A. M. ТЕР-КРИКОРОВ
ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭКОНОМИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977
<18
Т 38
УДК 519.95
Оптимальное управление и математическая
экономика. Тер-Крикоров А. М. Серия «Оп-
тимизация и исследование операций», Главная
редакция физико-математической литературы из-
дательства «Наука», М., 1977, 216 стр.
Многие задачи техники и математической
экономики приводятся к решению оптимальных
задач теории управления со смешанными ограни-
чениями. В общем случае в формулировке прин-
ципа максимума участвуют меры, имеющие слож-
ную связь с оптимальной траекторией.
В настоящей книге много внимания уделя-
ется изучению тех случаев, когда меры отсутст-
вуют. Метод исследования основан на теории ли-
нейного программирования в пространстве, со-
пряженном пространству Банаха. Исследуются
как задачи с непрерывным временем, так и задачи
с дискретным временем, но на бесконечном интер-
вале. Полученные результаты применяются для ис-
следования динамических моделей экономического
роста леонтьевского типа. Библ. 23.
Александр Мартынович Тер-Крикоров
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
(Серия: «Оптимизация и исследование операций»)
М., 1977 г., 216 стр.
Редактор В. В. Абгарян
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректор Н. Д. Дорохова
Сдано в набор 19.11.1976 г. Подписано к печати 25.03.1977 г. Бумага 84ХЮв’/эа.
Физ. печ. л. 6,75. Условн. печ. л. 11,34. Уч.-изд. л. 9.59. Тираж 8000 экз.
Т-03488. Цена книги 63 коп. Заказ № 942.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-тех-
ническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзпо-
лиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 197136, Ленинград,
П-136, Гатчинская ул., 26.
Отпечатано во 2-й тип. изд-ва «Наука», Москва, Шубинский пер., 10.
Заказ 2124.
20204—059
Т 053 (02)-77 67’76
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1977
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................• • • •	8
Глава 1. Некоторые основные сведения из теории линей-
ных нормированных пространств........................... 11
§ 1.	Основные примеры линейных нормированных про-
странств ......................................... 11
§ 2.	Линейные операторы и функционалы............. 16
§ 3.	Теорема Банаха —Хана о продолжении линейного
функционала....................................... 20
§ 4.	Слабая и слабая ♦ сходимость.................. 20
§ 5.	Компактные множества. Вполне	непрерывные опе-
раторы 	 23
§ 6.	Производная оператора......................... 25
§ 7	Замыкания по мере ............................ 31
Глава II. Выпуклые конусы и выпуклые множества в линей-
ных нормированных пространствах......................... 36
§ 1	Основные определения.......................... 36
§ 2.	Теорема ДО. Г. Крейна о продолжении неотрица-
тельного линейного функционала и ее следствия 37
§ 3.	Теоремы отделимости для выпуклых множеств . .	40
§ 4.	Регулярно-выпуклые множества в сопряженном
пространстве....................................... 45
§ 5.	Теория сопряженных конусов в л. н. п ........ 52
Глава III Линейное программирование.................... 56
§ 1	Конусы, связанные с линейными операторами . .	56
§ 2.	Линейные неравенства......................... 64
§ 3	Элементы теории линейного программирования
в л. н п. ......................................... 68
§ 4.	Исследование замкнутости конусов, связанных
с задачами линейного программирования............	76
§ 5	Учет ограничений типа равенств	79
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Вогнутое программирование..................... 87
§ 1.	Выпуклые функции и операторы.................. 87
§ 2.	Элементы выпуклого программирования в сопря-
женном пространстве................................ 92
§ 3.	Двойственные задачи выпуклого программирования 94
§ 4.	О седловых точках функции Лагранжа..........	99
§ 5.	Локальный экстремум в задачах более общего
вида (невыпуклый случай) ......................... 100
Глава V. Сопряженные линейные задачи оптимального
управления со смешанными ограничениями . .	105
§ 1.	Постановка задачи............................ 105
§ 2.	Линейные дифференциальные операторы ......... 107
§ 3.	Сведение задач А и Б к двойственным задачам
линейного программирования в банаховом про-
странстве ........................................ 110
§ 4.	Исследование замкнутости конуса, связанного
с задачей А....................................... 115
§ 5	Необходимые условия оптимальности Принцип
максимума Понтрягина.............................. 124
§ 6.	Пример на построение	оптимальных управлений 127
§ 7.	Достаточные условия оптимальности............ 130
§ 8.	Общий случай................................. 131
§ 9	Учет ограничений типа	равенств............... 140
Глава VI. Выпуклые задачи оптимального управления со
смешанными ограничениями . . .\................... 148
ч
§ 1.	Постановка задачи............................ 148
§ 2.	Необходимые условия оптимальности............ 152
§ 3.	Принцип максимума Понтрягина................. 156
Глава VII. Задачи оптимального управления с дискретным
временем на бесконечном интервале................. 159
§ 1.	Постановка задачи (линейный случай).......... 159
§ 2.	Формулировка двойственной задачи ............ 161
§ 3.	Необходимые условия оптимальности в линейном
случае............................................ 165
§ 4.	Общий случай линейной задачи................. 167
§ 5	Выпуклые задачи . , ,......................... 176
ОГЛАВЛЕНИЕ	7
Глава VIII Динамические модели производства леонть-
евского типа..................................... 183
§ 1.	Модель Леонтьева «затраты — выпуск»...... 183
§ 2.	Динамическая модель производства Леонтьева	.	.	184
§ 3.	Сведение задачи Л к стандартной задаче оптималь-
ного управления............................... 187
§ 4.	Двойственная задача Л.................... 188
§ 5.	Экономическая интерпретация двойственной задачи	190
§ б.	Необходимые условия оптимальности и их эконо
мическая интерпретация............................ 192
§ 7.	Модель леонтьевского типа с запасами (л-модель) 197
§ 8.	Дискретные задачи планирования на бесконечном
интервале времени................................. 203
§ 9.	Сбалансированный рост.......................... 208
Комментарии.............................................. 211
Литература............................................... 215
ПРЕДИСЛОВИЕ
Многие задачи техники и математической экономики
приводятся к задачам оптимального управления со сме-
шанными ограничениями на управления и фазовые
переменные. В классическом случае, когда есть только
ограничения на область управления и нет смешанных
ограничений, необходимые (а в линейном случае и доста-
точные) условия оптимальности дает принцип максимума
Понтрягина. Он же является основой для построения
многих вычислительных методов теории оптимального
управления. Простота формулировки делает принцип
максимума Понтрягина весьма привлекательным, во
многих работах прикладного характера принцип макси-
мума Понтрягина механически записывался и для
задачи со смешанными ограничениями, что позволяло
делать содержательные выводы о свойствах оптималь-
ных траекторий. К сожалению, вообще говоря, писать
принцип максимума для задач со смешанными огра-
ничениями в форме Понтрягина нельзя. В работах
А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина для чрезвычайно
общего класса задач со смешанными ограничениями
был правильно сформулирован и доказан принцип
максимума. В его формулировку входят меры, имею-
щие сложную связь с оптимальной траекторией. Эти
же авторы выделили класс регулярных задач, для
которых меры не возникают. Многие важные задачи
математической экономики не являются регулярными.
Это побудило автора исследовать довольно узкий
в рамках общей задачи класс задач, не являющихся
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
регулярными, но обладающих тем свойством, что
в формулировку принципа максимума для них не вхо-
дят меры. Многие задачи математической экономики
попадают в рассмотренный автором класс. Метод иссле-
дования основан на теории линейного и выпуклого
программирования в линейных нормированных прост-
ранствах. В первых главах излагается соответствующая
теория.
Линейная задача оптимального управления со сме-
шанными ограничениями приводится к задаче линей-
ного программирования в пространстве, сопряженном
пространству Банаха. Это естественным образом приво-
дит к рассмотрению некоторой двойственной задачи
оптимального управления. Необходимые условия можно
записать в форме Понтрягина, если некоторый конус,
связанный с оптимальной траекторией, замкнут. Нахо-
дятся легко проверяемые условия замкнутости этого
конуса. В тех случаях, когда не удается доказать
замкнутость конуса, принцип максимума записывается
в форме Дубовицкого и Милютина. При этом исполь-
зуются некоторые элементы мощного аналитического
аппарата, разработанного в работах Дубовицкого и Ми-
лютина. Автор имел возможность слушать лекции
А. Я. Дубовицкого и вести с ним беседы в течение
довольно длительного времени в ВЦ АН СССР и выра-
жает ему свою самую искреннюю благодарность.
Рассматриваются гладкие выпуклые задачи. Иссле-
дование необходимых условий оптимальности в этом
случае приводится к написанию условий оптимальности
для некоторой линейной задачи, связанной с исходной.
Исследуются также дискретные экстремальные за-
дачи со смешанными ограничениями на бесконечном
интервале времени. Они также естественно приводятся
к задачам линейного и выпуклого программирования
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
в банаховом пространстве. Необходимые условия опти-
мальности имеют форму принципа максимума Понтря-
гина. Дискретные задачи оказываются существенно i
более простыми, чем задачи с непрерывным временем. |
Полученные результаты применяются для исследо- I
вания динамических моделей производства леонтьев-
ского типа. Показывается, что при достаточно простых
и естественных условиях принцип максимума для та-
ких задач может быть записан в форме Понтрягина.
Дается возможная экономическая интерпретация двой-
ственной задачи как задачи об оптимальных ценах.
Основой книги послужили лекции, прочитанные
автором по инициативе Н. Н. Моисеева в Четвертой
Всесоюзной школе по методам оптимизации в г. Тольятти
в 1971 г. Мне чрезвычайно приятно выразить тут
свою признательность Н. Н. Моисееву за постоянное
внимание и благожелательное отношение к настоящей
работе.
При написании книги автору была полезна возмож-
ность дискуссий и научного общения с А. А. Петро- •
вым, А. Н. Дюкаловым, А. А. Левиковым, А. В. Лото-
вым, В. Ю. Лебедевым, А. А. Белолипецким, Ю. Брод- |
ским. Выражаю им искреннюю благодарность.	J
А. Тер-Крикоров	|
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ
ПРОСТРАНСТВ
§ 1.	Основные примеры линейных
нормированных пространств
Линейным пространством называется множество Е,
для элементов которого определены операции сложе-
ния и умножения на вещественные числа, причем эти
операции удовлетворяют известным аксиомам линей-
ного пространства.
Линейное пространство Е называется линейным
нормированным пространством, сокращенно л. н. п.,
если каждому элементу х е Е поставлено в соответст-
вие неотрицательное число ||х||, причем выполнены
следующие аксиомы нормы:
I.	IIх|| = 0 эквивалентно х = 0.
II.	|Хх|| = | % |  ||х|| для любого вещественного X.
III.	Iх+у||||х||+1|уЦ (неравенство треугольника).
Последовательность х„ называется сходящейся к эле-
менту х, если lim jx„ — х|| = 0. Последовательность х„
я->оо
называется фундаментальной, если для любого числа
в>0 существует номер N (г) такой, что для всех
номеров т, n>N (в) выполнено неравенство ||х„ — хт ||<
< е. Если каждая фундаментальная последователь-
ность элементов пространства Е сходится, то прост-
ранство Е называется полным л. н. п. или банаховым
пространством.
Приведем примеры банаховых пространств, кото-
рые будут использоваться в этой книге.
Пример 1. Линейное пространство L? [О, Т] функ-
ций, суммируемых на отрезке [О, Г] со степенью
р 1, будет банаховым, если определить норму сле-
дующим образом:
/Г	ч 1/Р
И11=П1/(01₽Л .
(О	J
12
линейные нормированные пространства
[ГЛ. I
Линейное пространство функций, суммируемых на
отрезке [О, Т] с любой степенью р 1, будем обозна-
чать £“[0, Т]. Оно совпадает с линейным пространст-
вом функций, измеримых и почти всюду ограниченных
на отрезке [0, Г]. Норму можно определить следую-
щим образом:
|f|=vrai max \f (fl|,
с г
где vrai max — это истинный максимум функции.
Пример 2. Пусть £j[0, Т] есть линейное прост-
ранство вектор-функций столбцов
Н0 = (М0, ....
все компоненты которых суммируемы со степенью
р 1 на отрезке [0, Т]. Если положить
HH/PfQ, Т]= .5 И fttf)	(0, Г]’
то £«[0, Т] будет банаховым пространством.
Пример 3. L4m [0, Т] есть линейное пространство
вектор-функций строк, компоненты которых сумми-
руемы со степенью q 1. Если положить
1^к« [о, г] = ,=™ах.	[о, rj’
то Lm [0, Т] будет банаховым пространством.
Пример 4. Рассмотрим линейное пространство т
ограниченных последовательностей вещественных чисел.
Если положить
||x|)=sup|x/|,
то т будет банаховым пространством. Через с0 будем
обозначать подпространство последовательностей, стре-
мящихся к нулю, а через тп и с" — соответствующие
пространства последовательностей n-мерных 'векторов.
Пример 5. 1Р есть банахово пространство веще-
ственных последовательностей таких, что
оо	( СО	| 1/р
У, |х/|р< + оо, р^1,	||х||/; = 2	•
1=1	4=1	}
g и ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВ пространств 13
П р и м е р 6. /*J есть банахово пространство после-
довательностей «-мерных векторов столбцов таких,
что все последовательности i-x координат принадлежат
пространству 1р. Норма определяется следующим об-
разом:
п	п Г со	11/Р
Цх||,р= 2 ||х‘ 11,/»= 2 \ 2 | хт |Р| •
п /-1	i = l 'т=1	’
Пример 7. 1т есть банахово пространство после-
довательностей векторов строк, таких, что последова-
тельности i-x координат принадлежат пространству 1р.
Норма определяется следующим образом:	t
||х||7р= max ||?||,р.
* m < = 1	m
Пример 8. С [О, 7] — пространство функций, неп-
рерывных на отрезке [О, 7]. Норма определяется сле-
дующим образом:
ЛЛ = max 1/(01.
/е[0. Г]
Пример 9. Обозначим через <£р[0, 7],
линейное пространство функций ограниченной вариа-
ции, первые производные которых принадлежат про-
странству L” [0, 7]. Пространство «5?₽ [0, 7] будет
банаховым, если положить •
H(0L₽[o, r] = lf(0)l+ll/(OL₽[0, тг
Через <£р[0, 7] будем обозначать соответствующее
пространство вектор-функций.
Пример 10. Через <5?°°[0, 7] будем обозначать
банахово пространство функций ограниченной вариа-
ции, первые производные которых принадлежат прост-
ранству L°°[0, Т]. Норма определяется следующим
образом:
Я/ (0	[о, г]=I / (0) I "И/(0[о, тр
Через Хп [0, Т] обозначается соответствующее про-
странство вектор-функций.
Пример 11. Через В (0, Т] будем обозначать ба-
нахово пространство функций ограниченной вариации
14
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ггл. т
на отрезке [О, Г]. Норма определяется следующим
образом:
|/(0|в[0.Л = V[fl.
о
т
Здесь V [/] — полное изменение функции f (t) на отрезке
о
[О, Т] Очевидно, что «^[О, Т] есть при любом р
подпространство пространства В [О, Г].
Напомним еще определение (топологического) про-
изведения линейных нормированных пространств Е =
= Е1ХЕаХ...хЕя, элементами которого являются
упорядоченные наборы
х=(хъ х2, ...» хп), Xi^Ei (i = l, .... n).
Если положить
п
№= 2 №„
i — l
то Е будет линейным нормированным пространством.
Если все пространства Et — банаховы, то и простран-
ство Е — банахово.
Шаром Sp (х0) с центром в точке х0 и радиусом р
называется множество
Зр (*о) = {*: х s Е, ||х — х0||<р}.
Пусть множество G с. Е. Точка х0 е G называется
внутренней точкой множества G, если существует шар
Sp (х0) с G. Множество, все точки которого внутрен-
ние, называется открытым. Пустое множество открыто
по определению. Справедливы следующие утверждения:
а)	Пустое множество и все пространство Е — откры-
тые множества.
б)	Объединение любого множества открытых мно-
жеств есть открытое множество.
в)	Пересечение конечного множества открытых
множеств есть открытое множество
Если в произвольном множестве Е выделена система
подмножеств, называемых открытыми, так, что выпол-
няются условия а), б), в), то говорят, что в множе-
стве Е задана топология. Множество Е с заданной
$ и ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВ. ПРОСТРАНСТВ 15
в нем топологией называется топологическим прост-
ранством. Любое множество, содержащее открытое
множество, которое, в свою очередь, содержит точку х,
называется окрестностью точки х. Система окрест-
ностей точки х называется фундаментальной,
если для любой окрестности Ux точки х найдется
окрестность Vx с Ux. В метрическом пространстве
шары с центрами в точке х образуют фундаменталь-
ную систему окрестностей точки х. Топология пол-
ностью определена, если в каждой точке задана фун-
даментальная система окрестностей. Говорят, что
точка х есть предел последовательности точек хп топо-
логического пространства, если в любой окрестности
точки х лежат все точки хп, за исключением, быть
может, конечного числа точек.
Множество в топологическом пространстве Е назы-
вается замкнутым, если его дополнение есть открытое
множество. Для того чтобы множество в линейном
нормированном пространстве (или даже в метрическом
пространстве) было замкнутым, необходимо и доста-
точно, чтобы оно содержало пределы всех сходящихся
последовательностей своих точек. Для общего тополо-
гического пространства это утверждение уже не явля-
ется верным. Для того чтобы множество в топологи-
ческом пространстве было замкнутым, необходимо и
достаточно, чтобы оно содержало пределы всех обоб-
щенных последовательностей своих точек. Напомним
определение обобщенной последовательности. Пусть Л—
частично упорядоченное множество. Оно называется
направлением, если для любых элементов а, а' еЛ
найдется элемент а'еЛ такой, что a’Ssa и а"^а'.
Обобщенная последовательность ставит в соответствие
каждому элементу ссе А элемент ха е Е. Говорят,
что обобщенная последовательность ха стремится к пре-
делу х, если для любой окрестности Ux точки х най-
дется такой элемент а0 е Л, что ха е Ux для всех
а^а0.
Функция /(х), ставящая в соответствие точкам топо-
логического пространства Ei точки топологического
пространства Et, называется непрерывной, если про-
образ любого открытого множества есть открытое
16
линейные нормированные пространства
(ГЛ. I
множество. Линейное пространство Е с заданной в нем
топологией называется линейным топологическим про-
странством, если операции сложения и умножения
на вещественные числа, рассматриваемые как отобра-
жения из ЕхЕ и ExR в Е, непрерывны. Линейное
нормированное пространство будет и линейным топо-
логическим пространством. Топология в линейном
топологическом пространстве полностью определяется
заданием фундаментальной системы окрестностей нуля
пространства Е. Ограничимся этими краткими сведе-
ниями о линейных топологических пространствах, так
как в дальнейшем мы будем иметь дело в основном
с линейными нормированными пространствами.
§ 2.	Линейные операторы и функционалы
Пусть оператор Т действует из л. н. п. в л. н. п.
Е2. Оператор Т называется ограниченным, если суще-
ствует такая постоянная С, что для всех х е Ег выпол-
няется неравенство
II Тя Цв> с II Цке
Оператор Т называется непрерывным в точке х, если
из хп-+х следует Тх„->-Тх. Оператор Т называется
однородным, если для всех элементов х е Е и для
всех вещественных чисел а выполняется равенство
Т (ах) = аТх. Оператор Т называется аддитивным,
если для любых х, у &Е выполняется равенство
Т (x4-#) = Tx-|-Tz/. Для того чтобы аддитивный и одно-
родный оператор Т был непрерывным, необходимо и
достаточно, чтобы он был ограниченным. Аддитивный
однородный и ограниченный оператор называется
линейным.
Множество всех линейных операторов, действую-
щих из л. н. п. Ei в л. н.п. будет л. н. п., если
ввести норму следующим образом:
ЦТ||= sup ||Тх||.
||х||<«
Это пространство обозначается символом [Ei->£a],
Пространство [Ех £2] полное, если пространство
образов Е2 — полное.
у 2)	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ ’	17
Линейный оператор, действующий из л. н. п. Е
в пространство вещественных чисел /?, называется
линейным функционалом. Пространство	всех
линейных функционалов, определенных на простран-
стве Е, будет полным, так как пространство /? —пол-
ное. Оно называется сопряженным пространством и
обозначается Е*. Элементы сопряженного пространства
будем обозначать х*, а значение линейного функцио-
нала х* на элементе х — через (х*, х).
Два л. н. п. Ei и Е2 называются линейно изомет-
ричными, если между ними можно установить такое
взаимно однозначное соответствие х**х', при котором
из х«->х' следует Цх|| = ||х'J, ах«->ах', и из х«*х',
у** у' следует х 4-#•<-» х'Мы не будем различать
линейно изометричные пространства.
Для некоторых банаховых пространств известен
общий вид линейного функционала, что позволяет
просто описать сопряженное пространство.
Пример 1. Любой линейный функционал в Lp [О, Т]
при 1 р < + оо имеет следующий вид:
Г. Л = $ Ф (0 f (0 dt, ф (0 е= ья [О, П
1 °1 (1)
7 + 7=1. Г1=|<рЬ(о,п-
Из формулы (1) вытекает, что пространство, сопря-
женное LP [О, Т], линейно изометрично L9 [О, Т]. По-
этому эти пространства можно отождествить. В част-
ности, пространство, сопряженное L1 [О, TJ, есть про-
странство Г°[0, Т].
Пример 2. Любой линейный функционал в про-
странстве Lm [О, Т] при 1 sg р < оо имеет следующий
вид:
(f*. Л = $ Ф (0 / (0 di, ф (0 е= U[0, Т],
0	(2)
j + | = l. ВГМФк, to, Ту
Докажем формулу (2). Доказательство проведем
для случая т = 2, в общем случае доказательство
18
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. 1
аналогично. Пусть / = (/ь /2), тогда f =	0)4-(0, /2).
Линейный функционал /*, действующий на элементы
вида (flt 0), можно отождествить с некоторым линей-
ным функционалом /*, действующим на элементы про-
странства Lp[0, Т]. Аналогично, когда f* действует
на элементы вида (0, /2), он может быть отождествлен
с линейным функционалом f2, действующим в Lp[0, Т].
Тогда
(/*. f) = (ft» fi) + (ft, /2).
В силу формулы (1) имеем
г, м. м+де, /а)=
°	°	(3)
л. 1Ы=НН
±4-1=1, i = l, 2.
q	•
Из формулы (3) получаем
\V.
<raax!h,|l-(IM+IM)=l4>lt.[0. п-ИИф,. „•
Поэтому
(4)
С другой стороны, из формулы (3) получаем
= sup Itfr, fOHWIHW.
IIM Cl
|Г|“ sup |(Г, f)l> sup |(f*. (0, f2))| =
Ilf lie I	IIMIC1
=sup|(fl, f2) I = lift 11 = II<p4
8f*D^max {HViH, ||ф2||}=||ф|].	(5.)
Из (3)—(5) следует (2). Формула (2) показывает, что
при Кр<4-о° пространство, сопряженное Lj[O, Т],
$ 2) линейные операторы и функционалы 19
есть Ln [0, 71. В частности, пространство, сопряжен-
ное Li [О, Т], есть L?[0, Т].
Пространство, сопряженное произведению л. н. п.,
есть произведение сопряженных пространств с нормой
||х*в= max II х?|.	(6)
i=l...п
Формула (6) доказывается, в сущности, так же, как
и формула (2).
Пример 3. Любой линейный функционал в про-
странстве с0 последовательностей, стремящихся к нулю,
имеет следующий вид:
(х*, х) = 2 PiXi, ||х*Ц= У I Pi 1< + °°.
1 = 1	i = 1
так что с* = /1.
Пример 4. Любой линейный функционал в про-
странстве 1Р при 1	р <. + оо имеет следующий вид:
<=9
(х*, х) = 2 xtyt, У=(У1, у2
Kl-hh. 7+7=1-
г7 V
Пример 5. При lsgp<oo пространство, сопря-
женное /₽, есть Доказательство аналогично дока-
зательству примера 2.
Пример 6. Любой линейный функционал в про-
странстве С [О, Т] имеет следующий вид:
Г. =
о
где функция Ф (/) есть функция ограниченной вариа-
ции и интеграл понимается в смысле Стилтьеса. При
этом норма функционала равна полной вариации функ-
ции Ф(/) на отрезке [О, Т].
Напомним еще определение сопряженного опера-
тора. Пусть Т е [£х -> £2]> тогда сопряженный опера-
тор Т* е [Lf-+-Д*] определяется следующим образом:
(Т*р*, х) = (р*, Тх).
Известно, что || Т* || = || Т ||.
20
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. I
§ 3.	Теорема Банаха^-Хана
о продолжении линейного функционала
С. Банах доказал следующую важную теорему,
имеющую многочисленные приложения.
Теорема (о продолжении линейного функцио-
нала). Линейный функционал f(x), определенный на
подпространстве L линейного нормированного прост-
ранства Е, может быть продолжен с сохранением
нормы на все пространство Е.
Часто используются следующие следствия из тео-
ремы Банаха —Хана.
Следствие 1. Пусть L есть замкнутое подпро-
странство линейного нормированного пространства Е,
точка xol=L и лежит на расстоянии d от L. Тогда
существует элемент xj е Е* такой, что
||х*|| = -^-, (х*, х0) = 1, (х*, х) = 0 для всех xeL.
Следствие 2. Пусть х0^Е. Тогда существует
элемент х? е £* такой, что
К||=1, (Хо*, Хо)=||ХоВ.
Следствие 3. Справедлива формула
Jx||= sup |(х*, х)|.
||*»|К1
Доказательство. Если ||-х*||к;1, то
|(х*. х)|=С||х*||.||х|К|х||.
Поэтому
sup | (х*, X) I ^hll-
II** IK I
С другой стороны, в силу следствия 2 найдется такой
линейный функционал х*, что
И1!=1, (X?, х) = Цх|.
§ 4.	Слабая и слабая* сходимость
Говорят, что последовательность элементов х„е£
слабо сходится к элементу х, если для любого х* е Е*
выполнено условие
lim (х*, х„) = (х*, х).
П->00
j 4]	СЛАБАЯ И СЛАБАЯ* СХОДИМОСТЬ	21
Если последовательность хп сходится сильно (по норме
пространства Е), то она сходится и слабо. Слабо схо-
дящаяся последовательность может не сходиться сильно,
но она всегда ограничена. Множество в л. н. п. Е
будем называть секвенциально слабо замкнутым, если
оно содержит пределы всех слабо сходящихся после-
довательностей своих элементов.
В пространстве Е можно ввести слабую топологию,
которая определяется заданием следующей фундамен-
тальной системы окрестностей нуля:
й®* х* = {х:х<=Е, |(х?, х)|^в, i=l, .... «},
где е — произвольное число, а х*, ..., х* — произволь-
ное конечное множество элементов Е*. Секвенциально
слабо замкнутое множество может быть незамкнутым
в слабой топологии.
Говорят, что последовательность х* слабо* сходится
кх*^Е*, если для любого элемента хеЕ выпол-
нено равенство
lim (х*, х) = (х*, х).
П-+ОО
Слабо* сходящаяся последовательность может не
сходиться по норме £*, но она всегда ограничена.
Множество в сопряженном пространстве, содержащее
пределы всех слабо* сходящихся последовательностей
своих точек, называется секвенциально слабо* замкну-
тым. В пространстве Е* можно ввести слабую* топо-
логию, которая определяется заданием следующей фун-
даментальной системы окрестностей нуля простран-
ства Е*:
Q$x..Хп = {х*:х* е£*, |(х*, xt) |sg8, i=l, ..., п}.
Секвенциально слабо* замкнутое множество может
быть незамкнутым в слабой* топологии простран-
ства Е*.
Приведем также сводку основных результатов для
линейных операторов с замкнутой областью значений.
Пусть Bj и В2 —банаховы пространства иТе[В1->В2].

22 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ t
Обозначим через N (Т) и /? (Т) множество нулей и мно-
жество значений оператора Т:
М(Т) = {х: xeBi, Тх = 0},
R(T) = {y: у = Тх, xe=Bi|.
Нетрудно видеть, что N (Т) — слабо замкнутое подпро-
странство. Множество /? (Т) есть (не обязательно замк-
нутое) подпространство пространства В2.
Если Т*— сопряженный оператор, то можно ввести
в рассмотрение множества N (Т*) и /?(Т*). Очевидно,
что У (Т*) —слабо* замкнутое множество.
Пусть £2 — некоторое множество в л. н. п. Е. Его
ортогональным дополнением й1 называется следующее
множество в сопряженном пространстве:
£2Х == {х*: х* е Е*, (х*, х) = 0 для всех хей),
Аналогично, если £2* — некоторое множество в сопря-
женном пространстве Е*, то его ортогональным допол-
нением 2£2* называется следующее множество элемен-
тов пространства Е:
1й* = {х:хеЕ, (х*, х) = 0 для всех х*ей*},
Теорема 1. Множество И (Т) замкнуто в том и
только в том случае, когда замкнуто множество Н(Т*).
При этом
j?(T) = J-M(T*), Я(Т*) = М(Т)х.
Следствие. Если множество /?(Т) замкнуто, то
оно и слабо замкнуто. Если множество /?(Т*) замк-
нуто, то оно и слабо* замкнуто.
Теорема 2. Если оператор Т е [Вх->В2] имеет
замкнутую область значений и Чхп-+уй при п~><х>,
то найдется последовательность zn^N (Т) такая,
что xn4-zn—>-х0 и Тхо = г/о-
Теорема 3. Если оператор Т е [Вх-> В2] ото-
бражает ограниченные замкнутые множества на замк-
нутые, то область его значений замкнута.
$ SI	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	23
§ 5.	Компактные множества.
Вполне непрерывные операторы
Множество QazE называется компактным, если из
любой последовательности элементов хп е й можно
выделить сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 4 (критерий М. Рисса компактности
в Lp[0, Т]). Для того чтобы множество Ga:Lp[0, Т].
1 р < + оо, было компактным, необходимо и доста-
точно, чтобы оно было ограниченным и равностепенно
непрерывно в среднем, т. е. для любого 8>0 должно
существовать б >• О такое, что для всех x(t) &G вы-
полняется неравенство
т
J |х(/ + 6) — x(t) \pdt<Z&.
о
Множество Q cz Е называется локально компактным,
если любое его ограниченное подмножество компактно.
Множество й с Е называется слабо компактным,
если из любой последовательности хп <= Q можно выде-
лить слабо сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 5 (критерий слабой компактности
в Л1 [О, Т]). Для того чтобы множество	Г]
было слабо компактным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было ограниченным и чтобы интегралы от
функций x(t) <=G были равностепенно абсолютно не-
прерывны, т. е. чтобы для любого е>0 существовало
такое б>0, что для любого измеримого множества
е cz [О, Т] с р (е) < б и для всех x(t) ^G выполнялось
неравенство
$ | х (/) | dt < 8.
е
Следствие. Если для всех функций x(f) <=Gcz
сР[0, Т] выполнено неравенство
|х(01«р(0,
где <р (/) s L1 [О, Т], то множество G слабо компактно.
Множество й с Е будем называть локально слабо
компактным, если любое его ограниченное подмноже-
ство слабо компактно.
24 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. !
Множество Й* cz Е* называется слабо* компактным,
если из любой последовательности х* е Q* можно
выделить слабо* сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 6. Пусть линейное нормированное про-
странство Е сепарабельно. Для того чтобы множество
в сопряженном пространстве Е* было слабо* компакт-
ным, необходимо и достаточно, чтобы оно было огра-
ниченным.
Сформулируем две теоремы Хелли.
Теорема 7 (первая теорема Хелли). Пусть функ-
ции Ф„ (х) с ограниченным изменением на отрезке [а, Ь]
сходятся в каждой точке этого отрезка к некоторой
функции Ф (х), причем полные изменения функций Фя (х)
ограничены:
ь
У[Ф„(Х)]<С.
а
Тогда предельная функция Ф(х) тоже имеет огра-
ниченное изменение и для любой непрерывной функции
f(x) справедливо равенство
ь	ь
lim ( f (х) йФ„ (х) = $ f (х) йФ (х).
л-»оов	а
Теорема 8 (вторая теорема Хелли). Из всякого
бесконечного множества функций Ф(х), заданных на
некотором отрезке [а, 6] и удовлетворяющих условиям
ь
шах|Ф(х)|<С, У[Ф(х)]<Ж,
а
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся
в каждой точке отрезка [а, &].
Линейный оператор Т е [Ei -* В2] называется вполне
непрерывным, если он отображает ограниченные мно-
жества в компактные.
Теорема 9. Пусть Вх и Въ — банаховы простран-
ства и Т е [Вх -> В2]. Оператор Т вполне непрерывен
в том и только в том случае, когда вполне непрерывен
оператор Т*.
§ 6]	ПРОИЗВОДНАЯ ОПЕРАТОРА	25
§ 6.	Производная оператора
Пусть нелинейный оператор Ф (х) действует из
л. н. п. £i в л. н. п. Еа. Если в точке х0 существует
предел
Пт Ф (fr+ffizP М = d (л.о> Л)>	(7)
то предельный оператор d называется дифференциалом
Гато. Вообще говоря, дифференциал Гато не будет
аддитивным оператором относительно h. Справедливо
следующее утверждение:
Теорема 10. Пусть дифференциал Гато суще-
ствует в некоторой окрестности точки х0 и как функ-
ция х непрерывен в точке х0, а оператор d(x0, Л)
непрерывен при h=±0, тогда дифференциал Гато будет
линейным оператором относительно h.
В том случае, когда дифференциал Гато линеен
относительно Л, мы будем записывать его в следующем
виде:
d(x0, Л) = Ф'(х0)/1,
и линейный оператор Ф' (х0) будем называть производ-
ной Гато оператора Ф(х) в точке х0.
Если предел (7) — равномерный по всем he ||ЛЦ ,
то в этом случае дифференциал Гато называется диф-
ференциалом Фреше и производная Гато, если она
существует, называется производной Фреше. Если произ-
водная Гато существует в окрестности точки х0 и
непрерывна в точке х0, то она будет и производной
Фреше. Если Ф' (х) есть производная Фреше опера-
тора Ф (х) в точке х, то
Ф(х+Л) —Ф(х) = Ф'(х)Л-|-о(Л).
Часто бывают полезны следующие формулы, являю-
щиеся обобщениями теоремы о среднем в дифференци-
альном исчислении. Если производная Гато или Фре-
ше определена в некотором шаре с центром в точке х, то
ЯФ(х+Л)-Ф(х)||^||Ф'(х+9Л)||||М.	о<е<1,
j Ф(Х4-Л)-Ф (х)-Ф' (х)h||<
< | Ф' (х+6Л) —Ф? (х) 11 h |. (8)
26
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ. I
Пусть вектор-функция f(x) задает отображение из
Rn в Rm. Если функции fi(x) непрерывно дифферен-
цируемы, то производная Фреше оператора f (х) будет
линейным оператором, действующим из Rn в Rm, мат-
рица которого есть матрица Якоби
(а^	.....
Теорема 11. Пусть вектор-функция f (х) задает
непрерывное отображение Rn в Rm. Тогда оператор
Ф («) = f[u (0] задает непрерывное отображение [0, Т]
в L£[0, Т].
Доказательство. Если	то функции
ft Iй (t)]> i = 1» • • •. tn, будут измеримыми. Покажем, что
они почти всюду ограничены. Пусть | Uj (t) \^с, j =
= 1, ..., п, почти для всех (е[0, Г]. Функции /,• (х),
1 = 1, ..., т, непрерывны на множестве
Q = {x: |х/|^с, j=l, ..., п},	(9)
а поэтому и ограничены. Пусть
I ft (х) |	&С, i=l,..., т при | Xj I -С с, / = 1,..., п.
Тогда
I ft Iй (0] I почти всюду на [0, Т].
Ясно, что	Покажем, что /[«(/)] есть
непрерывное отображение L“[0, Т] в L«[0, Т]. Пусгь
|«/(0l^c почти всюду, / = 1, ..., п. Функция f(x)
равномерно непрерывна на множестве (9). Поэтому для
любого е>0 существует б>0 такое, что
|Д(х+Дх)-/((х)|<8 при |ДХ;|<6	(10)
и при всех хе £2; (=1, ...» m; i=l, .... п. Пусть
V Дн (0 111» [0, 7-J < б,
л
тогда |Д«;(01<б,почти всюду на [0, Г], /=» 1, п.
.Из (10) тогда имеем, что
|//[ц(0+Ди(/)]-/,[«(0]|<е
почти всюду на [0, Т],	/=®1, т,
ПРОИЗВОДНАЯ ОПЕРАТОРА
27
«в|
и поэтому
№(0+Дм(0]-А(О1«[о, Г] < 8.
Теорема 12. Если функция f(x) задает непре-
рывно-дифференцируемое отображение Rn в Rm, то опе-
ратор f[u (/)] имеет производную Фреше f [и (/)].
Доказательство. Воспользуемся формулой
| f (х + Дх) - f (х) - f (х) Дх Ц* <
< 8 f • (х+е дх) - f' (х) || ц Дх ||«я.
В силу равномерной непрерывности производных функ-
ции f (x) на ограниченном множестве для любого в>0
найдется такое б>0, что при |)Дх||< 6 будет выпол-
нено неравенство
Н(х+Дх)-/(х)-Г (х)ДхЬт<^|Дх||«п. (П)
Пусть I Uj (t) | sC с почти всюду на [0, Т] и || Ди |La> < 6.
п
Тогда |Ди;|<б почти всюду на [0, Т], и из (11) полу-
чаем, что почти всюду на [0, Г] выполнено неравенство
||/ [и (0 + Ди (/)] - f [и (/)] - Г [и (0] Ди (/) ||Rw <
< 8 || ДU (0 || я*	81| ДИ (0 1|£? [0> Г]>
откуда
II/[И (0 + Ди (0)- f [и	[и (/)] Ди (01|£« 8II Ди ||£оо.
т	п
В силу произвольности 8 выражение f(w(0] будет
производной Фреше оператора /[«(/)].
Рассмотрим еще один пример на вычисление произ-
водной Фреше, который будет полезен в дальнейшем.
Пусть {fz(x)}, / = 0, 1, ..., есть последовательность
вектор-функций строк, задающих отображения про-
странства /?„ в Rm. Будем говорить, что последователь-
ность {ft (х)} равномерно ограничена на множестве
MczRn, если для всех хеЛ4 выполняется неравенство
ИЛ(х)||лт<;с. Будем говорить, что множество {ft (х)}
равностепенно непрерывно на М, если для любого 8 > 0
найдется 6(е)>»0 такое, что для всех х, х'еМ и
28
линейные нормированные пространства
[ГЛ. 1
таких, что || х — х' ||лл<б (е), и для всех t выполняется
неравенство

(12)
Теорема 13. Пусть вектор-функции ft (х) задают
непрерывные отображения Rn в Rm и равномерно огра-
ничены и равностепенно непрерывны на любом шаре
в Rn. Тогда оператор
f(u) = {ft(ut), ut(=Rn},	u = {ut},	(13)
задает непрерывное отображение банахова простран-
ства Ifl в
Доказательство. Пусть {ut} е Тогда
||ut||яя||и||, t = 0, 1, ... В силу равномерной ограни-
ченности последовательности ft (х) на любом шаре в Rn
получим, что существует такая постоянная с0, что
IIA(“/)II«т^со- Поэтому оператор (13) задает отобра-
жение из в С Докажем, что это отображение
непрерывно. Пусть «eff. Рассмотрим в Rn шар
S = 1х: || х||ял	21| и ll/ool.	(14)
В этом шаре последовательность ft(x) равностепенно
непрерывна. Поэтому для любого г > 0 найдется б (в)
такое, что для любых х, x'eS, ||х — х'||кп<6 и для
всех t выполнено неравенство (12). Без ограничения
общности можно считать, что б (е) < || и [р». Возьмем
п
теперь
|Д«и<б(8).	(15)
п
Тогда
II и 4- Д и Ijco < | и 11 + ЦДи|| < || и II + б (8) < 2II и
п
и, следовательно, || И/ + Ди/||«п <2||и||. Но из (15) имеем
Ц\ut ||r < б (в). Поэтому для всех t
||А (и< + Дм<)-/(«,)!> <е, Ц Ди |!/Оо < б (е). *
и
«61
ПРОИЗВОДНАЯ ОПЕРАТОРА
29
Беря sup по t, получаем
(ы)|| оо^е, если |Ди| «,<6 (в),
т	п
что и доказывает непрерывность оператора f(u).
Теорема 14. Пусть функции (Л(х)} задают не-
прерывно-дифференцируемые отображения Rn в Rm,
последовательности (х)} и их частных производных
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на
любом шаре пространства Rn- Тогда оператор f (и),
определяемый формулой (13), имеет производную Фреше
в каждой точке пространства и
Л(и)Ди = -[Ди/-^-(и/)}.	(16)
Доказательство. В силу равностепенной не-
прерывности для любого 8 > 0 найдется такое 6(e),
что для всех х, х' е S, где шар S определен форму-
лой (14), и таких, что || х — х' ||дл < 6, и для всех t
выполняется неравенство
|-й-(и—й-(*)	«от]<8-
•Применяя формулу (8), получаем
|Л(*)-//СИ-(х-х')-^-(х)|л <
откуда получаем, что для любых х, х' е S и таких,
что |jx —х'|я <6, и для всех t должно выполняться
неравенство
|/И*)-М*')Н*-Х)-|-г(*)|Л ^8к-*'!)/?„. <17)
Возьмем теперь Ди, удовлетворяющее неравенству (15).
Тогда uz + AuzeS и ] Ди^Цяя<6. Подставляя в нера-
венство (17) щ и и/4-Л«ь получаем
I ft («г+ Aut) - ft(ut) - \ut-д1~ (ut) |Л e li\ut ||дл
30
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. !
для	6(e) и для всех t = Q, 1, ... Если взять
теперь sup по t, то
II f (и + Д и) - f (и) - f' (и) Д и || о» < 8II Ди И оо,	(18)
т
где под f (и) понимается оператор, определенный фор-
мулой (16). Из формулы (18) ясно, что это будет опе-
ратор производной Фреше оператора f (и). Теорема
доказана.
Определим в пространстве с„ оператор Т, действую-
щий по закону
Tg = {^-g-(uz)},	(19)
Если выполнены условия теоремы 14, то оператор Т
действует из пространства Сп в с°т и линеен. Из (16)
и (19) непосредственно следует, что
Т* * = /'(«).	(20)
Таким образом, производная Фреше оператора /(и)
допускает такое сужение на подпространство с„, что
выполнены условия (20). Нетрудно также построить
оператор Т*:
т*П = {-^~-(«/)П/}> Ые Гп.
Пусть М есть множество в л. н. п. Е. Говорят, что
вектор х касателен к множеству М в точке х0, если
существует число е>0 и функция <р (/), определенная
на отрезке [0, е], со значениями в Е такие, что
х0 + tx + <р (0 е М при всех t е [0, в],
Ит М1Щ-0.
