LN. Bronsztejn
K.A. Siemiendiajew
MATEMATYKA
PORADNIK ENCYKLOPEDYCZNY
Tłumaczyli
Stefan Czarnecki
Robert Bartoszyński
Wydanie dwudzieste
fc
WYDAWNICTWO NAUKOWE PWN
WARSZAWA 2004

Tytuł oryginału:
CnPABOMHHK 110 MATEMATMKE
ATIR MH>KEHEPOB M yMA114HXCRBTy30B
TocyflapcTBeHHoe H3flaTeribCTS0
(t>M3HKO-MaTeMaTMMeCKOM riMTepaTypbl
MocKBa 1965
© Copyright 1965 Fizmatgis
Taschenbuch der Mathematik
B.G. Teubner Verlagsgesellschaft
Leipzig 1959
Projekt okładki i stron tytułowych Małgorzata Podziomek
© Copyright for the Polish edition by
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1985
Copyright © for the Polish edition by
Wydawnictwo Naukowe PWN Sp. z o.o.. Warszawa 1995
Copyright © for the Polish edition by
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 1998
ISBN 83-01-14261-8
Wydawnictwo Naukowe PWN SA
00-251 Warszawa, ul. Miodowa 10
tel.:(0 22)695 43 21
faks: (0 22) 695 40 31
e-mail: pwn@pwn.com.pl i
www.pwn.pl
Wydawnictwo Naukowe PWN SA
Wydanie dwudzieste
Arkuszy drukarskich 53,5
Druk ukończono w czerwcu 2004 r.
Druk i oprawa: Toruńskie Zakłady Graiczne „Zapolex" Sp. z o.o.
87-100 Toruń, ul. Gen. Sowińskiego 2/4
PRZEDMOWA
Napisanie poradnika o niewielkiej objętości, w którym byłyby
podane podstawowe wiadomości z dziedziny matematyki niezbędne dla
studentów szkól wyższych i użytkowników w ich nauce i
działalności praktycznej, jest zadaniem niezwykle trudnym. Dążąc do
zwięzłości wykładu, Autorzy usiłowali jednak dać poradnik przystępny,
wygodny w użyciu i pod względem matematycznym w miarę możności
ścisły.
Należy zaznaczyć, że książka ta, to nie podręcznik ani skrót
podręcznika, lecz poradnik; dlatego nie ma tu takiej systematyczności,
jaką powinien cechować się podręcznik. Nie powinno więc dziwić
Czytelnika, że na przykład reguła de 1'Hospitala znalazła się w
paragrafie o obliczaniu granic, który jest częścią rozdziału Wstęp do
analizy., umieszczonego przed wprowadzeniem pojęcia pochodnej,
a informacje o funkcji gamma — w rozdziale Algebra, bezpośrednio
po pojęciu silni. Takich „niewłaściwości" jest w poradniku bardzo
dużo. Dlatego też Czytelnikowi pragnącemu uzyskać taką czy inną
informację radzimy posługiwać się nie tylko spisem rzeczy, ale i
skorowidzem alfabetycznym zamieszczonym na końcu książki. Jeżeli
w tekście poradnika jest wzmianka o zagadnieniu wyjaśnionym bardziej
szczegółowo w innym miejscu książki, wskazuje się wtedy w odsyłaczu
I odpowiednią stronicę.
W drugim polskim wydaniu poradnika zostały wprowadzone
następujące większe zmiany w stosunku do pierwszego wydania.
Mianowicie dodano dwa rozdziały: Rachunek wariacyjny i Rów
nania całkowe, przetłumaczone z niemiecKfego wydania tej książki
(Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft,
Leipzig 1959), oraz rozdział Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna, opracowany przez R, Bartoszyńskiego.
Ponadto zostały usunięte zauważone drobne usterki z poprzedniego
wydania.

OZNACZENIA MATEMATYCZNE
I. Związki między wielkościami
równa się
równa się tożsamościowo
nie równa się
równa się w przybliżeniu
< jest mniejsze
> jest większe
^ jest mniejsze lub równe
> jest większe lub równe
IŁ Algebra
\a\ bezwzględna wartość liczby a
+ plus (dodawanie)
— minus (odejmowanie)
- lub x mnożenie, na przykład a*b lub a xi; znak mnożenia
bywa często opuszczany, na przykład ab
: lub — j lub / dzielenie* na przykład a : b lub — , lub alb
o
am a do potęgi rn
)/ pierwiastek kwadratowy* na przykład ya
Y pierwiastek stopnia «, na przykład y a
log& logarytm przy podstawie i, na' przykład 5 == loga 32
(str. 163) C1)
log logarytm dziesiętny, na przykład 2 = log 100 (str.
164)
In logarytm naturalny* na przykład 1 = In e (str. 164)
expx funkcja wykładnicza e*
()»(), []) {} nawiasy (kolejność działań)
! silnia, na przykład al, 6! = l-2-3-4-5-6 = 720 (str.
203).
(*)W nawiasach podano stronice Foradnikat na których objaśnione zostaty
odpowiednie pojęcia.

8
Oznaczenia matematyczne
#
A
o
r
//
sm
cos
tg
ctg
sec
cosec
arc sin
arc cos
arc tg
arc ctg
sinh
cosh
tgh
ctgh
sech
cosech
ar sinh
ar cosh
ar tgh
ar ctgh
III. Geometria
jest prostopadłe
jest równoległe
jest równe i równoległe
jest podobne., na przykład &ABC~ ADEF
trójkąt
kąt, na przykład <£ABC
łuki na przykład AB lub ^ AB
stopieri ]
minuta i w mierze kątowej, na przykład 32°14'ir',5
sekunda j
IV. Trygonometria, funkcje hiperboliczne
sinus *
cosinus
tangens
cotangens
secans
cosecans
arcus sinus
arcus cosinus
arcus tangens
arcus cotangens
sinus hiperboliczny
cosinus hiperboliczny
tangens hiperboliczny
cotangens hiperboliczny v /
secans hiperboliczny
cosecans hiperboliczny
area sinus hiperboliczny
area cosinus hiperboliczny
area tangens hiperboliczny
area cotangens hiperboliczny
(str. 230)
(str, 242)
(str. 252)
V. Oznaczenia stałych
wielkość stała (constans)
. stosunek długości obwodu koła do średnicy (str. 215)
a c™,i ł podstawa logarytmów naturalnych (str. 358)
y = 0,57722... stała Eulera (str. 358)
const
n = 3,14159
e - 2,71828
lim
co
VI* Anaiiza matematyczna
granica (limes) ^
(str, 344, 355)
dąży do ...
nieskończoność
n
na przykład lim 1-+
= e
n
oo
n
Oznaczenia matematyczne
i
n
i
/()* vO
A
d
dXi dy itd.
d d-
dx' dx2
D
d d2 d*
dx' dx*' dxdy^
S
b
s
a
/
CD
/. /
S V
//
///
suma
suma, w której * zmienia się od 1 do n
oznaczenia funkcji, na przykład: y — /(*), u =
= <p{x,y3z)
przyrost, na przykład Ax
różniczka, na przykład dx (str, 390)
różniczka cząstkowa, na przykład dxu (str, 391)
oznaczenia kolejnych pochodnych funkcji jednej
zmiennej, na przykład funkcji y ^ /(#): /'(#)> /"(#)>
/'"(*),/(*)(*), y'y y, y% yw, y> jr, y-s y»»
(str. 388, 390, 393)
pierwsza pochodna, druga pochodna itd,, na
przykład -Ł ^ itd. (str. 388, 393)
znak pochodnej (operator różniczkowania), na przy*
kład Dy - y', D2y = y' itd, (str, 388, 393)
1 pochodne cząstkowe, na przykład
' df d2f
f'*M>%*^ itd' (390, 393)
całka (str. 425)
całka oznaczona od dolnej granicy a do górnej
granicy b (str, 485)
całka krzywoliniowa wzięta po luku K lub po rzucie
łuku K (str. 517, 519)
całka rozciągnięta na płaszczyznę 5 lub na
objętość V (str, 526, 527)
całka podwójna \
\ (str, 526, 527)
całka potrójna ]
i (niekiedy j)
rea
ima
H
arga
VII. Liczby zespolone
jednostka urojona (i2 =* —1) (str. 617)
część rzeczywista liczby zespolonej a (str, 617)
część urojona liczby zespolonej a (str. 617)
moduł a liczby zespolonej (str. 618)
argument a (str. 618)

10
Oznaczenia matematyczne
a
Ln
a, b, c 1
a, b, c J
i, J, k
I
I* I lub a
a = b
a + b
aa
ab lub a-b
ax* lub [ab]
abc = (axb)c
a*> %> <h
V
A
grad
div
rot
dU
dc
liczba sprzężona z as na przykład a*=2 + 3i9 a —
= 2-3i (str. 619)
logarytm (naturalny) liczby zespolonej (str. 625)
VIII, Rachunek wektorowy
oznaczenia wektorów (str. 646)
wersor o tym kierunku co wektor a (str. 647)
wersory w układzie współrzędnych prostokątnych
(str. 647)
długość (bezwzględna wartość) wektora a (str. 646)
równość, dodawaniej odejmowanie wektorów (str.
646, 648)
mnożenie skalara przez wektor (str. 648)
iloczyn skalarny wektorów (str, 650)
iloczyn wektorowy wektorów (str. 650)
iloczyn mieszany trzech wektorów (str- 651)
współrzędne wektora a w układzie współrzędnych
prostokątnych (str. 649)
operator różniczkowy Hamiltona (nabla) (str. 677)
operator Laplace'a (str. 678)
gradient pola skalarnego (grad?> = Ftp) (str, 666)
dywergencja pola wektorowego (divV*=pV) (str,
675)
rotacja pola wektorowego (rot ^ = FxF) (str. 675)
pochodna pola skalarnego względem wektora c
(str. 666)
Aa
Bfj
ry
A S
Ee
ZC
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
dzeta
ALFABET GRECKI
Hn
&&d
u
Kk
AK
Mfi
eta
tęta
jota
kappa
lambda
mi
Nv
Si
Oo
lin
Pq
2«
ni
ksi
omikron
pi
ro
sigma
Tx
Yv
0 ę
Xx
\Pyi
Qo>
tau
ypsilon
fi
chi
psi
omega
CZiiSC PIERWSZA
TABLICE I WYKRESY
sO
^' ■
L TABLICE
Interpolacja. Większość zamieszczonych poniżej tablic podaje
wartości funkcji o czterech cyfrach wartościowych C1) dla argumentów
o trzech cyfrach wartościowych- W wypadkach gdy argument podany
Jest z większą dokładnością i szukanej wartości funkcji nie można
2naleźć bezpośrednio z tablic, trzeba uciec się do interpolacji.
Najprostsza jest interpolacja liniowa, przy której zakłada się, że przyrost funkcji
' jest proporcjonalny do przyrostu argumentu. Jeżeli szukana wartość
argumentu x leży pomiędzy znajdującymi się w tablicy wartościami
xQ i xl = x0+h3 i wartościom tym odpowiadają wartości funkcji
to przyjmuje się, że
/(*)=/C*o)+^pA
Poprawka interpolacyjna - - - A daje się łatwo obliczyć za
pomocą tablicy poprawek proporcjonalnych na str. 84 i 85, a także za
pomocą wkładki do poradnika podającej iloczyny wartości różnicy A
(od 11 do 90) przez 0,1, 0,2,.. 0 0,9.
Przykłady. 1. Obliczamy 1,6754". W tablicy (str. 17)
znajdujemy l,67a = 2,789, 1>682 - 2,822, J - 33 (2). Z tablicy poprawek
proporcjonalnych mamy
0,5-33 - 16,5, 0,04-33-1,3, ^-^ A = 16,5+1,3^18,
h
a więc l,6754a -2,807.
2. Obliczamy tg79°24'. W tablicach (str. 58 i 85) znajdujemy
tg79°20' -- 5,309* tg79°30' - 5,396, A = 87; 0,4-87^35, a więc
mamy tg79°24' - 5,344.
Błąd w interpolacji liniowej nie przewyższa jednostki ostatniej cyfry
wartościowej, jeżeli dwie kolejne różnice AQ i At różnią się nie więcej
(Ł) Określenie cyfr wartościowych patrz str. 139.
(a) Różnicę A oraz poprawkę wyraża się zazwyczaj w jednostkach ostatniego
rzędu wartości funkcji, bez wypisywania początkowych zer oraz przecinka dziesiętnego.

12
I. Tablice
niż o 4 jednostki ostatniego rzędu. Jeżeli ten warunek nie jest
spełniony (jak np. w tablicy tg x dla x > 80", str. 58), trzeba posłużyć się
bardziej skomplikowanymi wzorami interpolacyjnymi. W większości
wypadków wystarcza interpolacja kwadratowa według Bessela:
/(*) =/W+H-*.(^i-U
gdzie
x-x0
k =
, k(l-k) .
*! = ■—r—;
h ' ' 4
wartość kx znajduje się w tablicy na str. 86.
Przykład. Trzeba znaleźć tg 85°33'
(tablica na str. 58). Znajdujemy {h = 10'): k =
= 0,3, ki = 0,052; poprawka wynosi więc
0,3-491-0,052.75^ 143, zatem tg85°33' =
= 12,849.
x_j = *0-A
*0
xi = xo + k
Xa = x0-r2h
y~i
Jo
y-i
y2
^-i
^0
x
85°30'
85*40'
85°50'
tg*
12,251
12,706
13,197
13,727
,
455
491
530
1* Niektńre spotykane stałe
A. TABLICE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
1. Niektóre często spotykane stałe
13
Stała
K
2k
3it
4n
it:2
*:3
n-A
rt:6
|tt;180(-l°)
iit:10800(=l')
jr;648000(=l")
\f^i2
3
V5T
y4n73
e
e2K
y(})
Af = log £
*(2)
V2g
n
log w
3,141593
6,283185
9,424778
12,566371
1,570796
1,047198
0,785398
0,523599
^,017453
0,000291
0,000005
9,869604
1,772454
2,506628
1,253314
1,464592
1,611992
2,718282
7,389056
1,648721
1,395612
4,810477
23,140693
535,491656
0,577216
0,434294
9,81
96,2361
3,13209
4,42945
0,49715
0,79818
0,97427
1,09921
0,19612
0,02003
T,89509
J.,71900
£24188
4,46373
6,68557
0,99430
0,24857
0,39909
0,09806
0,16572
0,20736
0,43429
0,86859
0,21715
0,14476
0,68219
1,36438
2,72875
1,76134
1,63778
0,99167
1,98334
0,49583
0,64635
Stała
Un
l:2it
1:3*
l:4n
2:n
3;it
4:n
6: n
180° :*
10800':n
648000":k
/ITS'
^U2iC
/3;4ir
1:*
/ił
e
n
logn
0 318310
0,159155
0,106103
0,079577
0,636620
0,954930
1,273240
1,909859
57°,295780
3437',7468
206264",81
0,101321
0,564190
0,398942
0,797885
0,682784
0,620350
0,367879
0,135335
0,606531
J_,50285
^20182
JU02573
£,90079
T.80388
1,97997
0,10491
0,28100
1,75812
3,53627
5,31443
1,00570
T/75143
%60091
1,90194
1,83428
T,79264
1,56571
1,13141
1,78285
0,716532
0,207880
0,043214
0;001867
1,144730
2,302585
0,10194
0,050968
9,83976
13,91552
1,85524
JL,31781
£,63562
3,27125
0,05870
0,36222
1,00833
2,70730
0,99298
1,14350
f1) y jest stalą Eulera (oznaczaną również literą C).
(2)g jest przyśpieszeniem grawitacyjnym w m/seka; podane m zostały wartości
przyśpieszenia na poziomie morza i szerokości 45-50°,

14
I. Tablice
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki
Tablica ta pozwala znaleźć kwadraty, sześciany oraz pierwiastki
kwadratowe i sześcienne z dokładnością do czterech cyfr
wartościowych. Dla argumentów n zawartych pomiędzy 1,00 a 10,00 wartości
n2 i nz znajdujemy bezpośrednio z tablic, jeżeli wartość argumentu
podana jest z trzema cyframi wartościowymi. Na przykład ł,792 =
= 3,204 (str, 17). Jeżeli wartość argumentu podana jest dokładniej (tzn.
ma więcej niż trzy cyfry wartościowe), należy zastosować interpolację
(patrz str, 11), Dla tablicy tej błąd interpolacji liniowej nigdy nie
przekracza jednostki ostatniego rzędu.
Przy szukaniu n2 i n* przy n > 10 i przy n < 1 należy wziąć pod
uwagę, że przy pomnożeniu n przez wartość 10*, wartość n2 powiększa
się 103ft razy, a wartość n3 powiększa się 103* razy, tzn. że przesunięcie
przecinka w liczbie nok miejsc dziesiętnych w prawo powoduje
przeniesienie przecinka o 2k miejsc w prawo w liczbie n2 i o 3k miejsc
w liczbie n3; przy tym do wziętej z tablicy liczby dopisuje się w miarę
potrzeby zera po prawej stronie lub po lewej. Na przykład 0,1793 =
= 0,03204, 1793 = 5 735 000 (').
Pierwiastki kwadratowe dla wartości argumentu n od 1,00 do 10,00
możemy znaleźć bezpośrednio z tablicy (z zastosowaniem interpolacji
liniowej, stt\ 11), a dla dowolnych n według następujących reguł:
1° Liczbę podpierwiastkową dzieli się na grupy dwucyfrowe po
lewej i po prawej stronie przecinka dziesiętnego, 2° Zależnie od ilości
cyfr wartościowych w najwyższej grupie niezerowej szuka się w tablicy
wartości pierwiastka kwadratowego w kolumnie ]fn albo w kolumnie
j/łOn. 3° W znalezionej wartości pierwiastka kwadratowego kładzie się
przecinek dziesiętny opierając się na tym, że każda grupa dwucyfrowa
przed przecinkiem liczby podpierwiastkowej daje w wartości
pierwiastka jedną cyfrę przed przecinkiem, a dla liczb mniejszych od 1
każda grupa dwucyfrowa leżąca po przecinku składająca się z zer daje
w wartości pierwiastka jedno zero po przecinku.
Frzykl ady, 1, }fZ$$ = 4,889. 2, |/b,00|02|39" = 0,01546.
3. |/23|90|00 = 488,9. 4. |/o,00|3 =* 0,05477. (W przykładzie tym
należy do liczby podpierwiastkowej dodać w pamięci jeszcze jedno zero
na końcu, dla uzupełnienia grupy dwucyfrowej; najwyższa grupa
dwucyfrowa 30 ma dwie cyfry wartościowe, a więc pierwiastka
kwadratowego należy szukać w kolumnie j/lOrc).
Pierwiastki stopnia trzeciego z liczb «, 10n, 100« dla wartości n od
1,00 do 10,00 możemy znaleźć bezpośrednio z tablicy (z
zastosowaniem interpolacji liniowej), a dla dowolnych n — według
następujących reguł:
1° Liczbę podpierwiastkową rozdzielamy po obu stronach prze-
(x)PoIeca się zapis 1793 = 5,735-10*, dzięki któremu unika się pisania zer
zamiast cyfr nieznanych (dokładnie 179a = 5 735 339),
2, Kwadraty, sześciany, pierwiastki
15
cinka na grupy trzycyfrowe po prawej i po lewej stronie przecinka
dziesiętnego. 2° Zależnie od ilości cyfr wartościowych w najwyższej
grupie niezerowej szuka się w tablicy wartości pierwiastka stopnia
trzeciego w kolumnie ynt ylOw, y lOOrt. 3° W znalezionej wartości
pierwiastka sześciennego ustala się miejsce przecinka dziesiętnego
według podobnych reguł, jak i dla pierwiastków kwadratowych.
Przykłady, K f/23^9"- 2,880Q. 2. f/239J000 = 62,06.
3, ^0001002139 = 0,01337, 4, ^0,00013 = 0,06694. 5. f/^03 =
= 0,3107- (W dwóch ostatnich przykładach należy dodać w pamięci
odpowiednio jedno lub dwa zera na końcu dla uzupełnienia ostatniej
- -^--—^^
n
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,1?
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,000
1,020
1,040
1,061
1,082
1,102
1,124
1,145
1,166
1,188
1,210
1,232
1,254
1,277
1,300
1,322
1,346
1,369
1,392
1,416
1,440
■ 1,464
1,488
1,513
1,538
1,562
n3
1,000
1,030
1,061
1,093
1,125
1,158
1,191
1,225
1,260
1,295
1,331
1,368
1,405
1,443
1,432
1,521
1,561
1,602
1,643
1-685
1,728
1,772
1,816
1,861
1,907
1,953
tff
1,000
1,005
1,010
1,015
1,020
1,025
1,030
1,034
1,039
1,044
1,049
1,054
1,058
1,063
1,068
1,072
1,077
1,082
1,086
1,091
1,095
1,100
1,105
1,109
1,114
1,118
——.. —
3,162
3,178
3,194
3,209
3,225
3,240
3,256
3,271
3,286
3,302
3,317
3,332
3,347
3,362
3,376
3,391
3,406
3,421
3,435
3,450
3,464
3,479
3,493
3,507
3,521
3,536
■ *
Vn
1,000
1,003
1,007
1,010
1,013
1,016
1,020
1,023
1,026
1,029
1,032
1,035
1,038
1,042
1,045
1,048
1,051
1,054
1,057
1,060
1,063
1,066
1,069
1,071
1,074
1,077
3/——
|/10«
2,154
2,162
2,169
2,176
2,183
2,190
2,197
2,204
2,210
2,217
2,224
2,231
2,237
2,244
2,251
2,257
2,264
2,270
2,277
2,283
2,289
2,296
2,302
2,308
2,315
2,321
VlOOH
4,642
4,657
4,672
4,688
4,703
4,718
4,733
4,747
4,762
4,777
4,791
4,806
4,820
4,835
4,849
4,863
4,877
4,891
4,905
4,919
4,932
4,946
4,960
4,973
4,987
5,000
itrz str. 139:
(l) Zero na końcu naiezy zostawić, iw* i^ ™- r*-
i określidokładność otrzymanej wartość, p.erwastka.

16 I. Tablice
17
w
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1.53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
nB
1,562
1,588
1,613
1,638
1,664
1,690
1,716
1,742
1,769
1,796
1,822
1,850
1,877
1,904
1,932
1,960
1,988
2,016
2,045
2,074
2,102
2,132
2,161
2,190
2,220
2,250
2,280
2,310
2,341
2,372
2,402
2,434
2,465
2,496
2,528
2,560
«3
1,953
2,000
2,048
2,097
2,147
2,197
2,248
2,300
2,353
2,406
2,460
2,515
2,571
2,628
2,686
2,744
2,803
2,863
2,924
2,986
3,049
3,112
3,177
3,242
3,308
3,375
3,443
3,512
3,582
3,652
3,724
3,796
3,870
3,944
4,020
4,096
rfT
1,118
1,122
1,127
1,131
1,136
1,140
1,145
1,149
1,153
1,158
1,162
1,166
1,170
1,175
1,179
1,183
1,187
1,192
1,196
1,200
1,204
1,208
1,212
1,217
1,221
1,225
1,229
1,233
1,237
1,241
1,245
1,249
1,253
1,257
1,261
1,265
/io»
3,536
3,550
3,564
3,578
3,592
3,606
3,619
3,633
3,647
3,661
3,674
3,688
3,701
3,715
3,728
3,742
3,755
3,768
3,782
3,795
3,808
3,821
3,834
3,847
3,860
3,873
3,886
3,899
3,912
3,924
3,937
3,950
3,962
3,975
3,987
4,000
3r-
1,077
1,080
1,083
1,086
1,089
1,091
1,094
1,097
1,100
1,102
1,105
1,108
1,111
1,113
1,116
1,U9
1,121
1,124
1,127
1,129
1,132
1,134
1,137
1,140
1,142
1,145
1,147
1,150
1,152
1,155
1,157
1,160
1,162
1,165
1,167
1,170
3,
YlOn
2,321
2,327
2,333
2,339
2,345
2,351
2,357
2,363
2,369
2,375
2,381
2,387
2,393
2,399
2,404
2,410
2,416
2,422
2,427
2,433
2,438
2,444
2,450
2,455
2,461
2,466
2,472
2,477
2,483
2,488
2,493
2,499
2,504
2,509
2,515
2,520
\/'i00ń
5,000
5,013
5,027
5,040
5,053
5,066
5,079
5,092
5,104
5,117
5,130
5,143
5,155
5,168
5,180
5,192
5,205
5,217
5,229
5,241
5,254
5,266
5,278
5,290
5301
5,313
5,325
5,337
5,348
5,360
5,372
5383
5,395
5,406
5,418
5,429
n
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
«s
2,560
2,592
2,624
2,657
2,690
2,722
2,756
2,789
2,822
2,856
2,890
2,924
2,958
2,993
3,028
3,062
3,098
3,133
3,168
3,204
3,240
3,276
3,312
3,349
3,386
3,422
3,460
3,497
3,534
3,572
3,610
3,648
3,686
3,725
3,764
3,802
„3
4,096
4,173
4,252
4,331
4,411
4,492
4,574
4,657
4,742
4,827
4,913
5,000
5,088
5,178
5,268
5359
5,452
5,545
5,640
5,735
5,832
5,930
6,029
6,128
6,230
6,332
6,435
6,539
6,645
6,751
6,859
6,968
7,078
7,189
7,301
7,415
tfT
1,265
1,269
1,273
1,277
1,281
1,285
1,288
1,292
1,296
1300
1304
1,308
1,311
1,315
1,319
1,323
1,327
1,330
1,334
1,338
1,342
1,345
1349
1,353
1,356
1,360
1,364
1,367
1,371
1,375
1,378
1,382
1,386
1,389
1,393
/10m
4,000
4,012
4,025
4,037
4,050
4,062
4,074
4,087
4,099
4,111
4,123
4,135
4,147
4,159
4,171
4,183
4,195
4,207
4,219
4,231
4,243
4,254
4,266
4,278
4,290
4,301
4313
4,324
4336
4,347
4,359
4,370
4,382
4393
4-405
3,—
1,170
1,172
1,174
1,177
1,179
1,182
1,184
1,186
1,189
1,191
1,193
1,196
1,198
1,200
1,203
1,205
1,207
1,210
1,212
1,214
1,216
1,219
1,221
1,223
1,225
1,228
1,230
1,232
1,234
1,236
1,239
1,241
1,243
1,245
1,247
1,249
[/lOn
2,520
2,525
2,530
2,335
2,541
2,346
2,351
2,556
2,561
2,566
2,571
2,576
2,581
2,586
2,591
2,596
2,601
2,606
2,611
2,616
2,621
2,626
2,630
2,635
2,640
2,645
2,650
2,654
2,659
2,664
2,668
2,673
2,678
2,682
2,687
2,692
i/lOOn
5,429
5,440
5,451
5,463
5,474
5,485
5,496
5,507
5,518
5,529
5,540
5,550
5,561
5,572
5,583
5,593
5,604
5,615
5,625
5,636
5,646
5,657
5,667
5,677
5,688
5,698
5,708
5,718
5,729
5,739
5,749
5,759
5,769
5,779
5,789
5,799

18 I. Tablice
n
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
K*
3,802
3,842
3,881
3,920
3,960
4,000
4,040
4,080
4,121
4,162
4,202
4,244
4,285
4,326
4,368
4,410
4,452
4,494
4,537
4,580
4,622
4,666
4,709
4,752
4,796
4,840
4,884
4,928
4,973
5,018
5,062
5,108
5,153
5,198
5,244
5,290
«3
7,415
7,530
7,645
7,762
7,881
8,000
8,121
8,242
8,365
8,490
8,615
8,742
8,870
8,999
9,129
9,261
9,394
9,528
9,664
9,800
9,938
10,08
10,22
10,36
10,50
10,63
10,79
10,94
11,09
11,24
11,39
11,54
11,70
11,85
12,01
12,17
Yn
1,396
1,400
1,404
1,407
1,411
1,414
1,418
1,421
1,425
1,428
1,432
1,435
1,439
1,442
1,446
1,449
1,453
1,456
1,459
1,463
1,466
1,470
1,473
1,476
1,480
1,483
1,487
1,490
1,493
1,497
1,500
1,503
1,507
1,510
1,513
1,517
Vldn
4,416
4,427
4,438
4,450
4,461
4,472
4,483
4,494
4,506
4,517
4,528
4,539
4,550
4,561
4,572
4,583
4,593
4,604
4,615
4,626
4,637
4,648
4,658
4,669
4,680
4,690
4,701
4,712
4,722
4,733
4,743
4,754
4,764
4,775
4,785
4,796
Vr
1,249
1,251
1,254
1,256
1,258
1,260
1,262
1,264
1,266
1,268
1,270
1,272
1,274
1,277
1,279
1,281
1,283
1,285
1,287
1,289
1,291
1,293
1,295
1,297
1,299
1,301
1,303
1,305
1,306
1,308
1,310
1,312
1,314
1,316
1,318
1,320
3__
/lOn
2,692
2,696
2,701
2,705
2,710
2,714
2,719
2,723
2,728
2,732
2,737
2,741
2,746
2,750
2,755
2,759
2,763
2,768
2,772
2,776
2,781
2,785
2,789
2,794
2,798
2,802
2,806
2,811
2,815
2,819
2,823
2,827
2,831
2,836
2,840
2,844
v'ioo*
5,799
5,809
5,819
5,828
5,838
5,848
5,858
5,867
5,877
5,887
5,896
5,906
5,915
5,925
5,934
5,944
5,953
5,963
5,972
5,981
5,991
6,000
6,009
6,018
6,028
6,037
6,046
6,055
6,064
6,073
6,082
6,091
6,100
6,109
6,118
6,127
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki 19
n
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,00
2,61
2,62
2,63
2,64
2.65
K2
5,290
5,336
5,382
5,429
5,476
5a522
5,570
5,617
5,664
5,712
5,760
5,808
5,856
5,905
5,954
6,002
6,052
6,101
6,150
6,200
6,250
6,300
6,350
6,401
6,452
6,502
6,554
6,605
6,656
6,708
6,760
6,812
6,864
6,917
6,970
7,022
«3
12,17
12,33
12,49
12,65
12,81
12,98
13,14
13,31
13,48
13,65
13,82
14,00
14,17
14,35
14,53
14,71
14,89
15,07
15,25
15,44
15,62
15,81
16,00
16,19
16;39
16,58
16,78
16,97
17,17
17,37
17,58
17,78
17,98
18,19
18,40
18,61
Vn
1,517
1,520
1,523
1,526
1,530
1,533
1,536
1,539
1,543
1,546
1,549
1,552
1,556
1,559
1362
1,565
1,568
1,572
1,575
1,578
1,581
1,584
1,587
1,591
1,594
1,597
1,600
1,603
1,606
1,609
1,612
1,616
1,619
1,622
1,625
1,628
\/lOn
4,796
4,806
4,817
4,827
4,837
4,848
4,858
4,868
4,879
4,889
4,899
4,909
4,919
4,930
4,940
4,950
4,960
4,970
4,980
4,990
5,000
5,010
5,020
5,030
5,040
5,050
5,060
5,070
5,079
5,089
5,099
5,109
5,119
5,128
5,138
5,148
a.—
1,320
1,322
1,324
1,326
1,328
1,330
1,331
1,333
1,335
1,337
1,339
1,341
1,343
1,344
1,346
1,348
1,350
1,352
1,354
1,355
1,357
1,359
1,361
1,363
1,364
1,366
1,368
1,370
1,372
1,373
1,375
1,377
1,379
1,380
1,382
1,384
a._-
VlOn
2,844
2,848
2,852
2,856
2,860
2,864
2,863
2,872
2,876
2,880
2,884
2,888
2,892
2,896
2,900
2,904
2,908
2,912
2,916
2,920
2,924
2,928
2,932
2,936
2,940
2,943
2,947
2,951
2,955
2,959
2,962
2,966
2,970
2,974
2,978
2,981
3__
(/100m
6,127
6,136
6,145
6,153
6,162
6,171
6,180
6,188
6,197
6,206
6,214
6,223
6,232
6,240
6,249
6,257
6,266
6,274
6,283
6,291
6,300
6,308
6,316
6,325
6,333
6,341
6,350
6,358
6,366
6,374
6,383
6,391
6,399
6,407
6,415
6,423

20 I. Tablice
n
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,00
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
»*
7,022
7,076
7,129
7,182
7,236
7,290
7,344
7,398
7,453
7,508
7,562
7,618
7,673
7,728
7,784
7,840
7,896
7,952
8,009
8,066
8,122
8,180
8,237
8,294
8,352
8,410
8,468
8,526
8,585
8,644
8,702
8,762
8,821
8,880
8,940
9,000
ns
18,61
18,82
19,03
19,25
19,47
19,68
19,90
20,12
20,35
20,57
20,80
21,02
21,25
21,48
21,72
21,95
22,19
22,43
22,67
22,91
23,15
23,39
23,64
23,89
24,14
24,39
24,64
24,90
25,15
25,41
25,67
25,93
26,20
26,46
26,73
27,00
V«
1,628
1,631
1,634
1,637
1,640
1,643
1,646
1,649
1,652
1,655
1,658
1,661
1,664
1,667
1,670
1,673
1,676
1,679
1,682
1,685
1,688
1,691
1,694
1,697
1,700
1,703
1,706
1,709
1,712
1,715
1,718
1,720
1,723
1,726
1,729
1,732
lAon
5,148
5,158
5,167
5,177
5,187
5,196
5,206
5,215
5,225
5,235
5,244
5,254
5,263
5,273
5,282
5,292
5,301
5,310
5,320
5,329
5,339
5,348
5,357
5,367
5,376
5,385
5,394
5,404
5,413
5,422
5,431
5,441
5,450
5,459
5,468
5,477
vV
1,384
1,386
1,387
1,389
1,391
1,392
1,394
1,396
1,398
1399
1,401
1,403
1,404
1,406
1,408
1,409
1,411
1,413
1,414
1,416
1,418
1,419
1,421
1,423
1,424
1,426
1,428
1,429
1,431
1,433
1,434
1,436
1,437
1,439
1,441
1,442
a/
yWn
2,981
2,985
2,989
2,993
2,996
3,000
3,004
3,007
3,011
3,015
3,018
3,022
3,026
3,029
3,033
3,037
3,040
3,044
3,047
3,051
3,055
3,058
3,062
3,065
3,069
3,072
3,076
3.Q79
3,083
3,086
3,090
3,093
3,097
3,100
3,104
3,107
VlOOn
6,432
6,431
6,439
6,447
6,455
6,463
6,471
6,479
6,487
6,495
6,503
6,511
6,519
6,527
6,534
6,542
6,550
6,558
6,565
6,573
6,581
6,589
6,596
6,604
6,611
6,619
6,627
6,634
6,642
6,649
6,657
6,664
6,672
6,679
6,687
6,694
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki
n
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
«*
9,000
9,060
9,120
9,181
9,242
9,302
9,364
9,425
9,486
9,548
9,610
9,672
9,734
9,797
9,860
9,922
9,986
10,05
10,11
10,18
10,24
10,30
10,37
10,43
10,50
10,56
10,63
10,69
10,76
10,82
10,89
10,96
11,02
11,09
11,16
11,22
«•
27,00
27,27
27,54
27,82
28,09
28,37
28,65
28,93
29,22
2930
29,79
30,08
30,37
30,66
30,96
31,26
31,55
31,86
32,16
32,46
32,77
33,08
33,39
33,70
34,01
34,33
34,65
34,97
35,29
35,61
35,94
36,26
36,59
36,93
37,26
37,60
tfT
1,732
1,735
1,738
1,741
1,744
1,746
1,749
1,752
1,755
1,758
1,761
1,764
1,766
1,769
1,772
1,775
1,778
1,780
1,783
1,786
1,789
1,792
1,794
1,797
1,800
1,803
1,806
1,808
1,811
1,814
1,817
1,819
1,822
1,825
1,828
1,830
|/10»
5,477
5,486
5,495
5,505
5,514
5323
5,532
5,541
5,550
5359
5,568
5,577
5386
5,595
5,604
5,612
5,621
5,630
5,639
5,648
5,657
5,666
5,675
5,683
5,692
5,701
5,710
5,718
5,727
5,736
5,745
5,753
5,762
5,771
5,779
5,788
ViT
1,442
1,444
1,445
1,447
1,449
1,450
1,452
1,453
1,455
1,457
1,458
1,460
1,461
1,463
1,464
1,466
1,467
1,469
1,471
1,472
1,474
1,475
1,477
1,478
1,480
1,481
1,483
1,484
1,486
1,487
1,489
1,490
1,492
1,493
1,495
1,496
\/lOn
3,107
3,111
3,114
3,118
3,121
3,124
3,128
3,131
3,135
3,138
3,141
3,145
3,148
3,151
3,155
3,158
3,162
3,165
3,168
3,171
3,175
3,178
3,181
3,185
3,188
3,191
3,195
3,198
3,201
3,204
3,208
3,211
3,214
3,217
3,220
3,224
[/lOOn
6,694
6,702
6,709
6,717
6,724
6,731
6,739
6,746
6,753
6,761
6,768
6,775
6,782
6,790
6,797
6304
6,811
6,818
6,826
6,833
6,840
6,847
6,854
6,861
6,868
6,875
6,882
6,889
6,896
6,903
6,910
6,917
6,924
6,931
6,938
6,945

22 L Tablice
ft
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,50
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
3,57
3,58
3,59
3,50
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
«a
11,22
11,29
11,36
11,42
11,49
11,56
11,63
11,70
11,76
11,83
11,90
11,97
12,04
12,11
12,18
12,25
12,32
12^9
12,46
12,53
12,60
12,67
12,74
12,82
12,89
12,96
13,03
13,10
13,18
13,25
13,32
13,40
13,47
13,54
13,62
13,69
B*
37,60
37,93
38,27
38,61
38,96
39,30
39,65
40,00
40,35
40,71
41,06
41,42
41,78
42,14
42,51
42,88
43,24
43,61
43,99
44,36
44,74
45,12
45,50
45,88
46,27
46,66
47,05
47,44
47,83
48,23
48,63
49,03
49,43
49,84
50,24
50,65
iT
1,830
1,833
1,836
1,838
1,841
1,844
1,847
1,849
1,852
1,855
1,857
1,860
1,863
1,865
1,868
1,871
1,873
1,876
1,879
1,881
1,884
1,887
1,889
1,892
1,895
1,897
1,900
1,903
1,905
1,908
1,910
1,913
1,916
1,918
1,921
1,924
v'lOn
5,788
5,797
5,805
5,814
5,822
5,831
5,840
5,848
5,857
5,865
5,874
5,882
5,891
5,899
5,908
5,916
5,925
5,933
5,941
5,950
5,958
5,967
5,975
5,983
5,992
6,000
6,008
6,017
6,025
6,033
6,042
6,050
6,058
6,066
6,075
6,083
W
1,496
1,498
1,499
1,501
1,502
1,504
1,505
1,507
1,508
1,510
1,511
1,512
1,514
1,515
1,517
1,518
1,520
1,521
1,523
1,524
1,525
1,527
1,528
1,530
1,531
1,533
1,534
1,535
1,537
1,538
1,540
1,541
1,542
1,544
1,545
1,547
3,
/io«
3,224
3,227
3,230
3,233
3,236
3,240
3,243
3,246
3,249
3,252
3,255
3,259
3,262
3,265
3,268
3,271
3,274
3,277
3,280
3,283
3,287
3,290
3,293
3,296
3,299
3,302
3,305
3,308
3311
3314
3,317
3,320
3,323
3,326
3,329
3,332
f'lOOn
6,945
6,952
6,959
6,966
6,973
6,980
6,986
6,993
7,000
7,007
7,014
7,020
7,027
7,034
7,041
7,047
7,054
7,061
7,067
7,074
7,081
7,087
7,094
7,101
7,107
7,114
7,120
7,127
7,133
7,140
7,147
7,153
7,160
7,166
7,173
7,179
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki
R
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,80
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
4,00
4,01
4,02
4,03
4,04
4,05
n*
13,69
13,76
13,84
13,91
13,99
14,06
14,14
14,21
14,29
1436
14,44
14,52
14,59
14,67
14,75
14,82
14,90
14,98
15,05
15,13
15,21
15,29
1537
15,44
13,52
15,60
15,68
15,76
15,84
,15,92
16,00
16,08
16,16
16,24
1632
16,40
n9
50,65
51,06
51,48
51,90
52,31
52,73
53,16
53,58
54,01
54,44
54,87
55,31
55,74
56,18
56,62
57,07
57,51
57,96
58,41
58,86
59,32
59,78
60,24
60,70
61,16
61,63
62,10
62,57
63,04
63,52
64,00
64,48
64,96
65,45
65,94
66,43
tfr
1,924
1,926
1,929
1,931
1,934
1,936
1,939
1,942
1,944
1,947
1,949
1,952
1,954
1,957
1,960
1,962
1,965
1,967
1,970
1,972
1,975
1,977
1,980
1,982
1,985
1,987
1,990
1,992
1,995
1,997
2,000
2,002
2,005
2,007
2,010
2,012
t^lOn
6,083
6,091
6,099
6,107
6,116
6,124
6,132
6,140
6,148
6,156
6,164
6,173
6,181
6,189
6,197
6,205
6,213
6,221
6,229
6,237
6,245
6,253
6,261
6,269
6,277
6,285
6,293
6,301
6,309
6,317
6,325
6,332
6,340
6,348
6,356
6,364
fa
1347
1,548
1,549
1,551
1,552
1,554
1,555
1,556
1358
1,559
1,560
1,562
1,563
1,565
1366
1,567
1,569
1370
1371
1,573
1,574
1,575
1,577
1,578
1379
1,581
1,582
1,583
1,585
1,586
1,587
1,589
1,590
1,591
1,593
1,594
a,—
yion
3,332
3,335
3,338
3,341
3,344
3,347
3,350
3,353
3,356
3,359
3,362
3,365
3,368
3,371
3,374
3,377
3380
3,382
3,385
3,388
3,391
3,394
3,397
3,400
3,403
3,406
3,409
3,411
3,414
3,417
3,420
3,423
3,426
3,428
3,431
3,434
J/'lOOra
7,179
7,186
7,192
7,198
7,205
7,211
7,218
7,224
7,230
7,237
7,243
7,250
7,256
7,262
7,268
7,275
7,281
7,287
7,294
7,300
7,306
7,312
7,319
7325
7331
7,337
7,343
7,350
7,356
7362
7,368
7,374
7,380
7,386
7,393
7,399

24 I. Tablice
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki 25
n
4,40
4,41
4,42
4,43
4,44
4,45
4,46
4,47
4,48
4,49
4,50
4,51
4,52
4,53
4,54
4,55
4,56
4,57
4,58
4,59
4,60
4,61
4,62
4,63
4,64
4,65
4,66
4,67
4,68
4,69
4,70
4,71
4,72
4,73
4,74
4,75
»2
19,36
19,45
19,54
19,62
19,71
19,80
19,89
19,98
20,07
20,16
20,25
20,34
20,43
20,52
20,61
20,70
20,79
20,88
20,98
21,07
21,16
21,25
21,34
21,44
21,53
21,62
21,72
21,81
21,90
. 22,00
22,09
22,18
22,28
22,37
22,47
22,56
«8
85,18
85,77
86,35
86,94
87,53
88,12
88,72
89,31
89,92
90,52
91,12
91,73
92,35
92,96
93,58
94,20
94,82
95,44
96,07
96,70
97,34
97,97
98,61
99,25
99,90
100,5
101,2
101,8
102,5
103,2
103,8
104,5
105,2
105,8
106,5
107,2
^
2,098
2,100
2,102
2,105
2,107
2,110
2,112
2,114
2,117
2,119
2,121
2,124
2,126
2,128
2,131
2,133
2,135
2,138
2,140
2,142
2,145
2,147
2,149
2,152
2,154
2,156
2,159
2,161
2,163
2,166
2,168
2,170
2,173
2,175
2,177
2,179
|/l0n
6,633
6,641
6,648
6,656
6,663
6,671
6,678
6,686
6,693
6,701
6,708
6,716
6,723
6,731
6,738
6,745
6,753
6,760
6,768
6,775
6,782
6,790
6,797
6,804
6,812
6,819
6,826
6,834
6,841
6,848
6,856
6,863
6,870
6,877
6,885
6,892
8/—
1,639
1,640
1,641
1,642
1,644
1,645
1,646
1,647
1,649
1,650
1,651
1,652
1,653
1,655
1,656
1,657
1,658
1,659
1,661
1,662
1,663
1,664
1,666
1,667
1,668
1,669
1,670
1,671
1,673
1,674
1,675
1,676
1,677
1,679
1,680
1,681
)/l0«
3,530
3,533
3,536
3,538
3,541
3,544
3,546
3,549
3,552
3,554
3,557
3,560
3,562
3,565
3,567
3,570
3,573
3,575
3,578
3,580
3,583
3,586
3,588
3,591
3,593
3,596
3,599
3,601
3,604
3,606
3,609
3,611
3,614
3,616
3,619
3,622
j/l00»
7,606
7,612
7,617
7,623
7,629
7,635
7,640
7,646
7,652
7,657
7,663
7,669
3,674
7,680
7'686
7,691
7,697
7,703
7,708
7,714
7,719
7,725
7,731
7,736
7,742
7,747
7,753
7,758
7,764
7,769
7,775
7,780
7,786
7,791
7,797
7,802
B
4,05
4,06
4,07
4,08
4,09
4,10
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
4,16
4,17
4,18
4,19
4,20
4,21
4,22
4,23
4,24
4,25
4,26
4,27
4,28
4,29
4,30
4,31
4,32
4,33
4,34
4.35
4,36
4,37
4,38
4,39
4,40
n2
16,40
16,48
16,56
16,65
16,73
16,81
16,89
16,97
17,06
17,14
17,22
17,31
17,39
17,47
17,55
17,64
17,72
17,81
17,89
17,98
18,06
18,15
18,23
18,32
18,40
18,49
18,58
18,66
18,75
18,84
18,92
19,01
19,10
19,18
19,27
19,36
n3
66,43
66,92
67,42
67,92
68,42
68,92
69,43
69,93
70,44
70,96
71,47
71,99
72,51
73,03
73,56
74,09
74,62
75,15
75,69
76,23
76,77
77,31
77,85
78,40
78,95
79,51
80,06
80,62
81,18
81,75
82,31
82,88
83,45
84,03
84,60
85,18
Yf
2,012
2,015
2,017
2,020
2,022
2,025
2,027
2,030
2,032
2,035
2,037
2,040
2,042
2,045
2,047
2,049
2,052
2,054
2,057
2,059
2,062
2,064
2,066
2,069
2,071
2,074
2,076
2,078
2,081
2,083
2,086
2,088
2,090
2,093
2,095 1
2,098 |
j/lOw
6,364
6,372
6,380
6,387
6,395
6,403
6,411
6,419
6,427
6,434
6,442
6,450
6,458
6,465
6,473
6,481
6,488
6,496
6,504
6,512
6,519
6,527
6,535
6,542
6,550
6,557
6,565
6,573
6,580
6,588
6,595
6,603
6,611
6,618
6,626
6,633
3.—
1,594
1,595
1,597
1,598
1,599
1,601
1,602
1,603
1,604
1,606
1,607
1,608
1,610
1,611
1,612
1,613
1,615
1,616
1,617
1,619
1,620
1,621
1,622
1,624
1,625
1,626
1,627
1,629
1,630
1,631
1,632
1,634
1,635
1,636
1,637
1,639
]/lOn
3,434
3,437
3,440
3,443
3,445
3,448
3,451
3,454
3,457
3,459
3,462
3,465
3,468
3,471
3,473
3,476
3,479
3,482
3,484
3,487
3,490
3,493
3,495
3,498
3,501
3,503
3,506
3,509
3,512
3,514
3,517
3,520
3,522
3,525
3,528
3,530
3,_
|/100«
7,399
7,405
7,411
7,417
7,423
7,429
7,435
7,441
7,447
7,453
7,459
7,465
7,471
7,477
7,483
7,489
7,495
7,501
7,507
7,513
7,518
7,524
7,530
7,536
7,542
7,548
7,554
7,560
7,565
7,571
7,577
7,583
7,589
7,594
7,600
7,606

26 I. Tablice
n
4,75
4,76
4,77
4,78
4,79
4,80
4,81
4,82
4,83
4,84
4,85
4,86
4,87
4,88
4,89
4,90
4,91
4,92
4,93
4,94
4,95
4,96
4,97
4,98
4,99
5,00
5,01
5,02
5,03
5,04
5,05
5,06
5,07
5,08
5,09
5,10
n*
22,56
22,66
22,75
22,85
22,94
23,04
23,14
23,23
23,33
23,43
23,52
23,62
23,72
23,81
23,91
24,01
24,11
24,21
24,30
24,40
24,50
24,60
24,70
24,80
24,90
25,00
25,10
25,20
25,30
25,40
25,50
25,60
25,70
25,81
25,91
26,01
«*
107,2
107,9
108,5
109,2
109,9
110,6
111,3
112,0
112,7
113,4
114,1
114,8
115,5
116,2
116,9
117,6
118,4
119,1
119,8
120,6
121,3
122,0
122,8
123,5
124,3
125,0
125,8
126,5
127,3
128,0
128,8
129,6
130,3
131,1
131,9
132,7
fn
2,179
2,182
2,184
2,186
2,189
2,191
2,193
2,195
2,198
2,200
2,202
2,205
2,207
2,209
2,211
2,214
2,216
2,218
2,220
2,223
2,225
2,227
2,229
2,232
2,234
2,236
2,238
2,241
2,243
2,245
2,247
2,249
2,252
2,254
2,256
2,258
/lOn
6,892
6,899
6,907
6,914
6,921
6,928
6,935
6,943
6,950
6,957
6,964
6,971
6,979
6,986
6,993
7,000
7,007
7,014
7,021
7,029
7,036
7,043
7,050
7,057
7,064
7,071
7,078
7,085
7,092
7,099
7,106
7,113
7,120
7,127
7,134
7,141
3,—
1,681
1,682
1,683
1,685
1,686
1,687
1,688
1,689
1,690
1,692
1,693
1,694
1,695
1,696
1,697
1,698
1,700
1,701
1,702
1,703
1,704
1,705
1,707
1,708
1,709
1,710
1,711
1,712
1,713
1,715
1,716
1,717
1,718
1,719
1,720
1,721
a,—
y\On
3,622
3,624
3,627
3,629
3,632
3,634
3,637
3,639
3,642
3,644
3,647
3,649
3,652
3,654
3,657
3,659
3,662
3,664
3,667
3,669
3,672
3,674
3,677
3,679
3,682
3,684
3,686
3,689
3,691
3,694
3,696
3,699
3,701
3,704
3,706
3,708
[/IOOm
7,802
7,808
7,813
7,819
7,824
7,830
7,835
7,841
7,846
7,851
7,857
7,862
7,868
7,873
7,878
7,884
7,889
7,894
7,900
7,905
7,910
7,916
7,921
7,926
7,932
7,937
7,942
7,948
7,953
7,958
7,963
7,969
7,974
7,979
7,984
7,990
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki 27
n
5,10
5,11
5,12
5,13
5,14
5,15
5,16
5,17
5,18
5,19
5,20
5,21
5,22
5,23
5,24
5,25
5,26
5,27
5,28
5,29
5,30
5,31
5,32
5,33
5,34
5,35
5,36
5,37
5,38
5,39
5,40
5,41
5,42
5,43
5,44
5,45
rfi
26,01
26,11
26,21
26,32
26,42
26,52
26,63
26,73
26,83
26,94
27,04
27,14
27,25
2735
27,46
27,56
27,67
27,77
27,88
27,98
28,09
28,20
28,30
28,41
28,52
28,62
28,73
2834
28,94
29,05
29,16
29,27
29,38
29,48
29,59
29,70
«»
132,7
133,4
134,2
135,0
135,8
136,6
137,4
138,2
139,0
139,8
140,6
141,4
142,2
143,1
143,9
144,7
145,5
146,4
147,2
148,0
148,9
149,7
150,6
151,4
152^
153,1
154,0
154,9
155,7
156,6
157,5
158,3
159,2
160,1
161,0
161,9
Vn
2,258
2,261
2,263
2,265
2,267
2,269
2,272
2,274
2,276
2,278
2,280
2,283
2,285
2,287
2,289
2,291
2,293
2,296
2,298
2,300
2^02
2,304
2,307
2,309
2,311
2,313
2,315
2,317
2,319
2,322
2,324
2,326
2,328
2,330
2,332
2,335
|/lO»
7,141
7,148
7,155
7,162
7,169
7,176
7,183
7,190
7,197
7,204
7,211
7,218
7,225
7,232
7,239
7,246
7,253
7,259
7,266
7,273
7,280
7,287
7,294
7,301
7,308
7,314
7,321
7,328
7,335
7,342
7,348
7355
7,362
7,369
7,376
7,382
1,721
1,722
1,724
1,725
1,726
1,727
1,728
1,729
1,730
1,731
1,732
1,734
1,735
1,736
1,737
1,738
1,739
1,740
1,741
1,742
1,744
1,745
1,746
1,747
1,748
1,749
1,750
1,751
1,752
1,753
1,754
1,755
1,757
1,758
1,759
1,760
3,
J/lO/j
3,708
3,711
3,713
3,716
3,718
3,721
3,723
3,725
3,728
3,730
3,733
3,735
3,737
3,740
3,742
3,744
3,747
3,749
3,752
3,754
3,756
3,759
3,761
3,763
3,766
3,768
3,770
3,773
3,775
3,777
3,780
3,782
3,784
3,787
3,789
3,791
3,-
j/lOOrt
7,990
7,995
8,000
8,005
8,010
8,016
8,021
8,026
8,031
8,036
8,041
8,047
8,052
8,057
8,062
8,067
8,072
8,077
8,082
8,088
8,093
8,098
8,103
8,108
8,113
8,118
8,123
8,128
8,133
8,138
8,143
8,148
8,153
8,158
8,163
8,168

5"
o
u>
4*
T'S
00
;4
o>
•0
3,8
5,7
i©
i"
(O
jft
^
-1
•6
c*
Ul
7n
«
Ul
,Ut
00
y
y
,40
4*
-J
s
Ul
3,8
oi
s
s-s
3,18
3,29
JO J-
(O O
-J -4
Ol \p
tf $
4* m
y 'y
g a
Ul O
w
3,06
190,1
co
-4
Ul
to
3,8
o
oi
5,7
*-
2,9
Ul
y
:-j
oi
o
3,8
5,7
Ul
2,8
w
»-«
y
*■
vi
O
3,8
K
y
io
2,7
K)
^1
fi
to
vj
UJ
a
,U|
2,60
6,2
o
-j
Ol
~1
££
h—
Ol
5"
2,4
«
Ul
"m
-i
,-4
o
OS
3,8
■o
h«
Ul JJ1
« co
00 Ol
IO Ul
XoXo
Ul U)
^1 ;■!
Ul -4
Ul U)
fet
j 5,6
-4
2,1
Ul
2,3
"
•j
o
3,8
co
to
Ul
y
2,0
A
tn
Xo
,;-4
^
3,8
W
IW
0,4
,^i
„
*""
3,8
co
5,6
■fe
1,8
H*
9,4
Ul
■0
o
3,8
5,6
w
8,5
To
Ul
•o.
IM
3,8
W
5,6
to
00
J4
Ul
-4
-4
3,83
i 5,6
h-
1,4
-4
6,6
To
-4
*
3,8
5,60
£'T
Ol
-i
5,6
£
,^4
^
3,8
no
y
1,2
Ul
•4
4,7
To
,^4
3,8
00
5,5
■^
3,7
"u.
•0
3,8
""
00
«
-j
'S
2,8
s's
Ol
0,9
*"*
5
s
5,55
0,8
0
-1
1,0
0
•0
Ul
Ul
3,8
10
co
-4
3,8
-4
w
-4
3,8
5,5
0,6
-1
0,0
M
~4
^
y
Ul Ul
Ul Ul
168,2
169,1
10 to
-4 ^1
Ul Ul
ao "00
to fo
5,5
IM
0,3
Ch
7,3
10
T,>
-4
„
£
8'E
00
OS'S
m
0,2
Ol
*.
to
-4
>-i
3,8
5,4
Ul
0,1
165,5
M
,^1
■O
_
3,8
"
5,4
Ul
0,0
Ol
Ol
K)
"
<l
_
3,7
lT)
y
to
9,9
163,7
Si
,^4
^
3,7
m
Ul
'i.
M
9,8
*"
Ol
2,8
tO
Xhl
-4
M
"
3,7
m
5,4
to
9,7
s
5
"u.
-1
3,7
00
3
a
X.
S 1
>"
-Ę«
-^
a 1
wmmm
4*
Ul
to
10
£
-4
1,83
y
co
Ol
-4
0
Ul
Ol
PS
y
ca
w
Oi
•J
CO
Ul
Ol
w
0
y
U)
co
Ul
.?• p
,^.H
SC
wy
,«,,p°
4*
IO
0
to
Ul
,00
Ol Oi
U) U>
a s
10 to
* -4
"co Xn
U) Ul
5° 5°
■P*
,p>
■fi
u-
ft
*-
*.
.V
0
,00
ft
M
Ol
Oi
,Ol
Ul
ft
to
Ul
m
U)
co
05
Nł
91
K
y
0
4i
8
co
to
y
Ol
00
00
y
Ol
m
to
V
»"-
Ul
y
,01
s
u.
to
m
m
,co
cS
Oi
c*
K
M
K)
-4
m
Ul
,°°
S
Oi
w
to
*"
M
~]
CO
,UJ
co
Oi
£
U]
to
to
^J
00
y
ca
Ul
Ul
co
to
•0
Ol
Ul
y
s
Ul
,U1
*-*
00
to
t
Ul
tn
Ul
"
,00
Ul
*.
to
t
-.1
m
u>
co
Ul
K)
to
"
-4
no
m
co
Ol
8
£
to
to
•0
00
^0
jn
"
jji
to
to
-4
00
■"
m
co
,U1
M
M
-4
^
co
y
y
"
Ul
to
Ul
Ul
1*.
fi
10
y
■-1
fi
-4
Ul
Ji
m
!f"
co
co
,w
co
y
g
*■
*■
10
~
-4
y
y
-4
Ul
10
,*
Ul
OS
Ul
■"
.p°
Ul
co
,tF>
~1
Ul
K)
fi
Ul
co
Ul
■-J
K
01
Ul
to
-.1
*.
u>
,00
u
0
*.
■^
to
K)
"
-1
in
IM
co
en
3
to
10
*
10
*
.9°
,y
«.
s
•O
s
,v
,<°
Ul Ul
Ul tO
m m
\D ~1
to h-
Ul M
Ul \D
O id
Ul Ul
0O Ul
Co 00
■C' IO
Ul
Ul
o>
*"*
0
to
Ul
cc
£
w
£
,w
--
w
-»
£
a
-^
f\
>r
^«
?l
■^■to
SI
a 1

30 I. Tablic*
n
6,15
6,16
6,17
6,18
6,19
6,20
6,21
6,22
6,23
6,24
6,25
6,26
6,27
6,28
6,29
6,30
6,31
6,32
6,33
6,34
6,35
6,36
6,37
6,38
6,39
6,40
6,41
6,42
6,43
6,44
6,48
6,46
6,47
6,48
6,49
6,50
«s
37,82
37,95
38,07
38,19
38,32
38,44
38,56
38,69
38,81
38,94
39,06
39,19
39,31
39,44
39,56
39,69
39,82
39,94
40,07
40,20
40,32
40,45
40,58
40,70
40,83
40,96
41,09
41,22
41,34
41,47
41,60
41,73
41,86
41,99
42,12
42,25
n*
232,6
233,7
234,9
236,0
237,2
238,3
239,5
240,6
241,8
243,0
244,1
245,3
246,5
247,7
248,9
250,0
251,2
252,4
253,6
254,8
256,0
257,3
258,5
259,7
260,9
262,1
263,4
264,6
265,8
267,1
268,3
269,6
270,8
272,1
273,4
274,9
}fn
2,480
2,482
2,484
2,486
2,488
2,490
2,492
2,494
2,496
2,498
2,500
2,502
2,504
2,506
2,508
2,510
2,512
2,514
2,516
2,518
2,520
2,522
2,524
2,526
2,528
2,530
2,532
2,534
2,536
2,538
2,540
2,542
2,544
2,546
2,548
2,550
/lOn
7,842
7,849
7,855
7,861
7,868
7,874
7,880
7,887
7,893
7,899
7,906
7,912
7,918
7,925
7,931
7,937
7,944
7,950
7,956
7,962
7,969
7,975
7,981
7,987
7,994
8,000
8,006
8,012
8,019
8,025
8,031
8,037
8,044
8,050
8,056
8,062
3y—
1,832
1,833
1,834
1,835
1,836
1,837
1,838
1,839
1,840
1,841
1,842
1,843
1,844
1,845
1,846
1,847
1,848
1,849
1,850
1,851
1,852
1,853
1,854
1,855
1,856
1,857
1,858
1,859
1,860
1,860
1,861
1,862
1,863
1,864
1,865
1,866
fylCto
3,947
3,949
3,951
3,954
3,956
3,958
3,960
3,962
3,964
3,966
3,969
3,971
3,973
3,975
3,977
3,979
3,981
3,983
3,985
3,987
3,990
3,992
3,994
3,996
3,998
4,000
4,002
4,004
4,006
4,008
4,010
4,012
4,015
4,017
4,019
4,021
^100«
8,504
8,509
8,513
8,518
8,522
8,527
8,532
8,536
8,541
8,545
8,550
8,554
8,559
8,564
8,568
8,573
8,577
8,582
8,586
8,591
8,595
8,600
8,604
8,609
8,613
8,618
8,622
8,627
8,631
8,636
8,640
8,645
8,649
8,653
8,658
8,662
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki 31
n
6,50
6,51
6,52
6,53
6,54
6,55
6,56
6,57
6,58
6,59
6,60
6,61
6,62
6,63
6,64
6,65
6,66
6,67
6,68
6,69
6,70
6,71
6,72
6,73
6,74
6,75
6,76
6,77
6,78
6,79
6,80
6,81
6,82
6,83
6,48
6,85
n*
42,25
42,38
42,51
42,64
42,77
42,90
43,03
43,16
43,30
43,43
43,56
43,69
43,82
43,96
44,09
44,22
44,36
44,49
44,62
44,76
44,89
45,02
45,16
45,29
45,43
45,56
45,70
45,83
45,97
46,10"
46,24
46,38
46,51
46,65
46,79
46,92
M3
274,6
275,9
277,2
278,4
279,7
281,0
282,3
283,6
284,9
286,2
287,5
288,8
290,1
291,4
292,8
294,1
295,4
296,7
298,1
299,4
300,8
302,1
303,5
304,8
306,2
307,5
308,9
310,3
311,7
313,0
314,4
315,8
317,2
318,6
320,0
321,4
in
2,550
2,551
2,553
2,555
2,557
2,559
2,561
2,563
2,565
2,567
2,569
2,571
2,573
2,575
2,577
2,579
2,581
2,583
2,585
2,587
2,588
2,590
2,592
2,594
2,596
2,598
2,600
2,602
2,604
2,606
2,608
2,610
2,612
2,613
2,615
2,617
/lOn
8,062
8,068
8,075
8,081
8,087
8,093
8,099
8,106
8,112
8,118
8,124
8,130
8,136
8,142
8,149
8,155
8,161
8,167
8,173
8,179
8,185
8,191
8,198
8,204
8,210
8,216
8,222
8,228
8,234
8,240
8,246
8,252
8,258
8,264
8,270
8,276
1,866
1,867
1,868
1,869
1,870
1,871
1,872
1,873
1,874
1,875
1,876
1,877
1,878
1,879
1,880
1,881
1,881
1,882
1,883
1,884
1,885
1,886
1,887
1,888
1,889
1,890
1,891
1,892
1,893
1,894
1,895
1,895
1,896
1,897
1,898
1,899
3,—-
yioti
4,021
4,023
4,025
4,027
4,029
4,031
4,033
4,035
4,037
4,039
4,041
4,043
4,045
4,047
4,049
4,051
4,053
4,055
4,058
4,060
4,062
4,064
4,066
4,068
4,070
4,072
4,074
4,076
4,078
4,080
4,082
4,084
4,086
4,088
4,090
4,092
/100m
8,662
8,667
8,671
8,676
8,680
8,685
8,689
8,693
8,698
8,702
8,707
8,711
8,715
8,720
8,724
8,729
8,733
8,737
8,742
8,746
8,750
8,755
8,759
8,763
8,768
8,772
8,776
8,781
8,785
8,789
8,794
8,798
8,802
8,807
8,811
8,815

32
I. Tablice
n
6,85
6,86
6,87
6,88
6,89
6,90
6,91
6,92
6,93
6,94
6,95
6,96
6,97
6,98
6,99
7,90
7,01
7,02
7,03
7,04
7,05
7,06
7,07
7,08
7,09
7,10
7,11
7,12
7,13
7,14
7,15
7,16
7,17
7,18
7,19
7,20
»*
46,92
47,06
47,20
47,33
47,47
47,61
47,75
47,89
48,02
48,16
48,30
48,44
48,58
48,72
48,86
49,00
49,14
49,28
49,42
49,56
49,70
49,84
49,98
50,13
50,27
50,41
50,55
50,69
50,84
50,98
51,12
51,27
51,41
51,55
51,70
51,84
n3
321,4
322,8
324,2
325,7
327,1
328,5
329,9
331,4
332,8
334,3
335,7
337,2
338,6
340,1
341,5
343,0
344,5
345,9
347,4
348,9
350,4
351,9
353,4
354,9
356,4
357,9
359,4
360,9
362,5
364,0
365,5
367,1
368,6
370,1
371,7
373,2
tfT
2,617
2,619
2,621
2,623
2,625
2,627
2,629
2,631
2,632
2,634
2,636
2,638
2,640
2,642
2,644
2,646
2,648
2,650
2,651
2,653
2,655
2,657
2,659
2,661
2,663
2,665
2,666
2,668
2,670
2,672
2,674
2,676
2,678
2,680
2,681
2,683
\fWn
8,276
8,283
8,289
8,295
8,301
8,307
8,313
8,319
8,325
8,331
8,337
8,343
8,349
8,355
8,361
8,367
8,373
8,379
8,385
8,390
8,396
8,402
8,408
8,414
8,420
8,426
8,432
8,438
8,444
8,450
8,456
8,462
8,468
8,473
8,479
8,485
3,—
1,899
1,900
1,901
1,902
1,903
1,904
1,905
1,906
1,907
1,907
1,908
1,909
1,910
1,911
1,912
1,913
1,914
1,915
1,916
1,917
1,917
1,918
1,919
1,920
1,921
1,922
1,923
1,924
1,925
1,926
1,926
1,927
1,928
1,929
1,930
1,931
VlOn
4,092
4,094
4,096
4,098
4,100
4,102
4,104
4,106
4,108
4,109
4,111
4,113
4,115
4,117
4,119
4,121
4,123
4,125
4,127
4,129
4,131
4,133
4,135
4,137
4,139
4,141
4,143
4,145
4,147
4,149
4,151
4,152
4,154
4,156
4,158
4,160
j/ioon
8,815
8,819
8,824
8,828
8,832
8,837
8,841
8,845
8,849
8,854
8,858
8,862
8,866
8,871
8,875
8,879
8,883
8,887
8,892
8,896
8,900
8,904
8,909
8,913
8,917
8,921
8,925
8,929
8,934
8,938
8,942
8,946
8,950
8,955
8,959
8,963
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki
33
n
7,20
7,21
7,22
7,23
7,24
7,25
7,26
7,27
7,28
7,29
7,30
7,31
7,32
7,33
7,34
7,35
7,36
7,37
7,38
7,39
7,40
7,41
7,42
7,43
7,44
7,45
7,46
7,47
7,48
7,49
7,50
7,51
7,52
7,53
7,54
7,55
«2
51,84
51,98
52,13
52,27
52,42
52,56
52,71
52,85
53,00
53,14
53,29
53,44
53,58
53,73
53,88
54,02
54,17
54,32
58,46
54,61
54,76
54,91
55,06
55,20
55,35
55,50
55,65
55,80'
55,95
56,10
56,25
56,40
56,55
56,70
56,85
J 57,00
n3
373,2
374,8
376,4
377,9
379,5
381,1
382,7
384,2
385,8
387,4
389,0
390,6
392,2
393,8
395,4
397,1
398,7
400,3
401,9
403,6
405,2
406,9
408,5
410,2
411,8
413,5
415,2
416,8
418,5
420,2
421,9
423,6
452,3
427,0
428,7
J 430,4
Vn
2,683
2,685
2,687
2,689
2,691
2,693
2,694
2,696
2,698
2,700
2,702
2,704
2,706
2,707
2,709
2,711
2,713
2,715
2,717
2,718
2,720
2,722
2,724
2,726
2,728
2,729
2,731
2,733
2,735
2,737
2,739
2,740
2,742
2,744
2,746
2,748
|/l0n
8,485
8,491
8,497
8,503
8,509
8,515
8,521
8,526
8,532
8,538
8,544
8,550
8,556
8,562
8,567
8,573
8,579
8,585
8,591
8,597
8,602
8,608
8,614
8,620
8,626
8,631
8,637
8,643
8,649
8,654
8,660
8,666
8,672
8,678
8,683
8,689
fcT
1,931
1,932
1,933
1,934
1,935
1,935
1,936
1,937
1,938
1,939
1,940
1,941
1,942
1,943
1,943
1,944
1,945
1,946
1,947
1,948
1,949
1,950
1,950
1,951
1,952
1,953
1,954
1,955
1,956
1,957
1,957
1,958
1,959
1,960
1,961
| 1,962
3/—
yion
4,160
4,162
4,164
4,166
4,168
4,170
4,172
4,174
4,176
4,177
4,179
4,181
4,183
4,185
4,187
4,189
4,191
4,193
4,195
4,196
4,198
4,200
4,202
4,204
4,206
4,208
4,210
4,212
4,213
4,215
4,217
4,219
4,221
4,223
4,225
4,227
a,
yioon
8,963
8,967
8,971
8,975
8,979
8,984
8,988
8,992
8,996
9,000
9,004
9,008
9,012
9,016
9,021
9,025
9,029
9,033
9,037
9,041
9,045
9,049
9,053
9,057
9,061
9,065
9,069
9,073
9,078
9,082
9,086
9,090
9,094
9,098
9,102
9,106

34 I. Tablice
tt
7,55
7,56
7,57
7,58
7,59
7,60
7,61
7,62
7,63
7,64
7,65
7,66
7,67
7,68
7,69
7,70
7,71
7,72
7,73
7,74
7,75
7,76
7,77
7,78
7,79
7,80
7,81
7,82
7,83
7,84
7,85
7,86
7,87
7,88
7,89
7,90
na
57,00
57,15
57,30
57,46
57,61
57,76
57,91
58,06
58,22
58,37
58,52
58,68
58,83
58,98
59,14
59,29
59,44
59,60
59,75
59,91
60,06
60,22
60,37
60,53
60,68
60,84
61,00
61,15
61,31
61,47
61,62
61,78
61,94
62,09
62,25
62,41
»a
430,4
432,1
433,8
435,5
437,2
439,0
440,7
442,5
444,2
445,9
447,7
449,5
451,2
453,0
454,8
456,5
458,3
460,1
461,9
463,7
465,5
467,3
469,1
470,9
472,7
474,6
476,4
478,2
480,0
481,9
483,7
485,6
487,4
489,3
491,2
493,0
V"
2,748
2,750
2,751
2,753
2,755
2,757
2,759
2,760
2,762
2,764
2,766
2,768
2,769
2,771
2,773
2,775
2,777
2,778
2,780
2,782
2,784
2,786
2,787
2,789
2,791
2,793
2,795
2,796
2,798
2,800
2,802
2,804
2,805
2,807
2,809
2,811
|/lO/j
8,689
8,695
8,701
8,706
8,712
8,718
8,724
8,729
8,735
8,741
8,746
8,752
8,758
8,764
8,769
8,775
8,781
8,786
8,792
8,798
8,803
8,809
8,815
8,820
8,826
8,832
8,837
8,843
8,849
8,854
8,860
8,866
8,871
8,877
8,883
8,888
3 r—
\/ir
1,962
1,963
1,964
1,964
1,965
1,966
1,967
1,968
1,969
1,970
1,970
1,971
1,972
1,973
1,974
1,975
1,976
1,976
1,977
1,978
1,979
1,980
1,981
1,981
1,982
1,983
1,984
1,985
1,986
1,987
1,987
1,988
1,989
1,990
1,991
1,992
3,
yion
4,227
4,228
4,230
4,232
4,234
4,236
4,238
4,240
4,241
4,243
4,245
4,247
4,249
4,251
4,252
4,254
4,256
4,258
4,260
4,262
4,264
4,265
4,267
4,269
4,271
4,273
4,274
4,276
4,278
4,280
4,282
4,284
4,285
4,287
4,289
4,291
f/l00n
9,106
9,110
9,114
9,118
9,122
9,126
9,130
9,134
9,138
9,142
9,146
9,150
9,154
9,158
9,162
9,166
9,170
9,174
9,178
9,182
9,185
9,189
9,193
9,197
9,201
9,205
9,209
9,213
9,217
9,221
9,225
9,229
9,233 ,
9,237
9,240
9,244
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki
n
7,90
7,91
7,92
7,93
7,94
7,95
7,96
7,97
7,98
7,99
8,60
8,01
8,02
8,03
8,04
8,95
8,06
8,07
8,08
8,09
8,10
8,11
8,12
8,13
8,14
8,15
8,16
8,17
8,18
8,19
8,20
8,21
8,22
8,23
8,24
8,25
n»
62,41
62,57
62,73
62,88
63,04
63,20
63,36
63,52
63,68
63,84
64,00
64,16
64,32
64,48
64,64
64,80
64,96
65,12
65,29
65,45
65,61
65,77
65,93
66,10
66,26
66,42
66,59
66,75
66,91
67,08
67,24
67,40
67,57
67,73
67,90
68,06
»*
493,0
494,9
496,8
498,7
500,6
502,5
504,4
506,3
508,2
510,1
512,0
513,9
515,8
517,8
519,7
521,7
523,6
525,6
527,5
529,5
531,4
533,4
535,4
537,4
539,4
541,3
543,3
545,3
5473
549,4
551,4
553,4
555,4
557,4
559,5
561,5
(V
2,811
2,812
2,814
2,816
2,818
2,820
2,821
2,823
2,825
2,827
2,828
2,830
2,832
2,834
2,835
2,837
2,839
2,841
2,843
2,844
2,846
2,848
2,850
2,851
2,853
2,855
2,857
2,858
2,860
2,862
2,864
2,865
2,867
2,869
2,871
2,872
j/lOn
8,888
8,894
8,899
8,905
8,911
8,916
8,922
8,927
8,933
8,939
8,944
8,950
8,955
8,961
8,967
8,972
8,978
8,483
8,489
8,994
9,000
9,006
9,011
9,017
9,022
9,028
9,033
9,039
9,044
9,050
9,055
9,061
9,066
9,072
9,077
9,083
fcr
1,992
1,992
1,993
1,994
1,995
1,996
1,997
1,997
1,998
1,999
2,000
2,001
2,002
2,002
2,003
2,004
2,005
2,006
2,007
2,007
2,008
2,009
2,010
2,011
2,012
2,012
2,013
2,014
2,015
2,016
2,017
2,017
2,018
2,019
2,020
2,021
3, .
yiQn
4,291
4,293
4,294
4,296
4,298
4,300
4,302
4,303
4,305
4,307
4309
4,311
4,312
4,314
4,316
4,318
4,320
4,321
4,323
4,325
4,327
4,329
4,330
4,332
4,334
4,336
4,337
4,339
4,341
4,343
4,344
4,346
4,348
4,350
4,352
4^53
y'lOOn
9,244
9,248
9,252
9,256
9,260
9,264
9,268
9,272
9,275
9,279
9,283
9,287
9,291
9,295
9,299
9302
9,306
9,310
9,314
9,318
9322
9326
9,329
9333
9337
9,341
9345
9348
9352
9356
9,360
9364
9,368
9371
9375
9379

36 i. Tablice
n
8,25
8,26
8,27
8,28
8,29
8,30
8,31
8,32
8,33
8,34
8,35
8,36
8,37
8,38
8,39
8,40
8,41
8,42
8,43
8,44
8,45
8,46
8,47
8,48
8,49
8,50
8,51
8,52
8,53
8,54
8,55
9,56
8,37
8,58
8,59
8,60
n*
68,06
68,23
6839
68,56
68,72
68,89
69,06
69,22
69,39
69,56
69,72
69,89
70,06
70,22
70,39
70,56
70,73
70,90
71,06
71,23
71,40
71,57
71,74
71,91
72,08
72,25
72,42
72,59
72,76
72,93
73,10
73,27
73,44
73,62
73,79
73,96
«3
561,5
563,6
565,6
567,7
569,7
571,8
573,9
575,9
578,0
580,1
582,2
584,3
586,4
588,5
590,6
592,7
594,8
596,9
599,1
601,2
603,4
605,5
607,6
609,8
612,0
614,1
616,3
618,5
620,7
622,8
625,0
627,2
629,4
631,6
633,8
636,1
Vn
2,872
2,874
2,876
2,877
2,879
2,881
2,883
2,884
2,886
2,888
2,890
2,891
2,893
2,895
2,897
2,898
2,900
2,902
2,903
2,905
2,907
2,909
2,910
2,912
2,914
2,915
2,917
2,919
2,921
2,922
2,924
2,926
2,927
2,929
2,931
2,933
/io«
9,083
9,088
9,094
9,009
9,105
9,110
9,116
9,121
9,127
9,132
9,138
9,143
9,149
9,154
9,160
9,165
9,171
9,176
9,182
9,187
9,192
9,198
2,203
9,209
9,214
9,220
9,225
9,230
9,236
9,241
9,247
9,252
9,257
9,263
9,268
9,274
3._
in
2,021
2,021
2,022
2,023
2,024
2,025
2,026
2,026
2,027
2,028
2,029
2,030
2,030
2,031
2,032
2,033
2,034
2,034
2,035
2,036
2,037
2,038
2,038
2,039
2,040
2,041
3,042
2,042
2,043
2,404
2,045
2,046
2,046
2,047
2,048
2,049
3,
yion
4,353
4,355
4,357
4,359
4,360
4,362
4^64
4^66
4,367
4,369
4,371
4,373
4,374
4,376
4,378
4,380
4,381
4^83
4,385
4,386
4,388
4,390
4,392
4393
4395
4,397
4,399
4,400
4,402
4,404
4,405
4,407
4,409
4,411
4,412
4,414
3. .
/100k
9,379
9383
9,386
9,390
9,394
9,398
9,402
9,405
9,409
9,413
9,417
9,420
9,424
9,428
9,432
9,435
9,439
9,443
9,447
9,450
9,454
9,458
9,462
9,465
9,469
9,473
9,476
9,480
9,484
9,488
9,491
9,495
9,499
9,502
9306
9,510
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki 37
n
8,60
8,61
8,62
8,63
8,64
8,65
8,66
8,67
8,68
8,69
8,70
8,71
8,72
8,73
8,74
8,75
8,76
8,77
8,78
8,79
8,80
8,81
8,82
8,83
8,84
8,85
8,86
8,87
8,88
8,89
8,90
8,91
8,92
8,93
8,94
8,95
n!
73,96
74,13
74,30
74,48
74,65
74,82
75,00
75,17
75,34
75,52
75,69
75,86
76,04
76,21
7639
76,56
76,74
76,91
77,09
77,26
77,44
77,62
77,79
77,97
78,15
78,32
78,50
78,68
78,85
79,03
79,21
79,39
79,57
79,74
79,92
80,10
*3
636,1
638,3
6403
642,7
645,0
647,2
6493
651,7
654,0
656,2
6583
660,8
663,1
665,3
667,6
669,9
672,2
674,5
676,8
679,2
681,5
683,8
686,1
688,5
690,8
693,2
695,5
697,9
700,2
702,6
705,0
707,3
709,7
712,1
714,5
716,9
Vn~
2,933
2,934
2,936
2,938
2,939
2,941
2,943
2,944
2,946
2,948
2,950
2,951
2,953
2,955
2,956
2,958
2,960
2,961
2,963
2,965
2,966
2,968
2,970
2,972
2,973
2,975
2,977
2,978
2,980
2,982
2,983
2,985
2,987
2,988
2,990
2,992
|/l0n
9,274
9,279
9,284
9,290
9,295
9,301
9,306
9,311
9,317
9,322
9327
9,333
9,338
9,343
9,349
9,354
9359
9,365
9,370
9,375
9,381
9,386
9,391
9397
9,402
9,407
9,413
9,418
9,423
9,429
9,434
9,439
9,445
9,450
9,455
9,460
3,—-
2,049
2,050
2,050
2,051
2,052
2,053
2,054
2,054
2,055
2,056
2,057
2,057
2,058
2,059
2,060
2,061
2,061
2,062
2,063
2,064
2,065
2,065
2,066
2,067
2,068
2,068
2,069
2,070
2,071
2,072
2,072
2,073
2,074
2,075
2,075
2,076
/lOn
4,414
4,416
4,417
4,419
4,421
4,423
4,424
4,426
4,428
4,429
4,431
4,433
4,434
4,436
4,438
4,440
4,441
4,443
4,445
4,446
4,448
4,450
4,451
4,453
4,455
4,456
4,458
4,460
4,461
4,463
4,465
4,466
4,468
4,470
4,471
4,473
^IOOh
9,510
9,513
9,517
9,521
9324
9,528
9,532
9,535
9,539
9,543
9,546
9,550
9,554
9,557
9,561
9,565
9,568
9372
9,576
9,579
9,583
9,586
9,590
9,594
9,597
9,601
9,605
9,608
9,612
9,615
9,619
9,623
9,626
9,630
9,633
9,637

38 I. Tablice
n
8,95
8,96
8,97
8,98
8,99
9,00
9,01
9,02
9,03
9,04
9,05
9,06
9,07
9,08
9,09
9,10
9,11
9,12
9,13
9,14
9,15
9,16
9,17
9,18
9,19
9,20
9,21
9,22
9,23
9,24
9,25
9,26
9,27
9,28
9,29
9,30
n8
80,10
80,28
80,46
80,64
80,82
81,00
81,18
81,36
81,54
81,72
81,90
82,08
82,26
82,45
82,63
82,81
82,99
83,17
83,36
83,54
83,72
83,91
84,09
84,27
84,46
84,64
84,82
85,01
85,19
85,38
85,56
85,75
85,93
86,12
86,30
86,49
«s
716,9
719,3
721,7
724,2
726,6
729,0
731,4
733,9
73W
738,8
741,2
743,7
746,1
748,6
751,1
753,6
756,1
758,6
761,0
763,6
766,1
768,6
771,1
773,6
776,2
778,7
781,2
783,8
786,3
788,9
791,5
794,0
796,6
799,2
801,8
804,4
tfr
2,992
2,993
2,995
2,997
2,998
3,000
3,002
3,003
3,005
3,007
3,008
3,010
3,012
3,013
3,015
3,017
3,018
3,020
3,022
3,023
3,025
3,027
3,028
3,030
3,032
3,033
3,035
3,036
3,038
3,040
3,041
3,043
3,045
3,046
3,048
3,050
^lOn
9,460
9,466
9,471
9,476
9,482
9,487
9,492
9,497
9,503
9,508
9,513
9,518
9,524
9,529
9,534
9,539
9,545
9,550
9,555
9,560
9,566
9,571
9,576
9,581
9,586
9,592
9,597
9,602
9,607
9,612
9,618
9,623
9,628
9,633
9,638
9,644
Vn
2,076
2,077
2,078
2,079
2,079
2,080
2,081
2,082
2,082
2,083
2,084
2,085
2,085
2,086
2,087
2,088
2,089
2,089
2,090
2,091
2,092
2,092
2,093
2,094
2,095
2,095
2,096
2,097
2,098
2,098
2,099
2,100
2,101
2,101
2,102
2,103
3,
^lOn
4,473
4,475
4,476
4,478
4,480
4,481
4,483
4,485
4,486
4,488
4,490
4,491
4,493
4,495
4,496
4,498
4,500
4,501
4,503
4,505
4,506
4,508
4,509
4,511
4,513
4,514
4,516
4,518
4,519
4,521
4,523
4,524
4,526
4,527
4,529
4,531
/ioo«
9,637
9,641
9,644
9,648
9,651
9,655
9,658
9,662
9,666
9,669
9,673
9,676
9,680
9,683
9,687
9,691
9,694
9,698
9,701
9,705
9,708
9,712
9,715
9,719
9,722
9,726
9,729
9,733
9,736
9,740
9,743
9,747
9,750
9,754
9,758
9,761
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki
n
9,30
931
9,32
9,33
9,34
9,35
9,36
9,37
9,38
9,39
9,40
9,41
9,42
9,43
9,44
9,45
9,46
9,47
9,48
9,49
9,50
9,51
9,52
9,53
9,54
9,55
9,56
9,57
9,58
9,59
9,60
9,61
9,62
9,63
9,64
9,95
»2
86,49
86,68
86,86
87,05
87,24
87,42
87,61
87,80
87,98
88,17
88,36
88,55
88,74
88,92
89,11
89,30
89,49
89,68
89,87
90,06
90,25
90,44
90,63
90,82
91,01
91,20
91,39
91,58
91,78
91,97
92,16
92,35
92,54
92,74
92,93
93,12
«3
804,4
807,0
809,6
812,2
814,8
817,4
820,0
822,7
825,3
827,9
830,6
833,2
835,9
838,6
841,2
843,9
646,6
849,3
852,0
854,7
857,4
860,1
862,8
865,5
868,3
871,0
873,7
876,5
879,2
882,0
884,7
887,5
890,3
893,1
895,8
898,6
in
3,050
3,051
3,053
3,055
3,056
3,058
3,059
3,061
3,063
3,064
3,066
3,068
3,069
3,071
3,072
3,074
3,076
3,077
3,079
3,081
3,082
3,084
3,085
3,087
3,089
3,090
3,092
3,094
3,095
3,097
3,098
3,100
3,102
3,103
3,105
3,106
/lOn
9,644
9,649
9,654
9,659
9,664
9,670
9,675
9,680
9,685
9,690
9,695
9,701
9,706
9,711
9,716
9,721
9,726
9,731
9,737
9,742
9,747
9,752
9,757
9,762
9,767
9,772
9,778
9,783
9,788
9,793
9,798
9,803
9,808
9,813
9,818
9,823
Vn
2,103-
2,104
2,104
2,105
2,106
2,107
2,107
2,108
2,109
2,110
2,110
2,111
2,112
2,113
2,113
2,114
2,115
2,116
2,116
2,117
2,118
2 119
2,119
2,120
2,121
2,122
2,122
2,123
2,124
2,125
2,125
2,126
2,127
2,128
2,128
2,129
3,__
yion
4,531
4,532
4,534
4,536
4,537
4,539
4,540
4,542
4,544
4,545
4,547
4,548
4,550
4,552
4,553
4,555
4,556
4,558
4,560
4,561
4,563
4,565
4^66
4,568
4,569
4,571
4,572
4,574
4^76
4,577
4,579
4,580
4,582
4,584
4,585
4,587
fylOOn
9,761
9,764
9,768
9,771
9,775
9,778
9,782
9,785
9,789
9,792
9,796
9,799
9,803
9,806
9,810
9,813
9,817
9,820
9,824
9,827
9,830
9,834
9,837
9,841
9,844
9,848
9,851
9,855
9,858
9,861
9,865
9,868
9,872
9,875
9,879
9,882

40
I. Tablice
9,65
9,66
9,67
9,68
9,69
9,70
9,71
9,72
9,73
9,74
9,75
9,76
9,77
9,78
9,79
9,80
9,81
9,82
9,83
9,84
9,85
9,86
9,87
9,88
9,89
9,90
9,91
9,92
9,93
9,94
9,95
9,96
9,97
9,98
9,99
10,00
^
j/lOn
93,12
93,32
93,51
93,70
93,90
94,09
94,28
94,48
94,67
94,87
95,06
95,26
95,45
95,65
95,84
96,04
96,24
96,43
96,63
96,83
97,02
97,22
97,42
97,61
97,81
98,01
98,21
98,41
98,60
98,80
99,00
99,20
99,40
99,60
99,80
100,00
898,6
901,4
904,2
907,0
909,9
912,7
915,5
918,3
921,2
924,0
926,9
929,7
932,6
935,4
938,3
941,2
944,1
947,0
949,9
952,8
955,7
958,6
961,5
964,4
967,4
970,3
973,2
976,2
979,1
982,1
985,1
988,0
991,0
994,0
997,0
1 000,0
3,106
3,108
3,110
3,111
3,113
3,114
3,116
3,118
3,119
3,121
3,122
3,124
3,126
3,127
3,129
3,130
3,132
3,134
3,135
3,137
3,138
3,140
3,142
3,143
3,145
3,146
3,148
3,150
3,151
3,153
3,154
3,156
3,158
3,159
3,161
3,162
3,_
9,823
9,829
9,834
9,839
9,844
9,849
9,854
9,859
9,864
9,869
9,874
9,879
9,884
9,889
9,894
9,899
9,905
9,910
9,915
9,920
9,925
9,930
9,935
9,940
9,945
9,950
9,955
9,960
9,965
9,970
9,975
9,980
9,985
9,990
9,995
10,000
VlOtt
2,129
2,130
2,130
2,131
2,132
2,133
2,133
2,134
2,135
2,136
2,136
2,137
2,138
2,139
2,139
2,140
2,141
2,141
2,142
2,143
2,144
2,144
2,145
2,146
2,147
2,147
2,148
2,149
2,149
2,150
2,151
2,152
2,152
2,153
2,154
2,154
4,587
4,588
4,590
4,592
4,593
4,595
4,596
4,598
4,599
4,601
4,603
4,604
4,606
4,607
4,609
4,610
4,612
4,614
4,615
4,617
4,618
4,620
4,621
4,623
4,625
4,626
4,628
4,629
4,631
4,632
4,634
4,635
4,637
4,638
4,640
4,642
|/l00«
9,882
9,885
9,889
9,892
9,896
9,899
9,902
9,906
9,909
9,913
9,916
9,919
9,923
9,926
9,930
9,933
9,936
9,940
9,943
9,946
9,950
9,953
9,956
9,960
9,963
9,967
9,970
9,973
9,977
9,980
9,983
9,987
9,990
9,993
9,997
10,000
3. Potęgi liczb całkowitych
3. Potęgi liczb całkowitych
(od h = 1 do « = 100)
41
«*
1
16
81
256
625
1296
2 401
4 096
6 561
10 000
14 641
20 736
28 561
38 416
ns
1
32
243
1024
3125
7 776
16 807
32 768
59 049
100 000
161051
248 832
371 293
537 824
50 625
65 536
83 521
104976
130 321
160 000
194 481
234 256
279 841
331 776
390 625
456 976
531441
614 656
707 281
759 375
1 048 576
1 419 857
1 889 568
2 476 099
3 200 000
4 084 101
5 153 632
6 436 343
7 962 624
9 765 625
11 881 376
14 348 907
17 210 368
20 511 149

42
I. Tablice
n
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
M2
900
961
1024
1089
1 156
1225
1296
1369
1444
1521
1600
1681
1 764
1 849
1936
2 025
2 116
2 209
2 304
2 401
2 500
2 601
2 704
2 809
2 916
3 025
3 136
3 249
3 364
3 481
3 600
3 721
3 844
3 969
4 096
n*
27 000
29 791
32 768
35 937
39 304
42 875
46 656
50 653
54 872
59 319
64 000
68 921
74 088
79 507
85 184
91 125
97 336
103 823
110 592
117 649
125 000
132 651
140 608
148 877
157 464
166 375
175 616
185 193
195 112
205 379
216 000
226 981
238 328
250 047
262 144
«*
810 000
923 521
1 048 576
1 185 921
1 336 336
1 500 625
1 679 616
1 874 161
2 085 136
2 313 441
2 560 000
2 825 761
3 111696
3 418 801
3 748 096
4 100 625
4 477 456
4 879 681
5 308 416
5 764 801
6 250 000
6 765 201
7 311616
7 890 481
8 503 056
9 150 625
9 834 496
10 556 001
11316 496
12 117 361
12 960 000
13 845 841
14 776 336
15 752 961
16 777 216
«fi
24 300 000
28 629 151
33 554 432
39 135 393
45 435 424
52 521 875
60 466 176
69 343 957
79 235 168
90 224 199
102 400 000
115 856 201
130 691 232
147 008 443
164 916 224
184 528 125
205 962 976
229 345 007
254 803 968
282 475 249
312 500 000
345 025 251
380 204 032
418 195 493
459 165 024
503 284 375
550 731 776
601 692 057
656 356 768
714 924 299
777 600 000
844 596 301
916 132 832
992 436 543
1 073 741 824
3. Potęgi liczb całkowitych
43
n2
4 225
4 356
4 489
4 624
4 761
4 900
5 041
5 184
5 329
5 476
5 625
5 776
5 929
6 084
6 241
6 400
6 561
6 724
6 889
7 056
7 225
7 396
7 569
7 744
7 921
8100
8 281
8 464
8 649
8 836
9 025
9 216
9 409
9 604
9 801
10 000
H*
274 625
287 496
300 763
314 432
328 509
343 000
357 911
373 248
389 017
405 224
421 875
438 976
456 533
474 552
493 039
512 000
531441
551 368
571 787
592 704
614 125
636 056
658 503
681 472
704 969
729 000
753 571
778 688
804 357
830 584
857 375
884 736
912 673
941 192
970 299
1 000 000
n4
17 850 635
18 974 736
20 151 121
21 381 376
22 667 121
24 010 000
25 411681
26 873 856
28 398 241
29 986 576
31 640 625
33 362 176
35 153 041
37 015 056
38 950 081
40 960 000
43 046 721
45 212 176
47 458 321
49 787 136
52 200 625
54 700 316
57 289 761
59 969 536
62 742 241
65 610 000
68 574 961
71 639 296
74 805 201
78 074 896
81 450 625
84 934 656
88 529 281
92 236 816
96 059 601
100 000 000
n6
1 160 290 625
1 252 332 576
1 350 125 107
1 453 933 568
1 564 031 349
1 680 700 000
1 804 229 351
1 934 917 632
2 073 071 593
2 219 006 624
2 373 046 875
2 535 525 376
2 706 784 157
2 887 174 368
3 077 056 399
3 276 800 000
3 486 784 401
3 707 398 432
3 939 040 643
4182 119 424
4 437 053 125
4 704 270 176
4 984 209 207
5 277 319 168
5 584 059 449
5 904 900 000
6 240 321451
6 590 815 232
6 956 883 693
7 339 040 224
7 737 809 375
8 153 726 976
8 587 340 257
9 039 207 968
9 509 900 499
10 000 000 000

44
I. Tablice
4. Odwrotności
W tablicy tej podane są wartości funkcji 10000/h z dokładnością
do czterech cyfr wartościowych dla argumentów o trzech cyfrach
wartościowych zawartych w przedziale od 1,00 do 10,00. Każda
wartość funkcji znajduje się w wierszu oznaczonym dwiema
początkowymi cyframi argumentu (kolumna n) i w kolumnie, która odpowiada
trzeciej cyfrze argumentu. Na przykład 10000/2,26 = 4425. Jeżeli
argument podany jest z czterema cyframi wartościowymi, trzeba
zastosować interpolację liniową (patrz str. U). Należy zwrócić uwagę na to,
że poprawki interpolacyjne tutaj odejmuje się, a nie dodaje.
Liczby umieszczone w tablicy możemy uważać za cyfry dziesiętne
występujące po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym 1 jn; na przykład
1 /2,26 = 0,4425. Aby znaleźć wartość 1 /« dla n > 10 lub n < 1, należy
wziąć pod uwagę, że przy mnożeniu n przez 10fc wartość Xjn trzeba
pomnożyć przez 10~fc, tzn. że przesunięcie przecinka dziesiętnego
w liczbie nok cyfr na prawo powoduje przesunięcie przecinka w liczbie
ljn o k miejsc w lewo i odwrotnie. Na przykład 1/22,6 = 0,04425,
a 1/0,0226 = 44,25.
n
1,0
1.1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
10000
9091
8333
7692
7143
6667
6250
5882
5556
5263
5000
4762
4545
4348
4167
4000
3846
3704
3571
3448
1
9901
9009
8264
7634
7092
6623
6211
5848
5525
5236
4975
4739
4525
4329
4149
3984
3831
3690
3539
3436
2
9804
8929
8197
7576
7042
6579
6173
5814
5495
5208
4950
4717
4505
4310
4132
3968
3817
3676
3546
3425
3
9709
8850
8130
7519
6993
6536
6135
5780
5464
5181
4926
4695
4484
4292
4115
3953
3802
3663
3534
3413
4
9615
8772
8065
7463
6944
6494
6098
5747
5435
5155
4902
4673
4464
4274
4098
3937
3788
3650
3521
3401
5
9524
8696
8000
7407
6897
6452
6061
5714
5405
5128
4878
4651
4444
4255
4082
3922
3774
3636
3509
3390
6
9434
8621
7937
7353
6849
6410
6024
5682
5376
5102
4854
4630
4425
4237
4065
3906
3759
3623
3497
3378
7
9346
8547
7874
7299
6803
6369
5988
5650
5348
5076
4831
4608
4405
4219
4049
3891
3745
3610
3484
3367
8
9259
8475
7812
7246
6757
6329
5952
5618
5319
5051
4808
4587
4386
4202
4032
3376
3731
3597
3472
3356
9
9174
8403
7752
7194
6711
6289
5917
5587
5291
5025
4785
4566
4367
4184
4016
3861
3717
3584
3460
3344

5. Silnie i ich odwrotności
47
5. Silnie i ich odwrotności
Silnie
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 10
n
1
2
5
6
8
9
10
11
13
14
15
ni
1
2
6
24
120
720
5 040
40 320
362 880
3 628 800
"I
11
14
15
16
17
18
19
20
39 916 800
479 001 600
6 227 020 800
87 178 291 200
1 307 674 368 000
20 922 789 888 000
355 687 428 096 000
6 402 373 705 728 000
121645 100 408 832 000
2 432 902 008 176 640 000
Odwrotności silni (*)
1
1,000000
0,500000
0,166667
0,041667
0,0*83333
0,0213889
0,0319841
0,0424802
0,0*27557
0,0=27557
0,0'25052
0,0*20877
0,0916059
0,010 H471
0,0la76472
n
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
"ni
0,0W47795
0,0,428115
0,0,£156I9
0,0l782206
0,01S41103
0,01019573
0,0**88968
0,0i238682
0,0s316117
0,02S64470
0,02a24796
0,0as91837
0,0M32799
0,0MH310
O,03!37700
: 0,000024802.

48 I. Tablice
6. Niektóre potęgi liczb 2, 3, 5
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2«
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2 048
4 096
8192
16 384
32 768
65 536
131 072
262 144
524 288
1 048 576
yt
3
9
27
81
243
729
2 187
6 561
19 683
59 049
177 147
531441
1 594 323
4 782 969
14 348 907
43 046 721
129 140 163
387 420 489
1 162 261 467
3 486 784 401
5"
5
25
125
625
3 125
15 625
78 125
390 625
1 953 125
9 765 625
48 828 125
244 140 625
1 220 703 125
6 103 515 625
30 517 578 125
152 587 890 625
762 939 453 125
3 814 697 265 625
19 073 486 328 125
95 367 431 640 625
7. Logarytmy dziesiętne
Tablica ta służy do znajdowania dziesiętnych logarytmów liczb.
Dla danej liczby najpierw wyznaczamy cechę logarytmu, według reguł
podanych na str. 165, a potem znajdujemy w tablicach mantysc. Dla
liczb o trzech cyfrach wartościowych szukamy mantysy w wierszu
oznaczonym dwiema początkowymi cyframi wartościowymi (kolumna
N) i w kolumnie, która odpowiada trzeciej cyfrze. Mantysy
logarytmów w tej tablicy są czterocyfrowe. Jeżeli szukana liczba ma więcej
niż trzy cyfry wartościowe, należy zastosować interpolację liniową
(patrz str. 11). Przy tym poprawkę interpolacyjną wyznacza się tylko
dla czwartej liczby wartościowej; szukanie poprawki dla piątej cyfry
ma sens jedynie wtedy, gdy pierwszą cyfrą wartościową jest 1 lub 2.
Przykład. Mamy log254,3 = 2,4053 (do 4048 dodajemy
poprawkę 0,3- 17 = 5,1).
7. Logarytmy dziesiętne 49
N
10
U
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
0
0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
3010
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
6021
6128
6232
6335
6435
1
0043
0453
0828
1173
1492
1790
2068
2330
2577
2810
3032
3243
3444
3636
3820
3997
4166
4330
4487
4639
4786
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6031
6138
6243
6345
6444
2
0086
0492
0864
1206
1523
1818
2095
2355
2601
2833
3054
3263
3464
3655
3838
4014
4183
4346
4502
4654
4800
4942
5079
5211
5340
5465
5587
5705
5821
5933
6042
6149
6253
6355
6454
3
0128
0531
0899
1239
1553
1847
2122
2380
2625
2856
3075
3284
3483
3674
3856
4031
4200
4362
4518
4669
4814
4955
5092
5224
5353
5478
5599
5717
5832
5944
6053
6160
6263
6365
6464
4
ono
0569
0934
1271
1584
1875
2148
2405
2648
2878
3096
3304
3502
3692
3874
4048
4216
4378
4533
4683
4829
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
6170
6274
6375
6474
5
0212
0607
0969
1303
1614
1903
2175
2430
2672
2900
3118
3324
3522
3711
3892
4065
4232
4393
4548
4698
4843
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
6180
6284
6385
6484
6
0253
0645
1004
1335
1644
1931
2201
2455
2695
2923
3139
3345
3541
3729
3909
4082
4249
4409
4564
4713
4857
4997
5132
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
6191
6294
6395
6493
7
0294
0682
1038
1367
1673
1959
2227
2480
2718
2945
3160
3365
3560
3747
3927
4099
4265
4425
4579
4728
4871
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
6201
6304
6405
6503
8
0334
0719
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
3181
3385
3579
3766
3945
4116
4281
4440
4594
4742
4886
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
5888
5999
6107
6212
6314
6415
6513
9
0374
0755
1106
1430
1732
2014
2279
2529
2765
2989
3201
3404
3598
3784
3962
4133
4298
4456
4609
4757
4900
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
6222
6325
6425
6522
f

7. Logarytmy dziesiętne
51
N
80
31
82
83
84
8S
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
0
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
1
9036
9090
9143
9196
9248
9299
9350
9400
9450
9499
9547
9595
9643
9689
9736
9782
9827
9872
9917
9961
2
9042
9096
9149
9201
9253
9304
9355
9405
9455
9504
9552
9600
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
3
9047
9101
9154
9206
9258
9309
9360
9410
9460
9509
9557
9605
9652
9699
9745
9791
9836
9881
9926
9969
4
9053
9106
9159
9212
9263
9315
9365
9415
9465
9513
9562
9609
9657
9703
9750
9795
9841
9886
9930
9974
5
9058
9112
9156
9217
9269
9320
9370
9420
9469
9518
9566
9614
9661
9708
9754
9800
9845
9890
9934
9978
6
9063
9117
9370
9222
9274
9325
9375
9425
9474
9523
9571
9619
9666
9713
9759
9805
9850
9894
9939
9983
7
9069
9122
9175
9227
9279
9330
9380
9430
9479
9528
9576
9624
9671
9717
9763
9803
9854
9899
9943
9987
8
9074
9128
9180
9232
9284
9335
9385
9435
9484
9533
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
9
9079
9133
9186
9238
9289
9340
9390
9440
9489
9538
9586
9633
9680
9727
9773
9818
9863
9908
9952
9996
8. Antylogarytmy
Tablica antylogarytmów (x) służy do znajdowania liczby według
jej logarytmu dziesiętnego. W tablicy tej wartościami argumentu są
trzycyfrowe mantysy logarytmów. Antylogarytm, czyli układ cyfr
wartościowych, któremu odpowiada dana mantysa logarytmu, znajdujemy
w wierszu oznaczonym dwiema początkowymi cyframi mantysy
(kolumna m) i w kolumnie, która odpowiada trzeciej cyfrze mantysy.
Antylogarytmy podane są z czterema cyframi wartościowymi. Aby
uwzględnić czwartą cyfrę mantysy, należy dodać do liczby poprawkę
interpolacyjną. Cecha logarytmu pozwoli położyć w otrzymanej
liczbie przecinek dziesiętny według zasad podanych na str. 165.
(') Liczba y, której logarytm dziesiętny Jest równy x, nazywa się antyhgarytmem
liczby x. w" tnyśl określenia logarytmu (patrz str. 163) funkcja ta pokrywa się z funkcją
wykładniczą y = 10*. Liczba ta nosi nazwę numerus logarythmi, albo po prostu: »«-
merus. Jest to funkcja odwrotna względem funkcji logarytmicznej.

52
I. Tablice
Przykłady: logx = 1,2763, x = 18,89 (do liczby 1888
znalezionej w tablicy dodajemy poprawkę 0,3 • 4 = 1,2); w wyniku
oddzielamy przecinkiem dwie cyfry początkowe, ponieważ cecha loga-
rytmu równa się jedności. Jeżeli logs: = 2,2763, to x = 0,01889.
Wyniki te można zapisać w następujący sposób: 10lj27aa = 18,89,
10-1'7337 = 0,01889, ponieważ 2,2763 = -1,7237.
m
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0
1000
1023
1047
1072
1096
1122
1148
1175
1202
1230
1259
1288
1318
1349
1380
1413
1445
1479
1514
1549
1585
1622
1660
1698
1738
1778
1820
1862
1905
1950
1
1002
1026
1050
1074
1099
1125
1151
1178
1205
1233
1262
1291
1321
1352
1384
1416
1449
1483
1517
1552
1589
1626
1663
1702
1742
1782
1824
1866
1910
1954
2
1005
1028
1052
1076
1102
1127
1153
1180
1208
1236
1265
1294
1324
1355
1387
1419
1452
I486
1521
1556
1592
1629
1667
1706
1746
1786
1828
1871
1914
1959
3
1007
1030
1054
1079
1104
1130
1156
1183
1211
1239
1268
1297
1327
1358
1390
1422
1455
1489
1524
1560
1596
1633
1671
1710
1750
1791
1832
1875
1919
1963
4
1009
1033
1057
1081
1107
1132
1159
1186
1213
1242
1271
1300
1330
1361
1393
1426
1459
1493
1528
1563
1600
1637
1675
1714
1754
1795
1837
1879
1923
1968
5
1012
1035
1059
1084
1109
1135
1161
1189
1216
1245
1274
1303
1334
1365
1396
1429
1462
1496
1531
1567
1603
1641
1679
1718
1758
1799
1841
1884
1928
1972
6
1014
1038
1062
1086
1112
1138
1164
1191
1219
1247
1276
1306
1337
1368
1400
1432
1466
1500
1535
1570
1607
1644
1683
1722
1762
1803
1845
1888
1932
1977
7
1016
1040
1064
1089
1114
1140
1167
1194
1222
1250
1279
1309
1340
1371
1403
1435
1469
1503
1538
1574
1611
1648
1687
1726
1766
1807
1849
1892
1936
1982
8
1019
1042
1067
1091
1117
1143
1169
1197
1225
1253
1282
1312
1343
1374
1406
1439
1472
1507
1542
1578
1614
1652
1690
1730
1770
1811
1854
1897
1941
1986
9
1021
1045
1069
1094
1119
1146
1172
1199
1227
1256
1285
1315
1346
1377
1409
1442
1476
1510
1545
1581
1618
1656
1694
1734
1774
1816
1858
1901
1945
1991

54
m
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
0
4467
4571
4677
4786
4898
5012
5129
5248
5370
5495
5623
5754
5888
6026
6166
6310
6457
6607
6761
6918
7079
7244
7413
7586
7762
7943
8128
8318
8511
8710
8913
9120
9333
9550
9772 |
1
4477
4581
4688
4797
4909
5023
5140
5260
5383
5508
5636
5768
5902
6039
6180
6324
6471
6622
6776
6934
7096
7261
7430
7603
7780
7962
8147
8337
8531
8730
8933
9141
9354
9572
9795
2
4487
4592
4699
4808
4920
5035
5152
5272
5395
5521
5649
5781
5916
6053
6194
6339
6486
6637
6792
6950
7112
7278
7447
7621
7798
7980
8166
8356
8551
8750
8954
9162
9376
9594
9817 J
3
4498
4603
4710
4819
4932
5047
5164
5284
5408
5534
5662
5794
5929
6067
6209
6353
6501
6653
6808
6966
7129
7295
7464
7638
7816
7998
8185
8375
8570
8770
8974
9183
9397
9616
9840
I. Tab
4
4508
4613
4721
4831
4943
5058
5176
5297
5420
5546
5675
5808
5943
6081
6223
6368
6516
6668
6823
6982
7145
7311
7482
7656
7834
8017
8204
8395
8590
8790
8995
9204
9419
9638
9863
ice
5
4519
4624
4732
4842
4955
5070
5188
5309
5433
5559
5689
5821
5957
6095
6237
6383
6531
6683
6839
6998
7161
7328
7499
7674
7852
8035
8222
8414
8610
8810
9016
9226
9441
9661
9886
6
4529
4634
4742
4853
4966
5082
5200
5321
5445
5572
5702
5834
5970
6109
6252
6397
6546
6699
6855
7015
7178
7345
7516
7691
7870
8054
8241
8433
8630
8831
9036
9247
9462
9683
9908
7
4539
4645
4753
4864
4977
5093
5212
5333
5458
5585
5715
5848
5984
6124
6266
6412
6561
6714
6871
7031
7194
7362
7534
7709
7889
8072
8260
8453
8650
8851
9057
9268
9484
9705
9931
8
4550
4656
4764
4875
4989
5105
5224
5346
5470
5598
5728
5861
5998
6138
6281
6427
6577
6730
6887
7047
7211
7379
7551
7727
7907
8091
8279
8472
8670
8872
9078
9290
9506
9727
9954
9
4560
4667
4775
4887
5000
5117
5236
5358
5483
5610
5741
5875
6012
6152
6295
6442
6592
6745
6902
7063
7228
7396
7568
7745
7925
8110
8299
8492
8690
8892
9099
9311
9528
9750
9977
9. Funkcje trygonometryczne
55
9. Funkcje trygonometryczne
Słnus
Stopnie | 0'
10'
20'
30'
40'
50'
60'
0 \
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
60'
0,0029
0,0204
0,0378
0,0552
0,0727
0,0901
0,1074
0,1248
0,1421
0,1593
0,1765
0,1937
0,2108
0,2278
0,2447
0,2616
0,2784
0,2952
0,3118
0,3283
0,3448
0,3611
0,3773
0,3934
0,4094
0,4253
0,4410
0,4566
0,4720
0,4874
0,5025
0,5175
0,5324
0,5471
0,5616
0,5760
0,5901
0,6041
0,6180
0,6316
0,6450
0,6583
0,6713
0,6841
0,6967
0,7092
50'
0,0058
0,0233
0,0407
0,0581
0,0756
0,0929
0,1103
0,1276
0,1449
0,1622
0,1794
0,1965
0,2136
0,2306
0,2476
0,2644
0,2812
0,2979
0,3145
0,3311
0,3475
0,3638
0,3800
0,3961
0,4120
0,4279
0,4436
0,4592
0,4746
0,4899
0,5050
0,5200
0,5348
0,5495
0,5640
0,5783
0,5925
0,6065
0,6202
0,6338
0,6472
0,6604
0,6734
0,6862
0,6988
0,7112
40'
0,0087
0,0262
0,0436
0,0610
0,0785
0,0958
0,1132
0,1305
0,1478
0,1650
0,1822
0,1994
0,2164
0,2334
0,2504
0,2672
0,2840
0,3007
0,3173
0,3338
0,3502
0,3665
0,3827
0,3987
0,4147
0,4305
0,4462
0,4617
0,4772
0,4924
0,5075
0,5225
0,5373
0,5519
0,5664
0,5807
0,5948
0,6088
0,6225
0,6361
0,6494
0,6626
0,6756
0,6884
0,7009
0,7133
30'
Cosinus
0,0116
0,0291
0,0465
0,0640
0,0814
0,0987
0,1161
0,1334
0,1507
0,1679
0,1851
0,2022
0,2193
0,2363
0,2532
0,2700
0,2868
0,3035
0,3201
0,3365
0,3529
0,3692
0,3854
0,4014
0,4173
0,4331
0,4488
0,4643
0,4797
0,4950
0,5100
0,5250
0,5398
0,5544
0,5688
0,5831
0,5972
0,6111
0,6248
0,6383
0,6517
0,6648
0,6777
0,6905
0,7030
0,7153
20'
0,0145
0,0320
0,0494
0,0669
0,0843
0,1016
0,1190
0,1363
0,1536
0,1708
0,1880
0,2051
0,2221
0,2391
0,2560
0,2728
0,2896
0,3062
0,3228
0,3393
0,3557
0,3719
0,3881
0,4041
0,4200
0,4358
0,4514
0,4669
0,4823
0,4975
0,5125
0,5275
0,5422
0,5568
0,5712
0,5854
0,5995
0,6134
0,6271
0,6406
0,6539
0,6670
0,6799
0,6926
0,7050
0,7173
10'
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,7193
0'

56
I. Tablice
Sinus
Stopnie
45 i
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
-
0'
0,7071
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
60'
10'
0,7092
0,7214
0,7333
0,7451
0,7566
0,7679
0,7790
0,7898
0,8004
0,8107
0,8208
0,8307
0,8403
0,8496
0,8687
0,8675
0,8760
0,8843
0,8923
0,9001
0,9075
0,9147
0,9216
0,9283
0,9346
0,9407
0,9465
0,9520
0,9572
0,9621
0,9667
0,9710
0,9750
0,9787
0,9822
0,9853
0,9881
0,9907
0,9929
0,9948
0,9964
0,9978
0,9988
0,9995
0,9999
50'
20'
0,7112
0,7234
0,7353
0,7470
0,7585
0,7698
0,7808
0,7916
0,8021
0,8124
0,8225
0,8323
0,8418
0,8511
0,8601
0,8689
0,8774
0,8857
0,8936
0,9013
0,9088
0,9159
0,9228
0,9293
0,9356
0,9417
0,9474
0,9528
0,9580
0,9628
0,9674
0,9717
0,9757
0,9793
0,9827
0,9858
0,9886
0,9911
0,9932
0,9951
0,9967
0,9980
0,9989
0,9996
0,9999
40'
30'
0,7132
0,7254
0,7373
0,7490
0,7604
0,7716
0,7826
0,7934
0,8039
0,8141
0,8241
0,8339
0,8434
0,8526
0,8616
0,8704
0,8788
0,8870
0,8949
0,9026
0,9100
0,9171
0,9239
0,9304
0,9367
0,9426
0,9483
0,9537
0,9588
0,9636
0,9681
0,9724
0,9763
0,9799
0,9833
0,9863
0,9890
0,9914
0,9936
0,9954
0,9969
0,9981
0,9990
0,9997
1,0000
30'
40'
0,7153
0,7274
0,7392
0,7509
0,7623
0,7735
0,7844
0,7951
0,8056
0,8158
0,8258
0,8355
0,8450
0,8542
0,8631
0,8718
0,8802
0,8884
0,8962
0,9038
0,9112
0,9182
0,9250
0,9315
0,9377
0,9436
0,9492
0,9546
0,9596
0,9644
0,9689
0,9730
0,9769
0,9805
0,9838
0,9868
0,9894
0,9918
0,9939
0,9957
0,9971
0,9983
0,9992
0,9997
1,0000
20'
50'
0,7173
0,7294
0,7412
0,7528
0,7642
0,7753
0,7862
0,7969
0,8073
0,8175
0,8274
0,8371
0,8465
0,8557
0,8646
0,8732
0,8816
0,8897
0,8975
0,9051
0,9124
0,9194
0,9261
0,9325
0,9387
0,9446
0,9502
0,9555
0,9605
0,9652
0,9696
0,9737
0,9775
0,9811
0,9843
0,9872
0,9899
0,9922
0,9942
0,9959
0,9974
0,9985
0,9993
0,9998
1,0000
10'
60'
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
C
-
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
t o
Stopnie
Cosinus
9. Funkcje trygonometryczne
Tangens
57
Stopnie
o i
1 *
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
*-
0'
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
10'
0,0029
0,0204
0,0378
0,0553
0,0729
0,0904
0,1080
0,1257
0,1435
0,1614
0,1793
0,1974
0,2156
0,2339
0,2524
0,2711
0,2899
0,3089
0,3281
0,3476
0,3673
0,3872
0,4074
0,4279
0,4487
0,4699
0,4913
0,5132
0,5354
0,5581
0,5812
0,6048
0,6289
0,6536
0,6787
0,7046
0,7310
0,7581
0,7860
0,8146
0,8441
0,8744
0,9057
0,9380
0,9713
1,0058
60' | 50'
20' 1 30'
0,0058
0,0233
0,0407
0,0582
0,0758
0,0934
0,1110
0,1287
0,1465
0,1644
0,1823
0,2004
0,2186
0,2370
0,2555
0,2742
0,2931
0,3121
0,3314
0,3508
0,3706
0,3906
0,4103
0,4314
0,4522
0,4734
0,4950
0,5169
0,5392
0,5619
0,5851
0,6088
0,6330
0,5677
0,6830
0,7089
0,7355
0,7627
0,7907
0,8195
0,8491
0,8796
0,9110
0,9435
0,9770
1,0117
40'
0,0087
0,0262
0,0437
0,0612
0,0787
0,0963
0,1139
0,1317
0,1495
0,1673
0,1853
0,2035
0,2217
0,2401
0,2586
0,2773
0,2962
0,3153
0,3346
0,3541
0,3739
0,3939
0,4142
0,4348
0,4557
0,4770
0,4986
0,5206
0,5430
0,5658
0,5890
0,6128
0,6371
0,6619
0,6873
0,7133
0,7400
0,7673
0,7954
0,8243
0,8541
0,8847
0,9163
0,9490
0,9827
1,0176
30'
40'
0,0116
0,0291
0,0466
0,0641
0,0816
0,0992
0,1169
0,1346
0,1524
0,1703
0,1883
0,2065
0,2247
0,2432
0,2617
0,2805
0,2994
0,3185
0,3378
0,3574
0,3772
0,3973
0,4176
0,4383
0,4592
0,4806
0,5022
0,5243
0,5467
0,5696
0,5930
0,6168
0,6412
0,6661
0,6916
0,7177
0,7445
0,7720
0,8002
0,8292
0,8591
0,8899
0,9217
0,9545
0,9884
1,0235
20'
50'
0,0145
0,0320
0,0459
0,0670
0,0846
0,1022
0,1198
0,1376
0,1554
0,1733
0,1914
0,2095
0,2278
0,2462
0,2648
0,2836
0,3026
0,3217
0,3411
0,3607
0,3805
0,4006
0,4210
0,4417
0,4628
0,4841
0,5059
0,5280
0,5505
0,5735
0,5969
0,6208
0,6453
0,6703
0,6959
0,7221
0,7490
0,7766
0,8050
0,8342
0,8642
0,8952
0,9271
0,9601
0,9942
1,0295
10'
60'
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2670
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
1,0355
O'
-
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
63
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
f 44
Stopnie
Cotangens

10. Funkcje wykładnicze, hiperboli czne, trygonometryczne 59
10. Funkcje wykładnicze i hiperfaoliczne oraz funkcje
trygonometryczne (dla x od o do 1,6)
Tablica ta zawiera wartości funkcji wykładniczych ex i e-1, hiper-
bolicznych sinhx, coshx i tghx oraz trygonometrycznych sin x, cos x
i tgx dla wartości a; od 0 do 1,6, przy czym dla funkcji
trygonometrycznych argument x wyrażony jest w radianach. W celu wyznaczenia
wartości funkcji wykładniczych i hiperbolicznych dla x > 1,6 należy
posługiwać się tablicą 11. Natomiast przy obliczaniu funkcji
trygonometrycznych dla x>l,6 posługujemy się załączoną tabliczką
wielokrotności ^n i it.
Przykłady. 1. sin 7,5 = sin(5 • ~n -0,35398) = cos0,35398 =
= 0,9380 (interpolacja liniowa).
2. sin29 = sin(9n+0,72567) = -sin0,72567 = -0,6637
(interpolacja liniowa).
X
0,60
01
02
03
04
0,05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0,25
e*
1,0000
1,0101
1,0202
1,0305
1,0408
1,0513
1,0618
1,0725
1,0833
1,0942
1,1052
1,1163
1,1275
1,1388
1,1503
1,1618
1,1735
1,1853
1,1972
1,2092
1,2214
1,2337
1,2461
1,2586
1,2712
1,2840
«-*
1,0000
0,9900
0,9802
0,9704
0,9608
0,9512
0,9418
0,9324
0,9231
0,9139
0,9048
0,8958
0,8869
0,8781
0,8694
0,8607
0,8521
0,8437
0,8353
0,8270
0,8187
0,8106
0,8025
0,7945
0,7866
0,7788
stnhx
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0701
0,0801
0,0901
0,1002
0,1102
0,1203
0,1304
0,1405
0,1506
0,1607
0,1708
0,1810
0,1911
0,2013
0,2115
0,2218
0,2320
0,2423
0,2526
coshx !
1,0000
1,0001
1,0002
1,0005
1,0008
1,0013
1,0018
1,0025
1,0032
1,0041
1,0050
1,0061
1,0072
1,0085
1,0098
1,0113
1,0128
1,0145
1,0162
1,0181
1,0201
1,0221
1,0243
1,0266
1,0289
1,0314
tghx |
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0599
0,0699
0,0798
0,0898
0,0997
0,1096
0,1194
0,1293
0,1391
0,1489
0,1586
0,1684
0,1781
0,1877
0,1974
0,2070
0,2165
0,2260
0,2355
0,2449
sinx J
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0699
0,0799
0,0899
0,0998
0,1098
0,1197
0,1296
0,1395
0,1494
0,1593
0,1692
0,1790
0,1889
0,1987
0,2085
0,2182
0,2280
0,2377
0,2474
cos*
1,0000
1,0000
0,9998
0,9996
0,9992
0,9988
0,9982
0,9976
0,9968
0,9960
0,9950
0,9940
0,9928
0,9916
0,9902
0,9888
0,9872
0,9856
0,9838
0,9820
0,9801
0,9780
0,9759
0,9737
0,9713
0,9689
tg*
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0601
0,0701
0,0802
0,0902
0,1003
0,1104
0,1206
0,1307
0,1409
0,1511
0,1614
0,1717
0,1820
0,1923
0,2027
0,2131
0,2236
0,2341
0,2447
0,2553

60
I. Tablice
X
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0,45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54
0,55
56
57
58
59
0,60
tx
1,2840
1,2969
13100
1,3231
1,3364
1,3499
1,3634
1,3771
1,3910
1,4049
1,4191
1,4333
1,4477
1,4623
1,4770
1,4918
1,5068
1,5220
1,5373
1,5527
1,5683
1,5841
1,6000
1,6161
1,6323
1,6487
1,6653
1,6820
1,6989
1,7160
1,7333
1,7507
1,7683
1,7860
1,8040
1,8221
«-*
0,7788
0,7711
0,7634
0,7558
0,7483
0,7408
0,7334
0,7261
0,7189
0,7118
0,7047
0,6977
0,6907
0,6839
0,6771
0,6703
0,6637
0,6570
0,6505
0,6440
0,6376
0,6313
0,6250
0,6188
0,6126
0,6065
0,6005
0,5945
0,5886
0,5827
0,5769
0,5712
0,5655
0,5599
0,5543
0,5488
sinhx
0,2326
0,2629
0,2733
0,2837
0,2941
0,3045
0,3150
0,3255
0,3360
0,3466
0,3572
0,3678
0,3785
0,3892
0,4000
0,4108
0,4216
0,4325
0,4434
0,4543
0,4653
0,4764
0,4875
0,4986
0,5098
0,5211
0,5324
0,5438
0,5552
0,5666
0,5752
0,5897
0,6014
0,6131
0,6248
0,6367
coshx
1,0314
1,0340
1,0367
1,0395
1,0423
1,0453
1,0484
1,0516
1,0549
1,0584
1,0619
1,0655
1,0692
1,0731
1,0770
1,0811
1,0852
1,0895
1,0939
1,0984
1,1030
1,1077
1,1125
1,1174
1,1225
1,1276
1,1329
1,1383
1,1438
1,1494
1,1551
1,1609
1,1669
1,1730
1,1792
1,1855
tghx
0,2449
0,2543
0,2636
0,2729
0,2821
0,2913
0,3004
0,3095
0,3185
0,3275
0,3364
0,3452
0,3540
0,3627
0,3714
0,3799
0,3885
0,3969
0,4053
0,4136
0,4219
0,4301
0,4382
0,4462
0,4542
0,4621
0,4699
0,4777
0,4854
0,4930
0,5005
0,5080
0,5154
0,5227
0,5299
0,5370
sinx
0,2474
0,2571
0,2667
0,2764
0,2860
0,2955
0,3051
0,3146
0,3240
0,3335
0,3429
0,3523
0,3616
0,3709
0,3802
0,3894
0,3986
0,4078
0,4169
0,4259
0,4350
0,4439
0,4529
0,4618
0,4706
0,4794
0,4882
0,4969
0,5055
0,5141
0,5227
0,5312
0,5396
0,5480
0,5564
0,5646
cos x
0,9689
0,9664
0,9638
0,9611
0,9582
0,9553
0,9523
0,9492
0,9460
0,9428
0,9394
0,9359
0,9323
0,9287
0,9249
0,9211
0,9171
0,9131
0,9090
0,9048
0,9004
0,8961
0,8916
0,8870
0,8823
0,8776
0,8727
0,8678
0,8628
0,8577
0,8525
0,8473
0,8419
0,8365
0,8309
0,8253
tgx
0,2553
0,2660
0,2768
0,2876
0,2984
0,3093
0,3203
0,3314
0,3425
0,3537
0,3650
0,3764
0,3879
0,3994
0,4111
0,4228
0,4346
0,4466
0,4586
0,4708
0,4831
0,4954
0,5080
0,5206
0,5334
0,5463
0,5594
0,5726
0,5859
0,5994
0,6131
0,6269
0,6410
0,6552
0,6696
0,6841
10. Funkcje wykładnicze, hiperboliczne, trygonometryczne
61
X
0,60
61
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0,75
76
77
78
79
0,80
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
0,95
e*
1,8221
1,8404
1,8589
1,8776
1,8965
1,9155
1,9348
1,9542
1,9739
1,9937
2,0138
2,0340
2,0544
2,0751
2,0959
2,1170
2,1383
2,1598
2,1815
2,2034
2,2255
2,2479
2,2705
2,2933
2,3164
2,3396
2,3632
2,3869
2,4109
2,4351
2,4596
2,4843
2,5093
2,5345
2,5600
2,5857
e~x
0,5488
0,5434
0,5379
0,5326
0,5273
0,5220
0,5169
0,5117
0,5066
0,5016
0,4966
0,4916
0,4868
0,4819
0,4771
0,4724
0,4677
0,4630
0,4584
0,4538
. 0,4493
0,4449
0,4404
0,4360
0,4317
0,4274
0,4232
0,4190
0,4148
0,4107
0,4066
0,4025
0,3985
0,3946
0,3906
0,3867
sinhx
0,6367
0,6485
0,6605
0,6725
0,6846
0,6967
0,7090
0,7213
0,7336
0,7461
0,7586
0,7712
0,7838
0,7966
0,8094
0,8223
0,8353
0,8484
0,8615
0,8748
0,8881
0,9015
0,9150
0,9286
0,9423
0,9561
0,9700
0,9840
0,9981
1,0122
1,0265
1,0409
1,0554
1,0700
1,0847
1,0995
cosh*
1,1855
1,1919
1,1984
1,2051
1,2119
1,2188
1,2258
1,2330
1,2402
1,2476
1,2552
1,2628
1,2706
1,2785
1,2865
1,2947
1,3030
1,3114
1,3199
1,3286
1,3374
1,3464
1,3555
1,3647
1,3740
1,3835
1,3932
1,4029
1,4128
1,4229
1,4331
1,4434
1,4539
1,4645
1,4753
1,4862
tgh*
0,5370
0,5441
0,5511
0,5581
0,5649
0,5717
0,5784
0,5850
0,5915
0,5980
0,6044
0,6107
0,6169
0,6231
0,6291
0,6351
0,6411
0,6469
0,6527
0,6584
0,6640
0,6696
0,6751
0,6805
0,6858
0,6911
0,6963
0,7014
0,7064
0,7114
0,7163
0,7211
0,7259
0,7306
0,7352
0,7398
sin x
0,5646
0,5729
0,5810
0,5891
0,5972
0,6052
0,6131
0,6210
0,6288
0,6365
0,6442
0,6518
0,6594
0,6669
0,6743
0,6816
0,6889
0,6961
0,7033
0,7104
0,7174
0,7243
0,7311
0,7379
0,7446
0,7513
0,7578
0,7643
0,7707
0,7771
0,7833
0,7895
0,7956
0,8016
0,8076
0,8134
cos x
0,8253
0,8196
0,8139
0,8080
0,8021
0,7961
0,7900
0,7838
0,7776
0,7712
0,7648
0,7584
0,7518
0,7452
0,7385
0,7317
0,7248
0,7179
0,7109
0,7038
0,6967
0,6895
0,6822
0,6749
0,6675
0,6600
0,6524
0,6448
0,6372
0,6294
0,6216
0,6137
0,6058
0,5978
0,5898
0,5817
tgx
0,6841
0,6989
0,7139
0,7291
0,7445
0,7602
0,7761
0,7923
0,8087
0,8253
0,8423
0,8595
0,8771
0,8949
0,9131
0,9316
0,9505
0,9697
0,9893
1,0092
1,0296
1,0505
1,0717
1,0934
1,1156
1,1383
1,1616
1,1853
1,2097
1,2346
1,2602
1,2864
1,3133
1,3409
1,3692
1,3984

u
W
Ol
0,2
h_
Ol
to
*
o
fr>
o
»
o
tO
Ol
K
*"
to w
U) UU>
"pi Ul
w «
co 5i
P p
to to
l~ h-
Oi O
iO iO
o o
00 00
p p
00 O
-o a> Si
3,49
3,52
3,56
* ft ui
0,28
0,28
0,28
** h. -o.
sag
•S5S
o= "oo oo
P P P
2 S 8
w to to u Xij
-o co io o f=
§;£ KC 8
to u>
— -.
ft
ft
Tn
H
S
tf
"w
.P
cl
0
M
UJ
£
•o
a
to
p
a
,,
s
Ol
p
Ul
to
00
00
to
ui
■fe
to
p
to
,,
o
to
^1
,o
*
5
Ol
a
GO
UJ
X>j
Ul
p
hl
Tu
Ol
00
-J
p
Ul
u
o
p*
M*
o
UJ
"w
p
to
,,
*
Ul
fr>
-j
O
o
*
tt
Ul
to
VO
U)
to
»-■
p
to
IM
1*.
-1
Ol
p
M
00 -4 Ol 01
JłJ Jll _U1 Jłl
to to T- i—
& to to co
£ o io w
PPPP
-4 O UJ Ol
W £ ui o*
_ ^ ^ ^
CO to -4 ft
PPPP
£ S ££ &
^
-4
Hi
*
tii tii tłi V
Q O IO CO
<o to uj ui
"fe s s a
UJ O CO Ul
E§
gy
s-s
N"8
ps
iss
fififi
fete
"-""
ks
fc.fr
£5
pp
sat
fefe
SE
Ul Oi i©
h- hu h-
» Ul Ul
1,66
1,68
1,69
o o o
'Co co 'a
3 2 8
o* ^ ui
p p p
£3K
?Js
fcsfc
Sftifc
•o cc
to jo
to ip
UJ -4
P °
tO Oi
h- h-
O Ul
to h-
* to
p °
5> o
fc*i
Ul UJ
h- h-
VO 00
to
to
ft
p
o
,,
t»
to
to
p
3
to
£
h-
9°
o
H*
Ol 01
to £J
"oo co
K=l
p °
U) tli
Ul iO
O Ul
o «
Ol Ul
ft 35
b o
4. i*.
ft ft
f- h->
i*. Ul
_,
ooooo
ft Ul tO h- O
JO JO JO ^tO JO
to 'CO "^4 "-4 -4
IO O -4 ft h-
tO h- to Oi W
p p p p p
UJ *U1 Ul UJ X>J
»-, »-> r-i »-• h—
w o 61 ^i to
Ul Ul Ul Jl 'U
i- io 5i ft uj
o o o o p
o p p p p
» U M II) Ul
3403
,5319
,5234
,5148
,5062
_■ >-> (- h-> h->
O N H U *
»
*
to to
p
Ul
f-
t-J
o
o
o
o
Ul
41
!__
-J
p
Ul
f-
I-.
Ul
o
'""
o
g
Ul
o
Ul
Ul
^
Ift
to
a
p
Ul
f-
,_
f-
Ol
K
<r>
us
JO
o
te
h_
"t-
t
o
-.t
p
•o
i«
^
ft
o
to
Ul
Ul
h-
ft
^
«
fe
fi
fi
o
•i
'-4
o
K
fe
-^
w
i
»
3
«
n
3
EJ"
1
•
a
3
H
£
Ul *» UJ
jj p **■
00 IO «
Ol -J CO
O 'C CO
H- K- h-
yi „*■ j^
Ol -4 -4
Ul (0 tO
U) UJ *
to
U)
*--
to
-4
^
-4
W
10
1—'
H_
W
"t-
Ol
00
3
M|^
a
s
s
3
1,60
4,9530
0,2019
to
t*
Oi
2,5775
0,9217
0,9996
-0,0292
- 34,233
ui ui ui ui In
« 00 -4 Oi Ol
j^ j^ j^ j^ jlk
IO 'CO CO -O -O
O Ul O Ul l-
U Ul Oi CO H
-4 O Ch 00 Ul
o p p o o
to to to to to
o o o ■— >-•
uj 5 co o to
IO O O *- W
to jo jo jo to
"w w to to to
it. tO IO -4 *■
fl ^ ID A ID
IO Ul UJ UJ Ol
to jo jo to jo
In "ui "ui V V
Ul Ul O CO Oi
Ul O -J ** f-
on ui ui ui «
p PPPP
*£i \0 ^) io ^
to >-■ ■— t- t-
O 00 -4 Ul Ul
H Ol O » CO
p M ^- p p
to "b b "io to
* O O * iO
io o o ^ ^
co o o io oo
0,0208
0,0108
+ 0,0008
-0,0092
-0,0192
48,078
92,620
1255,8
-108,65
-52,067
ui ui ui ui "in
*. ui to »- ©
* * *■ * *
a oi ui m *
Ol h- -4 W CO
i CO W (Ji H
Oi tO tO -4 -4
p p p p p
to to to to to
M H H W IO
i^ Ol CO O Ul
* Ul -J ID H
jo jo uto uto to
to to t- t- "^
to o ~i ui to
Ul O Oi tO iO
w 00 OD ID Ul
to to to to to
1» t UJ UJ Xu
U) >-■ ID -O Ul
IO ~J Ul UJ tO
Ul *. Ul 00 i(l
p p p a p
SD C 'C vO iD
.-• " O O O
to o oo 5 ui
t- *i ~j e t-
p p p p p
^ O ^9 ^9 O
U? yj yj yj ^3
iO IO CO 0P ^1
Ul tO -4 tO Ul
0,0707
0,0608
0,0508
0,0408
0,0308
14,011
16,428
19,670
24,498
32,461
ib iU ^ rfi V
* 00 -4 Oi W
4,2631
4,3060
4,3492
4,3929
4,4371
P p p p P
to to to to to
to to to uj ui
Ul -4 iO tO *.
* oi* w 5
2,0143
2,0369
2,0597
2,0827
2,1059
2,2488
2,2691
2,2896
2,3103
2,3312
iiiii
lilii
0,1205
0,1106
0,1006
0,0907
0,0807
8,2381
8,9886
9,9874
10,983
12,350
& 4i *. *. "fe
E uj to »- 5
i^ i^ i^ g* jf*
W •- "w O O
to ~] ui * ui
O 00 -4 Ol Ul
■J«l HO M
0,2466
0,2441
0,2417
0,2393
0,2369
*G *D O *D IO
•O Ol £ tO O
H « -J Ul #
« -4 -4 « Ul
2,1509
2,1700
2,1894
2,2090
2,2288
o o o p p
"óo "óo "oo oo co
O iO 00 CO 00
UJ l_. ID -4 Ul
-4 -J Oi Ul *>
p p p p p
*D *G ^ 'yC 'C
id ie co co co
f- O 00 ~1 Ul
Ul f- -4 h- *.
0,1700
0,1601
0,1502
0,1403
0,1304
5,7979
6,1654
6,5811
7,0555
7,6018
ui uj uj ui 'Is
iO 00 -O Oi t/l
jtl Jll Jłl IłJ \U
O W * CO 'CO
H- -4 Ul iO Ul
41 41 Ul Ol -4
IO iO i^ tO *»
0,2592
0,2567
0,2541
0,2516
0,2491
00 CO CO CO ~J
CO Ol rfi f- IO
W H O O*
IO -J Ol 00 t-
2,0583
2,0764
2,0947
2,1132
2,1320
o o p p p
"co "co oo oo co
CO CO ^1 ~] ~]
uj ►- oo eS *.
to o -j *> ►-
p p p p p
*G iO ^ ^ 10
CO CO -J -J -J
UJ t- iO -J Ul
-4 ID IO IO -4
p o p o o
>1 CO O O h
ID ID iO IO IO
CO Oi ■» tO O
4,4552
4,6734
4,9131
5,1774
5,4707
H*
Ul UJ Ul Ul 'u
ft W M H O
3,6693
3,7062
3,7434
3,7810
3,8190
p p o o o
to to to to to
Ol Ol Ol Ol -4
f- 4Ł -J id tO
CO Ul m CO Ul
^4 ^4 ^ ^4 0»
•1 Ul IjJ h i«
CO 00 CO OO 00
(Mil k to ft
1,9709
1,9880
2,0053
2,0228
2,0404
p pppp
00 OD 'CO 'CO "ÓO
-J Oi Oi Oi Oi
H « U ft H
-4 tO 00 UJ ~1
p p p p p
ID O C ifl lO
-*J -0 Ol Ol Oi
UJ H- CO O" W
Ul h- -J to Oi
p p p p p
to to "to to to
to taj ft Ul Oi
CO 00 CO ~J ~]
CO Ul M IO Ul
ft ft U> Ul UJ
M O "iO ^1 Ol
Ul -4 O ft O
Ul tO UJ -4 tO
Oi Ul UJ 1— »-
X
%
1
Si
5'
n
o
5-
8

te
Ol
o
M
*
O
o
N
50
12,1
o
co
1,8
Ol
o
*"■
to
co
o
IO
ft
JO
b
"
o
o
""
1,8
CO
Oi
o
to
co
00
o
to
ft
co
ft
o
oo
Ol
o
"~
IO
co
vj
o
to
ft
-1
OO
o
00
1,85
1,86
CO 00
Oi Ul
o o
to N
& a
X) "ui
00 CO
Ol Ol
00 CD
ft ft
o o
to to
ft A
ft U)
ft U)
1,8
w
"-1
o
lo
£
i»!
_hL
S 8
Ol 01
KS
o o
to W
co oo
10 "-
o o
to to
£6
ft UJ
« «
Ul i5 «S
•o 35 -o
o o o
to to to
Ul Ul Ul
10 OO vj
p o p
Ul Ul
o o
to to
fefit
p p
ft
Ul
ft
Ol
o
o
to
Ul
p
UJ
o
UJ
Ul
w
vi
o
UJ
to
Ol
U)
o
"to
00
o
UJ
o
v)
Ul
to
p
o.
^
£
lO
UJ
o
o
lo
p
*
Ol
vO
■o
o
es
Ul
o
■1°
to
s
Ol
«
Ul
s
Ul
o
vj
to
p
10
s
m
Ol
ft
00
■vi
n
to
co
p
vi
Ol Ol Ol
vi oi En
W h- O
v> Oi Si
vj Ul v]
o o o
Ul iD Ul
to to to
-0 Oi tn
ID 13 «
'ói tn V
e u vi
ft ^ vj
o\ oi oi
ft Ul W
w e w
ft Ul vi
O * *
* U M
CO Ul O
o o o
vi — Ol
to to to
ft w to
<C iC iD
W O -1
W •© W
O O O
Ul
o
to
p
Ul
-1
s
iO
o
ffi
w
o
Ol
£
p
Ul
o
%
ik
A
"l
H
X
i
Ol
tO
17,288
0,05784
3,20
24,533
0,04076
3,55
34,813
0,02872
JO JO tO to jo
CO 'CO CO 03 CD
ft UJ tO t-i O
-O Ol Oi Ol Ol
M ^ ^ Ol ^
H * 'J «■ *
Ol Ul v] o Ul
p o o o o
o b b "© "o
Ul Ul Ul Oi Oi
00 vO -D O O
* O U M S
U - »
Olid U U U U
ID CO vi Oi Ol
to to to to to
^ft ^ft jjj jri U>
lo b "co Xn "Cj
00 ft O vi U)
00 vi v) ■- Oi
0,04285
0,04243
0,04200
0,04159
0,04117
UJ U) UJ Ul CO
"ui ui "ui Xn 'en
*. u ij u o
Ul W Ul LU Ij)
4* * Ul UJ UJ
"ft "— "~1 "ft. 1-
ffi N « * -
v] ft ft 00 Ul
0,03020
0,02990
0,02960
0,02930
0,02901
to to jo to to
"vi -O "<l tg vi
* cc -J oi (n
Oi oi yi ui ui
to w io co oi
OS « Ul O *
t-> * 'C O Ul
p p p o o
"o b b o b
Ol Ł^ Ol Oi Oi
k— tO tO UJ Ul
4* O Oi tO vD
U ft Ol ^ U
yj jjj yi u) u
to to to to io
UJ to tO to tO
t- co "o. V "—
o -J. ft m e
ft ft Oi 1- 00
0,04505
0,04460
0,04416
0,04372
0,04328
UJ JM U) U) CO
t "ft ft ft "j*
us co vi oi En
31,500
31,817
32,137
32,460
32,786
o p o o o
b o b b b
Ul UJ UJ Ul Ul
o o «- t- ^
Ul 00 k- ft vi
O M tO UJ Ul
to jo to to to
'vl '-J "vl ^ Xj
ft UJ 10 *- ©
JJ1 ^71 Ul Ul ft
"ft 'w 'i- b "00
Oo ui co to oo
-a iw o io o
p p p p p
b o "o b b
Oi & Oi Ol Oi
ft Ul Ul Oi vi
Ul tO CO Ul 10
«l lo -i ft ■
UJ ^UJ Ul W W
b o b b b
io co -o oi en
to to to to to
Xo Xi "ui X)J "~
vi Ul ft tO —
vi 00 IO OO Ul
p p p p p
b 'c' b b *b
ft ft ft ft ft
UI ui Ol Oi vi
Ul 10 ft CO UJ
O Ol tO iO Oi
yj uj vi) uj ta
t "ft V "ft "ft
ft ui to i-* e
UJ Ul UJ UJ to
f p p P ^
'i- oo "m 'to b
00 vi Ol Ol Oi
v| v| IO IJl ft
p p a p p
o b b b b
UJ UJ UJ Ul Ul
to to to uj ui
O Ul vi O UJ
Oi O M ft v]
JO JO tO JO JO
Oi Ol Oi Oi O
ui co vi oi tn
ft ft ft ft ft
"vi 111 V "|J H
U) CO ft lO UI
to ui o oi ft
0,07065
0,06995
0,06925
0,06856
0,06788
U) Ul Ul Ul CO
"o "o o "o "o
ft W tO «- O
to to to to to
o p p p p
iO "oi "ft lo "o
O iO iO 00 CO
Ul -O I— "-4 Oi
0,04979
0,04929
0,04880
0,04832
0,04783
Ul U Ul Ul CO
Ul "ui Xri Ul lo
C O) v| Oi Ol
to to to to to
ID 10 vD CO CO
fli W O v] Ul
Ol -vi vi 00 O
Ol h- O lO li)
0,03508
0,03474
0,03439
0,03405
0,03371
JsJ JO JO JO JO
Ol Oi Ol Oi O
ft U t-1 i- O
ft JJJ .Ul Ul JJ1
"o "co "vi "ui V
k— vi Uj vD Oi
Ul ft Ol iO ft
PPPP p
b b o b b
-1 >) -J -1 -1
t- tO to UJ ft
U) O CO Ul tO
Oi CO O U) v]
to to Jo to to
vO IO 10 vO tO
■O oo -i oi tn
vo iO io iD io
'OD 'oi 'ft "lO Y--
00 CO IO IO O
01 CO to GO Oi
O O p O O
b 'o "o o o
ui m ui ui ui
OO i- - IO
tO vi Ul 00 UJ
iO IO O to ft
Ul Ul UJ UJ tO
"uj Xo "uj "w 'w
ft Ul M "- O
to to to to to
OO vi jg vi vj
fu '■& *bi 'w "—
>- UJ Oi 00 t-i
v0 CO O Ul Ul
p o p o o
b b "o b b
UJ W UJ UJ UJ
Ul Ul Oi Oi Ol
ft vi I- Ul CO
ft iC Ul tO 00
2,59
13,330
0,07502
2,94
18,916
0,05287 !
1
3,29
26,843
0,03725
2,57
2,58
13,066
13,197
0,07654
0,07577
2,92
2,93
18,541
18,728
0,05393
0,05340
3,27
3,28
26,311
26,576
0,03801
0,03763
2,55
2,56
12,807
12,936
0,07808
0,07730
2,90
2,91
18,174
18,357
° iP
b o
Ul Ul
ft Ul
ft O
Oo to
3,25
3,26
25,790
26,050
0,03877
0,03839
2,54
12,680
0,07887
2,89
17,993
0,05558
3,24
25,534
0,03916
2,53
12,554
0,07966 i
2,88
17,814
0,05613 |
3,23
25,280
0,03956 [
2,52
12,429
0,08046
2,87
17,637
0,05670 1
3,22
25,028
0,03996 |
2,51
12,305
0,08127 '
2,86
17,462
0,05727
3,21
24,779
0,04036 j
^
S
12,182
0,08208
2,85
17,288
0,05784
3,20
24,533
0,04076
«
%
4
*.
%
"i
i
H
t

12. Logarytmy naturalne
67
12. Logarytmy naturalne
W tablicy tej, w odróżnieniu od tablicy logarytmów dziesiętnych,
podane są tu zarówno cechy, jak i mantysy. Logarytmy liczb zawartych
w przedziale od 1,00 do 9,99 znajdujemy bezpośrednio z tablicy, przy
czym dla trzeciej i czwartej cyfry po przecinku w liczbie N należy
wprowadzić poprawkę interpolacyjną (patr2 str. 11).
Aby obliczyć logarytm naturalny liczby M < 1 lub M > 10,
należy napisać daną liczbę w postaci M = Ń/10"1 lub M = N ■ 10m,
gdzie N jest liczbą zawartą w przedziale od ljOO do 9,99, a następnie
skorzystać z zamieszczonej na końcu tabelki wartości lnlOm.
Przykłady. 1. Obliczamy ln862 = In8,62+lnl02 = 2,1541 +
+ 4,6052 =* 6,7593.
2. Obliczamy In 0,0862 = ln8,62-ln 10a = 2,1541 -4,6052 =
= -2,4511.
N
tfi
i,i
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
0
0,0000
0,0953
0,1823
0,2624
0,3365
0,4055
0,4700
0,5306
0,5878
0,6419
0,6931
0,7419
0,7885
0,8329
0,8755
0,9163
0,9555
0,9933
1,0296
1,0647
1,0986
1,1314
1,1632
1,1939
1,2238
1
0,0100
0,1044
0,1906
0,2700
0,3436
0,4121
0,4762
0,5365
0,5933
0,6471
0,6981
0,7467
0,7930
0,8372
0,8796
0,9203
0,9594
0,9969
1,0332
1,0682
1,1019
1,1346
1,1663
1,1969
1,2267
2
0,0198
0,1133
0,1989
0,2776
0,3507
0,4187
0,4824
0,5423
0,5988
0,6523
0,7031
0,7514
0,7975
0,8416
0,8838
0,9243
0,9632
1,0006
1,0367
1,071$
1,1053
1,1378
1,1694
1,2000
1,2296
3
0,0296
0,1222
0,2070
0,2852
0,3577
0,4253
0,4886
0,5481
0,6043
0,6575
0,7080
0,7561
0,8020
0,8459
0,8879
0,9282
0,9670
1,0043
1,0403
1,0750
1,1086
1,1410
1,1725
1,2030
1,2326
4
0,0392
0,1310
0,2151
0,2927
0,3646
0,4318
0,4947
0,5539
0,6098
0,6627
0,7129
0,7608
0,8065
0,8502
0,8920
0,9322
0,9708
1,0080
1,0438
1,0784
1,1119
1,1442
1,1756
1,2060
1,2355
5
0,0488
0,1398
0,2231
0,3001
0,3716
0,4383
0,5008
0,5596
0,6152
0,6678
0,7178
0,7655
0,8109
0,8544
0,8961
0,9361
0,9746
1,0116
1,0473
1,0818
1,1151
1,1474
1,1787
1,2090
1,2384
6
0,0583
0,1484
0,2311
0,3075
0,3784
0,4447
0,5068
0,5653
0,6206
0,6729
0,7227
0,7701
0,8154
0,8587
0,9002
0,9400
0,9783
1,0152
1,0508
1,0852
1,1184
1,1506
1,1817
1,2119
1,2413
7
0,0677
0,1570
0,2390
0,3148
0,3853
0,4511
0,5128
0,5710
0,6259
0,6780
0,7275
0,7747
0,8198
0,8629
0,9042
0,9439
0,9821
1,0188
1,0543
1,0886
1,1217
1,1537
1,1848
1,2149
1,2442
8
0,0770
0,1655
0,2469
0,3221
0,3920
0,4574
0,5188
0,5766
0,6313
0,6831
0,7324
0,7793
0,82*2
0,8671
0,9083
0,9478
0,9858
1,0225
1,0578
1,0919
1,1249
1,1569
1,1878
1,2179
1,2470
9
0,0862
0,1740
0,2546
0,3293
0,3988
0,4637
0,5247
0,5822
0,6366
0,6881
0,7372
0,7839
0,8286
0,8713
0,9123
0,9517
0,9895
1,0260
1,0613
1,0953
1,1282
1,1600
1,1909
1,2208
1,2499

12. Logarytmy naturalne
69
N
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7 fi
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,9
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
0
1,9459
1,9601
1,9741
1,9879
2,0015
2,0149
2,0281
2,0412
2,0541
2,0669
2,0794
2,0919
2,1041
2,1163
2,1282
2,1401
2,1518
2,1633
2,1748
2,1861
2,1972
2,2083
2,2192
2,2300
2,2407
2,2513
2,2618
2,2721
2,2824
2,2925
1
1,9473
1,9615
1,9755
1,9892
2,0028
2,0162
2,0295
2,0425
2,0554
2,0681
2,0807
2,0931
2,1054
2,1175
2,1294
2,1412
2,1529
2,1645
2il759
2,1872
2,1983
2,2094
2,2203
2,2311
2,2418
2,2523
2,2628
2,2732
2,2834
2,2935
2
1,9488
1,9629
1,9769
1,9906
2,0042
2,0176
2,0308
2,0438
2,0567
2,0694
2,0819
2,0943
2,1066
2,1187
2,1306
2,1424
2,1541
2,1656
2,1770
2,1883
2,1994
2,2105
2,2214
2,2322
2,2428
2,2534
2,2638
2,2742
2,2844
2,2946
3
1,9502
1,9643
1,9782
1,9920
2,0055
2,0189
2,0321
2,0451
2,0580
2,0707
2,0832
2,0956
2,1078
2,1199
2,1318
2,1436
2,1552
2,1668
2,1782
2,1894
2,2006
2,2116
2,2225
2,2332
2,2439
2,2544
2,2649
2,2752
2,2854
2,2956
4
1,9516
1,9657
1,9796
1,9933
2,0069
2,0202
2,0334
2,0464
2,0592
2,0719
2,0844
2,0968
2,1090
2,1211
2,1330
2,1448
2,1564
2,1679
2,1793
2,1905
2,2017
2,2127
2,2235
2,2343
2,2450
2,2555
2,2659
2,2762
2,2865
2,2966
5
1,9530
1,9671
1,9810
1,9947
2,0082
2,0215
2,0347
2,0477
2,0605
2,0732
2,0857
2,0980
2,1102
2,1223
2,1342
2,1459
2,1576
2,1691
2,1804
2,1917
2,2028
2,2138
2,2246
2,2354
2,2460
2,2565
2,2670
2,2773
2,2875
2,2976
6
1,9544
1,9685
1,9824
1,9961
2,0096
2,0229
2,0360
2,0490
2,0618
2,0744
2,0869
2,0992
2,1114
2,1235
2,1353
2,1471
2,1587
2,1702
2,1815
2,1928
2,2039
2,2148
2,2257
2,2364
2,2471
2,2576
2,2680
2,2783
2,2885
2,2986
7
1,9559
1,9699
1,9838
1,9974
2,0109
2,0242
2,0373
2,0503
2,0631
2,0757
2,0882
2,1005
2,1126
2,1247
2,1365
2,1483
2,1599
2,1713
2,1827
2,1939
2,2050
2,2159
2,2268
2,2375
2,2481
2,2586
2,2690
2,2793
2,2895
2,2996
8
1,9573
1,9713
1,9851
1,9988
2,0122
2,0255
2,0386
2,0516
2,0643
2,0769
2,0894
2,1017
2,1138
2,1258
2,1377
2,1494
2,1610
2,1725
2,1838
2,1950
2,2061
2,2170
2,2279
2,2386
2,2492
2,2597
2,2701
2,2803
2,2905
2,3006
9
1,9587
1,9727
1,9865
2,0001
2,0136
2,0268
2,0399
2,0528
2,0656
2,0782
2,0906
2,1029
2,1150
2,1270
2,1389
2,1506
2,1622
2,1736
2,1849
2,1961
2,2072
2,2181
2,2289
2,2396
2,2502
2,2607
2,2711
2,2814
2,2915
2,3016
m
In 10™
1
2,3026
2
4,6052
3
6,9078
4
9,2103
5
11,5129

70
I. Tablice
13. Długość okręgu o średnicy d
Tablica ta zawiera z czterema cyframi wartościowymi długości
.okręgów o średnicy d zawartej w przedziale od 1,00 do 9,99. Dla
trzeciej i czwartej cyfry po przecinku w liczbie d należy wprowadzić
poprawkę interpolacyjną (patrz str. 11).
Jeżeli średnica
d < 1 lub d > 10,
piszemy ją w postaci
D = d/10fc
lub D = d-I0k3
gdzie d jest liczbą zawartą w przedziale od 1,00 do 9,99, a następnie
znalezioną w tablicy długość okręgu dzielimy lub mnożymy przez 10ft.
Przykłady. 1. Dla d = 69,3 długość okręgu równa się 217,7.
2. Dla d = 0,693 długość okręgu równa się 2,177.
d
i fi
1.1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2.2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
3,142
3,456
3,770
4,084
4,398"
4,712
5,027
5,341
5,655
5,969
6,283
6,597
6,912
7,226
7,540
7,854
8,168
8,482
8,796
9,111
1
3,173
3,487
3,801
4,115
4,430
4,744
5,058
5,372
5,686
6,000
6,315
6,629
6,943
7,257
7,571
7,885
8,200
8,514
8,828
9,142
2
3,204
3,519
3,833
4,147
4,461
4,775
5,089
5,404
5,718
6,032
6,346
6,660
6,974
7,288
7,603
7,917
8,231
8,545
8,859
9,173
3
3,236
3,550
3,864
4,178
4,492
4,807
5,121
5,435
5,749
6,063
6,377
6,692
7,006
7,320
7,634
7,948
8,262
8,577
8,891
9,205
4
3,267
3,581
3,896
4,210
4,524
4,838
5,152
5,466
5,781
6,095
6,409
6,723
7,037
7,351
7,665
7,980
8,294
8,608
8,922
9,236
5
3,299
3,613
3,927
4,241
4,555
4,869
5,184
5,498
5,812
6,126
6,440
6,754
7,069
7,383
7,697
8,011
8,325
8,639
8,954
9,268
6
3,330
3,644
3,958
4,273
4,587
4,901
5,215
5,529
5,843
6,158
6,472
6,786
7,100
7,414
7,728
8,042
8,357
8,671
8,985
9,299
7
3,362
3,676
3,990
4,304
4,618
4,932
5,246
5,561
5,875
6,189
6,503
6,817
7,131
7,446
7,760
8,074
8,388
8,702
9,016
9,331
8
3,393
3,707
4,021
4,335
4,650
4,964
5,278
5,592
5,906
6,220
6,535
6,849
7,163
7,477
7,791
8,105
8,419
8,734
9,048
9,362
9
3,424
3,738
4,053
4,367
4,681
4,995
5,309
5,623
5,938
6,252
6,566
6,880
7,194
7,508
7,823
8,137
8,451
8,765
9,079
9,393
13. Długość okręgu o średnicy d
71
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4 13,82
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
9,425
9,739
10,05
10^7
10,68
11,00
11,31
11,62
11,94
12,25
12,57
12,88
13,19
13,51
14,14
14,45
14,77-
15,08
15,39
15,71
16,02
16,34
16,65
16,96
17,28
17,59
17,91
18,22
18,54
18,85
19,16
19,48
19,79
20,11
9,456
9,770
10,08
10,40
10,71
11,03
11,34
11,66
11,97
12,28
12,60
12,91
13,23
13,54
13,85
14,17
14,48
14,80
15,11
15,43
15,74
16,05
16,37
16,68
17,00
17,31
17,62
17,94
18,25
18,57
18,88
19,20
19,51
19,82
20,14
9,488
9,802
10,12
10,43
10,74
11,06
11,37
11,69
12,00
12,32
12,63
12,94
13,26
13,57
13,89
14,20
15,51
14,83
15,14
15,46
15,77
16,08
16,40
16,71
17,03
17,34
17,66
17,97
18,28
18,60
18,91
19,23
19,54
19,85
20,17
9,519
9,833
10,15
10,46
10,78
11,09
11,40
11,72
12,03
12,35
12,66
12,97
13,29
13,60
13,92
14,23
14,55
14,86
15,17
15,49
15,80
16,12
16,43
16,74
17,06
17,37
17,69
18,00
18,32
18,63
18,94
19,26
19,57
19,89
20,20
9,550
9,865
10,18
10,49
10,81
11,12
11,44
11,75
12,06
12,38
12,69
13,01
13,32
13,63
13,95
14,26
14,58
14,89
15,21
15,52
15,83
16,15
16,46
16,78
17,09
17,40
17,72
18,03
18,35
18,66
18,98
19,29
19,60
19,92
20,23
9,582
9,896
10,21
10,52
10,84
11,15
11,47
11,78
12,10
12,41
12,72
13,04
13,35
13,67
13,98
14,29
14,61
14,92
15,24
15,55
15,87
16,18
16,49
16,81
17,12
17,44
17,75
18,06
18,38
18,69
19,01
19,32
19,63
19,95
20,26
9,613
9,927
10,24
10,56
10,87
11,18
11,50
11,81
12,13
12,44
12,75
13,07
13,38
13,70
14,01
14,33
14,64
14,95
15,27
15,58
15,90
16,21
16,52
18,84
17,15
17,47
17,78
18,10
18,41
18,72
19,04
19,35
19,67
19,98
20,29
9,645
9,959
10,27
10,59
10,90
11,22
11,53
11,84
12,16
12,47
12,79
13,10
14,41
13,73
14,04
14,36
14,67
14,99
15,30
"15,61 | 15,65 | 15,68
15,93
16,24
16,56
16,87
17,18
17,50
17,81
18,13
18,44
18,76
19,07
19,38
19,70
20,01
20,33

I. Tablice
d
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7.6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8.4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9.8
9,9
10,0
0
20.42
20,73
21.05
21,36
21,68
21,99
22,31
22,62
22,93
23,25
23,56
23,88
24,19
24,50
24,82
25,13
25,45
25,76
26,08
26,39
26,70
27,02
27.33
27.65
27.96
28,27
28,59
28,90
29,22
29,53
29,85
30,16
30.47
30,79
31,10
31,42
1
20,45
20,77
21,08
21,39
21,71
22,02
22,34
22,65
22,97
23,28
23,59
23.91
24,22
24,54
24,85
25,16
25.48
25,79
26.11
26.42
26,73
27,05
27,36
27,68
27,99
28,31
28,62
28,93
29,25
29,56
29,88
30,19
30,50
30,82
31.13
2
20,48
20,80
21,11
21,43
21,74
22,05
22,37
22,68
23,00
23,31
23,62
23,94
24,25
24,57
24,88
25,20
25.51
25,82
26,14
26,45
26,77
27,08
27,39
27,71
28,02
28,34
28,65
28.97
29,28
29,59
29.91
30,22
30,54
30,85
31,16
3
20.51
20,83
21.14
21,46
21,77
22,09
22,40
22,71
23,03
23.34
23,66
23,97
24,28
24.60
24,91
25,23
25,54
25,86
26,17
26,48
26,80
27,11
27,43
27,74
28,05
28.37
28,68
29,00
29,31
29,63
29.94
30,25
30,57
30,88
31,20
4
20,55
20,86
21,17
21,49
21,80
22,12
22,43
22,75
23,06
23,37
23,69
24,00
24,32
24,63
24,94
25,26
25,57
25,89
26,20
26,52
26,83
27,14
27,46
27,77
28,09
28,40
28,71
29,03
29,34
29,66
29,97
30,28
30,60
30,91
31,23
5
20,58
20,89
21,21
21,52
21,83
22,15
22,46
22,78
23,09
23,40
23,72
24,03
24,35
24,66
24,98
25,29
25,60
25,92
26,23
26,55
26,86
27,17
27,49
27,80
28,12
28,43
28,75
29,06
29,37
29,69
30,00
30,32
30,63
30,94
31,26
6
20,61
20,92
21,24
21,55
21,87
22,18
22,49
22,81
23,12
23,44
23,75
24,06
24,38
24,69
25,01
7
20,64
20,95
21,27
21,58
21,90
22,21
22,53
22,84
23,15
23,47
23,78
24,10
24,41
24,72
25,04
25,32 I 25,35
25,64
25,95
26,26
26,58
26,89
27,21
27,52
27,83
28.15
28,46
28,78
29,09
29,41
29,72
30,03
30,35
30,66
30,98
31,29
25,67
25,98
26,30
26,61
26,92
27,24
27,55
27,87
28,18
28,49
28,81
29,12
29,44
29,75
30,07
30,38
30,69
31,01
31,32
8
20,67
20,99
21,30
21,61
21,93
22,24
22,56
22,87
23,19
23,50
23,81
24,13
24,44
24,76
25,07
25,38
25,70
25,01
26,33
26,64
26,95
27,27
27,58
27,90
28,21
28,53
28,84
29,15
29,47
29,78
30,10
30,41
30,72
31,04
31,35
9
20,70
21,02
21,33
21,65
21,96
22,27
22,59
22,90
23,22
23,53
23,84
24.16
24,47
24,79
25,10
25,42
25,73
26,04
2^,36
26,67
26.99
27.30
27,61
27,93
28,24
28,56
28,87
29,19
29,50
29,81
30,13
30,44
30,76
31,07
31.38
14. Pole kola o średnicy d 73
14. Pole koła o średnicy d
Tablica ta zawiera z czterema cyframi wartościowymi pola kol
o średnicy d zawartej w przedziale od 1,00 do 9,99. Podobnie jak w
tablicy 13, dla trzeciej i czwartej cyfry po przecinku w liczbie d należy
wprowadzić poprawkę interpolacyjną (patrz str. 11).
Jeżeli
d < 1 lub d > 10,
piszemy ją w postaci
D = dll0* lub D = d-10t,
gdzie łjOO ^ d ^ 9,99, a następnie znalezione w tablicy pole koła
dzielimy lub mnożymy przez 10u".
Przykłady, ł. Dla d = 69,3 pole koła równa się 3772.
2. Dla d = 0,693 pole koła równa się 0,3772.
d
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1.6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2.4
2,5
2,6
2.7
2,8
2,9
0
0,7854
0,9503
1,131
1,327
1,539
1,767
2,011
2,270
2,545
2,835
3,142
3,464
3,801
4,155
4,524
4,909
5,309
5,726
6,158
6,605
1
0,8012
0,9677
1,150
1.348
1.561
1,791
2,036
2,297
2,573
2,865
3,173
3.497
3,836
4,191
4.562
4,948
5,350
5.768
6.202
6,651
2
0,8171
0,9852
1,169
1,368
1,584
1,815
2,061
2,324
2,602
2,895
3,205
3,530
3,871
4,227
4,600
4,988
5,391
5,811
6,246
6,697
3
0,8332
1,003
1.188
1,389
1,606
1,839
2,087
2,351
2,630
2,926
3,237
3,563
3,906
4,264
4,638
5,027
5,433
5,853
6,290
6,743
4
0,8495
1,021
1,208
1,410
1,629
1,863
2,112
2,378
2,659
2,956
3,269
3,597
3,941
4,301
4,676
5,067
5,474
5,896
6,335
6,789
5
0,8659
1.039
1,227
1,431
1,651
1,887
2,138
2,405
2,688
2,986
3,301
3,631
3.976
4,337
4,714
5.107
5,515
5,940
6,379
6,835
6
0,8825
1,057
1,247
1,453
1,674
1.911
2,164
2,433
2,717
3.017
3,333
3,664
4,011
4,374
4,753
5.147
5,557
5,983
6,424
6,881
7
0,8992
1,075
1,267
1,474
1,697
1,936
2,190
2,461
2,746
3,048
3,365
3,698
4,047
4,412
4,792
5,187
5,599
6,026
6,469
*,928
8
0,9161
1,094
1,287
1,496
1,720
1,961
2,217
2,488
2,776
3,079
3,398
3,733
4,083
4,449
4,831
5,228
5,641
6,070
6,514
6,975
9
0,9331
1,112
1,307
1,517
1,744
1,986
2,243
2,516
2,806
3,110
3.431
3,767
4,119
4,486
4,870
5,269
5.683
6.114
6,560
7,022

74
I. Tablice
d
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
S,S
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
0
7,069
7,548
8,042
8,553
9,079
9,621
10,18
10,75
11,34
11,95
12,57
13,20
13,85
14,52
15,21
15,90
16,62
17,35
18,10
18,86
19,63
20,43
21,24
22,06
22,90
23,76
24,63
25,52
26,42
27,34
28,27
29,22
30,19
31.17
32,17
1
7,116
7,596
8,093
8,605
9,133
9,676
10,24
10,81
11,40
12,01
12,63
13,27
13,92
14,59
15,27
15,98
16,69
17,42
18,17
18,93
19,71
20,51
21,32
22,15
22,99
23,84
24,72
25,61
26,51
27,43
28,37
29,32
30,29
31,27
32,27
2
7,163
7,645
8,143
8,657
9,186
9,731
10,29
10,87
11,46
12,07
12,69
1333
13,99
14,66
15,34
16,05
16,76
17,50
18,25
19,01
19,79
20,59
21,40
22,23
23,07
23,93
24,81
25,70
26,60
27,53
28,46
29,42
30,39
31,37
32,37
3
7,211
7,694
8,194
8,709
9,240
9,787
10,35
10,93
11,52
12,13
12,76
13,40
14,05
14,73
15,41
16,12
16,84
17,57
18,32
19,09
19,87
20,67
21,48
22,31
23,16
24,02
24,89
25,79
26,69
27,62
28,56
29,51
30,48
31,47
32,47
4
7,258
7,744
8,245
8,762
9,294
9,842
10,41
10,99
11,58
12,19
12,82
13,46
14,12
14,79
15,48
16,19
16,91
17,65
18,40
19,17
19,95
20,75
21,57
22,40
23,24
24,11
24,98
25,88
26,79
27,71
28,65
29,61
30,58
31,57
32,57
5
7,306
7,793
8,296
8,814
9,348
9,898
10,46
11,04
11,64
12,25
12,88
13,53
14,19
14,86
15,55
16,26
16,98
17,72
18,47
19,24
20,03
20,83
21,65
22,48
23,33
24,19
25,07
25,97
26,88
27,81
28,75
29,71
30,68
31,67
32,67
6
7,354
7,843
8,347
8,867
9,402
9,954
10,52
11,10
11,70
12,32
12,95
13,59
14,25
14,93
15,62
16,33
17,06
17,80
18,55
19,32
20,11
20,91
21,73
22,56
23,41
24,28
25,16
25,06
26,97
27,90
28,84
29,80
30,78
31,77
32,78
7
7,402
7,892
8,398
8,920
9,457
10,01
10,58
11,16
11,76
12,38
13,01
.13,66
14,32
15,00
15,69
16,40
17,13
17,87
18,63
19,40
20,19
20,99
21,81
22,65
23,50
24,37
25,25
26,15
27,06
27,99
28,94
29,90
30,88
31,87
32,88
8
7,451
7,942
8,450
8,973
9,511
10,07
10,64
11,22
11,82
12,44
13,07
13,72
14,39
15,07
15,76
16,47
17,20
17,95
18,70
19,48
20,27
21,07
21,90
22,73
23,59
24,45
25,34
26,24
27,15
28,09
29,03
30,00
30,97
31,97
32,98
9
7,499
7,992
8,501
9,026
9,566
10,12
10,69
11,28
11,88
12,50
13,14
13,79
14,45
15,14
15,83
16,55
17,28
18,02
18,78
19,56
20,35
21,16
21,98
22,82
23,67
24,54
25,43
26,33
27,25
28,18
29,13
30,09
31,07
32,07
33,08
14. Pole kola o średnicy d
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
83
8,6
8,7
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
33,18
34,21
35,26
36,32
37,39
38,48
39,59
40,72
41,85
43,01
44,18
45,36
46,57
47,78
49,02
50,27
51,53
52,81
54,11
55,42
56,75
58,09
59,45
60,82
62,21
63,62
65,04
66,48
67,93
69,40
70,88
72,38
73,90
75,43
76,98
33,29
34,32
35,36
36,42
37,50
38,59
39,70
40,83
41,97
43,12
44,30
45,48
46,69
47,91
49,14
50,39
51,66
52,94
54,24
55,55
56,88
58,22
59,58
60,96
62,35
63,76
65,18
66,62
68,08
69,55
71,03
72,53
74,05
75,58
77,13
10,0 78,54
33,39
34,42
35,47
36,53
37,61
38,70
39,82
40,94
42,08
43,24
44,41
45,60
46,81
48,03
49,27
50,52
51,78
53,07
54,37
55,68
57,01
58,36
59,72
61,10
62,49
33,49
34,52
35,57
36,64
37,72
38,82
39,93
41,06
42,20
43,36
44,53
45,72
46,93
48,15
49,39
50,64
51,91
53,20
54,50
55,81
57,15
58,49
59,86
61,24
62,63
63,90
65,33
66,77
68,22
69,69
71,18
72,68
74,20
75,74
77,29
64,04
65,47
66,91
68,37
69,84
71,33
72,84
74,36
75,89
77,44
33,59
34,63
35,68
36,75
37,83
38,93
40,04
41,17
42,31
43,47
44,65
45,84
47,05
48,27
49,51
50,77
52,04
53,33
54,63
55,95
57,28
58,63
59,99
61,38
62,77
64,18
65,61
67,06
68,51
69,99
71,48
72,99
74,51
76,05
77,60
33,70
34,73
35,78
36,85
37,94
39,04
40,15
41,28
42,43
43,59
44,77
45,96
47,17
48,40
49,64
50,90
52,17
53,46
54,76
56,08
3330
34.84
35,89
38,96
38,05
39,15
40,26
41,40
42,54
43,71
44,89
46,08
47,29
48,52
49,76 49,89
51,02
52,30
53,59
54,89
56,21
57,41 57,55
58,77 58,90
60,13
61,51
62,91
64,33
65,76
67,20
68,66
70,14
71,63
73,14
74,66
76,20
77,76
33,90
34,94
36,00
37,07
38,16
39,26
40,38
41,51
42,66
43,83
45,01
46,20
47,42
48,65
60,27
61,65
63,05 I 63.19
51,15
52,42
53,72
55,02
56,35
57,68
59,04
60,41
61,79
64,47
65,90
67,35
68,81
70,29
71,78
73,29
74,82
76,36
77,91
64,61
66,04
67,49
68,96
70,44
71,93
73,44
74,97
76,51
78,07
72,08
73,59
75,12
76,67
78,23
72,
73,
75,
76,
78,

76 I. Tablice
15. Elementy odcinka kołowego (*)
a. Długość łuku / i pole S segmentu dla cięciwy równej
Jedności. Tablica ta daje elementy odcinków kołowych o stałej cięciwie
a = 1 i różnych promieniach r (rys. 1). Argumentem jest strzałka h,
która przebiega wartości od 0,00 do 0,50; dla
. i —_ każdej z tych wartości h dana jest w tablicy dłu-
^ gość luku l i pole odcinka S. Jeżeli cięciwa
odcinka kołowego wyraża się liczbą a ^ \, należy
wartość argumentu h podzielić przez a, otrzymaną
zaś wartość l pomnożyć przez a, a S pomnożyć
przez a2. Dla trzeciej i czwartej cyfry po
przecinku w liczbie h wprowadza się poprawkę in-
Rys. 1 terpolacyjną.
Przykład. Jeżeli w odcinku kołowym
długość cięciwy a-y = 40 cm i strzałka hx = 6 cm, to dla wyznaczenia
długości łuku h korzystamy z tablicy 15a, 2 proporcji hijai^hjl
obliczamy h = 6/40 = 0,15 i w tablicy znajdujemy odpowiednią
wartość /= 1,0590; następnie z proporcji Ijjl = ai/1 znajdujemy /t =
= tei = 1,0590-40 = 42,36 cm.
k
—
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
/
__
1,0003
1,0011
1,0024
1,0043
1,0067
1,0096
1,0130
1,0170
1,0215
1,0265
1,0320
1,0380
1,0445
1,0515
1,0590
1,0669
1,0754
1,0843
1,0936
1,1035
1,1137
1,1244
1,1356
1,1471
1,1591
S
0,0067
0,0133
0,0200
0,0267
0,0334
0,0401
0,0468
0,0536
0,0604
0,0672
0,0740
0,0809
0,0878
0,0948
0,1018
0,1088
0,1159
0,1231
0,1303
0,1375
0,1448
0,1522
0,1596
0,1671
0,1747
h
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
/
1,1591
1,1715
1,1843
1,1975
1,2110
1,2250
1,2393
1,2539
1,2689
1,2843
1,3000
1,3160
1,3323
1,3490
1,3660
1,3832
1,4008
1,4186
1,4367
1,4551
1,4738
1,4927
1,5118
1,5313
1,5509
1,5708
S
0,1747
0,1824
0,1901
0,1979
0,2058
0,2137
0,2218
0,2299
0,2381
0,2464
0,2548
0,2633
0,2719
0,2806
0,2893
0,2982
0,3072
0,3162
0,3254
0,3347
0,3441
0,3536
0,3632
0,3729
0,3828
0,3927
O Wzory dotyczące elementów odcinka kołowego są na str. 215 i 216.
15. Elementy odcinka kołowego 77
b. Długość łuku /, strzałka h, długość cięciwy a i pole S
odcinka koła dla promienia r=l. Tablica ta zawiera elementy
różnych odcinków kołowych o promieniu równym jedności (rys. 1).
Argumentem jest kąt a wyrażony w stopniach. Dla każdego kąta
podana jest długość łuku / (czyli miara łukowa kąta), strzałka h,
stosunek Ijh, długość cięciwy o, stosunek a\h oraz pole S odcinka. Jeżeli
promień koła wyraża się liczbą r,^ 1, to tabelaryczne wartości l, h i a
należy pomnożyć przez ^ ,połe 5 odcinka pomnożyć przez r\> natomiast
stosunki Ijh i ajh pozostają bez zmiany. Jeżeli mając daną długość
łuku lx i strzałkę h1 chcemy znaleźć promień rl3 to obliczamy stosunek
lilK~s (wyznaczający kształt odcinka kołowego) i szukając liczby s
w rubryce Ijh znajdujemy odpowiednią wartość tabelaryczną /; wtedy
z proporcji ltjl = r2/l znajdujemy promień rx = Ą/ż. Analogicznie
postępujemy mając daną długość cięciwy ai i strzałkę hi.
Przykład. Jeżeli w odcinku kołowym długość cięciwy at= 40cm
i strzałka ht= 6 cm, to dla obliczenia kąta a i promienia r, korzystamy
z tablicy 15b; znajdujemy następnie aijhi^ ajh = 6,67 i w
odpowiednim wierszumamy (za pomocą interpolacji) a = 66,8°, a = 1,1010
i 7=1,1661; następnie z proporcji aifa=r1jl znajdujemy r1 =
= 40/1,1010 = 36,33 cm. Podobnie z proporcji Ijl — rill
znajdujemy li = 1,1661-36,33 = 42,36 cm.
I a
1 * | T * T
1
2
3
4
5
6
,7
's
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
0,3316
.0,3491
0,0000
0,0002
0,0003
0,0006
0,0010
0,0014
0,0019
0,0024
0,0031
0,0038
0,0046
0,0055
0,0064
0,0075
0,0086
0,0097
0,0110
0,0123
0,0137
0,0152
458,37
229,19
152,80
114,60
91,69
76,41
65,50
57,32
50,96
45,87
41,70
38,23
35,30
32,78
30,60
28,69
27,01
25,52
24,18
22,98
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0,1047
0,1221
0,1395
0,1569
0,1743
0,1917
0,2091
0,2264
0,2437
0,2611
0,2783
0,2956
0,3129
0,3301
0,3473
458,36
229,18
152,78
114,58
91,66
76,38
65,46
57,27
50,90
45,81
41,64
38,16
35,22
32,70
30,51
28,60
26,91
25,41
24,07
22,86
0,00000
0,00000
0,00001
0,00003
0,00006
0,00010
0,00015
0,00023
0,00032
0,00044
0,00059
0,00076
0,00097
0,00121
0,00149
0,00181
0,00217
0,00257
0,00302
0,00352

St> os ri o<
.-< O -" IN
O ^" CO CU W
o o o o o
h w M Cl
** ?! ^ S £
hhN22
SP1
CO
Oi 01 -# ■* 00 t~
t- oo r1 ui o r-
o" o o o* o" o o" o" « o" o o o o o" o o o 6" o" o o o o o
O) CS Cł N N
f~ ~-" s "o £
* r- * m t->
PI -. Ol 00 •©
v w m «i-
N N fi N N
d' d' o" d' o
» « I- t- t-
* PI CU O^
t? t^ t? O
e m in « f
°1 ^ *. "i "!
o o o o o
Sin * c- oo
pi .-« C> Os
d d d >© ifT
Oi r-. »r> m r-
oo » t» ifl_ in
irT ifT ir> ui vi
ui" ui in in vi
fl| « - m »
-t O O Ol 00
ui1 in ui ■* ■■)•"
mu
"in n °, *.
oó1 oo oo oo r-
O -■ H i? «
n ■*«*« !f ■ <*1 S B H SS
.... vi » tg
■* * p» oo p
M d - N ^
3335 3333!* 33333 3^33:- 2
i~^ r-" t- t- t»
* ■* ui
o 01 00
tC d' i©1
« 10 « ie «
m ie 10 ■■ *
PI M„ — —„ O^
10 (fi Ifi O C
t-» o pi t- «-"
01 01 oo, r^ t^
u? iń" (ó' vT ui
VI Ol «1 t N
e m ni » *
irT in" iń" ui tn
10 n h o a
10 i-4 10 -- m
m * e 1- i-
(0 Ol O H ■#
CM t- M 00 * 2 Ul
iO PI O
ł 111 -H
O Ol f- IO >0 t- t-
pi ^
Cl N
00*000 00000 00000
doooo 00000
01 * 00 «i r-
Ol S ■* CS Ol
ssasą
c *~ •"■ £ °
*- t Ei 2 *~
*$« =
9 S3 8 3
w in * » o
m i^i w h« 01
O cn t * f-
<•* CU N M N P"> P"> ^ ^ "1
tn r~ es >0 *3
d PI — 00 >o
01 ■-• «i ■* na
O O O i-i
■* Ol Cl
00 Ul PI
fi m
* in in in 1^
2„ tiimn< in >p r- oo o. *-"««* !2 £ £ 92 £
(-1 00 00 Ul (■•
U> O IO PI O
O O O O O
o" o" o o" o"
000S2 2 2 3 £ £
o oł or o o 00000 _
o o o d' d' •£ ś ćS 'S <S o" o" d' d d
i' r- oo co oo
* n o. r- •£
to o h «i m
— C^ M M C)
■P r- 01 cn
OOOOo O O O Q O
OOOOO
<o h- r- w pi
(O P t; (O O.
c-f t-T d o? oT
i© Ul O Oi rj
m ui 01 m p;
00" t^1 * «" m"
o. o ci 01 00
"1 'T, "_ ^ °">
ui fl. ir tn" pC
53SS3
33IIS
ui 10 00 -< 1/1
o, o o, o d
•"-• Ol 00 Ol PI
Cl ■» t« h N
pi o 01 pi *
Ul Ifl Ul io 10
OOOOO
00000 00000
m pi w .-< m
Or « 10 ł cq
O Ol Ol Ol Ol
Ol 00 00 00 00
pi ui * r- oo
r- łj- t-t 00 ui
* ID H Ol H
P> P> PI PI l'
o" o" o" o" o"
10 ui pi o t-
I" * M » <jl
—< PI Ul lO 00
ui 10 ui in tn
o * r-< <o
10 » Mf;
_ —t W1 Ul 10
e^* « 10 10
o -* t- o cn
f m tn in *
tn h c in i
o 00 01
00000 00000 ododo" d' d' d o" d a o" o" o" d
IN O t* tf O
in h 10 ^ jj
— ... _ — „- ., ^ lO t' fll O
t^r^r;c^ '"ł '"i •"; "?, °Ł 00,a2,°i^*
"* — — ___•• ddddo"
00 01 0 0 r-
in" ™" d 0" 0?
•-* ^H ^H ^ł «M
PI 00 ■«■ Oi Ul
o tf o p- t~
1-1 « ~ O O
M O O. » O
S » i>o m
pi m o^ 00 ic
oi 01 (ó' 00" 00
ui io co o -•
r- rt 1 (i| N
o_ o o o o
o o d d d
r- <o <o t-s o<
pi ui t- o. i
J' n £! 3 S
o o, o_ o o
o o o" d o
-* * f- n t»
■* * 00 -» pi
PI «1 l»l M- ■*
o_ o, o o^ o
o o d' o o
OOOOO
h in 01 m
10 01 N *
r- ■* n m o
tn t- — in oi
OOO00 ooodo"
S£S22 PJifjt-ooo nJ^KP-bi
cń pi pi *ł* 'S'
£ <£ cS & £
"J' ■* -* ^ Ul
o o o d' d'
m ui m ui m
o" o" o" d d
—1 Cl PI «*
mmmm
S«i 00 w t-
co in pi o
H N * IO ffl
« « O 10 IO
o o" d d ó*
-" lO O Ul Oi
00 Ifl PI O t-
Oi " M KI 16
o o <S o o"
pi «i ? v * ** 5
* oi w w n
ui m 0 r~ ui
00 O M PI Ul
r-^ od_ 00 co 00
0 0 d' d 0"
w * p. 00 o\
^* ^* ^" *i* tjł
r- -t io 0 ui
M O t- Ul M
SOI O N «
00 CC Oi Oi Oi
d' d ó* <S d'
0 m n m *
n ui ui ui tn
01
Oi
Ul
01
0
£

80
I. Tablice
15. Elementy odcinka kołowego
81
a"
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
Ul
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
/
1,5708
1,5882
1,6057
1,6232
1,6406
1,6581
1,6755
1,6930
1,7104
1,7279
1,7453
1,7628
1,7802
1,7977
1,8151
1,8326
1,8500
1,8675
1,8850
1,9024
1,9199
1,9373
1,9548
1,9722
1,9897
2,0071
2,0246
2,0420
2,0595
2,0769
2,0944
2,1118
2,1293
2,1468
2,1642
2,1817
h
0,2929
0,2991
0,3053
0,3116
0,3180
0,3244
0,3309
0,3374
0,3439
0,3506
0,3572
0,3639
0,3707
0,3775
0,3843
0,3912
0,3982
0,4052
0,4122
0,4193
0,4264
0,4336
0,4408
0,4481
0,4554
0,4627
0.4701
0,4775
0,4850
0,4925
0,5000
0,5076
0,5152
0,5228
0,5305
0,5383
V
5,36
5,31
5,26
5,21
5,16
5,11
5,06
5,02
4,97
4,93
4,89
4,84
4,80
4,76
4,72
4,68
4,65
4,61
4,57
4,54
4,50
4,47
4,43
4,40
4,37
4,34
4,31
4,28
4,25
4,22
4,19
4,16
4,13
4,11
4,08
4,05
a
1,4142
1,4265
1,4387
1,4507
1,4627
1,4746
1,4863
1,4979
1,5094
1,5208
1,5321
1,5432
1,5543
1,5652
1,5760
1,5867
1,5973
1,6077
1,6180
1,6282
1,6383
1,6483
1,6581
1,6678
1,6773
1,6868
1,6961
1,7053
1,7143
1,7233
1,7321
1,7407
1,7492
1,7576
1,7659
1,7740 J
a
~h
4,83
4,77
4,71
4,66
4,60
4,55
4,49
4,44
4,39
4,34
4,29
4,24
4,19
4,15
4,10
4,06
4,01
3,97
3,93
3,88
3,84
3,80
3,76
3,72
3,68
3,65
3,61
3,57
3,53
3,50
3,46
3,43
3,40
3,36
3,33
3,30
,S
0,28540
0,29420
0,30316
0,31226
0 32152
0,33093
0,34050
0,35021
0,36008
0,37009
0,38026
0,39058
0,40104
0,41166
0,42242
0,43333
0,44439
0,45560
0,46695
0,47845
0,49008
0,50187
0,51379
0,52586
0,53806
0,55041
0,56289
0,57551
0,58827
0,60116
0,61418
0,62734
0,64063
0,65404
0,66759
0,68125
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
2,1817
2,1991
2,2166
2,2340
2,2515
2,2689
2,2864
2,3038
2,3213
2,3387
2,3562
2,3736
2,3911
2,4086
2,4260
2,4435
2,4609
2,4784
2,4958
2,5133
2,5307
2,5482
2,5656
2,5831
2,6005
2,6180
2,6354
2,6529
2,6704
2,6878
2,7053
2,7227
2,7402
2,7576
2,7751
2,7925
0,5383
0,5460
0,5538
0,5616
0,5695
0,5774
0,5853
0,5933
0,6013
0,6093
0,6173
0,6254
0,6335
0,6416
0,6498
0,6580
0,6662
0,6744
0,6827
0,6910
0,6993
0,7076
0,7160
0,7244
0,7328
0,7412
0,7496
0,7581
0,7666
0,7750
0,7836
0,7921
0,8006
0,8092
0,8178
0,8264
4,05
4,03
4,00
3,98
3,95
3,93
3,91
3,88
3,86
3,84
3,82
3,80
3,77
2,75
3,73
3,71
3,69
3,67
3,66
3,64
3,62
3,60
3,58
3,57
3,55
3,53
3,52
3,50
3,48
3,47
3,45
3,44
3,42
3,41
3,39
3,38
1,7740
1,7820
1,7899
1,7976
1,8052
1,8126
1,8199
1,8271
1,8341
1,8410
1,8478
1,8544
1,8608
1,8672
1,8733
1,8794
1,8853
1,8910
1,8966
1,9021
1,9074
1,9126
1,9176
1,9225
1,9273
1,9319
1,9363
1,9406
1,9447
1,9487
1,9526
1,9563
1,9598
1,9633
1,9665
1,9696
3,30
3,26
3,23
3,20
3,17
3,14
3,11
3,08
3,05
3,02
2,99
2,97
2,94
2,91
2,88
2,86
2,83
2,80
2,78
2,75
2,73
2,70
2,68
2,65
2,63
2,61
2,58
2,56
2,51
2,51
2,49
2,47
2,45
2,43
2,40
2,38
0,68125
0,69505
0,70897
0,72301
0,73716
0,75144
0,76584
0,78034
0,79497
0,80970
0,82454
0,83949
0,85455
0,86971
0,88497
0,90034
0,91580
0,93135
0,94700
0,96274
0,97858
0,99449
1,01050
1,02658
1,04275
1,05900
1,07532
1,09171
1,10818
1,12472
1,14132
1,15799
1,17472
1,19151
1,20835
1,22525

82
I. Tablice
ct°
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
/
2,7925
2,8100
2,8274
2,8449
2,8623
2,8798
2,8972
2,9147
2,9322
2,9496
2,9671
2,9845
3,0020
3,0194
3,0369
3,0543
3,0718
3,0892
3,1067
3,1241
3,1416
h
0,8264
0,8350
0,8436
0,8522
0,8608
0,8695
0,8781
0,8868
0,8955
0,9042
0,9128
0,9215
0,9302
0,9390
0,9477
0,9564
0,9651
0,9738
0,9825
0,9913
1,0000
t
~h
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,31
3,30
3,29
3,27
3,26
3,25
3,24
3,23
3,22
3,20
3,19
3,18
3,17
3,16
3,15
3,14
a
1,9696
1,9726
1,9754
1,9780
1,9805
1,9829
1,9851
1,9871
1,9890
1,9908
1,9924
1,9938
1,9951
1,9963
1,9973
1,9981
1,9988
1,9993
1,9997
1,9999
2,0000
h
a
2,38
2,36
2,34
2,32
2,30
2,28
2,26
2,24
2,22
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,11
2,09
2,07
2,05
2,04
2,02
2,00
S
1,22525
1,24221
1,25921
1,27626
1,29335
1,31049
1,32766
1,34487
1,36212
1,37940
1,39671
1,41404
1,43140
1,44878
1,46617
1,48359
1,50101
1,51845
1,53589
1,55334
1,57080
16. Zamiana stopni kątowych na radiany
Metodę korzystania z tablicy 16 ilustrują następujące przykłady:
52°37'23"
50°
2°
30'
7'
20"
3" =
52°37'23" =
= 0,872665
= 0,034907
= 0,008727
= 0,002036
= 0,000097
= 0,000015
0,918447
= 0,91845 rad
2.
23°
5,645 rad
5,235988 = 300°
M09012
0,401426 =
0,007586
0,005818 =
0,001768
0,001745
0,000023 -
20'
5,645 rad = 323°26'5"
16. Zamiana stopni kątowych na radiany
Długość luku kola o promieniu równym jedno i ci
Kąt
I"
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
l'
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
Łuk
0,000005
0,000010
0,000015
0,000019
0,000024
0,000029
0,000034
0,000039
0,000044
0,000048
0,000097
0,000145
0,000194
0,000242
0,000291
0,000582
0,000873
0,001164
0,001454
0,001745
0,002036
0,002327
0,002618
0,002909
0,005818
0,008727
0,011636
0,014544
Kąt
1
1°
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Łuk
0,017453
0,034907
0,052360
0,069813
0,087266
0,104720
0,122173
0,139626
0,157080
0,174533
0,191986
0,209440
0,226893
0,244346
0,261799
0,279253
0,296706
0,314159
0,331613
0,349066
0,366519
0,383972
0,401426
0,418879
0,436332
0,453786
0,471239
0,488692
0,506145
0,523599
Kąt
31°
32
33
34
35
36
37
38
39
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
100
120
150
180
200
250
270
300
360
400
Łuk
0,541052
0,558505
0,575959
0,593412
0,610865
0,628319
0,645772
0,663225
0,680678
0,698132
0,785398
0,872665
0,959931
1,047198
1,134464
1,221730
1,308997
1,396263
1,483530
1,570796
1,745329
2,094395
2,617994
3,141593
3,490659
4,363323
4,712389
5,235988
6,283185
6,981317
Łuk równy promieniowi ma 57"17'44'',8 (równa się 1 radian)

84 I. Tablice
17. Poprawki proporcjonalne
| 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,1
2,2
3,3
4,4
5,5
6,6
7,7
8,8
9,9
21
2,1
4,2
6,3
8,4
10,5
12,6
14,7
16,8
18,9
31
3,1
6,2
9,3
12,4
15,5
18,6
21,7
24,8
27,9
41
4,1
8,2
12,3
16,4
20,5
24,6
28,7
32,8
36,9
1,2
2,4
3,6
4,8
6,0
7,2
8,4
9,6
10,8
j 13 | H j 15 16 [ 17 18 | 19 20 [
1,3
2,6
3,9
5,2
6,5
7,8
9,1
10,4
11,7
22 J 23
2,2
4,4
6,6
8,8
11,0
13,2
15,4
17,6
19,8
32
3,2
6,4
9,6
12,8
16,0
19,2
22,4
52,6
28,8
2,3
4,6
6,9
9,2
11,5
13,8
16,1
18,4
20,7
33
3,3
6,6
9,9
13,2
16,5
19,8
23,1
26,4
29,7
42 | 43
4,2
8,4
12,6
16,8
21,0
25,2
29,4
33,6
37,8
4,3
8,6
12,9
17,2
21,5
25,8
30,1
34,4
38,7
1,4
2,8
4,2
5,6
7,0
8,4
9,8
11,2
12,6
24
2,4
4,8
7,2
9,6
12,0
14,4
16,8
19,2
21,6
34
3,4
6,8
10,2
13,6
17,0
20,4
23,8
27,2
30,6
1,5
3,0
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
12,0
13,5
25
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
17,5
20,0
22,5
35
3,5
7,0
10,5
14,0
17,5
21,0
24,5
28,0
31,5
44 | 45
4,4
8,8
13,2
17,6
22,0
26,4
30,8
35,2
39,6
4,5
9,0
13,5
18,0
22,5
27,0
31,5
36,0
40,5
1,6
3,2
4,8
6,4
8,0
9,6
11,2
12,8
14,4
26
2,6
5,2
7,8
10,4
13,0
15,6
18,2
20,8
23,4
36
3,6
7,2
10,8
14,4
18,0
21,6
25,2
28,8
32,4
46
4,6
9,2
13,8
18,4
23,0
27,6
32,2
36,8
41,4
1,7
3,4
5,1
6,8
8,5
10,2
11,9
13,6
15,3
27
2,7
5,4
8,1
10,8
13,5
16,2
18,9
21,6
24,3
37
3,7
7,4
11,1
14,8
18,5
22,2
25,9
29,6
33,3
47
4,7
9,4
14,1
18,8
23,5
28,2
32,9
37,6
42,3
1,8
3,6
5,4
7,2
9,0
10,8
12,6
14,4
16,2
28
2,8
5,6
8,4
11,2
14,0
16,8
19,6
22,4
25,2
38
3,8
7,6
11,4
15,2
19,0
22,8
26,6
30,4
34,2
48
4,8
9,6
14,4
19,2
24,0
28,8
33,6
38,4
43,2
1,9
3,8
5,7
7,6
9,5
11,4
13,3
15,2
17,1
29
2,9
5,8
8,7
11,6
14,5
17,4
20,3
23,2
26,1
39
3,9
7,8
11,7
15,6
19,5
23,4
27,3
31,3
35,1
49
4,9
9,8
14,7
19,6
24,5
29,4
34,3
39,2
44,1
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
30
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
18,0
21,0
24,0
27,0
40
4,0
8,0
12,0
16,0
20,0
24,0
28,0
32,0
36,0
50
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2 ■
3
4
5
6
7
8
9
17. Poprawki proporcjonalne 85
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
51 52
5,1
10,2
15.3
20,4
25,5
30,6
35,7
40,8
45,9
61
6,1
12,2
18,3
24,4
30,5
36,6
42,7
48,8
54,9
71
7,1
14,2
21,3
28,4
35,5
42,6
49,7
56,8
63,9
81
8,1
16,2
24,3
32,4
40,5
48,6
56,7
64,8
72,9
5,2
10,4
15,6
20,8
26,0
31,2
36,4
41,6
46,8
62
6,2
12,4
18,6
24,8
31,0
37,2
43,4
49,6
55,8
72
7,2
14,4
21,6
28,8
36,0
43,2
50,4
57,6
64,8
82
8,2
16,4
24,6
32,8
41,0
49,2
57,4
65,6
73,8
53 | 54
5,3
10,6
15,9
21,2
26,5
31,8
37,1
42,4
47,7
63
6,3
12,6
18,9
25,2
31,5
37,8
44,1
50,4
56,7
73
7,3
14,6
21,9
29,2
36,5
43,8
51,1
58,4
65,7
83
8,3
16,6
24,9
33,2
41,5
49,8
58,1
66,4
74,7
5,4
10,8
16,2
21,6
27,0
32,4
37,8
43,2
48,6
64
6,4
12,8
19,2
25,6
32,0
38,4
44,8
51,2
57,6
74
7,4
14,8
22,2
29,6
37,0
44,4
51,8
59,2
66,6
84
i
1 8,4
16,8
25,2
33,6
42,0
50,4
58,8
67,2
75,6
55
5,5
11,0
16,5
22,0
27,5
33,0
38,5
44,0
49,5
65
6,5
13,0
19,5
26,0
32,5
39,0
45,5
52,0
58,5
75
7,5
15,0
22,5
20,0
37,5
45,0
52,5
60,0
67,5
56
5,6
11,2
16,8
22,4
28,0
33,6
39,2
44,8
50,4
66
6,6
13,2
19,8
26,4
33,0
39,6
46,2
52,8
59,4
76
7,6
15,2
22,8
30,4
38,0
45,6
53,2
60,8
68,4
85 j 86
8,5
17,0
25,5
34,0
42,5
51,0
59,5
68,0
76,6
1
8,6
17,2
25,8
34,4
43,0
51,6
60,2
68,8
77,4
57
5,7
11,4
17,1
22,8
28,5
34,2
39,9
45,6
51,3
58 | 59
!
5,8
11,6
17,4
23,2
29,0
34,8
40,6
46,4
52,2
67 68
6,7
13,4
20,1
26,8
33,5
40,2
46,9
53,6
60,3
77
7,7
15,4
23,1
30,8
38,5
46,2
53,9
61,6
69,3
87
: 8,7
17,4
26,1
34,8
43,5
52,2
60,9
69,6
78,3
6,8
13,6
20,4
27,2
34,0
40,8
47,6
54,4
61,2
78
7,8
15,6
23,4
31,2
39,0
46,8
54,6
62,4
70,2
88
8,8
17,6
26,4
35,2
44,0
52,8
61,6
70,4
79,2
5,9
11,8
17,7
23,6
29,5
35,4
41,3
47,2
53,1
69
6,9
13,8
20,7
27,6
34,5
41,4
48,3
55,2
62,1
60
6,0
12,0
18,0
24,0
30,0
36,0
42,0
48,0
54,0
70
7,0
14,0
21,0
28,0
35,0
42,0
49,0
56,0
63,0
79 80
7,9
15,8
23,7
31,6
39,5
47,4
55,3
63,2
71,1
89
8,9
17,8
26,7
35,6
44,5
53,4
62,3
71,2
80,1
8,0
16,0
24,0
32,0
40,0
48,0
56,0
64,0
72,0
90
9,0
18,0
27,0
36,0
45,0
54,0
63,0
72,0
81,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9

86
I. Tablice
18. Tablica interpolacji kwadratowej
W tablicy tej zawarte są wartości współczynników kt potrzebnych
przy interpolacji kwadratowej według Bessela (str. 12). Wszystkim
wartościom k zawartym pomiędzy dwiema sąsiednimi liczbami zarówno
lewej kolumny k jak i prawej kolumny k odpowiada jedna i ta sama
wartość ku umieszczona między tymi sąsiednimi wartościami k. Dla
wartości k umieszczonej w tablicy bierze się zawsze wyżej leżącą wartość kx.
Przykłady. 1. Dla k = 0,8 mamy kr = 0,040 (podobnie jak
i dla wszystkich innych wartości k zawartych między 0,797 i 0,804 lub
między 0,196 i 0,203). 2. Dla k = 0,3 (lub k = 0,7) mamy kx = 0,052.
k
0,000
0,002
0,006
0,010
0,014
0,018
0,022
0,026
0,030
0,035
0,039
0,043
0,048
0,052
0,057
0,061
0,066
kt j k
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
"
1,000
0,998
0,994
0,990
0,986
0,982
0,978
0,974
0,970
0,965
0,961
0,957
0,952
0,948
0,943
0,939
0,934
k | A, | k 1 k
0,06f
0,071
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
0,100
0,105
0,110
0,115
0,120
0,125
0,131
0,136
0,142
0,147
0,0 it
0,017
0,018
0,019
0,020
0,021
0,022
0,023
0,024
0,025
0,026
0,027
0,028
0,029
0,030
0,031
*i
0,934 0,147
0,9291 0,153
0,925
0,920
0,915
0,910
0,905
0,900
0,895
0,890
0,885
0,880
0,875
0,869
0,864
0,858
0,853
| 0,159
0,165
0,171
0,177
0,183
0,190
0,196
0,203
0,210
0,217
0,224
0,231
0,239
0,247
0,255
k
0,853
0,032
0,03;
0,034
0,035
0,036
0,037
0,038
0,039
0,04O
0,041
0,042
0,043
0,044
0,045
0,046
0,047
0,847
0,841
0,835
0,829
0,823
0,817
0,810
0,804
0,797
0,790
0,783
0,776
0,769
0,761
0,753
0,745
| A | A,
0,255
i
~ "0,26.
0,27
0,280
0,290
0,300
0,310
0,321
0,332
0,345
0,358
0,373
0^90
0,410
0,436
0,500
0,048
0,049
0,050
0,051
0,052
0,053
0,054
0,055
0,056
0,057
0,058
0,059
0,060
0,061
0,062
k
0,745
0,737
0,729
0,720
0,710
0,700
0,690
0,679
0,668
0,655
0,642
0,627
0,610
0,590
0,564
0,500
19. Funkcja gamma
87
B. TABLICE FUNKCJI SPECJALNYCH
19. Funkcja gamma
W tablicy tej zawarte są wartości funkcji T(x) (str. 204) dla
wartości x od 1 do 2. Wartości funkcji r(x) dla x < 1 i x > 2 można
obliczyć za pomocą wzorów
/>+l)
r(x) =
Przykłady. 1 Obliczamy r(0,7)
r(*) = (*^i)r(*-i).
^(1,7) 0,90864
0,7
0,7
- 1,2981.
2. Obliczamy T(3,5) = 2,5 ■ -T(2,5) - 2,5 ■ 1,5 ■ T(l,5) =
= 2,5-1,5-0,88623 = 3,32336.
X
1,00
01
02
03
04
1,05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
1,15
16
17
18
19
1,20
21
22
23
24
1,25
r(x)
1,00000
0,99433
0,98884
0,98355
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0,95135
0,94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0,90640
X
1,25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
1,35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
1,45
46
47
48
49
1.50
r(x)
0,90640
0,90440
0,90250
0,90072
0,89904
0,89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0,88785
0,88726
0,88676
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0,88563
0,88575
0,88595
0,88623
X
1,50
51
52
53
54
1,55
56
57
58
59
1,60
61
62
63
64
1,65
66
67
68
69
1,70
71
72
73
74
i »,75
rw
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
0,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
X
1,75
76
77
78
79
1,80
81
82
83
84
1,85
86
87
88
89
1,90
91
92
93
94
1,95
96
97
98
99
2,00
r(x)
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000

88
I. Tablice
20. Funkcje walcowe Bessela C1)
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
14
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
*.(*>
+1,0000
0,9975
0,9900
0,9776
0,9604
0,9385
0,9120
0,8812
0,8463
0,8075
+0,7652
0,7196
0,6711
0,6201
0,5696
+ 0,5118
0,4554
0,3980
0,3400
0,2818
+0,2239
0,1666
0,1104
0,0555
0,0025
-0,0484
0,0968
0,1424
0,1850
0,2243
-0,2601
J"iC*>
+ 0,0000
0,0499
0,0995
0,1483
0,1960
+ 0,2423
0,2867
0,3290
0,3688
0,4059
+0,4401
0,4709
0,4983
0,5220
0,5419
+ 0,5579
0,5699
0,5778
0,5815
0,5812
+0,5767
0,5683
0,5560
0,5399
0,5202
0,4971
0,4708
0,4416
0,4097
0,3754
+ 0,3391
VoW
— co
-1,5342
1,0811
0,8073
0,6060
-0,4445
0,3085
0,1907
-0,0868
+0,0056
+0,0883
0,1622
0,2281
0,2365
0,3379
+ 0,3824
0,4204
0,4520
0,4774
0,4968
+ 0,5104
0,5183
0,5208
0,5181
0,5104
0,4981
0,4813
0,4605
0,4359
0,4079
+0,3769
nw
— co
-6,4590
3,3238
2,2931
1,7809
_ 1,4715
1,2604
1,1032
0,9781
0,8731
_0,7812
0,6981
0,6211
0,5485
0,4791
-0,4123
0,3476
0,2847
0,2237
0,1644
_0,1070
-0,0517
+ 0,0015
0,0523
0,1005
+ 0,1459
0,1884
0,2276
0,2635
0,2959
+0,3247
'■<*>
1,000
1,003
1,010
1,023
1,040
1,063
1,092
1,126
1,167
1,213
1,266
1,326
1,394
1,469
1,553
1,647
1,750
1,864
1,990
2,128
2,280
2,446
2,629
2,830
3,049
3,290
3,553
3,842
4,157
4,503
4,881
AC*)
0,0000
0,0501
0,1005
0,1517
0,2040
0,2579
0,3137
0,3719
0,4329
0,4971
0,5652
0,6375
0,7147
0,7973
0,8861
0,9817
1,085
1,196
1,317
1,448
1,591
1,745
1,914
2,098
2,298
2,517
2,755
3,016
3,301
3,613
3,953
. *oC*>
co
2,4271
1,7527
1,3725
1,1145
0,9244
0,7775
0,6605
0,5653
0,4867
0,4210
0,3656
0,3185
0,2782
0,2437
0,2138
0,1880
0,1655
0,1459
0,1288
0,1139
0,1008
0,08927
0,07914
0,07022
0,06235
0,05540
0,04926
0,04382
0,03901
0,03474
Kt(,x)
co
9,8538
4,7760
3,0560
2,1844
1,6564
1,3023
1,0503
0,8618
0,7165
0,6019
0,5098
0,4346
0,3725
0,3208
0,2774
0,2406
0,2094
0,1826
0,1597
0,1399
0,1227
0,1079
0,09498
0,08372
0,07389
0,06528
0,05774
0,05111
0,04529
0,04016
(') Określenia, wzory i wykresy są na str. 582.
20. Funkcje walcowe Bessela
89
*
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5)1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
JW*)
-0,2601
0,2921
0,3202
03443
0,3643
-0,3801
0,3918
0,3992
0,4026
0,4018
-0,3971
0,3887
0,3766
0,3610
0,3423
-0,3205
0,2961
0,2693
0,2404
0,2097
-0,1776
0,1443
0,1103
0,0758
0,0412
-0,0068
+0,0270
0,0599
0,0917
0,1220
+ 0,1506
0,1773
0,2017
0,2238
0,2433
+ 0,2601
JiOO
+03391
0,3009
0,2613
0,2207
0,1792
+0,1374
0,0955
0,0538
+ 0,0128
-0,0272
-0,0660
0,1033
0,1386
0,1719
0,2028
-0,2311
0,2566
0,2791
0,2985
03147
-0,3276
0,3371
0,3432
0,3460
0,3453
-0,3414
0,3343
0,3241
0,3110
0,2951
- 0,2767
0,2559
0,2329
0,2081
0,1816
-0,1538
Vo(*>
+0,3769
0,3431
0,3070
0,2691
0,2296
+ 0,1890
0,1477
0,1061
0,0645
+0,0234
-0,0169
0,0561
0,0938
0,1296
0,1633
-0,1947
0,2235
0,2494
0,2723
0,2921
-0,3085
0,3216
0,3313
0,3374
0,3402
-0,3395
0,3354
0,3282
0,3177
0,3044
-0,2882
0,2694
0,2483
0,2251
0,1999
-0,1732
Y"i<*>
+0,3247
0,3496
0,3707
0,3879
0,4010
+ 0,4102
0,4154
0,4167
0,4141
0,4078
+ 0,3979
0,3846
0,3680
0,3484
0,3260
-1-0,3010
0,2737
0,2445
0,2136
0,1812
+0,1479
0,1137
0,0792
0,0445
+0,0101
-0,0238
0,0568
0,0887
0,1192
0,1481
-0,1750
0,1998
0,2223
0,2422
0,2596
-0,2741
/„(*)
4,881
5,294
5,747
6,243
6,785
7,378
8,028
8,739
9,517
10,37
11,30
12,32
13,44
14,67
16,01
17,48
19,09
20,86
22,79
24,91
27,34
29,79
32,58
35,65
39,01
42,69
46,74
51,17
56,04
61,38
67,23
73,66
80,72
88,46
96,96
106,3
/i(*>
3,953
4,326
4,734
5,181
5,670
6,206
6,793
7,436
8,140
8,913
9,759
10,69
11,71
12,82
14,05
15,39
16,86
18,48
20,25
22,20
24,34
26,68
29,25
32,08
35,18
38,59
42,33
46,44
50,95
55,90
61,34
67,32
73,89
81,10
89,03
97,74
K„(,x)C)
0,03474
0,03095
0,02759
0,02461
0,02196
0,01960
0,01750
0,01563
0,01397
0,01248
0,01116
0,029980
0,0S8927
0,027988
0,027149
0,0*6400
0,025730
0,025132
0,024597
0,024119
0,023691
0,023308
0,022966
O,022659
0,022385
0,0S2139
0,0*1918
0,021721
0,031544
0,021386
0,021244
0,021117
0,021003
0,039001
0,0S8083
0,037259
*i<*>
0,04016
0,03563
0,03164
0,02812
0,02500
0,02224
0,01979
0,01763
0,01571
0,01400
0,01248
0,01114
0,029938
0,028872
0,037923
0,027078
0,026325
0,025654
O,025055
0,024521
0,024045
0,023619
0,023239
0,022900
0,0a2597
0,022326
0,022083
0,021866
0,021673
0,021499
0,0*1344
0,021205
0,021081
0,0^9691
0,0=8693
0,0^7799
O Tu i dalej przyjęto zapis: 0,009980 - 0,039980.

