когда R = 0, имеют вид
1-а	2A-а)	2A-а)	2A-а) у
и~г а ; с2-~г а ; Q~r a(v-i) ; р~г ia<v-0 .
В отличие от случая фокусировки ударной волны, когда распределения
и и с2 ( с2 ~ — J имеют такой же вид, предельная плотность здесь пере-
переменная. Это связано с тем, что с самого начала задача считается изэнтропи-
ческой. Резкое повышение с2 и р связывается не с ростом энтропии, как
в ударной волне, а с ростом плотности.
Автомодельное решение в какой-то мере описывает реальный процесс
лишь в области очень малых радиусов, когда «забыты» начальные условия.
Сопоставление автомодельного решения с результатами численного
интегрирования уравнений в частных производных при начальных усло-
условиях, соответствующих атмосферному давлению в воде и начальному
радиусу Ro = 0,5 см, показало следующее. В момент полного схлопывания
t = 0, R = 0 автомодельное решение справедливо в области с радиусом
порядка Ю-2 см. В такой сфере содержится примерно 10—20% энергии
жидкости, а давление на ее границе порядка нескольких десятков тысяч
атмосфер. В работе Хантера найдено также автомодельное решение для
ударной волны, которая распространяется от центра после схлопывания
пузырька.
К интересным закономерностям приводит учет вязкости жидкости.
Задачу о захлопывании пустой сферической полости в несжимаемой вязкой
жидкости решал Е. И. Забабахин [6].
Исследование уравнений показывает, что характер движения зависит
от значения числа Рейнольдса Re = — у —, где v = t)/q — кинематиче-
*) Для исследования и решения уравнений оказалось более удобным выбрать
в качестве автомодельной переменной не | = r/R — г/А (— i)a, а величину |' =
= — (Д/г)'^а = А '/«г,--'/" (на границе полости r = R, %' =— 1; на бесконечности
г = сю, I' = 0).

632 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
екая вязкость. При Re > Re*, где Re* — некоторое критическое число
(малая вязкость), скорость границы полости R неограниченно возрастает
при R -*- 0 по такому же закону как и в задаче Рэлея, R ~ R'3/*, но
с меньшим значением коэффициента пропорциональности (часть энергии
превращается в тепло за счет диссипации). При Re < Re* (большая
вязкость) вязкость сильно препятствует ускорению жидкости, захлопы-
захлопывание пузырька происходит медленно, за бесконечное время. Кумуляция
энергии, характерная для задачи Рэлея, отсутствует. В промежуточ-
промежуточном случае при Re = Re* пузырек захлопывается за конечное время;
скорость R при R -v 0 неограничендо растет, но слабее, чем R'1.
Численное интегрирование уравнений дает для критического числа
Рейнольдса значение Re* = 8,4. Для данной жидкости, находящейся под
данным давлением, т. е. при заданных q, v, p0, можно говорить о критиче-
критическом радиусе пузырька R*. При Ro < R* кумуляция полностью устра-
устраняется вязкостью. Реально, критический радиус чрезвычайно мал; напри-
например, в воде (q = 1 г/см3, р0 = 1 атм, v = 0,01 см2/сек) R* — 0,8-10~4 см.
Следовательно, вязкость слабо влияет на захлопывание пузырьков
с радиусом, превышающим 0,8-10~4 см.
3. ВЫХОД УДАРНОЙ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТЬ ЗВЕЗДЫ
§ 11. Распространение ударной волны при степенном законе
уменьшения плотности
Известно (см., например, [7]), что вблизи поверхности звезды плот-
плотность вещества спадает к нулю приблизительно по степенному закону
Qoo = bs<\	A2.28)
где х — координата, которая отсчитывается от поверхности внутрь звезды,
а Ь и б — постоянные. Такое распределение плотности устанавливается
в результате совместного действия сил гравитации и теплового давления,
причем в установлении распределения температуры, которой пропор-
пропорционально давление газа, существенную роль играет лучистая теплопро-
теплопроводность (см. об этом также § 14 гл. II). Показатель степени б в распре-
распределении плотности A2.28) связан с константами, входящими в закон лучи-
лучистой теплопроводности; он обычно порядка 3.
Когда в центральных областях звезды происходят внутренние воз-
возмущения, сопровождающиеся повышением давления, образуется ударная
волна, которая распространяется из центральных областей к периферии
и выходит на поверхность. Распространение ударной волны по газу с падаю-
падающей до нуля плотностью, как это имеет место вблизи поверхности, сопро-
сопровождается концентрированием (кумуляцией) энергии, что представляет
большой интерес для астрофизики и для проблемы возникновения косми-
космических лучей (см. следующий параграф).
Имеется некоторое физическое сходство между процессами кумуля-
кумуляции при распространении ударной волны по газу с падающей до нуля
плотностью и при схождении ударной волны в центр. В обоих случаях
энергия сообщается неограниченно уменьшающейся массе вещества таким
образом, что удельная энергия — энергия единицы массы — неограничен-
неограниченно растет. Различие состоит в причинах уменьшения массы, на которую
падает энергия. В первом случае масса уменьшается вследствие умень-
уменьшения плотности газа, во втором — вследствие уменьшения объема.

§ И] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПРИ УМЕНЬШЕНИИ ПЛОТНОСТИ 633
А
в
Будем интересоваться предельным видом движения в той стадии, когда
фронт ударной волны находится близко от поверхности звезды. В этих
условиях можно пренебречь кривизной поверхностей звезды и фронта
и считать движение плоским. Поскольку ударная волна — сильная,
можно пренебрегать силами гравитации. Лучистая теплопроводность
играет существенную роль в установлении стационарных распределений
температуры плотности газа. За малое время прохождения очень силь-
сильной ударной волны она не успевает внести заметные изменения за счет
перераспределения тепла, поэтому процесс можно приближенно считать
адиабатическим.
В такой постановке задача о предельном виде движения была впервые
решена Г. М. Гандельманом и Д. А. Франк-Каменецким [8]. Позднее
ту же задачу рассматривал Сакураи [9], кото-
который нашел точно такое же решение, но для
других численных значений показателя 6 в
законе A2.28) и адиабаты у. Схематическое
изображение процесса распространения удар-
ударной волны показано на рис. 12.5.
Единственным размерным параметром в
условиях задачи является постоянная Ь, кото-
которая содержит символ массы. Никаких других
размерных параметров нет. Поэтому естест-
естественно искать автомодельное решение задачи,
причем автомодельность должна относиться
ко второму типу. Представим решение в
форме A2.3), A2.5) — A2.7). В соответствии
с плоской симметрией будем обозначать
координату ударной волны, отсчитываемую
от поверхности звезды х = О, через X (t).
В качестве масштаба плотности q0 следует принять величину плот-
плотности невозмущенного газа перед фронтом ударной волны. Поскольку
волна распространяется по газу переменной плотности, этот масштаб
зависит от времени, либо же от координаты фронта X, что все равно (см.
конец § 2). Именно, масштаб q0 равен
ео=еоо(Х) = ЬХ«.	A2.29)
Как и в задаче о схождении к центру ударной волны, примем за нача-
начало отсчета времени t == 0 момент выхода ударной волны на поверхность,
в соответствии с чем изменим знак у t в автомодельном законе:
A2.30)
X
Рис. 12.5. Схема выхода
ударной волны на поверх-
звезды. Профиль
плотности.
ность
Итак, ищем решение в виде]
Q = Qog(l), P =
(v =
Уравнения A2.4) для представителей в данном случае принимают вид
l)
1 —(у—1N.
A2.31)

634 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Граничные условия на фронте ударной волны, которая предполагает-
предполагается сильной, выражаются формулами^. 16), откуда следует граничное усло-
условие для представителей, аналогичное^. 17): при 5 = 1
A2.32)
В момент выхода ударной волны на поверхность, т. е. при X = О,
для любого значения х, отличного от нуля, автомодельная координата
| = оо. Газодинамические величины при любом конечном значении х
в момент выхода должны быть ограниченными. Это накладывает дополни-
дополнительное граничное условие на искомые функции при \ = оо.
Ход решения вполне аналогичен решению задачи о фокусировке
ударной волны. Вводим новые представители: V, G, Z, и получаем систему,
соответствующую A2.15). Система сводится к одному дифференциальному
уравнению первого порядка относительно V и Z и двум квадратурам;
фактически вместо двух квадратур получается одна квадратура и одно
алгебраическое соотношение между переменными — интеграл адиабатич-
ности. Собственное значение системы уравнений, показатель а, находится
методом попыток, путем численного интегрирования уравнения для функ-
функции Z (V), из условия, чтобы интегральная кривая прошла через нужную
особую точку. Как и раньше, особой точке соответствует ?0-линия на пло-
плоскости х, t, которая является С_-характеристикой и ограничивает область
влияния на движение фронта ударной волны.
В работе [8] было найдено значение показателя автомодельности для
значений 6 = 13/4 = 3,25, у = 5/3, равное а = 0,590.
В работе [9] были найдены показатели а для ряда других значений
б и у. Эти результаты сведены в табл. 12.1.
Таблица 12.1
^\ в
V ^^\^
5/3
7/5
6/5
3
0,
,25
590
0,
0,
0,
2
696
718
752
0,
0,
0,
i
816
831
855
0
0,
0,
0,
,5
877
906
920
Тот факт, что показатель автомодельности а всегда меньше единицы,
свидетельствует о том, что ударная волна непрерывно ускоряется:
1-а
X.
\t\
\Х\-
|Х|->оо при Х-»0.
В соответствии с этим неограниченно возрастает и температура на
фронте, которая пропорциональна квадрату скорости фронта или квадрату
—2 A—а)
скорости звука: Т -~ | X |2 ~ X а . Неограниченное возрастание
температуры, как отмечалось выше, связано с тем, что конечное количество
энергии сообщается неограниченно уменьшающемуся количеству газа.
Давление на фронте ударной волны уменьшается по мере приближения
фронта к поверхности, несмотря на возрастание скорости, так как плот-
плотность перед фронтом уменьшается быстрее, чем растет температура (или

11] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПРИ УМЕНЬШЕНИИ ПЛОТНОСТИ 635
квадрат скорости):
¦X
а
Легко проверить с помощью данных табл. 12.1, что показатель степени у X
в этой формуле всегда положителен, т. е.
/?i —> О при X —> 0.
Предельные распределения величин по координате х в момент выхода
ударной волны на поверхность t = 0, X = 0 (t — 0, х ^= 0 соответствуют
| = оо), очевидно, совпадают по форме с
законами на фронте ударной волны. Это, как	- - -t=0
и в задаче о сходящейся к центру ударной
волне, следует просто из соображений раз-
размерности. Получаем в момент t = 0:
t<0
'X
l-o
a
'X
¦X
6-
Q~afi, p.
{Конечно, те же законы следуют из уравне-
уравнений в пределе | —>¦ оо.) Плотность в конеч-
конечном распределении увеличивается в опре-
определенное число раз по сравнению с плот-
плотностью в исходном состоянии.
Распределения величин по координате х
до выхода и в момент выхода волны на
поверхность схематически показаны на
рис. 12.6.
Энергия газа при t = 0, заключенная в
¦слое от х = 0 до х в столбе с сечением в
1 см2, пропорциональна величине
Рис. 12.6. Профили плотно-
плотности, давления и скорости при
При х^ оо энергия стремится к бесконеч- выходеве^ро=т? звезда" П°"
ности; интеграла энергии нет. Энергия слоя t < „ _ до выхода1 , = '0 _ м0_
КОНеЧНОЙ ТОЛЩИНЫ конечна И ПРИ Х—vO СТПе-	мент выхода, t > 0 — после
._	L	u	выхода.
мится к нулю. В отличие от сходящейся
ударной волны на краю, при х -*- 0 стре-
митея к нулю и плотность энергии, пропорциональная давлению. Неогра-
Неограниченно возрастает только температура, т. е. энергия единицы массы.
«Бесконечная» энергия сообщается исчезающе малой массе газа.
Конечно, в действительности, температура не может возрасти до беско-
бесконечности, как это получается в математическом решении. Так, например,
когда ударная волна подходит настолько близко к поверхности, что
в оставшейся малой массе слоя от х = 0 до х = X содержится небольшое
число газокинетических пробегов, вообще теряет смысл газодинамическое
рассмотрение. Беспредельный рост температуры может ограничиваться
причинами физического характера: потерями энергии на излучение высоко
нагретого вещества.

636 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Как и в задаче о схождении ударной волны в центр, автомодельное-
решение справедливо только в ограниченной области с размерами поряд-
порядка координаты фронта X. Далеко от фронта при х > X решение не авто-
модельно и зависит от условий возникновения ударной волны. Неавтомо-
Неавтомодельное решение переходит в автомодельное при х ~ X.
После выхода ударной волны на поверхность газ истекает в вакуум,
начальные распределения плотности, давления и скорости даются степен-
степенными законами при t = 0. Как показано в [9], решение в стадии истече-
истечения также автомодельно, но, конечно, имеет совсем иной характер (тече-
(течение непрерывно, без ударных волн). Примерное распределение плотности.
в какой-то момент t > 0 показано на рис. 12.6.
§ 12. К вопросу о вспышках сверхновых звезд и происхождении
космических лучей
Высказывалась мысль о том, что происхождение космических лучей —
протонов и ядер с колоссальной энергией, которые присутствуют во Вселен-
Вселенной и попадают на Землю, связано со вспышками сверхновых звезд. Такая
теория разрабатывалась В. Л. Гинзбургом и И. С. Шкловским (см. обзор
[10]). Процесс «неограниченного» возрастания амплитуды ударной волны
и кумуляции энергии при выходе ударной волны из глубины на поверх-
поверхность звезды и может послужить причиной ускорения частиц до колос-
колоссальных энергий. Этой идеей воспользовались Колгейт и Джонсон; они
подробно исследовали подобный процесс [11] и показали на основе расче-
расчетов, что некоторое количество вещества, выбрасываемого с поверхности
при вспышке сверхновой, приобретает ультрарелятивистские скорости
и кинетические энергии, соответствующие энергиям космических лучей.
(Наибольшие энергии частиц, которые в настоящее время наблюдаются
в спектре космических лучей, имеют порядок 108 Гэв = 1017 эв; 1 Гэв =
= 109 эв.) Ниже будут изложены результаты работы Колгейта и Джонсона.
В центре сверхновых звезд температура достигает ~300—500 кэв (~ 5 X
X Ю9 °К). При такой температуре ядерный синтез идет вплоть до образо-
образования наиболее стабильного элемента — железа. Более наружные слои
состоят из более легких элементов: углерода, азота, кислорода, еще
ближе к поверхности основным элементом является гелий и, наконец,
самые наружные слои состоят из водорода. Астрономические данные сви-
свидетельствуют о том, что при вспышке сверхновая звезда выбрасывает
массу вещества порядка одной десятой всей массы звезды и порядка массы
Солнца, равной Mq = 2-Ю33 г.
Расчеты механического и лучистого равновесия звезды с массой,
равной 10 Mq, дают картину распределения плотности и температуры по
радиусу, показанную на рис. 12.7 *). В центре звезды плотность выше-
108 г/см3, на поверхности спадает до нуля. Во всяком случае, распростра-
распространение обычной ударной волны прослеживается до слоев с плотностью
q ~ 10 г/см3.
*) В условиях лучистого равновесия плотность зависит от температуры по закону
q ~ у13/4~уз,25# Именно исходя из этого и был выбран в [8] закон распределения
плотности у поверхности q ~ ж3>25, так как в некотором слое около поверхности темпе-
температура слабо зависит от координаты х (на поверхности звезды температура не равна
нулю). На рис. 12.7 отмечен радиус наружного слоя, масса которого равна массе
Солнца. Этот слой, надо полагать, и выбрасывается при вспышке. Отмечены примерно-
зоны, в которых находятся те или иные элементы.

О ВСПЫШКАХ СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ
637
Температура, эв
1 Юг 103 10* 105 /0е W7
to7
to6
.. >°s
1Ю*
I" to3
I to'V
to"
10''
1О'г
-
-
i i
i i
L /I
wiСолнечная /
X масса 1
С.И.0
J
1
1 1
/ :
С :
H'
_
1 1
2 4 6 8 Ю 12
Радиус */0~8, см
Принято считать, что энергетическим источником ударной волны
является так называемая гравитационная неустойчивость, которая имеет
место при адиабатическом уравнении состояния с показателем адиабаты
у < 4/3. В центральных областях звезды, при температуре ~ 500 кэв, ядра
¦сильно диссоциируют, в процессе дис-
диссоциации, как известно, резко увели-
увеличивается теплоемкость вещества и
уменьшается показатель адиабаты.
В результате гравитационной неустой-
неустойчивости возмущения, однажды возник-
возникшие по тем или иным причинам, усили-
усиливаются. Возникший импульс давления
разрастается, и это приводит к обра-
образованию ударной волны, которая
направляется из центральных областей
к поверхности. Вещество за ударной
волной разлетается от центра, и наруж-
наружные слои вследствие усиления волны
приобретают очень большие скорости.
Обладая большой кинетической
энергией разлета, вещество в перифе-
периферийных слоях преодолевает, рилы тяго-
тяготения и после выхода ударной волны
на поверхность отрывается от звезды:
звезда как бы сбрасывает с себя обо-
оболочку. Это явление хорошо известно в
астрофизике. Полагают, что таким
образом образовалась Крабовидная
туманность. Оценка показывает, что
для преодоления сил гравитации при
выбросе массы, равной массе Солнца,
необходима энергия порядка 1052 эрг. Такова, следовательно, по порядку
величины энергия, которая высвобождается в центре звезды и идет на
образование ударной волны.
Гидродинамический рас-
расчет распространения ударной
волны от такого источника
дает значения скорости за
фронтом ударной волны, ко-
которые показаны на кривой /
рис. 12.8. По оси абсцисс на
этом рисунке отложена на-
начальная плотность вещества
перед фронтом. Кривая //
показывает, какую скорость
приобретает слой с данной
плотностью после выхода
волны на поверхность и рас-
расширения вещества. Скорость
после расширения возрастает
примерно вдвое по сравне-
сравнению со скоростью в момент прохождения фронта ударной волны.
Из рис. 12.8 видно, что периферийные слои, где плотность меньше
Рис. 12.7. Распределения плотности
и температуры перед вспышкой звез-
звезды, q ~ Т3<2Ъ в соответствии с усло-
условиями лучистого равновесия.
f /О7 10е Ю5 Ю* /О3 Юг Ю'
Плотность, s/см3
10° 10'
Рис. 12.8. Скорость вещества в зависимости от
•его плотности в начальный момент до прихода
ударной волны.
Кривая Г — скорость непосредственно за фронтом
волны, II — скорость после расширения.

638 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
примерно 30 г/см3, приобретают в усиливающейся ударной волне скоро-
скорости большие, чем 1010 см/сек, что составляет 1/3 от скорости света с. Поэтому
расчет движения ударной волны по этим периферийным слоям требует
учета релятивистских эффектов.
В работе [11] был проделан численный расчет движения в рамках
релятивистской газодинамики, а также было найдено приближенное ана-
аналитическое решение задачи, основанное на использовании уравнений
в характеристиках и релятивистских аналогах инвариантов Римана. Инте-
Интересно отметить, что внутренняя энергия за фронтом столь мощной удар-
ударной волны почти целиком сосредоточена в равновесном тепловом излучении.
Приближенное решение показывает, что окончательная кинетическая энер-
энергия на 1 г, которую приобретает вещество, находившееся в слое с началь-
ной плотностью Qo г/см3, по порядку величины равна с2 ( — ) эрг/г. Если
\Qos
учесть, что в водороде 1 эрг/г соответствует примерно 10~12 эв/протон =
_ ю~21 Гэв/протон, то получается, что кинетическую энергию порядка
104 Гэв приобретают частицы, ранее находившиеся в слое с начальной
плотностью Qo ~ Ю~5 г/см3. Масса слоя звезды, наружного по отношению-
к сферической поверхности с такой начальной плотностью, составляет при-
примерно 1 г/см2 из расчета на единицу поверхности. Столь тонкий слой
уже не в состоянии удерживать, «запирать» тепловое излучение, которое-
в еще более наружных слоях неравновесно. Поэтому распространение-
ударной волны по более наружным слоям уже не может происходить так,
как в равновесных условиях.
Дальнейший процесс распространения ударной волны по газу еще
более низкой плотности, как отмечают авторы [11], существенным обра-
образом связан с механизмом плазменных колебаний. Ударная волна доходит
до такой поверхности, где дебаевская длина становится сравнимой с мас-
масштабом длины оставшегося наружного слоя. Расчеты показывают, что это
происходит на радиусе, где начальная плотность q0 ~ 10~12 г/см3. Частицы
в ударной волне на таком радиусе ускоряются до энергий ~ 108 Гэв,
совпадающих с наибольшими наблюдаемыми энергиями космических
лучей.
Важно проверить, хватает ли количества частиц, ускоряемых при
вспышке Сверхновой до энергий космических лучей, для того, чтобы обес-
обеспечить имеющийся «запас» космических лучей в Галактике. Начальна»
плотность вещества, которое после прохождения ударной волны ускоряется
до энергии ~ 10 Гэв, равна примерно 1 г/см3. Масса звезды в слое, наруж-
наружном по отношению к сферической поверхности, где q0 ~ 1 г/см3 состав-
составляет ~ 1026 г или 6-Ю49 протонов. Можно сказать, что при вспышке 6-Ю49"
протонов получат энергию, превышающую 10 Гэв. Время «жизни» энер-
энергичного протона в Галактике при средней плотности материи в Галакти-
Галактике ~ 0,1 частица/см3 составляет t ~ 5-108 лет.
Значит, через ~ 5-Ю8 лет после «'начала» вспышек в Галактике уста-
установится стационарное число протонов N. Вспышки сверхновых происхо-
происходят примерно раз в 100 лет. Следовательно, в год рождается 6-1049/100 =
= 6-1047 протонов, «погибает» Nix протонов в год. Из условия стацио-
стационарности Nix = 6-1047 протонов/год следует N = 3-105в. Объем Галак-
Галактики F~5-1068 см3. Средняя плотность энергичных протонов N/V~Gx
X 10~13см~3, а поток — порядка Nc/V ~ 2-Ю-2 см-^-сек'1. Эта величина
согласуется с наблюдениями. Для создания космических лучей в Галак-
Галактике согласно изложенной теории потребовалось ~ 5 • 106 вспышек сверх-
сверхновых.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЩИЙ ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЯ
639
4. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПОД ^ДЕЙСТВИЕМ КРАТКОВРЕМЕННОГО УДАРА
§ 13. Постановка задачи и общий характер движения
Представим себе полупространство х > 0, занятое идеальным газом
с постоянной теплоемкостью. В начальный момент t = 0 плотность газа
везде одинакова и равна q0, а давление, температура и начальная скорость
звука равны нулю. Полупространство х <С О — пустое; поверхность
х = О представляет собой границу между газом и вакуумом.
Пусть на наружную поверхность газа действует кратковременный
импульс давления (поверхность газа подвергается удару). Возможны
различные конкретные способы
,Ря
кратковремен-
кратковремен¦Рт>
t
б)
Рис. 12.9. Формы начального импульса дав-
давления.
осуществления
ного удара.
1)	В течение малого време-
времени т в газ вдвигается плоский
поршень с постоянной ско-
скоростью Uu который создает в
газе давление П4. С точностью
до численного коэффициента
порядка единицы (зависящего
от показателя адиабаты у)
П4 да д0Щ. Близка к С/4 и ско-
скорость ударной волны D, кото-
которая создается под действием
поршня. По прошествии времени т поршень «мгновенно» убирается, и
газ, испытавший кратковременный удар, оказывается предоставленным
самому себе (импульс давления показан на рис. 12.9, о).
2)	На поверхности газа подрывается тонкий слой взрывчатого веще-
вещества. Если массовая толщина слоя равна т г/см?, а калорийность, т. е.
энерговыделение на 1 г, равна Q эрг/г, то при взрыве выделяется энергия
Е — mQ эрг/см?. Продукты взрыва разлетаются со скоростью Ux да YQ-
Поскольку продукты разлетаются в обе стороны"и до момента взрыва все
покоилось, суммарный импульс равен нулю, однако импульс продуктов,
движущихся в одну сторону, по порядку величины равен / да mUi да
да m\fQ (на 1 см? поверхности).
В газе продукты взрыва создают ударную волну с давлением порядка
Hi «г QoUl- Время действия давления т определяется из условия, что за
время х энергия и импульс передаются от продуктов взрыва газу:
Е
I
III
QoYQ '
За это время ударная волна в газе пройдет расстояние ~ lltf ~
и охватит массу <~ QoVQx — mi T< e- порядка массы взрывчатого вещества.
3) На поверхность газа налетает со скоростью Ut .тонкая пластина
с малой массой т г/см2. Под действием удара пластины в газе образуется
ударная волна, которая распространяется со скоростью D да ?/\. Давле-
Давление в газе при этом П4 л? QqU\- Начальные импульс и энергия пластины
/ = mUu Е — ^к-1 передаются газу за время торможения пластины т,
которое порядка х да ^гут- да „.- да -^г-. За это время ударная волна в газе
проходит расстояние 11±х и охватывает массу QoUtr ж т.