«- + 0	‘
Множество всех касательных векторов к множеству М
в точке х0 образует замкнутый конус, который назы-
вается касательным конусом к множеству М в точке х0.
В том случае, когда конус есть подпространство, он
называется касательным пространством к множеству М
в точке х0.
Теорема 14' (теорема Люстерника). Пусть опе-
ратор F (х) действует из банахова пространства Bi
ЗАМЫКАНИЯ ПО МЕРЕ
31
«Л
в банахово пространство В % и F (х) имеет производную
Фреше в некоторой окрестности точки х0. Предполо-
жим, что область значений оператора F' (х0) совпадает
с пространством В2 и что оператор F' (х) непреры-
вен в точке х0; тогда касательное пространство к мно-
жеству
M = {x: F(x) = F(x0)}
совпадает со множеством нулей оператора F' (х0).
§ 7. Замыкания по мере
Пусть $ —измеримое множество в R1. Будем гово-
рить, что /0 есть m-предельная точка множества 8,
если для любой окрестности S точки t0 выполнено
условие
mes(^f|S)>0.
Множество всех m-предельных точек множества 8
будем называть т-замыканием множества § (или замы-
канием по мере). Замыкание $ по мере будем обозна-
чать f.
Теорема 15 (Дубовицкий и Милютин). Если
mes$>0, то S непусто и замкнуто.
Доказательство. Пусть mes$>0, но $—
пусто. Тогда для каждой точки § найдется окрест-
ность Sj такая, что mes(^f|Sg) = 0. Поэтому, выделяя
счетное покрытие прямой Sk, получаем
mes «С У, mes (£ f] S*) — О,
*
что противоречит условию mes 8 > 0. Докажем теперь,
что 8 замкнуто. Пусть tk е $ и tk -> t0. Пусть S про-
извольная окрестность точки t0. Найдется /* ® 5 и
окрестность S» с S. Тогда
mes (8 f| S) > mes (8 f| $*) > 0
и, следовательно,
32
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. I
Множество £ будем называть т-ограниченным, если
существует такое число М, что
mes{/:	|/|>М} = 0.
Следствие. Если $ — измеримое, т-ограниченное
множество и mes£>0, то £ есть непустой компакт.
Для доказательства достаточно заметить, что $ бу-
дет ограниченным, и применить теорему 15.
Пусть ф(/) = (ф1(0» •••» Фл(0) есть измеримая век-
тор-функция на измеримом множестве <£. Точка y^Rn
называется т-частичным пределом функции ф при
если для любых 8, 6>0 выполнено
mes {/:	11 —101 < 6, | ф (I) — у | < в} > 0.
Из определения следует, что точка 4 s Множество
всех m-частичных пределов функции ф (/) при t -► t0
будем обозначать ф(4)- Множество
{(/, у):	^е'ф(/)}
будем называть т-замыканием (или замыканием по мере)
функции ф(/) и обозначим его через ф(£).
Теорема 16. Пусть ф е[ё], где <S есть т-огра-
ничейное измеримое множество в /?1. Тогда
vrai max ф (t) = max у .
в	Ц,р)еф(7)
Доказательство. Пусть А = vrai max ф. Тогда
<?
в силу определения vrai max для любого в > 0 мно-
жества
8e = {t: t |ф (/) — А | <8}
имеют ненулевую меру. В силу следствия теоремы 15
множества образуют сужающуюся систему непустых
компактов. У такой системы есть общая точка t0 е $в.
Покажем, что Леф (t0). Действительно,
mes{/: te8, |/ —41<б, |ф(/) —Л |<e} =
— mes{/: le8t, — 41 <6}>0,
5 Л
ЗАМЫКАНИЯ ПО МЕРЕ
33
так как /ое£8. Итак
A etpT/o),
А sup у.
(t, у)еф(7)
Покажем, что на самом деле имеет место знак ра-
венства (и тем самым вместо sup можно поставить max).
Действительно, если А < sup у, то найдутся t е
у е ф (?) такие, что А < у, t <=%, у е ф (?). Пусть S8
есть окрестность точки у, не содержащая А; тогда
по определению vrai max
mes {/:	I ф (/)-уI <в} = О,
и, следовательно, £еф(?).
Теорема 17. Пусть ф(/) и ф(/) — измеримые на %
вектор-функции и аеф(/0). Тогда найдется деф(70)
такое, что	___________
(а, 6)е'(ф(/0), ФО-
Доказательство. Очевидно, что достаточно
ограничиться случаем, когда ф (/) есть скалярная функ-
ция. Пусть аеф(/0), тогда
mes£„>0,	8n={t: |/ —/0|<
<1/л, /е§, |ф(/) — «;< 1/га}.
Так как последовательность множеств ^„ — сужаю-
щаяся, то последовательность а„ = vrai max ф (/) будет
монотонно убывающей и ограниченной. Пусть Ь — ее
предел при п->-оо. Для любых е > 0, 6 > 0 найдется п
такое, что
в>1/п, 6>1/п, 6 vrai max ф (/) < Ь8/2,
поэтому
mes{/: /<=$„, |ф(/) — £> | < е} > О,
& А. М. Тер-Крикоров«
34
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
Теперь
mes{/:	|/ — /0|<6, |<р(/) —а|<8,
| ij) (/) — b | < е} > mes {/: t е ё, 11 —101 < 1/п,
|<р(/)-а|< 1/л,	6|<е} =
= mes{f:	|i|>(/) — &|<е}>0,
следовательно, 
b е'ф (t0), (a, b) е <р (t0), (to)-
Теорема 18. Пусть f(х, t) — непрерывная функ-
ция на RnxRi, а х (f) — измеримая функция на мно-
жестве ё <z Ri. Тогда
f(x(t), t) = f^(f), t).
Доказательство. Покажем сначала, что
Г ' 1	1	1	I " ' "1
f(x(t), t) czf (x(t), t). Пусть a^x(t0). Тогда для лю-
бых 6>0, о>0
mes{/: t^%, \t — t0\<b, |x(t) — a| <o} > 0. (21)
Пусть f (a, to) = b. В силу непрерывности f(x, t) для
любых 8>0 найдутся о (в) и 6 (в) такие, что при о<
<о(е), 6 <6 (в) из неравенства (21) следует неравен-
ство \ f(x(t), t) — b\<Ze. Поэтому
mes{/:	|/ —4I<6, |f(x(O, t) — &|<е}>
>mes{/: t^8, |/ — /0!<6, |х(/) —а|<<т,
\f(x(t), /)-&|<е} =
= mes{/: ZeS, |f — /0|<6, |х(/) — а|<о}>0.
Итак, b^f(x(t),t), f (x(t), t) c.f(x(t), t). Докажем
обратное включение f(x(t), t)c.f (x(t), t). Пусть b&
ef(x(/0), t0). По теореме 17 найдется a^x(t0) и та-
кое, что
<*-{*:	\t-to\<Mk, \x(t)-a\<\lk,
‘*(x(t), t) — b\< 1/k}, mes$*>0.
«л
ЗАМЫКАНИЯ ПО МЕРЕ
35
Возьмем	Тогда
х (/*)-» a, f(x(tk), tk)-+b,
Ifc ^0»
и, так как функция f (х, t) непрерывна, то b = f (а, /0),
Г " ~ I г-----------1
т. е. f(x(t),t)c.f(x(t), t). Теорема доказана.
Теорема 19. Пусть	0<mes§< + оо.
Если f (/) е L" [8], то f (ё) есть непустой компакт
в Rn+i-
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 15.
ГЛАВА II
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1.	Основные определения
Пусть Е — л. н. п. Множество 5? cz Е называется
выпуклым конусом, если для любых х, у &GK и любых
двух неотрицательных вещественных чисел а и р вы-
полняется соотношение
ах + рг/ев^.
Выпуклый конус вносит полуупорядоченность
в л. н. п. Е. Будем писать х^у, если х — у&.£К.
В частности, х 0, если х е &С. Нетрудно проверить,
что так определенный знак неравенства обладает сле-
дующими свойствами:
а)	Из х^у, у'^г следует xSsz;
б)	Из х^у, a 3s О следует аг/3s аг/;
в)	Из х^у при любом z следует x4-z3sz/+z.
Вообще говоря, конусу могут принадлежать одно-
временно элементы х и —х, ||х||^=0. Если из х^О и
— хз=0 следует, что х = 0, то конус Ж называется
острым. Конус GK называется замкнутым, если он со-
держит все свои предельные точки. Конус &С назы-
вается телесным, если он имеет внутренние точки.
Нетрудно проверить, что множества нёотрицатель-
ных функций в пространствах L₽[0, Т], 1^р«^4-оо,
есть выпуклые замкнутые конусы. Если 1^р<-|-оо,
то эти конусы не имеют внутренних точек. Конус не-
отрицательных функций bL°°[0, Т] —телесный. Ана-
логичными свойствами обладают конусы неотрицатель-
ных вектор-функций в пространствах Lpm [О, Т].
Множество М с Е называется выпуклым, если из
х, у <= М следует, что для любых а 2г О, р 2г 0, а + Р = 1
выполняется условие ах + рг/еМ. Очевидно, что вы-
пуклый конус есть выпуклое множество.
* SJ	ТЕОРЕМА M. Г. КРЕЙНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ	37
§ 2.	Теорема М. Г. Крейна
о продолжении неотрицательного линейного функционала
и ее следствия
Пусть л. н. п. Е частично упорядочено выпуклым
конусом Функционал f(x) называется неотрица-
тельным, если f (х)	0 для всех х <= еЖ*.
Теорема 1. Если 8% — телесный выпуклый конус,
a f (х) — неотрицательный аддитивный и однородный
функционал, то он будет ограниченным, а следова-
тельно, линейным.
Доказательство. Пусть х0 есть внутренняя
точка конуса 8fC. Тогда найдется шар <$р (х0) с Ж.
Если х — произвольный элемент пространства Е, то
х0±р-^е5р(х0)с:Ж, х0±р
Из неотрицательности f (х) тогда следует, что
/(х0±р^)>0, _^.|х|</(х)<^||х|.	(1)
Из (1) получаем, что функционал f (х) — ограничен,
причем
Теорема 2 (о продолжении линейного неотрица-
тельного функционала). Пусть 8% есть выпуклый те-
лесный конус, не совпадающий со всем пространством Е,
и пусть подпространство G содержит хотя бы одну
внутреннюю точку конуса 8К. Тогда любой неотрица-
тельный линейный функционал, определенный на под-
пространстве G, может быть продолжен до линейного
неотрицательного функционала, определенного на всем
пространстве Е.	_
Доказательство. Пустьхе G. Определим мно-
жества
АГ =•{£': fc'e-G,	АГ={Г:ГеСЛ>х(. (2)
Эти множества непустые. В самом деле, подпростран-
ство G по условию теоремы содержит внутреннюю
38
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. (ГЛ. и
точку х0 конуса <№. Поэтому найдется замкнутый шар
Sp (х0) cz Ж. Но точка х0 ± р Д, <= 8Р (х0) <= • Поэтому
— — x0^xss'—х0, -^xteN', — xoeW’.
PPP	p
Из (2) в силу неотрицательности функционала f(x)
получаем f (£')	(£") для любых £'s/V', АГ. По-
этому существует такое число у, что
Для всех l'€=N', V^N".	(3)
Построим теперь подпространство
Gi = {y: y = ^+tx, £<=G, —оо</<4-оо}.
Так как точка xf G, то представление элемента у е
eGx в виде у = ^ + /х единственно. Поэтому можно на
подпространстве Gx определить функционал ср (у) = f (g) +
+ ty, который является продолжением f (х) с G на Gx.
Покажем, что он неотрицателен. Пусть g-f-Zx^O,
/=т*=0. Тогда
x2s — l/t при />0; — %/t^N'.
x^ — ZJt при t < 0; — l/t е N",
откуда, используя (3), получаем
при
при
/>0;
/<0;
f(g)+Y/ = <p(y)^O,
f (£)+т* = ф(0)3»О.
Итак, неотрицательный аддитивный и однородный функ-
ционал <р (у) есть продолжение с G на 6Х. По теореме 1
он будет линейным. Итак, ф(у) есть неотрицательное
линейное продолжение функционала /(х) с подпрост-
ранства G на более широкое подпространство Gx. По-
следовательно расширяя функционал f(x), мы можем
продолжить его на все пространство Е с сохранением
линейности и неотрицательности. Строгое доказатель-
ство основано на лемме Цорна теории частично упо-
рядоченных множеств, и оно ничем не отличается
от соответствующего пункта в доказательстве теоремы
Банаха — Хана о продолжении линейного функционала.
§ 2)	ТЕОРЕМА М. Г. КРЕЙНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ	39
Теорема 3. Пусть л. н.п. Е частично упорядо-
чено выпуклым телесным конусом не совпадающим
со всем пространством Е. Тогда на Е существует по
крайней мере один неотрицательный линейный функ-
ционал.
Доказательство. Пусть х0 — внутренняя точка
конуса е%. Точка —хоё= Действительно, если —хое
и х—произвольная точка пространства Е, то (так
как точка х0 — внутренняя) при некотором р > 0 имеем
Хо + рхе<з^. Так как —хоео^, то по свойству выпук-
лого конуса рх =— х0-}-х0 + рх е Ж. Поэтому
что противоречит условию теоремы &С =^Е. Рассмотрим
одномерное подпространство
G={x: х = х0/, — оо</<4-оо}.
Определим на G линейный функционал f(x) = t. Оче-
видно, что f (х) — аддитивный и однородный функционал
на подпространстве О. Покажем, что он неотрицателен.
Если это не так, то найдется такое t0 < 0, что toxo е Ж.
Но тогда —ХцеЖ, что невозможно. Продолжая /(х)
по .теореме 2 на все пространство Е, получаем ли-
нейный неотрицательный функционал.
Докажем теперь важную теорему об отделимости
выпуклых конусов в л. н. п.
Теорема 4. Пусть S^czE — выпуклый телесный
конус и с. Е —выпуклый конус, не имеющий общих
точек со внутренностью Тогда существует линей-
ный функционал х*#=0, разделяющий и ПК2'-
(xf, #)	0	(х£, х) для всех XE$b
Доказательство. Рассмотрим множество
Ж={г: г — х — у, х^.^ъ у^&Сг}.
Нетрудно проверить, что НК — выпуклый конус в Е. Он
телесен, так как содержит телесный конус НКУ. Пока-
жем, что Х^=Е. Действительно, если х0 — внутренняя
точка то — х0 6= ПК. Если — х0 е ПК, то —х0 = х — у,
хеЖх, у^.ПКг и, значит, z/ = x + x0. По свойству
выпуклого конуса точка х + х0 —внутренняя, если
х0 —внутренняя точка. Поэтому S&2 имеет непустое
пересечение со внутренностью GKi, что противоречит
40
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. (ГЛ. I!
условию теоремы. Итак, —хое=а% и, следовательно,
Ф Е. В силу теоремы 3 на Е определен нетривиаль-
ный неотрицательный линейный функционал
(х*, z)SsO для всех хей"
или
(х*. х—у)^0 для всех xe^i, г/е$2,	...
(х?, У)^(х*, х) для всех хе<й\,	'
Так как конусы и содержат нулевой элемент,
то из (4) получаем утверждение теоремы.
Теорема 4 имеет простую геометрическую интерпре-
тацию. Если множество (х*, х) = 0 назвать гиперплос-
костью, проходящей через нуль пространства Е, то эта
гиперплоскость разбивает все пространство Е на два
полупространства (х?, х)^0 и (х*, х)«^0. Говорят,
что гиперплоскость разделяет два множества, если эти
множества лежат в разных полупространствах, опреде-
ляемых этой гиперплоскостью. Таким образом, теорема 4
утверждает, что найдется гиперплоскость, проходящая
через нуль пространства Е и разделяющая конусы
И в^2.
§ 3. Теоремы отделимости для выпуклых множеств
Каждому выпуклому множеству М <=Е можно по-
ставить в соответствие выпуклый конус
S&(M) = {x: х*=Ку, у^М, Х^О}.
Теорема 5. Если выпуклое множество МсЕ
имеет внутренние точки и 0 не есть внутренняя
точка М,тоЗ£ (М) не совпадает со всем пространством Е.
Доказательство. Пусть х0 — внутренняя точкаМ
и замкнутый шар Зр (х0) с М. Покажем, что точка
— ХоёЖ (М). Если — х0 е &С (М), то при некотором
8^5 0 имеем #0 = — exoeM. Так как Sp(x0)c:Af, то
Xo + pxeAf при любом х с Цх||=^1. Так как М — вы-
пуклое множество, то
+	если ||х||<1,
 i 31 ТЕОРЕМЫ ОТДЕЛИМОСТИ ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 41
и так как у0 =— ех0, то у-^хеЛ! при|х||<1. Поэтому
S gp (0) с М. Но этого не может быть, так как точка
Г+е
х = 0 не есть внутренняя точка множества М. Полу-
ченное противоречие доказывает, что —хоё=а%(М) и,
следовательно, Ж (Л4) #= Е.
Теорема 6. Если М — выпуклое множество в л. н. п.
Е, содержащее внутренние точки, и х = 0, не принад-
лежит внутренности М, то существует линейный функ-
ционал, принимающий неотрицательные значения .на
множестве М.
Доказательство. В силу теоремы 5 конус &С (М)
будет выпуклым и телесным и (М) Е. Тогда в силу
теоремы 3 на конусе &С (М), а следовательно, и на
множестве М определен нетривиальный неотрицатель-
ный линейный функционал.
Теореме 6 можно придать геометрическую форму.
Гиперплоскость (х», х) = а, проходящая через точку х0,
называется опорной к множеству М в точке х0, если М
лежит по одну сторону от гиперплоскости. Полупро-
странство, в котором лежит М, называется опорным
полупространством. Так как при преобразовании парал-
лельного переноса любая точка может быть перенесена
в точку 0, и так как внутренние точки переходят во
внутренние, то мы получаем следующую теорему.
Теорема 7. Если М — выпуклое множество в л, н.п.
Е и М имеет внутренние точки, то через любую точку х,
не принадлежащую внутренности М, можно провести
опорную гиперплоскость к множеству М.
Докажем теперь теорему об отделимости выпуклых
множеств.
Теорема 8. Если множества Mi, М2 выпуклы,
внутренность Mi не пуста и М2 не имеет общих точек
с внутренностью Mi, то существует линейный функ-
ционал х? =#0, разделяющий множества Mi и М2:
W5, У)*^(х*, х) для всех xeAli, у^М2. (5)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда множества Л4Х и М2 не пересекаются. Построим
множество
М = {z: г =х — у, x^Mi, у М2\.
42 ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА в л. Н. П. (ГЛ. п
Нетрудно видеть, что М — выпуклое множество и, так
как AficAl, то М имеет внутренние точки. Точка
2 = 0 не принадлежит М, так как множества Л4Х и М2
не имеют общих точек. Применяя теорему 6, построим
нетривиальный линейный функционал х%, принимающий
неотрицательные значения на множестве М:
(хо, х—у)^0	для всех х£;Мь у^М2.
Отсюда и следует неравенство (5).
Для доказательства теоремы в общем случае докажем
следующие вспомогательные леммы.
Лемма 1. Если х0 —внутренняя точка выпуклого
множества М, а у0^М, то все точки отрезка
x-ty0+(l-t)x0,	0<<<1	(6)
принадлежат внутренности множества М.
Доказательство. Так как у0 — предельная точка
множества М, то у0= lim у„, уп^М. Пусть g —про-
П-+ОО
извольный элемент пространства Е с U|| = 1, а в —поло-
жительное число. Тогда
(1 — t) Xo*W#o + =
= (1 -0xo + /i/„ + i!(i/o-^) + ^ =
= (1 - 0 [хв +	(у0 - у„) + TZf &] + tyn. (7)
Так как точка х0 —внутренняя точка множества М и
Уп~+Уъ ПРИ я->оо, то существуют номер п и число
е0>0 такие, что
+	+	при 0<е<е0.
Тогда из равенства (7) следует, что точка (1 — t)x0 + ty0
принадлежит множеству М вместе с шаром радиуса 8
с центром в этой точке. Поэтому все точки отрезка (6)
будут внутренними.
Лемма 2. Внутренность выпуклого множества М
есть выпуклое множество. Если внутренность М не-
пуста, то ее замыкание совпадает с М.
Доказательство. То, что внутренность М
выпукла, следует из леммы 1. Пусть внутренность М
$ 3) ТЕОРЕМЫ ОТДЕЛИМОСТИ ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 43
непуста и х0 —внутренняя точка М. Если у0^М, то
0о = lim [/0о + О —О*о],
<-►1 — 0
и так как все точки отрезка (6) в силу леммы 1 будут
внутренними, то у0 принадлежит замыканию внутрен-
ности М.
Докажем теперь теорему 8 в общем случае. Будем
внутренность М обозначать через int М. Так как int 7ИХ
есть непустое выпуклое множество, не пересекающееся
с выпуклым множеством М2, то отделяя эти два непере-
секающиеся множества линейным функционалом х%,
получаем
(4, У) =С (4» х) для всех у е М2, х е int Мх.
Так как в пределе нестрогие неравенства сохраняются, то
(4, У) (4. х) для всех у еМ2, х е int Mi = Mlt
что и требовалось доказать.
Теореме 8 можно придать геометрическую форму.
Теорема 9. Если множества Mi и М2 —выпуклы,
внутренность Mi непуста и М2 не имеет общих точек
с внутренностью Mi, то существует гиперплоскость,
разделяющая множества Мг и М2.
Доказательство. Из (5) следует существование
такого числа а, что
(4,	х) для всех хеМь ysMz.
Гиперплоскость (4, х) = а и будет разделять множе-
ства Mi и М2.
Докажем еще теорему о строгой отделимости выпук-
лого замкнутого (не обязательно телесного) множества
от точки, ему не принадлежащей.
Теорема 10. Пусть М — замкнутое выпуклое мно-
жество в л. н.п. Е и точка хоеМ. Тогда существует
линейный функционал х$, строго отделяющий точку х0
от множества М, т. е.
sup (xj, х)<(х?, х0).	(7')
хе М
Доказательство. Заметим сначала, что усло-
вие (7') можно переписать в эквивалентной форме:
(Хо, х) а < (хо, х0) для всех х е М, (8)
44
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА в л. Н. П. (ГЛ. II
где а —некоторое вещественное число. Так как мно-
жество М замкнуто, то его дополнение открыто. Поэтому
существует замкнутый шар <$р(х0), принадлежащий этому
дополнению и, следовательно, не пересекающийся
с множеством М. В силу теоремы 8 найдутся линей-
ный функционал х* и число а такие, что
(х*, х) «с а «£ (х*, у) для всех х е М, y^Sp (х0). (9)
Так как функционал х? — нетривиален, то существует эле-
мент у0, на котором он принимает значение, равное
единице. И так как х0 — р j—е Sp (х0), то в силу (9)
получаем, что для всех хеМ
(х$, х)<а=с(х£, *о-Рт^г) =
\	II У» II /
= (Хо, Хо) ||^ | <1 (х*, Хр),
что и требовалось доказать.
Переформулируем еще теорему 10 для случая конуса.
Теорема 11. Пусть &С — замкнутый выпуклый
конус в л. н.п. Е и точка х01=£%. Тогда существует
линейный функционал xj, строго отделяющий точку х0
от конуса
(х*, х) 0 < (х*, х0) для всех х^ЗС.
Доказательство. В силу теоремы 10 найдется
линейный функционал xj, для которого выполнено
неравенство (8). Покажем, что число а в этом нера-
венстве равно нулю. Так как Оей^, то а ^0. С дру-
гой стороны, функционал х* не может на конусе
принимать положительные значения, так как, в силу
свойств конуса, он был бы тогда неограниченным сверху
на конусе &С. Поэтому можно взять
а= sup (хо, х) = 0.
хе&С
Теорема 12. Выпуклое замкнутое множество
М czE совпадает с пересечением всех опорных к нему
полупространств.
Доказательство. Очевидно, чтоМ принадлежит
пересечению всех опорных полупространств. Если же
»4J
РЕГУЛЯРНО-ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
45
точка хв принадлежит пересечению всех опорных полу-
пространств, но не принадлежит множеству М, то ее
можно строго отделить от множества М, т. е. найдется
такой линейный функционал и число а, что
(х*, х)	а < (х*, х0) для всех х е М.
Опорное полупространство (х«, х) sg а не содержит
точки х0, и поэтому точка х0 не может принадлежать
пересечению всех опорных полупространств. Получен-
ное противоречие доказывает, что М. совпадает с пере-
сечением всех опорных к А4 полупространств.
§ 4. Регулярно-выпуклые множества
в сопряженном пространстве
Пусть Е* — пространство, сопряженное л. н. п. Е.
Множество Q*c£* называется регулярно-выпуклым,
если любую точку	можно строго отделить от
Q* при помощи некоторого элемента х0 е Е, т. е.
sup (х*, х0) С (хо, х0), или, что то же самое, если
найдутся элемент х0 и число а такие, что
(х*. Хо)^а<(хо, х») для всех х* <= й*. (10)
Пример 1. Шар |х*|^1 есть регулярно-выпук-
лое множество.
Действительно, если ] х» || > 1, то в силу определе-
ния нормы линейного функционала найдется элемент х0
с JxoKl и такой, что (х*. х0) >• 1. С другой стороны,
в силу следствия 3 теоремы Банаха —Хана
||х0|= sup | (х*. х0) I< 1 < (xj, х0),
что и означает, что множество {х*: || х* Ц 1} является
регулярно-выпуклым.
Пример 2. Множество (полупространство)
Я2 = {х*: (х*. x0)Ssa}
регул ярно-выпукло.
Действительно, если х* то
(х*, х0)<а^(х*, х0) для всех х* е Н„,
что и доказывает регулярную выпуклость множества
46
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. (ГЛ. II
Теорема 13. Пересечение любого множества ре-
гулярно-выпуклых множеств — регулярно-выпуклое мно-
жество.
Доказательство. Пусть й£, а еЛ,-регулярно-
выпуклые множества и
Й*= П Й£.
ае А
Если х*ё=й*, то существует аоеЛ такое, что х?е
eQJ,. Так как множество й®, — регулярно-выпукло,
то найдется элемент х0 е Е такой, что sup (х*, х0) <
x*SO*,
<(хо, «о), тем более sup (х*, х0)<(х|, х0), что и
X* G
доказывает регулярную выпуклость множества й*.
Теорема 14. Регулярно-выпуклое множество
выпукло и слабо* замкнуто.
Доказательство. Выпуклость регулярно-вы-
пуклого множества й* сразу следует из неравенства (10).
Пусть Хо — произвольная предельная точка множе-
ства й*. Предположим, что х# ёЙ*. Тогда напишем
для точки Хо неравенство (10). Его можно переписать
в следующем виде:
(х*—х*, —х0)>80 = (хо, х0) —а для всех х* е й*.
Последнее неравенство означает, что в окрестности
{х*: (х* —х*, —х0)гСе0} не содержится точек множе-
ства й*. Поэтому точка xj не может быть предельной.
Полученное противоречие показывает, что множество й*
содержит все свои слабые* предельные точки.
Справедлива и теорема, обратная теореме 14, кото-
рую мы докажем для случая сепарабельного простран-
ства Е.
Теорема 15. Если пространство Е сепарабельно,
а ограниченное множество й* выпукло и секвенциально
слабо* замкнуто, то оно будет регулярно-выпуклым.
Доказательство. Пусть {еп} — плотная после-
довательность элементов в пространстве Е. Рассмотрим
последовательность пространств /?„ и в каждом Rn рас-
смотрим множество
Й„ = {5: 5 = (|ь U
& = (х*, et), х*ей*, 1 = 1, п.
<4
РЕГУЛЯРНО-ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
47
Из выпуклости множества й* в Е* следует, что йя
выпукло в Rn. Покажем, что й„ замкнуто в Rn- Пусть g0
есть предельная точка множества йя. Это означает, что
g? = Пт (xt, et), х?ей*, i=l, ..., n. (11)
Так как множество й* ограничено, то из х* можно
выделить слабо* сходящуюся подпоследовательность.
Без ограничения общности можно считать, что и после-
довательность х? слабо* сходится к элементу х*. Так
как множество Й* секвенциально слабо* замкнуто, то
х* е й*. Переходя к пределу в формуле (11), получаем
gzo= lim (х?, ei) = (x*, е;),	х£<=й*, 1=1, п,
А-*СХЭ
и поэтому goе Йя. Итак, множество й„ замкнуто в /?„
при любом п.
Пусть х?ёй*. Покажем, что существует такое п, что
£°ё=йл, $ = (4, Ci), i = \, п.
Если это не так, то при любом п существует элемент
хяеЙ* такой, что
И, e<)-(x?, «,),	*=1......п. (12)
Пользуясь ограниченностью множества й*, выделим
из х* слабо* сходящуюся подпоследовательность. Без
ограничения общности считаем, что и последователь-
ность х* слабо* сходится к х*. В силу того, что мно-
жество й* секвенциально слабо* замкнуто, имеем
х* е й*. Переходя в равенстве (12) к пределу, полу-
чаем (х*, в/) = (Хо, et),	и так как последо-
вательность et плотна в Е, то х* = х*. Но х*ё=й*,
х*е= й*. Полученное противоречие доказывает, что
go ё йя при некотором п.
Итак, при некотором п множество йя —выпуклое,
замкнутое и не содержит точку g0. В силу теоремы 10
найдется вектор (рь ..., ря) такой, что
SUp 5 pili < 2 Pilot.
48
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. [ГЛ. и
Подставляя выражения для чисел получаем
sup (х*, х0)<(х?, х0),	х0= £ pie{,
X* t= Й»	1
что и доказывает регулярную выпуклость множества й *.
Следствие. Если множество й* выпукло и секвен-
циально слабо* замкнуто и пространство Е сепара-
бельно, то множество й* будет замкнутым и в сла-
бой* топологии пространства Е*.
Доказательство. В силу теоремы 15 множе-
ство й* будет регулярно-выпуклым, а в силу теоремы 14
оно будет тогда и замкнутым в слабой* топологии про-
странства Е*.
Проверить секвенциальную слабую* замкнутость,
конечно, проще, чем замкнутость в слабой* топологии.
Теорема 15 верна и для несепарабельного простран-
ства, если усилить требования, потребовав уже замкну-
тости множества Й* в слабой* топологии простран-
ства Е*. Доказательство получается незначительным
видоизменением доказательства теоремы 15. Каждому
конечному набору элементов (elt ..., еп) пространства Е
поставим в соответствие множество й cz Rn по следую-
щему правилу:
й = {£: & = (Ь..Ы.
& = (х*, et), х*ей*, !»!,..., п}.
Как и при доказательстве теоремы 15, показывается,
что множество й будет замкнутым и выпуклым в Rn.
Пусть х?ё=й*. Так как множество й* слабо* замк-
нуто, то найдется такой набор элементов (ех, .... еп) и
число е>0, что
| (х* — х*, е,-) | е для всех х* е й*, 1 = 1, .... п,
откуда ясно, что
pQ0, й)= sup sup IU-bl2se,
t=l, ... , п Q
Следовательно, точка ^оёй. Дальнейшее доказатель-
ство повторяет доказательство теоремы 15.
«41
РЕГУЛЯРНО-ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
49
Покажем теперь, что теорема 15 верна и для не-
ограниченных множеств. Докажем предварительно две
теоремы.
Теорема 16. Если пространство Е сепарабельно,
а множества Й* и й* регулярно-выпуклы и ограничены,
то и множество й* — й* — регулярно-выпукло.
Доказательство. Так как множества й* и Й,
регулярно-выпуклы, то они выпуклы и слабо* замк-
нуты. Пусть х* есть предел слабо* сходящейся после-
довательности точек множества й*. Это означает, что
для всех х е Е
(х?, х) = Иш (4—yt, х),	yh<=&l. (12')
П-РОО
Пользуясь слабой* компактностью множеств й* и Й*,
выделим из й* и й* слабо* сходящиеся подпоследо-
вательности. Без ограничения общности можно счи-
тать, что и последовательности х„ и у% слабо* сходятся
к элементам X* и у*. Так как «множества й* и й*
слабо* замкнуты, то х* е й* и у* е й^. Переходя
в равенстве (12') к пределу, получаем
х#=х* — у*, х* е й*. д* е й*,
поэтому х*ей*. Таким образом, множество й* вы-
пукло и секвенциально слабо* замкнуто; в силу тео-
ремы 15 оно будет регулярно-выпуклым.
Теорема 16 верна и без предположения о сепара-
бельности пространства Е. В этом случае доказатель-
ство менее тривиально, и мы его опускаем.
Теорема 17. Пусть й* — ограниченное регулярно-
выпуклое множество, х*еЙ*, и
р(х*, й*)= inf 1|хо-х*|| = ^>О.
*♦60*
Тогда для любого d' такого, что 0 <;</' <.d, найдется
елемент х0, для которого справедливо неравенство
sup (х*. х0)<(х*, x0)-d'|]x0||.
Доказательство. Пусть S<r (х*) есть шар ра-
диуса d' с центром в точке х#. Множество й* —S</'(x*)
по теореме 16 будет регулярно-выпуклым, и оно не
50
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. [ГЛ. И
содержит точку х* « 0. Отделяя точку х* = 0, полу-
чаем, что существует элемент х0 такой, что
sup (х*—у*, х0)в
y’eSj,
= sup (х*-4-НТ, х0)<0.	(13)
«•ей», ornci
Но в силу следствия из теоремы Банаха — Хана
sup (£*, х0)= || х01|. Поэтому из (13) получаем
П»1< 1
sup (х*, х0) —(Хо, х0) + <2' ||х0||<0,
х*ей*
что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что в теореме 15 можно изба-
виться от требования ограниченности множества й*.
Для этого докажем следующую теорему.
Теорема 18. Если пересечение множества Q*czE*
с любым ограниченным регулярно-выпуклым множеством
есть регулярно-выпуклое множество, то и множество
й* будет регулярно-выпуклым.
Доказательство. Пусть множество Й* неогра-
ничено и х*ей*. Пусть 0<d<p(х*, й*). Построим
последовательность точек хт, обладающую следующим
свойством: если х* е й* и
(х*. xOT)S==(x0*, xm)-(/n-l)d||xm||, т=1, ...,п, (14)
то р(х*, x*)5snd.
Построение будем производить по индукции. Пока-
жем, что (14) справедливо при п = 1. Будем замкну-
тый шар радиуса nd с центром в точке х* обозначать
S„. Рассмотрим множество Й*П$1. Так как Si есть
ограниченное и регулярно-выпуклое множество, то по
условию теоремы и множество й* Q Si будет регу-
лярно-выпуклым. Поэтому найдется элемент хх е Е,
строго отделяющий xj от Й*П5Х:
SUp (X*. Xi) < (Xq, Xi).
x*eo«nSj
Теперь из x*efl*, (х*, Xi)^(xJ, xj следует, что
х* s Si и, следовательно, р(х*, х*)>а. Пусть теперь
(14) справедливо при некотором п. Положим
ссот = (x#, хт) (т 1) d || хт ||.
S 4]
РЕГУЛЯРНО-ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
61
Рассмотрим множества
Я«“{х*: (х*, xm)>am}, йя==й*Л5я+1 П Ht.
i = 1
Множество Q* есть пересечение Q* с ограниченным
п
регулярно-выпуклым множеством S„+1 П Ht. По усло-
вию теоремы оно будет регулярно-выпуклым. Так как
(14) справедливо по предположению индукции, то мно-
жество Qn отстоит от Хо на расстоянии большем, чем
nd. В силу теоремы 17 найдется элемент хя+1 такой,
что
sup (х*, хя+1)<(х*, хя+1) —nd||xn+ij.
Если	и
(х*. xm)s==(xj, хт) — (m-l)d|xOT|, m=l,..., «4-1,
то х* s Q*. Но х* g Q*, ? е//ь ..., х* s Нп. По-
этому х*е$й+1 и р(хо, х*) >• (пЦ-1) d. Итак, из пред-
положения, что утверждение (14) справедливо при
некотором п, следует, что оно справедливо и для п 4-1.
Так как оно верно для п — 1, то оно будет справед-
ливым при любом п.
Из (14) следует, что для каждого элемента x*eQ*
хотя бы при одном т выполнено условие
(х*. xm)^(xj, хт)~ (m-l)d||xm|,
или, что то же самое,
чип (х*’ Хт^~ (х*' Хт^ >d	Л 61
S“P	<15)
Если ПОЛОЖИТЬ Ут=~ || , то очевидно, что
lim ym — Q. Пусть с0 — пространство ограниченных по-
т->оо
следовательностей (см. гл. I). Рассмотрим в простран-
стве с0 множество
Ж = {т]: тр = (х*. yi), х* ей*, 1 = 1, 2, ...}.
Множество <%" выпукло в с0, так как Q* выпукло.
52
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. [ГЛ. и
Пусть
По = (Пю, • • •. Т)ло. • • •). Н;о = (4, yt), i = 1, 2, ,..
В силу (15) имеем
Р (Но»
= sup (sup
I m
(xo> *m)	(x*< xm)\
(m—l)||xm||
поэтому Поё1^. Так как ^ — выпуклое замкнутое
множество в пространстве с0, то т)0 можно строго от-
делить от линейным функционалом. Так как c^ — li
(см. гл. I), то найдется последовательность р0 е 1г и
такая, что
ОО	00
sup 2 Pi^i < S РМ‘О>
У IP/K + oo.
f=l
(16)
ОО
Полагая х0 = У p,yi, из (16) получаем snp(x*, х0) <
< = 1
<(%*, х0), т. е. Q* — регулярно-выпуклое множество.
Следствие. В теореме 15 можно отбросить тре-
бование ограниченности множества Q*.
§ 5.	Теория сопряженных конусов в л. н. п.
Пусть &£ есть выпуклый конус в л. н. п. Е. Рас-
смотрим в сопряженном пространстве выпуклый конус
е??+={х*: (х*, х)^0 для всех
Конус называется сопряженным к конусу <Ж\
Теорема 19. Если &— выпуклый конус в л. н. п.
Е, то
а)	замыкание SK есть выпуклый конус,
б)	вГ+ = Ж+,
в)	конус — регулярно-выпуклый,
г)	если и ЗЕъ —выпуклые конусы в л. н. п. Е, то
Я7П^а=(^1 + ^»)+.
§ 5] ТЕОРИЯ СОПРЯЖЕННЫХ КОНУСОВ в л. н. п. 53
Доказательство, а) Если хеЖ и у е 5Г, то
x=limx„, у=\туп,	уп^Ж.
И—»ОО	п-*оо
Если a 5s О, 05s О, то
ах„ + 0«/я е <%\	lim (ах„ + 0#я) = ах+fly е Ж.
и—>оо
б)	Очевидно, что «Ж4 <= <%+. Докажем обратное
включение. Если существует элемент х% е в^‘+, но
Хо ё то это означает, что (xj, х) 5= 0 для всех
х е^, но существует элемент х0 е 5% такой, что
(х*, х0)<0. Пусть х0= lim х„, х„ей'. Тогда (xj, хл)5=0,
п-*оо
в = 1, 2, ... Переходя в этом неравенстве к пределу
при п->оо, получаем, что (х£, хо)5г0. Полученное
противоречие доказывает, что 5Г+ = а%‘+.
в)	Пусть х* ё <^*+- Это означает, что существует
элемент хое<Р5? такой, что (х#, х0)<0. Тогда
(х*, xo)<0sC(x*, х0) для всех х* ей4.
Таким образом, элемент х0 строго отделяет х# от ко-
нуса е^”+. Поэтому конус е?Г+—регулярно-выпуклый.
г)	Пусть х* е e^*i П , тогда
(х*. х)5=0	для всех хе^,
(х*, «/)5s0	для всех у^&?2.
Поэтому
(х*, х+у)^0 для всех хееЖ\, у^.е%~2>	(18)
т. е.
^ГП^,2С=(^1 + ^2)+.
Если же х* е + то выполнено условие (18).
Полагая в (18) сначала х = 0, а затем у = 0, получаем,
что выполнены условия (17). Поэтому x*^.S&i, х*еЖ^
и х* е П • Следовательно,
(^•14-^2)+С75Г+П^>+
Теорема 20. Если &С — выпуклый замкнутый ко-
нус в л. н. п. Е и для некоторого х0^Е выполнено
54
ВЫПУКЛЫЕ КОНУСЫ И МНОЖЕСТВА В Л. Н. П. [ГЛ. II
условие
(х*. хо)5еО для всех х*е.£%\
то х0^^.
Доказательство. Положим, что xog=<^. Так
как конус &С — выпуклый и замкнутый, то в силу
теоремы 11 существует такой линейный функционал xj,
что
(х*, х0) < О (х*, х) для всех х s
Отсюда X# е в^+, но (xj, х0) < 0, что противоречит усло-
вию теоремы.
Пусть <%"* есть выпуклый конус в сопряженном
пространстве Е*. Рассмотрим в пространстве Е мно-
жество
+<РГ* = {.г: (х*, х)^0 для всех х*е^*}.
Нетрудно видеть, что есть замкнутый выпуклый
конус в пространстве Е (даже слабо замкнутый). Конус
+e^* называется сопряженным конусу вйГ*. Аналогично
пункту г) теоремы 19 доказывается, что
+^n+^2=W* + ^*).	(19)
Теорема 21. Если конус GK — выпуклый и замкну-
тый, то
Доказательство. Очевидно, что cz +(в^+).
Докажем обратное включение. Если х0 е +ffi+), но
х0 то в силу теоремы 11 найдется линейный функ-
ционал Хо такой, что
(хо, х0) < О (х*. х) для всех х е йГ,
откуда х*^е%‘+, (хо, х0)<0 и, следовательно, Xq^+(££+).
Полученное противоречие показывает, что = +(S&+).
Следствие 1. Если конус Ж — выпуклый и замк-
нутый, то он будет и слабо замкнутым.
Следствие 2. Если конус ЗР —выпуклый, ноне
замкнутый, то
Ж = +(Ж+).
$ S1 ТЕОРИЯ СОПРЯЖЕННЫХ КОНУСОВ в л. н. п. 65
Теорема 21'. Если конус $%* czE* — регулярно-
выпуклый, то
(+<%•*)+= <%♦.
Доказательство. Очевидно, что <%”* с (+5Г*)+.
Докажем, что и (+e^*)+ czSZ*. Пусть х» <= (+Ж‘*)+, но
Так как конус <%"* — регулярно-выпуклый,
то существует элемент х0 е Е такой, что
(xf, xo)<Osg(x*, х0) для всех х*<=в^+.
Отсюда х0 е +5Г*, но (х*, х0) <0 и, следовательно,
х0 ё (+а^’*)+. Полученное противоречие доказывает, что
^* = (+<%•*)+.
Теорема 22. Если — выпуклый конус в л. н. п.
Е, то есть слабое* замыкание конуса &С в про-
странстве Е**.
