ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДБМИ MkJK СССР<М0С!ОДгАНПШЭД

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
Лекции 1866—1857 гг.
По записям М. П. Авенариуса
и неизвестного слушателя
РЕДАКЦИЯ ЗАПИСОК И ДОПОЛНЕНИЯ
проф. М. К. Нуренского
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК. ССОР
МОСКВА 1986 ЛЕНИНГРАД

Напечатано по распоряжению Академии Наук СССР
Июль 1936 г.
Непременный секретарь академик И, Горбуно$
Редактор издания М. К. Курене к и й.
Техн. ред. С. Л. Шабуневич. — Ученый корректор Е. ^В. Ростовцева.
Сдано в набор 16 марта 1936 г. —Подписано к печати 31 июля 1936 г.
197 отр. (8 фиг.).
Форм. бум. 72 X НО см. —12% Печ. л. — 21.75 уч.-авт. л. — 71010 тип. зн. — Тираж 5200.
Ленгорлит № 1665а — АНИ № 1250. — Заказ № 625
Типографии Академии Наук СССР. Ленинград. В. О., 9 линия, 12

ПРЕДИСЛОВИЕ
Лекции, опубликованные в этой книге, П,_Д. Ч?бышев читал
в Петербургском университете 80 лет тому назад.
Вторая половина их, начиная с § 12, была каллиграфически
записана М. П. Авенариусом, оставленным впоследствии одновременно
с А. Н. Коркиным при Университете, .ставшим профессором физики
в Киевском университете и членом-корреспондентом Академии Наук.*
Будучи студентом, Авенариус, поввдимому, отдавал предпочтение матвг
матике, и лишь впоследствии перешел на физику: его кандидатская
„диссертация по кафедре чистой математики", под названием: „0
наибольших и наименьших величинах"., как свидетельствует об этом
собственноручная на ней надпись декана факультета, акад. В. Я. Вуняковского,
была удостоена почетного отзыва*.
Первая половина курса высшей алгебры Чебыгл?ва записана была
рукою неизвестного слушателя, небрежного, мало понимавшего содержание
лекций, как об этом говорит ряд грубых ошибок в его тетради, и не
интересовавшегося этими лекциями: его тетрадь очутилась у Ав?нариуоа.
Все эти записи Авенариус сохранял около 40 лет, до самой своей
смерти в 1895 г. Тетради сберегли его дочери, учительницы одной яв
киевских женских гимназий, покойные уже Н. М. Авенариус и В. М.
Авенариус, а затем передали их мне около 16 лет тому назад.
При подготовке лекций Чебышева к печати, мне пришлось уделять
главное внимание первой их части. Вторая часть, записанная
Авенариусом и распределенная на лекции, как их читал знаменитый ученый и
педагог, потребовала весьма незначительных поправок. Каждое слово
или фраза, каких нет в оригинале или какие заменены другими, либо
как неправильные, либо для большей ясности, либо по требованиям
* В Петербургском университете, как рассказывал об этом Коркин акад. А. Н.
Крылову, числилось в это время всего 300 студентов, на всех курсах и факультетах.
На одном курсе с Коркиным* значилось всего только 5 студентов-математиков.
Из них трое были оставлены при университете и сделалась профессорами:
Авенариус, Коркин и Красновский. Окончил еще один, а один студент был уволен.
Лекции по математике чатали: Ч!?бышев (прямолинейная и сферическая
тригонометрия, аналитическая геометрия и высшая алгебра) и Вуняковский
(дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и интегрирование дифференциальных
уравнений). Эти лекции тщательно записал и сохранил Авенариус.
1*

4 Предисловие
грамматики и синтаксиса русского языка и для замены славянских
слов, — ваключены в прямые скобки. Разбивка на параграфы, их заглавия,
а также примечания сделаны мною.
Лекции Чебышева, надеюсь, окажутся полезными в первую очередь
техникам и инженерам, имеющим в виду вычислительную сторону дела
и ожидающим от курса высшей алгебры способов, как надо находить
приближенные корни алгебраических уравнений любых степеней,—
практическая сторона подчеркивается ж в лекциях Чебышева. Затем
лекции Чебышева представят особенный интерес для педагогов и
студентов-математиков, обучающихся, главным образом, в педагогических
институтах, так как они знакомят с тем, как надо преподавать, ясно,
кратко и вместе с тем полно иэлагая сущность дела, выясняя ее и
подробными теоретическими выводами и характерными примерами.
Вопросы, не затронутые в курсе Чебышева й в то же время
достаточно важные для решения уравнений, а в частности, для решения
систем линейных уравнений, в особенности нужные, если смотреть на
настоящую книгу как на начальный учебник по высшей алгебре,—
собраны в моих „Дополнениях" к курсу высшей алгебры Чебышева.
Значительную часть этих „Дополнений" занимает теория определителей
и их приложений в алгебре. В отношении теории определителей надо
иметь в виду то обстоятельство, что в то время, когда читались Чебы-
шевым его лекции, теория определителей только лишь начала
затрагиваться университетским преподаванием: существовал один только
систематический курс теории определителей Бриоски, изданный в 1864 г.
по-итальянски, а в год чтения лекций Чебышева переведенный на
французский язык. За истекшие 80 лет теория эта значительно разрослась.
Наибольший среди „Дополнений" п° XVI содержит сведения ив теории
определителей, появляющиеся на русском языке как будто впервые.
Курс высшей алгебры Чебышева не требует от читателя знания
дифференциального и интегрального исчислений: необходимые для
изложения алгебры сведения даются с надлежащими выводами в самом курсе.
Этот же принцип проведен и на протяжении „Дополнений". Исключение
составляют лишь некоторые из примечаний и заключительные страницы
последних двух п°п°Х1Х,ХХ, где речь идет об определителях Вронского
и: Якоби, весьма важных для решения некоторых и теоретических и
практических задач высшей алгебры.
Чтобы книга могла служить также учебником по высшей алгебре
для вуэов и втузов, в конце ее помещено 100 примеров и задач по
различным вопросам алгебры. Значительное большинство этих примеров
и задач позаимствовано из других книг.
„Дополнения" взяты из моих лекций по высшей алгебре, читанных
на одном иа факультетов Киевского университета (Высшего института
народного образования) в 1930 г. и адъюнктам Артиллерийской
академии РККА в Ленинграде в 1935 г.

Предисловие ' 5
Лекции Чебышева по высшей алгебре появляются в печати
вследствие интереса к ним акад. А. Н. Крылова, опубликовавшего в этом году
лекции Чебышева по определенным интегралам, разностному исчислению
и теории вероятностей, и благодаря заботам А. Н. Крылова об издании
этой книги. Я весьма рад возможности выразить здесь глубокоуважаемому
Алексею Николаевичу самую искреннюю благодарность.
Ленинград, 10 марта 1936 г.
Ж. Куренский.

§ 1. Решение в радикалах алгебраических уравнений. Высшая
алгебра имеет предметом исследования решение уравнений высших
степеней.
Эти уравнения могут заключать одно, два, три и более неизвестных,
но так как, помощью исключения, всегда можно вывести уравнение
с одним неизвестным, если число уравнений равно числу неизвестных,
то в высшей алгебре большею частью ж рассматриваются уравнения
первого рода—[с одним неизвестным].
Так как [в высшей алгебре] вопрос о решении уравнений
разбирается в общем виде, то то, на что в элементарной алгебре только
указывается, те свойства уравнений, которые там выведены, — все это в
высшей алгебре объясняется вполне, и эти свойства составляют частный
случай ее правил.
В начальной алгебре решение уравнений составляло совокупность
известных элементарных действий: сложения, вычитания, умножения,
деления, возвышения в степень и извлечения радикалов. Здесь оно
составляет особое самостоятельное действие. Если назовем действие,
необходимое для [получения] выражения
Ахт-ь-?хп+Сх1-л- .. .+Й + 5;
составлением полиномов, то действие, обратное этому, будет решение
уравнений.
В начальной алгебре [занимаются] решением уравнений первых
двух степеней. Для решения уравнений 1-й степени не требовалось
больше первых четырех действий. В [решении] уравнений 2-й степени
появилось извлечение радикалов. Подобным образом могут быть решены
уравнения 3-й и 4-й степеней. Но, несмотря на усилия лучших
математиков, решения уравнений высших степеней не могли быть приведены
к этим действиям.
Да и отчего же можно надеяться, что всякое уравнение может быть
приведено к виду
Ах™-*- Б=0 ?
Теперь мы можем строго доказать, что уравнения высших степеней,
кроме частных случаев, не могут быть приведены к извлечению
радикалов. Этим доказательством мы обязаны норвежскому математику Абелю.

8 П. Л. Чвбышев—Высшая алгебра
Поэтому решение уравнений и рассматривают как особое действие-
Это-то действие и его свойства мы-и должны будем изучать в высшей
алгебре.
Прежде чем приступить к решению уравнений, мы должны будем
дать несколько предварительных понятий и доказать некоторые т?оремыг.
относящиеся к этому действию.
§ 2. Алгебраические функции и их классификация. Функцией в
высшем анализе называют всякое аналитическое выражение, состоящее из
соединения, посредством [знаков] математических действий, количеств:
постоянных, п?рем?нных3 иэвестных и неизвестных. К слову „функция"
обыкновенно прибавляют ту букву, на которую обращается особенное-
внимание.
Так, например, [говорят]: функция [от] #, у: #, ... а7 Ъ.
Для знака „функция" употребляют буквы:
/, F, Ф, X, W, о, ?
и т.д. Если надо говорить о многих функциях, то ставят при одной
и той нее букве знаки для различия [функций]:
Таким образом F(x) будет обозначать функцию от ж; F{y)— [это]
функция от у) F(#)— функция от #. Совершенно одинаковым образом
[записывают] функцию ср (х} у, $) [как] функцию от ос, #, я.
Функции [алгебраические] можно разделить на рациональные и
иррациональные. Первого рода функции — [это] такие, в которые не входит
извлечение корней из той буквы, на какую обращается особенное внимание.
Иррациональными называются такие, в которые оно входит.
Так,
і' ахт -+- Ьхт~ 1 -+- .., н- jfos2 _+_ іх -+- п
а' хкіч~ Ь' ж*1™1 -+- ... -+¦ рх% -+• qx•+• г
будет функция рациональная, [когда &2 и т — числа целые
положительные], а
\/1 — х1
есть функция иррациональная.
Функции рациональные разделяются на [такие].
1) Целые^ когда главная буква функции [если и может входить в
знаменатель, то только с отрицательным показателем" степени];*
следовательно, в целой функции она возвышается лишь в целые положительные-
степени.
* Здесь заменена фраза с тремя отрицаниями „не" и с пояснением ее другой
фразой в скобках.

Основные свойства целой функции 9
2) Дробные, содержащие эту букву ила о отрицательным
показателем, или [имеющие ее] в знаменателе (в соединении с членами, какие
содержат целые положительные ее степени).
Так,
7х
1 + й
будет целая функция от #, а
Ьх*
1 н- х
[есть] дробная.
Общий вид. целой функции [таков]:
Axm-+-Bxn-*-Lxl-\~.. ,+Za^,
а дробной — [таков];
Лхт н- Да?" -+ Lxl н- .., -н Exs ^
А' х* -f- Б' а>& -ь X' жТ н- ... -н Я' xG*
Мы будем заниматься, в особенности, целыми функциями.
Итак, наша задача состоит в решении уравнения
F{z) = 0,
[где F(x) обозначает целую функцию].
§ 3. Основные свойства целой функции. Рассмотрим некоторые
свойства целой функции. Положим, что мы имеем
(1) F(x) = ахт+ Ъх™'1 ~н схт~2 -+-...-*- hxm~k.
Мы говорим, что всегда мооюно дать [положительному] х такую малую
величину, что знак [функции] F(x) будет затеешь от знака тюследнего члена
с наименьшею степенью х, а именно — от А#т~^. . -
Напишем функцию от х так:
(2) hxm-k№xk+^xk-i + fxk-* + ... -ні),
где член hxm~^ мы вынесли за скобки с его знаком. Для того, чтобы
знак F{x) был одинаков со знаком этого члена, необходимо, чтобы
количество, заключенное в скобках, было положительно. Обозначим через L —
[положительный] наибольший из коэффициентов
а Ъ с
Т' Т' Т5 ' ' "
Тогда можно было бы сказать, что
так как х положительно.

10 П. Л. Чебышев — Высшая алгебра
Следовательно, если бы выражение
— Lxk — Lxk~^ — ...ч-l
было положительным, то и выражение
было бы также положительным. Но, чтобы первое было положительным,
[т. е. чтобы было]
— Lxk — LaP-1 — Lxk'2 — ... -ь1>0,
[надо иметь]
4 у V 1-я / 1-й; 1-я
Но если
!>?•!—
— 5
ТО
l>2i.teIf*2'M
1—д;
потому что [для L положительного и для х положительного малого,
когда #<1, всегда будем иметь]
Следовательно, для соблюдения нашего условия достаточно, чтобы
было
¦^ 1 — х
откуда
(3) *<ТТГ
Поэтому #, оставаясь менее предела (3), пока не достигнет нуля,
будет означать зависимость знака функции от знака члена с наименьшей
степенью, т. е. если
*<\hi и х>0>
то этот член будет большим суммы всех прочих членов целой функции
от х.
В этой же функции можно взять х таким большим, что член с
наибольшею степенью х превзойдет сумму всех прочих, или, что то же, знак F{$)
будет одинаков со 8наком этого члена.
Это можно доказать совершенно таким же образом. Но, чтобы не
приводить особого доказательства, положим в F(x):
х = #~*.

Модуль и аргумент комплексной величины ±%
'Тогда F{x) обратится в следующую [функцию от е]:
FQr1) = az'm н- bz~m+l н- с#~т+2 -+- ... -+- &*-«•**
где член о наименьшей ст?яеныо & будет а#~т. Мы знаем, что если
¦возьмем
где «г есть предел малости я, то а?~т превзойдет сумму всех прочих. Но
і_
х
и следовательно, при
x>N
внак члена ахт в F(x) будет и знаком самой [функции] F(x).
§ 4. Модуль и аргумент комплексной величины. Примеры. Теперь
мы будем говорить о действиях над комплексными* величинами, и в
особенности постараемся доказать, что все элементарные действия над ними
приводят к результатам вида
А + В\/^Л.
Комплексную величину такого рода приравнивают [выражению]
#
.й(со8<р-*-\/—1 sin©),
т. ?. пишут
(4) А-*-В \/— 1 = В (cos ф -+- V—1 sin ф),
где R есть величина действительная, не меньшая О, а угол ф заключается
между О и 2х.
Но можно ли приискать такие В и <р, чтобы равенство (4) было
справедливо?
Легко убедиться в ©том, [а также и в том], что уравнению
удовлетворяют одно В и одно <р.
Здесь особенно важны: величина В} называемая модулем комплексного
выражения A -t- В \/— 1, и понятие об огромности этой величины.
Найдем теперь В и ф по известным А и JS. Мы замечаем, что
равенство (4) распадается на два:
А —В cosy
В = В sin ф,
откуда, после возвышения в квадрат и сложения, получим
i2 + F=В2 (cos2 о ч- sin2 ф),
>
* Термин „мнимая" величина для А-*-В V—1 заменён общеупотребительный
теперь термином „комплексная"; оставлено название „мнимой" для того частного
случая, когда А = 0.

12 П. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
или
В=\іА*-+В*у
а при деления [будем иметь]
или
, В
<p = aTctg.j-
Для величины В мы не пишем перед радикалом знака, потому что
В^>0 по условию.
[Из выражения для] величины В видно, что для того, чтобы В было-
равно нулю, нужно, чтобы.Л и В равнялись нулю. [Далее],
, В
arctg-j
имеет такие две величины:
0Л И On -+- -К.
Для того чтобы узнать, которая ив этих величин удовлетворяет
уравнению (*4), заметим, что
cos о имеет одинаковый знак с Л
sin q> „ „ „ „ 5.
Следовательно, [если] уравнению
, В
удовлетворяет [дуга] <р0, удовлетворяющая [также указанным двум
условиям], то она и есть настоящая; когда же ю0н-тс [удовлетворяет этим
условиям], то нужно брать последнюю [дугу].
[Поясним] это несколькими примерами.
Примеры.
1°. Пусть
Л = 1-3 5=1.
Следовательно,
откуда
Далее,
tg<p=l,
а потому
<р = 46°, или ф = 46° -+-180° = 226°.
Но так как cos ср, имеющий одинаковый знак с А} должен быть
положительным, а также и sin<p [тоже положительным], то © должно заключаться
между 0° и 90°. Следовательно,
о = 45°.

Алгебраические действия с комплексными величинами 13
Поэтому
А-\~ Б \/^Л~ 1 -н \J^l — \J2 (соз45°-н \/^1 sin45°).
2°. Пусть
.4 = 1; В = —1.
Следовательно,
А^В^Л = 1 — yf^l.
Тогда
В=у/2) tg? = —1,
поэтому
9 = у-*-т; ср^=13б° или ? = -н-т = 27с—т; ?=315°.
Но так как sin ср должен быть отрицательным, a cos <р— положительным,
то
? = 3150.
Итак,
A-+~B\j—1 = 1 — \j— 1 = V2(oos3160-i-v'— 1 sin 315°).
3°. Пусть
.4 = —1; 5 = 1.
Поступая точно так же, получим
_ і _*_ yfZl — ^f (cos 135° -+- V111! sin 135°).
4°. Если
-4== —1; .3=0,
то
tg? = 0.
Следовательно,
<р = О, нлп ф = 180е.
Но cos <p отрицателен, поэтому
9 = 180°.
Очевидно, і?==1, и потому
_1 ч-О • V—l = cos 180°-ь \J— 1 sin 180°.
Подобным образом всегда можно находить величины і? и о
комплексных выражений. Первая величина, [как уже было сказано],
называется модулем, а вторая — аргументом комплексной величины.
§ 5. Элементарные алгебраические действия с комплексными
величинами. Возьмем теперь два подобных уравнения:
1-нВ V—l = J?(coS9.-+-V—lsincp)
А'+ В' V—1 = Я (cos с/ -+- V=l sin ?')•

14 27. Л. Чебыше? — Высшая алгебра
Перемножим их:
(Л -+- В \И) (А! ч- В! \/^1) = RR> (со&9 -ь V=I sin <p) (cos 9' -+- V117! sin 9'),
или
(А _н Б y/_ 1)(л _,_ jy ^_i) = дд' [oos (? _+_ ?') + у/_г sin ( _,_ /^
Следовательно, при умножении, с модулями нужно делать то, что
требуется сделать с комплексными величинами, а с аргументами нужно -тступатъ*
подобно тому, как ?то делается с логарифмами.
Возьмем еще третье подобное [равенство]
Л>ч~ ^_і js*_ B*(cos <р"ч- V—1 sin o"J
ж помножим его на полученное произведеное:
{А + В\[—Т)(А!ч-В'\1— і)(-4"-*--Б"\/— 1) =
= Ш В" [cos (9 -*- ?' -+- 9") -+- V111! sin (<р н- <р' -н ?")] *
Если бы мы взяли т [одинаковых] множителей, то получили бы
(Ач-В у/—1 )m—Rm(cos m<p-+- V—1 sin*и<р),
т. е. «2Ж возвышении в степень комплексного количества модуль также
возвышается в степень, а аргумент множится на показатель степени; здесь с ним
опять поступают так же, как и о логарифмом.
[Можно убедиться в справедливости того, что в последней формуле] *
т может быть ж дробным.
Разделим одно комплексное выражение на другое:
А-+-В^—1 It cos 9 -+¦ V— 1 sin 9
cos в' -ь V— 1 sin a'
Помножим числитель ж знаменатель на
cos 9' — V~T sin о'.
Тогда получим
А -*- В V— 1 7? cos 9 * cos 9' -+- sin <p • sin <p' •+- V— 1 (sin 9 • cos 9' — cos 9 • sin 9')
А'ч-BW^i R' cos2 * 9'-*-sin2 9'
отсюда
Ач-B^l It
= jp [cos (9 — ©') -+- V—1 sin (? — <?')]•
^L' -+- J5' V— 1 *
Мы видим, что при делении, опять с модулями поступают [так], как
с комплексными величинами, а с аргументами — как с логарифмами.
* Справедливость формулы при т дробном не доказана, а принята.
Справедливость формулы для т отрицательного и дробного доказывается в лекциях Чебышева
по тригонометрии. В этом году, возможно, их удастся опубликовать.

Алгебраические действия с комплексными величинами 15
Очевидно, что при сложении и вычитании прежние правила
касательно сходства с логарифмами не имеют места.
Что касается суммы комплексных величин, то она будет не более B~\-Bf
и будет не м?н?? В— В}. А это очень важно, потому что [отсюда
вытекает]: бесконечно малому приращению комплексной величины будет-
в этом случае соответствовать бесконечно малое приращение модуля.
[Для доказательства] возьмем два комплексные выражения:
і + 5 \1— 1 = В (cos 9 -ь V—1 sin 9)
А1 -+- В 'у/^Л = -K'(cos <р' -+¦ V—1 sin 9О;
сложим их в получим
Р-ьф \/— 1 = Д) (со9 4* -+- V—1 віпф),
где
В=А + А>- Q = B-+-Br.
Вставим [сюда] вместо А и А!, В и Bf их [выражения через модуль и
аргумент]. Получим:
Р= В cos ср -ь В' cos ф'
§ = В sin о н- і?' sin о'.
Возвысим оба уравнения в квадрат и сложим:
Р2 -*- $2 = Б2 н- В1г ч- 2ВВ' (cos о cos 9' -+- sin 9 sin <p'),
т. ?." [для модуля суммы В0 имеем]
JR02 = і?2 -н ЖВ' cos (9 — ?') -ь SK
Но cos (9 — 9О н? ыож?т быть меньше — 1 [и больше -4-1], потому что -+-1
и —1—это пределы, между которыми заключается косинус, ж
следовательно,
JR02 не >В2 + 2ВВ' + В'% или Я02 не >(B + iJ')2
'В* „ <2Р-2Д«'ч-В'а, „ Д02 п <(Л —Л02і
т. ?.
J?0 не >5+5'; і?0 не <Л —Ж
Следовательно, В ж В! [могут рассматриваться как] две стороны
треугольника, третья сторона которого есть В0.
[То], что сказано о сумме комплексных величин, можно применить
и к разности. Вычтем одну комплексную величину из другой. Тогда у нас
в остатке получится
Р0-і-доу/=1,
где
Рй = Л-А'; Q0 = B-JBi
и [модуль разности В0 запишется]
Д02 = Р02н-&2.

16 П. Л. Чебышев— Высшая алгебра
Итак,
Р0 = А — А' = В cos <р — Bf cos 9'
^0=B~5/ = JRsin(p — 2?'sin 9'.
Возвыоим в квадрат и сложим:
Р02 _н ?02 = (Л cos 9 — В1 cos 9')3'-*- (Д sin о — В' sin 9O*
Р02 -+- Q* = Д02 = Б2 сов2 9 — 2i?i?' cos 9 • cos 9' -+- В'2 cos2 9' ¦+-
-*- Д2 sin2 9 — ШВ1 sin 9 • sin 9' -+- B/2 sin2 9',
т. e.
JS02 = Д3 — 2JJ.R' cos (9 — 9O -+- Д/2.
Следовательно,
Л0 = Л -и JB' при cos (9 — 9') = — 1
и
B0 — B — B! n cos (9 —9') = 1.
[Таким образом] и здесь пределами для В0 будут
R + R' и Б —Ж
Если у меня будет более двух комплексных выражений
(5) Ач~В\/— 1, модуль которого iJ
(6) ^'+3'V=I я „ в
(7) А«-*-&уі—1 „ „ ' JT,
то, складывая первые два [выражения], получим
(8) А0 •+- і?0 V—I, модуль которого і?0,
где -К0 заключается между пределами
В + В' и ±(В — В').
Мы пишем [в последнем выражении] плюс или минус, потому что В0
должно быть положительным, а мы не знаем, который из модулей больше:
В или В'.
Теперь сравним [величину] (7) с (8), и получим, [после сложения],
для модуля [некоторую] величину і?о,о, заключающуюся между пределами
В'' н- Bq и ^t В' ^z В$.
Отсюда мы можем определить наибольший предел величины і?о,о.
Очевидно, это будет
Предел малости таким образом нельзя выразить, потому что мы не знаем
что больше: В0 или В".

Существование корня алгебраического уравнения 17
Если бы мы знали:,что В0 больше іГ, то предел малости Дз,о получили
бы, если бы из предела малости В0 вычли 12", т.е. предел малости і?0,о был
бы тогда
± (Л _ д/) _ д".
Если же В" будет больше Д0, то предел малости получится, если мы из В"
вычтем наибольший предел величины В0У т. ?. в этом случае предел
малости і?о,о будет
В" — (В-*-В*).
Мы здесь вычли из В'\ а не из і?0, потому что В" предположили большим,
а вычитать в этом случае надо всегда из большего количества, [так как]
разность должна быть величиной положительной.
§ 6. Доказательство существования, по крайней мере, одного корня
алгебраического уравнения. Теперь докажем теорему, которая особенно
заслуживает внимания по причине своей общности.
Она состоит в том, что какое бы ни было у нас уравнение _F(#) = 0,
с действительными или комплексными корнямщ оно всегда [может быть
приведено] к такому виду:
т. е. модуль [левой части уравнения] обратится в нуль, так как только
в этом случае [левая часть] может принять вид [величины, равной нулю,
потому что] косинус и синус от одной и той же дуги <р не могут быть
[одновременно] равными нулю.
[Чтобы убедиться в справедливости теоремы], для этого, принимая
доказывают, что модуль всякого выражения [с буквой as], черев
подстановку,, в это выражение других аир, может быть сделан меньшим его
прежней величины.
Очевидно, что если это будет доказано, то, уменьшив модуль в
некотором выражении, мы получим другое, в- котором этот модуль еще
можем уменьшить, и, продолжая [такое] уменьшение, мы, очевидно, можем
достигнуть того, что модуль сделается наконец меньшим всякой [заранее]
данной величины, т. ?. будет равняться нулю, [так как, помним, он не
может стать отрицательным].
Мы не изложим здесь правила, по которому это можно было бы
сделать, но только покажем, что это возможно. [В дальнейшем речь будет
иттн о разложении девой части уравнения в строку по целым
положительным степеням вспомогательного параметра t]. Строки для этого
доказательства мы будем брать конечные.
П. Ж. Чебышев. Высш. алгебра. ' 2

18 П. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
Итак, пусть [будет дано уравнение]
Пусть [найдено будет]
ж = а-+-(3 V—1-
Составам тогда
Если бы это [равенство] существовало, то наша задача была бы реш?на?
т. е. тогда модуль [левой часты] был бы нуль и должно было бы
существовать такое [равенство]:
[Положим, для примера, что
F(x) = x2-*~x-t-l,
и пусть вместо х подставлено
#=a-+-{W—1-
Следовательно, мы будем иметь
^(a^^vCIi)=(a4_j5V/III)24-aH-pV=l-bl= л
= ос2-ь Щ\[—і— ?2-н а+ р \С^1н-1 =
= (1-ьа-ьа2 —ря)-ь(2ар-і-р)>/1Гі.
Обозначим
1 + 7.4-а2 — (З2 через -А и 2сф-*- (J через J?;
получим
J (оси- р v/=:l) = ^-+--B V11!-
Итак, нам надо доказать, что можно достигнуть того, чтобы правая часть
уравнения F(x) — 0 равнялась нулю].*
Вместо прежней величины х [введем]
я = ое-ьр\/=Т-ь*,
и пусть F(x) не равно нулю, но некоторой величине
т. ?.
(9) ^(a4-pv/IIlHhi5) = X04-L1jf-+-L2^H-i3i3-b...;
[иначе сказать, левая часть уравнения] разложена по степеням і.
Очевидно, что LQ) LX) L2y . -. могут быть величинами комплексными.
* В этом месте в рукописи несколько неясностей, описок и выражений,
свидетельствующих о непонимании слушателем содержания лекции. В строках,
заключенных в скобки, сохранены'* только формулы рукописи, исправленные, однако, в трех
местах.

Существование корня алгебраического уравнения IS
Пусть tf —0. Следовательно,
JI(a_l_pvCTi) = xej
или, [в соответствии с прежними формулами].
Но так как для $ можно давать различные [значения, то] F(x) не
всегда будет равняться L0, [или, иначе], не все другие члены [левой
части в (9)] будут ^>авняться нулю. Пусть члены, которые не
обращаются в нуль, будут, например, Lm и Ln. Конечно, может быть и один
член, [отличный от нуля].
Итак, пусть снова і не принимается равным нулю и
(10) F(rj^^ + t)^L, + Lmt™ + Lj".
Тогда
F(x ¦+- р \/=1) = Л0 -н JB0 \СТ
Пусть
іж*0 н ХпфО,
притом
т <С w.
Так как Lm и Ln не имеют определенных величин, [о которых было бы/
известно заранее, что это —величины действительные], тов они вообще
будут выражаться так:
Lm = Am4-Bm\f^i; Ln = An + Bnyj=l,
или, выражая [комплексные величины посредством] модуля и аргумента,
имеем:
Z0 = i?(coscp-H \j—lsin <р)
?т = Л1(совф-і-\/^1віпф) ¦ •
Ln = R2 (cos фх -+- V—1 sin <|/j)
/= p (cos ? -+- V—1 sin б).
Мы увидим, что р нужно будет уменьшать, а ? — вэять между
определенными пределами.
Подставим в наше уравнение (10) вместо tf, i0, Lm^ Ln их
[выражения через модуль и аргумент].. Подучим
i^[a^pV=^-*-p(cos9-bV'::=:l8in6)]= •
= В (cos ф -+- \J^—1 sin <р)-ь J?! (cos ф-t- ^/^Isin ф) • pm(cos »г?н~ V—^8іп»г?)-ь
-*-JR2 (cos фх ¦+- V—I sin ф2) * рЛ(cos п? ч- \/—Гsin пЪ).
2*

20 П. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
Посмотрим,, как здесь выбрать ри ?, чтобы модуль сделался меньшим
своей первоначальной величины. [Мы имеем]
F[ol ч- р \/:~і ч- р (cos ? -+- V111! sin ?)] =
= В (cos 9 ч- \/—Г sin 9) -+- Вг p,n [cos (ф -+- «*0) ч- V111! sin (ф ч- »*?)] ч-
ч- Д2 pn [cos Ok ч- п?) ч- V117! sin (^ ч- и?)],
или
F [а ч- ? V11! ¦+- р (cos ? ч- V-^l sin ?)] =
= В cos 9 ч- Лх pm cos (ф ч- т?) ч- Р2 pn cos (фх ч- и?) ч-
_і_ уСГ[ [Д sin © _н В1 pm sin (ф ч- тВ) ч- J?3 pn sin (фх ч- и?)].
В этом выражении
п^>т и ВфО.
Так как вся вторая часть последнего уравнения будет та же, что
A + B\f—l,
'и [для модуля ее будет]
(Модуль)2 = А*ч-В1}
то, означив этот модуль через „Модуль Fu} получим
Мод3 F= [В cos о -+- Вг pw cos (ф ч- тЬ) ч- Р2 f cos (^ ч- «?)]2 ч-
ч- [і? sin 9 ч- Вх pm sin (ф ч- мг?) ч- і?а pn sin (фт ч~ *г?)]а,
или
Мод2 F= В2 cos2 9 ч- 2ВВХ [cos 9 cos (ф ч- тв)] ртч- Ррт/ ч- <?р™"ч- ...-+-
ч- Л2 sin2 9 ч- 2ВВг [sin 9 sin (ф ч~ ш?)] ртч- Ра рта/ ч-.ft рт"-ч- ...
Мы здесь расположили члены по возрастающим степеням р; в первом
члене будет наименьшая степень р, именно 0; во втором — степень т
и т. д.
Следовательно,
Мод2 Р=В2 (cos2 9 ч- sin2 ф) ч-
ч- 2ВВХ [cos 9 • cos (ф ч- ш?) ч- sin 9 sin (ф ч- тЩ рт ч-
ч- (Р+ Рх) р*' ч- (Q ч- &) Р'»"ч- ...
Это будет ряд конечный, так как конечное [выражение] надо
возвысить во 2-ю степень.
[Мы пмеем]
Мод2Р7=Дач-2ВР1[со8(фЧ"т6—?)]рт-ь(Рч-Р1)рт/ч-(еч-^1)рт//ч-...
и
Мод2і^—Р2 = 2РРх[со8(фч-ш9 —9)]ршч-(Рч-Р1)р1П/ч-(§ч-§1)р^ч-...

Существование корня алгебраического уравнения 21
Так как низшая степень р во второй части уравнения есть pw, то,
как было выше доказано, мы можем уменьшить р настолько, что ввак всего
выражения [правой части] будет такой не, как у этого члена [с низшей
степенью р].
Цель наша состоит в том, чтобы уменьшить модуль, т. е. чтобы новый
модуль F сделать меньшим прежнего [модуля] Д или, иначе, чтобы
Мод2*7— В2
было величиною отрицательной. Но так как вторая часть уравнения будет
отрицательной в том случае, когда
2ВВг [cos (<|/ ч- тЬ — <р)] ?т
будет отрицательно, то для ?, которую мы [но ограничивали и которой
можем распорядиться], нужно взять такую величину, чтобы
cos(ib-+-?«9 — <р)
сделался отрицательным, т. е. взять, например, угол между 90° и 270°.
Очевидно, в этом случае модуль F будет меньше прежнего модуля В.
Мы не могли бы сделать подобного заключения, есл* бы
й=0, или Вх = 0.
Но В и Вх не могут равняться нулю: если бы і? = 0, то, эначит, модуль
равнялся бы нулю, и задача была бы решена; В1 не может равняться нулю,
потому что, как это мы раньше [предполагали],
Lm = Д (cos Ф Н- V'—1 Sin ф),
a Lm мы взяли таким членом, который отличен от нуля.
Теперь докажем вторую посылку, что модуль может [уменьшаться и
увеличиваться] м, следовательно, имеет некоторую величину minimum.
Если бы мы 8нали только [о том], что модуль можно беспрестанно
уменьшать, то из этого еще не следовало бы, что его можно сделать
равным нулю.
Для пояснения возьмем пример.
Пусть у нас будет некоторая длина, [скажем] 2 аршина. Мы ум?нь-
1 1
ша?м эту величину на -~- аршина, потом остаток уменьшаем на -j- аршина,
далее — на -g- аршина, на jg> на ^ и т. д. Очевидно, что, продолжая это
уменьшение до бесконечности, мы не достигнем еще нуля: пределом
будет 1 аршин.
Следовательно, пользуясь пределами, мы не достигнем нашей цели.
Итак, [докажем положение]: Если мы вместо х будем подставлять
а-ьр^/—\^то для одних величин а и р модуль [левой части уравнения] будет

22 П. Ж. Чебышсв— Высшая алгебра
уменьшаться, для других — он будет увеличиватгщ и наконец, при некоторых
[значениях] а и р величина модуля должна быть наименьшая — minimum.
Для доказательства подставим в уравнение jF(#) = 0 вместо х
величину а+ р \/—1, тогда получим
JF(a -+- Р V11!) = -4 -ь 5 V=T,
где
Если «
а=оо; р = 0}
то
Л='оо.
Если
* = 0; (3 = 0,
то, значит,
F(a -і- р у/11!) = F(0) = const,
и следовательно, JJ равно постоянному количеству, т. ?. [определенной]
конечной величине.
Если ч
_ ' а = —оо; р = 0,
то
_й = Ч-оо,
потому что, хотя в этом случае АжВ будут равны —со, всё-таки В будет
положительно, как корень квадратный из А2-+-В2, со знаком всегда -+-
перед корнем, [вследствие того], что В не может быть отрицательным.
Итак,
J?= у оо -н со = оо.
Следовательно, в то время как а, а значит, и х} переходит от — оо
до -+- оо, когда Р во всех случаях принимается равным нулю, — модуль В
переходит от бесконечности к постоянному количеству, т. е. уменьшается,
а потом опять возрастает и доходит до бесконечности. При этом
уменьшении тот момент, когда В перестает уменьшаться, значит доходит
до своей наименьшей величины и потом начинает снова возрастать,—
этот момент есть, очевидно, его minimum.
Но так как мы всегда в состоянии уменьшить модуль, то minimum
должен быть такой величиной, которую уменьшить уже нельзя, т. ?. он
должен равняться нулю, [потому что] отрицательным модуль быть не
может.
Представляя это на чертеже, мы видим, что линия АВ будет иметь
minimum—точку Ж Кривая же CD не имеет minimum'a, потому что
minimum'oM называется такая наименьшая величина, с двух сторон
которой находятся величины большие.

Вид всех корней уравнения ы число их
23
Если яс? модуль равен нулю, то и сама функция [от #, стоящяе
в левой части заданного уравнения], равна нулю.
Действительно, [мы имеем]:
следовательно
или
т. е.
Мод^(осч-ру^Л)=^2ч-«2 = 0,
Р* ч-<22 = 0,
Р=0 и <> = 0,
JT(a4-pV=Zl) = 0.
Итак, мы вывела
следующее заключение: Во всяком
алгебраическом уравнении, при
а и р, выбранных надлежащим
образом, всегда # должен иметь
такую величину, которая
удовлетворяла бы уравнению
, -F(a
*-ct.
Фиг. 1.
р^=і)=о.
Следовательно, во всяком алгебраическом уравнении должен существовать, по
крайней мере, один корень такою вида:
х
cc-f-^v/—1.
§ 7. Вид всех корней уравнения и число их* Теперь мы докажем,
что и все корни [алгебраического уравнения] должны быть вида *
a-f-p\/— 1.
Пусть будет [дано] уравнение
где
F(x) = x
т
ах
F(x) = 0,
,т—1
Ъхт~2-*-схт~~*
Мы докажем, что в этом уравнении всякий корень х' будет иметь такой
вид:
а + $\(— 1.
Для этого сначала необходимо доказать, что F(x) делится на х — set без
остатка.
* В следующих трех параграфах, для удобства, введены в нескольких случаях
иные, жем в оригинале, буквы.

24 П. Ж. Чебышев — Высшая алгебра
Действительно, [пусть будет после деления]:
F(x)
X — X
№
Очевидно, что здесь остаток г должен иметь меньший показатель
степени при #, чем [показатель] в делателе. Но в делителе этот показатель
[есть 1]. Следовательно, в остатке х будет в нулевой степени,
[Мы имеем]
F(x)=f(x)(z — х') + г.
Пусть будет
Тогда
Следовательно,
х = хг.
F(x') — f(x) • (x' — as!) + r.
F(x') = r.
Но F(x) равно нулю для всякого %, [являющегося корнем заданного
уравнения], следовательно и для #', а потому
, ¦ _F(a/) = 0.
Отсюда [вытекает, с одной стороны, что]
г=0,
т. е. F(x) разделится на ж— х! без остатка, [а с другой стороны, что есла
F(x) делится на х — х' без остатка, то]
а/ = а-+-р\/—1
есть корень уравнения
F(x) = Q.
Итак, чтобы найти [функцию от х]} на которую F{x) разделилось бы
без остатка,-нужно, прежде всего, найти корни уравнения."
Мы получили
F(x) = f(x)(x-x%
откуда |имеем]
f (х) = хт~1 и- ах ж"'"2 -+- Ъг хт~3 -н ...
Но
F(z) = Q,
следовательно
f{x).(x-x') = 0.
Это [равенство] может существовать только тогда, когда или
х — а?,
или нее

Вид всех корней уравнения и число их 25
т. ?. если [мы будем рассматривать другой] корень уравнения, н? #', то
должно существовать [новое] уравнение
Но для этого уравнения, [как] мы знаем, найдется, по крайней мере,,
один корень такого вида:
Следовательно, два корня, %' и х'\ которые мы нашли для нашего
уравнения F(x) = Q, будут иметь такой вид, как мя и предполагали.
Если бы [в нашем уравнении существовали] еще некоторые корниу
то, чтобы узнать, какого вида они будут, надо только поступить подобно-
прежнему, т. е.
^Lt = <р (х) = хт~2 -*- »2 х™-* ч- Ь2 хт~* -+- ...,
откуда имеем
f(x) = 9(x)-(x — я") = 0,
[т. е.] или
?(*)=Ч
пли
II
х = х.
Следовательно, предполагая, что у нас, кроме #", есть еще другой корень
[уравнения f(^)==0, иди, иначе, третий корень уравнения F(%)—0]^
нужно ъ (%) положить равным нулю; тогда мы опять для [нового] уравнения
9 (х) — О
получим корень
Следовательно, все корни
ті. „"• тп!
получаемые из уравнений
F(x) = 0; f(x) = 0; <р(я) = 0; ...,
будут иметь вид:
aH-p^_l; a'-f-^V— 1; *v-i-pV—1; ¦••
Кроме этих корней, других корней [иного вида] быть не может. Это
легко доказать [таким образом].
[Имеем]:
F(x)=f(x)-(X — x')
f(x) = <?(x)-(x-x»)
<р (х) — ф (а?) • (я — л;'1')
ф (я?) =7 ? (а?) • \х — л;17).

.26 П. Л. Чебышев — Высшая алгебра
Продолжая подобным образом далее, мы дойдем, наконец, до того,
что для какого-нибудь уравнения
Чэуд?т [всего только] один корень а№\
Тогда
тс (со) = со (х) * (х — а^))
представит, очевидно, такой вид, [что будет для х только]
я = #(').
Следовательно,
(х — хЩ = 0:
но н
ТС(Я)=0,
поэтому
%(х) = х — х$\
т. е.
6) (х) = 1.
Итак, мы имеем
F{x) = f(x)-(x-x'),
или, подставив вместо f(x) его [выражение, приведенное выше]:
F(x) ~^{х)-{х — х') . (ж — х'%
{и далее]:
J7 (х) = ф (я?) • (а? — аО • (а — х'!). (ж — а/")
,Р(а?) = 8 (я;) • (ж — х'). (ж — а/') • (ж — ж"') • (х — х™\
наконец:
JF(a?) = со (ж) - (я — х') • (а; — ж") • (ж — ж'") • (х — a;lv) ... (х — х&).
Но
со (х) = 1,
поэтому
і?» = (х — я') (ж — а") (ж — ж'") (х — #1у) ... (ж — #(*>).
Но
F(x) = 0.
Следовательно,
(ж — х') (х — я") (а; — #"') (а? — a;lv) ... (х — х&) = 0.
Для получения какого-нибудь уравнения [по его корням], нужно
-из х вычесть попеременно все корни уравнения и [полученные]
разности перемножить; здесь же из х вычитаются только корни
имеющие вид

Сопряженные комплексные корни 27
и при перемножении этих разностей получается [наше] уравнение
F(x) = 0.
[Следовательно],
а/, #", хш, х1\ ... х(Ъ
и будут составлять все корни уравнения F(x) — Q, т. е. все они будут
иметь следующий вид:
Рассматривая [равенство]
F(x) = (x — xf) .(x — x")(x — xm)(x—zlV) ... (х — х<\
мы видам, что х во второй его части должен войти в такой степени,
сколько будет множите лей
(х — х')] (х — я2)\ ...
Следовательно, высшая степень х-а, во второй части равенства будет
равняться числу корней уравнения.
Но, очевидно, что высшая степень #-а в первой часта будет такая же,
как и во второй.
[Отсюда заключаем]: Какой степени будет уравнение, столько же будет
и корней, удовлетворяющих этому уравнению.
Может случиться, что несколько корней будут равны между собою
и, следовательно, число разных корней будет менее степени уравнений.
Поэтому здесь, [в только что высказанном положении], не обращается
внимания на то, равны ли корни [между собою], или нет, яо говорится
вообще о числе корней.
Пример. Взяв уравнение
х2 — 4#-ь4 = 0,
мы видим, что единственная величина для х: которая удовлетворяет атому
уравнению, есть 2, но степень уравнения есть 2-я. Следовательно, должно
быть и два корня.
Ж действительно, у этого уравнения два корня, [только] оба они
равны между собою. Именно: один корень есть
а другой корень есть
2—V4^4;
оба они, очевидно, равняются числу 2.
§ 8. Сопряженные комплексные корни для уравнения с
действительными коэффициентами. Остановимся на уравнениях, имеющих
действительные коэффициенты.