90
I. Tablice
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
J/*)
JiC*>
+0,2601
0,2740
0,2851
0,2931
0,2981
+0,3001
0,2991
0,2951
0,2882
0,2786
-0,1538
0,1250
0,0953
0,0652
0,0349
-0,0047
+0,0252
0,0543
0,0826
0,1096
y,(x)
*!(*>
+ 0,2663 +0,1352
0,2516 0,1592
0,2346
0,2154
0,1944
8,0+0,1717
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
0,1475
0,1222
0,0960
0,0692
+0,0419
+ 0,0146
-0,0125
0,0392
0,0653
-0,0903
0,1142
0,1367
0,1577
0,1768
-0,1939
0,2090
0,2218
0,2323
0,2403
0,1813
0,2014
0,2192
-0,1732
0,1452
0,1162
0,0864
0,0563
-0,0259
+0,0042
0,0339
0,0628
0,0907
+0,1173
0,1424
0,1658
0,1872
0,2065
+0,2346 +0,2235
0,2476 0,2381
0,2580
0,2657
0,2708
+0,2731
0,2728
0,2697
0,2641
0,2559
+ 0,2453
0,2324
0,2174
0,2004
0,1816
+0,1613
0,1395
0,1166
0,0928
0,0684
0,2501
0,2595
0,2662
0,2702
0,2715
0,2700
0,2659
0,2592
+0,2499
0,2383
0,2245
0,2086
0,1907
+ 0,1712 +0,2032
-0,2741
0,2857
0,2945
0,3002
0,3029
-0,3027
0,2995
0,2934
0,2846
0,2731
-0,2591
0,2428
0,2243
0,2039
0,1817
-0,1581
0,1331
0,1072
0,0806
0,0535
-0,0262
+ 0,0011
0,0280
0,0544
AGO
0,0799 995,2 937,5
+0,1043
0,1275
0,1491
0,1691
0,1871
0,1502
0,1279
0,1045
0,0804
10,0[-0,2459 j+0,0435 | + 0,0557 j +0,2490 [28I6 [2671
0,2171
0,2287
0,2379
0,2447
106,3
116,5
127,8
140,1
153,7
168,6
185,0
202,9
222,7
244,3
268,2
294,3
323,1
354,7
389,4
427,6
469,5
515,6
566,3
621,9
683,2
750,5
824,4
905,8
/,(*)
Kfr)
1094
1202
1321
1451
1595
1753
1927
2119
2329
2561
1031
1134
1247
1371
1508
1658
1824
2006
2207
2428
97,74
107,3
117,8
129,4
142,1
156,0
171,4
188,3
206,8
227,2
249,6
274,2
301,3
331,1
363,9
399,9
439,5
483,0
531,0
583,7
641,6
705,4
775,5
852,7
0,037259
0,0*6520
0,0*5857
0,0*5262
0,0S4728
0,0*4248
0,0*3817
0,0*3431
0,0*3084
*,(*)
0,0*2772 0,0*2953
0,0*2492
0,0*2240
0,0*2014
0,0*1811
0,0=1629
0,031465
0,0*1317
0,031185
0,031066
0,0S9588
0,048626
0,047761
0,0*6983
0,0*6283
0,0*5654
0,0*7799
0,0*6998
0,0*6280
0,0*5636
0,0*5059
0,0*4542
0,0*4078
0,0*3662
0,0*3288
0,0*5088
0,044579
0,0*4121
0,0*3710
0,043339
0,043006
0,0*2706
0,042436
0,0*2193
0,0*1975
0,0*2653
0,0*2383
0,082141
0,0*1924
0,0*1729
0,0*1554
0,0*1396
0,0*1255
0,0*1128
0,0*1014
0,049120
0,0*8200
0,747374
0,0*6631
0,045964
0,045364
0,0*4825
0,0*4340
0,0*3904
0,0*3512
0,0*3160
0,0*2843
0,0*2559
0,0*2302
0,0*2072
0,0*1778 0,0*1865
21. Wielomiany Legendte'a
21. Wielomiany Legendre'a (')
P0(x) = 1,
Pl(*> = *.
Pa(*) = y(3**-1),
P3(*) = y (5^-3*),
•P«(*> = ^-(S5x*-30^ + 3-),
O
p60) = i.(63*5-70*3 + 15*>,
91
P„(x) = —r- (231** -315x* + 105x2 -5),
P70) = -?- (429x7-693x5+315xs-35x).
X =
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
Pl(*>
-0,5000
-0,4962
-0,4850
-0,4662
-0,4400
-0,4062
-0,3650
-0,3162
-0,2600
-0,1962
-0,1250
-0,0462
+ 0,0400
0,1338
0,2350
0,3438
0,4600
0,5838
0,7150
0,8538
1,0000
Ps(.x)
0,0000
-0,0747
-0,1475
-0,2166
-0,2800
-0,3359
-0,3825
-0,4178
-0,4400
-0,4472
-0,4375
-0,4091
-0,3600
-0,2884
-0,1925
-0,0703
+0,0800
0,2603
0,4725
0,7184
1,0000
Pt(x)
0,3750
0,3657
0,3379
0,2928
0,2320
0,1577
+ 0,0729
-0,0187
-0,1130
-0,2050
-0,2891
-0,3590
-0,4080
-0,4284
-0,4121
-0,3501
-0,2330
-0,0506
+ 0,2079
0,5541
1,0000
W
0,0000
0,0927
0,1788
0,2523
0,3075
0,3397
0,3454
0,3225
0,2706
0,1917
+0,0898
-0,0282
-0,1526
-0,2705
-0,3652
-0,4164
-0,3995
-0,2857
-0,0411
+ 0,3727
1,0000
JY*>
-0,3125
-0,2962
-0,2488
-0,1746
-0,0806
+ 0,0243
0,1292
0,2225
0,2926
0,3290
0,3232
0,2708
0,1721
+ 0,0347
-0,1253
-0,2808
-0,3918
-0,4030
-0,2412
+ 0,1875
1,0000
PT(*>
0,0000
-0,1069
-0,1995
-0,2649
-0,2935
- 0,2799
-0,2241
-0,1318
-0,0146
+ 0,1106
0,2231
0,3007
0,3226
0,2737
+0,1502
-0,0342
-0,2397
-0,3913
-0,3678
+0,0112
1,0000
(') Określenia i wykresy są na sir. 585.

92
I. Tablica
22. Całki eliptyczne (*)
a. Całki eliptyczne pierwszego rodzaju
sinp
% V) =
rfr
ł/l —A^f
i k = sina
\ a°
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0,0000
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10
0,0000
0,1746
0,3493
0,5243
0,6997
0,8756
1,0519
1,2286
1,4056
1,5828
20
0,0000
0,1746
0,3499
0,5263
0,7043
0,8842
1,0660
1,2495
1,4344
1,6200
30
0,0000
0,1748
0,3508
0,5294
0,7116
0,8982
1,0896
1,2853
1,4846
1,6858
40
0,0000
0,1749
0,3520
0,5334
0,7213
0,9173
1,1226
1,3372
1,5597
1,7868
50
0,0000
0,175!
0,3533
0,5379
0,7323
0,9401
1,1643
1,4068
1,6660
1,9356
60
0,0000
0,1752
0,3545
0,5422
0,7436
0,9647
1,2126
1,4944
1,8125
2,1565
70
0,0000
0,1753
0,3555
0,5459
0,7535
0,9876
1,2619
1,5959
2,0119
2,5046
80
0,0000
0,1754
0,3561
0,5484
0,7604
1,0044
1,3014
1,6918
2,2653
3,1534
90
0,0000
0,1754
0,3564
0,5493
0,7629
1,0107
1,3170
1,7354
2,4362
oo
b. Całki eliptyczne drugiego rodzaju
<P sin ę ,
ECKv) = /vi-ft«MhVrfV = j y^-dti k = sina
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0,0000
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10
0,0000
0,1745
0,3489
0,5229
0,6966
0,8698
1,0426
1,2149
1,3870
1,5589
1
20 30
0,0000
0,1744
0,3483
0,5209
0,6921
0,8614
1,0290
1,1949
1,3597
1,5238
0,0000
0,1743
0,3473
0,5179
0,6851
0,8483
1,0076
1,1632
1,3161
1,4675
40
0,0000
0,1742
0,3462
0,5141
0,6763
0,8317
0,9801
1,1221
1,2590
1,3931
50
[
0,0000
0,1740
0,3450
0,5100
0,6667
0,8134
0,9493
1,0750
1,1926
1,3055
60
0,0000
0,1739
0,3438
0,5061
0,6575
0,7954
0,9184
1,0266
70
0,0000
0,1738
0,3429
0,5029
0,6497
0,7801
0,8914
0,9830
1,1225 1,0565
1,2111
1,1184
80
0,0000
0,1737
0,3422
0,5007
0,6446
0,7697
0,8728
0,9514
1,0054
1,0401
90
0,0000
0,1736
0,3420
0,5000
0,6428
0,7660
0,8660
0,9397
0,9848
1,0000
(') Określenia podane są na str. 437.
n/2
K
22. Całki eliptyczne
c. Całki eliptyczne zupełne
1
dip r dt
i 1 \ „ f w = f
93
, k = sina,
*/2
B™jE(fc-^7c) = j ]/l-k2sin*ydy = fi/1 k>t* dt' k = Shia
0 o '
K
E
K
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1,5708
1,5709
1,5713
1,5719
1,5727
1,5738
1,5751
1,5767
1,5785
1,5805
1,5828
1,5854
1,5882
1,5913
1,5946
1,5981
1,6020
1,6061
1,6105
1,6151
1,6200
1,6252
1,6307
1,6365
1,6426
1,6490
1,6557
1,6627
1,6701
1,6777
1,6858
1,5708
1,5707
1,5703
1,5697
1,5689
1,5678
1,5665
1,5649
1,5632
1,5611
1,5589
1,5564
1,5537
1,5507
1,5476
1,5442
1,5405
1,5367
1,5326
1,5283
1,5238
1,5191
1,5141
1,5090
1,5037
1,4981
1,4924
1,4864
1,4803
1,4740
1,4675
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1,6858
1,6941
1,7028
1,7119
1,7214
1,7312
1,7415
1,7522
1,7633
1,7748
1,7868
1,7992
1,8122
1,8256
1,8396
1,8541
1,8691
1,8848
1,9011
1,9180
1,9356
1,9539
1,9729
1,9927
2,0133
2,0347
2,0571
2,0804
2,1047
2,1300
2,1565
1,4675
1,4608
1,4539
1,4469
1,4397
1,4323
1,4248
1,4171
1,4092
1,4013
1,3931
1,3849
1,3765
1,3680
1,3594
1,3506
1,3418
1,3329
1,3238
1,3147
1,3055
1,2963
1,2870
1,2776
1,2681
1,2587
1,2492
1,2397
1,2301
1,2206
1,2111
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
2,1565
2,1842
2,2132
2,2435
2,2754
2,3088
2,3439
2,3809
2,4198
2,4610
2,5046
2,5507
2,5998
2,6521
2,7081
2,7681
2,8327
2,9026
2,9786
3,0617
3,1534
3,2553
3,3699
3,5004
3,6519
3,8317
4,0528
4,3387
4,7427
5,4349

e-
e-
e-
e-
o o o o o
lilii
llllt
O * W Cl Cl
fti © >© o ci
h- 50 (O W Ol
Oi Oi Oi O* O'
a 2
Ói Ol Ol Ol Ol
o" o" o es" d'
Sow om
ci ci «r *
o o o o
m m m ti-
ą ą i ą
oi o o* o> 01
ó" ó" o' o o
Ot © (ft C^ TA
01 -» ci ■* •©
—i pi pi pj pj
Ol Ol Ol Oi Ol
o o o' o™ o
H (• N «0 N
(O 51 -I N W
0 pi n w ji
01 Ol Ol Ol Ol
o" o" o" o" d'
(> h «1 » N
m r> 00 o- -•
ci Cl Cl ci *}i
Ol Ol Oi Ol Ol
o o" ó" d' o"
B ff> H t łO
PI Cl in 10 t-
Th tfi ■* >*■ ■*
CO O (N Cl ■*
CO O «-i C-J Cl
i* m in in m
Ol Ol O* Ol Ol
o" o" o" o" o"
in » S J J'
^ 01 t K N
Vi in iO * r*
01 31 Oin 0\ w
o" ó' o" o o
us id r~ cc 01
r- r-- r- t~ r-
1-1 in ci *f
Ol Ol Ol Ol
rioioioioi o ©-»•-> o
sf
00000
m m ^ m 5
co —i ■* t~- o
<*> "* * S K
CO CD CO CO CO^
o" o' o o" o
d 1- >f h 00 ifamoTf
n in « « n *?:^^S
vi m vi © o lO'or-t-c*
cococococo coooco^oo^co^
d d o o" o" 00000
Oi P) ■£> Ol PI
HIS!
^ — -^ o o
.H Cl in t- Oi
00000
Oi Ol Oi Ol Ol
o" d' o" d ©
-- -» m ■*
m in in in
10 c- co 01
in m in in
3 8
t- KI #1 O t-
p« r- n f 5
00000
ci 01 ■* » ci
10 o m 01 *
o -1 h « o
t~ r- t~- c-^ t-
d d ó" o" ó"
o" o" o- o" o"
Ol O O O O
Oi 41 M 0( iO
■* ifl m ie o
ii t- ^ t-A ^
o" d d o" o"
01 f- in ci o
Sci r- i-i in
r- r- co co
t- r- t^ t~- t~-
d" d o" d' o"
a O r* pi ci **" W W J <o 2
■■ M n ■#
O W PI CS
r* ci 01 m o*
CO C-l Ul Oi M
£ ft p ą; ą
o" o" o" d o"
■* co ci in 00
•" r< C'
CO 00 03, OJ OJ
d' d' o" o o
,0
0
■d
&
0
■d
*
«
P.
J
■s
u
S'
£
l»
'C
1 *?
I«N
^
II
&
■6
e-
e-
8
e-
e-
00000
5 m 00 m -
* pi i~- ci 01
t~ co 00 01 oi
in_ m m m in
o o" d' d' o"
r» m r» -< in
•r o in *h o
S« h m n
^ ID 1© i©
o" o" o" o" d'
01 n 1* io co
ID i© IO iLł ^
d' o" d o" o"
mis
CO CO Ol O
»i fi m 11 *
d' o" o" o" o"
t w n -1 to
t- Tf — CO tf>
« N tń n v
^ ** ■* ■* ■«•
o o" o" d' o"
m h 1^ m os
i-i OD ■* — [>
S 9 ą sj 5
o" o" d' o" o"
2 C ■" ^ a)
fl O h pi o.
CO Ol Ol O O
■^ tę_ -* in in
O O O o O
- « KI « h
■O CU CO Tf O
~ n m m ■*
in m in m in
o" o" o" o" o"
mmmm
W 10 r-- co 01
in m m m in
© « pj ci ■*
es ic id <o 10
o" ■
^ -» co ui pi
1- m « o co
Oi O - M N
■-■ d W PI IN
o" d' o" o" o"
Illll
N PI 1C h Ifl
ci h w * ri
t- CO CO Oi O
N N PI N BI
o o o" d o"
co pi in co -<
o co m oj o
■" h n fi A
n w w n ci
00 o o" o"
n m * co 01
[> Tt- — co m
00000
w ci ci ci c»
10 r- 00 »
ci ci ci ci
es i-i oi o
* **■ ■* ^
5 J?
O O Oi Oi
co 10 m h
0000
IIIII
t~ o in •*■ ci
01 r- tn ci —
T~ CO Oi O --<
O O O ■■_ m
o d' o" o" o"
PI i-i O C0 t-
c h n n o
—1 pi ci <v (n
m ci i-i 01 t>
» C * -ł Ol
m * [■»• co co
00000" O o" o" od
00000
« * t" CO
0000
pici^" iftior-coo.
[g

96 I- Tablice
24. Rozkład x2 i rozkład t Studenta (',>
r- 1 —i—— t—■ ——■ ■———
^
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,10
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
0,05
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
0,02
5,412
7,824
9,837
11,668
13,388
15,033
16,662
18,168
19,679
21,161
22,618
24,054
25,472
26,873
28,259
29,633
30,995
32,346
33,687
35,020
36,343
37,659
38,968
40,270
41,566
0,01
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
0,001
10,827
13,815
16,268
18,465
20,517
22,457
24,322
26,125
27,877
29,588
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
39,252
40,790
42,312
43,820
45,315
46,797
48,268
49,728
51,179
52,620
P(|*l 2* («) =
0,1
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
0,05
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228;
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
0,02
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
0,01
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
= a
i
; 0,001
636,619
31,598
12,941
8,610
6,859
5,959
5,405
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,767
3,745
3,725
7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
(')Por. str. 805 i 806.
24. Rozkład *a i rozkład t Studenta
97
p u* > 4>=«
\
26
27
28
29
30
0,10
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
0,05
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
0,02
42,856
44,140
45,419
46,693
47,962
0,01
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
0,001
54,052
55,476
56,893
58,302
59,703
P(|rj ?<«) = «
0,1
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,671
1,658
1,645
0,05
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,000
1,980
1,960
0,02
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,390
2,358
2,326
0,01
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,617
2,576
0,001
3,707
3,690
3,674
3,659
3,646
3,551
3,460
3,373
3,291
/.
26
27
28
29
30
40
60
120
oo

n. WYKRESY
A. FUNKCJE ELEMENTARNE
1. Wielomiany
Funkcja liniowa y = ax+b. Wykres (rys. 2a): Jinia prosta. Dla
a > O funkcja monofonicznie wzrastaj dla c < 0 monotonicznie
maleje, dla a = 0 jest stała. Przecięcie z osią Ox: A(—b/a,0)} jeżeli
ajtO; z osią Oy: B(0,b).
Szczegóły—patrz str. 260. Gdy
6 = 0, otrzymujemy
proporcjonalność prostą y — ax;
wykres: prosta przechodząca przez
początek współrzędnych (rys.
2b).
Trójmian kwadratowy y =
a) a*0 b) a>0 = axf+bx+c, gdzie a ź 0.
Wykres (rys. 3): parabola o
ys' pionowej osi x = —bj2a (oś
symetrii). Dla a > 0 funkcja
najpierw malejej osiąga minimum, następnie wzrastaj dla a < 0 najpierw
wzrasta, osiąga maksimum, następnie maleje. Przecięcia z osią Qxr:
b)a<0
Rys. 3
1. Wielomiany
99
A„A<
'-b±]/b*-Aac
la
, o|, jeżeli b2-4ac > 0; z osią Oy: B(0, c).
b 4ac —63 i _ ,,.
O paraboli patrz str.
Ekstremum w punkcie CI — ^r- , ——
\ 2a 4a
273 - 275. v
Wielomian stopnia trzeciego y = <re3+bx%+ex+d, gdzie ajtO,
Wykres (rys. 4): parabola sześcienna (parabola stopnia trzeciego).
Przebieg funkcji zależy od znaków a i A = 3(W—i2. Jeżeli A 3= 0
(rys. 4a i b) funkcja monotonicznie wzrasta dla a > 0 i monotonicznie
maleje dla a < 0. Jeżeli A < 0, funkcja ma dwa ekstrema w punktach
(/"
0
Ej
r
X
0.) A>Qa<0
b)A=Q,a>0
Rys. 4
C) 4<0,a>0
C,D
b±\/-A 2b3-9abcT ((>ac-2bP) )/-.4
■,d+
, 3a — 27«^ /rys. 4c); dla
a > 0 funkcja rośnie od — co do maksimum, potem maleje do
minimum, a następnie wzrasta do + oo, dla a < 0 funkcja maleje od
+ co do minimum, wzrasta do maksimum, wreszcie maleje do — oo.
Punkty przecięcia krzywej z osią Ox mają odcięte równe
rzeczywistym pierwiastkom równania axzĄ-bxz-\-cx-\-d = 0 (*); może ich
być jeden albo dwa (i wtedy krzywa jest styczna do osi Ox), albo trzy
(punkty Ai, A* \ A3 na rysunku 4c). Przecięcie z osią Oy: B(0, d).
Punkt przegięcia El- —, 2 ~9f \-d) jest środkiem symetrii
\ 3a 21ar }
krzywej; styczna w tym punkcie ma współczynnik kątowy tg 9? =
Idy) =_A_
\dxj E 3a '
Wieiomian stopnia n y = aQx* + alx*-1 + ... +an-iX+an, gdzie
flo ^ 0. Wykres (rys. 5): paraboja stopnia n (2).
a. n jest nieparzyste. Funkcja zmienia się w sposób ciągły;
(') O rozwiązywaniu równań stopnia trzeciego patrz str, 171 - 173,
(2) O stopniu krzywej patrz str, 260,

100
II. Wykresy
gdy a0 > 0, funkcja zmienia się od -co do +oo, natomiast gdy
Oo < 0, od +oo do — oo. Krzywa może mieć z osią Ox od 1 do w
punktów przecięcia (*). Funkcja bądź nie ma ekstremów, bądź ma ich
ilość parzystą (od 2 do n — 1), przy czym maksima i minima występują
na przemian; ilość punktów przegięcia jest nieparzysta (od 1 do n—2).
b. n jest parzyste. Funkcja zmienia się w sposób ciągły, przy
czym dla a0 > 0 funkcja najpierw maleje od + oo, przebiega przez
nieparzystą ilość ekstremów (od 1 do n—l), wśród których maksima
i minima występują na przemian, i w końcu wzrasta do + oo, nato-
n-parzyste
n -niepanyste
Rys. 5
miast dla a0 < 0 funkcja najpierw wzrasta od — oo, przebiega przez
nieparzystą ilość ekstremów i w końcu maleje do — oo. Krzywa może
mieć od 0 do n punktów przecięcia z osią Ox. Ilość punktów
przegięcia jest parzysta (od 0 do n—2).
Parabole stopnia n nie mają asymptot i punktów osobliwych.
Przy rysowaniu wykresu poleca się znaleźć najpierw ekstrema,
punkty przegięcia oraz wartości pochodnej w tych punktach, nanieść
te punkty i ich styczne na wykres, a następnie poprowadzić ciągłą,
gładką krzywą.
Przy wykreślaniu wielomianów stopnia czwartego, y = axi+bx3+
+cx*+dx+e, gdzie a^Oiama wartość ustaloną, wygodnie jest
zrobić wykres funkcji y = ax* (patrz niżej), a wiec przesunąć początek
współrzędnych do punktu (— i/4a,0), sprowadzić równanie do
postaci Y = aXi+a'X2+b'X+c' i zastosować dodawanie rzędnych
krzywej Y = aX* i krzywej Y = a'X*+b'X+c'.
Funkcja potęgowa y — axn, gdzie n jest liczbą naturalną > 1.
Wykres (rys. 6): parabola stopnia n. Gdy a = 1, krzywa y = xn
przechodzi przez punkty O(0, 0) i A(l» 1) i jest styczna do osi Ox w
początku współrzędnych. Dla « parzystego (rys. 6a) krzywa jest
symetryczna względem osi Oy i osiąga minimum w początku
współrzędnych; dla n nieparzystego (rys. 6b) krzywa jest symetryczna względem
początku współrzędnych, który jest punktem przegięcia krzywej.
C1) O rozwiązywaniu równań algebraicznych stopnia Ti patrz sir. 174-177 i 180-182,
1. Wielomiany
101
b)
Rys. 6
Asymptot nie ma. Gdy a > 0, krzywa y = ax» otrzymuje się z
krzywej y = x- mnożąc wszystkie jej rzędne przez a. Gdy a < 0, krzywa
jest zwiercUdlanym odbiciem krzywej y = \a\x* względem osi Ox.
2. Funkcje wymierne ułamkowe
Proporcjonalność odwrotna y = ~s a * 0. Wykres (rys. 7):
hiperbola równoramienna, której asymptotami są osie współrzędnych^
Nieciągłość w punkcie x - 0. Gdy a > 0, funkcja maleje odj do -co
i maleje od +oo do 0; wierzchołki A{\/a, ]/a)y B(,-|/«, -\a).
*/ł
y--
A' i
■ X
/ B
1
Rys. 7
Rys. 8

102
II. Wykresy
Gdy a < 0, funkcja wzrasta od 0 do +oo i dalej wzrasta od — co
do 0; wierzchołki A'{-\f\a\, ^Ja\) i £'(yla[7 - ^R)-
Ekstremów nie ma. O hiperboli patrz str. 269 - 272.
Funkcja homograficzna y =
a^+ćj
gdzie a2 ^ 0 i D =
fla 6a
t^ 0. Wykres (rys. 8): hiperbola równoramienna o asympto-
tach y^a-LJaz i # = — 6a/aa (równoległych do osi współrzędnych);
środek C(—62/a2, fli/a2). Współczynnikowi a w równaniu
proporcjonalności odwrotnej y = ajx odpowiada wartość a— —D\a\; wierz-
Ł ii-u- t. ,- „ ul *>*±VW <*i±VW\\ ,. ■ . ,
chołki hiperboli A, Bi L-, —— I; znaki są jednakowe
przy £) < 0 i różne przy D > 0. Nieciągłość w punkcie x = — 62/a2-
Gdy £) < 0, funkcja maleje od ai/a2 do -oo i dalej maleje od -f-co
do fli/a2. Gdy D > 0, funkcja wzrasta od ajaj; do 4-co i dalej wzrasta
od — co do o1/os. Ekstremów nie ma.
CJ C-Ą ń*0
d)c*0,b<0
Rys. 9
2. Funkcje wymierne ułamkowe
103
Funkcja y = a-
ax3+bx+c
gdzie b*0, cźO(*).
XX2 X*
Wykres (rys. 9): krzywa stopnia trzeciego o dwóch asymptotach x = 0,
y = a. Wykres składa się z dwóch gałęzi: jednej, odpowiadającej
monofonicznej zmianie y od a do 4- co lub do — co i drugiej.,
przechodzącej przez trzy charakterystyczne punkty: przecięcie z asymptotą
A(—cjbyo), ekstremum B{—2ejb, a—6z/4c) i punkt przegięcia
C(—3c/6,a—262/9c). Zależnie od znaków b i c możliwe są cztery
przypadki położenia tych gałęzi (rys. 9a, b, c, d). Gdy a = 0, oś Oa:
jest asymptotą. Gdy a^0 i b2 — 4ac>0, oś Ox przecina krzywą
w punktach D»B\-—^^~~ ~ > °) ' && 64^4fl*: = 0, oś Ox jest
styczna do krzywej; gdy b3—4ac < 0, oś Ox nie przecina krzywej.
1
Funkcja y =
, gdzie a * 0. Wykres (rys. 10): krzywa
ax^+bx+c
stopnia trzeciego, symetryczna względem prostej x=—bj2a
(równoległej do osi Oy) i mająca oś Ox za asymptote. Przebieg funkcji zależy
od znaków a i A ~ Ąac—b*. Rozważymy przypadek, gdy a > 0.
C) ó*0
a) a>o
a. A > 0 (rys. 10a). Funkcja jest ciągła i dodatnia dla każdego x.
Funkcja wzrasta od 0 do maksimum i dalej maleje do 0. Maksimum:
A | — — , -r |; punkty przegięcia B, Cl ' r
2a 2a\/3
i 3a\
T' a)
nachy-
2a' A
lenie stycznych określone jest przez tg<p =^ai(3/J)8^a.
b. J = 0 (rys. 10b). Funkcja jest dodatnia dla każdego x. Funkcja
wzrasta od 0 do 4-00, ma asymptote przy x = — bj2a i maleje od 4-co
do 0.
C1) Gdy 6 = 0, paitz funkcję y = ax-n na str. 105; gdy c = 0, patrz funkcję
homograficzna na str. 101.

104
II. Wykresy
X =
c A < Ojrys. 10c). Funkcja wzrasta od 0 do +00, ma asymptote
-b~}/-A 1 h ,\
—3—— > dalej wzrasta od - 00 do maksimum Al——,—)
__ \ 2a A J'
_-b+]/-A
-wz > wreszcie maleje
(~a)x*-bx-c
i od-
maleje do — oo, ma asymptote, x =
od +oq do 0.
Gdy a < 0, należy rozpatrzyć krzywą y =
wzorować ją symetrycznie względem osi Ox.
Funkcja y = ^a+^+c , a # 0. Wykres (rys. 11): krzywa
stopnia trzeciego przechodząca przez początek współrzędnych i mająca
za asymptote oś Ox. Przebieg funkcji zależy od znaków o i J = 4ac - fca,
a także od znaków pierwiastków a i p równania ax*+bx+c=0,
gdy A < 0, 1 od znaku b, gdy A = 0. Rozważymy przypadek, gdy
cc i 0 różnych znaków
Cj) A<0,
o: i j8 ujemne
Rys. 11
C3)A-*0,
ce i p dodatnie
a. A >j) (rys. lla). Funkcja jest ciągła, maleje od 0 do minimum
'(YI>
-6-2}/,
, wzrasta do maksimum B
m--
-b + 2}/c
i dalej maleje do 0, Krzywa ma trzy punkty przegięcia.
2. Funkcje wymierne ułamkowe 105
b. A — 0. Przebieg funkcji zależy od znaku b: 1° Gdy b > 0
(rys. llb,)> funkcja maleje od 0 do —00, ma asymptote x = —bj2a,
wzrasta od —00 do maksimum A\~\/—, —=—I i dalej maleje
\r a 2]/ac+b!
od 0. 2° Gdy b < 0 (rys. llba), funkcja maleje od 0 do minimum
A\ — 1/■—, r= 1, wzrasta do +00, ma asymptote x =
\ V a %\ac-b)
= —b\2a, wreszcie maleje od +00 do 0. W obu przypadkach krzywa
ma jeden punkt przegięcia. 3° Gdy b = 0, wówczas również c = 0
i mamy proporcjonalność odwrotną (patrz str. 101).
x
c. 4 < 0. Funkcja ma postać y = —-—-—-——-. Przebieg funkcji
(*-a)(*-0)
zależy od znaków a i fi: 1° Gdy a i (5 są różnych znaków, np. a < 0 < fi
(ryc. lici), funkcja maleje od 0 do —00, ma asymptote x = a, maleje
od -j- 00 do — 00, ma drugą asymptote x = fi i dalej maleje od -j- 00
do 0. Ekstremów nie ma. 2° Gdy a i fi są ujemne, np. a < ft < 0
(rys. lica), funkcja maleje od 0 do —00, ma asymptote x = a, maleje
od +00 do minimum -Bil/—, -~p-—1, następnie wzrasta do
+ ooj ma drugą asymptote x = fi, wzrasta od — 00 do maksimum
—-——i-—-1 i wreszcie maleje do 0. 3° Gdy a i /? są
dodatnie, np. 0 < a < /? (rys. IIC3), funkcja maleje od 0 do minimum
następnie wzrasta od —<x> do maksimum -Bi/ — , — ---.—
maleje do — 00, ma drugą asymptote x = fi i wreszcie maleje od + 00
do 0. W powyższych przypadkach funkcja ma jeden punkt
przegięcia. 4° Gdy jeden z pierwiastków a lub fi jest równy 0, mamy
funkcję homograficzną y = -——r- (patrz str. 102).
Gdy a < 0, należy rozpatrzyć krzywą ■ B ■ i odwzoro-
\ CŁj OC 0X -—' C
wać ją symetrycznie względem osi Ox.
Funkcja y = -—• = osr", gdzie n jest liczbą naturalną, a # 0.
Wykres (rys. 12): krzywa typu hiperbolicznego, której asymptotami
są osie współrzędnych. Funkcja jest nieciągła przy x — 0.
Gdy a > 0, to dla n parzystego (rys. 12, n = 2) funkcja rośnie
od 0 do -j-oo, a następnie maleje od +00 do 0, pozostając stale
Vt
,, potem wzrasta do + 00, ma asymptote x — a,

106
II. Wykresy
dodatnia, natomiast dla « nieparzystego (rys. 12, «=3), funkcja
maleje od 0 do—co i dalej maleje od +co do 0. Ekstremów nie
ma. Im większe jest n, tym szybciej krzywa zbliża się
asymptotycznie do osi Ox i tym wolniej do osi Oy.
Gdy n jest parzyste, krzywa jest
symetryczna względem osi Oy, gdy « jest nieparzyste,
krzywa jest symetryczna względem początku
współrzędnych.
Gdy a < 0, należy rozpatrzyć funkcję
y=—a}X" i odwzorować ją symetrycznie
względem osi Ox.
Rys. 12
Rys. 13
3. Funkcje niewymierne
Pierwiastek kwadratowy z funkcji liniowej y = \/ax+b,
a 5* 0. Wykres (rys. 13): górna połowa paraboli, o osi y = 0,
wierzchołku A (—£/«, 0) i parametrze p ~ -^a. Obszar oznaczoności i
przebieg funkcji zależy od znaku a (rys. 13, linia ciągła dla a > 0, linia
przerywana dla a < 0). Ekstremów nie ma. Szczegóły o paraboli
patrz str. 273 - 275.
Pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego y ==
= ]/axa-|- bx+c, a 5* 0.
a. a < 0. 1° A = 4ac—b2 < 0. Wykres (rys. 14a): górna połowa
elipsy o osiach y = 0 i x = —bj2a oraz o wierzchołkach A,
c(-6-ś^ri-0)i B- Ą-h- ±1/1)- S2Czegóły»«***
patrz str. 266 - 269. 2° A = 0. Wzór wyznacza jeden punkt o
współrzędnych x = — b\2a, y = 0. 3° J < 0. Krzywa nie istnieje.
b. a > 0. 1° ^ > 0. Wykres (rys. 14b): ^rfrna ^aiąi hiperboU
3. Funkcje niewymierne 107
o osi rzeczywistej x = —b\2a i urojonej ^ = 0 oraz o wierzchołkach
B, £|-2~) ±l/4")' 2° ^ =0 (bez rysunku). Funkcja ma postać
y = 1/ aU+^-l . Wykres: ^tirne półproste o wspólnym początku.
S{—bj2a,0). 3° J<0. Wykres (rys. 14c): ^rfrau pofozua hiperboli
W a>0, 4>0
Rys. 14
C)a>0,A<0
A, C -
o osi rzeczywistej ,y = 0 i urojonej x — —bj2a oraz wierzchołkach
-^—— j O) - Szczegóły o hiperboli patrz str. 269-272.
Funkcja 3> = oxm'n, gdzie m i « są liczbami naturalnymi,
pierwszymi względem siebie. Rozważmy przypadek, gdy a — I, czyli
3> = xm>n = J/xm .
a. n parzyste. Krzywa przechodzi przez punkt (1,1) i jest
styczna do osi Oy, gdy m\n < 1 (rys. 15a), a do osi Ox, gdy mjn > 1
(rys. I5b).
b. « nieparzyste, m nieparzyste. Krzywa ma środek
symetrii i punkt przegięcia w początku współrzędnych, przechodzi
przez punkty (1,1) i (—1, —I) i jest styczna do osi Oy, gdy mjn < 1
(rys. I5c), a do osi Ox, gdy mjn> I (rys. I5d).
c. n nieparzyste, m parzyste. Krzywa jest
symetryczna względem osi Oy i przechodzi przez punkty (1,1) i (—1,1). Gdy
m/n < 1, krzywa ma ostrze w początku współrzędnych i jej gałęzie
są styczne do osi Oy (rys. I5e), a gdy mjn > 1, krzywa ma wierzchołek
w początku współrzędnych i jest styczna do osi Ox (rys. 15f).
Gdy a > 0, należy wszystkie rzędne krzywej y = xmln pomnożyć
przez a. Gdy a < 0, należy pomnożyć wszystkie rzędne przez \a\
i przekształcić otrzymaną krzywą symetrycznie względem osi Ox.

108 ii. Wykresy
y-x'fi
C)
V]y-X#
dj
■-*«<?
y-x
f)
Funkcja y — ax~™1n, gdzie min są liczbami naturalnymi
pierwszymi względem siebie. Rozważmy przypadek, gdy a — 1, czyli
y = *-»»/»= l/|/x™*.
Gdy a ^ 1, postępujemy jak w poprzednim przypadku.
a. n parzyste. Krzywa jest symetryczna względem osi Ox,
przechodzi przez punkty (1,1) i (1, — 1), ma asymptoty x — 0 i y — 0
(rys. 16a).
b. n nieparzyste, m nieparzyste. Krzywa ma środek
, = x-3/2
'C:
i
0
[y-*-'/3
v___^__
1
X
y-x-2/3
a)
b)
Rys. 16
C)
3. Funkcje niewymierne
109
symetrii w początku współrzędnych, przechodzi przez punkty (1,1)
i ( — 1, —1) i ma asymptoty x = 0 i y — 0 (rys. 16b).
c. n nieparzyste, m parzyste. Krzywa jest
symetryczna względem osi Oy, przechodzi przez punkty (1,1) i ( — 1,1),
ma asymptoty x = 0 i y — 0 (rys. 16c).
We wszystkich trzech przypadkach funkcja nie ma ekstremów.
4. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
Funkcja wykładnicza y — ax = e?*, a > 0, a & 1, b = Ina.
Wykres (rys. 17): krzywa wykładnicza. Funkcja przybiera tylko
wartości dodatnie, zawsze przechodzi przez punkt (0,1) i ma asymptote
y = 0, do której zbliża się tym szybciej, im większa jest wartość jlnaj.
Przy a > 1 (czyli b > 0) funkcja wzrasta od 0 do + oq, natomiast
przy a<l (czyli b < 0) funkcja maleje od + oo do 0. Funkcja
y = a-3 = (l/a)* wzrasta przy a < 1 i maleje przy a > 1.
Funkcja logarytmiczna y = logo*, a> 0, a ^ 1. Wykres
(rys. 18): krzywa logarytmiczna, która jest zwierciadlanym odbiciem
krzywej wykładniczej względem prostej y = x.
Rys. 17 Rys- 18
Funkcja istnieje tylko przy x > 0, zawsze przechodzi przez punkt
(1,0), ma asymptote x = 0, do której zbliża się tym szybciej, im
większa jest wartość jlnaj. Przy a > 1 funkcja wzrasta od — oo do
-foo, a przy a < 1 maleje od +oo do —co, tym szybciej, im większa
jest wartość |lna|.
Funkcja y = er^^. Wykres (rys. 19): krzywa wzrasta od 0 do 1,
osiąga maksimum w punkcie ^4(0,1), a następnie maleje od 1 do 0.

110
II. Wykresy
Krzywa jest symetryczna względem osi Oy i po obu stronach zbliża
się asymptotycznie do osi Ox tym szybciejj im większe jest a. Punkty
przegięcia B, C(±I/aj/2,1/j/e), w których nachylenie stycznych
wynosi odpowiednio: tgc> ==T ay'zje. Ważnym zastosowzniem tej
funkcji jest krzywa rozkładu
-***£%
/
Cf
y
0
A
N» a = t
'8»-p5Sv—
■
X
normalnego w teorii
(krzywa Gaussa):
błędów
y = <p(X) =
a\/2n
=-exp|_
x*
~2i?
Rys. 19
Funkcja y = aebx-{-cedx, a ź 0,
(wykres tej funkcji omówiony
jest w teorii
prawdopodobieństwa na str. 783).
b 5* 0, c ź 0, d?0. Krzywą
(rys. 20) najwygodniej jest wykreślić przez graficzne sumowanie
rzędnych krzywej yt — aebx i krzywej ys = ce** (patrz str. 109)
przedstawionych na rysunku 20 linią cienką Cvx) i przerywaną (y%).
Funkcja ta jest ciągła. W zależności od znaków parametrów krzywa
ma jedną z czterech podanych postaci (przy czym wykresy
przedstawione na rysunku 20 mogą być symetrycznie przekształcone
względem osi współrzędnych).
a. a i c mają jednakowe znaki oraz bid mają jednakowe znaki.
Jeżeli a > 0 i c> 0 oraz b > 0 i d > 0, funkcja przebiega jak na
rysunku 20a: funkcja wzrasta monofonicznie od 0 do -f co i ma
asymptote y = Oj punktów przegięcia i ekstremów nie ma. Odwzorowanie
krzywych symetrycznie względem osi Oy odpowiada przypadkowi,
gdy a > 0 i c> 0 oraz b < 0 i d < 0; odwzorowanie symetryczne
względem osi Ox odpowiada przypadkowi, gdy a < 0 i c < 0 oraz
b > 0 i d > 0, wreszcie odwzorowanie symetryczne względem
początku współrzędnych odpowiada przypadkowi, gdy a < 0 i c < 0
oraz 6 < 0 i (* < 0.
b. a i c mają jednakowe znaki, 6 i d są różnych znaków. Gdy a>0
i c> 0, krzywa ma przebieg jak na rysunku 20b: funkcja jest stale
dodatnia, malej e od + co do minimum C, a następnie wzrasta do + co;
punktów przegięcia nie ma. Gdy a < 0 i c < 0, należy odwzorować
krzywą symetrycznie względem osi Ox.
c. a i c mają różne znaki, b i d są jednakowych znaków. 1° Gdy
a > 0 i c < 0, przy czym b ź d, krzywa ma przebieg jak na rysunku
20c: funkcja rośnie od 0 do maksimum C, a następnie przecinając
oś Ox w punkcie B maleje do —co; funkcja ma jeden punkt
przegięcia D i asymptote y = 0. W zależności od znaków parametrów i
spełnienia odpowiednich nierówności należy krzywą odwzorować
symetrycznie względem osi Oy, Ox lub względem początku współrzędnych.
2° Jeżeli a > 0 i c<03 przy czym b = d, krzywa ma przebieg jak
4. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
111
na rysunku 20c: funkcja wzrasta monotonicznie od 0 do + co i ma
asymptote y ~ 0; możliwe są tu także symetryczne odwzorowania
względem osi Oy, Ox i względem początku współrzędnych. 3° Jeżeli
a = c i b = d, wykresem będzie linia prosta y ~ 0.
o.) a i c jednakowego znaku,
bid » a
b)a i c jednakowego znaku
bid różnych znaków
y>
0
yjj
y *
/ X
AA -"--if
C) a i c różnych znaków
bid jednakowego znaku
d)a L' c różnych znaków
bid » »
Rys. 20
d. a i c mają różne znaki oraz b i d mają różne znaki. Gdy a < 0,
c>0i&<0, ef>0 krzywa ma przebieg jak na rysunku 20d: funkcja
monotonicznie wzrasta od — oodo +co, przecinając oś Oy w punkcie A
i oś Ox w punkcie B; krzywa nie ma ekstremum, ma natomiast punkt
przegięcia D. Gdy a < 0, o 0 i & > 0, d<Q, należy krzywą
odwzorować Symetrycznie względem osi Oy.

112
II Wykresy
Przecięcie z osią Oy: A(03a+c)-t przecięcie z osią Ox: B[x =
ab)
■■,_, m I )}> ekstremum: C\x =
d-b
ln
cd
; punkt
przegięcia D| x = ^ ln ^- —
Funkcja y — ae***'**, c ^ 0. Krzywa (rys. 21) jest symetryczna
względem prostej równoległej do osi Oy o równaniu x=~b/2a.
Krzywa nie przecina osi Ox, natomiast oś Oy przecina w punkcie
b)c<o
Rys. 21
Z>(0, a). Przebieg funkcji zależy od znaków a i c. Rozpatrzony został
tylko przypadek a > 0; przy a < 0 krzywą należy odwzorować
symetrycznie względem osi Ox.
a. c> 0 (rys. 21a). Funkcja maleje od +oo do minimum A(—bj2c}
ae-tyte) i wzrasta do + oo, przy czym przybiera tylko wartości
dodatnie; punktów przegięcia i asymptot nie ma.
b. c<0 (rys. 21b). Funkcja wzrasta od zera do maksimum
A{—bj2es aerWte) i maleje do zera. Asymptotą jest oś Ox. Punkty
przegięcia B, c(^MEE, w-<P+2c>/4cJ ,
Funkcja y = ax***, 6^0, c^O. Rozważony został przypadek
(rys. 22), gdy a > 0 j gdy a < 0, krzywą należy odwzorować
symetrycznie względem osi Ox. Funkcja przybiera tylko wartości dodatnie.
Przy b > 0 krzywa przechodzi przez początek współrzędnych i w
punkcie tym przy b > 1 jest styczna do osi Oxs przy 6=1 jest styczna
do prostej o równaniu y = ar, a przy b < I jest styczna do osi Oy.
4. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
113
Gdy b < O, krzywa ma asymptote y ~ 0. Przy c > 0 funkcja wzrasta
nieograniczenie ze wzrostem Ox, a przy c < 0 funkcja dąży
asymptotycznie do zera. Gdy b i c są różnych znaków, funkcja ma ekstremum A
e)c*0,b>1
0c<Q,b-1
g) c*o,o<b<t h) c<o,b*o
Rys. 22
w punkcie x = —bjc. Funkcja może mieć 0, 1 lub 2 punkty przegięcia
C» D dla ar - -b-M±_ (rys. 22c, e, f, g).
C
Funkcja y = Ae-^smiiax + eg), a > 0. Wykres (rys. 23): krzywa
drgań tłumionych. Krzywa ma coraz mniejszą amplitudę, przecina
okresowo oś Ox, do której zbliża się asymptotycznie. Wykres waha
się między dwiema krzywymi wykładniczymi o równaniach y = Ae~ax
i y = — Ae~ax stykając się z nimi na przemian w punktach Aly A2,...,
^t([(*+5)*-%]/»» (-l)Me-«*),..., gdzie ft = 0,1,2,... Krzywa
przecina oś Oy w punkcie B(0yAsiaęo) oraz oś Ox w punktach
C„ C2J ...j Cfc((fen—<Po)/(°>0), ...s ma ekstrema i>„ D2, ... dla x =
fen—<Po+a , . . „ „ „ fen — <p9-\-2a
= oraz punkty przegięcia F,, iL, ... dla x ,
Vi
gdzie tga = — .
Wielkość d = ln
J*
3V+1
= a— (gdzie yi oraz y,-,, są współrzęd-
nymi dwóch kolejnych ekstremów) nazywamy logarytmicznym de-
krementem tłumienia.

114
II. Wykresy
*ł
Nh
?P"-——Sr*
"&r»
—--&
ft^6
.-"5*
Rys. 23
5. Funkcje trygonometryczne 0)
Sinus >> — Asm(,a>x-{-%). Wykres (rys. 24): sinusoida. Przy v4 =
= tu = 1 i <p0 = 0 otrzymujemy zwykłą sinusoidę y = sinje (rys. 24a),
która jest krzywą okresową o okresie T = 2n. Krzywa przecina oś Ox
Rys. 24
w punktach O, Bu B-lt Bz, B_2)..., Bk (kn, 0),..., gdzie k jest
dowolną liczbą całkowitą. Punkty przecięcia krzywej z osią Ox są
zarazem punktami przegięcia, w krórych kąt nachylenia stycznych wy-
C1) Wzory trygonometryczne patrz str. 234 - 237. Tablice funkcji
trygonometrycznych patrz str. 55 - 58.
5. Funkcje trygonometryczne
115
nosi zt-T-n. Krzywa ma ekstrema w punktach Cls C2, ..., Cs((ft + —\n,
(—l)*h... Aby ze zwykłej sinusoidy y = sinx utworzyć sinusoidę
y = v4sin(<»x+c>o) (rys. 24b), należy podzielić wszystkie odcięte przez
pulsację ca, pomnożyć wszystkie rzędne przez amplitudę A (patrz str. 237)
i przesunąć cały wykres w lewo wzdłuż osi Ox o odcinek c>0/«>> zwany
przesunięciem fazy. Okres T = 2njo>; punkty przecięcia z osią Ox: Blt
B-!, Bu B-^,,..., Bk{(.kn-~<p„)j^, 0),...; ekstrema Cx> C_d Cjj C_j)...,
Ckll(k + \)n-<pĄjo>, (-l)*A\,... (patrz str. 237).
Cosinus >> = v4cos(tox + (p0) = v4sin(o)Jc + ci0 + -2-n]. Wykres (rys.
25) cosinusoida, czyli sinusoida przesunięta w lewo o odcinek -^n.
Cosinusoida zwykła y = cosx = sinfar + ^jt). Punkty przecięcia
z osią Or. B„ B_„ Bs, B-2,..., ,eJ(ft+-^)jt, Oj,..., gdzie ft jest
liczbą całkowitą. Punkty przecięcia krzywej z osią Ox są zarazem
punktami przegięcia, w których kąt nachylenia stycznych wynosi
±^n. Ekstrema w punktach C1} C_n C2, C_2)..., Cfc(ft7c,( —l)6),...
Tangens y = tgx. Wykres (rys. 26): tangensoida, krzywa
okresowa o okresie T = n. Krzywa ma asymptoty o równaniu x = ik+ —ta,
gdzie ft jest dowolną liczbą całkowitą. Przy zmianie x od — ^n do -^ n
funkcja wzrasta monotonicznie od -oo do + oo, a następnie przy
dalszej zmianie x wartości y powtarzają się. Punkty przecięcia z osią
Ox: O, At, A-u A2, A-z,..., A/ctyn, 0),... są równocześnie punktami
przegięcia, kąt nachylenia stycznych w punktach przegięcia wyno-
. i
si -j-ir.
4
Cotangens y = ctg# = —tg(-jic+x). Wykres (rys. 27): cotangen-
soida, krzywa położona symetrycznie do tangensoidy względem osi Ox

116
II. Wykresy
i przesunięta w lewo o odcinek -jrc. Asymptoty; x = Art. Przy zmianie x
od 0 do ir funkcja maleje monotonicznie od +00 do — 00; dla innych
wartości x wartości y powtarzają się. Punkty przecięcia z osią Ox:
Rys. 26
Rys. 27
Au A^i, A2, A_2, ■. ■ > A/cMk-i--^-) n, 0\,... są zarazem punktami
przegięcia; kąt nachylenia stycznych w punktach przegięcia wynosi --rit.
Secans y = sec* = — . Wykres (rys. 28): Krzywa okresowa
cos* w ' J
o okresie T = 2k i asymptotach * =/A+-_\ rei \y\ > 1. Maksima
A„ A-u A2, A_z, ...,Ak((2A +-1) jr, -1),minima Bu B-lt B2, B.2,...,
Bt(2An, 1), ...
Rys. 28
Rys. 29
5. Funkcje trygonometryczne 117
Cosecans y = cosec* :— = sec(x —-=-jt)- Wykres (rys. 29):
Przebieg funkcji jest taki sam jak dla funkcji y = secx, tylko krzywa
jest przesunięta w prawo o odcinek x = -^n. Asymptoty: x = kn.
Maksima A1,A._1)A2,A-2,...,AĄ-^(4k+3)n, — i>j, ..., minima B1}
B-i, B„ B_s,..., BĄ±(4k+ 1) n, 1),...
6. Funkcje cyklometryczne (l)
Funkcje cyklometryczne są to funkcje odwrotne względem
trygonometrycznych. Wykresy tych funkcji otrzymuje się z wykresów
funkcji trygonometrycznych przez zwierciadlane odwzorowanie
względem prostej y = x, przy czym
bierze się tylko jeden okres funkcji.
Arcus sinus y = arc sinx.
Funkcja arcsinx (rys. 30) istnieje
rylko w przedziale — 1 ^ x s? 1;
funkcja rośnie monotonicznie od
punkt przegięcia w początku
współrzędnych, który jest środkiem
symetrii krzywej; styczna do krzywej
w punkcie przegięcia nachylona
jest do osi Ox pod kątem — n.
Arcus cosinus y = arc cos x.
Funkcja arccosx (rys. 31) istnieje
tylko w przedziale — 1 ^ x ^ 1;
funkcja maleje monotonicznie od
A(— 1, n) do 23(1, 0), ma punkt
przegięcia w punkcie (o, yji), który jest środkiem symetrii krzywej;
styczna do krzywej w punkcie przegięcia nachylona jest do osi Ox
3
pod kątem -^n.
Arcus tangens y = arctgx. Funkcja arctgx (rys. 32) wzrasta
monotonicznie od — -^-n do ^-ir, ma punkt przegięcia w początku współ-
rzędnych, który jest środkiem symetrii krzywej; styczna do krzywej
Rys. 30
(') Określenia i wzory patrz str. 242 - 244.

118
II. Wykresy
w punkcie przegięcia nachylona jest do osi Ox pod kątem -^-rc. Krzywa
ma asymptoty y = — -^-re i y= -^n.
Arcus cotangens y=arcctgx. Funkcja arcctgx (rys. 33)
maleje monotonicznie od ir do 0, ma punkt przegięcia w punkcie (0, -^n\ >
Rys. 32
Rys. 33
który jest środkiem-symetrii krzywej; styczna do krzywej w punkcie
przegięcia jest nachylona do osi Ox pod kątem -^n. Krzywa ma
asymptoty y — n i y — 0.
7. Funkcje hiperbolićzne (*)
Sinus hiperboliczny y = sinh*. Funkcja sinhx (rys. 34) jest
nieparzysta i rośnie monotonicznie od -codo -i-co. Początek współ-
Rys. 34
t 1
^ 1
\ \
\ \
\\
\\
\
-2
-1
y
6
5
4
3
2
J
0
.
A,
1
1 l
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
11
11
li
li
li
u
2 X
Rys. 35
O Wiadomości teoretyczne patrz str. 248; tablice patrz str. 59 - 63.
7. Funkcje hiperbolićzne
119
rzędnych jest punktem przegięcia (<p = -jk\ i środkiem symetrii
krzywej. Asymptot nie ma.
Cosinus hiperboliczny y = coshx. Wykres (rys. 35): linia lań~
cuchowa (patrz str. 136). Funkcja jest parzysta; przy x<0 funkcja
maleje od +co do 1, przy jc > 0 wzrasta od 1 do +oo. Funkcja
osiąga niinimum w punkcie A(0,1); asymptot nie ma. Krzywa jest
położona symetrycznie względem osi Oy i przebiega powyżej paraboli
y = 1 + --X* (linia kreskowana na rysunku 35).
Tangens hiperboliczny y = tghx. Funkcja tghx (rys. 36) jest
nieparzysta i rośnie monotonicznie od —1 do +1. Początek współ-
Rys. 36
rzędnych jest punktem przegięcia \q> = -^n\ i środkiem symetrii
krzywej. Krzywa ma dwie asymptoty: y = 1 i y = — 1.
Cotangens hiperboliczny y = ctghx. Funkcja ctghx (rys. 37)
jest nieparzysta i nieciągła przy x = 0. Przy x < 0 funkcja maleje
od —1 do —co, przy x > 0 maleje od +°o do 1. Krzywa nie ma
ekstremów i punktów przegięcia. Asymptoty są trzy: X = 0, y = 1,
y=-\.
8. Funkcje odwrotne względem hiperbolłcznych (*)
Wykresy tych funkcji są zwierciadlanym odwzorowaniem
krzywych hiperbolicznych względem prostej y = x.
(!) Wiadomości teoretyczne patrz str. 252.

120
II. Wykresy
Area sinus y = arsinhx = \a\xĄ-\x2Ą-\) (rys. 38). Funkcja
jest nieparzysta i rośnie monofonicznie od —co do + co. Początek
współrzędnych jest środkiem symetrii. krzywej, a także punktem
przegięcia i(p = -j%\. Asymptot nie ma.
-3
2
f
-2 -If
^ /
-2
r j
0 1 2
3
X
Rys. 38
Rys. 39
Area cosinus y = arcoshx = hx(x±yx2 — l) (rys. 39). Funkcja
istnieje tylko przy x ^ 1. Funkcja rośnie od 0 do -fco (górna połowa
krzywej na rysunku 39). W punkcie ,4(1,0) krzywa ma styczną
równoległą do osi Oy.
-X
— (rys. 40). Funkcja jest
nieparzysta i istnieje tylko przy \x\ < 1. Funkcja wzrasta
monofonicznie od — co do + co. Początek współrzędnych jest punktem
przegięcia i środkiem symetrii krzywej. Krzywa ma dwie asymptoty
x = 1, * = — 1.
Area tangens y = artghx = —■ In y-
-3 -i -/,
H
A
3
2
1
0
-;■
-2
-3
-4
Rys. 41
4 X
8. Funkcje odwrotne względem hip erb ulicznych
1
121
1 x-i
Area cotangens y = arctghx = — lo ^ (rys. 41). Funkcja
jest nieparzysta i istnieje tylko przy \x\ > 1. W przedziale — co < x <
< — 1 funkcja maleje od 0 do —co, dla 1 < x < +co funkcja maleje
od +co do 0. Ekstremów i punktów przegięcia nie ma. Asymptoty
są trzy: y ~ 0, x = 1, x = —1.
B. WAŻNIEJSZE KRZYWE
Przytoczono tu pewne dane dotyczące ważniejszych krzywych
występujących często w praktyce (poza tymi, które zostały omówione
poprzednio jako funkcje elementarne). Dane te stanowią: określenie
krzywej jako miejsca geometrycznego punktów, współrzędne
charakterystyczne punktów, długość krzywej lub jej części, pole ograniczone
krzywą lub jej częścią, punkty nieciągłości krzywej, asymptoty,
promień krzywizny.
Ogólne wskazówki o wykreślaniu krzywych na podstawie ich
równań podane są na str. 318 i 319. Krzywe stopnia drugiego omówione
są na str. 265-278.
9. Krzywe stopnia trzeciego
Parabola Neila, czyli parabola półsześcienna (rys. 42).
Równanie ay2 = x3, a > 0; w postaci parametrycznej x ~ at2, y = at3.
Początek współrzędnych jest ostrzem krzywej. Asymptot nie ma.
Promień krzywizny
_ \/x(4a + 9x)3'2
6a
przybiera wszystkie wartości od 0 do co. Długość
krzywej od początku współrzędnych do punktu M (*)
wynosi
(4a+9x)»"-8flWs
L =
27 y'a
Lok Angesiego (rys. 43). Równanie y =
„3
—- —, a > 0. Asymptota y = 0. Maksimum
a* + x'
1
A (0, a) o promieniu krzywizny r = ~a. Punkty prze-
gięcia B, C(±—ay3 , -^a), nachylenie stycznych w
tych punktach tg?> = ^-gV^ ■ ^°^e zawart^ miedzy
krzywą a asymptotami S = na2.
Rys. 42
(') Przez M oznaczać będziemy dowolny punkt krzywej o współrzędnych
bieżących x, y.

122
II. Wykresy
Liść Kartezjusza (rys. 44). Równanie xs+y3 = 3axy, a>0;
3at 3at2 , Wrt _
w postaci parametrycznej x = —-^-, y = g- (t = tgMOx)
.Początek współrzędnych jest punktem rozgałęzienia krzywej, a osie
współrzędnych są stycznymi do krzywej w tym punkcie. Promień
krzywizny gałęzi w początku współrzędnych r = -^a. Asymptota
x+y+a = 0. Wierzchołek M-^a, -jaj. Pole pętli Sj = —a2* pole
między krzywą a asymptotami 5a = -^-a3.
Rys. 43
Rys. 44
Cysoida Dioklesa (rys. 45). Jest to miejsce geometryczne
punktu M spełniającego warunek OM = PQ, gdzie P jest dowolnym
punktem położonym na danym okręgu o średnicy a.
Równanie
y' =
a> 0;
w postaci parametrycznej (t = tgMOx):
at2 at3
y
~ 1 + r2' J l + t*
we współrzędnych biegunowych:
e =
asinV
cosy
Początek współrzędnych jest ostrzem krzywej. Asymptota x = a. Pole
między krzywą i asymptota: S = -rita2.
Strofoida (rys. 46). Jest to miejsce geometryczne punktów Afi
i M2 leżących na ruchomej półprostej wychodzącej z punktu A i
spełniających warunek PM, = PM% = OP, gdzie P jest punktem
przecięcia ruchomej półprostej z osią Oy.
9. Krzywe stopnia trzeciego
123
Równanie
y*= x*
w postaci parametrycznej (r = tgMOx):
t<_l r«-l
Rys. 45
Rys. 46
we współrzędnych biegunowych
o = —a
cos2y
cosy
W początku współrzędnych znajduje się punkt rozgałęzienia
krzywej; styczna do krzywej w tym punkcie y = ±x. Asymptota x — a.
Wierzchołek ^4( —a, 0).Pole pętli Sx = 2ai—-^nai, pole między krzywą
i asymptota S2 = 2a2+~xa2.
10. Krzywe stopnia czwartego
Koachoida Nikomedesa (rys. 47). Jest to miejsce
geometryczne punktu M spełniającego warunek OM = OP±l (dla znaku -f
gałąź zewnętrzna, dla znaku — gałąź wewnętrzna) f1).
(*) Ogólnie konchoidą danej krzywej nazywamy krzywą, którą otrzymuje się
przy powiększaniu i zmniejszaniu promienia wodzącego każdego punktu danej

124
II. Wykresy
Równanie (x-a)2 (x2+yi)-Px2 = O, a > O, /> 0; w
postaci parametrycznej x = a + Icos<p, y — ax.gtp-\-lńn.(p; we
współrzędnych biegunowych o = !- /,
cos <p
Gałąź zewnętrzna: Asymptota x = a. Wierzchołek
A^a-^-IyO). Dwa punkty przegięcia B, C, których odcięta równa jest
największemu z pierwiastków równania x3 — 3a2x-\-2a(a2 — P) = 0 (}).
Pole zawarte między gałęzią zewnętrzną krzywej i asymptota S = co.
0.) l<a b) !>a C) l=a
Rys. 47
Gałąź wewnętrzna: Asymptota x = a. Wierzchołek
D(a—l,0). W początku współrzędnych znajduje się punkt osobliwy,
którego rodzaj zależy od związku między ail.
a. Gdy ł < a występuje punkt odosobniony O (rys. 47a). Gałąź
wewnętrzna ma dwa punkty przegięcia Ey F, których odcięta równa
jest drugiemu co do wielkości dodatniemu pierwiastkowi równania
xa-3a2x + 2a(a2-P) = 0.
b. Gdy I > a, punkt O jest punktem rozgałęzienia (rys. 47b).
z i- ■
Krzywa ma maksimum i minimum przy x — a — y al2. Współczynnik
kątowy stycznych w początku współrzędnych tga = ±]//a —os/a;
promień krzywizny w tym punkcie r = -^lyfp — a2.
krzywej o dany odcinek /. Jeżeli równanie krzywej we współrzędnych biegunowych
ma postać ó=f(f), to równanie konckoidy tej krzywej ma postać Q ■"=/(*) ± l. Kon-
choida Nikomedesa jest konchoidą linii prostej.
(') O sposobach rozwiązywania takich równań patrz sir. 171 i 173.
10. Krzywe stopnia czwartego 125
c. Gdy / = a, w początku współrzędnych występuje ostrze krzywej
(rye. 47c).
Ślimak Pascala (rys. 48). Jest to konchoidą okręgu spełniająca
warunek OM = OP±l (biegun leży na okręgu).
Równanie (x'+y'-ax)* = P(x*+y2), a > 0, / > 0; w postaci
parametrycznej x = aco$2<p + Ico$<p, y = aco$<psin<p-\-Isin<pi we
współrzędnych biegunowych q = acos>p-\-I, gdzie a jest średnicą
danego okręgu. Wierzchołki A,B(a±l,0). Kształt krzywej zależy od
stosunku a do /, co pokazane jest na rysunkach 48 i 49. Gdy a > l,
y\ c
Rys. 48
występują 4 ekstrema: C, D, E,F(cos<p = (-l±^l2 + 8a^)l4a); gdy
a ^ /, z podanych czterech ekstremów istnieją tylko 2, a mianowicie
C i D. Gdy a < l < 2a, krzywa ma punkty przegięcia G, H{cos?' =
/ l2
, (2a2 + /a)/3a/). Gdy / < 2a, dwa punkty krzywej I,K\-^-,±
^Ji mają wspólną styczną. Początek współrzędnych jest
4a /
punktem osobliwym: gdy a < l jest to punkt odosobniony, gdy a > l
jest to punkt rozgałęzienia (współczynnik kątowy stycznych w tym
punkcie tg« — ± ]/a2 — Pil, a promień krzywizny r — -^ <&—l2 ;
gdy a = 1, ślimak Pascala nosi nazwę kardioidy (patrz niżej) i w punkcie
O ma ostrze.
Połę krzywej 5 = —na^Ą-nP, przy czym w przypadku a>l
(rys. 48c) pole wnętrza pętli liczone jest podwójnie.

126
II. Wykresy
Kardioida (rys. 49). Może być określona dwoma sposobami:
1° jako szczególny przypadek ślimaka Pascala OM = OP±a, gdzie
a jest średnicą danego okręgu; 2° jako epicykloi-
da (patrz str. 130), której średnice okręgu
stałego i ruchomego są równe a.
Równanie
(x*+y2)2-2ax(x*+yz) = a2/, a > 0;
w postaci parametrycznej
x — acos<p(l+cos<p), y = <2sinc>(l+cos?>);
we współrzędnych biegunowych
q = a(l+cos9>).
W początku współrzędnych jest ostrze krzywej.
Wierzchołek A(2a, 0). Ekstrema C, D(-^a,±-^}/3a\, o argumentach
1 3
ę = -=-;!. Pole 5 = -^icc2 (jest to sześciokrotne pole koła o średnicy a).
Długość krzywej L = 8a.
Owal Cassiniego (rys. 50). Jest to miejsce geometryczne
punktu M, dla którego iloczyn odległości od ognisk Ft i F2 jest stały:
FiM ■ FzM = a2, gdzie a jest pewną stałą.
Równanie w odniesieniu do ognisk Fj(c, 0), F2(—c,0):
(x2+y*)s-2c2(x2-y2) = a*-^, gdzie a > 0, c > 0;
we współrzędnych biegunowych
q% = c2cos2ę±Ycicos22f + a,-c*.
Promień krzywizny w punkcie M wynosi
2aV
r ~ c4—a*+3e*'
Kształt krzywej zależy od stosunku a do c:
a. Gdy a > c]/2, wykresem jest owal przypominający elipsę
(rys. 50a). Punkty przecięcia z osią Ox: A, C(±\/ai+c2, 0); punkty
przecięcia z osią Oy: B,D(o, ±]/aa—c2).
b. Gdy a — c j/2, krzywa jest tego samego typu co w przypadku z;
przecięcie z osią Ox: A, C{ ±e|/3, o); przecięcie z osią Oy: B,
D(0, ±c). W punktach B i D krzywizna równa jest zeru (ścisła
styczność do prostych y = ±c).
c. Gdy c < a < c|/2, owal ma talię (rys. 50b). Przecięcia z osiami
10. Krzywe stopnia czwartego
127
współrzędnych jak w przypadku a. Ekstrema B, D(0, ±]/a'-c")>
E, G> K, 7(nb]/4c*-a*/2c, ±a'f2e). Krzywa ma 4 punkty przegięcia
C)a<c
Rys. 50
p, u m, Ar(±i/l(M-»),±]/-j(«+»))» s^ " = (o*-**)/3*'*
W=-|/lCa4_c4),
d. Gdy a = c, lemniskata (rys. 51).
e. Gdy a < c, owal składa się z dwóch krzywych zamkniętych
(rys. 50c). Punkty przecięcia z osią Ox: A, C(±l/aa + c2> 0) i P,
Ciii/?1?. 0)i ekstrema E, G, K, l(±\/4c*-aij2c,±a2l2c).

128
II. Wykresy
Letnniskata (rys. 51). Jest szczególnym pt2ypadkiem owalu
Cassiniego, gdy a = c: FXM ■ F%M = {—F^F^2, gdzie F„ F2(±a, 0).
Równanie (x2+y2)2—2a2(x2—y2) = 0, a > 0; we współrzędnych
biegunowych g = a|/2cos2y. Początek współrzędnych jest punktem
rozgałęzienia. W punkcie tym
i / są punkty przegięcia; równa-
y* '' c nie stycznych w tym punkcie:
y =±x. Przecięcie z osią Ox:
A, C(±a\/2, 0) i ekstrema: E,
G, K, /(±|o]/3,±|a) o
argumentach (p = ±-«. Pro-
6
mień krzywizny r = 2o2/3q.
Rys. 51 Pole każdej pętli 5 = a2.
11. Cykloidy
Cykloida zwykła (rys. 52). Jest to krzywa zakreślona przez
punkt okręgu kola toczącego się bez poślizgu po prostej.
Równanie w postaci parametrycznej: x = a (r— sin t), y = a (1 — cos r),
gdzie a jest promieniem toczącego się koła, t *= <cMCiB; równanie
i/
( c
0
la _ _ f *
y
4?
y27ta 3rta
o, ~--.x ---"
\ /
\l
y
Aj
y43ra 5jta
o2 ~"^ ^'
V
X
Rys. 52
g—y
a

wyzwę współrzędnych prostokątnych x+\/y(2a — y) = aarccos
nacza część cykloidy w przedziale 0 < x < jta. Krzywa jest
okresowa o okresie OOi = 2?ta (podstawa cykloidy). Ostrza cykloidy O,
Oi> 03, ..., Os (2Ajra, 0), ...j gdzie k jest dowolną liczbą
naturalną. Wierzchołki: Au A2, ..., Ak ((2& + 1) na, 2a), ... Długość łuku
L = 8asina^t; długość krzywej dla jednego okresu LQA Q = 8a;pole
0-4,0!© : S = 3itaa. Promień krzywizny r= 4asin^-ż3dla wierzchołków
11. Cykloidy
129
rA = 4a. Ewoluta C1) cykloidy jest też cykloida (na rysunku 52
zaznaczona linią kreskowaną).
Cykloida wydłużona (rys. 53a) i skrócona (rys. 53b) (trochoidy).
Są to krzywe zakreślone przez punkt M związany z kołem toczącym
się bez poślizgu po prostej i leżący na zewnątrz lub wewnątrz okręgu
tego koła.
Równanie w postaci parametrycznej: x = a(t — Asint)> y = a(\ —
— Acost), gdzie a jest promieniem toczącego się koła, t = <£MC\P,
Xa= CiM; dla cykloidy wydłużonej A > 1, dla skróconej A < 1.
Krzywe są okresowe o okresie 00i = 2na. Maksima: Ar) A%, ...j
Ak((2k + l)m,(l+X)a),..., minima: B0, Bls BSi..., Bk(2kna,(l-
— A)a),.„ Punkty rozgałęzienia cykloidy wydłużonej: Da, Dls ...j
Dk{2kna, a(l — ]/Aa—Ą)}, • •> gdzie t0 jest najmniejszym dodatnim
pierwiastkiem równania f = Asinr(a).
Punkty przegięcia cykloidy skróconej: Ej, E2, ...,£# (a(arccosA —
-Ai/l^I^aCl-A")),... Długość łuku dła jednego okresu L ==
= aJ]/l+A2—2Xcosidt; pole zakreskowane na rysunku 53: 5 =
o
s/o ^ i, • - , ■ (H-A2-2Acosr)3'2
= jta2(2+A2). Promień krzywizny r = a- r- — Pro-
A(cosj--A)
(1) O ewolutach patrz su. 319.
O O rozwiązywaniu takich równań patrz str. 179 - 182.

130
II. Wykresy
mień krzywizny dla maksimum: rA = — a(l+A)aM, dla minimum:
Epicykloida (rys. 54). Jest to krzywa zakreślona przez punkt
okręgu koła toczącego się bez poślizgu po zewnętrznej stronie okręgu
stałego koła.
Równanie w postaci parametrycznej: x = (AĄ-a)cos<p—
A±a , a , s • • A+<* _, • , ■
—acos- <p, y = {A-\-a)$m<p—asm-——<p, gdzie A jest pro-
a)m=3
Rys. 54
mieniem stałego koła, a jest promieniem ruchomego koła, <p =*ŹCOx.
Kształt krzywej zależy od stosunku Aja = m. Przy m = ł
otrzymujemy kardioidę (patrz str. 126).
a. Gdy m jest liczbą całkowitą, epicykloida jest krzywą zamkniętą
składającą się ze skończonej ilości łuków (rys. 54a)j ostrza krzywej:
Ai,A2,...,aJq = v4, 9? = —-^L gdzie k = 0,1,..., m-lj
wierzchołki: B1} B%,..., Bm\Q = A+2a, <p = — \k+~
\ m\ 2
b. Gdy m jest ułamkiem, epicykloida składa się ze skończonej ilości
krzyżujących się łuków (rys. 54b), przy czym punkt bieżący M wraca
do punktu wyjściowego.
c. Gdy m jest liczbą niewymierną, łuków jest nieskończenie wiele
i punkt M nie wraca do położenia wyjściowego.
11. Cykloidy
131
Długość jednego łuku epicykloidy LAiBiA = 8(AĄ-a)lm; przy m
całkowitym długość całej krzywej L = 8(A+a). Pole między łukiem
i 3A4-2a\
epicykloidy a stałym kołem AXBXA^A^. 5= na21—^ 1. Promień
4a(A + a) . Aę . „ , 4a(A+a)
krzywizny r — . , - sin -r—; w wierzchołkach rR = —^—, . - -
ZaĄ-A Za J.a-\-/i
Hipocykloida (rys. 55). Jest to krzywa zakreślona przez punkt
okręgu koła toczącego się bez poślizgu po wewnętrznej stronie okręgu
stałego koła.
Równanie hipocykloidy, współrzędne wierzchołków i ostrz, wzory
na długość łuku, pole i promień krzywizny otrzymujemy ze wzorów
dla epicykloidy z zamianą „a" na „—a". Ilość ostrz, gdy m jest liczbą
całkowitą, ułamkową lub niewymierną, jest taka sama jak dla epi-
a)m=3
/ y
AĄ^y
r\ °
\ s\
x^
&
\.-—o
4<
/
/
Rys. 55
b)m=4
cykloidy. Gdy m = 2, krzywa degeneruje się do średnicy stałego koła (Ł).
Gdy m = 3, otrzymujemy hipocykloidę o trzech ostrzach (rys. 55a);
równanie w postaci parametrycznej: ar = a(2cos^-fcos29J), y =
= a(2sinc>—sin2?>); Z-=l6a, 5 = 2iuaa. Gdy m = 4, otrzymujemy
hipocykloidę o czterech ostrzach, tak zwaną asteroidę (rys. 55b):
x = Aco$*rpy y = As\xi?<pi we współrzędnych prostokątnych xzl3Ą-
+ y1* = A**; L = 24a = 6A, S = ^nA\
C1) Jeżeli ko!o toczy się po wewnętrznej stronie okręgu stałego koła mającego
dwukrotnie większą średnicę, to każdy punkt okręgu toczącego się koła zakreśla średnicę
stałego koła.

132
II. Wykresy
Epicykloida wydłużona i skrócona (epłtrochoidy) (rys. 56)
oraz hipocykloida wydłużona i skrócona (hipotrochoidy)
(rys. 57). Są to krzywe zakreślone przez punkt związany z kołem,
Rys. 56
toczącym się bez poślizgu po zewnętrznej lub wewnętrznej stronie
okręgu stałego koła i lezący na zewnątrz lub wewnątrz okręgu
toczącego się koła. Przykłady (wszystkie dla m = 4): epicykloida
wydłużona (rys. 56a), epicykloida skrócona (rys. 56b), hipocykloida
wydłużona (rys. 57a), hipocykloida skrócona (rys. 57b).
Rys. 57
11. Cykloidy
133
Równania epitrochoid w postaci parametrycznej:
x = (/4 + a)cosy—Aacosl tp\,
y = (y4+a)sin?>—Aasin
gdzie A jest promieniem stałego koła, a jest promieniem ruchomego
koła Aa = CM. Gdy A > 1, otrzymujemy epicykloidę wydłużoną,
gdy A < 1 — epicykloidę skróconą. Dla otrzymania hipotrochoid
należy w równaniach zamienić „a" na ,,—a".
Gdy A = 2a, równania parametryczne hipotrochoid mają postać
x = a(l-J-A)cosy, y = a(l— A)siny i krzywa staje się elipsą o osiach
a(l+A) i a(l-A).
Gdy A = a, otrzymujemy ślimak Pascala (patrz str. 125) (L):
x = a(2cosp—Acos2y),
y = a(2siny—Asin2f>).
12. Spirale
Spirala Archimedesa (rys. 58). Jest to krzywa zakreślona przez
punkt M poruszający się ze stałą prędkością v po półprostej mającej
początek w punkcie O i obracającej się dokoła niego ze stałą
prędkością kątową m.
Równanie we współrzędnych biegunowych: & = aip, gdzie a =
= v/o> > 0. Krzywa składa
się z dwóch krzyżujących „-■ —^
się gałęzi (rys. 58): linia
ciągła odpowiada dodatnim
wartościom argumentu q>,
przerywana — ujemnym.
Gałęzie te są symetryczne
względem osi Ox. Każda
półprosta OK przecina
krzywą w punktach A^Az,...,
An,... w równych
odstępach, tak że At Ai+i= 2 na =
= const. Długość luku
OM: L = \a{<p\/^+\ +
+arsinhc>); dla wielkich
wartości tp iloraz 2L/aya ~* 1.
Rys. 58
(l) We wzorach na str. 125 przez a oznaczona była wielkość, która tu jest
oznaczona przez 2Xa, a I zastąpione zostało przez średnicę 2u. Zmieniony został również
układ współrzędnych.

134
II. Wykresy
Pole wycinka MiOM^. S = -i a2(f% — ęf). Promień krzywizny r =
= a(<pa+iyie{0p*+2)s w początku współrzędnych r =-^a.
Spirala hiperboUczna (rys. 59). Równanie we współrzędnych
biegunowych: g = aję, a > 0. Krzywa składa się z dwóch gałęzi
położonych symetrycznie względem osi Oy, gałęzie te mają asymp-
Rys. 59
totemy = a i punkt asymptotyczny w biegunie O. Pole wycinka MxOM^
a2
lim 5 = —— . Promień krzywizny: r =
5 =
2 \ffi
a /j/l + y1
2>p
9
Spirala logarytmiczna (rys. 60). Jest to krzywa przecinająca
pod starym kątem a wszystkie półproste wychodzące z bieguna.
Równanie we współrzędnych biegunowych: g = aekrP, a> 0,
k > 0, przy czym k = ctga. Gdy a = —n, krzywa jest okręgiem.
tfł
W
Rys. 60
Rys. 61
12. Spirale 135
Biegun O jest punktem asymptotycznym krzywej, gdy q> —> — co.
Długość łuku AfjAfa: Z- = -—r— (02 — <?i)» granica długości łuku
MxMz, gdy Mi dąży do bieguna O: La = *—=— g. Promień krzy-
k
wizny r = gy 1-f-fc3 = Z^fc.
EwolwentaC1) okręgu (rozwijająca okręgu) (rys. 61). Jest to
krzywa, którą zakreśla koniec naciągniętej nici rozwijającej się z okręgu
stałego koła (łuk AB równa się odcinkowi BM).
Równanie w postaci parametrycznej:
x = acostp-\-a<psm>p, y = asiny—atpcosip,
Rys. 62
0) O ewoiwencie patrz str. 319.

136 II. Wykresy
gdzie a jest promieniem stałego kola, ę = -^MOx. Krzywa ma dwie
gałęzie położone symetrycznie względem osi Ox; ostrze krzywej
A(a,0); punkty przecięcia krzywej z osią Ox: x = , gdzie m
COS^i
jest to kąt III, V, VII, ... ćwiartki spełniający równanie tgę = ę Q).
Długość łuku AM: L = -^aę2. Promień krzywizny BM: r = aę =
— \2aL. środek krzywizny B leży na okręgu stałego koła.
Klotoida (rys. 62). Jest to krzywa, której promień krzywizny jest
odwrotnie proporcjonalny do długości łuku: r = a*js, a > 0.
Równanie w postaci parametrycznej:
t t
x = a/iijcos—nt2dt, y = a/it j sin ^nt2dt (2),
0 o
gdzie t — sjayn, s = OM. Krzywa jest symetryczna względem
początku współrzędnych i ma w nim punkt przegięcia (styczną
jest oś Ox). Istnieją dwa punkty asymptotyczne: ^4(^a|/jTj-^a}At)
iJ3(—jaj/*,--^j/*).
13. Niektóre inne krzywe
Linia łańcuchowa (rys. 63). Kształt Unii łańcuchowej przybiera
elastyczna, nierozciągliwa, ważka nić zawieszona w dwóch punktach.
Równanie
X e^a-j-g-ar/a
y = acosh— = a —~ .
d £
Krzywa jest symetryczna względem osi Oy i leży powyżej
paraboli y = a-\-x2J2a, zaznaczonej na rysunku 63 linią przerywaną.
q gpsla g-xla
Wierzchołek A(0,a). Długość łuku AM: L = asinh—= o ■ ■ -
X Vz
Pole OAMP: S = aL = a2sinh - . Promień krzywizny r = — =
= acosh8— .
a
Traktoria (traktrysa) (rys. 64). Jest to krzywa, dla której
długość odcinka srycznej liczona od punktu styczności M do punktu
przecięcia tej stycznej z daną prostą P jest wielkością stałą, PM =
0) O rozwiązywaniu takich równań patrz str. 179 - 182.
(2) Całki te nie wyrażają się przez funkcje elementarne.
13. Niektóre inne krzywe
137
= OA = const; na rysunku 64 daną prostą jest oś Ox Q-). Traktoria
jest ewolwentą (patrz str. 319) linii łańcuchowej, przy czym
rozwijanie łańcuchowej zaczyna się od jej wierzchołka A.
Rys. 63 Rys. 64
Równanie traktorii
a , ■
x = aarcosh — ± \fa?—y* =
y
Asymptotą jest oś Ox. Ostrze krzywej ^4(0, a) (styczną jest oś Oy).
Długość łuku AM: L = aln(ajy); przy wzrastaniu łuku AM różnica
L—*«*a(l—ln2)« 0,307a. Promień krzywizny r = actg(xfy).
(i) Innymi słowy: Jeżeli do punktu materialnego M, leżącego na płaszczyźnie
poziomej przyczepiony jest jeden koniec nierozciągliwej nici o dlugos'ci o, a drugi
jej koniec będziemy przesuwali po danej prostej P leżącej na tejże płaszczyźnie,
to wleczony przez nitkę punkt M zakreśli traktorię (ntąd łacińska nazwa tractorta
— od łacińskiego słowa tracius = wleczony).

CZĘŚĆ DRUGA
MATEMATYKA ELEMENTARNA
L OBLICZENIA PRZYBLIŻONE
1. Zasady rachunku przybliżeń
Obliczenia przybliżone. Przy wykonywaniu obliczeń należy
zawsze pamiętać o dokładności, jaką trzeba uzyskać i jaką można uzyskać.
Absolutnie niemożliwe jest wykonywanie obliczeń z większą
dokładnością niż pozwalają na to dane, niecelowe jest też wykonywanie
obliczeń z dokładnością większą niż wymaga tego potrzeba (np. nie
należy posługiwać się logarytmami siedmiocyfrowymi, gdy dane mają
tylko 5 cyfr dokładnych). Dobre opanowanie reguł rachunku
przybliżeń potrzebne jest każdemu, kto musi obliczać.
Błędy. Różnicę między dokładną wartością x a jej przybliżeniem
a nazywamy błędem tego przybliżenia. Jeżeli wiadomo, że \x—a\ < Aa,
to wielkość Aa nazywamy górnym kresem błędu przybliżenia a;
stosunek Aaja = 8a nazywamy górnym kresem błędu względnego dla
przybliżenia a i wyrażamy go najczęściej w procentach.
Przykład. Liczba 3,14 jest przybliżeniem liczby n z błędem
0,00159... Za górny kres błędu można przyjąć 0,0016, a za górny
kres błędu względnego iloraz ^^- = 0,00051 = 0,051%.
3,14
Dla skrótu opuszczamy zazwyczaj słowa „górny kres" i mówimy
po prostu: błąd przybliżenia i błąd względny przybliżenia.
O błędach obserwacji patrz str. 823.
Cyfry wartościowe. Zazwyczaj przybliżenia wielkości podaje
się w postaci liczb dziesiętnych; nazywamy je wtedy przybliżeniami
dziesiętnymi. Jeżeli błąd przybliżenia a nie przekracza jednostki
ostatniego rzędu dziesiętnego liczby a, to mówimy, że w liczbie a
wszystkie liczby są pewne. (W określeniu powyższym niekiedy żąda się by
błąd przybliżenia nie przekraczał połowy jednostki ostatniego rzędu
dziesiętnego; w związku z tym patrz str. 134, zaokrąglanie).
Przybliżenia dziesiętne należy pisać z zachowaniem jedynie cyfr pewnych.

140
I. Obliczenia przybliżone
Jeżeli na przykład błąd przybliżenia liczby 52 400 wynosi 100, to liczbę
tę należy napisać w postaci 524-103 lub 5,24-104.
Im mniejszy jest błąd przybliżenia Aa w stosunku do samego
przybliżenia a, tym dokładniejsze jest przybliżeniej np. przybliżenie
1609,3 z błędem nie przekraczającym 0,1 jest lepsze, dokładniejsze,
niż przybliżenie 0,432 z błędem nie przekraczającym 0,001.
Oszacować dokładność przybliżenia można przez podanie ilości jego cyfr
zoarloMozoyck, tzn. ilości jego cyfr pewnych z pominięciem zer
stojących po lewej stronie przybliżenia (natomiast zera wewnętrzne, a
także zera końcowe, jeżeli należą do pewnych — zaliczamy do cyfr
wartościowych). Ilość cyfr wartościowych w danym przybliżeniu
dziesiętnym nazywamy stopniem dokładności tego przybliżenia.
Przykłady. 1, 1 stopa sześcienna = 0,0283 m3i mamy tu 3 cyfry
wartościowe, więc jest to przybliżenie w trzecim stopniu dokładności.
2. 1 cal = 2,5400 cm; mamy tu 5 cyfr wartościowych, więc
przybliżenie jest w piątym stopniu dokładności.
Jeżeli przybliżenie a ma n cyfr wartościowych, to jego błąd
względny da «S —TTw^T} S^zie z jest pierwszą cyfrą wartościową danego
przybliżenia a. Przybliżenie a z błędem względnym Sa ma « cyfr
wartościowych, gdzie n jest największą liczbą całkowitą spełniającą
nierówność (l+z)Sa*Z 101-n.
Przykład. Jeżeli liczba a = 47,542 jest wynikiem działań na
liczbach przybliżonych (patrz niżej) i wiadomo, że Sa = 0,1%, to
otrzymujemy n — 3, gdyż (4+1)0,001 < 10~2i dane przybliżenie ma więc
tylko 3 cyfry wartościowe i należy a napisać w postaci 47,5.
Zaokrąglanie. Jeżeli przybliżenie dziesiętne zawiera zbędne lub
niepewne cyfry, należy to przybliżenie zaokrąglić. Przy zaokrąglaniu
należy zacbpwać tylko cyfry pewne, a zbędne cyfry należy odrzucić,
przy czym jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa od 4, to
do ostatniej z cyfr zachowanych należy dodać 1. Jeżeli część
odrzucona składa się z jednej tylko cyfry 5, to zazwyczaj zaokrąglenia
dokonywa się w taki sposób, by ostatnia cyfra była parzysta.
Przy zaokrągleniu powstaje dodstkowy błąd, który może sięgać
połowy jednostki ostatniej cyfry znaczącej. Aby więc po zaokrągleniu
przybliżenia wszystkie cyfry były pewne, błąd przed zaokrągleniem
nie powinien przekraczać połowy jednostki ostatniej cyfry pewnej.
Działania na liczbach przybliżonych. Wynik działań na
liczbach przybliżonych jest także liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może
być wyrażony przez błędy poszczególnych danych za pomocą
następujących twierdzeń.
1. Zasady rachunku przybliżeń 141
1° Górny kres błędu sumy lub różnicy przybliżeń równa się
sumie górnych kresów błędów poszczególnych składników, np.
A(a-b+e-d) = Aa+Ab+Ac+Ad.
2" Błąd względny sumy przybliżeń zawarty jest między
najmniejszym i największym z błędów względnych poszczególnych składników,
np. jeżeli
a a+b+e+d d
3° Błąd względny iloczynu lub ilorazu przybliżeń równy jest
sumie błędów względnych tych przybliżeń, np.
d(ab) = Sa+Ób i dlj\ = Sa+db.
4° Błąd względny «-tej potęgi liczby przybliżonej jest n razy
większy niż błąd względny podstawy potęgi: 3(0") = nSa.
5° Błąd względny pierwiastka stopnia n z liczby przybliżonej
równa się l/n błędu względnego liczby podpierwiastkowej
<3(v^)=i-<5«.
Posługując się tymi twierdzeniami można określić błąd wyniku
dowolnej kombinacji działań arytmetycznych na liczbach
przybliżonych.
Przykłady.
1. V-t*h; SV^2Sr+Sh, ńV~VW~V\2— + jj\.
r • h
L'-lA
: Az = zSz = -^1 — +
_-, M 2^x . 1+y
Błąd funkcji. Oprócz podsnych powyżej reguł można do
szacowania błędu funkcji obliczonej na podstawie przybliżonych wartości
jej argumentów zastosować również różniczkę funkcji. Błąd funkcji
to nie jest to samo co przyrost funkcji, gdy jej argumenty otrzymują
przyrosty równe błędom tych argumentów. Ponieważ jednak błędy
są zazwyczaj dostatecznie małe, w praktyce dopuszczalne jest
zastępowanie błędów różniczkami (str. 390). Jeżeli znane są tylko górne kresy
błędów argumentów, to przy obliczaniu różniczek należy pochodne
zastępować ich wartościami bezwzględnymi.

142
I. Obliczenia przybliżone
a bda—adb
Przykłady. 1. tgp = -r J (l + tgV)<*?> = Ti~~ >
bda—adb , , bAa-Ą-aAb
|/^jT^T z x*+y*
Az xAx+yAy
a stąd 8z = — = ~-=—.
^ z x*+y*
Dla funkcji, której wartości znajdujemy za pomocą tablic,
oszacowanie błędu jest bardzo proste. Jeżeli argument jest dany z błędem
Ax> to dla określenia błędu funkcji /(x) należy zastosować interpolację
liniową (patrz str. 11) dla przyrostu funkcji odpowiadającego Ax lub
—Ax, zależnie od tego czy funkcja wzrasta, czy maleje.
Przykłady. 1. Jeżeli średnica koła D = 5,92 cm ma błąd AD =
= 0,005, błędy długości okręgu i pola koła (patrz str. 71 i 74) wynoszą
odpowiednio: 0,015 cm i 0,05 cm*.
2. Jeżeli tga = 0,818±0,002, to (patrz str. 57) a = 39°17' z
błędem A'.
Zagadnienie odwrotne rachunku przybliżeń. Jeżeli chcemy
otrzymać wynik z określoną dokładnością, to szukamy najpierw wzoru
na obliczenie błędu wyniku i posługując się jedną z podanych powyżej
metod obliczamy, jakie mogą być dopuszczalne błędy pierwotnych
danych. Rozwiązanie tego zagadnienia jest niejednoznaczne i wymaga
dodatkowych założeń.
Przykład. Z jaką dokładnością powinny być zmierzone przypro-
stokątne trójkąta prostokątnego, z których jedna jest około trzy
razy mniejsza od drugiej, aby błąd kąta wyznaczonego za
pośrednictwem tangensa nie przekraczał l'.
Ze związku tgp = a/b otrzymujemy (jak wykazano wyżej) błąd
bAa+aAb
podstawiając b = 3a i zakładając dodatkowo, że Aa = Ab,
otrzymujemy Aip = 0,4Aa/a, a ponieważ A<p = l' = 0,00029, więc da =
= Aa/a = 0,0007. Tak więc przy założeniu jednakowych błędów
pomiaru obu przyprostokątnych otrzymaliśmy dla mniejszej przyprosto-
kątnej błąd względny 0,07%.
Rachunki przybliżonebez dokładnego nwzględniania błędów.
Metodą podaną powyżej można określić kres górny błędu, który z
pewnością przekracza bezwzględną wartość prawdziwego błędu. Przez
cały czas zakłada się przy tym, że poszczególne błędy wciąż się kumulują,
1. Zasady rachunku przybliżeń 143
gdy tymczasem w praktyce zdarza się to nader rzadko. Przy
rachunkach masowych, w których nie oblicza się błędu każdego wyniku
z osobna, korzysta się z niżej podanych prawideł obliczania cyfr
wartościowych. Przy zachowaniu tych prawideł można liczyć na to, że
otrzymane wyniki będą miały na ogół wszystkie cyfry pewne, chociaż
w poszczególnych przypadkach możliwe są błędy wynoszące kilka
jednostek ostatniego rzędu.
1° Przy dodawaniu i odejmowaniu przybliżeń
dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr po przecinku
dziesiętny m, ile ich jest w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą ilość
cyfr po przecinku.
2° Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych
należy zachować w wyniku tyle cyfr wartościowych, ile ich
jest w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą ilość cyfr
wartościowych. (Innymi słowy: o stopniu dokładności wyniku mnożeń lub
dzieleń decyduje to przybliżenie, którego stopień dokładności jest
najniższy).
3° Przy podnoszeniu przybliżenia dziesiętnego do kwadratu
lub sześcianu należy wziąć w wyniku tyle cyfr
wartościowych, ile ma ich dane przybliżenie (czyli zachować jego stopień
dokładności), przy czym jednak błąd względny kwadratu i sześcianu
przybliżenia dziesiętnego jest około 2 i 3 razy większy niż błąd
względny samego przybliżenia, a więc błąd wyniku potęgowania może
przekraczać jednostkę ostatniego zachowanego w nim rzędu.
4° Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego lub
sześciennego z przybliżenia dziesiętnego należy dać w wyniku
tyle cyfr wartościowych, ile ma ich dane przybliżenie (czyli zachować
jego stopień dokładności), przy czym błąd względny jest około 2 i 3
razy mniejszy niż błąd względny samego przybliżenia.
5° We wszystkich obliczeniach pośrednich należy zachować o
jedną cyfrę więcej niż to wynika z poprzednio podanych prawideł; w
końcowym wyniku tę zapasową cyfrę należy odrzucić.
6° Jeśli pewne przybliżenia dziesiętne mają w dodawaniu i
odejmowaniu więcej cyfr po przecinku, a w mnożeniu i dzieleniu,
potęgowaniu i pierwiastkowaniu więcej cyfr wartościowych niż inne
przybliżenia, to przed wykonaniem rachunków należy je zaokrąglić z
zachowaniem dodatkowej cyfry zapasowej; w końcowym wyniku tę
zapasową cyfrę należy odrzucić.
7Q Jeżeli można brać dane z dowolną dokładnością, to dla
otrzymania wyniku o k cyfrach należy brać te dane z taką ilością cyfr, która
zgodnie z prawidłami l°-4° daje w wyniku k+l cyfr.
8° Przy obliczaniu wartości jednomianów za pomocą logarytmów
należy spośród danych wybrać liczbę o najmniejszej ilości cyfr
wartościowych, obliczyć ich ilość i wziąć tablice logarytmów z ilością
znaków dziesiętnych o jedność większą. W wyniku końcowym ostatnią
cyfrę wartościową należy odrzucić.

144
I. Obliczenia przybliżone
Mnożenie i dzielenie przybliżeń dziesiętnych. Aby uniknąć
zbędnych cyfr w mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych,
wykonuje się te działania w sposób następujący:
Przy mnożeniu bierze się za mnożnik przybliżenie o mniejszym
stopniu dokładności. Mnożenie zaczynamy od najwyższego rzędu
mnożnika i po otrzymaniu każdego iloczynu cząstkowego skreśla się
ostatnią cyfrę mnożnej, przy czym przedostatnią cyfrę powiększa się
w razie potrzeby o jedność. Iloczyny cząstkowe zapisuje się jak w
niżej podanym przykładzie.
Przy dzieleniu, zgodnie z prawidłem 6° zachowuje się w dzielnej
jedną cyfrę wartościową więcej niż w dzielniku (o ile jest to możliwe).
Przy wykonywaniu dzielenia zamiast dopisywania zera w kolejnych
etapach dzielenia należy skreślać ostatnią cyfrę dzielnika
wprowadzając w razie potrzeby poprawkę do przedostatniej cyfry.
Pomnożyć 4,128 przez 2,953.
4,128
X
2,953
Przykład
Podzielić 12,189 przez 4,128.
8,256
3,715
- 206
12
12,189=12,19.
12,189
8,256
4,128
2,953
3,933
3,715
218
206
12
12
2. Wzory przybliżone
W wielu wypadkach możemy dość skomplikowane funkcje zastąpić
prostszymi, dającymi wyniki z dopuszczalnym błędem. W tym celu
można posłużyć się kilkoma początkowymi wyrazami rozwinięcia
funkcji w szereg Taylora (patrz str. 413) lub wykorzytać metodę
najmniejszych kwadratów (patrz str. 816). W ostatnim przypadku wzór będzie
w sposób istotny zależeć od przedziału, dla którego jest przeznaczony.
W tabelce podano kilka najczęściej stosowanych wzorów, otrzymanych
z szeregu Taylora z podaniem ich błędu, przy czym przy każdym
wzorze podane są granice, w których powinno zawierać się x, by nie
przekroczyć podanego błędu.
2. Wzory przybliżone
145
Wzór
sin x -■= x
sin x ~ x
6
COSX = 1
X2
COS X ~ 1 — -—■
2
tg* = x
X3
tgx = *+—
* 2a
1 1 x
yV+* a 2a*
1 1 X
a+x a a2
e* = l+x
ln(l + x) = x
Błąd względny nie przekracza
0,1% | 1% | 10%
gdy x zmienia się w granicach
^0,077 = =f 4° ,4
^0,580 = q=33°,2
T 0,045 = =j= 2°,6
q:Q,386 = ^22°,!
=p0,054 = ^ 3°,1
T0,293 = =j=16°,8
-0,085a*
0,093a2
-0,05 la*
0,052a*
=F 0,031 a
T 0,045
^0,002
=F0,245 = =j=14°,0
=F 1,005 = ^57°,6
T 0,141 = =F 8",1
=f0,662 = ^3T,9
^0,172 = =f 9%8
q;0,519 = =j=29%7
-0,247a*
0,32Saa
-0,157a*
0,166a*
T0,099a
-0,134
0,148
^0,020
=F 0,786 = ^F45",0
=F 1,632 = ^93*3
=f0,451 = =F25°,8
=F 1,036 = ^59°,3
=F0,517 = =F29°,6
q:0,895 = =F51°,3
- 0,607 aa
1,545*1*
-0,448a*
0,530a3
T0,301a
-0,375
0,502
-0,176
0,230
3. Suwak logarytmiczny
Przeznaczenie suwaka. Elementarne obliczenia zawierające
mnożenie, dzielenie, podnoszenie do kwadratu lub sześcianu, wyciąganie
kwadratowego lub sześciennego pierwiastka i logarytmowanie danych
liczb oraz działania na funkcjach trygonometrycznych danych kątów
mogą być w przybliżeniu wykonane na suwaku logarytmicznym.
Dokładność obliczeń jest różna w poszczególnych przypadkach, przecięt-
(') Wzór ten można napisać w postaci ya2+x
1 / , a*+x\
używanej
w praktyce. Ponieważ a jest przybliżoną wartością pierwiastka (pierwsze przybliżenie),
to z tego wzoru wynika, że dla otrzymania wartości pierwiastka należy wziąć średnią
arymietyczna. pierwszego przybliżenia i ilorazu z dzielenia liczba podpierwiastkowej
przez pierwsze przybliżenie; można przy tym przyjąć, że liczba cyfr pewnych będzie
dwukrotnie większa od liczby cyfr pewnych w pierwszym przybliżeniu,
Należy także zaznaczyć, że wzór |/a* + b2 — 0,960s + 0,398ft, gdy a > b > 0,
który otrzymuje.się na podstawie aproksymacji jednostajnej (patrz str. 815), daje
błąd nie przekraczający 4%.

146
I. Obliczenia przybliżone
nie jednak wyniki otrzymane za pomocą suwaka logarytmicznego o
długości 25 cm odpowiadają obliczeniom w trzecim stopniu dokładności
tzn. błąd względny zawiera się między 0,1% a 1%. W przypadkach
gdy taka dokładność jest wystarczająca, można posługiwać się
suwakiem logarytmicznym.
Skala logarytmiczna. Zasada działania suwaka logarytmicznego
opiera się na skali logarytmicznej. Konstrukcja tej skali jest następująca:
obierając pewien odcinek za jednostkę długości, np. 25 cm,
odmierzamy od początkowego punktu skali odcinki (rys. 65), których miary
przy przyjętej jednostce długości są równe logarytmom dziesiętnym
pewnego ciągu liczb, przy czym odmierzając odcinek logo piszemy
przy jego końcu liczbę a (rys. 66). Przy punkcie początkowym należy
umieścić liczbę 1, gdyż log 1 = 0. W ten sposób na skali logarytmicz-
e 7 e 9
1 2 3 4 S W F 110
| ■ 1 ( 1 1 M- \ -M 1 1 i 1 1 +-1 I I
/ 2 3 4 56789 W 20 30 40 50 a i ł y10Q
60 70 80 90
Rys. 65
nej odległość od punktu 1 do punktu a wynosi w obranej skali loga.
Ponieważ log IOa = 1 +Ioga, przeto każdej liczbie z przedziału od
10 do 100 odpowiada na skali logarytmicznej liczba 10 razy od niej
mniejsza. Rozumowanie to może być przeprowadzone także dla
każdego przedaiału od 10"a do \0n+1a. Dlatego też odcinek równy
przyjętej jednostce długości i odpowiadający przedziałowi liczb od 1 do
10 może reprezentować całą nieskończoną skalę logarytmiczną.
Liczbom o jednakowym układzie cyfr, lecz różniącym się tylko o czynnik
10"(np. 7,05, 0,0705, 70 500), odpowiada na skali ten sam punkt 7,05.
Skale suwaka. Suwak logarytmiczny składa się z części stałej
w postaci linijki, wysuwki poruszającej się w wyżłobieniach linijki
oraz okienka ruchomego ze szkiełkiem, na którym zaznaczone są
jedna lub trzy rysy (rys, 67). Na górnej powierzchni linijki i na obu
powierzchniach wysuwki znajdują się różne skale, które oznaczymy
literami A, B, C, A i, K, L (rys. 68.). W niektórych typach suwaków
nie ma skal I i K> a skala L umieszczona jest na odwrotnej stronie
wysuwki. Przed omówieniem sposobów wykonania obliczeń na
suwaku logarytmicznym należy zapoznać się z jego skalami.
Skale A, B, C, D31, K są to skale logarytmiczne. Dla skal C, D
oraz / przyjęto za jednostkę miary 25 cm, przy czym dla skali I (w
przeciwieństwie do skał pozostałych) za kierunek dodatni obrano kierunek
w lewo. Dla skal A i B jednostka skali wynosi 12,5 cm, a dla skali
3. Suwak logarytmiczny
147
K jest równa 8y cm, w związku z czym skale A i B składają się z dwóch,
a skala K z trzech jednakowych odcinków, Podziałki na wszelkich
skalach logarytmicznych są nierównomierne i różnie zagęszczone w
różnych miejscach. Dla ustalenia na skeli logarytmicznej miejsca liczby
niecechowanej na tej skali przyjmuje sie, ze między dwiema
sąsiednimi kreskami skala jest równomierna, np. że liczba 235 leży po
środku między znakami 234 i 236.
Skala L jest równomierna; najmniejsza podziałka wynosi 0,002
jednostki długości wynoszącej 25 cm.
Na odwrotnej stronie wysuwki (rys. 69) umieszczona jest skala
logarytmiczna dla funkcji trygonometrycznych: T lub Tg (tangens),
Loga
Rys. 66
okienka
ruchome
wysuwka.
linijka.
Rys. 67
5 lub Sin (sinus) i S & T (sinus et tangens), gdzie skrót & oznacza
łaciński spójnik et równy polskiemu i. Na skali T punkt początkowy
umieszczony jest na prawym końcu; odpowiadz mu kąt 45°, gdyż
logtg45° = 0. Punktom skali odpowiadają kąty 7" mniejsze od 45°,
a więc logtg T° < 0. Odległość punktu T° od punktu początkowego
wynosi |logtgr°| przy obranej jednostce długości (rys. 70), Na lewym
końcu skali leży taki punkt Tf, dla którego logtg 7? = -1, a wiec
tgTf-0,1 i r,°^5°43'.
Na skali 5 punktowi początkowemu umieszczonemu na końcu
skali odpowiada kąt 90°, gdyż logsin90° = 0. Odległość 5" od punktu
początkowego wynosi |logsinS°| przy obranej jednostce długości
(rys. 71). Na lewym końcu skali leży punkt S\, dla którego log sinS^ =■
= —1, a więc sinS° = 0,I i 5f««5044'.
Dla kątów niniejszych od 5°44' wartości sinusa i tangensa
pokrywają się (w granicach dokładności suwaka); dlatego utworzona
została wspólna skala S&T mająca na prawym końcu punkt T^S^,
dla którego logsinS? = —1, skąd sinSf = 0,1 i S°^5°43', a na
lewym końcu punkt 7£^S?,dła którego logsmS£ = —2, skąd sinS° =
= 0,01 i S£ «* 0°35'. (W niektórych typach suwaków jednostka miary
skali S wynosi 12,5 cm i wówczas cała skala zawiera kąty od 0°35'

148
I. Obliczenia przybliżone
1 Mt7W
1
81
ES
:£ =?i
Rys. 68
t
Rys. 69
3. Suwak logarytmiczny 149
do 90°; podane niżej zasady posługiwania się skalą S powinny być
w tym przypadku odpowiednio zmienione).
Log tg 7"° log sin S
Rys. 70 Rys. 71
Zasady rachowania na suwaku. Sposób rachowania na
suwaku polega na ustawieniu dwóch liczb jednej naprzeciw drugiej na
dwóch różnych skalach i odczytaniu wyniku w określonym punkcie
jednej skali położonym naprzeciw określonej liczby drugiej skali.
Czynności tych dokonuje się za pomocą okienka. Poniżej podane są
schematy, według których wykonuje się elementarne obliczenia.
Ogólne zasady: 1° Suwak daje tylko układ cyfr
wartościowych i za każdym razem trzeba dobrać odpowiedni czynnik 10" (gdzie
L
a
T " 1
7;
1
? fi
i
Rys.
m jest liczbą całkowitą), czyli ustalić miejsce przecinka dziesiętnego.
W tym celu najlepiej jest oszacować w pamięci wynik z grubsza, aby
oszacować rząd wielkości wyniku.
2° Przy obliczeniach złożonych nie odczytuje się pośrednich
wyników, ale tylko nastawia się na nie każdorazowo środkową rysę
ruchomego okienka. Dlatego należy tak dobierać porządek obliczeń,
aby wyniki kolejnych działań lub grupy działań były odczytywane na
skalach nieruchomych, a nie na wysuwce.
3° W przypadku gdy punkt a wysuwki, naprzeciw którego ma się
znaleźć wynik na skali nieruchomej^ wychodzi poza granicę tej skali,
należy nastawić rysę okienka na jeden z końców skali wysuwki, a
następnie przerzucić wysuwkę w taki sposób, aby pod rysą okienka
znalazł się drugi koniec skali wysuwki (rys. 72). Wówczas szukany
wynik, który ma być na wprost punktu a podziałki, okaże się w
granicach skali nieruchomej i będzie mógł być odczytany.
Schematy. W każdym schemacie rachunkowym podstawowe
znaczenie ma ustawienie pary liczb, jednej naprzeciwko drugiej, na dwóch

150
I, Obliczenia przybliżone
skalach, a wówczas w każdym innym miejscu suwaka będzie ustalona
wzajemna odpowiedniość pewnej pary liczb. Gdy danej liczbie skali
nieruchomej ma być podporządkowana na wysuwce liczba 1, można
w razie potrzeby przerzucić wysuwkę na lewo w taki sposób, aby
danej liczbie skali nieruchomej odpowiadała na wysuwce liczba 10.
Mnożenie, dzielenie, proporcje
IV
VI
VII
w
d?
^Ł.
JL.
-Tt
,??
&
-, dŁ dt>
J jcieli d = 1,
Ci
I jeżeli ix - 1,
to dl =■ itdz.
3. Jh.
*2 h
(Wf-arfi-
ii
4
t
] kĄ-kJl.
~j d <=■ abe, a
d_
be
3. Suwak logarytmiczny
151
VII!
d =
Przy mnożeniu i dzieleniu posługujemy się zazwyczaj schematami
I i II. Schematy III - VI pozwalają wykonywać mnożenie i dzielenie
przez drugą i trzecią potęgę danej liczby. W obliczeniach
zawierających zespoły mnożeń i dzieleń należy wielokrotnie stosować schematy
VII i VIII. Na przykład obliczenie wyrażenia —; -F— wykonuje-
d-e-fg
my w trzech etapach: dwukrotnie według schematu VIII i raz według
schematu VII:
a-b c 1
d e f-g "
Podnoszenie do potęgi i wyciąganie
pierwiastków
IX
a = d2, b = c\
~\ k = d3, d=»/a~>
'k
&
^r-
ld
.07 1
J
1
a = di3 a1=d*,
] k = d\ a2 = d\
J ki-ffi*, K = d*
Obliczenia według schematu IX wykonuje się przy pomocy
okienka bez użycia wysuwki. Według tego samego schematu IX można
wyciągnąć pierwiastki stopnia drugiego i trzeciego, przy czym liczbę
podpierwiastkową należy podzielić na grupy dwucyfrowe lub
trzycyfrowe leżące na prawo i na lewo od przecinka dziesiętnego (patrz
str. 14). Wówczas w zależności od liczby cyfr wartościowych w
najwyższej grupie niezero-
wej ustala się, w której , fm z f 3 f
części skali A lub K na- * tf *' y
leży szukać liczby pod-
pierwiastkowej (rys. 73).
Na przykład przy
obliczaniu pierwiastka
kwadratowego Z liczby 37J50
albo 0a00137j5 najwyższa
K'
4,5-
C,D-
1 cyfra ■
, 2 cyfry
Ryj. 73

152
I. Obliczenia przybliżone
grupa dwucyfrowa 37 ma dwie cyfry wartościowe, a więc liczby 3,75
należy szukać w drugiej części skali A, a przy obliczaniu pierwiastka
kwadratowego z liczb 3|75 albo 0»03|75 najwyższa grupa dwucyfrowa
03 ma jedną cyfrę wartościową, więc liczby 3,75 należy szukać w
pierwszej części skali A.
Podobnie przy wyciąganiu pierwiastka stopnia trzeciego z liczb
375 lub 0,375 szukamy liczby 3,75 w trzeciej części skali K; dla
pierwiastków sześciennych z 37,5 lub 0,375[5 szukamy 3,75 w drugiej
części skali K, a w przypadku 3|750 lub 0,003|75 szukamy jej w
pierwszej części skali K.
Logarytmowanie
XI
"■ i^iogd
r
Obliczenia według schematu XI wykonuje się tylko za pomocą
okienka bez użycia wysuwki. Skala L daje tylko mantysę logarytmu.
Cechę oblicza się według znanych prawideł (patrz str. 165).
Obliczenia trygonometryczne
XII
**k
XIII
o£
1
1
'Sr
}dr
>
\°1
'Sr
,'<
W
sin 5,°
f2
r,
|
J
- sin/o.
dz
n
i
1
as
i° tg2'*
»
b)
a,
sin25,°
sin**," v J
t1) Schemat ten musi być zmieniony dla suwaków o długości skali S
wynoszącej 12,5 cm (patrz str. 147).
3. Suwak logarytmiczny
153
XIV<
s
T
t>
1
<=i
1
1
o .c ;1
7 'd, y |
e = tgr°, rf = ctgr°, — = tgr°
XV <
)
/
ld
,Cf
d,
fi
l1-
L_
ic
ij—
5
1
T
1
c=sins% rf=-i_(i). ■£ = sins°«-
sins di
Obliczenia według schematów XII i XIII wykonuje się przy
użyciu odwrotnej strony wysuwki. Niektóre daiałania na wielkościach
trygonometrycznych można wykonać bez odwracania wysuwki;
wówczas punkty na skalach 5 i T wyznacza się za pomocą kreseczek
znajdujących się w wycięciach na odwrotnej stronie suwaka (schematy
XIV i XV).
Znaki specjalne
Zamiana stopni na radiany i na odwrót
XVI
■k .it
s:
P 9
e° = 57,30,
1 e'= 3438,
J e" = 206265.
d°=ioradl =-5-rad], d'= hradl =—radl, rf" = »sradl =-77radl,
(na przykład ł5° - 0,262 rad, 15' = 0,00436 rad, ł5" = 0,0000727 rad).
Zamiast schematu XVI możemy wykorzystać także schemat I.
(*) Schemat ten musi być zmieniony dla suwaków o długości skali 5
wynoszącej 12,5 cm (patrz str. 147).

154
I. Obliczenia przybliżone
Pole kola
XVII
,-j/l - 1,124* * = (y)! =
nrf»
4 '
XVIII
la i !
1 W 1
Jeżeli na szybce okienka zaznaczone są trzy rysy, wówczas pole
kola znajduje się bez pomocy wysuwki według schematu XVIII.
II. ALGEBRA
A. PRZEKSZTAŁCENIA TOŻSAMOŚCIOWE
1. Pojęcia podstawowe
Określenia. Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub
kilka wielkości algebraicznych (Uczb albo liter) połączonych znakami
działań (+, _, :, y' , itp.) z oznaczeniem kolejności wykonywania
działań (różnego rodzaju nawiasy). _ r .
TożsamoScią nazywamy taką równość dwóch wyrażeń
algebraicznych, która pozostanie prawdziwa, gdy zamiast występujących w niej
liter podstawimy dowolne wartości.
Przekształcenie tożsamościowe, czyli otrzymanie z danego
wyrażenia algebraicznego drugiego, tożsamościowo mu równego, można
wykonać różnymi sposobami, zależnie od celu przekształcenia, który
trzeba zawsze mieć na uwadze, jak na przykład nadając wyrażeniu
bardziej zwartą postać, dogodną przy podstawianiu zamiast liter ich
wartości liczbowych, albo nadając wyrażeniu postać dogodną przy
rozwiązywaniu równań, logarytmowaniu, różniczkowaniu, całkowaniu itp.
Podział wyrażeń algebraicznych. W każdym poszczególnym
przypadku w wyrażeniu algebraicznym wyróżniamy pewne p o d s t a-
w o w e wielkości literowe, w zależności od których przeprowadzamy
podział wyrażeń; natomiast wielkości pomocnicze (pozostałe
litery) nazywamy parametrami wyrażenia. Wyrażenie należy do tego
lub innego rodzaju w zależności od tego, jakie działama są
wykonywane na występujących w nim wielkościach podstawowych. W
wyrażeniach całkowitych wymiernych wykonywa się na wielkościach
podstawowych jedynie dodawanie, odejmowanie i mnożenie (włączając tu
również podnoszenie do potęgi o wykładniku naturalnym). W
wyrażeniach ułamkowych wymiernych dochodzi (oprócz wymienionych
działań) jeszcze dzielenie przez wyrażenie całkowite wymierne (lub
podnoszenie do potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym). W
wyrażeniach niewymiernych dołącza się wyciąganie pierwiastka z wyrażeń
wymiernych (lub podnoszenie do potęgi o wykładniku ułamkowym).

156
II. Algebra
W wyrażeniach wykładniczych występuje podnoszenie do potęgi,
której wykładnikiem jest wyrażenie (wymierne lub niewymierne)
zawierające wielkości podstawowej a w wyrażeniach logarytmicznych
występuje logarytmowanie wyrażeń (wymiernych lub niewymiernych)
zawierających wielkości podstawowe.
We wszystkich umieszczonych poniżej przykładsch wielkości
podstawowe oznaczone zostały ostatnimi literami alfabetu x, y, z, a
parametry początkowymi literami a,b,c,... lub środkowymi literami m,
n, p, ...,przy czym środkowe lit ry przybierają tylko wartości
naturalne.
2. Wyrażenia całkowite wymierne
Przedstawienie w postaci wielomianu. Każde wyrażenie
całkowite wymierne można przedstawić w postaci wielomianu za
pomocą elementarnych przekształceń: redukcji wyrazów podobnych,
dodswania, odejmowania i mnożenia jednomianów i wielomianów.
Przykład. Mamy
(-a3+2asx-x3)(4a2+8ax)+(aax2+2a3xs-4ax*)-
-(a\+4<?x*-4ax*) = -4a?+8a*x-4a2x3-8a*x + 16a3x2~
-8axi+a3x2-^-2a*x3-4axi-a6-4<Pxii+4ax, =
- -5a5 + 13a5x2-2a3xs-8axi.
Rozłożenie wielomianu na czynniki. W wielu wypadkach
można przedstawić wielomian w postaci iloczynu czynników
(jednomianów lub wielomianów) za pomocą wyniesienia poza nawias,
metody grupowania, zastosowania wzorów na skrócone mnożenie i
dzielenie i wyzyskania własności równań algebraicznych.
Przykłady. 1. Wyniesienie poza nawias:
8ax2y-6bx3y2+4cxi = 2x\4ay—3bxy2+2cxa).
2. Metoda grupowania:
6x2+xy-y2- 10xz—5yz = 6x%+3xy — 2xy—y* — lQxs—5ys =
= 3x(2x+y)-y(2x+y)-5z(2x+y) =* (2x+y) (3x-y-5z).
3. Wyzyskanie własności równań algebraicznych (patrz str. 174):
P(x) = xi-2x*+4xi+2x*-5x2.
a. Wynosimy xs poza nawias, b. Metodą prób ustalamy, że liczby
ax = 1 i az = — 1 są pierwiastkami równania P(x) = 0. Dzieląc P(x)
przez xz(x — l)(x+l), czyli przez x*—x2, otrzymujemy w ilorazie
x2—2x-\-5. Ostatnie wyrażenie jest trójmianem x2-\-px-\-qP gdzie
2. Wyrażenia całkowite wymierne 157
P = -2,o = 5 i wyróżnik {jpf-Q j«t ujemny, a wiec to wyrażenie
nie może być już rozłożone na czynniki rzeczywiste. Tak więc
x*-2xs+4xi+2x*~5x* = x*(x-l)(x+l)(xs-2x+5).
Wzory na skrócone mnożenie i dzielenie.
(x±yY = xi±2xy+y\
(x+y+z)* = x*+y*+z2+2xy+2xz-!-2vz.
(x+y+z+ ... +t+u)*^x*+y*+z*+ ... +t*+u*+
+2xy+2xz+ ... + 2xu+2yz + ... + 2yu+ ... +2tu,
(x±y)3 = x3±3x3y+3xy*±y\
(x±y)n obliczamy według wzoru Newtona (patrz str. 2061-
(x+y)(x-y) = x*-y3,
(xn-y»):(x-y) = xn-1+x"-*y+x»-*y*+ ... +xyMr*+y—\
(x"+yn):(x+y) = x*-1-x*-*y+xn-*y*- ... -xy+^+y*-1
(tylko dla n nieparzystych!),
(x»-y):(x+y) = xn-t-xn-^y+xn-sy2- ... +xy*Jt-y*~1
(tylko dla n parzystych!).
Odnajdowanie największego wspólnego dzielnika dwóch
wielomianów. Wielomian P{x) stopnia « oraz wielomian Q(x)
stopnia m, gdzie n^m, mogą mieć wspólne czynniki zawierające x; iloczyn
wszystkich rych czynników nazywamy największym wspólnym
dzielnikiem danych wielomianów. Jeżeli P(x) iQ(x) nie mają takich
wspólnych czynników, to nazywamy je względnie pierwszymi (ich największy
wspólny dzielnik = const).
Największy wspólny dzielnik wielomianów P(x) i Q£x) można
znaleźć nie znając rozłożenia ich na czynniki w następujący sposób
(algorytm Euklidesa):
1° Dzielimy P(x) przezQ(x); oznaczamy iloraz przez 7\(x) i resztę
przez Ri(x):
F(x)=Q(x)r1(x)+i?1(x).
2° Drielimy Q(x) przez i?i(x)j oznaczamy iloraz przez T£x)
i resztę przez R^x):
itd. Ostatnia reszta Rjc(x) różna od zera jest właśnie największym
wspólnym dzielnikiem wielomianów P(x) i Q(x).
Odnajdowanie największego wspólnego dzielnika stosuje się przy
rozwiązywaniu równań (wyłącznie pierwiastków wielokrotnych —

158
II. Algebra
patrz str. 174, zastosowanie metody Sturma — patrz str. 175, przy
interpolacji metodą Ostrogradskiego — patrz str. 432 - 434 i w wielu
innych zagadnieniach).
3. Wyrażenia ułamkowe wymierne
Sprowadzanie do najprostszej postaci. Każde wyrażenie
ułamkowe wymierne można przekształcić na iloraz dwóch
wielomianów (nie mających wspólnych czynników) za pomocą podstawowych
przekształceń (dodawania, odejmowania) mnożenia i dzielenia
wielomianów i ułamków oraz skracania ułamków).
Przykład. Sprowadzić do najprostszej postaci:
z _ „ x+z _ 0xz+2x+y)z2 -y2z-\-x+z
/ i \ " ' z (x*z*+x)z
__ 3xz*+2xz*+yz2+(x*z'i+x)(.-ysz-ł-x+z) _
~~ xV+aw ~~
_ 3xz*+2xz*+yz*-x*ysz;,-xy3z+xiz*+x*+x*z*-ł-xz
Wyłączenie części całkowitej. Iloraz dwóch wielomianów
o wspólnej wielkości podstawowej x nazywamy ułamkiem
algebraicznym właściwym, gdy stopień m najwyższego wyrazu licznika (x) jest
mniejszy od stopnia « najwyższego wyrazu mianownika, a niewłaściwym)
gdy m>n. Każdy ułamek niewłaściwy można przekształcić na sumę
wielomianu i ułamka właściwego za pomocą wyłączenia części
całkowitej (dzielenie wielomianu przez wielomian).
Przykład. Wyłączyć część całkowitą z ułamka:
3xł- \0ax*-ł-22asxa- 24a*x+ 10a*
*w- x»-2a*+3a8
Mamy
3s3-4ax+5g8
(3x* -1 Oax3+22a V - 24aax +1 Oa1): (x2 - %ax+3a")
-3x*+ 6ax*- 9a*x*
~ 4ax3+13aax'l-24a*x
+ 4axs~ 8a2xs-f-12a3*
+ 5a*xs-12a*x + 10aA
- 5azx*+10a*x-15ai
- 2a3x- 5a*
(Ł) To znaczy wyrazu zawierającego x w najwyższej potędze.
3. Wyrażenia ułamkowe wymierne
159
a więc
Rozkład na ułamki proste. Jeżeli ułamek algebraiczny
ft(*\ , IM. _ 6»x»+M*-1+...+&«
W P(x) x" + alX"-l+ ..,+a* *
gdzie współczynniki bQ, b13..., bm oraz a13 a2,..., a* są liczbami
rzeczywistymi (!), jest ułamkiem właściwym (tzn. m < «) i nieskracal-
nym (tzn. takim ułamkiem, w którym licznik i mianownik nie mają
żadnego dzielnika wspólnego zawierającego x), to można go prze-
przekształcić na sumę ułamków prostych, czyli ułamków o postaci
A , . Dx+E , , (pV
Mogą tu zachodzić cztery przypadki (2):
1° Mianownik P(x) jest taki, że równanie P(x) = Oma tylko
rzeczywiste pierwiastki jednokrotne a19a,, ..,,<]„ (o krotności
pierwiastków patrz str. 174). Rozkład przeprowadza się według wzoru
Q(x) _ bax»> + ... + bm A B +—^L
P{x) (x—a1)(x—a^)... (x-an) x—a, x—a2 "' x—an'
gdzie współczynniki j4,B,..,,C są określone wzorami
P-(«i)' PW "*' C~i"(a.)'
pr2y czym w mianownikach znajdują się wartości pochodnej dPjdx
dla x =al3x = a2, ...,x = a,i.
lt . 6*2-x+l v4 , B , C
Przykład. i— = —+ ■ - + ■——-.
Marny a^ O, a2-l, a, = -l, Q(a) = 6*«-x+l, /*(*) =
= 3*2-1, skąd
^ p-(0)~ J> ^-p-d)™3' c-p'(-i)-4'
Q(*) _ 1,3,4
P{x) x x-\ x+l'
C1) Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez współczynnik w najwyższym
wyrazie mianownika można zawsze doprowadzić ułamek do postaci, w której najwyższy
wyraz mianownika ma współczynnik 1.
(a) Jeżeli ograniczymy się do liczb rzeczywistych, to przypadek 3° nie będzie się
różnił od przypadku 1°, a przypadek 4° od przypadku 2°, 2 tego punktu widzenia
każdy ułamek właściwy R(x) można przekształcić na sumę samych tylko ułamków
prostych o postaci Aftx—a)k, gdzie A i a są liczbami zespolonymi. Będzie to wyzyskane
przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych (patrz str. 576).

160 II. Algebra
Drugi sposób wyznaczania współczynników A, B,..., C — to
metoda współczynników nieoznaczonych stosowana we wszystkich
czterech przypadkach.
Przykład.
6x2-x+l=:£ B p C A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)
x3-x x ' x-l x+l x(x*~l)
Przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach x w
licznikach po lewej i po prawej stronie równości otrzymujemy układ
równań: 6 = A + B+C, —1 = B— C, 1 =— Ai rozwiązując go
odnajdujemy dla A, B, C te same wartości co poprzednio.
2° Pierwiastki mianownika są rzeczywiste, ale są wśród nich
wielokrotne. Rozkład przeprowadza się według wzoru
Q(x) ^ &0«'"-|-Mw~1+..-+frm ^i . A* ,
P(x) (?c-apt(x-ajfa...(x-atp x-aŁ ~*~ (x-a%)* + '" "*"
. Akt Bt B* gfca , , J*
Przykład. -^ 1., = —- + + , ,.„ -f
x(x-l)3 x ^ x-l T(jc-l)»T(*-l)»ł
Współczynniki AlsBl,BisBa odnajduje się za pomocą metody
współczynników nieoznaczonych.
3° Wśród pierwiastków mianownika są pierwiastki zespolone
jednokrotne. Rozkład przeprowadza się według wzoru.
Q(x) = M"+*i*,,,~1+ ...+bm
P(x) (x-a1)*l(x-<h)ki...(x*+plx+q1) C**+Pi*+ft)."
Ax , A2 Dx+B Fx+G
"T" ' ' ' "T" a [ . „ - _ "T" ^ o , _ i ^ "T" • ■ •
x-ax {x-aty " x?+p1x+ql xz+p2x+qa
3x2-2 A Dx+E
Przykład. y-t , , 1W , ,. = —^- + -
(x*+x+l)(x+l) x+l xa+x+l '
Współczynniki A, D, E odnajduje się za pomocą metody
współczynników nieoznaczonych.
4° Pomiędzy pierwiastkami mianownika są zespolone wielokrotne.
Rozkład przeprowadza się według wzoru
Q(x) = btx»+b1x*-l+...+bm =
P(x) (x-ajti(x-ajh... (x*+plX+qJh (x2+piX+q^ • ■.
A, , A2 p D!*+£i , D2x+E2
x-a, ^ Cx-ar)a ^ — ^ x3+pl3:+«1 (*•+/>,*+«,)"
(*a+P,*+?i)'i *a+Pa*+?» '" + (xi+pzx+q1)l» + *'
3. Wyrażenia ułamkowe wymierne 161
Przykład.
' • .-9 .. i 1 ~T"
(;e-3)02-;c + l)a x-3 ^ xa-x+l ' (x2-x+l)3'
Współczynniki AtD1>ElsDasB2 odnajduje się za pomocą
metody współczynników nieoznaczonych.
a c
Przekształcanie proporcji. Z proporcji -7- = -7 wynikają rów-
o a
. . ab dc b d
nosa ad = be, — =-3, t — — 3 — =— >
c d ba a c
a także tzw. proporcje pochodne:
a±b
b
c±d
" d '
a±b c±d
a ~ c '
a+b c+d
a±c
c
b±d
d
a—b c—d
Z równości kilku stosunków —- = -j— = ... = ~ wynika wzór
Ol i>2 bn
31+^3+ ••• +an _^__ Q\.
h+b2+ ...+bn h'
4. Wyrażenia niewymierne
Przekształcanie pierwiastników. Pierwiastnikiem nazywamy
wyrażenie typu y'A, gdzie A jest dowolnym wyrażeniem wymiernym
lub niewymiernym. Na przykład
{'W, -i/?L, y'^=^r) V^fW-
Pierwiastniki można przekształcać w sposób następujący:
a. Jeżeli w danym pierwiastniku wyrażenie podpierwiastkowe jest
iloczynem, to dzielimy wykładnik pierwiastka i wykładniki wszy-
sdcich czynników przez ich największy wspólny podzielnik. Na przykład
'f/^^ = \/aW = \/tfb, \f25 (a-b)* (a+b)2 = )/5(fl-bf (a+b)\
yi6(xit~2xa+^sj = y&^-Hx-if = ^Ax^ix-X) .
(Podobnie upraszcza się pierwiastnik w przypadku, gdy pod znakiem
pierwiastka znajduje się ułamek). Na przykład
\ 276« ty W \ (a-b)* ty a-b '

162 II. Algebra
b. Jeżeli pierwiastnik ma postać y'Axm , gdzie m^n, to dzielimy
m przez n i otrzymujemy m — np + ry gdzie liczba naturalna p jest
ilorazem, a reszta r spełnia warunek 0^ r < n; wówczas
yAxm=X? yAxr.
Przekształcenie powyższe nazywamy wyłączeniem czynnika przed znak
pierwiastka.
W przypadku gdy r = Q, mamy po prostu \/Axm ~ x& Y~Ą.
Na przykład
l/a1* = a* J/c5", \/32xiyaz10us = 2xy*«* |/4xs«a.
Przekształcanie potęg i pierwiastników (o wykładnikach
naturalnych). Zanotujmy wzory
xm (x Y* x"
xroxn = xm+n, —— = xm~n, (xy)n=xnyn) I — I =—-, (»*»)» = *"**,
„— „._„._ k /— -i/^"
Vxy=Vx]/y, i/2L =,-£—,
Uogólnienie pojęcia potęgi. Przyjmujemy następujące umowy:
a.*° = 1, jeżelix # 0; b.*-m = l/xm, jeżeli x?* 0 j c.xm/" = ]fx™>
jeżeli « jest liczbą naturalną i x > 0 (w szczególności xlln — |/#j. Ze
wzorów tych wynika, że x-m'a = l/]/xm, jeżeh n jest liczbą
naturalną i x>0.
Dla wykładników zerowych, ujemnych i ułamkowych zachodzą te
same, co podane wyżej wzory na przekształcanie potęg i pierwiastków
o wykładnikach naturalnych, pozwala to często na uproszczenie
obliczenia.
Przykład. (|/x +fe+)&+*}/&) (j/^ -\/x +]/x - lj/^) =
= (x"3+xa'a+*3/1+x"ia) (x^-xw+x^-xs'12) =
= x+a:^6+^'*+jcl3/IB-x5/fl—x—xl3Ils—xll/lz +
+xa!i+xnl1*+x+x*t*-x11ll2-xl3l12-x:l6-x =
Przekształcanie ułamków o wyrazach niewymiernych.
A
a. W wyrażeniu „— , gdzie m < n i x> 0, można usunąć niewy-
yxm
4. Wyrażenia niewymierne 163
mierność z mianownika za pomocą wzoru
a aV^~*
'xm
Przykład. Mamy
(/ 2jy \ 4y* 2y ' \ 4yz* \ 8y*z3 2yz
b. Jeżeli ułamek zawiera w mianowniku sumę lub różnicę
pierwiastków stopnia drugiego, można usunąć niewymierność z
mianownika stosując wzory
lt—A=dW!L=&t gdzie*>0, y>0ix*y.
]/x+yy x~y
A A(Vx~+}/y)
2. -?=-
Przykład. \fi_fi = ł/3~+>/2~-
gdzie x> 0, jy> 0 i x # ,y.
5. Wyrażenia wykładnicze i logarytmiczne
Działania na wyrażeniach wykładniczych typu ax, gdzie
a > 0, a x jest dowolną liczbą rzeczywistą, wykonuje się według
wzorów:
aEaf = at+sy —=ax-v> (ax)» = ax», j/a® =*«*/».
a?/
Wyrażenia wykładnicze o różnych podstawach (np. ox, &", c*,...)
można przekształcić w wyrażenia o wspólnej podstawie korzystając ze
wzoru b = a1°g-!'.
axb" a%»iogai'
Przykład. Mamy —J- = ;loga— = a^lo&^-zlog^, przy
założeniu, że a > 0, £ > 0, O 0.
Do podobnej postaci można sprowadzić każde wyrażenie nie
zawierające dodawania ani odejmowania.
Wyrażenie ex, gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych (patrz
niżej), oznacza się niekiedy exp# (od łacińskiego wyrazu exponens —
wykładnik).
Logarytmy. Logarytmem liczby dodatniej N przy danej podstawie
dodatniej a (różnej od jedności) nazywamy wykładnik potęgi x, do
której trzeba podnieść podstawę a, ażeby otrzymać liczbę N. Piszemy
x = logaN, jeżeli ax = N.
Każda liczba dodatnia ma przy dowolnej podstawie dodatniej

164
II. Algebra
(różnej od jedności) swój logarytm. Znając logarytmy liczb przy pewnej
podstawie a można wyznaczyć logarytmy tych liczb przy innej
podstawie b według wzoru logbN = MlogaN, gdzie czynnik M =
logab
nazywamy modułem przekształcenia logarytmów.
Wygodnie jest posługiwać się łatwym do zapamiętania wzorem
log N
logaN = . ■ , gdzie po prawej stronie są logarytmy przy dowolnej,
toga
ale tej samej podstawie.
Podstawowe własności logarytmów. Mamy logal =0,
logad = 1. Jeżeli N dąży do 0 (poprzez wartości dodatnie), to \ogaŃ
dąży do +oo, gdy a< 1, natomiast dąży do -co, gdy a> 1.
Ponadto mamy wzory:
logiNt-Nj = logNi+logW,,
log i = logWi-logWa,
(*)
\og(NP) = plogN, gdzie p jest dowolną liczbą,
logj/W = —logN, gdzie n jest liczbą naturalną, większą od
jedności.
Logarytmowaniem danej liczby nazywamy wyznaczenie jej loga-
rytmu (o Iogarytmowaniu wyrażeń algebraicznych patrz str. 165).
Wyznaczenie liczby z jej logarytmu nazywamy dehgarytmowaniem
(o delogarytmowaniu wyrażenia logarytmicznego patrz str. 166).
Najczęściej stosowane są iogarytmy dziesiętne, zwane też logaryt-
mami Briggsa, o podstawie a= 10, stosowane w obliczeniach
praktycznych, przy czym zamiast Iog^N" pisze się po prostu logAf. W
badaniach teoretycznych stosowane są logarytmy naturalne o podstawie
e = 2,71828 (*), zwane też logarytmami Nepera albo hiperbolicznymi.
Zamiast logeN pisze się InN.
Moduł przekształcenia logarytmów naturalnych na dziesiętne:
M = loge = m* 0,43429, a więc logN = 0,43429 In N.
lnlO
Moduł przekształcenia logarytmów dziesiętnych na naturalne:
■Mi=T7Inl0 = i ^2,30259, a więc lniV=2,302591ogW.
M loge
Własności logarytmów dziesiętnych.
Logarytmy dziesiętne pisze się w postaci ułamków dziesiętnych z określoną
ilością cyfr po przecinku (np. logarytmy pięciocyfrowe są to
logarytmy z pięcioma cyframi po przecinku dziesiętnym). Zauważmy,
(') Określenie liczby e znajduje się na Str. 358.
5. Wyrażenia wykładnicze i logarytmiczne 165
że liczba N = lO6, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, ma
logarytm całkowity k; na przykład loglO5 = 5, loglO-3 = —3.
Jeżeli N> 1, to logŃ jest dodatni. Część całkowitą logarytmu
nazywamy jego cechą, a część ułamkową — mantysą. Na przykład
log324 = 2S5105 ma cechę 2 i mantysę 0,5105. Logarytmy liczb
dodatnich mniejszych od jedności są ujemne. Zazwyczaj pisze się je
w taki sposób, żeby miały mantysę dodatnią (lub zerową); wówczas
cechą logarytmu jest liczba całkowita ujemna (pisana ze znakiem
minus ponad cyfrą). Na przykład log0,00324 = 3,5105, co oznacza,
że Iog0,00324 = -3+0,5105 = -2,4895. Korzystając z symbolu [*],
o którym mowa na str. 352, możemy napisać:
cecha logitf — [logitf],
mantysa log-W = logW—[logitf].
Liczby, które otrzymujemy z danej liczby N przez pomnożenie
jej lub podzielenie przez 10", mają logarytmy dziesiętne z jednakową
mantysą. Na przykład liczby 32400, 324, 3,24, 0,0324 mają logarytmy:
4,5105, 2,5105, 0,5105, 2,5105 o tej samej mantysie. Mantysę
odszukuje się w tablicach logarytmów dziesiętnych C1), przy czym nie zważa
się ani na położenie przecinka, ani na zera znajdujące się na początku
i na końcu liczby. Cechę wyznacza się według reguły: 1° jeżeli dana
liczba jest większa od jedności, to cecha jest o jeden mniejsza od ilości
cyfr tej liczby stojących przed przecinkiem; 2° jeżeli dana liczba jest
mniejsza od jedności, to cecha ma tyle jedności ujemnych, ile jest
zer na początku danej liczby (licząc w tym zero znajdujące się przed
przecinkiem). Na przykład log3240 = 3,5105, log324000 = 5,5105;
log3,24 = 0,5105, log0,0324 = 2,5105.
Często, zwłaszcza w tablicach, dla uniknięcia cech ujemnych,
niewygodnych w drnku, dodaje się do ujemnej cechy 10. Na przykład
zamiast 1,324 pisze się 9,324.
Przekształcanie wyrażeń logarytmicznych
(logarytmowanie wyrażeń) wykonuje się według wzorów(*) (str. 164) (2).
3x2VV
Przykład. Zlogarytmujmy wyrażenie —^-^-•
log3^^ = lQg<3*«Vy )-l°g(2*a») =
= log34-21ogx+ylogjy —log2—logs—31og«.
t1) Tablice logarytmów dziesięmych (ściślej: tablice mantys) patrz str. 49-51;
tablice aniyhgaryimów (czyli tablice liczb, których logarytmy mają dane mantysy)
patrz str. 52 - 54; tablice logarytmów naturalnych patrz str. 67 - 69.
(*> Aby zlogarytmować wyrażenie będące sumą albo różnicą, należy je uprzednio
przekształcić w wyrażenie dogodne do logarytmowania, tzn. zawierające iloczyny
: ilorazy.

166
II. Algebra
Często stosuje się przekształcenie odwrotne, zwane delogarytmo-
waniem, mianowicie przekształcenie sumy algebraicznej logarytmów
na logarytm jednego wyrażenia.
Przykład. Mamy
log3 + 2Iogx+ylog:v-log2-logz-31og« = log-^ir-
O suwaku logarytmicznym patrz str. 145 - 154.
B. RÓWNANIA
6. Porządkowanie równań algebraicznych
Określenia. Równaniem z jedną niewiadomą nazywamy równość
dwóch funkcji jednej i tej samej zmiennej
(i) FOWC*).
Zmienną występującą w równaniu (1) nazywamy niewiadomą. Jeżeli
przy pewnej wartości x = x± równość (1) jest prawdziwa, to mówimy,
że liczba *i spełnia równanie i nazywamy ją pierwiastkiem tego
równania. Równanie może mieć wiele pierwiastków: Xi,«a, ...,*„;
rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki. Może
się okazać, że równanie wcale nie ma pierwiastków; wtedy nazywamy
je równaniem sprzecznym. Jeżeli równanie Cl) jest spełnione dla
wszelkich wartości zmiennej x, przy których obie funkcje F(x) i f(x) mają
sens liczbowy, to równanie (1) nazywamy tożsamością. Dwa równania
nazywamy równoważnymi) jeżeli mają wszystkie pierwiastki te same.
Równanie nazywamy algebraicznym, jeżeli obie występujące w nim
funkcje F(x) i fix) są funkcjami algebraicznymi (wymiernymi lub
niewymiernymi), przy czym jedna z tych funkcji może być stała
Z każdego równania algebraicznego można za pomocą przekształceń
algebraicznych otrzymać równanie w postaci uporządkowanej
(2) a0x*>+a,x"-1-\- ... +a« = 0,
które ma wszystkie pierwiastki pierwotnego równania algebraicznego
ale może też mieć ponadto pierwiastki obce (patrz niżej).
Zarówno tutaj jak i dalej zakładamy, że współczynniki ao, ax, ...,a,
są liczbami rzeczywistymi (z wyjątkiem przypadków specjalnie omó
wionych), przy czym a0 # 0. Równanie (2) można przekształcić dale
w taki sposób, żeby było a0 = 1.
Wykładnik potęgi « w najwyższym wyrazie Ocx" (gdy o0 # 0
nazywamy stopniem równania algebraicznego (2). Równanie algebraicz
ne uporządkowane z jedną zmienną x będziemy oznaczali symbo
licznie
P(x) = 0,
gdzie P(x) oznacza wielomian zmiennej x.
6. Porządkowanie równań algebraicznych 167
Przykład. Sprowadźmy do postaci uporządkowanej równanie
x-l+ ]/**-6 = x-3
3(*-2)
Kolejne przekształcenia dają
*(x-l + |/^6~) = 3x(x-2)+3(x-2) (x-3),
xs-x+x\/x2-6 =3xa-6x+3xB-15x+18,
*|/x2-6"=5xa-20x+18,
*■(*■-6) =* 25x4-200*3+580:6*- 720jc+324,
24c*-20Oc3+586x2-720x+324 =* 0,
albo inaczej:
9« 203 27
*»-^-*a+^_-**-30* + ^ = 0.
Dane równanie algebraiczne jest stopnia czwartego.
Układ' równań algebraicznych. Rozwiązaniem układu n
równań algebraicznych z niewiadomymi *,_)>,..., 2: nazywamy każdy
zespół liczb x11yj_i...3zlixiiyt)...izit...) który po podstawieniu
zamiast niewiadomych x,y, ...,z spełnia wszystkie równania danego
układu. Rozwiązać układ równań to znaczy znaleźć wszystkie jego
rozwiązania.
Każdy układ n równań algebraicznych z niewiadomymi x, y,..., z
można doprowadzić do postaci uporządkowanej:
Pi(xsys...iz) = Q, Ps(x,yi...,z) = 0s ..., Pn(x, y, ..., z) = 0,
gdzie Pt dla i równego 1,2,..., n oznacza wielomian względem
zmiennych x,^,...,*.
Przykład. Przekształcając do postaci uporządkowanej układ
równań
X 1 X— 1 /—
otrzymujemy
x2z2~-y = 0, x2-2x+l-y*z+2yz~z = 0, xy-z = 0.
Pierwiastki obce. Przy sprowadzaniu pewnego równania
algebraicznego do postaci uporządkowanej P(x) = 0 może się zdarzyć
że równanie P(x) = 0 będzie miało pierwiastki nie spełniające
pierwotnego równania. Mogą tu zachodzić przypadki dwóch typów:
1° Równanie ułamkowe. Jeżeli równanie ma postać

168 II. Algebra
gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami amiennej x, to mnożąc obie strony
równania przez mianownik Q(x) otrzymujemy równanie w postaci
uporządkowanej
(4) P(x) = 0.
Równanie to ma wszystkie pierwiastki równania (3), ale może się
zdarzyć, że równanie (4) ma też pierwiastki obce dla równania (3).
Będzie to wtedy, gdy pewien pierwiastek x = a równania P(x) = 0
nadaje mianownikowi Q(x) wartość 0. Wówczas bowiem po
podstawieniu x = a lewa strona równania (3) nie ma sensu liczbowego,
a więc a nie jest pierwiastkiem równania (3).
Jeżeli ułamek P(x)/Q(x) skrócimy przez x—a tyle razy, ile to będzie
możliwe, np. przez (*— af, i w wyniku skrócenia otrzymamy równanie
to mogą zajść dwa przypadki:
a. Pierwiastek a równania (4) jest pierwiastkiem wielomianu Pi(x),
ale nie jest pierwiastkiem wielomianu Qi(x); wówczas pierwiastek
a równania (4) jest również pierwiastkiem równania (5), ale o
mniejszej krotności C1).
b. Pierwiastek a równania (4) nie jest pierwiastkiem wielomianu
Pi(*)$ wówczas a jest pierwiastkiem obcym równania (5).
xa 1
Przykłady. 1. Równanie — = — sprowadzamy do
x—1 x—1
x3—1
postaci -■„■■■ = 0. Mnożąc obie strony tego równania przez x—1
x— 1
otrzymujemy równanie uporządkowane x3— 1 = 0. Liczba x = 1 jest
pierwiastkiem równania uporządkowanego, ale nie jest pierwiastkiem
pierwotnego równania, które przy x = 1 nie ma sensu liczbowego.
x3—1
Jeżeli lewą stronę równania = 0 skrócimy przez x— 1, to
otrzymamy równanie x3+x+l = 0, dla którego pierwiastek x = 1
równania uporządkowanego xa—1 = 0 jest pierwiastkiem obcym.
jcs—3x2 + 3x 1
2. Mnożąc równanie ——s— = 0 przez mianownik xa—
xa — 2x+l
— 2x+l otrzymujemy równanie uporządkowane x3—3x2+3x— 1 = 0,
czyli (x— l)3 = 0. Równanie to ma trzykrotny pierwiastek x = 1,
który nie jest pierwiastkiem równania pierwotnego, gdyż przy x = 1
równanie to traci sens liczbowy. Jeżeli lewą stronę pierwotnego
równania skrócimy przez (x— l)2, to otrzymamy równanie x—1 = 0,
(1) O krotności pierwiastka równania patrz str. 174.
6. Porządkowanie równań algebraicznych
169
które ma ten sam pierwiastek x = 1, co równanie (x— l)3 =0, ale
o krotności mniejszej.
2° Równanie niewymierne. Jeżeli dane równanie
zawiera niewiadomą pod znakiem pierwiastka, to po sprowadaeniu
tego równania do postaci uporządkowanej P(x) = 0 może się okazać,
że pewne pierwiastki równania uporządkowanego są obce dla
pierwotnego równania. Dlatego po rozwiązaniu równania
uporządkowanego należy sprawdzić, które z jego pierwiastków są pierwiastkami
pierwotnego równania.
Przykład. W równaniu j/x+7+l ^ 2x izolujemy część
niewymierną i otrzymujemy równanie j/x+7 = 2x— 1. Podnosząc je
obustronnie do kwadratu otrzymujemy równanie uporządkowane
4x3—5x —6 = 0. Ostatnie równanie ma pierwiastki x = 2 i x = — -r,
z których pierwszy spełnia dane równanie niewymierne, a drugi jest
dla niego pierwiastkiem obcym.
Uwaga. Jeżeli równanie niewymierne yP =Q (gdzie P i Q są
wielomianami zmiennej x) podniesiemy do kwadratu, to
otrzymamy równanie wymierne P—Q3 = 0. Pisząc to równanie w postaci
\\/P— Q) (j/P+G) = 0 stwierdzamy, że jeżeli którykolwiek
pierwiastek a równania P— Q2 = 0 jest obcy dla równania ]/p = Q, to musi być
pierwiastkiem równania ]/p+ Q = 0 (tzw. równania sprzężonego).
Przykład. Równanie j/x + 7 = 2x— 1 prowadzi do równania
uporządkowanego 4x2 —5x —6 = 0. Jednym z pierwiastków tego
równania jest x == — -J-; jest to pierwiastek obcy dla równania ]/x+7 =
= 2x—1, a więc musi to być pierwiastek równania sprzężonego
]/x + 7 + 2x—1 = 0, co łatwo sprawdzić przez podstawienie.
7. Równania stopnia pierwszego, drugiego,
trzeciego i czwartego
Równanie stopnia pierwszego (liniowe) ax+b = 0. Jeżeli
a # 0, równanie ma jedno rozwiązanie x = — &/«. Gdy a = 0 i b = 0,
każda wartość x spełnia równanie. Gdy a = 0, ale b # 0, równanie
nie ma rozwiązań (jest sprzeczne).
Równanie stopnia drugiego (kwadratowe) ax*+bx+c = 0,
gdzie a # 0, lub (po podzieleniu przez a): x*+px+q = 0. Wyróżnik
równania kwadratowego: A = &s — 4ac lub ~t*= (^5-) — ?■
a. Gdy A > 0, równanie ma dwa pierwiastki

170 II. Algebra
lub
—i+i/iiF-" >--ł-Vił)'--
W tym przypadku lewą stronę równania można rozłożyć na czynniki
rzeczywiste:
ax2Ą-bxĄ-c = a(x—a) (x—£) lub x2Ą-px+q = (x—a) (x~8).
b. Gdy -d = 0, równanie ma pierwiastek dwukrotny:
a = 8=--^ lub « = £ = -f
W tym przypadku lewa strona równania kwadratowego przybiera
postać
ax2+bx+c = aix+~\ lub x&+px+q = (*+-£
c. Gdy A < 0, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki
zespolone C1):
— b+i\/4ac—b2 „ — 6 — ii/łac—b2
a = k • p"—k—'
lub
y-(*)" '-IV-W-
W tym przypadku trójmian kwadratowy axa-)-6x-l-c piszemy w postaci
skąd widać, że w nawiasie kwadratowym znajduje się liczba dodatnia,
a więc trójmian kwadratowy ma stały znak, równy znakowi
współczynnika a. Analogicanie piszemy
skąd widzimy, że trójmian ten jest stale dodatni.
Własności pierwiastków równania
kwadratowego. Zachodzą związki
a+B = , aB = —~ lub a + B*=—pt aB = q.
a a
Korzystając z tych własności można niekiedy łatwo rozwiązać
równanie kwadratowe x*+px-\-q = 0, pisząc x2+pxĄ-q = (x—a) (x— 8)
O O liczbach zespolonych patrz sir. 617.
7. Równanie stopnia drugiego 171
oraz dobierając ai^w taki sposób, żeby zachodziły związki a+B =
= -p i as = q.
Przykład. Rozwiążmy równanie x^+x—6 = 0.
Mamy a-\-p=~ 1, aB = —6, skąd a = — 3, p = 2.
Równanie stopnia trzeciego ax3+bx2+cx-\-d = Qa gdzie aź
-t 0. Dzieląc równanie przez a i podstawiając
b
otrzymujemy równanie
Cl) y,+Spy+2q^0t
gdzie
3ac-b2 . „ 26" be d
Ilość rozwiązań rzeczywistych równania (1) zależy od znaku
wyróżnika D ~ q2 -fp3.
a. Jeżeli D> 0, równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa
2espolone.
b. Jeżeli D = 0, to w przypadku gdy p = q = 0, równanie (1) ma
jeden pierwiastek trzykrotny równy 0, a w przypadku gdy p3 = — q2 ¥=
ź 0, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest
dwukrotny.
c. Jeżeli D < 0, równanie ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Rozwiązanie równań stopnia trzeciego.
Sposób 1. Rozkładamy lewą stronę na czynniki (jeśli się uda):
ax*-\-bxs-{-cx+d = a(x~a) (x—8) Ge—y),
gdzie liczby a, 8, y są pierwiastkami równania.
Przykład. x*+xs~6x = 0, x3+xz-6x = x(x+2) (*-2),
skąd otrzymujemy pierwiastki: 0, —3 i 2.
Sposób 2. Na mocy wzoru Cardana pierwiastki równania (1)
mają postać
y1 = u+v, ys = ^iU-\-ezv, ys = eS)u+Elv,
gdzie «*= ]/ — q 4- l/Ts+Ps, v~\~q — \/q%Ą-pz , a eA i £a są
pierwiastkami równania x2-)-x+l=0, tzn. et = — — -]-—iy3 , £2 =
1 i • nr
= --5—W3'
Przykłady. 1. Rozwiążmy równanie ^3 + 6^+2 = 0.
Mamytup = 2, ? = 1, D — ?a-hp8 = 9; stąd
h = |/^T+3 =|/2"= 1,2599, u = j/^T^3 =V~4 = -1,5874.

172 II. Algebra
Równanie ma pierwiastek rzeczywisty yx — u~\-v ~ —0,3275 oraz
dwa pierwiastki zespolone y2 = -~-^-(uĄ-v) +—iy 3 (u—v) —0,1638 +
+i- 2,4659, 3>3 = -^(u+v)-~iy/3'(u-v) = 0,1638-1-2,4659.
2. Rozwiążmy równanie y3— 3y+2 = 0.
Mamy tup— ~1, q = l, D=q*+ps = 0> « = j/^T = — 1,
w = ]/— 1 = — 1 i równanie ma pierwiastki y± — ~2, 3>3 = 3>3 = 1.
Uwaga. W powyższych przykładach rozwiązaliśmy równanie
stopnia trzeciego w przypadkach, gdy D > 0 lub D ~ 0. W przypadku
gdy Z>< 0, należy zamiast wzoru Cardana zastosować trzeci sposób
rozwiązania równania (1).
Sposób 3. Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, którą
wyznacza się za pomocą niżej podanej tabelki, przy czym przyjmujemy
r = vY\P\> gdzie V oznacza +1 lub —1, zgodnie ze znakiem q.
Wtedy niewiadomą pomocniczą p, a za jej pomocą również
pierwiastki yt, y2) ya, wyznacza się w zależności od znaku p oraz znaku
wyróżnika D—qa-\-p" według następującej tablicy:
p<0
q*+P* ^ 0
cos? - £
y1 = _2rcos-jC?
yt= +2rcos(60°-^)
ys = +2rcos(60°+\y)
ff»+^>0
q
COShp = —zr
r8
yl = —2rcosh-j?'
3>2 = rcoshy?7-f
+t]/3 rsinhyp
y3 =rcosh^—
—i]/3~rsinhy95
p>0
sinh^ = ^
yt = ~2rsinh-^-95
3>2 = rsinhyp-f
+:j/3~r coshy?>
3>3 = rsinh-j?'—
~ij/3~rcoshyp
Przykład. y'—93>+4 = 0; wtedy
p = -3, q=2, q*+p<0, ^
r = y/y = 1,7321, cosp = 2:3]/3 = 0,3849, f> = 67°22',
yi — —2|/3"cos 22°27' = —3,4641 0,9242 = -3,201,
ys = 2]/£cos (60° - 22°27') = 3,4641 ■ 0,7929 = 2,747,
y3 = 2]/3 cos(60°+22°27') - 3,4641-0,1314 = 0,455.
7. Równanie stopnia trzeciego 173
Sprawdzenie (patrz własności pierwiastków):
yi+yz+y>a = 0,001 zamiast 0.
Sposób 4. Rozwiązywanie w sposób przybliżony (patrz str.
180-182).
Własności pierwiastków równania ax'A-bx^A-
-fcx+i = 0, gdzie a¥=0:
b c d
*l+*8 + *a~ ——, X1Xs+XlXi + X2Xa= , X1X2X!i = .
a aa
Jeżeli d ¥= 0, to zachodzą jeszcze związki:
Xt Xu Xs d' XiX2 X&n X2«a d' *i*a*s <* "
Równanie stopnia czwartego ax4-|-&x3-!-cx2-f <&-|-e = 0, gdzie
a # 0. Równanie stopnia czwartego ma 4 pierwiastki (w tym
pierwiastków zespolonych może być 0,2 lub 4).
Jeżeli b = d= 0, mamy równanie dwukwadratowe ax* -\-cxzĄ-e = 0.
Podstawiając xz = y otrzymujemy równanie kwadratowe aya-\-cy-\-e =
= 0, z którego wyznaczamy pierwiastki y1 i yz> a następnie ze wzoru
Xs =31 obliczamy odpowiednie wartości niewiadomej x(l).
Jeżeli a = & i & = d, to otrzymujemy równanie zwrotne axi + bx3-\-
-\-cx&-{-bx-{-a = 0. Dzieląc równanie przez xs i podstawiając x H = y
otrzymujemy równanie kwadratowe ay*-\-by-\-(c— 2) ~ 0, z którego
wyznaczamy pierwiastki yt i yZ) a następnie z równań xa—^x* +1 = 0
i jc2—^aX-fl =0 znajdujemy wartości niewiadomej x (*)•
Rozwiązywanie równań stopnia czwartego
w postaci ogólnej.
Sposób 1. Rozkładamy lewą część równania na czynniki (jeśli
się uda):
ax*+bxs+cxs+dx-\- e = a(x~d) (*-/?) (*-y) (*-S),
gdaie liczby a, /3, y, 5 są pierwiastkami równania.
Przykład. x*—2x*-~xi + 2x — 0, skąd otrzymujemy ;c(x2—
— 1) (*—2) = x(*--l) (x+l)(x—2); a więc równanie ma pierwiastki:
0, 1, -1,2.
Sposób 2. Pierwiastki równania x*-\-bxa-\-cxi+dx~\-e = 0 (a = 1)
pokrywają się z pierwiastkami dwóch równań kwadratowych
C1) O obliczaniu pierwiastków kwadratowych z liczby zespolonej patrz str. 622.

174 II. Algebra
gdzie A = ±]/8j?+&2~4c , a y jest dowolnym pierwiastkiem
rzeczywistym równania sześciennego
8y*~4cy2-{-(2bd-8e)y+e(4c-b2)-d2 = 0.
Sposób 3. Rozwiązywanie w sposób przybliżony (patrz str.
180 - 182).
Równania stopnia piątego i wyższych nie mogą być w
ogólnej postaci rozwiązane za pomocą pierwiastników.
8. Równania stopnia n
Ogólne własności równań algebraicznych. Lewą stronę
równania
(1) *n+a1*"-1+...+an = 0e)
oznaczymy przez P(x); pierwiastki równania P(x) ~ 0 nazywamy
również pierwiastkami wielomianu P(x). Jeżeli a jest pierwiastkiem
równania P(x) = 0, to P(x) jest podzielne bez reszty przez x—a;
natomiast w ogólnym przypadku reszta z dzielenia wielomianu P(x)
przez x~a jest równa P(p). Jeżeli P(x) dzieli się przez (*—<*)*> ale
nie dzieli się już przez (x—a)**1, to a nazywamy k-krotnym
pierwiastkiem równania P(x) = 0; w takim przypadku a jest wspólnym
pierwiastkiem wielomianu P(x) i jego pochodnych aż do rzędu k—l
włącznie.
Podstawowe twierdzenie algebry. Każde równanie
stopnia «, którego współczynniki są liczbami rzeczywistymi lub
zespolonymi, ma n pierwiastków, jeżeli pierwiastek fc-krotny uważać
będziemy za k pierwiastków. Jeżeli pierwiastki wielomianu P(x) są
równe a3 f$, y>... i odpowiednio krotności ich są k, h m,..., to
(2) P(x) = (*-a)fc(*-0)[ (x_y)m...
Odnajdowanie pierwiastków równania P(x) — 0 można uprościć,
pozbywając się pierwiastków wielokrotnych. Osiąga się to w sposób
następujący: znajdujemy pochodną P'(x) wielomianu P(x), następnie
znajdujemy najwyższy wspólny podzielnik Q(x) wielomianów P(x)
i P/(x)) wreszcie dzielimy P(x) przez Q (a:), dzielenie to nie daje reszty,
a w ilorazie daje wielomian r(x), krórego pierwiastki są te same co
w wielomianie P(x), ale jednokrotne.
Związki między pierwiastkami równania
a jego współczynnikami. Jeżeli Xi,jc2, ...,xn stanowią
C) Jeżeli przy najwyższym wyrazie równania jest współczynnik a0 (różny od 0
i od 1), to dzieląc równanie przez aB doprowadzamy do postaci (l).
8. Równania stopnia m 175
układ wszystkich « pierwiastków równania (1), to
n
1=1
n
X1Xi+X1Xa+ ,..+Xn-iXn = £ XtX} = fla»
i, HI
n
XiXsXa+X1X%xi+ ...-ł-Xn-2Xn-i.Xn = J? XiXjXh = — «3>
i,j,k= 1
(t<j<ft)
*!Ka... *»=*(--l)"a«.
Równanie o współczynnikach rzeczywistych. Pierwiastki
zespolone równania (1) ° współczynnikach rzeczywistych muszą być
parami sprzężone (*), tzn. jeżeli takie równanie ma pierwiastek a —
= a+bi, to ma ono także pierwiastek 0 = a—bi i to o tej samej
krotności. Wówczas mamy
(3) (x-a)(x-p) = x*+px+g,
gdzie p = — (a+P) = —2a, q=a{l = aa+&2, z czego wynika, że
-W
g<0.
Jeżeli wielomian P(x) ma pierwiastki rzeczywiste ax o krotności
&i,aa o krotności fc2,...oraz pierwiastki zespolone parami sprzężone
A i 01 o krotności l1} 03 i 0% o krotności /2,...,to wielomian ten można
rozłożyć na czynniki:
(4) P(x) = (x-a1)kl(X-aa)h..Xxz+p1x+qyi (x'+ptf+qj,....
gdzie trójmiany kwadratowe mają wyróżniki ujemne i dają się rozłożyć
na czynniki liniowe.
Ilość pierwiastków równania o
współczynnikach rzeczywistych. Twierdzenie Sturm a.
Z powyższych rozważań wynika, że każde równanie stopnia
nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej jeden
pierwiastek rzeczywisty.
Ilość pierwiastków rzeczywistych równania P(x) — 0 zawartych
pomiędzy dowolnymi liczbami a i b (a < b), które nie są
pierwiastkami tego równania, może być dokładnie wyznaczona w następujący
sposób:
t1) O liczbach zespolonych sprzężonych patrz str, 617.

176
II. Algebra
1° Pozbywamy się wielokrotnych pierwiastków równania P(x) = 0,
tzn. znajdujemy równanie mające te same pierwiastki, ale
jednokrotne (•). Dalej zakładamy, że równanie P(x) = 0 nie ma pierwiastków
wielokrotnych.
2° Zestawiamy ciąg funkcji Sturma
P{x), P,(x), !>,(*), P3(x)> ..., Pm = const,
gdzie P'ix) jest pochodną wielomianu P(x), i\00 jest resztą z
dzielenia P(x) przez P'(x) wziętą ze znakiem przeciwnym, Pt(x) jest
resztą z dzielenia P'(x) przez Pi(x) wziętą ze znakiem przeciwnym,
itd. Wreszcie Pm jest ostatnią resztą w ciągu daieleń, równą pewnej
stałej. (Dla uproszczenia obliczeń każdą z odnalezionych reszt można
pomnożyć przez dowolne liczby dodatnie, a nie zmieni to wyniku).
3° Oblicza się ilość A zmian znaków (tzn. przejść od ,, + " do ,, — "
i na odwrót) w ciągu liczbowym
P(a)t P'(a), Ą(<z), Ą(a), ..., Pm
oraz ilość B zmian znaków w ciągu liczbowym
P(b), P'(b), P1{b)> Ą(6) ,..., Pm,
przy czym jeżeli któraś z liczb w tych ciągach jest zerem, to nie bierze
się jej pod uwagę.
Różnica A — B równa się poszukiwanej ilości pierwiastków
rzeczywistych równania P{x) = 0 w przedziale (a, b) (twierdzenie Sturma),
Przykład. Obliczmy ilość pierwiastków rzeczywistych
równania x*—5x2 + 8x— 8 = 0 zawartych między liczbami 0 i 2.
Obliczenie funkcji Sturma daje P(x) = x*—5x2-\-8x-8, P'(x) =
= 4*!-10;e+8, Ą(*) = 5x*~ 12x + 16, Ą(*) = -3x+284, Pt= -1.
Podstawienie x = 0 daje ciąg liczb: —8, +8, +16, +284, — 1 (dwie
zmiany), a podstawienie x = 2 daje: +4, +20, +12, +278, —1
(jedna zmiana). A~B = 2 — 1 = 1, a więc między liczbzmi 0 i 2 leży
jeden pierwiastek.
Reguła Kartezjusza. Ilość dodatnich pierwiastków
równania P(x) = 0 jest nie większa od ilości zmian znaków w ciągu
współczynników wielomianu P(x) i może różnić się od niego o pewną liczbę
parzystą.
Przykład. Rozpatrzmy równanie x*+2x3 — x3+5x— 1 = 0.
Kolejne współczynniki tego równania mają znaki: +, +, —, +,
—, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza
równanie to ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ
przy zastąpieniu x przez — x pierwiastki równania zmieniają znaki,
O Sposób otrzymywania takiego równania podany jest wyżej. W praktyce można
nie pozbywać się pierwiastków wielokrotnych danego równania P(x) = 0, ale od razu
tworzyć ciąg funkcji Sturma. Jeżeli ostatnia reszta Pm nie jest liczbą stalą, to P(x)
ma pierwiastki wielokrotne i należy ich się pozbyć.
8. Równania stopnia n
177
a przy zastąpieniu x przez x+k pierwiastki zmniejszają się o h, to
za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować ilość
pierwiastków ujemnych, a także ilość pierwiastków większych od A. W
naszym przykładzie zastąpienie x przez — x daje xA — 2x3~~x2 — 5x— 1 = 0,
tzn. równanie ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie x przez
x + l daje xi+6x3+llx^ + 13x + 6 = 0, skąd wniosek, że dane
równanie nie ma pierwiastków większych od 1.
Rozwiązywanie równań stopnia «, gdy «>4, w ogólnym
przypadku może być dokonane tylko w przybliżeniu; w praktyce
przybliżone metody stosuje się również przy rozwiązywaniu równań
stopnia trzeciego, a w szczególności czwartego. Aby obliczyć poszczególne
pierwiastki rzeczywiste równania algebraicznego, można z
powodzeniem zastosować ogólne metody przybliżonych rozwiązań równań
przestępnych (patrz str. 180- 182).
9. Równania przestępne
Określenie. Równanie F(x) — f(x) nazywamy równaniem
przestępnym, jeżeli przynajmniej jedna z funkcji F(jx) lub f{x) nie jest
algebraiczna.
Przykłady. 1. 3* = 4*-2-2*, 2. 2*-1 = 8*-2-4*-2,
3. 2log5(3a:-l)-log6(12*+l) = 0, 4. sin* = cos2x- T,
5. 3coshx = sinh# + 9, 6. xcosx = sin*.
W niektórych przypadkach rozwiązywanie równań przestępnych
sprowadza się do równań algebraicznych, przy czym stosuje się
tablice, na ogół zaś równania przestępne mogą być rozwiązane tylko
w przybliżeniu.
Niektóre przypadki równań przestępnych sprowadzających
się do równań algebraicznych.
Równania wykładnicze. Równaniem wykładniczym
nazywamy równanie, w którym niewiadoma x lub wielomian P{x)
występuje tylko w wykładnikach potęg o danych podstawach. Takie
równania sprowadzają się do równań algebraicznych w następujących
przypadkach:
1° Jeżeli na potęgach a^iOO, fr^aOO, ...nie wykonuje się dodawania
i odejmowania, to równanie należy logarytmować przy dowolnej
podstawie dodatniej, różnej od 1.
Przykład. Rozpatrzmy równanie 3X = ty-* 2X.
Logarytmujemy xlog3 = (x—2)log4+xlog2. Ale log4 = 21og2,
więc mamy xlog3= (3x—4) log 2, skąd
_ 4 log 2
X ~ 31og2-log3 "

178 II. Algebra
2° Jeżeli a,b,c, ...są potęgami tej samej liczby ko wykładnikach
całkowitych lub ułamkowych (np. a = ka, 6 — &", c = k7,...), to
podstawiając kx = y otrzymujemy w niektórych przypadkach
równanie algebraiczne względem ^ i po rozwiązaniu tego równania obli-
log^>
czarny x = -:—r.
logA
Przykład. Rozpatrzmy równanie 2X~1 = sx~2—4*-a.
2* 2s* 2ix
Przekształcamy —- — —, -—-; podstawiając 2X = v otrzymu-
2 04 lo
jemy y3—Ąy2~32y = O, skąd ,y = 8, —4 lub 0. Mamy więc
równania 2X = 8) 2X = — 4 i 2^ = 0; spośród nich pierwsze równanie daje
x = 3 i innych rozwiązań rzeczywistych nie ma.
Równania logarytmiczne. Równaniem
logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma x występuje tylko
pod znakiem logarytmów o danych podstawach. Takie równania
sprowadzają się do równań algebraicznych w następujących przypadkach:
1° Jeśli w poszczególnych wyrazach równania występuje logarytm
jednego tylko wyrażenia przy tej samej podstawie, to przyjmując ten
logarytm za nową niewiadomą rozwiązujemy otrzymane równanie
algebraiczne, a następnie delogarytmując to rozwiązanie obliczamy
pierwotną niewiadomą.
Przykład. Rozpatrzmy równanie [log3(.x —3)]2+log1!(.x:—3) = 6.
Podstawienie log2(.x —3) — y prowadzi do równania y*+y — 6 = 0,
skąd y = —3 lub y = 2. Z równania log2(;t—3) = —3 otrzymujemy
x—3 =■ 2~a, skąd x = 3^-, a z równania log2(x—3) — 2 otrzymujemy
x-3 = 2*, skąd x = 7.
Uwaga. Jeżeli w równaniu występują logarytmy jednego tylko
wyrażenia, ale przy różnych podstawach, to sprowadzamy te logarytmy
do jednej podstawy i dalej postępujemy jak poprzednio.
Przykład. Rozpatrzmy równanie
lo&(*-l)+logl(*~l) + logl(a:-l) = l.
Ponieważ logea = ^log2a i log4a = ^-logaa, przeto dane równanie
można napisać w postaciylog2(.x— l) + -jlog2(.x— l)+log2(;t — 1) = 1,
skąd loga(;t-i) = ^-, a więc x=2"ll + l ='v/64+l.
2° Jeżeli równanie ma postać
m1\ogaPl(x) + mzlogaPt(x)+,.. = 0,
9. Równania przestępne 179
gdzie mj,ma,...są liczbami całkowitymi, a P1(x),P2(x)i.,.są
wielomianami zmiennej x, to delogarytmowanie daje równanie algebraiczne
postaci iPt(x)]>"iiP2(x)ynit... = 1, z którego wyznaczamy x.
Przykład. Rozpatrzmy równanie 21oga(3x— 1) — logB(12x+l) = 0.
Delogarytmowanie daje równanie -.—■■. = lj skąd x =0 lub
x=2. Ale przy podstawieniu x = 0 wyrażenie log5(3;t—1) nie ma
sensu liczbowego w dziedzinie liczb rzeczywistych. Należy więc
odrzucić rozwiązanie x = 0 i zostaje tylko x = 2.
Równania trygonometryczne. Równaniem
trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma x lub
dwumian mx+a (gdzie m jest liczbą całkowitą różną od 0) występuje tylko
pod znakami funkcji trygonometrycznych. Wówczas posługując się
wzorami trygonometrycznymi sprowadzamy wyrażenie do jednej tylko
jakiejkolwiek funkcji niewiadomej x i, wyrażając tę funkcję przez y,
otrzymujemy równanie algebraiczne. Po rozwiązaniu wyznaczamy x
na ogół przy użyciu tablic; należy przy tym mieć na uwadze, że
rozwiązania mogą mieć postać jednej lub kilku serii okresowych.
Przykład. Rozpatrzmy równanie sin* = cosax— -j.
Podstawiając sin* = y otrzymujemy ys+y —-r = 0, skąd y = -^
3 . 3
lub y = — y. Rozwiązanie y — —-— należy odrzucić, gdyż sinw nie
może być równy — —. Rozwiązanie v «= -=■ daje x = ~it+2kn lub
x = —n + 2&n, gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowitą.
Równania z funkcjami hiperboli czn y mi.
Równania te rozwiązuje się wyrażając funkcje łuperboliczne niewiadomej x
przez ex i e~x> a następnie podstawiając e? = y i e~x ~ — . Wartość
x = ln^i wyznacza się przy użyciu tablic.
Przykład. Rozpatrzmy równanie 3coshx = sinhx+9.
3 fg% _i_ e~x~) ex e~x
Mamy -^-? = -—= h 9, ex+2e~x~9 = 0. Podstawiając
Z* Zt
1 9+1/73
ex =y i e~x = — otrzymujemy yz — 9y+2 — 0, skąd y — ——" ■ - *»
*« 8,772 lub y = -~— *«0,228 i ostatecznie x = ln8,772*« 2,1716
lub x =* ln0,228 =* -1,4784.

180
II. Algebra
Przybliżone rozwiązywanie równań. Podane tu metody
przybliżonego rozwiązywania równań odnoszą się zarówno do równań
algebraicznych, jak i do przestępnych. Proces obliczania pierwiastków
składa się z dwóch części:
1° odnalezienie z grubsza
przybliżonej wartości
pierwiastków i 2° uściślenie
odnalezionych przybliżeń.
Oszacowanie
pierwiastków z grubsza.
Jeżeli f(x) jest funkcją
ciągłą «, a f(a) i f(b) mają
znaki różne, to między a
i b leży przynajmniej jeden
pierwiastek równania f(x) —
= 0. Biorąc różne wartości
a i b można zawsze
otrzymać wystarczająco wąski
przedział, w którym leżeć
będzie tylko jeden
pierwiastek rozpatrywanego
równania. Metodę graficzną
stosuje się, jeżeli równanie
można przedstawić w postaci ^(ac) =pa(x),przy czym wykresy funkq'i
•PiOd i 9t(x) mogą być łatwo sporządaone. Wtedy pierwiastki
równania są równe odciętym punktów przecięcia krzywych _y=c>i(*)
i_y = pa(x).
Przykład. Pierwiastki równania xcosx = sinx (z wyjątkiem
pierwiastka oczywistego x = 0) są bliskie wartości — (2&-fl)jc (gdzie
£=±1, ±2,...), ponieważ równanie to można napisać w postaci
x — tgx, i pierwiastki jego odpowiadać będą punktom przecięcia
prostej y= x i tangensoidy y = tgx (rys. 74).
Metody uściślenia przybliżeń. 1. Metoda
Newtona. Jeżeli x9 jest przybliżoną wartością pierwiastka a równania
f(x) = 0, to za przybliżenie dokładniejsze przyjmuje się
Xl~ ° fW
Zastępując x0 przez xy można otrzymać następujące przybliżenie x2 itd.
Algorytm kolejnych przybliżeń jest zawsze zbieżny, jeżeli pierwiastek
a jest jednokrotny, tzn. jeżeli f'(a) # 0, i pierwsze przybliżenie wzięte
Rys. 74
C1) O ciągłości funkcji patrz str. 362.
9. Równania przestępne
181
jest z wystarczającą dokładnością. Tak więc pierwiastek można
obliczyć z dowolnym stopniem dokładności.
Przykład — patrz niżej.
2. Interpolacja liniowa (reguła falsi, czyli reguła fałszywego
założenia). Jeżeli pierwiastek a równania f(x) = 0 leży w przedziale
a < x < b, to za przybliżoną wartość pierwiastka można przyjąć
Jeżeli f"(x) w przedziale (a, b) ma stały znak, to wartości
przybliżone otrzymane według tej metody i według metody Newtona będą
położone po różnych stronach
pierwiastka, przy czym w metodzie
Newtona należy za Xo wziąć tę z liczb a i 6,
dla której /(*«)/"(*o)>0 Dlatego też
równoległe stosowanie obu metod
pozwoli ocenić osiągniętą dokładność.
W interpretacji geometrycznej
metoda Newtona oznacza zastępowanie
wykresu funkcji f(x) styczną do niego
w punkcie *0, a metoda interpolacji
liniowej—cięciwą łączącą punkty (a,
/(a)) i (b,f(b)) (rys. 75).
Przykład — patrz niżej.
3. Metoda iteracji. Rozważane
równanie sprowadzamy do postaci x =
= <p(x) i mając pierwsze przybliżenie pierwiastka x0 obliczamy jak
najbardziej dokładne przybliżenie pierwiastka xl3 posługując się
wzorem xx = tp(x0), potem znajdujemy jeszcze lepsze przybliżenie xv
posługując się wzorem xs = »p(xl) itd. Powtarzając ten proces, czyli
iterując go kilka razy, można otrzymać wartość pierwiastka w
dowolnym stopniu dokładności, jeżeli w przedziale między pierwiastkiem
równania i pierwszym przybliżeniem zachodzi nierówność \y'(x)\ < 1.
Jeżeli zaś warunek ten nie jest spełniony, to równanie należy
przekształcić (chociażby za pomocą przejścia do funkcji odwrotnej). Na
przykład metoda iteracji nie może być zastosowana do równania
x = tgx, ale nadaje się do rozwiązania równania x = arctgx.
Jeżeli <p'(x) < 0, to dwie kolejne wartości przybliżone pierwiastka
otrzymane za pomocą iteracji są na przemian to większe, to mniejsze
od pierwiastka równania, co pozwala na oszacowanie osiągniętego
stopnia dokładności.
Przykład. Znajdźmy najmniejszy dodatni pierwiastek
równania sinx—*cos* = 0.
Rys. 75

182 II. Algebra
Zamieniając to równanie na równoważne mu x = tgx znajdujemy
graficznie, że (patrz str. 180) szukany pierwiastek jest bliski liczby
■j n ~ 4,71... Dokładniejszą wartość odnajdujemy za pomocą
kolejnych przybliżeń:
a. Metodą Newtona oraz interpolacji liniowej: dla funkcji
f(x) = sin#—xcosx
amay f\x) = xsinx. Podstawiając x0 — tu otrzymujemy
f(x0) = -1, /'(*„) = - 4,71 i Xl - 4,71 ~ 4^1 = 4,50.
Ponieważ wartość /(*x) = —0,029 ma taki sam znak, co i f(x0)i
interpolacji liniowej zastosować nie można. Obliczenie wykazuje, źe
/(4,45) = 0,189, a więc szukany pierwiastek leży pomiędzy 4,45
a 4,50. Stosując interpolację liniową otrzymujemy następujące
przybliżenie:
— 0 029
* - 4'5°- ^s>ra» (4'50-4-45) -4'4930-
Obliczenie według wzoru Newtona następnego po xt przybliżenia —
przy uwzględnieniu faktu, że znak/"(»i) jest taki sam jak znakfCx,) —
daje
— 0 029
x. - 4,50 £^ = 4,4934.
* ' -4,399
Ponieważ przybliżenia wedhig metody Newtona i metody
interpolacji liniowej leżą po różnych stronach pierwiastka, błąd
przybliżenia x2 nie przekracza 0,0004.
b. Metodą iteracji: równanie x = tgx nie nadaje się do iteracji,
gdyż (tg*)'= H-tg**> 1; zastępując funkcję tgx jej funkcją
odwrotną otrzymujemy równanie x = arctgx, które można iterować.
Biorąc x0 = 4,7 znajdujemy kolejno:
Xi = arctg#0 = arctg 4,7 = arc 258° = 4,503,
x2 = arctg*! = arctg 4,503 = arc 257°29' = 4,4942,
*3 = arctgxa - arctg 4,4942 = arc 257°27,3' = 4,4934,
*, = arctgx3 = arctg 4,4934 = arc 257°27,2' = 4,4934 C1).
Jest oczywiste, że można uważać wszystkie cyfry liczby xt za
dokładne.
(l) Przez arc 257°27,2' oznaczamy Miarę łukową kąta 25T27,T. Podobnie
piszemy: 1 - arc 180°/n. {Przypisek tłumacza).
10. Wyznaczniki 183
10. Wyznaczniki
Określenie. Wyznacznikiem stopnia n nazywamy tablicę
kwadratową utworzoną z na liczb aij zwanych elementami wyznacznika
i rozmieszczonych w n wierszach oraz n kolumnach:
an a12 ... am
fi\ dn a22 ... flan
ani #na • ■ • &nn
Pierwszy wskaźnik i elementu atj wskazuje, w którym wierszu
wyznacznika znajduje się ten element licząc od góry, a drugi
wskaźnik j wskazuje, w której kolumnie leży dany element licząc od strony
lewej; krótko: i jest to numer wiersza, aj jest to numer kolumny.
Wyznacznik (bez oznaczenia jego stopnia) piszemy niekiedy w postaci
det \au\, i = 1,2,...,», 7 = 1,2, ...,w,
gdzie symbol det jest skrótem francuskiego słowa determinant =
wyznacznik, albo nawet jeszcze krócej:
Iflol.
Wyznacznikowi (1) przypisujemy wartość liczbową D obliczoną
według następującego wzoru:
^11 aU • ■ • ava
Oni Ona ••• ann
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie możliwe permutacje a,
P*...tV liczb 1,2,...,« C1)- Znsk ,,+ " lub „—" przed każdym
składnikiem rozwinięcia wyznacznika jest zgodny ze znakiem (— l)fc,
gdzie k wyraża ilość inwersji (nieporządków) w danej permutacji
a, /J,..., v. Na przykład składnik ai3a2iaMo« w wyznaczniku stopnia
czwartego ma znak minus, ponieważ permutacja drugich wskaźników
3,1, 4, 2 ma trzy inwersje: (3,1) (3,2) i (4,2), a więc fe = 3 i ( -1 )3 = — 1.
Minorem elementu an wyznacznika stopnia n nazywamy
wyznacznik stopnia w—1 utworzony z danego wyznacznika przez skreślenie
wiersza i oraz kolumny j. Dopełnieniem algebraicznym Aij elementu aij
danego wyznacznika nazywamy jego minor opatrzony znakiem plus
= £(—l)kaiaa2p...anVi
C1) Ilość takich permutacji wynosi k!. O permutacjach patrz str. 205.

184 II. Algebra
lub minus, zależnie od tego, jaką wartość ma wyrażenie (,— l)i+},
mianowicie:
>+J
"u.
«fl —
"ni-
.«!/. . .<Jln
-Oij- a'«
. Cnj. . - a«n
au
ai-i,i -
*W+l, i
ani
.. auj-i
- «n,j-l
«i,/+t
ai+l,)+l
an>li-l
- «in
.. ann
Kombinacją liniową kilku wierszy wyznacznika stopnia n nazywamy
wiersz 7t!,a2> ••■lOn o elementach utworzonych przez jednakowe
kombinacje liniowe. Na przykład kombinacją liniową trzech wierszy
o wskaźnikach i,j, k jest wiersz ccnOn, ...,dna elementach
utworzonych w sposób następujący:
ax = aaii+paji+ya&i,
az ~ a.ai2 + pa]2 +ya&2>
an = atlin + fiajn. + yUjcn)
gdzie a, /J, y są współczynnikami danej kombinacji liniowej.
To samo dotyczy kolumn; na przykład kombinacją liniową trzech
kolumn o wskaźnikach i,/, k (drugie wskaźniki wyrazów) jest kolumna
o elementach:
a\ = an-ł-au +ajk,
a\ ^a2i+a2j+a2k,
a'n = &ni -f On] + Ctnk.
Własności wyznaczników.
1. Wyznacznik nie zmienia swojej wartości, gdy zastąpimy wiersze
kolumnami, a kolumny wierszami (dlatego wszystkie podane poniżej
własności dotyczące wierszy wyznacznika odnoszą się także do kolumn).
2. Jeżeli elementy dwóch wierszy wyznacznika są równe lub
proporcjonalne albo jeżeli którykolwiek wiersz jest kombinacją liniową
kilku wierszy, to wyznacznik jest równy zeru; to samo dotyczy kolumn.
10. Wyznaczniki
185
3. Wspólny czynnik wszystkich elementów któregokolwiek wiersza
(.lub którejkolwiek kolumny) wyznacznika można wynieść poza
wyznacznik.
4. Jeżeli dwa wyznaczniki stopnia n różnią się tylko elementami
i-tego wiersza, to sumą takich wyznaczników nazywamy wyznacznik,
którego i-ty wiersz składa się z sum odpowiednich elementów i-tego
wiersza w każdym z danych wyznaczników, a elementy pozostałych
wierszy są te same co w pozostałych wyznacznikach; to samo dotyczy
kolumn.
Przykład. Mamy
13 2 4
2 0 10
3 2 11
0 12 3
+
13 2 4
2 0 10
5 7 0 2
0 12 3
=
13 2 4
2 0 10
8 9 13
0 12 3
5. Dodając do dowolnego wiersza odpowiednie elementy innego
wiersza ze znakiem plus lub minus lub kombinacje liniowe elementów
innych wierszy i zachowując pozostałe wiersze bez zmiany nie
zmieniamy wartości wyznacznika; to samo dotyczy kolumn.
Przykład. Mamy
0 12 3
3 0 12
2 3 0 1
12 3 0
6 6 6 6
3 0 12
2 3 0 1
12 3 0
6. Wyznacznik stopnia n można rozłożyć według elementów i-tego
wiersza zgodnie ze wzorem
D = aiiAii-ł-ai2Ant+ ... +aiaAtn,
gdzie Aij jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij. Można też
dokonać rozkładu wyznacznika według elementów /-tej kolumny.
D = aijAi]+a2jA2j+ ... +anjAnj.
7. Jeżeli każdy z elementów /-tego wiersza wyznacznika stopnia n
pomnożymy przez dopełnienie algebraiczne odpowiedniego
elementu innego wiersza i otrzymane ilorazy dodamy, to w sumie otrzymamy
zero. Na przykład jeżeli i źj, to
oiiAji + atsAji+ ... +atnA]n = 0.
(Podobna własność zachodzi dla kolumn).

186
H. Algebra
Wynika stąd, że
Obliczanie wyznaczników. Wyznacznik stopnia drugiego
oblicza się według schematu:
II ,"12
= 1llaS2~ al2flM
Wyznacznik stopnia trzeciego oblicza się według reguły Sarrusa
(dopisuje się pierwsze dwie kolumny):
:xxk
/
Pu
iia aM = a1ia22a33+all!a23a31+alsa21a32—
—a13a22aai—^uflas^aa—aiaflai"^.
Przy obliczaniu wyznacznika stopnia n sprowadza się zadanie do
wyznaczników stopnia n— 1 stosując własność 6; uprzednio jednak
przekształca się wyznacznik posługując się poprzednimi własnościami
tak, aby sprowadzić do zera możliwie największą ilość elementów.
Przykład. Mamy
|2 9 9 4
D
2 -3
4 8
12 8
3 -5
6 4
2 5 9 4
2 -7 12 8
4 0 3-5
10 6 4
(własność 5)
= 3
2 5
2 -7
4 0
1 0
= 3-5
2 4
4 1
1 2
8
-5
4
-7
2 3
4 1
1 2
4
-5
4
-5 I +ol = 0-21
3 4
4 8
1 -5
2 4
(własność 3)
2 3 4
4 1 -5
1 2 4
= -21
(własność 6)
1 1 0
(własność 2)
~"{|i
-5
2 4
4 -5
1 4
4 1 -5
1 2 4.
(własność 5) (własność 6)
= -21{(4+10)-(16 + 5)}= +147.
}-
II. Rozwiązywanie układu równań liniowych
11. Rozwiązywanie układu równań liniowych
187
Przypadek, gdy liczba niewiadomych jest równa liczbie
równań.
(*)
Kanoniczny układ równań Kniowyck ma postać
aII*l + l3i2JC2+ •■• +ainXn = bl3
aai*i+a2aa:a+ ••• + flan#« = b2,
aniXi+an2X2+ ... +annXn = bn.
Wyznacznikiem danego układu równań nazywamy wyznacznik
D =
a-ii a12 ... am
a%i a22 •.. a^n
fl«i am .. ■ aan
natomiast symbolem Dj oznaczać będziemy wyznacznik, który
powstaje z wyznacznika D przez zastąpienie /-tej kolumny (zawierającej
współczynniki au, a2j,.,., a^) kolumną wolnych wyrazów danego
układu równań (czyli liczbami bi, bs,..., K). Na przykład dla / = 2
mamy
Gil bi ... Din
a2J b2 ■ ■ • #2ra
D* =
Oral bit •■. ann
Układ równań (*) nazywamy jednorodnym, jeżeli wszystkie wyrazy
wolne bk są równe zeru (a zatem wszystkie wyznaczniki Dj są równe
zeru)) natomiast układ równań jest niejednorodny, jeżeli chociaż
jedna z liczb bk różni się od zera.
Rozwiązywanie układu równań (*). Jeżeli
wyznacznik układu D # Oj to dany układ równań jest oznaczony, to znaczy
ma jedno rozwiązanie; zespół liczb xlsx2, ...,xa stanowiących
rozwiązanie układu równań wyznacza się za pomocą wzorów Cramera
*i =
D
Pi
D
Xn =
D
Jeżeli D =■ 0, ale nie wszystkie wyznaczniki Dj są równe zerus
to układ (*) jest sprzeczny, to znaczy nie ma ani jednego
rozwiązania. (Dla układu jednorodnego przypadek taki zajść nie może).
Przypadek, gdy D = 0 i wszystkie wyznaczniki D) są równe

188
II. Algebra
zeru, zostanie rozważony poniżej (patrz przypadek ogólny, przykład 4
na str. 192 i przykład 2 na str. 194).
Przykłady. 1. Rozwiążmy układ równań
2x+ y+3z = 9,
x—2y+ z = —2,
3x+2y+2z = 7.
Mamy D =
D,
=
2 1
3
1 -2 1
3 2 2
9 1 3
-2 -2 1
7 2 2
— 13 oraz
= -13, D» =
Dz =
2 1 9
1 -2 -2
3 2 7
2
1
3
-39,
9
-2
7
3
1
2
= 26,
skąd
D* 13
(układ jest oznaczony).
2. Dla układu równań
D» 26
Dz „
39
13
2x+3.y—2 = 1,
x— y+z ~ 2,
3x+2.y = 5,
mamy
D
= 0,
więc układ równań jest sprzeczny.
3 -1
-1 1
2 0
D* =
1 3-1
2 -1 1
5 2 0
-4,
Macierz, rząd macierzy. Układ mn liczb ułożonych w
prostokątną tablicę z m wierszy i n kolumn nazywamy macierzą; macierz
oznaczamy
a21 a22 ... tJsra
[A] =
Oml Gmz flmn_
Minorem stopnia k macierzy [A](k ^ m i k^n) nazywamy
wyznacznik D składający się (z zachowaniem kolejności) z k* elementów
11. Rozwiązywanie układu równań liniowych
189
macierzy leżących na przecięciu wybranych jej k kolumn i k wierszy
(patrz schemat):
l*>
1 •
*
*
•
•
, ■ 1
D =
(minor stopnia trzeciego).
Rzędem macierzy [A] nazywamy największy stopień jej minorów
różnych od zera. Aby wyznaczyć stopień macierzy, należy rozpatrzyć
wszystkie jej minory stopnia /, gdzie / jest liczbą mniejszą z liczb
m i n (lub / = m = n w przypadku równości liczb m i ti); jeżeli
przynajmniej jeden z tych minorów nie równa się zeru, to rząd [A] jest
równy /, a jeżeli wszystkie te minory są równe zeru, to należy zbadać
wszystkie minory stopnia 7—1 itd. W praktyce bardziej celowe jest
postępowanie odwrotne, mianowicie: przechodzić od minorów
niższego stopnia do minorów stopnia wyższego posługując się
następującą regułą:
Jeżeli znajdziemy jakiś minor Dk stopnia k różny od zera, to dalej
wystarczy zbadać wyznaczniki stopnia k + 1 zawierające te rzędy
i te kolumny danej macierzy, na przecięciu których znajdują się
liczby tworzące wyznacznik Ź># (a ponadto w każdym z badanych
wyznaczników stopnia k+1 powinien oczywiście znaleźć się jeszcze
jeden wiersz i jeszcze jedna kolumna danej macierzy); jeżeli
wszystkie takie minory rzędu k+l są równe zeru, to rząd macierzy jest
równy k.
Przykład. Rozważmy macierz
\A[ =
Minor stopnia drugiego stojący w lewym górnym rogu jest równy
|2 -4
zeru:
2 -4
1 -2
0 1
4 -7
3
1
-1
4
1
-4
3
-4
0
2
1
5
, » I = 0- ^te w macierzy [^4] znajduje się minor stopnia
drugiego nie równy zeru: D2 — ~. . - # 0. Utwórzmy minor

190
II. Algebra
stopnia trzeciego dołączając wyrazy z trzeciego wiersza i z pierwszej
kolumny danej macierzy; otrzymamy minor
2-4 3
D3= 1 -2 1 = 1 # 0.
0 1 -1
Teraz utwórzmy minor stopnia czwartego dołączając wyrazy z
czwartego wiersza i z czwartej lub piątej kolumny danej macierzy;
otrzymamy dwa minory równe zeru:
= 0,
Ogólny przypadek układu równań liniowych.
Równania niejednorodne. Układ równań liniowych
^4 =
a więc rz
2-431
1-2 1-4
0 1-13
4-7 4-4
ąd macierzy [A]
= 0, D', =
jest równy 3.
2 -4
1 -2
0 1
4 -7
3
1
-1
4
0
2
1
5
niejednorodnych
(**)
021*1~H *Z22*2_
... -\-amXn = b13
... -\-at_nXn = b2,
Oml%l-\-QmzX2 -\~ ... -\-3mnXn — t>n
jest niesprzeczny, jeżeli istnieje przynajmniej jeden zespół wartości
{a1,a2) ...,a„} spełniających wszystkie dane równania (*); natomiast
układ ten jest sprzeczny, jeżeli nie ma ani jednego takiego rozwiązania.
Cecha niesprzecznoSci układu równań: układ równań (**) jest
niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy
{A-] =
jest równy rzędowi macierz
y
'a
a
J*
on ai2 ... %
a2i a22 •• - am
am\ "ma • • • amn__
rozszerzonej
n U12 ... Ujn &i
al O22 • •• fla" O2
ml flma • • • Omn Om_
(l) Symbolem {«lt 03,..., an} oznaczać będziemy w przyszłości rozwiązanie danego
układu równań w postaci xj = alt xz = aai —> Xn °*° a»-
11. Rozwiązywanie układu równań liniowych
191
Niesprzeczny układ równań nazywamy oznaczonym, jeżeli ma tylko
jedno rozwiązanie, a nieoznaczonym, jeżeli rozwiązań jest nieskończenie
wiele.
Niesprzeczny układ równań (**) rozwiązuje się w następujący
sposób: Obliczamy rząd r macierzy [A]. Zmieniamy porządek
równań (**)j a w równaniach przestawiamy niewiadome Xi> #2,..., xn
w taki sposóbj żeby w lewym górnym rogu macierzy znalazł się minor
stopnia r, różny od zera. Mogą przy tym zajść dwa przypadki:
1° r = n, r =S m. Rozwiązując układ pierwszych « równań z n
niewiadomymi otrzymujemy jedynie rozwiązanie {als a2,..., a„},
ponieważ wyznacznik tego układu nie równa się zeru (patrz str. 187).
Jeżeli n < m, wtedy to samo rozwiązanie spełnia również m — n
pozostałych równań, które wynikają z pierwszych. Układ (**) jest
oznaczony.
2° r < n, r<w. Rozwiązujemy układ pierwszych r równań
względem pierwszych r niewiadomych xY, xit..., xr, wyrażając te
niewiadome przez n—r pozostałych niewiadomych Xr+i> *r+2, ...j xa.
Otrzymujemy rozwiązanie w postaci zespołu funkcji liniowych:
#1 ~ *l(#r+i) Xr+z, ..., Xn) ,
,,\ X% =* Xi(Xr+i) %r+sj ...,Xn),
Xr — Xr(xr+i, Xr+.2> -•-!#») »
ponieważ wyznacznik układu równań nie równa się zeru.
Niewiadomym Xr+i,xr+2, ...,xn można nadać dowolne wartości; wtedy
niewiadome xi, X2, ...j xT wyznacza się według wzorów (1), Te same
rozwiązania spełnia również m — r pozostałych równań (jeżeli r < m),
które wynikają z pierwszych. Układ równań (**) jest nieoznaczony.
Przykłady. 1. Rozpatrzmy układ równań
x-2y-\-3z- u+2v — 2,
3x-~ y + 5z—3u— v = 6,
2x+ y+2z-2u~3v = 8.
Rząd macierzy [A] równa się 2, rząd macierzy [S] równa się 3.
Układ równań jest sprzeczny, rozwiązań nie ma.
2. Dla układu równań
x- y + 2z = 1,
x—2y— z = 2,
ix— y + 5z = 3,
-2x+2y-\-3z = -4
rząd macierzy [A] i rząd macierzy [fi] są równe 3; układ równań jest
niesprzeczny. Wyznacznik stopnia trzeciego w lewym górnym rogu

192 n- Algebra
^ 0; nie zachodzi więc potrzeba zmiany porządku
1 -1 2
D - 1-2-1
3-1 5
równań i przestawiania niewiadomych, r = n, więc układ równań
jest oznaczony. Rozwiązujemy układ pierwszych trzech równań:
x = — , y = ~\ > z = — y > t0 sam0 rozwiązanie spełnia również
czwarte równanie.
3. Dla układu równań
x—y+ a— w = 1,
x—y — z+ u = 0,
x-jy-2z + 2w = -1
rząd macierzy |>4] i rząd macierzy [flj są równe 2, więc układ równań
jest niesprzeczny. r <«, więc układ równań jest nieoznaczony.
Wyznacznik stopnia drugiego w lewym górnym rogu Z>2 — 0 ;
przestawiamy kolumnę z x na czwarte miejsce:
— J»-f 2— U + X = 1,
—Jł— 3+ «+X = 0,
-v-2z+2u+x = —-j-.
Rozwiązujemy układ pierwszych dwóch równań względem
niewiadomych y i 2: ,
—3>—2 = — x—u.
Rozwiązania y = x— -^ , s ■= «+-^ speh"3^ wszystkie równania przy
dowolnych wartościach x i ».
4. W przypadku układu równań
x-\-2y— z+ h = 1,
2x- y + 2z+2u = 2,
3x + y+ z+3u = 3,
x—3y+3z+ « = 0
liczba równań równa się liczbie niewiadomych. D = 0, a także Dx =
= D„ = Dz = D« = 0. Rząd macierzy [A] równa się 2, rząd
macierzy [flj równa się 3. Układ jest sprzeczny, rozwiązań nie ma.
Równania jednorodne. Układ równań jednorodnych
fln*i+«ia*a+ -■- +ainXn = 0,
,***.. 021X1+1*22X2+ -•• +fl2nX„ = Oj
amiXi+am*Xz+ ... +flmA = 0
ma zawsze rozwiązanie zerowe Xi = xz = ... = xn = 0. Jeżeli oprócz
tego układ równań (***) ma rozwiązanie niezerowe {a^O;,, ...)anl(^
(!) Patrz notka na str. 190.
11. Rozwiązywanie układu równań liniowych
193
to ma też nieskończoną ilość rozwiązań proporcjonalnych {Aa,, kaa,...,
kon}t gdzie k jest dowolną liczbą. Jeżeli układ równań (***) ma p
różnych, tzn. nieproporcjonalnych, rozwiązań niezerowych
(2) {alta2,...,<!„}, {&,jS2, ...,&}, -.., {A>/h* .»>/*■}»
to ma też nieskończoną ilość rozwiązań postaci
(3) {k1al+klfil+ ... +kPpl3 klat+kap,+...+kp/tt, ...
..., k1aJl+klsp„+ ... +kppn),
gdzie &}, k2>..., kp są dowolnymi liczbami, nie równymi jednocześnie
zeru. Rozwiązanie (3) nazywamy kombinacją liniową rozwiązań (2).
Rozwiązania (2) układu równań (***) nazywamy liniowo
niezależnymi, jeżeli żadne z nich nie jest kombinacją liniową pozostałych}
p niezależnych liniowo rozwiązań tworzy podstawowy układ rozwiązany
jeżeli dowolne rozwiązanie układu równań (***) jest kombinacją
liniową tych p rozwiązań C1).
Jeżeli rząd r macierzy [A] utworzonej ze współczynników równań
(***) jest mniejszy od liczby » niewiadomych, to równania (***) mają
podstawowy układ rozwiązań; jeśli zaś r = n, podstawowy układ
nie istnieje i równania mają tylko rozwiązanie zerowe. Gdy r < ns
układ podstawowy składa się z n—r liniowo niezależnych rozwiązań.
Aby znaleźć podstawowe układy rozwiązań, zmieniamy porządek
równań (***) i przestawiamy niewiadome w taki sposób, żeby w
lewym górnym rogu macierzy znalazł się minor stopnia r, nie równy
zeru. Następnie rozwiązujemy układ równań względem pierwszych r
niewiadomych xl3 xs,...,xr, wyrażając je przez pozostałe niewiadome
Xi = Xi(Xr±i, Xr+z , . - -, Xn) s
,.. X2 = X2\Xr+iy Xr+2» - ■ -, Xn)>
Xr = *r(*r+i j *r+2 3 ■ ■ ■, Xn).
Niewiadomym Xr+nXr+i, ...,xn można nadać dowolne wartości
i łącznie z odpowiednimi wartościami x^x,,, ...,Xr, wyznaczonymi
według wzoru (4), otrzymujemy jedno z rozwiązań układu równań (***).
Obierając te wartości n — r razy
1
2
n — r
Xr±i
611
621
&n-Tjl
Xr+B ..
&12
623
bn—r,s ■■
■ x„
- bi,n-r
02,tt—T
Dn-r, n-r
(J) Układów podstawowych może być nieskończenie wiele (patrz dalej).