Доказательство. Пусть &£** есть слабое* за-
мыкание конуса Ж в пространстве Е**. Очевидно, что
Предположим, что существует элемент
х**ёв^**. Слабо* замкнутый и выпуклый
конус е^** будет по теореме Крейна регулярно-вы-
пуклым. Поэтому найдутся элемент х‘е£*, разде-
ляющий конус 5Г**, и элемент х#*, что
(х**, х?) < 0 «С (х**, Хо)
для всех х** е &**. Так как с Ж**, то х* е <P?+,
но (хо*, х*) < 0. Поэтому х** ё ^‘++. Полученное про-
тиворечие доказывает, что <2Г** = в^‘++.
ГЛАВА TH
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 1. Конусы, связанные с линейными операторами
Пусть Ех и Е2 —л. н. п., частично упорядоченные
замкнутыми выпуклыми конусами 5ГХ и ^2, и пусть
линейный оператор Те[Ех->Е2]. Сопряженные про-
странства Е* и Е.* частично упорядочены сопряжен-
ными конусами Ж* и
Рассмотрим выпуклый конус в Е2
Qt = {#: У = ^х, хЭ=0}.	(1)
Нетрудно видеть, что сопряженный конус есть
Ql = {y*: TVS*0}.	(2)
В пространстве Е* рассмотрим конус
QT« = {**: х* = Т*у*, у*^0}.	(3)
Элементарное вычисление показывает, что
+QT. = {х: Тх>0}.	(4)
Вообще говоря, конусы QT и QT« не являются замк-
нутыми. Докажем несколько теорем, дающих достаточ-
ные условия замкнутости конуса Qt-
Линейный функционал х2 е будем называть
строго положительным, если существует такая' посто-
янная у>0, что
(Хо, x)2sy||x| для всех
Теорема 1. Если л. н. п. Е частично упорядочено
выпуклым замкнутым конусом и в пространстве Е*
есть строго положительный линейный функционал, то
предел слабо сходящейся последовательности хл^0,
|хл||= 1, отличен от нуля.
§ 1] КОНУСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 57
Доказательство. Пусть xj —строго положи-
тельный линейный функционал. Тогда
(4, хл)>?||Хл|1>Т>0.
Поэтому
(х*, *о) = lim (х?, xn)Ssy>0,
л-*оо
и следовательно, хо=£О.
В пространстве А1 [О, Т] существует строго поло-
жительный линейный функционал
т
(х®, х) = J х (/) dt.
о
В пространствах Lp [О, Т] при р > 1 нет строго поло-
жительных линейных функционалов.
Теорема 2. Пусть и В2 — банаховы простран-
ства, частично упорядоченные выпуклыми замкнутыми
конусами и И пусть линейный оператор Те
е [Bi -> В2] имеет замкнутую область значений. Тогда
конус Qt будет замкнутым, если выполнено одно из
следующих условий:
а)	множество нулей оператора N (Т) локально слабо
компактно и W(T)f|e^i = {0}. В пространстве В* есть
строго положительный линейный функционал х?,
б)	множество нулей оператора N (Т) — конечномерно
и ^iQtf(T) = {0}.
в)	множество нулей оператора N (Т) локально слабо
компактно ив В* есть строго положительный функ-
ционал вида Xo=T*z/*.
Доказательство. Пусть у0 есть предельная
точка конуса QT:
у0 = lim Тх„,	хя Ss 0.
л-»оо
В силу теоремы 2 гл. I найдется последовательность
Zn<=N(T) такая, что
li го (хя гп) = х0, Тх0 = у0.	(5)
п-*оо
Нужно теперь доказать существование такого элемента
х'Л 0, что Тхо = Уо- Доказательство проведем отдельно
Для случаев а), б), в).
58
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ III
а) Покажем, что последовательность гп ограничена.
Если это не так, то из ?л, а в силу (5) и из хл можно
выделить подпоследовательности xnk и znk такие, что
lim ||хл* ||= lim \\znk || = 4- оо. Без ограничения общно-
>оо	/г-*оо
ста можно считать, что lim ||хл||= lim ||z„|| = oo. Тогда
п-*оо
в силу (5) имеем
Так как последовательность хлД хл|| ограничена, то и
последовательность гл/||хл|| будет ограниченной. Так
как N (Т) локально слабо компактно, то из последо-
вательности гл/||хл|| можно выделить слабо сходящуюся
подпоследовательность. Так как N (Т) слабо замкнуто,
то предел этой подпоследовательности (Т). Тогда
из (6) получаем
li™ Xnk
Um -л-----г
*-.00 11*Л* II
toe W(T).
В силу теоремы 1 имеем £0 =/= О, и так как замкну-
тый и выпуклый конус будет и слабо замкнутым, то
—	Итак, — £0(=е%\, — £оеАГ(Т) и &> =/=(),
что противоречит условию <2%\Г1 N (Т) = {0}.
Итак, мы показали, что последовательность гп
должна быть ограниченной. Так как N (Т) локально
слабо компактно, то из гп можно выделить слабо схо-
дящуюся подпоследовательность. Без ограничения общ-
ности можно считать, что и последовательность z„ слабо
сходится. Но тогда в силу (5) и последовательность хя
будет слабо сходиться к элементу х(, е В силу сла-
бой замкнутости конуса имеем хоев%\. Таким
образом,
xo = z£+xo,	zJeA/(T), xJX),
откуда
jf0 = Tx0 = T(z; + xJ) = TxJ,	xJ>0.
Поэтому poeQi и, следовательно, конус QT —замк-
нутый.
Рассмотрим теперь случай б). Покажем, что после-
довательность гп в равенстве (5) ограничена. Если это
$ 1] КОНУСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 59
не так, то без ограничения общности можно считать,
что ||z„||->оо. Тогда должно быть выполнено условие
(6). Так как ограниченное множество в конечномерном
пространстве компактно, то из последовательности
z„/||znj можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность z„A/||z„ft||. Тогда
Z„
Нт^^еАЦТ), НоН 1,
*->оо II ||
lim ТГТ = ~£°-
4->оо ||хл*||
Таким образом, — ^oe7V(T), —	hJ£0||=1.
что противоречит условию N (Т) П = {0}. Дальней-
шее доказательство повторяет доказательство п. а).
Рассмотрим теперь п. в). Покажем, что последо-
вательность га в равенстве (5) будет ограниченной.
Пусть х^ — Т*у* есть строго положительный линейный
функционал. Тогда
Тхл) = (т ХЛ)^Т|Х„|.	(7)
Так как последовательность Тхп сходится, то из (7)
получаем, что хп — ограниченная последовательность.
Тогда из (5) следует, что и последовательность z„
ограничена. Дальнейшее доказательство — как в п. а).
Теорема доказана. Заметим, что вместо локальной
компактности (слабой локальной компактности) мно-
жества W (Т) можно требовать локальной компактности
(слабой локальной компактности) конуса Впрочем,
требование локальной компактности банахова про-
странства эквивалентно его конечномерности, а требо-
вание слабой локальной компактности банахова про-
странства эквивалентно его рефлексивности. Во мно-
гих практически важных случаях условия теоремы 2
не выполняются, и для доказательства замкнутости
конуса QT приходится использовать более тонкие рас-
суждения, учитывающие специфику задачи.
Докажем еще одну теорему, которая будет исполь-
зована в дальнейшем.
Теорема 3. Пусть сепарабельные банаховы про-
странства Bi и В2 частично упорядочены замкнуты-
ми выпуклыми конусами	пусть линейный
60
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. Ill
оператор Т е [Bj ->В2] имеет замкнутую область значе-
ний. Тогда конус Qt» будет замкнутым, если выпол-
нено одно из двух условий:
а)	в В* есть строго положительный функционал 1/J*
б)	в В% есть строго положительный функционал
вида 1/Г = Т**хГ.
Доказательство. Рассмотрим случай а) (до-
казательство для случая б) — аналогично). Пусть х£
есть предельная точка конуса Qt»
%о= lim Т*у*, Уп^Ъ-
п-*оо
Доказательство ограниченности последовательности у*
такое же, как и в теореме 2. Итак у„ — ограниченная
последовательность. Она слабо* компактна. Выделяя
из нее слабо* сходящуюся подпоследовательность у„я
и пользуясь тем, что конус е#2 слабо* замкнут, по-
лучаем
У* = lim у*п е х? = lim Т*^ = T*z/J,
£->ОО R	fc->OO
что и доказывает замкнутость конуса Qt».
Докажем теперь теорему о регулярной выпуклости
конуса Qt».
Теорема 4. Пусть Btu В3 — банаховы простран-
ства, частично упорядоченные замкнутыми выпуклыми
конусами и Линейный оператор Т е [Bx-^BJ
имеет замкнутую область значений. Пусть конус
имеет внутренние точки и пересечение области значе-
ний оператора R(T) с внутренностью конуса не-
пусто. Тогда конус Qy — регулярно-выпуклый.
Доказательство. Покажем сначала, что
И8П/?(Т)]+=^+ЛГ(Т*),	(8)
где N (Т*) — множество нулей оператора Т*. Пусть
у* е [е&гПЯ (Т)]+. Это означает, что линейный функ-
ционал у* принимает неотрицательные значения на
конусе ^2П^(Т). Пусть у* есть сужение линейного
функционала у* на подпространство 7?(Т). Так как
подпространство 7?(Т) содержит внутренние точки ко-
$ 1] КОНУСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 61
нуса <Ж2, то линейный функционал у* можно продол-
жить с сохранением неотрицательности на конусе S&2
на все пространство В2. Тогда
У*=Й* + 8*, У* = У*—У*.	(9)
Но линейный функционал у* принимает на подпрост-
ранстве /?(Т) те же значения, что и линейный функ-
ционал у*. Поэтому, у* обращается в нуль на ^(Т),
т. е. у* ^^(Т)1. В силу теоремы Хаусдорфа 1 гл. I
имеем А? (Т)1 = N (Т*). Поэтому y*^N(T*). Из (9)
теперь получаем
У * е &++я (T)i,	[^2 n R (Т)]+ с	4- (Т*).
Обратное включение очевидно. Формула (8), таким
образом, доказана.
Покажем теперь, что множество Qt* будет регу-
лярно-выпуклым. Из результатов § 4 гл. II следует,
что нам достаточно доказать слабую* замкнутость
множества Qt*, так как оно есть выпуклый конус.
Пусть х* — предельная точка конуса QT*. Тогда най-
дется обобщенная последовательность у£ такая, что
(х*, х) -> (Хо, х) для всех х е
Так как область значений оператора Т* слабо* замк-
нута, то найдется элемент у„ такой, что х* = Т*«/*-
Покажем, что у* е W (Т*). Если это не так, то
у* можно строго отделить от регулярно-выпуклого
конуса GK2-\- N (Т*). То, что этот конус — регулярно-
выпуклый, следует из формулы (8), так как сопря-
женный конус всегда регулярно-выпуклый. Итак, най-
дется элемент уц такой, что
W + АГ (Т*), z/oX 0 < (^, у2).	(10)
Так как N (Т*) — подпространство, то (АГ(Т*), у^ — О.
Поэтому z/oe TVfT*)1 =7?(Т), z/0 = Tx0. Из (10) теперь
получаем, что '
(У*, Тх0) =sS 0 < (z/.T, Тх0) для всех у* s* 0.
Подставляя сюда у'а, получаем
(T*Z/a> хо)	0 < (Т  у;, х0),	(х£, х0Х 0 < (xj, Хо),
62
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. Ill
что противоречит слабой* сходимости обобщенной по-
следовательности к я# • Поэтому у* е + N (Т*).
Но тогда
Ул = У* + «о»	У о > 0, 4, €= N (Т*);
#:>о,
откуда и следует слабая* замкнутость конуса Qt*.
Теорема доказана.
Замечание. Условия:
а)	/? (Т) имеет непустое пересечение с конусом int
б)	Af (T*)f|e/£j = {0} являются эквивалентными.
Доказательство. Пусть выполнено условие а).
Покажем, что выполнено и условие б). Если это не
так, то найдется элемент у*^0 такой, что у*^0,
Т*у* = 0. Пусть у0 = Тх0 есть внутренняя точка ко-
нуса	Тогда найдется шар Sp(y0) Поэтому
(УЪ Уо-РУ)^Ъ при ||у||<1,
(У*, Уо»>Р sup (у?, y) = pl^|>0.
С другой стороны,
(Уй, Уо) = (У*, Тх0) = (Т*у*, хо) = О.
Полученное противоречие показывает, что а) —выпол-
нено.
Пусть теперь выполнено условие б). Если а) не
выполнено, то 7?(Т) не пересекается со внутренностью
и поэтому /?(Т) и 5^2 можно разделить линейным
функционалом у*:
(Уо*, #(Т))«£0<(^, Я?2).	(11)
Из (И) следует, что у*^0, и так как /?(Т) —под-
пространство, то (у*, Я(Т)) = 0, y# <= А? (Т)1 = W (Т*).
Итак, у* 0 и у» е N (Т*), что противоречит усло-
вию б).
Заметим также, что условие существования внут-
ренних точек у конуса является весьма ограничи-
тельным и не выполняется во многих практически
важных случаях.
Докажем еще одну теорему о регулярной выпук-
лости конуса Qt>.
$ 1] КОНУСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 63
Теорема 5. Пусть сепарабельные банаховы про-
странства Bi и частично упорядочены замкнутыми
выпуклыми конусами и и линейный оператор
Т е [Вх В2] имеет замкнутую область значений.
Тогда, если множество нулей оператора N (Т*) конечно-
мерно и N(T *)(]£%$ = {0}, то конус Qt будет регу-
лярно-выпуклым.
Доказательство. Достаточно показать, что
конус Qt* есть выпуклое и секвенциально слабо*
замкнутое множество. Пусть х» есть предел слабо*
сходящейся последовательности точек конуса Qt*:
= m ^>0,	(12)
Так как оператор Т* имеет замкнутую область значе-
ний, то Xo=T*z/*. Так как последовательность х„
слабо* сходится, то она ограничена. Поэтому среди
прообразов точек х* можно выделить ограниченную
последовательность у*. Очевидно, что найдется такая
последовательность г’е А' (Т*), что
У*п~У*п + г*п.	(13)
Покажем, что последовательность г» ограничена. Если
это не так, то без ограничения общности можно счи-
тать, что ||Zn||->-оо. Тогда из (13) получаем
Лий + й/ °’	(14)
Так как ограниченное множество в конечномерном
пространстве компактно, то без ограничения общности
можно считать, что последовательность z«/|| z„ || сходится:
lim = еУ(Т»),	1.
п ->ОО || * Л II
Но тогда из (14) получаем
,im 11§Т = -г*е^
л—оо II zn II
Итак, — z* е N (Т*) (1, || zj || = 1, что противоречит
условию б). Итак, последовательность г„ ограниче-
на. Так как ограниченное множество в сопряженном
пространстве слабо* компактно, то без ограничения
64
ЛИНЕЙНОЕ программирование
(ГЛ. И!
общности можно считать, что Уп и слабо* стремятся
к yl и г*. В силу слабой* замкнутости и N (Т*)
получаем, что у* 5^0, ZoeAf(T*). Из (12), переходя
к пределу, получаем х* = Т*у*, у*^0, что и дока-
зывает, что конус Qt» секвенциально слабо* замкнут.
Так как он выпуклый, то в силу теоремы 15 гл. II
он будет и регулярно-выпуклым.
§ 2. Линейные неравенства
В этом параграфе мы рассмотрим теоремы о линей-
ных неравенствах. Пусть Ei и Еа —л. н. п., частично
упорядоченные замкнутыми выпуклыми конусами
и и пусть линейный оператор Т е[Е1->Е2].
Теорема 6. Если конус
Qt + ^,2 = {^: y = z + Tx, z>0, xSsO} (15)
замкнут и из у*^0, Т*у*^0 следует (у*,уо)^О,
то существует элемент хо^О такой, что
(Т*у*, х0)^(у*, у0) для всех у*^0.
Доказательство. То, что изг/*^0, T*z/*^O
следует (г/*, у0) Ss 0, означает в силу (2), что у0 е
s+(Q£ Л Но в силу формулы (19) гл. II Qt П
(]е&£ = (Qt + ^)+- Так как по условию теоремы ко-
нус (15) замкнут, то в силу теоремы 21 гл. II получаем
Уо +(Qt + е^2)+ =* Qt + 9^*2,
0o“Txo4-Zo» ХО^О, z0>0,
откуда, для всех у*^0 имеем
(У*, Уо) = (У*, Tx04-z0) >=(«/*, Tx0) = (T*z/*, х0),
что и требовалось доказать.
Докажем теперь двойственную теорему.
Теорема 7. Если конус
QT.-b^ = {x*: x* = T*z/*+z*. z*SaO, z/*S==O} (16)
—регулярно-выпуклый и из x^sO, TxSsO следует
(xj, х)^0, то найдется элемент у* такой, что
(у%, Тх)=^(х#, х) для всех Х2*О.
S 21
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
66
Доказательство. То, что из х^О, Тх^О
следует (xj, х)Э=0, означает, что
4 е Л +Qt*)+=W Л +Qt.)+.
Но в силу (19) гл. II (+^n+QT-) = +W+<?Т<). Так
как по условию конус «Ж? 4-Qt» —регулярно-выпук-
лый, то в силу теоремы 21 гл. II имеем
х? е +(Ж{+QT»)+=Ж*+Qts
4 = TV + 4. z/oSs=O, zJ>0,
откуда для всех х^О получаем
(4, х) = (Т V+г*, х) (TV. х) = (4, Тх),
что и доказывает теорему.
Теорема 8. Пусть выполнены следующие условия'.
а) конус
Жт = {(у, г): у = г + Тх, г = р —(4, х),
z^O, XS==O, р=эО} (17)
замкнут,
б) из у* 0, Т*у* — х* 0 следует (у*, у0) — а О,
в) существует элемент д*^0 такой, что TV—
<—x*SsO. Тогда найдется элемент х0 такой, что
(TV —4. ХоХ V, Уо) — а для всех у*^0.
Доказательство. Прежде всего покажем, что
из	р*>0, TV-p*4^=0 следует (у*, уй)—
— р*а^0. Если это не так, то существуют и
PoJSaO такие, что
TV — Р*4 0, но	V, уо) — р*а < 0.	(18)
Если р*>0, то полагая в (18) л* = 4/Ро> получаем
T]*5sO, Т*т)*-45*0, но (Л*, #о) —«<0»
что противоречит условию б). Если же р* = 0, то из
(18) получаем
у^О, TV^O, но (4, y0)<Q.	(19)
Возьмем элемент д* из условия в). Тогда при
любом р*>0 имеем TV+ Р*(Т*#* —4)5*0. или
3 А. М. Тер-Крикоров
66
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. III
Т* (</*+ р V) — Р*х* о. Очевидно, что уо+р V	0.
Поэтому, по только что доказанному,
V + pV. !/о)-р*а>О.	(20)
Так как конус <ЗГ2 замкнут, то в неравенстве (20)
можно перейти к пределу при р*->-0. Получаем
(у*, уо)^О, что противоречит условию (19).
Итак, из y*^Q, p*5s0, Т*у* — р*х*^0 следует,
что (у*, уо) — p*aSsO.
Пространство £2хА? = £2 частично упорядочим ко-
нусом г^2х/?+ = а^2. Рассмотрим линейный оператор
Те[£^Е2 х/?] следующего вида:
Тх=[Тх, —(х*,х)].
Найдем сопряженный оператор Т *:
(у*, tx) = (f V, х) = V, Тх) -(х?, х) р* =
= (TV-p»xJ, х),
откуда
t*у * = Т* V, р») = TV - р*х?.	(21)
Заметим, что конус <Ж"т, определенный формулой (17),
есть конус Qf+^2, определяемый формулой (15), но
построенный для оператора Т. Из у*^0, р*^0,
TV — р*х* Ss 0 следует, что V, у0) — р*а 0. В силу
(21) это означает, что из у*^0, Т*у*^0 следует
(у*, Уо)^®, где уо = (Уо, —а). Применяя теорему 6,
получаем, что найдется элемент х0^0 и такой, что
(TV — p*xj, х0) sg V, Уо) — ар*
для всех y*Ss0, р*^0.
Полагая в последнем соотношении р* = 1, получаем
утверждение теоремы.
Двойственная теорема имеет следующий вид.
Теорема 9. Пусть выполнены следующие условия'.
а) конус
$£т.в{(х*, г*): x* = z*4-TV»
r* = p* — (y*t у0), р*^0, у*^0, г*^0)
— регулярно-выпуклый в пространстве Е*хП,
§21
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
67
б) из х^О, Tx—tfo'SzO следует (х*, х) — pSsO,
в) существует элемент X такой, что Тх — уо^0,
XSsO. Тогда найдется элемент у% такой, что
(у*, Тх—Уо)^(х*, х) — Р для всех х^О.
Доказательство теоремы 9 есть почти дословное
повторение доказательства теоремы 8, и мы его опу-
скаем.
Заметим, что требование замкнутости конуса (15)
в теореме 6 является весьма ограничительным. Если
от него отказаться, то теорема 6 может быть дока-
зана в ослабленной, предельной форме.
Теорема 10. Пусть из у*^0, Т*у*^0 сле-
дует, что (у*, г/о)Э=О. Тогда найдутся последователь-
ности хп е £i, хп 0 и т)л е Е2, Пл 0 такие, что
для всех y*^Q выполняется неравенство
(Т*У*, Хп) < (у*, Уо) + («/*, Пл). П = 1, 2, ... (22)
Доказательство. То, что из г/*^0, Т*г/*^О
следует (у*, уо)^О, означает, что
Уо 6= W л ОД »+[(^2+ОД+]= ^2 + ОД
Поэтому
у0~ lim (Txn+Zn), Хп^О, z„2s0,
Л—♦СО
ИЛИ
Уо - Тх„ + 2п + Пл.	Пл->0.
Поэтому для всех £/*3*0
(у*> Уо) = (у*, Тхл+гл4-т)л)ХТ*«/*. хп) + (у*, Пл),
что и требовалось доказать.
Теорема 11. Пусть из у*^0, Т*«/*+х*ЗаО
следует, что (у*, г/0) + ®^0. Тогда найдутся последо-
вательности хп е £i, ха^0, Пл е Е2, Ня ->0, ел <= R,
е„ -> 0 такие, что для всех у* выполняется нера-
венство
(TV+ 4, хл)< V, Уо) + а + (У*, Ил)4-ел.
Доказательство. Повторяя доказательство тео-
ремы 8, получаем, что из у* 0, Т *у*	0 следует
з*
68
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. III
(£*. &)>0, где
Тх = [Тх, -(4, х)], fV-TV-xJp*. (23)
£* = («/*, р*), У —(у % р),	а).
Применяя теперь теорему 10, получаем, что найдутся
последовательности хп е Elt хп 0, т]я е Et, т]л -► 0.
е„е7?, ея -► 0 такие, что для всех y*^Q, р*^0
выполняется неравенство
или
(TV 4- р*х?, хп) < V, у0) + р*а + (у*, т]я) + р*ея.
Полагая тут р* = 1, получаем утверждение теоремы.
§ 3. Элементы теории
линейного программирования в л. и. п.
Пусть Ei и Е2 — л. н. п., частично упорядоченные
замкнутыми выпуклыми конусамй и и линей-
ный оператор Т е [£х -> £2]. Сопряженные простран-
ства Е* и Е% частично упорядочены сопряженными
конусами и в^2.
Сформулируем две следующие основные задачи ли-
нейного программирования.
Задача I. Найти min(xi), х) при ограничениях
xSsO, Тх — Уо^О.	(24)
Задача II. Найти шах (у*, у0) при ограничениях
у*^0, TV-xe*^0.	(25)
Элементы хи у*, удовлетворяющие ограничениям
(24) и (25), будем называть допустимыми. Допустимые
элементы, на которых достигается минимум в задаче I
или максимум в задаче II, будем называть оптималь
ними.
При исследовании задач линейного программирова-
ния большую роль играет так называемая функция
S3]
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО программирования
69
Лагранжа
L (х, у*) = (4, х) - (у*, Тх — у0) =
= (*/*, Уо)-(ТТ- 4. х). (26)
Пара (X, у*) называется седловой точкой функции
Лагранжа, если X Sa 0, у* За О и
L (X, у*) ag L (X, у*) «S L (х, у*)
для всех хЭаО, у* SsO. (27)
Теорема 12. Пусть (X, у*) —седловая точка
функции Лагранжа. Тогда X — оптимальный элемент
задачи I, а у* — оптимальней элемент задачи II.
Доказательство. Распишем левую часть нера-
венства (27)
(х*, Х) — (у*, Тх-г/0)<(4, *) — (У*, ТХ —г/0).
Для всех у* 0 это неравенство может быть выпол-
нено только, если Тх —z/o^O и
(у*, Tx-z/o) = 0.	(28)
Распишем теперь правую часть неравенства (27):
(xj, X) -С (xj, х) — (у*, Тх — у о) < (4, х)
для всех хЗ&О, Тх —уо^О. Итак, элемент X будет
оптимальным. Аналогично доказывается, что и эле-
мент у* оптимален и что выполнено условие
(TV-4. 4 = 0.	(29)
Условия (28) и (29) называются условиями допол-
няющей нежесткости. Часто оказывается полезной
следующая теорема.
Теорема 13. Если элементы X и у* допустимы
и для них выполнены условия дополняющей нежестко-
сти, то они оптимальны.
Доказательство. Покажем, что (X, у*) будет
седловой точкой функции Лагранжа. Для любого
у* 0 имеем
(4, х)-(у*, Тх —z/o)<(xj, X) —(у*, Тх — уо),
так как Тх —t/oS=0, (у*, Tx — y0) = Q. Поэтому, в силу
определения (26) функции Лагранжа, получаем
L(X, у*)^Цх, у*).	(30)
70	ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	[ГЛ. Ш
Аналогично, при любом х^О имеем
(Г. Уо) - (Т*Г - х?, X) < (д*, у0) - (Т*Г - х?, х),
так как Т*д* — х*«с0 и (Т*д* — х*, х) = 0. Поэтому,
в силу (26), получаем
L(X, Л<Ь(х,Г).	(81)
Из (30) и (31) следует, что (х, д*) есть седловая точка
функции Лагранжа. По теореме 12 элементы Хид*
оптимальны.
Докажем теперь двойственные теоремы, дающие
необходимые условия оптимальности.
Теорема 14. Пусть конус
0?r = {(y, г)- У — z — Тх,
/• = р + (х*, х), z^O, х^О, pSsO} (32)
замкнут в пространстве EtxR и задача II имеет реше-
ние д*. Тогда существует элемент X такой, что пара
(X, д*) будет седловой точкой функции Лагранжа.
Доказательство. Пусть (g*, д0) — а. Так как
д* — оптимальный элемент, то из у*^0, -^-Т*у* —
— (—Хо)^О следует, что (у*, —y0)-\-a^Q. Применим
теперь теорему 8. Заметим, что при этом оператор Т
нужно заменить на —Т, у0 на — Уо и хо на —х§.
Найдется элемент Х^О такой, что для всех у*^0
будет выполнено условие
(— Т*у* + х%, х)<(г/*, — г/0)4-а =
= (Г, Уо)-(У*, Уо). (33)
Полагая в (33) у* = д*, получаем (— Т*д* + х'$, х) 0.
Но XSsO, — T*<7* + xoS&O, поэтому
(— Т*Г4-х8, Х) = 0.	(34)
Используя (34), можем (33) переписать в следующем
виде:
(у*, Уо)-(Т*у*-хо, х)^(д*, у0)-(Т*д*-х?, х)
для всех у*0,
иди
Д(х, y*)^zL(x, у*) для всех у*^0.	(35)
§3) ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ	71
С другой огороды, в силу (34) и неравенств X 2s О,
Т*^* —Хо’СО имеем
(Г, Уо) = (Г, Уо) - (Т*Г -х?, X) <
=sS(£*, Уо) — (Т*£* — хо, х) для всех х2=0,
или
L(X, g*)^L(x, д*) для всех х^О. (36)
Из (35) и (36) следует, что (X, д*) есть седловая точка
функции Лагранжа.
Следствие. Если конус (32) замкнут, то из суще-
ствования решения д* задачи II следует, что существует
такое решение X задачи 1, для которого
(4, *)-(Г, у0)	(37)
и выполняются условия дополняющей нежесткости
(Т*£*-4, Х) = 0,	(£*, Тх —z/o) = O. (38)
Доказательство. В силу теоремы 14 найдется
элемент X такой, что (X, д*) будет седловой точкой
функции Лагранжа. Тогда в силу теоремы 13 задача
I имеет решение X и выполняются условия дополняю-
щей нежесткости (38). Равенство (37) получается из
выражения (26) для функции Лагранжа, если положить
в нем х = Х, у*=*д* и воспользоваться условиями
дополняющей нежесткости.
Теорема, двойственная теореме 14, имеет следую-
щий вид.
Теорема 15. Пусть конус
е^г» = {(х*, г*): x*=TV + z*, г* = р* — (у*, у0),
р*2=0, у* 2= О, z*2s0}	(39)
— регулярно-выпуклый в пространстве E*xR. Тогда,
если задача I имеет решение X, то найдется элемент
У* такой, что (X, у*) будет седловой точкой функции
Лагранжа.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 14.
Следствие. Если конус т», определяемый форму-
лой (39), —регулярно-выпуклый, то из существования
решения задачи I следует, что существует такое реше-
ние задачи II, что выполняются условия (37) и (38).
72
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. III
Докажем теперь следующую простую теорему.
Теорема 16. Если множества X и Y* допусти-
мых элементов задач I и II непусты, то
sup (у*, inf И, х).	(40)
Доказательство. Пусть х^Х, y*sY*. Это
значит, что хЭ^О, у*^0, Тх — уо^О, Т*у* — х$^0.
Поэтому
(у*, Тх — Уо) + (хо — Т*у*, х)>0,
и так как (у*, Тх) = (Т*у*, к), то (у*, Уо)^(х%, х).
Но у* и х —произвольные допустимые элементы задач
I и II. Поэтому справедливо неравенство (40).
В конечномерном случае линейная функция, огра-
ниченная снизу на замкнутом многограннике (многогран-
ном множестве), принимает на нем свое наименьшее
значение. Таким образом, в конечномерном случае при
выполнении условий теоремы 16 задачи I и II имеют
решения. В бесконечномерном случае дело обстоит
сложнее. Справедлива следующая простая теорема.
Теорема 17. Если множества допустимых элемен-
тов задач I и II непусты, то
а)	если множество Y* ограничено, то задача II
имеет решение.
б)	Если множество X слабо компактно, то задача
I имеет решение.
Доказательство. Пусть множество У* ограни-
чено. Тогда оно слабо * компактно (в предположении,
что пространство Ег — сепарабельно). Пусть у% есть
максимизирующая последовательность,
lim (yt, уо) — sup (у*, у0).	(41)
fe —00
В силу неравенства (40) этот предел конечен. Так как
У* слабо * компактно, то из у% можно выделить схо-
дящуюся слабо * подпоследовательность. Бее ограниче-
ния общности можно считать, что и последователь-
ность yt слабо * сходится. Переходя в (41) к пределу,
получаем
(У*> i/o) = sup (у*, уо).
§ 3] ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ	73
Покажем, что элемент у* допустим. Так как и
конус слабо* замкнут, то д*^0. Покажем, что
Т*г/* — х§ 0. В самом деле, так как T*//t —х?^0,
то для любого х имеем
lim (T*yl, х) — lim (у%, Тх) = (#*, Тх) = (Т*#*, х),
fc-*0O	k~+9O
так что T*i$ слабо * стремится к Т*£*. В силу слабой *
замкнутости конуса Ж’г из неравенства Т*г/£ —xftsgO
в пределе получаем Т*#* —хо=сО. Поэтому элемент
д* будет допустимым. Случай б) теоремы рассматри-
вается аналогично.
Заметим, что следствие к теореме 14 можно сформу-
лировать в виде теоремы, дающей необходимые усло-
вия оптимальности.
Теорема 18. Если конус (32) замкнут и у* есть
оптимальный элемент задачи II, то найдется элемент
X такой, что
Х>0, Тх —t/oS^O,
(Т*£7*-х§, Х) = 0, И, Х) = (Г, у0).
Если отказаться от требования замкнутости конуса
(32), то необходимые условия оптимальности можно
получить в предельной форме.
Теорема 19. Если у* — оптимальный элемент
задачи II, то найдутся последовательности хп^Еи
хп 0 и ч\п^Ег, т)л -> 0 такие, что
Тхи-^/о + Пя^О.
lim (T*g* — х?, хл) = 0, lim (xj, хл) = (#*, у0).
Fl —► оо	«~*оо
Доказательство. Из у*^0, —Т*#*-f-xS^sO
следует, что (у*, — у0) + (У*, £/о)>0.
Применяя теорему 11, получаем, что найдутся
последовательности хл5=0, т|л->-0, 8л->0 такие, что
для всех у* О
(—TV + 4, хп)^ — (у*, у0) + (д*, Уо) + (У*, т1л) + е«-
(42)
Положим у* = д*. Тогда 0^(— Т*^*4-х?, хл)^
«£= (у*, т]л) -f- вд. Переходя к пределу при п оо, получаем
74
линейное программирование
[ГЛ. И!
lim (Т*д* — х$, х„) = 0. Перепишем неравенство (42)
п-»оо
в следующем виде:
(у*, Tx„-0o + rh)Ss« хп)-(д*, Уо) + гп.
При фиксированном п это неравенство может быть
выполнено для всех у* 0, только если
(у*, Тхя-г/0 + Пп) >0.	(43)
В силу замкнутости конуса имеем Тхя — г/о + Лл^О-
Полагая в (43) у* —у*, получаем (д*, Тхя — у0 + %) 2г О,
или
(T*z/*-xg, хя) + (х8, хл)-(Г, у0) + (д*, т]я)>0,
откуда
(х?, хя)>(Г, у0) + (д*, т)л)-(Т*Г-< х„). (44)
Полагая в (42) у* = 0, получаем
(xj, х„Х(у*, #0)4-вп-	(45)
Из (44) и (45) следует
lim « хп) = (д*, уо),
п->со
что и требовалось доказать.
Поставим обобщенную задачу линейного программи-
рования.
Задача Г. На множестве последовательностей хя
и т)я /паках, что
Тхя — +	х„>0, т]л—>0,
найти
min lim (xg, хя).
Теорема 20. Последовательность хп, полученная
в теореме 19, будет оптимальной для задачи Г.
Доказательство. Пусть |я — допустимая после-
довательность. Тогда
Т|я-//0+Пя) + (-Т*5*+х§, g„)^0,
«3]
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
75
откуда
(4,	(д*, у0)-(д*, п»).
lim (xg, у >(у*, Уо) = lim (х8, хя),
«—♦СО	п —>00
что и требовалось доказать.
Последовательность хп в теореме 19 может быть
неограниченной. Удобно поэтому ввести нормирующий
множитель, полагая
s"=nrai’ x"=T+fai'
Без ограничения общности можно считать, что огра-
ниченная числовая последовательность sn сходится,
lim s„ = s.
«-♦оо
После нормировки теорема 19 может быть перепи-
сана в следующем виде.
Теорема 19'. Если д* — оптимальный элемент
задачи II, то найдутся последовательность xn^Ei и
число s^O такие, что
ТХп — st/o + Пл^О,	хп^0,	т)л->0.
lim (Т*у*-х8, хя) = 0, lim [(xj, xn)-s(g*, г/о)] = 0,
«-♦00	«->00
(46)
lim (#♦, Tx„-s#o)=*O, lim ||x„|| + s= 1.
«-♦oo	«-♦oo
Поставим задачу, аналогичную задаче Г.
Задача Г. На множестве последовательностей хп,
Г|п и чисел s таких, что
Тхл-а^/о + Пл^О, ||x„| + s=l,
хп о, Т)„ -► 0, s О,
найти
min lim (xg, хл).
Теорема 20'. Последовательности хп и т]я и число
s, полученные в теореме 19', дают решение задачи I".
Доказательство аналогично доказательству теоре-
мы 20.
Будем говорить, что по условию Т*у* — С 0 выпол-
нено условие Слейтера, если найдется такой строго
76
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ lit
положительный линейный функционал в* s Et и эле-
мент д е Е$, что
у*^0,	х$-Т*у*^е*.	- (47)
Напомним, что линейный функционал е* называется
строго положительным, если существует такое положи-
тельное число а, что для всех х^О выполнено нера-
венство
(е*, х)^а||х|1.
Теорема 19". Если по ограничению Т*у*— xq^Q
выполнено условие Слейтера, то число s отлично от нуля.
Доказательство. Из условия (46) при s«= О
получаем
Тхп^к\„, (4, хя)->0	|хя||->-1,	Пл->0.
Воспользовавшись условием Слейтера, получаем
— а|хя|> — (е*, хя)5а(Т*£* —4, х„) =
= (д*, тх„) - (4, хя) (Г, ть) - (4, хп) -> о.
Так как [хя||->-1, то из последнего неравенства при
п->-оо получаем противоречивое неравенство —а^О.
Полученное противоречие доказывает, что число s 0.
§ 4. Исследование замкнутости конусов,
связанных с задачами линейного программирования
Исследуем вопрос о замкнутости конуса опре-
деляемого формулой (32). Будем считать, что опера-
тор Т действует из банахова пространства Bt в бана-
хово пространство В2 и имеет замкнутую область
значений. Пространства Вх и В2 частично упорядочены
замкнутыми выпуклыми конусами и Ж2. Рассмотрим
линейный оператор f е [BixB2x/?->-B2X^] следую-
щего вида:
г—Тл-
$ 4]	ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАМКНУТОСТИ КОНУСОВ	77
Нетрудно видеть, что «Ж’т есть конус Qf, определяемый
формулой (1):
т в Qt ==
Выпишем формулу для сопряженного оператора:
Докажем следующую теорему:
Теорема 21. Если для задачи II по ограничению
T*t/* 4-xJsgO выполнено условие Слейтера (47), то
существует такая постоянная с, что из {у, г)
следует
hl. |4 | р | ^С(Ы + 1 Г |).
Доказательство. Пусть (у, г) ез^т. Это озна-
чает, что
t/ = z — Тх, г^р + (хо, х), х^О, z^O, р^О. (48)
Умножая первое неравенство на у* и складывая со
вторым, получаем
(у*, z — Тх) + р + (Хо, х)>
5=(xJ —Т*0*, х)^(е*, х)у||х||, у>0,
откуда
< с О И + г),	с «шах {у II 0*||, г}.
Из равенств (48) теперь получаются остальные оценки.
Теорема 22. Если линейный функционал х? строго
положителен, то справедливы оценки теоремы 21.
Доказательство. Из равенств (48), пользуясь
строгой положительностью линейного функционала xj,
получаем
P + W, х)Хх?, х)^у||х||,	||х||<сг^с(/- + ||0||).
Остальные неравенства просто следуют из формул (48).
78
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИИ
(ГЛ II!
Теорема 23. Пусть сепарабельные банаховы про-
странства Bi, В2 частично упорядочены замкнутыми
выпуклыми конусами а^х. Банаховы пространства
Bi и Вг сопряжены пространствам и Bit конусы
« сопряжены конусам &\czBi и $\czB2. Линей-
ный оператор Т <= [52-»-Вх]> а оператор Т е [Вх-^г]
сопряжен оператору Т. Тогда при выполнении следую-
щих условий:
а)	по ограничению Т*у*— х*«^0 выполнено условие
Слейтера,
б)	линейный функционал xj ® Bi
конус а^т будет замкнутым.
Доказательство. Пусть (у0, г0) — предельная
точка конуса в^т. Это означает, что
Уо — lim (г„ —Тхл), r0= lim [p„ + (x0*, хл)],
П-+ОО	Л-РОО	(49)
znSsO, хл^0, рл5=0.
Воспользовавшись результатами теорем 21 или 22 соот-
ветственно, получаем, что и последовательности хл, гл
и рл ограничены. Так как пространства Вх и В2 сопря-
жены пространствам Вх и Ва, то хл и гл можно рас-
сматривать как ограниченные последовательности линей-
ных функционалов в пространствах Вх и В2. По
известной теореме ограниченные последовательности
линейных функционалов слабо* компактны. Без огра-
ничения общности можно считать, что они слабо* схо-
дятся. Ограниченную числовую последовательность рл
также можно считать сходящейся. Переходя в равен-
ствах (49) к пределу и воспользовавшись тем, что
сопряженный конус слабо* замкнут, получаем
Уо = г0 — Тх0, г0 = р0 + (х*, х0),
г0 5=0, х0 5= 0, ро 5= О,
что и доказывает замкнутость конуса
Заметим, что доказанные в этом параграфе теоремы
не охватывают многих практически важных случаев.
Замкнутость конуса в этих случаях приходится дока-
зывать при помощи более тонких рассуждений, учиты-
вающих специфику задачи.
<51
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИИ ТИПА РАВЕНСТВ
79
§ 5. Учет ограничений типа равенств
При исследовании простейших задач линейного про-
граммирования в § 3 учитывались только ограничения
типа неравенств. Ценой некоторого усложнения можно
учесть и ограничения типа равенств.
Пусть Elt Е2, Е3, Е1 — л. н. п. Пространства Ех и
Е2 частично упорядочены замкнутыми выпуклыми кону-
сами и Сопряженные пространства частично
упорядочены сопряженными конусами. Заданы линей-
ные операторы
Se[E3+E2],
PefE^Ej, Re[E3->EJ.
Рассмотрим две следующие основные задачи линей-
ного программирования, являющиеся обобщением задач
линейного программирования I и II, сформулирован-
ных в § 3.
Задача Г Найти
min {(4, х) + (&, £)}
при следующих ограничениях'.
х^Еи х^О, geE3,
Tx4-S£ —#oSsO, Px-j-Rg —r]o = O.
Задача 1Г. Найти
шах {(г/*,	+ По)}
при следующих ограничениях:
у*^Е2, у*'5*0, х\*^Е*,
T*t/* + P*n*-xo*<O, SV + R*t]*-go* = O.
По аналогии с предыдущим параграфом будем также
рассматривать следующую задачу.
Задача I". Найти
min lim {(х?, хл) + (£о, £„)}
при следующих ограничениях:
хп<=Ел, x„2s0, £„е=Е3,
Txn4-Sg„ — r/o4-T]«3sO,	ть->0,
P^ + Rin-T)o + ^ = O, +
80
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. III
Функция Лагранжа для задач Г и II' будет иметь
следующий вид:
Е(х, g, у*, т]*) =
х) + (К, &)-(А Tx + S£-0O)-
-(г)*, Px-f-Rg-т]о) = (</*. f/o) + 0l*. По)~
-(TV + PV-4. x)-(SV + RV-&, 5).
Точка (х,	у*, f]*) называется седловой точкой
функции Лагранжа, если хЭ=0, y*^0 и выполнены
неравенства
L(x, у*, т)*ХЬ(х, у*, £, Tj*)<b(x, у*, J, Tj*)
для всех г/* 3s О, х^О,
Доказательства теорем этого параграфа получаются
небольшим видоизменением доказательств соответствую-
щих теорем предыдущих параграфов. Мы приводим их
без доказательства.