28 П. Л Чебышев. — Высшая алгебра
Мы докажем, во-первых, что в этих уравнениях все комплексные
корни группируются попарно [таким] образом, что если один корень
выражается через
а + |3\/=1,
то другой выразится через
а — р \1^Л.
Такие корни называются [попарно] сопряженными.
Во-вторых, мы докажем, что первая часть такого уравнения может
быть разложена на действительные множители 1-й или 2-й степени
[относительно %].
Докажем первое наше предложение.
Пусть [будет дано уравнение с действительными коэффициентами]:
f(*) = 0,
где
# = а-ьр \/—1.
Следовательно,
f(a-H{W=l)=0.
Пусть при этом
f (х) = %т -+- ах1"-1 -ь Ъхт~2 -*-...
Обозначим (6у—1 через т. Тогда
f (а + т) = (а ч- т)т н- л(а -+- т)*1*1 + і(а + т)»"2 -+-...
Очевидно, что, возвышая члены а + тв w-ую, в (т — 1)-ук> степени
и т. д,, мы получим члены, в которых т будет входить в 0-й, в 1-й,
во 2-й и т. д. степенях [до иг-ой включительно].
Следовательно,
f(a-bT) = P0H-P1T-*-P2Ts-+-P3T3-i-P4'c4-b...
Но t = $\j—1. Поэтому
f (a-н р V~D = Р0-ь Рх р \/=1_+-Р2(р V'-1)2-*- Р3(Р V~l)3
Н-Р4(р\/-1)4-4-...
ИЛИ
f (ОС .+- р V^) = Р0 -Ь Р2 Р \/=1 - PS Р2 - Р3 Р8 V=l -+- Pt P4 -+- • • •
Написав отдельно величины действительные и мнимые, получим
f (a -f- р V11!) = Р0 - Р2 Р2 н- Р4 Р4 -' •_11_
4-^ —Р3ра-+-...)PV—1 = 0.

Разложение на множители левой части уравнения 29
Это последнее уравнение может существовать только тогда, когда
действительные и мнимые величины равняются нулю, т. ?. когда
(И) Р0-Р2р2-*-Р4р,*-...=0
(12) р(Ра —Р3р»-*-...) = 0.
Рассматривая уравнение (11), мы видим, что все равно, возьмем ли
мы в нем -f-(J или —р. Уравнение же (12) можно сократить на (і; тогда,
•очевидно, (3, и в нем будет входить только в четных степенях, т. е. и здесь
все равно, возьмем ли мы -+- [3, или —(3.
Следовательно, и в уравнении
f(a-*-pV-l) = 0,
которое [представляет собой сумму предшествующих] двух, будет все
равно, возьмем ли мы ч-|3, или —(3, т. е. если у нао будет
f(a-+-pV-l) = 0,
то должно быть [справедливым] и
f(a —pV-l) = 0.
[Итак], каждому корню ее —і— р V—Т будет соответствовать другой коревь
a —pV—1.
Очевидно, что если бы мы не предполагали, что коэффициенты
[уравнения] действительные, то не могли бы делать и подобных выводов.
ч § 9, Разложение на действительные множители левой части
уравнения с действительными коэффициентами- Если у нас будет несколько
.корней вида ос-н (3 \j—1, то каждому из них непременно должен
соответствовать корень вида a— f3 sf—1. Докажем это.
Пусть
f(x) = 0.
Тогда, имея корень
rc1 = a-t-pv/—1,
мы будем иметь, по доказанному выше, корень другой:
¦(13) ж8 = а—pV-=l-
X — Х1 X X — Р V—1 '
В функции f(cc) должен заключаться [также делитель]
z-(a-(W-D.

30 П. Л. Чсбышев — Высшая алгебра
Следовательно,
(Н) -И0- = '-&— = №
Итак,
f(x) = (x — xx)if(x) = 0,
или
f («) = (« — a — (W— 1)?(я?),
а из (14) имеем
о (х) = («— а -+- р V—1) * ф (л),
т. е., вставляя [для <р(%) последнее выражение], получаем
f(x) = (x—<i — $yf^T)(x — а + р V=4) d/(я),
или
f.(s) =+ (*)[(*-"OWL
откуда
В этой дроби числитель и знаменатель — величины действительные.
Следовательно, $(х) — также действительная величина.
Итак, при f(%y=0 мы имеем
Цх)-[(х— а)2ч-р2]=0.
Когда эдесь ф(#) не равно нулю, то
(х— ос)8-+-?» = О,
т. е. должно быть только два корня:
а?а = а -t- р V—1 и ж2 = а — (3 ^— 1,
но когда
то мы получим
А(х) = ф1(Ж)[(а;-а1)2н-Р12],
а отсюда онять [найдем] два корня:
я3 = Ч"+- Ра V—1 и #4 = а.! — рх V—1.
[Имеем]
f (а) = <]/(*)[(*-а)2 н-р2] =
= ^ (х) [(х- ос)2 -+- Р2] • [(* - аа)2 -н М.
Поступая таким образом далее, мы для всякой [функции]
Фі 0*0; ? 0*0; • ¦ •

Разложение на множители левой части уравнения ЗХ
будем получать два соответственных комплексных корня, а подставляя
[выражения для этих функций] в f{x\ получим:
f О») = Ф2 (*) К* - *)8 н- ?*] • [(« ~ Ч? + Рі*] • К* — «а)1 -ь р22]
f (я) = ф j (я) [(а? - а)2 -+- ps] - [(я; - а,)2 -ь p^J ... | {х - аг)2 + pf].
Наконец, мы дойдем до такой функции ^\{х)) которая не будет-
[давать] комплексные корни, [а только действительные корни х^} ал+1э ....
и следовательно, будет вида]
h («О = (« — «х) (х — я?х+1)...
[Тогда имеем]
f (s) = (a? —a*)(s —suO . .. [(я-а)'н-ра] ¦ [(х—а^ч-^2]. .-.[(ж— ot^H-pfl.
Следовательно, f(#) разложится на [действительные] множители
[1-й и 2-й степеней и будет иметь] множителей вида
[(*_«)»-+-рЧ; [(а-*,)*-!-М; ...
столько, сколько пар комплексных корней, а множителей'вида
(х— #х); (х — хх+г); ...
столько, сколько действительных корней.
[Следовательно, если для первой части уравнения m-ой степени мы
напишем]
f(x) = (x~-x1)(x — x2)(x — xs)(x — xi),..(x — xm)
и если
ajx=a+p \J—1 и #2 = a — (S\/—1,
то
(я? — ^(s — #2) = (> — а— р\/=ГТ)(я — а-+-р v/1^!) == [(я — а)2^і-Э%
а взяв другие две скобки [с сопряженными корнями, например хь и а?4],.
будем иметь [действительный множитель]
К*-*і)2 + §і2]
и т. д.
Очевидно, что все множители [для f(x)\ будут действительными
[множителями] 1-й или 2-й степени.
Следовательно, имея корни уравнения, мы всегда можем разлоэюитъ его-
[левую часть] на [действительные] множители, и наоборот, имея множителиг
можем определить корни уравнения. *
Мы видели, что число мнимых корней должно быть всегда четное, и
следовательно, если [имеем] уравнение нечетной степени, то оно должно иметь,.
по крайней мере, один действительный корень.

32 II. Л. Чебышев — Высшая алгебра
Пример. Возьмем для примера уравнение
а? -н #2 -і- 5а? — 7 = 0,
[имеющее такие корни]:
за = 1; я2 = — 1-4-V6 ->J—i\ аъ = — 1 — \/б-у/—1.
Зная эти корни, мы найдем и множители [левой части] нашего уравнения,
[т. е. будем иметь]
(я — 1) (я-н 1 — >/б ¦ \?=і)(зн-1-*-\/б - V117!),
или
. ^з-н^-ьбл; —7 = (rr—1)[(ж-н1)2ч-6];
[наше уравнение перепишется так]:
(ж — 1)[(а?-*-1)2-*-6] = 0.
§ 10. Изменение неизвестного и переход его через корень
уравнения. Решим теперь такой вопрос: каким образом будет меняться величина
[левой части f(x) уравнения f (#) = ()], когда х будем давать различные
8нач?ния от а до J, [причем между этими пределами заключается корень
уравнения х^7 так что
Далее, если корень а^ [заключается между пределами а и &, то как
установить, в связи с изменением левой части f(x\— другие] корни ?того
уравнения будут ли также заключаться между а а 6?
Если f(a) получается с „-§-", то f(b) будет с „—", и наоборот,
[когда х\ есть корень уравнения, так что].
f 0*0=0.
[В самом деле, заменим левую часть уравнения с действительными
коэффициентами ее разложением на действительные множители и
подставим] вместо х его [предельные значения а и 6]:
f («) = (« - *х) С« - *Х-ы) • • • К» - *)2 -*" РЧ/ Г(« - *і)2-*- Рі2] • • •
f (Ь) = (Ъ ~хх) (Ъ - жх+1) .. . [0 - а)2 -н p2j • [(6 - ах)2 -+- PX2J .. .
[Отсюда видно, что] если а — х^ будет иметь знак -ь, то Ь — Х\
должно иметь знак —, и наоборот, [если а — х^ будет со знаком —, то
Ь — х-^ выйдет с „н-"].
Если теперь положим
тогда очевидно,-что а — х\ должно взять с „—", а Ъ — х\ взять с „-*-",
и следовательно,

Строка Тейлора S3
т. ?. корень нашего уравнения, а\у будет заключаться между пределами
а и &.
Так как [равности вида]
а — хх и Ъ — хХ) а —#х+і и Ь—a^+1;;..
должны иметь различные знаки, [когда корны, хХі #х+1, • • • заключаются
между пределами а и Ъ]7 то, в случае нечётного числа корней, f(a) и f(b) будут
иметь различные знаки. Когда же знак для f(a) и f(fi) будет один и тот же)
то это значит, что или корней [между пределами а.иЪ] совершенно не будет,
или же будет их четное число.
[В-следующих параграфах рассмотрено будет решение задач о том,
сколько именно корней заключается между заданными пределами а и Ъ
и как надо выбирать пределы а и Ъ, чтобы между ними заключался только
один корень заданного уравнения].
§ 11. Строка Тейлора. Здесь мы должны будем познакомиться с
особыми функциями, которые можно вывести из других данных функций.
Эти-то функции с пользою послужат нам при решении мнЪгих весьма
важных вопросов алгебры. [Они] составляют собственно предмет диф--
ф?ренциального исчисления, но здесь определение их гораздо проще.
Чтобы дать понятие об этих функциях, [расположим] f(#-f-tf).B ряд
по степеням L *
Пусть
(15) f(x + f) = A-*-Bt-*-GP-*-DP-+-...
Положив 8десь ? = 0, мы получим
f(x) = A + B-0+C-0+...,
т. е.
f(*)=A
или А всегда будет функциею от х.
Количество Б в нашем ряду (15) мы будем называть первою производи
ною функциею от f (#); количество 2 • С—второю производною от f (#);
количество Ц • 3 • D — третъею производною от f(x) и т. д.
Почему же мы берем сначала -В, потом 2 * С [вместо С], потом 2 • 3 • D
и т. д., между тем как наш ряд с первого взгляда не представляет
ничего подобного?
Но, ведь, этот ряд мы можем написать и в таком виде:
?t *\ л В , 1-2С.й 1 .2-32),а
f(jC + t)=A + Tt-+-T7WP+ і.2.8 *»-«--.¦,
а в этом ряду мы называем производными различных порядков числители
коэффициентов при t и даем производной название такого порядка, какова
степень количества t, [числитель] коэффициента которого она составляет.
И. Д. Чебышев. Высш. алгебра. 3

84 Л. Л. Чебышев — Высшая алгебра
Очевидно, это совершенно от нас вависит давать числителям
коэффициентов название производных; от этого ничего ошибочного произойти
не может.
Пусть, например,
f (х) = ахп -ь Ъхп~1 чь схп~~2 -ь ... -+- Тех2 -+- іх -+- т.
Подставим х-л-t вместо х. Тогда
-+- Тс {х -+- ff -+- I (х-+- і) -ь т.
Теперь действительно произведем [возвышение] в степени и потом
расположим ряд по возрастающим степеням буквы t:
_hJ Г>-і и- (n — 1) а:""2 *-ь(*~~ *} ^ " 2) ^П"8 *2~*~
1 ' 2 • о _J
н~с[з;п-2ч-(п — 2)^"^-ь-(п""^"8)а;п"^а-ь
(n-2)(n-3)(n-4) S3 -j
^ 1.2.3 * * -H...JH-
-+-Z[#-i-tf]-+-
Сложим теперь по вертикальным строкам:
f (х-*-і) — ахпч-Ъхп-1-+-схп-2ч- ... -+- fee2 -ь- іх -+- w -+¦
^-[ама^-ьгСл— 1)^п-2-ьс(п — 2)яп~3-н ... -*-2Ь?-н Z]. *
+ [ап(п — \)хп~%-*-Ъ(п— 1)(п — 2)л;п-8-н
н-с(п —2) (п — 3)ісп-4-ь ... н-27с] ~
*2
2
Очевидно, что первая строка представит нам f(x); вторая строка
представит первую производную, помноженную на і\ эту производную мы
означим через f (о?). Точно так же коэффициент при j-^g будет вторая
производная, которую мы означим через f (#), и т. д.
Следовательно, А

Строка Тейлора 35
Так мы можем f(x~*-t) разложить в ряд. Но это очень долго
[производить такое] разложение; нам нужно постараться вывести правила для
практического отыскания этого ряда. Для этого определяют вакон
составления [выражений]:
f'(*); f (*);¦¦•
Действительно, мы видим? что f (х)} или вторую строку, [мы выведем]
из f (#), или первой строки, помножая каждый член этой строки на
соответственный ему показатель при х и уменьшая этот показатель единицею.
Вторая проиэводная составляется из первой производной совершенно
подобным же "обраэом, как первая производная составляется из
первоначальной.
Третья производная составляется из второй так же; * четвертая —
из третьей и т. д.
Рассматривая выражение, равное f (х -+- і\ мы видим, что [здесь имеется]
тот же Ньютонов бином, только в более общем виде, т. ?. „предстоящие" при $
у нас не 1, но а, Ъ} с z т. д.
Мы дошли до выражения f(x-t-i) без всякой помощи упрощения
этого выражения через введение в него величин:
(16) f(x);f'(xy,nxy,...
Следовательно, дойти до желаемой цели можно и без
вспомогательных выражений (16), но введение этих выражений только значительно
упрощает выкладки.
Пример. Пусть
f{x+t) = (« + ^ + 2 (x-h-t) — 7.
Определим выражение f(x-i-t) [через производные].
Положив ? = 0, мы получим
f(z) = a?-+-2z — 7.
Выводя по правилу f {x\ получим
Точно так ж? выводим:
f (х) = 2-3х = 6х
f"(a?) = 6
Вставляя эти величины в ряд
(17) n^=f(*)^t^'>+{m<>+---. ¦
получим ,
3*

36 П. Ж. Чебышев—Высшая алгебра
Можно было угадать, что в выражении (17) после
н? будет уже ни одного члена, ибо следующий член содержал бы в себе 2*,
во (рс-л-t) возвышается только в 3-ю степень, следовательно величина ft
совершенно не может быть [в (17)].
Отрока, представляющая Ньютонов бином в более общем виде,
называется тейлоровою строкою.
Лекция XII
§ 12. Возрастание и убывание функции. Наибольшие и
наименьшие величины функции. Отделение корней есть действие, посредством
которого определяются пределы корней уравн?ния-
Для определения этих пределов необходимо знать некоторые
свойства функций и их производных.
Положим, что дана функция f(x), и требуется узнать, возрастает ли
она, или убывает при [изменении] значения
х — а.
Это значит [узнать]: или f (х) с положительным вещественным
приращением переменной возрастает, а о отрицательным — убывает, т. е. если
означим приращение через г, то [будет]
f(a)<f(a-*-i) ж f(a»f(a — i),
или же, наоборот, с отрицательным приращением переменной [она] будет
более прежнего значения f(a), а с положительным — [меньше этого
значения], т. е. в таком случае [будет]
f(a)>f(a-*."i) ж f(a)<f(a — i).
При этом нужно принимать, что значение г очень бдиэко к нулю.
Если же г довольно велико, то данная функция, между пределами а и a+i,
может перейти из возрастающего состояния в убывающее или обратно.
На основании вышесказанного легко определить признаки
возрастания и убывания функций.
Действительно, мы имеем
f(a-Hco)-f (a) = cof (aJn-J^f (а)ч- ... + °*рЪ(а) н-
(18) г і •<»...*
Теперь заметим, что знак этой разности зависит от знака первого члена
разложения
»Г (а),

Возрастание и убывание функции $7
т. ?. можно взять а таким малым, что этот член превзойдет сумму всех
прочих.
Следовательно, при со положительном, если
то
f(a-bffl)>f(a),
И
f(a-o>)<f(a).
^Поэтому функция будет возрастающая, если f (а) будет полооюишельна.
Если же она отрицательна, то при о положительном
f(a-+-a)<if(a) ¦
и
f(a- со) >f (a);
следовательно, в этом случае функция будет убывающей.
Здесь может быть еще средний случай, когда
f'(a) = 0;
тогда знак разности
f(a-*-<*) — f(a)
будет зависеть от члена
1 .2
Очевидно, что при о) положительном ж при о> отрицательном этот
член, а следовательно, и разность удержат один и тот же знак; он будет
одинаков со внаком ff(a). Если f'(a) положительная, то во всех случаях
f(a±<u)>f(a),
т. е. величина f (а) [будет] наименьшей величиной. Если же f(a) отрица-
f(a±e)<f(a);
тельная, то
тогда эначение f(#), при # = а, будет наибольшее.
Если
f'(a) = 0,
і
то знак разности будет зависеть от знака члена
о котором можно сказать совершенно то же, что и о члене
of' (a).

38 Л. Л". Чебьгшев— Высшая алгебра
Вообще, если в ряду (18) первая из неуничтожающихся производных будет
четною порядка, то величина f(a) будет наибольшая или наименьшая, а если
нечетною, то данная функция будет или возрастать, или убывать, начиная
от х = ау а также перед [ х = а, вблизи него].
Действительно, если первая н?уничтожающаяся производная будет
порядка 21, то мы имеем
f{a + c»)-f (a) = T7^lfVb(a) -^ , ^^1}(&+Ч*)+
**** ftf**>(a)4-...
1 .2 ... (21-+-2)
Знак этой разности зависит от первого члена разложения, но так
как степень о здесь четная, то все равно: берем ли мы <о>0, или <о<0.
Если
f«(a) > О,
то
f(a=btt)>f(a),
т. ?. величина f(a) будет наименьшая, а если
f^ (a)<0,
ТО
f(a=tM)<f(a),
т. ?. тогда f (а) будет наибольшее значение функции f (x).
Если же первая ив неуничтожающихся производных будет порядка
21-4-1,
то имеем
f (a-^O-f «,) = , , 8 ^^(а)-^ . 2 .^;U2lf(2^О
Очевидно, если
со>0 и f<2Ul>(a)>0,
то
f(a-+-c*)>f(a).
Если
б)<0 и f<*+1>(a)>0,
то
f(a-H»)<f(a),
т. е. при
^1+1)(а)>0
[функция f(x)] будет возрастающая [около х = а].

Возрастание и убывание функции 39
Если ж? имеем
f^(a)<0,
то
f(a-H-<o)</»'
[для со положительного и
f(i»4-«)>f(a)
для to отрицательного]; следовательно, тогда [функция f(x)] будет
убывающая [около х==а\.
Лекция XIII
На основании прежд?сказавного, мы будем в состоянии отделять
корни уравнений.
Мы заметили уже [перед этим], что когда имеем уравнение
[степени т]
№=о
и подставим в функцию f (х) вместо х две величины а и J, [то если
значение] функции f(a) будет [противоположно по] знаку с f(b\ тогда
между а ж Ъ заключается, по крайней мере, один действительный корень.
Если мы означим через а—корень уравнения f(x)=0 и через е —
бесконечно малую величину, то
f(a-*-e) и f(a — е)
будут иметь противоположные знаки, если только величина
х — а
не дает наибольшей или наименьшей величины [левой части уравнения].
Во всяком случае, перед обращением в нуль функции f(x\
f(x) и f'{x)
будут иметь противоположные знаки, а после обращения — одинаковые,
ибо если f(x)} идя к нулю, сохраняет отрицательный 8нак, то,
следовательно, она при этом будет возрастать, и f' (х) будет иметь знак -+-, после
ж? обращения в нуль f(x) ж f (х) будут [обе| иметь знак -+-. Если перед
обращением в нуль f(x) имеет знак -+-, то она убывает, достигая нуля, и
следовательно, f (х) будет иметь знак —, а после обращения в нуль f(x)
будет убывать, переходя [к отрицательным значениям], и следовательно, f (х)
и f (х) будут [обе] иметь знак —.
Если до обращения в нуль и после него f (х) имеет отрицательный,
знак, то f(x) сначала будет положительной, а после — отрицательной.
Если же f (х) будет перед и после своего обращения в нудь иметь
знак ч-, то f (х) будет сначала отрицательной, а после—положительной.

40
П. Ж. Чебышев—Высшая алгебра
Таким образом [вое] эти случаи будут выражены в следующей
таблице:
/(*)
^^
0
-*-
/'(*)
-ъ
ч-
/(*)
¦+-
0
—
/'(*)
—
—
/(*)
—
0
—
/'(«О
н-
—
/(а)
_|_
О
-4-
/'(*)
__
-4-
Если нет [других корней, равных корню а, то]
f(a) = 0, но f'(a)*0.
§ 13. Теорема Штурма. Мы теперь приступим к изложению способа
Штурма в отделении корней. Он дает средства определенно сказать, сколько
корней данного уравнения находится между двумя данными же пределами. Число
си? определяется числом перемены знаков в известном ряду функций,
[называемом рядом функций Штурма].
Мы будем предполагать что данное уравнение f(z) — О не имеет равный
корней.
Означим остаток, происходящий от деления f (%) на f (#), через —В
и пишем следующие уравнения:
Я*) _
/'(*)~
и2
4
в
•>/'(*)
f(x).Q>-B
в • 4'~ вг
jii
Ч -*
vIV ^
1 J2o
Иначе: f(#)
f(*)
B = B1-f — B2
где йт — постоянный остаток. Этого мы всегда можем достигнуть.
Заметим, что два члена, рядом стоящие [среди]
(19) f (х), fix), В, і?х, В2, В3, ... Вт_17 Вт,
не могут быть вместе равны нулю, ибо тогда, если, например,
В2 и Bz .-¦
вместе обращаются в нуль,"то
_R1=0, Д = 0, f(x) = 0 и /» = 0,

Теорема Штурма 41
чего быть н? может, ибо уравнение f(a?) = 0, [по предположению], не-
имеет равных корней, [т. е. f (я) 4=0]. Точно так же [нельзя^
предположить, что] и
J?4 = 0; Д5=0
и т. д., [включая]
лт=о,
что опять несправедливо.
Если же один член в ряду (19), например:
[обращается в нудь], то
¦#! = — Л3,
т. е. члены, стоящие по обе стороны от J32, имеют противоположные знаки,,
тогда число перемен знаков [-+- и — в ряду нашем] не изменится, ибо
между „и-" и п—и какой знак ни поставим, то все-таки будет одна только
перемена знака, [а нам в дальнейшем надо будет учитывать число
перемен знака в ряду функций Штурма].
Таким образом, если для х = а ни один из членов ряда (19) не
обращается в нуль, то f(a-Hs) и f(a — е) имеют одинаковые знаки с f (a),.
и число перемен знака не изменится. Если же какой-либо из JJ-ов равен
нулю, то число перемен знака также не изменится.
Когда і
то f(#-h-e) и f'(a-\-t) имеют одинаковые знаки, [как это видно из
приведенной таблицы для f (х) и f(x)], и одна перемена знака теряется.
Таким образом, при переходе [от] м?нып?пр?дельной величины х0.
к #1? [большей корня а], окажется уменьшение в числе перемен энака
против перемен его при х = х0] оно и покажет число корней уравнения.
Если сказанное нами справедливо для промежутков бесконечно
малых, то оно справедливо и для конечных, ибо эти последние можно-
разделить на промежутки бесконечно малые.
Пример- Возьмем для примера:
[Для х =— 2 и для х = ч-3 имеем таблицу]:
# = -*-3
/<*)
-ь
/'и
-+-
Л
^Поэтому между — 2 и +3 заключается один корень данного
уравнения.

42 Л". Л Чебышев — Высшая алгебра
Чтобы определить число корней данного уравнения, подставим
в ряд
f(plf(p\B, ДХ1 ...
эначения — со и ч~ со для х.
Мы подучим [для нашего примера]:
% =
# =
— 00
ч-со
/(*)
н-
-+-
/'И
—
-#-
_В
-#-
-ь
Поэтому данное уравнение имеет два корня, что и нужно было ожидать.
(Речь здесь идет о действительных корнях].
Лекция XIV
Легко определить также число положительных и отрицательных корней.
•Стоит только подставить сначала — оо, потом 0 и наконец -ь оо в
известный ряд функций. Сделаем несколько примеров.
Примеры.
1°. Положим, что имеем уравнение
я3 —24яч-1 = 0.
Тогда
f(s) = a5 — 2te^l;f'(s) = 3a*—24 = 8(a? — 8); Л = 16я? —1; Л^ + а,
где а есть положительное число.
Пишем ряд функций и подставляем [только что указанные] веди-
чины:
— со
0
-#-00
/и
—
-+¦
-н
/'(*)
-+-
—
-+-
В
—
—
-+-
Ві
-+-
-+-
-Н
Поэтому данное уравнение имеет три действительных корня: два
положительных и один отрицательный.
Чтобы определить положительные корни, подставим -+-1, [когда
определение внаков функций Штурма наиболее легко после значения
* = 0]. Тогда
-ні
f(*)
-^
Г(«0
—
в
-+-
Ді
-+-

Применение теоремы Штурма к кубическому уравнению
43
Следовательно, один положительный корень заключается между О
и +1; другой—между +1и -нес.
Далее, пользуясь доказанным выше свойством функции f (#), по
которому если она переменяет ?нак между двумя пределами, то между ними
заключается нечетное число действительных корней, заключаем, что
отрицательный корень содержится между —1 и —10.
2°. Положим теперь, что дано уравнение
Тогда
f (#):=?*_ 40s2 — 400 = 0.
f (х) = 4s8 — 80s = 4 (s3 — 20s); В == 20s2 -*- 400 = 20 (s2 -*- 20).
Так как В не переменяет внака, то мы не продолжаем деления до остатка
постоянного.
Подставляя известные величины, получим:
— оо
0
-ьсо
/и
-1-
—
-1-
/'(*)
(*=)
-*-
Я
•+-
н-
-*-
Итак, в данном уравнении два действительных корня:
один—положительный, другой—отрицательный. ч
Способ Штурма касательно отделения корней хорош теоретически, но на
практике не годится^ потому что при степени уравнения довольно
высокой выходят чрезвычайно [большие] коэффициенты перед различными
степенями х в ряду функций [Штурма]. При отделении корней
употребляется обыкновенно способ Фурье, который и будет изложен ниже.
§ 14. Применение теоремы Штурма к исследованию корней
кубического уравнения. Применим способ Штурма к общему уравнению
3-й степени.
Иэв?отно, что общее кубическое уравнение может быть
представлено в следующем виде:
f (s) = s8 -+- Зря -+- q = 0.
[Имеем]
f' (s) = 3s2 4- 3p = 3 (s2 -*-p).
Производя известные действия, получим
s°
s8
Зрх
px
х4ч-р
X
Итак,
2p#-*-g
В = — 2px — q.

44
П. Л. Чебышев—Высшая алгебра
Делим ж2-+-і> на —2рх— q, [вводя предварительно] в первую
функцию дополнительный множитель 4р2. Мы получим
¦4р2#2— 2pqx
— 2pqx-t-4pl
2pqx
2рх— q
2px-*-q
4#8-ьй*
итак.
f)-
Вг = — (4р3
[Имеем]:
f(x)=z?-+-3px-*-q) f1'(a5) = 3s-+-p; R = — ?ря? — 2?' Дь —— (^-t-g2),
[где /¦/(#) обозначает, что вместо производной взят результат сокращения
ее на постоянный положительный множитель 3]. Написав ряд этих
функций и подставив в них — со; 0; н- со, получим:
— со
0
-н со
/(*)
—
Одинаковый
знав с q
-+-
л»
-н
Один аховый
знак с р
-+-
Е
Одинаковый
знак Cjp
Противоположный
знак с q
Противоположный
заак с р
•»і
Одинаковый знак о
— (4рЗ -¦- дй)
Одинаковый знак с
— (4р* -+- Д2)
Одинаковый знак с
— (4рЗ-н22)
w
(»
(?)
Таким образом, для существования трех действительных корней,
необходимо, чтобы между — со и -+- со пропали три перемены знака.
Следовательно, условие существования трех действительных корней будет:
(20)
р<0; V-*-22<0.
Когда оба или какое-либо одно иэ этих условий не выполнено, то
уравнение не может иметь трех действительных корней и, следовательно,
имеет один [такой корень].
Очевидно, в данном уравнении не может существовать трех
отрицательных корней, ибо тогда существуют условия (20) и в ряду
знаков (а) будет три перемены, а в ряду ({!), по крайней мере,—одна
перемена, [так как] р и —(4#3-+-g2) должны иметь противоположные знаки.
Это с первого взгляда покажется странным, [но оказывается],
кубическое уравнение с тремя отрицательными корнями должно содержать
непременно второй чл?_н с #2.
Трех положительных корней также быть не может, ибо наибольшее
число перемен знаков в ряду ф) в таком случае будет число 2.
Когда
Р>0; 2>0 и 4#3-+-22>0,

Применение Теоремы Штурма к кубическому уравненгт 4$
то ряды знаков будут следующие:
— со
0
-t-co
№
_
н-
-ь
fi'H
-н
-*-
-1-
л
Ч-
—
—
Ві
—
—
—
тогда [будем иметь] один отрицательный корень.
Когда
Р<0] q<0 и 4р3ч-22<0,
то
— со
0
*+- со
/(*)
—
—
-н
/l'(«)
-н
—
н-
Я
—
-ь
-*-
¦Ві
-н
-*-
-1-
тогда будет два отрицательных и один положительный корень.
Когда
і><0; 2>0 и 4?3-*-22<0,
то
/
— со
0
н-оо
f(«)
—
н-
-ь
Л'(«)
-1-
—
-*-
в
—
—
-4-
¦¦Ві
-*-
-н
-*-
— будет один отрицательный и два положительных корня.
Наконец, когда
Р>0; q<0 и V-f-22>0,
получим:
— со
0
-+- со
/и
—
—
-н
Л»
-+-
-+-
н-
JB
-+-
-4-
—
Лх
™
—
—
— будем иметь один действительный положительный корень.

46 Л. Ж. Чебышев—Высшая алгебра
В случае трех вещественных корней, # не может быть равным нулю,
ибо в таком случае
4р3ч-28 = йі>0.
Подобные исследования были бы интересны, если бы не было
решения численных уравнений.
§ 15. Теорема Фурье. Способ Штурма, хотя по теории превосходен,
но на практике, когда дано уравнение довольно высокой степени, [как
уже указывалось], не удобен по огромности численных коэффициентов
при различных степенях х в ряду функций [Штурма], Способ Штурма
заменяется тогда другим способом, принадлежащем Фурье.
Здесь нельзя прямо узнать числа вещественных корней, но что
можно вывести из способа Фурье, — [того] достаточно для определения числа корней
и для отделения вещественных корней всякого уравнения. [В этом опособе] также
употребляется ряд функций, но таких, которые гораздо легче
определяются, нежели функции Штурма. Эти функции суть:
f<?\ m г о»), m •••, f(w-4(*), f(m)(*).
Здесь, очевидно, числом пропавших перемен [знаков] нельзя
определить числа корней уравнения.
Лекция XV
Вспомним, на чем основана теорема Штурма.
Там, при переходе f (х) через нуль, терялась одна перемена внаков*
Последний член [ряда Штурма] не меняет своего знака. Если один из
членов ряда \
f(х), f (х), В, В» ...,Вт
обратится в нуль, то остальные два имеют противоположные энаки. Два
члена, рядом стоящие, не могут обратиться в нуль, ибо f(x)
предполагается не имеющею равных корней.
В способе Фурье первое свойство есть, т. ?. при переходе
функции fix) через нуль теряется одна перемена знаков, но то же свойства
имеют.и средние члены. Следовательно, по уменьшению числа перемен
знаков нельзя определить числа вещественных корней.
Очевидно, что корней уравнения не может быть больше^ нежели число-
пропавших перемен знака^ и будет или равно, или менее [этого числа], [так как]
от уничтожения средних функций или остается то же число перемен, или
уменьшается, [а число потерь перемен увеличивается].
Мы докажем, что от уничтожения средних членов число перемен знака
уменьшается числом четным.
- Действительно, если
f(*+4(a) = 0 и f<^(o)<0j f(/}(«)<0,

Теорема Фурье
47
то
Если же
'••
До нуля...
При нуле..
После нуля
/Й (х)
/(^) (Я)
0
/<*+*> (х)
—
f('>(«)>0,
то
До нуля...
При нуле..
После нуля
О
Следовательно, или уничтожается пара [перемен] знаков, [как имеем
в первом случае], или [не произойдет] ни одной перемены, [как это имеет
место для второго случая].
Но в нуль может обратиться не одаа из функций [ряда Фурье]г
а несколько сряду. И тогда [произойдет] то ж? самое.
, Относительно равных корней нужно заметить, что если мы
чрезвычайно мало изменим коэффициенты, то уже равных корней не будет.
Следовательно, тогда можно их отделить, и они упадут между теми же
конечными пределами, между коими [попадался] общий корень.
Доложим, что уничтожаются функции
от f(*+1)(s) до fC**»-1)^),
[следовательно количество их выражается числом нечетным] положим ?щ?]г
что
fC,+MI)(a)>0 и f<l>(a)<0.
Тогда [имеем]:
/(*);//(*);...
До нуля
При нуле
После нуля ...
* ¦ •
/ф м
—
/(1+2Я-4) (х)
-*-
0
/(^і) {X)
0
JXJ+*)(x)
0
y(2+2n-3)(s) !/(2+2Я-2)(я)
0
0
/tf+3) fa)
0
-+-
f (і+ап-з)(Л)
\
j
0
ч-
* * ¦
• * *
• т 4
• * *
/(Z+2W) ф

48 Л. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
Итак, в верхнем ряду 2п — 1 перемены, а в нижнем — одна
перемена, т. е. пропало 2п — 2 перемены: число четное.
Если
fft(a)>0 и f <1+йп> (а) >0,
то в верхнем ряду будет 2п перемен, в нижнем — ни одной, и
следовательно, пропало 2п перемен, т. е. число четное.
Очевидно, если
fCl-rt») (a) < 0 и ffl(a)<0,
то нужно все знаки переменить на противоположные, и следовательно,
останется то же самое число перемен.
[Произойдет такое же явление, с переменой лишь знаков на
противоположные, и тогда], когда
f(*)(a)<0 и /**-«*> (а) >0.
Когда уничтожится четное число функций, то число перемен знаков
-останется то же самое: положим, что уничтожится [еще] и f^*^(a) и что
f(')(a)>0 и f(,+»">(a)>q;
тогда будет: /
/(*);//(*);...
До нуля
После нуля ...
/Л (а?)
-t-
f(U-V (х)
0
/CZ+2) (a)
0
-4-
/С^з) (<с)
-4-
* * #
* 9 9
* « •
• * +
/(1+2^-4)^)
0
-*-
/0+2П-3) (Ж)
_1_
0 ,
^+2Иг-3)(я;)
0
/(1+2П-1) (я)
_1_
• 0
-4-
/(*+*»>(«)
0
-4-
f (1+ЯП+1) (да) , . .
-4-
-4-
В верхнем ряду 2п перемен, в нижнем — ни одной; следовательно^
уничтожилось четное число перемен, именно: 2w.
Когда
f&(a)<0 ' и f (»+**«)(a)>О,

Теорема Фурье " 40
получаем:
f(x);f(x); ...
После нуля ...
/А («)
—
/tf+U (х)
-+-
0
f^)(x)
0
/(1+3> («) ; /С*"1-*) (а;
0
н-
0
н-
...
/(7+2П-5)^)
-і_
0
-*-
/(Z+2n-<t)(s)
0
н-
/(Z+2w-3)(a;)
-н"*
0
н-
/<г+2Я-2)(я)
—
0
•+-
/(Z+2n-i(^
-+-
0
-*-
/(I+2«) (»;
——
0
-+-
у2+2пч-і)(а.
-н
4-
-н
Так как в верхнем ряду всего 2н--*-1 перемен знака и в нижнем —
одна, то опять уничтожилось четное число 2и перемен знаков.
Очевидно, что случаи, когда
f<?>(a)<0 и f(*+**«>(а) <О
и когда
f<*>(a)>0 и f С+2п+і) (й)< 0,
заключаются в том же, стоит только изменить знаки; чооло перемен
знаков остается то же самое.
На основании этой теоремы весьма легко можно отделить
вещественные корни уравнения.
Если между двумя пределами число перемен противоположных
[знаков] нечетное, то мы знаем, что непременно есть один корень [между
этими пределами].
Если вставим в ряд функций — оо и -+- со, [то получим]: от первой
[подстановки]—только перемены, а от второй — только повторения.
Следовательно, [эти подстановки] указывают только [на то, что] число
могущих быть вещественных корней равно степени уравнения. [Поэтому
такие] подстановки обыкновенно и не делаются.
Если, сделав две подстановки, мы нашли, что для одной в ряду
функций находятся только перемены, а для другой — повторения знака, то
[отсюда] заключаем, что [подставленные числа] должны быть крайними
пределами всех вещественных корней данного уравнения, ибо, [нисходя[¦
от меньшего предела до — со, [будем получать] всегда одинаковое число
перемен знаков, а именно — равное степени уравнения; [восходя же] от
большего [предела] до -+- со, получим только повторения знака.
Пример. Возьмем для примера уравнение
Я. Л. Чебнш?р. Высш. алгебра. *

50
[Имеем]:
77. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
if(*)
2ж3 — Ьх
X
= -ь24.
Сдела?к подстановки [чисел, указанных дальше в таблице, начиная
с О, затем: — 4, —2 и т. д.]. Получим:
— 4
— 2
— 1
0
-4-1
-4-2
/(*)
-4-
-4-
-4-
-4-
-*-
-\-
/'(*)
_і
-1-
0
—
-+•
/'(«)
н-
•4-
-4-
—
-і-
н-
/'»(*) if (1^(х)
—
—
—
0
-•-
-*-
-н
н-
н-
-1-
_!_
-1-
-ь
дэа неизвестных корня
: ни одного корня
і
и
ни одного веществ, корня
два неизвестных корня
Мы получили пределы вещественных корней: —2 и н-2. Кроме
того, [мы установили, что] два неизвестных корня [могут заключаться]
между—1 и —2, а два корня, также неизвестных, — между -+-1 и -+-2;
этих корней может и не существовать. Делаем подстановку [среднего
арифметического чисел, —1 и —2, т. е. числа —^], имеем:
для
2
2
1
Так как f {so) два раза переменила знак, то [отсюда] следует, что она
3
имеет два вещественных отрицательных корня: один—между —1 и —тг>
3
другой — между
и
%
Сделав подстановку среднего между +1 и -ь 2, получим:
f(l); f(4); f(2),

Строка разностей в способе Фурье 52
Следовательно, данное уравнение имеет также два вещественных
положительных корня. Итого в данном уравнении четыре [вещественных]
корня:
первый между —2 к —-^
3
.второй я —1 и —y
з
третий +1и -»——
о
четвертый я +2 и -t-«-•
Лекция XVI
§ 16, Строка разностей в способе Фурье. Мы вывели, что иеч?заниа
средних функций в ряду
(31) Г(*);тГ(*);Г(*);Р(«); ...
уносит всегда четное число перемен знаков.
Именно, если число уничтожающихся функций четное, то такое ж?
число уносится и перемен знаков. Если же оно нечетное, то число
унесенных перемен или единицею более, или единицею менее числа
уничтожающихся функций, смотря по тому, одинаковые ли, или различные знаки
у ближайших н?увичтоживтлахся функций.
Очевидно также, что если уничтожившаяся функция стоит между
двумя другими с различными знаками, то она не унесет ни одной
перемены знаков.
При отделении корней по теореме Фурье, составляют так называемую
строку разностей.
Строка разностей есть ряд чисел, показывающий, на сколько корней
имеет право всякая функция в ряду (21) между двумя пределами. [При
составлении строки разностей приходится подсчитывать число перемен
знаков, стоящих оправа от места, указанного надлежащей функцией
ив этого ряда].
Положим, что имеем после подстановки двух пределов а и Ъ
следующие знаки [и числа перемен гааков]: '
Зн. при подстановке а .
Перемен знаков ....
Знаки при подст. Ъ . .
Перемен знаков ....
Строна разностей ....
/(*>
н-
5
—
і
4
/'(*)
4
¦+¦
0
4
/" (*)
v
4
ч-
0
4
/'" {*)
ч~
3
•+•
0
3
/1Т(*)
—
2
-+-
0
2
/тм
•+-
1
-*-
0
і
/*(*>
.—
0
-+-
0
о
4*

52 П. Л Чебышев — Высшая алгебра
Строка разностей показывает в данном примере, что f (#) имеет право
на четыре корня, из коих все могут быть [комплексные].
Если в ряду (21) уничтожается одна функция и она находится между
двумя другими с одинаковыми знаками, то могут быть оба ее корня,
показываемые строкою разностей, действительными или [комплексными].
Очевидно, что такое уничтожение может случиться, когда смежные, н?уничто-
жающиеся функций обе имеют знак ч- или знак —.
Таким образом, рассматривая функцию до уничтожения, во время
{уничтожения] и после него, мы получим такие ряды знаков, [считая, что
обращается в нуль какая-то функция ft из ряда (21) при л =а]:
< а
Пер. зн.
а
> а
Пер. зи-
Стр. pa.
/о
н-
2
-н
-н
0
2
Л
__
1
0
-»-
0
1
/о
~*~
0
-f-
н-
0
0
і
или
<а
а'
> а
Стр. рз.
/о
2
—
—
0
2
Л
-#-
1
* 0
—
0
1
Л
__
0
—
—
0
0
В обоих случаях ft (ж), уничтожаясь, уносит две перемены знаков,
и, поэтому, два корня, принадлежащие, повидимому, функции ft(#) п
показываемые строкою разностей, не существуют. В обоих этих случаях
уничтожение может произойти и иначе, ибо оно может начаться с f (#),
потому что ее производная имеет с нею противоположный знак. В этом
случае уничтожение не может унести ни одной перемены знаков даром
и оба корня функции f (x) будут действительные.

Строка разностей в способе Фурье 53
Таким образом мы будем иметь следующие отроки знаков:
< а
Пер. зн.
а
> а
<Ь
Ъ
>ь
<а
с
>с
Пер. ан.
Стр. рз.
/(*)
-4-
2
0
—
—
—
—
—
0
-*-
0
2
fi(x)
—
1
. —
—
—
0
-*-
ч~
ч~
ч~
0
1
/" (*)
-н
0
-*-
-4-
-4-
_1_
-#-
-4-
-+-
-4-
0
0
ИЛИ
<а
Пер. зн.
а
>а
Ь
*>ъ
с
> с
Пер. зн.
Стр. рз.
/с«)
—
2
0
-#-
-4-
Н-
0
—
0
2
/' («0
-4-
1
-#-
-4-
0
—
—
—¦
0
1
/" (л)
—
0
—
—
—
—
—
—
0
0
-^ В обоих случаях корни функции f (х) действительные. Таким
образом, если строка разностей показывает числа:
2; 1; О,
то нужно искать присутствие или отсутствие корней, но наверное нельзя
сказать, есть ли корни между двумя данными пределами, или их нет.
Прежде чем покажем способ обнаружить, что корни отсутствуют,
сделаем валсное замечание при разыскании пределов корней по теореме
Фурье, [так как] в иных случаях оно прямо обнаруживает отсутствие их.
Положим, что мы узнали [следующее]: некоторые функции в ряду (21)
не обращаются вовсе в нуль между данными пределами или удерживают
постоянно один и тот лее знак и действительных корней не имеют, тогда

54 П. Л. Чебышев— Высшая алгебра
в строке разностей можно из числа показываемых корней, для всех
функций начальных, вычесть число 2.
В самом деле, если функция имеет два комплексных корня, то
начальная [для нее] функция не может показываемые два раза обратиться в нуль?
точно так же как и прочие начальные функции.
Положим, что мы имеем следующий ряд знаков:
а
Пер. 8Н.
Ь
Пер. зн.
Стр. рз.
/о
-н-
5
0
5
Л
__
4
0
4
Л
—
4
0
4
Л
-ь
3
0
3
Л
—
2
О
2
Л
-н
1
0
1
/б
о
о
о
Положим, мы удостоверились каким-либо образом, что f3
уничтожается ранее, нежели f2. В таком случае, так как по обеим сторонам
[функции /з] стоят функции с одинаковыми знаками, то она унесет своим
уничтожением пару перемен знаков, и f2 будет иметь два комплексных
корня. Так как этих двух перемен не достанет и для f0 и для f19 то и они
будут иметь по два корня комплексных.
Чтобы еще более [разъяснить сущность дела], наппшем [строку
разностей] после уничтожения функции f3.
Так как эта функция уничтожается ранее f2, то в функциях
fo> fi н U
знаки не изменятся. И потому, предположив, что fa уничтожается при х=с,
[после зтого значения с], получим:
> с
П?р. зн.
Ъ
Пер. зн.
Стр. рз.
/о
4-
3
0
3
Л
—
2
0
2
Л
__
2
0
2
Л
___
2
О
2
Л
_
2
0
2
Л
-ь-
1
0
1
/б
—
0
0
0
Отрока разностей показывает, что мы имеем право от всех
начальных функций отнять два корня.
Лекция XVII
§ 17. Способ подкасательпых* Рассмотрим способ определять
отсутствие корней меоюду двумя данными пределами.
При явном исчезании функций легко определить число пропавших
перемен [знаков], придерживаясь правила, доказанного выше.