640 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Итак, в общем случае будем считать, что на поверхность газа дейст-
действует давление, достаточно быстро спадающее со временем, как показано
на рис. 12.9, б. Кривую давления можно представить в вяде рп = Щ/ (t/x),
где / — функция, характеризующая форму импульса давления. В даль-
дальнейшем для конкретности и удобства рассуждений там, где будет идти
речь о начальных условиях, мы будем оперировать понятием «поршня»,
как в первом примере. При этом будем иметь в виду, что все выводы с рав-
равным успехом можно перенести и на любые другие способы осуществления
удара.
Задача заключается в том, чтобы найти законы движения газа —
функции р (х, t), q (x, t), и (х, t) по прошествии времени, достаточно
большого по сравнению с временем удара т, т. е. найти асимптотический
режим при t/x > 1 для данной кривой
действия внешнего давления. Ее можно
сформулировать и несколько иначе. Сохра-
Сохраняя форму кривой / (t/x), устремим вре-
время х к нулю, а давление Hi — к беско-
бесконечности, и будем искать получающееся
при этом предельное решение уравнений
газодинамики для конечных времен. Реше-
Решение задачи должно, в частности, ответить
на вопрос, как именно, по какому закону
х должно возрастать давление П4 при т—»-0,
чтобы обеспечить данное конечное дав-
давление в газе через конечное время t.
Например, если в решение войдет комби-
комбинация П^Р, то это означает, что при
х -> О П4 должно расти как т~Р.
Изложенная задача была поставлена
и исследована в работе одного из авто-
авторов [12], где были выяснены физические
особенности возникающего движения и
математического решения. Исследование
уравнений и численное интегрирование было проведено В. Б. Адам-
ским [13]. А. И. Жуков и Я. М. Каждан [14], Хефеле [151 и Хернер [16]
нашли аналитическое решение для одного частного случая (у = 7/5).
Последние две работы являются развитием статьи Вейцзеккера [17],
в которой ставился вопрос о пределах изменения показателя автомо-
дельности при плоских движениях. Следует отметить, в работах [15,
16, 17] не был выяснен физический смысл полученного формальным
путем решения.
Общий характер возникающего под действием кратковременного удара
движения иллюстрируется рис. 12.10. По невозмущенному газу распро-
распространяется ударная волна, на фронте которой достигается предельное
О
i
и
>
X
Ли
I
К
г
X
Рис. 12.10. Профили плотности,
давления и скорости в задаче о
кратковременном ударе.
сжатие h — ^-~: • С другой стороны газ беспрепятственно расширяется
в пустоту; на границе с пустотой плотность и давление падают до нуля.
За фронтом ударной волны давление, плотность и скорость уменьшаются,
причем в некоторой точке скорость меняет знак, так как непосредственно
за фронтом газ движется вправо, а у границы он разлетается в пустоту
влево. Амплитуда ударной волны с течением времени уменьшается.
Решение задачи о мгновенном импульсе давления должно дать ответ
на вопрос о максимальной возможной скорости убывания амплитуды

§ 14]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	641
плоской ударной волны при распространении по газу с постоянной началь-
начальной плотностью. Ясно, что если действие давления растянуто во времени,
то это только поддерживает ударную волну и замедляет ее затухание.
Характер предельного решения не зависит от конкретной формы
импульса давления, т. е. от вида функции / (t/x), если только она спадает
достаточно быстро. Выше было отмечено, что под действием давления П±
во время удара газ приобретает скорость C/t ~ 1/ —. С такой по поряд-
' Со
ку величины скоростью граница газа разлетается в пустоту. Когда мы
переходим к пределу т -> 0, Ht -*• оо, скорость границы стремится к беско-
бесконечности, так что распределения р, q, и в предельном решении, показан-
показанные на рис. 12.10, простираются влево до х = — оо.
§ 14. Автомодельное решение и законы сохранения
энергии и импульса
Движение, которое возникает непосредственно после приложения
импульса давления, конечно, не является автомодельным. Оно характе-
характеризуется масштабами временит и длины х0 = j/^/Qof и зависит от формы
кривой приложенного давления / (t/x). Однако по прошествии достаточно
большого времени, в моменты t > т, когда фронт ударной волны уйдет на
расстояние X > х0, начальные масштабы т и х0, очень малые по сравнению
с естественными масштабами движения t я X, уже не будут характери-
характеризовать процесс. Предельное движение, соответствующее стадии t > т,
X > х0, или, что то же самое, соответствующее предельному переходу
х -> 0, будет автомодельным. Единственный масштаб длины в этом дви-
движении — это- сама переменная координата фронта ударной волны X,
а масштаб скорости — скорость фронта X. Решение уравнений, сле-
следовательно, надо искать в автомодельной форме:
Q = ©>?(&), b = XW(|), р = о0Х2я(|), 5eJLe-fL.	A2.33)
Прежде чем заниматься математическим решением уравнений, сле-
следует решить вопрос, к какому из двух типов принадлежит автомодельное
движение, нельзя ли ;определить показатель автомодельности а из сооб-
соображений размерности или законов сохранения. В отличие от двух задач,
рассмотренных выше: о схождении ударной волны к центру и о выходе
ударной волны на поверхность звезды, в рассматриваемой задаче в каж-
каждый момент времени t в движение вовлечена вполне определенная, конеч-
конечная масса газа q0X (на 1 см2 поверхности).
Поскольку после прекращения действия поршня, который совершил
удар по поверхности газа, на газ больше не действуют никакие внешние
силы (давление на границе с пустотой равно нулю), в газе должны сохра-
сохраняться количество движения и энергия. Количество.движения газа равняет-
равняется импульсу давления поршня:
0
С точностью до численного коэффициента эта величина равна HiX.
Энергия газа равна работе, произведенной поршнем за время действия
давления. Для того чтобы точно вычислить эту работу, потребовалось
41 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

642 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
бы решить уравнения газодинамики в стадии действия поршня, так как
г»
работа равна \ ра ип dt, где ип (t) — скорость поршня, которая заранее
неизвестна (задана только кривая давления рп (?)).
Однако с точностью до численного коэффициента, зависящего от вида
функции / (t/x), эта работа равна
		з _ i_
Е *, П^т « П± 1/ ^ т = П?тдо 2
» во
(f/ц — масштаб скорости поршня).
Если подставить в интегральные выражения для количества движе-
движения и энергии всего газа давление, скорость и плотность в автомодельной
форме A2.33) и учесть, что интегралы по холодной, невозмущенной области
X < х <С оо исчезают, то законы сохранения импульса и энергии (на
1 см2 поверхности) можно записать в виде
= \ Qudx = Q0XX \ gvd%, — const,	A2.34)
оо
A2.35)
Естественно было бы считать безразмерные интегралы константами.
Тогда каждое из двух условий, взятое в отдельности, дало бы возможность
определить показатель автомодельности а. Условие сохранения импульса
дало бы XX — const, откуда X ~ t1^, a = 1/2. Из условия сохранения
энергии следует Х*Х = const, откуда X ~ f*, a = 2/3.
Но взятые вместе, эти условия противоречат друг другу, так как при-
приводят к различным показателям а. Возникает парадоксальное положение,
при котором не могут быть одновременно выполненными законы сохра-
сохранения импульса и энергии, лежащие в основе уравнений газовой динамики.
Создается впечатление, что задача не имеет автомодельного решения.
Разрешение этого противоречия, однако, заключается в ином. Дело
в том, что автомодельное решение, которое существует и которое будет
найдено ниже, в действительности принадлежит ко второму типу. Пока-
Показатель автомодельности а находится не из законов сохранения или сооб-
соображений размерности, а путем решения уравнений для функций-пред-
функций-представителей, из условия прохождения истинного решения через особую
точку, так же как и в задачах, рассмотренных в предыдущих разделах.
Для того чтобы сразу же разрешить описанный парадокс, отметим, что
при значении показателя адиабаты у = 7/5, показатель автомодельности,
как показывает решение, равен а = 3/5 *). Он заключен между значениями
13 2
а, диктуемыми условиями сохранения импульса и энергии -^ < -е < -w -
Ниже будет показано, что при любом значении показателя адиабаты
1 < у <С оо показатель автомодельности а заключен в указанных пре-
пределах: -<г<а<~з~-
*) Вообще говоря, при произвольном значении у показатель а не выражается
в виде дроби с целочисленными числителем и знаменателем. Однако, по счастливой
случайности, при у = 7/5 решение автомодельных уравнений может быть найдено
в аналитическом виде, и а при этом равно 3/5 (см. ниже).

§ 14]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ	643
Показателю автомодельности а = 3/5 соответствует размерность пара-
параметра А в законе X = Ata, равная [А] = см-сек~3^. Мы уже знаем (см.
§ 5), что предельное автомодельное движение не полностью «забывает»
о начальных условиях, а из обширной информации, заключенной в началь-
начальных условиях, «выбирает» и «помнит» одну-единственную константу А,
которая как-то характеризует начальный «толчок». В данном случае,
из информации, предоставляемой кривой давления на поршне,
рп= Hi / (t/x) (и величиной начальной плотности q0), предельное решение
«выбирает» один параметр А, равный по порядку величины следую-
следующей комбинации из характерных масштабов:
21 см-сек~1- A2-36)
Численный коэффициент в законе пропорциональности определяется
формой кривой давления / (tlx).
Отсюда видно, по какому закону должно стремиться к бесконечности
давление на поршне Пь если устремить х к нулю для того, чтобы в пре-
предельном движении было обеспечено получение конечного (не равного О
или оо) давления на конечном расстоянии. Для существования предель-
предельного решения нужно, чтобы параметр А имел конечное значение, т. е.
нужно, чтобы произведение Щ/*хх~а, равное И\^хг^ в случае y = 7/5,
оставалось конечным при t -> 0. Следовательно, при t-^-О П, должно
расти, как Hl ~ -Г2 t1"") ~ тГ4^.
Теперь можно выяснить вопрос о выполнении законов сохранения.
Количество движения, которое поршень сообщает газу, или импульс
удара по порядку величины равны / ~ njT, т. е. пропорциональны
/ ~ П4т ~ т2" ~ т1/5. При т ->¦ 0 импульс / ->¦ 0. Следовательно, полное
количество движения в предельном, автомодельном движении равно нулю
(импульс газа, движущегося с ударной волной вправо, в точности компен-
компенсируется импульсом газа, разлетающегося в пустоту влево; см. рис. 12.10).
Закон сохранения импульса записывается в форме
1	i 1
Отсюда следует только то, что функции-представители должны удовле-
удовлетворять условию \ gv d% = 0. Как видим, нельзя считать величину XX
—со
постоянной и таким образом определить показатель автомодельности а.
Энергия, которую поршень сообщает газу, по порядку величины рав-
равна Е ~ П^/2 tq—Vs. Она пропорциональна Е ~ П^т ~ t3°~2 ~ т~Vs.
При т —»- 0 Е -> оо. Полная энергия газа в автомодельном движении ока-
оказывается бесконечной. Закон сохранения энергии
свидетельствует только о расходимости интеграла от безразмерных функ-
функций, но ничего не говорит о величине Х2Х (из закона сохранения энергии
также нельзя определить показатель автомодельности). Бесконечность
энергии и расходимость интеграла энергии связаны с тем, что в точном
41*

644 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
автомодельном движении, которое соответствует пределу х -*¦ О, скорость
разлета границы газа в пустоту бесконечна (см. конец § 13). Бесконечна
и кинетическая энергия на границе, так как квадрат «скорости» v2 при
%->¦ — оо стремится к бесконечности быстрее, чем уменьшается плот-
плотность g.
О том, какой физический смысл имеет бесконечность энергии в авто-
автомодельном движении, будет сказано ниже. Заметим здесь только, что на
самом деле энергия газа, конечно, ограничена и равна работе, совершен-
совершенной поршнем. Просто автомодельное решение неприменимо к малой
массе у границы газа, которая и вносит расходимость в интеграл энергии.
§ 15. Решение уравнений
Общая методика отыскания автомодельного решения задачи о кратко-
кратковременном ударе в принципе ничем не отличается от метода решения задач
о сходящейся ударной волне или о распространении ударной волны по газу,
плотность которого уменьшается с расстоянием по степенному закону
(см. разделы 2 и 3 этой главы). Как и раньше, ищем решение уравнений
газовой динамики A2.1) в автомодельной форме A2.33) и получаем систему
обыкновенных дифференциальных уравнений для представителей я, v, g.
Эти уравнения совпадают с уравнениями A2.31), если положить
в них число б равным нулю (в соответствии с постоянством масштаба
плотности):
(v-l)(\ng)' + v' = 0, }
A2.37)
(v-l){lnng~y)' + 2(a-l)a-1 = 0. J
Граничные условия на фронте ударной волны при | = 1 были
выписаны в § 11 (формулы A2.32)). На границе газа с пустотой давление
и плотность обращаются в нуль, а скорость в ( —оо), т. е. при % = — оо
я ( —оо) = 0, g ( —оо) = 0, v ( —оо) = — оо.
После ряда преобразований уравнения сводятся, как обычно, к одному
дифференциальному уравнению первого порядка, одной квадратуре и од-
одному алгебраическому соотношению между всеми переменными — инте-
интегралу адиабатичности. Показатель автомодельности определяется из усло-
условия, чтобы искомое решение дифференциального уравнения прошло через
особую точку.
Фактически в работах [13, 14] уравнения записывались и решались
не в эйлеровых, а в лагранжевых координатах. В одномерном плоском
случае при постоянной начальной плотности лагранжева форма записи
приводит к более простым и удобным соотношениям. Разумеется, ничего
принципиально нового переход от эйлеровых координат к лагранжевым
не вносит. Лагранжева координата определяется как масса газа (на 1 см2
поверхности), которая отсчитывается от границы с пустотой
т
л.
= \ Qdx., dm = Qdx.	A2.38)
Вместо времени в масштабных функциях удобно ввести лагранжеву
координату фронта ударной волны М — Q0X, т. е. массу газа (на 1 см2
поверхности), которая охвачена движением к моменту t. Автомодельной

15]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
645
переменной служит отношение
Г\==Ж1	A2.39)
которое изменяется в интервале от т| = 0 (на границе газа с пустотой)
до т| = 1 (на фронте ударной волны).
Таким образом, решение записывается в форме
^w(r\), Q = Q0q(r\), A2.40)
где В— параметр задачи, связанный с параметром А в формуле X — Ata
и заменяющий его в новой записи. /, w, q-—но-
q-—новые представители. Новый показатель автомо-
дельности п однозначно связан со старым, а.
Действительно,
A2.41)
Отсюда — сш/2 = а — 1 и
2A—а)
п =	« а = -
0,5
1
0,5
-?=;"
.Pi
/
/
[Я
/
/
1
0,5 1
/
/
7=1
0.5
-0,5
, 0,5
/
1 05
.—
т
С математической стороной вопроса, после-
последовательностью преобразований уравнений, их
исследованием, конкретными методами решения
можно познакомиться в статьях [13, 14]. Оста-
Остановимся здесь более подробно на результатах
для частного случая у = 7/5, для которого уда-
удается найти точное аналитическое решение ура-
уравнений.
При рассмотрении аналитического решения
становятся особенно наглядными все основные
черты процесса.
При у = 7/5 показатели а и п имеют зна-
значения а = 3/5, и = 4/3. Решение в лагранжевых
координатах имеет вид
^ 3-3), ? = бг!5
A2.42)
Распределения давления, плотности и ско-
роста по'массе показаны на рис. 12.11._3аметим,
что по определению, f=p/Pi, W [//5 = и/ии в задаче о кратковремен-
q/6=Q/Qu где индексом «1» отмечены величины ном УдаРе <в лагранжевых
на фронте ударной волны. С помощью опреде- координатах), у — / .
лений лагранжевой координаты A2.38) и авто-
автомодельной переменной т) A2.39) легко перейти в решении A2.42) к эйлеровой
переменной \ = х1Х. В самом деле, в данный момент t, т. е. при М — const:
,	, dm о dx	7	_
dm = Qdx; — = ^ —, откуда dr\ = qd?,.
Подставляя в это уравнение функцию q(j]) по формуле A2.42)
и интегрируя с граничным условием г\ = 1 при | = 1 (на фронте ударной
плотности

646 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
волны), получим
A2.43)
В зависимости от эйлеровой переменной, функции /, го, q имеют вид
з
д = 6E-4?) 2.	A2.44)
Представители /, w, q связаны с представителями л, v, g, с кото-
которыми мы имели дело раньше, соотношениями:
л = 1А v=y^w, ? = <?*). A2.45)
Распределения давления, плотности
и скорости по эйлеровой координате по-
показаны на рис. 12.12. Интересно, что
давление линейным образом распределено
по массе, а скорость — в пространстве.
Скорость обращается в нуль и меняет
направление в точке g = 1/2. Масса, за-
заключенная между начальным положением
границы газа х = 0 и фронтом волны,
в каждый момент времени составляет 90%
от всей массы, вовлеченной в движение.
10% массы в результате ударного сжатия
и последующего расширения оказывают-
оказываются выброшенными левее начальной гра-
границы газа. 78% массы движется направо,
а 22% — налево.
Асимптотическое поведение решения
в области малой плотности при \ —> — оо,
т)—»0 дается выражениями:
/-(-?)'
W ¦
g~(-i
Рис. 12.12. Профили давления,
плотности и скорости в задаче о
кратковременном ударе (в эйлеро-
эйлеровых координатах); у = 7/5.
/ = т), м>~т] 3, q^rf. A2.46)
Особой точке, через которую.проходит
решение дифференциального уравнения
задачи, соответствуют значения автомо-
автомодельных переменных t\0= 7~3/2 = 0,054,
Как и в задаче о схождении ударной волны, ?0-линия на плоскости
х, t (по-линия на плоскости т, t или т, М) является характеристикой
(dx/dt = и + с; dm/dt = qc), которая отделяет область влияния. На рис.
12.13,12.14, изображающих диаграммы х, t и т, М, проведены линия фрон-
*) Предоставляем читателю путем непосредственной подстановки функций я,
v, g по формулам A2.45), A2.44) в уравнения A2.37) с у = 7/5, а = 3/5 проверить,
что они действительно удовлетворяют уравнениям (и граничным условиям A2.32)).