Теорема 24. Пусть (X,	у*, И*) есть седловая
точка функции Лагранжа. Тогда X, | есть решение
задачи Г,а у*, И* есть решение задачи II'.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 12.
Рассмотрим конусы, связанные с операторами
<?={(«/. n): 0=Tx4-Sg, i) = Px + R£, х^О},
(?* = {(«*, п*): x* = T*«*4-P*ti*,
g* = SV + R*,n*. У* SsO}.
Нетрудно видеть, что сопряженные конусы имеют сле-
дующий вид:
Q+={(!/*, И*)’ T*z/* + P*t)*^O, SV4-R*t)* = 0},
+Q* = {(x, 5): Tx + S£>0, Px+R£ = 0}.
Условия дополняющей нежесткости для задач Г и II'
имеют следующий вид:
(Jf*. Тх + S£ - у0) = 0, (TV + PV-4. Х) = О.
Теорема 25. Если элементы х, I, у*, т|* допу-
стимы и для них выполнены условия дополняющей не-
жесткости, то они будут оптимальными.
» 5]
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА РАВЕНСТВ
81
Теорема 26. Пусть из tf е Е1, Т*у* +
-|-Р*т]* SsO, S*0* + R*n* = 0 следует, ч/по (у*, у0) 4-
+ (т)*, Ло) 0, и пусть конус
^о—{(У, П): 0 = z-|-Tx+Sg,
t| = Px + Rg, x^sO, z^=0}
замкнут в пространстве Е2хЕА. Тогда найдутся эле-
менты X, х^О такие, что для всех у*^0, т)* е Е%
выполнены неравенства
(T*z/* + P*n*. *) +
+ (S*z/* + R*ri*, |)<(0*, 0О) + (И*, По).
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 6. То, что из г/*^О, г]*е£(, Т*г/*4~Р*г]*^0,
S*0* + R*H* = O следует, что (у*, 0о) + (н*, По)^О,
означает, что
(0о, no)e+[Wx£t)flQ+] =
= +[^8 X {0} + Q]+ =	= 5Г0 = ^о.
Поэтому
t/0 = 24-Tx4-S|, no = P*+R|,	2^0,
и следовательно,
(0*, 0о) + (п*, По) =
= (0*, 2 + Tx + S|) + (ti*. Px + RDss
>(Т*0*4-Р*П*, x) + (S*0* + R*T)*, I),
что и требовалось доказать.
Если отказаться от требования замкнутости ко-
нуса а%0, то теорему 26 можно доказать в предельной
форме.
Теорема 27. Пусть из 0*^0, т]*е£4, Т*у* -f-
+ Р*т]*^О, S*z/* + R*H* = O следует, что (у*, 0О)+
+0'1*, По) 0. Тогда найдутся последовательности
*«5^0, |ле£8, In, 1п^Ег, £4, tn, такие, что
(TV + PV, x„) + (S*0* + R*H*.
^(П*. По) + (0*, 0о) + (0*. &) + (П*« In)
для всех у*^0, и* s £*,
82
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. И!
Доказательство. Из доказательства предыду-
щей теоремы .следует, что (у0, т]0)е^0- Поэтому
#o = 24-Tj?4-S£-|-£n, т)о = Рх+R| + £п,
откуда, аналогично доказательству теоремы 26, полу-
чаем доказательство утверждения теоремы 27.
Теорема 28. Пусть из у*^0, г)*е£з, Т*у* +
+ Р*г]* —х*2з0, S*y* — К = 0 следует, что
(у*, г/о) + (П*. no) + a>O. « пусть конус
№ = {(у, П, г): y = z + Tx+S^, T] = Px + Rg,
r = p — (х*, х) — &, I), zSsO, х=з0, pSsO} (49')
замкнут в пространстве EzxEtxR. Тогда найдутся
элементы | е £3 и X 3s 0 такие, что для всех у* 0,
т|* е Ef будет выполнено неравенство
0V + P*f|*~4, x) + (SV + RV-lo, IX
<G/*. 0о)4-ОЛ Ло) + а.
Доказательство. Как и при доказательстве
теоремы 8, показывается, что из y*^Q, p*5s0,
т]* <= Ef, S*y* + R*T]* — р*|о = 0 и Т*#*4-Р*т]* —
— p*4Ss0 следует, что (у*, #о) + (П*, По) + «Р*^О.
Вводится оператор Т е [EiXEs-^ E^xEtxR]
t(x, £) = [Tx+S£, Px + R|, -(4, x)-(lo*, £)].
Сопряженный оператор T* e [£* x Ef xR -> E* x £3]
имеет следующий вид:
f* {у*, 1)*, Р*) =
= (Т*0* + Р*П* - Р*4. $*У* + R*n* — 1*Р*)-
Далее применяется теорема 26 к оператору Т. Заметим,
что конус есть конус Q, построенный для опера-
тора Т. Найдутся элементы 0 и fe£s такие, что
неравенство
(Т*0* + Р*п*-Р*4, x) + (SV + RV-p*£, IX
^(У*, Уо) + (Ц*, По) + а
будет выполнено для всех у* 5*0, т)* е£*. Полагая
р* = 1, получаем утверждение теоремы.
Сформулируем теперь теорему, аналогичную тео-
реме U,
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИИ ТИПА РАВЕНСТВ
83
§ в]
Теорема 30. Пусть из у* ^Q, ц* Е%, из Т*у* 4-
4-Р*т)* —х*^0, S*y* 4- R*T)* — £o =0 следует, что
(У*, Уо)-1г(г]*> Ло) + а^О. Тогда найдутся последова-
тельности хп=г0, 1п<=Е3, 1п, t,'n<=E2, Ез, U &->0,
8леТ?, 8п->0 такие, что для всех у*^0, т)* е Е*
будет выполнено неравенство
OV + PV-4 x„)4-(SV + R*n*-Bo*. S»)^
<(Г. 0о) + (Л*, Ло) + а + 0Л £) + (Л*, U.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 11.
Теорема 30. Пусть конус, определяемый соотно-
шениями (49'), замкнут в пространстве E^xE^xR и
задача 1Г имеет решение у*, fj*. Тогда найдутся эле-
менты (X, |) и Я 3s 0 такие, что (X,	у*, fj*) будет
седловой точкой функции Лагранжа.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 14.
Следствие. Если конус замкнут, то из суще-
ствования решения у*, fj* задачи 1Г следует, что
существует такое решение X, | задачи Г, для кото-
рого будут выполнены следующие условия:
(4, Х)4-(^о, !) = (#*, ^о) + (Л*. По),
(T*#*4-P*fj*-x*, х) = 0, (у*, Tx4-S|-т]0) = 0.
Теорема 31. Если множества допустимых эле-
ментов Y* и X задач Г и II' непусты и множество
допустимых элементов задачи II' ограничено, то за-
дача II' имеет решение.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 17.
Теорема 32. Если у*^0 и ХреЕ^ есть опти-
мальные элементы задачи 1Г, то найдутся последова-
тельности х„3=0, 1п^Ез, ^п^Ез, &->0,
Сп->0 такие, что
Тхп 4- S£„ — уз 4~ Sn 0, Рх„ 4" RS» — Ло+Sn — 0,
lim (T*^*4-P*fj* — Хо, х„) = 0,
lim [(xf, x„)4-(Sf, £«)] = (#*, 4/о) + (Л*» Ло).
n-*oo
Последовательности {х„} и {Sn} дают решение задачи I'.
84
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. Ш
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 19.
Сформулируем теперь теорему, аналогичную тео-
реме 19'.
Теорема 32'. Если д* и Tj* есть оптимальные
элементы задачи 1Г, то найдутся последовательности
хп3=0, е Е3 и числовая последовательность sn^Q
такие, что
Тх„ Ц- — sny0 In О,
Рхя + Rin — ^пЛо + In = О,
i;+o,
ln + 0,
(50)
||x„|| + Hn|| + Sn=l,
lim (T*y* 4- P*fj* — x*, x„) = 0,
fl—*00
lim (g*, Txn4-S|„-Snf/o) = O, (51)
n—>oo
lim [(x?, x„)4-(y, ln)-sn(g*, y0)-sn(ri*, r)o)] = O,
n-»oo
lim s„ = s.
n ->oo
Будем говорить, что по условию Т*#*4-Р*Л*—
— х*^0 удовлетворяется условие Слейтера, если
найдется строго положительный линейный функционал
е*^Е* и элементы у*^Е$, r\*^Ei такие, что
Т*0*4-Р*П*-х? <-е*, S*#* + R*f)*-£o* = O.
Будем говорить, что ограничение типа равенства
S*z/* +R*r]* —1* = 0 — невырожденное, если любой эле-
мент пространства Е% может быть представлен в сле-
дующем виде:
g* = S*z/* + R*n*-l*.
у* 3=0, г]* <= £*. (52)
Теорема 32". Если по ограничению Т*у* + Р*т)* —
— х*^0 удовлетворено условие Слейтера, а ограниче-
ние типа равенства — невырожденное, то число s— lims„
n-»do
отлично от нуля.
Доказательство. Умножая первое из соотно-
шений (50) на у*, а второе на rj* и складывая, полу-
чаем после простых преобразований, при условии,
5*1
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА РАВЕНСТВ
85
что lipi s„=«0:
(Т*у + Р* q - х£, хп) е„,	8„ -> 0.
Воспользовавшись условием Слейтера, теперь имеем,
что и хл->-0. Третье из ограничений (50) теперь дает,
что Ц|я||-*1. Условия (50) теперь можно записать
в следующем виде:
Sg„ + &>0, Rg„ + & = 0,	&->0, &->0, ||g„|Vl.
Возьмем произвольный элемент g* пространства Е*
в виде (52). Умножая первое ограничение на у*, а вто-
рое на t)* и складывая, получаем
(Г, У + 8„ = 0,	е„-»-0.
В силу произвольности элемента g* имеем g„ -> 0. Это про-
тиворечит условию ||g„|| -> 1. Следовательно, lim sn =0.
Я—*ОО
Теорема 33. Пусть банаховы пространства Blt
В3, Bt сопряжены сепарабельным банаховым про-
странствам Bi, В2, Вз, В^ Пространства Bi и В2
частично упорядочены выпуклыми замкнутыми кону-
сами и <$2,а пространства Bt и В2 — сопряженными
конусами и Заданы линейные операторы Т е
Se=[B2->B8], P<=[B4->Bj, fte[B4-»
-> В8]. Операторы Т е [Bi -► В2], Sg [В8 -> В2], Р <=
е[В!->В4], Re[B8->B4] сопряжены операторам Т,
S, Р, ft. Выполнено условие
а) Из х* е= У* е ^+, хп е ^1( уп <= ^2, х„ уп
слабо* стремятся к х0, уй следует lim (х*. хя) (х*, х0),
Ит (у*, уп) (у* уз).
Тогда для оптимальных элементов у*, т[* задачи
II' найдутся элементы х <= Bi, х^0, %^В3 и число
sjssO такие, что
Tx + Sg-^oSsO, P^ + Rg-srlo = O, |x||+||g|| + s>0,
(TV + py - 4, 4 = о, (у*, Тх + Sg - sy0) = 0. (53)
Если еще выполнены условия теоремы 32", то можно
положить s = 1. В этом случае х u | будут давать
решение задачи Г.
86	ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	(ГЛ. III
Доказательство. Будем рассматривать в фор-
мулах (50)—(51) хп и In как линейные функционалы
в пространствах Въ В3. Так как ||хл||^1 и ||£n||«gl,
то из этих последовательностей можно выделить слабо *
сходящиеся подпоследовательности функционалов. Пере-
ходя к пределу в формулах (50)—(51), получаем фор-
мулы (53). Если выполнены условия теоремы 32", то
s Ф 0 и после перенормировки мы получим формулы (53),
но уже с s = 1.
Заметим, что для тройки пространств последователь-
ностей Cr, Гг, I? выполнено условие а) теоремы 33.
Если X* If, X*2s0, Xn^lr, хп^0 и для любого
у ее’, 1/Э=0 выполнено условие lim (хл, у) = (х0, у), то
lim(x*, x„)Ss(x*, х0).
Заметим также, что при выполнении условия а) тео-
ремы 33, условие б) в теореме 23 можно отбросить и
считать Хц е В*.
ГЛАВА TV
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 1. Выпуклые функции и операторы
Пусть Е — л. н. п.» а функция f(x) определена на Е
и принимает значения из расширенной области веще-
ственных чисел, т. е. функция f(x) может принимать
и значения “too. Функция f(x) называется выпуклой,
если для любых хъ я для любого веществен-
ного X, 0	< 1, выполняется условие
f (IXi + (1 - %) х2) -С А/(х2) + (1 -1) f (Ха).	(1)
Функция f (х) называется вогнутой, если функция —/(х)
будет выпуклой, т. е. для вогнутой функции неравен-
ство (1) выполняется с противоположным знаком.
Выпуклая функция называется собственной, если она
не принимает значения — оо и по крайней мере в одной
точке конечна. В противном случае выпуклая функция
называется несобственной. С выпуклыми функциями
тесно связаны два выпуклых множества: надграфик epi f
и эффективная область dom f, которые определены
следующим образом:
epi/ = {(x, р): хе£, p^f(x)},
domf={x: If (х) | < + оо}.
У собственной выпуклой функции надграфик не есть
пустое множество и не содержит вертикальных прямых.
Теория выпуклых функций хорошо развита и имеет
многочисленные приложения. Имея в виду те приложе-
ния, которые рассматриваются в этой книге, ограни-
чимся изучением наиболее простого случая дифферен-
цируемых выпуклых функций.
Теорема 1. Если собственная выпуклая функ-
ция f (х) имеет в точке х производную Фреше (или Гато),
88	ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ	(ГЛ. IV
то справедливо неравенства
f(x)-f(X)^f'(X)(x-X).	(2)
Доказательство. Для функции одной перемен-
ной неравенство (2) очевидно. Оно отражает тот гео-
метрический факт, что угол наклона хорды больше
угла наклона касательной к графику в точке (X, f (х)).
Рассмотрим теперь следующую функцию одной пере-
менной:
ф (0=f (X+1 (X - X)) = f (tx 4- (1 - О X).	(3)
Если f(x) было конечным, то в силу неравенства (1)
функция <р(0 принимает конечные значения при 0^
-g/==gl. Кроме того, она выпукла и имеет производ-
ную в точке / = 0. Применяя к ней неравенство (2),
получаем ф (1) — ф (0) ф' (0). Воспользовавшись теперь
выражением (3) для функции ф (/), получаем неравен-
ство (2). Если f (х) = -|-оо, то неравенство (2) выпол-
няется очевидным образом.
Заметим, что для вогнутой функции выполняется
неравенство, противоположное неравенству (2).
Пусть теперь оператор Ф(х) действует из л. н. п.
Ег в л. н. п. Е2, частично упорядоченное конусом
Будем говорить, что оператор Ф (х) — выпуклый, если
Ф (Ахх + (1 - А) х2) < АФ (Xi) + (1 - А) Ф (ха),
Xi, xae£i, OsgAsCl.
Докажем следующую теорему.
Теорема 2. Если в точке X выпуклый опера-
тор Ф (х) имеет производную Фреше (или Гато), то
справедливо неравенство
Ф (х) - Ф (х) Ф' (X) (х-Х).
Доказательство. Пусть у* — произвольный
линейный функционал из конуса . Рассмотрим функ-
цию на Ei
(у*, Ф(х)) = /(х),	(4)
Нетрудно видеть, что она выпукла, принимает конеч-
ные значения и имеет производную Фреше в точке X.
5 1)	ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОРЫ	89
Применяя к ней неравенетво (2), получаем
(у*, Ф (х) — Ф (X) — Ф' (X)(x-X))s==0.	(5)
Неравенство (5) справедливо для любого элемента у* е
Так как конус в%Г2 замкнут, то должно быть
выполнено неравенство
Ф (х) — Ф (х) - Ф' (X) (х — х) S=s О,
что и требовалось доказать.
Нам понадобятся в дальнейшем некоторые сведения
из теории сублинейных функционалов. Функцио-
нал Ф(х), определенный на л. н. п. Е, называется
сублинейным, если он субаддитивен и положительно
однороден, т. е. для любых х, у е Е и любого неотри-
цательного числа aJSsO выполнены условия
Ф (х+у) Ф (х) + Ф (у), Ф (ах) = аФ (х).	(5')
Из (5') следует, что Ф(0) = 0.
Функционал х* е Е* называется опорным к суб-
линейному функционалу Ф (х), если для всех х е Е
выполнено неравенство
Ф(х)^(х*, х).
Множество всех опорных функционалов будем обозна-
чать Q (Ф).
Теорема 2'. Пусть Ф(х) — непрерывный сублиней-
ный функционал, тогда Q(&) непусто и
Ф(х)= max (х*. х).	(5")
X* е Q (ф)
Доказательство. Докажем непустоту Q(Ф).
Рассмотрим надграфик функции Ф(х):
ер5Ф={(г, х): хе£, г^Ф(х)}.
В силу непрерывности функции Ф (х) множество epi Ф
замкнуто. Ясно также, что оно выпукло и содержит
внутренние точки. Точка х = 0, г = 0 не принадлежит
внутренности epi Ф. Отделяя точку х=0, г = 0 от над-
графика Ф, получаем
уг^(хо, х),	(х, г)еер!Ф. (5"')
90
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. IV
Нетрудно видеть, что у >• 0. Действительно, если у < 0,
то — yz не ограничено сверху и неравенство уг (х*, х)
невозможно. Если же у = 0, то из (5"') получаем,
что и х* = 0, что также невозможно. Итак, у>0.
Без ограничения общности можно положить у=1.
Полагая в (5'") у = 1, z = Ф (х), получаем Ф (х)	(х*, х).
Поэтому Хо есть опорный функционал и множе-
ство <9(Ф) непусто. Докажем теперь равенство (5'").
Пусть оно неверно; тогда существует хое£ такой,
что
Ф(х0)>о= щах (х*, х0).
Точка (а, х0) ё= epi Ф. Отделим ее строго от epi Ф,
— уа+(х?, хо) > — yz + (xf, х),	(z, х) е epi Ф.
Аналогично предыдущему показываем, что у можно
принять равным единице. Полагая еще г = Ф(х), полу-
чаем
-а + (хГ, хо) > - Ф (х) + (xj, х).	(5IV)
Полагая х = 0, имеем
а = шах (х*, х0) < (х*, х0),
<?<Ф)
поэтому х* ё=<2(Ф). Найдется элемент X такой, что
-Ф(Х) + (4, Х) = а>0.
Полагая в (5IV) x = tX, />0, получаем
— а+(х*, х0) > — Ф (/X) + (х*, tX) = at.
Неравенство противоречиво при /->-|-оо. Поэтому (5")
справедливо. Теорема доказана.
Очевидно, что множество Q (Ф) слабо * замкнуто и
выпукло.
Теорема 2". Пусть Ф (х) — непрерывный сублиней-
ный функционал, множество R C.Q (Ф) слабо * замкнуто
и выпукло. Если для любого х^Е
Ф(х) = max (х*, х),
X* € Q (Ф)
§ I]	ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОРЫ
91
то R совпадает со множеством всех опорных к Ф (х)
линейных функционалов.
Доказательство. Пусть x*l=R. Так как R —
регулярно Выпуклое множество, то точку х# можно
строго отделить от R элементом х0
(х£, х0)> max (х*, х0),
х* е R
откуда Ф (xQ) < (х*, х0), и следовательно, Хоё=Ф(Ф).
Пусть С (Т) — пространство непрерывных функций
на компакте Т cz Rn. Сопряженное пространство состоит
из мер, сосредоточенных на Т. Рассмотрим на С (Т)
сублинейный функционал
Ф (х) — max х (t).
te Т
Любой опорный к нему есть мера da такая, что
max х (/) Ss х (0 da.	(5V)
tsr	f
Из (5V) следует, что
min х (/) «g x (/) da sg max x (t).	(5VI)
leT	т	tet
Полагая x (/)	0, получаем, что J x (/) da Ss 0, следова-
т
тельно, мера da^Q. Полагая в (5VI) x(/) = l, полу-
чаем
|or|=$dcr=l, da^O.	(5vn)
т
Таким образом, каждый функционал, опорный к Ф(х),
есть мера, сосредоточенная на Т и удовлетворяющая
условиям (5VI1). Наоборот, каждая мера, удовлетворяю-
щая условиям (5vn), будет опорной к Ф(х):
\ х (/) do sg max х(/) • (do= maxx(/).
т	ter т ter
Итак, множество функционалов, опорных к Ф(х),
состоит из мер, сосредоточенных на Т и удовлетворяю-
щих условиям (5vn).
92
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. IV
§ 2.	Элементы выпуклого программирования
в сопряженном пространстве
Пусть банаховы пространства Bi и В2 частично
упорядочены замкнутыми выпуклыми конусами и
Ж’г- Сопряженные пространства В* и В2 частично упо-
рядочены сопряженными конусами <!К\ и <$\. Рассмот-
рим следующую задачу вогнутого программирования.
Задача III. Найти шахф(#*) при следующих
ограничениях:
у*^В1, у*5з0, Ф(у*)зС0,
где ф (у*) — вогнутая функция, Ф (у*) — выпуклый опе-
ратор, действующий из В* в В*.
Элементы, удовлетворяющие ограничениям, будем
называть допустимыми. Допустимые элементы,- дающие
шах ф (у*), будем называть оптимальными.
Условие Слейтера: в пространстве В* есть
строго положительный функционал е* и существуют
число ct>0 и такой допустимый элемент у%, что
Ф(^)^-ав*.	(6)
Теорема 3. Пусть функция ф(у*) и оператор
Ф (у*) имеют производные Фреше (или Гато) в точке
у* и пусть выполнено условие Слейтера. Тогда для
того, чтобы элемент у* был оптимальным для зада-
чи III, необходимо и достаточно, чтобы он был опти-
мальным для следующей задачи линейного программи-
рования:
Задача ПГ. Найти шах ф'(у*) у* при следующих
ограничениях:
У* 5= О, Ф(^*) + Ф'(у*)(у*-^*)<0.
Необходимость. Пусть у* есть оптимальный
элемент задачи III. Если у* не есть оптимальный эле-
мент задачи IIГ, то найдется такой элемент у*, что
будут выполнены условия
ф'(#*)&*> ф'(7}
у*^0, Ф(у*) + Ф' (У*)(У*-У*)^О. U
ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
93
Но тогда найдется и такой элемент у*, что будут
выполнены неравенства
ф'(£*)&*>ф'(#*)#*.	&*^0,
Ф (И + Ф' (У*) Су* -у*)^-ге*.
(8)
В самом деле, используя условия Слейтера (6) и нера-
венство (3) для выпуклого оператора, получаем
— ае* 3s Ф (у%)	Ф (д*) + Ф' (д*)	— д*).
Умножая это неравенство на р, 0<р<1, и склады-
вая его с неравенством (7), помноженным на 1 — р,
получаем
— рае*^Ф(^*)4-Ф' (^*)[р^*+(1 — р) у*—д*}=
= Ф(Г)4-Ф'(Г)[^*-Г].	(9)
С другой стороны, при достаточно малых р имеем из
неравенства (7):
ф' (У*) У* = ф' (У*) [W/o + (1 - Н) &*] =
= ф' (?*) У* + НФ' (3*) (у* - У*) ф' (У*) У*-	(10)
Из (9) и (10) следует, что неравенства (8) выполняются.
Пусть г0 — произвольный элемент с ||г||=1. Из
(8) получаем
(Ф(П. г) + (Ф'(Г)(&*-Г), г)<
<-е(е*, г)< —вуЦгЦ, (11)
(Ф(^*) + Ф' {У*){У*~ У*), г)< —еу = —е0.
Положим
П* = У* +1 (у* —у*).
Тогда в силу первого из неравенств (8) при достаточно
малом />0
Ф 01*) = Ф (У*) + *ф' (У*) (У * -У*) + » (0 > Ф (У*)-
С другой стороны,
ф ОТ) = Ф (Г) + /Ф' (У*) (У* - У*) + О (/).
94
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
' (ГЛ. IV
Воспользовавшись неравенством (И), получаем
(Ф(т)*), г) = (1-0(Ф(П. 2) +
+/ (Ф (у*)+Ф' (д*) (у - $*), Z) + О (!)	80 /+о (/) < О
для достаточно малых /.Так как конус замкнут и
г — его произвольный элемейт, то должно быть выпол-
нено неравенство
Ф(й*)=С0, 11*^0, <р (я*) > <р (#*),
что противоречит оптимальности д*. Противоречие воз-
никло из предположения, что д* не есть оптимальный
элемент задачи III'. Итак, д* должен быть оптималь-
ным элементом задачи IIГ. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть д* есть оптимальный
элемент задачи III'. Тогда он должен удовлетворять
ограничениям этой задачи. Полагая у* — д*, получаем,
что Ф(£*)^0. Поэтому элемент д* допустим и для
задачи III. Пусть у* — произвольный допустимый эле-
мент задачи III. Покажем, что он будет допустимым
и для задачи IIГ. Если это не так, то найдется такой
элемент z е Bi, что
z>0, (®(g*)+®'(g*)(y*-g*),z)>o.
Воспользовавшись неравенством (3), получаем
0>(Ф0/*), г)>(Ф&*)+Ф'(?*)(?*-П. z)>0.
Полученное противоречие показывает, что элемент у*
допустим и для задачи ПГ. Воспользовавшись теперь
вогнутостью функции ф (у*) и оптимальностью д*,
получаем
ф (г/*) < ф (д*)+ф' (д*) (у* -д*)^ч> (д*).
Следовательно, элемент у*, оптимальный для зада-
чи III', будет оптимальным и для задачи III. Доста-
точность доказана.
§ 3. Двойственные задачи выпуклого программирования
Будем предполагать выполненными условия тео-
ремы 3. Тогда задачу III можно заменить задачей ПГ.
Сделаем еще предположение, что производную Фреше
оператора Ф (у*) можно рассматривать как линейный
54
ДВОЙСТВЕННЫЕ задачи
95
оператор, сопряженный некоторому линейному опера-
тору Т е [Bi ->• Ва], т. е.
(Ф' (у*) Г1*, х) — (т|*» Тх), Т* = Ф' (у*).
Кроме того, будем предполагать, что для каждого эле-
мента у* найдется такой элемент у е В2, что
ф' (у*) г|* = (Г]*, у).
Перепишем теперь задачу III', пользуясь новыми обо-
значениями.
Задача III'. Найти max (у*, у0) при следующих
ограничениях:
y*^Q, Т*у* — х«<:0,
где
у’(У*) у* = (у*, у о), Т* = Ф'(£*),
4 = Ф'(#*)Г-Ф(Г).	(
Воспользовавшись результатами гл. III, мы можем
записать задачу, двойственную задаче III:
Задача IV. Найти min (х*, х) при следующих
ограничениях:
х^О, хебь Тх — уо^О,
где х*, у0 и Т* определяются равенствами (12).
Запишем теперь для задач III и IV условия допол-
няющей нежесткости:
(д*, Тх-уо) = О, (Т*Г-4, х) = 0;
или, вспоминая обозначения (12), получаем
(Ф(Г), х) = 0, (Ф'(Г)Г, *)-ф'(Г)Г=0. (13)
Если ввести для задачи III функцию Лагранжа
L(x, у*) = ф (у*) - (Ф (у*), х)
и вычислить ее частные производные
(у*, *) *	L(f/*-HT)*> *)—^(У*. х) _
ду* -;Lm0 t
= ф'(^*)П*-(ф'(г/*),П*. х),
96
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ IV
то условия (13) можно переписать в следующем виде:
дЦд*, х)-* л dL(g*, х) _ л	Z1 ,ч
—4- - *=°-	<14)
Вспоминая теперь теорему 14 гл. III и следствия
из нее, получаем следующую теорему, дающую необ-
ходимые условия оптимальности:
Теорема 4. Пусть у* есть оптимальный элемент
задачи III и пусть выполнены следующие условия:
1)	функции Ф (#*) и <р (у*) имеют производные Фреше
в точке у*,
2)	выполнено условие Слейтера (6),
3)	производная Фреше оператора Ф(у*) совпадает
с линейным оператором, сопряженным некоторому
линейному оператору Т е -> В2],
4)	существует элемент у такой, что
ф'(0*)т]* = (т)*, У),
5)	конус
«^т ={(</, г): у = г — Тх, г = р + (4, х),
zs&O, х>0, р>0},	(15)
Т* = Ф'(Г), 4 = Ф'(Г)Г-Ф(Г),
замкнут в пространстве В2 х R.
Тогда существует такое решение задачи IV, что
будут выполнены условия оптимальности (13), или,
то же самое, условия (14).
Теорема 5. Если условие Слейтера выполнено для
выпуклой задачи III, то оно выполнено и для соответ-
ствующей ей линейной задачи III'.
Доказательство. Пусть Ф(z/J)sg —ае*. Тогда,
используя неравенство (3) для выпуклого оператора,
получаем
- ае*	Ф {yl) > Ф (#*) + Ф' (Г) (У* - У*) =
= Т*^ — X*,	Уя^гО,
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Если для задачи III выполнено усло-
вие Слёйтера, то из (х, г) следует
И> И. p<<4hll+'}-
S3]
двойственные задачи
97
Эта теорема есть аналог теоремы 21 гл. III. Надо
лишь учесть, что в силу теоремы 5 условие Слейтера
будет выполнено и для линейной задачи ПГ.
Если в условии теоремы 4 отказаться от требова-
ния 5 замкнутости конуса е^т, то из теоремы 19
гл. III получаем теорему, соответствующую теореме 4,
в предельной форме.
Теорема 7. Пусть выполнены условия 1) —4)
теоремы 4 и у* есть оптимальный элемент задачи III.
Тогда найдется такая последовательность хп, что будут
выполнены следующие необходимые условия оптималь-
ности:
x„SsO, Тх„ — г/о + Пл^О,
Т* = Ф' (у*), <р' (у*) у* — (у*, у0),
lim (Ф(у*), x„)=0, lim (Ф'(у*)у*, хл) = ф' (У*) У*.
/1-*0О	П-+СО
Рассмотрим задачу несколько более общего вида,
чем задача III.
Задача Illi. Найти max<p(t/*, т]*) при следующих
ограничениях
y*^Bf, у* ^0, г)* е Bt,
Ф(у*,	S*^*4-R*r]* = Xo,
где 4>(у*, Н*) — вогнутая функция на В*хВ*,
Ф(у*, г]*) — выпуклый оператор из BlxBt в В*; S*,
R* — линейные операторы из В* в В% и В* в В% соот-
ветственно.
Будем говорить, что для задачи Шх удовлетворено
условие Слейтера, если существуют элементы у$ е BJ,
Уо О, т)о е В1 и такие, что
Ф (Уо, По) < — ае*, S*y% + R*По = 4•
Теорема 8. Пусть <р(у*, т]*) « Ф(^*, И*) имеют
производные Фреше в точке у*, fj* и пусть для задачи I Hi
выполнено условие Слейтера. Тогда для того, чтобы
У*, ц* были бы оптимальными элементами задачи II1Ь
необходимо и достаточно, чтобы они были бы опти-
мальными для следующей задачи линейного программи-
рования:
4 А. М. Тер-Крикоров
98
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. IV
Задача ПК. Найти
max (£*, Л*) У* +$ (.9*, П*) П*}
при следующих ограничениях:
у* е В?, г/* За О, ч*ей(*,
Ф(АГ)+^(Г. Г)(0*-П +
+^(Г, n*)(n*-iD<o,
S*^* + R*T]* = Xo>
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
тельству теоремы 3.
Мы можем теперь доказать теорему, аналогичную
теореме 8, дающую необходимые условия оптималь-
ности.
Теорема 8'. Пусть у*, ^ — оптимальные эле-
менты задачи Illi и пусть
1)	Ф(г/*, т|*) и у (у*, 1)*) имеют производные Фреше
в точке g*, Т|*,
2)	для задачи IIIх выполнено условие Слейтера,
3)	дФ/ду* (у*, fj*) и дФ/дх\* (у*, Tj*) совпадают
с линейными операторами, сопряженными линейным
операторам Т е [Bi В2] «Ре [Вх -> В4],
4)	существуют элементы у0, т]0 такие, что
$ (9*> П*) У* = (У*, Уо), $ (У*, П*) П* = (П*. По),
5)	любой элемент е В» может быть представлен
в следующем виде:
g*=sv+R*n*, ^*ssO.
Тогда найдутся ограниченные последовательности
хп е Bi, е В8 и такие, что выполнены следующие
условия:
х„>0, Tx„ + S£n-уй-\-£п 52=0,
Pxn+Ri„-T]o+^=o,
lim (Ф(У*, Г)*), х„) = 0,
л-»оо
Шп Г) 9', x«)+(S*r, и] = ^(А П*)Г.
f 4| О СЕДЛОВЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА	99
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 8. При доказательстве надо использовать также
теоремы 32 и 32" гл. III.
Сформулируем теперь выпуклый аналог теоремы 33
гл. III.
Теорема 8". Пусть выполнены условия теоремы 8
и пусть банаховы пространства Въ Bit В3, Вц сопря-
жены сепарабельным банаховым пространствам Въ В2,
В3, В*. Линейные операторы Т, Р, S, R сопряжены
некоторым линейным операторам. fe[B2Ре
е= [В< -> Bt], S е [В2 -> В3], R е [В4^ В3].
Тогда найдутся элементы X Ви | е В3 такие,
что
ЯЗгО, Tx + S| — Уо^О, Рх + R| — Т]о = О,
(Ф(у*. й*), Х) = о,
П*)Г. x) + (S*r, 1) = ^(^*.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 33 гл. III.
§ 4. О седловых точках функции Лагранжа
Выпишем функцию Лагранжа задачи III и соответ-
ствующей ей линейной задачи IIГ:
£(«/*, х) = <р(^*)-(Ф(^*), х),
1(^*, х) = <р(^*) + <р' (У*) (у*~У*)~	(16)
-(Ф(П + ®'(П(0*-П. х).
Теорема 9. Если (X, у*) —седловая точка функ-
ции Лагранжа L (х, у*), то (X, у*) будет седловой
точкой и функции Лагранжа L(y*, х).
Доказательство. Пусть (х, у*) —седловая
точка функции Лагранжа L (у*, х), т. е.
Х>0, #*>0,
L(y*, x)^L(y*, х)^Цд*, х)
для всех x^sO, £/*5==0.
Воспользовавшись выражением (16) для функции
Лагранжа и неравенствами для выпуклых функций,
4»
100
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
[ГЛ. IV
получаем
MA Х) = Цд*, ху^Цу*, X) = q(g*)+<f>'(g*)(y*—g*)—
-(Ф(Г) + Ф'(ГЖ-Г), х)^<р(у*)-(Ф(у*), х) =
= L(y*, X) для всех у*^0.	(17)
Так как L(g*, x) = L(g*, х) и L(g*, x)^L(g*, х), то
из (17) получаем
L(y*, x)^L(g*, x)^L(g*, х)
для всех х^=0, у*^0,	(18)
что и требовалось доказать.
Теперь мы можем доказать теорему, аналогичную
теореме Куна —Таккера.
Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 4
и д* есть оптимальный элемент задачи III. Тогда
найдется такой элемент xSsO, что пара (X, д*) будет
седловой точкой функции Лагранжа задачи III.
Доказательство. В силу теоремы 3 д* будет
и оптимальным элементом для задачи ПГ. В силу
теоремы 14 гл. III найдется такой элемент х^О, что
(д*, X) будет седловой точкой функции Лагранжа
L(y*, х). В силу теоремы 9 (д*, X) будет и седловой
точкой функции Лагранжа L(y*, х).
По-видимому, не очень просто в теореме 10 осво-
бодиться от требования дифференцируемости. Для при-
ложений, рассматриваемых в этой книге, требование
дифференцируемости выполняется.
Аналогично теореме 12 гл. III можно доказать сле-
дующую теорему:
Теорема 11. Если (X, д*) есть седловая точка
функции Лагранжа задачи III, то д* есть оптималь-
ный элемент для задачи III.
§ 5. Локальный экстремум в задачах более общего вида
(невыпуклый случай)
Рассмотрим задачу более общего вида, чем в § 2,
и учтем ограничения типа равенств.
Задача V. Найти
шахф(#*, и*)
$ 5] ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ (НЕВЫПУКЛЫЙ СЛУЧАЙ)	101
при следующих ограничениях'.
*/*SsO,	iq
Ф(у*, г)*)=^0, Ч(у*, г)*) = 0,	' '
где Blt В2, В3, В^ —банаховы пространства, Вх и Bt
частично упорядочены замкнутыми выпуклыми кону-
сами &Схи оператор Ф действует из В2хВ% в В*,
а-оператор V действует из BlxBf в В3, q(y*, л*)—
скалярная функция на В2хВ%. Операторы Ф, Y и <р
имеют производные Фреше в точке у*, т|*.
Для задачи V естественно ставить вопрос о разы-
скании локального максимума. Будем говорить, что
точка у*, f|* есть точка локального максимума для
задачи V, если существует такая окрестность этой
точки W (g*, fj*), что для всех у*, л* из этой окрест-
ности, удовлетворяющих ограничениям (19), выполнено
неравенство
<р(#*, т]*Хф(У*. Л*)-
С задачей V свяжем следующую задачу линейного
программирования.
Задача V'. Найти
тах{^(-)г/* + ^ (•)!!*}
при следующих ограничениях-.
у* е В2,	у*^0,
+	(20)
где для краткости принято обозначение f (-)-f (3*, Л*)-
Теорема 12. Пусть:
1)	(#*> Л*) есть точка локального максимума
задачи V,
2)	производная Фреше оператора Т в точке у*, fj*
отображает пространство В2хВ1 на все простран-
ство В%,
102
ВОГНУТОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ГЛ. IV
3)	в любой окрестности точки д*, т)* найдется
точка у*, т]* такая, что
лиг	ЛОГ	(21)
^(•)	Г)+^ (•) (По*-п*) = 0,
где е* — строго положительный линейный функционал
пространства Въ Тогда у*, TJ* будет решением задачи
линейного программирования V'.
Доказательство.' Если (у*, т]*) не есть реше-
ние задачи V', то найдутся элементы у*, т]* такие, что
у*^0,
Ф(-)+^(-)(Г-^*)+^(-)(П*-Л*)<0, (22)
^(-)Г-Г)+^(-)(п*-П*)=0,
Но тогда найдутся и элементы у*, tj* такие, что
у*^0, т)* ей*,
ф( О/*-#*)+ ^^(п*-п*)<
=С — еое*, 80>0,
^(•)(?-Г)+^-(п*-П*) = 0.	(23)
^()? + ^(-)П*>^(-)Г+^г(-)Т|*.
Для доказательства неравенств (23) надо умножить
неравенство (21) на е, а неравенства (22) на 1—8 и
сложить. Полагая #* = et/*4-(l — в) у*, получаем, что
неравенства (23) должны быть выполнены при любом
О < е < 1. Если выбрать в достаточно малым, то у*,
г]* будет близким к у*, !)* и поэтому

§ 5] ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ (НЕВЫПУКЛЫЙ СЛУЧАЙ) 103
Итак, в каждой окрестности точки у*, Tj* найдутся
элементы у*, т)* такие, что будут выполнены соотно-
шения (23).
В силу теоремы Люстерника вектор у* —у\ т|* — fj*
будет касательным к множеству
{(*/*, П*):	П*) = 0}
в точке у*, fj*- Поэтому при всех 0t/0
V (**(/), £*(/)) = <),
z* (t) = д*1 (у* — д*) 4-о(0,	(24)
С* (0 = п* + Нп*-^*)+о(0-
Кроме того, в силу первого из соотношений (23) имеем:
Ф(?*(0, С*(0) =
= ф(^*+/(у*-^*)+-о(0, fj*-H(n*-f]*)+o(0) =
= ф() + /[^()(?-Г)+^-(-)(п*-п*)]+о(0 =
= (1-0Ф(-) + /[ф(-)+^(?-^*)4-
+ ^(-)(п*-Л*)] + о(0=^-М*/ + о(0 =с 0.
А в силу последнего неравенства (23):
<р(г*(О, Г(0) =
= Ф(-) + 4^^*-^ + ^<Л*-Л*)] + о(/)>ф(-).
Итак, при достаточно малом t элементы г* (0,	(0
близки к д*, fj*, но
Ф(г*(0, ?*(/)) <0, Y(z*(0, С*(0) = 0,
Ф(г*(0, Г(0)>Ф(Г, Л*).
и следовательно, в точке д*, rj* нет локального мак-
симума задачи V', что противоречит условию теоремы.
Подученное противоречие доказывает, что точка у*, fj*
есть решение задачи линейного программирования V'.
Применяя теперь теорему 19, получим необходимые
условия локального максимума в следующем виде.
104
вогнутое программирование
[ГЛ. IV
Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 12
и пусть существуют линейные операторы S, Т и Р, R
такие, что
/ \__т* d® ( \_____q*	\__р* ( \________р*.
пусть, кроме того, существуют элементы у0 и т]а
такие, что
$(-)У* = (У*, Уо), ^(•)n* = (T)*,t]0).
Тогда найдутся последовательности хп 3s 0, е В3,
&i-+B2, £«->0, ^еВ4, Сп^-0 такие, что
Tx„+%-r/o + &SsO, Px„ + R&,-T)o + £ = O,
lim (Ф(у*. г]*), хл) = 0,
П-»ОО
.. Г/^Ф / ч I дФ . . _А \ ,
„I™	<')т1 ’ Хп) +
Доказательство этой теоремы получается прямым
применением теоремы 19 гл. III к задаче линейного
программирования V'.
Замечание. Очевидно, что выполнены условия
теоремы 32" гл. III. Поэтому последовательности хп
и £я можно считать ограниченными.
ГЛАВА V
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§ 1.	Постановка задачи
Пусть Lr[0, Т] есть банахово пространство вектор-
функций (столбцов), компоненты которых есть сумми-
руемые на отрезке [О, 7] функции и
И (о, г]= S II /1 Hl1 [о, гр
Сопряженное пространство L? [О, Т] состоит из
вектор-функций строк, компоненты которых есть изме-
римые и почти всюду на отрезке [О, 7] ограниченные
функции
11/*11£~ [0, Tj = maXIIA' (OJLoo[0f Г].
Пусть «5?Г[0, 7] и «3?*[0, 7] есть классы абсо-
лютно-непрерывных вектор-функций, производные кото-
рых принадлежат пространствам L? [0, 7] и L* [0, 7]
соответственно. Через Rn будем обозначать простран-
ство числовых векторов (столбцов), а через ^ — сопря-
женное пространство строк.
Рассмотрим следующую линейную задачу оптималь-
ного управления со смешанными ограничениями:
Задача А. Найти управления и* (/) s [0, 7]
и 6* е Rf, дающие максимум линейному функционалу
Ф(а*. 0*) =
г
= х* (7)а + 6*у4-$ [х* (t)a(t) + u* (t)b(t)]dt (I)
о
106
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ’ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
при следующих ограничениях-.