Способ подкасательных
55
Часто случаются также исчезания, в которых одна функция,
уничтожившись, уносит одну пару перемен знаков. Мы видели, что это приводится
к двум случаям:
а
Пер. зн.
Ь
Стр. рз.
/(*)
чь
2
-і-
2
/'(«0 Я И
1
-f-
1
_|_
0
-+-
0
или
а
Пер. зн.
<:
Ь
Стр. рз.
/М
н.
2
чь
-н
2
/'(*)
—
1
0
-+-
1
/"И
ч-
0
-§-
-f-
0
[Тогда] f (re) будет иметь два комплексных корня, но может иметь их
и больше; это обнаружит подобное исчезновение других функций.
Чтобы обнаружить отсутствие действительных корней между двумя
л од становлениями, употребляется так называемый способ подкасателъных.
Это способ весьма легко объясняется чертежом.
Положим, что дана кривая [в] прямоугольных координатах;
Корни уравнения
Р f(*)=o
будут означать абсциссы точек пересечения кривой с осью #-ов. Положим,
что нужно узнать признаки отсутствия корней в уравнении f (#)=0 между
двумя известными пределами а и Ъ.
Возьмем наши случаи, когда функция f (x) уносит своим
уничтожением две перемены знаков.
Тогда, если f{x) и f"(x) положительны и от а до & последняя н?
уничтожается, то кривая будет иметь вид, показанный на фигуре, ибо тогда
нет между этима пределами точек [перегиба], для которых
f"(x) = 0.
Очевидно, когда кривая не пересекает оси #-ов, то касательные,
проведенные в двух точках, [достаточно] близких к величине minimum'a
функции f (яг), пересекутся над осью ж-ов, чего никогда н? случится, если

56
Л. Ж. Чебышев — Высшая алгебра
существуют две точки пересечения кривой с осью #-ов между этими же
пределами: [в таком случае] касательные пересекутся под осью #-ов.
Означим:*
OG' = a; ОН'^Ъ.
Тогда
Очевидно, что в случае комплексных корней уравнения f (а?)=0 между
пределами а к Ъ} сумма подкасательных А! &' и В' Л\ взятых независимо
от энака, когда принимается только абсолютная их величина, будет [вообще
больше] разности пределов
ОНг— OG,^G/E' = b — a.
-X
т—^Х
Фиг. 2.
Фиг. 3.
Очевидно, этого не случится, если будут существовать два корня
уравнения f(x)~Q между пределами а а Ъ. Тогда
Но мы имеем
AIG'+B'R'^G'B1.
AlG! =
M'Gi
— tgM'A'G'
/w
f'(a)
и
BE
./(b)
"/' Ф)
Итак, если величины подкасательных A! G' и В'Н1 принимать
независимо от знака, то в случае комплексных корней
/'(*) /?(*>Г
* В оригинале —другие буквы и несколько ошибочных записей в формулах.

Способ подкасательных
57
Если сумма нодкасательных выйдет менее Ъ — а, то это еще не
докажет присутствия корней, ибо если пределы не сближены, то и при
комплексных корнях может бить
Тогда нужно сближать пределы, вставив такую величину с, что
v Если последовательными подстановками мы дошли до того, что корни-
[раздел?ны], то дело кончено.
Если же при [достаточном] сближении способ подкасателъных ничего
не показывает, тогда нужно искать равных корней, ибо кривая может
касаться оси #-ов; в точке касания [будет];
f(x) = 0; f'(x) = 0,
следовательно, [левые части этих уравненпй] имеют общий множитесь.
Пример. Положим, что требуется разыскать корни уравнения
f(%) = a? — х — 1 = 0.
1
[Имеем]:
f (х) = Зх*
f{x) = Qx
f»'\x) = &
Подставляя сюда числа
-1;0;ч-1;
получим:
8
— 1
Пер. 8н.
0
+ 1
3
~+" 2
Стр. рз.
/
«
3
—
—
-+-
3
/'
-+-
2
—
-f-
-f-
2
/"
—
1
-t-
^L
-*-
1
fiv
4-
0
•+-
-+-
-i-
0
>
один действительный
пол^ительный корень.
Остается рассмотреть два корня между 0 и —1. Мы имеем:
f(a) = f(0) = -l; f'(«) = -l
f(b)=f(-l) = -l;f'(b) = 2.

5S
П. Л. Чебышев— Высшая алгебра
[Имеем]
тн-т>1.
Поэтому [приходим к выводу, что] два корня между нулем и — 1
комплексные.
Лекция XVIII
§ 18. Декартово правило знаков. Как частный случай, из теоремы
Фурье следует так называемое Декартово правило знаков.
Это правило состоит в том, что в полном уравнении со всеми
членами, [так что] в нем нет недостающих, число положительных корней н?
может быть большим числа перемен знаков [среди коэффициентов
уравнения] и [это число положительных корней] менее [количества перемен]
на число четное, считая знаки с первого члена уравнения пли с последнего;
число же отрицательных корней не может быть более числа [повторений]
энаков.
Когда же уравнение [имеет] несколько недостающих членов, то
нужно вставить эти члены с равными нулю коэффициентами и знаки
расположить так, чтобы, при счете полооюителъных корней, выходили
повторения знака, включая и следующий член с отличным от нуля
коэффициентом, т. е. у всех недостающих членов [надо] поставить знаки этого
члена [с неравным нулю коэффициентом]. При счете же отрицательных
корней ставим при последнем недостающем члене знак, противоположный
знаку следующего члена; [поступить надо так], чтобы выходили все
перемены 8нака.
Вообще при недостающих членах нужно расположить [знаки] так,
чтобы корней выходило наименее. *
Пример. Так, например, в уравнении
х7 ч- х —1 = 0,
при счете положительных корней, пишем
х1 ч- 0.#б ч- (Хя5 ч- 0.x* ч- 0.я3 ч- 0.я* ч- х — 1 = 0.
Здесь один действительный положительный корень.
При счете же отрицательных корней пишем
хп — (Ь6 ч- О.ж5 — 0.я4 ч- (Ъ8 — О.ж2 ч- х — 1 = 0.
Ни одного повторения знака [во имеем], следовательно [нет] ни одного
отрицательного корня.
Докажем [высказанное] предложение.
Напишем общее уравнение в следующем виде:
f(x) = aQ-+-axx ч-а2х2ч-a3xzч-а4я*ч- ... -*-ат_гхт~1 ч-ат#т.

Суоюение пределов корней и способ отделения
5Р
[Имеем]:
f (х) = а^ -*- 2а2 х -+- За3 х2, -+- 4а4 х? ч- .
f"(#)==2a2H-2 • За3#-ь • • • ч-?п(«г —
f,f (х) = 2 • За3-ь ... -f-w(m — 1)(«г —
.. н- (»г —*
-1)аж*«
-2)ата>»-*
"»і—1
ГС
ТП—2
шал хт х
/cm-i) (з) = 1 - 2 . 3 .. . (т— 1)-+- 1 • 2 • 3 ... (т — 1)шатх
f(W(x) — l- 2 . 3 • 4 ... (те — 1)тат.
Оделяем подстановки:
— оо j 0; -н со
— со
0
-+- со
/(«)
rfc
«0
-н
/'(«)
-*-
*1
н-
' /" («)
ч-
«2
-#-
/'" («)
Ч11
as
-+-
*
# * ¦ ^И""»
... (%1_1
... -+¦
f(m) (х)
-+-
аст
-4-
Так как в последней строке имеем однп плюсы], то [число]
положительных корней" не может быть больше перемен звака в [среднем] ряду
[т. е. перемен знака коэффициентов]:
(22)
а0) al) a2J a3' * * * ат—1> a*n'
[Число отрицательных корней не может быть больше], нежели разность
числа перемен в рядах [первом и среднем], с — со и с 0, или, что
то же, число отрицательных корней не может быть больше числа
повторений в ряду (22).
Если бы при подстановке нуля несколько промежуточных функций
уничтожилось, то следовало бы составить ряды
„>0« к „<0«.
В ряду „<0" были бы все повторения знака, считая с первой н?-
уничтожившейся функции, а в ряду эт>0" [были бы] все перемены.
Это уничтожение нескольких функций при подстановке нуля есть
не что иное, как уничтожение такого же числа соответствующих
коэффициентов в ряду (22).
Жекцт XIX
§ 19. Сужение пределов корней и еще один способ отделения
корней. После того как уже отделены корни, чтобы начать их
вычисление, следует предварительно стеснить пределы корней.
Для этого, зная пределы, между коими падает один [неизвестный]
корень, мы подставляем, начиная с меньшего предела, [величины]:
щ а-\-1) a-f-2; ...,

60 П. Л Чебьгисев—Высшая алгебра
узнаем до перемене внака левой части данного уравнения, что корень
падает, например, между аиа+1.
Тогда полагаем в данном уравнении f(x) = 0:
(23) x = a+j>
где — есть правильная дробь и, следовательно, у ^> 1. Подставляем эту
величину в f(x) и получаем
1 /" (а) . 1 /'" И
4a*7) = f(a)^7f ^^рГТд^ріТд^"1 H
1 /(W-D (g) J_ /(ffl) (a) _
_f"^-1' 1 .2 ... (m — i)"*1"^" 1 -2 -3 ... m
=yi[f(«)^m+f4^)^-l+i^)-ym"2H-..."*-
/(«-D (g) /С*)(д) И
"*"1 .2-8... (m —1)^"*"1 -2-8... wj"
Так как
f(a4-i) = 0,
то получаем уравнение
Уравнение
-F(2/) = 0
должно содержать один только корень, больший единицы, ибо в противном
случае, подставляя два или более значений
у>1
4
в формулу (23), получили бы между оиач-1 два или более корней.
Подставляем в уравнение F(y) = 0 числа:
У=1;2; 3;...
и найдем, что у падает между пределами
Р и рч-1.
Тогда [мы можем написать]
(24) " і,= И-і-.
Z
Эту величину подставляем в уравнение .F(y) = 0 и получаем

Сужение пределов корней и способ отделения ві
[Новое] уравнение
Ф(*) = 0
опять содержат один корень, больший единицы. Положим, что он падает
между пределами
у и у-ьі.
Тогда [делаем подстановку]
(26) *=Y-*4'
с и поступаем так, как с у и #, и т. д.
Соединив уравнения (23), (24), (26), получаем
х = а-+-1
J + ±
и
Итак, х падает между пределами
а~+- 1 а-ь 1
?
где ? есть приближенная величина количества и.
Этим же способом можно отделять корни или находить, что их нет между
данными пределами.
Если теорема Фурье показала два корня между данными пределами
а0 и Ъ,
то, полагая в уравненпи f(#)=0:
1
х = ап~і—)
получим преобразованное уравнение
F(a)=0,
где а, [если оно вообще имеет значения, большие единицы], должно иметь
непременно два значения. Если, в самом деле, эти значения по
приближению суть ? и т), то корни будут
1 1
,я1 = а0-+--|- и я2 = а0-+- —•
Часто приходится составлять [последующие] преобразованные
уравнения, ибо [нередко] последовательные подстановка
1; 2; 3; ...а; а-ь-1; ... Ъ] Ь-*-1; ...
не отделяют корней.

62
П. Л. Чебьгшев — Высшая алгебра
[Если бы оказалось, что] в уравнении F(a) = Q нет корней, больших
единицы, то, следовательно, ив промежутке [от а0 до Ъ] корней,
показываемых теоремою Фурье, не существует.
Пример, Для примера возьмем уравнение
[Имеем]:
f(s) = s8 — 2х — 5 = 0.
f (я) = 3я3 — 2; f"(#) = 6s; f//f(x) = Q.
Делая подстановки чисел
-3; -2; -1; 0; -ьі; -.-2; -нЗ,
получаем:
— 8
— 2
— 1
0
-+-1
-ъ2
-ь8
/(*)
—
—
—
—
—
—
-+-
/'(*)
-*~
_і_
н~
—
-н
-*-
-t-
/" («)
—
—
—
0
_|_
н-
•+•
fin (*)
-+-
-н
Н-|
К
-+-
:}
два неизвестных корня
один действительный
положительный корень
Итак, здесь один действительный подо/жительный корень и два —
неизвестных. Разыщем эти два корня.
Ови [находятся] между Он —1. Переменим х на —х в ряду
функций и потом положим
Н#
nil
У У
№>--* №=-2; О=0і йй-1-
Поэтому имеем
или
б«/3ч-2і/2 —1 = 0.
Корней, больших единицы, [в этом уравнении] нет, следовательно
пределы 0 и — 1 не открывают ни одного [действительного] корня.
Найдем приближенную величину действительного корня,
заключающегося мелсду числами -*- 2 и -+- 3.
Мы имеем:
f(2) = _l; f (2) = -Ы0; ^§ = 6; ^=1.

Непрерывные дроби и их применение к уравнениям 6$
Следовательно, полагая
х = 2ч—>
У
получаем
— у8-*- 10у2-+-6у-ь 1 =0,
или
jf—lQj/* —6у —1 = 0.
Видим, что у заключается между 10 и 11. [Таким образом] более
стесненные пределы корня х будут
2, 1 и2і-
Лекция XX
§ 20. О непрерывных дробях и об их применении к решению
численных алгебраических и неалгебраических уравнений. Выражение
вида
«о"*"1
а:ч-1
а3 -н 1
а3-ь1
а4 -н 1
<*5
* ?
где а0, аи а21 ... предполагаются числами целыми, называется
непрерывной дробью . Знак Ч- может перейти и в 8нак —.
[Для приближенного решения] всякого алгебраического и
[неалгебраического численного уравнения могут быть использованы
непрерывные дроби].
Пример. Пусть, например, имеем уравнение
, 2* —10а?==0.
і
Подставляем 0 [вместо х\ поручаем ч-1. Подставляем -+-1, получаем —8.
Следовательно, корень заключается между нулем и единицею. Полагаем
(26) ж = 0н--=-
4 / У У
и подставляем эту величину в данное уравнение.
Получаем новое уравнение о у,*которо? непременно должно иметь
один корень, больший единицы. Мы получаем
,7 10 г, Л 1С
2* — — = 0, или 2 = -^ 7
у ' у*
иначе:
(27) 2yV_10V = 0.

?? П. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
При у=0 [левая часть уравнения] будет н-1. При у=1 получаем —8.
Но корень, заключающийся между нулем и единицею, нам н? годится.
Подставив 9 = 9, получаем я—а, а при у = 10 имеем „-§-". Следовательно,
(28) 2/ = 9н-т-
Подставив эту величину в уравнение (27), получим:
*±1 9Я41
"¦ ш
или
2* (9* -+- l)9s+1 - (Юг)9"-1 = О,
иначе:
Этому уравнению удовлетворяет величина, очень близкая к двум.
Поэтому можно положить
я = 2±6,
где ? очень малая дробь. Итак, величина х выразится следующею
непрерывной дробью:
1_ __2
9-н 1 ~19
2±:?
вот приблизительная величина корня данного уравнения.
Подходящими дробями называются дроби, выводимые [посредством
равенств]:
*cf ао. Рі „ . 1 а0 дх -ь 1
(Лп —1 —
Qo V Qi ° «і «
Р2 1 «о аг а2 -ь ^2 "+~ ао с2 (ао аі ~*~ -0 "*" °о
«2
* В настоящее время мало прибегают к непрерывным дробям для
приближенного решения численных уравнений. Эти методы не только не применяются, но даже
как бы забываются. Раньше им придавалось большое значение еще Лагранжем. Длд
примера приведем найденный Лагранжем приближенный корень в виде подходяи.ей
дроби
* = 7Г-0 = Шт = 2.0945514864...
численного уравнения Ньютона
а? — 2х — 5 = 0.
Пример взят из докладов на заседании Академии Наук СССР 16 II 1936 по
поводу 200-летия со дня рождения Жозефа Луи Лагранжа (1736—1813).

Непрерывные дроби и их применение к уравнениям 65
[Из последнего выражения] закон составления подходящих дробей
из предыдущих ясен.
В самом деле,
Рг Д2 (gp «і н- 1)-н eg с2 Рі -*- -Рр
Докажем вообще закон составления подходящих дробей; покажем
Р
что если справедлив этот закон для дроби J1"1- ? то он справедлив и для
дроби |а. ¦
По условию:
•[где]
fV-L ап—і Ря—2 + Р»—8
Фп— 1 ^—1 бп—2 -*" Qn-2
JP-n l
I* х ft
-г UQ
Vn-2
a.
1
Итак, имеем
%~i
at1—l • Pn-2 -*" Pn-3
°П—1 " Qn— 2 -** Cn—3
fl]! + l
S-1
?та [формула представляет собой] тождество, справедливое для всякой
величины ам„1} или, что все равно, вторая часть [этой формулы] служит
разложением первой в непрерывную дробь. Поэтому, обозначив черев я—
переменную величину, получим
{29) z?n-2^*n-2=aQ-*-l
аг -+-1
а3
_1_
Подставив сюда
аи-і
Ч'
ив [формулы] (29) получаем
(а"-ін- 5~) Р"-2 - *"-» _^ К а»-, -ь 1) f п-2 -ь JPn-в • «»
а, -+-•
Я. Л. Чебышев. Внеш. алгебра.

вв П. Л. Чебышев — Высшая алгебра
Итак,
Рп Ы <*п-і ¦+-1) -Ри-2 ч- Fn-f$ ' ап _ % (вц-і -Рп-а -1- -Pw-s) -*- -*и-а
в» ("n «n-l -+¦*) ?я-2"+- Qn-s ' ап <*п (ап-і Qn-2 -*- <2п-з) -*- §я-2
__%Уі+РИ-2
Р
Следовательно; закон справедлив и для дроби -~- Так как этот закон
справедлив для дроби -~ ? то он справедлив и для
& ' «4 ' ' ' ' Qn
и для всех дробей. Он справедлив также и для -^- и ~ э а именно, если
мы возьмем подходящие дроби:
?=! — ?• *=L = 1
то
U
ТО
-Ро ^0 ffr)-P-i-*--P-2_g0 • 1н-0 ffp
^0 1 а0 Q-1 "*- §-2 *0 -0-1-1 3
-Pi _gi-Po-f--P-i = gigo-1-* .
Замечательное свойство непрерывных дробей есть то, что
•*я ч?я—і чзи -* и—1 = — 1-
В самом деле, так как
р — а р _і_ р
^Я "Я ^М-і ^^ ГП~2
^Я = «Я^Я-1-«-^Я-25
Рп Qn-i - <?я *«-і = Qn-i К Рп-і ¦+¦ -Рп-о) - Рп_х (ая ft,-* -н (2я-2) =
= #И ^м_і -PW—1 -+- -РЯ_2 6^—1 «п 9«-1 ^Л-1 Pfl-1 Qn-2 —
~ С*Л—1 Н?П—2 "* Я—2 Фя— і)?
[и мы имеем]:
•Р?г ' Qn—] — -Ря—1 ' Qn . і
¦Pw—1 * Vn—2 -P«—2 * §И—I
-Р?г—i Фп—2 -Ри—2 Qn—г _ і
¦Рц—2 §и—з — -Р?г—з Qn—2
Итак, все числители и знаменатели этих дробей равны между собою
по абсолютной величине и отличаются только знаком, но так как они
равны [по абсолютной величине количеству]
РіЯо-Р0Яг = 1,

Линейное приближение. Способ Ньютона и regula falsi 67
то мы можем написать
или, иначе:
(PnQn-i~QnPn-i)2 = l-
Теперь определим погрешность, происходящую от отбрасывания ниоюних
членов непрерывной дроби.
Эта погрешность, если возьмем n-ую подходящую дробь, будет
Означив отбрасываемые члены через 07 имеем
flfH-2
ЙЙ+3
Итак,
х
¦*п -*п г ~*~ -^и—і ^п
- <JP» Qn-i - Qn Vi) = (- 1У
Qn(Q**.-*-Qn-i) ' Qn(Qm + Qn-i)y
но так как всегда
*Qn-+-Qn-i>Qn>
потому что z всегда более единицы, то абсолютная величина погрешности
менее, нежели
1
Qn2'
Лекция XXI
§ 21. Линейное приближение. Способ Ньютона и regula falsi.
Задача вычисления корней состоит в том, чтобы определить с точностью все
цифры корня, если он соизмеримый, или вычислить его [приближенное значение
с какой] угодно [точностью], если он несоизмеримый.
Мы видели, как решение этого вопроса достигается с помощью
непрерывных дробей.
Есть другой способ, известный под именем линейною приближения,
предложенный Ньютоном и исправленный Фурье.
Положим, что мы сблизили пределы корня так, что между ними ни
первая, ни вторая, ни третья производные не переменяют знака, или,
что одно и то же, не имеют корней.
о*

68
П. Л. Чебышев — Высшая алгебра
Обозначим эти пределы через а и Ъ, [причем]
а<Ъ.
Таким образом к меньшему пределу нужно прибавить некоторую
величину, чтобы получрть точную величину корня. Означим эту величину
чер?8 h Тогда имеем*
f(a-*-h) = f(a)-?-hf (а-н?Л) = 0,
откуда
Я— />-ь?А)
Эту величину h нужно [прибавить к] а. Таким образом имеем
$ = а
/W
/{ач-ЬЩ
ИЛИ
Х-Ъ- № ,
где Ах есть величина, [прибавляя] которую к другому пределу Ь получаем
настоящую величину корня.
Положим, что строки знаков будут следующие:
а
Ь
Тогда берем для приближения второй предел Ь, а так как f(%) между
данными пределами положительна, то
f(b)>f(a),
и потому, если заменим величину f(b-^d\) величиною f '(&), то
количество
о f{b)—o
будет [менее] корня. Если же величину f (ач-?й) заменим также
количеством f (&), то величина
а Г(Ъ)—а
будет [более] корня.
[Таким путем] мы всегда можем определить погрешность,
происходящую при этом вычислении, стоит только составить оба предела а' и V.
Искомый корень заключается между ними.
* Здесь взята без доказательства формула Лагранжа из дифференциального
исчисления. Она представляет собой частный случай формулы Тейлора.

Линейное приближение. Способ Ньютона и regula falsi 69
С величинами af и V поступаем совершенно так же, как и с а и Ъ.
Теперь определим закон уменьшения погрешности при линейном
приближении.
Означим разности пределов, [соответственно, через г и через г']:
Ъ — а = ц V —' а' = і\
Мы имеем:
а/_ а — М — Ъ — i — tS^}
а~а Г(Ь)~Ь ь Ш
г Ф)
Сделав разложение f(b — г) по тейлоровой строке, мы получим
»9.
f(b)-ifW+"r(b + U)
а =Ъ-г т
Следовательно,
.;, _ у „/ _ .; ПЬ) . f (Ь) • і2 Г"(Ь н- К)
т. е.
.у_я Г(Ь-нбг)
Итак, новая разность пределов равна квадрату прежней, помноженному
на конечную величину
Г'{Ъ-*-Ы)
2Г'(Ь)
Если мы означим наибольшую из величин f"(a) и ГФ) через
Г'(А),
то имеем
г'<г
;//.-2 Г №
2Г(Ь)
Легко объяснить себе чертежом эти соображения.
Действительно, из чертежа видно, что если возьмем предел Ъ и
проведем из точки п касательную до встречи с осью абсцисс, ^го длина Ох
выравится так:
Ох = ЪГ=ОЪ — &Ъ=Ъ — Щ*
С другой стороны, если из точки т проведем прямую ш?,
параллельную «а, до встречи с осью #-ов, то имеем
Очевидно, что мы еще более приблизились бы от предела а [к корню xjy
если бы взяли величину Оу? равную расстоянию от начала координат до точки

70
П. Л. Чебышев — Высшая алгебра
пересечения с осью ОХ секущей тп [через две точки т и п кривой
y = f(x)]. Тогда эта величина была бы следующая:
(30),
ъ=ъ-т-т=щ
[Ясно], что можно с выгодою дія приближения брать только один предел.
В нашем случае этот предел есть Ь.*
У,,
0
гг
а р Х/х//
іЛ/^" * 6
ж .
т
Фиг. 4.
X*
* Формула (30) определяет абсциссу От точки пересечения прямой тп через
две точки: т [щ f(a)]nn[b; f(&)]* Эта абсцисса Оу может быть записана водном из
таких трех видов:
а— Ь
(31) 0г =
ът
№-ТХЪ)
іШ. 04 = a-f(a)
f(*)-f(by
O-t — b-fffi)
Ъ—а
fib)-f{a)
Способ определения более точного значения Of корня, по одной из формул (31),
называется способом применения правила ложного положения — regula falsi. Ложное
положение состоит в том, что пересечение кривой в точке х заменяется пересечением оси ОХ
хордой в точке у. Процесс продолжается далее для того из интервалов (а, у) и (у, Ь),
в котором будет лежать корень.
Можно убедиться в том, что способ regula falsi дает тогда более точное
значение хщ корня х, когда, для предшествующего приближения #т_і, числа fO%_i) и
f" farn—l) имеют противоположные лнакщ а способ Ньютона, когда мы пользуемся
формулой для последующих приближений
дает более точные значения хт корня х в том случае, если числа f (ffw_x) и f" (хт—і)
имеют одинаковые знаки] об этом идет речь дальше в тексте.
Пример. Дано уравнение
аЗ -f- 2х — 6 = 0.
Между числами 1 и 2 есть один действительный корень. Имеем:
а = 1; Ь = 2; /» = -3; f(b) = 6-
Для х = а = 1 имеем: f (1) = — 8 < 0; f "(1) = 6 > 0, и применяем формулу regula falsi:
»о = 1; ^ = 1.33; х2 = 1.4486; а8 = 1,456139; ...
Для х — Ь = 2 получаем: f(2) = 6 >0; f'(2) = 12 > О, и применяем формулу Ньютона:
я0 = 2; «1 = 1.57; #2 = 1.4625; сс8 =1.456185; ...
Останавливаясь на третьем приближении того и другого способа, находим
х = 1.4561 с точностью до 0.0001.

Линейное приближение. Способ Ньютона и regula falsi
В рядах энаков могут быть четыре случая:
а
Ъ
f(«0
—
-н
П*)
-#-
-»-
f"(x)
н-
-*-
II
а
Ь
№
—
-+-
'(*)
-+-
-н
f'(x)
_
Ill
а
Ь
г и
-f-
—
f'(«)
—
—
Т"(х)
•+-
-+-
IV
а
Ь
№
-t-
—
П«)
—
—
Г(»)
—
—-
Они [поясняются], соответственно, чертежами.
.У
Фяг. 5.
Фиг, 6.
Фяг. 7.
Фиг. 8.
В первом и четвертом случаях нужно выбрать больший предел 6,
а во втором и третьем — меньший а. Очевидно, надо выбирать тот предел,
для которого к соответствующей ему ординате обращена выпуклость
кривой, или, что все равно, тот предел, который дает одинаковые энаки
для f (х) и f(x).
Чтобы определить, сколько десятичных цифр при каждом вычислении
принадлежит корню, мы сначала определяем, какого десятичного порядка
будет величина
Г [А)
2f'(b)

у2 П. Л". Чебъгшев — Высшая алгебра
Если этот порядок есть (і-ні), то уменьшаем его единицею и
получаем й. Потом, означив уменьшенный единицею порядок количества
і = Ь — а
через «г, ?аключа?м, что порядок іг будет более, нежели 2n-t-h, и потому
можно взять для корня все десятичные цифры до
(
1 \2ПЧ-&
10/
[т. е.] 2«-+-fc десятичных цифр принадлежит корню.
Чтобы выгодно начать приближение, надо, чтобы было
2-й ч- & > «-, или «-*-&> О,
что вообще не может [иметь места], если Ъ и н отрицательны.
Заметим еще, что, [удаляясь] от выбранного надлежащим образом
предела, мы еще более приблизимся к корню, если немного увеличим
величину подкасательной
f(b) f(«)
4 ' "И"П"И ———— •
Г(Ъ) или Г И
Следовательно, если у нас [есть] довольно много десятичных цифрг
то (2п-ні)-ую десятичную цифру мы можем увеличить единицею, через
что больше приблизимся к корню. Знак функции f (х) покажет, [будет ли}
новая величина большей или меньшей самого корня.
Кроме приближения линейного, существуют еще приближения
других порядков, когда отбрасываемые в тейлоровой строке члены будут
высших [порядков].*
* Для системы уравнений
fi(^2/)=0;'f2(^2/)=O,
если обозначим первые приближенные значения корней через %у, уу, а поправки к
точным корням ху у—через Ъ и Л, будем иметь:
fi («і-•-А, Уі-•-*) = 0; U К ¦+¦ h Уг ¦+- Ь) = 0.
Воспользовавшись известной в дифференциальном исчислении строкой Тейлора
для функции двух независимых переменных и ограничиваясь первыми ее членами,
будем иметь такие уравнения 1-й степени для определения приближенных Ъх и Тс^:
fliXl, у^^Щ^^Щ^А^о
Определив Ь^ и кг, найдем приближенные значения корней, х% и у2, по формулам:
#о = .%-+-&!,- ys = 2/і-*-
Например. Для системы уравнений
гсЗ — у = О
{

О симметрических функциях 73
Лекция XXII
§ 22. О симметрических функциях. Теперь мы займемся исследованием
симметрических функций корней уравнения.
Это —такие с^ункцви? которые не меняют ни своей величину ни знака
при взаимной перемене двух корней.
Из этих функций одни [являются] алгебраическими^
другие—трансцендентными, [т. е. неалгебраическими], но всех замечательнее это щлые,
рациональные алгебраические функции.
Мы назовем простыми симметрическими функциями т? из них, каждый
член которых состоит из одного только корня данного уравнения.
Корни данного уравнения
приближенные значения корней будут:
^ = 0.9; ?/і=0.5.
Определив Ъ^ и &г по приведенным формулам, получим более точные значения корней:
#2 = 0.83; г/2 = 0.66.
Следующее приближение, после вычисления h.2 и \ по тем же формулам, даст:
#8 = 0.826; 2/8 = 0.564-.
Для приближенного решения численных уравнений употребляется иногда еще один
способ, носящий название способа итерации. Это название обозначает повторение одного
и того же процесса, состоящего в следующем.
Заданное уравнение f(x) =0 переписывают в таком виде:
(32) х = 9 (х).
Для этого заданное уравнение /*(;г) = 0или решают относительно члена с 1-й
степенью х, или, например, прибавляют к обеим частям уравнения по х} так что,
f (х) ч-х ¦= щ <р (х) = f (х) -+- х.
Пусть будет х1 приближенный корень заданного уравнения. Следовательно,
подстановка этого значения Хх в правую часть уравнения (32) не может дать в левой части
той же величины х-ц а приведет к новой величине х2, близкой зс а>±. Равным образом
подстановка х% в правую часть уравнения (32) дает слева дальнейшее, близкое к х%
число #8 и т* Д- Мы получим в результате повторения указанного процесса такой рад
чисел:
хх] #3 = <р(#і); #8 = 9(%); зч = фМ; ••• <% = ф(%»-і)і •¦¦
При возрастании т, мы можем приблизиться к корню х заданного уравнения
f (х) = 0.
Пример. Уравнение
о» —бя-1-0.1 = 0,
приближенное значение одного из корней которого есть х± = 0.1, мы переписываем
таким образом:
я==^!-*-^, или л = 0.О2н-0.2яЗ.
5 5,
Получаем:
а?! = 0.1; х2 = 0.02-ь0.0002 = 0.0202; я8 = 0.02 4-0.0000016 = 0.0200016; ...
Это дает
х = 0.020002 с точн. до 0.000001.

74
77. Л. Чебышвб — Высшая алгебра
пусть будут:
Хі] Х%1 ^3? * ' ' ХЧП'
Простые симметрические функции мы будем означать следующий
[образом]:
St> = а?2а ¦+- #22 -+- ^
х
¦т
?5 = яа8н-#23н-а;д
5 = #д4 -ь- а;2* -+- я34 ¦+- %і
'8 ~*~#4
*-¦- #43
, 4
Ж
. 3
'т
•т
8г = хх1 -+- #2* -+- я?3' -+- х/
Кроме того, если имеем
f(x) — xm-+~alx
и1"1 -*- си хт~2 -+- ав а;"1"3
2 * '""в'
(а; — #J (ж — х2) (а; — #s) (#
. -*- #w .
.131—А
.г4) ... (х #т),
то будем также иметь:
f(x) — xm — x1
-~xt
— X
X
771—1
3
я*
X
т
Хч X.-)
хг х%
х} #4
Х.2 Ag
• * *
#3#4
Хт-~\хт
ЖТ?1 2 __ /у* /.* ™
А>-1 U.'.^, ».1'Л
Х^ Х'2 Х^
~~"~~ Us-t »і*о *С'і)
а?о d/<j ж4
хт—2 ^?п—1 ^т
Ж
.ж—я
хіх*х2 ••*хт-іх
т
Отсюда видим? что
aa = — (rc1 -§- а?2 -+-а?3 -ь ...
a3 = — (хг х2 х5 -+- ж2 а;2 #4 -+- #2 #8 #4 ч- -
#т)
ь ж»і-2 ^т—1 ^даі)
«т ~ Х1 Х2 Х2 * ' ' ^тп.-2 ^«1-1 ^»Г
Следовательно, коэффициенты уравнения суть симметрические функции
корней его.
Мы замечаем, что
al = — 8v
Чтобы составить S29 возвысим в квадрат Sx и вычтем отсюда 2а2. Тогда
¦будет
S2 = Sf — 2а2 = а:2 _ 2«2.

О симметрических функциях 75
Мы могли бы подобным образом составить и другие простые
симметрические функции, но этот способ неудобен, и мы будем искать
другой, более общий.
Мы имеем: ч
fix) —%т-+-а1хт~1-{-а2%ш-2~+- ... -+-аш-хх-ь-ат
f (х) — «га;"*"1 -+- а: (»г — 1)хт^ -+- а2 (т — 2) хт'г -*-...-+- ат_г.
Отсюда получаем
f'(x) _ тя w"i -+~ дх (т — 1) gffl-2 н- од (»" — 2) а?"*"8 н- . .. н- <^_г
f И ^ + <?і ;rm-i -+- а2 aw_2 -+- ... -*- сгт_1 х-*-ат
_(х-х2)(х-х^) ¦.. (х-хт)-*-(х-х{)(х-хь)..¦ (g-gw)+ ... -ь(гс-ад)(а:-з:2)... (s-sffl-i)
(?-#!) (аз-а%,)(ю--<с8)... (я;-а!от) . *
111 1
н 1- . . . -f
X — Хі X — Х2 X — ХВ X — Хт
Но мы имеем также [посредством простого деления]:
X — Хг X X2 #3 #4
1 1 Ха Х^ Х$
я; — .г2 х х2 л? ів*
1 _ 1 ^й^^н. <tf
х — хъ х х2 ісЗ х* ' * '
ГС — Хш X X2 Х$ Х±
f(x;> х х2 #з х± * ' * ?
ЯГИ #1 #2 ^8
f (ж) х х2 г*з '
т. е,
аг ж*п-і -+- 2«.2 a;w-2 -*- 3q3 a?w~3 -t- 4a4 a?w~* -+- ... -н (m — 3) ew_i а -и fflgw
Отсюда [находим]
или, иначе:
(33)
X
Ив уравнения (33), посредством деления [двух многочленов] в дер-
вой части, мы получили бы:
51 = — al
52 = a^—2a2
Но делить неудобно. Гораздо лучше уничтожить в первой части
знаменатель, посредством чего получим замечательное уравнение,
служащее для определения простых симметрических функций:
— аг хт~1 — 2а2 хт"2 — 3a3 xm~z — ... — (т — 1) ат_г х—тат —

7? П. Ж. Чебышев — Высгиая алгебра
или
— а1хт-1 — 2а2хт-2 — Завхт-'3 — 4:а4хт-*— ..; =
(34) = 81 я™"1 -ь (а, 8г ч- 8й) %т~* -н К ^ + a2S2 + 53) xm'z
-+-(03^4- а252-н о-з ?3-н ?4) ?w~4-*- ...
Итак, сравнивая коэффициенты [при одинаковых степенях ж, выписав*
первые равенства] и по аналогии заключая о дальнейших членах, имеем:
81 = — а1
Si-+-a1S1 = — 2а2
' Sz4-a1S2-+~a2S1 = — 3a^
(36) S4-+-a1Ss-+-a2S2¦+¦ a&St = — 4а4
iSp -н ах Sp_z н- а2 ?р_2 н- я3 ^р-з -*---•-+- ^—2 & -і- ар_х 8г = —jw,
Р
Отсюда всегда можно простую симметрическую функцию выразить
[рационально] в коэффициентах данного уравнения.
Замечательно, что [при нашем обозначении] коэффициентов, когда at
обозначает сумму корней и когда не принимается в расчет знак, когда а2
обозначает сумму двойных произведений корней н т. д., [если] выразим
сумму одинаковых степеней корней через коэффициенты данного
уравнения посредством формул (35), мы увидим, что [число членов в каждом
выражении для Sp] одинаково [с указателем р] при искомом S.
Сделать пример на эти функции очень [легко].
§ 23* Двойные и тройные симметрические функции. [Введем теперь
обозначения]:
81>т = х?х™-*-х1х™-*~ • • • -ь^я?3т-+- • - - -bV^V""1- ... = 2 х\х™
и вообще
\q>rtS,t,... = ^PX*q3b*iW ' • • -i-xfzfzfxfxj-i-. . .= 2 хіРЯ^ХъЧ$ХЬ- • •
Подобные симметрические функции называется двойными, тройными
и т. д.
Чтобы [получить выражение] двойной функции Si m [через
симметрические функции Si и Sm]: умножим Si на Sm. Тогда имеем
8Г Stn = Sl+m ч- Slt m •
Поэтому

Двойные и тройные симметрические функции 77
или, [при другом обозначении двойной симметрической функции],
(36) 2l*il**m = -Si+m-+-Sl.Sm.
Умножив двойную функцию Si>m на #п, получим
Sn * Sl9m = Sl+*,m "+¦ Sltm+n "^ Sl,m,n-
-Следовательно,
(37) Shntin= ? V**m^" = S»-^«-^,*-tfu-H..
Точно так ж? и далее.
Все эти симметрические функции выражаются рациональным
образом через коэффициенты, притом замечание наше относительно
знаков может быть распространено на какую-угодно рациональную целую
•симметрическую функцию.
"Употребляя тот же прием, т. е. [посредством] последовательных
умножений, всегда дойдем до функции искомой, которую следовало
выразить в известных нам функциях, и определим таким образом всякую
-симметрическую функцию в коэффициентах данного уравнения.
Наши формулы для Si т и jSj т п сделаются несправедливыми, когда
I = іи, или п = т) или I =¦ т = п.
Тогда нужно их заменить следующими.
[Во-первых],
2Sltl = (Si)>-S2l,
ИЛИ
ибо члены в формуле (36) сделались равны по два.
Точно так же, когда п = т7 формула (37) будет
Иогда же ? = w = w, тогда
Симметрические функции дают средство производить какие угодно
действия над корнями данного уравнения. Но нужно вам?тить, что
действия производятся над всеми корнями [сразу], ибо здесь должно
рассматривать решение уравнений как особое действие, результат которого
•есть получение всех корней данного уравнения.
Вследствие этого, при вычислении какой-либо функции корней
уравнения, или, что все равно, при произведении какого-нибудь действия

7S П. Ж. Чебышев— Высшая алгебра
над корнями уравнения, получается другое уравнение, корни которого
суть частные значения этой функции, получаемые через замещение
[корней одного уравнения корнями другого, нового].
Положим, что требуется найти уравнение, корни которого суть квадраты
корней данного уравнения.
Это сделать легко. Положим, что искомое уравнение будет
(s — ^)О — %)($ — гв) ...(s — гт) = О,
где
« - ¦¦ ¦ лл - * л* —. л* «а. /у - ¦¦ -7*
»//«> , ¦••»-» — Ж
. 2
m wm *
Тогда, если это уравнение будет
zm + ft ^m-i _^рі ^т~2 +_ -H^m-1 і? -+-?пг = О,
то мы получим:
Очевидно, что все коэффициенты искомого уравнения выразятся
рациональным образом через коэффициенты данного уравнения.
На [свойствах симметрических функций] основан также способ вычисления
корней.
Прежде всего преобразовывают данное уравнение так, чтобы один
корень [нового уравнения] был несравненно больший, нежели все
прочие. Потом в преобразованном уравнении [рассматривают] простую
симметрическую функцию
Si = x1l-+-x.1l4-xzl4- . .. -i-xml = x1l (l -ь—н—^-н . . . -н'-^ )• t
Если хг есть корень, превышающий все другие, то, очевидно, всегда
можно [выбрать I таким образом], что величина Si близко подходит к
самому корню [Xj1 преобразованного уравнения].*
* На этом основан способ Греффе приближенного вычисления корней не только
действительных, но и комплексных.
Положим сначала, что корни уравнения действительны. Пусть х^ есть
наибольший из них. Составил такое новое уравнение, чтобы корнями его были числа
Х1 j — *2 э • • • — &тг і
где 7с—любое делое положительное -число. Тогда имеем:
я =— a2*1; s'm>-t-21zm~i4- ... -Hjpw_1$-*-рт = 0
...рт~(хгх2...хт)Ж.

Двойные и тройные симметрические функции- 79
Нужно заметить, что когда в уравнениях (35) некоторых
коэффициентов нет, например когда вычисляется простая симметрическая
функция порядка высшего, нежели степень данного уравнения, то эти
недостающие коэффициенты заменяются нулями.*
Если по абсолютной величине корни хт\ #ти—1> • • • #2» #і возрастают, то первый член
в каждой сумме, при надлежащем выборе числа fc, будет больше всех остальных
членов суммы, и мы можем написать:
что дает корни после извлечения радикалов из
«а _Л, х% _^, а^ _^, ...
Для составления уравнения, корни которого были бы четными степенями,
достаточно высокой степени, корней данного уравнения, пользуются рядом
последовательных возвышений в квадрат, имея в виду, что
f (я) = (я — хг) (х — Л'2) ... (о; — а-да); (— l)w f (— ж) = (а -н ах) (а; -+- #8) ...(дан- #w)
и перемножая многочлены
(а™-і- «! aw-i -*-...-*-вда_!ж-+- tfOT) - [а;»1 — а1 хГ>і-і-*....+(_ym-i «,от-1 я-+- (- 1)тат].
После этого полагают х2 = —«Л составляют новый многочлен су-ом, как раньше
с іс-ом, и т. д., пока не дойдем до уравнения F(z) = 0 с такими коэффициентами
Рі,р2* • •• Prn-і чт0 Дальнейший процесс приводит к уравнению Ф (g) = 0,
коэффициенты которого ^і, 7z^ ..., і:т будут приблизительными квадратами соответствующих
коэффициентов р1, #2, ... #Я1 •
В случае комплексных корней,, способ представляет все же значительные
трудности. Способ Греффе был предложен 99 лет тому назад. Мысль, на которой он
основан, была у Даниила Бернулли более чем 207 лет тому назад и разрабатывалась затем
Фурье, Якоби, Греффе, Энке и др.
* Все простые симметрические функции 5^, 5*2, ... выражаются как целые^
функции с целыми коэффициентами от симметрических функций а1} а2г ег3> •••і%^
т. е. от коэффициентов уравнения:
Si = — «і; S2 = и- «і2 — 2с?2; ?3 = — аі3 "+" ^аі аі — ^аз
S± = -і- а^ — 4«і2 -+- &01 аз ~н ^л22 — ^аі
Обратно: симметрические функции а^ а$, ... ат выражаются рационально через-
суммы степеней Si, jSj, ..., но коэффициенты выражений будут дробными:
ax==^—iSi; 2я2 = ?12-?2; 6a3 = — 6^-+-З^ ?2 — 2?3; ...
Если имеем уравнение tn-ой степени f (х) = 0, возьмем тождество я^-771^-^0»
где г = 1, 2. ... т и w > т, затем просуммируем его по всем корням, то получим
ИЛИ
#п"+" аі ^n—i "•" й2 ^п—2 -+-•••-*- ат—1 ^п—m+iH" aw ^и—я» = Q*
Отсюда, имея Su S2, ... Sm^x< Sm, можно вычислить симметрические функции:
8т-*-і) ^от+2 5 * • * ®п.