194
II. Algebra
w ten sposób, żeby wyznacznik B — \Uk\ nie równał się zeru,
otrzymujemy jeden z podstawowych układów rozwiązań równań (***).
W szczególności można podstawić buc = 1> gdy i = k oraz bm = 0,
gdy i± k-y wtedy B = 1 i rozwiązania
1
2
n-r
Xr+i
1
0
0
Xf+2 •
0 ..
1 ..
0 ..
.. Xn
. 0
. 0
. 1
wraz ze wzorami (4) wyznaczają w najprostszy sposób podstawowy
układ rozwiązań układu równań (***).
Przykłady. 1. Dla układu równań
X_ yĄ,$Z^ M = 0,
x+ y—2z+3u = 0,
3x— y+8z+ u = 0,
x+3y-9z+7u = 0
rząd macierzy \A\ równa się 2; wyznacznik 1 . ^0, nie zachodzi
więc potrzeba zmiany porządku równań i przestawiania niewiadomych.
Rozwiązujemy układ równań względem niewiadomych x i y.
Podstawiając z = 1, u = 0 otrzymujemy pierwsze rozwiązanie podstawowe
3 7
1,
-i,4.i.ol.
Podstawiając s = 0, w = 1 otrzymujemy drugie rozwiązanie
podstawowe
x = — 1, .y = —2, 2T = 0, u = 1,
czyli
{-1, -2, 0, 1}.
Zatem dowolne rozwiązanie danego układu równań można przedstawić
w postaci { — -|*i—K, ~fe1-2fe3,fe1Jfeaj, gdzie &! i h są
dowolnymi liczbami.
2. Rozpatrzmy układ równań
2x+3y- z = 0,
x— y+ s = 0,
3x+2.y = 0.
Liczba równań równa się liczbie niewiadomych, D = 0, a także
Dx=Dy=Di = 0. Rząd macierzy [A\ jest równy 2; wyznacznik
11. Rozwiązywanie układu równań liniowych
195
2 3
- , ?*0, nie zachodzi więc potrzeba zmiany porządku równań
i przestawiania niewiadomych. Rozwiązujemy układ równań wzglę-
2 3
dem x i y. x = —-jz> y = -js-Podstawiając s= 1 otrzymujemy je-
■ ■ 2 3
dyne liniowo niezależne rozwiązanie podstawowe x = — -?■, y = -=->
z =* 1. Zatem dowolne rozwiązanie danego układu równań można
przedstawić w postaci
X = — y k
albo
x — — 2k,
gdzie £ jest dowolną liczbą.
y =-g-&, s = &
jy = 3&, .sr = 5k,
12. Układ równań wyższych stopni
Warunek niezależności równań. Dwa równania z dwiema
niewiadomymi
f(x,y) = 0 i c>(xs>0 = 0
są niezależne, jeżeli ich jakobian (patrz str. 372)
d(f, V)
df
dx
dę
~dx~
dy
dę
d(.x>y)
nie jest tożsamośriowo równy zeru; w przeciwnym przypadku jedno
równanie wynika z drugiego i układ równań ma nieskończenie wiele
rozwiązań.
Dla trzech równań z trzema niewiadomymi istnieje analogiczny
warunek niezależności. Jakobian
3(f»9>»v)
* 0
d(x, y, z)
nie jest tożsamościowo równy zeru itd.
Warunki te odnoszą się zarówno do równań algebraicznych jak
i przestępnych.
Ilość rozwiązań układu dwóch równań algebraicznych Pj(x, y) =
= 0 i P2(x,y) = 0. JeżeK Px jest wielomianem stopnia m, a P2 jest
wielomianem stopnia n względem x i y (l), to układ równań ma mn
(*)Przez stopień wielomianu dwóch zmiennych x iy rozumiemy największą sumę
wykładników przy tych zmiennych w wyrazach wielomianu. Na przykład wielomian
x'+jryg+y9 jest wielomianem stopnia czwartego.

196
II. Algebra
rozwiązań x = a, y = fi, gdzie a i 0 są liczbami rzeczywistymi lub
zespolonymi. Układ trzech równań algebraicznych stopnia m, n, p ma
rnnp rozwiązań x = a, y = fi, z = y.
Znalezienie rozwiązania układu dwóch równań algebraicznych
z dwiema niewiadomymi sprowadza się zazwyczaj do uzyskania
równania stopnia mn z jedną niewiadomą, tzw. rezolwenty układu równań,
przez wyrugowanie drugiej niewiadomej. Po znalezieniu pierwiastków
rezolwenty podstawia się je po kolei do jednego z równań danego
układu dla wyznaczenia wartości drugiej niewiadomej.
Najprościej rozwiązuje się układ dwóch równań, z których jedno
jest liniowe. Jeżeli drugie równanie jest stopnia k, to rozwiązując
równanie liniowe względem jednej niewiadomej i podstawiając ją
w drugim równaniu otrzymujemy rezolwentę stopnia n względem
drugiej niewiadomej,
W przypadku układu dwóch równań, z których każde jest stopnia
drugiego, otrzymuje się rezolwentę stopnia czwartego. Niekiedy
można rozwiązać taki układ za pomocą sztucznych- chwytów.
Przykład. x*Ą-y2 = a, xy = b.
Otrzymujemy (x+y)3 = «+2^_ (*—j>)9= a—2fc__stąd x+y =
= + Ya+2b lub x+y = — Ya+2b, x-y = + ]/a~2b lub x~y =
= _|/a_2J. Kombinując te równania parami otrzymujemy cztery
rozwiązania danego układu równań: (5,3), (3,5) (—5, —3), (—3, —5).
Graficzna metoda rozwiązywania układu dwóch równań/(x, y) =
= 0 i 9(x,y) = 0 sprowadza się do znalezienia punktów przecięcia
krzywych wyznaczonych przez dane równanie.
C. WIADOMOŚCI UZUPEŁNIAJĄCE ALGEBRĘ
13. Nierówności
Określenia. Nierównością nazywa się połączenie dwóch wyrażeń
liczbowych lub literowych jednym z następujących znaków:
1. > (jest większe),
2. < (jest mniejsze),
3. # (nie równa się),
4. 3* (jest większe lub równe, jest nie mniejsze).
5. ^ (jest mniejsze lub równe, jest nie większe).
Symbole powyższe, z wyjątkiem 3, znajdują zastosowanie jedynie
w dziedzinie liczb rzeczywistych.
Nierówności 1 i 2 nazywamy nierównościami ostrymi, a
nierówności 4 i 5 nieostrymi.
Nierówność jest tożsamościowa, jeżeli jest prawdziwa przy
dowolnych wartościach liter wchodzących w jej skład. Nierówność
prawdziwą, zawierającą tylko liczby, nazywamy także tożsamościową.
13. Nierówności
197
Podobnie jak i równania, nierówności mogą zawierać niewiadome
(oznacza się je zwykle ostatnimi literami alfabetu). Rozwiązać
nierówność albo układ nierówności, to znaczy określić, w jakich przedziałach
powinny się zawierać wartości niewiadomych, aby wszystkie dane
nierówności były prawdziwe. Można szukać rozwiązań nierówności
wszystkich typów 1 - 5, ale najczęściej zachodzi potrzeba
rozwiązywania nierówności ostrych, typu 1 lub 2.
Dwie nierówności typu I albo dwie nierówności typu 2 nazywamy
jednakowo skierowanymi, natomiast nierówności 1 i 2 są przeciwnie
skierowane.
Dwie nierówności zawierające te same niewiadome nazywamy
równoważnymi, jeżeli są prawdziwe przy tych samych wartościach
niewiadomych.
Podstawowe własności nierówności typu 1 i 2.
1.Asymetria nierówności: jeżeli a> b, to b < a;
jeżeli a < b, to b > a.
2. Przechodniość nierówności: jeżeli a>b i b> c,
toa>ci jeżeli a < b i b < c, to a < c.
3. Monotoniczność nierówności: jeżeli a> b, to
a±c> bite; jeżeli a < b, to a±c < bite; to znaczy: jeżeli do obu
stron nierówności dodamy lub odejmiemy tę samą liczbę, to kierunek
nierówności nie ulegnie zmianie.
4. Dodawanie nierówności: jeżeli a> b i od, to
a+c> b+d; jeżeli a < b i c < d, to a+c < b+d; to znaczy: dwie
nierówności jednakowo skierowane można dodawać stronami.
5. Odejmowanie nierówności: jeżeli a > b i c < d,
to a—o b—d; jeżeli a < b i o d, to a—c < b—d; to znaczy: od
jednej nierówności można odjąć stronami drugą nierówność o
przeciwnym kierunku, zachowując znak pierwszej nierówności (nie wolno
odejmować stronami nierówności o jednakowym kierunku!).
6. Mnożenie i dzielenie nierówności:
jeżeli a > b i o 0, to ac> be, — > —;
c c
jeżeli a< b i c> 0, to ac < be, — < —;
jeżeli a > b i c < 0, to ac < be, — < — ;
c c
jeżeli a < b i c < 0, to ac> be, — > —;
c c
to znaczy: obie strony nierówności można pomnożyć albo
podzielić przez tę samą liczbę dodatnią zachowując kierunek nierówności;

198 U. Algebra
obie strony nierówności można pomnożyć albo podzielić przez tę
samą liczbę ujemną zmieniając przy tym kierunek nierówności na
przeciwny.
Niektóre ważniejsze nierówności.
1. \a+b\ *£ [a| + I&l, [<*+&+ ... +*| *S |fl| + |61+ ... +!*|.
To znaczy: bezwzględna wartość sumy kilku liczb jest nie większa
niż suma bezwzględnych wartości tych liczb. Równość zachodzi
jedynie w przypadku, gdy wśród składników nie ma liczb o znakach
przeciwnych.
2. \a\ + \b\>\a-b\>\\a\-\b\\.
To znaczy: bezwzględna wartość różnicy dwóch liczb jest nie
większa niż suma ich bezwzględnych wartości, a zarazem nie niniejsza niż
bezwzględna wartość różnicy ich bezwzględnych wartości.
3. Nierówność Cauchy'ego. Jeżeli a, > 0, a3 > 0,... >
a„ > 0, to
ai+a2+... +an */—
^ y cii az... an .
To znaczy: Średnia arytmetyczna n liczb dodatnich jest większa
lub równa ich Średniej geometrycznej (*), przy czym równość
zachodzi tylko w przypadku, gdy wszystkie n liczb są równe.
4.
fla
» «|/ n *
To znaczy: bezwzględna wartość średniej arytmetycznej kilku liczb
jest mniejsza lub równa średniej kwadratowej tych liczb (patrz str. 203),
przy czym równość zachodzi tylko w przypadku, gdy wszystkie n
liczb są rówDe.
5. Nierówność Buniakowskieg o-C a u c h y'e g o:
alb1+aibi+...+anb»^yą+al+...+al\/b*+bl+...+bl-
To znaczy: jeżeli mamy dwa ciągi liczbowe po « wyrazów w
każdym, to suma iloczynów odpowiednich wyrazów obu ciągów jest nie
większa niż iloczyn pierwiastka kwadratowego z sumy kwadratów
wyrazów pierwszego ciągu przez pierwiastek kwadratowy z sumy
kwadratów wyrazów drugiego ciągu, przy czym równość zachodai
tylko w przypadku, gdy at = Xb1>ai *= XbZi ...> att — Xbns to znaczy
gdy dane ciągi są proporqonalne.
C1) Szczególny przypadek tej nierówności dla « = 2 patrz str. 203.
13. Nierówności 199
Nierówność tę można napisać w postaci (')
(.a1b1 + azb2 + ...+anbn)*^(a\ + al + ...+a2n)(bi+bi + ...+%),
czyli
(i^)'<(i«S) (!»!)■■
1=1 j'=l 1 = 1
6. Nierówności Czebyszewa. Jeżeli mamy dwa ciągi
liczb dodatnich a^Oa,...,^ i blibzi...ibn po n wyrazów w każdym
i oba ciągi są niemalejące lub oba nierosnące, to
^1+^2+ ••• +a« &1+&2 + •.. +b„ ^ ai&i+Qą&2+ ••• -i-anbn
n n ~~~ n '
a jeżeli jeden z danych ciągów jest niemalejący, a drugi nierosnący, to
<Jl + fl2 + ... +<?n _ &i+&a+ ... -\-K > fli&i + a2&2+ ••■ +OnK
n n n
a więc kierunek nierówności zmienia się na przeciwny.
7. Uogólnione nierówności Czebyszewa. Jeżeli
mamy dane dwa ciągi liczb dodatnich alt az,,.., aa i 61, b2, ...,&»
i oba ciągi są niemalejące lub nierosnące, to
*/«?+«*+...+«; */tf+&*+...+< <
-i/c^>
l* + (fla&a)fc+...+(«„&„)*
(ł) w" przypadku gdy n = 3, trójki {alt a^, a,} i {fi^ b%, 63} można uważać za
współrzędne kartezjańskie dwóch wektorów, a wtedy z nierówności powyższych
wynika, że iloczyn skalarny wektorów jest nie większy niż iloczyn ich długości
(patrz str. 650). Dla n > 3 sformułowanie to rozciąga się na wektory w
przestrzeni n-wymiarowej. Wzory te znane są też pod nazwą nierówności Buniakowskiego-
-Schwarza.
Analogia nierówności Buniakowskiego-Schwarza dla nieskończonych ciągów
zbieżnych:
(5«^)'<(S-!)(S«)
1=1 i=i i=i
i analogia tejże nierówności dla całek oznaczonych:
b b b

200 II. Algebra
gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, jeżeli natomiast jeden z danych
ciągów jest niemalejący, a drugi nierosnący, to
ym+^y
&?+&* + ...+&*
■V
(albly+(aib^+ ... +(fl»b»y
a więc w poprzedniej nierówności należy zmienić kierunek
nierówności na przeciwny.
Rozwiązywanie nierówności stopnia pierwszego i drugiego.
Przy rozwiązywaniu nierówności sprowadza się daną nierówność do
innych nierówności, jej równoważnych. Podobnie jak przy
rozwiązywaniu równańj można w nierówności przenosić .wyrazy z jednej strony
na drugą ze znakiem przeciwnym, i mnożyć lub dzielić obie strony
nierówności przez tę samą liczbę różną od zera, przy czym jeżeli ta
liczba jest dodatnia, to kierunek nierówności pozostaje nie zmieniony,
jeżeli zaś ujemna, to kierunek nierówności zmienia się na przeciwny.
Za pomocą takich przekształceń możemy zawsze sprowadzić
nierówność stopnia pierwszego do postaci ax > 6, a nierówność stopnia
drugiego sprowadzić w najprostszym przypadku do postaci x* < m lub
x2>m, w ogólnym zaś przypadku do postaci axa + bx+c <0 lub
ax3+bx+c>Q.
Nierówność stopnia pierwszego ax>b ma
rozwiązanie
b b
x> —, gdy a> 0, i x < —, gdy a < 0.
a a
Przykład. 5*+3<8x+1, 5x~8x < 1-3, ~3x < -2, *>y-
Najprostsze nierówności stopnia drugiego
3t'<wi Xs > m mają rozwiązania:
a. x% < m.
Dla m> 0 rozwiązanie — j/m < x < + ym, albo inaczej: [*i <
<}/m.
Dla m ^ 0 rozwiązania nie ma.
b. x*>m.
Dla m>Q rozwiązanie x>y/m lub x < — \/m, albo inaczej:
\x\ > ]/m.
Dla m — 0 rozwiązanie x > 0 lub x < 0, czyli x ź 0.
Dla m < 0 nierówność jest tożsamościowa.
13. Nierówności
201
Ogólny przypadek nierówności stopnia
drugiego axt+bx+c<Q lub axa+bx+c> 0, gdzie a^0. Dzielimy
nierówność przez a (zmieniając kierunek nierówności na przeciwny
w przypadku, gdy a < 0) i sprowadzamy ją do postaci xi+px+q < 0
lub x*+px+q> 0. Ostatnie nierówności przekształcamy
odpowiednio do jednej z postaci
(-*)'< (i)'- - KHD-
Oznaczając x+^- przez z, a (-£.) — q przez m, otrzymujemy
nierówność z2 <m lub z2> m; rozwiązując ją znajdziemy x.
Przykłady. 1. Dla nierówności — 2x2 + 14x—20> 0 kolejno
otrzymujemy
*»-7«+l0<0, (*_|)'< J, _| <*-!<!.,
~T + i<x<i+i> 2-<*<5-
2. Dla nierówności a2+6*+15> 0 otrzymujemy 0+3)2> —6S
czyli nierówność tożsamościową.
3. Dla nierówności ~2*a+14s:—20 < 0 kolejno otrzymujemy
/ 7\a 9 73. 7 3 ^e-^o
r_T/>T> ll"'2">2'1;t~'2<"2' *> 5 1 * < 2.
14. Postępy, szeregi skończone i wartości średnie
Postępy. Postępem arytmetycznym nazywamy taki ciąg liczb alf
03,..., an (zwanych wyrazami postępu), w którym każdą następną
liczbę otrzymuje się z poprzedniej przez dodanie określonej liczby r
(zwanej różnicą postępu). Jeżeli r > 0, postęp nazywamy rosnącym,
jeżeli r < 0 — malejącym.
Wzory na wyraz ogólny oraz na sumę n wyrazów postępu
arytmetycznego są odpowiednio
a» = aj + (»— I)*") <S» = —g •
Postępem geometrycznym nazywamy taki ciąg liczb alt a2,..., an
(zwanych wyrazami postępu), w którym każdą następną liczbę
otrzymuje się z poprzedniej przez pomnożenie jej przez określoną liczbę q
(zwaną ilorazem postępu), zakłada się przy tym, że ax ź 0 i q ź 0.
jeżeli q> 1, postęp nazywamy rosnącym, jeżeli q < 1 —nazywamy go
malejącym.

202 II. Algebra
Wzory na wyraz ogólny oraz na sumę n wyrazów postępu
geometrycznego są odpowiednio
a„ - o,^1, Sn = ai(fSXl) ' Sdyq^l,
natomiast Sn — naXi gdy q = l.
Dla sumy malejącego postępu geometrycznego dogodniej
jest posługiwać się wzorem Sn — ——— . Jeżeli ilość wyrazów
malejącego postępu geometrycznego n wzrasta nieograniczeniej to qn —* 0,
a S„ dąży do granicy:
lim S» «= S = -^~
(suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego).
Przykład. 1 + 1 + -1+...+±+... =-J^-.= 2.
Niektóre szeregi liczbowe skończone('):
1. 1+2+3+ ...+(»-!)+««=
«(«+!)
2
2. j>+a>+D+o>+2)+... +(tf-i)+tf-(«+*><«-*+'>.
3. 1+3 + 5+.. .+(2«-3) + (2n-l) = n2.
4. 2 + 4+6+...+(2n-2)+2n = n(«+l).
5. iH2^+3a+...+(„-l)3+n^^±^±i).
o
6. l*+23 + 3* + ... +(n-iy+n* = ń^±V* = [1 + 2 + 3+ ... +
+ («-l)+„]*.
7. la+3B+52+... +(2»-3)a+(2»-l)a ="(4"3~1).
8. l3+33+53+ ... +(2ff-3)3 + (2n-l)a = n2(2n2~l).
9. lH2'+ ... +(„-i)^ - »(«+*><»+» P*+*-l>.
Wartości średnie. Średnią arytmetyczną dwóch liczb a i 6
nazywamy połowę ich sumy: x = —=- i liczby a,.x, b tworzą postęp
(') Szeregi liczbowe nieskończone — patrz w tablicy na str, 380 i 381.
14. Postępy, szeregi skończone i wartości średnie
203
arytmetyczny. Średnią arytmetyczną n liczb alsa2, -..,an określamy
wzorem
__ ai+az+ ... +a»
X — ■ - -——— ——. t
n
Średnią kwadratową n liczb alt c3,..., an (dodatnich lub ujemnych)
określamy wzorem
+j/-^(«M+ .-+<;•
Średnia kwadratowa ma wielkie znaczenie w teorii błędów.
Średnią geometryczną (średnią proporcjonalną) dwóch liczb dodat-
a)
Rys. 76
Rys. 77
nich a i & określamy wzorem x = yab; liczby a, x, 6 tworzą postęp
geometryczny. Średnia geometryczna dwóch różnych liczb dodatnich
jest zawsze mniejsza od ich średniej arytmetycznej. Jeżeli a i 6 są
długościami odcinków, to odcinek o długości x = yab wyznaczamy
konstrukcyjnie, jak pokazano na rysunku 76a lub b.
Złotym podziałem odcinka a (albo podziałem odcinka a w stosunku
skrajnym i średnim) nazywamy jego podział na takie dwie części
x i a—x, aby x było średnią geometryczną między a i a—x:
* = *5Zl a**0,618a.
Jeżeli a jest długością odcinka, to odcinek o długości x wyznaczamy
konstrukcyjnie jak pokazano na rysunku 77. Odcinek x jest bokiem
dziesięciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu a.
15. Silnia i funkcja gamma
Silnia. Silnią ni liczby naturalnej » nazywamy iloczyn l-2-...-n.
n
Iloczyn ten można też zapisać krótko w postaci U i. Przyjmuje
się ponadto, że l! = 1 i 01 = 1.

204
II. Algebra
Podstawowa własność silni: n! = n(n— 1)!.
Tablice silni początkowych, liczb naturalnych i odwrotności silni
patrz na str. 47.
Silnie wielkich liczb można wyrazić w przybliżeniu wzorem
Stirlinga:
»!~(")V^r(i+ji-„+^ + -).
ln(«!)*«(n-f-=Jln«— n+ln}/2it .
Wzory te znajdują zastosowanie również przy niecałkowitych
wartościach n (patrz niżej, funkcja gamma).
Rys. 78
Funkcja gamma. Pojęcie silni można rozszerzyć na dowolne
liczby x C1) za pomocą funkcji gamma: r(x), którą można określić
dwoma sposobami:
n*>=
f e~*tr*dt (całka Eulera dla x>0)(2),
o
lim
x(x + l) (x+2)... (x+n-l)
(dla dowolnych x).
(I)A także na liczby zespolone.
(*)A także dla liczby zespolonej x, gdy rex > 0.
15. Silnia i funkcja gamma 205
Podstawowe własności funkcji gamma:
r(x+l) ^ xr(x),
P(n) = (n—1)!, gdzie « jest całkowite dodatnie,
r(?c)rCL-x)--^—t
sinice
nx)r{x+^ = ^tn2x).
Uogólnienie pojęcia silni JJ(x). Pojęcie silni r! określone po-
czątkowo dla n całkowitych dodatnich można uogólnić dla dowolnego
n rzeczywistego w postaci funkcji H(x) = r(x+l).
Gdy x jest liczbą naturalną, II(x) = x\ = 1-2* ... -x.
Gdy x = 0, 77(0) ^ J\l) « 1.
Gdy x jest całkowite ujemne, n(x) = ±oo.
Gdy * - - \, n{-1) = r(- i) = -2^ .
Wykres funkcji F(x) i TJ(x) — patrz na rysunku 78. Tablice funkcji
r(x) — patrz na str. 87.
16. Kombinatoryka
Pary. Jeżeli dane są dwa zbiory A i B, z których pierwszy składa
się z r, a drugi z s elementów, to ilość możliwych różnych par (a, b),
gdzie a jest elementem zbioru A i b jest elementem zbioru B, jest
równe iloczynowi rs.
Rozmieszczenia. Rozmieszczeniami (wariacjami) z n elementów
po k nazywamy ciągi fc-wyrazowe, w których każdej z liczb 1,2,...»k
odpowiada jeden z n danych przedmiotów. Rozmieszczenia te mogą
się różnić bądź elementami, bądź porządkiem elementów. Na
przykład rozmieszczenia z trzech elementów a, by c po 2: ab, ac, be, ba,
ca, cb.
Ilość wszystkich roamieszczeń z n różnych elementów po k
wyraża się wzorem
K* = »(«-1) (ii-2) ... (»-*+l) - j-^-. (').
ft czynników
Na przykład Vf - 3-2 - 6.
(*) O symbolu n! (silnia) patrz na str. 203.

206 II. Algebra
Permutacje. Permutacjami z « elementów nazywamy ciągi
n-wyrazowe, w których każdej z liczb 1,2,...,» odpowiada jeden
z n danych przedmiotów. Permutacje te różnią się tylko porządkiem
elementów. Na przykład permutacje z trzech elementów a, 6, c: abcs
bca, cabs cba, bac, ach. Ilość wszystkich permutacji z n różnych
elementów wyznacza się ze wzoru
Pa = l-2-3> ... -n = n\^V*.
Jeżeli wśród » elementów asb,c,... znajdują się jednakowe
elementy: a występuje a razy, b występuje j? razy, c występuje y razy
itd., to
P - "!
Kombinacje. Kombinacjami z n elementów po k nazywamy
zbiory A-elementowe, które można utworzyć, wybierając k dowolnych
przedmiotów spośród n danych przedmiotów^ przy czym
uporządkowanie nie odgrywa roli. Kombinacje te mogą się różnić tylko
elementami. Na przykład kombinacje z trzech elementów a, b, c po 2: ab,
ac, be. Ilość wszystkich kombinacji z n różnych elementów po k
wyraża się wzorem
rk_(n\_n(n-l)(n-2)...(n~k+l) _ Kg _ ni
" \kj 1-2-3- ...-k Pk k\(n~k)\ '
gdzie I , I jest tzw. symbolem Newtona. W szczególności
<3-(")-. q=CH-
Podstawowa własność symbolu Newtona:
k! = [n~k)' UH 0
= I.
17. Dwumian Newtona
Wzór Newtona. Wzór
16. Kombinatoryka
207
albo inaczej:
(.a+by = [\a"+{ . \an~lb-
a»~2b2+ ... +
I)iH,i+-+U*j+Cr
nosi nazwę wzoru Newtona na dwumian.
in>
Współczynniki dwumianowe I . 1 można znajdować z tak zwanego
trójkąta Pascala:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
współczynniki
1
I I
I 2 1
1 3 3
14 6 4
I 5 10 10
1 6 15 20 15
1 7 21 35 35
I
1
5 I
6 1
21 7 1
Każdy ze współczynników powstaje z dodania dwóch współczynników
stojących ponad nim (na lewo w skos i na prawo w skos).
Własności współczynników dwumianowych.
1. Współczynniki we wzorze Newtona wzrastają aż do środka
wzoru, a potem powtarzają się w porządku malejącym.
2. Współczynniki wyrazów równoodległych od początku i od
końca wzoru są równe.
3. Suma współczynników w dwumianie stopnia n wynosi 2n.
4. Suma współczynników stojących na miejscach nieparzystych
jest równa sumie współczynników stojących na miejscach parzysrych.
Potęga różnicy
2!
3!
+(-1y"C|'-1>-C,'-*+1>fl^y+ ... +(-l)«fe».
ki
Uogólnienie wzoru Newtona na dowolne potęgi. Wzór
Newtona (*) można rozciągnąć na potęgę o dowolnym wykładniku ujem-

208 II. Algebra
nym lub ułamkowym n; potęga (a+J)n, gdzie \b\ < a, może być
przedstawiona w tym przypadku w postaci szeregu nieskończonego
(patrz str. 416 i 417):
(fl+&)«=a»+»^&+^^a»-^+^=^=^)«''-8&a+ .- +
l »(»-l)(«-2)...(»-£+!) fl^fcy|
m. GEOMETRIA
A. PLANIMETRIA
1. Figury płaskie
Trójkąt. Suma dwóch boków trójkąta (rys. 79) jest zawsze
większa od trzeciego boku: b+c > a. Suma kątów trójkąta a + 0+y =
= 180°. Trójkąt jest całkowicie wyznaczony, gdy są dane: 1° trzy
boki albo 2° dwa boki i kąt pomiędzy nimi zawarty, albo 3° bok i dwa
kąty do niego przylegające. Jeżeli dane są dwa boki i kąt przeciwległy
do jednego z nich, to dane te wyznaczają w różnych przypadkach
t v v ' a
Rys. 79 Rys. 80 Rys. 81
bądź dwa, bądź jeden, bądź zero trójkątów (patrz rysunek 80,
szczegóły— patrz str. 241).
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze
Środkiem przeciwległego boku. Środkowe trójkąta przecinają się w
jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości trójkąta (rys. 81) i każda
z nich jest w tym punkcie podzielona w stosunku 2:1 licząc od
wierzchołka trójkąta. Długość Środkowej boku a: ma = ^ v'2(&2+c2)—a2
(patrz str. 240).
Dwusieczną trójkąta nazywamy odcinek prostej dzielącej kąt
wewnętrzny trójkąta na polowy, Uczony od wierzchołka trójkąta do
przecięcia z przeciwległym bokiem. Dwusieczne w trójkącie
przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem koła wpisanego
(rys. 82); promień koła wpisanego r — patrz str. 241. Długość
dwusiecznej kąta a (patrz str. 240): la = -— . . Jeżeli dwu-

210
III. Geometria
sieczna kąta a dzieli przeciwległy bok a na dwa odcinki min (rys. 82),
to m: n = c : b.
Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego
boku i przechodzącą przez jego środek. Symetralne trzech boków
trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem koła
opisanego na trójkącie (rys. 83). Promień koła opisanego R — patrz
str. 240.
m
Rys. 82
Rys. 83
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek prostej poprowadzonej
przez wierzchołek trójkąta, prostopadłej do przeciwległego boku,
liczony od wierzchołka do przecięcia tej prostej z przeciwległym
bokiem. Wysokości trójkąta (albo ich przedłużenia) przecinają się w
jednym punkcie, który nazywamy ortocentrem trójkąta (rys. 84). Długość
wysokości ka — patrz str. 240.
Wysokość, środkowa i dwusieczna poprowadzone z tego samego
wierzchołka trójkąta pokrywają się, jeżeli boki wychodzące z tego
wierzchołka są równe (trójkąt równoramienny). Pokrywanie się dwóch
spośród tych odcinków wystarcza do stwierdzenia, że trójkąt jest
równoramienny,
W trójkącie równobocznym (a = b = c) środek okręgu wpisanego
i opisanego, Środek ciężkości i ortocentr leżą w jednym punkcie.
Linia Środkowa jest to odcinek łączący środki dwóch boków
trójkąta; jest on równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie.
Pole trójkąta
bhb absiny abc , , ■■■■--■ ^ r
S==~2~ = ~2~~ = 4R = pr = VP(P-a) C_6> C/»-c).
gdzie p = -^ (a+b+c).
Trójkąt prostokątny (rys. 85): c — przeciwprostokątna, a i b —
przyprostokątne. Związki w trójkącie
prostokątnym: kz = mn, a2 = mcs bz = nc, o3+i3 =
= c2 (twierdzenie Pitagorasa). Pole
5 « \ch - \ab = yfl2tgjS = \cHm2p.
Wzory trygonometryczne dotyczące
trójkąta—patrz str. 239-241.
1. Figury płaskie
211
Trójkąty podobne. Dwa wielokąty o tej samej liczbie boków są
podobne, jeżeli ich odpowiednie kąty wewnętrzne są równe, a
odpowiednie boki proporcjonalne. Aby dwa trójkąty były podobne,
wystarczy, by spełniony został jeden z następujących warunków: 1° trzy boki
jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego
trójkąta, albo 2° dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom
drugiego trójkąta, albo 3° dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do
dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są równe.
Czworokąt (rys. 86). Suma kątów każdego czworokąta jest
równa 360°. a2+i3+ca+da = dj+d|+4m2, gdzie m jest odcinkiem
łączącym środki przekątnych.
Rys. 86 Rys- 87 Rys- 88
Pole czworokąta S = -^ dldi$iaa3 gdzie a jest kątem między
przekątnymi.
W czworokąt można wpisać koło (rys. 87) wtedy i tylko wtedy,
gdy a+c = b+d. Na czworokącie można opisać koło (rys. 88) wtedy
i tylko wtedy, gdy a+y = jS+ó = 180°. Pole czworokąta wpisanego
ae+bd = d1da (twierdzenie Ptolemeusza). Pole czworokąta wpisanego
S = j/(i>-a) ip-b) (J>-ć) (p-d), gdzie p = ~ (a+b+c+d).
Równoległobok. Czworokąt jest równoleglóbokiem (rys. 89), jeżeli
ł° przeciwległe boki są parami równe3 2° przeciwległe boki są parami
równoległe, 3° dwa boki są równoległe i równe^ 4° punkt
przecięcia przekątnych dzieli je na połowy, 5° kąty przeciwległe są parami
równe. (Każda z tych własności pociąga za sobą cztery pozostałe).
Związek pomiędzy przekątnymi i bokami równoległoboku: d\ -f d| =
E=2(aa+i2). Pole równoległoboku S = ah = absina.
Romb. Równoległobok jest rombem (rys. 90), jeżeli: 1° wszystkie
jego boki są równe, 2° przekątne Ą i dt są wzajemnie prostopadłe,
3° przekątne dzielą kąty na połowy. (Każda z tych własności pociąga
za sobą dwie pozostałe). dl = 2a5ia-^a3 da = 2acos-^a. Pole rombu
S = ah ~ oasina = -^-Ąd,.

212 III. Geometria
W każdy romb można wpisać koło.
Rys. 89
Prostokąt i kwadrat. Równoległobok jest prostokątem (rys. 91),
jeżeli: 1° wszystkie jego kąty są proste, 2° jego przekątne są równe.
(Każda z tych własności wynika z drugiej). Pole prostokąta S = ab.
Na każdym prostokącie można opisać koło.
Prostokąt jest kwadratem (rys. 92), jeżeli a = b. Przekątna d =
= a\/2 «=> 1,4142a, więc a = dlfó<°* 0,707ld. Pole kwadratu
S = a*^~d?.
Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem.
Trapez. Trapez jest to czworokąt o dwóch bokach równoległych
(rys. 93a), a i b — podstawy trapezu, h — wysokość, m — linia
środkowa, tzn. prosta łącząca środki nierównoległych boków; jest ona
równoległa do podstaw, m = -j (a+b). Pole trapezu S = -j (a+b) h =
= mk.
1
7
A
m
a
a-)
Vi
i
a
\
\
Rys. 93
Trapez jest równoramienny s. 93b), jeżeli boki nierównoległe
są równe. W takim przypadku 5 = (a—ccosy)c siny — (b+ccosy)x
xc siny, gdzie y jest kątem między podstawą c i ramieniem c.
1. Figury płaskie
213
Deltoid. Czworokąt jest deltoidem, jeżeli a = b i c = d; deltoid
może być wypukły (rys. 94a) lub wklęsły (rys. 94b). Przekątne są
wzajemnie prostopadłe; przekątna J, (lub jej przedłużenie) dzieli
przekątną d2 na połowy. Kąt między bokami aid jest równy kątowi
między bokami b i c. Pole deltoidu S — -za\&i.
Rys. 94
Wielokąt wypukły (rys. 95a). Jeśli liczba boków jest równa n,
to suma kątów wewnętrznych jest równa (w—2)180°. Pole oblicza
się przez podział na'trójkąty.
Rys. 95
Wielokąt wypukły jest foremny, jeżeli ma wszystkie boki równe
i kąty równe. W wielokątach foremnych o « bokach (rys. 95b): kąt
środkowy a = 360° : n, kąt zewnętrzny jS = 360° : n, kąt wewnętrzny
y = 180°—jS. Jeżeli R jest promieniem okręgu opisanego, ar —
promieniem okręgu wpisanego (apotema wielokąta foremnego), to bok
a = 2j/fia-ra = 2fisin^a - 2rtg-^-a.
Pole wielokąta S = ^nar = nr2tg-^a = —n Rzsina =-^-«oaag^a.
Dane o poszczególnych wielokątach foremnych znaleźć można
w tablicy na str. 214.

214 III. Geometria
Elementy wielokątów foremnych. Oznaczeni a: n —
liczba boków, a — bok, R — promień kola opisanego, r — apotema
(promień kola wpisanego).
n
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
16
20
24
32
48
64
S
a2
0,4330
1,0000
1,7205
2,5981
3,6339
4,8284
6,1818
7,6942
11,196
17,642
20,109
31,569
45,575
81,225
183,08
325,69
S
Ba
1,2990
2,0000
2,3776
2,5981
2,7364
2,8284
2,8925
2,9389
3,0000
3,0505
3,0615
3,0902
3,1058
3,1214
3,1326
3,1366
S
rz
5,1962
4,0000
3,6327
3,4641
3,3710
3,3137
3,2757
3,2492
3,2154
3,1883
3,1826
3,1677
3,1597
3,1517
3,1461
3,1441
R
a
0,5774
0,7071
0,8507
1,0000
1,1524
1,3066
1,4619
1,6180
1,9319
2,4049
2,5629
3,1962
3,8306
5,1012
7,6449
10,190
R
T
2,0000
1,4142
1,2361
1,1547
1,1099
1,0824
1,0642
1,0515
1,0353
1,0223
1,0196
1,0125
1,0086
1,0048
1,0021
1,0012
a
R
1,7321
1,4142
1,1756
1,0000
0,8678
0,7654
0,6840
0,6180
0,5176
0,4158
0,3902
0,3129
0,2611
0,1960
0,1308
0,0981
a
r
3,4641
2,0000
1,4531
1,1547
0,9631
0,8284
0,7279
0,6498
0,5359
0,4251
0,3978
0,3168
0,2633
0,1970
0,1311
0,0983
r
R
0,5000
0,7071
0,8090
0,8660
0,9010
0,9239
0,9397
0,9511
0,9659
0,9781
0,9808
0,9877
0,9914
0,9952
0,9979
0,9988
r
a
0,2887
0,5000
0,6882
0,8660
1,0383
1,2071
1,3737
1,5388
1,8660
2,3523
2,5137
3,1569
3,7979
5,0766
7,6285
10,178
Okrąg kola. Oznaczenia: r — promień, d — średnica; d =
Kąty w kole. (W niżej podanych wzorach symbol AB
oznacza miarę stopniową luku AB równą mierze stopniowej kąta
środkowego AOB). Rysunek 96a: kąt wpisany a = -^BC, kąt miedzy cięciwą
i styczną fi = -=■ AC. Rysunek 96b: kąt między cięciwami
przecinającymi się wewnątrz koła y = -y(CB+ED), Rysunek 97a: kąt między
a)
Rys. 96
1. Figury płaskie
215
siecznymi przecinającymi się zewnątrz kola a =-x(DE—BC)i między
styczną a sieczną j5 = ~ (fk~ TB). Rysunek 97b: kąt między dwiema
stycznymi a = ~ (BDC— BEC).
Związki miarowe w kole. Dla dwóch cięciw
przecinających się wewnątrz koła (rys. 96b) zachodzi związek: AC-AD =
— AB-AE — r2—m3. Dla dwóch siecznych przecinających się zewnątrz
koła (rys. 97a) zachodzą związki: AB- AE = AC-AD = AT2 = m2-r3.
Rys. 97
DlitgoSó okręgu C i pole kola S (r — promień, d — średnica):
n = —r » 3,141 592 653 589 793 ...
a
C = 2icr ~ 6,283r, C = nd ~ 3,142rf, C « 2 ]/^5 ~ 3,545 ^S,
S=nr*™ 3,l42ra, S = ~ nds ~ 0,785^, 5 = ~Cd = 0,25Cd.
2ir
*0,159C, rf = 21/^-~ 1,128 j/S,-
patrz także tablica na str. 70 - 72.
Odcinek kołowy i wycinek kołowy (rys. 98). Oznaczenia:
r — promieńj / — długość łuku, a — cięciwa, a — kąt środkowy,
h — strzałka łuku.
a =» 2 ]/2/tr-ńa = 2rsin ~ a,
h
= ł-]/»-a-^ = r(l-cosia) =|atglaS
1= ar, gdzie a jest miarą łukową kąta środkowego, albo / =
p« 0,01745 ar, gdzie a jest miarą stopniową kąta środkowego.
2nar
360

216
III. Geometria
Wzory przybliżone: / = -I(8&-a) albo /= ]/aa+^-ńa.
Pole wycinka kołowego: S = -=- ara, gdzie a jest miarą łukową kąta
nar2
środkowego, albo 5 = -w^r ~ 0,00873 ar*, gdzie a
360
jest miarą stopniową kąta środkowego.
Pole odcinka kołowego: Ą = 2~|7r—a(r—ń)] =
= 2~[(f— a)r+ah} = -^ (a—sina)r2, gdzie a jest
miarą łukową kąta środkowego, albo Sj. =
— sinaIr2, gdzie a jest miarą stopniową kąta środko-
Tablice dla Su 4 h i a — patrz str. 76 - 82.
Pierścień kołowy (rys. 99). Średnica zewnętrzna D = 2R,
średnica wewnętrzna d = 2r, promień środkowy q =^ (R+r),
szerokość pierścienia S = R—r.
Pole pierścienia kołowego
S=^n(D2-dz) = rt(£a-ra) = 2jiqÓ.
Pole wycinka pierścienia kołowego (zakres-
kowane na rysunku 99) o kącie środkowym ę:
a. gdy <p wyrażone jest w mierze łukowej,
S = ~q>(R*-r*) = vqA;
b. gdy ę wyrażone jest w mierze stopnio-
360 loO Rys. 99
B. STEREOMETRIA
2. Proste i płaszczyzny w przestrzeni
Dwie proste leżące na jednej płaszczyźnie bądź mają jeden
punkt wspólny, bądź nie mają żadnego punktu wspólnego. W
ostatnim przypadku są one równoległe. Jeżeli przez dwie proste nie można
poprowadzić płaszczyzny, nazywamy je prostymi skośnymi.
Kąt pomiędzy prostymi skośnymi mierzy się za pomocą kąta
pomiędzy dwiema prostymi, do nich równoległymi, przechodzącymi
2. Proste i płaszczyzny w przestrzeni
217
przez jeden punkt (rys. 100). Odległość między dwiema prostymi
skośnymi jest to odcinek wspólnej prostopadłej do danych prostych
skośnych, zawarty między tymi prostymi.
Dwie płaszczyzny bądź przecinają się wzdłuż prostej, bądź też
nie mają punktów wspólnych. W ostatnim przypadku są one
równoległe. Jeżeli dwie płaszczyzny są prostopadłe do tej samej prostej, to
są równoległe. Jeżeli na jednej płaszczyźnie leżą dwie przecinające
Rys. 100
się proste, odpowiednio równoległe do dwóch prostych na drugiej
płaszczyźnie, to płaszczyzny te są równoległe.
Prosta i płaszczyzna. Prosta bądź leży cała na danej
płaszczyźnie, bądź ma z nią jeden punkt wspólny, bądź nie ma z nią
żadnego punktu wspólnego. W ostatnim przypadku prosta jest
równoległa do płaszczyzny. Kąt między prostą a płaszczyzną jest to kąt
między' prostą i jej rzutem na płaszczyznę, jeżeli tym rzutem nie jest
punkt (rys. 101). Jeśli prosta jest prostopadła do
dwóch przecinających się prostych leżących na •
płaszczyźnie, to jest ona prostopadła do dowolnej /
prostej na tej płaszczyźnie (jest prostopadła do /^a ___jf
płaszczyzny); rzutem takiej prostej na płasz- s —-—^
czyznę jest punkt. Rys. 101
3. Kąty dwuścienne. Kąty bryłowe
Kąt dwuścienny jest utworzony przez dwie półpłaszczyzny
mające wspólną krawędź. Kąt dwuścienny mierzy się za pomocą jego
kąta liniowego ABC (rys. 102), czyli kąta między dwiema
prostopadłymi do krawędzi DE kąta dwuściennego, poprowadzonymi z
jednego punktu B tej krawędzi na obu ścianach kąta dwuściennego.
Kąt wielościenny OABCDE (rys. 103) jest utworzony przez
kilka kątów płaskich o wspólnym wierzchołku O, mających parami

218
III. Geometria
po jednym ramieniu wspólnym; kąty płaskie o wspólnym wierzchołku
O nazywamy ścianami kąta wielościennego, a ramiona tych kątów
nazywamy jego krawędziami. Dwie sąsiednie krawędzie kąta dwu-
ściennego tworzą kąt plaski (czyli ścianę), a dwie sąsiednie ściany
Rys. 102 Rys. 103
tworzą kąt dwuściemiy kąta wielościennego. Dwa kąty wielościenne
są równe, jeżeli przy nakładaniu przystają do siebie; warunkiem ko-
if
Rys. 104 Rys. 105
niecznym jest równość odpowiednich kątów płaskich i odpowiednich
kątów dwuściennych.
Jeżeli odpowiednio równe elementy kąta wielościennego ułożone
są w odwrotnej kolejności, to te kąty wielościenne nie pokrywają się
ze sobą przy nałożeniu; są one w tym przypadku symetryczne, tzn.
mogą być umieszczone w pozycji, pokazanej na rysunku 104.
Kąt wielościenny jest wypukły, jeżeli całkowicie leży po jednej
stronie płaszczyzny każdej jego ściany. Suma kątów płaskich AOB+
+ BOC+ ... +EÓA dowolnego kąta wielościennego wypukłego (rys.
103) jest mniejsza niż 360°.
3. Kąty dwuścienne — Kąty bryłowe
219
Kąty trójścienne są równe, jeżeli mają: 1° po jednym kącie
dwuściennym równym, zawartym pomiędzy dwoma odpowiednio
równymi i jednakowo umieszczonymi kątami płaskimi albo 2° po równym
kącie płaskim przylegającym do dwóch odpowiednio równych i
jednakowo umieszczonych kątów dwuściennych, albo 3° po trzy
odpowiednio równe i jednakowo umieszczone kąty płaskie, albo też 4°
po trzy odpowiednio równe i jednakowo umieszczone kąty dwuścienne.
Kąt bryłowy jest to część przestrzeni ograniczona półprostymi
wychodzącymi z danego punktu O (wierzchołka) i przechodzącymi
przez wszystkie punkty krzywej zamkniętej, leżącej na powierzchni
kuli o środku O (rys. 105). Określa on kąt widzenia, pod jakim dana
krzywa widoczna jest z wierzchołka. Miarą kąta bryłowego jest pole
wyciętej przez ten kąt części powierzchni kuli o środku O i promieniu
1. Na przykład dla stożka o kącie rozwarcia 120" kąt bryłowy jest
równy it (patrz wzory na str. 226). Miara kąta bryłowego pełnego
wynosi 4rc. Miara ósemki przestrzeni (oktantu) wynosi -^-it.
4. Wieloścłany
Oznaczenia: V — objętość, 5 — pole powierzchni
całkowitej, M — pole powierzchni bocznej, h — wysokość, F — pole
podstawy.
Wielo ścian jest to bryła ograniczona wielokątami ułożonymi w taki
sposób, że każdy bok wielokąta jest wspólnym bokiem dwóch
wielokątów. Wielokąty te nazywamy ścianami wielościanu, boki
wielokątów — krawędziami, a wierzchołki — wierzchołkami wielościanu.
Graniastosłup (rys. 106) jest to wielościan, którego dwie ściany,
zwane podstawami, są wielokątami przystającymi, leżącymi w
płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi,
są równoległobokami. W graniastosłupie rozróżniamy krawędzie pod-
Rys. 106 Rys. 107

220
III. Geometria
staw i krawędzie boczne łączące odpowiednie wierzchołki dwóch
podstaw. Graniastosłup jest prosty, jeżeli krawędzie boczne są
prostopadłe do podstaw graniastoslupa; wówczas ściany boczne są
prostokątami. Graniastosłup jest prawidłowy, jeżeli jest prosty i ma w
podstawach wielokąty foremne.
Pole powierzchni bacznej graniastoshipa M = pi, gdzie p jest to
obwód przekroju graniastoslupa płaszczyzną prostopadłą do jego
krawędzi bocznych, a 1 długość krawędzi bocznej. 5 — M+2F, V = Fh.
Dla graniastoslupa trójkątnego ukośnie ściętego]/ = -^(a+b+c)Q
(rys. 107), gdzie a, b, c są to długości krawędzi bocznych, a Q jest
to pole przekroju normalnego. Dla graniastoslupa n-kątnego skośnie
ściętego V — IQ, gdzie I jest to długość odcinka BC, łączącego środki
ciężkości podstaw, a Q jest to pole przekroju normalnego. (Odcinek ł
jest równoległy do krawędzi bocznych graniastoslupa).
Równoległo ścian (rys. 108) jest to graniastosłup, którego
podstawą jest równoległobok. W równoleglościanie wszystkie cztery
przekątne przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w tym punkcie
na połowy.
Rys. 108 Rys. 109
Prostopadłościan jest to równoległościan, którego wszystkie
ściany są prostokątami. W prostopadłościanie (rys. 109) wszystkie
przekątne są równe. Jeżeli a, 6, c są krawędziami prostopadłościanu
wychodzącymi z jednego wierzchołka, a d jest przekątną
prostopadłościanu, to d* — a2+b*+c*, V — abc, S = 2{ab+be-\-ca).
Sześcian jest to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie
są równe. W sześcianie a = b — c, d2 = 3aa, V =■ cP, S = da2.
Ostrosłup (rys. 110). W podstawie leży dowolny wielokąt, a
ściany boczne są trójkątami mającymi wspólny wierzchołek, zwany
wierzchołkiem ostrosłupa. Ostrosłup nazywamy n-kątnym, jeżeli w
podstawie leży n-kąt. Ostrosłup ten ma n ścian bocznych, a łącznie z
podstawą ma ścian »+l. V = -^Fh.
4. Wielościany
221
Jeżeli ostrosłup przecięty jest płaszczyzną równoległą do
podstawy, to
SAt SBt SCi
A^A B±B Cfi
pole ABCDEF
5QŁ
so
pole A1BlC1D1E1Fl \ S01
gdzie SO jest wysokością ostrosłupa, tj. prostą prostopadłą do
podstawy, wychodzącą z wierzchołka.
Rys. 110
Ostrosłup jest prawidłowy (rys. 111), jeżeli jego podstawą jest
wielokąt foremny, a spodkiem wysokości jest środek tego wielokąta.
Dla ostrosłupa prawidłowego M = -^pa, gdzie p jest to długość
obwodu podstawy, a a jest to wysokość ściany bocznej.
Czworościan jest to ostrosłup trójkątny (rys. 112). Jeżeli OA =
= a, OB = b, OC = c, BC = p, CA =q, AB = r, to «
0 r8 o2 a2 1
r2 0 p*b2 1
q2 p2 0 ca 1
a3 b2 c2 0 1
11111
Ostrosłup ścięty (płaszczyzna przecięcia jest równoległa do
podstawy, rys. 113). Jeżeli F if są to pola podstaw, h jest to wysokość
(odległość między płaszczyznami podstaw), ai A dwa odpowiadające
sobie boki podstaw, to
V2 =
1
288
O O wyznacznikach — patrz str. 183.

222 III. Geometria
Dla ostrosłupa ściętego prawidłowego M = y(P+/»)aj gdzie P
i p są to długości obwodów podstaw, a a jest wysokością ściany
bocznej mającej kształt trapezu równoramiennego.
Rys. 112 Rys. 113
Pryzma. Podstawami są prostokąty leżące w dwóch płaszczyznach
równoległych; przeciwległe ściany boczne są jednakowo nachylone do
Rys. 114 Rys. 115
podstawy, ale po przedłużeniu nie przecinają się w jednym punkcie
(a więc pryzma nie jest ostrosłupem ściętym) (rys. 114). Jeżeli o, b
i Ci, bi są bokami podstaw, h — wysokością pryzmy, to
K = -i-ń[(2a+ai)6 + (2fli+a)6i] = ^[cfc+Ca+cO C&+6i)+Oi6i].
Klin. Podstawą jest prostokąt, a ścianami bocznymi są dwa
trapezy równoramienne i dwa trójkąty równoramienne (rys. 115). V =
Wieiościan foremny jest to wieiościan, którego wszystkie ściany
są wielokątami foremnymi równymi i wszystkie kąty bryłowe są równe.
Istnieje pięć wielościanów foremnych (rys. 116), dane o nich patrz
w tablicy.
4. Wielościany
223
Elementy wielościanów foremnych
(o — długość krawędzi)
Nazwa
czworościan
(tetraedr)
sześcian
(heksaedr)
ośmiościan
(oktaedr)
dwunasto-
ścian
(dodekaedr)
dwudziesto-
ścian
(ikosaedr)
Liczba ścian
i ich kształt
4 trójkąty
6
kwadratów
8 trójkątów
12
pięciokątów
20
trójkątów
Liczba

krawędzi
6
12
12
30
30


chołków
4
8
6
20
12
Pole
całkowitej
powierzchni
1,7321a3
6<za
3,4641 a2
20,6457 a2
8,6603 a2
Objętość
0,1179 a3
o3
0,4714 a3
7,6631 a3
2,1817 o3
Twierdzenie Eulera. Jeżeli w jest to liczba
wierzchołków wielościanu, s — liczba ścian i k—liczba krawędzi, to zo+s —
= k+2 (pod warunkiem, że wieiościan jest wypukły, lub że można
w sposób ciągły przekształcić go na wypukły).
Przykłady — patrz w tablicy wielościanów foremnych.
Rys. 116
S. Bryły krzywopowierzchniowe
Oznaczenia: V — objętość, 5 — pole powierzchni całkowitej,
M - pole powierzchni bocznej, h — wysokość, F — pola podstawy.
Powierzchnia cylindryczna (rys. 117) jest utworzona przez linię
prostą (tzoorzącą) przesuwającą się równolegle do obranego kierunku
wzdhiż pewnej krzywej (kierującej).

224 III. Geometria
Walec jest to bryła ograniczona powierzchnią cylindryczną o
kierującej zamkniętej oraz dwiema płaszczyznami równoległymi
stanowiącymi podstawy walca. Za kierującą powierzchni walcowej można
przyjąć kontur którejkolwiek z podstaw walca. Dla dowolnego walca
Rys. 117 Rys. 118
(rys. 118): M = sl — ph, gdzie s oznacza długość obwodu przekroju
normalnego, Z — tworzącą walca, p — długość obwodu podstawy, h —
wysokość walca. V =Ql =i%, gdzie Q oznacza pole przekrojn
normalnego, a F— pole podstawy walca.
Walec obrotowy ma w podstawie, koło, a tworzące są
prostopadłe do płaszczyzny podstawy (rys. 119):
M=2nrh, S = 2nr(r+h), V = nr*h,
gdzie r jest to promień podstawy, a h — wysokość walca.
Rys. 119 Rys. 120
Walec obrotowy ukośnie ścięty (rys. 120). Podstawa
eliptyczna ma pólosie b = r i a=y r^+^ihi—h^ , gdzie r jest
promieniem walca, a A, i hz oznaczają najmniejszą i największą tworzącą
walca ściętego.
5. Bryły krzywopowierzchniowe
225
Pole podstawy eliptycznej F':
F'=nabt M=nr(hi+ht)3 S = nrir+a+h^hz),
V = ±itr*(hl+hs).
Ścinek walca obrotowego (rys. 121; a = ~q> w radianach):
V = -^[a(3r*-a*) + 3r\b-r)a-] = hC_ Lfaa-?^~a<ma[,
M = -2f-\.{b-r)a+a\.
Wzory pozostają prawdziwe w przypadku gdy b> r, q>> it.
Rys. 121
Rys. 122
Rura cylindryczna (rys. 122). R i r są to: promień zewnętrzny
i wewnętrzny rury, Ó = R—rfgrubość ścianki rury), q =
R + r
(średni
promień rury):
V>= 7rA(Ks-ra) = nhS(2R-S) = nhS(2r+8) « 2nhSQ.
Powierzchnia stożkowa utworzona jest przez linię prostą
mającą jeden punkt stały (wierzchołek) i przesuwającą się wzdłuż linii
krzywej (kierującej) (rys. 123).
wierzchołek
Rys. 123
Rys. 124

226
III. Geometria
Stożek (rys. 124) ograniczony jest powierzchnią stożkową o
kierunkowej zamkniętej oraz płaszczyzną stanowiącą podstawę stożka.
Za kierującą powierzchni stożkowej można przyjąć kontur podstawy
stożka. Dla dowolnego stożka V = -^Fh.
Stożek obrotowy (rys. 125) ma w podstawie koło, którego
środek jest spodkiem wysokości stożka:
Af= jtr/ = nrj/r2+A2 ,
gdzie r jest to promień podstawy, h
stożka.
wysokość, a / — tworząca
Rys 125
Rys. 126
Stożek obrotowy ścięty (rys. 126):
l = \/h3+{R-ry , M =7d(R+r), V
hr _ kR
~ R-r'
= -Źnh(Rz+r*+Rr),
H = h +
R-r
Przecięcia stożkowe — patrz str. 275.
Sfera (powierzchnia kuli). R jest to promień kuli, D = 2R —
średnica kuli (rys. 127). Każdy przekrój płaszczyzną jest kołem. Koło
wielkie (o promieniu R) jest to przekrój sfery
płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. Przez
każde dwa punkty sfery (nie będące
przeciwległymi końcami średnicy) można zawsze
poprowadzić jedno i tylko jedno kolo wielkie. Mniejszy
łuk tego koła wielkiego stanowi najkrótszą
odległość na sferze pomiędzy danymi punktami.
O geometrii na sferze patrz str. 244.
Fole powierzchni kuli:
S = 4ni?a«=12,57KS
S = nX>a*s3,142Z>3, 5 = j/36rc7*^ 4,836 Yv*. Rys. 127
5. Bryły krzywopowierzchniowe
Objętość kuli:
V = ~nR^A,\mR\ V = 1rD»^ 0,52360°,
227
Promień kult:
1 /ja
V = "g- 1/ — ~ 0,09403 y>.
1 f~^~ 3 r~—
* = T ]/^~ 0,2821 j/s, * = 1/^-0,6204^.
Rys. 128
Rys. 129
Odcinek kuli (rys. 128):
aB = k(2łt-h), M = 2itRh = itCaHA2) = ni2,
S = K(2Rh + a>) - *(/,*+2«*), V = ±nh(.3a*+h>) = \nh* CR-h).
Wycinek kuli (rys. 129):
S = ]tR(2h+a)> y = ^nR2ht
Warstwa kulista (rys. 130 i 131):
l 2h j' Af = 2^A, S = n(2Rh + a2+b*),
V = ~nh(3a*+3b*+h*).
Jeśli przez VY oznaczymy objętość stożka ściętego wpisanego w war-
stwę kulistą, to V~Vl=±nhP, gdzie / jest tworzącą stożka.
Rys. 130
Rys. 131

228 III. Geometria
Torus (rys. 132) jest to bryła utworzona przez obrót kola dokoła
osi lezącej w płaszczyźnie tego kola i nie przecinającej go:
S = 4ny?r~39,48i?r, S = Jt2Dd^9,870Dd,
V = 2k»/2tj~ I9,74flra, V = ±n*Dd*™ 2,467 Dd*.
Rys. 132 Rys. 133
Beczka (rys. 133). Jeżeli powierzchnia boczna beczki powstała
z obrotu łuku koła dokoła prostej leżącej w jego płaszczyźnie,
objętość beczki oblicza się według wzorów przybliżonych:
V = 0,262fc(2Da+<*2) lub V « 0,0873ft(2D+d)*.
Dla beczki powstałej z obrotu łuku paraboli stosuje się wzór
V = ±nh(2D*+Dd+^d*)=0,05236h(8Dz+4Dd+3d*).
IV. TRYGONOMETRIA
A. TRYGONOMETRIA PŁASKA
1. Funkcjo trygonometryczne
Miara łukowa kąta. Na równi ze stosowaną praktycznie miarą
kąta wstopmach w zagadnieniach teoretycznych stosuje się miarę
łukową. Kąt środkowy a w dowolnym kole mierzy się stosunkiem
długości łuku /, na którym ten kąt się opiera, do długości promienia
tego koła r.
I
a = —.
r
Przy tym sposobie mierzenia kątem jednostkowym jest radian, jest
to kąt środkowy w kole oparty na łuku, którego długość równa się
promieniowi koła:
180°
I radian = —^— = 57°I7'44,8" =
= 57,2958° = 3437,75' = 206264,8",
1° = -^r-radiana = 0,017453 radiana.
180
Zamianę miary stopniowej na łukową i odwrotnie wykonuje się
według wzoru
n J. . 180°
a° =a ■■■-■■■■■ radiana, a radianow = a .
180 b
W szczególności 360° = 2re radianow, 180° = n radianow, 90° =
= -^n radianow, 60° = -jn radianow, 45° = -jn radianow, 30° = -^n
radianow.
Tablice zamiany stopni na radiany — patrz str. 82 i 83-
Przy użyciu miary stopniowej we wzorach matematycznych nigdy
nie pomija się oznaczenia stopnia, natomiast przy użyciu miary łu-

230
IV. Trygonometria
kowej kąta podaje się samą tylko liczbę, bez oznaczenia jednostki
miary (radiana). Na przykład dla sumy kątów a, /ł, y dowolnego
trójkąta możemy napisać
a+0_|_y=18O° iub a+p+y=n.
Określenia. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można
określić z trójkąta prostokątnego (rys. 134):
fl . b
sinus: sina = -—,
tangens: tg a = -=-,
secans: sec a =
cos a
c
T*
cosinus: cosa = —,
c
1 b
cotangens: ctg a = = —,
tga a
1 c
cosecons: cosec a = —: =s —
sma a
Do wyznaczenia funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta shiży
kolo trygonometryczne (rys. 134), w którym kąt a mierzy się od po-
Rys. 134
czątkowego, stałego ramienia OA do końcowego, ruchomego ramienia
OC w kierunku przeciwnym obiegowi wskazówki zegara (jest to
dodatni kierunek odmierzania kątów).
Koło trygonometryczne dzieli się na cztery ćwiartki: I (od 0° do
90°), II (od 90° do 180"), III (od 180° do 270°), IV (od 270° do360°).
Jeżeli promień kola trygonometrycznego oznaczymy przez r, to
funkcje trygonometryczne kąta a określimy za pomocą wzorów:
sina =
tga =
seca =
BC
T'
AD
T'
OD
cosa —
ctg a
coseca =
OB
r ;
EF
r
OF
Zazwyczaj przyjmuje się r = 1.
1. Funkcje trygonometryczne
231
Znaki. Funkcjom trygonometrycznym przypisujemy określone
znaki zależnie od tego, w której ćwiartce koła trygonometrycznego
(rys. 134) leży promień ruchomy OC, według następującej tablicy:
ćwiartka
I
II
III
IV
sin
+
+
—
—
cos
+
—
_
+
tg
-U
—
+
ctg
+
—
+
sec
+
+
cosec
+
+
—
Zakres wartości funkcji trygonometrycznych
sinus i cosinus: od —1 do +1,
tangens i cotangens: od —co do -fco,
secans i cosecans: od — co do —1 i od +1 do -fco.
Wartości funkcji dla kątów będących wielokrotnościami 30° i 45°
podane są w tablicy na str. 233.
Przebieg zmiany funkcji trygonometrycznych przy
wzrastaniu kąta od 0° do 360° podają wykresy na rysunku 135. Krzywą y =
i II I i: III ii
0 90° 180° 270° 360°
Rys. 135

232 IV. Trygonometria
= sinx, gdzie x jest wyrażone w mierze łukowej, nazywamy sinusoida.
Sinusoida jest szczególnym przypadkiem harmoniki} omówionej na
str. 237.
Wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta
odnajduje się według następujących reguł:
1. Jeżeli kąt jest większy od 360°, to funkcję sprowadzamy do
funkcji kąta pomiędzy 0° a 360° (a tangens i cotangens do kąta pomiędzy
0° a 180°) według następujących wzorów:
sin(»-360°+a) = sina,
cos(«-360°+a) = cosa,
tgC«.180o+a) = tga,
ctg(n-180°+a)=ctga,
gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.
2. Jeżeli kąt jest ujemny, to funkcję sprowadzamy do funkcji kąta
dodatniego według wzorów:
sin(—a) = —sina,
cos(—a) = cos a,
tg(-a) - -tga,
ctg(—a) = — ctga.
3. Jeżeli 90° < a < 360°, to funkcję sprowadzamy do funkcji kąta
ostrego według wzorów redukcyjnych'.
Funkcja
sin£
COSj?
tg/f
ctg£
£ = 90°±a
-fcosa
Tsina
=fctga
q=tga
£=180°±a
Tsina
—cosa
±tga
±ctga
£^270°±a
— cosa
±sina
Tctga
Ttga
£ = 360°-a
— sina
4. cosa
-tga
— ctga
4. Jeżeli kąt jest ostry: 0° < a < 90°, to wartość funkcji
odnajdujemy z tablic (str. 55-58).
Na przykład sin(-1000°) = -sinlOOO0 = -sin(2-360°+280°) =
= —sin280° « + cosl0° = +0,9848 C1).
C1) Wartości funkcji katów podanych w radianach odnajdujemy z tablic na str. 59 -
- 63, ułożonych dla wartości argumentów od 0,00 do 1,60. Jeżeli dany kąt przekracza
granice tablicy, to posługujemy się tymi samymi wzorami redukcyjnymi i regułami,
co dla kątów mierzonych w stopniach, na przykład sin(2rc+x) — sin*, sin(2jr—x) =
= — sin*.
I. Funkcje trygonometryczne
233
Wartości funkcji trygonometrycznych
dla funkcji będących wielokrotnościami 30° i 45° (-r-n i xn
Funkcje
sin
cos
Ig
Mg
sec
cosec
Kąty I ćwiartki
0°
0
0
1
0
^fco
1
=Foo
30°
1
1
7
&
&
/7
2 r-
2
45°
1
— JE
4
¥*
4^
i
i
/7
/7
60°
1
7"
&
i
T
/7
1/7
2
¥*
90°
1
1
0
i00
O
±°°
I
Kąty II ćwiartki
120°
2
7^
1
2
~/7
-ivs
-2
&
135°
3
i/7
Ą^
-i
-i
~/7
/a"
150°
5
1
2
4/J
-1^
-/T
4/3
2
180°
Jt
0
-1
0
-I
±oo
Funkcje
sin
cos
tg
ctg
sec
cosec
Kąty III ćwiartki
180°
it
0
-1
0
Too
-1
±oo
210°
4-
1
2
4^
i/3
1/3-
4^
-2
225°
4-
4^
-i/7
1
1
-t/2
-/7
240°
4-
4^
1
~2~
^7
i/T
-2
2
-T/7
270°
4-
-1
0
±°°
0
^oo
-1
Kąty IV ćwiartki
300°
,4.
-y/3
1
7
-/7
-^
2
2
-y/7
315°
4-
4^
kn
-1
-1
/7
-/7
330°
4-
1
~ 2
¥*
4/t
-/3
f/3
-2
360°
2w
0
1
0
^OO
I
^oo

234 IV. Trygonometria
2. Podstawowe wzory trygonometrii
Funkcje jednego kąta:
8 sina
sinaa+cosaa = 1, —— — tga3 smacoseca = 1,
cosa
sec'a—tgaa= 1, cosaseca = 1,
, „ , cosa
cosecaa—ctg2a = ls —.— = ctga, tgactga= 1.
sina
Wyrażenie jednej funkcji trygonometrycznej przez inną
funkcję trygonometryczną (tego samego kąta):
suia = el/l — COS2a = r\ — = e =
j/l+tgaa j/l+ctg2a
_ „ j/sec'a— 1 _ 1
seca cosec a '
/- . , 1 ctga 1
cosa= »y 1—sin2a = « . — = b ■■ — = =
j/l+tg2a j/l+ctg2a seca
„j/cosec2a-l
— V- ■ y
coseca
sina l/l—cos8 a 1 /—s
tga = « — —gj. = = #i/sec2a — 1 «
Yl-sin2a cosa ctga
1
= #■ —/ ' '' " '
ycosec2a—l *
i/l — sinaa cosa 1 n 1
ctga = ri t—. == e ,, - = __ = # =
sma j/l-cos2a *g« ysec2a-l
= 0y/cosec2a—T,
gdzie e, r} i & oznaczają odpowiednio znaki wartości funkcji sina, cosa
i tga dla danego kąta a.
Funkcje sumy i różnicy kątów:
sin(a±j?) = sinacosjJicosasinj?, cos(a±0) = cosacos0=Fsmasin0,
sin(a+/3+y) = sinacos^cosy+cosasin^cosy+
+cosacos0siny—sinasin^siny,
cos(a+/J+y) = cosacosjjcosy—sinasin^cosy—
— sinacos/Ssiny—cos a sin ^ siny,
2. Podstawowe wzory trygonometrii 235
K(a i8]y)- tga+tgg+tgy-tgatgfftgy
l-tgj?tgy-tgytga-tgatgj?*
ctefa+fi+y) = «8«ctggctgy-ctga-ctgff-ctgy
" ctgj?ctgy+ctgyctga+ctgactgj?—1'
Funkcje kątów wielokrotnych:
sin2a = 2 sina cos a,
cos2a = cos2a—sin2a = 2cos2a —1 = 1 —2sin2a,
sin3a = 3sina—4sin8a,
cos3a = 4cosaa~3cosa,
sin4a = 8cos3asina—4cosasina,
cos4a = 8cos4a—8cos2a + l,
2tga „ 3tga—t^a , 4tga—4tgsa
^Hon~ ^g2*2-1 ^„*„_ ctgs«-3ciga
C*2a—2c*5T' ag3a= 3cigaa_l >
= cig'a-ectg^a+l
4ctg3a —4ctga
Przy obliczaniu sin na i cos na dla większych wartości n dogodnie
jest używać wzoru de Moivre'a dla liczb zespolonych (str. 621) (1):
coswa+isinmz = (cosa-f-:sina)» =
= coswa+:ncosn-lasina— I I cos"~2asinaa —
/«\ in\
—1\. I cosw-3asin8a+ lcosB~*asin4a+ ...,
skąd
cosna = cos"a—I j cosn-2asinaa+( I cosn~*asin*a—
\2/ \4 /
'n
— I I cos»-easin8a+ ...,
sinna= ncos^asina-i ) cos«-3asinsa+ |gj cos-^asitfa-...
0) Symbol Newtona I I jest objaśniony na str. 206 i 207.

236 IV. Trygonometria
Funkcje kąta połówkowego:
„i., 2„ -• /*- —cosa
^ p 1-J-cosa si
cosa sina
sina 1-i-cosa
z \ 1 —cosa si
-fcosa
i
cosa sina
sina 1 — cosa'
gdzie e, r/ i # oznaczają odpowiednio znaki wartości funkcji sin-^-a
ii i 2 "
cos-^a, tgya dla dowolnego kąta —a.
Suma i różnica funkcji:
sma+stoĆ = 2sm^t^ cos^l
*i 2
sina-sin^ = 2cos^sin^,
cosa+cos^ = 2cos^t£ cos^^j
2 2
cosa— cos£ = —2sin^J^ sin ^Ą
1+C08o = 2c««i«, l+sina = 2cos^n-|«)=2sins(-i-łt + 4«),
l-cosa=2sin=ia, 1-sina = 2sln*(i.*- Aa) = 2cos«(l« + i«),
tg«±,g,l=*£±0 tga+ctg0 = ^^,
cosacos/? k -r sc cosasin/?
ctga±ctg/*=±-$^, ctga-tg*- ^±^.
sinasin/J * l^ sinacosjS
Iloczyn funkcji:
sinasin/? = A[cos(a-0)-cos(a-f #],
cosacos^ = -^[cosCa-j^+cosCa+j?)],
sinacos? = A[sin(a-j9)+sin(a+j3)],
2. Podstawowe wzory trygonometrii 237
sinasin £ siny = -^-[sin(a-i-/?— y)+sinG?-i-y—a)+
+ sin(y+a~«-sin(a+^+y)],
sin acos/3 cosy = -^-[sin(a+^— y)— sinG?-J-y—a)-J-
+ sin(y+a-)5)-sinCa+^+y)],
sinasin/Jcosy = -ę [— cos(a-j-0—y)+cos(/?+y—a)-j-
-f cos (y+a- )3)- cos (a+ /Hy)!U
cos a cos jffcos y = -j [cos (a -f 0- y) -J- cos 0?-J-y—a) -f-
+ ccs(y+a-^)+cosCa+^-J-y)].
Potęgi funkcji:
sinza = —(l — cQ$2a), sin*a = -j(3sina—sin3a),
cossa = i(l + cos2a), cosaa = A (cos 3a+3 cosa),
sin4a = -g-(cos4a—4cos2a+3),
cos*a = -g(cos4a+4cos2a-j-3).
Przy obliczaniu sinna i cos"a dla większych wartości n można
stosować kolejno wzory na cosna i sinna ze str. 23S.
3. Harmoniki
Określenia. W wielu zagadnieniach mechaniki i fizyki rozważa
się wielkości zależne od czasu t i wyrażające się wzorem
(1) w = ^4sin(a»t+ip).
Takie wielkości nazywamy harmonikami, a ich zmiany w
zależności od czasu nazywamy drganiami harmonicznymi. Wykres
harmoniki (rys. 136) można otrzymać odpowiednio przekształcając i
przesuwając sinusoidę. Parametr A (dodatni) nazywamy amplitudą drgai!
harmonicznych (jest to największe odchylenie punktu harmonik
od osi odciętych); parametr to (dodatni) jest to prędkość kątowa lut
ptdsacja drgań harmonicznych, a ę jest to faza początkowa.
Harmonika jest funkcją okresową o okresie 2* = 2n/co, wielkość 1/7* oznacz;
ilość drgań w jednostce. Okres T daje na wykresie harmoniki długoś<
jednej fali. Gdy A = li(o = liq> = 0, harmonika jest zwykłą sinu
soidą o długości fali T = 2ic. Wielkość ( = a»/2« = IfT nazywamy
czptoiliwoicią.
Wzór (1) można napisać w postaci
(2) u = asinn>:+&cosa»r,

238
IV. Trygonometria
przy czym A = \/as+bs , X.%<p = b\a\ związki między parametrami
a, b, A i <p można przedstawić jako związki między elementami
trójkąta prostokątnego (rys. 137).
Rys. 136
Rys. 137
Działania na harmonikach. Suma dwóch harmonik o tej
samej częstotliwości w jest także harmoniką o częstotliwości co:
Alsm((ot+^>{)+A2sin((at+ę!i) = ^sin(e>*+9>)»
gdzie
, ^■sino^+^sSinc'B
A = VA*+Al+2AlA*co^-<pl)3 rg^-^-J^-—-.
Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości
jest również harmoniką o tej samej częstotliwości:
^ciAisin(0t+(p{) = Asia(oit+ipy,
i
A i y> odnajdujemy graficznie na wykresie wektorowym.
Wykres wektorowy harmonik. Harmonikę (1) lub (2)
dogodnie jest przedstawić na płaszczyźnie w postaci wektora a, którego
początek leży w punkcie O, a koniec ma współrzędne biegunowe
i
R-
-i
ii
■■
ł A /
£"w\ \
0
h
X
Rys. 138
Rys. 139
3, Harmoniki
239
q = A3 *p albo współrzędne prostokątne * = a, y = b (str. 255 i 256).
Obrazem sumy dwóch harmonik jest wektor stanowiący sumę
wektorów wyrażających poszczególne składniki (rys. 138)* a obrazem
kombinacji liniowej kilku harmonik 0x^+0^2+ ... +cnUn jest odpowiednia
kombinacja liniowa wektorów wyrażających dane harmoniki ul}
«2, ...,«n. Takie przedstawienie harmonik nazywamy wykresem
wektorowym harmonik.
Wartość u odpowiadającą danej chwili t otrzymuje się na wykresie
wektorowym w sposób następujący;
Oś Oy obracamy dokoła punktu O (rys. 139) o kąt cot zgodnie
z obiegiem wskazówek zegara i otrzymujemy oś OP, tak zwaną oś
czasu. Mówimy, że oś czasu obraca się ze stałą prędkością kątową tu.
W chwili początkowej (t = 0) oś czasu pokrywa się z osią Oy. Wtedy
rzut ON rozważanego wektora u na oś czasu jest dla każdej chwili
t równy harmonice u = Asm(a>t+y>). Gdy r = 0, mamy rzut
«o = Asiny wektora u na oś Oy (rys. 138).
4. Rozwiązywanie trójkątów
Trójkąt prostokątny. Oznaczenia: a, b — przyprostokątne, c —
przeciwprostokątna, A, B — kąty naprzeciw boków a i b.
Związki podstawowe:
a = csin^ = ccosB, a = btgA = bctgB,
Dane
c, A
a, A
a, c
a, b
Wzory
do wyznaczania pozostałych elementów
B = 90°-A,
B = 90°-.4,
• A a
smA = —i
c
A a
tSA=r
a~csinA3 b — ccosA
sin A
b = ccosA, B=90°—A
sax A
Trójkąt ukośnokątny. Oznaczenia: a, b, c — boki, A, B, C —
przeciwległe kąty, 5 — pole, R — promień koła opisanego, r —
promień koła wpisanego, p — połowa obwodu trójkąta (p = y(a+6+c)|.
Związki podstawowe:
a b c
1. ——. = ~^-= = -r-z=, ~ 2R (wzór sinusów, twierdzenie SnelUusa),
sin^ smfi sinC v

240
IV. Trygonometria
2. aa = 62+ca—2bccosA (wzór coHnusów^, twierdzenie Carnota).,
a+b tg|(/4 + B)
3. ——r-*—-, = ctgTCctgT(.4-B) (wzór tangensów,
*-» Xg±(A~B)
twierdzenie Regiomontana),
4. S = ~absinC =
— 2K!sin/4sinBsinC — pr = ]/p(p~a)(p-b)(p-c).
Dalsze związki:
asinB
tg/4 =
c—acosB '
mT"V Fe
:0ST = 1/—&T~
A _ /(p-6) (p-c)
(wzory połówkowe),
p(p~a)
a+b cos[l(/4-B)] cos\±(A-B)\
COS
sinyC
&A+B)]
a_b_ sin[^C/4-B)] sin[l(/4-B)]
c sin[y(/4+B)] cosyC
(wzory Nepera).
Obliczanie odcinków związanych z
trójkątem:
Wysokość na bok a: ha = fcsinC = csinB.
Środkowa boku a: ma = yi/&"a+ca+26ccos/4 .
Dwusieczna kąta A: Ia —
2bccos-^A
Promień koła opisanego: R =
b+c
a
2sin/4 2sinB 2sinC'
4. Rozwiązywanie trójkątów
Promień koła wpisanego:
241
..y<s=^sp=A.j.t^A^Bvy!.
= (p-a)tg\A = 4i?sin-^-/4sin-^-BsinTC *-
a%m-=-BsmwC
cos-/!
Dane
Wzory do wyznaczenia pozostałych elementów
1. Bok i dwa
kąty:
a,A,B
C = 180°-/4-B, fc =
asinB
sin/4 '
asinC _ i , . _
c = —r-—r> S = -^absmC
sin/4 2
2. Dwa boki i kąt
między nimi
zawarty:
a,b, C
A-B a~b C
A + B = 90°-±C,
2 » 2
po otrzymaniu A+B i /l— B znajdujemy A iB,
asinC
sin/4 *
5 = ya&sin C
sinB =
bsinA
3. Dwa boki i kąt
naprzeciw
jednego z nich
a, b, A
jeżeli a 3* b, to B < 90° i ma tylko jedną wartość;
jeżeli a < b, to
1° B ma dwie wartości, gdy bsinA <a(Bs =
= 180°-BO,
2° B ma jedną wartość (90°), gdy bsinA = a,
3° trójkąt nie istnieje, gdy bsinA > a,
C=180°~(A+B), c = ^?C
sin/4 '
S = ^afisinC
p = a+^+c, S - yW~a) (P-6) Cp-c),
4. Trzy boki:
a, b, c
A r
r =
B
p-6
C r

242 IV. Trygonometria
5. Funkcje cyklometryczne
(odwrotne funkcje trygonometryczne)
Określenia. Funkcjami cyklometrycznymi zmienne} x (odwrotnymi
funkcjami trygonometrycznymi) nazywamy funkcje określone
równaniami:
y = arcsinx (czytamy: arcus sinus x), jeżeli — 1 ^ x^ 1, x = siny
i —?ir«^«-=-ir,
Rys. 140
y = arccosx (czytamy: arcus costnus x)3 jeżeli — I ^ x ^ I, x = cos.y
i Osj .y < it,
.y = arctgx(czytamy: arcus tangens x), jeżeli x = tgj> i — yit < .y < -jitj
.y = arcctgx (czytamy: arcus cotangens x), jeżeli x — ctgx i 0 < _y < n.
Przykłady:
arcsin0 = Oj arccos-^ =-j?ts arctgl = -r-it,
arcctg(-j/3~) =~x.
Wykresy funkcji cyklometrycznych podane są na rysunku 140.
Wyrażanie jednych funkcji cyklometrycznych przez inne
it
2
... n x
arcsinx = — arcsin(—x) = — —arccosx = arctg
j/l-X2'
. . n x
arccosx = n—arccos(-x) — — — arcsin* = arę erg 3
2 /l—xa
5. Funkcje cyklometryczne 243
It X
arctgx = -arctg(-x) = - -arcctgx = arcsin ~7j="»
it x
arcctgx = it-arcctg(-x) =^ -arctgx = arccosy==.
Ponadto dla dodatnich wartości x zachodzą związki:
,— i/r^x"a
arcsinx = arc cos ]/l —x2 = arcctg — ,
, i/r^x*
arccosx = arcsin]/1—xa — arctg —,
1 ~ *
arctgx = arc cos - ■ _- =arcctg —j
B ]/l+x2 x
1 ♦ J
arcctgx = arcsin—=- = arctg — .
yl+x2 x
Podstawowe związki pomiędsy funkcjami
cyklometrycznymi
arcsin#-|-arcsiny = arcsin (x]/l—yz+y]/l—x2)
(x.y<0 lub «*+y<I)
= n—arcsin (x]/T-.y2 +y/t—xt)
(x>0, y>0 i x?+y*>l)
= -it—arcńn(x)/T^y* +y]/l-x*)
(x<0, y<0 i *"+y>I)»
arcsinx-arc sury = arcsin(x]/l — y2 — .yj/l-xa)
(xy > 0 lub &+y* ^ 1)
«= jt-arcsin(x j/I—y -.y j/l —*')
(x>0, .y < 0 i x2+y*>l)
« -rt-arcsin(xj/l-y -yj/I^x2")
(x<o, .y> o i *»+y>i),
arccosx + arccos.y =arccos(x.y— j/l— x2 j/l — y) (*+.V > 0)
=*2ic-arccos(x.y- j/l-x2 ]/l-y2) (x+y < 0),
arccosx—arccos^ = — arccos(xj>+]/l— xa \/l— y2) (x > y)
= arc cos
arctgx+arctgj- — arctg-—-— (xy < *)

244 IV. Trygonometria
= n+arctg-—^- («> o, xy> 1)
\—xy
x+.
l—xy
= -n+arctg * * (*<0, xy> 1),
arctgx-arctg;y = arctg-^^- (xy>_l)
= it+arctg ~jL (ac > o, Xy<-1)
= -n+arctg^=^ (x < o, xy< -1),
2arcsin* = arcsin(2xj/l —x2) (i*K -7=)
= n—arcsin(2xj/l—a?) I ~7=<*< 1J
= -n-arcsin(2xj/l-**) l-lśx<-~\ ,
2arccos% = arccos(2xa—1) (0^x^ 1)
= 2it-arccos(2x*-l) (-1 ^ x < 0),
2arctg* = arctg^--^ (W < t)
2x
= n+arctg^—^ (*> 1)
= -«+arctg^-^ (*<-l),
cos(narccosx) = 2»-ir«Cac) (« js i) (i),
gdzie
■'n W 2i~ "*
Gdy n jest całkowite, T„(x) jest wielomianem względem x
(wielomianem Czebyszewa).
B. TRYGONOMETRIA SFERYCZNA
6. Geometria na powierzchni kuli
Linie geodezyjne na kuli. Przecinając kulę płaszczyzną
przechodzącą przez jej środek otrzymujemy na jej powierzchni (na sferze)
tak zwane kolo wielkie, którego promień równa się promieniowi kuli.
C1) Wzór jest prawdziwy dla niecałkowitych wartości n.
6. Geometria na powierzchni kuli
245
Przez każde dwa punkty A i B na powierzchni kuli, nie będące końcami
tej samej średnicy kuli, można poprowadzić tylko jedno koło wielkie;
mniejszy łuk tego koła AaB (rys. 141) jest najkrótszą ze wszystkich
linii na powierzchni kuli łączących te punkty, na przykład łuk koła
wielkiego AaB jest mniejszy niż łuk AbB każdego innego koła
łączącego na powierzchni kuli punkty A\B. Taki łuk koła wielkiego
nazywamy linią geodezyjną na sferze (*); linie geodezyjne na powierzchni
kuli odgrywają taką rolę, jak proste na płaszczyźnie.
Pomiary łuków i kątów na sferze. Długość łuku koła
wielkiego >~" a odpowiadającego kątowi środkowemu a (wyrażonemu w ra-
Rys. 141 Rys. 142
dianach) równa się Ra, gdzie R jest promieniem kuli; dla jednej i tej
samej sfery wygodnie jest przyjąć promień za jednostkę miary łuków;
wtedy ^ a = et. W dalszych wzorach przyjęto R = 1.
Kąt ABC utworzony na sferze przez dwa łuki koła wielkiego
(rys. 142) mierzymy za pomocą kąta liniowego A'BC między
stycznymi w punkcie B do odpowiednich łuków, lub — co na jedno
wypada — za pomocą kąta dwuściennego ograniczonego płaszczyznami
OBA i OBC.
Trójkąty sferyczne. Trzy koła wielkie tworzą na sferze kilka
trójkątów sferycznych. Rozważmy ten z nich, który ma wszystkie boki
i kąty mniejsze od 180°. Boki a, 6, c trójkąta sferycznego mierzymy
kątami płaskimi kąta trójściennego OABC (rys. 143), gdzie O jest
środkiem sfery, natomiast kąty A, B, C trójkąta sferycznego
mierzymy kątami dwuściennymi tegoż kąta trójściennego.
Podstawowa własność trójkąta sferycznego. Suma kątów
A-i~BĄ-C trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°. Różnicę
t1) Patrz str. 338.

246
IV. Trygonometria
(A+B+C)— n = S wyrażoną w radianach nazywamy przewyżką
sferyczną danego trójkąta sferycznego.
Pole trójkąta sferycznego: 5 — i2M, gdzie R jest promieniem sfery,
a S jest przewyżką sferyczną. Pole dwukąta utworzonego przez dwa
Rys. 144
półokregi kół wielkich (rys. 144): 5 - 2RM, gdzie &A dwukąta
wyrażony jest w radianach.
7. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych
Trójkąty sferyczne prostokątne. Oznaczenia: a, b — przypro-
stokątne, e — przeciwprostokątna, A i B — kąty przeciwległe bokom
a i b Crys. 145).
Związki podstawowe:
1. sina = sine sin ^4,
2. sinfr = sincsinB,
3. tga = sinfrtg.4,
4. tgfr = sinatgB,
5. cosc= cosacosfr,
6. tga sss tgccosB,
7. tg& =a tgccos.4,
8. cosB sb oozb&mA,
9. cos.4 = cosasinB,
10. cosc = ctg^4ctgB.
Dane
przeciwprostokątna c i kąt A
przyprostokątna a i kąt
przeciwległy A
przyprostokątna a i kąt
przylegający B
dwie przyprostokątne a i b
dwa kary A i B
Numery wzorów na
odszukanie pozostałych elementów
a CD,
*(%
b C4)=
c C5),
a (9),
b 0), B CIO)
c Cl), B C9)
c C6), A C9)
A (3), B(Ą)
b C8), c CIO)
7. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych 247
Wzorów 1-10 można używać według następującej reguły Nepera:
jeżeli rozmieścimy pięć elementów trójkąta sferycznego
prostokątnego na kole Cpomijając kąt prosty) w takiej kolejności, w jakiej wy-
Rys. 145 Ryg, 146
stępują w trójkącie i zastąpimy przy tym boki a i b ich dopełnieniami
do 90° (rys. 146), to:
1° Cosinus każdego z elementów jest równy iloczynowi
cotangensów dwóch przylegających do niego elementów.
2° Cosinus każdego z elementów jest równy iloczynowi sinusów
dwóch nie przylegających do niego elementów.
Rys. 147
Na przykład
cos^4 = ctgC90°—b)ctgc, cosC90°—a) = sinesnM.
Trójkąty sferyczne ukośnokątne. Oznaczenia: A} B, C —
kąty trójkąta, a, b, c — przeciwległe im boki trójkąta Crys. 147).
Związki podstawowe:
. sina sinft sine ...
1. —;—-r = —;—^ = . _ (wzór sinusów),
$m.A sinB sinC
2. cosa — costcosc+sintsinccos^4
3. oosA = — cos B cos C+sin B sin C cos a
4. sinactgfr = ctgBsinC+cosacosC,
5. sin-^ctgB = ctgtsinc— cos^4cosc.
{wzory cosinusów),

248
IV. Trygonometria
Dane
Numery wzorów
na odszukanie pozostałych
elementów
Trzy boki
a, b, c
Trzy kąty
A, B> C
Dwa boki a i b oraz kąt
między nimi zawarty C
Dwa kąty A i B oraz bok
między nimi zawarty c
Dwa boki a i b oraz kąt
przeciwległy jednemu z nich B
A (2),
a (3),
B (4),
* (5),
^ (1),
.BiC(l)
b i c (I)
A i c (I)
a i C CI)
£ C5), C CD
Dwa kąty AiB oraz bok
przeciwległy jednemu z nich £
a (I), C (4), e (I)
C. TRYGONOMETRIA HIPERBOLICZNA
8. Funkcje hiperboliczne f1)
Określenia funkcji hiperbolicznych. Sinus hiperboliczny (w
skrócie: sinh*)) cosinus hiperboliczny (w skrócie: cosh*) i tangens
hiperboliczny fw skrócie: tgh*) określamy wzorami
sinhx =
ex—e~*
cosh* =
«*+«-*
<rx
■*»~iq^
2 ' 2
gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych (patrz str. 164).
Geometryczne określenie funkcji hiperbolicznych jest analogiczne
do określenia funkcji trygonometrycznych (patrz str. 253 i 254).
Cotangens, secans i cosecans hiperboliczny określamy jako
odwrotności tangensa, cosinusa i sinusa:
I «*+«-*
ctghx =
tgh*
e*—e~
sech* =
I
coshx e^-f-e"
cosechje =
I
sinhx
e1—(T
C) Zebrane tu zostały wiadomości o funkcjach hiperbolicznych, analogiczne do
wiadomości o funkcjach trygonometrycznych.
8. Funkcje hiperboliczne
249
Przebieg funkcji hiperbolicznych przedstawiony jest na rysunku
148. Patrz także tekst na str. 118.
Tablice wartości funkcji hiperbolicznych — patrz str. 59 - 63.
Rys. 148
9. Związki między funkcjami hiperbolicznyml
Dla funkcji hiperbolicznych zachodzą wzory analogiczne do
wzorów dla funkcji trygonometrycznych (str. 234 - 236) C1).
Funkcje tej samej zmiennej
cosh2*—sinha* = I, sechBx+tgha* « 1,
ctgh2*—cosechax = 1, tghxctgh* — 1,
sinhx
cosh*
= tgh«,
cosh a:
sinh*
= ctgh*.
{') Wzory te można otrzymać z odpowiednich wzorów trygonometrycznych
według prostej reguły podanej na str. 251.

250 IV. Trygonometria
Wyrażenie funkcji hlperbolicznych przez inne funkcje hi-
perboliczne (tej samej zmiennej):
sinha: — e i/coshaa:— 1 = —-■■■■™ = e —-.- ■■■ — =
yi-tgh** Vctgh"x-1
— V/l-sechaa: _ 1
secha: cosecha:'
cosha: = ]/sinhaa:-|-l = . =e , =
yi-tghax Vctgh'x-l
_ 1 _ ^l+cosecfr'a:
sechx cosecha: '
sinha: i/cosh^a:— 1 *
V/sinhaar+l cosha: ctgha:
= «]/l—sechaa: =c ■, — ,
y 1 +cosechaa:
_ . i^&inhltx+l cosha: 1
ctgha: = * ... —
sinha: c j/cosha*—1 tg11*
= £7!^seĆl^=ev/cOSechfla:+1'
gdzie e = +1, gdy a:>0, i e = — 1, gdy x< 0.
Funkcje hlperboliczne sumy i różnicy dwóch zmiennych:
sinh(a:±j') — sinha:cosh;y±cosha:sinlr);,
cosh(a:±.y) = cosha:cosh.y±sinha:sinhy,
tghar±tghj-
_ , . , , lictgharctghj'
"*<**»- a+z±a*y
Funkcje podwojonej zmiennej:
sinh2a: = 2 sinha: cosha:,
cosh2a: = sinhaa:+coshaa:,
. „ 2tghx
2ctgha:
9. Związki między funkcjami hiperbolicznymi 251
Wzór de Moivre*a (patrz str. 235):
(cosha:± sinha:)" = cosh«#±sinhnx.
Funkcje połówki zmiennej:
. , i -_ /cosha:— 1 . i cosha:—1 sinha:
sinh^-a: = 6 1/ ^ , tgh-^a: = =-? = _-—_-
2 \ 2 * 2 sinha: cosha:+l
.1 -. / cosha:+l . i sinha: cosha:+l
cosh^a: = 1/ = 3 ctgh-^x = —z = -- ■ . ■.——,
2 \ 2 *^2 coshx—1 sinha:
gdzie e = +1, gdy a:> 0, i e = — 1, gdy a:<0.
Suma i różnica funkcji:
siima:+sinh:y = 2sinhy(a:+:y)cosh-^(a:—>>),
sinha:—sinhjy = 2sinh^(a;— yicosh-^ix+y),
coshai+coshj' = 2cosh-2"(a:+jj;)coshy(a:—y),
cosha:—coshj' = 2sinh-2"(a:+>')sinhy (x—y),
t&x+t&y-^+f,
cosha:coshj'
_ . . sinh(a:—^)
tgha:—tghjy = . —~,
cosharcosłry
Związki między funkcjami hiperbolicznymi i
trygonometrycznymi c1)
sina? = — i'sinh&» coss = coshis, tg£ = — itghisr, ctg2 = ictght2,
sinhz = — isiniz, coshs = costz 3 tgh£ = — itgiz, ctghz = ictgiz.
Każdy ze związków między funkcjami hiperbolicznymi amiennej
x lub ax (ale nie ax+b) może być otrzymany z odpowiedniego
związku między funkcjami trygonometrycznymi (str. 234 - 236), przez
zamianę sina na isinhx i cosa na cosha:. Na przykład wzór: cosaa-f-
+sinaa = l dzje cosh2a;+iasinhaa: = 1, czyli coshaa;—sinn2* = 1;
wzór sin2a = 2sinacosadzjeisinh2a: = ii'sinha: cosha:, czyli sinh2a: =
= 2 sinha: cosha:.
(*} O funkcjach zmiennej zespolonej — patrz sir. 624 - 627.

252 IV. Trygonometria
10. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych
Określenia. Funkcjami hiperbolicznymi odwrotnymi (area
funkcjami) zmiennej x nazywamy funkcje określone równaniami
y = arsinhx (czytamy: area sinus x), jeżeli x = sinhy,
y = arcoshx (czytamy: area costnus x), jeżeli x = ooshy i y *z Oj
y = artghx (czytamy: area tangens x), jeżeli — 1 < x < 1 i x = tghjy;
y = arctghx (czytamy: area cotangens x), jeżeli x> 1 lub x < — 1
i x = ctghjy.
Nazwa pochodzi od słowa area = pole, ponieważ odwrotne
funkcje hiperboliczne można przedstawić jako pole wycinka hiperbolicz-
nego (patrz niżej).
Wyrażenie area funkcji przez logarytmy. Zgodnie ze
wzorami na str. 248 i 249 mamy następujące wyrażenia area funkcji przez
logarytmy:
arsinha: = in(a:+]/x2+l )>
arcoshx = ± in (*+]/**— 1)» gdzie x Ss 1,
artgh* = ^lnj±^ Qx\ < 1),
i . x+l ,, .
arctgh* = TIn —- ( *| > 1).
Wykresy area funkcji — patrz str. 120 i 121.
Wyrażenia area funkcji przez inne area funkcje:
x
]/x2
X
arsinhx = earcoshj/x2-|-l = artgh —.— = arctgh
yWi
._ i/x* 1 x
arcoshx =earsinhyx2—l = e artgh-*- = earctgh-._^ zr,
* x ]/^f
artghx = arsinh — = earcosh -~ _■ = arctgh—,
yi-x* ]/l-;c2 x
arctghx = ar sinh — — — earcosh ■■ . = artgh—,
yx*-i ]/xa-i x
gdzie e = +1, gdy x > Oj i e = — 1, gdy x < 0.
10. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych
253
Niektóre związki między odwrotnymi funkcjami
hiperbolicznymi:
arsinhxiarsinhy = arsinh(a:]/l-l-.}>2 -±y\/T+x~z),
arcoshx±arcosh.}> = arcosh(:c>>±y'(#a — l)Cv2— 1)),
x±y
artghx ± artghy = artgh
l±xy'
11. Geometryczne określenie funkcji hiperbolicznych
W kole trygonometrycznym (str. 230) określiliśmy funkcje sina,
cos a, tga jako długości odcinków BC, OB, AD (gdy R = 1); zmienna
Rys. 149
Rys. 150
niezależna a jest kątem środkowym AOC. Za zmienną niezależną
można by przyjąć wielkość x równą polu (zakreskowanemu na
rysunku 149) wycinka COK o kącie środkowym równym 2a, ponieważ
x = "2-i?s-2a = a(/? = 1, et mierzone w radianach). A wiecsinx = BC,
cos* = OB, tgx = AD, gdzie przez x rozumiemy wspomniane pole
wycinka kołowego.
Rozważając analogiczne funkcje pola nie w kole o równaniu xs-\-
+y* = li lecz w hiperboli równoosiowej o równaniu x2—y3 = 1
(rozważamy tylko jej prawą gałąź) i oznaczając pole analogicznego
wycinka COK (zakreskowanego na rysunku 150) przez x, określamy
funkcje hiperboliczne: sinhx = BC, cosh* = OB, tghx = AD.
Obliczając za pomocą rachunku całkowego pole x (patrz str. 497)
mamy wyrażenia tego pola przez BC, OB i AD:
x = ln(BC+YBC*+l) - ln(OB+]/QB^T) = ImI±~?,

254 IV. Trygonometria
skąd otrzymujemy następujące wyrażenia funkcji hiperboUcznych
przez funkcje wykładnicze (przyjmuje się je także za określenia
funkcji hiperboUcznych):
ex—e~x ex-\-e~x
BC = ——— = sinh*, OB = —^— — cosh#,
CZĘŚĆ TRZECIA
GEOMETRIA ANALITYCZNA
I GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
L GEOMETRIA ANALITYCZNA
A. GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE
1. Podstawowe pojęcia i wzory
Współrzędne. Położenie dowolnego punktu P na płaszczyźnie
można określić za pomocą pewnego układu współrzędnych. Liczby
określające położenie punktu nazywamy współrzędnymi tego punktu.
Najczęściej używane są: kartezjański układ współrzędnych
prostokątnych i układ współrzędnych biegunowych.
Kartezjański układ współrzędnych prostokątnych powstaje w sposób
następujący: Przez dowolnie obrany punkt O zwany początkiem
współrzędnych prowadzi się poziomą oś Ox (oi odciętych) skierowaną
zazwyczaj w prawo oraz prostopadłą do niej oś pionową Oy (oi rzędnych)
skierowaną zazwyczaj w górę. Osie Ox i Oy nazywamy osiami
współrzędnych. Dla obu osi współrzędnych obiera się jednostkę miary
długości.
Chcąc wyznaczyć punkt P w układzie Oxy (rys. 151) znajdujemy
rzut Px punktu P na oś Ox oraz rzut Py punktu P na oś Oy. Odciętą x
punktu P nazywamy długość odcinka OPx
opatrzoną znakiem + lub — zależnie od
tego, czy punkt Px leży na dodatniej czy
^P(x,y) na ujemnej części Ox, a rzędną punktu P
i nazywamy długość odcinka OPv opatrzo-
! ną znakiem -f lub — zależnie od tego, czy
I punkt Py leży na dodatniej czy na ujem-
T nej części osi Oy (rys. 152). Liczby x i y
nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi
Rys. 151 gj^ współrzędnymi punktu P. Zapis P(a, b)
• oznacza, że punkt P ma współrzędne x =
= a, y = b. Znaki współrzędnych zależą od ćwiartki (kwadrantu)
płaszczyzny, w której leży punkt P (rys. 152). Punkty leżące na osi Ox mają

256 I. Geometria analityczna
rzędną y = 0, a punkty leżące na osi Oy mają odciętą x — 0,
wreszcie początek współrzędnych ma obie współrzędne równe 0.
Układ współrzędnych biegunowych (rys. 153) powstaje w sposób
następujący: Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O zwany
biegunem albo początkiem współrzędnych i kreślimy półprostą Ox
skierowaną zazwyczaj w prawo, tzw. oś biegunową, a następnie obieramy
jednostkę miary długości. Aby wyznaczyć położenie punktu P we
współrzędnych biegunowych podajemy długość q odcinka OP oraz kąt <p,
którego ramieniem początkowym jest półprostą Ox, a ramieniem
końcowym jest półprostą OP, przy czym kąt <p wyrażamy w radianach,
11 +
- 0
Iff -
+ I
+ y
+ X
- iv
X
y
i
+
+
ii
-
+
ni
-
_
IV
+
-
Rys. 152
opatrując go znakiem -f, jeżeli kąt jest dodatni (tj. liczony od osi
biegunowej w kierunku przeciwnym obrotowi wskazówki zegara), i
znakiem —, jeżeli kąt jest ujemny. Liczbę q nazywamy promieniem wodzą-
Rys. 153 Rys. 154
cym punktu P, a liczbę tp nazywamy amplitudą punktu P i zapisujemy
P(s»9)» przy czym biegun ma promień wodzący q= 0 i nie ma
określonej amplitudy; pozostałe punkty osi Ox mają amplitudę p = 2kn,
gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Promień wodzący q jest z
reguły liczbą nieujemną; niekiedy jednak używa się promieni
wodzących ujemnych przyjmując, że jeżeli q < 0, to punkt P(p, tp)
pokrywa się z punktem PQq\, p-j-n).
1. Podstawowe pojęcia i wzory
257
Bardziej ogólnym układem współrzędnych są współrzędne
krzywoliniowe, które powstają w sposób następujący: Przez każdy punkt
płaszczyzny przechodzą dwie krzywe należące do dwóch rodzin
krzywych, przy czym krzywe jednej rodziny zależą od parametru u, a
krzywe drugiej rodziny od parametru v. Wartości parametrów ui v dwóch
krzywych przechodzących przez punkt P nazywamy współrzędnymi
krzywoliniowymi tego punktu i piszemy P(u, v). Punkt P na rysunku
154 ma współrzędne krzywoliniowe u — a1} v = b3. W kartezjańskim
układzie współrzędnych rodzinami linii współrzędnych są rodziny
prostych równoległych do osi Oy i do osi Ox; parametrami tych linii
są x i y; w układzie współrzędnych biegunowych jedną rodziną linii
współrzędnych jest rodzina okręgów mających środek w biegunie O,
a drugą rodziną jest rodzina półprostych wychodzących z punktu O;
parametrami tych okręgów i półprostych są q i tp.
Rys. 156
Zamiana układu współrzędnych. Przy przejściu od jednego
układu współrzędnych do drugiego, współrzędne zmieniają się w
sposób następujący:
Przesunięcie równoległe osi współrzędnych
(rys. 155). Niech x, y będą współrzędnymi punktu P w danym układzie
współrzędnych Oxy, a x', y' współrzędnymi tegoż punktu P w nowym
układzie współrzędnych O'x'y', wreszcie a, b niech będą współrzędnymi
nowego początku współrzędnych O' względem dawnego układu Oxy;
osie O'x', 0'y' niech będą odpowiednio równoległe do osi Ox, Oy.
Wówczas zachodzą związki
x = a+x', y = bĄ-y',
czyli
x' = x—a, y' = y-b.
Obrót osi współrzędnych (17s- 156). Jeżeli obrócimy
układ współrzędnych Oxy dokoła punktu O o kąt <p (l), powstanie
C1) Kąt ę uważamy za dodatni, jeżeli obrót następuje w kierunku przeciwnym
do kierunku obrotu wskazówek zegara.

258
I, Geometria analityczna
nowy układ współrzędnych Ox'y' związany z dawnym układem
wzorami
x = x' cos <p—y' siny, y — x'singj+ycosy,
czyli
x' = xcos<p+ysin<p, y' = —xsiny+j'cosy.
Ruch na płaszczyźnie. W ogólnym przypadku zamiana
układu współrzędnych składa się z dwóch przekształceń: przesunięcia
równoległego (układ Oxy przechodzi w układ O'x'y') i obrotu (układ
O'x'y' przechodzi w układ 0'x"y").
Wzory:
x ~ a+x"cos<p— y'siny, y — b+x"$in.'p+y''co$<p3
czyli
x" = (x—a)cos<p+(y—b)siny, y" = (x—a)sm<p+(y—b)cos<p.
Zamiana współrzędnych prostokątnych na
biegunowe i na odwrót. Przyjmując początek
współrzędnych O za biegun, a dodatnią część osi odciętych Ox za oś biegunową
i biorąc dla kąta y dodatni kierunek obrotu, otrzymujemy (rys. 157):
skąd
x — QCOSfi y = gsincjj
o = \/xs+ys , cosip = ~i siny = —.
y
W*,*)
hfaty
Rys. 158
Odległość dwóch punktów. We współrzędnych kartezjań-
skich odległość punktów P-fcX3y^ i P&ctlyd (rys. 158) wyraża
się wzorem
d = y'C*,-*I),+Cyi-.yi)S
natomiast we współrzędnych biegunowych odległość punktów
Pi(.Qi>fi) i Ps(.Q2><Pz) Crys- 159) wyraża się wzorem
d = v'eH-e^-2eieKcos(9'a-?,i).
1. Podstawowe pojęcia i wzory
259
y.
Rys. 160
Podział odcinka w danym stosunku. Jeżeli mamy dane
punkty Pi(xltyi) i P2(x2,y2) Oraz liczbę A = m/«, gdzie m i n są liczbami
dodatnimi, to współrzędne punktn P(x, y) leżącego na odcinku PiPz
P,P
spełniające warunek -5=- = A (rys. 160) są określone wzorami
nx-L+mXz _ Xy-\-Xx2
1 + A
n+m
y
nyY+my2 _ y^ + ky*
n+m 1+A
Mówimy wtedy o podziale wewnętrznym odcinka PiP2 w stosunku
A = m/n.BiorącA = 1 otrzymujemy współrzędne środka odcinka PiP3l
*1 + X, .. _ ^1+^2
x -z i y~~ ^ .
Jeżeli odcinkom P^P i PP2 przypiszemy znak dodatni lub ujemny,
w zależności od tego, czy ich kierunek jest zgodny czy niezgodny
z kierunkiem PiPa, to wzory na podaiał odcinka w danym stosunku
mogą być użyte również przy A < 0, i wówczas mówimy o podziale
zewnętrznym odcinka PiPs w stosunku A = m/n> gdaie m i n są danym
liczbami o znakach przeciwnych. Na przykład dla takiego punktu P,
P P
że P2 jest środkiem odcinka P^P, otrzymujemy A = 1
PP*
= -2.
Środek ciężkości. Współrzędne
Środka ciężkości układu punktów materialnych
Mi(xi, yi) o masach mi określamy według
wzorów
1=1
«
1=1
y =
X miyt
n
E m
1 = 1
p3(*3.y,)
Wut/t)
sr*i.sy
Rys. 161

260
I. Geometria analityczna
Pola. Pole trójkąta (rys. 161) o wierzchołkach P^*!,^),/5^:^,^),
*ijVi 1
s = i
xsyi 1
x3y3 1
= -?[Xi(y2-y3)+x2(y3-y1)+x:i(y1--y2)] =
= 2-K*i-«i) (yi+yO+C«i-*») (j>i+yO+(*»-*i) (ya+yOh
Trzy punkty leżą na jednej prostej, jeżeli
xxyx 1
x2y2 1
= 0.
Pole wielokąta o wierzchołkach /V*,, yj, Ps (x2, y2),... , P„ (#n, .yB):
•S=> j-toi-^Cyi+jysHOca-tfsKjya+jysH ••• +C*«-*i)(j>i»+tt)]-
Przy obliczaniu pola trójkąta i pola wielokąta otrzymuje się S > 0,
jeżeli wierzchołki ponumerowane są w kierunku przeciwnym do
kierunku obrotu wskazówek zegara, natomiast 5<0 w przypadku
przeciwnym.
Równanie krzywej. Równaniu F(x> y) = 0 odpowiada pewna
krzywa mająca tę własność, że współrzędne xy y dowolnego punktu
P(x,y) tej krzywej spełniają dane równanie —i na odwrót: każdy
punkt P(x, y)y którego współrzędne spełniają równanie, leży na tej
krzywej. Równanie F(x, y) = 0 nazywamy równaniem tej krzywej.
Może się jednak okazać, że danemu równaniu F(x,y) = 0 nie
odpowiadają współrzędne ani jednego punktu płaszczyzny Oxy, np. x2 +
-{-jy2-(-1 = 0 lub y — ln(l— xa — cosh*). Jeżeli P{x,y) jest
wielomianem, to krzywą F(x, y) = 0 nazywamy krzywą algebraiczną;
w tym przypadku stopień wielomianu (patrz str. 195) nazywamy
stopniem krzywej algebraicznej. Jeżeli równanie krzywej nie może być
przedatawione w postaci F(x, y) = 0, gdzie F(x, y) jest wielomianem,
to krzywą nazywamy krzywą przestępną.
Analogicznie można rozważać równania krzywych w innych
układach współrzędnych. W dalszych rozdziałach, o ile nie będzie
specjalnego zastrzeżenia, będziemy rozważali krzywe we współrzędnych
prostokątnych.
2. Prosta
Równanie prostej. Każde równanie liniowe względem
współrzędnych wyznacza prostą — i odwrotnie: równanie każdej prostej
jest równaniem stopnia pierwszego.
2. Prosta
261
a. Równanie ogólne prostej:
Ax + By+C = 0,
gdzie A i B nie są równocześnie równe zeru.
Jeżeli A = 0 (rys. 162), prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli
B = 0, prosta jest równoległa do osi Oy; jeśli C = 0, prosta
przechodzi przez początek współrzędnych. Równanie każdej prostej nie
równoległej do osi Oy (rys. 163) można napisać w postaci
y = kx+b.
Mwd
Rys. 162
Rys. 163
Rys. 164
W równaniu tym k jest współczynnikiem kątowym {kierunkowym)
prostej, równym tg 6, gdzie 6 jest kątem zawartym między dodatnim
kierunkiem osi Ox a daną prostą, natomiast b jest rzędną punktu prostej
o odciętej x = 0, zwaną rzedną początkową.
b. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt
Pi(xt, yi) i tworzącej kąt 6 z dodatnim kierunkiem osi Ox (rys. 164):
i
gdzie k=tg6 dla »5 #-=-«,
gdy 6 = — ir, równanie prostej ma postać x—Xi = 0.
c. Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne
punkty PifojjJi) i P2(x2>y2) (rys. 165):
y*—yi
y—yi =
xz—x1
(*—*i)> gdy x1?x2;
w przypadku gdy x-± = x2, równanie prostej przechodzącej przez
punkty P1 i Pa ma postać x—x± = 0.
d. Równanie odcinkowe prostej. Jeżeli prosta
przecina oś Ox w punkcie A(a, 0), gdzie a ^ 0, a oś Oy przecina
w punkcie B(0, b), gdzie b^ 0 (rys. 166), to a i b nazywają się zwykle
odcinkami na osiach i równanie prostej przechodzącej przez punkty
A i B ma postać
a b
zwaną równaniem odcinkowym prostej.

262
I. Geometria analityczna
e. Równanie normalne prostej:
#cosa+3>sina-p = 0,
gdzie a oznacza kąt utworzony przez dodatni kierunek osi Ox z pół-
prostą poprowadzoną z początku współrzędnych prostopadle do danej
prostej, przy czym 0 < a < 2jc, a p jest odległością danej prostej
od początku współrzędnych (rys. 167). Równanie normalne prostej
można otrzymać z równania ogólnego Ax+By+C = 0, gdzie A2+
+B3?s0iC^0. W tym celu należy pomnożyć obie strony równania
normalnego przez czynnik normujący n =
}/A2+B2
-, gdzie s = 1,
P,(*t,ih)
Rys. 165
Rys. 167
gdy C < 0, i b = — 1, gdy C > 0, wreszcie w przypadku gdy C = 0,
można wziąć e = 1 lub e = — 1.
Odległość punktu Pi(xlsy{) od proste) (rys. 167) wyznaczonej
równaniem normalnym #cosa+3>siria—p = 0 wyraża się wzorem
d = l^icosa+^sina—pi,
tzn. równa się bezwzględnej wartości liczby, którą otrzymuje się
w wyniku podstawienia współrzędnych punktu Pi(xXiyi) do
równania normalnego prostej.
Zauważmy, że wyrażenie rtiCosa+^sinet—p ma wartość dodztnią,
gdy punkt Pi(xi>yó i początek współrzędnych O leżą po przeciwnych
stronach danej prostej, i ma wartość ujemną, gdy punkt Pifa^yi)
leży po tej samej stronie danej prostej co i początek współrzędnych O.
Punkt przecięcia prostych. Jeżeli mamy dwie proste o
równaniach Arf+Bty + Ci = 0 i Atf+Bzy + Cz = 03 to współrzędne
punktu przecięcia tych prostych (xa, y9) otrzymuje się przez rozwiązanie
układu tych równań względem * i y.
Mogą zachodzić trzy przypadki:
1. Jeżeli
AzB* *°»
2. Prosta
263
to proste przecinają się w punkcie -?(#„, _y0)» gdzie
*• =
B,C
B2 Cs
^5»
A„B*
y<> =
CA,
Ca Aa
A1Bl
A*B,
*0, to
*0
2. Jeżeli
,AlBl =0, ale BlCl
"3 B% D2 Cj
i proste nie mają żadnego punktu wspólnego, czyli są równoległe.
3. Jeżeli
CA,
0» As
Ai Bi
A,B,
= 0 i równocześnie
B,C
B, C
= 0, to
CtAt
CA*
= 0
i proste mają wszystkie punkty wspólne, czyli pokrywają się. Można
wtedy napisać proporcję
•"2 X>2 Og
(z tym warunkiem, że jeżeli jeden z mianowników jest zerem, to i
odpowiedni licznik jest zerem).
Jeżeli dwie proste A^+B^y+C = 0 i A^+Bsy + C = 0
przecinają się w jednym punkcie, to trzecia prosta A3x~{-B3yĄ-Cs — 0
przechodzi przez ten punkt (rys. 168), gdy
1 A,. Bi C
A% Bi Cg I =0.
1 A* B* C
Rys. 168
Rys. 169
Rys. 170
Pęk prostych. Zbiór prostych na płaszczyźnie przechodzących
przez dany punkt nazywamy pękiem prostych, a ich wspólny punkt
nazywamy wierzchołkiem pęku. Jeżeli wierzchołkiem pęku jest punkt
przecięcia dwóch prostych A^+B^+C = 0 i A^+B^y+C^ = 0,
to równanie pęku prostych ma postać
(Ap+Btf + Cd + XtAjc+Bty+C,) = 0,

264
I. Geometria analityczna
gdzie A przebiega wartości rzeczywiste od — oo do +00. Jeżeli
równania danych dwóch prostych są napisane w postaci normalnej, to
przy X =±1 otrzymujemy równania dwusiecznych kątów zawartych
między tymi prostymi (rys. 169).
Kąt między dwiema prostymi. Jeżeli równania prostych dane
są w postaci ogólnej A-^Ą-B^yĄ-Ci = 0 i A^c+B2y + Cz = 0, to kąt
(p między tymi prostymi liczony od pierwszej prostej do drugiej w
kierunku przeciwnym obiegowi wskazówek zegara (rys. 170) wyznaczamy
według wzorów
A.B.-A.B,
cos <? =
A^+B^
sin 99 =
^i-Ba-A-Bi
\/A\+Bi l/A\+Bl ' /Aj+Bl /Aj+Bj '
Jeżeli znane są współczynniki kątowe kt i ka danych prostych, to
k2—k-i
tgv =
cos 93 =
1 +*!*!
\/l+kf j/l+Aj
l+*l*>'
sin 93 =
&2—kL
VTTĘ Vi+Ę'
Proste AiX+Btf+Ci = 0 i Azx+B2y + Cs = 0 są równoległe (rys.
171a), jeśli AyB*— BtA2 = 0 lub kL = &2 (drugi wzór nie obejmuje
prostych równoległych do osi Oy).
Proste A1x+B1y + C1 = 0 i A^+B^y + Cz = 0 są wzajemnie
prostopadłe (rys. 171b), jeżeli A1A2+B1Bi = 0 lub k2 ~ — -z- (ostatni
wzór nie obejmuje przypadku, gdy jedna prosta jest równoległa do
osi Ox, a druga do osi Oy).
2. Prosta
265
Równanie prostej we współrzędnych biegunowych. 1°
Jeżeli prosta nie przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać (rys.
172):
P
cos (93—a)'
gdaie p jest odległością prostej od
bieguna, a jest kątem zawartym między
osią biegunową i półprostą
poprowadzoną z bieguna prostopadle do danej
prostej.
2° Jeżeli prosta przechodzi przez
biegun, to jej równanie ma postać y — a, gdzie a oznacza kąt między
osią biegunową a daną prostą, przy czym promień wodaący r
przebiega od —00 do +©0.
3. Okrąg koła
Równanie we współrzędnych prostokątnych. Równanie okręgu
o promieniu R i środku w początku współrzędnych (rys. 173a):
x'+y* = R*.
Rys. 172
Rys. 173
m,u)
Rys. 174
Równanie okręgu o promieniu R i środku w punkcie Cfa^yo)
(rys. 173b):
(x-x0)t + (jy-y0)* = R'.
Ogólne równanie stopnia drugiego ax2+2bxy+cyi+2dx+2ey+f—
= 0 przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0, a = c i d2+
+ e2-af>0.
Wówczas równanie to można napisać w postaci
x2+y2+2mx+2ny+q = 0,
gdzie m2-\-n2 —</> 0. Wtedy promień R = j/ma+«2—5 , a środkiem
okręgu jest punkt C(—m, — n). Gdy q = m2Ą-n2, równanie wyznacza

266 I. Geometria analityczna
jeden tylko punkt C( —m,—«). Gdy#> *k2 + "2j to równania nie
spełnia żaden punkt o współrzędnych rzeczywistych.
Równanie okręgu w postaci parametrycznej:
x = x0+J?cos?, y = y0 + Rsint,
gdzie t oznacza kąt między dodatnim kierunkiem osi Ox a promieniem
wodzącym punktu okręgu (rys. 174). Jeżeli środek okręgu leży w
początku współrzędnych, równania parametryczne mają postać
x = J?cost, y = J?sinr.
Rys. 175 Rys. 176
Równanie okręgu we współrzędnych biegunowych. Ogólne
równanie ma postać
e2~ 2qq0cos(<p~ <p0) + Q% = R%
gdzie Q0, <p« są współrzędnymi biegunowymi środka okręgu (rys. 175).
Jeżeli środek okręgu leży w biegunie, równanie okręgu ma postać
q = r. Jeżeli środek okręgu leży na osi biegunowej i okrąg przechodzi
przez biegun (rys. 176), to równanie okręgu przybiera postać q —
= 2ficosy.
4. Elipsa
Elementy elipsy (rys. 177). Oś wielka AB = 2a\ osmala CD =
= 26; wierzchołki A.,B,C,D; środek O; ogniska i7, i Fz—■ punkty
leżące po obu stronach środka w odległości c = \ a2 — b2 od niego;
mimośród e = cja < 1; parametr ogniskowy p = b2ja (połowa cięciwy
przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi wielkiej).
Równanie elipsy. Równanie kanoniczne elipsy (oś
wielka elipsy leży na osi Ox, oś mała na osi Oy> rys. 177):
4. Elipsa
267
Równania parametryczne:
x = acosr, y = bsint,
Równanie we współrzędnych biegunowych
podane jest na str. 278.
Ogniskowa własność elipsy (określenie elipsy). Elipsa jest
miejscem geometrycznym punktów Af, dla których suma odległości od
dwóch danych punktów Fz i F2 (ognisk) jest wielkością stałą. Tę
własność elipsy można napisać za
pomocą równania
F^+FmM =2a,
gdzie 2a jest osią wielką elipsy.
Jeżeli równanie elipsy dane jest w
postaci kanonicznej, wtedy
współrzędne ognisk są Fi(c, 0), i72(—c,0),
gdzie c < a, a ogniskowe
promienie wodzące r-i = FXM i ra =
= F2M punktu M(x, y) można
obliczyć ze wzorów
ri = a—ex, r2 = a + ex,
gdzie Ry8-177
e ^ c\a< 1.
Kierownice elipsy są to proste prostopadłe do wielkiej osi
elipsy, odległe od środka O o odcinek d = a*/c. Zauważmy (rys. 178),
że OFt = c = ea, natomiast OKt = d = a/e, skąd cd = o2. Jeżeli
odległość punktu elipsy M(x, y) od jej kierownic oznaczymy przez di
i dZ) to otrzymamy związki r^d, = rjdz = « < 1 (na tej własności
można oprzeć określenie elipsy, patrz str. 278).
Rys. 178
Rys. 179

268 I. Geometria analityczna
Średnice elipsy są to cięciwy przechodzące przez środek elipsy;
środek elipsy jest środkiem każdej średnicy (rys. 179). Miejscem
geometrycznym środków cięciw równoległych do danej średnicy elipsy
KL jest druga średnica MN, a miejscem geometrycznym środków
cięciw równoległych do średnicy MN jest średnica KL; takie dwie
średnice nazywamy średnicami sprzężonymi (rys. 179). Jeżeli k i k'
są współczynnikami kątowymi średnic sprzężonych, to kk' = — b2/a2.
Jeżeli długości średnic sprzężonych wynoszą 2a-i i 2bx> a i $ zaś są
kątami ostrymi zawartymi między średnicami a wielką osią (k ~ — tga,
k' - tg;?), to
alb13in(a + ^ = ab i a\ + b\ = a2 + b2
(twierdzenie Apollomusza).
Styczna do elipsy x2/a2 + y2/b2 = 1 w punkcie M(x0, ,>■„) ma
równanie
xxo yyo
a2 + b% = 1.
Normalna do elipsy w punkcie M(x0, y9) Jest dwusieczną kąta
zawartego między promieniami wodzącymi punktu M, a styczna do elipsy
w punkcie M(xa,yg) jest dwusieczną kątów przyległych do tego kąta
(rys. 180).FrostaAx + By-\-C = 0 jest styczna do elipsy x*/az+yzlbz =
= 1, jeżeli zachodzi związek A2a2+B2b*-C2 = 0.
Promień krzywizny elipsy w punkcie M(x0, y0) (patrz rys. 180):
r b U4 *>* I a*> sm3«
gdzie u jest kątem między styczną w punkcie M a jednym z promieni
wodzących tego punktu.
W wierzchołkach A i £ (rys. 177) r = b2/a = p; w wierzchołkach
C i Z) mamy r = a2/*1.
Rys. 180 Rys. 181
4. Elipsa 269
Pole elipsy S = nab. Pole wycinka BOM = —arccos— (rys.
x
181). Pole odcinka elipsy MBN = a&arccos xy.
a
Obwód elipsy
..^-^[.-^.-(-^-(i-l)^-...].
gdzie J£(e) = £/e,-yff) jest pełną całką eliptyczną drugiego rodzaju
(patrz str. 437). Jeżeli oznaczymy (a — b)f(a + b) = A, to
rzybliżone
Wzory przybliżone
64-3A*
64-16A*'
5. Hiperbola
Elementy hiperboli (rys. 182). Oś rzeczywista: AB = 2a;
wierzchołki A, B; środek O; ogniska F1i Fa — punkty leżące na osi
rzeczywistej po obu stronach środka w odległości c > a od niego; oś urojona:
CD = 26, gdzie b = j/ca — a2; parametr ogniskowy p = by a (połowa
cięciwy przechodzącej przez jedno z ognisk prostopadle do osi
rzeczywistej); mimośród e = c/a > 1.
Równanie hiperboli. Równanie kanoniczne
hiperboli (oś rzeczywista hiperboli leży na osi Ox, rys. 182):
x2 y2 _
~a~2 "&"" "
Równania parametryczne
x = acosht, y — bsinht albo x = a , y=btgt).
\ cost I
Równanie we współrzędnych biegunowych
podane jest na str. 278.
Ogniskowa własność hiperboli (określenie hiperboli).
Hiperbola jest miejscem geometrycznym punktów AJ, dla których
bezwzględna wartość różnicy odległości od dwóch danych punktów Fx i F2
(ognisk) jest wielkością stalą. Tę własność hiperboli można napisać
za pomocą równania
F^M-F^M = 2a,

270 !• Geometria analityczna
gdzie %a jest osią rzeczywistą hiperboli. Jeżeli równanie hiperboli dane
jest w postaci kanonicznej, współrzędne ognisk są Fx(c, 0), F2(—c> 0)>
gdzie c < a, wówczas ogniskowe promienie wodzące r, = FXM i r2 —
— FaM punktu M(x,y) można obliczyć ze wzorów
r, = ±{ex-a)> ra = ±(ex+a), gdzie « = c/a > 1
(górny znak dla pnnktów prawej gałęzi, dolny dla lewej); gdy r±~r2 =
= 2a, otrzymujemy jedną gałąź hiperboli (na rysunku 182 lewą),
a punkty, dla których r,-rt = 2a, tworzą drugą gałąź hiperboli (na
rysunku 182 prawą).
Rys 182 Rys. 183
Kierownice hiperboli są to proste prostopadłe do osi
rzeczywistej hiperboli odległe od środka O o odcinek d = a*Je. Zauważmy
(rys. 183), że OF, = c = ca, natomiast OKx = d = aje, skąd cd = a2.
Jeżeli odległość punktu hiperboli Mix, y) od jej kierownic oznaczymy
przez di i d2, to otrzymamy związki rjdT = r2/d2 = e > 1 (na tej
własności można oprzeć określenie hiperboli, patrz str. 278).
Styczna do hiperboli &fa*—y'/ba = l w punkcie Af(2o,?o) ma
równanie
xx0 yy0
ca ~ b2 =1*
Styczna do hiperboli w punkcie M(x0, y0) jest dwusieczną kąta
zawartego między promieniami wodzącymi punktu M, a normalna jest
dwusieczną kątów przyległych do tego kąta (rys. 184). Prosta Ax+By + C =
= 0 jest styczna do hiperboli &]a'-yW = 1 > ieżeh zachodzi
związek AW-BW-C* - 0.
Asymptoty. Asymptoty hiperboli (rys. 185) są to proste, do
których nieograniczenie zbliża się punkt M(x> y) hiperboli, gdy x -* + co
lub x->— co (ogólne określenie asymptot podane jest na str. 316).
Współczynniki kątowe asymptot k = tg 3 = bja i k' = tg(n- 8) =
= —bja. Równanie asymptot y =± — x.
5. Hiperbola
271
Odcinek TTr stycznej do hiperboli w punkcie M zawarty między
asymptotami jest podzielony w punkcie M na połowy: TM — MTr
(rys. 185). Pole trójkąta TOTi utworzonego przez styczną i asymptoty
równa się ab. Jeżeli przez punkt M hiperboli poprowadzimy proste
Rys. 184 Rys. 185
równoległe do asymptot, to pole równoległoboku OFMG=^-^(a2+
Rys. 186 Rys. 187
Hiperbole sprzężone (rys. 186):
Ą _ £ = 1 (linia ciągła) i ^r - ~ = 1 (linia przerywana)
a2 b o a
mają wspólne asymptoty. Oś rzeczywista jednej hiperboli jest osią
urojoną drugiej i na odwrót.
Każdą cięciwę którejkolwiek z dwóch hiperbol sprzężonych
przechodzącą przez ich wspólny środek O nazywamy średnicą jednej i
drugiej hiperboli; środek O dzieli każdą średnicę na połowy.
Dwie średnice nazywamy sprzężonymi, jeżeli jedna z nich (lub jej
przedłużenie) przepoławia wszystkie cięciwy równoległe do drugiej;
wówczas druga średnica (lub jej przedłużenie) przepoławia wszystkie

272
I. Geometria analityczna
cięciwy równolegle do pierwszej (rys. 187). Jeżeli k i k' są
współczynnikami kątowymi Średnic sprzężonych, to kk' = b*\a2. Jeżeli długości
średnic sprzężonych wynoszą 2a, i 2bi, a i fi zaś są kątami ostrymi,
jakie tworzą te średnice z osią rzeczywistą (et > fi), to a\ — b\ = a2—6a,
ab = Oi&iSinta—fi).
Promień krzywizny hiperboli w punkcie M(x0,y0):
P
r = a2bz
a* """W ab
gdzie u jest kątem między styczną w punkcie M (rys. 184), a jednym
z promieni wodzących tego punktu. W wierzchołkach A i B (rys. 182)
Pole odcinka hiperboli (rys. 188):
pole.4Afi\r = *3>-aMnl — + ^l = xy-a&arcosh^,
, ~-.,^ o* «&> 20G
pole 0-4AfG = —-+—-In——,
4 ^ £
gdzie AfG jest odcinkiem równoległym do asymptoty (rys. 188).
Rys. 188
Rys. 189
Hiperbolę równoosiową (rys. 189) otrzymujemy wówczas, gdy
osie hiperboli są równe: a = b. Równanie osiowe: x2—y2 =^aa;
hiperbola sprzężona: jy2 —x2 = a2. Wspólny mimośród e = ]/2a.
Asymptoty hiperboli równoosiowej są wzajemnie prostopadłe. Jeżeli asympto-
tami hiperboli są osie współrzędnych, równanie hiperboli
równoosiowej przybiera postać xy =-ra2 albo xy = — -ja2.
6. Parabola
273
6. Parabola
Elementy paraboli (rys. 190). Oś paraboli Ox; wierzchołek O;
ognisko F (punkt położony na osi w odległości -^p od wierzchołka);
kierownica NN' (prosta prostopadła do osi, przecinająca oś w
odległości -^p od wierzchołka, po przeciwnej stronie środka niż ognisko);
parametr ogniskowy p (odległość ogniska od kierownicy, a zarazem
połowa cięciwy przechodzącej przez ognisko prostopadle do osi
paraboli); promień wodzący punktu M(x, y) r = x+ ~p; mimośród paraboli
e = ł (patrz str. 278).
Rys. 190 Rys. 191
Równanie paraboli. Równanie kanoniczne
parafa o 1 i:
y2 = 2px, p>0
(wierzchołek paraboli leży w początku współrzędnych, a oś paraboli
leży na osi Ox).
Równanie we współrzędnych biegunowych
podane jest na str. 278.
Ogniskowa własność paraboli (określenie paraboli). Parabola jest
miejscem geometrycznym punktów Af równo oddalonych od
danego punktu F (ogniska) i od danej prostej k (kierownicy). Stosunek
FM/KM = e = 1 nazywamy mimośrodem paraboli (patrz str. 278),
gdzie K jest rzutem punktu Af na kierownicę (rys. 190).
Środki cięciw paraboli, równoległych do stycznej poprowadzonej
przez punkt Al, leżą na prostej równoległej do osi paraboli i
przechodzącej przez punkt Af (rys. 191). Taką prostą nazywamy średnicą

274
I. Geometria analityczna
sprzężoną z kierunkiem cięciw równoległych. Jeżeli współczynnik
kątowy cięciw jest k, to równanie średnicy sprzężonej ma postać y — pjk.
Styczna do paraboli w punkcie M(x0, y0) (rys. 192) ma równanie
yoy^Pix+Xa).
Styczna i normalna do paraboli w danym punkcie M są
dwusiecznymi kątów między promieniem wodzącym FM i średnicą
przechodzącą przez punkt M. Jeżeli styczna do paraboli w punkcie M prze-
Rys. 192 Rys. 193
cina oś paraboli w punkcie T, to środek 5 odcinka MT leży na
stycznej do paraboli poprowadzonej przez jej wierzchołek:
TS^SM, TF^FM, TO = OP - xa.
Prosta >- = kx+b jest styczna do paraboli^2 = 2px3 jeżeli kb — -^P-
Promień krzywizny paraboli w punkcie M(xlty1):
y/J sin3 u p2>
gdzie n jest długością normalnej MN (rys. 192). W wierzchołku O
promień krzywizny r = p.
2
Pole odcinka paraboli MON równa się y pola równoległoboku
PQNM (rys. 193). Pole OMR = ~xy. Dłngość łuku
6. Parabola
275
W przybliżeniu dla małych wartości
OM^yl 1 +
2 x
3\y
!)]•
Równanie ogólne paraboli o osi
pionowej (rys. 194):
y = axs+bx+c, gdzie a^O.
Parametr ogniskowy paraboli p = l/2|a|; gdy
a> 0, wierzchołek paraboli leży na doles a gdy
a < 0 — na górze.
(*o,!/o)
Rys. 194
7. Krzywe stopnia drugiego (stożkowe)
Równanie ogólne krzywych stopnia drugiego:
ax*+2bxy+cys + 2dx+2ey+f^ 0,
gdzie a, 6S c nie są równocześnie równe 0, może przedstawiać 1°
stożkowe właściwe: elipsę (w szczególnym przypadku okrąg), hiperbolę,
parabolę; 2° stożkowe niewłaściwe: dwie proste.
Niezmienniki krzywych stopnia drugiego. Wielkości
a b
A =
ab d
b c e
d e f
S =
b c
- ac -b\
a+c
są niezmienne przy przesunięciu początku współrzędnych i obrocie
osi, tj. jeśli po zmianie współrzędnych równanie krzywej przybiera
postać
a'x'2 + 2b'x'y' + c'y'* + 2d'x'+2e'y'+f = 0.
to wielkości A, S> S obliczone dla nowych współrzędnych mają te same
wartości co poprzednio.
Badanie kształtu krzywej. Za pomocą tablicy podanej na str.
276 i 277 możemy określić kształt krzywej przedstawionej równaniem
stopnia drugiego oraz sprowadzić to równanie do postaci kanonicznej.
Ogólne własności krzywych stopnia drugiego.
Przecięcia stożkowe. Stożek obrotowy przy przecięciu
płaszczyzną dsje przecięcie stożkowe. JeżeU płaszczyzna sieczna nie
przechodzi przez wierzchołek stożka, to przecięcie będzie hiperboląj

276 I. Geometria analityczna
Sprowadzenie równań krzywych stopnia
Niezmienniki d i A
Krzywe
środkowe
6 # 0
<S> 0
Ó < 0
Krzywe
paraboliczne
d = o o
J # 0
J =0
J # 0
J = 0
J # 0
J = 0
Kształt krzywej
Elipsa
a. A ■ S < 0, elipsa rzec2ywista
b. A • S > O, elipsa urojona
Para prostych urojonych
mających wspólny punkt
rzeczywisty
Hiperbola
Para przecinających się
prostych
Parabola
Para prostych równoległych,
gdy dz~-af> 0;
pokrywających się, gdy d%— o/ = 0;
równoległych urojonych, gdy
d2-af < 0
(3) Oznaczenia patrz na str. 275.
_(2) Jeżeli dwa współczynniki bia albo b i c są równe zeru, to przekształcenie
równania sprowadza się do równoległego przesunięcia osi: równanie cyz+2dx+2ey + f =
7. Krzywe stopnia drugiego
drugiego do postaci kanonicznej (*)
277
Potrzebne przekształcenie
współrzędnych
Równanie krzywej po
przekształceniu
1. Przeniesienie początku
współrzędnych do środka krzywej o
współrzędnych
be—cd bd—ae
x0 = ^— , y0 = jj—.
2. Obrót osi o kąt a wyrażony
równaniem
tg2a =
a — c
przy czym znak sin2a ma być zgodny
ze znakiem licznika 2b. Współczynnik
kątowy nowej osi odciętych Ox':
c-a + \/(c-a)2 + 4b*
2b
a'x'2+c'y'2+-^ = 0,
gdzie a' i c' są
pierwiastkami równania
kwadratowego
m3-S«+-5 = 03
a mianowicie
, a+c+\/(a-ć)2 + 4b2
a = _ ,
, a+c-\/(a-cy+4b2
k =
26
1. Przeniesienie początku
współrzędnych do wierzchołka paraboli,
którego współrzędne można
wyznaczyć z układu równań
, , ad+be .
axą +by0 + —-— = 0,
t, , dc-be\ ,
\d+—s-)x»+
+ (. + 5!=W)»+/-0.
2. Obrót osi o kąt a określony
a
równaniem tga = — —, przy czym
b
znak sin« ma być przeciwny niż
znak liczby a.
y'* =• 2px'3
gdzie
P =
ae—bd
S\/'a2 + b*
Obrót osi o kąt a określony rów-
a
naniem tga = — —, przy czym
o
znak sin« powinien być przeciwny
niż znak liczby a.
sprowadza się do postaci
(y'-y'») (y'-y'i) - o
0 przekształca się do postaci (y—ya)*= 2p(x—x^),a równanie ax*+2dx+2ey> +f
0 przekształca się do postaci (at-*,,)* = 2p(y-y„).

278
I. Geometria analityczna
parabolą lub elipsą w zależności od tego, czy płaszczyzna sieczna
będzie równoległa do dwóch, do jednej, czy do żadnej tworzącej
stożka. Przy przecięciu stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego
wierzchołek otrzymuje się przecięcia stożkowe
niewłaściwe (4=0, patrz tablicę, na str.
276 i 277). Proste równoległe otrzymuje się
wówczas, gdy stożek przechodai w walec
(wierzchołek oddala się w nieskończoność).
Mimośród krzywych stopnia
drugiego. Miejscem geometrycznym
punktów M (rys. 195), dla których stosunek
Rys. 195 odległości od danego punktu F (ogniska) i od
danej prostej k (kierownicy) jest wielkością
stałą równą e, jest krzywa stopnia drugiego. Liczbę e nazywamy mimo-
środem krzywej. Gdy e < 1, otrzymuje się elipsę, gdy e = 1,
parabolę, gdy e > 1, hiperbolę.
Wyznaczenie krzywej przez pięć punktów. Przez danych
pięć punktów przechodzi tylko jedna krzywa stopnia drugiego. Jeżeli
chociażby trzy punkty spośród danych pięciu leżą na prostej, to
powstaje krzywa stożkowa niewłaściwa.
Równanie biegunowe krzywej stopnia drugiego ma postać
e = * ,
l+ecos/p
gdaie p jest parametrem, e mimośrodem danej krzywej; biegun
znajduje się w ognisku, oś biegunowa skierowana jest od bieguna w stronę
najbliższego wierzchołka. Dla hiperboli równanie to określa tylko
jedną gałąź.
B. GEOMETRIA W PRZESTRZENI
8. Podstawowe pojęcia i wzory
Współrzędne. Położenie dowolnego punktu P w przestrzeni
możemy wyznaczyć za pomocą układu współrzędnych przestrzennych.
Najczęściej używane są następujące układy współrzędnych:
1° kartezjański układ współrzędnych prostokątnych,
2° układ współrzędnych cylindrycznych (walcowych),
3° układ współrzędnych sferycznych (kulistych).
Kartezjański ifkład współrzędnych prostokątnych w przestrzeni
powstaje w sposób następujący: Przez dowolnie obrany punkt O zwany
początkiem współrzędnych prowadzi się trzy osie współrzędnych Ox>
Oy, Oz, z krórych każda do każdej jest prostopadła; dla osi tych obiera
się jednostkę miary długości. W zależności od wzajemnego położenia
8. Podstawowe pojęcia i wzory
279
dodatnich kierunków osi współrzędnych otrzymujemy prawoskrętny
(rys. 196a) i łewoskrętny (rys. 196b) układ współrzędnych, przy czym
wzory będą jednakowe zarówno dla układu prawoskrętnego, jak i dla
lewoskrętnego. W dalszych rysunkach przyjęty jest układ prawoskrętny.
Chcąc wyznaczyć punkt P w
układzie Oxyz znajdujemy rzuty
Pu P23 Pa punktu P na
płaszczyzny współrzędnych Oyz,
Ozx, Oxy; albo też rzuty Px,
Py> Pz punktu P na osie Ox,
Oy, Oz; wówczas
współrzędnymi prostokątnymi x, y, z
punktu P będą wzięte z
odpowiednimi znakami długości
odcinków P^, P2P, P3P albo
OPx, OPy, OPz (rys. 197a).
Zapis P(a, i, c) oznacza, że punkt P ma współrzędne x = a, y = b,
z = c. Znaki współrzędnych x, y, z zależą od ósemki (oktontu)
przestrzeni, w której punkt jest położony (rys. 197b), co podane jest w
poniższej tabeli:
Rys. 196
*'■-.,
\^y
a)
Rys. 197
Ósemka
X
y
z
I
+
4-
+
II
+
+
III
_
— '
+
IV
+
—
-t-
V
+
+
—
VI
+
—
VII
_
—
~
VIII
+
—
—
Powierzchnią współrzędnych w przestrzeni nazywamy powierzchnię,
w której punkty mają jedną z trzech współrzędnych stałą (zwaną
parametrem tej powierzchni), a linią współrzędnych nazywamy linię,
której punkty mają dwie współrzędne stałe. W układzie współrzędnych

280 I. Geometria analityczna
prostokątnych Oxyz powierzchniami współrzędnych są płaszczyzny
równolegle do jednej z płaszczyzn współrzędnych, a liniami
współrzędnych są proste równoległe do jednej z osi współrzędnych.
Powierzchnie współrzędnych przecinają się wzdłuż linii współrzędnych.
Uogólnieniem układu współrzędnych kartezjańskich jest układ
współrzędnych krzywoliniowych, w którym przez każdy punkt
przestrzeni przechodzą trzy powierzchnie (krzywe lub płaskie) należące do
trzech rodzin powierzchni współrzędnych. Położenie punktu w takim
układzie określamy wartościami parametrów trzech powierzchni
współrzędnych, przechodzących przez ten punkt. Najczęściej
stosowanymi współrzędnymi krzywoliniowymi są opisane poniżej współrzędne
cylindryczne i sferyczne.
Rys. 198 Rys. 199
Współrzędne cylindryczne zwane też walcowymi (rys. 198): q, tp, z,
gdzie q i tp są to współrzędne biegunowe rzutu Pt danego punktu P
na płaszczyznę Oxy, a z jest to długość odcinka PJ? wzięta z
odpowiednim znakiem.
Dla współrzędnych cylindrycznych powierzchniami współrzędnych
punktu P(q, tp, z) są: powierzchnia walcowa (q = const), półpłaszczyzna
o krawędzi Oz (tp = const), płaszczyzna prostopadła do osi Oz
(z = const). Liniami współrzędnych utworzonymi przez przecięcia
powierzchni współrzędnych są: okrąg koła (z = const, q = const);
tworząca walca (q = const, <p = const); półprosta (tp == const, z =
~ const). Linie współrzędnych przecinające się w jednym punkcie
są wzajemnie ortogonalne.
Związki między współrzędnymi cylindrycznymi i kartezjańskimi:
x = qcos<Pj y = gsinc>, z = z;
. y y
q = yxz+y* , ip = arctg— = arcsin —.
X Q
Współrzędne sferyczne zwane także kulistymi (rys. 199): r, 0, tp,
gdzie r jest długością promienia wodzącego danego punktu P, 0 jest
odległością biegunową (kąt między dodatnią częścią osi Oz a promieniem
8, Podstawowe pojęcia i wzory
281
wodzącym, zawarty w przedziale 0 < 0 < tu), tp długość azymutalna
(kąt między dodatnią częścią osi Ox i rzutem promienia wodzącego
na płaszczyznę Oxy zawarty w przedziale — te < tp ^ te), przy czym
dodatnie kierunki kątów 0 i tp pokazane są strzałkami na rysunku 199.
Dla współrzędnych sferycznych powierzchniami współrzędnych
punktu P(r, 0, tp) są: sfera o środku 0(r = const); powierzchnia
stożkowa o wierzchołku O i osi Oz (0 = const), przy czym dla 8 = -g-n,
powierzchnia stożkowa degeneruje się do płaszczyzny; półpłaszczyzna
o osi Oz (tp = const).
Liniami współrzędnych punktu P(r,0, tp) są: okrąg koła w
płaszczyźnie prostopadłej do osi Oz (r = const, 6 = const); półprosta
z początkiem w punkcie O(0 = const, tp = const); półokrąg o środku O
leżący na półpłaszczyżnie o krawędzi Oz (r = const, tp = const).
Linie współrzędnych przecinające się w jednym punkcie są
wzajemnie prostopadłe.
Związki między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi:
x ~ rsinOcostp,
r=y'xt+yt+ztt <
y = rsin0sin(
y
= arctg -
z = rcosu;
V**+y2
X ' Z
Kierunek w przestrzeni. Aby wyznaczyć kierunek w
przestrzeni, podaje się jego wektor jednostkowy t° (zwany wersorem danego
kierunku, patrz str. 647) albo też jego współrzędne (rys. 200), którymi
są cosinusy kątów między danym wersorem a osiami współrzędnych
(cosinusy kierunkowe):
l = cosa, m = cos/?, n = cosy; l2+mz + nz = 1.
Kąt między dwoma danymi kierunkami o cosinusach
kierunkowych In m1} nx i /a, m3, n2:
co$<p = Vj + miWa+M^.
Dwa kierunki są prostopadłe, jeżeli /1/2 + m1m.j+H1H3 = 0. Dwa
kierunki są równoległe, gdy Ą = ls, mx = m2, nx = n2 lub łi — —/3,
m, = —ms, n, = — «...
Rys. 200
Rys. 201

282 I. Geometria analityczna
Zamiana współrzędnych prostokątnych. Oznaczeni a: x,
y,z — dawne współrzędne, x', y', z' — nowe współrzędne tego
samego punktu P, a, b, c — współrzędne nowego początku współrzędnych
O' względem dawnego układu Oxyz (rys. 201).
Przesunięcie równoległe w przestrzeni:
czyli
* = x'+a, y = y'+b, z = z'+c,
x = x—a.
z—c.
y =y — b»
Obrót układu współrzędnych w przestrzeni
(rys. 202). Jeżeli cosinusy kierunkowe nowych osi Ox', Oy', Oz'
Dawne osie
Ox
Oy
Oz
Cosinusy nowych
osi
Ox'
k
Oy'
h
m2
Oz'
U
m3
«8
Rys. 202
względem dawnych osi Ox, Oy, Oz
oznaczymy według schematu, to mie-
day dawnymi współrzędnymi x, y, z
i nowymi współrzędnymi »', y', z'
tego samego punktu P zachodzą związki
x = hx'+lzy'+lsz', y = m^'+mgy'+m^', z = n^+^y'+n3z',
czyli
x' = kx+miy+tiiZ, y' = l2x+m2y+n2z, z' = t^Ą-m^yĄ-t^z.
Wyznacznik przekształcenia (obrotu osi
współrzędnych)
A -
'l '2 'a
m± m2 m3
»1 «2 «3
albo
A =
Własności wyznacznika przekształcenia A:
1° A =±1, przy czym A = 1, jeżeli układ lewoskrętny
przechodzi w lewoskrętny, albo prawoskrętny przechodzi w prawoskrętny,
natomiast A 1, gdy układ lewoskrętny przechodai w
prawoskrętny lub na odwrót.
2° Suma kwadratów elementów każdego wiersza lub kolumny jest
równa 1.
8. Podstawowe pojęcia i wzory
283
3° Suma iloczynu odpowiednich elementów dwóch wierszy lub
kolumn równa się 0.
4° Każdy element wyznacznika równa się iloczynowi
algebraicznego dopełnienia (patrz str. 183) przez wartość wyznacznika A
(wynosząca 1 lub —1).
Kąty Eulera. Położenie nowego układu współrzędnych
Ox'y'z' względem dawnego układu Oxyz można całkowicie określić
za pomocą trzech kątów zwanych kątami Eulera (rys. 202):
1. Kąt nutacji d zawarty między dodatnimi częściami osi Oz i Oz'
(0^&< u).
2. Kąt precesji y> zawarty między dodatnią częścią osi Ox i prostą
OA utworzoną przez przesunięcie płaszczyzn Oxy \ Ox'y', przy czym
na prostej OA obiera się kierunek osi w ten sposób, żeby układ osi
OA, Oz i Oz' miał tę samą orientację co układ osi Ga:, Oy i Oz
(tzn. żeby oba układy były lewoskrętne lub prawoskrętne) (*); kąt y>
liczony jest w kierunku od Ox do Oy (0 ^ y> < 2k).
3. Kąt właściwego obrotu (p zawarty między O A \ Ox'; kąt <p liczony
jest w kierunku od Ox' do Oy' (0 < ę < 2n).
to
Jeżeli
'i
h
h
oznaczymy
COS# = Ci,
sin# = st)
= C2C3 — C1S2S3,
— ~~C^3—Cj^gCg,
= V»>
cosy = c2, cos<p =
siay> = %, siny -
mx = SzCa+c&Ss,
tn2 = —SzS3-\-CiCzC31
m3 = —SjCt,
= c3,
= s3,
«1 = Va>
«z = SiC3,
«3 = Ci.
Odległość między punktami Pj(xt, ylt zj i P2{x2, y3, z2)
(rys. 203) wynosi
kierunkowe
skąd cosinusy
odcinka P^:
y*-yi
P2(xv\h>zt)
cosy =
Zi~Z\
(') O orientacji układu trzech osi patrz str. 650.
Rys. 203

284
I. Geometria analityczna
Podział odcinka w danym stosunku (rys. 203). Współrzędne
punktu P, dla którego
pip _ m - )
gdzie m i n są liczbami dodatnimi, określone są wzorami
n-\-m ~~ 1-fA *
ny^rnyz __yx + Xy%
y =
n-\-m
nzx -f mz2
n+m
1-M
^i -f- Xzz
1 + X
Zastosowanie tych wzorów, gdy A < 0, patrz str. 259. Biorąc X = 1
otrzymujemy współrzędne środka odcinka PtPz:
Środek ciężkości. Współrzędne środka ciężkości układu punktów
materialnych Mi(xityi) o masach nu określone są wzorami
X *nixi
i-1
n
X m*
i=l
y=-
X mi3>i
1 = 1
n
X wj
X MiZi
1 = 1
n
X m*
(=1
v=i
x—xt y~yi z—z-i
x—x* y—yz z—zz
x—x3 y~ya z—zz
Objętość czworościanu o wierzchołkach P(x,y,z)i P-fai^y^z^),
p2(xa,yt>Xt)3 Pa(x3sy3,z3) (rys. 204 .
x y z \
Xi ^i Si 1 _ J_
X2 JijJal 6
x3 y3 zs 1
Przy obliczaniu według tego wzoru otrzymujemy V> 0, jeżeli
orientacja układu wektorów PPn PP2, PP3 jest taka sama jak orientacja
układu osi Ox, Oy, Oz (patrz str. 650) i V < 0 w przypadku
przeciwnym.
Cztery punkty P, P1} P2, Pa leżą w jednej płaszczyźnie, jeżeli
x y z 1
Xi yi *i 1
x2 y2 zs 1
x3 y3 2a 1
= 0.
8. Podstawowe pojęcia i wzory
285
Równanie powierzchni. F(x, y, z) = 0 przedstawia na ogół
pewną powierzchnię mającą tę własność, że współrzędne dowolnego
punktu P tej powierzchni spełniają dane równanie i na odwrót, każdy
punkt, którego współrzędne spełniają dane równanie, leży na tej
powierzchni; wówczas równanie F(x,y,z) = 0 nazywamy równaniem
tej powierzchni.
Równanie powierzchni walcowej (patrz str. 224), której tworzące są
równoległe do osi Ox, nie zawiera współrzędnej x i ma postać F(y, z) =
Rys. 204 Rys. 205
= 0. Na płaszczyźnie Oyz równanie F(y,z) = 0 przedstawia linie
przecięcia powierzchni walcowej z płaszczyzną Oyz, Podobnie równania
P(x, y) = 0 i F(x, z) = 0 przedstawiają powierzchnie walcowe o
tworzących równoległych do osi Oz lub Oy, a w płaszczyznach Oxy
i Oxz równania te wyznaczają linię przecięcia powierzchni walcowych
z prostopadłymi do nich płaszczyznami współrzędnych. Powierzchnia
walcowa, której tworzące mają cosinusy kierunkowe proporcjonalne
do liczb /,m,«j jest wyznaczona równaniem F(nx—lz, ny—mz) = 0.
Jeżeli krzywą z = f(x) położoną w płaszczyźnie Oxz obracać
będziemy dokoła osi Oz (rys. 205), to otrzymana powierzchnia
obrotowa będzie miała równanie postaci z = f{^xa+ys). Analogicznie
piszemy równania powierzchni otrzymanych z obrotu krzywych
dokoła osi Ox lub Oy.
Równanie powierzchni stożkowej (patrz str. 225) o wierzchołku
w początku współrzędnych ma postać F(x, y, z) = 0, gdzie F jest
funkcją jednorodną względem x} y, z (patrz str. 371).
Równanie krzywej w przestrzeni. Krzywa / w przestrzeni
może być wyznaczona trzema równaniami
parametrycznymi:
x = PiCOa y = ?>a(03 * = PtCO-
Każdej wartości parametru t odpowiada określony punkt krzywej /.
Drugim sposobem wyznaczenia krzywej w przestrzeni jest podanie

286
I. Geometria analityczna
dwóch równań: Fi(x,y,z) = 0, F2(x>y, z) = 0, które muszą być
równocześnie spełnione przez współrzędne każdego punktu danej
krzywe}. Równania te wzięte z osobna przedstawiają dwie powierzchnie
przechodzące przez daną krzywą /. Każde równanie F1 + AF* = 0
przy dowolnym X przedstawia powierzchnię przechodzącą przez
krzywą / i może zastąpić pierwsze z danych poprzednio równań.
9. Płaszczyzna i prosta w przestrzeni
Równanie płaszczyzny. Każde równanie liniowe względem
współrzędnych określa w przestrzeni płaszczyznę i na odwrót:
równanie dowolnej płaszczyzny jest równaniem stopnia pierwszego.
a. Równanie ogólne płaszczyzny:
Ax+By+Cz+D = 0,
gdzie A, B3 C nie są jednocześnie równe zeru. Wektor N(A, £, C)
(rys. 206) jest prostopadły do danej płaszczyzny i ma cosmusy
kierunkowe
A * B
cnsa — —, cosfl = —rt
j/^2+B2+C2 ^Aa + B* + C*
c
yA2 + B* + C*
Jeżeli A = 0 (lub B = 0, lub C = 0), płaszczyzna jest
równoległa do osi Ox (lub do osi Oy3 lub do osi Oz), Jeżeli A = B = 0
(lub A = C = 0, lub B = C = 0), płaszczyzna jest równoległa do
płaszczyzny Oxy (lub do płaszczyzny Oxz, lub do Oyz), Gdy D = 0,
płaszczyzna przechodzi przez początek
współrzędnych.
Równanie ogólne wpostaci
wektorowej: rN+D = 0 (patrz str. 654),
gdzie r = OM jest wektorem ruchomego
punktu M(x,y,z) danej płaszczyzny.
b. Równanie normalne
płaszczyzny:
xcosa-\-ycosp-\-zcosy—p = 0,
gdzie p jest odległością początku współ-
x rzędnych O od jego rzutu O' na daną
Rys. 206 płaszczyznę, a wektor iV(cosa, cosft cos y)
jest prostopadły do tej płaszczyzny
i w przypadku gdy p ź 0 jest zgodnie skierowany z wektorem OO'.
Równanie normalne można otrzymać z równania ogólnego mnożąc
je przez czynnik normujący pt = l/N = el^Az+B&-\-C2, gdzie e =
= ±1 i w przypadku, gdy Dź 0, znak e jest przeciwny znakowi D.
9. Płaszczyzna i prosta w przestrzeni
287
Równanie normalne wpostaci wektorowej rN°—p = 0,
gdzie r jest wektorem wodzącym ruchomego punktu płaszczyzny,
a N° jest wektorem jednostkowym (wersorem) kierunku N.
c. Równanie odcinkowe płaszczyzny:
-r + T-i—r = 1>
gdzie c^0, MO, c#0, przy czym A (a, 0,05,5(0,6,0), C(0,0,c)są
punktami przecięcia dznej płaszczyzny z osiami współrzędnych
(rys. 206).
d. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane
trzy punkty P^i,.^,^), ?»(**> y»» *■), Pa(K3);y3),sa):
1
* —Ki 3» — 3*1 s —Si
= 0, albo inaczej:
*2~ »1 J»s—3»1 32 — Si
Ka —KX 3)a— 3>x Z3 — Z-i
= 0;
k — x± y —yr z —zx
*2 —*i y2—y1 z% — Zi
m n
l
= 0, albo inaczej:
= 0;
x y z
Xi yi s\ 1
k2 y3 z% 1
k3 y* zs 1
w postaci wektorowej (r—rt) (r2—rj) (r,,--ri) = 0 (*).
e. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa
punkty Pjf*!, j/u s,)iP2(*2,^£,s3)irównolegfcj do wektora S(l,m, n):
x y z 1
*! Jłj Z! 1
K2 >>2 s2 1
/ m n 0
w postaci wektorowej (r—i^) (r2—rj)i? = 0(2).
f. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany
punkt Pi(#i,;yi,.s'i) i równoległej do dwóch wektorów /(,(/„«„»,)
i *2(/a, m2) «a):
X y z \
Ki yx zr 1
/i «i «i 0
lt m2n2 0
w postaci wektorowej (r—r^R^ = 0 (2).
g. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany
punkt P^*,,^,;^) i prostopadłej do wektora N(A, B, C):
Aix-xJ+Biy-yJ+Ciz-zJ = 0;
w postaci wektorowej (r—r^N = 0(2).
(') W przypadku d, e, f zastosowano oznaczenia: r = OP (wektor wodzący
ruchomego punktu P płaszczyzny) n = OPv r3 = ÓPS, rs = OP3. O iloczynie
mieszanym trzech wektorów — patrz str. 650.
O O iloczynach wektorów patrz str. 650.
X—*! y-y! Z—Zi
h tłti W,
= 0, albo inaczej:
= 0;

288
I. Geometria analityczna
h. Równanie pęku płaszczyzn przechodzących
przez linię przecięcia dwóch płaszczyzn ns i ti2 (rys. 207), określonych
równaniami
A1x+B1y+C1z+D1 = 0,
Azx+B2y + C3z+D2 = 0,
przybiera postać
A1x+B1y+C1z+Dl +
+ X(Aapc+B2y+C2z+D2) = 0,
gdzie X przebiega wszystkie
wartości rzeczywiste od — co do + co;
równanie to nie zawiera jednak
płaszczyzny n2.
Jeśli równania płaszczyzn nx
i ?t3 dane są w postaci normalnej,
to przy A = 1 lub X = — 1
otrzymuje się równania, które
wyznaczają płaszczyzny dzielące kąty między płaszczyznami nx i n2 na
połowy (płaszczyzny dwusieczne).
Kąt między dwiema płaszczyznami omówiony jest na str. 293*
Punkt przecięcia się trzech płaszczyzn — patrz str. 292.
Odległości między dwiema płaszczyznami równoległymi (l)
Ax+By+Cz+Dj = 0 i Ax+By + Cz+D2 = 0 wynosi
Rys. 207
Ó =
\/A2 + B* + C2'
Odległość punktu Mfa b, c) od płaszczyzny wyznaczonej
równaniem normalnym xcosa-|-_ycos/J+zcosy—/> = 0, gdzie p > 0,
równa się wartości lewej strony tego równania po podstawieniu
współrzędnych a, b, c punktu M zamiast współrzędnych bieżących x, y, z (*):
S = acosa-i-fccos/J+ccosy—p.
Jeżeli punkt M i początek współrzędnych leżą po różnych stronach
danej płaszczyzny, to <5>0j a w przypadku przeciwnym 6 < 0.
Równania prostej w przestrzeni. Prostą w przestrzeni
określa się jako linię przecięcia dwóch płaszczyzn i wyznacza się ją
analitycznie za pomocą układu dwóch równań liniowych.
(') Warunki równoległości płaszczyzn — patrz str. 291.
(a) Metoda sprowadzenia ogólnego równania płaszczyzny do postaci normalnej —
patrz str. 286.
9. Płaszczyzna i prosta w przestrzeni
289
a. Równania ogólne prostej:
(1) AJx+B1y+C1s+D1 = 0, A2x+B2y+C2z+D2 = 0,
przy czym A*i-Bf+0**0 i AI+BI+Cl Ć0,w postaci
wektorowej
rNi+Dt = 0, rNz+D2 = 0,
gdzie r = OP (wektor wodzący ruchomego punktu P danej prostej)
Nj<(Au Bl3 CO i NZ(A2, BZ1 Ca) są wektorami prostopadłymi do
danych płaszczyzn.
Rys. 208
Rys. 209
b. Równania prostej wyznaczonej za pomocą dwóch
płaszczyzn rzutujących tę prostą na płaszczyzny Oxy i Oxz (rys. 208):
y = kx-\-b, z = kx-\-c (przypadek ogólny).
Pierwsze równanie wyznacza płaszczyznę rzutującą daną prostą na
płaszczyznę Oxys a drugie — na płaszczyznę Oxz (rys. 208).
c. Równania prostej przechodzącej przez dany punkt
Pi(x13 }>w 2i) i równoległej do wektora kierunkowego R(l> m3«)
(rys. 209):
y~yi
z—z*
<2> ~Tm- „■-•
w postaci wektorowej (r—rj X R = 0 (l), gdzie r = OP
(wektor wodzący ruchomego punktu P danej prostej), a N1(Al, Blt Cx)
i NifAtt B2, Ca) są wektorami prostopadłymi do danych płaszczyzn.
Równania parametryczne
x = Xi+h, y = y!+mt, z = ą+w;
w postaci wektorowej r = r1+Rt.
(') O iloczynach wektorów patrz str. 650.

290
I. Geometria analityczna
Aby otrzymać równania (2) z postaci (1), przyjmujemy
l _ -Bi Ci
Ba Ca
m- C*Al
m~ Ca Aa
A1B1
At Bs
a w postaci wektorowej przyjmujemy R = Ni. x JVsf1), przy czym za
punkt P(x, y, z) możemy przyjąć którykolwiek punkt spełniający
równania (1).
d. Równania prostej przechodzącej przez dane dwa punkty
Pi(xi*yu2i) i PJjx2y y^y Zą) (rys. 210):
Rys. 210
Rys. 211
X—Xx
y—yi z—z-l
*2-*i yz-yi z*-z\
w postaci wektorowej (r— rz) x (r2 — r{) = Of1).
e. Równania prostej przechodzącej przez dany punkt
Pi(Xi>yi>zi) i prostopadłej do płaszczyzny Ax+By + Cz+D — 0
łub do płaszczyzny rN+D — 0 (rys. 211):
x~Xi y-y!
Zt
(.*);
ABC
w postaci wektorowej (r—rx) x AT = Of1).
Odległość punktu M(a3 b3 ć) od prostej danej
w postaci (2) określa się według wzoru
równaniem
Ka~x1)m-(,b-y1)I?+l(b-y1)n-(ic-Sl)nty
ł2+ma+n2
+
Kg-*0/-(g-»i)n3»
/2+m3+»a
C1) O iloczynach wektorów patrz str. 650.
0Z zastrzeżeniem, że jeżeli którykolwiek mianownik jest równy zeru, to
odpowiedni licznik równa się zeru.
9. Płaszczyzna i prosta w przestrzeni 291
Punkty przecięcia płaszczyzn i prostych
Układy
płaszczyzn i prostych
Trzy
płaszczyzny:
A1x+B1y+
+ C1z+D1
Atx+Bty+
+ CaZ + DZ
A*x+B3y+
+C3z+D3
-0,
= 0,
= 0
Wzory na wyznaczenie
punktów przecięcia
-Ax
Cztery
płaszczyzny
A^-ł-B^Ą-
+C1z+D1
A2x+B2y +
+ C2z+D2
A2x+Bay+
+ CaZ+D3
Aix+Biy +
+ C42+D4
= 0,
= 0.
= 0,
= 0
gdzie
A =
Ax =
Płaszczyzna
i prosta
1) Ax+By +
+ Cz+D = 0,
x-xx ^y-yi_
t m
Z — Zl
y =
-Az
A± Bt d
Aa B2 C2
A3 Ba Ca
Di B1 d
D2 B2 Ca
DS Ba Ca
-Ay
Uwagi
Ay =
Az =
Ax Di Ci
A2 Da Ca
As Da C3
Ay B, Di
A2 Ba D2
AS Ba Da
Trzy płaszczyzny
przecinają się w jednym
punkcie, jeżeli A ź 0;
jeśli A = 0 i chociaż
jeden z minorów rzędu
drugiego nie równa się
zeru, płaszczyzny są
równoległe do pewnej
prostej, jeżeli wszystkie
minory są równe 0,
płaszczyzny mają współ
ną prostą
Znajdujemy punkt
przecięcia którychkol-
wiek trzech płaszczyzn
spośród czterech (patrz
wyżej). W tym
przypadku (<3 = 0) jedno z
równań wynika z trzech
pozostałych
Cztery płaszczyzny tyl-
ko wtedy przecinają się !
w jednym punkcie, gdy
1) x=xt-le>
y=yl-mg>
z = zt~ no,
gdzie
0 =
Ax1+Byi+Cz1+D
AJ+Bm+Cn
Ax Bt C1 A
A2 Bz C2 Da
Aa Ba Ca D3
At Bt Ct Dt
= $
(warunek konieczny,
ale nie dostateczny)
Jeśli Al+Bm+Cn = Q
lubA+Bk+Ch=0,to
prosta jest równoległa
do płaszczyzny; jeżeli
ponadto Axl+By1 +
+ Czl+D=Q lub Ba+
+ Cb+D=0> to prosta
leży na płaszczyźnie

292 I. Geometria analityczna
Punkty przecięcia płaszczyzn i prostych (cd.)
Układy płaszczyzn
i prostych
Wzory na wyznaczenie
punktów przecięcia
Uwagi
2) Ax+By+
+ Cz+D = 0,
y = kx+a>
z = kx+b
2)x=-
Ba+Cb+D
A+Bk+Ch'
y = kx+a,
ź=kx+b
Dwie proste
y = kxX±alt
* = Ai*+6I;
y = k&+as,
z = h&~i-ba
aa-tf!
h-h
y =
kx — k3 kx — ks3
kl—k2
hibj—hibt
hi—ht
Wzory te dają punkt
przecięcia tylko przy
spełnieniu warunku
(«!-«■) (*i-At) =
= (6i-W (*!-*■)»
w przeciwnym
przypadku proste nie
przecinają się (patrz str. 293)
Kąt między płaszczyznami i prostymi
Kąt między
płaszczyznami
i prostymi
danymi za pomocą
równań
oblicza się według wzoru
Dwie
płaszczyzny
w postaci
wektorowej
A1x+B1y+C1s+D1 =
= 0,
A&+B2y+Czz+Da =
= 0
rJVi+Di = 0,
cos y
A-iA%+B-^B^ 4- Ci Ca
V<A+Bt+ClXAi+Bt+<Ą)
JVjJVa
Dwie proste
w postaci
wektorowej
*—*i = y-yt = z-Zi
li tn-L tti
x-x3 y-y9 z-z2
cos 93
/a »*a «a
(r-r1)xE1 = 01
(r-r2)xi?a = 0
CQS<p =
i?ii?a
Prosta
i płaszczyzna
w postaci
wektorowej
x~xt y—yx z—Zi
siny =
/ m B
Ax+By+Cz+D = 0
(f~r,)xfl = 0,
rJV+D = 0
Al+Bm+Cn
y C^-f-BH C*) (/■+«»+»«)
RN
smy =
RN
9. Płaszczyzna i prosta w przestrzeni
293
Odległość między prostymi nierównoległymi o
równaniach
X— Xi
h
y-yi
S — Zi
«1
x—«a y—yz _ a—■
/,
ffla
n<
wynosi
= ±
*i~-*2 yi-i-a *i~*
/i m2 bx
ł^
+
IMi Bi
IMi Ba
+
«1 h
B9 /a
przy czym jeżeli licznik powyższego wyrażenia równa się zeru, to dane
dwie proste przecinają się; jeżeli licznik nie równa się zeru, to proste
są skośne.
Jeśli dane dwie proste są równoległe, odległość między nimi
oblicza się jako odległość punktu P(jxs y, z) od drugiej prostej.
Warunki równoległości (oznaczenia jsk wyżej):
A B C
a. Dwie płaszczyzny: -~ = ~- = -^-, z warunkiem, że jeżeli
"2 -"Z ^a
którykolwiek z mianowników jest zerem, to i odpowiedni licznik jest
zerem; w postaci wektorowej Ni x N2 = 0.
b. Dwie proste: -i = — = — (z zastrzeżeniem jak wyżej); wpo-
*a »*a Bj
staci wektorowej i?t x Rs = 0.
c. Prosta i płaszczyzna: Al+Bm+Cn = 0; w postaci wektorowej
m = o.
Warunki prostopadłości (oznaczenia jsk wyżej):
a. Dwie płaszczyzny: AiAi+B^-i-C^ = 0; w postaci
wektorowej NjNs = 0.
b. Dwie proste: /!/a+»Vna+«i«B = 0; w postaci wektorowej
RJt2 = 0.
ABC
c. Prosta i płaszczyzna -y- = —• = — z zastrzeżeniem, że jeżeli
l m n
którykolwiek z mianowników jest zerem, to i odpowiedni licznik jest
zerem; w postaci wektorowej NxJR = 0.
10. Powierzchnie stopnia drugiego — równania kanoniczne (*)
Powierzchnie środkowe. Przytoczone niżej równania
powierzchni są równaniami kanonicznymi: początek współrzędnych jest Środkiem
symetrii (czyli punktem, w którym wszystkie cięciwy dzielą się na po-
(l) Równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego — patrz str. 299.

294 I. Geometria analityczna
Iowy); osie współrzędnych są osiami symetrii, a płaszczyzny
współrzędnych są płaszczyznami symetrii.
Elipsoida. Elipsoida (rys. 212) ma równanie
gdzie a, b, c są półosiami elipsoidy.
Rys. 212
Gdy a = b = c, otrzymujemy powierzchnię kuli, czyli sferę, o
równaniu x*+y*+z2 « az. Powierzchnię tę otrzymuje się przez obrót
okręgu dokoła średnicy.
Gdy a = b>c, mamy elipsoidę obrotową spłaszczoną (rys. 213),
czyli sferoidę spłaszczoną; otrzymuje się ją przez obrót elipsy o
równaniu «2/aa+3ra/ca = 1 dokoła malej osi, która w tym przypadku leży
na osi Oz.
Rys. 213 Rys. 214
10. Powierzchnie stopnia drugiego 295
Gdy a — b < c, mamy elipsoidę obrotową wydłużoną (rys. 214),
czyli sferoidę wydłużoną', otrzymuje się ją przez obrót elipsy o
równaniu xi/as+zslc% = 1 dokoła wielkiej osi, która w tym przypadku
leży na osi Oz.
Przekrój elipsoidy dowolną płaszczyzną jest elipsą (lub kołem). Ob-
4
jętość elipsoidy V ~ -^nabc.
Rys. 215 Rys- 216
Hiperboloidy. Hiperboloida jednopowłokowa (rys. 215) ma
równanie
gdzie a i b są półosiami rzeczywistymi, a c jest półosią urojoną.
O hiperboloidzie jednopowlokowej jako powierzchni prostokreił-
nej — patrz str. 297.
Hiperboloida dwupowlokowa (rys. 216) ma równanie
gdzie a i b są półosiami urojonymi^ a c jest półosią rzeczywistą.
Dla obu rodzajów hiperboloid przekroje równoległe do osi Oz są
hiperbolami (dla hiperboloidy jednopowlokowej może być to para
przecinających się prostych). Przekroje hiperboloid płaszczyznami równo-

296 *• Geometria analityczna
ległymi do płaszczyzny Oxy są w tym przypadku elipsami lub kołam
(rzeczywistymi lub urojonymi).
Gdy a = b, mamy hiperboloidy obrotowe; można je otrzymać prze:
obrót dokoła osi Oz jednej z hiperbol sprzężonych: x2/az—z3{cs — 1
(dla hiperboloidy jednopowłokowej) lub x2/a2—z2/cs = — 1 (dla
hiperboloidy dwupowłokowej).
Rys. 217 Rys. 218
Stożek. Stożek (rys. 217) ma równanie
a* + b2 c*
Wierzchołkiem stożka jest początek współrzędnych, a za kierującą
(patrz str. 226) można przyjąć elipsę o półosiach aib leżącą w
płaszczyźnie z = c.
Każda płaszczyzna o równaniu Ax Ą-By = 0 przecina stożek wzdłuż
dwóch jego tworzących symetrycznych względem osi Oz. Hiperboloidy
X2 y2 Z2
o równaniach —r + 4r t = ± 1 mają wspólny stożek
asymptotic bx c*
v° yZ tf&
tyczny —^ + -^- + —^ = 0 (rys. 218), tzn. punkt ruchomy każdej
tworzącej tego stożka nieograniczenie zbliża się w nieskończoności do obu
hiperboloid.
Gdy a = b, otrzymujemy stożek obrotowy (patrz str. 226).
10. Powierzchnie stopnia drugiego
297
Parabololdy. Paraboloidy nie mają środka. Dla równań podanych
poniżej wierzchołek paraboloidy leży w początku współrzędnych, oś
Oz jest osią symetrii, a płaszczyzny Oxz i Oyz są płaszczyznami
symetrii,
Paraboloida eliptyczna (rys. 219) ma równanie
,-* + *.
aa ^ b2
Każdy przekrój płaszczyzną z = cy gdzie c> 0, jest elipsą, a każdy
przekrój płaszczyzną przechodzącą przez oś Oz lub do niej równoległą
jest parabolą. Gdy a = b, mamy paraboloida obrotową, która powstaje,
gdy parabola z = x*fa* leżąca w płaszczyźnie Oxy obraca się dokoła
osi Oz.
Objętość odcinka paraboloidy ograniczonego płaszczyzną z = k,
gdzie k>0: V = -^nabh, czyli połowie objętości walca eliptycznego
o takiej samej wysokości i podstawie.
Paraboloida hiperboliczna (rys. 220) ma równanie
x2 y2
Z = 'a^~~b*~-
Przekrój płaszczyzną Oxz jest parabolą z = x2/a2, a przekroje
płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny Oxz są takimi samymi parabolami.
Przekrój płaszczyzną Oyz jest parabolą z = —y/fr3, a przekroje
płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny Oyz są takimi samymi
parabolami. Przekrój płaszczyzną Oxy daje parę przecinających się
prostych o równaniach xja±yjb = 0, a przekroje płaszczyznami
równoległymi do Oxy dają hiperbolę.
Powierzchnie prostokreślne. Powierzchnię nazywamy prosto-
kreślną, jeżeli przez każdy jej punkt przechodzi co najmniej jedna

298
I. Geometria analityczna
prosta leżąca na tej powierzchni. Każdą taką prostą nazywamy tworzącą
powierzchni prostokreślnej (jak np. tworząca stożka lub walca).
Hiperboloida jednopowlokowa (rys. 221)
a, + P c*
ma dwie rodziny tworzących: jedną o
równaniach
Ci)
a c \ b
:3 C b
i drugą o równaniach
CU)
x , z i y
— + — = v 1— 4-
a c b
, x z\ , y
fi5
Rys. 221
gdzie m i z' są dowolnymi liczbami. Przez każdy punkt hiperboloidy
jednopowlokowej przechodzi po jednej tworzącej z każdej rodziny.
x2 va
Paraboloida hiperboliczna (rys. 222) z = —- — -^ ma dwie
rodziny tworzących: jedną o równaniach
a b
X y
.a b
i drugą o równaniach
a ft
fi —
Rys. 222
Przez każdy punkt paraboloidy hiper-
bolicznej przechodzi po jednej
tworzącej z każdej rodziny. Na rysunkach 221 i 222 narysowano tylko jedną
rodzinę tworzących.
Walce. Walec eliptyczny (rys. 223) ma równanie
= 1,
a1 + bz
10. Powierzchnie stopnia drugiego
walec fdperboliczny (rys. 224) ma równanie
299
** y _ i
wo/ec parabaNczay (rys. 225) ma równanie y = 2px.
Rys. 223
Rys. 224
Rys. 225
11. Powierzchnie stopnia drugiego (ogólna teoria)
Równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego ma postać
allxi+as2y2+£hsZz+2ai2Xy+2a2zyz+2a31&x+2allx+2a2iy +
+2aMz+au = 0,
gdzie współczynniki przy wyrażeniach stopnia drugiego nie są
równocześnie równe zeru.
Niezmienniki powierzchni stopnia drugiego (*). Wielkość
A =
<2ii flia a\% °i4
«al Oaa °23 ai*
Osi **sa ^ Oai
ai\ °4S a« aw
fln Oia flis
Oai <*m °2S
03i Osa «33
5 = flu+flu+a*. r = fl»«M-f-tfM«ii+flii'««-fl!»
- al, — a
'12
nie zmieniają się przy zmianie początku współrzędnych i przy obróci
osi współrzędnych.
(!) Przyjmujemy a« = atu

300 I. Geometria analityczna
I. d^O (powierzchnie środkowe)
A<0
A>0
A =0
SS>0) T>0
Elipsoida
az ^ b* ^ c2
Elipsoida urojona
a* + b' + c2
Stożek urojony (o
wierzchołku rzeczywistym)
a» + *" + «»
S3>0, 2*<0
lub S3<0, 2*>0
Hiperboloida
dwupowłokowa
fl2 + fta Ca
Hiperboloida
jednopowłokowa
x2 v2 *"
o3 + 6a ca
Stożek
Xs Vs Z*
fl* fta C2
II. 3 = 0 (paraboloidy, walce i pary płaszczyzn)
r>o
r<o
A*0
a <o
Paraboloida eliptyczna
fla + 6a
-±*
J>0
Paraboloida hiperboliczna
o2 i* *
J =0
Powierzchnia walcowa, której kierującą jest krzywa
stopnia drugiego. W zależności od kształtu tej krzywej
(patrz str. 291, 292) otrzymujemy walce różnego
rodzaju: eliptyczny rzeczywisty lub urojony (gdy T > C) j
hiperboliczny (gdy T < 0); paraboliczny (gdy T — 0),
pod warunkiem, że powierzchnia stopnia drugiego nie
ulega degeneracji, tzn. nie sprowadza się do układu
dwóch płaszczyzn rzeczywistych lub urojonych albo
do jednej płaszczyzny. Warunki degeneracji:
au ais alt
fl2i a2a aa*
Ojl «42 <*M
+
Oli «I3 «14
«si «aa «34
atl fli3 aM
+
flaa flaa #24
«32 «33 «34
fl4a flis atl
= 0
11. Powierzchnie stopnia drugiego (ogólna teoria) 301
Kształt powierzchni stopnia drugiego o danym równaniu
określamy na podstawie znaków niezmienników tej powierzchni
posługując się powyższą tablicą: w tablicy tej obok nazwy powierzchni
dane są równania kanoniczne, do których możemy^ sprowadzić dane
równanie za pomocą zmiany współrzędnych. Równania tzw.
powierzchni urojonych nie są spełnione przez współrzędne żadnego punktu
rzeczywistego z wyjątkiem dwóch przypadków: wierzchołka stożka
urojonego i linii przecięcia dwóch płaszczyzn urojonych.

H. GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
W geometrii różniczkowej bada się linie krzywe (płaskie i
przestrzenne) oraz powierzchnie przy użyciu metod rachunku
różniczkowego; dlatego zakłada się, że funkcje występujące w równaniach są
ciągłe i mają ciągłe pochodne aż do tego rzędu, który potrzebny jest
w rozważanym zagadnieniu. (Warunek ten może nie być spełniony tylko
w poszczególnych punktach krzywej lub powierzchni; mamy wówczas
punkty specjalnego rodzaju, np. punkty nieciągłości lub załamania
krzywej. Punkty takie omówione są na str. 311 i 332).
Przy badaniu tworów geometrycznych według ich równań
rozróżnia się własności zależne od wyboru układu współrzędnych (np.
punkty przecięcia krzywej lub powierzchni z osiami współrzędnych, kąt
nachylenia stycznej, ekstrema) i własności niezależne, nie ulegające
zmianie przy zmianie współrzędnych i należące do samej tylko krzywej
lub powierzchni (np. punkty przegięcia, wierzchołki krzywej,
krzywizna). Z drugiej strony rozróżnia się własności lokalne, dotyczące
tylko bardzo małej części krzywej lub powierzchni (np. krzywizna,
element liniowy powierzchni) i własności integralne krzywej lub
powierzchni (np. ilość wierzchołków, długość krzywej zamkniętej).
A. KRZYWE PŁASKIE
1. Sposoby wyznaczania krzywej
Równanie krzywej (■). Krzywą płaską można przedstawić
analitycznie w jednej z następujących postaci:
We współrzędnych prostokątnych:
(1) F(x, y) = 0 (w postaci uwikłanej),
(2) y = f(x) (w postaci wyraźnej),
(3) x = x(t), y = y(t) (w postaci parametrycznej).
We współrzędnych biegunowych:
(4) £?=/(?)•
C1) Ogólne pojęcie równania krzywej podane jest na str. 260.
I
1. Sposoby wyznaczania krzywej 303
Dodatni kierunek krzywej. Jeżeli krzywa jest dana w postaci
(3), to za kierunek dodatni przyjmuje się ten kierunek, w którym
porusza się punkt M {x(t), y(t)) krzywej przy wzrastaniu parametru t (rys.
226a). Jeżeli krzywa jest dana w postaci (2), to za parametry można
a) b) c)
Rys. 226
uważać odciętą x i rzędną y =/(*) punktu M(x,y) i za kierunek
dodatni krzywej przyjąć kierunek odpowiadający wzrastaniu odciętej, tj.
od strony lewej do prawej (rys. 226b). Jeżeli krzywa jest dana w postaci
(4), to parametrem jest argument <p, a więc x = f(<p) cosy, y ~f(<p)sm<p
i kierunek dodatni krzywej odpowiada wzrastaniu argumentu y, tj.
przebiega w kierunku przeciwnym obrotowi wskazówek zegara (rys.
226c).
Przykłady (rys.226): a. x = t2, y = ts; b. y = sin*:
c. q = a<p.
2. Lokalne elementy krzywej
W paragrafie tym M oznacza zmienny punkt krzywej określony
przez podanie wartości x w przypadku (2), wartości t w przypadku (3)
i wartości ą> w przypadku (4); N oznacza punkt nieskończenie bliski
punktu Af, określony odpowiednio przez podanie wartości x+dz, t+dt
lub <p+d<p.
Różniczka łuku. Jeżeli s jest długością krzywej liczoną od stałego
punktu A do zmiennego punktu Af, to nieskończenie mały przyrost
długości łuku As = MN wyraża się w przybliżeniu przez różniczkę
łuku C1) ds:
<fc = l/ 1 + l-r--) <** dk krzywej danej w postaci (2),
O O różniczce i jej własnościach — patrz str. 390 - 392.

304
II. Geometria różniczkowa
ds = Vx't+y'; dt
<fa = yV+e'a dę
Przykłady
dla krzywej danej w postaci (3),
dla krzywej danej w postaci (4).
1. y = sin*, ds — y l+cosa* dx3
2. x = t\ y = t83 ds = \t\ \/ł+9t* dt3
3. q = a<p, ds = a ]/l+cja d<p.
Styczna i normalna. Określenia.
Styczną do krzywej w punkcie M nazywamy Ryg 227
graniczne położenie cięciwy MN, gdy N-*M,
normalną do krzywej nazywamy prostą prostopadłą do krzywej przer
chodzącą przez punkt M (rys. 227).
Równania stycznej i normalnej są następujące:
Postać
krzywej
CD
(2)
(3)
Równanie stycznej
dF dF
y-j> x-x
y't x't
Równanie normalnej
X~x Y-y
dF dF
dx dy
dx
*&X-x)+y%Y-y) « 0
W równaniach tych x, y są współrzędnymi danego punktu M
krzywej, X, Y są współrzędnymi bieżącymi punktu stycznej lub
normalnej, a wartości pochodnych oblicza się dla punktu M.
dF ÓF
Uwaga. Jeżeli w punkcie M(xs y) jedna z wielkości -r—, -r—;
x't> y't przybiera wartość 0 lub oo, to styczna i normalna
są równolegle do osi współrzędnych w tym punkcie.
Przykłady. Znaleźć równania stycznej i normalnej do krzywej:
1. Dla okręgu xa+y* — 25 w punkcie MC3, 4). Równanie stycznej
w punkcie M(xty)mzi postać 2x(X—x)+2yCY—y)=0, co po uwzględ-
2. Lokalne elementy krzywej
305
nieniu równości x*+y* = 25 daje xX+yY = 25, W punkcie M(3, 4j
mamy 3X+4V = 25. Równanie normalnej w punkcie M(x, y) ma
postać
X-x
2x
Y-y
2y
lub
Y-ix-
w punkcie M(3, 4) mamy Y' = ^ X.
2. Dla sinusoidy w punkcie M(0, 0). Równanie stycznej w punkcie
M(_x,y):
Y^sinx = cosx(X— x) lub Y = Xcos*+sinx—*cos#,
w punkcie M(0,0) jest Y' — X. Równanie normalnej w punkcie MCx»y)
1 X . x
Y-sin* = 1_(X-*) lub . Y = —=rr+«n*+
COS* ' ' COS* COS*
w punkcie M(0, 0) mamy Y = —X.
3. Dla paraboli Neila x = t8, y = f, w punkcie Af(43-8),
t = — 2. Równanie stycznej w punkcie M(#,>»):
y-t3_X-t8
3t2 ~ 2r
lub
Y=^rX-ir';
w punkcie M(4, — 8) mamy Y = —3X+4. Równanie normalnej
w punkcie M(x,y):
2t(X-1?) +3tz{Y-^) = 0 lub 2X+3tY = t\2 + 3t*);
w punkcie M(4, —8) mamy X-3Y = 28.
Rys. 228
Rys. 229
Kierunek dodatni stycznej i normalnej. Jeżeli
krzywa dana jest w postaci (2), (3) lub (4) (patrz str. 302), to dodatni
kierunek stycznej i normalnej określamy w sposób następujący: 1°
kierunek dodatni stycznej jest zgodny z kierunkiem krzywej w punkcie
styczności (patrz str. 303); 2° kierunek dodatni normalnej otrzymuje
się z dodatniego kierunku stycznej przez jej obrót dokoła punktu
styczności o kąt 90° przeciw obiegowi wskazówki zegara (rys. 228).
Punkt M dzieli styczną i normalną na dodatnią i ujemną pólprostą.

306
II. Geometria różniczkowa
Kąt nachylenia a stycznej w danym punkcie M jest
to kąt między kierunkiem dodatnim osi Ox i kierunkiem dodatnim
stycznej w punkcie M; we współrzędnych biegunowych jest to kąt fi
między kierunkiem dodatnim promienia wodzącego g punktu M i
kierunkiem dodatnim stycznej w tym punkcie (rys. 229). Kąty a i ft
oblicza się według następujących wzorów:
tga =
tgM
dy
dx'
dQ
COSM
dx
ds'
A.
ds *
sina
dy^
ds '
sin^ = Q'^s~'
gdzie ds oblicza się ze wzorów podanych na str. 303 i 304.
Przykłady. 1. y = sina:; wtedy
tga = cosjc,
j/l+cos2*
j/l+cos"3a:
2. x = ts, y == t3; wtedy tga = y t dla każdego ( oraz
2 3r
sina =
3
COS*
cosa =
cos a
|/4 + 9ra *
2
sina =
|/4 + 9ra '
3. @ = cup; wtedy
tgH ~ <p, cos/i =
sina =
)/4 + 9ra
3*
|/4+9(a
dla
dla
r^O,
t <0.
ł/l+P2 '
sin^w
^
Odcinki stycznej i normalnej, podstyczn.
i podnormalna (rys. 230).
a. We współrzędnych yt
kartezjańskich, przy określę- \n'
niu krzywej w postaci (2) i (3) (patrz
str. 302):
styczna MT = 1-^-, j/l +y'*
normalna MN = \yy\ +y'2 j,
podstyczna PT —
podnormalna PN — \yy'\.
2. Lokalne elementy krzywej
307
b. We współrzędnych biegnnowych, przy
określeniu krzywej w postaci (4) (patrz str. 302):
styczna biegunowa "m '
MT' =
normalna biegunowa MN' =
podstyczna OT' —
podnormalna ON' = J q'\ .
^Przykłady. 1. y =* coshx, wtedy y' — sinha:, yl+y2 —
= coshx; stąd MT=\-^rT]i MN - |cosh2x|, Pr-|ctghx|.
PN = Isinhxcoshacl.
2. e = a<p, a > 0
MT' =
sinhx
, wtedy e' = a> ye
3vYl+V*\> MN' '■
OT = |oo>'|, ON' ^a
a|/l-r?>*|,
stąd
Kąt między dwiema krzywymi.
Kątem między dwiema krzywymi rx i r2
o równaniach ;y = f^x) i ;y = /a(ar)
przecinającymi się w punkcie M(x0, y0)
nazywamy kąt /? zawarty między
stycznymi do tych krzywych w
punkcie M (rys. 231), Obliczenie kąta 0
sprowadza się do znalezienia kąta
między dwiema prostymi (patrz str.
264), których współczynniki kątowe
wynoszą
AB = tga2 =/&*)*=-*•
Przykład. Wyznaczyć kąt między parabolami y = \/^c oraz
y = x2 w punkcie JW(1,1). Mamy tu ffe) = }fx, Mx) — *■, *0 = 1;
stąd
tga, = | ——■) = ~ , tga2 = (2x)x=1 = 2,
#■
~<?
A
/
l /'/
JfM
M\
ja\
//]
X
Rys. 231
tg/
tg^-tga!
l+tgaitga2
Wypukłość krzywej. Jeżeli krzywa dana jest w postaci y =f(x)
i lezący na niej punkt M nie jest punktem osobliwym, nie leży
na odcinku prostoliniowym danej linii, ani nie jest punktem przegię-

308
II. Geometria różniczkowa
cia krzywej (patrz str. 311 -316), to ta krzywa w otoczeniu punktu M
jest skierowana wypukłością w górę, gdy f"(x) < 0 (punkt Mi na
rysunku 232) i wypukłością w dół, gdy /"(x) > 0 (punkt M2). Jeżeli
f"(x) = 0, to zagadnienie należy zbadać dodatkowo, co zostało
rozpatrzone na str. 312 przy omawianiu punktów przegięcia.
Przykład, y = x* (patrz rys.6b na str. 100); mamy y" = 6x;
gdy x>0, krzywa jest wypukła w dół, a gdy *<0, krzywa, jest
wypukła w górę.
Rys. 232 Rys. 233
Krzywizna i promień krzywizny. Krzywizną K krzywej w jej
punkcie M nazywamy granicę stosunku kąta 3, zawartego między
dodatnimi kierunkami stycznych w punktach M i N (rys. 233), do
długości łuku MN, gdy MN -*■ 0:
K= lim -^.
Krzywizna K może być dodatnia lub ujemna w zależności od
znaku powyższej granicy. Gdy K > 0, środek krzywizny leży na
dodatniej półprostej normalnej (patrz str. 305) (tzn. krzywa jest
skierowana wypukłością w stronę ujemnej półprostej normalnej); gdy
K < 0, jest na odwrót.
Często krzywiznę określamy tylko jako wielkość dodatnią, biorąc
bezwzględną wartość podanej powyżej granicy.
Promieniem krzywizny R w punkcie M krzywej nazywamy
odwrotność krzywizny: R = \jK. Im bardziej zakrzywiona jest krzywa
w otoczeniu punktu Af, tym większa jest krzywizna K, a tym mniejszy
jest promień krzywizny R w tym punkcie. Dla okręgu o promieniu a
krzywizna K = l/a, a promień krzywizny R — a (jest stały d!a
wszystkich punktów). Dla linii prostej K = 0, R = oo. W ogólności
krzywizna krzywej jest w różnych punktach różna.
Oznaczając 6 = da i MN = ds (rys. 233) otrzymujemy
*-£■ *-£•'
Jeżeli krzywa jest dana w postaci (1), (2), (3) lub (4) (patrz str. 302)
to K i R obliczamy według wzorów:
(**)
2. Lokalne elementy krzywe}
dla krzywej danej w postaci (2):
311?
K
d*y
dx2
ntn
2-»a/a '
R = •
Ht)T
d*y
dxz
d!a krzywej danej w postaci (3):
I ** y't I
K =
l*j' y't'1
R
l.*?+?t*)w.
*'t y't
x't y't
dla krzywej danej w postaci (1):
K
*%,
F"
*■ yx
K
Ky
F"
yy
F'v
K
F'y
0
{F* + F'jf<* '
R =
(F?+F'yz?i*
K*
Fy*
K
F'ń
Fvy
F'y
F*
F'y
0
dla krzywej danej w postaci (4):
K^
(ea+<?'a)3/a '
R =
q*+2q'*~0q'
Przykłady. l..y=coshx; wtedy
*--k-
coshrx
2. x = t% y = t3; wtedy
6
^M
r(4+9*a)3/a'
3. y-x«-tf"; wtedy K =
4. e = a<p; wtedy K = ~- ^+^», ■
(x2+yyl2
Rys. 234
Jeżeli mianownik w którymkolwiek z tych wzorów jest równy zeru,
to krzywa ma w danym punkcie punkt przegięcia albo ma w otoczeniu
tego punktu odcinek prostoliniowy i wówczas promień krzywizny
jest w danym punkcie nieskończenie wielki.

310 II. Geometria różniczkowa
Kolo krzywizny i środek krzywizny. Kołem krzywizny
krzywej w punkcie M nazywamy graniczne położenie kola, którego okrąg
przechodzi przez punkt M i przez dwa punkty N i P leżące w otoczeniu
punktu M (rys. 234). Promień koła krzywizny nazywamy promieniem
krzywizny w danym punkcie; oblicza się go według wzorów (**).
Środek koła krzywizny C nazywamy środkiem krzywizny w danym punkcie;
leży on na normalnej do krzywej po stronie jej wklęsłości. Współrzędne
środka krzywizny (xc>yc) oblicza się według wzorów:
dla krzywej danej w postaci (2) (patrz str, 302):
(***)
4v
dx
At
d*y
dx*
dla krzywej danej w postaci (3):
y'tW+y?)
yc
x-
x'{ y'i
dla krzywej danej w postaci (4):
yc-y+
d*y '
dx2
*1 y*
*!' y't'
Xc = QCOSę-
yc = Qsm<p-
-q sin<
e"+2e"-ee"
(qs+q'z) ($ sin ę—g'cost
q2+2q'*-
dla krzywej danej w postaci (1):
■ee
n*
F"
* yx
P',
F"
F"
■* yy
*'*
P',
*'y
0
x +
Wzory te można napisać w postaci
xc — x — i?sina, yc = ^+i?cosa
y+
y-- „C(xciyc)
P'y(P'ł+P'ł)
P'źx
F'y*
P',
F"
1 xy
F"
x yy
F'y
P',
*'y
0
lub
ar—i?
dy
ds'
* = *+*-£
(rys. 235), gdzie R oblicza się ze
wzorów (**) (patrz str. 309).
Rys. 235
3, Punkty specjalnych typów
311
3. Punkty specjalnych typów (L)
Punkt przegięcia. Określenie. Punkt przegięcia jest to
punkt krzywej, w którym kierunek wypukłości zmienia się na przeciwny
(rys. 236); krzywa w otoczeniu punktu przegięcia nie leży po jednej
stronie stycznej, lecz przecina ją. W punkcie przegięcia krzywizna
K = 0, a promień krzywizny R = co.
Reguły znajdowania punktów przegięcia.
ł* Dla krzywej danej w postaci (2) (patrz str. 302):
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia polega na
tym, że druga pochodna f"(x), jeżeli istnieje, równa się zeru. Dla
znalezienia punktów przegięcia, w których druga pochodna /"(ar)
istnieje (a), znajdujemy wszystkie
pierwiastki xu *a,... równania fix) = 0, j^-*"
następnie tworzymy trzecią pochodną ^^-——
f"'(x) i każdy z wyznaczonych pier- y^
wiastków xi (gdzie i = 1, 2,3,...) Ry8. 236
podstawiamy do trzeciej pochodnej
/'"(*)• Jeżeli okaże się, że /'"(;«)# 0, to Xi jest odciętą punktu
przegięcia. Jeżeli/'"(*0 = 0, to obliczamy kolejno/(4) (a:0,/(sK#0j,..,
aż dojdziemy do takiej pochodnej, która w punkcie xt nie równa się
zeru. Wówczas jeżeli pierwsza z pochodnych różniących się od zera
będzie rzędu nieparzystego, to punkt xt będzie punktem przegięcia,
jeżeli zaś będzie rzędu parzystego, to punkt Xi nie będzie punktem
przegięcia krzywej. Jeżeli badany punkt xi nie jest punktem przegięcia
krzywej (tzn. jeżeli w tym punkcie pierwszą z pochodnych różnych
od zera jest pochodna /W (pa), gdzie k > 1 jest liczbą nieparzystą,
to krzywa y =/(«) jest w punkcie xt skierowana wypukłością w górę,
gdy /(*) (w) < 0, a w dół, gdy /(*) (*;)> 0.
Przykłady 1. y = j-^; wtedy y'(*) - -2 (1 + a^s>sk3d
Xi = - ~, x, =- -L, /'"(*) - 24*--^—, r'(*i) * 0, /'"(*3) *
y3 ]/3 (i+*J
t^O; punkty przegięcia
1 3\ „/l 3
2. y^ xl; wtedy /"(x) = lZc2, *x - 0, /'"(*) = 24x> f"Xxi) = *>,
/(*)(**) = 24, /(*)(*i)łŁ 0; punktu przegięcia nie ma.
Możemy także rozstrzygnąć, czy znaleziony pierwiastek «i jest
odciętą punktu przegięcia badając bezpośrednio zmianę znaku drugiej
O Omówimy tu tylko punkty niezmiennicze względem przekształcenia układu
współrzędnych. Maksima i minima omówione są na str. 408-411.
(s) Znalezienie punktów przegięcia dla tych przypadkówj kiedy /"(*) nie istnieie
(np, przechodzi w nieskończoność), patrz niżej.

312
II. Geometria różniczkowa
pochodnej /"(*) przy przejściu przez ten punkt: jeżeli znak drugie)
pochodnej zmienia się na przeciwny, wówczas zmieni się także na
przeciwny kierunek wypukłości krzywej (patrz str. 308), a więc będziemy
mieli punkt przegięcia. Metodę tę stosuje się również w przypadku,
gdy y" = co.
Przykład. y = x6'3; wtedy y' = -j xal3, y" ~ -^-Jr1'3. Przy
x = 0 mamy y" = co. Przy przejściu od ujemnych wartości x do
dodatnich, druga pochodna zmienia znak z „—" na „+"; wnioskujemy
stąd, że przy x = 0 krzywa ma punkt przegięcia.
W praktyce, jeżeli z przebiegu krzywej widać, że krzywa ma punkty
przegięcia (np. między maksimum a minimum na wykresie funkcji,
która ma ciągłą pochodną), wystarczy znaleźć tylko Xi nie interesując
się wyższymi pochodnymi.
2. Inne postacie równania krzywej. Podane wyżej warunki konieczne
istnienia punktu przegięcia/"^) = 0 przy innych postaciach równania
krzywej są następujące:
a. Dla krzywej danej w postaci parametrycznej (3) (patrz str. 302):
i % = o.
b. Dla krzywej danej we współrzędnych biegunowych (4):
qz+2q'*-pq" = 0.
c. Dla postaci uwikłanej (1) należy rozwiązać układ równań
*(*,>> = 0 i
p" p" p'
"x xy x
P" p" p'
= 0.
F* F'y °
Rozwiązania dają współrzędne ewentualnych punktów przegięcia.
Przykłady. 1. x = a[t—~sint}, y = a(l — yCos*)(cykloida
skrócona, patrz str. 129),- mamy
Ą y't
x't y't
2— cos*
sini
sini
cos t
= (2co5*-l),
cosr=^-, r = ±^-rt+2An,
2, . —--3
gdzie k = 0, ±1) ±2,... Kużda z tych wartości t wyznacza punkt
przegięcia krzywej.
1
2. e = -j=\
wtedy
ea+2e'2-ee" = — + ■ =
_3_
y <p <p 2f3 4g)3
= -—■ (4^3— 1), punkt przegięcia odpowiada kątowi 9> = y
4y3
3. Punkty specjalnych typów 313
3. x3—y* = a% (hiperbola); wtedy
2 0 2x
0 ~2 ~2y
2x—2y 0
= 8 (*•->*).
Równania x2—y1 = a2 i 8(xz—y) = 0 są sprzeczne, zatem hiperbola
nie ma punktów przegięcia.
Wierzchołki są to punkty krzywej, w których krzywizna osiąga
maksimum lub minimum (krzywa najbardziej lub najmniej wygięta),
Rys. 237
np. elipsa ma 4 wierzchołki A, B, C, D (rys. 237a), krzywa
logarytmiczna ma jeden wierzchołek B (rys. 237b). Znalezienie wierzchołków
sprowadza się do wyznaczenia ekstremum krzywizny K danej wzorami
(**) na str. 309 albo ekstremum promienia krzywizny i? = l/K,
zależnie od tego, kiedy obliczenia będą prostsze.
Punkty osobliwe. Nazwa ta obejmuje punkty różnego rodzaju:
a. punkt rozgałęzienia, w którym krzywa przecina samą siebie (rys.
238a); b. punkt odosobniony, oddzielony od reszty krzywej, lecz o
współrzędnych spełniających równanie krzywej (rys. 238b); c. ostrze krzywej,
w którym kierunek krzywej zmienia się na przeciwny; rozróżniamy
ostrza pierwszego rodzaju (rys. 238^) i drugiego rodzaju (rys. 238ca)
w zależności od położenia obu gałęzi względem wspólnej stycznej);
d. punkt samostyczności, w którym krzywa jest styczna sama do siebie
(rys. 238d); e. punkt kątowy, w którym krzywa zmienia skokiem swój
kierunek, przy czym w odróżnieniu od ostrza krzywej styczne do obu
części krzywej w punkcie kątowym są różne (rys. 238e); f. punkt,
w którym krzywa urywa się (rys. 238f); g. punkt asymptotyczny,
który krzywa okrąża nieskończenie wiele razy, zbliżając się do niego
na dowolnie małą odległość (rys. 238g). Występować mogą
równocześnie kombinacje dwóch lub wielu osobliwości (rys. 238h, i).