§ 15]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
647
та ударной волны | = 1, т) = 1, особая линия | = %0, Л = Ло и характери-
характеристики обоих семейств *). Особая линия является С+-характеристикой.
Все характеристики С+-семейства выходят из начала координат, причем
Рис. 12.13. х,г-диаграмма для задачи
о кратковременном ударе.
| = 1 — линия фронта ударной волны;
1= |о — особая |о-линия. Проведены харак-
характеристики С+- и С--семейств.
т
Рис. 12.14. m,Af-диаграмма для за-
задачи о кратковременном ударе.
Т) = 1 — линия фронта ударной волны;
¦Л = т|0 — особая т|о- линия. Проведены
характеристики С+- и С--семейств.
те из них, которые идут правее особой линии, догоняют фронт ударной
волны, а те, которые идут левее, никогда не догоняют. Таким образом,
состояние движения в относительно малой массе, заключенной между
границей с пустотой и особой линией, не влияет на распространение
фронта ударной волны **).
В работах [15, 16] путем	Таблица 12.2
численного интегрирования
уравнения были найдены зна-
значения показателей автомо-
дельности и для некоторых
других показателей адиаба-
адиабаты у. Результаты сведены
в табл. 12.2.
Профили давления, плот-
плотности, скорости при разных значениях показателя адиабаты в качественном
отношении подобны профилям в случае у = 7/5 (см. рис. 2.11, 2.12).
Из таблицы видно, что ударная волна затухает тем медленнее, чем
больше показатель адиабаты. Однако затухание всегда быстрее, чем в
1,1
7/5
1,515
4/3
а
0,57
3/5
V
5/3
2,8
п
1,275
1,045
а
0,612
0,656
0-
*) Заметим, что ось М является т\ = 0-линией, ось t на плоскости х, t ? :
линией. Отрицательная полуось х на плоскости х, t является ? = — со-линией.
**) В частности, газ может граничить не с пустотой, а с «поршнем», давление на
котором спадает по достаточно быстрому степенному закону. Искажение состояния
движения в области между границей и |0-линией, связанное с присутствием поршня,
не влияет на движение правее ?0-линии и на закон распространения ударной волны,
если только давление на поршне спадает достаточно быстро. Это показано в работе
В. Б. Адамского и Н. А. Попова [18]. В этой работе, а также в работе Н. Л. Крашенин-
никовой [19], рассматривалась автомодельная задача о движении газа под действием
давления на поршне, изменяющегося по степенному закону.

648 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. ХЦ
случае, когда газ на границе не разлетается в пустоту, а неподвижен, как в
задаче о сильном плоском взрыве.
Если в плоскости х = О происходит мгновенное выделение энергии
Е эрг/см2 и газ в плоскости х = О всегда неподвижен (либо занимает
пространство по обе стороны плоскости, либо ограничен жесткой стен-
стенкой), то энергия сохраняется и ударная волна затухает по закону
_2
В следующем параграфе будет показано, как ограничение п > 1,
2
а < -Q- следует из закона сохранения энергии при произвольном значе-
о
нии у. Там же будет видно, что закон сохранения импульса накладывает
ограничение на показатели с другой стороны: п < 2, а > х/2.
§ 16. Ограничение показателя автомодельности законами
сохранения импульса и энергии
Характер движения, которое возникает при кратковременном ударе,
таков, что какая-то доля газа увлекается ударной волной вправо, а осталь-
остальной газ разлетается влево в пустоту.
Существует точка, которая разграничивает указанные доли газа;
назовем координату этой точки х*. В точке х* массовая скорость газа
меняет направление, т. е. равна нулю, и* = и (х*) = 0. Сама граница х*
распространяется в пространстве и по массе направо. В автомодельном
решении точке обращения знака скорости соответствует некоторое опре-
определенное значение автомодельной переменной: ? = ?*; х* = ?*Х.
Рассмотрим объем, заключенный между поверхностью фронта удар-
ударной волны х = X ж поверхностью «раздела» х = х*. В этом объеме заклю-
заключена масса (на 1 см2 поверхности):
X	1
М*= \ Qdx — Q0X \ gdl,— const-Q0X.
ж*	i*
Она составляет вполне определенную долю от полной массы, охва-
охваченной движением М — Q0X (при у — 7/5 М*1М = 0,78). Остальная мас-
масса М — М* разлетается влево. Масса М*, так же как и полная масса М,
растет с течением времени пропорционально М* ~ X ~ ta.
Граница х* распространяется по массе вправо, т. е. газ вытекает
через поверхность х* влево. Запишем выражения для импульса и энер-
энергии газа, который движется с ударной волной вправо:
X	1
/*= J Qudx = QQXX J gv dl = const -f2»-1,	A2.47)
E* = I (? + ^T) dx = bX*X I (? + ^r) « = cdMt.*3-*. A2.48)
Справа, через поверхность фронта ударной волны, в рассматриваемый
объем х* < х <С X втекает невозмущенный газ с нулевым давлением и тем-
температурой. Он не вносит в объем ни импульса, ни энергии. Слева через
поверхность х* газ покидает объем с нулевой скоростью, но конечным
давлением р* (газ покидает объем не за счет собственного движения, а за

§ 17] ВЫХОД НЕАВТОМОДЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ 649
счет распространения поверхности, которая ограничивает объем). Импульс
через поверхность х* не вытекает. Изменение импульса в объеме равно
давлению, приложенному к его границе:
^ = р*>0.	. A2.49)
Импульс в объеме растет с течением времени. Из формулы A2.47)
следует, что 2а — 1 > 0, а > 1/2 и по формуле A2.41) п <С 2.
Изменение энергии в объеме определяется только вытеканием внут-
внутренней энергии через левую поверхность х*. Кинетическая энергия не
вытекает, так как скорость газа и* и кинетическая энергия на границе
х* равны нулю. Работа сил давления на поверхности х* р*и* dt также
равна нулю. Следовательно,
-Y4r? е*^=-^т^*±<о. A2.50)
Энергия в объеме уменьшается с течением времени, вытекает из него
влево вместе с массой газа, который меняет направление скорости и на-
начинает разлетаться влево, в пустоту. Из формулы A2.48) следует, что
За — 2<0, а < 2/3 и по формуле A2.41) га>1. Итак, мы приходим к
следующим ограничениям показателей автомодельности:
±<а<|, 2>п>1.	A2.51)
Крайние значения п = 1, а = 2/3 соответствуют неизменности энер-
энергии Е* == const, a крайние значения п — 2, а = 1/2 — неизменности им-
импульса /* = const.
§ 17. Выход неавтомодельного движения на предельный режим
и «бесконечность» энергии в автомодельном решении
Автомодельное решение, строго говоря, отвечает идеализированным
начальным условиям, в которых длительность удара т бесконечно мала,
а давление на поршне «в течение удара» nt бесконечно велико. При этом
предельный переход т —»- 0, IIj ->¦ оо совершается таким образом, что
произведение П^т1"", которому пропорционален параметр А (см. фор-
формулу A2.36)), остается конечным. В соответствии с предельными значени-
значениями т -»- 0, П1 -> оо поршень сообщает газу бесконечную энергию:
I з
?»Q^2n?T.~T-<2-W->oo, a<~,	A2.52)
и нулевой импульс
7«П1т~т2«»-1->0, а>у.	A2.53)
Сопоставим энергию Е* и импульс /* той доли газа, который дви-
движется вправо, в сторону распространения ударной волны (см. формулы
A2.47), A2.48)) с энергией Е и импульсом / всего газа в целом. Имеем
Энергия Е* газа, движущегося с ударной волной вправо, успевает
уменьшиться к данному моменту t в тем большее число раз по сравнению
с начальной энергией Е, чем короче был удар. Неудивительно, что в преде-
пределе исчезающе малой длительности удара т ->- 0 нужна бесконечная работа

650 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
поршня (бесконечная энергия газа Е), чтобы, сократившись в бесконеч-
бесконечное число раз, энергия в определенной доле массы осталась конечной-
Вся эта бесконечная энергия сосредоточена теперь в той доле массы, кото-
которая разлетается в пустоту, точнее, на самом краю газа, который обладает
бесконечной скоростью разлета и бесконечной кинетической энергией.
Односторонний импульс /* в данный момент времени тем больше
импульса поршня /, чем короче был удар. В пределе т -»- 0 односторонние
импульсы частей газа, которые движутся вправо и влево, компенсируют
друг друга с точностью до исчезающе малой величины /.
По существу, идеализированное предельное решение отвечает не
просто нулевой длительности удара т, а бесконечно большому отношению
th: */t->oo и Е*/Е^>-0, I* II -v оо.
Выше, при истолковании этого условия, мы рассматривали конечные
времена t, но исчезающе малые времена удара т, в соответствии с чем
работа поршня Е была бесконечной, а импульс / — нулевым.
Ближе к реальности иное толкование предельного условия, когда не
длительность удара устремляется к нулю, а при фактически конечной дли-
длительности удара и конечной энергии Е рассматриваются времена t, боль-
большие по сравнению с т (t/т -*¦ оо не за счет т ->- 0, а за счет t -*¦ оо).
При рассмотрении предельного режима с такой точки зрения возни-
возникает вопрос, каким же образом происходит асимптотическое превращение
истинного, неавтомодельного в силу конечности т, движения в предель-
предельный режим? Как согласовать при этом бесконечность энергии предельного
движения с фактически конечной работой поршня?
Дело в том, что приближение истинного решения к автомодельному
с течением времени происходит неравномерно. С ростом времени t и массы
газа, охваченного движением М — Q0X, давление и все другие величины
приближаются к значениям, отвечающим автомодельному решению. Одна-
Однако такое приближение происходит не везде.
В некоторой массе т0 вблизи границы, которая во время удара под-
подверглась непосредственному воздействию поршня, состояние никогда
не приближается к тому, которое диктуется автомодельным решением.
По порядку величины эта масса равна массе газа, по которой пробегает
ударная волна в течение самого удара: т0 ~ Qo^if ~ V^^iQo^-
Скорость разлета в пустоту этой массы всегда остается конечной и рав-
равной по порядку величины V^ (V\ ~ |/"II1/q0), тогда как в автомодельном
решении скорость разлета границы газа бесконечна (при т ->¦ 0, П4 -*-
—*- оо и Ui —>¦ оо). Конечна и энтропия массы т0, равная, в силу адиаба-
тичности движения, начальной энтропии. Действительно, S = су In pq~4 -f-
+ const. Величина pq~v в массе т0 по порядку величины равна П^о"^,
т. е. ограничена при конечных т и IIj. В автомодельном решении с у = 7/5
по формулам A2.42) имеем
_ 4	_ 4
J7Q-V — fq-v ~r\ з — т 3—>оо
при т —*¦ 0.
Таким образом, масса т0 у границы всегда несет отпечаток начальных
условий и состояние ее не описывается автомодельным решением даже
в пределе t —>¦ оо.
Это положение вовсе не противоречит общей тенденции к превращению
истинного решения в автомодельное в пределе t ->• оо. Масса щ0 с течением
времени составляет все меньшую и меньшую долю от всей массы газа.

§ 17] ВЫХОД НЕАВТОМОДЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ 651
охваченного движением (рис. 12.15). В пределе t-*- оо эту малую массу
можно не учитывать ни в дифференциальных уравнениях, ни в сходящемся
интеграле импульса.
Однако при вычислении интеграла энергии замена в малой массе пг0
истинного решения автомодельным приводит к существенному изменению
интеграла, делает его расходящимся. В автомодельном решении скорость
и кинетическая энергия газа при приближении к границе т —*- О стре-
стремятся к бесконечности, тогда как на
самом деле при конечном давлении
на поршне Hi и отличной от нуля дли-
длительности т скорость и кинетическая
энергия газа вблизи границы ко-
конечны.
Чтобы получить конечную энер-
энергию газа, отвечающую фактически
конечной работе поршня, нужно при
вычислении энергии с помощью авто-
автомодельного решения остановить ин-
интегрирование в той области, где авто-
автомодельное решение неприменимо.
Будем вычислять энергию, пользуясь лагранжевыми координатами.
Тогда при интегрировании удельной энергии по массе газа, охваченного
движением, в качестве нижнего предела следует взять массовую коорди-
координату, по порядку величины равную массе т0, которая не описывается
автомодельным решением,
м
м
Рис. 12.15.
Y-1
то/М
1
Проделаем вычисления для случая у = 7/5.
Основной вклад в интеграл дает область вблизи нижнего предела, где
скорость газа и кинетическая энергия очень велики (в пределе то/М -*~ О,
v —>¦ — оо). Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся асимпто-
асимптотическим выражением для скорости A2.46), (см. также A2.45)).
Получим
1 _ 4	_^
Е~ g0X2X jj т] 3cZti~q0X2X(^) 3.
т/Мо
Выразим в этой формуле переменные величины через X:
5 _2	i	¦
М = Q0X; X = А3Х 3 (так как Х = .
Имея в виду определения А ж (Г
~ (П1?>оI/2 т, найдем, что
(формула A2.36)) и т0
12 _*
Е ~ Q0A 3 X 3 Хт0
i 12 1
т.
Как видим, энергия всей массы газа, за исключением малой массы т0,
к которой неприменимо автомодельное решение, постоянна во времени,
конечна и по порядку величины равна работе поршня.
Такого же порядка энергия заключена и в относительно малой массе
т0. Эта масса летит в пустоту со скоростью —Uu обладая кинетической

652 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
энергией порядка т^Щ ж QoU\x л; q0 (IIj/qoK^ t » Щ/2 о,о~1/2 х ж Е.
В рамках же автомодельного решения в массе т0 сосредоточена бесконеч-
бесконечная энергия, несмотря на то, что масса т0 с течением времени составляет
все меньшую и меньшую долю от всей массы М газа, охваченного дви-
движением.
Существенно, что область газа, которая не описывается автомодель-
автомодельным решением и которая дает расходимость в интеграле энергии, если
проэкстраполировать на нее автомодельное решение, лежит за пределами
Рис. 12.16. Выход неавтомодельного движения на автомодельный режим.
Графики взяты из работы [14]. За единицу времени принята длительность действия поршня Т.
сферы влияния, левее особой линии и никак не влияет на распространение
ударной волны. В самом деле, граница неавтомодельной области описы-
описывается уравнением т « т0, а особая линия т = г\0М (т — 0,054 М
при у = 7/5). При t -+¦ оо М -*¦ оо, т0 < г\0М.
Чтобы получить представление о том, как неавтомодельное движение
выходит на предельный, автомодельный режим, авторами работы [14]
был предпринят численный расчет уравнений газовой динамики су = 7/5
при прямоугольном импульсе давления поршня, показанном на рис. 12.9.
На рис. 12.16 приводятся кривые зависимости p/pt, и/щ, g/Qt от авто-
автомодельной переменной х/Х для нескольких моментов времени (три ии
Qi — величины на фронте).
Там же нанесены кривые точного автомодельного решения. Как видно
из графиков, уже при tlx = 5 истинное решение довольно близко к авто-
автомодельному, а при tlx = 15 — почти совпадает с автомодельным. Таким
образом, выход движения на автомодельный режим осуществляется весьма
быстро. Из решения неавтомодельной задачи можно найти численный

§ 18]
СОСРЕДОТОЧЕННЫЙ УДАР ПО ПОВЕРХНОСТИ ГАЗА
653
коэффициент в выражении A2.36) для параметра А. Он оказывается рав-
равным 1,715, так что А = 1,715 (Щ/ооI/^1/».
Численный коэффициент характеризует форму импульса давления
поршня. Можно сказать, что прямоугольному импульсу свойственно
число 1,715 (при у = 7/5).
§ 18. Сосредоточенный удар по поверхности газа
(взрыв на поверхности)
Представим себе «сферический» аналог плоского движения газа при
кратковременном ударе по его поверхности. (Попутно остановимся и на
«цилиндрическом» случае.) Этот вопрос был рассмотрен в работе одного
из авторов [20].
Пусть полупространство z > 0 занято идеальным газом с показателем
адиабаты у. Плотность газа q0 постоянна, давление равно нулю. По дру-
другую сторону плоскости z = 0 при
z < 0 пространство пустое. В на-
начальный момент t = 0 в массе
газа то, окружающей точку О на
граничной поверхности z = О,
быстро выделяется энергия Е. Это
может произойти в результате
взрыва на поверхности или же в ре-
результате «сосредоточенного» удара
по поверхности быстрым «снаря-
«снарядом», если последний не проникает
далеко в глубь вещества, а резко
'///////////Л
Рис. 12.17. Попе скоростей при сосредо-
сосредоточенном ударе.
тормозится вблизи поверхности.
При этом кинетическая энергия
его движения быстро превращает-
превращается в тепло, т. е. происходит нечто
подобное взрыву. От точки О по га-
газу побежит ударная волна. С дру-
другой стороны нагретый газ разлета-
разлетается в пустоту. Начальные скорости движения газа как в сторону распрост-
распространения ударной волны, так и в сторону пустоты порядка и0 ~ У Elm *).
Поверхность фронта ударной волны, которая является поверхностью
вращения вокруг оси z, образует нечто вроде «чаши», как показано на
рис. 12.17. Через круглое «отверстие» чаши (сечение в плоскости z = 0)
газ, нагретый ударной волной, вытекает из «чаши» в пустоту. Отток газа
ослабляет ударную волну по сравнению с тем случаем, когда «отверстие»
закрыто неподвижной «крышкой». Этот случай соответствовал бы взрыву
в неограниченной среде.
Быстрее всего ударная волна движется вниз, медленнее всего —
вдоль поверхности z = 0, где она сильно ослабляется за счет расширения
газа в пустоту. Поэтому поверхность фронта вытянута вниз по сравнению
с полусферой. Вблизи фронта газ движется в сторону распространения
волны. Где-то внутри «чаши» проходит поверхность, на которой верти-
вертикальная составляющая скорости меняет направление. Выше этой поверх-
поверхности, схематически показанной на рис. 12.17 пунктиром, газ движется
*) Если причиной движения послужил удар «снаряда», тот- порядка массы
«снаряда», Е — порядка его кинетической энергии, и0 — порядка скорости удара.

654 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
в сторону пустоты (направления скорости указаны стрелками). По мере
удаления от плоскости z = 0 в ранее пустом пространстве z < О скорость
разлета возрастает, что схематически показано на рисунке стрелками
возрастающей длины *).
Представляется довольно очевидным, что в пределе, когда ударная
волна захватывает массу М > т, движение автомодельно. Поверхность
фронта расширяется при этом, оставаясь подобной самой себе. Координата
какой-нибудь точки фронта, скажем, точки Б, растет со временем по
закону zi ~ ta. Давление на фронте (например, в той же точке В) умень-
уменьшается с увеличением массы М по закону pt ~ М~п, причем константы п
и а связаны между собой простым соотношением и = 2 A — а)/3а **).
При сосредоточенном ударе показатель п, так же как и в плоском слу-
случае, ограничен неравенством:
1<ге<2.	A2.55)
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим стадию, на которой
М » m и р ~ М-п, и составим приближенные выражения для энергии
и вертикальной z-составляющей импульса газа, содержащегося в «чаше».
С учетом размерных параметров в коэффициенте пропорциональности между
р и М, но без учета численного коэффициента среднее по объему «чаши»
давление можно записать в виде
Eon f т \п	/ т V	,.о г„.
1^Ы) ~рЫ)	A2-56)
Здесь р0 ~ Едо/т — начальное давление в момент удара («взрыва»).
Средняя скорость газа в «чаше» по порядку величины равна
Е
J
A2-57>
Энергия в «чаше» порядка
где EiQ — начальная энергия в «чаше», которая, очевидно, порядка полной
энергии Е. Импульс в «чаше» порядка
A2-59)
***).
где 710 ~ (ЕтI/2 — начальный импульс
Энергия вытекает из «чаши» через «отверстие», так как скорость газа
в сечении «отверстия» направлена в сторону пустоты. Следовательно,
энергия Ei: содержащаяся в «чаше», уменьшается с течением времени
(с ростом массы М), и по формуле A2.58) п > 1.
*) По-видимому, вблизи плоской границы невозмущенной среды газ, вытекаю-
вытекающий из «отверстия», движется вдоль плоскости z = 0, и давление у самой плоскости
равно нулю. Возможно, что при некоторых значениях у происходит отрыв, так что
около плоскости z = 0 вне «отверстия» образуется пустая коническая щель. Выть
может, при некоторых у давление на плоскости z = 0 вне отверстия — конечно,
и вблизи точки А возникает тройная точка. Фронт ударной волны вдоль плоскости
z = 0 простирается тогда до бесконечности.
**) М ~ z\ ~ t3a. Скорость газа за фронтом пропорциональна и ~ dzljdt ~
~ i"-1 ~ Y~ji ~ М~п1г ~ Г3ап/2. Отсюда: а — 1 = — Зст/2 или п = 2A — а)/За.
***) В случае удара «снаряда» /10 порядка импульса ударяющего тела.