SO П. Л. Чебышев—Высшая алгебра
Лекция XXIII
§ 24. Об исключении неизвестных* Возьмем два самых общих
уравнения, одно степени ш, другое степени и, с двумя неизвестными х и у.
Положим, [что дано уравнение]
f(x, y) — ym^{A1x^B1)ym'l^{A,x^^B.1x^G^ym^-^ ... = О
= Ут -+-ft ут~~1 +р2 2/w~a -н ... = О
и [уравнение]
JP(a?, 2/) = t/n-ь(% о;-I-*д)2/п_1-ь (Ogя2 ч-Z>8 а;-н с2) ^Л"2-+.... =0
и положим, что требуется найти систему величин х та. у7 удовлетворяющих
тому и другому уравнениям.
Означим корни первого уравнения через
Ухз Угч • *" Ут-
Подставив их во второе урави?ние, будем иметь результаты:
Уіп ¦+- ь ^іп_1 -+- & Уі*"2 -+-...-+- Sn-i Уі •+- ?ti
'(OO)
из которых, по крайней мере, один будет нуль, если только уравнения
допускают общие решения.
Перемножив [выражения] (38), получим некоторую симметрическую
функцию, [равную нулю],
7=0,
•
которая и будет конечным уравнением, [представляющим собой уравнение .
о одним неизвестным х\ оно получается в результате исключения н?из-
Воспользовавшись тождеством
т
2^-)=о,
или
вычислим S_i с отрицательным указателем через S^ S2i ... 5^—1 с положительными
показателями. Далее найдем #_а, пользуясь тождеством
или
?от_2 ¦+- аг ?т_8 ч- ... ч- вт-2 • т -*- aw-i * &-1 -*- ат #-2 = °і
и т. д.

Об исключении неизвестных 81
вестного у из двух данных уравнений], ибо условие V=6 достаточно
для того, чтобы уравнения
f(x}y) = 0 и F(x,y) = 0
имели общие решения. ^
Функцию V можно вычислить, перемножив действительно все т
результатов (38) и вычислив симметрические функции корней уравнения
которые произойдут от перемножения.., Очевидно, это окончательное
уравнение будет с одним х.*
• Подробнее говорится об исключении неизвестных в „Дополнениях" к этому
курсу "Чебышева.
П. Л. Чебыш?в. Высш. алгебр*. 6

ДОПОЛНЕНИЯ ПРОФ. М. К КУРЕНОКОГО
I. Извлечение радикалов из комплексных величин и решение
двучленных уравнений. В дальнейшем, для сокращения записи, мнимую
единицу \J~1 будем обозначать знаком г, т. е. будем иметь
так что
В § б мы рассматривали-пять алгебраических действий с
комплексными величинами: умножение, возвышение в степень, деление, сложение
и вычитание. Три из этих действий: сложение, умножение и
возвышение в целую положительную степень — действия прямые, а два: вычитание
и деление — обратные. Остановимся теп?р'ь на шестом действии — на
извлечении радикалов, обратном возвышению в степень.
В том частном случае, когда алгебраическое уравнение tn-ой степени
сводится к виду, упомянутому в § 1,
(1) a#m-*-b = 0,
где а н Ъ — любые комплексные или действительные величины, тогда
говорят, что мы имеем дело с двучленным уравнением. Его коэффициент a
отличен от нуля, так как в противном случае мы вовсе не имели бы
уравнения, а потому на этот коэффициент можно разделить все уравнение и,
обозначая
Ь__
а ~ С> ч
где с есть вообще число комплексное вида
с = А-+-Ві=В (cos 9 -+- і sin 9),
можно переписать ваше двучленное уравнение (1) в такой форме:
(2) хт = с.

Извлечение радикалов и двучленные уравнения S3
По доказанному в § 6, наше уравнение должно иметь, по крайней
мере, один корень, который найдется, очевидно, посредством извлечения
радикала «г-ой степени иэ величины с, т. е. по формуле
*»,—
x=Vc,
или, иначе:
(3) #== у В (cos 9 -н і sin <p).
По доказанному в том же параграфе, упомянутый корень должен иметь
такой вид:
х=х-+-$г или # = p(cos фн-гвіпф),
а по доказанному в § 7, всех корней нашего уравнения должно быть т,
и все они должны иметь только что указанный вид.
Следовательно, извлечение радикала *и-ой степени из комплексного
числа, по формуле (3), должно дать, с одной стороны, т различных
значений радикала, а с другой стороны, все т различных корней уравнения (2).
Найдем эти корни.
Мы имеем
х= у В (сое (р -+¦ і sin 9)=p*(cos ф -ь t sin. ф)
и, по воэвышении в m-ую степень, получаем
pm (cos ф -+- і sin ф)т = В (сов <р -н г sin 9),
а по доказанному в § 5, взяв возвышение в степень комплексного чиода
о модулем JB = 1 и аргументом ф, имеем такую формулу Myaspa:
(4) (cos ф -t— г sin ф)т = cos тф н- г sin югф.
Поэтому, уравнивая модули и аргументы двух равных комплексных
величин и имея в виду, что модуль есть величина положительная или
нудь; что косинус и синус — это функции периодические с периодом 27г, т. е.
cos 9 = cos (9 -+- 2тг • 1с)] sin 9 = яіп (9 -ь 2тс • &),
где Л обозначает нуль или любое целое положительное, а также
отрицательное число
*=...—3; —2; —1; 0; -ні; ч-$ н-3;...;
припоминая наконец из § 4, что аргумент комплексного числа должен
заключаться в пределах от 0 до 2%, из равенства
pm (cos »гф -ь г sin *иф) = В [cos (9 -t- 2я • Щ -+-»sin (9 -ь 2* • fc)]
мы находим:
p=H-yJJ; тф = 9-ь27с-л; ф=——
«*

84 Дополнения проф. М. К Куренского
причем для Ъ надо брать 0; -+-1; -+- 2; ... н- (w— 1), и напишем для
искомого корня х такую общую формулу:
s=-t- У В (^cos - h*sih J*
Подставляя для h только что указанные числа, будем иметь m рае-

наличных значений радикала ус и одновременно получим »г корней
уравнения:
при fc=0 »1 = -H"j/'2i^cos^4-*siii^-j
_ . J*/"»/ ф-ь2тг . . фн-2тс\
„ t = l a;2=:-i-yiJ(cos^ + %Bm-—j
?2(,
Ф-^360° . . ф-н860°\
-н YjK I cos1 i-zsm J
#» m j
7 n -Г/^/ ф-н2.2тг . . ф-*-2-2тгі
„ &=2 #*=-+-I/it cos1 ь-fcsia1
-Л5 / 9-+-7200 . . ф-н720°\
-4- V-B cos1 1-г sin
T - ,m/-n/ ф-+-2(яг — l)x . . ф-#~2(т —Г)2л
&=m— 1 #,„=-*- l/JR [cos - —Hisin- =
Ф-ь(от_ 1)360° . . ф-#-(т —1)860°\
cos ; h г sin-—'¦ : j •
m m f
Легко видеть, что если бы мы брали дальше:
ft = m; »» + 1; W-+-2; ...,
то, вследствие периодичности косинуса и синуса, пришли бы к этим ж?
величинам хх\ #2; ... хт. Также и при отрицательных 7с. Всего будем
иметь т указанных величин для х.
Для действительных величин с формулы остаются те же, только,,
вместо модуля Д будем иметь арифметическое положительное или, как
еще говорят, абсолютное значение \с\} а вместо аргумента ^ напишем 0,
если с положительно, и 7г, если с отрицательно.
Пример. Для решения уравнения
имеем:
х=у—8; В=|—8| = -*-8; <р = тг; —8 = 8(cosw-+-*sinw); -+-y2J=2
яг=2 (cos 60° -+- г sin 60°); хг = 2 (cos 180° -і- і sin 180°)
аг3=2 (cos 300° -+- і sin 300°),

Извлечение радикалов и двучленные уравнения $$
или, иначе:
#2 = 2(— 1-ьг.0) = — 2
Проверка дает:
(ін-і#)3==1-і-гЗ«\/3 — 3-3 — й- /3 = — 8
(— 2)3 = — 8; (l-tV3)3=—8.
Если возьмем тот частный случай, когда с == 1, то будем иметь;
Л»=1; ж=1>1; JB=1; <р=0
(б) «ft+i= cos — 1- г sin -j-,
где
ft = 0; 1; 2; •••!» — 1.
Легко видеть, что если мы будем иметь какой-нибудь один корень Хс
двучленного уравнения
Хт=С,
тогда все корни Х1} Х2,... Хт этого уравнения мы получим посредством умно-
женин величины Х0 ни все значения радикала т-ой степени из единицы, wi. е.
на
cos н tsm («=0,1,9, ... т — 1).
т т ..
Действительно, возвышая в tn-ую степень произведение
v / 2* - k . . 2-тг • Ц
X [ cos е- г sin з
будем иметь
X™ .(cos i-tsin =С-1 = 0.
Всякая целая положительная степень радикала т-ой темни из единицы
также есть значение радикала т-ой степени из единицы,
В этом сразу •убеждаемся, возвышая выражения (б) в различные
степени с целыми показателями и имея в виду периодичность косиауса
и синуса; в результате мы будем иметь выражения того лс? самого вида (5).
- Возьмем какое-нибудь одно выражение %\ из различных х17 я2,... хт
и возвысим его в разные степени, начиная с первой/Мы будем шеть:
**; «і*;*Л ***;••¦
Если этот ряд величин даст все эначения радикала ги-ой степени И8
единицы, хи tf2', . •-#Л1> тогда такое эаачение #j будем называть
первообразным корнем т-ой степени из единицы.

86 Дополнения проф. М. К. Еуренского
Очевидно, что %і = 1 н? будет иервообразным корнем, так как вов-
вышеви? в степени дает только одно значение 1, а не х1У #2, ... Ясно
что, по формуле Муавра, первообразным корнем будет такое
выражение е = #7:
6 = COS Н Ъ Sin '
т т
Из последней формулы вытекает, что для всякого целого числа N, которое
делится на т, так что N=m • п} будем иметь*
-(
2ти . . 27r\iV
|-»SU1 =
т т J
2ttJV . . 2tzN
= cos н- i sin = cos 2?m -+- i sin 2тгте = 1 ч-1 • 0 = 1.
* В теории функций комплексного неременного доказывается справедливость
таких формул Эйлера:
cos а ч-1 sin а = ега; cos а — г sin а = е~*а,
откуда имеем связь между тригонометрическими функциями и показательной
функцией 6х:
cosa = _ . вша = _ ,
где е есть трансцендентное число, обозначающее основание натуральных логарифмов
и равное 2.71828... Выходит, что показательная функция ех имеет мнимый период 2*і,
так как
е*+2п.-.* = в* щ f.M^f (oos 2^ . ft-btsin2ic. *) = **. 1; €Гм-*"2"* = ^.
Первообразный корень запишется посредством показательной функции таким
образом:
а для целого числа N=m • п будем иметь:
2тсУ.
В алгебре часто употребляется операция логарифмирования. В теории функций
комплексного переменного доказывается, что логарифмом комплексного числа
В (cos 9 + t sin 9j
будет также комплексное число х-л-гу. Найдем его. Мы имеем
lg [В (cos (p + t sin 9)J = os -ь ty,
или
ех+гу _— e# . €м/ _- ex (cos у h_ { bj-q y}~R (cos 9 -i- * sin 9;.
Отсюда:
еЛ —i2; у = ф-4-27г.)!;; # = lgjj; lg [#(cos 9 ч-г sin 9)] =lg JR-ь-г (9-+-2тс - ft).
To есть логарифм имеет бесчисленное множество значений. Одно из них, lg jK -t- гср, при
fc = 0, называется главным значением. Главное значение логарифма действительного
положительного числа с представляет собой логарифм в элементарной алгебре, тая
как в этом случае получаем:
9 = 0; с = В] lgc = lg.R.

Извлечение радикалов а двучленные уравнения 87
Примеры. Приведем в качестве примеров все значения радикала ж-ой
отея?ни из- единицы для т=2; 3; 4; б. Имеем:
1°, Для т = 2 ^1 = cosO-+-isinO=l; х2 = со8п-+-івтк — —-1
2°. „ ю = 3 ^ = oos04-*sinO=l; ^2=cos —4-isin$
4тг . . 4t
#s = cos-g--f-tsm-g-
3°. л m = 4 0^=1 ==6*; я2==;===е; #3=— 1==es2; я4= — t = e5.
4°. ;3 m = 6' ^==oosO-+-isinO = l; tf2 = cos. 4r"+-" ' 2*
tsm
б ' r"~ 5
4tc . . 4x 6-тг . . бтг
#3 = cos -g- -+- г sm -g-; $± = cos -g- -+- г sm -=~
хь = cos -g—h» sm -jr-
л?г = 1=~е5; a?2 = cos72°-*-<sm72°se; я3 = е*; «4 = s*; a:e = e*
Отметим в заключение практическое применение упомянутой раньше
формулы Муавра
(cos ср -+- г sin <р)п = cos пу -ь г sin w<p
для представления синусов и косинусов кратных дуг,
соз мер и sin wip,
череэ целые положительные степени косинуса и синуса дуги 9.*
По формуле бинома Ньютона мы имеем
(oos 9 "+¦ іsin 9)п = cosn9-+¦ w • г сов"""1 <р sin 9н—- 2- • г2 cos""2 9s*n*9"*"
n(n — 1)(л — 2) .* n_, . .
н—v 1.2.3— °os 59sm39-f-... =
~ П (Л — 1) n_9 . о
= cosn9 у—5—cos" ^ 9 sin* 9
п(л — l)(n —2)(л — 3) n_4 . 4
~+- 1 2.3.4 '00S W-
г у cos" 9 sin 9 ^ 1 . q %—'cos" * 9 sin8 9-+-...
* После приготовления к печати лекций Чебышева по высшей алгебре, чзвле-
чени? корней из комплексных чисел, формула Муавра и ее применение к
представлению синусов и косинусов кратких дуг через целые положительные степени косинуса
и синуса дуги найдено было в другом курсе Чебышева— в его лекцаях по
прямолинейной и сферической тригонометрии. Сохравились также лекции Чебышева и по
аналитической геометрии. В биографии Чебышева, находящейся в одном из томов его
собрания сочинений, упоминается об изданвых в этом году курсах Чебышева по
разностному исчислению, определенным интегралам, теории вероятностей и высшей
алгебре, а также о курсе аналитической геометрии. Нет упоминания о курсе
прямолинейной и сферической тригонометрии. Учебник, прямолинейной и сферической
тригонометрии и учебник аналитической геометрии, по лекциям Чебышева, надеюсь
в атом году приготовить к печати.

88 Дополнения проф* М. К Куренского
Принимая во внимание формулу Муавра, получаем
cos w<p н- г sin w<p = cosn 9 TTg"" cosn~2 9 s*n2 9 ~*
i у cosn * 9 sin 9 —
Следовательно, уравнивая действительные и мнимые части (с
множителем t= V—l)j мы можем написать:
„ п(п-— 1) а* о • я
cosw<p = cosn9 12 с 9sm г-1"
-1 1 . 9 . Я . ± C0S 8Ш ?— ¦••
п я_, . w(w — l)(n — 2) n_« . ~
1.2-3-4
sm«9=Yo0S 9sm<p 1 ¦ 2 - 3 c f smJ©
Примеры. Подставляя в предшествующие две формулы
w — л: о: trj • • ¦ *
подучим такие формулы для косинуса и синуса углов двойного,
тройного, и т. д.:
1° При п=2 cos2<p = coss<p — sin2<p; sin 2p = 2 sin 9 cos 9
2° и п=3 соа 3<р — cosa 9 — 3 cos 9 sin2 9 =
= 4 cos8 9 — 3 cos3 9 — 3 cos 9 sin2 9 =
= 4 cos3 9 — 3-COS9
sin З9 = 3 sin 9 cos2 9 — sin3 9 —
= 3sin 9 cos29~*-3 sin39—4 sin2 9 = 3 sin 9—4sin* 9
3° „ n = 4 cos 49= cos4 9 — 6 cos2 9 sin2 9 -1- sin4 9
sin 49 = 4 cos3 9 sin 9 — 4 cos 9 sin8 9 =
=4 sin 9 cos 9 (cos2 9 — sin2 9)
II. Точное решение буквенного кубического уравнения. В § 1
сказано о том, что, помимо квадратного уравнения, также уравнения
3-й и 4-й степеней с одним неизвестным могут быть решены "с
помощью алгебраических действий над коэффициентами уравнений,
включая и действие извлечения радикалов, и упомянуто о том, что, несмотря
на усилия лучших математиков, решения уравнений б-й и высших
степеней не могли быть приведены к этим действиям. Отмечено, что
Абелем доказано положение: уравнения б-й степени и выше, кроме
частных случаев, не могут быть приведены к извлечению радикалов.
Заметим по атому поводу, что большая работа в области точного
решения уравнений б-й степени и выше выполнена была до Абеля
французскими математиками Лагранжем и, в особенности, погибшим на
дуэли на 21-м году жизни Галюа, работы которого при жизни не
признавалась ни отдельными учеными, ни академиями наук и не были напечатаны,
а через много дет после смерти положили основание целой теории—

Точное решение буквенного кубическою уравнения 89
теории Галюа, разрабатываемой сейчас многими учеными. Сравнительно
недавно уравнение 5-й степени было решено с помощью теории
функций комплексного переменного; корни выразились точно, но, разумеется,,
не в радикалах, а через особые, так называемые, модулярные функции.
Однако все эти сложные теории и решения интересны для чистых
математиков, но мало полезны для практиков и техников, которым нЪдо
иметь не словесные решения и сложные формулы, а простые доказанные
правила и несложные буквенные выражения, позволяющие без
затруднений написать венчающее дело число, вовсе не обязательно точное,
а приближенное, с двумя, тремя и в редких случаях с четырьмя энаками
после запятой в десятичной дроби. В этом смысле надо понимать и то
выражение в конце § 14 об исследовании корней кубического
уравнения о действительными коэффициентами, где говорится, что подобные
исследования были бы интересны, если бы не было решения численных
уравнений. Вспоминая еще отрицательную для практики оценку в конце
§ 13 теоремы Штурма, которая с теоретической стороны смело может быть
названа одним из главнейших открытий высшей алгебры, ваметим
наконец, что изложенное и во всех других параграфах курса Чебыш?ва
имело целью дать средства наиболее просто, путем наипростейших формул
и вычислительных операций, получить приближенный корень уравнения^
заданного численно, при этом с любой степенью точности.
Формулы для точного решения кубического уравнения с
буквенными коэффициентами во многих случаях могут быть полезны для
разыскания как точных, так и приближенных корней.
Решению кубического уравнения много внимания уделяли 400 лег
тому назад и раньше, пока оно не было решено итальянским математиком
Тарталья. Решение свое он первое время скрывал, возможно с целью
более детальной разработки формул с течением времени, пока об этом_
решении не узнал от ученика Тартальи его противник Кардан.
Кубическ&? уравнение можно записать в таком общем виде:
2/3 -+- ау2 -ъ Ъу -+- с=0.
Подстановкой вместо одного неизвестного у двух, я? и -а, по формуле
у = х-л-а
преобразовываем уравнение в такое:
а;3^(За^а)ла^(За2^2аан-6)ж-і-(а3-і-а2а-ьаЬн-с) = 0.
Определим неизвестное так, чтобы коэффициент при х2 обратился бы
в нуль:
Зсс-*-а=0; а =— -§-•
Иначе сказать, подстановкой у = х—-g- приведем заданное уравнение к
тонкому нормальному виду:
a?-*-Px + q=09

90 Дополнения проф. М. К. Курсивного
где обозначено:
Чтобы решить уравнение нормального вида, введем вместо а? две
неизвестные величины и ж v по'формуле
Тогда наше кубическое уравнение перепишется так:
w3 ч- Зи2 v ч- Змі;2 -*- vz ч- Р(мч- ©) ч- 2 = О,
иди
w8 ч- г;3 ч- (м ч- v) (Зш? ч- Р) ч- 2 = 0.
Две величины и ж v связаны между собою только одним этим уравнением.
Следовательно, их можно ограничить любым другим уравнением.
Подчиним их условию выполнять уравнение
JP
3uv ч- Р= 03 или uv =. g- •
Тогда первоначальное уравнение упростится и обе неизвестные величиви:
иж v будут определяться такой системой двух уравнений:
р
или, иначе:
рз
w3 ч- v8 = — q;' w3 • v8 = — -g=-
B этой системе мы имеем сумму величин ад3, t?8 и их произведение.
Следовательно, эти величины будут корнями квадратного уравнения
Его корни ?2 и ?2 дают искомые величины по формулам:
где
д2 рз
27
и, вследствие того, что
мы будем иметь корень х кубического уравнения нормального вида по
такой формуле Кардана:

Точное решение буквенного кубическою уравнения 91
Кубическое уравнение должно иметь три корня, тогда как радикалы
3-й степени из 1?х и из ?3 дают каждый по три различных значения.
Комбинирование одного значения радикала из $,х с тремя значениями
радикала из ?2 могло бы привести к ошибочному заключению, что всего
получим девять корней. Здесь надо иметь в виду то, что из значений
кубических радикалов величин ^ и ?2 мы можем выбирать только такие, которые
удовлетворяют условию
Для первообразного корня кубического И8 единицы, т. е. для е, мы
имеем
е = cos -g—н і sin -g- = cos 120° -+- і sin 120°,
т. е.
_ 1 )/S . 2_ 1 </д . 5—1
?— — -g-H g-г, е — -J" 2"г; е —*•• v ¦
Возьмем какую-нибудь одну комбинацию величин миіз, скажем
для которой удовлетворяется обязательное условие
Р
«і-*і = —Т-
Тогда мы будем иметь все три корня кубического уравнения посредством
умножения величин иг и vx на е, на е3 и на е3 = 1. Так как
Р JP JP
t^ . v1 = — -g-; емг •e2v1=:e8w1 • t>x =— -g-; е8% •er1=re3w1 - vx = — -g-i
то окончательно будем иметь три корня хХ1 #2, xz по формулам:
x^YTx + VQ х2 = гУЪ+е*У&, хв = е?У?х-і-*УГ2.
Если найден будет один корень уравнения #и то, согласно
изложенному в § 7? левая часть уравнения должна разделиться на х — хх без
остатка, и мы найдем два других корня а?а, х8 путем решения квадратного
уравнения
x* + Fx4-q==z0 т. ?. а»-ь«*-ь* = а
В § 14 было рассмотрено кубическое уравнение с действительными
коэффициентами р и q3 где
8р = Р.
Выпишем формулы для точных корней, пользуясь попр?жн?ыу
буквой Р.

$2 Дополнения проф. М. К Куренспою
Если
то радикал из левой части этого неравенства будет число действительное,,
и следовательно, будет действительным одно из значений иу которое мы
обозначим через иХ7 и одно из значений v, которое обозначим через vJt
Тогда корни будем иметь, после подстановки множителей е и е2. по
формулам:
Один корень есть действительный, а два других — сопряженные
комплексные.*
* С помощью таблиц логарифмов ^исел и тригонометрических функций можно
найти приближенные значения корней с помощью таких вычислений:
ЕолиР < 0, то введем вспомогательные углы о^ и $ по формулам:
JP3
27
Тогда получим:
з
з/
= -|smai; tgf^j/tg-^
*і = -1/-"о- (tg & -н ctg Р) = -
sin2&
J?
»Ч..,,..._ V-I
Если JP > 0, то введем вспомогательные углы а^ и т, а затем вычислим корни
по формулам:
»і = |/у(*вТГ —otgT)= — 2l/-Jctg2y; «2=il/-Jetg2-r-+-t
*?
sm2r
•,=V *«e»<-'-?L
¦yi

Точное решение буквенного кубического уравнения 93
Если
4^27 U>
то все корни будут действительны, и два ив них равны друг другу:
хі=== 2Wx5 ^2 === ^з = — **і-
Этот случай не упоминался в § 14, потому что там исследование
производилось в форме применения теоремы Штурма к кубическому
уравнению, а она предполагает, что равные корни удалены из уравнения.
Если
то радикал дает число мнимое, а вследствие этого и радикалы
¦К, -К
Зудут числами комплексными. Несмотря на это, все три корня $Х1 x2J хг
будут действительны. '
В самом деле, взяв для их комплексную величину ntf формуле
«1 = а-ч-г?=У?1,
мы должны будем для vt выбрать величину комплексную сопряженную:
так как произведение ul'V1 должно быть действительной величиной —-=т*
Корни находим по формулам:
хг = иг -ь % = 2а; #2 = гих ¦+- е2 v1 — — а — $\/Ъ
Однако величин аж|3 нельзя определить алгебраическим путем, так
как их вычисление снова приводит к кубическому уравнению того же
самого частного случая, что и рассматриваемый вд?сь. Этот случай
называют неприводимым. Корни х1у х21 х3 находят с помощью тригонометрических
величин, а не алгебраических только, как в остальных случаях.
Мы имеем:
» і1/ " -Р* Я.
л=у — т?ш> ^т^—п
^3/F" -Лчз7 9-f-2*«fc . . 9-ь2гг-А\
у?х = у.В (сов-—g *-%sm g j
j/?3 = yJS (cos 2—r§ г sm *—g J .

94 Дополнения проф. М. К Куренского
Принимая для У^" и У?2 одинаковые значения чисел 7с=0, 1, ^
будем иметь
Тогда
^ = 2уЛсов-|-; ж2 = 2 уі? cos ^-д—; z3 = 2 У-R cos1*1--^—•
Пример. Пусть требуется решить уравнение
уЗ _ Qy2 + Щ _ 12 = 0.
Имеем:
Р=1; д = -2; а«-*-я-2 = 0; Уі = 2-і-і- Ц^-*4 • Ц^=В
уз^6у2н-13У-12= 2_3 4=0
у — 3 _
8 . V7 3 . \/7"
III. Решение уравнения 4-й степени. Уравнение 4-й степени
#*-н ахъ ч- Ьх2 -ь от -+- d=0
решено было математиками Ф?ррари, Бомб?лли и Эйлером.
Решение Феррари состоит в следующем.
Напишем тождество
/я2-і-^-*-.г] = з?-*-аа?-%-?--¦—\-<2,х2,е-+-ахя-+-$1.
К первой и второй частям уравнения 4-й степени прибавим,
соответственно, первую и вторую части нашего тождества. Получим:
или
(s2H-f «+-«)*= (|1ч-авг — б)я2н-(аг — с)#-н(*2 — <*).
Величина я у нас не ограничена никаким условием. Выберем ее так^
чтобы правая часть последнего уравнения стала полным квадратом. Тогда
можно будет из обеих частей извлечь квадратные корни ж наша задача,
сведется к решению системы двух квадратных уравнений.
Условие того, чтобы стоящий в правой части тр?хчл?н'вида
осіс3 -+- фх -+- у
был бы полным квадратом, состоит в том, чтобы было і
f}2 = 4ar,

Решение уравнения 4-й степени 9$
т. ?. правая часть нашего уравнения должна удовлетворять условию
(ог —с)3 = 4(^-ъ2,г — b\{f — d).
Это уравнение определяет неизвестную величину г. Оно являетоя
кубическим уравнением и может быть переписано еще так:
я3— -^Ьвв-н'і(ас — Щя—і(с2ч-а2й — 4М)=0.
Найдя по изложенным выше правилам какой-нибудь один его
корень #1} будем иметь
i^drj/jl + ^-bJ^ + Co^-e)»-*:^-^
и по условию, что подрадикально? выражение имеет вид (кхч-р)\ можем
написать
т. е. получим два квадратные уравнения для разыскания четырех корней
заданного уравнения 4-й степени:
х% ~н (-^ —XJ ж н-^ — у. =0
Обозначим:
Получим четыре корня хХі х2, #3, #4 посредством решения двух
уравнений
Если
то все четыре корня будут действительными.
Если
гі«_4ш1>0; 1*—4щ<0
или если
г,2—4^<о; г22—4*и2>о,
тогда два корня будут действительные, а два—комплексные сопряженные.
Если ,о
у —4я4<0; У—^2<°>
то получим две пары комплексных сопряженных корней.*
* По Эйлеру, корни уравнения 4-й степени находятся по формуле
4

д§ Дополнения проф. М. К. Курепского
Пример. Если бы мы применили способ Ф?ррари к решению урав-
Н6НИЯ
я*_8я5-і-Ш3-ь32я — 60 = 0,
то пришли бы к решению кубического уравнения
2л8 —11л2 —& —44 = 0,
нормальная форма которого будет
гз 169 г 4490 _п
** 12 ^ 108 "™U'
В результате его решения получили бы корни заданного уравнения:
гд?#, 2, г обозначают три корня кубического уравнения
коэффициенты которого определяются через коэффициенты а, Ь, е, <? заданного
уравнения по таким формулам:
'"""16 2 > Р~25б"*" - 16 4 ' 64і"8" Т"1"0/ '
Эйлер сводит сначала полное уравнение к упрощенному виду
^4 — ау2 — $у — у — О
а
посредством подстановки х-=у —> которая дает:
За» _ . а* аЪ За* г»2Ь ас
и затем находит коэффициенты кубического уравнения по формулам:
/=Т5 ^ = ів-*-т5 Л==бі'
Если 3 > 0, то четыре корня упрощенного уравнения 4-й степени, по Эйлеру» буду*
иметь такой вид:
уг = -+- v?4- v^-f- \Т; у2 = ¦+¦ ^я"~" ^й — vT
yz-=z — v^-ь Уд — vV; у4 = — v^*— v?-+- vV,
а если 3 < 0, то корни напишутся:
уг = н- )/р -+- \/д; -— Уг; у3 = -+- \/р — Vg"-#- v'r
#з = — vS> -+- v'^-н vV; y4*=— •jp"— v'g"— "SfT
Пример, Для примера, рассмотренного Эйлером,
я* — 25ж2 _ь 60я — 36 = О,
имеем а!=:уи получаем:
а = 2Б; &= — 60; t = 86

Решение уравнения 4-й степени - $?
Эти корни гораздо проще находятся по правилам определения целых и дробных
корней уравнения любой степени т. Такие правила изложены будут дальше.
Пользоваться формулами для решения уравнений 4-й степени в данном
ожучае не целесообразно, имея в виду, в особенности, трудность решения
связанного с ним, кубического уравнения.
В том частном случае, когда уравнение будет вида
аж4ч-&с2-ьс=0,
оно называется биквадратным, подстановкой х2=у сводится к определению
корней уи уг квадратного уравнения и к извлечению двух радикалов:
*і=-+-у/9і] ^=—^5 ^=-bV?; а4=—у^.
Если уравнение имеет вид
аз? ч- Ъя? -+- сз? -ь Ьх -+- а = О,
то оно называется возвратным. Поделив все уравнение на ж2, подстановкой
1
у — Х-\
9 X
сведем его к квадратному уравнению
ву* -н Ъу -+- с — 2 а = О,
Кубическое уравнение подстановкой z =-г сводится к виду
WR _ 60^2 -ь. 769« — 3600 = 0.
Один из корней его есть % = 9, а остальные находятся, после деления левой частк на
* — 9, из квадратного уравнения
і*2_ 41м-+-400 = 0,
я будут: «з = 16; и$ = 25. Следовательно,
9 . 25
Так как & < 0, то мы имеем:
^з= —•2--*-2-f-y:=3i «4 = — Y~J" Т~~~ Ь'
Всеми этими выкладками не следует пользоваться на практике при разыскании
целых и дробных корней уравнений 8-й и 4-й степеней. Ло различным формулам: Кар-
дат, Феррари, Эйлера и т. д., можно па практике решать уравнения 3-й и 4-й степеней
тогда и только тогда, когда использованы будут другие способы и когда установлено будет,
что уравнение не имеет равных корней и не обладает целыми или рациональными корнями.
Достаточно иметь один такой корень для кубического уравнения и два —для
уравнения 4-й степени, чтобы остальные выразились совершенно точно по несложным
формулам. Упомянутые другие способы изложены будут дальше.'
П. Л. Чебышев. Высш. алгебр*.

98 Дополнения проф. Ж К Куренского
два корня которого, у19 y2J приведут к определению корней х1} %гу хЪ1 х4
посредством решения двух новых квадратных уравнений:
я3 — уа я; -ь 1 = 0 и #2 — уг х -*- 1 = 0.
IV. Об уравнениях 5-й степени и о трехчленных уравнениях. В
полных курсах высшей алгебры доказывается, что буквенное уравнение
степени т
хт + аххт~1-і-а2хт~3ч- ... -*-#,„-і#-*-ят = 0
подстановкой Чирнгаузена
у = а -ъ (Ь& н- ух2 -+- Ъа? -ь еж*
вводится к виду
ут^^уш-і^Ъ2у«*-*+ ... +Ът_іУ-+-Ът=:0.
Жерардом доказано, что посредством решения уравнения 3-й степени
ц уравнений низших степеней можно определить четыре из величин: а,
(і, у, S, е (одна останется произвольной, и ее можно положить равной,
например, единице), таким образом, что обратятся в нуль либо, во-первых,
три коэффициента при высших степенях, помимо яг-ой, т. е. будет
bL = b2 — b3 = 0 или \ =&2 = Ь4 = 0,
либо, во-вторых, три коэффициента при низших степенях, помимо
свободного члена, т. е. будет
&«_! = Ът_2=Ът_3=0 или Ът_1 = Ът_в — Ът_ 4 = 0.
Следовательно, буквенное уравнение 5-м степени
хь -*-%#*-*- а% хг -+- ав х2 ч- ач # -н а5 = 0,
путем решения уравнений не выше, чем 3-й степени, может быть
сведено к одному из таких простейших видов:
jr'-*-py-+-ff = 0; if-ь-РхУ*-*-Яг = 0і yP-*-Pitf-*-qt = Oi У$-*-РзУ*ч-Яз = °-
Каждое из этих уравнений представляет собой частный случай так
называемого трехсменного уравнения
А$-*-Ву1-*-0=0,
где Тс п I — любые неравные нулю целые положительные числа, а
коэффициенты А, В и С могут быть действительными и комплексными.
Таким образом решение буквенного уравнения 5-й степени можно
свести к решению трехчленного уравнения.

Уравнения 5-й степени и трехчленные дд
Для решения трехтонных уравнений известен особый способ Гаусса.
Для облегчения вычислений по этому способу существуют специальные
таблицы. Акад. Д. А. Грав? предложил свое видоизменение способа
Гаусса, чтобы находать действительные корни уравнения, предоставляя
затем комплексные корни вычислять по способу Гаусса. Это
видоизменение основывается на особом обобщении непрерывных дробей и также
приводит, как и способ Гаусса, к сложным формулам и вычислениям.
Для практического применения упомянутые способы и связанные
о ними формулы, а также решение уравнения б-й етеп?ни в модулярных
функциях не являются в достаточной мере удобными.*
* На практике, для разыскания сразу и действительных и комплексных корней
буквенного трехчленного уравнения, проще воспользоваться способом проф. Н. М,
Михальского, который, пользуясь идеями методов Небесной Механики, нашел
ж сообщил: мне недавно удобные приемы для решения уравнений: дифференциальных
(обыкновенных и с частными производными), интегральных и алгебраических. В
дальнейшем приводятся окончательные формулы, опубликовываемые здесь впервые,
о любезного согласия автора, только для частного случая алгебраических трехчленных
уравнении, причем под й и I разумеются любые неравные нулю рациональные числа.
Посредством простой замены неизвестного у неизвестным аз, трехчленное
уравнение всегда можно привести к такому виду:
Р
где m = —j причем целые и положительные р и q удовлетворяют условию
p>q>l>
а коэффициенты Ь и с могут быть и действительными и комплексными.
Если модуль
то корни находятся по формуле
(а) -^--2(-ь)1(^ГС,,"\і-^і .
•=1
-1
m
где
>і»
а если
то один из корней будет
(N) щ= _ ± ч- 2 ч*"-** (- ь)-ш_1 • т' <?1'
а остальные найдутся по формуле
1) (*-1)т
-1
7*

100 Дополнения проф. М. К. Куренекого
У. Выделение кратных корней уравнения. В § 13 сказано было
о предположении, что заданное для решения алгебраическое уравнение
от?п?ни т}
не имеет равных корней. Это предположение имеется в виду и для
теоремы Штурма и для тех других теорем, на которых основаны способы
приближенного вычисления корней с любой степенью точности. Надо
иметь в виду также то обстоятельство, что вычисление корней облегчается
с понижением степени уравнения, а степень уравнения понизится с
удалением из уравнения множителей, соответствующих равным друг другу
действительным или комплексным корням» Поэтому является весьма
существенным удаление из уравнения этих множителей, понижение
степени уравнения и замена его таким новым уравнением, которое имело бы
только неравные друг другу корни, В результате такой замены приходя*
иногда к таким уравнениям, корни которых определяются элементарными
опособайи и вполне точно.
Условие (Ті) представляет собой так называемое условие сходимости ряда (G-),
a (Ig)—условие сходимости рядов (N) и (К). Для заданного уравнения
удовлетворяется, очевидно, либо условие (-ЦО, либо условие (Г2)- При помощи этих формул,
пользуясь подстановкой Тіирнгаузена, можно решать уравнения б-й степени.
Пример. Возьмем пример, рассмотренный акад. Д. А. Граве в его курсе „Элементы
высшей алгебры", Киев, 1914, стр. 459—466:
а? — 4ж — 2 = 0.
Имеем:
b = — 4; с = — 2; wi = р = Б; 5 = 1,
и приводим к условию (Г2):
(—4)5 /4\* _1_ _2И_16.32-32
(— 2)l'\b) ' * ~6& б-25-2Б>1'
т. е. надо пользоваться формулами (N) и (К). Произведенные мною вычисления н©
первой формуле дают такой первый корень:
. 1 _1 _Б 85 15-19 5- 11.23 13-29-63
27 ' 218 ""gi9~" 225 ' 2го ' 287 і----у =
= — (0.6000000 -*- 0.0078125 -+- 0.0006104 -*- 0.000 668 -+- 0.0000085 +
•+- 0.0000012 -+- 0.0000002...)
т. е.
^1^ — 0.5084996.
Подстановка в уравнение приводит к ошибке результата подставки: -t-0.0000004;
она неизбежна в последнем знаке при пользовании семизначными логарифмами. Если
ошибка корня есть 7ц то ошибка результата подстановки в уравнение f(x) = 0 будет
±/* (аг)й. Этому корню соответствует найденное Д. А. Граве значение %——0.5087046.
Остальные корни найдутся по формуле (К), которая запишется так:
00
•-1 —

Выделение кратных корней уравнения іоі
Заметим еще, что равные корни называются также кратными.
Пусть будет задано уравнение w-ой степени с действительными нди
комплексными коэффициентами.
В § 11 было показано, как левую часть его разложить в строку
Тейлора, если вместо х подставлено будет х-л-%\ это разложение будет иметь
вид суммы членов с возрастающими степенями /. Разложение повторено
в формуле (18) § 123 только вместо х поставлено а3 а вместо
t—величина со. Последний член, как это следует из § 11 и другах3 например^
§ 1б; будет иметь показатель т для t или о) и производную при нем
порядка т.
Возьмем формулу (18) § 12. В ней величина а>, как и величина t
в § 113 может быть не только весьма^ малым, но и вообще каким-либо
конечным числом. В этой формуле обозначим:
ач-<о = #; о> = #—а.
к дает два действительных корня для значений *j/4 =zb\/2a^Ba комплексных корня
4— 4— г—
дяя значений "у 4 = ±z V—2. В частности, для ]/4 = -*- V2 надо будет вычислить
алгебраическую сумму 18 членов вида
*
„ — і/о--*_і_ 6V2 , б 6-7-1W2 , 1 5-13.17.21^2 , в.6-11-13 -
** — *л "*~23 ~28" 29 2П 29 §і5 222
Корень #з найдется изменением знаков при членах, начиная с первого, а корни
а?4 и йгд — приписыванием к соответственным: членам множителей +іи —*'.
Два из этих корней (действительные) находятся в книге акад. Д. А. Граве
с помощью его таких двух формул:
1
2 . . 2^2"
*Ь2
f:
2^2
тЬ~
где
*і,2-*-3==Лі,2
Разыскание комплексных корней по способу Гаусса привело автора названной
книга к подбору таких значений величины 9і **ри которых сложная функция
¦
б lg sin ф — lg sin 9 — 4 lg sin 4 ф — lg 64
была бы положительной и отрицательной, а затем —к применению способа regula
для приближенного решения численных уравнений, к приближенному
интерполированию и к дальнейшим пробам. Корни эти, по Д. А. Грав?, таковы:
ага = 1.518512; х3 = —1,243597
а?4 5 = 0.116792 ± 1.438448».