314
II. Geometria różniczkowa
Znajdowanie punktów osobliwych e, f, g.
Osobliwości te mogą występować tylko w przypadku krzywych
przestępnych O. Punkty kątowe zachodzą wtedy, gdy pochodna dy/dx doznaje
skończonego skoku, np. początek współrzędnych dla krzywej
y =
l+gl/3
(patrz rys. 284c na str. 389). Punkty asymptotyczne łatwiej jest wykryć
dla krzywych danych we współrzędnych biegunowych q = /(y); jeżeli
lime = 0, gdy <p -*■ -fco lub y -*■ — oo, to biegun jest punktem
asymptotycznym, np. w spirali logarytmicznej g = ae f (patrz rys. 60 na
str. 134).
Znajdowanie punktów typu a,b,c,d oraz h, i
(zwanych punktami wielokrotnymi: podwójnymi) potrójnymi itd.). Krzywą
rozpatrujemy w postaci F(x, y) = 0. Punkt A(xls y{}3 którego
współrzędne spełniają równocześnie trzy równania F = 0, F'x = 0, F' = Oj
jest punktem podwójnym, jeżeli spośród trzech pochodnych rzędu
drugiego Fxx> F'xy, Fyy przynajmniej jedna nie równa się zeru; jeżeli
i te pochodne są także równe 0, to punkt jest trzykrotny lub
wielokrotny.
Charakter punktu podwójnego zależy od znaku wyznacznika
P" p"
xx x xy
P" p"
C1) Patrz str. 260.
3. Punkty specjalnych typów
315
1. Jeżeli A < 0, to A jest punktem rozgałęzienia, w którym
współczynniki kątowe stycznych są równe pierwiastkom równania
F'y'yk*+2Fx'yk+F;x - 0, gdy F'y'y * 0;
w przypadku gdy Fyy = 0 (wtedy F^^O), jedna ze stycznych jest
równoległa do osi Oy.
2. Jeżeli A > 0, to A jest punktem odosobnionym.
3. Jeżeli A = 0, to A jest albo ostrzem krzywej, albo punkrem
samostyczności. Współczynnik kątowy stycznej w tym punkcie
F"
* xv
tga = -T^, gdy F'9'y*0i
w przypadku gdy Fyy = 0, a Fxx ź 0, styczna fest prostopadła do osi
O*. Dla szczegółowego zbadania krotności punktu, gdy A > 0,
należy przenieść ten punkt do początku współrzędnych i obrócić osie
tsk, by oś Ox pokrywała się z kierunkiem stycznej w punkcie A; wtedy
z kształtu równania możemy poznać, czy mamy ostrze pierwszego
rodzaju, drugiego rodzaju, czy punkt samostyczności.
Przykłady. 1. F(x,y)^(x*+y2)*-2aii(xii~y*) = 0 (lemni-
skata, patrz rys. 51 na str. 128). Mamy F'x = 4x(x2+yz—a2), F'y =
= 4y(x2+y*+a2); układ równań F'x = 0, F'y = 0 ma trzy
rozwiązania (0, 0), (a, 0), (—a, O), ale tylko pierwsze z nich spełnia równanie
F = 0. Przy podstawieniu (0, 0) do pochodnych rzędu drugiego
otrzymujemy F;; = -4a\ F'^y = 0, F'y'y = 4a\ A = -16a* < 0, skąd
wynika, że początek współrzędnych jest punktem rozgałęzienia;
współczynnik kątowy stycznych tga = ±1; równania stycznych y = x>
y =-x.
2. F(x,y)^x3+y*-xz-y* = 0. Mamy F'x = *(3;e-2), F'y =
= y(3y—2)i układ równań F'x = 0, Fj = flma cztery rozwiązania
(0, 0), (o, y), i~, O), (-|, j); spośród nich tylko pierwsze (0, 0) należy
do krzywej. W punkcie (0, 0) mamy F'xx = —2, F'xy -= 0, F'yy = —2,
A = 4> 0, a więc początek współrzędnych jest punktem
odosobnionym.
3. F(x, y) =. (y-xz)2-x5 = 0. Układ równań F'x = 0, Fu = 0
ma jedyne rozwiązanie (0, 0) spełniające także równanie F = 0; wtedy
A = 0, tga = 0. W tym przypadku mamy w początku współrzędnych
ostrze drugiego rodzaju, co wynika z równania krzywej w postaci
jawnej: y = xB(l ±|/ic"); y nie istnieje przy x < 0, a przy małych
wartościach x > Q obie wartości y są dodatnie (styczna w początku
współrzędnych jest pozioma).
Przypadek krzywej algebraicznej F(x, y) = 0.
Jeżeli równanie nie zawiera wyrazów wolnych i wyrazów stopnia pierw-

316
II. Geometria różniczkowa
szego, to początek współrzędnych jest punktem dwukrotnym, w
którym równania stycznych otrzymamy natychmiast przyrównując do
zera wszystkie wyrazy stopnia drugiego; np. dla leraniskaty (patrz
wyżej przykład 1) równanie stycznych przybiera postać x*—y* = 0,
czyli y = ±x. Jeżeli wyrazów stopnia drugiego nie ma, to początek
współrzędnych jest punktem trzykrotnym itd.
4. Asymptoty
Określenie. Jeżeli krzywa w pewnym przedziale nieograniczenie
oddala się od początku współrzędnych, to taka nieskończona gałąź
krzywej może mieć asymptote, czyli prostą, do której krzywa zbliża
się nieograniczenie bądź z jednej strony (rys. 239a), bądź wciąż ją
przecinając (rys. 239b).
Rys. 239
Znajdowanie asymptoty. Dla znalezienia asymptoty krzywej
danej w postaci parametrycznej x ~ #(f)» y — y(t),
znajdujemy wartości tt, przy których x(t)—>-oo lub y(t).~* oo.
Jeżeli lim x(t) = oo, ale lim y(t) = ft # oo, to prosta y = ft jest
t-*tt t-*U
asymptotą poziomą.
Jeżeli limy(t) = oo, ale lim x(l) = a^oo, to prosta x = a jest
t-*u t~-*n
asymptotą pionową.
Jeżeli lim^CO ~ oo i lim y(t) ~ oo, to obliczamy dwie granice
t-*u t-*u
k = lim -2zL, b = lim [y(t)—kx(ty\
i w przypadku istnienia obu tych granic krzywa ma asymptote pochylą
y = kx+b.
Jeżeli krzywa jest dana w postaci jawnej y ~ f(x), to asymptoty
pionowe znajduje się jak punkty nieciągłości funkcji f(x) (patrz str.
362-365), a poziome i pochyłe asymptoty przedstawia się w postaci
y = fcx+ftC1), gdzie
k = lim ^, ft = lim L/00-fee].
X~<-oo X X-*oo
i1) Jest to równoznaczne ze sposobem znajdowania asymptot krzywej danej w
postaci parametrycznej y = }{t), x = t,
4. Asymptoty 317
Przykład.x =——, v = w(tgr— 0.Mamy;<:->-oo,gdy t->tl =
cost
= +yrt+2n? lub gdy t ~>(2 = —^n^ir?, gdzie l = 0, ±1, ±2, ...;
ale wtedy również y -* oo. Obliczamy
k = lim—(sinr—rcosr) =—,
t-+tt « m
,. I , w m \ ,. sint—tcost— 1 nit
ft =hm «(tgr—t) =« hm —- =* — -—;
r-*,^ m cosr^ l_i cos* 2
asymptoty
J»-~*-"(7*+2itf).
Podobnie znajdujemy drugą rodzinę asymptot
y=-^x~n{-±n+2nl).
Przypadek krzywej algebraicznej F(x,y) = 0,
gdzie F(*,3») jest wielomianem względem x i y. Wybierzmy te
wyrazy F{xty), które mają największy stopień f1). Oznaczmy przez
&(x}y) sumę najwyższych wyrazów wielomianu F(x,y) i rozwiążmy
równanie 0(a, y) = 0 względem * i względem j»:
x — ?>Cy). j' a#
Wartości y± = a, dla których #->-oo, dają asymptote poziomą
j' = a; wartości ^ = ft, dla których y -> oo, dają asymptote pionową
x = b. Dla otrzymania asymptot pochyłych podstawiamy do F(x3y)
wyrażenie y = fcc-f ft i porządkujemy otrzymany wielomian według
potęg zmiennej x\
F(x, kx+b) =/1(M)*m +/•(*, Wk"-1* —
Przyrównujemy do zera współczynniki Mk) i /2(fc) przy najwyższych
potęgach x i rozwiązujemy układ równań
/i(M) = 0, Uk,b) = 0.
Jeżeli równania te mają rozwiązanie, to k, b wyznaczają asymptote
y = kxĄ-b.
Przykład. F(x,y) = x3+y3—3axy = 0 (liść Kartezjusza,
patrz rys. 44 na str. 122). Mamy &(x, y) = xs+y3 = 0; gdy x -»■ ±oo,
wtedy y -> =F oo i na odwrót, a więc dana krzywa nie ma asymptot
(l) Stopniem wyrazu Axmyn nazywamy sumę wykładników potęg tn+n. Na
przykład wyraz Sx3^8 jest stopnia 5, wyraz 2yi jest stopnia 2, w wielomianie x*+ya—
—3xy najwyższe wyrazy jc3 i y* są stopnia 3.

318 II- Geometria różniczkowa
pionowych ani poziomych. F(x, kx+b)^ (l+k*)x*-t 3(ksb—ka)x*+
+ ...; układ równań 1+k3 = 0, k2b—ka = 0 daje rozwiązania k = —1,
b — — a, a więc jest asymptota y = —x — a,
5. Ogólne badanie krzywej na podstawie Jej równania
Badanie krzywych na podstawie ich równań przeprowadza się
w celu poznania przebiegu funkcji y — f(x) lub wyznaczenia ksztahu
krzywej określonej analitycznie jednym ze wzorów (1), (2), (3) lub (4),
omówionych na str. 302.
Konstrukcja wykresów funkcji danych w postaci y — f(x).
1. Znajdujemy obszar oznaczoności funkcji (str. 348).
2. Badamy symetrię względem osi Oy lub początku współrzędnych,
czyli parzystość lub nieparzystość (str. 354).
3. Znajdujemy punkty nieciągłości i określamy ich rodzaj (str. 363,
364) oraz znajdujemy asymptoty pionowe.
4. Określamy zachowanie się funkcji w nieskończoności obliczając
granicę lim f(x) i lim f(x) (str. 356, 357) oraz znajdujemy asymp-
X—' — oo #-* + «?
toty poziome lub pochyłe,
5. Znajdujemy punkty przecięcia krzywej z osią Oy obliczając /(O)
oraz punkty przecięcia z osią Ox rozwiązując równanie/(x) = 0 (o
rozwiązywaniu równań algebraicznych przestępnych w ogólnej postaci
patrz str. 180).
6. Znajdujemy punkty maksimów i minimów (str. 408)
wyznaczając przedziały wzrastania i malenia funkcji.
7. Znajdujemy punkty przegięcia (str. 311, 312) wyznaczając
przedziały, w których krzywa jest wypukła w górę lub wypukła w dół (str.
308); w punktach przegięcia obliczamy współczynnik kątowy stycznej.
Na podstawie powyższych danych szkicuje się zarys, a następnie
precyzuje się przebieg krzywej punkt za punktem, w tych miejscach,
gdzie zachodzi tego potrzeba.
2x2 + 3x 4
Przykład. Sporządzić wykres funkcji y = - .
1. Funkcja jest określona dla wszystkich wartości x z wyjątkiem
x = 0.
2. Oś Oy nie jest osią symetrii, początek współrzędnych nie jest
środkiem symetrii.
3. Punkt nieciągłości x — 0; asymptota pionowa x ~ 0: lim y —
X-.0-
— — oo, lim y — + oo.
x-*0+
4. lim y = 2—0 (krzywa zbliża się do asymptoty y — 2 od dołu),
X-*—ex?
lim y — 2 + 0 (krzywa zbliża się do asymptoty y — 2 od góry).
4. Asymptoty
319
5. Równanie 2x2+3x-4 = 0 ma pierwiastki *i -» -ę(—3-j/41) ~
^~2,35)x2 = ~{— 3 + |/4l)™0,85 (punkty przecięcia krzywej z
osią Ox).
6. Punkt maksimum x = -^<=2,67, 3"=«2,56.
7. Punkt przegięcia x = 4, y = 2,5, tga == — j^.
Po naszkicowaniu krzywej według tych danych (rys. 240)
obliczymy ponadto punkt przecięcia z asymptota * = -j« 1j33, y = 2.
Wykreślanie krzywych
danych w postaci uwikłanej
F(x,y) = 0. W tym przypadku y
trudno jest posługiwać się
ogólnymi prawidłami, gdyż bardzo ___2
często prowadzi to do skomplikc- —
wanych obliczeń. Częstokroć
użyteczne jest znalezienie
następujących elementów:
1. Znaleźć wszystkie punkty
przecięcia z osiami współrzędnych.
2. Zbadać symetrię krzywej
względem osi współrzędnych i
początku współrzędnych
(zamieniając x na —x, y na —y).
3. Znaleźć maksima i minima względem osi Ox (str. 409), a także
względem osi Oy stosując analogiczne wzory ze zmianą współrzędnych.
4. Znaleźć punkty przegięcia (str. 312) i współczynnik kątowy
stycznej w tych punktach.
5. Znaleźć punkty osobliwe (str. 313, 314).
6. Znaleźć wierzchołki krzywej (str. 313); zbudować na nich koła
krzywizny (str. 310), których łnki będą w dość szerokim przedziale
pokrywały się z krzywą.
7. Znaleźć wszystkie asymptoty (str. 316) i zbadać położenie
gałęzi względem asymptot.
6. Ewoluty i ewolwenty
Ewoluta. Ezoolutą albo rozwiniętą danej krzywej nazywamy
miejsce geometryczne środków krzywizny (patrz str. 310) danej krzywej;
jest to zarazem obwiednią normalnych do danej krzywej (patrz str.
310). Równania parametryczne ewoluty dane są wzorami (***) na
str. 310 (równania dla środka krzywizny, w których xc> yc należy
przyjąć za bieżące współrzędne ewoluty). Jeżeli z równań tych uda się
Rys. 240

320 II. Geometria różniczkowa
wyrugować parametr (x, t lub ę), to otrzymamy równanie ewoluty
we współrzędnych prostokątnych.
Przykład. Znaleźć ewolute paraboli y = x2 (rys. 241). Mamy
X*=x-±i2x(l+4x*)-]=-4x3, Y=-*« + -|(l+4*«) = l(l+a*»).
skąd y = —+3(—x\* ; jest to parabola półsześcienna (patrz str. 121),
X, Y są bieżącymi współrzędnymi ewoluty.
Ewolwenta. Ewolwentą albo rozwijającą danej krzywej rt
nazywamy taką krzywą r1% dla której A jest ewolutą. Normalna MC
Rys. 241 Rya. 242
ewolwenty jest styczną do ewoluty, a długość łuku CC1 ewoluty równa
jest przyrostowi promienia krzywizny ewolwenty (rys. 241):
CCi = Atd-AfC.
Dzięki tej własności krzywa rt jest rozwijającą krzywej ra
otrzymywaną z krzywej rs przez rozwijanie napiętej nici. Danej ewolucie
odpowiada rodzina ewolwent, z których każdą wyznacza początkowa
długość nici (rys. 242). Równanie ewolwenty otrzymuje się przez
całkowanie układu równań różniczkowych przedstawiających równanie
ewoluty; równanie ewolwenty okręgu podane jest na str. 135.
7. Obwiednią rodziny krzywych
Punkty charakterystyczne. Jeżeli mamy rodzinę krzywych
z jednym parametrem a:
(*) F{x,y,a) = 0l
7. Obwiednią rodziny krzywych
321
to dwie dowolnie bliskie krzywe tej rodziny odpowiadające
wartościom a i Aa mają punkt największego zbliżenia K. Punkt ten jest
bądź przecięciem krzywych (a) i (a+Aa)y
bądź takim punktem krzywej (a), którego
odległość od krzywej (a+Aa), liczona
wzdłuż normalnej, jest nieskończenie
małą rzędu wyższego względem Aa (rys.
243a, b). Gdy Aa~*0, krzywa (a+Aa)
dąży do krzywej (a), a punkt K w pewnych
przypadkach dąży do położenia
granicznego, zwanego punktem
charakterystycznym. Punkty osobliwe krzywej (a) są
zawsze punktami charakterystycznymi.
Charakterystyki. Miejscem geometrycznym punktów
charakterystycznych wszystkich krzywych rodziny (*) jest krzywa (złożona
niekiedy z kilku krzywych) zwana charakterystyką danej rodziny krzy-
Rys. 243
Rys. 244
wych, składa się ona bądź z osobliwych punktów tych krzywych danej
rodziny (rys. 244a), bądź jest obwiednią tych krzywych, tzn. jest
styczna do każdej krzywej danej rodziny (rys. 244b); występować też mogą
kombinacje obu tych typów (rys. 244c, d).
Równanie obwiedni (i w ogólnym przypadku równanie
charakterystyki) rodziny ktzywych F(x, y3 a) = 0 otrzymuje się przez
rugowanie parametru a z układu równań F = 0 i dF/da = 0.
Przykład. Znaleźć równanie obwiedni rodziny prostych
zawierających odcinek AB = /, którego końce A i B poruszają się wzdłuż
osi współrzędnych (rys. 245a). Równanie rodziny prostych
* +-7^7-1.
czyli
/sina /cos a
F(x, y,a) =^ xcosa-\-ysina—is'macosa = 0;

322
Stąd
OF
da
II. Geometria różniczkowa
= — xsina+jycosa—/cos2a+/sinaa = 0,
ył
a)
"^%,\
b)
y
<fs
u
Y
.
\ \
\ \
'"'/
X
Rys. 245
Rugując z tych równań parametr a otrzymujemy x^'^+y3'1 =» lz,,%
Izn. obwiednią danej rodsiny prostych jest asteroida (rys. 245b) (patrz
str. 131).
B. KRZYWE PRZESTRZENNE
8. Sposoby określenia krzywej
Równania we współrzędnych prostokątnych. Krzywa
przestrzenna (krzywa skośna) może być dana analitycznie w jednej z
następujących postaci:
a. jako przecięcie dwóch powierzchni
(1) F(x,y>z) = 0i 0(xiy>z) = O.
b. W postaci parametrycznej
(2) x - x(i)3 y « y(t), z « *(*),
gdzie t jest parametrem zmiennym; w szczególności parametr t może
równać się xf y lub z.
c. W postaci parametrycznej
(3) x = x{s)3 y=y(s)i z = z(ś),
gdzie s jest długością łuku od pewnego punktu A do bieżącego punktu
M, wyrażoną wzorem
8. Sposoby określenia krzywej 323
Równania wektorowe. Oznaczając przez r promień wodzący
dowolnego punktu krzywej (patrz str. 647) możemy przedstawić
równania (2) w postaci
(2a) r=r(r), gdzie r(r) = x(Oi+y(t)j+z(t)k,
a równania (3) w postaci
(3a) r = r(s), gdzie r(s) = x(s)i+y(s)j+z(s)k.
Dodatni kierunek krzywe) danej równaniem (2) lub (2a)
odpowiada kierunkowi wzrostu parametru r, a na krzywej danej równaniem
(3) lub (3a) — kierunkowi wzrastania parametru *.
9. Trój ścian Freneta
Określenia. W każdym punkcie M krzywej przestrzennej (z
wyjątkiem punktów osobliwych) są określone trzy proste i trzy
płaszczyzny przecinające się w punkcie M pod kątami prostymi (rys. 246).
btnormalna ^^-płaszczyzna
I— \ </3r^~~^ prostująca.
płaszczyzna
ściśle styczna
*^-~ normalna
główna
.—płaszczyzna
normalna
Rys. 246
1. Styczna do krzywej w punkcie M, czyli graniczne położenie
siecznej MN, gdy N -* M (patrz rys. 227 na str. 304).
2. Płaszczyzna normalna do krzywej w punkcie M, czyli
płaszczyzna prostopadła do stycznej; wszystkie proste leżące w tej
płaszczyźnie, przechodzące przez punkt M> nazywamy normalnymi do krzywej
w punkcie M.
3. Płaszczyzna ściśle styczna do krzywej w punkcie Af, czyli
graniczne położenie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dowolnie
blisko siebie leżące punkty M, N i P, gdy N -» M i P -» M (rys.
247). Na płaszczyźnie ściśle stycznej leży styczua do krzywej w
punkcie M.
4. Normalna główna do krzywej w punkcie M, czyli przecięcie
płaszczyzny normalnej z płaszczyzną ściśle styczną (jest to normalna
łeżąca w płaszczyźnie ściśle stycznej).
styczna

324
II. Geometria różniczkowa
M*r-S
Rys. 247
5. Binormałna do krzywej w punkcie Af, czyli prosta prostopadła
do płaszczyzny ściśle stycznej i przechodząca przez punkt Af.
6. Płaszczyzna prostująca danej krzywej w punkcie Af, czyli
płaszczyzna zawierająca styczną i binormalną
w punkcie Af.
Na trzech prostych 1, 4 i 5 ustala się
kierunki dodatnie w sposób następujący:
Kierunek dodatni stycznej odpowiada
dodatniemu kierunkowi krzywej; wyznacza go
wersor t.
Kierunek dodatni normalnej głównej jest
zwrócony na płaszczyźnie ściśle stycznej w tę stronę, po której
znajduje się wklęsłość krzywej; wyznacza go wersor n.
Kierunek dodatni binormalnej wyznacza wersor 6. Wersor b
powinien być tak zorientowany względem wersorów / i n, jak oś Oz
względem osi Ox i Oy (patrz str. 650).
Trójka wersorów t, n i b wraz z tworzącymi płaszczyznami 2, 3 i 6
stanowi tzw. trójictan Freneta krzywej przestrzennej w punkcie Af.
Położenie krzywej przestrzennej względem trójścianu
Freneta. W punktach typu ogólnego (gdy nie ma żadnych osobliwości)
krzywa jest położona po jednej stronie płaszczyzny prostującej, a
przecina płaszczyznę normalną i ściśle styczną (rys. 248a), przy tym rzuty
niewielkiego łuku krzywej zawierającego punkt Af na płaszczyzny
trójścianu wyglądają (w przybliżeniu) w sposób następujący:
Rys. 248
na płaszczyźnie ściśle stycznej — jak parabola (rys. 248b),
na płaszczyźnie prostującej — jak parabola sześcienna (rys. 248c),
na płaszczyźnie normalnej — jak parabola połsześcienna (rys. 248d).
Jeżeli zaś w punkcie Af bądź krzywizna, bądź skręcenie krzywej
(patrz niżej) równa się zeru, albo jeżeli punkt Af jest punktem
osobliwym (x'(t) = y'(t) '= z'(t) = 0), to krzywa może mieć także inne
położenie.
9. Trójśtian Freneta
325
Równania elementów trójścianu.
a. Dla krzywej danej w postaci (1) (patrz str, 322);
styczna
X-x Y-y Z-z
dF dF
dy dz
d0 d0
dy dz
dF dF
dz dx
d0 d0
dz dx
dF dF
dx dy
d0 d0
dx dy
płaszczyzna normalna
X~x
dF
dx
d0
dx
Y~y
dF
dy
d0
dy
Z-z
dF
dx
d0
dz
= o,
gdzie X) y, z są współrzędnymi punktu Af, a X, Yt Z są
współrzędnymi bieżącymi stycznej lub płaszczyzny normalnej; pochodne
cząstkowe oblicza się dla punktu Af.
b. Dla krzywej danej w postaci parametrycznej (2) (str. 322) lub
wektorowej (2a) (str. 323) równania elementów trójścianu Freneta
podane są w następującej tablicy, przy czym x, y, z, r oznaczają
współrzędne i promień wodzący punktu Af krzywej; X, Y, Z, R oznaczają
współrzędne bieżące i promień wodzący elementu trójścianu; pochodne
bierze się względem parametru t i oblicza się dla punktu Af.
Równanie we współrzędnych
prostokątnych
Równanie wektorowe
Styczna
X~x Y-y Z-z
x' y z'
Płaszczyzna normalna
xXX-x)+y'(Y-y)+zXZ-z)=0
R=r+X
dr
<*-'>£-»
Płaszczyzna ściśle styczna
X-x Y~yZ-z
= 0
*-*££-

326
II. Geometria różniczkowa
Równanie we współrzędnych
prostokątnych
Równanie wektorowe
X-x
y' z'
y" z"
Y-y
z' x'
z" x"
£
i n or ma
Z- z
x' y'
x" y"
Ina
.dr d3r\
Płaszczyzna prostująca
= 0,
X-x Y-y Z-z
x' y' z'
l m n
gdzie
/ => y'z"—y"z', m = z'x"—z"x
n = x'y"—x"y'
,_ % dr dr dV
= 0
Normalna główna
X-x
y' z'
m n
Y-y
z' x'
n l
Z-z
x' y'
l m
dt \dt
dt%
c. Dla krzywej danej w postaci parametrycznej (3) (str. 322) lub
wektorowej (3a) (str, 323) równania stycznej, płaszczyzny normalnej,
płaszczyzny ściśle stycznej i binormalnej bierze się z powyższej tablicy
zmieniając ( na s, natomiast równania dwóch pozostałych elementów
upraszczają się do następującej postaci:
Element
trójścianu
Płaszczyzna
prostująca
Normalna
główna
Równanie
we współrzędnych prostokątnych
x"(X- x)+y"(Y-y)+z"(Z-z) «= 0
X-x Y-y Z-z
x" y" z"
Równanie
wektorowe
d2r
>->«%
10. Krzywizna i skręcenie krzywe} skośnej
10. Krzywizna i skręcenie (torsja) krzywej skośnej
327
Krzywizna. Określenie. Krzywizną K krzywej w punkcie M
nazywamy liczbę, która charakteryzuje odchylenie krzywej (w malej
jej części zawierającej punkt M) od linii prostej. Dokładne określenie
(rys. 249):
K== lim
MN^O
At
Promień krzywizny q = l/K;KiQ dla krzywych przssirzennych
wsze dodatnie.
są za-
Rys. 250
Wzory na obliczenie K i q:
a. Dla krzywej danej w postaci (3) (patrz str. 322)
\dsr'
(*) K= 1=^1-••'«+*'"+*"■
(pochodne względem s).
b. Dla krzywej danej w postaci (2) (patrz str. 322)
**) K =
1/(3c,'+y|+o(»','+y/,+*tf>)-(3cVf+yy/+gyol
= V (x"+y"+«")«
(pochodne względem t).

328
II. Geometria różniczkowa
Przykład. Znaleźć krzywiznę linii śrubowej (rys. 250) x — a cos t,
y = asinf, z = bt przy a > 0, b ± 0 (»). Zastępując parametr t przez
s = t\a*-\-b% otrzymujemy
s . s &j
* = a cos—- , y = asm-
]/a2+b2
i ze wzoru (*)
= const, q =
const.
a3+6a » •? - «
Ten sam wynik otrzymujemy bez przejścia do parametru 5
stosując wzór (**).
Skręcenie. Skręceniem albo torsją T krzywej w punkcie M
nazywamy liczbę określającą odchylenie krzywej (w malej jej części
zawierającej punkt M) od krzywej
płaskiej. Dokładne określenie (rys. 251):
T= lim
MŃ->0
Promień skręcenia r = l/T.
Wzory na obliczenie
T i t:
a. Dla krzywej danej w postaci
(3) (patrz str. 312)
Ab
MŃ
^
db
ds
Rys. 251
UJ Ł r 6 \dt ds* ds*j
(pochodne względem s).
b. Dla krzywej danej w postaci (2)
x' y'
x" y"
x'" y'"
C%""+y»+xr"')
T = - = q
T
dr tfrd*r
didĆdt*
= Q°
x
x"
(x'a+y2+0'a)3
(p oblicza się według wzorów (*) lub (**)).
O Linię śrubową określoną powyższym równaniem i przedstawioną na rysunku
250 nazywamy pratooskręmą. Obserwator umieszczony wewnątrz Unii śrubowej wzdłuż
jej osi, czyli wzdłuż osi Oz, głową w kierunku dodatnim tej osi będzie widział kolejne
zwoje linii śrubowej wznoszące się ku górze w kierunku przeciwnym obiegowi
wskazówki zegara. Linię śrubową symetryczną do linii Śrubowej prawoskretnej względem
jakiejkolwiek płaszczyzny nazywamy łewoskrętną.
10. Krzywizna i skręcenie krzywej skośnej 329
Skręcenie T obliczone według wzorów f^*) lub (JJ) może być
dodatnie lub ujemne. Jeżeli T > 0, to dla obserwatora stojącego na
normalnej głównej równolegle do binormalnej (patrz rys. 246) krzywa
w punkcie M zakręca się od prawej na lewo w górę (jak w prawo-
skrętnym korkociągu). Jeżeli zaś r<0, to kierunek skręcenia jest
przeciwny, tzn. od lewej na prawo w górę.
Przykład. Dla linii śrubowej skręcenie T jest wielkością stalą.
Dla linii śrubowej prawoskretnej (gdy b > 0) skręcenie T wynosi
T==ia*+b*
—asint acost b
— acost —osin' 0
asmt —acost 0
az-\-b*
T =
a J [(—aami)*+(aa»ty+b*? a*+b2' b '
Dla linii śrubowej lewoskretnej (gdy b < 0) skręcenie T jest ujemne.
Wzory Serre-Freneta. Pochodne wektorów t, n ib względem
parametru s możemy obliczyć za pomocą następujących wzorów Serre~
-Freneta:
dt n dn t b db _ n
ds q* ds ~~ q i ' ds t'
gdzie q jest promieniem krzywizny, a x promieniem skręcenia.
C. POWIERZCHNIE
11. Sposoby wyznaczania powierzchni
Równanie powierzchni. Powierzchnia może być określona jedną
z następujących postaci:
a. postać uwikłana
(1) F(x,y,z)^0,
b. postać jawna
(2) z=f{x,y)3
c. postać parametryczna
(3) x = x(u, v), y = y{ut v), z = ^(«, v),
d. postać wektorowa
(3a) r~r(u,v) lub r = x(u, v)i-\-y(u, v)j+z(u, v)k.
Gdy u i v przebiegają wszystkie możliwe wartości, otrzymuje się
promień wodzący i współrzędne różnych punktów powierzchni,
rugując ze wzorów (3) parametry u i v otrzymamy wzór (1). Wzór (2)
jest szczególnym przypadkiem postaci (3), gdy u — x, v = y.

330
II. Geometria różniczkowa
Przykład. Równanie kuli
(1) x*+y2+z2-a* = 0
lub
(3) * = acosusinu, y = asinusinw, z = acosw,
gdzie a> 0, lub
(3a) i* =* a(cosusine>i+sinwsiniy + cosi>A).
Współrzędne krzywoliniowe na powierzchni. Jeżeli
powierzchnia dana jest w postaci (3) lub (3a), to przy ustaleniu jednego z
parametrów, np. v = v0) i zmianie drugiego u punkt r(x,y, z) zakreśla
Rys. 252 Rys. 253
krzywą leżącą na powierzchni r = !•(«, vQ). Jeżeli będziemy nadawali
parametrowi v różne stałe wartości v = v,, v = v2>..., to otrzymamy
rodzinę krzywych na powierzchni; ponieważ przy ruchu wzdłuż
każdej z krzywych v = const zmienia się tylko parametr u, więc każdą
z tych krzywych nazywamy linią współrzędnej u przy v = const (rys.
252). Podobnie punkt r=r(u0,v) zakreśla drugą krzywą; nadając
współrzędnej u wartości u — uiy u = u3,... otrzymamy drugą rodzinę
krzywych zwanych limami współrzędnej v przy u = const. W ten
sposób na powierzchni (3) utworzona zostanie siatka krzywych zwanych
Uniami współrzędnych* a dwie liczby u = u\ i v = vt nazywamy
współrzędnymi krzywoliniowymi lub współrzędnymi Gaussa punktu M na
powierzchni. W przypadku (2) liniami współrzędnych są przecięcia
powierzchni z = /(#, y) płaszczyznami ar = const, y = const.
Każde równanie wiążące współrzędne krzywoliniowe w i v, np,
F(u, v) = 0 lub « = h(0) o = u(r)j wyznacza na powierzchni pewną
krzywą.
Przykład. W parametrycznych równaniach powierzchni
kulistej (patrz poprzedni przykład) parametr u jest długością geograficzną
punktu M(ii = ■£ OxOP), a o jest odległością biegunową punktu M(v =
= ■£ OsOAf), przy u = const linią współrzędnej u jest południk AMB,
a przy o = const linią współrzędnej « jest równoleżnik CMD (rys. 253).
12. Płaszczyzna styczna i normalna
331
normalna
12. Płaszczyzna styczna oraz normalna do powierzchni
Określenia. Jeżeli przez dany punkt M(r) lub M(x,y, z)
powierzchni poprowadzimy rozmaite krzywe leżące na tej powierzchnij
to styczne do tych krzywych w punkcie M będą z reguły leżały na jednej
płaszczyźnie, którą nazywamy
płaszczyzną styczną do powierzchni w
punkcie M. (Wyjątek stanowią tzw.
punkty stożkowe powierzchni
omówione dalej). Prostą przechodzącą przez
punkt M prostopadle do płaszczyzny
stycznej nazywamy normalną do
powierzchni w punkcie M (rys. 254). Na
płaszczyźnie stycznej do powierzchni
w punkcie M lezą wektory i*! = -r-
ou
dr
dv
du
, styczne w punkcie M do
Unia
Rys. 254
linii współrzędnej w oraz linii
współrzędnej v. Iloczyn wektorowy /■1Xra
jest wektorem równoległym do normalnej w punkcie Af; wersor
tego iloczynu wektorowego nazywamy wersorem normalnej do
powierzchni w punkcie M. Kierunek wersora W = -— y zmieni się
\ri X l*g|
przy zmianie porządku linii współrzędnych, gdyż r2 xri = -^xr,,
Równania płaszczyzny styczne) oraz równania normalnej
do powierzchni podane są w tablicy na str. 332.
W tablicy tej x, y, z, r oznaczają współrzędne i promień wodaący
punktu M powierzchni; X, Y, Z, R oznaczają współrzędne bieżące
i promień wodzący punktu M na płaszczyźnie stycznej lub na normal-
dz
nej do powierzchni; pochodne oblicza się dla punktu M; p = —, q =
^dz_
dy-
Przykład. Dla powierzchni kulistej xz+yi+zz — a" = 0
równanie płaszczyzny stycznej:
x(X-x)-\-y(Y-y)+z(Z-z) - 0 lub xX+yY+zZ-a*= 0:
równanie normalnej do powierzchni:
X-x = Y~y ^ Z-z *_ = X-^Ł
x y z x y z '
Dla powierzchni kulistej
x = acosMsinc, y — csinHSino,
acosu,

332 II. Geometria różniczkowa
równanie płaszczyzny stycznej:
Xcos«sinu+ ysinKsinw+Zcoso = a.
Równanie normalnej do powierzchni:
X
sin u sin v
Z
COS Ił
Równania płaszczyzny stycznej oraz
normalnej do powierzchni
Równania
powierzchni
(patrz str.
329)
(1)
(2)
(3)
(3a)
Równanie
płaszczyzny stycznej
dF
+ -(Z-*) = 0
Z-a=
= p(X~x)+q(Y-y)
X-x Y-y Z-z
dx dy dz
du du du \ —0
dx dy dz
dv dv dv
(R—r>!r,=0 lub
(R~r)N=0
Równanie normalnej
X~x
dF_
dx
Y~y
dF_
dy
Z-z
dF_
dz
X-x Y-y Z-z
P
X-x
9
Y-y
-1
Z-z
dy dz
du du
dy dz
dv dv
dz dx
du du
dz dx
dv dv
dx dy
du du
dx dy
dv dv
ff=r+A(/-,xrj) lub
R=r+XN
Punkty osobliwe (stożkowe) powierzchni, jeżeli dla punktów
powierzchni danych w postaci (1) (patrz str. 329) dla x = xlt y =
= yi, z = zx spełniony jest związek
dF dF dF
to punkt M(xl3 yu z,) jest punktem osobliwym (stożkowym) powierzch-
12. Płaszczyzna styczna i normalna 333
ni; wszystkie styczne przechodzące przez punkt M nie leżą w jednej
płaszczyźnie, lecz tworzą stożek stopnia drugiego o równaniu
d*F d*F d*F d*F
gdzie pochodne obliczone są dla punktu M. Jeżeli w powyższym
równaniu wszystkie sześć pochodnych cząstkowych rzędu drugiego są
równe zeru, to punkt osobliwy jest punktem bardziej złożonego
rodzaju (styczne tworzą stożek stopnia trzeciego lub wyższego).
13, Element liniowy powierzchni
Różniczka łuku. jeżeli powierzchnia dana jest w postaci (3) lub
(3a) (patrz str. 329), na niej dany jest punkt M («, v) oraz bliski niego
punkt N(u+duy v+dv), to długość łuku MN na powierzchni jest
równa w przybliżeniu różniczce luku lub elementowi liniowemu
powierzchni według wzoru
(I) dss = Eduz+2Fdudv+GÓv*,
gdzie
_ _ dx dx dy dy dz dz
^^'^du'd^^du'd^dlt'dv^
Prawa część wzoru (I) nazywa się także pierwszą formą kwadratową
powierzchni danej w postaci (2) (str. 329); współczynniki E, F, G
zależą od punktu powierzchni.
Przykład. Dla kuli r = a(cos«sinitf + sinusinw/ + cos«>fr) mamy
E = a*sin2v, F = 0, G - a*;
pierwsza forma kwadratowa ds* = az($in*vduz+dvs).
Dla powierzchni danej w postaci (2) (patrz str. 329) mamy
dz dz
E=*l+p*, F = pq, G=l+Si, gdzie p = ^ q = —.

334
II. Geometria różniczkowa
V- linia
Pomiary na powierzchni. Długość luku krzywej « = «(*)» v =
= v(t) na powierzchni przy t0^ t^h oblicza się według wzoru
^C^r a między dwiema krzywymi (tzn. między ich stycznymi)
przecinającymi się w punkcie M i mającymi w tym punkcie kierunki
wektorów dr{du, dv) i Sr{Óu, dv} (rys. 255) oblicza się według wzoru
(**> cosa = - — =
_ EŁfafo+i?(ifa3t>+£fo3») + G<fofo>
}/Edu*+2Fdudv+Gdv* }/ESu2+2F5uóv + GSv1'
gdzie współczynniki E, F, G należy obliczyć dla punktu M. W
szczególności krzywe są ortogonalne, jeżeli licznik wzoru (**) jest równy
zerui warunkiem ortogonalności linii współrzędnych v ~ const (dv = 0)
i u — const (Ów = 0) jest równość F = 0.
Pole piata S ograniczonego na
powierzchni pewną krzywą obliczamy jako
całkę podwójną
S = ffdS,
(S)
gdzie
(***) dS = ]/BG-F2dudv.
A więc znając współczynniki E, F,
G pierwszej formy kwadratowej możemy
obliczyć długość linii, kąty i pola na powierzchni według wzorów (*),
(**)> (***)> tzn. pierwsza forma kwadratowa wyznacza metrykę
powierzchni.
Nakładanie powierzchni przy wyginaniu. Jeżeli będziemy
wyginali powierzchnię bez rozciągania i rozrywania, to metryka
pozostanie bez zmian, tzn. pierwsza forma kwadratowa nie ulegnie
zmianie. Dwie różne powierzchnie mające te same pierwsze formy
kwadratowe można nałożyć jedną na drugą za pomocą wyginania.
14. Krzywizna powierzchni
Krzywizna linii na powierzchni. Jeżeli przez punkt M
będziemy prowadzili na powierzchni różne krzywe r, to promienie
krzywizny q tych krzywych w punkcie M są związane następującymi
związkami:
u-linia
Rys. 255
14. Krzywizna powierzchni 335
1. Promień krzywizny Q krzywej r jest równy promieniowi
krzywizny krzywej C, która jest przecięciem danej powierzchni z
płaszczyzną ściśle styczną do krzywej r w punkcie M (rys. 256a).
2. Dla każdego przekroju płaskiego C promień krzywizny wynosi
(M) Q =.Rcos(n, N),
gdzie R jest promieniem krzywizny przecięcia normalnego (Cnc,rm)
przechodzącego przez tę samą styczną PQ co i przekrój płaski G i przez
wektor N, a (n, AQ jest kątem między wersorem normalnej głównej b
Rys. 256
(patrz str. 323) krzywej G a wersorem normalnej Af do powierzchni
(twierdzenie Meumiera, rys. 256b). We wzorze (M) należy brać R ze
znakiem plus, jeżeli wersor N jest zwrócony w stronę wklęsłości
krzywej Cn0rm, a znak minus w przypadku przeciwnym.
3. Dla każdego przecięcia normalnego Gaorai krzywizna wynosi
1 cos2 a sin2 a
(wzór Eulera), gdzie Rx i R2 są głównymi promieniami krzywizny, tj.
największą i najmniejszą wartością promienia krzywizny R
występującym w głównych przecięciach normalnych t^ i C2 powierzchni (patrz
niżej), a a jest kątem między płaszczyznami przecięć C i Cx (rys. 256c).
We wzorze (E) znaki przy R, i^ i R2 określa się jak we wzorze (M),
Główne promienie krzywizny. Jeżeli powierzchnia dana jest
równaniem z = /(x,y), to główne promienie krzywizny Rt i R* są
pierwiastkami równania kwadratowego
(A) (rr-Sa)K2+A[2£?s-(l + p2H-(l+?2)r]K+^ = 0,

336
II, Geometria różniczkowa
*-£•
gdzie
dz dz _łPz_ d*z _dzz
dy3 r ~ dx* * S *" dxdy* ' ~ dy2 *
Płaszczyzny głównych przecięć normalnych Ci i Ca są wzajemnie
prostopadłe, a kierunki ich są wyznaczone przez wartość dy/dx
otrzymaną z równania kwadratowego
+l*(l+Pt)-rpq\ = 0.
Jeżeli powierzchnia dana jest równaniem w postaci
parametrycznej r=r(«, v), to równania odpowiadające równaniom (A) i (B)
przybierają postać
(A') (DD"-D"i)Ri~(ED"-2FD'+GD)R+(EG~F') = 0,
(B) ttpq-ia+ftll^) +[ł(l+i>,)-ra+ff«)]^ +
(B') (GEr-FD")
gdzie £>, D', £>" są współczynnikami drugiej formy kwadratowej danej
powierzchni, określone równaniami
D = r„N =
D" = r5iN =
D' =r,«N =
d"
}/EG-Pa *
wektory rn,r12, raa są pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego
promienia wodsącego r względem parametrów u i v, a liczniki dy d', d"
są następujące:
d*x d*y^ d*z
dvz dv* l)v*
dx dy dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
Krzywe na powierzchni mające w każdym punkcie kierunki
głównych przecięć normalnych nazywamy Uniami krzywizny, a ich
równania otrzymujemy przez całkowanie równania różniczkowego (B)
lub (B').
dzx dzy d2z
iV du* 'du1'
dx dy dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
, d' =
d3x dzy d*z
dudv dudv dudv
dx dy dz
du du du
dx dy dz
dv dv dv
, d"=
14. Krzywizna powierzchni 337
Klasyfikacja punktów powierzchni. Jeżeli w danym punkcie
M powierzchni główne promienie krzywizny R± i R2 (str. 335) mają
ten sam znak, to główne przecięcia normalne są zwrócone
wklęsłościami w różne strony. W tyra przypadku w pobliżu punktu M
powierzchnia położona jest po jednej stronie płaszczyzny stycznej;
taki punkt powierzchni nazywamy punktem eliptycznym (rys. 257a),
a jego warunek analityczny wyraża się wzorem DD"~D'8 > 0.
W szczególnym przypadku, gdy Ri = RZ1 punkt ten nazywamy punktem
kołowymi w punkcie kołowym dla wszystkich przecięć normalnych
R = const.
Rys. 257
Jeżeli główne promienie krzywizny Rx i Rt mają różne znaki, to
główne przecięcia normalne zwrócone są wypukłością w przeciwne
strony. W tym przypadku powierzchnia przecina się z płaszczyzną
styczną i ma kształt siodła^ taki punkt powierzchni nazywamy punktem
hiperbolicznym (rys. 257b), a jego warunek analityczny wyraża się
wzorem DD"-D'* < 0.
Jeżeli jeden z głównych promieni krzywizny iii 'UD R% )est
nieskończenie wielki, to jedno z głównych przecięć normalnych ma punkt
przegięcia lub jest linią prostą; taki punkt powierzchni nazywamy
punktem parabolicznym (rys. 257c), a jego warunek analityczny jest
DD"—D'3 = 0.
Przykłady. Wszystkie punkty elipsoidy są eliptyczne, hiper-
boloidy jednopowłokowej — hiperboliczne, a walca — paraboliczne.
Krzywizna powierzchni. Średnią krzywizną powierzchni
"W punkcie M nazywamy wyrażenie
a krzywizną zupełną (krzywizną Gaussa) nazywamy wyrażenie
RiR%

338
II. Geometria różniczkowa
Przykład. Dla walca obrotowego o promieniu a średnia
krzywizna H — l/2a, a krzywizna zupełna K — 0.
Dla punktów eliptycznych K > 0, dla punktów hiperbolicznych
K < 0, a dla punktów parabolicznych K = 0.
Jeżeli powierzchnia dana jest równaniem w postaci z = f(x,y),
to wzory na H i K przybierają postać
r(l+ga)-2fg5+t(l+fs)
Powierzchnie, dla których średnia
krzywizna we wszystkich punktach równa się
zeru (R, = — i?3), nazywamy powierzchniami
minimalnymi. Powierzchnie, dla których
krzywizna zupełna K jest we wszystkich punktach
stała, nazywamy powierzchniami o stałej
krzywienie. Najprostszym przykładem takiej
powierzchni dla K > 0 jest sfera, a dla K < 0
jest pseudosfera, czyli powierzchnia powstała
z obrotu traktorii (patrz str. 136) dokoła jej
asymptoty (rys. 258).
15. Powierzchnie prostokreślne i rozwijalne
Powierzchnię nazywamy prostokreślna, jeżeli powstaje ona z ruchu
Knii prostej; jeżeli przy tym powierzchnia może być rozwinięta na
płaszczyznę, to nazywamy ją powierzchnią rozwijalną. Najprostszymi
przykładami powierzchni rozwijalnych są powierzchnie walcowe
i stożkowe (patrz str. 223 - 226). Nie każda powierzchnia prostokreślna
jest rozwijalną, np. hipcrboloida jednopowłokowa, parabobida hiper-
boliczna (patrz str. 295 i 297) są powierzchniami prostokreślnymi nie-
rozwżjalnymi. We wszystkich punktach powierzchni rozwijalnej
krzywizna zupełna jest równa zeru.
Jeżeli powierzchnia dana jest równaniem z =f(x>y), to warunkiem
jej rozwijalności jest
n-j= = 0(1).
16. Linie geodezyjne na powierzchni
Pojęcie linii geodezyjnych. Przez każdy punkt M(u, v) danej
powierzchni przechodzi w każdym kierunku określonym przez
stosunek dvjdu pewna linia zwana linią geodezyjną i odgrywająca na tej
powierzchni rolę linii prostej, mianowicie:
(*) Oznaczenia p, q, r,s,t — patrz str. 336.
Rys. 258
16. Linie geodezyjne na powierzchni 339
1. Jeżeli dany punkt materialny jest zmuszony do pozostania na
powierzchni, ale nie znajduje się pod działaniem innych sił
zewnętrznych, to będzie się poruszał po linii geodezyjnej.
2. Nić sprężysta napięta na powierzchnię przybiera postać linii
geodezyjnej.
3. Linia najkrótszej odległości między dwoma punktami na
powierzchni jest linią geodezyjną.
Linią geodezyjną na powierzchni nazywamy taką krzywą, której
normalna główna pokrywa się w każdym punkcie z normalną do
powierzchni.
Przykład. Dla walca obrotowego liniami geodezyjnymi są
linie śrubowe.
Równanie linii geodezyjnych. Jeżeli powierzchnia dana jest
w postaci z =/(#,_>'), to równanie różniczkowe linii geodezyjnych
ma postać
(1 +,. + *') g =, p, (§)' +»,_*) (* j' + Cp,-*,) | -„ (•).
Jeżeli powierzchnia dana jest w postaci (3) (str. 329), to równanie
różniczkowe linii geodezyjnych ma postać bardziej skomplikowaną.
(^Oznaczenia p,q, r,t,t — patrz str. 336.

CZĘSC CZWARTA
PODSTAWY ANALIZY MATEMATYCZNEJ
I. WSTĘP DO ANALIZY
1. Liczby rzeczywiste
Liczby wymierne. Wszystkie liczby całkowite i ułamkowe
(dodatniej ujemne i zero) nazywamy liczbami wymiernymi. Liczby
wymierne stanowią zbiór nieskończony o następujących własnościach:
1° Zbiór ten jest uporządkowany, tzn. że dla każdych dwóch
różnych liczb wymiernych a i b można wskazać, która z tych liczb jest
większa.
2° Zbiór ten jest wszędzie gęsty, tzn. między każdymi dwiema
liczbami wymiernymi a i b (a < b) istnieje co najmniej jedna liczba
-3-.2,75 -2 -1 0 1 ij 2 2% 3
Rys. 259
wymierna c (a < c < b), a więc istnieje również nieskończenie wiele
liczb wymiernych.
3° Działania arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie
i dzielenie) na dwóch dowolnych liczbach rzeczywistych są zawsze
wykonalne i dają w wyniku określoną liczbę wymierną; wyjątek
stanowi dzielenie przez zero, które nie jest dopuszczalne: zapis a:0 nie
ma oznaczonego sensu liczbowego, gdyż nie istnieje oznaczona liczba
b spełniająca równość b ■ 0 = a (jeżeli a = 0, to b może być dowolną
liczbą, a jeżeli a # 0, to b nie istnieje) (l).
4° Każda liczba wymierna a może być przedstawiona w postaci
ułamka dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego.
Geometryczne przedstawienie liczb wymiernych. Jeżeli na
prostej (rys. 259) obierzemy początek współrzędnych O (punkt ze-
(*) Często stosowana równość a : 0 = ™ (nieskończoność) nie oznacza, że takie
dzielenie jest wykonalne (nieskończoność nie jest liczbą), a jest tylko skróconym
zapisem zdania: jeżeli dzielnik dąży do zera, to bezwzględna wartość ilorazu nieograni-
czente wzrasta.

342 I. Wstęp do analizy
rowy), kierunek dodatni (zwrot) i jednostkę miary /, to otrzymamy
oś liczbową Ox; każdej liczbie wymiernej a odpowiada na osi
liczbowej określony punkt o współrzędnej a (punkt wymierny osi). Zgodnie
z własnością 2° liczb wymiernych między dwoma dowolnymi punktami
wymiernymi znajduje się nieskończenie wiele liczb wymiernych.
Liczby niewymierne. Zbiór liczb wymiernych jest
niewystarczający dla analizy matematycznej; pomimo że jest wszędzie gęsty,
zbiór ten nie wypełnia całej osi liczbowej. Na przykład jeżeli
przekątną kwadratu AB o boku równym jedności umieścimy na osi liczbowej
tak, by punkt A znajdował się w punkcie zerowym, to punkt B
wypadnie w punkcie, który nie ma współrzędnych wymiernych (rys. 260).
Wprowadzenie liczb niewymiernych
B pozwala na przyporządkowanie
każdemu punktowi osi liczbowej
odpowiedniej liczby, przez co zbiór liczb
staje się ciągły.
* | t *■ Ścisłe określenie liczb niewymier-
nych podają obszerniejsze podręcz-
ys* niki analizy matematycznej. Liczbom
niewymiernym odpowiadają na osi
liczbowej punkty wypełniające wszystkie luki między punktami
wymiernymi Każda liczba niewymierna może być wyrażona za pomocą
ułamka dziesiętnego nieskończonego nieokresowego.
Do liczb niewymiernych należą w szczególności niecałkowite
pierwiastki rzeczywiste równań algebraicznych postaci xn+aix"-1-^
+ a2xB-a-|- ...+a„_iX-\-an = 0 (o współczynnikach całkowitych); np.
równanie xs—9x+4 = 0 ma pierwiastki niewymierne (patrz str. 172);
takie liczby nazywamy niewymiernoiciami algebraicznymi.
Najprostszymi przykładami niewymierności algebraicznych są pierwiastki
równań dwumiennych xn — a = 0, czyli liczby postaci \a, jeżeli nie są
wymierne (przykłady liczb niewymiernych: j/2 = 1,414..., |/l0 =
= 2,154...); do liczb niewymiernych należą liczby n = 3,141593...,
e = 2,718282,..,, logarytmy dziesiętne liczb całkowitych (z wyjątkiem
liczb postaci 10"), większość wartości funkcji trygonometrycznych
kąta wyrażonego całkowitą liczbą stopni.
Uczby rzeczywiste. Wszystkie liczby wymierne i niewymierne
nazywamy liczbami rzeczywistymi. Podstawowe własności zbioru liczb
rzeczywistych:
1° zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany (patrz str. 341);
2° jest wszędzie gęsty (tamże);
3° jest ciągły, tzn. inaczej niż dla zbioru liczb wymiernych, każdy
punkt osi liczbowej ma współrzędną rzeczywistą;
1. Liczby rzeczywiste 343
4° działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych są zawsze
wykonalne z wyjątkiem dzielenia przez zero (patrz str. 341) i dają w
wyniku określone liczby rzeczywiste.
W dziedzinie liczb rzeczywistych wykonalne jest obliczanie potęgi
dowolnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym (z wyjątkiem
potęgi 0°oraz O-", gdzie n jest liczbą naturalną) i obliczanie potęgi
dodatniej o dowolnym wykładniku rzeczywistym, a także działania
odwrotne:
a. z każdej liczby dodatniej można wyciągnąć pierwiastek
dowolnego stopnia naturalnego i z każdej liczby rzeczywistej można
wyciągnąć pierwiastek stopnia nieparzystego,
b. każda liczba dodatnia ma logarytm przy dowolnej podstawie
dodatniej, różnej od jedności.
Dalszym uogólnieniem pojęcia liczby w analizie matematycznej są
liczby zespolone (patrz str. 617).
2. Ciągi i ich granice
Ciągi. Ciągiem liczbowymi1) nazywamy zbiór liczb, ai,o2,...i
an,... przyporządkowanych kolejnym liczbom naturalnym 1, 2,...,
«,... Liczby występujące w ciągu nazywamy wyrazami ciągu. Wśród
wyrazów ciągu mogą znajdować się także liczby równe.
Ciąg uważamy za określony, jeżeli podana jest zasada tworzenia
jego wyrazów, tzn. reguła, według której można wyznaczyć dowolny
wyraz ciągu. W większości przypadków można ułożyć wzór na ogólny
wyraz aw ciągu.
Przykłady: 1. an = n. 2. an = 3«+l. 3. an = 3{--)"'*.
4. an = (-1)"*1. 5. an = 3-1/2"-*. 6. an = 3y-"j' 10~(n_1)/1 ^
n nieparzystych, an = 3y + -j -10-"/2+1 dla « parzystych. 7. an =
= l/n. 8. an = (-l)n+1«. 9. an=~ y(«+l) dla « nieparzystych
i an = 0 dla n parzystych. 10. an = 3 — 1 /2C«-B)/2 dla n nieparzystych
i an = 13-l/2n'a-a dla n parzystych.
Początkowe wyrazy tych ciągów są następujące:
1. 1, 2, 3, 4, 5, ... (ciąg naturalny)i
2. 4, 7, 10, 13, 16, ... (postęp arytmetyczny),
3- 3, -~, \, -~, ^, ... (postęp geometryczny),
4. 1,-1,1,-1,1,...,
5. 1, 2, 2-^, 2-j, 2^-, ...,
C1) Rozważa sic tu tylko ciągi nieskończone.

344 I. Wstęp do analizy
6. 3, 4, 3,3, 3,4, 3,33, 3,34, 3,333, 3,334, ...»
7. 1> ~2> -$, 4> -g > ... (.ciąg harmoniczny),
8. 1,-2,3,-4,5,-6,...,
9. -1,0,-2,0,-3,0,-4,0,...,
10. 1,11,2, 12, 2y, 12|-, 2-f, 12|, ...
Granica ciągu. Jeżeli dla danego ciągu al3 a2, ..., a„,... istnieje
liczba A, do której przy wzrastaniu n wyraz an zbliża się nieogranicze-
nie blisko, to liczbę A nazywamy granicą ciągu f1), co zapisujemy
A = limo„.
Dokładne sformułowanie: ^ = lim a„, jeżeli dla do-
H-t-OO
wolnie małej liczby dodatniej s można wskazać w danym ciągu taki
,4-e an A A+B
e e
Rys. 261
wyraz aN, że wszystkie następne wyrazy an (dla « > N) różnią się
od liczby A mniej niż o e, tzn.
\a„-A\ <e, gdy » > N.
Z rozpatrzonych przykładów 1—10 granice mają ciągi 3, 5, 6, 1;
granice te wynoszą:
3. liman = 0; 5. liman = 3j 6. liman = 3-^; 7. lim an = 0.
n—kxi n—»oo n—w» n->co
Interpretacja geometryczna. Jeżeli wyrazy ciągu
On mającego granicę ^4 przedstawiamy za pomocą punktów na osi
liczbowej, to począwszy od aN wszystkie następne punkty an znajdą
się w przedziale A—e < an <A+s (rys. 261).
Granica niewłaściwa. Przypadek, w którym granica nie istnieje
wskutek tego, że przy wzrastaniu n bezwzględna wartość wyrazu a»
wzrasta nieograniczenie, oznaczamy w sposób następujący:
lim On = oo (granicą ciągu an jest nieskończoność).
M-ł-OO
Dokładne sformułowanie, lim an = oo, jeżeli dla
don-too
wolnie wielkiej liczby dodatniej K można dobrać w danym ciągu taki
(*) Dla pewnych wartości n liczby an mogą pokrywać się z granicą A.
2. Ciągi i ich granice
345
wskaźnik N, że wszystkie następne wyrazy a„ (przy n> N) będą co
do bezwzględnej wartości większe od K:
\aa\ > K, gdy n > N.
Jeżeli ponadto wszystkie wyrazy a„ dla n > N są dodatnie, to
piszemy lim an — +o=>> jeżeli zaś wszystkie wyrazy an dla n > N są
K-t-oo
ujemne, to piszemy lim an = —co.
«—t-oo
Z podanych przykładów 1-10 ciągi 1, 2 mają granicę niewłaściwą
+ oo, a dla ciągu 8 mamy lim \an\ = oo.
n—nx>
Ciągi monotoniczne. Ciąg al3 ai3 ...,an, ...nazywamy:
(1) rosnącym) jeżeli «i < aB < ... < an < a«+i < ...;
(2) malejącym, jeżeli aY> a3 > ... > a» > £„+! > ...;
(3) nietttalejącym, jeżeli aj ^ az ^ ... =^ a» ^ fln+i ^ ... J
(4) nierosnącym, jeżeli aj 5= aa > ... 5= a» 3* an+i.^ ...
Ciągi postaci (1), (2), (3) i (4) mają ogólną nazwę ciągów
monofonicznych, przy czym ciągi (1) i (3) nazywamy ciągami monofonicznie
rosnącymi, a ciągi (2) i (4) — monotonicznie malejącymi.
Ciągi (1) i (2) w odróżnieniu od ciągów (3) i (4) nazywamy
niekiedy ciągami ściśle rosnącymi i ściśle malejącymi. Punkty
przedstawiające na osi liczbowej wyrazy ciągu monofonicznego postępują (w
kolejności wskaźników wyrazów) w jednym kierunku* przy czym dla
ciągów (3) i (4) pewne wyrazy kolejne mogą być przedstawione
wspólnym punktem. Z podanych przykładów ciągów 1—10 na stronicy 343
monotoniczne są tylko ciągi rosnące 1, 2, 5 oraz ciąg ściśle malejący 7.
Ciągi ograniczone. Jeżeli dla danego ciągu a„ można wskazać
taką liczbę dodatnią K, że wszystkie wyrazy ciągu są co do
bezwzględnej wartości mniejsze od K, tzn. |an| < K dla wszystkich n, to ciąg
taki-nazywamy ograniczonym; jeżeli taka liczba nie istnieje, to ciąg
nazywamy nieograniczonym. Z przykładów 1—10 podanych na
stronicy 343 ograniczone są tylko ciągi 3 (K = 4), 4 (K = 2), 5 (K = 3),
6 (K = 5), 7 (K = 2), 10 (K «= 13).
Podstawowe twierdzenia o granicach ciągów.
1° Ciąg może mieć tylko jedną granicę.
2° Ciąg mający skończoną granicę jest ograniczonym ciąg mający
granicę niewłaściwą jest nieograniczony.
3° Ciąg monotoniczny ograniczony ma granicę skończoną; jeżeli
ciąg monotonicznie wzrasta, to lim an^an, a jeżeli ciąg monotonicz-
H-+OO
nie maleje, to lim an^aa.
n—rno
4° Ciąg monotoniczny nieograniczony ma granicę w nieskończo-

346
I. Wstęp do analizy
ności; jeżeli ciąg ten monotonicznie wzrasta, to lim an ~ + °o, a je-
n-+<x>
Żeli monotonicznie maleje, to lim an = — °°-
n—»oo
5° Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy ciągu.
Aby ciąg a13 a2,.,. o„,... miał granicę, potrzeba i wystarcza, by dla
dowolnie malej liczby s można było znaleźć taki wyraz ciągu aN> żeby
dwa dowolne wyrazy ciągu następujące po wyrazie aN różniły się mniej
niż o e, tzn.
\at~aj\ < fi, gdy i > N oraz / > Nf1).
Inne własności ciągów i obliczanie ich granic podane są na str.
357 - 360 (granica funkcji).
3. Funkcje jednej zmiennej (*)
Określenie. Zmienną y nazywamy funkcją zmiennej x zwanej
argumentem funkcji lub zmienną niezależną, jeżeli każdej wartości x
wziętej z pewnego zbioru Z odpowiada jedna oznaczona wartość
zmiennej y; zbiór Z dopuszczalnych wartości argumentu x nazywamy ob-
szarem oznaczoności funkcji y. Na przykład funkcja y = x2 jest
oznaczona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, a obszarem
oznaczoności funkcji y — ]/«" jest zbiór wszystkich liczb nieujemnych. Różne
funkcje zmiennej x oznacza się za pomocą symboli f(x), F(x), <p(x)
itp; symbol /(a) oznacza wartość funkcji f(x), którą ta funkcja
przybiera przy * = a (jeżeli a należy do obszaru oznaczoności danej
funkcji), np. jeżeli /(*) = x2+2x-5, to /(3) = 3*+2-3-5 = 10.
Przedziały. Najczęściej rozważa się funkcje mające obszar
oznaczoności spójny. Zbiór złożony z liczb rzeczywistych jest spójny,
jeżeli 1° zawiera więcej niż jedną liczbę, 2° nie ma luk, ani przerw, tzn.
wszystkie liczby zawarte między dwiema dowolnymi liczbami
należącymi do danego zbioru należą też do tego zbioru.
Zbiór spójny liczb rzeczywistych może być nieograniczony po obu
stronach, tzn, zawiera wszystkie punkty osi liczbowej, może być
ograniczony od strony lewej liczbą a, tzn. składa się z liczb większych od
a, może być ograniczony od strony prawej liczbą b, składa się z liczb
mniejszych niż b, może wreszcie być ograniczony po obu stronack
liczbami a i b, tzn. składa się z liczb zawartych między a i b, gdzie
a < b. Zbiór spójny liczb zawartych między a i b nazywamy też
przedziałem liczbowym o końcach a i b, gdzie a <b, przy czym może być
a = — co oraz b = + co. Koniec a i b przedziału nazywamy otwartym,
i1) Ciąg o tej własności nazywamy ciągiem podstawowym.
0) Rozważa się tu tylko funkcje zmiennej rzeczywistej. Funkcje zmiennej
zespolonej omówione są na str. 623 -637.
sP^mmjB iiflifłSiisanJ
347
jeżeli nie należy do przedziału oraz domkniętym, jeżeli jest włączony
do przedziału. Końce —co i -f co uważamy za otwarte.
Przedział o końcach a i b otwartych nazywamy przedziałem
otwartym i oznaczamy symbolem (a, 6). Przedział o końcach a i b
domkniętych nazywamy przedziałem domkniętym i oznaczamy symbolem (a, 6>.
Jeżeli tylko lewy koniec a przedziału jest domknięty, to przedział
nazywamy lewostronnie domkniętym i oznaczamy (a, b), jeżeli zaś
tylko prawy koniec przedziału jest domknięty, to przedział nazywamy
prawostronnie domkniętym i oznaczamy (a, by.
Na rysunku 262 końce otwarte oznaczono kółkami (nulkami),
końce domknięte czarnymi kropkami, a końce —co i 4.co oznaczono
strzałkami skierowanymi odpowiednio na lewo lub na prawo.
Oto zestawienie rozmaitych przedziałów:
Nazwa
Symbol
Nierówność
Wykres
Otwarty
Prawostronnie
domknięty
Lewostronnie
domknięty
Domknięty
Przedziały
nieskończone
(«, b)
(a, by
<a,b)
{a, b}
(—00, +00)
(-00,6)
(_co,6>
(a, +00)
<a, +co)
a < x <b
a<x^b
a^x<b
a^x<b
-co< x < +00
—co < x < b
— co <X^b
a < x < -foo
a =£ x < +co
a
a :
a.
a,
— co
— OO
— OO
GL
a. -
J>
/
„Z>
.b
+ 00
,b
.b
+ oa
+ 00
Rys. 262
Często rozważa się także funkcje, których obszarem oznaczoności
jest skończony zbiór liczb albo nieskończony ciąg liczb odosobnionych.
Za obszar oznaczoności funkcji częstokroć służy ciąg wszystkich liczb
naturalnych (ciąg naturalny); wartości takiej funkcji można również
ustawić w ciąg
/(l)>/(2),.. .,/(»),...
(funkcja o argumencie naturalnym).
Rozważa się również obszary oznaczoności funkcji w postaci zbioru
przedziałów albo zbioru przedziałów i odosobnionych liczb.

348 I. Wstęp do analizy
Sposoby określania funkcji. Funkcja może być określona
różnymi sposobami, np. za pomocą tablic wartości funkcji, za pomocą
wykresów, za pomocą jednego lub kilku wzorów (dla różnych
przedziałów oznaczoności funkcji).
Przykłady funkcji określonych za pomocą kilku wzorów oraz ich
wykresy (rys. 263) C1):
-1 dla x<0, , ,.
« „ « , \ x dla x*S 0,
a. v = 0 dla x = 0, b. y ■= { , ,.
, „ ' •* \ xa dla x ^ 0:
+ 1 dla x> Oj l *
c. y
10
dla « całkowitych dodatnich,
dla pozostałych liczb dodatnich.
+7o-
0
4-i
a)
0
Obszar oznaczoności wyrażenia analitycznego. W analizie
matematycznej rozważa się przede wszystkim funkcje określone
jednym wzorenij przy czym do obszaru oznaczoności takiej funkcji
zalicza się wszystkie wartości argumentu, przy których dane wyrażenie
analityczne ma sens liczbowy, tj. przybiera oznaczoną wartość
rzeczywistą skończoną. Taki obszar nazywamy obszarem oznaczoności
wyrażenia analitycznego. Zazwyczaj, jeżeli nie ma dodatkowych
ograniczeń, przez obszar oznaczoności funkcji określonej jednym wzorem
rozumie się właśnie obszar oznaczoności tego wzoru. Do obszaru
oznaczoności nie wchodaą w szczególności te wartości zmiennych,
dla których funkcja 1° przybiera wartości zespolone, 2° ucieka w
nieskończoność (patrz str. 363, rodzaje nieciągłości funkcji), 3° jest
nieoznaczona (patrz str. 359, 360, obliczanie symboli nieoznaczonych).
Przykłady 1. y = ]/l~xa, obszar oznaczoności jest —1 s£
*S x s£ 1. 2. y — logcosx, obszar oznaczoności —=-n < x < + -^-it,
~n < x < ^n, .„, ~(4n—l)n <«< ~(4n+l)ir,,.., gdzie n jest liczbą
całkowiią.
C1) Kółko (milka) wskazuje 4 że dany punkt nie należy do wykresu funkcji.
3. Funkcje jednej zmiennej
349
Podstawowe postacie analitycznego określenia funkcji.
Funkcje mogą być określone.
1° w postaci jawnej, gdy y jest wyrażone przez x za pomocą wzoru
*«/(*) 5 „ s
2° w postaci uwikłanej, gdy x i y są związane równaniem Fix, y) =
= 0, np. &+y*—1 = 0 lub &—xy = 0;
3° w postaci parametrycznej, gdy odpowiadające sobie wartości x
i y są wyrażone przez trzecią zmienną t (parametr) za pomocą równań
x = <p(t), y = v(0» nP- * = acosr, y == asinf.
Funkcje wzajemnie odwrotne. Dwie funkcjey = fix) ix — <p(y)
nazywamy wzajemnie odwrotnymi, jeżeli każda para wartości a, b
spełniająca warunek & ='/(<*) spełnia też warunek a = y(6) i odwrotnie:
każda para wartości b, a spełniająca warunek a = q>(b) spełnia też
warunek b =/(a). Jedną z dwóch funkcji wzajemnie odwrotnych
(obojętnie którą) można nazwać funkcją prostą^ wtedy drugą funkcję
nazywamy odwrotną względem pierwszej.
Aby funkcja y = fix) była odwracalna, musi być jednoznaczna
(tzn. różnym wartościom y odpowiadają różne wartości x) i
jednokrotna (tzn. różnym wartościom x odpowiadają różne wartości y)'s
wówczas istnieje funkcja odwrotna x = q>iy)> również jednokrotna
i jednoznaczna. Przyjął się zwyczaj zapisywania funkcji odwrotnej
w taki sposób, żeby x było zmienną niezależną, a y funkcją: a więc
zamiast x = y(y) pisze się y = fix)i wówczas wykresy funkcji
wzajemnie odwrotnych y = fix) i y = <pix) są symetryczne względem
prostej y = x. Wykres funkcji prostej y = fix) jest wykresem funkcji
odwrotnej x = <piy), zmienia się tylko rola zmiennych: y staje się
argumentem, a x funkcją.
Przykłady funkcji odwrotnych (rys. 264): a. y — x* w
przedziale 0 ^ x < +oo i y = Yx~, b. y — e* i y = lnx; c. y = sina;
i y = arcsin* w przedatale — -=-n ^ x ^ -=-b.

350 I. Wstęp do analizy
Aby dla danej funkcji y = f(x), jednoznacznej i jednokrotnej
znaleźć funkcję odwrotną, należy rozwiązać równanie y = f(x) względem
zmiennej x i w otrzymanym równaniu x = f(y) zamienić oznaczenia
x>y, piszący =<p{x).
Przykład, y = /(x) = 5±_, x = ?(y) = ^~ i po zamia-
nie zmiennych otrzymujemy funkcję odwrotną w postaci y = ę(x) ~
_ 2x-\
* + l '
Funkcje elementarne (*). Funkcje elementarne są to funkcje
określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji
algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie
i pierwiastkowanie oraz operacje wykładnicze, logarytmiczne,
trygonometryczne i cyklometryczne), wykonanych na zmiennej niezależnej,
na funkcji i na pewnych stałych. Funkcje elementarne dzielimy na
algebraiczne i przestępne.
W funkcjach algebraicznych argument x i funkcja y związane są
równaniem algebraicznym postaci
£ aiy* = 0,
gdzie współczynniki at są wielomianami zmiennej x, np. (3x+l)y'~
—ił^-l-(*»_!) = 0. Jeżeli równanie takie rozwiążemy algebraicznie
względem y, to wśród rozwiązań mogą się znaleźć następujące
najprostsze funkcje algebraiczne:
1° Funkcja całkowita wymierna, czyli wielomian y = ao**+
+ a1x7,~1+ ... +an-iX+an (na zmiennej a: wykonuje się tylko
dodawanie, odejmowanie, mnożenie i podnoszenie do potęgi naturalnej);
w szczególności może to być funkcja stalą y = a, funkcja liniowa y =
=s ax+b, funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) y = ax'+bx+c.
2° Funkcja wymierna ułamkozoa} czyli iloraz dwóch wielomianów
_ aaxn+a1xn-1-^ +an
y " b0x*+b1x»r*+ --- +bm'
przy czym licznik nie dzieli się przez mianownik (na zmiennej x
wykonuje się dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i
podnoszenie do potęgi naturalnej); w szczególności może to być funkcja homo-
graficzna y — m . , gdzie c^Oi ad—be ź 0.
3° Funkcja niewymierna, czyli taka funkcja, w której występuje
C1) Tablice funkcji elementarnych patrz str. 13 - 83, a wykresy funkcji
elementarnych podane są na str. 98 - 121.
3. Funkcje jednej zmiennej 351
pierwiastkowanie zmiennej niezależnej lub funkcji wymiernej
(całkowitej albo ułamkowej), przy czym żadne przekształcenia nie
pozwalają wyłączyć zmiennej spod pierwiastka. Na przykład y = y2#+3,
y = V&-l)\fc.
Funkcje przestępne są to takie funkcje, które nie dają się wyrazić
za pomocą równania £ a*JV&> gdzie ai są wielomianami zmiennej
niezależnej x. Najprostsze z nich zwane elementarnymi funkcjami
przestępnymi są następujące:
1° Funkcja wykładnicza: jest to funkcja postaci a = effW, gdzie
o jest daną liczbą dodatnią różną od jedności, a <p(x) jest funkcją
algebraiczną zmiennej x, na przykład y = e*, y = o*, y = 23*S-Ba:.
2° Funkcja logarytmiczna: jestto funkcja y =loga'p(x), gdzieajest
daną liczbą dodatnią różną od jedności, a ę (x) jest funkcją algebraiczną,
na przykład: y = lnx, y = logx, y = log^S*8—3x).
3° Funkcje trygonometryczne: są to funkcje sin<p(x), cosy (x), tgyt*),
ctgpt*)* secg5(x), cosecyt*), na przykład: y = sinx, y = cos(2x+3),
y = tgj/i"C).
4° Funkcje cyklometryczne są to funkcje arcsing?(ar), arccosyf*),
arctgy^jarcctgytx), na przykład: y = aresinar, y = arccos yl—x,
arctg(2/x).
Rozmaite kombinacje wymienionych funkcji algebraicznych i
przestępnych, w których jedna funkcja jest argumentem drugiej funkcji,
. . c i ■ i • i • ln*+/arcsin* „..
dają funkcje złożone, np. y = lnsinx, y = ■■■ -■ Takie
x ~r~ ^e
kombinacje funkcji elementarnych wziętych w skończonej ilości dają
znowu funkcje elementarne.
Funkcje nieelementarne. Funkcje, które nie są funkcjami
elementarnymi, można określić w różny sposób poczynając od prostego
C1) Przez argument funkcji trygonometrycznej sin*, cos*, tg*, ctg*, a takie
przez wartości arc sina;, arccos*, arc tg*, arectg*, rozumie się w analizie
matematycznej nie kąt lub luk okręgu jednostkowego (tak jak przy pierwszym zapoznamu się
z trygonometrią), lecz pewne liczby. Funkcje trygonometryczne można określić czysto
analitycznie, bez stosowania pojęć geometrycznych, np. funkcję sin* można określić
jako granicę pewnego ciągu potęgowego zbieżnego (patrz str. 417), albo otrzymać jako
d2y
rozwiązanie równania różniczkowego — \-y •= 0, przy warunkach początkowych
dx*
dv
x ■= 0, y = 0, — = 1. Przy takim ujęciu funkcji trygonometrycznej jej argument
jest miarą luku okręgu wyrażoną w radianach; podobnie wartości funkcji cyklometrycz-
nych są miarami luków w okręgu wyrażonymi w radianach. Dlatego też do obliczenia
funkcji trygonometrycznych można posługiwać się zwykłymi tablicami funkcji
trygonometrycznych, przeliczaiąc argumenty z miary łukowej na stopniową, a dla funkcji
cyklometrycznych — odwrotnie.

352 I. Wstęp do analizy
opisu odpowiedniości między argumentem i funkcją. W analizie
matematycznej często stosuje się następujące sposoby określenia funkcji
nieelementarnych C1):
1° Przy pomocy kilku wzorów matematycznych dla różnych
przedziałów (patrz str. 348);
2° Przy pomocy przejścia granicznego; w szczególności:
a. przy pomocy szeregów oraz iloczynów nieskończonych (patrz
str. 383);
b. przy pomocy całek oznaczonych (z jedną lub dwiema granicami
zmiennymi), nie wyrażalnych przez funkcje elementarne (patrz str. 425);
3° Przy pomocy równań różniczkowych, których rozwiązania nie
dają się wyrazić w kwadraturach;
4° Przy pomocy równań funkcyjnych.
Dla funkcji nieelementarnych mających znaczenie teoretyczne lub
praktyczne układa się tablice, konstruuje się wykresy, bada się
własności. Funkcje takie nazywamy funkcjami specjalnymi; mają one
często osobne nazwy i oznaczenia.
Przykłady funkcji nieelementarnych:
1. Czcić całkowita Hczby x zwana też entier x: y jest to największa
liczba całkowita nie przewyższająca liczby x. Oznaczenie y = E(x)
lub y = [x]; wykres —patrz rysunek 265.
2. Wartość bezwzględna albo moduł Hczby x: y =
Oznaczenie y = |x|; wykres — patrz rysunek 266.
Rys. 265 Rys. 266 Rys. 267
1-1 dla x < 0,
0 dla x = 0,
1 dla x>0.
Oznaczenie y = sgax; wykres — patrz rysunek 263a na str. 348.
(*) Niekiedy możliwe jest określenie tej samej funkcji różnymi sposobami.
—x dla x <0,
x dla x ^ 0.
3. Funkcje jednej zmiennej
353
4.y
■■ lim
M-+CO
lub y =
1 dla I*[ < 1,
i
-I dla |*
1,
0 dla |x| > 1,
l+xa«
wykres—patrz rys. 267.
X
5. y= \ - —dx lub y = x-
J x
o
Oznaczenie y = Si(x), sinus całkowy, patrz str. 465.
n \ ri*~l
■ +
3-3! ' 5-5! 7-7!
+ ...
6. y = I e-tf-^dt lub y = lim
J — ■
*(* + !) (*+2) ...(*+*-!)
Oznaczenie y — r(x)3 funkcja gamma, patrz str. 204.
7. Rozwiązanie równania Bessela x2y"+xy' + (x2 — n2)y = 0 przy
określonych warunkach początkowych (funkcja Bessela, patrz str. 582).
Rys. 268
Rodzaje funkcji.
1° Funkcje monotoniczne. Jeżeli funkcja f(x) ma w przedziale (a, 6)
tę własność, że dla każdej pary liczb xt, x% spełniającej warunek
a < xi < x% < b zachodai nierówność f(xĄ ^ f(x2), to taką funkcję
nazywamy monotonicznte rosnącą w przedziale (a, b); jeżeli zaś przy
spełnieniu warunku a <x1<xs<b zachodzi nierówność f(Xi) > f(x2)»
to funkcję /(*) nazywamy monotonicznte malejącą w przedziale (a, &).
W szczególności, w przypadku gdy zachodzi ostra nierówność
/(*i) < /(*a)> funkcję f(x) nazywamy ściśle rosnącą, a w przypadku,
gdy zachodzi ostra nierówność f(Xi) > f(x2) funkcję nazywamy ściśle
malejącą (w danym przedziale). Na przykład na rysunku 268a funkcja
jest rosnąca w przedziale (a, fe) i to ściśle rosnąca; na rysunku 268b
funkcja/(*) jest malejąca w przedziale (a, &), ale nie jest ściśle
malejąca w tym przedziale, gdyż między punktami xt i x2 stale zachodzi
równość /(tfj) = f(x2).
Przykłady. Funkcja y = e~x jest malejąca w przedziale — oo <
< x < + oo; funkcja y = In* jest rosnąca w przedziale 0 < x < + <x>;

354
I. Wstęp do analizy
funkcja ,y = x2 jest malejąca w przedziale — oo < x =S 0, a rosnąca w
przedziale 0 =S x < + oo; funkcja y = l/ar jest malejąca w przedziale
~oo < x < 0 i również malejąca w przedziale 0 < x < +oo.
2° Funkcje ograniczone. Funkcję nazywamy ograniczoną od góry,
jeżeli jej wartości nie przewyższają pewnej liczby M i ograniczoną od
dołu, jeżeli jej wartości są nie mniejsze od pewnej liczby m. Funkcję
ograniczoną od góry i od dołu nazywamy po prostu funkcją ograniczoną.
Przykłady. Funkcja y = 1— x2 jest ograniczona od góry
y
r
1 0
a)
y
/
' 0
i ,
<:
y>
^ j ».
"\ A
0
v/
"1—7
A
M
—-1 *
Rys. 269 Rys. 270
(.y =S 1); funkcja y = ex jest ograniczona od dołu (y > 0); funkcja
4
y — sin* jest ograniczona (— 1 ^y =g 1); funkcja y — —-—a jest ogra-
1 -\-x
niczona (0 < y =S 4).
3° Funkcje parzyste. Funkcja jest parzysta, jeżeli dla każdej
wartości x(z przedziału oznaczoności funkcji) zachodzi równość f(—x) =
= /(*) (rys- 269a); wykres funkcji parzystej jest symetryczny
względem osi Oy.
Przykłady. Funkcje y = cosar, >> = **—3ar2 + l są parzyste.
4° Funkcje nieparzyste. Funkcja jest nieparzysta) jeżeli dla każdej
wartości x (z przedziału oznaczoności funkcji) zachodzi równość
f(—x) = —/(ar) (rys. 269b); wykres funkcji nieparzystej jest
symetryczny względem początku współrzędnych O.
Przykłady. Funkcje y = sinar, y = x3—x są nieparzyste.
5° Funkcje okresowe. Funkcja jest okresowat jeżeli dla każdej
wartości ar (z przedziału oznaczoności funkcji) zachodzi równość/(ar+
+ T) = f(x)s gdzie T jest pewną stałą zwaną okresem funkcji f(x) (rys.
270); zazwyczaj przez okres funkcji rozumie się najmniejszą liczbę
dodatnią spełniającą powyższy warunek.
4. Granica funkcji
Pojęcie granicy funkcji rozważane jest tylko dla funkcji dwóch
typów: 1° dla ciągów, czyli funkcji o argumencie całkowitym (patrz
str. 347); 2° dla funkcji określonych w obszarze spójnym (patrz
str. 346) (»).
C1) Pojęcie granicy wprowadza się także i dla funkcji o bardziej złożonych
obszarach oznaczoności.
4. Granica funkcji
355
Granica funkcji o argumencie całkowitym.
Określe-nie. Granicę funkcji y =f(x), gdzie x = 1, 2,...,«»
..., określa się tylko dla ar -^ oo; jest to granica ciągu liczbowego (*)
/(l),/(2),...,/(«),... dla n — oo, co zapisujemy
A = lim/(*)= lim/(«).
a-T) a a+7j
Rys. 271
Przykłady. 1. lim — = 0; 2. lim (1 + —
n_,co W n—fco \ n
Granica funkcji określonej w obszarze spójnym.
Określenie. Funkcja y =/(*) ma w punkcie x = a
granicę A, co zapisujemy:
A = lim /(a;))
*-*■«
jeżeli przy ar dążącym do a wartość funkcji
fix) zbliża się nieograniczenie do liczby A.
W punkcie x = a funkcja f(x) może nie
przybierać wartości A, co więcej, może nie
być w tym punkcie oznaczona.
Ścisłe sformułowanie: A ■=
= lim/(ar), jeżeli dla dowolnie małej dodatniej
liczby fi można dobrać taką dodatnią liczbę )j,
że dla każdej wartości ar z przedziału a — n < ar < a+r}(s) (z
wyjątkiem, być może, wartości x = a) odpowiednia wartość /(ar) leży
w przedziale A — e <f(x) < A + e (rys. 271).
Kryteria istnienia granicy.
1° Sprowadzenie zagadnienia granicy funkcji do granicy ciągu.
Funkcja f(x) ma w punkcie x = a granicę A, jeżeli dla dowolnego
ciągu wartości ar: *i, x2,..., xn, ... należącego do obszaru oznaczoności
funkcji i zbieżnego do granicy a, ciąg odpowiednich wartości funkcji
f(x1)>f(x2),..,f(xn),...va& granicę A ■ Ta granica A jest wspólna dla
wszystkich takich ciągów i jest granicą funkcji/(a;) w punkcie ar = a.
2° Kryterium Cauchy'ego. Aby funkcja f(x) miała granicę w punkcie
x = a, potrzeba i wystarcza, by dla dowolnych dwóch wartości ar!
i x2 argumentu x należących do obszaru oznaczoności funkcji i
dostatecznie bliskich wartości ar = a, odpowiednie wartości /(ar,) i f(x2)
funkcji f(x) różniły się dowolnie mało.
Ścisłe sformułowanie. Aby funkcja f(x) miała granicę
w punkcie x = a, potrzeba i wystarcza, żeby dla dowolnie małej
dodatniej liczby e można było dobrać taką dodatnią liczbę rj, że dla
C1) Patrz str. 343.
(2) Jeżeli a jest punktem brzegowym obszaru spójnego, to powyższą nierówność
podwójną należy zastąpić nierównością a—n < x < a albo a < x < a+n.

356 I. Wstęp do analizy
każdych dwóch wartości xx i xs argumentu x należących do obszaru
oznaczoności funkcji i spełniających warunki \x±—a\ < r\ oraz
\xi~-a\ <rj spełniony będzie warunek
l/W-/WI<^.
Granica niewłaściwa funkcji jest pojęciem analogicznym do
granicy niewłaściwej ciągu (str. 344); symbol lim/(x) = oo (granica jest
równa nieskończoności) oznacza przypadek, kiedy granica funkcji
w punkcie x = a nie istnieje, wskutek tego? że przy zdążaniu x do a
wartość bezwzględna funkcji wzrasta nieograniczenie.
Ścisłe sformułowanie: lim/(ar) = oo, jeżeli dla dowolnie
X—M
wielkiej liczby dodatniej K można dobrać taką liczbę dodatnią y, by
dla każdej wartości x z przedziału a—y < x < aĄ-rj odpowiednia
wartość funkcji/(arj była co do bezwzględnej wartości większa od Ks tzn.
I/(k)1 > K, gdy a-n <x< a+ij.
Jeżeli przy tym wszystkie wartości f(x) w przedziale a — f\ < x <
<a+ij są dodatnie, to piszemy limf(x) = +oo, jeżeli zaś wszystkie
x—m
wartości /(#) w przedziale a~i\ < x < a+y są ujemne, to piszemy
lim/(#) = — oo.
x—*a
Lewostronna i prawostronna granica funkcji. Funkcja f(x)
ma w punkcie x = a granicę lewostronną A, jeżeli wartości tej funkcji
zbliżają się nieograniczenie do A, gdy x rosnąc dąży do a.
Oznaczenie: A — f(a—0). Analogicznie
y. funkcja f(x) ma w punkcie x = a
granicę prawostronną Ay jeżeli war-
_^*" tości tej funkcji zbliżają się nieo-
^^-— graniczenie do A, gdy x malejąc
q 7 Jf dąży do a. Oznaczenie: A = f(a+
+ 0). Na przykład funkcja f(x) =
Rys. 272 \
= l + eW=i) ^ PrZy X^1 "^
granicę lewostronną, a inną prawostronną: /(l —0) = 1, /(1+0) = 0
(rys. 272).
Granica funkcji w nieskończoności. Liczbę A nazywamy
granicą funkcji y = f(x) przy x ->- -f oo, co zapisujemy:
A = lim /(ar),
x—+«
jeżeli dla dowolnie malej dodatniej liczby e można wskazać taką
4. Granica funkcji 357
liczbę N, że dla wszystkich wartości x > N odpowiednie wartości
f(x) będą zawarte w przedziale A—b <f(x) <A+s. Analogicznie
A = lim f(x),
«-► — co
jeżeli dla dowolnie małej dodatniej liczby e można wskazać taką liczbę
—N, że dla wszystkich wartości x < —N odpowiednie wartości
f(x) będą zawarte w przedziale A-e <f(x) < A + e. Na przykład
lim £±1=1, lim £Ź2=i, lim e* = 0.
*->+CO * X-ł—OO * «-► — CO
Jeżeli zaś przy a: -+ + oo lub x -*■ — oo wartość bezwzględna funkcji f(x)
wzrasta nieograniczenie, to granica funkcji f(x) w nieskończoności
nie istnieje: zapisujemy to
lim f{x) =oo, lim f(x) =oo.
*-*-{-oo *-►—oo
Jeżeli przy tym/(ar) przebiega wartości dodatnie, to piszemy, lim f(x) =
x-*+co^
= -f oo lub lim /(ar) = -j- oo, a jeżeli f(x) przebiega wartości ujemne,
*-» — co
to piszemy: lim /(*)==— °o lub lim /(#) = —oo.
#_►-}. co *-*—co
Na przykład
hm -■ -a ■■ = +oo, hm ■■■ a- = —oo,
X-.4-CO a: a:-*—co *
jjjn .--..- = — oo, lim —^— = -j-oo.
*->-f-oo x x-> —co ■*
Podstawowe twierdzenia o granicach funkcji.
1° Granicą stałej jest ta sama stała; innymi słowy, jeżeli w każdym
punkcie x = a (w przedziale oznaczoności funkcji) funkcja y = /(a:)
ma stałą wartość A, to
lim A = A.
X-Kt
2° Granica sumy lub różnicy skończonej ilości funkcji równa się
odpowiednio sumie lub różnicy granic tych funkcji (jeżeli granice
te istnieją)
lim [/■(#)+K*>-V1 (*)] = lim/(x)+limy (*)-limy W-
x—ta x—*a x-*a x—*a
3° Granica iloczynu skończonej ilości funkcji równa się iloczynowi
granic tych funkcji (jeżeli granice te istnieją)
lim [f(x) tp(x) ¥(#)] — lim/(ar) lim y(x) lim y<(x).
x—xt x—wi x-*a x—*a

358 I. Wstęp do analizy
4° Granica ilorazu dwóch funkcji
„ . limf(x)
lim fix) ~«
x-*a
jeżeli granice te istnieją i limy(x)^0.
X-*a
5° Jeżeli funkcja f(x) jest zawarta między dwiema innymi
funkcjami tp (x) i y(x)y tzn. jeżeli <p(x) <f(x) <y>(jx),pizy czym limy (a:) = A
x-*a
i lim y>(x) — A, to
lim/Ge) = A.
%-*a
6° Funkcja monotoniczna określona w obszarze spójnym ma
granicę (skończoną lub nieskończoną) dla każdej wartości x (skończonej
lub nieskończonej); funkcja monotoniczna ograniczona ma granicę
skończoną dla każdej wartości x.
Pewne ważniejsze granice.
1. Liczba e: lim 11 + — J = e = 2,71828 ... (liczba niewymier-
na). Tablice wielkości związanych z liczbą e patrz str. 13. Liczba e
jest podstawą logarytmów naturalnych (patrz str. 164).
2. Liczba y: lim M+_+-+ ... H Inn] = y = 0,5772 ...
n-»co \ * ■* n I
(stała Eulera).
3. lim ■ . - = I, jeżeli x jest wyrażone w mierze łukowej.
*-tO X
Obliczanie granic. Dla obliczania granic posługujemy się
podanymi wyżej twierdzeniami oraz następującymi sposobami:
1° Przekształcamy funkcję do postaci, dla której łatwo można
znaleźć granicę.
Przykłady.
lim ^=i -lim(*•+*+!) = 3,
lta ń±ł=i=lim (j^oM+fżł) = ih» »_ _ i
x-,0 * x-o je(|/l+jc + l) x-*0 yi+x+1 2
t. sin2x ,. 2(sin2x) _,. sin2a:
lim ~ = Irm —^ = 2 hm—=— = 2.
4. Granica funkcji 359
2° W przypadkach prowadzonych do nieoznaczoności typu
—, —, 0* oo, oo—oo, 0°, oo°, 1°° stosujemy regułę de 1'Hospitala.
0 oo
a. Nieoznaczoność typu— lub —. Jeżeli f(x) — —t-t*
gdzie <p(x) i y>(x) są funkcjami określonymi w pewnym przedziale
zawierającym punkt x = a C1) i mającymi w tym przedziale skończone
pochodne <p'(x) i v'(*)> przy czym v'(*) ^ °> i jeżeli
limc>(x) = 0 i lim y>(x) = 0 (nieoznaczoność typu —)
lub
limyOO = oo i limy 00 = oo (nieoznaczoność typu—),
x-*a x—a \ ^/
to
lim/(*)=lim£ir)t
pod warunkiem. Że granica ta istnieje lub jest równa oo (reguła de
PHospitala).
W przypadku gdy lim ~-^ też przedstawia sobą nieoznaczoność
x-*a V \x)
typu — lub —, to stosuje się powyższą regułę powtórnie itd.
Przykład.
2cos2x 2
ta J5=^ - ta-!!!*- _ ta ?Ę - ton -^
lim ^—: = um = inn —= «*„ _
x^0 In sin x *_o cosx x_o tg2* *-*o 2
sina: coss 2a:
,. cos32x
= lim =— = 1.
x-*0 cos *
b. Nieoznaczoność typu 0- oo. Jeżeli f(x) = <p(x) y>(x),
gdzie <p(x) i y(x) są funkcjami określonymi i różniczkowalnymi w
pewnym przedziale zawierającym punkt x — a i jeżeli lim?)(a:) = 0,
a lim y>(x) = oo (nieoznaczoność typu 0-oo), to przekształcając
funkcję /(a:) do postaci /(a:) = •—— lub f(x) = -v sprowa-
l/v(x) I/fM
dzamy zagadnienie do przypadku a.
C1) W punkcie a funkcje cj(x) i vix) mogą nie być określone.

360 I. Wstęp do analizy
Przykład.
lim («~2x)tgx = lim —— = lim ~. = 2.
*—*/2 *_me/2 CtgX x^p — l/sinBX
c. Nieoznaczoność typu oo — oo. Jeżeli f(x) = ?(*) —
—y>(x) oraz lim c>(a;) = oo oraz lim v>(*) = oo (nieoznaczoność typu
oo—oo), to dla znalezienia granicy lim/(x) przekształcamy
algebraicznie różnicę <p(x)—y>(x) do postaci - lub —. Można tego dokonać
0 oo
różnymi sposobami, np. <p~w = I— I: .
Przykład.
lim / * * \ r jxinx-x+l\ I 0\
^x \x-l kxx) ~i™ ( *lnx-ln* j [nieoznaczoność typn-j.
Stosując dwukrotnie regułę de 1'Hospitala otrzymujemy
aS^)-s(^-s[Ą)-ł-
d. Nieoznaczoność typu 0°, oo", 1™. Jeżeli f(x) = tpixf^
i\imę(x) = 0,lim y>(x) = 0, to najpierw znajdujemy granicę A funkrii
In /(*) = v(*)ln <p(x), prowadzącej do nieoznaczoności typu 0-oo
(przypadek b), a potem delogarytmujemy ją obliczając e*.
Przykład, lim x* = X, lnx* = xlnx, limxlnx — lim— =
= lim (-*) = 0, więc ln-X" = 0, X -= e° = 1. Stąd lhnx* - 1.
*-° x-*o
W przypadkach nieoznaczoności typu oo° i 1™ postępujemy
analogicznie.
3° Oprócz reguły de 1'Hospitala do wyznaczenia wartości wyrażeń
nieoznaczonych można stosować rozwinięcie funkcji w szereg Taylora.
Na przykład
(Xs Xs
X~V.+5\~ •'■
iuii - ■■ „ - = urn
x—fO * x~*Q *
5. Wielkości nieskończenie male 361
5. Wielkości nieskończenie małe
Określenia. Funkcję a jednej zmiennej nazywamy zoielkośdą
nieskończenie małą, gdy *-* a, jeżeli funkcja ta ma granicę 0, lima = 0,
gdy x -*■ a. Jeżeli funkcja a ma stałą wartość ciw którymkolwiek
punkcie x = a ma granicę lima = 0, to c = 0 (na podstawie twier-
x-*a
dzenia: granica funkcji stałej jest w każdym punkcie równa tej stałej);
zatem wśród wielkości stałych nieskończenie małą wielkością jest
tylko zero.
Jeżeli granicą funkcji A zmiennej x, gdy x -* a, jest oo (patrz
str. 356), to A nazywamy wielkością nieskończenie wielką, gdy x~* a.
Podstawowe własności. Jeżeli a, fi, y, d, ... są wielkościami
nieskończenie małymi, gdy x —*■ a i m jest wielkością skończoną, tzn.
nie dąży ani do 0, ani do oo, gdy x -*■ a, to
1° suma a+fi+ ... i różnica a—fi— ..., i ogólnie: suma
algebraiczna a+fi—y— d+ ... (o skończonej ilości wyrazów) są
nieskończenie małe, gdy jc-*a;
2° iloczyny ma, afi, i ogólnie: mafiy... są nieskończenie małe,
gdy x-*a;
3° iloraz afm jest wielkością nieskończenie małą, gdy m ź 0
i x~*a;
4° iloraz mja jest nieskończenie wielki, gdy m^0 i x~+a;
5° stosunek ajfi może być albo wielkością nieskończenie małą,
albo skończoną, albo nieskończenie wielką, albo też nie mieć żadnej
granicy, gdy x-*a.
Przykłady. 1. Niech a = sinx, fi = 1 — cosx, y = x*. Gdy
x -* 0, a, fi, y są wielkościami nieskończenie małymi. Zauważmy, że
lim — = lim —- = lim 0 (reguła de 1'Hospitala),
x^oa x-A snix *-.oCosx
fi ,. 1—cosjc ,. sinx .. cos* 1
hm — = hm -.— = lun -—— = lun —^- = -=,
x-*o y x->o x x^o 2x x^o 2 2
,. a ,. sinx ,. cosx
lun — = hm —— = lun -=— = oo,
x-+0Y x-^0 Xs x^o 2x
8 fi a
a więc — jest wielkością nieskończenie małą, —-—skończoną, ——
nieskończenie wielką.
I (—1)"
2. Niech a = —, fi = —» gdzie n jest liczbą naturalną. Gdy
n n
n -* oo, a i fi są nieskończenie małe. Zauważmy, że lim — — lim (—l)*1
ti-nx> fi n—»oo
nie istnieje.
Rząd nieskończenie małych. Dwie wielkości nieskończenie
małe a i fi są tego samego rzędu, gdy x -*■ a, jeżeli stosunek a}fi lub fi ja

362
I. Wstęp do analizy
(co na jedno wychodzi) jest wielkością skończoną, gdy x -* a; jeżeli
zaś a/fi jest wielkością nieskończenie małą, gdy x -* a, to a jest
nieskończenie małą rzędu wyższego niż fi; jeżeli wreszcie y/a jest wielkością
nieskończenie wielką, gdy x-*a, to a/y jest wielkością nieskończenie
małą, i a jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż y.
Przykład. Niech a = sin*, fi = 1— cos*, y = x2. Gdy
x -» O, fi i y są wielkościami nieskończenie małymi tego samego rzędu,
I cos x 1
gdyż lim -j— = — (wielkość skończona); natomiast fi i y są
nieskończenie małymi rzędu wyższego niż «, gdy x -*■ 0, gdyż
1— cosa: „ . .. x2
lim,—. 0 i lim —— = 0.
*_o sina *_*osm#
Nieskończenie małą a nazywamy nieskończenie małą rzędu m
względem nieskończenie małej fi, gdy x~*a, jeżeli a jest tegoż rzędu co fim.
Przykład. Gdy x—*0, sina jest nieskończenie małą rzędu I
względem x, a 1 —cosx jest nieskończenie małą rzędu 2.
Dwie wielkości nieskończenie małe nazywamy równoważnymi,
gdy x ->■ a, jeżeli granicą ich stosunku jest 1.
Przykłady. Gdy x —* 0, nieskończenie małe x i sin x są
równoważne, natomiast nieskończenie małe x2 i 1 — cos x są tego samego rzędu,
ale nie są równoważne.
Przy obliczaniu granicy stosunku dwóch wielkości nieskończenie
małych można każdą z nich zastąpić wielkością równoważną, co nie
zmienia granicy.
6. Ciągłość i punkty nieciągłości funkcji
Pojęcie ciągłości funkcji i punktów nieciągłości. Większość
funkcji badanych w analizie matematycznej, są to funkcje ciągle,
tzn. przy niewielkich zmianach argumentu x wartości funkcji y
zmieniają się także bardzo mało, a wykresem takiej funkcji jest linia
ciągła. Przy pewnych wartościach x
funkcja może nie być ciągła i wtedy wykres
funkcji ma przerwę; wartości
argumentu, przy których to zachodzi,
nazywamy punktami nieciągłości funkcji. Na
rysunku 273 dany jest wykres funkcji
ciągłej we wszystkich punktach z
wyjątkiem punktów A, E, C, D, E, F, G
(litery te oznaczają punkty nieciągłości
funkcji, leżące na osi Ox), przy czym
kółkami (milkami) oznaczone są punkty
nie należące do wykresu funkcji, a
czarnymi kropkami oznaczone są punkty,
Rys. 273 które należą do wykresu.
6. Ciągłość j punkty nieciągłości funkcji 363
Określenia. Funkcję y = fix) nazywamy ciągłą w punkcie x = a,
jeżeli 1° liczba a należy do obszaru oznaczonoŚci funkcji, 2° granica
lim/(x) istnieje i równa się f(a) (ł).
Jeżeli funkcja jest oznaczona i ciągła w każdym punkcie
przedziału ab otwartego albo domkniętego na jednym lub na obu końcach
(patrz str. 347), to nazywamy ją ciągłą to danym przedziale.
W tych punktach x = a (leżących wewnątrz obszaru oznaczonoŚci
funkcji lub na jego brzegach), w których funkcja nie jest oznaczona
albo, w których wartość funkcji /(a) nie jest równa limf(x), funkcja
x-*a
nie jest ciągła, a punkty takie nazywamy punktami nieciągłości funkcji (a).
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła we wszystkich punktach pewnego
przedziału z wyjątkiem skończonej ilości punktów, w których funkcja
f(x) doznaje skończonego skoku (patrz niżej), to funkcję taką
nazywamy przedziałami ciągłą; jej wykres składa się ze skończonej ilości
łuków zwykłych.
Często spotykane rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie
x = a.
1° Funkcja ucieka w nieskończoność', tzn. w punkcie x ~ a funkcja
ma granicę niewłaściwą lewostronną lub prawostronną lub też obie
te granice są niewłaściwe, jak np. w punktach B, C, E na rysunku 273
(jest to przypadek najczęściej spotykany).
Przykłady. /(*) = tgx,/(|n-0) = +oo, f[~n + 0) = -oo (3)
(rysunek, patrz str. 116) (nieciągłość typu punktu E na rysunku 273);
/(*) = 7^iji5 /(I-O) = +oo, /(1+0) = +oo (nieciągłość typu
punktu E na rysunku 273);
f(x) = «V(*-i); /(I-O) = 0, /(1+0) - oo (nieciągłość _ typu
punktu C na rysunku 273, z tą różnicą, że dla a = 1 funkcja nie jest
określona).
2° Funkcja ma skończony skok; gdy x przechodzi przez wartość a
funkcja przeskakuje od jednej skończonej wartości do drugiej (punkty
A, F, G na rysunku 273), przy czym wartość /(*) dla x = a może
nie być oznaczona, jak np. w punkcie G; może pokrywać się z wartością
f(a — 0), jak np. w punkcie F lub z wartością/(a + 0); może też mieć
(ł) Drugi warunek można zastąpić takim warunkiem równoważnym: przy *
nieskończenie małym różnica /? = /(« +«)--/(<i) jest nieskończenie mała, tzn.
nieskończenie małym przyrostom argumentu odpowiadają nieskończenie male przy
rosty funkcji.
(i) Jeżeli funkcja jest określona tylko po jednej stronie danego punktu x =• a
(np. funkcja /*" na prawo od punktu x = 0, albo arc sin* na lewo od punktu
* = 1), to mówimy, że w punkcie x — a funkcja się wywa.
C3) O symbolicznym oznaczeniu /(a— 0) i /(a+0), patrz str. 336.

364 I. Wstęp do analizy
wartość różną odf(a—0) i od/(a+0), jak np. w punkcie A na rysunku
273; może się też zdarzyć, że lim/(a:) istnieje, mianowicie/(a—0) =
x-*a
= /(fl+O), ale w punkcie x = a funkcja ma wartość /(a) = lim/(x),
x-*a
jak np. w punkcie D.
Przykłady. f(x) = y—^ , /(I-O) = 1, /(1 + 0) = 0 (patrz
rys. 272 str. 356); f(x) = E(x) (rys. 265, str. 352), /(a-0) = a-l,
/(a+0) = a; f(x) = lim —^ (rys. 267, str. 352), /(l-O) -1,
n—too *■ -T~X
n—nx>
1
/(l+0) = 0,/(l)=2.
3° Funkcja ma w punkcie x = a osobliwość usuwalną, gdy/(a—0) =
= /(a+0), ale w punkcie x = a funkcja nie jest oznaczona; biorąc
/(a) == lim f(x) wprowadzamy do wykresu funkcji x = a, y = /(a)
x—ta
i usuwamy w ten sposób nieciągłość funkcji w punkcie x = a.
Różne przypadki nieokreśloności funkcji rozpatrywane za pomocą
reguły de 1'Hospitala lub innymi sposobami (patrz str. 359, 360) i
dające w wyniku skończoną granicę stanowią przykłady nieciągłości usu-
walnych.
Przy kła d. f(x) = -■■■——— przy x = 0 daje nieoznaczoność—,
X U
_ j/T+^-i
przy czym lim/(#) = T; funkcja /(#)
*->0
dla xćO,
^ dlax^O.
staje się funkcją ciągłą.
Ciągłość i punkty nieciągłości funkcji elementarnych.
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w obszarze ich oznaczoności;
punkty nieciągłości nie należą do obszaru ich oznaczoności. Sposoby
badania i wykreślania funkcji elementarnych podane są na str. 318;
wykresy najprostszych funkcyj patrz str. 98 - 120. Tu podane są tylko
ogólne wiadomości o niectągłościach funkcji elementarnych.
Funkeje całkowite (wielomiany) są ciągłe wszędzie (na
całej osi liczbowej).
Funkcje ułamkowe -u.. .,gdzie P(x) i Q(x) są wielomia-
Q.{x)
nami, są ciągłe wszędzie z wyjątkiem tych wartości a, przy których
Q(x) = 0, ale P(x) # 0; w takim punkcie x = a funkqa ucieka w
nieskończoność. Jeżeli a jest pierwiastkiem zarówno mianownika jak
6. Ciągłość i punkty nieciągłości funkcji
365
i licznika, to funkcja ma nieciągłość tylko w tym przypadku, gdy
krotność pierwiastka mianownika jest większa od krotności pierwiastka
licznika. W przeciwnym przypadku nieciągłość jest usuwalną.
Funkcje niewymierne. Pierwiastki (dowolnego stopnia)
z funkcji całkowitych są funkcjami ciągłymi dla wszystkich wartości x
należących do obszaru oznaczoności funkcji; na końcach przedziałów
oznaczoności funkcje mogą się urywać (jak np. pierwiastek stopnia
parzystego w punkcie granicznym między dodatnimi i ujemnymi
wartościami funkqi podpierwiastkowej). Pierwiastki z funkcji
ułamkowych mają nieciągłość w tych punktach wartości x, w których funkcja
podpierwiastkowa jest nieciągła.
Funkcje trygonometryczne: sina: i cosx są wszędzie
ciągłe; tgx i secx mają nieciągłości w punktach x = ^-(2n+l)rc,actga:
i coseca: w punktach x = nic, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.
Funkcje cyklometryczne: arctga: i arcctga: są wszędzie
ciągłe, aresina: i arccosa: urywają się na końcach przedziału
oznaczoności — 1 ^ x ^ 1.
Funkcja wykładnicza e* lub axs gdzie a > 0 i a ¥=■ 1
jest wszędzie ciągła.
Funkcja logarytmiczna logx (przy dowolnej
podstawie dodatniej) jest ciągła dla wszystkich dodatnich wartości x i urywa
się przy x = 0, przy czym limlogx = —oo (granica prawostronna).
x-*0
W przypadku złożonej funkcji elementarnej badanie ciągłości
wykonuje się dla tych wartości argumentów, dla których mają
nieciągłości funkcje składowe.
gl/(S-2)
Przy kład. Znaleźć punkty nieciągłości funkcji y = — .
xsinyl— x
Wykładnik 1/(k—2) ma punkt nieciągłości a: = 2, przy czym
lim e1^*-*) = 0, a lim e1/^-*) = oo. Mianownik funkcji f(x) jest
*-*2-0 *—2+0
równy zeru w punkcie x = 0 i w tych punktach x» w których
sinyl— a: = 0; punkty te odpowiadają pierwiastkom równania
j/l —x = wir, skąd x = 1 —b3ic9, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą.
Przy żadnej z tych wartości licznik nie równa się zeru, zatem w
punktach x — 0 oraz a: = 1 —»sit3 ma nieciągłość typu punktu E na rys. 273.
Własności funkcji nieciągłych.
l°Przechodzenie przez z e r o (twierdzenie Cauchy'ego).
Jeżeli funkcja f(x) jest oznaczona i ciągła w przedziale domkniętym
<a, b} i na końcach tego przedziału wartości /(a) i f(b) mają znaki
różne, to między a i b istnieje co najmniej jedna taka wartość c, dla
której f(x) jest równe zeru:
/(c) = 0, gdzie a < c < b.

366
I. Wstęp do analizy
Sens geometryczny: krzywa ciągła przechodząca z jednej
strony osi Ox na drugą, przecina tę oś.
2° Twierdzenie o wartości średniej. Jeżeli funkcja
f(x) jest oznaczona i ciągła w pewnym obszarze spójnym i w dwóch
punktach a i b (a < b) tego obszaru funkcja przybiera różne wartości
A i B:
f(a) = A, f(b) = B, gdzie A ± B,
to dla każdej liczby C, leżącej miedzy A i B istnieje co najmniej jeden
taki punkt c leżący między a i b, że
f(ć)=C, gdzie a<c<b oraz A<C<B lub A>C>B,
tzn. funkcja f(x) przechodzi przez wszystkie pośrednie wartości
między A i B.
3° Istnienie fnnkcji odwrotnej^). Jeżeli funkcja
/(») jest oznaczona w pewnym obszarze spójnym / o końcach a i b,
i jest w tym obszarze ciągła oraz ściśle rosnąca (lub ściśle malejąca)
(patrz str. 353), to dla tej funkcji istnieje funkcja odwrotna <p(x)
oznaczona w obszarze spójnym i/ o końcach f(a) i /(£), ciągła w tym
obszarze i również ściśle rosnąca (lub ściśle malejąca) (rys. 274a i b).
Rys. 274
4° Twierdzenie o ograniczoności funkcji.
Jeżeli funkcja/(:t) jest oznaczona i ciągła w przedziale domkniętym <o, b'),
to funkq'a ta jest w tym przedziale ograniczona, tzn. istnieją takie
dwie liczby m i Af, że m ^ f(x) ^ M, gdy a ^ x ^ b.
5° Istnienie największej i najmniejszej
wartości. Jeżeli funkcja f(x) jest oznaczona i ciągła w przedziale
domkniętym (a, b}, to w tym przedziale istnieje co najmniej jeden taki
punkt c, że wartość f(ć) jest największa ze wszystkich wartości f(x)
i co najmniej jeden taki punkt d, że wartość/(d) jest najmniejsza ze
wszystkich wartości/(a:):
f(c) > /(*) i /(<*) *S /(*), gdy a *S x *S b.
(1) Patrz str. 349, 350.
6. riMWriiiiMnr nied**ofci funkcji
3©7
Różnicę między największą i najmniejszą wartością funkcji ciągłej
w danym przedziale nazywamy wahaniem funkcji w tym przedziale t1).
6° Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest także jednostajnie
ciągła w tym przedziale (patrz niżej).
Ciągłość jednostajna. Funkcję y = f(x) nazywamy jednostajnie
ciągłą w jej obszarze oznaczoności, jeżeli dla każdej dodatniej liczby e
można dobrać taką liczbę ij, że dla każdych dwóch punktów Xi,x2
należących do obszaru oznaczoności funkcji i odległych od siebie mniej
niż o »j, różnica odpowiednich wartości funkcji /(«i) i f(x2) będzie co
do bezwzględnej wartości mniejsza od c:
l/OO—/(*«)! <s> sdy l*i—*aI < n-
Ciągłość jednostajna oznacza, że dla wszystkich części obszaru
oznaczoności funkcji wystarczy jedna i ta sama szerokość pasa »j między
prostymi pionowymi x = Xi i x = xti aby odpowiednie wartości
funkcji f(x) zawierały się w pasie między dwiema prostymi poziomymi
o z góry zadanej szerokości e.
Funkcja ciągła w danym obszarze nie zawsze jest w tym obszarze
jednostajnie ciągła.
7. Funkcje wielu zmiennych
Określenie. Zmienną u nazywamy funkcją n zmiennych
niezależnych x, y, z,..., t (argumentów), określoną w pewnym obszarze
oznaczoności, jeżeli każdemu zespołowi wartości zmiennych niezależnych
z tego obszaru oznaczoności odpowiada określona wartość zmiennej u.
Oznaczenia: funkcja dwóch zmiennych w — f(x,y), funkcja
trzech zmiennych w = F(x, y, z), funkcja n zmiennych w =* y(Xi,
x2, ..., xn). Zespół wartości argumentów x1} x2,..., xn należących do
obszaru funkcji w nazywamy punktem tego obszaru (a).
Przykłady. Funkcja dwóch zmiennych u = /(x,y) = xyz
w punkcie x = 2, y = 3 przybiera wartość /(2, 3) = 2-3a = 18,
Funkcja czterech zmiennych u = <p(x,y, z, t) = xln (y — zl) w
punkcie x = 3, y = 4, z =-- 3, r = 1 przybiera wartość <p(3, 4, 3,1) =
= 3ln(4^3-l) -0.
Przedstawienie geometryczne. Przedstawienie
zespołu argumentów. Zespół wartości dwóch zmiennych
niezależnych x,y może być przedstawiony na płaszczyźnie kartezjańskiej
za pomocą punktu P o współrzędnych x,y (patrz str. 255); zespól
O Pojęcie wahania funkcji może być rozszerzone także na funkcje nie mające
największej i najmniejszej wartości,
Ca) Lub punktem przestrzeni «-wymiarowej.

368
I. Wstęp do analizy
wartości trzech zmiennych x,y,z może być przedstawiony w
przestrzeni kartezjańskiej za pomocą punktu P o współrzędnych x, ys z.
Dla zespołu czterech i większej ilości zmiennych niezależnych takie
przedstawienie jest niemożliwe; przyjęto
jednak przez analogię zespoły o n
zmiennych 0*1 j xa,...,xn) nazywać punktami
przestrzeni n-toymiarowej o
współrzędnych*!, xa>...,x„. W poprzednim
przykładzie zespół liczb (3,4,3, ł) wyznaczał
punkt przestrzeni czterowymiarowej o
współrzędnych x = 3, y = 4, z = 3,
t = 1. Dlatego też funkcję « = c(x13
x2s...,x„) nazywamy też funkcją prze-
strzenin-wymiarozoej.
Przedstawienie
geometryczne funkcji dwóch zmiennych u = f(x, y). Podobnie jak funkcja jednej
zmiennej y = f(x) wyznacza pewną krzywą, tak funkcja dwóch
zmiennych u — f(x, y) wyznacza pewną powierzchnię (rys. 275) (patrz str.
285). Na przykład funkcja « = \ — ^x—-^y (rys.276a) przedstawia
*-Vl6-x*-y>'
płaszczyznę (patrz str. 286), funkcja « = -^x2+ -^y* (rys. 276b)
przedstawia paraboloidę eliptyczną (patrz str. 297), funkcja u = |/ł6—x3— yi
(rys. 276c) przedstawia potowe sfery (*).
Obszarem oznaczonosci funkcji jest zbiór rych zespołów wartości
argumentów, którym odpowiadają okteślone wartości funkcji. Te
obszary mogą być bardzo rozmaite; najczęściej bada się funkcje o
spójnych obszarach oznaczonosci.
(*) Funkcje trzech i więcej zmiennych nie mają takiego obrazu geometrycznego.
Jednak przez analogię do powierzchni trójwymiarowej wprowadza się pojęcie hiper-
powierzchni w przestrzeni n-wymiarowej.
7. Funkcje wielu zmiennych
369
Obszary spójne dwóch zmiennych. Obszary
przedstawione na rysunku 277 nazywamy jednospójnytm f1) (do obszarów
jednospójnych należy również cała płaszczyzna). Jeżeli wewnątrz
rozważanej części płaszczyzny występuje jeden punkt lub jednospójny
Rys. 277
obszar ograniczony, nie należący do obszaru oznaczonosci funkcji, to
taką część płaszczyzny nazywamy obszarem dwuspójnym. Przykłady
obszarów dwuspojnych pokazane są na rysunku 278. Podobnie
rysunek 279 przedstawia obszary wielospojne.
Rys. 278
Obszar na rysunku 280 nie jest spójny.
Obszary spójne trzech zmiennych (najprostsze
przypadki): cała przestrzeń lub jej część ograniczona jedną lub kilkoma
powierzchniami, przy czym punkty powierzchni mogą należeć lub
(') Na rysunku 277 pokazane są najprostsze przypadki obszarów spójnych dwóch
zmiennych (obszary zakreskowane), z podaniem ich nazw. Jeśli brzegi obszaru
należą do obszaru oznaczonosci funkcji, to brzegi te zaznaczone są liniami ciągłymi,
a jeżeli nie—liniami przerywanymi.

370
I. Wstęp do analizy
nie należeć do obszaru oznaczoności; nazwy tych obszarów są
analogiczne do nazw podanych na rysunkach 277 - 279 dla funkcji dwóch
zmiennych. Dla funkcji o większej ilości zmiennych można
wprowadzić analogiczne obrazy geometryczne w przestrzeni
wielowymiarowej.
Rys. 279
Sposoby określania funkcji. Określenie funkcji za
pomocą tablic. Funkcja dwóch zmiennych może być określona
za pomocą tablicy jej wartości (za przykład takich tablic służyć mogą
tablice wartości całek eliptycznych na str. 93). W takiej tablicy
wartości argumentów podawane są w górnym wierszu i w lewej kolumnie,
a wartości funkcji znajduje się na przecięciu odpowiednich kolumn
i wierszy. Tablicę tego typu nazywamy tablicą o dwóch wejściach.
Określenie funkcji za pomocą wzorów. Funkcja
wielu zmiennych może być określona przy pomocy jednego lub kilku
wzorów.
Przykłady. 1. « = xy*,
2. u = xlnCy—zt),
x+y dla x 3= 0, y> 0,
3 ^ x—y dla x 3= 0, y < 0,
—*+y dla x < 0, jy 3= 0,
—x—y dla x < 0, y < 0;
ostatnia funkcja może być też napisana w
postaci w = 1*1 + |_v I -
Obszar istnienia wyrażenia analitycznego (obszar istnienia
funkcji). W analizie matematycznej bada się przede wszystkim funkcje
określone jednym wzorem, przy czym do obszaru oznaczoności takiej
funkcji zalicza się wszystkie te zespoły wartości argumentów, przy
których dane wyrażenie analityczne ma sens liczbowy, tzn. przybiera
określoną, skończoną wartość rzeczywistą. Taki obszar nazywamy
obszarem oznaczoności wyrażenia analitycznego. Zazwyczaj (jeżeli nie ma
dodatkowych ograniczeń), przez obszar oznaczoności funkcji, określo-
obszar
edmiospójny
7. Funkcje wielu zmiennych
371
nej za pomocą jednego wzoru, rozumie się właśnie obszar oznaczoności
wzoru, który określa tę funkcję.
Przykłady. 1. u = x*+y2; obszar oznaczoności stanowią
wszystkie punkty x,y (cała płaszczyzna). 2. w = ,. == i OD~
j/16 —x*—y*
szarem oznaczoności są punkty x iy spełniające nierówność x*+y* < 16
(obszar otwarty, wnętrze koła, rysunek 281a). 3. u = arcsin(x+:y),
obszarem oznaczoności są punkty x,y spełniające nierówność —1 =£
=£x+jy =£ 1 (obszar domknięty pasa między prostymi równoległymi
Rys. 281
x+y = — 1 i x+y*=l3 rysunek 281b). 4. u = arcsin(2x— 1) +
-j- |/l —j?8 +- |/3T +lnari obszarem oznaczoności są punkty x,y,z
spełniające nierówności: 0 < x < 1, 0 < jf < 1, z> 0 (wszystkie
punkry przestrzeni znajdujące się ponad kwadratem o boku równym 1;
obszar domknięty w postaci prostopadłościanu o podstawie
kwadratowej ograniczony po bokach płaszczyznami x = 0,x= 1, jy = 0, ;y = 1
i od dołu płaszczyzną z = 0, rysunek 281c).
Podstawowe postacie analitycznego określenia funkcji.
Funkcja wielu zmiennych może być wyrażona w jednej z
następujących postaci: 1° w postaci jawnej, gdy funkcja jest wyrażona przez
argumenty za pomocą wzoru u=f(x,y,z, ...,t); 2° w postaci
uwikłanej, gdy argumenty i funkcja są związane równaniem F(xy y,
z,..., i) = 0; 3° w postaci parametrycznej, gdy argumenty Xi, x2,... > xH
i funkcja u są wyrażone w sposób jawny za pomocą n nowych
zmiennych (parametrów); np. funkcja « = /(*, y) może być wyrażona
parametrycznie x = (px(r,s),y = fz(r,s), u = ?>(r,s), podobnie dla
funkcji trzech zmiennych u = q>(x, y, z) piszemy x = <pi(r, s, t), y =
= <Pz(r, s, Oj z = <Pa(x> s, t), u = y(y, s, i).
Funkcje jednorodne wielu zmiennych są to funkcje f(x,y, z, ...,t)
spełniające następujący warunek:
/(Aar.ly/Az,...,^) = frffry, z, ...,t),

372
I. Wstęp do analizy
gdzie X jest dowolna, liczbą różną od zera. Liczbę n nazywamy
stopniem jednorodności funkcji. Na przykład funkcja u— xa— 3xy+y2+
I ^jjT ^ X-\-Z
+xl/ xyĄ jest jednorodna stopnia n = 2, a funkcja u = . _ ■
f y zx~3y
jest jednorodna stopnia n = 0.
Dla funkcji jednorodnej « = f(x, j»j«,...,r) zachodzi twierdzenie
Eulera
df df df ri .
Zależność między funkcjami wielu zmiennych. Dwie
jednoznaczne funkcje dwóch zmiennych u = f(x, y') i v = <p(xy y) określone
w pewnym wspólnym obszarze oznaczoności nazywamy zależnymi,
jeżeli jedna z nich może być przedstawiona jako funkcja drugiej:
u = F(v), tzn. że dla każdego punktu obszaru oznaczoności zachodzi
tożsamość
f(.x*y)-P(v(x*y))> lub ogonie *(/,?) = 0,
natomiast funkcje u = f(x,y) i v = <p(x, y) nazywamy niezależnymi.
jeżeli wymienione funkcje F lub <P nie istnieją. Na przykład dwie
funkcje u = (jxP+y2)* i v = j/x*+y* określone we wspólnym
obszarze oznaczoności tf'+y* >0 są zależne, gdyż « = »*, czyli «—tł4^0.
Analogicznie m funkcji u13u2, ...,um n zmiennych xlyx2, ...txn
określonych we wspólnym obszarze oznaczoności nazywamy zależnymi,
jeżeli jedną z nich (którąkolwiek) można przedstawić jako funkcję
pozostałych, tzn. jeżeli dla każdego punktu obszaru oznaczoności
zachodzi tożsamość
Ut^FOhittty ...»«-l,Hf+l> ..-,«») lub *(«i,»(, ...,«n) = 0,
natomiast jeżeli taka funkcja F lub <P nie istnieje, to dane funkcje «,,
u3, ...,Un nazywamy niezależnymi. Na przykład trzy funkcje n
zmiennych
« = Xi+Xt+ ... +*», V — X%+X*+ ... +X%,
W = J£1X2+#i#3 + ... +X1Xn+X2Xa+ ... +X»-\Xn
określone w całej przestrzeni n-wymiarowej są zależne, gdyż v = u2—
-2w.
Analityczny warunek niezależności dwóch funkcji
u = f(x,y) i v = <p(x,y); jakobian tych funkcji
oznaczony symbolem D(f>& lub £^L,
D(x,y) D(xiy)'
df
dx
df
dy
dę dę
dx dy
7. Funkcje widu zmiennych
373
nie jest w rozważanym obszarze tożsamościowo równy zeru. Kryterium
powyższe uogólnia się na przypadki n funkcji takiej samej ilości n
zmiennych
#0.
W przypadku gdy liczba m funkcji «i,u2, ...,«»» jest mniejsza niż
liczba n zmiennych xXi x2, ..., xn, funkcje te są niezależne, jeżeli
chociaż jeden wyznacznik stopnia m macierzy
~ÓU\ dUi dut
dXj. dx2 '" dxn
dUi du3 dua
dxt dxa '" dxn
3A 3A
d#i dxa '
Mi Mi
dXi dx%
dfn_ dfn
dxx dXi '
Ml
" dx„
" dXn
dfn
" dxn
2)(*i,*2> .
;fn)
..,x„)
dUm dUn
. dx-i dx%
dum
dx„.
jest różny od zera. Liczba niezależnych funkcji jest w tym przypadku
równa rzędowi /t powyższej macierzy (*), przy czym niezależne będą
właśnie te funkcje, których pochodne są elementami wyznacznika
stopnia /* nie równego tożsamościowo zeru.
Jeżeli m > n, to funkcji niezależnych może być nie więcej niż n
spośród danych m funkcji.
Granica funkcji wielu zmiennych (*). Mówimy, że funkcja
dwóch zmiennych u = f(x, y) ma granicę A w punkcie x = a, y —b
i piszemy A ~ lim f(x,y), jeżeli przy zbliżaniu się punktu
(*, y) do punktu (a, b) w dowolny sposób, funkcja f(x, y) zbliża się
do liczby A dowolnie blisko. W samym punkcie P(a, b) funkcja/(*, y)
może różnić się od wartości A, a nawet może być nieoznaczona.
ścisłe sformułowanie: A~ lim f(x,y'), jeżeli dla
dowolnie małej dodatniej liczby s można wskazać taką dodatnią liczbę
(l) O rzędzie macierzy patrz str. 189.
(») Rozważa się tu funkcje określone w obszarze spójnym (patrz str. 368 i 369).

374
I. Wstęp do analizy
a-ri a a+7)
Rys. 282
r)s że dla dowolnych, wzajemnie niezależnych wartości xi y zawartych
w przedziałach a—7} < x < a+t} i b — i] < y < b + t} (rys, 282),
odpowiednie wartości f(x, y) zawierać się będą w przedziale A — e < f(x, y') <
< ^ + e.
Pojęcie granicy funkcji wielu zmiennych/(^i, x2>..., xn) określa się
analogicznie.
Kryteria istnienia granicy rozpatrzone dla jednej zmiennej
(sprowadzenie do granicy ciągu, kryterium
Cauchy'ego patrz str. 355) można
analogicznie rozszerzyć także na funkcje tfł
wielu zmiennych. b+T)\
Granice iterowane. Jeżeli dla .
funkcji dwóch zmiennych f(x, y)
znajdziemy najpierw granicę limf(x, y), przy b-i) \
x-*a
stałej wartości y, i dla otrzymanego
wyrażenia, które jest funkcją y znajdziemy —
granicę przy y —► b, to otrzymaną liczbę
B = lim $im f(x,y)]
y—b x-*a
nazywamy granicą iterowaną. Zmieniając porządek przechodzenia do
granicy otrzymujemy drugą granicę iterowaną
C = lim[lim/(x,;y)].
x-*a y—*b
W ogólnym przypadku B ^ C (jeżeli nawet obie granice istnieją),
X2 — Vs ~\- X3 -t- V3
na przykład dla funkcji f(x,y) = g>+yi > Sdy (*,:V)-* (0,0)
mamy B = — 1, C = 1.
Jeżeli funkcja/(x, y) ma granicę A = lim fix, y), to B = C =
= A, jednak z równości granic iterowanych nie wynika istnienie
granicy A.
Funkcje ciągłe wielu zmiennych. Określenie. Funkcję
dwóch zmiennych u — f(x,y) nazywamy ciągłą zo punkcie P(a,b),
jeżeli:
1° punkt P(a,b) należy do obszaru oznaczoności funkcji;
2° istnieje granica lim f{x,y); granica ta równa się wartości
funkcji f(x, y) w punkcie P(a, b), tzn. lim f(x, y) = f(a, b).
Jeżeli granica ta nie istnieje, funkcja/(xj y) jest nieciągła w punkcie
P(a,b).
Jeżeli funkcja jest oznaczona i ciągła w każdym punkcie należącym
do danego obszaru spójnego, to funkcję taką nazywamy ciągłą zo danym
obszarze.
7. Funkcje wielu zmiennych 375
Analogicznie określa się ciągłość funkcji wielu zmiennych.
Ciągłość jednostajną funkcji wielu zmiennych w pewnym obszarze
spójnym określa się tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej (str. 367).
Na przykład funkcja dwóch zmiennych f(x, y) jest ciągła jednostajnie
w danym obszarze oznaczoności, jeżeli dla każdej dodatniej liczby e
można dobrać taką dodatnią liczbę i), że dla dwóch dowolnie obranych
punktów Pj&uyJ i Pz(.xa3yd spełniających warunki \x1—xa| < V>
\yi—yi] < V> różnice odpowiednich wartości funkcji będą co do
bezwzględnej wartości mniejsze od e:
Funkcja ciągła w danym obszarze nie zawsze jest w tym obszarze
ciągła jednostajnie.
Własności funkcji ciągłych wielu zmiennych.
l°Przechodzenie przez zero (twierdzenie Cauchy'ego).
Jeżeli funkcja /(*, y) jest oznaczona i ciągła w pewnym obszarze
spójnym, i w dwóch punktach Pi(«i, yd i Pi(x2yyd tego obszaru ma znaki
różne, to w tym obszarze istnieje co najmniej jeden taki punkt Pa (x3,yd>
w którym funkcja fix, y) jest równa zeru:
/(*s, yd = 0, jeżeli /(*„ yd > 0 i f(x2, yd < 0.
2° Twierdzenie o wartości średniej. Jeżeli fnnkcja
f(x, y) jest oznaczona i ciągła w pewnym obszarze spójnym i w dwóch
punktach P^x^yd i P%(xaiyd tego obszaru funkcja ta przybiera
różne wartości A i B, F(xltyd = Ą F(x2syd = B, A ^ B, to dla
każdej liczby C leżącej między A i B istnieje w rozważanym obszarze
co najmniej jeden taki punkt Ps(xZiy3), że
f(.x3,yd = C, gdzie A<C<B lub B<C<A.
3° Twierdzenie o ograniczoności funkcji.
Jeżeli funkcja f(xs y') jest oznaczona i ciągła w obszarze domkniętym,
to funkcja ta jest w tym obszarze ograniczona, tzn. istnieją takie dwie
liczby m i M, że dla każdego punktu P(x, y) należącego do obszaru
zachodzą nierówności
m^f(x,y)*ąM.
4°Istnienie wartości największej i
najmniejszej. Jeżeli funkcja f(x, y) jest oznaczona i ciągła w obszarze
domkniętym ograniczonym, to w obszarze tym istnieje co najmniej jeden
taki punkt P'(x\y'), że wartość /(x'j y') jest największa ze
wszystkich wartości f(x,y), którą funkcja przybiera w tym obszarze i co
najmniej jeden taki punkt P"(x", y"), że wartość fix", y") jest naj-

376 I. Wstęp do analizy
mniejsza ze wszystkich wartości f(x, y)> które funkcja przybiera w tym
obszarze:
f&>y)>Kx>y)*fOt",y"),
dla dowolnego punktu P(x, y) należącegu do danego obszaru.
5° Funkcja ciągła w ograniczonym obszarze domkniętym jest
w tym obszarze ciągła jednostajnie C1).
8. Szeregi liczbowe
Określenie. Wyrażenie postaci
«i+a2+ -■- +an+ ...,
gdzie liczby ax, az,..., an,... tworzą ciąg nieskończony (patrz str. 343)
nazywamy szeregiem liczbowym. Wyraz an nazywamy wyrazem
ogólnym szeregu. Sumy S1 = ai)Sz = ai+aZJ S3 = ai+a2+03,...,
Sn — ai+«3 + ... -\-an nazywamy sumami częściowymi szeregu.
Jeżeli ciąg sum częściowych SltSt,...tS» ma granicę (gdy
n -+ oo) lim Sn = S, to szereg nazywamy zbieżny, a liczbę 5 nazywamy
n—>co oo
sumą szeregu i oznaczamy £ an = 5. Jeżeli zaś taka granica nie istnieje,
to szereg jest rozbieżny; w tym przypadku wielkość S„ może wzrastać
oo
nieograniczenie (lim Sn = oo, £ an = oo) lub oscylować. Warunkiem
n_>co n=l
koniecznym i dostatecznym zbieżności szeregu jest więc warunek
istnienia granicy ciągu SX3 52,..., Sn, gdy n->oo (patrz str. 345).
Przykłady. Szereg
CD 1 + ł + l + ł+-+i+-
jest zbieżny (postęp geometryczny).
Szeregi
C2) 1 + 1 + 1+ ... +1+...,
(?) 1 + T+v+ ••■ + — + — (szereg harmoniczny),
2 3 n
(4) 1-1 + 1- ... +(-l)»-i+ ...
są rozbieżne. Dla szeregów (2) i (3) lim Sa = oo; szereg (4) jest
oscylacyjny. n~*°°
ResztąRn szeregu zbieżnego ai+az + ... + an + ... nazywamyróż-
nicę między jego sumą S, a wartością liczbową sumy częściowej 5„:
Rn = S — Sn = a»+i + fln+a+ ... +<tn+m+ ...
C1) Patrz str. 374.
8. Szeregi liczbowe 377
Podstawowe twierdzenia o zbieżności
szeregów:
1° Odrzucenie skończonej ilości wyrazów początkowych szeregu
lub napisanie na początku szeregu skończonej ilości wyrazów nie
wpływa na zbieżność czy rozbieżność szeregu.
2° Jeżeli wyrazy szeregu zbieżnego zostaną pomnożone przez ten
sam czynnik c, to szereg pozostanie zbieżny, a jego suma zostanie
pomnożona przez c.
3° Szeregi zbieżne można dodawać i odejmować wyraz po wyrazie:
ze zbieżności szeregu a-i+as+ ... +a„+ ... o sumie Si i szeregu
bi + h+ ... +ba+ ... o sumie S2 wynika, że szereg (<*i±*i) +
+ (az±b2)-\- ... + (ań±*») + ... jest zbieżny i ma sumę Sj+Sj.
Warunek konieczny zbieżności szeregu: bezwzględna wartość an
wyrazu szeregu dąży do zera, gdy n -+ oo, lim c„ = 0. Warunek ten
K—KX>
nie jest wystarczający, na przykład w szeregu harmonicznym (3)
lim an = 0, ale lim Sn = oo.
n—»oo «—>co
Zasada porównywania szeregów o wyrazach dodatnich. Jeżeli dwa
szeregi
(A) ai + a2+ ... +a«+ ...,
(B) *i + *|+... +*»+...
mają wyrazy dodatnie i począwszy od pewnego n zachodzi nierówność
an ^ bns to ze zbieżności szeregu (A) wynika zbieżność szeregu (B),
a z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A).
Przykłady. Szereg
C5) 1+^ + ^+...+^+...
jest zbieżny, bo dla «> 2 wyrazy szeregu (5) są mniejsze od wyrazów
szeregu (1), mianowicie — < -—^ dla n > 2, a szereg (1) jest zbieżny.
Szereg
(6) l+^- + 4-+ - +-^+ -
yz y3 yn
jest rozbieżny, bo począwszy od n = 2 wyrazy szeregu (6) są większe
od wyrazów szeregu (3), mianowicie —._ > — dla n > 2, a szereg (3)
yn n
jest rozbieżny.
Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.
Kryterium d'Alemberta. Jeżeli dla szeregu «i + a2+ ...
... +a«+ ... wszystkie stosunki —™ począwszy od pewnego n są

378 I. Wstęp do analizy
mniejsze od pewnej liczby g < 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli zaś
wszystkie te stosunki począwszy od pewnego n są większe od pewnej
liczby Q > 1, to szereg jest rozbieżny.
Wniosek. Jeżeli lim-^i = p, to szereg jest zbieżny, gdy
M—Hjo On
q < 1 i rozbieżny, gdy p > 1. Przy g = 1 kryterium nie daje
rozstrzygnięcia: szereg może być zbieżny albo rozbieżny.
Przykłady. 1. Dla szeregu
(7) y + ^ + |r+-+£+•••
/n+l n\ ,. ni, .„. .
Q=hm I ^j-; — I = hm —— = - < U zatem szereg (7) ]est
zbieżny.
2. Dla szeregu
2 3 4 n+1
Ja" ' ~2& ' "32 ' "' ' jjZ "■" '*'
p = lim I — : —— I = 1 i kryterium d'Alemberta nie daje roz-
n-^«.\(n+l)a «2 /
strzygnięcia.
Kryterium Cauchy'ego. Jeżeli dla szeregn Oi + a2 +
n,—
-f ... +an+ ... wszystkie liczby yan począwszy od pewnego n są
mniejsze od pewnej liczby q < 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli zaś
wszystkie te liczby począwszy od pewnego n są większe od pewnej
liczby Q > 1, to szereg jest rozbieżny.
n,-—
Wniosek. Jeżeli lim yan = p, to szereg jest zbieżny, gdy
tf—kOO
p < 1, i rozbieżny, gdy p > 1; gdy p = 1 kryterium nie daje
rozstrzygnięcia. Na przykład dla szeregn
+ •-•
MIH^-Ur)'
«2
B_M» ' \"+Ł/ K^«.| l , 1 I fi
p = lim 1/ ( - T-) = lim / ~\ = —- < 1; zatem szereg (9)
«
1
jest zbieżny.
Kryterium całkowe. Szereg o wyrazie ogólnym an = f(n)
jest zbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją monotonicznie malejącą i całka
8. Szeregi liczbowe 379
niewłaściwa f f(x)dx (patrz str. 502) jest zbieżna; natomiast jeżeli
c
całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym /(«) jest
rozbieżny. Przy tym dolną granice całkowania c należy tak obrać, żeby
funkcja f(x) w przedziale c <x < co była oznaczona i nie miała
punktów nieciągłości. Na przykład dla szeregu (8) mamy
całka jest rozbieżna, a więc i szereg (8) jest rozbieżny.
Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa. Jest rzeczą
dogodną jednocześnie z szeregiem
(A) fli+a3+ ••• +an+ ...,
którego wyrazy mają znaki niejednakowe, rozważać szereg
(B) M + M+... +K1+ ....
utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów szeregu (A).
Jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to i szereg (A) jest zbieżny; wówczas
szereg (A) nazywamy bezwzględnie zbieżnym. Jeżeli zaś szereg (B)
jest rozbieżny, to szereg (A) może być rozbieżny albo też zbieżny
i wówczas nazywamy go zbieżnym warunkowo. Na przykład szereg
,,.. sina sin2a sinna
C10) —+ ^i- + '"+-2i-+-'
gdzie a jest dowolną liczbą stałą, jest bezwzględnie zbieżny, gdyż
sin«a
szereg o wyrazie ogólnym
2'
z porównania tego szeregu z szeregiem (1):
1
jest zbieżny; jest to widoczne
sin na
2"
**••
Szereg
(id i_i.+i-...+(-i)«±+...
jest zbieżny warunkowo (patrz str. 380, twierdaenie Leibniza), gdyż
szereg (3) o wyrazie ogólnym |<zfl| = l/n jest rozbieżny.
Własności szeregów bezwzględnie zbieżnych.
1° W szeregu bezwzględnie zbieżnym można dowolnie przestawiać
wyrazy i przy tym suma szeregn nie ulegnie zmianie. Natomiast zmie-

380 I. Wstęp do analizy
niając porządek wyrazów szeregu warunkowo zbieżnego (w taki
sposób, że ulegnie przestawieniu nieskończenie wiele wyrazów szeregu)
można zmienić jego sumę czyniąc ją równą dowolnej liczbie (twierdze*
nie Riemarma), a nawet uczynić szereg rozbieżnym.
2° Szeregi bezwzględnie zbieżne można nie tylko dodawać i
odejmować wyraz po wyrazie (patrz str. 377), ale także mnożyć jak
zwyczajne wielomiany przedstawiając wynik w postaci szeregu, np. w sposób
następujący:
(ai+az+ ... +a„+ ...) (b1+bss+ ... +ba + ...) = aA+
Jeżeli £ an = Sa i £ bn = Sb> to suma szeregu otrzymanego w wyniku
mnożenia tych szeregów równa jest iloczynowi SaSbi1).
Szeregi przemienne. Szereg «!—aa+os— ... +( — l)n-1an + ...,
gdzie «!)«(, ...>aa,... są liczbami dodatnimi, nazywamy szeregiem
przemiennym. Dla zbieżności szeregu przemiennego wystarcza
spełnienie dwóch warunków
1. lim an = 0.
n-»co
2. Qi > <aa > •.. > On > • •. (twierdzenie Leibniza). Na przykład
szereg (11) jest przemienny zbieżny.
Oszacowanie reszty szeregu przemiennego.
Jeżeli ograniczymy się w szeregu przemiennym, zbieżnym do n
początkowych wyrazów, to reszta Rn = S—Sn ma taki znak, jak pierwszy
z odrzuconych wyrazów i jest co do bezwzględnej wartości od niego
mniejsza:
\S-S»\ < |«»ł*!.
Na przykład w szeregu (1), którego suma wynosi ln2, reszta Rn
spełnia nierówność [ln2 — Sn\ < r.
n+1
Tablica sum pewnych szeregów liczbo wy eh
1. l+^+^- + ~+...+^+... = e,
3' l-| + |-~+...+(-ir-4±... = ln2.
C1) Jeżeli dwa szeregi a,+as-f ... +on|-... i 6i-fis-f ...+6n+... są zbieżne
i przynajmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to szereg otrzymany w wyniku
ich mnożenia jest zbieżny, chociaż niekoniecznie bezwzględnie zbieżny.
8. Szeregi liczbowe 381
5-1-i+T-|+-+^1^1i±- = T'
7 J- + ^- + —+ +^—+ • =1.
1-2 ^ 2-3 ^ 3-4 +*" ^ «(« + l) +*
„ 111 1 1
8. - -I \-~ -I- .. 4--—— 4-... = —,
1-3 + 3-5 ^ 5-7 + ^(2«-l)(2n+l)^ 2'
1-3 + 2-4 + 3-5 +""+ (b-1)(« + 1) 4*
1 1 1 1 __I__ «_
3-5 +"7T9"+ 11-13 ~I~"" + (4m-1)(4«4-1)~K"-2 8'
_J^ 1 1 _J_
* 1-2-3 + 2-3-4 +'" + »(n+l)(«4-2) + — ~ 4'
ttl—.+ l^, ...... + '
1-2- ... -r 2-3- ... .(M-IV **• ^ b...(«4-7-1) ' *"
1
(7-1) (7-1)!
.„ i i i i na
15 — J .J L -U . —-— -U = ..
p -r3a -r5a -r ••• -r (2«4-l)a ^'" 8'
"■i-*+i—-+i-ir*±±...-g,
8- x* +34 +54 +•- +(2n+l)* + "-^96'

382
I. Wstęp do analizy
Liczby Bemoulliego Bk
' 22lc 32* 42fc nu
n2k2*IC-l
Bk>
20. l-^ + ^-^+".+(-l)"-1^E:fc.-.=
„a*^**-1-!)
(2*)I
B*,
21 1-1 ■ -I 1 1- . -I 1-
"■*■ Ł^ 32ft ' g2Ł- ^ 72A ^ "' ^ (2« —l)2fc ~
ntt(2»-l)
2-(2*)! B*>
Tablica
k
1
2
3
-B*
1
6
1
30
1
42
;oczą
k
4
5
6
t ko w
-B*
1
30
5
66
691
2730
y eh 1
k
7
8
9
iczb Bemoulliego
Bk
7
6
3617
510
43 867
798
k
10
11
Bh
174 611
330
854 513
138
22. 1-
1
Liczby Eulera E&
1 1
32^+1 1 gaft+i 72^+1
+ ...+(-l)»-l?=
(2«-l)2fc+1
„Sfc+l
2"*,(2fc)]
Tablica początkowych liczb Eulera
±...
Ek.
k
1
2
3
4
Efc
1
5
61
1385
k
5
6
7
E*
50 521
2 702 765
199 360 981
8. Szeregi liczbowe 383
Uwaga. Niektórzy autorzy przyjmują inne oznaczenia dla
liczb Bemoulliego i Eulera:
£i = -|, B* = i> £a = 0, B„ = -±t Bs = 0,
Ex == 0, E2 = -1, E3 = 0, Ą = 5, Es = 0, Et= -61,
E7 = 0, Eg = 1385, ...
9. Szeregi funkcyjne
Określenia. Szereg utworzony z funkcji jednej i tej samej
zmiennej x, np. szereg
co
CD /1OO+/1OO+ ...'+/*<#+ ... = %Mx),
w = l
nazywamy szeregiem funkcyjnym. Wszystkie te wartości x = a, które
należą do wspólnego obszaru oznaczoności wszystkich funkcji f^x),
ftix), ...,fn(.x),... i dla których szereg liczbowy
/i(«)+/«(«) + ... +/»(«) + ...
jest zbieżny, tj. dla których istnieje granica sum częściowych S„(a):
00
lim S«(a) = lim V /„(a) = S(a)
n-*oo n->oo ~?i
stanowi obszar zbieżności szeregu funkcyjnego (1). Funkcję S(x)
nazywamy sumą szeregu funkcyjnego zbieżnego (1) i mówimy, że szereg
(1) jest zbieżny do funkcji S(x). Sumę Sn(x) = f1(x)+fi(x)+ ...+
+/»(«)) czyli sumę n początkowych wyrazów szeregu (1),
nazywamy n-tą sumą częściową tego szeregu, a różnicę między sumą
S(x) szeregu funkcyjnego zbieżnego i jego sumą częściową S„(x)
nazywamy resztą szeregu (1) i oznaczamy przez Rn(x)'-
Rn(x) = S(x)-S„0) =fn+i(x)+fn+z(x)+ ... +fn+m(X)+ ...
Jednostajna i niejednostajna zbieżność szeregu. Zgodnie
z określeniem granicy ciągu liczbowego (str. 344) szereg (1) jest zbieżny
w danym obszarze, jeżeli dla dowolnie malej liczby dodatniej e można
wskazać taką naturalną liczbę N, że ]5(x) — Sn(x)\ < e dla « > Ni
przy tym dla szeregów funkcyjnych mogą zachodzić dwa przypadki:
1° Można znaleźć liczbę N wspólną dla wszystkich wartości x
należących do obszaru zbieżności szeregu; w tym przypadku szereg (1)
nazywamy szeregiem jednostajnie zbieżnym w danym obszarze.
2° Może się zdarzyć, że taka liczba N wspólna dla wszystkich x

384
I. Wstęp do analizy
należących do obszaru zbieżności szeregu nie istnieje, tzn. dla każdej
liczby n można znaleźć w obszarze zbieżności taką liczbę x, że
\S(x)—Sn(x)\ > e; w tym przypadku mówimy, że szereg (1) jest
w danym obszarze zbieżny niejednostajnie.
Przykłady. 1. Szereg
(*)
X X2 X"
1+ir+2i+-+5r + -
jest zbieżny przy wszystkich wartościach xj jego suma równa się ex
(patrz str. 418). Szereg ten jest zbieżny jednostajnie w dowolnym
ograniczonym obszarze wartości x. Istotnie, przy |x| < a, mamy
O
[S(x)—SB(x)| =
x»+1
&i+U)
e0x
<
fo+lj!
l*>
że
ale wyrażenie tz\^ przy dostatecznie wielkiej (nie zależącej
(n + 1)!
od x) wartości « można uczynić mniejszym od e, gdyż (n+1)! rośnie
szybciej niż o"*1. Natomiast na całej osi liczbowej szereg ten jest
zbieżny niejednostajnie, gdyż dla każdego n można znaleźć takie x,
jgtt+l
^r-.e6x będzie większe od z góry danej wielkości e.
(m + 1)!
2. Szereg
(**) *+x(l-*)+*(l-*)«+ ... +x(l-x)»+ ...
jest zbieżny przy wszystkich wartościach x w przedziale domkniętym
<0,1>, ponieważ według wniosku z kryterium d'Alemberta (patrz
str. 377) mamy
On-i-i
q = lim
an
= \\—x\ <1 dla 0<x< 1
(a przy ar = 0, mamy 5 = 0). Ale zależność ta jest niejednostajna;
istotnie dla każdej liczby n można znaleźć takie małe x, że (1 — x)n+1
będzie dowolnie bliskie liczby 1, tj. nie będzie mniejsze od s. Natomiast
w obszarze a < x < 1, gdzie 0 < a < 1, szereg jest zbieżny
jednostajnie.
Kryterium Weier stras sa jednostajnej
zbieżności szeregów. Szereg
(1) /i(*)+/*(*)+...+/«(*)+...
jest jednostajnie zbieżny w Hanym obszarze, jeżeli istnieje taki zbieżny
szereg liczbowy
(2) <=1+Cs+ ... +Cn+ ...,
(*) Według wzoru na resztę szeregu Madaurina, patrz str. 414.
9. Szereg! funkcyjne 385
że dla wszystkich wartości x leżących w tym obszarze zachodzi
nierówność
!/»(*)!< ««.
W tym przypadku szereg (2) nazywamy majorantą szeregu (1).
OO OD
Przykład. Szeregi £ o„cosnx, £ ansmnx są
jednostajni »=l
nie zbieżne w dowolnym obszarze, jeżeli szereg £ a« jest wtymob-
n=l
szarże bezwzględnie zbieżny, gdyż \ancosnx\ =s \an\ oraz |ansinnx| <
<|an|j a szereg £ \an\ jest zbieżny.
«=l
Własności szeregów jednostajnie zbieżnych.
1° Jeżeli fi(x), /2(x), ...,/n(x),... są funkcjami ciągłymi w
pewnym obszarze ich oznaczoności i szereg /i00+/a(*) + ... +/B(x)-f- ...
jest jednostajnie zbieżny w tym obszarze, to jego suma S(x) jest także
funkcją ciągłą w tym obszarze. Jeżeli zaś powyższy szereg jest zbieżny
niejednostajnie w pewnym obszarze ograniczonym, to jego sumaS(x)
może być w tym obszarze nieciągła. W rozważanym wyżej przykładzie
(**) suma szeregu jest nieciągła, gdyż S(x) przy x = 0 ma wartość 0,
a gdy 0 < x =S 1 suma S(x) ma wartość 1; w przykładzie (*) funkcja ex
jest ciągła, gdyż wprawdzie szereg jest zbieżny niejednostajnie, ale
dotyczy to nie obszaru skończonego, lecz całej nieskończonej prostej
liczbowej.
2° Szereg jednostajnie zbieżny można całkować w danym obszarze
wyraz po wyrazie i suma całek wszystkich wyrazów szeregu jest
równa całce sumy danego szeregu.
Szeregi potęgowe. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg
funkcyjny postaci
(A) a0+a1x+a%x2+ ... -fa«xn + ...
lub postaci
(B) o0+a1(x-a)+a2(x-a)2+ ... +««(*-«)»+,..,
gdzie ai (i = 1,2,...) są stałymi współczynnikami.
Podstawowe własności szeregów
potęgowych.
1° Szereg (A) jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości x
spełniających warunek }x| < q, gdzie q jest pewną liczbą dodatnią
zwaną promieniem zbieżności szeregu. Szereg (B) jest bezwzględnie

386 I. Wstęp do analizy
zbieżny dla wszystkich wartości x spełniających nierówność \x — a\ <q,
gdzie o jest promieniem zbieżności. Promień zbieżności q można
wyznaczyć według wzorów
1 .. |fl»+i| . . l
— = hm -■'■. ,- lub _L
6 n-^ao a»\
e
Na końcach obszaru zbieżności (dla szeregu (A) w punktach x = g
i x = —qs a dla szeregu (B) w punktach x = a+g i x = a—g) szereg
może być zbieżny lub rozbieżny.
2° Jeżeli szereg (A) jest zbieżny dla dodatniej wartości x = %, to
jest on jednostajnie zbieżny wewnątrz przedziału —x1-\-e<x<xl>
gdzie e> 0 (twierdzenie Abela).
X X' X1'
Przykład, Dla szeregu 1 + —- + -x-■ + ■•■ ^ 1- . •. mamy
12 n
— = lim —— = 1, tzn. q = 1 j i szereg jest bezwzględnie zbieżny
wewnątrz przedziału — 1 < x < 1, przy czym dla x = — 1 szereg
jest warunkowo zbieżny (patrz szereg (11) na str. 379), a dla x = 1
szereg jest rozbieżny (patrz szereg (3) na str. 376). Według
twierdzenia Abela szereg ten jest jednostajnie zbieżny w przedziale —*!<*<
<*u gdzie Xi jest dowolną liczbą zawartą między Oil.
Tablica początkowych wyrazów niektórych
potęg szeregu potęgowego
5 = a+bx+cxs + dx3 + exi+fx* + ...
S* = a*+2abx+(b*+2ać)x* + 2(ad+bć)x:i + (c'i+2ae+2bd)xi +
+ 2(af+be+cd)x>+ ...,
+ 16aV* +\2 a 4 aa 8 aa + 16 a3 128at)x + '"}'
)/S [2 fl*+(8o« 2 ajX + (4a« 2 a
5 ft*\ . . /3 W . 3 c« 1 « 15 62c 35 6*
16 a* * + 4 a2 + 8 a* 2 a 16 a3 + 128
C1) W przypadkach gdy granice te nie istnieją, w powyższych wzorach zamiast
lim należy wziąć lim sup.
Q.Saae&taakcyJBC 387
Odwrócenie szeregu potęgowego. Jeżeli dany jest szereg
y =/(x) = ax+bx* + cx* + dxl+ex5+fxB+ ..., gdzie a ± 0,
to funkcję odwrotną można napisać w postaci szeregu
x = q>(y) = Ay + By* + Cy*+Dyi+By* + Fy'l + ...,
w którym współczynniki są następujące:
A = ±, B=~^> C = ±(2b*~ac)> D=^(5abc^aH~5b%
E = 1- (6a&bd+3a*c1+l4bi-~ase-21abić),
a'
F = JLna3be+7aBcd+84absc~aif~28a2bid-28a2bcs~^2b5).
a11
Rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe patrz str. 413, a
rozwinięcia w szeregi trygonometryczne patrz str. 759.

H. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
1. Pojęcia podstawowe
Pochodna funkcji jednej zmiennej (■). Pochodna funkcji jednej
zmiennej jy=/(x), oznaczana symbolami: y', y; Dy, -p, /'(*), Df(x),
, jest to nowa funkcja zmiennej x, równa przy każdej wartości x
gramcy stosunku przyrostu funkcji Ay do odpowiadającego mu
przyrostu zmiennej niezależnej Ax, gdy Ax dąży do zera:
0)
/'(*) = lim
j*^o
f(x+Ax)~fW
Ax
Obliczanie pochodnej/'(x) nazywamy różniczkowaniem danej funkcji/C*).
Interpretacja geometryczna pochodnej.
Jeżeli wykresem funkcji y — f(x) w układzie współrzędnych
prostokątnych jest pewna krzywa (rys. 283), to wartość pochodnej f'(x) w
danym punkcie (tzn. przy danej
wartości x) równa się tga, gdaie
a jest kątem między osią Ox i
styczną do krzywej w danym jej
punkcie; kąt ten liczy się od
dodatniego kierunku osi Ox w
kierunku przeciwnym obiegowi
wskazówek zegara (*).
Istnienie pochodnej.
Pochodnaf'(x) istnieje przy tych
wartościach zmiennej niezależnej
x, przy których 1° funkcja f(x)
jest oznaczona i ciągła, 2° istnie-
Rys. 283 je granica określona wzorem (1).
O W rozdziale tym rozważane są jedynie funkcje jednoznaczne zmiennej
rzeczywistej.
(a) Wzór /'(*) =" tga Jest prawdziwy tylko w tym przypadku, gdy jednostka
miaiy na osiach Ox i Oy jest ta sama.
1. Pojęcia podstawowe
389
Nieistnienie pochodnej w danym punkcie Xi wskazuje na to, że w
odpowiednim punkcie wykresu funkcji bądź nie ma określonej stycznej,
bądź styczna tworzy z osią kąt równy 90°. W ostatnim przypadku
granica funkcji (1) jest nieskończona. Oznacza się to (nieściśle) w
postaci f'(xi) = °° (pochodna staje się nieskończenie wielka).
Przykłady nieistnienia pochodnej w danym punkcie.
1. /(*) = Vź, /'(*)
3yTs
staje się nieskończenie wielka (rys. 284a).
; f'(Q) =oo, w punkcie 0 pochodna
**sin—, granica
(1) w punkcie x = 0 nie istnieje
2. /(*) =
(rys. 284b).
3. f(x) = ,, , granica (1) w punkcie x = 0 nie istnieje, ale
' l-\-e'x
granica lewostronna /'( — O) = 1 i granica prawostronna /'(+0) = 0.
W tym przypadku mówimy, źe punkt x = 0 jest punktem kątowym
krzywej (rys. 284c).
Pochodna 1 e.w ostronna i prawostronna. Jeżeli
przy danej wartości x — a nie ma
granicy (1), lecz istnieje granica
lewostronna i granica prawostronna
(podobnie, jak w przykładzie 3, rys.
284c), to granice te nazywamy
odpowiednio pochodną lewostronną i
pochodną prawostronną w danym
punkcie x. Interpretacja geometryczna
takich pochodnych: f'(a — 0) = tgax,
f'(a+G) = tga2 (rys. 285); krzywa
ma punkt kątowy. Rys. 285

390
II. Rachunek różniczkowy
Funkcje elementarne mają pochodną w całym obszarze oznaczo-
ności z wyjątkiem poszczególnych punktów, w których mogą
zachodzić przypadki podanych rodaajów (rys. 284a, b, c).
Pochodna cząstkowa. Pochodną cząstkową funkcji wielu
zmiennych w = f(x, y, z,..., t) względem jednej z tych zmiennych, na
przykład względem x, oznaczoną symbolami -^-, u£, --, j'x określa
wzór
du f(x+Ax, y, z,..., f)-/(x, y, z,..., r)
__ = imi ——;
ox jx^o Ax
w tym przypadku przyrost otrzymuje tylko jedna ze zmiennych
niezależnych. Funkcja n zmiennych ma n pochodnych cząstkowych rzędu
du du du du n , , , , , , .
pierwszego -r—, -r—, -t-j •■•>-t-- Pochodną cząstkową względem danej
dx dy oz ot
zmiennej oblicza się zgodnie z zasadami różniczkowania funkcji jednej
zmiennej (patrz str. 394 - 396), przy czym pozostałe zmienne
niezależne uważa się w danym przypadku za stałe. Na przykład
x2y
du
dx
2xy
z
du
dy
x*
z
du
dz
x*y
Interpretacja geometryczna pochodnej
cząstkowej funkcji dwóch zmiennych. Jeżeli funkcja
u = f(x, y) jest przedstawiona w układzie współrzędnych
prostokątnych powierzchnią, to du/dx = tg a, gdzie a oznacza kąt między
dodatnim kierunkiem osi Ox a styczną
do przecięcia powierzchni w danym
jej punkcie płaszczyzną równoległą do
płaszczyzny Oxu (kąt odmierza się od
osi Ox w kierunku dodatnim, zgodnie
z obiegiem wskazówek zegara, gdy na
kąt patrzymy od dodatniej strony osi
Oy). Podobnie dujdy = tg/7 (przy czym
£ odmierza się od osi Oy w kierunku
przeciwnym obiegowi wskazówek zegara)
(rys. 286, na rysunku tym oba kąty a i ,8
są dodatnie).
Pochodna w danym kierunku i
pochodna objętościowa patrz w teorii pola (str.
666 i 674).
Rys, 286
Różniczki. Różniczki zmiennych x,y itd. (oznacza się: dx, dy itd.)
określa się różnie, w zależności od tego, czy dana zmienna jest zmienną
niezależną czy funkcją. Różniczką zmiennej niezależnej x jest jej przy-
1. Pojęcia podstawowe 391
rost Ax, któremu można nadać dowolną wartość (dodatnią lub ujemną),
a więc dx = Ax. Różniczką dy funkcji y = f(x) w danym punkcie x
nazywamy iloczyn pochodnej f'(x) przez różniczkę dx (czyli przez
dowolny przyrost ńx zmiennej x) i piszemy
dy =f'(x)dx.
Interpretacja geometryczna różniczki. Przy
przedstawieniu funkcji y ~ f(x) w układzie współrzędnych
prostokątnych obrazem różniczki dy jest przyrost, jaki otrzymuje rzędna
stycznej do wykresu funkcji w punkcie x przy danym przyroście
odciętej dx (patrz rys. .283 na str. 388).
Podstawowe własności różniczki.
1. Niezmiennicgość. Równanie dy =f'(x)dx pozostaje prawdziwe
niezależnie od tego, czy x jest zmienną niezależną, czy też funkcją
nowej zmiennej t.
2. Rząd nieskończenie małych. Jeżeli funkcja y = f(x) ma w danym
punkcie x pochodną skończoną /'(x), to stosunek przyrostu funkcji
Ay =f(x + Ax)—f(x) do jej różniczki dy = f'(x)dx (gdzie dx = Ax)
dąży do 1, gdy Ax -* 0:
lim *L=1.
Mówimy, że gdy Ax -* 0, to Ay i dy są nieskończenie małymi tego
samego rzędu co Ax, a różnica Ay~dy jest nieskończenie małą rzędu
wyższego niż Ax. Własność ta pozwala przy obliczaniu małych
przyrostów funkcji zastępować w obliczeniach małe przyrosty funkcji ich
różniczkami; stosuje się to zarówno w rachunku przybliżonym (str. 139),
jak również w rachunku różniczkowym i całkowym.
Różniczka cząstkowa. Różniczkę cząstkową funkcji wielu
zmiennych u = f{x, y,..., i) względem jednej z tych zmiennych, na
przykład względem x, oznaczamy symbolem d%u lub dxf i określamy przy
pomocy wzoru
dzU = -—dx.
dx
Funkcja różniczkowalna i różniczka zupełna. Funkcję wielu
zmiennych u = f(x, y, ...,t) nazywamy różniczkowalna w punkcie
^«(%3'(i)...)Oj jeżeli przy przejściu do dowolnie bliskiego punktu
MiXa+dXi y0+dy,..., to+di) (gdzie dx, dy,...,dt są dowolnie małe)
całkowity przyrost funkcji w danym punkcie M0(x0,y0>..., t0)
Au = f(x0 + dx, y0 + dy,..., t0+dt)-f(x0, y0, ...,tQ)

392
II. Rachunek różniczkowy
różni się od sumy jej różniczek cząstkowych względem
wszystkich zmiennych
CD
du , du , , , du ,
-rdx+~dy + ...+-^-dt\
dx dy ot yx0JMJ'
■)*0
o nieskończenie małą rzędu wyższego niż
AVW = \/dx*+dy*+ ...+dt* .
Jeżeli w jest funkqa różniczkowalną, to sumę (1) nazywamy jej
różniczką zupełną i oznaczamy
(2)
, du , , du , , du , „,
du = yxdx+dy-dy+-+oTdt^
Każda funkcja ciągła wielu zmiennych mająca w danym punkcie
ciągle pochodne cząstkowe względem wszystkich amiennych jest w tym
punkcie różniczkowalna. Jednakże z samego tylko istnienia
pochodnych cząstkowych funkcji względem wszystkich jej zmiennych nie
wynika jej różniczkowalność.
Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej du
funkcji dwóch zmiennych u = f(x, y) przedstawionej w układzie
współrzędnych prostokątnych w postaci powierzchni (rys. 287) równa się
przyrostowi współrzędnej w płaszczyzny
stycznej do powierzchni w danym
punkcie, gdy x i y otrzymują odpowiednio
przyrosty dx i dy.
Podstawowa własność różniczki
zupełnej jest analogiczna do własności
różniczki jednej zmiennej (patrz str. 390): nie-
zmienniczość wyrażenia (2) względem
występujących w nim zmiennych.
Liniowość wyrażeń różniczkowych.
Różniczki zmiennych związanych pewną
zależnością funkcyjną (równaniem o
postaci skończonej) związane są zawsze
zależnością liniową (równaniem
różniczkowym rzędu pierwszego). Dotyczy to zarówno różniczek zmiennych
niezależnych, jak i różniczek (cząstkowych i zupełnych) funkcji jednej
lub wielu zmiennych.
Otrzymywanie równania różniczkowego z równania danego w
postaci skończonej nazywamy różniczkowaniem tego równania. W
węższym znaczeniu tego słowa różniczkowaniem nazywa się po prostu
obliczanie pochodnej lub różniczki funkcji.
C1) O różniczce zupełnej w postaci wektorowej —patrz w teorii pola, str. 667.
1. Pojęcia podstawowe 393
Pochodne i różniczki wyższych rzędów. Druga pochodna
funkcji jednej zmiennej y = f(x) oznaczana symbolami y'% y, Dzy,
d^vC1) dH(x) (T)
£3T > /"(*)>i>2/(*)>-^- J«t to pochodna pochodnej: /"(*) =
= -r-/'(#). Pochodne dowolnego rzędu oznaczane symbolami y'",
y; 0 O, P*(x)3 J>/(x)> "^r-(1) *p. określa się w sposób
analogiczny.
Pochodna cząstkowa rzędu drugiego funkcji u = f(.x,y,z3...,t)
może być brana względem tej samej amiennej co i pierwsza pochodna
dsu tł*u ,,_*',, . • • ■ o2u d*u
d^1 dyf" lub teżwz^dem ™J ""MMI ^ a»-!
w ostatnim przypadku pochodną taką nazywamy mieszaną. Wartość
pochodnej mieszanej rzędu drugiego, ciągłej w danym punkcie, nie
zależy od kolejności zmiennych, względem których bierze się pochodne
-r-r— = X~a~- Pochodne cząstkowe wyższych rzędów określa się
w sposób analogiczny; stosuje się przy tym oznaczenie: -j-^, ;r~r-~as
d3u
dxdydz'"'
Druga różniczka funkcji jednej amiennej y = f(x), oznaczana
symbolem dsy lub d^f(x), jest to różniczka pierwszej różniczki: d*y =
= d(dy) =-f"{x)dxi (*). Podobnie określa się różniczki wyższych
rzędów: d*y = d(d*y) =f"\x)dx3 C1) itp.
Różniczka zupełna rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych u =
= /<*»*):
lub, w zapisie symbolicznym, dsu — \x-dx+ -r-dy) «(*).
\ox dy }
Różniczka zupełna rzędu n funkcji dwóch zmiennych:
*"-(5* + £*)""<,>'
(*) Oznaczenia typu -r-% Jub -j-^/(x), gdzie n > 1 są dogodne jedynie w
przypadku, gdy x jest zmienną niezależną, sa. one natomiast niedogodne, jeżeli x jest
funkcją x = <K*>)r patrz str. 402 (zamiana zmiennych).
C2) W przypadku gdy zmienne x, y,..., t są funkcjami nowych zmiennych, wzory
są bardziej skomplikowane; patrz str. 403 i 404,

394 II. Rachunek różniczkowy
dla funkcji większej ilości zmiennych:
2. Technika różniczkowania
Wskazówki ogólne. Posługując się przytoczonymi poniżej
regułami różniczkowania i tablicą pochodnych można znaleźć pochodną
dowolnej funkcji elementarnej. Najistotniejsze znaczenie ma reguła róż-
nicakowania funkcji złożonej, tak zwana reguła łańcuchowa (str. 395);
niech np. y = e**** 3 wtedy
dx dx
COS'
]/* dx
= ei#r* L_._L_ = ^
cos2 ]/x 2\/x 2 \/x cos2 |/a:
Zanim przystąpimy do różniczkowania, należy — o ile to jest
możliwe — przekształcić funkcję do postaci sumy otwierając nawiasy
(str. 157), wyłączając część całkowitą z ułamka (str. 158), logarytmująć
wyrażenie (str. 165) itp.
Przykłady.
1. y = J ' r i—. „ 3x^1ii + 4x~sl3 + x,
X X
Q- = -2sr2+| «-"/«-yar^ + l.
2- y = ln|/^±i-lln(«-+l)-iln(*--l),
<*y _ 1 / 2x \ 1 / 2* \ _ 2x
dx 2 \*'+l/ 2^-1/ **-l '
Podstawowe reguły różniczkowania. Oznaczenia: u, o, ws. ■ ■ —
funkcje zmiennej niezależnej x; u', v', w',... — pochodne tych funkcji
względem x.
1. Pochodna (lub różniczka) sumy algebraicznej dwóch lub kilku
funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych (lub różniczek)
każdej z tych funkcji:
(h-4-o—oj+ ... -K)' = u'+v'-~w'-\- ... +r';
d(u+v —w+ ... +0 = du-\-dv — dw-\-... +dt.
C1) Patrz notkę (*) na str. 393.
2. Technika różniczkowania 395
2. Pochodna (lub różniczka) iloczynu dwóch lub kilku funkcji jest
równa sumie « składników (gdzie n oznacza ilość czynników); każdy
składnik jest tak zbudowany, jak dany iloczyn, z tą różnicą, że jeden
z czynników jest kolejno zastępowany swoją pochodną (różniczką):
dla dwóch funkcji; (tw)' = u'v+uv', d(uv) = vdu+udv;
dla trzech funkcji: (wazo)' = u'vw+uv'w+uvw', d(uvw) = vzodu+
+uwdv+uvdty> itd.
Często, aby obliczyć pochodną iloczynu kilku funkcji, odnajduje
się początkowo ich pochodną logarytmiczną (to znaczy pochodną loga-
rytmu danej funkcji (Inly D' = y'!y)> na przykład jeżeli
y — yVe^sinx, lny = 2-(3InIx|+4x-|-InIsin;c|),
gdzie xsinx > 0, to
Sposób ten znajduje zastosowanie przy różniczkowaniu funkcji
postaci w"; na przykład jeżeli y = (2*+ l)3x, gdzie 2x+1 > 0, to
lny = 3*In(2*+I), £■ = 3 (^~j +ln(2*+l)J,
y-3(^+ln(2*+l)jy = 3(^+111 (2x + l)j(2x + l)-.
3. Stały czynnik można wynosić przed znak pochodnej (lub
różniczki):
(cm)' = cm', d(cu) = cdu.
4. Pochodną (lub różniczkę) ilorazu oblicza się według wzoru
I u\ _ vu'—uv' I u \ __ vdu—udv
\ v J v% ' " V v j V2
5. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożo-
n e j. Jeżeli y = /(w) i u = y(x), to
~=f(u)ę'(x);
jeżeli y =/(m), u =« p(t), i = y(%), to
|=/'(«)rtt)v'W-
Jest to reguła łańcuchowa; w przypadku łańcucha złożonego z
większej ilości funkcji postępuje się w sposób analogiczny.

396 II. Rachunek różniczkowy
Tablica pochodnych funkcji elementarnych
Funkcja
stała
*
x*
J_
X
J_
}/*
ax
lnjxj
logajxj
log W
sina:
cos*
tgx
ctgx
see*
cosec*
Pochodna
0
1
nx"-1
1_
x2
n
1
2^
1
mj/x™-1
e*
a^lna
J_
*
—log„e = ——
x x\aa
1 . 0,4343
— loge^ —_
x x
cosx
— sinx
1
COS2X
1
Funkcja
= sec2* = 1 +tg2x
= — cosec2* = — (1 + ctg2*),
sin*
cosBx
cos*
sin2*
Y^ = tgx sec*
— ctgx cosec*
arc sin*
arccos*
arctg*
arc ctgx
arc sec*
|arc cosec*
sinhx
coshx
tgh*
ctgh*
arsinh*
arcoshx
artghx
arctghx
Pochodna
j/T.
i
j/T^*1
i
1+x2
1
1+x2
1
*j/xB-l
1
xj/x2-l
cosh*
sinh*
1
cosh2x
1
sinh'x
1
j/~l+xa
1
V*
1
1
1-x2
1
*a-l
2. Technika różniczkowania
397
Tablica pochodnych wyższych rzędów
dla najprostszych funkcji
Funkcja
xm?)
lnj*!
log. |x]
e**
a*
O**
sinx
cos*
sinfex
cos ix
sinh*
coshx
Pochodna rzędu n
m(m-l) (rn-2)...(m-nĄ-\)xm-*
(.-l)-Kn-l)l^
"• J Ina *»
fe«efcr
Gna)" o*
(ftlna)"^
sin(*+n--2")
cos(*+n--2"Tu|
£nsin{fex+n—7t\
kPcmikx+n'-^Tz)
sinhx, gdy n — 2kt coshx, gdy n ~ 2k+1
coshx, gdy n = 2k, sinh*, gdy n = 2k+1
6. Wzór Leibniza. Pochodna rzędu n dla iloczynu dwóch
funkcji
D"(wo) = «/)**> +1 "p«Dn-^+l"lDswD'*-1i;+ ...+
+ l"p*wD"-*t>+... +D*u-v
lub oznaczając D°u = w, H*v *= t> piszemy wzór w postaci sumy
D«(uv) = J£l*)D*uI>--*fc,
albo w postaci symbolicznej:
D\uv) = (Du+Dv)*.
Jest to wzór analogiczny do dwumianu Newtona, przy czym w
pierwszym i ostatnim wyrazie rozwinięcia dwumianu należy podstawić
D"v = v i D°u = u.
O Jeżeli m jest liczbą naturalną i n > m, to pochodna rzędu n równa się 0.

398 II. Rachunek różniczkowy
Pochodna funkcji złożonej wielu zmiennych. W przypadku
jednej zmiennej niezależnej:
gdzie x — <p(t), y = v(0j •••> z — zC0> pochodna ma postać
W ~dt~dx"dt+dy"dt+"'+'dz'~dt'
Jeżeli funkcja złożona jednej zmiennej t ma postać
« = f(.x,y,...,z,t))
gdzie x = <p(t), y = yCOs..., z = #C0> to pochodna ma postać
W 'dt"dH"dl + dy"dt+'"+~di dt^lt'
Jest to tak zwana pochodna substancjalna.
Dla funkcji wielu zmiennych niezależnych:« = f(x, y,..., t)> gdzie
X = ł>(£, t}>.,., r), y^ v(^'7>"-jT))...3f= A(&ij»...,t), mamy
"5? ~ ~dz "dl + i)y "61 +'" + ar "dl'
du _ du dx du dy_ du dt
( J 'dn~ ~dx "dy dy" lv + dt 'dT'
dM _ dM dx du dy du dt
dr dx dr dy dr '" dt dr'
Różniczkowanie funkcji uwikłanej.
1. Funkcja jednej zmiennej y — f(x) określona
w punkcie (x, y) równaniem
CA) F(x,y) = 0,
gdzie Fv(x»y)¥>0. Różniczkowanie wzoru (A) względem x zgodnie
ze wzorem (1) daje
(B) F'x+F',y' = 0,
skąd
FI
y' = -
K
2. Technika różniczkowania 399
Różniczkowanie wzoru (B) względem x na podstawie tegoż samego
wzoru (1) daje
(C) F'^%F'^y'+F'^{y'T + F'yy" = 0,
skąd z uwzględnieniem wzoru (B) otrzymujemy
._,. „ ^FxFyFxy--{Fy) FX7i—{Fx) Fyy
(P) * jjy:
W taki sam sposób otrzymujemy
CE) FZx+3F-sy<+3F^W+F'^0>y +
+3F;^"+3F;;yy'4-J7^'" - o,
skąd z uwzględnieniem wzoru (B) i (D) wyznaczamy y'" itd.
2. Funkcja wielu zmiennych u = f(x3 y,z,..., t)
określona równaniem F(x,y,...,t,u) =0, gdzie F'u^0. Pochodne
cząstkowe znajduje się w sposób analogiczny wykorzystując w2ory (3)
na str. 398:
du Fx du _ Fv fa Ft
dx = ~T'u3 dy~~y^i "" dt=~F^'
W ten sam sposób otrzymuje się też pochodne cząstkowe wyższych
rzędów,
3. Dwie funkcje jednej zmiennej y = f(x) i z =
= <p(x) określone układem równań
(A) F(x, y, z) - 0, 0(x, y, z) = 0.
Różniczkowanie wzoru CA) według wzoru Cl) daje
CB) Fx+Fpy' + F'zz' = 0, fy + ^ + G',*' - 0,
skąd
F'(p'_ (p'p' p' (p' _ p' a/
y = 'p' (p' —P'<5~' * = 'p' (p'_ P' <5' '
przy założeniu, że J7^*,—i7^ nie równa się zeru.
W ten sam sposób, różniczkując CB) z uwzględnieniem wartości y'
i z', znajduje się drugie pochodne y" i z'% itd.
4. « funkcji jednej zmiennej y = /(*)» z = p(«),..„
i = y>(x) wyznaczonych układem równań
CA) F(*,j»,z,...,0 = 0, *(*,J»,*,...,0 =0, ...

400
II. Rachunek różniczkowy
Różniczkując (A) według wzoru (1) otrzymujemy
(B) *;+*kv'+*x+... +*^ = o,
Jeżeli będzie spełniony warunek
F'„ f: ... f:
0' 0'
0:
w.
#o,
to rozwiązując układ (B) względem y', z',..., t' znajdujemy pierwsze
pochodnej w podobny sposób znajdujemy pochodne wyższych rzędów.
5. Dwie funkcje dwóch zmiennych w— f(x,y)t
v = <p(x, y) wyznaczone układem dwóch równań
(A) F(x, y, u, v) = 0, 0(x, y, u, v) = 0.
Różniczkując równania (A) względem x i względem y według wzorów
(3) otrzymujemy
(Bx)
dx + du
du_ dF
dx+~dv~
d& d&
~dx+~du
du d&
dx+lto
(By)
dF dF
dy dw
dy
aF
do
ów
dy
= 0.
Jeżeli
# 0, to rozwiązując układ równań (Bx)
Ąy d«
dF_ ^_dF <*P
du dv do du
względem dujdx, dvjdx i układ równań (By) względem dufdy, dvjdy
otrzymujemy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego; w podobny
sposób znajdujemy pochodne wyższych rzędów.
6. w funkcji m zmiennych wyznaczonych układem n
równań. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego (i wyższych) znajduje się
w sposób analogiczny.
Pochodne funkcji y = f(x) wyznaczonej w postaci
parametrycznej x = x(t), y = y(t) oblicza się według wzorów
dŁ. = yL Śl-L = x'y"—y'x"
dx xr> dxs x'3
d*y _ x'(x'y'"-y'x'")-3x"(x'y"~y'x")
dx* ~ x'*
2. Technika różniczkowania 401
gdzie x', x", x'", ...,y\y", y'",... oznaczają pochodne względem i,
przy czym x'#0.
Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja y ~ f(x) jest
odwrotna względem funkcji y = 9{x), to jej pochodne oblicza się
według następujących wzorów:
dy_ __ 1 <Py _ <p"(y) d3y _ 3[<p"(y)?-<p'(y)<p'"(y)
dx2
[ę'(y)r dx3
[vly)T
dx ę'{yY
gdzie <?'(*) #0.
Na przykład funkcja y = arcsinx jest funkcją odwrotną względem
funkcji y = sinx; jej pochodna
dy _ 1 1 _ 1 1
d* (siny)' cosy |/l —sin2y |/l —'#*
jest oznaczona w przedziale —1 < x < 1.
Różniczkowanie graficzne. Jeżeli funkcja różniczkowalna
y = f(x) przedstawiona jest we współrzędnych prostokątnych za
pomocą wykresu F w pewnym przedziale a < x < b,
to wykres jej pochodnej F' można w przybliżeniu ^
wykreślić w następujący sposób:
Zadanie przygotowawcze.
Wykreślenie stycznej w danym punkcie krzywej można
wykonać na oko bardzo niedokładniej jeżeli jednak
dany jest kierunek stycznej (MN, rys. 288), to punkt
styczności A można wykreślić dokładniej.
Wykreślmy dwie cięciwy MjŃj i MtNs tak, by przecięły
krzywą w bliskich siebie punktach, po czym
wyznaczmy środki Rx i R2 tych cięciw, i popro- ^
wadźmy przez punkty Rx i R2 prostą PQ; ostatnia
prosta przecina krzywą w punkcie A\ styczna w tym
punkcie ma (w przybliżeniu) żądany kierunek. Dla
kontroli poprawności konstrukcji można wykreślić
trzecią cięciwę, równoległą do dwóch pierwszych
i niedaleką od nich — powinna ona przecinać w swym środku
prostą PQ.
Konstrukcja wykresu pochodnej. 1° Obieramy
kilka kierunków h, ls,... stycznych do krzywej y = f(x) (rys. 289)
w taki sposób, by na oko odpowiadały rozważanemu przedziałowi
krzywej; wyznaczamy punkty styczności Alt Aiy... z poprzednią
konstrukcją (samych stycznych można nie wykreślać).
2° Po ujemnej stronie osi Ox obieramy dowolny punkt P (biegun).
Odcinek PO = a powinien być tym większy, im mniej stromo
przebiega krzywa.
Rys. 288

402
II. Rachunek różniczkowy
3° Z bieguna P prowadzimy proste PBlt PBZi... równoległe do
kierunków lls /a,... aż do przecięcia z osią Oy w punktach Bl} B2...
4° Przez punkty fl,, fl3,...
prowadzimy proste poziome
BiCi, B2C2>.. aż do przecięcia
w punktach Cu C2,... z
odpowiednimi rzędnymi punktów
5° Punkty CI3 C23...
łączymy łagodną linią; jej
równanie jest y = af ix). Będzie to
właśnie szukany wykres
pochodnej, jeżeli za jednostkę
miary na osi Oy weźmiemy
odcinek a. Aby otrzymać wykres
w zwykłej skali (krzywą 71'),
kreślimy punkty D1} Di}...,
których rzędne są równe
rzędnym punktów C13 Cu,... po-
Rys 289 dzielonym przez a (a = PO na
rysunku 289).
3. Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych
Funkcja jednej zmiennej. Jeżeli y = j(x) i dane jest wyrażenie
H = F
dy d*y dsy
^^H'd^'dx^'-"
zawierające argument, funkcję i jej pochodne, to w przypadku zamiany
zmiennych pochodne oblicza się według następujących wzorów:
1. W przypadku zamiany argumentu x na argument t związany
z argumentem x wzorem x = y(r) stosuje się wzory
dx
d*y
dx2
d^
dx*
1 dy_
P'(0 ' di'
1
W{t)T
1
[<p\t)T
d3V d3V
gdziey'CO^O.
+ [3[<P"(t)f-'p'(t)q)"Xt)]^j(1\
(•) Jeżeli wzór przekształcenia dany jest w postaci uwikłanej 0(x, t) = 0, to po-
dy d%y d3y
chodne j-, t-^-, — oblicza się według tych samych wzorów, tylko <p\t), t/t"(r), ip"'(t)
3. Zamiana zmiennych
403
2. W przypadku zastąpienia funkcji y funkcją u związaną z y
wzorem y <= *p(u) stosuje się wzory
dy ,, .du
-dx-^^Tx'
d*y „ ^d2u , ,„ . (du
d*y „ sd3u , , ,„ N du d2u (duY
3. W przypadku zastąpienia argumentu x i funkcji y nowym
argumentem t i nową funkcją u, związanymi z x i y wzorami x = y(t, w),
3> = yCfj ")s stosuje się wzory
dx B'
d^^d_ldy\_d_JA\iL £(A=J_(Bd±_AŚŁ\
dx*~ dx \dxj " dx \B} B ' dt \BJ fi3 \ dt dt J'
dw dw du „ d<p d<p du
gdzie A = % + -£-rt, B = -£ + £.#, Pm czymfl^O.
. d*y
Analogicznie oblicza się -5-5-.
Przykład. Przy zamianie współrzędnych prostokątnych na
biegunowe według wzorów x = qcos<p, y = Qsin<p mamy
dy _ g'siny+gcosy dzy = qz+2q'z—qq"
dx ~ e'cosy—gsiny' dx2 (e'cosy— gsinp)3
pod warunkiem, że e'cosy — gsiny ^0.
Funkcja dwóch zmiennych. Jeżeli w = f(x, y) i dane jest
wyrażenie „ \
/ da dm d2o> daw d2o> \
H = F\x,y,o>,v -^, ^, g—, ^,...j
zawierające argumenty, funkcję i jej pochodne cząstkowe, to w
przypadku zamiany zmiennych x, y na nowe zmienne w, v} związane
z x> y wzorami x = y(w, v), y = y(u, v) pochodne cząstkowe rzędu
pierwszego -r- > -^— oblicza się z układu równań
dm dm d<p dat dy> do> _ d<a dq> dm dy>
~du~~ dx du dy du' dv dx dv dy dv'
oblicza się według wzoru różniczkowania funkcji uwikłane); przy tym ostatecznie wy.
rażenie H może zawierać zmienną x, którą należy wyrugować przy pomocy równani*

404 II. Rachunek różniczkowy
, , . . . . d<p dy> dw dw
skąd przy założeniu, ze -t~--z lF "a ^° otrzymujemy
dto ,dmind(a dm „dm „ dot
dx du dv oy du dv
gdzie Ay By C, D są funkcjami zmiennych u i v. Drugie pochodne
cząstkowe oblicza się według tych samych wzorów, ale zastosowanych
nie do funkcji m> lecz do funkcji —■ i —-. Na przykład
dx dy
d2ot d (d(a\ d ,
dxs dx \dxf dx
Ó0> ,Rd0>\
„ ds<o dA dm dB dm\
+ dudv + 'du ' Hu + ~du ' dv } +
\ dudv + dv' + dv' du + dv' dv j'
Podobnie otrzymuje się pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Przykład. Wyrazić operator Laplace'a (*)
, d2m ds<#
** = £* + **
we współrzędnych biegunowych x ^ ecosw, y = Q$m<p.
Mamy
dm dm da> . dm dm . dm
skąd
dm dm sing? dot dm . dm cosm dai
_=„»„„_.^s -=smw- + __._,
dsa> __ d ( dto sintp dm
.-r = COSW —- COS7? —
dx2 dtp \ de o dip
sina? d I dto sinw dm\
_-__. (coSa? -j _—£.. — I.
Q dw \ OQ Q Oq>}
Analogicznie obliczając -;— otrzymujemy ostatecznie
dQ2 Q% dip* Q d& '
Dla funkcji wielu zmiennych otrzymuje się wzory na zamianę
zmiennych w taki sam sposób.
(') Patrz str. 678.
4. Podstawowe twierdzenia
405
4. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Warunek monotoniczności funkcji. Jeżeli dana funkcja f(x)
jest ciągła w pewnym spójnym przedziale i ma pochodną we
wszystkich punktach wewnętrznych tego przedziału (*), to warunkiem
koniecznym i wystarczającym monotoniczności tej funkcji w obszarze
oznaczoności jest:
/'(*) > 0, gdy funkcja wzrasta monotonicznie,
f'(x) < 0, gdy funkcja maleje monotonicznie (2).
Interpretacja geometryczna. Wykresem funkcji
monotonicznie rosnącej jest krzywa, która przy wzrastaniu x nie opada
w żadnym punkcie (podnosi się lub przebiega poziomo, rys. 290a);
Rys. 290
styczna w punktach tej krzywej tworzy z dodatnim kierunkiem osi
Ox kąt ostry, lub też jest do tej osi równoległa. Analogicznie — dla
funkcji monotonicznie malejącej (rys. 290b) (a).
Twierdzenie Fermata. Jeżeli funkcja y = f(x) jest dana w
przedziale spójnym i ma w pewnym punkcie
wewnętrznym tego przedziału (*) x=c wartość
największą lub najmniejszą, to znaczy taką, że
/(«)>/(*) lub /(*)</(*),
oraz w punkcie c ma pochodną skończoną, to
pochodna ta jest równa zeru: f(c) = 0.
Interpretacja geometryczna.
W punktach A i B wykresu funkcji spełniającej
warunki twierdzenia styczna jest równoległa do
osi Ox (rys- 291). Rys. 291
O To znaczy w punktach nie będących końcami przedziału.
(2) Warunek ten jest słuszny dla monotonicznego wzrostu lut malenia w
szerszym znaczeniu tego słowa (patrz str. 353). Aby funkcja wzrastała lub malała ściśle
monotonicznie, do przytoczonego warunku trzeba dodać drugi warunek: pochodna
f'(x) nie powinna stawać się tożsamościowe równa zeru w żadnym przedziale
stanowiącym część obszaru jej oznaczoności. Warunek ten nie jest spełniony na przykład
na odcinku BC (rys. 290b).
(*) W przypadku ścisłej monotoniczności styczna może być równoległa do osi
Ox tylko w poszczególnych punktach (na przykład w punkcie A na rysunku 290a),
ale nie w całym przedziale (BC na rysunku 290b).
(*) To znaczy w punkcie nie leżącym na końcu przedziału.

406 II. Rachunek różniczkowy
Twierdzenie Fermata podaje tylko warunek konieczny istnienia
wartości największej lub najmniejszej dla danej funkcji^ jest on jednak
niewystarczający: na rysunku 290a w punkcie A funkcja f'(x) = 0,
lecz nie przybiera ona w tym punkcie największej ani najmniejszej
wartości (punkt przegięcia krzywej).
Warunek skończoności pochodnej jest w twierdzeniu Fermata
istotny: na rysunku 292d funkcja w punkcie E przybiera wartość
największą, lecz pochodna nie przybiera wartości zerowej (ostrze
krzywej).
Twierdzenie Rolle'a. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła w
przedziale domkniętym <a, i>, gdzie a < b, ma pochodną ciągłą wewnątrz
Rys. 292
tego przedziału i przybiera wartość zerową na jego końcach: f(a) =
= 0,/(fc) = 0, to istnieje przynajmniej jedna liczba c zawarta
pomiędzy a i b, która spełnia zależność
f(c) = 0 (a < c < b).
Interpretacja geometryczna. Jeżeli krzywa
stanowiąca wykres funkcji y — f(x) przecina oś Ox w dwóch punktach
A i B, jest ciągła i ma w sposób ciągły zmieniającą się styczną na całej
rozciągłości od A do B, to istnieje przynajmniej jeden taki punkt Ć
zawarty pomiędzy A i B, w którym styczna ta jest równoległa do osi
Ox (rys. 292a).
Punktów takich może być i więcej (punkty C, D, E na rysunku
292b). Postulat ciągłości funkcji lub jej pochodnej jest istotny; na
rysunku 292c funkcja jest nieciągła dla x = dt na rysunku 292d pochodna
jest nieciągła w punkcie E; w obu tych wypadkach nie istnieje punkt
C, w którym f'(x) = 0.
Twierdzenie Lagrange'a (twierdzenie o przyroście
skończonym). Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym
(a, by, gdzie a < b, i ma pochodną w tym przedziale, to istnieje
przynajmniej jedna liczba c zawarta pomiędzy punktami a i b, taka że
n&y-m «.<«<»>.
ę—a
4. Podstawowe twierdzenia 407
To samo twierdzenie w innych oznaczeniach (podstawiając b =
= a+k i oznaczając przez 0 pewną liczbę zawartą między 0 i 1):
/(«+*) = f(a) + kf'(a+9h) (0 < 6 < 1).
Interpretacja geometryczna. Jeżeli krzywa y —f(x)
(rys. 293) jest ciągła i ma w sposób ciągły zmieniającą się styczną
w przedziale od A do B, to pomiędzy A i B istnieje taki punkt C
leżący na krzywej, że styczna w tym
punkcie jest równoległa do cięciwy
AB.
Takich punktów może być więcej.
Postulaty ciągłości funkcji i jej
pochodnej są istotne (łatwo podać przykłady
ilustrujące to analogicznie do rysunku
292b, c i d).
Twierdzenie Taylora
(uogólnienie twierdzenia Lagrange'a). Jeżeli
funkcja .y =/(*) jest ciągła w przedziale
<a,a+ń> (*) i ma pochodne ciągłe od
pierwszej do n-tej włącznie, to
zachodzi równość {wzór Taylora)
Rys. 293
h h2
f(a+k) =/(a)+Tr/'(«)+-2l/"(fl) +
hn~
+^(*-'>w+
hn
fi»)(a+Bh),
gdzie 0 jest pewną liczbą zawartą pomiędzy 0 i 1 (0 < 6 < 1),
Twierdzenie Cauchy'ego. Jeżeli dwie funkcje y = f(x) i y =
= <p(x) są określone w przedziale domkniętym <a, 6>, ciągłe i mają
ciągłe pochodne w tym przedziale, przy czym funkcja >p(x) nigdzie
nie jest równa zeru, to istnieje taka liczba c zawarta pomiędzy a i fc,
która spełnia równanie
f(b)-f{a) _ f'(c)
<p'(c)
gdzie a < c < b.
<p(b)-y(a)
Interpretacja geometryczna twierdzenia Cauchy'ego
jest taka jak i twierdzenia Lagrange'a, Jeżeli rozważać będziemy
krzywą na rysunku 293, daną w postaci parametrycznej x — <p(t), y =
= /C0> gdzie punkt A odpowiada wartości parametru r = a,a punkt
B — wartości t = 6, to dla punktu C
tg a
f(b)-f(a) _ f'(c)
<p(b)-tp(a) ip'(c)'
0) h może tu być zarówno dodatnie, jak i ujemne.

408
II. Rachunek różniczkowy
5. Znajdowanie maksimów i minimów funkcji
Funkcja jednej zmiennej. Określenie, Maksimum (M)
lub minimum (m) (*) funkcji y = fix) nazywamy takie jej wartości
/W, przy których zachodzą nierówności
f(x0+h) <f(x0) dla przypadku maksimum,
f(x0+h) >/(3r0) dla przypadku minimum
przy dowolnych wartościach h, dodatnich lub ujemnych. A więc
w punktach maksimum (lub minimum) wartość f(x9) jest większa
(lub odpowiednio mniejsza) niż wszystkie sąsiednie wartości funkcji.
y
</ł M
M
71*
a)
^r
b) '
Rys. 294
M
7%
\y
c)
Rys. 295
Warunek konieczny dla maksimum albo
minimum funkcji ciągłej. Dla funkcji ciągłej maksimum albo
minimum może zachodzić jedynie w tych punktach, w których
pochodna jest bądź równa zeru, bądź nie istnieje (w szczególności staje
się nieskończona).
Interpretacja geometryczna. W punktach wykresu
funkcji odpowiadających punktom maksimum lub minimum styczna
jest bądź równoległa do osi Ox (rys. 294a), bądź równoległa do osi Oy
(rys. 294b), bądź też w ogóle nie istnieje (rys. 294c).
Warunek ten jest niewystarczający: na rysunku 295 w punktach
A, B, C spełnione są warunki konieczne, lecz punkty te nie są
punktami maksimum ani minimum.
O W analizie matematycznej pojęcia maksimum i minimum obejmuje się
wspólnym wyrazem ekstremum.
5. Maksima i minima funkcji
409
W przypadku funkcji ciągłej punkty maksimum i minimum
występują kolejno: między dwoma sąsiednimi maksimami zawsze
znajduje się jedno minimum, między dwoma minimami znajduje się
jedno maksimum.
Znajdowanie maksimów i minimów funkcji
ciągłej danej w postaci jawnej y = fix) i mającej pochodną ciągłą.
Najpierw znajdujemy punkty spełniające warunek konieczny fix) =
= 0, tak zwane punkty stacjonarne, potem obliczamy pochodną i
znajdujemy wszystkie pierwiastki rzeczywiste x13 #a> ...> xn równania
/'(*) = 0, następnie każdy ze znalezionych pierwiastków, na przykład
xls badamy przy pomocy jednej z następujących metod:
Rys. 296
1. Metoda porównywania znaków pochodnej. Określa się znak/'(x)
dla wartości x nieco mniejszych i wartości x nieco większych niż xt
(ściślej: dla wartości xix leżących po obu stronach #i w tak
niewielkich odległościach, że pomiędzy xixi oraz między xt i x nie ma już
pierwiastków równania fix) = 0). Jeżeli znak fix) zmienia się przy
tym z „ + " na „—" (rys. 296a), to przy x = xx mamy dla/C*)
maksimum* a jeżeli znak zmienia się z ,,— " na „ +" (rys. 296b), to w punkcie
Xi funkcja fix) ma minimum; jeżeli zaś znak pochodnej nie zmienia
się (rys. 296c i d), to w punkcie x = xt nie zachodzi ani maksimum,
ani minimum, a wykres ma punkt przegięcia, w którym styczna jest
równoległa do osi Ox.
2. Metoda pochodnych wyższych rzędów. Metoda ta może być
stosowana wtedy, gdy w punkcie x = x± funkcja fix) ma pochodne
wyższych rzędów. Pierwiastek x-i pierwszej pochodnej podstawiamy do
drugiej pochodnej.
Jeżeli/"(^0 < 0, to w punkcie x = Xi funkcja/(x) ma maksimum,
a jeżeli/" OO > 0, to funkcja fix) ma minimum; jeżeli zaś/"(:fi) = 0,
to podstawiamy xx do trzeciej pochodnej f'"(xi). Jeżeli w tym
przypadku /"'OO ^ 0, to w punkcie x = xt nie ma ani maksimum, ani
minimum (jest punkt przegięcia); jeżeli zaś/'"CO = 0, to obliczamy
/IV(Xl) itd.

410
II. Rachunek różniczkowy
Reguła ogólna: Jeżeli najniższa pochodna, która w punkcie x = xt
nie staje się równa zeru, jest rzędu parzystego, to /(*) ma w punkcie
x = xt maksimum lub minimum, zależnie od tego, czy pochodna ta
jest ujemna czy dodatnia. Jeżeli zaś rząd tej pochodnej jest
nieparzysty, to funkcja w punkcie x = xx nie ma ani maksimum, ani minimum.
Metodę porównywania znaków pochodnej można zastosować
również do tych wartości funkq'i, w których pochodna nie istnieje (patrz
rys. 294b i c i rys. 295).
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym
przedziale a sS x sS b, obliczamy wszystkie jej maksima i minima
leżące wewnątrz tego przedziału, a także obliczamy wartości funkcji na
końcach przedaiału, w punktach nieciągłości funkcji i w punktach
nieciągłości jej pochodnej. Następnie ustalamy, która z obliczonych
wartości jest największa, a która najmniejsza.
Przykłady znajdowania największej wartości funkcji:
1. y = tr^2 w przedziale <—1, 1>. Największa wartość jest w
punkcie x = 0 (maksimum, rys. 297a).
2. y = x3—Xs w przedziale < —1, 2>. Największa wartość jest
w punkcie x = 2 (prawy koniec przedziału, rys. 297b).
3. y = 1/x- w przedziale <—3, 3>. Największa wartość jest
5. Maksima i minima funkcji
411
w punkcie x = 0 (punkt nieciągłości funkcji, rys. 297c), jeżeli
podstawimy y = 1 przy x = 0.
4. y = 2-~xs'3 w przedziale <—1,1>. Największa wartość jest
w. punkcie x = 0 (maksimum, pochodna nieskończona, rys. 297d).
Znajdowanie maksimów i minimów funkcji
danej w postaci uwikłanej. Aby znaleźć maksima i minima funkcji
y = f(x) danej w postaci uwikłanej za pomocą równania F(x, y) = 0,
gdaie F, F'x i F'y są ciągłe, postępuje się w sposób następujący.
Rozwiązuje się układ równań F(#, y) = 0, F'x (x, y) = 0 i otrzymane
rozwiązania (*i,,yi)s (x2,y2)>-.. podstawia się do F'y i F'xx.
Jeżeli w punkcie (xt, yt) pochodne F'y i F'x'x mają różne znaki,
to przy danym x% funkcja yt osiąga minimum; jeżeli F'y i Fxx mają
ten sam znak, to funkcja y = f(x) przy danym xi osiąga maksimum.
Jeżeli zaś jedno z wyrażeń F'y lub Fxx jest w rozważanym punkcie
równe zeru, to dalsze metody analizy stają się bardziej skomplikowane.
Funkcja wielu zmiennych. Określenie. Funkcja u =
~f(x>yy-> t) osiąga maksimum (lub minimum) przy zespole wartości
Xa,yo,..., r0, inaczej mówiąc: w punkcie Pa(x0,y0>---> t0), jeżeli można
wskazać taką liczbę dodatnią e, że obszar określony nierównościami
x0 — e < x < x0+e, y0—8 < y < y0 + E,..., t0—e < t < t0+e zawiera
się w obszarze oznaczoności danej funkcji i przy każdym punkcie
(x,y,..., t) wewnątrz tego obszaruz wyjątkiem punktu (xa,y0, ..., t0)
spełnione są warunki:
f(x,y,..,,t) <f(x0,y0,...,t0) dla przypadku maksimum,
f(x,y,...,t) >f(x0,y0i...,ta) dla przypadku minimum.
Korzystając z pojęcia przestrzeni wielowymiarowej (*) można
powiedzieć, że w punktach maksimum (minimum) funkcja u ma większą
(lub odpowiednio mniejszą) wartość niż we wszystkich punktach
sąsiednich.
Interpretacja geometryczna makaimum i minimum
funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) przedstawionej powierzchnią
we współrzędnych prostokątnych (patrz str. 367): w punkcie A, w
którym zachodzi maksimum (minimum), współrzędna z punktu
powierzchni jest większa (lub odpowiednio mniejsza) od wartości tej
współrzędnej w dowolnym punkcie dostatecznie małego otoczenia punktu A (to
znaczy obszaru o małych rozmiarach, dla którego punkt A jest punktem
wewnętrznym), patrz rys. 298: a) maksimum, b) minimum.
Jeżeli powierzchnia z = f(x, y) ma w punkcie ekstremalnym P
płaszczyznę styczną, to płaszczyzna ta jest równoległa do płaszczyzny
Oxy (rys. 298a i b). Warunek ten jest konieczny, lecz niewystarczający
C1) Patrz atr. 367.

412
II. Rachunek różniczkowy
na to, aby w punkcie P było maksimum lub minimum funkcji z =
— f(,x,y): na rysunku 298c powierzchnia ma w punkcie P poziomą
płaszczyznę styczną, lecz w punkcie tym. nie ma ani maksimum, ani
minimum (P jest punktem siodłowym).
Znajdowanie ekstremów funkcji dwóch zmiennych
« = f(x> y) ■ Rozwiązujemy układ równań
/*' = °> /; = o;
otrzymane układy rozwiązań (xt, yx), (xs, _y2),... podstawiamy do po-
<*—m
chodnych A =
d«/
A =
dx2
AB
B C
B =
t \— > C = t-$- Układamy wyrażenie
— AC—B* — \fxXj'yy—\Jxy) Ja^a^, J/ =
y-i-
Jeżeli A > 0, to funkcja f(x, y) w punkcie (x, y) ma maksimum,
gdy/^<0iminimum, gdy/^i > 0. Jeżeli J < 0, to/(x,y) nie ma
ani maksimum, ani minimum. Jeżeli zaś A = 0, to metody stają się
bardziej skomplikowane.
Znajdowanie ekstremów funkcji n zmiennych a =
= f(x> y> • • ■ 3 r) ■ Warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym na to,
by w punkcie (jx,y,...> t) funkcja różmczkowalna n zmiennych u =
— f(x> y> • • • > 0 miała maksimum albo minimum, jest spełnienie w tym
punkcie n równań następujących:
CA)
/*' = o, /; = o,
/; = o.
Warunki wystarczające są w ogólnym przypadku skomplikowane;
w praktyce dla ustalenia, czy rozwiązanie xx, yx,..., rx układu równań
(A) daje ekstremum (i jskie mianowicie), należy badać funkcję w
punktach bliskich punktu (jsl>y1,...,t1).
5. Maksima i minima funkcji 413
Ekstrema warunkowe (metoda Lagrang e'a).
Jeżeli mamy znaleźć maksimum lub minimum funkcji n zmiennych
u = f(jx,y,...,?), gdy zmienne te nie są niezależne, ale są związane
warunkami dodatkowymi:
<Pi(.x,y,...3t) = 0, 9a(x,y>.:>t) = 0, ..., <pn(x,y,...,t) =0,
gdaie k < «,to wprowadzamy £ czynników nieoznaczonych Xl3 A3)...,
As i rozważamy następującą funkcję n+k zmiennych ar, j',...,I, Al5
(tg, •••, nie'.
&(x,yt...,t,X1>Xz,...,Xk)=f(.x,y:i...,t) + l1>pl(x>y>...,t) +
+X2(f2(xyy,...tt)+... +Xicpk(.x,yt...,t).
Warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji # w
punkcie (x,y, ..-,0 jest spełnienie układu n+k równań z n+k
niewiadomymi xs y,..., rs ^D ^a> ...»^*> mianowicie:
9>i = o, y3-o, ..., c* = o, % = o, % = o, ..., <p; = o.
Zespół wartości C*i,j>i,...> fx) spełniających powyższe równania może
dla funkcji/ dawać maksimum lub minimum (jest to jednak warunek
tylko konieczny).
Przykład. Dla funkcji u = f(x,y) przy warunku q>(x,y) = 0
punkt, w którym funkcja ma ekstremum, określa się z trzech równań
o trzech niewiadomych ar, y, X, a mianowicie
v(x>y) = o, ^U(.Xyy)+X<p(x3y)i = o, ^tf(X,y)+x<p(x>yy\ = o.
6. Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe
Szereg Taylora dla funkcji jednej zmiennej. Funkcje y = f(x)
ciągłą i mającą wszystkie pochodne w punkcie x = a można w wielu
wypadkach przedstawić w postaci sumy szeregu potęgowego (patrz
str. 385), którą otrzymuje się ze wzoru Taylora (str. 407):
(T) /(*) =/(«)+ ^p/'(a)+ ^V"0) + -.. +
Wprowadźmy oznaczenia:
Sn{x) =f(a)+^fXa) + ^^rXa)+...+^^ft»Ha),
Rn(.x)=f(x)-Sn(x);
wyrażenie i?B(x) nazywamy resztą szeregu Taylora.