*^ = x*(t)A(f) + u*(t)B(f) + a*(f),	(2)
х* (/) <= «£” [0, Т], и (05г 0,
X* (0) = а*+9*Р,	9*5=0,	(3)
-х*(0С(0 + и*(0О(0^&*(0.	(4)
x*(T)Q^c*.	(5)
Матрицы A(t), В (/), C(t) и D(t) и векторы a(t),
а* (/), b(t) и Ь* (/) имеют ограниченные измеримые
компоненты. Соответствующие матрицы и векторы
имеют следующие размеры: А[пх и], В [т х и], С [п х г],
D[mxr], P[/xn], #[Zxp], Qfnxg], а Гн], b Гт],
Ь* [г], а[п], а* [п], 0* [г], с* [<?].
Целью настоящей главы является вывод необходимых
условий оптимальности для задачи А. В том случае,
когда фазовый вектор не входит в ограничения, т. е.
С (f) ss 0, необходимые условия оптимальности дает
принцип максимума Понтрягина. Если же С (I) =£ 0,
то принцип максимума в форме Понтрягина не всегда
имеет место и его в общем случае можно записать
в форме Дубовицкого и Милютина. К сожалению,
в такой форме принцип максимума имеет сложный
вид, и его трудно использовать для решения приклад-
ных задач. Мы будем разыскивать условия, при выпол-
нении которых принцип максимума может,быть запи-
сан в форме Понтрягина.
Будем совместно с задачей А рассматривать свя-
занную с ней задачу Б.
Задача Б. Найти управления v(t)^Lr[G, Т],
g е Rp, т) е R?, дающие минимум линейному функционалу
ф(и, £, п) =	(0)+ ₽*£“ с*л +
т
+ 5р*(/)а(/)+а*(/)х(0]Л	(6)
о
при следующих ограничениях:
= А	(7)
Щ-Рх(0)^ъ x(T) = a + Qn,
-B(t)x(t)+D(t)v(t):^b(t). '	(8)
$ 2] ЛЙНЕЙЙЫЁ ДИФФЕРЁНЦЙАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 107
В дальнейшем будет показано, что задачи А и Б
сводятся к двойственным задачам линейного програм-
мирования в банаховом пространстве. Заметим, что
ограничения (4) и (8) считаются выполненными почти
всюду на отрезке [О, Т].
§ 2.	Линейные дифференциальные операторы
Рассмотрим сопряженные дифференциальные опе-
раторы
Nx----х(Т)=0,хе^[0,Т],
Мх*= — х* (/)А (/), х*(0) = 0,	(9)
х* е= X” [О, Т].
Пусть F (/) есть фундаментальная матрица опера-
тора М:
*$L = F(t)A(t),	F(0) — E.
Очевидно, что F (/) — непрерывная и кусочно-гладкая
функция. Нетрудно непосредственно проверить, что
справедливы следующие выражения для операторов
М-1 и N-1:
т
(/)$ Г(т)Ш
t
t
M"1(p = § <p (т) F-1 (т) d% • F (t).
о
(Ю)
Простое вычисление показывает, что операторы N'1 и
М1 сопряжены:
(М^ф, /) = (ф, N~V).
Теорема 1. Оператор N"1 вполне непрерывен
в пространстве М[0, Т].
Доказательство. Если воспользоваться выра-
жением (10) для оператора N-1, то легко увидеть, что
10$
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
(ЕЛ V
нужно доказать компактность в Lln [О, Т] функций
Ф (/) = J F (т) f (т) dx, ЦHl* (о. т) <с- <П)
Вектор-функции f (/) и ф (/) продолжим нулем вне
отрезка [О, Т]. Множество (11) ограничено в прост-
ранстве Ln [0, 7]. Действительно, пусть
Ф/(0 = [ £ F{,(x)ff(x)dx.	(12)
t / = i
Так как Fij(t) непрерывны на отрезке [О, 7], то они
ограничены. Из (12) тогда получаем
|фг(О K-J S 1^(Т)1-1Л(Т)1ЙТ<
5 Ififr)Iв/uLi
0 / = 1	"
Следовательно,
IIФ W IIlJ [о, T]	Qo — C0C,
и поэтому множество функций ф (/) ограничено. Пока-
жем теперь, что оно равностепенно непрерывно в сред-
нем. Из (12) имеем
т	т t п
S —(01^ = SJ 2 Flf(x)f,(x)dx
о -	о /4-б/=1
п Т / + 6
< S \dt 5 1^(т)1-1А(т)|с?т^
/«10 t
п Т f+d
< Со 2 S di S \fl (T) I =
/ = 10 t
n T 6	n 6 T
= S Co \dt\\fj(t + x)\dx= 2 Co\dx\ \f/(t + x)\dt^!
/=100	/=100
n	d	T
< У, Co\dx\ \ff(t)\dt^
/ = 1	о 0
n
II h L1 [0, tj co$ II f Ul£
/ = 1 n
§ 21 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 109
Таким образом, доказано, что множество функций ф(/)
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно
в среднем. Поэтому, в силу критерия М. Рисса, оно
будет компактным в L'n [0, Т]. Теорема доказана.
Теорема 2. Если А (/)0, то N"1 — неотрица-
тельный линейный оператор в Ln[0, Т].
Доказател ство. Достаточно показать, что
уравнение
Х(Т)=О
имеет неотрицательное решение при f (/) 3s 0. Оно
эквивалентно следующему интегральйому уравнению
Фредгольма:
x(t) = Ах(/) + Ф(/),
Т	т
Ax(0 = $ A(T)r(T)dT, Ф(/) = $/(т)</т.	(13)
t	t
У оператора А нет собственных значений. Это следует
из того, что однородное уравнение (13) имеет только
тривиальное решение. Кроме того, оператор А неот-
рицателен. Запишем решение уравнения (13) при
помощи ряда Неймана
х(0»[£+А+...+А'’+...]Ф(0.
Так как оператор А неотрицателен и Ф(/)^0, то и
х(/)^г0, что и требовалось доказать.
Будем рассматривать задачу Коши
-^- = Л(/)х(0 + Н0,	х(Т) = а, feU[0, Т].
Ее решение есть
x(t) = N-4(t) + F-'(t)F(T)a.	(14)
Аналогично, решение задачи Коши
-^^-х*(/) А (/) ==/*(/),	x*(0) = a*, f* <=	[0, Т]
может быть записано следующим образом:
х* (0 = М-у* (/) + a*F (/).	(15)
ПО	Сопряженные Линейные задачи (ГЛ. V
3. Сведение задач А и Б к двойственным задачам
линейного программирования в банаховом пространстве
Решая уравнение (2) относительно х* (t) при гра-
ничном условии (3) и используя (15), получаем
х* (/) = М-1 (и*В + а*) 4- (а* + 9*Р) F (/) =
= К [ы* (т)В(т)4-а*(т)]Г-Чт)^т4-а* + 9*pIf(Z).
(о	J
(16)
Интегрируя уравнение (2) от 0 до Т и используя
начальное условие, получаем
х* (Т) = а*+9*Р +
т
+ 5 [х* (О А (/) 4- U * (О В (/) + а* (0]Л.	(17)
О
Преобразуем функционал (1):
т
Ч(и*, 9*) = X* (Т) а 4- $ [х* (/) a (t) 4- и* (/) b (/)] dt =
О
= (а* 4- 9*Р) а 4- J [х* (О (А (/) а 4- а (/)) 4-
О
4-«*(0(В(0а + &(0)+а*(0]Л.	(18)
Будем в дальнейшем пользоваться обозначением
т
(и*, и)=\и* (/) и (t) dt, и* (=L“, и<== Llm [О, Т].
о
Тогда (18), используя (16), можно переписать в сле-
дующем виде:
<р(ы*. е*) =
= 9*Ра4- ((а* 4-6*Р)F (/) 4-М-1 (и*В 4-а*), Аа4-а) 4-
4-(«*, Ва 4-6) 4-const,
« 31
СВЕДЕНИЕ К ДВОЙСТВЕННЫМ ЗАДАЧАМ
111
или, с точностью до постоянной, не зависящей от и*:
ф(«*, е*) = е*е0+(«*, «о).
Г т	-1
6о = т+^ a + jF(0C4 (i)a + a(i))di ,
о
и0 (Г) = В (!) N-1 (Лa + а) + В (!) a + b (/).
(19)
Преобразуем теперь ограничение (4), используя (16):
- М-1 (ы*В) С (!) + и* (/) D (/) - e*PF (!) С (0 < £* (/),
b* (!) = Ь* + М-1 (а* (/)) С (!) + а*Р (!) С (!).	(20)
Преобразуем ограничение (5). Полагая в (16) t = T\
получаем
/	т	с
Ja* + е*р + 5 [и* (!) В (!) 4-а* (0]Р"1 (!) di\F(T)Q^c*,
I	о	J
или
т	1
е*Р + 5 и* (!) В (!)F-1 (!) di F(T)Q^c*,
т	1
a* +\a*(i)F-1(i)dt F(T)Q.
о	J
с* =с*
(21)
о
Таким образом, задача А сводится к следующей
задаче:
Задача Ах. Найти максимум линейного функцио-
нала
Ф(и*, e*) = 6*0o + (w*, u0)
при следующих ограничениях:
- М-1 (и*В) С + u*D + &*PFC Ъ*,
е*я^р*.
Рассмотрим линейный оператор Т*, действующий
из банахова пространства Z,“[0, T]xPz в банахово
112	' СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ V
пространство [0, TJx/?pX/?« по следующему закону:
—M~i (и*В) C+u*D+6*PFC
у— 6*₽ + J и* (f) В (t) di F(T)QJ
Тогда задачу А можно записать как стандартную
задачу линейного программирования:
Задача Ах. Найти
max {0*ео + («*, «о)}	(23)
при следующих ограничениях'.
/ б*\
Т*(£)<	₽•).	(24)
с*/
Легко проверить, что оператор Т* сопряжен опе-
ратору Т, действующему из Л) [0, Т]х₽рх/?р в
Lm[0, Т]х/?/ по следующему закону:
/ —BN-1 (Со) 4- Dv — BF-1 (/) F (Т) Qtk
Т\У=Г5~РГ(П<?Т,“5	(25)
Тогда, как это следует из результатов гл. III,
наряду с задачей Ах нужно рассматривать двойствен-
ную задачу:
Задача Вх. Найти
min[(&*,	Э*т]]	(26)
при следующих ограничениях:
(v\	(°\ /и \
I >0, Th >(“*).	(27)
\1)/	W °
Покажем, что задача Вх сводится к задаче Б. Преоб-
разуем первое ограничение. Из (27), используя (25)
и (19), получаем
— В [N-1 (Со 4- Аа + а) + F-1 (t) F (Т) Qr| + aJ+Do 5г Ь.
(28)

СВЕДЕНИЕ К ДВОЙСТВЕННЫМ ЗАДАЧАМ
113
Положим
х (t) = N-1 (Си + Аа + а) 4- а + Р-1 (/) F (Т) Q-q. (29)
Воспользовавшись теперь выражением (10) для опера-
тора N, получаем
_^О-_д(0х(0=яС(0п(О + а(0,	(30)
х (Т) = а 4- Qn,
что совпадает с первым и третьим соотношением (7).
Ограничение (28) теперь можно записать в следующем
виде:
-B(t)x(t) + D(t)v(t)^b(t),	(31)
что совпадает с (8). Преобразуем теперь второе огра-
ничение (27). Из (25) и (19) получаем
7
- PF (Г) Qn - J PF (t) C (t) v (/) dt >
0
Г T
Ssy-J-P a 4- J F (t) (Ла-|-а) dt
L о
г?
или
Rl-P \ F (t) (Cv + Aa + a) dt-{-F (T)Qr] + a	(32)
.0
Замечая, что FA = dFldi, получаем
т	т
|р(0[Сп4-Ла4-а]Л=|р(0[-^-Лх4-Ла| dt =
= ~ | 4 ™ j-5Га d/ =
----Р(Т)х(Л + /?(0)х(0)4-[/?(7’)-Р(0)]а =
----F(T)[a + Qt]14-x(0)4-F(T)a-a =
= — P(T)Qn + x(0)-a.	(33)
Подставляя (33) в (32), получаем
Р1-Рх(0)^у,
что совпадает с первым из равенств (7).
114
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
ГГЛ V
Преобразуем теперь функционал задачи (26). С точ-
ностью до константы
Ф(у, В. П)я(&*» «) + ₽*£ — с*П==
= (&* + M-1(a*C) + a*FC, v) + p*g-c*n +
Г т
+ а* + $ а* (/) F-1 (t) dt F (Т) Qt)-
0	J
«(&*, 0 + (a*, N'x(Cu)) +
Гг	1
4-a* \F(t)C(t)v(t)dt + F(T)Qn +
Lo
T
+ ₽ 4 -	+ $ a* (0 F-1 (0 dt F (T) Qn -
0
= (b*. 04-p*g-c*T] + (a*, N-ifCv)-}-
+ A a 4- a + F-1 (t) F (T) Qn + a) +
rT	-]
j F(0(Ct'4-a)d/ + F(T)QT| + const. (34)
.o	J
*
Замечая, что FA — dF/dt, F(0) = E, получаем
\F(t) (Cv + a)dt + F(T)(Qn + a)^
0
= I F [ --J + »x] dt + F (T) (Qn + a) =
= | _^-(Fx)d/-|-F(T)(Qn + a) =
----F(T)x(T) + F(0)x(0)+f(T)(Qn + a) =
= x (0) + F (T) [Qr] + a - x (T)J = x (0).
Тогда (34) приводится к следующему виду:
т
ф = а*х (0) +	+ $ [&* (0 v (t)+a* (/) х (/)] dt,
о
что совпадает с выражением (6).
5 4j Замкнутость Конуса, связанного С Задачей а 115
Итак, доказано, что задачи оптимального управ-
ления А и Б сводятся к задачам линейного програм-
мирования Ai и Б1 в банаховом пространстве.
§ 4. Исследование замкнутости конуса,
связанного с задачей А
Вспомним определение конуса формула (32)
гл. III. Построим конус о^т для оператора Т, опре-
деляемого формулой (25). Это будет конус в простран-
стве Lm[0, T]xRixR следующего вида:
Жт={(и, 9, р): u = BN~4Cv)-Dv +
+ BF-1 (О F (T)Qi] + w,
г
6 = ^ PFCvdt + PF(T)Qn-R£+b
О
г
р = г + 5&* (О v(t) d/— с*г| + р*^,
о
»е/.Ц0, Т],	т) е R9,
»5=0, w^Q, т]2г0, £5=0, rSsO}, (35)
где b* определяется формулой (20), а с* определяется
формулой (21).
Лемма 1. Если управления и* и 6# = 0
допустимы для задачи А. по ограничению (4), то Ь*^0.
Если управления ы*==0 и 6о=О допустимы по огра-
ничению (5), то c*sg0.
Доказательство. Пусть управления 4^0,
0(* = О допустимы по ограничению (4); это означает,
что задача
= х0* (I) A (t)+а* (/), xS (0) = а*,
— х9*(0С(0<&*(0	(36)
имеет решение. Вспоминая определение оператора М,
получаем
Хо* (/) = М-1 (а*) + а*Г (0.	(37)
Подставляя это выражение в (36), получаем, что Ь* 5=0.
116	СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	(ГЛ V
Если же управления и* (/) == 0 и 90* = 0 допустимы по
ограничению (5), то задача
л у *
^ = х:(0Л(0+а*(0, 4(0) = a*, x0*(T)Q^c*
имеет решение. Подставляя (37) в ограничение
4 (Л Q с*, получаем, что с* 0.
Будем говорить, что управления 6* и Л* строго
допустимы по ограничению (4), если существует такая
постоянная у>0, что
- X* (0 С (/) + Я* (0 D (0 -С 6* (/) - ует, (33)
где em = (l, 1, .... 1). Аналогично определяются строго
допустимые управления по остальным ограничениям.
Лемма 2. Если допустимые управления в*, й*
строго допустимы по ограничению (4), то существует
такая постоянная k, что для всех элементов конуса
(35) будет выполнено неравенство
IIv Hz.)[о, г] {IIы Ljn [о, 7j +119 +1РI}.	(39)
Доказательство. Вспоминая определение (25)
оператора Т, получаем для точки (и, в, р) конуса вЖ’т
следующее соотношение:
(я*, и)ч-ё*е+р=(я*, щ)+9*;+г-
-|(я*. е*), b*(t)v (t) dt-ё*л+РЧ^=
\	\т]// 0
(/v\\ Т
Т*(я*, 0*), M]4-^*(/)v(/)d/_c*r]4-p*g.
УП// о
Вспоминая теперь определение оператора Т*, получаем
(Я*, и) + 0*0 + р=г
^(b*-[u*D — ^(O.*B)C], v) + (₽*-0*/?, g) +
= (Ь* + х* (0 С (/)-Я* (/)£>(/), у(0) + (Р*-ё*7?, g) +
+ (x*(T)Q-c*)n. (40)
$ 41 ЗАМКНУТОСТЬ КОНУСА. СВЯЗАННОГО С ЗАДАЧЕЙ А 117
Так как по условию теоремы управления и*, 0* до-
пустимы, то P* — 0*/?S=O, х* (Т) Q — с* 0, и так как
управления строго допустимы по ограничению (4),
то выполнено условие (38). Поэтому
(й*. и) + 0*е + рЭэ
>(fc* + J?* (О C(t) — u*(t)D(t), V (0) >
m Т
^(yem, »(0)=?2 J Vi(t)dt^c\\vlLl.
i=l 0	'
Из (40) тогда получаем
М^у{(й*> и)+~6*0 + р}<
<4(11й*1Н1«11+11ё*В-ИНрХсо{||«Я+1|е||+р}.
откуда и следует неравенство (39).
Замечание. Если допустимые управления 0*, й*
строго допустимы по ограничению (3) или по ограни-
чению (5), то для |5|| или ||т||| также справедлива
оценка типа (39).
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:
а) задача А имеет допустимые управления й*, О*,
строго допустимые по ограничениям (4) и (5),
б) матрица —D^Q имеет в каждом столбце по
строго положительному элементу
—	j=l, ..., г.
Тогда конус замкнут.
Доказательство. Пусть (и0, 0О, р0) есть пре-
дельная точка конуса 5Гт; в силу (35) это означает, что
и0 = Нт«л, 0о = Ит0„, р0 = Нтрл,
ип = BN1 (Cvn) — Dvn 4- BF'1 (t) F (T)	+ wn,
T
0„ = PFCvn dt + PF(T) Qxin - R$n +
0	(41)
T
Pn = r„ + $6* (t) V„ (/) dt - ?T)„ + P*5„,
vn SF L'r [0, T], e Rp, ru <= vn 0,
o’/.SsO,	5»^=0, r„^0.
118	Сопряженные линейные задачи [Ел V
Воспользовавшись условием а) и леммой 2, полу-
чаем, что
Ы1.Ы<<ЧЫ+11М+ЫЬ (42)
Так как последовательности ||w„||, ||6Л|| и ||р„|| сходятся,
то последовательности vn и г]я ограничены. В конечно-
мерном пространстве ограниченная последовательность
компактна. Поэтому, без ограничения общности, можно
считать, что последовательность т]я сходится. Пока-
жем, что последовательность vn слабо компактна
в Llm [О, 7]. В силу теоремы 1 оператор N-1 вполне
непрерывен в пространстве Lm[0, 7]. Поэтому, без
ограничения общности, можно считать, что последова-
тельность BN-1(Cvn) сходится в ЛЦО, 7]. Тогда из
второго из равенств (41) имеем
№я —£>уя = и„,	(43)
где последовательность ®я неотрицательна и сходится
в L'm [0, 7]. Воспользовавшись теперь неотрицательно-
стью оул и условием б) теоремы, получаем
[— Dvn]if = — 2 dlflvnJ >
^ — diftvn/^yvnj, j=l, .... г. (44)
Так как последовательность <вя; сходится и, следова-
тельно, слабо компактна в L*[0, 7], то из неравен-
ства (44) следует, что и последовательность vnJ будет
слабо компактной. Без ограничения общности можно
считать, что она слабо сходится к функции veJ. Пере-
ходя теперь во втором из равенств (41) к пределу,
получаем
и0 == BN1 (Cv0) — Dv0 + BF-1 (/) F (T) Qi]o + w0. (45)
Рассмотрим теперь третье равенство (41). Из него сле-
дует, что £„ — /?£„ стремится к вектору
г
%-\PFCvodt-PF(T)Q4o-
о
ЗАМКНУТОСТЬ КОНУСА. СВЯЗАННОГО С ЗАДАЧЕЙ А 119
$ 41
А из четвертого равенства (41) следует, что последо-
вательность гл + р*|л стремится к числу
т
Ро = § Ь* (0 fo (0 di + с%.
О
В силу замкнутости многогранного конуса в конечно-
мерном пространстве найдется пара |0> '’о такая, что,
SoS^O, Со^О, го^О,
т
е0=J PFCv0 di 4- PF (Т) QT)o -	+Ъ,
° т	(46)
Ро=^о+5 &*(0 °О — С*По + ₽*1о-
о
Из равенств (45) и (46) и следует замкнутость конуса
Жт. Теорема доказана.
Нужно сказать, что для экономических приложе-
ний более интересен случай, когда матрица D неотри-
цательна. Он требует специального рассмотрения.
Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:
а) Л=г0, В^О, С^О, Р^О,
б) задача А имеет управления й*, 6*, строго допу-
стимые по ограничениям (4) и (5),
в) управление u* = Q, 9? = 0 допустимо по ограни-
чению (4).
Тогда конус замкнут.
Для доказательства теоремы нам понадобится сле-
дующая лемма, принадлежащая Дубовицкому и Ми-
лютину.
Лемма 3 (Дубовицкий и Милютин). Пусть vn (t) —
ограниченная последовательность в Lm[0, Т]. Тогда из
нее можно выделить подпоследовательность оПь такую,
что
% = + • (47>
где последовательность о'П/г слабо сходится, а последо-
вательность Vnk стремится к нулю почти всюду на
отрезке [0, Т]. Если ил(/)^0, то последовательности
о'Пц и и'п* можно взять - неотрицательными.
120
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ V
Доказательство. Пусть, для начала, vn (t) есть
ограниченная неотрицательная последовательностьфунк-
ций в L^O, 71:
г
v„ (t) Ss= 0, vn (t) dt с0, п = 1, 2, ...
о
Построим функции Vn е£°°[0, 7] следующего вида:
=	Vn(t)^m,
п I о, vn (t) > т.
Всякая ограниченная последовательность в L°°[0, Г]
слабо* компактна. Поэтому при каждом т из после-
довательности v™ (t) можно выделить слабо* сходящуюся
подпоследовательность vj1 (/). Без ограничения общно-
сти можно считать, что числа nk не зависят от т
(в противном случае мы применили бы канторовский
диагональный процесс по т). Поэтому, без ограниче-
ния общности, можно предположить, что и сама после-
довательность v™ (/) слабо* сходится к некоторой функ-
ции vm (/) е [0, 7] при любом т = 1, 2, ..., т. е.
для любой функции q> (/) е L1 [0, 7] имеем
Т	т
lim v™ (/) ф (/) dt = ( vm (t) ф (t) dt. (48)
«-►cog	о
Переходя к пределу при п->оо в неравенствах
г
и™+1 (0 за v™ (/), $ с dt с«»
о
получаем	т
Vm + 1 (/) ^vm (t), j Vm (/) dt Co.
0
По теореме Б. Леви последовательность vm (t) сильно
в L1 [0, 7] сходится к некоторой функции v(t),
т
lim ( [v (t) — vm (/)] dt = 0,	v(t)^vm(t). 119)
m-*oo о
Подберем теперь последовательность mk так, чтобы
т
[v(t)-vm»(t)idl<^.
§ 41 ЗАМКНУТОСТЬ КОНУСА. СВЯЗАННОГО С ЗАДАЧЕЙ А 121
Положим в (48) ф = 1 и подберем nk так, чтобы
т	т
J v”k(t)dt- J vmk (/) dt
о	о
Из последних двух неравенств следует, что
7	т
lim (	(/) dt = \ v (t) dt.
k о
Покажем, что последовательность v™k (/) слабо в L1 [О, Т]
сходится к v(f). Пусть
Ф(/)6=Г°[О, Т],
Пусть 8 > 0 — произвольное число. Воспользовавшись
равенством (49), найдем такое /и, что
т
$ [*> (0 ~ vm (ОJ dt < в.
о
Рассмотрим mk^m, тогда	и мы получаем,
что
___ т	7
lim J v™k (t) ср (t) dt— $ v (t) ф (t) dt
о *	о
I*™ J [v™* (/) - Vnk (/)] Ф (0 dt 4-
___ T
+lim Ис (о -v <oj ф (o <
lim ЦСЧ0-С (0]^ +
+ lim J	(0 - v (OJ <P (0 dt =
Z?-*oo q k
T
₽ J [v (t) - vm (OJ dt 4- 5	(t) - V (0]ф (П dt <
0
т
о
о
122
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
В силу произвольности е
1	т
lim v™k (t) ф (t) dt — $ v (t) ф (t) dt
k-^co о	*	0
= 0,
следовательно, v™k (t) слабо стремится к v (/).
nk
Рассмотрим теперь подпоследовательность ип* (/) и
положим
Ч (0 =	(0 + [ч - С/ (0] = v«k 4- v'nk-
Как выше доказано, v'nk слабо стремится к нулю. При-
меним к v*nk неравенство Чебышева:
mes {/: v'n > 0} =
т
= mes К: % > mk\ < ± С (/) dt -%-.
Следовательно, и„к стремится к нулю по мере. Пере-
ходя, если необходимо, к подпоследовательности, мы
можем считать, что Ч почти всюду стремится к нулю.
Итак, лемма доказана для неотрицательных после-
довательностей. В общем случае последовательность
vn(t) может быть представлена в виде разности
v„ (t) = (0 — v-n (t);	v^(t), u;(i)>0.
Применяя лемму для oj и получим доказательство
и для и„. При доказательстве леммы для вектор-функ-
ций достаточно применить ее к каждой компоненте.
Докажем теперь теорему 4. Пусть («0, 90, р0) —
произвольная точка конуса <%т. Это означает, что
выполняются условия (41). Так же, как и при дока-
зательстве теоремы 3, показывается, что последователь-
ность vn(t) ограничена в Um, а последовательность я»
можно считать сходящейся к т]0- Из (41) следует, что
последовательность wn ограничена. Рассуждая, как
при доказательстве теоремы 3, получаем, что справед-
ливо равенство (43), где <о„ сходится, но уже не обя-
зательно неотрицательна. Применим к vn и wn лемму
Дубовицкого и Милютина. Без ограничения общности
4 4] ЗАМКНУТОСТЬ КОНУСА, СВЯЗАННОГО С ЗАДАЧЕЙ А 123
имеем
Vn = v'n + Vn, Wn = Wn + Wn,	(60)
где v’n и w'n слабо • стремятся к t»0 и w0, a v„ и w„
почти всюду стремятся к нулю и ограничены в L„ [0, Т].
Подставляя равенства (50) в (43), получаем
Wn — Dv’n = (йп — w'n+Dv'n.
Из последнего равенства следует, что последователь-
ность Wn — Dvn слабо сходится и почти всюду стре-
мится к нулю. Поэтому она будет и сильно стре-
миться к нулю. Итак,
lim [и>п — Dvn] = 0.	(51)
Л-*-00
Подставим теперь (50) в первое из равенств (41). Получаем
ип = BN-1 (Cv'n) - Dv'n + BF~* (О F (Т) Qn„ +
+ w'n + Wn — Dvn,	w'n' = Wn + BN-1 (Cv’n). (52)
В силу условия а) теоремы оператор N-1 будет неотри-
цательным, и поэтому w'n 0. Воспользовавшись равен-
ством (51) и тем, что v’n и w'n слабо стремятся к неот-
рицательным функциям 1>0, w0, и переходя к пределу
в равенстве (52), получаем
«о = BN"1 (Сц0) — Dv0 + BF1 (t) F (Т) По + ^о.
г)о S& О, о0 0, w0 SsO.
Подставим теперь (50) в третье и четвертое равенство
(41). Замечая, что в силу условия в) &*5s0 и что
матрицы Р^0, F^O, получаем
6„ = $ PFCv'n dt + PF (Т) Qx\n - Pin + Vn,
0
T
Pn = r'n + \b*(t) v'n (/)dt - c*t]n + ₽(53)
0
T
£ = £» + $ PFCv’n dt^O,
0
T
r'n^rn + \^(t)v’n(t)dt^Q.
0
124
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
Так же как и при доказательстве теоремы 3, теперь
можно показать, что найдутся неотрицательные £0, Со»
Го такие, что будут выполнены равенства (46). Из
(53) и (46) следует замкнутость конуса Ж т. Теорема
доказана.
§ 5. Необходимые условия оптимальности.
Принцип максимума Понтрягина
Сформулируем следующий принцип оптимальности.
Теорема 5. Если конус £%т, определяемый равен-
ством (35), замкнут в пространстве LlrxRrxR и й*,
6* есть оптимальное решение задачи А, то найдется
такое оптимальное решение задачи Б, что будут
выполнены следующие условия:
й?[ - В (/) х (/)+£>(/) v (О— Ь (ОЬ = 0,
i = 1, ..., т;
[ -х* (0 С (0+й* (0D (0 - 6* (01А (/) = 0,
/=1.......г; (54)
ё? [7?| - Рх (0) - у]/ = 0,	1 = 1.../;
[х* (T)Q-c*]ki]k = 0,	k=lt .... q.
причем первые два равенства выполняются почти при
всех t.
Доказательство. В §3 задачи А и Б сведены к
решению двойственных задач линейного программирова-
ния А' и Б'. Применяя теперь следствие теоремы 14 гл. III,
получаем, что существует такой оптимальный элемент
задачи Б', что будут выполнены условия дополняющей
нежесткости (38) гл. III. В силу равенств (24) и (25)
эти условия дополняющей нежесткости можно запи-
сать следующим образом:
| в] НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 125
или, в силу определения (22) и (25) операторов Т и
Т*, получаем
т
$ а* (0 [ - BN-1 (Cv) + DC - BF-1 (0 F (T) QTj - и0] dt +
О
т
+ё* [Я1 - PF (Т) on - 5 PF (0 с (0 » (0 dt - 6О - т] = О,
о
т
^[-М-1 (й*В) С+ £*£> +
о
4-ё*рв(0С(0-&*]5(0Л+(ё*/?-р*)^+
+ с*-
т
ё*Р + $ й*(0В(0 F-^tjdt
О
F(T)Q = 0.
Возвращаясь к фазовым переменным х* (0 и х(0, полу-
чаем
т
5 а* (0 [ - В (0 X (t) +D (0 0 (0 - b (0] dt +
О
+ё*[/?|-р^со)-Т]=о,
т
J [ - X* (0 С (0 + Я* (0 D(f) — b* (0] V (t) dt +
О
+ (e*/?-p*)H-[Jc*(T)Q-c*]f| = O. (56)
Так как все слагаемые в формулах (54) и (55) неотри-
цательны, то
г
5 Я* (0[-В(0х(04-Р(00(0-6(0]Л = О,
О
т
$ [ - X* (0 С (0 4- Я* (0 D (0 - Ь* (0] С (0 dt = 0, (57)
о
ё*[^-рх(О)-у]=о,
(б*/?-р*)1 = О, [X* (Т) Q — c*]f) = о.
Так как подынтегральные функции в (57) неотрица-
тельны, то они должны быть равны нулю почти всюду.
Следовательно, выполняются условия (54). Теорема
доказана.
126	СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	(ГЛ. V
Введем теперь для задач А и Б функции Пон-
трягина
ъХ"(и*, х) = и* (Вх + Ь),	(х*, v) = (b* +x*C)v. (58)
Рассмотрим следующую задачу.
Задача П. Найти
maxe^fu*, X (0)
и*
при следующих условиях:
и* 5*0,	u*D(f)^b*(t) + х* (0 С (0.	(59)
Задача П почти при всех t есть задала линейного
программирования. Запишем двойственную задачу:
Задача П'. Найти
min [fe* (t) + х* (t) С (0] v = min	(x* (0, v)
v	V
при следующих ограничениях:
oSsO, D(0o^B(0X(0 + &(0.	(60)
Условия дополняющей нежесткости для задач П и
П' выглядят следующим образом:
[-je*(0C(0 + «*D(0-(>*(0]v = O,	(61)
й* [ — В (0 х (0+D (0 и - b (0] = 0.
Если для й* (0 и v (0 почти при всех t выполнены со-
отношения (61), то в силу теоремы 13 гл. III зада-
чи П и П' имеют решения й* (0 и 5 (0 соответственно. По-
этому теорему 5 можно записать в форме принципа
максимума Понтрягина.
Теорема 5'. Если конус &£т, определяемый равен-
ством (35), замкнут в пространстве L'rXRixR и задача
А имеет оптимальное решение X* (t), то найдется
такое оптимальное решение X (0 задачи Б, что
maxeJ? (и*, X(t)) = e% (и* (0, х(0),	(62)
где max берется по многограннику (59). Кроме того,
mm«^’(X*(0, о) = еЯГ (х* (0, и(0),
где min берется по многограннику (60).
$ 6) ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ 127
Необходимые условия оптимальности как в форме
теоремы 5, так и в форме теоремы 5' могут быть исполь-
зованы для решения задач синтеза оптимальных управ-
лений. Решая задачи П и П' для произвольных точек
х* и х, лежащих на -оптимальных траекториях, мы
находим оптимальные управления и* и о как функции
(вообще говоря, разрывные) х* и х:
и* = а* (х, х*), v — v{x, х*).	(63)
Подставляя затем эти функции в дифференциальные
уравнения (2) и (7) а решая полученную систему урав-
нений при соответствующих начальных условиях, найдем
оптимальные траектории. Таким образом, в принципе
функции (63) решают задачу синтеза управления. Прав-
да, для того чтобы в заданный момент времени знать уп-
равление, нужно знать как положение точки х*, так и
положение точки х, что затрудняет построение алго-
ритмов приближенного вычисления оптимального управ-
ления.
Вспоминая теперь теорему 4, мы можем теорему 5'
записать в следующем виде:
Теорема 6. Пусть выполнены следующие условия:
а) задача А имеет управления й* v, строго допус-
тимые по ограничениям (4) и (5),
б) А^О, О О, ОО, ОО,
в) управления uJsaO, 63^0 допустимы по огра-
ничению (4).
Тогда для любого оптимального решения О.*, X* задачи
А найдется такое оптимальное решение задачи Б, что
будут выполнены условия (54) и принцип максимума
Понтрягина (62).
§ 6. Пример на построение оптимальных управлений
Рассмотрим следующую задачу: найти
max [х* (Т) «14- х2 (Г) аа],	0, а2 0,
при следующих ограничениях:
^=«Т, ^г = «2, х*(0) = а*>0, х?(0) = аЗ>0,
и* 0, «2 о, «I + «2 Х1.
128
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
Сопряженная задача будет иметь следующий вид:
найти
min [a*Xi (0) + «2Х2 (0)]
при следующих ограничениях:
-^=v,	-^ = 0’	*х(Т) = а1,	х2(Т)=а2,
o^sO, —Xi + o^O, — х24-р^0,
откуда
т
Xi (/) = ах + $ v (т) dx > 0, х2 (Г) з= а2.	(64)
t
Нетрудно проверить, что все условия теоремы 6 выпол-
нены. Управление ufsO, будет строго допус-
тимым. Поэтому функция
Ж (и*, х (/)) =	(0 4- ufcx, (65)
должна иметь максимум при ограничениях
w?S==0, иТ + «?<хТ(О	(66)
на оптимальном управлении Я* (/), Я! (/). Функция
<£Г(х*(0, о) = х?(/)р	(67)
имеет минимум при ограничениях
v Xi, v^a	(68)
на оптимальном управлении O(i). Так как x*(t)^O,
то многогранник ограничений (66) есть треугольник
с вершинами в точках (xf, 0), (0, xf) и (0, 0). Функ-
ция <3% в этих вершинах принимает соответственно
значения x*xi, х*а2, 0. Но
хТХ1«Сх*а2, если Х1=Са2,
х*хх 2= х* а2, если х2 3s ося.
Поэтому решение задачи линейного программирования
(65), (66) имеет следующий вид:
«•м.	(69)
$6) ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИИ 129
Решение задачи линейного программирования (67),
(68) имеет вид
u==min(x1, а2).
Управление v получилось независящим от х*. Поэтому
можно найти оптимальные траектории, решая задачу
Коши для уравнения с разрывной правой частью
-^r = min(x1, а2),	х1(Т) = а1.
Если ах>а2, то хх^а2 и
~^г = а», Xi(T)^alt Xi(0 = ai + a2(7’-/).
Если ai<a2, то для t, близких к Т,
-^ = *1, х1(7’) = а1, хх = ахег-'.
Найдем t, при котором a^eT~t = ai (точка переключе-
ния управления). При T>ln(a2/a1) имеем
7“ Т — In (oz/ai).
Итак, при Т > In (a»/ax) есть точка переключения-
Если же Т< In («2/^1), то xt (t) ₽ а1ег-/. Будем предпо.
лагать, что Т> In (a2/ax), тогда
fate7-',
*i(0=|a»^	<70)
Теперь из (69) и (70) получаем
и* = (хТ, 0), если ax>a2.
Если a1<a2, то есть одна точка переключения 1 и
и* = (х*, 0)	при
ы* = (0, х?)	при
б At М. Тер-Кри коров —942
130
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Найдем теперь оптимальные траектории
^ = 4, 5°0’ 4(0)~4, 4(0) = 4
при
— 0,	= Xj при t t Т,
откуда
х* = а*е( при 0 <;/<:/, x*=aj,
x* = aj#,	4 = а*(/ —/)	при t^t^T.
Формулы написаны для случая а2>аь Т> In (a2/ai).
В остальных случаях они выписываются столь же
просто. Ясно, что в более сложных примерах решить
задачу точно не удастся и нужно развивать прибли-
женные методы, использующие принцип максимума.
§ 7. Достаточные условия оптимальности
Докажем следующую теорему.
Теорема 7 (достаточный признак оптимальности).
Пусть для некоторых допустимых управлений й* (Z),
9* и v (t), |, т) задач А и Б выполнены условия (54).
Тогда Я*, 0*, X* (t) будет оптимальным решением за-
дачи A, a V (t), j, т), X (/) будет оптимальным решением
задачи Б.
Доказательство. Теорема 7 есть следствие
теоремы 13 гл. III. В самом деле, из неравенств (54)
следуют неравенства (56), т. е. условия дополняющей
нежесткости для задач линейного программирования А'
и Б'. В силу теоремы 13 гл. III Я*, 0* должно быть
оптимальным управлением для задачи А, а v, f, г]
должно быть оптимальным управлением для задачи Б.
Теорема доказана.
Докажем еще следующую теорему существования.
Теорема 8. Пусть множество допустимых управ-
лений задачи А ограничено, задачи А и Б имеют хотя бы
по одному допустимому управлению, тогда задача А
имеет решение.
« 8]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
131
Доказательство. Задачи А и Б сводятся
к двойственным задачам линейного программирова-
ния А' и Б'. Теорема 8 есть следствие теоремы 16
гл. III.
§ 8. Общий случай
В предыдущих параграфах мы предполагали, что
конус замкнут. Это предположение позволяет запи-
сать необходимые условия оптимальности (в частности,
принцип максимума) в особенно простой форме. В общем
случае конус й’т не замкнут, и это сильно усложняет
выписывание необходимых условий оптимальности.
Начнем со следующей теоремы.
Теорема 9. Пусть О.*, 6* есть оптимальные
управления для задачи А. Тогда найдется последова-
тельность суммируемых вектор-функций vn (/) <= Llr [О, Т]
и последовательности векторов е RP, Л» е Rg такие,
что
-^ = А(0х„(0 + С(0М0 + а(0. М0>0,	(71)
бя + ^я-Рхя(0)^у, хя(Т) = а4-<М.,	(72)
- В (t) хп (0 + D (t) v„ (/) + (0 b (I),	(73)
£я>0, т]я^0,
Т
lim ([— (О С (/) + й* (О D (/) - 6* (/)] ип (/) dt = 0, (74)
О — со о
Т
lim «*(/)[- В (0 хп (/) + D (/) ип (/) - b (/)] dt = 0, (75)
П —ОО 0
Ши	g„) = 0,	(76)
lim (x*(T)Q-c*. Ля)=0,	(77)
«-♦oo
lim (в*, /&, - Pxn (0) - y) = 0,	(78)
«-♦OO
где Zn(t) и 6„ сильно стремятся к нулю в простран-
ствах Цп [0, Т] и Пп соответственно.
б*
132
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
Доказательство. В § 3 задача А сведена
к задаче линейного программирования в банаховом
пространстве Aj.. Применим теперь к задаче Ах тео-
рему 32 гл. III, дающую необходимые условия опти-
мальности. Если в эти условия подставить выраже-
ние (25) для оператора Т и выражение (22) для опе-
ратора Т* и далее провести рассуждения, аналогичные
приведенным в § 3, то получим равенства (71)—(78).
Теорема доказана.
Удобно несколько преобразовать равенства (71)—(78).
Положим
^-1+||М+Ы+11Ы	(79)
Нормируем xn(t) и vn(t), 1„, т]я множителем зп. Тогда
равенства (71)—(79) перепишутся в следующем виде:
-^ = А(0хя(/) + С(0оп(0 + «яа(0. МО 5* О, (80)
6n + Rln-Pxn(0)^ysn, xn(T) = asn + Qi\n, (81)
- В (/) хп (t) + D (0 vn (/) + (/) b (/) s„,	(82)
0, 6Я —> 0, £«^0, т)л 0,
т
lim $ [— х* (1) С (0 + a* (f)D (t) — b* (OJ vn (t) dt = 0, (83)
n-co0
lim (0 [- В (t) x„ (0 + D(t) Vn(0 - s„b (0] dt = 0, (84)
n->00 0
lim	U-0,	(85)
n-»oo
lim (X*(T)Q-c*, ij„) = 0,	(86)
n->00
lim (0*, Pin - Pxn (0) - s„y) = 0,	(87)
n-*oo
s» + ||M + IIM + KI| = l.	(88)
Соотношения (80)—(88) дают необходимые условия
оптимальности. В такой предельной форме они не-
удобны. Следуя Дубовицкому и Милютину, их можно
преобразовать, вводя меры.
«8]
ОБЩИЙ СЛУЧАИ
133
Прежде всего заметим, что без ограничения общно-
сти последовательности sn, и т]„ можно считать схо-
дящимися, так как ограниченное множество в конечно-
мерном пространстве компактно:
lim sn = s, lim |n = g, lim т]л = т].	(89)
п-+ею	n->oo	n—>oo
Далее, воспользовавшись леммой 3 Дубовицкого и
Милютина, представим в виде
Vn^v'n + v'n, t»n^=0,	(90)
где »п слабо стремится к функции <о (/)	0, а ол почти
всюду стремится к нулю. Далее введем меру dv/dt как
слабый предел в пространстве, сопряженном простран-
ству непрерывных функций
J»liniC(0oH0.	(91)
Тогда, переходя к пределу, можно уравнение (80) за-
менить следующим уравнением:
-	g - A (t) х (/) + С (/) [® (0 + %] + за (().	(92)
Ограничения (81) примут следующий вид:
x(T-0) = as + Qn + v(7’),	- Рх (0) > ys. (93)
Преобразуем теперь ограничение (82). Перепишем его
в следующем виде:
-	В (0 хп (t) + D (i) v„ (t) - b (0 s„ - <j>„ (/) -1„,	(94)
<Pn 0»	“* 0.