§ 19]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОМ УДАРЕ	655
Импульс газа во всей «чаше» сравним с импульсом той ее части, которая
заключена между поверхностью фронта ударной волны и пунктирной
поверхностью, где вертикальная составляющая скорости меняет знак,
т. е. равна нулю. Через эту поверхность импульс в вертикальном направле-
направлении не вытекает, а давление на ней положительно. Следовательно, импульс
растет с течением времени, и по формуле A2.59) п < 2. Вертикальный
импульс газа в «чаше» уравновешивается также растущим, но противо-
противоположно направленным импульсом газа, вытекшего из «чаши» и разлетаю-
разлетающегося в пустоту. Таким образом, неравенство A2.55) можно считать
доказанным *). Значение п = 1 соответствует сохранению энергии в «ча-
«чаше», т. е. взрыву в неограниченной среде. Значение п = 2 соответство-
соответствовало бы сохранению импульса.
То же неравенство A2.55) справедливо и в «цилиндрическом» случае
или при «нитевом» ударе. Картина движения при «нитевом» ударе (взрыве)
в качественном отношении подобна картине, изображенной на рис. 12.17.
Только теперь взрыв происходит не в точке О, а вдоль прямой, проходя-
проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости рисунка. Все движение
симметрично относительно плоскости, проходящей через эту прямую
и ось z. Поверхность фронта образует не «чашу», а бесконечно длинную
«канаву», поперечное сечение которой и изображает рисунок. М — это
масса, приходящаяся на единицу длины «канавы».
Можно установить еще более узкий интервал для показателя в законе
затухания ударной волны. Физически ясно, что при одном и том же пока-
показателе адиабаты в случае сосредоточенного удара волна ослабляется с рос-
ростом массы медленнее, чем в плоском случае.
В самом деле, ослабляющее действие оттока газа от фронта выражено
тем меньше, чем относительно меньше площадь, через которую газ выте-
вытекает в пустоту. В «сферическом» случае площадь «отверстия» гораздо
меньше площади поверхности фронта ударной волны (см. рис. 12.17).
В плоском же случае обе площади равны. «Цилиндрический» случай
является в этом отношении промежуточным.
Если обозначить через щ, п2, щ показатели в законе ослабления удар-
ударной волны р ~ Мп для плоского, нитевого и сосредоточенного ударов
соответственно, то в силу сказанного, при одном и том же показателе
адиабаты
1<и3<п2<га1<2.	A2.60)
Например, при у = 7/5 ni = 4/3 и 1 <<щ< 4/3. При у = 5/3 nt = 1,275
и 1 < и3 < 1,275.
Таким образом, сосредоточенный удар ближе к точечному взрыву
в неограниченной среде, чем плоский удар к плоскому взрыву.
§ 19. Результаты упрощенного рассмотрения автомодельного
движения при сосредоточенном и нитевом ударах
Для того чтобы определить показатель п (у) в законе затухания удар-
ударной волны р ~ М~п, необходимо, как и в плоском случае, решить урав-
уравнения автомодельного движения. Однако «сферическая» и «цилиндрическая»
*) Заметим, что предельный переход к автомодельному режиму соответствует
т —»- 0. Для того, чтобы давление было конечным, надо, чтобы Ет11'1 =s const, т. е.
чтобы энергия была бесконечной, Е ~- т~<п~1'> —>- со, а начальный импульс — нулевым:
i
/10 " (.EmJ - т*-п _> 0,

656 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
задачи несоизмеримо сложнее плоской, ибо они — двумерны и автомодель-
автомодельное движение описывается не обыкновенными дифференциальными урав-
уравнениями, а уравнениями в частных производных. Положение существенно
осложняется еще и тем, что поверхность фронта ударной волны, на кото-
которой задаются граничные условия, заранее неизвестна и сама должна быть
найдена в ходе решения. По этой причине даже численное интегрирование
уравнений автомодельного движения должно быть связано со значитель-
значительными трудностями.
Некоторое представление о численных значениях показателя и общих
характеристиках движения дает упрощенное рассмотрение задачи, про-
проведенное в работе [20]. Было построено точное частное решение диффе-
дифференциальных уравнений автомодельного движения, которое является
обобщением точного решения одномерной задачи
(см. § 15) и в некоторых отношениях правильно
передает черты двумерного процесса. В решение
входит ряд неизвестных постоянных. Разумеет-
Разумеется, с помощью такого, довольно произвольного,
частного решения уравнений нельзя удовлетво-
удовлетворить граничным условиям на фронте ударной
волны. Поэтому вместо условий на фронте решение
было подчинено общим соотношениям, выражаю-
выражающим в интегральной форме балансы массы, энергии
и составляющих импульса газа, содержащегося
в «чаше» (в «канаве»). При этом форма поверх-
Рис. 12.18. Замена чаши ности фронта была выбрана самой простой. «Чаша»
эквивалентным цилинд- была заменена круговым цилиндром с «дном»,
Ром-	а «канава» закругленного сечения —«канавой»
прямоугольного сечения (рис. 12.18).
Подобно тому как в одномерном случае точное аналитическое решение
существует только при одном (избранном) значении показателя адиабаты
Y (равном 7/5), так и приближенное решение, которое является обобще-
обобщением точного одномерного, годится только для одного-единственного зна-
значения у. Это значение вместе с соответствующим значением п находится
в процессе решения.
Оказалось, что в случае сосредоточенного удара тг = 1,07 при у =
= 1,205; отношение высоты «цилиндра» h к диаметру d равно 1,05; плот-
плотность газа в сечении «отверстия» составляет qotb = 0,0187 q0 и из «отвер-
«отверстия» вытекает только 1,6% всей массы, охваченной ударной волной.
Плотность газа на «дне» цилиндра равна (>дяо = 10,3q0, что очень близко
к фактической плотности на фронте ударной волны [(у + 1)/(у — 1I X
XQo = Ю,7 Qo. Вертикальная составляющая скорости меняет направление
на глубине 0,846Л от «отверстия» и на расстоянии 0,154/г. от «дна».
В случае нитевого удара п = 1,14 при у = 1,266, hid = 1,21 (h —
высота «канавы», d — ширина), из «канавы» вытекает 2% всей
массы.
Мы видим, что показатели п оказались очень близкими к единице,
т. е. отток газа от фронта ударной волны вследствие расширения его в пу-
пустоту лишь немного ослабляет ударную волну по сравнению со взрывом
в неограниченной среде. Это, очевидно, связано с тем, что за пределы
«чаши» («канавы») оказывается выброшенной очень малая доля всей массы.
Форма «чаши», по-видимому, существенно отличается от полусферической,
которая соответствовала бы взрыву в неограниченной среде. Высота
«чаши»— цилиндра равна примерно диаметру, тогда как при замене полу-

§ 20]	УДАР ПРИ ПАДЕНИИ ОЧЕНЬ БЫСТРОГО МЕТЕОРИТА	657
сферы эквивалентным цилиндром высота была бы примерно вдвое меньше
диаметра. То же относится и к нитевому удару.
К счастью, показатели адиабаты у = 1,205 и у — 1,266, для которых
годятся приближенные решения, близки к реальным значениям эффектив-
эффективных показателей адиабаты газов при высоких температурах, когда сущест-
существенны процессы диссоциации и ионизации. Заметим, что в плоском случае
показатель п монотонно уменьшается с ростом у. Если таково же положение
и в двумерных случаях, что представляется весьма вероятным, то для сос-
сосредоточенного удара 1 < п ¦< 1,07 при у > 1,205, а для нитевого 1 < п <
<С 1,14 при у >• 1,266. В реальных процессах вряд ли могут представить
интерес значения у, существенно меньшие, чем 1,205 или 1,266. Отсюда
следует, что в большинстве реальных процессов, моделью которых может
послужить задача о сосредоточенном (или нитевом) ударе, ударная волна
затухает лишь немного быстрее, чем при взрыве в неограниченной среде.
§ 20. Удар при падении очень быстрого метеорита
на поверхность планеты
Характерным примером явления «сосредоточенного удара» может
служить процесс, протекающий при падении на поверхность планеты
метеорита со скоростью порядка нескольких десятков или ста километров
в секунду (и выше). При этом имеет смысл рассматривать либо планеты,
лишенные атмосферы, такие как Луна, либо же достаточно крупные
метеориты. Маленькие метеориты испаряются, «сгорают» по пути вследст-
вследствие трения об атмосферу, так и не достигая поверхности планеты.
При ударе метеорита о грунт происходит резкое торможение и на-
начальная кинетическая энергия Е — тег;2/2 (т — масса метеорита, v —
скорость падения) в значительной степени переходит во внутреннюю,
в тепло. Глубина проникновения тела метеорита в грунт обычно порядка
размеров самого тела, так что в начальный момент энерговыделение про-
происходит в массе порядка т. От места энерговыделения по грунту распро-
распространяется ударная волна *).
Будем интересоваться ударами только с очень большими скоростями,
когда удельная энергия v2/2 во много раз превышает энергию связи атомов
и молекул веществ метеорита и грунта (теплоту испарения).
В этом случае существует стадия, когда ударная волна охватывает
массу грунта М, значительно превышающую начальную массу т, но веще-
вещество в ударной волне можно рассматривать как плотный газ. Грунт и тело
метеорита при расширении полностью испаряются и разлетаются с поверх-
поверхности планеты в газообразном состоянии. В стадии не слишком сильного
расширения давление газа гораздо больше атмосферного и существованием
атмосферы (если таковая имеется) можно пренебречь. Пары расширяются
так же, как в пустоту. Как видим, мы имеем дело с типичной картиной
сосредоточенного удара по поверхности «газа», описанной в предыдущем
параграфе.
Оценим, какие нужны для этого скорости падения. Теплота испарения
железа (метеориты бывают железные и каменные) равна 94 ккал/моль =
= 7-Ю10 эрг!г. Теплота испарения каменных пород грунта порядка
83 ккал/молъ = 5,8-1010 эрг/г. Это значение относится к кремнезему
*) Мы не рассматриваем ударов с малыми скоростями, когда существенную
роль играют сам процесс торможения, распространение ударной волны по телу метео-
метеорита, короче, когда энерговыделение нельзя считать мгновенным.
¦42 я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

658 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
S1O2, из которого в основном состоят различные грунты и каменные
породы. Если учитывать еще и диссоциацию молекул SiO2 при испарении,
то энергия связи составит 203 ккал/молъ — 1,4-1011 эрг 1г.
Положим для оценки, что для полного испарения нужно, чтобы удель-
удельная энергия в 10 раз превышала теплоту испарения, для которой примем
ориентировочное значение U « 10й эрг/г. Получим для минимальной
скорости, при которой испаряется масса порядка массы метеорита, значе-
значение vmin « |А2-10-10й = 14 км/сек. Точно так же можно сказать, что
при распространении ударной волны полностью испаряются при после-
последующем расширении те слои грунта, до которых ударная волна дошла
с удельной внутренней энергией et во фронте порядка ед~10?7—
~ 1012 эрг/г.
Десятикратное превышение ej над U взято на основе оценок § 22
гл. XI, где было показано, что полное испарение при разгрузке твердого
вещества, сжатого сильной ударной волной, получается, если энергия
во фронте волны по крайней мере раз в пять больше энергии связи кри-
кристаллической решетки.
Чтобы оценить полную массу грунта, которая испаряется при ударе
метеорита, нужно воспользоваться законом затухания ударной волны.
Такого типа оценки впервые делал К. П. Станюкович [21], который изу-
изучал явление «взрыва» при ударе метеорита о поверхность планеты как
причину образования кратеров на Луне. К. П. Станюкович не принимал во
внимание эффекта разлета паров в пустоту, полагая, что ударная волна
распространяется точно так же, как и при сильном взрыве в неограничен-
неограниченной среде, т. е. по закону pt ~ М-1, е4 ~ EIM.
Соображения, изложенные в предыдущем параграфе, обосновывают
это допущение. Испаренная масса Mk по порядку величины опре-
Е	тчт Е	/t>2"\	/
деляется соотношением: е^^-г^-, откуда Mh~—~пг — ) == ml
mh	ek	\eft/	Vl'ft
где vk = |/"efe ~ 10 км/сек. Например, при скорости метеорита v
— 100 км/сек испаряется масса грунта, в 100 раз превышающая массу
метеорита.
Когда энергия в ударной волне становится меньше, чем ~ 1012 эрг/г,
слои грунта, захваченные волной, уже не испаряются при разгрузке. Одна-
Однако энергии в волне еще вполне достаточно для механического раздробления
вещества. Предельная энергия, необходимая для разрушения, гораздо
меньше, чем теплота испарения. Поэтому масса раздробленного вещества
во много раз превышает массу испаренного. Раздробленное вещество
выбрасывается вверх в виде твердых частиц, и таким путем возникает
воронка. Вопросы о размерах воронки при ударе метеорита, о роли силы
тяжести, которая препятствует далекому разбрасыванию вещества и др.,
рассматривались К. П. Станюковичем [21].
Эффекты, подобные «взрыву» при ударах быстрых метеоритов, воз-
возникают и при движении в разреженной атмосфере тела с очень большой
скоростью. Удары молекул воздуха о поверхность тела уподобляются
ударам метеоритов о поверхность планет. При каждом ударе происходит
«микровзрыв», с поверхности тела выбрасывается некоторое количество
испаренного вещества. Тело получает дополнительный импульс отдачи,
что приводит к повышению коэффициента сопротивления и увеличению
скорости торможения тела в атмосфере. Это явление рассмотрено в работе
К. П. Станюковича [22]. Удар быстрого тела по поверхности жидкости
в предположении о ее несжимаемости рассматривал М. А. Лаврен-
Лаврентьев [23].

S 21]
СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
659
§ 21. Сильный взрыв в неограниченной пористой среде
В работе А. С. Компанейца [24] решена задача о сильном точечном
взрыве в пластической уплотняющейся среде с постоянным уплотнением
на фронте ударной волны *). Мы рассмотрим здесь упрощенную задачу
о распространении ударной волны точечного взрыва в пористой среде
при условии, что сплошное вещество несжимаемо (например, в песке
с несжимаемыми песчинками). Прочностью песчинок пренебрегаем, т. е.
считаем, что для адиабатического сжатия материала до плотности сплош-
сплошного вещества (для полного «выбирания» пустот) не требуется никакой
р
-Pi
0
а)
0
б)
Рис. 12.19. Распределение плотности (а)
и скорости (б) по радиусу при взрыве
в песке с несжимаемыми песчинками.
v, v0 v=t/f
Рис. 12.20. Ударная
адиабата песка с несжи-
несжимаемыми песчинками без
учета прочности.
затраты энергии. Иными словами, ударную волну считаем сильной по
отношению к прочности материала, но слабой по отношению к упругости
(сжимаемости сплошного вещества). Начальное давление р0 равно нулю.
Обозначим среднюю плотность невозмущенной среды через q0, а плот-
плотность сплошного вещества («песчинок») — через о^ q0 = Qi A — к),
где к — коэффициент пористости, который может меняться от нуля до
единицы.
Пусть в некоторой точке происходит сильный «взрыв»; веществу дан
интенсивный первоначальный толчок, например, быстро расширился
и остановился сферический «поршень». По веществу пойдет ударная волна,
в которой материал будет сжиматься до плотности сплошного вещества
с полным заполнением пустот. После этого плотность вещества уже не
меняется и остается равной q4. Вещество, захватываемое ударной волной,
движется вслед за фронтом. Около поверхности фронта образуется сфери-
сферический слой постоянной плотности Qi, а за ним пустая полость, как пока-
показано на рис. 12.19, а.
Если радиус фронта волны — R, а радиус внутренней поверхности
слоя — г0, то условие сохранения массы дает:
или
' ^Ч1 Q°i)"
= R3k.
A2.61)
*) В работе [25] уплотнение предполагается зависящим от амплитуды волны.
42*

660 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Распределение скорости в слое следует из уравнения непрерывности
для несжимаемой жидкости: div и = 0,
у, го<г<Д,	A2.62)
где их — массовая скорость за фронтом ударной волны (рис. 12.19, б).
Она связана со скоростью фронта D — dRIdt очевидным соотношением:
Ударная адиабата вещества при сделанных в начале предположениях
имеет вид, показанный на рис. 12.20 *). Пусть «давление» в ударной волне
равно Pi (точка В на ударной адиабате). Как известно (см. § 16 гл. I),
первоначально покоящееся вещество в сильной ударной волне (pi > р0)
приобретает одинаковые кинетическую и внутреннюю энергии и\/2 на
1 г. Численно каждая из этих энергий равна площади треугольника ОАВ
на рис. 12.20. Поскольку сплошные частицы предполагаются несжимае-
несжимаемыми, судьба внутренней энергии, приобретаемой веществом в ударной
волне, нас не интересует. Эта энергия превращается в тепло и представляет
собой просто потерю механической энергии движения. Таким образом,
уменьшение кинетической энергии всей массы М за время dt равно при-
приращению внутренней энергии массы dM, которая захватывается ударной
волной за время dt:
^^(?f^	A2.63)
Здесь через и2 = §и\ обозначен средний квадрат скорости движения
массы М. Коэффициент р легко вычислить с помощью уравнений A2.62),
A2.61): р = Ъ1{к + к2'» + к1'»). Интегрируя уравнение A2.63), найдем
закон затухания ударной волны:
и\ = const • M-^+PW = const. М~п.
Здесь мы по аналогии с предыдущими разделами обозначили показа-
показатель степени у массы в формуле для удельной энергии через п : п —
= A + Р)/р. Полная кинетическая энергия движения пропорциональна
#fe = ^ ~ M-(n-V; импульс / — Мщ ~ Мх~п^2. Поскольку Р > 0, пока-
затель п всегда заключен в пределах 1 < п < 2 (ср. с результатами § 18).
В предельном случае сплошной несжимаемой среды /с-»-0, р->-оо,п->-1,
энергия сохраняется, импульс растет с течением времени. В предельном
случае чрезвычайно пористого вещества (сильно «сжимаемой» среды)
А;-^1, Р->-1, »->-2, сохраняется импульс, а энергия уменьшается.
В общем случае 0 < к < 1 энергия уменьшается (переходит в тепло),
импульс растет. Положение, как видим, такое же, как и при ударе по
поверхности газа (см. § 18).
Как и там, в предельном случае «точечного» взрыва начальная энер-
энергия бесконечна (если к Ф 0, п>1 и i?ft ~ Af"^) -> оо при М ->- 0).
Аналогично предыдущему можно рассмотреть и сходящуюся удар-
ударную волну в пористом веществе с несжимаемыми крупинками.
*) Об ударном сжатии пористого материала с учетом сжимаемости сплошного
вещества см. § 10 гл. XI.	,

§ 22]	СИЛЬНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ	661
5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЕ
С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОТНОСТИ
§ 22. Сильный точечный взрыв
В разделе 4 гл. I рассматривалась задача о сильном взрыве в беско-
бесконечной однородной среде. Как известно, атмосфера Земли не является
однородной, плотность воздуха уменьшается с высотой, причем в каком-
то приближении зависимость плотности Qo от высоты h описывается баро-
барометрической формулой Qo = Qooe"h/A> гДе Qoo — плотность на уровне моря,
а А — так называемая высота стандартной атмосферы, которая у поверх-
поверхности Земли равна примерно 8,5 км *).
Посмотрим, как распространяется ударная волна сильного точечного
взрыва в неоднородной атмосфере. При этом, очевидно, нас будет интересо-
интересовать та стадия, на которой волна уходит от точки взрыва на расстояния,
сравнимые с масштабом неоднородности А; только тогда и проявляется
влияние неоднородности. Ударную волну предполагаем сильной (давле-
(давление за фронтом гораздо больше давления перед фронтом).
Газодинамический процесс не является автомодельным, так как
имеется масштаб длины А и, более того, движение не одномерно, а дву-
двумерно. В цилиндрических координатах с вертикальной осью, проходящей
через точку взрыва, движение зависит от координаты z и радиуса г. Полное
решение газодинамической задачи можно найти только путем численного
интегрирования уравнений газодинамики. Однако получить представле-
представление о характере распространения ударной волны и форме ее поверхности
можно на основе простых соображений, что было сделано А. С. Компа-
нейцем в работе [28].
Предположим, что, как и при взрыве в однородной среде, давление
выравнено почти по всему объему, охваченному взрывной волной, а на
фронте постоянно вдоль поверхности фронта и пропорционально сред-
среднему давлению, в объеме, т. е. отношению энергии взрыва ко всему
объему й:
P, = (Y-l)X-§-	A2-64)
Здесь Я (у) — численный коэффициент, который для оценки можно
взять, например, из решения задачи о взрыве в однородной среде
(см. гл. I). Пусть уравнение поверхности фронта ударной волны в ци-
цилиндрических координатах есть / (z, r, f) = 0. Дифференцируя это урав-
уравнение, получим
ИЛИ
dz ' dr r	'	dt
где Dz и Dr — составляющие вектора скорости фронта D. Нормальная
составляющая скорости фронта выражается известной формулой
*) В действительности земная атмосфера не является строго экспоненциальной
так как температура воздуха меняется с высотой. Масштаб Д, определенный как
Д = — (d In Q/dh)'1, изменяется в интервале от 6 до 15 км на высотах ниже 150 км.
Выше 150 км масштаб Д становится еще большим.

662 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Но согласно условию на фронте сильной ударной волны
где Qo — плотность перед фронтом в данной точке поверхности.
Из двух последних выражений имеем:
2%/3
Qo 2 У
Подставим сюда давление рх по формуле A2.64) и выразим объем Q
в виде интеграла Q = \ dQ с помощью уравнения поверхности фронта,
ограничивающего объем Q.
При этом уравнение / (z, r, t) будем считать разрешенным относи-
относительно радиуса r = r(z,t). Атмосферу будем считать строго экспонен-
экспоненциальной. Такая операция приводит к дифференциальному уравнению
в частных производных для искомой функции r = r(z, t), которое точно
решается в работе [28].
Эволюция поверхности фронта ударной
волны видна из рис. 12.21, заимствованного
из этой работы, на котором изображены
сечения волны вертикальной плоскостью,
проходящей через точку взрыва (через ось z).
На рис. 12.21 показаны сечения в последо-
последовательные моменты времени. Волна, вначале
сферическая, постепенно принимает яйцевид-
яйцевидную форму.
При движении в разных направлениях
ее интенсивность изменяется неодинаково.
В направлении вертикально вниз, в сторону
наиболее резкого увеличения плотности,
ударная волна ослабляется и замедляется
быстрее всего. Напротив, при движении вер-
вертикально вверх, в сторону наиболее резкого
уменьшения плотности, она даже ускоряется
и за конечное время т уходит вверх на беско-
бесконечность, как бы «прорывая» атмосферу. При
этом поверхность фронта образует нечто вроде
«чаши» и в огромной полости, ограниченной этой поверхностью, давле-
давление падает до очень малой величины (до нуля, в рамках сделанных при-
приближений). Двигаясь в горизонтальном направлении, волна ослабляется,
но медленнее, чем при движении вниз.
Легко понять физическую причину ускорения ударной волны на
больших расстояниях при движении вверх [31]. Если R — расстояние
верхней точки ударной волны от центра взрыва, то объем полости Q про-
пропорционален R3 и давление pi ~ E/R3. Плотность перед фронтом рав-
равна Qe = qc exp (— -ff/A), где Qe — плотность на уровне взрыва, по-
поэтому скорость фронта
О~(жУ1г	#4^е^	A2.65)
приЯ-voo неограниченно возрастает, а время ухода волны вверх, на
Рис. 12.21. Разрез поверхно-
поверхностей фронта ударной волны,
при сильном взрыве на боль-
большой высоте вертикальной пло-
плоскостью, проходящей через
точку взрыва.
Указаны последовательные момен-
моменты времени. На отрезке Д плот-
плотность атмосферы меняется в е раз.