414 II. Rachunek różniczkowy
Wzór (T) jest prawdziwy przy tych wartościach x, przy których
reszta Rn dąży do zera, gdy n ~* oo (*).
Wyrażenie na resztę szeregu Taylora:
gdzie i leży między a i x,
R" - %ft)t'("+1)«>>
1 *
Rn = ^ j (*-on/<n+i> co <ft.
Inna postać szeregu Taylora
f(a+h) = /(a) + lLfXa)+^f"(fi)+ ... + ^/W(<0 + ...
Dla tej postaci reszta szeregu wyraża się wzorami
R
gdzie 0< 0 < 1, oraz
ftn+i
*" = ^lJ!/(B+1,(a+0/l)l
1 r
Rn=^i I (*-r)n/(n+I)(«+0 rft.
Szereg Maclaurina. Jest to rozwinięcie funkcji /(#) w szereg
według potęg zmiennej x. Jest to przypadek szczególny szeregu Taylora
dla a = 0
(M) /(*) =/(0) + £/'(0)+^-/"(0)+ _ +^/Cn)C0)+ ...
Reszta szeregu Maclaurina
gdzie 0 < 0 < 1, oraz
1 ?
C1) Dane tutaj pofecie reszty nie zawsze pokrywa się z tym pojęciem, które
zostało wprowadzone w paragrafie o szeregach (str. 383). Oba pojęcia pokrywają się
tylko w tych przypadkach, gdy wzór (T) jest prawdziwy.
6. Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe 415
Zbieżność szeregów Taylora i Maclaurina określa się bądź przez
badanie reszty Rn, bądź przez wyznaczenie promienia zbieżności
szeregu (str. 385); w tym ostatnim przypadku może się niekiedy okazać,
że szereg jest zbieżny, lecz jego suma S(x) nie równa się /(#).
Szereg Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Wzór
Taylora dla funkcji dwóch zmiennych ma postać
4(-)+-^(>«
lub w postaci symbolicznej
f(x+h,y+k) =
gdzie
*■-5+1)1-W*+&*) /6.+M.J-+W).
przy czym O<0i<l,O<0a<l.
Jeżeli przy «->oo reszta £«-►(), otrzymujemy ssereg Taylora.
Dla funkcji m zmiennych zachodzi analogiczny wzór symboliczny;
f(x+h,y+k,..., r+7) ^/C*,^,..., r) +
+jjT(ś*+£*+-+i')'/c,':v t)+ii"
gdzie
*• - ^+T>r(s*+5r*+ - +-|')'H««+M,.....+M).
przy czym 0 < 0j < l.

416 II. Rachunek różniczkowy
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w sze'
regi p otęgowe
Funkcja
Rozwinięcie w szereg
Obszar
zbieżności
(a±xy
(1 ±*)«
On>0)
(1 ix)1'1
Cl ±x)1'3
Cl ix)1'2
Cl ±x)3'3
Cl ±x)5'2
a±xy
Cm>0)
Funkcje algebraiczne
Szereg dwumianowy
x
przekształcając do postaci am 11 ±
sprowadzamy do szeregów następujących:
Szeregi dwumianowe o wykładniku
dodatnim C1)
m(m— 1) m(m— l)(m—2)
|xl *S a,
gdy m > 0
1*1 < a,
gdy m < 0
l±m#+
-x*±-
xa+...
2! ™ -"- 3!
,.,+(±1)^C"-i)-nC"-"+i)xn+.„
1_ul 1-3 , ,_l-3-7 J 1-3-7-11
Ł±4* 4-8*±4-8-12X4-8-12-16X±-
i j_I 1-2 i.1'2-5 s 1-2-5-8 4
Ł±3X 3-6X±3^9X~3-6-9-12X±"-
ld:2X 2-4JJ±2-4-6X~2-4-6-8^±--
. , 3 3-1 , 3-1-1 , 3-1-1-3 ,
1±2X+2^4^2^6x4+2^4^8^ •"
. , 5 5-3 , , 5-3-1 , 5-3-1-1 Ł
1±2X+2^3e±2^6*,-2T4^8*łIF-
Szeregi dvramianowe o wykładniku ujemnym
»iC»i+ 1) ._ »iC»i+ 1) C»i+2)
l=pmx + ■
2!
-'*»=F
3!
V+...
... + C±l)"m(ffl+1)-,(?"+"-1)X"J:...
d±x)
,-!/*
,^ 1 , 1-5 a 1-5-9 , 1-5-9-13
1T 4X+4T8x^4^l2X3+4^12T6
:**=F ...
(') Przy m naturalnym szereg jest skończony i zawiera m+ 1 wyrazów o wspól-
., , . m(m— l),..(m— n + 1) jm\
czynnikach w postaci i— i- = j™L tablicę współczynników
dwumianowych patrz na str. 207.
6. Rozwiniecie funkcji w szeregi potęgowe 417
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w
szeregi potęgowe (cd.)
Funkcja
Rozwinięcie w szereg
(li*)-"8
(l±*)-1'a
(li*)-1
(l±*)-8/2
(li*)"3
(i ±xy*i*
(i±x)-a
di*)-1
(ii*)-6
, 1 1-4 . 1-4-7 , 1-4-7-10 .
1T'3X+3T6^3^9JC+3-^FT2^-
1 1-3 . 1-3-5 , 1-3-5-7 .__
1T2"+2r4^p^",+r«r8"'T...
,3 3-5 , 3.5-7^, 3-5-7.9 _
lT2X+2T4x3=F2T4r6^+2^^8^-
lT2x+3x2T4x3+5x*T--
5 5-7 . 5-7-9 , 5-7-9-11 .^
^2X+2^4X ZF2T4T6Xa + T4^8 ^ •"
1^-^-(2-3j:t3-4xs+4-5x3=f5-6x*+ ...)
1
1=F
IT
(2-3-4x^3-4-5x3 +
+ 4-5-6x3^5-6-7x*+..-)
(2-3-4.5x^3-4.5-6x3 +
1-2-3-4^ T
+4.5.6-7x3=F5-6-7-8x4+...)
1-2-3
1
Funkcje trygonometryczne
sin(x+a)
X3 Xs
^!+~5!
x-^+^--+c^1)n-c^Ti)r±-
x2sina xacosa
sina-fxcosa—
2!
3!
-h
+-
x4sina
x"sin \a +
4!
■+•••
±...
„Z y4 v6 j;2"

418
II. Rachunek różniczkowy
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w
szeregi potęgowe (cd.)
Funkcja
Rozwinięcie w szereg
Obszar
zbieżności
cos (* -f a)
tg*
ctg*
secx
cosecx
x2cosa , a^sina
cosa—xsma ~, 1 ^ f-
2!
3!
+
x*cosa
x^cosla-f
... -f ■
±...
1 o 17 62
+ (2»)l * +—t)
i+ 2* + 24* +72<T+ 8064* + - +
604800"
C2n)!
O
ai = ca:lna
Funkcje wykładnicze
, * *a x" x«
1 + T!+2i+3l + -+lS+-
1!
2!
Oęlną)3 Carina)"
3!
ni
* <oo
W<T"
0 < 1*1 <n
W<2"
o<M<7i
|*| < oo
* < oo
(*) J5n są to liczby Bemouliiego (patrz str. 382).
(*) £„ są to liczby Eulera (patrz str. 382).
6. Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe 419
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w
szeregi potęgowe (cd.)
Funkcja
Rozwinięcie w szereg
Obszar
zbieżności
e*— 1
In*
In*
In*
ln(l+*)
ln(l-x)
*(&)-
=2artgh*
■=2 ar et gna
2+ 2! 4! + 6! *" +
±K } (2»)l ±*"w
Funkcje logarytmiczne
1*1 < 2n
*+l ' 3(* + l)8 ' 5(x-fl)B
+
C2n+I)C*+l)2n+1
-f ...
(,_1)_<^>!+^-^+...+
(x—l)n
+ (-l)w+1'- ^ ±..
M
*-l . («-Da,
* "*" 2x* +
+ę^V..+c-^?+..
3x3
«*»
v2 uB v* Vn
va „s «i a-s »-n
„3 vfl y7 a-2«+l
2|X+*.+ * + £ + ...+iL_+...
x ' 3x« ' 5X8 7*7
+
1
(2n + l)*a»+1
-f ...
*>0
0<*<2
1
X>2
-Kx<l
-Kx<l
|*1<1
|*1 >1
(*) B„ są to liczby Bemouliiego (patrz str. 382).

420 II. Rachunek różniczkowy
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w
szeregi potęgowe (cd.)
Funkcja
lnlsin*!
In cos x
lnltgx|
arc sin*
arc cos x
arctgx
Rozwinięcie w szereg
In lxi
180 2835
2*"-IBnx2n
n(2n)l
12 45 2520 '"
2*n-\2m—\)BnX2a
n(2ń)\
-...C1)
-...(l)
hilx]+rz+loxt+2§5xt+- +
+
«(2n)!
***+... C1)
Obszar
zbieżności
0 < |*1 < K
W<2*
0 < 1*| <
1
<2*
Funkcje c y klome t ry czne
_&_ 1-3** 1-35**
* + 2-3 + 2-4-5+2-4.6-7 + ""+
1-3-5. ..(^-l)*2"*1
+ 2-4-6...(2«)(2«+l) +'
tc / *3 , 1-33C4 1-35*' ,
T r+2-3 + 2-4-5 + 2.4-6-7+*** +
1-3-5...(2H-l)xa'1+1
+ 2-4-ó...(2«)(2h + 1)
-|+M+...-k-v^±...
-±2 x+ 3*3 S*4"1"?*' "
+
+(-iy+i
l
(2»+ !)»*•+»
+ -.(")
!*1<1
[*[<1
\x\<l
1*1 >1
C1) J5„ S4 to liczby Bcrnoulliego (patrz str. 382).
(*) Pierwszy wyraz — tc bierze się ze znakiem „+" dla x > 1 i ze znakiem „—*'
dla*< -1.
6. Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe 421
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w
szeregi potęgowe (cd.)
Funkcja
arcctg*
sinh*
cosh*
tgh*
ctghx
sech*
cosech*
Rozwinięcie w szereg
Jt Xs X" X'
+(-D"
2w + l
±...
Obszar
zbieżności
Ixkl
Funkcje hiperboliczne
*a ** X1 , X**+l ,
X+ 3!+"5! + Y!+ *" + (2»+l)! + *"
. Xz X* X* XZn
1+2!+4!+6! + -+(2^I'r-
1 2 17 , 62
x--3xs+j^x5-^^x^+-
+
315 ' 2835
(— 1)"-H2a"(22"-1)
-.-- +
1 Sf__*f , ?^.__^_, .
7+3 45 + 945 4725+'" +
+
^^.-1±..,,
1 5 61 „ 1385 .
1-2!*'+4i^-6!^+-8T^
..- +
+ WB-*°*±-«
J. * 7x3 _ 31x5
x "6+360 15120 + *" +
2(-l)»(22"-1-l)
+ ■
(2«)!
B***,-1+ ---C1)
1*1 <co
|*I <co
W<2«
o < ]*! < n
1*1 < 2"*
0 <!*!<*
C1) B„ są to liczby Bernoulliego (patrz str. 382).
(*) B„ są to liczby Eulera (patrz str. 382).

422
II. Rachunek różniczkowy
Tablica rozwinięć niektórych funkcji w sze-
regi potęgowe (cd.)
Funkcja
Rozwinięcie w szereg
Obszar
zbieżności
arsinhx
ar cosh x
artghx
arctghx
Odwrotne funkcje hip erb oliczne
*-2V+2^-2W'+"- +
+(-i)"-„1:3:5-:(2"-1) ^±,
2-4.6...2n(2n+l)'
±|ln(2x) - 1 3
\ ; 2-2x* 2-4-4x*
135
3 5 7
x ■ 3*3 + "5x5 ^ 7^
-+ — + —+J-+ +
2n + l
T+...
(2»-j-l)x3n+1
+
I*I<1
x> 1
1*1 >i
HI. RACHUNEK CAŁKOWY
A. CAŁKI NIEOZNACZONE
1. Podstawowe pojęcia i twierdzenia
Funkcja pierwotna. Funkcją pierwotną danej funkcji jednej
zmiennej y = /(x), określonej w pewnym obszarze domkniętym,
nazywamy taką funkcję F(x) określoną w tymże obszarze (*)» której pochodna
jest równa /(x), albo — co oznacza to samo: jest to funkcja, której
różniczka równa się f(x) dx:
F'(x) = f(x) lub dF(x) =/(x) dx.
Dana funkcja f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych;
różnica między dwiema funkcjami pierwotnymi Fi(x) i Fa(x) jest wiel-
Rys. 299 Rys. 300
kością stałą. Wykresy wszystkich funkcji pierwotnych Fi(*)» Fa(:c),
F9(x),.., danej funkcji są tą samą krzywą. Wykresy te otrzymuje się
jeden z drugiego za pomocą przesunięcia równoległego wzdłuż osi
rzędnych (rys. 299).
(') W niektórych przypadkach obszar oznaczoności funkcji pierwotnej F(x)
jest szerszy niż obszar oznaczonc-ści danej funkcji /(*)■ Jeżeli dana funkcja /(*) jest
oznaczona w pewnym przedziale spójnym z wyjątkiem poszczególnych punktów
nieciągłości )e1,xt,...tXn, to może się zdarzyć, że obszar oznaczonoSci jej funkcji
pierwotnej obejmuje również te punkty (patrz str. 424).

424 III. Rachunek całkowy
Interpretacja geometryczna funkcji pierwotnej. Jeżeli dana
funkcja f(x) przedstawiona jest w postaci krzywej we współrzędnych
prostokątnych (rys. 300), to wartość funkcji pierwotnej jest równa polu
S(x) ograniczonemu krzywą y = f(x), osią Ox i dwiema rzędnymi,
stałą rzędną AB w punkcie jc = ai zmienną rzędną CD (w punkcie x).
Dobierając dowolnie stałą a otrzymujemy różne funkcje pierwotne.
Przy tym pole S(x) może być dodatnie lub ujemne (*).
Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej. Dla każdej
funkcji ciągłej w pewnym obszarze domkniętym istnieje funkcja
pierwotna, również ciągła w tym obszarze. Funkcja mająca punkty
nieciągłości przy niektórych poszczególnych wartościach x ma funkcję
pierwotną, będącą bądź funkcją ciągłą, bądź też mającą punkty nieciągłości
przy tychże wartościach x (2).
Przykłady.
F(x) = 3)/x, 2.f(x) =
W—7.
W pierwszym przykładzie funkcja f(x) ma punkt nieciągłości x = 0,
natomiast funkcja pierwotna F(x) jest ciągła również i w tym punkcie.
W drugim przykładzie zarówno funkcja /(*)
jak i jej funkcja pierwotna F(x) mają punkt
nieciągłości x = 0.
Przebieg wykresu funkcji pierwotnej F(x)
w różnych punktach nieciągłości funkcji
danej f(x) przedstawiono na rysunku 301.
W przypadku nieciągłości usuwalnej (a) lub
skoku skończonego (b) funkcji f(x) funkcja
pierwotna jest ciągła; w przypadku zaś
skoku nieskończonego funkcji f(x) funkcja
pierwotna może być ciągła (krzywa F{x) ma
punkt przegięcia (c) lub ostrze krzywej (d)
ze styczną pionową) lub może także
uciekać w nieskończoność (e). O analitycznym
rozpoznaniu, jaki zachodzi przypadek, patrz
str. 506-509.
Całka nieoznaczona. Wyrażenie
ogólne F(x) -\- C dla wszystkich funkcji
pierwotnych danej funkcji/(x) nazywamy całką
nieoznaczoną funkcji f(xj lub różniczki f(x)dx. Rys. 301
0) Pole figury ABCD = / f(x)dx, patrz str. 487.
a
(?) Patrz notkę na poprzedniej stronicy.
1. Podstawowe pojęcia i twierdzenia 425
Oznaczenie
F(x)+C = JAx)dx,
gdzie / jest znakiem całki, f(x) jest daną funkcją podcałkową, a f(x) dx
jest wyrażeniem podcałkowym.
Za funkcję pierwotną F(x) można zawsze przyjąć całkę oznaczoną
(patrz str. 488) z dowolną stałą granicą dolną całkowania i zmienną
granicą górną.
Całki funkcji elementarnych nie zawsze są funkcjami elementarnymi.
Na str. 426 - 441 zestawione zostały sposoby odnajdowania całek
(metody całkowania) najprostszych funkcjij które mają funkcje pierwotne
elementarnej wyniki całkowania zestawione są w tablicy na str. 441 -
484 C).
Jeżeli całka nie jest funkcją elementarną, to w razie potrzeby (w
interesie badań teoretycznych lub częstego zastosowania w praktyce)
układane są tablice wartości danej funkcji. Takim funkcjom specjalnym
(przy ustaleniu dowolnej stałej całkowania za pomocą podania dolnej
granicy całkowania) nadaje się często specjalne nazwy, na przykład
/
7
-— = li(x) (logarytm całkowy),
lnx
o
8mv> dx -» , (całka eliptyczna
pierwsi-**) (l_ft^) szegorodaajuH*).
Jeżeli funkcja nie daje się scałkować w sposób elementarny albo
jeżeli całkowanie funkcji jest zbyt skomplikowane, to często funkcję
podcałkową rozwija się w szereg (patrz str. 413), który w przypadku
jednostajnej zbieżności (patrz str. 383) można kolejno całkować wyraz po
wyrazie. W celu całkowania przybliżonego można zastąpić funkcję
wielomianem (patrz str. 818) (3).
2, Ogólne reguły całkowania
Całki podstawowe. Wzory na całkowanie, które możemy otrzymać
przez odwrócenie podstawowych wzorów na różniczkowanie, zebrane
są w tablicy na str. 426. Do całek podstawowych należy starać się
sprowadzić daną całkę przy pomocy przekształceń algebraicznych lub
trygonometrycznych lub też zastosowania reguł całkowania.
(1) W dalszym tekście termin „funkcja pierwotna" zastępowany jest słowem
„całka"j w tablicach całek dowolna stalą całkowania C została dla krótkości wszędzie
pominięta.
(a) O całkach eliptycznych patrz str. 437.
C) O całkowaniu graficznym, czyli budowaniu wykresu funkcji pierwotnej na
podstawie wykresu danej funkcji, patrz str. 494 i 495.

426 HI. Rachunek całkowy
Tablica całek podstawowych (')
Funkcje potęgowe
J*-lnW.
Funkcje
trygonometryczne
j sinxdx = —cosx,
j coixdx = siax,
jtgxdx = — lnfcosaj,
f ctgxdx = lnjsinxl,
r dx
r dx
-7-£- = —ctgX.
Funkcje wymierne
(o > 0) ■
r dx 1 x
-TT—a = — arctg—,
J _s+xa a a
C dx 1 , x
-s _- = — artgh — =
J a*—x2 a a
1 . a+x
2a a—x
1*1 < o>
r <& i _ *
~t r = ar ctgh —
J x2 — a2 a a
1 , x^a
= ^~ln^-;—>
2a x+a
1*1 > a.
Funkcje wykładnicze
J exdx = ex.
fa*dx^-.—■, _>0, a^l.
J Ina
Funkcje hiperbolicz-
n e
j sinhxdx = coshx,
j cosh„fl*;t = sinhx,
jtghxdx = lncoshx (2),
j ctghjciic = ln|sinhx|,
Jz^k = tshx>
- ■■ ■,_- ~ — ctghjc.
Funkcje niewymierne
(a>0)
r dx . x . ,
. . -_ ^arcsin —, a>|x
J ya*-x2 a
r dx . , X
—.-.-—— = arsinh — =
J j/a2+x2 a
= In (x+ l/tfTtf)(3),
r dx , x
- ■ = arcosh — =
J ]/x2-as a
= lnjx+i/x2 —a2 |.
(') Stale całkowania zostały tuiw następnych tablicach pominięte.
(s) Ponieważ coshx > 0, przeto znak bezwzględnej wartości jest w tym
przypadku niepotrzebny. _____
(3) Wyrażenie x+Yxt+ai jest zawsze dodatnie.
2. Ogólne reguły całkowania 427
Podstawowe reguły całkowania podają własności całek
nieoznaczonych, pozwalające na przekształcanie całki funkcji danej na całki innych
funkcji.
1. Stały czynnik można wynieść przed znak całki:
Jaf(x)dx*=afKx)dx.
2. Całka sumy (lub różnicy) jest równa sumie (lub różnicy) całek
poszczególnych składników:
J(«+v—w)dx = J udx+ j vdx~ j wdxi1).
3. Reguła podstawiania: jeżeli x = <p(t), to
fKx)dx = JfMt)-]<p'(t)dt.
4V Całkowanie przez części:
f u dv = uv~ j v du ('),
Ogólne wskazówki dotyczące znajdowania całek. Nie można
podać ogólnej reguły znajdowania całki dowolnej funkcji elementarnej;
technikę całkowania zdobywa się przez doświadczenie. W następnych
paragrafach rozpatrzone są w sposób systematyczny przykłady
całkowania najprostszych rodzajów funkcji elementarnych; na str. 441 - 484
podane są tablice, w których należy szukać danej całki lub podobnej
całki.
Z metod ogólnych najczęściej stosowanych przy znajdowaniu całki.
można wskazać następujące:
1. Przy pomocy przekształceń algebraicznych lub
trygonometrycznych przedstawiamy funkcję podcałkową w postaci sumy kilku funkcji
i rozkładamy całkę na sumę całek.
Przykłady.
f (xĄ-3)2 (*a + l)ox ~ J (x*+6xs+ I0x2+6x+9)dx =
= ~x<i+~x*+~xa+3xi+9x+C.
f sm2xco$xdx — j ~j(s'm3x-{-smx)dx = —~rCOs3x—^cosx+C.
2. Jeżeli znana jest (np. z tablic) /' f(x)dx = F(x), to
ff(ax)dx = ^F(ax) + C, Jf(x+b)dx » _(*+&)+C_
ff(ax+b)dx =~F(ax + b)+C,
gdzie a & 0.
(') u, v, eo są to funkcje zmiennej x.
(*) u i v są to funkcje zmiennej x.

428 III. Rachunek całkowy
Przykłady.
e 1 e 1
sinaxdx = cosax+C, \ efi^dx = — «"**+C,
Jrr^ = arct8(,c+'!)+c-
3. Jeżeli wyrażenie podcałkowe jest ułamkiem, którego licznik jest
różniczką mianownika, to całka równa się logarytmowi mianownika:
Przykła d.
2x+3
*a+3x-5
dx = ln|(xa+3x-5)|+C.
3. Całkowanie funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych zawsze można wyrazić za pomocą
funkcji elementarnych.
Reguły ogólne. Funkcję wymierną całkowitą (wielomian) całkuje
się wyraz po wyrazie
J*(*io*"+ai*M~14~". +an-ix+an)dx =
B+l n Ł
Funkcję wymierną ułamkową j w v <& (gdzie Q(x) i P(x) są wielo-
J. [X)
mianami stopnia odpowiednio: min) przekształca się w sposób
algebraiczny do postaci dogodnej do całkowania w następujący sposób:
1° skracamy ułamek, aby wielomiany Q(x) i Pfx) nie miały
wspólnych czynników;
2° jeżeli m 3= n, to dzieląc Q(x) przez P(x) wyłączamy część
całkowitą ułamka (patrz str. 159), którą całkuje się jak wielomian i trzeba
jeszcze scałkować część ułamkową, w której licznik ma stopień niższy
od stopnia mianownika;
3° mianownik P(x) rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe
(patrz str. 175):
P(x) = a„(x-a)* (r-Ą*... (x*+px+qy (xa +p'x+g'y...,
gdzie
3. Całkowanie funkcji wymiernych 429
4° współczynnik <h w mianowniku wynosimy przed znak całki;
5° otrzymany ułamek właściwy nieskracalny, którego mianownik
rozłożony jest na czynniki pierwsze przekształcamy na sumę ułamków
prostych (patrz str. 159 i 160), które dają się łatwo całkować. Mogą
zajść przy tym cztery przypadki:
1. Wszystkie pierwiastki mianownika są rzeczywiste i jednokrotne:
P(*) = (x-a) (*-/})-(*-A).
Rozkład ma postać
2£> = ^ + _B_ + i L
P(x) x-a ^ x-j5 "** — "*" x-X3
gdzie
A~ P\a)3 ^"P-OS)' -' *" P>{X)Kh
Całkowanie przeprowadza się według wzoru
Adx
J
x—a
Przykład.
= ^41n|*-a|
7= f (2x+3)dx 2x+3 ^A B C
J x*+x*-2x' x(x-l) (x+2) x+x-l+x+2'
A = ®°1 - / a**3 \ = _1
P'(0) \3x*+2x-2)x=<i 2S
B = ( 2*+3 ) _ 5_ r _ / 2*+3 \ _ £
\3*a+2*-2/*=i 3' \3xa+2x-2/*=_2 6'
= -~Inl«|+|-lnl*-ll—g-In|*+2|+C.
2. Wszystkie pierwiastki mianownika są rzeczywiste, ale wśród
nich są pierwiastki wielokrotne:
P(x)-(x-a)iCx-0)»...
<*) Liczby A, B, C,..., L można również otrzymać za pomocą metody
współczynników nieoznaczonych (patrz str. 160).

430 III. Rachunek całkowy
Rozkład przybiera postać
<2C*) Ai , A* , ■ A\ ■
P(x) x-a "**(*-a)« + ••' "** C*-a)ł
Stałe A1} A2, ...^Ai, B1,Bs>...)Bm)... oblicza się przy pomocy
metody współczynników nieoznaczonych (patrz str. 159); całkowanie
przeprowadza się według wzoru
f Aidx ... . f Akdx An ,, ,.
)— = AM\x-*U J—^--^^^ (*>«•
Przykład.
7= f *3+1 Ą «3 + l ,4 B, B, B3
J *(*-l)» ' x(x-l)3 x ^ x-l + (x-l)2 + (x-l)3.
Metoda współczynników nieoznaczonych prowadzi do równań
i4+Bi=l> -3A-2B1 + Bi = 0> 3A+Bl-B2+B3 = 0> ~A = \>
skąd
^ = -1, Bx = 2, Ą=l, B3 = 2,
= -mW+21n|*-l|-^-^ = m^-^H-C.
3. Wśród pierwiastków mianownika znajdują się pierwiastki
zespolone sprzężone
P(x) = (*-<*)> (*-#»... (*2+/«+c) (*a+P'*+«')...,
przy czym
7/»'<ff. {p'*«ł', ...
Rozkład na postać
Q(x) = At At Ai B, Ba
P(») *-a "t"(x-a)*"ł*'"'ł"(x-a)' + x-0+(*-0)'
. g- , C*+P £c+F
3. Całkowanie funkcji wymiernych 431
Stałe oblicza się przy pomocy metody współczynników
nieoznaczonych (patrz str. 151).
Całkowanie wyrażenia — przeprowadza się według wzoru
x2+px+g
1 x+px+q }/.-> ]/,->
Przykład.
-J5
4<& 4 ^ , O+D
+ •
l+4x' x3+4x x ^ xa+4 '
Metoda współczynników nieoznaczonych prowadzi do równań
A + C = 0, D = 0, 44 = 4,
skąd A = 1, C = —1) D = 0, zatem
(w danym przypadku nie ma wyrazu zawierającego arcus tangens).
4. Mianownik zawiera pierwiastki zespolone sprzężone wielokrotne:
F(x) = (*-«)* (*-#'... (x2+/>*+«)m (x2+i>':e+«T ■••
Rozkład ma postać
Q(x) Aj, Ai Bt B2 Bi
x*+px+g r(**+>*+?)'"' "" ' (xa+/>x+«)m "'
E^+Ft EjX+F2 Enx + Fn
X2 + p'x+q'~ ^ W+P'x+q')2^ '" r(*ł+/»'*+«0n"'
Stałe oblicza się przy pomocy metody współczynników
nieoznaczonych (str. 159).
Całkowanie wyrażenia -r-ir^—'—^— przeprowadza się w następu-
(.X2+px+q)m *
jacy sposób: Przekształca się licznik
CmX+Dm = ±Cm(2x+p)+ \Dm-~Cmp).

432 III. Rachunek całkowy
Szukaną całkę rozkłada się na dwa składniki. Pierwszy z nich
całkuje się od razu
C Cm (2x+p)dx Cm 1
J 2 ' (x2+px+q)™ 2(m-l)' (x2+px+q)m-i>
a drugi (bez współczynnika) — według wzoru na obniżenie wykładnika
potęgi:
dx X+^P
tx*+px+qr -2<.m-i)(q-Lp*){xz+px+q)^ +
« /
Przykład.
2xs+2*+13
( Jbf±2x
J (*-2)(*
■<fcc,
2+Da
2*B+2*+13_ = _Ą_ Cxx-\-D1 C&±Da
(»-2)(*«+l)« x-2+ xa+l + (*»+l)"'
Metoda współczynników nieoznaczonych prowadzi do układu
równań
A + C1 = 0, ~~2C1+Dl = 0, IM + d-apH-C, = 2,
-2C1+i)l-2C,+Ą = 2, ^-2A-2A = 13,
skąd A=1,C1 = -1>D1 = -2, Ca = -3, A = -4, zatem
7= f( 1 *+2 3x+4 \ J
Ale ze wzoru (1) wynika, że
f_^__ * . 1 C dx _ x 1
J (*a+l)a 2(*«+l)"ł"2 J ^+T~ 2(^+1)+ yarctgx'
skąd ostatecznie mamy
3~4x 1 (x-2)a ,
1 = 2(^tiT+Tln ^rr ~4 arc tg x+c-
Wyłączenie wymiernej części całki (metoda Ostrogradskiego).
Całką funkcji ułamkowej wymiernej jest funkcja elementarna złożona
z części wymiernej (czyli ułamka algebrzicznego) i części przestępnej
3. Całkowanie funkcji wymiernych 433
(zawierającej logarytmy i arcus tangensy); część wymierna występuje
przy tym tylko w drugim i w czwartym z rozważanych przypadków,
to znaczy tylko wtedys gdy mianownik funkcji podcałkowej zawiera
pierwiastki wielokrotne (rzeczywiste lub zespolone). Część
wymierną można znaleźć bez całkowania przy pomocy metody
Ostrogradskiego i sprowadzić obliczenie całki do przypadków, w których
mianownik zawiera tylko pierwiastki jednokrotne. Metoda polega na
wykonaniu następujących czynności:
Mianownik P(x) funkcji podcałkowej J* } (ułamka właściwego
nieskracalnegOj patrz str. 429) ma postać
P(x) = (x-a)k (x-p)i...(xs+px+q)™ (x^+p'x+qy ...
Można go rozłożyć na dwa czynniki Pi(x) i P*(x)» gdzie Pt(x) jest
iloczynem wszystkich czynników wchodzących w skład P(x) i
wziętych w pierwszej potędze:
-PaCO = <*-«)(*-#••■ &*+px+q) (x*+p'x+q')...,
zatem
AC*) = (x-a^-^ix-p)1-1 ...(x^+Ax+q)^-1 (xz+p'x+q')»-K.. i1)
Daną całkę można przedstawić w postaci
dx
(A) J -P&^-P^+J Pz(x)
(wzór Ostrogradskiego), gdzie P(,x), -PiGe), Pz(x) są wielomianami
wiadomymi stopnia odpowiednio r, s i t3Q(x) jest wielomianem wiadomym
stopnia nie wyższego niż r— 1, a Q% (x) i Qz(x) są wielomianami
niewiadomymi stopni nie wyższych niż s—1 i odpowiednio r—1:
&(*) = ax*-1+bxs~z+ ... +d, Qz(x) = ext~1+fxt-*+ ... +h.
Różniczkowanie (A) daje
w P(x) Lp^J + p2c*)*
Współczynniki niewiadome wielomianów Qi(x) i <2a(x) wyznacza
się z równania (B) metodą współczynników nieoznaczonych.
Znając wielomiany Qi(x), Pi(»), Qz(,x) -Pa(x)3 sprowadzamy
obliczanie całki danej do wyznaczenia całki f ^~ <ftc, w krórej mianow-
J -PaW
nik funkcji podcałkowej nie zawiera pierwiastków wielokrotnych.
C') Znajdowanie wielomianów P^x) i Pz(x) nie sprawia trudności, jeżeli znany
jest rozkład P(x) na czynniki, tzn. jeżeli wyznaczone są wszystkie pierwiastki równania
P(x) = 0. Ale Ps(x} i Pt(x) można także wyznaczyć nie rozwiązując tego równania:
w tym celu wystarczy scałkować wielomian P(x) i znaleźć największy wspólny
dzielnik wielomianów P(x) i P'(x) (patrz str. 157). Ten największy wspólny dzielnik
jest równy .*>,(*), a P&(x) = P(x)//,1(x).

434 III. Rachunek całkowy
Przykład.
f x4+x3+4x3+3x+2
J o+i)«<v+i)« *
Mamy tu
Px = Pa = (x+l) (*2+l) = x3+x3+x+l,
P = (x3+x2+x-]-l)3,
Q = x4+x3-]-4x2-]-3x+2,
Q, =, ax2+ftx+c,
Q2 = ex*+fx+g.
Wzór (B) daje
x4+x3+4x2 + 3x-]-2 / ax*+bx+c \ ex*+fx+g
(x* + x2+x+\)z U3+*2+x + l/ + x*+xs+x+l 3
skąd
x4+x* + 4x2+3x+2 = (2ax+b) (x*+xs+x+l)-
~(ax*+bx + c) (3x*+2x+l) + (ex*+fx+q) (x*+x*+x + l).
Przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach x w obu
częściach otrzymamy układ równań względem a, ft, c, e, f, g:
1. e = 0, 2. ~a+f =- 1, 3. -26+/+* = 1,
4. a-ft-3c+/+^ = 4, 5. 2a-2e+/-rtf = 3, 6. b-c+g - 2.
W równaniach 2-6 współczynnik e=0 został pominięty. Stąd
A więc
'x4+a:3 + 4x3+3x+2
fx4-|-x3-|-4x3-
J (x+ !)■(*"
<*x =
= 1_ xa-x + 4 3 /• x+l
4 ' x3+x2+x+l + 4 J (x + l) (x2+l)
Ostatnia całka równa się arctgx.
Tablice całek funkcji wymiernych patrz str. 441 - 484.
4. Całkowanie funkcji niewymiernych
Całki funkcji niewymiernych nie zawsze wyrażają się
funkcjami elementarnymi. W najprostszych przypadkach całki funkcji
4. Całkowanie funkcji niewymiernych
435
niewymiernych można sprowadzić do całek funkcji wymiernych za
pomocą następujących podstawień:
Całka C)
Podstawienie
i*(*Vz$h
V,
f(*V&Vs3"h V
cx-\-e
ax+b
cx-\-e
= *,
fRix^ax^+bx+c )dx
1° przypadek, gdy a>0(3)
2° przypadek, gdy c > 0
3° przypadek, gdy trojmian ma
dwa pierwiastki rzeczywiste różne:
ax*+bx+c = a(x-a) (x—)3)
gdzie r jest najmniejszą
wspólną wielokrotnością liczb », m,...
Jedno z trzech podstawień
Eulera:
^axs+bx+c = t— -/ax,
^axP+bx-fc = xt+ ]/c~,
]/axa+ix+c = r(x—a)
Całkę JR(x, \/axa+bx+c) dx można także sprowadzić do jednej
z trzech następujących postaci:
fR{x>\/x*+&)dx> JR{x,\/x*=tf)dx, fR(xiy/^^)dx)
gdyż trojmian kwadratowy ax2+bx+c można zawsze przedstawić w
postaci sumy lub różnicy dwóch kwadratów.
Przykłady.
1. 4x3+16x+17 = 4(x3+4x+4 + i) =
= 4 [(x+2)3+ (-|)2] = 4 [*!+ (!)•], gdzie Xl = x+2.
2. x*+3x + l = x3+3x+~-4 = (x + 4)s- (i-l/^)8 =
- x>- {^5]\ gdzie xx = x+ \.
3. -x*+2x = 1 -xs+2*-l = ia_(x_i)2 _ is-xf,
gdzie xx = x— 1.
(l) Symbol R oznacza funkcję wymierną wyrażenia, do którego się odnosi. Liczby
n, m,... są to liczby naturalne.
(*) Jeżeli a < 0 i trojmian a&Ą-bxĄ-c ma pierwiastki zespolonej to funkcja
podcałkowa nie istnieje dla żadnej wartości x, ponieważ j/o^+fec+e jest liczbą
urojoną przy wszystkich rzeczywistych wartościach ■»

436 III. Rachunek całkowy
Całki takie oblicza się przy pomocy następujących podstawień:
Całka
jR(x,]/x?+a* )dx
jR(x,\/x*-a? )dx
^R{x,yai-xi)dx
Podstawienie
x = asinhr lub x — atgt
x = acosht lub x = asecr
x — ctsinr lub x = acosr
Powyższe podstawienia prowadzą do całek wyrażeń wymiernych
zawierających funkcje trygonometryczne lub hiperboliczne (patrz str.
438 lub 441).
Całkowanie różniczek dwumiennych. Różniczką dwunńemią
nazywamy wyrażenie
xm(txĄ-bxnydxs
gdzie a i 6 są dowohiymi liczbami rzeczywistymi, a hi, n, p —
dowolnymi liczbami wymiernymi (dodatnimi lub ujemnymi).
Twierdzenie Czebyszewa. Całka
(1) f x«*(a+b}^)Pdx
może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych t y 1 k o w trzech
następujących przypadkach:
1. p jest liczbą całkowitą. Wyrażenie (aĄ-bxn)P rozwija się według
wzoru na dwumian Newtona (patrz str. 206) i funkcja podcałkowa
po otwarciu nawiasów jest sumą składników postaci cxk, które łatwo
scałkować.
2. jest liczbą całkowitą. Całkę (1) sprowadza się do całki
funkcji wymiernej przez podstawienie t = |/a-[-6x"3 gdzie r jest
mianownikiem ułamka p.
m j -i
3. Yp jest liczbą całkowitą. Całkę (1) sprowadza się do całki
funkcji wymiernej przez podstawienie t = ~\I-~—3 gdzie r jest
mianownikiem ułamka p*
Przykłady.
i. ryi+2* dx= (Vi/*(i.^imi/a^
J yx J
1 x 1 ™+l « , ^, «
»i = -y, n = -£> P = T' ~~n = (przypadek 2).
4. Całkowanie funkcji niewymiernych 437
Podstawienie
t = Vl + W> * = (t3-l)S dx = 12tXt*-l)3dt,
\Y±±lLdx = i2 f(t*~i*)dt=2-m*-v+c.
J y x J '
2. f^£Ł= (x*(l+x»)-wdx,
J yi+x* J
1 m+1 4 m + 1 ,A_13.
m = ^i n = 3, p = --£l -^- = y> -V~+P~l2'
nie zachodzi ani jeden z warunków 1, 2, 3 — całka nie jest funkcją
elementarną.
Całki eliptyczne. Całki postaci
f R{x,]/ax;t+bxs+cx+d)dx,
fR(x, y'axi+bx3+cxtt+dx+e)dx
z reguły nie wyrażają się przez funkcje elementarne. W przypadkach
gdy całki te nie są funkcjami elementarnymi, nazywamy je całkami
eliptycznymi (*).
Całki typów (A) nie dające się wyrazić przez funkcje elementarne
mogą być za pomocą przekształceń sprowadzone do funkcji
elementarnych i do całek następujących trzech typów:
r dt r i2dt
J i/(l-:2)(l-*V)' J i/(l-*2)(l-W
CB) f dt
gdzie 0 <k < 1.
Przy pomocy podstawienia t = siny (0 < ę < -^ n) można
sprowadzić całki (B) do następującej postaci Legendre'a:
f f — {całka eliptyczna pierwszego rodzaju),
J {/l—k-sm-(p
j' \f\— ktsitfcpdę {całka eliptyczna drugiego rodzaju),
f y — {całka eliptyczna trzeciego rodzaju).
J (l+/isin»]/l-/:2sin3y
(1)W przypadkach gdy całki (A) można wyrazić przez funkcje elementarne,
nazywamy je całkami pseudoeliptycznymi.

438 HI- Rachunek całkowy
Odpowiednie całki oznaczone z dolną granicą całkowania równą
zeru oznacza się następującymi symbolami:
(I)
dę
r . av -Bo*,*),
J yl-k2sm*y)
(II) J]/l-A«smV dy> - E(k3 cO,
o
<p
(III) f W; = //(*, A, 90,
J (l + ńsinav-)rl-^sinaV
gdzie ft < 1.
Całki te nazywamy całkami eliptycznymi niezupełnymi,
odpowiednio pierwszego, drugiego^ trzeciego rodzaju. Gdy <p = -^n, całki (I) i (II)
nazywamy całkami eliptycznymi zupełnymi i oznaczamy
—ft2 sin2 v
o '
it/2
E - E{kĄ u) = j* /l-A'sinV^.
o
Tablica wartości całek eliptycznych niezupełnych i zupełnych
pierwszego i drugiego rodzaju patrz str. 92, 93.
Tablice całek funkcji niewymiernych — patrz str. 450-464.
5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkę postaci
(A) JR(sinx, cos#)ds i1)
można zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej za pomocą
podanego poniżej podstawienia uniwersalnego, w szczególnych zaś
przypadkach również i prostszymi sposobami.
Podstawienie uniwersalne dla całki (A)
x 2dt It X-t"
t-tgg, skąd dX = TC?, sin*=TT7?, cos* = TT?r.
(') Symbol R oznacza funkcje wymierną wyrażenia, do którego się odnosi.
5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych 439
Na przykład
It \ 2dt
f 1+sinx dx C\ ^l+f/l+f 1 f/f|J l
J sm*(l+cos*) J 2t I l-t*\ 2j\ *
■TW\l+~TWJ
i i ^-2X i i
= £t»+M-^ln|rl-r-C = —jL_+tg-*+-ln
tg^*
C.
Jeżeli w funkcjach podcałkowych całki (A) sin* i cosx występują
tylko w potęgach o wykładniku całkowitym, to całkę tę można
najprościej sprowadzić do funkcji wymiernej za pomocą podstawienia
t = tg#.
Metody uproszczone w niektórych często spotykanych
przypadkach:
1. f/?(sm*)cos*tfo:. Podstawienie t = sin#,cos;eifo: =dt.
2. j*R{co$x)sm.xdx. Podstawienie t = cos*, sixixdx = — dt.
3. (sinnxdx. Jeżeli n jest nieparzyste (» = 2»i-fl), to mamy
j*sin2m+1xifc: = J(l —cosax)msinxrfx = — j* (1 — t*)mdt,
gdzie t = cos x.
Jeżeli n jest parzyste (» = 2m), to mamy
j sla2mxdx = J (l(l-cos2x)) dx = —^ j (1-cos t)mdł,
gdzie t = 2x.
Wykładnik potęgi jest teraz dwa razy mniejszyj otwieramy nawias
w wyrażeniu (1—cosi)m (patrz niżejj przypadek 4).
4. j*cos"xdx. Jeżeli n jest nieparzyste (» = 2m+1), to mamy
Jco8,tM*lxdx => j(l-sin^x^cosxdx = j* (l—*■)"«&,
gdzie t = sin*.
Jeżeli n jest parzyste (m = 2m), to mamy
j cos«»*<& = j [y(l+cos2x)J dx = —L j (H-cosr)"^
gdzie r = 2x,
Wykładnik potęgi jest teraz dwa razy mniejszy; otwieramy nawias i
całkujemy wyraz po wyrazie.

440 III. Rachunek całkowy
5. fsinnxcosinxdx sprowadza się do przypadków 1 lub 2, jeżeli
przynajmniej jedna z liczb m i n jest nieparzysta.
Przykłady.
J*sinaxcos5x<fr = Jsinax(l-sinax)2cosxdx = j ia(I —ra)Vr,
gdzie t = sinx,
/• sinx , r dt
■ . ■. dx= — —7=-> gdzie t — cosx.
J |/cosx J yt
Jeżeli obie liczby m i n są parzyste, to potęgi mogą być obniżone
dwukrotnie, podobnie jak w przypadkach 3 i 4. Wykorzystuje się przy
tym wzory
sin2x . . 1— cos2x „ l+cos2x
srnxcosx= —-—, sin3* = - , ccsax = ——- .
2, 2. 2
Przykład.
j"sin2xcos4x<fe = j"(sinxcosx)acosBx<fe = ~-fsin22x(l+cos2x)<fc: =
= -i-Jsina2xcos2jc(fe+^J(l-cos4x)(fe -
= •igsina2x+lgx--^sin4x+C.
6. ftg'xdx = /tg«-2x(secax-l)dx = Jtg«-2*dtgx-jtg*-aX(fe =
tg"-lx c
= : tgn-*xdx itd. Iterując powyższe postępowanie spro-
»—i •>
wadzamy całkę do całki jdx = x-\-G, jeżeli n jest parzyste, albo do
całki j\%xdx = — In|cosx|+C, jeżeli n jest nieparzyste.
7. fctg*xdx całkuje się podobnie jak przypadek 6.
Tablice całek funkcji trygonometrycznych — patrz str.
464 - 477.
6. Całkowanie innych funkcji przestępnych
Funkcje wykładnicze. Całki postaci
gdzie m,n)...ip są liczbami wymiernymi, sprowadza się przy pomocy
podstawienia! = e* do całki f-R(tm> t*,..., tv)dt, a tę całkę sprowa-
J t
6, Całkowanie funkcji przestępnych
441
dza się do całki funkcji wymiernej (patrz str. 428) przy pomocy
podstawienia z = |/' t, gdzie r jest najmniejszą wspólną wielokrotnością
mianowników ułamków /«,«,.. „ p.
Funkcje hiperboliczne. Całki zawierające sinhx, coshx, tghx,
ctghx oblicza się zazwyczaj wyrażając funkcje hiperboliczne przez
wykładnicze (str. 248). Najczęściej spotykane przypadki jsinhnxdx,
jcośhnxdx} fsmhnxcQsh"1 xdx całkuje się przy pomocy metod
analogicznych do tych, które stosowaliśmy t»rzy całkowaniu funkcji
trygonometrycznych (str. 438 - 440).
Zastosowanie całkowania przez części. Funkcje zawierające
logarytmy, funkcje cyklometryczne oraz odwrotne funkcje
hiperboliczne, iloczyny xm przez lnx, eax, sina* lub cosa* całkuje się
najczęściej przez zastosowanie (raz lub kilka razy) wzoru całkowania przez
części (str. 427). W niektórych przypadkach kilkakrotne zastosowanie
całkowania przez części doprowadza do całki wyjściowej i wtedy
obliczenie tej całki sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego.
Tak na przykład oblicza się całki fe^cosbxdx, fe^&mbxdx (w
całkach tych całkowanie przez części stosuje się dwnkrotnie, przy czym
za m bierze się w obu przypadkach funkcję jednego typu — wykładniczą
lub trygonometryczną).
W przypadkach jP(x)eaxdx) jP(x)sinbxdx, /P(x)cosbxdx, gdzie
P(x) jest wielomianem, również stosuje się wzór na całkowanie przez
części.
Tablice całek funkcji przestępnych znajdują się na str. 477 - 484
7. Tablice całek nieoznaczonych
Wskazówki ogólne
1. Stała całkowania została wszędzie pominięta z wyjątkiem
przypadków, w których całka może być przedstawiona w różnych postaciach
z różnymi stałymi dowolnymi.
2. W tych przypadkach, w których funkcja pierwotna jest
przedstawiona w postaci szeregu potęgowego, funkcja ta nie może być
wyrażona przez funkcje elementarne.
Całki funkcji wymiernych
Całki zawierające ax+b, gdzie a^O
Oznaczenie: X = ax+b.
1. (X"dx = . .. X**\ n*-\ (gdy «=-l, patrz 2),
•I a{n-\-l)

442 III. Rachunek całkowy
,/^l,„,*|.
3. f xX"dx - ,. V -. *"+2- 2, * ., X**1,
J a2(n+2) a2C«+l)
k# — 1, —2 (gdy « = —1, ~2j patrz 5 i 6).
4. J xmX»rfj; = —^^- J (X—6)mA'"dA'; wzór ten stosuje się, gdy
w < m lub gdy m jest całkowite, a n ułamkowe; w tych przypadkach
wyrażenie (X—b)m rozwijamy według wzoru na dwumian Newtona,
str. 206; n# — 1, —2,..., ~m).
C xdx x b
C xdx _ \ ( 1 & \
'' J X2 a2 \ X +2X'}'
fxdx - J / -1 , & ) „*1 2
J ~J& " «2 \C«-2)X"-a + (w-l)^-1/' ^ * '
). f~r =-l/l^-26X+62ln|A-|j.
o-/
f*»dx 1 / -1 26 6Z \
J X* a3 \(n-3)^3 + («-2)A""-a (m-I)A""-1/'
,/^^(-_^l+M^lnlX|).
^-^(£-3«+3«ni*+£).
n # 1, 2, 3.
7. Tablice całek nieoznaczonych 443
X5dx
"X^
Cx*dx
>un+»-,* +
17
X 2X2 ' 3X*
-1 36
+
36*
X" " a* \(»-4)X*-* ' C«-3)X«-8 C«-2)X""3
+
+
18
■/
(«-l)X*-
«j* 1, 2, 3, 4.
-Th
,9. / *
xXs
--■Ar In
+
ax
dx
xX*
_l_L X 2ax asx*
b3 \ x + X 2X*
n-1
' J x2X :
f dx
' J x*X* *
f dx
, r dx 1 \ y/»\(-<Q^-* X \X\\
22
23
24
-*+>
1 1 L_ ! 2 .
\262A"2 T
b*X ^ ab3x
X
X
-
)•
£-
X
X
25
26. /
27./
28
•/
d»
x3Xa
dx
x^X*
1=2
1 / 2) X 2aX X*
-¥\anax --T+2^'-
«>2.
"*(**
-£|6«-ln
a3x X2 3aX\
+ X + 2x* x j'
Aazx
~X~
aW_ Xl
2X* 2x%
4aX
x ,

444
III. Rachunek eałkowy
fi + 1
*x*
2x2
J x*Xn i"+a l ^L\ i (i-2)Xi~2'i' 2
(n+l)aX , n(n+l)a3 , lxi]
S + 2 ln|*|J',,>3-
łH + M-2
' J x»X" fc»ł«-i Zj \ i J («-i-l)x«-*-i'
jeżeli mianownik któregokolwiek wyrazn pod znakiem sumy równa się
zeru, to taki wyraz zastępuje się składnikiem
(m+n—2
(—a)'n-1 In
Oznaczenie: J = bf—ag
C ax+b , ax A t ,,
32.
33
•/o
ąx+b) (fx+g) " ^
ax-fft
, A*0.
xdx
= ^{-^hilax+bl-^lnlfx+g}], A^O.
' J (ax+b)(fx+g) A \a
dx = 1 / 1
rx+g) A \ax+b ' A^lax+b
b a
35 f—±
36
(ax+by(fx
xdx
UJfx+g
'•/-£
(6+*)2
63 oa
In
, A*0.
a+x
+x) (b+x)* (b-a) (b+x) ^ (6-fl)«
b*-2ab
b + x
lnla+x) +
, aźb.
+
(b-a)*
ln|6+x|, a^b.
„ f dx -1 / 1 1 \ 2
J (a+x)z(b+xy (a-b)*\a+x+ b+x} + (a-b)3
C xdx _ 1 / a b \ a+b
J (a+x)2(b+x)2 ~ Jja=hy[a+x+ b+x) + (fi-b)'
a+x
b+x'
aźb.
a-fre
b+x'
a^b.
7. Tablice całek nieoznaczonych 445
a-\-x
30 f x%dx -1 I a* b* \ 2ab i
'J (a+Xy(b+xy (a-by\a+x+ b+xj + (a-b)*
Całki zawierające ax*+bx+c, gdzie a^O
Oznaczenia: X = axs+bx+c, A = 4ac—ba.
dx 2 2ax+b
"■J-x—j/f^Tr-**0-
, 2ax+b 1
artgn - ■ ■■- = In
2ax + 6— j/^Z
2ax+6+ ( — A
b+x'
a^b.
A<0.
., C dx 2ax+b 2a C dx r
41- J x*= -sr+t J xCpatrz 40)-
42- J x* - -r- bxs-+3x) +^r J jt (patrz 40)-
" J X* (n-t)AXn-1 + (n-l)J J X"-1 *
r xdx bx + 2c b(2n-3) C dx
'J Xn (n-l)JX"-1 (n-l)A J X"-1*
._ Cx*dx x b . .„, b*—2ac C dx ,
47" J -X" « " 2^ln|X|+^^- J X fe"1* 40)*
48- i Itr » -^"^ + ^ J T (Patrz 40).
49 (•**<** . -* g C dx (n~2)b C xdx
'J Xn (2n-3)aX"-l+(2n-3)aJ X" (2«-3)aJ X"
(patrz 43 i 46).
50 f**"*** x*""1 (m-l)c p"-'(fa
* J X" (2«-m-l)«X»-1+ (2«-m-l)a J X*
- w^ki S *9* •""2n-x **m -2n-1,pa,rz 5I)-

446 III. Rachunek całkowy
C &*-ldx __^ C x*n-*dx e C xiJt~adx b C x*n-*dx
'J Xn ~ aJ X"'1 ~aJ ~X* ~aJ X* '
„ r dx I , x* b Cdx .
53 f-*-.. l Af^ + lf_^_
J xX» 2c(n-l)Xn-1 2c J X»^ c J xX*~1'
CA f dx b . \X\ 1 Ib* a\ fdx ,
55 f *** = _ (2n+m-3)a f dx
' J xmXn ~ (m-Dcx^X*-1 (m-l)c Jxm~iXn
(m-l)cx>"-1Xn~1 (m-l)c
(n+m—2)b
(m-l)c
C dx
m> 1.
56 f * - ' /fln^+^1
■ •> tfx+g)X 2(sf*-gbf+g'a) \/m |A| / +
Całki zawierające az±x2, gdzie *M0
Przyjmujemy a > 0 i oznaczamy
A' = a«±*', Y =
arctg —,
artgh— = —In
a 2
arctgh-
-In
a+x
gdy X = a'+xa,
\x\< a.
a—x
x—a
, gdyA- = a!
— *».
, gdy A' = a'—x'
i |*| > o.
W przypadku gdy we wzorze występuje znak podwójny, to górny znak
dotyczy przypadku, gdy X = a2+x*, a dolny dotyczy przypadku, gdy
X
57
58
59
J Xs 4a
2a*X ^ 2a*
x 3x
Y.
*X* ^ Ba*X + 8a* Y'
7. Tablice całek nieoznaczonych
J Xn+1 2nalXn 2na? J
, „. .. 2«— 1 Cdx
«.Ji£=±Ii-l*l.
62" J^-T2X"-
«J*-=F
65
Xs 4X2
«tfr __ 1
"•/^-TS*""0-
fsM* * * 1
°'- J A3 " 4X2 ^Sa'X 8a3 *
70.
7I./**__JU .-■
A3 2X1 4Xa
f «3tfr: 1 a2 .
72- J p+i - 2(»-l)A:f'-1 + 2nX«* '
„„ f dx 1 , x2
J xX2 2&X+ 2a* \X\'
f dx 1 , 1 _Lj^_
J *X3 4a2X2+ 2a*A: + 2a6 |X|*
J x*X aŁx a3

448 III. Rachunek całkowy
77 f * - 1 T * T 3 Y
'* J xaXa a*x T 2a*X "r2a11
|" da; 1 a; 7x 15
J x3X 2a*&T2<* \X\'
8°* J x3*2 ~~ 2aW ^2a*X T a» ^WV
fti f^*_ = 1 1 1 T 3 &_
J i3*3 2a8*3 + aeX +4a*X*+ 2a* \X\'
8Ł J-»OT = ^WHi+ra|-|ln|xlTly)'
Całki zawierające a3ix3, gdzie a^O
Oznaczenie: X = a3 ix3; jeżeli we wzorze występuje znak
podwójny, to górny znak dotyczy przypadku, gdy-X = a3+x3, a dolny dotyczy
przypadku, gdy X = a3—x3.
<& , 1 . (a±x)2 . 1 2xTa
•Jr=W + sJy (patrz 83).
f x<& xa 1 f xdx . Drx
' )^=3aVC+w)~X- (P^trzSS).
86. . „„ ....... x
S7./-^±llnl,l.
f £3dx 1
88' J-x^-^sx-
89 . x3<** . _ „ r <&
r x3<w , r dx ,
'• J -^- = ±*=Fa3 J -^ (patrz 83).
7. Tablice Całek nieoznaczonych 449
f dx 1 x2 _,_ 4 f xdx . Q_
• J ^5= - —=F^^7=F^i- I -^ (patrz 85).
1 1 . *»
xrfx
94
X
„_ f <** 1 1 fife ,
Całki zawierające a*+x*, gdzie a#0
97- -TT-
+** 4a3|/2
In
x3+axj/2 +a2
x2-oxl/2 +aa
+
+
f xdx 1 xa.
■ J^T^ = 2^arct8^-
' +
_x*dx_
d^+x4
4a|/2
x2+aa:]/2 +a3
X3—axj/2 +a2
2a3|/2"
+
arc tg
ax
V2
1 . ax]/2
-| — arc tg-—-—
2o]/2"
100.
101
■J^^--4lnCa4+x3)-
Całki zawierające a4—x4, gdzie a#0
f dx _±
• J a*-x* 4a"m
1/¥1 f xix 1 . a8+*3
102' J^=^=4^ln|^^|'
+ 2^arCtgT-

450
III. Rachunek całkowy
,03. f-**L_ 'ln
J a* — x* 4a
J ai—xi 4
-2^arCtgT-
105.
106.
Niektóre przypadki rozkładu ułamka na ułamki proste
1 1 / b g
gdzie A =
107.
(a+bx) (f+gx) fb-ag \ a-\-bx f+gx f'
! ^_,^,_C_
(x+d) (x+b) (x+c) x+a x+b x+c'
1 _ 1
(b-a)(c-a)
1
, B =
(<*-b) (c~b)
, C
1
(a-c)(b~c)
A B , C D
gdzie A =
108.
(x + a) (x+b) (x+c) (x+d) x+a + x+b **" x+c *+<* *
1 _ I
(fc-o) {c-a) (d-a) ' S (o-ć) (c-b) (d-b)
1 1 / b g
itd.
(a+fec2) (/+£#*) #-<tf \a+bx* f+g&y
Całki funkcji niewymiernych
Całki zawierające ]/# U8±*a*> gdzie aź0
Oznaczenia:
6]/7
JT = a,±frI*ł Y= ^
arc tg
i*
a
a+b}/x
a~b)/x
gdy x = aa+6%
, gdy x = az—bsx.
W przypadku gdy we wzorze występuje podwójny znak, to górny
znak dotyczy przypadku, gdy X = a2-\-b2x, a dolny dotyczy
przypadku, gdy X ~ a2—b*x.
]/x~dx _ , 2\/x~ ^2a
& T b3 Y'
109. /
im f ^dx - i 2 ^ W* i 2fl3y
7. Tablice całek nieoznaczonych
451
1U.J
112./
113
I
115
fódx 2]/^ 3a'y*" 3a
± b*X + 6*X 65
C dx 2
I —= = —y
' J X}/x ab '
dx ^
2&
H> J X^ a*}/x a3
r_dx = V* . *■
116
V*
Jdx
X*}/x~*
+ — Y.
asb
2 3b*-/x _^3b
a*X\fe a*X a5
Inne całki zawierające jA
117
r |/y dx __
2a]/2
In
x+qj/^JH-a1
x-aj/2x+aa
I al/2x
+ —^=rarctg-^—.
a]/2
x+a}/2x + a2
c dx _ 1 ;c+aj/2jc
U8' J (a*+««)>/x" ~2a*-)/2 |*-a>/&
2X + 02
a^O.
I al/2x
+ — arc tg — ,
a8]/ 2 a*-x
a?«0.
«+y7
119. i =- —ln
J a4—xz 2a
I2°- J (o4-x2)]/^ 2as
a— }/x
I V^
arc tg ——, c?50,
a a
a+ i/x I 1 y'* , n
fl_ ^ | a3 a
Całki zawierające |/<w+6, gdzie <M0
Oznaczenie: X = ax-\-b.
121. f ]/xdx = ^- VX*.

452
123.
124.
125.
126.
127.
jX*}/Xdx
III. Rachunek całkowy
2(15aBjea-12a6s + 8fra)}/X3'
105a3
2 ix
/dx
i~X a
xdx 2(ax—2b) ,—
3a3
/xax
Cx2dx _ 2(3a*x2-4abx+8b2)}/X'
J ix
J dx
xix
15a3
-^artgh
X 1
b ib
ix-ib
Vx+fb
6>0,
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
L35.
L36.
g|/^,6<0.
f ^ dx = 2^X+b f-^= (patrz 127).
J X J v1/y-
V=s
ix
J
dx _ ix
x*\/X
ix
bx 26
-f
26 J
ix
dx
xix
(patrz 127).
/ *
&ix
J ix*dx -
Jxj/X^dx
ix : a_C dx
ix (2m-3)o r
rf* = - -4=- + -J- J —7= (Patrz 127).
* 2 J xix
dx
(n-Vbx"-1 (2n-2)bJ xn~iy/x'
2i~X*
~5o~'
2
~ 35a:
(5j/X7^76j/^)-
xdx
(patrz 127).
J' a» \ 9 7 5/
i.^+a^+t./ *
/
/x3
^(^+T¥/-
xj/X
7. Tablice całek nieoznaczonych 453
137. f^-All&.-vjs*).
J ix* a \ 3 y>/
138. f-Ł = -Ą= + \ f-^L (patrz 127).
139. f-^-- ^~^r-^f-^ (patrz 127).
2X(a±»)'a
a(2±n) '
2 /x(4*")'a 6X(a±")'2
4±» 2±»
140. Jx±n'2ax -
141. fxXJ*'1d!r = 4r
142. f ««.<fa - Ą (^ - ?"«=* +
J a3 \ 6±« 4±« 2±n
,., fXn'zdx 2Xn'2 , fXC-')'2 ,
143. ———■ = — 1-6 — dx.
J x n J x
144 f dx _ 2 1 1 f dx
145 f dx 1 na C dx
Całki zawierające j/axTfe i ifx-\s» gdzie o^Oi/^O
Oznaczenia: X = ax-\-b» Y = fx+gs A = bf—ag.
147, -p=- = —7 ^r- /— (Patrz 146).
J iXY <*/ 2af J fay
2ix
An C dx ■ 2yX
148. ._ , = '-t^-
J ixiY* AiY

454
III. Rachunek całkowy
149
r dx
J v./v
2 f\/X
■arctg- '
Y\/X y-Af y'-Af
f\/X-\/A~f
VAf
In
fy'x + y'Af
150.
151
152.
A + 2aY
Af<0,
Af>0.
dx
(patrz 146).
j/Ad* 2/A- J
/
(patrz 149).
' J Y f T-fJ Yyx
J ^A (2n+l)a\r J yX J
155. f^^-j^f^Y^+Af™) CP«rzl53).
i« f /a^ _ 1 ł /x a^ r dx
xv>- J Yn („_i)/ \ y»-i + 2"J ,/xyn-
Całki zawierające ya2—#a, gdzie a^0
Oznaczenie: X = a2—x2.
1 / /=■
157. jyxdx= —(x/A'+a^rcsin— .
158. f x ^A- dx = - y j/jT8.
159. JxaV/Arfx = -~V/A^ + -^-(*V/Ar+ai
arc sin -
7. Tablice całek nieoznaczonych
455
161-
162.
L63.
164.
165.
L66.
L67.
168.
L69.
170.
171.
L72.
173.
174.
75.
A.^ = ,/v.
a+yx
arc sin -
f &Ldx = ^A-aln
J x2 x
C)/X , l/A , 1 .
J V^ = -^ + 2aln
r <** .x
a
a+^A
= -l/A.
C x*dx x .__ aa
/■
r dx
J v2
!
dx __ _ _1_
j^A
a2*
a+^A
x*yx
dx
Vx
V*
-Aln
2aax2 2aa
a+}/X
fv^dx=±(x^+^Vx+^KCSin^
jxyx^dx^-^yx^.
r ,— *|/X» a2xi/A* , «**/X , a1
,, arc sin—
16 a
X3dx =
\/X* a*^X*
J x 3
7 5
-+a2j/A-a3ln
a+j/A

456
Ił I. Rachunek całkowy
176
(±1
J x
)/X3
dx =
l/X* 3 7— 3 , . x
-i— —— xyX —— a arc sin —
* 2 r 2 a
,„„ f ]/X3 , ]/X3 3}/x , 3 ,
X3
2x*
a+^X
178. J
179./
aaj/X '
1
\/x*
xdx
yx* \/x'
x2dx x . x
—j= — ■ .— —arc sin —
yx3 yx a
181. f**-^. *
182. J^ = ^--4ln
180.
/
183.
/
184. f-^=
x\/x3 a?\/x *
dx 1 { \/x
a+\/x
x2}/x*
dx
o4
« +7F'-
■+
iln
20^^^ 2a*y'-X' 2ab
a+\Tx
Całki zawierające Z^+a2, gdzie a^O
Oznaczenie: X = x2-\-a2.
185. jy^Xdx^ ylar^X+a^rsinh — )+C =
= ^\x]/x +aałn|x+ j/x | j +Cx.
186. fxi/xdx =-1 ^X5.
187. Jx2/XJx - -1* ^X* ^-a21* ^X +a2arsinh—) +C =
= Tx |/x* - 4-a2 (* VX +a2ln 1*+ >/jr |) + d
4 o
7. Tablice całek nieoznaczonych
190./
188
189
3
a+j/x
^ <& = _ij*-+arsinh-+C =
a:
+\n\x + \/x\+C1.
191
J"
Vx^__Vx_
X3
dx
■ dx =
2x*
__Lln
la
a+\/x
yx a
- arsinh — +C = ln|a+ ]/x\+C1.
194.
xadx
./ifUi-^-L^^+C
= ±-x y/X- Ą-a*ln l*+ Al+C»-
2 ^
195
J ^X 3 r
c+y'x
r dx 1 ,
J *^X a
i* dx \/x~
'}/X
>*/^-^+ita
x^X
a+]/X
457

458 III. Rachunek całkowy
200. J X]/Xa dx=* ~ \/~X*.
201. \x%yX3dx = —*-— ^r —i—-—arsmh-+C =
J r 6 24 16 16 a
_ x\/x* a*x\/x*
6 24
202
203.
204
= ^_^_^_,ln|,+^|+Ci.
i+^X
J x
\/x*
dx =
^— + ~ x\fx + 4«aarsinh— Ą-G =
* 2 ' 2 a
= " "nr"+4* ^x+t ann I* + ^x I+ Ci •
205,
206.
Vx~* . _ ^
3 /— 3
207
208.
"'a;8 2x* 2 r 2
r_dx_ _ x
- C J^_ _ _ 1
a+^X
209. J
\/X «
= --^+ln|x+V/X|+C1.
7. Tablica całek nieoznaczonych 459
Całki zawierające /^-a', gdzie a#0
Oznaczenie: X — «*—aa.
213. Jt/Xix = y Uv^-^arcosh— I+C =
- -y (* ^X-oaln |*+ \/x\) +CX.
214. J*]/Xdx=~-V^.
215. JxyXdx = -^-xV'^? + -8-fl8(*V/^r-a2arcosh—)+C =
= 1- a/r+^-a! (x /X-a'ln |x+ y5"|) +Oi-
216./**^=^ + ^.
. J-—-<& = \/X~ — aarccos—.
J x f x
r \/x~ . j/5f , . x , _
^-^L+ln^+^i+C,.
217
218
a
- arc cos —.
220 ' **
f _*L = arcosh^ +C = In |*+ }JX \ +<k.
J \/X a
c xdx ,—
2 ^
223. f^ = ^+aVX.

C dx 1 a
224. I £^ = — arccos
J x
460 III. Rachunek całkowy
dx _ 1
225. / - * - J*
dx /X 1
226-J^^-2^+2^^cos-.
227. Jł/^^l^t/^-^^+^arcosh^+C^
228. Jx i/x3" dx = -i- i/x3".
229. /^*_«I^+*^_^+ *„*£+«;-
^ o 24 lo 16 a
230. f*^*-*^^-.
•^ 7 5
231. f-^-<i« = J^--flVx+aaarccos-.
J x 3 x
232. /J^&aiB-J^.4-|-*^-|--»«cwh^+C-
^ +4"3;]/^r-|-a21ril*+]/^l+Ci-
2 ' 2 r 2
233. j ±-?-* = _X-i_+_L y««cco.~
234.J-
VX3 a*i/x '
xdx
j/X3 ~ ]/X
235. r_^ = _ *
7. Tablice całek nieoznaczonych 461
237. f^~VX — *
J i/X* t/x
238. {—%- ^-^arccos^
J x\/x3 <?i[X a x
239 f-^=r = -i-(j^ + _4=,V
*ak C dx 1 3 3 a
240. —= = ■ . 7=r — ^r—6 arccos —.
J x3]/^3 2a*x*\/x 2a*\/X 2a x
Calki zawierające ]/oxa+&x+c, gdzie a ^ 0
4a
Oznaczenia: X = ox9-ł-6x+c, -d = 4ac—fr3* ft = —j-.
241' /7|r = ^inl2i/«x+2<»+*i+c, a>0>
= -7=- arsinh ~^~~ +Clt a>0, A>0,
\/a \A
= -£=-Ia|2ax+W, a>0, A =0,
242.
/:
^--L-arcsin^Ż?, a < 0, ^<0.
dx 2(2ax+b)
x/x a/x
243. f_* =W5+fi/'+aV
J X2]/X 3J]/X \-* /
r ax 2(2a*+fe) , 2fcQt-l) f <**
^f

462
III. Rachunek całkowy
^/x^.a-^^)^;*
«,.J*vt*-s=&ł{*+%+Z)+
(patrz 241).
dx
3 c <*X
leFj-^ Cpatrz 241).
248. Jx^ndx , C2«£*)A^+ *+i f x(a^.
•> 4a(n+l) 2A(n + l) ./
f xdx yx^ b_^ c
J Jx~ o 2a J
Cpatrz 241),
2(fcv+2c)
Ml C xdx 1 b f dx ,
* J AX3"*1)/* (2n-l)aA'Ca»-1)'a 2aJ AC**"1)/* (-patrZ J'
252
- J j/A " 1^-4?) V^+ -8?~ i 7Z <**" 241)'
/■ Xac&
J Al/A
(2b2-źac)x+2bc
aA
ic)x+2bc 1 c dx . rtłii
-7=?-— 4- — -7= Cpatrz 241).
]/X a J \/x
Cpatrz 241).
255. jxX\fXdx = *!lJL__LjX}/x-dx (pa^ 246)<
xXC^+^rf* = -g-p——iL J x(«»+iy«(fa (patrz 248).
2 l/eX 2c , . I , _
-*—+ —-+* +C, c>0,
JT X J
7. Tablice całek nieoznaczonych
463
JLarsinh^±£-+Cl, o 0, J > 0,
fc
In
fc*+2c
1 . bx+2c
arc sin
ix
x\/-A
dx
c> 0, ^1 = 0,
c<0, A < 0.
259. f * _ -£L- * f* (patrz 258).
^ x*]/X cx 2c J x\/X
260. fJ^^ = ^+iif^-+cf-^(patrZ241i258).
•> * r * J yx J xyx
M1. fl^*__J^.+./ *+>»/* (^=241125..).
J *a x J yx 2 J xyx
262. J^^^ + i,^-,.^/^!^
Cpatrz 248 i 260)
263.
h
dx
yaxz+bx
^-T-V^+bx.
bx
264.
265. /
= arcsm-
x—a
266
267
/dx _
]/2ax-x¥ *'
xdx r=——r , . x—a
_-__—_ = — y2ax—x2 + aarcsin .
\/2ax-x* a
. j \/2ax-x2dx =X=^L \/2ax-x2 + -yaa arc sin-^.
C dx 1 ,„ x\/ag-bf
arc tg ■
- = - aŁŁ. is .^ — j
(«•+&) ]/fx*+g yb yag-bf yb yfx*+g
ag-bf>0,
2\/b \/bf-ag
In
\/b l/fxs+g +x\/bf-ag
\/b \/fx*+g -x\Tbf-ag
ag~bf<0.

464 HI- Rachunek całkowy
Całki zawierające inne wyrażenia
niewymierne
268. { Vax+bdx = " , 7" *)/ax+b, a*0,
„-„ C d* j n(ax+b) 1
269. („. dx = -, Z.--ZT —, a*0
J j/ax+b (»-!)« i/ax+b* a*U'
270. \ dx ^.Łu "+V*«+^
a?t0.
„„. c ax i. a
271. |—, .. . ^ -— arccos—t=, a^O.
J x]/x"—ai «« y#»
Wzory rekurencyjne dla całki różniczki dwumiennej
273. f xm(axn+b)Pdx =
= - (xm+1(ax"+b)p+npb f xm(axn+by-1dx),
m+np+1 x J '
= L-— (—x^+1(axn + by+1 + (m+n+np+l) f xm(axa + b)P+1dx\,
= __i (xnt+1(axa + b)^1-a(m+n+np+l) f x^-^iax^+bydx),
= . } /wm-»+i (axn+J)p+i ~(m-n+l)bf xm~n (ax*1 + b)v dx\.
Calfci funkcji trygonometrycznych (')
Całki zawierające sinox, gdzie a^O
274. J sinaxdx = — — cosax.
J a
275. I suPaxdx = -=- x— — sin2ax.
J 2 4a
C 11
276. I ńa?axdx = cosax+ ^-cossax.
J a 3a
C1) Całki funkcji zawierających sin* i cos* w połączeniu z funkcjami hiperbolicz-
nymi i funkcją e"1 są na str. 478 i 480.
7. Tablice całek nieoznaczonych
465
C 3 1 1
277. ( %va?axdx = — x~-r-sin2oa:+s^-sin4<w.
J 8 Aa 32a
27,8. s)nnaxdx = - ——— + -—- $mn-zaxdx
J na n J
(n jest całkowite, > 0).
„„„ f , sinax *cosa%
279. | xstaaxdx ~ —z .
J <r a
J2x (x2 2 \
x2siaaxdx = —irsinaa:—i rlcosax.
aa \ a a3 /
f /3*a 6 \ lx3 6x\
281. I xasmaxdx = I —^——jI sinax— I—- — —j-lcosa*.
«"sinax(fx = cosax+— 3e"-1cosaa:<Łe, w > 0.
a a J
__, /* sina* , sina* , C cosaxdx . „_„
284. —r- dx =■- Ya (patrz 322).
J x3 x J x
„„_ C śmax , 1 sinox a fcosox , . „„_
285-)^T-dx--^i-l^r+^n)l^dx Cpatrz324).
286. f^-=!la
J sino* o
fe-g-wl
2s7- f-^— -=- — ctga»-
J sinaaa: a
««« f dx cos« ,1,1 1
^ sin3aa: 2asin2aa: 2a j 2
289 f *** Ł ""^ i "~~2 f ^
' J sinnax a(n~ 1) sinw~1oa: n— w sin*~
—, »>1.
ax
(ł) Całkę oznaczoną I dt nazywamy sinusem całkowym i oznaczamy six;
0 *
x*
3-3! T 5-5! 7-7J

466
III. Rachunek całkowy
290 [J^L-l-lax+S^* , Ka*Y , 31(«*)7 . 127(ox)'
' J sinax a2 \ 3-3! 3-5-5I3-7-7! 3-5-9!
2C22"-1 —1') \
291
292
C xdx
J sin2ax
x l
= ctgax-\—j- In Isinaxl.
a a2
;. f xdx
J sinnax (n —
xcosax
(«—l)asinn_1ax (n —1) (n—2)a2sin»^aax
n—2 r x</x
«-2 C xdx
+ n~lJ sm*-*ax> " > 2*
~Ji=2b~Hł-44
-_- f xdx x (1 1 \ 2 ,
295. =--—^ =- —tg — n-—ax +—-li
J l + smax a \4 2 j a%
296. : = — ctg I —-n — -zrax\-\-—-In
J 1 — smax a \4 2 ja
-._ f sinaxiix , 1 / 1 1 \
297. =--^ =±x+—tgł —it^-s-ax .
•> l±smax a \4 2 /
cos I —n — -~- ax
■inl-i-ir-i-a*
298. f. * iJi^J+JLm
•> sinax(l±sin<ix) a \4 2 ja
dx 1 /l 1 \ 1 „
(1+sino*)2 = -2atShn~^aX ~ratS
tg^ax
299
1 1
'J
_rtt f sinax*ix 1 / l 1 \ 1 ,/l 1 \
„„ f sinaxiix 1 /1 l\l /l 1
302- J a=dK^=-25C*(T"-2-',*)+^^(4"-2
(3%
C1) B„ są to liczby Bernoulliego (patrz str. 382).
7. Tablice całek nieoznaczonych
467
Jdx
-——;-;— = ,_ arcsin
1+si
3sin2ax~l
1%
sin2ax 2\/2a \ sin'ox+l /•
<ix 1 ,
—-r = — tgOX.
cos2 ax a
.™ f ■ • Ł j sin(a-6)x sin(a+6)x ...,,,
305. smaxsmbxdx = ' ' ,, , ., , « * 6
(gdy la| = |ft|, patrz 275).
306.
/
dx
btg-Tj-ax+c
6+csinax aj/ft2—ca
arc tg
]/&*-<
»63
aj/ca-&!
■In
fttg-i-ox+c-l/c2-*2
btg^ax+c+fa-b*
, 6a < ca.
'■i
sinaxdx
__1_A f
<ix
c J b+csiaax
b+csinax
dx 1 . | 1
jzZ -1= —In tg—ax
sinax(6+csinax) ab \ 2
, c ?& 0 (patrz 306).
-i!
dx
b J b+csinax
6/0 (patrz 306).
dx
ccosax
+
(b+csinaxy a(b*-cz) (6+csinax)
A2_-c' J 6+csinax
310
■/
(6+c sinax)3
dx =
bcosax
a(c2-6s)(6+csinax)
dx
+
+ ca-62J
311
■/.
dx
6+csinax
i/6a+c2tgax
arc tg
, 16! * |c| (patrz 306).
, 6 > 0.
62+c2sin2ax a6i/62+ca
3,2. fg-^-,— -^arcg ^".^Ą^H
ab}/b*
2ab\/c2^-b*
In
]/c2-62tgox+&
|/ca—Mtgax—6
, ca > b', b > 0.

468 III. Rachunek całkowy
>•/
Całki zawierające cosax, gdzie o^O
1
313. I cosaxdx = —sinax.
J a
314. I cos2ax<£c = — x+-r~sin2ax.
J 2 4a
315. I cosaaxdx = — sinax— ^- sin3ax.
J a 3fl
r 3 1 1
316. I CQS*axdx =-7-x+-r-sifi2ax + =7—$m4ax.
J 8 4a 32a
„,„ f j cosw-1axsinax n—1 f ,
317. I cos"axdx = I cosn~aaxax.
J «a n J
„,„ C , cosax xsinax
318. I xcosaxdx = ^—r— 4 .
J a* a
J2x {x2 2 \
xzcosaxdx = — cosax-f1 — — —^Jsinax.
J{3x2 6 \ ix* 6x \
x3cosaxdx = I— ~j-J cosax+l — 1 sinax.
Jjfłi sin ctx ft C
xncosaxdx = I J^-'sina^aK.
a a J
„«« C cosax , , . , (ax)2 (ax)* (ax)6 .„
323. fi^^-^-af^ax (patrz 283).
J X2 X J X
nfy» C cosax , cosax a f sinax , , 1
324. ax = — -, j- ; r I —t dx, « ^ 1
325. f_*L-italI(|«+'.,)
J cosax a \2 4 /
(patrz 285).
(') Całkę oznaczoną j dt nazywamy cosinmem całkowym i oznaczamy
x
przez ci*:
gdzie y jest stalą Eulera (patrz str. 358).
7. Tablice całek nieoznaczonych
469
r dx i
326. —=— = — tgax.
J cos^ax a
327. J **
sinax , 1 .
- + — In
cos3ax 2acos2ax 2a
tgl — n+yax
m J cos*ax "" a(n-l)'cosn-1ax + n-l J cosn-W
329. /-
x . 1 Uaxf , (ax)4 , 5(<zx)« 61(ax)«
4-2! ^ 6-4!
8-6!
1385(ax)10 , g„(ax)a"+3
+ 10-8! +-+(2n+2)C2n!) "+"
C1).
-—-s—dx = —tgaxH—-ln|cosax|.
cosaax a
330. /
a2
xsinax
1
cos™ ax
(n-l)acos«-1ax (n—l) (»—2)a2cos"-aax
«-2 r x<£c
+
n-2 r xdx
+ n— 1 J cos»-2axł
J 1+cosax a 2
C dx 11
. f-i—= = ctg—ax.
J 1 —cosax a 2
. f-r—^ <ti=— tg— ox + ^ln
J 1+co
332
333
334
335. f-i-S
J 1—cc
+cosax
cos—ax .
^ I
xl 2 ,
<£c = - — ctg— ax + -^ln
cosax a 2. a
isin -z-ax\.
& I
>-/t
336
338. /
339
cosax , 1 .„ 1 „
dx = x tg-^-ax.
+ cos ax a £.
-a^c = —x ctg-r-ax.
cosax o *
* = lln
cosax(l+cosax) a
tsl^7l + ^afl:
'•J
dx
--U
cosax(l~cosax) a
tg|T«
1 1
- — tg — ax.
a &
1 1
W E„ są to liczby Eulera (patrz str. 382).

470
340./
cos ax
342./
343./
344. /y
III. Rachunek całkowy
dx i i , i _, i
1 1 1 _* 1
(1—cosax)2 2a 2 6a 2
11 1 . 1
-T- —^dx = =-tg-r-ax — ■7-tgs-r-ax.
(1 +cos ax)1 2a s 2 6a s 2
cosax , 1 1 1.1
7^———^dx = ;r-ctg—ax —^-ctgr-^-ax.
(1—cosax)2 2a 2 6a 2
dx
1
-cos'ax
-arc sin
/I—3cos2ox
2j/2o "**"""\ l + cos2ax
■xak C dx C dx 1
345. I -^ t— = I -r-3— = — — ctgax.
J 1—cos2ax •> sin2ax a
346. /
347.
/
, , sin(a—ft)x , sin(a-f-<&)x ,,,,.,
^axcosbxdx = 2^ + ~^r> \a\ * 1*1
(gdy \a\ = |6|, patrz 314).
<& 2 (ft--c)tg-|a*
arctg .. ■ 6a > c2,
6+ccosax flj/&2-c2
oj/ca-6!
In
348./
349./
350./
351./
352./
j/&a-.
(c-b)tg±ax+)/c2-b2
(c-fe)tg-i-ax-j/ca-fe2
, 62 < ca.
cosax
6+ccosax
dx
a x b r i
dx = I -i——
dx
c^O (patrz347).
= ito
cos ox (b 4- c cos ox) aft
h(ł« + T")|-T/
dx
csinax
(b+ccosax)a o(c2—6a) (ft-Kcosax
cosax . (sinax
—— f
ft + CCOSOX
(patrz 347).
dx
(ft+ccosax)2
ax
dx =
fe+ccosax'
b\ <£ \c\ (patrz 347).
dx
— (■
a(bs~ca)(b+ccosax) b*-c2J fc+ccosax'
\b\ * \c\ (patrz 347).
1
6a+c2cosflax ab]/b2+cs "^ J/V+
ctgax
arctg /rT ,-, fe> o.
353
7. Tablice catek nieoznaczonych 471
r dx 1 fttgax .„ . , _
li a , = . -arctg .* -, ft2>C2, fc>0,
• J ft2-cacos2ax dby/b*-* i/V—c*
1 to
2a&j/c2^
fttgax-j/c2-^
fttgox+j/c'-fr11*
c2 > b\ b> 0.
Całki zawierające sinax i cosax, gdzie a^0
354. I sinaxcosaxdx = —-sinaax.
J 2a
_,„ f ■ » . 1 sin4ax
355. sin2 ax cosa ax ax = —x ^—.
J B j^a
356. sin"axcosaxdx = , ,. sinn+1axs n^ — 1.
J a Cm 4-1)
357. I sinaxcoswaxdx = -. ^cos^+'ax, n* —1.
J a(«+l)
358. I sinnaxcoswaxdx =
sinn_1axcosm+1ax n—\ C . , ,
= ; r 1— ■■ ■ sinB-aaxcosmaxdx,
m > 0, « > 0 (obniżanie wykładnika potęgi n)j
sin'^oxcos^-'ax
4- —-— sin" ax cosm-2 ax dx,
a(rt-\-m) ' n+i
m > 03 « > 0 (obniżanie wykładnika potęgi m).
359. f-—— = iln|tgox|.
J sin ax COS ax a
m Jsin^«^ = v[I4tg(^" + TaX)h^x]-
361. f , ** , =l(lnltglax|+-i-).
J sinaxcos2ax a \ | 2 j cosax/
362" Jsin^cosax = l(lg|tg^-2sin^)-
363. f . ^ ^iLltgaxl + ^r-)-
^ smaxcosaax a \ 2cos2ax/

472
364. f-^
J si
365. f-
J si
III. Rachunek całkowy
dx 2
■ a *—- = — — ctg 2ax.
sin2axcos*ax a
dx
sin2 ax cos3 ax
— a |_2o
cos2ax sinax
+
t«
__ cosax 3 .
:cos2ax — a \cosax 2sin2ax 2
366. J _-*-,_ _±(_
./ sin3axcos2ax a \c
367. f *** * if
J sinaxcos"ax a(n—l)cosw-1ax J sii
T' + T")]-
tgyax|j.
dx
sinaxcosn-aax '
«^1 (patrz 361, 363).
368. f dx 1 , f *
J sinBaxcosox a(n—l)sin"-1ax J sinn-aaxcosax 3
n^l (patrz 360, 362).
dx
369
■/,
sinnaxcosmox
= ____J 1 h+w-2 |*
a(«— 1) sin"-1axcosm-1ax n— 1 J sin"-3
dx
"3axcosroax
m > 0, n > 1 (obniżanie wykładnika potęgi n)>
1 1 n+m—2 C dx
+ ■
-w-2 f*
i—i J sii
a(m —1) sin',~1axa)sm~1ax n m—1 J sinnoxcosm~aax>
m > 1, n > 0 (obniżanie wykładnika potęgi m).
370. fJi
./ co
371. f-*
J co
sinax , 1
dx =
cosaax
sinax
372
■J-
J CO
cos3 ax
sinax
dx =
a cos ax
1
2acosaax+C = 2a^Sfl*+Cl-
cosnax
dx =
a(n— l)cosn-1ax *
373. J ,ta,» - » ■ ■ >
dx = ——sinax-f—In
cos ax a a
tgl^ + y^ll-
374. f^-dx = 1[^
*> cos8ax a |_ 2o
sinax
cos2 ax
In
tg
4",t + Tax)|]-
7. Tablice całek nieoznaczonych 473
f sin'ox j sinax 1_ ( dx
375* J c^ax ~ a(«-ljcos^ax «-W cosaax'
(patrz 325, 326, 328).
Jsin'ax 1 / sin2ax , , , \
_^J^ dx = —=— +ln lC0SiM;l •
cosax a \ Ł }
J cosBax a \ cosax/
378. {™^dx=l
J cos"ax
a \(n—l)cos"-1ax («—3)cosB-3ax(
n^l, n^3.
rsin*ax, sin^ax f sin»-aaxdx
„„ f sin" ax ,
380. —-— dx =
J cosw "
ax
sinn+1ax n—m+2 C sinMax
c___n-m+2f_*n»ax
a(m— 1)cos"*"1 ax m— 1 J cosm_2ax
sin^ax , n-1 f sin"~aax
= . ——-——-a I -—— -dx, m^n,
a(n—m)cosm-tax n—m J cosmax
_-JL±f ^""^dx, «*1.
_1ax m —1 •> cosm-2ax
sinn-1ax
a(m— l)cosm
J cosax ,. 1
^—— dx = — —. .
sm2ax a sin ax
„„„ f cosax , 1 ctgaax
f cosax , 1
' J sin"ax a(n— 1)sin"-1 ax
, /* cos2ax 1 / . 1 \
384. —; dx = — cosax+ln tg-^-ax .
J sinax a \ 2 \;
_ rcos2ax , 1 /cosax , 1 j\
385. —.-z—dx =—-s- -r-= In tg—-ax .
J sin3ax 2a\sm2ax 62 \)
n~, fcosaax , 1 / cosax C dx \ ■ .
386Jsln^^^-(^^l^r^^ + JsnV^^)3 ^l
(patrz 289).

474
/co
—.
SI
III. Rachunek całkowy
cos3ax , 1 /cosaax , , , .
— dx = — j—■= hln sinme
$max a \ 2
.„„ /■ cos3ax . 1 / . 1 \
388. -^—dx = sina*+- .
J sin2ax a \ sina* /
389 f cos*a* dv s _L [ i 1 1
J sinnax a \_(n—3)sinn~3ax (n—l)sinn-laxj
n^l, n#
3. f^
J si
390
391. f°
J 81
COSwOX
sina*
COS" OX
dx =
oosB~łax /,cosn-aaa:
a(«—1) J sina*
tfc, n * 1.
sinmax
dx =
cQSn+ifljjc
n—m + 2 f cosnax
a(m— l)^iam~1ax m—l J sin^-^ax
+ 2 C cosnc
T~ J sin"*-*
dx, m^
co%n~1ax
■ +
w—1 fcosn~zax
n—l fcos
n—m J si
sinmax
-dx, m^n,
392.
393
394,
a(n—m)sinm-1flx
_ cosw-1(WC n—1 fcosn-2ax
a(m— ljsin™-1!** m—1 J sinm-2ax '
C dx 1
J sinax(l±cosajO
.. f *! .
J cosaxfl ±siii(wc)
/sina*
= =F
Ł^cmo*) +^ln]tSłfl4
1
+ iln
2aCl±3inax) 2o
tg|i-»+-iJ
1
—— -dx = — In
cosdJcflicosdJc) o
1 ±cosax
395. f-*
J si
396./
—— .,---: rdx = In
sinax(l±sinax) a
cosax
1 ± sin ax
smax
smax
cosax(l±smax) ~ 2a(l±
1 1, 1 1
=sinax) 2a \4 2
ax
397
J su
sinax(l±cosax)
398. u sina*
J si
<fe = -
1
2<zCl±cosax)±2^lntS^aJe
X l'. , .
sinax±cosox 2 2a '
7. Tablice całek nieoznaczonych
475
399. f-7
400.
\ax , , x , 1 , , . , |
*e=±—- + —In sinax±cosax
sinoxicosox 2 2a
c dx = 1
J siaax±.cosax aV2~
tgi-j-«±4-*
401. /T
402./
dx , 1 .
—, =±—In
-fcosa#±sinax a
die 1
l±tg^-ax
fesinax+ccosdJC ai/^+c2
In
tg
ax+6
(oznaczenia: sin9 =
403. f-. SmQJg dit = - —ln|t+tfoosoxl.
, 6#0. c#0
«ge - T
!+ca
404
405./
406./
407./
b+ccosax
C cosax
,, . dx =—ln\b+c$'max\.
o+csiaax ac
dx
S
d(x+dla)
■> c*0,f*0.
b+ccosax+fs'max J b+^^+psiniax+B)
(oznaczenia: sinO = , , tgfl = 7, patrz 3061.
tj—B df a ■ a =-?-arctg||-tgax)J 6^0, c#0.
6acosa(WC+cisin3(i'c abc \b }
dx
■In
ctgdJC+6
ctgdJC—6
, 6^0, c*Q.
b2cosaax—casin8(wc 2aic
.„-/". , , co$(a+b)x co$(a—b)x ,,
408. sinoxcosfeedx = ^; .. -7—r~, 09*6
J 2(a+b) 2(a—b)
(gdy a = b, patrz 354).
Całki zawieraj ące tgiwc, gdzi e o^O
409. I tgaxdx — lnlcosdJcl.
•> a
410. (tg*axdx = ^^-x.
J a
C 11
411. tg3axdx = r-tg^aarH—-lnlcosaxl.
J 2a a

476 III. Rachunek całkowy
412. ft^axdx = —-—— tg"-1 ax— i tg*~zaxdx, n > 3.
J a{n— 1) J
„„ r , ax* a3x5 2a5x7 HaW
2^(2a» -1) Bn a*"-H**+
(2»+l)l
J x 9 ^ 75 T 2205 ^
+ 2*n(2*n-DBn(ax)*>-i
(2n-l)(2ń)l + — U-
/tewax 1
co&ax a(n+l)
A + * C dx 1 1 , , .
416. —- =±-^- x + ^-In sinaxicosox .
J tgax±l 2 2<z
Jtgax 1 1
*S±T * = 2-*T^Inisinax±coSfl*|.
Całki za wieraj ące ctgax, gdzie a^O
418. I ctgaxdx = —Injsinaxj.
J a
419. (c&axdx=*-^L-x.
•* a
C 1 1
420. I ctgaaxdx = — — ctgsaa: -In]sinaxj.
j 2a a
421. fctg»aa:<& = -—-- Gtg"lax— \ ctg«-*axdxt n>3.
J a(n—1J •>
a^ f ^ a x ax* a3x* 2*>Bita*t-1xSn+1
422. )xctSaxdx~-- — - — -... ^-^ ...(*).
423. f-«*£.* =
J x
_ 1 ax (ax)* 2 (ax)5 2^Bn(ax)2n-1
ax 3 135 4725 (2n-l)(2n)!
-..-C1).
(l) Bn są to liczby Bernoulliego (patrz str. 382).
7. Tablice całek nieoznaczonych 477
J sinaax a(n+l)
424. . -^-a- . . ,.
425. f ^ -^ f *«%* (patrz 417).
J l±ctgax J tgax±l w
Całki innych funkcji przestępnych
Całki funkcji hi p e r b ol i c zny c h
W całkach 426-446 zakładamy, że a^O.
426. I sinhaxdx = —coshox.
J a
427. I coshaxdx = —sinhax.
J a
428. I swh?axdx = — sinhaxcoshax— -=-x.
429. \ cosh? axdx = — swhaxcoshax+ — x.
J 2a L
430. I sirshnaxdx = ^swhn-1axcosb.ax | swhn-zaxdx,
J an n J
n> 0,
1 n-j-2 f
= — - sinh"+1oycoshaa: r stnhJ,+2axdx1
a(n + l) n + U
n<0, n ź -1.
431. I cosh?axdx = —sinhaxcoshra-1axH I coshn~zaa:rf;c,
J an n J
n>0>
a(n-j-l) n + 1 J
n<0, «/ — 1.
.„« C dx 1 ,
432. —-— = —In
J sinhax a
dx
. 1
tgh—ax
C dx 2
433. —r— = — arc tge"*.
J cosaax a
434. I xsiahaxdx = —xcoshax =-sinhcx.
J a a2

478 III. Rachunek całkowy
f 11
435. xcoshaxox = —xsinhax rcoshax.
•I aa2
436. I tghaxdx = — ln|coshax|.
J a
437. | ctghoxdx = — In |sinhox!.
•> a
438. [tgh?axdx = x-^^-.
J a
439. fctghW*=*-^^.
^ a
440. I sinhaxsinh&xax = -r—=- (asinhfcecoshax—fccoshfacjinhax),
a2 * 6s.
441. I coshaxcosh&xax = -j—^ (asinhaxcosh&x—ftsinhfoecoshax),
442. I coshaxsinh&xax = ——p(asinhfctsinhax—6 cosh 6x cosh ax),
a**b\
443. I sinhaxsinaxax = — (coshaxsinax—sinhaxcosax).
•> 2a
444. I coshaxcosaxax =—(sinhaxcosax-f coshaxsinax).
•> 2a
445. I sinhaxcosaxdx = — (coshaxcosax-f sinhaxsinax).
J 2a
446. I cosh ax sin ax ax = — (sinhaxsinax—coshaxcosax).
J 2a
Całki funkcji wykładniczych
W całkach 447-464 zakładamy, że a^O.
447. I e?xdx= — e*x.
J a
Jgax
xe**dx = —-(ax~l).
a"
7. Tablice całek nieoznaczonych
479
x2eaxdx = eax
2x 2
a2 + a3
449./
450. ) xneaxdx = —xV*— — I xn~leaxdx.
•/t
453
454./
455./
456./
dx 1 .
= —In
.+««* a
ax
fc+aj"*
l+ea
l_.
a6
= 4---r1nl*+«M!l» &*°-
MX I
——-ax =— ln|6+««*|.
b+ce™ ac
dx
I
be?x+ce~ax
a ybe
1
arctgje^l/- ,
In
457
•/,
xe"x
dx =
2a)/— be \c — e111}/ — be
eax
bc> 0;
, be < 0.
a2(l +ax) '
e^lnlxl I ie"
458. fe<«Inlx|dx = -^^-™ f —<fce (patrz 451).
.' a a J X
Jeax
e^sin&xdx — -j-^(asinfcx—fccos&x).
>•/
460. e^cosftxdx =
o«+6«
(acos&x+fcsin&x).
(•) Całkę oznaczoną j — dr nazywamy funkąą calkowo-wykładniczą i ozna-
— oo
czarny przez eix. Gdy x < 0, całka w punkcie t = 0 jest rozbieżna; w tym przypadku
przez ei* należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej (patrz str. 506):
x
Jat ¥ 2& &*
(y jest to stała Eulera, patrz str. 358).

480 III. Rachunek całkowy
/gaz gjnn—i x
e?xsm.nxdx = —=—;—(asinjc—»cos:c)+
«a+H2
~-~ j e**$in*-*xdx (patrz 447, 459).
»(»-!)
e^cos**^ = - — (<JCOs:c+Msin:c)+
+
»(»-l)
J c*wrcosn-axdx (patrz 447, 460).
jw^sinfccd* = ~a li (asinfcc—6cosfcc)—
~ Ttf+W [(.a*-b*)sinbx-2abco$bx].
jce^cosfard* = ——j-zCacosbx+b&mbx)—
tiP-ł-hr
as+b*
-[(«a-&a)cosfcc+2a&sinfcc].
Całki funkcji logarytmicznych
465. J ln|x[<fc = xla\x\—x.
466. f(\xi\x\ydx = xQn\x\)s-2x\n\x\+2x.
467. JQxi\x\ydx -. Ar(ln|x|)a-3x0nW)a+6xlnW-6a:.
468. fQnWydx^xQnWy-njOnWy^dx, »*-l.
,*n { dx , i, , ,i , , , (ln|x|)a (ln|*l)a
J (ln|x|)» (n-l)(lnW)«-1 + n-lJ (Inlx])""1' **
(patrz 469).
X ,
(*) Całkę oznaczoną f , , , nazywamy logarytmem całkowym i oznaczamy przez
l ta W
]ix. Gdy * > 1, całka w punkcie f = 1 jest rozbieżna. W tym przypadku przez Iix
należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej (str. 506). Logarytm całkowy jest
związany z funkcją catkowo-wykładniczą (patrz str. 479) zależnością lix = ei (In |x|).
7. Tablice całek nieoznaczonych 481
472. \x^n\x\ydx= *m+10nl*l>* « f ^in^n-i^
J tn-\-\ tn-\-\ J
m, n ź — 1 (patrz 470).
J X tt+l
._. fln|*|, lnlx| 1
474" J -55r& = - o,,-!)*--* ™o»,-i)'*«^ **1*
»i ^ 1 (patrz 474).
/*•(» p g-y
—r-dx => dy3 y = -(M+l)ln|x| (patrz 451).
In 1*| J y
f xm a — *m+1 m+l r xm ,
477, J Qn\x\y =~(»-l)(ln|x|)»-1 + ^TJ (InI*!)""1 *
478. J-^-i- = ln[lnW|.
(»-l)»0n|x|)«
3-3! + '•■
48°" J *(ln|x|)» = (n-DClnW)*^' **1-
*ti f *** -1 />-! f dx
™l- J x»Qn\x\y x*~*{n-l)0n\x\y^ n-l J x*Qn\x\y~1'
ln|sinx|<fcc = x\n\x\-x-~- ^- ... -
22"-1Bax*a+l
«(2n + l)!
--O
(l) B„ są to liczby Bernoulliego (patrz. str. 382).

482 III. Rachunek całkowy
483. J ln|cosx|ax =
~~ 6 60 315 '" «(2«+l)I *"w
484. J"ln|tgx[ax =
-*ln|*| x+ 9 +450+ •■- + „(2„+i)! K w"
485. I sinlnlx|ax = —x(sinln]xl—cosln|x|).
486. f cosln]x|ax= yx(sinln]xl+cosln|xi).
/I I C £ax
eax]a\x\dx = — «"ln]*| —— d* (patrz 451).
11 a a ^ x
Całki funkcji cyklometry czny eh
W całkach 488-511 zakładamy, że a^O.
Ja* V - ^
arc sin — dx = xarc sin \- ya?—xs .
a a
489. J xarcsin — ax = l-—x3-—aa) aresin — + --X j/o3-*3 .
490. f^aresin —ax = -^aresin — + -^-(x2+2aa) j/a3-x8 .
arc sin
J x
arc sin —
491. I — — ax =
_x 1 x3 1-3 ** 1-3-5 K'
a +2-3-3* a' + 2.4-5-5' a5 + 2.4.6.7-7* a' + ""
aresin —
aresin — , . i , /-£-—i-
492. ■= dx = aresin In
J xa * a a | x
arccos — dx = xarccos i/as—xa .
a a *
O Bn są to liczby Bernouliiego {patrz str. 382).
7. Tablice całek nieoznaczonych
483
xarccos —ox = —x3 ^-a2 arccos — — —x l/a2-x3 .
J a \ 2 4/ a 4 K
495
i. /*.
!arccos — dx = —x3 arccos— — (x2+2a2) j/a3—x2 .
x
arccos —
496. — dx =
1 , , , * 1 *3
2 'a 2-3-3 a5
1-3 Xs _ 1-3-5 x7
2-4-5-5 "a* 2-4-6-7-7'"a7" "*
497
■/
arccos
X3
ax
1 x , I ,
— arccos In
x aa
x I
a+ ]/a3-x3
/x xl
aretg — dx = xarctg — alnla2+:<:2[.
a a 2
Jx I xl
xarctg— ax = — (x34-a2) aretg —— —ax.
a 2, a 2
C xl xli
500. x2arctg — dx = —x3 aretg —<ix3 + —-a3 ln(a2 + x2),
•" a i a o o
/x xn+1 x a f xw+1
x"arctg — <& = —-t aretg — I ——- dxs n^ -1.
a n+1 a n+1 J a3-\-x2
aretg
x
502. [_^ax = --^T + -^~-^T+...3 !x|<la|
J x a 3aa3 52a5 72a7
x
aretg —
ax = — — aretg—- — --In
x a 2a
aa+xs
«» f arctg^" , i x a r *
504- J ~3c^-dx = " (S=i)*^ arctg7ł ^1J ^CaM^j>
Jx xl
arcag — dx = xarcctg —-ł- —a ln(a2f x2).
a a 2
/x 1 xl
xarcctg — dx = — (x2-j-o3)arcctg \-—ax.
a Z al
»*I.

484
III. Rachunek całkowy
f xl xli
507. x2arcctg— dx = —- x'arcctg—+ —-axz—-a3ln(aa+x2).
J a 3 a o o
J^. Xn+I X a f Xn+1
x"arcctg — dx^ ——arcctg—+——r . , 2dx, n¥-—1.
x
arcctg-
f a , l i i i x . x x ,
arcctg^ 1 ^
'" J ^ ^^- — arcctg—+ ^ln-^^.
x
arcctg —
511. f— -<fe =
J x"
1 x a f dx
Całki odwrotnych funkcji hiperbolicznych
512. arsinh—dx = xarsinh — — l/x2-l-aa , a^O.
Ja a
arcosh — dx = xarcosh — — i/x!—ca , a ^ 0.
a a
Jx xl
artgh— dx = xartgh — +—aln|aa—x2\, a#0.
a a Ł
Jx x \
arctgh—dx = xarctgh \--~aln\x^-a2\, a^O.
a a 2
B. CAŁKI OZNACZONE
8. Podstawowe pojęcia i twierdzenia
Określenie. Całką oznaczoną funkcji y = f(x) w granicach od a
do b, określonej w przedziale domkniętym <a, 6> (*), przy czym może
być a <b (przypadek A) albo a > b (przypadek B), nazywamy liczbę
otrzymaną w sposób następujący:
('} Pojęcie całki oznaczonej może być uogólnione również dla funkcji określonych
w dowolnym obszarze spójnym (przedział otwarty albo jednostronnie domknięty,
polos' albo cala prosta liczbowa) albo w obszarze spójnym z wyłączeniem skończonej
ilości punktów odosobnionych. Całki rozważane w takich obszarach uogólnionych
zalicza się do całek niewłaściwych (patrz str, 502 - 509).
8. Podstawowe pojęcia i twierdzenia całek oznaczonych 485
1° przedział <<z, 6> rozkładamy na n podprzedziałów, tzw.
przedziałów elementarnych, za pomocą dowolnych liczb Xisxt3...,Xn-i>
z dołączeniem liczb x0 = a i xn = 6> dobranych w taki sposób, żeby
było
a = x0 < Xi < x3 < ... < xt < ... < »»_! < xn = b (w
przypadku A) lub
a = x0 > xt > x3 > ... > xt > ... > xn-i > x„ = b (w
przypadku B);
2° wewnątrz (lub na jednym z końców) każdego z przedziałów
elementarnych <X(_i, xt> wybieramy dowolny punkt Si (rys. 302): Xf_i <
^ Si ^ xi (w przypadku A) lub xt-i > Si 3= x% (w przypadku B);
«. ^ Ł |£ 4„ '
^*n-i dxt_, dx2 Ax, &x0
°° *b=xĄ **_, ■ ■ ■ 7t [x--, ' ■ * x3 | xĄ7} |x0*=a* + °°< '
Rys. 302
3° wartość/(&) funkcji/(x) w tych wybranych punktach Si
mnożymy przez odpowiednie różnice Axt-t = Xi~xt~i, czyli przez
długość odpowiedniego przedziału elementarnego <xj_i, x;> wziętego ze
znakiem ,, + " w przypadku A i ze znakiem „ —" w przypadku B;
4° dodajemy wszystkie otrzymane n iloczynów f(Si)-Axi-i;
5° obliczamy granicę otrzymanej sumy
n
£ftfi)Axt-i,
gdy długość każdego przedziału elementarnego ńxi—x dąży do zera
(a więc n —*■ co).
Jeżeli granica taka istnieje i nie zależy od wyboru punktów xi i Su
to granicę tę nazywamy całką oznaczoną:
b n
(1) Jffidx = lim Vfót)Axt-i.
n—co

486
III. Rachunek całkowy
We wzorze (1) symbol / nazywamy znakiem całki, liczbę a —
granicą dolną, liczbę b —granicą górną;, funkcję f(x) —funkcją
podcałkową, wyrażenie f(x)dx— wyrażeniem podcałkowym, literę x — zmienną
całkowania. Wartość całki zależy tylko od postaci funkcji / i od granic
a i bP lecz nie zależy od zmiennej całkowania, którą oznaczyć można
dowolną literą. Na przykład
b b b
jf(x)dx=ff(t)dt = ff(z)dz.
y.
y-.
Twierdzenie o istnieniu całki oznaczonej. Całka
oznaczona funkcji ciągłej w przedziale <a, by istnieje, tzn. granica (1) istnieje
i nie zależy od wyboru liczb xt i ii O.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej funkcji ciągłej.
Całka (1) jest liczbowo równa polu figury ograniczonej częścią wykresu
funkcji y = f(x), osią Ox i
rzędnymi w punktach x = a
i x = b, wziętymi że znakiem
„+" lub „—" stosownie do
rysunku 303. Jeżeli krzywa
przecina oś Ox raz lub kilka
razy wewnątrz przedziału (a,
by, to całka jest liczbowo
równa sumie algebraicznej pól
figur znajdujących się po obu
stronach osi Ox.
Całka o równych
granicach całkowania. Z
określenia wynika, że
1
ff(x)dx = 0.
a b x
f(x)>0, a<b
a b
v -i
I
f(x)>0, a>b
-a
f(x)<0, a<b
n
f(x)<0, a>b
Rys. 303
Podstawowe własności całki oznaczonej wyznaczają
następujące twierdzenia:
1. Twierdzenie o przestawianiu granic całkowania. Przy
przestawianiu granic całkowania całka zmienia znak na przeciwny:
b a
ff(x)dx^~-(f(x)dx.
(') Całka oznaczona istnieje także dla funkcji ograniczonej mającej w przedziale
(a, by skończoną ilość punktów nieciągłości.
Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona w danym przedziale, nazywamy
całkowalną w tym przedziale.
8. Podstawowe pojęcia i twierdzenia całek oznaczonych
487
2. Twierdzenie o rozkładzie całki. Dla dowolnych liczb
a, b, c zachodzi związek
bek
ff(x)dx - jf(x)dx+ ff(x)dx.
a a c
3. Całka sumy algebraicznej kilku funkcji jest równa odpowiedniej
sumie algebraicznej całek tych funkcji
b b b b
f[f(x) + <p(x)-y>(x)-]dx = jf(x)dx+ j<p(x)dx~ j y>(x)dx.
Rys. 305
4. Stały czynnik można wynieść przed znak całki:
b b
fcf(x)dx = cjf(x)ax.
a a
5. Twierdzenie o wartości średniej. Jeżeli funkcja f(x) jest
ciągła w przedziale <a, 6), to wewnątrz przedziału (a, by istnieje
przynajmniej jedna taka liczba i (a < l<6w przypadku A, a > £ > b
w przypadku B, patrz str. 484 i 485), że
b
fmdx = (b~a)f{C).
a
Interpretacja geometryczna tego twierdzenia pokazana jest na
rysunku 304j pomiędzy punktami a i b istnieje taki punkt £, że pole figury
ABCD jest równe polu prostokąta AŃCD.
Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Dla całki
iloczynu dwóch funkcji f(x) i y (x) (gdzie f(x) jest funkcją ciągłą, a ę (x)
ma stały znak w przedziale <<z, by) istnieje wewnątrz przedziału (a, by
przynajmniej jedna taka liczba £, że
ff(x)<p(x)dx=ft$)fy(x)dx.

488
III. Rachunek całkowy
6. Twierdzenie o oszacowaniu całki. Wartość całki
oznaczonej jest zawarta między iloczynami najmniejszej i największej
wartości funkcji podcałkowej przez długość przedziału całkowania:
b
m(b-a) < jf(x)dx < M(b-a),
a
gdzie m jest najmniejszą wartością, a M — największą wartością funkcji
/(*) w przedziale <a, £>.
Sens geometryczny tego twierdzenia widoczny jest z rysunku 305.
7. Twierdzenie Leibniza-Newtona. Całka oznaczona o gór-
X
nej granicy zmiennej / f(t)dł C1) jest funkcją ciągłą F(x) tej granicy,
a
pierwotną względem funkcji podcałkowej:
F'(*) = /(*) lub dff(t)dt = f(x)dx.
Interpretacja geometryczna tego
twierdzenia polega na tym, ze pochodna
zmiennego pola figury S(x) podanej na rysunku
306 równa się zmiennej rzędnej końcowej
NM (zarówno pole jak i rzędną końcową
należy brać ze znakiem ,,+" lub „ —",
zgodnie z rysunkiem 303 na str. 486).
8. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
(wyrażenie całki oznaczonej przez nieoznaczoną). Jeżeli
Rys. 306
to
(2)
fftx)dx = F(x) + C,
b
ff(x)dx^F(.b)-F(.a).
Prawą część równania (2) piszemy często z użyciem symbolu
podstawienia:
F(b)-F(a) = [F(.xj$ lub F(x)\l
Stała całkowania C przy podstawieniu granic całkowania znika
i dlatego można ją pominąć przy obliczaniu całki oznaczonej według
wzoru (2). Tak wiec równanie (2) można napisać w postaci
b
jf(x)dx = \Jf(x)dx]ba.
O Zmienna całkowania oznaczona tutaj została przez t, aby nie mylić jej ze zmienną
granicą * (patrz str. 486).
8. Podstawowe pojęcia i twierdzenia całek oznaczonych 489
Równanie (2) można napisać również stosując całkę różniczki funkcji
pierwotnej:
b
j dF{x) = F(b)~F(a).
9. Obliczanie całek oznaczonych
Podstawowa metoda obliczania całek oznaczonych polega na
zastąpieniu całki oznaczonej całką nieoznaczoną (patrz podstawowe
twierdzenie na str. 488):
ff(x)dx = [JAx)dx]ba.
a
W tym przypadku dla obliczenia całki oznaczonej trzeba znaleźć
funkcję pierwotną /(*)•
Reguły przekształcania całki oznaczonej. Całkę oznaczoną
przekształca się w inną całkę najczęściej za pomocą następujących
reguł, analogicznych do reguł przekształcania całek nieoznaczonych:
1. Reguła podstawiania. Za pomocą funkcji pomocniczej
x = c>(r), gdzie nowa zmienna t jest funkcją jednoznaczną t = y(x)
zmiennej x w przedziale <a, £>, można całkę przekształcić do postaci
b v(6)
ff(x)dx = } f[<p(.tW(.t)dt.
Przy użyciu tego wzoru można nie przeprowadzać podstawienia
odwrotnego obliczania całki nieoznaczonej.
Przykład^). Mamy
a arc sini k/2
f yV-x2 dx = f a^^lsin^tdsint = a* f cosstdt =
0 arc sin 0 0
n/2
= a1 f — (1 +cos20^ =
0 2
C1) W przykładzie tym najpierw podstawiamy x = p(r) = asinr, skąd t = v(*) =
= arc sin (x/a); w przedziale <0, a> funkcja y(*) jest jednoznaczna, przy czym ^(0) = 0,
a i//(ą) = -= K- Następnie podstawiamy t — (/> (s)= -=■ z, stąd z = rCO = 2f; w przedziale
^0, -=- ir) jest to oczywiście funkcja jednoznaczna, przy czym v(0) = 0 i y/i-^n) = rc.

490 III- Rachunek całkowy
O
2. Reguła całkowania przez części. Przedstawiając
wyrażenie podcałkowef(x)dx w dowolny sposób w postaci udv i znajdując du
(za pomocą różniczkowania) i v (za pomocą całkowania) można
przekształcić całkę oznaczoną do postaci
b b b
ff(x)dx = fudv = [uv]ba - fvdu,
aa a
gdzie granice całkowania b i a podstawia się zamiast zmiennej x.
Przykład. Mamy
l l
f x e*dx = [x<Ąl~ fexdx = e-(e-l) = 1.
o V~~3^ °
Sztuczne chwyty. Jeżeli obliczanie całki nieoznaczonej jest bardzo
skomplikowane albo jeżeli całka ta w ogóle nie może być wyrażona
za pomocą funkcji elementarnych, to w wielu wypadkach wartość
całki oznaczonej może być jednak znaleziona za pomocą sztucznych
chwytów. Można na przykład wykorzystać własności funkcji
analitycznych zmiennej zespolonej (przykłady na str. 541 i 644), twierdzenie
o różniczkowaniu całki względem parametru (patrz str. 510):
a a
Przykład. Obliczmy
J In |x|
Wprowadźmy parametr t i rozważmy całkę
l
F(t) = f ^iLdx, przy czym 5(0), = 0, 5(1) = I.
■> In lxi
o
9. Obliczanie całek oznaczonych 491
Stosując do funkcji F(t) wzór (A), gdzie F(0) = 0 i 5(1) = I
mamy
J U-M Jo r+l
Całkowanie daje
t
F(r)-F(0) = j~ = [ln|r+l|]E, - In|(+H,
skąd otrzymujemy szukaną całkę / = F(l) = ln2.
Całkowanie przez rozwiniecie w szereg. Jeżeli funkcję
podcałkową/^) można przedstawić w przedziale całkowania <a, &> w
postaci szeregu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego (patrz str. 383):
/(*) *= Vi(%)+V&)+ ■■■ +9*(x)+ ..., .
to zachodzi równość
ff(x)dx = f<p1(x)dz + f^{x)dx+ ... +j<pn{x)dx+ ..., .
zatem całka oznaczona może być przedstawiona w postaci szeregu
liczbowego zbieżnego
b b b b
ff(x)dx = f <p1(tx)dx+ J<p2(x)dx+ ... + J <pn(x)dx+ ...
a a a a
W przypadku gdy funkcje ęt(x) (i = 1, 2,...) dają się łatwo scał-
kować, na przykład.przy rozwinięciu funkcji fix) w szereg potęgowy
b
jednostajnie zbieżny w przedziale (,a,by, całka/ f(x)dx może być
a
obliczona z dowolną dokładnością.
Przykład. Obliczmy z dokładnością do 0,0001 całkę
1/2
0
Mamy

492 III- Rachunek całkowy
(patrz tablicę na str. 418); szereg ten jest jednostajnie zbieżny w
dowolnym przedziale skończonym (zgodnie z twierdzeniem Abela, patrz
su. 386), zatem
r 8J Lx2 x* x*
x*
l!-3 ' 21-5 3!-7 ! 4!-9
skąd
1/2
o
1 / 1 1 1 1
~ 2 \ 2s-l!-3 + 2*-2!-5 26-3!-7 + 28-4!-9
2 \ 12 ' 160 2688 ' 55296
Zgodnie z twierdzeniem Leibniza o szeregach przemiennych (patrz
str. 380) dla obliczenia całki / z żądaną dokładnością można poprzestać
na pierwszych czterech członach rozwinięcia:
/^i-(l-0,08333 + 0,0O625-0,00037) = ~ ■ 0,92255 = 0,46127,
czyli
1/2
f e~*?dx = 0,4613.
o
Metody przybliżone. Najczęściej stosowane metody przybliżone
b
oparte są na zastąpieniu całki sumą skończoną. Aby obliczyć j ydx,
a
dzielimy przedział od a = xa do b = xn na n równych części punktami
#i> x2,..., Xn—i i dla punktów podziału xa> xu x%,..., xn-u xn obliczamy
b-a
wartości funkcji całkowanej y. Potem podstawiając h = stosujemy
jeden z trzech wzorów:
1. Wzór prostokątów (rys. 307a):
b
J ydx™h(ya+y1+... +j>»-i).
a
2. Wzór trapezów (rys. 307b):
b
fydx^-^h(ye + 2y1 + 2y2+2yn-i+yn).
9. Obliczanie catek oznaczonych 493
3. Wzór parabol (Simpsona) dla n parzystego (rys. 307c):
b
(I) f ydz^-^k(y0+4:y1+2y2 + 4:y3Jr ... +2yn_2+4yn^1+yn).
a
Wszystkie trzy wzory są tym bardziej dokładne, im większe jest n.
Przy tych samych wartościach « drugi jest dokładniejszy od
pierwszego, a trzeci jeszcze dokładniejszy i dlatego najczęściej używany. Aby
Rys. 307
oszacować błąd w wyniku obliczania całki według wzoru Simpsona
(gdy n jest wielokrotnością liczby 4), oblicza się sumę pomocniczą
(II) jk(y,+4yt+2yi+ ... +4y„_s+yn)
stanowiącą ten sam wzór Simpsona dla pasków o szerokości 2k po
odrzuceniu rzędnych o wskaźnikach nieparzystych. Można przyjąć w
przybliżeniu, że
a
Zastępując funkcję podcałkową dowolnym wielomianem
całkowalnym (patrz str. 818) można otrzymać wiele innych wzorów na
całkowanie przybliżone. Najczęściej stosowane są wzory następujące
(oznaczenia patrz na str. 819 i 820):
b
fydx = 2k[(yl+yi+ ... +yn-0 +
a

494
III. Rachunek całkowy
1
180
1
1512
gdy « jest parzyste, oraz
b
■+yi+y»+ ■■■+yn
+-
(A*y_1 + A*yl+ ... + A*y*_J +
<A*y_t + A*y0+...+A'yn_2],
/,*-.[£.
3^
2
4yrt-i-!-4y>
2
+
12
iŁ f^-s+^-i _ A*y-i+A*y-1
720 \ 2 2
317
A5y_3+A5y_s
l
Ostatniego składnika w tych wzorach zazwyczaj nie oblicza się i służy
on tylko do przybliżonego oszacowania błędu obliczeń dokonanych
według danego wzoru.
Metoda graficzna. Jeżeli funkcję całkowalną y ~ f(x) przed-
b
stawia wykres AB (rys. 308), to całkę j f(x)dx równą polu MaABN,
a
gdzie OM„ — a i ON = b, można znaleźć graficznie w następujący
sposób:
1° M0N dzielimy na 2n
równych części za pomocą punktów
*l/2> *D *3/2) X-z, ..., Xn—is Xn—i/ii
im więcej weźmiemy punktów
podziału, tym bardziej
dokładny będzie wynik.
2° W punktach podziału xll2,
#a/2:> ■ ■ ■» Xn-.itz wykreślamy
rzędne krzywej i przenosimy je na
oś Oy; są to odcinki OAv OAz,
...,OAn.
3° Na lewej części osi Ox od
kładamy odcinek OP dowolnej
długości i łączymy punkt P z
punktami Alt A2,..., An-
4° Z punktu M0 prowadzimy odcinek Af^A^ równoległy do
odcinka PAy aż do przecięcia z rzędną /(*i) w punkcie M1} potem z punktu
Mi prowadzimy odcinek MXM2 równoległy do odcinka PA% aż do
\M„x, x,x, x2x,x.
Rys. 308
9. Obliczanie całek oznaczonych 495
przecięcia z rzędną/Ota) w punkcie Ms,, następnie kreślimy AfaAfa 11 PAZ
itd., wreszcie kreślimy Mn-iMn \\PAn aż do przecięcia z ostatnią
rzędną f(b) w punkcie Mn.
b
Całka j Kx)dx jest liczbowo równa iloczynowi długości odcinków
a
OP przez odcinek NMn-> ze swobody dobierania długości OP
korzystamy do regulowania wielkości rysunku (im mniejsze jest miejsce na
rysunek w kierunku pionowym, tym dłuższy należy obrać odcinek OP).
Jeżeli OP = 1, to mamy
b
Jf(x)dx~NMn,
a
a łamana MJidiM^... Mn przedstawia w przybliżeniu wykres funkcji
pierwotnej względem funkcji f(x) (całkę nieoznaczoną j f(x)dx).
Obliczenie całki za pomocą planimetru. Planimetr jest to
przyrząd, który pozwala wyznaczyć pole ograniczone dowolną krzywą
i w ten sposób obliczyć całkę oznaczoną funkcji y = f(x) określonej
za pomocą wykresu. Planimetry specjalnego typu obliczają nie tylko
/ydx, ale także j y*dx i / y3dx.
Integratory. Istnieją przyrządy rysujące wykresy funkcji
pierwotnej
Y = ]f(t)dt
a
na podstawie wykresu funkcji danej y = f(x); są to tak zwane
integratory.
10. Zastosowania całek oznaczonych
Ogólna zasada zastosowania całek oznaczonych do
obliczania wielkości geometrycznych, fizycznych i innych.
1° Obliczaną wielkość A rozkładamy w pewien sposób na wielką
ilość n małych wielkości:
A = ax+a%-\- ...H-o»,
z warunkiem, że przy nieograniczonym wzrastaniu n każda z wielkości
Ot (i = 1,2,..., n) będzie malała do zera.
2° Każdą wielkość ai zastępujemy wielkością at (bliską at), którą
oblicza się według znanego wzoru; błąd (H = at — at powinien być
wielkością nieskończenie małą rzędu wyższego niż wielkość at, tzn.
wielkości at i ot są nieskończenie małymi wielkościami równoważnymi

496
III. Rachunek całkowy
3° Wielkość m wyrażamy za pomocą pewnej zmiennej x3 wybranej
tak, żeby at przybrało postać f(xi)Axt, gdzie Axt = Xi—Xi-i.
4° Szukaną wielkość obliczamy jako granicę sumy
n n b
A = lim ^'at = lim %f(xi)Axi = Jf(x)dx,
«-*ooJ=1 »-^<»i=i a
gdzie a = xe i b = xn są końcami przedziału zmiennej x.
Przykład. Obliczmy objętości ostrosłupa o podstawie 5 i
wysokości H.
1° Dany ostrosłup o szukanej objętości V dzielimy płaszczyznami
równoległymi do podstawy na n ostrosłupów ściętych o objętoSciach
odpowiednio vlt v2,..., vn (rys- 309a), przy czym przy
nieograniczonym wzrastaniu n każda z objętości vt (i = 1,2,..., m) będzie dążyła
do zera. Wysokość H będzie przy tym podzielona na n części punktami
(licząc od wierzchołka do podstawy): 0 = h0) hu h2i..., hn-i, hn = H.
Rys. 309
2° Każdy z ostrosłupów Ściętych vt zastępujemy graniastosłupem
o tej samej wysokości h ~ hi+i—ht i o podstawie St równej górnej
(mniejszej) podstawie ostrosłupa ściętego (rys. 309b); objętość
odrzucona jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż vu
3° Wzór na objętość vi bierzemy w postaci m = StAht, gdsie ht
(rys. 309c) jest odległością górnej podstawy od wierzchołka ostrosłupa,
a Ahi = ki+i—ki, i uwzględniając proporcję Si: 5 = hf: IP
otrzymujemy
4° Szukaną objętość V obliczamy iako granicę sumy:
V= lim j> = lim J;^.- = f^rdh = J-SH.
10. Zastosowanie całek oznaczonych 497
Podstawowe zastosowania w geometrii.
Pole. Wzór na pole trapezu krzywoliniowego (rys. 310a), jeżeli
równanie krzywej jest dane w postaci jawnej y = f(x), a < x < bt lub
w postaci parametrycznej x = <p(t), y = y(0» 'i <l < h-
b t,
SABCD = //(*)<** = / H>{tW(t)dt,
a r,
Wzór na pole trapezu krzywoliniowego (rys. 310b)s gdy równanie
a) b) c)
Rys.v310
krzywej dane jest w postaci x = g(y), a < y < /J, lub w postaci
parametrycznej x = fft), y — y>(t)3 f, < t < fa:
sefgh - isiy)dy = J <p(t)y>'(t)dt.
Wzór na pole wycinka krzywoliniowego (rys. 310c), gdy krzywa jest
wyznaczona przez równanie we współrzędnych biegunowych g = e(<p),
Pi < p < W v3
sOKL=yJetdf-
?i
Obliczanie pól figur bardziej skomplikowanych przeprowadza się
za pomocą całki krzywoliniowej (str. 522) lub całki podwójnej (str. 535).
Długość łuku. Wzór na długość łuku krzywej (rys. 311a), gdy
równanie krzywej jest dsne w postaci jawnej y =f(x) lub x = g(y)
albo w postaci parametrycznej x = <p(t), y = yi(t);
b P
L(AB) = / Vi+[fXx)?dx = fyigXy)?+i<iy =
a a
'a
= JV[pW+[y'C0]3<fr
*1
lub L = j dl, gdzie dl jest różniczką łuku: dl* = dx2 + dy2.

498
III. Rachunek całkowy
Jeżeli krzywa (rys. 311b) jest wyznaczona równaniem we
współrzędnych biegunowych q = q($>)s to
"i
lub L = j dl, gdzie dl jest różniczką łuku: dP = Q*d<ps+dQ2.
Pole powierzchni. Wzór na pole powierzchni utworzonej przez
obrót krzywej y = /(x) dokoła osi Ox (rys. 312a):
b b
S = 2n fydl = 2n f yy l+(śjL\ dx
Rys. 312
lub przez obrót krzywej * — f(y) dokoła osi Oy (rys. 312b):
S = 2njxdl = 2njXy *
a a * '
Obliczanie pola powierzchni ograniczających ciała bardziej
złożone— patrz str. 535 i 539.
10. Zastosowanie całek oznaczonych 499
Objętość. Wzór na objętość ciała utworzonego przez obrót
krzywej y — f(x) dokoła osi Ox (rys. 312a):
b
V= izjy*dx
a
lub przez obrót krzywej x = g(y) dokoła osi Oy (rys. 312b):
0
V = k j x2dy.
a
Wzór na objętość ciała, gdy pole jego przekroju prostopadłego do
osi Ox jest funkcją 5 = /(x) zmiennej x (rys. 313):
b
V = ff(x)dx.
a
Obliczanie objętości brył bardziej
skomplikowanych przeprowadza się za pomocą
całki podwójnej lub potrójnej (patrz str. 527,
535, 536).
Zastosowania w mechanice i fizyce.
Drogę przebytą przez punkt od
momentu początkowego r0 do momentu
końcowego T, gdy prędkość ruchu jest zmienną
zależną od czasu v = /(r), określa się według
wzoru T
S = / vdt.
'o
Pracę wykonaną przez siłę i7 na przesunięcie ciała od punktu x = a
do punktu x = b po prostej Ox pokrywającej się z kierunkiem siły,
gdy wielkość siły jest zmienną F = f(x), określa się według wzoru
(rys. 314): b
A= fFdx C1).
a
Parcie wywierane przez ciecz o ciężarze właściwym y na jedną
stronę zanurzonej w cieczy płytki pionowej, gdy odległość x punktów
płytki od poziomu cieczy zmienia się od a do b (rys. 315), obliczamy
według wzoru b
P = jyXy dx,
a
(_l) W ogólnym przypadku, gdy kierunek siły nie pokrywa się z kierunkiem ruchu,
a także gdy ciało porusza się po torze krzywoliniowym, pracę oblicza się jako całkę
krzywoliniowa foatrz str. 669).

500
III. Rachunek całkowy
gdzie y jest długością poziomego przekroju płytki stanowiącą funkcję
y =/(*) zmiennej x.
■" v j\ri F=f(X)
x dx
Rys. 314
Moment bezwładności.
1° Moment bezwładności łuku krzywej jednorodnej y =/(*),
a < x < b, względem osi Oy (rys. 316a) oblicza się według wzoru
b b
Iy = Ó _f *«_*-= 3 fx*\/l+(y'ydx,
a a
gdzie 8 jest gęstością liniową łuku.
Rys. 315
2° Moment bezwładności jednorodnej figury płaskiej (rys. 316b)
względem osi Oy wyznacza się według wzoru
b
Iy = dj x2ydx,
a
gdzie y jest długością przekroju równoległego do osi Oy, a 6 jest
gęstością powierzchniową figury (patrz także str. 535).
Środek ciężkości C łuku (rys. 317a) jednorodnej krzywej
płaskiej y = /(*), a ^ x < b, ma współrzędne
J«]/l+ya dx
Jy^l+y'* dx
yc =
gdzie L jest długością łuku (patrz str. 497).
10. Zastosowanie całek oznaczonych
501
Środek ciężkości krzywej zamkniętej (rys. 317 b):
b ______
Jxtyi+W* +Vl+\yś\*)Jx
a
X„= ;
/ (yi /i+W+yz VT+W)dx
a
yc- _ •
gdzie y-i — /,(x) i _ya = /_(#) są to rówriania górnej i dolnej części
konturu, a L jest długością całego konturu.
Pierwsze twierdzenie Guldina. Pole powierzchni bryły
powstającej przy obrocie płaskiej krzywej dokoła osi leżącej w
płaszczyźnie krzywej i nie
przecinającej tej krzywej równa się
iloczynowi długości L krzywej U
przez długość okręgu opisanego y
przy tym obrocie przez środek
ciężkości krzywej:
Sobr = L-2nyc.
Środek ciężkości C
jednorodnego trapezu
krzywoliniowego (rys. 317 c) ma współ- U ■
rzędne
b
j xydx
S '
Rys. 317

Magdzie S jest polem trapezu, y =f(x) jest równaniem krzywej AB.
Środek ciężkości dowolnej figury płaskiej (rys. 317d) ma
współrzędne
fx^-y^dx
\]iy\-yX)dx
yc=
S ' 'u S
gdzie yl = /,(*) i ya = /_(x) są równaniami górnej i dolnej części
konturu, a 5 jest polem figury.
Drugie twierdzenie Guldina. Objętość bryły utworzonej przez

502 III. Rachunek całkowy
obrót figury płaskiej dokoła osi leżącej w płaszczyźnie figury i nie
przecinającej tej figury równa się iloczynowi pola S figury przez
długość okręgu opisanego przy tym obrocie przez środek ciężkości tej
figury:
J^obr = S-2nyc.
O środkach ciężkości figur płaskich i brył patrz str. 535 i 536 (całki
wielokrotne).
11. Całki niewłaściwe
Wiadomości ogólne. Najprostszymi uogólnieniami pojęcia całki
oznaczonej (str. 484) są całki niewłaściwe (*).
Dwa podstawowe typy całek niewłaściwych:
1° Całka o nieskończonych granicach całkowania. Obszarem
oznaczoności funkcji podcałkowej jest półoś domknięta <a, co), ( — oo, a)
albo też cała prosta liczbowa (—co, co).
2° Całki funkcji nieciągłych. Funkcja podcałkowa jest ciągła w
całym przedziale od a do b z wyjątkiem pewnej skończonej ilości jego
punktów zwanych punktami osobliwymi.
Mogą zdarzyć się również kombinacje obu typów.
Całki o nieskończonych granicach całkowania.
Określenia. Niech obszarem oznaczoności funkcji będzie półoś
domknięta <<z, oo). Przyjmujemy określenie
co B
(1) //(*)<& = lim ff(.x)dx.
Jeżeli ta granica istnieje, to całka (1) istniejej czyli jest zbieżna i nazywa
się całką niewłaściwą. Jeżeli zaś granica nie istnieje, to całka (1) nie
B
istnieje, czyli jest rozbieżna. W przypadku gdy lim j f(x)dx=oo,
B—*co a
stosuje się oznaczenie
co
f f(x)dx = oo;
a
całka ta jest rozbieżna.
Analogicznie określa się całki niewłaściwe funkcji określonej na
(J) Pojęcie całki może być uogólnione również na bardziej skomplikowane
przypadki, w których obszarem oznaczoności funkcji (obszarem całkowania) jest zbiór
wartości pewnej funkcji {całka Stiehjesa).
11. Całki niewłaściwe
503
półosi domkniętej (— co, by albo na całej prostej liczbowej (— co, co):
b b
(2) / Rx)dx = lim ff(x)dx,
B
(3)
f Kx)dx = lim f f(.x)dx.
B^oA
Liczby A i B dążą do nieskończoności niezależnie jedna od drugiej.
Jeżeli granica (3) nie istniejej ale istnieje
A
(4) lim f f(x)dx,
^-co iA
to granicę (4) nazywamy wartością główną całki niewłaściwej.
0 X
a) jf(x)dx b) jffx)dx
y..
c) $f(x)dx
Rys. 318
Interpretacja geometryczna całek o
nieskończonych granicach całkowania. Całki (1), (2), (3) są to granice pól figur
podanych na rysunku 3ł8a, b, c.

504 UL Rachunek całkowy
Przykłady.
oo B
dx ,. C dx
Jdx C dx
— = lim I — = lim ln[B[ = oo (całka rozbieżna),
, * B-*oo\ x B-*oo
2- / 5 "j£l/ 5=j£l(t-^) ~ i Ccrfka 2bieżna)>
2 " =-™ 2
B
3- JlT^=.lim JrZ^^.1™ (arctgB-arctg.4) =
•~°° B-oo •* B-oo
= _ji_/—— nj = jc (całka zbieżna).
Jeśli granice (1), (2), (3) trudno jest wyznaczyć bezpośrednio albo
jeżeli chodzi tylko o ustalenie, czy całka jest zbieżna czy nie, to można
zastosować którykolwiek z dostatecznych kryteriów zbieżności całek.
Dostateczne kryteria zbieżności całek. Rozważamy tu
tylko całki typu (1). Dla całki typu (2) można dokonać zamiany
zmiennych x = —z i sprowadzić całkę do typu (1):
a oo
f /(*)<&= fn-x)dx.
—oo —a
Natomiast całkę (3) rozkłada się na sumę dwóch całek typu (2) i (1):
oo C oo
/ f(x)dx = f f(x)dx+ fmdx,
— oo —oo c
gdzie c jest liczbą dowolną.
oo
Kryterium 1. Jeżeli istnieje całka / \f(x)\dx,to istniejerów-
a
tiięż całka (1). W tym przypadku całkę (1) nazywamy zbieżną bez-
względnUy a funkcję /(x) nazywamy całkowalną bezwzględnie na pół-
osi domkniętej <a, oo).
Kryterium 2. Jeżeli funkcje/(x) i ę(x) są dodatnie i spełniają
warunek f(x) =S ę(pć) w przedziale a < x < oo, to ze zbieżności całki
oo oo
/ q>(x)dx wynika zbieżność całki / f(x)dx, a z rozbieżności całki
a a
oo oo
/ f(x)dx wynika rozbieżność całki / ę(x)dx.
11. Całki niewłaściwe 505
W szczególności przyjmując y(x) — l/#* i biorąc pod uwagę, że
oo
/ (l/x<*)<& jest zbieżna dla a> i (wtedy równa się l/Ca—l)***-1),
a
a jest rozbieżna dla a < 1, można sprowadzić powyższe kryterium
do następującego:
Kryterium 3. Jeżeli f(x) jest funkcją dodatnią w przedziale
a *S x < oo i jeżeli istnieje taka liczba a > 1, ze przy dostatecznie
wielkich wartościach x jest f(jx) ■ *» < c < oo, to całka (1) jest zbieżna;
jeżeli zaś funkcja /(x) jest dodatnia i istnieje taka liczba a < 1, że
f(pć)-x* 2* c > 0, to całka (1) jest rozbieżna.
Przykład, j j^dx.
+x* "'
i xM* x1
Przyjmując a = — otrzymujemy ——^ •x1'3 = ■-- -a- -> 1. Dana
* 1 -pX X "T^C
całka jest więc rozbieżna.
Związek całek niewłaściwych z szeregami
nieskończonymi. Jeżeli x1>xi,...)xn,... jest dowolnym
ciągiem nieskończonym nieograniczenie wzrastającym, tzn. jeżeli
(A) a<xx <xa < ... <xn < ...» lim x» — °°»
K—oo
i funkcja /(x) jest dodatnia w przedziale a < x < oo, to zagadnienie
zbieżności całki (1) można sprowadzić do zagadnienia zbieżności
szeregu
OB) ffOc)dx+ ff(x)dx+ ... + / /(x)rfx+ ...
Jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to całka (1) jest zbieżna i równa się
sumie tego szeregu; jeżeli szereg (B) jest rozbieżny, to rozbieżna jest
również całka (1). Daje to możność wykorzystania kryteriów
zbieżności szeregów do badania zbieżności całek. (Kryterium całkowe
zbieżności szeregów (str. 378) sprowadzało zagadnienie zbieżności szeregów
do zagadnienia zbieżności całki nieoznaczonej).
Całki funkcji nieciągłych.
Określenia. Niech obszarem oznaczoności funkcji będzie
przedział prawostronnie otwarty (a, b) albo też cały przedział
domknięty <a, b}, ale w punkcie b granica lim/(x) = oo. W jednym
x-*b
i w drugim przypadku przyjmujemy określenie
b 6-e
(1) f/(*)<b = lim f/(*)<&.

506 III. Rachunek całkowy
Jeżeli granica ta istnieje, to całka (1) istnieje, czyli jest zbieżna
i nazywa się całką niewłaściwą. Jeżeli zaś granica ta nie istnieje, to całka
b-e
(1) nie istnieje i jest rozbieżna. W przypadku gdy lim f f(x)dx — oo,
stosuje się oznaczenie
b
ff(x)dx = ooj
a
całka ta jest rozbieżna.
Całka (1) zawsze istnieje, jeśli funkcja f(x) jest przedziałami ciągła
i ograniczona w przedziale prawostronnie otwartym <a, b). W
dalszym toku będziemy zakładali, że funkcja f(x) jest nieograniczona,
tzn. lim/Oc) — oo.
x->b
Analogicznie określa się całkę niewłaściwą funkcji oznaczonej w
przedziale lewostronnie otwartym {a, by lub w całym przedziale
domkniętym <a, by, ale granica lim f(x) = oo:
b b
(2) //(*)<& = lim / Kx)dx.
a e—° a+e
Wreszcie jeżeli funkcja f(x) jest oznaczona w całym przedziale
domkniętym <a, i> z wyjątkiem jego punktu wewnętrznego c(a < c < i),
tzn. jeżeli jest oznaczona w przedziale prawostronnie otwartym (a, c)
i w przedziale lewostronnie otwartym (c, by, albo jeżeli jest oznaczona
również w punkcie c, ale lim f(x) — oo, to całkę niewłaściwą określamy
w sposób następujący:
b c—e b
(3) (f(x)dx = lim f /(*)<fe+Hm f /(*)<& C1).
Liczby e i <5 dążą do zera niezależnie jedna od drugiej. Jeśli całka (3)
nie istnieje, ale istnieje
(4) Um( j f(x)dx+ / f(x)dx),
E~*° a e-i-B
to granicę (4) nazywamy wartością główną całki niewłaściwej.
Interpretacja geometryczna całek funkcji
nieciągłych. Całki (1), (2) i (3) są to pola figur nieograniczonych mających
postać przedstawioną na rysunku 319 (krzywa ma asymptote pionową).
C1) Analogicznie do przypadku (1) będziemy w całkach (2) i (3) zakładali, że
lim /(*) «= oo lub lim /(*) = <x>.
x~>a x->c
11. Całki niewłaściwe
507
Przykłady. 1. f —t=» przypadek (2), punkt osobliwy x = 0;
o V *
mamy
b b
f^ = lim ( -%=lim{2\fb~~2\fe~) =2}/F (całka zbieżna).
5 y x e—o i yx £-»o
a) przypadek (1) b) przypadek (2)
Rys. 319
C) przypadek (3)
*/2
2. / tgxdx; przypadek (1), punkt osobliwy x = n/2; mamy
0
ic/2 ir/2—£
r tgxdx = Hm r tg»tix =
o «-<> o
= limllncosO—Incos/yji—e)| = oo (całka rozbieżna).
3. f -3-7= i przypadek (3), punkt osobliwy x = 0; mamy
-1 y*
8 -e 8
[T7=r = tim f -_ + limf-5—-
j', y* e-»o _*^ y* ^-^°^ Vx
= lim ^ (B«"-l)+lim-| (4- <S*'3) = -| (całka zbieżna).
e_o 2 <5-»oz
2x
4. f —^—t <&; przypadek (3), punkty osobliwe x = — 1 i jc = 1;
^2 * -1

508 III- Rachunek całkowy
mamy
2 -l-e I-v 2
f — fa — lim I -f lim j -f lim I =
J' **-l e-^o J S-*o J. r~o.J
-2 -2 ,,_,(, -1 + 5 1 + y
= liminfxa-l|hJ-£-J-... =
= lim[ln|l+2e+62-l]-ln3]-f ... = oo
(całka rozbieżna).
O zastosowaniu podstawowego wzoru
rachunku całkowego. Przy obliczaniu całek niewłaściwych z punktami
osobliwymi typu (3) nie należy podstawowego wzoru rachunku
całkowego (str. 488)
b
ff(x)dx - [F(*)]J, gdzie F'(x) = /(?:),
a
stosować mechanicznie, bez uwzględnienia punktów osobliwych
wewnątrz przedziału całkowania <o»6>, może to bowiem doprowadzić
do błędów. Na przykład stosując wzór podstawowy do przykładu 4
otrzymujemy
2
/
-2
-^t<& = lula:2—1||±1 = In3-ln3 = 0,
gdy tymczasem całka jest rozbieżna.
Reguła ogólna: twierdzenie podstawowe tylko wtedy można
stosować do przypadku (3), gdy funkq'a pierwotna runkcji/(«) jest w
punkcie osobliwym ciągła.
W przykładzie 4 to nie zachodzi: funkcja ln|x2—1] jest nieciągła
w punktach x = — 1 i x = -fi; natomiast w przykładzie 3 funkcja
tX!" jest w punkcie x = 0 ciągła i dlatego można do przykładu 3
zastosować twierdzenie podstawowe:
s
/
— - "I***!-! = f(8*-l"s) = |
Dostateczne kryteria zbieżności całki
funkcji nieciągłej.
b b
1. Jeżeli istnieje całka / \f(x) |dx,torównież istnieje całka J f(x)dx,
a a
którą w tym przypadku nazywamy całką zbieżną bezwzględnie, a funk-
1. Całki niewłaściwe 509
ej? fix) nazywamy funkcją całkowalną bezwzględnie w danym
przedziale.
2. Jeżeli f(x) jest funkcją dodatnią w przedziale prawostronnie
otwartym <<zs b) i jeżeli istnieje taka liczba a < 1, że przy wartościach
x dostatecznie bliskich 6 zachodzi nierówność f(x) {b~xY ^c< oo,
to całka (1) jest zbieżna, a jeżeli funkcja f{x) jest dodatnia i istnieje taka
liczba a > 1, że przy x dostatecznie bliskich b zachodzi nierówność
f(x) (b—x)a> c> 0, to całka (1) jest rozbieżna.
12. Całki zależne od parametru
Określenie. Całka oznaczona
b
(1) ff{x>y)dx = F(y)
a
jest funkcją zmiennej y zwanej w tym przypadku parametrem.
Funkcja F(y) w wielu wypadkach nie jest funkcją elementarną.
Całka (1) może być całką w zwykłym sensie albo całką niewłaściwą
o nieskończonych granicach całkowania, albo całką funkcji nieciągłej
Przykład. Mamy
r(y) = / 3^~le~^dx (całka jest zbieżna dla y > 0).
o
Jest to tak zwana funkcja gamma albo całka Eulera drugiego rodzaju.
Różniczkowanie pod znakiem całki. Jeżeli funkcja (1) jest
określona w przedziale c <. y K. e i funkcja ta jest ciągła w prostokącie
a^x^b, ~c<y<e i ma w tym obszarze pochodną cząstkową
dfldys to dla dowolnego y w przedziale <c, c> zachodzi wzór
a a
Jest to różniczkowanie pod znakiem całki.
Przykład.Przy y > 0 w dowolnym przedziale zachodzi wzór
1
J x»+y 2 i+y

510
III. Rachunek całkowy
Istotnie,
i
arctg ±dx = arctg 1 + i-yln -^,
di 1 1 , y* \ 1 y'
arctg —+ _-yln-4— = — In- y
s
dy \""* J' ~*~ 2'""I+y; " T*"T+y •
Przy j> = 0 warunek ciągłości funkcji nie jest spełnionym pochodna
cząstkowa nie istnieje.
Uogólnienie wzoru (2) na przypadek, gdy również
granice całkowania zależą od parametru. Jeżeli przy tych samych
założeniach funkcje a(y) i f}(y) są określone w przedziale <c, e> i mają
ciągłe pochodne a'(j>)> 0'Cy) i jeżeli krzywe x = a(y), x = p(y) nie
wychodzą z prostokąta a < x < 6, c < y < c, to wzór (2) może być
uogólniony w sposób następujący:
(2')
-ąj f{x,y)dx = J ^*^!ł^+/rcy)/(/?(y),y)-a'oo/(°Cy),y)»
Całkowanie pod znakiem całki. Jeśli funkcja (1) jest określona
w przedziale <c, e} i funkcja /(ar, y) jest w prostokącie a <x < 63c<
< y < e ciągła, to zachodzi wzór
* 6 6 e
(3) / (//(*, *)<&) dy^f (ff(x, y)dy)dx.
ca a c
Jest to całkowanie pod znakiem całki.
Przykłady. 1. f(x,y) -= *» (0< x< 1, a < y < 6; a >0).
Przy a > 0 warunek ciągłości funkcji jest spełniony. Funkcja xy jest
nieciągła w punkcie x = 0, y = 0, zatem
6 1 li
f[jx*dx)dy = f {fx#dy}dx.
a 0 Q a
J - f <*V , 1 + 6
Lewa strona wzoru daje , ■ = In ; prawa strona daje
j 1+3) ł + a
'l x6 xa
I —r ~ dx; całka nieoznaczona nie może być wyznaczona przez
funkii lnx
cje elementarnej ale całka oznaczona została znaleziona
1^(fa = to_J±*. (0<«<6).
mx 1 + a
s
12. Całki zależne od parametru 511
2. /(*,y) = ^^-(0 < x < 1, 0 ^ y < 1). W punkcie * - 0,
y = 0 funkcja jest nieciągła. Wzór (3) nie może być zastosowany.
Sprawdzenie:
1 1
C y2—x* j_ x |*=l 1 c dy ...J1 *
f y*—x* A _ x |*=i _ 1 f 4y__ I1 *
o o
1
r y3~x3 y |y=i 1
J (x*+y*y y jeł+y* y-0 *a + l'
o
1
(• (tt II 1
-J^TT = "arctg,co=-4,t-
o
13. Tablice niektórych całek oznaczonych
Całki funkcji wykładniczych
(w połączeniu z funkcjami algebraicznymi, trygonometrycznymi i
logarytmicznymi).
00
1. j x«e~°*dx = r(^ll) , gdy a > 0, n>-\ C);
o
n!
w szczególności przy n naturalnym całka ta równa się —^.
o
w szczególności przy n naturalnym parzystym (n = 2k) całka ta
równa się yn^wm —» a P^y » nieparzystym (n = 2fc+l)
k\
całka równa się "^fc+r'
00 ,—
3. f e-0**2***^ j^"* a>0.
C1) O funkcji gamma patrz str. 204; tablice wartości funkcji T(x) patrz str. 87.

512 III. Rachunek całkowy
oo
4. f a?g-**dx = 44-» a > 0.
J 4a8
0
oo
5. f ^^cos&xox = -L^-«-w*«", a > 0.
o
o
0
oo
C g-o^sina: , 1
g. „—__ 4x = arcctgfl = arctg—, a > 0.
J x a
0
oo
9. f e_:r]nxd* = — y«* —0,5772 (1).
Całki funkcji trygonometrycznych
(w połączeniu z algebraicznymi)
0
wzór ten jest prawdziwy przy dowolnych a i (i; można z niego
korzystać dla znajdowania całek
H/2 b/2 */2
f i/sinxox, I f^sinx <&, I ^.: a itd.
I i i F*08*
(') r Jest to stała Eulera (patrz str. 358).
(*) B(x, y) = — ■- ■-■?■■ jest to tak zwana funkcja beta albo całka Eulera pierwszego
i{x-\-yj
rodzaju,* r(x) jest to funkcja gammas czyli caika Eulera drugiego rodzaju (patrz str. 204).
13. Tablice całek oznaczonych 513
Gdy a i fi są naturalne, wzór (10) można napisać w postaci
5[/2
sin ^ xcos PT jeax = ~-
(a+0+1)1*
U- I — cfce = {
o
— y *, gdy a < 0.
/COS £2Jt
— rfx = co, a jest to dowolna liczba.
o
oo
.3. i «=* _ r gdy a>°-
— --■"» §dy « < 0.
o
, cos ax — cos bx .
14. | — dx — In
, l
, a^0, 6^0.
15
r sinxco
dx =
y*, gdy |al < 1,
■j"* gdy ]c| = 1,
0, gdy \a\ > 1.
., r sinx , r cos* /1
/v siti fct X
■ 8 ---g-rfy = i-r-ire-l"''1 (znak jest zgodny ze znakiem 6).
O
f cosax , 1
,8-J TH?*r-T-'J"
0
o
20. f sinxVx^ f cos*,rf* = '|/^ir •

514 III. Rachunek całkowy
ir/2
r sin* , 1 . 1+k ... __ .
J j/l-ft'sin'x 2k 1-*
tt/2
22. -—:— ■ dx = — arcsinft, |&] < 1,
J yi~kHin?x k
tt/2
23. f _^^L^<& = 1 (K-E)C), lftKl.
J j/l-j^sin8* *
*/2
24. f —^^ <fe = i- [E-(l-fea)K](2), [A1<1.
25- f i oTaX t»^=T^ o całkowite ^ 0, li|<l.
J 1—2fccos% + &2 1—o2
o
Całki funkcji logarytmicznych
(w połączeniu z algebraicznymi i trygonometrycznymi)
l
26. fln|lnx|dx = —y = -0,5772 (2) (sprowadza się do całki 9).
o
i
27. ——: dx = —^nz (sprowadza się do całki 6).
J X — 1 6
o
1
/1dx 1
—— dx — — -rrrii2 (sprowadza się do całki 7).
%+l 12
O
o
(') B i K są to całki eliptyczne zupełne (patrz str. 43R i tablicę na str. 93).
O y jest to stała Eulera (patrz str. 358).
13. Tablice całek oznaczonych 515
31. fint—) dx^Tia+Di1), -l<c<co.
*/2 tt/2
32. J Insinxdx •= j lncosxox = — yjik^.
o
33. J xlnsinxtfcc = — — jt2ln2.
o
34. J sinxlnsinxdx = ln2 —1.
o
35. f ln(a±icos*)<&^ nln i(a + ]/a2-fe3 ), a 5* b > 0.
0
/• [2rclna, a > b > O,
36. ln(a2-2a£cosx + &V* = { ,
J K ' l2nln6, fc ^ a > 0.
*/2
37. I lntgx<& = 0.
o
*/4
38. f ln(l+tgx)dic = -^iiln2.
o
Całki funkcji algebraicznych
/>+l),T(/S+l)
39. (V(l-*yJ<k = 2 f*2a+1a-*«)^=ii^i
= £(a+l,jS+l)(2) (sprowadza się do całki 10).
(x) /*(#) jest funkcją gamma (patrz str. 204 i tablicę na str. 87).
P(x) r(y)
(?) B (x, y) = -— — jest to funkcja beta albo całka Eulera pierwszego rodzaju,
r(x) jest to funkcja gamma albo całka Eulera drugiego rodzaju (patrz str. 204).

516 III- Rachunek całkowy
co
dx
40
0
f _ n
J (l-\-x)xa sinan: '
0
co
•i Q^x)& = -nCtSa*> a<1-
o
.. r x"'1 Tc _ ,
J I +x» . . a*
o osm^-
o
l
dx
* 2<z /
1
aa C dx a I
44. _—_— = 0<fl<~r-7C.
j l+2xcosa+xa 2sm« 2
o
'J l + 2xcosa+x3 ~~ sina' <a<-2~T-
o
C. CAŁKI KRZYWOLINIOWE, WIELOKROTNE
I POWIERZCHNIOWE
Pojęcie całki oznaczonej (patrz str. 484 i 485) może być uogólnione
w różnych kierunkach.
Obszarem całkowania zwykłej całki oznaczonej był przedział
domknięty <<z, by prostej liczbowej. Jeżeli za drogę całkowania
przyjmiemy pewien łuk linii krzywej (płaskiej lub przestrzennej), to
otrzymamy całkę krzywoliniową; jeżeli za obszar całkowania przyjmiemy
pewien obszar płaski, to otrzymamy całkę podwójną; a jeżeli weźmiemy
płat krzywopowierzchniowy, to będziemy mieli całkę powierzchniową;
wreszcie jeżeli za obszar całkowania przyjmiemy pewien obszar
przestrzenny, to otrzymamy całkę potrójną.
O rix) jest to funkcja gamma (patrz str. 204 i tablicę na str. 87).
14. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju
517
14. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju
(całki po tuku krzywej)
Określenie. Całką krzywoliniową pierwszego rodzaju (*)
//(*»>)*
funkcji dwóch zmiennych u = f(x, y) (określonej w pewnym obszarze
spójnym (2) ) wziętą po łuku K — AB krzywej płaskiej, określonej swoim
równaniem (łuk ten znajduje się w tym samym obszarze i nazywa się
drogą całkowania),
nazywamy liczbę, którą otrzymuje
się w sposób następujący
(rys. 320):
1° Łuk AB rozkładamy
na n łuków elementarnych
dowolnymi punktami Av Az,
..-, An-i następującymi po
sobie, w kierunku od
początku łuku A^Ao do jego
końca B = An;
2° wewnątrz (albo na
jednym z końców) każdego
łuku elementarnego At-i At
wybieramy dowolny punkt
Mi o współrzędnych li, VH
3° w każdym z
wybranych punktów Mi mnożymy
wartość funkcji /(&,ifc) przez długość łuku elementarnego At-i Ai =
= Asi-i (długości te przyjmuje się za dodatnie);
4° dodajemy wszystkie otrzymane n iloczynów /(li, t}i)Ast-i;
5° obliczamy granicę otrzymanej sumy
n
i=i
gdy długości wszystkich łuków elementarnych Ast-i dążą do zera
(a więc n —* co).
Jeżeli granica taka istnieje i nie zależy od doboru punktów Ai i Mi,
to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową pierwszego rodzaju funkcji
f(x,y) wziętą po drodze K:
Ot-
~0
t
(fto2
tfffĄ
Hfa
lA0^A
JftĄrB
.A '/***
jp4.i
Atfl
__ w
X
Rys. 320
(A)
jf(x,y)ds= lim £ K$uyi)Ast-i.
CK)
^*i-*o £"i
(*) Zwaną też całką krzywoliniową nieskierowaną.
<•) O obszarze spójnym dwóch zmiennych patrz str. 369.

518 III. Rachunek całkowy
Analogicznie określa się całkę krzywoliniową pierwszego rodzaju dla
funkcji trzech zmiennych u = f(x, y, z) wziętą po luku K krzywej
przestrzennej:
n
(B) Jf(x>y,z)ds= Hm Y/(&,%&) ^-i-
CK) /lft->0,-=1
Twierdzenie o istnieniu. Jeżeli funkcja f{x3y) albo /(x, y, z)
jest ciągła, a krzywa K na hiku AB jest ciągła i ma w sposób ciągły
zmieniającą się styczną, to całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju (A)
lub (B) istnieje (tzn. wymienione granice istnieją i nie zależą od doboru
punktów AtiMi).
Obliczanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju
sprowadza się do obliczania całki oznaczonej. Jeśli równania drogi
całkowania dane są w postaci parametrycznej (patrz str. 302 i 312) x ~ x(t),
y =y (0 albo (dlakrzywej przestrzennej) x = x(t), y = y(t), z ~ z(t)s
to w przypadku (A):
T .
j f(x, y)ds = j /[„(O, y(.m i/DeW+Lv'COJM*
(Ki *•
oraz w przypadku (B):
T
j /(*, y, z)ds = J f[x(t), y(t), s(0] y[x'(t)? + [y'(.t)?+ [z'{t)fdti
(K) t,
r0 jest to wartość parametru t w punkcie A, a T w punkcie B, przy
czym punkty A i B należy obrać w taki sposób, żeby było Ą> < T.
Jeśli równania drogi całkowania dane są w postaci jawnej y = <p(x\
a dla krzywej przestrzennej y = c?(x), z = y(x), i jeżeli a i b są
odpowiednio odciętymi punktów A i B, przy czym a < b (T), to w
przypadku (A):
b
j f(x, y)ds - //[(*, ?(*)] ^l + [<p\x)?dx
CK) a
oraz w przypadku (B):
6
CK) a
C') Przy tym zakłada się, że !uk X krzywej ma taki kształt, iż każdemu punktowi
jego rzutu na oś Ox odpowiada jeden tylko punkt łuku K (tzn, punkt krzywej jest
jednoznacznie określony przez jego rzut na os Ox). Jeśli to nie zachodzi, to łuk K
krzywej rozkładamy na kilka takich części, żeby każda z nich miała wskazaną powyżej
własność; całkę krzywoliniową wziętą po całym łuku K uważa się wtedy za sumę
całek wziętych po wszystkich z kolei częściach tego łuku,
14. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju
519
Zastosowanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju.
Długość odcinka krzywoliniowego K:
L(K) = J ds.
(K)
Masa niejednorodnego odcinka krzywoliniowego K, gdy <5 jest
zmienną gęstością liniową, przy czym -5 = /(*, y) dla krzywej płaskiej
i 5 = f(x, y, z) dla krzywej przestrzennej;
M(K) = J Sds.
CK)
15. Całki krzywoliniowe drugiego roazaju
(całki wzdłuż rzutu i całki ogólnej postaci)
Określenia. Całką krzywoliniową drugiego rodzaju
(A*) ff(x,y)dx
(K)
lub
(B,) f f(.x,y,z)dx
CK)
funkcji dwóch zmiennych/^, y) lub funkcji trzech zmiennych/^, y, z)
określonej w pewnym przedziale spójnym płaskmvlub przestrzennym,
wziętą wzdłuż rzutu na oś Ox pewnego łuku K^AB krzywej płaskiej
lub przestrzennej, leżącej w obszarze oznaczoności funkcji, nazywamy
liczbę otrzymywaną w taki sam sposób jak całkę krzywoliniową
pierwszego rodzaju (patrz str. 517, 518) — z tą tylko różnicą, że w stadium
3° mnożymy wartości funkcji/(&, m) ^ut>
odpowiednio /(&, rji, CO nie przez długości y
łuków krzywej Ai^At, ale przez długości
rzutów tych łuków na oś Ox (rys. 321): f/;
^ ^ 4-,
rzutxAi-iAi = Xi — Xi-i = Axi-u
a więc
n
(A*) (f(x3y)dx = lim Yf(.£t,w)Axt-u
CK) ^.-w0,-=1
CB*)
( f(x,y, z)dx = lim ^YUó 1h U)Axi-i.

520 III. Rachunek całkowy
Analogicznie określa się calki drugiego rodzaju wzięte wzdłuż rzutu
łuku K krzywej na oś Oy, a w przestrzeni również całkę wzdłuż rzutu
na oś Oz:
n
(Aj,) ff(.x,y)dy= lim Yf^^Ay^,
CK) ^JH-i-0 -=l
n
(Ba) f f(.x,y>s)dy= lim J[f{Sunt>Z*)Ayi-i,
CK) ^<-i<-0,-=1
tt-»co
n
CBB) //(^^^(fc^ lim y/(&,i?*,:0^*i—
CK) ^*i-i--0(-=1
Twierdzenie o istnieniu. Jeżeli funkcja /(x,,y) lub /(«,,>>, 2) jest
ciągła, a krzywa jest na łuku K ciągła i ma w sposób ciągły zmieniającą
się styczną, to całki krzywoliniowe drugiego rodzaju (A*), (Ay), (Ba),
(Bjr),(Bg) istnieją.
Obliczanie całek krzywoliniowych drugiego rodzaju
sprowadza się do obliczania całek oznaczonych. Jeżeli równania drogi
całkowania na płaszczyźnie dane są w postaci parametrycznej (patrz str.
283 i 302) x = x(t), y = y(t), a w przestrzeni w postaci x = x(t),
y = y(t), z = z(t), to całki (A,), (A*), (Bx), (B»), (B3) oblicza się według
wzorów następujących:
r
(A*) / Kx,y)dx = f f(x(_t),y(t))x\t)dt,
T
(Au) f f(x, y)dy= f f(x (O, y (r)) y\t) dt,
CK) *0
T
(B.) / f{xtyiS)dx = / /(*W.J>(0,*(0)*'(0<fc,
CK) r0
r
(B») / /(*,J>,*)c&> = / f{x{t\y(t\z(t))yXt)dtt
CK) *0
r
CB#) / Kx,y,z)dz = f / (*C0a y CO* * CO) *'C0 *to j
CK) i,
we wzorach tych t0 i T są wartościami parametru t odpowiadającymi
początkowi A i końcowi B drogi całkowania, przy czym w odróżnieniu
15. Calki krzywoliniowe drugiego rodzaju
521
od całek pierwszego typu nie wymaga się tu, żeby było t0 < T; przy
przestawieniu punktów A i B (czyli przy zmianie kierunku drogi cal-"
kowania na przeciwny) całki zmieniają znak na przeciwny.
Jeżeli równania drogi całkowania dane są w postaci jawnej y = q>(x)
dla krzywej płaskiej lub y = ę (x), z =y>(x) dla krzywej przestrzennej,
przy czym a i 6 są odpowiednio odciętymi punktu początkowego A
i końcowego B drogi całkowania (w tym przypadku warunek a < b nie
obowiązuje), to we wzorach (At)-— (Br) za parametr t służy odcięta x.
Całka krzywoliniowa ogólnej postaci 0). Jeżeli w pewnym
obszarze spójnym dane są dwie funkcje dwóch zmiennych P(x, y)
iQ&jy) albo trzy funkcje trzech zmiennych P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x, y, z) oraz łuk K pewnej krzywej płaskiej lub przestrzennej, to
całką krzywoliniową ogólnej postaci nazywamy sumę całek
krzywoliniowych drugiego rodzaju wzdłuż dwóch lub trzech rzutów łuku K na
osiach współrzędnych, a więc
C Pdx+Qdy = f Pdx+ f Qdy
CK) CK) (K)
dla krzywej płaskiej oraz
f Pdx+Qdy+Rdz = f Pdx+ f Qdy+ f Rdx
CK) CK) CK) CK)
dla krzywej przestrzennej.
Własności całki krzywoliniowej.
1. Całkę krzywoliniową po łuku AB danej krzywej można rozłożyć
na dwie całki krzywoliniowe za pomocą wewnętrznego punktu G tej
krzywej, leżącego wewnątrz lub zewnątrz łuku AB:
j Pdx+Qdy = / Pdx+Qdy+ j Pdx+Qdy
AB AC ĆB
(rys. 322a, b). Podobne wzory można napisać dla przypadku krzywej
przestrzennej.
2. Przy całkowaniu po tejże drodze, ale w kierunku przeciwnym^
całka zmienia znak na przeciwny:
J' Pdx+Qdy - - f Pdx+Qdy;
AB BA
podobnie w przypadku krzywej
przestrzennej.
C1) Wektorowy wykład teorii całki krzywoliniowej ogólnej postaci oraz
interpretację mechaniczną takiej całki patrz str. 669.

522 III. Rachunek całkowy
3. Wartość całki krzywoliniowej w przypadku ogólnym zależy
zarówno od punktów końcowych A i B jak też od łączącej je drogi
całkowania:
} Pdx+Qdy* j Pdx+Qdy
ACB ADB
(rys. 323); podobnie jest dla krzywej przestrzennej.
Przykłady. 1.1 = j xydx+yzdy+zxdz, gdzie (K) jest jednym
CK)
zwojem linii Śrubowej x = acost, y = asinr, z = bt (patrz str. 327)
od t„ = 0 do T = 2n:
r 1
I = \ (—azsm}tco^t+azbtsmtco^t+abHcost)dt = — -^;caa6.
2. 7 = / .yVx + Oey--#*V.y» gdzie (K') jest łukiem paraboli y* =
CK)
= 9* od punktu ^4(0, 0) do punktu B(l, 3):
o
Cyrkulacja. Cyrkulacją albo całką okrężną nazywamy całkę
krzywoliniową po konturze zamkniętym i oznaczamy ją symbolem
f Pdx+Qdy lub f Pdx+Qdy+Rdz}
CC) CC)
gdzie (C) oznacza zamkniętą drogę całkowania (kontur), to znaczy
linię, której koniec B pokrywa się z początkiem A. W ogólnym
przypadku cyrkulacja nie równa się zeru.
Pole figury płaskiej można napisać w postaci cyrkulacji
5 — ~ £ (xdy—ydx),
CĆ)
gdzie C oznacza kontur ograniczający daną figurę płaską, przy czym
drogę całkowania obiega się w kierunku dodatnim, to znaczy takim,
przy którym obszar figury zostaje po lewej stronie drogi całkowania.
Warunek niezależności całki krzywoliniowej od drogi
całkowania (całkowalności różniczki zupełnej).
Przypadek dwuwymiarowy. Warunkiem koniecznym i
dostatecznym na to, żeby całka krzywoliniowa
jP(X)y)dx+Q(x3y)dy,
15. Całki krzywoliniowe drugiego rodzaju 523
gdzie P i Q są funkcjami ciągłymi określonymi w obszarze jednospój-
nym, zależała tylko od punktu początkowego A i punktu końcowego B
drogi całkowania, a nie zależała od łączącej je krzywej, leżącej w
obszarze oznaczonoŚci funkcji P i Q, tzn. żeby przy
dowolnych A i B i dowolnych drogach całkowania ACB
i ADB (rys. 323) zachodziła równość - £-
j Pdx+Qdy = j Pdx+Qdy,
ACB ADB
jest istnienie takiej funkcji dwóch zmiennych Ł7(x, y), której różniczką
zupełną dVix, y) byłoby wyrażenie podcałkowe
Cl) Pdx+Qdy = dU,
to znaczy
(2) P-™ Q-iH
{Z) L "" dx' U dy ■
Taką funkcję U(x3 y) nazywamy funkcją pierwotną Q-) różniczki
zupełnej Pdx+Qdy.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji
pierwotnej wyrażenia Pdx + Qdy (czyli warunkiem całkowalności różniczki
zupełnej Pdx+Qdy) jest równość
(3) ^ = ^
W óy dx >
pod warunkiem ciągłości tych pochodnych cząstkowych.
Przypadek trójwymiarowy. Warunek konieczny i dostateczny
niezależności całki krzywoliniowej
f Pfay, z)dx + Q(x,y, z)dy + R(x,y, z)dz
od drogi całkowania łączącej dane punkty A i B jest analogiczny: musi
istnieć funkcja pierwotna U(x, y, z) taka, żeby
(l') Pdx+Qdy+Rdz = dU,
to znaczy
'-£ «-£■ --£•
C1) Funkcja pierwotna U(x,y) jest to potencja* pola wektorowego Pt+Q/(w innej
terminologii jest to.potencjał opatrzony znakiem »—") patrz str, 670.

524
III. Rachunek całkowy
Warunek całkowalności polega w tym przypadku na równoczesnym
spełnieniu trzech równości
1 } dz dy' dz dz' dy dz'
pod warunkiem ciągłości tych pochodnych cząstkowych.
Znajdowanie funkcji pierwotnej. Przy spełnieniu warunku (3)
funkcja pierwotna U(x, y) równa się całce krzywoliniowej
£7 = f Pdx+Qdy
AM
po dowolnej drodze całkowania AM, leżącej w obszarze, w którym
spełniony jest warunek (3), i łączącej dowolnie ustalony punkt A
y#
•*MfrV)
i
Mx0,ya)
JK
0\ x
Rys. 324
z*
A(xo,y0,zo)
M(x,y,z)
Rys. 325
o współrzędnych x0> y0 z punktem zmiennym M o współrzędnych
bieżących x, y. W praktyce za drogę całkowania najdogodniej jest
przyjąć jedną z dwóch linii łamanych AKM lub ALM o bokach
równoległych do osi współrzędnych, jeżeli taka łamana nie wykracza poza
obszar, w którym spełniony jest warunek (3) (rys. 324). Daje to dwa
wzory na obliczenie funkqi pierwotnej U(x, y) dla różniczki zupełnej
Pdx+Qdy:
x y
(40 17= J+J +U(x0>y0) = f P&ya)d$+ jQ(.x>v)dn + G,
AK KM xo y»
y x
(4a) U = J^ + j_ + U(x0, y0) = fQ(xn n)dr,+ f P(£, y)dS + C.
AL LM
y»
15. Całki krzywoliniowe drugiego rodzaju 525
W przypadku trójwymiarowym przy spełnieniu warunku (3')
oblicza się w sposób analogiczny funkcję pierwotną U(x,y,z) według
następującego wzoru (rys. 325):
(4') u= f +J^ + J^ + U(xa, ya, z0) =
A~K KL TM
x y z
= / Ptf,ya, Zo)<*!+ JQ(x, n, za)dri+ f R(x,y, £)df+C
*o 3*o *o
albo według pięciu analogicznych wzorów odpowiadających innym
możliwym liniom łamanym o bokach równoległych do osi
współrzędnych.
Przykłady, l. Pdx+Qdy = ~~^^ + ^,.
dP dQ v2—x*
Warunek (3) jest spełniony: -— = —— = —— -—. Stosujemy wzór
oy ox (x*+yz)z
(4a) przyjmując w nim x0 = 0, yQ = 1 (nie można wziąć punktu xa = 0,
^0 = 0, gdyż w punkcie tym funkcje P i Q nie są ciągłe). Mamy
U - ) -Ąf *,+ J ~^ #+ UW) - -nr* |. +C _
1 0
= arc tg 2-+ Cl
x
2. Pdx + Qdy+Rdz = z{±--±^dz+-*Lidy +
Ą^-Ty)dZ-
Warunki (3') są spełnione. Stosujemy wzór (4') przyjmując x„ = 1,
ya = 1, So = 0;
110
Całka okrężna wzdłuż płaskiego konturu (całka krzywoliniowa
różniczki Pdx+Qdy po płaskiej krzywej zamkniętej) przy spełnieniu
warunku (3) równa się zeru, jeżeli wewnątrz danego konturu nie ma
punktówj w których jedna z funkcji P, Q, dP/dy lub dQjdx jest nie^
ciągła albo nieoznaczona.

526 III. Rachunek całkowy
16. Całki podwójne i potrójne
Całka podwójna. Całką podwójną funkcji dwóch zmiennych
u = f(x, y) C1) rozciągniętą na obszar płaski domknięty 5 i oznaczaną
symbolem
ff(.x,y)dS albo fff(x,y)dS
s s
nazywamy liczbę otrzymywaną w sposób
następujący:
1° obszar całkowania 5 (rys. 326)
rozkładamy w dowolny sposób na n obszarów
elementarnych ASU ASjs, ..., ASa;
2° wewnątrz lub na brzegu każdego ob-
szarn elementarnego wybieramy w sposób
dowolny jakiś jeden punkt Mi (xi, yt);
3° wartość funkcji u w tym punkcie f(xi, yi) mnożymy przez pole
dSi odpowiedniego obszaru elementarnego ASi;
4° wszystkie iloczyny postaci f(Xi,yi)dSt dodajemy;
5° znajdujemy granicę otrzymanej w ten sposób sumy
n
^f{xt,yi)dSi,
gdy każdy obszar elementarny dSt ściąga się do punktu (2), a zatem
ilość ich n nieograniczenie wzrasta.
Jeżeli granica ta istnieje i nie zależy ani od sposobu rozkładania
obszaru 5 na obszary elementarne, ani od doboru punktów Mi{x%, yt),
to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji « rozciągniętą na
obszar S, który nazywamy w tym przypadku obszarem całkowania'.
n
(1) Jf(x,y)dS = lim £f(xhyi)dSi.
S dSi-*0 i=l i
M—.CO
Twierdzenie o istnieniu. Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w
całym domkniętym obszarze całkowania (to znaczy z włączeniem
punktów brzegowych), to całka (1) istnieje.
(J) Funkcję u uważa się tutaj za funkcję punktu, to znaczy funkcję (patrz str. 367),
która może być określona nie tyiko we współrzędnych prostokątnych.
(a) Warunek, że obszary elementarne dSf dążą do zera, nie jest wystarczający,
Otóż do granicy 0 powinna dążyć średnica każdego z obszarów elementarnych dSi.
czyli odległość między najbardziej od siebie oddalonymi punktami obszaru ASi.
Na przykład pole prostokąta przy nieograniczonym zmniejszaniu jednego z boków
dąży do granicy 0, ale średnica tego prostokąta pozostaje skończona.
ló. Całki podwójne i potrójne 527
interpretacja geometryczna całki podwójnej. Całka
podwójna jest to objętość bryły cylindrycznej (rys. 327) ograniczonej 1°
podstawą 5 na płaszczyźnie Oxy, 2° powierzchnią cylindryczną,
której kierującą jest kontur podstawy S, a
tworzącymi są proste równoległe do osi Oz, 3°
powierzchnią o równaniu z ■= fix, y). Każdy
u=f(x,y)
elementf(xi, yi)dSi sumy £ f(xi>yi)dSi daje
i=l
objętość dVi pryzmatycznego słupka o
podstawie dSi i wysokości f(xi, yt). Objętość
otrzymuje się ze znakiem „ + " lub „ —" zależnie
od tego, czy odpowiednia część powierzchni
z ~ f{x, y') leży nad płaszczyzną Oxy, czy
też pod nią. Jeśli powierzchnia ta przecina
płaszczyznę Oxy, to objętość bryły jest sumą
algebraiczną poszczególnych elementów dodatnich i ujemnych.
Całka potrójna. Całkę potrójną funkcji u — f(x, y, z) rozciągniętą
na obszar przestrzenny domknięty V i oznaczoną symbolem
ff(x,y,z)dV albo ffff(x,y,z)dV
V V
określa się podobnie jak całkę podwójną:
Obszar V (rys. 328) rozkładamy w sposób
dowolny na obszary elementarne AVt (gdzie
i = 1, 2,..., ») i rozważamy iloczyny postaci
f(xi, yt, ztydVu gdzie Mi(xis yi, Zi) jest
punktem dowolnie obranym wewnątrz lub na
brzegu obszarn elementarnego AVi, a dVt jest
objętością tego obszaru elementarnego. Całką
potrójną nazywamy granicę sumy takich
iloczynów dla wszystkich obszarów
elementarnych AV%, gdy każdy z tych obszarów
elementarnych ściąga się do punktn C1), a więc ich ilość n rośnie
nieograniczenie — jeżeli taka granica istnieje i nie zależy ani od sposobu
rozkładania obszaru V na obszary elementarne, ani od doboru punktów Mi'.
Rys. 328
{f(x,y,z)dV= lim Yf(Xi,yi,Zi)dVi<?).
(l) Sciaga się do punktu w tym samym sensie, jak przy całce podwójnej, tzn. że
do granicy 0 dąży nie tylko objętość obszaru elementarnego, alo również jego
średnica, czyli odległość między najbardziej odległymi punktami tego obszaru.
O Analogicznie określa się całkę n-krotną w w-wymiarowej przestrzeni liczbowej.

528 III- Rachunek całkowy
Twierdzenie o istnieniu całki potrójnej dla funkcji ciągłej
trzech zmiennych/(x, y, z) jest analogiczne do odpowiedniego
twierdzenia o istnieniu całki podwójnej.
17. Obliczanie całek wielokrotnych
Obliczanie całki podwójnej lub potrójnej sprowadza się do
kolejnego obliczania dwóch lub trzech całek oznaczonych. Można to
wykonać różnymi sposobami, zależnie od wyboru układu współrzędnych.
Całka podwójna.
We współrzędnych prostokątnych. Obszar całkowania 5
rozkładamy za pomocą linii współrzędnych na prostokąty (rys. 329a).
Sumowanie iloczynów f(x, y)dS przeprowadza się najpierw we
wszystkich prostokątach wzdłuż każdego pasa pionowego, a następnie we
wszystkich pasach pionowych. Analitycznie:
ff(x,y)dS = /( / f(x,y)dy)dx,
S a ?,(x)
gdzie a i b są odciętymi skrajnego lewego i skrajnego prawego punktu
obszaru całkowania S, a y = <Pi(x) oraz y = <p^x) są równaniami
krzywych stanowiących dolny brzeg (AnB) i górny brzeg (AmB) obszaru 5
a) b)
Rys. 329
w przedziale a ^ x ^b; przyjęto pomijać nawias i pisać powyższy
wzór w postaci
ff(x,y)dS=f j f(x,y)dydx,
S a ?>,(*)
przy czym wewnętrzną całkę (stojącą na drugim miejscu) odnosimy
do tej zmiennej, której różniczka jest również wewnętrzna (tzn. stoi
na pierwszym miejscu). Zauważmy, że iloczyn różniczek dydx jest
17. Obliczanie całek wielokrotnych
529
polem dS obszaru elementarnego we współrzędnych prostokątnych,
a pierwsze całkowanie przeprowadza się w założeniu, że x jest
wielkością stałą.
Obliczenie we współrzędnych prostokątnych można przeprowadzić
również w kierunku przeciwnym (patrz rys. 329b):
ff(x,y)dS = f f f(x3y)dxdy.
S a w-iiy)
Przykład. / = f xy2dS> gdzie 5 jest to obszar ograniczony para-
bolą y = xz i prostą y = 2x (rys. 330).
Mamy
2 2x
n
0 X*
1 = J / xyzdydx = jx[\y']%dx = i-j (8**-**)<& = ~
albo też
*Vy~
* = ff *y**y = jyił*]^"*' = ±f?{y-iń*y-?•
0 y/2
We współrzędnych biegunowych. Obszar 5 rozkładamy za
pomocą linii współrzędnych na obszary elementarne ograniczone
dwoma łukami kół mających środek w biegunie i dwoma odcinkami
Rys. 331
pólprostych wychodzących z bieguna (rys. 331); funkcję podcałkową
należy wyrażać we współrzędnych biegunowych a> = f(Q><p).
Sumowanie przeprowadzamy najpierw wzdłuż każdego wycinka kołowego, a
potem we wszystkich wycinkach kołowych.

530
III. Rachunek całkowy
Analitycznie:
/ ttQ,ę)QdQd<p,
S "Pi Pi(¥)
gdzie <pi i ę2 są to amplitudy skrajnych promieni wodzących
stycznych do obszaru S, przy czym (pt < pa, a q = ^(p) i q = Q±(<p) są to
równania biegunowe brzegu wewnętrznego (AmB) i brzegu
zewnętrznego (AnB) obszaru S w przedziale <px < <p < <p%. Iloczyn gdgdę
wyraża pole dS obszaru elementarnego we współrzędnych
biegunowych.
Odwrotny porządek całkowania jest rzadko stosowany.
Przykład, i = f gsirppdS, gdzie S jest półkolem q = 3cos-p,
0 < 91 < -jj-ji (rys. 332).
Hrx
Rys. 332
Mamy
s/2 3 cos ę it/2
/ - / / esin»»>e<fe<fc = / sinV [|e,gał"' dp -
00 o
■.t/2
=_9 f sin2<pc°sVd9' = -=-.
o
W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych a, v,
określonych wzorami x = x(u, v),y =y(us v) (patrz str. 257). Obszar
Rys. 333
17, Obliczanie całek wielokrotnych
531
całkowania rozkładamy za pomocą linii współrzędnych « = const, v =
= const (rys. 355) na obszary elementarnej funkcję podcałkową
wyrażamy przez współrzędne u, ti i przeprowadzamy sumowanie wzdłuż
jednego pasa (na przykład v = const), a następnie we wszystkich
pasach.
Analitycznie:
(2) ff(u,v)dS=f j f(u,v)\D\dvdu,
S w4 vi(«)
gdzie % i «a są to współrzędne skrajnych linii współrzędnych
stycznych do brzegu obszaru S i ograniczających obszar całkowania S,
moduł \D\ jest bezwzględną wartością jakobianu
D =
D(x,y)
dx
du
dy
du
dx
dv
te
dv
a ]D\ dvdu jest polem dS obszaru elementarnego we współrzędnych
krzywoliniowych u, v.
Wzór (1) jest szczególnym przypadkiem wzoru (2), albowiem dla
współrzędnych biegunowych mamy x = gcosy, y = esiny i jako-
bian D = q.
Doboru współrzędnych krzywoliniowych a i v dokonuje się w taki
sposób, ażeby granice całkowania we wzorze (2) były możliwie
najprostsze.

532
III. Rachunek całkowy
Przykład. / = ff(x,y)dS, gdzie 5 jest obszarem ograniczonym
s
asteroidą x = acos3r, y = a sin3;.
Wprowadzamy współrzędne krzywoliniowe x = ucos*v,y = usinfv.
Linie współrzędnych u = cx stanowi rodzina asteroid podobnych x =
= CiCOS3r, y = CiSin3^ (rys. 334); liniami współrzędnych v = c3 są
półproste y = kx, gdzie k = tg3 c2. Wówczas
D =
skąd
cos3w —3wcos2wsinu
sin3*> 3«sinBz>cosi»
a 2k
~ 3w sin2 v cos2 v,
I = C C /(#(», z;)j.y(M,iO)3Msina?;cosa?;aWw.
o o
Całka potrójna.
We współrzędnych prostokątnych. Przestrzenny obszar
całkowania rozkładamy za pomocą powierzchni współrzędnych (w
danym przypadku za pomocą płaszczyzn współrzędnych) na
prostopadłościany (rys. 335) i sumowanie iloczynów fix^y, z) dV przeprowadzamy
najpierw we wszystkich prostopadłościanach wzdłuż słupka pionowego
(sumowanie względem s) potem we wszystkich słupkach wzdłuż płyty
równoległej do osi Ox i Oz (tzn. sumujemy względem y), wreszcie we
wszystkich takich płytach (sumowanie względem x).
Analitycznie:
ff(.x,y>z)dV= /[/ ( / f{x>y,z)dz)dy\dx.
V a Vi(x) Vi(.x,y)
We wzorze tym z = y>i(x, y) i z = yz(x, y) są równaniami dolnej
i górnej części powierzchni ograniczającej obszar całkowania V\
powierzchnie te łączą się na krzywej T, wzdłuż której styka się z obszarem
V powierzchnia walca opisanego na V i mającego tworzące równoległe
do osi Os. Równania y = <px(x) i y = f%(x) są równaniami górnego
i dolnego łuku krzywej C stanowiącej rzut krzywej r na płaszczyznę
Oxy; łuki te łączą się w punktach styczności konturu C ze skrajnymi
stycznymi o równaniach x = a i x = b.
Całkę powyższą można napisać bez nawiasów w postaci
fHx,y,3)dV= f f j f(x,y>z)dzdydx,
V a tpiCx,) Vj(x,y)
przy czym całkowanie zaczynamy od wewnętrznej całki (trzeciej z
rzędu), do której należy wewnętrzna różniczka dz (pierwsza z kolei),
17. Obliczanie całek wielokrotnych 533
potem obliczamy drugą całkę, do której należy druga różniczka dy
i w końcu obliczamy pierwszą całkę, do której należy ostatnia
różniczka dx.
Tak jak przy całkach podwójnych, kolejność całkowania jest
obojętna, a więc obliczanie całki potrójnej można dokonywać sześcioma
sposobami.
Przykład. /= f (y*+z*)dV, gdzie V jest obszarem domkniętym
V
mającym kształt ostrosłupa ograniczonego płaszczyznami
współrzędnych oraz płaszczyzną x+y+z = 1.
Mamy
11—xl—x—y
I = f f f (ys+z*)dzdydx =
0 0 0
= /[f( /V+*V*H*: = 4.
0 0 0
We współrzędnych cylindrycznych. Obszar całkowania
rozkładamy na obszary elementarne za pomocą powierzchni
współrzędnych q = const (walce obrotowe), f = const (półpłaszczyzny),
s = const (płaszczyzny). Objętość obszaru elementarnego dV =ądzdądtp
Rys. 336 Rys. 337
(rys. 336). Funkcję podcałkową należy wyrazić we współrzędnych
cylindrycznych: /(g, <p, z). Wówczas
(1) ff<£»9>x)W= { { f f{Q,<P>z)QdzdQd<P.
V Vi Pity) «i(P,C>)

534
III. Rachunek całkowy
Przykład. / = / dVt gdzie V jest obszarem ograniczonym płasz-
V
czyznami współrzędnych Oxy i Oxz, powierzchnią cylindryczną
x2+yz = ax oraz powierzchnią kuli x2+yz-{-zz = a2 (rys. 337) C1).
Mamy
Sl = 0, Za = ]/fla—X3—y = ]/a2 — Q2, Qi = 0, Q2 = OCOS-p,
c>! = 0, (p2 = -£ *>
skąd
5t/2 acoscjj/a8—/ia
^ = f f f S dzdqd<p —
0 0 0
*/2 a cos y j/a3—pa -
= /[ / ( / dz)ede]d<p = ±a>(3n-*).
0 0 0
We współrzędnych sferycznych. Obszar całkowania
rozkładamy na obszary elementarne za pomocą powierzchni współrzędnych
r — const (powierzchnie kuliste), ę = const (półpłaszczyzny) i 0 =
Rys. 338
1 cose \!
= const (powierzchnia stożkowa). Objętość obszaru elementarnego
dV = rzs'mddrdQd>p (rys. 338). Funkcję podcałkową należy wyrazić
we współrzędnych sferycznych. Wówczas
(2) $Kr>ę>&)dV= / / / Kr,y,e)rHmedrdddę.
(*) Ponieważ w danym przypadku f(x, y, z) = 1, przeto całka wyraża objętość
opisanej bryły.
17. Obliczanie całek wielokrotnych 535
Przykład. / = I —— dK, gdzie Vjest to obszar w postaci stożka
V r
ograniczonego powierzchnią współrzędnych ę = a i płaszczyzną
współrzędnych z = h (rys. 339).
Mamy
ri = 0, r3 = 7rr^„ 0! = 0, 03 = <*> Vi = 0, <pt = 2%,
cosfl1
skąd
2n a A/cos 0
'-II /
cos 0
r3sin0<frJ0dV =
0 0 0
2?t a
A/cosfl
= f f cos0sin0 I f Jr)je|d,c>=2nft(l—cosa).
0 0 0
W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych m, v, w,
określonych wzorami
x = x(u,v,w)> y =y(«,w,a))» z = z(u,v,zt>)
(patrz str. 280). Obszar całkowania rozkładamy na obszary elementarne
za pomocą powierzchni współrzędnych
u ~ const, v — const, w = const.
Objętość obszaru elementarnego
\dx dx dx\
dV = \D\ dudvdto, gdzie D =
du dv dw
dy dy dy
du dv dw
dz dz dz
du dv dvi
Funkcję podcałkową należy wyrazić przez współrzędne m, v, w:
(3) f f(u, v,ui)dV= f f f /(«, v, vi) \D\ dwdvdu.
Wzory (1) i (2) są szczególnymi przypadkami wzoru (3); dla
współrzędnych cylindrycznych D = q, dla współrzędnych sferycznych D =
= r2sin0.
Doboru współrzędnych krzywoliniowych dokonuje się w taki
sposób, żeby granice całkowania we wzorze (3) były jak najprostsze.

18. Zastosowania całek wielokrotnych
Całki podwójne
Wielkość
Pole płaskiej figury
Pole płata powierzchniowego C1)
Objętość bryły cylindrycznej (8)
Moment bezwładności płaskiej
figury względem osi Ox
Moment bezwładności płaskiej
figury względem bieguna O
Masa płaskiej figury o gęstości
powierzchniowej jako funkcji
parametru
Współrzędne środka ciężkości 1
płaskiej figury jednorodnej 1

Oznaczenie
5
2
V
Ix
*0
M
xc
yc
Wzór
ogólny
fdS
s
r dS
J cosy
"jzdS
Jy*dS
JQ*dS
s
fódS
s
JxdS
s
S
tydS
s
We współrzędnych
prostokątnych
f Jdydx
f j zdydx
ffy*dydx
f f\x*+y*)dydx
j fddydx
j j xdydx
J Jdydx
j j ydydx
j jdydx
We współrzędnych
biegunowych
J J Q dqdip
jjZQdcdy
] \ Q^svr&ipdQdyi
j § cPdędy
j j&Q dQdy
j $ q*cosydqdy
/ / QdQdy
j f S2sin<pdQd(p
j / QdQdip
C1) Patrz sir. 537; w danym przypadku S oznacza rzut powierzchni na płaszczyznę Oxy, a y kat utworzony z osia Oz przez
normalną do elementu powierzchniowego.
P) Patrz Mr. 527
Całki potrójne
Wielkość
Objętość bryły
Moment bezwładności
bryły względem osi Oz
Masa bryły o gęstości 6
jako funkcji parametru
Współrzędne środka
ciężkości bryły
jednorodnej
.

Oznaczenie
V
I,
M
XC
yc
zc
Wzór
ogólny
fdV
V
f eW
V
fSdV
V
jxdV
V
V
JydV
V
V
j*dV
V
We współrzędnych
prostokątnych
J f (dzdydx
fjf(x*+y*)dzdydx
f j f 6 dzdydx
j j j x dzdydx
f j jdzdydx
j j j y dzdydx
/ j j dzdydx
/ j f zdzdydx
j j' j dzdydx
We współrzędnych
cylindrycznych
f f j Qdzdqdy
j j f QSdzdQd<f>
j j f 6qdzdQdf
We współrzędnych
sferycznych
f f f rHinedrd&dy
f j j r* sin3 edrd&dr
f f f ór^sinddrd&dę

538 III. Rachunek całkowy
19. Całki powierzchniowe pierwszego rodzajuC1)
(całki po płacie powierzchniowym)
Określenie. Całką powierzchniową pierwszego rodxaju j f(jx,y,z)dS
S
funkcji trzech zmiennych m = f(x,y,z)> określonej w pewnym obszarze
spójnym, wziętą po płacie S danej powierzchni należącym do tego
samego obszaru, nazywamy liczbę otrzymywaną w sposób następujący:
1° płat S (rys. 340) rozkładamy w
sposób dowolny na n płatów elementarnych;
2° wewnątrz lub na brzegu każdego
płata elementarnego wybieramy dowolnie
jakiś punkt Mt(ja, yi, zt);
3° wartość funkcji/(xj, yi, zi) w
punkcie Mi mnożymy przez pole
odpowiedniego płata elementarnego dSi;
4° otrzymane iloczyny f(xi,yi,zi)dSi
(t = 1,2,... „ ri) dodajemy;
n
5° znajdujemy granicę otrzymanej sumy £ fixt^yfozfidSt, gdy
i=i
każdy płat elementarny ściąga się do punktu (2), a więc ilość ich n
nieograniczenie wzrasta.
Jeżeli granica taka istnieje i nie zależy ani od sposobu podaiału
płata S na płaty elementarne, ani od doboru punktów Mi&t, yi, zi),
to nazywamy ją całką powierzchniową pierwszego rodzaju:
iKx,ysz)dS = lim ^f(xi,yt,zi)dSi.
s dSi~+oi=l
n-*oo
Twierdzenie o istnieniu. Jeżeli funkcja f(x, y,z) jest ciągła
w rozważanym obszarze, a funkcje występujące w równaniach
powierzchni są ciągle i mają ciągłe pochodne, to całka powierzchniowa
pierwszego rodzaju istnieje.
Obliczanie całki powierzchniowej pierwszego rodzaju
sprowadza się do obliczania całki podwójnej po obszarze płaskim (patrz
str. 528-532).
(Ł_) Całki te są uogólnieniem całek podwójnych (str. 526), podobnie jak całki
krzywoliniowe pierwszego rodzaju (str. 517) są uogólnieniem prostych całek oznaczonych
(str. 527).
(a) W tym samym sensie, jak to było rozumiane dla całki podwójnej (patrz notkę
na str. 526).
19. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju 539
JeżeUrównaniepowierzchniSdane jestwpostaci jawnej z=<p(x>y)i
to
(1) Jf(x,y,z)dS =:jff{x,y,tp(.x}y)) j/f+FT? dxdy,
S S'
gdzie S' jest rzutem płata 5 na płaszczyznę Oxy, p = dzjdx, q =
= dz/dy O.
Ponieważ .ównanie normalnej do powierzchni z = f(x,y) ma
postać
X~x ^ Y-y _ Z-z
p ~ q ~ -1
(patrz str. 332), przeto l//l+pa+§2 =cosy, gdzie y jest tokątmię-
day kierunkiem normalnej i osią Oz(2); dlatego równanie (1) można
pisać w postaci
(2) jf(x,y, z)dS = j jf(x>y,f(x,y))
dSxy
cosy
gdzie SXy jest rzutem płata S na płaszczyznę Oxy.
Jeżeli równanie powierzchni dane jest w postaci parametrycznej
ar = x (w, v\ y = y (w, v), z = z (u, v) (rys. 341), to
(3) jf(.x,y,z)dS = jjf(x(.u3v),y(,u,v),z(u,v)) ^EG-F2 dudv,
S A
gdaie E, F i G są określone na stronicy 333, ^EG~F2dudv = dS (pole
płata elementarnego), a A jest obszarem zmienności argumentów u, v,
odpowiadającym danemu płatowi S. Całkę (3) oblicza się za pomocą
dwukrotnego całkowania według wzoru
(4) f $ (m, v)dS = f f ®(u3 v) ]/EG-F* dvdu,
S Uj_ w,.(a)
<l) Przy tym zakłada się, że płat S jest tego rodzaju, iż każdemu punktowi jego
rzutu S' na płaszczyznę Oxy odpowiada jedyny punkt płata S (tzn. że każdy punkt
płata S jest jednoznacznie określony przez jego rzut na płaszczyznę Oxy). Jeżeli to
nie zachodzi, to plat S rozkładamy na kilka części, z których każda spełnia powyższe
założenia, i za całkę powierzchniową po całym płacie S uważa się sumę całek
powierzchniowych wziętych po wszystkich częściach płata S.
Powyższe ograniczenia są potrzebne, jeżeli powierzchnia S jest określona
równaniami postaci parametryczoej.
<*) Kąt ten przy obliczaniu całki powierzchniowej pierwszego rodzaju uważa
się zawsze za ostry: cos)/ > 0.

540
III. Rachunek całkowy
gdzie «15 uB są współrzędnymi skrajnych linii współrzędnych u = const,
między którymi znajduje się płat 5 (rys. 341), a v = v-[{u) i» = i>2(w)
są równaniami dwóch łuków AmB i AnB krzywej płata S.
Wzór (1) jest szczególnym
przypadkiem wzoru (3) przy
u = x, v = y, E = 1 +p*> F = pg3
G=l+q*.
Zastosowanie całki
powierzchniowej pierwszego rodzaju.
1. Pole krzywoliniowego płata 5
wyraża się wzorem
|S| = jdS.
s
2. Masa niejednorodnego krzywoliniowego płata 5, gdy gęstość
powierzchniowa 5 jest funkcją punktu (d = /(#, y, z))> wyraża się
wzorem
Ms = j ódS.
20. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju
(całki po rzucie płata)
Pojęcie powierzchni zorientowanej. Zazwyczaj powierzchnia
ma dwie strony, z których jedną można dowolnie nazwać dodatnią, a
drugą — ujemną^). Powierzchnię, w której jedna strona została
uznana za dodatnią, nazywamy zorientowaną. W powierzchni zamkniętej,
nie przecinającej się sama z sobą i zawierającej wewnątrz pewien
obszar przestrzenny (jak na przykład powierzchnia kuli lub elipsoidy)
za stronę dodatnią przyjmuje się zazwyczaj zewnętrzną stronę
powierzchni, a za ujemną — wewnętrzną.
Rzut płata zorientowanego na płaszczyznę współrzędnych.
Rzutując ograniczony płat 5 powierzchni zorientowanej na płaszczyznę
współrzędnych, na przykład Oxy, można uznać rzut^/ 5 za dodatni
lub ujemny według następującej zasady (2) (rys. 342):
(') Istnieją powierzchnie, w których nie można wyróżnić dwóch stron (na przykład
wstęga Móbiusa); w analizie matematycznej nie rozważa się takich powierzchni.
(a) Rozważamy tu przypadek rzutowania płata S na płaszczyznę współrzędnych
Oxy, w którym każdemu punktowi rzutu płata odpowiada jeden określony punkt
płata. (Praypisek tłumacza).
20. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju 541
Rys. 342
Jeżeli patrząc na płaszczyznę współrzędnych Oxy od strony
dodatniego kierunku trzeciej osi współrzędnych (w danym przypadku
z dodatniego kierunku osi Oz, czyli z góry) widzimy dodatnią stronę
piata 5, to uważamy rzutcy 5 za dodatni (rys. 342 a), a w przeciwnym
przypadku — za ujemny (rys. 342b). Jeżeli powierzchnia jest tak
umieszczona, że część tej powierzchni jest widziana z góry od strony
dodatniej, a część od strony ujemnej, to rzut.C!/ 5" uważamy za sumę
algebraiczną rzutów części powierzchni widzianej od strony dodatniej
i części widzianej od strony ujemnej (rys. 342c). Na rysunku 342 d
podany jest rzutu 5 oraz rzutys 5 tego samego płata S, przy czym
jeden z tych rzutów jest dodatni, a drugi ujemny.
Rzut zamkniętej powierzclmi zorientowanej na dowolną
płaszczyznę współrzędnych jest równy zeru.
Określenie całki powierzchniowej drugiego rodzaju po
rzucie płata na płaszczyznę współrzędnych Oxy. Całką
powierzchniową drugiego rodzaju
| /(*. y, z) dxdy
ś
funkcji trzech zmiennych/(x:,y,j>r), określouej w pewnym obszarze
spójnym, wziętą po rzucie płata zorientowanego 5 leżącego w tym samym
obszarze na płaszczyznę współrzędnych Oxy, nazywamy liczbę, którą
otrzymujemy w taki sam sposób, jak całkę powierzchniową pierwszego
rodzaju (patrz str. 538) — z tą tylko różnicą, że w stadium 3° wartość

542 III. Rachunek całkowy
f(xi, yu zi) funkcji w punkcie Mi mnożymy nie przez pole płata
elementarnego ASi, ale przez rzutcy ASt elementarnego obszaru
zorientowanego ASi na płaszczyznę współrzędnych Oxy, przy czym należy
uwzględnić znak tego rzutu (patrz wyżej):
n
(W f /(*, y, z)dxdy = lim V/(ar,-, yi, zt) rzut^Si.
H-łOO
Analogicznie określa się całki powierzchniowe drugiego rodzaju po rzucie
danego płata 5 na płaszczyznę Oyz i Ozx:
n
ihz) f f(x, yy z)dydz = lim Yf(xt, yu zi) rzutyz ASt>
S JSt-A 1=i
n
(!«*) j /(*>y> ź)dzdx = lim ^f(Xi, yi, zi) rzutZI ASt.
s ASt—Qisati
Twierdzenie o istnieniu. Całki powierzchniowe drugiego
rodzaju (1^), (1^), (lzx) istnieją, jeżeli funkcja/(x, y, z), a także funkcje
wyrażające równanie powierzchni są ciągle i mają ciągle pochodne.
Obliczanie całek powierzchniowych drugiego rodzaju
sprowadza się do obliczania całek podwójnych. Jeżeli równanie dane
jest w postaci jawnej z = <p(x,y), to całkę (lxy) oblicza się według
następującego wzoru:
(2s3/) ff(x, y, z) dxdy = j f(x, y, <p (x, y)) dSxy>
S rzutiyS
gdzie Sxy oznacza rzut danego płata 5 na płaszczyznę Oxy.
Analogicznie oblicza się całki powierzchniowe funkcji f(x, y, z) po
rzucie zorientowanym płata 5 na płaszczyznę współrzędnych Oyz
i Ozx; a więc
(2«) J7(ars y, z)dydz = f f{y>(y, z)y,z) dSyz,
S TZUtyzS
gdzie x = y>(yt z) jest równaniem powierzchni 5 rozwiązanym
względem x, a Syz = rzutj/z 5, oraz
(2*e) (f(x, y, z)dzdx = j f(x, x(z, x)> z) dS™,
gdzie y = %(z, x) jest równaniem powierzchni S rozwiązanym
względem y, a Stx = izaUxS
20. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju 543
Przy zmianie orientacji powierzchni (przy zamianie dodatniej strony
na ujemną i na odwrót) całka po rzucie płata zmienia znak na przeciwny.
Jeżeli równanie powierzchni dane jest w postaci parametrycznej
x = x(tt, v), y = y(tt,v), z = z(u, v), to całki (1^), (hi)> (la*) oblicza
się według wzorów
(3w) f f(x> y, z)dxdy = f f(x(u, v), yfav), z (u, w)) jz~^ dudv>
S A
f(x, y, z) dydz = J /(ar (us v), y (u, v), z (u, v)) ^ ' dudv,
S - A
f(xiy>z)dzdx = | f(x(u,v),y(u,v)lz(u)v))j~-dudv,
S J
, . d(xty) d(y,z) d(z,x) .... - . .. .
gdzie ,. •*' -f. f, -^—T są jakobianami par funkcji k,^ ar wzglę-
d(u3 v) d(u, v) d{u, v)
dem w, Vi a A jest obszarem zmienności argumentów w, v
odpowiadającym danemu płatowi S.
Całka powierzchniowa ogólnej postaci. Jeżeli w pewnym
obszarze spójnym dane są trzy funkcje trzech zmiennych P(x, y, z),
Q(x,y,z)y R(x,y,z) oraz płat 5 powierzchni zorientowanej, to całką
powierzchniową ogólnej postaci nazywamy sumę całek drugiego rodzaju
wziętych po wszystkich rzutach płata 5 na płaszczyznę współrzędnych:
fpdydz+Qdzdx-j-Rdxdy = f PdydzĄ- JQdzdx+ (RdxdyQ).
S s S Ś
Wzór ogólny sprowadzający całkę powierzchniową ogólnej
postaci do zwykłej całki podwójnej:
f Pdydz + Qdzdx+Rdxdy =
J \ d(u,v) *d(«,p) d(u,v)}
ń
gdzie ;--;-' . itd. i A mają wyżej podane znaczenia.
d(u,v)
Własności całki powierzchniowej.
1. Jeżeli obszar całkowania, czyli płat 5, rozłożymy w jakikolwiek
sposób na części Si, S2, to
i1) Wykład wektorowy całki powierzchniowej postaci ogólnej — patrz w rozdzja1".
Teoria pola (str. 671).