Функцию фп(0 тоже представим в виде (90), тогда (94)
можно переписать в следующем виде:
- В (0 х„ (0+D (/) ц' (0 - Ь (/) s - -1„ =
=—о(0о;+ф;.	(95)
В левой части этого равенства стоит функция, сла-
бо сходящаяся в Ь'т, а в правой части —функция,
134
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
стремящаяся к нулю почти всюду. Поэтому и правая и
левая части и слабо и почти всюду стремятся к нулю.
Переходя к пределу, получаем
— В (/)х (/)+£> (/) и (0 — b (/) з — ф»0,	q>2=0,
или
(96)
Используя Фп^О, получаем из (95)
(97)
где функция х„(0 слабо и почти всюду стремится
к нулю, откуда следует, что x„ (t) и сильно в Llm [0, 7]
стремится к нулю.
Преобразуем теперь соотношение (84). Докажем, что
г
lim $ Я* (О D (/) v"n (/) dt = 0.	(98)
п-»<» 5
Воспользовавшись разложением (90) и переходя в ра-
венстве (84) к пределу, получаем
у
J Я* (0 [— В (0 х (0+D (0 ® (0 - sb (/)] dt 4-
о
т
+ lim J й* (0 D (0 v"n (0 dt = 0.	(99)
п->00 о
Воспользовавшись неравенством (97), получаем
т	т
lim J Я* (/) D (/) v"n (0 dt lim J fl* (t) %n(t) dt = 0. (100)
n—>00 Q	n—*0O Q
С другой стороны, из (99), воспользовавшись неравен-
ством (96), получаем
т
lim Я* (/) D (t) v’n (/) dt < 0.	(101)
П-*<» (J
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
135
5 8)
Из (100) и (101) следует (98). Из (98) и (99) следует,
что
т
J Я* (0 [— В (0 х (t)+D (0 со (0 - sb (/)] dt = 0. (102)
Преобразуем теперь равенство (83). Подставляя
в него разложение (90) и переходя к пределу, полу-
чаем, используя (98):
т
$ [— х* (0 с (о+а* (о р (о - ь* (/)] © (0 dt=о, (ЮЗ)
о
т	т
И - X* (0] dv - lim \ b* (t) v’n (/) dt - 0.	(104)
О	n-+oo q
Если ввести еще меру dyjdt как слабый предел в про-
странстве, сопряженном пространству непрерывных
функций:
= lim (0^(0,	|*(0) = 0,	(105)
то (104) можно записать в виде
т
$ X*dv + |i(T) = 0.	(106)
о
Вспоминая определение нормирующего множителя sni
получаем
ИМ+Ы+ЫШМ.
откуда, переходя к пределу, имеем
«+Ы+||М+1Н1+ Нт Kll= I-
п-*оо
Таким образом, из теоремы 9 получаем следующую
теорему.
Теорема 10. Пусть И*, 0* — оптимальные управ-
ления для задачи А. Тогда найдутся вектор-функция
©(/)е£)[0, Т], векторы %^RP, х\ <= Rq, число s, меры
136	' СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ V
dyjdt и d\k/dt и последовательность Vn, почти всюду
стремящаяся к нулю, такие, что
- Т = А (О X (0 + С (t) ш (0 + +sa (О, (107)
х(Т —O) = as + Qn + v(T), /?£-Рх(0)>ys, (108)
- В (0 х (О+D (0 ® (0 - b (f) s 0,	(109)
g = lim С (0^(0, $ = Hmb*(t)v'n(О, (ПО)
D(t)v'„(t) + Xa(t)^O, ЬЛ*,->0,	(111)
s+hHII^IL+ll®ll+ iim	(ii2)
Л—* ©О
(О (0>0, £S^0, 8 5» О, vJSsO,	(113)
т
lim (Я* (О D (t) v’n (0 dt« О,	(114)
Д-*00 Q
Т
H(T) + $Je*(/)dv = O.	(115)
о
Кроме того, почти всюду на отрезке [О, Г]
й?[— B(/)x(0 + D(0<o(0-s&(0]/ = 0, i= 1.........т
(- X* (О С (/) + й* (О D (0 - 6* (01/ ®/ = О, / = 1 г.
Дубовицкий и Милютин дали описание мер dv/dt
и d\t/dt через позитивную меру, сосредоточенную на
множестве фазовых точек траектории. Идея предлагае-
мого ниже доказательства принадлежит Ю. Брод-
скому.
Пусть меры dv/dt и dp/dt не обращаются одновре-
менно в нуль. Тогда в силу (112) величина || |) стре-
мится к некоторой положительной постоянной, кото-
рую без ограничения общности можно считать равной
единице. В теореме 8 содержится следующее описание
мер dv/dt и dp/dt. Пусть z (t) — непрерывная вектор-
»8]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
137
функция, а $ (0 — окалярная функция; тогда
J z(0dv + C(/)dp,=
о
- Шп $ [z (О С (t) + С (0 &*(/)] (0 dt,
t£(/)sZ,)[O, П	(П6)
D(t)Vn(t)+%n(t)^O, IX»L«,to.rj-*O,
т
\a*(t)D(f)v'n(t)dt-^O,
о
[b*(i)+x*(t)C(t)Wt)dt^O,
т
k;iHev" (О dt— i’ e=(i,
0
Рассмотрим экстремальную задачу.
Задача U. Найти inf а при следующих огр'ни-
чениях:
а, р, у е /?х,	и (0 <= L"[О, Т], и (t) > О,
ае	uD (О + ря* (О D+у [6* + х* (/) С (/)]+
-ь z (f) С (/) + £ (О Ь* (0 почти всюду. (117)
Очевидно, что у задачи U есть допустимые элементы
а, ₽, у, «(/). Покажем, что infa> —оо. Умножая (117)
на Vn, интегрируя от 0 до Т и используя (116),
получаем при п->оо
т
a^z{f)dN^(t)d^.	(118)
Поэтому множество чисел а ограничено снизу и inf a >
>• —оо. Пусть п — произвольный вектор вида
п^О,	|п| = 2п/=1.	(119)
Тогда (117) эквивалентно неравенству
а	и (/) D (0 п + pa* (0 Dn+у [6* + х* (f) С (t)]n +
+[г(0С(0 + ;(/)Ь*(0]пвФ(м, р, у, п, t). (120)
138
сопряженные линейные задачи
[ГЛ. v
Неравенство (120) при фиксированных допусти-
мых u{t), а, р, у выполнено при всех t е [0, Т] и п,
удовлетворяющих условиям (119). Используя теперь
понятие замыкания по мере и теоремы 16 и 18 гл. I,
получаем
а > max {vrai шахФ(м, р, у, п, /)} =
п t
— max{uDn-\-$u*Dn-}-y [b*+x* (/)(?]«-{-
+[*(0C+U0**]«h (121)
где max берется по множеству
е0 = {(/, п, D, и*, Ь*, С): /<=[0, Т], п>0, |п|-1,
D, и*, Ь*, СяЬ(0, Я*(0, b*(t), C(t)},
которое есть компакт в конечномерном пространстве.
Из (121) следует
infa= inf {max[«Dn-{-p«*D/i-|-
+у (**+Х* (0 С) п 4- (z (t) с+£ (0 &*) «]}.
Назовем точку множества б0 фазовой, если
Dn^Q, u*Dn — Q, [6*+x*(AC]n = 0. (122)
Множество всех фазовых точек обозначим через 0. Так
как на дополнении 6 в 60 inf max — — оо, то
inf а = inf {max [uDn + (z (/) C-{- £ (/) b*) n]}.
и e
В силу условий (122) inf достигается при и = 0.
Поэтому
inf а = max [г (/) С + £ (/) й*] п.
0
Из неравенства (118) тогда имеем
т
max[г (/) С+£ (0 Ь*]> $ z (0dx + £ (/) йц.
0	о
Таким образом, меры dv/dt и d^/dt — опорные к суб-
линейному функционалу
ф (z, S) = max[z(0C + C(06*J^	(123)
fi
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
139
18)
В § 1 гл. IV было показано, что любой опорный
функционал к (123) выражается через позитивную меру,
сосредоточенную на 6. Поэтому
т
\z(t)dv + l (0 dp = $ [z (/) С-Н (0 &*] п da. (123')
о	6
Таким образом, все меры, определяемые условиями
(116), будут опорными к сублинейному функцио-
налу (123). Можно показать, что такими мерами
исчерпывается все множество опорных функционалов
к (123). В силу теоремы 2 гл. IV достаточно показать,
что множество мер, определяемых условиями (116),
слабо* замкнуто, выпукло и
____т
<р (z, 0 = max lira J [z (t) C(t)+£ (/) b* (/)] vn (/) dt. (124)
Pn n-oo0
Выпуклость и слабая* замкнутость рассматриваемого
множества мер очевидна. Равенство (124) следует
из результатов § 5 гл. III.
Рассмотрим экстремальную задачу 0 о разыскании
максимума функционала, стоящего в правой части
равенства (124) на множестве последовательностей v„,
удовлетворяющих ограничениям (116). Тогда задача U
двойственна задаче 0. В силу результатов § 5 гл. III
значения функционалов двойственных задач на реше-
нии совпадают. Поэтому (124) должно быть выполнено.
Т е о р е м а 11. Если задача А имеет строго допусти-
мое управление, то множитель s в теоремах 7—10
можно считать равным единице.
Доказательство. В самом деле, как было
показано ранее, последовательность vn(t) в формулах
(71) — (78) в этом случае будет ограниченной в L) [0, Т],
и нормирующий множитель (79) вводить не нужно.
Теорема 8 позволяет сформулировать принцип макси-
мума Понтрягина. Введем функции Понтрягина
Ж' (и*, х) = ы* (Вх-)-$&),	(х*, ш) = (Ь* 4-х*С)<о.
(125)
140	Сопряженные линейные задачи (Гл. V
Теорема 1Г. Пусть задача А имеет оптималь-
ные управления й*, 6*. Тогда найдутся вектор-функ-
ция и (/) е Lr [0, Т], векторы | е Rp, т) е Rq, число s,
меры dv/dt и dp/dt и последовательность о'п, почти
всюду стремящаяся к нулю, такие, что выполнены
условия (107)—(113):
тахэ^Г (и*, х (/)) = &%'' (S*(/), x(t)),	(126)
«♦
где max берется по многограннику
ы*^0, u*D (/)<&•(/)+ **(/)(?(/).	(127)
Кроме того,
min (х* (/), ®) =	(х* (0, ® (0),	(128)
(О
где min берется по многограннику
co=sO, D(0<o>B(flx(04-b(/)s.	(129)
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
тельству теоремы 5', если воспользоваться усло-
виями (116).
§ 9. Учет ограничений типа равенств
Рассмотрим задачу, более общую, чем задача А.
Задача Аь Найти управления и* (/) е L" [0, Т]
и ft*(/)eL"[0, Т], дающие максимум линейному
функционалу
Ф = х* (Т)а-(-х* (0) 0 +
т
4-1 [х* (0 а (0 + и* (0 (0 + Л* (/) Ьг (/)] dt (130)
при следующих ограничениях’
= х* (0 А (0 + и* (0 Вх (0 + Л* (0 В. (0 + а* (0,
х* (t) €= %™ [0, Г], и* (0 Э* 0,	(131)
-х*	(0 С, (0	+ «* (t) D. (t) + h* (t) Ег (t) < ft	(t),	(132)
- x*	(/) C2 (/)	+ u* (t) D2 (/) + /i* (/) E2 (t) - Ы	(t),	(133)
x*(0)G1 + x*(T)Q1<CT,	(134)
x* (0)G2 + x*(7’)Q2 = C!.	(135)
< я	* УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИИ ТИПА РАВЕНСТВ
141
Матрицы и векторы, зависящие от t, предполагаются
ограниченными и измеримыми. Векторы Ь*, й?, с*, с?
имеют размерности соответственно гъ ra, qi, qa.
Аналогично § 3 задача Ai может быть сведена
к задаче линейного программирования в банаховом
пространстве. Положим
х*(0) = х*.
Тогда функционал (130) может быть преобразован
к следующему виду:
ф —х*х04-(и*. «в) + (Л*, й0),
где
т
хв-а + Р + 5 Е(0[А (0а+а(ЩЛ,
«о (0 - Bi (0 N-1 [А (0 а + а (0] + Вх (0 а 4- &i (0,
й0 (0 = В2 (0 N-1 [А (0 а + а (0] + В2 (0 а + ba (0.
Ограничения (132) и (133) преобразуются следующим
образом:
- М-1 (и*В1)	(0 4- и* (t)	(t) - Mr1 (h*Ba) Cx (0 4-
4-Л* (0 Ei (0 - х* F (0 Ci (0 < ft (0,
- M-1 (и*Bi) С2 (0 4- «* (0 Da (0 - М-1 (h*B2) С2 (0 4-
4-Л* (0 Е2 (0 -х* F (0 С, (0 < (0,
где
ё? (0 - bt (04-М-1 (a*) Ct (0,	1-1, 2. (136)
Ограничения (126) принимают следующий вид:
| [«* (0 Bi (04-й* (0 В2 (0] F-1 (0 dt • F (Т) Qi 4-
4-x*(F(T)Qi4-Gi)<^,
J [и* (0 Bi (04-й* (/) В2 (0JE-1 (0 dt  F (Т)Q24-
о
4-x*(E(T)Q24-Ga)=c:,
142	СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ. V
где
7
'c^ = Ci-\a*	t = l, 2. (137)
О
Если ввести операторы S* ® [L”->L“xR9i], R* s
e[L£, xR„->L£xR?t], T*«[L“->L~x/?J, Р* е
e[Lm,x/?n-*-LnXR?1] следующим образом:
/Af-1 (и*В!) С1 (0+«*О1 (0 \
Т*о» = I Т	I
Р* (h*, х*) =
/—М-1 (Л»В2) Cj (0+A*£i-x*F(0 Ct (0	\
= I т	1
Н Л* (0 Ва (0 F-1 (0 dt. F (Г) Qj4-х» (F (Г) Q14- Gx) 1 ’
/— Mi (и‘ВО Са (t)+u*Dt (0\
S*u* = I I	I
H«»Bi(0F-i(0d/.F(T)Q1	'
R* (Л*, x*) =
/-M-i (ft»Bt) C, (t)+h*Ea (f)-n*F (0 Ca (0	\
__ It	\
H Л» (0 Bt (0 F-1 (0 dt. F (T) Qa4-x* (F (T) Qa4-G2) ) ’
то задача Ai может быть записана в стандартном виде
задачи II § 5 гл. III.
Задача Ац. Найти
тах{(«*, «0) + (л*» ло) + (х*. хо)}
при следующих ограничениях:
S*w*4-R*0*. х*)-(^, с?)==0,
Т*м* 4-Р* (й*, х*) — (b*, Ci)sg:0,
и* ^0.
f в] , „ # УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА РАВЕНСТВ	143
Заметим, что операторы S*, R*, Т*. Р* сопряжены
операторам S е [Ц., xRq, -> Llm,], R a [Llr, x Rq,-+Lmt x
xRJ, Tg^x^-^U,] и P eiZJ.xR^-^Lk.xR,,]:
T(v(0, 5)=---(C^+D.v + B.F-^FfTjQrl,
S (6, n) == ~ BiN-1 (C26) + D28 + BJ-1 (/) F (T) Qan,
/- B2A/-1 (C1v)+E1o+B,F-1 (0 F (T)	\
P(v, ₽)= т
1 S/ \ -	(0 Ci (t) v (/) dt+(F (T) Qx+GO	’	(138)
\ o	/
/- BtN~i (C26) + Ea6+B2F-i (/) F (T) Q2ti\
R(6, tl) = |	?	|
\-lF{t)C*(t)6(t)dt+(F(T)Qa+Ga)^]
Из результатов § 5 гл. Ill следует, что задача,
двойственная задаче Ап, имеет следующий вид.
Задача В2. Найти
min {(&?, v)++(bl, 6) + cJn}
при следующих ограничениях’, •
ОО, g>0,
Т(», £) + S(6, т))-«о^О,
P(v, £) + R (6, п)-(А0. «о)>О.
Воспользовавшись теперь выражениями (138) для
операторов и выражениями (136) и (137) для Ь* и ct,
при помощи рассуждений, аналогичным рассуждениям
§ 3 этой главы, мы сведем задачу В2 к следующей
задаче:
Задача Вх. Найти управления v(f) е Ц-, [0, Т],
6 (/) е L'r, [0, Г], g е Rqi, i) <= R4t, дающие минимум
линейному функционалу
т
=сГВ+С2*Т|+5 [«* (0 х (0+bl (0 и (/)+Ь1 (/) S (/)] dt,
144
СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
при следующих ограничениях:
-	- А (О х <0 = С1 (0 »(О + с, (О S (0 4- а (0,
х(0«=#А[О, Т]. v (О^О, £5&0,
x(T) = a-(Q^ + QaTi),
х(0)----------p + G^ + Gtf,
- Bi (0 x (t) 4-(t) v (t) 4-Da (0 6 (0 S» &i (0,
- B2 (0 x (0 4-Bi (0 v (/) 4- B2 (f) Й (0 = t>2 (0.
Воспользовавшись теперь теоремой 32 гл. Ill, мы можем
доказать теорему, аналогичную теореме 7 этой главы:
Теорема 12. Пусть й* (t), h* (t), х* = х* (0) —
оптимальные управления задачи Aj. Тогда найдутся
последовательности суммируемых вектор-функций
vn (t) е ПГ1 [0, Т], б„ (0 <= L1,, [0, Т], последовательности
векторов £л е= т|я е Rq, такие, что
-	= А Ю х“ W + С1 (О	(0 + ® М0+« (0.
Хп (Т) — о, Qi^n —“ СгН»»	5л 0, v№ (0 0,
хп (0) = — Р 4* Gi£n 4" ^гЛл 4- 5л» £л 0»
- В1 (0 Хп (I) 4- Di (/) Vn (/) +Da (П 6п (0 4-xi (0 bi (0,
- Ва (0 хп (/) 4- Bi (0 vn (t) 4- В, (0 6Я (0 4- Зй (0 - Ь2 (0,
г ХА(О. Х^(С-»-0 сильно,
£m J [- х* (о Ci (0 4- а* (0 Di (/) +
4-й*(0В1(0-#(0]оя(/)Л=0,
lim $ й* (0 [- 51 (0 хп (0 4- Bi (0 vn (0 4-
4-B>a(06„(0-6i(0]d/ = O,
lim [х* (0) Gi 4- x* (T) Qi - с?] |я = 0.
«-♦ОО
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 7.
Замечание. Как следует из теоремы 32, если
по ограничениям типа неравенства удовлетворяется
условие Слейтера, а ограничения типа равенства н?-
« 9J
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА РАВЕНСТВ
145
вырождены, то последовательности vn (t), 6„ (/), g„, r]„
будут ограниченными.
В общем случае теореме 12 можно при помощи
нормировки придать следующий вид:
Теорема 13. Пусть #*(/), Л* (/), х*=х*(0)—
оптимальные управления задачи Аь Тогда найдутся
последовательности суммируемых вектор-функций
vn (0 е Llrt [0, 7], 6„ (t) е L‘rt [0, 7], последовательности
векторов	Цп^Пд, и числовая последователь-
ность sn такие, что
“	= А ® ® + С1 ®	$ б» (О + s»a
Хп(Т ) = Sn^> QlBn СзЛл» Вл о, оя (/) О,
x7,(O) = -s„₽ + G^„4-G2nn + U С„->0,
- Bi (0 хп (О + Dj (0 Vn (П + D2 (0 6„ (0 - Snh (f)
- Bt (0 Хп (0+Et (0 Vn (t)+е2 (0 бд (0 - snb2 (0 =	(О,
х«(О. хИО-’-О,
г
lim $ [— X* (О Cl (0 + Д* (О D1 (0 + л* (t) El (t) -
-b? (0] Vn (t)dt = O,
lim $ 0* (0 [- Bl (0 Xn (/) + Di (0 Vn (0+D,(o 6„ (/) -
-&i (Qs„]df = O,
lim [X* (0) Gi -H* (7) Qi - tf] U = 0,
л-»во
IM4dM+«M+KII+s»=i.
Bes ограничения общности можно считать, что
lim sn«=s, Сформулируем условия, при выполнении
Л->00
которых число S =?М).
Теорема 14. Пусть
1) существуют допустимые управления, строго допу-
стимые по ограничениям (132), (134),
2) ограничения типа равенства (133) и (135)— не-
вырожденные.
Тогда lim s„ о.
п-*оо
Доказательство. Воспользуемся теоремой 32’
ГЛ. III. Теорема 14 есть простое следстие этой теоремы.
146	СОПРЯЖЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	[ГЛ . V
Замечание. Условие невырожденности ограничения
(124) означает, что любая вектор-функция y(t) «
еЦ,[0, Т] может быть представлена в виде
ф (О — X* (0 с2 (i) 4- U* (О d2 (0 4- л* (0 е2 (i),
6*eLm,[0, Т], u*(()eLU[0, Т], м*(О^О. (d)
Поскольку х* (О есть интегральный оператор типа
Вольтерра от и* (t), h* (t), то (139) есть интегральное
уравнение типа Вольтерра. Условие невырожденности
ограничения есть условие разрешимости этого уравне-
ния. Аналогично, условие невырожденности ограниче-
ния (135) заключается в том, что любой вектор k eRqt
можно представить в виде
Л = х*62 + х* (T)Q2, х* «=/?„.
Например, если ранг матрицы G2 равен д2, то огра-
ничение (135) будет невырожденным.
Сформулируем теперь теорему, аналогичную тео-
реме 8.
Теорема 15. Пусть а* (О, h* (О, х*=х*(0) —
оптимальные управления задачи Ар Тогда найдутся
вектор-функции v (t) е М, [О, 7], б (О е L'r, [0, 7], век-
торы £ ё Rqt, т) е Rq, и число s такие, что
-	= А (О х (О + Сг (0 v (0 4- С2 (0 б (0 +
1 „„ /а । dvi । dv’
+sa (О +	.
x(T) = sa-Qxg-Q2T1+v1(T)+v3(T),	o(0>0,
x(0) = — sP + G^ + G2t|, v(0^0, |SsO, 0<s<l,
— Bi (0 x (t) 4- Dr (() v (0 4- D2 (t) 6 (0 - sbi (()	0,
— B2 (t) x (t) 4- Ei (t) v (0 4- (0 6 (0 - sb2 (/) = 0,
j [-r(()Ci(0+«*(0^i(0+
+ h*(t)Ei(t)-bUt)]v(t)dt~Q,
j «*(()[- Bi (Ox (04-01 (t)v (04-
o
4-D2 (06(0-&i (Os]d( = O,
(x*(0) Gj4-x* (T)Qi-cr]g = O,
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИИ ТИПА РАВЕНСТВ
147
I 91
где меры dv^/dt и dv^/dt определяются следующими
соотношениями:
° lim Сх (О v'n (О, 4-limC, (О
п—>оо
оПОеМДО, Т], О;(0>0,
Vn (t) О почти всюду на [О, Т],
6„ (О е L*r, [О, Т], 6„ (О -► О почти всюду на [О, Т],
^1(0^(0 + ^(/)6И0>Х«(0->0 в L^[O, Т].
Я1(0»И0+^(05И0-*0 в адо, Т],
т
lim J Я* (О [Dx (0 v’n (t) +D2 (О 6; (0] dt = О,
П-+0О о
Т
^*(O(^i + dvs) +
О
г
4- lim $ [6? (О v'n (t) + Ы (О 8’п (О] dt = О,
п->оо о
«+Ш + Ь11+М+Ж+ limhn||+ lim||6;||>0,
п~*оо	п-*оо
т
lim U— х* (/) Сх + fl*Dx (t) +
«-»<» о
4-Л* (0Ex (0-6? (0И(0Л-0.
Как и в предыдущем параграфе, можно дать опи-
сание мер через позитивную меру, сосредоточенную
на множестве фазовых точек.
ГЛАВА VI
ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§ 1. Постановка задачи
Ограничимся рассмотрением дифференциальных урав-
нений, линейных относительно фазовой переменной, и
сформулируем следующую простую задачу:
Задача С. Найти управления и* (О &L% [0,7],
х* ffi Rn, дающие максимум функционалу
т
ф (и*, X*) =« $ ф[х* (/), U*(0. t}dt (1)
о
при следующих ограничениях:
х*(0 А (0+П(«* (0,0,	«*(0>0, (2)
х*(0) = х*, х[х*(Т),х*(0)]<0,	(3)
Ф [х* (0, «* (0, fl < 0, х* (0) 6г + х* (Т) Qa = с%. (4)
Предполагается, что функции — Ф (х*. «*, 0,
ф(х*, и*, 0, —Л («*, 0 непрерывно дифференцируемы
во всем пространстве, вогнуты по х*, м* и монотонно
возрастают по х*, Ф (х*, и*, I) — вектор-функция с г
компонентами, —х(а, Р) — непрерывно-дифференцируемая
функция, вогнутая и монотонно возрастающая по а.
Задачу С нетрудно свести к задаче вогнутого про-
граммирования в банаховом пространстве. Из (2), вос-
пользовавшись формулой (15) гл. V, получаем
х* (0 ^М-1 (т) (и*, 0) + х*7 (0-	(5)
Поэтому задача С сводится к следующей задаче вог-
нутого программирования:
«11
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
149
3 а д а ч а С'. Найти максимум вогнутого функционала
т
<р(и*,	0) + «*^(Л. «*(0. t}dt (6)
о
при следующих ограничениях:
Ф [АГ1 (т) («*, /)) + x*F (Т), и* (/), t] < О,
Гг	т
X $ т] (и*, t) F-1 (t) dt-F(T) + x*F(T), х* < О,
[о	J
/Г	ч
Х*б8 + Л Т) ОЛ О F-1 (0 dt + х* IF (Т) Q2 = cf.
(о	J
(7)
(8)
(9)
Напомним, что для задачи С' выполнено условие
Слейтера по ограничению (5), если найдутся такие
допустимые управления й*, х*, что
Ф(Х*(0, й* (/),/) 3s у^О, er = (l, 1...1). (10)
Аналогично определяется условие Слейтера для дру-
гих ограничений типа неравенства.
Применяя теперь к задаче С теорему 3 гл. IV, по-
лучаем следующую теорему:
Теорема 1. Пусть функции— Ф(х*, и*, t),
ф (х*, и*, t), — л («*, t) — непрерывно-дифференцируемы,
монотонновозрастают по х* вогнуты по х*, и*, функция—
Х(а,₽) — непрерывно-дифференцируема, вогнута и моно-
тонно возрастает по а. И пусть по всем ограничениям
удовлетворяется условие Слейтера. Тогда для того,
чтобы управления й* (I), х* были бы оптимальными
для задачи С, необходимо и достаточно, чтобы они бы-
ли бы оптимальными для следующей линейной задачи
оптимального управления:
Задача Со. Найти управления и* (t), х*, дающие
максимум линейному функционалу
т
${х*(0-!£-[** (0. й*(П. л+
о
+ «*(0^-[**(0. «*(/),/)]} dt, (11)
150 ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
при следующих ограничениях:
- х* (0 Л (/)+(«*-я*)-^-(я*. 04-п(«*. t),
(12)
Ф(х*, а*, о+(х*-х*)-^-(х*, а*, /) +
+ («*-я*)^-(х*, я*, 0^0, (13)
u*=s0, x*(0) = x*, x*(0)G2 + x*(T)Q2 = c%, (14)
Х(Х*(Т), x*) + (x*(T)-X*(T))-g-(X*(T), х*) +
+ (х* - х*)	(X* (Т), х*) < 0.
Доказательство. Для задачи С' выполнены
все условия теоремы 3 гл. IV, ибо нетрудно прове-
рить, что добавление ограничений типа равенств, но
линейных, не делает теорему неверной. Далее, в силу
теоремы II гл. I операторы и функционалы, входя-
щие в формулировку задачи С' и определяемые равен-
ствами (6) —(9), имеют производные Фреше, которые
легко вычислить по формуле, данной в теореме 11
гл. I. Вычисляя производную Фреше функционала (6),
получаем
^(й*, х*)(«*-Я*)+^(Я*, х*)(х*-х*)-
= | [м-1	(Я*, о) («* - «*) + (х* -й*) F (/)]X
т
х^т(х*, a*, t)dt+ j (и*-а*)£.(х*, я*, t)dt. (15)
Полагая теперь
х* (/)-**(/) =
= М-1	(я*,	(ы* — я*) _|_ (х* — x*)F (/),
получаем, что х* (t) есть решение уравнения (12)
с начальным условием х*(0) = х*. Поэтому равенство
»I]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
151
(15)	можно переписать в следующем виде:
д^г(й*, х*) (и* —й*) + ^-(й*, х*)(х* —х*) =
- j[x*(/)-x*(/)]^-(**, я», t)dt +
+ | [«* (0-й* (0] $ (**, й*. 0 dt.
Аналогичным образом выписываются производные
Фреше и всех остальных операторов. Применяя теперь
теорему 3 гл. IV, получаем, что справедливо утверж-
дение теоремы 1.
Заметим теперь, что задача Со имеет стандартный
вид задачи Ai гл. V, в которой отсутствует ограниче-
ние (125) гл. V и управление /г*(/) = 0. Нужно лишь
положить
В1-Д(й*,0 В2 = 0, Сх — -^-(х*. а*. 0, с2=о,
Di = -^r(**, Я*. 0, 1>2-0, £1=0, £2«=0,
а = 0, р = 0, а*(0-т)(«*. /)-й*-^г(й*, 0. (16)
6* =—Ф(х*. я*,/)+х*-|^-(х*, й*. 0 +
+й*^*« й*> о.
tf = -X(x*(T), х*)+**(Т)-£-(** (Г), **) +
+ х*-^-(Х*(Т), х*),
&* = о, а(0«^-(Х*. Й*. о, &(0-$•(**, ®*» 0-
Подставляя теперь выражения (16) в формулировку
задачи Вь двойственной задаче Aj, получаем форму-
лировку задачи, двойственной задаче Со, которую мы
обозначим через Do:
152 ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Задача De. Найти управления u(/)«eLJ-[O, Т],
5 ё я ® #<?,, дающие минимум линейному функцио-
налу
Ф = [—«*) +
й*) + х*^-(Г (Т), «*ф+
+Ф)+| [п(й*. 0“й*^г(й*, 0]*(0^+
Т
+ j[— ф(х*, a*,	а*, 0 +
+й*^г(**. й*, 0] 0(0^. (17)
при следующих ограничениях:
-^~A®x(t)-^(X*, й*, 0»(0 +
+ 1И*’ й*’ 0. (18)
v(0>0, g(0>0,
х(Т)---#(**	«*)5-<?Л,
ах -	(19)
*(0)=-g-(**(П. **Н+оая,
-^(й*.	й\ 0»(0^
й*. 0. (20)
§ 2. Необходимые условия оптимальности
Применяя теорему 12 гл. V, получаем следующую
теорему.
Теорема 2. Пусть и* (t), х* — оптимальные уп-
равления задачи С. И пусть по всем ограничениям
выполнено условие Слейтера. Тогда найдутся ограни-
< 2]
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
153
ценные последовательности v„ (t) <= Ц [0, 7],	<=
такие, что
a*, 0М0+
+ #(**. Я*. 0. (21)
х» (^=—Й- (** <Г)’	и* > °> > °’
(22)
(°) = ж <х* **) &+°’	<23>
~4МЙ*’ О^(О+^г(Л*. Я*, /)»„(0>
(**’ Я*’ *> + X»	X» (0 -> о, (24)
Т
lim ( Ф [X* (0, й* (/)> /] vn (0 dt = 0,	(25)
/1 — 00 g
J£m | fl* (0 [- -gL (fl*, t) xn (0 +^- (x*. fl*, 0 v„ (0 -
-^-(x*. fl*, ф/ = 0, (26)
lim x(x* (/), x*)&, = 0.
Доказательство. В силу теоремы 1 задача С
эквивалентна задаче Со. В силу теоремы 5 гл. IV усло-
вие Слейтера будет выполняться и для ограничений
задачи Со. Далее, применяя теорему 12 гл. V и учи-
тывая замечание к этой теореме, получаем утвержде-
ние теоремы 2.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теорем 1
и 2 и пусть
1) х? (0^а/>0,	1=1....п,
2) Ф(0, 0, /)=с0.
154 ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ (ГЛ. V!
Тогда найдется функция v (t) е Llr [О, Т] и векторы
5 е RQl, т] е Ret, такие, что
_^0=Л(0х(0—gr(x*. а*, W) +
+ -g-(x*. «*, /), (27)
х(Т)---«*jg-Q8Ti, S^o, v(0>0, (28)
х(0)=^-(Х*(Л, х*Н + бЛ,	(29)
-^г(а*. 0x(0+^-(x*. я*,	а* 0.
(30)
г
|ф(х*, й% О®(/)Л-о,	(31)
Ja*(o[--^(a*, 0*(0+|£-(**, а*, о »(0-
-#(**, Я*. о]л-О, (32)
х(х*(Л. Х*)£=О.	(33)
Доказательство. В силу теоремы 2 последо-
вательности vn (/), т]я ограничены. Без ограничения
общности т]л—*-т],	Применим теперь рас-
суждения, аналогичные уже примененным при дока-
зательстве теоремы 8 гл. V. Воспользуемся леммой
Дубовицкого и Милютина и представим vn(t) в виде
vn(t) = v'n(t) + vn(t),	v'n,	(34)
где v'n (0 слабо стремится к v (t), a v„ (t) почти всюду
стремится к нулю. Покажем, что в условиях теоремы
дФ/дх* • v’n (t) сильно стремится к нулю. Аналогично
доказательству равенства (98) гл. V найдем, что
т
lim С Я* (0(X*, Я*, t) v’n (t) dt = 0.	(35)
S 21
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
155
Из (25) получаем, что
т
lim ( Ф [х* (О, Л* (0, /] v’n (0 dt - 0.	(36)
Л-»Св0
Воспользовавшись известным неравенством для выпук-
лых операторов, пол'учаем
Ф(х*. И*, /)<
<Ф(0, о, t)-x*-^(х*, a*, t}-a*~(x*,ti*,t).
Тогда из (36), используя (35), получаем
т
lim J [ф(0, о, t)-x*^(x*, а*,
Но
Ф(0, 0, /)<0,
так как функция Ф(х*, u*, t) монотонно возрастает по
х*. Поэтому
т
lim ПФ(О, 0, /)-Х*4?-(Х*, я», ок(0^ = 0,
откуда
т
lim ( х* (0[х* (/), я* (0, 0 v’n (t) dt = 0,
n-»co0J
и так как X*(f) — строго положительный вектор, то
дФ/дх*и„ (0 сильно стремится к нулю. Подставляя раз-
ложение (34) в (21) и переходя к пределу, получаем
уравнение (27). Остальные соотношения (28) —(33) вы-
водятся так же, как й при доказательстве теоремы 8
гл. V.
В том случае, когда условия 1) и 2) теоремы не
выполняются, в правую часть уравнения (27) могут
входить меры. Мы не будем на этом останавливаться,
так как эти меры имеют достаточно сложное описание.
156 ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
Следствие. Условия оптимальности (31) —(33)
можно записать в следующем виде: почти при всех t
Ф,- (X* (/), й* (/), 0 vt (0 = 0; i = 1, ... г, (37)
at W [-&•(»*»	+	й*,
--gr(X*. й*, /)]/=0;	1 = 1, ...,т,	(38)
Ха(Х*(Л. **)Ь = 0;	*=!,..., ft. (39)
Для доказательства равенств (37) —(39) достаточно
воспользоваться знакопостоянством подинтегральных
функций в равенствах (31) —(32).
§ 8. Принцип максимума Понтрягина
Рассмотрим функцию Понтрягина для задачи С
(и*, х*, х, /) = »](«*, /)х+Ф(х*, и*, t) (40)
и поставим следующую задачу вогнутого программи-
рования:
Задача П. Найти
maxЖ(и*, X* (/), x(t), t)	(41)
и*
при следующих ограничениях:
и* > 0, Ф (X* (0, и*, 0 0.	(42)
Рассмотрим также функцию Понтрягина для за-
дачи Со
(«*, х*. х, 0 = «*	(«*, 0 +^- (х*. «*, О (43)
и соответствующую ей задачу линейного программиро-
вания:
Задача По. Найти
max 8%^о(“*» X* (0, x(t), t)
при следующих ограничениях:
и*^0, Ф(Х*(0, й* (/), /) +
+ («*-«* (0)	(X* (0, й* (0, I) 0.
««1
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА
157
Двойственная задача fi0. Найти
min {фр* (0, а* (0,	(0. а*(1), /]}о
при следующих ограничениях'.
|£-[х*(0, д*(0, tlv-
-	<я* W. 0 х (О -	(®* <0. *' (О» О > 0.
Заметим, что соотношения (37) и (38) есть условия
дополняющей нежесткости для задач По и По. Если
они выполнены, то и* = й* (/) будет решением задачи По,
a v (/) — решением задачи По. Из результатов гл. IV
следует, что задача По есть задача линейного програм-
мирования, соответствующая задаче вогнутого програм-
мирования П. Так как й* (/) есть решение задачи По, то
в силу теоремы 3 гл. IV й* (/) будет и решение задач П
(при доказательстве этого пункта теоремы 3 гл. IV не
было использовано условие Слейтера).
Таким образом приходим к следующей теореме:
Теорема 4 (принцип максимума Понтрягина).
Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда
max «ЯГ (и*, X* (/), х(/), /) =«ЯГ (й* (/), х* (f), x(t), t),
где max берется почти при всех t по множеству
и**&0, Ф(Х* (t), и*, t)^0.
Замечание. Теорема 4 справедлива и в тех слу-
чаях, когда не выполнены условия теоремы 3. В этих
случаях в правую часть уравнения (27) войдет ешр мера
dv/dt, точным описанием которой мы здесь не будем
заниматься.
Сформулируем в заключение достаточный признак
оптимальности.
Теорема 5. Пусть выполнено условие Слейтера
и для управлений й* (t) и о (/) выполнены условия допол-
няющей нежесткости (37) и (38). Тогда управления
й* (/) и v(t) оптимальны.
Доказательство. Применяя теорему 7 гл. V,
получаем, что й* (/) и v (/) будут оптимальными управ-
158 ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI
лениями для задач По и Йо Так как удовлетворено
условие Слейтера, то И* (/) будет оптимальным управ-
лением и для задачи П.
Замечание. Выполнение условий дополняющей
нежесткости для й* (t) и v (f) можно заменить усло-
вием, что функции Я* (/) и v (/) удовлетворяют принципу
максимума для задач По и По. К сожалению, нельзя
утверждать, что функция £*(/), дающая максимум почти
при всех t функции Понтрягина при ограничениях
(42) будет давать оптимальное управление. Это свя-
зано с тем, что мы не можем гарантировать при есте-
ственных ограничениях условие Слейтера для задачи II.
ГЛАВА VII
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§ 1. Постановка задачи (линейный случай)
Пусть {х?}, /-«О, 1, ..., есть последовательность
n-мерных числовых векторов-строк, {и*} — последова-
тельность m-мерных числовых векторов-строк. Рассмот-
рим систему уравнений
х?+1~х?А+и?В+а?, xf—a* (1)
при следующих ограничениях:
— x?C+u?D^bf, «?>0;	(2)
матрицы А, В, С и D для простоты будем считать
постоянными, хотя это и несущественно. Вектор х* будем
называть фазовым вектором, а вектор и* — управлением.
Нормы векторов х? и и* будем обозначать следующим
образом:
Ия"” I *?|” max I x?t |, | u* | =« max | aft|.
f=l.............n	i = 1, ... , m
(3)
Без ограничения общности можно предполагать, что
выполнено следующее условие:
||AJ<1.	(4)
В противном случае можно было бы перейти к новым
переменным xf = (е + || A ||)z £*. В дальнейшем будем пред-
полагать, что условие (4) выполнено.
Рассмотрим вопрос о решении системы уравнений
4+1 = х*А +/?,	Хо = а*.	(5)
Пусть /“ — пространство ограниченных последователь-
ностей векторов, см. гл. I пример 7. Тогда, если
160
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
[ГЛ. VII
считать, что последовательность {/>} е то решая си-
стему (5), мы получим некоторую последовательность
векторов {х*}. Покажем, что система уравнений (5) оп-
ределяет линейный оператор из в
Теорема 1. Если выполнено условие (4) и после-
довательность {/J е то решением системы уравне-
ний (5) будет последовательность {х*} е Более того,
+ где Т* есть линейный оператор из I™
в Iю и Z* е /°°
п о п •
Доказательство. Из (5) нетрудно установить,
что
х? = а*, x<+i=f?+/rM+ ...-НИ+еМЧ (6)
Определим оператор
n*-T*f*. t]?+i “/?+...+/? МУ, П? = 0.	(7)
Тогда из (6) имеем
х^ТТ-Но, **-(«*, а*Л, .... а*Л\ ...). (8)
Из (7) следует, что оператор Т* аддитивный и одно-
родный. Покажем, что он действует из Z“ в /“ и огра-
ничен. Имеем
|П?+1Н1/Г+...+Д*4*|<
+ l-М Н... +!/?1-МГ<
откуда
I T*f*	=и ||=sup । п, । тнрф
Следовательно, оператор Т* ограничен. Из (8) следует,
что 2* е более того, г* е с®, где с® — пространство
векторов, стремящихся к нулю. Итак, теорема доказана.
Поставим теперь задачу оптимального управления
на бесконечном интервале времени.
§ 2]	ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ	161
Задача 1. Найти управление и* = {и*} едаю-
щее максимум линейному функционалу
ф(и*)= £ S IPil< + °°»	(9)
f=0	1 = 0
при следующих ограничениях:
х*+1 = х*А +и?В-]-а*,	/ = 0,1,...,
х0* = а*, ы?>0, — xfC + ufD^bf,	(10)
где а* = {а*} <= /“, Ь* = е
§ 2, Формулировка двойственной задачи
Чтобы сформулировать задачу, для которой задача I
будет двойственной, сведем задачу I к задаче линей-
ного программирования в банаховом пространстве.
Используя результат теоремы 1, можем разрешить
уравнение (10) относительно х*:
х* = Т* (u*B + a*) + z$t	(11)
где оператор Т* определен формулой (7).