§ 23]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ	663
бесконечность,
о
оказывается конечным *). Как следует из этого соотношения, время «про-
«прорыва» атмосферы т = v (qcA5/?'I/2) Где v — численная константа (она
определяется в результате полного решения задачи). Нетрудно видеть,
что т — это единственная величина, имеющая размерность времени, кото-
которую можно составить из размерных параметров задачи: Е, qc, A.
Закон движения ударной волны, форма поверхности фронта и кон-
константа v были несколько уточнены по сравнению с [28] в работе Э. И. Ан-
дрианкина, А. М. Когана, А. С. Компанейца и В. П. Крайнева [29], в
которой задача рассматривалась в той же общей постановке, но с учетом
распределения давления на ударной волне вдоль поверхности фронта. При
этом определялось движение каждого участка поверхности фронта. Уточ-
Уточненное значение константы v оказалось равным v « 24 (для показателя
адиабаты у = 1,2). К моменту «прорыва» атмосферы ударная волна прохо-
проходит вниз расстояние около 2А, по горизонтали (на уровне точки взрыва)
примерно 3,5 А. В соответствии с самой постановкой задачи решение [28,
29] теряет силу вблизи момента прорыва атмосферы, так как при этом
давление падает до нуля и дальнейшее распространение ударной волны
(при сделанных приближениях) прекращается.
Неоднородность атмосферы сказывается лишь при таких взрывах,
при которых ударная волна уходит на расстояния, превосходящие масштаб
неоднородности А, оставаясь еще достаточно сильной. В противном
случае ударная волна затухает еще до того, как начнет проявляться
неоднородность, и взрыв протекает так же, как в однородной] атмо-
атмосфере. Приближенное условие реализации описанной выше эволюции
поверхности фронта ударной волны можно определить так [29]: отно-
отношение давления на фронте к давлению воздуха перед фронтом Pi/po при
распространении волны (по законам взрыва в однородной атмосфере)
на расстояние А должно превышать (у + 1)/(у — 1), скажем, в 10 раз
(см. сноску на стр. 84 в § 25 гл. I). Например, на высоте 100 км р0 «
» 10"8 атм = 1 бар и это условие (pi/po л* 100) выполняется только при
взрывах с энергией Е > 1020 эрг. Взрыв не чрезмерно большой мощности
на малой высоте протекает практически как в однородной атмосфере.
§ 23. Автомодельное движение ударной волны в сторону
возрастания плотности
Рассмотрим более пристально, как протекает газодинамический
процесс в области нижней точки ударной волны сильного взрыва, дви-
движущейся вертикально вниз. При взрыве в однородной атмосфере давление
в объеме выравнено и всего в два-три раза меньше давления на фронте
ударной волны (см. § 25 и 26 гл. I). Это внутреннее давление «поддержи-
«поддерживает» ударную волну, способствует тому, что волна затухает медленнее,
чем в отсутствие внутреннего давления. Роль внутреннего давления
*) Заметим, что энергия, сосредоточенная в данном телесном угле, вершина кото-
которого лежит в точке взрыва, не остается постоянной, как при сферической симметрии
Энергия имеет тенденцию «перетекать» снизу вверх, что также способствует ускорению
ударной волны вверх. (Масса, напротив, перетекает вдоль поверхности фронта из
верхних областей ударной волны в нижние.)

664 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
выступает особенно отчетливо, если сравнить движение при плоском взры-
взрыве с движением при плоском кратковременном ударе (см. предыдущий
раздел этой главы). Давление в области за фронтом ударной волны в этом
последнем случае уменьшается до нуля и внутреннего, поддерживающего
волну давления нет. Поэтому ударная волна затухает скорее, чем при
плоском взрыве. Нечто подобное происходит и при взрыве в неоднородной
атмосфере. Происходит резкое падение давления в полости из-за быстрого
увеличения ее объема, связанного с ускорением волны вверх. Это при-
приводит к тому, что внутреннее давление больше не поддерживает ударную
волну, распространяющуюся вниз, а газ из нижних слоев оттекает от
фронта вверх, устремляясь в «пустую» полость. Положение в какой-то
мере приближается к тому, которое имеет место в задаче о кратковременном
ударе. Сближает его с этой задачей также и то обстоятельство, что при
достаточно большом удалении ударной волны от точки взрыва кривизна
нижнего участка поверхности фронта становится малой и участок вместе
с прилегающим к нему слоем газа за фронтом оказывается «плоским».
Таким образом, для приближенного описания течения газа в нижней
части ударной волны представляется целесообразным рассмотреть идеали-
идеализированную задачу о распространении плоской ударной волны в неодно-
неоднородной атмосфере в сторону повышения плотности. Ее, очевидно, следует
поставить так.
Пусть плотность газа распределена в пространстве по экспоненциаль-
экспоненциальному закону
х
Q0 = Q*e~b, A = const	'	A2.66)
(ось х для удобства направим вниз). Это распределение обладает тем свой-
свойством, что масса газа, сосредоточенная в столбе единичного сечения, от
х = — оо, где Qo = O, идож = Х, равна массе газа в столбе с длиной А,
если плотность в нем равна q0 (X)
х
М=\ Q0(x)dx — Q0(X) A.	A2.67)
Пусть в начальный момент t = 0, где-то в области очень малой плот-
плотности, при х « — оо производится кратковременный плоский удар. По
газу в сторону возрастания плотности побежит ударная волна, а нагре-
нагретый газ будет расширяться в сторону пустоты.
Будем искать предельное движение в стадии, когда ударная волна
охватывает массу газа М, которая гораздо больше, чем масса т0 в области
малой плотности, подвергшаяся начальному действию удара. Начальное
давление газа будем считать равным нулю. Как видим, постановка задачи
вполне аналогична постановке задачи о кратковременном ударе по поверх-
поверхности газа постоянной плотности, граничащего с пустотой (см. § 13).
Задача о кратковременном ударе в случае неоднородной атмосферы была
сформулирована и решена в работе одного из авторов [30].
Ясно, что предельное движение (М > т0) является автомодельным.
Однако эта автомодельность имеет необычный характер. Дело в том, что
в отличие от всех других рассмотренных автомодельных движений, в усло-
условиях задачи имеется масштаб длины А, но нет параметра, размерность
которого содержала бы символ массы (обычно такой параметр существует
в связи с заданием начальной плотности газа). Величина Q* в A2.66)

§ 23]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ	665
не может служить параметром, так как она неопределенна из-за произвола
в выборе начала отсчета координаты х *).
Координата х определена лишь с точностью до аддитивной постоян-
постоянной, поэтому движение может зависеть только от разности координат,
но не от самой координаты х. Разностью координат является расстояние,
отсчитываемое от фронта ударной волны, координату которого обозначим
X, так что движение зависит от безразмерного расстояния
1 = ^-.	A2.68)
Эта величина и является автомодельной переменной, причем, в отли-
отличие от всех других рассмотренных автомодельных движений, автомо-
автомодельная переменная не содержит времени. Движению, конечно, свойст-
свойствен некий параметр А, характеризующий «силу удара»**), однако из-за
отсутствия другого параметра, размерность которого содержала бы символ
массы, из величин х, А, А невозможно составить комбинацию размерности
времени и, следовательно, из независимых переменных и параметров х,
t, А, А нельзя составить безразмерной переменной, в которую входило бы
время t.
После сделанных замечаний о размерностных свойствах задачи
и неопределенности координаты х легко найти закон движения ударной
волны и записать общие выражения для искомых функций: скорости,
давления и плотности.
Скорость фронта ударной волны равна
D = X = a~,	A2.69)
где численный коэффициент а зависит только от показателя адиабаты у.
Координата фронта X растет с течением времени по логарифмическому
закону:
X = а ¦ A In t -\- const.	A2.70)
Выражения для скорости, плотности и давления газа за фронтом
ударной волны имеют вид
2 .. А ~	}
A2.71)
где безразмерные функции-представители и, q, p зависят от'автомодель-
ной переменной | — безразмерного расстояния, отсчитываемого от фронта
ударной волны, и у. Функции-представители определены таким образом,
чтобы на фронте ударной волны при | = 0 они все обращались в единицу
«(O) = Q(O) = p(O) = l.-	A2.72)
Другое граничное условие состоит в том, что в «пустоте», при
ж= — оо, ?=оо, р(со)=0.
Плотность газа непосредственно перед фронтом ударной волны q0 (X)
выражается через массовую координату фронта М формулой A2.67).
*) 0* — это плотность в точке х = О, ио начало х = 0 мы вправе поместить
в точку с любой плотностью.
**) Ниже он будет связан с энергией взрыва.

666 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Масса газа, охваченного ударной волной, в отличие от геометри-
геометрической координаты, зависит от времени, как обычно, по. степенному
закону М = Qo (X) X = MX/A — МаГ1, откуда
M = At*.	A2.73)
Здесь А — постоянная интегрирования, которая и является парамет-
параметром, характеризующим «силу удара». Размерность ее — [А] = г-см'2-сек-а.
Таким образом, в формулы A2.71) можно подставить явную зависимость
Qo(-X) от времени
<1274>
Движение, как уже отмечалось выше, обладает необычной автомо-
дельностью: профили скорости, плотности, давления как бы «привязаны»
к фронту ударной волны и движутся вместе с фронтом, не растягиваясь
с течением времени (меняются лишь амплитуды этих величин). Однако
в лагранжевых координатах движение автомодельно в обычном смысле.
Лагранжева координата т равна
X	00
т = \ q (х) их = const ¦ М \
~ ~ ~
т. е. ^, а следовательно, и, q, p являются функциями автомодельной
переменной ц = т/М — m/Ata.
Уравнения автомодельного движения удобно решать в лагранжевых
координатах. Подставим выражения A2.71) и A2.74) в соответствующие
уравнения газовой динамики
Получим уравнения для функций-представителей и(ц), Q(r\), р(ц):
A2.75)
Интегрируя второе из этих уравнений и исключая из системы див,
получим основное уравнение задачи
A2Л6)
~	2у *	'	_
Решение р(г\) должно проходить через две точки рA) = 1 и^@) = 0,
чем и определяется показатель а.
В частном случае у — 2 удается найти точное аналитическое реше-
решение задачи. Имеем:
3- А	Л	Л
A2.77)
*) Решение в лагранжевых координатах совершенно аналогично аналитическо-
аналитическому решению обычной задачи о кратковременном ударе, в случае у = 7/5. (См. A2.42).)

§ 24]	ПРИЛОЖЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ К ВЗРЫВУ	667
U эйлеровых координатах решение имеет вид:
р = A + 2?)-3/*, ^ = A + 2Е)-5/2, и = 1-1.	A2.78)
Аналитическое решение возможно и при y — l'.a = l,p = r\, q = tj3, и = 1.
Этот случай представляет интерес лишь с точки зрения ограничения
показателя автомодельности а, так как ему соответствует бесконечное
Phc.j12.22. Распределения скоро-	рис. 12.23. Распределения скорости "и, дав-
сти и, давления р и плотности q по	ленияр и плотности (Г в пространстве за
массовой координате.	ударной волной.
сжатие газа во фронте волны, в результате чего в эйлеровых коорди-
координатах р, q, и превращаются в 6-функции: б (|).
Поскольку реальные значения у заключены в диапазоне 1 < у < 2,
надо полагать, что соответствующие значения показателя автомодель-
Q
ности лежат в интервале 1 < а < -~- *).
При произвольном значении у решение можно найти путем числен-
численного интегрирования уравнения A2.76) методом попыток.
На рис. 12.22 и 12.23 приведены полученные таким образом распреде-
распределения скорости, плотности и давления по массе и в пространстве для
у = 1,25. Показатель а при этом равен а = 1,345.
§ 24. Приложение автомодельного решения к взрыву
Движение ударной волны сильного точечного взрыва вниз приобре-
приобретает черты автомодельного движения, описанного в предыдущем парагра-
параграфе, когда давление в полости ре становится малым по сравнению с давле-
давлением рф на фронте ударной волны в нижней точке. В численном расчете
движения ударной волны, сделанном в работе [29], фигурируют обе эти
величины, так что мы имеем возможность «привязать» автомодельное
решение к какой-либо определенной точке численного расчета. Надо ска-
сказать, что в момент резкого уменьшения давления в полости решение [29]
*) Рассмотрение балансов энергии и импульса, аналогичное тому, которое
было проведено в § 16, приводит к общему ограничению 1 < а <[ 2.

668 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
теряет силу, так как в приближении [291 при нулевом давлении в полости
исчезает сила, движущая ударную волну. Между тем, в действительности
движение ударной волны после этого момента продолжается довольно
долго и оно как раз и имеет характер движения, которое является резуль-
результатом первоначального «толчка».
Численные оценки показывают, что давление в полости становится го-
гораздо меньше давления на фронте, когда скорость фронта еще достаточно
велика, так что при рассмотрении последующего движения противодавле-
противодавлением со стороны невозмущенного воздуха еще можно пренебречь. Поэтому
автомодельное решение может описать распространение ударной волны
вниз в течение еще некоторого времени после прорыва атмосферы.
Предположим для определенности, что переход на новый режим
происходит при Рф/Рс = Ю. Согласно [29] этому значению соответствует
время от момента взрыва ti = 19тд, где т^ = (qcA5AE1I''2 — масштаб вре-
времени, характерный для взрыва в неоднородной атмосфере (qc — плот-
плотность воздуха на высоте взрыва, Е — энергия взрыва). К моменту tt
ударная волна уходит вниз от точки взрыва на расстояние z = 1,9 Д;
скорость фронта при этом равна D± = 2,5-10~2- Д/тй.
Проэкстраполируем предельные законы распространения ударной
волны A2.69), A2.70) к моменту «перехода» на новый режим, причем
координату и время будем отсчитывать таким образом, чтобы выполнялось
начальное условие D = Dt при X = 0 *).
Получим приближенную зависимость координаты фронта от скорости
фронта и от времени (координата отсчитывается вниз от точки «перехода»
на новый режим): X = a- A In ~ = а Д In -g-.
Параметры Dt и 0 определяются через параметры взрыва выражения-
выражениями Dt = 2,5-10-2 — = 2,5-10-а (-Л-У/г **); 9 = 40 атй, а = 1,345 при
Y = 1,25. Параметр удара А в том же приближении равен^4 = е1-9^ Д8~а=
= 6,7осД-6-«.
Оценка с помощью реальных численных значений параметров показы-
показывает, что в процессе замедления ударной волны от «переходной» ско-
скорости Di до скорости D да 1 км/сек, в несколько раз превышающей
скорость звука в холодном воздухе, ударная волна проходит вниз рас-
расстояние примерно B -f- 3) Д.
Оно добавляется к расстоянию около 2 Д вниз от центра взрыва, кото-
которое следует из теории [28, 29]. Таким образом, в процессе замедления
ударной волны сильного взрыва до скорости порядка 1 км/сек волна
проходит вниз от точки взрыва расстояние около D -е- 5) Д.
§ 25. Автомодельное движение ударной волны в сторону
уменьшения плотности. Приложение к взрыву
Рассмотрим автомодельное распространение ударной волны в экспо-
экспоненциальной атмосфере A2.66) из +оо в сторону —оо. Эта задача анало-
аналогична задаче о выходе ударной волны на поверхность звезды (см. раздел 3
этой главы) с той лишь разницей, что там атмосфера была не экспоненци-
*) При этом процесс до момента «перехода» играет роль «кратковременного
удара».
**) Численные значения параметров Dl и 9 слабо зависят от выбора переходного
значения Рф/рс- Так, например, на последний, рассчитанный в [29] момент t = 23,4т$,
близкий к моменту «прорыва» атмосферы, г^2Л, D = 2,12-10~2Л/тд, рф/рс = 22.

§ 25]	АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ |	669
альной, а степенной; однако экспоненциальный характер атмосферы
придает движению свои специфические черты. Указанная задача была
решена одним из авторов [31]. Очевидно, решение можно применить к опи-
описанию движения верхнего участка ударной волны сильного взрыва и при-
примыкающей к нему области, которые через некоторое время после взрыва
«вырываются» из сферы влияния центральных областей.
Положим, что ударная волна выходит на «границу» атмосферы
х = —оо, где Qo = 0 в момент t = 0, т. е. будем считать время до выхода
отрицательным.
Все соображения о размерностных свойствах движения в экспонен-
экспоненциальной атмосфере, изложенные в начале § 23, здесь сохраняют свою
силу. Поэтому остаются справедливыми все уравнения § 23. Единствен-
Единственное, что следует учесть, это — изменение знака времени. Скорость фронта
по-прежнему равна
D = X = a±, t<0, D<0,
а координата фронта теперь равна
X = аД In (— t) -f const.
Лагранжева координата фронта
М = А ( — 0°. «>0.
Постоянная А, как и раньше, характеризует интенсивность источника
ударной волны *). Сохраняются неизменными выражения A2.71), урав-
уравнения A2.75) и основное дифференциальное уравнение A2.76). Меняется
лишь область интегрирования. Там т) = т/М изменялось от 1 на фронте
волны до 0 в области малых плотностей. Здесь — от 1 на фронте до оо
в области больших плотностей. Граничное условие на фронте остается
прежним, а граничное условие при т|. = оо, которое соответствует моменту
t = 0 (М = 0), определяется так, чтобы в пределе t -> 0 время исключи-
лось из выражений A2.71).
Результаты численного решения для двух показателей адиабаты
у = 1,2 и у = 5/3 показаны на рис. 12.24 и 12.25. Показатели автомодель-
ности а получились равными а = 6,48 и а = 4,90 соответственно.
При достаточно больших г\ уравнения допускают приближенное анали-
аналитическое решение, которое позволяет найти распределения скорости,
давления и плотности по массе в момент выхода ударной волны на «гра-
«границу» атмосферы. При этом получается:
(иI=0	/тс-*/*, (р)(=о~т1~", (Q)(=e = -?-••).
Третье из этих выражений свидетельствует о том, что каждая частица
газа (с лагранжевой координатой т), будучи сжатой при прохождении
ударной волны в (у + 1)/(у — 1) раз, к моменту t = 0 расширяется до
своей первоначальной плотности Qo = ~r • ^то означает, что к моменту
выхода ударной волны на «границу» начальная атмосфера как целое сдви-
сдвигается в направлении движения на определенное расстояние d. Сдвиг
оказывается равным d/A = 7,50 при у = 1,2 и d/A = 4,57 при у =
= 5/3. Все частицы газа к моменту t = 0 ускоряются в определенное число
*) Разумеется, показатель автомодельное™ а и постоянная А не имеют здесь
ничего общего с соответствующими величинами § 23, так как задача совершенно иная.
**) Коэффициенты пропорциональности приведены в [31].

670 НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ [ГЛ. XII
Рис. 12.24. Распределения давления р, плотно-
плотности q, скорости и по массовой координате при
движении ударной волны вверх. Сплошные кри-
кривые относятся к у = 1,2; пунктирные — к у = 5/3.
Рис. 12.25. Распределения давления р, плотности о,
скорости^* в пространстве при движении ударно^
волны вверх. Сплошные кривые относятся к у = 1,2;
пунктирные —к у = 5/3.

§ 253	АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ	671
раз по сравнению с теми скоростями, которые они приобрели в момент
ударного сжатия, а именно, в 1,54 раза при y — 1>2 и в 1,85 раза при
у = 5/3.
После выхода ударной волны на «границу», т. е. после «прорыва»
атмосферы, при t > О продолжается расширение газа в сторону пустоты.
Это истечение остается автомодельным, так как оно характеризуется
только теми же двумя размерными параметрами Д и А; показатель авто-
модельности а не изменяется. Для этого движения получено приближенное
аналитическое решение [31]. Оказывается, что после «прорыва» атмосферы
газовые частицы летят вверх практически без ускорения, по инерции.
Для того чтобы применить полученное решение к описанию поля
течения в верхней области взрыва, расположенной высоко над точкой
взрыва, необходимо связать произвольный параметр А с величинами,
характеризующими взрыв: энергией Е и плотностью на уровне взрыва qc.
Для этого можно воспользоваться оценочной формулой A2.65) для скорости
ударной волны, распространяющейся вверх, если определить в ней числен-
численный коэффициент с помощью формулы A2.64), относящейся к взрыву
в однородной атмосфере. Как видно из A2.65), скорость волны по мере
удаления от точки взрыва сначала уменьшается (пока мало сказывается
понижение плотности), а затем начинает расти. Она минимальна при
R = 3 А. Приближенно можно считать, что именно с момента начала ус-
ускорения волны и вступает в силу автомодельный закон движения | D | =
= осА/( —t). Отсюда время, нужное для ухода волны на бесконечность,
получается равным
5 \ 1/2
Для у = 1,2 константа оказывается равной 25, что практически точно
совпадает со значением, найденным в работе [29]. Следовательно, тот же
результат можно было бы получить, «привязывая» автомодельное решение
к расчету [29]. Зная момент t = — т, когда волна находится на расстоянии
R — 3 Л вверх от точки взрыва, т. е. в точке с известной лагранжевой ко-
координатой, можно определить и А:
- — \— -
А = COnst #2Д 2	2
В заключение заметим, что в принципе слои воздуха, ускоренные
ударной волной до больших скоростей, превышающих вторую космическую,
должны были бы вырваться из поля тяготения Земли и «выплеснуться»
в космическое пространство. Однако благодаря ионизации воздуха, высо-
высоко нагретого сильной ударной волной, разлет вверх ограничивается
тормозящим действием земного магнитного поля. Некоторые вопросы,
касающиеся расширения очень разреженной плазмы в пустом простран-
пространстве, в котором имеется магнитное поле, рассмотрены в работе [32].
*) Время движения волны от центра взрыва до точки R = ЗД гораздо меньше т.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Некоторые часто употребляемые константы, соотношения
между единицами, формулы *)
Фундаментальные константы
Скорость света с = 2,998-1010 см/сек.
Постоянная Планка /г = 6,625• 10~37 эрг-сек.
h = h/2n = 1,054-107 эрг-сек.
Заряд электрона е = 4,802 ¦ 100 СГСЭ.
Масса электрона т = 9,109 -108 г.
Масса протона тр= 1,672-10~24 г.
Масса, соответствующая единице атомного веса, Мо — 1,660-10~24 г.
Постоянная Больцмана к = 1,380-Ю6 эрг/град.
Универсальная газовая постоянная R = 8,314-107 эрг/град моль —
= 1,986 кал/град-молъ.
Число Авогадро iV0 = 6,023-1023 1/молъ.
Число Лошмидта щ = 2,687 -1019 11см3.
Соотношения между единицами
Энергии Ео = 1 эв = 1,602-10~12 эрг соответствуют:
температура Е0/к = 11 610° К
частота E0/h = 2,418 -Ю14 сек
длина волны 1гс/Е0 = 1,240-10~4 см = 12 400 А
волновое число E0/kc = 8067 cm~j
В спектроскопии вместо частот принято пользоваться волновыми
числами. Волновому числу 1/Я = 1 см'1 соответствуют:,
длина волны X = 108 А
частота v = 2,998 -1010 сек'1
температура. Т = hv/k = 1,439° К
энергия кванта Av = 1,240-10~4 эв = 1,986 -106 эрг
1 кал = 4,185 -107 эрг, 1 ккал=103
1 эв на молекулу соответствует 23,05 ккал/молъ
1 вольт = 1/300 единиц СГСЭ
*) Значения констант взяты из справочника К. У. Алле н а, Астрофизические
величины, М., ИЛ, 1960.