544 III. Rachunek całkowy
J Pdydz+Qdzdx + Rdxdy —
S
= jPdydz+Qdzdx+Rdxdy + j Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.
Si S%
2. Przy zmianie orientacji powierzchni (przy zamianie dodatniej
strony na ujemną i na odwrót) całka powierzchniowa zmienia znak
na przeciwny:
Pdydz + Qdzdx+Rdxdy =— J Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,
S-
gdzie przez S+ i S~ jest oznaczona ta sama powierzchnia, ale o
orientacjach przeciwnych.
3. Całka powierzchniowa zależy w ogólnym przypadku zarówno
od Unii ograniczającej płat 5, jak i od samej powierzchni; całki po
płatach Si i 5a napiętych na ten sam kontur krzywoliniowy C (rys. 343)
w przypadku ogólnym nie są równe.
Objętość V bryły ograniczonej powierzchnią zamkniętą 5
może być obliczana jako całka powierzchniowa:
i
V = A. J xdydz+ydzdx + zdxdy,
3s
gdzie powierzchnia S jest tak zorientowana, że jej strona dodatnia jest
stroną zewnętrzną.
21. Wzory Stokesa, Greena i Ostrogradskiego-Gaussa (L)
Wzór Stokesa (wyrażenie całki krzywoliniowej przez całkę
powierzchniową). Jeżeli 5 jest powierzchnią zorientowaną, leżącą
w pewnym obszarze spójnym i ograniczoną konturem K, a PPQ,R
Rys. 343
są funkcjami trzech amiennych x, y, z określonymi w tym samym
obszarze, to zachodzi wzór Stokesa
(') Wykład wektorowy tych twierdzeń patrz w rozdziale Teoria pola (str. 679,
680).
21. Wzory Stokesa, Greena i Ostrogradskiego-Gaussa 545
(1) J Pdx + Qdy+Rdz —
o
gdzie całkę krzywoliniową po lewej stronie równości bierze się wzdłuż
konturu K w kierunku, który dla obserwatora patrzącego od dodatniej
strony powierzchni 5 jest kierunkiem przeciwnym obiegowi
wskazówek zegara (rys. 344).
Wzór Greena jest to szczególny przypadek wzoru Stokesa dla
funkcji dwóch zmiennych w obszarze płaskim (jest to wyrażenie całki
krzywoliniowej wzdłuż płaskiego konturu przez całkę podwójną).
Jeżeli S jest płaskim płatem leżącym wewnątrz pewnego obszaru i
ograniczonym konturem K, a P i Q są funkcjami
dwóch zmiennych x i y określonymi w tym sa- yt
mym obszarze, to zachodzi związek
(2) jPdx + Qdy^jf^-^dxdy,
IC o
gdzie całkę krzywoliniową po lewej stronie wzo- — -
ru bierze się po konturze w kierunku przeciwnym
obiegowi wskazówki zegara (rys. 345). Rys. 345
Wzór Ostrogradskiego-Gaussa (wyrażenie całki potrójnej
przez całkę powierzchniową). Jeżeli S jest powierzchnią zamkniętą
zorientowaną (której strona dodatnia jest stroną zewnętrzną)
ograniczającą pewien obszar przestrzenny V, a P,Q, R są funkcjami trzech
zmiennych określonymi w obszarze jednospójnym zawierającym tę
powierzchnię, to zachodzi wzór Ostrogradskiego-Gaussa
(') Twierdzenie to jest prawdziwe pod warunkiem istnienia i ciągłości funkcji
Pi Q, R oraz ich pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego.
O

IV. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
1. Pojęcia ogólne
Równaniem różniczkowym nazywamy równanie zawierające
funkcje niewiadome, zmienne niezależne oraz pochodne funkcji
niewiadomych (lub ich różniczki).
Przykłady. 1. / -^V-*y> ^ + sinj. = 0.
2. xd2ydx-dy(dx)2"= e"(dy)3.
d2z _ dz dz
dxdy dx dy '
Jeżeli funkcje niewiadome zalezą od jednej zmiennej niezależnej,
to równanie różniczkowe nazywamy zwyczajnym (przykłady 1, 2).
Jeżeli funkcje niewiadome zależą od kilku zmiennych niezależnych,
to równanie różniczkowe nazywamy równaniem różniczkowym
cząstkowym (przykład 3). Rzędem równania różniczkowego nazywamy
najwyższy z rzędów pochodnych lub różniczek występujących w równaniu
(równanie 1 jest równaniem rzędu pierwszego, a równania 2 i 3 są
rzędu drugiego).
Całka równania różniczkowego jest to jedno lub kilka równań,
które wiążą funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w ten
sposób, że przy podstawieniu do danego równania różniczkowego
znalezionych funkcji niewiadomych i ich pochodnych (lub różniczek),
równanie to jest tożsamościowo spełnione.
Znajdowanie całek równania różniczkowego nazywamy
całkowaniem tego równania. Całkę wyrażającą w sposób jawny funkcję
niewiadomą przez zmienne niezależne nazywamy rozwiązaniem równania
różniczkowego.
Całki równań różniczkowych mogą zawierać pewne dowolne stałe
lub dowolne funkcje, a więc całki równania różniczkowego są
niejednoznaczne. Zazwyczaj na dowolne funkcje nakładane są pewne warunki
dodatkowe zwane warunkami początkowymi lub brzegowymi, które
polegają na tym, że funkcje niewiadome, a także pewne ich pochodne
powinny przybierać z góry dane wartości przy niektórych, określonych
1. Pojęcia ogólne
547
wartościach zmiennych niezależnych. Przy tych warunkach
dodatkowych rozwiązanie zadania może się stać jednoznaczne. Na przykład
równanie różniczkowe zwyczajne
y&)=Kx,y,y'>...,ybi-l))
ma (przy pewnych ograniczeniach) jedyne rozwiązanie, jeżeli
zażądamy, żeby y,y', ...,y(n-\) przybierały pewne, z góry dane wartości przy
x = a (dokładniej patrz str. 562).
Całka równania różniczkowego jest ogólna, jeżeli przez odpowiedni
dobór dowolnych starych i dowolnych funkcji można z niej otrzymać
całkę szczególną odpowiadającą dowolnym warunkom początkowym
lub brzegowym, przy których rozwiązanie jest jednoznaczne. Równanie
różniczkowe może posiadać tzw. rozwiązanie osobliwe, które nie da się.
wyprowadzić z całki ogólnej, przy żadnych wartościach dowolnych
stałych i dowolnych funkcji (patrz str. 555).
A. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
2. Równania rzędu pierwszego
Wiadomości teoretyczne.
Twierdzenie Cauch y'eg o (o istnieniu całki). Jeżeli
funkcja f(x, y) jest ciągła w otoczeniu punktu (x0, y^), tzn. w obszarze
|ac—x0| < a i \y~-y0\ < b, to istnieje przynajmniej jedno rozwiązanie
równania
(a) y' = /(*, y)
przybierające przy x = xv wartość y = y0, oznaczone i ciągłe w
pewnym otoczeniu punktu Xq.
Jeżeli ponadto w obszarze tym spełniony jest warunek Lipschitza
!/(*»yi)—/foj'OI < N\yi-yi\,
gdzie N nie zależy od xtyi i y», to rozwiązanie równania jest jedyne
i jest funkcją ciągłą względem y0.
Warunek Lipsclritza jest na pewno spełniony, jeżeli funkcja f(x, y)
ma w rozważanym obszarze ograniczoną pochodną cząstkową df/dy
(przykłady, w których założenia twierdzenia Cauchy'ego nie są
spełnione, patrz str. 555).
Pole kierunkowe. Jeżeli przez punkt M (x, y) przechodzi
wykres rozwiązania y = <p(x) równania różniczkowego y' =f(x,y),
to współczynnik kątowy stycznej do wykresu w tym punkcie
(równy dyjdx) może być wyznaczony bezpośrednio z równania
różniczkowego, a więc równanie różniczkowe wyznacza w każdym punkcie
kierunek stycznej do wykresu rozwiązania tego równania. Zbiór tych
kierunków tworzy pole kierunkowe (rys. 346). Punkt wraz z oznaczonym
w tym punkcie kierunkiem nazywamy elementem pola kierunkowego.

548
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Całkowanie równania różniczkowego sposobem geometrycznym polega
na łączeniu elementów pola kierunkowego w krzywe całkowe, do
których styczne mają w każdym punkcie kierunek pokrywający się z
kierunkiem pola w tym punkcie.
Rys. 346 Rys. 347
W wielu zagadnieniach zachodzi potrzeba rozpatrywania pola,
w którym występują kierunki pionowe, co odpowiada nieskończenie
wielkim wartościom funkcji f(x,y). W takich wypadkach zmienia się
role zmiennej niezależnej x i zmiennej zależnej y, przy czym równanie
czyta się jako równanie
dy f(x, y)
równoważne danemu. W obszarze, w którym spełnione są założenia
twierdzenia Cauchy'ego dla równań postaci (a) lub (b), przez każdy
punkt M{x0,yn) przechodzi jedna krzywa całkowa (rys. 347).
Zbiór wszystkich krzywych całkowych zależy od jednego parametru
i równanie tej rodziny, tzn. całka ogólna równania różniczkowego
rzędu pierwszego, zawiera jedną stałą dowolną. Aby z całki ogólnej
F{x,y, C) = 0 otrzymać całkę szczególną y = <p(x) spełniającą
warunek y0 = y(*0), należy wyznaczyć C z równania
F(x0,y0,C)= 0.
Podstawowe metody całkowania.
Rozdzielanie zmiennych. Jeżeli równanie można
doprowadzić do postaci
M(X)N(y)dx+P(x)Q(y)dy = 0,
to można je przedstawić w postaci
R(x)dx + S(y)dy = 0,
2. Równania rzędu pierwszego 549
gdzie zmienne x i y są rozdzielone; w tym celu należy podzielić cale
równanie przez P(x)N(y) i całka ogólna będzie miała postać
M(x) ^ , f Q(y)
Jeżeli przy pewnych wartościach x i y funkcje P(x) i N(y) przybierają
wartość zero, to rozwiązaniami są również całki x = x i y = y.
Przykład. Niech xdy+ydz = 0; wtedy
dy , f dx
y
( ^l+ f ^ = Cs ln^+lnx = C = lnc, yx = c (l).
J y J x
Równania jednorodne. Jeżeli Mix, y) i N(x,y) są
funkcjami jednorodnymi swych argumentów tego samego stopnia
(patrz str. 371), to w równaniu M(x,y)dz + N(x,y)dy — 0 zmienne
będą rozdzielone (patrz wyżej) po wprowadzeniu zamiast y nowej
zmiennej u za pomocą podstawienia y — ux.
Przykład. yzdz+x(x—y)dy = 0.
Przyjmując, że x# 0, podstawiamy y = ux i otrzymujemy dy —
= udz+xdu. Stąd
, . . , „ dx , (\—u)du
u2xzdz+xz(l-u) (xdu+udx) = 0, h - —■ = 0,
lnx+lnw —w = C = \nc, ux = ceu, y = ce^x.
Pozostaje do rozpatrzenia przypadek x = 0. Bezpośrednie
sprawdzenie wykazuje, że prosta x = 0 jest również jedną z krzywych
całkowych.
Równanie różniczkowe zupełne. Równanie postaci
(*) Mix, y)dz+N(x, y)dy = 0
i1) Gdy rozwiązanie danego równania różniczkowego piszemy w postaci ln.y+
+lnx = C, wydawać się nioże, iż ograniczamy rozważany obszar przez
wprowadzanie warunków x •> 0 i y > 0 (gdyż w dziedzinie liczb rzeczywistych tylko przy tych
warunkach In.j> i In* mają sens liczbowy). Tymczasem ostateczne rozwiązanie dane
w postaci xy = c ograniczeń tych nie zawiera. Można by uniknąć tego chwilowego
ograniczenia obszaru oznaczonośri funkcji w sposób następujący: całkując równanie
dy dx
piszemy In \y\ +ln \x\ = In \c], gdzie e jest dowolną liczbą różną od Oj stąd kolejno
otrzymujemy In ]xy\ = in \c\, \xy\ — c\, wreszcie xy = c.
W końcu można sprawdzić, że również x = 0 i y =-■ 0 wyznaczają całkę równania,
a więc najogólniejsza całkę można przedstawić w postaci xy = c, gdzie c jest dowolne.
(Przypisek tłumacza).

550
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, jeżeli istnieje funkcja
®(.x>y) taka, że
M(xyy)dx+N(x>y)dy^-dc[>(x,y)
(patrz str. 392), tzn. że M(x,y) = Ó0(?>y) iN(x,y) = ^te:V)
dx dy
jeżeli w pewnym obszarze jednospójnymfunkcje M(#, y) i N(x, y)
są ciągle i mają ciągłe pochodne rzędu pierwszego wraz ze swoimi
pochodnymi cząstkowymi rzędu pierwszego, to równość
dM _ dN
dy dx
jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by równanie (*)
było równaniem różniczkowym zupełnym. W tym przypadku * (x, y) =
= C będzie rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*).
Funkcję <t>{x,y) można znaleźć według wzoru (patrz str. 524, wzór (42)):
x y
#(*, y)=J M{$, y)dt + j N(X(I> n)dr,,
gdzie x„ i y„ są dowolnymi stałymi.
Czynnikiem całkującym nazywamy taką funkcję fi(x, y), że równanie
różniczkowe M(x, y)dx + N(xt y)dy = 0 po pomnożeniu przez n(x, y)
staje się równaniem różniczkowym zupełnym. Funkcja /t(x, y) spełnia
równanie
VTdln/t ,,<Hn« dM dN
N r— — M r— = —r— r ,
óx dy dy dx
przy czym każde rozwiązanie szczególne tego równania można przyjąć
za czynnik całkujący.
Jeżeli znany jest czynnik całkujący fi równania różniczkowego (*),
które po pomnożeniu przez ten czynnik przekształca się w równanie
d<I>{x,y) = 0, to ogólna postać czynnika całkującego jest ju = /*/(*),
gdzie / oznacza dowolną funkcję.
Przykład. (x2+y)dx—xdy = 0.
Równanie określające czynnik całkujący jest
din a , „ , dina
Szukamy czynnika całkującego niezależnego od y; wtedy
din fi _ , , 1
X~dx~ = -2> Skąd " = >•
i x-— = C1.
x
1. Równania rzędu pierwszego 551
Mnożąc dane równanie różniczkowe przez /i otrzymujemy
l+Ą-)dx-—dy = °-
x2 f x
Przyjmując x0 = 1, y0 = 0 znajdujemy całkę ogólną
x y
*fe y) - f 1 + -|r\d£- f dv = C, czyli
Równanie liniowe. Równanie postaci
y'+P(x)y = Q(x),
w którym funkcja niewiadoma i jej pierwsza pochodna występują w
postaci liniowej, czyli w pierwszej potędze, nazywamy równaniem
różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Równanie to ma czynnik
całujący ,w w
fi = e^F(-x)dx .
Całkę ogólną znajduje się według wzoru
M „ = .-"*,(Ja<"*,*+c).
Jeżeli we wzorze tym całkowanie nieoznaczone zastąpimy wszędzie
całkowaniem w granicach od x0 do x ('), to otrzymamy rozwiązanie,
które przybiera wartość C przy x = x0.
Jeżeli znane jest jakiekolwiek rozwiązanie szczególne yx(x)
równania różniczkowego liniowego, to rozwiązanie ogólne tego równania
znajduje się według wzoru
y=y1 + Ce-fpdx.
Jeżeli znane są dwa rozwiązania szczególne liniowo niezależne (patrz
str. 565) y^x) i y<,(x), to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
liniowego znaleźć można bez całkowania według wzoru y = yxĄ-
+ C{y2-y1).
Przykład. Znajdźmy rozwiązanie równania y'—yt%x = cosjc
spełniające warunki początkowe x0 = 0, y„ = 0.
X
j(-tgx)dx
Obliczamy e° = cos* i ze wzoru (**) otrzymujemy
1 / sinjccosar-fx \ sini x
1 r . , 1 / sinjccosx+x \
= —— cos 2x dx = -— —-—■
cos* J cos* \ 2 /
2 cos*
(J) Patrz sir. 424 i 425.

/— . dz 2z x „ , . jPdx 1
12 = yy otrzymujemy -, = -r-. Dalej mamy e = —-
ax x 2 ^
552 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie Bernoulliego. Równanie postaci
y'+P(x)y = Q(x)y*
nazywamy równaniem Bernoulliego; sprowadzamy je do równania
liniowego dzieląc przez yn i wprowadzając nową zmienną z = y~"+1.
4v i—
Przykład, y'—- = xyy .
Mamy tu n = -^. Dzieląc równanie przez yy \ wprowadzając nową
zmienną;
2
gdzie P = . Według wzoru na rozwiązanie równania liniowego
mamy
stąd
jr=*»(i-ln|*| + CJ -
Równanie Riccatiego. Równanie postaci
y' = P(x)y*+Q0c)y+R0c)
nosi nazwę równania Riccatiego; nie może ono być w ogólnym
przypadku scałkowane w kwadraturach (tzn. znalezienie rozwiązania tego
równania nie może być sprowadzone do skończonej ilości całkowań).
Jeżeli natomiast znane jest jedno rozwiązanie szczególne yt równania
Riccatiego, to przez wprowadzenie nowej zmiennej z za pomocą wzoru
y = y\Ą można sprowadzić równanie Riccatiego do równania li-
z
niowego. Jeżeli znamy jeszcze jedno rozwiązanie y2 równania
Riccatiego, to z1 = —— jest rozwiązaniem szczególnym równania
liniowego względem zmiennej z, co pozwala na uproszczenie całkowania
tego równania. Jeżeli dla równania Riccatiego znane są trzy rozwiązania
szczególne yly y% i y3, to jego całka ogólna ma postać
y~y%. y*—y* = c
y~~yi' y»—yi
Ptzez zamianę zmiennych y = -—— +fi{x) równanie Riccatiego
1 (x)
może być doprowadzone do postaci kanonicznej—- = uz+R(x).
ax
2. Równania rzędu pierwszego 553
Przez podstawienie y = — -^rrz— można sprowadzić równanie Ric-
r P(x)v
catiego do równania liniowego rzędu drugiego Pv" — (P' + PQ)v' +
+P*Rv - 0.
1 4
Przykład. y'+y2+—y r = 0.
Dokonujemy zamiany zmiennych y = z+p(x). Po dokonaniu
zamiany współczynnik przy pierwszej potędze zmiennej z będzie równy
2/5(#M > zatem współczynnik ten zniknie, jeśli przyjmiemy 0(x) =
= — -=— J otrzymamy z'+zz— -^-^ = 0. Narzuca się myśl szukania
rozwiązania szczególnego w postaci zx = —. Po podstawieniu znajdu-
3 5
jemy ax = —~, a3 = -^-a skąd dwa rozwiązania szczególne: zx =
= — ——, z2 = -x—. Dokonujemy nowej zamiany zmiennych z =
1 13 , 3« , _
= V-z, = —; otrzymujemy «-| = 1. Korzystając z roz-
u u 2x x
1 x .
wiązania szczególnego tego równania % = — = -r- znajdujemy
Zs — Zi *
1 C xiĄ-Cl . .
jego rozwiązame ogólne u = —x +—~ = —T~s~> s^d
1 3 1 2x*--2CI
■* u 2x 2x xB + C±x
Równania postaci F(x3 y, y') = 0 {y' nie jest wyrażone w
sposób jawny). Wprowadźmy oznaczenie p = dyjdx; mamy wtedy
równanie F(x,y, p) = 0. Jeżeli w pewnym punkcie M(x0)^o) równame
F(x0,y«,P) = Oma n pierwiastków rzeczywistych p1} p2,...,pn> przy
czym w punkcie x = x0> y = y,,, p = pt, gdzie j' = 1, 2,..., n, funkcja
F(x, y, p) i jej pierwsze pochodne są ciągłe i dFjdp^O^ to przez
punkt M(x,,,y0) przechodzi n krzywych całkowych.
Jeżeli dzne równanie F{x,y> y') = 0 można rozwiązać względem
y', to daje ono alternatywę n równań o postaci poprzednio rozważanej
i rozwiązując te równania otrzymamy n rodzin krzywych całkowych.
Jeżeli dane równanie różniczkowe można napisać w postaci x =
= <p(y>y')tehy = y(x,y), to wprowadzając oznaczenie^' = piuwa-
żając p za zmienną pomocniczą, po zróżniczkowaniu względem y lub
względem x, otrzymamy równanie dla dpjdy lub dpjdx rozwiązane
względem pochodnej. Rozwiązanie tego równania wraz z równaniem
pierwotnym wyznacza w postaci parametrycznej szukane rozwiązanie.

554 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Przykład. x = yy'+y'2.
Oznaczamy y' = p, mamy wtedy równanie x = py+ps.
Różniczkujemy względem y i podstawiając -j- = — otrzymujemy
Jest to równanie liniowe względem zmiennej jy. Rozwiązując to
równanie otrzymujemy
cA-arcsmp
-P +
Yi-p*
i dołączając pierwotne równanie x = p.y+i>3otrzymujemyszukane
rozwiązanie w postaci parametrycznej.
Równanie Lagrang e'a. Równanie postaci
a(y')x+b(y')y+c(y') - 0,
zwane równaniem Lagrange'a, może być scałkowane w kwadraturach
wyżej podanym sposobem. Jeżeli a(p) + b(p)p = 0 przy p = p0, to
<x(po)x+Hpo)y+c(Po) = O jest całką
osobliwą równania Lagrange'a (patrz
niżej).
Jeżeli a(p)+b(p)p = 0, to mamy
równanie Clairauta, które zawsze
można doprowadzić do postacie —
= y'x+f(y')- Jego rozwiązanie
ogólne ma postać y = Cx+f(G), Oprócz
rozwiązania ogólnego (które w
interpretacji geometrycznej daje rodzinę
linii prostych zależnych od jednego
parametru) równanie Clairauta ma
jeszcze całkę osobliwą, którą
otrzymuje się przez rugowanie C z
równania y = Cx-\-f(G) i z równania
0 = x+f'(C), które otrzymuje się z
pierwszego równania przez
różniczkowanie względem C; w interpretacji
geometrycznej całka osobliwa jest to obwiednią danej rodziny
prostych y = Cx+f(C) (rys. 348, patrz str. 321).
Przykład, y = xy'+y'2.
Całka ogólna: y = Cx+C2. Różniczkując względem C mamy
0 = xĄ-2C i po wyrugowaniu Cotrzymujemy całkę osobliwą x'1 + 4y =
= 0. Krzywe całkowe rozważanego równania różniczkowego są podane
na rysunku 348.
Rys. 348
2. Równania rzędu pierwszego
555
Całki osobliwe. Element (x0, y0, y'0) nazywamy elementem
osobliwym, jeżeli element ten oprócz równania F(x, y> y') = 0 spełnia także
równanie dFjdy' = 0. Krzywą całkową utworzoną z elementów
osobliwych nazywamy krzywą całkową osobliwą. We wszystkich jej punktach
nie jest spełniona własność jednoznaczności rozwiązania (patrz
twierdzenie Cauchy'ego, str. 547). Obwiednie (patrz str, 321) krzywych
całkowych (rys. 348) są krzywymi całkowymi osobliwymi. Równanie
krzywej całkowej osobliwej jest całką osobliwą, której z reguły nie
można otrzymać z całki ogólnej przy żadnych wartościach
dowolnej stałej. Dla znalezienia całki osobliwej równania różniczkowego
F(jx, y, p) = 0, gdzie p = y', dołączamy do danego równania równanie
dFfdp = 0 i rugujemy p. Jeżeli uzyskany związek będzie całką danego
równania różniczkowego, będzie to całka osobliwa, przyczymdane
równanie powinno być uprzednio (przy
uwzględnieniu zespolonych wartości
funkcji) doprowadzone do postaci nie
zawierającej funkcji wieloznacznych, a
w szczególności pierwiastników. Jeżeli
znane jest równanie krzywych
całkowych, czyli całka ogólna danego
równania różniczkowego, to dla znalezienia
obwiedni tej rodziny dających
rozwiązanie osobliwe, mogą być zastosowane
metody geometrii różniczkowej (patrz
str. 321).
Przykład. x-y~~p* + ~ps - 0.
Równanie dPjdp = 0 ma postać —„p+
+ -C-P2 ~ 0. Rugując p otrzymujemy
alternatywę:
a. x— y = 0 lub b, x— y = x=.
Równanie a nie jest rozwiązaniem, równanie b jest rozwiązaniem
osobliwym. Rozwiązanie ogólne danego równania jest {y — C)'1 = (x—C)s.
Krzywe całkowe (parabole półsześcienne) oraz linie a i b pokazane są
na rysunku 349.
Punkty osobliwe równania różniczkowego. Dla równania
różniczkowego
dy ax -f by
dx cxĄ-ey'
gdzie ae — bc ¥= 0, punkt (0, 0) jest punktem osobliwym odosobnionym,
gdyż w punkcie tym nie są spełnione założenia twierdzenia Cauchy'ego

556 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
(patrz str. 547), które zachodzą w każdym innym punkcie dowolnie
blisko leżącym (l). Zachowanie się krzywych całkowych w sąsiedztwie
takiego punktu osobliwego zależy od pierwiastków równania
charakterystycznego
X* — (b + c)l + (bc—ae) = 0-
a mianowicie:
1° Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste
i mają jednakowe znaki, to punkt osobliwy jest punktem węzłowym
równania różniczkowego. Krzywe całkowe leżące w pewnym otoczeniu
pnnktu węzłowego przechodzą przez
ten punkt i jeżeli pierwiastki
równania charakterystycznego nie są
równe, krzywe całkowe, z wyjątkiem
jednej, mają w tym punkcie
wspólną styczną. Jeżeli natomiast
równanie charakterystyczne ma
pierwiastek dwukrotny, to albo wszystkie
bez wyjątku krzywe całkowe mają
wspólną styczną, albo przez punkt
osobliwy przechodzi w każdym
kierunku jedna tylko krzywa całkowa.
Przykłady. I. -^-= —.
Równanie charakterystyczne
W-3X +2 = 0 ma pierwiastki Xt =
= 2 i X% = 1. Krzywe całkowe y =
= Cx* oraz x = 0 (a) (rys. 350).
2 —Z = x+y Rys- 350
dx x
Równanie charakterystyczne A2—2A+1 = 0 ma pierwiastek
dwukrotny X = l. Krzywe całkowe y = xla\x\ + Cx (rys. 351).
3 dy ^ j'
dx x'
Równanie charakterystyczne X2—2A-f 1 = 0 ma pierwiastek
dwukrotny X = 1. Krzywe całkowe y = Cx (rys. 352).
(') Ściślej: założenia Cauchy'ego nie są spełnione również we wszystkich tych
punktach, dla których ex+ey = 0, ale te założenia będą spełnione, gdy zmieniaj'ac
rolę zmienne/ niezależnej i zmiennej zależnej będziemy rozważali równanie
dx cx+ey
~dy- = ^+6y' gdzie bc~ae * °-
(a) Prosta x = 0 także zawiera się w rozwiązaniu ogólnym, co widzimy, gdy
napiszemy całkę ogólna w postaci x1 = C,y.
2. Równania rzędu pierwszego 557
Rys. 351 Rys. 352
2" Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste
i mają różne znaki, to punkt osobliwy jest punktem siodłowym równania
różniczkowego. Spośród krzywych całkowych leżących w pewnym
otoczeniu punktu siodłowego tylko dwie krzywe całkowe przechodzą przez
ten punkt (są one asymptotami pozostałych krzywych całkowych).
Rys. 353
Przykład. */=-?-.
dx x
Równanie charakterystyczne Aa—1 — 0 ma pierwiastki Xt = 1
i X2 = — 1. Krzywe całkowe xy = C (rys. 353); gdy C = 0, mamy
całki szczególne x = 0 i y ~ 0.

558
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
3° Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone
sprzężone o części rzeczywistej różnej od 0, to punkt osobliwy jest
ogniskiem równania różniczkowego. Krzywe całkowe leżące w pewnym
otoczeniu ogniska nawijają się na ten punkt osobliwy (punkt
asymptotyczny krzywych całkowych), wykonując przy tym nieskończenie wiele
obrotów.
Przykład.
dy
~dx
x+y
x-y
Równanie charakterystyczne A8—2A + 2 = 0 ma pierwiastki Ax =
= l + i i Xz = 1 — i. Krzywe całkowe mają we współrzędnych
biegunowych równania q = Ce9, G =£ 0 (rys. 354).
4° Jeżeli pierwiastki równania charakterystycznego są urojone, to
punkt osobliwy jest punktem wirowym równania różniczkowego.
Krzywe całkowe leżące w pewnym otoczeniu punktu wirowego są krzywymi
zamkniętymi obejmującymi ten punkt.
Rys. 354
Rys. 355
Przykład.
4v
dx
y
Równanie charakterystyczne A2 + l = 0 ma pierwiastki At = t
i A3 = —i. Krzywe całkowe xs+y2 = G (rys. 355).
Dla równania
dy _ P(x>y)
dx Q(x, y)
punktami osobliwymi są te punkty, w których równocześnie P(x, y) =
= 0 i Q(x,y) ~ 0. Zakładając, że funkcje P(x, y) iQ(x,y) mają ciągłe
2. Równania rzędu pierwszego 559
pochodne, można napisać dane równanie w postaci
dy_ a(x-x0) + b(y-yo)+P1(xi y)
dx cOt—xJ+eiy-yd + Q^Xyy)'
gdaie x0, y„ są współrzędnymi punktu osobliwego, a Pi (x> y) i Qi (x, y)
są nieskończenie małe rzędu wyższego względem odległości punktu
(x, y) od punktu (x0,3>o). Wtedy charakter punktu osobliwego danego
równania różniczkowego będzie na ogół taki sam jak charakter punktu
osobliwego pierwszego równania przybliżającego, które się otrzymuje
po odrzuceniu wyrazów Pi(x, y) iQi(x,y), Wyjątki: a) jeżeli punkt
osobliwy pierwszego równania przybliżonego jest punktem wirowym,
to punkt osobliwy podstawowego równania różniczkowego może być
punktem wirowym albo ogniskiem: b) jeżeli ae — bc = 0, to dla
określenia charakteru punktu osobliwego potrzebne jest badanie wyrazów
wyższego rzędu.
Przybliżone metody całkowania równań różniczkowych.
Metoda kolejnych przybliżeńPicarda.Równaniey' =f(x,y)
z warunkiem początkowym y — y0, gdy x =■ xm może być napisane
w postaci
(1) y =y„+ ff(x,y)dx.
Jeżeli po prawej stronie zamiast y podstawimy jakąkolwiek funkcję yi(x),
to po lewej stronie otrzymamy nową funkcję y%> różną od funkcji y13
jeżeli 3>j nie będzie rozwiązaniem danego równania. Podstawiając po
prawej stronie równania (1) ya zamiast y otrzymamy funkcję 3>3 itd.
Uzyskany w ten sposób ciąg funkcji yuy2,... jest w pewnym
przedziale zawierającym punkt x„ zbieżny do szukanego rozwiązania,
jeżeli są spełnione założenia do twierdzenia Cauchy'ego (patrz str.
547). Metoda kolejnych przybliżeń nazywana bywa niekiedy metodą
iteracji (porównaj str. 181).
Przykład, y' = ex—y* z warunkiem początkowym *0= 0, ya = 0-
Piszemy równanie w postaci całkowej
X
y = j (jt?—y*)dx.
0
Stosujemy metodę Picarda zaczynając od funkcji y0 = 0 i otrzymujemy
kolejno
x
Vi = jexdx = ex— 1,
o
X
y* = JV-(e*-l)']<fc = 3a*-y*ta-*--!
0
i tak dalej.

560 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Zastosowanie szeregów. Jeżeli znane są wartości wszystkich
pochodnych y'a, y'^ ..., y^\ ... w punkcie początkowym x0, to można
napisać rozwinięcie rozwiązania równania różniczkowego w szereg
Taylora (patrz str. 413):
y ^y0+(x-x0)y'0Ą- 2, -y0 + ...T—^—y0' + ■■•
Wartości tych pochodnych mogą być znalezione z równania
różniczkowego za pomocą kolejnego różniczkowania i podstawiania warunków
początkowych. Jeżeli dopuszczalne jest nieograniczone
różniczkowanie równania, to otrzymany szereg będzie zawsze zbieżny w pewnym
otoczeniu początkowej wartości argumentu x0.
Opisana metoda może być oczywiście zastosowana także do równań
rzędu n.
W praktyce często wygodniej jest szukać rozwiązania w postaci
szeregu o współczynnikach nieoznaczonych, które można będzie
wyznaczyć na podstawie warunku, że szereg powinien spełniać dane
równanie.
Przykład, y' = eF—y% przy warunkach początkowych x0 -as 0,
y%- o.
Pierwszy sposób. Załóżmy, że
y = a1xĄ-aiX* + ... + anxn->r ...
Podstawiając szereg do danego równania i korzystając ze wzoru na
kwadrat szeregu (patrz str. 386) otrzymujemy
a1 + 2aix-h3a3xs+...-t(<Ąx2 + 2a1asx3 + (at + 2a1a3)x* + ...) =
skąd mamy
a, = 1, 2«jj = l, 3a3-fa| = —, 4a4+2a1(32 = -
itd. Rozwiązując kolejno otrzymane równania i podstawiając
znalezione współczynniki do szeregu otrzymujemy
y = x-\-^x2--x3~-^xĄ+...
Drugi sposób. Podstawiając w równaniu x = 0 otrzymujemy
y'e = 1. Dalej mamy y" = ex—lyy', skąd y'0' = 1, y'" = ex—2y'2 —
-2yy", skąd y'0" = -1; j>(4) =■ ex-6y'y"-2yy'", skąd y^ =
= -5, itd.
Według wzoru Taylora otrzymujemy
2. Równania rzędu pierwszego
561
Graficzny sposób rozwiązywania równań
różniczkowych opiera się na pojęciu poia kierunkowego (patrz str.
547). Krzywą całkową można w przybliżeniu przedstawić za pomocą
linii łamanej (rys. 356) wychodzącej z danego punktu początkowego
i utworzonej z niewielkich odcinków, z których każdy ma kierunek
zgodny z kierunkiem pola kierunkowego w punkcie początkowym tego
odcinka, który jest zarazem punktem końcowym poprzedniego odcinka.
Całkowanie numeryczne. Przy całkowaniu numerycznym
równania y = f(x, y) układa się
kolejno tablicę wartości szukanej funkcji
dla wartości argumentu xt =
= x0 + kh, gdzie k = 1, 2, ..., a h
oznacza stały odstęp tabelaryczny.
W tym celu zazwyczaj korzysta się z
któregokolwiek wzoru na
przybliżone całkowanie dla obliczenia
różnic
/ f(x,y(x))dx.
yk+i—yk =
Rys. 356
xk
Najczęściej stosowane są następujące wzory różnicowe (oznaczenia
patrz na str. 819, 820):
(A)
(B)
yt+i—yic = h\fk+i-^-Afk--^AifiC-1-~A:ifk-Ą.
Znajdując według wzoru (A) pierwsze przybliżenie yn+i obliczamy fa+i
i ze wzoru (B) znajdujemy drugie przybliżenie j;*-+l. W podobny sposób
może być obliczone trzecie przybliżenie, ale zazwyczaj staramy się tak
dobrać odstęp tabelaryczny fc, aby nie zachodziła potrzeba trzeciego
przybliżenia.
Przykład. Otrzymane poniżej wyrazy szeregu dla rozwiązania
równania y' = ex —y2 z warunkiem początkowym x„ = 0, y0 = 0
pozwalają obliczyć z czterema cyframi po przecinku wartości y dla Xi =
= 0,1, x2 = 0,2 i x3 = 0,3. Dla obliczenia dalszych wartości y buduje
się tablicę według następującego schematu (do kreski schodkowej):
x
0
0,1
0,2
0,3
y
0,0000
0,1048
0,2183
0,3389
/
1,0000
1,0942
1,1737
1,2350
942
795
613
-147
182 P2j
-35
-203
0,4 0,4646 1,2760
410

562
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Jest rzeczą celową sprawdzenie wartości y3 według wzoru (B):
ys = 0,2183 + 0,1(1,2350-0,0306 + 0,0015+0,0001) = 0,3389.
Dalej, dla xt = 0,4 według wzoru (A) otrzymujemy
yt-y3 = 0,1(1,2350+0,0306-0,0076-0,0013) = 0,1257.
Obliczając według yt = 0,4646 wartość ft i przedłużając tablicę
znajdujemy według wzoru (B)
yt~ys = 0,1(1,2760-0,0205 + 0,0017+0,0001) = 0,1257.
Ponieważ wartość" yt jest zachowana, robimy krok następny itd.
Zamiast wzorów różnicowych (A) i (B) stosuje się również wzory
(Ai) y*.-+, = yk-a + jh (2/fc -/*_! + 2/t_a) .
(B,) y&+1 = yfc_i+ 3-^(/fr+i+4/lfc+/fc_i).
Opisane wyżej metody dają się łatwo przenieść na układy równań
różniczkowych.
3. Równania wyższych rzędów oraz układy równań
Wiadomości teoretyczne.
Twierdzenie o istnieniu. Każde równanie rzędu n postaci
y
,(«)
= F(xiy)y'i...)^l))
przez wprowadzenie nowych zmiennych
yi = y', y* = y"> ■■-, yn-i = y(n_1)
może być sprowadaone do układu « równań
dy dy1 dyn-! r,. .
-£T = *> -£t = *> -' -^-PiXiy,yi,...,y^
Bardaiej ogólny układ równań
dVi
(*) -J~ = fi(.x> yi> yz> ■■■>yn)> gdaie i=l,2,...,n,
ax
ma jedyny zespół rozwiązań yt = yi (x), gdzie i = 1,2,..., n, określony
i ciągły w pewnym przedziale x0- h < x < x0+h i przybierający przy
x = x0 dane wartości początkowe
ytiti) = y?) gdzie i = 1, 2,..., «,
jeżeli funkcje /»(x, yx, ya,,.., yn) są ciągłe względem wszystkich
zmiennych i spełniają warunek Lipschitza:
\Mx, yt+Ayl} y2+Ays, ...,yn+Ayn) —fi(x, yu ya,..., y«) | <
< K(\Ayl\ + ]Ayz\ + ...+ \Ayn\)
3. Równania wyższych rzędów oraz układy równań 563
dla wartości x, yt i ytĄ-Ayt leżących w pewnym otoczeniu danych
wartości początkowych, przy czym K jest stałą dodatnią.
Odpowiednio do tego równanie y™ = f{x, y, y',..., y-n~ ) ma
jedyne rozwiązanie spełniające warunki początkowe y = y0i y' ~ y'0,...,
y>-*) = yj-*-1' dla x = x0, ciągłe wraz ze swoimi pochodnymi aż do
rzędu n~-1, jeżeli funkcja/ (x, y,y '>..., yi-n~v>) jest ciągła ispełnia
przytoczony powyżej warunek Lipschitza dla funkcji fi(x, ylty%,t...,yn).
Rozwiązanie ogólne. Dla równania ^"' = f(x, y, y', ■.., y-n~ )
rozwiązanie ogólne zawiera n niezależnych, dowolnych stałych:
y' = y(x,CuC9,..., C*).
W interpretacji geometrycznej równanie to określa it-parametrową
rodzinę krzywych całkowych. Poszczególne krzywe całkowe (wykresy
odpowiednich rozwiązań szczególnych) otrzymnje się z tej rodziny
przez odpowiedni dobór wartości dowolnych stałych Ci, C2,..., Cn.
Jeżeli całka szczególna ma spełniać wyżej podane warunki początkowe,
to wartości Cu C2, ...,Cn określa się z równań
y(xB, d, Ca,..., Cn) = yu
~y(x,c1,Cz,...iCn)\x=xry'0,
[^y(*> c»c- ••■' c»>].-*.= rf*"0-
Jeżeli te równania są sprzeczne, przy dowolnych wartościach
początkowych w pewnym obszarze, to rozwiązanie nie jest w tym obszarze
ogólne i dowolne stałe nie są niezależne.
Dla układu równań różniczkowych (*) rozwiązanie ogólne także
zawiera n dowolnych stałych i może być dane w postaci rozwiązanej
względem niewiadomych funkcji:
yx = F^x, Cv ..., Cn), y2 = Fx(x, Cv ..., C«),...,
yn = FnfaCt, ...,Cn)
albo też w postaci rozwiązanej w postaci dowolnych stałych:
tP\(xiyii...>ytD*=Cu Vt(xiylt...tyn) = Ci3 ..., q>*(xiyls...iyn) = C».
W ostatnim przypadku każdy ze związków <pi(x, yu ..., yn) = Ci
wyznacza całkę pierwszą układu równań (*). Całka pierwsza może być
określona niezależnie od całki ogólnej jako związek między x, ylt y2,...,
yn przybierający wartość stałą, gdy zamiast y^y^ .-.,yn podstawimy

564 IV, Równania różniczkowe zwyczajne
którekolwiek rozwiązanie danego układu równań. Każda całka pierwsza
układu (*) spełnia liniowe równanie różniczkowe cząstkowe
-£r+Mx,y»...,yn)-^+...+Mx,y1,...,yn)-^- = o,
i odwrotnie, każde rozwiązanie <pi(,x,yu ...,yn) jest całką pierwszą
układu równań (*). Zespół n niezależnych (patrz str. 371) całek
pierwszych układu równań (*) stanowi jego całkę ogólną,
Obniżenie rzędu równania. Jedną z podstawowych metod
rozwiązywania równań różniczkowych rzędu n jest zamiana zmiennych
doprowadzająca do równań prostszych, a w szczególności do równań
niższego rzędu.
Równanie f(y,y'> ...>y(n'f) = 0, nie zawierające w sposób jawny
zmiennej x, sprowadza się do równania rzędu n—l przez podstawienie
dy d*y dp .
-J7 = p' ~aW = PHy~ itd
Przykład. yy"—y'z = 0.
Podstawiamy p — y', p—, y", skąd
*£-*■-o. 4-*-». p-o-*,,-*.<*
(skracając przez p nie gubimy rozwiązania, gdyż dla p = 0
otrzymujemy y = C„ co zawiera się w uzyskanym rozwiązaniu ogólnym przy
C=0).
Równanie f(x,y', ...,.y<")) = 0, nie zawierające w sposób jawny
zmiennej y, daje się sprowadzić do równania rzędu niższego przez
podstawienie y' = p. Jeżeli w równaniu najniższą pochodną jest y(k\
należy podstawić y(*) = p.
Przykład. y"—xy'" + (y'")a = 0.
Podstawienie y" = p prowadzi do równania Clairauta p—x-^~- +
+ \-r~) = 0 mającego rozwiązanie ogólne p = C,x+Cf. Stąd
y = \cl#-±G>l3t*+Cax+C,.
2 /—■
Rozwiązanie osobliwe równania Clairauta p = — px1'2 daje też
rozwiązanie osobliwe wyjściowego równania
y = ~^-x'i*+clX+c2.
3. Równania wyższych rzędów oraz układy równań 565
Równanie f(x,y,y',...,y(™>) = 0, gdzie / jest funkcją
jednorodną względem y, y',,.., yin) (patrz str. 371), daje się sprowadzić do
równania rzędu niższego przez wprowadzenie nowej funkcji z ~ y'jy (tj.
y = Jzdx).
Przykład. yy"-y'* = 0.
y' dz w" — v'a
Wprowadzamy z = —, skąd -j- = ——==-— = 0, zatemxr = Ci,
y dz y
skąd
lny = Cł*-r Cg, czyli y = CeClX, gdzie InC = Ca.
Równanie y(n) = /(x). Przez kolejne całkowanie otrzymuje się
rozwiązanie ogólne w postaci
y = C1+C2a:+...+Cnx"-i+v(x)J
gdzie
v(*> = // - //(*) m* = ^-L^ J/to (x-tr-ut.
We wzorze tym x0 nie jest dodatkową stałą dowolną. Zmiana x0
powoduje zmianę stałej Ct, gdyż Ct = -77—ttt y<k~lKxo).
Równanie liniowe Równaniem liniowym rzędu n nazywamy
równanie postaci
(L) y(»)+a,y(*-i>+aayC»-2>+ ... +a„-,y'+any = F,
gdzie ot (t' = 1, 2,..., n) oraz F (prawa część równania) są funkcjami
zmiennej x, o których będziemy zakładali, że są to funkcje ciągłe w
pewnym przedziale. Jeśli a„ a»,..., a« są stałymi, równanie takie
nazywamy równaniem o współczynnikach stałych. W przypadku gdy F = 0,
równanie liniowe nazywamy jednorodnym, a w przeciwnym przypadku
nazywamy je niejednorodnym.
Zespół rozwiązań y„ y3, ...,y« równania liniowego jednorodnego
nazywamy podstawowym układem rozwiązań, jeżeli funkcje te są w
rozważanym przedziale liniowo niezależne, tzn. jeżeli żadna ich
kombinacja liniowa Clyl + C1y2 +..- + Cnyn przy dowolnych wartościach Ci,
Cz,..., Cn, z wyjątkiem przypadku Ci = Cz = ...-= C„ = 0, nie
staje się równa zeru toźsamościowo (tzn. dla wszystkich wartości x
W dsnym przedziale). Rozwiązania y„yz, .-■,>« równania liniowego
jednorodnego tworzą podstawowy układ rozwiązań wtedy i tylko
wtedy, gdy wrońskian tych rozwiązań
>i yi ••- y* I
\y[ y'* ••• y'n \
w=
yroy(-o... yro

566
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
jest różny od zera. Dla dowolnego układu rozwiązań równania
liniowego jednorodnego zachodzi wzór LiauviUe'a
■X
— fai(x)dx
W(x) = W(x0)e *°
wobec czego wrońskian W może być równy zeru tylko tożsamośdowo,
tzn. tylko wtedy, gdy W(x0) równa się zeru. Jeżeli funkcje ylt y2, ...,yn
tworzą podstawowy układ rozwiązań, to y — C1y1 + C2y2i-... + Cnyn
jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego.
Gdy znane jest jedno rozwiązanie szczególne yx równania liniowego
jednorodnego, można obniżyć rząd równania z zachowaniem jego
liniowości przez wprowadzenie nowej niewiadomej funkcji u = t~(—-)■
Twierdzenie o nakładaniu. Jeżeli yx i y2 są rozwiązaniami
dwóch równań postaci (L), których prawe strony wynoszą
odpowiednio Fx i Fa, a lewe strony są jednakowe, to suma tych rozwiązań y =
— yi+y^ )est rozwiązaniem takiego samego równania, którego prawa
strona jest F = F1Ą-Fi.
Stąd wynika, że dla otrzymania ogólnego rozwiązania równania
jednorodnego wystarczy do któregokolwiek jego rozwiązania
szczególnego dodać rozwiązanie ogólne odpowiedniego równania jednorodnego.
Twierdzenie o rozkładaniu. Jeżeli równanie (L) ma
współczynniki rzeczywiste oraz F = Fx-\-iF2, gdzie Ft i F2 są funkcjami
rzeczywistymi, to równanie ma rozwiązanie zespolone y = yi+iy2>
gdzie y± i yt są rozwiązaniami równania (L), w którym prawa strona
jest odpowiednio równa Fx lub Fs.
Rozwiązanie równania niejednorodnego (L) w przypadku,
gdy znany jest układ podstawowy rozwiązań odpowiedniego równania
jednorodnego, można wyznaczyć za pomocą kwadratur jedną z
następujących metod:
Metoda uzmienniania stałych. Pisząc szukane rozwiązanie w
postaci y = C1y1 + C2y2+ ■•• + Cnyn będziemy uważali Cly C2,...,C«
nie za stałe, lecz za funkcje zmiennej x. Żądając spełnienia warunków
Cl^ + CJjł.-r-... + C>„ = 0,
c;y+c;y+... +c;^; = o,
i podstawiając y do równania (L) otrzymujemy
c-jr^+cjr1^... +c;,ri) = f.
3. Równania wyższych rzędów oraz układy równań 567
Rozwiązując układ równań liniowych znajdziemy pochodne C^, Cj,...,
C'n, a stąd za pomocą kwadratur wyznaczymy Cy,C2, ...,Cn-
Metoda Cauchy'ego.'^J rozwiązaniu ogólnym y = C1yl + Ciy2-\-
+ ... + Cnyn równania jednorodnego określamy stałe w taki sposób,
żeby dla x = xQ było
y = o, y = o, ..., y*-1) = o, y™-1) = F(a),
gdzie a jest dowolnym parametrem. Jeżeli oznaczymy teraz otrzymane
w ten sposób rozwiązanie równania jednorodnego przez <p(x, a), to
X
y = f <p(x, a)da
będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L) przybierającym wraz
ze swymi pochodnymi y',y", ...,yn_1) wartość zero przy x — xe.
4. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach
Zapis operatorowy. Równanie (L) (patrz str. 565) można napisać
w sposób symboliczny w postaci
Pn(D)y =(D"+a1D"-1 + a2D"~*+ ...+an-iD + an)y = F,
gdzie D jest operatorem różniczkowania:
Jeżeli współczynniki a% (i = 1,2,... ,ń) są stałe, wyrażenie Pn (D) jest
wielomianem stopnia n względem operatora D (o współczynnikach
liczbowych).
Rozwiązanie równania jednorodnego Pn(D)y = 0. Dla
otrzymania rozwiązania ogólnego należy znaleźć pierwiastki rl5 r,j, ...,r„
równania algebraicznego Pn(r) = 0, zwanego równaniem charaktery-
stycznym (patrz str. 174-182). Każdemu pierwiastkowi n (i = 1,2,... , w)
odpowiada rozwiązanie enx równania Pn(D)y = 0. Jeżeli n jest
pierwiastkiem fc-krornym, to funkcje xe*1*, x*eTi!e,..., xk-leri" są także
rozwiązaniami tego równania. Kombinacja liniowa rozwiązań
odpowiadających wszystkim pierwiastkom n z uwzględnieniem ich
krotności, czyli funkcja
^ = (c«+c^+...+ciy-1)^+...+
+ (C« + <Mx+ ...+ C$xki~y<* +...,
gdzie ki oznacza krotność pierwiastka rt, przy czym ki + k3 + ... +

568 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
+kt + ... = n, stanowić będzie rozwiązanie ogólne równania
jednorodnego.
Jeżeli wśród pierwiastków równania charakterystycznego (o
współczynnikach rzeczywistych) są pierwiastki zespolone, to mogą to być
tylko liczby zespolone parami sprzężone (np. ^ = a + ifi, r2 = a—ip)
i wtedy w odpowiednich wyrazach rozwiązania ogólnego zamiast
funkcji eriX i er^ należy wziąć funkcje g"^ cos/Ja: i e^sin/fce. Otrzymywane
przy tym wyrażenia postaci CxCos/fce+CaSm/Jx mogą być napisane
również w postaci AcosifixA-y), gdzie A i tp są dowolnymi stałymi.
P r z y k ł a d.yty+yM—y-y = 0.
Równanie charakterystyczne t^+^—r3—1 — 0 ma pierwiastki:
i*! = 1, ra = — 1, rs = r4 == £, rs = r6 = —(. Rozwiązanie ogólne ma
postać
y = d^ + Cae-^ + CCa + C^cosx + C^+Ca^sinx
lub
y = ClexĄ-Czer-x-\-Axcos{x-\-ę{)-\-xA2cos{xĄ-fpi).
W teorii drgań i w innych zastosowaniach jest często ważną rzeczą
stwierdzenie, czy każde rozwiązanie dznego jednorodnego równania
różnicakowego liniowego o stałych współczynnikach dąży do zera, gdy
*->4-oo. Będzie to zachodziło, gdyż części rzeczywiste wszystkich
pierwiastków równania charakterystycznego będą ujemne.
Twierdzenie Hurwitza. Wszystkie pierwiastki równania
Oa+a^+a^Ą-... +anxn = 0, gdzie <h> 0,
będą miały części rzeczywiste ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy
wyznaczniki
at % 0 ... 0
a3 a2 ct ... 0
Osn~i Otin-—2 Q%n—3 ...On
gdzie am = 0 przy m > n, będą dodatnie.
Rozwiązanie równania niejednorodnego o stałych
współczynnikach może być znalezione metodą uzmienniania stałych lub metodą
Cauchy'ego (patrz str. 567); inną metodą jest metoda operatorowa
(patrz str. 576). Najłatwiej wyznacza się rozwiązanie szczególne takiego
równania, gdy prawa jego strona ma specjalną postać.
Specjalna postać prawej strony równania
niejednorodnego. W niektórych wypadkach rozwiązanie
szczególne równania niejednorodnego P„ (D)y = F(x) może być łatwo
znalezione sposobem algebraicznym.
Jeżeli F(x) = Aehx i Pn(k) ^0, to rozwiązaniem szczególnym jest
y = Aekx/Pn(k). Jeżeli k jest m-krotnym pierwiastkiem równania cha-
4. Równania liniowe o stałych współczynnikach 569
rakterystycznego, tzn. jeżeli Pn(k) = P,J(A) = ... = P(™~l\k) = 0, to
rozwiązaniem szczególnym równania jest y = Axmekx/P^i\k).
Posługując się twierdzeniem o rozkładaniu (str. 566) można
wykorzystać te wzory również w przypadku, gdy F(x) = Aekxcoso>x lub
Ae^sincox. Odpowiednie rozwiązanie szczególne otrzymuje się jako
część rzeczywistą i część urojoną rozwiązania tego samego równania,
gdy po prawej stronie jest 4
F(x) = Ae*x(caii(0X+ińn(»x) == A^k+uo)x.
Przykłady. 1. Równanie y" — 6y'-\-8y = eix ma rozwiązanie
szczególne y = - ^xe2x, gdyż P(D) = D*-6D+8, P(2) = 0 oraz
P'(D) = 2D-6, P'(2) = 2-2-6 =-2.
2. Dla równania y',Jry'-\-y = e^sinx rozwiązanie szczególne yt =
= jąez(2sina:~3cosx) otrzymuje się jako część urojoną rozwiązania
__ e^-'ri)x _ e^cosx + isin:c)
y=* (l+0a+(l+i") + l ~ ™ 2+3i
równania (D*+J>+l)y = e(1+l>.
Jeżeli prawa część F(x) ma postać Qp(x)ekx, gdzie Qp(x) jest
wielomianem stopnia p, to zawsze można znaleźć rozwiązanie szczególne
takiej samej postaci, tzn. y = R(x)ekl. Jeżeli k jest m-krotnym
pierwiastkiem równania charakterystycznego, to R(x) jest wielomianem
stopnia p pomnożonym przez xm- Pisząc to rozwiązanie ze
współczynnikami nieoznaczonymi w wielomianie R (*) i żądając, by rozwiązanie
to spełniło dzne równanie, otrzymujemy liniowe równanie algebraiczne
dla wyznaczenia-niewiadomych współczynników (*).
Przykład. y(i)+2y'"-\-y" = 6x+2xńa.x.
Równanie charakterystyczne ma pierwiastki kx = k3 = 0, k3 —
= kA = — 1. W myśl twierdzenia o nakładaniu (patrz str. 566) można
szukać osobno rozwiązań szczególnych odpowiadzjących każdemu ze
składników prawej strony równania. Przyjmując yi = x%ax+b) i
podstawiając do dznego równania otrzymujemy 12a \-2b-\-6ax = 6x, skąd
a = 1, b = —6. Podobnie dla drugiego składnika przyjmujemy y2 =
= (cx+d)&iDxJr(fx+g)cosx, co dzje (2^ + 2/— 6c+2fx)sinx — (2c+
+ 2d+6f+2cx)cosx = 2xsinx, a stąd c = 0, d =—3, / = 1, g =
= — 1. Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie ogólne
y — Ct+c^x — 6x3 + x3-\-(c3x + ci)e~x—- 3sinx + (x— l)cosx.
(•> Metodę powyższą można stosować w szczególności w przypadku, gdy F(x) =
=,Qb{x)-< łI. gdy k — 0, a także w przypadkach gdy F(x) = Qp(x)e'zcosei)x lub
P(x) = Qp(x)erxsiR(ox, co odpowiada wartości ft = r±ito. W ostatnim przypadku
należy szukać rozwiązania w postaci
y — x"łe"![.Afp(*)cosftMc+ Np(x) sin o>x].

570 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie Eulera postaci
n
sprowadza się do równania liniowego o stałych współczynnikach za
pomocą podstawienia cx-\-d = eK
Przykład. Równanie x2y" — 5xy'+8y = xs sprowadza się za
pomocą podstawienia x = ef do rozpatrywanego na str. 569 równania
Rozwiązanie ogólne jest
y = Ctest + C2e» - ~ teu = C,x2 + C2x* -^-x^lnx.
5. Układy równań różniczkowych liniowych
o stałych współczynnikach
Układy normalne rzędu pierwszego. Najprostszy przypadek
układu równań liniowych rzędu pierwszego o stałych współczynnikach
stanowią tak zwane układy normalne:
(N)
yi = Oiiyt + ai2y2-\-... + alny„,
y'2 =aai3'i + aa33'a+-" + «2»3'nj
yn = aniyi-\-aMy2
-Clniiyn-
Aby znaleźć rozwiązanie ogólne takiego układu równań, należy
przede wszystkim rozwiązać algebraiczne równanie charakterystyczne
an — r au ... aln
i^ai a^ — f ■ ■ ■ "are
flna
...a„„~r
— 0.
Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi n równania
charakterystycznego odpowiada układ rozwiązań szczególnych
<*)
yi = Aier'x, y, = A2eTi\
yn = Ane'
gdzie współczynniki Ak{k = 1, 2,...,») wyznacza się z układu równań
liniowych jednorodnych
(,an—ri)A1 + auAi + ...^a1nAn = 0,
anlAY + aniA2-\ -\.(ann—ri)An = 0.
5. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach 571
Ponieważ z tego układu równań można wyznaczyć tylko stosunki
współczynników Ah (patrz str. 181), otrzymany powyższym sposobem układ
rozwiązań szczególnych dla każdego n będzie zawierał jedną stałą
dowolną.
Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są różne,
to suma takich rozwiązań szczególnych będzie zawierała n
niezależnych stałych dowolnych i da rozwiązanie ogólne układu równań.
Jeżeli którykolwiek z pierwiastków n równania charakterystycznego
ma krotność m, to temu pierwiastkowi odpowiadać będzie układ
rozwiązań szczególnych postaci
yx=A&t)eT<*a y%^AMeTt*> ••■> y* = An{x)eT**3
gdzie Aiix), A^x),..., An(x) są wielomianami stopnia nie wyższego
niż m—l. Podstawiając te wyrażenia ze współczynnikami
nieoznaczonymi do danego układu równań i przyrównując, po skróceniu przez
eTixi współczynniki przy jednakowych potęgach x po lewej i po prawej
stronie równości, otrzymujemy równania pozwalające wyrazić
wszystkie niewiadome współczynniki przez którekolwiek m współczynników
pozostających nadal stałymi dowolnymi. W pewnych wypadkach
stopień wielomianu może być mniejszy niż m — 1. W szczególności, w
przypadku gdy układ równań (N) jest symetryczny (tzn. ane = au) ,
można wziąć Ai(x) = const.
Jeżeli wśród pierwiastków równania charakterystycznego są
pierwiastki zespolone, to odpowiednie wyrazy rozwiązania ogólnego mogą
być sprowadzone do postaci rzeczywistej, tak jak w przypadku jednego
równania o stałych współczynnikach (patrz str. 568).
Przykład. Dla układu równań
X = 2yi.Jr2yi-ys, y't = —2y1 + 4:y2+y3) y't = ~Syt+Sy2 + 2y9
mamy równanie charakterystyczne
2-r 2 -1
-2 4-r 1 =_(r-6)(r-l)2 = 0.
-3 8 2-r
Dla pierwiastka jednokrotnego rx = 6 otrzymujemy
~4A1+2At—At = 0, —2A1-2At+At = 0,
—$A1 + &Ai—4At = 0>
skąd
A\ = 0, A2 = ~2 * Aa = Ci.
a więc
3-1=0, y^Cs**, yi = 2Cie«*.
Dla pierwiastka dwukrotnego rs = 1 otrzymujemy
yi = (PlX+Qde*, y* = (P&+QJe*, y3 = (P«*+Q»)e-

572 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Podstawiając te funkcje do danych równań otrzymujemy
P^+CP. + Q.) = (2P1 + 2Ps~P3)x + (2Ql-r2Q2~Q3)s
P2x + (P2 + Q2) = C-2Pl + 4P1 + P3)x + (-2Q1 + 4<2l + Q0.
Ą*+(Ą + <2i) = C-3Pl+6P2 + 2P3)a: + C-3Ql + 8QSi + 2Q3))
skąd
P1=5C2, Pt = Ct, P3-7C2) a=5C3~6C2)
<2« = Cał Q3 = 7C3-llCa.
Ostatecznie mamy rozwiązanie ogólne danego układu równań
j-i-CSCjsc + SCj-aCOe*,
.y, = 2C1e«* + (7C>* + 7CI-llC,)«*.
Układy równań jednorodnych rzędu pierwszego. Ogólna
postać układu równań liniowych jednorodnych rzędu pierwszego o stałych
współczynnikach jest następująca:
n n
^]aiky'k+ ^bikyk = 0, gdzie 1 = 1,2,...,w.
k=l k=l
Jeżeli wyznacznik |<Zf*l 0) nie jest równy zeru, to ten układ równań
może być sprowadzony do układu normalnego. Rozwiązanie układu
może być jednak otrzymane bezpośrednio z danego układu równań
taką samą metodą jak w przypadku układu normalnego. Równanie
charakterystyczne przybierze postać |a»tr + i«| = 0, a współczynniki
Ai w rozwiązaniu (*) odpowiadające pierwiastkowi jednokrotnemu rj
wyznacza się w tym przypadku z równań
n
^ (auerj +bik)At: = 0 , gdzie i = 1, 2; ..., n.
k=l
Poza tym metodz szukania rozwiązania jest ta sama, co w
przykładzie układu normalnego.
Przypadek \am\ = 0 wymaga dodatkowego badania.
Przykład 5y[ + 4y1~2y't-yt = 0, y[ + Sy1-3ys = 0.
Równanie charakterystyczne
5r + 4 -2r-l
= 2r2 + 2r-4 = o
r + & -3
ma pierwiastki n = 1 i ra = —2. Obliczamy współczynniki At i A2
C) Jest to skrócone oznaczenie wyznacznika o elementach <jłt.
5. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach 573
dla r, = 1 mamy 9A,—3A2 = 0, skąd A2 = 3A^ = 3d- Podobnie
dla r2 = —2 otrzymujemy At = 2AS = 2C3. Stąd rozwiązanie ogólne
y1 = der + Cttr*** y2 = 3C1e^ + 2C2e-2x.
Układy równań niejednorodnych rzędu pierwszego. Ogólna
postać układu równań liniowych niejednorodnych rzędu pierwszego o
stałych współczynnikach jest następująca:
n n
£ aiky'ie+ ^bikyk = Fi(x), gdzie i=l,2,...,«-
k=l k=l
Twierdzenie'o nakładaniu. Jeżeli y^ i yf\ gdzie
j' = 1, 2, ...,«, są rozwiązaniami dwóch układów równań
niejednorodnych różniących się tylko prawymi stronami, równymi odpowied-
nioFi<l)iFf),tofunkcja^=y/)+^a), gdzie j = 1,2, ...,n, będzie
rozwiązaniem takiego samego układu równań, ale mających po prawych
stronach Fi(x) = F\%) +F\*\x).
Wynika stąd, że dla otrzymania ogólnego rozwiązania układu
równań niejednorodnych wystarczy do jego rozwiązania szczególnego
dodać .rozwiązanie ogólne odpowiedniego układu równań jednorodnych.
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań
niejednorodnych, można zastosować metodę uzmtennienia stałych:
Rozwiązanie ogólne układu równań jednorodnych podstawia się do
układu niejednorodnego zastępując dowolne stałe Ci, Ca,..., C«
funkcjami niewiadomymi d(jc), C2(x),..., Cn(x), przy czym w
wyrażeniach na pochodne y'k zjawią się wyrazy zawierające pochodne nowych,
niewiadomych funkcji Ck(x). Po podstawieniu do danego układu
równań zostaną po lewych stronach równań tylko te dodatkowe wyrazy,
pozostałe zaś wyrazy ulegną redukcji, gdyż y\,y2, ...,yn stanowią,
w myśl założenia, rozwiązanie układu równań jednorodnych. A więc
dla znalezienia C'k(x) otrzymamy niejednorodny układ algebraicznych
równań liniowych. Rozwiązując ten układ równań i dokonując n cał-
kowań znajdziemy funkcje C,(x), C2(x),..., Cn(x). Następnie
podstawiając te funkcje zamiast stałych Ci> C2> ...,Cn w rozwiązaniu
jednorodnego układu równań otrzymamy szukane rozwiązanie
szczególne danego układu równań niejednorodnych.
Przykład. 5y'l + 4y1-2y'2~y2 = e~x, y'1+8y1-3yz = 5e~*.
Rozwiązanie ogólne jednorodnego układu równań (patrz str. 572)
jest 3>, = de* + d<r2*, y2 = 3Clex + 2C^~ax. Podstawiając to
rozwiązanie do danego układu równań niejednorodnych i uważając d
i d za funkcje zmiennej x otrzymujemy
5C;e*-|-5de-2*-6C^-4C2e-2* = tr*, C[e* + C'2e-2x = 5e~x,

574 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
czyli
C;*-**—CJ«* = e-x, C^ + Cźe-** = 5e~*.
Stąd 2C\e* = 4e~*, C, = -er** + Cl oraz 2C'2e~^ = 6e~^, C2 = 3e* + ca,
gdzie Cx i c2 są dowolnymi stałymi. Biorąc ct = 0 i c2 = 0 (gdyż
szukamy rozwiązania szczególnego) otrzymujemy yt = 2e_flf, yt = 3e~x.
Rozwiązanie ogólne
^i = 2e-x+C1ex + C-Le~2*, y2 = 3e-* + 3C1«* + 2Cjff-*B.
W przypadku gdy prawe strony równań mają postać specjalną
QP(x)ehx można z powodzeniem zastosować metodę współczynników
nieoznaczonych, podobnie jak dla jednego równania rzędu n (patrz
str. 568).
Układy równań rzędu drugiego. Podane wyżej metody można
zastosować do układów równań liniowych wyższych rzędów. W
szczególności dla układu równań
n n n
%atky'k + 2,hky'k+ %Cibyk = Oj gdzie i = lj 2,..., n,
k=i h=\ &=i
można także szukać rozwiązań szczególnych postaci yi = Aier'x, gdzie
wykładniki n wyznacza się z równania charakterystycznego |ai*r2 +
+btnr+Cik\ = 0, a współczynniki Ai znajduje się z odpowiednich
równań algebraicznych liniowych jednorodnych.
6. Metoda operatorowa rozwiązywania równań różniczkowych
Transformata funkcji. Transformatą danej funkcji (oryginału)
ę (t) według Carsona-Heaviside'a nazywamy funkcję zmiennej
zespolonej p określoną wzorem
(*) f(P) = p]^lV(t)dti
o
przy czym dla t<Q przyjmujemy <p(t) = Oj adla t>0 zakładamy,
że jest spełniona nierówność \<p(t)\<Meat3 gdzie M i a są pewnymi
stałymi dodatnimi.
Za pomocą metod teorii funkcji zmiennej zespolonej można
otrzymać wzór na przekształcenie odwrotne, które jednoznacznie określa
funkcję <p(t) (oryginał), gdy znana jest jej transformata /(/>):
s+ir
?(0= /-lim f evtfJf-dp,
s — ir
gdzie s dobiera się w taki sposób, żeby wszystkie punkty osobliwe
6. Metoda operatorowa rozwiązywania równań 575
funkcji podcałkowej znajdowały się na lewo od prostej re p = s (o
całkowaniu funkcji zmiennej zespolonej patrz str. 639).
Związek (*) będziemy pisali w postaci f(p) 4^-pCO t1)-
W tablicy na str. 578 i 579 przytoczone są niektóre prostsze funkcje
i ich transformaty.
Ze wzoru (*) można otrzymać następujące wzory:
^^pf(P)-<P(0)P, ^-^pJiP)-p29(0)-P<p'i0), ...
..., ^^p*f(p)~p»<p(0)-p*-W(P)-----Pv<-*-1K0) (2)--
dtn
' i
f <p(t)dt -V- —fiP), «> (flt) -H+/C/»/fl) (fi = const > 0).
0 p
Jeżeli ^CO-j-ZiCP). ^(OH—/a(p), to
OiPitO + a&tfH^hfiiP) + Off tip) •
Twierdzenie o d r z e s u n i ę c i u. JeżeU>(r) i-*f(p), to
er*t<p(t)-+-*-£--f(p+a).
p+a
Twierdzenie o opóźnień i u. Jeżeli <pit)-r->f(p) i A>0, to
IK«-^)pray t>x>
e~W(P)^[ 0 pE2yr<A.
Twierdzenie Borela. Jeżeli ^(r) -:-/iO)> 9>aW ^MP)> to
' 1
f <Pi(t-r)<p2(T)dr -i- --MPMP).
o *
Funkcja impulsowa. Oryginałem dla transformaty/O) =
= £ jest tzw. funkcja dełta (funkcja Diraca) ó(t)
fO przy t ź 0,
•5(0 = 1
[ + oo przy r = 0,
+ 00
przy czym f d(t)<ft — 1. Funkcję tę można określić inaczej, np.
—co
[l//i dla 0< t< h,
6(t) = Umf(t,h), gdzie /(,,*) = | Q ^ f<0it>h
Funkcja delta służy do przedstawienia krótkotrwałych impulsów
(mechanicznych, elektrycznych itp., patrz przykład 3 na str. 577).
C1) Funkcja f(_p)lp nosi nazwę transformaty funkcji ę(t) według Laplace'a.
(2)Przy tym zakłada sie.-że da<pldt" spełnia wprowadzone wyżej nierówności
dla funkcji mających transformatę

576 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Metoda operatorowa. Metoda operatorowa rozwiązywania
równań różniczkowych zwyczajnych polega w zasadzie na tym, że od
równania dla funkcji niewiadomej przechodzi się do równania dla jej
transformaty (tzw. równanie pomocnicze). Nie jest to już równanie
różniczkowe, ale algebraiczne. Po uzyskaniu transformaty znajduje się
według niej funkcję szukaną. A więc podstawowa trudność metody
operatorowej tkwi nie w rozwiązaniu równania, ale w przejściu od
funkcji do jej transformaty i na odwrót.
Równanie liniowe o stałych współczynnikach
Ln(B)y-(P* + alD*-1 + aaI>"-* + ... +an-1D+a„)y = F(t),
gdzie D jest operatorem różniczkowania względem zmiennej
niezależnej t. Niech y(t)—.->■ y(P), F(i) ;-* F{p~). Wtedy na mocy wzorów
ze str. 575 otrzymujemy równanie pomocnicze
(**) Ln(p)y =-- F(p) + (p»y„+p»-ly;,+ .-- +rf~lJ) +
+a1(j>n-ly0+P'i-2y't,+ - +pyin~2)+
+ ... +an^(p2y„+py'n) +a„-lpy„ ^ F(p~) +M(p),
gdzie .y0,y0, ..., j^"-1'są wartościami funkcji y i jej pochodnych przy
t = 0. W najprostszym przypadku, gdy y„ — y'ą = j>£"~1' = 0, jest
M(p) — O', rozwiązanie odpowiadające tym warunkom początkowym
nazywamy rozwiązaniem normalnym. Ze wzoru (**) wynika, że
F(p) + M(p)
y Ln{p)
Dla znalezienia y można w wielu wypadkach korzystać z rozkładu
na ułamki proste (patrz str. 159 i 160) i ze wzorów (2) - (9) w tabeli
na str. 578 i 579; ponieważ wzory te zawierają w liczniku czynnik p,
to rozkłada się zazwyczaj ułamki o mianowniku pLn(p) i wynik mnoży
się przez p. W najprostszym przypadku, gdy wszystkie pierwiastki pk
mianownika L„(j>) są różne, a licznik jest wielomianem Pm(p) stopnia
nie wyższego niż n, postępowanie to doprowadza do wzoru na rozkład
Heaviside'a:
U(j>) ■ Ln(0) ^ Z\pK{P)\ '
k = l
'Pt
Jeżeli F(p)/Ln(p) nie jest funkcją wymierną, to rozkładz się na
ułamki proste funkcję l/pLk(p) i korzysta się ze wzorów
F<J>^ -:-«<•* j F(x)e-a*dx
o
p-a
6. Metoda operatorowa rozwiązywania równań 577
łub
— t
Jeżeli równanie Ln(p) = 0ma pierwiastki zespolone, użycie
ostatnich wzorów może w pośrednich obliczeniach doprowadzić do wielkości
zespolonych, jednak końcowy wynik można zawsze przedstawić w
postaci rzeczywistej.
Przykłady. 1. Znajdźmy rozwiązanie normalne równania y'"—
~y"-y'+y = t.
Mamy L(p) = (p+1) 0-l)a, M(p) = 0, F(p) = 1/fc
-_ l_ P
p ' '""" 4 p + 1 4 p-l ' 2 ' (i»-l)2"
Stąd na podstawie wzorów (1), (2) i (9) na str. 578 i 579 otrzymujemy
2. Znajdźmy rozwiązanie ogólne równania y"+m2y = a&inmt.
Mamy L(p) = p*+m\ F(p) = -^pT» M(p) = p2yB+py'o, skąd
y (p2+tn*y ' pt+tn* '
Aby skorzystać ze wzorów podanych w tablicy na str. 578 i 579,
przekształcamy pierwszy składnik do postaci A-. ,-~~ * +B , „. Po
(P2+m2)a p*+mz
znalezieniu A i B metodą współczynników nieoznaczonych
otrzymamy na podstawie wzorów (3), (4) i (8) na str. 579 rozwiązanie
-(*-
a \ a + 2my'0 .
-t cosmr-f-^^smmr.
3. Znajdźmy prawo ruchu punktu materialnego m pod działaniem
impulsu chwilowego A przyłożonego w chwili t = 0; współrzędna
początkowa x0 = 0, a prędkość początkowa xó = 0.
Równanie ruchu m-^ = Aó(t). Równanie pomocnicze mpzx =
= Ap. Stądx =—, tj. x = .
mp m

578
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Układy równań liniowych o stałych współczynnikach.
Po zastąpieniu każdego równania układu odpowiednim równaniem
pomocniczym, podobnie jak to było wyżej pokazane dla jednego
równania, rozwiązuje się układ równań algebraicznych liniowych względem
transformat funkcji niewiadomych; zakłada się przy tym, że
wyznacznik układu równań jest różny od zera ('). Dla przejścia od transformat
do oryginałów korzysta się zazwyczaj, jak i dla jednego równania,
z metody rozkładu na ułamki proste.
Przykład. (5D+4)yi-(2D+l)y, = «-*, (D+Siyt-3yt
z warunkiem początkowym yt = ym y2 = yw dla x = 0.
Równania pomocnicze
p
+5pyl<t-2pyao,
5er*
&P+4)yi-(2p+l)y% =
(£+8)5*1-3^ =
5P
+pyi
Rozwiązując te równania względem yx i y% otrzymujemy po rozkładzie
na ułamki proste
2p
yi=7+r+(3^-^-3)7T2-
+ (~2yw+ym+l)
p-\
y»=
Jp_
p+1
(6^10-2^20-6)
P+2
+ (-6^io+3yM+3)
p-1
skąd
yi = 2<r*-\-(3yl0-y2O~3>)e-Sx+(l~2y10+yw)e*,
yi = $<r*+(6y10-2yM-6)e-**+(3-6y10+3y20)e*.
O zastosowaniu metod geometrycznych do rozwiązywania równań
różniczkowych cząstkowych patrz str. 612.
Tablica transformat funkcji według Carsona-Heaviside'a
Numer
1
2
9(t) (r>0)C)
tn
rOi + i)
e-at
□o
f(p) = P f e-p*<p(t)dt
0
1
Pn
p
p+a
C1) Przypadek, gdy wyznacznik jesr równy zeru, zdarza się bardzo rzadko i wymaga
dodatkowego omówienia.
(*) Przy t < 0 przyjmuje się zawsze $>(») = 0.
6. Metoda operatorowa rozwiązywania równań 579
Tablica transformat funkcji według Carsona-Heaviside'a
Numer
V(0 (*>0)
f(p) = pf er&<p{t)dt
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
sin fet
cos&f
eratsm.kt
e~atco^kt
t%m.kt
tcoskt
pk
P'
P*+k*
e ni
(2r)»
l-3-5-...(2n-l)V/nr
a-a2/«
|/juf
2)/nr:
a.^e-a1«
l-*\w] (a>0)(1)
Ut) O
JoCO C')
f-^dx
J X
pk
(p+a)* + k*
p(.P+a)
(p + a)*+kz
2kp2
(P*+k*y
f(P3-fe3)
(Pa+fe2)a
p
(P+fl)n+l
VI
pn
ifptrd* (a> 0)
(n naturalne)
.-a~Jp
pe
e-a<lp
Y~i+p'
p
yp^r
ln(l+/»
(') Określenie funkcji #(*) patrz na str. 94.
(*) Funkcje Bessela J(x) i /{*) patrz na str. 582 i 583.

580
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
7. Równania liniowe rzędu drugiego
Metody ogólne.
Równanie y"+p(x)y'+q(x)y = F(x). Rozwiązanie ogólne
powyższego równania w przypadku, gdy F(x) = 0 (równanie jednorodne),
ma postać y = C1yl+ G^y^, gdzie yx i y* są dwoma liniowo
niezależnymi rozwiązaniami szczególnymi (patrz str. 566). Jeżeli znane jest
jedno rozwiązanie szczególne ylt to drugie rozwiązanie szczególne
można wyznaczyć według wzoru
Jg-fpAx
gdzie A jest stalą dowolną; wzór ten jest wnioskiem ze wzoru Liouvil-
le'a (patrz str. 566). Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
może być w tym przypadku otrzymane według wzoru
X
gdzie yt i 3»2 są wyżej wymienionymi rozwiązaniami szczególnymi
równania jednorodnego o takiej samej lewej stronie.
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego,
można również zastosować metodę uzmiennienia stałych (patrz str. 566).
Jeżeli w równaniu s(x)y"+p(x)y'+q(x)y = F(x) funkcje s(x), p(x),
q{x) i F(x) są wielomianami albo mogą być rozwinięte w szeregi
potęgowe względem x—x0, zbieżne w pewnym obszarze, i s(xe) ^ 0, to
rozwiązania tego równania mogą być również rozwinięte w szeregi
według potęg x —%(,, zbieżne w tym samym obszarze. Rozwiązania te
znaleźć można metodą współczynników nieoznaczonych: Piszemy
szukane rozwiązanie w postaci szeregu
y = a0+a1(x-xo)+a£x~-xoy+ ...
i podstawiamy do danego równania, a następnie przyrównując
współczynniki przy jednakowych potęgach x —x0 otrzymujemy równania dla
wyznaczenia współczynników Oo>au a2,...
Przykład. y"+xy = 0. Podstawiając
y =o0+a1x+tfaa:2+..., y' = a1Ą-2a2xĄ-3a3xi+ ...,
y" =2a2+6flaa:+ ...
otrzymujemy równania
2a2 = 0, 6a3+ao = 0, ..., n(rt — l)a» -J- an_3 = 0,
Rozwiązując kolejno te równania otrzymujemy
«a = 0, Oo= — -^f* a*= ~~3?i' as = 0, ...,
7. Równania liniowe rzędu drugiego 581
(X3 X3 \
1~'2^- + 2.3-5.6--j +
gdzie a0 i a, są stałymi dowolnymi.
Równanie x*y"+xp(x)y' -Vq(x)y = 0. Jeżeli funkcje p(x) i q(x)
mogą być rozwinięte w szeregi potęgowe względem x, zbieżne w
pewnym obszarze, to metodą współczynników nieoznaczonych można
znaleźć rozwiązanie postaci
y = *r(ao+arx+azx* +...),
przy czym wartości wykładnika r znajduje się z równania określającego
Kr-1)+P(0)r+S(0) = 0.
Jeżeli równanie określające ma dwa pierwiastki różne i ich różnica
nie jest równa liczbie całkowitej, to otrzymamy dwa niezależne
rozwiązania danego równania. W przeciwnym przypadku metoda
współczynników nieoznaczonych daje tylko jedno rozwiązanie.
Podany na str. 580 wzór (*) może być wykorzystany bądź do
bezpośredniego znalezienia drugiego rozwiązania, bądź do wyznaczenia
postaci, w której można znaleźć to rozwiązanie metodą współczynników
nieoznaczonych.
Przykład. Dla równania Bessela (patrz niżej) przy n całkowitym
można znaleźć metodą współczynników nieoznaczonych tylko jedno
rozwiązanie postaci
oo
y± = £ °**n+2*> s^e °o * o,
pokrywające się z funkcją Jn(x) z dokładnością do czynnika stałego.
Ponieważ w tym przypadku e~fvdx = l lx, to drugie rozwiązanie według
wzoru (*) ma postać
3»2 = 4?i J
-4»J
x k=0
Obliczanie kolejnych współczynników C& i dk według at jest
kłopotliwe, ale ostatnie wyrażenie może być wykorzystane do znalezienia
rozwiązania metodą współczynników nieoznaczonych Gest oczywiste,
że taką postać ma rozwiniecie w szereg funkcji Yn{x\ patrz dalej).

582
IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie Bessela xay"-{-xy'Ą-(xz-~n*)y = 0. Równanie
określające r(r—l) + r—Ma = r2—w3 = 0, skąd r =±n. Podstawiając do
danego równaniay = xn(aa-{-a1x+...) i przyrównując do zera
współczynnik przy x»+* otrzymujemy ft(2«+A)afc-ł-ff*_2 = 0. Przy k= 1
otrzymujemy (2n+l)ai = 0. Biorąc k równe 2,3,... otrzymujemy
«if»+i =■ 0, gdzie m = 1,2,..., a więc
aa = —
Oo
2(2n -j- 2) '
a4 =
<*o
2-4C2«+2)C2m+4) '
przy czym ao jest stalą dowolną.
-VH
Rys. 357
Rys. 358
Funkcje Bessela. Otrzymany powyżej szereg po podstawieniu
°° 2*rc»-j-
rodzaju rzędu n:
— (x) określa funkcję Bessela (funkcję walcową) pierwszego
-?«(*) =
x«
2*T(n+l)
1-
+
x*
2(2n-j-2) ' 2.4(2n+2)C2n+4)
-I
c-
,>^*r
A-O
kll\n+k+l)
Wykresy funkcji ,?0 i Jft przedstawione są na rysunku 357.
Rozwiązanie ogólne równania Bessela w przypadku, gdy n nie jest
liczbą całkowitą, ma postać y = <?!.?«(*)+Cs3Li*(*), gdzie funkcję
jf-n(x) określa szereg, który otrzymuje się z przytoczonego powyżej
szeregu dla^nCs:) przez zamianę n na — n. Gdy n jest całkowite, J-n(x) =
= (—l)nJn(,x). W tym przypadku w rozwiązaniu ogólnym należy za-
C1) O funkcji r patrz stt. 204.
7. Równania liniowe rzędu drugiego
583
stąpić J-n(x) funkcją Bessela drugiego rodzaju Yn(x) {funkcją Webera)
określoną wzorem
Y.C*) = lim £C»><^=*±W (i).
m^n Sinm*
Wykresy funkcji Y0 i Yt przedstawione są na rysunku 358.
y.
y=KB(x)
1
Rys. 360
Z X
W niektórych zastosowaniach spotyka się funkcje Bessela z
argumentem urojonym; przy tym zazwyczaj rozważa się iloczyny t~*3n(i#)j
które oznacza się symbolem In(x):
l \*+1
AC*) = »-J.C«) -
+ ...
^C« + l) ' lUTi+2) ' 2!-T(n+3) ' "'
Funkcje te stanowią rozwiązania równania różniczkowego
&y" + xy'—(x*+n%)y = 0.
Jako drugie rozwiązanie tego równania bierze się zazwyczaj funkcję
Macdonalda
tr,* l I-n(.x)-In(x)
Wyrażenie to dąży do określonej granicy, gdy n dąży do liczby
całkowitej.
Wykresy funkcji J0 i Ii są podane na rysunku 359, a wykresy
funkcji Ko i Ki na rysunku 360. Tablice wartości funkcji jfv(_x), J,0*)»
Yi.(*)> Yilx), A00, A(*), KoOO, Kx(_x) patrz na stronicach 88 - 90.
C1) Niekiedy funkcja ta oznaczana jest symbolem N„(x).

584 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Podstawowe wzory dla funkcji Bessela:
przy czym wzory te są także prawdziwe dla funkcji Ya(x);
t / x r , * 2tlln(x) dl„(x) _ . ^ « , , ,
if c^ if m 2nK»(x) dKn(x) n
Dla n całkowitego mamy wzory
2 *'2
JanOO = — / cosOesincOcos^cjrfęj,
o
jc/2
2 /•
.?!»+iC*) —— i sin(xsiny)sm(2n + l)c?dcj,
o
albo w postaci zespolonej
JJjć) = '"*'" re'*C0S«'COSB?'(/?>.
o
Funkcje$n+in(x) wyrażają się przez funkcje elementarne, w
szczególności , ,—-
7i/a(*)= 1/ — sinx, 7-i/aC*) = V — COB* .
Stąd wyrażenie dla $n-Hfz(x) przy dowolnym « całkowitym mogą być
otrzymane za pomocą kolejnego stosowania przytoczonych wyżej
wzorów rekurencyjnych.
Przy wielkich wartościach x zachodzą następujące wzory
asymptotyczne:
*w-y^ [°-(«-4«-t')+0(t)]'
7. Równania liniowe rzędu drugiego
585
gdzie 0(1/*) oznacza nieskończenie małą tego samego rzędu co l/x
(patrz str. 361).
Równanie Legendre'a (1— x*)y"—2xy'+n(n+l)y = 0. Przy n
całkowitym jednym z rozwiązań tego równania są wielomiany Legendre'a
(junkqe kuliste): . .
p(x,- 1 H(x*-ir)
ln{x)~~^i d& ■
W szczególności dla « = 0,1, ...,7 otrzymujemy wielomiany
Po(.x) = 1,
Pi(x) = x,
P*(.x) = ~(3x*-1)}
-P*C*5 = -|-C35je*—30ac*+3),
AW = {ce^-TO^+is*),
iV*)=^(23I*°-315x*+
+ 105x*-5),
Rys. 361
1,0
P,&)= ^(429x7-693x5 +
+315x3-35x); "V
wykresy tych wielomianów
podane są na rys. 361, a tablice
wartości znajdują się na str. 91.
Podstawowe własności wielomianów Legendre'a:
iM*) = v f (*±coS9y;^=T)»# = -^ r d*L—.. ..,
« J - R £ («±COS^a-l)u+l
(n+ljn+i^) = (2n+\)xPn{x)-nPn^(x),
(*"- 1) —^ « n (AW-PWW) ,
f/V(*)P»(*)<fc=0 dla m^w, f {Pm(.x))2dx = —±-- .
_l _l 2m +1
Wielomiany Legendre'a można otrzymać rozkładając w szereg
według potęg z funkcję
(l~2xz+z*rm = P0(x)+P1(x)z+P^x)zi+ ...(|*| < 1).

586 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie hlpergeometryczne
x(l-x) -0- + ly- (fl + p+lM^- -a{ly = 0,
gdzie a, /? i y są parametrami, obejmuje wielką ilość ważnych
przypadków szczególnych. Na przykład przy a = n+1, £ = — n, y = 1 i x =
= -^-(l— z) równanie to przekształca się w równanie Legendre'a.
Jeżeli y jest różne od zera i od liczby całkowitej ujemnej, to
rozwiązaniem szczególnym równania hipergeometrycznego jest szereg hiper-
ge&metryczny
j- <*(<*+D-(<*+n)fi(fi+i)...({i+n)
^ l-2....-(M+l>y()'+l)...(y+»)
bezwzgiędnie zbieżny, gdy \x\ < 1 f1). Jeżeli 2—y jest różne od zera
i od liczby całkowitej ujemnej, to rozwiązaniem szczególnym
równania hipergeometrycznego jest
y = x1-yF(a+l-y, p+l-y, 2-y,x).
W wielu przypadkach szereg hipergeometryczny można sprowadzić
do prostych funkcji elementarnych, na przykład
F(l, ft ft x) = F(a, 1, a, x) = —L-, F(-«, ft ft -*) = (1 +*)",
8. Zagadnienia brzegowe
Sformułowane zagadnienia. W wielu przypadkach, szczególnie
w związku z rozwiązywaniem równań fizyki matematycznej (patrz str.
599) zachodzi potrzeba — w odróżnieniu od rozważanych powyżej
zagadnień z warunkami początkowymi — rozwiązywania tzw.
zagadnień brzegowych, w których szukane rozwiązanie równania
różniczkowego powinno spełniać pewne warunki na końcach danego przedziału
zmienności zmiennej niezależnej. Ograniczymy się tu do rozpatrzenia
następującego zagadnienia brzegowego:
(*) Zbieżność szeregu hipergeometrycznego (1) dla x = 1 i x = —1 zależy od
liczby <5 = y -a—fi. Przy x = l szereg (1) jest bezwzględnie zbieżny, gdy <5 > 0,
a rozbieżny, gdy 5^0; przy x — — l szereg (1) jest bezwzględnie zbieżny, gdy
i > 0, warunkowo zbieżny, gdy -1 < 3 ^ 0, i rozbieżny, gdy S^ — l.
8. Zagadnienia brzegowe
587
Znaleźć rozwiązanie y(,x) samosprzężonego równania różniczkowego
(*) [py')'-cy+Aey =f>
spełniające warunki jednorodne
A0y(a)+B0y'ia) = 0, ^Iy(6) + B1y(6) = 0,
przy czym w przedziale a s? x < b C1) funkcje p(x), p'(x), £(x), o(x), /(x)
są ciągłe i przy tym ^(x)>Po>0, e(*)>eo>°> wielkość X jest stała
(parametr równania). Przyjmując/ = 0 otrzymujemy zagadnienie brzegowe
jednorodne odpowiadzjące danemu zagadnieniu niejednorodnemu.
Równanie rzędu drugiego Ay"+By'+Cy+2.Ry=F może być
sprowadzone do postaci (*) za pomocą mnożenia przez p/A, gdzie p =
= e^(-B^A)dx, jeżeli w rozważanym przedziale A ^ o. Przy tym q =
= -pCjA, o - pR/A.
Zadanie znalezienia rozwiązania .spełniającego niejednorodne
warunki A0y(a)+Boy'(a) = C„, Atyify+BrfXb) = Cx sprowadza się do
zagadnienia z warunkami jednorodnymi, ale z inną prawą stroną /(x),
przez prostą zamianę niewiadomej funkcji y = z+u, gdzie u jest
dowolną, dwukrotnie różniczkowalną funkcją, spełniającą
niejednorodne warunki brzegowe, a z jest nową funkcją niewiadomą, spełniającą
oczywiście odpowiednie warunki brzegowe jednorodne.
Zagadnienie Sturma-LiouviHe'a. Przy ustalonej wartości
parametru X zachodzi co następuje: albo zagadnienie niejednorodne ma
rozwiązanie przy dowolnych f(x) i wtedy to rozwiązanie jest jedyne,
a odpowiednie zadanie jednorodne ma tylko trywialne (tożsamościowo
równe zeru) rozwiązanie, albo odpowiednie zadanie jednorodne ma
nietrywialne (różne od zera) rozwiązania i wtedy zadanie niejednorodne
jest rozwiązalne nie dla wszystkich prawych stron równania, a w
przypadku istnienia rozwiązania nie jest ono jednoznaczne. Te wartości
parametru A, przy których zachodzi drugi wypadek (zadanie
jednorodne ma nietrywialne rozwiązania), nazywamy wartościami własnymi
danego zagadnienia brzegowego, a odpowiednie rozwiązania
nietrywialne nazywamy funkcjami własnymi odpowiadającymi danej wartości
własnej. Zagadnienie znalezienia wartości własnych i funkcji własnych
równania (*) nosi nazwę zagadnienia Sturma-LiouviHe'a.
Podstawowe własności funkcji własnych 1 wartości
własnych.
1° Wartości własne zagadnienia brzegowego tworzą ciąg liczb
rzeczywistych A0<A1<A2<...<An<... dążący do nieskończoności.
Funkcja własna odpowiadająca wartości własnej Xa ma dokładnie n
zer w przedziale a<x<b.
C1) W dalszym ciągu będziemy zakładali, że przedział (a, b) jest skończony. W
przypadku przedziału nieskończonego wyniki ulegają istotnej zmianie.

588 IV. Równania różniczkowe zwyczajne
2° Jeżeli y (x) i z (x) są funkcjami własnymi odpowiadającymi danej
wartości brzegowej A, to y(x) = cz(x), gdzie c jest stałą.
3° Jeżeli y^x) i y^x) są funkcjami własnymi odpowiadającymi
wartościom własnym At i Aa, to
a
Jest to ortogonalność z wagą q(x).
4° Jeżeli w równaniu (*) współczynniki p (x) i q (x) zastąpimy przez
P(x)>p(x)iq(x)>q(x), to liczby własne nie zmniejszą się, tzn. Xn>An>
gdzie An i An są n-tymi wartościami własnymi równania zmienionego,
i równania pierwotnego. Jeżeli współczynnik q(x) zastąpimy przez
e(x)>e(x), to liczby własne nie powiększą się, tzn. Xn<^m przy czym
n-ta wartość własna zależy w sposób ciągły od 'Współczynników
równania, tzn. dostatecznie małym zmianom współczynników odpowiadają
dowolnie małe zmiany n-tej wartości własnej.
5° Przy zmniejszeniu przedziału a<x^b wartości własne nie
maleją.
Rozwinięcie według funkcji własnych. Obierzmy dla każdego
An taką funkcję własną <pn(x), żeby
jlMx)?Hx)dx = l
a
(taką funkcję własną nazywamy funkcją unormowaną).
Z każdą funkcjąg(x) określoną w przedziale a<x^b można związać
szereg Fouriera według funkcji własnych danego zagadnienia
brzegowego:
oo b
f (*) ~ J£ C„<pn(x) , Cn = / g (*) <pn{x) Q (x) dx ,
n=0 a
jeżeli napisane całki mają sens.
Twierdzenie o rozwinięciu. Jeżeli funkcja g(x) ma ciągłą
pochodną i spełnia warunki brzegowe rozważanego zagadnienia, to szereg
Fouriera funkcji g(x) według funkcji własnych zagadnienia brzegowego
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny do g(x).
Przykłady funkcji własnych i rozwinięć według funkcji własnych
patrz na str. 603 - 608.
Równość Parseoala.
b oo
f(gm2Q(.x)dx= £ c%
a «=0
8. Zagadnienia brzegowe
589
zachodzi zawsze, gdy całka po lewej stronie ma sens. W tym przypadku
szereg Fouriera funkcji g(x) według funkcji własnych zagadnienia
brzegowego jest zbieżny do g{x) przeciętnie z kwadratem, to znaczy
b i N \*
lim / \g(x) -£ca<pn(x)\ Q(x)dx = 0.
Przypadki osobliwe. Przy stosowaniu metody Fouriera do
rozwiązywania zagadnień fizyki matematycznej często powstają
zagadnienia brzegowe rozważanego powyżej typu z tą jednak różnicą, że w
końcowych punktach przedziału a<x^b mogą zachodzić osobliwości
równania różniczkowego, na przykład funkcja p (x) przybiera wartość zero.
w* takich punktach osobliwych nakłada się pewne ograniczenia na
zachowanie się rozwiązania, jak np. ciągłość lub skończoność rozwiązania
albo przybieranie wartości nieskończonej rzędu nie wyższego od
danego. Warunki te odgrywają rolę jednorodnego warunku brzegowego
(patrz str. 602). Ponadto w niektórych zagadnieniach brzegowych
zachodzi potrzeba rozważania warunków brzegowych jednorodnych
wiążących wartości funkqi i jej pochodnej na różnych końcach prze-
daiału. Najważniejsze z takich warunków są warunki y(a) = y(b)s
P{a)y\a) = P(b)y'(b),które w przypadku p(a) = p(b) można uważać
za warunki okresowości. Dla zagadnienia granicznego z takimi
warunkami słuszne jest wszystko wyżej powiedziane z wyjątkiem tezy 2°
(patrz str. 588).
B. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
9. Równania rzędu pierwszego
Równania liniowe. Równaniem różniczkowym cząstkowym
Urnowym rzędu pierwszego nazywamy równanie
gdzie z jest funkcją niewiadomą zmiennych niezależnych xu xa, ...,
xn, a Xu Xu ■ • o -Xn oraz Y są danymi funkcjami zmiennych xls xs>
...,xn. Jeżeli w równaniu (1) funkcje .Xw.Xa, ...,Xn oraz Y zależą
również od z, to równanie nazywamy quasi-tiniowe. Jeżeli Y = 0, to
równanie
— .. tj. dz _, dz . _, dz
nazywamy jednorodne.
Zagadnienie całkowania równania liniowego jednorodnego jest

590 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
równoważne zagadnieniu całkowania tak zwanego charakterystycznego
układu równań
.Al .Aa J\n
Okazuje się, że każda całka pierwsza układu równań (2) jest
rozwiązaniem jednorodnego równania liniowego (la), i na odwrót: każde
rozwiązanie równania (la) jest całką pierwszą układu równań (2) (patrz
str. 563). Przy tym jeżeli n — l całek pierwszych
<M*i>*2> ...,xn) = 0, gdzie i = 1, 2, ...,n — 1,
jest niezależnych (patrz str. 565), to z = 0(jfi, <p2,..., 9>łi_i), gdzie 0
jest dowolną funkcją n—l argumentów, jest rozwiązaniem ogólnym
jednorodnego równama liniowego (la).
Rozwiązanie z równama liniowego niejednorodnego i równama
quasi-liniowego (1) szuka się w postaci uwikłanej V(xlt x2,..., xn> z)=C.
Przy tym funkcja V jest rozwiązaniem jednorodnego równania z «+l
zmiennymi niezależnymi:
Xi OX2 OXn OZ
układ charakterystyczny tego równania
CY\ dxi _ dxz _ _ dxn _ dz
-Al -A-2 -A-n i
nazywamy układem charakterystycznym równania wyjściowego (1).
Odwzorowanie geometryczne. W przypadku równania z
dwiema zmiennymi niezależnymi xx = x i xz = y, czyli równania
di) P(x,y,z)^ + Q(x,y3z)-^ = R(x>y>z),
odwzorowaniem równania z = f(x, y) jest powierzchnia w przestrzeni
xyz zwana powierzchnią całkową tego równania. Równanie (1^
oznacza, że w każdym punkcie powierzchni całkowej z = f(x,y) wektor
i dz dz 1
normalnej -»-—, -^— , — li jest ortogonalny do danego w tym punkcie
\ox oy J
(') Przy rozwiązywaniu układu takiej postaci za zmienną niezależną można przyjąć
którąkolwiek ze zmiennych x*, dla której X* j£ 0; układ przybiera wtedy postać
—-i- = —ł, gdzie j = 1,2,...,«. Wygodniej jednak zachowując symetrię wpro-
d d
wadzić nową zmienną niezależną — parametr t przyjmując -jt- *= dt albo -?- = Xj.
9. Równania rzędu pierwszego 591
wektora {P,Q,R}. Układ (2') przybiera przy tym postać
dx dv dz
(2d
P(x,y,z) " Q(x,y,z) R(x,y,z)
skąd wynika (str. 666), że krzywe całkowe tego układu równań, tzw.
charakterystyki, są styczne do wektora {P, Q, R). Dlatego
charakterystyka mająca z powierzchnią całkową z = fix, y) punkt wspólny leży
całkowicie na tej powierzchni. Przez każdy punkt przestrzeni
przechodzi krzywa całkowa charakterystycznego układu równań (pod
warunkiem spełnienia twierdzenia na str. 562), a powierzchnie całkowe
składają się z charakterystyk.
Zagadnienie Cauchy'ego. Niech będzie dane n funkcji n—l
zmiennych niezależnych tu ti3..., rn-i*.
*1 = %Ctl)f2J ...j*«-l)»
/^\ xs = *2(ti> fas •••> tn—i),
Xn = Xn(fi j t2, ... i In—l) ■
Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania (1) nazywamy zagadnienie
znalezienia takiego jego rozwiązania z = p(*ii*i»...)J(»)j które przy
podstawieniu (*) zamienia się na daną funkcję v>('i> ra> •••> tn-i):
c>(jcŁ(ti, t2,..., rn_i)) xi.(.ti> *&>••■> tn~i)> ...tXnih, ra..., rn_i)) =
W przypadku dwóch zmiennych niezależnych zagadnienie to spro-
wadaa się do znalezienia powierzchni całkowej przechodzącej przez
daną krzywą. Jeżeli dana krzywa ma styczną toczącą się w sposób
ciągły i jeżeli w żadnym punkcie nie jest styczna do charakterystyki,
to w pewnym otoczeniu tej krzywej zagadnienie Cauchy'ego zawsze
ma rozwiązanie i to jedyne.
Powierzchnią całkową jest zbiór wszystkich charakterystyk
przecinających daną krzywą.
Przykłady. 1. (mz—ny)^—\-(nx—łz)-^— = ly~mx, gdzie
/, m i n są to stałe.
Równama charakterystyk
dx _ dy __ dz
mz — ny nx — lz ly—mx'
Całki tego układu równania są łx+my+nz = Ci»x2+y2+zz = Ca.
Charakterystyki są okręgami o środkach leżących na prostej, która
przechodzi przez początek współrzędnych i ma cosinusy kierunkowe

592 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
proporcjonalne do /, m, n. Powierzchniami całkowymi są powierzchnie
obrotowe, których osią obrotu jest ta prosta.
2. Znaleźć powierzchnię całkową równania -r— -f = z, prze-
ox oy
chodzącą przez krzywą x = 0, z = <p(y).
flX /TM fTV
Równania charakterystyk —— = —— = . Charakterystyki prze-
I 1 z
chodzące przez punkt (ą, .y0, 20) mają równania y = x — x0+ya, z =
= z^~^. Przyjmując Xo = 0, z9 — y(y0) znajdujemy y = x+y0,
z = e*<p(y0) i jest to przedstawienie parametryczne szukanej powierzchni
całkowej. Rugując y0 otrzymujemy z = tf^Cy—x).
Równania nieliniowe. Postać ogólna równania cząstkowego rzędu
pierwszego jest
(3)
- / dz dz dz \
Rozwiązanie równania (3) z = <p(xlsx2, ...,xa; aliait..., a„),
zależne od n parametrów ax, a2,..., a„, których jakobian (patrz str. 372)
Ó(V^>•••><.> . . , . „ . ,
—tt r— nie jest równy zeru dla rozważanych wartości
o{ai3a2,...,an)
Xi>x2,..., xn, nazywamy całką zupełną równania (3).
Całkowanie równania (3) sprowadza się do całkowania
tzw. charakterystycznego układu równań różniczkowych
dxl dxn dz
(4)
Pi '" P« P^+.-.+PnPn
— dpy —dpn
gdzie
Xi-\-pxZ Xn+PnZ
dF dF dz ÓF
£. = -T— , Xl = -r , Pi = -— , fi = -r—-
oz oxi dxi opt
(i=l,2,...,n).
Rozwiązanie charakterystycznego układu równań (4), spełniające
dodatkowy warunek F(x1,x2,...,x„,z,p1,p2,...,pn) = 0>
nazywamy wstęgami charakterystycznymi.
Kanoniczne układy równań. Często wygodniej bywa rozważać
równanie nie zawierające w sposób jawny niewiadomej funkcji z.
Przejście do takiego równania osiąga się przez wprowadaenie
dodatkowej zmiennej niezależnej xn+i = z oraz takiej niewiadomej funkcji
V(x1,x2i...,xn^cn+i)» że równanie K(*i»*a» •••»*«»«) = G określa
z jako funkcję uwikłaną zmiennych xt, x2, ...,x„. Przy tym zamiast
9. Równania rzędu pierwszego 593
dz t . „. _, . dV I dV . . . . „
-r— w równaniu (3) podstawiamy ;—j-? , gdzie i = l,2,..., n.
OXt OXt j OXn-i-l
Jeżeli ponadto rozwiążemy równanie różniczkowe względem
którejkolwiek pochodnej cząstkowej funkcji V oznaczając ją przez x i
odpowiednio zmieniając numerację pozostałych zmiennych niezależnych,
to równanie (3) przybiera postać
(3') p + H(,X13 X21 ..., Xn, X, ply p2s ..., pn) = 0,
SdZiC & & r i , x
Układ charakterystycznych równań różniczkowych przechodzi wtedy
w układ
dx dpi dx dxi
oraz
dV dH óH „ Sit ?*L
(6) *TSBpl'3£; + -+*" 1£-H' dx^~ dx-
Równania (5) same przez się stanowią oznaczony układ 2n równań
różniczkowych zwyczajnych. Układ taki, odpowiadający dowolnej
funkcji H(x13x2i ...,xn,*, Pu P^ •••) Pn) o 2« + l zmiennych, nazywamy
kanonicznym układem równań różniczkowych. Do układów równań tej
postaci prowadzą liczne zadania mechaniki i fizyki teoretycznej.
Znajomość całki zupełnej
V = <p{xl,xz,...iXn,xt al,a2,...,an) + a
równania (3') daje możność znalezienia ogólnego rozwiązania
kanonicznego układu równań (5), gdyż równania
dtp d<p
~da = bi' ~dx~^ pi' gdzie * = lj2' •••'"'
o 2» parametrach at i bi wyznaczają 2«-parametrowe rozwiązanie
kanonicznego układu równań (5).
Równanie Clairauta. Zagadnienie znalezienia całki zupełnej jest
szczególnie proste w przypadku, gdy równanie ma postać
Z = Xtp1 + Xtpt + ... +Xnpn-ł-f(j>l, ps> ..., pn),
gdaie
&z ,• . -»

594 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
jest to tzw. równanie Clairauta. Całką zupełną takiego równania jest
z = a1x1 + aara+ ... +aB*»+/(«ij «a> •••><*»)>
gdzie a13 a2>..., an są dowolnymi parametrami.
Przykład. (Zagadnienie dwóch ciał). Ruch dwóch punktów
materialnych wzajemnie się przyciągających według prawa Newtona
odbywa się stale w jednej płaszczyźnie. Dlatego obierając położenie
początkowe jednego z punktów w początku współrzędnych można
napisać równania ruchu w następującej postaci:
dtz dx ' dt* dy ' ~ j/x*+y* '
Ten układ równań po wprowadzeniu funkcji Hamiltona
1 k2
H~±U>2+q2) t==
2 \/x2+y2
przechodzi w układ kanonicznych równań różniczkowych
dx__ dH dy_ = dH_ dp__ _dH dq _ dH
W dt ~ dp' dt ~ dq ' di ~ dx ' dt "~ dy
względem wielkości x, y, p = dx/dt, q — dyjdi. Odpowiednim
równaniem cząstkowym jest równanie
i UdzY td*Y~\ k* ~o
2*L\d*/ \dy)\ yWy
dz i \{ dz \i , (dz
dt +
Po przejściu do współrzędnych biegunowych g, <P nietrudno wykryćs
że to równanie ma całkę zupełną
C / 2k* bz
z=—at — b<p + c— 1/ 2a-\ dr,
p«
zależną od parametrów a, b, c. Dlatego z równań dz\da = —t0,
dzjdb = — <p0 otrzymujemy rozwiązanie ogólne układu równań (*).
Przypadek dwóch zmiennych niezależnych (xi = x, xz = y,
Pi = Pi Pt = i)- W tym przypadku wstęgę charakterystyczną można
interpretować geometrycznie jako krzywą, w której każdym punkcie
(x,y,z) określona jest płaszczyzna P(£~x)+q(ij — y) — £ — z,styczna
do krzywej. Znalezienie powierzchni całkowej równania
„/ dz dz\ n
T'**'"*'"^H
przechodzącej przez daną krzywą (zagadnienie Cauchy'ego)
sprowadza się do poprowadzenia przez punkty krzywej początkowej tych
*9. Równania iźęda pierwszego
595
wstęg charakterystycznych, których odpowiednia płaszczyzna jest
styczna do tej krzywej. Wartości p i q w punktach krzywej początkowej są
przy tym określone związkami F(x,y,z,psq) = 0 i pdx+qdy = dst
które w przypadku równania nieliniowego mają, ogólnie biorąc, kilka
rozwiązań. Dlatego przy formułowaniu zagadnienia Cauchy'ego dla
uzyskania określonego rozwiązania należy wzdłuż krzywej
początkowej przyjąć parę funkcji ciągłych p i q spełniających dwa wskazane
związki.
Przykład. Dla równania pq = 1 i krzywej początkowej y = x3,
z = 2x2 można wzdłuż krzywej przyjąć p = x i q = l]x.
Charakterystyczny układ równań ma postać
dx dy dz dp „ da
t-" -£-*■ nr-21*- -£-0' -fr = °-
Wstęga charakterystyczna z warunkami początkowymi Xo>yo>Zo*Po>Qo
przy t = 0 jest x = x0+q0tt y = y0+p«t, z = 2p0q{st+z(s, p = Po,
q = q0. W przypadku gdy p0 = xoyq0 = 1/*0J krzywa należąca do
wstęgi charakterystycznej przechodzącej przez punkt (xa,ya>z0)
krzywej początkowej ma postać
x=x0+ —-, y^xs0+tx0> z = 2t+2x%.
x0
Rugując parametry x0> t znajdujemy z2 = 4xy.
Jeżeli wzdłuż krzywej początkowej przyjmiemy inne,
dopuszczalne wartości piq* biorąc na przykład p = 3x, q = l/3x, to w wyniku
otrzymamy inne rozwiązanie.
Powierzchnia obwodząca jednoparametrowej rodziny powierzchni
całkowych jest również powierzchnią całkową. Korzystając z tej
okoliczności można rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego za pomocą całki
zupełnej, wyłączając jednoparametrową rodzinę rozwiązań, stycznych
do danych płaszczyzn w punktach krzywej początkowej i znajdując
powierzchnię obwodzącą tej rodziny powierzchni.
Przykład. Przypuśćmy, że dla równania z—px—qy+pq ~ 0
(równanie Clairauta) trzeba znaleźć powierzchnię całkową
przechodzącą przez krzywą y = x, z = x2.
Rozważane równanie ma całkę zupełną z = ax+by—ab.
Ponieważ wzdłuż krzywej początkowej należy przyjąć p = q = x, przeto
warunek a = b wyznacza potrzebną rodzinę jednoparametrową
powierzchni. Znajdując powierzchnię obwodzącą tej rodziny
otrzymujemy z^±(x+yy.
Równania z różniczkami zupełnymi (równania Pfaffa).
Równanie z różniczkami zupełnymi ma postać
(7) dz *= fldxl+fzdxii+ ... +f*dxn,

596 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
gdzie/i,/2j ...j/« są danymi funkcjami zmiennych Xi,xa,..., xn,z.
Równanie to nazywamy całkowalne w sposób zupełny, jeżeli istnieje
jedyny związek między IdĄ,.,,,):,,: zawierający dowolną stalą,
z którego dane równanie (7) wynika jako wniosek. W tym przypadku
istnieje jedyne rozwiązanie z = z(xlt x2,..., x«) równania (7)
przybierające daną wartość 2° przy wartościach początkowych z\, Ą,... ,x%
zmiennych niezależnych. Gdy n = 2, xx = x, xa = y, oznacza to, że
przez każdy punkt przestrzeni przechodzi jedna i tylko jedna
powierzchnia całkowa.
Równanie (7) jest całkowalne w sposób zupełny wtedy i tylko
wtedy, gdy są tożsamościowo spełnione względem wszystkich
zmiennych xltxz,...» Xn> z następujące związki w ilości -^n{n~ 1):
Jeżeli równanie (7) jest dane w postaci symetrycznej
/i<ki+/i<&i+ ••■ +/»<**n =- 0,
to warunkiem całkowalności w sposób zupełny są tożsamości
dla wszystkich kombinacji wskaźników 1,3, k.
W przypadku całkowalności w sposób zupełny znalezienie
rozwiązania równania (7) sprowadza się do całkowania jednego równania
zwyczajnego o n— 1 parametrach.
10. Równania liniowe rzędu drugiego
Postać ogólna równania liniowego rzędu drugiego w przypadku
dwóch zmiennych niezależnych x, y i funkcji niewiadomej u jest
a d*u , ^D d*M ^ ^u du , du
C1) A^zż+2B-nr- +c^-r+a^- +b^-+cu=f,
dx2 dxdy dy* dx dy
gdzie współczynniki A, B, C, a, b, c oraz wyraz wolny / są danymi
funkcjami zmiennych x i y.
Klasyfikacja równań. Charakter rozwiązania takiego równania
w znacznym stopniu jest określony przez znak wyróżnika <5 = AG —B2.
Równanie (1) nazywamy równaniem hiperbołicznym w pewnym
obszarze, jeżeli w tym obszarze ó<Q; parabolicznym, jeśli w rozważanym
obszarze zachodzi równość tożsamościowa 5 = 0; wreszcie
eliptycznym, jeżeli w rozważanym obszarze «5>0.
10. Równania liniowe rzędu drugiego 597
Jeżeli ó zmienia znak w rozważanym obszarze, to równanie (1)
nazywamy równaniem typu mieszanego albo równaniem hiperbołiczno-
-eliptycznym. Znak wyróżnika pozostaje nie zmieniony przy dowolnym
przekształceniu zmiennych niezależnych (zmiana układu
współrzędnych na płaszczyźnie Oxy). Dlatego typ równania jest niezmiennikiem
względem wyboru zmiennych niezależnych.
Charakterystykami równania (1) nazywamy krzywe całkowe
równania różniczkowego
dv B± V—6
Ady*-2Bdxdy + Cdx* - 0 lub -£^= v .
Równanie hiperboliczne ma dwie rodziny charakterystyk
rzeczywistych, równanie paraboliczne ma jedną rodzinę charakterystyk
rzeczywistych, a równanie eliptyczne nie ma charakterystyk rzeczywistych.
Równanie otrzymane z równania (1) przez wprowadzenie nowych
zmiennych niezależnych ma te same charakterystyki co równanie (1).
Jeżeli rodzina charakterystyk pokrywa się z rodziną linii
współrzędnych, to w równaniu (1) nie występuje wyraz zawierający drugą
pochodną funkcji niewiadomej względem odpowiedniej zmiennej
niezależnej. Przy tym w przypadku równania parabolicznego nie
występuje też wyraz zawierający pochodną mieszaną.
Postać kanoniczna równania. Za pomocą wprowadzenia nowych
zmiennych niezależnych f = <p(x,y), -ą = ip(x, y) można równanie
(1) sprowadzić do jednej z trzech postaci kanonicznych:
dhi o2u
(a) is — T-5 + ..• = 0 (<5<0, równanie hiperboliczne),
<?£* oif
o2u
(b) -r-; + ... = 0 (<5 = 0, równanie paraboliczne),
oif
dhi dsu
(c) ^T5+^^ + --' = 0 (5 >0, równanie eliptyczne),
df dif
gdzie kropkami zaznaczono wyrazy nie zawierające pochodnych csąst-
kowych rzędu drugiego funkcji niewiadomej.
Jeżeli w przypadku równania hiperbolicznego obierzemy dwie
rodziny charakterystyk za rodziny linii współrzędnych nowego układu
współrzędnych, to znaczy przyjmiemy £t = <p(x, y), ^ = ip(x,y), gdzie
ę(x,y) = const, y>(x,y) = const (są to równania rodzin
charakterystyk), to równanie przybierze postać
d*u
... +...-0.
Ta postać również nosi nazwę postaci kanonicznej rózonania hiperbo-
ticznego. Od tej postaci za pomocą zamiany £ = fi+»ft,Jj = h~Vi

598 IV, Równania różniczkowe cząstkowe
można przejść do postaci kanonicznej (a). Dla sprowadzenia równania
parabolicznego do postaci kanonicznej (b) wystarczy za rodzinę I =
= const obrać jedyną w tym przypadku rodzinę charakterystyka
przyjmując za i] dowolną, niezależną od I funkcję zmiennych x i y. Jeżeli
współczynniki A(x,y), B{x3y)s C(#, y) są funkcjami analitycznymi
(patrz str. 631), to równanie charakterystyk w przypadku równania
eliptycznego wyznacza dwie rodziny krzywych zespolonych
sprzężonych q(x, y) = const, y>(x,y) = const. Równanie sprowadza się do
postaci kanonicznej (c) za pomocą podstawienia | = <p + y>, n =
= *(?>-¥)•
Wszystko co zostało powiedziane o klasyfikacji równań i o
sprowadzeniu do postaci kanonicznej może być zastosowane do równań nieco
ogólniejszego typu
du du'
~dxi~dy~
Przypadek, gdy ilość zmiennych niezależnych jest większa
od dwóch. Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego,
w których ilość amiennych niezależnych jest większa od dwóch, ma
postać
gdzie anc są danymi funkcjami zmiennych niezależnych, a kropkami
zaznaczone są wyrazy, w których nie występują pochodne rzędu
drugiego funkcji niewiadomej.
Równania (2) nie można już sprowadzić za pomocą przekształcenia
zmiennych niezależnych do postaci prostych, normalnych. Jednakże
i dla tych równań można podać ważną w zastosowaniach klasyfikację,
podobną do wyżej przytoczonej.
Równania o starych współczynnikach. Jeżeli współczynniki
w równaniu (2) są stałe, to równanie to można za pomocą liniowej
zamiany jednorodnej zmiennych niezależnych sprowadzić do
następującej postaci normalnej:
i
gdzie wszystkie współczynniki m są równe ± 1 lub 0.
Jeżeli wszystkie współczynniki Hi są różne od zera i mają ten sam
znak, to równanie nazywamy eliptycznym. Jeżeli wszystkie współczyn-
10. Równania liniowe rzędu drugiego 599
niki ty są różne od zera i jeden z nich ma znak różny od pozostałych,
to równanie nazywamy hiperbolicznym f1). Jeżeli jeden ze
współczynników ty jest równy zeru, a pozostałe są różne od zera i mają ten sam
znak, to równanie nazywamy parabolicznym.
Jeżeli w równaniu liniowym stałe są nie tylko współczynniki przy
pochodnych wyższych rzędów, ale również współczynniki przy
pierwszych pochodnych funkcji niewiadomej, to za pomocą zamiany
funkcji niewiadomej w równaniu można się uwolnić od wyrazów z
pochodnymi rzędu pierwszego względem tych zmiennych, dla których xt i1 0.
W tym celu wystarczy przyjąć
gdzie bk jest współczynnikiem przy dujdXjcwe wzorze (2')3 a
sumowanie rozciąga się na wszystkie «ł^0. A więc wszystkie równania
różniczkowe o stałych współczynnikach w przypadku równania
eliptycznego mogą być sprowadzone do postaci Av + kv=g, a w przypadku
równania hiperbohcznego do postaci d2vjdtz~ Av + kv = g, gdzie A
jest operatorem Laplace'a:
Sformułowanie zagadnienia. Badznie różnych zadań fizycznych
w ośrodkach ciągłych (zjawisk mechanicznych, elektrycznych,
cieplnych) doprowadza do równań różniczkowych cząstkowych, które z tego
powodu zwane są równaniami fizyki matematycznej. Przy tym
najważniejsze, najczęściej spotykane są równania liniowe rzędu drugiego. Dla
rozwiązania zagadnienia fizycznego sprowadzającego się do równań
różniczkowych cząstkowych żąda się zazwyczaj takiego rozwiązania
równania różniczkowego, które spełnia pewne dodatkowe tzw. warunki
graniczne (początkowe i brzegowe). Zespół tych warunków powinien
określać rozwiązanie w sposób jednoznaczny. Ponadto, co jest nie
mniej ważne, rozwiązanie powinno być stabilne (trwałe) przy
nieznacznych zmianach warunków początkowych i brzegowych, tj. powinno
zmieniać się dowolnie mało, gdy zmiany warunków początkowych i
brzegowych będą dostatecznie małe. W tym przypadku mówimy, że
zagadnienie zostało sformułowane w sposób poprawny. Tylko przy spełnieniu
tego warunku można uważać, że matematyczne zadanie rozwiązania
równania różniczkowego może być zastosowane do opisu realnych
zjawisk. Przy tym okazuje się, że dla równań hiperbolicznych, do
których w szczególności prowadzi badanie drgań ośrodków ciągłych,
poprawne jest ujęcie sprawy według zagadnienia Cauchy'ego: ustalenie
na początkowej rozmaitości (na krzywej, na powierzchni) wartości
poszumi Jeżeli w równaniu występują co najmniej dwa współczynniki dodatnie i co
najmniej dwa współczynniki ujemne, to równanie nazywamy ultrakiperboliczne.

600
IV. Równania różniczkowe cząstkowe
kiwanej funkcji oraz jej pochodnej w kierunku nie stycznym (w
szczególności w kierunku normalnym). Natomiast dla równań eliptycznych,
do których prowadzi badanie procesów stacjonarnych i równowagi
w ośrodkach ciągłych, poprawne jest ujęcie sprawy według
zagadnienia brzegowego: ustalenie wartości funkcji niewiadomej (lub jej
pochodnej w kierunku normalnym) na granicy rozważanego obszaru
zmienności zmiennych niezależnych, przy czym jeżeli rozważany
obszar jest nieograniczony, to zazwyczaj nakłada się pewne żądania
dotyczące zachowania się funkcji w nieskończoności, tzn. na zachowanie
się funkcji przy nieograniczonym wzrastaniu argumentów.
Warunki niejednorodne i równania niejednorodne.
Rozwiązanie równania liniowego (jednorodnego lub niejednorodnego) przy
niejednorodnych warunkach początkowych lub brzegowych (patrz str.
587) może być sprowadzone do rozwiązywania równania różniącego
się od danego równania tylko wyrazem wolnym od funkcji
niewiadomej, ale już przy warunkach jednorodnych. W tym celu wystarczy
poszukiwaną funkcję zastąpić różnicą między tą funkcją a dowolną
funkcją mającą ciągłe pochodne rzędu drugiego i spełniającą dzne
warunki.
Rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego przy danych
warunkach początkowych lub brzegowych niejednorodnych jest sumą
rozwiązania tego samego równania przy warunkach zerowych oraz
rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego przy warunkach
danych.
Wreszcie rozwiązywanie równania liniowego niejednorodnego
d%u
-w-L[u\=g(X,t)?)
przy warunkach początkowych jednorodnych (w)t_0 = 0, (du!dt)t=Q= 0
sprowadza się następującym sposobem do rozwiązania zagadnienia
Cauchy'ego dla odpowiedniego równania jednorodnego
i
u = J"Kx, t-}T)dT,
o
d2u
gdzie <p(x, t; t) jest to rozwiązanie równania —-^—L[u] = 0 przy
warunkach (u)l=T = 0, (du/dt)t=z = g(x, t).
(') W równaniu tym x jest symbolicznym oznaczeniem n zmiennych xlt x%,..., xn
w przestrzeni M-wymiarowej, a IĄu] jest liniowym wyrażeniem różniczkowym
zawierającym ewentualnie pochodną duidt, ale nie zawierającym pochodnych wyższych
rzędów względem t.
10. Równania liniowe rzędu drugiego 601
Równania najczęściej spotykane.
Równanie falowe, czyli równanie rozchodzenia się drgań
w ośrodku jednorodnym:
gdzie x oznacza symbolicznie zmienne xlix-i, ...>xn w przestrzeni
B-wymiarowej, a prawa strona równania Q (x, t) jest równa zeru w
przypadku braku sił wymuszających.
Dla równania jednorodnego, tzn. Q(x, t) = 0, rozwiązanie
spełniające warunki początkowe («)I=0 = <p(x), (du}dt)t=Q = y(x) jest
określone następującymi wzorami:
dla n =3:
»<*»*•**<>-wlJJ 1 da+-teJJ i *]»
Sat Sat
gdzie całkowanie rozciąga się na powierzchnię kuli o równaniu (<*!—
-*1)ł + (eti-*0,+(a,^aOł = aH* (wzór Kirchkoffa);
dla n = 2:
_ _ i/erV—fa.—*.V—Co.—*.")"
kat
ot JJ yW-^-*^-^-**)2 }'
oi _
kat
gdzie całkowanie rozciąga się na koło (ax—Xi)2+(a2—x^)* < aH* (wzór
Poissona);
dla «- 1:
xt+at
Xi—at
(wzór d'AIemberta).
Jeżeli równanie wyjściowe jest niejednorodne, to do prawych stron
tych wzorów należy odpowiednio dodać:
dla n = 3 (tzw. potencjał opóźniony):
4na* }} j
r^at
G(*i»*«*«.*-r/ct)
dh d& dh,
gdzie r = /(£i-*i)1+<l«-*i)a+<{i-*k),J

602 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
dla n = 2:
1 r rr Q(h> h* r)d$1dS2dz
gdzie K jest to obszar przestrzeni Ci$tr określony nierównościami
0<T<t,(S1-*d*+(h-xJ%<a*(t~-'')%l
dla » = 1: ,
T
gdzie T jest trójkątem O^r^t, \S—x1\<a]t—r\.
Z przytoczonych wzorów wynikaj że a jest prędkością
rozchodzenia się zakłócenia.
Równanie rozchodzenia się ciepła w
ośrodku jednorodnym:
We wzorze tym prawa strona Q(x, t) jest równa zeru w przypadku
braku źródeł ciepła i ciał pochłaniających. Dła tego równania
formułuje się zazwyczaj następujące zagadnienie Cauch/ego; znaleźć
rozwiązanie ograniczone przy t > 0 mając warunek (w)r=0 =f(x). Warunek
ograniczoności rozwiązania zapewnia jednoznaczność rozwiązania.
Dla równania jednorodnego mamyC1)
-foo + 00
»(*!,..., *n, 0= ,„ ,—v. f—f /(«l> —»°») X
(2aVnt)n J J
— ca —oo
i (*i-qi)B + ... + (*» -a*)* \ j„ -
xexp| ^- —I*!...da,.
Gdy QC*, 0^0, do prawej strony powyższej równości należy dodać
-j-oo + 00
/[
0 —oo —oo
X
/ (*i-aJt+...+(x»-aJ*\ An An I At
Zagadnienie znalezienia w(x, t) dla £<0, gdy dane są wartości
u(x, 0), jest (jak się okazuje) sformułowane w sposób niepoprawny.
O A jest operatorem Laplace'a względem n zmiennych xlt xiy...,Xn (patrz
str. 599).
Ca) Przypominamy, że expx = e*.
10. Równania liniowe rzędu drugiego 603
Równanie teorii potencjału:
Au=-4nQ('))
gdzie q jest dzną funkcją punktu (równanie Poissona). Gdy e=0,
otrzymujemy równanie Laplace'a Au = 0 (patrz str. 682).
Metody całkowania.
Rozdzielenie zmiennych. Dla wielu równań
różniczkowych fizyki matematycznej można za pomocą specjalnych
podstawień otrzymać, jeżeli nie cały zbiór rozwiązań, to rodzinę rozwiązań
zależną od dowolnych parametrów. W równaniach różniczkowych
liniowych, w szczególności rzędu drugiego, często można zastosować
podstawienie
u(X1>Xt,...)Xn) = 9i (*0 9i{x2) ... (pn(xn).
Aby wyznaczyć każdą z funkcji fjc(xk), rozdzielamy zmienne po
podstawieniu takiego iloczynu do równania wyjściowego (patrz przykłady);
otrzymuje się równanie różniczkowe zwyczajne liniowe. Aby przy tym
rozwiązanie równania wyjściowego spełniało żądane warunki
graniczne jednorodne, może się okazać wystarczające, by część funkcji c>i(*i)»
9>i(xj),..., 9>n(xn) spełniała pewne warunki brzegowe.
Z uzyskanych rozwiązań można za pomocą sumowania,
różniczkowania i całkowania otrzymywać nowe rozwiązania. Przy tym należy
tak dobrać parametry, żeby były spełnione pozostałe warunki
brzegowe i początkowe (patrz przykłady). Należy pamiętać, że otrzymane
tą metodą rozwiązanie w postaci szeregu albo całki niewłaściwej jest
rozwiązaniem tylko formalnymi P° jego otrzymaniu należy
koniecznie sprawdzić, czy rozwiązanie jo ma sens (tzn. czy szereg lub całka
niewłaściwa są zbieżne) i czy rozwiązanie to spełnia dzne równanie
i warunki graniczne (tzn. czy jest dopuszczalne jego różniczkowanie
wyraz po wyrazie, przejście do granicy itd.).
We wszystkich następujących przykładach szeregi i całki
niewłaściwe są zbieżne, jeżeli na funkcje wyrażające warunki początkowe
nałożone zostaną odpowiednie ograniczenia (na przykład ciągłość
drugiej pochodnej w przykładzch 1 i 2).
Przykłady. 1. Znaleźć rozwiązanie równania
&>u_= a d2u
df- ~° dx*
spełniające warunki początkowe C«)r=0-/(*), (duldt)t=Q = fix) i
warunki brzegowe (u)x=Q=0, («)x=7=0 (.drgania xamocowanej struny).
Poszukujemy rozwiązania w postaci « = X(.x)T(t). Podstawiając
<l) A jest operatorem Laplace'a względem n zmiennych xu *a,..., xa {patrz

604 IV. Równania różniczkowe o^tkowe
T" x"
do równania otrzymujemy——-=-— (zmienne są rozdzielone).Po-
Ol 1 a
nieważ lewa strona nie zależy od x, a prawa od r, przeto każda z nich
jest wielkością stalą. Oznaczając tę stalą przez — A* (*) otrzymujemy X"+
+PX = 0, T"+a*XzT = 0. Ponadto z warunków brzegowych mamy
X(0) = -3T(J) = 0. A więc JC(x) jest funkcją własną zagadnienia
brzegowego Sturma-Liouville'a, a A3 jest wartością własną tego zagadnienia (patrz
str. 587). Z równania na X oraz warunków brzegowych znajdujemy
X(x) = Csin JU, przy czym sinll = 0, tj. X = mc fi, gdzie n = 1, 2,...
Całkując teraz równanie T'+XaaaT = 0 otrzymujemy rozwiązanie
szczególne równania wyjściowego w postaci
/ nan , , . nan \ . nit
Ua = IflnCOS—j— I+*nSin—j—t I Sin —j-X.
Żądając, żeby suma u = £ un przy t = 0 była równa /(a), a pochodna
n=l
— V «« była równa c>(x), otrzymujemy, korzystając ze wzoru na roz-
n=l
winiecie w szereg Fouriera według sinusów (patrz str. 759):
/ l
2 r,, . . nnx , , 2 /* . . . bh
a» = -r f(x)sm —=— dx, oB = —~- c>(x)sin —=— dx.
IJ I nan J t
0 0
2. Badanie drgań podłużnych pręta, którego jeden z końców jest
swobodny, a do drugiego końca w chwili początkowej przyłożona
została stała siła p, prowadzi do rozpatrzonego w przykładzie 1 równania
różniczkowego
dsu _ , dht
dt* a dx*
z warunkami początkowymi (u)t=0=f(x)>(dtt[dt)t=0= y(*)> ale z
warunkami brzegowymi niejednorodnymi (du[dx)x=0 = 0 (dla
swobodnego końca) i (du/dx)x=i= kp. Warunki te można zastąpić
jednorodnymi (dsldx)x=0= (dz/dx)x^t= 0 wprowadzając zamiast m nową
funkcję niewiadomą z = u — kpx2{21, ale wtedy równanie różniczkowe
staje się niejednorodne:
d*z a d*z a*kp
dt* ~° dx* + l '
(l) Z dalszych wywodów wynika, że przy dodatnich wartościach tej stałej warunki
brzegowe nie mogą być spełnione.
10. Równania liniowe rzędu drugiego 605
Rozwiązania jego będziemy szukali w postaci z = v+zo, gdzie v spełnia
równanie różniczkowe jednorodne oraz warunki brzegowe i
początkowe dla z, tzn. Cz)(=0=/(a) — -^kpx*, (dzldt)t=Q= c>(x), a zo spełnia
równanie różniczkowe niejednorodne oraz warunki początkowe i
brzegowe zerowe. Łatwo zauważyć, że zo = ka%pt*f2l.
Przyjmując v = X(xi T(t) i podstawiając do równania otrzymujemy
X" T"
jak wyżej - ■- = „;■ = — Xs. Całkując równanie dla X z warunkami
jl a 1
brzegowymi X'(0) = X'(t) = 0 znajdziemy funkcje własne danego
zagadnienia Xn = cos(nra:/Z) oraz odpowiednie wartości własne X\ =
= n2na//2, gdzie n = 0,1,2,... Postępując dalej jak w przykładzie
poprzednim otrzymamy ostatecznie
ka*pt* kpx* an , ,
U = 21 + ~2P +a°+ ~T ot +
annt bn . annt\
nnx
V1 I <»*mf , bn . annt \ nn
+ 2, la.oo.-p- + -j-nn—- I cos —}
n=l v '
gdzie an i bn (« = 0,1, 2, ...) są współczynnikami rozwinięcia w szereg
kpx2
Fouriera według cosinusów w przedziale (0,1) funkcji f(x) ^—
i —- <p(x) (patrz str. 759).
an
3. Zagadnienie drgań membrany zamocowanej wzdłuż brzegu
prowadzi do równania
d*u dhł _ J_ dhi
dx* +'dyr_ aa '~d?'
albo we współrzędnych biegunowych (patrz str. 404):
dr2 + r " dr + ra " "V" ~ aa ' ói2 *
przy warunkach («)t=0=/(r,y), (d«/dr)t_0=F(r'9')» Wr=R = 0-
Niech u = U(r)&(<p)T(t). Podstawiając do równania otrzymujemy
U" Tf_ 0^_ __ J_ _T^
17 +rU+r!*"a»" T'
Stąd, jak wyżej, T'+a^T = 0 i
r*U"4-rU' 0"
g. + av = - — = vS czyU ^"+ra0 = 0.

606 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
Z warunków <Z»(0) *= #(2n)3 <Z>'(0) = <P'(2n) znajdujemy
$(<p) — ancosnq>+bn$mnip3 v* = na,
gdzie n = Ojl, 2,...
n2
Dla wyznaczenia Ł/ i X mamy [rtf]' U =—X*rV przy
warunku Ł/(£) = 0. Dołączając naturalny warunek ograniczoności U(r)
przy r = 0 i dokonując podstawienia %r — z znajdujemy
z*U"+zU'+(z*-n*)U~0, tzn. U(r) = Jn(z) = Jn L ~\,
gdzie J',, jest funkcją Bessela (patrz str. 582), przy czym A = /*/£,
JW - 0.
Niech fin* będzie fc-krotnym zerem dodatnim funkcji Jn(,z). Układ
funkcji Unk(r) = Jn I frm -=-1, gdzie ft = ls 2,..., jest układem
zupełnym wszystkich funkcji własnych^ samosprzężonego zagadnienia
Sturma-Liouville'a, ortogonalnych z wagą r (patrz str. 588).
Rozwiązanie naszego zagadnienia ma postać szeregu podwójnego
co co
U= \ \ l(o»jfcCosn9'+&»itsinn9))cos-^^- +
+ (Cnjoosnp+^nŁsinn^sin—-^-1 j'n l^l*fc'^~l ■
Z warunków początkowych przy r = 0 otrzymujemy
co oo
f(r>ę)^^ yConkCosny+bnksmnqAJnivnk -o-J)
n=0A=l ^ '
co co
F(r, p) = ^ y -~^-(cnkOOSH<p+dnksianę)yniMnit~^-\,
«=0A=1 *
Zir
z tym, ze przy n = 0 znajdująca się w liczniku dwójka powinna być
zastąpiona jedynką. Wzory określające współczynniki cnk i dnk
otrzymuje się ze wzorów dla o«* i bn* zastępując f(r, <p) przez F(r, q>) i
mnożąc przez R/a/tat.
10. Równania liniowe rzędu drugiego
607
4. Zagadnienie Dirichleta (patrz str. 682) dla prostokąta Q^x<ay
0=śy=śb (rys. 362). Znaleźć funkcję «(x>j>) spełniającą równanie La-
place'a Au = 0 oraz warunki «(0, y) = <Pi(.y), u(a, y) = c>2(.y),
u(x> 0) - Vi(x), ufo 6) = v»(*).
Rozwiążmy zadanie najpierw dla
przypadku <Pi(y) = c>2 Cy) = 0. Podstawiając
do równania u = X(x) V (y) otrzymujemy
iL = _ Z_ = _A2. Ponieważ X(0) =
X. Y
= X(a) =* 03 przeto X= CsinAx, A =
= rnija, gdzie n = 1, 2,... Pisząc
rozwiązanie ogólne równania Y"—
Y = 0
w postaci
Rys. 362
Y= Onsinh
— (b—y)+bn.siah—y1
a a
otrzymujemy rozwiązanie szczególne równania Au = 0, spełniające
warunek u(fl,y) = u(a,y) — 0, w postaci
, . , »n »n
ttn = |a«sinh —(o—>-)+6«sinh— j;
sinh x.
a
Podstawiając teraz u = 2un znajdujemy z warunków przy y = 0
i y = b, że
gdzie
«= Via,, sinh (6—3?)+&nsinh .yjsinh x,
n=i * '
°" = —- . , ■ , ■, vi(*)sin xdx,
asmh{nitb/a) J a
bn=
«sinh(rt7t.
—— \y,2{x)sia^-xdx.
b/a) J a
Rozwiązując analogiczne zadanie dla ViC*) — Vs(#) — 0 znajdziemy
rozwiązanie ogólnego zadania^ biorąc sumę dwóch znalezionych
rozwiązań.
5. Rozchodzenie się ciepła w pręcie jednorodnym, którego jeden
koniec jest-w nieskończonością a na drugim końcu jest utrzymywana
stała temperatura. Trzeba znaleźć ograniczone rozwiązanie równania
du _ a da«
~df~a ~dxf'
gdzie 0<x<+oo3 r 2s 0, przy warunkach («)I=0 =f(.x)> (")*=o = °

608 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
(stalą temperaturę na końcu pręta przyjmujemy za równą zeru). Pod-
T X"
stawiając do równania u = X (x) T(t) otrzymujemy —== = —=r- = — A*.
Stąd T(t) = Cie~i?aH. Z warunku ograniczoności rozwiązania wynika,
że Xs > 0. Ponieważ X(0) = 0, przeto X(x) = CsinXx. A więc «A =
= C^-***** sinAx. We wzorze tym A jest dowolną liczbą rzeczywistą
i dlatego można rozważać rozwiązanie postaci
u(x, t) = f CWe-^'snXxdX.
o
Z warunku (u)t=0 =/(#) znajdujemy f(x) = f C(A)AsmAa:(*A. Ostat-
o
ty °°
nia równość będzie spełniona, gdy przyjmiemy C(X) = — f f(s) sin Xsds
(patrz str. 759). Podstawiając C(X) i «(*>*) otrzymujemy
u(x,t) = — Jf(s)(fe-iiattsinkńnXxdX\ds,
o o
albo zastępując iloczyn sinusów połową różnicy cosinusów (patrz
str. 236) i korzystając ze wzoru 5 na stronicy 512:
•fc«-/'»i^M-^-H-^]*-
Metoda Riemanna rozwiązywania zagadnienia Cauchy'ego dla
równania hiperbolicznego
d2u du , du
dxdy dx dy
Znajdujemy funkcje Riemanna v(x, y; |, )j), gdzie | i ij są uważane za
parametry, spełniające równanie jednorodne sprzężone (ł)
d*v d(av) d(bv)
dxdy dx dy
+ cv = 0
(*) Równaniem sprzężonym z równaniem liniowym
*-£ dxtdxt ^r* axi
t,k i
nazywamy równanie
Ą dxidx* 4* dxt + cw
10. Równania liniowe rzędu drugiego
609
V-.
oraz warunki
x y
v(x, ni £> n) = exp (J6(s, jj)<*s), u(£,y; f.ij) = exp(Ja(£,s)ds).
I <?
Funkcję h(£,ff), która spełnia
równanie wyjścioweina danej krzywej r(rys.
363, krzywa regularna r nie powinna
mieć stycznych równoległych do osi
współrzędnych, tzn. nie powinna być
styczna do charakterystyk) wraz ze
swoją pochodną w kierunku normalnej
do tej krzywej (patrz str. 304)
przybiera dane wartości, znajdujemy
według wzoru
M&1)
«(fi n) = \ C»»)p + -2 C«°)q -
-i
Rys. 363
dx
aiw +
du dv
dy dy
/J PMO
dy+ J J Fvdxdy.
PMQ
We wzorze tym całkę krzywoliniową można obliczyć, gdyż według
wartości na łuku funkcji i jej pochodnej (w kierunku nie stycznym)
można znaleźć wartości obu pochodnych cząstkowych. Często przy
formutowaniu zagadnienia Cauchy'ego zamiast pochodnej w kierunku
normalnej daje się na krzywej wartości jednej z pochodnych
cząstkowych funkcji poszukiwanej. W tym przypadku dogodnie jest korzystać
z innej postaci wzoru Riemanna:
jeżeli na krzywej r dane są wartości du/dy.
+ JJ Fvdxdy,
PMQ
Przykład. Równanie rozchodzenia się prądu elektrycznego po
przewodach (równanie telegraficzne) ma postać
d*u du d*u
gdzie a>0, a b i c są stałe.

610 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
Za pomocą zamiany funkcji niewiadomej u = ze_( 'a)r równanie to
sprowadzamy do postaci
gdzie m2 = l/a, n2 = (6Z—ac)/a2, a przez zamianę zmiennych
niezależnych £ = — (mr+x), j? =a — (tnt—x) sprowadzamy do postaci
dsz 1 .
r-Z =0.
dCdtj 4
Funkcja Riemanna u(|, 17; f0, łj0) powinna spełniać to równanie
i przybierać wartość jeden przy f = |0 i przy 17 = tj0. Jeżeli będziemy
szukali u w postaci v = /(«>}, gdzie w = (I— I0)(>J—«o), to/(w) jest
rozwiązaniem równania
_£f_,Jf_ __L, -
dw2 dw 4
z warunkiem początkowym /(O) = 1. Za pomocą zamiany it> = a?
równanie to sprowadza się do równania Bessela rzędu zerowego
dd" + a da 7
(patrz str. 582), zatem v ■= J0 (/({—We*?—^5).
Jeżeli trzeba znaleźć rozwiązanie równania wyjściowego spełniające
warunki początkowe (sOr=0 = /(x), (dzldt)(=(i=> g(x), to podstawiając
do wzoru Riemanna znalezioną wartość v i wracając do dawnych
zmiennych otrzymujemy
z(x, t) = -j [n*-m0 + f(x+mt)] +
x—mt
Metoda Greena rozwiązywania zagadnienia brzegowego dJa
równań eliptycznych jest w znacznym stopniu podobna do metody
Riemanna rozwiązywania zagadnienia Cauchy'ego dla równań łriperbolicz-
10. Równania liniowe rzędu drugiego 611
nych. Jeżeli trzeba znaleźć funkcję u(x,y) spełniającą w pewnym
obszarze równanie
~dx-*+W+a-dx-+b-&+CU=f
i przybierającą na brzegu tego obszaru dane wartości, to najpierw
znajdujemy funkcję Greena G(x,y; f, rj) spełniającą warunki
następujące (£, r\ uważa się za parametry):
1° G(x, y; I, tj) wszędzie z wyjątkiem punktu x = £, y = r\ spełnia
równanie jednorodne sprzężone (*)
dH3, d*G _ d(oG) d(bG) , „ _
dx* + dy" dx dy + "'
2° funkcja G(x,y;Csv) ma postać t71n(l/r)+7, gdzie U i V są
funkcjami ciągłymi w całym obszarze wraz z pochodnymi rzędu
drugiego, przy czym U przybiera wartość jeden w punkcie x = |, y = i),
a r = YW^W+b^Wi
3° na brzegu rozważanego obszaru funkcja G(x,y; |, tj) jest
równa zeru.
Za pomocą funkcji Greena rozwiązanie zagadnienia brzegowego
wyznaczone jest wzorem
Ir d
"(!> n) = ~2^ J u(x,y)-^ G(x,y; |, j?)ds-
s
" "2^" //^** ^ GCX>^; *> *)*Myi
gdzie D jest rozważanym obszarem, 5 jest jego brzegiem, na którym
funkcja jest — według założenia —■ dana, -T— oznacza pochodną w kie-
ón
runkn normalnej skierowanej do wnętrza obszaru.
Warunek 3° zależy od rodzaju formułowania zagadnienia. Na
przykład, jeżeli na brzegu obszaru zamiast wartości funkcji niewiadomej
dzne są wartości jej pochodnej w kierunku normalnej do brzegu
obszaru, to z warunku 3° należy zażądać, żeby na brzegu obszaru stało się
równe zeru wyrażenie
-^ (a cos a+6 cos 15) G,
on
C) Patrz notkę na str. 608.

612 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
gdzie a i P oznaczają kąty utworzone z osiami współrzędnych przez
wewnętrzną normalną do brzegu obszaru. Rozwiązanie w tym
przypadku określone jest wzorem
S D
Metodę Greena stosować można także do równań liniowych z
trzema zmiennymi niezależnymi, mających postać
. , du , , du , du , ,
dx dy dz
Aby znaleźć rozwiązanie tego równania przybierające dane wartości
na brzegu rozważanego obszaru, konstruujemy, podobnie jak wyżej,
funkcję Greena — z tą zmianą, że teraz zależy ona od trzech
parametrów f,»), C; równanie sprzężone, które teraz spełnia funkcja Greena,
ma postać
d(aG) d(bG) d(cG)
AG-
dx
dy
dz
+eG = 0
i w warunku 2° żąda się, by funkcja G miała postać U(\lr)-\-V3 gdzie
r = \^(x—^)z+(y—vY+{z~C)a- Rozwiązanie zagadnienia dane jest
przy tym wzorem
•«■ '■ o = i; H" f *- 4ir JIT****-
S D
Zarówno w metodzie Riemanna jak i w metodzie Greena trzeba
najpierw znaleźć pewne specjalne rozwiązanie równania różnicskowego,
za pomocą którego może być potem otrzymane rozwiązanie przy
dowolnych warunkach brzegowych. Istotna różnica między funkcją
Greena i funkcją Riemanna polega ua
tym, że gdy ostatnia zależy tylko od
postaci lewej strony równania
różniczkowego, to funkcja Greena zależy
również od rozważanego obszaru. Znaj-
dowauie funkcji Greena—nawet
wtedy, gdy znane jest jej istnienie —
praktycznie biorąc jest zadaniem
niezmiernie trudnym, w związku z czym
metodę Greena stosuje się przeważnie
w badaniach teoretycznych.
Przykłady. 1. Dla równania La-
Rya. 364 place'a Au = 0, w przypadku, gdy
10. Równania liniowe rzędu drugiego 613
rozważanym obszarem jest koło, funkcja Greena dla zagadnienia
Dirichleta może być łatwo skonstruowana. Jeżeli promień okręgu
jest R i punkt Mj jest symetryczny względem okręgu do punktu
M(C, if), tzn. punkty M i M-i leżą na jednej półprostej wychodzącej
ze środka okręgu O i OM • OMi = i?a, to funkcja Greena wyraża się
wzorem
G(x,;y;|,»))=ln—+ln-^-,
gdzie r = MP, q = OM, rt = MXP (rys. 364), a P(x, y) jest dowolnym
punktem okręgu.
Przytoczony powyżej wzór na rozwiązanie zagadnienia Dirichleta
daje w tym przypadku po podstawieniu normalnej pochodnej funkcji
Greena i po pewnych przeróbkach tzw. całkę Poissona
1 c Rł—o*
U^^=*r) R*+e*-2RQcos^<p) "(y)Jy
o
(oznaczenia te same co poprzednio | = gcosy, »] = psiny, «(c>) jest
daną na okręgu funkcją określającą wartości brzegowe niewiadomej
funkcji u).
2. Analogicznie konstruuje się funkcję Greena dla zagadnienia
Dirichleta w przypadku równania Laplace'a w przestrzeni, jeżeli
rozważanym obszarem jest kula o promieniu R. Wtedy funkcja Greena
ma postać . p
G(x, y, z; I,»], f) = ■ ,
r r,e
gdzie q = |/£2+7ja+Ca jest to odległość punktu (|, rj, £) od środka
kuli, r oznacza odległość punktu (x, y, z) od punktu (£, >], £), ^ odległość
punktu (x,y, z) od punktu (i?|/e, i?j?/e, i?£/e), symetrycznego do
punktu (|,»), £) względem powierzchni kuli. Gałka Poissona przybiera
wtedy (przy tych samych oznaczeniach) postać
s
Metoda operatorowa. Podobnie jak przy rozwiązywaniu równań
różniczkowych zwyczajnych w rozwiązywaniu równań cząstkowych
może być z powodzeniem zastosowana metoda operatorowa, oparta na
przejściu od funkcji pierwotnej do jej transformaty (patrz str, 574).
Przy tym funkcję poszukiwaną rozważa się jako funkcję jednej ze
zmiennych, uważając pozostałe zmienne za parametry. Dla
transformaty funkcji poszukiwanej otrzymuje się w ten sposób równanie róż-

614 IV. Równania różniczkowe cząstkowe
niczkowe (tzw. równanie pomocnicze) zawierające o jedną zmienną
niezależną mniej niż równanie wyjściowe. W szczególności jeżeli równanie
wyjściowe zawiera dwie zmienne niezależne, to dla transformaty funkcji
poszukiwanej otrzymuje się równanie różniczkowe zwyczajne. Jeżeli
z otrzymanego równania można znaleźć transformatę funkcji
poszukiwanej, to oryginał znajduje się bądź według tabeli transformat, bądź
według wzoru na odwrócenie funkcji.
Przykłady. 1. Rozważmy rozchodzenie się ciepła w ciele stałym,
z jednej strony ograniczonym (%>0), na brzegu którego (x = 0)
temperatura zmienia się według prawa u = Acoswr dla r>0, a w chwili
t = 0 temperatura ciała równa się zeru.
Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania
du _ % dau
w obszarze x>0, r>0, przy warunkach (m)i=0j x>q = 0, C«)je=0j t>0 =
= k cos (ot. Równanie pomocnicze ma postać
a ~d^~pU = 0' X>0
z warunkiem u = Ap2/(/>2+w2) przy x = 0. Rozwiązanie równania
pomocniczego, ograniczone przy x-*©o, jest
kp* ( x ,-
p*-\-ay
«p(--£yP)
Korzystając ze wzoru 12 na stronicy 579 i z twierdzenia Borela (patrz
str. 575) dla przejścia od transformaty do funkcji otrzymujemy
1 exp —
2a\/nJ {t-z)*l*
2. Pręt o długości l jest w stanie spoczynku, a jego koniec x = 0
jest zamocowany. W chwili t = 0 do swobodnego końca pręta
przyłożono siłę 5 (na jednostkę powierzchni).
Zadanie badania drgań takiego pręta sprowadza się do rozwiązania
równania
d2u d*u
dra = a* dx*
w obszarze 0 < x < l, i > 0 przy warunkach początkowych («)I=0= 0,
(dM/dO(=0 = 0, gdzie 0<x<l, i warunki brzegowe («)s=t0 = 0,
10. Równania liniowe rzędu drugiego
615
(dujdx)x=l— S/B, gdzie E jest modułem Younga. Równanie
pomocnicze ma postać
d*u p* _
ST z M = 0
dx* a2
z warunkami (w);t==0 = 0, (,dujdx)x=ł = S/.R Rozwiązaniem jest funkcja
Sa sinh(/>%/a)
w =
i?/> cosh (/>//a)"
Za pomocą rozkładu transformaty u na ułamki proste albo za pomocą
wzoru na odwrócenie można stąd otrzymać
Metody przybliżone. Przy rozwiązywaniu konkretnych zagadnień
związanych z całkowaniem równań różniczkowych cząstkowych
znajdują szerokie zastosowanie rozmaite metody przybliżone, zarówno
analityczne, dające przybliżone wyrażenie analityczne dla funkcji
poszukiwanej, jak i numeryczne, za pomocą których można bezpośrednio
otrzymać wartości przybliżone funkcji poszukiwanej dla pewnych
określonych wartości argumentów.
Podstawa metod numerycznych polega na zastąpieniu pochodnych
ilorazami przyrostów skończonych, w wyniku czego równanie
różniczkowe przechodzi w układ równań algebraicznych, który w przypadku
wyjściowego równania liniowego jest liniowym układem równań.
Poza tym wielkie rozpowszechnienie ma tzw. metoda modelowania,
oparta na tym, że jedno i to samo równanie różniczkowe opisuje
rozmaite zjawiska fizyczne. Dla rozwiązania danego równania buduje się
model, w którym odbywa się jeden z procesów opisywanych danym
równaniem, i wartości funkcji poszukiwanej otrzymuje się
bezpośrednio na modelu. Zazwyczaj model zawiera elementy, które można
zmieniać w pewnych granicach, i dlatego zachodzi możliwość
rozwiązywania na modelu zadań dotyczących wielu równań różniczkowych.

CZĘŚĆ PIĄTA
DODATKOWE ROZDZIAŁY ANALIZY
Ł LICZBY ZESPOLONE
I FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
1. Pojęcia podstawowe
Jednostka urojona. Formalnie określa się jednostkę urojoną i 0)
jako liczbę, której kwadrat równa się —1. Wprowadzenie jednostki
urojonej prowadzi do uogólnienia pojęcia liczby, mianowicie do liczb
zespolonych, które odgrywają wielką rolę w algebrze i analizie, i
znajdują konkretne interpretacje w pewnych zagadnieniach
geometrycznych i fizycznych.
Liczby zespolone. Postać ogólna liczby zespolonej: a = a+fłi,
gdzie a i p może przybierać dowolne wartości rzeczywiste. Liczbę a
nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę P — częścią urojoną liczby
zespolonej a. Oznaczenia
a = rea, P = ima(a).
Gdy P = 0, wtedy a = a (liczba rzeczywista jest szczególnym
przypadkiem liczby zespolonej); gdy a = 0, wtedy a = Pi (liczba urojona,
szczególny przypadek liczby zespolonej).
Interpretacja geometryczna. Podobnie jak liczby rzeczywiste
można przedstawić za pomocą punktów na prostej liczbowej, tak liczby
zespolone przedstawia się za pomocą punktów na płaszczyźnie: liczbę
a = a+fii
przedstawia punkt o odciętej a i rzędnej p (rys. 365). Liczby
rzeczywiste są przedstawione za pomocą punktów na osi odciętych (oś
rzeczywista), a liczby urojone za pomocą punktów na osi rzędnych (oś
urojona).
Ponieważ każdy punkt płaszczyzny jest wyznaczony za pomocą
wektora wodzącego tego punktu (patrz str. 647), przeto każdej liczbie
(') i' od łacińskiego słowa imagtnariuy. urojony. W elektrotechnice zamiast i używa
się litery j (aby nie pomylić z oznaczeniem i dla natężenia prądu).
(-) Skrót re od łacińskiego realts: rzeczywisty, skrót im od łacińskiego słowa
imaginańus: urojony.

618
I. Liczby zespolone
zespolonej odpowiada określony wektor leżący na płaszczyźnie i
prowadzący z bieguna do punktu odpowiadającego danej liczbie
zespolonej (rys. 366). A więc liczby zespolone mogą być przedstawione bądź
za pomocą punktów, bądź za pomocą wektorów.
Równość liczb zespolonych. Równość dwóch liczb zespolonych
definiuje się w sposób następujący: dwie liczby zespolone są równe,
jeżeli ich części rzeczywiste są równe i ich części urojone są równe.
W interpretacji geometrycznej dwie liczby zespolone są równe, jeżeli
odpowiadające im punkty mają równe odcięte i równe rzędne. W
przypadku przeciwnym liczby są nierówne; pojęcie „większa liczba"
i „mniejsza liczba" w dziedzinie liczb zespolonych nie istnieje.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wyrażenie a =
= aĄ-fii nazywamy postacią algebraiczną zapisu liczby zespolonej;
a=a+pi
oś rzeczywista.
Rys. 365
—; —te- n
as rzeczywista u
Rys. 366
a
■'oś rzeczywista
Rys. 367
jeżeli zamiast współrzędnych kartezjańskich punktu przedstawiającego
liczbę zespoloną wprowadzimy jego współrzędne biegunowe (patrz
str. 256), to otrzymamy postać trygonometryczną zapisu liczby
zespolonej (rys. 367):
a = p(cosy+(smy),
gdzie q, czyli długość promienia wodzącego, nazywa się modułem albo
bezwzględną wartością liczby zespolonej i oznacza się symbolem \a\, a <p,
czyli kąt między osią biegunową a promieniem wodzącym, wyrażony
w mierze łukowej, nazywa się argumentem liczby zespolonej i oznacza
się symbolem arga:
p = la|, <p = arga.
Związek między p, <p i a, fi jest taki sam jak między współrzędnymi
biegunowymi i współrzędnymi kartezjańskirai punktu na płaszczyźnie
(patrz str. 258), mianowicie w przypadku gdy t? ^ 0, mamy związki
a = pcosy, 0 = psiny;
1. Pojęcia ogólne 619
liczba 0 ma moduł p = 0, a argument jest nieoznaczony. Każda liczba
zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów
różniących się o wielokrotność liczby 2n. Wartością główną argumentu liczby
zespolonej nazywamy jej argument zawarty w przedziale — n < <p s£ n.
Postać wykładnicza. Często stosuje się następującą postać zapisu
liczby zespolonej a o module p i argumencie tp: a = ąem jest to tzw.
postać wykładnicza liczby zespolonej (*).
Przykład. Liczbę l+iy3~ można napisać w następujących
postaciach:
1. l-r-ij/3~ (postać algebraiczna),
2. 2 (cosy jt-Hsin~-rt) (postać trygonometryczna),
3. 2eW3)nl (postać wykładnicza).
Jeżeli nie będziemy się ograniczali do wartości głównej argumentu,
to daną liczbę można też napisać w postaci
1+.- y/% = 2 [cos (j*+2fen) + *sin [~«+2kn)] = 2el*l3+2klt)i,
gdzie k = 0,1,2,...
Liczby zespolone sprzężone. Dwie liczby zespolone nazywamy
sprzężonymi (oznaczamy a i a), jeżeli mają części rzeczywiste równe,
a części urojone różnią się tylko znakiem:
rea = rea, ima = —ima.
W interpretacji geometrycznej punkty przedstawiające dwie liczby
sprzężone są symetryczne względem osi odciętych. Moduły liczb
zespolonych sprzężonych są równe, a suma ich argumentów jest
wielokrotnością liczby 2n (w szczególności może być równa zeru):
a = a+/3£ = p(cosy+isiny) = pe*",
a — a—jli = e(cosy—isbup) = oe^9*.
2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych
Dodawanie i odejmowanie. Dodawanie i odejmowanie dwóch
liczb zespolonych określa się wzorami
(<H + W) + (a2 + fó) = fo + oO+CPi + POl,
(oi+W)-(a»+PiO = (Oi-oi)+(0i-ft)«.
W interpretacji geometrycznej dla otrzymania wektora
przedstawiającego sumę lub różnicę liczb zespolonych należy wykonać doda-
O Dalsze szczegóły patrz na str. 624.

620
I. Liczby zespolone
wanie lub odejmowanie wektorów przedstawiających dane liczby (rys.
368, patrz str. 648).
Mnożenie. Mnożenie dwóch liczb zespolonych określa się wzorem
(«i+0iO (fh + fo") = (oA-ft&H (aA+/W-
Jeżeli liczby dane są w postaci trygonometrycznej, to
[eiCcos^i+isin^O] fesCcospu-i isin$>2)] =
=■ ei&fcos Cffi+^O +isin(<pl+<p^]i
tzn. moduł iloczynu równa się iloczynowi modułów, a za argument
iloczynu można przyjąć sumę argumentów czynników.
a+b-c
a+b
Xl
1 oś urojona
Rys. 369
oś urojona
Rys. 370
W interpretacji geometrycznej otrzymamy wektor przedstawiający
iloczyn ab, gdy wektor a obrócimy w kierunku przeciwnym obiegowi
wskazówki zegara o kąt arg6, a następnie pomnożymy jego długość
przez \b\. Iloczyn ab można również otrzymać za pomocą konstrukcji
trójkąta podobnego (rys. 369). W szczególności przy mnożeniu
liczby a przez i wektor przedstawiający liczbę a obraca się w kierunku
przeciwnym obiegowi wskazówek zegara o kąt -^ je, nie zmieniając
swej długości (rys. 370).
Dzielenie. Dzielenie dwóch liczb zespolonych określa się jako
działanie odwrotne do mnożenia. W postaci algebraicznej
<h + fai Ą + fi ' aj + fi "
gdzie aa jk 0, (Sa i1 0. W postaci trygonometrycznej
gifcos^+jsiny!) gt . .
ga(cos tp2+1 sm c>a) Pa
2. Działania algebraiczne 621
gdzie qz ^ 0, tzn. moduł ilorazu dwóch liczb zespolonych równa się
ilorazowi modułu dzielnej przez moduł dzielnika, a za argument ilorazu
można przyjąć różnicę argumentów dzielnej i dzielnika. Dzielenie przez
zero jest niemożliwe.
W interpretacji geometrycznej otrzymamy wektor przedstawiający
iloraz a/6, gdy wektor a obrócimy w kierunku obiegu wskazówki
zegara o kąt arg6, a następnie podzielimy jego długość przez \b\. W
szczególności punkt przedstawiający odwrotność 1/6 liczby zespolonej /
otrzymamy znajdując punkt symetryczny do punktu 6 względem
okręgu o równaniu Q ~ 1, a następnie przekształcimy go symetrycznie
względem osi biegunowej} czynności te odpowiadają wzorowi
— —.—■ --- = — [cos(—y)+tsin( — f)].
Q(CQ$(f+lf>m>p) e
Ogólna reguła wykonywania czterech działań
arytmetycznych. Formalnie obliczenia na liczbach zespolonych a+pi wykonuje się
tak samo jak na zwykłych dwumianach, przy czym przyjmuje się is =
= — l.Przy dzieleniu jednej liczby zespolonej przez drugą ruguje się
urojoność w mianowniku (analogicznie do rugowania niewymierności
w mianowniku) mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną z
mianownikiem i korzystając ze wzoru (a -j- ^j) (a—/3*) = aa + /J*, co daje
liczbę rzeczywistą.
Przykład. Mamy
(3-4Q(-l + 5Q' , 10+7i =
l + 3i ' 5i
C3-4Q(l-10i-25) (10+7Qi =
"~ 1+3: + 5ii
= -2Q-4Q (12 + 5J) 7-10f ^
l + 3i + 5
= -2(56-330(1-30 7-10i
(1+30(1-30 5
= -2(-43-20l0 +7-O0; _ |(50 + 1910 . 10+38,2:,
Potęgowanie. Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi n wykonuje
się według wzoru de Moivre'a
feCcosy+isiny)]" = g«(cosncj+»sin«y),
tzn. podnosi się moduł do potęgi n, a argument mnoży się przez n.
Wzór de Moivre'a stosować można przy n całkowitym lub
ułamkowym, dodatnim lub ujemnym. Przy n ułamkowym należy uwzględnić
wieloznaczność wyniku (patrz dalej).

622
I. Liczby zespolone
W szczególności mamy i' = — 1, i3 = —i, i4, = 1, i ogólnie:
(in+k = {&,
Pierwiastkowanie. Wyciąganie pierwiastka stopnia «, jako
działanie odwrotne do potęgowania, wykonuje się według wzoru Moi vre'a.
dla ułamkowego wykładnika potęgi, tzn. jeżeli a = e(cosv>-|-isin^)
oraz n jest liczbą naturalną, to
, . n/— w/—/ w-\-2kn . . <p + 2kn\
(*) ya =yg\cos— |-Jsin ——-I.
Uwaga. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie liczb
zespolonych oraz podnoszenie liczb zespolonych do potęgi o wykładniku
całkowitym są działaniami jednoznacznymi, natomiast wyciąganie
pierwiastka stopnia n, gdzie n jest liczbą naturalną, daje zawsze n różnych
wartości. Jeżeli bowiem we wzorze (*) podstawiać będziemy k =
= 0,1,2,..., n— 1, to arg Ya"przybierać będzie wartości
<p+2n <p-\-4n
*+2(n-l)n
różniące się o 2n/n; przy dalszych wartościach k wartości arg ya będą.
się okresowo powtarzały.
W interpretacji geometrycznej
punkty przedstawiające y/a~ są
wierzchołkami «-kąta foremnego
mającego środek w biegunie (na
rysunkn 371 pokazano 6 wartości
Funkcje algebraiczne zmień- e I °\ j oś rzeczywista
nej zespolonej. Jeżeli wielkość ^ -
z jest zmienną zespoloną (tzn. jest
wielkością przybierającą dowolne
wartości zespolone z = x+yi), to
wynik wykonania na wielkości z
(i ewentualnie na pewnych stałych)
określonych działań algebraicznych jest funkcją algebraiczną w = f(z)
zmiennej zespolonej z(}).
&
,>va*
Rys. 371
Przykłady. Mamy
w = az-\~bs
1
w = —,
z
W = 3%
w = ]/z2-az.
(l) Ogólniej: funkcja algebraiczna w może być określona w sposób uwikłany
równaniem
a1zmiu>"t + aSizmzw,>t+ ... +akzmkwn* = 0,
które nie zawsze może być rozwiązane w sposób jawny (w pierwiastnikach) względem ta.
3. Elementarne funkcje przestępne 623
3. Elementarne funkcje przestępne
Szeregi o wyrazach zespolonych. Ciąg nieskończony liczb
zespolonych Si, sa, ...j Sn,... ma granicę z, co piszemy
z = lim zn,
n—'oo
jeżeli poczynając od pewnego n mamy \z—zn\ < e, gdzie e jest
dowolnie małą liczbą dodatnią, tzn. jeżeli poczynając od pewnego n
wszystkie punkty przedstawiające liczby zw,s„+1,... leżą w kole
o środku z i promieniu e.
Rys. 372 Ry«. 373
Przykład, lim ]/a" = 1 przy dowolnym a (tu przez ya rozumiemy
tę wartość pierwiastka, która ma najmniejszy argument nieujemny,
patrz rys. 3721
Szereg nieskończony o wyrazach zespolonych
«!+«« + ••• +a„+ ...
jest zbieżny do liczby s(suma szeregu), jeżeli s = \ha.{ai-\-a%Ą- ... +On).
«—.co
W przypadku zbieżności szeregu koniec linii łamanej łączącej punkty
przedstawiające s = <3i + a2+ ... -fa» zbliża się nieograniczenie do
punktu s.
i* ta i1 i2 i3
Przykłady. 1. »+ — +— + — + ..., 2. * + ^- + ^r + •-.
(rys. 373).

624 I. Liczby zespolone
Szereg jest zbieżny bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg
utworzony z modułów jego wyrazów:
Szereg zbieżny nazywamy zbieżnym warunkowo, jeżeli szereg
utworzony z modułów jego wyrazów jest rozbieżny.
W przykładzie 1 szereg jest zbieżny warunkowo, a w przykładzie 2
jest zbieżny bezwzględnie.
Szereg funkcyjny
określa pewną funkcję argumentu z dla tych wartości z, przy których
szereg ten jest zbieżny.
Szereg potęgowy
a0+a1z+aiz2+ ...,
gdzie at są stałymi zespolonymi, albo jest zbieżny bezwzględnie dla
wszystkich wartości z (na całej płaszczyźnie), albo jest zbieżny
bezwzględnie dla wartości leżących wewnątrz pewnego kota zbieżności
o środku w początku współrzędnych, a na zewnątrz tego koła jest
rozbieżny; promień tego koła nazywamy promieniem zbieżności tego
szeregu C1).
Na przykład dla szeregu l-+z+z*+ ... promień zbieżności R = 1
Funkcja wykładnicza. Dla zmiennej zespolonej z przyjmujemy
następujące określenie funkcji wykładniczej:
. Z , Za Za ,
*-1+ir + 2r+3T+-"
Szereg ten jest zbieżny na całej płaszczyźnie. Dla wykładnika
zespolonego yi mamy «"' = cos.y-Hsin.y (wzrfr Uwiera); na przykład £m = —1.
W przypadku ogólnym
& — gz+vt = e?eyi = & (cos.y+isin.y),
tzn.ree* = «xcos.y,imee = eFsmy, \ez\ = e*, arge* = _y+2ftłE,gdzie
k = 0, ± 1, ± 2,... Stąd wynika postać wykładnicza liczby zespolonej
a+bi=oe'pi+2kni.
Funkcja ez jest okresowa, o okresie 2ro; a więc ez = e*+2kKi3
Przykład. •2farf = *° = 1, «C2*+l)» = ft = _x> gdzieft jest
dowolną liczbą całkowitą.
(*) Zbieżność szeregu dla punktów leżących na okręgu koła zbieżności wymaga
W poszczególnym przypadku dodatkowego badania.
3. Elementarne funkcje przestępne 625
Uogólnione wzory Eulera
ezi = cosz+tsinz, e~si = cosz—isinz,
gdzie z jest dowolną liczbą zespoloną (o funkcjach trygonometrycznych
patrz niżej).
Logarytm naturalny. Przyjmujemy określenie
w = Lnz, jeżeli z = e*0.
Jeżeli z = ge**, to
Lns = lne+(y + 2ftit)i,
tzn. re(Lnz) = Ing, im(Lnz) = <p-f 2ftx, gdzie k = 0, ±1, ±2,...
Funkcja Lnz jest wieloznaczna. Jeżeli ograniczymy się do wartości
głównej argumentu q> (patrz str. 617), to otrzymamy wartość główną
logarytmu Lnz, którą oznaczamy lnz:
lnz = In(>+?>», gdzie —n < ę < n.
Funkcja Lnz istnieje dla wszystkich liczb zespolonych z wyjątkiem
zera.
Uogólnioną funkcję wykładniczą a*, gdzie o^O, określamy
wzorem
a = e
Funkcja az jest wieloznaczna; jej wartością główną jest e=lno.
Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne. Dla zmiennej
zespolonej z przyjmujemy następujące określenia funkcji
trygonometrycznych:
Za ZB gsi — g-z*
»„ = »-_ + _-...-_-,
Smhz = S+-5r + 3r+... = _-,
Coshz = 1 + ^! + 4T+-=S-2—
Szeregi te są zbieżne na całej płaszczyźnie.
Funkcje sinz i cosz są okresowe o okresie 2ic, funkcje sinhar i coshz
są okresowe o okresie 2ni.
Oto wyrażenia funkcji zmiennej urojonej:
sinyt = isinhj;, cos.y: = cosh,y, sinh^i = :sin.y, cosh.y: = cos.y.

626 I- Liczby zespolone
Wzory zachodzące dla funkcji trygonometrycznych i hiperbolicz-
nych zmiennej rzeczywistej (str. 234-237 i 249-251) są prawdziwe
również dla funkcji zmiennej zespolonej. W szczególności obliczanie
sinz, cos2r, sinhz, cosh.sr dla z = x+yi odbywa się według wzorów
na sm(a+b), cos(a + b), sinh(a+&), cosh(a+&). Na przykład
cos(x+3>i) = (xtsxcxisyi— sinxsinyi = cosxcoshjy—isin»:sinh.y,
zatem
re(coss) = cos(re3)cosh(imsr), imCcoss) = — sin(re2)sinh(imz).
Funkcje tgz, ctgz, tghz, ctghz określa się wzorami:
s'mz _ cos 2
tga = ———, ctgs = ,
, ńńhz , cosh z
tghz = —r-> ctghz = . , -.
cosh z sinh z
Odwrotne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne, tzn.
Arcsinz, Arccoss, Arctgz, Arcctgz i Arsinh23 Arcoshs, Aright,
Arctghrr, określa się podobnie jak dla zmiennej rzeczywistej, ale
z uwzględnieniem wieloznaczności 0). Na przykład w=Arcsin2,
jeżeli z = sinw.
Funkcje te są nieskończenie wielowartościowe i wyrażają się przez
logarytmy za pomocą wzorów:
Arcsinz = — iLn(jz + |/l~ z2), Arsinhz = I*n(z+ }/ż*+l),
Arccos2 = — *'Ln(z+ ]/za—l), Arcoshz = Ln(2+ \/z*—l),
Arctg* = _ Ln _, Artghz = - Ln —,
1 T iz+l * . 1 t z+1
Arcctgs = -TrLnv—:, Arctghz = -^-Ln -.
Wartości główne odwrotnych funkcji trygonometrycznych i hiper-
bolicznych wyrażają się takimi samymi wzorami przez funkcje ln, tzn.
przez wartość główną funkcji Ln:
arcsuur = — iln(tz+ |/l~22), arsinhs = ln(«+ ^z^+l),
arccoss = ~iln(z + J/V1—l)s arcosłi2 = ln(z+ }/z2—l),
l.l+i* - 1.1+2.
arctg2 = ^rln-—-, artghs = -^-ln^—-,
2i 1—tz 2 l—z
1 , iz + l . 1,^+1
arcctg^-^ln^, arctgh2 = -ln —.
C) Patrz str. 242 i 252.
3. Elementarne funkcje przestępne 627
W poniższej tabeli przytoczone są części rzeczywiste, części
urojone, moduły i argumenty funkcji trygonometrycznych i hiperbolicz-
nych zmiennej zespolonej z — x+iy.
Wyrażenia dla rea> oraz imn>
Funkcja
sin (x +iy)
cos (x+iy)
tg (x±ty)
sinh(x±ijy)
cosh (x±ry)
tgh (x±iy)
Część rzeczywista
rew
sinxcoshjy
cos x cosh y
sin2x
cos2x-f-cosh2.y
sinh x cos y
cośń.xcosy
sinh2x
cosh2x+cos2.y
Część urojona
imai
± cos x sinh y
+" sin x sinh jy
( sinh2;y
cos2x+cosh2y
±coshxsin;y
± sinh x sin jy
sin2.y
cosh2a;+cos2jv
Wyrażenia dla q = \w\ oraz <p = arg«i
Funkcja
W =f(x±iy)
sin (x±iy)
COS (X+Jy)
sinh (x +iy)
coshCc+ty)
Moduł
e ~ M
l/sin^-fsinh2^ .->
|/cos2x+sinhB3;
j/sinhaai + sin2j;
j/sinh2:e + cosBiy
Argument
ę = argw
argy oblicza się według
wzorów
rew . im w
cos (p = ——, sin °j =
Q Q
4. Równania krzywych w postaci zespolonej
Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Funkcję z = fit).,
gdzie z = x+iy, a t jest zmienną rzeczywistą, przedstawiają punkty z
tworzące przy zmianie t pewną krzywą. Równania parametryczne tej
krzywej są x = x(fy, y ~ j>(t); równanie w postaci zespolonej z — f(t).
Przykłady (krzywych danych w postaci zespolonej).
1. Linia prosta przechodząca przez punkt zt i tworząca z osią Ox
kąt fp (rys. 374a) ma równanie z = zx + t&*9 a przechodząca przez dwa
punkty z\ i z2 (rys. 374b) ma równanie z = Zi+tiz^—zi).

628
I. Liczby zespolone
2. Okrąg o promieniu r i środku w początku współrzędnych (rys.
374c) ma równanie z ~ retl, a o promieniu r i środku w punkcie zx
(rys. 374d) ma równanie z = zx-\-rei%.
3. Hiperbola w postaci kanonicznej (rys. 374e) ma równanie z =
— acoshr+ijsinht albo z = cetĄ-ce~ti gdzie c i c są sprzężonymi
liczbami zespolonymi, tzn. c = -^{a+bi)^ = -^(a—bt).
Rys. 374
4.jBKpsawpostacikanonicznej(rys.374f)marównaniez = acos(+
+iisinr albo z = cetl +de~H, gdzie c = -i-(a+i), <f = ~ {a—b) są
dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, a w postaci ogólnej
(środek elipsy w punkcie zu a osie obrócone o pewien kąt, rys. 374g) ma
równanie z = zlĄ-cetiĄ-de-tis gdzie c i d są dowolnymi liczbami
zespolonymi określającymi długości osi elipsy oraz kąt obrotu osi.
5. Spirala logarytmiczna (rys. 374h) ma równanie z = aebt, gdzie
a i b są dowolnymi liczbami zespolonymi.
5. Funkcje zmiennej zespolonej
629
5. Funkcje zmiennej zespolonej
Odwzorowanie płaszczyzny. Funkcja w =f(z), gdzie z =
= *H-JV* i w = tiH-si, jest określona, gdy znane są dwie funkcje dwóch
zmiennych rzeczywistych:
Funkcja zmiennej zespolonej dokonuje odwzorowania płaszczyzny z
na płaszczyźnie w (*); każdy punkt Sj przechodzi w odpowiedni punkt
wl3 utwory geometryczne płaszczyzny z (krzywe, obszary) przy przejściu
do płaszczyzny w przekształcają się w inne utwory. Krzywa x « x(t),
y " J»(0 przechodzi w krzywą u = u{x(f),y(t))> v = v{x(t),y(tj),
gdzie t jest parametrem zmiennym.
Linie współrzędnych y=c przechodzą w linie u = u(x, c),
v — v(x, ć), gdzie x jest parametrem zmiennym; Unie współrzędnych
x = c1} przechodzą w linie u = u(clty), v = v(cl3 y), gdzie y jest
parametrem zmiennym.
Przykład (odwzorowania), u = 2x+y, v = x-\-2y (rys. 375).
Linie współrzędnych y = c przechodzą w linie k = 2jc+c, v = x-\-2c}
czyh w proste v = -jtt+^c; analogicznie, Unie x = cŁ przechodzą
w proste v = 2k—3ex; obszar zakreskowany na płaszczyźnie 2
przechodzi w obszar zakreskowany na płaszczyźnie ro.
Granica, ciągłość, pochodna. Pojęcia granicy, ciągłości i
pochodnej funkcji zmiennej zespolonej w = f(z) określa się formalnie tak
samo jak dla funkcji imiennej rzeczywistej (patrz str. 354, 362 i 388).
(*) Jeżeli funkcja to = /(z) jest wieloznaczna (np. y z , Ln z, Arcsins,Artgh z),
to obszarem wartoSci w jest zbiór kilku lub nieskończenie wielu płaszczyzn nałożonych
jedna na drugą, każdej wartości funkcji odpowiada punkt leżący na jednej z płaszczyzn.
Płaszczyzny te są złączone miedzy sobą wzdłuż pewnych Ijnii i tworzą tzw. wielotistną
powierzchnię Riemanna.

630 !• Liczby zespolone
Liczbę zespoloną A nazywamy granicą funkcji /(z) przy z dążącym
do a i piszemy
(*) A = lim /(z),
2-*a
jeżeli dla dowolnie małej liczby dodatniej e można wskazać taką
dodatnią liczbę t), że dla dowolnej liczby zespolonej z spełniającej
warunek \a—z\ < ») (z wyjątkiem, być może, przypadku z = a),
spełniony jest warunek \A—f(z)\ < E-
y--
dla z
dla w
Rys. 376
Sens geometryczny (rys. 376): każdemu punktowi z (z wyjątkiem,
być może, punktu o), leżącemu wewnątrz koła o promieniu rj
odpowiada w odwzorowaniu określonym funkcją w = f(z) punkt w, leżący
wewnątrz koła o środku A i promieniu e.
Jeżeli funkcja w = /(z) ma granicę przy x —■ a i przy tym
(**)
lim/(z) = /(<*),
tzn. jeżeli granica funkcji równa się wartości funkcji, którą funkcja ta
przybiera przy granicznej wartości zmiennej niezależnej, to funkcję w
nazywamy ciągłą w punkcie a. Określeniu temu jest równoważne
określenie następujące: funkcja w = /(z) jest ciągła w punkcie z, jeżeli z
warunku \Az\ -* 0 wynika warunek
\Aw\ = I/(*+zlz)-/(z)l
0, czyli Um Aw = 0,
Az-~ 0
co oznacza, że nieskończenie małemu przyrostowi zmiennej niezależnej
odpowiada nieskończenie mały przyrost funkcji.
Pochodną w' *»/'(*) danej funkcji w =/(*) nazywamy funkcję
określoną przy danej wartości z równością
(***)
to' =/'(z) = lim
Jz-tO
/(z+zlz)-/(z)
Az
Funkcję, dla której istnieje w danym punkcie granica (***) nazywamy
różniczkowałną lub holomorficzną w punkcie a. (Sens geometryczny
5. Funkcje zmiennej zespolonej
631
modułu i argumentu pochodnej funkcji zmiennej zespolonej patrz niżej
str. 634).
Funkcje analityczne. Jeżeli funkcja w =/(z) jest
różniczkowałną we wszystkich punktach pewnego otoczenia punktu z„ (tzn. we
wszystkich punktach koła o środku z0 i dowolnie małym promieniu), to
funkcję tę nazywamy analityczną to punkcie z0. Funkcję nazywamy
analityczną to obszarze spójnym (patrz str. 369), jeżeli jest analityczna
we wszystkich punktach tego obszaru.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym (*) na to, aby funkcja
u(xiy)+iv(x,y) =f(x+yi) była analityczna, jest spełnienie tzw.
warunków Cauchy-Riemanna:
du _ dv du dv
dx dy dy dx'
Przykład. Funkcja w = za, skąd u = x2—yz, v = 2xy, jest
analityczna na całej płaszczyźnie, a funkcja w = u+vi, określona
równaniami u = 2x+y, v — sr-f 2jy, nie jest nigdzie analityczna.
W przypadku gdy funkcja w =* u(x,y)+iv(x,y) jest funkcją
analityczną, funkcje u i v są funkcjami harmonicznymi zmiennych
rzeczywistych x i y, tzn. spełniają równanie Laplace'a (patrz str. 682). Znając
funkcję harmoniczną u można z dokładnością do stałego czynnika
wyznaczyć sprzężoną z nią funkcję harmoniczną v z warunków Cauchy-
-Riemanna:
f du , , . . , . dę (du d C du ,\
v = )~dy + <P(.x), gdzie _ = -^+_j_dvj.
Analogicznie można według v wyznaczyć u.
Punkty, w których funkcja^est analityczna, nazywamy regularnymi.
Jeżeli funkcja jest analityczna w pewnym obszarze, z wyjątkiem
niektórych jego punktów, to takie punkty nazywamy osobliwymi. Przykłady
i klasyfikację punktów osobliwych patrz na stronicy 632. Funkcje
elementarne (algebraiczne i przestępne, patrz str. 350) są analityczne
na całej płaszczyźnie, z wyjątkiem niektórych odosobnionych punktów
osobliwych.
Funkcje analityczne mają we wszystkich punktach regularnych
pochodne dowolnego rzędu. Pochodne funkcji elementarnych zmiennej
zespolonej oblicza się według tych samych reguł, co pochodne tych
samych funkcji zmiennej rzeczywistej.
Moduł funkcji analitycznej. W różnych zagadnieniach teorii
zastosowań funkcji zmiennej zespolonej istotną rolę odgrywa wartość
bezwzględna {moduł) funkcji
M = 1/(2)1 = V\MŹJ)? + [v(x,y)? = ę(x>y).
C1) Aby warunek był dostateczny, potrzeba jeszcze, żeby pochodne cząstkowe wy-
steDukce w warunku Cauchv-Riemanna bvlv w lozwazanvm obszarze cia&łe.

632
I. Liczby zespolone
Powierzchnię \zo\ = <p<jx3y)3 gdzie \v>\ jest trzecią współrzędną
wystawioną w punkcie z = x+yi> nazywamy rzeźbą funkcji.
Przykład. Dla funkcji sina = sintfcosh.y+icostfsinh.y rzeźba ma
równanie
|sinz| = y'sin'x-fsinh'j''
Rzeźba ta pokazana jest na rysunku 377a. Rysunek 377b przedstawia
rzeźbę funkcji w = e1,3!.
Ponieważ moduł funkcji jest wielkością nieujemną, więc jej rzeźba
leży zawsze ponad płaszczyzną z, z wyjątkiem punktów, w których
|/(2)| = 0, a więc i/(z) — 0; takie wartości z, czyli pierwiastki
równania f(js) = 0, nazywamy zerami funkcji f(z).
Funkcję nazywamy ograniczoną w danym obszarze, jeżeli istnieje
taka stała liczba dodatnia JV, źe \f(z)\ < N dla dowolnego punktu z tego
obszaru, a jeżeli taka liczba N nie istnieje, to funkcję nazywamy
nieograniczoną.
Podstawowe twierdzenia o module funkcji analitycznych.
1. Jeżeli w = /(z) jest funkcją analityczną w obszarze domkniętym,
to jej moduł osiąga maksimum na brzegu tego obszaru.
2. Jeżeli w =f(z) jest funkcją analityczną na całej płaszczyźnie
i ograniczoną, to funkcja ta jest state:/(a) = const {twierdzenie Liotwil-
le'a).
Punkty osobliwe. Jeżeli funkcja w = f(z) jest analityczna w
otoczeniu punktu z = a C1) i ograniczona w tym otoczeniu, to mogą
zachodzić dwa przypadki:
1° f(a) = lim/(z). W tym przypadku funkcja f(z) jest analityczna
2-»(J
również w punkcie a.
2° f(a) ma inną wartość niż lim f(z) albo funkcja/(a) nie jest ozna-
z-*a
czona w punkcie a. Taki punkt a jest punktem osobliwym; nazywamy
go punktem osobliwości itsuwdlnej, gdyż zastępując w tym punkcie /(a)
liczbą lim /(z) uczynimy funkcję /(z) analityczną również w punkcie
Z-Kl
aC).
Jeżeli zaś funkcja w = /(z), analityczna w otoczeniu punktu z = a,
nie jest ograniczona w tym otoczeniu, to punkt a jest punktem
osobliwym, i mogą przy tym zachodzić dwa przypadki:
(*) To znaczy wewnątrz dowolnie małego kola o środku w punkcie a, z wyjątkiem,
być może, samego punktu a.
(a) Przypadek ten jest analogiczny do przypadku punktu osobliwości usuwalnej
funkcji zmiennej rzeczywistej (patrz str. 364).
5. Funkcje zmiennej zespolonej 633
a) \dn(pt+yi)\
b) leWC***')!
Rys. 377
1° 1/(2)1 -*■ <»i gdy z dąży do punktu a po dowolnej drodze. Taki
punkt nazywamy biegunem. W tym przypadku wprowadza się
oznaczenia/Ca) = 00. O rzędzie bieguna patrz stronica 642 i 643.
2° 1/(3)1 przy zbliżaniu się do punktu a nie dąży do żadnej liczby:
c^gi/(3i)>/(22)» •••>/Czn)j... mają różne granice w zależności od wy-

634 I- Liczby zespolone
boru punktów zn dążących do punktu a. Taki punkt a nazywamy
punktem istotnie osobliwym (*).
Przykład. Dla funkcji w = l/(z— a) punkt a jest biegunem, dla
funkcji w = el,z punkt O jest punktem istotnie osobliwym (patrz rys.
377b).
Odwzorowania konforemne. Odwzorowanie płaszczyzny
realizowane przez funkcję analityczną ma następujące ważne własności
w otoczeniu punktu z, dla którego w' ź 0:
1° Wektory wszystkich kierunków wychodzące z punktu z, jeżeli
długości tych wektorów są dostatecznie małe, mają długości pomnożone
y*
x o
dla z dla w
Rys. 378
u. 0
X 0\
dla z dla w
Rys. 379
po przekształceniu przez jedną i tę samą liczbę \w'\ z dokładnością do
nieskończenie małych wyższego rzędu.
2° Wektory te zostają po przekształceniu obrócone o jeden i ten sam
kąt arga)'.
W ten sposób figury w dostatecznie małych obszarach
przekształcają się na figury do siebie podobne — zachowują kształt (rys. 378).
Takie przekształcenie nazywamy konforemnym. Figury o rozmiarach
skończonych ulegają zniekształceniom! ale kąty między dwiema
krzywymi zachowują się (konserwatyzm kątów, rys. 379). W szczególności
linie współrzędnych x — const i y = const przekształcają się w dwie
rodziny krzywych wzajemnie ortogonalnych. A więc za pomocą funkcji
analitycznych można otrzymać nieskończenie wiele układów
współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych. Odwrotnie, dla dowolnego
przekształcenia konforemnego istnieje pewna siatka krzywych orto-
gonalnychj która przekształca się w siatkę prostokątną kartezjańską.
W przykładzie w = 2x+y,v = x+2y (str. 629) ortogonalność nie była
zachowana. W przykładzie w — za ortogonalność jest zachowana, przy
czym lime współrzędnych przechodzą w dwie rodziny parabol współ-
(ł) W tym przypadku można wskazać taki ciąg {zn}, dążący do punktu a, że ciąg
{/(sn)/ będzie dążył do dowolnej, z góry danej liczby zespolone) (z wyłączeniem, co
najwyżej, jednej liczby zespolonej).
5. Funkcje zmiennej zespolonej 635
ogniskowych (rys. 380). W punkcie z = 0 mamy w' = 0 i
przekształcenie przestaje być konforemne. Pierwsza ćwiartka współrzędnych
przechodzi w górną półpłaszczyznę.
Odwzorowania konforemne znajdują zastosowanie w
elektrotechnice, w hydrodynamice, w aerodynamice i w innych zagadnieniach
stosowanych.
dlaz
dla w
Rys. 380
6. Najprostsze odwzorowania konforemne
Podajemy tu najczęściej stosowane odwzorowania konforemne, przy
czym podzwany jest wykres tej siatki krzywych ortogonalnych (siatka
izotermiczna)* która przekształca się w kartezjańską siatkę
prostokątną. Kreskowaniem zaznaczone zostały brzegi obszaru
przechodzącego w górną półpłaszczyznę. Czarnym kolorem
zaznaczono na rysunku 381 obszar
przechodzący w kwadrat o wierzchołkach (0, 0), (0, 1),
(1.0), (1,1).
Funkcja liniowa w = as+b, gdzie a == ge^'
(rys. 382a). Przekształcenie może być
rozłożone na trzy przeksztzłcenia:
lo t = e'n z (obrót płaszczyzny o kąt q>);
2° s = Qt (podobieństwo w stosunku g);
3° ai = s+b (przesuniecie równoległe o
wektor b).
W wyniku figury na płaszczyźnie z przekształcają się w figury do
nich podobne, przy czym obracają się o pewien kąt i przesuwają
o pewien wektor. Punkty zx = bj(\—a) i z2 =oo przechodzą same
w siebie.
Inwersja w — \\z (rys. 382b). Punkt o promieniu wodzącym Q
i argumencie ę przekształca się w punkt o promieniu wodzącym l/e
Rys. 381

636
I. Liczby zespolone
i argumencie — ę. Przekształcenie składa się z inwersji względem
okręgu q = 1 C1) i odbicia zwierciadlanego względem osi Ox. Koła
przekształcają się w kok (przy czym prostą uważa się za szczególny
przypadek kok, mianowicie o promieniu oo). Punkt O przechodzi
w oo i nawzajem (a); punkty 1 i —1 zostają na miejscu. W punkcie
z = 0 przekształcenie nie jest konforemne.
Funkcja homograficzna zo =* T, gdzie c^Oi ad—be ^ 0
cz-j-a
(rys. 382c). Przekształcenie to może być rozłożone na trzy
przekształcenia:
1° t = cz+d (funkcja liniowa);
2° s = — (inwersja);
a be— ad
30 w = ] $ (funkcja liniowa).
c c
W wyniku funkcja homograficzna przekształca okrąg na okrąg (przy
czym linię prostą uważa się za szczególny przypadek okręgu). Dwa
punkty spełniające równanie z — (az + b)j(cz+d) pozostają na miejscu.
Funkcja kwadratowa zo = z% (rys. 382d). Cała płaszczyzna z
przechodzi w dwulistną płaszczyznę zo. Siatka izotermiczna płaszczyzny
z składa się z dwóch rodzin lńperbol u = x2— y* i v — 2xy. W punkcie
z = 0 przekształcenie przestaje być konforemne. Punkty Oil zostają
na miejscu.
Pierwiastek kwadratowy zo = y^~(rys.382e). Funkcja jest
dwuznaczna; cak pkszczyzna przechodzi: 1° w górną półpłaszczyznę;
2° w dolną półpłaszczyznę. Siatka izotermiczna pkszczyzny z składa
się z dwóch rodzin parabol współogniskowych o ognisku w początku
współrzędnych i osiach skierowanych w dodatnim i ujemnym kierunku
osi Ox. W punkcie z = 0 przekształcenie przestaje być konforemne.
Punkty 0 i 1 nie zmieniają miejsca.
Logarytm zo = Lna (rys. 382f). Mamy u = lne, z> = tp+2kn.
Siatka izotermiczna składa się z okręgów Ing = const i półprostych
tp = const, czyli jest siatką współrzędnych biegunowych. Funkcja ta
(*) Inwersją względem danego okręgu o promieniu R nazywamy przekształcenie
punktów płaszczyzny, przy którym punkt Mt leżący w odległości <f 1 od środka okręgu
przechodzi w punkt M2 leżący na tym samym promieniu OMx albo na jego
przedłużeniu w odległości OMt — d* = R*l<lx; punkt Ma przechodzi przy tym w punkt Mx.
Punkty leżące na zewnątrz okręgu przechodzą w punkty wewnętrzne i na odwrót.
(a) Przyjmuje się, że na płaszczyźnie zmiennej zespolonej istnieje jeden punkt
w nieskończoności; oznacza się go symbolem 00. (Przypisek tłumacza.)
6. Najprostsze odwzorowania konforemne 637
e) f)
Rys. 382
jest nieskończenie wieloznaczna; dla głównej wartości logarytmu cała
pkszczyzna przechodzi w pas ograniczony prostymi v = — ji i o = rc,
z włączeniem ostatniej prostej.

638
I. Liczby zespolone
7. Całki w dziedzinie zmiennej zespolonej
Określenie. Całką funkcji zmiennej zespolonej w = /(s) wziętą
po łuku AB krzywej położonej na płaszczyźnie z {droga całkowania)
nazywamy liczbę zespoloną, którą otrzymujemy w następujący sposób
(rys. 383):
yk
.&?
B*Mn(zn)
~A=M0(z0)
Rys. 383
1° luk AB dzielimy na « części za pomocą dowolnych punktów
pośrednich C1)
MiCsO* AfsCsO,..., Mn-i(zn-{),
przy czym dla jednolitości oznaczamy A == M0(z0), B = Mn(zn)>
2° wewnątrz (lub na końcu) każdego łuku Mi—\M%9 gdzie i =
= 1,2, ...,ra, obieramy dowolny punkt Nttfi);
3° w punktach Ci obliczamy wartości funkcji f(z) i mnożymy je
przez odpowiednie różnice zi—zi-\ (przyrosty zmiennej niezależnej);
4° sumujemy « otrzymanych iloczynów/(Ći) (zt—zi-i);
5° znajdujemy granicę sumy
n
gdy n -*■ oo i wszystkie przyrosty zmiennej niezależnej dążą do zera.
Jeżeli ta granica istnieje i nie zależy od wyboru punktów Mi, a także
od wyboru punktów Nt, to nazywamy ją całką funkcji f(z) po łuku AB
i oznaczamy
(*) //(«)<**•
AB
i1) Liczba zespolona znajdująca się w nawiasie po nazwie punktu jest wartością
zmiennej.
7. Całki w dziedzinie zmienne) zespolonej
639
Własności całki. Całka (*) ma te same własności co całka
krzywoliniowa drugiego typu (patrz str. 521): przy zmianie orientacji drogi
całkowania całka zmienia znak; jeżeli drogę całkowania rozdzielimy na
kilka części, to całka po całej tej drodze równa jest sumie całek po
kolejnych częściach tej drogi.
Oszacowanie całki. Jeżeli długość łuku AB równa się s i dla
każdej wartości z na tej drodze \f(z)\ nie przewyższa dodatniej liczby
M,tzn. 1/(3)| < M3 to
| J7(2)dz| <Ms.
AB
Obliczanie całki. Jeżeli funkcja podcałkowa f(z) ma postać
u(x,y)+iv(x,y), a droga całkowania AB jest określona równaniami
parametrycznymi x = x(t), y = y(t), przy czym wartości parametru
t na początku i na końcu drogi całkowania są odpowiednio równe
tA i tB> to całka (*) wyraża się przez całki krzywoliniowe funkcji
zmiennej rzeczywistej:
jf(z)dz = fu(x,y)dz—v(x,y)dy+ifv(x,y)dx+u(x1y)dy,
AB Xb Xb
które oblicza się według prawideł podanych na stronicach 520, 521.
Niezależność całki od drogi całkowania. Aby całka (*) funkcji
zmiennej zespolonej określonej w obszarze jednospójnym t1) nie
zależała od drogi łączącej dwa ustalone punkty A(zJ) i B(zB), potrzeba
i wystarcza, by funkcja była analityczna w tym obszarze, tzn. by
spełniała warunki Cauchy-Riemanna (patrz str. 631). Jeśli przy spełnieniu
tych warunków ustalimy punkt początkowy drogi całkowania A0(z0)>
a punkt końcowy M(z) drogi całkowania będzie zmienny, to całka (*)
będzie funkcją zmiennej z:
ff(zydz = F(z)>
przy czym F'(z) =f(z); funkcję F(s) nazywamy funkcją pierwotną
funkcji analitycznej/(s). Fuukcja pierwotna zależy od wyboru punktu
początkowego A0; postać ogólna wszystkich funkcji pierwotnych f(z)
jest
F(z) + C=ff(z)dz,
gdzie po prawej stronie jest całka nieoznaczona.
C1) O obszarze spójnym patrz str. 369. W przypadku obszaru wielospójnego
warunek może okazać sie niewystarczający.

640 I. Liczby zespolone
Całki nieoznaczone funkcji elementarnych zmiennej zespolonej
oblicza się według tych samych reguł co całki tych samych funkcji
zmiennej rzeczywistej.
Podstawowy wzór rachunku całkowego. Całka (*) funkcji
analitycznej /(z) równa się przyrostowi funkcji pierwotnej przy przejściu od
początkowego punktu drogi całkowania do punktu końcowego:
fKz)dz = F(zB)-F(zA).
Ab
Całka po konturze. Jeżeli funkcja f(z) jest analityczna w całym
obszarze jednospójnym, którego brzegiem jest kontur C, to całka tej
funkcji po konturze C jest równa zeru (twierdzenie Cauchy'ego);
jeżeli zaś obszar ten zawiera punkty osobliwe, to wartość całki oblicza
się według twierdzenia o residuach (patrz str. 643).
W szczególności dla funkcji/(z) = l/Cs—a), mającej jedyny punkt
osobliwy z = a, całka po konturze C zawierającym wewnątrz punkt a
(rys. 384) równa się
dz n .
/■
Wzory całkowe Cauchy'ego. Jeżeli funkcja /(z) jest analityczna
w pewnym obszarze jednospójnym, kiórego brzegiem jest kontur C,
to jej wartość w dowolnym punkcie z tego obszaru, a także wartości
jej pochodnych dowolnego rzędu, wyrażają się przez wartości tej
funkcji na konturze C (rys. 385) za pomocą następujących wzorów
Cauchy'ego:
c"
c
<**> «„ ^ 2 r /(O
7. Całki w dziedzinie zmiennej zespolonej 641
gdzie C jest zmienną całkowania, a całki bierze się po konturze C
w kierunku dodatnim.
Jeżeli zaś funkcja/(z) jest analityczna w całym obszarze płaszczyzny
leżącym na zewnątrz konturu C, to wartości funkcji /(z) i jej
pochodnych w dowolnym punkcie z tego obszaru (rys. 386) wyraża się tymi
samymi wzorami (**), ale całki po konturze G bierze się w kierunku
ujemnym (tzn. w kierunku obiegu wskazówki zegara).
Wzory całkowe Cauchy'ego umożliwiają znalezienie wartości
niektórych całek oznaczonych.
y .
y.
Rys. 384
Rys. 385
Rys. 386
Przykład. Przyjmując /(z) ^ e* (jest to funkcja analityczna na
całej płaszczyźnie), a za drogę całkowania C przyjmując okrąg koła
o środku s i promieniu r (okrąg o równaniu £ = z+re"p, patrz str.
628), otrzymujemy na podstawie ostatniego ze wzorów (**) równość
27tr"
2ic
•/
z+r cos q>+ir sin q>~intp
'dv,
2rt
'cos<p+i(r$m<p--n<p)jin _
skąd
^ = f /«
2łt 2n
= f fircosvcos(rsinp-«90<*9> + i f ercosq'&ia(r sin tp-wp) dtp.
o b
Ponieważ część urojona jest równa zeru, otrzymujemy wartość całki
f łm* CMCrriny-^Ą. = ^-.

642 I. Liczby zespolone
8. Rozwinięcie funkcji analitycznych w szeregi potęgowe
Szereg Taylora. Każda funkcja f(z), analityczna wewnątrz
pewnego kola o środku a, może być w każdym punkcie tego kola w sposób
jednoznaczny przedstawiona w postaci szeregu potęgowego
oo
M = 0
gdzie współczynnikami cB rozwinięcia są liczby zespolone określone
wzorem
/W (a)
W ten sposób otrzymujemy szereg Taylora:
M = fifing C-<0+ ^ C.--C+ • ■ ■ +*T fe-a)"+ ' • ■
Rozwinięcia funkcji ez> sin2, cosz, sinhs, coshs w szeregi
potęgowe patrz stronice 624 - 626.
Szereg Laurenta. Każda funkcja f{z), analityczna wewnątrz
pewnego pierścienia między dwoma okręgami o wspólnym środku a Q)
może być w sposób jednoznaczny przedstawiona w postaci szeregu
potęgowego, tzw. szeregu Laurenta:
oo
(*) /(*)= 2 cn(z-aT =
n= -oo
= c0 + c1(z-a) + ca(z-a)a+ ... +c„(s-a)"+ ... +
+ c_1(2-a)-1+c_li(z-a)-a+ ... +c_n(z-a)-"+ ...,
gdzie współczynnikami cn rozwinięcia są liczby zespolone wyrażone
wzorem
Cn = ~j(C-a)-»-if(Odi:,
c
gdzie « = 0, ± I, ±2,..., a C jest pewnym konturem leżącym
wewnątrz pierścienia i obieganym w kierunku dodatnim.
Punkty osobliwe krzywej analitycznej. Jeżeli funkcja f(z) jest
analityczna w otoczeniu punktu a (2), to charakter punktu a określa
się na podstawie wyglądu rozwinięcia funkcji Ąz) w szereg Laurenta (*)
w otoczeniu tego punktu w sposób następujący:
{*) Promień wewnętrznego kola może być równy zeru i wtedy pierścień staje sie
kołem z wyjętym środkiem.
(*) Patrz notka (') na six. 632.
8. Rozwiniecie funkcji analitycznych 643
1° Jeżeli szereg (*) nie zawiera potęg 2—00 wykładnikach
ujemnych (tzn. jeżeli dla n < 0 jest cn = 0), to szereg Laurenta staje się
szeregiem Taylora (J) i funkcja/(s) jest analityczna również w punkcie
a, jeżeli/(a) = c0 albo też a jest punktem osobliwości usuwalnej.
2° Jeżeli szereg (*) zawiera skończoną ilość potęg z —a o
wykładnikach ujemnych, tzn. jeżeli istnieje taki wskaźnik —m < 0, że c_m ^ 0,
a dla n < ~m wszystkie cn są równe zeru, to punkt a nazywamy
biegunem (patrz str. 633) m-krotnym funkcji/(z) albo biegunem rzędu m,
3° Jeżeli szereg (*) zawiera nieskończenie wiele potęg z—a o
wykładnikach ujemnych, to punkt a jest punktem istotnie osobliwym
(patrz str. 634).
Residua. W przypadkach 2° i 3° współczynnik c_i przy {z—a)-1
w szeregu Laurenta nazywamy residuum funkcji f(z) w punkcie z = a:
CO
«*A*),-a = 2^/AO*.
Z określenia (1) wynika następujące twierdzenie, które umożliwia
obliczanie całek po konturze zawierającym wewnątrz punkty osobliwe
(str. 640):
Twierdzenie o residuach. Całka po konturze C w kierunku
dodatnim
jf(z)dz
c'
funkcji f(z) analitycznej w całym obszarze jednospójnym, którego
brzegiem jest dany kontur, z wyjątkiem skończonej ilości punktów au a2,
..., as (rys. 387) równa się sumie residuów funkcji f(z) w
powyższych punktach pomnożonej przez 2tuj:
Jf(z)dz = 2ni [res/(*)a=fli+res/(2)^fli!+ ... +res/(^aJ.
c'
Residuum funkcji w biegunie m-krotnym może być obliczone
według wzoru
1 d1"-1
(2) res/C*)^ = J-— ■ -^ [/(*) (*_«)»] z=a.
(*) W tym przypadku współczynniki szeregu, na podstawie wzorów Cauchy'ego,
na str. 640, są równe
gdzie n = 0, I, 2,...

644
I. Liczby zespolone
Jeżeli /(z) = <p (z)ly> (z), gdzie y (z) i y (z) są funkcjami analitycznymi
w punkcie z — a i a jest pierwiastkiem jednokrotnym (patrz str. 174)
równania y>(z) = 0, ale nie jest pierwiastkiem równania y(z) = 0
(tzn. y(a) = 0, ale ip'(a) # 0 i q>(a) # 0), to punktz = a jest biegunem
jednokrotnym funkcji/(z) i wzór (2) daje
fy(g)l = y(«)
Jeżeli a jest m-krotnym pierwiastkiem równania y>(z) = 0, ale nie
jest pierwiastkiem równania y(z) =0 (tzn. jeżeli v(,a) = y'(a) =
= ... = yO-^Cc) = 0, ale y(m)(a)^0 i y(a)#0)3 to punkt z = a
jest biegunem m-krotnym funkcji /(z).
Rys. 387
Zastosowanie do obliczania całek oznaczonych. Teoria
residuów umożliwia znalezienie pewnych całek oznaczonych funkcji
zmiennej rzeczywistej:
Jeżeli/(z) jest funkcją analityczną w całej górnej półpłaszczyźnie
z włączeniem osi rzeczywistej, z wyjątkiem skończonej ilości
punktów osobliwych au a&...3 an leżących powyżej osi rzeczywistej
(rys. 388);, i liczba zero jest m-krotnym pierwiastkiem równania
/(l/z) = 0, gdzie m>2(1% to
-f-oo n
(3) j f{x)dx^2ni^^f{z)z=ai.
Przykład. Obliczyć całkę oznaczoną
Równanie
/
dx
(l+x3)3
J\xf (l + l/«a)3 («a+l)8
(») Patrz str. 174.
8. Rozwinięcie funkcji analitycznych 645
ma pierwiastek sześciokrotny x = 0. W górnej półpłaszczyźnie funkcja
ki = 1/(1 +z2)3 ma jedyny punkt osobliwy z = i, który jest jej
biegunem trzykrotnym 0). Według wzoru (2)
1 _ _1 &_ [ (z-i)s 1
reS(l+^)3^
■ \3 A*
Obliczając ~ ly^J-j = ^ (*+0~" = ^(z+i)""5 otrzymujemy
1 £. , .,-6 6 3 .
według wzoru (3)
3 .1
/ /!C*)ife = 2» (--Li) = -g-«.
C1) Równanie (I +s3)3 = 0 ma dwa pierwiastki trzykrotne: i oraz —i, z których
tylko i leży w górnej półpłaszczyźnie.