Подставляя (11) в ограничения (10), получаем
— I* (u*B)C + u*D^~b*,	(12)
g*==f>* + (T*a*4-z*)C.	(13)
Подставляя (11) в (9), получаем
<р (u*) = (Т* (ы*В), р) = 2 (Т* («*£)), рь (14)
i = 0
Чтобы сформулировать двойственную задачу, нужно
сначала построить оператор Т, которому сопряжен
оператор Т*. Пусть 11п — пространство последователь-
ностей векторов-столбцов, определенное в примере 6
гл. I:
{xJ=xe/J, 2lx(|<4-oo.
( = 0
6 А. М, Тер-Крикоров
162
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
ГГЛ VIТ
Общий вид линейного функционала в Гп следующий:
(х*. х) = У, x*xt, х* <= /“
1 = 0
Тогда
(Т*х*. х) = х£х0 + (xf 4-х*Л) хх4-... =
= xj (х0 4- Л Xi 4-...) 4- xj* (xi 4- Л х2 4-...) 4-... = (х*, Тх),
откуда находим выражение для оператора Т:
£ = Тх, & = х,4-Лхм4-....	(15)
&=х<4-Л&+1.	(16)
Используя выражения (12) и (14), мы можем запи-
сать задачу I как следующую задачу линейного про-
граммирования в банаховом пространстве:
Задача Г. Найти максимум линейного функцио-
нала
<р (и*) = («*', “о). и0 = 5(Тр)	(17)
при следующих ограничениях:
a*SsO, f*u*sgb*,
Т*м*= —T(u*B)C4-«*£>.
Нетрудно построить оператор f, которому сопряжен
оператор Т*:
(«*, То) = (Ти*, »)==(—Т* (и*В)С4-м*В, о) =
= («*, Do) - (Т* (u*B), Со) = (и*, —ВТ (Со) +Do),
откуда
To = — BT(Co)+Do.	(19)
Запишем теперь задачу линейного программирова-
ния, которой задача Г двойственна.
Задача 1Г. Найти минимум линейного функцио-
нала
ф(ц) = (&*, о)	(20)
4 г)	ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ	163
при следующих ограничениях:
V^l'r, 0^0,	(21)
Преобразуем условие (21). Подставляя в него выра-
жение (19) для оператора Т и выражение (17) для эле-
мента «о, получаем
— ВТ (Си) + Dv^B (Тр).
Положим х = Т (Су + р). Воспользовавшись рекуррент-
ной формулой для оператора Т, получаем
Xt = Cvt pt + A (Cvt+i + Pt+1) + ...,
Xt = СVt 4“ Pt + Axt+i,	t = 0, 1, ....
00
Так как Ц A | =C 1 и ряд У, сходится, то из (22)
i = 1
получаем
lim |Л7|= lim |Со<4-р/4-4 (С»/+14-рм)4- ...|<
/—♦СО	/-♦00
lim 5|)С|.|»/14-1Р/>0. (23)
t=t
Неравенство (23) иногда называют условием трансвер-
сальности на бесконечности. Преобразуем еще функ-
ционал (20). С точностью до константы
(Ь*, о) = (&*4-(Т* (а*) 4-2?) С, v) =
— (b*, 1>)4-(а*, То) 4-(г?, Су)=>
»(b*, v) 4- (а*, х) 4- (г*, Со) ==
= S (b?Vl + a?Xt + a*A‘Cvt). (24)
/ = 0
Зто выражение можно упростить. Из (22) получаем
Хо = Cvq И- Ро “F
Xi == Сщ + Pi + Дх2,
б*
164
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
(ГЛ VIT
Умножая второе уравнение на А, третье на Л2 и (. д.
и складывая, получаем
х0 = У, A‘Cvt + У PtA‘+ lim Л'х/,
/=0	t = 0
и, так как lim xt = Q и || А ||«С 1, то
/-*00
2 A‘Cve+ 2 Р/Л'.	(25)
/=о	/=о
Подставляя (25) в (24), получаем с точностью до кон-
станты
(b*, п) = У (а*хм+bfy) + а*х0.
t=*o
Итак, задача II' приводится к следующей динамиче-
ской задаче:
Задача II'. Найти минимум линейного функцио-
нала
4(и) = а*х0+ 2 (а?Хм. + Ь?о()	(26)
t=o
при следующих ограничениях-.
xt = AxM+Cvt+pt,
limxz = 0, 2iad<4’oo> (27)
< —oo	/=0
— Вл/Н+Dvt 0, vt 0.
Заметим, что задачи I и II этой главы имеют заме-
чательную аналогию с соответствующими задачами
гл. V, где рассматривались задачи с непрерывным вре-
менем. Как будет показано в последующих разделах,
исследование разностных задач гораздо более простое,
чем исследование соответствующих задач с непрерыв-
ным временем.
5 3)
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
165
§ 3. Необходимые условия оптимальности
в линейном случае
В § 2 задачи I и II были сведены к двойственным
задачам линейного программирования в банаховых про-
странствах.
Будем говорить, что для задачи I выполнено условие
Слейтера по ограничению (10), если существует управ-
ление {«*}, допустимое и удовлетворяющее неравенству
— &*С+ «?£><&?-уег,	у>0, ег = (1......1).
Заметим, что условие Слейтера для задачи I озна-
чает, что для задачи I' существует такой строго поло-
жительный функционал е*, что
Т*ы* <;&* — уе*.
Вспомним определение конуса (32) из гл. III и
запишем выражение для этого конуса для задачи I:
$£?={(«, г): ы = и> —Tv, r = p + (b*, и); w, v, pjs=o}.
(28)
Напомним, что вопрос о замкнутости этого конуса
тесно связан с теорией двойственности. Докажем сле-
дующую теорему.
Теорема 2. Если для задачи I выполнено условие
Слейтера, то конус (28) замкнут в пространстве llrxR.
Доказательство. Достаточно сослаться на тео-
рему 23 гл. III. Пусть с^ — пространство последова-
тельностей векторов-строк, стремящихся к нулю при
/->оо. Оно частично упорядочено конусом неотри-
цательных последовательностей. Норма определяется
так же, как .и в пространстве ограниченных последо-
вательностей 1т- В гл. I мы отмечали, что простран-
ство 11т сопряжено с£ и конус неотрицательных после-
довательностей в 1т сопряжен конусу неотрицательных
последовательностей в с™. Кроме того, для задачи I'
выполнено условие Слейтера. Условия теоремы 23 вы-
полнены, и конус (28) будет замкнутым. Теорема до-
казана.
166
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
[ГЛ. VII
Докажем теперь теорему, дающую необходимые усло-
вия оптимальности.
Теорема 3. Пусть для задачи I выполнено условие
Слейтера и {«*} есть оптимальное управление для за-
дачи I. Тогда найдется такое оптимальное управление
для задачи II {уД, что будут выполнены следующие
условия оптимальности:
(—XfC + afD-b?)iGti = Q,	1 = 1,	(29)
Я&(—Bxt+14-Dvt)t = 0,	i = l, т. (30)
Доказательство. Так как в силу предыдущей
теоремы конус в^т замкнут, то используя теорему 14
гл. III и следствие из нее, получаем, что для задач I'
и 1Г должны выполняться условия дополняющей не-
жесткости
(т*а*+ь*, у)=о, (я*, Tt>-«o)=o.
Возвращаясь к фазовым переменным, эти условия можно
записать в следующем виде:
S (~xrC + ^D~bl)Vt = Q,
':°	(3D
2
1 = 0
Так как в каждой из сумм (31) все слагаемые одного
знака, то они должны обратиться в нуль, т. е. должны
быть выполнены условия (29). Теорема доказана.
Мы можем теперь сформулировать принцип макси-
мума Понтрягина. Введем для задач I и II функции
Понтрягина
«^ («*, хм) = и*Вх<+1,	.	(32)
<^(x?, v) = (b*+ x*C)v.	(33)
Рассмотрим следующие задачи линейного программиро-
вания для этих функций
Задача П. Найти max (и*, х?+1) при следующих
ограничениях:
и* Ss-Q, u*D =s^b'i + Х*С.	(34)
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
167
Н)
Задача П'. Найти min//(x*, и) при следующих
V
ограничениях:
v 0, Dv Зг Вхм.	(35)
Аналогично доказательству теоремы 5 гл. V мы
можем доказать следующую теорему.
Теорема 4. Пусть задача I имеет оптимальное
управление {й*} и пусть для нее удовлетворено условие
Слейтера, тогда найдется такое оптимальное управ-
ление {(у} задачи II, что
max <3% (и*, хм)г=а^ (а?, Хм),
где max берется по многограннику (34). Кроме того,
mine^ (X*, v) = q%” (х*, Vi),
где min берется no многограннику (35).
Доказательство. В силу предыдущей теоремы
будут выполнены условия (29) — (30). Задачи П и ГГ —
двойственные. Условия (29) — (30) есть условия допол-
няющей нежесткости для этих задач. В силу теоремы 13
гл. III Я* должно быть решением задачи П, а й/ должно
быть решением задачи П'. Теорема доказана.
§ 4. Общий случай линейной задачи
Рассмотрим динамическую систему более общего
вида, чем система (1) —(2):
xf+ j = $At + u?Bt+hWt + a},
— xfC( + u*Dt+h?Et =C b?,
-xfC't + ulD't+hTE'^bf,
u*5s0, / = 0, 1, ...
(36)
(37)
(38)
Булем предполагать, что
1,
ИМ ||С4, ||СЯ р;ц, им	(зэ>
\a*t ,
168
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
[ГЛ. VII
Управления и*, й* берутся из пространств /“,
х* — n-мерный вектор, bf — г-мерный вектор, bf—
r'-мерный вектор.
Рассмотрим уравнение
x?+i=xfAt+ff, х* = х*,	/ = 0, 1, ...	(40)
Из (40) получаем
x* = K*(f*, х*) = (х*, х*, .... х?, ...),
х? = /*-1 + ff- 2 А м 4-...+f 0*Л!... А +	(41)
+ ^A0A1...At_1, /=1, 2, ...
Теорема 5. Оператор К*, определяемый форму-
лами (41), будет линейным оператором из простран-
ства In X Rn в tn •
Доказательство. В силу формул (41) имеем
ЦК* (f *, х*) || = max | х? | = max \ff- i +...+/=?Аг... At-i+
+ х*Л0...Л<|<П*||,«(1+а + ... + а«) + 1>с*К
откуда следует ограниченность оператора К*. Аддитив-
ность и однородность его очевидны. Следовательно,
оператор К* линеен.
Найдем теперь оператор К е [/п Гп X /?„], кото-
рому оператор К* сопряжен. Имеем
(к*(г*, х*),л= у; хг/<=х*/0+(/в*+х*л0)А+...
/=0
.••+(/*-1 +/*— 2Л<-1+. ..+/*Лх- •• Л/_14-х*ЛоЛх...
... Л,-!) ft = У1, /?_ 1Х<+х*х0, f <= ft, (42)
i-i
Xt = ft + Atft+i + • •. + At...Aц-pft+p^-i + ...,/ = 0,1,... (43)
Определим операторы
K1/ = (x1, ...» xt, ...), KJ = x0, К = (КЪ K2).	(44)
ОБЩИЙ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ
169
««]
Нетрудно видеть, что оператор Ki есть линейный опе-
ратор из Гп в Гп. В самом деле, аддитивность и одно-
родность его очевидна. Докажем его ограниченность.
Имеем из (43)
I xt I	I //! + « I ft+i ! + •••+I Л+р+11 + • • •	(45)
Суммируя выражения (45) по /, получаем
!< =liy U <l/b; +«!/!,), +...+«'|f I,, +...=s
(46)
откуда следует ограниченность, а, следовательно, и
линейность оператора Кх/. Аналогично доказываем,
что оператор Кг/ есть линейный оператор из'/А в /?я.
В силу (42)
(к* (/*, х*),- /)=(/*, К!/)+(х*, Кг/)=х*х0+ J
/=|
поэтому оператор К = (Кь К2) сопряжен оператору К*.
Пусть Сп есть пространство последовательностей век-
торов, стремящихся к нулю. Обозначим через К суже-
ние оператора К* на подпространство CnXRn-' Тогда
оператор К действует из сях7?я в ся. Действительно,
пусть
5 =(х, Ь,...	...) = К(<р, х),	{ф(}ес1. хе/?,,
£/= ф/-х + Ф/-2-А/-Х + • .-Н-фоАх ... А^1~1-хА0А1 ... At-i,
для любого е > О найдутся N (в) и К (е) такие, что
I ф/1 < 8/2, t Ss N (е),
(IIФ 1Ц +1 х 1Яд) а6"1 < е/2, k Ss К (в);
тогда
I/+A = Ф/+А-1 + VM-zAf+k-i +... -|- Ф/А/-1... А/+Й-1 +
+ Ф<-1А<... Л/+А-1 +... + х* Ао... At+k-i-
Поэтому
| l+k | < max {| <pz I, ...|ф/+*_1|}4-а*-1{||<рЦ +|X|RJ<
<j + y = e для />А(е),	й>К(е);
таким образом, lim £m = 0, {&} е с„ и К* = К.
170	ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ (ГЛ VII
Будем разыскивать решения динамической системы
(36) — (38), дающие максимум линейному функционалу
ф= У, (x?at + u?bt 4- hfb't).
( = 0
Будем х* = Хо считать тоже управлением. Введем опе-
раторы С, С', D, D', Е, Е' следующим образом:
х*С = (хоСо, хГСъ .... xfCt, ...)
и т. д.
Тогда мы приходим к следующей задаче линейного
программирования в банаховом пространстве.
Задача Г. Найти
шах{(х*, а) + (и*, 6) + (й*, 6')}	(47)
при следующих ограничениях-.
-x*C + u*D + /z*E<b*,	(48)
-x*C' + «*D'+/i*E' = 6*',	(49)
и* е= h* е , и* S& 0,	(50)
х* = К* {H*B4-/i*B'4-a*, х*}.	(51)
Введем операторы
Т*и* = —К* (м*В, 0)C4-t/*D,
P*(/i*, х*) = — К* (й*В', x*)C4-/i*E,
S*H*= — К* (u*B, 0)C' + «*D',
R* (й*, х*) = —К* (й*В', х*)С' + й*Е',
и элементы
&* = Й* + К* (а*, 0)С, £*' = &*'+К* (а*, 0)С',
«0 = B(Kia) + &, й0 = В,(К1а) + У, ( '
х0 = Кай.
Тогда задачу I' можно переписать в следующем стан-
дартном виде:
Задача Г. Найти
max {(и*, ио) + 0*, й0) + (х*, х0)
« 41
общий случаи линейной задачи
171
при следующих ограничениях:
Т*ы*4-Р* (А*, х*) - Ь* jgO,
S*a*4-R*(A*, х*)-6*' = 0,
и* =s0.
Найдем теперь операторы, которым операторы Т*,
Р*. S* и R* сопряжены. Имеем
(Т*«*, о) = (— К*(«*В, 0)C + «*D, 0 =
= («*, — BKi (Co)4-Do),
(Р*(А*, х*), 0 = (—К*(А*В', х*)С4-А*Е, о) =
= (А*, -B'Ki(C04-E0-x*K2(C0,
откуда
То----BKi(Co) + Do, РрЧ_ВКк<™'Е0)- <54>
Аналогично
S6 = — BKi (С'б) + D'6, R6 = (“ В^кТ(С-0 Е 8)-
Воспользовавшись результатами § 5 гл. III, напи-
шем задачу, которой задача I' двойственна:
Задача II'. Найти min {(ft*, о)4-(Ь*', 6)} при сле-
дующих ограничениях:
— BKi (Со) 4- Do - BKi (С'6) + D'6 В (Кха) + Ь,
— B'Ki(C04-Eo-B'K1(C'6) + E'6 = B'(Ki04-&',
К2 (Со) 4-К2 (С'6) 4-К2а = 0.
Положим
х — Ki (Со-J-С'6 4“ 0» х0 ~ К2 (Со 4* С'б 4* п).
Тогда, в силу определения (43) и (44) операторов Ki
и К2, получаем
Xt = Ctv( 4* С fit 4* cif 4* AfXt+i,	t — 0, 1, ...	(56)
Ограничения (55) перепишутся в следующем виде:
— Вл+i + Dtvt 4- D fit	bt,
— BtXt+i 4- EfVt 4- E'fit = 0,
xo = O.
172
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
(ГЛ VH
Преобразуем еще функционал задачи IГ. Вспоминая
формулы (53), получаем
ф = (б*, и) + (5*', б) =
= (6*4-К*(а*. 0)С, v) + (Ь*' + К* (а*, 0)С', 6) =
= (&*, v) + (b*', б) + (а*. Со + С'6) =
= (£>*, v) + (b*' 6) + (а*, х) + const =
= 2 (btvt + bT6t + a?xM).
1=0
Таким образом, мы приходим к следующей форму-
лировке двойственной задачи:
Задача 1Г. Найти
щах У (qfxM + Wut + bYbt)	(57)
/== О
при следующих ограничениях:
xt — Ctvt -J- С& 4" at 4" AtXt+i,	t = 0,	(58)
xo = O,
— Вл+i 4- Etvt + EA =* bt, — BtxM + DfVt 4* Dt8t bf. (59)
При помощи теоремы 33 гл. Ill мы можем теперь
получить теорему, дающую необходимые условия опти-
мальности.
Будем говорить, что по ограничениям (37) выполнено
условие Слейтера, если существуют такие последова-
тельности {и?}	1т, Ц* 0 И {л*} е 1т', что
*?+! = Я? At + й?в, + т + а?,
— Я?С( +	+ HfEt b? - еоег,
— ^tC't + ®D't + hlE't = ЬГ,
е0>0, е, = (1.......1); / = 0, 1, ...
Будем говорить, что ограничения (38) невырождены,
если любая последовательность v* = {о*} е /{.- может
быть представлена в виде
v^-xfCt + urDt + htE’t, ut^Q,
х*+1 = x*Af + utBt + ht Bt-\-a*.
§41	ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ	173
Условие (61) будет всегда выполнено, если уравнение
и* За 0, — х*Со +	= t»o разрешимо для любой
правой части и уравнение и* 3s 0, u*D't-\-h*E't = v*
разрешимо при любой правой части, /=1, 2, ...
Теорема 6. Пусть {А*} е {й*} <= Im fit —
оптимальные управления задачи Г. Тогда найдутся
последовательности {5J е /). vt 3^ 0, {б/} е /)< и число
s^O такие, что
Xf = Afify+i 4- СА+СД 4~ saz,
— ^/Л+i 4"	4" В fit	s6z, (62)
— ВА+х4* Efit 4- Efit — sbt,
(— XfCt 4- m 4- hfEt -	= 0,	f -1..... r,
й*^,(—Bfit+i4"E>fit4"Dfit — $bt)j — Q, j = 1, ..., m, (63)
S (0/4-16z|)+s>0, xo = O,/ = O,l,...
/=i
Если для ограничений (37) выполнено условие Слейтера,
а ограничения (38) — невырожденные, то можно поло-
жить з=1.
Доказательство. Применим теорему 33 гл. III.
Заметим, что пространство 1р сопряжено пространству с₽
последовательностей, стремящихся к нулю. В силу
теоремы 33 гл. III найдутся элементы	УЗаО
и б е 11г‘ такие, что
Tv + Sd-suo^O, "
PC 4-R6 — S (Ло, хо) = О»
(й*, T04-S6 — suo) = 0,	(64)
(Т*й*4-Р*(й*, х*)-б*, у) = 0,
H + IIM+s>0,
или, вспоминая определение операторов, получаем
— BKi (Су 4- С'б) 4- D0 4- D'6 > зВ (Кга) 4- sb,
/	-\	-	(65)
— В'К1 (Су 4-С'б) 4-Ей 4-Е'б = sB'(К1П) 4-sb',
К2 (Су 4- С'б) 4- зК2й = 0.
174
Задачи с дискретным временем
[ГЛ. VII
Положим ^ = Ki(C0 + C'6+sa). Тогда
= ^Л+1 + С fit + СД + sat.
Условия (65) дают, что
—ЙЛ+1 + Dtvt + Dt8t sbh
— Bt%M + Etvt + Etbf = sb't,
xo = O, / = 0, 1, ...
А из последних трех условий (64) получаем, что
У! и* [—	+ E)tvt + Dt8t —	= 0,
/=о
2 [- X*Ct 4- a?Dt + hfEt - 6?] Vt = 0,
/=0
s + S[|SJ + !6J]>0.
t=l
Так как все слагаемые в сумме знакопостоянны, то
отсюда следует (63). Из теоремы 33 гл. III следует,
что при выполнении условия Слейтера по ограничению (37)
и условий невырожденности по ограничению (38) можно
положить s = 1.
Сформулируем теперь принцип максимума Понтря-
гина. Введем для задач Г и 1Г функции Понтрягина
(и*, h*, хм, s) = u* (Btxt+1+sbt)+h* (BtXM + sb't),
St (x*, v, 6, s)^(b? + x?Ct)v + (b?'+x?C;)6.
Рассмотрим следующие задачи линейного программи-
рования:
Задача II. Найти шаха^ («*, h*, хм, s) при
следующих ограничениях:
и* ^0, u*Dt + h*Et^br + xfCt,
,	(66)
и *D't -\-htE, =bt +xfC't.
« 4]	ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНГЙНОЙ ЗАДАЧИ	175
Задача 1Г. Найти rained (х*, v, 6, s) при сле-
дующих ограничениях:
v^O, Dtv + D't&-$zBtxM + sbh
Etv + Efd —BtXt+i-]-sbt.
Теорема 7. Пусть задача I имеет оптимальные
управления {й*}, {Л*}; тогда найдутся последователь-
ности е /), Vt 0, {6Д е 1г’ и число s 0 такие, что
Xt — Л/Х/+14-Ctvt + Ct^i4-sat, s + У, vt 4“ У 1fit | > 0
t = 0	t = 0
—ВЛ+i4- Dtvt 4- D'fit	sbt,
—BtXM4”Efit4~^/б/ — sbt, x0 = 0,
max®^(«*, h*, xt+1, s) = <2% ($, hf, xt+1, s),
где max берется no многограннику (66).
Кроме того
min®^ (xf, v, 6)) = ®%Z(X*, vz, &),
где min' берется no многограннику (67). Если no огра-
ничению (37) выполнено условие Слейтера, а ограниче-
ние (38) невырождено, то можно принять s = 1.
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 4.
В заключение этого параграфа заметим, что можно
рассмотреть системы с ограничениями на коэффи-
циенты более общего вида, чем.ограничения (39). Пусть,
например,
ЦЛ/Ц^ау, а>0, y2sl.
Делая в (36) — (38) замену
х* = ^*у26/,	6 = тах{1, а} 4-8,	е>0,
придем к системе того же вида, но с новыми коэффи-
циентами
Л, = ^=Л„ Bt = Bty	2
176	ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ (ГЛ VII
и т. д. Нетрудно видеть, что	Если потребо-
вать, чтобы все новые коэффициенты были бы ограни-
чены (а это сводится к тому, что старые коэффициенты
растут не быстрее, чем некоторые показательные функ-
ции), то для новой системы уже будут выполнены
ограничения (39).
§ 5.	Выпуклые задачи
Сделаем следующие предположения:
а)	вектор-функции ф, (g, Q, (О, Ф< (£, £) при t =
= 0, 1, ... задают непрерывно-дифференцируемые отоб-
ражения из RnxRm в Rlt Rn и Rr соответственно,
б)	—ф<(Б, t), тр (£), Ф,(|, £) выпуклы и монотонно
возрастают по
в)	функции ф,(£, £), т), (С), ФДВ, С) и их частные
производные равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны на любом шаре пространства RnxRm,
г)	матрица At имеет размеры пхп и
Щ<а<1.
По аналогии с гл. VI рассмотрим следующую задачу
оптимального управления:
Задача III. Найти управление {и*} е 1т, дающее
максимум вогнутому функционалу
Ф («*) = У, Ф/(х*, uf) pt, £ IР/1 <4-оо, (68)
t=o	/-о
при следующих ограничениях'.
x?+i =x?At + 't\t(u*), uf^O, Xo=a*, (69)
ФДхД u?)<0,	/ = 0, 1, ...	(70)
Рассмотрим выпуклый оператор ц («*) следующего
вида:
n(u*) = {n/(«nh-o,i,....	(71)
В силу теоремы 13 гл. I оператор т)(и*) действует из
в дифференцируем по Фреше и
т)'(И*)Ды*=^Ди?^-(иГ)^ i .	(72)
$ 5]
ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ
177
Если ввести оператор
(73)
то, как нетрудно видеть, U действует из ch в ch и
линеен, где ch — пространство векторов, стремящихся
к нулю. Кроме того, ясно, что
U*P={^(«7)P<}>	U**=T]'(«*). (74)
Уравнение (69) может быть разрешено относительно
х*. Из (41) получаем
х* = К* (т|(ы*))4-х*, х* = а*Л0...	(74')
{K*f*h=fr_! +/;_2л,_1+... At.v.
Если ввести линейный оператор
Кф = <р/-14-ф/_аЛ/_14- ... +фоЛ1...Л/_1,	(75)
то, как было показано в § 2, Ке[Сл-»-сЯ] и
К* = К, К** = К*, К/ = (хь ..., xf, ...),
xt = // + Atft+i4- • • • 4-Л/... Л/+рЛ+р+14-..., (76)
Xt — Л/Х/+14-Л.
Пусть, далее,
ф(х*, и*) — {ф/ (х*, «?)}, Ф(х*, и*) = {Ф/(х*, и*)}.
(77)
В силу теоремы 13 гл. I ф и Ф есть выпуклые опе-
раторы из т в /Г и /Г соответственно, монотонные
по х* и дифференцируемые по Фреше, причем
g(x*, и*)Дх* = |Дх?^(х?, «?)|,
g(x*, ы*)Ды* =^Дц?^(х?, u?)j,
^;(х*, и*) кх* = {\х?^(х?, «?)|.
~(х*. и*)Ди*=|Дм,*|?'(х*, «*)}.
7 А. М. Тер-Кри коров
178
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
(ГЛ VII
Введем в рассмотрение линейные операторы
P£-{b^W. и?)}. R£={b^«. «?)}.
S£-{b^W. «?)}. QC = {b^W, «?)}. <79)
действующие из сЦ, с™ в с{, cQr соответственно. Оче-
видно, что,
р*и={^(х*> «*)»/}. = «*)<?/}.
s*v4S<**’ ы*)4	ы*)4’
V	J	(80)
р**	u*),	R** = JJ(x*, «*),
S**	(х*, «*),	Q** =	(х*. «*).
Запишем теперь задачу III как задачу вогнутого про-
граммирования в банаховом пространстве.
Задача ПГ. Найти управление и*<=1„, дающее
максимум вогнутому функционалу
<р(ы*) = (1|)[К*11 («*) + «*. «*]. р),	(81)
при следующих ограничениях'.
и*^0, Ф[К*л (ы*)4-х*, ы*]^0.	(82)
Так как операторы Ф(х*, и*) и -ф (х*, и*) выпуклы
и монотонно возрастают по х*, а оператор К* —линеен,
оператор ц (и*) —выпуклый, то Ф[К*т] («*) + %*, и*]
и 1|>[К*'П («*) + «*» «*] — выпуклые операторы в t%.
Будем говорить, что для задачи III выполнено условие
Слейтера, если существует управление {й*} такое, что
#Н=*?Л + М#),	й?>0,	*5 = а*,	(83)
Ф/(#, йП< —во>0, е* = (1, .... 1).
Если условие Слейтера выполнено для задачи III,
то оно очевидно выполнено и для задачи IIГ.
ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ
179
S 5]
Применяя правило дифференцирования сложной
функции, получаем
(K*t)(«*)+«*> и*] _	„*х v* д») /..#> ,
du*	~~ дх*(Х ’ “ ' 14 ди* 'и ' +
+ ₽(л:*'	= p +	+	(84)
ЧФ1К-4(»-) + х-. И _ » (х., к* ft („•) +
du*	дх* v ’	' ди*v ' ’
+ ^(х*, M*) = S**K*U**+Q** ==Т**, (85)
откуда
N = PKU + R, T = SRU+Q,
n* = u*kp* + r*, t* = u*ks*+q*. '
Пусть для задачи III выполнено условие Слейтера.
Тогда, в силу теоремы 3 гл. IV, для того, чтобы й* е
е 1т было бы оптимальным управлением для задачи
III, необходимо и достаточно, чтобы оно было бы опти-
мальным для следующей задачи линейного програм-
мирования:
Задача III". Найти
max (N** (Я*) «*, р)
при следующих ограничениях-.
u*SsO, Ф(х*, й*)4-Т** (Я*) (ы*-Я*)<0. (87)
Из результатов гл. III следует, что задача III двой-
ственна следующей задаче линейного программиро-
вания:
Задача IV. Найти минимум линейного функ-
ционала
(Т** (я*)я*-Ф(;е*, я*), ц) = К(ц) (88)
при следующих ограничениях:
»SsO, Т* (Я*) у —N* (Я*) psgO. (89)
Вспоминая определение (86) операторов Т* и N*,
получаем
Т*у — N*p = U*K(S*p — P*p)-f-Q*u — R*p,
7'
180
ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ
(ГЛ. VII
Положим
x=K(S*n —Р*р).	(90)
Тогда, в силу определения (76) оператора К, получаем
xt = AtxM+^- (Х1, 01) vt -	(X?, Я*) pt, (91)
и, в силу (80), ограничение (89) можно записать в сле-
дующем виде:
^(«Пхт+^-W, Ot)vt -^(Х?, Я7)Р/<0.	(92)
Преобразуем еще функционал (88):
К(п) = (Я*, Т*р) —(Ф(^*, я*), у) =
= (Я*, [U*KS* + Q*]o)-(0(j?*, Я*), о) =
= (Я*, U*x+Q*n) — (Ф(х*, О*), о)—
= 1 И +#§£(#. ot)vt -Ф/(Х7, ol)vt}.
(93)
Таким образом, задача IV может быть записана
в следующей форме:
Задача IV. Найти минимум линейного функ-
ционала
2 01	(01) ХМ + 2 [я? (XI, 01) - Ф{ (Xi, fl?)] Vt
/=о z	/=oL f
при следующих ограничениях:
Xt = AtxM+^(xl, Ol)vt-^(X1, 01) pt,
{vt}(=l‘r, vt^Q,	(94)
(01) xM + (Xt, 01) vt -	(xt, dt)Pt^ 0.
§5]
ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ
181
Справедлива следующая теорема, дающая необхо-
димые условия оптимальности:
Теорема 8. Пусть удовлетворены условия а)—г)
и для задачи III выполнено условие Слейтера. Тогда
найдется такое решение задачи IV, что будут выпол-
нены следующие необходимые условия оптимальности'.
Ф/(х?, Ht)v‘=o, 1 = 1, .... г; i = 0, 1, ....	(95)
«Г'’	(«?) х<+1 +	(X*, Я?) vt -	(х?, Я?)	= О,
(96)
/'= 1, ..., т\ / = 0, 1, ...
Доказательство. Так как условие Слейтера
выполнено для задачи III, то оно выполнено для за-
дачи ПГ, а следовательно, и для соответствующей ей
линейной задачи II Г. Выполнены все условия тео-
ремы 23 гл. III, и поэтому ограничения задач III и IV
должны удовлетворять условиям дополняющей нежест-
кости, которые после обычной обработки принимают
вид равенств (95)—(96).
Необходимым условиям оптимальности можно при-
дать форму принципа максимума Понтрягина; для этого
рассмотрим функцию Понтрягина для задачи III
t (U*, xt, х?) = Т]< (и*) хм+ф, (х*, й|) Pt, (97)
и соответствующую ей задачу выпуклого программи-
рования:
Задача II. Найти
max^ t(u*, Xt, х*)	(98)
и*
при следующих ограничениях-.
и*^0, Ф,(х/*, и*, /)<0.	(99)
Теорема 9 (принцип максимума Понтрягина).
Пусть выполнены условия теоремы 8; тогда
max <^'f(u*, xt, Xt) = ^ t(Ht, %t, xt),
где max берется при ограничениях (99).
182	' ' ЗАДАЧИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ (ГЛ VII
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
тельству теоремы 4 гл. VI.
Сформулируем еще теорему, дающую достаточные
условия оптимальности.
Теорема 10. Пусть выполнено условие Слейтера
и для управлений (допустимых) {#*} и {vt} выполнены
условия дополняющей нежесткости (95) и (96); тогда
управление {й*} будет оптимальным.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 5 гл. VI.
ГЛАВА VII!
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА
ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА
§ 1. Модель Леонтьева «затраты — выпуск»
В этом параграфе очень бегло будут перечислены
некоторые свойства статической модели Леонтьева типа
затраты — выпуск.
Рассматривается экономика, состоящая из п отрас-
лей. Каждая отрасль производит только один продукт
и различные отрасли производят различные продукты.
Будем считать, что производственный процесс непре-
рывен во времени. Пусть в момент времени t для
производства единицы продукта в /-й отрасли за
единицу времени требуется а^(1) единиц i-ro продукта.
Коэффициенты ац (?) называют коэффициентами прямых
затрат, а составленную из этих коэффициентов матрицу
A (t) — матрицей прямых затрат. Изменение atj (t)
с течением времени учитывает изменения технологии,
связанные с техническим прогрессом. Считаем, что
aij(f) кусочно-непрерывные, монотонно убывающие
(в нестрогом смысле) функции времени. Впрочем, можно
было бы считать ati (/) измеримыми ограниченными
функциями времени t. Через Xi (f) будем обозначать
скорость выпуска i-ro продукта (для краткости будем
говорить просто «выпуск») в момент времени t. Должны
быть выполнены следующие балансовые уравнения:
M0 = .S М0М0+М0. i = l.............. «; (1)
(=i
здесь уг (/) — конечный спрос i-ro продукта. В статиче-
ской модели yAt) — экзогенные (задаваемые из соображе-
ний, лежащих вне модели) величины. Если обозначить
через x(t) вектор-столбец с компонентами xx(Z), •••
..., хп (/), а через у (t) — вектор-столбец с компонентами
184
ДИНАМИМ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VII!
yi(f).... yn{t), го уравнение (1) можно записать
в матричном виде
,г(0 = Л(/)х(0+^(/).	(2)
Если для любого конечного спроса	матрич-
ное уравнение (2) имеет неотрицательное решение
х (t)	0, то матрица А (/) называется продуктивной.
Продуктивность матрицы А означает, что матрица
(Е — А)-1 неотрицательна и что ее можно представить
в виде суммы ряда Неймана
(Е-А)-1 = Е + А + Аа + ...+Ля + ...	(3)
Матрица называется положительной, если ее произ-
ведение на любой неотрицательный вектор, отличный
от нуля, есть положительный вектор. Матрица А
называется неразложимой, если перестановкой строк
и столбцов ее нельзя привести к виду
я__Mu ^12 \
Если матрица А неразложима и продуктивна, то
матрица (Е — А)-1 положительна. Будем говорить, что
элемент (Z) строго положителен, если
(4)
Матрицу, все элементы которой строго положительны,
будем называть строго положительной.
§ 2. Динамическая модель производства Леонтьева
В статической модели, описанной в предыдущем
параграфе, конечный спрос y(i) был экзогенной ве-
личиной. Чтобы перейти к динамическим моделям,
нужно у (t) сделать эндогенной величиной, т. е. указать
в рамках модели, как формируется конечный спрос.
В зависимости от того, каким способом это делать,
будем получать различные динамические модели. Опи-
шем для начала простейшую динамическую модель
Леонтьева.
S 2] ДИНАМИЧ. МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА ЛЕОНТЬЕВА 185
Будем обозначать вектор производственных мощно-
стей через V (/). Очевидно, что справедливо ограничение
0=cx(/)<V(/).	(5)
Прирост производственных мощностей в единицу вре-
мени есть V (/). Будем считать, что мощности могут
только расти:
V (0^0.	(6)
Пусть by (t) есть затраты i-го продукта на увеличение
производственных мощностей в /-й отрасли на единицу
в единицу времени. Величины by(t) называются коэф-
фициентами фондоемкости. Матрица В(/), составлен-
ная из by(t), называется матрицей фондоемкостей.
Так как не все продукты являются фондообразующими,
то у матрицы В (t) могут быть чисто нулевые строки,
соответствующие этим продуктам. Вектор затрат продук-
тов на прирост мощностей равен
Будем также считать, что для функционирования
экономики необходим труд. Для простоты считаем
труд однородным: он может быть одинаково применен
в любой отрасли. Будем предполагать, что трудовые
ресурсы ограничены:
(7)
ао(0 есть вектор-строка прямых затрат труда на
производство единичного набора продуктов. Функции
а0 (0 и л (I) также предполагаются кусочно-непрерыв-
ными (или ограниченными измеримыми) функциями/
Обозначим через с (/) потребление населения. Будем
считать, что потребление не должно опускаться ниже
заданного уровня
(8)
где с0 (/) —кусочно-непрерывная функция. Зададим те-
перь вектор конечного спроса следующим образом:
y(t) = B(t)V(t) + c(t).	(9)
8 А. М. Тер-Крикоров
186
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VIII
Период планирования будем считать конечным
и равным Т. Считаем, что при / = 0 известна струк-
тура производственных мощностей
У(О)-Уо.
При t = T можно задавать различные условия. Мы
возьмем ограничение наиболее общего вида. Вектор
V (Т) должен быть точкой некоторого многогранного
множества в

G2V(T) = a2.
Будем считать, что цель производства заключается
в максимизации линейного функционала
J (c) = \p0(t)c(t)dt,
О
(10)
где До (0 —некоторая известная кусочно-непрерывная
(или суммируемая по Лебегу) функция. Функционал
J (с) можно трактовать как линейную функцию полез-
ности.
Будем также рассматривать и более общую задачу
максимизации вогнутого функционала
/(с)-[«[с(0К	(11)
о
где и (с) — неотрицательная вогнутая функция полез-
ности. Предполагается, что она непрерывно-дифферен-
цируема в Rn.
Сформулируем теперь задачу, к которой мы пришли.
Задача Л. Найти максимум линейного функцио-
нала (10) при следующих ограничениях'.
x(t) = A (0 х (0 + В (t) V (/) + с (П,	(12)
0<x(0<V(0, V (OSsO, V(0) = Vo, c(0>Co(0. (13)
a0(t)x(t)^n(t),	G2V(T) = a2. (14)
5 3] СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ Л К СТАНДАРТНОЙ ЗАДАЧЕ 187
§ 3. Сведение задачи Л к стандартной задаче
оптимального управления
Положим
^(0 = и(0, с(^ = со(0 + ®(0.	(15)
В силу ограничений (13) имеем
«(Z)SsO, ay (f) 2* О?	(16)
Будем считать и (t) им (/) управлениями и брать их
функциями из Ат [О, Т] и [О, Т] соответственно.
Полагая
Л(0 = [Е-Л(0Гх.	(17)
мы можем решить уравнение (12) относительно х(1):
x(i) = A (t) В (0 и (0 + A (t) w (0 + Л (0 с0 (0 - (18)
Оставшиеся ограничения (12) —(14) перепишутся теперь
в следующем виде:
— V (/) + Л (/) В (t) u(t) + A (t) w(i)^z-A (t) c0 (t), (19)
a0 (/) A (0 В (/) и (/) + a0 (t) A (/) w (/) <
<л(/)-а0(/)Л (Z)Co(O. (20)
V(0) = Vo.	G2V (T) = a2.
Если воспользоваться блочными матрицами, то
задачу Л можно записать в стандартном виде:
Задача Л. Найти управление (u(t),
^LmXLn, дающее максимум линейному функционалу
/-[(0, Р.)	.	(21)
при следующих ограничениях:
-л-=(£’
-JE\v (П 4- (Лв~ }(и I < ( ~ Лс°~
/	\aQAB OqA} \w \л — clqAcJ ’
v (0) = Vo, GiV (t) аъ G2V (T) = a2.
8*
188
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА [ГЛ VHI
Если ввести обозначения
=	(°«Ро) = Ь, (Е, 0) = В, ]70 = а*,
/Е\	~	/ АВ А \	*	/  Асп \	(^2)
\и/ \а0ЛВ а0А/ •	\л—а0Ас0/
то задача Л примет стандартный вид задачи Aj гл. V:
найти
т
max b(t) и* (0 dt
о
при следующих ограничениях:
^1=5 (/)«*(/),	V(0) = a*,
— C(t) V(t) + D(t)u* (t)^b* (0,	(23)
GiV^^ch, G2V (T) = a2.
Заметим, что по традиции в экономических задачах
рассматриваются выпуски как векторы-столбцы, так
что звездочками индексированы векторы-столбцы, в то
время как в гл. V из соображений математического
удобства рассматривались векторы-строки. В дальней-
шем все теоремы гл. V будут применяться с вполне
понятной заменой строк на столбцы и наоборот.
§ 4. Двойственная задача Л
Пользуясь результатами § 8 гл. V, запишем задачу,
двойственную к задаче Л: найти минимум линейного
функционала
ф = <7(0)а* +Bai + n«2 +$ v(t)b* (/) dt (24)
•	о
при следующих ограничениях:
_^) = и(0С(/),	п(/)^0,
Т], ge=/?e„ qe/?,,.	(25)
—	v(t)D(i)^b(t),
= — £GX - T]G3.

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА Л
189
Если вспомнить обозначения (22), то задачу, двойст-
венную задаче Л, можно переписать в блочном виде:
Задача Л'. Найти управления r(t)^Ln\Q, Т],
s (/) е L1 [О, Т], | т) е 7?^, дающие минимум
линейному функционалу
Т	/ Л \
= q (0) а* +	+ Т)а2 + $ (Г (/), S (0) |	- dt, (26)
о	\л—аоЛсо/
при следующих ограничениях
s(t)^O, £=э0,
_tt=(r(/), s(0)(*),	(27)
- q (t) (E, 0) + (r (0, $ (0) (AB	A )	(0, p0),
\a0AD, aQA/
q(T) = — gGi — t)G2.
Таким образом, задачу Л' можно переписать в сле-
дующем виде:
Задача Л'. Найти управления relk, s^L1,
I е R4t, т) е Rq„ дающие минимум линейному функ-
ционалу
Я5 - q (0) а* + lai + т)«а +
Т	т
+ 5 s(t) n(t)dt- J [г(0Л (t) + s(t)ao(t)A]codt,
о	о
при следующих ограничениях:
r(t)^O,	s(0^O,	g>0,
- <7(04-[r(0 A (04-s(0M(0]B(0>O, (28)
г(0Л(0 + «(0ао(0Л (0>po,
q(T)= — IGi — r]Gj.