202 Дополнения проф. М, К Еуренского
Тогда формула, имеющая в правой части, как бином Ньютона, обобщением
которого ояа является, всего w-4-l член, перепишется так:
f W=ft„)H-<?=^ . f М-н'^ • f (.)¦+ ... н-Jf^fe, • f"-"W-b
-ft^-f*(»)-Ife|SIi-f*«'(«)-...-iai^-r>(«).
Выражение во второй строке в правой части (внизу) всегда делится
на (х— а)*, так что выражение в верхней строке, т. ?.
(6) f(a)^^.fЧa)н-^^Г(a)-*-...-ь1-fefe•Лfc-1Ч«)
есть остаток от деления f(x) на (х—а)К Но если уравнение f (#)=(), т. ?.
хт^а1 хт~г-ь-... -ь%-і х-+-ат~0,
имеет 1с равных между собою корней %=а, или, как говорят еще, если
оно имеет ^-кратный корень х = а7 тогда левая часть f(x) должна, по
изложенному в § 9, разделиться на (х — а) . Следовательно/в таком случае
остаток (6) должен быть тождественно равным нулю, т. е. коэффициенты
при всех степеаях х, или, иначе, при всех степенях (х — а), до (Jc — 1)-ой
степени включительно, должны равняться нулю.
Таким образом мы получаем следующие условия существования
кратною корня х = а, кратности 7с:
f f(a) = 0; f(a) = 0; f" («) = (); ... f(*-*> (а) = 0; f*(«)4=«-
Последнее неравенство в этом ряду мы написали вследствие того, что
если бы величина f№(a) не была оговорена, то можно было бы
предполагать, что и она равна нулю, а тогда корень х = а имел бы (&-н 1)-ую
кратность.
Если уравнение f(x) = 0 имеет корень х==а кратности й, то,
очевидно, составив производную f (х), будем иметь для уравнения f(x) = Q
тот же корень х = а, но кратности (к—1)-ой. Для уравнения f (х)=О
он будет кратности (Jo — 2)-ой и т. д., а для f&~1)(x) = Q он будет
обыкновенным корнем.
Если уравнение f(x) — 0 имеет корни: хг кратности Тсг\ х2
кратности 7с2; ... #j кратности 7fy причем некоторые из чисел Jcu &2, .. • Щ
могут быть и единицами, что соответствует простым, некратным корням, то
^-+-#2-1- ... ч~Щ = т
(7) f(x) = (x — xtfi (z — xtf* ... (х—хг)*К
Так как производная f (х) должна делиться на каждый отдельный
множитель
(х~a^i-i; (z — xtfr-1; ...(х —Х1)Ъ-\

Выделение кратных корней уравнения 203
то она должна разделиться и на все произведение
(я —a?x)*i-i. (#_я2)*,-і... (а?_жг)*і-і.
Обозначив частное от деления f(x) на это произведение через ©(#),
будем иметь
<8) f 0») = (л — я^і-1 (я? — х2)^ ...(х—xtft-i - <р (х).
Сравнивая (7) и (8), мы видим, что f(x) и f(x) имеют общин делитель
D (х) вида
D (х) = (х — х^ь-1 (х — х$*-1 ... (я — хг)кі-1.
Легко видеть, что D(x) есть не только общий делитель для f(x) и f (х)
но и общий наибольший делитель, так как частные от деления f (х) и fr'(x)
на выражение D (ж), т. е.
^=(я —*і)(а> —ад ... (я—а^ ^||=фОг),
не будут иметь общего делителя, отличного от единицы.
Справедливость сказанного легко проверить и непосредственно,
доставлением производной f (х) и функции <р (#). Мы имеем:
f(x) — (x — хг)^(х—х2)** ... {х — Xifi
f {х) = (х — хг)^-1 (* — Яа)*2'1 .:.(« — я j)*'"1 & (х — хг) -+-
-+-7s2(a — х2)... -*~Jci{x — xj)]
<f(x)=7c1(x — хг)ч~%2(х—#2)-Р .. .ч-Щх— хг)
D (х) — (х—х^-1 ¦ (х — х^-1 ...(# —xxfi~\
Общий наибольший делитель функций fix) и f (#), как и общий
наибольший делитель для всяких двух целых алгебраических
функций F(x) и Ф(х) степеней, соответственно, т и [л находят так же точно,
как и общий наибольший делитель целых арифметических чисел, по
известному правилу Эвклида, а именно: функция высшей степени делится
на функцию меньшей степени; эта последняя — на первый остаток; первый
остаток—на второй и т. д.; остаток, на который точно делится
предшествующий ему, и будет общим наибольшим делителем.
Очевидно, что две функции F(x) и Ф(х) не имеют отличного от
постоянной величины общего наибольшего делителя в том случае, когда
уравнения
JP(a?) = 0 и Ф(я) = 0
не обладают общими корнями. Такие две целые алгебраические функции
называются взаимно простыми.
Изложенное приводит нас к такому важному заключению: Пели
алгебраическое уравнение f(x)=0 имеет корниягі х2) <..%\ кратностей Jcv \} ... Щг
тогда решение такого уравнения сводится к решению уравнения
(*(х) = 0

104
Дополнения проф. М. К. Куренского
низшей степени
« — (Sj — 1)—(*, — !)—...—(*! —1), или
т
I — (&!-+-&s
ч,
т. е. степени I.
Чтобы написать такое уравнение со (х) = 0, надо найти общий
наибольший делитель D(x) функций f(x) и f (х), раздоить левую часть уравнении
f (#)=0 на этот делитель D(x) и частное приравнять нулю.
Очевидно, что если уравнение f (#) = 0 не имеет равных корней, ко
^=^=...=^ = 1; 1=щ D(tf) = const.
При разыскании общего наибольшего делителя D (х) важно
выделить только произведение с множителями:
.. (х — хг)*і-г
(х — х^ь-1] (х — х2)*2
и понизить таким образом степень т уравнения f(x) = G. Поэтому в
делитель D (х) можно вводить какие угодно множители, не содержащие х.
Это и делается на практике при последовательном делении многочленов,
когда разыскивается D (#), чтобы изб?лдагь дробных чисел и облегчить
действие деления.
Примеры.
1°. Сократить дробь
По правилу Эвклида находим:
9991
11021
9991
1030
1; 9270
9991
11021
1030
721
9991
9; _721
309
721
1; 618
103
309
2; 309
О
103
97-103
_97
107
11021 107-103
2°. Найти кратные корни и решить уравнение
а* —а" —&в-і-12 = 0.
Имеем:
f(x) = xs — х2—8х
Зх? — Зх2 — 24х -ь 36
Зх?ч~2х2+ 8х
12; f(x) = 3za — 2x
Зх2 — 2х — 8
8
х — 1; —Зх2ч-6х
х—2
3#~ь4
— За2 — 48#-*-108
ч-За2 — 2х— 8
Ах — 8
4#-+-8
— 50 (я — 2) 0
В{х) = х — 2.
Так как f(x) делится на х—23 то f(x) делится на (х — 2)2, и мы имеем:
т——къ~ ъ—л л—=#-t-o = 0: Хт—Хъ — 2; #а =—э.
(х — 2)2 л2 — 4ж -ь 4 3 l 2 is

Верхний и нижний пределы корней уравнения х$5
VL Верхний и нижний пределы корней уравнения. Прежде чем
приступать к вычислению корней уравнения по правилам §§ 13—21,
Следует вообще установить те два числа, между которыми заключаются-
все корни данного уравнения, и положительные и отрицательные.
Верхним пределом положительных корней уравнения называется такое
число, которое будет больше любого из положительных и, конечно,
отрицательных корней. Ниоюним пределом положительных корней будет число,
меньшее любого положительного корня.
Аналогично определяются верхний и нижний пределы
отрицательных корней.
Если мы будем уметь находить верхний, предел положительных.
корней, тогда легко сможем вычислить и все другие пределы.
В самом деле, подстановка
2.
*
приведет к уравнению с неизвестным #. Найдя верхний предел А
положительных корней уравнения о неизвестным z1 будем иметь;
*<А ^<А> ^>і,
т. ?.
. 1
#>а, где <*>—-?>
другими словами, мы получим нижний предел а положительных корней..
Что касается отрицательных корней, то подстановка
х = — у
приведет к новому уравнению с неизвестным у. Для этого уравнения
надо будет определить нижний и верхний пределы положительных корней..
Первый способ для определения верхнего предела положительных
корней состоит в следующем.
/ Считая, что мы освободились от знаменателей и полагая, что
коэффициенты уравнения f(#) = 0 могут быть и действительными и
комплексными, запишем наше уравнение, таким образом:
а0хт-*-а1хт-1~*-а2хт~*-*-... ~^ат^1х-^ат^=0.
Обозначим череэ
го» гі5 г2> ¦" • Тт—і) гт)
соответственно, модули коэффициентов уравнения
aoJ al? а2? * - *ат—lJ am
ж через В — наибольший из последних т модулей гх, .. -,rm. Тогда верхний
предел Ъ положительных корней можно определять по формуле
'о

106 Дополнения проф. 31. Б. Куренскою
В самом деле, обозначив модуль корня х черев г, полоотм, что
г>1.
Тогда, имея в виду, по изложенному в § б, что модуль суммы
комплексных величин не больше суммы их модулей, и обозначая знаком |?|
модуль величины ?, мы можем написать
\a1xm~l + OiZWr*-V'. .. -ьа1?1|^г1гт"'1н-г2»,т"2-і- .. .+rflHif + rw
или, подставляя вместо г13 г2, .. ,}гт наибольший модуль 12,
\агхт-~1^а2хш'2^ . ..ч-а^|<Д(гт-1ч-гп|-2-ь ... -+-гч-1).
Далее, по формуле для оуммы членов геометрической прогрессии, имеем
а1хт"1-і-а2хт 2ч-... ч-а^К-R-
г»—і
г —1
J
1
-а увеличивая правую часть отбрасыванием члена ZZI' получаем
| ага^ч-Оаят~2ч-... -+-o*l< -К * ^ГТ*
Положительную и большую единицы величину г будем увеличивать
далее до тех пор, пока не получим
7=1<V
Тогда будем иметь
(«у^ч-а^ *»-*-*-... -*-am|<r0rm,
д неравенство предпоследнее можем переписать таким обраэом:
'" Я<г0(г-1),
или окончательно:
Совокупность последних формул выражается словами так: модуль
старшего члена а0хт нашего уравнения f(o;)=0, т. ?. выражение ?*0 г**>
есть больше модуля суммы всех остальных членов уравнения, если модуль
7?
для х есть больший величины 1ч Следовательно, при такой величине
для модуля х левая часть f (х) нашего уравнения не может быть нулем;
эта величина для модуля х может быть взята в качестве верхнего
предела положительных корней.
Ясно, что нижним пределом отрицательных корней будет
№)

Верхний и нижний пределы норией уравнения 107
Наоборот, если бы мы начали с вычисления нижнего предела для
отрицательных корней, то получили бы только что написанную величину
и затем пришли бы к верхнему пределу для положительных корней по
формуле, изложенной еще выше.
Но если бы на самом деле положительный корень, самый больший,
имел вообще небольшое численное значение т, а корень отрицательный
инел бы нижним пределом величину, большую по абсолютному значению?
то и для положительных корней наши формулы дали бы нам в качестве
верхнего предела большое количество Му когда на самом деле
наибольший положительный корень есть упомянутое малое количество т. Это
обстоятельство указывает на непрактичность первого способа; он дает
иногда очень большие пределы.
Второй способ, носящий название способа Ньютона, дает вообще
меньший по величине верхний предел положительных корней. Состоит
он в следующем.
Для левой части заданного уравнения, по разложении ее в строку
Тейлора, будем иметь
f(bH-^)=f(b)4-Ar(b)^^r(b)H-^r(b)-H...-H1,2ft3...BfWW.
Если мы найдем такое положительное постоянное количество Ъ. что
все выражения
f(b);f(b);f"(b);...f^(b)
будут положительны, тогда для всякого положительного h величина f (J-+-А)
будет положительной. Следовательно, обозначая
Ъ-+-к = х,
сразу видим, что f(x) буд^т положительно для х^>Ъ} т. ?. Ь может быть
взято в качестве верхнего предела положительных корней.
На практике эта величина Ъ находится таким образом.
Заданное уравнение пишут таким образом, чтобы коэффициент а^
его старшего члена aQxm был положителен. Тогда f№(x) есть величина
постоянная, положительная. Следовательно, f<m~^(x) возрастает с
возрастанием х. Даем x-j такое численное значение Ъи чтобы fm~y)(\) было
положительно. Далее вычисляем fcm~~2)(&i)j и если эта величина окажется
положительной, то вычисляем f^-3)^) и т. д., а если f(m~2,(&i) будет
отрицательно, то увеличиваем Ъх: берем такое новое Ъ.21 чтобы і'{т~^(Ъ^)
стало положительным, а после вычисляем ^С'«—з) (&2) и т. д., пока не дойдем
до такого количества &т, при котором все величины _
f(m_1) (bj; f(m_2) (6J; • • • f (Pm); f OJ
были бы положительны; это количество Ът и берем в качестве верхнего
предела Ъ.

208 Дополнения проф. М. К Куренскою
Пример. Для уравнения
2aj8_3s2 —11я-н6 = 0
первый способ дает:
т. е. верхний предел положительных корней есть 6-g-> а нижний предел
отрицательных корней есть — 6 -g- •
По второму способу получаем:
f'(s) = 6s2 — 6я —11; f(») = 12a? —6; Г'(я) = 12.
Чтобы f'(%) было положительным, надо иметь:
j
"2
12# —6>0; ж>і
Бер?м целое число ^ = 1 я вычисляем:
f (і) < і,
т. ?. ^ = 1 не подходит. Берем 62 = 2, тогда
f (2) = 24 —12 —11>0,
и следовательно, надо проверить это число Ъг для f (%). Имеем
f(2)=2-8 — 3-4— 11 -2-+-6 <0?
т. ?. приходится ?щ? увеличить число Ь2. Пробуем й3 —$ и находим
f(3) = 2-27 — 3-9 — 33ч-6 = 0,
т. е. случайно попадаем на корень уравнения ^ = 3. Верхним пределом
будет всякая величина, большая числа 3.
Имея корень ^ = 3, посредством деления левой части на х— 3
и затем посредством решения квадратного уравнения получаем остальные
корни:
_ 1 . _ 0
х% — 2 у Х* — —
VII. Способ Горнера. Для целой функции
а0 хт -+- ах хш"г -+- а% жт~2 -+-...-+- ат_2 х -+- ат,
обозначаемой для сокращения черев f (х\ надо нередко иметь величины:
f(a\ №>(«). Г" W . Пт~У (а) . fTO (а)
> W' 1 > ГТ2' ТТ2Т8' ' ' ' 1.9...m-l' ЬЙ...»

Способ Горнера 209
Этого требует н? только способ Ньютона определения верхнего
предела положительных корней, но и другие задачи высшей алгебры.
Вычисление указанных величин легко выполняется по такому способу
Горнера.
Обозначим результат деления f(x) на ж — а через ft (as), а остаток
от деления — через г2. Тогда можем написать:
f(x) = aQxm-+-a1xm-1-*-asxm-*-*- ... -натЧл; + ат
и по формуле
f{x) — (x — a)-fx{x)^r1
получим
aQxm+alxmr~l-i-a2xm~~t-+- ... -*-ат_1 х*+-ат =
= &0жжн-(Ь1 —айв)яіж~1-і-(62 —abja?"1"*-^ ... -+-
-*- (6т-і ~ <*,»-*) * -н ft — аЬт_г).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим:
а0=Ь0; а1 = Ъ1 — аЬ0] а2=Ъ2 — аЪх] ...
... «w_x = Ьт_і — a^„_2; ат = ух — оЬж_1,
что и дает возможность вычислить коэффициенты частного fx (х) и
остаток гг через коэффициенты заданной функции f (x\ именно:
гі = ««-*-^т-г-
Разделив далее fx(x) на ж — а, будем иметь частное f2{x) и новый
остаток г2? причем коэффициенты для
f»(a) = c0^"BH-Cia^|r-34-...-HCfll^*-Hcm_,
и остаток г2 вычислим через коэффициенты первого частного fx (х) и черев
первый остаток тг по формулам аналогичным:
^о=А; с.і = Ь1ч-ас0; с2—Ъ2-*-асх\ .,. ст_2 = Ьт_2-наст_3; *,а=уі"ьавт-2-
Из формул
f{x) = {x — a)fx{x)^r1) Ь(р) = (х — a)f2(x) + rz
найдем
f(«) = rl4-ra(a5 —a)4-fs(«)-(ar —a)*,
-а продолжая этот процесс далее, будем иметь
f(«) = f1-*-r1(a? — а)ч-г8(я! — af + r^x — а)*+. ,.-+-rm+1(x — a)m.

110
Дополнения проф. М. К іСуренского
Имея ж? в виду строку Тейлора
m=f(a)4rt^(x-a)^f^(x-a)^
1 - 2 ... т ч у >
получим:
ffrt-r- Ш-,- CW-r- ™=f fm{a) -г
гд? rn r2, .. . Ут+1 обозначают соответствующие остатки и вычисляются
последовательно через заданные коэффициенты a0J av ... am.
2?ьгшсл<?дае величин
*0J **1) ^2> * * * У1? C0? C1J C2j * • ' Г2) ' ' '
производится весьма просто no указываемой далее для численного примера схеме*
В этой схеме стрелки указывают порядок операций: сначала сложение —
вниз (первая колонка — это простое переписывание), затем умножение
на а — направо.
Пример. Надо вычислить
, «лл. Ш. Г"Щ
для целой функции
/(2);Г(2); ^; ^
Зз* — хъ + 2х — 7.
Записываем соответственные величины буквами и параллельно
числами:
аЛ а,
а.
а.
1~-> аЪ01 —> аЬ11 —> аЪ
2У
3 — 1 | 2 1 ¦ —7
h ъі\ h\
| —> ас0 j, —> ас11
'о і vi
а = 2
dr
3 б| 12
4-»6|-*22
3 |.. 11
|->6
34
17
Йме
ем:
-ОА, f!®_
3| 17
|3
Г (2)
f(2) = 17; /'(2) = 34; ^=17; f^
Ясно, что всегда будет
3.
% — ^о — со — • • • — гт-іі
f («*) (а)
1 -2 ... т
YI1I. Разыскание целых и рациональных корней алгебраических
уравнении. Если коэффициенты алгебраического уравнения являются числами
рациональными и если такое уравнение обладает целыми и рациональными корнями,
то эти корни могут быть вычислены точно*
Вычисление рациональных корней можно свести к вычислению
корней целых.

Разыскание целых и рациональных корней xil
Для этого уравнение переписывается так^ чтобы его коэффициенты
были н? только рациональными, но и целыми: уравнение достаточно
будет помножить на наименьшее кратное знаменателей всех
коэффициентов.
¦ Помимо того, когда коэффициенты станут целыми, можно переписать
уравнение так, чтобы коэффициент старшего -члена был равен единице
(остальные коэффициенты—числа целые), так как если
то, помножив уравнение на сг,0т~1і получим
of* хт -+- ах а™'1 хш"1 -+- а2 с^Т1 хш"г -ь ...~ь ат_х а™'1 х+ат а™"1 = О,
а вводя у вместо х по формуле
У = а0х:
будем иметь уравнение с коэффициентом-единицей у старшего члена:
(9) уП + аіУ^ + а2а0ут-і+ ... ^атг_1а0т^ун-аяа^^ = 0.
Для этого уравнения с целыми коэффициентами легко доказать-
теорему Гаусса: Всякий рациональный корень его должен быть числом целым.
В самом деле, если бы для этого уравнения существовал: корень.
в виде несократимой дроби
. . й
тогда подстановка корня в уравнение и умножение на qm~г дает
?—і- ах р™-1 ч- а2 а0 рт^ q -+-... -ь ат„г а0те~2^т"2 +- «т ао™~1 йт~1 = °-
Первое число слева есть несократимая дробь, а все остальные члены
первой части представляют собою числа целые, но такого рода сумма
не может быть нулем. Следовательно, дробь — или должна сократиться
и дать число целое, или в ней знаменатель должен быть единицей.
Уравнение (9) с целыми коэффициентами и с единицей у старшего-
члена перепишем в таком виде:
(Ю) угп + йі ут-г ^_ ^ уям + Jg jf*-* н_ ... + А^х у -Ь Jm= 0.
Чтобы вычислить все целые его корни, надо: 1) найти все делители свобод-
ною члена Ат; 2) выбрать из них те, какие могут лежать в соответственных
пределах для положительных корней (верхний предел) и для отрицательных
(нижний предел), т. е. надо перебиршпь все делители, поставив перед ними .
знак ч~, и опять те же делители, но со знаком — спереди; 3) проверить, какие
из указанных делителей удовлетворяют уравнению. >

112 Дополнения проф. М. Б. Куренского
Действительно, если ц?ло? число ос будет корнем уравнения, тогда
и мы будем иметь
4» = _ (а*71"1 -ь ах аж~2 -+- ^ ат"3 -ь ... -*- .4,^).
Оправа мы имеем число ц?ло?, поэтому и слева должно получиться число
целое, т. е. а должно быть делителем числа Ат,
Проверка того, будет ли делитель • а корнем уравнения, осуществляемся
на практике весьма часто не непосредственной подстановкой делителя а в
уравнение, что связано с длинным иногда процессом возвышения а в высокие
степени, умножения на больные порою коэффициенты и т. д., а
посредством проверки факта, что величины
П-ь 1). f(-l). K-+2). Г(-а).
а_1 ? а_ні > а —2 > а-*-2 '
должны быть числами целыми. Достаточно вычислить одну ив ©тих
величин.
В самом деле, если а есть корень уравнения, то
должно делиться на # — а. Коэффициенты частного
уш-і + Ъі уш-2 + ^ ут-г.+_... ^ Вт^
должны быть числами целыми, в силу, скажем, тех правил, по каким они
вычисляются через целые числа а1} A2J .. '}Ат, о чем шла речь в п° VI.
Но мы имеем
гДе f 0/) ?сть левая часть нашего уравнения.
Следовательно, _у должно приводить к целым числам
(положительным или отрицательным), если мы вместо у будем подставлять целые
числа:
возвышать их в целые степени и умножать на целые числа:
Oj, .оя, ... Вт_х.
Пример. Чтобы решить уравнение
ж* —17#8 -+- 105#2 — 329# -ь 520 = 0,
ищем сначала все целые корни. Делителями числа 620 будут все чиола,
кратные таким: 2; б; 13.

Линейные уравнения с 2 и 3 неизвестными из
Легко убеждаемся, что отрицательных корней уравнение не имеет.
По способу Ньютона находим, что положительные корна надо искать
среди чисел, меньших 10.
Проверке подлежат, таким образом, числа
1; 2; 4; б; 8.
Начнем проверку с конца, вычислив предварительно
f(-H 1) = 1 —17 -+-105 — 329 -*- 620 = 280,
а для контроля проверки еще и
f f(—1) = 972.
Имеем t
f(n-l) 280 ,
~q_1 = — ? число целое,
равно как и контролирующее
f(—1) 972
, ¦8_ь1 = -g-, число целое.
Получаем еще целые числа:
f (¦*-*)_ 280. f(—1)_972
6 — 1 4 > 5-+-1 ~ 6 "
Следовательно, мы получаем целые корни:
Квадратное уравнение
т. =0
(« — 8) (а — б)
дает остальные два корня:
#8=2-*-Зг; #4 = 2— Зг.
Для упражнения, вычислим частное от-деления f(#), например, на х—8,
не производя самого деления. Имеем:.
^.^ а2 «з <Vt а = 8; 1—17 н-105 —329 -ьб20
a\a\a\abz -ь 8 — 72 -4-264 —520
Ь0 ^ 62 Ъь 0 1 — 9 4- 33 — 65 0
¦ f(*>—<* — 9#2~і-33#_6б.
HL Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Линейными уравнениями называются уравнения 1-й степени. Чтобы решить
систему двух независимых линейных-уравнений с двумя яегезвестными х~и у,
уравнения упрощают, переносят неизвестные члены в одну, а известные —
II, Д. Чебышвв. Внеш. алгебра. °

114 Дополнения проф. Ж. К. Куренского
в другую сторону, коэффициенты каждого уравнения делят на общий
делитель. Система будет иметь вид:
(П)
а1х-+-Ъ1у = с1
а2хч-Ъ2у = с2.
Пользуются различными способами для решения такой системы.
Способ подстановки состоит в том, что на одну какую-нибудь букву,
например на у, смотрят как на известную величину, решают одно
И8 уравнений, скажем первое, относительно неизвестного х и, подставляя
его значение
х-
«і
во второе уравнение, приходим к уравнению 1-й степени с одним
неизвестным у} вида
а2 -г-и2у — с2.
Решив это уравнение относительно у и подставив решение
(12) <^і~<^2
в выражение для х7 получим выражение неизвестного х через
коэффициенты:
(13) x=h3-hg. -
Способ сравнения будет тогда, когда мы первое и второе уравнения
решим относительно одной какой-либо буквы, например у, и сравним их
выражения. Получим одно уравнение с одним неизвестным %, определим
его значение, а тогда найдем и значение для у.
Способ сложения и вычитания состоит в том, что сначала исключается
какая-нибудь иэ букв, скажем у, таким образом. Первое уравнение
умножается на Ъ2} авторов—на &пи уравнения вычитаются одно из другого.
В результате получим одно уравнение с одним неизвестным щ это
уравнение затем ж решается. После ?того значение х подставляется в одно
ив ваданных уравнений, что приводит к уравнению с неизвестным у,
которое затем и определяется. Этот способ решения системы двух
уравнений называют также способом уравнивания коэффициентов. Его лучше
было бы назвать просто способом сложения: чтобы исключить, например,
у, достаточно первое уравнение умножить наЬ2э авторов — на —Ъ1У или же
первое на —Ъ2і а второе—:на Ъ17 и результаты сложить.
Окончательные формулы, определяющие х и V, будут, разумеется,
одни 'и те же, по какому бы из указанных способов мы ни решали
заданную систему уравнений.

Линейные уравнения с 2 и 3 неизвестными 115
Исследование решений, на основании формул (12) и (13), приводит
к такому заключению: Чтобы задача решения системы линейных уравнений была
задачей определенной, а сама система — системой совместимой, н?обх одимо
иметь
а1Ь% — Оа-Ьі + О,
так как в противном случае, если будет
аі\ — %\ = 0
л числители для х и у,
окажутся отличными от нуля, то система будет несовместимой, потому что,
если желательно иметь определенное, конечное численное значение для
каждого из неизвестных, то на 0 делить нельзя; выражение „система
будет несовместимой" равносильно тому, что одно уравнение системы будет
противоречить другому уравнению.
' Невозможность деления конечного числа на нуль относительна:
если к совокупности всех чисел присоединить и со, обозначающее
бесконечно большое число, тогда в результате деления всякого конечного
числа на 0 получается, говорят, бесконечности а система двух
противоречащих друг другу линейных уравнений с двумя неизвестными х ъ. у
удовлетворяется бесконечно большими значениями для этих неизвестных.
Неравенство
аі \ — а2 \ * °
есть условие совместимости системы двух уравнений, какая дает конечные
определенные внач?ния для неизвестных х и у.
Если, наконец, одновременно для знаменателя выражений (12) и (13)
и для .одного из числителей будем иметь нули, то легко убеждаемся, что
и другой числитель будет- нулем, т. е. получим:
аі^і — а261=0; Ъ2сх — &1с2=0; ахс$—аас1 = 0.
В этом случае система будет неопределенной: одно уравнение получается
из другого умножением на легко определяемого множителя; уравнения
зависят друг от друга; решения принимают вид:
О О
Эти выражения обозначают для х и для у неопределенные,
произвольные числа. Одно из них совершенно произвольно, т. е. выбор его
никакими обстоятельствами не связан, а другое будет определяться
выбором первого числа, любого ив всей совокупности их, начиная от —со
и до + со.
". 8*

ИВ Дополнения проф. Ж К Куренского
В самом деле, если система двух уравнений будет неопределенной,
то это обозначает, что она равносильна только одному из данных
уравнении; другое будет его следствием. Возьмем, скажем, первое уравнение
за основное. Тогда второе уравнение никакой новой зависимости между
# и у не дает, и мы должны найти значения х и у только из уравнения
аг х -+- Ъх у = сх.
Это уравнение мон:і:о переписать так:
у- ьг ¦
Если мы будем давать для х какие нам угодно численные значения,
например: '
0; 1;" 3; —б; |;---,
тогда для у получим по последней формуле бесчисленное множество
соответствующих величин:
Формулы (12) и (13) указывают на то, что оба корня, для хжу, будут
положительными, если числители имеют одинаковые знаки со
знаменателем. Оба корня будут отрицательны, если числители противоположны
по знаку со знаменателем, а если числитель формулы для х будет такого же
энака, как и знаменатель, а числитель формулы для у будет знака
противоположного, то корень х положителен, а у — отрицателен.
Если агс2 — а%сх и сг\ — с2\ оба делятся в а а±\ — а251? тогда оба
решения, х и у, будут числами целыми. В противоположном случае они •
являютсялнбо одновременно дробными, либо одно будет целым, а другое—
дробным.
Примеры.
1°. Система
' 3# — Ьу=2
4#н-Зг/ = 5
является совместимой, так как имеем
<*Л — ойЬ1==3-3— 4(— 5) = 9-+-20 = 29>0.
Систему можно решать по формулам (12), (13), которые дают:
х— I*—i*S „_7
2°. Система
I 6я-+-&/= б

Линейные уравнения с 2 и 3 неизвестными 117
несовместима, и для нее нельзя получить определенных конечных
значений для х и у. Действителвно, мы имеем:
«іЬ2 — а2г>х == 18 —18 = 0; сх\—6^ = 36 — 1б>0
аі Н — сі аа ~ 1° ~ 24 < 0.
Что уравнение второе противоречит первому, а следовательно,
и первое противоречит второму, это видно сразу: помножив первое
уравнение на 3, имеем
тогда как второе уравнение требует, чтобы было
&% -+- 9у = 5.
Так как б Ф12, то нельзя найти таких конечных чисел хжу} которые
одновременно удовлетворяли бы обоим уравнениям. О.другой стороны,
формулы (12) и (13) дают:
21 14
#=-?- = -1-00; 2/ = ——=_оо.
Этими бесконечными решениями можно согласовать оба уравнения,
так как 2х-і- 3#, т. ?. 2 • со — 3 • со или со — со, может быть любым
конечным числом, а следовательно, и числом 4, а 6#ч-%, т. е. 6 • со—9 • со
или еще ор — со, также может быть любым конечным числом и, в частности,
числом 5; все это ва том основании, что, прибавив или отняв от беско-
* н?чно большого числа любое конечное число 7; 3; —100 и т. д., будем
им"?ть снова число со.
. 3°. Система
" 2х + 3у = 4
6#-н9г/ = 12
является совместимой, но неопределенной: одно из ее уравнений
представляет собой следствие1 другого. Помножив первое уравнение на 3,
будем иметь второе уравнение, а помножив второе на -g-з получим первое
уравнение. Определить х и у из нашей системы — это все равно, что найти
х и у из одного только, например, первого уравнения.-Существует б?счис- -
ленное множество решений системы, т. ?. таких значений для неизвестных
х и «/, которыми можно удовлетворить обоим уравнениям. Взяв, например,,
для х числа:
1; —1; 2; 20; 0.5;...,
имеем для у соответственные решения:

Х18 Дополнения проф. Ж. К. Еуренского
Характерным признаком неопределенной системы является, как легко
заметить, пропорциональность коэффициентов уравнения
а2 Ьй с2'
эти условия (из них н? зависимых между собою только два) равносильны
таким: ^ _
Чтобы решать систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Ху у, я, вида:
(14)
а1х-+-Ъ1у-і-с12 = й1
а2х-*- Ъ2у-1-саг—(12
asx-i-bsy-+-c80 = ds
h
—<h.
Ч
—ч,
берем какую-нибудь одну пару уравнений, например первое и второе, и
скажем, но способу уравнивания коэффициентов исключаем одну
неизвестную величину, допустим #, помножив для этого первое уравнение
на с2, а второе на —cv и сложив результаты умножений.
Получим в итоге одно линейное уравнение с двумя неизвестными х и у%
Берем какую-нибудь другую пару, например второе и третье, и снова
исключаем ту же неизвестную величину 0, помножив второе уравнение на сЬ)
а третье на —с2, и сложив результаты. Таким путем приходим ко второму
линейному уравнению с теми же двумя неизвестными х ж у. і:
Решая систему найденных таким способом двух линейных уравнений
с двумя неизвестными % жу ж подставляя их значения в какое-либо одно
из заданных трех уравнений (лучше, конечно, в то, которое содержит
меньшие коэффициенты, если они числа целые), будем иметь одно
линейное уравнение с,одним неизвестным я, откуда и найдем выражение для z через
коэффициенты.
Формулы для вычисления неизвестных х} у, в окончательно, после
указанных операций, как легко проверить, запишутся так:
,р_ di (h <?8 — h са) — <?2 Фі Ч — h Pi) ¦*¦ ^8 (h сі — ъ2 сі)
аг (bs с8 — Ь8 са) — а% (Ъх св — Ъг сх) -+- а8 (Ьх с2 — Ъ? ег)
(15) у.
2
аі № св — <*з са)— «а № сз ~ ^а сі) "*~ as (^і са — да сг)
Ч 0>л сз —* ь8 сь)" Ч Фі сз — h сі) -*- ffe <Рі <& — Ц e-J
ai (bg #з — ^з^а) ~~ а2 Фі ^зг- h dj) 4- а8 (&і д^ — Ьа d)x
аі (&а с8 — ьз св) — Ч (h €ь — h сг) -+• ав (ьіс* ~ h сі)"
Аналогично решаются системы четырех, пяти,-.. п линейных
уравнений с четырьмя, пятью,.. . п неизвестными.
Условия совместимости, несовместимости и неопределенности выпи*
сываются также аналогично тому, как это подробно было указано для
системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными х и у.

Определители второго и третьего порядков
119
X. Определители второго и третьего порядков. Окончательные
формулы для вычисления решений системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными х} у можно записать символически таким образом:
(іб)
X
Са» h
а2і Ъ%
У
а2, с2
4,h
а2, Ь3
а окончательные формулы (16) для решений трех уравнений с тремя
неизвестными х, у, я можно представить такими записями:
(17)
X
^3» hi Ч
а2> hi Ч
а3, Ь8, с8
У =
«11
«2>
«3!
«I»
°2>
аЫ
&1
dsn
^Зі
h,
hf
hi
Ч
Ч
ч
ч
ч
ч
Z
«1,
«2і
«3)
аи
а2.
«3J
Ьі,
h >
Ьз,
Ьі,
&2>
&8>
Й!
tfg
Й3
<*
Ч
Ч
Символы, стоящие в числителях и в знаменателях всех этих дробных
выражений, называются определителями или детерминантами.
Для системы двух линейных уравнений о двумя неизвестными
употребляются определители, состоящие из двух горизонталей и двух колонок.
Они называются определителями второго порядка.
Для решения системы трех лин?йных^гравн?ний с тремя
неизвестными имеем определители третьего порядка, которые содержат три
горизонтали и три колонки.
Точно так же и для системы четырех линейных уравнений с четырьмя
неизвестными можно написать определители четвертою порядка,' состоящие
из четырех горизонталей и четырех колонок, и т. д.
Формулы (16) получим так: х и у имеют вид дроби; знаменатели
дробей одинаковы; чтобы записать их, надо выписать в первой колонке
коэффициенты при #, а во второй колонке—коэффициенты при у\ чтобы
записать числитель для #, надо закрыть коэффициенты прия и'поставить
на их места свободные члены с1 и с2, стоящие в правой части уравнений;
чтобы написать числитель для у, на*до снова закрыть коэффициенты при
?том неизвестном у и поставить на их места свободные члены сг и са
из правой части уравнений.
Сравнивая формулы (16) с формулами (12), (13), а формулы (17) с
формулами (15), приходим к правилам, по которым раскрываются определители
второю и третьего трядков, как юворят, по элементам их колонок и юризон-
талей. Элементами являются коэффициенты систем заданных уравнений.
Например, для определителя второго порядка
<*2, Ъ2

120
Дополнения проф. М. К. Еуренского
раскрытие его по элементам первой колонка запишется по формуле
а1? Ъг
а2, \
— йхЪ2 — а2Ъ17
т. ?. надо перемножить сверху вниз накрест ах на Ъ2 н от произведения
ахЪ2 отнять то произведение а2Ь1} которое получим от перемножения снизу
вверх накрест а2 на Ьх. В формуле справа стоят в каждом члене элементы
первой колонки, как первые множители; знаки н- и — перед ними чередуются,
начина» с „-+-".
Аналогично записываются и формулы раскрытия определителя третьего
порядка по элементам первой горизонтали или первой колонки. Знаки
перед элементами снова будут чередоваться, а сами элементы будут
множиться на так называемые миноры: это будут определители порядка на
единицу низшего, а именно — второго.
Например, для элемента ах определителя
°17 Ъ11 С1
а3> ^8? С3
его минор найдем так: надо вычеркнуть ту горизонталь и ту колонку, на
пересечении которых стоит элемент а1; т. е. первую горизонталь и первую
колонку; получится минор
*2) С2
для элемента а8 из первой колонки аналогично найдем минор
\і Ч
Таким образом мы имеем возможность написать такое разложение
определителя третьего порядщ по элементам первой колонки:
К
аи Ъ17 сг
а21 ^23 С2
й8? \у СВ
= aa
Ь2> С2
Ъю сз
— й%
і >
Ъг, с,
-+-as
&2) С2
= a1(&3c8—i!>8c2) — a2(bxCs — Ьвс1)~^а3(Ъ1с2~ b2cx).
Это выражение пр?дставляетх собой, как видим, знаменатель дробей в
формулах (15) для решения трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
По элементам первой горизонтали будем иметь такое разложение того же
самого определителя третьего порядка:
а21 Ь2, с2
= «!
"3> С8
~h
а%ч *h
а8) еъ
~+-h
JL
a2, \
a8, Ъв
= <h (h с8 — h с2) — ba (Oj cs — a8 c2) -+- cx (a, Ъ8 — a8 62).

Определители второго и третьего порядков
121
Этим выражением можно заменить энаменат?ль формул (16): оно
равносильно выш?написанному выражению при разложении по элементам
первой колонки,в чем нетрудно уб?диться?раскрыв скобки в обоих последних
выражениях и сравнив между собою полученные результаты.
Правило, по которому раскрывается символ-определитель по элементам
первой колонки или по элементам первой горизонтали, остается неизменным и для
определителей четвертого, пятого и высших порядков:-
Специально же для вычисления только определителей третьего порядка
существует такое достаточно простое правило Саррюса: Чтобы вычислить
определитель третьего порядка, дописывают справа от него (в уме или
на самом деле) первую колонку, а потом вторую:
аи
ат
«8,
К
h:
Ъ8>
"і
Ч
С8
%>
а2,
Чу
\
\
\\
возьмем далее с плюсом произведения каждых трех элементов,
перечеркнутых по диагоналям сверху вниз и вправо, а с минусами — произведения
элементов, полученных также по диагоналям, но снизу вверх и вправо;,
будем иметь окончательно
а1Ъ2св~^Ъ1с2ав^-с1а2Ъв — сщЪ2с1 — Ъгс2а1 — сва2Ъ1.
Это будет как раз то самое выражение, которое мы получим, раскрыв
скобки в предшествующих формулах, когда раскрываются определители
третьего порядка по элементам первой колонки или первой горизонтали.
Примеры.
1°.
X
б, —3
_ 3, -н2
4,-3
2°.
| 4я — Ъу = Ъ
б . 2 — (— 3) - 3 10-4-9 19.
:4 . 2 — (—3) ¦ 7 8-*-У1 29' У~
4,5
7,3
29
4-3 — 5. 7
29
23
29
ідх + 2у — 40 = 1
2х— у-*- 3* = 3
#-н42/ —2#=—4.
О помощью определителей вычисляют обычно два неизвестных,
например у и в. Третье неизвестное х получим после подстановки значений

122
Дополнения проф. М. К. Еуренского
у ж 0 в какое-либо иэ заданных уравнений. В нашем примере легче всего
найти х и8 третьего уравнения. По правилу Оаррюса находим:
У~
3 1—431
2 3 3 2 3
1 —4 — 2 1 — 4
3 2—4 3 2
2—1 3 2—1
1 4—2 1 4
# =
2
1
4
2
1
4
— 52
_ 18 -4- 3 -+- 32 -+-12 -н 36 -+- 4 -+-69
6-+-6 — 32 — 4 — 36-+-8 —52
Х52
12-+-6-н8-*-1 —Збн-16
#=4
69
— 52
2-7
2
52
52
52
4=1 — .
* х26
Раскрывая, например, знаменатель по элементам первой колонки,
подучим
3, 2,-4
2,-1, 3
1, 4,-2
= 3
1, 3
4,-2
— 2
4,-2
2,-4
1, 3
= 3-(2 —12) — 2-(— 4н-16)-н1.(6 — 4) = — 52.
XI. Линейные однородные уравнения с двумя и треля неизвестными.
Если свободные члены линейных уравнений равны нулю, тогда такие
уравнения называются линейными однородными уравнениями.
Для системы двух линейных однородных уравнений с двумя
неизвестными:
<18)
а1%Чг-Ъ1у = 0
~\
а.
а
і>
исключив неизвестную величину у посредством умножения первого
уравнения на &2, а второго на — Ьху и затем сложения результатов, исключив
неизвестную х умножением уравнений, соответственно, на а2 и — аг и
сложением, получим в итоге:
<щ
я = 0;
аі> ъі
а2, h
\У = 0.
Таким образом система уравнений (18) может быть заменена
равносильной ей системой (19). Если считать, что уравнения (18) не зависимы
одно от другого, тогда должно быть
а17 Ъх
а2> К
^\~а2Ъх + 0,

Линейные однородные уравнения с 2 и 3 неизвестными
123
и системе (19) можно удовлетворить лишь нулевыми значениями:
х — 0; у = 0.
Если считать ? ж у такими неизвестными величинами, которые
одновременно не равны нулю, тогда система (19) дает такое условие:
а13 Ъг
a2J Ъ2
0.
Последняя формула свидетельствует о том, что в ваданной системе
двух уравнений (18) одно уравнение должно быть следствием другого,
т. ?. что система есть неопределенная.
В самом деле, по формулам (16), положив сх = 0, с2=0, имеем:
0 О
Мы получаем такое заключение: Система линейных однородных
уравнений (18) может дать значения х и у, не равные нулю, лишь тогда, когда равен
нулю определитель из коэффициентов этой системы, т. е. одно из уравнений
системы должно быть следствием другого, и следовательно, систему мооюно
заменить только одним каким-нибудь из ее уравнений, например первым:
агх
ьіУ=о.
Если для х будем давать произвольные численные значения, то для у
получим бесчисленное множество соответствующих численных значении.
Если х и у одновременно не равны нулю, тогда из первого и второго
уравнений можно найти отношение — или —• Пусть будет жфО; тогда
& у
ив первого и второго уравнений (18) имеем:
У_== fi. У_
х Ъг7 х
Исключая из этих уравнений неизвестные х и у посредством
сравнения отношения — > получаем:
«1 «3 .
?=f3; «Л-^і=о,
Т. ?.
а1у Ьх
=0,
или другими словами: Равенство нулю определителя из коэффициентов
системы двух однородных уравнений представляет собой результат исключения из
этой системы двух неизвестных х и у.

124
Дополнения проф. Ж К Куренского
Для системы трех линейных однородных- уравнений с тремя
неизвестными я, у, 0\
(20)
ах % -н Ъх у -+- сх 0 = О
— с,
2)
так же точно, исключав неизвестное 0 посредством умножения первого
уравнения на с3, третьего на —сх и сложения результатов, исключив
неизвестное 0 посредством умножения второго уравнения на с3, третьего
на —с2 и сложения результатов, будем иметь:
«13 с1
а8, c8
а?-*-
яч-
&13 ^
^33 С8
623 Ч
^83 С8
у=о
У=0.
Исключая ив этой системы однородных уравнений с двумя
неизвестными сначала у} а затем #, и замечая, что
аХі ег
ам св
а2) С2
аз? Ч
?
5
Ъ1} сх
*8 3 CZ
К С2
\) CZ
(<h св — as сі) Ф% <ъ — h с2) — (а2 св — а3 с2) (Ъг с3— Ь8 сх) =.
= сг (аі h св+а2 h сі+ав ьі %—<>>і \ с%—а% Ьг с2—а^сх) =
аі> &із сі
= €,
®"П ^2) ^2
й83 ^83 ^8
получим:
а1? Ъи сг
й27 ^27 С2
#=0; &-
а2) *2« С2
а83 ^83 С8
у=а
Аналогично, исключая из трех уравнений (20) сначала у} а затем
ив двух полученных однородных уравнений исключая в и х} будем иметь:
V
аіз 6із сі
а23 ^23 С2
«33 ^3? С3
х=0; Ь,.
01э &!, С2
а2) *3з С2
а83 *83 С3
#
0.

Линейные однородные .уравнения с 2 и 3 неизвестными
125
Наконец, в результате исключений сначала х1 а затем 0 и у, найдем:
а1у Ъ„ сх
2/ = 0; ай
а<
а1у Ъ1} сх
8) и3
^2? ^а? С2
аю \і сз
0=0.
Так как мы предполагаем, что нам задана система трех однородных
уравнений и, следовательно, а3, bSy е3 одновременно не равны нулю, то
наши формулы можно согласовать между собою таким образом:
(21)
а1} Ъг, ^
а2> *2> С2
а8> °8) СЪ
х — 0;
аг, Ъ
2) v2
аз? °зі сі
у = 0;
Й8? ^3? С»
#
а
Система (20) заменилась этой новой системой (21); она равносильна
ваданной системе: система (21) представляет собой не что иное, как
алгебраическое преобразование системы (20).
Если уравнения (20) все не зависимы между собою и сама система является
совместимой и определенной, то должно удовлетворяться условие
а2, ЪХ1 сх
а2) Ъ2У с2
+ 0.
В таком случае формулы (21) указывают на то, что нашей системе (20)
можно удовлетворить лишь нулевыми решениями:
х — 0; # = 0; 0 = 0,
Если неизвестные #, у, 0 не равны нулю все одновременно, тогда
по формулам (21) выходит, что должно удовлетворяться условие
(22)
а1> Ьі> сі
а2> \> С2
а3, Ъ3} с3
= 0.
Так как по этому условию знаменатель для определения неизвестных
?) у, 0 по формулам (17) есть нуль ж так как вс? числители в этих
формулах (17) равны нулю, потому что
<2і=<23 = й8=0,
то мы приходим к заключению: Условие (22) указывает на то, что однородные
уравнения с тремя неизвестными зависимы между собою, т. е. что хотя одно
из уравнений долоюно быть следствием двух остальных или одного из остальных.
уравнений. !