H. RACHUNEK WEKTOROWY
A. ALGEBRA WEKTOROWA I FUNKCJE WEKTOROWE SKALARA
1. Pojęcia podstawowe
Wielkości skalarne i wektorowe. Wielkości, których wartości
mogą być wyrażone liczbami dodatnimi, ujemnymi oraz zerem (skala-
rami) nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura,
praca), a wielkości, których wartości określa się przez podanie ich wymiaru
oraz kierunku w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np.
silą, prędkość, przyśpieszenie, natężenie pola elektrycznego lub
magnetycznego) i przedstawiamy za pomocą wektorów.
Wektory. Wektor (rys. 389) jest to odcinek mający określoną
długość i określony kierunek. Wektor mający początek w punkcie A i koniec
w punkcie B oznacza się przez AB. Wektory oznacza się także małą
literą półgrubą a, lub małą literą z kreską na górze a. Długość
wektora AB, a lub a oznacza się odpowiednio: AB, \a\ lub a. Wektor
zerowy 0 jest to wektor, którego koniec pokrywa się z początkiem; jego
długość jest równa zeru, a kierunek jest nieoznaczony. Dwa wektory
a i 6 uważa się za równe, jeżeli linie działania tych wektorów są
równoległe, a wektory są jednakowo zorientowane i mają jednakowe
długości C1).
Wektery kolinearne są to wektory, których linie działania są
równoległe do jednej i tej samej prostej (orientacje wektorów mogą być
zgodne lub niezgodne). Wektory komplanarne są to wektory, których
linie działania są równoległe do jednej i tej samej płaszczyzny.
Wektory przeciwne są to wektory mające jednakowe długości a
kierunki przeciwne: AB = a i BA = — a. Wektorem jednostkowym na-
O Zgodnie z powyższym określeniem wektor nie ulegnie zmianie, gdy Jego
początek zostanie przeniesiony do dowolnego punktu przestrzeni, pod warunkiem, że
linia działania wektora będzie równoległa do poprzedniej (albo ta sama), a orientacja
i długość wektora będą takie same. Takie wektory nazywamy wektorami swobodnymi.
W niektórych zagadnieniach mechaniki rozważa się wektory przyczepione początkiem
do określonych punktów przestrzeni (uktady wektorów przyczepionych), bądź też
wektory, które można przesuwać po linii ich działania (układy wektorów ślizgających).
I. Pojęcia podstawowe
647
zywamy wektor o długości 1; wektor jednostkowy, którego kierunek
jest zgodny z kierunkiem wektora a, oznaczamy a° i nazywamy
wersorem tego kierunku. Wektor a można przedstawić w postaci
a = aa°, gdzie a oznacza długość wektora a. Wersory mające kierunki
osi współrzędnych prostokątnych Ox, Oy, Oz i zgodnie z nimi
zorientowane (]) oznacza się symbolami i, j, k (rys. 390)
Rys. 389 Rys. 390
Wektor wodzący punktu. Położenie punktu M (rys. 390) można
wyznaczyć za pomocą wektora OM, którego początkiem jest początek
współrzędnych O, a końcem punkt M, wektor ten nazywamy wektorem
wodzącym punktu M i oznaczamy symbolem r. W tym przypadku
punkt O nosi nazwę bieguna.
a) F A b)
Rys, 391
Kombinacje liniowe wektorów. Sumą kilku wektorów a, 6,
c,..., e nazywamy wektor / = AF zamykający linię łamaną ABC ...
... BF utworzoną z kolejnych wektorów, równych wektorom
składowym (rys. 391a):
AB = a, BC = b, ..., EF = e;
wektor AF nazywamy też wypadkową danych wektorów a, 6, c,..., e.
(J)W rozdziale niniejszym przyjęto prawoskrętny układ osi współrzędnych
(patrz str. 279).

648
H. Rachunek wektorewy
Sumą dwóch wektorów AB = o i AD = 6 (rys. 391b) jest wektor
AC = c stanowiący przekątną równoległoboku ABCD, wychodzącą
z punktu A.
Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:
o+6 = 6+o, (a+6)+c = o+(6+c),
|o| + l6] 5= ia+6155 ||o|-I6||.
Różnicą a— 6 wektorów o i 6 nazywamy sumę wektorów a i (—6);
jest to przekątna DB na rysunku 391b: a—b = o+(—6) = d.
"Własności różnicy wektorów: a~a — 0 (wektor zerowy), |o| + |6| >
>\a-b\> \\a\~\b\\.
Iloczynem wektora a przez skałar a (oznaczamy aa lub aa)
nazywamy wektor b, kolinearny z wektorem a i mający długość 161 =
A
ecu
O) b)
Rys. 392
= lal [a| oraz orientację zgodną z wektorem o, gdy a > 0, a
niezgodną, gdy a < 0, "Własności takiego iloczynu:
aa = aa, a((ła) = apa, (a+^)o = aa + pa, a(a+b) = ao+a6.
Kombinacja liniowa wektorów a, 6,..., d o odpowiednich
współczynnikach skalarnych a, & ..., S jest to wektor
(*) / = aa+pb+ ... +dd.
Dowolny wektor o można w sposób jednoznaczny przedstawić
w postaci sumy
(**) a = au+py+yw,
gdzie w, v, «j są danymi wektorami niekomplanarnymi (rys. 392a);
składnik au, fiv, yvo nazywamy składowymi wektora a wzdłuż
kierunków w, V, w, a współczynniki a, /?, y nazywamy współrzędnymi
wektora a w odniesieniu do układn wektorów u, v, w. Każdy wektor a
równoległy do danej płaszczyzny można w sposób jednoznaczny
przedstawić w postaci a = auĄ-@v, gdzie u i v są danymi wektorami nie-
kolinearnymi, równoległymi do danej płaszczyzny (rys. 392b).
1. Pojęcia podstawowe
649
Współrzędne wektora.
Współrzędne kartezjańskie prostokątne. Zgodnie ze
wzorem (**) każdy wektor AB = a w przestrzeni może być w sposób
jednoznaczny rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów
»»j> k (patrz str. 648):
(1) a = axi+asj+azk;
skalary aXi aV3 Oa nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi
prostokątnymi wektora a w układzie 1,3, k i oznaczamy w sposób następujący:
(2) a{ax, ay> as);
sposoby zapisów (2) i (1) są równoważne. Współrzędne prostokątne
wektora są miarami rzutów tego wektora na osie współrzędnych Ox,
Oy> Oz (rys. 393). Przy równoległym przesunięciu wektora jego
współrzędne pozostają te same.
Współrzędne kombinacji liniowej kilku wektorów są równe
odpowiednim kombinacjom liniowym współrzędnych tych wektorów: z
równości wektorowej (*) wynikają trzy równości skalarne
kx = aax+pbx+ ... +$dx,
(3) ky = WyĄ-fibyĄ- ... + ddy,
kz = (Wz+pbz+ ... +8dz.
W szczególności dla współrzędnych sumy lub różnicy wektorów
c = a ± 6 mamy
(4) cx = ax ± bx, Cy = % ± by, cz — az iz bz.
Współrzędne prostokątne wektora wodzącego r punktu M(x, y, z)
są równe odrwwiednim współrzędnym tego punktu:
rx = x3ry = y3 rz = z, r = xi+yj+sk.
Współrzędne afiniczne.
Uogólnieniem współrzędnych prostokątnych
wektora są jego współrzędne afiniczne
w układzie wersorów eu e2, ę3;
współrzędnymi tymi są współczynniki a1, a2,
a8 C1) w rozkładzie wektora a według
kierunków trzech niekomplanarnych
wersorów e1} ew e3:
(l') a = a1^+aaea-faae3,
lub w zapisie równoważnym:
(2') offiSa1,*"}.
Rys. 393
(1) Nie należy górnych wskaźników mieszać z wykładnikami potęg. Takie
oznaczenie współczynników jest dlatego dogodne, że skalary te są kontrawariantnymi
współczynnikami wektora a (patrz str. 654).

650
II. Rachunek wektorowy
Wzory (I') i (2') przechodzą we wzory (I) i (2), gdy przyjmiemy
ei = i, e2 = h e3 = *■
Analogicznie dla współrzędnych kombinacji liniowej wektorów (*)
oraz sumy i różnicy wektorów (4) zachodzą wzory
k1 = aa1+/fó1+ ... + Sd1,
(30 £2 = aa2+i362 + ... + StPt
& = aa3 + pb3+ ... +Sd3,
c1 = a1 ± fi1, c2 = a2 ± b2, c* = a* ± c3.
2. Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy wektorów
Określenia. Iloczynem skalarnym ab wektorów a i b nazywamy
skalar, określony równością ab = abcosy, gdzie <p jest kątem między
wektorami a i b, sprowadzonymi do wspólnego początku (rys. 394).
*- a
Rys. 394 Rys. 395
Iloczynem wektorowym axb wektora a przez wektor b nazywamy
wektor c, którego długość wynosi absirup, czyli równa się polu
równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b jako na bokach,
a kierunek jest prostopadły do obu wektorów aib, przy czym wektor c
jest tak zorientowany, żeby wektory a, 6, c stanowiły układ prawo-
skrętny. Mówimy, że trzy wektory o, 6, c wychodzące ze wspólnego
początku O stanowią układ prawoskrętny, jeżeli obserwator ustawiony
wzdłuż wektora c głową w kierunku tego wektora widzi najkrótszy
obrót wektora a do położenia wektora b w kierunku przeciwnym
obiegowi wskazówek zegara, czyli od prawej ręki ku lewej (rys. 395).
Własności iloczynów wektorów f1).
1. ab = ba (prawo przemienności dla iloczynu skalarnego), ale
ox6= — bxa (przy zmianie kolejności czynników iloczyn
wektorowy zmienia znak na przeciwny).
2. a(ab) = (aa)b i a(ox6) = (aa)xb (prawo łączności przy
mnożeniu iloczynu skalarnego lub wektorowego przez skalar).
3. Iloczyny a(bc) i (o6)c są na ogół różne, a także iloczyny a X
X (fe X c) i (o X 6) x c są różne (prawo łączności wtedy nie zachodzi).
4. a(6+c) = ab+ac iax(b+ć) = axb + ax c (prawo
rozdzielności).
O Będziemy tu mówili o wektorach niezerowych.
2. Iloczyn skalarny i wektorowy
651
5. ab = 0, jeżeli a _L b (warunek prostopadłości wektorów).
6. a X b = 0, jeżeli a\\b (warunek kolinearności wektorów).
7. aa = a2 = a2, ale «xa = 0.
Kombinacje liniowe wektorów można mnożyć skalarnie lub wekto-
rowo jak zwykłe wielomiany liniowe, z tym, że w przypadku
przestawienia czynników iloczynu wektorowego (na przykład przy redukcji
wyrazów podobnych) należy zmienić znak iloczynu na przeciwny.
Przykłady.
1. (3a+56-2c)(o-26-4c) =
= 3a24-56a-2ca-6a6-1063+4c6-I2oc-206c+8ca =
= 3a2-I062 + 8c2-a6~14ac-I66c.
2. (3o+56-2c) x (a-26—4c) = 3aX»+56xa-2cxa—
-6oX6-I06x6+4cx6 — I2axc-206xc+8cxc =
= 0-5ax6+2aXc — 6ax6+0 — 46xc— I2oxc—2O6xc+0 =
= -Iloxfe— lOoxc—246xc = 116xa + 10cxa+24cx6.
Kolejne mnożenie wektorów. Podwójny iloczyn wektorowy a X
X (b X c) jest to wektor komplanarny względem wektorów b i c, który
można obliczyć według wzoru
a X (b x c) = b(ac) - c(ab).
Iloczyn mieszany wektorów (a X b)c jest to skalar równy objętości
równoległościanu zbudowanego na wektorach a, 6, c jako na
krawędziach, wziętej ze znakiem „ + ", jeżeli wektory o, 6, c tworzą układ
prawoskretny (patrz wyżej), a ze znakiem „ —" w przypadku
przeciwnym. Iloczyn mieszany (ax6)c pisze się zazwyczaj w postaci abc.
Zachodzą 2wiązki
abc = bca = cab .= ~acb = — bac = — ćba\
tzn. cykliczne przestawienie czynników nie zmienia znaku iloczynu
mieszanego, przestawienie dwóch czynników zmienia znak iloczynu.
Wzory dla iloczynów złożonych
(a x 6) (c x d) = (ac) (bd)-(bc) (ad) (tożsamość Lagrange'a),
ae af ag
abc ■ efg = be bf bg
ce cf cg ,
Wyrażenie iloczynów we współrzędnych prostokątnych.
Jeżeli wektory a, 6, c dane są współrzędnymi a[ax-, ay, az}, b{bx, bVs &*},
c{c.r, Cy, cz\, to iloczyny wektorów oblicza się według wzorów:
(1) ab = axbx+ayby+azbz (iloczyn skalarny),
(2) axb = (aybz—azby)i+(azbx-axbz)3-±(axby — t
i j k
ax ay az | (iloczyn wektorowy),
bX by bz
bx)k =

652
II. Rachunek wektorowy
C3)
ttbc —
dx (ty O-z
b% by bz
Cx Cy Cz
(iloczyn mieszany).
Wyrażenie iloczynów we współrzędnych afinicznych.
Współczynniki miarowe i wektory wzajemne. Jeżeli znane
są współrzędne afiniczne dwóch wektorów a i b w układzie cu e2, c3:
a = a^+a^+fl^j, b = b^+b^+Pesy
to dla obliczenia iloczynu skalarnego
(A) ab = a1b1e1e1+a*b*ezez+a3b3ea,a3+
- + (aW+a*b1)ele2+(aW+a*b1)e2e9 + (.a8bl+alb*)e3el
albo dla iloczynu wektorowego
(B) 0x6 = (aW-a%2)eiy.eMaW~a1b^e3xeMa1bi-aibl)elY.ei
(ponieważ d,xei = eaxca = eaxe3 = 0) potrzebna jest znajomość
wartości iloczynów wersorów osi współrzędnych, branych parami, tzn.
dla iloczynu skalarnego potrzebnych jest sześć liczb, tzw.
współczynników miarowych
gu — Ci«i» &i — C2e2, Saa = C3e3,
ITia = Oias = c2Ci, g23 = ea«3 = ese2, g31 = e^i = axe3i
a dla iloczynu wektorowego potrzebne są trzy wektory, tzw. wektory
wzajemne względem wektorów eu ea e3:
a1 = ^(CaXCj), Ca = fi(eaXśO> C8 = fi(aiXC2),
gdzie współczynnik fi, równy odwrotności iloczynu złożonego trzech
wektorów: fi = l/de^ zostaje wprowadzony dla uproszczenia
dalszych wzorów.
Tablice mnożenia wersorów osi współrzędnych:
Iloczyn skalarny
«i cB «a
Iloczyn wektorowy
mnożniki
fli
£11
£12
gis
£21
gas
mnożne
| Ci 1 e2 j e3
Ci | 0 e*/Q -e2jQ
ca |-e3/fi 0 «*/fl
(£*( = git)
e3\ «"/fl-«i/fl 0
2. Iloczyn skalarny i wektorowy , 653
We współrzędnych prostokątnych (tzn. gdy et — », e2 = />ca = ft)
współczynniki miarowe są następujące:
£ll = #22 = gzi = li £l2 = #23 = gzi ~ 0, fi = -^- = 1,
wektory wzajemne el — 1, c2 = j', e3 = ft pokrywają się z wersorami
osi współrzędnych i tablice mnożenia tych wersorów mają postać
Iloczyn skalamy Iloczyn wektorowy
mnożniki
1
3
i
1
0
3
0
1
ft
0
0
l'
i 0
y|-*
s
ft
0
ft
-/
»
mnożne
ft I o I o I 1 ft I i j—* I 0
Wyrażenie iloczynów we współrzędnych. Zgodnie ze
wzorem (A) dla iloczynu skalarnego
3 3
(1") ab = 2 !>™<W =-ga^^)-
Dla współrzędnych prostokątnych wzór (I") przechodzi we wzór (1)
na stronicy 651.
Zgodnie ze wzorem, (B) dla iloczynu wektorowego mamy
I e1 ca e3
(2") ax6 = — -la1 a* a3 =
616263 i 61 b2 b*
= —~— [(o263-o36s)c1+(a361-«1*3)c2 + (a161!-aa61)e3].
ClC2C3
Dla współrzędnych prostokątnych wzór (2") przechodzi we wzór (2)
na stronicy 651.
Dla iloczynu mieszanego mamy
(') Ostatnia część równania (l') jest skróconym zapisem sumy przyjętym w
rachunku tensorowym: zamiast całej sumy napisany jest tylko jej jeden wyraz ogólny,
przy czym należy pamiętać, że indeks występujący w tym wzorze dwukrotnie (raz
u góry, raz u dołu) oznaczony grecką literą (wskaźnik sumowania) przebiega wartości
1, 2, 3. A więc
gapaa a** - gnaW +glaa1b* +g&ć& +gna*bl -r *«•*!* +Ktj*V +^31a3tI +g3Są3& +
, - „312
+ft*W.

a1 a2
Pb3
ćc*
a5
b3
c3
654 II. Rachunek wektorowy
(3") abc =
Dla współrzędnych prostokątnych wzór (3") przechodzi we wzór (3) na
stronicy 652.
Równania wektorowe. Przyjmujemy oznaczenia: x wektor
niewiadomy; a, b, c, d wektory wiadome; x, y, z skalary niewiadome;
a, fi, y skalary wiadome.
1. x + a = 6; stąd x = b—a,
a
2. xa = a, a ^ 0; stąd x = — .
3.xa — a. Równanie nieoznaczone; jeżeli wszystkie wektory x
spełniające to równanie sprowadzimy do wspólnego początku, to ich końce
będą leżały na płaszczyźnie prostopadłej do wektora a. Równanie
3 nazywamy równaniem wektorowym tej płaszczyzny.
4. xxa = b, gdzie b La. Równanie nieoznaczone; jeżeli wektory
x spełniające to równanie sprowadzimy do wspólnego początku, to ich
końce będą leżały na prostej równoległej do wektora a. Równanie 4
nazywamy równaniem wektorowym tej prostej.
, . . , aa-\-axb
5. xa = a, xxa = b, gdzie bl_a; stąd x = ^— .
6. xa = a, xb = fi, xc = y,
a{bxc)+fi(cxa)+y(axb) ~ ~ ~ ,. ~~~
stądac = -i—— . ■ = aa+fib + yc, gdzie a, b, c są
abc
wektorami wzajemnymi względem wektorów a, b, c (patrz str. 652).
_ . , , , dbc adc abd
7. d = xa+ yb + zc; stąd x = —■— , y = —=- , z = —=- .
•* abc •* abc abc
8. d = x(bxć)+y(cxa)+z(axb); stąd
da db dc
abc abc abc
3. Współrzędne wektora kowariantne i kontrawariantne
Określenia. Współrzędne afiniczne a1, a2, a3 wektora a w układzie
Ci, ea> ea, określone wzorem
a = a1c1+aac2+a3e3 = aaean^
nazywamy także współrzędnymi kontrawariantnymi tego wektora —
w odróżnieniu od jego współrzędnych kowariantnych, którymi są współ-
C1) Patrz notkę na str. 653.
3. Współrzędne kowariantne i kontrawariantne 655
czynniki rozkładu wektora wzdłuż trzech wektorów e1, ea, c3
wzajemnych względem wektorów ei5 ez, c3 (patrz str. 652). Współrzędne
kowariantne wektora a oznaczamy przez #„ at, a3:
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = aaea.
W układzie współrzędnych prostokątnych współrzędne kowariantne
i kontrawariantne są identyczne.
Wyrażenie współrzędnych przez iloczyny skalarne.
Współrzędna kowariantna wektora a równa się iloczynowi skalarnemu tego
wektora przez odpowiedni wersor osi współrzędnych:
(a) Oi = aeu c2 = ae%, aa = ae3.
Współrzędna kontrawariantna wektora a równa się iloczynowi
skalarnemu tego wektora przez odpowiedni wektor wzajemny:
(b) a1 — ae1, a% = ae3, aa = ae3.
W układzie współrzędnych prostokątnych wzory (a) i (b) są
identyczne:
ax = ai, ay = aj, az = ak.
Wyrażenie iloczynu skalarnego przez współrzędne. Wzór
(1") na stronicy 653 podaje wyrażenie iloczynu skałarnego dwóch
wektorów przez ich współrzędne kontrawariantne. We współrzędnych
kowariantnych odpowiada mu wzór
ab = gifajip
gdzie gmn = emen są współczynnikami miarowymi w układzie
wektorów wzajemnych; współczynniki te są związane ze współczynnikami
gmn wzorem
Sugizgis
gzi gw gza
£31 Szi £33
gdzie Amn jest minorem wyznacznika znajdującego się w mianowniku,
otrzymanym przez skreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu których
znajduje się element gmn.
Jeżeli wektor a jest określony za pomocą współrzędnych kontra-
wariantnych, a wektor b za pomocą współrzędnych kowariantnych, to
ich iloczyn skalarny wynosi
ab = a161+a36a + a363 = a%a,
i analogicznie:
ab = aaba.
Zastosowania algebry wektorowej do geometrii analitycznej
(równania wektorowe płaszczyzny i prostej) stronice 254 - 286 i stronica 691.

656 II. Rachunek wektorowy
s
a
£
anal
trii
a
<•>
&
•O
tny
fl"
S
pros
ych
•S
u
+
+
« -o
+
V
t3 -c>
+
MS.
a. °
^
•0
X
0
"u
A
.0
*
0
a
1
<o
0
ora
■tt
S
■o
p
.»
Q
■Sfl
£S
Ja IS
ss
P cd
•o rt
u 8,
'K*
o
1
I
I
5, Funkcja wektorowa zmiennej skalarnej 657
5. Funkcja wektorowa zmiennej skalarnej
Określenie. Wektor zmienny a nazywamy funkcją wektorową
zmiennej skalarnej t, jeżeli każdej wartości t odpowiada określony
wektor a. Oznaczenie:
a=/(r).
Wyznaczenie funkcji wektorowej
a = axi+oyj+azk
w układzie współrzędnych prostokątnych polega na wyznaczeniu trójki
funkcji skalarnych jednej zmiennej skalarnej t:
ax=fx(,t)s <iy »/v(r), az = fz{t).
Jeżeli wektor zmienny a przedstawiony jest za pomocą równego mu
wektora wodzącego OM = r = r(t) punktu M, to przy zmianie
zmiennej t punkt M zakreśli w przestrzeni krzywą (rys. 396) zwaną
hodografem danej funkcji wektorowej;wyznaczenie tej krzywej realizuje
się za pomocą trzech równości
* = *(0. y=y(?)> * = *(0>
więc
r = xi+yj+zk.
Pochodna funkcji wektorowej a =f(t):
da =lim/(H-^0-flO
& At-M ^
jest nową funkcją wektorową zmiennej t.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji wektorowej: drjdt
jest wektorem srycznym do hodografu funkcji wektorowej r(t) w
danym punkcie (rys. 397); długość wektora drjdt zależy od wyboru
parametru *. Jeżeli t oznacza czas3 to funkcja r(t) wyznacza ruch punktu

658
II. Rachunek wektorowy
M w przestrzeni, a wektor drjdi, zarówno co do wielkości jak i co do
kierunku wyznacza prędkość tego ruchu. Jeżeli t oznacza długość łuku
hodografu Uczonego od pewnego punktu początkowego M0 do punktu
ruchomego M, to
\dr
dt
= 1.
Reguły różniczkowania wektorów:
d / i l , •, da db dc
d , „ dę , da
1* &*> = ■*«+**.
gdzie ę jest funkcją skalarną zmiennej t.
d . .. da,^db
-*m =■** + *-*'
d , , ^ da , db
A dt <fr
(czynników nie wolno przestawiać, patrz str. 605).
d r / *, da dę
Jeżeli wektor r ma stałą długość, to
dr
(hodograf jest krzywą sferyczną i styczna jest prostopadła do wektora
wodzącego).
Szereg Taylora funkcji wektorowej:
, ,,, ,. , , da hs d"a h" dna ,
Zbieżność tego szeregu (i dowolnego szeregu o wyrazach
wektorowych) określa się tak samo jak zbieżność szeregu o wyrazach
zespolonych (patrz str. 623). O rozwinięciu funkcji wektorowej w szereg
Taylora można mówić tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny,
Różniczkę funkcji a(t) określamy wzorem
j da ,
da^-^At,
gdzie At jest dowolnym przyrostem zmiennej t.
6. Pole skalarne
659
B. TEORIA POLA
6. Pole skalarne
Funkcje punktów. Wielkość skalarną U, która w każdym punkcie
M przestrzeni przybiera oznaczoną wartość U = U(M), nazywamy
funkcją skalarną punktu M albo polem skalarnym (na przykład pole
temperatury, pole potencjałów, pole gęstości w ośrodku
niejednorodnym).
Pole może być określone za pomocą skalarnej funkcji argumentu
wektorowego, mianowicie wektora wodzącego r punktu M przy danym
biegunie O (patrz str. 647):
(1) U=U(r).
Pole określone tylko dla punktów pewnej płaszczyzny nazywamy
palem płaskim 0).
Pole środkowe i pole osiowe. Jeżeli funkcja przybiera
jednakowe wartości we wszystkich punktach leżących w tej samej odległości
od pewnego stałego punktu Cfa), zwanego środkiem, to pole tej funkcji
nazywamy środkowym lub kulistymi wartość U zależy tylko od
odległości CM = r; na przykład U = r (funkcja U wyraża odległość
punktu M od bieguna O), U = cjr% (pole jasności w punkcie M przy
punktowym źródle światła), ogólnie:
(2) U=/(r).
Jeżeli funkcja U przybiera jedną i tę samą wartość we wszystkich
punktach leżących w jednakowej odległości od prostej (osi pola), to
takie pole nazywamy polem osiowym lub cylindrycznym.
Określenie pola w układzie współrzędnych. Określając punkt
M za pomocą jego współrzędnych (prostokątnych x, y, s»
cylindrycznych q, ę, z albo sferycznych r3 B, ę (2) otrzymujemy wyrażenie na
pole skalarne w postaci funkcji trzech zmiennych:
(la) U=0(x,y,z)t U=*F(Qyę,z), U = 0(r, 0, <p),
a dla pola płaskiego — w postaci funkcji dwóch zmiennych (we
współrzędnych prostokątnych albo biegunowych):
(Ib) U = ®(x,y) lub U = W{&, y),
przy czym zakłada się, że funkcje U we wzorach (la) i (Ib) są
jednoznaczne i wszędzie ciągłe, z wyjątkiem ewentualnie poszczególnych
O Niekiedy polem płaskim nazwane jest pole określone dla punktów przestrzeni
w taki sposób, że we wszystkich punktach prostej równoległej do danego kierunku
funkcja ma stalą wartość. Jest to nazwa niewłaściwa, chociaż badanie pola w całej
przestrzeni sprowadza się do badania pola w pewnej płaszczyźnie prostopadłej do
danego stałego kierunku.
(3) Patrz str. 280.

000 II. Rachunek wektorowy
punktów, linii lub powierzchni nieciągłości. Wyrażenie pola
środkowego we współrzędnych:
(2a) U = Utytf+7+ź2) = UtvV+s3) = ^(0,
dla pola osiowego:
(3) U = U{)/^+y) = tKs) = UCrsinO);
dla badania pól środkowych najdogodniejsze są współrzędne sferyczne,
a dla osiowych cylindryczne.
Powierzchnie i linie równych wartości pola. Punkty, w
których funkcja (1) przybiera jedną i tę samą wartość, tworzą w przestrzeni
powierzchnie równych wartości o równaniu
(4) U = const,
a więc we współrzędnych prostokątnych, cylindrycznych i sferycznych
powierzchnie te mają równania
C4a) U=9(£y,s) = c, U=Y(e,V>*) = c> U = ©CM,?) = c.
Przy różnych wartościach stałej c = c0, cu ca otrzymuje się różne
powierzchnie równych wartości pola U = c0> U = d, U = <:3; przez
każdy punkt pola przechodzi jedna taka powierzchnia, z wyjątkiem tych
punktów, w których funkcja U nie jest
jednoznacznie okteślona.
Przykłady. 1. Dla pola U = er = £**+
+%y_^CzZ z powierzchniami równych
wartości pola są płaszczyzny wzajemnie równoległe.
2. Dla pola U - xz+2y*+4z2
powierzchniami równych wartości pola są elipsoidy jedno-
kładne względem bieguna O.
Powierzchniami równych wartości pola
środkowego są współśrodkowe powierzchnie kulis-
te, a powierzchniami równych wartości pola *■?*■ w
osiowego są współosiowe walce obrotowe.
Dla pola płaskiego równanie U = const określa linię równych
wartości pola:
(4b) U(x,y) = c, U(q,<p)=c.
Na wykresach linie równych wartości pola przyjęto prowadzić
w równych odstępach wartości stałej c (wartości c13 c2, c3 stanowią
postęp arytmetyczny) i na każdej z tych linii pisze się jej cechę c,
czyli odpowiednią stałą wartości funkcji U (rys. 398), lmie takie
nazywamy poziomicami pola. Na przykład izobary (linie równych ciśnień)
na mapie synoptycznej, warstwice (linie równych wysokości) na mapie
6. Fole skalanie
661
topograficznej. W poszczególnych przypadkach linie równej wartości
pola mogą się zdegenerować do odosobnionych punktów, a
powierzchnie równych wartości pola do punktów i linii.
; 23f yk 432 7
Rys. 399
Przykłady (rys. 399). 1. U = xy> 2. U = Ą-. 3. U = r\
1 *
4. U =* — .
r
7. Pole wektorowe
Funkcje wektorowe punktów. Wielkość wektorową V, która
w każdym punkcie M przestrzeni przybiera okteślona wartość,
nazywamy funkcją wektorową punktu V = V(M) albo inaczej: polem
wektorowym.

662 II. Rachunek wektorowy
Przykłady: pole prędkości cieczy będącej w ruchu, pole sił, pole
natężeń elektrycznych lub magnetycznych.
Pole wektorowe może być określone za pomocą wektorowej funkcji
argumentu wektorowego r:
(1) V=V(r).
Pole wektorowe jest płaskie (l), jeżeli wszystkie wartości zarówno r
jak V leżą w jednej płaszczyźnie.
Często występujące typy pól wektorowych.
Pole wektorowe Środkowe (rys. 400a) jest to pole, w którym wszystkie
wektory V leżą na prostych przechodzących przez stały punkt, zwany
a) X b) c) i
Rys. 400
środkiem pola. Jeżeli biegun będzie się znajdował w środku pola, to
takie pole określa się wzorem
gdzie/(r) jest skalarem, każdy wektor V ma kierunek wektora
wodzącego r (zorientowanego zgodnie lub przeciwnie). Takie pole dogodnie
jest wyrazić wzorem
gdzie <p(r) jest to długość wektora V, a r\r jest wersorem tego wektora.
Pole wektorowe sferyczne (rys. 400b):
V=V<r)y>
jest to ważny przypadek szczególny pola środkowego, w którym dłu-
C) Patrz notkę na str. 659. Analogicznie jest dla pola wektorowego.
7. Pole wektorowe
663
gość <p(r) wektora V zależy tylko od długości wektora r, a nie zależy od
jego kierunku; na przykład pole grawitacyjne Newtona-Coulomba:
Dla pola płaskiego przypadek ten nazywamy polem kołowym.
Pole wektorowe cylindryczne (rys. 400c) jest to pole, w którym
wszystkie wektory V leżą na prostych przecinających pewną stałą
prostą, zwaną osią pola, i prostopadłych do tej osi, przy czym wektory
w punktach leżących w jednakowej odległości od osi mają równe
długości i są wszystkie skierowane od osi albo wszystkie ku osi. Jeżeli
biegun umieścimy na osi pola o wersorze c, to takie pole określa się
wzorem
gdzie r' jest wektorem stanowiącym rzut wektora r na płaszczyznę
prostopadłą do osi pola: r' = cx(rxc). W przecięciu tego pola
płaszczyznami prostopadłymi do osi pola otrzymuje się jednakowe pola
kołowe.
Określenie pola w układzie współrzędnych. Pole wektorowe
(1) można określić za pomocą trzech pól skalarnych f"(r), V\r), F3(r)s
które są współczynnikami rozkładu wektora V wzdłuż trzech dowolnie
obranych wektorów niekomplanarnych eu e2, c3:
(2) V ^V^+V^+V^,.
Jeżeli za wersory eu e2i e3 przyjmiemy wersory t, j, k osi Ox, Oy,
Os w układzie współrzędnych prostokątnych, a współczynnlkiF1,F2,T^3
wyrazimy przez współrzędne prostokątne x, y, z, to
(2a) V = Vx(x, y, z)i+Vv(x, y, z)j+Vz(x,y, z)k,
tzn. pole wektorowe jest określone za pomocą trzech funkcji skalarnych
trzech zmiennych (jest to określenie pola we współrzędnych
prostokątnych).
We współrzędnych cylindrycznych wersory eP) eę, ee = ksą
styczne do linii współrzędnych w każdym punkcie (rys. 401), a współczynniki
są wyrażone przez współrzędne cylindryczne q, <p, z:
(2b) V = Vp(q, ą,, z)ep+V9(Q, <p, z)e9+Vt(Q, <p, z)ez.
We współrzędnych sferycznych wersory er = r/r, ev, e0 są styczne
do linii współrzędnych w każdym punkcie (rys. 402) i po wyrażeniu
współczynników przez współrzędne r, y, 6 otrzymujemy wzór
(2c) V=Vr(r, <p, ff)er+Vv(r, <?, d)e<p + V0(r, ?, 6)e0.

664
II. Rachunek wektorowy
W obu tych przypadkach wersory zmieniają swój kierunek przy
przejścia od jednego punktu do drugiego, ale pozostają wzajemnie
prostopadłe.
Wzory na przejście od jednego układu współrzędnych do
innego.
Wyrażenie współrzędnych prostokątnych przez cylindryczne:
Vx =Vptxxę~ PVsin<p, Vy = K, sin y+V? cosy, V9 =Ve.
Rys. 401
Rys. 402
Wyrażenie współrzędnych cylindrycznych przez prostokątne:
VP =Vxcos»p+VySin^1 Vę = — VxsmęĄ-Vy<:o$<p, Vz ^Vt,
Wyrażenie współrzędnych prostokątnych przez sferyczne:
Vx =KrSinOcosy—V<pSin<p+Vecos<pcosQ,
V, =VTcosO-Vb%m6.
Wyrażenie współrzędnych sferycznych przez prostokątne:
VT =Vx$mQca&ęĄ-VyśnO$m<pĄ-Vxc<x>0:,
Vq>= — Vx siny Ą-Vy cos <p,
VB = P^cos0cos<p+Vj,cosesin<p—Vzśn.Q.
Wyrażenie sferycznego pola wektorowego we współrzędnych
prostokątnych ^______
V = <p(/x*+y2+z*) (xi+yj+zk).
7. Pole wektorowe 665
Wyrażenie cylindrycznego pola wektorowego we współrzędnych
prostokątnych
v = WyWy) (xi+yj).
Do badania pól sferycznych najdogodniejsze są współrzędne
sferyczne, mianowicie V = V(r)er> a do badania pól cylindrycznych
współrzędne cylindryczne, a mianowicie V = V(g)ep.
W przypadku pola płaskiego mamy (rys. 403):
V = Vx(xs y)i+Vy(x, ytf = Vp(x3 y)ep^Vtp{x, y)eę>
a dla pola kołowego
V = (p(j/xB+y) (xi+yj) = y>($)ep.
Rys. 403 Rys. 404
Linie sil. Linią sił pola wektorowego V(r) nazywamy taką krzywą
r, że w każdym jej punkcie M(r) wektor V(r) jest styczny do krzywej r
(rys. 404). Przez każdy punkt pola przechodzi jedna linia sił. Linie
sił wzajemnie nie przecinają się (z wyjątkiem punktów, w których
funkcja Fjest nieokreślona lub V = 0).
Przykłady. W polu środkowym linią sił przechodzącą przez
dany punkt M jest półprosta wychodząca ze środka O i przechodząca
przez punkt M. Liniami sił pola V = c x r są okręgi leżące w
płaszczyznach prostopadłych do wersora c i mające środki na osi tego
wersora.
Równania różniczkowe linii sił pola wyrażonego we współrzędnych
prostokątnych C1):
dx __ dy _ dx
a dla pola płaskiego
dx dy
O O rozwiązywaniu tych równań różniczkowych patrz str. 511 i 524.

666
II. Rachunek wektorowy
8. Gradient
Pochodna pola skalarnego. Pochodną pola skalarnego U =
= U(r) w danym punkcie r względem wektora c (rys. 405) nazywamy
granicę
dU ,. U(r+ec)-U(r)
--— = lim
dc „_,n e
Pochodną pola U = U(r) w danym punkcie r w kierunku wersora c°
nazywamy pochodna -r-^ . Pochodne pola względem wektora c i jego
wersora c° w danym punkcie są związane wzorem
dU , ,dU
dU
Rys. 405
Pochodna ^^ wyraża prędkość wzrastania
c oc
funkcji U w każdym punkcie w kierunku
wersora c°; spośród wszystkich pochodnych
w danym punkcie w kierunku różnych wer-
sorów największa jest pochodna -j—, gdzien
jest wersorem normalnej w danym punkcie do powierzchni równych
wartości pola, zorientowanym w kierunku wzrastania funkcji U;
pochodna w innym kierunku wyraża się wzorem
dU ÓU , . , dU
T— = -—cos(cQ,n) =-— cos?.
dc0 dn dn
Gradient pola skalarnego. Gradient pola skalarnego U(f)3
oznaczamy symbolem grad U lub V l/C1), jest to wektor określony
w każdym punkcie pola, mający kierunek zgodny z kierunkiem
normalnej do powierzchni równych wartości pola, zorientowany w kierunku
wzrastania funkcji U i mający długość
A więc
gradU = n
dU
dn
ÓU
dn '
Pochodna ^-^ równa się rzutowi grad U na kierunek c°.
^ = c°gradU.
Współrzędne gradientu w układzie współrzędnych prostokątnych:
JrT ÓU . dU . dU .
_____ gndU = -tet+lźJ+ di"*'
(') O operatorze V (operator nabla) patrz str. 677.
8, Gradient 667
w układzie współrzędnych cylindrycznych:
,TJ ÓU , 1 dU dU
grad U = -r- e + — • -— e + —- ez,
óq p q df 9 dz
w układzie współrzędnych sferycznych:
W tych punktach pola, w których linie równych wartości pola,
poprowadzone zgodnie z warunkiem podanym na stronicy 660,
występują gęściej, bezwzględna wartość gradientu jest większa; w punktach
maksimum i minimum pola, w których to punktach powierzchnie i linie
równej wartości pola degenerują się do punktu, gradient pola równa
się zeru: grad U = 0.
Różniczka pola skalarnego. Różniczką pola skalarnego
nazywamy różniczkę zupełną funkcji U (patrz str. 393):
JTrJ dU , dU , dU ,
dU = grad U dr = -~-dx4-~—-dy+-r~dz.
dx dy oz
Reguły obliczania gradientn Q).
grade = 0, grad(Ui + l/a) = grad U, + grad U2, grad(cU) = cgradU,
grad(UiU3) = Utgn&Ut+UagradUl3 grad?(U) = J~ gradU,
gradf^K,) = (P1grad)Fa+(Fagrad)P1+K1XrotFa+FaxrotF1(a);
w szczególności grad(rc) = c,
T
Gradient pola środkowego: grad U(r) = U'(r) — (pole sferyczne);
w szczególności gradr = — (pole wektorów jednostkowych).
Gradient jako pochodna przestrzenna. Pochodna
przestrzenna pola skalarnego (patrz str. 674) jest to wektor stanowiący gradient
tego pola. Własność tę można przyjąć za określenie gradientu:
jUdS
grad U =* lim .
v^0 V
O W tym miejscu i w dalszym tekście c i c są stale.
p4) O wyrażeniach (Cgrad) W i rot V patrz str. 678 i 675.

668 II- Rachunek wektorowy
9. Całka krzywoliniowa i potencjał w poln wektorowym (*)
Określenie. Całką krzywoliniową funkcji wektorowei V(r) wziętą
po łuku AB oznaczoną symbolem
/ V{r)dr
AB
nazywamy skalar P otrzymywany w sposób następujący:
Rys. 406
1° Drogę całkowania AB (rys. 406) rozkładamy za pomocą
punktów
A = Ao, ^»i(ł*i)j ^i('"a)» ••• a An-\(yn—1)> An = B
na « łuków elementarnych zastępowanych w przybliżeniu wektorami
n—rt-i = An-ii
2° Wewnątrz lub na brzegu łuku elementarnego At-iAt obieramy
jakikolwiek punkt Mt o wektorze wodzącym rr,
3° Wartości funkcji V(ri) w wybranym punkcie Mt mnożymy
skalarnie przez wektor Art-ii
4° Wszystkie otrzymane « iloczynów V(.n) dodajemy;
5° Obliczamy granicę otrzymanej sumy
n
i=l
gdy długość każdego wektora elementarnego Aru-t dąży do zera (zatem
M-+ oo).
(J) W paragrafie tym dany jest wykład całki krzywoliniowej drugiego typu, postaci
ogólnej.
9. Całka krzywoliniowa 669
Jeżeli taka granica istnieje i nie zależy od sposobu podziału drogi
całkowania AB na łuki elementarne i od wyboru punktów Mi, to
granicę tę nazywamy całką krzywoliniową:
n
f V(r)dr = lim Y K(«) Jri_i.
AB n—>oo
Twierdzenie o istnieniu. Jeżeli funkcja V(r) jest ciągła (*) i łuk
AB jest ciągły i ma w sposób ciągły zmieniającą się styczną, to całka
krzywoliniowa j V(r)dr istnieje.
AB
Interpretacja mechaniczna całki krzywoliniowej. Jeżeli pole
V jest polem sił, to całka krzywoliniowa P = j V(r)dr wyraża pracę
AB
wykonaną przez siłę V przy przesunięciu punktu materialnego po
drodze AB.
Własność całki krzywoliniowej. Zachodzą wzory (patrz rys. 407),:
f V(r)dr = f V(r)dr+ j V(r)dr
A~BG AB BC
j V(r)dr = - f V(r)dr,
A~B BA
fLV(r) + W(ry\dr - j V(r)dr+ } W{r)dr,
AB AB AB
jcV(r)dr = cJV(r)dr. M Rya. w
*AB AB
Obliczanie całki krzywoliniowej określonej w układzie
współrzędnych prostokątnych sprowadza się do obliczenia całki krzywoliniowej
drugiego typu, w postaci ogólnej (patrz str. 520, 521):
/ V{r)dr = f(Vxdx+Vydy+Vzdz).
AB AB
(*) Dla ciągłości funkcji wektorowej konieczna jest ciągłość wszystkich trzech
funkcji skalarnych występujących w roli współczynników w rozkładzie funkcji V
wzdłuż weisorów elt eg, ea.

670 II- Rachunek wektorowy
Cyrkulacja. Cyrkulacją albo całką okrężną funkcji V(y) w polu
wektorowym nazywamy całkę krzywoliniową w tym polu wziętą po
krzywej zamkniętej (konturze) C; oznaczamy ją symbolem j" Vdr.
C
Pole potencjalne. Polem potencjalnym albo zachowawczym
nazywamy takie pole wektorowe, w którym całka krzywoliniowa j V(r)dr
^ ***
nie zależy od drogi całkowania AB, a zależy tylko od położenia punktów
A i B. Cyrkulacja w polu potencjalnym jest zawsze równa zeru. Pole
potencjalne jest zawsze bezwirowe:
(1) rot V = 0
(patrz str. 680); równość ta wraz z warunkiem, by odpowiednie
pochodne cząstkowe współrzędnych pola były ciągłe, stanowi warunek
konieczny i dostateczny na to, by pole było potencjalne.
W układzie współrzędnych prostokątnych warunek ten ma postać
*■ ' dy dx ' dz dy y dx dz
dla pola płaskiego bierze się tylko pierwszy z powyższych warunków.
Potencjał pola zachowawczego. Jeżeli w polu potencjalnym
ustalimy punkt początkowy A(r0) i będziemy zmieniali punkt końco-
r
wy B(r)i to całka j V(r) dr, którą można napisać w postaci / V(r)dr,
AB r»
jest funkcją skalarną wektora r:
r
j V(r)dr = V(r)
i pole skalarne ą>(r) nazywamy funkcją potencjalną albo potencjałem pola
V(r) O- Potencjał pola jest określony z dokładnością do stałego
czynnika, który zależy od dolnej granicy całkowania r0; różnica potencjałów:
*a
Hr3)-?(»*i) = JV(r)dr.
C') Jest to warunek całkowalności (patrz str. 423).
(*) Jest to funkcja pierwotna (patrz str. 423). W fizyce potencjałem <p (r) w punkcie
r nazywa się niekiedy całkę o znaku przeciwnym:
r
- / V(r)dr.
9. Całka krzywoliniowa
671
Związek między gradientem, całką krzywoliniową i
potencjałem pola. Jeżeli V(f) = grad U(r), to U(r) jest potencjałem pola
V(?) C1)' * odwrotnie.
Obliczenie potencjału U pola zachowawczego V = Vxi-\-VyjĄ-
+ Vzk określonego we współrzędnych prostokątnych jest równoważne
obliczeniu funkcji U na podstawie jej
różniczki zupełnej dU = Vxdx+Vydy+Vzdz,
gdzie Vx, Vyi Vz muszą spełniać warunek
(la); funkcję U znajduje się z układu
równań
dU
dx
= VX
dTJ_
dy
= Vai
dU_
dz
= VZ
W praktyce potencjał oblicza się za
pomocą całkowania po łamanej (rys. 408)
o bokach równoległych do osi
współrzędnych (patrz obliczenie funkcji pierwotnej
na str. 624):
Rys. 408
U = jvdr = U(x0,y0,z0)+ fVx(x,y0iz0)dx-\-
y z
+ f Vy(xy y, z0) dy+ f Vz(x, y, z) dz.
y»
Zo
10. Całki powierzchniowe (2)
Wektor normalny. Wektorem normalnym do płaskiego płata
zorientowanego 2, ograniczonego konturem C (rys. 409a), nazywamy
wektor S, którego długość równa się polu 5 płata 2, a kierunek jest
prostopadły do płaszczyzny płata 2 i tak zorientowany, że jeżeli po-
a)
c)
(}) Albo też: minus potencja! pola V(r) (patrz notkę (a) na str. 670).
(a) W paragrafie tym podany jest wektorowy wykład teorii całki powierzchniowej
drugiego typu w postaci ogólnej.

672 U. Rachunek wektorowy
czątek wektora S umieścimy na placie -£, to obserwator patrzący
z końca wektora będzie widział dodatnią stronę płata S,
(Przypominamy, że na dodatniej stronie płata dodatni kierunek konturu obiera się
w taki sposób, żeby punkt obiegający kontur w tym kierunku zostawiał
wewnętrzny obszar piata po lewej stronie.) Można to przenieść na
dowolny piat krzywopowierzchniowy zorientowany, ograniczony
pewnym konturem (rys. 40% i c).
Trzy rodzaje całek powierzchniowych (po placie
zorientowanym -£ ograniczonym pewnym konturem albo po powierzchni
zamkniętej).
Definicje. Całkami powierzchniowymi w polu skatemxpnlvb
wektorowym nazywamy wielkości utworzone w sposób następujący:
1° Płat -£, na którym wybrana
została strona dodatnia (w przypadku
powierzchni zamkniętej za stronę dodatnią
przyjmuje się stronę zewnętrzną),
rozkładamy w dowolny sposób na n płatów
elementarnych dSt (rys. 410), z których
każdy uważamy w przybliżeniu za
plaski, i dla każdego takiego płata
konstruujemy przynależny mu wektor
oznaczony przez dSa
2° wewnątrz lub na brzegu każdego
płata elementarnego dSi wybieramy
dowolny punkt ra
3° w przypadku pola skalarnego
tworzymy iloczyn U{n)dSt, a w przypadku pola wektorowego
tworzymy iloczyn skalarny V(ri)dSi lub iloczyn wektorowy V(ri)xdSti
4° iloczyny utworzone dla każdego z obszarów elementarnych
dodajemy;
5° znajdujemy granicę utworzonej sumy, gdy dSi lub dSt dążą do
granicy zero (a więc n --► co), pod warunkiem, że granica ta nie zależy
od sposobu podziału płata Ź lub zamknięte) powierzchni całkowania
na płaty elementarne ani od wyboru punktów rt (x).
A. Strumień pola skalarnego:
P = lim £ U(n)dSi = J" U(f)dS.
dSi->0 Z
B. Strumień skalarny pola wektorowego:
Q = lim £ V{n)dSi = f V(r)dS.
ds,->o r
C1) Piat elementarny dSi ściąga się do punktu (patrz notka na str. 5261.
Rys. 410
10. Całki powierzchniowe 673
C. Strumień wektorowy pola wektorowego:
i* = lim VV(ri)xdSi= {V(r)xdS(l).
dSt—0^1 £
Obliczanie całki po płacie powierzchniowym we współrzędnych
prostokątnych sprowadza się do obliczenia catek powierzchniowych
drugiego typu (patrz str. 540) i wykonuje się według następujących
wzorów:
A. f UdS = f f Udydzi+ j J" Udzdxj+ f f Udxdyk.
£ **ys Ezx Exv
B. fvdS = fjVxdydz+f fVydzdx+f fVzdxdy.
Z £l/Z £zx Żxy
C. fVxdS = f f(Vd-Vvk)dydz+ f f (Vxk-Vzi)dzdx+
+ / /' <V*i-V*j)dxdy.
We wzorach tych każdą z całek
podwójnych rozciąga się na rzut płata 2 na
odpowiednią płaszczyznę
współrzędnych (2) (patrz rys. 411), przy czym w
wyrażeniach podcałkowych należy jedną ^
ze współrzędnych x} y, z wyrazić przez
dwie pozostałe z równania
powierzchni 2.
Przykłady. A. />.=, jxyzdS, gdzie
z
2 jest częścią płaszczyzny x-\-y+z = 1
zawartą między trzema płaszczyznami
współrzędnych (stroną dodatnią płata 2
jest jego górna strona). Mamy
P = J"j (\—y—z)yzdydzi+ f f (l—x — z)xzdxdxj+
yz zx
+ //(!— x~ y)xydxdyk.
xy
Obliczamy
l l-e
ff(l-y~z)yzdyds = f f (l~y-z)yzdydz = — •
o o
(') Dla każdej z tych całek zachodzi twierdzenie o istnieniu analogiczne do
twierdzenia podanego na str. 542; dokładne sformułowanie tych twierdzeń pomijamy.
(a) Rzuty te opatruje się znakami „ + " lub,,—" według reguły podanej na str. 540.

674 II- Rachunek wektorowy
dwie pozostałe całki są analogiczne. W wyniku otrzymujemy
B. Q = frdS= jfxdydz+ ffydzdx+ffzdxdy,
Z ys zx xy
gdzie płat £ jest ten sam co w poprzednim przykładzie.
Mamy
i i-x t
ffzdzdy = f f (l-x-y)dydx = -^ ;
o o
pozostałe dwie całki oblicza się analogicznie. Wynik
C. Jł = j*rx<*S=j* (xi+yj+xk) x (dydzi+dzdxj+dxdyk)
z z
po tym samym płacie E.
Analogiczne obliczenie daje R = 0.
Całki po powierzchni zamkniętej oznaczamy odpowiednio
symbolami
J UdS, J VdS, $VxdS.
11. Różniczkowanie przestrzenne
Określenie. Pochodnymi przestrzennymi pola skalarnego lub
wektorowego w punkcie r nazywamy wielkości trzech postaci
otrzymywane w sposób następujący:
1° Punkt r pola skalarnego U(r) albo pola wektorowego V(r)
otaczamy zamkniętą powłoką Z;
2° obliczamy całki okrężne po powierzchni £'.
J U(r)dS, J V(r)dS lub f F(r) x dS;
z z z
3° znajdujemy granicę stosunku tej całki do objętości obszaru v
zawartego wewnątrz powłoki S3 gdy obszar v ściąga się do punktu
(w sensie podanym w notce na str. 526).
Pochodna przestrzenna pola skalarnego jest jego gradientem (patrz
str. 667), a pochodne przestrzenne pola wektorowego (skalarna i
wektorowa) prowadzą do pojęć rozbieżności i wirowości pola.
12. Rozbieżność pola wektorowego 675
12. Rozbieżność pola wektorowego
Określenie. Rozbieżnością albo dywergencją pola wektorowego V,
oznaczaną symbolem divF lub W (Ł), nazywamy skalar określony
w każdym punkcie pola, stanowiący pochodną przestrzenną skalarną
pola wektorowego w danym punkcie r:
JVdS
z
div V = lim — .
»^o ^
Wzory i reguły na obliczanie rozbieżności pola. We
współrzędnych prostokątnych mamy:
.. „ bV* t ÓVy , ÓVZ
dx óy dx
we współrzędnych cylindrycznych:
we współrzędnych sferycznych:
ra \dr v 7 rsuifi ó(p rsinfl \ ó& a }
Ponadto mamy związki:
dive = 0, div^+FO = divFj+divFa, div(cF) = cdivV,
TC
div (UF) = UóivV+ Fgrad U, w szczególności: div re = ,
div^XFa) = FsrotKi-FxiOtFa.
Rozbieżność pola środkowego:
divr = 3, div <p(r)r = 3y(r)+rc/(r).
13. Wirowo ść pola wektorowego
Określenia. Wirowośctą albo rotacją pola wektorowego V,
oznaczaną symbolem rot V, curl Falbo p x F(l), nazywamy wektor
określony w każdym punkcie pola i stanowiący pochodną przestrzenną
wektorową tego pola, wziętą ze znakiem przeciwnym:
rot
V= -Hm(— f>x<tsW
«_>o \ » i I
(ł) O symbolu V (nabla) patrz atr. 677.
(3) Znak minus można usunąć przestawiając czynniki pod znakiem całki; j dSxV
(patrz str. 650).

676
II. Rachunek wektorowy
Inne określenie wirowości: wirowośctą lub rotacją pola
wektorowego V nazywamy wektor utworzony w sposób następujący:
1° Przez dany punkt r prowadzimy niewielki płaski płat elementarny
5 (patrz rys. 412);
2° obliczamy cyrkulację / Vdr (patrz str, 670) wzdłuż konturu
tego płata; c
3° obliczamy granicę stosunku tej cyrkulacji do pola płata
elementarnego S, gdy płat ten ściąga się do
punktu, przy czym położenie płaszczyzny „^-t
piata pozostaje niezmienne;
4° zmieniając ustawienie płata
znajdujemy takie ustawienie płata 5max, przy ^^
którym otrzymana granica osiąga
maksimum;
5° w punkcie r konstruujemy wektor
rotr, którego długość równa się
powyższemu maksimum, a kierunek jest zgodny
z kierunkiem przynależnym do płata
S***: j Vdr
|rotF| = lim -J^-:
rzut wektora rot V na normalną do płata 5 wynosi
rzut» rot V = lim-
S-.0
fVdr
h
Wirowość pola potencjalnego równa się zeru (wniosek z twierdzenia
Stokesa, patrz str. 679).
Linie sił pola rot V nazywamy liniami wirowymi pola (patrz str. 665).
Wzory i reguły na obliczanie wirowości pola. We
współrzędnych prostokątnych mamy:
rotF =
dy
dV»
dVx dVz
dz !' ' \ dz
we współrzędnych cylindrycznych:
rotF =
dx
i+
ÓVy
dx
dy
1 dVe W?
d<p
dVz
ó1ł
dz óq
d(s>Vę) 1
ÓQ Q
k,
13. Wirowość pola wektorowego 677
we współrzędnych sferycznych:
, fi d(rve) i dVr] r i ÓVt i(d yi
Ponadto mamy związki
rot (Fx+Fi) = rotFi+rotFa, rot(cF) = crotF,
rot (UF) - UrotF+gradUxF,
rotC^xPO = (F2grad)P1-^1grad)F2 + F1divFa-FadivFi(1).
14. Operator Hamiltona y, operator (ay) i operator Łaplace'a,d
Operator Hamiltona. Operator Hamiltona y (nobla) jest to
wektor symboliczny zastępujący symbole grad, div i rot:
yU = grad U, yV = divF, y X V = rotF.
Wprowadzenie tego symbolu upraszcza obliczenia w analizie
wektorowej. Wyrażenie operatora Hamiltona we współrzędnych
prostokątnych jest następujące:
d . , d . , d .
dx dy dz
Wykonując formalnie mnożenie tego wektora przez skalar U albo przez
wektor V (skalarnie lub wektorowo), wyrażone we współrzędnych
prostokątnych, otrzymujemy wzory na gradient (str. 666), rozbieżność
(str. 675) i wirowość (str. 675) we współrzędnych prostokątnych.
Reguły wykonywania obliczeń za pomocą operatora y.
1. Jeżeli \/ stoi przed kombinacją liniową ^jatXt, gdzie at są stałe,
a Xi są funkcjami punktu (skalarnymi lub wektorowymi), to
2. Jeżeli y stoi przed iloczynem funkcji punktu X, Y, Z
(skalarnych lub wektorowych), to stosuje się po kolei do każdej z tych funkcji
(przy czym nad tą funkcją pisze się znak |) i dodaje się wyniki:
y(XYZ) = y(XYZ)+y(XYZ)+y(XYZ),
a następnie przekaztałca się otrzymane iloczyny według algebry
wektorowej w taki sposób, żeby za operatorem y znajdował się tylko czyn-
(1) O wyrażeniu Pgrad patrz str. 678,

678 II. Rachunek wektorowy
nik opatrzony znakiem [ ; znak ten po wykonaniu obliczeń można
pominąć.
Przykłady.
I I
1. div(UV)= p-(Ł7P) = V(UV) + F(UV)= V- yU+U-yV =
= KgradŁ7+Ł7divK.
2. divC^xK,) = p-f^xF*) = r(.VixV*)+V<yixh) =
^^rot^-KirotFa.
Operator (ap'). Przy wykonywaniu obliczeń może powstać
wyrażenie operatorowe
Wektor (ap') V = (agrad) F nazywa się
gradientem pola wektorowego V względem wektora
oj jest on równy pochodnej wektora V
względem wektora a (patrz rys. 413):
(«r)K=(«gad)K= laI-hmi^+Ea0)-r(r).
Rys. 413 *--0 S
Przykład. grad(IW) = F(»W = FOW + pClW.
Według wzoru 6(ac) = (ab)c+ax(6xc) (patrz str. 650)
otrzymujemy
grad (IW = (^17)^+^ x (p x F1)+(FlF)F2+ ^ x (p x F2) =
= (F2grad)K1 + F2xrotK1+(Kigrad)Fa + F1xrotKa.
Wyrażenie (a0V może być przekształcone według wzoru
2{ajz)V = rot(Kxa)+grad(aF)+«divK— Kdiva—
—a x rot f— F x rota.
Dwukrotne stosowanie operatora p, operator A. Dla każdego
pola zachodzą wzory
•1. f(FxJ0 = divrotK = 0.
2. fx (FLO «= rotgradU = 0,
3. fCf17) = divgradŁ7 = AU,
gdzie /d (inaczej: ff 1ud Fa) 'est operatorem Laplace'a, który we
współrzędnych prostokątnych wyraża się w sposób następujący:
ó*2 ' óy2 ^ dz*
14. Operatory p> (ap), A 679
we współrzędnych cylindrycznych:
q. ' dQ \Q de j + dea * <V + dz*'
we współrzędnych sferycznych:
dr* + r ' dr +rasin20' dv* + r* ' dfla r* *** dd '
4. p'(f^) = graddiv V,
5. p' X (f x &0 = rotrot V.
Dwa ostatnie wyrażenia związane są wzorem y(tfV)—Crx(j/xV) =
= AV, gdzie JK = (pF)^'est operatorem Laplace'a zastosowanym do
wektora F:
AV^AVxi+AVvJ+AVzk =
\ dx* ^ dy* ^ dz* } ^\ dx* ' dy* ' dz
+ &+&%)*■
15. Twierdzenia całkowe (})
Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa:
( VdS= foivVdv,
tzn. skalarny strumień pola V przez zamkniętą powierzchnię £ równa
się całce rozbieżności V rozciągniętej na obszar v i zawartej wewnątrz
powierzchni £.
We współrzędnych prostokątnych:
(yxdydz + Vvdzdx+Vzdxdy)= fj f\~ + ^ + *~\dxdydz,
gdzie V%, Vv, Vz są funkcjami trzech zmiennych x, y, z.
Twierdzenie Stokesa:
fydr - J xotV dS,
tzn. cyrkulacja pola po konturze C równa się strumieniowi wirowości
pola przez dowolną powierzchnię £ ograniczoną konturem C (a).
J7
O Patrz str. 544, 545.
(2) Dokładniejsze sformułowanie patrz str. 544.

680 II. Rachunek wektorowy
We współrzędnych prostokątnych:
/ (Vxdx+Vydy + Vzdz) = JJ L?p- - ^Jl\ dydz +
^-^\dzdX+{^^]dxdy.
1 \ dz dx } ' \ dx dy
Dla płaskiego konturu {wzór Greena):
C £
gdzie Vx i Vv są funkcjami dwóch zmiennych x i y.
Twierdzenie Greena:
1. / UigradU*dS = j (UtAUt+ gradŁĄgradU2)dv,
r v
2./(Ł71gradŁ72-Ł7agtadŁ71)<*S = ^ (U1AU2-UzńVi)dv,
r v
gdzie Uj i Ł72 są to pola skalarne, a 2 jest powierzchnią ograniczającą
obszar przestrzenny v, W szczególności, gdy Ux = 1, mamy
3. JgradŁ7<*S = j AUdv.
r «
We współrzędnych prostokątnych twierdzenie 3 przybiera
następującą postać:
r du , , , óu , , , óu , , rld*u d*u d2u\
16. Pole wektorowe bezwirowe i bezźródlowe
Określenia. Polem wektorowym bezwirowym V nazywamy pole,
którego wirowość jest wszędzie równa zeru. Jeżeli rot V = 0, to V=
= grad U; funkcja Ł7, czyli potencjał pola V C1), w dowolnym punkcie
M może być wyrażona wzorem
gdzie r jest odległością obszaru elementarnego dv od punktu M, a całka
jest rozciągnięta na całą przestrzeń (2).
(J) Albo minus potencja! pola V; patrz notkę (s) na str. 670.
(s) Wzór (1) (est prawdziwy, jeżeli rozbieżność pola V jest funkcją różniczkowalną
i dostatecznie szybko maleje przy wzrastaniu r do nieskończoności.
16. Pole wektorowe bezwirowe i bezźródlowe 681
Polem wektorowym bezżródłowym albo sołenoidalnym V nazywamy
pole, którego rozbieżność jest wszędzie równa zeru. Jeżeli div V = 0,
to istnieje takie pole bezźródlowe W {potencjał wektorowy pola V),
że V = rot W i w dolwolnym punkcie M potencjał wektorowy W
wyraża się wzorem
gdzie r ma to samo znaczenie co we wzorze (1), a całka rozciąga się na
całą przestrzeń (l).
Dowolne pole wektorowe V dostatecznie szybko malejące przy
oddalaniu się w nieskończoność może być w jedyny sposób rozłożone na
sumę V = Vi + Vz złożoną z pola bezwirowego Vx i pola bezźródłowego
F2, określonych wzorami
,, 1 , c div Vdv .. 1 c rot Vdv
Pole o źródłach punktowych. Pole Newiona-Cotdomba
r3
jest wszędzie bezwirowe i bezźródlowe z wyjątkiem bieguna O (źródło
poła). Jego potencjał U= —e/r (s). Strumień skalarny $EdS równa się
s
zeru, jeżeli źródło nie zawiera się wewnątrz powierzchni 5, natomiast
równa się 4?ts, jeżeli źródło znajduje się wewnątrz powierzchni S;
wielkość e nazywamy intensywnością źródła.
Pole newtonowskie o źródle w punkcie rx\
Pole newtonowskie o kilku źródłach rly r2) r3,..., których intensywności
wynoszą odpowiednio e15 e2, e3) ...:
-^i^(r-r°-
\r-rt\
Strumień skalarny JEdS jest równy zeru, jeżeli wewnątrz powierzchni
S
S nie ma źródeł, natomiast równa się AnE'ei, gdzie S' rozciąga się na
źródła r» znajdujące się wewnątrz powierzchni S.
0) Wzór (2) jest prawdziwy, jeżeli wirowość pola V jest funkcją różriiczkowalną
i dostatecznie szybko maleje przy wzrastaniu r do nieskończoności.
(Z) Lub +elr, patrz notkę (s) na str. 670.

682
II. Rachunek wektorowy
17, Równania Laplace'a i Poissona
Równanie Laplace'a. Znalezienie pola skalarnego U, dla którego
JŁ7 = 0 (czyli divgradU = 0), prowadzi do równania różniczkowego
cząstkowego (tzw. równania Laplace'a):
d2U d2U d*U _
dx* + dy* + dz* ~ '
na płaszczyźnie do równania
d3U d*U
dx* + dy' ~
Funkcje spełniające te równania (ciągle i mające ciągle pochodne
rzędu pierwszego i drugiego) nazywamy funkcjami Laplace'a albo
funkcjami harmonicznymi. Jeżeli znane są wartości funkcji harmonicznej
w punktach zamkniętej powierzchni U, to tym samym określone są
wartości tej funkcji we wszystkich punktach leżących wewnątrz tej
przestrzeni; znalezienie tych wartości stanowi zagadnienie Dirichleta.
Jeżeli na pewnej powierzchni zamkniętej znane są wartości funkcji
harmonicznej 17 i jej pochodnej dU/dn w kierunku normalnej
zewnętrznej do powierzchni, to wartość Um w punkcie M oblicza się ze wzoru
4n J r on 4it J on
gdzie r jest odległością płata elementarnego dS od punktu M.
Równanie Poissona. Znalezienie pola skalarnego U według danej
rozbieżności Q{x,y,z) jego gradientu prowadzi do równania Poissona
AU = o(x,y,z), czyli _ + _-i—^-= e(*,.y,*).
Jeżeli e jest funkcją ciągłą i wiadomo, że przy r-*oo (tzn. przy
oddalaniu się punktu do nieskończoności) funkcja U dąży do granicy
zero, i to dostatecznie szybko, to rozwiązaniem równania Poissona jest
potencjał newtonowski funkcji q określony wzorem
Ti l C Qdv
4ir J r
gdzie r jest odległością obszaru elementarnego dv od punktu M,
a całka jest rozciągnięta na całą przestrzeń,
m. RACHUNEK WARIACYJNY
1. Podstawowe zasady
Rachunek wariacyjny zajmuje się zagadnieniem wyznaczania jednej
lub więcej funkcji z pewnej danej klasy funkcji, dla której dana całka
(pojedyncza lub wielokrotna, zależnie od typu funkcji) osiąga
ekstremum, tzn. osiąga najmniejszą lub największą wartość. Do zadań tego
typu prowadai wiele zagadnień z dziedziny fizyki teoretycznej,
zagadnień inżynieryjnych lub zagadnień geometrycznych.
Przykłady. 1. Przez dwa różne punkty Pt i Pu o różnych
wysokościach należy przeprowadzić krzywą w taki sposób, aby punkt
materialny poruszający się pod wpływem działania siły ciężkości wzdłuż
tej krzywej przebył drogę od jednego punktu do drugiego w możliwie
najkrótszym czasie (zaniedbujemy tu tarcie).
Ustawmy układ współrzędnych tak, aby oś odciętych przechodziła
przez Pi i dodatni kierunek osi rzędnych był skierowany w dół od Pi.
Jeżeli punkt materialny spada z wysokości y, to jego prędkość
wywołana przyśpieszeniem ziemskim g wynosi y2gy. Ponieważ prędkość
jest pochodną drogi względem czasu, mamy
Ponieważ ds = y/1 -j-y'2 dx, wynika stąd, że (por. str. 303)
. ds fj+y" .
dt = -j_= = -' -dx
y2gy \/2gy
i całkując otrzymujemy
V2g JXi Yy
Tak więc zadanie nasze sprowadziło się do problemu znalezienia
krzywej (tj. funkcji.y = y(x)), która daje minimum całki
/
^^ dx.
*1 '•*

684
III. Rachunek wariacyjny
Funkcję podcałkową -—=— nazywamy funkcją bazową.
2. Niech w przestrzeni xyz dany będzie układ współrzędnych
prostokątnych oraz powierzchnia wyznaczona równaniem G(x, y, z) —
= 0. Na powierzchni tej położone są dwa punkty P1 i Pa o
współrzędnych odpowiednio (xu yu zj i (x2, y2> z3), przy czym Xi ^ x2. Punkty
Pt i Pa należy połączyć najkrótszą różniczkowania krzywą przestrzenną
y = y(x), z = z(x) leżącą na powierzchni G(x,y,z) = 0 (jest to
tzw. zadanie o krzywyck geodezyjnych). Z geometrii różniczkowej
wiemy, że rozwiązanie tego zadania da nam minimum całki
J=jyi+y'*+^dx
przy danym warunku ubocznym
G(x>y(x),z(x))^0
dla wszystkich xi =S x < x3. Szukamy tutaj dwóch funkcji i musi być
spełniony warunek uboczny.
Takie warunki uboczne mogą być bardzo różnorodne. W
poprzednim zadaniu jest to po prostu pewne równanie algebraiczne, w innych
zagadnieniach może to być równanie różniczkowe lub jakiekolwiek inne
równanie funkcyjne.
3. Początek układu współrzędnych i ustalony punkt P(l, 0) należy
połączyć ciągłą różniczkowalną krzywą o ustalonej długości L w taki
sposób, aby krzywa ta i oś x zamykały możliwie największe pole. Tak
więc rozwiązanie będzie dawać maksimum dla całki
przy warunku ubocznym °
l
f/l+y^dx=L.
o
Tutaj warunek uboczny ma postać ustalonej całki; także zadania
nazywamy izoperymetrycznymi zadaniami wariacyjnymi.
2. Proste zagadnienie wariacyjne o jednej funkcji niewiadomej
Najprostsze zagadnienie wariacyjne ma postać:
Dla danej funkcji bazowej F(x, y, y') znaleźć krzywą y = y(x)
taką, że dla x, y(x) i y'(x) całka
3= fF(x,y,y')dx
2. Proste zagadnienie wariacyjne 685
przyjmie wartość ekstremalną, tzn. wartość najmniejszą lub największą
w porównaniu z dowolną inną wartością, jaką uzyskamy dla tej całki
podstawiając ciągłe i różniczkowalne krzywe.
Funkcja bazowa wyznaczona jest z konkretnego zagadnienia
fizycznego, technicznego czy geometrycznego. W przykładzie 1
mieliśmy F = VT+y'* IYy~.
Załóżmy, że krzywa y = y (x) daje ekstremalną wartość całki J.
Przechodząc od krzywej y = y(x) do innej krzywej y = y(x),
przyrost całki AJ = J{y[x)] — J\y(x)] będzie miał stafy znak dla wszystkich
krzywych 'y = y (x). Tak więc dla minimum będzie AJ > 0, a dla
maksimum AJ =S 0. Będziemy nazywali różnicę ~y(x)~ y(x) wariacją funkcji
y(x) i będziemy ją oznaczać symbolem óy. Jest jasnej że ta różnica
znika na końcowych punktach krzywej:
óy = 0 dla # = #! i x = x2.
W zagadnieniach wariacyjnych wariacja funkcji odgrywa tę samą
rolę co przyrost zmiennej niezależnej w przypadku zagadnień wartości
ekstremalnych rachunku różnicakowego. Wariacja ta jest funkcją x
i zachodzi zależność — Sy = 8 (y'). Z krzywej y = y(x) dostajemy
dx
rozważaną krzywą J = y (x)- dodając do y (x) jej wariację óy:
y(x)=y(x) + 8y.
Zazwyczaj całkę możemy rozwinąć w punkcie tzw. względnego
ekstremum', tzn. ekstremum będącym minimum lub maksimum w klasie
krzywych leżących w otoczeniu danej krzywej. Możemy tu w różny
sposób interpretować pojęcie „otoczenia". Jeżeli założymy, że w
równaniach dla wartości funkcji 'y = y(x) + 8y największa z wartości \óy\
jest mała, podczas gdy \8y'\ może przybrać dowolne wartości, wówczas—
w przypadku gdy krzywa y = y(x) daje ekstremum — mówimy
o ekstremum mocnym. Jeżeli otrzymujemy wartość ekstremalną dla
krzywej y = y (x) jedynie w przypadku gdy porównujemy ją z ograniczoną
klasą krzywych, dla których zarówno \Sy\ jak i \8y'\ są małe, tzn.
z krzywymi, które różnią się mało od krzywej y — y (x) nie tylko
położeniem, ale i kierunkiem stycznej, wówczas mówimy o ekstremum
słabym.
Mocne ekstremum jest jednocześnie słabym ekstremum, ale
sytuacja odwrotna nie zawsze jest spełniona.
Aby otrzymać warunki konieczne dla ekstremum, obliczamy przyrost
całki J przy przejściu ody ix) do krzywej y(x) =y(x)+&y> otrzymując
AJ = ]FOcy^dx- ]F(x,y,y')dx3
*1 Xi

686 III- Rachunek wariacyjny
i używając twierdzenia o wartości średniej mamy
Xl
Symbol * oznacza tu, że pochodne cząstkowe obliczone są dla pewnych
pośrednich wartości drugiej i trzeciej zmiennej. Załóżmy, że pochodne
cząstkowe dFIdy i dFIdy' są ciągłej wówczas AJ można zapisać w
postaci
xi
V = j[^*y±§Sy]**+Ky,y')>
xl
gdzie R(y, y') jest wielkością rzędu mniejszego od dy i Sy'.
Analogicznie jak w przypadku pojęcia różniczki rozważamy część
główną wariacji AJ naszej całki, która jest liniowa względem Óy i Óy\
i oznaczymy ją przez dj:
xi
Jeżeli SJ # 0, wówczas dla dostatecznie małych dy i dy' znak AJ jest
dominowany przez znak dj. Gdy dy zmienia swój znak, zmienia się
również znak dj3 i wobec tego znak AJ nie może pozostawać stały dla
dowolnych dy. Tak więc znikanie wariacji dj = 0 jest warunkiem
koniecznym dla istnienia wartości ekstremalnej naszej całki. Wobec
tego w punkcie ekstremalnym otrzymujemy
*1
Całkując częściowo drugi składnik i używając warunków brzegowych
Óy = 0 dla x = *j i * = xz widzimy, że
xi
Całka ta musi znikać dla dowolnego dy. Jest to możliwe jedynie w
przypadku gdy pierwszy z czynników jest tożsamościowo równy zeru,
tzn. gdy
dF__J_ ldF\
dy dx \dy' j
Tak więc funkcja y(x), dla której nasza całka przyjmuje wartość
2. Proste zagadnienie wariacyjne 687
ekstremalną, musi spełniać tzw. równanie Eulera z rachunku
wariacyjnego. Dokładniej, równanie to przybiera postać
*Ł-J0L " d%F d%F
dy óy"y óy'óyy óy'óx~ '
Krzywe będące rozwiązaniem tego równania nazywamy ekstremalnymi
v) sensie rachunku wariacyjnego. Warunek spełnienia tego równania jest
w istocie konieczny, ale niewystarczający dla ekstremum.
Ogólnie, rozwiązanie y = y(x) zwyczajnego równania
różniczkowego drugiego stopnia ma dwie stałe dowolne powstałe w wyniku
całkowania. Aby wyznaczyć te stałe, trzeba mieć dwa warunki
brzegowe. W wielu zagadnieniach te warunki brzegowe są w postaci
yi — .V(*i) i y* — y(xi)i tzn. równanie y = y(x) określa krzywą
przechodzącą przez punkty P^x^y^ i jP*(xUiyj). W praktyce, jeżeli
równanie Eulera daje się łatwo scałkować, prowadzi to bezpośrednio
do rozwiązania żądanego zagadnienia wariacyjnego. Chcielibyśmy
wiec, przed podaniem warunków dostatecznych, podać przykład użycia
równania Eulera.
Przykład. Mamy
i
/ (2" y"~~y% ~ 2xy) *** = ekstremum;
o
warunki brzegowe y(0) = 0, y(l) = 0.
Dla tej funkcji bazowej równanie różniczkowe Eulera ma postać
~-2y—2x—2y" = 0, czyli y" + y + x=0.
Rozwiązanie ogólne ma postać y ~ CiCOSx+Ctsiax—* (por. str, 566).
Warunki brzegowe dają dla stałych całkowanie wartości
Tak wiec szukana funkcja ma postać
sin*
sml
Przypadki szczególne.
1° Funkcja bazowa nie zależy od #:
*i
/ F(y>y')dx = ekstremum.

688 III- Rachunek wariacyjny
W tym przypadku równanie Eulera przybiera postać
\dF d i dF\] , n
czyli
_£
dx
Jedno całkowanie daje nam
['-S']--
Z tego równania otrzymujemy żądane rozwiązanie równania Eulera
za pomocą drugiego całkowania.
Przykład. Mamy (por. str. 683):
xi r
i ;=— dx = ekstremum;
J Vv
warunki brzegowe y{xC> = Vi, y(x2) = ys.
Całka pośrednia ma postać
CD _£±ZL yl r
Otrzymujemy stąd
Ct]/y
a po rozdzieleniu zmiennych
Całkując otrzymujemy
Ta forma rozwiązania nie jest wygodna; przez odpowiednie
przekształcenie mo&ia sprowadzić ją do postaci parametrycznej. Z
równania (1) otrzymujemy
YyQ+?*) = 'C-i
i oznaczając dla uproszczenia -^ = ]/2K7 niamy
2. Proste zagadnienie wariacyjne 689
Wprowadzamy teraz parametr t podstawiając
(2) y = - tg -t = -
i mamy
2" * 1 + cos i
^(l+tg^tU-^p- =2K1S
V 2 ' cosE-|t
skąd
(3) 3» = 2*ricos3-^-t = JdCl+cost).
Ponadto, otrzymujemy z (2)
<£* tix dv 1 + cost , ,, . .
dr dy dt suit v *
czyli
die
— = Kl(l + cosr),
skąd całkując otrzymujemy
x = JCj.Cr+sinO+^a-
Łącząc to z równaniem (3) dostajemy ostatecznie
x = *T1(t+sint)4-.Ka) y = K\ (1+cost).
Jest to znana parametryczna postać cykloidy (por. str. 128,129).
2° Zmienna y nie występuje w funkcji bazowej:
C F(x ,y')dx = ekstremum.
W tym przypadku równanie Eulera ma prostą postać i otrzymujemy
czyli
d*F „ , d2F
, - V 4- ^—: — 0,
Jako całkę pośrednią dostajemy

690 III- Rachunek wariacyjny
Przykład. Równanie różniczkowe Eulera dla problemu
f x )/l +y'^dx = ekstremum
*i
ma postać
dl xy' 1_
i całka pośrednia
Xy' -C,
daje rozwiązanie ogólne
3- = din J x+ fx^Cf \ + c* ■
3° Funkcja bazowa nie zależy ani od x, ani od y;
j F(y')dx = ekstremum!
W tym przypadku równanie Eulera upraszcza się do
a więc, o ile d^F/dy'2 nie znika tożsamościowo, y" — 0, skąd
otrzymujemy jako rozwiązanie linię prostą
Przykład. Dwa ustalone. punkty PAxi, yi) i Pt(.x2% y£ należy
połączyć możliwie najkrótszą ciągłą i różniczkowalną krzywą.
Funkcja bazowa j/l Ą-y'* w całce
*2
zależy jedynie od y'. Ponieważ d^Fjdy'2 # 0, krzywą dającą
rozwiązanie równania Eulera jest prosta przechodząca przez punkty Px i Ps-
Xi Xi
4° d*F/dy'2^0. Jest to przypadek, gdy funkcja bazowa jest
liniowa względem y'. Można ją zapisać w postaci
^(x.jy.y) = v(.x>y) + v(M>y)y'-
2. Proste zagadnienie wariacyjne 691
Równanie Eulera ma postać
dx dy
Mamy tu dwa przypadki:
Jeżeli dy>/dx nie jest tożsamościowo równe dyjdy, jest to zwyczajne
równanie krzywej bez stałych dowolnych. Warunki brzegowe nie będą
tu na ogół spełnione.
Jeżeli dy>/dx jest równa tożsamościowo dfpjdy, wynika stąd, że
[<p(x>y)+y>(x,y)y']dx jest różniczką zupełną (por. str. 392). Wartość
całki
/ F(x,y,y')dx
zależy jedynie od współrzędnych xuyi i x2*y& a nie od krzywej
łączącej te punkty. Nie jest to więc zagadnienie ekstremalne w sensie
rachunku wariacyjnego.
Przykłady. 1. Mamy
Xi
j ixy+(xyi+ya)yr}dx = ekstremum,
dyjdy = xs dy>/dx = yz. Rozwiązaniem jest zatem parabola y2~-x = 0.
2. Mamy
J [3x*+2xy+y2+(x*+2xy+3ys)y']dx = ekstremum.
*i
Warunki brzegowe y(fl) = 0, y(l) = 1. Mamy tu
oraz
f [&x*+2xy+y*)dx+(x*+2xy+3yz)dy\ «
(0,0)
= txt+xty+xyi+yXZi/yZl = 4.
Wartość ta nie zależy od drogi łączącej punkty (0,0) i (1,1).

692 III. Rachunek wariacyjny
3. Warunki wystarczające dla założenia ekstremum
Ze wzoru Taylora wynika, że przyrost całki dla prostego
zagadnienia wariacyjnego z jedną funkcją niewiadomą można zapisać w
następującej postaci:
AJ = f F(x,y+óy,y' + óy')dx- f F(x,y, y')dx =
/t \ dy * dy' J
1 C i d2F d2F d*J* \
xl t
gdzie R jest wielkością zależną od dy i dy' rzędu mniejszego od nich.
Ze względu na drugą różnicakę, składnik
nazywamy drugą wariacją i oznaczamy ją przez d~2J. Jeżeli dj — 0
i ^j =£ 0, wówczas dla wszystkich dostatecznie małych dy i dy' znak
47 zgodny jest ze znakiem drugiej wariacji. Otrzymujemy stąd (w
połączeniu z głównym warunkiem dj = 0) warunek, który jest nie tylko
konieczny, dla ekstremum w przypadku ogólnym, ale też i dostateczny
dla słabego ekstremum. W punkcie ekstremalnym, minimum lub
maksimum, z naszej całki wynika, że konieczne jest odpowiednie
spełnienie warunku Legendre'a dsF/dy'* > 0 lub d*F/dy'* sJ 0. Załóżmy
ponadto, że krzywa ekstremalna zanurzona jest w jednoparametrycz-
nym zbiorze ekstremalnym w taki sposób, że żadna z krzywych tego
zbioru, w pewnym otoczeniu, nie przecina żadnej innej krzywej
(warunek Jacobiego). Tworzy to tzw. pole ekstremalne. Tak więc warunki
d^Fjdy'2 ^ 0 i d2F/dy's ^ 0 są warunkami wystarczającymi
odpowiednio dla słabego minimum i słabego maksimum.
Przykład. Szukamy ekstremum całki
a
o
przy warunkach brzegowych y(0) = 0, y (a) = 0, gdzie <2>0 ia ^«it
(n jest liczbą całkowitą).
3. Warunki wystarczające dla ekstremum 693
Równanie Eulera ma w tym przypadku postać y"+y = 0 i jego
rozwiązaniem ogólnym jest
y = Ci cos x + C3 sin*, czyli y = C^inQc + C^.
Z warunków brzegowych wynika, że dla stałych całkowitych mamy
bądź d = Ca = 0, bądź Ci = C2 = 0. Jeżeli a>n, każdz krzywa
rodziny y = C1cosx+C2sin* przecina naszą krzywą ekstremalną,
a zatem nie da się jej zanurzyć w tej rodzinie. Tak więc w tym
przypadku nie jest spełniony warunek Jacobiego. Jeżeli a<n, to prosta
y = 0 należy do rodziny krzywych y(x) = dsinCar+e), gdzie 0<
<£<rc — a, i w przedziale (0, a) żadna krzywa tej rodziny nie
przecina żadnej innej krzywej tej rodziny. Ponadto d^Fjdy'* = 2>0, a więc
dla a<n oba warunki dla istnienia minimum naszej całki są spełnione.
Warunki wystarczające dla mocnego ekstremum podane zostały przez
Weierstrassa i wyprowadzono je za pomocą odmiennego
rozumowania. Zakładamy, że poszukiwana krzywa ekstremalna może należeć do
pola ekstremalnego y = y(x, a); niech p(x, y) będzie tzw. gradientem
pola, tzn. współczynnikiem kątowym stycznej do ekstremum pola
w punkcie (x,y). Wówczas przyrost całki można napisać w postaci
47 = f \F(.x,y>y')-F(xsy,p)-~ (y'-p)]dx,
gdzie całka brana jest wzdłuż dowolnej klasy krzywych y = y(x),
oznaczonej przez (Z,). Funkcja podcałkowa w ostatnim równaniu
wyznaczona jest funkcją Weierstrassa i oznaczona jest przez E(x, y, p, y').
Ponieważ mamy
47= §E(x,y,P,y')dx,
dla słabego minimum wystarczy, aby funkcja E(jc, y, p, y') była nie-
ujemna dla wszystkich punktów dostatecznie bliskich ekstremum i dla
wszystkich wartości y' dostatecznie bliskich p.
Dla mocnego minimum warunki dane przez to równanie będą
jednakże miały postać żądania, aby funkcja E(x, y, p> y') była
dodatnia dla wszystkich wartości y', nie tylko tych, które różnią się mało
od p.
W podobny sposób można sformułować warunki dla mocnego
i słabego maksimum.
Rozważane warunki można uprościć. Rozwijamy funkcję bazową
w szereg Taylora

694
III. Rachunek wariacyjny
gdzie p oznacza wartość leżącą między p i y'. Wobec tego
E(x,y,p,y)^ g w .
Znak E wyznaczany jest przez znak d2F(x,y,p)ldp2, skąd wnosimy,
że dla słabego minimum mamy warunek Legendre'a d2F/dy's>0. Ze
względu na założenie ciągłości pochodnych wynika stąd, że w pewnym
otoczeniu wartości zmiennych mamy dzF!dy'3>0. Dla mocnego
minimum wystarcza, aby nierówność ta zachodziła dla wszystkich
punktów (x, y) leżących w pewnym otoczeniu ekstremum i dla wszystkich
wartości y'. Zarówno w pierwszym, jak i w drugim przypadku
konieczne jest spełnienie warunku Jacobiego.
Często jednak, podobnie jak i w rachunku różniczkowym, nie
przeprowadzamy rozwiązań nad warunkami dostatecznymi i pokazujemy
istnienie ekstremum w sposób pośredni. Tak więc obliczamy
ekstremum w zagadnieniu praktycznym prowadzącym do problemu
wariacyjnego za pomocą równania Eulera, a istnienie ekstremum
uzasadniamy rozważaniami dotyczącymi istoty technicznej, fizycznej czy
geometrycznej problemu. Taka jest np. sytuacja w przypadku
poszukiwania linii geodezyjnych na dznej powierzchni: jest oczywiste,
że pomiędzy dwoma punktami powierzchni musi istnieć co najmniej
jedna krzywa na tej powierzchni łącząca te punkty o długości nie
przekraczającej długości żadnej innej krzywej o tej własności. Jednakże
w takich intuicyjnych rozumowaniach należy zawsze postępować
z wielką ostrożnością.
4. Zagadnienie wariacyjne we współrzędnych brzegowych
Mamy dwa możliwe przypadki.
1° Mamy
»•«
(1) j* F(r, <p, <p')dr = ekstremum.
Równanie różniczkowe Eulera ma postać
dę dr \ d<p'}
Przykład. Mamy
»■* ,
f yl+rV8
— dr = ekstremum.
j r
fi
Równanie Eulera
4. Zagadnienie watiacyiae we współrzędnych brzegowych 695
ma rozwiązanie
2° Mamy
Va
(2) f F(ę, r, r')dę = ekstremum.
Vt
W tym przypadku równanie Eulera ma postać
dr dę \dr J
Przykład. Mamy
Vi
C (r2+r'2+2rsinę)dę = ekstremum.
Vi
Dla równania Eulera
2r+2sm<p — 2r" = 0
otrzymujemy rozwiązanie
r = C1«v-|-Cl«-''--isinq).
5. Zagadnienie odwrotne do zagadnienia wariacyjnego
Proste zagadnienie wariacyjne o jednej funkcji niewiadomej
prowadzi do równania różniczkowego zwyczajnego rzędu drugiego. Na
odwrót, każdemu zwyczajnemu równaniu różniczkowemu rzędu
drugiego odpowiadz zagadnienie wariacyjne postaci
J = f F(x,y,y')dx = ekstremum.
Dla równania różniczkowego
y" = ę(x,y,y')
poszukujemy rozwiązania ogólnego z(x> yy y') zastępującego równanie
o pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego:
dz , dz , _ dz dę(x,y,y') n
Funkcja bazowa F(x, y, y') zagadnienia wariacyjnego odpowiadającego
równaniu zwyczajnemu y" = ę(x, y, y') dana jest zatem jako
rozwiązanie następującego równania rzędu drugiego o pochodnych
cząstkowych:
d*F r

696 III. Rachunek wariacyjny
W rozwiązaniu mamy dwie funkcje dowolne zmiennych x i y. Należy
je wyznaczyć tak, aby
_ d*F d2F d2F , ÓF n
^x'y'y)W~2 + Wdx- + -dyWy~W=0-
Przykład. Należy znaleźć wszystkie funkcje bazowe, dla których
ekstrema są liniami prostymi. Równanie różniczkowe rzędu drugiego
linii prostej ma postać y" = 0, a więc q>(x, y, y') = 0. Równanie
cząstkowe rzędu pierwszego jest
dz , dz
—- 4-v = 0
dx ^y dy
i ma rozwiązanie ogólne
Z = &(y'yxy'—y).
Równanie cząstkowe rzędu drugiego
d'F m , , ^
■jpr = &(y,xy-y)
ma rozwiązanie
y'
F - f (y'-t) ®{t, xt~y)dt+y>(x, y)y'+a>(x3 y).
0
Funkcje f(x,y) i a>(x,y) wyznaczamy z warunku
dy> dto _
dx dy
który daje
dQ dQ
dy, dx
gdzie Q jest dowolną funkcją x i y.
W pewnym szczególnym przypadku można znaleźć zagadnienie
wariacyjne odpowiadające równaniu różniczkowemu zwyczajnemu
rzędu drugiego bez rozwiązywania równania cząstkowego. I tak
równaniu różniczkowemu
y"a(x)+y'aXx)-yp(x)-y(x) =0
o warunkach brzegowych jy(0) = y0> yfa) = yt odpowiada
zagadnienie wariacyjne
3f = j [a(x)y'*+p(x)y2+2y(x)yjdx = ekstremum.
0
5. Zagadnienie odwrotne do zagadnienia wariacyjnego 697
Przykład. Równaniu różniczkowemu
y" -\-y+x = 0 z warunkami y (0) = 0, y(l) = 0
odpowiada zagadnienie wariacyjne
J= f l-yy2—jy2 — 2*^ |dx = ekstremum.
6. Zagadnienie wariacyjne w postaci parametrycznej
W wielu zagadnieniach rachunku wariacyjnego wygodnie jest
rozpatrywać poszukiwaną funkcję w postaci parametrycznej
X
X"
= *(0
dx
~~ ~dt
y' =
j
j
dy
~dx
y
y
=
= yC0,
dy
- dt'
y
X' '
gdzie
Zagadnienie wariacyjne
j i7[#(0,3ł(f)j*"jy]ffc = ekstremum
'i
można wyznaczyć poprzez równania Eulera
dx dt\dx') * dy dt\dyj
Te dwa równania nie są jednakże niezależne od siebie C1).
Jako parametr wybieramy kąt t utworzony przez styczną w punkcie
P (x, y) i oś rzędnych; tak więc y' — x'tgr. W ten sposób oba
równania Eulera daje się zastąpić jednym równaniem (a).
Przy rozwiązywaniu zagadnień wariacyjnych postaci
parametrycznej należy jednak zwrócić baczną uwagę na następujący fakt;
mianowicie w pewnych okolicznościach wartość całki
j F(x,ysx'sy')dt
O Jest tak jedynie w przypadku geometrycznego zagadnienia wariacyjnego, kiedy
ten układ równań równoważny jest pojedynczemu równaniu Eulera, mianowicie
równaniu Eulera w postaci Weierstrassa.
(*) Dzieje się tak jedynie w przypadku, gdy, jak w poniższym przykładzie, bądź
#(0, bądź y (t) nie wysteouie w funkcii bazowej

698 III. Rachunek wariacyjny
zależy od wyboru parametru r. W tym przypadku zagadnienie
istnienia ekstremum tej całki nie ma sensu C1).
Poniższe twierdzenie może okazać się pomocne przy rozstrzyganiu
tego problemu:
Wartość ekstremum otrzymanego z całki jest niezależna od wyboru
parametru dokładnie w tych przypadkach, gdy funkcja bazowa
F(x, y> x', y') jest dodatnio jednorodną funkcją pierwszego rzędu
względem zmiennych x' i y' (s).
Przykład. Mamy
Vy
Napiszmy całkę w postaci
-i
dx = ekstremum.
-i
/
]/y
Z równania
i™!.^ (dla*>0)
yy yy
wynika, że wartość całki jest niezależna od metody parametrycznej.
Równanie Eulera
dF d /dF
dx dt \ dx'
0
ma uproszczoną postać
At
Tak więc
= 0.
fyVx^+y'*
(*) Można tak twierdzić jedynie w przypadku geometrycznych zagadnień
wariacyjnych.
_ (*) Tzn. jeżeli tożsamość P(x, yt *x'. AjO = kp(x, y, x', y') zachodzi dla k > 0.
Pojęcie dodatnio jednorodnyeh funkcjijest nieco słabsze od pojęcia funkcji jednorodnych.
Dla funkcji dodatnio jednorodnej tożsamość Kx,y,kx', ky') = kf(x,y,x',y')
spełniona jest jedynie dla dodatnich k, podczas gdy w ogólnym przypadku jednorodności
tożsamość ta musi zachodzić nie tylko dla dodatnich, ale także dla ujemnych wartości k.
Tak więc np. funkcje
Vx'z+y'* xy'~x'y+ fa*+y'*
są dodatnio jednorodne, ale nie są jednorodne w zwykłym sensie.
6. Zagadnienie wariacyjne w postaci parametrycznej 699
Rozwiązanie tego równania uprości się przez wprowadzenie kąta t
jako parametru. Otrzymamy w tym przypadku
x' dx
_ = —j- = cost, y =x tgr,
Yx'*+y'* ds
skąd
cosr ,. cos2t 1+cos2t
= cla czyh y =
sin2t
Ponadto y = =— s a więc
ci
2cos2r
x =y ctgr = — —,
ci
co daje po sca&owaniu
2/i i . \ ,
x = -\jr+—suit cost) +c2.
Dwa równania
1 ,„ . _ . 1 + cos2t
x= -^C2T+sm2T)+c2, y = —^
przedstawiają zwykłą cykloidę w postaci parametrycznej (por. str. 128).
7. Funkcje bazowe zawierające pochodne wyższych rzędów
Załóżmy, że całka
f F(.x,y,y',y"3...,y<n))dx
ma wartość ekstremalną. Równanie Eulera przyjmuje postać
ÓF d (ÓF\ * I dF\ _ _*L j^_\ +
dy dx\dy'j+ dx*\dy") dx*\y"') +
Przykłady. 1. Mamy
l
f (y")%dx — ekstremum,
o
przy warunkach brzegowych ^(0) = y'(0) = 0, y (1) = 2, y'(l) = 5.

700 III. Rachunek wariacyjny
Z równania Eulera
d2 rf4v
wynika, że rozwiązanie ma postać
y = d + CtX + C^+Ci**.
Warunki brzegowe dają d = d = 0, d = C4 = 1, a więc
y — x2 + X3.
2. Mamy
b/2
f C^f"2—2ya+y)rfx = ekstremum,
o
przy warunkach brzegowych
y(fi)=yX0) = 0, y[~n} = l, y'\j*}=^n.
Równanie Eulera ma postać
Rozwiązanie ogólne tego równania rzędu czwartego jest
y = (,CiX + C2)cosx+(.C3x-\-Ci)siax.
Tak więc
C, = 0, d+C4 = 0, 2
-(Idu + C^+C.^ln,
skąd d = —1) Ca = 0, C„ = 0, C4 = 1 * i rozwiązanie ma postać
_j> = — ;iccos:ic-}-sin;e.
8. Równanie różniczkowe Eulera dla problemu wariancyjnego
o n funkcjach niewiadomych
Załóżmy, że w funkcji bazowej występuje « nieznanych funkcji
.Vi =/i(*)j y* =/*(*)> • • • > y* =/»(*)
zmiennej niezależnej x, razem z ich pierwszymi pochodnymi
y[-&(*)> y'z=fi(.x)> •••» j£=.&00.
d = 0, d+C4 = 0, vC3i + C4= 1,
8. Równanie różniczkowe Eulera 701
Tak więc dla wyznaczania n nieznanych funkcji dających ekstremum
całki
jp(x> yu y*> • •• > j»m X'^s,...».yń)<**
mamy « równań różniczkowych
dF d i dF
dyt dx \dyi' '
<>y2 & \d>; *
d.y» W \dyZJ ~
Ilość warunków brzegowych równa się w ogólności 2n.
Dla zagadnienia wariacyjnego o dwóch niewiadomych funkcjach:
f F(x, y, z, y', z')dx = ekstremum,
wyprowadzamy dwa równania Eulera
— - -?L (J*Ł) = 0 — - — (—1 = 0
dy dx \dy' j ' dz dx \dz' J
Na ogół trzeba czterech warunków brzegowych dla wyznaczenia sta.
łych w tym zagadnieniu wariacyjnym.
Przykłady. 1. Mamy
xa
f (y'2+z's+2yz'+2zy')dx = ekstremum.
*i
Dwoma nieznanymi funkcjami są y = fix) i z = g(x)y a warunki
brzegowe są następujące:
Mamy
2s'-(23."+23r') =. 0, 2y'~(2z"+2y') = 0,
czyli
y = o, z" = o,
skąd
jy = d*+Ca> z = Cpr+C*.

702 III. Rachunek wariacyjny
Z warunków brzegowych otrzymujemy
x-xt y~~y% z-zt
*%-xi yz—yi za—z1
2. Mamy
/ (y'a+z'*~2yz+2y+2z)dx = ekstremum.
Równanie Eulera daje
~2z+2-2y" = 0, -2y+2-2s" = 0,
czyli
y = l—z, z"=l—y.
Rozwiązanie ogólne tego jednoczesnego układu ma postać
y = ć^ e*+Ca tr^+Ca cos x+C4 sin x-|-l,
z= —Ciez—Cze-x+CaCosx+CiSinx+l.
9. Ekstremum całki wielokrotnej
Należy wyznaczyć funkcję niewiadomą x = f(x> y) tak, aby całka
podwójna
rozciągnięta na obszar domknięty płaszczyzny xy osiągała wartość
ekstremalną. Oznaczymy
dz dz
Równanie Eulera przybierze postać
dF d idF\ d (dF\
dz dx \ dzz J dy\ dzy)
W przypadku ogólnym jest to równanie o pochodnych cząstkowych
rzędu drugiego.
Przykłady. 1. Mamy
// [(£)'+ (-£)"+*/&» Ą**> -ek8tiemmn-
Równanie Eulera daje
dH , d*z ,, ,
9. Ekstremum całki wielokrotne) 703
2. Mamy
uh-
Ł,"Sr) ~ W^ l^^ = ekstremum.
Równanie Eulera
dH d2z
dx* dy2 ~~
ma rozwiązanie ogólne
Dla całki w-krotnej
jj---JF{^^--->^z,§-,^-,...,-^dXldx2...dXn.
Równanie Eulera ma postać następującą:
dF d i dF\ d i dF\ d i dF
__ . . , =0.
<te dXi \ dZxi) dXz\dZxs) ÓXn \ dzXa)
Przykład. Mamy
///[(
Ł j£) + fir)+ drj'dxdyds=ekstremum-
Równaniem Eulera jest
a*2 + <>y + as^ -°-
W przypadku całek wielokrotnych z wyższymi pochodnymi
cząstkowymi, ograniczymy nasze rozważanie do takich funkcji bazowych,
w których oprócz zmiennych x, y i z mogą pojawiać się pochodne
cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu
dz dz d%z d*z d*z
—;— = Zx, —— = Zys -T-z- — Zxx> -—— Zxyj TT ~~ %•
Załóżmy też, że całka podwójna
r r „ / a* aa aa2t aa2t a1* \, ,
osiąga ekstremum.

704 III. Rachunek wariacyjny
Dla tego problemu równanie Eulera ma postać
dF d (dF \ d l dF\ . <)a / dF\ , d* / dF \
dz dx \ dzx j dy \ dzy J dx" \ dzxxj dxdy \ dzxy
Przykłady. 1. Mamy
d* / dF\
dy2 \dZyy)
II [&h {^h2 [-Wi'-2zf^] ** -eks,remum-
B
Dla równania Eulera znajdujemy
dlz l . d*z d*z .. ,
-dx^+2dX^ + Wr=AX'y)-
2. Przy wyprowadzaniu równania ruchu pręta elastycznego za
pomocą zasady Hamiltona konieczne jest rozwiązanie następującego
zagadnienia wariacyjnego:
■)\^-Y-EKx)l^\ | dxdt = minimum.
Dla równania Eulera otrzymujemy
10. Zagadnienie wariacyjne z warunkami ubocznymi
Będziemy zakładać, że poszukiwana funkcja y = f(x) oprócz
warunku ekstremalności musi również spełniać pewne dalsze warunki.
Metody stosowane przy rozwiązywaniu tego rodzaju zagadnień są
w zasadzie takie jak metody stosowane w rachunku różniczkowym
przy wyznaczaniu wartości ekstremalnych funkcji przy zadanych
warunkach ubocznych. Najważniejszą z tych metod jest tak zwana
metoda mnożników Lagrattge'a (por. str. 413).
Rozpatrzmy zagadnienie wariacyjne o dwóch niewiadomych
funkcjach i warunku ubocznym, tzn. całkę
J = f F(x, y, z, y', z')dx,
Xl
dla której trzeba znaleźć ekstremum, przy jednoczesnym spełnieniu
warunku G(x,y, z)=0. Konstruujemy najpierw funkcję bazową
H(x,y, z,y', z') = F(jx,y, z,y', z')+A(x)G(x,y, z),
10. Zagadnienie wariacyjne z warunkami ubocznymi 705
w której, jak to już zaznaczyliśmy explicite, A = A(k) może być funkcją
zmiennej x.
Dwie szukane funkcje y=f{x) i z = y(x) jak również funkcja
A = A(a) spełniają równania Eulera
dy dx\dy')~0t dz dx\dz'J~°*
ze względu na warunek brzegowy G (_x, y>z) = Q. Równania te można
zapisać w formie następującej:
dF , .. .dG d I dF] rt
dF ,, ^dG d (dF\ ft
-dz- + X{x)-dT~^W) = Q-
W zagadnieniach wariacyjnych z warunkami ubocznymi korzystne
jest często wprowadzenie parametru t. W tym przypadku rozwiązanie
zagadnienia przebiega w myśl metod rachunku na formach
parametrycznych następująco. Będziemy znów używali oznaczeń
dx , dy . dz
~dT-x> ~d7=y> -&-*■
Załóżmy, że całka
h
J = fF[x(t),y(.t)t z(t), x',y, z']dt
'i
osiąga ekstremum przy warunku ubocznym G(x, y, z) = 0. Równania
Eulera mają postać
dF ,,sdG dl ÓF\ ft
dF ,,^dG d (dF\ n
dz ' dz dt \dz' J
Przykłady. 1. Dana jest powierzchnia G(x,y,z) = 0 i dwa punkty
Pi(.Xuyi>Zi), P2(»2) y*> 2a) na tej powierzchni. Należy wyznaczyć
najkrótszą krzywą leżącą na tej powierzchni i łączącą te punkty (por.
str. 683). Zakładamy, że całka
■ 'a

706 III. Rachunek wariacyjny
osiąga minimum przy spełnieniu warunku ubocznego G(x, y, z) = 0
(jest to tzw. zagadnienie Unii geodezyjnych).
Równania Eulera dają
„x dG dl x' \ n
X(t)^ j-i . =°-
dx dt \tf x'*+?*+z'*}
dZ dt \i/X'2+y-2 + z-Z j
skąd, wprowadzając długość łuku 5 i używając oznaczenia X — fi(ds/dt):
dG__^x_ <?G__&y_ dG d2z
** dx ~ ds* ' ** dy ~ dsz * * dx ~ ~dć '
Równania te wyrażają fakt, że w każdym punkcie krzywej geodezyjnej
normalna do powierzchni i normalna główna do krzywej pokrywają się.
2. W przykładzie poniższym wyznaczymy krzywe geodezyjne na
walcu cylindrycznym xz+y2 = Rs. Rozwiązanie uprości się bardzo,
jeśli zapiszemy równanie walca w postaci parametrycznej
x = i?cosr, y = Rsint.
Żądana krzywa leży na tej powierzchni, a więc spełnia układ
x = Rcost, y = Rsmt;
pozostaje zatem jedynie wyznaczenie funkcji z. Wynika stąd, że w
warunku
h ^
J }^x'2+y'2+z zdt = minimum,
'i
ze względu na fakt, że x' = — i?sinr, y' =Rcost, funkcja bazowa
redukuje się do F = \/R?+z'2.
Otrzymujemy więc równanie Eulera
d j *' \ = 0,
dt \yRs+z-2j
co daje
VT=cJ
Równanie to, w połączeniu z x — Rcost, y — i?sinr jest
parametrycznym przedstawieniem spirali cylindrycznej.
11, Problem izoperymetryczny 707
11. Problem izoperymetryczny w rachunku wariacyjnym
Załóżmy, że całka
J^jF^y^'^dx
Xl
posiada ekstremum przy warunku brzegowym
fG(x,y,y')dx = k.
Konstruujemy funkcję bazową
H(,x, y, y') = F(x, y, y^+XGfr, y, y'),
w której X jest stałym parametrem. Wówczas równanie Eulera ma
postać
óH d /OH'
dy ~dx\dy' ' °'
Przykład. Mamy
j ydx = ekstremum, f j/l+y3 dx = L
(por. str. 685). Mamy tu H(x,y,y') = y+X\/l+y'* .
Ponieważ w funkcji bazowej nie występuje explicate zmienna x,
wynika stąd, że całka pośrednia równania Eulera jest
Mamy zatem y' = ^A2—(Ci— yy/(Ci—y). Całka tego równania
różniczkowego rzędu pierwszego daje okrąg
(x-C^+iy-CJ^X*.
Wartości Cu C3 i X wyznaczamy z warunku, że krzywa musi
przechodzić przez punkty O(0, 0) i F(/, 0) i że długość łuku krzywej od 0 do P
musi mieć- długość L.
Daje to równanie przestępne dla X, króre można rozwinąć metodami
przybliżonymi.
W wielu przypadkach, za pomocą odpowiedniej parametryzacji,
można zamienić zadanie wymagające użycia mnożników Lagrange'a
przez problem izoperymetryczny.

708 III- Rachunek wariacyjny
Przykład. W poniższym przykładzie punkt P może poruszać się
po osi x. Tak więc zadanie ma postać
x
f ydx = ekstremum
o
x
przy warunku brzegowym f yi+y'2 dx = L. Będziemy używali
wzoru o
d*?+dy* = ds*3 czyli dx-=yi~(dylds)*ds.
Zatem zagadnienie sprowadza się do obliczania ekstremum w calce
J= j y}f\-{dyfds)*ds.
j = 0
Ponieważ funkcja bazowa
F = y\/T^(dyld$y
nie zależy od zmiennej niezależnej s, całka pośrednia równania Eulera
ma postać
i —",! . - ._,
is
yi-idyjdsy
czyli
as cx
Z dalszego całkowania otrzymujemy
CD y = Ci sin I— +cs\.
Ponadto
-Vą
&=i/i-i-^)**Hr*'
a zatem
(2) x= -dcosl \-Cz] + c3.
Równania (1) i (2) to parametryczne przedstawienie okręgu.
Eliminując parametr s otrzymujemy
(3) (x-cj*+y* = c\.
Warunki brzegowe x = 0, y = 0, s = 0 i jy = 0, s = L dają stałe
ct = ca = L/tc, cz = 0.
11. Problem izoperymetryczny 709
Tak więc ostateczna odpowiedź jest
(*-L/s)'+^' = (L/n)8.
12. Dwa geometryczne zagadnienia wariacyjne o dwóch
zmiennych niezależnych
1° Wyznaczyć powierzchnię o najmniejszym polu, rozpiętą na
danej krzywej przestrzennej.
Zakładamy, że całka
osiąga minimum. Po wprowadzeniu oznaczeń
dz _ dz
~dx~^Zx' !y~~Zl" -
otrzymujemy równanie Eulera
d J zx \ ^ _d_ l zy
dx \yi + zl+z>] ' dy [yi+zl+z*
czyli
Zxx(l -~F Zy) — 2.ZxZyZxy-\-Zyy(\-TZx)
Po lewej stronie ostatniej równości, jak wiadomo z geometrii
różniczkowej, stoi wyrażenie dla krzywizny powierzchni, l/(?i+ l/g3 (por. str. 337).
Równość ta orzeka zatem, że krzywizna powierzchni szukanej ma być
równa zeru, czyli, innymi słowy, krzywizny główne 1/gi i l/ga muszą
znosić się wzajemnie. Powierzchnie takie nazywają się powierzchniami
minimalnymi.
2° Jaka powierzchnia, o danym polu, zamyka największą objętość
(tzw. zagadnienie izoperymetryczne)?
Mamy
J jzdxdy = max,
B
przy warunku ubocznym
Jjl/l+zł + zl dxdy = k.
B
Konstruujemy funkcję bazową
H(x,y, sr, zx, zy) = z + X\f\+z%+z\ .
= 0,

710 III. Rachunek wariacyjny
Z równania Eulera otrzymujemy
dz dx \dzxj dy\dzxj~ '
a zatem
. , ZxxZy— ZxZyZXy + Zxx + ZmZ% — ZxZyZxyĄ-Zyy _
(l+gj + g|)3/a
czyli
Zxx(l JrZl)-2ZxZyZxyJrZyy(\ + g%) _ _1_
(l+gS+gg)8'8 X '
a więc
-1 + -I—L.
Tak więc rozwiązanie jest powierzchnią o stałej krzywiźnie.
13. Metoda Ritza rozwiązywania zagadnień wariacyjnych
W wielu zagadnieniach rachunku wariacyjnego uzyskanie
dokładnego rozwiązania równania Eulera jest bądź bardzo trudne, bądź
niemożliwe. Z tego powodu rozwinięto metody przybliżonego
rozwiązywania zagadnień, wariacyjnych, pozwalające uniknąć rozwiązywania
równania Eulera. Najbardziej rozpowszechnioną z tych metod
przybliżonych w rachunku wariacyjnym jest tzw. metoda Ritza.
Aby rozwiązać zagadnienie
(1) 3 = j F(x, y, y')dx = ekstremum
*i
za pomocą metody aproksymacji, zapisujemy szukaną funkcję y =
= /(*) w postaci
(2) y = Ci <Pi(.x) + CS q>a(x) + ... + cn q>n(x).
Funkcje <Mx), (ps(x),..., ?n00 dobrane są tak, aby spełnione były
warunki brzegowe. Tak więc nasze zadanie sprowadza się jedynie do
wyznaczenia stałych cM c2,..., cn. Aby to osiągnąć, podstawiamy
funkcję (2) do (1) i otrzymujemy
J(ci> Cu ... ,Cn) = ekstremum.
Żądane wartości stałych a dane są przez następujące n równań:
OCx ĆC2 ĆCn
13. Metoda Ritza
711
Przykłady. 1. Mamy
((y'z—y2—2xy)dx = ekstremum,
o
przy warunkach brzegowych /(O) —/(l) = 0.
Utwórzmy y=*dx(l~x)+c2xi(l— x), a zatem
y' = d(l -2x)+cz(2x-3x*).
Wprowadzając to wyrażenie do całki otrzymujemy
i
Kcu cs) » f [c%l-2x¥+2c1c2(l-2x) (2x-3xs)+cl(2x-3a:a)a-
o
-clxXl-x)*~2c1csx?(l-xy+4xi(l-xy-
—2c1x2(l—x)~2cix\l~x)]dx = ekstremum,
czyli
% % X% I 1
J(<Va)= ^—+2c1<v^ + l;|-?7^-2<;1—-2*v^ = ekstremum.
10 ' "Ł's 20
Musimy wobec tego mieć
105
12
20
|l = 2„.Jt+2»,.A-2.1L = 0,
dź-2c*-20+2c* 105 2 20"
** 71 7
Rozwiązanie jest więc
= 0,
71 8 t 7 3
Znamy już (str. 687) rozwiązanie dokładne tego problemu, które ma
P°stać sin*
* sini
Poniższa tablica daje wartości dla różnych punktów na krzywe;
dokładnej i na krzywej przybliżonej:
X
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
y (dokładne)
0
0,0361
0,0627
0,0710
0,0525
0
y (przybliżone)
0
0,0362
0,0626
0,0708
0,0526
0

712 III. Rachunek wariacyjny
Różnica między rozwiązaniem dokładnym i przybliżonym jest więc
rzędu lO-4.
2. Mamy
ł
f (x*y'*+xy)dx = ekstremum,
o
przy warunkach brzegowych /(O) = 0, /(l) = 0.
Utwórzmy
9i =x(x—l), <pz = x\x-l),
skąd
y = clX(x~l)+c2x%x-l),
y'= c1C2x-l)+caC3x2-2x)3
a zatem
I
Kci> ti = J lc\t4K*-4x*+x*)+2elc&x*-W+2x*) +
o
+4(9x*-~12x*+4x*)+c1(xz-x!i)+C2(xi-x*)}dx =
stąd
czyli
2 , , 1 , 3 , 1 1
= T5C! + TClCa+35C^12Cl-20<:-
#41 1 .
dj l 6 1 A
Mamy więc
«i--4» Ca-~12
y = ^(x*-X)-?i(x*~x*) = -lx>+±x*-^x.
IV. RÓWNANIA CAŁKOWE
1. Pojęcia ogólne
Pod pojęciem równania całkowego rozumiemy takie równanie
o funkcji niewiadomej <p(x) (gdzie <p(x) określona jest dla a «S x «S &),
że w równaniu pojawia się całka, w której funkcja podcałkowa zależy
od <p(x). Oczywiście, w równaniu takim mogą występować też inne
składniki —- niekoniecznie w postaci całki — zależne bezpośrednio
Od ę(x).
Przykłady:
b
1. fK(x,y)<p(y)dy+f(x) = 0,
a
b
2. f K(x> y)vb>)dy+f(x) - 9(x)>
a
x
3. fK(x,y)<p(y)dy+f(x) = 0,
a
x
4. / K(x,y)<p(y)dy+f(x) = <p(x).
a
W tych przykładach f(_x) i K(x, y) są danymi funkcjami. Funkcja
znana, pojawiająca się pod znakiem całki, nazywa się jądrem równania
całkowego. Jądro K(#, y) musi być określone w kwadracie a ^ x ^ b,
a ^ y ^ 6, podczas gdy funkcja f(x) musi być określona w przedziale
a sS x sS b.
Równania całkowe, w których funkcja niewiadoma występuje
liniowo, nazywamy równaniami całkowymi liniowymi. Powyższe cztery
przykłady są przykładami równań liniowych; z takimi równaniami
będaiemy mieli głównie do czynienia w dalszym ciągu.
Załóżmy milcząco, że funkcje K(x, y) i f(x) są ciągłe w obszarach
swojej określoności (przy omawianiu przypadków funkcji nieciągłych
nadmienimy to explicite); obszary określoności funkcji f(x) i K(x, y) są
domknięte.

714
IV. Równania całkowe
Ponadto, ograniczymy się od razu tylko do tych rozwiązań <p (x),
które są ciągłe w swoim obszarze określoności a ^ x ^ b. Jest to
konsekwenq'a zwykłego (riemannowskiego) pojęcia całki (por.
twierdzenie o istnieniu całki funkcji ciągłej, str. 486).
Równania całkowe, w których obie granice całkowania są stałe,
będziemy nazywali równaniami całkowymi Fredholma (przykłady 1 i 2).
Jeżeli tylko jedna z granic całkowania jest stałą, mówimy o równaniu
całkowym Volterry (przykłady 3 i 4). Równaniem całkowym pierwszego
rodzaju nazywamy takie równanie, w którym funkcja niewiadoma
występuje jedynie pod znakiem całki (przykłady 1 i 3). Jeżeli funkcja
niewiadoma występuje nie tylko pod znakiem całki, ale jeszcze w
jakiś inny sposób, to równanie takie nazywamy równaniem całkowym
drugiego rodzaju (przykłady 2 i 4). Równania całkowe, w których każdy
składnik zawiera funkcję niewiadomą <p(x), nazywany jednorodnymi.
Równania całkowe, w których przynajmniej jeden ze składników nie
zawiera funkcji niewiadomej *p (x), nazywa się niejednorodnymi. Składnik,
w którym nie pojawia się funkcja nieznana, oznaczany w poprzednich
przykładach przez /(x), nazywamy funkcją zakłócającą.
Z. Najprostsze równanie całkowe, które można sprowadzić do
równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą różniczkowania
1° Jan Bernoulli (1667 - 1748) rozpatrywał następujący problem:
wyznaczyć krzywą OB (tzn. równanie y — <p (x)) o takim kształcie, że
pole O AB równe jest trzeciej części
prostokąta opisanego OABC (rys. 414).
Równanie szukane
f >p(x)dx = -^Xf(x)
jest równaniem Volterry, o jądrze
K(x> y) = I; można go za pomocą
różniczkowania sprowadzić do równania
czyli
d<p{x)
<p(x)
= 2
dx_
x
Rys. 414
Jako rozwiązanie tego jednorodnego
równania liniowego otrzymujemy zbiór parabol kwadratowych
y = ę(x) = Cxz (dla 0 < x < +oo).
2° Bryła obrotowa, narysowana schematycznie na rysunku 415, ma
gęstość y i ma zostać przymocowana w pozycji pionowej swoją górną
2. Najprostsze równanie całkowe
715
powierzchnią. Ponadto rozciąganie przez siłęQ skierowaną ku dołowi
łącznie z rozciąganiem na skutek własnego ciężaru, ma być takie, aby
na każdym przekroju równoległym do podstawy powstawały stałe
naprężenia o wielkości a. Należy wyznaczyć kształt tej bryły, dany za
pomocą funkcji y = 9 (*) opisującej krzywą AB.
Rys. 415
Łączna siła działająca na przekrój ST będzie
X
Q+yn / {<p(,x))adx.
o
Pole tego obszaru wynosi *(<p (*))*. Musimy wobec tego mieć
X
Q+yx f (<p(x)ydx = o-ir(9>C*))a.
o
Jest to równanie Volterryj można je rozwiązać za pomocą
różniczkowania; mamy
dę(x)
yn(<p(x))*=on2>p(x)~-^
Całka tego równania jest
y^ę{x)=Ceyx>2a.

716 IV. Równania całkowe
Podstawiając do równania całkowego otrzymujemy
Q+yn J C*eyxladx = wCV*",
czyli °
C + ynCV*/,T-l) = anC2erxl(T.
Wynika stąd, że
a więc poszukiwane rozwiązanie jest
? = ?(*) =>/(27™«7*'2<r.
3. Równania całkowe, które można rozwiązać
przez różniczkowanie
Do tej klasy równań należą przede wszystkim równania Volterry
pierwszego rodzaju. Różniczkowanie względem x całki
X
f K(x, y)<p(y)dy
a
przeprowadzono w (2')s str. 510.
Traktując x jako parametr otrzymujemy (zakładamy, że pochodne
cząstkowe jądra K(x, y) względem x istnieją i są ciągłe):
X X
— j K(x,y)y(y)dy = j -?^^<p(y)dy + K(x,x)<p(x).
a a
Przykład. Mamy
/ e-*<p(y)dy = e~x-\-x— 1.
o
Różniczkowanie względem x daje
X
— f e~x<p(y)dy-{-e-z<p(x) = e~XJrl,
0
czyli
—g-*—x+l+e-*<p(x) — —c-*+l»
skąd mamy
<p(x) — xex.
Metodę różniczkowania możemy stosować zawsze w przypadku
gdy jądro równania całkowego Volterry pierwszego rodzaju jest
wielomianem.
3. Równania całkowe rozwiązywane przez różniczkowanie 717
Przykład. Mamy
x
(1) j{(x-yy-2)<p(y)dy=-4x.
o
Po trzykrotnym różniczkowaniu otrzymujemy
X
(2) 2f(x-y)<p(y)dy-2<p(x)= -4,
o
x
(3) . 2 fv(y)dy-2<p'(x) = 0,
o
(4) <p(x)~<P"(x) =• 0;
stąd
(5) <p(x)=-Aex+Be~x.
Dla wyznaczenia A i B podstawiamy wartość 0 dla x w (2) i (3):
KO) = 2, ?>'(0) = 0.
Mamy zatem A = B = 1 i szukane rozwiązanie równania (1) jest
<p(x) = ex+e~x.
4. Równanie całkowe Abela
Równaniem całkowym Abela nazywamy równanie Volterry
pierwszego rodzaju
Całkowanie podwójne po lewej stronie powyższego wzoru napisane
jest w taki sposób, że najpierw całkujemy w kierunku y od 0 do X.

718 IV. Równania całkowe
Wobec tego obszar całkowania jest trójkątem leżącym powyżej
przekątnej y = x na płaszczyźnie xy (rys. 416). Zmieniamy porządek
całkowania tak, aby różniczkować najpierw w kierunku x od x = y do
x = »j, a następnie w kierunku yody = Qdoy = T}. Otrzymujemy
w ten sposób
Ponieważ
J'
otrzymujemy, zastępując n przez j':
Teraz można znaleźć szukaną funkcję <p(y) za pomocą różniczkowania
Pomimo osobliwości funkcji podcałkowej, całka ta jest zbieżna. Można
się o tym przekonać, stosując np. drugie kryterium dla zbieżności
całek (por. str. 509). O funkcji f{x) zakładaliśmy od początku, że jest
ciągła, aby zapewnić istnienie całki (w sensie Riemanna).
Przykład. Mamy „
t ay = xi
stąd (por. str. 452, wzór (125)):
(*)Całkę tę można obliczyć podstawiając * — 3>+(fj—y)u. Otrzymujemy
/■^r"l"C'in<2W-1)iI."'[
0
(por. str. 463, wzór (264)).
4. Równanie całkowe Abela 719
Niekiedy równania Volterry drugiego rodzaju dadzą się też
rozwiązać przez różniczkowanie.
Przykład. Mamy
x
(1) / (x-y)q>(y)dy+f<jK) - p(x).
o
Różniczkujemy dwukrotnie względem x:
X
(2) !<p(y)dy+fXx) = ?'(*),
o
(3) ?<*)+/"(*) = *"(*)•
Oczywiście musimy założyć, ze funkcja/(x) ma ciągłą drugą pochodną.
Musimy także założyć, od samego początku, że szukana funkcja <p(x)
jest dwukrotnie różniczkowana. Rozwiązanie tego równania
różniczkowego zwyczajnego rzędu drugiego o stałych współczynnikach i funkcji
zakłócające}/"(x) jest (por. str. 580):
* x
(4) V(x) - i e (CŁ + //"(O*"1*) - i rWCa+ $f'(f)e*dt)
o o
i po scałkowaniu przez części (por. str. 490):
X
(4a) v(k) -/(«)+ \ ^(C,-/(0)-/(0)+ //(*)«-**) -
o
x
- ir-*(ca-/'(0)+/(0)+ //(t)*1*).
o
Dla wyznaczenia stałych Cx i Ca różniczkujemy równanie (4)
względem xx
(5) V0s) = y WCX+ //"«#-«*) + i- r* (Ca+ //"(O*1*) ■
o o
Podstawiając wartość 0 w miejsce * w (1), (2), (4) i (5) otrzymujemy
(6) <P<fi) =/(0),
(7) p'(0)=/-(0),
skąd
(8) p(0) ^^(d-CO,
(9) p'(0) = |(C1+Ca).

720 IV. Równania całkowe
Z (6), (7), (8) i (9) mamy
Cx =/'(0)+/(0), Ca =/'(0)-/(0).
Wstawiając te wartości do (4a) otrzymujemy rozwiązanie równania (1):
X X
fix) =f(x)+ -i e*Jf(t)e-*dt- \ er* J7(t)«*<fr.
o o
5. Równania całkowe o jądrach zdegenerowanych
Jeżeli jądro K(x,y) równania całkowego jest sumą iloczynów
funkcji samego x przez funkcje samego y3 to równanie to nazywamy
róumaniem całkowym o jądrze zdegenerowanym. Niejednorodne
równanie Fredholma drugiego rodzaju o jądrze zdegenerowanym ma postać
b
Cl) X f \al0c)My)+ató)p&)+ ... +an(x)pa(y)My)dy+
gdzie X jest w tym przypadku stalą liczbową (na ogól zespoloną).
Technika rozwiązywania zależy w sposób istotny od wyboru
parametru X, który będziemy nazywali parametrem równania całkowego.
Funkcje cti(x), (h(.x),...»an(x)t fot*), 03(je),..., 0„(x) muszą być
określone i ciągłe w przedziale a *ś x *ś b. Ponadto założymy od początku,
że funkcje a^x), aa(x),..., a»(je) z jednej strony oraz funkcje 0i(x),
&(*)»•*. ,fln(x) z drugiej strony są liniowo niezależne. Jak wiemy
(str. 565) n funkcji gfc),gs(x),... s gn(x) nazywamy liniowo
niezależnymi, jeżeli zależność postaci
n
j£ft#(x) = 0
i-i
o stałych współczynnikach ct pociąga za sobą znikanie wszystkich
tych współczynników:
C\ ^ Cg ^^ ... = Cjt ^ U.
Jeżeli funkcje gi(x), g2(.x),- ■ ■ » g»(x) nie są liniowo niezależne, to istnieje
związek
«i£i(*)+ei£i(*)+ ••• +Cngn(x) = 0i
w którym nie wszystkie współczynniki znikają. Jeżeli, powiedzmy,
Ci ¥> 0, wówczas można wyrazić funkcję g^x) poprzez pozostałe funkcje
gz(.x),...>gn(x):
gl(.X) = -—[Csgz(x)+ ... +fttf„(*)].
Możemy w tym przypadku sprowadzić każdą kombinację liniową
5. Równania całkowe o jądrach zdegenerowanych 721
funkcji gi&),g&t)l...>gn&i do kombinacji liniowej funkcji £2(x),...
■ • •, gn(x). Ponieważ możemy zastosować ten proces odpowiednio do
ai(x) lub pi (*), możemy uzyskać sytuację, w której zarówno wszystkie
ailx\ jak i wszystkie frOe) utworzą układy liniowo niezależne. Z tego
względu założymy, że układy te dane są od razu w postaci liniowo
niezależnej. Oznaczmy
b 6
/ Pi(y)9(y)dy - Blt ..., / bU)i<y)dy - £«,
a <*
skąd
(2) v(x) = ABia1Cx)+AB2aaCx)+ ... + XBHan(,x)+f(x)J
a wiec
(3) v(y) = XB1a1(y)+XBia2!ly)+ ... +XBna«(y)+f(y).
Równanie (1) można obecnie przepisać w postaci
b *
(la) <p(x) = XaM / p1(y)9iy)dy+Xa2(.x) f p2(y)>p(y)dy+
a «
b
+ ... +Xan(x) /h(y)<p(y)dy+f(x).
a
Dla wyznaczenia niewiadomych BuBv...»Bn wstawiamy <p(y) dane
wzorem (3) do (la) i przyrównujemy wynik z (2):
XB1a1(x)+XBia2(x)+ ... +XBnan(x) =
b
= iMx) J>iO>) (XB1a1{y)+XBza2(y)+...+XBna«(y) +f(y)) dy +
a
b
+ Xa^x)j^(y) (XMiy)+XB4afo)+. ..+XBnan(y) +f(y)) dy+
a
b
+ Xan(.x)fUy)(^B1a1(y) + XBiia2iy) -f ... + XBnan(y) +f(y)) dy.
a
Z liniowej niezależności funkcji ay(x), a2(x),... > a«(x) wynika, że
współczynniki przy a^x), a2(x),..., a»00 muszą być takie same po obu
stronach tej równości. Używając upraszczających oznaczeń
6 b
S ^iy)av{y)dy - v i / ffJ.ymyWy^bp
a a

722
IV, Równania całkowe
otrzymujemy równania
Bj(ł— Xa\i)—BiXali~ ... —Ba%&in — b13
—BjAaai+B2(l—Aa2a)—... — BnXaia = b2i
(4)
—BiXan\-~ BaA(ina — ...+£»(! — Xann) —bn.
Gdyby funkcje 0t(x), pz0c),..., A»(») były liniowo zależne,
otrzymalibyśmy co najmniej jeden układ współczynników c1} cs,..., cn (z
których nie wszystkie byłyby równe zeru) taki, że
2cifit(x)^0
1=1
w całym przedziale a ^ x ^ b. Z równości określających a^ i b^
wynikałoby jednak, że
^Cibi = 0
i'=i
oraz
£c«ziv =0 dla wszystkich v.
t=i
W tym przypadku układ równań (4) byłby więc redukowalny.
Zagadnienie rozwiązalności układu równań liniowych (4) można
rozstrzygnąć za pomocą teorii wyznaczników w sposób następujący
(por. str. 187-195):
Dla wszystkich wartości X\ dla których wartość wyznacznika
współczynników
1 — Xaa — Xa12 ... — Xam
(5)
— Aflai 1 — Aoo
— Xa2n
1 — Xann
= D(X)
— Xani — Xdni
jest różna od zera, układ (4), a więc także i niejednorodne równanie
całkowe (1), ma dokładnie jedno rozwiązanie. To rozwiązanie
równania całkowego dane jest przez (2),
Dla wszystkich wartości X» które są pierwiastkami równania D(X) =
= 0, jednorodne równanie całkowe
b
(6) X j {aiOc)p1(y)+aJx)0&)+...+an<ix)p*(y))rty)dy- <p(x)
5. Równania całkowe o jądrach zdegenerowanych 723
ma rozwiązanie. Układ równań (4) jest w tym przypadku jednorodny.
Ma on w przypadku jednorodnym (również gdy D(A) ,* 0) rozwiązanie
trywialne B± = B2 = ... = Bn = 0. W przypadku D(A) = 0 układ
równań (4) (przypadek jednorodny) ma również rozwiązania nietry-
wialne Bl3 B23..., Bn (dla których nie wszystkie Bi są równe zeru).
Ilość liniowo niezależnych rozwiązań równania jednorodnego (4)
zależy od rzędu wyznacznika współczynników układu (4) (por. str. 192).
Rozwiązanie (6) ma postać
<p(x) - X(Biai(x) + Biaa(x)+ ...+Bnan(x))
lub odpowiednio
(7) ?»(*) = C(Biai(x)+BMx)+ ••■ +Bnan(x)).
Funkcja B1a1(x)+B2a2(x) + ... +B«an(x) nie może znikać tożsa-
mościowo dla nietrywialnego rozwiązania Bv Bu..., B» jednorodnego
układu równań, bo gdyby tak było, to funkcje a^x), at(x),..,, an(x)
byłyby liniowo zależne. Wobec tego funkcja
ę(x) « C(Bla1(x)+B2a2(x) + ... +Bnan(?c))
nie może znikać tożsamościowe dla C c* 0. Możemy więc wyznaczyć
stałą C tak, aby funkcja <p(x) spełniała warunek
b
(8) J>(*))»<*r«l.
a
Nazywamy to unormowaną funkcją charakterystyczną.
Załóżmy wreszcie, że równanie całkowe postaci (ł), dla którego
wartość X jest pierwiastkiem równania D(A) = 0, ma rozwiązanie.
Wówczas funkcja zakłócająca /(*) musi spełniać pewne warunki.
Równanie całkowe
b
(9) Xf(oxCy)A(*)+aJiy)fi&) +...+ an(y)&&))y(y)dy +f(x) = y(x)
a
nazywamy równaniem transponowanym równania całkowego (1) (jeżeli
jądro równania (1) jest K&c}y)} to jądro równania transponowanego
jest KG>, x)). Warunki na funkcję/(;c) są następujące:
Niejednorodne równanie całkowe (1) jest rozwiązalne dla wartości
X, dla której D(X) = 0, wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja zakłócająca
f(x) spełnia warunek ortogonalności
b
a

724 IV. Równania całkowe
dla wszystkich funkcji y(x), które spełniają transponowane równanie
jednorodne dla tej samej wartości A, mianowicie
b
A / (aiCy)A(*) + a,(y)A(*)+ ... +anG0M*))V>(y)dy •= yfce).
a
Możemy wzmocnić to twierdzenie w sposób następujący: wartość X
jest wartością charakterystyczną równania transponowanego (9) wtedy
i tylko wtedy, gdy jest ona wartością charakterystyczną równania
całkowego (1). Ponadto, dla każdej wartości charakterystycznej A równania
(1) i (9) mają zawsze tę samą skończoną ilość liniowo niezależnych
funkcji charakterystycznych. Twierdzenie to nie ogranicza się jednakże
tylko do równań całkowych z jądrami zdegenerowanymi, ale prawdziwe
jest dla równań o ogólniejszych typach jąder (por. § 9).
Przykłady. 1. Rozpatrzmy równanie
i
f (xy + \fxy)<p{y)dy+x = y(x).
o
Mamy
ai(*)-*, Pi(y) = y, Oi(*) = V*~» p»(y) = tfy,
Stąd
1
au = }y*dy = ~a
0
i
an=Jy*fidy~£,
0
1
bi = Jy*dy = ±,
0
i
aia-Jy*fdy = ±,
0
1
1
0
Z równań
(l-I)fll-»fli = ±, -|fll+ (!_!)*_»
otrzymujemy i^ = — , B2 = ~ . Rozwiązaniem równania jest więc
26
,C*) = 2ó'JC+l3l/^"+*>
czyli
75 ,30.
, v 75 , 30 /•—
?>(*) =26*+^!/*.
5. Równania całkowe o jądrach zdegenerowanych
725
2. Rozpatrzmy równanie
2
Mamy
an
A fu3'+—\v(y)dy = <p(.x).
2 2 2
/* 7 f f 4!y 1
= I ^Vv = -y * a» = J <fr = 1 = «si» °aa = J -y- = y -
Otrzymujemy jednorodny układ równań liniowych
(l--5-Ji)Bi-ABa = 0, -AB^I-^aJb^O.
Układ ten ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik
l-jX -A
-A 1-4-A
= 4(A)
znika.Z równania 1- ^A + ■£■ A2 = Ootrzymujemy wartości charakte-
rystyczne
X, -!Z±2^~ 16,6394,
Równania te dają
B2=a-232732B1dla Ai oraz B;~0,4399B; dla Aa.
Zgodnie z tym funkcje charakterystyczne są
ox(x) « 16,63945! I * - 2,2732 — I,
Vt(x) ** 0,3606 B'Ax + 0,4399 — I.
Ponieważ stałe B± i B[ są nieoznaczone, możemy napisać
?>i(*)«Ci(*-2,2732^J,
-pa(*)«cJ*+054399^-|.

726 IV. Równania całkowe
3, Równanie całkowe
+i
(10) If (xy+x*y*)<p(y)dy+f(x) = <p(x-)
-1
można rozwiązać Jako równanie o jądrze zdegenerowanym (por. str.
720) przyjmując
etiGO = x, AGO = y, a3(x) - x*, p£y) - y2,
2 2
On = -j , «ia = «ai = 0, 022 = y 3
+ 1 +1
bi= f yf(y) dy, bt*= f y*f(y) dy.
-i ^i
Z układu równań
Bl|l_|jlJ« J y/G0<*V» Ba(l-|A) - / ys/G)^
wynika, że rozwiązaniem (10) jest
xX fyf(y)dy xaA f y*f(y)dy
i_|a i—I-a
Równanie jednorodne
+1
(10a) A J tay+*y>ł>G0<?y = ?(*)
-i
ma rozwiązanie jedynie dla wartości charakterystycznych Al = y
i ^a = w otrzymanych z równania
l-f ji o
o i-|a
= 0.
Odpowiadające tym wartościom funkcje charakterystyczne są
<Pi(x) = CxX oraz <p£x) = C-fi2.
5. Równania całkowe o jądrach zdegenerowanyćh 727
Z warunku
+1
f C1xC2x2dx = 0
-1
widać, że funkcje te są ortogonalne. Równanie (10) ma rozwiązanie
dla wartości charakterystycznych At = y i Aa = y, jeżeli/0>c) jest
ortogonalna odpowiednio do funkcji charakterystycznych %.(x) = Cxx
lub ya(x) = C2x2. Warunki te spełnione są np. przez funkcję
f(x) = kl)+k2x2+kix*+... dla ^ = ~
lub funkcję postaci
f(.x)~k0+k1x+kzx*+kix*+... dla Jl3 = y-
Unormowane funkcje charakterystyczne otrzymamy wyznaczając stałe
Ci i Ca iak, aby
+1 +1
f Cfx3^ = 1 oraz f C!x*(&-1,
-i -1
czyli
Ct = y j/fT oraz C2 - y /lo,
skąd
Vi (*) = y yTx oraz ya(jc) = y /lo xa.
6. Szereg von Neumanna (kolejne przybliżenia)
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego można
rozwiązać metodą kolejnych przybliżeń Picarda (por. str. 559). Istnieje
także metoda iteracyjna oparta na tej samej zasadzie dla rozwiązania
równań całkowych liniowych. Rozpatrzmy następujące równanie
całkowe Fredholma
b
(1) A / Kfr,y)V(y)4y+f0t) - ?(*).
a
Jzko (zerowe) przybliżenie szukanego rozwiązania y(*) bierzemy
funkcję (p0(x) = 0. Podstawiając to przybliżenie do lewej strony
równania całkowego, tzn. w miejsce niewiadomej pod znakiem całki,
otrzymujemy pierwsze przybliżenie
(2)
Vi (*)=/(*).

728 IV. Równania całkowe
Podstawiając (2) do (1) otrzymujemy drugie przybliżenie
b
(3) y,(x) = Xf K(x, V)K*i)dr,+f(x) «.
a
Rozwiązanie to po podstawieniu do (1) daje trzecie przybliżenie
b
(4) <P*(x) = XfK(x,y)f(y)dy +
a
b b
+ A3 // K(x,y)K(y3-n)f(-n)dVdy+f(x).
a a
Wprowadzając oznaczenie
b
K^\x3 y) = K(x, y), K<2>(*, y) = J #(*, t)*Cfe j)dl
a
można przepisać równanie (4)5 zmieniając porządek całkowania w calce
podwójnej, następująco:
b b
(4a) ft(x) = A / K^tojO/OOifr+A1 /K^fo »?)/&?)*? +/(*)•
a a
Po podstawienia (4a) do (1) i zastąpieniu
b
fK(x)V)K^tHv,y)dv
a
symbolem K^^fay) utrzymujemy
b b
(5) %(*) = A / K^WwOO^-f Ał / K<a)(x, *)/b>)4>>+
a a
b
+X*fK<-sXx,y)f(y)dy+m.
a
Kontynuujemy ten proces, anaczając
*
(6) K<n\x,y) =fKOc,v)K^n~l\r,>y)dv
C1) Aby uniknąć nieporozumień, zatgK&śmy y przez ^.
6. Szereg von Neumanna 729
i przyjmując jako n-te przybliżenie rozwiązania równania całkowego
* b
(7) <pn(x) = A / K^1\x>y)f(y)dy+Xi f K<a\x,y)f(y)dy+
a a
b
+ ... + X»fK(n)(x,y)f(y)dy+f(x).
a
Wyrażenie Kin\x,y) nazywamy («—l)-szym jądrem iterowanym,
podczas gdy K^\x, y) = K(x, y). Przechodząc do granicy przy
n —-co otrzymujemy tzw. szereg von Neumanna:
oo b
(8) 9(x)= Umc*(x) =%& fK(n\x,y)f(y)dy+f(x).
"~*oo n=l a
Ostatnie wyrażenie można zapisać w postaci
b
(8a) ?W= A / (K^\x,y) + XKw{x,y) +
+ X*K(-*\x}y)+...)tty)dy+f(x).
Wyrażenie w nawiasie, tzn. wyrażenie
(9) Kw(x,y)+XKw(x, y)+X*K('\x>y)+ ... = nx,y, Z.)
nazywamy jądrem rozwiązującym lub rezolwentą. Ostateczne
rozwiązanie równania (1) przybiera postać
b
(10) y(x) - Xfr(x,y, X)f(y)dy+f(x).
a
Szereg von Neumanna jest zbieżny absolutnie i jednostajnie
w kwadracie a^x^b, aśyśb dla
(11) !A|<
/Tb
W aa
;,y)\*dxdy
Jeżeli M jest kresem górnym wartości | K(x, y) ! w kwadracie a s£
^ x ^ b, a ś: y ś: b C1), to można wywnioskować z powyższego osza-
(•)Dla funkcji K(x,y) określonej dla a^x^b„ a^y^b istnieje taka liczba
G, że
a. w całym obszarze określoności \K(x,y)] ^ G,
b. dla każdego e > 0 istnieje punkt (x,,, y0) w obszarze określoności funkcji K
taki, że '
Liczba (? wyznaczona jest jednoznacznie i zwana jest kresem górnym funkcji \K(x, y)\.

730 IV. Równania całkowe
cowarua,
a więc
że
(por. str.
b b
))
1
488)
Kfay)
— «ś —
*dxdy
< MKb-
1
-fl)f,
M(b—d) rBT
y ff\K(x,y)\>dxdy
f aa
Tak więc szereg von Neumanna jest zbieżny dla wszystkich A takich, że
(12) . I AK ł
M(b-a) '
Jednakże promień zbieżności dany przez (12) jest zazwyczaj mały
w porównaniu z oszacowaniem (11).
Za pomocą szeregu von Neumanna można także rozwiązywać
równanie całkowe Volterry. Rozważmy równanie
X
(13) XfK(.x,y)<p(y)dy+f(x) = fa).
a
Aby móc całkować w przedziale domkniętym a «£ x < &,przyjmujemy
K(,x>y)=0 dla y>x.
Wówczas jądra iterowane (dla y < x) będą dane przez równości:
K<1\xly)^K(x,y),
b
K<*\x,y) - fK(x>t)K(.tiy)dt =
a
x
(14) = §K(,x>t)K(t,y)dt,
K<-"\x,y) - / K(x, t)K0-x\t,y)dt,
y
gdzie K(x, r) = 0 dla t > x i *T(r,;y)=0 dla t <y.
Ponieważ K(x,y) jest ciągła w obszarze określoności i obszar ten jest domknięty
i ograniczony, istnieje punkt 0ci*yi)> W którym \K(x,y)\ przyjmuje wartość równą
swojemu kresowi górnemu, tzn. lK(xv yOj ■= C W tym przypadku możemy mówić
o maksimum jW(=G) funkcji \K(x, y)\ zamiast o jej kresie górnym.
6. Szereg von Neumanna 731
Dla y > x jądra iterowane oparte na tej funkcji również
znikają tożsamościowo. Szereg von Neumanna ma w tym przypadku
postać
<x> X
(15) *(*)- ^X«^fK<-r'\x,y)f(y)dy+f(,x)>
«=! a
czyli
(15a) *(*) = X f %fr-*K<-nXx,y)f(y)dy+f{x).
a n=l
Nie ma potrzeby specjalnego badania zbieżności tego szeregu
von Neumanna^ ponieważ dla równań całkowych Volterry postaci
(13) szeregi von Neumanna (15) i (l5a) są zbieżne dla wszystkich
wartości X.
Przykłady. 1. Rozpatrzmy równanie
X j sin(x+y)<p(y)dy+l = <p(x).
o
Mamy f(x) — 1 oraz
K<-1\x,y)~sm(x+y),
it
Kw(x,y) — f sin(x+q)sm(i}+y)dy —
o
= -w n(smxsiay+cxiSxcosy)y
K^Ocy) = -^ n j(sm.xsiat]+cosxcost])x
o
x (siny cos »f-|-cos,y sin jf)<&f =
= lyjtj (sinxcos.y+cosxsinjO,
K*-*\x,y) = ly") (sinarsiny-fcosarcos,))),
Kw(xty)= lyJtj (sinxcosjy+cosxsiny),
K^fay) — lyicj (sinxsiny+cosxcosy),

732 IV. Równania całkowe
Ponieważ
fCsinxcos^+cosxsin^dy = 2cos:c,
o
f (sin:>csin.y+cos:ccos,y)^.y _ 2sinx,
o
więc rozważane równanie całkowe ma rozwiązanie
<P(x) = 2Xcosx\l + A*l±:nY+AiU[KY+ ...1 +
czyli
, . 2lcosxĄ-l2nsinx
1-**(H
Ponieważ Af = 1, więc przedział zbieżności dany przez (12) jest
1
m<
1-Iji—01 '
czyli będzie przedziałem od — l/m do l/n. Z drugiej strony, nierówność
(11) daje nam, z uwagi na to3 że
J" j sm2(x+y)dxdy = -i tc2,
o o
nieco większy przedział od — l/2~liz do -f |/2/n. Wtym jednakże
przypadku szereg von Neumanna jest szeregiem geometrycznym o ilorazie
A2 \-j k\ ; wobec tego przedział jego zbieżności wynosi ] A| < 2/n.
Wartości charakterystyczne dane przez 1 —A2 l-^- "I = 0 wynoszą
% = ±2/it. Dla tych wartości mianownik w <p{x) znika.
2. Rozwiążmy równanie Volterry drugiego rodzaju za pomocą
szeregu von Neumanna:
j xyę(y)dy +1 = ę(x).
0
Mamy KO**,,)-*,,
6. Szereg von Neumanna 733
stąd
*C*> = T + 2^ + 2^8 + T^8ÓT+ - +1-
3. Innym przykładem równania Volterry drugiego rodzaju jest
X
o
mamy
JC«-«-,, JCW = i^, K<°> = -^I, ....
skąd
Dla X = 1 otrzymujemy c?(x) = e1. Istotnie, używając metody ze
str. 719 otrzymujemy
X X
?(*) = x+l + ~ e* f (r + \)tr*dt~ ^e~*f <t + l)e*dt =
o
V.
2
= x+l — Ti-l+e*- ^-x = e*.
7. Metoda Fredholma rozwiązywania równań całkowych
Równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju
b
(1) *fK(x,y)<p(y)dy+f(x) = v(x),
a
w którym funkcje K(x, y) if(x) są ciągłe w obszarze a<x<b i a<y^b>
można rozpatrywać jako graniczny przypadek układów równań
liniowych.
Podzielmy obszar całkowania na n równych części. Niech
J =— ,

734
IV. Równania całkowe
i oznaczmy
x±=yi = a, xz = y2 = a+A, ..., xn =ya = a +(n—1)A.
Otrzymamy wtedy przybliżoną równość
b
(2) JK(x,y)<p(y)dy™(K(x,ys)<p(y1)+K(x,y£<p(y2) +
a
+ ...+K(xty„)<p(y„))A.
Równanie (1) przybierze postać
(3) liK&yJęiyJ+K&y^ę&J-ł-...+
+ K(x, yn) <p (yn)) A -{-/(*) ^ <p(x).
Równanie to musi być spełnione dla wszystkich* w przedziale a<x<6.
Oznaczmy
/(*i) =fi, /(**) «=/« ..., /(*«) =/»,
9>(*i) = 9>i> 9>(*a) = 9>a> ••• > ?>(*«) — 9>n,
Otrzymamy wiec przybliżenie równania całkowego (1) w postaci
układu równań liniowych
9>i(l — XAkxd~9sXAkia — ...— <pnXAkin =fXi
—ęi^Aku + 9*0- —AJfeaa)— ••• —fnXAkin = /a,
—iPilAkni —VtXAkni — ... +&X.1 — XAknn) =fn.
Niewiadome <p są przybliżonymi wartościami całki równania (1)
w punktach x11x;i,...)Xn (odnośnie rozwiązalności tego układu
równań por. metodę na str. 187).
Za pomocą tego układu możemy również wyznaczyć przybliżenie
rozwiązania i wartości charakterystycznych równania Fredholma
drugiego rodzaju. Praktycznie stosowalność tej metody jest
ograniczona, ponieważ w większości przypadków dla wyznaczenia wartości q>
liczba n musi być stosunkowo duża.
Rozważmy obecnie granicę, gdy n-^-co. Dla równania całkowego
b
XJK(X)y)9(y)dy+f(_x) = ?(*)
a
rozwiązanie dane będzie przez
b
<p(x) = Xf r(x,y, X)f(y)dy+f(x)y
a
7. Metoda Fredholma rozwiązywania równań całkowych
przy czym jądro rozwiązujące r(x, y> X) równa się
735
r(x>y>X)~
£ (-iy*Kn(x,y)X*
«=o
£ (-Dn<M«
gdzie 3„ = 1, K0(x,y) =» K(x,y) i dalsze składniki tych dwóch
szeregów dane są przez wzory rekurencyjne
1 b
Sn = — ( Ktt„1(xiy)dx,
n J
oraz
Kn(x, y) = K(x>y) Sn - f K(x, t) K^t(t, y)dt.
a
Przykłady. 1. Rozpatrzmy równanie całkowe
X J sm(x+y)<p(y)dy = c>(x).
o
Dzielimy przedział od 0 do % na n = 3 części (x), tak że
i 2
Xi = yi = Oj Xi — y& = -j it, x3 = y9 = -^ «.
Otrzymujemy
jfeu — sinO = 0, *n = siny 11^0,866,
&S1 = sin j ji — 0,866, k2Z = sin y n"- 0,866,
feai = sin y rc ^ 0j866j kzi = sin rc = Oj
k13 = sin j 71^0,866,
k2S = sin Tc = 0,
Z wyznacznika
kS9 = sin y ic »* —0,866.
1 -0,907A -0,907*
-0,907 A 1-0,907A 0
-0,907A 0 1+0,907A
= 0,
C1) W tym przypadku wystarcza wyjątkowo mato wartość n •=■ 3.

736 IV. Równania całkowe
czyli 1 —3-0,9072A2 = 0, uzyskujemy, że
A = ± == ~ ± 0,6365 .
0,907 |/3
Wartości dokładne (por. str. 732) są
X= ±—^±0,6366,
TE
2. Rozpatrzmy równanie całkowe
l
A / (xy+-\/xy )f(y)dy+x » ?(*).
Mamy
ó
<50=1,
K0(.x,y)=xy+/xJ,
*!-/(*'+*)<** = -§-,
o
i
K^y) = (xy+ \fxy) • -| - J(xt+ \fxl) (ty+ }/7y)dt =
o
= ixy+ -jV^y - y (* vT+y Vx)>
Kz(.x,y)--=0.
Ponieważ Kz(x, y) znika tożsamościowo, wynika stąds że <S3 = 0S a więc
znika też Ks(x, y). Tak więc wszystkie dalsze St i Ki(x> y) znikają
tożsamościowo. Wobec tego jądro rozwiązujące będzie ilorazem dwóch
skończonych szeregów potęgowych A:
(xy+]/xy~) - U"*y+ T^y~ T Wy +^*/*) *
A*»y> *) = • — — 5 T —
i rozwiązanie ma postać
i
9(x) = X f r(x,y,X)ydy-\-x,
o
7. Metoda Fredholma rozwiązywania równań całkowych 737
czyli
150x+X(60}fx~-75*)
9W~ A2-125A + 150
Dla A = 1 otrzymamy <p(x) — ^ x-\- — \/x (por. str. 723). Z
warunku Aa —125A +150 = 0 otrzymujemy wartości charakterystyczne
A = y(25± |/60l), dla których powyższe niejednorodne
równanie całkowe nie ma rozwiązania C1). Wobec tego jednorodne
równanie całkowe
l
A / (xy+ fxy)<p(y)dy = y(*)
o
ma rozwiązanie jedynie dla tych wartości charakterystycznych.
3. Rozpatrzmy jeszcze równanie całkowe
*
A f $iii(x+y)>p(y)dy+l = <p(x).
o
Mamy
<50 = 1,
K^x,y) = sin(*+y),
<SX = j sin2x<& = 0,
K1(x,y)^0- |"sin(x+r)sin(r+y)<it = - T Jtcos (,x~y),
0-{*
i1) Z rozumowania przytoczonego na str. 723 wynika, że dla X = -=-(25 ± ^601)
i 2
równanie całkowe ma następujące dwa liniowo niezależne rozwiązania charakterystycz*
vi = c1(6*-n9/*~-5j/6uTyV),
fl>a = Ca(6x-U9 tfx~+5\/(M)[x~).
Ponieważ niejednorodne równanie całkowe jest rozwiązalne dla wartości
charakterystycznych wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja zakłócająca /(x) jest ortogonalna do
wszystkich rozwiązań charakterystycznych równania transponowanego, wiec
warunkami rozwiązalności są (zauważmy, ze równanie transponowane pokrywa się z
równaniem wyjściowym):
1 1
/ f&M&dx = 0, Cf(.x) ę&)łx = 0
o o
Łatwo zauważyć, że dla /(%) = x warunki te nie będą spełnione.

738 IV. Równania całkowe
8S= -^ f ^ ncosOdx = -■ -^-it2,
o
K2(x,y) = -\ n*sm(x+y)+ f sin(x+t) • ^ ncos(t-y)dt = 0;
o
stąd
olnr v_L iii _L.
r(x,y,X)
sinCx+3>) + -^ ncos (x—y)X
l-!«•*»
zatem
i
4
czyli (por. str. 730):
■a
i*) = -—i / [sinCx+3') +^ncos(Lx-y)Xyidy + l,_
1 — T n^2 0
, . 2Acosx+Aansinx , ,
<p(x) = +i.
l-^naJŁa
4
8. Metoda przybliżeń Nystrflma dla rozwiązywania równań
całkowych Fredholma drugiego rodzaju
Metoda przybliżeń Fredholma ma niewielkie znaczenie praktyczne,
ponieważ w większości przypadków przybliżenie nie jest
zadowalające dla małych wartości n. Bardziej użyteczna jest metoda przybliżeń
Nystrdma, oparta na wzorze kwadraturowym Gaussa.
Według Gaussa, dla przybliżonego obliczenia wartości dznej całki
b
ff(x)dx można postępować następująco:
a
Rozważmy najpierw wielomiany Legendie'a (por. str. 585 oraz
str. 91):
Wielomiany Legendie'a są n-tymi pochodnymi wielomianu stopnia
2n postaci (x* — l)n = [(x—l)(x+l)]n, dla których punkty x = — 1
i x = +1 są zerami rzędu n f1).
(') Miejsce zerowe xa funkcji jest rzędu n, jeżeli jest także miejscem zerowym jej
pierwszych n — l pochodnych, a nie jest miejscem zerowym n-tej pochodnej. Zgodnie
z tym pojedyncze zero jest takim, dla którego pierwsza pochodna nie znika.
8. Metoda przybliżeń Nystrfima 739
Pierwsza pochodna -— [(«— l)C*-f l)]n ma zera rzędu n—l w obu
dx
punktach x = —1 i « = -flj ponadto mamy jedno pojedyncze zero
pomiędzy punktami x= — 1 i x = +1 (na mocy twierdzenia Rolle'a,
por. str. 406). Można wywnioskować ponadto, że druga pochodna
d2
jItEC*—1) (*+!)]" ma zera rzędu n—2 w punktach* = —1 i x= +1
oraz dwa pojedyncze zera pomiędzy x — — 1 i * = +1. Ciągnąc ten
proces rozumowania dochodzimy do wniosku, że wielomian Legendie'a
Pn(x) ma n pojedynczych zer tv (? — 1,2,..., n) leżących pomiędzy
— li +1. Punkty — 1 i -j-1 nie są zerami wielomianu P»(x).
Oczywiście ty zależą od n.
Przekształćmy teraz przedział a<x<6 za pomocą zależności
w przedział — K«-fl. Na odwrót, każdej wartości t z tego
przedziału odpowiada punkt
x=±(a+b) + \(b-a)t
z przedziału a^x^b. W szczególności n zerom tv wielomianu Legen-
dre'a rzędu n odpowiada n punktów
xv = ±(a+b) + ±(Lb~d)tv.
Ponadto . „
, b—a .
dx = — - dt.
Zapiszmy teraz badaną całkę w postaci
b +1
(*) //(*)<** = ~(!>-d) f Ą±(a+b) + ±(b-a)Ądt.
Funkcja podcałkowa w całce po prawej stronie przyjmuje wartości
f(xv) dla t =tv.
Konstruujemy teraz n funkcji pomocniczych
(t-ti)(t-h)...(t-tv_i)(t-tv+1)...(t-ta)
" ~ (ty - «,)(*„ - t2)... (rv - tv_{)(tv - «h-,) ...{ty- ta) •
Łatwo się przekonać,że Fy(tv) ~ 1 iFv{t/t) = Odla/i^v (1 ^ vSiu^»).
Wobec tego funkcja
n
%Fv{t)Kxv)
v=l

740
IV. Równania ca&owe
przyjmuje wartość /(*..) w punkcie tv. Można wobec tego obliczyć
przybliżoną wartość całki po prawej stronie wzoru (*) zastępując
funkeję podcałkową wielomianem £Fv(t)f(xv). Napiszmy dla
skrócenia
i V
Av = \ j Fv(r)dt =
-i
j_ r y
2 J (tr~
(t-hXt-h)... (r-vOfr-W... (t-ftO
2 J (tr - O (r„ -r2)... (r„ - tv_t)(tv -rm) ... (rv - tn)
di
(tak ze Av można traktować jako wartości średnie funkcji Fy (r) w
przedziale — 1 ^ t ^ 1); otrzymamy jako wyrażenie przybliżone dla całki (*):
b
ff(x)dx™(J,-a)lAJ(xJ+AJ(Xi)+... +A„f(.xn)}.
a
Zwróćmy uwagę, ze założyliśmy tu, że funkcja f(x) daje się
bezpośrednio przybliżać w zerach wielomianem Legendre'a. Można pokazać,
że to przybliżenie jest bardzo dobre.
Dla n = 1,2, ... ,6 podajemy wartości t i A w poniższej tablicy:
n
1
2
3
4
t
tx - 0,5
*! = 0,2113
ra = 0,7887
*! = 0,1127
ra = 0^
ra = 0,8873
rx = 0,0694
ra = 0,3300
ra = 0,6700
tt = 0,9306
.4
A=l
ilt = 0,5
^a = 0,5
At = 0,2778
Aa = 0,4444
^s = 0,2778
Ax = 0,1739
^a =■ 0,3261
A% = 0,3261
At = 0,1739
n
5
6
r
fi = 0,0469
t2 = 0,2308
ra = 0,5
t4 = 0,7692
tB » 0,9531
rx = 0,0338
i, = 0,1694
r3 = 0,3807
tt = 0,6193
r, = 0,8306
tt = 0,9662
.4
iii = 0,1185
^a = 0,2393
A3 = 0,2844
ii* = 0,2393
A% =* 0,1185
A! = 0,0857
^4a = 0,1804
^3 = 0,2340
^4 = 0,2340
At = 0,1804
A, = 0,0857
Równanie całkowe
b
X f K(x,y)<p(y)dy-ł-f(x) = V(x)
8. Metoda przybliżeń NystrSma
741
można przybliżyć za pomocą następującego układu równań liniowych:
q>i(i-XAlk11)~»pikAak1i -. . -<pnXAnkln =flt
—ęiKA^m +<p£l—%A2kZ!d— <Pn%Ankzn = /a,
—9iXA1kmi —fpjLAzk^t. — ... +c>,,(l — XAnk„n)=fn,
przy czym wielkości <pi3 fi oraz ky są wartościami odpowiednich
funkcji w punktach xt oraz xt,xj.
Przykład. Rozpatrzmy równanie całkowe
i
/ (xy+Vxy) v(y)dy+x = tp(x).
o
Mamy tu a = 0, b = 1 oraz xv = tv .
JeżeUn = 2, to
21 = 0,2113, A = 0,5, x1 = y1 = 0,2U3;
t2 = 0,7887, A% « 0,5, x2 = yz = 0,7887;
fen = 0,2559, fcia = feai = 0,5750, fcaa = 1,4107;
?V 0,8720 -cv 0,2875 = 0,2113;
- fx • 0,2875+q>2 • 0,2946 = 0,7887;
ft-W59, ya = 4,296.
Porównajmy to przybliżenie z rozwiązaniem dokładnym (por.
str. 723):
ft = g • 0,2113+ g|^2llT= 1,670,
*■ = 7£ • °>7887 + § 1/0,7887 = 4,325.
Powyższe przybliżenie, z uwagi na małą wartość n = 2, jest bardzo
zadowalające.
9. Alternatywa Fredholma dla równań całkowych Fredholma
drugiego rodzaju z jądrem symetrycznym
Przypuśćmy, że dane jest równanie całkowe Fredholma drugiego
rodzaju
b
CD * / K(x,y)v(y)dy+f(x) = ?(*>

742
IV. Równania całkowe
o ciągłym jądrze Kfay). Odpowiednim równaniem jednorodnym
jest wówczas
b
(2) XfK(x,y)<p(y)dy = y(x).
a
Każda wartość A, dla której równanie (2) ma rozwiązanie ciągle <p(x),
które nie znika tożsamościowo, będziemy nazywali wartością
charakterystyczną równania jednorodnego (2) lub wartością charakterystyczną
jądra K(x,y) (używamy tej terminologii także i w przypadku jąder
zdegenerowanych, jak w § 5). Odpowiadające wartościom
charakterystycznym rozwiązania będziemy nazywali rozwiązaniami
charakterystycznymi.
Niech A będzie wartością charakterystyczną równania całkowego
(2). Możemy udowodnić, że w tym przypadkn będzie istnieć co
najwyżej skończenie wiele liniowo niezależnych rozwiązań
charakterystycznych dla tej wartości X (dla wyjaśnienia pojęcia funkcji liniowo
niezależnych por. str. 372). Wynika stąd, że istnieje r liniowo
niezależnych funkcji <pi(x), ^(x),..., <pT(x) takich, że każda funkcja
charakterystyczna dla tej wartości X da się zapisać w postaci c1c>1(w)+Cac,B(a:) +
-f ... +cr<pA.x)> gdzie ci są stałymi. Oczywiście, wartość r może być
różna dla różnych wartości charakterystycznych.
Rozpatrzmy teraz równania transponowane równań (1) i (2):
b
(l') X f K(y,x)y>(y)dy+f(.x) = y>(x),
a
b
(2') Aj K(.y,x)y>(y)dy = y>(x).
a
Metoda rozwiązywania równań Fredholma drugiego rodzaju da się
scharakteryzować następującym twierdzeniem:
Alternatywa Fredholma. Prawdziwe jest jedno z następujących:
1° Bądź X nie jest wartością charakterystyczną równania całkowego
(2); tzn równanie (2) nie ma rozwiązań niezerowych. W tym przypadku
równania jednorodne (1) i (l') mają rozwiązanie dla każdej funkcji
/(*).
2° Bądź X jest wartością charakterystyczną równania (2). W tym
przypadku X jest również wartością charakterystyczną równania trans-
ponowanego (2') i ilości r liniowo niezależnych rozwiązań charsktery-
stycznych są te same dla równań (2) i (2'). W tym przypadku równanie
niejednorodne (1) jest rozwiązalne dla tych i tylko tych funkcji
zakłócających f(x)s które są ortogonalne do wszystkich rozwiązań charakte-
9. Alternatywa Fredholma 743
rystycznych równania transportowanego (2') (por. str. 588 oraz 815),
tzn. muszą być spełnione równości
b b
ff(x)Vl(x)dx = 0, ..., f f(x)y>T(x)dx = 0,
« a
gdzie ViOOiVaC*))"-* Vr(x) jest układem liniowo niezależnych
rozwiązań charakterystycznych równania (2') dla wartości charakterystycznej
X; ponieważ każda funkcja charakterystyczna daje się przedstawić jako
kombinacja liniowa funkcji tego układu, wynika stąd, że f(jx) jest
ortogonalna do wszystkich funkcji charakterystycznych.
W dalszym ciągu będziemy zakładali, że jądro jest symetryczne,
^ K(x)y) = K(y>x).
Dla jąder symetrycznych zachodzi następujące twierdzenie:
a. Każde rzeczywiste symetryczne jądro ma co naj'mniej jedną
wartość charakterystyczną.
b. Wartości charakterystyczne jąder symetrycznych są rzeczywiste.
c. Wartości charakterystyczne nie mają skończonego punktu
skupienia.
d. Dla dwóch różnych wartości charakterystycznych X i X*
odpowiadające im funkcje charakterystyczne <p(x) i <p*(x) są ortogonalne,
tj. spełniają warunek
b
f <p(x)<p*(x)dx = 0.
a
Alternatywa Fredholma upraszcza się dla przypadku jąder
symetrycznych ze względu na to, że równanie całkowe jest wówczas
identyczne z równaniem transponowanym.
Przykład. Dla równania całkowego (por. str. 725):
2
x / \*y+ — \v(y)4y = fix)
wartości charakterystyczne, otrzymane z równania Aa—17A+6 = 0
są A,«-j(l7+j/265) oraz *, = y(l7- j/265), czyli Ai + Aa=17
oraz AiA2 = 6. Rozwiązania charakterystyczne są
<Pi(*) = Kitx+ Xl
<p2(x) = Kzix +
A,
'"i*.

744 IV. Równania całkowe
Rozważmy całkę
2
J 9i(.x)vfc)dx
równą
KxKi
i
2 .
= KXKS f /^+ /I+Aa~AiA'
+
+ ^—iA _u*
[l-^+AO+^JWa]*
czyli y^x) i c>2(x) są ortogonalne, jak wynika z twierdzenia (d) dla jąder
symetrycznych.
10. Metoda operatorów w teorii równań całkowych
Pokażemy teraz, w jaki sposób można badać równanie Fredholma
drugiego rodzaju
b
(1) A / K(x,y)<p(y)dy+f(x) = v(x)
a
z ciągłym i symetrycznym jądrem za pomocą metod współczesnej
analizy:
Pojęcie przestrzeni funkcyjnej. Funkcje /(*) i K(x,y)
w (1) są ciągłe odpowiednio w przedziale a<x<b i w kwadracie
a^x^b, a^y^b. Wobec tego jedynymi funkcjami $>(*), które
rozważymy jako możliwe rozwiązania, są funkcje ciągłe w przedziale
(l) Gd^by funkcje p(x) były jedynie całkowalne (por. notka na str. 486), wówczas
z ciągłości furVcji K(x,y) rozważanej jako funkcja x wynikałoby, że całka
b
/ K(x, y) v(y)dy jest takie funkcją dąglą zmiennej *. Po lewej stronie (1) byłaby
a
wówczas suma dwóch funkcji ciągłych zmiennej x i wobec tego funkcja p(x) byłaby
także funkcją ciągłą.
10. Metoda operatorów
745
Jest zatem wygodnie dla badania równania całkowego (1) zbadać
zbiór funkcjig(x)t które są ciągłe w przedziale a^x^b. Zbiór ten
będziemy dla skrócenia oznaczali przez R. Ponieważ R jest zbiorem
funkcji, będziemy nazywali R przestrzenią funkcyjną. Fakt, że
funkcja g(x) należy do zbioru i?, będziemy symbolicznie oznaczali przez
g(x)eR lub geR.
Tak więc symbol ge R oznacza, że funkcja g(x) jest określona i ciągła
w całym przedziale a^x^b. Jeżeli c jest stałą rzeczywistą i g(x) jest
ciągła w przedziale a^x^b, to cg(x) jest również ciągła dla a^x^b.
Ponieważ suma funkcji ciągłych jest także funkcją ciągłą, otrzymujemy,
że jeżeli gxsR i gteR, to (g!+g2)eR.
Ponadto, jeżeli g(x) jest funkcją należącą do i?, to
b
(2) jK(x,y)g{y)dy
a
jest także funkcją ciągłą zmiennej x w całym przedziale a^x^b. Tak
wiec całka ta ustala przyporządkowanie każdej funkcji geR nową
funkcję należącą do R. Przyporządkowanie to oznaczamy symbolicznie
jako
b
(3) J K(x,y)gty)dy-Wtg-}eR.
a
Będziemy nazywali 92 operatorem całkowym, każdej funkcji z R
przyporządkowana jest nowa funkcja z R.
Z równości definiującej (3) wnosimy, że operator całkowy 92
spełnia następujące dwa warunki charakterystyczne
(4) Wtcg] - c9i[gh TCfo+f,] = TCfol+TCk,].
Używając oznaczenia 9? możemy zapisać równanie całkowe (1)
w postaci
(5) A92[y] +/-?•
Definicja iloczynn skalarnego w przestrzeni funkcyjnej i?.
Istnieją pewne analogie pomiędzy zbiorem wszystkich wektorów
przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej, tzw. przestrzeni wektorowej
(por. str. 646) i zbiorem wszystkich funkcji ciągłych w przedziale
a^x^b (czyli przestrzenią funkcyjną i?). W szczególności, w analogii
do iloczynu skalarnego dwóch wektorów (por. str. 650) możemy
określić iloczyn skalarny dwóch funkcji z R za pomocą równości
b
(6) (fuft) = /gi&)g2(x)dx.
a

746 IV. Równania całkowe
Iloczyn skalarny ma następujące charakterystyczne własności:
(ft>ft) = (ft»ft)>
(7) (ft+ft.ft) = (ft>ft) + (ft>ft)>
G=ft>ft) = c(ft>ft)-
Ponadto h
<ft>ft) = /(ft(*))a<**
a
jest nieujemne i znika jedynie, gdy ft(#) = 0.
W analogii do pojęcia długości wektora, przyjmujemy pierwiastek
kwadratowy z (ft, g2) za tzw. normę funkcji gji
(8) II ft ||-j/ti^iS".
Możemy oszacować iloczyn skalarny dwóch funkcji ft,ftei? przez
(9) l(ft»ft)l<|*i|HI*łl|
Gest to tzw. nierówność Schwarza). Równość jest możliwa jedynie
w przypadku, gdy funkcja g& jest postaci g2 = cgi.
Dwa wektory, których iloczyn skalarny jest zerem (por. str. 651),
są prostopadłe (ortogonalne) względem siebie^ w analogii z tym
będziemy mówili, że ft,ftei? są ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny
(ft 3 ft) jest zerem (por. str. 588).
Wreszcie, podstawiając (3) do (6) możemy otrzymać dla operatora
całkowego R określonego przy pomocy symetrycznego jądra K(x,y)
ważne stwierdzenie, że
(10) (% [ft], ft) = (ft, %[*,]).
Z (10) możemy na przykład otrzymać wniosek, że wartości charsktery-
styczne rzeczywistego jądra są rzeczywiste (por. § 9).
Proces ortogonalizacji Schmidta. Niech ft(*), ftCc),... ,gn(.x)
będzie układem n liniowo niezależnych funkcji z R (por. str. 719);
tzn. zakładamy, że nie może zachodzić żadna relacja
n
2Wk*)=o,
1=1
gdzie stałe Ci nie wszystkie znikają. W tym przypadku możemy z
układu funkcji gi(x) utworzyć następujący układ n funkcji gi(x):
1° Funkcje gt(x) są ortogonalne, tzn.
(gi,gi) = %C1)-
O di} jest symbolem Kroneckera, tzn. &j = 1, gdy i =/, oraz St) = 0, gdy i^j.
10. Metoda operatorów 747
2° Każda funkcja g(x), która jest liniową kombinacją funkcji gi(x):
g(x) = Cigi(x)+ClSa(x)+ ... +Cngn(.x),
jest także liniową kombinacją funkcji gt(x):
g(x) = Cigi(x) +Czgt(x)+ ... +Cngn(x) .
Istnienie takich funkcji gt udowodnione będzie za pomocą ich
konstrukcji zwanej procesem ortogonalizacji Schmidta.
Przyjmijmy
Ilftll
Jest to możliwe, gdyż ||ft[| ?*0» w przypadku przeciwnym mielibyśmy
ft(«) =s0 i funkcje ft, ft,..., gn nie byłyby liniowo niezależne, gdyż
l-gi(x) + 0-gs(x)+ ... +0'gn(x) byłoby znikającą kombinacją liniową,
w której nie wszystkie współczynniki znikają.
Następnie przyjmujemy
a(*) - -ii -f—„v„ ,,, EftOO-Cft> ft)ft(*)].
lift—(fi>fi)ftir
<*) =
i
M—1
[ft(*)-^Cff.,ft)*i(*)].
M-l
llft.-ZCft^Offll' ^ '-1
; = 1
k-l
Żadna z funkcji gk(x) = _£(£*,ft)#(x) nie może znikać tożsamo-
i=i
ściowo, gdyż w przeciwnym przypadku funkcje gltgit ...,gn byłyby
liniowo zależne (w tym związku współczynnik przy g* jest równy 1).
Tsk więc w równaniach definiujących gt żaden z mianowników nie
może być równy tożsamościowo zeru.
Bezpośrednim rachunkiem sprawdzimy, że funkcje gt są
ortogonalne, tzn. spełniają warunek 1°.
Na odwrót, z równań określających gi można otrzymać wszystkie
gi jsko kombinacje liniowe funkcji g\. Tak więc warunek 2° jest też
spełniony.
Metoda Hilberta konstrukcji wartości charakterystycznych
i funkcji charakterystycznych. Dla poniższej konstrukcji istotne
jest następujące
Twierdzenie Arzeli. Niech gn(x) będzie ciągiem funkcji z
R, których norma równa się 1, tzn. \\gn\\ = !• Wówczas istnieje co naj-

748 IV. Równania całkowe
mniej jeden podciąg gni(x) tego ciągu, taki że funkcje
fnt(x) = <X[gn(]
są zbieżne jednostajnie do pewnej funkcji f(x)eR.
Funkcje /n((x) są zbieżne jednostajnie do/(x) (symbolicznie fn^Źf),
jeżeli dla dowolnego e>0 istnieje zawsze liczna całkowita N(e) taka,
że dla wszystkich m>N{s) nierówność
l/mC*)-/(*>|<«
spełniona jest dla wszystkich x w przedziale a<x<b.
Proces konstrukcji Hilberta przebiega następująco:
1° Rozważmy zbiór wszystkich
(11) <%[*],*> dla geR, ||*||«1.
Niech Mi i wii będą odpowiednio kresem górnym i dolnym tego
zbioru. Mamy zatem
i dla każdego e>0 istnieje gt^R(.\\gi\\ = 1) takie, że (92 [gihg^nh+e.
Istnieje również£ae£(||£,|| = 1) takie, że Mx—e< (92[?s],;i).
Przyjmijmy k1 = M1 lub k1=m1 w zależności od tego czy IM^^m^
czy |Afil<«»i*
Jeżeli fti ?ł O, wówczas co najmniej jedna z liczb Mt i mx nie jest
zerem. Jest to prawdą dla każdego ciągłego symetrycznego jądra, które
nie znika tożsamościowe Ponieważ k± równe jest jednemu z dwóch
kresów zbioru (92 [g],g) dla geR, \ \g[ \ = 1, istnieje ciąg gaeR, \ \gn\ \ = h
taki że
\im(^[gnhgn) = kl.
Z twierdzenia Arzeli otrzymujemy podciąg gnt taki, że
^[gn,]^i(.x)eR.
Wynika stąd, że Ai = 1/fti jest wartością charakterystyczną i f^x) —
~ 9*iC*)/ll9*ill Jest odpowiednią znormalizowaną funkcją
charakterystyczną.
2° Dla konstrukcji następnej funkcji charakterystycznej rozważmy
zbiór wszystkich
(12) (Wlghg) dla geR,\\g\\ = l, (gt Vl) = 0,
gdzie ip! jest funkcją charakterystyczną skonstruowaną w 1°. Niech
górna i dolna granica tego zbioru będzie odpowiednio Af2 i mv tzn.
m^WlglgHMs.
10. Metoda operatorów 749
Podobnie jak w 1° kładziemy kz = Af2 lub k2 = m2 w zależności od
tego, czy lAfal35|ma! czy \Mz\<m2. Są dwa możliwe przypadki:
Przypadek (a). Mamy ks = 0. Wówczas li jest jedyną wartością
charakterystyczną równania całkowego i każda funkcja
charakterystyczna ma postać cg>i(#). W tym przypadku proces Hilberta został
zakończony.
Przypadek (b). Mamy k2^0. W tym przypadku konstruujemy
drugi ciąg gn^R, \\g*]\ *= l>(g*, 9>i) = 0 taki, że
lim(92[£n3,£n) = A2.
Znowu na podstawie twierdzenia Arzeli otrzymujemy podciąg gn,t dla
którego
^ [£*<]=£ <Ps(*)e-R.
Wówczas Aa = l/fc» jest wartością charakterystyczną i <p2(#) = f^.x)f\ l<Pa! I
jest odpowiadającą jej unormowaną funkcją charakterystyczną. Tak
wiec (fu Pi) = 0. Ze wzoru (10) wynika, że (92 lgnt]» <pi) = (gm, 92 tfj).
Ponieważ jednak ^ jest funkcją charakterystyczną odpowiadającą
wartości charakterystycznej lu mamy 92 [<pi] = fifK i (92 [g«,], q>x) =
= (£m> 9*0Mi = 0. Ponieważ 92 U»(] również zmierzają jednostajnie
do tpu wiec przechodząc do granicy widzimy, że (<p2, y,) = 0, czyli
(9>i> 9>i) = 0.
3° Proces powyższy kontynuujemy następująco: gdy
skonstruowaliśmy już ortogonalne funkcje charakterystyczne
<Pi(*)> 9>a(*)> ...» <Pu(.x),
rozważmy, podobnie jak w (11) i (12) zbiór wszystkich (92 [g],g), gdzie
g^Ri \\g\\ = 1 i g są ortogonalne do wszystkich poprzednio
skonstruowanych funkcji charakterystycznych. Oznacza to, że rozważamy zbiór
(13) CKM,*) dla geR,\\g\\ = l>
(g> <Pi) = (g> fi) = ». = (.g, <pu) = 0.
Oznaczmy górny i dolny kres zbioru (13) odpowiednio przez Mp+i
i nt/i+1, tzn.
fn^^^iglgXM^.
Określamy, podobnie jak poprzednio k#+1 równe M^+i lub m/ł+i
w zależności od tego czy \Mu^\^\nt,x+l\, czy liw/ł+ilHACr+il-
Jeżeli fc/^j = 0, to nie ma żadnych dalszych wartości
charakterystycznych i wszystkie funkcje charakterystyczne da się zapisać jako
kombinacje liniowe uprzednio skonstruowanych funkcji <pls <p2,..., <p/i.
Jeżeli ku+i^O, to istnieje ciąg gn(gnzR> \\g*\\ = l, (gn, fó = ... =
= (£n,<fr,) = 0)) taki, że
lim (92 [£«],£„) = ^+1*0.

750
IV. Równania całkowe
Ponownie z twierdzenia Arzeli wynika istnienie podciągu gn, takiego,
że 9? [gnd jest zbieżne jednostajnie do pewnej funkcji c>/,+1e.R.
W tym przypadku A^ = l/^+i jest wartością charakterystyczną
i ci^+1 = y/Łfi/II^/j+ill jest odpowiadającą jej funkcją charakterystyczną.
Funkcja cv,+1 jest ortogonalna do wszystkich uprzednio
skonstruowanych funkcji <pi, <p23... i<pu. Można się o tym przekonać następująco.
Ze wzoru (10) otrzymujemy
(92[gni], <pj) = (gni} SC[w]) = [g"i>j^ f}\ =-j—(g«o w) = 0
dla wszystkich j pomiędzy 1 i ^. Ponieważ 9?[gn,j są zbieżne
jednostajnie do <pu+i, otrzymujemy przechodząc do granicy
(<P(t+i> m) = 0> czyli («pa*+» w) = 0
dla lsSj^jt.
Znaczenie metody Hilberta. Z równania (13) wynika, że
nt/i^m^! oraz Af/t+x^Af/i.
Wobec tego |£/i+ij^|£#j, czyli dla wartości charakterystycznych
(14) |V.|;HAU|.
Może się zdarzyć^ że A^+j = kUi lub nawet, że
A// = £/J+x = . ■ ■ = kjt+r>
jednakże po skończonej ilości kroków równość ta przestanie być
prawdziwa, tak że
Dowód. Każdej wartości charakterystycznej może odpowiadać
tylko skończenie wiele liniowo niezależnych rozwiązań
charakterystycznych (por. § 9, str. 741).
Konstruujemy z tych funkcji układ ortogonalny metodą ortogonali-
zacji Schmidta, Wobec tego wszystkie funkcje charakterystyczne będą
kombinacjami liniowymi tego skończonego układu ortonormalnego
funkcji charakterystycznych (por. § 10). Ponieważ za pomocą opisanej
metody otrzymujemy pewien inny układ ortonormalny, musimy
otrzymać po skończonej ilości kroków nierówność km.T+\ # A^+r.
Ponieważ wartości charakterystyczne równania całkowego z ciągłym
symetrycznym jądrem nie mogą mieć skończonego punktu skupienia
(por. § 9, str. 741) znajdziemy za pomocą tego procesu wszystkie
wartości charakterystyczne Au A2,... i to w kolejności takiej, że |Ail^
<|Aa|^ ... (por. wzór (14)). Odpowiednie funkcje charakterystyczne
są unormowane, Hc>j]| = 1 i ortogonalne: ($>%, <pj) = 0 dla t#j.
10. Metoda operatorów 751
(f) Przykłady. 1. Rozważmy równanie całkowe
i
A j xyę(y)dy = ę(x). Dla operacji całkowej 92 otrzymujemy stąd
0
(por. wzór (3)):
l l
Wig] = / xyg{y)dy = x f yg(y)dy = (x,g)-x C1).
o o
Mamy następnie
(15) (92[£],g) = Cx,g)a.
Stosując nierówność Schwarza (9) do iloczynu skalarnego (x,g)
otrzymujemy
\(.x,g)\^\\x\\.\\g\\.
Uwzględniając fakt, że
i
11*11'- / *•<** = ~,
o
otrzymamy, po ograniczeniu się do funkcji geR, dla których |lg|| — 1,
(x,gy<j.
Ponieważ równość w nierówności Schwarza może zachodzić jedynie,
gdy g = ex i ponieważ funkcja gi = }/3x ma normę | |gx| I = 1,
widzimy, że ky = -j „ Ponadto jest jasne, że gugi, ...jest ciągiem funkcji,
dla których (92[gi]sgx) = k^ Ponieważ ciąg ten utworzony jest tylko
z jednej funkcji, wiec każdy podciąg pokrywa się z wyjściowym
ciągiem; jako konsekwencja twierdzenia Arzeli mamy
l j
9>i(*> = % [gj = x f x V3xdx = -— x
o fó
i ęi jest funkcją charakterystyczną odpowiadającą wartości
charakterystycznej Ai — l/*i = 3. Aby znaleźć dalsze liniowo niezależne funkcje
charakterystyczne, konstruujemy zbiór (12). Ponieważ px(*) = xly3
ifi = Vi/II^iIIj warunek (gt c>x) = 0 przyjmuje postać (x,g) = 0. Tak
(l) Gdzie (xj y) oznacza iloczyn skalamy funkcji x i funkcji g(x):
1 1
(x,jj) =* jxg(.x)dx = jyg(.y)dy.
0 0

752 IV. Równania całkowe
więc wszystkie (?K[g],g) dla j|*]| = l i (v1)g) = 0 są równe zeru.
Wobec tego w tym przypadku fea = 0, stąd wnosimy że X = 3 jest
jedyną wartością charakterystyczną i że wszystkie funkcje
charakterystyczne mają postać y(x) = ex.
2. Rozważmy równanie całkowe
X $ (sinxsinj-— -^ cosxcosy)q>(y)dy = y(x).
Operator całkowy (3) ma tu postać
% ii] = (g> sin x) sin x — ~ (g, cos x) cos x (').
Wynika stąd, że
(16) (92 W,;) = (g, sinx)s- i G?, cosx)a.
Dla^eJ? i ||g[| = 1 otrzymujemy z nierówności Schwarza
($,sin*)»<I|sin*ll" = ii,
i (& cos*)* < 1 ||cosx]|a = \ n,
gdzie znak równości może zachodzić jedynie, gdy gx = sin* lub
i ^
^a = —^rcosx CII^ill = 11^11 = 1). Ponieważ (£ucosx) = 0, wynika
stąd, że Mi = n. Podobnie z faktu, że (gv sin*) = 0, wynika, że
mi = -jir. Wobectegp*i = K.Ci4g£uA,... ma własność (92[ftLft)=-
— kl = n. Z twierdzenia Arzeli wynika, że
<Pi(x) =■ 92 [gi] =|/n"sinx
jest funkcją charakterystyczną odpowiadającą wartości
charakterystycznej X1 = l/n.
(*) Gdzie znów (g, sin *) oznacza iloczyn skalarny
(£,sin*) = j>(*)sin*<& = j g(.y)sinydy
i analogicznie
(*,cos*) = fg(x)casxdx = f g(y) cos ydy.
10. Metoda operatorów 753
Aby otrzymać dalsze funkcje charakterystyczne, musimy rozważyć
wzór (16) przy warunkach \\g\\ = 1 orazQ;, yi) = |mTQ?, sinx) = 0 (x).
W tym przypadku wzór (16) przyjmuje postać
(cK[g],g) = -±ig,cosxy
i mamy
mŁ= — -jit, Ma = 0, czyli fe2 = — ^n*
Ponieważ dla funkcji g2 = cos* mamy
więc funkcja y3(a;) = 92[ga] = — -^-yVcosx jest funkcją charaktery-
sryczną odpowiadającą wartości charakterystycznej Aa = — 2/n.
Aby kontynuować ten proces, musimy rozważyć wzór (16) przy
warunkach Hg|| = 1, (g, yO = 0 oraz (g, Pa) = 0. Podstawiając
otrzymane funkcje dla <px i ya widzimy, że (#, sinx) = 0 i (g, cosx) = 0.
Tak więc dla wszystkich funkcji gb które musimy rozważyćj jest
a zatem ma = Ma = fta = 0. Wobec tego nie ma żadnych innych
wartości charakterystycznych oprócz skonstruowanych uprzednio.
11. Szereg Schmidta
Przy badaniu zagadnień z warunkami brzegowymi ważną rolę
odgrywają rozwinięcia funkcji charakterystycznych (por. str. 587). Za
pomocą podobnej metody możemy zużytkować rozwiniecie
unormowanych funkcji charakterystycznych dla rozwiązania równania Fred-
holma drugiego rodzaju o jądrze symetrycznym.
Metoda Hilberta konstruowania wartości charakterystycznych
i funkcji charakterystycznych (por. § 10, str. 744) dostarcza wszystkich
wartości charakterystycznych Xi, X21..., dla równania całkowego o jądrze
symetrycznym oraz odpowiednich funkcji charakterystycznych q>u <pi}...
Mamy tu
I^KIAaK-..
Funkcje <pi są unormowanej tzn. \\<pi\\ = 1 i ortogonalne, tzn. (spi> <Ps) —
= 0 dla i &j. Układ funkcji o tej własności, że wszystkie one są
unormowane i wzajemnie ortogonalne, nazywamy układem ortonormalnym.
(^Ponieważ <px = MIM> warunki (.g,7i) = 0 i (g, (pj = 0 są równoważne.

754 IV. Równania całkowe
Każda funkcja charakterystyczna równania całkowego jest kombinacją
liniową znanych funkcji charakterystycznych <pt.
Poniżej przedstawione postępowanie daje nam rozwinięcie według
funkcji charakterystycznych <pt.
Będziemy mówili, że układ ortonormalny jest zupełny, jeżeli dla
każdej funkcji ciągłej f(x) istnieje taki układ liczb rzeczywistych
Cu Cg,...»że dla funkcji określonych jako
N
(=1
normy lizali zmierzają do zera, gdy N—*-oo. Można wykazać, że et
muszą być w postaci a = (/, ęi).
co
Szereg ^Ci<pi(x) nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f(x), a liczby
» = l
d nazywamy współczynnikami rozwinięcia Fouriera. Nie każdy układ
funkcji charakterystycznych jądra symetrycznego jest układem orto-
normalnym zupełnym (por. powyżej). Mamy następujące twierdzenie:
Układ funkcji charakterystycznych jądra symetrycznego jest
zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jadro jest zamknięte.
Jądro nazywamy zamkniętym, jeżeli nie istnieje funkcja ciągła
a0v)(A0v)#O), dla której
fK(x,y)h(y)dy = 0
a
dla wszystkich x w przedziale a<xś.b.
Założymy teraz dodatkowo, że jądro jest zamknięte, tak że każdą
funkcję ciągłą da się rozwinąć w szereg Fouriera według funkcji
charakterystycznych tego jądra. Na ogół ten szereg Fouriera nie będzie
zbieżny punktowo do funkcji fix). Będzie on jednak zbieżny „według
średnich", tzn. określone powyżej funkcje xw b?dą miały normy
zmierzające do zera.
Jednakże funkcję f(x) można otrzymać z jądra K(x,y) przez
całkowanie, tzn. istnieje funkcja ciągła g\x) taka, że
b
/(*>= fK(x,y)g(y)dy,
a
tak że przy założeniu ciągłości jądra można wykazać, że szereg Fouriera
funkcji f{x) zmierza jednostajnie do funkcji f(x).
11. Szereg Schmidta 755
Rozpatrzmy teraz ponownie równanie całkowe
b
(1) X fK(x,y)<p(y)dy+f(x) = <p(x).
a
Funkcja (zmiennej x)
b
XJK(x,y)<p(y)dy
a
została uzyskana przez całkowanie. Możemy więc napisać rozwiązanie
(1) w postaci
(la) <p(x)-f(x) = J\ cv<pv(x),
v=l
gdzie szereg jest zbieżny jednostajnie. Wobec tego
(2) <p(x) = ^e^C*)+/(*)»
v=l
Podstawiając wartość (2) do równania (1) otrzymujemy
(3) 2V/*)+/(*)~
co 6 *
= A 2cv f K(x,y)<pv(y)dy+X f K(x,y)f(y)dy+f(x) =
v=l a a
„rf K v=i Av
Porównując współczynniki przy funkcjach <pv(x) we wzorze (3)
otrzymujemy
V,
gdzie
fv = ff(y)<pv(y)<iy-

756 IV. Równania całkowe
Tak wiec rozwiązanie równania całkowego (1) przyjmuje postać
v=l *>
Jeżeli w równaniu (1) X równe jest jednej z wartości
charakterystycznych jądra, tj. X = XK (x)» to zgodnie z twierdzeniem o alternatywie
Fredhoima dla jąder symetrycznych (por. str. 742) równanie (1) jest
rozwiązalne jedynie dla tych wartości AK, dla których funkcja
zakłócająca f(x) jest ortogonalna do odpowiednich funkcji charakterystycznych
jjc
q>K(.x). W tym przypadku składnik -= y <Pg{x) znika. Wynika stąd, że
K
rozwiązanie <p(x) można rozwinąć na sumę (skończonej ilości)
składników postaci C<pK(x).
Przykłady. 1. Rozpatrzmy równanie całkowe
+i
—i
Mamy tu X= 1. Wartości charakterystyczne są A1 = 4- i A, = -|-*
Odpowiednie unormowane funkcje charakterystyczne są y^x) = \^1> x
oraz <p^x) = j-ylÓ*8 (por. str. 742). Mamy zatem
+i
-i
oraz
+i
h = / Cya+2*+l) y \fcydy = | )/6
+i
-1
Wobec tego
czyli
<p(.x)=:%x* + 6x+l.
(*) Może istnieć jedynie skończenie wiele takich K, dla których AK = A. Tak
wiec dla każdej wartości charakterystycznej może istnieć jedynie skończenie wiele
liniowo niezależnych funkcji charakterystycznych.
11. Szereg Schmidta 757
2. Rozpatrzmy równanie całkowe
, +1
-| f (.xy+x*y*)q><y)dy+x*+l = ?>(*)■
-i
Dla wartości charakterystycznej jądra X = \ funkcja zakłócająca x*+l
jest ortogonalna do odpowiedniej funkcji charakterystycznej ^(w) = Cx;
ponadto/x = 0 oraz
-i
Wobec tego rozwiązaniem jest
czyli
?>(*) = 5^ + 1.
Jednakże c<x) = 5x* + l + Cx jest także rozwiązaniem.
3. Rozpatrzmy jeszcze równanie całkowe
b
XfHx)k(y)<p(y)dy+f(.x)=9(.x).
a
Wynika stąd, że wartość charakterystyczna jest
A,--,-?—.
j[k(y)Ydy
a
Odpowiednia unormowana funkcja charakterystyczna ma postać
C*)-
r/j[Kx)Tdx
U = ' ff(j)k(y)dy.
yfVMWx a

•58 IV. Równania całkowe
£^a ^ ^ -1 rozwiązanie ma postać
JiKy^dy
a
czyli
b
*Kx)ff(y)k(y)dy
<p{x) = i- _ +/0e).
l-lf[k(y)yjy
a
Jeżeli A = -, ) to/(*) musi spełniać warunek
j[k(y)Ydy
a
b
JfO<:)k(x)dx = Q. Wówczas rozwiązanie ma postać
a
f(x)=f(x) + Ck(x).
V. SZEREGI FOURIERA
1. Wiadomości ogólne
Pojęcia podstawowe. W wielu zagadnieniach (równania
różniczkowe, teoria drgań) zachodzi potrzeba zastąpienia danej funkcji
okresowej f(x) o okresie X — w sposób dokładny lub przybliżony — sumą
trygonometryczną
Sn(x) = -£ a0+alCQs<ox+azcos2<ox+ ... +ancosno>x+
+blsm(ox+bssin2e>x+ ... +&nsin«<wx,
gdzie w = 2n/T (jeżeli T = 2n, to a> = 1). Suma sn(x) jest najlepszym
przybliżeniem funkcji f(x) w sensie podanym na następnej stronicy,
jeżeli za współczynniki a* i bk przyjmiemy współczynniki Fouriera
danej funkcji określone wzorami Eulera
o.k = -j:\ f(x)co$kwxdx =-=; I f(x)cosk'tixdx =
o *0
r/2
= -= f [/(aO+A-aOJcosWrfx, A = 0,l,2,...,m
o
T x0+T
** = -™ I /(x)sinAo>xdx = — f /(x)sinAcuxdx =
o
r/2
= y j U(x)-ft-x)]smka>xdx, k= 1,2,.,.,«.
o
Jeżeli dla pewnego zbioru wartości x suma sn(x) przy n -*co
dąży do określonej granicy s(x), to dla tych wartości x mamy zbieżny
5ser<? Fouriera danej funkcji /(jc) ;
s(x) = ~2 a0+a1coswx+azcos2K>x+ ... +ancosntox+ ... +
+&1sintox+&3sin2o>x+ ... +&nSin«o>x+ ...

760 V. Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera można również napisać w postaci
j.
"2
s(x) =-^ao+Alsw((>>x+(p1)+A2$m(2<0X+<p2)+... +
+Ansin(nwx+(Pf,) + ...,
gdzie At = )/a%+b% i tgc>* = a*/6*. W postaci zespolonej szereg
Fouriera można napisać w następujący sposób:
s(x) = f Cnć™>x,
n= —oo
gdzie
-^(oa—ibn), gdy n>0,
cn = ~ f f(x)e~i™>xdx =
2
7=-(a_n+i&_n)3 gdy n<0.
12
Znajdowanie szeregu Fouriera danej funkcji f(x) stanowi
zagadnienie analizy harmonicznej.
Podstawowe własności szeregów Fouriera.
1. Przy zastąpieniu funkcji/Oc) przybliżoną sumą trygonometryczną
n n
sn(x) = yflo+ V a/fcosko}x+ V ^tsinftwK
średni błąd kwadratowy (patrz str. 816)
T
- y / [f(x)-Sn(x)Ydx
o
jest najmniejszy, jeżeli za współczynniki afc i #s przyjmiemy
współczynniki Fouriera danej funkcji.
2. Dla każdej funkcji organiczonej i przedziałami ciągłej w przedziale
0<x< T (patrz str. 363) szereg Fouriera jest zbieżny przeciętnie z
kwadratem do danej funkcji, tzn.
T
} [for)~sn(x)fdx -» 0 przy n-*■<».
o
Ze zbieżności przeciętnej z kwadratem wynika równość Parsevala
o *=i
3. Jeżeli funkcja /(x) spełnia warunfa' Dirichleta, tzn.:
1° przedział, w którym funkcja jest określona, można rozłożyć na
1. Wiadomości ogólne
761
skończoną ilość przedziałów, w każdym z których funkcja f(x) jest
ciągła i monofoniczna;
2° w każdym punkcie nieciągłości/(x) istnieje granica prawostronna
/(je+0) i lewostronna/(*—0) (patrz str. 363 i 356), to szereg Fouriera
tej funkcji jest zbieżny i jego suma równa się f(x) w punktach
ciągłości funkcji/(x), a w punktach nieciągłości funkcji suma ta równa się
~{f(=c-0)+Kx+Q)).
4. Jeżeh funkcja okresowa f(x) jest ciągła wraz ze swymi
pochodnymi aż do pochodnej rzędu k, to aank^1 -» 0 i bnnt+1 —*■ 0 przy n -* oo.
f(x)k
Rys. 417
Symetria. Jeżeli f(x) jest funkcją parzystą, tzn. jeżeli f(—x) =
= /(x) {symetria pierwszego rodzaju, rys. 417), to
T/2
2%x
o
gdzie k = 0, 1, 2,... Jeżeli f(x) jest funkcją nieparzystą, tzn. jeżeli
/(—x) = —f{x) (symetria drugiego rodzaju, rys. 418), to
T/2
4 r 2%x
4 f ,, . . . tnx ,
ak = 0, 6* = y J /(x)sinfe -y <&,
gdzie k = 0, 1, 2,... Jeżeli /(x+ -5- T) = —f(x) (symetria trzeciego
rodzaju, rys. 419), to
T/2
4 r 2nx
aaH-i = y I /(*)cos(2ft+l) — rfx, aajfc = 0,
o
4 r 2nx
ktt-i = yj /(x)sin(2fc+l)-—<ies 62fc = 0,
o

762
V. Szeregi Fouriera
gdzie k = 0, 1, 2,... Jeżeli funkcja f(x) jest nieparzysta i ponadto
ma symetrię trzeciego rodzaju (rys. 420a), to
o» = ba = 0,
r/4
W = 4 / fix)sm(2k+l) ~dx,
o
gdzie k = 0, ls 2,... Jeżeli funkcja f(x) jest parzysta i ponadto ma
symetrię trzeciego rodzaju (rys. 420b), to
bm — ane = Oj
T/4
<*2fc+i = ~f I /GOcwCSA+l)-^**.
o
gdzie A = 0, 1, 2,...
Rys. 419
t/U
T
Rys. 420
Rozwinięcie funkcji nieokresowej w szereg Fouriera. Każdą
funkqe/Ca:) spełniającą w przedziale Ośx<l warunkiDirichleta (patrz
str. 760, 761) można rozwinąć w tym przedziale w szereg zbieżny
jednej z następujących postaci:
W /iW = -2-+«iC08~y-+aIco82-j-+ ... +ancosn-|-+ ... +
, , . 2ir» . _2jtk . 2itx
-f t>iSin-j-+t>asin2—=--[- ... -f&„sin«—— 4- ...,
1. Wiadomości ogólne
763
fi łry m? tik
(2) /a(a:) = y+a1.cos-v-+a!!cos2y -f ... +a»cos«y + ...,
nx
(3) fs(x)~ 6jsin-r-+62sin2 -=-+... +&nsinn-p-j- ...
W ■ f(x)
A
i 0
1
1
/\ /
rJ W
(m
K
Rys. 421
W
Funkcja /,(*) jest funkcją okresową o okresie T = li pokrywa
się z funkcją f(x) (*) w przedziale 0<x<l (rys. 421); współczynniki
rozwinięcia znajdujemy według wzorów Eulera (patrz str. 759)
biorąc co = 2n/l. Funkcja f2(x) jest funkcją okresową o okresie T = 21,
ma symetrię pierwszego rodzaju i w przedziale 0 < x *£ Z pokrywa się
z funkcją fix) (rys. 422); współczynniki rozwinięcia funkcji /a(x)
znajdujemy według wzorów dla przypadku symetrii pierwszego
rodzaju biorąc T = 21. Funkcja fz(x) jest funkcją okresową o okresie
T = 21, ma symetrię drugiego rodzaju i w przedziale 0 s£ x s£ Z pokrywa
się z funkcją f(x) (rys. 423); współczynniki rozwinięcia funkcji f2(x)
znajdujemy według wzorów dla przypadku symetrii drugiego rodzaju
biorąc T^2l.
Całka Fouriera. Jeżeli funkcja f(x) w dowolnym przedziale
skończonym spełnia warunki Dirichleta (patrz str: 760 i 761) i ponadto
(J) W punktach nieciągłości przyjmujemy f(x) = — [/(*—0) +/(*+0)J.