Положим
p (0 = r (0 A (0 + s (0 a0 (0 A (t).	(29)
Тогда
р(0 = р(0Л (0 + r(0 + s(0ao(0.	(30)
и задача Л' может быть записана в следующем виде:
190
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VIII
Задача Л'. Найти управления г (t) е LA [0, Т],
s (0 е L1 [0, Т] g е R^, г) е Rgt, дающие минимум ли-
нейному функционалу
Ф = Я (0) Vo +	+ ца2 + Js (0 я (0 dt — \р (t) с0 (0 dt,
о	о
(31)
при следующих ограничениях:
p(t) = p(t)A(t)+s(t)a0(t) + r(t), -<}(t) = r(t), (32)
p(t)B(t)^q(t), p(t)^p0(t),	(33)
<7(T) = -^G1-nG2, r(0^0, s(0^0, 1^0. (34)
§ 5.	Экономическая интерпретация
двойственной задачи
В этом параграфе будет дана одна из возможных
интерпретаций двойственной задачи. Пусть
Р(0 = {Р1(0> .... МО}. '(ОЧМО. .... rn(t)}. (35)
Функции Pi (0 назовем ценами продуктов соответствую-
щих отраслей. Функция s (/) — иена труда (заработная
плата), Расписывая уравнение (32) по координатам,
получаем
И (t) = Pi (t) -^PA^ajt (t) - s (t) aoi (t).	(36)
/«=1
n
Так как pj(t)aij(t) есть стоимость технологических
i = ।
затрат на производство единицы продукта Ай отрасли,
то г,- (t) имеет смысл прибавленной стоимости или прибы-
ли в единицу времени на единицу продукта в Ай
отрасли.
Функцию Pi (t) будем называть ценой мощности
в z-й отрасли. Тогда из (32) и (34)
<?/ (0 = $ Ti (t) dt -1- qi (T), qi (T) = - (IGj + ^G3)i (37)
t
§ в]	ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ	191
Из (37) получаем, что цена /-й мощности есть сумма
финальной цены qt (t) и прибыли, которую можно полу-
чить с единицы этой мощности (при полной ее за-
грузке) за период [/, Т]. Если нет финальных ограни-
чений на мощности (23), то финальные цены мощностей
равны нулю. Если же финальные ограничения на
мощности (23) есть, то финальные цены мощностей
задаются формулами (37).
Интерпретируем первое из неравенств (33). Распи-
сывая его в координатах, имеем
п
(О’	(38)
/-1
п
Так как У, pj(t) bJ{ (/) есть стоимость затрат на строи-
/ = |
тельство единичной мощности в <-й отрасли в момент
времени t, то неравенство (38) означает, что цена этой
мощности не может превышать затрат на ее строи-
тельство.
Функции ры (0 назовем потребительскими ценами;
poi (t) есть некоторая количественная характеристика
удовлетворения населения от потребления единицы
продукта i-й отрасли. Потребительские цены должны
находиться на основании изучения потребительского
спроса. Второе из неравенств (33) означает, что
цены pt (0 продуктов отраслей должны быть не ниже
их потребительских цен.
Дадим теперь интерпретацию линейного функцио-
нала ф. Несколько его преобразуем. Из (31), исполь-
зуя (37), получаем
ф = ^(0) V0 — qrV(T}-}-
-\-\s(t)n(t)dt- { р (i) с0 (0 dt + а (fll - Gi Vr). (39)
О	о
Тогда q (0) VQ — qrV (Т) есть падение стоимости фондов,
т
J s (/) л (0 dt — доход населения в условиях полной за-
о
т
нятости, § р (t) cQ (t) dt — расходы населения на потреб-
о
192
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА ГГЛ VIII
ление на нижнем уровне за период [О, У]. Как будет
показано в дальнейшем, слагаемое £ (ах — GxV (У)) при
достаточно слабых предположениях обращается в нуль
на оптимали, так что его можно отбросить.
§ 6.	Необходимые условия оптимальности
и их экономическая интерпретация
Вспомним формулировку (10)—(14) задачи Л. Огра-
ничимся рассмотрением того случая, когда на конце
t’— Т есть только одно ограничение GiV (Т) ag ах. Сде-
лаем следующие предположения.
Предпол о ж е н и е 1. Задача
Хо(/) = Л(Ох0(0 + со(0.
ОаСхо(/)<У» —ее» е>0, е = (1, ..., 1),
а0 (0 х0 (/) ^ л (/) — е, 0 < t < Т,
имеет решение.
Предположение 1 означает, что начальные мощно-
сти Уо могут обеспечить потребление на нижнем уровне
в течение планового периода при недозагрузке мощ-
ности и неполной занятости.
Предположение 2. Существуют такие про-
граммы строительства мощностей u(t) и потребле-
ния w (/), что
У(0 = й(П, й(/)еУ~[0, У], й(0>0, Г(О) = Уо,
е(/) = Со(/) + © (/), w (t) <= L”[0, /], tp(/)SsO,
Х(0 = A (t) X (/) + В (/) й (/) + с (0,
0 X (/) ^ У (0, «о (0 х (/)< л (/), С1У (У) й! - ее,
е>0, е = (1, .... 1).
Предположение 2 означает, что финальное ограниче-
ние по мощности ОХУ (У) ах не является очень
жестким.
Предположение 3. Матрица Gx=c0.
Предположение 3, например, всегда выполнено,
если ограничение на конце t=T имеет вид У (У) Уг.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
193
sej
В § 3 задача Л была сведена к стандартной задаче
оптимального управления (23). Предположение 1 озна-
чает, что для этой задачи управление и* (t) s 0 строго
допустимо по ограничению
-С(0 V (/)+£(/)«* (0	(О-
Предположение 2 означает, что управление й* (/) строго
допустимо по ограничению G1V(7')^a1.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 6
гл. V. Поэтому, должны быть выполнены следующие
необходимые условия оптимальности:
[- q (t) В (/) + v (О Ь (0 - b (0] о* (0 = О,
о (0 [— с (t) V(t) + D (0 и* (t) - b* (/)] - О,
О,
или, в силу (22),
{- <7 (0+[г (О A (t)+s (0 а0 (t) A (0] В (0} и (t) = О,
[- Ро (0 + г (О А (t) + s (0 а0 (0 А (/)] w (t) = 0,
г (0 [- V (0 + А (/) В (I) и (/) 4- A (t) w (t)+А (/) со (0] = 0.
s (0 [М (/) в (t) и (/)+м (0 в (/) w (/) +
+а0А (0 В (/) Со (0 - л (0] = 0,
g[GiV(T) — Oi]“ 0	почти всюду на [О, Т].
В силу равенств (29) и (18) получаем (почти всюду):
[р (0В(П-д«)1 V(t) = 0,
[р(О-Ро(О][с(О-МО>о,
r(0[V(0-x(0] = 0,	(40)
s (0 [— Oo (О X (0 + л (/)] = О,
UGiV(T)-ai] = 0.
Если воспользоваться знакопостоянством сомножите-
лей в (40), то можно эти равенства переписать в
194
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VIII
следующем виде:
п	"I
[pi (0 - pot (0] • к/ (0 - coi (0]=о,
Г1 (t) [ Vi (0 - X/ (01 = 0, ЫС1V (0 - arh = 0,
(41)
(42)
(43)
(44)
n
s{t) «(/)- 2 а0|(0МП =o.
В дальнейшем условия (41)—(44) будем называть
условиями оптимальности задач Л и Л'. Вспоминая
интерпретации предыдущего параграфа, мы можем
легко дать экономическую интерпретацию условий
оптимальности.
Если в заданный момент времени t мощность
в отрасли строго растет, то ее цена совпадает со стои-
мостью всех затрат на строительство единицы мощно-
сти. Если же цена мощности меньше затрат на строи-
тельство единичной мощности, то мощность в заданный
момент времени t не строится, Уг(/) = 0. Если цена
t-ro продукта pi (/) выше потребительской цены этого
продукта, то потребление этого продукта находится
на нижнем уровне Ci(f)=col (i). Если потребление i-ro
продукта выше нижнего уровня, то цена i-ro продукта
совпадает с потребительской ценой на этот продукт.
Если при заданном t отрасль прибыльна, то она рабо-
тает на полную мощность. Если мощности отрасли не-
дозагружены, то отрасль дает нулевую прибыль. Если
заработная плата s (?) =/= 0, то в данный момент вре-
мени t имеет место полная занятость. Если в данный
момент нет полной занятости, то s(Z) = O.
Будем считать, что носителем стоимости являются
деньги и что существует некоторый финансовый орган
(который мы условно будем называть банком), управ-
ляющий денежными потоками, неизбежно возникаю-
щими (наряду с продуктовыми потоками) между отрас-
лями. Для того чтобы произвести единицу продукта
в единицу времени, t-я отрасль должна затратить на
I 6]	НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ 195
технологические нужды и на оплату труда сумму в
п
/=1
денежных единиц, которую она получает в кредит
от банка. После реализации продукции отрасль вносит
в банк сумму
ri (0 + ^(0-
Величину г/ (/), которую мы раньше назвали прибылью
отрасли на единицу продукта, мы можем теперь счи-
тать процентом за кредит. Некоторые авторы назы-
вают г, (/) платой отрасли за дефицитные фонды. Мощ-
ность Vi называется дефицитной, если она в заданный
момент времени t загружена полностью, Уг(/) = Х;(/).
Из (43) следует, что если плата отрасли за фонды
отлична от нуля, то мощность Vt дефицитна. Опять-
таки, в силу (43), плата за единицу фондов совпадает
с прибылью на единицу выпуска отрасли.
Из результатов гл. V следует, что если x(t), V (t)
и c(t) допустимы, т. е. удовлетворяют ограничениям
(12)—(14), и p(t), q(t), r(t), s(t) допустимы, т. е. удов-
летворяют ограничениям (32)—(34), и если, кроме того,
выполнены условия (40), то x(t), V (t), c(t),p(t), q(t),
r (t), s (t) оптимальны.
Заметим, что оптимальные цены определяются не-
однозначно. Умножим потребительские цены на постоян-
ный множитель р>0. От этого функционал (10) также
умножится на этот множитель и оптималь задачи Л
останется той же самой. Если теперь р, q, r(t), s(t),
£, г] умножить на р, то соотношения (32)—(34) оста-
нутся в силе и условия оптимальности (40) также бу-
дут выполняться. Таким образом, оптимальные цены
допускают умножение на постоянный множитель. Этим
постоянным множителем можно распорядиться для нор-
мировки цен. Например, можно принять среднюю
за период [0, Т] цену некоторого эталонного продукта
(золота) равной единице.
Заметим еще, что вектор
аоЮЛ(0 = ао(0[£-Л(0Г1
196
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VIII
есть вектор суммарных затрат труда на производство
единичного набора продуктов. Из формулы (29) тогда
следует, что цена линейно зависит от суммарных затрат
труда на производство единицы продукта, что согла-
суется с трудовой теорией стоимости.
При желании можно считать s (t) не истинной зара-
ботной платой, а превышением заработной платой не-
которого нижнего уровня s0(t). То же замечание отно-
сится и к плате за фонды.
Дадим теперь экономическое истолкование функций
Понтрягина задач Л и Л'. Вспоминая формулы (58)
гл. V после замен строк на столбцы и используя фор-
мулы (22) и (30), получаем
^(<7, и, c) = (qB + b)u*=[q(E, 0) + (0, Ро)](“) =
= qu + poc, (45)
Зс (V, р, s, г) = ф* + сУ] =
-(' »>[U5J + (?)фмо+ги-рмо. (46)
р = рЛ (O + r + s«o(O.
Пусть выполнены предположения 1, 2, 3. Тогда
на оптимали должны выполняться условия (40), кото-
рые эквивалентны принципу максимума Понтрягина
max <3% (q (/), и, с) = (q (t), u(t), с (t)), (47)
где шах берется при следующих ограничениях:
х = А (t) x-}-B(t) « + с,
0<:xsgV(/), «5а0, cSsco(O> (48)
Oo(t) x^n(t).
Кроме того,
min^(V(0, р, s, г) = ^ (V(Z), р(0. s(t), r(t)), (49)
где min берется при следующих ограничениях:
р = рЛ (/) + г+ sflo(0, г 5а 0, sSsO,
pB(t)^q(t), p^Po(t).
» 7)
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ЗАПАСАМИ 197
Если воспользоваться условиями дополняющей нежест-
кости (40), то
Ж u(t),	=
= q(t)V (0+Po (0 c (0 = p (t) В (Z)V (/) + ?(/) c (/) =
=р(о[х(о-л(/)х(о]=т
P(t), s(t), r(t)) =
=s(t)n(o + r(nV(O-p(nco(O =
= s (0 a0 (/) x (t) + r (t) x(t)-p (t) c (t) ~
-[p (t)-p(t)A(t)]x(t)-p(t)c(t)~
^p(t)[x(t) — A(f)x(t) — c(t)] = I(t).
Функция E (/) есть национальный доход, a I (t) — об-
щая сумма капиталовложений (или инвестиций) в народ-
ное хозяйство в момент времени t.
Для того чтобы управлять экономикой, нужно
в каждый момент времени t задавать прирост мощно-
стей и и потребление с, удовлетворяющие ограниче-
ниям (48). При этом функция Понтрягина (45) есть
сумма стоимости мощности и в оптимальных ценах и
потребления с в потребительских ценах. Максимум
этой функции при ограничениях (48) есть националь-
ный доход в оптимальных ценах. Можно управлять
экономикой, задавая в каждый момент времени зара-
ботную плату s и плату за фонды rlt га...... гл.
Тогда функция есть сумма заработной платы
(в условиях полной занятости), стоимости потребления
на нижнем уровне (взятой со знаком минус) и сум-
марной платы за фонды. Минимум этой функции при
ограничениях (50) равен общей сумме капиталовложе-
ний в оптимальных ценах.
§ 7. Модель леонтьевского типа
с запасами (л-модель)
Рассмотрим некоторое усложнение модели, рас-
смотренной в предыдущих параграфах. Будем допол-
нительно предполагать, что в процессе производства
могут образовываться запасы. Количество запаса i-ro
198 ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VIII
продукта в момент времени t обозначим через & (/).
Будем предполагать, что выполнены следующие огра-
ничения:
&(0>о, li(t)>-6(0, в(о>о. (51)
Условия (51) означают, что запас неотрицателен и
не может быть израсходован мгновенно. Усложним
также ограничения на труд. Будем считать их двух-
сторонними:
0 «С лх (/) < а0 (0 х (0 «а (0 •	(52)
Ограничения (52) означают, что трудовые ресурсы
ограничены и что занятость не должна опускаться
ниже определенного уровня.
Сформулируем теперь задачу, к которой мы при-
ходим.
л-з а д а ч а. Найти максимум линейного функцио-
нала (10) при следующих ограничениях:
X(t) — A (0 х (0 + В (0V (0 +1 (t) +с (I),	(53)
0 «С х (0 «5 V (t), ni (/) < Oq (/) х (/) ==g л2 (/), (54)
|(0^-6(0, V(0^0, g(0>0,
V(0) = V0, 5(0)“U Vo, go>0,
Iig (T) + GxV (T) ax, G2V (T) + L& (T) = a2.
Для того чтобы свести л-задачу к стандартной
задаче оптимального управления, введем обозначения
v(o=«(o. i(o=f (о-бю,
c(0=co(0+“’(0-
Функции «(/), v(t), w(t) будем считать управлениями
и брать их в соответствующих классах измеримых и
почти всюду ограниченных функций. В силу ограни-
чений (54)
м(0^0, v (Z)SsO, w(t)^0.
Проводя те же рассуждения, что и в § 3, можем
записать л-задачу в стандартном виде с использова-
нием блочных матриц:
§ 7]
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ЗАПАСАМИ
199
л-задача. Найти управления u(t), u(t), w(t)
в классе ограниченных измеримых вектор-функций, даю-
щие максимум линейному функционалу
т	[и (0\
Ф = (0, 0, ро) ° (0 | dt,
о	\ш (О/
при следующих ограничениях-.
d (V(t)\ !Е 0 0\/И^.Л । ( 0 \	лип
dt \0 E	6(0/’	V Г °’	56
ъ' ’'	'	' \w (t))	' '	\w)
/Е 0\	/ AB ' Л Л x
— I 0	°o^B а°Л
yO Ol\Z(t)J a0AB —aoA — а0Л /
\0 Е/	\ о о о '
/	Л(б-с0)	\ ’
Ла+я<Л(6—co) \	(57)
\— Л1— ОоЛ (6—c0) /
\	0	'
(Ga, L%)	= aa.
(58)
Запишем теперь в блочном виде двойственную
задачу:
л'-задача. Найти управления r(t), s(t), l(t), m(t)
в классе суммируемых вектор-функций, дающие мини-
мум линейному функционалу
Т
^ = j(<7(0. Q(0) (_s°(o)d/+
т	/ Л (б-с0) X
+ 5 (г, s, I, m) | ’Ч+Яо^-Со)
О	\ ~“ЭТ1 йо/4(д Со) I
\ О /
+ (<7(0), Q (0))	+ w
200
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА [ГЛ. VIII
при следующих ограничениях:
/Е 0\
Q(0)-(r, s> m)\°Q JУ (r> s> l>
\o e!
/ "AB 1
+ (r, s, /, m)\ a^B
\-a0AB —aaA
\	0	0
q(T)-.-SGx-тА, (2(Т) = -СМ-^а.
Введем обозначение
p (t) = rA + sa0A — la0A.
Тогда
P (0 = P (0 A (0 + r (0 + [s (0 - / (0] a0 (0,	(59)
и л'-задачу можно переформулировать в следующем
виде:
л'-з а д а ч а. Найти управления г (t), s (0, I (t), m (t),
дающие минимум линейному функционалу
т
Ф = <7 (0) Vo + Q (0) go + &h+$ Q (0 6 (0 dt +
0
-h$ pit) [6 (0 —Co (0]d/ + $ s(0n2(/)d/-
0	0
T
-\l{t) лх (0dt, (60)
о
при следующих ограничениях:
p(t) = p (t) A(t) + r (0 + [s (0 -1 (0] a0 (0,
-q(t) = r(f), —Q(t) = m(t), r(t)^O,
s (0 5^0, m (t)	0,
<7(0<p(0B(0,	p(0^pc(0,
Q(0<p(0,
q(T)=- ^Gx - i)G2, Q (T) = -	- x]L2.
I (0 0,
(61)
§ 7] МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ЗАПАСАМИ 201
Дадим экономическую интерпретацию л'-задачи.
Как и для задачи Д', p(t) — вектор цен, s(t)~ заработ-
ная плата, г{ (/) — прибыль на единицу продукта в i-й
отрасли, — цена мощности, — цена запаса.
Числам lt (t) можно придать следующий смысл: это
выплаты отраслям от финансового органа за поддержание
занятости на уровне, превышающем Лх. Числа /п,- (/)
характеризуют скорость обесценивания запасов. Числа
и t)z характеризуют финальные цены мощностей и
запасов. Если нет ограничений при t = T, то финаль-
ные цены мощностей и запасов равны нулю.
Переходим к анализу необходимых условий опти-
мальности. Как и в § 5, сделаем следующие предпо-
ложения.
Предположение 1. Следующая задача:
Q^x0(t)^V0 — se, е>0,	е»(1, ... , 1),
лх (/) + е а0 (0 х0 (0 < л2 (t) — 8,
имеет решение.
Предположение 1 означает, что начальные мощ-
ности Ко могут обеспечить потребление на нижнем
уровне в течение планового периода при недозагрузке
мощностей и неполной занятости. Начальные запасы £0
таковы, что
т
go > $6(0 Л.	(62)
о
Неравенство (62) означает, что начальные запасы
не могут быть израсходованы в течение планового
периода, если их даже- расходовать с максимально
возможной скоростью. Это предположение не вполне
естественно, но отказ от него привел бы к тому, что
в ценах на запасы могут появиться скачки.
Предположение 2. На конце t — Т нет ограни-
чения равенства, и существуют такие управления щ
202
ДИНАМИЧ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА [ГЛ. VIII
V, й», что
Й = й,	х = ЛЯ-}-Вй + б4-с0 + й>,'
0 гС % < V,	«1 аох л2, f = w,
V(O) = Vo, f(O) = go, й, v, w^O,
L^(T) + G^ (t)^ai-ze.
Предположение 2 означает, что финальное ограни-
чение L^(T) + GiV (Т)^аг не очень жесткое.
Предположение 3. Матрицы Li, Gi==g0.
Это предположение всегда выполнено, если ограни-
чения на конце имеют вид	V(T)^Vr.
Если выполнены предположения 1—3, то задача л
и задача л' таковы, что для них будут выполнены
следующие необходимые условия оптимальности: почти
всюду
[<7(0-p(0B(0]/Vi(0 = 0,
[Qi(O-a(O][1(O4-MO] = o,
LM0- P/o(O]fa(O- MOW
4i[Vi- Xi] = 0,	(63)
S (f) [л2 (0 — Oo (I) x (/)] = 0,
/(0[oo(/)x(0-MO] = 0,
i = 1, ... , n; /=!,..., r.
Экономическая интерпретация условий (63) анало-
гична соответствующей интерпретации для задачи Л.
Заметим, что если цена на запас i-ro продукта меньше
цены р{ (t), то запас этого продукта расходуется
с максимальной скоростью. Если скорость расхода
запаса меньше максимальной, то цена запаса i-ro
продукта равна цене продукта-. Если уровень занятости
выше лх (0» то плата I (/) равна нулю. Если плата I (t)
отлична от нуля, то занятость находится на нижнем
уровне л^/).
Можно показать, что как и для задачи Л, из (63)
следует принцип максимума Понтрягина для задачи л'.
ДИСКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ
203
§ 8]
§ 8. Дискретные задачи планирования
на бесконечном интервале времени
При планировании на конечном интервале времени
возникает хорошо известная трудность. Добиваясь
выполнения поставленных целей на отрезке планирова-
ния [0, Т], мы не заботимся о том, что будет в году
Т +1. Но для экономической системы это далеко
не безразлично. Для того чтобы преодолеть эту труд-
ность, приходится рассматривать бесконечный отрезок
планирования.
Рассмотрим динамическую модель Леонтьева в диск-
ретном случае, но на бесконечном интервале времени.
Будем через xt обозначать вектор выпуска, а через Vt —
вектор производственных мощностей в году t, q —вектор
потребления. Если A t — технологическая матрица,
В/ —матрица фондоемкостей, а? —вектор норм затрат
труда на производство единичного набора продуктов
в году /, то по аналогии с § 2 мы можем функциони-
рование экономики описать следующей системой урав-
нений и неравенств:
Q^xt^Vh V/+1 — К 3s 0, V0 = a, (64)
ct 5s с",	atxt Я/.
Положим
V/+i— Vt = Ut, —	=
Будем считать и{ и wt управлениями. Пусть существует
число q > 1 такое, что
= с?а, </-% = Л/sga,	/ = 0, 1, ... (65)
Полагая
= xf = q%,	(66)
можем (64) представить в следующем виде:
Vt+l = ±Vt + ±uh
^^ЛЛ + ВЛ + ^ + 4,	(67)
Ct Ct9 dt%t
204
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА [ГЛ. VIII
Будем управления Ut и wt брать в классе ограни-
ченных последовательностей. Тогда ut и wt будут
последовательностями, растущими не быстрее геомет-
рической прогрессии со знаменателем ?>1. Будем
считать, что матрицы At и Bt ограничены, что нахо-
дится в согласии с экономическим смыслом этих
матриц. Будем также предполагать, что матрица
Л = (£-Л/)-1 = £+Л+...4-Л?+...
ограничена. Это предположение также естественно,
так как с течением времени коэффициенты технологи-
ческой матрицы в силу технического прогресса должны
убывать.
Будем считать целью производства максимизацию
линейного функционала
ОО	со
Л?>0, 2А’< + оо,
/х=0	/—о
или, если вернуться к управлениям то максимиза-
цию линейного функционала
ф= £р?^ = Sp?(cz-c?), 5^р?< + °°, p?S=0.
/=0	1 = 0	/=0
Можно также рассматривать вогнутый функционал
/=0
где U (с) — вогнутая функция полезности.
Задача максимизации линейного функционала (68)
при ограничениях (67) может быть приведена к част-
ному случаю задачи, рассмотренной в § 2 гл. VII.
Пользуясь блочными матрицами, приходим к следую-
щей формулировке:
Задача Л. Найти максимум линейного функцио-
нала
Ф- 2 (о,
/ = 0	' и
« 8]
ДИСКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ
205
при следующих ограничениях:
Я ' \Ч )\v>t)
_(E\v AtBt	\
\°/ * \aoAtBt OoAJx^t)	\я—a0Atctr
ut^0, Wt^Q, {«/}, {wt}<=ff.
Пользуясь результатами § 2 гл. VII, можем двой-
ственную задачу записать в следующем виде:
Задача Л'. Найти минимум линейного функцио-
нала
= Qo« + 2 <r<- s<) ( ~	?)
при следующих ограничениях:
Qt-jQM + krt, 8/)(о),
-Це, 0)й+1 + (г„	\
\ Я	/ \pt /
/ = 0, 1,...
Если положить
й = гЛ+м?А»
то двойственная задача может быть записана в сле-
дующем виде:
Задача Л’. Найти минимум линейного функцио-
нала
= Qoa + У, spit - У, £4	(68)
/=о	^=0
при следующих ограничениях:
Pt=Pt At + Tt +
Qt= у Q/+i +
~ 9	(69)
—Qt+i^pt^t, Pt^Pb
{rj G= lln, {sje/1, ~rb SfSsO.
206
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ VIII
Заметим, что из результатов § 2 гл. VII следует,
что {$Д <= Гп.
Положим теперь
Qt = (fQt, rt = (frt, St = cfst.
Тогда задачу Л' можно переписать в следующем виде:
Задача Л'. Найти минимум линейного функцио-
нала
= Qoa + У, stnt -^Ptdt	(70)
f==0	t = Q
при следующих ограничениях:
Pt s Pt&t + П + S/й},
Qt = Q/+i + г/, Q/+i PtBf, Pt^ Pt,
00	оо
2|rz|^< + oo,	2^< + °°.
t—0	/=0
(71)
Двойственная задача Л допускает экономическую
интерпретацию, аналогичную интерпретации § 4. Будем
pt называть вектором цен, a st — заработной платой.
Тогда первое из уравнений (71) определяет rt как век-
тор прибылей отраслей на единицу произведенного
продукта. Вектор Q, будем называть вектором цен
мощностей. Тогда второе из уравнений (71) позволяет
интерпретировать rt еще и как плату за единицу мощ-
ности. Цена мощности в момент t равна цене мощности
в момент /+1, сложенной с платой за единицу мощ-
ности в году t. Неравенство Qt+i^PtBt означает, что
цена мощности в году /4-1 не превышает затрат на
строительство этой мощности в году t. Цена pt всегда
превышает потребительскую цену ру.
Прежде чем переходить к условиям оптимальности,
выясним, какой смысл имеет условие Слейтера для
задачи Л. Будем говорить, что по ограничениям xt Vt
и п( выполнено условие Слейтера, если найдутся
управления {йД и {®Д такие, что
Xt —	4-5/й/4-с?4_®ь Vm—— Vo = a,
Osgx (/)sC Vt — ефе, e>0, e=(l, ..., 1),
a°Xt Л/ — еф, щ, wt 2^ 0.
§ 81	ДИСКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ	207
Из результатов гл. VII следует, что для задач Л
и Л' должны быть в случае выполнения условия Слей-
тера справедливы условия дополняющей нежесткости,
которые и дают необходимые условия оптимальности
[рЛ —Q/+1b«/ = O, i = l, ...,п,
(р/-р?0(с'-^) = О.	(72)
rt[V‘t — х/] = 0, S/[nz — a?xJ = 0,
t = 0, 1, ...
Интерпретация условий оптимальности такая же,
как и в непрерывном случае. Если в году t была постро-
ена новая мощность «/, то ее цена в году /4-1 равна
расходам на строительство единицы мощности. Если
же Q/+i меньше расходов на строительство единичной
мощности, то мощность в году t не строится. Если цена
продукта превышает потребительскую цену, то потреб-
ление этого продукта находится в году t на нижнем
уровне. Если потребление Z-го продукта превышает
нижний уровень, то цена этого продукта равна потре-
бительской его цене. Если плата за фонды отлична от
нуля, то соответствующая мощность загружена пол-
ностью. Если какая-то мощность недозагружена, то
плата за фонды равна нулю. Если — неполная занятость,
то зарплата равна нулю; если зарплата отлична от
нуля, то имеет место полная занятость.
Как следует из результатов гл. VII, условия (72)
достаточны для оптимальности, если xt, Vt, ut, ct, pt,
Qt, rt, st допустимы.
Если ввести функции Понтрягина
Ж (и, с, Qt+i) = Qt+iu + p?c,
(s, г, Vt) = snt + rVt-pc9t, (73)
p = pAt + r + sa<>t,
то, как следует из результатов гл. VII, условия (72)
эквивалентны тому, что
тах^ (и, с, QM) = ^ (ut, ct, Qm),
208
ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА (ГЛ. VIII
где max берется при ограничениях
х = Atx + Btu + c,	x^Vt,
a'jx nt, u 5= 0, с 3^ сш.
Аналогично
min^(sz, rt, Vt} = ^ (st, rt, Vt),
где min берется при ограничениях
p = pAt+r + saj,	pBt^Qt+u
p3?Pt, r^O, s^O.
Заметим, что если вместо линейного функционала
взять вогнутый
^plUtiWt),
м
где Ut (w) — вогнутая функция полезности, U (0) = 0,
то все результаты этого параграфа остаются в силе,
если только во всех формулах заменить р° на
Pt dUt(wt)/dw. При этом нужно предполагать, что
последовательность функций
/—0,1.....
равномерно ограничена и равностепенно непрерывна
на любом шаре в пространстве Rn.
§ 9. Сбалансированный рост
Как мы уже говорили в предыдущем параграфе,
условия (72) достаточны для оптимальности. Пусть
для некоторой траектории
;\+i = pA, Pt = Pl, Vt = xt, nt = a°tXt. (74)
Тогда условия (72) выполнены и Xt, ut, ct, pt, Qt, rt, st
будут оптимальными. Используя условия (74), упро-
стим систему (71):
Pt — PtAt + Pt&t — Pi+iBi+i + S/Я/.	(75)
« 91	СБАЛАНСИРОВАННЫЙ рост	209
Система (64) тоже упрощается:
xt = Atxt + Bt (xt+i —	+ ct,
xM — xt 5=0, x0 = a,	(76)
atXt — ^t, £/5=0;
без ограничения общности считаем, что с? = 0. Будем
искать решение системы (76) а виде
xt = х0А/, Ct = с0М,	(77)
предполагая, что матрицы At, Bt и вектор at не зави-
сят от t, а
nz = nV, Х>1.
Число 1 называется темпом роста рабочей силы,
а р = X — 1 — нормой роста. Решение вида (77) будем
называть лучом сбалансированного роста. На таком
луче производство растет с темпом, диктуемым тем-
пом роста рабочей силы. Подставляя (77) в (76),
получаем
х0 = Лхо4-ВрХо4-Со, х0 = а, а°х0 = л, (78)
откуда
(Е — А — рВ)а = с0,	сРа = л.
Так как матрица Л продуктивна, то Е —Л—строго
положительно обратима. Поэтому при достаточно малых
р и матрица Е — А—рВ также строго положительно
обратима. Поэтому
а = (Е-Л-рВ)-1с0.	(79)
откуда получаем условие на начальное состояние а — х0
а°(Е — А — рВ)~гс0 = л, с0 5= 0.	(80)
Так как (Е — Л — рВ)-1 > 0, то множество (80) будет
ограниченным многогранником. Все лучи сбалансиро-
ванного роста могут начинаться только из множества
пар (а, с0), удовлетворяющих условиям (79) и (80).
Решение системы (75) будем при At — A, В(*=В
искать в виде
Pt = PoP(, s(==sop', Ар.<1, 1— р = р',
210 ДИНАМИЧ. МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА [ГЛ. VIII
откуда
Ро = РоА + РоВр' + so«o,
Ро (Е — А — р'В) = soao,
Ро = soao (Е — А — р'В)-1,
где р' —темп падения цен. Если р'=р, то существует
такой луч сбалансированного роста, на котором темп
роста производства (совпадающий с темпом роста
народонаселения) совпадает с темпом падения цен
(нормой процента).
С лучами сбалансированного роста тесно связаны
так называемые магистральные свойства оптимальных
траекторий. Мы не будем тут заниматься изучением
этого вопроса.
КОММЕНТАРИИ
ГЛАВА I
Основные определения даны по учебникам Люстерника и Собо-
лева [1], Канторовича и Акилова [1], там же можно найти и до-
казательства соответствующих теорем. Доказательства теорем § 4
можно найти в монографии Данфорда и Шварца [1]. Понятие
замыкания по мере было введено в работах Дубовицкого и
Милютина [1]—[2]. Изложение § 7 следует работе Ю. Брод-
ского [1].
ГЛАВА II
Изложение, в основном, по статьям Крейна и Рутмана [1]
и Крейна и Шмульяна [1].
§ 1.	Вместо термина Крейна «линейная полугруппа» мы
предпочитаем термин «выпуклый конус». В статье Крейна и Рут-
мана от конуса требуется замкнутость. Требуется также, чтобы
из ± х е ,з%'‘ следовало бы х = 0. Мы в этом случае говорим об
остром конусе. Такая терминология более распространена в литера-
туре, посвященной вопросам программирования и математической
экономики.
§ 2.	Все доказательства этого параграфа воспроизводят с не-
большими изменениями соответствующие доказательства статьи
Крейна и Рутмана [1].
§ 3.	Доказательство теоремы 8 заимствовано из книги Дан-
форда и Шварца [1]. Доказательства лемм 1 и 2 заимствованы
из книги Иоффе и Тихомирова [1].
§ 4.	Изложение — по статье Крейна и Шмульяна [1]. Для
простоты некоторые результаты доказаны в менее общих предпо-
ложениях, чем в [1].
§ 5.	Теоремы этого параграфа можно найти во многих моно-
графиях, например в книге Эрроу, Гурвица, Удзавы [1].
212
КОММЕНТАРИИ
ГЛАВА III
Изложение, в основном, по монографии Эрроу, Гурвица,
Удзавы ]1].
§ 1.	Теорема 1 заимствована из книги Красносельского [1].
Там же введено понятие строго положительного линейного функцио-
нала. Теорема 4 доказана в книге Гирсанова [1]. Заметим, что
теоремы этого параграфа оказываются малоэффективными при
исследовании задач оптимального управления с непрерывным вре-
менем, но иногда полезны при исследовании задач с дискретным
временем на бесконечном интервале времени.
§ 2.	Теория линейных неравенств изложена по книге Эрроу,
Гурвица, Удзавы [1]. Теоремы в предельной форме 10 и 11 явля-
ются обобщениями соответствующих теорем книги [1]. Они ока-
зываются весьма полезными для теории задач оптимального
управления.
§ 3.	Основное изложение в стиле книги Эрроу, Гурвиц, Уд-
зава [1]. Обобщение теории двойственности, полученное в этом
параграфе, оказывается полезным для задач оптимального управ-
ления. Еще более далекие обобщения теории двойственности можно
найти в монографии Гольштейна [1].
§ 4.	При исследовании задач линейного программирования
в конечномерном пространстве условие Слейтера не играет роли.
В бесконечномерном случае оно становится существенным, что
показывают теоремы этого параграфа.
§ 5.	Показывается, что учет ограничений равенств не приво-
дит к существенным осложнениям. Естественно возникает условие
невырожденности ограничений типа равенств.
ГЛАВА IV
В главе IV теория выпуклого программирования развивается
в гладком случае. Это позволяет просто сводить задачу получе-
ния необходимых условий оптимальности к линейному программи-
рованию.
§ 1.	Наиболее полное изложение теории выпуклых функций
для конечномерного случая см. в книге Рокафеллера [1], в беско-
нечномерном случае — в книге Иоффе и Тихомирова [1].
§ 2. Задача вогнутого программирования рассматривается
в пространстве, сопряженном пространству Банаха. Тогда при
некоторых ограничениях необходимые условия оптимальности
можно сформулировать в терминах пространства Е, а не второго
сопряженного пространства £§ **. Такой подход интересен для
КОММЕНТАРИИ
213
приложений, рассматриваемых в этой книге. Отказ от дифферен-
цируемости вызывает известные трудности, так как нам неизвестны
соответствующие теоремы отделимости. Общая теория двойствен-
ности изложена у Иоффе и Тихомирова [1] и в монографии
Гольштейна [1]. Изложение § 2 следует статье автора [2].
§ 4.	Если рассматривать задачу в пространстве Е*, а двой-
ственную— в пространстве Е**, то теорема Куна — Таккера
может быть доказана и без требования дифференцируемости.
См. Эрроу, Гурвиц, Удзава [1].
§ б.	Находятся необходимые условия экстремума в невыпук-
лом гладком случае. Исходная экстремальная задача в прост-
ранстве Е*. Необходимые условия оптимальности находятся в тео-
минах пространства Е.
ГЛАВА V
§ 1.	Двойственные задачи оптимального управления в дискрет-
ном случае сформулированы и исследованы в работе Иванилова
и Пропоя [1], в непрерывном случае они сформулированы в ра-
боте Кривенкова [1] (для простейшего случая). Изложение в главе V
следует работе автора [1].
§ 4.	Лемма 3, принадлежащая Дубовицкому и Милютину,
оказывается весьма полезной при исследовании вопроса о замкну-
тости конуса Она позволяет избавиться от ограничений,
которые накладывались на матрицу D в статье автора [1].
§ б.	Как показал в своей лекции А. Я. Дубовицкий, теорема 6
может быть выведена из общих условий оптимальности, получен-
ных Дубовицким и Милютиным.
§§ 8,	9. Рассматривается общий случай линейной задачи,
когда не выполнены условия, гарантирующие замкнутость ко-
нуса В работе Дубовицкого и Милютина теоремы, подобные
теореме 7, получаются при помощи так называемой «аппроксима-
тивной теоремы», которая позволяет находить условие непересече-
ния конусов в пространстве Е* (уравнение Эйлера) не в терми-
нах пространства Е**, а через некоторые последовательности
элементов пространства Е. В настоящей книге вместо уравнения
Эйлера используется теория двойственности в линейном програм-
мировании. Теория двойственности также используется для полу-
чения описания возникающих в необходимых условиях мер через
позитивную меру, сосредоточенную на множестве фазовых точек
траектории. В работе Дубовицкого и Милютина это описание
получено другим способом.
214
КОММЕНТАРИИ
Г ЛАВА VI
Предполагается, что дифференциальное уравнение линейно
относительно фазовой переменной. Если отказаться от этого пред-
положения, задача перестает быть выпуклой. Изложение по статье
автора [2].
ГЛАВА VII
Рассматриваются дискретные задачи оптимального управления,
линейные, но на бесконечном интервале времени. Изучение таких
задач вызывает значительные трудности. Часть этих трудностей
в настоящей книге снимается за счет того, что исходная задача
приводится к задаче линейного программирования в пространстве,
сопряженном пространству суммируемых последовательностей.
Упрощения в формулировке принципа максимума для таких задач
связаны с тем, что пространство суммируемых последовательно-
стей само сопряжено пространству с0 последовательностей, стре-
мящихся к нулю. В дискретном конечномерном случае аналогичные
задачи рассматривались в работе Иванилова и Пропоя [1]. Здесь
изложение по статье автора [3].
Глава VIII
В дискретном случае на конечном интервале л-модель рас-
сматривалась в работе Иванилова и Петрова [1]. Более простая
модель леонтьевского типа без запасов и ограничений на труд рас-
сматривалась в работе Дубовского [1]. Дискретные задачи плани-
рования на бесконечном интервале рассматривались многими авто-
рами, см., например, работу Вайцмана и Шмидта [1]. Особенно
труден вопрос о существовании оптимальных планов. Он тесно
связан с магистральными свойствами оптимальных траекторий. Воп-
рос о необходимых условиях оптимальности излагается по статье
автора [3].
В Некоторых работах вместо термина «оптимальные цены» упо-
требляется термин «оптимальные оценки». Предлагаемая экономи-
ческая интерпретация двойственной задачи является лишь одной
из возможных. Этой проблеме посвящено много работ экономистов.
См., например, работу Канторовича [1].
ЛИТЕРАТУРА
Бродский Ю. И.
1. Локальный принцип максимума для непрерывных и дискрет-
ных задач оптимального уравнения на бесконечном интервале
времени, ВИНИТИ, № 2562—76.
Вайцман М., Шмидт А. Г.
1. Принцип максимума для дискретных экономических процессов
на бесконечном интервале времени, Кибернетика, 1971, № 5.
Г ирсанов И. В.
1. Математическая теория экстремальных задач, Изд-во МГУ,
1970.
Гольштейн Е. Г.
1. Теория двойственности в математическом программировании
и ее приложения, «Наука», 1971.
Данфорд Н., Шварц Дж.
1. Линейные операторы, т. 1, ИЛ, 1962.
Дубовицкий А. Я., Милютин А. А.
1	. Задачи на экстремум при наличии ограничений, Ж. вычисл.
матем. и матем. физ., 1965 5, № 3.
2	Необходимые условия слабого экстремума в задачах опти-
мального управления со смешанными ограничениями типа
неравенства, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968 8, № 4.
3	Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче
оптимального управления, «Наука», 1971.
Дубовский С. В., Дюкалов А. Н., Иванов Ю. Н.,
Токарев В. В., Уздемир А. П., Фаткин Ю. М.
1. О построении оптимального экономического плана, Автома-
тика и телемеханика, 1972, № 8.
Дюкалов А. Н., Илютович А. Е.
1. Асимптотические свойства оптимальных траекторий экономи-
ческой динамики, Автоматика и телемеханика, 1973, № 3.
Иванилов Ю. П., Петров А. А.
1. Динамическая модель расширения и перестройки производства
(л-модель), Сб. «Кибернетику — на службу коммунизму», под
редакцией А. И. Берга, 6, «Энергия», 1971.
Иванилов Ю. П., Пропой А. И.
1. О задачах динамического линейного программирования, ДАН
СССР, 1971 198, 8.
Иоффе А Д.» Тихомиров В. М.
1 Теория экстремальных задач, «Наука», 1974.
Канторович Л. В.
1. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов,
Изд-во АН СССР, 1959.
216
ЛИТЕРАТУРА
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
1. Функциональный анализ в нормированных пространствах,
Физматгиз, 1959.
Красносельский М. А.
1. Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз,
1962.
Крейн М. Г., Рутман М. А.
1. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус
в пространстве Банаха, УМН, 1948 3, № 1 (23).
Крейн М. Г., Шмульян В. Л.
1. On regularly convex sets In the space conjugate to a Banach
space, Ann. of Math., 41 (1940).
Кривенков Ю. П.
1. Математические и вычислительные вопросы линейного дина-
мического программирования, Изд-во АН СССР, 1962.
Рокафеллар Р. Т.
1. Выпуклый анализ, <Мир», 1973
Тер-Крикоров А. М.
1.	Линейные задачи оптимального управления с фазовыми огра-
ничениями, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, № 1.
2.	Вопросы выпуклого программирования в пространстве, сопря-
женном пространству Банаха, и задачи оптимального управ-
ления с фазовыми ограничениями, Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 1976, № 2.
3.	Линейные и выпуклые задачи оптимального управления на
бесконечном отрезке времени, Ж. вычисл. матем. и матем.
физ., 1976, 3.
Эрроу К., Гурвиц Дж., Уд зава Ж.
1. Исследования по линейному и нелинейному программированию,