126
Дополнения проф. Ж. К Еуренского
Положим, что х, у, я одновременно н? равны нулю. Тогда
уравнения (20) можно разделить на одну из этих неизвестных, изделии на zy
и из полученных таким путем двух последних уравнений
а<
X
+-ъЛ
с2] аг
х
ъЛг=-
определим отношения:
х
г
с2> h
C8jJ>8 — С2ЪВ
czh
h, се
а3, Ь2
а3, Ъ2
а3, bs
а8, Ъъ
У
z
«2і е2
а5, с8
а2, Ъ2
а3, &8
Подставив их в первое уравнение системы (20)
а —-ь-6 2.-+-С,== О,
1 е ¦ 1 z 1 '
получим
а.
Ъ9с9
bzh
-\
агЧ
азсв
-*"<і
ч\
%(>в
о,
¦иди, иначе, имеем формулу (22), т. ^.равенство (22) представляет собою также
результат исключения tppex неизвестных х, у, я из заданной системы трех
линейных однородных уравнений.
Если система двух линейных однородных уравнений с двумя
неизвестными является системой совместимой и имеет н? нулевые решения^
тогда она сводится к одному только однородному уравненто с двумя
неизвестными х, у:
а1х-^-Ъ1у = 0.
Это уравнение дает такую пропорцию:
х
У
Величины х и у не известны. Они могут быть какими угодно, лишь бы
удовлетворялась предыдущая пропорция. Равные отношения ~ и ^г-
могут быть произвольной величиной. Обозначим ее буквой ft, тогда полу*
чим
или, иначе:
з ___ у
Ъі —а-
ft.
ccz=bl'k] #= — aaft.
Пример. Для уравнения
Зя.-н2у = 0
получаем:
# = 2ft; у = — 3ft-

Линейные однородные уравнения с 2 и 3 неизвестными
127
Давая Jc любые численные значения, получим сколько угодно много
соответствующих численных значений для х и для у: например:
* = 0; — 1; 1.6; 2; 10;...
% = 0] — 2; 3; 4; 20;...; у = 0; 3; —4.5; —6; —30;...
Для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:
ахх + Ъ1у-+-с1я = 0
а2х-ь~Ъ2у-+-с2я = 0
ас
а
и
исключив неизвестную величину 2 посредством умножения уравнений,,
соответственно, на с2 и на —сг и сложения результатов, получим
или
(аг с2 — а2 с2) х -f- (\ с2 — \ сг) у = 0,
_._ У
х
сгаг
а исключив неизвестную х посредством умножения уравнений,
соответственно, на аа и на —ах и сложения, будем иметь
или
(Ьд а2 — Ъ2 аг)уч- (сх а2 — с2 а1)а=09
У г
Следовательно,
схах
«1*1
х
Ъ$С2
У Z 7
Ча1
с2а2
axb±
а2Ь2
где к обозначает произвольную величину. Если будем давать величине Jc
любые численные значения, тогда для ху j/, z будем иметь бесчисленное
множество соответствующих значений по формулам:
\сг
Мг
x = Jc
Пример. Для системы
; у=*
с1а1
я = 7с
§хч-2у — 3s=0
х — 42/-+-2# = 0
получаем
ее
2,-3
-4, 2
У
— 3,3
% 1
z
8, 2
1,-4
=*.

128
Дополнения проф. М. К Куренского
Обозначая —к черев ?, чтобы избавиться от знака —, получим:
<с
_8 ~~ —9~—14~~
х = 8Ц у~Щ 0—Ш,
где I есхь любое положительное или отрицательное, действительное или
комплексное число.
XII. Свойства определителей. Вычисление определителей основы-
ва?тоя на некоторых свойствах их, которые легко проверить
непосредственно для определителей второго, третьего, четвертого порядков. Все
эти свойства остаются справедлг/выми также и для определителей п-то
порядка и тоже легко доказываются.
1. Определитель не меняет своей величины, если его колонки заменить
горизонталями, а горизонтали — колонками:
<*%\
аі\ — Мі =
ага2
«1
«2
«8
Ml
&ас2
\с*
= a1b2cs-^b1c2as^c1aQbz — azl2c1 — \с2ах— сйа2Ъх =
аг аа аь
h \ Ьв
С1 С% С'Ъ
а11а12?19аИ
аП °22 й28 а24
Я31 а32 Й32 Й84
а41а42а43а44
а11 а21 а81 а41
а12 а32 ^82 ^42
а13 а23 аЬЬ а43
а14а24%а44
2. OwpedmmeAfc сохраняет абсолютное значение и меняет свой знак на
противоположный всякий раз, как только его две горизонтали или две колонки
переставить одну вместо другой:
Ъхах
~а1Ъ2 — а2Ъ1 = — (Ъ1а2 — \а1) =
Ъ2а2
«1 h
«262
==_
ах\
а2Ъ2
«252
«Л
— 1
\
«2&2
«Л
Ъ2аг\_
Ъ
іаі/
>
\ч
\ах
аі \ сі
Ч h с2
«А**
= —
\ а1 е1
о2 а2 с2
\чч
\ сі аі
\чч
о3 с% а5
\
н
/
\ сх ах
\чч
с>з с3 а3
°ііаііаі$аи
°21 ft22 ^23 Й24
%а32а83%
а41а42а43а44
= 2);
а12а11а18а14
а22 а21 й23 а24
а32%а38а84
а42а41а48%
= -D;
а14а18а12а11
Й24 й28 ^22 ^21
^84 ^83 а32 ^81
а44а48а42а41
Р.

Свойства определителей
129
* 3. Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо ряда равны
нулю.
Для доказательства достаточно сделать этот ряд первой колонкой
или первой горизонталью и разложить затем определитель по элементам
этой первой колонки или^первоц горизонтали.
4. Определитель равен нулю, если его два параллельных ряда, колонки или
горизонтали, имеют одинаковые элементы.
В самом деле, если определитель D имеет одинаковые элементы",
скажем, в первой и 7с-ой колонках, то, поменяв местами эти колонки и
складывая первоначальный и новый определители, полупим:
і)
*)
ап ais ... ап
а31 а22 • ' • а21
а
ія
а,
2П
аЯ1 ап2 * * * агЛ ' " * аПП
= В;
*)
1)
аи аі2 • '• аіі ¦ • • агп
а2\ ^22 * * * ^21 ' * ' Л2М
ап\ afi2 * " • ^і* * ' * апп
= — D
2-
^11 а12 ' * * а11
а%\ Й2Э * " • ^21
ат апй • • * аяі
а
in
а
2Я
tin
=0; Я = 0.
б. Определитель умножается на величину Тс, если все элементы какого-либо
ряда умножить на эту величину 7с, или, иначе, если элементы какого-нибудь
ряда содержат общий множитель. h} то этот множитель можно вынести
за знак определителя.
Для доказательства достаточно ряд элементов, содержащих
множитель hy сделать первой г9ризонталью или первой колонкой и затем
разложить определитель по элементам этого ряда:
J) =
аіЛ,
«21 Ъ2,
аВ> Й3>
<а
С2
Сз
= а1(Ъ2с3 — Ъ3с2)~а2(Ъгс3 — Ъ3с1)ч-а3(Ъ1с2--Ъ2с1)
Jcax, Ъ19 Сі
ла3, о3, св
-ч.
Я. Л. Чебышев. Высш. ьлг?бра
= Ьх (Ъ2 с3 — Ь3 с2) — Ь2 (Ь2 с3 — Ь3 <а) -+- Ь3 (Ьх с2 — Ь2 са)=hD.

130
Дополнения проф. Ж. Е. Еуренского
6. Если все члены какой-нибудь колонки или горизонтали имеют вид суммы
т слагаемых, то весь определитель можно представить в виде суммы т определи^
телей того же порядка:
а2-ьсс2, Ъ21 сг
а3-н oc3j о3, с3
= (а1-^а1)
\сг
hC3
— (а2-ьа2)
а,
Ъ2с2
Ms
а,
6ісі
а.
Ъ.с,
Ь2с2
а1Ъ1с1
Н \ С2
а3 Ь3 с3
а.
Ч &1 С1
а3 *3 С3
&зсз
— а.
(а3 -+- а3)
ьзС3
а.
&2СЙ
«1, *і "*-&!» <1
4 С2
Рз? С3
«2) 62
а3> h
Tl
Y*
Ys
al ^1 cl
a2\c2
as ^з сз
-+-
«iMl
«2P2C2
аз Рз сз
-t-
Й2Ь2Т2
08ЬЗТЗ
-
aiPiYi
«2^2 Y2
йз Рз Ys
7. і&лм элементы двух колонок или двух горизонталей пропорциональны, то
определитель равен нулю, * ' т
Эта теорема вытекает непосредственно из теорем 3 и 4. Например,
= ?•0 = 0.
8. Определитель не меняет своей величины, если ко всем элементам какою-
нибудь ряда прибавить соответствующие элементы параллельною ряда, помножен^
нж на произвольную величину К
Эту теорему сразу получаем на основании двух предшествующих
теорем. Например, для определителя третьего порядка можно будет
написать
йа1? Ojj Ъх
*а2У а21 "2
Аа3, а3, о3
=й
аг аг Ъх
аэ а% Ъ2
а3 а3 Ь3
так как
а.
а.
а«
«1&
1*1
а2Ь2с2
а3 о3 с3
7сЪХ1 ЪХ1 сг
^2? ^2? С2
^87 63
) С8
аг-\- Ш
и &і> сі
a2-*-M2, Ъ2, с2
аь+Щ} Z>3) cz
ах Ьг сх
н\ч
й8
&зсз
-ь.
?
іЬ1? Ъи сг
Щ, &2? С2
Щ, 63,
С8
а1 ^1 С1
a2hc2
авЪ3с&
Последней теоремой весьма часто пользуются на практике, чтобы
вычислять определители высокого порядка, например четвертого, пятого-
я т. д.

Свойства определителей
131
Для вычисления определителя, скажем, «-го порядка, помножим
элементы какого-нибудь ряда на такие множители, чтобы после вычитания
полученных произведений от параллельного юг-го ряда получить в этом
»м-ом ряду, по крайней мере, один элемент, равный нулю. В
преобразованном определителе производим подобную же операцию снова, чтобы в том же
m-ом ряду получить еще, по крайней мере, один элемент, равный нулю,
и т. д., пока в этом иг-ом ряду не останется один только элемент, отличный
от нуля. Сделаем эат?м да-ый ряд первой колонкой или первой
горизонталью и раскроем наш определитель м-го порядка, равносильный
заданному, по элементам этой первой колонки или горизонтали. Будем иметь
произведение, со знаком -н.или —¦, этого неравного нулю элемента па его
минор, т. ?. на определитель низшего, («—1) го, порядка. Таким же путем
понижаем далее порядок с (п — 1)-го до (п—2) и т. д., пока не дойдем
до второго или третьего, когда вычисление определителя не представляет
затруднений.
Пример.
Z> =
D =
2, 3 — 2-1,.О ,6 — 2-2
3, 1 — 3-1, 2 — 3-2, 4 — 3-2
4, 6 — 4-1, 3—4-2, 7—4-2
б, 2 —5-1,Л —6-2, 4—6-2
О
2, 3, 4, 5
3, 1, 2, 4
4, 6, 3, 7
5, 2, 1,4
2.
О, 1, О,
7,-2,-4,
О, 2, -б,
11,-3, -9,
7,4,,
# = -*-!
2
-2
-3
О
О
3
•3
о
. 1, 0, 1
3, -2, -4, -2
4, 2,-6,-1
б, —3, —9, —6
О, О
4, — 2-+-2
> 1>
2,-2,
2, 2, -б, —1 — 2
2, —3, —9, —6-+-3
О, б, -3
И,. 9, — 3
[=_3
7,-4
О, —б
И, —9
7 ,4
О , 5
11 — 0, 9 — 6
4, 7
4,11
0
— 3
— 3
0
—3
—3
0,4, 7
3, б, 0
0, 4,111
=—3-16=—46.
\
9*

132 Дополнения проф. М. К. Куренского
ХШ. Теорема Лапласа. Отдельные элементы определителя
записывают иногда буквою с двумя указателями, или индексами: одним— сниву для
обозна гения места горизонтали, начиная с первой, а другим — сверху
для отметки нумера колонки, также считая от первой.
Пользуются также и теми обозначениями, которые мы употребляли
раньше, когда оба индекса ставятся внизу, в ряд один за другим: сначала —
указатель горизонтали, а ват?м — указатель колонки.
Для определителя
°л
о»1»
V,
»12,
«Л
°П>
. . . Oj"
• • я Сіл
. . , йп
запись, например, aJ° обозначает тот элемент, который стоит на
пересечении р-ой горизонтали и Z;-oS колонки. Для подобн&го элемента раньше
мы употребляли запись a j.. Верхний указатель обычно ставят в скобках,
чтобы не спутать его с показателем степени. Для сокращения ваписи,
мы не будем вводить скобщ употребляя дальше все элементы только в 1-й
степени и имея в виду то отличие индексов от показателей степеней, что
в показателе степени никогда не ставят 1; эта цифра остается как
верхний указатель во всех элементах первой колонки.
Определитель Л, если его раскрыть по элементам, скажем, первой
колонки, согласно изложенному равьш? правилу, будет иметь вид суммы
из п членов:
А — а^А^ — V Л1-н agMg1 — ... +апгАп\
где А^у A^j^.'A^ обозначают миноры (п — 1)-го порядка, на которые
и умножаются элементы первой колонки аД а2х,... аях; последний член
будет иметь энав -*-, если п — число нечетное, и знак —, если оно четное.
Ни один множитель А^ А^... А^ не будет содержать элементов а^, а^7... апх,
какие вошли в первую колонку. В нашей сумме из п членов каждый
множитель Afj если его также разложить по элементам первой же колонки,
будет иметь сумму п—1 произведений подобного же типа. В нем
определители (п — 2)-го порядка снова будем раскладывать по элементам
первой колонки и т. д., пока не дойдем до определителей первого порядка,
т. е. до самих элементов определителя. В итоге всех этих разложений
будем иметь такое число всех членов в выражении для А:
• ' л(п —1)(п —2)...3-2-1.
Произведем теперь разложение того же определителя А другим
способом. Заменим его сначала равносильным определителем таким образом.
Вычеркнем из А йакиФ-либо т горизонталей, идя по порядку сверху
вниз. Пусть вычеркнуты будут горизонтали с нумерами р^ #2; .. .рті
так что
Рі<Р2< ••• <Рт-

Теорема Лапласа
133
Вычеркнем еще какие-нибудь т колонок, также идя по порядку слева
направо. Пусть вычеркнутые колонки имеют нумера кг] &а; ... Jcmi
так что
\ < #2 < ... < /ет.
На пересечении вычеркнутых горизонталей и колонок будут стоять
элементы, из каких мы составим определитель низшего, т-го, порядка,
называемый минором Шг-го порядка и обозначаемый так:
ах oh . >. ат
Рі Рі Рі
а* а* ... а*т
Рі Рі Рі
а*' а1 ... а*т
Рт Рт Рт
Р\Рі*»Рт
Докажем, что если мы изменим порядок горизонталей и колонок
определителя А таким образом, чтобы определитель
ЯіРа-
•Рт
весь очутился в первом углу слева и сверху определителя n-го порядка,
тогда будет
(23)
«*¦
і'і
а1'
?1
а*-
Рт
а 2 ..
Рі
а a ..
Рг
а> ..
Рт
. а*т .,.
j»i
. а*"..*.
Л
Рт
=(-1)
Рг+АгН- • ••+*»+*!+***-• • ••+ *
т
А
В самом деле, не трогая колонок, станем переносить ^д-ую
горизонталь вверх на соседнее место с нумером р1 — 1, а эту соседнюю поставим
вместо рх-о& горизонтали, тогда знак определителя А изменится на
противоположный, т. ?. определитель помножится на (—1); передвинем далее
j^-ую горизонталь еще на одну горизонталь вверх, на место с нумером
рг — 2; определитель А помножится на (— 1) • (—1), т. е. на (—I)2. Когда
мы таким путем дойдем до г-того места сверху, тогда А помножится
на (—1)Рг~*,а когд* доберемся до первой горизонтали вверху, то он
помножится на (—1)Рі~ . Будем теперь передвигать р2-ую горизонталь на
(р2—1)-о? место, потом на (р2—2)-о? ж т. д. до второй горизонтали
сверху, — определитель А помножится на (—1)Ра*~2. Окончательно от
передвиганий только горизонталей вверх определитель помножится на
/ і\Рі—1-hPa—2+.. .+Рт—« _= / 1 \Рг+Л+. - .+Рт-(1+2ч-.. .+ш) ,
(1-4-ю)т і
= (-1)
Pv+Pr*--,-+Рот—
'V

134
Дополнения проф. М. Е. Куренского
Последний член в выражении: показателя степени обозначает сумму
членов арифметической прогрессии от 1 до т.
Так же точно от передвиганий колонок влево на 1-е, 2-е, . • • пг-ое
место, начиная слева, определитель Л помножится на
/ j\*r-H-A4-2+... .•*-*«—*» _ / 2)
*і+М-« •¦-*-*
<1+ж)т
т'
Мы видим, что от перенесения и горизонталей и колонок
определитель А помножится на
Число (1н-мг)т есть четное,, каково бы ни было целое число щ а потому
(—If^W-t-l,
и следовательно, мы имеем для Л множитель N по формуле •
Число JF есть н-1 или —1. Помножив обе части равенства (23)
на N и имея в виду, что N» N-=4-1, мы получим
^ _ / j\Pr*ft*-. • :-Ц>,»+*і-ь*г-*-.. .+*т
*1
Яі
*2
і>2
а*2 ..
Рт
- аА ' * *
. а*т...
* **« • • •
Рт
Вычеркнув из А отмеченные т горизонталей и т колонок, мы будем
иметь в определителе еще п — т горизонталей и столько же колонок. Они
устанавливают определитель (п — »г)-го порядка. Этот определитель,
умноженный на Nj называется алгебраическим дополнением определителя
и обозначается черев
РіРі* - >Рт
\
PiPf • -Рт'
Покажем, что сумма всех произведений вида
1 С ]\і> 1+Рг*-.• .-+*т+М-*2+.• .+*т jg*i *2-• -*т /Т*і*а-• -*т
при одной какой-нибудь комбинации горизонталей рх,р2) ... рт и при различных
возмооюных комбинациях колонок Jcx> Sa, ... &w, начиная с первой и до п-ой, илиже

Теорема Лапласа 135
при какой-либо одной комбинации чисел 7с19 7с2, ,.., Ът и при всех возмооюных
значениях для чисел р13 р23 -. .,#ж от 1 до щ равняется определителю А.
» ¦ Это положение называется теоремой Лапласа.
Пользуясь знаком суммы 2, теорему Лапласа можно записать такой
формулой:
(24) А— 2^ У—^У В9А..*тЬ9х9г..*ш>
К\ • • *К
т
где знаки \ ... Ът внизу суммы указывают на изменение только этих
величин в членах суммы, от 1 до п включительно, для каждого из 7с.
Ту же теорему можно записать еще и такой формулой:
ч /25) А = "^ С іУ1"***"1"' * •"H'm+*i+ft2+; - •+*»» j5*1 *2' •Лт (7*і*а* * '**
V ' ^^ ^ ' ptPi.. .Pry рхр*.. .рт *
Рі'*-Рт ~
Разложение справа определителя А по произведениям
определителей В на определители С и множители Ж перед этими произведениями
и есть то разложение вторым способом, о котором шла речь вначале.
я Множитель N" есть -+-1 или —1; множитель В обозначает
определитель т-го порядка и, наконец, множитель Сесть определитель (п — т)-го
порядка.
Зафиксируем одну комбинацию чисел ри р2,... рт и будем менять
всякими возможными способами числа %х, %2, ... ЬШ} так что
^==1, 2, ...я; &2 = 1, 2, ... п; ... ^ = 1,2, ... п (^фі'^ф ...=}=Х;оту
Тогда Ві\1*1]1р2 будут обозначать всякие возможные определители
¦*ю-го порядка, которые можно образовать из элементов
горизонталей и всех п колонок от первой до последней, «.-ой;
величины С 1 а'"*т обозначают войки? возможные определители (п — иг)-го цо-
рядка, образованные из оставшихся п — т горизонталей и всех колонок
от первой до последней, n-ой, если брать каждый раз по и—т колонок.
Множители N перед В учитывают, что всякий раз опред?лите'ль «г-го
порядка В переносится в верхний левый угол в определителе А ж что при
разложении определителе В по элементам первой горизонтали или первой
колонки, а затем определителя С по элементам первой горизонтали ттлпт
колонки, произойдет то я&? самое, что и при разложении определителе .4
по элементам первой горизонтали или колонки: знак н- или — деред '
каждым членом разложения определителя В будет фиксироваться
множителем Ж' '
Миноры мгто порядка ¦Bjl""fw имеют по

136 Дополнения проф. М. Е. Еуренского
членов, если их раскладывать будем по элементам первой, скажем, колонки,
а затем множители в таком разложении—снова по элементам первой колонки
и т. д. Миноры (п — т)-то порядка С1"' ™, при разложении по элементам
первой колонки, дадут каждый по
(п — m)(w — m—1) ... 3 - 2 • 1
членов. Произведение j3*"-**»Cl1'" » имеет, таким образом, всего членов:
9 * " Pi---Pm Pi'"Pm J х '
m(m—1)... 3 • 2 -1 ¦ (л—m)(n — m — l)... 3 • 2 • 1,
и ни в одном из них не повторяется какой-либо элемент ар& определи-^
теля А; все члены произведений состоят из разных элементов.
В формуле (24) справа будет столько произведений ^]^ЖС*1#"*"\
сколько можно образовать комбинаций из п колонок по m колонок в
каждой группе, т. ?. всего Спт. Таким образом всего членов справа в
формуле (24) будет
Спт >т(м—1).. • 3 %2 -1 • (» — т)(п—т— 1) ... 3 • 2 -1.
Но
V
1 -2 ...(ц —1)ц ^_
1 -2 ...(m — l)m • 1 • 2 ... (» — w — 1)(л —т)'
следовательно количество членов правой части формулы (24) есть
1-2-3 ...(л —1)-«,
причем между ними нет членов с повторяющимися элементами а *.
С другой стороны, количество всех членов левой части этой же
формулы, т. е. количество всех различных членов первого разложения
определителя А, есть такое же самое, и между ними также нет Повторяющихся
где-либо элементов а *, т. ?. оба разложения одинаковы, а формула (24)
справедлива,
В том частном случае, когда ю = 1, формула (24) обозначает
разложение определцтеля А по элементам какой-либо р-ой горизонтали (р зафиксировано,,
а меняется Ъ от 1 до w), а дальнейшая формула (25) представит разложение
по элементам какой-нибудь lc-ой колонки {к зафиксировано, а меняется р-
от 1 до п).
В этом частном елучае теорема Лапласа запишется так: .
Н-
-4=2 <- 1)Р+Ч* Ср*=2У V
р р
где -4р есть алгебраическое дополнение элемента а* в которое
учитывается надлежащий знак -f- или —. ,

Умножение определителей. Взаимные и симметрические определители 187'
Примеры.
1°. Разложить определитель четвертого порядка но определителями
второго порядка:
а\ а\ аі аі4
а21а*а*а2*
«з1 az %* V
= (-1)
(-D
1+2+1+3
1+2+1+4
^і1 а12
«а1 а%
аг1 af
<*>2 а2
»
а* а34
а/ а*
а32 а83
а42 а/
а4Х V а/ а4*
/ ]\1+2+1+8
(-D
1+2+24-8
о^1 ах3
< «г3
аі2 аі
К V.
а32 а3*
а42 а4*
w
V af
(-1)
1+2+2+4
Oj2 а24
а22 а2±
«з1 аз3
а^1 а43
(-1)
1+2+3+4
ах3 ах4
а23 а24
«з1 аз2
а^1 а42
первое произведение имеет знак -ь, второе —, третье -+-, четвертое
пятое —7 шестое
2°. Пользуясь теоремой Лапласа, разложить по элементам третьей
колонки и вычислить определитель четвертого порядка: '•
4
2, 3, 4, 5
3, 1, 2, 4
4, 6, 3, V
б, 2, 1. 4
/
== (—1)1+8 4
з,
4,
5,
1,
6,
2,
4
7
4
2,3, б
(—1)2+8 2 • 4, 6, 7
5,2, 4[
(-D
3+3
2,
з,
б>
з,
1,
2,
&
4
4
(—1)*+31 •
2,
з,
4,
ь
1,
в,
б
4
7
= ^4.(—39) —2(—33)-нЗ-21т-1-21 = —4а
На практике вычисление определителей с помощью теоремы Лапласа
производится посредством разложения по определителям, состоящими
из элементов тех горизонталей или колонок, • какие имеют наибольшее
количество нулей. t
XIV. Умножение определителей. Взаимные и симметрические
определители. Применяя теорему Лапласа, ^і?гко произведение двух определителей,
одного^—порядка Тс> а друюго— порядка 2, записать в виде определителя высшею*
порядка Тс-ъ-і.

138
Дополнения проф. М. Е. Куренскою
Легко проверить, что, например, произведение определителя второго
порядка на определитель третьего порядка может быть представлено
sb виде определителя пятого порядка по формуле
*1Р1
**Ря
*
а1 ^1 СХ
&2 ^2 ^2
% *3 С3
' Jri
cq (^ О О О
а2Р20 00
^і ^і аі ^і сі
А2 і2 а2 os с2
^з h аз ^з сз
где
О Oa-^Cj
О 0 а2 Ь2 с2
О 0 а3 Ьг с3
обозначают совершенно произвольные величины.
Можно произведешь двух определителей записать также посредством
определителя того же порядка, как наибольший из порядков Тс и I заданных
определителей.
Для этой'цели определитель низшего порядка, например 7с-го,
заменяется равносильным ему определителем бЪде? высокого порядка I. Чтобы
осуществить это, достаточно использовать л?гк? проверяемую по теореме
-Лапласа такую формулу:
' 1 КОЛОНОК
1 0 ...000 0 ..
О 1 ... 000 0 ..
Тс колонок
1 1 1 " ¦ •
Тс гориз.
^2 *2 ^2 ¦ • •
аз ^з сз ¦ • *
00...10 00...
Р\ Vi • . • S ¦» О/л Ол С* • . •
р2 $2 ... s2 а2 о2 ся ...
Рг Яз • • * 5з аз ^з сз * • •
? горизонталей,
тде
і3!) ?1> • ¦ • .Sl] Р%і Я.2У • " • 5S) 1*3? ?3J ' * * 5з! * * •
произвольны. у
После этого остается только Перемножить определители одинаковых
порядков: и один ?-го порядка и другой 1-то порядка.
Докажем теперь, что определители одинаковых порядков п перемножаются
то формуле ч •
а1 Яі2 •
«21 V "
• • »
W-
.. а"
.. а2
. ¦* »
..«„»
f
*
v v..
V 63V.
• • • .
Ъ ХЬ 2
Tvt»
h n
¦ •
Ъ п
•'
1 1 • *
с2 с2 . .
....
СЯ °П "
' с1
. с2
'* . •
f л

Умножение определителей. Взаимные и симметрические определители 139
где
с/ = ар1Ъ1Ь + арЧ*
а пЪ &
ар °п з
так что, например, для определителей второго и третьего порядков
будем иметь:
азР2
а1а1
а2 Ь2 с2
аЗЬ3С8
а2а2н-а8а85 Ь^
«•2Т2-*-йзТ8> ьіУі
а2аі-»-Ь2Рі> а2а2-+-Ь2р2
*і Рі Ті
а2 02 Т2
«зйэТз
&2а2-§-58Оз5 с^ч-в^
«3*8
сзР8
свТз
Так как определитель не меняется от вамены горизонталей
колонками и наоборот, то при умножении друг на друга определителей
одинакового порядка можно множить: 1) горизонтали первого определителя на
колонки второго; 2) колонки первого на горизонтали второго; 3)
горизонтали первого на горизонтали второго и, наконец, 4) колонки первого на
колонки второго.
Наша формула умножения определителя о элементами а * на
определитель с элементами Ъ^ докажется так.
Произведение определителя «-го порядка на определитель и-го
порядка можно записать в виде определителя порядка 2п:
аі аі • • • аіп 0 0...
я/ а/ • • • а2П 0 0 ...
ап а* • • • "и" 0 0
-10 ... о VV •¦•
о —і... о VV---
*
о о ...—іV&ns-• •
0
0
0
ъ?
hn
Кп
Прибавим к элементам (м-*-1)-ой колонки элементы первой колонки,
умноженные на Ъг\ эат?м элементы второй колонки, умноженные на J2X, и т. д.
и, наконец, элементы n-ой колонки, умноженные на Ъп\ Определитель
от этого не изменится, а элементы (пчні)-ой колонки заменятся такими,
считая сверху вниз: ¦
*1 ) 2 ) * * * П ) У 3 • " *

140
Дополнения проф. Ж К. Куренского
Далее будем прибавлять к элементам (ю-н2)-ой колонки элементы
колонок первой, второй,... w-ой, умноженные, соответственно, на Ъг\
&s2,...; Jn2; получим сверху вниз:
» 2. >, 2. v, 2. Л. П. О
и аналогично до последней 2п-ой колонки, которая заменится элементами:
/
е п. р п. с п. п. п. о
Определитель порядка 2п перепишется так:
О/л • . • 6Ц v^ • • . С^
ап ... ая сЛ ... сп
-1... О 0 ... О
О ...—1 О ... О
По теореме Лапласа он будет равен
(-1)
1-+-2+.. .-4-*И-(»и-1)*(п-ь2)+.. ,+Йп
-1....0
0 ...—1
Сі . • • Ст
*
Л 1 А П
(1+2и)-2п
(-D
(-і)м
Сі • . * V
п
У» 1 ' Л П
Wl * * ' ЬП
= (-!)» •(-!)"
1 • • * ~і
л 1 л П
VI ... Сч
Сп . . . Сп
т. е. сведется к определителю «-го порядка, стоящему в правой части
доказанной таким образом формулы умножения двух определителей. .
Взаимным определителем А для заданного определителя А называется такой
определителе элементы которого А^ являются алгебраическими дополнениями
элементов ар* заданною определителя, так что
А
ахх ... ах
п
< ... апп
• А =
-сЦ» ... -0.1
4 1 А п

Умножение определителей. Взаимные и симметрические определители 141
причем, как мы помним, AJ* обозначает произведение (— 1)Р"**на
определитель (п — 1)-го порядка, пол учаемый, вычеркиванием из определителя
Ар-о& горизонталии й-ой колонки, на пересечении которых стоит ар*."
Перемножим определители А и А. По теореме Лапласа,
произведения
a*Af-ь^і/ч-...+ ^пАп\ V-V -*-VЛр
дадут А, а произведения
Ct/ч rfdi " I " О/л JULa Г~ • .
ап 'Л-п 5 ар-Д.? + a*Aql
о^п Арп
W
дадут нул%, так как будут представлять собой определители п-то порядка,
у которых содержатся либо две колонки с одинаковыми элементами, либо
две горизонтали с равными элементами. Поэтому
Ак
А 0...0
Оі...О
О О ...А
Ак~Апу
т. е. взаимный определитель равен (п — 1)-ой степени заданного определителя:
А = Ап~\
<
Минор из верхних первых горизонталей и из такого же числа левых
первых колонок будем называть главным минором.
Рассмотрим минор А порядка т:
-&-*%•—
ьт
іі.
*4
AT... A
т
"т
А\.
Л"-
0 .
0 .
¦•¦4
-К
.. 0
.. 0
Ат+\
Ат
1
0
Л1
А»+2 • •
Ат
0 ..
1 ..
¦К
•<
. 0
. 0
О ... О 0 0 ... 1

142
Дополнения проф. М. К. Еуренского
Умножив этот минор на определитель Ау получим
4...4^-^
к-л=
и
А"...АттА"...Атп
1 I» ЯП 1 Л
О ... О 1 ... О
а\ ... а\
а\ • • • а1
т. е.
(26)
О ... О О ... 1
АО ... Ю О ... О
0.4 ... О 0 ... О
0 0... А 0 ... О
а*+1 * * * ат+Х ат+1 ' ' ' ат+1
1 лт *n+l п
а ... а а ... а
п п п п
тч-1 п
а«-ы • • • Vn
* — Ат—1
лт+1 п
а ... а
я п
или" словами: главный минор порядка т взаимного определителя равен
минору (п—«г)-го порядка из соответственные элементов определителя А7
умноженному на (т—1)-ук> степень этого определителя А.
Передвинув колонки влево, а горизонтали вверх, для любого минора
порядка т и сделав его таким образом главным минором, легко убедимся,
что теорема справедливо" н? только для главного, но и для всякого минорам
Определитель называется симметрическим, если
aJ>=akP,
а если
Р
а* = — акР,
то такой определитель называется косым. Если в косом определителе все
элементы главной диагонали, идущей от левого верхнего угла к нижнему
правому, равны нулю:
тогда такой определитель называется косым симметрическим или
полусимметрическим. .

Умножение определителей. Взаимные и симметрические определители 143"
* Косой симметрический определитель нечеткого порядка тождественно равен
пумо.
В самом деле, если: в косом симметрическом определителе А
нечетного порядка п. заменим горизонтали колонками и наоборот, то каждый
' его элемент умножится на —1, т. е. весь определитель умножится на (—1)п,..
а с другой стороны, как всякий определитель, он не должен изменяться
от такой ?амены горизонталей и колонок, и мы получаем:
А = (— 1Т-А- А = — А] 2А = 0] А = 0.
Для элемента 'aJ6 всякого определителя элемент а$ называется сопря--
оюенным. Если значки горизонталей в миноре какого-либо порядка
заменить значками колонок и наоборот, то такие два минора называются также
сопряженными.
Очевидно, что сопряженные миноры симметрического определителя*
равны между собою. Следовательно, взаимный определитель
симметрического есть тоже симметрический определитель.
Отсюда следует, что если к косому симметрическому определителю-
нечетного порядка применить формулу (26) и положить в ней т = 2, то
в правой части этой формулы будеіл: иметь нуль, так как ,4 = 0, а составляя",
минор второго порядка левой части, будем иметь формулу
(27) ¦ l/Aj* = (A/f.
Докажем, что косой симметрический определитель четного порядка
предоставляет собой полный квадрат целой рациональной функции ею элементов.
Эта теорема очевидна для w = 2:w
0 а
— а 0
¦-¦
— а2.
Полагая справедливой ее для («— 2)-го порядка, докажем справедливость-
для ю-го.
Если Aj6 есть минор нечетного (п — 1)-го порядка определителя АТ.
соответствующий элементу ар\ этого определителя А1 и если а^
обозначают алгебраические дополнения элементов а* определителя J^A то мы,
имеем:
і11 = а22а/ + а23а23+ .;. +а2"а2п=0
аз2 а22 -ь Оз3 а28 -+-... н- а3п.а2п =„0
Вследствие этих формул, если мы умножим в* определителе А
элементы второй колонки на otg2, прибавим к ним элементы третьей колонки,.

Дополнения проф. М. К. Еуренского
-умноженные на ос23, четвертое — на сс24?... «-ой—на <х2л, тогда только
лтервый элемент этой колонки будет отличен от нуля, и мы получим
а22 ¦ А—— (ах2а22-+-а*а2:
<0
*^Сак как
2 2 • • • ^*о
Ло t*g ¦ * • До
апап1--апП
3.
'Оя1 = —ах2; < = — а^;.--V= — ^ ,
п* а28
а32; сс2*
а
2.
4 7
• > • иСі
П
а,
я ?
-то, разлагая определитель правой части по элементам первой колонки,
получим
а22 - А = (а* а22 -н43 а/ -+-/..-+> < а2п)2,
.а имея в виду, что по формуле (27), для миноров второго порядка
взаимного определителя мы имеем
ш что определители ос22, а33, • •• а2п являются определителями (п — 2)-го
порядка и, по предположению, представляют полные квадраты, убеждаемся
>в справедливости нашей теоремы для определителя А n-го порядка, так
как получаем
Л= (а22 V^2 ч-ах3 v??-f-. - - +< Y^2.
Пример. Для косого симмётричесі^ого определителя четвертого
порядка получаем
О ~а —Ъ —&.
а ' О —с ••—е
Ъ с 0 -f
d e f О '
= (af — Ъе-^dcf.
XV. Решение линейных уравнений со многими неизвестными.
Положим сначала, что число линейных неоднородных уравнений роено числу п
неизвестных #1э х2} — хп и что определитель из коэффициентов при
неизвестных отличен от нуля. П^зть имеем:
а1 Хг-*-О^Х2~Ь- .
а*х1-*-а^х%-?- .
*
..ч-а1пхп = Ъ1
••-|-«2^П = *2
(28),
где верхние значки при коэффициентах a * обозначают не покааатели
-степеней, а нумера неизвестных х^

Линейные уравнения со многими неизвестными
"Умножим обе части первого уравнения, второго, •.. «-го,
соответственно, на алгебраические дополнения А^ А^...Aj° элементов аД а2^,...ап^
определителя из коэффициентов
А
і і * * * і
й fl * • * w-д
«и1 < • ¦ • V
*о
и сложим результаты. Подучим
{29) А*хк = Ъ1 А* -+- Ъ2 Аик
W
(fc = l,2,...n),
так как коэффициенты при всяком х^ для которого 1ф7с, будут
представлять собой определители «-го порядка, с двумя колонками равных
элементов:
Система (29) представляет собой алгебраическое преобразование
системы (28) и ей равносильна. Наоборот, из системы (29), как
алгебраическое следствие, получается система (28). В самом деде, умножив обе
части уравнений (29), соответственно, на axl; axz; ... а1п и сложив
результаты, найдем
А • (а11х1^-а12х2ч- ... -+-о1лігл)= А • Ь15
что, по сокращении на J., дает первое уравнение системы (28). Умножив,
далее, обе части уравнений (29), соответственно, на а22; а22; ... а2п и сложив
результаты, получим второе уравнение системы (28) и т. д. до п-го.
Таким образом, вместо системы (28), мы можем взять ей равносильную
систему (29). Решение ее относительно х1} ... хп дает:
х.
Ъх а^ ... ах"
Ь2 а^ ... а.2п
Ъп я-2.
'пмп
«и
п
а1х а12 ¦
dtp- «22 •
а
.п
а2
П
%і ап2 ... ^f.
Я/А
а3і Ь2 • • • а2П
Ж.
Ліг аі2 ¦ • • &і
а*1 а22 .,. Ь2
V.<*n2-
. Ь
п
я
«21 «22 • •
«1
«2
П
П
arf ап* ... ffn»
и мы получаем такую теорему Крамера: Если определитель системы линейных
уравнений, доставленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля,
то система имеет одно определенное решение; каждое из неизвестных
представляется в виде дроби, знаменатель которой, одинаковый для всех дробей,
представляет собой определитель из коэффициентов, а числитель представляет собой
определитель, получающийся заменой коэффициентов при неизвестном свободными
членами, стоящими в правых частях заданных для решения уравнений.
Я. Д. Чебыш?в. Высш. алгебра. 10

146 Дополнения проф. М. К. Еуренспого
Положим теперь, что число т линейных неоднородных уравнений не равно
числу п неизвестных хг, х2, ... хп, т. е. что задана система
Х2 = а%1 х1~+~а2 а;2+... + а/ хгч~ ...ч-а2п хп = Ъ2
Хт~ат1х1ч-ат2х2ч-...+а^хгч~...+атпхп===Ът,
где через Х17 Х2, ... Хт обозначены для краткости левые части
уравнений.
Таблица из коэффициентов при неизвестных
V
V
«г1
ат
Л 2
а22 .
*js -
/7 2
.. а21 «
..аг* .
• * ат
a • Ct-t
• •<
..«г№
Л п
состоящая из т горизонталей и п колонок, называется матрицей
коэффициентов.
Вычеркивая из нее горизонтали и колонки, можем получить
одинаковое число оставшихся строк и вертикалей, которые обратят
прямоугольную матрицу в квадратную; из элементов ее составится определитель
некоторого порядка. Если пг^п, то высший порядок определителя будет,
очевидно, п3 а если т<Сщ то порядок определителя может быть m-ый, и
наконец, если пі = п, то матрица становится квадратной; старший
определитель ее будет т-го порядка.
Пусть все определители j-ro порядка, какие только можно составить
из элементов матрицы, равны нулю. Тогда и все определители (?-і-1)-го
будут также нулями. s
В самом деле, всякий такой определитель может быть разложен
по элементам какого-либо ряда и представится суммой из произведений
элементов на определители j-ro порядка, равные нулю; следовательно,
и вся сумма будет нулем.
Если же все определители (;-+-1)-го порядка равны'нулю, то отсюда
следует, что и все определители 0"-+-2)-го и более высоких порядков тоже
обратятся в нули.
Наивысший порядок I определителя матрицы, отличного от нуля,
если все определители более высокого порядка равны нулю, называется
рангом матрицы. Если ранг матрицы есть \ то, по определению, хотя один
из определителей матрицы, Z-ro порядка, отличен от нуля, а все
определители (Z-+-l)-ro и более высоких порядков равны нулю.