ПРИЛОЖЕНИЕ	673
Атомные постоянные и соотношения между ними
Боровский радиус ао= -j—~—я- = —Ц- = 0,529-10^8 см.
т JX Til с	Tfh с
Потенциал ионизации атома водорода /н = -^- = —р— = ^р- =
= 13,60 эв.
Постоянная Ридберга Ry = ^==^р- = 3,290-1015 сек'1.
„	„ -	„ -	2яе2 г2
Скорость электрона на первой боровскои орбите v0 — —-г— = -т- =
= 2,187 -1.0е см!сек.
Классический радиус электрона го = —%¦ = 2,818-103 см.
Комптоновская длина волны Яо = —г = 2,426-100 см, ^0 = -^- =
= -— = 3,862 • 101 см.
тс
Энергия тис2 = 511 кэв = 8,185 -10 эрг.
Число «137» —^-= —-^- =
е2 2яе2
Соотношение длин а0 = «137» ?^0 = <
Соотношение энергий ??гс2 = 2/н«137»2.
8
Томсоновское сечение Фо = — пг\ — 6,65-105 см2.
Отношение масс протона и электроне. —— — 1836.
Электрическое поле протона на расстоянии боровского радиуса
~ = 1,714-Ю7СГСЭ = 5,14-109 в!см.
Площадь спектральной линии с единичной силой осциллятора
ле2 _. о 026=1 г м* - грк'1
тс
Атомная единица измерения сечения яа^ = 0,880-10~16 смг.
Формулы
Поток излучения с поверхности абсолютно черного тела
S = аГ* = 5,67• Ю-5Г?Рад = 1,03• Ю12 Т$в эрг/см2-сек
(а — постоянная Стефана — Больцмана).
Плотность равновесного излучения
f/p = 4^р = 7,57 • 10"» Г*рад -= 1,36 ¦ 10» Т%в эрг/см3.
Спектральная плотность равновесного излучения
[7vp dv = ^1 ^v/ft1ri dv эрг!с
(максимум при частоте hv = 2,822/c71).
43 Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер

674	ПРИЛОЖЕНИЕ
Спектральная интенсивность равновесного излучения
т , cUvpdv 2hvt dv
сек сшерад.
Формула Саха
На ~~ ~io"
где
А 	 9 / ^____ I 	 A X^.1l)'-"/4/i' РГ)ПП~ /2 	 П ()П • 1 (l^1 Г A*"** 4/?~"*/2 11\ТКГ U 3\
Л 	 Ш I	7~^	I	•	 ^t j(J*-» X*J СЛЬ C-JJIax/	¦" 	 L/j V/U J. V> L,Jrh OO	*IJ? X» KrJtb I.
Функция максвелловского распределения, нормированная на
единицу:
/ (v) dv = 4я (з^Ь
о
/(8)de
Скорость электрона ve = 5,93 • 107 |/^еэв см/сек.
Скорость частицы с атомным весом A v = 1,38-10е Т/ ~~- см/сек.
Средняя тепловая скорость электрона
= 6,21 • 105 /Тград = 6,7 • 107 /Т^ см/сек.
Средняя тепловая скорость частицы
Классическая постоянная затухания
,	0,222 -lffle
ceK- (A,!J	'
Выражение эффективного сечения а через Рс — среднее число столкно-
столкновений на пути 1 см при 1 мм рт. ст. и 0°С сг = 2,83-107Рс см2.
Удельная энергия 1 эв на молекулу = -^—к— эрг/г (М — молеку-
молекулярный вес).

ЛИТЕРАТУРА
К главе I
1.	Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Механика сплошных сред, Гостехиздат,
1954.
2.	Я. Б. Зельдович, Теория ударных волн и введение в газодинамику, Изд-во
АН СССР, 1946.
3.	N. К о t с h i n e, Rendiconti del Circolo Mat. de Palermo 50, 1926.
А. В. Р о з е, Н. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и н, Теоретическая гидромеханика,
ч. II, ОНТИ, 1937.
4.	Л. И. С е д о в, ДАН СССР 52, № 1 A946); Прикл. матем. и мех. 10, вып. 2 A946).
5.	Л. И. С е д о в, Методы подобия и размерности в механике, изд. 4-е, Гостехиздат,
1957.
6.	G. Т а у 1 о г, Proc. Roy. Soc. 201, 175 A950).
7.	Г. Г. Черный, ДАН СССР 112, 213 A957).
8.	Н. С о 1 d s t i n e, J. Neumann, Comm. Pure and Appl. Math. 8, N 2, 327
A955).
9.	H. J. В г о d e, J. Appl. Physics 26, N 6, 766 A955).
10.	Д. Е. О x о ц и м с к и й, И. Л. К о н д р а ш е в а, 3. П. В л а с о в а, Р. К. К а-
з а к о в а, Тр. Матем. ин-та АН СССР 50, 1957.
11.	Л. Д. Ландау, Прикл. матем. и мех. 9, вып. 4, 286 A945).
12.	М. А. С а д о в с к и й, Сб. Физика взрыва, Изд-во АН СССР, № 1, 1952.
13.	А. С. К о м п а н е е ц, ДАН СССР 130, 1001 A960).
14.	Г. Курант и К. Фридрихе, Сверхзвуковое течение и ударные волны,
ИЛ, 1950.
15.	К. П. Станюкович, Неустановившиеся движения сплошной среды, Гостех-
Гостехиздат, 1955.
16.	В. С. Имшенник, ДАН СССР, 131, 1287 A960).
17.	P. Molmud, Phys. Fluids 3, 362 A960).
18.	И. В. Н емчинов, ПМТФ, № 1, 17 A961); № 5, 18 A964).
19.	И. В. Немчинов, Прикл. матем. и мех. 29, вып. 1, 134 A965).
К главе II
1.	В. А. А м б а р ц у м я н, Э. Р. М у с т е л ь, А. Б. С е в е р н ы й, В. В. С о б о-
л е в, Теоретическая астрофизика, Гостехиздат, 1952.
2.	А. У н з о л ь д, Физика звездных атмосфер, ИЛ, 1949.
3.	Э. Р. М у с т е л ь, Звездные атмосферы, Физматгиз, 1960.
4.	Л. Ландау иЕ. Лифшиц, Статистическая физика, Гостехиздат, 1951.
5.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 32, 1528 A957).
6.	Л. Д. Л а н д а у и Е. М. Л и ф ш и ц, Теория поля, Физматгиз, 1960.
7.	С. 3. Б е л е н ь к и й, Тр. Физ. ин-та АН СССР, 10, 15 A958).
8.	В. С. И м ш е н н и к, Ю. И. М о р о з о в, ПМТФ, № 3, 3 A963).
9.	L. W. D a v i s, Proc. IEEE 51, N 1 A963).
10.	Е.Т. Jaynes,F. W.Cummings, Proc. IEEE 51, N 1 A963).
11.	P. L. К a p i t z a, P. A. M. Dirac Proc. Cambr. Phil. Soc. 29, 297 A933).
12.	L. S. В а г t e 11, H. B. T h о m p s о n, R. R. Roskos Phys. Rev. Lett. 14, 851
A965).
13.	Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1945 A964).
14.	V. W eissk opf, E. Wigher, Zs. f. Phys. 65, 18 A930).
15.	Я. Б. Зельдович, ДАН СССР 163, 1359 A965).
43*

676	ЛИТЕРАТУРА
К главе III
1. Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Статистическая физика, Гостехиздат, 1951.
;'2. И. Н. Г о д н е в, Вычисление термодинамических функций по молекулярным
данным, Гостехиздат, 1956.
3. Таблицы термодинамических функций воздуха для температур от 6000" К до
12 0009 К и давлений от 0,001 до 1000 атм, под ред. А. С. Предводителева, Изд-во
АН СССР, 1957; Таблицы термодинамических функций воздуха для температур от
12 000" К до 20 000s К и давлений от 0,001 до 1000 атм, под ред. А. С. Предводи-
^ телева, Изд-во АН СССР, 1959.
JL В. В. Селиванов, И. Я. Ш л я п и н т о х, ЖФХ 32, 670 A958).
;_5> Е. В. Ступоченко, И. П. Стаханов, Е. В. Самуилов, А, С. Пле-
птанов, И. Б. Рождественский, Сб. Физическая газодинамика, Изд-во
j^ АН СССР, 1959, стр. 3.
1$ Я. Б. Зельдович, ЖФХ 11, 685 A938).
7.	Atomic Energy Levels. Circular of the National Bureau of Standards, v. I, II, III,
Washington, 1949—1957.
8.	Д. К э й, Л. Л э б и, Справочник физика-экспериментатора, ИЛ, 1949.
9.	Е. Fermi, Nuovo Cimento 11, 157 A934).
10.	G. Е с k e r, W e i z e I, Ann. d. Phys. 17, 126 A956); S e a t о n, Proc. Roy. Soc.
A208, 408 A951); E h 1 e r, W e i s a 1 e r, JOSA 45, 1035 A955); E. V i t e n s e e,
Z. Astrophys. 28, 81 A951).
11.	Б. Л. Тиман, ЖЭТФ 27, 708 A954).
12.	H. M а г g e n a u, M. Lewis, Rev. Mod. Phys. 31, 594 A959).
Sj3\ Л. П. К у д р и н, ЖЭТФ 40, 1134 A961).
14. S. W. В е n s о n, Y. Н. В u s s, Н. В у е г s, IAS Paper, N 95, 14 A959).
{Ф Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 36, 1583 A959).
16.	Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, Ю. П. Р а й з е р, УФН 63, 613 A957).
17.	Я. Б. Зельдович, Теория ударных волн и введение в газодинамику, Изд-во
АН СССР, 1946.
18.	D. R. D a v i e s, Proc. Phys. Soc. 61, 2, 105 A948).
19.	И.Б.Рождественский, Сб. Физическая газодинамика, Изд-во АН СССР,
1959.
20.	Н. Ф. Г о р б а н ь, Сб. Физическая газодинамика, Изд. АН СССР, 1959.
21.	В. А. П р о к о ф ь е в, Ученые записки МГУ, вып. 172, Механика, 1954, стр. 79.
22.	Е. L. R e s I e r, S. С. L i n, А. К a n t г о w i t z, J. Appl. Phys. 23, 1390 A952);
Сб. переводов, Механика, № 5, 1953.
23.	A. P. S a b о 1, Nat. Advis. Counc. Aeronaut. Thech. Notes, N 3091, 29 A953).
24.	C. P. X о л е в, Изв. высш. учебн. зав., Физика 4, 28 A959).
25.	R. Н. С h r i s t i a n, F. L. Y а г g e r, J. Chem. Phys. 23, 2042 A955).
26.	И. Ш. М о д е л ь, ЖЭТ.Ф 32, 714 A957).
27.	R. G. S а с h s, Phys. Rev. 69, 514 A946).
28.	В. А. Ц у к е р м а н, М. А. М а н а к о в а, ЖТФ 27, 391 A957).
29.	П. Г а м б о ш, Статистическая теория атома и ее применения, ИЛ, 1951.
30.	Л. Ландау, Е. Лифшиц, Квантовая механика, ч. 1, Гостехиздат, 1948.
31.	R. Latter, Phys. Rev. 99, 1854 A955).
32.	М. В г а с h m a n, Phys. Rev. 84, 1263 A951).
33.	H. А. В e t h e, R. E.Marshak, Astrophys. J. 91, 239 A940); F e у n m a n,
Metropolis, Teller, Phys. Rev. 75, 1561 A949); J. J. G i 1 v a r r y, Phys.
Rev. 96, 934, 944 A954); J. J. G i 1 v a r r y, G. H. Peebles, Phys. Rev. 99,
550 A955).
А. И. Л а р к и н, ЖЭТФ 38, 1896 A960); А. А. В е д е н о в, А. И. Л а р к и н,
ЖЭТФ 36, 1133 A959).
'35j) H. М. Кузнецов, Термодинамические функции и ударные адиабаты воздуха
ч"' при высоких температурах, Изд-во «Машиностроение», 1965.
К главе IV
1.	С. С. П е н н е р, Ф. X а р ш б а р д ж е р, В. В э л и, Вопросы ракетн. техн.,
№ 6 A958); № 1 A959).
2.	С, А. Л о с е в, А. И. О с и п о в, УФН 74, 3, 393 A961).
3.	Физические измерения в газовой динамике и при горении, Перевод 9-го тома серии
«Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника», ИЛ, 1957.
4.	Ударные трубы, Сб. переводов статей под ред. X. А. Рахматуллина и С. С. Семе-
Семенова, ИЛ, 1962.

ЛИТЕРАТУРА	677
5.	Р. А. С т р е л о у, А. К о х е н, Вопросы ракетн. техн., № 9 A959).
6.	R. G. Fowler, W. R. Atkinson, W. D. С о m p t о n, R. J. Lee, Phys.
Rev. 88, 137 A952); R. G. Fowler, W. R. Atkinson, L. W. Marks,
Phys. Rev. 87, 966 A952).
7.	А. С. К о 1 b, Phys. Rev. 107, 345, 1197 A957).
8.	W. W i e s e, H. F. В е г g, H. R. G г i e m, Phys. Rev. 120, 1079 A960).
9.	С P. X о л е в, Д. С. Полтавченко, ДАН СССР 131, 1096 A960).
10.	С. Р. X о л е в, Л. И. К р е с т н и к о в а, Изв. высш. учебн. зав., Физика 1Г
29 A960).
11.	R. M. P a t г i с k, Phys. Fluids 2, 599 A959).
12.	V. J о s e p h s о n, J. Appl. Phys. 29, 30 A958).
13.	P. В. Ц и м e p, Вопросы ракетн. техн., № 4, 44 A960).
14.	Движущаяся плазма. Сб. переводов, ИЛ, 1961.
15.	Оптическая пирометрия плазмы, Сб. переводов, ИЛ, 1960.
16.	В. Лохте-Хольтгревен, УФН 72, № 3 A960).
17.	Ю. Н. Р я б и н и н, Газы при больших плотностях и температурах, Физматгиз,
1959.
18.	«Основные результаты экспериментов на ударных трубах» под ред. Ферри, ИЛ,
1963.
19.	Е. В. С т у п о ч е н к о, С. А. Л о с е в, А. И. О с и п о в, Релаксационные про-
процессы в ударных волнах, Изд-во «Наука», 1966.
К главе V
1.	Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Теория поля, Физматгиз, 1960.
2.	Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, ч. I, Гостехиздат, 1948.
3.	В. Г а й т л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
4.	D. Menzel, С. Pekeris, Monthly Notices 96, 77 A935).
5.	Г. Вете, Э. Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя элек-
электронами, Физматгиз, 1960.
6.	В. А, Амбарцуиян, Э. Р. Мустель, А. Б. Северный, В. В. С о б о-
л е в, Теоретическая астрофизика, Гостехиздат, 1952.
7.	Д. К. Бейтс, Сб. Современные проблемы астрофизики и физики Солнца, ИЛ,
1950.
8.	J.C. К ее k, J.C.C am m, В. Ki vel, Т. Wen tin k, Annals of Physics 7,1 A959).
9.	L. M. В г a n s с о m b, B. S. В u г с h, S. J. S m i t h, S. G e 11 m a n, Phys. Rev.
3, 504 A958).
10.	А. У н з о л ь д, Физика звездных атмосфер, ИЛ, 1949. Есть 2-е изд.: A. U n s о 1 d,
Physik die Sternatmospharen, 1955.
11.	A. Unsold, Ann. Phys. 33, 607 A938).
12.	E. Vitensee, Zs. Astrophys. 28, 91 A951); H. S с h i г m e r, Zs. angew. Phys.
6, 3 A954).
13.	А. В u г g e s s, M. J. S e a t о n, Rev. Mod. Phys. 30, 992 A958);
Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 120, 121 A960); 118, 504 A958).
14.	Л. М. Б и б е р м а н, Г. Э. Н о р м а н, Оптика и спектроскопия 8, 433 A960).
15.	Л. М. Б и б е р м а н, Г. Э. Н о р м а н, К. Н. У л ь я нов, Оптика и спектроско-
спектроскопия 10, 565 A961).
16.	S. С h a n d г a s е k h а г, F. Н. В г е е n, Astrophys. J. 103, 41 A946); 104, 430
A946).
17.	Л. М. Б и б е р м а н, В. Е. Р о м а н о в, Оптика и спектроскопия 3, 646 A957).
18.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 37, 1079 A959).
19.	Р. Б е к к е р, Теория электричества 2, изд. 2-е, Электронная теория, Гостехиздат»
1941.
20.	а) Г. Г е р ц б е р г, Спектры и строение двухатомных молекул, ИЛ, 1949. См.
также:
б)	А. Г. Г е й д о н, Энергии диссоциации и спектры двухатомных молекул, ИЛ,
1949;
в)	В. Н. Кондратьев, Структура атомов и молекул, Физматгиз, 1959.
21.	В. К i v е 1, Н. М а у е г, Н. В е t h e, Ann. of Physics 2, 57 A957).
22.	W. R. J а г m a i n, P. A. F г a s e г, R. W. N i с h о 1 1 s, Astrophys. J. 118,
228 A953); 119, 286 A954); 122, 55 A955); W. R. J a r m a i n, R. W. N i с h о 1 1 s,
Canad. J. Phys. 32, 201 A954); R. G. T u n e r, R. W. N i с h о 1 1 s, Canad. J. Phys.
32, 468 A954); P.A.Frasei, Canad. J. Phys. 32, 515 A954); R. W. N i с h о 1 1 s,
Canad. J. Phys. 32, 722 A954); R. W. Nicholls, W. J armain, Proc. Phys.
Soc. A69, 253 A956).

678	ЛИТЕРАТУРА
23.	Л. М. Б и б е р м а н, И. Т. Якубов, Оптика и спектроскопия 8, 294 A960).
24.	С. А. Л о с е в, Научн. докл. высшей школы, Физ.-матем. науки, № 5, 197, 1958.
25.	D. W е b е г, S. S. Р е и п е г, J. Chem. Phys. 26, 860 A957).
26.	R. Ditch burn, D. Heddle, Proc. Roy. Soc. A220, 61 A953); A226, 509 A954).
27.	Л. М. Б и б е р м а н, С. П. Е р к о в и ч, В. Н. С о ш н и к о в, Оптика и спект-
спектроскопия 7, 562 A959).
27а. В. Н. С о ш н и к о в, УФН 74, 61 A961).
28.	R. Е. М е у е го 11, Comb, and Propuls. 3 ACARD. Colloc, 431, 1958.
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 11 A959).
29.	Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Статистическая физика, Гостехиздат, 1951.
30.	J.Logan, Jet Propulsion 28, 795 A958). Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 7, 18
A959).
31.	J. К е с k, J. С a m m, В. К i v е 1, J. Chem. Phys. 28, 723 A958).
32.	Т. Wentink,W. Planet, P. Hammerling, В. Kivel, J. Appl. Phys.
29, 742 A958).
32a. В. Н. Armstrong, R. E.Meyerott, Phys. Fluids 3, 138 A960).
33.	С. А. Лосев, Н. А. Генералов, Л. Б. Теребенин а, Оптика и спект-
спектроскопия 8, 570 A960).
34.	И. Ш. М о д е л ь, ЖЭТФ 32, 714 A957).
35.	J. К. D i х on, J. Chem. Phys. 8, 157 A940).
36.	L. H а г г i s, G. W. К i n g, J. Chem. Phys. 2, 51 A934).
37.	С R. L a m b г е у, С R. Acad. Sci. 188, 251 A922).
38.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 34, 483 A958).
39.	Ю. П. Р а й з е р, ЖФХ 33, 700 A959).
40.	S. Penner, Quantitative Molecular Spectroscopy and Gas Emissivities, London,
1959.
41.	M. A. E л ь я ш е в и ч, Атомная и молекулярная спектроскопия, Физматгиз, 1962.
42.	А. П. Д р о н о в, А. Г. С в и р и д о в, Н. Н. С о б о л е в, Оптика и спектроско-
спектроскопия 12, 677, 1962.	i
43.	В. К i v е 1, P. H am m е г 1 i n g, J. D. Т е а г е, Planet and Space Sci. 3, 132,
1961.
44.	В. Kivel, J. Aero Space Sci. 28, 96 A961).
45.	R. A. A 1 1 e n, J. С. С a m m, J. К е с k , J. Quantit. Spectrosc. and Radiat. Trans-
Transfer 1, № 3—4, 269, 1961 A962).
46.	D. В. О 1 f e, J. Quantit. Spectrosc. and Radiat. Transfer 1, 3—4, 169, 1961A962).
47.	S. S. Penner, Fundam. date obtained shock-tube experim. Oxf.,Lond., N.Y.,
Paris Pergamon Press 221, 261, 1961.
Перевод: Основные результаты экспериментов па ударных трубах, ИЛ, 1963.
48.	Ф. С. Ф а й з у л л о в, Н. Н.С оболе в, Е.М. Кудрявцев, ДАН СССР 127,
541, 1959.
49.	Л. М. Б и б е р м а н, В. С. Воробьев, Г. Э. Норман, Оптика и спектро-
спектроскопия 14, № 3, 330 A963).
50.	S. S. Penner, M. Thomas, AIAA Journ.
Перевод: Ракетн. техн. и космонавтика 2, № 9, 69 A964).
51.	Л. М. Биберман и А. Н. Л а г а р ь к о в, Оптика и спектроскопия 16, № 2,
320 A964).
52.	В. С. В о р о б ь е в и Г. Э. Н о р м а н, Оптика и спектроскопия 17, № 2, 180
A964).
53.	Атомные и молекулярные процессы под ред. Бейтса, Изд-во «Мир», 1964.
54.	И. И. С о б е л ь м а н, Введение в теорию атомных спектров, Физматгиз, 1963.
55.	Л. М. Биберман и Г. Э. Норман, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Tran-
Transfer 3, 221 A963).
56.	Л. М. Б и б е р м а н, В. С. В о р о б ь е в, Г. Э. Норман, И. Т. Я к у б о в,
Космические исследования 2, вып. 3, 441 A964).
57.	R. А. А 1 1 е п, А. Т е х t о г i s, J. Chem. Phys. 40, 3445 A964).
58.	Г. Э. Н о р м а н, Оптика и спектроскопия 17, 176 A964).
59.	В. P. L e v i t t, Trans. Faraday Soc. 58, N 9, 1789 A962).
60.	С. Браун, Элементарные процессы в плазме газового разряда, Госатомиздат,
1961.
61.	Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ, № 5, 149, 1964.
62.	Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 47, 1150 A964).
63.	В.Л.Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плазме, Физмат-
Физматгиз, 1960.
64.	Journ. of Quantit Spectr. and Rad. Trans. 5, N 1 A965).
Известия 2-й Междунар. конференции по непрозрачности.
65.	R.G.Meyerand.A. F. Haught, Phys. Rev. Let. 11, 401 A963).