764 V. Szeregi Fouriera
+00
całka / 1/001 dx jest zbieżna (patrz str. 504), to zachodzi wzór (tzw.
—00
całka Fouriera);
-f 00 -f co
f(X) = _L C gtmzJu f f(t)e~i^dt =
— 00 —co
00 -f no
= — f du \ f(t)cosu(t—x)dt.
Wzór ten może być uważany za wzór graniczny dla wzoru
rozwinięcia w szereg trygonometryczny funkcji nieokresowej f(x) w przedziale
( — /,/),gdy /—»-oo.Gdy bowiem szereg Fouriera daje przedstawienie
funkcji okresowej o okresie T w postaci sumy harmonik o
częstotliwościach un = n -=;, gdzie « = 1, 2,..., i amplitudach Aa> całka
Fouriera przedstawia funkcję f(x) jak gdyby w postaci sumy
nieskończenie wielu harmonik o częstotliwości u zmieniającej się w sposób
ciągły; mówimy, że całka Fouriera daje rozwinięcie funkcji w widmo
ciągle, przy czym częstotliwości u odpowiada gęstość widma
+ CO
giu)=Ł J /w*-*"*.
— co
Całka Fouriera przybiera prostszą postać, gdy funkcja f(x) jest
parzysta:
f(x) = — i co&uxdu i f(t)cosutdt,
o o
albo gdy jest nieparzysta:
co 00
/(«)=— I sinuxdu I f(t)wa.utdt.
o o
Przykład. Dla funkcji parzystej f(x) = e-W otrzymujemy, że
gęstość widma wynosi
co
g(u)=— l e-*cosutdt = £-—-,
0
skąd „ 00
.. 2 r cosux ,
*""' = — -TVT du-
0
2. Zestawienie niektórych rozkładów w szereg Fouriera 765
2. Zestawienie niektórych rozkładów w szereg Fouriera
Uwagi ogólne. Poniżej dajemy rozwinięcie w szereg
trygonometryczny niektórych prostszych funkcji określonych w pewnym
przedziale i dalej okresowo przedłużonych. Obok rozwinięcia w szereg
dany jest odpowiedni wykres. Wiele prostszych funkcji okresowych
można doprowadzić do jednej z postaci podanej w zestawieniu, za
pomocą zmiany jednostek miary na osi Ox i na osi Oy, jako też za
pomocą przesunięcia osi współrzędnych.
y
4
Rys. 424
\r ir
r x
Przykład. Funkcję parzystą o okresie T (rys. 424),określoną
warunkami:
dla
o<x<-J-r,
[O dla ±T<x<±T,
można sprowadzić do postaci 5 (przy a = 1, patrz str. 766) przez
wprowadzenie zmiennych
y-,-i, z-¥+±..
Ponieważ
y
m(2n+l) (^ + 4 *) = (-l)n«>s(2*+l) ~»
otrą
4 / %vx 1 ,2ikc , 1 m B2*x \
= 1 + _^c08 — __cos3^- + Tcos5-^-...).
przeto po podstawieniu nowych zmiennych w szeregu 5 otrzymujemy
dla naszej funkcji wzór
Zestawienie.
1. .y = xdla0<x< 2n; mamy rozwinięcie
y
/
-Zn 0
~Z£^
/sina: sin2x sin3x
y = *-2|—+-5-+—3- +
...).
Zn 4x

766
V. Szeregi Fouriera
2. y = x dla 0 < x < n; mamy
ir 4 / cos 3* cos 5* 1
NĄAAA^,J,aT"riCł"^ + ^r+"
3. jy = x dla —Ti < * < n; mamy
y.
„ /sin* sin2x sin3* \
4. y = * dla — ^=- n s* * s* -=- n; mamy
»..
^
^N
0 sfSJ
;y = — [sin*—
sin 3* . sin 5*
+ ■
5J
5. y = a dla 0 < * < tc; mamy
^Fffl
i r~1 n rr?a 4a / • , sin3* , sins* , \
a UrUr i n l 3 5 /
IłLMłL
6. ;y = 0 dla 0 < *<a i « —a<*^ n, ^ = a dla a<*<n — a i
mamy
y..
4a/ • 1 , - ,
_ . „ y = — | cos a sin* + —cos 3asm 3*4-
~ 3^ r. i- n ^ 3
i JT
a.ijr-a?
Ł
bt* W231 lir li
z u 2 u
+ -c-cos5asin5* + ...
7. v = ■— dla 0 ^x<a, y = a dla a < *s? «—a, v = —
4 a / . . 1 . „ . „
y = — •— sinasin*-}-— sin3asin3x+
+ -^sin5asin5*4- ...U
2. Zestawienie niektórych rozkładów w szereg Fouriera
767
w szczególności przy a = — it mamy
6 r/Ja / . 1 . c , 1 .
y = '_. sin*--^sin5*4--^sin7*- —^sinll*4- -•• -
_1_
lla
8. y = *a dla — n < * ^ n; mamy
it2 M /cos * cos 2* cos 3* \
^'T^H 2=" + -3i—-J*
-&r 0
9. y = x(n—x) dla 0 <x < it; mamy
yf
ica /cos 2* cos 4x cos 6* I
v^^^v^^-, y = ~6~~ri*~+~2»"+^~+"T
1Q. y = *(it—*) dla 0 < x < 2n; mamy
y*
8
KJ
0 J[
3) = T(sin*4-3a
sin 3* . sin 5*
- +
+ .» .
11. y ~ sin* dla 0^*^n; mamy
^r 0\ jr lir 3x X
12. y = cos* dla 0 < * < n; mamy
y*
_ 2 4 /cos2* cos4* cos6* \
rx y = —
4 /2sin2x 4sin4* 6sin6*
ir [ 1-3
■ +
3-5
4-
5-7
+ .» ■
13. y = sin* dla 0<x<iz, y = 0 dla jc s? * ^ 2n; mamy
y..
7
^X
jt Zir 3n x
11. 2 /cos 2* cos 4*
+e^4-...).
5-7

768 V. Szeregi Fouriera
14, y == cosu* dla —7t < x < tej mamy
2usinwn [" 1 cosx cos2x cos3:c ~\
gdzie m jest dowolną liczbą niecałkowitą.
15. y = sinitr dla — n < x < n j mamy
2sin«7i / sin* 2sin2x . 3sin3x
y ji \\-u2 4-«s + 9-w2
gdzie u jest dowolną liczbą niecałkowitą.
16. y = xoosx dla — te < x < n; mamy
1 4sin2>: 6sin3x 8sin4x
y= -TSmX+"lT3 3T5" + -5T7 "*
17. y = —ln(2sin-^-x) dla 0 <x =S it; mamy
3» = cosx+2-cos2>:+j cos3x-f ...
18. v = ln(2cos4-x) dla 0 =S x < it; mamy
3> = cosx — -^ cos2>:+jC0s3x—...
19. y = y mctS ^ dla 0< x < «; mamy
3» = cosx + ^- cos3x+-=- cos5x+ ...
Wielką ilość wzorów na rozwinięcie funkcji w szeregi
trygonometryczne można uzyskać z szeregów potęgowych funkcji zmiennej
zespolonej.
Przykład. Z rozwinięcia
—— = 1+3+3*+..., gdzie kl<l,
1—3
po podstawieniu z = a&<P i oddzieleniu części rzeczywistej i części
urojonej otrzymujemy wzory
1—acosy
l+acos?>+ascos2?>+ ... +o*cosny + ... = 1_2acosy+aaJ
a siny
a8in?+a«un2v + ... +a«smn<p+ ... = ^-^——^,
gdzie ja| < 1.
3. Przybliżona analiza harmoniczna
769
3. Przybliżona analiza harmoniczna
Wzory Bessela. Przybliżone obliczanie współczynników szeregów
Fouriera opiera się na zastąpieniu całek we wzorach Eulera (patrz
str. 759) sumami według jednego ze wzorów przybliżonego
całkowania. Najdogodniejszy jest w tym
przypadku wzór trapezów (patrz
str. 492). Za pomocą tego wzoru
można uzyskać następujące
wzory Bessela dla przybliżonej
analizy harmonicznej:
Podzielmy okres T na 2n
równych części (rys. 425) i niech
odcięte punktów podziału będą
Xk = kT/2nt a odpowiednie
rzędne niech będą /(%*) = ytl gdzie
w przybliżeniu
2«-l 2»-l 2n-l
Rys. 425
k = 0, 1, 2,..., 2n. Wtedy mamy
neto = \ yhs
-2
k=0
yi-cos
kmn
nbm =
-2
k-=0
y&sin-
kmn
gdzie fH = 1, 2,..., w, przy czym zawsze bn = 0.
Jeżeli utworzymy sumę trygonometryczną
<**) = % +£
aic cos
2knx
\ bksii
2knx
gdzie r < n, to suma ta da najlepsze przybliżenie w sensie
najmniejszych kwadratów (patrz str. 818) dla funkcji określonej odciętymi
yh{k — 1, 2,..., 2»), jeżeli jej współczynniki będą obliczone według
wzorów Bessela. W przypadku r = « suma trygonometryczna
, . a0 2nx „ 2nx a„ 2nx
$n(x) =—- + aicos -= + aacos2-=- + |--_- cosn-=-
, . 2nx , . _ 2nx , , . , ..
+61sm-=- + 6gSin2 — + ... +bn^1sm(n — \)
2nx
'Y'
której współczynniki zostały obliczone według wzorów Bessela,
przybiera w punktach x -■= Xk dane wartości yic, a więc rozwiązuje
zagadnienie interpolacji trygonometrycznej dla funkcji okresowej (patrz
str. 818).
Szablony rachunkowe i przyrządy analizujące. Do obliczeń
według wzorów Bessela stosuje się specjalne schematy i szablony
rachunkowe. Poniżej podajemy schematy rachunkowe dla analizy har-

770
V. Szeregi Fouriera
monicznej przy podziale okresu na 12 i na 24 części. Jeżeli funkcja /(#)
jest określona za pomocą wykresu, to dla przybliżonej analizy
harmonicznej oprócz stosowania wzorów Bessela można korzystać ze
specjalnych przyrządów, tak zwanych analizatorów harmonicznych. Po
oprowadzeniu wykresu danej funkcji sztyftem analizatora specjalne
liczniki przyrządu dają przybliżone wartości współczynników Fouriera.
Schematy dla przybliżonej analizy harmonicznej.
Schemat I. Okres T dzielimy na 12 równych części. Rzędne
w punktach podziału: ya>yi,..., yn. Obliczamy sumy i różnice
według schematu:
± y* yi y* y3 y* y& y&
yuJWs y* y?
Sumy s0 Si s2 sa s4 ss se
Różnice d± d3 d3 dt d5
Sq Si Ja S3
s6 s5 *i
a,, Oi a2 o3
T„ Ti T2
^i d2 d3
dB d,
d1 d2 ó3
Yi Yi
Dalsze obliczenia przeprowadza się według schematu następującego:
1 {
1-0,134
( = 0,866)
0,5
Sumy
Sumy I+11
Różnice I —II
Wyrazy zawierające
cosinusy
°0
*2
I
Oi
o3
II
6<z0«
6^0)
*"o
H
I
*i
II
6at
6«s
-ct2
-o3
i ; u
6a2
6a4
T0 :T2
1 ;II
-
6a3
Wyrazy zawierające
sinusy
I
5a
II
6&!
61
5
Yl [: Y*
1 in
662
664
«i
I
■53
II
-
663
Przy obliczeniach według tego schematu zamiast a, t, d i y należy
umieścić odpowiednie wartości pomnożone przez czynniki znajdujące
się w tym samym wierszu po lewej stronie (zamiast 0,866 napisano
C1) Należy mieć na uwadze, że w trygonometrycznym wielomianie interpolacyjnym
(pauz str. 769) występują nie a„ i an, ale — a„ i — a„.
3. Przybliżona analiza harmoniczna 771
w tablicy 1 — 0,134, gdyż przy użyciu suwaka rachunkowego mnożenie
przez 0,134 wykonuje się dokładniej niż przez 0,866).
Schemat II. Dzielimy okres T na 24 równych części. Rzędne
w punktach podziału y0,y,, y2> • •■,y2z zapisujemy w sposób
następujący:
yo yz y* y<> y« y™ y™
y-i* y™ y™ y^ Vu
yi y& yt y9 yu yis y™
^1 y™ y*i yia Vn
Dla każdej grupy rzędnych prowadzimy z osobna obliczenia wedłng
podanego wyżej schematu dla 12 współrzędnych. Oznaczamy
współczynniki otrzymane z pierwszej grupy rzędnych przez- i Bk,& z
drugiej strony rzędnych przez A'k i B^.. Obliczamy Aki Bu według wzorów:
A0 = A'„ A\ « _—(^j-B0>
|/2
A~ = -B't, A3 = ]={A's+B0,
AA = -A't, A5 = L(^_ą);
|/2
B^-^iAi + BO, Ba = <43, B3=-^=(A'3-BC),
yz ]/2
b, = -ą, ą - —)=(a;+B3, b, = -A't
(w rzeczywistości trzeba obliczyć nie A% i -Bfcs ale ich wartości
pomnożone przez 6, patrz niżej). Następnie znajdujemy sumy i różnice,
które dadzą poszukiwane współczynniki:
6Aa 6A1 6A2 6A3 6At 6A5 6A„
6A0 6^1 6A2 6A3 6At 6AS
Sumy I2a0(x) 12tfi 12a2 12a3 12a4 12a5 12a8
Różnice l^jf1) 12an l2a10 12tf9 12aa l2a7
6B, 6B2 6B3 6Bt 6B6 6B6
6Ą 6B2 6B3 6B4 6B6
S urny 12&1 126a 12b3 126, 1265 12btt
Różnice 126n 126i0 126B 1268 126,
(') Eatrz notkę na poprzedniej stronicy.

772
V. Szeregi Fouriera
Synteza. Przez syntezę zazwyczaj rozumie się obliczenie wartości
funkcji okresowej f(x) określonej jej szeregiem Fouriera. Jeżeli
dopuszczalna dokładność pozwala na ograniczenie się w szeregu Fouriera do
pierwszych sześciu harmonik (tj. na przyjęcie a& =--= bt = 0 dla k > 6, to
obliczenie wartości ytc = /(xjc) w punktach x„, ar,, x2,..., xn, dzielących
okres na 12 równych części, można przeprowadzić za pomocą danego
powyżej schematu I (patrz str. 770). W tym celu należy zamiast s0,
s1,...,jfi umieścić dane współczynniki a0, al} ..., a6, a zamiast dt)
d2>...» d5 umieścić współczynniki bl} b2,..., b5 (*) i doprowadzić
obliczenia według schematu do końca. Liczby otrzymane w dwóch
ostatnich wierszach tablicy na stronicy 770(zamiast 6a0, 6a,, ..., 6aG, 6bL,
6b2, ...,6&5) oznaczamy przez «0,«i, ...,«„, ft,ft, ..., ft, wtedy dla
uzyskania poszukiwanych wartości funkcji zostaje tylko wykonanie
dodawań i odejmowań według schematu:
«o «i «3 «3 ai as ««
ft ft ft ft ft
Sumy y0 yt y2 y^ yi y5 ya
Różnice yxl yw y9 ya y7
C1) Współczynnik bs odrzuca się, gdyż jak łatwo dostrzec, odpowiedni wyraz
szeregu wcale nie wpływa na wartość funkcji w rozpatrywanych punktach.
CZĘŚĆ SZOS TA
OPRACOWANIE
DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
I. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
1. Rachunek prawdopodobieństwa
Wstęp. Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki
zajmującym się badaniem modeli zjawisk przypadkowych. Przy
badaniu takich zjawisk interesujemy się zawsze możliwością realizacji
pewnych zdarzeń, których zajście leży całkowicie lub częściowo poza
zasięgiem kontroli ludzkiej. Zdarzenia takie nazywamy potocznie
zdarzeniami losowymi i staramy się przypisać im prawdopodobieństwa, tj.
liczby wyrażające w pewien sposób stopień możliwości ich
zachodzenia. Używając chwilowo języka intuicyjnego i mało precyzyjnego.
prawdopodobieństwo danego zdarzenia A mówi nam, w jakim procencie
hipotetycznie identycznych sytuacji powinniśmy oczekiwać zajścia
zdarzenia A, Rachunek prawdopodobieństwa uczy nas, w jaki sposób
można:
1° przypisywać zdarzeniom prawdopodobieństwa tak, aby powyżej
sformułowany intuicyjny warunek był spełniony,
2° w jaki sposób, mając dane prawdopodobieństwa pewnych
zdarzeń, obliczać prawdopodobieństwa innych zdarzeń z nich
zbudowanych.
Każde zjawisko przypadkowe rządzone jest pewnym prawem
prawdopodobieństwa. Rachunek prawdopodobieństwa uczy nas więc, w jaki
sposób ze znajomości tego prawa wyprowadzać informacje na temat
prawdopodobieństw, interesujących nas praktycznie zdarzeń i
przewidywać rzeczywisty przebieg danego zjawiska; natomiast statystyka
matematyczna uczy nas, w jaki sposób z obserwacji danego zjawiska
wnioskować o rządzącym nim prawie prawdopodobieństwa i jak
znajdować optymalne (z punktu widzenia narzuconych kryteriów)
postępowanie.
Zdarzenia losowe. Będziemy oznaczali zdarzenie losowe
literami A, Bi C,..., opatrując je w miarę potrzeby wskaźnikami. Z
danych zdarzeń możemy tworzyć nowe łącząc je ze sobą podobnie jak

774
I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
to robimy ze zdaniami. Tak więc określamy zdarzenie „A i B",
zwane iloczynem zdarzeń A i B, jako takie zdarzenie, które zachodai,
jeżeli zachodzą zarówno A jak i B; zdarzenie „A lub B", zwane sumą
(lub alternatywą) zdarzeń A i B, jest zdarzeniem, które zachodzi) gdy
zachodzi A lub B, lub oba na raz. Zdarzenie „nie A", zwane
zdarzeniem przeciwnym do A i oznaczane A, zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy A nie zachodzi. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zachodzić
jednocześnie, to nazywamy je zdarzeniami rozłącznymi (lub wyłączającymi
się). Zdarzenie, które zachodzi zawsze (np. zdarzenie }yA lub A"),
nazywamy zdarzeniem pewnym, a zdarzenie, które nigdy nie zachodzi
(np. „A i A"), nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Własności prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo
zdarzenia A jest pewną liczbą nieujemną przypisaną temu zdarzeniu,
oznaczaną przez P(.A), taką że
1° Jeżeli zdarzenia A,B,... wyłączają się wzajemnie, to
P(A lub B lub ...) = P(A)+P(B)+...
2° Jeżeli B jest zdarzeniem pewnym, to
P(E)=l.
Bezpośrednio stąd wynika, że dla dowolnego zdarzenia A
0<P(A)<1,
(1) P(A) = 1-P(A),
a dla dowolnych zdarzeń A i B
(2) P(A lub B) - P(A)+P(B)-P(A i B).
Jeżeli spełnione są warunki 1° i 2°, to zagadnienie, czy konkretne
wartości prawdopodobieństw przypisanych zdarzeniom są
„poprawne", wykracza poza ramy teorii prawdopodobieństwa. Używając znów
języka nieformalnego, są one dobrane „poprawnie", czyli adekwatnie
opisują badane zjawisko, jeżeli przy nieograniczenie wzrastającej ilości
niezależnych powtórzeń tego zjawiska częstość realizacji zdarzenia A
będzie zbliżać się do liczby P(A) równej prawdopodobieństwu
zdarzenia A. Metodami sprawdzania tego warunku zajmuje się statystyka
matematyczna.
Przykład. Przypuśćmy, że działający wadliwie automat
telefoniczny „połyka" monetę i nie daje połączenia z prawdopodobieństwem
y; zwraca monetę z powrotem z prawdopodobieństwem -r- i daje
połączenie z wybranym numerem z prawdopodobieństwem -j-. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że uzyskamy połączenie bezpłatnie?
1. Rachunek prawdopodobieństwa 775
Oznaczając przez A zdarzenie „moneta została zwrócona" i przez
B zdarzenie „uzyskaliśmy połączenie" otrzymujemy na podstawie (2):
P(A i B) = P(A)+P(B)~P(A lub B).
Mamy tu
oraz
P(A lub B) =
= l—P (nie uzyskamy połączenia i moneta zostanie „połknięta") —
5 5
Stąd ostatecznie
Interesujące jest zauważyć, że jeżeli P(A i B) = l~P(A lub B),
to automat jest „statystycznie uczciwy" w tym sensie, że daje
średnio tyle samo połączeń, ile „połyka" monet; z wyjątkiem jednak
przypadku, gdy P(A lub B) = 1, nie jest on „indywidualnie
uczciwy", tzn. nie zawsze otrzymuje połączenie ten, kto za nie zapłacił.
Komblrtatoryczne obliczanie prawdopodobieństw. W wielu
przypadkach można obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń losowych
w sposób następujący. Przypuśćmy, że w wyniku rozważanego
doświadczenia losowego może zajść jeden z w wzajemnie wyłączających
się i jednakowo prawdopodobnych przypadków. Jeżeli w m spośród
tych n przypadków realizuje się zdarzenie A, to prawdopodobieństwo
zdarzenia A wynosi
(w języku potocznym wyrażamy to mówiąc, że prawdopodobieństwo
jest równe stosunkowi ilości przypadków sprzyjających zdarzeniu A
do ilości wszystkich przypadków możliwych).
Przykład. Jako przykład obliczymy prawdopodobieństwo
uzyskania wygranych w totolotka (bez uwzględniania tzw. dyscypliny
dodatkowej). Możemy, jak to jest często wygodne, posłużyć się tzw.
interpretacją urnową:
Urna zawiera 6 kul białych i 43 czarne. Wybieramy losowo 6 kul.
Jakie jest prawdopodobieństwo pie, że wśród wybranych 6 kul jest
dokładnie k kul białych?
Ilość możliwych wyborów 6 kul spośród 49 wynosi (6I. Tylko
jeden wybór (wszystkie 6 kul białych z 6) daje nam najwyższą
wygraną; stąd p6 = l/{469)- Aby uzyskać dokładnie 5 kul białych, na-

776
I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
leży wybrać 5 kul białych spośród 6 możliwych (co można osiągnąć na
(g) sposobów) oraz jedną czarną spośród 43 (co można zrobić na
(Y) = 43 sposoby). Zatem ilość możliwych sposobów wybrania 5 kul
białych i 1 czarnej wynosi (|)-43 = 6-43 = 258, skądp6 = 258/(469).
Podobnie *- [(!)■(?)]/(«).
Prawdopodobieństwo warunkowe. Rozważmy dwa zdarzenia
losowe A i B, przy czym niech P(B) > 0. Prawdopodobieństwo
warunkowe zdarzenia A, jeżeli zaszło zdarzenie B, oznaczamy symbolem
P(A\B) i określamy wzorem
«4\»-«$».
Prawdopodobieństwo P(A\B) jest na ogół różne od
prawdopodobieństwa (bezwarunkowego lub a prion) zdarzenia A. W pewnych
przypadkach jednak informacja o zajściu zdarzenia B nie ma wpływu na
prawdopodobieństwo zdarzenia A, tj. P(A\B) = P(A). Ze wzoru (1)
otrzymujemy wówczas
(2) P(A i B) = P(A) P(B).
Zdarzenia A i B, dla któtych zachodzi prawo mnożenia
prawdopodobieństw (2), nazywamy zdarzeniami niezależnymi.
Wyobraźmy sobie, że w wyniku pewnego doświadczenia losowego
realizuje się zawsze jedno z wzajemnie wyłączających się zdarzeń
Au A2,...»AN. Wówczas dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzór
(3) P(B) = P(B\A1)P(A1)+ ...+P(B\AN')P(AN').
Wzór ten nazywamy wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. Jest on
używany często w sytuacjach praktycznychj gdyż niekiedy
prawdopodobieństwa warunkowe P(B\At) są łatwe do obliczenia lub dane
bezpośrednio. Często zdarzenia Au A%,..., AN nazywa się hipotezami,
a prawdopodobieństwa P(Ai) — prawdopodobieństwami a priori. Jeżeli
wiadomo, że zaszło zdarzenie B, to prawdopodobieństwo a posteriori
hipotezy At (i = 1)2,..., N) wyraża się tzw. wzorem Bayesa
P(B\At)P(A0
(4) P(Ai\B) =
N
2 P(B[A}) P(Aj)
Przykłady. 1. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy
pojedynczym strzale wynosi p. Oddano « strzałów niezależnie jeden od
drugiego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel został trafiony co
najmniej raz?
1. Rachunek prawdopodobieństwa 777
Prawdopodobieństwo chybienia przy pojedynczym strzale wynosi
1 — p, wobec tego prawdopodobieństwo, że wszystkie n strzałów będzie
chybionych, wynosi (l — p)n. Stąd szukana odpowiedź jest 1— (1— p)n.
2. Poniższy przykład jest nieco sztuczny, niemniej wart jest
przytoczenia ze względu na to, że odpowiedź wydaje się przeczyć (na pierwszy
rzut oka) intuicji.
Z talii 8 kart zawierającej 4 damy i 4 walety wybrano losowo dwie
karty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie wybrane karty są
waletami, jeżeli wiadomo, że
1° jedna z nich jest waletem,
2° jedna z nich jest czerwonym waletem,
3° jedna z nich jest waletem kier.
Oznaczamy zdzrzenie opisane w warunkach l°-3° odpowiednio
przez A, B, C, a zdarzenie, którego prawdopodobieństwa szukamy
(że obie karty są waletami), przez D.
Obliczymy najpierw P(A), P(B) i P(C). W każdym przypadku ilość
8-7
możliwych par kart wynosi (|) = ■— = 28. Zdarzenie przeciwne do A
realizuje się, gdy wylosowano dwie damy; można to zrobić na |2) —
= i^ ^6 sposobów. StądP(i4)= 1 —^ = ||- Zdarzenie przeciwne
do B realizuje się, gdy wśród wybranych kart nie ma czerwonego
waleta. Ilość takich wyborów wynosi (2) = yTo ^ 15' stąt*^^ = 1 —
~ 5 = S- Wreszcie P°dobnie P<C) = 1 - a = S'
Dla obliczenia P(D\A) musimy jeszcze obliczyć P(D'iA); z treści
zadania łatwo widzieć, że P(D i A) = P(D). Rozumując podobnie jak
przy obliczaniu P(A) obliczymy
28
Dla obliczenia P(D\B) obliczyć musimy P(B i D). Zdarzenie „B
i D" realizuje się, jeżeli wylosowano dwa walety, w tym co najmniej
jeden jest czerwony. Łatwo obliczyć, że ilość takich par wynosi 5; stąd
5
P(BiD)=l8 i «=|^.
28

778 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wreszcie zdarzenie „C i D" realizuje się, jeżeli wybrano dwa
walety, wśród których jest walet kier: ilość takich par wynosi 3; stąd
3
3 9R 3
P(Ci D)^- i P(D\C) = Jf-=—.
28"
3. Pierwsza urna zawiera 3 kule białe i 2 czarne; druga 1 białą i 5
czarnych. Z pierwszej urny losujemy kulę i przenosimy ją do drugiejj
po czym losujemy kulę z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wyciągnięta z drugiej urny kula jest biała?
Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wyciągnięciu z drugiej
urny kuli białej, a przez B i C odpowiednio zdarzenia, że przeniesiona
kula była biała lub czarna. Mamy P(B) = j, P(C) = J-, P(A\B) =
2 1
= -=y P{A\C) — y. Na podstawie wzoru (3) mamy
K ' 7 5+7 5 35 *
4. Przypuśćmy, że w warunkach przykładu poprzedniego
wyciągnięto z drugiej urny kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
przeniesiona kula była też biała?
Używając wzoru (4) mamy tu
P(B\A) =
P{A\B)P{B) ~T'~5 3
P(A IB) P(B)-\-P(A IC) P(C) _»_ 4
35
Rozkład dwumianowy. W zagadnieniach praktycznych często
spotykamy się z następującą sytuacją:
W wyniku pewnego doświadczenia może zajść z
prawdopodobieństwem p pewne zdarzenie A (zwane zazwyczaj sukcesem) lub z
prawdopodobieństwem 1— p może zajść zdarzenie przeciwne A. Dokonujemy
n niezależnych doświadczeń i interesujemy się łączną ilością Sn
sukcesów w tych n doświadczeniach. Wówczas
(1) P{Sn = k} - (J) pKl-p)"-* (k = 0, 1, 2, ..., »).
Wzór (1) ptzy dużych wartościach n nie jest wygodny dla obliczeń
numerycznych. Możemy posługiwać się w takich przypadkach jednym
z dwóch następujących twierdzeń:
Twierdzenie Poissona. Jeżeli n~* co i p -* Otzk,żs tip ^ X >0,
to
(2) lim P{S* = k} = ~e~~X {k = 0,1, 2,...).
1. Rachunek prawdopodobieństwa 779
W praktyce twierdzenie Poissona pozwala zastępować lewą stronę
wzoru (1) przez prawą stronę wzoru (2) już dla niewielkich n (rzędu
kilkudziesięciu) przy małych p (dla których iloczyn X = np nie
przekracza 10).
Twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a. Jeżeli 0<p< 1, to
dla dowolnych a < b zachodzi wzór
(3) lim p[ a *-&=!£=■ *b\ =-L= (<"***•
n—»oo
l/«p(l-i>)
Wzór ten pozwala nam obliczać dla dużych n (rzędu
kilkudziesięciu) przybliżone wartości prawdopodobieństwa, że ilość sukcesów Sn
będzie zawarta w przedziale
(np-\-a\fnp(\~p), np + b\/np(l-p))>.
Tablice całek z funkcji
<p{x) - -—■ e 2
j/2ji
umieszczone są na początku tej książki (str. 94 i 95)j ponadto można je
znaleźć w każdym podręczniku statystyki. Tablice w tej książce podają
wartości całek
-—= fe 2 dt = -= fe 2 dti
]/2n J ]/2rt J
inne tablice podają niekiedy wartości całki
-4= f e~^t%di lub -}~ f e~~ź*dt.
r -00 Y 0
Dla wzajemnego przeliczenia tych tablic wystarczy pamiętać, że funkcja
podcałkowa jest parzysta (tzn. jej wykres jest symetryczny względem
osi y) oraz ża
1 7 -i*
Przykłady. 1. Wyobraźmy sobie, że 2% sztuk lamp
produkowanych przez pewną fabrykę ma ukryte wady. Lampy te pakowane są
w pudełka po 100 sztuk każde. Wówczas prawdopodobieństwo, że k
sztuk w pudełku jest wadliwych, wynosi w przybliżeniu pic — — e~*
ki

780 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
(n = 100, p = 0,02, A = np = 2). W szczególności />„ = 0,135, pi, =
= 0,270. Aby odpowiedzieć na pytanie, po ile sztuk co najmniej lamp
należy pakować do pudelka, aby 99% pudelek zawierało nie mniej
niż 100 sztuk dobrych, należy znaleźć najmniejszą taką liczbę naturalną
x, aby
e-x+Xe~X-\- ^ e~x+ ... + % fX > 0,99,
2! x\
gdzie X = (100 + x)-0,02.
2. Teatr ma 1000 miejsc i dwa wejścia, każde z nich zaopatrzone
w szatnię. Zakładamy, że widzowie przychodzą do teatru pojedynczo
i wybierają jedno z wejść losowo z prawdopodobieństwem -^ każde,
niezależnie jeden od drugiego. Ile co najmniej wieszaków powinna
mieć każda z szatni, aby z prawdopodobieństwem 95% każdy z 1000
widzów mógł zostawić płaszcz w szatni przy tym wejściu, którym
wszedł?
Interpretując wybór jednego określonego z wejść jako „sukces",
musimy znaleźć najmniejszą taką liczbę całkowitą x, aby z
prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,95 ilość sukcesów w 1000
doświadczeniach o prawdopodobieństwie sukcesu — nie przekraczało x. Mamy tu
n = 1000, p = ~, np = 500, ^npll —p) = ^250 = 15,81. Z tablic
znajdujemy wartość a taką, że
1 a -le
— i e 2 it = 0,95;
|/2n J
mamy a = 1,65. Wzór (3) orzeka, że w przybliżeniu
p\s"Si°°< lj65}= F{Siooa < 5o°+26'o8> = °>95-
Tak więc z prawdopodobieństwem 0,95 ilość sukcesów w naszym
przypadku nie przekroczy 527; zatem szukana ilość miejsc w szatni wynosi
527.
Zmienne losowe. Często rezultat rozważanego zjawiska
losowego wygodnie jest opisać za pomocą liczby (jak to robiliśmy w
poprzednim paragrafie mówiąc o ilości sukcesów w n doświadczeniach). Do
matematycznego opisu takich sytuacji służy teoria zmiennych losowych.
Wielkość liczbową X zależną od przypadku i taką, że dla dowolnych
stałych a < b określone jest prawdopodobieństwo, że X przybierze
wartość z przedziału (a, b), nazywamy zmienną losową. Wyznaczenie
rozkładu zmiennej losowej X polega na wyznaczeniu wartości liczbowej
1. Rachunek prawdopodobieństwa 781
prawdopodobieństw tego, że a ^ X < b dla wszystkich możliwych
wartości a i b. W przypadku ogólnym najwygodniejszym opisem rozkładu
jest podanie funkcji niemalejącej F{x) takiej, że
F(b)-F(a) =P{a^X<b),
czyli funkcji, której przyrosty na przedziałach są równe akurat żądanym
prawdopodobieństwom. Ponieważ operuje się tu jedynie wartościami
przyrostów funkcji F(x), można dowolnie ustalić wartość funkcji F\x)
w pewnym dowolnie wybranym punkcie; Tradycyjnie przyjmuje się
i7(—oo) =.- 0 (wówczas automatycznie F^+oo) = 1). Funkcję F(x)
nazywa się dystrybuantą zmiennej losowej X:
F(x) = P{X<x}.
W dwóch szczególnych przypadkach zmiennych losowych
wygodniejszy jest nieco inny analityczny opis rozkładu niż dystrybuantą;
dotyczy to tzw. zmiennych losowych dyskretnych i zmiennych losowych
ciągłych.
Zmienne losowe dyskretne. Zmienną losową X nazywamy
dyskretną (lub skokową), jeśli zbiór jej możliwych wartości jest skończony
lub przeliczalny; innymi słowy jeżeli istnieje taki ciąg (skończony lub
nie) liczb xlt *2 , -. -, że zmienna losowa X może przyjąć jedynie jedną
tylko wartość z tego ciągu. W tym przypadku dla opisania rozkładu
zmiennej losowej X wystarczy podać wszystkie prawdopodobieństwa
p* = P{X = xt) (k = 1,2,...)-
W zastosowaniach praktycznych liczby *la x2,... są najczęściej liczbami
całkowitymi (ma to np. miejsce w częstym przypadku, gdy wartości
zmiennej X otrzymuje się w rezultacie liczenia).
Zmienne losowe ciągłe. Zmienną losową X nazywamy ciągłą,
jeżeli istnieje taka nieujemna funkcja f(x), że dla dowolnych a i b
b
P{aśX<b} = ff(x)dx.
a
Funkcję f(x) nazywamy gęstością (lub funkcją gęstości) zmiennej lo-
sowej X. Wynika stąd w szczególności, że / f(x)dx = 1; dystrybuantą
zmiennej losowej X wyraża się przez gęstość wzorem
X
F(x)= f f{t)dt.
— oo

782 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Najważniejsze rozkłady zmiennych losowych. Poniżej
podajemy przykłady najczęściej występujących w praktyce zmiennych
losowych i ich rozkładów z krótkim objaśnieniem dotyczącym najbardziej
typowych sytuacji, w jakich możemy oczekiwać ich występowania.
1. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego). Zmienną losową
Sn, z którą zetknęliśmy się w poprzednim paragrafie, której rozkład
określony jest przez
P{Sn - *} = (") P*(.l-py-* (k = 0, 1, ...,«),
nazywamy zmienną losową o rozkładzie dwumianowym (lub
Bernoulliego).
Jak już podawaliśmy, Sn wyraża łączną ilość sukcesów w n
niezależnych doświadczeniach, z których każde daje w wyniku sukces
z prawdopodobieństwem p.
2. Rozkład Poissona. O zmiennej losowej X mówimy, że ma
rozkład Poissona, jeżeli dla pewnego A > 0
P{X = £} = ^<TA (£-0,1,2,...).
Z rozkładem Poissona mamy do czynienia w przypadku badania
łącznej ilości zajść pewnego rzadkiego zdarzenia (tzn. zdarzenia o
małym prawdopodobieństwie) przy dużej ilości niezależnych prób (np.
łączna ilość wypadków ulicznych, czy pożarów danego dnia). Innymi
typowymi przykładami zjawisk, w których pojawia się rozkład Poissona,
mogą być: ilość cząstek wypromieniowanych w jednostce czasu przez
daną substancję radioaktywną, ilość wezwań telefonicznych w centrali
na odcinku czasu o danej długości.
3. Rozkład geometryczny. O zmiennej losowej X
mówimy, że ma rozkład geometryczny, jeżeli
P{X = k} = (l-p)*p (0<p<l, A = 0,1,2...).
Typowym przykładem będzie tu czas oczekiwania X na pierwszy
sukces, jeżeli próby powtarzane są niezależnie, w jednostkowych
odstępach czasu i prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p.
4. Rozkład hipergeometryczny. O zmiennej
losowej X mówimy, że ma rozkład hipergeometryczny, jeżeli
tm\ IN-m
(i) p{x = k}JkHn~k
GO
gdzie n ^ N, m^N, k = 0, 1,2, ..., min (n,m).
Rozkład ten występuje często przy badaniach statystycznych; jeżeli
badana populacja ma N elementów, z których m ma pewną interesu-
1. Rachunek prawdopodobieństwa
783
jącą nas cechę, a N—m elementów tej cechy nie ma, i jeżeli losujemy
bez zwracania próbkę n elementową, to wyrażenie (1) podaje
prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie k elementów z badaną cechą
w próbce.
5. Rozkład normalny. O zmiennej losowej ciągłej X
mówimy, że ma rozkład normałny, jeżeli istnieje dla niej gęstość
określona wzorem
/(*> =
o-]/2n
rj/2rt
exp
2<r2
gdzie a > 0 i m są stałymi (rys. 426). Z rozkładem tym w szczególnym
przypadku a = 1 i m = 0 zetknęliśmy się już przy twierdzeniu de
Moivre'a-Laplace'a. Rozkład normalny o parametrach m i a oznacza
się symbolem N(m, a).
-2 -p -1 -Oj 0 Q5 7 1,5 2 x
Rys. 426
0,5 1 1,5 2 25 x
W praktyce ze zmiennymi losowymi X o rozkładzie normalnym
spotykamy się w przypadkach, gdy na wartość X ma wpływ duża
ilość niezależnie działających czynników, z których każdy ma znikomy
efekt. Typowym przykładem może tu być wysokość położenia cząstki
w procesie dyfuzji, błąd pomiaru, wzrost ludzki itp.
6. Rozkład wykładniczy. Rozkład o gęstości
/c
[at
Ho
dla x 3= 0,
dla x < 0,
gdzie a > 0, nazywamy rozkładem wykładniczym.
Zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym pojawiają się np. jako
długości życia pewnego typu urządzeń (takich, gdzie
prawdopodobieństwo awarii na danym odcinku czasu zależy jedynie od długości tego
odcinka i nie zależy od tego, jaka była dotychczasowa długość życia
danego urządzenia).

784 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Parametry rozkładu zmiennych losowych. Często w
zagadnieniach praktycznych nie możemy z różnych względów podać
rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej; powstaje wówczas
potrzeba choćby przybliżonego opisu rozkładu za pomocą jednej lub
kilku wartości liczbowych „charakterystycznych" dla tego rozkładu.
Najczęściej spotykanymi charakterystykami są momenty rozkładu oraz
pewne ich funkcje.
Wartością przeciętną (wartością oczekiwaną, nadzieją matematyczną)
zmiennej losowej X nazywamy liczbę określoną jako
(1) E{X)*=£xtP{X-xt}
k
dla zmiennej losowej dyskretnej oraz
(2) E(X)= f xf(x)dx
dla zmiennej losowej ciągłej (zakładamy tu, że szereg (1) względnie
całka (2) są bezwzględnie zbieżne). Ogólnie, jeżeli u{x) jest pewną
funkcją, to wartość przeciętną zmiennej losowej Y' = u(X) określamy
odpowiednio jako
E(Y) = %u(Xf:)P{X =xk) lub E(Y) = f u(x)f(x)dx
k -oo
(przy założeniu, że napisane wyrażenia są bezwzględnie zbieżne).
Momentem rzędu r zmiennej losowej X nazywamy wartość
przeciętną zmiennej losowej XT; tak więc w przypadku dyskretnym i
ciągłym mamy odpowiednio
mT = E(Xr) = JJ x^P{X = xk} oraz mT = E(XT) = f xrf(x) dx
k • -oo
(przy założeniu, że powyższe wyrażenia są bezwzględnie zbieżne).
Widać stąd od razu, że dla r = 1 otrzymujemy wartość przeciętną mx
zmiennej losowej X.
Wielkość
mz-m\ = E(X2)-(EXy
oznaczamy zazwyczaj symbolem D'\X) i nazywamy wariancją zmiennej
losowej X. Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywamy odchylę'
niem standardowym (lub odchyleniem średnim) zmiennej losowej X.
Jeżeli zmienną losową X poddamy przekształceniu liniowemu,
tzn. utworzymy nową zmienną losową V— aX + b, to
E(Y) = aE(X) + b oraz D*(Y) - a~D*(X).
1. Rachunek prawdopodobieństwa 785
Zmienną losową o wartości przeciętnej 0 i wariancji 1 nazywamy
standaryzowaną. Jeżeli E(X) i D2(X) są odpowiednio wartością
przeciętną i wariancją zmiennej losowej X, to zmienna losowa
y_ X-E{X)
f&{X)
jest standaryzowana.
W statystyce matematycznej zamiast wartości przeciętnej używa
się niekiedy mediany; medianą nazywamy taką wartość ii, że
P{X>/*}>±, P{X<^}>~
(dla zmiennych losowych typu ciągłego możemy określić medianę
przez relację P{X < /i} = P{X > /i} = -^). Mediana jest szczególnym
przypadkiem tzw, parametrów pozycyjnych zwanych kwantylami; kwan-
tylem rzędu p zmiennej losowej X nazywamy wartość Xp taką, że
P{X < Kv} > p, P{X ^ ł.v) > l -~p
(dla zmiennej losowej typu ciągłego definicja ta znów upraszcza się
do warunku P{X < iv) =■ p). Mediana jest więc kwantylem dla p =
— -^; kwantyle dla p = — i p = -^ nazywamy odpowiednio górnym
i dolnym kwantylem,a kwantyle dla p = 0,1, 0,2, ,..,0,9 nazywamy
decylami.
Przykłady. 1. Dla rozkładu dwumianowego mamy
E(Sn) = np, D\S„) = np(l-p).
2. Dla rozkładu Poissona mamy
E(X) = D\X) = ),.
3. Dla rozkładu normalnego mamy
E(X) -w, D\X) = oK
W tym przypadku mediana równa się także m.
Dolny kwantyl możemy wyznaczyć jako punkt Aj/i = m~ao, gdzie
a wyznaczona jest z relacji
e 2 dt = --.
2kJ 4
o
Rozkłady wielowymiarowe. Zmienne losowe omawiane w
poprzednim paragrafie są wygodnym środkiem opisu zjawisk
przypadkowych, kiedy każdemu z interesujących nas zdarzeń losowych możemy
w naturalny dla danego zjawiska sposób przyporządkować jedną liczbę.

786 I- Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
W pewnych jednakże sytuacjach taki opis nie jest wystarczający i do
bardziej adekwatnego opisu konieczne jest użycie dwu łub więcej
wymiarowych wektorów. Podobnie jak w przypadku
jednowymiarowym, wektor losowy (X, Y) nazywamy {dwuwymiarową) zmienną
losową, jeżełi określony jest jego rozkład, tzn. jeżeli dla każdego
prostokąta na płaszczyźnie określone jest prawdopodobieństwo, że wartość
wektora losowego (X, Y) znajduje się wewnątrz tego prostokąta.
W analogiczny sposób jak w przypadku pojedynczych zmiennych
losowych, można określić dystrybuantę wektora (X, Y) jako funkcję
F(x,y) = P{X<x,Y<y}.
Zajmiemy się od razu szczególnymi przypadkami zmiennych
dyskretnych i ciągłych.
Zmienna losowa dwuwymiarowa (X, Y) jest dyskretna, jeżeli
istnieją takie (skończone lub przeliczalne) ciągi punktów x1} x2, ... oraz
yi,j!,..., że jedynymi możliwymi wartościami, jakie może
przyjmować para (X, Y), są punkty w postaci (x/,yA). Dla wyznaczenia
rozkładu takiej zmiennej losowej wystarczy podanie prawdopodobieństw
(1) P(x,,y*) = P{X = xi>Y = yk) (j,k = 1,2,...)
(niektóre z p(xs,yk) mogą być równe zeru).
Mając rozkład (1) pary zmiennych (X, Y) można wyznaczyć
rozkład każdej z tych zmiennych oddzielnie; mamy tu
(2) P{X = xj] = £ P{X = x}, Y = ;»} = £ P(xs>yd>
k k
(3) P{Y=.y*} = %P{X = xh Y = yk) =- £p(Xi,yk).
f i
Rozkłady (2) i (3) nazywamy rozkładami brzegowymi.
Jeżeli dla wszystkich j i k mamy
P(*S,yid = P{X = x}) P{Y = yK},
to zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi. W tym
przypadku tablica łącznego rozkładu p(xj,y&) ma postać tablicy mnożenia.
Rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y =
= ytc, określamy wychodząc bezpośrednio z definicji
prawdopodobieństwa warunkowego:
P{Y-yk) Zpfruyt)
i
1. Rachunek prawdopodobieństwa 787
Analogicznie, rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem,
że X = X], ma postać
P{Y = y*\X=x,}- P{X^° -
Zp(x},yx)
k
Powyższe pojęcia rozkładów brzegowych i warunkowych przenoszą
się łatwo na przypadek dowolnej ilości n zmiennych losowych Xi,
Mówimy, że zmienna losowa dwuwymiarowa {X, Y) jest ciągła,
jeżeli istnieje taka funkcja nieujemna f(x, y), że dla dowolnego
prostokąta o przeciwległych wierzchołkach (a, b) i (c, d) (a < c, b < d) mamy
cd
P{a<X<c,b^Y<d} = fff(x, y)dxdy.
ab
Funkcję f(x, y) nazywamy gęstością wektora losowego (X, Y).
Analogicznie jak w przypadku dyskretnym określamy gęstość
brzegową zmiennej losowej X wzorem
-foo
/i(*)= / K*>y)dy>
a gęstość brzegową zmiennej Y wzorem
+ 00
/iCv)= f f(x,y)dx.
Gęstość warunkową zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y =y0i
określamywzorem
j f(x,y0)dx
Podobnie, gęstość warunkową zmiennej losowej Y pod warunkiem,
że X = x0, określamy wzorem
, .„ , f(x0,y) f(xB>y)
Uy[X = ^ = -f^r = ■+-
J. f(x0,y)dy
Zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, jeżeli
f(x,y)=fl(x)My);
jest to równoważne warunkowi, że zdarzenia a^X <b i c<Y<d
są niezależne przy wszystkich a < b i c < d.

788 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Funkcje zmiennych losowych. Mając łączny rozkład wektora
losowego (X, Y) możemy obliczać rozkłady zmiennych losowych
postaci Z --^ u(X> Y), gdzie w jest daną funkcją. W przypadkach
dyskretnym i ciągłym zmienna Z ma odpowiednio rozkład
P{z<z}= ]? Pto>y*)
oraz
P{Z<z}= ff f(x,y)dxdy,
u(.x, y) <z
gdzie sumowanie (lub całkowanie) rozciąga się na te wartości
wskaźników j i k (lub argumentów x i y), dla których spełniona jest
nierówność u(xj, yk) < z (lub u(x, y)<z). W szczególności, drogą łatwych
przekształceń otrzymujemy wzory (podajemy tu jedynie wzory dla
przypadku ciągłego):
Z +00 2 +00
P{X+Y<z}^ J $ f{x,z-x)dxdz- / f f(z~y,y)dydz,
a więc gęstość zmiennej losowej X+ Y ma postać
(4) hX+v(s)= j f(x,z-x)dx= f f(z-y,y)dy.
Podobnie dla różnicy, iloczynu i ilorazu dwóch zmiennych losowych
o rozkładzie ciągłym o gęstości fix, y) otrzymujemy gęstości
(5) hx_Yiz) = f fix, x—z)dx,
(6) ^yW-T^t)^
(7) hXjYiz)= f fiyz>y)\y\dy.
Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne o gęstościach
odpowiednio /i(;c) i fi(y), to wzory (4)-(7) upraszczają się odpowiednio do
hx_Yiz) = J A(x)f2(x-z)dx,
1. Rachunek prawdopodobieństwa 789
+ °" { z\ 1
hxy(z)= f Mx)A\-xj^dx,
— co
^x/yC-)= f Myz)My)\y\dy.
—00
Wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z = u iX, Y) określa się jako
(8) E{Z) = E[u(xi Y)] = £ «(*fcy*)*(**y*)
w przypadku dyskretnym, lub
(9) £(Z)= J f ufrttffrĄdsdt
— 00 —00
w przypadku ciągłym (przy założeniu, że szereg (8) i całka (9) są
bezwzględnie zbieżne).
Mamy zawsze (jeżeli istnieją wartości przeciętne):
E(X+Y) = EiX) + EiY)i
a w przypadku niezależności zmiennych X i Y mamy też
(io) ąxY) = £(X)£(y).
Wzór (10) sugeruje użycie różnicy £(XY)-£(X)£(7) jako miary
zależności zmiennych losowych X i Y. Różnicę tę nazywamy
kowariancją zmiennych X i Y i oznaczamy przez Cov(X, Y).
Iloraz
Q(X yj _ Cxyy(x> Y> ^ JscA-y^gcjOJgęy)
(^OT ib\X)D\Y)
nazywamy współczynnikiem korelacji między zmiennymi losowymi
X i Y. Współczynnik korelacji q(X, Y) równa się zeru, jeżeli zmienne
Xi Y są niezależne (na mocy wzoru (10)); twierdzenie odwrotne nie
jest prawdziwe, tzn. z tego, że q(X, Y) = 0, nie wynika niezależność
X i Y, z wyjątkiem ważnego przypadku, gdy X i Y mają rozkład
normalny. Ponadto mamy zawsze |o(X, Y)| *S 1 i |o(X, Y)| — 1 wtedy
i tylko wtedy, gdy między zmiennymi X i Y istnieje zależność liniowa
Y = aX+b; przy tym jeżeli a > 0, to o(X, Y) = I, a jeżeli a < 0, to
eiX, Y) = — 1. Jeżeli zmienne losowe X i Y są nieskorelowane (tzn.
0(X, Y) -0), to
D2(X+Y) = D'CXHD'CY).
Przykłady. 1. Rozpatrzmy n niezależnych powtórzeń pewnego
doświadczenia, w wyniku którego mogą realizować się trzy możliwe

790 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
zdarzenia Alt As i Aa z prawdopodobieństwami odpowiednio ply
pz i l—pi—ps- Niech X i Y oznaczają odpowiednio ilości realizacji
zdarzenia Ai i A% w tych doświadczeniach (ilość realizacji zdarzenia
Aa wynosi więc «—X— Y). Łączny rozkład (X, Y) ma postać
pęk, l) = P{X = k,Y^l) = kUKnn^l)y P*PlO -Pt-pJ"-*-1
dla k, 1= 0,1, ...,n, k+ł^ n. Rozkłady brzegowe zmiennych X i Y
mają postać
Pik) = P{X = k} = -^-^ phi -P&-*,
g(.l) = P{Y =l} = -jj^jj- PliX-P^-1-
Tak więc rozkład każdej ze zmiennych X i Y jest rozkładem
dwumianowym.
2. Zmienna losowa (X, Y) ma tzw. dwuwymiarowy rozkład
normalny, jeżeli jej gęstość ma postać
/(*, y) = ^= x
Zne^ffj j/l—g*
xexpL 20-e«>l 5; 2e + ~^T~JJ'
gdzie ci > 0, ff2 > 0, lei < 1.
Drogą prostego całkowania przekonujemy się, że rozkłady
brzegowe każdej ze zmiennych X i Y są normalne odpowiednio o
parametrach
E(X) = «,, £(F) = mtt D\X) = u*, DKY) = a\,
oraz e(-X^) Y) = q.
Rozkład warunkowy zmiennej Y pod warunkiem, że X = xa>
ma postać
f(y\X = x„) = * x
o-2 j/l-ea y2^
jest zatem także rozkładem normalnym o parametrach
ECY\X = *,) = m2+-^ C*c-«i). DW-X" = *0) - Ą(\-Q%).
1. Rachunek prawdopodobieństwa 791
Centralne twierdzenie graniczne. Jeżeli zmienne losowe
Xi,Xz,... są niezależne, mają jednakowy rozkład o wartości
przeciętnej a i odchyleniu standardowym &* > 0, to dla dowolnych a i £
(a < /J) zachodzi relacja
fcfL(wi^.<,L'f',-h,.
n—oo l &j/« J j/2n -J
Jest to uogólnienie twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a (str. 779).
Przykład. Wyobraźmy, że maszyna cyfrowa musi dla
dokonania pewnych obliczeń wykonać milion operacji. W wyniku każdej
z tych operacji otrzymujemy wynik z nadmiarem +10-5 z
prawdopodobieństwem -J i z niedomiarem —10-5 z prawdopodobieństwem y
Kolejne błędy są niezależne i sumują się. Jakie rozsądne granice błędu
możemy przypisać wynikowi?
Niech Xj oznacza wielkość błędu /-tej operacji. Mamy P{Xj —
= ±10"8} = ~, a zatem
£PO) = 4-10-s-i-10-s = 0,
£(^f) = D\Xd = i(10-»)»+l(_l0-»)« = I0-»,
a więc j/Da(JO) = 10~E. Na mocy centralnego twierdzenia
granicznego dla każdych a i /S (a < /J) mamy
I lO-'l/lO* j V2ftJ
v f ''a.
Jeżeli przyjmiemy a = —2,57, /? = 2,57, to prawa strona wyniesie
0,99. Możemy więc orzec, że z prawdopodobieństwem 99% błąd sumy
X1+Xi+ ... +Xio* będzie zawarty w granicach ±2,57-lO-2.
Entropia i informacja. Poniżej podajemy kilka zasadniczych
wiadomości z dziedziny teorii informacji.
Jeżeli X jest zmienną losową dyskretną o rozkładzie danym przez
ciąg Pi = P{X = X}}, to sumę
(1) H(X) = - £ p3logaP3
J
nazywamy entropią zmiennej losowej X. W zastosowaniach przyjmuje
się zazwyczaj podstawę logarytmów a = 2.

792 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Jeżeli łączny rozkład pary zmiennych losowych (X, Y) dany jest
przez
ptJ = P{X=xt, Y = ys} &.;'- 1,2,...).
to entropię tego rozkładu definiuje się jako
H(X)Y) = -Vpijlogpij.
hJ
Niech pi\j oznacza prawdopodobieństwo warunkowe, źe X = Xi,
jeżeli Y = yj. Mamy (por. str. 786):
Ipts P{Y = yi)
i
i możemy określić entropię warunkową zmiennej losowej X pod
warunkiem, że Y = yj, wzorem
(2) H(X\Y = yj)--£ PmlogPuj.
i
Możemy teraz określić entropię zmiennej losowej X względem zmiennej
Y jako średnią
(3) H(X\Y) = %H{X\Y = y})P{Y = yi).
Wielkość
IY(X) = H(X)-H{X\Y)
nazywamy ilością informacji o zmiennej X zawartą w zmiennej Y.
Można pokazać, że IY{X) = IX(Y). Jeżeli zmienne X i Y są
niezależne, to IyOO = 0.
Przykład. Rozważmy uproszczony model kanału łączności:
Na wejściu mamy sygnał z prawdopodobieństwem a i jego brak
z prawdopodobieństwem l—a. Jeżeli sygnał został nadany na wejściu,
to odbieramy go na wyjściu z prawdopodobieństwem fi lub nie
odbieramy z prawdopodobieństwem 1— fi. Wreszcie, jeżeli nie ma sygnału
na wejściu, to możemy go odebrać na wyjściu (na skutek szumów)
z prawdopodobieństwem y lub nie odebrać z prawdopodobieństwem
l—y. Obliczymy ilość informacji o sygnale na wejściu do kanału
zawartą w zaobserwowanym stanie wyjścia kanału.
Oznaczmy przez X i Y odpowiednio stan wejścia i wyjścia;
umówmy się interpretować 1 i 0 jako sygnał lub jego brak. Wówczas łączny
rozkład pary (X, Y) ma postać
Pu-P{X=hY = l} = ap,
PM = P{X - 1, Y = 0} = a(l-fi),
1. Rachunek prawdopodobieństwa 793
pn =P{X = o,Y = i} = U-«)y,
p00 = p{X = o, y = 0} = (i-a)(i-y).
Rozkłady brzegowe dla X i Y są odpowiednio
P{X = 0} = 1-a,
P{X=l} = a,
P{Y = 0} = a(l-0) + a-a) (1-y),
P{Y= l} = afi+(l-a)y,
a rozkłady warunkowe X dla danego Y są
P(X - OIY -0\- (l-a)q-y)
P{X = 1\Y = !}=■
afi
aj5+(l-a)y '
Podstawiając powyższe wartości do wzorów (1), (2) i (3) obliczymy
łatwo Iy(X)- Nie będziemy tu podawać ostatecznego wzoru: zauważmy
tylko, że jeżeli fi = y = — ,"to ly(X) = 0, jak należało oczekiwać.
2. Procesy stochastyczne
Wstęp. Teoria procesów stochastycznych jest jednocześnie gałęzią
i rozszerzeniem rachunku prawdopodobieństwa: służy ona jako model
opisujący zjawiska przypadkowe w ich powiązaniu z czasem.
Wyobraźmy sobie układ, zmieniający się losowo w czasie, i dla
uproszczenia przyjmijmy, że w każdej chwili t stan tego układu daje
się adekwatnie (dla naszych celów) opisać za pomocą liczby X{t)', tak
więc ewolucja układu opisana jest za pomocą funkcji X(t), gdzie
parametr t przebiega rozważany odcinek czasu. Przykładami takich
zjawisk mogą być: 1° wysokość położenia cząstki zawieszonej swobodnie
w cieczy i wykonującej tzw. ruchy Browna; 2° ciśnienie atmosferyczne,
lub temperatura powietrza, w określonym punkcie kuli ziemskiej;
3° łączna ilość wezwań centrali telefonicznej do danego momentu
czasu; 4° poziom szumów danego kanału łączności; 5° ilość bakterii
w obserwowanej rozwijającej się kolonii; 6° łączna ilość cząstek
zarejestrowanych do danego momentu przez licznik Geigera; 7° cena

794
I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
danego produktu w sprzedaży wolnorynkowej podlegająca okresowym
fluktuacjom wynikającym z przypadkowych zmian masowego popytu
i podaży. W każdej z wymienionych powyżej sytuacji ewolucja odbywa
się w sposób losowy w tym sensie, że znajomość przebiegu zjawiska
do chwili obecnej, nazwijmy ją f0» nie pozwala jednoznacznie wyznaczyć
wartości X(t(, + T) dla chwili późniejszej t0-\-r; możemy mówić jedynie
o rozkładzie prawdopodobieństwa X(,ta+ ?), tj. o prawdopodobieństwie,
że zmienna losowa X(t0-{- t) przyjmie wartość z określonego przedziału.
Najogólniej rzecz biorąc, podstawowym zagadnieniem teorii
procesów stochastycznych jest: mając dane informacje o przebiegu procesu
w pewnych określonych momentach czasu (oznaczmy te informacje
ogólnie przez /) znaleźć rozkład (warunkowy) zmiennej losowej X(t)
dla pewnego (innego) momentu t, tzn. P{X(r) < y |/}.
Procesy markowskie. Wyobraźmy sobie, że informacja 7, jaką
mamy o przebiegu procesu X(t)s składa się z informacji /*, że w chwili
t0 było X(tB) = x, oraz z informacji /** dotyczącej tego, co się działo
w chwilach wcześniejszych od r0. Jeżeli przy posiadaniu informacji /*
informacje /** są zbędne dla wyznaczenia rozkładu zmiennej losowej
X(t0-\-r) dła chwil późniejszych (r > 0), to proces X(t) nazywamy
markowskim. Tak więc mamy
P{X(t,+ r)<y\I* i /**} = P{X(t0+T)<y\I*} =
= P{X(t0 + T)<y\X(tB) = x}.
Innymi słowy, procesy markowskie są modelami zjawisk, w których
znajomość stanu układu w danej chwili determinuje całkowicie związki
probabilistyczne dla chwil przyszłych i dodatkowe informacje o
poprzednim zachowaniu się układu nie wnoszą nic nowego (z podanych
przykładów procesami markowskimi są 1°, 3°, 6° i przy pewnych
upraszczających założeniach 5°).
Przykład. Rozpatrzymy tzw. proces urodzin i śmierci. Ze względu
na specyficzną własność procesów markowskich, polegającą na
„zapominaniu o przeszłości", aparatem analitycznym nadającym się najlepiej
do badania takich procesów są równania różniczkowe. Wzory analityczne
dla warunkowych rozkładów prawdopodobieństwa wyprowadza się dla
procesów markowskich z założeń dotyczących granicznych własności
prawdopodobieństw zmian na małych odcinkach czasu. Wyjaśnimy to
na pewnym szczególnym przykładzie. Wyobraźmy sobie populację
składającą się z pewnej ilości elementów (dla ustalenia uwagi można
sobie wyobrażać, że są to np. bakterie w pewnej kolonii, cząstki
elementarne promieniowania kosmicznego itp.). Każdy z tych elementów
może „umrzeć" lub „urodzić" nowy element (interpretacja „śmierci"
i „urodzin" zależy oczywiście od interpretacji modelu jako
rzeczywistego zjawiska). Założenia analityczne są następujące:
Jeżeli w momencie t istnieje n elementów, to
2. Procesy stochastyczne 795
1. prawdopodobieństwo, że na odcinku <f, t+Aty jeden z nich
„umrze" (czyli w chwili tĄ-At będzie n—1 elementów), wynosi
n/iAti-o^At), gdzie o(At) oznacza wielkość rzędu mniejszego od At
tj. taką, że
2. prawdopodobieństwo, że na odcinku czasu (j., tĄ-Ai) „urodzi"
się nowy element (tj. w chwili tĄ-At będzie «+l elementów), wynosi
nXAt-\-o(At),
3. prawdopodobieństwo dwu lub więcej „urodzin" i „śmierci"
na odcinku czasu o długości At jest rzędu o(Ai),
4. prawdopodobieństwa określone w 1 i 2 nie zależą od przeszłej
historii (do chwili t) populacji (markowskość) oraz nie zależą od f
(jednorodność procesu w czasie).
Niech X(t) oznacza ilość elementów populacji w chwili t i niech
Pn(t) = P{X(t) — n) (tradycyjnie używa się tu oznaczenia P»(r)
sugerującego, że mowa o prawdopodobieństwie bezwarunkowym^
w istocie wyznaczymy prawdopodobieństwo warunkowe, że X(t) = w,
pod waruukiem, że X(0) = i, gdzie i jest daną łiczbą całkowitą). Na to,
aby było X(t-\-At) = « (« 5= l)j musiało być bądź X(t) = n i na
odcinku <r, t+Ai) nie zaszła żadna zmiana, bądź X(t) = «4-l i zaszła
zmiana l,bądź_X"(0 = n — l i zaszła zmiana 2; łączne
prawdopodobieństwo wszystkich innych możliwości wynosi o(At) na mocy 4. Ze wzoru
na prawdopodobieństwo całkowite (por. str. 776) mamy
(ł) Pn(t + At) = Pn(t) [l-nJLAt-n/iAtl + Pn-ib) (n-DJLAt-ł-
+ Pn+1(t)(n+l)nAtĄ-o(At%
skąd, tworząc iloraz różnicowy dla Pn(t) i przechodząc do granicy
z At^-0, dostajemy
P'n(t) - -nW + zOftCO + Cw-OAPn-iCO+Cn+O/łA+iCO.
Dla n = 0 dostajemy za pomocą podobnego rozumowania
P'a(t) = /*Pi(0-
Otrzymujemy więc nieskończony układ równań różniczkowych dla
prawdopodobieństw Pn(t). Rozwiązując go przy warunkach
początkowych Pj(0) = 1, P/0) = 0, jj± i (co jest równoważne warunkowi
X(0) — i) znajdujemy szukany rozkład prawdopodobieństw w chwili f.
Dla rozwiązania tego układu najwygodniej jest wprowadzić tzw.
funkcję tworzącą prawdopodobieństwa Pn(t):
«=0

796 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Mnożąc równanie (1) odpowiednio przez sn i sumując względem n
otrzymujemy dla y> równanie różniczkowe cząstkowe
z warunkiem początkowym v'fe 0) = sl. Rozwiązując to równanie
otrzymamy szukane prawdopodobieństwo Pn(t) rozwijając y>(s> t)
w szereg potęgowy względem s.
Za pomocą modeli podobnych do opisanego powyżej da się opisać
wiele zjawisk dotyczących masowej obsługi urządzeń, teorii kolejek itp.
Procesy stacjonarne. Procesami stacjonarnymi nazywamy takie
procesy, których związki probabilistyczne nie ulegają zmianie przy
przesunięciu w czasie, tzn. (bezwarunkowe) prawdopodobieństwo, że
X(i) < y, jest takie samo jak prawdopodobieństwo, że X(t + r)<y, dla
każdego r;
P{X(t)< y} = P{X(t + r) < y);
łączny rozkład zmiennych losowych Xfa), X(t2) jest taki sam jak
łączny rozkład zmiennych losowych X(tt -j- t), X(t2 + r) itd.
Jeżeli X(t) jest procesem stacjonarnym, wówczas wartość przeciętna
E[X(t)] = m nie zależy od t; kowariancja zmiennych losowych X(i)
i X(r-j-r) zależy jedynie od „odległości" czasowej tych zmiennych
(równej t) i nie zależy od t:
E[X(t)X(t+T)]-m2 = E(r).
Funkcję B(r) nazywamy funkcją korelacyjną (lub autokorelacyjną)
procesu X(t). Niekiedy funkcją korelacyjną nazywa się funkcję
w , B(t) .
K } ~ Da[X(0)] J
mamy wówczas K(0) ~ 1.
Procesy ergodyczne. Procesy stacjonarne mają pewną cenną
dla zastosowań i interesującą teoretycznie .własność, są mianowicie
ergodyczne. Proces stochastyczny (markowski lub nie) nazywamy
procesem ergodycsnym, jeżeli wszystkie jego realizacje są „typowe" w tym
sensie, że znajomość pojedynczej realizacji X*(t) na nieskończonym
(w praktyce: dostatecznie długim) odcinku czasowym pozwała
wyznaczać rozkład prawdopodobieństwa (lub jego parametry) w innym,
hipotetycznie identycznym (tzn. rządzonym przez te same związki
probabilistyczne) procesie X(t) w myśl zależności:
(1) P{X(t) < y) = lim — {łączna długość odcinków czasowych
z przedziału <0, T), kiedy było X*(t)<y}.
2. Procesy stochastyczne
797
Tutaj prawa strona nie zależy od t, wobec tego
prawdopodobieństwo po lewej stronie również nie zależy od t; wzór powyższy pozwala
oszacowywać prawdopodobieństwo za pomocą „średnich czasowych"
Podobnie szacujemy wartość przeciętną ze wzoru
T
(2) E[X(r)} = m = lim ~ f X*(t)dt.
O
Mówiąc bardziej precyzyjnie, ostatni wzór należy rozumieć w ten
sposób, że dla procesów, dla których zachodzi ergodyczność:
T
(3) lim b\\^ f X*(t)dt-m\*~\ =0,
tzn. wzór (2), jak również i (1), należy rozumieć w sensie tzw. zbieżności
przeciętnej z kwadratem (por-, str. 760).
Typowymi przykładami procesów ergodycznych mogą być poziomy
stacjonarnych szumów w urządzeniach elektronicznych lub kanałów
łączności. Również prognoza pogody opiera się w większości
przypadków na domniemanej ergodyczności procesów meteorologicznych.
Ergodyczność wszystkich procesów stacjonarnych pozwala również
na oszacowywanie funkcji autokorelacyjnej lub jej transformacji
Fouriera
/(A) =/*-'<* B(0A.
W niektórych procesach ważnych dla teorii łączności, zdalnego
sterowania urządzeniami, radiolokacji itp. dokonuje się tego za pomocą
specjalnych urządzeń automatycznych. Powstaje więc podstawowe dla
teorii procesów stacjonarnych zagadnienie wyrażenia interesujących
nas danych o badanym procesie za pomocą jego funkcji
autokorelacyjnej. Sformułujemy trzy podstawowe zagadnienia z tej dziedziny:
przewidywania, interpolacji i filtracji i pokażemy na prostym przykładzie
metodę rozwiązywania tych zagadnień.
Przewidywanie (predykcja). Obserwujemy proces
stochastyczny stacjonarny X(t) o znanej funkcji autokorelacyjnej B(r). Mając
dane (z obserwacji) wartości procesu X(t) dla chwil wcześniejszych
od t0 (wszystkich lub tylko niektórych) należy przewidzieć możliwie
dokładnie wartość procesu w chwili późniejszej r + r, tzn. należy
skonstruować taką funkcję L = L[X(/), £^ t„], aby
(4) E[\X(t + T)-L\*] = min.
Ze względu na komplikacje natury zarówno rachunkowej jak i ze
względu na techniczną realizację rozwiązań zakłada się zazwyczaj
dodatkowo o funkcji Li że jest ona liniowa, tzn. w przypadku gdy znamy

798 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
wartości „przeszłe" procesu X(rn), X(^i),..., gdzie r0 > t1 > ...,
szukamy L o postaci C0X(t0) + CiXltl)-\- ... i wyznaczamy współczynniki
C„, Cl ... minimalizujące „błąd" przewidywania (4). W ogólnym
przypadku, gdy znamy X(t) na odcinku czasu poprzedzającym t0
(skończonym lub nie), szukamy funkcjonału liniowego L [X(0L który
minimalizuje formę (4).
Interpolacja. Zagadnienie interpolacji różni się od zagadnienia
predykcji cym, że staramy się na podstawie znajomości wartości
procesu X(t) w pewnych momentach „odtworzyć" (w sensie minimalizacji
średniego błędu kwadratowego, podobnie jak (4)) wartość procesu
w jakimś innym momencie, kiedy nie dokonywano obserwacji.
Filtracja. Wyobraźmy sobie, że mamy do czynienia z dwoma
niezależnymi procesami stacjonarnymi: X(t) „sygnał" i Y(t) „szum",
których funkcje korelacyjne Bx(t) i J32(t) są znane. Obserwujemy sumę
Z(t) = X(t) -f Y(t) i staramy się na podstawie znajomości wartości
Z{t) znaleźć wartość X(t0) w pewnym ustalonym momencie t0.
Analogicznie jak przedtem zadanie polega tu na skonstruowaniu (liniowego)
funkcjonału L [2(f)], który dawałby minimum średniego błędu
kwadratowego filtracji, tzn. szukamy funkcjonału L, dla którego
(5) B[\X(t0)~L[Z(tW] = min.
Przykład. Wyobraźmy, że mamy do czynienia z procesem
stacjonarnym X(t), dla którego E[X(t)] = 0; wówczas E[X(t+r)X(t)] =
= B(r), przy czym o funkcji B(r) zakładamy, że jest znana. Przypuśćmy,
że znamy wartość procesu X(t) w dwóch momentach czasu t i t—r0
(t0 > 0). Zadanie polega na skonstruowaniu optymalnej liniowej
predykcji
L[X(t)] = aX(t) + bX(t-T0)
dla przewidywania wartości procesu w chwili X(t-\-r), gdzie r > 0.
Chcemy więc minimalizować formę
(6) E[\X(.t+T)-{aX(t) + bX(t-ro)}\z].
Rozwijając wyrażenie (6) i biorąc wartości oczekiwane otrzymujemy
(7) £EIX(r+T)!^]4-a^Elx(r)|2]+fi2£[|X(^T0)l^]-
-2aE[X(t+T)X(t)]-2bE[X(t+T)X(t-r0)] + 2abE[X(t)X(t-Tll)] =
= B(0) + a*B(0)Jrb*B(0)-2aB(T)-2bB(T + T0) + 2abB(T0),
Wyrażenie po prawej stronie (7) jest (dodatnio określoną) formą
kwadratową współczynników a i b. Metody minimalizacji takiej formy są
znane: różniczkując względem a i b"i przyrównując pochodne cząstkowe
do zera otrzymujemy układ równań liniowych dla a i b, którego
rozwiązanie daje szukane minimum (ze względu na dodatnią określoność
funkcji autokorelacyjnej jest to minimum, a nie maksimum).
3. Statystyka matematyczna
799
3. Statystyka matematyczna
Wstęp. W nowoczesnym rozumieniu tego pojęcia statystyka
matematyczna jest działem nauki zajmującym się metodami wnioskowania
o prawach prawdopodobieństwa rządzących danym zjawiskiem na
podstawie obserwacji tego zjawiska, oraz znajdowania optymalnych metod
postępowania (w sensie narzuconych kryteriów). Drugie z tych
zagadnień należy, ściśle biorąc, do tzw. statystycznej teorii decyzji i nie
będziemy go tu omawiać. Pierwsze z tych zagadnień, stanowiące treść
tzw. klasycznej statystyki matematycznej, można w prostym przypadku
zjawiska dającego się opisać za pomocą modelu pojedynczej zmiennej
losowej sformułować następująco: Rozważane zjawisko
scharakteryzowane jest przez pewien nieznany rozkład prawdopodobieństwa,
nazwijmy go F. Dokonujemy pewnej ilości « (najczęściej niezależnych)
obserwacji tego zjawiska i w rezultacie uzyskujemy wyniki (tzw. próbkę) xx,
X%} •. • , Xn- Co można na podstawie tej próbki orzec o rozkładzie F?
Ze względu na charakter informacji, które chcemy uzyskać, można
tu wyróżnić dwie podstawowe grupy zagadnień: teorię estymacji i teorię
testowania hipotez. Pierwsze z tych zagadnień pojawia się, jeżeli mamy
do czynienia z sytuacją, w której postać funkcyjna rozkładu F jest
znana, ale zależy od jednego lub więcej nieznanych parametrów,
które należy oszacować.
Zagadnienie testowania hipotez statystycznych polega na konstrukcji
metod pozwalających rozstrzygać czy zaobserwowanie danej próby
należy uznać za sprzeczne z daną hipotezą H orzekającą coś o rozkładzie
F (sprzeczność rozumiemy tu nie w sensie sprzeczności logicznej
a w sensie konieczności uznania, że nastąpiło zdarzenie o małym
prawdopodobieństwie).
Jest rzeczą niezmiernie ważną, aby uświadomić sobie następujący
fakt, często nie rozumiany lub niedostatecznie doceniany przez ludzi
stosujących w praktyce metody statystyczne: na to, aby wnioskowanie
statystyczne prowadziło do sensownych rezultatów, jest rzeczą
nieodzowną, aby próbka x1} xz,..., xn służąca za podstawę wnioskowania
o nieznanym rozkładzie F była wynikiem losowania niezależnych
zmiennych losowych o rozkładzie F. To na pozór oczywiste zastrzeżenie
oznacza, że próbka xL, x2ł..., xn musi być wynikiem takiego procesu
losowania (obserwacji, pomiarów), żeby przed jej pobraniem
wszystkie możliwe rezultaty próbek y1} y^> ••■,yn pobieranych w
hipotetycznie identyczny sposób miały rozkład prawdopodobieństwa
odpowiadający schematowi n niezależnych losowań tej samej zmiennej
losowej X o rozkładzie F. Formalnie, próbka xit x2,..., x% traktowana
jest w statystyce matematycznej jako realizacja w-wymiarowej zmiennej
losowej (Xi, X2,..., Xn), w której zmienne Xj są niezależne i mają
rozkład F. Wszystkie schematy wnioskowania statystycznego przyjmują
powyższy punkt wyjścia za podstawę teoretyczną ich konstrukcji

800
I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
i w konsekwencji ich stosowalność ograniczona jest do praktycznych
sytuacji spełniających (choćby w przybliżeniu) ten warunek.
Wyjaśnimy to na przykładzie z tzw. statystycznej kontroli jakości.
Przypuśćmy, że mamy partię składającą się z dużej ilości N sztuk
towaru. Nieznana jest wadliwość p tej partii (tutaj p = kjN, gdzie k
jest ilością sztuk wadliwych). Zamiast badać każdą sztukę oddzielnie,
(co mogłoby być zarówno zbyt kosztowne, jak i niekiedy niecelowe,
np. gdy sprawdzenie danej sztuki powoduje automatycznie jej
zniszczenie) możemy stosować badanie wyrywkowe: z danej partii losujemy
pewną ilość n sztuk i sprawdzamy każdą z nich. Zaobserwowana ilość
x sztuk wadliwych wśród n zbadanych służy nam za podstawę do
oszacowania nieznanej wadliwości p lub podstawę do testowania jakichś
hipotez dotyczących tej wadliwości (np. hipoteza, że p ^ 0,01 itp.).
Jeżeli losowanie elementów do zbadania odbywało się w ten sposób,
że przed wyborem każdy element populacji miał jednakowe
prawdopodobieństwo dostania się do próbki, i kolejne losowania były
niezależne, wówczas ilość sztuk wadliwych w próbce, nazwijmy ją X,
ma rozkład dwumiarowy (por. str. 782).
(1) P{X=r} = fypr{\-p)«-r
i wartość zaobserwowana X = X pozwala na wyciągnięcie wniosków
dotyczących nieznanego p.
Jeżeli próbkę pobierano inaczej (np. w sposób systematyczny lub
„na oko"), to prawdopodobieństwo P{X = r), o ile w ogóle takie
prawdopodobieństwo ma sens, wyraża się wzorem innym niż (1) —
w dodatku na ogół nieznanym — i jest oczywiste, że metody
wnioskowania o p, u których podstaw teoretycznych tkwi założenie słuszności
wzoru (1), nie dają się stosować.
Zauważmy, że nie chodzi tu nam o to, że w przypadku gdy losowano
bez zwracania elementów do populacji, wzór (1) przestaje być słuszny;
gdy A? jest duże, to przy niewielkich n wzór (1) staje się wzorem
przybliżonym i możemy w dalszym ciągu stosować metody oparte na
wzorze (1), o ile tylko przed każdym kolejnym wyborem każdy z elementów
jeszcze nie badanych miał jednakowe szanse dostania się do próbki.
Statystyka matematyczna dostarcza sposobów losowania, które
pozwalają spełnić ten warunek, np. za pomocą tzw. tablic liczb losowych.
Często jednak mamy do czynienia z sytuacją, gdy próbka
w ogóle nie powstała w wyniku świadomego losowania lub też
zastosowana metoda losowania nasuwa wątpliwość co do poprawności jej
użycia w danej sytuacji. Zagadnienie co należy robić w takim przypadku
wykracza właściwie poza ramy statystyki matematycznej: statystyk
może, postępując formalnie, zastosować do tej próbki schematy
wnioskowania statystycznego i otrzyma pewne wyniki; jeżeli będą one
jednak fałszywe lub bezsensowne, wina będzie leżała po stronie tego,
3. Statystyka matematyczna
801
kto próbkę zebrał. Formalnie rzecz biorąc, podstawowym
wymaganiem stosowalności statystyki jest, aby kryterium decydujące o
przynależności elementu badanej populacji do próby było niezależne od
cechy badanej; problem czy warunek ten jest spełniony dla próbki,
która została już pobrana) bądź nie da się rozstrzygnąć za pomocą
samej statystyki) a wymaga dyskusji merytorycznej, bądź też dla jego
rozstrzygnięcia potrzeba właśnie tej informacji o badanym rozkładaie,
którą chcemy za pomocą próbki uzyskać.
Teoria estymacji' Wyobraźmy sobie, źe postać funkcyjna
rozkładu F jest znana, ale zależy od jednego lub więcej nieznanych
parametrów, które należy oszacować z próby. Dla ustalenia uwagi,
wyobraźmy sobie, że mamy do czynienia tylko z jednym nieznanym
parametrem 0; wobec tego dystrybuanta obserwowanej zmiennej losowej X
ma postać F(x; 0). Co można orzec o 0 na podstawie próbki xu x2,..., x»?
Rozwiązanie tego zagadnienia polegać będzie na skonstruowaniu
funkcji n zmiennych 6n zwanej estymatorem parametru 0 (a ściślej,
ciągu funkcji {0n} (n — 1, 2,..,)) o tej własności, że po podstawieniu
w miejscu zmiennych w funkcji 8n zaobserwowanych wartości
*u x2>... ,xn będziemy mieli rozsądne podstawy do
przypuszczeń, źe najprawdopodobniej zachodzi w przybliżeniu równość 0 =
= Gn(x1,x2,...)xa)-
Ten niezbyt formalny opis możemy sprecyzować następująco:
Jak już mówiliśmy, zaobserwowana próbka xx, x%,..., Xn jest realizacją
«-wymiarowej zmiennej losowej (X1} X2,..., Xn), gdzie Xi są
niezależne i mają rozkład F(x; 0). Dla różnych próbek otrzymujemy różne
wartości dni wobec tego estymator 6n jako funkcja próbki jest pewną
zmienną losową.
Estymator 6n nazywamy estymatorem zgodnym parametru 0, jeżeli
dla dowolnego e > 0 mamy
(1) lim P{\6n-e\>e}^0.
Estymator 6n nazywamy estymatorem nieobciąźonym parametru 0,
jeżeli dla każdego n mamy
(2) E(6n) = 6;
jeżeli lim E(6n) = 0, to estymator 0n nazywamy estymatorem asympto-
n—*oo
tycznie nieobciąźonym parametru 8.
Jest oczywiste, źe z dwóch estymatorów nieobciążonych 6* i 0**
lepszy jest ten, który ma mniejszą wariancję^ daje on bowiem średnio
mniejsze odchylenie kwadratowe wartości oszacowanej Śn od wartości

802 I. Rachunek' prawdopodobieństwa i statystyka
prawdziwej 0; Okazuje się, że przy pewnych warunkach regularności
(które spełnione są w większości praktycznych sytuacji) zachodzi
następująca nierówność:
Nierówność Rao-Cramera. Jeżeli Ón jest nieobciążonym
estymatorem parametru 0, to
(3) , DW = EK§n-Q)2l > —^ J-—
* J" l^l0g/(*;e)l Kx>^dx
— co *- -■
lub
(4) D2(Ó„) = E[(k-0y] > ~ — 2
n£[^°gp(.xii.Q)]p(xt>Q)
Widać więc, że prawa strona (3) (lub (4) w przypadku dyskretnym)
daje nam minimalną moaliwą wariancję estymatorów 0„ parametru 0.
Estymator 0n nazywamy estymatorem najefektywniejszym
parametru 0, jeżeli jego wariancja równa jest prawej stronie (3) lub (4);
efektywność danego estymatora 0n mierzymy stosunkiem prawej strony
(3) lub (4) do jego wariancji D2(0n) (tak więc estymatory
najefektywniejsze mają efektywność równą 1).
Przykład. Rozpatrzmy niezależne pomiary pewnej wielkości a
Załóżmy, że wyniki kolejnych pomiarów są realizacjami zmiennych
losowych o rozkładzie normalnym o gęstości
gdzie a jest znane (er2 będzie tu średnim błędem kwadratowym
przyrządu pomiarowego). Jako estymator parametru a można przyjąć np.
średnią arytmetyczną wyników pomiarów (będzie to estymator zgodny,
nieobciążony i najefektywniejszy); można też przyjąć jako estymator a
medianę, tj. środkowy co do wielkości wynik (w przypadku nieparzystej
ilości obserwacji) oraz średnią z dwóch środkowych wyników (w
przypadku parzystej ilości obserwacji). Mediana będzie również zgodnym
i nieobciążonym estymatorem a, jej efektywność jest jednakże niewielka:
zmierza ona przy « —* oo do wartości 2/n «=* 0,64.
Problem uzyskiwania estymatorów. Jedną z najbardziej
rozpowszechnionych metod uzyskiwania estymatorów jest tzw. metoda
największej wiarogodności. Jeżeli 01S 02,..., Ok są nieznanymi
parametrami, które trzeba oszacować z próbki xlt x2)..., xn, gdzie xj sa
realizacjami niezależnych zmiennych losowych o gęstości f(xi 6U Q2,..., 0i-)» l°
3- Statystyka matematyczna
803
jako estymatory parametrów 0» 03, ...,9* możemy przyjąć takie
0i, 0V • • • > 0fc> dk których iloczyn
/(*»0i>*„■■■>e*)/(*iJ0» e*» •••>te)...f(?cn',Oh 0a,...»e*)
przyjmuje wartość największą. Szukamy zatem rozwiązania układu
równań
C1) || = 0 C/=1,2,...,A),
gdzie
n
L= X \°gf(xa Q» 02,...30fc).
1=1
Rozwiązując układ (1) otrzymujemy rozwiązania 0/ będące funkcjami
x,, *«..., xni są to właśnie estymatory największej wiarogodności.
W przypadku zmiennych losowych dyskretnych układ (1) ma
analogiczną postać, z tym że funkcja L jest sumą logarytmów
prawdopodobieństw uzyskania otrzymanej próbki.
Przy pewnych ogólnych założeniach estymatory uzyskane w ten
sposób są zgodne, asymptotycznie nieobciążone, mają rozkład
asymptotycznie normalny i są asymptotycznie najefektywniejsze (tzn. ich elefc-
tywność zmierza do 1 wraz ze wzrastaniem liczebnoścrprobki n)
Przykład. Wyobraźmy, że mamy, podobnie jak w przykładzie
poprzednim, « niezależnych pomiarów x„ x2>..., xn tej samej
nieznanej wielkości a, z tym jednak, że wariancja a2 me jest znana.
Zbudujemy estymatory największej wiarogodności dla parametrów a i o .
Mamy tu % „
skąd
* — 1 Y"i
L = Y\ogAxt;a, o) = -nlogofln- -^ ^ (xi-af.
i=i
i=l
Układ równań Ę^- = 0, 4^-0 przybierze postać
da oc3
n
{xt-a) = 0, -~ £ (xt-af-^
. Ti j=i
i jego rozwiązaniem będzie
>>
gdzie x-=— (*i+xz+ ... +x»).
i=l

804 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Warto zauważyć, że E(_a2) = <r23 czyli estymator a2 nie jest
nieobciążony. Ze względu na to często przyjmuje się w statystyce
za estymator parametru a2 funkcję
K
1=1
która jest nieobciążonym estymatorem parametru o2.
Przedział ufności. Często nie wystarczy podanie samej
wartości estymatora szukanego parametru 0: dla celów praktycznych
chcemy jeszcze znać granice błędu oszacowania przy danym
prawdopodobieństwie; ściślej, chcielibyśmy wiedzieć jak często (tzn. z jakim
prawdopodobieństwem) błąd oszacowania \8„ — ń| przekroczy zadany
z góry poziom dokładności. Zagadnienie to rozwiązuje się za pomocą
tzw. przedziałów ufności. Formalnie, dla konstrukcji przedziału
ufności trzeba utworzyć taką funkcję Un zależną od próbki *i, #a,..., Xn
i szukanego parametru ń (czyli zmienną losową będącą funkcją próbki
oraz funkcją nieznanego parametru 0), której rozkład
prawdopodobieństwa jest znany i nie zależy od 0 (choćby w przybliżeniu dla
dużych wartości n).
Przypuśćmy, że znaleźliśmy już taką funkcję Un(xl,x2, ...,xn;d)i
niech zmienna losowa Un(.Xi,X^,...>Kn',0) ma rozkład o gęstości
<p(ż), gdzie <p jest znane. Dla danego prawdopodobieństwa l — a (gdzie
zazwyczaj a jest małe) wybieramy takie a i b, aby
b
j <p(z)dz = l—a
a
a
(często dodzjemy jeszcze warunek, aby / <p(z) dz = -k a\. Wówczas
(ł) P{a < Un(Xlf Xia...,X»;6)śb}=l -a.
Nierówność w nawiasie klamrowym możemy przekształcić do postaci
6eB(XltXtf...,Xn;a3b)t
gdzie B jest pewnym obszarem zależnym od wartości Xi, Xis..., Xn
(na ogół jest to przedział, którego górny i dolny koniec są funkcjami
próby). Wówczas na mocy (1) możemy orzec, że
P{eeB(Xl,Xi,...,Xn;a,b)} = 1-a,
co daje nam szukane ograniczenia błędu (tzw. obszar ufności przy
zadanym prawdopodobieństwie l—a). Należy zwrócić tu uwagę na
3. Statystyka matematyczna
805
fakt, że nie parametr 0, a obszar ufności jest losowy. Innymi słowy,
dla różnych próbek xL, xs,.,., xR będziemy otrzymywali różne obszary
, Xj,... y Xji ; iż, b)i wśród nich częstość tych, które nie będą
zawierać nieznanego parametru 0, wynosi a.
Przykład. Poniższe przykłady będą dotyczyły zagadnienia
konstrukcji przedziałów ufności dla parametrów rozkładu normalnego.
W każdym przypadku próbka xt, x3,..., xn jest realizacją n
niezależnych zmiennych losowych Xi,X2J..., Xn o rozkładzie normalnym
f(x;a,c) = —- exp - ' .
Oznaczmy
n
x = — cx1+xa+...+Xn), s2~ — y&t-xy.
t=l
Mogą zaistnieć trzy przypadki:
1. a jest nieznane, o — znane (odpowiada to sytuacji pomiarów
pewnej wielkości a za pomocą przyrządu o znanym średnim błędzie
kwadratowym t3). W tym przypadku X ma rozkład normalny o
średniej a i wariancji <t2/m, a więc zmienna losowa — \/n ma rozkład
normalny o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1. Dla danego a
znajdujemy z tablic rozkładu normalnego taką wartość za, że
i ;* 4*
Y2n
wobec czego
pl^^LZa^l-a,
czyli z prawdopodobieństwem l—a przedział (o końcach losowych)
{X—Za^lyn, X+zaoj\/ny będzie zawierał nieznaną wielkość a.
2. a i a są nieznane (odpowiada to sytuacji kiedy dokonujemy
pomiarów wielkości a za pomocą przyrządu o nieznanym średnim
błędzie kwadratowym). W tym przypadku dla oszacowania parametru a
wprowadzamy zmienną losową
X-a .
tn-i = -- yn-li
zmienna ta ma tzw. rozkład t Studenta o w—1 stopniach swobody O-
(') Nie ma potrzeby podawania tu wzoru na gęstość tego rozkładu; jest on stabli-
cowany i tablice te można znaleźć w niemal każdym podręczniku statystyki
matematycznej; fragment tych tablic podany jest na str, 96.

806
I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Jeżeli dla danego a znajdziemy z tablic tego rozkładu (dla n—l stopni
swobody) wartość t^-i taką, że
to szukany przedział ufności dla a przybierze postać
Dla oszacowania parametru a2 możemy posłużyć się faktem, że
TT nS2 vi (Xi-X~y
i=l
jest zmienną losową o tzw. rozkładzie x1 ° » —1 stopniach swobody.
Znajdując z tablic (str. 96) takie wartości aa i ba, aby
P{aa ^Un-i<ba} = 1-a,
otrzymamy dla az przedaiał ufności (nS2/ba,nS2/aay.
3. a jest znane, a — nieznane (jest to przypadek odpowiadający
szukaniu średniego błędu przyrządu pomiarowego przez dokonywanie
za pomocą tego przyrządu pomiarów znanego skądinąd wzorca a).
W tym przypadku zmienna losowa
1=1
ma rozkład x2 ° n stopniach swobody; wobec tego postępowanie jest
analogiczne jak w 2.
Testowanie hipotez statystycznych. Przypuśćmy, że mamy do
czynienia z następującą sytuacją: nieznany jest rozkład F rządzący
pewnym zjawiskiem losowym. Pobrano próbkę *!,#2,...,#«
niezależnych obserwacji tego zjawiska i wysunięto pewną hipotezę H
dotyczącą rozkładu F. Co można orzec o prawdziwości tej hipotezy na
podstawie próbki x1} xn,..., *n?
Postępowanie pozwalające decydować o prawdziwości hipotez
statystycznych nazywamy testami statystycznymi.
Hipotezy H o rozkładzie F mogą mieć w różnych sytuacjach
praktycznych różną postać. Ze względów natury metodologicznej (tzn. ze
względu na stopień złożoności analizy matematycznej zagadnień
związanych z testowaniem różnego typu hipotez), wygodnie jest
wprowadzić następującą klasyfikację:
1. Jeżeli hipoteza H dotyczy wartości jakichkolwiek parametrów
3. Statystyka matematyczna
807
rozkładu F, nazywamy ją hipotezą parametryczną; w przeciwnym
przypadku nazywamy ją hipotezą nieparametryczną.
2. Hipotezę H, która jednoznacznie precyzuje nieznany rozkład
Fi nazywamy hipotezą prostą; w przeciwnym przypadku nazywamy
ją hipotezą złożoną.
Ograniczymy się tu jedynie do przypadku hipotez prostych,
Przypuśćmy;, że dana jest hipoteza prosta H0) orzekająca, że interesujące
nas zjawisko rządzone jest przez dany rozkład, nazwijmy go F0. Aby
zweryfikować tę hipotezę, wybieramy sobie pewną funkcję n
zmiennych un (tzw. statystykę służącą za podstawę testu). Funkcję un
dobieramy tak, aby zmienna losowa Zn = un(X1} Xz> ■•., Xn)» gdzie
XnXs., ...,Xn jest próbką, miała — przy założeniu słuszności
hipotezy Ho — rozkład dający się efektywnie wyznaczyć. Ponadto
dobieramy sobie pewną liczbę a(0 < a < 1) zwaną poziomem istotności testu
(w zastosowaniach przyjmuje się tradycyjnie a = 0,05 lub a = 0,01).
Następnie dla wybranego a i danej statystyki Un wybiera się tzw. zbiór
krytyczny Ka> tj. zbiór o tej własności, że
(1) F{u»(Xl>X„...,Xn)eKa\Hll} = a.
Postępowanie przy weryfikacji hipotezy H„ polega teraz na obliczeniu
wartości zaobserwowanej statystyki un (tj. wartości Un(xl} *a,,.., x„),
gdzie Xi, x%,..., xn jest otrzymaną próbką) i odrzuceniu hipotezy Ha,
jeżeli UneKa'
Powstają w związku z tym następujące pytania:
1° Na jakich intuicyjnych przesłankach opiera się powyższa
metoda weryfikacji?
2° Jak dobrać statystyki służące za podstawę testu?
3° Jak wybrać zbiór krytyczny Ka7
4° Co robić jeżeli postępowanie nie doprowadziło do odrzucenia
hipotezy H0?
Odpowiedź na 1° jest następująca: jeżeli hipoteza H„ jest
prawdziwa, to błąd polegający na jej odrzuceniu popełnimy tylko w tych
przypadkach, gdy zaobserwowana wartość un^Ka, a więc
prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu wynosi a.
Kwestia doboru statystyki (pytanie 2°), prócz oczywistego
ograniczenia, że musimy opierać się na tych statystykach, dla których można
obliczyć prawdopodobieństwa postaci (1), wiąże się z pytaniami
3° i 4°. Nie będziemy tu rozpatrywali tych zagadnień szczegółowo,
wyjaśnimy raczej na przykładzie zasadę postępowania.
Wyobraźmy sobie, że obserwacje dotyczą rozkładu normalnego
o znanym odchyleniu standardowym a i nieznanej wartości
oczekiwanej m. Wysuwamy hipotezę H0(w = m0), gdzie me jest pewną ustało-

808 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
ną liczbą. Wiadomo, że jeżeli hipoteza H0 jest prawdziwa, to
zmienna losowa
— (*i+*z+ ••• +x1i)~m0
U =
a/yn
yn
ma rozkład normalny o średniej 0 i wariancji 1. Jako zbiór krytyczny
możemy przyjąć np. zbiór tych wartości «, które spełniają warunek
\u\ > «0) gdzie ua wyznaczamy ze wzoru
/2k J
+ «„ i ,
2
dx = l — a.
Innymi słowy, będziemy odrzucali hipotezę H0 ilekroć zaobserwowana
wartość u będzie co do wielkości bezwzględnej większa od Ue.. Można
jednakże przyjąć za zbiór krytyczny zbiór tych wartości w, które
spełniają warunek u ^ va> gdzie Va wyznacza się z warunku
j "« --*>
y2n
e dx — l—a;
tutaj test polegać będzie na odrzucaniu hipotezy H0 ilekroć
zaobserwowana wartość u będzie przekraczać va ■
Jeżeli rozważyć prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej
Hn jako funkcję parametru m (tzw. funkcję mocy testu), to widać, że
funkcja ta będzie wzrastać w miarę zwiększenia różnicy \m—mo\ dla
pierwszego testu, natomiast dla drugiego testu będzie ona wzrastać
przy zwiększeniu m — mD. Tak więc test pierwszy będzie prowadził do
odrzucenia hipotezy H„ tym częściej, im większe jest odchylenie \tn —
~m0\, podczas gdy drugi test będzie prowadził do odrzucenia
hipotezy H0 tym częściej, im większa jest różnica m — m0. Łatwo się
przekonać, że jeżeli m > tn0)to drugi test jest lepszy (jego moc jest większa),
natomiast dla m< m0 drugi test jest gorszy od pierwszego (co więcej:
jego moc jest mniejsza od a). Problem wyboru jednego z tych testów
musi być rozstrzygnięty na gruncie rozważań merytorycznych w
ramach badanego zagadnienia: jeżeli chcemy zabezpieczyć się przed
błędem polegającym na przyjęciu Ha> podczas gdy m jest mniejsze
bądź większe od m0, to należy wybrać pierwszy test. Jeżeli jednak błąd
polegający na przyjęciu H0) podczas gdy naprawdę m<m0, jest mniej
poważny niż błąd polegający na przyjęciu H0, podczas gdy m > m^,
to drugi test jest lepszy.
Jako przykład pierwszej z tych sytuacji możemy sobie wyobrazić,
że testujemy dwa elementy jakiegoś seryjnie produkowanego
urządzenia pod względem ich wzajemnego dopasowania: wówczas zarówno
3. Statystyka matematyczna 809
zbyt małe rozmiary jak i zbyt duże rozmiary są złe; typowym
przykładem drugiej sytuacji musi być testowanie zawartości m substancji
toksycznych w badanym leku. Wówczas przyjęcie, że m = m0) podczas
gdy m >m0i jest znacznie poważniejszym błędem niż przyjęcie, że
m = mi0, podczas gdy m < mg.
Ograniczymy się do podania kilku najczęściej spotykanych testów
statystycznych wraz z „typowymi" obszarami krytycznymi
używanymi w większości sytuacji praktycznych.
1. Testowanie hipotez o wartości średniej m
w rozkładzie normalnym o nieznanym odchyleniu standardowym
można oprzeć na fakcie, że zmienna losowa
x — mn /■ ■
(2) f«-i«-~l/»-l)
gdzie x = — 2j xii 5a = — J£ (xt—x)2, ma rozkład t Studenta o
w—1 stopniach swobody, jeżeli słuszna jest hipoteza H0(m = m0).
2. Testowanie hipotez o wariancji o2 w
rozkładzie normalnym można oprzeć na fakcie, że zmienna losowa
(3) Z3 = j?
(Xi-Xf
7-1 ""
ma (przy oznaczeniach użytych w (2)), rozkład x2 ° " — 1 stopniach
swobody, jeżeli słuszna jest hipoteza H0(a = c0).
3. Bardzo często użytecznym testem przy testowaniu hipotez
nieparametrycznych jest tzw. test x2 ■ Wyobraźmy sobie, że poklasyfiko-
waliśmy zakres zmienności obserwaqi badanego zjawiska na k
rozłącznych i wyczerpujących wszystkie możliwości grup C13 C2,...,Cfc.
Niech n będzie łączną ilością niezależnych obserwacji badanego
zjawiska i niech tij (j = 1, 2,..., k) będzie ilością obserwacji należących
do klasy C) (tak że «i+«a + ...-i-«*; = «)• Wysuwamy teraz pewną
hipotezę ff„ dotyczącą rozkładu prawdopodobieństwa rządzącego
zjawiskiem i obliczamy prawdopodobieństwa nj (j = 1, 2, „., k), gdzie
jtj = J?{obserwacja należy do kategorii Cj}.
Oczywiście Jii+Ba+ ... +n% = 1. Dla testowania hipotezy H„
możemy użyć faktu, że gdy n ->■ oo3 to rozkład statystyki
k
(4) za= y >'-"*'>"
zmierza do rozkładu x2 ° k—l stopniach swobody.

810 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Często wysunięta hipoteza H„ nie specyfikuje całkowicie rozkładu
i zależy on od pewnej ilości r parametrów dlt d23..., 0r. Wówczas
prawdopodobieństwa n} występujące we wzorze (4) są funkcjami
parametrów f)x, 03,..., dr. Jeżeli oszacujemy wartości tych parametrów
z tej samej próbki metodą największej wiarogodności (str. 803) (niech
te oszacowania będą d1, 02,..., 0r), wówczas dla n-* oo rozkład
graniczny statystyki
będzie także rozkładem x2 o k—r — l stopniach swobody.
Opisany powyżej test %% nadaje się do badania niezależności cech.
Wyobraźmy sobie, że obserwacje klasyfikowane są według dwóch
cech: każdą obserwację zaliczamy do jednej z grup d, C3, ...,C,
według pierwszej cechy i do jednej z grup Di, D2,..-,Dg według
drugiej cechy. Niech w n niezależnych obserwacjach n%j (i = 1, 2,..., r,
j = 1, 2, ..., s) będzie ilością obserwacji, które zaklasyfikowano do
d i Dj. Wysuwamy hipotezę, że w populacji rozkłady pierwszej
i drugiej cechy są niezależne. Oznacza to, że prawdopodobieństwo na
jest iloczynem pup.j, gdzie pi. i p.j są odpowiednio
prawdopodobieństwami, że wybrany losowo element będzie należał do grupy Ci
(lub Dj) według pierwszej (lub drugiej) klasyfikacji. Mamy zatem
r+s nieznanych parametrów pi. oraz p.j, które muszą spełniać
oczywiste związki
Pi-+Pf+ ■■■ +Pr. = 1, P-1+P-2+ ■■■ +P-t = 1.
Pozostaje do wyznaczenia r+$—2 nieznanych parametrów. Ich
oszacowania metodą największej wiarogodności są
- «i. - n.j
gdzie «f. = £ na i «>/ = £ rtij.
Dla testowania niezależności cech możemy zatem użyć statystyk
r r ( ni.tt.jV
która dla dużych n ma w przybliżeniu rozkład xz o rs — 1 — (r+s—2) =
= (r—l)(s—1) stopniach swobody.
3. Statystyka matematyczna
811
Przykłady. 1. Średnia wytrzymałość na zerwanie pewnego
typu włókien wynosi 18,3 kg przy odchyleniu standardowym 1,2 kg
(dane te otrzymano z uprzednich pomiarów). Zakupiono nową maszynę
do produkcji tych włókien. Dla próbki 100 włókien z nowej maszyny
średnia wytrzymałości wyniosła 17,0 kg, co nasunęło podejrzenie, że
nowa maszyna produkuje włókuo gorszego gatunku.
Będziemy testować hipotezę, że populacja, z której pobrano próbkę,
ma średnią równą lub większą od średniej z poprzednich pomiarów
(tzn. od 18,3). Jeżeli średnia ta jest większa lub równa od 18,3, to
nowa maszyna nie produkuje wyrobów gorszych niż poprzednie.
Obliczamy prawdopodobieństwo, że średnia z próbki o
liczebności 100 wylosowanej z populacji o średniej 18,3 i odchyleniu
standardowym 1,2, będzie mniejsza od 17,0. Zastosujemy test jednostronny,
gdyż wskazaniem na niższą jakość nowej maszyny mogą być jedynie
małe wartości tej średniej. Mamy tu m = 18,3, a = 1,2, x = 17,0,
n ~ 100, o/j/V = 0,12, skąd
17,0-18,3 _ -1,3 _
"^12 ~o7I^" '8 "
Prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości —10,83 lub
mniejszej dla rozkładu normalnego o średniej 0 i wariancji 1 jest znacznie
mniejsze od 0,01, co wskazuje, że hipotezę należy odrzucić (tzn.
należy uznać, że nowa maszyna jest istotnie gorsza od dotychczasowych).
2. W próbie o liczebności « = 16 średnia x = 28,0 i odchylenie
standardowe s = 3,0. Czy są powody do odrzucenia na poziomie
istotności a = 0,05 hipotezy, że średnia w populacji m = 30?
Ze względu na to, że nie znamy wartości odchylenia standardowego
w populacji, zastosujemy test t Studenta. Mamy tu m — 30,0, x ~
= 28,0, s = 3,0, n = 16, a wiec
Dla 15 stopni swobody wartość krytyczna t0)l)b wynosi 2,131, a więc
hipotezę należy odrzucić.
3. Producent twierdzi, że średnia długość życia produkowanych
przez niego baterii wynosi 21,5 godzin. Przeprowadzono test
laboratoryjny nad 6 bateriami, których długości życia wyniosły 19, 18, 22, 20,
16, 25. Czy wyniki te wskazują, że baterie te mają mniejszą długość
życia niż twierdzi to producent (na poziomie istotności 0,05).
Dla testowania hipotezy, żew? 21,5, obliczamy
prawdopodobieństwo wybrania z populacji o m = 21,5 próbki o liczebności n = 6,
której średnia byłaby mniejsza niż ta, którą otrzymano z pomiarów.

812 I. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Zastosujemy tu test jednostronny. Mamy x — 20,0, s2 ^-g-^C* — #)a =
= -g-. Wobec tego
^ 20,0-21,5
]/50/6"
Ponieważ stosujemy test jednostronny, więc musimy znaleźć wartość
t* taką, że prawdopodobieństwo, że zmienna losowa t o rozkładzie
Studenta o 5 stopniach swobody przyjmie wartość mniejszą od t*,
równa się 0,05. Otrzymujemy z tablic t* = —2,015; wobec tego nasz
wynik nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy, że długości życia
baterii są takie, jak twierdzi producent.
4. Rozważmy następujące dane, dotyczące ilości zachorowań na
chorobę morską w samolotach pasażerskich w czasie zlej pogody:
Mężczyźni
Kobiety
Łącznie
Chorowało
24
8
32
Nie chorowało
30
26
56
Łącznie
54
34
88
Mogłoby się wydawać, że dane te wskazują, że kobiety lepiej znoszą
lót w czasie złej pogody; procent kobiet chorujących jest znacznie
mniejszy niż procent mężczyzn chorujących. Aby to sprawdzić,
zastosujmy test za; hipotezą testowaną jest hipoteza, że częstość
zachorowań nie zależy od płci. W tym przypadku x2 obliczone według
podanego powyżej wzoru będzie wynosiło 3,67. Ilość stopni swobody
wynosi 1, a dla poziomu istotności a = 0,05 wartość krytyczna z2 o 1
stopniu swobody wynosi 3,84; wobec tego nie ma powodu do odrzucenia
hipotezy.
Metoda najmniejszych kwadratów. Jeżeli z doświadczenia
wyznaczymy wartości fi pewnych funkcji
ViixmXz,...,xn) (i = 1,2,..., tri)
niewiadomych wielkości x1,xz, ...,a:n, to dla wyznaczenia tych
niewiadomych trzeba rozwiązać układy równań warunkowych
<pł(Xi> x^ ...,xn)-fi = 0 ii = 1, 2, ..., tri).
Taki układ równań jest na ogół sprzeczny (przy tn > n) i dla
niewiadomych poszukujemy wartości najbardziej prawdopodobnych.
Jeśli odchylenia wartości /i>/a, ..-,/m mają rozkład normalny (co też
zazwyczaj się zakłada), to dla najbardziej prawdopodobnego układu
wartości niewiadomych suma kwadratów odchyleń e% = ęt~ft będzie
najmniejsza.
VT=-1,15.
3. Statystyka matematyczna
813
Jeżeli równania warunkowe są liniowe:
alX1 + &i*2+ ■.. -\~hXn =/i,
a2X1 + b2Xs + ... -{-ł2Xn = h,
QtaX^A-bmX^A- ... Ą-lmXn — Jm,
to żądane minimum (patrz str. 413) sumy kwadratów odchyleń
prowadzi do układu równań liniowych normalnych C1):
[aa]xL+[ab}xz+ ... +[al]xn = [a/],
[ba]xi+[bb]xs+ ... +[bl]xtt - {if],
[to] *x+[&]*„+...+[«]*» =[//].
Aby otrzymać k-te równanie normalne, należy każde z równań
warunkowych pomnożyć przez współczynnik przy xk i wszystkie równania
dodać.
W przypadku związków nieliniowych zazwyczaj znajdujemy z
grubsza przybliżone wartości ac5»s;jj, ...»#& poszukiwanych wielkości Xn
x2, ...,xn i rozwijamy funkcje c>i(xi»*2a..., arn) w szeregi według
potęg różnic £t = xŁ—xj, h = x2—x%,..., |» = xn— s*. Odrzucając
wyrazy stopnia wyższego niż pierwszy otrzymujemy równania
warunkowe liniowe i za ich pomocą określamy najbardziej prawdopodobne
wartości poprawek £f.
Wskazana metoda jest przydatna w przypadku, gdy wszystkie
wartości są jednakowo dokładne. W przeciwnym przypadku każde
z równań warunkowych należy uprzednio pomnożyć przez jego wagę
odwrotnie proporcjonalną do średniego odchylenia kwadratu
odpowiedniej wartości fi.
Przykład. Pomiary oporu elektrycznego R miedzianego pręta
przy różnych temperaturach (t°C) dały wyniki umieszczone w
następującej tabelce (w pierwszej i w drugiej kolumnie):
t
19,1
25,0
30,1
36,0
40,0
45,1
50,0
2 245,3
R
76,30
77,80
79,75
80,80
82,35
83,90
85,10
| 566,0
364,8
625,0
906,0
1296,0
1600,0
2034,0
2500,0
tR
R
(obliczone)
1457,3
1945,0
2400,5
2908,8
3294,0
3783,9
4255,0
76,26
77,96
79,43
81,13
82,28
83,76
85,16
9325,8 | 20044,5 |
C) W rachunku prawdopodobieństwa w statystyce matematycznej do oznaczę-

814 I- Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Jeżeli będziemy szukali zależności R od t w postaci R = a+bt, to
dla wyznaczenia stałych a i b otrzymamy siedem równań
warunkowych postaci Ri = aĄ-btt, gdzie t% i Rt są odpowiednimi wartościami
(ii?.
Równania normalne są następujące:
7a + [t)b - [R], {t]a + [t*)b = [tR],
czyli
7a+245,3A = 566,0, 245,3a+9325,8 A = 20044,5.
Rozwiązując te równania otrzymujemy a = 70,76 i b = 0,288.
Wartości R obliczone według wzoru R = 70,76 -[-0,288* podane są w
ostatniej kolumnie tabelki.
nia sumowania częstokroć stosuje się oznaczenie Gaussa: [ee] zamiast ^?ef oraz
\ab\ zamiast £aibt itp.
IL WZORY EMPIRYCZNE I INTERPOLACJA
1. Przybliżone przedstawienie zależności funkcyjnej
Sformułowanie zagadnienia. W wielu wypadkach zdarza się,
że dla funkcji danej tylko za pomocą tabeli lub wykresu trzeba dobrać
wyrażenie analityczne, które by w przybliżeniu przedstawiało tę
funkcję. Podobne zagadnienie może również powstać dla funkcji
określonej za pomocą wzoru, jeżeli wzór ten jest zbyt skomplikowany albo
nie jest odpowiedni dla danych potrzeb, na przykład gdy funkcja ma
być scałkowana, a całka nie wyraża się przez funkcje elementarne.
Wzory przedstawiające zależność funkcyjną otrzymaną na podstawie
doświadczenia w postaci tabeli albo wykresu nazywamy wzorami
empirycznymi. Zazwyczaj dla przybliżonego przedstawienia danej
funkcji/C*) dobiera się funkcję aproksymującą (przybliżającą) <p(x) spośród
funkcji określonej postaci, na przykład poszukuje się funkcji <p(x)
w postaci wielomianu
tp(x) = alsĄ-a1x + ...+a„xn
albo w postaci
q>(x) = AeT*+Bc**+...,
z żądaniem, by funkcja <p(x) jak najbardziej zbliżała się do funkcji
/(x) w pewnym określonym przedziale (_a^x^b). W zależności od
tego, w jaki sposób będaiemy oceniali przybliżanie funkcji f(x) przez
<p(x), będziemy otrzymywali rozmaite układy parametrów funkcji
fix), dające najlepsze przybliżenie funkcji f(x).
Aproksymacja jednostajna. Teoretycznie celowe jest żądanie
od najlepszego przybliżenia <p(x) funkcji /(#), by maksimum funkcji
l/C*) —9>(*)l w danym przedziale a^x^b było jak najmniejsze — w
porównaniu z inaczej dobranymi funkcjami przybliżającymi <p(x).
Jednakże nie istnieją metody efektywnego uzyskania takich aproksymacji
jednostajnych, z wyjątkiem kilku poszczególnych przypadków. Jeżeli
na przykład w przedziale a^x^b funkcja f{x) ma drugą pochodną
o stałym znaku, to funkcję liniową dającą najlepszą aproksymację
jednostajną w tym przedziale znajduje się w sposób następujący
(rys. 427). Na wykresie funkcji y = fix) poszukujemy punktu P,

816
II, Wzory empiryczne i interpolacja
Rys. 427
w którym styczna do krzywej jest równoległa do cięciwy MN, gdzie
M i N są punktami krzywej i odciętych a i b. Prosta przechodząca
przez środki cięciw MP i PN jest wykresem poszukiwanej funkcji
liniowej w przedziale a^x^b.
Aproksymacje jednostajne stosuje się przeważnie w rozważaniach
teoretycznych. Teoria takich
przybliżeń była w znacznym stopniu
opracowana przez Czebyszewa.
Aproksymowanie metodą
najmniejszych kwadratów* Najczęściej
stosowana jest taka aproksymacja <p(x)
funkcji /(«), przy której całka
b
M = / [/(*) - vQc)Y<Jx
a
ma wartość najmniejszą. Żądając, by
pochodne cząstkowe całki M
względem parametrów określających funkcję
q>(x) (patrz str. 386) były równe zeru,
otrzymuje się układ równań pozwalający znaleźć najlepsze (we
wskazanym sensie) wartości tych parametrów. Liczbę S = j/Af/(6 — a)
nazywamy w tym przypadku średnim odchyleniem kwadratowym.
Jeżeli funkcję y(x) poszukujemy w postaci kombinacji liniowej
pewnych określonych funkcji ('):
<p(x) = a0<p0{x)+al<pl(x) + ... +anf„(x)t
to dla wyznaczenia współczynników a,,, aL,..., an otrzymujemy układ
równań liniowych
t b b
= 2j aiI <Pi(x)<P^(.x)dx^ Jf(x)q>i:(x)dx = 0,
i = 0 a a
gdzieś = 0,1,2, ...,n.
Ten układ równań przybiera postać szczególnie prostą, gdy funkcje
<Pi(x) (j' = 1,2,..., «) są ortogonalne (2) w przedziale (a, 6), tzn. gdy
b
f <Pi(x)<Pk(x)dx = 0 dla j' ^ k.
ÓM
dan
= x" albo
= sinx,...,
(*) Na przykład ę(x) jest wielomianem, jeżeli <p„ = 1, *>, = x, ..., ęn =
jest wielomianem trygonometrycznym, jeżeli #>0 = 1, ęt = cos x, ę^ = si
..., c>2„-, = cos mx, ęin = sinnx.
(2) Oto dwa przykłady ortogonalnych układów funkcji:
1° 1, cos x, cos 2*j... j cos mx; sin x, sin 2x, ..., sin nx w przedziale (0,2n).
2° Wielomiany Legendre'a Pt(x) w przedziale (— 1,1) (patrz str. 585).
1. Przybliżone .przedstawienie zależności funkcyjnej 817
W tym przypadku
b b
ak= f [q>k(x)]*dx= ff(x)Tk(x)dx (k = 0,1, 2, ..., n)
a a
(patrz wzory Eulera na str, 759).
W związku z tym uproszczeniem, jeśli trzeba znaleźć wielomian
aproksymujący &0 + M+--- + &»*"» to dogodniej będzie przekształcić
dany przedział (a, b) na przedział ( — 1, 1) za pomocą podstawienia
a+b b—a
i poszukiwać tego wielomianu w postaci
<p(x)^ai>Pi)+aiP1+ ...+<JnPn,
gdzie Pjc(t) jest wielomianem Legendre'a (patrz str. 585).
Przykład. Znaleźć najlepszą aproksymację funkcji y = sinx
w postaci trójmianu kwadratowego w przedziale 0 < x ^ it.
Podstawiając x = y Jt(r+1) przekształcamy przedział (0,Jt) na
przedział (—1,1). Poszukujemy funkcji aproksymującej w postaci
<p = 00+0^(1) +a2P2(t).
Wówczas (patrz str. 464):
"i 2
att= y J" sin-jii(f+!)# = —,
-1
1
Ą więc
«! = ■! J'* sin 2 n(t+l)dt = 0,
-1
*-ł/i(!«'-iK,(,+«* = £(i-4r).
4^('-^)(ł'-T)-^-^-i
Aproksymacja w poszczególnych punktach. W wielu wypad-
ksch, szczególnie gdy funkcja /(#) jest określona za pomocą tabeli
lub wykresu, dla oceny przybliżenia rozważa się różnice f(x) — q>(x)
nie dla wszystkich punktów przedziału (a, b), w którym trzeba znaleźć
przybliżenie funkcji f(x), ale tylko dla poszczególnych, z góry obra-

818
II. Wzory empiryczne i interpolacja
nych punktów x0, xls ...,x„. Funkcję ę(x) uważamy za najlepsze
przybliżenie funkcji f(x) według metody najmniejszych kwadratów,
jeśli suma (por. str. 812):
n
S = ^[f(.Xi)-ę(xi)Y
i=0
ma wartość najmniejszą w porównaniu z innymi funkcjami <p(x),
spośród których wybiera się poszukiwane przybliżenie (*).
Jeżeli funkcję c>(x) w zupełności określają parametry k, l,m,...,
to najlepsze (we wskazanym sensie) wartości tych parametrów
znajduje się przez rozwiązanie układu równań
i^_o i*-o ił-o
dk ~U' dl ~Uj dm~°' *■■
Jeżeli ilość parametrów określających funkcję ^(x) równa się ilości
wybranych punktów «+l, to na ogół biorąc można dobrać funkcję
<p(x) w taki sposób, żeby zachodziły równości >p(_Xi) =f(Xi)(i = 0,
I? 2,..., «), a to rozwiązując układ n+1 rozwiązań z n+1
niewiadomymi. Wtedy funkcję ę nazywamy funkcją interpolacyjną;, a proces
znajdowania i obliczania wartości funkcji ę(_x) nazywamy interpolacją.
Najbardziej rozpowszechniona jest interpolacja paraboliczna, przy
której funkcją interpolacyjną jest wielomian <p(x) = at)+alx + ...+
A-anX*. Dla funkcji okresowych stosuje się interpolację
trygonometryczną (patrz str. 769).
Aproksymacja metodą przeciętnych — patrz str. 825,
2. Interpolacja paraboliczna
Przypadek ogólny. Jakkolwiek jest dana funkcja /(x) i
jakkolwiek są wybrane węzły interpolacji x0, xxt..., xn, zawsze istnieje
jedyny wielomian <pn(x) stopnia «, który w tych punktach przybiera te
same wartości, co dana funkcja /(*): tp(xi) = f(xi) (i = 0, 1, 2,..., ń).
Do znajdowania wielomianu interpolacyjnego służyć może wzór
interpolacyjny Lagrange'a
<?n(x) = L&)f0 + Ll(.X)f1+... +Ln(x)fn,
eó;\<* r.M- t*-**) • - (*-*<-0 (x-xi+i) ... (x-xn)
gd2le/.*(*) - ^-^...^.^^^.^^...^.^oiaz/^/C^).
. . lożiiwymi przyblŁ
■(*); jednakże znajdowanie przybliżenia funkcji według tego sposobu jest w praktyce
uciążliwe.
2. Interpolacja paraboliczna
819
Gdy trzeba obliczyć wartość <pn(x) dla określonej wartości x, można
skorzystać z następującego schematu (schemat krzyżowy), szczególnie
dogodnego przy zastosowaniu maszyn liczących:
x0— x
Xi — X
x«—x
u
/i(/o,/i)
Xn—X /»(/o,/»)(/o)/ii/»)".(/o»/i) ■")/»)
Każdy z symboli (Jv,fls ...,/fc) (k = 0,1,2,...,«) oznacza wartość
w punkcie x wielomianu interpolacyjnego zbudowanego na podstawie
węzłów x0>Xi,x2, ...,X}i. Liczby te wyznacza się — kolumna za
kolumną— w sposób następujący: Liczby kolumny C/I»/fc) oblicza się
według wzoru
ft ^ fo-*)A-(s*-*)/o
U°>™~~(x^xT-(xk~x) •
Każdą następną kolumnę otrzymuje się z poprzedniej według tego
samego wzoru, na przykład
C*i - x) (/o, fk)—(xk -x)(f0, A)
(fo,fi,f>) =
(Xi — xj — (Xk — x)
i tak dalej. Rozmieszczenie węzłów może być obrane dowolnie.
Przykład. Trzeba obliczyć sin 50°, korzystając z pięciocyfro-
wych wartości sinusa kątów 0°, 30°, 45°, 60% 90°.
Schemat krzyżowy wygląda w tym przypadku w sposób następujący:
-50
-20
- 5
10
40
0,00000
0,50000 0,83333
0,70711 0,78568 0,7 6980
0,86603 0,72169 0,7 5890 66 17
1,00000 0,55556 0,7 4074 66 57 04
Jeśli w którejkolwiek kolumnie cyfry początkowe są jednakowe (w
przytoczonym przykładzie cyfry te zostały oddzielone), to można ich nie
wprowadzać do dalszych obliczeń. Na przykład przy obliczaniu
ostatniej kolumny korzystamy z ostatnich cyfr poprzedniego wyniku:
Ostatecznie sin 50°
10-57-40-17
10-40
0,76604.
= 04.

820
II. Wzory empiryczne i interpolacja
Węzły rozmieszczone w równych odstępach. Tablice różnic.
Bardzo często zdarza się przypadek, gdy węzły interpolacyjne leżą
w równych odstępach. Stałą h = xi+1 — Xi nazywamy w tym przypadku
skokiem danej tabeli wartości funkcji f(x). Mamy wtedy Xk = x0~-hk
(symbolikę tę będziemy stosowali również przy k<0).
Pierwsze różnice (czyli różnice rzędu pierwszego) funkcji przy
danym skoku h określone są wzorami
Af(x) = /(*+£)-/(*), Afi =/Hl-/i.
Różnice pierwszych różnic tworzą drugie różnice (czyli różnice rzędu
drugiego)
JVC*) = Af(x+h)-Af(x), A*ft = Afi+1-Afi.
Podobnie określa się i różnice wyższych rzędów.
Różnice funkcji można wyrazić przez dane wartości funkcji:
A*f0 =/*-A/*-i+ -C~^/*_a- ... -K-Wo,
co symbolicznie zapisujemy w postaci
gdzie przyjmuje się oznaczenie i?/0 = /;.
Dla celów interpolacji według danych wartości funkcji układamy
tablicę różnic według następującego schematu:
m
Af(x)
AfM
A3f(x)
Af(x)
*-2
X.,
x1
x2
f-2
f-1
At3
At2
A
Jt
A
LAf.i\ , Ąf2 ,
At
tu
-J
Af0^2 *A% j J' \*B
Afn-
Afi
Af,
a\
AC,
vfi
W tablicy tej każda liczba (prócz liczb znajdujących się w
pierwszych dwóch kolumnach) jest różnicą dwóch liczb z poprzedniej
kolumny stojących o pół wiersza wyżej niż rozważana liczba (*). Przy
C1) Przykład takiego schematu patrz na str, 822.
2. Interpolacja paraboliczna 821
układaniu tablicy różnic należy mieć na uwadze, że występowanie
w pierwszej kolumnie błędów, których bezwzględna wartość nie
przewyższa £, może doprowadzić do błędów dochodzących do 2e w drugiej
kolumnie, do 4e w trzeciej kolumnie i ogólnie: do 2m~1e w m-tej
kolumnie. Dlatego nawet nieznaczne błędy w wartości funkcji (na
przykład wskutek zaokrąglenia) mogą mieć wielki wpływ na różnice
wyższych rzędów. Obliczanie różnic należy przerwać, gdy w którejkolwiek
kolumnie wszystkie różnice okażą się prawie równe (tzn. gdy różnica
będzie stała). Różnice rzędu m są stałe w przypadku wielomianu
stopnia m. Dlatego przybliżona stałość m-tej różnicy wskazuje na to,
że dana funkcja f(x) może być z dostateczną dokładnością
przedstawiona wielomianem stopnia m. (Dla tablicy na str. 822 m = 3; czwarte
różnice są zbędne).
Wzory interpolacyjne różnicowe. Przy użyciu różnic wielomian
interpolacyjny może być znaleziony według jednego z następujących
wzorów, w których wprowadzono oznaczenie u = (x—x0)/k:
Wzory Newtona:
MW = f0+uAf0+ i*fi> A%+ . - • -f ^^LZ^ŻR Anfo,
Wzór Stirlinga:
2 ' 2 "J" '3! 2
«■(«'-!) Aif , , «'(«'-l)...[ii'-(»-l)']1w
4! U/-!T""T (2«)!
Wzór Bessela:
w(m-1) A2f-i + A% ,
B(?t)=f« + uAf,+ -
2
»(k-1)(»-0,5) AU h(w2-1)(w-2) jyL.+jyii
— 3j * J-i + ■ —"4j - ' -—-5——
(w - 0,5) u (M2-l),..[»a-(»-l)2](»-»)
(2n + l)!
j^+y.!.
Wzory Newtona dają wielomian interpolacyjny, jeżeli x0 jest bądź
pierwszym, bądź ostatnim z węzłów interpolacyjnych, gdy tymczasem
dla wzorów Bessela i Stirlinga xa jest środkowym (albo jednym z dwóch
środkowych) węzłem interpolacyjnym. Różnice użyte do obliczeń
według tego czy innego wzoru są zaznaczone na poprzedzającym sche-

822
II. Wzory empiryczne i interpolacja
macie (str. 820). Wzory interpolacyjne stosowane są głównie do
obliczenia pośredniej wartości funkcji określonej za pomocą tabeli. Przez
odpowiedni dobór x0 można zawsze uczynić |«|<1.
Gdy \u \ < 0,25, najbardziej celowe jest użycie wzoru Stirlinga, gdy
0,25 < u < 0,75, zaleca się użycie wzoru Bessela.Wzorów Newtona
używa się w razie niemożliwości zastosowania wzorów S(x) lub B(x),
tzn. gdy x leży w pobliżu początku lub końca tabeli.
Przykład. Obliczyć dla x = 22 wartość funkcji f(x) określonej
przy pomocy następującej tabeli C1):
X
0
5
10
15
20
25
30
35
40
/
0
4,87
10,52
17,24
25,34
35,16
46,97
61,09
77,85
Af
487
565
672
810
982
1181
1412
1676
aj
78
107
138
172
199
231
264
AJ
29
31
34
27
32
33
AJ
2
3
-7
5
1
Jak już było wskazane, należy tu ograniczyć się do trzech różnic.
Jeżeli weźmiemy x0 = 20, to
22-20 n.
u = ~~- -0,4.
Według wzoru Bessela mamy
/C22) = 25,34+0,4-9,82- 2Ć£Ł . ^+^ +
0,4 . 0,6 • 0,1 Qj27 = 290g}
i1) W tabeli różnic zazwyczaj nie kładzie się przecinka dziesiętnego, wyrażając
różnicę w jednostkach ostatniego rzędu wartości funkcji.
2. Interpolacja paraboliczna 823
według wzoru Stirlinga
według pierwszego wzoru Newtona
/(22) =25,34+0,4-9,82- M^Ł 1,994.
+ _M^6_0,32 = 29,05.
6
Gdybyśmy się ograniczyli do drugich różnic, to otrzymalibyśmy
według wzoru Bessela 29,05, według wzoru Stirlinga 29,06, a według
pierwszego wzoru Newtona 29,03.
Błąd interpolacji* Jeżeli funkcja /(*) jest określona w postaci
analitycznej i ma w rozważanym przedziale dostateczną ilość ciągłych
pochodnych, to błąd powstający przy zastąpieniu funkcji f(x)
wielomianem interpolacyjnym według wzoru Lagrange'a wynosi
(ji+iy.
gdzie I jest pewną wartością pośrednią między największą i najmniejszą
z liczb x,Xq,Xi> ...,x». Dla wzorów różnicowych mamy
f(x)-Nn(x) = J^/<«+l>(!).«(«+l)... („+„),
(n+1)!
f(x)-B{x)^^tt^^2n+2Kl;)-u(u*-l)...(u*-n*)(u-n-l).
Przy tym zakłada się, że ilość wyrazów w wielomianach Ni(x)»
Nu(x), S(x) i B(x) jest taka sama, jak na stronicy 821, a I jest pewną
wartością pośrednią między węzłami interpolacyjnymi w różnych
wzorach; | zależy od x.

824
II. Wzory empiryczne i interpolacja
Zastosowania wzorów interpolacyjnych. Wzory interpolacyjne
mogą być wykorzystane do przybliżonego różniczkowania i całkowania.
W tym celu zastępuje się daną funkcję /(*) wielomianem
interpolacyjnym <p(x) i wykonuje się na nim odpowiednie operacje. Na
przykład stosując wzór interpolacyjny Stirlinga można otrzymać
następujący wzór na przybliżoną wartość pochodnej funkcji f(x) przy
x = x0:
L dx J*=Xo h L 2 6 ' 2" +
1 J%3 + ^5/-3 _ 1
+ 30 2 " --J-
Najdogodniejsze wzory na całkowanie przybliżone wynikające ze
wzorów interpolacyjnych podane są na stronicy 492.
3. Dobieranie wzorów empirycznych
Porównywanie wykresów. Proces dobierania wzoru
empirycznego dla ustalonej doświadczalnie zależności funkcyjnej y = f(x)
składa się z dwóch części: najpierw obieramy postać wzoru i dopiero
potem określamy wartości liczbowe parametrów, przy których
przybliżenie danej funkcji jest najlepsze. Jeżeli nie ma jakichś względów
teoretycznych co do doboru wzoru, zazwyczaj wybiera się zależność
funkcyjną spośród najprostszych, porównując ich wykresy z wykresem
danej funkcji. Ponieważ podobieństwo wykresów, określane z grubsza,
„na oko", może się okazać złudne, należy po wybraniu któregoś wzoru,
przed określeniem jego parametrów, sprawdzić jego przydatność
metodą wyrównywania.
Metoda wyrównywania jest następująca: przy założeniu, że
między y i x zachodzi zależność określonej postaci, znajdujemy pewne
wielkości
X = q>(xty) i Y = fp(xiy)t
które przy przyjętym założeniu są liniowo związane (jeżeli na przykład
y - x/(a + bx), to bierzemy X = x, F = xjy albo X = l/x,
y = l/y). Obliczając dla danych wartości x i y odpowiednie
wartości Xi Yi przedstawiając je na wykresie łatwo zobaczymy od razu,
czy związek między X i Y jest bliski liniowego (tzn. czy odpowiednie
punkty układają się w przybliżeniu wzdłuż Unii prostej) i czy wobec
tego wybrany wzór nadaje się, czy też nie.
3. Dobieranie wzorów empirycznych
825
Wskazówki co do wyrównywania niektórych prostszych funkcji są
dane poniżej z odesłaniem do odpowiednich wykresów (patrz str. 825 -
-829); przykład znajduje się na stronicy 830.
Określenie parametrów. Najbardziej dokładną metodą
określania parametrów jest metoda najmniejszych kwadratów (patrz str. 812
i 818). Jednakże w większości wypadków można z powodzeniem
stosować prostsze metody, w szczególności metodę przeciętnych. Jeżeli
uzyskany tą metodą wzór okaże się niedostatecznie dokładny, to dla
dalszego uściślenia jego może być już użyta metoda najmniejszych
kwadratów, przy czym dzięki znajomości przybliżonych wartości
parametrów obliczenia będą mniej żmudne (patrz str. 812). Metodą
przeciętnych określamy najpierw zależność liniową między
„wyrównanymi" zmiennymi X i Y: Y = aX+b. W tym celu równania
warunkowe Fi = aXi + b dla posiadanych par wartości Xi i Yi dzielimy
na dwie równe (lub prawie równe) grupy w kolejności wzrastania
zmiennej Xi lub Fi. Dodając równania każdej grupy otrzymujemy
dwa równania, z których właśnie znajdujemy a i b. Wyrażając zmienne
X i F przez pierwotne zmienne otrzymujemy poszukiwany związek
między x i y. Jeżeli przy tym nie wszystkie parametry będą już
wyznaczone, to należy znowu zastosować tę samą metodę, wyrównując tym
razem inne wielkości X i F (patrz na przykład przypadek 13 na str.
829); przykład znajduje się na stronicy 830.
Najczęściej stosowane wzory empiryczne. Poniżej podajemy
najprostsze wzory z odpowiednimi wykresami. Na każdym rysunku
podano kilka wykresów dla różnych wartości parametrów
występujących we wzorze (badanie wpływu parametrów na kształt krzywej
patrz w rozdziale „Wykresy" str. 98 - 120). Przy rozpatrywaniu
wykresów należy zawsze pamiętać, że przy użyciu wzorów empirycznych
korzysta się tylko z części krzywej, odpowiadającej pewnemu
przedziałowi zmiennej niezależnej. Dlatego na przykład nie należy sądzić, że
wzór y = x2 + bx + c (patrz niżej) nadaje się tylko w przypadku, gdy
krzywa y = f(x) ma maksimum lub minimum.
J/ł
1. y = axb. Wykresy podano na \ \ \ I /
rysunkach 6, 12, 15 i 16, a objaśnię- \\ \ \
nia do nich na stronicach 98, 105, 107 \\\ \ ^^
i 108. Wyrównujemy X = log* i F = ^\IL^^'
— logy: ^^7"
f = ioga+bx. /yft v^r-—
o
X

826
II. Wzory empiryczne i interpolacja
2. y ~ aebx. Wykresy podano na
rysunku 17, a objaśnienia do niego na
stronicy 109. Wyrównujemy X = x
i Y = log y.
Y = loga+Mogć-a.
3. y = ax^A-c. Wykresy są te
same, co do przypadku 1, ale
przesunięte w kierunku osi Oy. Jeżeli b jest
dane, to wyrównujemy X = xb i Y =
= y:
y = aX+c.
Jeżeli b nie jest znane, wyrównujemy
X = log* i Y = log(y-c):
Y = loga+bX,
określając przedtem c. W tym celu
znajdujemy na wykresie funkcji trzy
punkty o odciętych xlt x2 i x3 — y*i*a
i odpowiednimi rzędnymi yny^y^
(przy czym s^ i #2 obieramy dowolnie)
i przyjmujemy
yl-\-y2~-2yi>
O-
4. jy = aebxĄ-c. Wykresy są te
same, co dla wzoru 2, ale przesunięte
w kierunku osi Oy. Wyrównujemy
X = x i Y = logCy-c):
Y = loga + Moge-x,
określając przedtem c. W tym celu
znajdujemy na wykresie danej funkcji
trzy punkty o odciętych xlt x% ix3 =
= (#i + #a)/2 oraz odpowiednich rzęd-
(') Po wyznaczeniu a i 6 można na nowo wybrać c równe przeciętnej wartości
3. Dobieranie wzorów empirycznych 827
nych^ls^2, y3> przy czym x± i x2 obieramy dowolnie i przyjmujemy
c = y&'-y'* (i)
yi+yv-2y3
5. y = ax2 + bx + c. Wykres
podano na rysunku 3, a objaśnienia do
niego na stronicy 98. Jeżeli
wybierzemy na wykresie danej funkcji
jakikolwiek punkt (_Xi,yi)> to wyrównujemy
X = xi y^(y~yi)/(*-*i):
Y = (b + ax1)'+ax.
Jeżeli dane wartości tworzą postęp
arytmetyczny o różnicy A, to
wyrównujemy Y = Ay i X = x:
y = (iA+aAa) + 2a/w:.
W obu przypadkach po wyznaczeniu aib znajdujemy c z równania
gdzie « oznacza ilość danych wartości x, na które rozciąga się
sumowanie.
6. y = —t • Wykres podano na rysunku 8, a objaśnienia do
CX T O
niego na stronicy 102. Na wykresie danej funkcji obieramy
którykolwiek punkt (xu y0 i wyrównujemy X = xiY= (x—x1)Ky~-yJ'):
y = A + Bx.
Ograniczamy się tu do wyznaczenia A i B, przepisując otrzymany wzór
w postaci
x—x,
y^yi+A^Bx-
Czasami można się ograniczyć do wzoru w postaci
x 1
■y =
cxĄ-d
lub
y =
cx+d
Wtedy wyrównujemy X = l/x i Y — Ijy albo X = x i Y = xjy
w pierwszym przypadku, a w drugim X = x i Y = l/y.
(')Po wyznaczeniu n ii można od nowa wybrać c równe przeciętnej wartości
y~aebx.

II. Wzory empiryczne i interpolacja
y..
7. y2 = ax2 + bx-\-c. Wykres
podano na rysunku 14, a objaśnienia do
niego na stronicy 107. Jeżeli
wprowadzimy nową zmienną y = y2, to dalsze
obliczenia możemy prowadzić jak
w przypadku 5.
8. y = aebx+c^ albo logjy = loga +
+ \oge-bx+\oge-cx3. Wykres podano
na rysunku 21, a objaśnienia do niego
na stronicy 112. Wprowadzając nową
zmienną y — logy sprowadzamy ten
przypadek do przypadku 5.
9. y =
1
. Wykres po-
axs-\-bx+c
dano na rysunku 103 a objaśnienia do
niego na stronicach 103 i 104. Przez
wprowadzenie nowej zmiennej y = \jy
przypadek ten sprowadzamy do
przypadku 5.
10. y =
V
—-—= . Wykres po-
ax* + bx+c -
dano na rysunku 11, a objaśnienia do
niego na stronicach 104 - 105^ Przez
wprowadzenie nowej zmiennej y -= xjy
przypadek ten sprowadzamy do
przypadku 5.
3. Dobieranie wzorów empirycznych
829
11. y = a-|- h —. Wykres po-
dano na rysunku 9, a objaśnienia do niego
na stronicy 103. Przez wprowadzenie
nowej zmiennej x == l/a; sprowadzamy
ten przypadek do przypadku 5.
12. y = ax"^. Wykres podano na
rysunku 22, a objaśnienia do niego na
stronicach 1121113. Jeżeli dane
wartości x tworzą postęp arytmetyczny o
różnicy h, to wyrównujemy V = A logjy,
X = zlloga:
y = kcloge-rbX.
Jeżeli zaś dane wartości x tworzą postęp
geometryczny o ilorazie q> to
wyrównujemy V = At\ogy i X = x:
Y = b\ogq+c(.q— l)loge-x,
gdzie Ax jest to różnica dwóch kolejnych wartości logjy. Po
wyznaczeniu b i ct logarytmując dane równanie, znajdujemy loga podobnie jak
dla wzoru 5 znajdowaliśmy c.
13. jy = ae^+ce^. Wykres podano
na rysunku 20, a objaśnienia do niego
na stronicach 110 i 112. Jeżeli dane
wartości x tworzą postęp arytmetyczny
o różnicy h i y, yx i yz są dowolnymi
wartościami kolejnymi danej funkcji,
to wyrównujemy V = y2jy i X = yjy:
Y = (ebk + edh-)X—eblteAh.
Po wyznaczeniu bid z tego
równania wyrównujemy V = yg-** i X =
Y^aX-frC.

830
II. Wzory empiryczne i interpolacja
Przykład. Znaleźć wzór empiryczny dla zależności funkcyjnej
między x i y3 określonej w następującej tablicy w pierwszej i drugiej
kolumnie:
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
y
1,78
3,18
3,19
2,54
1,77
1,14
0,69
0,40
0,23
0,13
0,07
0,04
*fy
0,056
0,063
0,094
0,157
0,282
0,526
1,014
2,000
3,913
7,69
15,71
30,0
A{xm
0,007
0,031
0,063
0,125
0,244
0,488
0,986
1,913
3,78
8,02
14,29
-
log*
-1,000
-0,699
-0,523
-0,398
-0,301
-0,222
-0,155
-0,097
-0,046
0,000
0,041
0,079
logy
0,250
0,502
0,504
0,405
0,248
0,057
-0,161
-0,398
-0,638
-0,886
-1,155
-1,398
JIog#
0,301
0,176
0,125
0,097
0,079
0,067
0,058
0,051
0,046
0,041
0,038
-
Jlogy
0,252
+0,002
-0,099
-0,157
-0,191
-0,218
-0,237
-0,240
-0,248
-0,269
-0,243
-
^i log y
0,252
-0,097
-0,447
-0,803
-1,134
-1,455
—
—
—
—
—
-
y
oblicz.
1,78
3,15
3,16
2,52
1,76
1,14
0,70
0,41
0,23
0,13
0,07
0,04
Budując wykres (rys. 428) i porównując go z wykresami na
stronicach 825 - 829, dochodzimy do przekonaniaj że do danego przypadku
0,1 Q2 Q3 0,4 Ą5 0,6 0,7 Ofi 0j9 1 1,1 p. X
Rys. 428
pasują przypadki 10 i 12. Dla przypadku 10 należy wyrównać A(xly]
i x, jednakże obliczenia wyraźnie wskazują na to, że zależność między x
i A (_x/y) jest daleka od liniowej.Dla sprawdzenia przydatności wzoru 12
budujemy wykres związku między Alogx i Alogy (dla h = 0,1; rys.
429), a także między -dilog.V i x (dla q = 2, rys. 430). W obu
przypadkach można uznać, że rozkład punktów wzdłuż linii prostej jest
zadowalający i przyjąć wzór y = axbePx.
Dla wyznaczenia stałych a, b i c posznkujemy zależności liniowej
między x i A^Qgy metodą przeciętnych. Dodając równania warunkowe
A^ogy = Mog2-r-cxloge
3. Dobieranie wzorów empirycznych
grupami (po trzy równania) otrzymujemy
-0,292 = 0,903 b + 0,2606c, -3,392 = 0,903& + 0,6514c,
831
Rys. 429
Rys. 430
skąd b = 1,966 i c — —7,932. Dla wyznaczenia a dodajemy równania
postaci logy ^-- Ioga-|-6Ioga:-|-cloge-»;, co daje
-2,670 = 12Ioga-6,529-26,87,
skąd log a = 2,561, a = 364. Wartości y obliczone według wzoru
y = 364x ' 6 e~7'932x podane są w ostatniej kolumnie powyższej tabeli.

SKOROWIDZ
Abela równanie 717
— twierdzenie 386
d'Alemberta kryterium 377
— wzór 601
algorytm Euklidesa 157
alternatywa Fredholma 743
amplituda 1X5
— punktu 256
analiza harmoniczna 760
analizatory harmoniczne 770
Angesiego lok 121
antylogarytm 51
ApoUoniusza twierdzenie 268
aproksymacja jednostajna 815
— w poszczególnych punktach 817
aproksymowanie metodą najmniejszych
kwadratów 816
Archimedesa spirala 133
areus cosinus 117, 242
-— cotangens 118, 242
— sinus 117, 242
— tangens 117, 242
area cosinus 120, 252
— cotangens 121, 252
— funkcje (funkcje hiporboliczne
odwrotne) 252
— sinus 120, 252
— tangens 120, 252
Arzeli twierdzenie 747
asteroida 131
asymptota 316
— pionowa 316
— pochyla 316
— pozioma 316
Bayesa wzór 776
beczka 228
Bernoulliego liczby 382
— rozkład dwumianowy 782
— równanie 552
BesseU funkcja pierwszego rodzaju (fnn-
kcja walcowa) 582
drugiego rodzaju (funkcja Webera)
583
— równanie 582
Bessela wzór 821
— wzory 769
biegun 633, 647
— m - krotny (biegun rzędu m) 643
— (początek współrzędnych) 256
binormalna do krzywej przestrzennej 324
—, równanie 326
błąd 139
— funkcji 141
— , kres górny 139
— przybliżenia 139
— względny, kres górny 139
przybliżenia 139
Borela twierdzenie 575
Briggsa logarytmy (logarytmy dziesiętne)
164
Buniakowskiego-Cauchy'ego
nierówności 198
Buniakowskiego-Schwarza nierówności
199
Całka eliptyczna pierwszego rodzaju 437
drugiego rodzaju 437
trzeciego rodzaju 437
niezupełna pierwszego rodzaju 438
drugiego rodzaju 438
trzeciego rodzaju 438
— Eulera 204
pierwszego rodzaju (funkcja beta)
512
drugiego rodzaju (funkcja gamma)
509, 512
— Fouriera 764
— funkcji po łuku 638
zmiennej zespolonej 638
— krzywoliniowa 516
funkcji wektorowej 668, 669
pierwszego rodzaju (całka
krzywoliniowa nieskierowana) 517, 518
drugiego rodzaju 519,.520
ogólnej postaci 521
— nieoznaczona 424, 639
— niewłaściwa 502, 506
rozbieżna 502, 506
, wartość główna 503, 506

834
Skorowidz
całka niewłaściwa zbieżna 502, 506
bezwzględnie 504
— okrężna (cyrkulacja) 522
funkcji w polu wektorowym
670
— oznaczona 484, 485
, granica dolna 486
, — górna 486
, funkcja podcałkowa 486
, wyrażenie podcałkowe 486
, zmienna całkowania 486
— podwójna 516, 526
, obliczanie w dowolnych
współrzędnych krzywoliniowych 530
,—we współrzędnych
biegunowych 529
, prostokątnych 528
— Poissona 613
— potrójna 516, 527
, obliczanie w dowolnych
współrzędnych krzywoliniowych 534
, — we współrzędnych
cylindrycznych 532
, prostokątnych 531
, sferycznych 533
— powierzchniowa 516, 672
pierwszego rodzaju 537, 538
drugiego rodzaju 540, 541
ogólnej postaci 543
— różnicy 427
— Stiettjesa 502
— sumy 427
— zależna od parametru 509
— zbieżna bezwzględnie 508
— , znak 486
całki eliptyczne 437
, postać Legendre'a 437
zupełnie 438
— funkcji algebraicznych 515, 516
cyklometrycznych 482-484
hiperbolicznych 477, 478
logarytmicznych 480 -482
nieciągłych 505
niewymiernych 450-464
trygonometrycznych 464-477
wykładniczych 478 - 480
wymiernych 441 - 450
— odwrotnych funkcji hiperbolicznych
484
— oznaczone funkcji logarytmicznych
514, 515
trygonometrycznych 512-514
wykładniczych 511, 512
— pseudoeliptyczne 437
całkowanie, droga 512
— funkcji hiperbolicznych 441
niewymiernych 434
trygonometrycznych 438
wykładniczych 440
wymiernych całkowitych 428
T- ułamkowych 428
całkowanie, metoda graficzna 494
— , metody przybliżone 492
— pod znakiem całki 510
— przez części 427, 490
podstawienie 489
rozwinięcie w szereg 491
— równania różniczkowego 548
w kwadraturach 552
— różniczek dwumiennych 436
Cardana wzór 171
Carnota twierdzenie (wzór cosmusów)
240
Carsona-Heaviside'a transformata
funkcji (oryginału) 574
Cassiniego owal 126
Cauchy'ego kryterium 355, 378
— metoda rozwiązywania równania
różniczkowego 567
— nierówność 198
— twierdzenie 365, 375, 407, 547, 640
— wzory całkowe 640
— zagadnienie 591
Cauchy-Riemanna warunki 631
centralne twierdzenie graniczne 791
charakterystyka rodziny krzywych 321
charakterystyki 591
— równania 597
ciąg harmoniczny 344
— liczbowy 343
, wyrazy 343
— malejący 345
— naturalny 343
— niema lejący 345
— nieograniczony 345
— nierosnący 345
— nieskończony liczb zespolonych 623
— ograniczony 345
— podstawowy 346
— rosnący 345
ciągi monotoniczne 345
— monofonicznie malejące 345
rosnące 345
— ściśle malejące 345
rosnące 345
Clairauta równanie 554, 593
cosecans 117, 230
— hiperboliczny 248
cosinus 115, 230
— całkowy 468
— hiperboliczny 119, 248
cosinusy kierunkowe 281
odcinka 283
cosinusoida 115
cotangens 115,230
— hiperboliczny 119, 248
cotangensoida 115
Cramera wzory 187
cyfry wartościowe 140
cykloida skrócona 129
— wydłużona 129
— Zwykła 128
Skorowidz
835
cyrkulacja (całka okrężna) 522
— funkcji w polu wektorowym 670
cysoida Dioklesa 122
Czebyszewa nierówności 199
uogólnione 199
— twierdzenie 436
— wielomian 244
część całkowita liczby * (entier x) 352
czworokąt 211
—, pole 211
— wpisany, pole 211
czworościan (tatraedr) 221, 223
czynnik całkujący 550
— normujący 262
Delogarytmowanie 164, 166
deltoid 213
—, pole 213
— wklęsły 213
— wypukły 213
Dioklesa cysoida 122
Diraca funkcja (funkcja delta) 575
Dirichleta warunki 760
— zagadnienie 607, 682
długość geograficzna 330
— łuku krzywej 334, 497
— odcinka krzywoliniowego 519
dopełnienie algebraiczne 183
drgania harmoniczne 237
, amplituda 237
, częstotliwość 237
, faza początkowa 237
, prędkość kątowa (pulsacja) 237
— membrany zamocowanej wzdłuż
okręgu 605
— podłużne pręta 604
— zemocowanej struny 603
droga 499
— całkowania 638
druga pochodna funkcji jednej zmiennej
393
— różniczka funkcji jednej zmiennej 393
— wariacja 692
drugie różnice (różnice rzędu drugiego)
820
— twierdzenie Guldina 501
dwumian Newtona 206
, uogólnienie 207
--dwudziestościan (ikosaedr) 223
dwunastościan (dodekaedr) 223
dystrybuanta wektora losowego 786
— zmiennej losowej 781
dywergencja (rozbieżność) pola
wektorowego 675
działania na liczbach przybliżonych 140
Ekstremum funkcji 408
— mocne 685
— słabe 685
— wzgl ędne 685
ekstrema warunkowe 413
element liniowy powierzchni (różniczka
łuku) 333
— osobliwy 555
— pola kierunkowego 547
elipsa 266, 267, 628
— , górna połowa 107
—, kierownice 267
— , mimośród 266
—, obwód 268
— , oś mała 266
— , — wielka 266
— , parametr ogniskowy 266
—, pole 268
— , promień krzywizny 268
— , równanie kanoniczne 266
— , równania parametryczne 267
— , średnice 268
— , — sprężone 268
—, Środek 266
—, wierzchołki 266
elipsoida 294
—, półosie 294
— obrotowa spłaszczona (sferoida
spłaszczona) 294
wydłużona (sferoida wydłużona)
294
entier x (część całkowita liczby x) 352
entropia rozkładu 792
— warunkowa 792
— zmiennej losowej 791
względem zmiennej losowej
792
epicykloida 130
— skrócona 132
— wydłużona 132
epitrochoidy 132
estymator 801
— asymptotycznie nieobciążony 801
—, efektywność 802
— najefektywniejszy 802
— nieobciążony 801
— zgodny 801
estymatory największej wiaro godności
803
Euklidesa algorytm 157
Eulera całka 204
pierwszego rodzaju (funkcja beta)
512
drugiego rodzaju (funkcja gamma)
509, 512
— kąty 283
— liczby 382
— równanie 570
z rachunku wariacyjnego 687, 697
— stała 358
— twierdzenie 223, 372
— wzór 335, 624
— wzory 759
uogólnione 625
ewoluta (rozwinięta) krzywej 319
ewoiwenta (rozwijająca) krzywej 320

836
Skorowidz
ewolwenta (rozwijająca) okręgu 135
exp x 163
Fermata twierdzenie 405
filtracja 798
Fouriera całka 764
— rozwinięcie; współczynniki 754
— szereg 754, 759
zbieżny przeciętnie z kwadratem
760
— współczynniki 759
Fredholma alternatywa 743
— równania całkowe 714
Freneta trójścian 324
funkcja analityczna nieograniczona 632
ograniczona 632
w obszarze spoj'nym 631
w punkcie 631
— aproksymująca (przybliżająca) 815
— , argument 346
— autokorelacyjna (korelacyjna) 796
— bazowa 684
— Bessela pierwszego rodzaju (funkcja
walcowa) 582
drugiego rodzaju (funkcja
Webera) 583
— beta (całka Eulera pierwszego rodzaju)
512
— całkowalna 486
bezwzględnie 504, 509
— całkowita wymierna 350
— gałkowo-wykładnicza 479
— charakterystyczna unormowana 723
— ciągła 362
jednostajnie 367
w przedziale 363
w punkcie 363, 630
— delfa (funkcja Diraca) 575
— dodatnio jednorodna pierwszego
rzędu 698
— dwóch zmiennych ciągła w obszarze
374
w punkcie 374
— gamma 204
(całka Eulera drugiego rodzaju)
509, 512
— gęstości (gęstość) zmiennej losowej
781
— Greena 611
— Hamiltona 594
— harmoniczna 631
sprzężona 631
— holomorficzna (różniczkowalna
w punkcie) 630
— homograficzna 102, 636
— impulsowa 575
— interpolacyjna 818
— jednej zmiennej 346
— jednokrotna 349
— j'edno znaczna 349
— korelacyjna (autokorelacyjna) 796
funkcja kwadratowa 636
— liniowa 98, 635
— logarytmiczna 109, 351
— Macdonalda 583
— mocy testu 808
— monofoniczna, interpretacja
geometryczna 405
— monofonicznie malejąca 353
rosnąca 353
— nieograniczona 632
— nieparzysta 354} 761
— niewymierna 350
— ii zmiennych 367
— odwrotna 349
— ograniczona 354, 632
od dołu 354
od góry 354
— okresowa 354
— , osobliwość usuwalna 364
— parzysta 354, 761
— pierwotna 423
funkcji analitycznej 639
różniczki zupełnej 523
— potencjalna (potencjał pola) 670
— potęgowa 101
— prosta 349
— przestrzeni n-wymiarowej 368
— przybliżająca (aproksymująca) 815
— Rie manna 608
— , rodzaj'e nieciągłości 363
— różniczko walna 391
(holomorficzna) w punkcie 630
— skalarna 659
— ściśle malejąca 353
rosnąca 353
— tworząca prawdopodobieństwa 795
— unormowana 588
—, wahanie 367
— walcowa (funkcja Bessela drugiego
rodzaju) 582
— Webera (funkcja Bessela pierwszego
rodzaju) 582
— wektorowa 657
, hodograf 657
, pochodna 658
(pole wektorowe) 661
, różniczka 658
— wielu zmiennych ciągła jednostajnie
375
— w postaci j'awnej 371
parametrycznej 371
uwikłanej 371
— wykładnicza 109, 351, 624
uogólniona 625
— wymierna ułamkowa 350
— zakłócająca 714
— zespolona zmiennej rzeczywistej 627
— zmiennej zespolonej 629
, odwzorowanie płaszczyzny 629
funkcje algebraiczne 350
zmiennej zespolonej 622
Skorowidz
837
funkcje cyklometryczne 117, 242, 351
— elementarne 350
— harmoniczne (funkcj'e Laplace'a) 682
— hiperboliczne 248, 625
odwrotne (area funkcje) 252, 626
— jednorodne wielu zmiennych 371
— kuliste (wielomiany Legendre'a) 585
— Laplace'a (funkcje harmoniczne) 682
— liniowo niezależne 565, 720
— niezależne 372
— ortogonalne 746, 816
— przestępne 350, 351
elementarne 351
— specjalne 352
— Sturma 176
— trygonometryczne 230, 351, 625
odwrotne 626
, wartości 233
— własne 587
— wzajemnie odwrotne 349
— zależne 372
— zbieżne jednostajnie 748
— zmiennych losowych 788
Gaussa krzywa 110
— krzywizna (krzywizna zupełna) 337
— współrzędne (współrzędne
krzywoliniowe) 330
gęstość brzegowa 787
—■ warunkowa 787
— wektora losowego 787
— widma 764
— zmiennej losowej 781
gradient pola 693
skalarnego 666
wektorowego 678
—, współrzędne 666
graniasto słup 219
— , podstawy 219
— , pole powierzchni bocznej 220
— prawidłowy 220
— prosty 220
— , ściany boczne 219
— trójkątny ukośnie ścięty 220
granica ciągu 344
liczb zespolonych 623
— funkcji 355
dwóch zmiennych 373
lewostronna 356
prawostronna 356
— -— w nieskończoności 356
zespolonej 630
— iloczynu funkcji 357
— ilorazu funkcji 358
— iterowana 374
— niewłaściwa ciągu 344
funkcji 356
— różnicy funkcji 357
— stałej 357
— sumy funkcji 357
Greena funkcja 611
Greena metoda 610
— twierdzenie 680
— wzór 544, 680
Guldina pierwsze twierdzenie 501
— drugie twierdzenie 501
Hamiltona funkcja 594
— operator J7 (nabla) 677
harmoniki 237
— , wykres wektorowy 23?
Heaviside'a wzór na rozkład 576
Hilbwta metoda 747
hiperbola 269, 628
— , asymptoty 270
— , górna gałąź 107
— , — połowa 107
—, kierownice 270
— , ogniska 269
— , oś rzeczywista 269
— , — urojona 269
— , parametr ogniskowy 269
— , promień krzywizny 272
— , równanie kanoniczne 269
— , równania parametryczne 269
— równoosiowa (równoramienna) 101j
102, 272
— , średnica 271
— , średnice sprzężone 271
—, środek 269
—, wierzchołki 269
hiperbole sprzężone 271
hiperboloida dwupowłokowa 295
i półoś rzeczywista 295
, półosie urojone 295
— jednopowłokowa 295
, półoś urojona 295
, półosie rzeczywiste 295
hiperboloidy obrotowe 296
nipocykloida 131
— skrócona 132
— wydłużona 132
hipoteza nieparametryczna 807
— parametryczna 807
— prosta 807
— złożona 807
hipotezy 776
hipotrochoidy 132
de 1'Hospitala reguła 359
Hurwitza twierdzenie 568
Iloczyn mieszany wektorów 651
— skalarny dwóch funkcji w przestrzeni
funkcyjnej' 745
wektorów 650
— wektora przez skalar 648
— wektorowy wektorów 650
ilość informacji o zmiennej zawarta
w zmiennej 792
integratory 495
interpolacja 798, 818
—, błąd 823

838
Skorowidz
interpolacja liniowa 11
(reguła falsi, reguła fałszywego
założenia) 311
— kwadratowa według Bessela 12
— paraboliczna 818
— trygonometryczna 769, 818
—, węzły 818
inwersja 635, 636
Jacobiego warunek 692
jakobian 327
jądro iterowane (n — l)-sze 729
— rozwiązujące (rezolwenta) 729
— równania całkowego 713
— symetryczne 743
— zamknięte 754
jednostka urojona 617
Kardioida 125,126
kartezjański układ współrzędnych
prostokątnych 255
w przestrzeni 278
Kartezjusza liść 122
— reguła 176
kąt bryłowy 219
, miara 219
, wierzchołek 219
— dwuściermy 217
kąta wielościennego 218
— liniowy 217
— miedzy dwiema krzywymi 307, 334
prostymi 264
prostu i płaszczyzną 217
prostymi skośnymi 216
— nutacji 283
— plaski 218
— precesji 283
— wielościenny 217
j krawędzie 218
, ściany 218
wypukły 218
— właściwego obrotu 283
kąty Bulera 283
—> trójścienne równe 219
— wielościenne równe 218
symetryczne 218
kierująca 223, 225
Kirchhofla wzór 601
klasyczna statystyka metemalyczna 799
klin 222
klotoida 136
koło krzywizny 310
—, pole 213
— wielkie 226, 244
— trygonometryczne 230
, ćwiartki 230
kombinacja liniowa 184
kombinacje 206
konchoida 123
— Nikomedesa 123
—, równanie 124
konserwatyzm kątów 634
kowariancja zmiennych losowych 789
Kroneckera symbol 746
kryterium d'Alemberta 377
— całkowe 378
— Cauchy'ego 355, 378
— Weierstrassa jednostajnej zbieżności
szeregów 384
kryteria dostateczne zbieżności całek 504
■ całki funkcji nieciągłej 508
krzywa algebraiczna 260
, stopień 260
— całkowa osobliwa 555
— drgań tłumionych 113
— Gaussa (krzywa rozkładu
normalnego) 110
— , kierunek dodatni 303
— logarytmiczna 109
— przestępna 260
, kierunek dodatni 325
, równanie wektorowe 323
, — we współrzędnych
prostokątnych 322
— rozkładu normalnego (krzywa
Gaussa) 110
— stopnia trzeciego 103, 104
— typu hiperbolicznego 105
— , własności integralne 302
— , — lokalne 302
— , — niezależne 302
— , — zależne 302
— wykładnicza 109
— > wypukłość w dół 308
— , — W górę 308
krzywe całkowe 548
— ekstremalne w sensie rachunku
wariacyjnego 687
— stopnia drugiego (stożkowe) 275
, mimośród 278
■ — , niezmienniki 275
trzeciego 103, 104, 121
krzywizna Gaussa (krzywizna zupełna)
337
— , główne promienie 335
— krzywej 308, 327
—, linie 306
— , promień 308, 327
— średnia 337
— zupełna (krzywizna Gaussa) 337
kwadrat 212
— , pole 212
kwantyl (parametr pozycyjny) 785
— dolny 785
— górny 785
— rzędu p 785
kula, objętość 227
—, pole 227
Lagrange'a metoda mnożników 704
znajdowania ekstremów
warunkowych 413
Lagrange'a równanie 554
— tożsamość 651
— twierdzenie (twierdzenie o przyroście
skończonym) 4G6
— wzór interpolacyjny 818
Laplace'a funkcje (funkcje
harmoniczne) 682
— operator 599, 678
— równanie 603, 682
— transformata funkcji 575
Laurenta szereg 642
Legendre'a postać całki eliptycznej 437
— równanie 585
— warunek 692
— wielomiany (funkcje kuliste) 585
Leibniza twierdzenie 380
— wzór 397
Leibniza - Newtona twierdzenie 488
lemniskata 128
liczba e 358
— y358
— rc215
— urojona 617
liczby BernouIIiego 382
— Eulera 382
— niewymierne 342
— rzeczywiste 342
— wymierne 341
— zespolone 617
, argument 618, 619
, część rzeczywista 617
, — urojona 617
, działania 619, 620
, logarytm naturalny 625
, moduł (wartość bezwzględna) 618
, postać algebraiczna 618
, — ogólna 617
, — trygonometryczna 618
, — wykładnicza 619, 624
równe 618
sprzężone 619
, wartość główna argumentu 619
, logarytmu 625
linia geodezyjna 245, 338, 339
, równanie różniczkowe 339
— łańcuchowa 119, 136
— prosta 98, 627
— siły pola wektorowego 665
— środkowa w trójkącie 210
— śrubowa 328
lewoskrętna 328
prawoskrętna 328
— współrzędnych 279
linie krzywizny 336
— wirowe pola 676
— współrzędnych 330
Liouville'a twierdzenie 632
— wzór 566
Lipschiza warunek 547, 562
liść Kartezjusza 122
logarytm 163, 636
839
logarytm całkowy 480
logarytmy dziesiętne (Briggsa) 164
, cecha 165
, mantysa 165
— naturalne (Nepera, hiperboliczne) 164
logarytmiczny dekrernent tłumienia 113
logarytmowanie 164
— (przekształcanie wyrażeń logarytmicz.
nych) 165
lok Angesiego 121
Łuki elementarne 517
Macdonalda funkcja 583
macierz 188
— , kolumna 188
— , wiersz 188
Maclaurina szereg 414
maksimum funkcji 408, 731
wielu zmiennych 411
masa bryły 536
— niejednorodnego odcinka
krzywoliniowego 519
płata krzywoliniowego 539
— płaskiej figury 535
medizna 785
metoda Cauchy'ego rozwiązywania
równania różniczkowego 567
— graficzna obliczania całki 494
— Greena rozwiązywania zagadnienia
brzegowego 610
— Hiberta- konstrukcji wartości
charakterystycznych i funkcji
charakterystycznych 747
— iteracji całkowania równań
różniczkowych (metoda kolejnych
przybliżeń Picarda) 560
przybliżonego rozwiązywania
równań 181
— Lagrange'a znajdowania ekstremów
warunkowych 413
— modelowania rozwiązywania równań
różniczkowych cząstkowych 615
— mnożników Lagrange'a w
zagadnieniach wariacyjnych 704
— najmniejszych kwadratów 812, 818,
825
— największej wiarogodności 802
— Newtona przybliżonego
rozwiązywania równań 180
— operatorowa rozwiązywania równań
różniczkowych cząstkowych 613
zwyczajnych 576
— Ostrogradskiego (wyłączanie
wymiernej części całki) 433
— pochodnych wyższych rzędów przy
znajdowaniu maksimów i minimów
funkcji 409
— porównywania znaków pochodnej
przy znajdowaniu maksimów i
minimów funkcji 409

840
Skorowidz
metoda przeciętnych 825
— przybliżeń Nystroma 738
— Riemanna rozwiązywania zagadnienia
Cauchy'ego 608
— Ritza rozwiązywania zagadnień
wariacyjnych 710
— rozdzielania zmiennych 548
— współczynników nieoznaczonych 160
— wyrównywania 824
— uzmiennienia stałych 566, 573
metody numeryczne całkowania równań
różniczkowych cząstkowych 615
— przybliżone całkowania równań
różniczkowych cząstkowych 615
Meusniera twierdzenie 335
miara kąta bryłowego 219
— łukowa kąta 229
minimum funkcji 408
wielu zmiennych 411
minor macierzy 188
— wyznacznika 183
moduł funkcji zmiennej zespolonej
(wartość bezwzględna fuukcji zmiennej
zespolonej) 631
— liczby (wartość bezwzględna liczby)
352
zespolonej (wartość bezwzględna
liczby zespolonej) 618
— przekształcenia logarytmów 164
de Moivre'a wzór 235, 251, 621
de Moivre'a - Laplace'a twierdzenie 779
moment bezwładności bryły 536
> łuku krzywej jednorodnej 500
płaskiej figury 535
M&biusa wstęga 540
Nabla v (operator Hamiltona) 677
nadzieja matematyczna (wartość
przeciętna, wartość oczekiwana) 784
największy wspólny dzielnik dwóch
wielomianów 157
Neila parabola 121
Nepera logarytmy (logarytmy naturalne)
164
— reguła 247
— wzory 240
Newtona dwumian 206
— metoda 180
— symbol 206
— wzory 821
Newtona - Coulomba pole 681
von Neumanna szereg 729
nierówność 196
— , asymetria 197
— Buniakowskiego - Cauchy'ego 198
-— Buniakowskiego - Schwarza 199
— Cauchy'ego 198
— Czebyszewa 199
uogólniona 199
■.— , działania 197
:— j przechodniość 197
nierówność , monotoniczność 197
— nieostra 196
— ostra 196
— Rao - Cramera 802
— Schwarza 746
— stopnia pierwszego 200
drugiego 200, 201
— tożsamościowa 196
nierówności jednakowo skierowane 197
— przeciwnie skierowane 197
— równoważne 197
nieskończenie małe rzędu wyższego 391
tego samego rzędu 391
niewiadoma 166
nie wy mierności algebraiczne 342
Nikomedesa konchoida 123
norma biegunowa 307
— do elipsy 268
hiperboli 270
krzywej 304
, kierunek dodatni 305
paraboli 274
powierzchni 331
, wersor 331
— funkcji 746
— główna 323
, równanie 326
— normalna 306
—, równanie 332
numerus logarythmi 51
NystrSma metoda przybliżeń 738
Objętość bryły 536, 543
cylindrycznej 535
— ciała 429
— czworościanu 284
obrót układu współrzędnych 257
w przestrzeni 282
obszar całkowania 526
— jednospójny 369
— oznaczoności funkcji 346, 368, 370
wyrażenia analitycznego 348, 370
— ufności 804
— wiełospójny 369, 370
obszary spójne dwóch zmiennych 369
trzech zmiennych 369
obwiednią 321
odchylenie standardowe (odchylenie
średnie) 784
odcięta punktu 255
odcinek hiperboli, pole 272
— kołowy 215
, pole 216
— kuli 227
odcinki na osiach 261
odległość biegunowa 330
— między dwiema płaszczyznami
równoległymi 288
prostymi nierównoległymi 291
— punktu od płaszczyzny 288
prostej 262, 290
Skorowidz
841
odległość miedzy punktami 258, 283
odwzorowanie konforemne 634
, funkcja homograficzna 633
, — kwadratowa 636
, — liniowa 635
, inwersja 635
jlogarytm 636
j pierwiastek kwadratowy 636
ognisko równania różniczkowego 557
okrąg koła 214, 265
, długość 215
okres funkcji 354
operator całkowy 745
— Hamiltona p (nabla) 677
— Laplace'a 599, 678
ortogonalność z wagą 588
osie współrzędnych 255
Ostrogradskiego - Gaussa twierdzenie 679
wzór 545
Ostrogradskiego metoda (wyłączanie
wymiernej części całki) 433
— wzór 433
ostrosłup 220
— M-kątny 220
— prawidłowy 221
— ścięty 221
—, wierzchołek 220
ostrze krzywej 313
— pierwszego rodzaju 313
— drugiego rodzaju 313
oś biegunowa 256
— odciętych 255
— rzędnych 255
ośmiościan (oktaedr) 223
owal Cassiniego 126
Parabola 98, 273
— , górna polowa 106
—, kierownica 273
— , mimośród 273
— Neila (parabola półsześcienna) 121
— , ognisko 273
—, oś 273
— , parametr ogniskowy 273
— , pole odcinka 274
— , promień wodzący 273
— , równanie kanoniczne 273
— , — ogólne 275
— , stopnia n 101
— sześcienna (parabola stopnia
trzeciego) 99
— , średnica sprzężona 273
— , wierzchołek 273
parabol oida eliptyczna 297
— hiperboliczna 297
— obrotowa 297
— , oś symetrii 297
— , płaszczyzna symetrii 297
parametr 509
parametry pozycyjne (kwantyle) 785
parcie 499
Parsevala równość 588, 760
Pascala ślimak 125
— trójkąt 207
permutacje 206
pęk prostych 263
, wierzchołek 263
Pfaffa równanie (równanie z różniczkami
zupełnymi) 596
Picarda metoda kolejnych przybliżeń
(metoda iteracji) 559
pierścień kołowy 216
, pole 216
pierwiastek równania 166
A-krotny 174
pierwiastki obce 167
— wielomianu 174
pterwiastnik 161
pierwiastniki, przekształcenie 161
pierwsze różnice (różnice rzędu
pierwszego) 820
— twierdzenie Guldina 501
planimetr 495
płaszczyzna normalna do krzywej
przestrzennej 323
, równanie 325
— prostująca 324
, równanie 326
— styczna do powierzchni 331
, równanie 332
— ściśle styczna 323
, równanie 325
płaszczyzny dwusieczne 288
— równoległe 217
Pitagorasa twierdzenie 210
pochodna cząstkowa 390
funkcji dwóch zmiennych,
interpretacja geometryczna 390
wielu zmiennych 390
rzędu pierwszego 390
— druga funkcji jednej zmiennej 393
— funkcji jednej zmiennej 388
t interpretacja geometryczna
388
, istnienie 388
odwrotnej 401
wyznaczonej w postaci
parametrycznej 400
złożonej wielu zmiennych 398
zmiennej zespolonej 630
— iloczynu 395
— ilorazu 395
— lewostronna 389
— logarytmiczna 395
— mieszana 393
— prawostronna 389
— przestrzenna pola skalarnego 667, 674
wektorowego 674
— substancjalna 398
— sumy 394
początek współrzędnych 255, 278
(biegun) 256

842
Skorowidz
podnormalna 306
— we współrzędnych biegunowych 307
podstawowe twierdzenie algebry 174
podstawowy układ rozwiązań 193
podstyczna 306
— we współrzędnych biegunowych 307
podział odcinka w danym stosunku 259,
284
w stosunku skrajnym i średnim
(złoty podział odcinka) 203
wewnętrzny 259
zewnętrzny 259
Po is sona całka 613
— rozkład 782
— równanie 682
(równanie teorii potencjału) 603
— twierdzenie 778
— wzór 601
pole ekstremalne 692
— figury płaskiej 522
— kierunkowe 547
, element 547
— Newtona-Coulomba 681
— płaskiej figury 535
— płata 334
krzywoliniowego 535, 539
— potencjalne (zachowawcze) 670
— powierzchni 498
— skalarne 659
cylindryczne (osiowe) 659
kuliste (środkowe) 659
płaskie 659
, pochodna 666
— trapezu krzywoliniowego 497
— wektorowe bezwirowe 680
bezżródłowe (solenoidalne) 681
cylindryczne 663
, oś 663
(funkcja wektorowa punktu) 661
kołowe 663
, linia sit 665
płaskie 662
, poziomice 660
sferyczne 662
solenoidalne (bezżródłowe) 681
środkowe 662
— wycinka krzywoliniowego 497
— zachowawcze (potencjalne) 670
południk 330
poprawka interpolacyjna II
postęp arytmetyczny 201, 343
malejący 201
rosnący 201
, różnica 201
, suma 201
, wyraz ogólny 201
, wyrazy 201
— geometryczny 201, 343
, iloraz 201
malejący 201
nieskończenie malejący, suma 202
postęp geometryczny rosnący 201
, suma 202
i wyraz ogólny 202
, wyrazy 201
potencjał opóźniony 601
— pola (funkcja potencjalna) 670
— wektorowy pola 681
potęga 162
powierzchnia całkowa 590
— cylindryczna 223
— dodatnia 540
— kuli (sfera) 226, 294
, pole 226
— minimalna 338
— obrotowa 285
— , pierwsza forma kwadratowa 333
— prostokreślna 338
— Riemanna wieko Ustna 629
— rozwijalna 338
— , równanie w postaci jawnej 329
— } „ — parametrycznej 329
— , uwikłanej 329
— , wektorowej 329
— stopnia drugiego, niezmienniki 299
, równanie ogólne 299
— stożkowa 225
— —• , wierzchołek 225
— ujemna 540
— współrzędnych 279
, parametr 279
— zorientowana 540
powierzchnie o stałej kraywiżnie 338
— prostokreślne 297
— równych wartości 660
— środkowe, osie symetrii 294
, płaszczyzny symetrii 294
, równania kanoniczne 291
, środek symetrii 294
poziom istotności 807
półproste górne 107
praca 499
prawdopodobieństwo 773
— a posteriori 776
— a priori 776
— zdarzenia losowego 773, 774
— — — bezwarunkowe (a priori) 776
— warunkowe 776
predykcja (przewidywanie) 798
proces ergodyczny 796
— markowski 794
— ortogonalizacji Schmidta 747
— urodzin i śmierci 794
procesy stacjonarne 796
— stochastyczne 793, 794
promień wodzący punktu 256
proporcje pochodne 161
— , przekształcanie 101
proporcjonalność odwrotna 101
— prosta 98
prosta 260
— równoległa do płaszczyzny 217
Skorowidz
843
prosta w przestrzeni 288
proste prostopadłe 264
— równoległe 216, 264
— skośne 216
, odległość 216 -•
prostokąt 212
—, pole 212
prostopadłościan 220
pryzma 222
przedział 346
— domknięty 347
lewostronnie 347
prawostronnie 347
— liczbowy 346
, koniec domknięty 347
, — otwarty 346
— otwarty 347
przedziały elementarne 485
— nieskończone 347
— ufności 804
przekształcanie pierwiastników 162
— potęg 162
— ułamków o wyrazach niewymiernych
162
— wyrażeń logarytmicznych (logarytmo-
wanie) 165
przekształcenie konforemne 634
— tożsamościowe 155
przestrzeń funkcyjna 745
— wektorowa 745
przesunięcie równoległe osi
współrzędnych 257
w przestrzeni 282
przewidywanie (predykcja) 797
przybliżenie dziesiętne 139
, dodawanie 144
, mnożenie 144
Przybliżone rozwiązywanie równań 180
przypadki sprzyjające zdarzeniu 775
Ptolemeusza twierdzenie 211
punkt asymptotyczny 313
— charakterystyczny krzywej 321
— eliptyczny 337
— hiperboliczny 337
— istotnie osobliwy 634, 643
— kątowy 313
krzywej 389
— kołowy 337
— obszaru 367
— odosobniony 313
— osobliwości usuwalnej 632
— osobliwy odosobniony 555
(stożkowy) 332
— peraboliczny 337
— przecięcia prostych 262
— przegięcia 311
— rozgałęzienia 313
— samos ty czności 313
— siodłowy równania różniczkowego 557
— węzłowy równania różniczkowego 556
— wirowy równania różniczkowego 557
punkty nieciągłości funkcji 362,363
— osobliwe 502, 631
— przestrzeni « - wymiarowej 368
— regularne 631
— stacjonarne 409
— wielokrotne 314
puls ac ja 115
Rachunek prawdopodobieństwa 773
— wariacyjny 683
radian 229
Rao - Cramśra nierówność 802
Regiomontana twierdzenie (wzór tangen-
sów) 240
reguła falsi (interpolacja liniowa, reguła
fałszywego założenia) 181
reguła de 1'Hospitala 359
— Kartezjusza 176
— łańcuchowa 394, 395
— Nepera 247
— ogólna znajdowania maksimów i
minimów funkcji 410
— Sarrusa 186
residuum funkcji w punkcie 643
rezolwenta (jądro rozwiązujące) 729
Riccatiego równanie 552
Riemanna funkcja 608
— metoda 608
— powierzchnia wielolistna 629
— twierdzenie 380
Ritza metoda 710
Rolle'a twierdzenie 406
romb 211
—, pole 211
rotacja (wirowość) pola wektorowego
675, 676
rozbieżność (dywergencja) pola
wektorowego 675
rozchodzenie się ciepła w pręcie
jednorodnym 607
rozkład xi 806
rozkład dwumianowy (Bernoulliego) 782
— geometryczny 782
— hipergeometryczny 782
— na ułamki proste 159
— normalny 783
dwuwymierowy 790
— Poissona 782
— Studenta 805
— warunkowy 786, 787
— wykładniczy 783
— zmiennej losowej 781
rozkłady brzegowe 786
rozmaitość 599
rozmieszczenia (wariacje) 205
rozwiązanie nierówności 197
— normalne 576
— układu równań algebraicznych 167
rozwiązania charakterystyczne 742
— liniowo niezależne układu równań 193
rozwijająca (ewolwenta) krzywej 320

844
Skorowidz
rozwijająca (ewolwenta) okręgu 135
rozwinięcie funkcji nieokresowej w
szereg Fouriera 762
rozwinięta (ewoluta) krzywej 319
równanie algebraiczne 166
— biegunowe krzywej stopnia drugiego
278
równanie całkowe 713
Abela 717
drugiego rodzaju 714
Bredholma 714
jednorodne 714
liniowe 713
niejednorodne 714
0 jądrze zdegenerowanym 720
, parametr 720
pierwszego rodzaju 714
Volterry 714
— charakterystyczne 556, 567, 570
— dwukwadratowe 173
— Eulera z rachunku wariacyjnego 687,
697
— falowe (równanie rozchodzenia się
drgań o ośrodku jednorodnym) 601
— krzywej 260
we współrzędnych biegunowych
302
prostokątnych 302
w postaci zespolonej 627
przestrzeni 285
— logarytmiczne 178
— obwiedni 321
— ogólne krzywych stopnia drugiego 275
— określające 581
— okręgu we współrzędnych
biegunowych 266
prostokątnych 265
w postaci parametrycznej 266
zespolonej 628
— o współczynnikach rzeczywistych 175
— pęku płaszczyzn 288
— płaszczyzny normalne 286, 287
ogólne 286
przechodzącej przez jeden punkt
287
dwa dane punkty 287
trzy dane punkty 287
wektorowe 654
— pomocnicze (metoda operatorowa
rozwiązywania równań różniczkowych)
576, 614
— powierzchni 285
walcowej 285
obrotowej 285
■ stożkowej 285
— prostej normalne 262
odcinkowe 261
ogólne 261
— — przechodzącej przez dany punkt
261
dwa różne punkty 261
równanie prostej wektorowe 654
we współrzędnych biegunowych
263
— przestępne 177
— rozchodzenia się ciepła w ośrodku
jednorodnym 602
drgań w ośrodku jednorodnym
(równanie falowe) 601
— różniczkowe 546
Bernoulliego 552
Bessela 582
, całka 546
, — ogólna 547
, całkowanie 546
Clairauta 554, 595
cząstkowe 546
eliptyczne 596, 598
, postać kanoniczna 597
hiperboliczne 596, 599
, postać kanoniczna 597
hiperbol i«no- eliptyczne
(równanie typu mieszanego) 597
jednorodne 589
liniowe rzędu pierwszego 589
drugiego 596, 598
paraboliczne 596, 599
, postać kanoniczna 597
rzędu pierwszego 592
, całka zupełna 592
quasi - liniowe 589
typu mieszanego (równanie hi-
perboliczno - eliptyczne) 597
ultrahiperboliczne 599
z różniczkami zupełnymi
(równanie Pfaffa) 595
Eulera 570
hiperge o metryczne 586
Lagrange'a 554
Laplace'a, 603, 682
Legendre'a 585
Pfaffa (równanie z różniczkami
zupełnymi) 596
Poissona 682
(równanie teorii potencjału)
603
Riccatiego 552
, rozwiązanie 546
, — osobliwe 547
,rząd 546
samosprzężone 587
sprzężone 608
zwyczajne 546
, całkowanie numeryczne 561
, czynnik całkujący 550
, graficzny sposób
rozwiązywania 561
jednorodne 549
liniowe jednorodne 565
— — , podstawowy układ
rozwiązań 565
niejednorodne 565
Skorowidz
845
równanie różniczkowe zwyczajne
liniowe o stałych współczynnikach 576
rzędu pierwszego 551
drugiego 580
n 565
, zapis operatorowy 507
o współczynnikach stałych 565
zmiennych rozdzielonych 548
rzędu n, rozwiązanie ogólne 563
zupełne 549
— sprzeczne 166
— stopnia pierwszego (równanie
liniowe) 169
drugiego (równanie kwadratowe)
169
trzeciego I7I
czwartego 173
n 174
— telegraficzne 608
— teorii potencjału (równanie Poissona)
603
— transponowane równania całkowego
723
— trygonometryczne 179
— w postaci uporządkowanej 166
— wykładnicze 177
— z funkcjami hiperbol iranymi 179
— z jedną niewiadomą 176
— zwrotne 173
równania fizyki matematycznej 599
— niezależne 195
— parametryczne krzywej w postaci
zespolonej 627
— prostej w przestrzeni 289, 290
— równoważne 166
równolegbbok 211
—, pole 211
równoległo ścian 220
równoleżnik 330
równość Parsevala 588, 760
— potencjałów 670
różnice rzędu pierwszego (pierwsze
różnice) 820
drugiego (drugie różnice) 820
różniczka cząstkowa funkcji wielu
zmiennych 391
— druga funkcji jednej zmiennej 393
— dwumienna 436
— funkcji 391
, interpretacja geometryczna 391
— iloczynu 395
— ilorazu 395
— łuku 303
(element liniowy powierzchni) 333
— pola skalarnego 667
— sumy 394
— zmiennej niezależnej 390
— zupełna funkcji 392
, interpretacja geometryczna 392
rzędu drugiego 393
n 393
różniczki zmiennych 390
różniczkowanie 392
— funkcji 388
uwikłanej 399
— graficzne 401
— pod znakiem całki 509
ruch na płaszczyźnie 258
rura cylindryczna 225
rzeźba funkcji analitycznej 632
rzędna początkowa 261
— punktu 255
rzut płata zorientowanego na płaszczyznę
współrzędnych 540
Sarrusa reguła 186
Schmidta proces ortogonalizacji 747
— szereg 756
Schwarza nierówność 746
secans 116,230
— hiperboliczny 248
Serre - F reneta wzory 329
sfera (powierzchnia kuli) 226, 294
sferoida spłaszczona (elipsoida obrotowa
spłaszczona) 294
— wydłużona (elipsoida obrotowa
wydłużona) 295
siatka izotermiczna 635
signum (znak liczby) 352
silnia, n! 203
— , uogólnienie 205
Simp sona wzór (wzór parabol) 493
sinus 114, 230
— całkowy 465
— hiperboliczny 118, 248
sinusoida 114,232
skala logarytmiczna 146
skale suwaka logarytmicznego 146
skala ry 646
skręcenie, promień 328
— (torsjaj krzywej 328
Snełliusa twierdzenie (wzór sinusów)
239
spirala Archi me des a 133
— hiperboliczna 134
— logarytmiczna 134, 628
stała Eulera 358
statystyczna kontrola jakości 800
— teoria decyzji 799
statystyka matematyczna 773, 799
Stirlinga wzór 204, 821
Stokesa twierdzenie 679
— wzór 544
stożek 226, 296
— , kierująca 296
— obrotowy 226, 296
ścięty 226,
— , wierzchołek 296
stożkowe niewłaściwe 275
— właściwe 275
stopień dokładności przybliżenia 140
— jednorodności funkcji 372

g4(j Skorowidz
stopień równania algebraicznego 166
— wielomianu 195
— wyrazu wielomianu 317
strofoida 122
strumień kola skalarnego 672
— skalarny pola wektorowego 672
— wektorowy pola wektorowego 673
Studenta rozkład 805
Sturma funkcje 176
— twierdzenie 176
Sturma - Li ou vi He'a zagadnienie 587
styczna biegunowa, odcinek 307
— do elipsy 268
hiperboli 270
— — krzywej 304
, kąt nachylenia 306
, kierunek dodatni 305
przestrzennej 323
paraboli 274
— , odcinek 306
— , równanie 325
sukces 778
suwak logarytmiczny 145
, skale 146
, zasady rachowania 149
symbol Kroneckera 746
— Newtona 206
symetria pierwszego rodzaju 761
— drugiego rodzaju 761
— trzeciego rodzaju 761
synteza 772
szereg 376
— Fouriera 754, 759
zbieżny przeciętnie z kwadratem
589
— — — według średnich 754
— funkcyjny 383, 624
, majoranta 385
zbieżny 383.
jednostajnie 383
niejednostajnie 384
, reszta 383
, suma 383
, — częściowa 383
— hipergeometryczny 586
— Lau renta 642
— liczbowy 376
przemienny 380
rozbieżny 376
, suma 376
, wyraz ogólny 376
— — zbieżny 376
bezwzględnie 379
, reszta 376
warunkowo 379
— Macłaurina 414
, reszta 414
, zbieżność 415
— o wyrazach zespolonych 623
—- , suma 623
zbieżny 623
szereg o wyrazach zespolonych zbieżny
bezwzględnie 624
warunkowo 624
— potęgowy 385, 624
, koło zbieżności 624
, odwrócenie 387
i promień zbieżności 385, 624
— Schmidta 756
— von Neumanna 729
— Taylora 642
dla funkcji dwóch zmiennych 415
— — jednej zmiennej 413
— — funkcji wektorowej 658
, reszta 413
, zbieżność 415
szeregi liczbowe skończone 202
sześcian (heksaedr) 220, 223
ścinek walca obrotowego 225
ślimak Pascala 125
średnia arytmetyczna 202, 203
— geometryczna (średnia
proporcjonalna) 203
— kwadratowa 203
średnie odchylenie kwadratowe 816
środek ciężkości łuku jednorodnej
krzywej płaskiej, współrzędne 500
dowolnej figury płaskiej 501
jednorodnego trapezu
krzywoliniowego, współrzędne 501
— krzywizny 310
— odcinka 259
Tabela wartości funkcji, skok 820
tablica o dwóch wejściach 370
tablice liczb losowych 800
tangens 115, 230
— hiperboliczny 119, 248
tangensojda 115
Taylora szereg 642
dla funkcji dwóch zmiennych 415
jednej zmiennej 413
funkcji wektorowej 658
— twierdzenie (uogólnienie twierdzenia
Lagrange'a) 407
teoria estymacji 799
— testowania hipotez 799
test x* 809
testy statystyczne 806
tors ja (skręcenie) krzywej 328
torus 228
tożsamość 155, 166, 196
— Lagrange'a 651
traktoria (traktrysa) 136
transformata funkcji (oryginału) według
Carsona - Heaviside'a 574
według Łapiące'a 575
trapez 212
— , linia środkowa 212
— , podstawy 212
— , pole 212
— , równoramienny 212
Skorowidz
847
trapez, wysokość 212
trochoidy 129
trójkąt 209
—, dwusieczna 209
— , linia środkowa 210
—, ortocentr 210
— Pascaia 207
— , pole 210, 260
— prostokątny 210
— równoboczny 210
— równoramienny 210
— sferyczny, przewyźka sferyczna 246
— , symetralna boku 210
— , środkowa 209
— , wysokość 210
trójkąty podobne 210
— sferyczne 245
trójmian kwadratowy 98
trójścian Freneta 324
twierdzenie Abela 386
— Apollonitisza 268
— Arzeli 747
— Borela 574
— Carnota (wzór cosinusów) 240
— Cauchy'ego 365, 375, 407, 547, 640
— Czebyszewa 436
— Eulera 223, 372
— Fermata 405
— Greena 680
— Guldma pierwsze 501
drugie 501
— Hurwitza 568
— Lagrange'a (twierdzenie o przyroście
skończonym) 406
— Leibniza 380
— Leibniza - Newtona 488
— Liouville'a 632
— Meusniera 335
— de Moivre'a - Laplace'a 779
— o istnieniu całki krzywoliniowej
pierwszego rodzaju 518
drugiego rodzaju 520
— oznaczonej 486
— — podwójnej 526
potrójnej 528
— — powierzchniowej pierwszego
rodzaju 438
drugiego rodzaju 541
funkcji pierwotnej 424
rozwiązania równania
różniczkowego rzędu n 562
— — układu równań
różniczkowych 562
nakładaniu 566, 573
ograniczoności funkcji 366, 375
opóźnieniu 575
oszacowaniu caiki 488
pochodnej funkcji złożonej 395
przestawianiu granic całkowania
486
przesunięciu 575
twierdzenie o przyroście skończonym
(twierdzenie Lagrange'a) 406
residuach 643
rozkładaniu 566
rozkładzie całki 487
rozwinięciu 588
— Ostrogradskiego - Gaussa 679
— o wartości średniej 366, 375, 487
t uogólnione 487
— Pitagorasa 210
— podstawowe rachunku całkowego
(wyrażenie całki oznaczonej przez
nieoznaczoną) 488
— Poissona 778
— Ptolemeusza 211
— Regiomontana (wzór tangensów)
240
— Riemanna 380
— Rolle'a 406
— Snelliusa (wzór sinusów) 239
— Stokesa 679
— Sturma 175
— Taylora (uogólnienie twierdzenia
Lagrange'a) 407
twierdzenia o zbieżności szeregów 377
tworzące 223
Układ charakterystyczny równań
różniczkowych 590, 593
— kanoniczny równań liniowych 187
różniczkowych cząstkowych
593
— normalny równań różniczkowych 570
— ortonormainy funkcji 753
zupełny funkcji 754
— równań algebraicznych 167
liniowych 187
, cecha niesprzecznosci 190
jednorodny 187
niejednorodny 187
niesprzeczny 190, 191
normalnych 813
oznaczony 187, 192
sprzeczny 187, 190
różniczkowych 562
, całka pierwsza 563
— liniowych rzędu pierwszego
O Stałych współczynnikach 570, 572
niejednorodnych rzędu
pierwszego o stałych
współczynnikach 573
rzędu drugiego 574
— współrzędnych biegunowych 255
krzywoliniowych 280
lewoskrętny 279
prawoskrętny 279
prostokątnych 259
— wektorów przyczepionych 646
ślizgających 646
ułamek algebraiczny niewłaściwy 158
właściwy 158

848
ułamki proste 159
Volterry równanie całkowe 714
Walec 224
— eliptyczny 298
— hiperbol i czny 299
— obrotowy 224
ukośnie ścięty 224
— paraboliczny 299
wariacja druga 692
— funkcji 685
wariacje (rozmieszczenia) 205
wariancja 784
warstwa kulista 227
wartość bezwzględna (moduł) funkcji
zespolonej 631
liczby 352
— charakterystyczna jądra (wartość
charakterystyczna równania
jednorodnego) 742
— oczekiwana (wartość przeciętna,
nadzieja matematyczna) 784
wartości własne 587
warunek calkowalności różniczki
zupełnej 523
— dostateczny dla słabego ekstremum
692
— Jacobiego 692
— konieczny zbieżności szeregu 377
— Legendre'a 692
— Lipschiza 547, 562
— monotoniczności funkcji 405
— niezależności całki krzywoliniowej od
drogi całkowania 522
— wystarczający dla słabego maksimum
692
minimum 692
warunki brzegowe 546
— Cauchy - Riemanna 631
— Dirichleta 760
— graniczne (początkowe i brzegowe)
599
— konieczne dla ekstremum 685
— początkowe 546
— wystarczające dla mocnego
ekstremum 693
Webera funkcja (funkcja Bessela
drugiego rodzaju) 583
Weierstrassa kryterium jednostajnej
zbieżności szeregów 384
wektor 646
— , długość 656
— jednostkowy 646
—, koniec 646
— losowy 786
— normalny 761
— początek 646
— , składowe 648
— wodzący 647
— , współrzędne 648
wektor, współrzędne afiniczne 649
— , — kartezjańskie prostokątne 649
— , — kontrawariantne 655
— , — kawariantne 655
wektory, iloczyn mieszany 651, 652
— , — skalarny 650, 652
— , — wektora przez skalar 648
— , — wektorowy 650, 652
— , podwójny 651
— , kąt między wektorami 656
— kolinearne 646
— , kombinacja liniowa 648
— komplanarne 646
— i objętość równoległościanu
zbudowanego na wektorach 656
— , orientacje niezgodne 646
— i — zgodne 646
— , pole równoległoboku zbudowanego
na wektorach 656
— j prawo łączności 650
— , — przemiennosci 650
— , — rozdzielności 651
— przeciwne 646
— , reguły różniczkowania 658
— równe 646
— , różnica 648
— , układ prawoskrętny 650
— , warunek kołinearności 651
— , — prostopadłości 651
—, współczynniki miarowe 652
—, wypadkowa 647
— wzajemne 652
wersor 281, 647
widmo ciągłe 764
wielkość nieskończenie mała 361
rzędu m 362
wielka 361
wielkości nieskończenie małe
równoważne 362
rzędu wyższego 362
tego samego rzędu 361
— skalarne 646
— wektorowe 646
wielokąt 213
— , pole 213, 260
— wypukły 213
foremny 213
wielokąty podobne 210
wielomian 99
— Czebyszewa 244
— , rozłożenie na czynniki 156
— stopnia « 99
trzeciego 99
wielomiany Legendre'a (funkcje kuliste)
585
— względnie pierwsze 157
wiełościan 219
— foremny 222
—, krawędzie 219
—, ściany 219
—, wierzchołki 219
Skorowidz
849
wierzchołki krzywej 313
wirowość (rotacja) pola wektorowego
675, 676
wrońskian 565
wskaźnik sumowania 653
współczynnik kątowy (kierunkowy)
prostej 261
— korelacji 789
współczynniki Fouriera 759
współrzędne cylindryczne (walcowe) 280
— Gaussa (współrzędne krzywoliniowe)
330
— kartezjańskie punktu (współrzędne
punktu) 255
— krzywoliniowe 256, 257
(współrzędne Gaussa) 330
— punktu 255
— sferyczne (kuliste) 280
, długość azymutalna 281
, odległość biegunowa 280
— środka ciężkości 259, 284
bryły jednorodnej 536
płaskiej figury jednorodnej 535
odcinka 284
— walcowe (cylindryczne) 280
wstęga Mobiusa 540
wstęgi charakterystyczne 592
wycinek kołowy 215
, pole 216
— kuli 227
— pierścienia kołowego, pole. 216
wyłączanie czynnika przed znak
pierwiastka 162
wyrażenie algebraiczne 155
—• — , parametry 155
— całkowite wymierne 155, 156
— niewymierne 155, 161
— logarytmiczne 156, 163
— ułamkowe wymierne 155, 158
— wykładnicze 155, 163
■, działania 163
wyróżnik równania kwadratowego 169
wyznacznik stopnia n 183
— , elementy 183
— , kolumna 183
— układu równań 187
— , wiersz 183
wzór d'Alemberta 601
— Bessela 821
— Bayesa 776
— Cardana 171
— cosinusów (twierdzenie Carnota) 240
— Eulera 335, 624
— Greena 544, 680
— interpolacyjny Lagrange'a 818
— Kirchhoffa 601
— Leibniza 397
— Ljouvilie'a 566
— de Moivre'a 251, 621
dla liczb zespolonych 235
— na rozkład Heaviside'a 576
wzór na prawdopodobieństwo całkowite
776
— parabol (Siropsona) 493
przekształcenie odwrotne 574
— Poissona 601
— Ostrogradskiego 433
— Ostrogradskiego - Gaussa 545
— prostokątów 492
— rachunku całkowego 640
— sinusów 247
(twierdzenie Snelliusa) 239
— Stirłinga 204,821
— tangensów (twierdzenie Regiomonta-
na) 240
— trapezów 492
— Stokesa 544
wzory Bessela 769
— całkowe Cauchy'ego 640
— cosinusów 247
— Cramera 187
— empiryczne 315
— Eulera 759
uogólnione 625
— na przejście od jednego układu
współrzędnych do innego 664
— ■— skrócone dzielenie 157
— mnożenie 157
— Nepera 240
— Newtona 821
—■ przybliżone 144
— redukcyjne 232
— Serre - Freneta 329
— trygonometryczne 234
Zadanie o krzywych geodezyjnych 684
zagadnienie brzegowe 586
jednorodne 587
niejednorodne 587
— Cauchy'ego 591
— Dirichleta 607, 682
— izop ery metryczne 709
— linii geodezyjnych 706
— odwrotne do zagadnienia
wariacyjnego 695
— sformułowane w sposób poprawny
599
— Sturma - Liouville'a 587
— wariacyjne w postaci wariacyjnej 697
zamiana współrzędnych prostokątnych
na biegunowe 258
— zmiennych w wyrażeniach
różniczkowych 402, 403
zaokrąglam e 140
zasada porównywania szeregów o
wyrazach dodatnich 377
zbiór ciągły 342
— krytyczny 807
—■ spójny 346
nieograniczony 346
ograniczony po obu stronach 346
od strony lewej 346

850
Skorowidz
zbiór spójny ograniczony od strony
prawej 346
— uporządkowany 341, 342
— wszędzie gęsty 341, 342
zdarzenie losowe 773
niemożliwe 744
pewne 774
przeciwne 774
zdarzenia losowe, iloczyn 774
, suma (alternatywa) 774
niezależne 776
rozłączne (wyłączające się) 774
zera funkcji analitycznej 632
zloty podział odcinka (podział odcinka
w stosunku skrajnym i średnim) 203
zmienna losowa 781
ciągła 781
zmienna losowa dwuwymiarowa 786
o rozkładzie dwumianowym (Ber-
noulliego) 782
skokowa (dyskretna) 781
— — standaryzowana 785
— niezależna 346
zmienne losowe nieskorelowane 789
niezależne 786, 787
— rozdzielone 549
znajdowanie ekstremów funkcji 412
— maksimów i minimów funkcji danej
w postaci uwikłanej 411
znak liczby (signum) 352
Źródło, intensywność 681
—, pole 681
SPIS RZECZY
Przedmowa 5
Oznaczenia matematyczne 7
Alfabet grecki 10
Część pierwsza
TABLICE I WYKRESY
I. Tablice
A, Tablice funkcji elementarnych
1. Niektóre często spotykane "stałe 13
2. Kwadraty, sześciany, pierwiastki .".... 14
3. Potęgi liczb całkowitych (od n = 1 do n = 100) 41
4. Odwrotności , 44
5. Silnie 1 ich odwrotności 47
6. Niektóre potęgi liczb 2, 3, 5 48
7. Logarytmy dziesiętne 48
8. Antylogarytmy 51
9. Funkcje trygonometryczne 55
10. Funkcje wykładnicze i hiperboliczne oraz funkcje trygonometryczne
(dla x od 0 do 1,6) 59
11. Funkcje wykładnicze (cd.) (dla x od 1,6 do 10) 64
12. Logarytmy naturalne 67
13. Długość okręgu 0 średnicy d 70
14. Pole koła o średnicy d 73
15. Elementy odcinka kołowego 76
16. Zamiana Stopni kątowych na radiany 82
17. Poprawki proporcjonalne 84
18. Tablica interpolacji kwadratowe' . 86
B. Tablice funkcji specjalnych
19. Funkcja gamma 87
20. Funkcje walcowe Bessela 88
21. Wielomiany Legendre'a 91
22. Całki eliptyczne 92
23. Całka prawdopodobieństwa 94
24. Rozkład %* * rozkład t Studenta 96
U. Wykresy
A. Funkcje elementarne
1. Wielomiany . . , . t 98
2. Funkcje wymierne ułamkowe 101
3. Funkcje niewymierne . . 106

852
Spis rzeczy
4. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne 109
5. Funkcje trygonometryczne 114
6. Funkcje cyklomettyczne .... 117
7. Funkcje hiperboliczne 118
8. Funkcje odwrotne względem hiperbolicznych 119
B. Ważniejsze krzywe
9. Krzywe stopnia trzeciego 121
10. Krzywe stopnia czwartego 123
11. Cykloidy 128
12. Spirale 133
13. Niektóre inne krzywe 136
Część druga
MATEMATYKA ELEMENTARNA
I. Obliczenia przybliżone
1. Zasady rachunku przybliżeń 139
2. Wzory przybliżone 144
3. Suwak rachunkowy 145
II. Algebra
A. Przekształcenia tożsamościowe
1. Pojęcia podstawowe 155
2. Wyrażenia całkowite wymierne 156
3. Wyrażenia ułamkowe wymierne 158
4. Wyrażenia niewymierne 161
5. Wyrażenia wykładnicze i logarytmiczne . . . 163
B. Równania
6. Porządkowanie równań algebraicznych 166
7. Równania stopnia pierwszegOj drugiego, trzeciego i czwartego , . . 169
8. Równania stopnia n 174
9. Równania przestępne 177
10. Wyznaczniki - 183
11. Rozwiązywanie układu równań liniowych 187
12. Układ równań wyższych stopni 195
C. Wiadomości uzupełniające algebrę
13. Nierówności 196
14. Postępy, szeregi skończone i wartości średnie 201
15. Silnia i funkcja gamma 203
16. Kombinatoryka 205
17. Dwumian Newtona 206
III. Geometria
A. Planimetria
1. Figury płaskie ....... ... ... . . 209
B. Stereometria
2. Proste i płaszczyzny w przestrzeni 216
3. Kąty dwuścienne. Kąty bryłowe 217
4. Wielościany 219
5. Bryły krzywopowierzchniowe 223
Spis rzeczy $53
IV. Trygonometria
A. Trygonometria płaska
1. Funkcje trygonometryczne 229
2. Podstawowe wzory trygonometrii 234
3. Harmoniki 237
4. Rozwiązywanie trójkątów 239
5. Funkcje cyklometryczne (odwrotne funkcje trygonometryczne) . . . 242
B. Trygonometria sferyc2na
6. Geometria na powierzchni kuli .... 244
7. Rozwiązywanie trójkątów sferycznych 246
C. Trygonometria hiperboliczna
8. Funkcje hiperboliczne 248
9. Związki między funkcjami hiperbolicznymi 249
10. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych 252
11. Geometryczne określenie funkcji hiperbolicznych ...... 253
Część trzecia
GEOMETRIA ANALITYCZNA I GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
L Geometria analityczna
A. Geometria na płaszczyźnie
1. Podstawowe pojęcia i wzory 255
2. Prosta . . »...'* 260
3. Okrąg kola .•.....' 265
4. Elipsa 266
5. Hiperbola 269
6. Parabola 273
7. Krzywe stopnia drugiego (stożkowe) 275
B. Geometria w przestrzeni
8. Podstawowe pojęcia i wzory 278
9. Płaszczyzna i prosta w przestrzeni 286
10. Powierzchnia stopnia drugiego — równania kanoniczne .... 291
11. Powierzchnie stopnia drugiego (ogólna teoria) 299
IL Geometria różniczkowa
A. Krzywe płaskie
1. Sposoby wyznaczania krzywej 302
2. Lokalne elementy krzywej 303
3. Punkty specjalnych typów 311
4. Asymptoty 316
5. Ogólne badanie krzywej na podstawie jej równania 318
6. Ewoluty i ewolwenty 319
7. Obwiednią rodziny krzywych 320
B. Krzywe przestrzenne
8. Sposoby określenia krzywej 322
9. Trójscian Freneta 323
10, Krzywizna i skręcenie (torsja) krzywej skośnej 327

J 54 Spis raeczy
C. Powierzchnie
11. Sposoby wyznaczania powierzchni 329
12. Płaszczyzna styczna oraz normalna do powierzchni 331
13. Element liniowy powierzchni 333
14. Krzywizna powierzchni 334
15. Powierzchnie prostokreślne i rozwijalne 338
16. Linie geodezyjne na powierzchni 338
Część czwarta
PODSTAWY ANALIZY MATEMATYCZNEJ
I. Wstęp do analizy
1. Liczby rzeczywiste 341
2. Ciągi i ich granice 343
3. Funkcje jednej zmiennej 346
4. Granica funkcji 354
5. Wielkości nieskończenie male 361
6. Ciągłość i punkty nieciągłości funkcji 362
7. Funkcje wielu zmiennych 367
8. Szeregi liczbowe 376
9. Szeregi funkcyjne 383
II. Rachunek różniczkowy
1. Pojęcia podstawowe 388
2. Technika różniczkowania 394
3. Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych 402
4. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego ■ . 405
5. Znajdowanie maksimów i minimów funkcji 408
III. Rachunek całkowy
A. Całki nieoznaczone
1. Podstawowe pojęcia i twierdzenia 423
2. Ogólne reguły całkowania 425
3. Całkowanie funkcji wymiernych 428
4. Całkowanie funkcji niewymiernych 434
5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych 438
6. Całkowanie innych funkcji przestępnych 440
7. Tablice całek nieoznaczonych 441
E. Całki oznaczone
8. Podstawowe pojęcia i twierdzenia 484
9. Obliczanie całek oznaczonych 489
10. Zastosowania całek oznaczonych 495
11. Całki niewłaściwe . 502
12. Całki zależne od parametru '. 509
13. Tablice niektórych całek oznaczonych 511
C. Całki krzywoliniowej wielokrotne i powierzchniowe
14. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju (całki po luku krzywej) . . 517
15. Całki krzywoliniowe drugiego rodzaju (całki wzdłuż rzutu i całki
ogólnej postaci) 519
16. Całki podwójne i potrójne 526
17. Obliczanie całek wielokrotnych 528
Spis rzeczy
855
18. Zastosowania całek wielokrotnych • 535
19. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju (całki po płacie
powierzchniowym) 537
20. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju (całki po rzucie płata) . . 540
2*. Wzory Stokesa, Greena i Ostrogradskiego -Gaussa 544
IV. Równania różniczkowe
1. Pojęcia ogólne 546
A. Równania różniczkowe zwyczajne
2. Równania rzędu pierwszego 547
3. Równania wyższych rzędów oraz układy równań 562
4. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach 2°7
5. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 570
6. Metoda operatorowa rozwiązywania równań różniczkowych . . . 574
7. Równania liniowe rzędu drugiego 58°
8. Zagadnienia brzegowe 586
B. Równania różniczkowe cząstkowe
9. Równania rzędu pierwszego 589
10. Równania liniowe rzędu drugiego 596
Część piąta
DODATKOWE ROZDZIAŁY ANALIZY
I. Liczby zespolone 1 funkcje zmiennej zespolonej
1. Pojęcia podstawowe 617
2. Działania algebraiczne na liczbach zespolonych 619
3. Blememame funkcje przestępne 623
4. Równania krzywych w postaci zespolonej 627
5. Funkcje zmiennej zespolonej 629
6. Najprostsze odwzorowania konforemne 635
7. Całki w dziedzinie zmiennej zespolonej 638
8. Rozwinięcie funkcji analitycznych w szeregi potęgowe .... 642
II. Rachunek wektorowy
A. Algebra wektorowa i funkcje wektorowe skalara
1. Pojęcia podstawowe 646
2. Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy wektorów 650
3. Współrzędne wektore kowariantne i kontrawariantne 655
4. Zastosowania geometryczne algebry wektorowej 656
5. Funkcja wektorowa zmiennej skalarnej 657
B. Teoria pola
6. Pole skalarne 659
7. Pole wektorowe 661
8. Gradient 666
9. Całka krzywoliniowa i potencjał w polu wektorowym 668
10. Całki powierzchniowe 671
11. Różniczkowanie przestrzenne 674
12. Rozbieżność pola wektorowego 975
13. Wirowość pola wektorowego 675
14. Operator Hamiltona p, operator (ap) i operator Laplace'aJ .... 677