Линейные уравнения со многими неизвестными
147
Меняя нумера уравнений переписыванием их в верхних или нижних
строках данной системы и переставляя нумера неизвестных, можно
достигнуть того, чтобы не равный нулю определитель Z-ro порядка нашей
система, с рангом матрицы, равным ls оказался в верхнем левом углу.
Такой определитель называется главным определителем нашей системы. Пусть
он будет
_D =
а01 а*
2
а,
af
«ZlaI2-- •• rf
К элементам главного определителя будем приписывать всякий раз одну
колонку, состоящую из свободных членов уравнений, и одну из
остающихся т— I горизонталей. Таким образом мы можем составить т — I
определителей (I -+- 1)-го порядка. Они называются характеристическими
определителями системы и имеют вид:
А=
а,
af
а
а.
аг аг
1 2
1 1
а,
ан-і Кі
Do=
а.
а,
а
' г
... а1
М-2 •
. а..
• аМ Ъ1+2
; • • • Ап-г =
а.
а
а
• йі \
7л Ш
Докажем такую теорему: Необходимым и достаточным условием
существования конечных региений системы т линейных неоднородных уравнений с п не-
известными является обращение в нуль всех характеристических определителей
системы: Dly D2) ... Дт_і.
Докажем сначала необходимость этого условия для существования
хотя бы одного решения нашей системы.
Для этого заменим наши характеристические определители
другими, им равносильными. Прежде всего заменим свободные члены

148
Дополнения проф. М. К. Куренского
в последних колонках левыми частями заданных уравнений. Получим
определители:
1 I -тг
1 і -гг
а{ ... йг л1
1 1 -у
1
аг
aL2 • •
. at Хг
. а\ Хі
? • ¦ •
1 1 -гг
U-. . ф ф №. -Л,
Оі, • ф ф О** -Л.j
Эти определители тождественно равны нулю.
В самом деле, элементы последней колонки могут быть заменены по
формулам:
-Л.1 — Оіл Х-і —t— Оц Х^
*мх*
а?хп\ ...Xl^allx14~afx2
3L = aj- хл
а?хп
аі+1Хп'і
j ¦*-*¦<№
vm *1
am x2
am xm
и следовательно, каждый определитель представится в виде суммы
определителей либо такого вида, что в них элементы последней колонки,
содержащие множители xhQt^J')1 пропорциональны элементам одной ив
предшествующих колонок, либо такого вида, что в них элементы последней
колонки, содержащие множители Хд(д^>1\ по вынесении хд-за знак
определителя, дадут определители (Z-bl)-ro порядка, равные нулю, вследствие
того, что ранг матрицы есть I.
Вычитая т?п?рьчэти тождественно равные нулю определители иі
наших характеристических определителей D17 -Z)2, ... Dm^i7 мы перепишем
эти последние так:
2),=
а.
а=
а
и
... а
п
і
i+i * *' аі+і
«J ...
а( ...
а)+і • •
і
а\,
Kv
»і
h
Кг
~Ъ
-*і
~^+i
X
, ь
1+1
X,
1+1
Vm-l =
ач
а,
а_
m
. а
і?
ъ1-х1
аи Ъь
X
• в' . Ъ —X
mi m m
Допустим, что система наших уравнений имеет определенное
решение:
жі = а-і5 #2 —а2? ••tXn = ccm

Линейные уравнения со многими неизвестными 149
ж подставим это решение вместо х-оъ в последнюю колонку
определителей Dly D2, * •. Dm_i. Тогда все элементы этой последней колонки,
т. ?. разности Ъх — Хгі..., Ът—ХШУ обратятся в нули, и следовательно,
характеристические определители Du Z>2, .. . ?т-і все должны быть нулями.
Перейдем к доказательству достаточности обращения в нуль
характеристических определителей для существования решения и покажем,
как находить эти решения.
Полагая, что
JD + 0; Д = 0; Д2 = 0; ... Д_, = 0,
разлагая характеристические определители, с помощью теоремы Лапласа,
ло элементам последней колонки и обозначая алгебраические дополнения
элементов
\ — Х2; Ъ2~Х2; ... Ъг — Хг
для первого определителя через Вг г; Вг 2; .. . 53 j; для второго —
через JB2 3; JB2 2; — JB2 ^ и т. д., а для последнего — через
получим равенства:
^а,і (h — X,) -+- Bh2 {\ - Xa) -ъ ¦ ¦ ¦ -+- Bh, (Ь, - Хг) -+-В(Ъ1+1 - Хг+1) = О
Дц і (\ - ^) ¦+¦ Я2> 2 (h—*2) -+- • • • -+- Б2, г ih - Хг) н- D фг+2 — хг+2) = О
Допустим, что мы решили первые I уравнений нашей системы и эти
решения подставили в наши последние формулы. Тогда
хі = *і; ¦Х2 = ьаі •••2і = Ь&
и, вследствие того, что -D+0, мы получим:
Следовательно, если все характеристические определители равны
нулю, то всякое решение первых I уравнений системы будет
удовлетворять и всем остальным т — I уравнениям.
Отсюда вытекает, что нам надо решить только первые I уравнений,
соответствующих отличному от нуля главному определителю D системы
?-го порядка,"и проследить равенства нулю т—I характеристических
определителей.
Для решения системы первых I уравнений перенесем все члены, содер^
Жащие ^2-нп х1+м • • • хпч в правую часть и подученную систему
аі1 хі ~*~ аі2 xs"+~ • • • "*" аіхі= \ — а\*1 х1+і — * • • — аіП хп
а2 Х1 "*"аіХ2 ~*" ' • • -і-'Щ1 %1 = Ъ2 — fl2Z+1^Z+l~~ • * • —а^Хіг
аіЧ + віЧ+ ...н-а1,я?1 = Ь1 — аг1+1щ+х — ••¦ ~'а?хп

250 ' Дополнения проф. М. К. Куренского
решим относительно а?1? #2з • • • х1 п0 формуем Крамера, считая a?j+1, ...хп
совершенно произвольными величинами и смотря на них как на известные.
Так как -ОфО, то мы получим одно определенное конечное решение для
каждой заранее выбранной системы значений #г+1, ... хп. Формулы
Крамер а; по разделении каждого члена их числителя на один и тот же
знаменатель D, дадут решение нашей системы т уравнений в таком виде:
#і = аі, 1+1 х1+\ -*- • •• "*" аі, п %п -*" Рі
х2 — a2j і+г хг^г -+-... -+- а2іП #п -+- (S2
#г = а1у г+1 ж?+1 -н ... н~ a2j п хп -н fo.
В том частном случае, когда
1 — т,
т. ?, когда ранг системы равен числу уравнений, характеристических
уравнений н? будет ни одного.
Если лее
т. е. когда ранг системы равен числу неизвестных, то в правых частях
формул (30) не содержится ни одного #-а, и следовательно, все
неизвестные хХ1 х2} хп будут вполне определенные: Чтобы система т
неоднородных уравнений с п неизвестными имела одно определенное решение, необходимо
и достаточно, при т^>п, чтобы все характеристические определители были
равны нулю гі чтобы ранг системы был равен числу неизвестных.
Если
т = ю,
то получаем результаты, которые мы имели в начале параграфа, при выводе
формул Крамера.
Если имеем систему п однородных уравнений с п неизвестными
а11х1ч-а12х2-+- . .. -+-агпхп = 0
ап1 ххч-ап2х2 ¦+-...-+-аппхп=0
и если определитель из коэффициентов этой системы не равен нулю, то, как
частный случай теоремы Крамера, когда свободные члены всех уравнений
равны нулю, получаем такое заключение: Эта система будет иметь одно
определенное решение, именно:
х1 = 0^х2; ... хп = 0,
так как все числители в формулах Крамера обращаются в нуль.
Пели же определитель из коэффициентное обращается в нуль, то ранг
матрицы, в рассматриваемом случае квадратной, будет меньше числа
неизвестных хХ1 #3) ... %п. Пусть этот ранг будет I Тогда п—I неизвестных

Линейные уравнения со многими неизвестными
151
будут произвольными, а остальные I неизвестных определятся через эти
произвольные величины, и таким образом, мы можем получить решение
системы, отличное от нулевого, т. е. отличное от такого, когда все хх, х27... хп
равны нулю.
Следовательно, все раньше изложенное приводит нас к
заключению: Чтобы система п линейных однородных уравнений с п неизвестными имела
решение, отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определитель us
ее коэффициентов равнялся нулю.
Пусть главный определитель, нашей системы и уравнений ранга I
(1<Сп) содержит коэффициенты при первых I неизвестных:
хг] х2]
Щ
Все характеристические определители равны нулю, так как последняя
колонка их, состоящая из свободных членов, имеет все элементы нулями.
Решение нашей системы п однородных уравнений будет иметь
вид, представляющий собой частный случай (30):
^і = аі,г-*-іжг-*-і-+-• • • -*-<*1іЛяп; • • • хі = %і+іЯі+і~+-• • * + Ч,ля;п-
Для системы т однородных уравнений с п неизвестными, если т < п} будет
;ранг 1<С% потому что I не может превосходить число т и система имеет
решения, отличные от нулевых, а именно: ее I неизвестных выразятся
линейно через остальные п — \ остающиеся произвольными. Если же
т^п} то система имеет вообще решение нулевое:
2^ = 0; #2 = 0; ...хп = 0.
Примеры,
1°. Дана система
Имеем матрицу:
у— 9я= 2
2у —100= 1
Чу — 23г = — 1
2
Ъх
2х
х
х — 5?/-i-13# =
3, 1, -9
2, .2,-10
1, 7,-23
1,-5, 13
D =
3, 11
'4 = 4 + 0; D1 =
/
D,=
3, 1, 2
2, 2, 1
1,-6, 2
3, 1, 2
2, 2, 1
1,7,-1
= 12-+-1
= — 6-ьі-+-28 — 4 — 21-і-2=-
20 — 44-16 — 4 = 0.

162
Дополнения проф.. Ж Е. Куренского
Решаем
Получаем:
2#-#-2у = 10*ч-1.
а;
9*
10»
2,1
1,2
= 2*-^; ?/ =
3, 9*-р2
2, Юл-1
3*
1_
4
2°. Дана система
х
Зх
2х
2у + 3я
2у — 2%
Зу-*-4:2
9м = 13
2и = б
5w = 1.
Ранг ее равен Зс
3
2
4
= 8 —8 —27 —12 —6—24 = —69фО
2,
3, 2,
2,-3,
ж = 2м-і-1; 2/ = — г«-нЗ; # = — Зм-н2.
3°. Для системы
[2хч-Зу — Чг—4и = 12
2х— у—3^h-4w= 4
а; — 2г/ -+- 5и = 2
матрица
3,-7,-4
2,
-з,
0.
4
5
имеет ранг 2; ее главный Wraop D = — 8, а все определители: третьего
порядка равны нулю. Характеристический определитель один: Вг = — 24.
Система несовместима: третье ее уравнение противоречит двум остальным.
XVI. Обращение в нудь всех определителей одинакового порядка,
составленных из матрицы, и зависимости между определителями матриц»
При решении т линейных уравнений с п неизвестными весьма важным
является установить, совместима ли данная система, а если данные,
уравнения однородны, то решить вопрос о том, существует ли какое-либо
решение уравнений, отличное от нулевого.
Здесь дело сводится, прежде всего, к рассмотрению того, будут ли
равны нулю все определители известного порядка, составленные из ма«
трицы коэффициентов при неизвестных в данных уравнениях.
Раньше мы могли убедиться, что если дано т линейных однородных
уравнений с п неизвестными и если m<w, то всегда найдется решение,
отличное от нулевого, т. е. от такого, когда все xv %2, .." хп равны нулю.

Обращение в нуль всех определителей. Зависимости между определившими 153
Если же т^п, то практически вопросы о том, совместима ли данная-
система линейных неоднородных уравнений, и о том, существует ли
отличное от нулевого решение системы линейных однородных уравнений,.
решаются д&леко не просто: надо проверить необходимое и
достаточное условие обращения в нуль всех определителей некоторого порядка,
(?-4-1)-го? составленных ив коэффициентов матрицы, если найден будет
хотя бы один определитель 1-то порядка, отличный от нуля. После этого,.
для решения линейных неоднородных уравнений, надо проверять
равенство нулю определенною числа характеристических определителей.
Нам надо установить, какие именно и сколько из определителей (1~+-1)-го-
порядка матрицы в т горизонталей и п колонок должны равняться нулю, чтобы
обращались в нуль все возмооюные определители того же порядка этой же
матрицы.
Если. ?м^м, то количество всех возможных неодинаковых
определителей п~го порядка равно числу различных комбинаций из т
горизонталей по т в каждой комбинации, с различием хотя бы в одной горизонтали,.
и будет таково:
т (ш — 1) (т — 2)... (т — п -+- 1)
1 . 2 - 8 ... (я — 1) • я
Если т = пу то это число равно 1, и мы получаем одно условие в виде
равенства нулю одного определителя для системы п однородных
уравнений с п неизвестными. Если т^>щ то это число равных нулю
определителей вообще есть большее, чем число необходимых условий для
равенства нулю всех определителей п-то порядка, так как некоторые из этих
определителей являются следствиями остальных.
Ясно, что в общем случае определителей порядка (Z-t-l)-ro их
наберется всего:
m(m — 1)(от — 2) ... (m — l). я (я — 1)(ц — 2) . ¦ ¦ (я — Т)
1 • 2 . 3 ... I • (I -ь*1) • 1 • 2 * 3 . .. I . (2 -+-1) * '
Не ограничивая общности вопроса, положим, что не равным нулю
определителем Z-ro порядка является определитель, стоящий в верхнем
левом углу,
«х1
«21
«I1
«:*•
а*.
af .
.. «1г
¦ • а2
..аг1
так как перестановкой уравнений и переименованием неизвестных можно-
всегда отнести не равный нулю определитель в указанное угловое место-
Покажем теперь, что для равенства нулю всех определителей (I -н 1)-го
порядка достаточно, чтобы равнялись нулю лишь те определители^ которые

164
Дополнения проф. М. Е. Еуренского
получим приписыванием к определителю D одной из остальных горизонталей
матрицы, с нумерами:
Z-ні; Зн-2; ... щ
•считая сверху вниз, и одной из остальных колонок, с нумерами:
Z-f-1; Zh-2 ... п}
считая слева направо. Количество всех таких определителей будет
(т — Т) - (п — Т).
Действительно, пусть будут равны нулю: *
<31)
с^1 ... ах1, ах1+1
as •.. as , as
= 0;
а* •. • «j . а*
аг1.
a.
I n f+2
v8 1 a8
= 0;
a J- ... a/, o^"
«I1 • • • al\ aln
as ... as , ag
=0
(s = I -*-1; Z -+- 2; ... m).
Каждый из этих определителей разложим по элементам последней
колонки. Тогда, обозначая через D1S, D2g, ... 2)jg, — взятые с надлежащими
знаками миноры Z-ro порядка, получаемые заменой 1-й, 2-й, ... Z-ой
горизонтали на s-ую, будем иметь такие (т — I) • (п — I) равенств:
l+1B,.-i-aJ+1D = 0
(32) /
аі+11>и ¦+• a2Z+11>и -+-... ¦+- аг<
ах^-Du-+-aj+*Dzs4- ...+a,'+sBh-f-ae'+«D = 0
afDu + afD.
2S
aj-^ + a/D^O.
a^Dla + aalD = 0,
Очевидно, что и равенства
(33) а*])1в А- а2х2)25 -+-...
при всяких
X = 1, 2, ... п] <т = 1, 2, ... т}
также будут справедливы, так как для "k^l будем иметь определитель,
отличающийся от (31) тем, что он имеет две одинаковые колонки, и
следовательно, равный нулю, а для а^і будем иметь равный нулю
определитель с двумя одинаковыми горизонталями. Если ж?
1 = 1 н-1; Z-f-2; ...и; о = 8 = 1-*-1] Z-I-2; ... т9
то получаем определители (31), равные нулю по предположению.
Возьмем теперь любой определитель Д, порядка Z-i-і, составленный
из элементов каких угодно горизонталей матрицы, начиная с первой и до

Обращение в нуль всех определителей. Зависимости между определителями 155
m-ой, и из каких угодно колонок от первой и до последней w-ой. Пусть он
будет
Д =
а1 ... <**"
а1+1 °Й-1
Докажем, что такой определитель будет равен нулю.
Для этого умножим каждый его элемент на D. Так как этот множитель
можно вынести за знак определителя из каждого ряда нового
определителя, то, следовательно, А умножится на JD*"1"1. О другой стороны, по
формулам (32), (33), каждый элемент нового определителя может быть заменен
суммой I произведений, со знаком — перед ними, и мы получаем
Dl+1 =
(
«:¦ *>,.,
-(
1 l«j+l
^Aj> •••-RitlA„
«V^J. ••
(
а.
k+i
D
I'Z+t
#"!>*)
•-^Aj
Каждый элемент определителя справа имеет отмеченную сумму I членов.
Следовательно, этот определитель можно представить в виде суммы
определителей (Z-h-l)-ro же порядка, но имеющих только по одному члену
в каждом элементе. Определителей выйдет: I из первой колонки, столько же
из второй и т. д. до последней, а всего получится 2*(2-ь1). В каждом
из них можно вынести за знак определителя элементы а с верхним и
нижний индексами; в определителях останутся только элементы „D с двумя
нижними указателями", причем, по крайней мере, две колонки будут иметь
равные элементы, т. е. определители будут равны нулю.
Итак, выходит
Но -ОфО, следовательно
А = 0.
В начале этого п° было упомянуто, что для обращения в нуль
всех определителей некоторого порядка, составленных из матрицы,
приходится рассматривать равенство нулю лишь особых, только что
изученных, определителей, так как некоторые из определителей матрицы
являются следствиями остальных. Иначе сказать, определители матрицы
связаны между cq6ow определенными зависимостями.
Найдем эти зависимости.

156
Дополнения проф* М. К Куренского
Достаточно будет рассмотреть матрицу из т горизонталей и т
колонок,
?
12 т т+1 т+п
аг аг ... ах ах • • • аі
12 m т+1 т+п
а2 а2 ... а2 а2 ... а,
я
12 т т-+Л „ю+п
чтобы, пользуясь зависимостями между определителями т-то порядка
этой матрицы, написать, в случае надобности, зависимости между
определителями Z-ro порядка матрицы из пг горизонталей и п колонок.
Решим также вопрос о том, сколько независимых определителей т-го
порядка будет среди всесс определителей т-го порядка матрицы из т горизонталей
и т-ъ-п колонок, или, иначе, сколько независимых уравнений сугцестеутп
между всеми определителями т-ю порядка?
Взяв т чисел из ряда 1, 2, ..* т-\-п и обозначив их через
«и \у • • * ^mi
составим определитель >и-го порядка
-¦*+¦
AJ\ 2 ..
* *m
m
*
*
<
?
?
а -
т
... а*™
... а\т
... а**
где указатель при ? внизу указывает нумера колонок в определителе, от
1 до w, а сверху — нумера колонок из матрицы, от 1 до т-л-п.
Введем еще обозначения:
¦»=¦*>"::::;
jjk j\l 2 ... « — 1, k, t'H-1 ... т
(к = 1,2, ... т -+¦ л),
так что D{ обозначает определитель при замене г-ой из первых т колонок
матрицы й-ой колонкой. Тогда
D/ = D; Dik = 0 .длягфй, Ь<ж-н1.
Докажем справедливость такой зависимости между определителями:
(34)
jJc\ % ¦.. km
¦"l S..-ffl
В
ч*1
*2 -rJtm
l
D
D*1 D
J)
D ' D
) •
,*m
2
D
**i
*s
DM X»'
m m
~3~' ~д~:
2>*m
«1

Обращение в нуль всех определителей. Завжимости между определителями 157
Обозначая, как и раньше у нас было, через Aj*— алгебраические
дополнения элементов а*, разлагая определитель В по элементам і-ой колонки,
имеем
В = of Af нн аг* А<*
««'V-
'Заменяя в определителе В г-ую колонку /с-ой, где Л — любое из чисел
1, .2, . .. м-ни-,
вместо предшествующей формулы, будем иметь такую:
Di* = a1*Ali-%-a%kAj
п ^ А і
Следовательно, составляя определитель ж-го порядка из элементов Bft
где г пробегают всю систему значений от 1 до wt, а 7с обозначают какие
угодно числа из всех возможных, начиная от 1 до w+w, пользуясь
правилом умножения определителей, когда множатся колонки одного на
колонки другого, будем иметь
В' Т)т
В1 ¦.. Вкш
т т
¦о.- • • • -Д.,
¦А. ¦ • » лх
а*1 ... а*т
«т • • • а!Г
»* ОТ
Так как первый множитель оправа представляет собой взаимный
определитель, равный [т — 1)-ой степени определителя В1 то мы
получаем
В\1 ...В\т
D*;...D*r
= В
т—і
Д[ К<2 • • • л
»д.
¦лі-.-...."'
и, после деления на Вш} имеем зависимость, которую надо было доказать.
Подсчитаем число всех зависимостей и количество независимых
определителей ж-го порядка.
Количество независимых, не связанных между собою определителей
будет таково, каково число всех неравных нулю и неравных В
определителей Bjk, являющихся элементами определителя в последней формуле.
Это число равно произведению числа всех і на число всех Ь ^> ж, т. е.
будет тп.
Количество всех зависимостей "между всеми определителями равно
количеству всех отношений
D
&і *2 • • • &т
і.а ... м
D

258 Дополнения проф. М. К. Еуренского
Числителей этой формулы будет на единицу меньше числа комбинаций
чисел 1' 2- ... m+-w по т в каждой комбинации; надо иметь при этом
в виду, что если взять комбинацию первых чисел 1, 23 ... т, то
получится определитель D. Следовательно, искомое число уравнений будет
т-і-п
Все такие уравнения содержат тп не связанных между собою
величин і)Д Поэтому некоторые из уравнений являются следствиями других
уравнений и числа не зависимых между собою уравнений, связывающих все
определители т-го порядка матрицы^ есть
О* —шп—1-
Зависимости между определителями можно записать еще в друюй форш,
имея в виду следукшлде обстоятельства.
Отношение в левой части формулы (34) выражается как целая
рациональная функция от тп величин. Числители этих величин получаются
из знаменателя заменой в определителе D одной его колонки колонкой
с одним из таких нумеров:
тнн 1; #г -+- 2; ... т-+-п.
Так как г есть только одно из чисел 1, 2, ... т, стоящих нижним
указателем при D^ , то при
\ = і
один элемент первой колонки станет единицей:
J9*i:J5 = ^':D = J):D = l, -
а остальные обратятся в нули (предполагаем все время, что D=J=0); так
как числители будутящ>едставлять собою определители с двумя одинаков
выми колонками, вэятыми среди первых ш колонок матрицы.
Следовательно, формула (34) указывает на то, что отношение
1 S3... т
В
равно коэффициенту при -jj- в разложении опр?делителя'в формуле (34)
по элементам его первой колонки, и мы можем переписать нашу
формулу (34) таким образом:
n.,.ffl _J/i ^18,..« ш -°2 ^12...» . _ -°т .¦Dl2...m
в ~ в '" в ~*~ в * в ~*
в ' в

Обращение в нуль всех определителей. Зависимости между определителями 159
Умножая на D3 и возвращаясь к более подробной записи: определителей
В и В^9 приходим к такой форме зависимостей между определителями в виде
однородных уравнений второй степени:
•^1 2 3 ... т "^1 2 ... m
т-jl S ... m - jji, *2 ... fcm
^1 2 ... m " -^1 2 ...m
-^li, S ... то т^2Х2 ... hm
1 2 3 ... m "^1 2 ... то
"^12 ... m—1,« ^1 2 ... то
\ля вычислении па практике, записыв?м матрицу так:
а,1а,2---«2,яР«1&"---Р2П
ос,*, сс^" .. . а^ рт рт-... рт
"т
"т
ит
и, предполагая, что определитель В из первых т колонок не равен нулю,
обозначая через В^—определитель при изменении і-он из первых т колонок на
7с-ую из последних п колонок, через Д1,2— определитель при изменении
і^ой и voh из первых на &а-ую и 7с2-ую из последних колонок и т. д.,
выписываем зависимости, получающиеся при изменении сначала двух, затем
трех,... и, наконец, т из первых т колонок на различные две, три3... т
из последних п колонок. Получатся формулы:
•^12 ..
В--
. то
»2
7)-т—1 =
D*2
В*?
»2
__
3 1, Н «з
D*1 Z>*J ... В\п
В
В
2 -^2 * ' " 2
** D** ... В*т
Я*' D*2 Я*3
'I *i *i
D*1 B*2 B*s
*2 4 4
Bh D^ в*3
*з Ч *з
•
Обозначая определитель m-то порядка посредством круглых скобок,.
с фиксированием в них нумеров колонок, например, последнюю формулу
можно переписать еще таким образом:
с*!... ftja 2 :..w)«-i=
(7^ 2 ... m), (к2 2 ... m), ... фт 2 ... т)
(12...*!), (12...*j), . .. (12...&J

260 Дополнения проф. Ж К, Куреискою
Если D=0, то формулы заменятся новыми: вместо первых m
колонок, надо взять такие другие т колонок, из которых определитель был бы
-отличен от нуля *
Примеры.
1°. Определители матрицы
\ \ \ ... Ъ2+п
•будут связаны уравнениями вида
apaq
«
aras
ЪТЪ8
= ¦
Независимых уравнений среда них будет
С2 —2-ц-1 = *(пГ1)*
2°. Для матрицы
обозначая
р = («*); 0 = (fr); <* = («); p' = (s'f); °' = (t'r'); t' = {r's')
Pi=('•'-'); ?2=Ю; Рэ=(¦*); *i=(sr0; ««=(««0; *a=(«tf)
* Зависимости: между определителями можно найти в статье: Hamburger'a (Crelle
Journ., Bd. 100, 1886). При выводе их, Hamburger ссылается на курс теории
определителей Baltzer'a, имевший до 1900 г. б немецких изданий и один перевод на
французский язык. Первое издание появилось в 1857 г. Это был вообще второй по времени
курс теории определителей. Первый курс был издан BrioscM в 1854 г. на итальянском
языке; в 1856 г. напечатан был французский перевод, а впоследствии и немецкий.
В прекрасном полном курсе теории определителей Pascal's, изданном в 1896 г. по-
итальяаски, а в 1900 г. по-немецки, где содержится весьма подробная библиография
по всем вопросам (в немецком издании всего 266 стр.), совсем не упоминается ни
о Baltzer'e, ни о Hamburger'e: речь идет сначала об исследованиях Vahlen'a (1893 г.),
в котором более сложным путем, чем в тексте этого п°, устанавливается число
независимых уравнений между определителями, затем — об исследованиях Netto
-(Acta math., t. 17), Pascals (1888; 1896), Purstenau (1880) и Hunyady (1882; 1883).
Подробные формулы для зависимостей между определителями в случае D = 0
даны в статье Ж. К. Куренского (Зап. Фіз.-мат. видділу Укр. Акад. Наук, т. 1,1926).
•
apas
ЪТЬ8
~ь
араг
ьрьг
aqa8
bqbs
t » и г
гі*і*ігіЧ'і

Определитель Вандермонда. Циркулянт
161
будем иметь такие, легко проверяемые и непосредственным вычислением,
равенства:
рр1-ьс?(г1-і-тт1 = 0; рр2-*-с<т2-і-тт2:з=0; рр8-ъ <к>8-ь тт3 = О
p/pi-+-c'p2-bVps=:Oj р/(71+о,с2 + т'с3 = 0; рЧ1-нсут2-+-т/т3 = 0
рр
QG
ff2
Т2
^3
тз
58
т3
ffl
т1
і ¦
Г
J=
Т2Т8
?2 РЗ
^l
Рз Рі
; ?
та'
?2
ff2
Рз
ffS
Рз
%
рі
ffl
ffl С2
TlT2
<УТ
Рі Р2
ТТ
Рі Р2
ffl °2
Среди них независимых будет только ~-^~=6а
XVII. Определите ль Вандермонда. Циркулянт. Определитель Тк
вида
F4 =
1111
хг х2 х3 #4
/у»2л»2/уі2л»2
¦*і ^г *^з **ч
ЖЗ л» 3 л» 3 л» 3
1 ^2 ^3 **Ч
где верхние указатели обозначают показатели степеней количеств
х1у ... хА, если элементы первой горизонтали помножить на хг и отнять
от элементов второй, элементы второй — на хх и отнять от элементов
третьей, элементы третьей — на хг и отнять от элементов четвертой, будет
иметь вид
і, і, і, і
у*=
и, Xti Х^ > **з ~~~ 1 ? ^4 Х1
) 2^ '"~ •*'і "'о) Й ' X* Хп. Хл —— Хл Хл
О /у О __ л> /у* 2 /у* О ____ л* л» 2 л> 8 __ еу л* ^
Х2 Х11
хг хі>
хі х1
Х2 \Х2 XV1 XS \XZ XV) Xi \Xt ^lJ
X% \X2 Xlh XS (Х? Xl)l X± Wt Xl)
ИДИ
K4 — (x2 xj (x% xj (#4 хг)
111
x2 x% x4 = (x% x-j (xz X-j (xx xj • V3,
л» 2 л» 2 лч2
^ л3 л 4
где Уд имеет такой же вид, как и F4.
П. 1. Чебышев. Выош. алгебра.
и

Хв2 Дополнения проф. М. К. Куренского
Применяя к Уд такую же самую операцию, какая только что была
проведена для "F4, будем иметь
V4=(x2 — x1)(x^~xl)(x^—xl)(xz — x2)(xi—x2)(x4 — x2l
Обозначая знаком П произведение различных выражений хі — хъ подучим
174=П(^ — Хк) (г, * = 1, 2, 3, 4;*>*).
Определитель «г-ro порядка Fw? имеющий такой же самый вид, как
и определители третьего и четвертого порядков F3 и F4, называется
определителем Вандермонда т-то порядка. Для него легко убедиться в
справедливости формулы
Уш =
1, 1,
... 1
X
іэ
X.
1 г
X
X
2:
8
2 Э
. .. Ж
7П
* m . X
ш
ffl-і tn~l m-1
х1 : х2 , ... ^т
щли, иначе;
7« = П(*,— «fc)
С®« — *«-i),
(г, fc = 1, 2, ... ю; г > Ъу
Циркулянтом называется такой определитель, элементы которого
получаются путем круговой перестановки элементов первой горизонтали или
первой колонки; по правилу, вытекающему из такой перестановки,
элементы всех рядов отличаются только порядком расположения от
элементов первого горизонтального или первого вертикального ряда.
Эти определители имеют вид
С.
т
аі а2аз ' • • ат-іат
а2 az а± .,. аш ах
а3 а4 % * • ' а1 а2
ат аі а2 • * * ат—2 ат-1
В связи с этими определителями рассмотрим такие:
В
•т
а,
а2 ав ,.. аш__г ат
avtt~lamal ¦ ¦ • ат-ьат-2
аі аъ аі • ¦ * ат аі

Определитель Вандермонда. Циркулянт
163
Определители Dm отличаются от определителей Ст только порядком
горизонталей, кроме первой горизонтали: вторая в Ст есть #г-ая в Ъш\
третья в Ст есть (т — 1)-ая в Dm ж т. д. Следовательно,
(ffl—I) (m—2)
с„=(-і)
А„-
Поэтому вычисление циркулянтов сводится к вычислению
определителей Dm.
Для вычисления определителя Dm рассмотрим такой определитель
Вандермонда А, элементами которого являются степени всех корней
<*1э а2>
ат двучленного уравнения
хт—1 = 0,
т. ?. определитель
Д =
1А ТГ
m—1
1'Z
gc2 oc2 ... a
m—1
9
1 ctmaffl... a
m—1
in
Умноясим определитель Dm на определитель Д. По правилу
умножения определителей, обозначая, для сокращения записи,
будем иметь
Ап-д
f(x) = a1-+-aax-*-asx2-i- ... ч-атхт \
f («х), «і f («i), «i2 f («a), • • • ^im_1 f («0
f(<4)) «2f(<4)} «s8f(«s)> ••- «jm_1f(«a)
fW, amf(a7n)> «m2f(am)3 • - «т*"1/(«J
или, вянося за знак определителя общий множитель для элементов
горизонталей,
Dm-A = f(a1).f(a8)...f(0-A,
т. е.
Bm = f(*i) ' f 02) • ' • f («J-
Для правильной записи определителя Dm надо предварительно
заполнить диагональ, идущую от левого верхнего угла к правому нижнему;
эта диагональ имеет один и тот же элемент: первый элемент первого ряда;
11*

164
Дополнения проф. Ж". К. Куренского
А=
остальные элементы располагаются по горизанталям круговой
перестановкой.*
Примеры.
1°. Для вычисления определителя
а, Ь? с3 d
d, а, Ь7 с
с7 d, а, Ъ
Ъ} с, d, a
имеем корни уравнения 4-й степени #4 —1 = 0:
«1 = 1; a2= —1; a3 = i; ct4=—i.
Подставляя их в многочлен 3-й степени
f {х) = a -+- Ъх -+- еж2 -ь <Z#8,
получаем:
f(l) = a4-b-bc-i-d; f(— l) = a — &н-с — <Z
f(t) = a—с-ь(Ь—d)'i; f(— г) = а—с — ф — d)i
і)4 = (ач-Ь-ьс-і-й)(а — Ьч-о—d) [(a—с)2ч-ф — df\.
* В теории определителей доказывается, что
Dm^
х1 ж2 #g ... ест
Хш %^2". #m—1
<%—i ^m ^a " • %-2
П (xx ¦+• efc iCg -*- ?2fc a^ -*-... -+- e(w~i)^ жда),
где П обозначает произведение всех множителей для Jc = 0,1, 2,... т — 1 и где s
обозначает первообразный ворень юі-ой степени из единицы, т. е.
2тс . . 27С
? = cos ь г sin — •
т т
В связи с этими формулами находится представление левой части уравнения
f(*)=o,
имеющего норни а^, а?2, • • • ж»п посредством такого определителя (w-ь 1)-го порядка:
111 ... 1
хх х х1 ... хг
%2 сс2 ж ... #2
f и=
вместо

Результант. Элиминант. Дискриминант
165
2°. Для вычисления циркулянта шестого порядка, что сводится
к вычислению циркулянта третьего порядка, и для упражнения на
умножение определителей надо проверить такие выкладки:
где
С6 =
Хл X
2#3 ¦ • • ^в
S Ч 4 * * * 1
^6 ^1 ^2 * " * ^5
Я^Ч-Л^, ^2"**" ^5 J ^З"*"^
#2ч-#5? х$-ъ-%В7 а^-ьа^
х3-*-х6У ^чь^, х2 + хъ
¦
Д/і ~ ' ¦ X
Х$ X
Хіз ¦——~ X
Ха « iCd *&>1 Хп X,
'4>
'2?
'6
«I #2 Уз
Уз Уз Уі
Уз Уі Уг
'3)
Уі
У2
Уз =
#
х,
х<
X,
xt
xt
х1х%
2 ¦ "S «"4 "" ""5 "6
1 ^ " " 1 "5 ""¦"" **^3 *Vi ~Т ' Хг, Хк
^5 ^в ^1 ^6 *^2 ^З ^2 ^4 У-% ^6
1 *^Ч —^™* *^1 *^Ч *"^ 1 в 2 3 3 5
"+" ^4 Ж5 ^1 ^2 ^2 ^Ч ^2 ^в ^3 ^4
#4 ^5 Ж4 ^6
^4^6 ^б^в'
XVIII. Результант. Элиминант. Дискриминант. Перейдем к решению
вопросов, частично затронутых в § 24.
Найдем условие существования общего корня хг двух уравнений степеней
т и п:
а0х
т
а, х
т—і
\хп
\ хп~г
а2х
т—2
\ хп~*
а
т
О
ьп=о.
Левые части обоих уравнений, в случае существования . у них
общего корня х17 должны разделиться на х — хх.
Обозначим, для- сокращения записи, левые части уравнений,
соответственно, через' <р (х) и ф (х\ а частные от деления наж —х1 обозначим
через <рх(#) (степени т—1) и через фх(а?) (степени п—1). Тогда
<?(х) = (х — х1) - 9і (^0
^(х) = (х — хг)'^1(х)
Помножим первое И8 этих уравнений на фа(#), а второе на —<Рі(#)
и сложим результаты. Получим
?(я)^(аО —ф(з)?1(я) = 0.

166
Дополнения проф. Ж К. Куренского
Это уравнение должно удовлетворяться тождественно, Lnpn всяком х,
т. е. коэффициенты его при всех степенях х должны обращаться в нуль.
Функции <рі (#) и і/х (х) будут иметь вид:
ъххш-г-+-&%хш-%
U"m-zx
%х«-*
Подстановка этих выражений в наше тождество, которое будет
(т-нм—1)-ой степени относительно #, и приравнивание нулю
коэффициентов при всех степенях х дают систему т-*-п уравнений, линейных
и однородных относительно т-+-п величин:
а0, а1?... oc^^; р0, р13• *. р^—і«
Эта система записывается так.
*о*о
—\^—\ч
=0
=0
*тР
а.
т РО "^ "m-i ?i
ат—п+1 Рп—1 *я ат—п " ' ^2 ат—2 *1 ат—1 — О
а«і—п+2 Нп—2 ^л ат—Л-+-1 *2 а«іг-і= О
Ь„*т-2— 6П-1а«»-1 = 0
5*ат-і=0'
Так как, при наличии общего корня х17 частные ft (а?) и ^(х) не
обращаются в тождественные нули и величины а0, ап ... |30, рх, . •. pn_j
не могут одновременно равняться нулю, то определитель из коэффициентов
при этих величинах в наших однородных уравнениях должен равняться
нулю, и мы получаем, заменяя горизонтали колонками, такое условие:
а0ага2 ... ат 0 0 ... О
О а0 ах*.. ат__7 ат 0 ... О
О 0 a0---«m-2am-iam--- <>
в=
0 0 0... й0 ^ а2 ..
J0 Ь1 &2 • • • К 0 0 •
0Ь0 V--Ai-26n-i Ъп .
• ат
.- 0
.. 0
=а
0 0 0... Ь0 ^ Ъ2 ... ЬЛ
Наоборот, если этот определитель равен ''нулю, то при неравном
нулю миноре і?13 полученном вычеркиванием двух последних колонок,

Результант? Элиминанпг. Дискриминант
167
последней горизонтали с элементами а и последней горизонтали с
элементами Ъу найдется определенное н? нулевое решение наших однородных
уравнений; найдутся определенные отношения, например, такие:
Рі.
Ре'
е..
Ро'
з»-і.
' Ро '
«1.
«о'
"2. ..
¦о'
а»-1
«0
Следовательно, получатся определенные частные ^(х), фх (х\ и уравнения
должны будут иметь один общий корень хг.
Условия
являются необходимыми и достаточными для существования одного только общего
корня уравнений:
<р = 0; ф=6.
Очевидно, что если
_R=0; 2^=0,
то уравнения
будут иметь «е меньше двух общих корней хг и х?.
Определитель В называется результантом двух целых рациональных
функций <р (ж) и ф (#)• *
Пример. Условия существования одного общего корня двух
квадратных уравнений
будут:
1) В=
а^а^а^О
0, а0,а1га2
0, 60, »!, »2
а0 х2 -+- аа ж -ч- а2=0
і0 а?2 -+- Jx ж -+- Ъ2 = 0
= (а0й2 — а2&0)2 — (а0
«2 &і) =
а1Ь2 —а2&1? а062 — а2&0
= 0
2) В1 =
айаі
ФО.
* Представленная выше форма результанта В носит название формы Эилерл-
Сияьвестера.
При вычислениях пользуются также видом результанта, записанного в так назы*
ва?мой форме Безу. Представляется он, например, для двух уравнений 4-й степени
а0 э& ч- аг х* -4- я2 #2 -+• <% х ~*~ а4 = О
Ь0 іс* -+- &j х$ -+- Ь2 я2 ~*~ &8 х "**" ^4 — О

268 Дополнения проф. Ж. К Еуренского
Если коэффициенты уравнений ф(а?) = 0, ф(#)==0 будут целыми
функциями другого неизвестного у} так что уравнения имеют вид:
тогда их сокращенно можно записать еще так:
Ф(х,у)=0, W(x,y)=Q,
где Ф (я,«/) и ЧР" (#, у) обозначают целые функции и относительно х и
относительно у. Для каждого одного решения этой системы;
х1 будет общим корнем двух уравнений:
Ф(*,Уі)=0; ЧГ(«іу1) = 01
так что результант JB(yj) должен будет равняться нулю. Не фиксируя
корня ух для неизвестного у, мы будем иметь условие равенства нулю
результанта JR(y) в таком виде:
%(У\ «і(У), ¦•• в»(У), О, О, ...О
О, а0 (у),... а„,_г (у), ат (у), 0,... О
*вС»), \(ц\... Ь?(у), О, О,... О
о, \(у)----К-і(у\ K(3f), о,...о
таким образом:
д== («оЫ K^3) + (fliW («о **)-*-(«і Ы (ЛіЬ*)
(во h\ («о h) •+- («і Ы («і Ь4) и- (аа Ь8), (а2 Ь4) '
(а0&4), faty, (а2&4), (а8Ь4)
т. е., вместо определителя восьмого порядка, записывается определителем четвертого
порядка, элементами которого являются определители второго порядка вида:
а0Ь0
і («о *а) =
; ... (ав Ь4) =

'Результант. Элиминант. Дискриминант 169
Определитель (тч-п)-то порядка, стоящий слева, имеет только
неизвестное у и называется элиминантом двух целых функций Ф(#, у)
и W(x7 у) относительно неизвестного х. Уравнение
представляет собой результат исключения неизвестного х из двух уравнений:
Ф(х,у) = 0} W(x,y)=0.
Пример. Непосредственное легко выполняемое исключение
неизвестного х из двух уравнений
аРч-у-*-2 — 0; х — у2_о
дает
у* -ь у -+- 2 = 0.
Составление элиминанта дает
Щу) = уь + У + 2.
Условие существования кратного корня хг уравнения «г-ой степени
f(aO=0
состоит, как известно, в том, чтобы левая часть f(x) этого уравнения
и ее производная ff(x) имели бы общий делитель. Так как целые функции
f(x) и f (х) должны делиться на х—х1У то результант их должен равняться
нулю. Составляя результант уравнений *
aQxmнна1хт~1 -на2хт~2-*-... -*- am_tx-+- ат=0
та0хт~хч-(т — 1)аххш~2-+-(т — 2)а2хт~8-н ... -+-2am_L2х-ьат__г = 0Г
будем иметь
ао;
0;
*ш0,
о,
(т
йіэ ••• ат—и
ао? ' • • ^«г—2 j
1) а1; - . - #m_i>
^о? ...2am_2,
аяг>
ат—1? ' • "
0, ...
am—1? * * -
Определитель R называется дискриминантом уравнения f(#) = 0.
Он представляет собой результант функции f(x) и ее производной
(т — 1)-ой степени f(x). Следовательно, имеет вид определителя порядка.
2т — 1.
Этот порядок можно на единицу снизить,- поступая таким образом:
умножим элементы каждой из т — 1 первых горизонталей на т\ отнимем

J70
Дополнения проф. Ж. К. Куренскою
¦от элементов полученной таким образом первой горизонтали элементы т-ой;
от элементов новой второй — элементы (мг-ь-і)-ой и т. д. до (т—1)-ой
сверху включительно. Первая колонка будет иметь один отличный от нуля
элемент; он находится в иг-ой горизонтали и будет та0. Раскладывая
преобразованный определитель по элементам первой колонки, сокращая на
не равные нулю множители % и т7 получим, вместо В, такую новую форму
дискриминанта:
а
и
О,
2я2?
"і?
ЗОд,
2а2,
та
ті
...(т — 1)а>т_х,
maQ7 (т — 1) й1: (юг — 2) а2,..,
а
т—п
о,
та,
о?
(т — 1)а1? •. * 2а,
«1—2?
= 0.
На основании изложенного в начале этого п°, приходим к выводу:
Равенство нулю дискриминанта алгебраическою уравнения есть необходимое
и достаточное условие существования кратных корней ею. Так как, помимо
условия .В = 0, здесь ничего не сказано о миноре Вх определителя -В, то
кратных корней будет или один хіУ или больше: х1] #2; ...
Перепишем уравнение так, чтобы коэффициент старшего члена был
равен единице, чего достигнем делением на а0ф0. Другими словами,
возьмем уравнение
х
т
а,х
,ж—і
апх
.Ш—2
«»_і«-*-ат=0-
Обозначим корни через х1} хгі .,. хт. Вместо R и Д, в качестве
дискриминанта этого уравнения, берут также следующую симметрическую
функцию 2 от его корней:
^i = (x1—x2)(x1~xz)(x1 — xi).t.(x1 — xm).
(#2— Яз)(#2 — #4) .. . (Xf—Xj.
Делается это на следующих основаниях.
Имеем
1 1 ... 1
(хт-і—хт)-
2H-D"
т(т—1)
X
X
X,
X,
X
т
X.
m
х™"1 х™-1 ...х, т"1
'¦л
т(т—1)
= (-1)

Результант. Элиминант. Дискриминант.
171
где Vm обозначает определитель Ванд?рмонда. По правилу умножения
определителей, возводя в квадрат определитель Б7 обозначая ?0 = т
и пользуясь симметрическими функциями §§ 22—23 (см. также
примечание в § 23), получим
v=
S0 S± S2
sx s2 s3
S2 S3 S±
s,
m—\
s.
m
&
m+l
^m—i &т &т+1 ' * ' ^m—2
Написав уравнение т-ой степени f(#)=0 в виде
(х—х^х—х^) ... (ар—хт)=0
и составив результант Я для функции f (х) и для ее производной
1 Ч ' X Хх X—Х2
+~^L,
X — X,
т
можно получить
12
т(т—1)
ж(т—1)
Примеры.
1°. Дискриминант квадратного уравнения
вм?-і-Ьа;-нс=07
в форме определителя Д, будет
R.
Д =
Ь, 2с
2а, Ъ
= &2—4ас.
2°. Для кубического уравнения
хъ -+- ах% -+- Ъх -+- с=О,
имея в виду, что
?0 = 3; ^= — а; ?2 = а2 — 26; ?3 = — а3 -*- ЗяЬ — Зс
для квадрата дискриминанта Е будем иметь
#о ^і ^2
8Х S2 83
КП2
У
S2 Ss S^
— а*Ъ2-+- 18abc—4J8—4о? с — 27с8.

172
Дополнения проф. М. К. Куренскою
XIX. Дифференцирование определителей. Определитель
Вронского.* Раскрывая определитель, первые нижние индексы которого ука-
вывают на горизонтали, а вторые — на крлонки, вида
Д =
аХ1 а12 ... а1т
0>V\ ^*99 * * *
'2т
аті ат2 '' • атт
ио элементам jp-ой горизонтали, получим
*=1
где .4^ обозначают алгебраические дополнения элементов а й:
4* = <-1)*
+fc
аи ¦ • • аі,й—і ад,й+і
... а
і«і
Л<р-і,і • • • а#—i,fc-1 ар-і,й-и ' ' * ар~і,ю
а^н-д,і • • • а;р-нД—1 ajH-i,&+i" * • ар-н,т
Л.
ml • • *
am,k-i am,h+l
... а
trim
Вычисляя частные производные первого порядка от функции Л
ло flLjj, получаем:
дД
дар1с — АрЪ
Д = а,
ад
-4~aft
ЭД
*а аярХ """ Тй da^
a,
дД
л
і»
-^ *=і
^ ЗД ^ дД
^
р=і
* Для усвоения последних двух параграфов необходимо иметь сведения из
дифференциального исчисления о том, как находить частные производные от функций
нескольких аргументов, когда функции заданы явно и неявно. Эіи функции могут
быть не только алгебраическими, но и неалгебраическими. Предполагается, что они
подчиняются известным из дифференциального исчисления условиям дифференци-
руемости.
Решение вопросов, рассматриваемых в дальнейших двух параграфах, важно
для решения таких задач высшей алгебры, как задача о том, не существует ли
линейной зависимости между Тс функциями с.одним аргументом, и о том, будут ли вообще
не зависимы между собою п уравнений с п неизвестными любой степени,
алгебраических или веадгебраических.