ЛИТЕРАТУРА	679
66.	Е. К. D a m о n, R. G. Т о m 1 i n s о n, Appl. Opt. 2, 546 A963).
67.	R. W. Minck, J. Appl. Phys. 35, 252 A964).
68.	R. G. M e у e r a n d, A. F. H a u g h t, Phys. Rev. Let. 13, 7 A964).
69.	S.A.Ramsden, W. E. D a v i e s, Phys. Rev. Let. 13, 227 A964).
70.	С. Л. Мандельштам, П.П.П а ш и н и н, А.В. П р о х и н д е е в, А.М.П р о-
хоров, Н. К. Суходрев, ЖЭТФ 47, 2003 A964).
71.	С. Л. М а н д е л ь ш т а м, П. П. П а ш и н и н, А. М. П р о х о р о в, Ю. П. Р а й-
з е р, Н. К. С у х о д р е в, ЖЭТФ 49, 127 A965).
72.	Р. В. А м б а р ц у м я н, Н. Г. Б а с о в, В. А. Б о й к о, В. С. 3 у е в, О. Н. К р о-
х и н, П. Г. К р ю к о в, Ю. В. С е н а т с к и й, Ю. Ю. С т о й л о в, ЖЭТФ 48,
1583 A965).
73.	Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1945, 1964.
74.	Г. А. А с к а р ь я н, М. С. Рабинович, ЖЭТФ 48, 290 A965).
75.	J. R. W г i g h t, Proc. Phys. Soc. 84, N 537, 41, 1964.
76.	Д. Д. Р ю т о в, ЖЭТФ 47, 2194 A964).
77.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 48, 1508 A965).
78.	S. A. R a m s d e n, P. S a v i с, Nature, N 4951, 1217 A964).
V79. Н. Г. Б а с о в, О. Н. К р о х и н, ЖЭТФ 46, 171 A964).
V/80. J. M. Dawson, Phys. Fluids 7, 981 A964).
	~ Зельдович, ЖЭТФ, 10, 542 A940).
3 е л ь д ович, А. С. Компанеец, Теория детонации, Гостехиздат,
83.	Б. Я. Зельдович, Н. Ф. Пилипецкий, Изв. вузов, Радиофизика
9, № 1 A966).
84.	А. В. Иванова, Оптика и спектроскопия 16, 925 A964).
85.	А. В. Иванова, С. А. Солодченкова, Оптика и спектроскопия 20,
№ 3, 399 A966).
86.	Ю. П. Р а й з е р, УФН 87, № 1, 29 A965).
87.	Н. М. Кузнецов, Термодинамические функции и ударные адиабаты воздуха
при высоких температурах, Изд-во «Машиностроение», 1965.
88.	Т. Ohmura, H. Ohmura, Astrophys J. 131, 8 (I960).
К главе VI
1.	D. F. Н о гп i g, J. Phys. Chem. 61, 856 A957).
2.	E. F. G г e e n e, G. R. С о w a n, D. F. H о г n i g, J. Chem. Phys. 19, 427 A951),
3.	E. F. G г e e n e, G. R. С о w a n, D. F. H о г n i g, J. Chem. Phys. 21, 617 A953).
4.	Л. В. Л е с к о в, Ф. А. С а в и н, УФН 72, 741 A961).
5.	С. А. Л о с е в, А. И. О с и п о в, УФН 74, 393 A961).
6.	I. Zartmann, J. Acoust. Soc. Amer. 21, 171 A949).
7.	A. von Itterbeek, R. Vermaelen, Physica 9, 345 A943).
8.	A. J. Zmuda, J. Acoust. Soc. Amer. 23, 472 A951).
9.	I.V.Connor, J. Acoust. Soc. Amer. 30, 298 A958).
10.	S. P e t г a 1 i a, Nuovo Cimento 10, 817 A953).
11.	J. С H u b b а г d, J. Acoust. Soc. Amer. 14, 474 A952).
12.	Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, I, Гостехиздат, 1948.
13.	R. S с h w а г t z, Z. S 1 a w s k у, К. Н е г z f e 1 d, J. Chem. Phys. 20, 1591 A952).
14.	А. И. О с и л о в, ДАН СССР 130, 523 A960).
15.	Л. Л а н д а у, Е. Т е л л е р, Phys. Zs. d. Sowjetunion 10, 34 A936).
16.	V. H. В 1 а с k m a n, J. Fluid Mech. 1, 61 A956).
17.	Z e n e r, Phys. Rev. 37, 556 A931); 38, 277 A931).
18.	R. S с h w а г t z, К. Н е г z f e 1 d, J. Chem. Phys. 22, 767 A954).
18a. K. H e r z f e 1 d, Proc. 3 Internat. Congr. Acoust. Stuttgart, v. I, 503, 1959.
19.	H. Rnotzel, L. К n б t z e 1, Ann. d. Phys. 2, 393 A948).
20.	А. К a a t г о w i t z, A. W. H u b e r, J. Chem. Phys. 15, 275 A947).
21.	J. T. H e г г о n, J. L. Franklin, P. В а г d t, V. H. В i b e 1 e r, J. Chem.
Phys. 29, 230 A958).
22.	P. N а г t e с k, R..R. R e e v e s, G. M a n e 1 1 a, J. Chem. Phys. 29, 608 A958);
32, 632 A960).
23.	T. W e n t i n k, J. O. S u 1 1 i v a n, K. L. W г a y, J. Chem. Phys. 29, 231 A958).
24.	E. P. W i g n e r, J. Chem. Phys. 5, 720 A937); 7, 646 A939).
25.	D. В г i t t о n, N. Davidson, W. G e h m a n, G. S с h о t t, J. Chem. Phys.
25, 804 A956).
26.	D. L. В u n k e r, N. D a v i d s о n, J. Amer. Chem. Soc. 80, 5085 A958).
27.	P. Ф а у л e p, Э. Гуггенгейм, Статистическая термодинамика, ИЛ, 1949.
28.	Е. В. С т у п о ч е н к о, А. И. О с и п о в, ЖФХ 32, 1673 A958).

680	ЛИТЕРАТУРА
29.	Е. В. С т у п о ч е н к о, А. И. О с и п о в, ЖФХ 33, 1526 A959).
30.	О. Matthews, Phys. Fluids 2, 170 A959).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 11, 65 A959).
31.	S. R. В у г on, J. Chem. Phys. 30, № 6, 1380 A959).
32.	Н. А. Г е н е р а л о в, С. А. Л о с е в, ПМТФ, № 2, 64 A960).
33.	W. G. Z i n m a n, ARS J. 30, 233 A960).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 12, 55 A960).
34.	Н. S. G 1 i с k, W. H. W u г s t е г, J. Chem. Phys. 27, 1224 A957).
35.	Н. В. Р а 1 m е г, D. F. Н о г n i g, J. Chem. Phys. 26, 98 A957).
36.	D. В г i 11 о n, N. D a v i d s о n, J. Chem. Phys. 25, 810 A956).
37.	E. E. H и к и т и н, ДАН СССР 119, 526 A958).
38.	С. Г л е с с т о н, К. Л е д л е р, Г. Эйринг, Теория абсолютных скоростей
реакций, ИЛ, 1948.
39.	Я. Б. Зельдович, П. Я. Садовников, Д. А. Франк-Каменец-
кий, Окисление азота при горении, Изд-во АН СССР, 1947.
40.	Н. S. G 1 i с k, J. J. Klein, W. Squire, J. Chem. Phys. 27, 850 A957).
41.	Ю. П. Райзер, ЖФХ 33, 700 A959).
42.	Д. К э й , Л. Л э б и, Справочник физика-экспериментатора, ИЛ, 1949.
43.	Н. Z e i s e, Z. Electrochem. 42, 785 A936).
44.	М. Bodenstein, R a m s t e 11 e г, Zs. Phys. Chem. 100, 106 A922); M. В о-
denstein, binder, Zs. Phys. Chem. 100, 82 A922).
45.	Г. М е с с и, Е. Б а р х о п, Электронные и ионные столкновения, ИЛ, 1958.
46.	В. Л. Грановский, Электрический ток в газе, т. I, Гостехиздат, 1952.
47.	М. J. Sea ton, Phys. Rev. 113, 814 A959).
48.	W. L. F i t e, R. Т. В г а с k m a n n, Phys. Rev. 113, 815 A959).
49.	T a t e, S m i t h, Phys. Rev. 39, 270 A932).
50.	H. P e t s с h e k, S. В у г о n, Annals of Physics 1, 270 A957).
Перевод: «Ударные трубы». Сб. переводов, ИЛ, 1962.
51.	A. Rostagni, Nuovo Cimento 13, 389 A936); W а у 1 a n d, Phys. Rev. 52, 31
A937).	•
52.	A. Rostagni, Nuovo Cimento 11, 621 A934).
53.	K. W г a y, J. D. T e а г e, P. H a m m e г 1 i n g, В. К i v e 1, 8th Sympos. Inter-
Internet. Combustion, Pasadena, 1960, 84.
54.	P. R о s en, Phys. Rev. 109, 348, 351 A958).
55.	В. А. Амбарцумян, Э. Р. Мустель, А. Б. Северный, В.В.Собо-
В.В.Соболев, Теоретическая астрофизика, Гостехиздат, 1952.
56.	Л. С п и т ц е р, Физика полностью ионизованного газа, ИЛ, 1957.
57.	Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 7, 203 A937).
58.	Н. А. Г е н е р а л о в, Вест. МГУ, физ. астр., № 2, 51 A962).
59.	Н.Саша с, J. Chem. Phys. 34, 448 A961).
60.	W. Р о th, J. Chem. Phys. 34, 991 A961).
61.	D. L. Matthews, J. Chem. Phys. 34, 639 A961).
62.	N. H. J о h a n n e s e n, H. K. Zienkiewicz, P. А. Б ly the, J. H. Ger-
rard, J. Fluid Mech. 13, 213 A962).
63.	L. R. H u r 1 e, A. G. G а у d о n, Nature, N 4702, 184 A959).
64.	W. С G г i f f i t h, Fundam. date obtained shock-tube experim.Oxf., Lond., N. Y.v
Paris Pergamon Press 242, 1961.
Перевод: «Основные результаты экспериментов на ударных трубах», ИЛ, 1963.
65.	L. М. V а 1 1 е у, S. L e g v о 1 d. Rhys. Fluids 3, 831 A960).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 3, 28 A961).
66.	А. И. О с и п о в, Вест. МГУ, физ. астр., № 4, 96 A960).
67.	М. С a m а с, J. Chem. Phys. 34, 460 A961).
68.	J. P. Rink, H. T. Knight, R. E. Duff, J. Chem. Phys. 34, 1942 A961).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 4, 58 A962).
69.	R. W. P a t с h, J. Chem. Phys. 36, 1919 A962).
70.	R. A. A 11 e n, J. С. К е с k, J. С. С a m m, Phys. Fluids 5, 284 A962).
71.	Г. С. Иванов-Холодный, Геомагнетизм и аэрономия 2, 377 A962).
72.	S. С. L i n, R. А. N е a I, W. I. F у f e, Phys. Fluids 5, 1633 A962).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 4, 63 A964).
73.	S. С. L i n, J. D. Т е а г е, Phys. Fluids 6, 355 A963).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 5, 16 A964).
74.	А. Д а л ь г а р н о, УФН 79, вып. 1, 115 A963).
75.	Н. Ф. Ф е д о р е н к о, УФН 68, вып. 3, 481 A959); ЖЭТФ 38, № 3 A960).
76.	А. И. О с и п о в, Е. В. С т у п о ч е н к о, УФН 79, вып. 1, 81 A963).
77.	Е. В. С т у п о ч е н к о, С. А. Л осев, А. И. О сипов, Релаксационные про-
процессы в ударных волнах, Изд-во «Наука», 1966.

ЛИТЕРАТУРА	681
78.	С. Б р а у н, Элементарные процессы в плазме газового разряда, Госатомиздат, 1961.
79.	Г. С. Иванов-Холодный, Г. М. Никольский, Р. А. Гуляев,
Астрон. журн. 37, 799 A960).
80.	Е. Hinnov, J. G. H i г s с h b e г g, Phys. Rev. 125, 795 A962).
81.	Л. М. Биберман, Ю. Н. Т о р о п к и н, К. Н. Ульянов, ЖТФ 32, 827
A962).
82.	Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Механика, Физматгиз, 1958.
83.	Атомные и молекулярные процессы под ред. Д. Бейтса, Ивд-во «Мир», 1964.
84.	М. Gryzinski, Phys. Rev. 115, 374 A959).
85.	А. В. Г у р е в и ч, Геомагнетизм и аэрономия 4, 3, 1964.
86.	К. У. А л л е н, Астрофизические величины, ИЛ, 1960.
87.	Г. Бете, Э. С о л п и т е р, Квантовая механика атомов с одним и двумя элек-
электронами, Физматгиз, 1960.
88.	Л. П. П и т а е в с к и й, ЖЭТФ 42, 1326 A962).
89.	А. В. Г у р е в и ч, Л. П. П и т а е в с к и й, ЖЭТФ 46, 1281, 1964.
90.	D. R. В a t e s, А. Е. К i n g s t о n, R. W. Р. М с W h i r t е г, Ргос. Roy. Soc.
А267 297 A962); А270, 155 A962) (см. также [83]).
91.	Н. М. Кузнецов, Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ № 4, 10 A965).
92.	А. Д. Данилов, Г. С. Ивано в-Х о л о д н ы й, УФН 85, 259 A965).
93.	A. Q. E s с h en г о е d е г, J. W. D a i Ь е г, Т. G. G о 1 i a n, A. H ert z berg.
High Temperat. Aspect. Hypersonic Flow, Pergamon Press, 1964, ch. 11.
94.	B. Makin, J. С Keck, Phys. Rev. Lett. 11, 281 A963).
К главе VII
1.	Л. Д. Л а я д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1954.
2.	R.Becker, Zs. f. Phys. 8, 321 A922).
3.	M. M о г d u с h о w, P. A. L i b b у, J. Aeron. Sci. 16, 674 A949).
Перевод: Механика, № 1 A950).
4.	L. M e у e r h о f f, J. Aeron. Sci. 17, 775 A950).
Перевод: Механика, № 6 A951).
5.	L.H. Thomas, J. Chem. Phys. 12, 449 A944).
6.	A.Herpin, Rev. Sci. 86, 35 A948).
7.	A, E. Puckett, H.J. Stewart, Quart Appl. Mech. 7, 457 A950).
8.	R. Mises, J. Aeron, Sci. 17, 551 A950).
Перевод: Механика, № 3 A951).
9.	Lieber, Romano, Lew, J. Aeron. Sci. 18, 55 A951).
Перевод: Механика, № 1 A952).
10.	P. G i 1 b a r g, D. P а о 1 u с с i, J. Rat. Mech. Annal. 2, 617 A953).
11.	J. Bernard, J. Aeron. Sci. 18, 210 A951).
Перевод: Механика, № 4 A952).
12.	M. R о у, С. R. Acad. Sci. 218, 813 A944).
13.	P. A. L i b b у, J. Aeron. Sci. 18, 187 A951).
Перевод: Механика, № 4 A952).
14.	К. Z о 11 e г, Zs. f. Phys. 130, 1 A951).
Перевод: Механика, № 6 A952).
15.	G. R. С о w a n, D. F. H о г n i g, J. Chem. Phys. 18, 1008 A950); G. R. С о w a n,
E. F. G r e e n e, D. F. H о r n i g, J. Chem. Phys. 19, 427 A951); E. F. G г е е n e,
D. F. H о г n i g, J. Chem. Phys. 21, 617 A953).
16.	H.M.Mott-Smith, Phys. Rev. 82, 885 A951).
Перевод: Механика, № 1 A953).
17.	A. S a k u г a i, J. Fluid Mech. 3, 3 A957); Research, Rep. Tokyo Elect. Eng. Col-
College 5, 39 A957); 6, 49 A958).
18.	R а у 1 e i g h, Proc. Roy. Soc. 84, 247 A910).
19.	С. Ч е п м е н, Т. К а у л и н г, Математическая теория неоднородных газов, ИЛ,
1960; Д. А. Франк-Каменецкий, Диффузия и теплопередача в химиче-
химической кинетике, Изд-во АН СССР, 1947.
19а. В. Жданов, Ю. Каган, А. Сазыкин, ЖЭТФ 42, 857 A962).
20.	С. П. Д ь я к о в, ЖЭТФ 27, 283 A954).
21.	F. S. Sherman, J. Fluid Mech. 8, 465 A960).
22.	Т. G. С о w 1 i n g, Phil. Mag. 33, 61 A942).
3D Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 16, 365 A946).
34. Я. Б. Зельдович, Теория ударных волн и введение в газодинамику, Изд-во
АН СССР, 1946.
25.	W. Griffith, D. В г i с к 1, V. В 1 а с к m a n, Phys. Rev. 102, 1209 A956).
26.	V. Н. В 1 а с к m a n, J. Fluid Mech. 1, 61 A956).

682	ЛИТЕРАТУРА
27.	О. М a 11 h e w s, Phys. Fluids 2, 170 A959).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 11, 65 A959).
28.	С. А. Лосев, ДАН СССР 120, 1291 A958).
29.	Н. А. Генералов, С. А. Лосе в, ПМТФ, № 2, 64 A960).
30.	D. Britton, N. Davidson, W. Gehman, G. Schott, J. Chem. Phys.
25, 804, 810 A956); H.B. Palmer, D. F. H о г n i g, J. Chem. Phys. 26, 98
A957).
31.	С. А. Л о с е в, А. И. О с и п о в, УФН 74, 393 A961).
32.	R. D u f f, N. D a v i d s о n, J. Chem. Phys. 31, 1018 A959).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 5 A960).
33.	С. А. Л о с е в, Н. А. Г е н е р а л о в, ДАН СССР 133, 872 A960).
34.	Л. М. Б и б е р м а н, Б. А. В е к л е н к о, ЖЭТФ 37, 164 A959).
35.	Н. Р е t s с h e k, S. В у г о n, Annals of Physics 1, 270 A957).
Перевод: «Ударные трубы», Сб. переводов, ИЛ, 1962.
36.	J. W. Bond, Phys. Rev. 105, 1683 A957).
37.	A. Hostagni, Nuovo Cimento 13, 389 A936).
38.	W а у 1 a n d, Phys. Rev. 52, 31 A937).
39.	H. D. Weymann, Phys. Fluids 3, 545 A960).
40.	Y. Manheimer-Timnat, W. Low, J. Fluid Mech. 6, 449 A959); B. N i-
b 1 e 11, V. H. В 1 а с к m a n, J. Fluid Mech. 4, 191 A958).
41.	P. H a m m e г 1 i n g, J. D. T e а г е, В. К i v e 1, Phys. Fluids 2, 422 A959).
42.	Я.Б.Зельдович, ЖЭТФ 32, 1126 A957).
43.	В. Д. Ш а ф р а н о в, ЖЭТФ 32, 1453 A957).
44.	J.D. Jukes, I. Fluid Mech. 3, 275 A957).
44а. D. A. Tidman, Phys. Rev. Ill, 1439 A958).
45.	O. W. G г e e n b e г ц, Н. К. S e n, Y. M. T г е v e, Phys. Fluids 3, 379 A960).
46.	М. К г о о к, Annals о! Phys. 6, 188 A959); J. W. В о n d^ Jet Propulsion 27, 228
A958). Перевод: Вопросы ракета, техн., № 1 A959).
47.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 32, 1528 A957).
48.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 33,. 101 A957).
49.	Я.Б.Зельдович, Ю. П. Рай з е р, УФН 63, 613 A957).
50.	В.А.Прокофьев, Учен. зап. МГУ, вып. 172, Механика, 79 A954).
50а. В. А. Б е л о к о н ь, ЖЭТФ 36, 341 A959).
51.	В. С. И мшенник, ЖЭТФ 42, 236 A962); Журн. вычисл. матем. и матем.
физ. 2, 206 A962).
52.	W. A. Gustaison, Phys. Fluids 3, 732 A960).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 3, 31 A961).
53.	С. М и с k e n f u s s, Phys. Fluids 3, 320 A960).
54.	S. Z i e г i n g, Phys. Fluids 4, 765 A961).
55.	P. G 1 a n s d о г f f, Phys. Fluids 5, 371 A962).
56.	K. H a n s e n, D. F. H о г n i g, J. Chem. Phys. 33, 913 A960).
57.	P. А. В 1 у t h e, J. Fluid Mech. 10, 33, 1961, Сб. переводов, Механика, № 2, 69,
A962).
58.	С. И. Анисимов, ЖТФ 31, 1491 A961).
59.	Н. А. Г е н е р а л о в, Вестн. МГУ, физ. астр., № 2, 51 A962).
60.	М. С am а с, J. Chem. Phys. 34, 448 A961).
61.	W. Р о t h, J. Chem. Phys. 34, 991 A961).
62.	D. L. M a t t h e w s, J. Chem. Phys. 34, 639 A961).
63.	N. H. J о h a n n e s e n, H. K. Z i e n k i e w i с z, P. А. В 1 у t h e, J. H. G e r-
r а г d, J. Fluid Mech. 13, 213 A962).
64.	L. R. H u г 1 e, A. G. G а у d о n, Nature, 4702, 184 A959).
65.	M. С a m a c, J. Chem. Phys. 34, 460 A961).
66.	J. P. Rink, H.T. Knight, R.E.Duf f, J. Chem. Phys. 34, 1942 A961).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 4, 58 A962).
67.	R. W. P a t ch, J. Chem. Phys. 36, 1919 A962).
68.	R. A. A 1 1 e n, J. С. К е с k, J. С. С a m m, Phys. Fluids 5, 284 A962).
69.	K. W г a y, J. D. T e a r e, P. H a m m e r 1 i n g, В. К i v e 1, 8th. Sympos. Inter-
nat. Combustion, Pasadena, 1960, 84.
70.	Lin Shao - Chi, Rarefied Gas Dynamic, N. Y., London Acad. Press, 1961, стр. 623.
71.	Ю. С. Саясов, ПМТФ, № 1, 61 A962); № 6, 172 A961).
72.	Н. М. К у з н е ц о в, Инж.-физ. журн. 3, 17 A960); 5, № 6, 97 A962).
73.	М. Н. В о г t n e г, Planet and Space Sci. 6, 74 A961).
74.	Ю. П. Лунькин, ЖТФ 31, 1112 A961).
75.	W. D о г г а п с е, J. Aero Space Sci. 28, 43 A961).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 9, 40 A961).
76.	L. W e t z e I, Phys. Fluids 5, 824 A962).

ЛИТЕРАТУРА	683
77.	А. С. Р i p к i n, Phys. Fluids 4, 1298 A961).
78.	М. Н. В о г t n e r, Planet and Space Sci 3, 99 A961).
79.	V. H. В 1 а с к m a n, C.B. F. N i b 1 e t t, Fundam. date obtained schock-tube
exprim. Oxf. Lond, N. YM Paris Pergamon Press 221, 1961.
Перевод: Основные результаты экспериментов на ударных трубах, ИЛ, 1963.
80.	Lin Shao-Chi, Planet and Space Sci. 6, 94, 1961.
81.	L. L a m b, L i n Shao-Chi,]. Appl. Phys. 28, 754 A957).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 3 A958).
82.	W. В. S i s с о, J. M. F i s k i n, Planet and Space Sci. 6, 47 A961).
83.	J. R. V i e g a s, Т. С P e n g, ARS J. 31, 654 A961).
84.	A. Sherman, ARS J. 30, 559 A960).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 4, 21 A961).
85.	С. Б. П и к е л ь н е р, Изв. Крым, астроф. обсерв. 12, 93 A954);
Основы космической электродинамики, Физматгиз, 1961.
86.	S. C.Lin, J.D.Teare, Phys. Fluids 6, 355 A963).
Перевод: Вопросы ракетн. техн. № 5, 16 A964).
87.	S. С. L i n, R. А. N е а 1, W. I. F у f e, Phys. Fluids 5, 1633 A962).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 4, 63 A964).
88.	B.C. И м ш е н н и к, Ю. И. М о р о з о в, ПМТФ, № 2, 8 A964).
89.	М. И. Ж а ф р е н, Р. Ф. П р о б с т е й н, ПМТФ, № 6, 6 A964).
90.	Е. В. Ступоченко, С. А. Лосев, А. И. Осипов, Релаксационные про-
процессы в ударных волнах, Изд-во «Наука», 1966.
91.	К. L. W г а у, Т. S. Freeman, J. Chem. Phys. 40, 2785 A964).
92.	High Temperat. Aspects Hypersonic Flow. Pergamon Press, 1964.
93.	Л.М.Биберман и И. Т. Я к у б о в, ЖТФ 33, № 11, 1344 A963).
94.	P. G 1 о е г s e n, Bull. Amer. Phys. Soc. 4, 283 A959).
95.	H. S. J о h n s t о n, W. К о r n e g а у, J. Chem. Phys. 38, 2242 A963).
96.	H. M. Кузнецов, ЖТФ 34, 624, 1964.
97.	Л. М. Б и б е р м а н, И. Т. Якубов, Теплофизика высоких температур 3,
№ 2 A965).
98.	В. А. Бронштэн, Проблемы движения в атмосфере крупных метеоритных тел,
Изд-во АН СССР, 1963; В. А. Бронштэн, А. Н. Чигорин, Теплофи-
Теплофизика высоких температур 2, 860 A964).
99.	Л. М. Биберман, К. Н. Ульянов, Оптика и спектроскопия 16, 394
A964).
100. И. Е. Та мм, Тр. Физич. ин-та АН СССР 29, 239 A965).
К главе VIII
1.	А. К a n t г о w i t z, J. Chem. Phys. 10, 145 A942); 14, 150 A946).
2.	M. H. В 1 о о m, M. H. S t e i g e r, J. Aero Space Sci. 27, 821 A960).
Перевод: Вопросы ракетн. техн., № 5 A961).
2а. Li T i n g - Y, ARS J. 31, 170 A961).
3.	H. О. К n e s e r, Ann. der Physik 11, 761 A931).
4.	H. О. К n e s e r, Ann. der Physik 11, 777 A931).
5.	A. Einstein, Sitzungsber. Berliner Akad. der Wissensch., 1920, p. 380.
6.	В. Ф. Ноздрев, Применение ультраакустики в молекулярной физике, Физ-
Физматгиз, 1958.
7.	Г. С. Г о р е л и к, Колебания и волны, Физматгиз, 1959.
8.	Л. И. М а н д е л ып т а м, М. А. Л е о н т о в и ч, ЖЭТФ 7, 3 A937).
9.	Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Механика сплошных сред, Гостехиздат,
1954.
10.	Л. Л а н д а у, Э. Т е л л е р, Phys. Zs. Sowjetunion 10, 34 A936).
11.	В.Л.Гинзбург, Акуст. журн. 1, 31 A955).
12.	The Effects of Atomic Weapons, New York— Toronto - London, 1950.
13.	Ю. П. Р а й з е р, ЖФХ 33, 700 A959).
14.	Я, Б. Зельдович, П. Я. Садовников, Д. А. Франк-Каменец-
к и й, Окисление азота при горении, Изд-во АН СССР, 1947.
15.	В. А. Ц у к е р м а н, М. А. М а н а к о в а, ЖЭТФ 27, 391 A957).
15а. P. Molmud, Phys. Fluids 3, 362 A960).
16.	В. А. Б е л о к о н ь, Тр. МФТИ, вып. И A963).
17.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 37, 580 A959).
18.	Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Статистическая физика, Гостехиздат, 1951.
19.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 37,-1741 A959).

684	ЛИТЕРАТУРА
20.	Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 35, 1402 A958).
21.	Я. И. Френкель, Кинетическая теория жидкостей, Изд-во АН СССР, 1945.
B2> Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 12, 525 A942).
zi. В. Г. Ф е с е н к о в, Метеорная материя в межпланетном пространстве, Изд-во»
АН СССР, 1947.
24.	R. Naiasimha, J. Fluid Mech. 12, 294 A962).
Перевод: Механика, № 2 A963).
25.	А. Я. П р е с с м а н, ДАН СССР, 138, 1305 A961).
26.	Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ, № 3, 162 A964).
27.	Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ, № 6, 19 A963).
28.	Н. М. К у з н е ц о в, Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ, № 4, 10 A965).
К главе IX
1. И. Ш. М о д е л ь, ЖЭТФ 32, 714 A957).
'•¦-2. Я.Б.Зельдович, ЖЭТФ 32, 1126 A957); Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, Ю. П. Р а й-
з е р, УФН 63, 613 A957).
3.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 32, 1528 A957).
4.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 33, 101 A957).
5.	М. П. В а н ю к о в, А. А. М а к, УФН 66, 301 A958).
6.	Е. G. S с h n e i d ё г, J. Opt. Soc. Amer. 30, 128 A940).
7.	К. К. А г л и н ц е в, Дозиметрия ионизующих излучений, Гостехиздат, стр. 46,.
1950.
8.	Ландольт, Таблицы 1, ч. I, изд. 6-е, 1950 г., стр. 316.
9.	R. H. MeBner, Zs. f. Phys. 85, 727 A933).
10.	Е. D е г s h e m, Phys. Rev. 37, 1238 A931).
11.	The Effects of Atomic Weapons, New York— Toronto— London, 1950.
12.	Действие ядерного оружия, Воениздат, 1960.
13.	Л. И. С е д о в, Методы подобия и размерности в механике, Гостехиздат, 1957.
14.	Ю. П. Р а й з е р, ЖФХ 33, 700 A959).
15.	Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 34, 483 A958).
16.	Я. Б. 3 е л ь д о в и ч, А. С. К о м п а н е е ц, Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 34, 127»
A958).
17.	Я. Б. Зельдович, А. С. К о м п а н е е ц, Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 34,
1447 A958).
18.	B.C. И м ш е н н и к, Д. К. Н а д е ж и н, Астрон. журн., XLI, вып. 5, 8291
A964).
19.	И. С. А б р а м с о н, Н. М. Г е г е ч к о р и, С. И. Д р а б к и н а, С. Л. М а н-
дельштам, ЖЭТФ, 17, 862 A947).
20.	С. И. Д р а б к и н а, ЖЭТФ 21, 473 A951).
21.	Н. М. Гегечкори, ЖЭТФ 21, 493 A951).
22.	Г. Г. Д о л г о в, С. Л. М а н д е л ь ш т а м, ЖЭТФ 24, 691 A953).
23.	С. Л. М а н д е л ь ш т а м, Н. К. С у х о д р е в, ЖЭТФ 24, 701 A953).
24.	Н. К. С у х о д р е в, Труды ФИАН 15, 123 A961).
25.	С. И. Б р а г и н с к и й, ЖЭТФ 34, 1548 A958).
26.	Ю. Н. Ж и в л ю к, С. Л. М а н д е л ь ш т •> м, ЖЭТФ 40, 483 A961).
К главе X
1.	Я. Б. Зельдович и А. С. Компанеец, Сб., посвященный 70-летию
А. Ф. Иоффе, 1950.
2.	Г. И. Баренблатт, Прикл. матем. и мех. 16, 67 A952).
3.	Э. И. А н д р и а н к и н, О. С. Рыжов, ДАН СССР 115, 882 A957).
4.	Э. И. А н д р и а н к и н, ЖЭТФ 25, 428 A958).
5.	Г. И. Б а.р е н б л а т т, Прикл. матем. и мех. 18, № 3 A954).
6.	Г. И. Баренблатт, Я. Б. Зельдович, Прикл. матем. и мех. 21, 718
A957).
7.	R.Maishak, Phys. Fluids. 1, 24 A958).
Перевод: Проблемы современной физики, № 1 A959).
8.	И. В. Н е м ч и н о в, ПМТФ, № 1, 36 A960).
,¦ 9. Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт, ДАН СССР 118, 671 A958).
10.	А. С. К о м и а н е е ц, Е. Я. Л а н ц б у р г, ЖЭТФ 41, 1649 A961).
11.	А. С. К о м п а н е е ц, Е. Я. Л а н п б у р г, ЖЭТФ 43, 234 A962).

ЛИТЕРАТУРА	685
К главе XI
1.	Л. В. А л ь т ш у л е р, К. К. К р у п н и к о в, Б. Н. Л е д е к е в, В. И. Ж у ч и-
х и в, М. И. Б р а ж н и к, ЖЭТФ 34, 874 A958).
2.	Л. В. А л ь т ш у л е р, К. К. К р у п н и к о в, М. И. Бражник, ЖЭТФ 34,
886 A958).
3.	Л. В. А л ь т ш у л е р, С. Б. К о р м е р, А. А. Б а к а н о в а, Р. Ф. Т р у н и н,
ЖЭТФ 38, 790 A960).
4.	Л. В. А л ь т ш у л е р, С. Б. К о р м е р, М. И. Бражник, Л. А. Влади-
миро в, М. П. Сперанская, А. И. Фунтиков, ЖЭТФ 38, 1061 A960).
5.	Л. В. Альтшулер, Л. В. Кулешова, М. Н. Павловский, ЖЭТФ
39, 16 A960).
<>. Г. Л. Ш н и р м а н, А. С. Д у б о в и к, П. В. К е в л и ш в и л и, Высокоскорост-
Высокоскоростная фоторегистрирующая установка СФР, Изд-во Ин-та техн.-эконом, информ.
АН СССР, A957).
7.	А. С. Дубовик, Журн. научн. и прикл. фотогр. и кинематогр. 2, 293 A957);
4, 226 A959).
8.	А. С. Дубовик, П. В. К е в л и ш в и л и, Г. Л. Ш н и р м а н, Лупа вре-
времени на 33 миллиона кадров в секунду. Доклад на IV Международном конгрессе
по высокоскор, фотогр. и кинематогр., Кельн, 1958.
9.	Г. Л. Ш н и р м а н, Успехи научн. фотогр. 6, 93 A959).
10.	А. С. Дубовик, Успехи Научн. фотогр. 6, 102 A959).
11.	В. А. Цукерман, М. А. М а н а к о в а, Импульсные рентгеновские трубки
на 1—2 миллиона вольт, Докл. на IV Международном конгрессе по высокоскор,
фотогр. и кинематогр., Кельн, 1958.
12.	М. М. Б у т е л о в, Е. К. 3 а в о й с к и й и др., ЭОПы типа ПИМ-3 и ПИМ-4.
Докл. на IV Международном конгрессе по высокоскор, фотогр. и кинематогр.,
Кельн A958).
13.	П. Г о м б а ш, Статистическая теория атома и ее применения, ИЛ, 1951.
14.	С. Б. К о р м е р, В. Д. У р л и н, ДАН СССР 131, 542 A960).
15.	С. Б. К о р м е р, В. Д. У р л и н, Л. Т. П о п о в а, ФТТ, 3, 2131 A961).
16.	Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Статистическая физика, Гостехиздат, 1951.
17.	J. С. Slatter, Introduction in the Chemical Physics, McGraw Book Company,
Inc., New York, London, 1939.
18.	Л. Д. Л а н д а у, К. П. С т а н ю к о в и ч, ДАН СССР 46, 399 A945).
19.	J. J. G i I v а г г у, Phys. Rev. 96, 934, 944 A954).
J. J. G i 1 v а г г у, G. H. Reebles, Phys. Rev. 99, 500 A955).
-20. R. Latter, Phys. Rev. 99, 1854 A955).
21.	Ф. А. Б а у м, К. П. Станюкович, Б. И. Шехтер, Теория взрывчатых
веществ, ч. I, 1952; Физика взрыва, Физматгиз, 1959.
22.	J. M. W а 1 s h, R. Н. С h r i s t i a n, Phys. Rev. 97, 1544 A955).
23.	J. M.Walsh, M. H. Rise, R.G. McQueen, F.L.Yarger, Phys. Rev.
108, 196 A957).
24.	W. Goranson, D. Bankroft et al., J. Appl. Phys. 26, 1479 A955).
25.	D. M a 1 1 о r y, J. Appl. Phys. 26, 555 A955).
26.	R. G. M с Q u e e ri, S. P. Ma r s h, J. Appl. Phys. 31, 1253 A960).
27.	J. S. D u g d a 1 e, D. К. М с D о n a 1 d, Phys. Rev. 89, 832 A953).
28.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф j' и ц, Механика сплошных сред, Изд. 2-е, Гос-
Гостехиздат, 1954.
29.	Х.А. Рахматуллин, Г. С. Шапиро, Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 68 A955).
30.	В. В а п с г о f t, E. P e t e r s о n, S. M i n s h a 1 1, J. Appl. Phys. 27, 291 A956).
31.	R. E. D u f f, S. M i n s h a 1 1, Phys. Rev. 108, 1207 A957).
32.	W. E. D г u m m о n d, J. App Phys. 28, 998 A957).
33.	A. H. Д р е м и н, Г. А. А д а д у р о в, ДАН СССР 128, 261 A959).
34.	А. Н. Дремин, ПМТФ, № 3, 184 A960).
35.	В. J. A I d е г, R. Н. С h r i s t i a n, Phys. Rev. Letters 4, 450 A960).
36.	И. М. Л и ф ш и ц, ЖЭТФ 38, 1569 A960).
37.	Г. М. Гандельман, ЖЭТФ, 43, 131 A962).
38.	А. И. И в а н о в, С. А. Н о в и к о в, ЖЭТФ 40, 1880 A961).
39.	С. Н. 3 а д у м к и н, Инж.-физ. журн. 3, 63 A960).
40.	Справочник химика, т. I, Госхимиздат, 1951.
41.	Я. Б. Зельдович, С. Б. Кормер, М. В. Синицын, А. И. Куряпин,
ДАН СССР 122, 48 A958).
42.	Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 32, 1577 A957).
43.	Я. Б. Зельдович, Ю. П. Р а й з е р, ЖЭТФ 35, 1402 A958).
44.	В. Д. У р л и н, А. А. И в а н о в, ДАН СССР 149, № 6, 1303 A963).

686	ЛИТЕРАТУРА
45. А. А. Б р и ш, М. С. Тарасов, В. А. Ц у к е р м а н, ЖЭТФ 37, 154»
A959).
'" А. А. Б р и ш, М. С. Тарасов, В. А. Ц у к е р м а н, ЖЭТФ 38, 22 A960).
В. J. А 1 d е г, R. Н. С h r i. s t i a n, Phys. Rev. 104, 550 A956).
I Я. Б. 3 e л ь д о в и ч, Л. Д. Л а н д а у, ЖЭТФ 14, 32 A944).
А. А. Абрикосов, Астрон. журн. XXXI 112 A954).
50.	П. В. Б р и д ж м е н, Физика высоких давлений, ОНТИ, 1935; Новейшие работ»
в области высоких давлений, ИЛ, 1948.
51.	Я. Б. Зельдович, С. Б. К о р м е р, М. В. С и н и ц ы н, К. Б. Ю ш к о,
ДАН СССР 138, 1333 A961).
52.	Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Л и ф ш и ц, Электродинамика сплопшых сред, Гостехиз-
дат, 1957.
53.	J. R. С о w a n, D. F. Н о г n i g, J. Chem. Phys. 18, 1008 A950).
54.	В. Л. Гинзбург, Г. П. М о т у л е в и ч, УФН 55, 469 A955).
55.	Л. В. А л ь т ш у л е р, УФН 85, вып. 2, 197 A965).
56.	С. Б. К о р м е р, А. И. Ф у н т и к о в, В. Д. У р л и н, А. Н. Колесни-
Колесникова, ЖЭТФ 42, 686 A962).
57.	Н. М. К у з н е ц о в, ДАН СССР 155, № 1, 156 A964).
58.	Н. М. Кузнецов, ПМТФ, № 1, 112 A965).
59.	В. Д. Урлин, ЖЭТФ 49, 485 A965).
К главе XII
1.	К. П. Станюкович, Неустановившиеся движения сплошной среды, Гостех-
издат, 1955.
2.	Л. И. С е д о в, Методы подобия и размерности в механике, Гостехиздат, изд. 4-е,
1957.
3.	G. G u d е г 1 е у, Luftfahrtforschung 19, 302 A942).
4.	R а у 1 е i g h, Phil. Mag. 34, 94 A917).
5.	С. H u n t e г, J. Fluid Mech. 8, 241 A960).
6.	E. И. 3 а б а б а x и н, Прикл. матем. и мех. 24, 1129 A960).
7.	Д. А. Франк-Каменецкий, ДАН СССР 80, 185 A951).
8.	Г. М. Гандельман, Д. А. Франк-Каменецкий, ДАН СССР 107,
811 A956).
9.	A. Sakurai, Communic. on Pure and Appl. Math. 13, 353 A960).
10.	В. Л. Г и н з б у р г, С. И. С ы р о в а т с к и й, УФН 71, 411 A960).
11.	S. А. С о 1 g a t е, М. Н. J о h n s о n, Phys. Rev. Letters 5, 235 A960).
12.	Я.Б.Зельдович, Акуст. журн. 2, 28 A956).
' 13. В. Б. А д а м с к и й, Акуст. журн. 2, 3 A956).
'14. А. И. Ж у к о в, Я. М. К а ж д а н, Акуст. журн. 2, 352 A956).
15.	W. H a f е 1 е, Zs. f. Naturforschung 9a, 1006 A954).
16.	S. Н о е г п е г, Zs. f. Naturforschung 10a, 687 A955).
17.	С. W e i z s а с k er, Zs. f. Naturforschung 9a, 269 A954).
18.	В. Б. А д а м с к и й, Н. А. Попов, Прикл. матем. и мех. 23, 564 A959).
19.	Н. Л. Крашенинникова, Изв. АН СССР, № 10, 14 A955).
20.	Ю. П. Райзер, ПМТФ, № 1, 57 A963).
21.	Вторая конференция по кометной и метеорной астрономии, Астрон. журн. XIV,
№ 3, 249 A937); К. П. Станюкович", В. В. Ф е д ы н с к и й, ДАН СССР
57, № 2 A947); К. П. Станюкович, Метеоритика, № 7 A950); Искус-
Искусственные спутники Земли, № 4, 86 A960).
22.	К. П. Станюкович, Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машин., № 5, 3 A960).
23.	М. А. Лаврентьев, Искусственные спутники Земли, вып. 3. 61 A959).
24.	А. С. К о м п а н е е ц, ДАН 109, № 1 A956).
25.	Э. И. А н д р и а н к и н, В. П. К о р я в о в, ДАН СССР 128, 257 A959).
26.	Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 33, 700 A957).
27.	Е. И. 3 а б а б а х и н, М. Н. Н е ч а е в, ЖЭТФ 33, 442 A957).
28.	А. С. К о м п а н е е ц, ДАН СССР 130, 1001 A960).
29.	Э. И. Аидрианкин, А. М. Коган, А. С. Конпанеец, В. П. Край-
нов, ПМТФ, № 6 A962).
30.	Ю. П. Р а й з е р, ДАН СССР 153, № 3, 551 A963).
31.	Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ, № 4, 49 A964).
32.	Ю. П. Р а й з е р, ПМТФ, № 6, 19 A963).

Яков Борисович Зельдович и Юрий Петрович Райзер
Физика ударных волн и высокотемпературных
гидродинамических явлений
М., 1966 г., 688 стр. с илл.
Редактор Е. Б. Кузнецова
Техн. редактор Л. Ю. Плакше
Корректор С. Д. Кайсер
Сдано в^набор 30/Х 1965 г. Подписано к печати 26/11
1966 г. Бумага 70X1081/16- Физ. печ. л. 43.
Условн. печ. л. 60,20. Уч.-изд. л. 57,01. Тираж 7500 экз.
Т-04006. Цена книги 3 р. 79 к. Заказ J45 1319.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография JMS 16 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, Трехпрудный пер., 9