Дифференцирование. Определитель Вронского
173
Считая элементы а^ определителя функциями от # и дифференцируя
определитель Д яо #, найдем
<2Д
dx
2<?д dapk ^ А ,
р, к
т
%рк
т
Р,Ь
т
p=zl p=zl р=1
где штрихами обозначены производные от функций сьф по #.
Следовательно,
dx
а11 а12 а1т
а21 а22 * " " а2т
а ml ат2 • " • атт
Определитель
ап а 12 . -.
<h
т
W:
а21 а 22 * • * а2т
аті а тг " • * атт
Jr
j
ац • * - аіт—і аіт
а2і * • * Л2ю—1 а2т
а.
«іі
• аяия—гатт
(т-1),
f.(^to/-W,-.-U*^W
элементы 2-й, 3-й, ... m-ой колонок которого представляют собою первые,
вторые, ... (т—1)-? производные элементов первой колонки, называется
определителем Вронского. Применяя формулу дифференцирования, мы
замечаем, что все определители в формуле для производной, кроме последнего,
обращаются в нуль, так как будут иметь две колонки с равными
элементами, и мы можем написать
dW
dx
Ш, fi(*), ?'(*),••• /f~V), /*"4*0
."
(m_2)
№ Ш f»>..• С Ч*), ?°<*)
Положим, что мы имеем т функции fx{x)9 f% (ж), ...f^O*?), связанных
между собою линейной зависимостью
Glfl + hU
Ст tm — Ч
аде с1? с2, ... сш — некоторые постоянные величины, все одновременно не равные
нулю. Продифференцировав это уравнение т — 1 раз, подучим, вместе

174 Дополнения проф. М. К Еуренского
с выш?написанным5 т уравнений, линейных и однородных относительно
'2J " • ¦ ст:
сг f^1 > -ь c2 f/<"«> -*-... и- С» У m"1}=О-
Чтобы-могли существовать постоянные величины с1з с2?... сот, не равные
все нулю, необходимо, чтобы определитель Вронского равнялся нулю, как
определитель из коэффициентов при этих постоянных.*
Примеры»
1°. Для косого симметрического определителя имеем:
Пусть все элементы су. постояннее кроме двух? именно — кроме
agh=* — ahg = *-
Так как
то дифференцирование такого определителя дает:
— = Agh — Ahg = 2Agh для т четного; ' -т-=0 для т нечетного.
2°. Для решения вопроса, существует ли линейная зависимость
между уравнениями
fcss&c* — Вз*-+-7х —1 = 0; fj==6a**-*-2a? —7з*-+-3 = 0
f3 = За* — Зж2 -+- 2х -н 1=О,
вместо рассмотрения, будет ли равен нулю определитель Вронского из
левых частей уравнений, умножив уравнения на постоянные а, 5, о, сложив
* Вопрос о необходимости и достаточности условия обращения в нуль
определителя, носящего имя философа и математика Вронского, для существования
линейной зависимости между т функциями довольно сложен. По этому поводу надо
обращаться к теории дифференциальных уравнений, например: JBeffter. Einleitnng in die
Theorie der linearen DifTergleichimgerj, Leipzig, 1894, S. 46; ScMesinger. Handtmch
der Theorie der linearen Differgleiclmngen, Bd. I, Leipzig, 1895, S. 36; Jf. E. Журенскш.
Дифференциальные уравнения, кн. 1, JL, 1933, стр. 138—141.
Критические замечания к теореме об определителе Вронского находятся в
работах JPeano (Mathesis, vol. 9, 1889, pp. 75—76; 110—112; Rend. Accad. dei Lincei, vol. 6,
1897, pp. 413—415).
Другие работы об определителе Вронского: Hesse (Crelle Jonxn., Bd. 54', 1857,
S. 227—273); Christoffel (Crelle Joura., Bd. 55,1858, S. 281—299); Frdbenius (Crelle Journ.,
Bd. 76,1873, S. 236—270; Bd. 77, 1874, S. 245—257); Pasch (Crelle Journ., Bd. 80, 1875,
8. 177—182); Studni&a (Mscnr. f. Math., 10, 1899, S. 338—342).

Функциональный определитель
175
результаты и приравняв нулю коэффициенты: при одинаковых
степенях #, можно решать такую эадачу: имеет ли отличное от нулевого
решение такая система однородных уравнений:
За-ьбЬ-нЗс = 0;-За-*-2& — 0; 7Ьч-Зс = 0; 7ан-2с = 0; -а + 35н-с=а
Легко находим:
а=2; Ь = 3; е=—7,
т. е. существует зависимость
XX. Функциональный определитель. Пусть будет задано п
функций от п независимых переменных:
яі:==п\а'іі ^23 • * * ^я)? z^==zf%\xit) ^а? • * * ^n)j" • • • ^n===ztn(xi7 х2і * • • жл)'
Определитель
J=
tfi
дхх
dfs
дхг
dfn
дхі*
ft
дх$
к
дх2'
Кп}
дхъ'
Мі
&*?
bh
дхп
. , *»
а*»
называется функциональным определителем или определителем Якобы, или еще
якобианом, и обозначается таким образом:
j_ dfo, /^ ¦" /я) __ dfa, *а,.,. гто) -jyiz^z^... zn\
3 (#!, #2і ¦ * • ^п) ^ (#1> ж27 . . . Яп) \Яі, Х$, ... Хп)
Изменив порядок двух функций ^, я% или двух аргументов xg7 xhr
мы изменим3 очевидно, только знак определителя.
Миноры якобиана представляют собою также якобианы низшего
порядка.
Шли функции z19 я2, •.. 0п будут неявными функциями от х1} х2, ... хп:
Fx (хи #3, ... хп] #15 021 ... 0п) = і)
-^nC^l) ^2J * • • ^яі Л1? ^2? • • ' ^й) ^
тогда дифференцирование всех этих уравнении по хХі #2, ... хп дает:
А*і в dFidax ee ^ ^і^ 0> ajFi в дГдд*!
<?#! dsj <)#}
<Э% (^ 3 ' ' ¦ ?% ^ ^
Mi^_o
a% $xn
0Fn д AFn атд
dzn дхх 3
**n дРп&Ъ ,
cte
w
dsx ^т*
dFn dz
n
dzn dxn
=0,

176
Дополнения проф. М. К. Куренского
я мы можем написать
dJFid*! t дЩдц х
dFh dz
?
т
dzl дхі ' dz2 dxj " dzn дхі dxj
Согласно правилу умножения определителей, имеем
!>\ Jb = l, 2, ... л).
djsi
dF2
dzx
№п
dzx
dFt
dz2
dF2
— , . . .
OZq
UP»
dz2
dF1
ten
m
dzn
№*
dzn
•
dxx*
dz2
dxi
dzn
dxi
dzi
dx2
dz2
dos2
ten
— 5 • •
dx2
dz-i
" dx~n
te2
dxn
ten
dxn
3FX
dx-i
dF2
дан '
dF\
dx<>
dFx
dx,
n
Щ
dx»
dF*
э '
dxn
dxx
№n
dxc
э ¦
dxn
-откуда вытекает
j)/*i<*2» "¦ en\ / l)nD/•^,^"' FA - J5 ffi' -^g» "¦ FA.
Ul> #2? • • • %/ ^ ' Uli^j-.a»/' V «1, Я3, • • • % /
JSSsaw #х, #23 — #n являются явными функциями от у19 у2, ... #п, а зти
последние, в свою очередь, являются функциями от х19 %2, ... хп9 тогда
<Э#г- дуі да% ду2 дщ
dzictyn
дуп дхі
(і, fc = l, 2t ... «)
я мы получаем
\я1э ?с2,... а?яУ ^і) У27 • • - Уп/ Ui, л;2і • ¦ • %/ "
Если уравнения
Fx(xb ...хп; ви ...0W)=O _
1^, ...зл; ^, ...*„); ... Я^, ...а?я; ^, ...^ = 0
переписаны будут в таком виде:
*і = ?і (жи ^ • • • #«); ^=ф2 Оіі «2> • • • жя)
тогда, вводя обозначения
фі=*і —9x5 *> = ** — %; ••¦ ** = *» — ?,,,

Функциональный определитель 177
будем иметь:
дгх * д$2 } *"' dzn
де% ' dzz j • *' ^
и для якобиана от функций зю ... яп по переменным а^, •.. хн получим
произведение
D (еи*2і -->%\ = ±і?і . ^Й . і?5 ¦ ¦ . д*я.
Относительно якобианов существует такая чрезвычайно важная
теорема: Необходимое и достаточное условие того, чтобы между п функциями
#і7 %2> • « • 0п независимых переменных х13 х%> ... хп существовала какая-либо
зависимость
cocmoMWi в тождественном равенстве нулю функциональною определителя
Необходимость этого условия вытекает иэ того, что если бы между
функциями я1; ... яп сущ?ствовала\зависимость
тогда дифференцирование по х1У по #8)... по хп дало бы систему
уравнений:
Г" д ' Га ¦'¦," ' д T-g = Q
a^l oajj о^2 0^1 дан v&x
д(а дг-i д<а dz% day д%
Эти уравнения линейны и однородны относительно производных: ,
д<зу до) Гдо>
дг^* dz%% * * dzn '
не равных одновременно нулю, так как б> зависит от #-ов. Следовательно,
определитель ив коэффициентов должен равняться нулю, а это дает
Ul, «2» ••• ffl/
\
Я. 2, Эдикте*. Внсж. алгебр*. 12

178 Дополнения проф. М. К. Еуренского
Достаточность условия вытекает из таких соображений.
. Пусть *!,...*«:*#!,...#„ связаны уравнениями:
заменяющими уравнения:
Тогда, на основании изложенного выше, имеем
¦п (*и *2і »-- М — rj- <fel . jg_2 . . .*?».
Предполагая, что якобиан равен нулю, приходим к равенству нулю,
по крайней мере, одного из множителей справа. Пусть
Это уравнение указывает на то, что функция <р& не зависит от х%.
Исключив следующую величину х%+1 иа двух уравнений:
0k = 9k(0u *«?••• *Jfc-n %+іэ * •' хп)1 0h*-i = 9k+i(*i> Чі • • • *Ъ хк+\? • • • х*)у
будем иметь уравнение вида
ф (^ *2,... *ь %,*; %+3? %*-3,... %) = 0.
Исключив И8 этого уравнения и из уравнения
0h+-2~9k+2\011 Z%) * * ' 0k+ll %+2? ^+3) * ' • %)
величину %*.2э получим уравнение, связывающее только величины:
* • •
Продолжая далее этот путь, будем иметь, в конце концов, уравнение
указывающее на зависимость между функциями #1э ^ ... #п.
Из приведенной выше теоремы получаем такое заключение: Если
задана будет система п уравнений
Fi(Pi>---*ml *і, •••**) —0; ... Fn(x1?...xm* ^,...*n) = 0,
wo e^ лшено будет решить относительно всех п неизвестных е19 ... яп,
рассматриваемых пап функции от т аргументов х1} ...хтз только тогда, когда
уравнения будут не зависимы между собою, а для этого обязательно должно быть

Примеры и задачи
179
Пример. Чтобы выяснить, существует ли зависимость между
функциями
/1 =г #і "+" ^2) /2 == %1 ^3? / 3 === *^3 4^3 "**"" *^2 ^1/ -*"" ^2 v^2 ^і)з
і
а вместе с тем, чтобы решить вопрос, будут ли не зависимы между собою
уравнения
#,
#2 = 0; хх — х$ = 0] xz(Sx3^5xs — x1)~t~x2(2x2~x1)=±0i
проверяем условие
1 О
О ~~ * —1
* v
Д/о Ха 4 Хч ~і ^гЖд I 0«^з ? I В — 0«&
=¦— #! -+- 4сХ2 ч- Ь%<
Х-,
6#о б#о ~Ь #о Ч" #о = 0.
Зависимость между функциями существует. Она будет такова:
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ №№ 1—100
1. "Записать в тригонометрической форме сопряженные комплексные
числа:
і-ні>/з; і—W3.
Отв.:
а=1; Ъ=^3- Б = 2; <р = т[-; 1 =*= * V3 = 2 (cos -^ -ь і sin -^-Y
2. Записать в тригонометрической форме число б^нь-бг.
Отв.:
В
= 10; 9 = -^; б V3 -ьбг = 10 [cos-?--§-»sin-?-)
3. Записать число —5 — 12г в тригонометрической форме.
Отв.:
— 5 —12* х 13 (cos 247°22'48"-ч- г sin 247°22'48")
— б —12» х 13 (cos 4.31762 чн- г sin 4.31762).
4. Найти модуль и аргумент числа —г 5.
Отв.:
^2 = 6; ср = х.
5. Вычислить
(|—0.24 >рі)н-(— у-н0.24 V1^)-
Отв.: '
0.6 -ь 1.2г.
ч
\
12*

180 Дополнения проф. М. К Куренского
6. Вычислить
[(2-*-Зі)2-н(бн-і) (1—2»)]: С1-""»)*-
Отв.:
0.26—1.26г.
7. Вычислить
,. 1 / те . . іс\ 3 / те . . *\
4** s(O0S^",'tSm8J*l(COS6^$Sin6J*
Отв.: —1.
8. Вычислить
і[оовт-*-гвшт) : J(cos-5—»smTJ-
Отв.: —2.
9. Разложить на множители ж4-+-1.
Отв.:
(a1-*- V?0H-l)(a? —V2$4-1).
10. Разложить на мно&ители %* — 1.
Отв.:
(а?-+.1)(а?—1) = (х — Х)(х-*-1)(а? — я-ь1)(а?-ьагч-1).
11. То ж? для а?8-+-1.
Отв.:
(а?ч-!)(«*—^нн1)===(ж2-ь1)(а;2-і-\/Зіс-ьі)(^2 — \/Зя+-1).
12. Разложить на множители я8—7#—6, 8ная один корень хх=—1
уравнения
а? — Чх—6=0.
0тв<: (а?-*-1)(а?-ъ2)(з— 3).
13. Н? производя действия деления, вычислить остаток от деления
2^—2^-4-9^—3^—7,
на ж—2.
, Отв.: 39.
14. Найти точный и приближенный корни уравнения
4#=2Ж. -/
Отв.: Ищем абсциссы точек пересечения прямой через начало
координат у=4с% и кривой у=2х, которую надо в/ач?ртить
приближенно по нескольким точкам; #1 = 4$ а?2;г0.3.

Примеры и задачи
181
15* Найти приближенный корень уравнения з? — 3% -+- 1.7 = 0 о
точностью до 0.01*
Отв.:
X
№
— оо
—
0
-4-
— 2
—
—1
— 1.6
— 1.7
— 1.9
— 1.95
— 1.97
—'
— 1.96
-*-
; а^ж—1.96.
16. Таким зк? путем, как в задаче 15, вычислить корень
трансцендентного уравнения
0.6 х — sin х -+- 0.11 = 0.
Отв.:
а^12°49\
17. С помощью теоремы Штурма, отделить корни уравнения
<xt-%-<x? — 4Я3 — 4# -+-1 = 0.
Отв.:
f(x)=:&-*-0 — 4u* — 4ячь1; f (я)=4s8-*-3s2 — 8a;—4
.Л = 7^-і-8я? — 4; Б^^-ьб; Д2 = 1;
¦ ¦ ¦ ¦ і
#=0 и а?=ннсо дают два положительных корня; х=0 и х=—со дают
два отрицательных корня; между x=il и х = 2 лежит одан корень; между
# = 2и# =— 1 устанавливаем два корня: один из них между числами
— 2 и —1.6, а другой—между —1.6 и —1.
X
№
0
_і_
10°
-I»
20°
—
16°
13°
—
12°
-ь
12°50'
—
12°48'
-ь
12°49'
нию
18. Применить правило знаков Декарта и теорему Фурье к уравне-
. а4 —ДОч-10ба? — 329s -ь 520 = 0.
Отв.: Четыре перемены знаков для коэффициентов указывают на
число положительных корней: 4 или 2, или ни одного. Для функгсйй
f(x\ f (х), f"(x\ f\x\ fly(x) надо подставить х = а и х — Ъ, полагая:
а=1, Ь = 3; а = 3, Ь = б; а = б, Ь = 6; а = 6, 6=,9.
19. Имея приближенный корень ж,г; 1.8 уравнения
s3-^^2—3# —7=0,
по способу Ньютона вычислить корень с точностью до 0.001.
Отв.:
ЯцжL801; #18яг1.8063; ж^:0.806.

182 Дополнения'Тіроф. М. К Еуренспого
20. Пользуясь указаниями на способ Греффе в параграфах о
симметрических функциях корней уравнения, вычислить по этому способу
все корни уравнения
а^ал—іоа» — 34я — 26 = 0.
Отв.: Пятое преобразование дает:
у* ч- 2.005 .109 у2 -ь 2.113 -10» f ч~ 2.704 -10" 2/ ч-1.901.10« = 0
^ сг у^.ООб • 1019 = 4.0105; х2 = — ^1.901 • 10»: 2.707 = —1.1421.
Остальные два корня находим решением приближенного квадратного
уравнения:
Ш ,ж0; #3~ —1-9342 ч-1.3911ч х^ —1.9342 —15911*.
21. Вычислить графическим способом с точностью до 0.1 один ив
корней уравнения
жз_|_2^2 — Зя — 7 = 0.
Отв.: По точкам чертим кривую y = xz-*-2x2 и точную прямую
2/ = Зяч-7; абсцисса точки пересечения даст #хд;1.8.
22. Устанавливая для различных значений х знак левой части
уравнения а?—2241а;—148600 = 0, взятого из одного известного курса
сопротивления материалов, произвести исследование его корней.
О т в.: Для х = 0, f (#)< 0; для х = 100, f (х) > 0; для ж = 70,
f(#)>0; для #=6, f(#)<0; для #=68, f(#)>0; для я=67, fO)>0;
для #=66.5, fO»)<0.
Имеем #^66.8. Два других корня определяются приближенным
уравнением х2 ч- 66.8л; 4-2219^:0 и будут комплексные.
23. По теореме Штурма отделить действительные корни уравнения
ч
зР — ба; ч-1 = 0.
Отв.: Между—со ич- оо теряется три перемены знаков;
действительных корней три. По знакам для ж = 0в ряду Штурма находим:
отрицательных корней — один, положительных — два. Положительные корни
между 0 и 1; 1 и 2; отрицательный — между — 2 и — 1. .
і
24. Определить число действительных-корней уравнения задачи 23
по теореме Фурье.
Отв.: Либо 5, либо 3, либо 1, если судить по знакам ряда Фурь?
для х = — со и ч- со. *

Примеры и задачи 183
25. Имея хг tz, 1.5, вычислить с точностью до 0.001 по способу
Ньютона все корни уравнения
ж3 — 3#-»-1 = 0.
Отв.: а^^і.б; #3~1.53;#3^ 1.532; а?4^ 1.533, т. е. первый корень
л/ ^ 1.533. Квадратное уравнение
Ф -н-і.бЗЗя — 0.65^0
даст остальные корни: х'г^ 0.369; a/'ss—1.881.
26. По способу итерации вычислить с точностью до 0.00001 один
корень уравнения
я?7 — 2ж5 — 10#2н-1 = 0.
Отв.:
ж = V0.1 — 0.2^-н0.1#7; ххх0; я^Ь.31529.
27. О точностью до 0.001 вычислить все корни уравнения
я*_2я3 —бж2-*- 2Ьх — 28 = 0.
О т в.: Например, по способу Гр?ффе:
л^ж —3.193; #2;г2.193; х%^ 1.500ч- 1.323ч #4~1.500 —1.323і
'28. Вычислить "у г.
Отв.:
^ . тг і/8 1 . V 8" 1 /
JB=1; 9 = ?; ai = -g—ь?г; #2 = g"-+"§-*; ^з = — *•
29. Вычислить у 32.
Отв.:
#x = 2; #2 = 2/cos-=r-i-*sin-? I; #8 = 2 (cos-g--t-tsin-?-l; . . .
30. Вычислить у 64.
Отв.:
^ = 4, #2 = — 2(1 — V3t); #8 = — 2 (1 ч-\/3 і).
-31. Представить cos5<p и sin69 через cos© и sin<p.
Отв.:
cos 5<р = cos5 9 —10 cos3 9 sin2 9 -+- 5 cos 9 sin4 9
sin 69 = 5 cos4 9 sin 9 —10 cos2 9 sin8 9 -1- sin5 9.
32. Проверить, что
.ПО (П 1) CD
1-+- cos 9 -+- cos 29 -4- cos 394-...-+- cos (n — 1) 9 =
sinT
. щ . (n — 1)ф
sm-g-smb—g^-
sin 9 4- sin 29 4r~... -+- sin (n — 1) 9 =
• 9
sm-

184 Дополнения проф. И. К Куренского
33. Проверить, что
* 3 1 л 1 л
C0649==-g*H-'2'C0S 2<p-*—g-cos4<p.
34. Раэложить на множители 2#3-+-б#2— 22а?-н 15, имея в виду,
*rof(i)=a
Отв.: .
Щг=2а? + Г1х—16 = 0 дает я2=4; #s=—б
/ f(x) = (x—l)(2x — 3)(я-нб).
35. Имея корни ^=2; #2=3; #3=—б уравнения я8—19жн-30=0,
вычислить основные симметрические функции корней.
Отв.:
ах=х1-і~%? -»-#s = 0; а2=х1х2-*-х1%3-ь-х2хъ=: —19
ав=х1х2хв =—30; St = a1) S2 = x12-+-xf-i-x3* = a1* — 2as=38
S8 ==xf -+- xf -+- rr83=axs — 3a: a% чь 3a8 = — 90.
36. Пользуясь тригонометрическими формулами, представить корни
кубического уравнения
а? — 3#-ь5 = 0.
Отв.: Имеем:
вычисляем:
а1 = 23°34/11"; 0 = ЗО°29'47";
получаем:
^ ж—2.2868; х% я 1.1434 -+- 0.9604г; #s жі.1434 — 0.960&.
37. Проверить по формулам проф. Н. М. Михальского (примечание
к п° ГУ „Дополнений") найденные им приближенные корни:
^ = 1.669 (cos 21°45'-н» 8іп21°4б'); *2 = 2.008і
*8 = 1.669 (cos 1б801б'-+.г?іп 1б8°1б'); ^ = 1.804 (cos 241°34'ч-г sin 241°34/)
zb = 1.804 (cos 298°26'-+-г sin 298°26')
уравнения б-й степени
*»h-2jP—16г = 0.
О т в.: Подстановка я = ух приводит к трехчленному уравнению
в таком виде:
х ач-2з —16*=0.
Разложение (G) дает:
— — - 1 _2
а?=Б.28і5 — 2.09S 5-ьО.ббі т — 0.08і 5
і
і ~У* =соз(18°н-720.Л)-ьівіп(18с,-ь720.і)
(* = 0;1;2;8;4).

Примеры и задачи 185*
38. Вычислить остаток от деления а?4— 2а? -+-3 на х—1.
Отв.:
г = 1 — 2н-3 = 2.
39. Один из корней уравнения а? — х2— 7#-н6б = 0 есть 2— Зі~
Кратчайшим путем найти остальные корни.
Отв.:
л о- л о- Я3 — #2 — 72 4-66 с Л к
^ = 2 —Зч я2 = 2-*-Зг; (д„2^з^„2„3г1 = ^-+~&===0; ss = -5.
40. Разложить на действительные множители полином
а*—Юя* н- 43s8 —104#2 н- 105s —10,
нулями которого будут: 1 — 2г; 3 ч- г (нулем полинома называется такое-
эначение а;, при котором он обращается в нуль).
Отв.:
(я2 — 2х -н б) (я2 — 6я -н 10) (да — 2).
41. Решить уравнение
яЗ_4д*-*-1.2бян-6.2б = 0.
Отв.: Делитель D для f(a?) и f (х) есть ж — 2.6; имеем:
^=#2=2.5; (я8—4^-н 1.26^-4-6.26) :(а^—бяч~6.25)=#-+-1; tfs=— 1~
42. Решить уравнение
я4—Зя8 — 6я2н-28я — 24 = 0. 1
О т в.:
В~х2 — 4# -і-4=(х—2)2; 2^ = ^=0^=2; а;4 =—3.
43. Написать уравнение, корни которого: #х = 2; #2=3; #8=—1.
Отв.:
ах = — 4; а2=1; а3=6; ж3 — 4#2ч-#-4-6=0.
44. Вычислить сумму х^ч-х^ч-х^2 для корней уравнения
2s3 — Зя»~ #-і-2 = 0.
Отв.:
45. Вычислить сумму х^пч-х2т}ч- ... ч-хтт для корней двучленного»
уравнения
хт —1 = 0.
Отв.:

186 Дополнения проф. М. К. Еуренского
46. Уравнения я? — 7#-ь6 = 0; з? — Ф н- х ¦+- 39 = 0 имеют общий
корень» Найти этот корень и решить уравнения.
Отв.: Общий наибольший делитель левых частей есть #-t-3; имеем
%!=—3; первое уравнение:
(#-+-3)(я2 — 3#-н2) = 0; #2=2; х3 = 1;
второе дает корни:
#"=2-нЗг; #'" = 2 —Зг.
47. Решить уравнение
о?~ (4 — Зъ)я2-ь(5 — 6і)я? — 2н-3г = 0.
Отв.: Общий наибольший делитель D для f(#) и/' (ж) есть:
зР—2#-ь1 ' *
48. Решить кубическое уравнение ^3-f-%2-f-23«/-i-14 = 0 по
формулам для точного решения.
Отв.:
{-§-—<0; 9~71°2'56"; #^2.1149; хг^ —1.8608; я8^ — 0.2641
2/^—1.1149; 2/^ — 4.8608; у8ж —3.2641.
49. Вычислить все точные корни уравнения
я3 — 1 Lr2 -н 34.99# — 24.99 = 0.
О т в.: <
^ = 6,1; #2 = 4.9; #8 = 1.
50. Вычислить все точные корни уравнения
а? — 4.2я2 -н 4.61а?—0.42 =• 0.
Отв.:
хг = 2] #2 = 2.1; а?8 = 0.1.
51. Вычислить все точные корни уравнения
Ф -+- 2.3л3 — 2.68я2 — 9.2я—5.28=О.
Отв.:
#! = —1.1; я2 = —1,2; я3 = 2; #4 = —2.'
52. Вычислить все точные корни уравнения
#* — я8 — 27я2 н- 26л: -+- 50 = 0.
Отв.:
Хі—Ь] ч~—Ц\ч=% #4=—і.

Примеры и задачи 187
53. Вычислить верхний предел положительных и нижний предел
отрицательных корней уравнения
хь — 34аг> -+- 29#2 -+- 212# — 300 = 0.
Отв.: f <Y> (5); f t"> (б); Г (б); f'(5); f-(6); f(6)—все положительны; 6 = 6.
Замена у —— лгпривед?т к уравнению, для которого ^ = 6; имеем нижний
предел а = —6.
54. Найти наибольший корень уравнения
& — Sa?-*-2x2 — 27ж-нЗО = 0.
Отв.: Верхний предел положительных корней есть 4; наибольший
корень #=3.7977.,.
55. По способу Горн?ра вычислить внач?ни? функции
f(a0 = a*-b2a*—2я? —2ба?ч-100
и ее производных для# = — б.
О т в.:
f(—5)= —1700; f (— 5) = 2120; f"(—б)=—952-2
f"(—5) = 210-2-3; р7(—5) = —23-2-3-4; /™(— б) = 2 . 3 -4. б.
56. Вычислить остатки г13 г21 — в способе Горнера, при # = 2? для
f (%) = #3 — 2х — 5.
Отв.: — 1; 10; 6; 1.
57. Найти рациональные корни уравнения
б^-нШ^ч-б^-нбж2 — х—6 = 0.
О т в.: Верхний предел положительных корней есть 1; нижний
предел отрицательных корней есть — 2. Подстановка Qx=y приводит к
уравнению
у* -+- Ну* -+• 30#3 -+-180/ — 216у — 7776=0.
Имеем: а = —12; Ь = 6; проверяем делителей:
4; 3; 2; 1; —1; —2; —3; -4; -6; -8; —9; у1==4; уа = —6; у3 = —9.
58. Найти целые корни уравнения
я4 — 21а? -н 105а;2 — 2бЗ# -н 420 = 0.
Отв.: а = 0; 6 = 21; проверяем делителей 3; 4; 7; 16; корни: ^=4;
х2 = 16.
59. Отделить три корня уравнения
#7_2аг* — Юж2-+-1 = 0.
(0;1);(1,2);(-1;-2).
60. Решить- систему уравнений: . *
х sin2 (х + 2/ sin ос cos а = 5 cos ex; x tg a-*- j/ = sin 2a.
Отв.: Система несовместима: определитель [ив коэффициентов
равен нулю.

188
Дополнения проф. М. К Еуренского
61. Полагая г = V— 1, вычислить
id
—c-+-idy a — гЪ
Отв.:
а3
й2
а2.
62» Выражение а2 — Ъг вапиоать в виде произведения определителей.
Отв.:
о»— Ь2=
63. Проверить, что
«2> &2
1,1
Ь, а
•
і,і
— &, а
64:. Пользуясь решением: эадачи 61, записать сумму
312н-1202-ь222-ь192
в форме определителя»
Отв.: Надо положить:
а=31; 5 = 120; с = 22; й=19.
65. Применить правило Оаррюса для проверки тождества
а,
ь,
с,
ь,
е,
а,
с
а
Ъ
= ЗаЬс — а3 — J8—Л
66. Проверить, что
0 а Ъ
а 0 с
Ь с 0
= 2
ай е
0 Ъ f
00 <5
67. Квадратное уравнение ад?-ь&в-і-с='0 ваписать посредством
определителя третьего порядка.
Отв.:
ж, 0, с
¦1, *, й
0,-1, а
= 0.

Примеры и задачи
189
68. Проверить, что
D =
а2, аЪ, ас
аЪ7 Ь2, Ъс
ас, Ъс, с2
О.
Отв.:
D—dbc
а а а
ьъъ
с с с
'=аіс-0=0.
€9. Проследить sa вычислениями
і.а а8
1 Ь Ь8
1 с с3
1, а» а3
О, Ъ — а, Ь3
О, с — а, с3
ал
а*
ф — а)(с — а)
1, ^-ьаЬч-а2
1, с2н-ас-і-а*
= (а -+- Ь -+- с) (Ь — а) (с—а) (с — Ь).
70. Проверить, что будет мнимое число, определяемое по формуле
аг -*-#>!, а2 — іЪ1У сх
Z> = а2*+-й2, a2 — ib2J c2
* ¦
Отв.:
D=—2i
а1
а2
а3
»і
52
*>з
<а
С2
С8
71. О помощью теории определителей решить систему уравнений:
8я—By -+-2*=21; 2s-*-6y — 3^=18; бж-н.Зунн 3^ = 48.
Отв.:
ж = 3; у = 5; #=6.
72. Решить систему:
#ч-ш/-і-а2?=а3; ж»і-Ь^-4-&2^=Ь8; х-+-су-%-<??=<?.
Отв.:
х = аЬс] у =— (аЬч-Ьсч-са); #=а-ьЬ-ннс.
73. Решить систему однородных уравнений:
Зж —2у-ь 10^=0; 2х-+-3у — 2# = 0; бз — Зу-+-16* = 0.
Отв.:
о? =— 27b; у = 2&; *=?.

190
Дополнения проф. Ж. К. Куренского
74. Вычислить
1, 1, 1, 4
2, 4, 1, 8
4, 1, 2, 13
2, 4, 2, 11
Отв.: —16.
75. Вычиолить
Отв.:
&, а, Ь, с
a, 7с, О, О
b, О, 1с, О
c, О, О, А
jfc2(7<;2 — а2 — Ь2 — с2).
76. Проследить за вычислениями
=а
1ч- а, 1,
і, 1+
і, і,
і, і,
Ъ, —с, О
О, Cj —d
1, 1, 1ч-
77. Пользуясь
в?ртого порядка:
Отв.:
1,
5,1,
1
1
1-ьс, 1
1,
й
теор
? === / ]\1+8+1+2
,
-+-
4,
2,
(-
1-+-Й
— Ь, О, О
6, —с, О
О, с, d
а,
-л
0,
0
о, г», —с, о
0, 0, с, — d
1, 1, 1, 1-+-Й
¦_ ¦ ¦
= abed -н абс -+- abd -+- йей -+- &сй.
емой Лапласа, вычислить определитель чет
4 =
4, 2, 3, 1
2, 5, 1, 3
3, 1, 5, 6
0, 0, 4, 7
•
1
2
5
1)
•
1+
5,6
4,7
2+2Н
-3
і г ]\і+а-и+8
2,
з,
5
1
*
3
4
,1
:,7
:—-
4,2
3,1
•
1,3
4,7
-*-
= 4-16-11 — (_ 2). (—б)-*-(—13) -17 = 176 —10 — 221 = — 55.

Примеры и задачи
191
78.
О, а, Ь, с
a, О, сэ Ь
b, с, 0? а
c, &, а, О
= (а
б)
= (а -ч- & ч- с) (а -і- с — Ъ)
1, a, &, с
1, О, е} Ъ
1, с, О, а
1) &; Я; О J
о, і, -1, і
= — (а -н Ь -ь <?) (а -*- с — Ь)
1,0,
1, с,
1,Ь.
1,
1,
с, 5
О, а
а, О
с, Ьч-с
а
1, Ьч-а, а
= — (а ч- & ч- е) (а ч- с — Ь) (а ч- Ь — с) (6 ч- с
— а).
79. Проверить
а 6 0
О в f
а с О
Ъ 0 е
a d f
а2 ч- Ъс,
ас.
аЪ
йЪ
се.
Ъсч-de, df
efj de-ъ-р
80. Представить определитель четвертого порядка общего вида*
в форме алгебраической суммы произведений определителей второго
порядка, пользуясь теоремой Лапласа и исходя И8 элементов первой
и второй колонок.
Отв.:
а±, Ъ1: с1? dx
а2) \) С2і ^2
аЗЭ \) СЪ1 **3
Ч, &4> <Ч, Й4
«1J Ь2
а2, Ъ2
•
с8, й3<
С4> Й4
«8> Ь8
¦
с2э а5
С4> Й4
а15 Ьх
а4, Ь4
с2, а2
с3; **3
а2? Ъ2
Чі К
с1; ^
с8, «з
•ч-
а2? Ь2
аю Ъв
Cl, dl
h, d*
ч-
а8) &8
а4, \
с1у %
с2, а2--
81. То же, что в задаче 80, сделать для определителя пятого порядка,,
элементы которого являются наугад ввятыми числами, причем из них
нулей будет 4, а единиц не больше 10. Расположить эти нули в
определителе таким образом, чтобы, разложение по теореме Лапласа имело не-
больше трех произведений определителей второго порядка на определи-

Л92
Дополнения проф. М. К. Еуренскою
¦т?ли третьего порядка. Результаты вычисления проверять посредством
равлож?ния определителя по элементам какого-нибудь иэ его рядов
ж разложения дополнений этих элементов также по элементам одного ив их
;рядов, пока не представится возможность применения правила Саррюса.
82. Проверить, что
аі, ъі> ен di
°2? ^2) С2і d2
dl> CU hi а1
d27 С2> Ъ21 а2
= (ах t\ — а2 с2)2 -ь (Ъг d2 — \ dtf — (аг \ — а2 Ъ2)2
— (Cldt — ^2Йі)2 — 2(М2 — «2^)(Ь1С2~ Ml)-
I
83. Проверить справедливость тождества
= a2 d* — 2ab'cd—16а2 -+- Ъ2 <?
-щятью способами: 1) кратчайшим путем и 2) —б) о помощью четырех
видов формулы умножения друг на друга определителей одинакового
порядка.
84:. Определить ранг матрицы
3, 3, 0, 2
1, -2, 4, 3
б, —1, —8, 8
Отв.: 3.
1,0,2
0,а,Ъ
2, с, d
•
1,0, -
0, а,
-2, с,
-2
Ъ
d
-85. Решить систему:
2х—Ву—я=3; х — 2у — 2^=^-1; Ъх—8у — 4г=б.
Отв.: Ранг системы есть 2; независимых уравнений только 2:
# = — 4#-t-9; у=—3#-t-6-
86. Решить, систему:
х—3у—2г=—1; 2%-+-у—4#=:3-} х+4у—2е=Ц Ьх-+-&у—10^=10.
Отв.: Ранг системы есть 2; характеристических определителей 2;
оба равны нулю. Система совместима. Решая уравнения
х — Зу = 20— 1; 2#-ьу=4#-нЗ, '
-получаем
о 8 б

Примеры и задачи
193
87. Проверить, что существует линейная зависимость между
функциями:
fa== —я?-+-р-ь*-н2* —3; f2 — % — У-+-2 — Зи-ьб
f3 = #-+-y—лч-Зад—22 — 1; f\ — x + y-*-z.
Отв.:
88. Проверить, что если равен 1 ранг системы
если [главным определителем будет элемент «г+0; если равны нулю два
характеристических определителя, которые дают:
то решение системы будет
х — -у ±&
аг
а
89. Решить систему:
2$ — 3y-*-bz — 13и = — 26; — х-*-2у
?х—2y-?-z — 12м=— 2; хч~2у
Згч- 8w=0
2^ч-4м=2б:
Отв.: • Ранг системы есть 3^ = 2wh-6; у¦=='-*—3«-н 7; ? =— 3.
90. Выписать равенства, связывающие определители третьего па-
рядка матрицы
и определить число независимых среди них.
Отв.: Независимых
С8
3+8
3 • 3 — 1 = 10.
Фиксируя колонки, можем написать такие 20 определителей третьего
порядка: «
A = (aa'a"); A1 = (^ol! а!'); Аа
A=("P'a"); А=««"); Л
i?=(IW); 3;=(«m в*
В, = (№П В6 = №'П 37 = Wa); -S8 =
И. J. Чебншев. Высш. ахг?бра*
:ф'а'а"); Л!
¦(aa'P); Л
(?v/); Л
(аа' ?); Л,
(а"р'П; -^
(aga")
(«а' Р")
13

194
Дополнения проф. М. К Куренского
Будем иметь:
АВХ =
АВ,=
АВп =
ВА,=
А5іАд
Aq,A9
А^АЧ
ArjjAB
^8>^9
AB„ =
AB* =
AB
BA* =
AZ,A$
-^2)-^8
А$9Аг
A8JArj
Д>?^8
AB.=
АВЛ =
АВЛ =
BA9 =
•^2)
^3 3
-^8)
-^67
A,
A,
В 2,
Я's;
A
^6
A
A
A
A
вь
Be
91. Вычислить
i, i," i
2,3, 4
4, 9, 16
Отв.: Определитель Вандермонда: VB — (3 — 2) (4 — 2) (4
92. Проверить, что
а, 6, с
= — «6с {Ь — а) (с — а) (с — Ъ).
-3) =
А =
Отв.: Имеем
а* &2, с2
а8, J8. ?8
J = afe • К.
93, Уравнение #2-+-jp#4-g' = G записать посредством определителя
третьего порядка.
Отв.: Например,
4(— p-*-Vp*—4j),
#,
-й-(— р-^\/р2 — 4j)
а:
94- Вычислить результант уравнений:
= 0.
От в'.:
= (?$ — ^)2 — (Р2— ft)(ftb^ Sift)-

Примеры и задачи
195
95. Написать условия того, чтобы имели два общие корня уравнения
а0 х2, -ь ах х ч- а2=0; Ь0 хг -+- Ъх х -н 53=0,
Отв.:
Д =
= 0; Бх =
S>ai
*оЛ
а062 —а260? а^ — агЬ0
ах Ъ% — а% Ъх, aQb2 — а2 й0
что дает известные условия равносильности уравнений
aQ:ax:a2 = b0:bx:\.
= 0,
96. Проверить, что элиминант уравнений
#
.2
3^/2 — 4#у -+- Ъх — Ну ч-6 = 0; х2 н- 2жу—у -ь 1 = 0
дает уравнение
Ш/ — 246і/3 -4- 386</8 — 235?/ ч- 50 = 0.
ч 97. Вычислить дискриминант уравнения
a?-i-Px-i-q = Q.
' Отв.:,
Ч
22=-4P"-27^ = -4.27(f-+-5)
2*
98. Вычислить якобиан функций f1=y12-t-yS) f2 = yx— у.г
относительно ''%{; #2', если ух = хх2у у2 = хг г+- ШЗя2,
Отв.: '
2^, 0
1, #2
1)
ЪУщ 1
1,
2^^(2^-4-1).
99. Проверить, что
fx = хх2 -н#22 -4- #32; f2 = #z #3 -ь #: #8 -+- х2 х3] f3 = а^
зависимы между собою.
Отв.: »
V
&ХХ j а&, j -^^3
1, 1, 1
#«-ья.
jy /ft? hi М-_
\іГ3, #2, #з/
0; fi-t-afs»—Гз2=о.
100. Будут ли не зависимы между собою уравнения
хуг -л- 2з? *у —1=0; х — 2ху3 -+-у = 0?
Отв.: Будут не зависимы, так как, обозначая левые части черев*
fx и f2, прлучим ! >
у*-+-&х2у, 2хуч~2з?
1 — 2^, 1 — 6^* '
В
\ЪУ I
*0.
§

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие • 3
§ 1. Решение в радикалах алгебраических уравнений 7
§ 2. Алгебраические функции и их классификация 8
§ 3. Основные свойства целой функции а. 9
§ 4. Модуль и аргумент комплексной величины. Примеры 11
§ б. Элементарные алгебраические действия с комплексными величинами ... 13
§ 6. Доказательство существования, по крайней мере, одного корня
алгебраического уравнения 17
§ 7. Вид всех корней'уравнения и число их .... » 23
§ 8. Сопряженные комплексные корни для уравнения с действительными
коэффициентами 27
§ 9. Разложение на действительные множители левой части уравнения с
действительными коэффициентами 29
§ 10. Изменение неизвестного и переход его через корень уравнения '32
§ 11. Строка Тейлора 33
§ 12. Возрастание и убывание функции. Наибольшие и наименьшие величины
функции 36
§ 13. Теорема Штурма 40
§ 14. Применение теоремы Штурма к исследованию корней кубического
уравнения 43
§16. Теорема Фурье 46
§ 16. Строка разностей в способе Фурье . . . . . 53
§ 17. Способ подкасательных 64
§ 18. Декартово правило знаков . 58
§ 19. Сужение пределов корней и еще один способ отделения корней 59
§ 20. О непрерывных дробях и об их применении к решению численных
алгебраических и неалгебраических уравнений 63
§ 21. Линейное приближение. Способ Ньютона и regula falsi 67
§ 22. О симметрических функциях . 73
§ 23. Двойные и тройные симметрические функции 76
§ 24. Об исключении неизвестных 80
Дополнения проф. Ж. Ж. Кутоекскою
I. Извлечение радикалов из комплексных величин и решение двучленных
уравнений ...•..* .' . 82
П. Точное решение буквенного кубического уравнения 88
1П. Решение уравнения 4-й степени 94
IV. Об уравнениях 5-й степени и о трехчленных уравнениях 98
Y. Выделение кратных корней уравнения 100

Содержание 197
Стр.
VI. Верхний и нижний пределы корней уравнения . . . . 105
VII. Способ Горнера 108
VIII. Разыскание целых и рациональных корней алгебраических уравнений . 110
IX. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными 113
X. Определители второго и третьего порядков 119
XI. Линейные однородные уравнения с двумя и тремя неизвестными . . . 122
XII. Свойства определителей 128
XIII. Теорема Лапласа < 132
XIV. Умножение определителей. Взаимные и симметрические определители . 137
XV. Решение линейных уравнений со многими неизвестными 144
XVI. Обращение в нуль всех определителей одинакового порядка,
составленных из матрицы, и зависимости между определителями матрицы . . . 152
¦XVII. Определитель Вандермонда. Циркулянт 161
XVIII. Результант. Элиминант. Дискриминант 165
XIX. Дифференцирование определителей. Определитель Вронского 172
XX. Функциональный определитель 175
Примеры и задачи №№ 1—100 179